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- Eine Sekante wird durch zwei verschiedene Punkte des Funktionsgraphen festgelegt. - Eine Tangente beschreibt die lokale Richtung des Graphen an einem einzelnen Berührpunkt.

1. Die Gerade \(a\) berührt den Funktionsgraphen in \(P\) und besitzt dort dieselbe lokale Richtung wie der Graph. Daher ist \(a\) die Tangente. 2. Die Gerade \(b\) verläuft durch die beiden verschiedenen Punkte \(P\) und \(Q\) des Funktionsgraphen. Daher ist \(b\) die Sekante.

\(a\) ist die Tangente in \(P\); \(b\) ist die Sekante durch \(P\) und \(Q\).

- Du kennst bereits einen Punkt der Geraden und ihre Steigung. - Verwende eine Geradenform, in die sich Punkt und Steigung direkt einsetzen lassen. - Kontrolliere am Ende, ob der Punkt \(P\) deine Gleichung erfüllt.

1. Mit Punkt und Steigung verwendet man die Punkt-Steigungs-Form \(y-3=-2(x-2)\). 2. Ausmultiplizieren liefert \(y=-2x+7\).

\(y=-2x+7\).

- Bestimme zuerst die Ableitungsfunktion mit den grundlegenden Ableitungsregeln. - Welcher Ableitungswert entspricht der Tangentensteigung an der Stelle \(x=5\)?

1. Nach den grundlegenden Ableitungsregeln ist \(y'(x)=0{,}4x+5\). 2. Einsetzen von \(x=5\) ergibt \(y'(5)=0{,}4\cdot5+5=7\). 3. Damit beträgt die Tangentensteigung \(7\).

\(7\)

- Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der Ableitung? - Wie hängen die Steigung einer Funktion in einem Punkt und die Ableitungsfunktion zusammen? - Wie berechnet man die zweite Koordinate eines Punktes, wenn die x-Koordinate bekannt ist?

1. Ableitung mit der Potenz- und Summenregel bilden: \(f'(x) = -2x + 4\). 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente ist eine Steigung von \(0\). Ansatz: \(f'(x_0) = 0\). 3. Gleichung lösen: \(-2x_0 + 4 = 0 \Rightarrow x_0 = 2\). 4. Funktionswert berechnen: \(f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 2 = -4 + 8 - 2 = 2\). Der Punkt ist \(P(2|2)\). 5. Für die Steigung \(6\) den Ansatz \(f'(q) = 6\) wählen: \(-2q + 4 = 6\). 6. Nach \(q\) auflösen: \(-2q = 2 \Rightarrow q = -1\). 7. Funktionswert berechnen: \(f(-1) = -(-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 2 = -1 - 4 - 2 = -7\). Der Punkt ist \(Q(-1|-7)\).

a) \(f'(x) = -2x + 4\) b) \(P(2|2)\) c) \(Q(-1|-7)\)

- Bestimme zuerst den Berührpunkt aus \(x_0=1\) und dem Funktionswert. - Welcher Wert der gegebenen Ableitungsfunktion liefert die Tangentensteigung? - Wie stellst du aus einem Punkt und einer Steigung eine Gerade auf?

1. Der Berührpunkt ist \(P(1\mid f(1))\) mit \(f(1)=0\), also \(P(1\mid0)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(m=f'(1)=3-6=-3\). 3. Mit der Punkt-Steigungs-Form folgt \(y=-3(x-1)\), also \(t(x)=-3x+3\).

\(t(x)=-3x+3\)

- Welche Koordinaten hat der Berührpunkt bei \(x_0=2\)? - Welcher Ableitungswert liefert die Tangentensteigung? - Wie stellst du eine Gerade aus Punkt und Steigung auf?

1. Es gilt \(f(2)=8-12+4=0\), also ist der Berührpunkt \(P(2\mid0)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(m=f'(2)=16-12=4\). 3. Mit Punkt und Steigung folgt \(y=4(x-2)\), also \(t(x)=4x-8\).

\(t(x)=4x-8\)

- Bestimme zuerst den Ableitungswert an der gegebenen Stelle. - Welche trigonometrische Beziehung verbindet Geradensteigung und Steigungswinkel? - Achte auf das Gradmaß des Taschenrechners.

1. Die Tangentensteigung ist \(m=f'(1)=-1{,}5+4=2{,}5\). 2. Für den Steigungswinkel gilt \(\tan(\alpha)=m\). 3. Daher ist \(\alpha=\arctan(2{,}5)\approx68{,}2^\circ\).

\(\alpha\approx68{,}2^\circ\)

- Welche zwei Eigenschaften müssen Kurve und Gerade an einem knickfreien Übergang gemeinsam haben? - Welchen Punkt der Geraden erhältst du aus dem Funktionswert bei \(x=2\)? - Wie verwendest du die gegebene Ableitungsfunktion, um die Geradensteigung zu bestimmen?

1. Am Übergangspunkt gilt \(f(2)=-0{,}2\cdot 2^2+2\cdot 2+1=4{,}2\). Also ist \(P(2|4{,}2)\). 2. Die gemeinsame Steigung von Hügelprofil und knickfrei anschließender Geraden ist \(m=f'(2)=-0{,}4\cdot 2+2=1{,}2\). 3. Mit \(y=1{,}2x+b\) und \(P(2|4{,}2)\) folgt \(4{,}2=1{,}2\cdot 2+b\), also \(b=1{,}8\). 4. Damit lautet die Geradengleichung \(y=1{,}2x+1{,}8\).

Die Gleichung der Geraden lautet \(y=1{,}2x+1{,}8\).

- Welche Steigung hat die Tangente an der Stelle \(x_0=3\)? - Welchen Punkt des Graphen berührt die Tangente dort? - Wie erhältst du aus der Steigung den Steigungswinkel?

1. Der Berührpunkt ist \(P(3|f(3))\) mit \(f(3)=\frac{1}{3}\cdot 3^3-3^2-2\cdot 3=-6\). 2. Die Tangentensteigung ist \(m=f'(3)=3^2-2\cdot 3-2=1\). 3. Die Tangente erfüllt \(y+6=1(x-3)\), also \(y=x-9\). 4. Für den Steigungswinkel gilt \(\tan(\alpha)=1\). Daher ist \(\alpha=45^\circ\).

Die Tangente lautet \(y=x-9\). Ihr Steigungswinkel beträgt \(45^\circ\).

- Welche zwei Informationen brauchst du für eine Geradengleichung? - Bestimme den vollständigen Berührpunkt aus \(P(1|f(1))\). - Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion bei \(x=1\)?

1. Es ist \(f(1)=1-4+5=2\). Der Berührpunkt ist \(P(1|2)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(m=f'(1)=3-8=-5\). 3. Mit \(y=-5x+c\) und \(P(1|2)\) folgt \(2=-5+c\), also \(c=7\). 4. Damit lautet die Tangente \(t:y=-5x+7\).

\(t:y=-5x+7\)

- Welche zwei Bedingungen müssen an derselben Stelle erfüllt sein, damit sich zwei Graphen dort berühren? - Vergleiche sowohl die Funktionswerte als auch die gegebenen Ableitungswerte bei \(x=1\). - Welche Daten brauchst du anschließend für die gemeinsame Tangente?

1. Es gilt \(f(1)=3\) und \(g(1)=3\). Beide Graphen enthalten also den Punkt \(P(1|3)\). Außerdem ist \(f'(1)=3\) und \(g'(1)=3\). Damit stimmen dort auch die Tangentensteigungen überein; die Graphen berühren sich. 2. Die gemeinsame Tangente hat Steigung \(3\) und geht durch \(P(1|3)\). Daher gilt \(y-3=3(x-1)\), also \(t:y=3x\).

1. Es gilt \(f(1)=g(1)=3\) und \(f'(1)=g'(1)=3\); daher berühren sich die Graphen in \(P(1|3)\). 2. \(t:y=3x\)

- Welche Steigung besitzt eine Tangente parallel zur \(x\)-Achse? - Welche Gleichung stellst du daher mit der gegebenen Ableitungsfunktion auf? - Warum musst du nach den Stellen noch die zugehörigen Funktionswerte berechnen?

1. Für eine waagerechte Tangente gilt \(f'(x)=0\). Somit ist \(6x^2+6x-12=0\), also \(x^2+x-2=0\). 2. Daraus folgen \(x=1\) und \(x=-2\). 3. Es ist \(f(1)=-3\) und \(f(-2)=24\). 4. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(1|-3)\) und \(P_2(-2|24)\).

\(P_1(1|-3)\) und \(P_2(-2|24)\)

- Welche Steigung muss die gesuchte Tangente wegen der Parallelität besitzen? - An welcher Stelle liefert die gegebene Ableitungsfunktion diese Steigung? - Welcher Punkt des Graphen gehört zu dieser Stelle?

1. Eine zu \(g\) parallele Tangente muss die Steigung \(2\) besitzen. 2. Daher gilt \(f'(x)=2\), also \(0{,}5x+1=2\). Daraus folgt \(x=2\). 3. Es ist \(f(2)=0\). Der Berührpunkt lautet \(P(2|0)\). 4. Mit Steigung \(2\) durch \(P\) ergibt sich \(y=2(x-2)\), also \(y=2x-4\).

\(y=2x-4\)

- Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Was bedeutet es für die Ableitungsfunktion, wenn eine bestimmte Steigung vorgegeben ist? - Hängt die Steigung an jeder Stelle vom Parameter ab oder gibt es Ausnahmen?

1. Einsetzen des Punktes \(P(2 | 5)\) in die Funktionsgleichung: \(5 = a \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 1\). Daraus folgt \(5 = 4a - 7\), also \(4a = 12\) und somit \(a = 3\). 2. Die Ableitungsfunktion lautet \(f_a'(x) = 2ax - 4\). Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) ergibt sich durch Einsetzen: \(f_a'(0) = 2a \cdot 0 - 4 = -4\). 3. Die Bedingung für die Steigung an der Stelle \(x = 1\) lautet \(f_a'(1) = 10\). Einsetzen in die Ableitung ergibt \(2a \cdot 1 - 4 = 10\). Umformen führt zu \(2a = 14\), also \(a = 7\).

a) \(a = 3\) b) \(m = -4\) c) \(a = 7\)

- Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion bei \(x=1\)? - Welcher vorzeichenbehaftete spitze Winkel besitzt denselben Tangenswert wie diese Steigung? - Welche zwei Daten brauchst du anschließend für die Tangentengleichung?

1. Es gilt \(m=f'(1)=-1\). 2. Für den Steigungswinkel gilt \(\tan(\alpha)=-1\). Nach der Lehrplan-Konvention ist \(\alpha=-45^\circ\). 3. Es ist \(f(1)=2{,}5\). Mit Steigung \(-1\) durch \(B(1|2{,}5)\) ergibt sich \(y-2{,}5=-1(x-1)\), also \(y=-x+3{,}5\).

1. \(m=-1\) 2. \(\alpha=-45^\circ\) 3. \(y=-x+3{,}5\)

- Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion bei \(x=3\)? - Welcher Punkt des Graphen gehört zu dieser Stelle? - Wie stellst du aus Punkt und Steigung die Tangentengleichung auf?

1. Es gilt \(f'(3)=4\). Damit beträgt die Steigung \(4\). 2. Außerdem ist \(f(3)=-1\), also liegt der Berührpunkt bei \(P(3|-1)\). 3. Die Tangente erfüllt \(y+1=4(x-3)\), also \(y=4x-13\).

a) \(4\) b) \(y=4x-13\)

- Setze die Koordinaten von \(P\) in \(f(x)=ax^3\) ein, um \(a\) festzulegen. - Der Wert von \(a\) wird in b) erneut benötigt: Setze ihn in die gegebene Ableitungsfunktion ein. - Eine Tangente ist durch Berührpunkt und Tangentensteigung eindeutig bestimmt. - Am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist der \(y\)-Wert gleich \(0\).

1. Aus \(P(2|2)\) folgt \(2=a\cdot2^3\), also \(a=0{,}25\). 2. Mit der gegebenen Ableitungsfunktion ist \(f'(2)=3\cdot0{,}25\cdot2^2=3\). Die Tangente durch \(P(2|2)\) hat daher die Gleichung \(y-2=3(x-2)\), also \(t(x)=3x-4\). 3. Für den Schnitt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=3x-4\). Damit ist \(x=\frac43\) und \(S(\frac43|0)\).

a) \(a=0{,}25\) b) \(m_t=3\), \(t(x)=3x-4\) c) \(S(\frac43|0)\)

- Welche zwei Angaben legen die Tangente hier bereits eindeutig fest? - Wie stellst du eine Gerade aus einem Punkt und einer Steigung auf? - Welche Koordinaten musst du einsetzen, um zu prüfen, ob der Ursprung auf der Geraden liegt?

1. Mit Steigung \(2\) durch \(P(3|2)\) gilt \(y-2=2(x-3)\). Daher ist \(t:y=2x-4\). 2. Für den Ursprung müsste \(t(0)=0\) gelten. Tatsächlich ist \(t(0)=-4\). Die Tangente verläuft also nicht durch den Ursprung.

a) \(t:y=2x-4\) b) Nein, denn \(t(0)=-4\ne0\).

- Welcher Berührpunkt gehört jeweils zur angegebenen Stelle? - Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion an jeder Stelle? - Wie stellst du aus Berührpunkt und Steigung die Tangentengleichung auf?

