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- Was ist die mathematische Bedeutung der Steigung einer Tangente an einer bestimmten Stelle? - Kannst du die Funktion schrittweise ableiten? - Was musst du tun, nachdem du die Ableitungsfunktion gefunden hast?

1. Ableitungsfunktion \(y'\) berechnen: \(y' = 0{,}4x + 5\). 2. Die Stelle \(x = 5\) in die Ableitungsfunktion einsetzen: \(m = 0{,}4 \cdot 5 + 5\). 3. Berechnung: \(m = 2 + 5 = 7\).

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- Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der Ableitung? - Wie hängen die Steigung einer Funktion in einem Punkt und die Ableitungsfunktion zusammen? - Wie berechnet man die zweite Koordinate eines Punktes, wenn die x-Koordinate bekannt ist?

1. Ableitung mit der Potenz- und Summenregel bilden: \(f'(x) = -2x + 4\). 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente ist eine Steigung von \(0\). Ansatz: \(f'(x_0) = 0\). 3. Gleichung lösen: \(-2x_0 + 4 = 0 \Rightarrow x_0 = 2\). 4. Funktionswert berechnen: \(f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 2 = -4 + 8 - 2 = 2\). Der Punkt ist \(P(2|2)\). 5. Für die Steigung \(6\) den Ansatz \(f'(q) = 6\) wählen: \(-2q + 4 = 6\). 6. Nach \(q\) auflösen: \(-2q = 2 \Rightarrow q = -1\). 7. Funktionswert berechnen: \(f(-1) = -(-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 2 = -1 - 4 - 2 = -7\). Der Punkt ist \(Q(-1|-7)\).

a) \(f'(x) = -2x + 4\) b) \(P(2|2)\) c) \(Q(-1|-7)\)

- Wie findest du den zugehörigen \(y\)-Wert für eine gegebene Stelle auf dem Graphen? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Kurve in einem bestimmten Punkt zu ermitteln? - Kennst du eine Formel, mit der man eine Gerade aufstellen kann, wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind? - Überlege, was die Tangente an einem Punkt grafisch und rechnerisch bedeutet.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Berührstelle: \(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(1|0)\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m = f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 = -3\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form: \(y = -3 \cdot (x - 1) + 0\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(y = -3x + 3\).

\(t(x) = -3x + 3\)

- Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer Geraden eindeutig festzulegen? - Wie lässt sich die Steigung der Kurve in einem bestimmten Punkt mithilfe der Ableitung berechnen? - Welche Koordinaten hat der Punkt, an dem die Tangente den Graphen berührt? - Wie kannst du die berechnete Steigung und den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzen?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = 0{,}5 \cdot 2^4 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(2 | 0)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 2x^3 - 6x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung \(m\): \(m = f'(2) = 2 \cdot 2^3 - 6 \cdot 2 = 16 - 12 = 4\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form oder \(y = mx + n\): \(y = 4 \cdot (x - 2) + 0 = 4x - 8\).

Die Gleichung der Tangente lautet \(t(x) = 4x - 8\).

- Wie hängen die Ableitung einer Funktion an einer Stelle und die Steigung der Tangente dort zusammen? - Welche trigonometrische Beziehung besteht zwischen der Steigung \(m\) einer Geraden und ihrem Steigungswinkel \(\alpha\)? - Denk daran, deinen Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) einzustellen.

1. Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion: \(f'(x) = -1{,}5x^2 + 4x\). 2. Berechnung der Tangentensteigung \(m\) an der Stelle \(x_0 = 1\): \(m = f'(1) = -1{,}5 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = 2{,}5\). 3. Anwendung des Zusammenhangs zwischen Steigung und Steigungswinkel: \(\tan(\alpha) = m\), also \(\tan(\alpha) = 2{,}5\). 4. Berechnung des Winkels mittels der Arkustangens-Funktion: \(\alpha = \arctan(2{,}5) \approx 68{,}2^\circ\).

Der Steigungswinkel beträgt etwa \(68{,}2^\circ\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Linien „knickfrei“ ineinander übergehen? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Wie kannst du die Steigung der Kurve an einem bestimmten Punkt berechnen? - Überlege dir, welche Koordinaten der Punkt hat, an dem die Rutschbahn die Kurve berührt.

1. Bestimmung des Funktionswerts an der Übergangsstelle \(x = 2\): \(f(2) = -0{,}2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = -0{,}8 + 4 + 1 = 4{,}2\). Der Berührpunkt ist \(P(2 \mid 4{,}2)\). 2. Berechnung der ersten Ableitung zur Bestimmung der Steigung: \(f'(x) = -0{,}4x + 2\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 2\): \(m = f'(2) = -0{,}4 \cdot 2 + 2 = 1{,}2\). 4. Aufstellen der Geradengleichung \(y = mx + b\) mit \(m = 1{,}2\) und dem Punkt \(P(2 \mid 4{,}2)\): \(4{,}2 = 1{,}2 \cdot 2 + b \Rightarrow 4{,}2 = 2{,}4 + b \Rightarrow b = 1{,}8\). 5. Die Gleichung der Tangente lautet \(y = 1{,}2x + 1{,}8\).

Die Gleichung der Geraden lautet \(y = 1{,}2x + 1{,}8\).

- Wie hängen die Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente zusammen? - Welche allgemeine Formel für eine Geradengleichung kennst du, um die Tangente aufzustellen? - Überlege, welche trigonometrische Beziehung zwischen der Steigung einer Geraden und ihrem Neigungswinkel besteht.

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 3\): \(f(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 9 - 6 = -6\). Der Berührpunkt ist \(P(3 | -6)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^2 - 2x - 2\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_0 = 3\): \(m = f'(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 - 2 = 1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit \(y = m \cdot (x - x_0) + f(x_0)\): \(y = 1 \cdot (x - 3) - 6 = x - 9\). 5. Berechnung des Steigungswinkels \(\alpha\): Aus \(\tan(\alpha) = m = 1\) folgt \(\alpha = \arctan(1) = 45^\circ\).

Die Gleichung der Tangente lautet \(y = x - 9\). Der Steigungswinkel beträgt \(45^\circ\).

- Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - Hast du bereits den vollständigen Punkt berechnet, an dem die Tangente den Graphen berührt? - Welche Formel für eine Gerade kennst du, in die du Punkt und Steigung direkt einsetzen kannst?

1. Berechnung des \(y\)-Werts des Berührpunkts: \(f(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 5 = 2\). Der Punkt ist \(P(1 | 2)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 3x^2 - 8x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 1\): \(m = f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 = -5\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form oder durch Einsetzen in \(y = mx + c\): \(2 = -5 \cdot 1 + c \Rightarrow c = 7\). 5. Ergebnis: \(t: y = -5x + 7\).

\(t: y = -5x + 7\)

- Was muss für die Funktionswerte an einer Stelle gelten, damit sich zwei Graphen dort treffen? - Welche Bedingung muss für die Ableitungen an dieser Stelle erfüllt sein, damit man von „Berühren“ statt nur von einem „Schnittpunkt“ spricht? - Erinnere dich an die allgemeine Punkt-Steigungs-Form einer Geradengleichung.

1. Zur Überprüfung des Berührens müssen Funktionswert und Steigung an der Stelle \(x_0 = 1\) übereinstimmen. Es gilt \(f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3\) und \(g(1) = -1^2 + 5 \cdot 1 - 1 = 3\). Da \(f(1) = g(1)\), schneiden sich die Graphen im Punkt \(P(1 | 3)\). Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 2x + 1\) und \(g'(x) = -2x + 5\). An der Stelle \(x_0 = 1\) ergeben sich die Steigungen \(f'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3\) und \(g'(1) = -2 \cdot 1 + 5 = 3\). Wegen \(f'(1) = g'(1)\) berühren sich die Graphen. 2. Die Tangentengleichung hat die Form \(t(x) = m \cdot (x - x_0) + y_0\). Mit der Steigung \(m = 3\) und dem Punkt \(P(1 | 3)\) folgt \(t(x) = 3 \cdot (x - 1) + 3\). Dies vereinfacht sich zu \(t(x) = 3x\).

Die Graphen berühren sich im Punkt \(P(1 | 3)\), da \(f(1) = g(1) = 3\) und \(f'(1) = g'(1) = 3\) gilt. Die Gleichung der gemeinsamen Tangente lautet \(t(x) = 3x\).

- Welche Information über die Steigung der Tangente liefert die parallele Gerade? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - An welcher Stelle hat die Funktion die gesuchte Steigung? - Wie lautet die allgemeine Form einer Geradengleichung?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = 0{,}5x + 1\). 2. Bedingung für Parallelität nutzen (gleiche Steigung): \(f'(x) = 2\). 3. Berührstelle \(x_0\) berechnen: \(0{,}5x + 1 = 2 \implies 0{,}5x = 1 \implies x_0 = 2\). 4. \(y\)-Koordinate des Berührpunktes berechnen: \(f(2) = 0{,}25 \cdot 2^2 + 2 - 3 = 0\). 5. Tangentengleichung mit \(m = 2\) und \(P(2 | 0)\) aufstellen: \(y = 2 \cdot (x - 2) + 0\), vereinfacht zu \(y = 2x - 4\).

\(y = 2x - 4\)

- Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Was bedeutet es für die Ableitungsfunktion, wenn eine bestimmte Steigung vorgegeben ist? - Hängt die Steigung an jeder Stelle vom Parameter ab oder gibt es Ausnahmen?

1. Einsetzen des Punktes \(P(2 | 5)\) in die Funktionsgleichung: \(5 = a \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 1\). Daraus folgt \(5 = 4a - 7\), also \(4a = 12\) und somit \(a = 3\). 2. Die Ableitungsfunktion lautet \(f_a'(x) = 2ax - 4\). Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) ergibt sich durch Einsetzen: \(f_a'(0) = 2a \cdot 0 - 4 = -4\). 3. Die Bedingung für die Steigung an der Stelle \(x = 1\) lautet \(f_a'(1) = 10\). Einsetzen in die Ableitung ergibt \(2a \cdot 1 - 4 = 10\). Umformen führt zu \(2a = 14\), also \(a = 7\).

a) \(a = 3\) b) \(m = -4\) c) \(a = 7\)

- Wie hängen die erste Ableitung einer Funktion und die Steigung der Tangente zusammen? - Welche trigonometrische Funktion stellt die Verbindung zwischen einer Steigung und einem Winkel her? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer linearen Funktion \(y = mx + n\).

1. Die Ableitung der Funktion lautet \(f'(x) = -x\). Die Steigung an der Stelle \(x_0 = 1\) ergibt sich durch Einsetzen: \(m = f'(1) = -1\). 2. Der Zusammenhang zwischen Steigung \(m\) und Neigungswinkel \(\alpha\) ist durch \(m = \tan(\alpha)\) gegeben. Aus \(\tan(\alpha) = -1\) folgt für den Winkel im Bereich \([0^\circ; 180^\circ)\) der Wert \(\alpha = 135^\circ\). 3. Der Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 1\) ist \(f(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 + 3 = 2{,}5\). Der Berührpunkt ist somit \(B(1|2{,}5)\). Mit der Punkt-Steigungs-Form \(y = m(x - x_0) + y_0\) ergibt sich: \(t(x) = -1 \cdot (x - 1) + 2{,}5 = -x + 1 + 2{,}5 = -x + 3{,}5\).

1. Die Steigung beträgt \(m = -1\). 2. Der Neigungswinkel beträgt \(\alpha = 135^\circ\). 3. Die Tangentengleichung lautet \(t(x) = -x + 3{,}5\).

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle an? - Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer Geraden (Tangente) aufzustellen? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Steigung der Kurve im Berührpunkt zusammen?

1. Ableitungsfunktion bilden: \(f'(x) = 4x - 8\). 2. Steigung an der Stelle \(x = 3\) berechnen: \(f'(3) = 4 \cdot 3 - 8 = 4\). 3. Funktionswert an der Stelle \(x = 3\) berechnen: \(f(3) = 2 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 18 - 24 + 5 = -1\). 4. Tangentengleichung \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\) mit \(m = 4\), \(x_0 = 3\) und \(y_0 = -1\) aufstellen: \(y = 4 \cdot (x - 3) - 1\). 5. Vereinfachen: \(y = 4x - 13\).

a) Die Steigung an der Stelle \(x = 3\) beträgt \(4\). b) Die Tangentengleichung lautet \(y = 4x - 13\).

- Wie kannst du den Punkt nutzen, um die Unbekannte in der Funktionsgleichung zu finden? - Welche allgemeine Form hat eine Geradengleichung? - Welche Informationen benötigst du, um eine Gerade eindeutig festzulegen? - Was gilt für den y-Wert an der Stelle, an der ein Graph die x-Achse kreuzt?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(2 | 2)\) in \(f(x) = ax^3\): \(2 = a \cdot 2^3 \implies 2 = 8a \implies a = 0{,}25\). 2. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form oder \(y = mx + n\): Einsetzen von \(m = 3\) und \(P(2 | 2)\) ergibt \(2 = 3 \cdot 2 + n \implies 2 = 6 + n \implies n = -4\). Die Gleichung lautet \(t(x) = 3x - 4\). 3. Berechnung der Nullstelle der Tangente: \(0 = 3x - 4 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\). Der Schnittpunkt ist \(S(\frac{4}{3} | 0)\).

a) \(a = 0{,}25\) b) \(t(x) = 3x - 4\) c) \(S(\frac{4}{3} | 0)\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Informationen benötigst du von der Funktion, um die Steigung der Tangente zu berechnen? - Denke daran, zuerst den Funktionswert an der gegebenen Stelle zu bestimmen, um den Berührpunkt zu erhalten. - Wie hängen die Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente dort zusammen?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 4x\). 2. Für \(x_1 = 2\): Funktionswert \(f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 = 0\) und Steigung \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 4\). Tangentengleichung \(t_1(x) = 4(x - 2) + 0 = 4x - 8\). 3. Für \(x_2 = 1\): Funktionswert \(f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 = -1\) und Steigung \(f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 = -1\). Tangentengleichung \(t_2(x) = -1(x - 1) - 1 = -x\).

a) \(t_1(x) = 4x - 8\) b) \(t_2(x) = -x\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(a\)? - Welche Information liefert die erste Ableitung der Funktion für die Tangente? - Wie kannst du den \(y\)-Wert des Berührpunktes berechnen? - Setze die Ausdrücke für die Steigung und den Punkt in die Geradengleichung ein und fasse zusammen.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion von \(f(x) = 2x^2 - 5x\) mithilfe der Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = 4x - 5\). 2. Berechnung der Steigung der Tangente an der Stelle \(a\): \(m = f'(a) = 4a - 5\). 3. Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle \(a\): \(f(a) = 2a^2 - 5a\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mithilfe der Punkt-Steigungs-Form \(y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)\): \(y = (4a - 5) \cdot (x - a) + 2a^2 - 5a\) 5. Vereinfachen der Gleichung: \(y = (4a - 5)x - a(4a - 5) + 2a^2 - 5a\) \(y = (4a - 5)x - 4a^2 + 5a + 2a^2 - 5a\) \(y = (4a - 5)x - 2a^2\)

\(t_a: y = (4a - 5)x - 2a^2\)

- Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - Kennst du eine Formel, um eine Geradengleichung aufzustellen, wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind? - Überlege, welche trigonometrische Funktion das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete im Steigungsdreieck beschreibt.

1. Zunächst wird der Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 4\) berechnet: \(f(4) = \frac{1}{8} \cdot 4^2 = \frac{16}{8} = 2\). Der Berührpunkt ist somit \(P(4|2)\). Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = \frac{1}{4}x\). Die Steigung der Tangente ergibt sich durch Einsetzen von \(x_0\): \(m = f'(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\). Mit der Punkt-Steigungs-Formel \(y = m \cdot (x - x_0) + f(x_0)\) folgt: \(y = 1 \cdot (x - 4) + 2 = x - 2\). 2. Die Steigung \(m\) einer Geraden entspricht dem Tangens des Neigungswinkels \(\alpha\). Es gilt \(\tan(\alpha) = m = 1\). Daraus folgt \(\alpha = \arctan(1) = 45^\circ\).

1. Tangentengleichung: \(t: y = x - 2\) 2. Neigungswinkel: \(\alpha = 45^\circ\)

- Bestimme zuerst den vollständigen Punkt auf dem Graphen. - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Potenzfunktionen. - Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung an der Berührstelle. - Nutze die allgemeine Geradengleichung, um den Achsenabschnitt zu berechnen.

1. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^4 - (-2)^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 - 4 = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(-2 | 0)\). 2. Bildung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^3 - 2x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung \(m\): \(m = f'(-2) = (-2)^3 - 2 \cdot (-2) = -8 + 4 = -4\). 4. Aufstellen der Geradengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form oder durch Einsetzen in \(y = mx + c\): \(0 = -4 \cdot (-2) + c \implies 0 = 8 + c \implies c = -8\). Die Gleichung der Tangente ist \(t(x) = -4x - 8\).

\(t(x) = -4x - 8\)

- Wie hängt der Neigungswinkel einer Geraden mit ihrer Steigung zusammen? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion in einem beliebigen Punkt zu bestimmen? - Denk daran, dass du sowohl den \(x\)-Wert als auch den \(y\)-Wert berechnen musst, um einen Punkt anzugeben. - Überlege, welchen Wert der Tangens für den angegebenen Winkel liefert.

