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- Überlege zuerst, wie man den \(y\)-Wert des Punktes berechnet, durch den die Normale verläuft. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Steigung der Normalen in einem Punkt zusammen? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung \(y = mx + c\). - Du kannst die Punkt-Steigungs-Form nutzen, sobald du die Steigung der Normalen und den Punkt kennst.

1. Berechnung des \(y\)-Werts des Berührpunkts: \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 1 = 9 - 12 + 1 = -2\). Der Punkt ist \(P(3 | -2)\). 2. Berechnung der Ableitung: \(f'(x) = 2x - 4\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 3\): \(m_t = f'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). 4. Bestimmung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). 5. Aufstellen der Normalengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form: \(n(x) = -0{,}5(x - 3) - 2\). 6. Vereinfachen der Gleichung: \(n(x) = -0{,}5x + 1{,}5 - 2 = -0{,}5x - 0{,}5\).

\(n(x) = -0{,}5x - 0{,}5\)

- Überlege zuerst, welchen y-Wert der Punkt auf dem Graphen an der gegebenen Stelle hat. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Steigung der Normalen in einem Punkt zusammen? - Du benötigst die erste Ableitung, um die Steigung des Graphen zu berechnen. - Setze die Steigung und die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Geradengleichung ein.

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^3 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(2 | 0)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 2\): \(m_t = f'(2) = \frac{3}{2} \cdot 2^2 - 2 = 6 - 2 = 4\). 4. Bestimmung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{4} = -0{,}25\). 5. Aufstellen der Normalengleichung unter Verwendung des Punktes \(P(2 | 0)\): \(n(x) = -0{,}25 \cdot (x - 2) + 0 = -0{,}25x + 0{,}5\).

Die Gleichung der Normalen lautet \(n(x) = -0{,}25x + 0{,}5\).

- Bestimme zuerst den Punkt auf dem Graphen, durch den die Normale verlaufen soll. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Steigung der Normalen in demselben Punkt zusammen? - Welches Werkzeug nutzt du, um die lokale Steigung der Funktion zu berechnen? - Setze die gefundenen Werte für die Steigung und den Punkt in die allgemeine Geradengleichung ein.

1. Berechnung des Funktionswertes: \(f(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 + 4 = 8 - 8 + 4 = 4\). Der Punkt auf dem Graphen ist \(P(4|4)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x - 2\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m_t = f'(4) = 4 - 2 = 2\). 4. Bestimmung der Normalensteigung über die Bedingung \(m_n = -\frac{1}{m_t}\): \(m_n = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). 5. Aufstellen der Normalengleichung: \(y = -0{,}5 \cdot (x - 4) + 4\). 6. Zusammenfassen der Gleichung: \(y = -0{,}5x + 6\).

\(n(x) = -0{,}5x + 6\)

- Bestimme zunächst die Steigung des Graphen an der gegebenen Stelle mithilfe der Ableitung. - Die Normale steht senkrecht auf der Tangente. Was bedeutet das für das Produkt ihrer Steigungen? - Setze die gefundenen Werte in die Geradengleichung ein, um den Achsenabschnitt zu finden.

1. Berechnung der \(y\)-Koordinate von \(P\): \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^3 + 2 = \frac{8}{4} + 2 = 4\). Somit ist \(P(2 | 4)\). 2. Ableitungsfunktion bilden: \(f'(x) = \frac{3}{4}x^2 + 1\). 3. Tangentensteigung in \(P\) berechnen: \(m_t = f'(2) = \frac{3}{4} \cdot 2^2 + 1 = 3 + 1 = 4\). 4. Normalensteigung bestimmen: Da \(m_n \cdot m_t = -1\), folgt \(m_n = -\frac{1}{4} = -0{,}25\). 5. Normalengleichung aufstellen: \(y = -0{,}25 \cdot (x - 2) + 4\). 6. Ausmultiplizieren und zusammenfassen: \(n(x) = -0{,}25x + 0{,}5 + 4 = -0{,}25x + 4{,}5\).

\(n(x) = -0{,}25x + 4{,}5\)

- Wie findest du den y-Wert des Punktes, wenn nur die x-Koordinate gegeben ist? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Kurve in einem Punkt zu bestimmen? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen den Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen? - Wie hängen der Steigungswinkel einer Geraden und ihre Steigung zusammen?

