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- Überlege zuerst, wie man den \(y\)-Wert des Punktes berechnet, durch den die Normale verläuft. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Steigung der Normalen in einem Punkt zusammen? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung \(y = m \cdot x + c\). - Du kannst die Punkt-Steigungs-Form nutzen, sobald du die Steigung der Normalen und den Punkt kennst.

1. Berechnung des \(y\)-Werts des Berührpunkts: \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 1 = 9 - 12 + 1 = -2\). Der Punkt ist \(P(3 | -2)\). 2. Berechnung der Ableitung: \(f'(x) = 2x - 4\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 3\): \(m_t = f'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). 4. Bestimmung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). 5. Aufstellen der Normalengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form: \(n(x) = -0{,}5 \cdot (x - 3) - 2\). 6. Vereinfachen der Gleichung: \(n(x) = -0{,}5x + 1{,}5 - 2 = -0{,}5x - 0{,}5\).

\(n(x) = -0{,}5x - 0{,}5\)

- Überlege zuerst, welchen y-Wert der Punkt auf dem Graphen an der gegebenen Stelle hat. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Steigung der Normalen in einem Punkt zusammen? - Du benötigst die erste Ableitung, um die Steigung des Graphen zu berechnen. - Setze die Steigung und die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Geradengleichung ein.

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^3 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(2 | 0)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 2\): \(m_t = f'(2) = \frac{3}{2} \cdot 2^2 - 2 = 6 - 2 = 4\). 4. Bestimmung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{4} = -0{,}25\). 5. Aufstellen der Normalengleichung unter Verwendung des Punktes \(P(2 | 0)\): \(n(x) = -0{,}25 \cdot (x - 2) + 0 = -0{,}25x + 0{,}5\).

Die Gleichung der Normalen lautet \(n(x) = -0{,}25x + 0{,}5\).

- Bestimme zuerst den Punkt auf dem Graphen, durch den die Normale verlaufen soll. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Steigung der Normalen in demselben Punkt zusammen? - Welches Werkzeug nutzt du, um die lokale Steigung der Funktion zu berechnen? - Setze die gefundenen Werte für die Steigung und den Punkt in die allgemeine Geradengleichung ein.

1. Berechnung des Funktionswertes: \(f(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 + 4 = 8 - 8 + 4 = 4\). Der Punkt auf dem Graphen ist \(P(4|4)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x - 2\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m_t = f'(4) = 4 - 2 = 2\). 4. Bestimmung der Normalensteigung über die Bedingung \(m_n = -\frac{1}{m_t}\): \(m_n = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). 5. Aufstellen der Normalengleichung: \(y = -0{,}5 \cdot (x - 4) + 4\). 6. Zusammenfassen der Gleichung: \(y = -0{,}5x + 6\).

\(n(x) = -0{,}5x + 6\)

- Bestimme zunächst die Steigung des Graphen an der gegebenen Stelle mithilfe der Ableitung. - Die Normale steht senkrecht auf der Tangente. Was bedeutet das für das Produkt ihrer Steigungen? - Setze die gefundenen Werte in die Geradengleichung ein, um den Achsenabschnitt zu finden.

1. Berechnung der \(y\)-Koordinate von \(P\): \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^3 + 2 = \frac{8}{4} + 2 = 4\). Somit ist \(P(2 | 4)\). 2. Ableitungsfunktion bilden: \(f'(x) = \frac{3}{4}x^2 + 1\). 3. Tangentensteigung in \(P\) berechnen: \(m_t = f'(2) = \frac{3}{4} \cdot 2^2 + 1 = 3 + 1 = 4\). 4. Normalensteigung bestimmen: Da \(m_n \cdot m_t = -1\), folgt \(m_n = -\frac{1}{4} = -0{,}25\). 5. Normalengleichung aufstellen: \(y = -0{,}25 \cdot (x - 2) + 4\). 6. Ausmultiplizieren und zusammenfassen: \(n(x) = -0{,}25x + 0{,}5 + 4 = -0{,}25x + 4{,}5\).

\(n(x) = -0{,}25x + 4{,}5\)

- Wie findest du den y-Wert des Punktes, wenn nur die x-Koordinate gegeben ist? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Kurve in einem Punkt zu bestimmen? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen den Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen? - Wie hängen der Steigungswinkel einer Geraden und ihre Steigung zusammen?

