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- Welche Beziehung gilt für die Steigungen zweier senkrechter Geraden? - Prüfe die drei angegebenen Kandidatensteigungen mit der Tangentensteigung. - Die Abbildung zeigt zusätzlich, wie die senkrechte Lage geometrisch aussieht.

1. Für die Steigungen von Tangente und Normale gilt \(m_t\cdot m_n=-1\). 2. Bei \(m_t=2\) muss daher \(m_n=-\frac{1}{2}\) gelten. 3. Diese Steigung besitzt Gerade \(a\). Daher ist \(a\) die Normale.

Gerade \(a\) ist die Normale, weil \(2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\) gilt.

- Bestimme zuerst den Punkt auf dem Graphen, durch den die Normale verläuft. - Nutze die gegebene Ableitungsfunktion für die Tangentensteigung an dieser Stelle. - Wie hängen die Steigungen zweier zueinander senkrechter Geraden zusammen?

1. Es ist \(f(4)=0{,}5\cdot4^2-2\cdot4+4=4\). Damit liegt \(P(4 \mid 4)\) auf dem Graphen. 2. Die Tangentensteigung ist \(m_t=f'(4)=2\). 3. Für die Normalensteigung gilt \(m_n\cdot m_t=-1\). Daher ist \(m_n=-\frac{1}{2}=-0{,}5\). 4. Mit dem Punkt \(P\) folgt \(y=-0{,}5(x-4)+4=-0{,}5x+6\).

\(n(x)=-0{,}5x+6\)

- Bestimme zuerst den Punkt, durch den die Normale verlaufen muss. - Nutze die gegebene Ableitungsfunktion für die Tangentensteigung. - Welche Beziehung gilt zwischen den Steigungen von Tangente und Normale?

1. Es ist \(f(2)=\frac{1}{4}\cdot2^3+2=4\). Somit ist \(P(2 \mid 4)\). 2. Die Tangentensteigung beträgt \(m_t=f'(2)=\frac{3}{4}\cdot2^2+1=4\). 3. Wegen \(m_n\cdot m_t=-1\) ist \(m_n=-\frac{1}{4}=-0{,}25\). 4. Die Normale lautet \(y=-0{,}25(x-2)+4=-0{,}25x+4{,}5\).

\(n(x)=-0{,}25x+4{,}5\)

- Bestimme zuerst den Berührpunkt. - Nutze die gegebene Ableitungsfunktion für die Tangentensteigung. - Wie hängen die Steigungen von Tangente und Normale zusammen? - Verwende für beide Geraden den gleichen Berührpunkt.

1. Es ist \(f(2)=4\), also \(P(2\mid4)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(m_t=f'(2)=2\). 3. Die Tangente lautet \(t(x)=2(x-2)+4=2x\). 4. Die Normalensteigung ist \(m_n=-\frac{1}{2}\). 5. Die Normale lautet \(n(x)=-\frac{1}{2}(x-2)+4=-\frac{1}{2}x+5\).

Tangente: \(t(x)=2x\) Normale: \(n(x)=-\frac{1}{2}x+5\)

- Bestimme zuerst den Berührpunkt aus der Funktionsgleichung. - Welche Steigung gehört zu einer Geraden, die senkrecht auf der Tangente steht? - Setze Punkt und Normalensteigung in eine Geradengleichung ein.

1. Der Berührpunkt ist \(P\left(1\mid-\frac{1}{3}\right)\). 2. Aus \(m_t=-\frac{2}{3}\) folgt für die Normale \(m_n=\frac{3}{2}\). 3. Mit der Punkt-Steigungs-Form gilt \(y+\frac{1}{3}=\frac{3}{2}(x-1)\). 4. Damit lautet die Normale \(y=\frac{3}{2}x-\frac{11}{6}\).

\(n:y=\frac{3}{2}x-\frac{11}{6}\)

- Welche Richtung hat die eingezeichnete Tangente im Punkt \(P\)? - Stelle dir eine Gerade vor, die senkrecht auf einer waagerechten Geraden steht. - Welche Koordinate bleibt auf einer vertikalen Geraden konstant?

1. Der Punkt \(P\) ist der Scheitelpunkt der Parabel. Die Tangente \(t\) ist dort waagerecht und hat die Steigung \(0\). 2. Die Normale steht senkrecht auf einer waagerechten Geraden. Sie ist deshalb vertikal. 3. Da sie durch \(P(2\mid1)\) verläuft, lautet ihre Gleichung \(x=2\). 4. Eine vertikale Gerade besitzt keine endliche Steigung und lässt sich deshalb nicht als \(y=mx+b\) schreiben.