1. Berechnung des Funktionswertes: \(f(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 = 8 - 8 = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(4|0)\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(f'(x) = x - 2\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m_t = f'(4) = 4 - 2 = 2\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(t(x) = 2 \cdot (x - 4) + 0 = 2x - 8\). 5. Berechnung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -0{,}5\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(n(x) = -0{,}5 \cdot (x - 4) + 0 = -0{,}5x + 2\). 7. Berechnung der Steigungswinkel: \(\alpha_t = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\) und \(\alpha_n = \arctan(-0{,}5) + 180^\circ \approx 153{,}43^\circ\).

Tangente: \(t(x) = 2x - 8\) Normale: \(n(x) = -0{,}5x + 2\) Steigungswinkel: \(\alpha_t \approx 63{,}43^\circ\); \(\alpha_n \approx 153{,}43^\circ\)

- Wenn die Steigung der Normalen bekannt ist, welche Steigung muss dann die Tangente in diesem Punkt haben? - Die Ableitung einer Funktion gibt die Tangentensteigung an jeder Stelle an. - Wie kannst du aus der Steigung und der Funktionsgleichung die gesuchte Stelle finden? - Vergiss nicht, auch den zugehörigen y-Wert zu berechnen, um die vollständige Geradengleichung aufzustellen.

1. Zusammenhang zwischen Normalensteigung und Tangentensteigung nutzen: \(m_t = -\frac{1}{m_n} = -\frac{1}{0{,}5} = -2\). 2. Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = 2x - 4\). 3. Stelle \(x_0\) bestimmen, indem die Ableitung gleich der Tangentensteigung gesetzt wird: \(2x_0 - 4 = -2 \Rightarrow 2x_0 = 2 \Rightarrow x_0 = 1\). 4. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 1\) berechnen: \(f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 5 = 2\). Der Punkt ist \(P(1 | 2)\). 5. Normalengleichung mit \(m_n = 0{,}5\) und \(P(1 | 2)\) aufstellen: \(n(x) = 0{,}5 \cdot (x - 1) + 2 = 0{,}5x + 1{,}5\).

a) Die Stelle ist \(x_0 = 1\). b) Die Gleichung der Normalen lautet \(n(x) = 0{,}5x + 1{,}5\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Gerade senkrecht auf einer Kurve steht? - Wie kannst du die Steigung einer Kurve an einer bestimmten Stelle berechnen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Steigungen zweier Geraden, die orthogonal zueinander sind. - Welche Form hat eine Geradengleichung und welche Informationen brauchst du, um sie aufzustellen? - Wie findet man den Wert für \(x\), wenn der \(y\)-Wert bereits vorgegeben ist?

1. Berechnung der ersten Ableitung der Funktion \(f\): \(f'(x) = 0{,}4x\). 2. Bestimmung der Tangentensteigung im Punkt \(P(5|3)\): \(m_t = f'(5) = 2\). 3. Berechnung der Steigung der Normalen (Halterung) mit der Bedingung \(m_n = -\frac{1}{m_t}\): \(m_n = -0{,}5\). 4. Aufstellen der Normalengleichung unter Verwendung des Punktes \(P\): \(y = -0{,}5 \cdot (x - 5) + 3\), was zu \(y = -0{,}5x + 5{,}5\) führt. 5. Berechnung des Schnittpunktes mit der Geraden \(y = 7\): Gleichsetzen ergibt \(7 = -0{,}5x + 5{,}5\). 6. Auflösen nach \(x\): \(1{,}5 = -0{,}5x \Rightarrow x = -3\). 7. Der gesuchte Punkt ist \(Q(-3|7)\).

\(Q(-3|7)\)

- Überlege zuerst, wie du die Steigung der Parabel im Punkt \(A\) bestimmen kannst. - Wie erhältst du aus der Tangentensteigung die Steigung der zugehörigen Normalen? - Stelle eine lineare Funktionsgleichung für die Normale auf, die durch den Punkt \(A\) verläuft. - Um den gemeinsamen Punkt zweier Geraden zu finden, musst du deren Funktionsgleichungen gleichsetzen.

1. Ableitung der Funktion \(p\) bilden: \(p'(x) = 2x - 4\). 2. Steigung der Tangente im Punkt \(A\) berechnen: \(m_t = p'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). 3. Steigung der Normalen \(n\) bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -0{,}5\). 4. Gleichung der Normalen \(n\) durch den Punkt \(A(3|3)\) aufstellen: \(y = -0{,}5 \cdot (x - 3) + 3 \Rightarrow y = -0{,}5x + 4{,}5\). 5. Schnittpunkt \(S\) durch Gleichsetzen der Normalengleichung und der Geradengleichung \(g\) berechnen: \(-0{,}5x + 4{,}5 = x - 3\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(7{,}5 = 1{,}5x \Rightarrow x = 5\). 7. \(y\)-Koordinate durch Einsetzen in eine der Gleichungen bestimmen: \(y = 5 - 3 = 2\). 8. Der Schnittpunkt ist \(S(5|2)\).