1. Zusammenhang zwischen Steigungswinkel \(\alpha\) und Steigung \(m\) der Tangente nutzen: \(m = \tan(135^\circ) = -1\). 2. Ableitung der Funktion bestimmen: \(f'(x) = 2x - 5\). 3. Die Stelle \(x\) berechnen, an der die Steigung \(-1\) beträgt: \(2x - 5 = -1 \implies 2x = 4 \implies x = 2\). 4. Den zugehörigen Funktionswert an der Stelle \(x = 2\) berechnen: \(f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 2 = 4 - 10 + 2 = -4\). 5. Der gesuchte Punkt ist \(P(2 | -4)\).

\(P(2 | -4)\)

- Welche Informationen benötigst du grundsätzlich, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Wie lässt sich die Steigung des Graphen an einer bestimmten Stelle mithilfe der Differentialrechnung ermitteln? - In welchem Zusammenhang stehen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion an der Berührstelle? - Hast du den zugehörigen \(y\)-Wert des Punktes bereits berechnet?

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = 0{,}25 \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 5 = 3{,}25\). Der Berührpunkt ist \(P(1 | 3{,}25)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung \(m\): \(m = f'(1) = 1^3 - 4 \cdot 1 = -3\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form: \(y = -3 \cdot (x - 1) + 3{,}25\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(y = -3x + 6{,}25\).

\(y = -3x + 6{,}25\)

- Lies für jede Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Bestimme daraus die Steigung mit dem Differenzenquotienten. - Nutze anschließend einen Punkt der Geraden, um den \(y\)-Achsenabschnitt zu bestimmen. - Welche Besonderheit hat eine waagerechte Gerade?

1. Tangente im Punkt \(A(0 \mid 2)\): Die Tangente verläuft außerdem durch den gut ablesbaren Punkt \((1 \mid 3)\). Daher ist ihre Steigung \(m = \frac{3 - 2}{1 - 0} = 1\). Da der \(y\)-Achsenabschnitt \(2\) beträgt, lautet die Gleichung \(y = x + 2\). 2. Tangente im Punkt \(B(2 \mid 3)\): Die Tangente verläuft waagerecht. Daher hat sie die Steigung \(0\) und die Gleichung \(y = 3\). 3. Tangente im Punkt \(C(4 \mid 2)\): Die Tangente verläuft außerdem durch den gut ablesbaren Punkt \((5 \mid 1)\). Daher ist ihre Steigung \(m = \frac{1 - 2}{5 - 4} = -1\). Mit \(2 = -4 + b\) folgt \(b = 6\), also lautet die Gleichung \(y = -x + 6\).

Tangente in \(A\): \(y = x + 2\); Tangente in \(B\): \(y = 3\); Tangente in \(C\): \(y = -x + 6\).

- Lies auf jeder eingezeichneten Tangente zwei Gitterpunkte ab. - Berechne daraus die Steigung und stelle die Geradengleichung auf. - Für den Steigungswinkel gilt \(m = \tan(\alpha)\).

1. Für \(t_1\) lassen sich die Punkte \(A(0 \mid -1)\) und \((1 \mid 0)\) ablesen. Daher ist \(m_1 = \frac{0 - (-1)}{1 - 0} = 1\), und es gilt \(t_1: y = x - 1\). 2. Für \(t_2\) lassen sich die Punkte \(B(2 \mid 3)\) und \((1 \mid 0)\) ablesen. Daher ist \(m_2 = \frac{3 - 0}{2 - 1} = 3\), und es gilt \(t_2: y = 3x - 3\). 3. Aus \(\tan(\alpha_1) = 1\) folgt \(\alpha_1 = 45{,}0^\circ\). Aus \(\tan(\alpha_2) = 3\) folgt \(\alpha_2 \approx 71{,}6^\circ\).

\(t_1: y = x - 1\) mit \(\alpha_1 = 45{,}0^\circ\); \(t_2: y = 3x - 3\) mit \(\alpha_2 \approx 71{,}6^\circ\).

- Waagerechte Tangenten haben die Form \(y = c\). - Lies für die Tangente im Punkt \(B\) zwei gut erkennbare Punkte ab und bestimme daraus die Steigung.

1. Tangente in \(A(-2 \mid 4)\): Der Graph besitzt dort einen Hochpunkt, daher verläuft die Tangente waagerecht und hat die Gleichung \(y = 4\). 2. Tangente in \(B(0 \mid 0)\): Die Tangente verläuft durch den Ursprung und fällt bei einer Einheit nach rechts um drei Einheiten. Daher ist ihre Steigung \(-3\), und die Gleichung lautet \(y = -3x\). 3. Tangente in \(C(2 \mid -4)\): Der Graph besitzt dort einen Tiefpunkt, daher verläuft die Tangente waagerecht und hat die Gleichung \(y = -4\).

\(A: y = 4\); \(B: y = -3x\); \(C: y = -4\).

- Wie hängen die Steigung einer Geraden und ihr Neigungswinkel zur positiven \(x\)-Achse zusammen? - Du musst zuerst die Steigung im fraglichen Punkt berechnen. - Erinnere dich an die Winkelfunktionen aus der Geometrie.

1. Bestimme die Ableitung der Funktion: \(f'(x) = x\). 2. Berechne die Steigung an der Stelle \(x = 1\): \(m = f'(1) = 1\). 3. Nutze den Zusammenhang zwischen Steigung \(m\) und Steigungswinkel \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = m\). 4. Berechne den Winkel: \(\tan(\alpha) = 1 \Rightarrow \alpha = \arctan(1) = 45^\circ\).

\(\alpha = 45^\circ\)

- Wenn die Steigung negativ ist, fällt die Tangente. Welchen Bereich muss der Winkel dann haben? - Der Taschenrechner gibt bei negativen Werten oft einen negativen Winkel aus. Wie rechnest du diesen in den Bereich von \(0^\circ\) bis \(180^\circ\) um?

1. Bilde die Ableitung der Funktion: \(f'(x) = -2x\). 2. Berechne die Steigung \(m\) an der Stelle \(x = 0{,}5\): \(m = f'(0{,}5) = -2 \cdot 0{,}5 = -1\). 3. Es gilt \(\tan(\alpha) = m\). Da die Steigung negativ ist, liegt der Winkel im Bereich zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\). 4. Berechne den Winkel: \(\alpha = \arctan(-1) = -45^\circ\). Addiere \(180^\circ\), um den Standardwinkel zur positiven x-Achse zu erhalten: \(\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).

\(135^\circ\)

- Eine waagerechte Tangente bedeutet, dass die Steigung der Funktion an dieser Stelle null sein muss. - Denke beim Ableiten daran, den Bruch \(\frac{1}{x}\) als Potenz mit negativem Exponenten zu schreiben. - Um die Koordinaten eines Punktes zu finden, musst du den x-Wert immer in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen.

1. Bildung der Ableitungsfunktion: \(f(x) = x^{-1} + x\). Mit der Potenzregel ergibt sich \(f'(x) = -x^{-2} + 1 = -\frac{1}{x^2} + 1\). 2. Nachweis der waagerechten Tangente: Setze \(x_0 = 1\) in \(f'(x)\) ein: \(f'(1) = -\frac{1}{1^2} + 1 = -1 + 1 = 0\). Die Bedingung für eine waagerechte Tangente ist erfüllt. 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate: Setze \(x_0 = 1\) in die ursprüngliche Funktion ein: \(f(1) = \frac{1}{1} + 1 = 2\). Der Berührpunkt ist \(T(1 \mid 2)\).

Die Ableitung ist \(f'(x) = -\frac{1}{x^2} + 1\). Da \(f'(1) = 0\), liegt eine waagerechte Tangente vor. Der Berührpunkt ist \(T(1 \mid 2)\).

- Welche Eigenschaft besitzt die Ableitung an einer Extremstelle der Funktion? - Der Wert der Ableitungsfunktion an einer Stelle ist die Tangentensteigung der Funktion an dieser Stelle. - Für die Tangentengleichung benötigst du den Berührpunkt und die Steigung.

1. Der rote Graph gehört zu \(f\), der blaue zu \(f'\). 2. Der rote Graph hat bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt. Daher besitzt die Ableitungsfunktion dort eine Nullstelle; dies trifft auf den blauen Graphen zu. 3. Bei \(x = 2\) gilt \(f(2) = 0\), also ist der Berührpunkt \(P(2 \mid 0)\). Am blauen Graphen liest man \(f'(2) = 1\) ab. Mit der Steigung \(1\) folgt \(y = x - 2\).

a) Der rote Graph gehört zu \(f\), der blaue zu \(f'\), weil die Nullstelle des blauen Graphen bei der Extremstelle des roten liegt. b) Die Tangente an der Stelle \(x = 2\) lautet \(y = x - 2\).

- Wie lautet die Ableitungsfunktion der Sinusfunktion? - Welchen Wert hat die Ableitung an der Stelle \(x = 0\)? - Da der Punkt im Ursprung liegt, ist der \(y\)-Achsenabschnitt der Tangente besonders einfach zu bestimmen.

1. Funktionswert prüfen: \(f(0) = \sin(0) = 0\). Der Punkt ist der Ursprung. 2. Ableitung bestimmen: \(f'(x) = \cos(x)\). 3. Steigung berechnen: \(m = f'(0) = \cos(0) = 1\). 4. Tangentengleichung aufstellen: Da die Gerade durch den Ursprung geht und die Steigung \(1\) hat, lautet die Gleichung \(y = x\).

Die Gleichung der Tangente im Ursprung lautet \(y = x\).

- Suche dir zwei Punkte auf der Geraden aus, die genau auf den Kreuzungspunkten des Gitters liegen. - Erinnere dich an die Formel für die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte. - Wie hängen die Steigung einer Geraden und der Tangens des Steigungswinkels zusammen? - Achte darauf, dass der Steigungswinkel zur positiven \(x\)-Achse gemessen wird.

1. Ablesen zweier Punkte auf der Tangente \(t\), zum Beispiel \(A(2 \mid 0)\) und \(P(3 \mid 2)\). 2. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{3 - 2} = 2\). 3. Aufstellen der Geradengleichung mit \(y = mx + c\): \(0 = 2 \cdot 2 + c \Rightarrow c = -4\). Die Gleichung lautet \(y = 2x - 4\). 4. Berechnung des Steigungswinkels \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = m = 2 \Rightarrow \alpha = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\).

1. Die Tangente hat die Gleichung \(y = 2x - 4\). 2. Der Steigungswinkel beträgt \(\alpha \approx 63{,}43^\circ\).

- Nutze den Ursprung als einen der beiden Punkte für die Steigungsberechnung. - Suche einen weiteren Gitterpunkt auf der Geraden. - Erinnere dich daran, dass bei einer negativen Steigung der Winkel im Bereich zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\) liegt.

1. Ablesen von Punkten auf der Tangente: \(W(0 \mid 0)\) und der Gitterpunkt \(P(4 \mid -3)\) sind geeignet. 2. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{-3 - 0}{4 - 0} = -0{,}75\). 3. Da die Gerade durch den Ursprung geht, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(0\). Die Gleichung lautet \(y = -0{,}75x\). 4. Berechnung des Steigungswinkels: \(\tan(\alpha) = -0{,}75 \Rightarrow \alpha \approx 143{,}13^\circ\).

1. Die Tangente hat die Gleichung \(y = -0{,}75x\). 2. Der Steigungswinkel beträgt \(\alpha \approx 143{,}13^\circ\).

- Suche dir zwei Punkte auf der Tangente, um ihre Steigung zu bestimmen. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - Denke an das Verhältnis von „Höhenunterschied“ zu „Horizontalentfernung“.

1. Interpretation: Die Ableitung \(f'(0)\) ist gleich der Steigung der Tangente im Punkt \(P\). 2. Punkte ablesen: Die Tangente verläuft durch den Berührpunkt \(P(0 \mid 2)\) und einen weiteren Punkt auf dem Gitter, zum Beispiel \(Q(4 \mid 3)\). 3. Steigung berechnen: Die Differenz der \(y\)-Werte ist \(\Delta y = 3 - 2 = 1\), die Differenz der \(x\)-Werte ist \(\Delta x = 4 - 0 = 4\). Die Steigung ist \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Ergebnis: Somit gilt \(f'(0) = 0{,}25\).

Die Steigung der Tangente beträgt \(0{,}25\), daher ist \(f'(0) = 0{,}25\).

- Setze den Term \((1+h)\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und achte auf die binomische Formel. - Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer Geraden (Tangente) aufzustellen? - Wie verhält sich die Steigung einer Kurve im Vergleich zur Steigung einer Geraden? - Was sagt die Ableitungsfunktion über die Steigung an verschiedenen Stellen aus?

1. Berechnung von \(f'(1)\): Der Ansatz \(\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{((1+h)^2 - 1) - (1^2 - 1)}{h}\) ergibt vereinfacht \(\lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 - 1 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h)\). Der Grenzwert ist \(f'(1) = 2\). 2. Tangentengleichung: Die Steigung ist \(m = f'(1) = 2\). Der Berührpunkt ist \(P(1|f(1))\) mit \(f(1) = 0\). Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\) ergibt \(t(x) = 2 \cdot (x - 1) + 0\), also \(t(x) = 2x - 2\). 3. Vergleich: Bei einer linearen Funktion ist die Steigung überall gleich, weshalb die Ableitung einen konstanten Wert besitzt. Bei der quadratischen Funktion \(f(x) = x^2 - 1\) ändert sich die lokale Steigung des Graphen von Stelle zu Stelle, sodass die Ableitungswerte von \(x\) abhängen.

1. \(f'(1) = 2\). 2. Die Tangentengleichung lautet \(t(x) = 2x - 2\). 3. Während die Ableitung einer linearen Funktion konstant ist (da die Steigung der Geraden überall gleich ist), hängt die Ableitung bei \(f(x) = x^2 - 1\) vom \(x\)-Wert ab, da sich die Steigung der Parabel ständig ändert.

- Welche Eigenschaft haben die Steigungen von zwei Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Woher bekommt man die Steigung der Geraden \(h\)? - Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer linearen Funktion (Tangente) aufzustellen?

1. Ableitung bilden: \(g'(x) = x - 3\). 2. Da die Tangente parallel zur Geraden \(h\) sein soll, müssen die Steigungen identisch sein. Die Steigung von \(h\) ist \(m = 2\). 3. Ansatz für die Stelle \(b\): \(g'(b) = 2\). 4. Gleichung lösen: \(b - 3 = 2 \Rightarrow b = 5\). 5. Funktionswert berechnen: \(g(5) = \frac{1}{2} \cdot 5^2 - 3 \cdot 5 = 12{,}5 - 15 = -2{,}5\). Der Punkt ist \(B(5|-2{,}5)\). 6. Tangentengleichung mit \(m = 2\) und \(B(5|-2{,}5)\) aufstellen: \(y = 2 \cdot (x - 5) - 2{,}5\). 7. Vereinfachen: \(y = 2x - 10 - 2{,}5 = 2x - 12{,}5\).

a) \(g'(x) = x - 3\) b) \(B(5|-2{,}5)\) c) \(y = 2x - 12{,}5\)

- Was sagt der Wert der Ableitungsfunktion an einer bestimmten Stelle über den Graphen aus? - Wenn zwei Geraden parallel sind, was weißt du dann über ihre Steigungen? - Wie hängen der Funktionswert und der Ableitungswert mit der Geradengleichung einer Tangente zusammen? - Um einen Punkt auf dem Graphen anzugeben, benötigst du sowohl den x-Wert als auch den y-Wert.

1. Einsetzen der Stellen in die Ableitungsfunktion: \(f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 12 = -9\) und \(f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 12 = 15\). 2. Lösen der Gleichung \(f'(x_0) = 15\): \(3x_0^2 - 12 = 15 \Rightarrow 3x_0^2 = 27 \Rightarrow x_0^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x_{0,1} = 3\) und \(x_{0,2} = -3\). 3. Die Steigung der parallelen Tangente muss \(m = -9\) sein. Gleichsetzen mit der Ableitung: \(3x^2 - 12 = -9 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1\), also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f(1) = 1^3 - 12 \cdot 1 + 5 = -6\) und \(f(-1) = (-1)^3 - 12 \cdot (-1) + 5 = 16\). Die Punkte sind \(P_1(1|-6)\) und \(P_2(-1|16)\). 4. Bestimmung der Tangentengleichung \(y = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0)\): Es gilt \(f(0) = 5\) und \(f'(0) = -12\). Die Gleichung lautet \(y = -12x + 5\).

a) \(f'(-1) = -9\) und \(f'(3) = 15\) b) \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\) c) \(P_1(1|-6)\) und \(P_2(-1|16)\) d) \(y = -12x + 5\)

- Wie kannst du die Steigung an einer Stelle berechnen, wenn die Ableitungsfunktion bekannt ist? - Welche Gleichung musst du lösen, um Stellen mit einer vorgegebenen Steigung zu finden? - Erinnere dich daran, dass die Steigung einer linearen Funktion \(y = mx + b\) durch den Faktor vor dem \(x\) gegeben ist. - Vergiss nicht, am Ende die y-Koordinaten der Punkte zu berechnen, indem du die x-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzt.