1. Berechnung des Funktionswertes: \(f(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 = 8 - 8 = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(4|0)\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(f'(x) = x - 2\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m_t = f'(4) = 4 - 2 = 2\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(t(x) = 2 \cdot (x - 4) + 0 = 2x - 8\). 5. Berechnung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -0{,}5\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(n(x) = -0{,}5 \cdot (x - 4) + 0 = -0{,}5x + 2\). 7. Berechnung der Steigungswinkel: \(\alpha_t = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\) und \(\alpha_n = \arctan(-0{,}5) + 180^\circ \approx 153{,}43^\circ\).

Tangente: \(t(x) = 2x - 8\) Normale: \(n(x) = -0{,}5x + 2\) Steigungswinkel: \(\alpha_t \approx 63{,}43^\circ\); \(\alpha_n \approx 153{,}43^\circ\)

- Wenn die Steigung der Normalen bekannt ist, welche Steigung muss dann die Tangente in diesem Punkt haben? - Die Ableitung einer Funktion gibt die Tangentensteigung an jeder Stelle an. - Wie kannst du aus der Steigung und der Funktionsgleichung die gesuchte Stelle finden? - Vergiss nicht, auch den zugehörigen y-Wert zu berechnen, um die vollständige Geradengleichung aufzustellen.

1. Zusammenhang zwischen Normalensteigung und Tangentensteigung nutzen: \(m_t = -\frac{1}{m_n} = -\frac{1}{0{,}5} = -2\). 2. Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = 2x - 4\). 3. Stelle \(x_0\) bestimmen, indem die Ableitung gleich der Tangentensteigung gesetzt wird: \(2x_0 - 4 = -2 \Rightarrow 2x_0 = 2 \Rightarrow x_0 = 1\). 4. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 1\) berechnen: \(f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 5 = 2\). Der Punkt ist \(P(1 | 2)\). 5. Normalengleichung mit \(m_n = 0{,}5\) und \(P(1 | 2)\) aufstellen: \(n(x) = 0{,}5 \cdot (x - 1) + 2 = 0{,}5x + 1{,}5\).

a) Die Stelle ist \(x_0 = 1\). b) Die Gleichung der Normalen lautet \(n(x) = 0{,}5x + 1{,}5\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Gerade senkrecht auf einer Kurve steht? - Wie kannst du die Steigung einer Kurve an einer bestimmten Stelle berechnen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Steigungen zweier Geraden, die orthogonal zueinander sind. - Welche Form hat eine Geradengleichung und welche Informationen brauchst du, um sie aufzustellen? - Wie findet man den Wert für \(x\), wenn der \(y\)-Wert bereits vorgegeben ist?

1. Berechnung der ersten Ableitung der Funktion \(f\): \(f'(x) = 0{,}4x\). 2. Bestimmung der Tangentensteigung im Punkt \(P(5|3)\): \(m_t = f'(5) = 2\). 3. Berechnung der Steigung der Normalen (Halterung) mit der Bedingung \(m_n = -\frac{1}{m_t}\): \(m_n = -0{,}5\). 4. Aufstellen der Normalengleichung unter Verwendung des Punktes \(P\): \(y = -0{,}5 \cdot (x - 5) + 3\), was zu \(y = -0{,}5x + 5{,}5\) führt. 5. Berechnung des Schnittpunktes mit der Geraden \(y = 7\): Gleichsetzen ergibt \(7 = -0{,}5x + 5{,}5\). 6. Auflösen nach \(x\): \(1{,}5 = -0{,}5x \Rightarrow x = -3\). 7. Der gesuchte Punkt ist \(Q(-3|7)\).

\(Q(-3|7)\)

- Überlege zuerst, wie du die Steigung der Parabel im Punkt \(A\) bestimmen kannst. - Wie erhältst du aus der Tangentensteigung die Steigung der zugehörigen Normalen? - Stelle eine lineare Funktionsgleichung für die Normale auf, die durch den Punkt \(A\) verläuft. - Um den gemeinsamen Punkt zweier Geraden zu finden, musst du deren Funktionsgleichungen gleichsetzen.

1. Ableitung der Funktion \(p\) bilden: \(p'(x) = 2x - 4\). 2. Steigung der Tangente im Punkt \(A\) berechnen: \(m_t = p'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). 3. Steigung der Normalen \(n\) bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -0{,}5\). 4. Gleichung der Normalen \(n\) durch den Punkt \(A(3|3)\) aufstellen: \(y = -0{,}5 \cdot (x - 3) + 3 \Rightarrow y = -0{,}5x + 4{,}5\). 5. Schnittpunkt \(S\) durch Gleichsetzen der Normalengleichung und der Geradengleichung \(g\) berechnen: \(-0{,}5x + 4{,}5 = x - 3\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(7{,}5 = 1{,}5x \Rightarrow x = 5\). 7. \(y\)-Koordinate durch Einsetzen in eine der Gleichungen bestimmen: \(y = 5 - 3 = 2\). 8. Der Schnittpunkt ist \(S(5|2)\).