\(S(5|2)\)

- Bestimme zuerst den Funktionswert an der gegebenen Stelle, um den vollständigen Punkt zu erhalten. - Überlege dir, wie man die Steigung einer Kurve an einem bestimmten Punkt berechnet. - Was weißt du über das Produkt der Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form für beide Geradengleichungen.

1. Ableitungsfunktion bilden: \(g'(x) = x^2 - 2x\). 2. Funktionswert und Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 3\) berechnen: \(g(3) = 2\) und \(m_t = g'(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 3\). 3. Gleichung der Tangente \(t\) aufstellen: \(t(x) = 3 \cdot (x - 3) + 2 = 3x - 7\). 4. Steigung der Normalen \(m_n\) über die Beziehung \(m_n = -\frac{1}{m_t}\) bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{3}\). 5. Gleichung der Normalen \(n\) im Punkt \(Q(3 | 2)\) aufstellen: \(n(x) = -\frac{1}{3} \cdot (x - 3) + 2 = -\frac{1}{3}x + 1 + 2 = -\frac{1}{3}x + 3\).

a) Tangente: \(t(x) = 3x - 7\) b) Normale: \(n(x) = -\frac{1}{3}x + 3\)

- Bestimme zuerst die Koordinaten des Punktes \(P\), indem du den x-Wert in die Funktion einsetzt. - Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Berührstelle. - Wie ist die Steigung einer Normalen mit der Steigung der Tangente im selben Punkt verknüpft? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form, um die Geradengleichungen aufzustellen.

1. Punkt bestimmen: \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 + 2 = 4\), also \(P(2 | 4)\). 2. Ableitung berechnen: \(f'(x) = x\). 3. Tangentensteigung bestimmen: \(m_t = f'(2) = 2\). 4. Tangentengleichung aufstellen: \(y = 2(x - 2) + 4 = 2x\). 5. Normalensteigung bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}\). 6. Normalengleichung aufstellen: \(y = -\frac{1}{2}(x - 2) + 4 = -\frac{1}{2}x + 5\).

Tangente: \(t(x) = 2x\) Normale: \(n(x) = -\frac{1}{2}x + 5\)

- Wie hängen die Steigungen einer Tangente und der zugehörigen Normalen zusammen? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Was bedeutet eine Steigung von 0 für den Verlauf einer Geraden und was bedeutet das für die darauf senkrecht stehende Normale? - Erinnere dich an die Definition einer Funktion: Kann ein \(x\)-Wert mehreren \(y\)-Werten zugeordnet werden?

1. Funktionswert und Ableitung berechnen: \(f(1) = 2 \cdot 1^2 - 4 = -2\) und \(f'(x) = 4x\), also \(f'(1) = 4\). 2. Steigung der Normalen bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{f'(1)} = -\frac{1}{4}\). 3. Normalengleichung aufstellen: \(y = -\frac{1}{4}(x - 1) - 2 = -\frac{1}{4}x - \frac{7}{4}\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(x=0\) einsetzen ergibt \(S_y(0 \mid -1{,}75)\). 5. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(0 = -\frac{1}{4}x - \frac{7}{4} \Rightarrow x = -7\), also \(S_x(-7 \mid 0)\). 6. Untersuchung für \(x = 0\): Da \(f'(0) = 0\) ist, verläuft die Tangente horizontal. Die Normale steht senkrecht darauf und ist somit eine vertikale Gerade durch den Punkt \((0 \mid -4)\). Die Gleichung einer vertikalen Geraden lautet \(x = 0\). Da einem \(x\)-Wert unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet wären, liegt keine Funktion vor, weshalb die Form \(y = mx + c\) nicht möglich ist.

a) \(n: y = -0{,}25x - 1{,}75\) b) \(S_y(0 \mid -1{,}75)\) und \(S_x(-7 \mid 0)\) c) Die Normale ist die \(y\)-Achse (\(x = 0\)). Eine vertikale Gerade hat keine definierte Steigung \(m\) und ist keine Funktion.

- Wie hängen die Steigungen einer Tangente und einer Normalen im selben Punkt zusammen? - Überlege dir eine Gleichung für die Normale an einer allgemeinen Stelle \(u\). - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Denke an den Spezialfall, in dem die Tangente parallel zur x-Achse verläuft.