1. Berechnung der Ableitungswerte: \(g'(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3\) und \(g'(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 0\). 2. Bestimmung der Stellen mit Steigung 5: \(x^2 + 2x - 3 = 5 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0\). Mit der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x+4)(x-2)=0\) ergeben sich \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\). 3. Parallelität zur Geraden \(y = -3x + 10\) bedeutet \(g'(x) = -3\). Also \(x^2 + 2x - 3 = -3 \Rightarrow x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0\). Die Stellen sind \(x_3 = 0\) und \(x_4 = -2\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(g(0) = 0\) und \(g(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)^2 - 3(-2) = -\frac{8}{3} + 4 + 6 = \frac{22}{3}\). Die gesuchten Punkte sind \(Q_1(0|0)\) und \(Q_2(-2|\frac{22}{3})\).

a) \(g'(-2) = -3\) und \(g'(1) = 0\) b) \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\) c) \(Q_1(0|0)\) und \(Q_2(-2|\frac{22}{3})\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer bestimmten Stelle? - Welche Informationen benötigst du, um eine Gerade eindeutig zu beschreiben? - Wie hängen die Ableitung der Funktion und die Steigung der Tangente zusammen? - Was ist die Bedingung dafür, dass ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 3\): \(f(3) = \frac{1}{2} \cdot 3^2 - 2 \cdot 3 + 1 = 4{,}5 - 6 + 1 = -0{,}5\). Somit ist der Berührpunkt \(P(3 \mid -0{,}5)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x - 2\). 3. Berechnung der Steigung der Tangente im Punkt \(P\): \(m = f'(3) = 3 - 2 = 1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung \(y = m \cdot (x - x_P) + y_P\): \(y = 1 \cdot (x - 3) - 0{,}5 = x - 3{,}5\). 5. Berechnung des Schnittpunktes mit der \(x\)-Achse (Nullstelle der Tangente): \(x - 3{,}5 = 0 \implies x = 3{,}5\). 6. Angabe des Schnittpunktes: \(S(3{,}5 \mid 0)\).

\(S(3{,}5 \mid 0)\)

- Bestimme zuerst den Punkt auf dem Graphen, an dem die Tangente anliegt. - Überlege, wie du die Steigung der Tangente mithilfe der Ableitungsfunktion berechnen kannst. - Stelle die Funktionsgleichung der Tangente auf. - Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse haben immer eine bestimmte Koordinate, die null ist. Welche ist das?

1. Ermittlung des Berührpunktes \(Q(1 \mid g(1))\): \(g(1) = 1^3 - 4 \cdot 1 = -3\). 2. Bildung der ersten Ableitung: \(g'(x) = 3x^2 - 4\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x = 1\): \(m = g'(1) = 3 \cdot 1^2 - 4 = -1\). 4. Aufstellen der Geradengleichung für die Tangente: \(y = -1 \cdot (x - 1) + (-3) = -x + 1 - 3 = -x - 2\). 5. Bestimmung des Schnittpunktes mit der \(x\)-Achse durch Nullsetzen von \(y\): \(0 = -x - 2 \implies x = -2\). 6. Der gesuchte Punkt ist \(S(-2 \mid 0)\).

\(S(-2 \mid 0)\)

- Welchen Wert hat die Steigung einer Geraden, wenn der Steigungswinkel \(135^\circ\) beträgt? - Wie kannst du die Steigung an einer unbekannten Stelle mithilfe der Funktionsgleichung ausdrücken? - Was musst du tun, um die Stelle zu finden, an der eine bestimmte Steigung vorliegt?

1. Bestimmung der Steigung \(m\) aus dem gegebenen Steigungswinkel: \(m = \tan(135^\circ) = -1\). 2. Bildung der ersten Ableitungsfunktion: \(f'(x) = \frac{1}{2}x + 1\). 3. Gleichsetzen der Ableitung mit der berechneten Steigung, da \(f'(x_0) = m\) gelten muss: \(\frac{1}{2}x_0 + 1 = -1\). 4. Lösen der linearen Gleichung nach \(x_0\): \(\frac{1}{2}x_0 = -2\) ergibt \(x_0 = -4\).

Die gesuchte Stelle ist \(x_0 = -4\).

- Überlege dir, welche Bedingung am Boden für die Höhe gilt, um die Stelle des Aufpralls zu finden. - Wie hängen die Steigung einer Kurve an einem Punkt und der Winkel zur Horizontalen an dieser Stelle zusammen? - Die Ableitung an einer bestimmten Stelle gibt dir die Steigung der Tangente in diesem Punkt an. - Achte darauf, den spitzen Winkel und die verlangte Rundung anzugeben.

1. Bestimmung des Aufprallpunkts: Die Nullstelle der Funktion \(h(x) = -0{,}1x^2 + 0{,}8x + 2\) wird für \(x > 0\) berechnet. Aus \(-0{,}1(x^2 - 8x - 20) = 0\) folgt mit der \(p\)-\(q\)-Formel \(x = 4 + \sqrt{16 + 20} = 10\). Der Aufprallpunkt liegt bei \(x = 10\). 2. Berechnung der Steigung im Aufprallpunkt: Die Ableitungsfunktion lautet \(h'(x) = -0{,}2x + 0{,}8\). An der Stelle \(x = 10\) ergibt sich die Steigung \(m = h'(10) = -0{,}2 \cdot 10 + 0{,}8 = -1{,}2\). 3. Berechnung des spitzen Winkels zur Horizontalen: Es gilt \(\tan(\alpha) = |m| = 1{,}2\). Daraus folgt \(\alpha = \arctan(1{,}2) \approx 50{,}2^\circ\).

Der spitze Winkel zur Horizontalen beträgt etwa \(50{,}2^\circ\).

- Was sagt der Wert der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen an einer bestimmten Stelle aus? - Welche zwei Bedingungen müssen am Übergangspunkt erfüllt sein, damit die Rampe die Bodenlinie berührt und ohne Knick in sie übergeht? - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen der Steigung \(m\) und dem zugehörigen Winkel?

1. Ableitung der Funktion: Die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = \frac{1}{4}x - 1\). 2. Winkel bei \(x = 0\): Die Steigung an dieser Stelle ist \(m_0 = f'(0) = -1\). Für den Winkel \(\alpha\) gilt \(\tan(\alpha) = |m_0| = 1\). Somit ist \(\alpha = \arctan(1) = 45^\circ\). 3. Nachweis für den Übergang bei \(x = 4\): Es gilt \(f(4) = \frac{1}{8} \cdot 4^2 - 4 + 2 = 0\), die Rampe trifft dort also den Boden. Außerdem ist \(f'(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 - 1 = 0\). Damit stimmen am Übergangspunkt sowohl die Höhe als auch die Steigung mit der horizontalen Bodenlinie \(y = 0\) überein; der Übergang ist tangential und knickfrei.

a) Der Winkel beträgt \(45^\circ\). b) Es gilt \(f(4) = 0\) und \(f'(4) = 0\). Daher geht die Rampe im Punkt \((4|0)\) tangential in die horizontale Bodenlinie über.

- Eine tangentiale Fortsetzung bedeutet, dass die Gerade dieselbe Steigung und denselben Funktionswert wie die Kurve an dieser Stelle hat. - Bestimme zuerst die Ableitung der gegebenen Funktion. - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Prüfe am Ende, ob deine Gerade tatsächlich durch den Punkt auf der Kurve verläuft.

1. Berechnung des Berührpunkts an der Stelle \(x = 2\): \(g(2) = 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 = 8 - 16 + 10 = 2\). Der Punkt ist \(B(2 \mid 2)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion für die lokale Steigung: \(g'(x) = 3x^2 - 8x + 5\). 3. Berechnung der Steigung an der Übergangsstelle: \(m = g'(2) = 3 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 5 = 12 - 16 + 5 = 1\). 4. Einsetzen von \(m = 1\) und \(B(2 \mid 2)\) in die allgemeine Geradengleichung \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\): \(y = 1 \cdot (x - 2) + 2 = x - 2 + 2 = x\). 5. Die resultierende Funktionsgleichung ist \(y = x\).

Die Gleichung der Geraden lautet \(y = x\).

- Kannst du aus dem gegebenen Winkel direkt die Steigung der Tangente berechnen? - An welcher Stelle hat die Funktion die berechnete Steigung? Nutze dafür die Ableitungsfunktion. - Vergiss nicht, nach dem Finden der \(x\)-Stelle auch den zugehörigen Funktionswert zu berechnen, um den Punkt vollständig anzugeben.

1. Bestimmung der Steigung \(m\) aus dem Steigungswinkel \(\alpha = 135^\circ\): \(m = \tan(135^\circ) = -1\). 2. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 2x - 4\). 3. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Berührpunktes durch Gleichsetzen der Ableitung mit der Steigung: \(2x - 4 = -1 \implies 2x = 3 \implies x = 1{,}5\). 4. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(1{,}5) = 1{,}5^2 - 4 \cdot 1{,}5 + 2 = 2{,}25 - 6 + 2 = -1{,}75\). Der Berührpunkt ist \(B(1{,}5 | -1{,}75)\). 5. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = -1 \cdot (x - 1{,}5) - 1{,}75 = -x + 1{,}5 - 1{,}75 = -x - 0{,}25\).

Der Berührpunkt ist \(B(1{,}5 | -1{,}75)\) und die Tangentengleichung lautet \(y = -x - 0{,}25\).

- Welche mathematische Bedingung muss für die Steigungen zweier Geraden erfüllt sein, damit sie senkrecht aufeinander stehen? - Bestimme zunächst die Ableitung der Funktion, um die Steigungen an den gegebenen Stellen auszudrücken. - Setze die Ausdrücke für die Steigungen in die Bedingung für Rechtwinkligkeit ein und löse nach dem Parameter auf. - Achte darauf, dass nur positive Werte für den Parameter gesucht sind.

1. Berechnung der Ableitung der Funktionenschar: \(f_k'(x) = 2kx\). 2. Bestimmung der Steigungen der Tangenten in den Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse: In \(P(-2|0)\) gilt \(m_1 = f_k'(-2) = -4k\). In \(Q(2|0)\) gilt \(m_2 = f_k'(2) = 4k\). 3. Da die Tangenten die Seiten \(PS\) und \(QS\) des Dreiecks bilden, muss für einen rechten Winkel bei \(S\) die Orthogonalitätsbedingung für die Steigungen erfüllt sein: \(m_1 \cdot m_2 = -1\). 4. Aufstellen und Lösen der Gleichung: \((-4k) \cdot (4k) = -1\) führt zu \(-16k^2 = -1\). 5. Umstellen nach \(k^2\): \(k^2 = \frac{1}{16}\). 6. Da laut Voraussetzung \(k > 0\) gilt, ergibt sich durch Wurzelziehen \(k = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

\(k = 0{,}25\) (oder \(k = \frac{1}{4}\))

- Wie hängen die Steigung einer Tangente und die erste Ableitung an einer Stelle zusammen? - Welche Beziehung besteht zwischen den Steigungen einer Tangente und der dazugehörigen Normalen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Steigungswinkel \(\alpha\) und der Steigung \(m\). - Um zu prüfen, ob eine Gerade eine Tangente ist, musst du sowohl den Funktionswert als auch die Steigung an der gegebenen Stelle vergleichen.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = x - 3\). 2. Teilaufgabe a): Funktionswert \(f(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 - 3 \cdot 4 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3\) und Steigung \(f'(4) = 4 - 3 = 1\) berechnen. Tangentengleichung: \(y = 1 \cdot (x - 4) - 3 \Rightarrow y = x - 7\). Steigung der Normalen: \(m_n = -\frac{1}{f'(4)} = -1\). Normalengleichung: \(y = -1 \cdot (x - 4) - 3 \Rightarrow y = -x + 1\). 3. Teilaufgabe b): Der Steigungswinkel \(\alpha = 135^\circ\) entspricht der Steigung \(m = \tan(135^\circ) = -1\). Ansatz \(f'(x) = -1\) führt zu \(x - 3 = -1\), woraus \(x = 2\) folgt. 4. Teilaufgabe c): Funktionswert \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 2 - 6 + 1 = -3\) und Steigung \(f'(2) = 2 - 3 = -1\) bestimmen. Aufstellen der Tangente: \(y = -1 \cdot (x - 2) - 3 = -x + 2 - 3 = -x - 1\). Da dies mit der Gleichung von \(g\) übereinstimmt, ist \(g\) die Tangente an der Stelle \(x = 2\).

a) Tangente \(t: y = x - 7\); Normale \(n: y = -x + 1\) b) Die Stelle ist \(x = 2\). c) Ja, \(g\) ist die Tangente an der Stelle \(x = 2\), da \(f(2) = -3\) und \(f'(2) = -1\) die Gleichung \(y = -1 \cdot (x - 2) - 3 = -x - 1\) ergeben.

- Was bedeutet es für die Steigung einer Geraden, wenn sie parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie berechnet man den \(y\)-Wert eines Punktes auf dem Graphen, wenn die Stelle \(x\) gegeben ist? - Welche Formel nutzt man, um die Steigung einer Normalen aus der Tangentensteigung zu gewinnen? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form, um Geradengleichungen effizient aufzustellen.

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = x^2 - 1\). 2. Teilaufgabe a): Punktkoordinaten bestimmen: \(f(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}\). Steigung berechnen: \(f'(2) = 2^2 - 1 = 3\). Tangentengleichung aufstellen: \(y = 3 \cdot (x - 2) + \frac{2}{3} = 3x - 6 + \frac{2}{3} = 3x - \frac{16}{3}\). 3. Teilaufgabe b): Eine Tangente parallel zur \(x\)-Achse hat die Steigung \(m = 0\). Ansatz \(f'(x) = 0\) liefert \(x^2 - 1 = 0\), also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). 4. Teilaufgabe c): Funktionswert \(f(0) = 0\) und Steigung \(f'(0) = -1\) berechnen. Die Steigung der Normalen ist \(m_n = -\frac{1}{f'(0)} = -\frac{1}{-1} = 1\). Die Normalengleichung lautet somit \(y = 1 \cdot (x - 0) + 0\), also \(y = x\).

a) \(y = 3x - \frac{16}{3}\) b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) c) \(y = x\)

- An welcher Stelle beginnt die geradlinige Fortsetzung und welche Koordinaten hat dieser Punkt? - Was bedeutet ein knickfreier Übergang für die Steigung der anschließenden Geraden? - Kannst du eine Geradengleichung für die Fortsetzung aufstellen? - Welchen Funktionswert muss die Gerade erreichen, damit die Bedingung aus der Aufgabe erfüllt ist?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Übergangsstelle: \(f(10) = 0{,}01 \cdot 10^3 - 0{,}2 \cdot 10^2 + 1{,}5 \cdot 10 + 2 = 10 - 20 + 15 + 2 = 7\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 0{,}03x^2 - 0{,}4x + 1{,}5\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 10\): \(f'(10) = 0{,}03 \cdot 100 - 0{,}4 \cdot 10 + 1{,}5 = 3 - 4 + 1{,}5 = 0{,}5\). 4. Aufstellen der Gleichung der geradlinigen Fortsetzung: \(t(x) = 0{,}5 \cdot (x - 10) + 7 = 0{,}5x + 2\). 5. Berechnung der gesuchten Position durch Gleichsetzen mit der Zielhöhe: \(12 = 0{,}5x + 2 \Rightarrow 10 = 0{,}5x \Rightarrow x = 20\,\text{m}\).

\(x = 20\,\text{m}\)

- Was bedeutet die Information, dass der Übergang „knickfrei“ erfolgt, für die Steigung der anschließenden Geraden? - Bestimme zuerst den Punkt und die Steigung an der Übergangsstelle. - Stelle eine lineare Gleichung für den Zeitraum nach den ersten 10 Minuten auf. - Achte am Ende genau auf die geforderte Zeiteinheit in der Fragestellung.

1. Bestimmung der Temperatur zum Zeitpunkt des Übergangs: \(T(10) = 0{,}1 \cdot 10^2 - 4 \cdot 10 + 80 = 10 - 40 + 80 = 50\). 2. Ableitung der Temperaturfunktion zur Bestimmung der Änderungsrate: \(T'(t) = 0{,}2t - 4\). 3. Berechnung der Steigung zum Zeitpunkt \(t = 10\): \(T'(10) = 0{,}2 \cdot 10 - 4 = -2\). 4. Aufstellen der linearen Funktion \(g(t)\) für den zweiten Teil: \(g(t) = -2 \cdot (t - 10) + 50 = -2t + 70\). 5. Berechnung des Zeitpunktes für \(25^\circ\text{C}\): \(25 = -2t + 70 \Rightarrow 2t = 45 \Rightarrow t = 22{,}5\). 6. Umrechnung der Zeit in Sekunden: \(22{,}5\,\text{min} \cdot 60\,\frac{\text{s}}{\text{min}} = 1350\,\text{s}\).

\(1350\,\text{s}\)

- Überlege dir zuerst, welche mathematische Operation die lokale Steigung einer Kurve beschreibt. - Wie hängen der Steigungsfaktor \(m\), der Steigungswinkel \(\alpha\) und die prozentuale Steigung zusammen? - Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer Geraden (Tangente) aufzustellen? - Denke an die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + c\).

