Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche Steigung hat die Tangente am tiefsten Punkt der Parabel? - Beobachte, ob der Graph rechts von \(x=2\) steigt oder fällt.

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=2\) eine waagerechte Tangente. Deshalb gilt \(f'(2)=0\). 2. Für \(x>2\) steigt der Graph von \(f\). Daher sind dort die Tangentensteigungen und damit die Werte von \(f'\) positiv.

1. Der Graph von \(f'\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). 2. Für \(x>2\) gilt \(f'(x)>0\).

- Was sagt der Wert der Ableitung über die Steigung der ursprünglichen Funktion aus? - Erinnere dich daran, welche Steigung eine Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt hat. - Suche im Graphen nach Stellen, an denen die Funktion weder steigt noch fällt.

1. Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) entsprechen den Stellen, an denen der Graph der Funktion \(f\) eine waagerechte Tangente besitzt, also die lokale Steigung \(0\) aufweist. 2. Im Graphen von \(f\) erkennt man lokale Extrempunkte (ein Maximum und ein Minimum) bei den Stellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 3. An diesen Stellen ist die Steigung der Funktion null, folglich gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 4. Die gesuchten Nullstellen von \(f'\) liegen somit bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\).

Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). An diesen Stellen hat der Graph von \(f\) Extrempunkte und somit eine waagerechte Tangente (Steigung \(0\)).

- Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über den Verlauf des Funktionsgraphen aus? - In welchen Bereichen steigt der Graph von links nach rechts? - Bestimme die Stellen, an denen der Graph seine Richtung von fallend zu steigend oder umgekehrt ändert.

Die Ableitungsfunktion \(g'\) gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von \(g\) an. Ein positiver Wert von \(g'(x)\) bedeutet, dass \(g\) an dieser Stelle streng monoton steigt. 1. Für \(-4 < x < -2\) fällt der Graph, also ist \(g'(x) < 0\). 2. Bei \(x = -2\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor, also gilt \(g'(-2) = 0\). 3. Für \(-2 < x < 0\) steigt der Graph, also ist \(g'(x) > 0\). 4. Bei \(x = 0\) liegt ein lokaler Hochpunkt vor, also gilt \(g'(0) = 0\). 5. Für \(0 < x < 2\) fällt der Graph, also ist \(g'(x) < 0\). 6. Bei \(x = 2\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor, also gilt \(g'(2) = 0\). 7. Für \(2 < x < 4\) steigt der Graph, also ist \(g'(x) > 0\). Somit gilt im dargestellten Bereich \(g'(x) > 0\) für \(x \in (-2; 0)\) und \(x \in (2; 4)\).

Im dargestellten Bereich nimmt \(g'\) für \(x \in (-2; 0)\) und \(x \in (2; 4)\) positive Werte an, weil \(g\) dort streng monoton steigt.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Kurve und ihrer Ableitung. - Wie sieht die Tangente an einem Punkt aus, wenn die Ableitung dort null ist? - Welche besonderen Punkte eines Graphen haben eine waagerechte Tangente?

1. Geometrische Bedeutung der Ableitung: Der Wert \(f'(x)\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen an der Stelle \(x\). 2. Bedingung für eine horizontale Tangente: Die Ableitung ist genau dann null, wenn die Tangente waagerecht verläuft. Dies ist an lokalen Extrempunkten der Fall. 3. Auswertung der Punkte: - Punkt \(A\) ist ein lokaler Tiefpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_A) = 0\). - Punkt \(B\) ist ein lokaler Hochpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_B) = 0\). - Punkt \(C\) liegt in einem fallenden Bereich, also \(f'(x_C) < 0\). - Punkt \(D\) ist ein lokaler Tiefpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_D) = 0\). 4. Ergebnis: An den Punkten \(A, B\) und \(D\) gilt \(f'(x) = 0\).

An den Punkten \(A, B\) und \(D\) ist die Ableitung \(f'(x) = 0\), da der Graph dort lokale Extrempunkte (Tief- bzw. Hochpunkte) besitzt und die Tangenten somit waagerecht verlaufen.

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph einen Hoch- oder Tiefpunkt hat. - Was weißt du über die Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt? - Überlege, ob der Graph bei \(x = 0\) steigt oder fällt.

1. Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \(x = -2\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 2\). 2. An Extremstellen verläuft die Tangente waagerecht. Somit gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 3. Im Bereich um \(x = 0\) ist der Graph streng monoton fallend. Folglich ist die Ableitung dort negativ, also \(f'(0) < 0\).

a) Die Ableitungsfunktion nimmt bei \(x = -2\) und \(x = 2\) den Wert \(0\) an, da der Graph dort Extrempunkte mit waagerechter Tangente hat. b) \(f'(0) < 0\), da der Graph bei \(x = 0\) fällt.

- Die \(x\)-Koordinate eines Punktes von \(f'\) ist dieselbe Stelle, an der du die Tangente an \(f\) betrachtest. - Die zugehörige \(y\)-Koordinate im Ableitungsgraphen ist die Tangentensteigung. - Lies jede Tangente unabhängig von den anderen ab.

1. Bei \(x=-2\) hat die Tangente die Steigung \(-2\). Daher gehört \((-2\mid-2)\) zum Graphen von \(f'\). 2. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. Daher gehört \((0\mid0)\) zum Graphen von \(f'\). 3. Bei \(x=2\) hat die Tangente die Steigung \(2\). Daher gehört \((2\mid2)\) zum Graphen von \(f'\).

\((-2\mid-2)\), \((0\mid0)\), \((2\mid2)\).

- Ein Ableitungswert ist die Steigung der Tangente an der betreffenden Stelle. - Lies für jede eingezeichnete Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Für die übrigen Stellen genügt die Frage, ob der Graph dort steigt, fällt oder waagerecht verläuft.

1. Auf \(t_1\) liegen zum Beispiel \((-2|0)\) und \(A(0|2)\). Daher ist \(f'(0)=\frac{2-0}{0-(-2)}=1\). 2. Auf \(t_2\) liegen zum Beispiel \(B(4|2)\) und \((6|0)\). Daher ist \(f'(4)=\frac{0-2}{6-4}=-1\). 3. Bei \(x=2\) ist die Tangente waagerecht, also \(f'(2)=0\). 4. Bei \(x=5\) fällt der Graph, also \(f'(5)<0\). 5. Bei \(x=-2\) steigt der Graph, also \(f'(-2)>0\).

a) \(f'(0)=1\) und \(f'(4)=-1\) b) \(f'(2)=0\), \(f'(5)<0\), \(f'(-2)>0\)

- Trenne Funktionswerte von lokalen Steigungen. - Suche zuerst die waagerechten Tangenten. - Prüfe dann, wo der Graph steigt oder fällt. - Welche Eigenschaften des Ableitungsgraphen sind damit festgelegt und welche nicht?

1. A ist falsch. Bei \(x=0\) fällt der Graph, also ist \(f'(0)<0\). Der Funktionswert sagt nichts über die Tangentensteigung aus. 2. B ist wahr. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) sind die Tangenten waagerecht. 3. C ist wahr. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt der Graph, daher ist \(f'(x)<0\). 4. D ist falsch. Aus dem Graphen lassen sich Nullstellen und Vorzeichen von \(f'\) erschließen, aber ohne zusätzliche Information nicht die exakte Kurvenform von \(f'\).

A) Falsch — bei \(x=0\) fällt \(f\), also ist \(f'(0)<0\). B) Wahr — bei \(x=-2\) und \(x=2\) sind die Tangenten waagerecht. C) Wahr — im Intervall \((-2;2)\) fällt \(f\). D) Falsch — Nullstellen und Vorzeichen legen die exakte Form von \(f'\) nicht fest.

- Suche im Graphen von \(f\) zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Welche Werte muss \(f'\) an diesen Stellen haben? - Prüfe anschließend, wo der Graph von \(f\) fällt und welches Vorzeichen \(f'\) dort haben muss.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Deshalb muss \(f'(-1)=0\) und \(f'(3)=0\) gelten. Damit scheiden c und d aus. 2. Zwischen \(x=-1\) und \(x=3\) fällt der Graph von \(f\). Daher muss \(f'(x)<0\) für \(-1<x<3\) gelten. 3. Nur Kandidat a liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse. Daher stellt a die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Kandidat a stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

- Suche die Stellen, an denen der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente besitzt. - Wo steigt der Graph von \(f\), und welches Vorzeichen hat \(f'\) dort? - Nutze zwei Punkte der eingezeichneten Tangente, um ihre Steigung zu bestimmen.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher sind dies die Nullstellen von \(f'\). 2. Zwischen \(-1\) und \(1\) steigt der Graph von \(f\). Deshalb gilt dort \(f'(x)>0\). 3. Die Tangente \(t\) verläuft durch \(P(0\mid1)\) und \((1\mid2{,}5)\). Ihre Steigung ist \(\frac{2{,}5-1}{1-0}=1{,}5\). Somit gilt \(f'(0)=1{,}5\).

a) \(x_1=-1\) und \(x_2=1\). b) \(f'(x)>0\) für \(x\in(-1;1)\). c) \(f'(0)=1{,}5\).

- Nutze die gegebene Monotonie nur in der Richtung von \(f\) zu möglichen Vorzeichen von \(f'\). - Was folgt an den beiden Stellen, an denen \(f\) sein Monotonieverhalten wechselt und zugleich differenzierbar ist? - Vergleiche anschließend die Nullstellen und Vorzeichenbereiche der drei Kandidaten.

1. Aus der angegebenen strengen Monotonie folgt als notwendige Bedingung: Für \(x<-1\) und \(x>3\) gilt \(f'(x)\ge0\), für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)\le0\). Die Umkehrung „\(f'\ge0\) bedeutet streng monoton zunehmend“ ist ohne Zusatzbedingungen nicht allgemein richtig. 2. Da \(f\) bei \(x=-1\) von strenger Zunahme zu strenger Abnahme und bei \(x=3\) wieder zu strenger Zunahme wechselt und dort differenzierbar ist, gilt \(f'(-1)=0\) und \(f'(3)=0\). 3. Graph III scheidet aus, weil seine Nullstellen nicht bei \(-1\) und \(3\) liegen. 4. Graph I ist außerhalb von \((-1;3)\) nichtnegativ und innerhalb nichtpositiv. Graph II zeigt die umgekehrten Vorzeichen. 5. Daher kann Graph I der Graph von \(f'\) sein.