1. Für \(x_1=2\) gilt \(f(2)=0\) und \(f'(2)=4\). Daher ist \(t_1:y=4(x-2)=4x-8\). 2. Für \(x_2=1\) gilt \(f(1)=-1\) und \(f'(1)=-1\). Daher ist \(t_2:y+1=-1(x-1)\), also \(t_2:y=-x\).

a) \(t_1:y=4x-8\) b) \(t_2:y=-x\)

- Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion bei \(x=4\)? - Welcher Berührpunkt gehört zu dieser Stelle? - Wie hängt der Steigungswinkel mit der Geradensteigung zusammen?

1. Es gilt \(f(4)=2\) und \(f'(4)=1\). Die Tangente durch \(P(4|2)\) mit Steigung \(1\) lautet \(t:y=x-2\). 2. Für den Steigungswinkel gilt \(\tan(\alpha)=1\). Daher ist \(\alpha=45^\circ\).

1. \(t:y=x-2\) 2. \(\alpha=45^\circ\)

- Bestimme zuerst den vollständigen Berührpunkt. - Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion bei \(x=-2\)? - Wie stellst du aus Punkt und Steigung die Tangentengleichung auf?

1. Es ist \(f(-2)=0\). Der Berührpunkt lautet \(P(-2|0)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(f'(-2)=-4\). 3. Daher gilt \(y=-4(x+2)\), also \(y=-4x-8\).

\(y=-4x-8\)

- Welche Steigung gehört zum Steigungswinkel \(-45^\circ\)? - An welcher Stelle nimmt die gegebene Ableitungsfunktion diesen Wert an? - Welcher Funktionswert gehört zu dieser Stelle?

1. Zum Steigungswinkel \(-45^\circ\) gehört die Steigung \(m=-1\). 2. Aus \(f'(x)=-1\) folgt \(2x-5=-1\), also \(x=2\). 3. Es ist \(f(2)=-4\). Der gesuchte Punkt lautet \(P(2|-4)\).

\(P(2|-4)\)

- Lies für jede beschriftete Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Bestimme daraus jeweils die Steigung. - Nutze anschließend einen Punkt der Tangente, um ihre Gleichung festzulegen.

1. \(t_A\) geht durch \(A(0|2)\) und \((1|3)\). Daher ist die Steigung \(1\) und \(t_A:y=x+2\). 2. \(t_B\) verläuft waagerecht durch \(B(2|3)\). Daher ist \(t_B:y=3\). 3. \(t_C\) geht durch \(C(4|2)\) und \((5|1)\). Daher ist die Steigung \(-1\) und \(t_C:y=-x+6\).

\(t_A:y=x+2\) \(t_B:y=3\) \(t_C:y=-x+6\)

- Lies auf jeder eingezeichneten Tangente zwei Gitterpunkte ab. - Berechne daraus die Steigung und stelle die Geradengleichung auf. - Für den Steigungswinkel gilt \(m = \tan(\alpha)\).

1. Für \(t_1\) lassen sich die Punkte \(A(0 \mid -1)\) und \((1 \mid 0)\) ablesen. Daher ist \(m_1 = \frac{0 - (-1)}{1 - 0} = 1\), und es gilt \(t_1: y = x - 1\). 2. Für \(t_2\) lassen sich die Punkte \(B(2 \mid 3)\) und \((1 \mid 0)\) ablesen. Daher ist \(m_2 = \frac{3 - 0}{2 - 1} = 3\), und es gilt \(t_2: y = 3x - 3\). 3. Aus \(\tan(\alpha_1) = 1\) folgt \(\alpha_1 = 45{,}0^\circ\). Aus \(\tan(\alpha_2) = 3\) folgt \(\alpha_2 \approx 71{,}6^\circ\).

\(t_1: y = x - 1\) mit \(\alpha_1 = 45{,}0^\circ\); \(t_2: y = 3x - 3\) mit \(\alpha_2 \approx 71{,}6^\circ\).

- Lies auf jeder Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Berechne aus diesen Punkten die Steigung und bestimme anschließend den Achsenabschnitt. - Bei einer flachen Tangente sind weit auseinanderliegende Punkte besonders günstig.

1. Tangente in \(A(1 \mid 4)\): Ein weiterer gut ablesbarer Punkt ist \((2 \mid 0)\). Daher ist \(m = \frac{0 - 4}{2 - 1} = -4\). Mit \(4 = -4 \cdot 1 + b\) folgt \(b = 8\), also \(y = -4x + 8\). 2. Tangente in \(B(2 \mid 2)\): Die Gerade verläuft durch \((0 \mid 4)\) und \((4 \mid 0)\). Daher ist \(m = \frac{0 - 4}{4 - 0} = -1\), also \(y = -x + 4\). 3. Tangente in \(C(4 \mid 1)\): Die Gerade verläuft durch \((0 \mid 2)\) und \((8 \mid 0)\). Daher ist \(m = \frac{0 - 2}{8 - 0} = -0{,}25\), also \(y = -0{,}25x + 2\).

\(A: y = -4x + 8\); \(B: y = -x + 4\); \(C: y = -0{,}25x + 2\).

- Waagerechte Tangenten haben die Form \(y = c\). - Lies für die Tangente im Punkt \(B\) zwei gut erkennbare Punkte ab und bestimme daraus die Steigung.

1. Tangente in \(A(-2 \mid 4)\): Der Graph besitzt dort einen Hochpunkt, daher verläuft die Tangente waagerecht und hat die Gleichung \(y = 4\). 2. Tangente in \(B(0 \mid 0)\): Die Tangente verläuft durch den Ursprung und fällt bei einer Einheit nach rechts um drei Einheiten. Daher ist ihre Steigung \(-3\), und die Gleichung lautet \(y = -3x\). 3. Tangente in \(C(2 \mid -4)\): Der Graph besitzt dort einen Tiefpunkt, daher verläuft die Tangente waagerecht und hat die Gleichung \(y = -4\).

\(A: y = 4\); \(B: y = -3x\); \(C: y = -4\).

- Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion bei \(x=1\)? - Wie hängt der Steigungswinkel mit der Geradensteigung zusammen?

1. Die Tangentensteigung ist \(m=f'(1)=1\). 2. Für den Steigungswinkel gilt \(\tan(\alpha)=1\). Daher ist \(\alpha=45^\circ\).

\(\alpha=45^\circ\)

- Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion bei \(x=0{,}5\)? - Bei einer fallenden Geraden ist der Steigungswinkel negativ; gesucht ist der vorzeichenbehaftete spitze Winkel.

1. Die Tangentensteigung ist \(m=f'(0{,}5)=-1\). 2. Nach der curriculumüblichen Steigungswinkel-Konvention gilt \(\tan(\alpha)=-1\) mit einem vorzeichenbehafteten spitzen Winkel. Daher ist \(\alpha=-45^\circ\).

\(-45^\circ\)

- Stelle den Differentialquotienten direkt an der Stelle \(x_0=1\) auf. - Vereinfache den Zähler so, dass sich der Faktor \(h\) kürzen lässt. - Welche lokale Steigung kennzeichnet eine waagerechte Tangente?

1. Es gilt \(f(1)=2\). 2. Der Differenzenquotient ist \(\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{\frac{1}{1+h}+1+h-2}{h}\). 3. Der Zähler vereinfacht sich zu \(\frac{h^2}{1+h}\). Nach Kürzen erhält man \(\frac{h}{1+h}\). 4. Für \(h\to0\) folgt \(f'(1)=0\). Daher ist die Tangente waagerecht. 5. Der Berührpunkt ist \(T(1|2)\).

Es gilt \(f'(1)=0\); daher ist die Tangente waagerecht. Der Berührpunkt ist \(T(1|2)\).

- Welche Beziehung besteht zwischen einer Extremstelle von \(f\) und einem Wert von \(f'\)? - Lies für b) Funktionswert und Ableitungswert an derselben Stelle aus den beiden Graphen ab. - Wie stellst du aus Berührpunkt und Tangentensteigung die Geradengleichung auf?

1. Graph \(a\) gehört zu \(f\), Graph \(b\) zu \(f'\). Graph \(a\) hat bei \(x=0\) einen Tiefpunkt; Graph \(b\) hat dort die Nullstelle, die zu \(f'(0)=0\) passt. 2. Bei \(x=2\) liest man am Graphen \(a\) den Punkt \(P(2|0)\) und am Graphen \(b\) den Wert \(f'(2)=1\) ab. 3. Die Tangente durch \(P\) mit Steigung \(1\) lautet \(y=x-2\).

a) \(a\) ist \(f\), \(b\) ist \(f'\). b) \(y=x-2\)

- Welcher Berührpunkt gehört zur Stelle \(x=3\)? - Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion dort? - Wie stellst du die Gerade aus Punkt und Steigung auf?

1. Es gilt \(f(3)=-0{,}5\). Der Berührpunkt ist \(P(3|-0{,}5)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(f'(3)=1\). 3. Daher gilt \(y+0{,}5=x-3\), also \(t:y=x-3{,}5\).

\(t:y=x-3{,}5\)

- Wie lautet die Ableitungsfunktion der Sinusfunktion? - Welchen Wert hat die Ableitung an der Stelle \(x = 0\)? - Da der Punkt im Ursprung liegt, ist der \(y\)-Achsenabschnitt der Tangente besonders einfach zu bestimmen.

1. Funktionswert prüfen: \(f(0) = \sin(0) = 0\). Der Punkt ist der Ursprung. 2. Ableitung bestimmen: \(f'(x) = \cos(x)\). 3. Steigung berechnen: \(m = f'(0) = \cos(0) = 1\). 4. Tangentengleichung aufstellen: Da die Gerade durch den Ursprung geht und die Steigung \(1\) hat, lautet die Gleichung \(y = x\).

Die Gleichung der Tangente im Ursprung lautet \(y = x\).

- Suche dir zwei Punkte auf der Geraden aus, die genau auf den Kreuzungspunkten des Gitters liegen. - Erinnere dich an die Formel für die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte. - Wie hängen die Steigung einer Geraden und der Tangens des Steigungswinkels zusammen? - Achte darauf, dass der Steigungswinkel zur positiven \(x\)-Achse gemessen wird.

1. Ablesen zweier Punkte auf der Tangente \(t\), zum Beispiel \(A(2 \mid 0)\) und \(P(3 \mid 2)\). 2. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{3 - 2} = 2\). 3. Aufstellen der Geradengleichung mit \(y = mx + c\): \(0 = 2 \cdot 2 + c \Rightarrow c = -4\). Die Gleichung lautet \(y = 2x - 4\). 4. Berechnung des Steigungswinkels \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = m = 2 \Rightarrow \alpha = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\).

1. Die Tangente hat die Gleichung \(y = 2x - 4\). 2. Der Steigungswinkel beträgt \(\alpha \approx 63{,}43^\circ\).

- Suche zwei gut ablesbare Punkte auf der Tangente. - Bestimme daraus zunächst die Steigung der Geraden. - Beim Steigungswinkel haben Steigung und Winkel dasselbe Vorzeichen.

1. Auf der Tangente \(t\) lassen sich zum Beispiel die Punkte \(P(1 \mid 0)\) und \(S(3 \mid -1)\) ablesen. 2. Die Steigung ist \(m=\frac{-1-0}{3-1}=-0{,}5\). 3. Aus \(0=-0{,}5\cdot1+c\) folgt \(c=0{,}5\). Damit lautet die Tangente \(y=-0{,}5x+0{,}5\). 4. Für den Steigungswinkel gilt \(\tan(\alpha)=m=-0{,}5\). Daher ist \(\alpha=\arctan(-0{,}5)\approx-26{,}57^\circ\).

1. \(y=-0{,}5x+0{,}5\) 2. \(\alpha\approx-26{,}57^\circ\)

- Nutze den markierten Punkt als einen Punkt für die Steigungsberechnung. - Suche einen weiteren gut ablesbaren Gitterpunkt auf der Tangente. - Beim Steigungswinkel haben Steigung und Winkel dasselbe Vorzeichen. - Achte auf die vorgegebene Rundung.

1. Auf der Tangente lassen sich die Punkte \(W(0 \mid 0)\) und \(P(4 \mid -3)\) ablesen. Daher ist die Steigung \(m=\frac{-3-0}{4-0}=-0{,}75\). 2. Da die Gerade durch den Ursprung verläuft, lautet ihre Gleichung \(y=-0{,}75x\). 3. Für den Steigungswinkel gilt \(\tan(\alpha)=-0{,}75\). Daher ist \(\alpha=\arctan(-0{,}75)\approx-36{,}87^\circ\).

1. \(y=-0{,}75x\) 2. \(\alpha\approx-36{,}87^\circ\)

- Suche dir zwei Punkte auf der Tangente, um ihre Steigung zu bestimmen. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - Denke an das Verhältnis von „Höhenunterschied“ zu „Horizontalentfernung“.

1. Interpretation: Die Ableitung \(f'(0)\) ist gleich der Steigung der Tangente im Punkt \(P\). 2. Punkte ablesen: Die Tangente verläuft durch den Berührpunkt \(P(0 \mid 2)\) und einen weiteren Punkt auf dem Gitter, zum Beispiel \(Q(4 \mid 3)\). 3. Steigung berechnen: Die Differenz der \(y\)-Werte ist \(\Delta y = 3 - 2 = 1\), die Differenz der \(x\)-Werte ist \(\Delta x = 4 - 0 = 4\). Die Steigung ist \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Ergebnis: Somit gilt \(f'(0) = 0{,}25\).