1. Ableitungsfunktion bilden: \(h'(x) = -0{,}006x^2 + 0{,}12x\). 2. Steigung bei \(x = 5\): \(h'(5) = -0{,}006 \cdot 25 + 0{,}12 \cdot 5 = -0{,}15 + 0{,}6 = 0{,}45\). Umrechnung in Prozent: \(0{,}45 \cdot 100\,\% = 45\,\%\). 3. Steigungswinkel bei \(x = 15\): \(h'(15) = -0{,}006 \cdot 225 + 0{,}12 \cdot 15 = -1{,}35 + 1{,}8 = 0{,}45\). Winkel berechnen: \(\alpha = \arctan(0{,}45) \approx 24{,}23^\circ\). 4. Tangente bei \(x = 25\): Steigung \(m = h'(25) = -0{,}006 \cdot 625 + 0{,}12 \cdot 25 = -3{,}75 + 3 = -0{,}75\). Funktionswert \(h(25) = -0{,}002 \cdot 15\,625 + 0{,}06 \cdot 625 + 10 = 16{,}25\). Punkt-Steigungs-Form: \(y = -0{,}75(x - 25) + 16{,}25\). Vereinfachen: \(y = -0{,}75x + 35\).

a) Die Steigung beträgt \(45\,\%\). b) Der Steigungswinkel beträgt ca. \(24{,}23^\circ\). c) Die Tangentengleichung lautet \(y = -0{,}75x + 35\).

- Was gibt der Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle über den Graphen aus? - Wie ist die Beziehung zwischen der Steigung einer Tangente und der Steigung der dazugehörigen Normalen im selben Punkt? - Wenn eine Gerade eine Steigung von \(0\) hat, wie sieht ihre Funktionsgleichung dann aus? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form für die Geradengleichungen.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 2. Steigung bei \(x = 1\): \(f'(1) = 1^3 - 4 \cdot 1 = -3\). 3. Tangente bei \(x = 2\): Steigung \(m_t = f'(2) = 2^3 - 4 \cdot 2 = 0\). Funktionswert \(f(2) = 0{,}25 \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 5 = 1\). Da die Steigung null ist, ist die Tangente eine waagerechte Gerade: \(t(x) = 1\). 4. Normale bei \(x = -1\): Steigung der Tangente \(m_t = f'(-1) = (-1)^3 - 4(-1) = 3\). Steigung der Normalen \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{3}\). Funktionswert \(f(-1) = 0{,}25 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 5 = 3{,}25\). Normalengleichung: \(y = -\frac{1}{3}(x - (-1)) + 3{,}25 = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3} + \frac{13}{4} = -\frac{1}{3}x + \frac{35}{12}\).

a) Die Steigung ist \(-3\). b) \(t(x) = 1\) c) \(n(x) = -\frac{1}{3}x + \frac{35}{12}\) (oder \(n(x) \approx -0{,}33x + 2{,}92\))

- Wie hängen die Steigung an einer Stelle und die Ableitungsfunktion zusammen? - Bestimme zuerst die \(x\)-Koordinaten der gesuchten Punkte, indem du eine Gleichung löst. - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Koordinaten zu erhalten. - Überlege dir, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatensystem berechnet, wenn die Eckpunkte bekannt sind.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = x^2 - 2x - 2\). 2. Stellen mit Steigung \(m = 1\) berechnen: \(x^2 - 2x - 2 = 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 3. Zugehörige Funktionswerte berechnen: \(f(3) = \frac{1}{3} \cdot 27 - 9 - 6 = -6\) und \(f(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 - (-1)^2 - 2(-1) = \frac{2}{3}\). 4. Koordinaten der Punkte: \(P(3 \mid -6)\) und \(Q(-1 \mid \frac{2}{3})\). 5. Flächeninhalt des Dreiecks mit dem Ursprung bestimmen: \(A = \frac{1}{2} |x_P \cdot y_Q - x_Q \cdot y_P| = \frac{1}{2} |3 \cdot \frac{2}{3} - (-1) \cdot (-6)| = \frac{1}{2} |2 - 6| = 2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(OPQ\) beträgt \(2\,\text{FE}\) (Flächeneinheiten).

- Wie findet man die Koordinaten des Schnittpunkts eines Graphen mit der \(y\)-Achse? - Welchen Wert muss die Ableitung an einer Stelle haben, damit die Tangente dort waagerecht verläuft? - Wie hängen die Steigung der Tangente und der Wert der Ableitungsfunktion an der Berührstelle zusammen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Geradengleichung oder die Punkt-Steigungs-Form.

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\). Es gilt \(f(0) = 11\). Die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\). Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(f'(0) = -9\). Mit der Punkt-Steigungs-Form \(y = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0)\) ergibt sich \(y = -9x + 11\). 2. Eine Tangente verläuft parallel zur \(x\)-Achse, wenn die Steigung null ist. Es ist \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 0\). Division durch \(3\) führt auf \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 3. Funktionswert: \(f(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 - 9 \cdot 4 + 11 = 64 - 48 - 36 + 11 = -9\). Der Punkt ist \(P(4 | -9)\). Steigung: \(f'(4) = 3 \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15\). Tangentengleichung: \(y = 15 \cdot (x - 4) - 9 = 15x - 60 - 9 = 15x - 69\).

1. Nachweis durch \(f(0) = 11\) und \(f'(0) = -9\). 2. \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\) 3. \(t: y = 15x - 69\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine lineare Funktion, wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt zu ermitteln? - In welchem Zusammenhang stehen die Steigung \(m\) und der Steigungswinkel \(\alpha\)? - Denke daran, zuerst den \(y\)-Wert des Punktes \(P\) zu bestimmen, indem du den \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 2\): \(f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1\). Der Berührpunkt ist \(P(2 \mid 1)\). 2. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 - 4x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung \(m\): \(m = f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 12 - 8 = 4\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form: \(y = 4 \cdot (x - 2) + 1\). Vereinfacht ergibt sich \(y = 4x - 7\). 5. Berechnung des Steigungswinkels \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = 4 \Rightarrow \alpha = \arctan(4) \approx 75{,}96^\circ\).

Tangentengleichung: \(y = 4x - 7\) Steigungswinkel: \(\alpha \approx 75{,}96^\circ\)

- Was musst du tun, um die Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle \(x\) zu finden? - Wie kannst du den fehlenden \(y\)-Wert des Punktes \(P\) berechnen? - Gibt es eine trigonometrische Funktion, die das Verhältnis von Steigung und Winkel beschreibt? - Überprüfe am Ende, ob deine Tangentengleichung die Form \(y = mx + n\) hat.

1. Berechnung des \(y\)-Wertes des Punktes \(P\): \(f(1) = -0{,}25 \cdot 1^4 + 1^2 + 1 = -0{,}25 + 1 + 1 = 1{,}75\). Somit ist \(P(1 \mid 1{,}75)\). 2. Ableiten der Funktion: \(f'(x) = -x^3 + 2x\). 3. Berechnung der Steigung \(m\) an der Stelle \(x = 1\): \(m = f'(1) = -1^3 + 2 \cdot 1 = 1\). 4. Bestimmung der Tangentengleichung: \(y = 1 \cdot (x - 1) + 1{,}75 = x + 0{,}75\). 5. Bestimmung des Steigungswinkels \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = 1 \Rightarrow \alpha = \arctan(1) = 45^\circ\).

Tangentengleichung: \(y = x + 0{,}75\) Steigungswinkel: \(\alpha = 45^\circ\)

- Wenn zwei Geraden parallel sind, was wissen wir dann über ihre Steigungen? - Wie kannst du die Stellen finden, an denen die Kurve eine ganz bestimmte Steigung hat? - Welche Koordinaten hat ein Punkt, an dem eine Tangente den Graphen berührt? - Kannst du eine Geradengleichung aufstellen, wenn du die Steigung und einen Punkt kennst?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = x^2 - 4\). 2. Steigung der Geraden \(g\) identifizieren: \(m = 5\). 3. Ansatz \(f'(x) = 5\) zur Bestimmung der Berührstellen: \(x^2 - 4 = 5 \implies x^2 = 9\). 4. Berührstellen bestimmen: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 5. Zugehörige Funktionswerte berechnen: \(f(3) = \frac{1}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 3 + 2 = -1\) und \(f(-3) = \frac{1}{3} \cdot (-27) - 4 \cdot (-3) + 2 = 5\). 6. Gleichung für Tangente \(t_1\) an \(P_1(3 | -1)\): \(y = 5 \cdot (x - 3) - 1 = 5x - 16\). 7. Gleichung für Tangente \(t_2\) an \(P_2(-3 | 5)\): \(y = 5 \cdot (x + 3) + 5 = 5x + 20\).

\(y = 5x - 16\) und \(y = 5x + 20\)

- Wie leitest du eine Funktion ab, die einen Parameter enthält? Behandle den Parameter beim Ableiten wie eine normale Zahl. - Wenn die Steigung an einer Stelle \(x\) gegeben ist, was sagt das über den Wert der Ableitung \(g_k'(x)\) aus? - Um eine Tangentengleichung aufzustellen, benötigst du neben der Steigung auch die Koordinaten des Berührpunktes. - Erinnere dich an die allgemeine Form der Geradengleichung \(y = mx + n\).

1. Ableiten der Funktion mit der Potenz- und Faktorregel ergibt \(g_k'(x) = 3x^2 - 2kx\). 2. Die Steigung an der Stelle \(x = 2\) soll \(4\) betragen, also \(g_k'(2) = 4\). Einsetzen führt zu \(3 \cdot 2^2 - 2k \cdot 2 = 4\), vereinfacht \(12 - 4k = 4\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(4k = 8\), also \(k = 2\). 3. Für \(k = 2\) ist der Funktionswert an der Stelle \(x = 2\): \(g_2(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 8 + 4 = 4\). Der Berührpunkt ist \(B(2 | 4)\). Mit der Steigung \(m = 4\) ergibt sich die Tangentengleichung über \(y = mx + n\): \(4 = 4 \cdot 2 + n\), woraus \(n = -4\) folgt. Die Tangentengleichung lautet \(y = 4x - 4\).

a) \(g_k'(x) = 3x^2 - 2kx\) b) \(k = 2\) c) \(y = 4x - 4\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung vollständig zu bestimmen? - Wie hängen die Ableitung einer Funktion und die Steigung der Tangente zusammen? - Wie findet man rechnerisch den Schnittpunkt einer Geraden mit der vertikalen Achse?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = x - 2\). 2. Funktionswert und Steigung an der Stelle \(x_0 = -1\) berechnen: \(f(-1) = 1{,}5\) und \(f'(-1) = -3\). 3. Tangentengleichung mithilfe der Punkt-Steigungs-Formel \(t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)\) aufstellen: \(t(x) = -3 \cdot (x - (-1)) + 1{,}5 = -3x - 1{,}5\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\) ermitteln: \(t(0) = -1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -1{,}5)\).

Tangente: \(t(x) = -3x - 1{,}5\) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 | -1{,}5)\)

- Wie lautet die Regel für das Ableiten von Funktionen, bei denen ein Ausdruck in einer Potenz steht? - Was bedeutet der Begriff „Steigung“ im Zusammenhang mit der Ableitung einer Funktion? - Welche Eigenschaft hat die Ableitung an einer Stelle mit waagerechter Tangente? - In welcher Beziehung stehen der Steigungswinkel \(\alpha\) und die Steigung \(m\) einer Tangente? - Denk daran, dass für den vollständigen Punkt immer sowohl der \(x\)- als auch der \(y\)-Wert benötigt werden.

1. Ableitung der Funktion mit der Kettenregel bestimmen: \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (0{,}5x + 1)^3 \cdot 0{,}5 = (0{,}5x + 1)^3\). 2. Berechnung der Steigung bei \(x = 2\): \(f'(2) = (0{,}5 \cdot 2 + 1)^3 = 2^3 = 8\). 3. Untersuchung auf waagerechte Tangenten durch Nullsetzen der Ableitung: \((0{,}5x + 1)^3 = 0 \implies 0{,}5x + 1 = 0 \implies x = -2\). Da eine Lösung existiert, besitzt der Graph an der Stelle \(x = -2\) eine waagerechte Tangente. 4. Bestimmung des Punktes mit Steigungswinkel \(45^\circ\): Die Steigung \(m\) entspricht \(\tan(45^\circ) = 1\). Gleichung \(f'(x) = 1\) lösen: \((0{,}5x + 1)^3 = 1 \implies 0{,}5x + 1 = 1 \implies x = 0\). 5. Zugehörigen \(y\)-Wert berechnen: \(f(0) = \frac{1}{2}(0{,}5 \cdot 0 + 1)^4 = 0{,}5\). Der gesuchte Punkt ist \(P(0 | 0{,}5)\).

a) Die Steigung beträgt \(8\). b) Ja, der Graph besitzt an der Stelle \(x = -2\) eine waagerechte Tangente (Punkt \(H(-2 | 0)\)). c) Der Punkt ist \(P(0 | 0{,}5)\).

- Wie hängen der Funktionswert und der Wert der Ableitung mit der Tangentengleichung zusammen? - Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie berechnet man die Steigung aus einem gegebenen Winkel? - Achte beim Ableiten besonders auf das Vorzeichen der inneren Ableitung. - Gibt es bei quadratischen Gleichungen eventuell mehr als eine Lösung für \(x\)?

1. Ableitung mit Kettenregel bilden: \(f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (2 - x)^2 \cdot (-1) = -(2 - x)^2\). 2. Für die Tangente bei \(x = 1\) Punkt und Steigung bestimmen: \(f(1) = \frac{1}{3}(2 - 1)^3 = \frac{1}{3}\) und \(f'(1) = -(2 - 1)^2 = -1\). Tangentengleichung: \(y = -1 \cdot (x - 1) + \frac{1}{3} = -x + \frac{4}{3}\). 3. Waagerechte Tangente bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies -(2 - x)^2 = 0 \implies x = 2\). Funktionswert: \(f(2) = 0\). Punkt: \(S(2 | 0)\). 4. Punkte mit Steigungswinkel \(135^\circ\) finden: Die Steigung ist \(m = \tan(135^\circ) = -1\). Gleichung lösen: \(-(2 - x)^2 = -1 \implies (2 - x)^2 = 1\). Dies liefert \(2 - x = 1\) oder \(2 - x = -1\), also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 5. Koordinaten berechnen: \(f(1) = \frac{1}{3}\) und \(f(3) = \frac{1}{3}(2 - 3)^3 = -\frac{1}{3}\). Die Punkte sind \(P_1(1 | \frac{1}{3})\) und \(P_2(3 | -\frac{1}{3})\).

a) Die Tangentengleichung lautet \(y = -x + \frac{4}{3}\). b) Der Punkt mit waagerechter Tangente ist \(S(2 | 0)\). c) Die gesuchten Punkte sind \(P_1(1 | \frac{1}{3})\) und \(P_2(3 | -\frac{1}{3})\).

- Überlege dir, welcher Teil eines Bruchs Null werden muss, damit der gesamte Funktionswert Null ist. - Erinnere dich an die Quotientenregel, um die Ableitung zu bestimmen. - Eine Tangente ist eine Gerade; du benötigst die Steigung an der Stelle und die Koordinaten des Punktes. - Skizziere die Tangenten grob, um die Lage des Dreiecks und seine Grundseite sowie Höhe zu erkennen.

1. Berechnung der Nullstellen: Der Zähler \(x^2 - 4\) wird Null für \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(2 \mid 0)\) und \(N_2(-2 \mid 0)\). 2. Ableitung der Funktion mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{2x(x^2+4) - (x^2-4) \cdot 2x}{(x^2+4)^2} = \frac{16x}{(x^2+4)^2}\). 3. Bestimmung der Tangentensteigungen: In \(N_1\) gilt \(m_1 = f'(2) = \frac{32}{64} = 0{,}5\). In \(N_2\) gilt \(m_2 = f'(-2) = -0{,}5\). 4. Aufstellen der Tangentengleichungen: \(t_1: y = 0{,}5(x-2) = 0{,}5x - 1\) und \(t_2: y = -0{,}5(x+2) = -0{,}5x - 1\). 5. Berechnung des Schnittpunkts \(S\): Gleichsetzen \(0{,}5x - 1 = -0{,}5x - 1\) ergibt \(x = 0\) und \(y = -1\), also \(S(0 \mid -1)\). 6. Flächeninhalt des Dreiecks: Die Grundseite auf der \(x\)-Achse hat die Länge \(g = 2 - (-2) = 4\). Die Höhe entspricht dem Betrag der \(y\)-Koordinate von \(S\), also \(h = |-1| = 1\). Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2\,\text{FE}\).

a) \(N_1(2 \mid 0)\), \(N_2(-2 \mid 0)\) b) \(t_1: y = 0{,}5x - 1\), \(t_2: y = -0{,}5x - 1\) c) \(S(0 \mid -1)\); Flächeninhalt \(A = 2\,\text{FE}\)

- Welchen Wert hat der Tangens von \(45^\circ\)? - Wie kannst du die Stellen finden, an denen eine bestimmte Steigung vorliegt? - Was sagt das Vorzeichen eines Wertes aus, wenn du eine Gleichung der Form \(x^2 = c\) lösen möchtest? - Überlege, welchen Wertebereich die Funktion \(g'(x) = x^2 - 1\) hat. Was ist die kleinstmögliche Steigung?