Graph I kann der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) sein.

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Lies zwei Gitterpunkte auf der eingezeichneten Tangente ab. - Für das Vorzeichen von \(f'\) genügt die Frage, wo \(f\) steigt.

1. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten. Daher sind dies die Nullstellen von \(f'\). 2. Auf \(t\) liegen die gut ablesbaren Punkte \((-1\mid3)\) und \((1\mid-3)\). Daher ist \(f'(0)=\frac{-3-3}{1-(-1)}=-3\). 3. Im dargestellten Bereich steigt \(f\) für \(-5\le x<-2\) und für \(2<x\le5\). Dort gilt \(f'(x)>0\).

a) \(x=-2\), \(x=2\) b) \(f'(0)=-3\) c) \([-5;-2)\) und \((2;5]\)

- Wie hängen die lokalen Extrema einer Funktion mit ihrer Ableitung zusammen? - Welche Steigung hat eine waagerechte Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt? - Wie ist die Ableitung \(f'(x_0)\) geometrisch definiert? - Lies zwei Punkte der eingezeichneten Tangente \(t\) ab und berechne daraus ihre Steigung. - In welchen Bereichen fällt der Graph der Funktion \(f\), und was bedeutet das für das Vorzeichen der Ableitung?

1. Die Nullstellen von \(f'\) entsprechen den Stellen, an denen der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. Aus dem Hochpunkt bei \(x = -3\) und dem Tiefpunkt bei \(x = 3\) folgen die Nullstellen \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\). 2. Der Wert \(f'(0)\) entspricht der Steigung der Tangente \(t\) im Punkt \((0 \mid 0)\). Die Tangente verläuft außerdem durch \((2 \mid -3)\). Daher ist \(f'(0) = \frac{-3 - 0}{2 - 0} = -1{,}5\). 3. Zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt fällt der Graph von \(f\). An den Randstellen ist die Ableitung gleich null. Daher gilt \(f'(x) < 0\) genau für \(x \in (-3; 3)\).

a) \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\). b) \(f'(0) = -1{,}5\). c) \(f'(x) < 0\) für \(x \in (-3; 3)\).

- Suche zuerst die Stellen, an denen \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. - Welche Kandidatengraphen haben dort den Wert \(0\)? - Prüfe danach, welches Vorzeichen die Ableitung in einem Bereich haben muss, in dem der Graph von \(f\) fällt.

1. Bei \(x\approx-0{,}15\) und \(x\approx2{,}15\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(f'\) an diesen beiden Stellen Nullstellen besitzen. Das trifft auf \(g\) und \(h\) zu; \(k\) scheidet aus. 2. Zwischen diesen beiden Stellen fällt der Graph von \(f\). Deshalb muss die Ableitung dort negativ sein. 3. Der Graph \(g\) liegt in diesem Bereich unterhalb der \(x\)-Achse, der Graph \(h\) oberhalb. 4. Daher stellt \(g\) die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Der Graph \(g\) stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

- Eine waagerechte Tangente entspricht dem Ableitungswert \(0\). - Schätze \(f'(2)\) über die lokale Steilheit des Graphen. - Entscheide links und rechts des Ursprungs getrennt, ob der Graph steigt oder fällt.

1. (A) ist wahr. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. 2. (B) ist wahr. Bei \(x=2\) kann eine Tangentensteigung von ungefähr \(-1\) abgeschätzt werden. 3. (C) ist wahr. Rechts vom Ursprung fällt der dargestellte Graph. 4. (D) ist falsch. Links vom Ursprung steigt der dargestellte Graph, also ist \(f'(x)>0\).

(A) Wahr — bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. (B) Wahr — bei \(x=2\) ist die lokale Steigung ungefähr \(-1\). (C) Wahr — für \(x>0\) fällt \(f\) im dargestellten Bereich. (D) Falsch — für \(x<0\) steigt \(f\) im dargestellten Bereich.

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Nutze Steigen und Fallen für das Vorzeichen von \(g'\). - Prüfe die beiden in (D) genannten Stellen direkt am dargestellten Graphen.

1. (A) ist wahr. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) sind die Tangenten waagerecht. 2. (B) ist wahr. Zwischen diesen Stellen fällt \(g\). 3. (C) ist falsch. Bei \(x=0\) fällt \(g\), also ist \(g'(0)<0\). 4. (D) ist wahr. Bei \(x=-1{,}5\) und \(x=1{,}5\) steigt der dargestellte Graph.

(A) Wahr (B) Wahr (C) Falsch (D) Wahr

- Suche zuerst die waagerechte Tangente. - Prüfe links und rechts davon, ob \(f\) steigt oder fällt. - Vergleiche zusätzlich die Steilheit nahe bei \(0\) mit der Steilheit weiter außen.

1. Bei \(x=0\) besitzt \(f\) eine waagerechte Tangente. Daher ist \(f'(0)=0\). 2. Für \(x<0\) steigt \(f\), also ist \(f'(x)>0\). Für \(x>0\) fällt \(f\), also ist \(f'(x)<0\). 3. Je weiter man sich im dargestellten Bereich von \(x=0\) entfernt, desto steiler wird \(f\). Daher wächst der Betrag \(|f'(x)|\) dort.

1. \(f'(0)=0\). 2. Links von \(0\) ist \(f'>0\), rechts von \(0\) ist \(f'<0\); im dargestellten Bereich nimmt \(|f'|\) beim Entfernen von \(0\) zu.

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe links und rechts von \(0\), ob der Graph steigt oder fällt. - Überlege für die Symmetrieaussage, wie sich Tangentensteigungen bei Spiegelung an der y-Achse verhalten.

1. (1) ist wahr. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. 2. (2) ist wahr. Links vom Ursprung steigt der dargestellte Graph. 3. (3) ist falsch. Im dargestellten Intervall ist nur bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente sichtbar. 4. (4) ist wahr. Bei \(x=1\) fällt \(g\). 5. (5) ist wahr. Wegen der Achsensymmetrie von \(g\) haben die Tangenten an \(x\) und \(-x\) entgegengesetzte Steigungen gleichen Betrags.

(1) Wahr — bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. (2) Wahr — links vom Ursprung steigt \(g\) im dargestellten Bereich. (3) Falsch — im dargestellten Intervall ist nur \(x=0\) eine Nullstelle von \(g'\). (4) Wahr — bei \(x=1\) fällt \(g\). (5) Wahr — aus der Achsensymmetrie von \(g\) folgt Punktsymmetrie der lokalen Steigungen.

- Eine waagerechte Tangente liefert einen Punkt des Ableitungsgraphen auf der x-Achse. - Bestimme die Steigungen von \(r\) und \(s\) aus Gitterpunkten. - Trage die erhaltenen Punkte gedanklich in ein Koordinatensystem für \(f'\) ein und nutze die gegebene Geradenform.

1. Bei \(x=2\) besitzt \(f\) eine waagerechte Tangente. Daher ist \(f'(2)=0\). 2. Die Tangente \(r\) bei \(x=0\) hat die Steigung \(-2\), also \(f'(0)=-2\). 3. Die Tangente \(s\) bei \(x=4\) hat die Steigung \(2\), also \(f'(4)=2\). 4. Die drei Punkte \((0\mid-2)\), \((2\mid0)\), \((4\mid2)\) liegen auf der gegebenen Geraden \(f'\). Ihre Gleichung ist \(f'(x)=x-2\).

\(f'(x)=x-2\)

- Was folgt aus der waagerechten Tangente für \(f'(1)\)? - Prüfe getrennt links und rechts von \(x=1\), ob \(f\) steigt oder fällt. - Ein Ableitungswert \(0\) bedeutet nicht automatisch einen Vorzeichenwechsel.

1. Wegen der waagerechten Tangente gilt \(f'(1)=0\). 2. Links und rechts von \(x=1\) steigt \(f\). Deshalb ist \(f'(x)>0\) auf beiden Seiten. 3. Die Nullstelle von \(f'\) bei \(x=1\) ist daher mit keinem Vorzeichenwechsel verbunden.

\(f'(1)=0\). Links und rechts von \(x=1\) ist \(f'(x)>0\); an der Nullstelle findet kein Vorzeichenwechsel statt.

- Suche zuerst den unveränderten Ausgangsgraphen. - Eine Addition außerhalb von \(f\) verändert alle \(y\)-Koordinaten um denselben Betrag. - Bei \(f(x-c)\) verschiebt sich der Graph nach rechts. - Bei \(f(x+c)\) verschiebt sich der Graph nach links.

1. Graph II gehört zu \(f\): Er verläuft durch den Ursprung; außerdem liegen seine charakteristischen Hoch- und Tiefpunkte bei denselben \(x\)-Stellen wie im unveränderten Ausgangsgraphen. 2. Bei \(g(x)=f(x)+2\) werden alle \(y\)-Werte um \(2\) erhöht. Graph IV ist daher gegenüber Graph II um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Bei \(h(x)=f(x-2)\) wandert jeder Punkt des Ausgangsgraphen um \(2\) Einheiten nach rechts. Das ist Graph III. 4. Bei \(j(x)=f(x+2)\) wandert jeder Punkt des Ausgangsgraphen um \(2\) Einheiten nach links. Das ist Graph I.

Graph I: \(j(x)=f(x+2)\) Graph II: \(f(x)\) Graph III: \(h(x)=f(x-2)\) Graph IV: \(g(x)=f(x)+2\)

- Entscheide zuerst, welches Vorzeichen die Tangentensteigungen überall haben. - Vergleiche die Steilheit des Graphen an mehreren Stellen von links nach rechts. - Beschreibe nur das, was sich aus den Tangentensteigungen des dargestellten Graphen ableiten lässt.

1. Der Graph von \(f\) steigt im gesamten dargestellten Bereich. Seine Tangentensteigungen sind daher positiv, sodass der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt und keine Nullstelle besitzt. 2. Von links nach rechts wird der Graph von \(f\) immer steiler. Entsprechend werden auch die Werte von \(f'\) größer. 3. Weit links wird der Graph von \(f\) immer flacher. Daher nähern sich die positiven Tangentensteigungen dort dem Wert \(0\).