Die Normale lautet \(x=2\). Sie ist vertikal und besitzt daher keine endliche Steigung.

- Bestimme zuerst den Berührpunkt auf dem Graphen. - Nutze die gegebene Ableitungsfunktion für die Tangentensteigung. - Welche Beziehung gilt zwischen den Steigungen von Tangente und Normale? - Beim Steigungswinkel hat das Vorzeichen des Winkels dasselbe Vorzeichen wie die Steigung.

1. Es ist \(f(4)=0{,}5\cdot4^2-2\cdot4=0\). Der Berührpunkt ist \(P(4\mid0)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(m_t=f'(4)=2\). 3. Damit lautet die Tangente \(t(x)=2(x-4)=2x-8\). 4. Für die Normale gilt \(m_n=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{2}=-0{,}5\). Somit ist \(n(x)=-0{,}5(x-4)=-0{,}5x+2\). 5. Aus \(m=\tan(\alpha)\) folgt \(\alpha_t=\arctan(2)\approx63{,}43^\circ\) und \(\alpha_n=\arctan(-0{,}5)\approx-26{,}57^\circ\).

Tangente: \(t(x)=2x-8\) Normale: \(n(x)=-0{,}5x+2\) Steigungswinkel: \(\alpha_t\approx63{,}43^\circ\), \(\alpha_n\approx-26{,}57^\circ\)

- Welche Tangentensteigung gehört zu einer Normalensteigung von \(0{,}5\)? - Vergleiche diese Tangentensteigung mit der gegebenen Ableitungsfunktion. - Bestimme anschließend den zugehörigen Punkt auf dem Graphen. - Nutze Punkt und Normalensteigung für die Geradengleichung.

1. Aus \(m_n=0{,}5\) folgt für die Tangentensteigung \(m_t=-\frac{1}{m_n}=-2\). 2. Setze die gegebene Ableitungsfunktion gleich der Tangentensteigung: \(2x_0-4=-2\). Daraus folgt \(x_0=1\). 3. Es ist \(f(1)=1-4+5=2\). Der Punkt ist \(P(1\mid2)\). 4. Mit \(m_n=0{,}5\) folgt \(n(x)=0{,}5(x-1)+2=0{,}5x+1{,}5\).

a) \(x_0=1\) b) \(n(x)=0{,}5x+1{,}5\)

- Die Halterung verläuft entlang der Normalen im Punkt \(P\). - Nutze die gegebene Ableitungsfunktion für die Tangentensteigung. - Wie erhältst du daraus die Normalensteigung? - Setze für den Schnitt mit der Abdeckung \(y=7\).

1. Die Tangentensteigung im Punkt \(P\) ist \(m_t=f'(5)=2\). 2. Daher hat die Normale die Steigung \(m_n=-\frac{1}{2}=-0{,}5\). 3. Durch \(P(5\mid3)\) ergibt sich \(y=-0{,}5(x-5)+3=-0{,}5x+5{,}5\). 4. Für den Schnitt mit \(y=7\) gilt \(7=-0{,}5x+5{,}5\). Daraus folgt \(x=-3\). 5. Somit ist \(Q(-3\mid7)\).

\(Q(-3\mid7)\)

- Nutze die gegebene Ableitungsfunktion für die Tangentensteigung im Punkt \(A\). - Welche Steigung hat die dazu senkrechte Normale? - Stelle die Normalengleichung durch \(A\) auf. - Der Schnittpunkt erfüllt sowohl die Normalengleichung als auch \(y=x-3\).

1. Die Tangentensteigung in \(A\) ist \(m_t=p'(3)=2\). 2. Daher ist die Normalensteigung \(m_n=-\frac{1}{2}=-0{,}5\). 3. Die Normale durch \(A(3\mid3)\) lautet \(y=-0{,}5(x-3)+3=-0{,}5x+4{,}5\). 4. Für den Schnitt mit \(g\) gilt \(-0{,}5x+4{,}5=x-3\). Daraus folgt \(x=5\). 5. Mit \(y=x-3\) ist \(y=2\). Somit ist \(S(5\mid2)\).

\(S(5\mid2)\)

- Bestimme zuerst den Berührpunkt. - Nutze die gegebene Ableitungsfunktion für die Tangentensteigung. - Welche Beziehung gilt zwischen Tangenten- und Normalensteigung? - Stelle beide Geraden mit dem gemeinsamen Berührpunkt auf.