1. Ein Neigungswinkel von \(45^\circ\) entspricht der Steigung \(m = \tan(45^\circ) = 1\). Die Ableitung von \(g\) ist \(g'(x) = x^2 - 1\). Setzt man die Ableitung gleich der geforderten Steigung, erhält man \(x^2 - 1 = 1\), also \(x^2 = 2\). Dies liefert die Stellen \(x_1 = \sqrt{2}\) und \(x_2 = -\sqrt{2}\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(g(\sqrt{2}) = \frac{1}{3}(\sqrt{2})^3 - \sqrt{2} = \frac{2}{3}\sqrt{2} - \sqrt{2} = -\frac{1}{3}\sqrt{2}\) und \(g(-\sqrt{2}) = \frac{1}{3}(-\sqrt{2})^3 - (-\sqrt{2}) = -\frac{2}{3}\sqrt{2} + \sqrt{2} = \frac{1}{3}\sqrt{2}\). Die Punkte sind \(P_1(\sqrt{2} | -\frac{1}{3}\sqrt{2})\) und \(P_2(-\sqrt{2} | \frac{1}{3}\sqrt{2})\). 2. Ein Neigungswinkel von \(120^\circ\) entspricht der Steigung \(m = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3} \approx -1{,}732\). Die Bedingung \(g'(x) = m\) führt zu \(x^2 - 1 = -\sqrt{3}\), also \(x^2 = 1 - \sqrt{3}\). Da \(\sqrt{3} > 1\) ist, ergibt sich \(1 - \sqrt{3} < 0\). Da das Quadrat einer reellen Zahl \(x^2\) niemals negativ sein kann, gibt es keine reelle Lösung für \(x\) und somit keinen solchen Punkt auf dem Graphen.

1. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(\sqrt{2} | -\frac{1}{3}\sqrt{2})\) und \(P_2(-\sqrt{2} | \frac{1}{3}\sqrt{2})\). 2. Die Steigung müsste \(\tan(120^\circ) = -\sqrt{3} \approx -1{,}73\) betragen. Da die Ableitungsfunktion \(g'(x) = x^2 - 1\) nur Werte größer oder gleich \(-1\) annehmen kann, ist diese Steigung nicht möglich.

- Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie berechnet man die Steigung einer Kurve an einer beliebigen Stelle? - Was bedeutet „Steilheit“ im mathematischen Sinne, wenn man positive und negative Steigungen vergleicht?

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = x^2 - 4x + 3\). 2. Bedingung für waagerechte Tangenten (\(g'(x) = 0\)) anwenden: \(x^2 - 4x + 3 = 0\). 3. Quadratische Gleichung lösen (z. B. mit p-q-Formel): \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3}\), daraus folgt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 4. Steigung an der Stelle \(x = 0\) berechnen: \(g'(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3\). 5. Steigung an der Stelle \(x = 4\) berechnen: \(g'(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3\). 6. Vergleich: Da \(|g'(0)| = |g'(4)|\), ist die Steilheit an beiden Stellen identisch.

a) Die waagerechten Tangenten befinden sich an den Stellen \(x = 1\) und \(x = 3\). b) Die Steilheit an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 4\) ist mit einem Betrag von \(3\) jeweils gleich groß.

- Erinnere dich an die verschiedenen Formen einer quadratischen Gleichung. Wie findet man den tiefsten oder höchsten Punkt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einer Kurve liegt? - Wie prüft man, ob ein spezieller Punkt wie der Ursprung auf einer Geraden liegt?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts durch quadratische Ergänzung oder die Formel \(x_s = -\frac{b}{2a}\): \(x_s = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\). Einsetzen ergibt \(f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 1\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 | 1)\). 2. Punktprobe für \(P(3 | 2)\): \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2\). Da \(2 = 2\), liegt der Punkt auf dem Graphen. 3. Bestimmung der Tangentengleichung \(y = mx + n\): Mit \(m = 2\) und \(P(3 | 2)\) folgt \(2 = 2 \cdot 3 + n \implies 2 = 6 + n \implies n = -4\). Die Gleichung ist \(t(x) = 2x - 4\). 4. Überprüfung des Ursprungs \(O(0 | 0)\): Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(t(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4\). Da \(-4 \neq 0\), verläuft die Tangente nicht durch den Ursprung.

a) \(S(2 | 1)\) b) Ja, da \(f(3) = 2\). c) \(t(x) = 2x - 4\). Die Tangente verläuft nicht durch den Ursprung, da \(t(0) = -4 \neq 0\).

- Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft? - Nutze die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(u\). - Denke beim Vereinfachen von Termen mit Variablen an das Ausmultiplizieren von Klammern.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 3\). 2. Zu a): Punkt berechnen: \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 = 2 \rightarrow P(2|2)\). Steigung berechnen: \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 3 = 9\). In Punkt-Steigungs-Form einsetzen: \(y = 9 \cdot (x - 2) + 2 = 9x - 18 + 2 = 9x - 16\). 3. Zu b): Bedingung für waagerechte Tangente ist \(f'(x) = 0\). \(3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow 3x^2 = 3 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x_1 = 1, x_2 = -1\). 4. Zu c): Punkt \(B(u|u^3 - 3u)\) und Steigung \(m = f'(u) = 3u^2 - 3\) verwenden. Einsetzen in \(y = f'(u) \cdot (x - u) + f(u)\): \(y = (3u^2 - 3) \cdot (x - u) + u^3 - 3u = (3u^2 - 3)x - 3u^3 + 3u + u^3 - 3u = (3u^2 - 3)x - 2u^3\).

a) \(y = 9x - 16\) b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) c) Nachweis durch Einsetzen von \(f(u) = u^3 - 3u\) und \(f'(u) = 3u^2 - 3\) in die allgemeine Tangentengleichung \(y = f'(u)(x - u) + f(u)\) und anschließendes Vereinfachen.

- Wie berechnet man die Steigung einer Normalen, wenn die Tangentensteigung bekannt ist? - Erinnere dich an die Achsenschnittpunkte einer linearen Funktion. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, das an den Koordinatenursprung grenzt? - Skizziere die Situation im Kopf: Wo schneidet die Gerade die x-Achse und die y-Achse?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = x\). 2. Punkt und Steigung bestimmen: \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = 0 \rightarrow B(2|0)\). Steigung \(m_t = f'(2) = 2\). 3. Tangentengleichung: \(y = 2 \cdot (x - 2) + 0 = 2x - 4\). 4. Normalengleichung: Steigung \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}\). Einsetzen: \(y = -\frac{1}{2} \cdot (x - 2) + 0 = -0{,}5x + 1\). 5. Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen: Schnittpunkt mit x-Achse ist \(B(2|0)\), da \(y=0\) für \(x=2\). Schnittpunkt mit y-Achse ist \(S_y(0|-4)\), da \(y=-4\) für \(x=0\). 6. Flächeninhalt: Das Dreieck ist rechtwinklig mit den Kathetenlängen \(g = 2\) und \(h = 4\). \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\).

a) Tangente \(t: y = 2x - 4\); Normale \(n: y = -0{,}5x + 1\) b) \(A = 4\,\text{FE}\) (Flächeneinheiten)

- Erinnere dich daran, wie man Potenzen im Nenner umschreibt, um die Ableitungsregeln leichter anzuwenden. - Welchen Wert hat die Steigung der Tangente in einem Punkt des Graphen? - Wenn du die Steigung und einen Punkt der Geraden kennst, wie berechnest du dann den Achsenabschnitt?

1. Berechnung des \(y\)-Wertes des Berührpunktes: \(f(1) = \frac{2}{1} + 1 = 3\). Der Punkt ist \(P(1|3)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: Umschreiben zu \(f(x) = 2x^{-1} + x\) ergibt \(f'(x) = -2x^{-2} + 1 = -\frac{2}{x^2} + 1\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m = f'(1) = -\frac{2}{1^2} + 1 = -2 + 1 = -1\). 4. Einsetzen von \(m = -1\) und \(P(1|3)\) in die Geradengleichung \(y = mx + n\): \(3 = -1 \cdot 1 + n\). 5. Auflösen nach dem \(y\)-Achsenabschnitt: \(n = 4\). Die Tangentengleichung lautet \(y = -x + 4\).

\(y = -x + 4\)

- Berechne zuerst die Steigungen der beiden Tangenten mithilfe der Ableitung. - Wie kann man aus der Steigung einer Geraden ihren Steigungswinkel zur \(x\)-Achse berechnen? - Wenn du die Winkel der beiden Geraden zur \(x\)-Achse kennst, wie findest du dann den Winkel zwischen den Geraden selbst? - Gibt es eine besondere Bedingung für Steigungen, wenn Geraden in einem speziellen Winkel (z. B. \(90^\circ\)) zueinander stehen?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(g'(x) = 2x - 3\). 2. Steigungen der Tangenten berechnen: \(m_1 = g'(1) = 2 \cdot 1 - 3 = -1\) und \(m_2 = g'(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 1\). 3. Steigungswinkel der Tangenten zur \(x\)-Achse bestimmen: \(\tan(\alpha_1) = -1 \implies \alpha_1 = 135^\circ\) und \(\tan(\alpha_2) = 1 \implies \alpha_2 = 45^\circ\). 4. Der Schnittwinkel \(\gamma\) zwischen zwei Geraden ergibt sich aus der Differenz der Steigungswinkel: \(\gamma = |\alpha_2 - \alpha_1| = |45^\circ - 135^\circ| = 90^\circ\). Alternativ erkennt man über das Produkt der Steigungen \(m_1 \cdot m_2 = -1 \cdot 1 = -1\), dass die Tangenten orthogonal zueinander stehen.

Der Schnittwinkel der beiden Tangenten beträgt \(\gamma = 90^\circ\).

- Welche Eigenschaft teilen zwei Geraden, die im Koordinatensystem parallel zueinander verlaufen? - Wie berechnest du die Steigung einer Tangente an einer Stelle \(a\)? - Nachdem du die Ableitung mit der Steigung der Geraden gleichgesetzt hast, welches Verfahren hilft dir beim Lösen der entstandenen Gleichung? - Überprüfe, ob es mehr als eine Stelle geben kann, die die Bedingung erfüllt.

1. Berechnung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^2 + 2x - 6\). 2. Identifikation der Steigung der Referenzgeraden aus der Form \(y = mx + b\), hier ist \(m = 2\). 3. Da die Tangente parallel zur Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein, also \(f'(a) = 2\). 4. Aufstellen der quadratischen Gleichung: \(a^2 + 2a - 6 = 2\) und Umformung in die Normalform \(a^2 + 2a - 8 = 0\). 5. Anwendung der p-q-Formel zur Bestimmung der Lösungen: \(a_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1^2 - (-8)} = -1 \pm 3\). Dies liefert die gesuchten Stellen \(a_1 = 2\) und \(a_2 = -4\).

\(a_1 = 2\) und \(a_2 = -4\)

- Erinnere dich an die geometrische Bedeutung der ersten Ableitung. - Wie kannst du den Anstiegswinkel in eine Steigung umrechnen? - Wenn du die Stellen (\(x\)-Werte) gefunden hast, wie kommst du dann zu den vollständigen Koordinaten der Punkte? - Es könnten hier mehrere Stellen existieren, die die Bedingung erfüllen.

1. Die Steigung \(m\) der Tangente aus dem Winkel \(\alpha = 45^\circ\) bestimmen: \(m = \tan(45^\circ) = 1\). 2. Ableitungsfunktion \(f'\) bilden: \(f'(x) = x^2 - x - 1\). 3. Bedingung für die gesuchten Stellen aufstellen: \(f'(x) = 1 \implies x^2 - x - 1 = 1 \implies x^2 - x - 2 = 0\). 4. Quadratische Gleichung lösen (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). 5. Funktionswerte an diesen Stellen berechnen: \(f(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 = \frac{8}{3} - 2 - 2 = -\frac{4}{3}\). \(f(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 - \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 - (-1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{6}\). 6. Die resultierenden Punkte sind \(P_1(2 | -\frac{4}{3})\) und \(P_2(-1 | \frac{1}{6})\).

\(P_1(2 | -\frac{4}{3})\) und \(P_2(-1 | \frac{1}{6})\)

- Wie findet man die Stellen, an denen sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Was gibt die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Geraden und ihrem Neigungswinkel zur x-Achse. - Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Geraden, wenn deren Steigungen bekannt sind?

1. Zur Bestimmung der Schnittpunkte wird der Ansatz \(f(x) = g(x)\) verwendet: \(x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 4x - 2\). Dies führt auf die quadratische Gleichung \(2x^2 - 6x + 4 = 0\) bzw. \(x^2 - 3x + 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f(1) = 1\) und \(f(2) = 2\). Die Schnittpunkte lauten somit \(S_1(1|1)\) und \(S_2(2|2)\). 2. Die Ableitungsfunktionen sind \(f'(x) = 2x - 2\) und \(g'(x) = -2x + 4\). Für \(S_1(1|1)\): Die Steigungen sind \(m_1 = f'(1) = 0\) und \(m_2 = g'(1) = 2\). Mit der Formel \(\tan(\gamma) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|\) ergibt sich \(\tan(\gamma) = \left| \frac{2 - 0}{1 + 0 \cdot 2} \right| = 2\). Der Schnittwinkel beträgt \(\gamma = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\). Für \(S_2(2|2)\): Die Steigungen sind \(m_1 = f'(2) = 2\) und \(m_2 = g'(2) = 0\). Analog ergibt sich \(\tan(\gamma) = \left| \frac{0 - 2}{1 + 2 \cdot 0} \right| = 2\), woraus ebenfalls \(\gamma \approx 63{,}43^\circ\) folgt.

Die Schnittpunkte sind \(S_1(1|1)\) und \(S_2(2|2)\). In beiden Punkten schneiden sich die Graphen unter einem Winkel von \(\gamma \approx 63{,}43^\circ\).

- Berechne zuerst die Steigungen beider Funktionen an den gegebenen x-Stellen. - Was bedeutet es für den Winkel, wenn zwei Graphen an einer Stelle dieselbe Steigung haben? - Nutze die Formel für den Tangens des Differenzwinkels oder bestimme die einzelnen Neigungswinkel.

1. Zunächst werden die Ableitungen gebildet: \(f'(x) = 3x^2 - 1\) und \(g'(x) = 2x\). 2. Untersuchung im Punkt \(P(-1|0)\): Die Steigungen sind \(m_f = f'(-1) = 3(-1)^2 - 1 = 2\) und \(m_g = g'(-1) = 2(-1) = -2\). Der Schnittwinkel \(\gamma\) berechnet sich über \(\tan(\gamma) = \left| \frac{m_f - m_g}{1 + m_f \cdot m_g} \right| = \left| \frac{2 - (-2)}{1 + 2 \cdot (-2)} \right| = \left| \frac{4}{-3} \right| = \frac{4}{3}\). Damit ist \(\gamma = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}13^\circ\). 3. Untersuchung im Punkt \(Q(1|0)\): Die Steigungen sind \(m_f = f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2\) und \(m_g = g'(1) = 2(1) = 2\). Da beide Graphen durch denselben Punkt verlaufen und dort dieselbe Steigung besitzen, stimmen ihre Tangenten überein. Der Schnittwinkel beträgt somit \(\gamma = 0^\circ\); die Graphen berühren sich in diesem Punkt.

Im Punkt \(P(-1|0)\) beträgt der Schnittwinkel \(\gamma \approx 53{,}13^\circ\). Im Punkt \(Q(1|0)\) beträgt der Schnittwinkel \(\gamma = 0^\circ\) (Berührpunkt).

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander sind? - Wie lässt sich die Steigung eines Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle mathematisch ausdrücken? - Setze die Ausdrücke für die Steigungen gleich und löse die entstandene Gleichung nach \(x\) auf.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktionen: \(f'(x) = x^2 - 4\) und \(g'(x) = 2x - 1\). 2. Bedingung für parallele Tangenten: Die Steigungen müssen gleich sein, also \(f'(x) = g'(x)\). 3. Gleichung aufstellen: \(x^2 - 4 = 2x - 1\). 4. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 2x - 3 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = \frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2 - (-3)} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). 6. Ergebnisse: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\).

Die Tangenten sind an den Stellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) parallel zueinander.

- Die Steigung eines Graphen entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Wenn zwei Graphen die gleiche Steigung haben sollen, musst du ihre Ableitungen gleichsetzen. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung: \(y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)\). - Für die Tangentengleichungen benötigst du die Stelle, die Steigung an dieser Stelle und den jeweiligen Funktionswert.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\) und \(g'(x) = 6x - 9\). 2. Gleichsetzen für Teilaufgabe a): \(3x^2 - 6x = 6x - 9 \Rightarrow 3x^2 - 12x + 9 = 0\). 3. Division durch 3 führt zu \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 4. Für Teilaufgabe b) ist \(x = 1\) die kleinere Stelle. 5. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 1\): \(m = f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 = -3\). 6. Berechnung der Funktionswerte: \(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 5 = 3\) und \(g(1) = 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 2 = -4\). 7. Aufstellen der Tangentengleichungen mit \(y = m(x - x_0) + y_0\): \(t_f: y = -3(x - 1) + 3 = -3x + 6\) \(t_g: y = -3(x - 1) - 4 = -3x - 1\)

a) Die Graphen besitzen an den Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) dieselbe Steigung. b) Die Tangentengleichungen an der Stelle \(x = 1\) lauten \(t_f: y = -3x + 6\) und \(t_g: y = -3x - 1\).