Der Graph von \(f'\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse und besitzt keine Nullstelle. Seine Werte werden von links nach rechts größer; weit links nähern sie sich \(0\).

- Betrachte jeden Ast des Graphen getrennt. - Entscheide jeweils, ob der Graph von links nach rechts steigt oder fällt. - Welches Vorzeichen hat die Steigung einer fallenden Tangente?

1. Für \(x<0\) fällt der Graph von \(f\). Jede Tangente hat dort eine negative Steigung. Daher gilt \(f'(x)<0\). 2. Auch für \(x>0\) fällt der Graph von \(f\). Daher gilt dort ebenfalls \(f'(x)<0\). 3. Somit liegt der Graph von \(f'\) an allen definierten Stellen unterhalb der \(x\)-Achse.

Für \(x<0\) und für \(x>0\) gilt \(f'(x)<0\).

- Bestimme Tangentensteigungen aus zwei gut ablesbaren Punkten auf der jeweiligen Geraden. - Suche die Stelle, an der der Graph von fallend zu steigend wechselt, und verbinde das mit einer waagerechten Tangente. - Vergleiche bei \(x=1\) und \(x=3\) die Richtung und Steilheit der lokalen Tangenten.

1. Ableitung bei \(x = 0\): Die Tangente verläuft durch \((0 \mid -1)\) und \((1 \mid -2)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-2 - (-1)}{1 - 0} = -1\). Also \(g'(0) = -1\). 2. Ableitung bei \(x = 4\): Die Tangente verläuft durch \((4 \mid -1)\) und \((5 \mid 0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - (-1)}{5 - 4} = 1\). Also \(g'(4) = 1\). 3. Stelle mit Ableitung \(0\): Am Scheitelpunkt \(S(2 \mid -2)\) ist die Tangente waagerecht. Es gilt \(g'(2) = 0\). Der Fachbegriff für \(S\) ist Scheitelpunkt oder lokales Minimum (Tiefpunkt). 4. Vergleich der Steigungen: Bei \(x = 1\) fällt der Graph (negative Steigung), bei \(x = 3\) steigt der Graph (positive Steigung). Somit ist \(g'(3) > g'(1)\).

a) \(g'(0) = -1\) und \(g'(4) = 1\). b) An der Stelle \(x = 2\) ist \(g'(x) = 0\); \(S\) ist der Scheitelpunkt beziehungsweise Tiefpunkt. c) Die Steigung bei \(x = 3\) ist größer.

- Suche zuerst die Stelle mit waagerechter Tangente. - Prüfe links und rechts davon, ob \(f\) steigt oder fällt. - Vergleiche die daraus folgenden Vorzeichen mit den beiden Kandidaten.

1. Der Graph von \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einer waagerechten Tangente bei \(x=0\). Daher muss \(f'(0)=0\) gelten. Beide Kandidaten erfüllen diese Bedingung. 2. Für \(x<0\) fällt der Graph von \(f\), deshalb muss \(f'(x)<0\) sein. Für \(x>0\) steigt der Graph von \(f\), deshalb muss \(f'(x)>0\) sein. 3. Nur Graph 1 zeigt diese Vorzeichenverteilung. Daher ist Graph 1 die Ableitungsfunktion.

Graph 1 ist die Ableitungsfunktion \(f'\).

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente im Graphen von \(g\). - Prüfe, ob der Graph zwischen diesen Stellen steigt oder fällt. - Welcher Kandidat hat in diesem Bereich das passende Vorzeichen?

1. Der Graph von \(g\) besitzt ungefähr bei \(x\approx-1{,}73\) und \(x\approx1{,}73\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(g'\) an diesen Stellen Nullstellen besitzen. Beide Kandidaten erfüllen dies. 2. Zwischen diesen beiden Stellen fällt der Graph von \(g\). Deshalb muss \(g'(x)<0\) gelten. 3. Graph 3 liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse, Graph 4 dagegen oberhalb. 4. Somit stellt Graph 3 die Ableitungsfunktion \(g'\) dar.

Graph 3 ist die Ableitungsfunktion \(g'\).

- Lies die Steigungen der beiden eingezeichneten Tangenten ab. - Übertrage die Ableitungswerte als Punkte \((x\mid f'(x))\). - Nutze die gegebene Geradenform, um den Funktionsterm von \(f'\) zu bestimmen. - Welche Tangentensteigung hat \(f\) am Scheitelpunkt?

1. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht, also \(f'(0)=0\). 2. Die Tangente bei \(x=2\) verläuft zum Beispiel durch \((1\mid4)\) und \((2\mid2)\). Ihre Steigung ist \(-2\), also \(f'(2)=-2\). 3. Die gegebene Gerade \(f'\) verläuft somit durch \((0\mid0)\) und \((2\mid-2)\). Daher ist \(f'(x)=-x\). 4. Am Scheitelpunkt von \(f\) ist die Tangente waagerecht. Deshalb ist dessen x-Koordinate eine Nullstelle von \(f'\).

\(f'(0)=0\), \(f'(2)=-2\), \(f'(x)=-x\). Die x-Koordinate des Scheitelpunkts von \(f\) ist eine Nullstelle von \(f'\).

- Lies die Steigungen der orangefarbenen Tangenten anhand des Gitters ab. - Wo hat die Sinuskurve ihre Hoch- und Tiefpunkte? Was ist dort die Tangentensteigung? - Vergleiche die Folge der Steigungswerte mit bekannten trigonometrischen Funktionen.

1. Steigungen bestimmen: - Bei \(x = 0\) steigt die Tangente pro Einheit nach rechts um eine Einheit. Also gilt \(f'(0) = 1\). - Bei \(x = \frac{\pi}{2}\) ist die Tangente waagerecht. Also gilt \(f'(\frac{\pi}{2}) = 0\). - Bei \(x = \pi\) fällt die Tangente pro Einheit nach rechts um eine Einheit. Also gilt \(f'(\pi) = -1\). - Bei \(x = \frac{3\pi}{2}\) ist die Tangente waagerecht. Also gilt \(f'(\frac{3\pi}{2}) = 0\). - Bei \(x = 2\pi\) steigt die Tangente wieder pro Einheit nach rechts um eine Einheit. Also gilt \(f'(2\pi) = 1\). 2. Der Graph der Ableitungsfunktion verläuft durch \((0 \mid 1)\), \(\left(\frac{\pi}{2} \mid 0\right)\), \((\pi \mid -1)\), \(\left(\frac{3\pi}{2} \mid 0\right)\) und \((2\pi \mid 1)\). 3. Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion: \(f'(x) = \cos(x)\).

Die Steigungen sind \(f'(0) = 1\), \(f'(\frac{\pi}{2}) = 0\), \(f'(\pi) = -1\), \(f'(\frac{3\pi}{2}) = 0\) und \(f'(2\pi) = 1\); die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = \cos(x)\).

- Lies für jede Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Übertrage jede Tangentensteigung als y-Koordinate in einen Punkt des Ableitungsgraphen. - Prüfe, welches Muster die drei Punkte bilden. - Unterscheide zwischen einer durch die Punkte gestützten Vermutung und einem Beweis für den gesamten Graphen.

1. Aus den Tangenten liest man die Steigungen \(-2,0,2\) ab. 2. Damit erhält man die Punkte \((-2\mid-2)\), \((0\mid0)\) und \((2\mid2)\) auf dem Graphen von \(f'\). 3. Die drei Punkte liegen auf einer Geraden. Sie legen daher einen linearen Verlauf von \(f'\) nahe. 4. Drei einzelne Punkte allein beweisen jedoch nicht, dass der gesamte Graph von \(f'\) eine Gerade ist; dafür wäre zusätzliche Information über weitere Steigungen oder den Funktionstyp nötig.

a) \(-2,0,2\) b) \((-2\mid-2)\), \((0\mid0)\), \((2\mid2)\) c) Die Punkte liegen auf einer Geraden und legen einen linearen Verlauf nahe; aus drei Punkten allein folgt die gesamte Form von \(f'\) noch nicht sicher.

- Suche im Temperaturgraphen zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Welche Kandidaten haben an denselben Zeitpunkten den Wert \(0\)? - Prüfe anschließend das Vorzeichen der Änderungsrate in einem Zeitraum, in dem die Temperatur fällt.

1. Bei \(t=3\) und \(t=7\) besitzt der Temperaturgraph waagerechte Tangenten. Die Änderungsrate muss daher bei \(t=3\) und \(t=7\) den Wert \(0\) haben. 2. Kandidat d hat nur eine Nullstelle, Kandidat c die Nullstellen an anderen Stellen. Es bleiben a und b. 3. Zwischen \(t=3\) und \(t=7\) fällt die Temperatur. Die Änderungsrate muss dort negativ sein. 4. Nur Kandidat a liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(t\)-Achse. Daher ist a der gesuchte Graph.

Kandidat a stellt die momentane Änderungsrate der Temperatur dar.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Extrema einer Funktion und den Nullstellen ihrer Ableitung. - Wie hängen Monotonie (Steigen/Fallen) und das Vorzeichen der Ableitung zusammen? - Betrachte die Tangentenrichtung an den jeweiligen Stellen, um die Steigungen zu vergleichen.

1. Stellen mit \(g'(x) = 0\): Die Ableitung ist an den Stellen null, an denen der Graph von \(g\) eine waagerechte Tangente hat. Dies ist bei den lokalen Extrema der Fall. Aus dem Graphen liest man das lokale Maximum bei \(x = 0\) und das lokale Minimum bei \(x = 2\) ab. Also gilt \(g'(0) = 0\) und \(g'(2) = 0\). 2. Vorzeichen im Intervall \((0; 2)\): In diesem Bereich fällt der Graph von \(g\) (monoton fallend). Eine fallende Funktion hat eine negative Ableitung, daher ist \(g'(x) < 0\) für alle \(x \in (0; 2)\). 3. Vergleich von \(g'(-1)\) und \(g'(1)\): Bei \(x = -1\) steigt der Graph von \(g\), die Steigung \(g'(-1)\) ist also positiv. Bei \(x = 1\) fällt der Graph von \(g\), die Steigung \(g'(1)\) ist also negativ. Da jeder positive Wert größer als jeder negative Wert ist, gilt \(g'(-1) > g'(1)\).

a) \(g'(x) = 0\) für \(x = 0\) und \(x = 2\). b) \(g'(x) < 0\) für \(0 < x < 2\), da \(g\) dort fällt. c) \(g'(-1) > g'(1)\), da die Steigung bei \(x = -1\) positiv und bei \(x = 1\) negativ ist.