Die Steigung der Tangente beträgt \(0{,}25\), daher ist \(f'(0) = 0{,}25\).

- Wähle zwei Gitterpunkte auf der eingezeichneten Tangente und bilde deren Steigungsdreieck. - Der Steigungswinkel ist über den Tangens mit der Tangentensteigung verknüpft. - Achte bei der Winkelwahl besonders auf das Vorzeichen der Steigung.

1. Die Tangente verläuft beispielsweise durch \((0\mid3)\) und \((4\mid1)\). Daher ist \(m=\frac{1-3}{4-0}=-0{,}5\). 2. Es gilt \(\tan(\alpha)=m=-0{,}5\). Damit ist \(\alpha=\arctan(-0{,}5)\approx-26{,}6^\circ\). 3. Beim Steigungswinkel wird der betragsmäßig spitze Winkel zur \(x\)-Achse verwendet; sein Vorzeichen kennzeichnet die Richtung der Steigung. Eine negative Steigung erhält daher einen negativen Steigungswinkel statt eines stumpfen Richtungswinkels.

a) \(m=-0{,}5\). b) \(\alpha\approx-26{,}6^\circ\). c) Der Steigungswinkel wird als vorzeichenbehafteter Winkel zwischen \(-90^\circ\) und \(90^\circ\) angegeben; eine negative Steigung führt daher zu einem negativen Winkel.

- Setze den Term \((1+h)\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und achte auf die binomische Formel. - Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer Geraden (Tangente) aufzustellen? - Wie verhält sich die Steigung einer Kurve im Vergleich zur Steigung einer Geraden? - Was sagt die Ableitungsfunktion über die Steigung an verschiedenen Stellen aus?

1. Berechnung von \(f'(1)\): Der Ansatz \(\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{((1+h)^2 - 1) - (1^2 - 1)}{h}\) ergibt vereinfacht \(\lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 - 1 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h)\). Der Grenzwert ist \(f'(1) = 2\). 2. Tangentengleichung: Die Steigung ist \(m = f'(1) = 2\). Der Berührpunkt ist \(P(1|f(1))\) mit \(f(1) = 0\). Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\) ergibt \(t(x) = 2 \cdot (x - 1) + 0\), also \(t(x) = 2x - 2\). 3. Vergleich: Bei einer linearen Funktion ist die Steigung überall gleich, weshalb die Ableitung einen konstanten Wert besitzt. Bei der quadratischen Funktion \(f(x) = x^2 - 1\) ändert sich die lokale Steigung des Graphen von Stelle zu Stelle, sodass die Ableitungswerte von \(x\) abhängen.

1. \(f'(1) = 2\). 2. Die Tangentengleichung lautet \(t(x) = 2x - 2\). 3. Während die Ableitung einer linearen Funktion konstant ist (da die Steigung der Geraden überall gleich ist), hängt die Ableitung bei \(f(x) = x^2 - 1\) vom \(x\)-Wert ab, da sich die Steigung der Parabel ständig ändert.

- Welche Steigung besitzt die vorgegebene Gerade \(h\)? - Welche Gleichung muss der Ableitungswert an der gesuchten Stelle wegen der Parallelität erfüllen? - Welche zwei Angaben benötigst du anschließend für die Tangentengleichung?

1. Die Gerade \(h\) hat die Steigung \(2\). Für eine parallele Tangente muss daher \(g'(b)=2\) gelten. 2. Aus \(b-3=2\) folgt \(b=5\). Der Funktionswert ist \(g(5)=\frac{1}{2}\cdot25-15=-2{,}5\). Somit ist \(B(5\mid-2{,}5)\). 3. Mit Steigung \(2\) und Punkt \(B\) gilt \(y+2{,}5=2(x-5)\). Damit lautet die Tangente \(y=2x-12{,}5\).

a) \(B(5\mid-2{,}5)\) b) \(y=2x-12{,}5\)

- Was sagt der Wert der Ableitungsfunktion an einer bestimmten Stelle über den Graphen aus? - Wenn zwei Geraden parallel sind, was weißt du dann über ihre Steigungen? - Wie hängen der Funktionswert und der Ableitungswert mit der Geradengleichung einer Tangente zusammen? - Um einen Punkt auf dem Graphen anzugeben, benötigst du sowohl den x-Wert als auch den y-Wert.

1. Einsetzen der Stellen in die Ableitungsfunktion: \(f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 12 = -9\) und \(f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 12 = 15\). 2. Lösen der Gleichung \(f'(x_0) = 15\): \(3x_0^2 - 12 = 15 \Rightarrow 3x_0^2 = 27 \Rightarrow x_0^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x_{0,1} = 3\) und \(x_{0,2} = -3\). 3. Die Steigung der parallelen Tangente muss \(m = -9\) sein. Gleichsetzen mit der Ableitung: \(3x^2 - 12 = -9 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1\), also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f(1) = 1^3 - 12 \cdot 1 + 5 = -6\) und \(f(-1) = (-1)^3 - 12 \cdot (-1) + 5 = 16\). Die Punkte sind \(P_1(1|-6)\) und \(P_2(-1|16)\). 4. Bestimmung der Tangentengleichung \(y = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0)\): Es gilt \(f(0) = 5\) und \(f'(0) = -12\). Die Gleichung lautet \(y = -12x + 5\).

a) \(f'(-1) = -9\) und \(f'(3) = 15\) b) \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\) c) \(P_1(1|-6)\) und \(P_2(-1|16)\) d) \(y = -12x + 5\)

- Wie kannst du die Steigung an einer Stelle berechnen, wenn die Ableitungsfunktion bekannt ist? - Welche Gleichung musst du lösen, um Stellen mit einer vorgegebenen Steigung zu finden? - Erinnere dich daran, dass die Steigung einer linearen Funktion \(y = mx + b\) durch den Faktor vor dem \(x\) gegeben ist. - Vergiss nicht, am Ende die y-Koordinaten der Punkte zu berechnen, indem du die x-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzt.

1. Berechnung der Ableitungswerte: \(g'(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3\) und \(g'(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 0\). 2. Bestimmung der Stellen mit Steigung 5: \(x^2 + 2x - 3 = 5 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0\). Mit der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x+4)(x-2)=0\) ergeben sich \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\). 3. Parallelität zur Geraden \(y = -3x + 10\) bedeutet \(g'(x) = -3\). Also \(x^2 + 2x - 3 = -3 \Rightarrow x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0\). Die Stellen sind \(x_3 = 0\) und \(x_4 = -2\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(g(0) = 0\) und \(g(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)^2 - 3(-2) = -\frac{8}{3} + 4 + 6 = \frac{22}{3}\). Die gesuchten Punkte sind \(Q_1(0|0)\) und \(Q_2(-2|\frac{22}{3})\).

a) \(g'(-2) = -3\) und \(g'(1) = 0\) b) \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\) c) \(Q_1(0|0)\) und \(Q_2(-2|\frac{22}{3})\)

- Bestimme zuerst den Berührpunkt aus dem gegebenen \(x\)-Wert. - Welcher Wert der vorgegebenen Ableitungsfunktion liefert die Tangentensteigung? - Welche Bedingung erfüllt ein Punkt auf der \(x\)-Achse?

1. Es gilt \(f(3)=\frac{1}{2}\cdot9-6+1=-0{,}5\), also \(P(3\mid-0{,}5)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(m=f'(3)=1\). 3. Damit lautet die Tangente \(y=x-3{,}5\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=x-3{,}5\), also \(S(3{,}5\mid0)\).

\(S(3{,}5\mid0)\)

- Bestimme den Berührpunkt und den Ableitungswert bei \(x=1\). - Stelle aus Punkt und Steigung die Tangentengleichung auf. - Setze für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse die y-Koordinate gleich null.

1. Der Berührpunkt ist \(Q(1\mid g(1))\) mit \(g(1)=-3\). 2. Die Tangentensteigung beträgt \(m=g'(1)=-1\). 3. Die Tangentengleichung ist \(y=-1(x-1)-3=-x-2\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=-x-2\), also \(S(-2\mid0)\).

\(S(-2\mid0)\)

- Welches Vorzeichen besitzt die Steigung bei einem negativen Steigungswinkel? - Bestimme die Steigung mit der Tangensbeziehung. - Setze diese Steigung mit dem gegebenen Ableitungsterm gleich.

1. Aus \(\alpha=-45^\circ\) folgt die Tangentensteigung \(m=\tan(-45^\circ)=-1\). 2. An der gesuchten Stelle gilt \(f'(x_0)=-1\), also \(\frac{1}{2}x_0+1=-1\). 3. Daraus folgt \(\frac{1}{2}x_0=-2\) und somit \(x_0=-4\).

\(x_0=-4\)

- Welche Bedingung erfüllt die Höhe genau beim Auftreffen auf den Boden? - Welche Größe liefert dir die gegebene Ableitungsfunktion am Aufprallpunkt? - Wie hängt der Betrag einer Geradensteigung mit dem spitzen Winkel zur Horizontalen zusammen?

1. Der Aufprallpunkt erfüllt \(h(x)=0\). Aus \(-0{,}1x^2+0{,}8x+2=0\) folgt für \(x>0\) der Wert \(x=10\). 2. Dort beträgt die Tangentensteigung \(m=h'(10)=-0{,}2\cdot 10+0{,}8=-1{,}2\). 3. Für den spitzen Winkel zur Horizontalen gilt \(\tan(\alpha)=|m|=1{,}2\). Daher ist \(\alpha=\arctan(1{,}2)\approx 50{,}2^\circ\).

Der spitze Winkel zur Horizontalen beträgt etwa \(50{,}2^\circ\).

- Welche Tangentensteigung erhältst du aus der gegebenen Ableitungsfunktion bei \(x=0\)? - Welche zwei Bedingungen müssen am Übergang zum Boden erfüllt sein, damit kein Knick entsteht? - Wie hängt der Betrag der Steigung mit dem spitzen Winkel zur Horizontalen zusammen?

1. Zu Beginn ist \(m_0=f'(0)=-1\). Für den spitzen Winkel gilt \(\tan(\alpha)=|m_0|=1\), also \(\alpha=45^\circ\). 2. Am Ende gilt \(f(4)=\frac{1}{8}\cdot 4^2-4+2=0\). Der Rampengraph trifft dort die Bodenlinie \(y=0\). 3. Außerdem gilt \(f'(4)=\frac{1}{4}\cdot 4-1=0\). Rampengraph und Bodenlinie haben am Übergangspunkt dieselbe Steigung \(0\); der Übergang ist daher tangential und knickfrei.

a) Der spitze Winkel beträgt \(45^\circ\). b) Es gilt \(f(4)=0\) und \(f'(4)=0\). Daher geht die Rampe im Punkt \((4|0)\) tangential in die horizontale Bodenlinie über.

- Welche zwei Informationen brauchst du für die Gleichung einer Geraden? - Bestimme den Übergangspunkt aus dem Funktionswert bei \(x=2\). - Welche Steigung muss die Gerade wegen des tangentialen Übergangs besitzen?

1. Am Übergangspunkt gilt \(g(2)=2^3-4\cdot 2^2+5\cdot 2=2\). Also ist \(B(2|2)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(m=g'(2)=3\cdot 2^2-8\cdot 2+5=1\). 3. Mit der Punkt-Steigungs-Form ergibt sich \(y-2=1(x-2)\), also \(y=x\).

Die Gleichung der Geraden lautet \(y=x\).

- Welche Steigung gehört zum Steigungswinkel \(-45^\circ\)? - An welcher Stelle hat die gegebene Ableitungsfunktion genau diese Steigung? - Welcher Punkt des Graphen gehört zu dieser Stelle?

1. Aus dem Steigungswinkel folgt \(m=\tan(-45^\circ)=-1\). 2. Für die Berührstelle gilt \(f'(x)=-1\), also \(2x-4=-1\). Daraus folgt \(x=1{,}5\). 3. Es ist \(f(1{,}5)=1{,}5^2-4\cdot1{,}5+2=-1{,}75\). Somit ist \(B(1{,}5|-1{,}75)\). 4. Mit Steigung \(-1\) durch \(B\) ergibt sich \(y+1{,}75=-1(x-1{,}5)\), also \(y=-x-0{,}25\).

Der Berührpunkt ist \(B(1{,}5|-1{,}75)\) und die Tangente lautet \(y=-x-0{,}25\).

- Welche Steigungen haben die beiden Tangenten laut der gegebenen Ableitungsfunktion? - Welche Bedingung erfüllen die Steigungen zweier senkrechter Geraden? - Welche der rechnerisch möglichen Parameterwerte ist mit \(k>0\) vereinbar?

1. Die Tangentensteigungen sind \(m_1=f_k'(-2)=-4k\) und \(m_2=f_k'(2)=4k\). 2. Für einen rechten Winkel bei \(S\) müssen die Tangenten senkrecht sein. Daher gilt \(m_1m_2=-1\). 3. Es folgt \((-4k)(4k)=-1\), also \(16k^2=1\) und \(k^2=\frac{1}{16}\). 4. Wegen \(k>0\) ist \(k=\frac{1}{4}=0{,}25\).

\(k=0{,}25\)

- Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion bei \(x=4\), und welche Steigung muss die Normale dazu haben? - Welche Steigung gehört zum Steigungswinkel \(-45^\circ\)? - Welche zwei Bedingungen müssen stimmen, damit eine vorgegebene Gerade tatsächlich Tangente bei \(x=2\) ist?