\(S(5|2)\)

- Bestimme zuerst den Funktionswert an der gegebenen Stelle, um den vollständigen Punkt zu erhalten. - Überlege dir, wie man die Steigung einer Kurve an einem bestimmten Punkt berechnet. - Was weißt du über das Produkt der Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form für beide Geradengleichungen.

1. Ableitungsfunktion bilden: \(g'(x) = x^2 - 2x\). 2. Funktionswert und Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 3\) berechnen: \(g(3) = 2\) und \(m_t = g'(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 3\). 3. Gleichung der Tangente \(t\) aufstellen: \(t(x) = 3 \cdot (x - 3) + 2 = 3x - 7\). 4. Steigung der Normalen \(m_n\) über die Beziehung \(m_n = -\frac{1}{m_t}\) bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{3}\). 5. Gleichung der Normalen \(n\) im Punkt \(Q(3 | 2)\) aufstellen: \(n(x) = -\frac{1}{3} \cdot (x - 3) + 2 = -\frac{1}{3}x + 1 + 2 = -\frac{1}{3}x + 3\).

a) Tangente: \(t(x) = 3x - 7\) b) Normale: \(n(x) = -\frac{1}{3}x + 3\)

- Bestimme zuerst die Koordinaten des Punktes \(P\), indem du den x-Wert in die Funktion einsetzt. - Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Berührstelle. - Wie ist die Steigung einer Normalen mit der Steigung der Tangente im selben Punkt verknüpft? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form, um die Geradengleichungen aufzustellen.

1. Punkt bestimmen: \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 + 2 = 4\), also \(P(2 | 4)\). 2. Ableitung berechnen: \(f'(x) = x\). 3. Tangentensteigung bestimmen: \(m_t = f'(2) = 2\). 4. Tangentengleichung aufstellen: \(y = 2(x - 2) + 4 = 2x\). 5. Normalensteigung bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}\). 6. Normalengleichung aufstellen: \(y = -\frac{1}{2}(x - 2) + 4 = -\frac{1}{2}x + 5\).

Tangente: \(t(x) = 2x\) Normale: \(n(x) = -\frac{1}{2}x + 5\)

- Wie hängen die Steigungen einer Tangente und der zugehörigen Normalen zusammen? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Was bedeutet eine Steigung von 0 für den Verlauf einer Geraden und was bedeutet das für die darauf senkrecht stehende Normale? - Erinnere dich an die Definition einer Funktion: Kann ein \(x\)-Wert mehreren \(y\)-Werten zugeordnet werden?

1. Funktionswert und Ableitung berechnen: \(f(1) = 2 \cdot 1^2 - 4 = -2\) und \(f'(x) = 4x\), also \(f'(1) = 4\). 2. Steigung der Normalen bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{f'(1)} = -\frac{1}{4}\). 3. Normalengleichung aufstellen: \(y = -\frac{1}{4}(x - 1) - 2 = -\frac{1}{4}x - \frac{7}{4}\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(x=0\) einsetzen ergibt \(S_y(0 \mid -1{,}75)\). 5. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(0 = -\frac{1}{4}x - \frac{7}{4} \Rightarrow x = -7\), also \(S_x(-7 \mid 0)\). 6. Untersuchung für \(x = 0\): Da \(f'(0) = 0\) ist, verläuft die Tangente horizontal. Die Normale steht senkrecht darauf und ist somit eine vertikale Gerade durch den Punkt \((0 \mid -4)\). Die Gleichung einer vertikalen Geraden lautet \(x = 0\). Da einem \(x\)-Wert unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet wären, liegt keine Funktion vor, weshalb die Form \(y = m \cdot x + c\) nicht möglich ist.

a) \(n: y = -0{,}25x - 1{,}75\) b) \(S_y(0 \mid -1{,}75)\) und \(S_x(-7 \mid 0)\) c) Die Normale ist die \(y\)-Achse (\(x = 0\)). Eine vertikale Gerade hat keine definierte Steigung \(m\) und ist keine Funktion.

- Wie hängen die Steigungen einer Tangente und einer Normalen im selben Punkt zusammen? - Überlege dir eine Gleichung für die Normale an einer allgemeinen Stelle \(u\). - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Denke an den Spezialfall, in dem die Tangente parallel zur x-Achse verläuft.