- Übersetze waagerechte Tangenten in Nullstellen von \(h'\). - Nutze Steigen und Fallen für das Vorzeichen von \(h'\). - Beziehe die Anzahl der Nullstellen ausdrücklich nur auf den dargestellten Bereich.

1. (1) ist wahr. Bei \(x=-2\) ist die Tangente waagerecht. 2. (2) ist falsch. Bei \(x=0\) fällt \(h\), also ist \(h'(0)<0\). 3. (3) ist wahr. Im gesamten Intervall \([-1;1]\) fällt der Graph. 4. (4) ist wahr. Im dargestellten Bereich sind genau zwei waagerechte Tangenten sichtbar, bei \(x=-2\) und \(x=2\).

(1) Wahr — waagerechte Tangente bei \(x=-2\). (2) Falsch — bei \(x=0\) fällt \(h\). (3) Wahr — auf \([-1;1]\) fällt \(h\). (4) Wahr — im dargestellten Bereich sind zwei waagerechte Tangenten sichtbar.

- Vergleiche für die Funktionswerte die Höhen der markierten Punkte. - Die Steigung an einer Stelle entspricht der Steilheit der Tangente. - Überlege dir bei der Krümmung, in welche Richtung die Kurve gebogen ist. - Achte bei der Steigung auf das Vorzeichen: Eine stark fallende Kurve hat eine sehr kleine, stark negative Steigung.

1. Analyse der Funktionswerte \(f(x)\): Durch Vergleich der Höhen erkennt man, dass die Funktion an den Stellen \(x_1\) und \(x_7\) die höchsten markierten Werte erreicht. Die tiefsten markierten Werte liegen an den lokalen Minima bei \(x_2\) und \(x_6\) vor. 2. Analyse der Steigung \(f'(x)\): Die Steigung ist am größten, wo der Graph am steilsten ansteigt. Dies ist bei \(x_7\) der Fall. Am kleinsten ist die Steigung dort, wo der Graph am steilsten fällt, also bei \(x_1\). 3. Analyse der Krümmung \(f''(x)\): Eine Rechtskrümmung (\(f''(x) < 0\)) liegt im Bereich des lokalen Maximums vor. Von den markierten Stellen trifft dies auf \(x_4\) zu. Die Stellen \(x_3\) und \(x_5\) sind näherungsweise Wendestellen.

a) Am größten ist \(f(x)\) bei \(x_1\) und \(x_7\), am kleinsten bei \(x_2\) und \(x_6\). b) Am größten ist \(f'(x)\) bei \(x_7\), am kleinsten bei \(x_1\). c) Rechtsgekrümmt ist der Graph bei \(x_4\).

- Liegt der jeweilige Punkt oberhalb, auf oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Was sagt die Tangentenrichtung über das Vorzeichen von \(f'\) aus? - Welche Krümmungsart gehört zu einem positiven Wert von \(f''\)?

1. Punkt \(A(1\mid0)\): Der Punkt liegt auf der \(x\)-Achse, also ist \(f(1)=0\). Die Tangente fällt, daher ist \(f'(1)<0\). Der Graph ist linksgekrümmt, also ist \(f''(1)>0\). 2. Punkt \(B(2\mid-0{,}5)\): Der Punkt liegt unterhalb der \(x\)-Achse, also ist \(f(2)<0\). Die Tangente verläuft waagrecht, daher ist \(f'(2)=0\). Der Graph ist linksgekrümmt, also ist \(f''(2)>0\). 3. Punkt \(C(3\mid0)\): Der Punkt liegt auf der \(x\)-Achse, also ist \(f(3)=0\). Der Graph steigt, daher ist \(f'(3)>0\). Die Linkskrümmung bleibt erhalten, also ist \(f''(3)>0\).

<table> <tr><th>Punkt</th><th>\(f(x)\)</th><th>\(f'(x)\)</th><th>\(f''(x)\)</th></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(0\)</td><td>\(-\)</td><td>\(+\)</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(-\)</td><td>\(0\)</td><td>\(+\)</td></tr> <tr><td>\(C\)</td><td>\(0\)</td><td>\(+\)</td><td>\(+\)</td></tr> </table>

- Ein steigender Graph besitzt an der Stelle eine positive erste Ableitung. - Welches Vorzeichen von \(f''\) gehört zur Rechtskrümmung? - Wo verläuft die Tangente waagrecht?

1. Bei \(A\) steigt der Graph und ist rechtsgekrümmt. Daher gilt \(f'(x)>0\) und \(f''(x)<0\). 2. Bei \(B\) liegt die lokale Maximalstelle des Graphen. Die Tangente ist waagrecht, also gilt \(f'(x)=0\). 3. Bei \(C\) fällt der Graph und ist weiterhin rechtsgekrümmt. Daher gilt \(f'(x)<0\) und \(f''(x)<0\).

<table> <tr><th>Beschreibung</th><th>Punkt</th></tr> <tr><td>Der Graph steigt und ist rechtsgekrümmt.</td><td>\(A\)</td></tr> <tr><td>Der Graph hat eine waagrechte Tangente.</td><td>\(B\)</td></tr> <tr><td>Der Graph fällt und ist rechtsgekrümmt.</td><td>\(C\)</td></tr> </table>

- Steigt oder fällt der Graph an der jeweiligen Stelle? - Ist der Graph dort links- oder rechtsgekrümmt? - Übersetze diese beiden Beobachtungen in Vorzeichen von \(f'\) und \(f''\).

1. Bei \(A\) steigt der Graph und ist rechtsgekrümmt. Daher gilt \(f'(1)>0\) und \(f''(1)<0\). 2. Bei \(B\) fällt der Graph und ist linksgekrümmt. Daher gilt \(f'(5)<0\) und \(f''(5)>0\).

\(A\): \(f'(x)>0\) und \(f''(x)<0\) \(B\): \(f'(x)<0\) und \(f''(x)>0\)

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Bestimme die Tangentensteigung bei \(x=0\) aus zwei Gitterpunkten. - Prüfe für Teil 3, in welchen Bereichen der Graph von \(f\) fällt.

1. Bei \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen. 2. Die Tangente verläuft durch \((0\mid1)\) und \((1\mid2{,}2)\). Ihre Steigung beträgt \((2{,}2-1):(1-0)=1{,}2\). Somit gilt \(f'(0)\approx1{,}2\). 3. Der Graph von \(f\) fällt für \(-2<x<-1\) sowie für \(1<x<3\). Deshalb gilt dort \(f'(x)<0\).

1. \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=3\). 2. \(f'(0)\approx1{,}2\). 3. \(f'(x)<0\) für \(x\in(-2;-1)\) und \(x\in(1;3)\).

- Suche im Graphen von \(k\) die Stellen mit waagerechter Tangente. - Welche Kandidaten besitzen an beiden Stellen eine Nullstelle? - Prüfe danach das Vorzeichen im Bereich zwischen diesen Stellen.

1. Bei \(x=0\) und \(x=2\) besitzt der Graph von \(k\) waagerechte Tangenten. Deshalb muss \(k'\) an beiden Stellen Nullstellen besitzen. Graph d scheidet aus, weil er nur eine Nullstelle hat. 2. Die Graphen b und c besitzen die passenden Nullstellen. 3. Zwischen \(x=0\) und \(x=2\) fällt der Graph von \(k\). Daher muss \(k'(x)<0\) gelten. 4. Nur Graph b liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse. Daher stellt b die Ableitungsfunktion \(k'\) dar.

Graph b stellt die Ableitungsfunktion \(k'\) dar.

- Welche Steigung hat die Tangente bei \(x=1\)? - Prüfe getrennt links und rechts der Stelle, ob der Graph von \(h\) steigt oder fällt. - Eine Nullstelle der Ableitung muss nicht mit einem Vorzeichenwechsel verbunden sein.

1. Wegen der waagerechten Tangente gilt \(h'(1)=0\). 2. Links und rechts von \(x=1\) steigt \(h\). Daher ist \(h'(x)>0\) auf beiden Seiten. 3. Somit nimmt \(h'\) bei \(x=1\) den Wert \(0\) an, ohne dass sich das Vorzeichen ändert. Mehr über die genaue Form des Graphen von \(h'\) folgt daraus allein nicht.

\(h'(1)=0\). Links und rechts von \(x=1\) ist \(h'\) positiv; an der Nullstelle findet kein Vorzeichenwechsel statt.

- Suche für \(f'\) nach Stellen mit waagrechter Tangente. - Prüfe für \(f''\), ob sich die Krümmungsart innerhalb eines zusammenhängenden Graphenastes ändert. - Eine Definitionslücke ist keine Wendestelle.

1. Der Graph von \(f\) nimmt auf beiden Teilintervallen seines Definitionsbereichs ab und besitzt keine waagrechte Tangente. Daher hat \(f'\) keine Nullstelle. 2. In jedem der beiden Graphenäste bleibt die Krümmungsart gleich; innerhalb des Definitionsbereichs gibt es keine Wendestelle. Daher hat \(f''\) ebenfalls keine Nullstelle.

\(f'\) hat \(0\) Nullstellen und \(f''\) hat \(0\) Nullstellen.

- Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung der eingezeichneten Tangente. - Welche zwei gut ablesbaren Punkte liegen auf der Tangente? - Achte bei der Interpretation auf die Einheit Höhe pro Zeit.

1. Auf der Tangente lassen sich zum Beispiel die Punkte \((0\mid20)\) und \((10\mid45)\) ablesen. 2. Ihre Steigung ist \(\frac{45-20}{10-0}=2{,}5\). 3. Daher gilt \(h'(10)\approx2{,}5\,\text{m/s}\). Zum Zeitpunkt \(10\,\text{s}\) nimmt die Höhe der Drohne momentan um etwa \(2{,}5\,\text{m}\) pro Sekunde zu.