1. Es ist \(g(3)=2\). Der Berührpunkt ist \(Q(3\mid2)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(m_t=g'(3)=3\). 3. Damit lautet die Tangente \(t(x)=3(x-3)+2=3x-7\). 4. Für die Normalensteigung gilt \(m_n=-\frac{1}{3}\). 5. Die Normale lautet \(n(x)=-\frac{1}{3}(x-3)+2=-\frac{1}{3}x+3\).

a) \(t(x)=3x-7\) b) \(n(x)=-\frac{1}{3}x+3\)

- Nutze die gegebene Ableitungsfunktion für die Tangentensteigung. - Welche Steigung hat die dazu senkrechte Normale? - Für Achsenschnittpunkte setzt du jeweils eine Koordinate gleich null. - Was geschieht mit der Normalen, wenn die Tangente horizontal ist?

1. Für \(x=1\) ist \(P(1\mid-2)\) und \(m_t=f'(1)=4\). 2. Daher ist \(m_n=-\frac{1}{4}\), also \(n(x)=-\frac{1}{4}(x-1)-2=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{4}\). 3. Mit \(x=0\) folgt \(S_y(0\mid-1{,}75)\). Mit \(y=0\) folgt \(S_x(-7\mid0)\). 4. Für \(x=0\) gilt \(f'(0)=0\). Die Tangente ist horizontal, daher ist die Normale die vertikale Gerade \(x=0\). Eine vertikale Gerade hat keine endliche Steigung \(m\) und lässt sich nicht als Funktion \(y=mx+c\) schreiben.

a) \(n(x)=-0{,}25x-1{,}75\) b) \(S_y(0\mid-1{,}75)\), \(S_x(-7\mid0)\) c) Die Normale ist \(x=0\); sie ist vertikal und hat keine endliche Steigung.

- Schreibe die Normalensteigung zunächst in Abhängigkeit von \(u\). - Die Normale muss sowohl durch \(P\) als auch durch \(A\) gehen. - Untersuche die Gleichung zunächst für \(u\neq0\). - Prüfe den Sonderfall \(u=0\) separat.

1. Für \(u\neq0\) ist die Tangentensteigung \(m_t=2u\), also die Normalensteigung \(m_n=-\frac{1}{2u}\). 2. Die Normale durch \(P(u\mid u^2)\) lautet \(y-u^2=-\frac{1}{2u}(x-u)\). 3. Einsetzen von \(A(0\mid1{,}5)\) ergibt \(1{,}5-u^2=0{,}5\), also \(u^2=1\). Damit sind \(P_1(1\mid1)\) und \(P_2(-1\mid1)\) Lösungen. 4. Für \(u=0\) ist die Tangente horizontal und die Normale die y-Achse \(x=0\). Da \(A\) darauf liegt, ist auch \(P_3(0\mid0)\) eine Lösung.

\(P_1(1\mid1)\), \(P_2(-1\mid1)\), \(P_3(0\mid0)\)

- Nutze die gegebene Ableitungsfunktion für die Tangentensteigung in \(A\). - Wie hängt die Steigung einer senkrechten Geraden mit der Tangentensteigung zusammen? - Stelle die Gerade durch \(A\) auf. - Der Kreuzungspunkt erfüllt beide Geradengleichungen.

1. Die Tangentensteigung in \(A\) ist \(m_t=f'(3)=-1\). 2. Die dazu senkrechte Normale hat die Steigung \(m_n=1\). 3. Durch \(A(3\mid3)\) ergibt sich \(y=x\). 4. Für den Schnitt mit dem Bach gilt \(x=-2x+6\). Daraus folgt \(x=2\) und \(y=2\). 5. Der Kreuzungspunkt ist \(B(2\mid2)\).

Verbindungsweg: \(y=x\) Kreuzungspunkt: \(B(2\mid2)\)

- Arbeite von der gegebenen Normalensteigung zur Tangentensteigung zurück. - Nutze die gegebene Ableitungsfunktion, um den zugehörigen x-Wert zu finden. - Eine Normale muss sowohl die richtige Steigung haben als auch durch den Berührpunkt verlaufen.

1. Zu \(m_n=-\frac{1}{4}\) gehört die Tangentensteigung \(m_t=4\). 2. Aus \(f'(a)=2a=4\) folgt \(a=2\). Der Berührpunkt ist \(P(2\mid4)\). 3. Bens Gerade hat bei \(x=2\) den Wert \(-\frac{1}{4}\cdot2+4=\frac{7}{2}\). Sie verläuft daher nicht durch \(P\). 4. Die richtige Normale durch \(P\) mit Steigung \(-\frac{1}{4}\) erfüllt \(y-4=-\frac{1}{4}(x-2)\). Also ist \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{9}{2}\).