1. Bei \(x=4\) gilt \(f(4)=-3\) und \(f'(4)=1\). Daher lautet die Tangente \(t:y=x-7\). Die Normale hat die Steigung \(-1\) und damit die Gleichung \(n:y=-x+1\). 2. Zum Steigungswinkel \(-45^\circ\) gehört die Steigung \(m=\tan(-45^\circ)=-1\). Aus \(f'(x)=-1\) folgt \(x-3=-1\) und damit \(x=2\). 3. Bei \(x=2\) gilt \(f(2)=-3\) und \(f'(2)=-1\). Die dortige Tangente ist \(y+3=-1(x-2)\), also \(y=-x-1\). Damit ist \(g\) diese Tangente.

a) Tangente \(t:y=x-7\); Normale \(n:y=-x+1\) b) \(x=2\) c) Ja. Bei \(x=2\) gilt \(f(2)=-3\) und \(f'(2)=-1\), daher lautet die Tangente \(y=-x-1\).

- Welche Steigung und welchen Punkt brauchst du für die Tangente in a)? - Welche Steigung besitzt eine Gerade, die parallel zur \(x\)-Achse ist? - Wie hängt die Normalensteigung von einer von null verschiedenen Tangentensteigung ab?

1. Für a) gilt \(f(2)=\frac{2}{3}\) und \(f'(2)=3\). Daher ist \(y-\frac{2}{3}=3(x-2)\), also \(y=3x-\frac{16}{3}\). 2. Für b) muss die Tangentensteigung \(0\) sein. Aus \(f'(x)=x^2-1=0\) folgen \(x=-1\) und \(x=1\). 3. Für c) gilt \(f(0)=0\) und \(f'(0)=-1\). Die Normalensteigung ist daher \(1\), also lautet die Normale \(y=x\).

a) \(y=3x-\frac{16}{3}\) b) \(x=-1\) und \(x=1\) c) \(y=x\)

- Welcher Punkt gehört zum Übergang bei \(x=10\)? - Welche Steigung muss die geradlinige Fortsetzung wegen des knickfreien Übergangs besitzen? - Wie erhältst du aus Punkt und Steigung die Gleichung der Fortsetzung?

1. Am Übergang gilt \(f(10)=7\). Der Übergangspunkt ist also \(P(10|7)\). 2. Die linksseitige Steigung des Profils ist \(f'(10)=0{,}5\). Wegen des knickfreien Übergangs hat die Gerade dieselbe Steigung. 3. Die Fortsetzung lautet daher \(y-7=0{,}5(x-10)\), also \(y=0{,}5x+2\). 4. Für die Höhe \(12\,\text{m}\) gilt \(12=0{,}5x+2\). Daraus folgt \(x=20\,\text{m}\).

\(x=20\,\text{m}\)

- Welche Temperatur hat die Lösung genau beim Übergang? - Welche Steigung muss die lineare Fortsetzung wegen des knickfreien Übergangs übernehmen? - In welcher Einheit soll das Endergebnis angegeben werden?

1. Zum Übergangszeitpunkt gilt \(T(10)=50\,{}^\circ\text{C}\). 2. Die linksseitige Änderungsrate ist \(T'(10)=-2\,\frac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}\). Wegen des knickfreien Übergangs besitzt die lineare Fortsetzung dieselbe Steigung. 3. Damit lautet die lineare Fortsetzung \(g(t)=-2(t-10)+50=-2t+70\). 4. Aus \(25=-2t+70\) folgt \(t=22{,}5\,\text{min}\). 5. Das sind \(22{,}5\cdot60=1350\,\text{s}\).

\(1350\,\text{s}\)

- Welche lokale Steigung liefert dir die gegebene Ableitungsfunktion an der jeweiligen Stelle? - Wie hängen Steigungsfaktor, prozentuale Steigung und Steigungswinkel zusammen? - Welche zwei Daten brauchst du für die Tangentengleichung in c)?

1. Bei \(x=5\) ist \(h'(5)=0{,}45\). Das entspricht \(45\,\%\). 2. Bei \(x=15\) ist ebenfalls \(h'(15)=0{,}45\). Daher ist \(\alpha=\arctan(0{,}45)\approx24{,}23^\circ\). 3. Bei \(x=25\) gilt \(h'(25)=-0{,}75\) und \(h(25)=16{,}25\). Somit ist \(y-16{,}25=-0{,}75(x-25)\), also \(y=-0{,}75x+35\).

a) \(45\,\%\) b) \(24{,}23^\circ\) c) \(y=-0{,}75x+35\)

- Welche Steigung liest du jeweils aus der gegebenen Ableitungsfunktion ab? - Was bedeutet eine Tangentensteigung von \(0\) für die Tangentengleichung? - Wie erhältst du die Steigung der Normalen aus einer von null verschiedenen Tangentensteigung?

1. Für a) gilt \(f'(1)=1-4=-3\). 2. Für b) ist \(f'(2)=0\) und \(f(2)=1\). Die Tangente ist daher waagerecht: \(t:y=1\). 3. Für c) gilt \(f'(-1)=3\) und \(f(-1)=\frac{13}{4}\). Die Normalensteigung ist \(-\frac{1}{3}\). Damit ist \(y-\frac{13}{4}=-\frac{1}{3}(x+1)\), also \(n:y=-\frac{1}{3}x+\frac{35}{12}\).

a) \(-3\) b) \(t:y=1\) c) \(n:y=-\frac{1}{3}x+\frac{35}{12}\)

- Welche Gleichung müssen die gesuchten Stellen wegen der vorgegebenen Tangentensteigung erfüllen? - Wie erhältst du nach den Stellen die vollständigen Punktkoordinaten? - Welche Flächenformel eignet sich für ein Dreieck mit einem Eckpunkt im Ursprung?

1. Die gesuchten Stellen erfüllen \(f'(x)=1\). Also gilt \(x^2-2x-2=1\), woraus \(x=-1\) und \(x=3\) folgen. 2. Die zugehörigen Punkte sind \(P(3|-6)\) und \(Q(-1|\frac{2}{3})\). 3. Für ein Dreieck mit einem Eckpunkt im Ursprung gilt \(A=\frac{1}{2}|x_Py_Q-x_Qy_P|\). 4. Damit ist \(A=\frac{1}{2}|3\cdot\frac{2}{3}-(-1)(-6)|=2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(2\,\text{FE}\).

- Welcher \(x\)-Wert gehört zum Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Welche Steigung hat eine zur \(x\)-Achse parallele Tangente? - Welche zwei Daten brauchst du für die Tangente im Punkt \(P\)?

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x=0\). Es gilt \(f(0)=11\) und \(f'(0)=-9\). Daher lautet die Tangente \(y=-9x+11\). 2. Für eine waagerechte Tangente gilt \(f'(x)=0\). Aus \(3x^2-6x-9=0\) folgen \(x=-1\) und \(x=3\). 3. Es ist \(f(4)=-9\) und \(f'(4)=15\). Somit lautet die Tangente \(y+9=15(x-4)\), also \(t:y=15x-69\).

1. \(f(0)=11\) und \(f'(0)=-9\); daher ist die Tangente \(y=-9x+11\). 2. \(x=-1\) und \(x=3\) 3. \(P(4|-9)\) und \(t:y=15x-69\)

- Welche Bedingung erfüllt die Ableitungsfunktion an einer waagerechten Tangente? - Welchen gemeinsamen Faktor kannst du aus dem gegebenen Ableitungsterm ausklammern? - Wie zerfällt der verbleibende quadratische Faktor?

1. Für eine waagerechte Tangente gilt \(g'(x)=0\). 2. Aus \(x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)=0\) folgen \(x=0\), \(x=1\) und \(x=2\).

\(x=0\), \(x=1\) und \(x=2\)

- Welcher vollständige Punkt gehört zur Stelle \(x=2\)? - Welche Tangentensteigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion dort? - Wie hängen Tangentensteigung und Steigungswinkel zusammen?

1. Es gilt \(f(2)=1\). Der Berührpunkt ist also \(P(2|1)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(m=f'(2)=4\). 3. Damit lautet die Tangente \(y-1=4(x-2)\), also \(y=4x-7\). 4. Für den Steigungswinkel gilt \(\alpha=\arctan(4)\approx75{,}96^\circ\).

Tangente: \(y=4x-7\) Steigungswinkel: \(\alpha\approx75{,}96^\circ\)

- Bestimme zuerst den vollständigen Berührpunkt. - Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion bei \(x=1\)? - Wie erhältst du aus dieser Steigung den Steigungswinkel?

1. Es ist \(f(1)=1{,}75\). Somit ist \(P(1|1{,}75)\). 2. Die Tangentensteigung beträgt \(m=f'(1)=1\). 3. Daher gilt \(y-1{,}75=1(x-1)\), also \(y=x+0{,}75\). 4. Aus \(\tan(\alpha)=1\) folgt \(\alpha=45^\circ\).

Tangente: \(y=x+0{,}75\) Steigungswinkel: \(\alpha=45^\circ\)

- Welche Steigung müssen beide Tangenten wegen der Parallelität besitzen? - Welche Gleichung stellst du mit der gegebenen Ableitungsfunktion auf? - Wie erhältst du aus jeder Berührstelle den zugehörigen Berührpunkt?

1. Die gesuchten Tangenten haben die Steigung \(5\). 2. Aus \(f'(x)=5\) folgt \(x^2-4=5\), also \(x=-3\) oder \(x=3\). 3. Es gilt \(f(-3)=5\) und \(f(3)=-1\). 4. Durch \((-3|5)\) mit Steigung \(5\) verläuft \(y=5x+20\). Durch \((3|-1)\) mit Steigung \(5\) verläuft \(y=5x-16\).

\(y=5x+20\) und \(y=5x-16\)

- Welche Gleichung entsteht aus der vorgegebenen Steigung bei \(x=2\)? - Welche Koordinaten hat der Berührpunkt, nachdem \(k\) bestimmt ist? - Wie stellst du aus Berührpunkt und Steigung die Tangente auf?

1. Die Bedingung lautet \(g_k'(2)=4\). Damit ist \(12-4k=4\), also \(k=2\). 2. Für \(k=2\) gilt \(g_2(2)=4\). Der Berührpunkt ist \(B(2|4)\), die Tangentensteigung ist \(4\). 3. Somit ist \(y-4=4(x-2)\), also \(y=4x-4\).

a) \(k=2\) b) \(y=4x-4\)

- Welche Koordinaten hat der Berührpunkt vollständig? - Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion bei \(x=-1\)? - Welchen \(x\)-Wert besitzt jeder Punkt auf der \(y\)-Achse?

1. Es gilt \(f(-1)=1{,}5\) und \(f'(-1)=-3\). Der Berührpunkt ist \(P(-1|1{,}5)\). 2. Die Tangente erfüllt \(y-1{,}5=-3(x+1)\), also \(t:y=-3x-1{,}5\). 3. Bei \(x=0\) ist \(y=-1{,}5\). Daher ist der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(S_y(0|-1{,}5)\).

Tangente: \(t:y=-3x-1{,}5\) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0|-1{,}5)\)

- Kannst du den gegebenen Funktionsterm zunächst in einen gewöhnlichen Polynomterm umformen? - Welche Bedeutung hat der Wert der ersten Ableitung für die Tangentensteigung? - Welche Bedingung erfüllt die Ableitung an einer Stelle mit waagerechter Tangente? - Wie hängt der Steigungswinkel \(\alpha\) mit der Steigung \(m\) zusammen? - Bestimme nach der gesuchten Stelle auch den zugehörigen Funktionswert.

1. Zuerst wird der Funktionsterm als Polynom geschrieben: \(f(x)=\frac{1}{32}x^4+\frac{1}{4}x^3+\frac{3}{4}x^2+x+\frac{1}{2}\). Mit den Ableitungsregeln für Polynome folgt \(f'(x)=\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x+1\). 2. Bei \(x=2\) gilt \(f'(2)=1+3+3+1=8\). 3. Für eine waagerechte Tangente muss \(f'(x)=0\) gelten. Der Ableitungsterm lässt sich als \(f'(x)=(0{,}5x+1)^3\) schreiben. Daher ist \(0{,}5x+1=0\) und somit \(x=-2\). Außerdem ist \(f(-2)=0\), also liegt der Punkt \(H(-2|0)\) vor. 4. Ein Steigungswinkel von \(45^\circ\) entspricht der Steigung \(m=\tan(45^\circ)=1\). Daher wird \(f'(x)=1\) gelöst: \((0{,}5x+1)^3=1\). Daraus folgt \(0{,}5x+1=1\) und damit \(x=0\). 5. Der zugehörige Funktionswert ist \(f(0)=\frac{1}{2}\). Der gesuchte Punkt ist \(P(0|0{,}5)\).

a) Die Steigung beträgt \(8\). b) Ja, der Graph besitzt an der Stelle \(x = -2\) eine waagerechte Tangente (Punkt \(H(-2 | 0)\)). c) Der Punkt ist \(P(0 | 0{,}5)\).

- Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion bei \(x=1\)? - Welche Bedingung erfüllt die Ableitung bei einer waagerechten Tangente? - Welche Steigung gehört zum Steigungswinkel \(-45^\circ\)? - Beachte, dass die Gleichung für diese Steigung mehrere Stellen liefern kann.