- Wie findet man die gemeinsame Stelle zweier Funktionen? - Welche Information liefert die erste Ableitung für die Tangente? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer bestimmten Stelle? - Kannst du die Eckpunkte des Dreiecks bestimmen, indem du die Achsenschnittpunkte der Tangenten berechnest? - Überlege, welche Seite des Dreiecks am einfachsten als Grundseite verwendet werden kann.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(x^2 = (x-2)^2 \implies x^2 = x^2 - 4x + 4 \implies 4x = 4 \implies x = 1\). Einsetzen ergibt den Punkt \(P(1|1)\). 2. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 2x\) und \(g'(x) = 2(x-2)\). 3. Steigungen in \(P\) berechnen: \(f'(1) = 2\) und \(g'(1) = -2\). 4. Tangentengleichungen aufstellen: \(t_f: y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1\) und \(t_g: y = -2(x-1) + 1 = -2x + 3\). 5. Schnittpunkte der Tangenten mit der \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(0 = 2x - 1 \implies x_1 = 0{,}5\) und \(0 = -2x + 3 \implies x_2 = 1{,}5\). 6. Flächeninhalt des Dreiecks mit der Grundseite auf der \(x\)-Achse (\(g = |1{,}5 - 0{,}5| = 1\)) und der Höhe \(h = y_P = 1\): \(A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\).

a) \(P(1|1)\) b) Die Tangenten schneiden die \(x\)-Achse bei \(x_1 = 0{,}5\) und \(x_2 = 1{,}5\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(0{,}5\) Flächeneinheiten.

- Verwende die Potenzregeln für das Ableiten von Wurzel- und Bruchfunktionen. - Erinnere dich an die Punkt-Steigungs-Form für Geradengleichungen. - Wo genau liegt die Grundseite des Dreiecks, wenn es von der \(y\)-Achse begrenzt wird? - Welche Koordinate des Punktes \(P\) gibt den Abstand zur \(y\)-Achse an?

1. Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(g'(x) = -\frac{1}{x^2}\). 2. Steigungen im Punkt \(P(1|1)\) berechnen: \(m_f = f'(1) = 0{,}5\) und \(m_g = g'(1) = -1\). 3. Tangentengleichungen aufstellen: \(t_f: y = 0{,}5(x-1) + 1 = 0{,}5x + 0{,}5\) und \(t_g: y = -1(x-1) + 1 = -x + 2\). 4. Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): \(y_{f,0} = 0{,}5\) und \(y_{g,0} = 2\). 5. Grundseite des Dreiecks auf der \(y\)-Achse berechnen: \(g = |2 - 0{,}5| = 1{,}5\). 6. Höhe des Dreiecks entspricht dem \(x\)-Wert des Schnittpunkts \(P\): \(h = 1\). 7. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot 1 = 0{,}75\).

a) \(t_f: y = 0{,}5x + 0{,}5\) und \(t_g: y = -x + 2\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(0{,}75\) Flächeneinheiten.

- Überlege zuerst, wie man die Steigung einer Tangente an einer bestimmten Stelle berechnet. - Welche Bedingung muss für die Steigungen zweier Geraden gelten, damit diese senkrecht aufeinander stehen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die x-Koordinaten beider Berührpunkte vorkommen. - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass eine Koordinate durch die andere ausgedrückt wird.

1. Berechnung der ersten Ableitungen der Funktionen: \(f'(x) = x\) und \(g'(x) = -\frac{1}{x^2}\). 2. Aufstellen der Bedingung für Orthogonalität (senkrechtes Schneiden) der Tangentensteigungen: \(f'(x_1) \cdot g'(x_2) = -1\). 3. Einsetzen der Ableitungsfunktionen in die Bedingung: \(x_1 \cdot \left(-\frac{1}{x_2^2}\right) = -1\). 4. Umformen der Gleichung zur Darstellung des Zusammenhangs: \(\frac{x_1}{x_2^2} = 1\), woraus \(x_1 = x_2^2\) folgt.

\(x_1 = x_2^2\) (mit \(x_2 \neq 0\))

- Wie findet man rechnerisch heraus, wo sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Tangente zu bestimmen? - Wenn zwei Geraden die gleiche Steigung haben, was bedeutet das für ihre Ableitungswerte? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Tangente und der Steigung der zugehörigen Normalen im selben Punkt.

1. Zur Berechnung der Schnittpunkte werden die Funktionsterme gleichgesetzt: \(x^2 + 3x = -x^2 + 5\). Dies führt auf die quadratische Gleichung \(2x^2 + 3x - 5 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2{,}5\). Durch Einsetzen in einen der Funktionsterme ergeben sich die Schnittpunkte \(S_1(1 \mid 4)\) und \(S_2(-2{,}5 \mid -1{,}25)\). 2. Für die Steigungen werden die Ableitungen \(f'(x) = 2x + 3\) und \(g'(x) = -2x\) gebildet. Gleichsetzen der Steigungen \(2x + 3 = -2x\) ergibt \(4x = -3\), also \(x = -0{,}75\). 3. Für die Normale an \(g\) bei \(x = 2\) wird zuerst der Funktionswert \(g(2) = -2^2 + 5 = 1\) und die Tangentensteigung \(g'(2) = -2 \cdot 2 = -4\) berechnet. Die Steigung der Normalen ist der negative Kehrwert \(m_n = -\frac{1}{-4} = 0{,}25\). Die Normalengleichung lautet \(y = 0{,}25 \cdot (x - 2) + 1\), vereinfacht \(y = 0{,}25x + 0{,}5\).

a) Schnittpunkte: \(S_1(1 \mid 4)\) und \(S_2(-2{,}5 \mid -1{,}25)\) b) Stelle \(x = -0{,}75\) c) Normalengleichung: \(y = 0{,}25x + 0{,}5\)

- Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zur waagerechten Achse liegt? - Nutze die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\). - Wie geht man vor, wenn man eine Gleichung nicht für eine konkrete Zahl, sondern für einen Platzhalter wie \(a\) aufstellen soll? - Wie bestimmt man bei einer linearen Funktion den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse?

1. Eine Tangente verläuft parallel zur \(x\)-Achse, wenn die Steigung null ist. Mit der Ableitung \(h'(x) = \frac{1}{2}x - 1\) folgt aus \(h'(x) = 0\) die Stelle \(x = 2\). Der Funktionswert ist \(h(2) = \frac{1}{4} \cdot 4 - 2 = -1\). Der gesuchte Punkt ist \(P(2 \mid -1)\). 2. An der Stelle \(a\) ist der Funktionswert \(h(a) = \frac{1}{4}a^2 - a\) und die Steigung \(h'(a) = \frac{1}{2}a - 1\). Die Tangentengleichung lautet \(y = (\frac{1}{2}a - 1) \cdot (x - a) + \frac{1}{4}a^2 - a\). Ausmultiplizieren ergibt \(y = (\frac{1}{2}a - 1)x - \frac{1}{2}a^2 + a + \frac{1}{4}a^2 - a\), was zu \(y = (\frac{1}{2}a - 1)x - \frac{1}{4}a^2\) vereinfacht wird. 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch Einsetzen von \(x = 0\) in die Tangentengleichung bestimmt. Es ergibt sich \(y = - \frac{1}{4}a^2\), woraus der Punkt \(S(0 \mid -\frac{1}{4}a^2)\) folgt.

a) \(P(2 \mid -1)\) b) \(t_a: y = (\frac{1}{2}a - 1)x - \frac{1}{4}a^2\) c) Einsetzen von \(x = 0\) in \(t_a\) ergibt \(y = -\frac{1}{4}a^2\), also \(S(0 \mid -\frac{1}{4}a^2)\).

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle an? - Welche Gleichung musst du lösen, wenn die Steigung der Tangente vorgegeben ist? - Wie findest du die passenden \(y\)-Werte zu deinen gefundenen \(x\)-Werten? - Kennst du eine Formel für die Geradengleichung, in die du Punkt und Steigung direkt einsetzen kannst?

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 6\). 2. Ansatz zur Bestimmung der \(x\)-Stellen mit Steigung \(3\): \(f'(x) = 3\), also \(3x^2 - 6x - 6 = 3\). 3. Umformen und Lösen der quadratischen Gleichung: \(3x^2 - 6x - 9 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 4. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: \(f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 + 2 = -16\) und \(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 6(-1) + 2 = 4\). Die gesuchten Punkte sind \(P_1(3|-16)\) und \(P_2(-1|4)\). 5. Aufstellen der Tangentengleichungen mit \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\): Für \(P_1\): \(t_1(x) = 3(x - 3) - 16 = 3x - 25\). Für \(P_2\): \(t_2(x) = 3(x + 1) + 4 = 3x + 7\).

Die Punkte sind \(P_1(3|-16)\) und \(P_2(-1|4)\). Die Tangentengleichungen lauten \(t_1: y = 3x - 25\) und \(t_2: y = 3x + 7\).

- Wenn zwei Graphen im selben Punkt dieselbe Tangente haben, was muss dann für ihre Funktionswerte und ihre Ableitungswerte an dieser Stelle gelten? - Wie findest du Stellen \(x\), an denen der Funktionswert völlig unabhängig vom Parameter \(k\) ist? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung für die Tangente. Welche Informationen benötigst du dafür?

1. Gemeinsame Punkte finden: Der Ansatz \(k_1(x-2)^3 + x^2 + 1 = k_2(x-2)^3 + x^2 + 1\) führt für \(k_1 \neq k_2\) auf \((x-2)^3 = 0\), also \(x = 2\). 2. Funktionswert berechnen: \(g_k(2) = k(2-2)^3 + 2^2 + 1 = 5\). Alle Graphen gehen durch den Punkt \(B(2|5)\). 3. Ableitungsfunktion bestimmen: \(g_k'(x) = 3k(x-2)^2 + 2x\). 4. Steigung an der Stelle \(x = 2\) prüfen: \(g_k'(2) = 3k(2-2)^2 + 2 \cdot 2 = 4\). Die Steigung ist für alle \(k\) identisch \(m = 4\). 5. Tangentengleichung \(y = mx + n\) mit \(m = 4\) und \(B(2|5)\) aufstellen: \(5 = 4 \cdot 2 + n \implies n = -3\). Die gemeinsame Tangente ist \(t(x) = 4x - 3\).

Im Punkt \(B(2|5)\) besitzen alle Graphen der Schar dieselbe Tangente. Die Gleichung der Tangente lautet \(y = 4x - 3\).

- Überlege dir zuerst, wie die Gleichung einer Tangente an einer allgemeinen Stelle \(x_0\) für die Funktion \(f(x)\) aussieht. - Welche Funktion beschreibt die Steigung der Tangente in Abhängigkeit von \(x_0\)? - Setze die Koordinaten des Sensors \(S(4 \mid 1)\) in die allgemeine Tangentengleichung ein. - Löse die entstandene quadratische Gleichung nach \(x_0\) auf. - Überprüfe, welche der berechneten Lösungen im vorgegebenen Definitionsbereich der Schiene liegt.

1. Erste Ableitung bestimmen: Die Funktion lautet \(f(x) = -0{,}25x^2 + 4\). Die erste Ableitung ist: \(f'(x) = -0{,}5x\) 2. Allgemeine Tangentengleichung aufstellen: Die Tangente \(t\) an der Stelle \(x_0\) hat die Gleichung: \(t(x) = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\) Setzt man die Funktion und ihre Ableitung ein, erhält man: \(t(x) = -0{,}5x_0(x - x_0) - 0{,}25x_0^2 + 4\) \(t(x) = -0{,}5x_0x + 0{,}5x_0^2 - 0{,}25x_0^2 + 4\) \(t(x) = -0{,}5x_0x + 0{,}25x_0^2 + 4\) 3. Punktprobe mit dem Sensor \(S(4 \mid 1)\) durchführen: Da der Laserstrahl durch \(S(4 \mid 1)\) verlaufen soll, muss \(t(4) = 1\) gelten: \(1 = -0{,}5x_0 \cdot 4 + 0{,}25x_0^2 + 4\) \(1 = -2x_0 + 0{,}25x_0^2 + 4\) 4. Quadratische Gleichung lösen: Durch Umformen erhalten wir die quadratische Gleichung: \(0{,}25x_0^2 - 2x_0 + 3 = 0\) Multiplikation mit \(4\) liefert: \(x_0^2 - 8x_0 + 12 = 0\) Faktorisieren ergibt: \((x_0 - 2)(x_0 - 6) = 0\) Die mathematischen Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 6\). 5. Definitionsbereich berücksichtigen: Da die Schiene nur für den Bereich \(0 \le x \le 4\) definiert ist, liegt nur der Wert \(x_0 = 2\) im Definitionsbereich. Somit muss sich der Lasersender an der Stelle \(x_0 = 2\) befinden.

Der Lasersender muss sich an der Stelle \(x_0 = 2\) befinden.

- Vergleiche die Koordinaten der beiden Scheitelpunkte. - Lies zwei Punkte auf der roten Tangente \(t\) ab und berechne ihre Steigung. - Überlege, wie sich eine reine Verschiebung auf die Steigungen an entsprechenden Stellen auswirkt. - Nutze den verschobenen Berührpunkt und die Steigung für die Tangentengleichung.

1. Teilaufgabe a): Die Scheitelpunkte sind \(S_f(1 \mid 0{,}5)\) und \(S_g(4 \mid 2{,}5)\). Der Graph wurde um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. Daher gilt \(g(x) = f(x - 3) + 2\). 2. Teilaufgabe b): Die Tangente \(t\) verläuft durch \(P(2 \mid 1)\) und beispielsweise durch \((1 \mid 0)\). Ihre Steigung ist \(m = \frac{1 - 0}{2 - 1} = 1\). Somit gilt \(f'(2) = 1\). 3. Teilaufgabe c): Verschiebungen verändern die Steigungen an entsprechenden Stellen nicht. Die Stelle \(x = 5\) bei \(g\) entspricht wegen der Verschiebung um \(3\) nach rechts der Stelle \(x = 2\) bei \(f\). Daher ist \(g'(5) = f'(2) = 1\). Der verschobene Berührpunkt ist \(P_g(5 \mid 3)\). Damit lautet die Tangente \(y = (x - 5) + 3 = x - 2\).

a) Der Graph ist um \(3\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben verschoben; \(g(x) = f(x - 3) + 2\). b) Die Tangentensteigung ist \(1\), also \(f'(2) = 1\). c) Es gilt \(g'(5) = 1\); der Berührpunkt ist \(P_g(5 \mid 3)\), und die Tangente lautet \(y = x - 2\).

- Setze die beiden Funktionsterme gleich, um die Schnittpunkte zu bestimmen. - Nutze die ersten Ableitungen für die Tangentensteigungen. - Verwende die Formel für den spitzen Winkel zwischen zwei Geraden mit den Steigungen \(m_1\) und \(m_2\).

1. Schnittpunkte: Aus \(x^2 - 6x + 9 = -x + 5\) folgt \(x^2 - 5x + 4 = 0\), also \((x - 1)(x - 4) = 0\). Damit sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). Einsetzen in \(g\) liefert \(P_1(1 \mid 4)\) und \(P_2(4 \mid 1)\). 2. Steigungen: Es gilt \(f'(x) = 2x - 6\) und \(g'(x) = -1\). Daher sind im Punkt \(P_1\) die Steigungen \(m_{f,1} = -4\) und \(m_{g,1} = -1\), im Punkt \(P_2\) die Steigungen \(m_{f,2} = 2\) und \(m_{g,2} = -1\). 3. Schnittwinkel: Mit \(\tan(\alpha) = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right|\) folgt für \(P_1\): \(\tan(\alpha_1) = 0{,}6\), also \(\alpha_1 \approx 30{,}96^\circ\). Für \(P_2\) gilt \(\tan(\alpha_2) = 3\), also \(\alpha_2 \approx 71{,}57^\circ\).

a) \(P_1(1 \mid 4)\) und \(P_2(4 \mid 1)\). b) In \(P_1\): \(m_f = -4\), \(m_g = -1\); in \(P_2\): \(m_f = 2\), \(m_g = -1\). c) \(\alpha_1 \approx 30{,}96^\circ\) und \(\alpha_2 \approx 71{,}57^\circ\).

- Stelle die Tangentengleichung an einer allgemeinen Stelle \(u\) auf. - Nutze die Bedingung, dass die Tangente durch \(Q(0 \mid 7)\) verläuft. - Löse die entstehende Gleichung nach \(u\) und bestimme anschließend Berührpunkte und Tangentengleichungen.

1. Der allgemeine Ansatz für eine Tangente an den Graphen von \(f\) an der Stelle \(u\) lautet \(t(x) = f'(u)(x - u) + f(u)\). 2. Für \(f(x) = -0{,}25x^2 + x + 3\) gilt \(f'(x) = -0{,}5x + 1\). 3. Damit ist \(t(x) = (-0{,}5u + 1)(x - u) + (-0{,}25u^2 + u + 3)\). 4. Da die Tangente durch \(Q(0 \mid 7)\) verläuft, muss \(t(0) = 7\) gelten. Daraus folgt \(0{,}25u^2 + 3 = 7\), also \(u^2 = 16\) und damit \(u_1 = 4\), \(u_2 = -4\). 5. Die Berührpunkte sind \(B_1(4 \mid f(4)) = B_1(4 \mid 3)\) und \(B_2(-4 \mid f(-4)) = B_2(-4 \mid -5)\). 6. Mit \(f'(4) = -1\) und \(f'(-4) = 3\) erhält man \(t_1(x) = -x + 7\) und \(t_2(x) = 3x + 7\).

a) \(B_1(4 \mid 3)\) und \(B_2(-4 \mid -5)\). b) \(t_1(x) = -x + 7\) und \(t_2(x) = 3x + 7\).

- Welche Bedeutung hat die Steigung des Graphen an einer Stelle für die Ableitung? - Setze für Teil b) die Ableitungsfunktion gleich \(-2\). - Parallele Geraden besitzen dieselbe Steigung. - Berechne nach den \(x\)-Koordinaten auch die zugehörigen Funktionswerte.