1. Berechnung der Ableitung: \(f'(x) = 2x\). 2. Bestimmung der Normalensteigung \(m_n\) in Abhängigkeit von \(u\): Für \(u \neq 0\) gilt \(m_n = -\frac{1}{f'(u)} = -\frac{1}{2u}\). 3. Aufstellen der Normalengleichung: \(y - u^2 = -\frac{1}{2u}(x - u)\). 4. Einsetzen des Punktes \(A(0|1{,}5)\) in die Normalengleichung: \(1{,}5 - u^2 = -\frac{1}{2u}(0 - u)\). 5. Lösen der Gleichung: \(1{,}5 - u^2 = 0{,}5 \Rightarrow u^2 = 1 \Rightarrow u_1 = 1; u_2 = -1\). Die zugehörigen Punkte sind \(P_1(1|1)\) und \(P_2(-1|1)\). 6. Untersuchung des Falls \(u = 0\): Da \(f'(0) = 0\), ist die Tangente im Ursprung horizontal (die x-Achse). Die Normale ist somit die y-Achse (\(x = 0\)). Da der Punkt \(A(0|1{,}5)\) auf der y-Achse liegt, ist auch \(P_3(0|0)\) eine Lösung.

Die möglichen Koordinaten für den Punkt \(P\) sind \(P_1(1|1)\), \(P_2(-1|1)\) und \(P_3(0|0)\).

- Wie hängen die Steigungen zweier aufeinander senkrecht stehender Linien zusammen? - Bestimme zunächst die Steigung der Tangente im Punkt \(A\) mithilfe der ersten Ableitung von \(f\). - Nutze die Normalenbedingung, um die Steigung des Verbindungsweges zu ermitteln. - Stelle die Geradengleichung des Verbindungsweges auf, der durch den Abzweigpunkt \(A\) verläuft. - Berechne den Schnittpunkt \(B\), indem du die Gleichung des Verbindungsweges und die Gleichung des Bachlaufs gleichsetzt.

1. Ableitung der Funktion \(f(x) = -0{,}5x^2 + 2x + 1{,}5\) bilden: \(f'(x) = -x + 2\). 2. Tangentensteigung im Punkt \(A(3 \mid 3)\) berechnen: \(f'(3) = -3 + 2 = -1\). 3. Normalensteigung \(m_n\) des rechtwinkligen Abzweigs bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{f'(3)} = -\frac{1}{-1} = 1\). 4. Normalengleichung \(n(x)\) durch den Punkt \(A(3 \mid 3)\) aufstellen: \(n(x) = (x - 3) + 3 = x\). Der neue Verbindungsweg wird also durch die Gleichung \(y = x\) beschrieben. 5. Schnittpunkt \(B\) der Normalen mit dem Bachlauf \(y = -2x + 6\) berechnen: \(x = -2x + 6 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). Einsetzen von \(x = 2\) in \(n(x)\) ergibt \(y = 2\). Die Brücke wird am Punkt \(B(2 \mid 2)\) errichtet.

Die Gleichung des neuen Verbindungsweges lautet \(y = x\). Die Brücke muss im Punkt \(B(2 \mid 2)\) gebaut werden.

- Lies markante Punkte wie den Scheitelpunkt und die Nullstellen des Graphen ab, um die Koeffizienten \(a\) und \(b\) der Funktionsgleichung zu bestimmen. - Bestimme die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten des Punktes \(P\) durch Einsetzen von \(x_0 = 3\) in deine Funktionsgleichung. - Erinnere dich daran, wie die Steigung der Tangente und die Steigung der Normalen an einer Stelle zusammenhängen. Welches Werkzeug hilft dir, die Tangentensteigung zu berechnen? - Nutze die Punktsteigungsform, um die Gleichung der Normalen aufzustellen. - Bestimme die Schnittpunkte der Normalen mit den beiden Koordinatenachsen. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, das durch diese Achsenabschnitte begrenzt wird?