1. Für a) gilt \(f(1)=\frac{1}{3}\) und \(f'(1)=-1\). Daher lautet die Tangente \(y=-x+\frac{4}{3}\). 2. Für eine waagerechte Tangente gilt \(f'(x)=0\). Aus \(-(x-2)^2=0\) folgt \(x=2\); mit \(f(2)=0\) ergibt sich \(S(2|0)\). 3. Zum Steigungswinkel \(-45^\circ\) gehört die Steigung \(-1\). Aus \(-(x-2)^2=-1\) folgen \(x=1\) und \(x=3\). 4. Es gilt \(f(1)=\frac{1}{3}\) und \(f(3)=-\frac{1}{3}\). Die gesuchten Punkte sind \(P_1(1|\frac{1}{3})\) und \(P_2(3|-\frac{1}{3})\).

a) \(y=-x+\frac{4}{3}\) b) \(S(2|0)\) c) \(P_1(1|\frac{1}{3})\) und \(P_2(3|-\frac{1}{3})\)

- Beginne mit der Bedingung für Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. - Für jede Tangente kennst du anschließend einen Punkt und ihre lokale Steigung. - Bestimme den Schnittpunkt der beiden Tangentengeraden, bevor du den Flächeninhalt des Dreiecks untersuchst. - Für die Dreiecksfläche brauchst du eine Grundseite und die dazugehörige Höhe.

1. Für einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse muss \(f(x)=0\) gelten. Da der Nenner bei \(x=\pm2\) nicht null ist, liefert \(x^2-4=0\) die Stellen \(x=2\) und \(x=-2\). Damit sind \(N_1(2\mid0)\) und \(N_2(-2\mid0)\) die Schnittpunkte. 2. Mit \(f'(2)=\frac{1}{2}\) und \(N_1(2\mid0)\) ergibt sich \(t_1:y=\frac{1}{2}(x-2)=0{,}5x-1\). 3. Mit \(f'(-2)=-\frac{1}{2}\) und \(N_2(-2\mid0)\) ergibt sich \(t_2:y=-\frac{1}{2}(x+2)=-0{,}5x-1\). 4. Aus \(0{,}5x-1=-0{,}5x-1\) folgt \(x=0\) und damit \(S(0\mid-1)\). 5. Die Grundseite des Dreiecks auf der \(x\)-Achse hat die Länge \(4\), die Höhe beträgt \(1\). Daher ist \(A=\frac{1}{2}\cdot4\cdot1=2\,\text{FE}\).

a) \(N_1(2\mid0)\), \(N_2(-2\mid0)\) b) \(t_1:y=0{,}5x-1\), \(t_2:y=-0{,}5x-1\) c) \(S(0\mid-1)\); \(A=2\,\text{FE}\)

- Welche Steigung gehört jeweils zum angegebenen Steigungswinkel? - Welche Gleichung musst du mit der gegebenen Ableitungsfunktion lösen? - Welche Werte kann der Term \(x^2-1\) mindestens annehmen?

1. Zum Steigungswinkel \(45^\circ\) gehört \(m=1\). Aus \(g'(x)=1\) folgt \(x^2-1=1\), also \(x=\pm\sqrt{2}\). Die Funktionswerte sind \(g(\sqrt{2})=-\frac{1}{3}\sqrt{2}\) und \(g(-\sqrt{2})=\frac{1}{3}\sqrt{2}\). 2. Zum Steigungswinkel \(-60^\circ\) gehört \(m=-\sqrt{3}\). Die Bedingung \(x^2-1=-\sqrt{3}\) würde \(x^2=1-\sqrt{3}<0\) verlangen. Daher gibt es keine reelle Berührstelle.

1. \(P_1(\sqrt{2}|-\frac{1}{3}\sqrt{2})\) und \(P_2(-\sqrt{2}|\frac{1}{3}\sqrt{2})\) 2. Der Steigungswinkel \(-60^\circ\) würde die Steigung \(-\sqrt{3}<-1\) verlangen. Da \(g'(x)=x^2-1\ge-1\) gilt, ist das unmöglich.

- Welche Bedingung erfüllt die Ableitungsfunktion bei einer waagerechten Tangente? - Welche beiden Ableitungswerte musst du in b) vergleichen? - Was beschreibt bei einer Steigung die „Steilheit“: das Vorzeichen oder der Betrag?

1. Für eine waagerechte Tangente gilt \(g'(x)=0\). Aus \(x^2-4x+3=0\) folgen \(x=1\) und \(x=3\). 2. Es ist \(g'(0)=3\) und \(g'(4)=3\). Daher sind auch die Beträge der Steigungen gleich; der Graph ist an beiden Stellen gleich steil.

a) \(x=1\) und \(x=3\) b) An \(x=0\) und \(x=4\) ist der Graph gleich steil; jeweils gilt \(|m|=3\).

- Bezeichne die unbekannte Berührstelle mit \(x_0\) und schreibe den zugehörigen Punkt auf dem Graphen auf. - Nutze die vorgegebene Ableitungsfunktion für die Tangentensteigung an dieser Stelle. - Stelle die Tangente zunächst mit \(x_0\) als Parameter auf. - Setze anschließend den Ursprung in die Tangentengleichung ein und löse nach \(x_0\).

1. Bezeichne die noch unbekannte Berührstelle mit \(x_0\neq0\). Dann ist \(B(x_0\mid 1+\frac{k}{x_0})\) und die Tangentensteigung beträgt \(m=f_k'(x_0)=-\frac{k}{x_0^2}\). 2. Die Tangente in \(B\) hat daher die Gleichung \(y=-\frac{k}{x_0^2}(x-x_0)+1+\frac{k}{x_0}\). 3. Weil die Tangente durch \(O(0\mid0)\) verlaufen soll, muss \(0=\frac{k}{x_0}+1+\frac{k}{x_0}=1+\frac{2k}{x_0}\) gelten. 4. Daraus folgt \(x_0=-2k\). Wegen \(k>0\) ist diese Stelle zulässig. 5. Der Funktionswert ist \(f_k(-2k)=1-\frac12=\frac12\). Somit lautet der Berührpunkt \(B\left(-2k\mid\frac12\right)\).

\(B\left(-2k\mid\frac12\right)\)

- Welche Punkt- und Steigungsdaten brauchst du in a)? - Welche Steigung besitzt eine waagerechte Tangente? - Setze in c) die allgemeine Berührstelle \(u\) direkt in die Punkt-Steigungs-Form ein.

1. Für a) gilt \(f(2)=2\) und \(f'(2)=9\). Daher lautet die Tangente \(y-2=9(x-2)\), also \(y=9x-16\). 2. Für b) muss \(f'(x)=0\) gelten. Aus \(3x^2-3=0\) folgen \(x=-1\) und \(x=1\). 3. Für c) hat die Tangente an der Stelle \(u\) die Steigung \(3u^2-3\) und geht durch \(B(u|u^3-3u)\). Daher gilt \(y=(3u^2-3)(x-u)+u^3-3u\). Ausmultiplizieren ergibt \(y=(3u^2-3)x-2u^3\).

a) \(y=9x-16\) b) \(x=-1\) und \(x=1\) c) Einsetzen von \(f(u)=u^3-3u\) und \(f'(u)=3u^2-3\) in die Tangentenformel ergibt \(y=(3u^2-3)x-2u^3\).

- Welche Tangentensteigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion im Berührpunkt? - Wie hängt die Normalensteigung von der Tangentensteigung ab? - Welche Achsenschnittpunkte der Tangente bestimmen die Katheten des Dreiecks?

1. Es gilt \(f(2)=0\) und \(f'(2)=2\). Daher lautet die Tangente \(t:y=2x-4\). 2. Die Normalensteigung ist \(-\frac{1}{2}\). Durch \(B(2|0)\) ergibt sich \(n:y=-\frac{1}{2}x+1\). 3. Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \((2|0)\) und die \(y\)-Achse bei \((0|-4)\). Das entstehende rechtwinklige Dreieck hat Kathetenlängen \(2\) und \(4\). 4. Daher ist \(A=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4=4\,\text{FE}\).

a) \(t:y=2x-4\); \(n:y=-\frac{1}{2}x+1\) b) \(A=4\,\text{FE}\)

- Welche Steigung besitzt die Tangente an der allgemeinen Stelle \(a\)? - Welche Koordinaten hat der Berührpunkt in Abhängigkeit von \(a\)? - Setze beide Angaben in die Punkt-Steigungs-Form ein und vereinfache erst danach.

1. Die Tangentensteigung an der Stelle \(a\) ist \(f'(a)=4a-5\); der Berührpunkt ist \(P(a|2a^2-5a)\). 2. In der Punkt-Steigungs-Form gilt \(y=(4a-5)(x-a)+2a^2-5a\). 3. Vereinfachen liefert \(y=(4a-5)x-2a^2\).

\(t_a:y=(4a-5)x-2a^2\)

- Setze \(x=a\) in Funktion und Ableitungsfunktion ein, um Punkt und Tangentensteigung zu erhalten. - Verwende die Punkt-Steigungs-Form mit dem allgemeinen Parameter \(a\). - Vereinfache die Tangentengleichung so, dass der \(y\)-Achsenabschnitt direkt sichtbar ist. - Vergleiche diesen Achsenabschnitt anschließend mit \(f(a)\).

1. Am Berührpunkt gilt \(P\left(a\mid\frac{4}{a^2}\right)\) und die Tangentensteigung ist \(f'(a)=-\frac{8}{a^3}\). 2. Mit der Punkt-Steigungs-Form erhält man \(y=-\frac{8}{a^3}(x-a)+\frac{4}{a^2}\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(t_a:y=-\frac{8}{a^3}x+\frac{12}{a^2}\). 4. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist daher \(\frac{12}{a^2}\). Die Höhe des Berührpunkts beträgt \(f(a)=\frac{4}{a^2}\), also gilt \(\frac{12}{a^2}=3f(a)\).

a) \(t_a:y=-\frac{8}{a^3}x+\frac{12}{a^2}\) b) Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(\frac{12}{a^2}=3f(a)\).

- Stelle den Differentialquotienten an der gegebenen Stelle \(x=1\) auf. - Vereinfache zuerst den Zähler, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Suche nach einem gemeinsamen Faktor \(h\), der sich kürzen lässt. - Wenn du die lokale Steigung und den Berührpunkt kennst, kannst du die Tangente mit der Punkt-Steigungs-Form bestimmen.

1. Der Berührpunkt ist \(P(1|3)\), denn \(f(1)=\frac{2}{1}+1=3\). 2. Der Differenzenquotient an der Stelle \(1\) lautet \(\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{\frac{2}{1+h}+1+h-3}{h}\). 3. Im Zähler gilt \(\frac{2}{1+h}+1+h-3=\frac{2}{1+h}+h-2=h\left(1-\frac{2}{1+h}\right)\). Nach Kürzen folgt \(1-\frac{2}{1+h}\). 4. Für \(h\to0\) ergibt sich die Tangentensteigung \(f'(1)=-1\). 5. Mit \(P(1|3)\) und \(m=-1\) folgt \(y=-1(x-1)+3=-x+4\).

\(y = -x + 4\)

- Welche Steigungen besitzen die beiden Tangenten laut der gegebenen Ableitungsfunktion? - Welche besondere Beziehung der Steigungen kennzeichnet senkrechte Geraden? - Der Schnittwinkel ist der kleinere Winkel zwischen den beiden Geraden.

1. Die Tangentensteigungen sind \(m_1=g'(1)=-1\) und \(m_2=g'(2)=1\). 2. Es gilt \(m_1m_2=-1\). Damit stehen die beiden Tangenten senkrecht aufeinander. 3. Der kleinere Winkel zwischen senkrechten Geraden beträgt \(90^\circ\). Entsprechend sind ihre Steigungswinkel \(-45^\circ\) und \(45^\circ\).

\(\gamma=90^\circ\)

- Welche Steigung hat die gegebene Gerade? - Welche Gleichung muss die gegebene Ableitungsfunktion wegen der Parallelität erfüllen? - Rechne damit, dass die entstandene quadratische Gleichung mehr als eine Lösung haben kann.

1. Die Referenzgerade hat die Steigung \(2\). Eine parallele Tangente muss daher ebenfalls die Steigung \(2\) besitzen. 2. Aus \(f'(a)=2\) folgt \(a^2+2a-6=2\), also \(a^2+2a-8=0\). 3. Die Lösungen sind \(a=2\) und \(a=-4\).

\(a=2\) und \(a=-4\)

- Welche Steigung gehört zum Steigungswinkel \(45^\circ\)? - Welche Gleichung musst du mit der gegebenen Ableitungsfunktion lösen? - Wie erhältst du aus jeder gefundenen Stelle die vollständigen Punktkoordinaten?

1. Zum Steigungswinkel \(45^\circ\) gehört die Steigung \(1\). 2. Aus \(f'(x)=1\) folgt \(x^2-x-1=1\), also \(x^2-x-2=0\). Die Lösungen sind \(x=2\) und \(x=-1\). 3. Es ist \(f(2)=-\frac{4}{3}\) und \(f(-1)=\frac{1}{6}\). 4. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(2|-\frac{4}{3})\) und \(P_2(-1|\frac{1}{6})\).

\(P_1(2|-\frac{4}{3})\) und \(P_2(-1|\frac{1}{6})\)

- Welche Gleichung liefert die Schnittstellen der beiden Graphen? - Welche Tangentensteigungen erhältst du an jeder Schnittstelle aus den gegebenen Ableitungsfunktionen? - Setze die beiden Steigungen jeweils in die angegebene Schnittwinkelformel ein.