Die momentane Steiggeschwindigkeit beträgt etwa \(2{,}5\,\text{m/s}\); bei \(t=10\,\text{s}\) gewinnt die Drohne momentan etwa \(2{,}5\,\text{m}\) Höhe pro Sekunde.

- Überlege, ob sich die Steigung einer Geraden von Stelle zu Stelle ändert. - Bestimme die Steigung von \(f\) mithilfe der beiden markierten Punkte. - Jeder Ableitungswert ist hier gleich groß; wie sieht ein Graph mit konstantem y-Wert aus?

1. Aus der Abbildung liest man \(A(0\mid-1)\) und \(B(2\mid3)\) ab. 2. Die Gerade hat die konstante Steigung \(\frac{3-(-1)}{2-0}=2\). 3. Daher gilt an jeder Stelle \(f'(x)=2\). Der Graph von \(f'\) ist also die waagerechte Gerade \(y=2\).

\(f'(x)=2\). Zu skizzieren ist die waagerechte Gerade \(y=2\).

- Suche zunächst die waagerechte Tangente von \(f\). - Lies die Steigungen von \(t_0\) und \(t_4\) aus je zwei Gitterpunkten ab. - Übertrage die drei Ableitungswerte als Punkte in ein Koordinatensystem. - Nutze anschließend die gegebene Geradenform von \(f'\).

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=2\) eine waagerechte Tangente. Daher ist \(f'(2)=0\). 2. Aus \(t_0\) liest man die Steigung \(-2\), also \(f'(0)=-2\). 3. Aus \(t_4\) liest man die Steigung \(2\), also \(f'(4)=2\). 4. Die gegebene Gerade \(f'\) verläuft durch \((0\mid-2)\), \((2\mid0)\) und \((4\mid2)\). Daher ist \(f'(x)=x-2\).

a) \(x=2\) b) \(f'(0)=-2\), \(f'(4)=2\) c) \(f'(x)=x-2\)

- Waagerechte Tangenten von \(f\) liefern Nullstellen von \(f'\). - Lies \(f'(0)\) aus der eingezeichneten Tangente ab. - Nutze Steigen und Fallen von \(f\) für das Vorzeichen von \(f'\). - Die Skizze soll die sicher bestimmten Eigenschaften zeigen; eine Ableitungsregel ist nicht nötig.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten. Daher ist \(f'\) dort null. 2. Die eingezeichnete Tangente bei \(x=0\) hat die Steigung \(-1\). Somit ist \(f'(0)=-1\). 3. Für \(x<-1\) und \(x>1\) steigt der dargestellte Graph von \(f\); dort ist \(f'>0\). 4. Für \(-1<x<1\) fällt \(f\); dort ist \(f'<0\). 5. Eine qualitative Skizze von \(f'\) muss diese Nullstellen, den Punkt \((0\mid-1)\) und die Vorzeichenbereiche erfüllen. Die exakte Kurvenform wird nicht verlangt.

a) \(x=-1\), \(x=1\) b) \(f'(0)=-1\) c) \(f'>0\) für \(x<-1\) und \(x>1\), \(f'<0\) für \(-1<x<1\)

- Auf jedem geraden Abschnitt ist die Steigung konstant. - Bestimme die Steigung jedes Abschnitts getrennt aus zwei Gitterpunkten. - Überlege, was an einer Knickstelle mit der eindeutigen Tangentensteigung passiert.

1. Auf dem linken Geradenstück steigt \(f\) von \((-3\mid-1)\) nach \((-1\mid3)\). Die Steigung ist \(\frac{3-(-1)}{-1-(-3)}=2\). 2. Auf dem mittleren Geradenstück fällt \(f\) von \((-1\mid3)\) nach \((2\mid0)\). Die Steigung ist \(\frac{0-3}{2-(-1)}=-1\). 3. Auf dem rechten Geradenstück steigt \(f\) von \((2\mid0)\) nach \((4\mid2)\). Die Steigung ist \(\frac{2-0}{4-2}=1\). 4. Daher ist \(f'\) auf den drei offenen Intervallen konstant mit den Werten \(2\), \(-1\) und \(1\). An \(x=-1\) und \(x=2\) ist \(f'\) wegen der Knicke nicht definiert.

\(f'(x)=2\) für \(-3<x<-1\), \(f'(x)=-1\) für \(-1<x<2\), \(f'(x)=1\) für \(2<x<4\). Bei \(x=-1\) und \(x=2\) hat der Ableitungsgraph Lücken.

- Das Vorzeichen der Ableitung folgt daraus, ob der Funktionsgraph steigt oder fällt. - Für die Größe des Ableitungswerts ist die lokale Steilheit entscheidend. - Vergleiche die Tangenten, die du dir links und rechts an den Graphen legen würdest.

1. Da \(f\) im gesamten dargestellten Bereich fällt, gilt dort \(f'(x)<0\). 2. Der Graph von \(f\) wird nach rechts flacher. Die negativen Tangentensteigungen nähern sich daher \(0\); die Werte von \(f'\) werden nach rechts größer. 3. Links ist \(f\) deutlich steiler als rechts. Deshalb gilt \(\lvert f'(-2)\rvert>\lvert f'(2)\rvert\). Ein passender Ableitungsgraph liegt vollständig unter der \(x\)-Achse und nähert sich nach rechts der \(x\)-Achse.

a) \(f'(x)<0\) im dargestellten Bereich. b) Die Werte von \(f'\) werden nach rechts größer und nähern sich \(0\). c) \(\lvert f'(-2)\rvert>\lvert f'(2)\rvert\).

- Suche zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente im linken Graphen. - Welche Werte muss die Ableitung an diesen Stellen besitzen? - Prüfe danach, wo der Funktionsgraph steigt oder fällt und welches Vorzeichen \(f'\) dort haben muss. - Vergleiche diese Bedingungen mit den drei Kandidaten.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(f'(-1)=0\) und \(f'(1)=0\) gelten. Kandidat c scheidet damit aus. 2. Für \(x<-1\) und \(x>1\) steigt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x)>0\). Zwischen \(-1\) und \(1\) fällt der Graph, also ist \(f'(x)<0\). 3. Nur Kandidat a besitzt genau dieses Nullstellen- und Vorzeichenverhalten. Daher ist a der Graph von \(f'\).

Kandidat a.

- Prüfe zuerst, ob der Graph steigt, fällt oder waagerecht verläuft. - Für Aussage (3) reicht das Vorzeichen nicht: Vergleiche auch die Stärke der negativen Steigungen links und rechts von \(x=0\). - Formuliere zu jeder Entscheidung eine kurze Begründung aus der lokalen Steigung.

1. (1) ist wahr: Auf \([-1;1]\) fällt \(f\), also sind die lokalen Steigungen negativ. 2. (2) ist wahr: Bei \(x=-2\) ist die Tangente waagerecht. 3. (3) ist falsch: Um \(x=0\) wird die fallende Steigung zunächst stärker negativ und danach wieder weniger negativ. Daher hat \(f'\) dort einen lokalen Tiefpunkt. 4. (4) ist falsch: Bei \(x=3\) steigt \(f\), also ist \(f'(3)>0\).

(1) Wahr — \(f\) fällt auf \([-1;1]\). (2) Wahr — bei \(x=-2\) ist die Tangente waagerecht. (3) Falsch — die lokalen Steigungen sind um \(x=0\) am stärksten negativ; \(f'\) hat dort einen Tiefpunkt. (4) Falsch — bei \(x=3\) steigt \(f\).

- Wo besitzt der Graph waagerechte Tangenten? - Lies zwei Punkte auf der eingezeichneten Tangente \(t\) ab. - In welchem Bereich bewegt sich der Graph beim Lesen von links nach rechts nach unten?

1. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt der Graph waagerechte Tangenten. Daher gilt \(f'(-2)=0\) und \(f'(2)=0\). 2. Die Tangente \(t\) verläuft durch \(W(0|0)\) und \((1|-3)\). Ihre Steigung ist \(-3\). Somit ist \(f'(0)=-3\). 3. Der Graph fällt für \(-2<x<2\).

a) \(x=-2\) und \(x=2\) b) \(f'(0)=-3\) c) Für \(-2<x<2\)

- Bestimme die Tangentensteigung aus zwei gut ablesbaren Punkten der Geraden \(t\). - Suche im Graphen von \(f\) nach Stellen mit waagerechter Tangente. - Vergleiche außerdem, wo \(f\) steigt oder fällt, mit dem Vorzeichen der drei Kandidatengraphen.

1. Die Tangente \(t\) verläuft durch \(P(2\mid2)\) und zum Beispiel durch \((4\mid0)\). Daher ist ihre Steigung \(m=\frac{0-2}{4-2}=-1\). Somit gilt \(f'(2)=-1\). 2. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x\approx0{,}85\) und \(x\approx3{,}15\) waagerechte Tangenten. Dort muss \(f'\) Nullstellen haben. 3. Nur \(g_1\) besitzt Nullstellen an diesen beiden Stellen. Außerdem liegt \(g_1\) dort oberhalb der \(x\)-Achse, wo \(f\) steigt, und unterhalb der \(x\)-Achse, wo \(f\) fällt. 4. Damit ist \(g_1\) der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\).

a) \(f'(2)=-1\). b) \(g_1\) ist der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\).

- Nullstellen von \(f'\) findest du an waagerechten Tangenten von \(f\). - Das Vorzeichen von \(f'\) folgt daraus, ob \(f\) steigt oder fällt. - Beziehe Aussagen nur auf den tatsächlich dargestellten Bereich.

1. (1) ist wahr. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten; weitere sind im dargestellten Bereich nicht zu sehen. 2. (2) ist falsch. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt \(f\), daher ist \(f'(x)<0\) im Inneren. 3. (3) ist wahr. Bei \(x=0\) fällt \(f\). 4. (4) ist wahr. Links von \(x=-2\) steigt der dargestellte Graph, daher sind dort die lokalen Steigungen positiv.