1. Ableitung bestimmen: \(f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x\). 2. Für die Steigung \(-2\) gilt \(\frac{1}{2}a^2 - 2a = -2\). Daraus folgt \(a^2 - 4a + 4 = 0\) und somit \(a = 2\). Mit \(f(2) = -\frac{2}{3}\) erhält man \(A\left(2 \mid -\frac{2}{3}\right)\). 3. Für eine Tangente parallel zu \(y = 6x - 1\) muss \(f'(x) = 6\) gelten. Aus \(\frac{1}{2}x^2 - 2x = 6\) folgt \((x - 6)(x + 2) = 0\), also \(x = 6\) oder \(x = -2\). Die zugehörigen Punkte sind \(P_1(6 \mid 2)\) und \(P_2\left(-2 \mid -\frac{10}{3}\right)\).

a) \(f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x\). b) \(A\left(2 \mid -\frac{2}{3}\right)\). c) \(P_1(6 \mid 2)\) und \(P_2\left(-2 \mid -\frac{10}{3}\right)\).

- Berechne zuerst den Berührpunkt und die Ableitung von \(f\). - Der Ableitungswert bei \(x = 2\) ist die Tangentensteigung. - Nutze die Punkt-Steigungs-Form für die Tangente und \(\tan(\beta) = |m|\) für den spitzen Winkel.

1. Der Berührpunkt ist \(P(2 \mid 1)\), da \(f(2) = \frac{8}{2^2 + 4} = 1\). 2. Die Ableitung lautet \(f'(x) = -\frac{16x}{(x^2 + 4)^2}\). 3. Die Tangentensteigung ist \(m = f'(2) = -\frac{32}{64} = -0{,}5\). 4. Mit der Punkt-Steigungs-Form folgt \(y = -0{,}5(x - 2) + 1 = -0{,}5x + 2\). 5. Für den spitzen Schnittwinkel gilt \(\tan(\beta) = |m| = 0{,}5\), also \(\beta = \arctan(0{,}5) \approx 26{,}6^\circ\).

a) \(t(x) = -0{,}5x + 2\). b) \(\beta \approx 26{,}6^\circ\).

- Lies auf jeder Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Berechne aus diesen Punkten die Steigung und bestimme anschließend den Achsenabschnitt. - Bei einer flachen Tangente sind weit auseinanderliegende Punkte besonders günstig.

1. Tangente in \(A(1 \mid 4)\): Ein weiterer gut ablesbarer Punkt ist \((2 \mid 0)\). Daher ist \(m = \frac{0 - 4}{2 - 1} = -4\). Mit \(4 = -4 \cdot 1 + b\) folgt \(b = 8\), also \(y = -4x + 8\). 2. Tangente in \(B(2 \mid 2)\): Die Gerade verläuft durch \((0 \mid 4)\) und \((4 \mid 0)\). Daher ist \(m = \frac{0 - 4}{4 - 0} = -1\), also \(y = -x + 4\). 3. Tangente in \(C(4 \mid 1)\): Die Gerade verläuft durch \((0 \mid 2)\) und \((8 \mid 0)\). Daher ist \(m = \frac{0 - 2}{8 - 0} = -0{,}25\), also \(y = -0{,}25x + 2\).

\(A: y = -4x + 8\); \(B: y = -x + 4\); \(C: y = -0{,}25x + 2\).

- Zuerst benötigst du den \(y\)-Wert des Punktes auf dem Graphen. - Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Funktion an dieser Stelle. - Nutze die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + b\) oder die Punkt-Steigungs-Form, um die fehlenden Parameter zu finden.

1. Berechnung des Berührpunktes \(P\): \(f(3) = 0{,}5 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3 + 1 = 4{,}5 - 6 + 1 = -0{,}5\). Der Punkt ist \(P(3 \mid -0{,}5)\). 2. Berechnung der Steigung: Die Ableitung ist \(f'(x) = x - 2\). Die Steigung an der Stelle \(x = 3\) ist \(m = f'(3) = 3 - 2 = 1\). 3. Aufstellen der Tangentengleichung: Mit der Punkt-Steigungs-Form \(y = m(x - x_0) + y_0\) ergibt sich \(y = (x - 3) - 0{,}5\). 4. Vereinfachen: \(y = x - 3{,}5\).

Die Gleichung der Tangente lautet \(t(x) = x - 3{,}5\).

- Um die Schnittpunkte zu finden, musst du die Funktionsgleichungen gleichsetzen. - Der Schnittwinkel zweier Kurven ist definiert als der Winkel zwischen ihren Tangenten am Schnittpunkt. - Denke an die Ableitung, um die Steigung der Tangenten zu bestimmen. - Es gibt eine Formel, mit der du aus zwei Steigungen direkt den eingeschlossenen Winkel berechnen kannst.

1. Schnittstellen durch Gleichsetzen der Funktionsterme bestimmen: \(x^2 - 1 = 7 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4\). Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 2. \(y\)-Koordinaten berechnen: \(f(2) = 2^2 - 1 = 3\) und \(f(-2) = (-2)^2 - 1 = 3\). Die Schnittpunkte sind \(P_1(2 \mid 3)\) und \(P_2(-2 \mid 3)\). 3. Ableitungen zur Bestimmung der Tangentensteigungen bilden: \(f'(x) = 2x\) und \(g'(x) = -2x\). 4. Steigungen im Punkt \(P_1(2 \mid 3)\) berechnen: \(m_f = f'(2) = 4\) und \(m_g = g'(2) = -4\). 5. Schnittwinkel \(\phi\) mit der Formel \(\tan(\phi) = \left| \frac{m_f - m_g}{1 + m_f \cdot m_g} \right|\) berechnen: \(\tan(\phi) = \left| \frac{4 - (-4)}{1 + 4 \cdot (-4)} \right| = \left| \frac{8}{-15} \right| = \frac{8}{15}\). 6. Winkelwert ermitteln: \(\phi = \arctan\left(\frac{8}{15}\right) \approx 28{,}1^\circ\). 7. Aufgrund der Achsensymmetrie beider Graphen zur \(y\)-Achse ist der Schnittwinkel im Punkt \(P_2\) ebenfalls \(\approx 28{,}1^\circ\).

a) Die Schnittpunkte sind \(P_1(2 \mid 3)\) und \(P_2(-2 \mid 3)\). b) Der Schnittwinkel beträgt in beiden Punkten \(\phi \approx 28{,}1^\circ\).

- Bestimme zunächst die Steigung der Tangente mithilfe der Ableitung an der Stelle \(u\). - Nutze die Punkt-Steigungs-Form, um die Tangentengleichung aufzustellen. - Wie findet man den Schnittpunkt einer Geraden mit der \(y\)-Achse? - Überlege dir die Koordinaten von \(P_1\), indem du den \(x\)-Wert von \(P\) auf Null setzt, aber den \(y\)-Wert beibehältst.

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = 2x\). 2. Tangentengleichung im Punkt \(P(u \mid u^2)\) aufstellen: \(y = f'(u)(x - u) + f(u) = 2u(x - u) + u^2 = 2ux - 2u^2 + u^2 = 2ux - u^2\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bestimmen (\(x = 0\)): \(y = 2u(0) - u^2 = -u^2\). Somit ist der Schnittpunkt \(Q(0 \mid -u^2)\). 4. Der Punkt \(P_1\) ist die Projektion von \(P(u \mid u^2)\) auf die \(y\)-Achse, hat also die Koordinaten \((0 \mid u^2)\). 5. Der Abstand von \(Q(0 \mid -u^2)\) zum Ursprung ist \(| -u^2 | = u^2\). Der Abstand von \(P_1(0 \mid u^2)\) zum Ursprung ist \(| u^2 | = u^2\). 6. Feststellung: Beide Punkte haben denselben Abstand zum Ursprung; der Ursprung ist der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{P_1Q}\).

a) Die Tangente hat die Gleichung \(y = 2ux - u^2\) und schneidet die \(y\)-Achse in \(Q(0 \mid -u^2)\). b) Beide Abstände zum Ursprung betragen \(u^2\); der Ursprung ist der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{P_1Q}\).

- Wähle Punkte auf der orangenen Geraden, deren Koordinaten ganzzahlig sind. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Steigung \(m\) und Steigungswinkel \(\alpha\). - Überlege dir, ob der Winkel stumpf oder spitz sein muss, indem du dir den Verlauf der Geraden ansiehst.

1. Ablesen von Punkten auf der Tangente \(t\): \(P(1 \mid 0)\) und \(S(3 \mid -1)\) sind geeignet. 2. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{-1 - 0}{3 - 1} = -0{,}5\). 3. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts: \(0 = -0{,}5 \cdot 1 + c \Rightarrow c = 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(y = -0{,}5x + 0{,}5\). 4. Berechnung des Winkels: \(\tan(\alpha) = -0{,}5 \Rightarrow \alpha \approx 153{,}43^\circ\) (nach Addition von \(180^\circ\) zum negativen Arkustangens-Wert).

1. Die Tangente hat die Gleichung \(y = -0{,}5x + 0{,}5\). 2. Der Steigungswinkel beträgt \(\alpha \approx 153{,}43^\circ\).

- Überlege zuerst, wie du die Steigung einer Geraden berechnest, wenn zwei Punkte bekannt sind. - Erinnere dich an die allgemeine Form der Tangentengleichung an einer Stelle \(a\). - Was bedeutet es für eine Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf ihrem Graphen liegt? - Nutze die Ableitung der Funktion, um die Steigung der Tangente auszudrücken.

1. Koordinaten von \(Q_a\) bestimmen: \(Q_a(a \mid \frac{1}{2}a^2 + 2)\). 2. Steigung \(m_a\) der Sekante durch \(P(0 \mid 0)\) und \(Q_a\) berechnen: \(m_a = \frac{f(a) - 0}{a - 0} = \frac{\frac{1}{2}a^2 + 2}{a} = \frac{a^2 + 4}{2a}\). 3. Ableitungsfunktion \(f'(x) = x\) bilden. 4. Tangentengleichung \(t_a\) im Punkt \(Q_a\) aufstellen: \(y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) = a \cdot (x - a) + \frac{1}{2}a^2 + 2 = ax - \frac{1}{2}a^2 + 2\). 5. Bedingung „\(t_a\) verläuft durch \(P(0 \mid 0)\)“ anwenden: \(0 = a \cdot 0 - \frac{1}{2}a^2 + 2 \Rightarrow \frac{1}{2}a^2 = 2\). 6. Gleichung lösen: \(a^2 = 4 \Rightarrow a_1 = 2\) und \(a_2 = -2\).

a) \(m_a = \frac{a^2 + 4}{2a}\). b) \(a_1 = 2\) und \(a_2 = -2\).

- Überlege, welche Form die Gleichung einer Geraden hat, die den Graphen in einem Punkt nur berührt. - Wie hängen die Steigung der Geraden und die Ableitung der Funktion im Berührpunkt zusammen? - Du suchst eine Gerade, die durch einen festen Punkt außerhalb des Graphen geht und gleichzeitig eine Tangente ist. - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in deine allgemeine Geradengleichung ein.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = \frac{1}{4}x\). 2. Allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(u\) aufstellen: \(t(x) = f'(u) \cdot (x - u) + f(u) = \frac{1}{4}u \cdot (x - u) + \frac{1}{8}u^2 + 2\). 3. Vereinfachung der Tangentengleichung: \(t(x) = \frac{1}{4}ux - \frac{1}{8}u^2 + 2\). 4. Bedingung für den Punkt \(O(0|0)\) einsetzen: \(0 = \frac{1}{4}u \cdot 0 - \frac{1}{8}u^2 + 2 \implies 0 = -\frac{1}{8}u^2 + 2\). 5. Gleichung nach \(u\) auflösen: \(u^2 = 16 \implies u = 4\) (da \(x > 0\)). 6. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(4) = \frac{1}{8} \cdot 4^2 + 2 = 4\). 7. Steigung berechnen: \(f'(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\).

Der Berührpunkt ist \(B(4|4)\) und die Steigung des Lichtstrahls beträgt \(m = 1\).

- Eine Tangente an der Stelle \(u\) hat die Steigung \(h'(u)\). - Nutze die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung für den Berührpunkt. - Da die Tangente durch \(P(2|0)\) verlaufen muss, kannst du diese Koordinaten nutzen, um die unbekannte Stelle \(u\) zu finden. - Es kann mehr als eine Lösung für die Berührstelle geben.

1. Ableitung bilden: \(h'(x) = 2x - 4\). 2. Tangentengleichung im Punkt \(B(u|h(u))\) ansetzen: \(y = (2u - 4)(x - u) + u^2 - 4u + 5\). 3. Punkt \(P(2|0)\) in die Gleichung einsetzen: \(0 = (2u - 4)(2 - u) + u^2 - 4u + 5\). 4. Terme ausmultiplizieren und zusammenfassen: \(0 = 4u - 2u^2 - 8 + 4u + u^2 - 4u + 5 \implies 0 = -u^2 + 4u - 3\). 5. Quadratische Gleichung lösen: \(u^2 - 4u + 3 = 0 \implies u_1 = 1\) und \(u_2 = 3\). 6. Berührpunkte bestimmen: \(h(1) = 2 \implies B_1(1|2)\) und \(h(3) = 2 \implies B_2(3|2)\). 7. Tangentengleichungen aufstellen: Für \(u_1 = 1\) ist \(h'(1) = -2\), also \(t_1(x) = -2(x - 2) = -2x + 4\). Für \(u_2 = 3\) ist \(h'(3) = 2\), also \(t_2(x) = 2(x - 2) = 2x - 4\).

Die Berührpunkte sind \(B_1(1|2)\) und \(B_2(3|2)\). Die zugehörigen Tangentengleichungen lauten \(t_1(x) = -2x + 4\) und \(t_2(x) = 2x - 4\).

- Überlege zuerst, wo die Schnittpunkte der Parabel mit der \(x\)-Achse liegen. - Wie hängen die Steigungen der Tangenten mit der Ableitungsfunktion zusammen? - Der Schnittpunkt der Tangenten bildet die Spitze des Dreiecks. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn eine Seite auf einer Achse liegt? - Nutze die Symmetrie der Parabel, um die Lage des Schnittpunkts \(S\) leichter zu finden.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_k\): \(x^2 - kx = x(x-k) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\), also \(A(k|0)\). 2. Berechnung der Ableitung: \(f_k'(x) = 2x - k\). 3. Bestimmung der Tangentensteigungen: Im Ursprung ist \(m_1 = f_k'(0) = -k\), im Punkt \(A\) ist \(m_2 = f_k'(k) = 2k - k = k\). 4. Aufstellen der Tangentengleichungen: \(t_1: y = -kx\) und \(t_2: y = k(x-k) = kx - k^2\). 5. Berechnung des Schnittpunkts \(S\): Gleichsetzen \(-kx = kx - k^2\) ergibt \(2kx = k^2\), also \(x_S = \frac{k}{2}\). Einsetzen liefert \(y_S = -k \cdot \frac{k}{2} = -\frac{k^2}{2}\). Somit ist \(S(\frac{k}{2} | -\frac{k^2}{2})\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: Die Grundseite \(OA\) hat die Länge \(k\), die zugehörige Höhe des Dreiecks ist \(h = |y_S| = \frac{k^2}{2}\). Die Fläche ist \(A = \frac{1}{2} \cdot k \cdot \frac{k^2}{2} = \frac{k^3}{4}\). 7. Lösung der Gleichung \(\frac{k^3}{4} = 16\): \(k^3 = 64\) führt zu \(k = 4\).

\(k = 4\)

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche Information liefert die erste Ableitung an einer Stelle \(a\) über den Graphen? - Stell dir vor, die Tangente ist eine spezielle Gerade. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Gerade durch einen bestimmten Punkt geht? - Überlege, wie die Steigung der Tangente in \(Q_a\) mit der Steigung der Strecke \(PQ_a\) zusammenhängen muss, wenn \(P\) auf der Tangente liegt.

1. Berechnung der Steigung \(m_a\) über den Differenzenquotienten mit den Punkten \(P(0|-5)\) und \(Q_a(a|a^2 - 1)\): \(m_a = \frac{f(a) - (-5)}{a - 0} = \frac{a^2 - 1 + 5}{a} = \frac{a^2 + 4}{a}\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion von \(f\): \(f'(x) = 2x\). Die Steigung der Tangente \(t_a\) im Punkt \(Q_a\) entspricht \(f'(a) = 2a\). 3. Ansatz für Teilaufgabe b: Damit die Tangente durch \(P\) verläuft, muss ihre Steigung \(f'(a)\) gleich der Steigung \(m_a\) der Geraden \(PQ_a\) sein: \(2a = \frac{a^2 + 4}{a}\). 4. Lösen der Gleichung: Multiplikation mit \(a\) liefert \(2a^2 = a^2 + 4\), woraus \(a^2 = 4\) folgt. 5. Die gesuchten Werte sind \(a_1 = 2\) und \(a_2 = -2\).

a) \(m_a = \frac{a^2 + 4}{a}\) b) \(a \in \{-2; 2\}\)

- Erinnere dich an die Formel für die Steigung \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Punkt auf einer Tangente liegt, die an einer anderen Stelle den Graphen berührt? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Ableitung an einer Stelle und der Steigung der Tangente dort? - Du kannst die Tangentengleichung allgemein aufstellen und den Punkt \(R\) einsetzen, oder die Steigungen direkt vergleichen.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für die Punkte \(R(0|-4)\) und \(S_a(a|\frac{1}{2}a^3 + 4)\): \(m_a = \frac{\frac{1}{2}a^3 + 4 - (-4)}{a - 0} = \frac{\frac{1}{2}a^3 + 8}{a}\). Durch Erweitern mit \(2\) ergibt sich \(m_a = \frac{a^3 + 16}{2a}\). 2. Berechnung der Ableitung von \(g\): \(g'(x) = \frac{3}{2}x^2\). Die Steigung der Tangente \(t_a\) ist \(g'(a) = \frac{3}{2}a^2\). 3. Gleichsetzen der Tangentensteigung mit der Geradensteigung \(m_a\), da \(R\) auf der Tangente liegen soll: \(\frac{3}{2}a^2 = \frac{a^3 + 16}{2a}\). 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): Multiplikation mit \(2a\) führt zu \(3a^3 = a^3 + 16\). Subtraktion von \(a^3\) ergibt \(2a^3 = 16\), also \(a^3 = 8\). 5. Ziehen der dritten Wurzel liefert das Ergebnis \(a = 2\).

a) \(m_a = \frac{a^3 + 16}{2a}\) b) \(a = 2\)

- Was bedeutet die Bedingung einer waagerechten Tangente für den Wert der Ableitung? - Nachdem du die \(x\)-Werte gefunden hast, benötigst du die vollständigen Koordinaten der Punkte auf dem Graphen. - Skizziere die Lage der Punkte im Koordinatensystem gedanklich. Liegen zwei Punkte vielleicht auf einer Parallelen zu einer der Achsen? - Nutze die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: Grundseite mal Höhe durch zwei.