1. Aus \(f(x)=g(x)\) folgt \(x^2-3x+2=0\). Daher ist \(x=1\) oder \(x=2\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(1|1)\) und \(S_2(2|2)\). 2. In \(S_1\) sind die Tangentensteigungen \(f'(1)=0\) und \(g'(1)=2\). Daher ist \(\tan(\gamma)=2\) und \(\gamma\approx63{,}43^\circ\). 3. In \(S_2\) sind die Tangentensteigungen \(f'(2)=2\) und \(g'(2)=0\). Wieder gilt \(\tan(\gamma)=2\), also \(\gamma\approx63{,}43^\circ\).

1. \(S_1(1|1)\) und \(S_2(2|2)\) 2. In beiden Schnittpunkten beträgt der Schnittwinkel \(\gamma\approx63{,}43^\circ\).

- Welche beiden Tangentensteigungen erhältst du an jedem gemeinsamen Punkt? - Was bedeutet es für den Schnittwinkel, wenn die beiden Steigungen gleich sind? - Verwende beim anderen Punkt die angegebene Schnittwinkelformel.

1. In \(P\) sind die Tangentensteigungen \(f'(-1)=2\) und \(g'(-1)=-2\). Daher ist \(\tan(\gamma)=\left|\frac{-2-2}{1+2(-2)}\right|=\frac{4}{3}\), also \(\gamma\approx53{,}13^\circ\). 2. In \(Q\) gilt \(f'(1)=2\) und \(g'(1)=2\). Die Tangenten stimmen dort überein; daher ist der Schnittwinkel \(0^\circ\).

In \(P(-1|0)\) gilt \(\gamma\approx53{,}13^\circ\). In \(Q(1|0)\) gilt \(\gamma=0^\circ\); dort berühren sich die Graphen.

- Welche Bedingung erfüllen die Steigungen paralleler Geraden? - Welche beiden gegebenen Ausdrücke musst du daher gleichsetzen? - Löse die entstehende quadratische Gleichung vollständig.

1. Parallele Tangenten haben gleiche Steigungen. Daher gilt \(f'(x)=g'(x)\). 2. Aus \(x^2-4=2x-1\) folgt \(x^2-2x-3=0\). 3. Die Lösungen sind \(x=-1\) und \(x=3\).

\(x=-1\) und \(x=3\)

- Welche Gleichung beschreibt in a) die gleiche lokale Steigung beider Graphen? - Welche der beiden gefundenen Stellen ist für b) zu verwenden? - Welche Funktionswerte brauchst du zusätzlich zur gemeinsamen Steigung für die beiden Tangenten?

1. Gleiche Steigungen erfüllen \(3x^2-6x=6x-9\). Daraus folgt \(x^2-4x+3=0\), also \(x=1\) oder \(x=3\). 2. Für die kleinere Stelle \(x=1\) beträgt die gemeinsame Steigung \(-3\). 3. Es ist \(f(1)=3\) und \(g(1)=-4\). Daher lauten die Tangenten \(t_f:y=-3x+6\) und \(t_g:y=-3x-1\).

a) \(x=1\) und \(x=3\) b) \(t_f:y=-3x+6\) und \(t_g:y=-3x-1\)

- Welche Gleichung bestimmt den gemeinsamen Punkt der beiden Graphen? - Welche Tangentensteigungen erhältst du dort aus den gegebenen Ableitungsfunktionen? - Wo schneiden die beiden Tangenten die \(x\)-Achse? - Welche Grundseite und Höhe besitzt das dadurch entstehende Dreieck?

1. Aus \(x^2=(x-2)^2\) folgt \(x=1\). Damit ist \(P(1|1)\). 2. Die Tangentensteigungen in \(P\) sind \(f'(1)=2\) und \(g'(1)=-2\). Daher lauten die Tangenten \(y=2x-1\) und \(y=-2x+3\). 3. Die \(x\)-Achsen-Schnittstellen sind \(x=0{,}5\) und \(x=1{,}5\). 4. Die Grundseite des Dreiecks hat Länge \(1\), die Höhe beträgt \(1\). Somit ist \(A=0{,}5\,\text{FE}\).

a) \(P(1|1)\) b) \(x=0{,}5\) und \(x=1{,}5\) c) \(A=0{,}5\,\text{FE}\)

- Für jede Tangente kennst du denselben Berührpunkt, aber eine andere lokale Steigung. - Stelle beide Geraden mit der Punkt-Steigungs-Form auf. - Bestimme anschließend ihre Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse. - Verwende die Strecke auf der \(y\)-Achse als Grundseite des Dreiecks und den Abstand von \(P\) zur \(y\)-Achse als Höhe.

1. Für \(t_f\) sind der Punkt \(P(1\mid1)\) und die Steigung \(\frac12\) gegeben. Damit gilt \(t_f:y=\frac12(x-1)+1=\frac12x+\frac12\). 2. Für \(t_g\) sind derselbe Punkt und die Steigung \(-1\) gegeben. Damit gilt \(t_g:y=-(x-1)+1=-x+2\). 3. Die Tangenten schneiden die \(y\)-Achse bei \(\frac12\) beziehungsweise \(2\). Die dortige Dreiecksseite hat also die Länge \(\frac32\). 4. Der senkrechte Abstand von \(P\) zur \(y\)-Achse beträgt \(1\). Daher ist \(A=\frac12\cdot\frac32\cdot1=\frac34\).

a) \(t_f:y=0{,}5x+0{,}5\), \(t_g:y=-x+2\) b) \(A=0{,}75\) Flächeneinheiten

- Welche Bedingung erfüllen die Steigungen orthogonaler Geraden? - Welche Steigung hat die Parabeltangente laut der gegebenen Ableitungsfunktion? - Stelle für \(g\) den Differentialquotienten an der allgemeinen Stelle \(x_2\) auf. - Forme danach die Orthogonalitätsbedingung nach \(x_1\) um.

1. Die Parabeltangente hat die Steigung \(m_1=f'(x_1)=x_1\). 2. Für \(g\) gilt \(\frac{g(x_2+h)-g(x_2)}{h}=-\frac{1}{x_2(x_2+h)}\). Für \(h\to0\) folgt \(m_2=g'(x_2)=-\frac{1}{x_2^2}\). 3. Orthogonale Geraden erfüllen \(m_1m_2=-1\). Daher gilt \(x_1\left(-\frac{1}{x_2^2}\right)=-1\). 4. Somit ist \(x_1=x_2^2\) mit \(x_2\ne0\).

\(x_1=x_2^2\) mit \(x_2\ne0\)

- Welche Steigung besitzt eine waagerechte Tangente? - Welche Punkt- und Steigungsdaten hat die Tangente an der allgemeinen Stelle \(a\)? - Welcher \(x\)-Wert charakterisiert jeden Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse?

1. Für eine waagerechte Tangente gilt \(h'(x)=0\). Daraus folgt \(x=2\) und mit \(h(2)=-1\) der Punkt \(P(2|-1)\). 2. An der Stelle \(a\) gilt \(h'(a)=\frac{1}{2}a-1\) und \(h(a)=\frac{1}{4}a^2-a\). Somit ist \(y=(\frac{1}{2}a-1)(x-a)+\frac{1}{4}a^2-a\). 3. Vereinfachen ergibt \(t_a:y=(\frac{1}{2}a-1)x-\frac{1}{4}a^2\). 4. Für \(x=0\) folgt \(y=-\frac{1}{4}a^2\). Daher ist der \(y\)-Achsen-Schnittpunkt \(S(0|-\frac{1}{4}a^2)\).

a) \(P(2|-1)\) b) \(t_a:y=(\frac{1}{2}a-1)x-\frac{1}{4}a^2\) c) Für \(x=0\) ist \(y=-\frac{1}{4}a^2\), also \(S(0|-\frac{1}{4}a^2)\).

- Wie hängt die Steigung der Tangente mit der Ableitung der Funktion zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch der Parameter \(a\) als Unbekannte vorkommt? - Welche Informationen (Punkt und Steigung) benötigst du für die Gleichung einer Geraden? - Wie findest du den \(y\)-Wert des Punktes, an dem die Tangente den Graphen berührt?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion unter Verwendung der Ableitungsregeln: \(g'(x) = 2ax + 4\) 2. Nutzung der Information über die Tangentensteigung: \(g'(-1) = 2\) 3. Aufstellen und Lösen der Gleichung: \(2a \cdot (-1) + 4 = 2 \Rightarrow -2a = -2 \Rightarrow a = 1\) 4. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Berührpunktes mit \(a = 1\): \(g(-1) = 1 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 2 = -5\). Der Berührpunkt ist \(P(-1 \mid -5)\) 5. Aufstellen der Tangentengleichung \(t(x) = mx + n\) mit \(m = 2\): Einsetzen des Punktes \(P\) ergibt \(-5 = 2 \cdot (-1) + n \Rightarrow n = -3\) 6. Resultierende Tangentengleichung: \(t(x) = 2x - 3\)

a) \(a = 1\) b) \(t(x) = 2x - 3\)

- Welche Gleichung müssen die Berührstellen wegen der vorgegebenen Steigung erfüllen? - Wie erhältst du aus jeder gefundenen Stelle den zugehörigen Punkt? - Welche Daten brauchst du dann noch für jede Tangentengleichung?

1. Die Berührstellen erfüllen \(f'(x)=3\). Damit ist \(3x^2-6x-6=3\), also \(x^2-2x-3=0\). 2. Die Lösungen sind \(x=3\) und \(x=-1\). 3. Es gilt \(f(3)=-16\) und \(f(-1)=4\). Die Punkte sind \(P_1(3|-16)\) und \(P_2(-1|4)\). 4. Mit Steigung \(3\) ergeben sich \(t_1:y=3x-25\) und \(t_2:y=3x+7\).

Die Punkte sind \(P_1(3|-16)\) und \(P_2(-1|4)\). Die Tangenten lauten \(t_1:y=3x-25\) und \(t_2:y=3x+7\).

- An welcher Stelle verschwindet der parameterabhängige Term im Funktionswert? - Ist auch der gegebene Ableitungswert dort unabhängig von \(k\)? - Welcher Punkt und welche gemeinsame Steigung bestimmen dann die Tangente?

1. Für zwei verschiedene Parameterwerte kann ein gemeinsamer Punkt nur entstehen, wenn \((x-2)^3=0\). Daher ist \(x=2\) die gemeinsame Stelle. 2. Es gilt \(g_k(2)=5\) unabhängig von \(k\). Alle Graphen gehen also durch \(B(2|5)\). 3. Außerdem ist \(g_k'(2)=4\) unabhängig von \(k\). Somit besitzen alle Graphen dort dieselbe Tangentensteigung. 4. Die gemeinsame Tangente durch \(B(2|5)\) mit Steigung \(4\) lautet \(y=4x-3\).

Alle Graphen besitzen im Punkt \(B(2|5)\) die gemeinsame Tangente \(y=4x-3\).

- Die Punktbedingung und die Tangentenbedingung liefern zwei unabhängige Beziehungen für die Parameter. - Eine waagerechte Tangente bedeutet, dass die erste Ableitung an der betreffenden Stelle den Wert \(0\) hat. - Nach dem Bestimmen der Parameter hilft eine Darstellung als Gerade plus Restterm bei der Asymptote. - Für das Verhalten an der Polstelle genügt eine Vorzeichenanalyse unmittelbar links und rechts davon.

a) Aus \(f(4)=8\) folgt \(\frac{16a+4b}{2}=8\), also \(4a+b=4\). Die erste Ableitung ist \(f'(x)=\frac{ax^2-4ax-2b}{(x-2)^2}\). Eine waagerechte Tangente bei \(x=0\) bedeutet \(f'(0)=0\), also \(b=0\). Damit folgt aus \(4a+b=4\) der Wert \(a=1\). b) Für diese Parameter ist \(f(x)=\frac{x^2}{x-2}=x+2+\frac4{x-2}\). Weil der Restterm für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\) strebt, ist \(y=x+2\) die schräge Asymptote. An \(x=2\) ist der Zähler positiv. Der Nenner ist links von \(2\) negativ und rechts davon positiv. Deshalb gilt \(\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\).

a) \(a=1\), \(b=0\) b) Schräge Asymptote \(y=x+2\); \(\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\)

- Stelle die Tangente zunächst an einer allgemeinen Stelle \(x_0\) auf. - Welche zusätzliche Bedingung liefert der feste Sensorpunkt \(S\)? - Prüfe nach dem Lösen, welche Berührstelle tatsächlich im angegebenen Schienenbereich liegt.

1. Eine Tangente an der Stelle \(x_0\) hat die Gleichung \(t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\). 2. Einsetzen ergibt \(t(x)=-0{,}5x_0x+0{,}25x_0^2+4\). 3. Weil der Sensor \(S(4|1)\) auf der Tangente liegen soll, gilt \(1=-2x_0+0{,}25x_0^2+4\). 4. Daraus folgt \(x_0^2-8x_0+12=0\), also \(x_0=2\) oder \(x_0=6\). 5. Nur \(x_0=2\) liegt im Schienenbereich \([0;4]\). Daher ist \(x_0=2\).

\(x_0=2\)

- Vergleiche die Koordinaten der beiden Scheitelpunkte. - Lies zwei Punkte auf der roten Tangente \(t\) ab und berechne ihre Steigung. - Überlege, wie sich eine reine Verschiebung auf die Steigungen an entsprechenden Stellen auswirkt. - Nutze den verschobenen Berührpunkt und die Steigung für die Tangentengleichung.