(1) Wahr — im dargestellten Bereich liegen waagerechte Tangenten bei \(x=-2\) und \(x=2\). (2) Falsch — zwischen \(-2\) und \(2\) fällt \(f\). (3) Wahr — bei \(x=0\) fällt \(f\). (4) Wahr — links von \(x=-2\) steigt \(f\) im dargestellten Bereich.

- Beginne mit den Stellen, an denen der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. - Vergleiche anschließend, wo \(f\) steigt oder fällt, mit dem Vorzeichen der angebotenen Funktionsterme. - Wenn noch mehrere Möglichkeiten übrig sind, vergleiche ihre Steigungen an einer gut ablesbaren Stelle mit der Steilheit des Graphen.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(f'(-1)=0\) und \(f'(3)=0\) gelten. Option D scheidet aus, weil sie andere Nullstellen besitzt. 2. Für \(x<-1\) und \(x>3\) steigt der Graph von \(f\). Dort muss \(f'\) positiv sein. Deshalb scheidet Option B aus. 3. Übrig bleiben A und C. In der Umgebung von \(x=1\) fällt der Graph mit einer Steigung von ungefähr \(-2\). Option A liefert \(f'(1)=-2\), Option C dagegen \(f'(1)=-4\), was deutlich zu steil ist. 4. Damit passt Option A zum dargestellten Graphen.

A: \(f'(x)=0{,}5x^2-x-1{,}5\).

- Entscheide bei jeder Stelle, ob \(f\) steigt, fällt oder waagerecht verläuft. - Verknüpfe diese Beobachtung mit dem Vorzeichen beziehungsweise Wert von \(f'\). - Unterscheide besonders sorgfältig zwischen \(f(x)\) und \(f'(x)\).

1. (1) ist wahr. Auf \((0;4)\) steigt \(f\), also gilt \(f'(x)>0\). 2. (2) ist falsch. Bei \(x=2\) steigt der Graph deutlich; die Tangente ist nicht waagerecht. 3. (3) ist wahr. Bei \(x=1\) steigt \(f\). 4. (4) ist falsch. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht, also \(f'(0)=0\). Der Wert \(-2\) ist der Funktionswert \(f(0)\).

(1) Wahr — \(f\) steigt auf \((0;4)\). (2) Falsch — bei \(x=2\) steigt \(f\). (3) Wahr — bei \(x=1\) ist die lokale Steigung positiv. (4) Falsch — bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht; \(-2\) ist \(f(0)\), nicht \(f'(0)\).

- Suche zuerst die waagerechten Tangenten. - Prüfe Vorzeichen von \(f'\) über Steigen und Fallen von \(f\). - Vergleiche für die Symmetrieaussage die lokalen Steigungen bei \(x\) und \(-x\). - Beziehe Aussagen nur auf den dargestellten Bereich.

1. (1) ist wahr. Waagerechte Tangenten liegen bei \(x=-2,0,2\). 2. (2) ist wahr. Rechts von \(x=2\) fällt der dargestellte Graph. 3. (3) ist wahr, weil \(f'(0)=0\). 4. (4) ist falsch. An gegenüberliegenden Stellen haben die Steigungen entgegengesetzte Vorzeichen. 5. (5) ist wahr. Bei \(x=1\) steigt \(f\).

(1) Wahr (2) Wahr (3) Wahr (4) Falsch (5) Wahr

- An welchen Stellen einer Funktion muss ihre Ableitung null sein? - Vergleiche die Vorzeichen eines möglichen Ableitungsgraphen mit den Bereichen, in denen der zugehörige Graph zunimmt oder abnimmt. - Wende dieselbe Idee anschließend noch einmal auf die erste und zweite Ableitung an.

1. Der Graph von \(p\) besitzt bei \(x=-2\) eine lokale Maximalstelle und bei \(x=2\) eine lokale Minimalstelle. Der Graph von \(q\) hat genau dort Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. 2. Außerdem ist \(p\) für \(x<-2\) zunehmend, für \(-2<x<2\) abnehmend und für \(x>2\) wieder zunehmend. Dazu passen die Vorzeichen von \(q\). Daher ist \(q=p'\). 3. Der Graph von \(q\) besitzt bei \(x=0\) eine lokale Minimalstelle. Der Graph von \(r\) hat dort eine Nullstelle und wechselt von negativen zu positiven Werten. Daher ist \(r=q'\). 4. Somit ist \(p\) die Ausgangsfunktion, \(q\) ihre erste Ableitung und \(r\) ihre zweite Ableitung.

Ausgangsfunktion: \(p\) Erste Ableitung: \(q\) Zweite Ableitung: \(r\)

- Erinnere dich daran, welche geometrische Bedeutung die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle hat. - Wo befinden sich die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen? Was bedeutet das für die Tangentensteigung an diesen Stellen? - Lies zwei Punkte der eingezeichneten Tangente ab und berechne daraus ihre Steigung. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Krümmungsrichtung und dem Vorzeichen der zweiten Ableitung?

1. Der Hochpunkt liegt bei \(H(-2 \mid 4)\), der Tiefpunkt bei \(T(2 \mid -4)\). Dort sind die Tangenten waagerecht, also gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 2. Im Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\) nimmt der Tangentenwert bei einem Schritt um \(1\) in \(x\)-Richtung um \(3\) ab. Daher beträgt die Steigung \(-3\), also \(f'(0) = -3\). 3. Für \(x < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt und \(f''(x) < 0\). Für \(x > 0\) ist der Graph linksgekrümmt und \(f''(x) > 0\).

a) \(H(-2 \mid 4)\) und \(T(2 \mid -4)\); an beiden Stellen hat \(f'\) eine Nullstelle. b) \(f'(0) = -3\). c) Für \(x < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt und \(f''(x) < 0\); für \(x > 0\) ist er linksgekrümmt und \(f''(x) > 0\).

- Betrachte die Tangentenrichtung direkt bei \(x=-1\). - Prüfe getrennt links und rechts der Stelle, ob der Graph von \(f\) steigt oder fällt. - Ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) ist nicht automatisch mit jeder Nullstelle verbunden.

1. Ja. Bei \(x=-1\) besitzt der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente. Daher gilt \(f'(-1)=0\). 2. Links und rechts von \(x=-1\) steigt der Graph von \(f\). Deshalb ist \(f'(x)\) in der Umgebung von \(-1\) auf beiden Seiten positiv. An \(x=-1\) nimmt \(f'\) den Wert \(0\) an, ohne das Vorzeichen zu wechseln.

1. Ja, \(f'(-1)=0\). 2. \(f'\) wechselt bei \(x=-1\) nicht das Vorzeichen; links und rechts davon ist \(f'\) positiv.

- Zähle alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von \(f\). - Wo ändert sich die Krümmung des Graphen von \(f\)? - Was entspricht einem Wendepunkt von \(f\) im Graphen von \(f'\)?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen an den Stellen mit waagerechter Tangente. Der Graph von \(f\) hat Tiefstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie eine Hochstelle bei \(x = 0\). Daher hat \(f'\) die Nullstellen \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 2. Am dargestellten Graphen von \(f\) erkennt man zwischen \(-2\) und \(0\) sowie zwischen \(0\) und \(2\) jeweils einen Krümmungswechsel. An diesen beiden Wendestellen ist die Tangentensteigung lokal extrem. Daher besitzt \(f'\) mindestens zwei Extremstellen.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 2. \(f'\) besitzt mindestens zwei Extremstellen, weil \(f\) zwei Wendestellen aufweist.

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Wo steigt der Graph im dargestellten Bereich am steilsten? - Vergleiche die Tangentenrichtungen, ohne eine Ableitungsregel für trigonometrische Funktionen zu verwenden.

1. Bei \(x=-\frac{\pi}{2}\) und \(x=\frac{\pi}{2}\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen. 2. Den größten Wert hat \(f'\) dort, wo der Graph von \(f\) am steilsten ansteigt. Im dargestellten Intervall ist das bei \(x=0\) der Fall.

1. \(x=-\frac{\pi}{2}\) und \(x=\frac{\pi}{2}\). 2. Bei \(x=0\).

- Vergleiche das Steig- und Fallverhalten eines Graphen mit dem Vorzeichen des anderen. - Die Steigung von \(r\) liest du als Funktionswert von \(r'\) ab. - Für \(r''(1)\) brauchst du die Steigung des Graphen von \(r'\).

1. Der Graph \(p\) steigt für \(x<3\) und fällt für \(x>3\). Der Graph \(q\) ist entsprechend für \(x<3\) positiv und für \(x>3\) negativ. Daher ist \(p=r\) und \(q=s=r'\). 2. Die Steigung von \(r\) bei \(x=1\) ist \(r'(1)=s(1)=q(1)=0{,}8\). 3. Der Wert \(r''(1)\) ist die Steigung des Graphen von \(r'=s\). Der Graph \(q\) ist eine Gerade; aus den Punkten \((0\mid1{,}2)\) und \((3\mid0)\) erhält man die Steigung \(\frac{0-1{,}2}{3-0}=-0{,}4\). Somit gilt \(r''(1)=-0{,}4\).

a) \(p=r\), \(q=s=r'\). b) \(r'(1)=0{,}8\). c) \(r''(1)=-0{,}4\).

- Nutze waagerechte Tangenten für Nullstellen von \(f'\). - Prüfe das Vorzeichen über Steigen und Fallen von \(f\). - Verwende für (4) die im Text angegebene Punktsymmetrie.

1. (1) ist wahr. Bei \(x=0\) steigt \(f\). 2. (2) ist wahr. Im gezeigten Bereich liegen zwei waagerechte Tangenten ungefähr bei \(x=-1{,}4\) und \(x=1{,}4\). 3. (3) ist wahr. Auf \([1{,}5;3]\) fällt \(f\). 4. (4) ist wahr. Wegen der angegebenen Punktsymmetrie haben die Tangenten an den symmetrischen Stellen \(x=2\) und \(x=-2\) dieselbe Steigung. 5. (5) ist falsch. Ein Durchgang durch den Ursprung würde \(f'(0)=0\) bedeuten; bei \(x=0\) steigt \(f\).