1. Bestimmung der Funktionsgleichung: Aus der Abbildung lassen sich markante Punkte des Graphen ablesen, wie beispielsweise der Scheitelpunkt \((2 \mid 2)\) und die Nullstelle \((4 \mid 0)\). Durch Einsetzen dieser Punkte in den Funktionsterm \(f(x) = ax^2 + bx\) erhält man das lineare Gleichungssystem: - Für \((2 \mid 2)\): \(4a + 2b = 2 \implies 2a + b = 1\) - Für \((4 \mid 0)\): \(16a + 4b = 0 \implies 4a + b = 0\) Aus der zweiten Gleichung folgt \(b = -4a\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt: \(2a - 4a = 1 \implies -2a = 1 \implies a = -0{,}5\). Daraus folgt \(b = 2\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = -0{,}5x^2 + 2x\). 2. Bestimmung der Normalengleichung: Der Punkt \(P\) hat die \(x\)-Koordinate \(x_0 = 3\). Der zugehörige \(y\)-Wert ist: \(f(3) = -0{,}5 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 = 1{,}5\). Der Punkt lautet somit \(P(3 \mid 1{,}5)\). Die Ableitungsfunktion von \(f\) lautet \(f'(x) = -x + 2\). An der Stelle \(x_0 = 3\) beträgt die Tangentensteigung: \(f'(3) = -3 + 2 = -1\). Die Steigung \(m_n\) der Normalen ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung: \(m_n = -\frac{1}{f'(3)} = 1\). Mit der Punktsteigungsform ergibt sich die Gleichung der Normalen \(n\): \(y = (x - 3) + 1{,}5 \implies y = x - 1{,}5\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: Die Normale \(y = x - 1{,}5\) schneidet die Koordinatenachsen in folgenden Punkten: - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -1{,}5)\) - Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(1{,}5 \mid 0)\) Das eingeschlossene rechtwinklige Dreieck hat die Kathetenlängen \(g = 1{,}5\) und \(h = 1{,}5\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 1{,}125\) (bzw. \(\frac{9}{8}\)).

a) \(a = -0{,}5\) und \(b = 2\). b) Die Normale hat die Gleichung \(y = x - 1{,}5\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(A = 1{,}125 = \frac{9}{8}\).

- Nutze die allgemeine Formel für die Normalengleichung an einer Stelle \(a\). - Wie lautet die Ableitung der Wurzelfunktion? - Um den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse zu finden, musst du die Normalengleichung gleich null setzen. - Überlege am Ende, was es mathematisch bedeutet, wenn eine Differenz zweier Werte nicht mehr von der Variablen \(a\) abhängt.

1. Ableitung bilden: \(f(x) = x^{0{,}5} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). 2. Normalensteigung an der Stelle \(a\): \(m_n = -\frac{1}{f'(a)} = -2\sqrt{a}\). 3. Normalengleichung aufstellen: \(y = -2\sqrt{a}(x - a) + \sqrt{a}\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse berechnen: Setze \(y = 0\). \(0 = -2\sqrt{a}(x - a) + \sqrt{a}\) \(2\sqrt{a}(x - a) = \sqrt{a}\) Da \(a > 0\), kann durch \(\sqrt{a}\) dividiert werden: \(2(x - a) = 1 \Rightarrow x - a = 0{,}5\). 5. Die \(x\)-Koordinate von \(S_x\) ist somit \(x_S = a + 0{,}5\). 6. Differenz bilden: \(x_S - a = (a + 0{,}5) - a = 0{,}5\). Dieser Wert ist konstant und unabhängig von \(a\).

a) \(n_a: y = -2\sqrt{a} \cdot x + 2a\sqrt{a} + \sqrt{a}\) b) Der Schnittpunkt liegt bei \(x_S = a + 0{,}5\). Die Differenz \(x_S - a = 0{,}5\) ist konstant.

- Nutze die Potenzregel, um die Ableitung von \(f(x) = x^{-1}\) zu finden. - Erinnere dich an die Beziehung zwischen der Tangentensteigung und der Normalensteigung. - Stelle eine allgemeine Gleichung für die Normale auf und setze die Koordinaten des Ursprungs ein. - Wie viele reelle Lösungen hat die Gleichung \(a^4 = 1\)?

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f(x) = x^{-1} \Rightarrow f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). 2. Steigung der Normalen an der Stelle \(a\) bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{f'(a)} = -\frac{1}{-1/a^2} = a^2\). 3. Punkt-Steigungs-Form der Normalengleichung im Punkt \(P(a|\frac{1}{a})\) aufstellen: \(y - \frac{1}{a} = a^2(x - a)\). 4. Da die Normale durch \(O(0|0)\) verläuft, Koordinaten einsetzen: \(0 - \frac{1}{a} = a^2(0 - a)\). 5. Gleichung lösen: \(-\frac{1}{a} = -a^3 \Rightarrow 1 = a^4\). 6. Reelle Lösungen für \(a\) bestimmen: \(a_1 = 1\) und \(a_2 = -1\). 7. Koordinaten der Punkte berechnen: Für \(a=1\) ist \(f(1)=1\), also \(P_1(1|1)\). Für \(a=-1\) ist \(f(-1)=-1\), also \(P_2(-1|-1)\).

Die Werte sind \(a_1 = 1\) und \(a_2 = -1\). Die zugehörigen Punkte auf dem Graphen sind \(P_1(1|1)\) und \(P_2(-1|-1)\).