1. Teilaufgabe a): Die Scheitelpunkte sind \(S_f(1 \mid 0{,}5)\) und \(S_g(4 \mid 2{,}5)\). Der Graph wurde um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. Daher gilt \(g(x) = f(x - 3) + 2\). 2. Teilaufgabe b): Die Tangente \(t\) verläuft durch \(P(2 \mid 1)\) und beispielsweise durch \((1 \mid 0)\). Ihre Steigung ist \(m = \frac{1 - 0}{2 - 1} = 1\). Somit gilt \(f'(2) = 1\). 3. Teilaufgabe c): Verschiebungen verändern die Steigungen an entsprechenden Stellen nicht. Die Stelle \(x = 5\) bei \(g\) entspricht wegen der Verschiebung um \(3\) nach rechts der Stelle \(x = 2\) bei \(f\). Daher ist \(g'(5) = f'(2) = 1\). Der verschobene Berührpunkt ist \(P_g(5 \mid 3)\). Damit lautet die Tangente \(y = (x - 5) + 3 = x - 2\).

a) Der Graph ist um \(3\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben verschoben; \(g(x) = f(x - 3) + 2\). b) Die Tangentensteigung ist \(1\), also \(f'(2) = 1\). c) Es gilt \(g'(5) = 1\); der Berührpunkt ist \(P_g(5 \mid 3)\), und die Tangente lautet \(y = x - 2\).

- Setze die beiden Funktionsterme gleich, um die gemeinsamen Punkte zu finden. - Welche Tangentensteigungen liefern die gegebenen Ableitungsfunktionen an diesen Stellen? - Setze für jeden Punkt die beiden Steigungen in die angegebene Schnittwinkelformel ein.

1. Aus \(x^2-6x+9=-x+5\) folgt \(x^2-5x+4=0\), also \(x=1\) oder \(x=4\). Damit sind \(P_1(1|4)\) und \(P_2(4|1)\). 2. In \(P_1\) sind die Steigungen \(f'(1)=-4\) und \(g'(1)=-1\). In \(P_2\) sind sie \(f'(4)=2\) und \(g'(4)=-1\). 3. Für \(P_1\) ist \(\tan(\alpha_1)=\frac{3}{5}=0{,}6\), also \(\alpha_1\approx30{,}96^\circ\). 4. Für \(P_2\) ist \(\tan(\alpha_2)=3\), also \(\alpha_2\approx71{,}57^\circ\).

a) \(P_1(1|4)\) und \(P_2(4|1)\) b) In \(P_1\): \(m_f=-4\), \(m_g=-1\); in \(P_2\): \(m_f=2\), \(m_g=-1\) c) \(\alpha_1\approx30{,}96^\circ\), \(\alpha_2\approx71{,}57^\circ\)

- Stelle die Tangentengleichung an einer noch unbekannten Stelle \(u\) auf. - Welche Bedingung liefert der feste Punkt \(Q(0|7)\)? - Rechne damit, dass zwei Berührstellen möglich sind.

1. Eine Tangente an der Stelle \(u\) hat die Gleichung \(t(x)=f'(u)(x-u)+f(u)\). 2. Mit den gegebenen Termen folgt \(t(x)=(-0{,}5u+1)(x-u)-0{,}25u^2+u+3\). 3. Wegen \(Q(0|7)\) gilt \(t(0)=7\). Daraus folgt \(0{,}25u^2+3=7\), also \(u=4\) oder \(u=-4\). 4. Die Berührpunkte sind \(B_1(4|3)\) und \(B_2(-4|-5)\). 5. Die Tangentensteigungen sind \(-1\) beziehungsweise \(3\). Daher lauten die Tangenten \(t_1:y=-x+7\) und \(t_2:y=3x+7\).

a) \(B_1(4|3)\) und \(B_2(-4|-5)\) b) \(t_1:y=-x+7\) und \(t_2:y=3x+7\)

- Welche Gleichung beschreibt in a) die vorgegebene lokale Steigung? - Welche Steigung besitzt die Gerade \(g\), und welche Bedingung folgt daraus für parallele Tangenten? - Berechne nach den Berührstellen jeweils auch die Funktionswerte.

1. Für a) gilt \(\frac{1}{2}a^2-2a=-2\). Daraus folgt \((a-2)^2=0\), also \(a=2\). Mit \(f(2)=-\frac{2}{3}\) ist \(A(2|-\frac{2}{3})\). 2. Für b) muss die Tangentensteigung \(6\) sein. Aus \(\frac{1}{2}x^2-2x=6\) folgen \(x=6\) und \(x=-2\). 3. Die zugehörigen Punkte sind \(P_1(6|2)\) und \(P_2(-2|-\frac{10}{3})\).

a) \(A(2|-\frac{2}{3})\) b) \(P_1(6|2)\) und \(P_2(-2|-\frac{10}{3})\)

- Bestimme zuerst die Nullstellen der Funktion. - Welche Tangentensteigungen liefert die gegebene Ableitungsfunktion an diesen Stellen? - Bestimme danach den Tangentenschnittpunkt und nutze \(PQ\) als Grundseite des Dreiecks.

1. Aus \(-0{,}25x^2+4=0\) folgen \(x=-4\) und \(x=4\). Also sind \(P(-4|0)\) und \(Q(4|0)\). 2. Die Tangentensteigungen sind \(f'(-4)=2\) und \(f'(4)=-2\). Daher lauten die Tangenten \(t_1:y=2x+8\) und \(t_2:y=-2x+8\). 3. Ihr Schnittpunkt ist \(S(0|8)\). 4. Die Grundseite \(PQ\) und die Höhe haben jeweils Länge \(8\). Somit ist \(A=\frac{1}{2}\cdot8\cdot8=32\,\text{FE}\).

a) \(P(-4|0)\) und \(Q(4|0)\) b) \(t_1:y=2x+8\) und \(t_2:y=-2x+8\) c) \(A=32\,\text{FE}\)

- Welcher Punkt des Profils ist der Absprungpunkt? - Welche Steigung hat dort die Tangente? - Stelle die Tangentengleichung auf und setze anschließend die Wandposition ein.

1. Der Absprungpunkt ist \(S(2|f(2))=S(2|1{,}6)\). 2. Die Tangentensteigung beträgt \(f'(2)=1{,}2\). 3. Die Tangente lautet \(y-1{,}6=1{,}2(x-2)\), also \(y=1{,}2x-0{,}8\). 4. Bei \(x=6\) ist \(y=6{,}4\). Der Springer trifft die Wand in \(6{,}4\,\text{m}\) Höhe.

\(6{,}4\,\text{m}\)

- Vergleiche die Extremstellen eines Graphen mit den Nullstellen des anderen. - Welche zwei Werte brauchst du bei \(x=0\) für die Tangente? - Nutze die Graphbezeichnungen \(a\) und \(b\), nicht ihre Farben.

1. Graph \(a\) stellt \(f\) dar, Graph \(b\) die Ableitungsfunktion \(f'\). Die Nullstellen von \(b\) liegen bei den Extremstellen von \(a\). 2. Bei \(x=0\) verläuft \(f\) durch den Ursprung, also ist der Berührpunkt \(P(0|0)\). Am Graphen \(b\) liest man \(f'(0)=2\) ab. 3. Die Tangente lautet daher \(y=2x\).

a) \(a\) ist \(f\), \(b\) ist \(f'\). b) \(y=2x\)

- Welche Steigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion an der allgemeinen Stelle \(u\)? - Setze für den \(y\)-Achsen-Schnittpunkt \(x=0\). - Welche Koordinaten besitzt die Projektion \(P_1\) auf die \(y\)-Achse?

1. Die Tangente im Punkt \(P(u|u^2)\) hat die Steigung \(2u\). Daher gilt \(y-u^2=2u(x-u)\), also \(y=2ux-u^2\). 2. Für \(x=0\) ist \(y=-u^2\). Damit ist der \(y\)-Achsen-Schnittpunkt \(Q(0|-u^2)\). 3. Die Projektion von \(P\) auf die \(y\)-Achse ist \(P_1(0|u^2)\). 4. Beide Punkte haben den Abstand \(u^2\) vom Ursprung. Daher ist der Ursprung der Mittelpunkt von \(\overline{P_1Q}\).

a) \(t:y=2ux-u^2\), also \(Q(0|-u^2)\) b) Beide Abstände betragen \(u^2\); der Ursprung ist der Mittelpunkt von \(\overline{P_1Q}\).

- Bestimme in a) die Steigung aus den Koordinaten der beiden Punkte. - Wenn die Tangente durch \(P\) verläuft, fallen die Tangente und die Gerade durch \(P\) und \(Q_a\) zusammen. - Vergleiche deshalb deren Steigungen.

1. Es ist \(Q_a(a \mid \frac{1}{2}a^2+2)\). 2. Für \(a\neq0\) gilt \(m_a=\frac{f(a)-0}{a-0}=\frac{\frac{1}{2}a^2+2}{a}=\frac{a^2+4}{2a}\). 3. Verläuft die Tangente \(t_a\) durch \(P\), dann ist die Gerade durch \(P\) und \(Q_a\) gerade diese Tangente. Daher muss ihre Steigung \(m_a\) gleich der Tangentensteigung \(f'(a)=a\) sein. 4. Aus \(\frac{a^2+4}{2a}=a\) folgt \(a^2+4=2a^2\), also \(a^2=4\). 5. Damit sind \(a=2\) und \(a=-2\) die gesuchten Werte.

a) \(m_a=\frac{a^2+4}{2a}\) b) \(a=-2\) und \(a=2\)

- Welche Informationen liefern Funktionswert und Ableitung im Sachzusammenhang? - Welche Funktionsform bietet sich an, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist? - Welche Gleichung beschreibt den Auftreffpunkt auf der Wasseroberfläche? - Wie hängt die Tangentensteigung mit dem Steigungswinkel zusammen?

1. \(f(0)=0{,}5\) beschreibt die Austrittshöhe. \(f'(2)=0\) bedeutet, dass die Flugbahn dort eine waagerechte Tangente und damit ihren höchsten Punkt hat. 2. Mit dem Scheitelpunkt \(S(2\mid2{,}5)\) ist \(f(x)=a(x-2)^2+2{,}5\). Aus \(f(0)=0{,}5\) folgt \(4a+2{,}5=0{,}5\), also \(a=-0{,}5\). Damit ist \(f(x)=-0{,}5x^2+2x+0{,}5\). 3. Für den Auftreffpunkt löst man \(-0{,}5x^2+2x+0{,}5=0\). Die positive Lösung ist \(x=2+\sqrt5\approx4{,}24\). Der Wasserstrahl trifft nach etwa \(4{,}24\,\text{m}\) auf. 4. Es gilt \(f'(x)=-x+2\), also \(f'(0)=2\). Mit \(\tan(\alpha)=2\) folgt \(\alpha\approx63{,}4^\circ\).

a) \(f(0)=0{,}5\) beschreibt die Austrittshöhe; \(f'(2)=0\) die waagerechte Tangente am höchsten Punkt. b) \(f(x)=-0{,}5x^2+2x+0{,}5\). c) \(x=2+\sqrt5\approx4{,}24\,\text{m}\). d) \(\alpha\approx63{,}4^\circ\).

- Eine Sekante wird durch zwei verschiedene Punkte des Funktionsgraphen festgelegt. - Für die Tangente ist entscheidend, welche Gerade die lokale Richtung des Graphen direkt bei \(P\) wiedergibt. - Zum Aufstellen der Geradengleichungen brauchst du jeweils eine Steigung und einen Punkt.

1. Die Gerade \(p\) verläuft durch beide markierten Graphenpunkte \(P(1\mid1)\) und \(Q(3\mid9)\). Daher ist \(p\) die Sekante. Ihre Steigung ist \(\frac{9-1}{3-1}=4\), also \(p:y=4x-3\). 2. Die Gerade \(q\) stimmt in unmittelbarer Umgebung von \(P\) mit der Richtung des Graphen überein. Sie verläuft beispielsweise durch \((0{,}5\mid0)\) und \((2{,}5\mid4)\), hat also die Steigung \(2\). Durch \(P\) folgt \(q:y=2x-1\). 3. Die Gerade \(r\) geht zwar durch \(P\), besitzt dort aber nicht die lokale Steigungsrichtung des Graphen. Ein gemeinsamer Punkt allein genügt für eine Tangente nicht.

a) Sekante: \(p\). b) Tangente: \(q\). c) Durch \(P\) zu gehen ist nur eine notwendige, keine ausreichende Bedingung; die Gerade muss auch die lokale Steigung des Graphen in \(P\) haben. d) Sekante \(p:y=4x-3\); Tangente \(q:y=2x-1\).

- Wie lautet die Tangentengleichung an einer zunächst unbekannten Stelle \(u\)? - Welche zusätzliche Bedingung erfüllt diese Tangente, weil der Lichtstrahl vom Ursprung ausgeht? - Warum bleibt von den rechnerisch möglichen Berührstellen nur eine übrig?

1. Für eine Berührstelle \(u>0\) hat die Tangente die Gleichung \(y=f'(u)(x-u)+f(u)\). 2. Mit \(f'(u)=\frac{1}{4}u\) und \(f(u)=\frac{1}{8}u^2+2\) ergibt sich \(y=\frac{1}{4}ux-\frac{1}{8}u^2+2\). 3. Die Tangente muss durch \(O(0|0)\) verlaufen. Daher gilt \(0=-\frac{1}{8}u^2+2\), also \(u^2=16\). Wegen \(u>0\) ist \(u=4\). 4. Es ist \(f(4)=4\), also \(B(4|4)\). Die Steigung beträgt \(f'(4)=1\).