(1) Wahr — bei \(x=0\) steigt \(f\). (2) Wahr — im gezeigten Bereich sind zwei waagerechte Tangenten sichtbar. (3) Wahr — auf \([1{,}5;3]\) fällt \(f\). (4) Wahr — die Punktsymmetrie liefert gleiche Tangentensteigungen an \(x\) und \(-x\). (5) Falsch — \(f'(0)>0\), also liegt \((0\mid0)\) nicht auf dem Graphen von \(f'\).

- Suche die waagerechten Tangenten. - Prüfe in jedem Zwischenbereich, ob \(f\) steigt oder fällt. - Übertrage die Achsensymmetrie von \(f\) auf die Tangentensteigungen bei \(x\) und \(-x\).

1. Bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten. Daher ist \(f'\) an diesen drei Stellen null. 2. Im dargestellten Bereich steigt \(f\) links von \(-2\), fällt zwischen \(-2\) und \(0\), steigt zwischen \(0\) und \(2\) und fällt rechts von \(2\). Entsprechend hat \(f'\) die Vorzeichenfolge \(+,-,+,-\). 3. Weil der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur y-Achse ist, haben die lokalen Steigungen an \(x\) und \(-x\) entgegengesetzte Vorzeichen. Ein passender Graph von \(f'\) ist daher punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) \(x=-2,0,2\) b) Ein passender Graph von \(f'\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat im dargestellten Bereich die Vorzeichenfolge \(+,-,+,-\).

- Wo hat der dargestellte Graph waagerechte Tangenten? - In welchen Bereichen nimmt \(f\) zu beziehungsweise ab? - Wie muss ein Ableitungsgraph an einer Nullstelle aussehen, wenn das Vorzeichen wechselt, und wie ohne Vorzeichenwechsel?

1. Bei \(x=0\) besitzt \(f\) eine lokale Minimalstelle, bei \(x=3\) eine Terrassenstelle. An beiden Stellen gilt \(f'(x)=0\). 2. Für \(x<0\) nimmt \(f\) ab, also ist \(f'(x)<0\). Für \(0<x<3\) und für \(x>3\) nimmt \(f\) zu, also ist \(f'(x)>0\). 3. Bei \(x=0\) muss \(G_{f'}\) die \(x\)-Achse von unten nach oben schneiden. Bei \(x=3\) muss \(G_{f'}\) die \(x\)-Achse von oben berühren, ohne das Vorzeichen zu wechseln.

1. Lokale Minimalstelle bei \(x=0\); Terrassenstelle bei \(x=3\). 2. \(f'<0\) für \(x<0\), \(f'>0\) für \(0<x<3\) und \(x>3\); bei \(x=0\) Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, bei \(x=3\) berührende Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Die erste Ableitung beschreibt die Tangentensteigung: Nimmt oder fällt der Graph an der markierten Stelle? - Welche Vorzeichen von \(f''\) gehören zu Links- beziehungsweise Rechtskrümmung? - Wo ist die Tangentensteigung am kleinsten?

1. Bei \(x_A=-1\) steigt der Graph, also ist \(f'(-1)>0\). Zugleich ist er rechtsgekrümmt, also gilt \(f''(-1)<0\). Daher gehört \(x_A\) zu Beschreibung 2. 2. Bei \(x_B=1\) liegt eine Wendestelle mit Übergang von Rechts- zu Linkskrümmung. Dort ist die Steigung lokal minimal. Daher gehört \(x_B\) zu Beschreibung 3. 3. Bei \(x_C=2\) fällt der Graph, also ist \(f'(2)<0\). Zugleich ist er linksgekrümmt, also gilt \(f''(2)>0\). Daher gehört \(x_C\) zu Beschreibung 1. 4. Bei \(x_D=4\) steigt der Graph wieder und ist linksgekrümmt; diese Stelle gehört zu keiner der drei gefragten Beschreibungen.

1. \(x_C=2\) 2. \(x_A=-1\) 3. \(x_B=1\)

- Beobachte zuerst, ob der rechte Ast steigt oder fällt. - Vergleiche die Steilheit an mehreren zunehmend großen \(x\)-Werten. - Formuliere die Aussage über sehr große \(x\) als qualitative Beobachtung aus dem Graphen.

1. Für \(x>0\) steigt der dargestellte Graph von \(f\). Daher sind die Tangentensteigungen positiv und der Graph von \(f'\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Mit wachsendem \(x\) wird der Graph von \(f\) sichtbar immer flacher. Die positiven Tangentensteigungen werden daher kleiner. 3. Aus dem dargestellten Verlauf ergibt sich als qualitative Vermutung, dass sich die Tangentensteigungen für große \(x\)-Werte dem Wert \(0\) von oben annähern.

Für \(x>0\) ist \(f'(x)>0\). Die Werte von \(f'\) werden für größere \(x\) kleiner und nähern sich dem Graphen zufolge \(0\) von oben.

- Beschleunigung ist hier die Tangentensteigung des Geschwindigkeitsgraphen. - Lies für Teil b zwei Punkte der eingezeichneten Tangente ab. - Suche für Teil c die Stelle mit der größten positiven Steilheit. - Das Vorzeichen der Steigung zeigt, ob die Geschwindigkeit gerade zu- oder abnimmt.

1. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(t=20\,\text{s}\). Dort beträgt die Geschwindigkeit \(10\,\text{m/s}\). 2. Die Tangente bei \(t=10\,\text{s}\) verläuft zum Beispiel durch \((6\mid2)\) und \((10\mid5)\). Ihre Steigung ist \((5-2):(10-6)=0{,}75\). Die Beschleunigung beträgt daher \(0{,}75\,\text{m/s}^2\). 3. Der Graph steigt bei \(t=10\,\text{s}\) am steilsten. Daher ist dort die positive momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit und damit die Beschleunigung am größten. 4. Bei \(t=5\,\text{s}\) ist die Steigung positiv; der Radfahrer wird schneller. Bei \(t=25\,\text{s}\) ist die Steigung negativ; er wird langsamer.

a) Nach \(20\,\text{s}\) mit \(10\,\text{m/s}\). b) \(0{,}75\,\text{m/s}^2\). c) Bei \(t=10\,\text{s}\). d) Bei \(5\,\text{s}\) nimmt die Geschwindigkeit zu; bei \(25\,\text{s}\) nimmt sie ab.

- Suche die waagerechten Tangenten. - Prüfe in jedem Teilbereich, ob \(f\) steigt oder fällt. - Vergleiche die lokalen Steigungen an symmetrischen Stellen \(x\) und \(-x\). - Je steiler \(f\) ist, desto größer ist der Betrag des zugehörigen Ableitungswerts.

1. Waagerechte Tangenten liegen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Daher ist \(f'\) dort null. 2. Im dargestellten Bereich fällt \(f\) für \(x<-2\), steigt für \(-2<x<0\), fällt für \(0<x<2\) und steigt für \(x>2\). Daher hat \(f'\) die Vorzeichenfolge \(-,+,-,+\). 3. Weil \(f\) achsensymmetrisch zur y-Achse ist, sind die Tangentensteigungen an \(x\) und \(-x\) entgegengesetzt. Ein passender Graph von \(f'\) ist daher punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) \(x=-2,0,2\) b) Im dargestellten Bereich hat \(f'\) die Vorzeichenfolge \(-,+,-,+\) und ein passender Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Wo ist die Steigung des Graphen von \(f\) am kleinsten? Was bedeutet das für den Graphen von \(f'\)? - Betrachte den Bereich zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt. Ist die Steigung dort positiv oder negativ? - Wie verändert sich die Steigung, wenn du dich dem Ursprung näherst? - Wenn \(f\) eine Funktion 3. Grades ist, welche Form hat dann die Ableitung?

1. Der Graph \(G_f\) hat bei \(x = -2\) einen Hochpunkt und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen: \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 2. Im Ursprung liegt ein Wendepunkt von \(f\), an dem der Graph am steilsten fällt. Die Steigung ist dort am kleinsten. Daher hat \(f'\) bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt. 3. Der Graph von \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(x = -2\) und \(x = 2\). Ihr Scheitelpunkt liegt bei \(x = 0\) unterhalb der \(x\)-Achse.

Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt; ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(x = -2\) und \(x = 2\).

- Suche die Stelle mit waagerechter Tangente. - Prüfe links und rechts davon, ob der Graph steigt oder fällt. - Beobachte am Rand der Abbildung, wie sich die Steilheit des Graphen verändert.

1. Bei \(x=0\) besitzt der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente. Daher gilt \(f'(0)=0\). 2. Für \(x<0\) steigt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x)>0\). Für \(x>0\) fällt der Graph, also ist \(f'(x)<0\). 3. Für große Beträge von \(x\) wird der dargestellte Graph immer flacher. Entsprechend werden die Tangentensteigungen dem Graphen zufolge betragsmäßig kleiner und nähern sich \(0\).

Der Graph von \(f'\) hat bei \(x=0\) eine Nullstelle, liegt für \(x<0\) oberhalb und für \(x>0\) unterhalb der \(x\)-Achse. Für große Beträge von \(x\) nähern sich die Tangentensteigungen dem dargestellten Verlauf zufolge \(0\).

- Prüfe für jede Aussage, ob der Graph von \(f\) an den betreffenden Stellen steigt, fällt oder eine waagerechte Tangente besitzt. - Eine waagerechte Tangente liefert den Ableitungswert \(0\). - Vergleiche bei Aussage (3) nur die Vorzeichen der beiden Steigungen.

1. Aussage (1) ist falsch. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt der Graph von \(f\), daher gilt dort \(f'(x)<0\). 2. Aussage (2) ist wahr. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt der Graph waagerechte Tangenten. Daher gilt \(f'(-2)=f'(2)=0\). 3. Aussage (3) ist wahr. Bei \(x=0\) fällt der Graph, während er bei \(x=4\) steigt. Somit ist \(f'(0)<0<f'(4)\). 4. Aussage (4) ist wahr. Links von \(x=-2\) steigt der Graph von \(f\), deshalb gilt dort \(f'(x)>0\).

Wahr sind (2), (3) und (4). Aussage (1) ist falsch.