1. Berechnung der Ableitung: \(f'(x) = 2x\). 2. Bestimmung der Normalensteigung \(m_n\) in Abhängigkeit von \(u\): Für \(u \neq 0\) gilt \(m_n = -\frac{1}{f'(u)} = -\frac{1}{2u}\). 3. Aufstellen der Normalengleichung: \(y - u^2 = -\frac{1}{2u}(x - u)\). 4. Einsetzen des Punktes \(A(0|1{,}5)\) in die Normalengleichung: \(1{,}5 - u^2 = -\frac{1}{2u}(0 - u)\). 5. Lösen der Gleichung: \(1{,}5 - u^2 = 0{,}5 \Rightarrow u^2 = 1 \Rightarrow u_1 = 1; u_2 = -1\). Die zugehörigen Punkte sind \(P_1(1|1)\) und \(P_2(-1|1)\). 6. Untersuchung des Falls \(u = 0\): Da \(f'(0) = 0\), ist die Tangente im Ursprung horizontal (die x-Achse). Die Normale ist somit die y-Achse (\(x = 0\)). Da der Punkt \(A(0|1{,}5)\) auf der y-Achse liegt, ist auch \(P_3(0|0)\) eine Lösung.

Die möglichen Koordinaten für den Punkt \(P\) sind \(P_1(1|1)\), \(P_2(-1|1)\) und \(P_3(0|0)\).

- Nutze die allgemeine Formel für die Normalengleichung an einer Stelle \(a\). - Wie lautet die Ableitung der Wurzelfunktion? - Um den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse zu finden, musst du die Normalengleichung gleich null setzen. - Überlege am Ende, was es mathematisch bedeutet, wenn eine Differenz zweier Werte nicht mehr von der Variablen \(a\) abhängt.

1. Ableitung bilden: \(f(x) = x^{0{,}5} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). 2. Normalensteigung an der Stelle \(a\): \(m_n = -\frac{1}{f'(a)} = -2\sqrt{a}\). 3. Normalengleichung aufstellen: \(y = -2\sqrt{a}(x - a) + \sqrt{a}\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse berechnen: Setze \(y = 0\). \(0 = -2\sqrt{a}(x - a) + \sqrt{a}\) \(2\sqrt{a}(x - a) = \sqrt{a}\) Da \(a > 0\), kann durch \(\sqrt{a}\) dividiert werden: \(2(x - a) = 1 \Rightarrow x - a = 0{,}5\). 5. Die \(x\)-Koordinate von \(S_x\) ist somit \(x_S = a + 0{,}5\). 6. Differenz bilden: \(x_S - a = (a + 0{,}5) - a = 0{,}5\). Dieser Wert ist konstant und unabhängig von \(a\).

a) \(n_a: y = -2\sqrt{a} \cdot x + 2a\sqrt{a} + \sqrt{a}\) b) Der Schnittpunkt liegt bei \(x_S = a + 0{,}5\). Die Differenz \(x_S - a = 0{,}5\) ist konstant.

- Nutze die Potenzregel, um die Ableitung von \(f(x) = x^{-1}\) zu finden. - Erinnere dich an die Beziehung zwischen der Tangentensteigung und der Normalensteigung. - Stelle eine allgemeine Gleichung für die Normale auf und setze die Koordinaten des Ursprungs ein. - Wie viele reelle Lösungen hat die Gleichung \(a^4 = 1\)?

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f(x) = x^{-1} \Rightarrow f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). 2. Steigung der Normalen an der Stelle \(a\) bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{f'(a)} = -\frac{1}{-1/a^2} = a^2\). 3. Punkt-Steigungs-Form der Normalengleichung im Punkt \(P(a|\frac{1}{a})\) aufstellen: \(y - \frac{1}{a} = a^2(x - a)\). 4. Da die Normale durch \(O(0|0)\) verläuft, Koordinaten einsetzen: \(0 - \frac{1}{a} = a^2(0 - a)\). 5. Gleichung lösen: \(-\frac{1}{a} = -a^3 \Rightarrow 1 = a^4\). 6. Reelle Lösungen für \(a\) bestimmen: \(a_1 = 1\) und \(a_2 = -1\). 7. Koordinaten der Punkte berechnen: Für \(a=1\) ist \(f(1)=1\), also \(P_1(1|1)\). Für \(a=-1\) ist \(f(-1)=-1\), also \(P_2(-1|-1)\).

Die Werte sind \(a_1 = 1\) und \(a_2 = -1\). Die zugehörigen Punkte auf dem Graphen sind \(P_1(1|1)\) und \(P_2(-1|-1)\).