Der Berührpunkt ist \(B(4|4)\) und die Steigung des Lichtstrahls beträgt \(m=1\).

- Setze für die noch unbekannte Berührstelle eine Variable \(u\) ein. - Welche Steigung besitzt die Tangente an dieser Stelle laut der gegebenen Ableitungsfunktion? - Welche Bedingung liefert der feste Punkt \(P(2|0)\)? - Rechne damit, dass mehr als eine Berührstelle möglich ist.

1. Eine Tangente an der Stelle \(u\) hat die Gleichung \(y=(2u-4)(x-u)+u^2-4u+5\). 2. Weil sie durch \(P(2|0)\) verläuft, gilt \(0=(2u-4)(2-u)+u^2-4u+5\). 3. Nach dem Vereinfachen erhält man \(u^2-4u+3=0\), also \(u_1=1\) und \(u_2=3\). 4. Die Berührpunkte sind \(B_1(1|2)\) und \(B_2(3|2)\). 5. Für \(u_1=1\) ist die Steigung \(-2\), also \(t_1:y=-2x+4\). Für \(u_2=3\) ist die Steigung \(2\), also \(t_2:y=2x-4\).

Die Berührpunkte sind \(B_1(1|2)\) und \(B_2(3|2)\). Die Tangenten lauten \(t_1:y=-2x+4\) und \(t_2:y=2x-4\).

- Wo liegen die beiden Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit von \(k\)? - Welche Tangentensteigungen erhältst du dort aus der gegebenen Ableitungsfunktion? - Wie findest du den Schnittpunkt der beiden Tangenten? - Welche Seite des Dreiecks liegt auf der \(x\)-Achse?

1. Aus \(f_k(x)=x(x-k)\) folgen die Nullstellen \(0\) und \(k\), also \(A(k|0)\). 2. Die Tangentensteigungen sind \(f_k'(0)=-k\) und \(f_k'(k)=k\). Daher lauten die Tangenten \(y=-kx\) und \(y=kx-k^2\). 3. Gleichsetzen liefert \(-kx=kx-k^2\). Wegen \(k>0\) folgt \(x_S=\frac{k}{2}\) und damit \(y_S=-\frac{k^2}{2}\). 4. Die Grundseite \(OA\) hat Länge \(k\), die zugehörige Höhe ist \(\frac{k^2}{2}\). Somit ist der Flächeninhalt \(A=\frac{1}{2}\cdot k\cdot\frac{k^2}{2}=\frac{k^3}{4}\). 5. Aus \(\frac{k^3}{4}=16\) folgt \(k^3=64\) und damit \(k=4\).

\(k=4\)

- Wie berechnest du die Steigung der Verbindungsgeraden durch \(P\) und \(Q_a\)? - Welche Tangentensteigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion in \(Q_a\)? - Warum muss der Sonderfall \(a=0\) getrennt geprüft werden? - Welche Steigungen müssen übereinstimmen, wenn \(P\) auf der Tangente liegt?

1. Für \(a\ne0\) ist \(m_a=\frac{a^2-1-(-5)}{a}=\frac{a^2+4}{a}\). 2. Für \(a=0\) ist die Tangente wegen \(f'(0)=0\) die Gerade \(y=-1\); sie geht nicht durch \(P\). 3. Für \(a\ne0\) muss eine durch \(P\) verlaufende Tangente dieselbe Steigung wie \(PQ_a\) besitzen. Daher gilt \(2a=\frac{a^2+4}{a}\). 4. Daraus folgt \(2a^2=a^2+4\), also \(a^2=4\) und damit \(a=-2\) oder \(a=2\).

a) \(m_a=\frac{a^2+4}{a}\) b) \(a\in\{-2;2\}\)

- Wie erhältst du die Steigung der Verbindungsgeraden durch \(R\) und \(S_a\)? - Welche Tangentensteigung liefert die gegebene Ableitungsfunktion in \(S_a\)? - Warum ist \(a=0\) gesondert zu betrachten? - Welche Gleichheit der Steigungen muss für eine Tangente durch \(R\) gelten?

1. Für \(a\ne0\) ist \(m_a=\frac{\frac{1}{2}a^3+4-(-4)}{a}=\frac{a^3+16}{2a}\). 2. Für \(a=0\) ist die Tangente wegen \(g'(0)=0\) die Gerade \(y=4\); sie geht nicht durch \(R\). 3. Für \(a\ne0\) muss \(\frac{3}{2}a^2=\frac{a^3+16}{2a}\) gelten. 4. Multiplikation mit \(2a\) ergibt \(3a^3=a^3+16\), also \(a^3=8\) und damit \(a=2\).

a) \(m_a=\frac{a^3+16}{2a}\) b) \(a=2\)

- Welche Bedingung erfüllt die gegebene Ableitungsfunktion an einer waagerechten Tangente? - Welche Punktkoordinaten gehören zu den gefundenen Stellen? - Welche Seite des entstehenden Dreiecks ist waagerecht und daher besonders leicht als Grundseite zu verwenden?

1. Waagerechte Tangenten erfüllen \(f'(x)=0\). Aus \(x^3-4x=x(x-2)(x+2)=0\) folgen \(x=-2,0,2\). 2. Es gilt \(f(-2)=-3\), \(f(0)=1\) und \(f(2)=-3\). Die Punkte sind also \((-2|-3)\), \((0|1)\) und \((2|-3)\). 3. Die waagerechte Grundseite zwischen \((-2|-3)\) und \((2|-3)\) hat Länge \(4\); die Höhe bis \((0|1)\) beträgt ebenfalls \(4\). 4. Damit ist \(A=\frac{1}{2}\cdot4\cdot4=8\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) beträgt \(8\,\text{FE}\).

- Setze für die unbekannte Berührstelle eine Variable \(u\) ein und stelle die Tangente allgemein auf. - Welche zusätzliche Bedingung liefert der äußere Punkt \(P\)? - Rechne damit, dass zwei Berührstellen möglich sind. - Wie berechnest du anschließend Mittelpunkt und Abstand der beiden gefundenen Berührpunkte?

1. Eine Tangente an der Stelle \(u\) hat die Gleichung \(y=2u(x-u)+u^2-2=2ux-u^2-2\). 2. Da sie durch \(P(0|-3)\) verlaufen soll, gilt \(-3=-u^2-2\), also \(u^2=1\). Somit ist \(u=1\) oder \(u=-1\). 3. Die Berührpunkte sind \(B_1(1|-1)\) und \(B_2(-1|-1)\). 4. Die Tangenten lauten \(t_1:y=2x-3\) und \(t_2:y=-2x-3\). 5. Der Mittelpunkt ist \(M(0|-1)\). Da \(P(0|-3)\) auf derselben vertikalen Geraden liegt, beträgt der Abstand \(2\).

a) \(B_1(1|-1)\) und \(B_2(-1|-1)\) b) \(t_1:y=2x-3\) und \(t_2:y=-2x-3\) c) \(M(0|-1)\); Abstand \(2\)

- Welchen Berührpunkt und welche Steigung besitzt die Tangente bei \(x=3\)? - Betrachte für Teil 2 die Differenz zwischen Funktionswert und Tangentenwert. - Welche Ungleichung beschreibt die erlaubte maximale Abweichung? - Das größte Intervall endet dort, wo die Abweichung gerade den Grenzwert erreicht.

1. Es gilt \(f(3)=2\) und \(f'(3)=2\). Daher lautet die Tangente \(t:y=2x-4\). 2. Die Abweichung ist \(|f(x)-t(x)|=|x^2-6x+9|=(x-3)^2\). 3. Die Bedingung \((x-3)^2\le0{,}04\) ist äquivalent zu \(|x-3|\le0{,}2\). 4. Damit ist das größte Intervall \([2{,}8;3{,}2]\).

1. \(t:y=2x-4\) 2. \([2{,}8;3{,}2]\)

- Prüfe zuerst, ob alle drei Graphen tatsächlich durch denselben Punkt gehen. - Welche Bedingung erfüllen die Steigungen senkrechter Tangenten? - Stelle für \(h\) den Differentialquotienten direkt an \(x_0\) auf. - Vergleiche danach die beiden Steigungsprodukte mit \(-1\).

1. Aus \(0{,}5x^2-2=0\) folgt \(x_0=2\). 2. Es gilt \(g(2)=0\) und \(h(2)=0\). Alle drei Graphen gehen also durch \((2|0)\). 3. Die Steigungen von \(f\) und \(g\) sind \(f'(2)=2\) und \(g'(2)=-0{,}5\). 4. Für \(h\) gilt \(\frac{h(2+s)-h(2)}{s}=-\frac{1}{2+s}\). Für \(s\to0\) folgt \(h'(2)=-0{,}5\). 5. Damit ist sowohl \(f'(2)g'(2)=-1\) als auch \(f'(2)h'(2)=-1\). Beide Graphen schneiden \(f\) dort rechtwinklig.

1. \(x_0=2\) 2. Ja. Es gilt \(g(2)=h(2)=0\). 3. Ja. \(f'(2)=2\) und \(g'(2)=h'(2)=-0{,}5\); jeweils ist das Produkt der Tangentensteigungen \(-1\).

- Stelle die Tangente zunächst an einer allgemeinen Stelle \(a\) auf. - Welche Gleichung liefert die Forderung, dass der feste Punkt \(P\) auf dieser Tangente liegt? - Faktorisiere die entstehende Gleichung und prüfe alle Lösungen.

1. Die allgemeine Tangente ist \(t_a(x)=f'(a)(x-a)+f(a)\). Einsetzen und Vereinfachen ergibt \(t_a(x)=(1{,}5a^2-1{,}5)x-a^3\). 2. Für \(P(2|-3)\) muss \(-3=2(1{,}5a^2-1{,}5)-a^3\) gelten. Daraus folgt \(a^2(3-a)=0\). 3. Somit ist \(a=0\) oder \(a=3\). 4. Die Tangenten lauten \(t_0:y=-1{,}5x\) und \(t_3:y=12x-27\).

a) \(t_a:y=(1{,}5a^2-1{,}5)x-a^3\) b) \(a=0\) und \(a=3\); \(t_0:y=-1{,}5x\), \(t_3:y=12x-27\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Strahl eine Bahn "tangential" verlässt? - Welche Rolle spielt die erste Ableitung der Funktionsgleichung bei dieser Aufgabe? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung \(y = mx + b\). Wie kannst du die Steigung \(m\) und den Startpunkt bestimmen? - Setze die \(x\)-Koordinate des Sensors in deine Geradengleichungen ein, um zu prüfen, ob die Zielhöhe erreicht wird.

1. Ableitung bilden: \(g'(x) = 0{,}5\cos(0{,}5x)\). 2. Prüfung von \(x_1 = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}712\): \(g(4{,}712) \approx 2{,}707\); \(g'(4{,}712) \approx -0{,}354\). Tangentengleichung: \(y = -0{,}354 \cdot (x - 4{,}712) + 2{,}707\). Für \(x = 10\) ergibt sich \(y \approx 0{,}835 \neq 0{,}142\). 3. Prüfung von \(x_2 = 2\pi \approx 6{,}283\): \(g(6{,}283) \approx 2{,}000\); \(g'(6{,}283) \approx -0{,}500\). Tangentengleichung: \(y = -0{,}500 \cdot (x - 6{,}283) + 2{,}000\). Für \(x = 10\) ergibt sich \(y = -0{,}500 \cdot (10 - 6{,}283) + 2{,}000 = -1{,}8585 + 2{,}000 \approx 0{,}142\). Dies trifft den Sensor. 4. Prüfung von \(x_3 = \frac{5\pi}{2} \approx 7{,}854\): \(g(7{,}854) \approx 1{,}293\); \(g'(7{,}854) \approx -0{,}354\). Tangentengleichung: \(y = -0{,}354 \cdot (x - 7{,}854) + 1{,}293\). Für \(x = 10\) ergibt sich \(y \approx 0{,}533 \neq 0{,}142\).

Der Laserimpuls muss an der Stelle \(x_2 = 2\pi\) ausgelöst werden.

- Bestimme die lokale Steigung an der allgemeinen Stelle \(a\) direkt über den Differentialquotienten. - Stelle danach die Tangente durch den Punkt \(B\) auf. - Die Achsenschnittpunkte geben die beiden Kathetenlängen des rechtwinkligen Dreiecks an. - Prüfe, ob sich der Parameter \(a\) in der Flächenformel herauskürzt.

1. Der Differenzenquotient an der Stelle \(a>0\) lautet \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}=-\frac{1}{a(a+h)}\). 2. Für \(h\to0\) folgt \(f'(a)=-\frac{1}{a^2}\). 3. Die Tangente im Punkt \(B(a|\frac{1}{a})\) lautet \(y=-\frac{1}{a^2}(x-a)+\frac{1}{a}=-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a}\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|\frac{2}{a})\). Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a}\), also \(S_x(2a|0)\). 5. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot\frac{2}{a}=2\). Die Variable \(a\) kürzt sich vollständig heraus.

a) Die Tangente hat die Gleichung \(y = -\frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a}\). b) Mit \(S_x(2a \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid \frac{2}{a})\) gilt \(A = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = 2\), also ist der Flächeninhalt für alle \(a > 0\) konstant.