Bens Behauptung ist falsch. Der zugehörige Berührpunkt ist \(P(2\mid4)\). Die richtige Normale lautet \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{9}{2}\).

- Nutze die allgemeine Formel für die Normalengleichung an einer Stelle \(a\). - Wie lautet die Ableitung der Wurzelfunktion? - Um den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse zu finden, musst du die Normalengleichung gleich null setzen. - Überlege am Ende, was es mathematisch bedeutet, wenn eine Differenz zweier Werte nicht mehr von der Variablen \(a\) abhängt.

1. Ableitung bilden: \(f(x) = x^{0{,}5} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). 2. Normalensteigung an der Stelle \(a\): \(m_n = -\frac{1}{f'(a)} = -2\sqrt{a}\). 3. Normalengleichung aufstellen: \(y = -2\sqrt{a}(x - a) + \sqrt{a}\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse berechnen: Setze \(y = 0\). \(0 = -2\sqrt{a}(x - a) + \sqrt{a}\) \(2\sqrt{a}(x - a) = \sqrt{a}\) Da \(a > 0\), kann durch \(\sqrt{a}\) dividiert werden: \(2(x - a) = 1 \Rightarrow x - a = 0{,}5\). 5. Die \(x\)-Koordinate von \(S_x\) ist somit \(x_S = a + 0{,}5\). 6. Differenz bilden: \(x_S - a = (a + 0{,}5) - a = 0{,}5\). Dieser Wert ist konstant und unabhängig von \(a\).

a) \(n_a: y = -2\sqrt{a} \cdot x + 2a\sqrt{a} + \sqrt{a}\) b) Der Schnittpunkt liegt bei \(x_S = a + 0{,}5\). Die Differenz \(x_S - a = 0{,}5\) ist konstant.

- Bestimme die lokale Steigung des Kehrwertgraphen an der allgemeinen Stelle \(a\) direkt mit dem Differentialquotienten. - Wie erhältst du aus der Tangentensteigung die Normalensteigung? - Stelle die Normale durch den Berührpunkt auf und setze anschließend den Ursprung ein. - Beachte, dass \(a\neq0\) gelten muss.

1. Für \(a\neq0\) lautet der Differenzenquotient \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}=-\frac{1}{a(a+h)}\). 2. Für \(h\to0\) folgt \(f'(a)=-\frac{1}{a^2}\). 3. Die Normalensteigung ist daher \(m_n=-\frac{1}{f'(a)}=a^2\). 4. Die Normale durch \(P(a|\frac{1}{a})\) lautet \(y-\frac{1}{a}=a^2(x-a)\). 5. Weil der Ursprung auf ihr liegen soll, gilt \(-\frac{1}{a}=-a^3\). Damit ist \(a^4=1\). 6. Die reellen Lösungen sind \(a=1\) und \(a=-1\). Die zugehörigen Punkte sind \(P_1(1|1)\) und \(P_2(-1|-1)\).

Die Werte sind \(a_1 = 1\) und \(a_2 = -1\). Die zugehörigen Punkte auf dem Graphen sind \(P_1(1|1)\) und \(P_2(-1|-1)\).

- Wähle zwei gut ablesbare Punkte des Graphen und setze sie in \(f(x)=ax^2+bx\) ein. - Bestimme nach Teil a) den Punkt \(P\). - Welche Normalensteigung gehört zur gegebenen Tangentensteigung \(-1\)? - Nutze die Achsenschnittpunkte der Normalen als Kathetenlängen des rechtwinkligen Dreiecks.

1. Aus dem Graphen kann man zum Beispiel \((2\mid2)\) und \((4\mid0)\) ablesen. Damit gilt \(4a+2b=2\) und \(16a+4b=0\). 2. Lösen des Gleichungssystems ergibt \(a=-0{,}5\) und \(b=2\), also \(f(x)=-0{,}5x^2+2x\). 3. Es ist \(f(3)=1{,}5\), also \(P(3\mid1{,}5)\). 4. Aus \(m_t=-1\) folgt \(m_n=1\). Die Normale lautet \(y=x-1{,}5\). 5. Ihre Achsenschnittpunkte sind \((0\mid-1{,}5)\) und \((1{,}5\mid0)\). 6. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{1}{2}\cdot1{,}5\cdot1{,}5=1{,}125=\frac{9}{8}\).

a) \(a=-0{,}5\), \(b=2\) b) \(n:y=x-1{,}5\) c) \(A=1{,}125=\frac{9}{8}\)