1. Ableitungsfunktion bilden: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 2. Stellen mit waagerechter Tangente (\(f'(x) = 0\)) bestimmen: \(x(x^2 - 4) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Funktionswerte berechnen: \(f(0) = 1\), \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 1 = -3\) und \(f(-2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 1 = -3\). 4. Punkte koordinatenweise angeben: \(C(0 \mid 1)\), \(B(2 \mid -3)\) und \(A(-2 \mid -3)\). 5. Geometrie des Dreiecks analysieren: Die Seite \(AB\) liegt auf der Geraden \(y = -3\) und hat die Länge \(g = 2 - (-2) = 4\). Die Höhe des Dreiecks bezüglich dieser Seite ist die Differenz der \(y\)-Werte von \(C\) und der Geraden \(AB\), also \(h = 1 - (-3) = 4\). 6. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) beträgt \(8\,\text{FE}\).

- Schreibe den Bruchterm zuerst als Potenz mit negativem Exponenten um, um die Ableitungsregeln leichter anwenden zu können. - Überlege dir, was \(f'(a)\) und \(f(a)\) in Abhängigkeit von \(a\) sind. - Nutze die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden. - Achte beim Vereinfachen besonders auf die Gesetze der Potenzrechnung und das Kürzen von Brüchen.

1. Umschreiben der Funktion in Potenzschreibweise: \(f(x) = 4x^{-2}\). 2. Bilden der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = -8x^{-3} = -\frac{8}{x^3}\). 3. Bestimmung der Tangentensteigung \(m\) und des Punktes \(P\): \(m = f'(a) = -\frac{8}{a^3}\) und \(f(a) = \frac{4}{a^2}\). 4. Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\): \(y = -\frac{8}{a^3}(x - a) + \frac{4}{a^2}\) 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der Terme: \(y = -\frac{8}{a^3}x + \frac{8a}{a^3} + \frac{4}{a^2}\) \(y = -\frac{8}{a^3}x + \frac{8}{a^2} + \frac{4}{a^2}\) \(y = -\frac{8}{a^3}x + \frac{12}{a^2}\)

\(y = -\frac{8}{a^3}x + \frac{12}{a^2}\)

- Wie lautet die allgemeine Gleichung einer Tangente an einem beliebigen Punkt \(u\)? - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Tangente durch einen bestimmten Punkt \(P\) verläuft? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten, die auf einer vertikalen Linie liegen?

1. Aufstellen der allgemeinen Tangentengleichung an der Stelle \(u\): \(y = f'(u)(x - u) + f(u)\). Mit \(f'(x) = 2x\) ergibt sich \(y = 2u(x - u) + u^2 - 2 = 2ux - u^2 - 2\). 2. Einsetzen der Koordinaten von \(P(0 \mid -3)\) in die Tangentengleichung zur Bestimmung der Berührstellen: \(-3 = 2u \cdot 0 - u^2 - 2 \Rightarrow -3 = -u^2 - 2 \Rightarrow u^2 = 1\). Daraus folgen \(u_1 = 1\) und \(u_2 = -1\). 3. Berechnung der Berührungspunkte: \(f(1) = -1\) und \(f(-1) = -1\). Somit sind \(B_1(1 \mid -1)\) und \(B_2(-1 \mid -1)\). 4. Aufstellen der Tangentengleichungen: Für \(u_1 = 1\) ist \(m_1 = 2\), woraus \(t_1: y = 2x - 3\) folgt. Für \(u_2 = -1\) ist \(m_2 = -2\), woraus \(t_2: y = -2x - 3\) folgt. 5. Berechnung des Mittelpunkts \(M\): \(M\left(\frac{1 + (-1)}{2} \mid \frac{-1 + (-1)}{2}\right) = (0 \mid -1)\). 6. Berechnung des Abstands \(d(M, P)\): Da beide Punkte auf der \(y\)-Achse liegen, ist \(d = |-1 - (-3)| = 2\).

a) \(B_1(1 \mid -1)\) und \(B_2(-1 \mid -1)\) b) \(t_1: y = 2x - 3\) und \(t_2: y = -2x - 3\) c) Mittelpunkt \(M(0 \mid -1)\); der Abstand zum Punkt \(P\) beträgt \(2\) Längeneinheiten.

- Bestimme zuerst die Ableitung, um die Steigung der Tangente zu finden. - Setze die Differenz aus der Funktionsgleichung und der Tangentengleichung an. - Achte beim Lösen der Ungleichung mit dem Quadrat darauf, dass beim Wurzelziehen Betragsstriche entstehen. - Das Intervall wird durch die Werte begrenzt, an denen die Abweichung genau den vorgegebenen Wert erreicht.

1. Funktionswert: \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 5 = 2\). Ableitung: \(f'(x) = 2x - 4\). Steigung: \(f'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). Tangentengleichung: \(t(x) = 2 \cdot (x - 3) + 2 = 2x - 4\). 2. Die Abweichung ist \(d(x) = |f(x) - t(x)| = |(x^2 - 4x + 5) - (2x - 4)| = |x^2 - 6x + 9|\). Mithilfe der binomischen Formel folgt \(d(x) = |(x - 3)^2| = (x - 3)^2\). Die Bedingung \(d(x) \le 0{,}04\) führt auf die Ungleichung \((x - 3)^2 \le 0{,}04\). Wurzelziehen ergibt \(|x - 3| \le 0{,}2\). Daraus folgt \(2{,}8 \le x \le 3{,}2\). Das gesuchte Intervall ist \([2{,}8; 3{,}2]\).

1. \(t(x) = 2x - 4\) 2. \(I = [2{,}8; 3{,}2]\)

- Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn ein Graph die \(x\)-Achse an einer bestimmten Stelle schneidet? - Erinnere dich an die Regel für die Ableitung von Potenzfunktionen, auch für Brüche wie \(\frac{1}{x}\). - Wann genau bilden zwei Kurven in einem Punkt einen rechten Winkel? - Nutze das Produkt der Ableitungen an der betrachteten Stelle, um die Orthogonalität zu bestätigen.

1. Nullstelle von \(f\): \(0{,}5x^2 - 2 = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2\). Die positive Nullstelle ist \(x_0 = 2\). 2. Funktionswerte an der Stelle \(x_0 = 2\) prüfen: \(g(2) = -0{,}125 \cdot 2^2 + 0{,}5 = -0{,}5 + 0{,}5 = 0\). \(h(2) = \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0\). Beide Graphen schneiden die \(x\)-Achse bei \(x_0 = 2\). 3. Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = x\), \(g'(x) = -0{,}25x\) und \(h'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}\). Steigungen bei \(x_0 = 2\): \(f'(2) = 2\), \(g'(2) = -0{,}25 \cdot 2 = -0{,}5\) und \(h'(2) = -\frac{2}{2^2} = -0{,}5\). Orthogonalität prüfen: \(f'(2) \cdot g'(2) = 2 \cdot (-0{,}5) = -1\) und \(f'(2) \cdot h'(2) = 2 \cdot (-0{,}5) = -1\). Beide Graphen schneiden den Graphen von \(f\) orthogonal.

1. Die positive Nullstelle ist \(x_0 = 2\). 2. Ja, da \(g(2) = 0\) und \(h(2) = 0\) gilt, schneiden alle drei Graphen die \(x\)-Achse im Punkt \((2|0)\). 3. Ja, beide schneiden \(f\) orthogonal, da die Steigungen \(f'(2) = 2\) und \(g'(2) = h'(2) = -0{,}5\) die Bedingung \(2 \cdot (-0{,}5) = -1\) erfüllen.

- Stelle die Tangentengleichung an einer allgemeinen Stelle \(a\) auf. - Setze die Koordinaten von \(P\) in diese Gleichung ein. - Löse die entstehende Gleichung durch Ausklammern und bestimme anschließend die konkreten Tangenten.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x) = 1{,}5x^2 - 1{,}5\). 2. Die Tangente im Berührpunkt \(Q_a(a \mid f(a))\) hat die Gleichung \(t_a(x) = f'(a)(x - a) + f(a)\). Einsetzen und Vereinfachen ergibt \(t_a(x) = (1{,}5a^2 - 1{,}5)x - a^3\). 3. Für den Punkt \(P(2 \mid -3)\) muss \(-3 = 2(1{,}5a^2 - 1{,}5) - a^3\) gelten. Daraus folgt \(a^2(3 - a) = 0\). 4. Die Lösungen sind \(a_1 = 0\) und \(a_2 = 3\). 5. Die zugehörigen Tangenten lauten \(t_0(x) = -1{,}5x\) und \(t_3(x) = 12x - 27\).

a) \(t_a(x) = (1{,}5a^2 - 1{,}5)x - a^3\). b) \(a_1 = 0\) und \(a_2 = 3\); die Tangenten sind \(t_0(x) = -1{,}5x\) und \(t_3(x) = 12x - 27\).

- Bestimme zunächst die Nullstellen der Funktion. - Nutze die Ableitung für die Tangentensteigungen und die Berührpunkte für die Geradengleichungen. - Bestimme den Schnittpunkt der Tangenten und verwende anschließend die Dreiecksformel.

1. Aus \(-0{,}25x^2 + 4 = 0\) folgt \(x^2 = 16\), also \(P(-4 \mid 0)\) und \(Q(4 \mid 0)\). 2. Die Ableitung lautet \(f'(x) = -0{,}5x\). Damit sind die Tangentensteigungen \(f'(-4) = 2\) und \(f'(4) = -2\). Die Tangenten lauten \(t_1(x) = 2x + 8\) und \(t_2(x) = -2x + 8\). 3. Aus \(2x + 8 = -2x + 8\) folgt der Schnittpunkt \(S(0 \mid 8)\). 4. Die Grundseite \(PQ\) hat die Länge \(8\), die Höhe beträgt ebenfalls \(8\). Daher ist \(A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\) Flächeneinheiten.

a) \(P(-4 \mid 0)\) und \(Q(4 \mid 0)\). b) \(t_1(x) = 2x + 8\) und \(t_2(x) = -2x + 8\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(32\) Flächeneinheiten.

- Bestimme zuerst die genaue Position des Absprungpunktes auf der Schanze. - Wie findet man die Steigung einer Kurve an einer bestimmten Stelle? - Die Flugbahn wird durch eine lineare Funktion (die Tangente) beschrieben. - Setze am Ende die \(x\)-Koordinate der Wand in deine Geradengleichung ein.

1. Berechnung der \(y\)-Koordinate an der Absprungstelle \(x = 2\): \(f(2) = -0{,}1 \cdot 2^3 + 0{,}6 \cdot 2^2 = -0{,}8 + 2{,}4 = 1{,}6\). Der Absprungpunkt ist \(S(2 \mid 1{,}6)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion zur Ermittlung der Steigung: \(f'(x) = -0{,}3x^2 + 1{,}2x\). 3. Berechnung der Steigung der Tangente (Flugbahn) bei \(x = 2\): \(f'(2) = -0{,}3 \cdot 2^2 + 1{,}2 \cdot 2 = -1{,}2 + 2{,}4 = 1{,}2\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung \(t(x)\): \(t(x) = 1{,}2 \cdot (x - 2) + 1{,}6 = 1{,}2x - 0{,}8\). 5. Berechnung des \(y\)-Wertes an der Wandposition \(x = 6\): \(t(6) = 1{,}2 \cdot 6 - 0{,}8 = 7{,}2 - 0{,}8 = 6{,}4\). 6. Der Springer trifft die Wand in einer Höhe von \(h = 6{,}4\,\text{m}\).

Der Skispringer trifft die Wand theoretisch in einer Höhe von \(h = 6{,}4\,\text{m}\).

- Vergleiche die Extremstellen eines Graphen mit den Nullstellen des anderen. - Für die Tangente benötigst du den Funktionswert und den Ableitungswert an der gesuchten Stelle. - Nutze Berührpunkt und Steigung für die Geradengleichung.

1. Der grüne Graph stellt die Funktion \(f\) dar, der orangefarbene Graph die Ableitungsfunktion \(f'\). 2. An den Extremstellen des grünen Graphen besitzt der orangefarbene Graph Nullstellen. Dies entspricht dem Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung. 3. Der grüne Graph verläuft bei \(x = 0\) durch den Ursprung, also ist der Berührpunkt \(P(0 \mid 0)\). Am orangefarbenen Graphen liest man \(f'(0) = 2\) ab. Daher lautet die Tangente \(y = 2x\).

a) Der grüne Graph gehört zu \(f\), der orangefarbene zu \(f'\), weil die Nullstellen des orangefarbenen Graphen bei den Extremstellen des grünen liegen. b) Die Tangente an der Stelle \(x = 0\) lautet \(y = 2x\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Strahl eine Bahn "tangential" verlässt? - Welche Rolle spielt die erste Ableitung der Funktionsgleichung bei dieser Aufgabe? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung \(y = mx + b\). Wie kannst du die Steigung \(m\) und den Startpunkt bestimmen? - Setze die \(x\)-Koordinate des Sensors in deine Geradengleichungen ein, um zu prüfen, ob die Zielhöhe erreicht wird.

1. Ableitung bilden: \(g'(x) = 0{,}5\cos(0{,}5x)\). 2. Prüfung von \(x_1 = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}712\): \(g(4{,}712) \approx 2{,}707\); \(g'(4{,}712) \approx -0{,}354\). Tangentengleichung: \(y = -0{,}354 \cdot (x - 4{,}712) + 2{,}707\). Für \(x = 10\) ergibt sich \(y \approx 0{,}835 \neq 0{,}142\). 3. Prüfung von \(x_2 = 2\pi \approx 6{,}283\): \(g(6{,}283) \approx 2{,}000\); \(g'(6{,}283) \approx -0{,}500\). Tangentengleichung: \(y = -0{,}500 \cdot (x - 6{,}283) + 2{,}000\). Für \(x = 10\) ergibt sich \(y = -0{,}500 \cdot (10 - 6{,}283) + 2{,}000 = -1{,}8585 + 2{,}000 \approx 0{,}142\). Dies trifft den Sensor. 4. Prüfung von \(x_3 = \frac{5\pi}{2} \approx 7{,}854\): \(g(7{,}854) \approx 1{,}293\); \(g'(7{,}854) \approx -0{,}354\). Tangentengleichung: \(y = -0{,}354 \cdot (x - 7{,}854) + 1{,}293\). Für \(x = 10\) ergibt sich \(y \approx 0{,}533 \neq 0{,}142\).

Der Laserimpuls muss an der Stelle \(x_2 = 2\pi\) ausgelöst werden.

- Erinnere dich an die Ableitungsregel für Potenzfunktionen. - Bestimme die Achsenschnittpunkte der Tangente, um die Längen der Katheten des Dreiecks zu erhalten. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, dessen Seiten auf den Koordinatenachsen liegen? - Achte darauf, ob am Ende deiner Flächenberechnung die Variable \(a\) noch vorkommt.

1. Ableitung von \(f(x) = x^{-1}\) bilden: \(f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). 2. Tangentengleichung an der Stelle \(a\): \(y = f'(a)(x - a) + f(a) = -\frac{1}{a^2}(x - a) + \frac{1}{a} = -\frac{1}{a^2}x + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = -\frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a}\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x = 0\)): \(S_y(0 \mid \frac{2}{a})\). Die Höhe des Dreiecks ist \(h = \frac{2}{a}\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y = 0\)): \(0 = -\frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a} \Rightarrow \frac{1}{a^2}x = \frac{2}{a} \Rightarrow x = 2a\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(2a \mid 0)\). Die Grundseite des Dreiecks ist \(g = 2a\). 5. Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot \left(\frac{2}{a}\right) = \frac{2a}{a} = 2\). 6. Da sich \(a\) in der Formel für den Flächeninhalt kürzt, ist das Ergebnis immer 2.

a) Die Tangente hat die Gleichung \(y = -\frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a}\). b) Mit \(S_x(2a \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid \frac{2}{a})\) gilt \(A = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = 2\), also ist der Flächeninhalt für alle \(a > 0\) konstant.