- Prüfe zuerst, wo der dargestellte Graph steigt, fällt oder waagerecht verläuft. - Vergleiche für (3) zwei negative Steigungen nach ihrer Steilheit. - Beziehe Aussagen nur auf den dargestellten Bereich.

1. (1) ist wahr. Im dargestellten Bereich fällt \(f\) für \(x<-1\) und \(x>1\); bei \(x=\pm1\) sind die Tangenten waagerecht. 2. (2) ist falsch. Bei \(x=0\) steigt \(f\), also ist \(f'(0)>0\). 3. (3) ist wahr. Bei \(x=2\) fällt der Graph steiler als bei \(x=3\); daher ist die negativere Steigung bei \(x=2\) kleiner. 4. (4) ist wahr. Bei \(x=1\) ist die Tangente waagerecht.

Richtig sind (1), (3) und (4). Aussage (2) ist falsch.

- Erinnere dich an die physikalische Bedeutung der Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit. - Wo im Graphen der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung Null? - Schau dir den Bereich von \(t = 2\) bis \(t = 6\) an. Wird das Fahrzeug dort schneller oder langsamer? Was bedeutet das für das Vorzeichen der Beschleunigung? - Vergleiche den Wert der Beschleunigung zum Zeitpunkt \(t = 0\) mit der Steigung des Geschwindigkeitsgraphen an dieser Stelle.

1. Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung: Die Beschleunigung \(a(t)\) entspricht der Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\). 2. Analyse der Extremstellen von \(v\): Die Geschwindigkeit \(v\) erreicht bei \(t = 2\) und \(t = 10\) ein Maximum und bei \(t = 6\) ein Minimum. An diesen Stellen ist die Steigung der Tangente gleich Null, weshalb die Beschleunigung \(a\) dort Nullstellen besitzen muss. 3. Überprüfung der Graphen auf Nullstellen: Graph (c) hat Nullstellen bei \(t = 0\), \(t = 4\), \(t = 8\) und \(t = 12\), was nicht zu den Extremstellen von \(v\) passt. Die Graphen (a) und (b) haben passende Nullstellen bei \(t = 2\), \(t = 6\) und \(t = 10\). 4. Analyse der Steigung (Vorzeichen von \(a\)): Zu Beginn (\(t = 0\)) steigt der Graph von \(v\) an, die Steigung ist also positiv. Folglich muss \(a(0) > 0\) gelten. Graph (a) startet bei einem positiven Wert (\(a(0) \approx 1{,}57\)), während Graph (b) bei einem negativen Wert startet. 5. Ergebnis: Nur Graph (a) erfüllt alle Bedingungen und stellt somit die Beschleunigung dar.

Graph (a) stellt die Beschleunigung dar. Begründung: Die Geschwindigkeit \(v\) hat Extremstellen bei \(t = 2\), \(t = 6\) und \(t = 10\). An diesen Stellen muss die Beschleunigung Nullstellen haben, was auf (a) und (b) zutrifft. Da \(v\) zu Beginn (\(t = 0\)) ansteigt, muss die Beschleunigung dort positiv sein. Dies ist nur bei Graph (a) der Fall.

- Bestimme zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe, welche angebotenen Terme dort Nullstellen besitzen. - Entscheide anschließend anhand eines Bereichs, in dem der Graph steigt, welches Vorzeichen die Ableitung haben muss.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Die gesuchte Ableitung muss dort Nullstellen besitzen. 2. A und B haben die passenden Nullstellen. C hat nur eine Nullstelle, D andere Nullstellen. 3. Zwischen \(-1\) und \(3\) steigt der Graph von \(f\). Daher muss \(f'\) dort positiv sein. 4. Für A gilt \(f'(0)=0{,}9>0\), für B dagegen \(f'(0)=-0{,}9<0\). Daher ist A der passende Term.

A) \(f'(x)=-0{,}3x^2+0{,}6x+0{,}9\).

- Überlege dir, was der Wert der Ableitung an einer bestimmten Stelle über den Verlauf des Funktionsgraphen aussagt. - Welche besonderen Punkte des Graphen von \(f\) führen zu Nullstellen in der Ableitungsfunktion? - Achte auf die Monotonie: Wo steigt der Graph und wo fällt er? - Eine positive Ableitung bedeutet, dass der Graph der ursprünglichen Funktion steigt.

1. Wahr: Der Graph von \(f\) steigt an der Stelle \(x = -1\), somit ist die Ableitung dort positiv: \(f'(-1) > 0\). 2. Wahr: An der Stelle \(x = 0\) liegt ein lokales Maximum vor. Die Tangente ist dort waagerecht, also gilt \(f'(0) = 0\). 3. Falsch: Bei \(x = 0\) gilt \(f'(0) = 0\); für \(0 < x \le 1{,}5\) fällt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x) < 0\). Der Graph von \(f'\) liegt daher nicht im gesamten Intervall \([0; 1{,}5]\) oberhalb der \(x\)-Achse. 4. Wahr: Bei \(x \approx 1{,}73\) befindet sich ein lokaler Tiefpunkt von \(f\). Dort ist die Steigung null, also hat \(f'\) dort eine Nullstelle. 5. Falsch: An der Stelle \(x = 2\) steigt der Graph von \(f\), die Steigung ist also positiv (\(f'(2) > 0\)). 6. Wahr: Der Graph von \(f\) besitzt drei Punkte mit waagerechter Tangente (zwei lokale Tiefpunkte und ein lokales Maximum). Jede dieser Stellen entspricht einer Nullstelle der Ableitungsfunktion \(f'\).

(1) Wahr; (2) Wahr; (3) Falsch; (4) Wahr; (5) Falsch; (6) Wahr

- Zähle die Stellen mit waagerechter Tangente im Graphen von \(g\). Wie viele Nullstellen muss \(g'\) also haben? - Prüfe das Vorzeichen der Steigung: Wo geht es bergauf, wo bergab? - Vergleiche die Lage der Extrema von \(g\) exakt mit den Schnittpunkten der Kandidaten mit der \(x\)-Achse.

1. Analyse von \(g\): Der Graph der Funktion vierten Grades hat drei Extremstellen: zwei Tiefpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie einen Hochpunkt bei \(x = 0\). 2. Anforderungen an \(g'\): Die Ableitungsfunktion muss an den Stellen \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\) Nullstellen besitzen. 3. Ausschlussverfahren: - Graph (A) hat nur zwei Nullstellen (bei ca. \(\pm 1{,}4\)), passt also nicht. - Graph (C) hat zwar drei Nullstellen, aber sie liegen bei anderen Werten (ca. \(-1{,}7\), \(0\) und \(1{,}7\)) und der Verlauf (erst positiv, dann negativ) widerspricht dem Monotonieverhalten von \(g\) (zuerst fallend, also \(g' < 0\)). - Graph (B) hat Nullstellen bei \(-2\), \(0\) und \(2\). Für \(x < -2\) fällt \(g\), dort ist der Graph von (B) im negativen Bereich. Zwischen \(-2\) und \(0\) steigt \(g\), dort ist (B) positiv. Dies setzt sich konsistent fort. 4. Ergebnis: Graph (B) ist die Ableitungsfunktion \(g'\).

Der richtige Graph ist (B); (A) hat zu wenige Nullstellen, und (C) hat die Nullstellen an den falschen Stellen sowie das falsche Vorzeichenverhalten.

- Für a) vergleichst du die Höhen der markierten Punkte. - Für b) suchst du die Stelle mit der stärksten negativen Tangentensteigung. - Eine Wendestelle erkennst du an einem Wechsel der Krümmungsart.

1. Der höchste markierte Funktionswert liegt bei \(x_3\). 2. Die Steigung ist dort am kleinsten, wo der Graph am steilsten abfällt. Das ist bei \(x_5\) der Fall. 3. Bei \(x_5\) wechselt der Graph von Rechts- zu Linkskrümmung. Daher liegt dort eine Wendestelle; zugleich ist die Steigung dort lokal minimal.

a) \(x_3\) b) \(x_5\) c) \(x_5\)

- Überlege dir, welche Eigenschaft die Ableitungsfunktion an einer Extremstelle der Originalfunktion haben muss. - Wie unterscheiden sich die Vorzeichenwechsel der Ableitung bei einem Maximum und einem Minimum? - Achte auf die Vorzeichenwechsel der Graphen an den markanten Stellen. - Was bedeutet es für den Graphen von \(f'\), wenn \(f\) in einem Bereich steigt oder fällt?

1. Zusammenhang von Extremstellen und Ableitung: An den Stellen \(x = -2\) und \(x = 2\) muss die Ableitungsfunktion \(f'\) Nullstellen besitzen. Da es sich um ein lokales Minimum beziehungsweise Maximum handelt, muss zudem ein Vorzeichenwechsel vorliegen. 2. Bei einem lokalen Minimum bei \(x = -2\) wechselt die Steigung von negativ nach positiv; bei einem lokalen Maximum bei \(x = 2\) wechselt sie von positiv nach negativ. 3. Graph C hat nur eine Nullstelle bei \(x = 0\) und scheidet daher aus. Graph B hat zwar Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\), zeigt dort aber die umgekehrten Vorzeichenwechsel. Graph A zeigt bei \(x = -2\) den Wechsel von Minus nach Plus und bei \(x = 2\) den Wechsel von Plus nach Minus. 4. Daher stellt Graph A die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Graph A stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar, weil er bei \(x = -2\) von Minus nach Plus und bei \(x = 2\) von Plus nach Minus wechselt; Graph B zeigt die umgekehrten Wechsel, und Graph C hat nur eine Nullstelle.

- Suche die Stelle mit der größten positiven Steilheit. - Nutze für b) die ausdrücklich angegebene Bedeutung der gestrichelten Geraden im Modell. - Beschreibe für \(N'\), wie sich die Tangentensteigungen von links nach rechts verändern.

1. Der Nutzergraph steigt ungefähr bei \(t=5\) am steilsten. Dort ist die momentane Zuwachsrate am größten. 2. Die Gerade \(g\) liegt bei \(N=12\). Nach der Modellannahme entspricht sie einer Sättigungsgrenze von \(12\) Millionen Nutzern. 3. \(N'\) ist im dargestellten Zeitraum positiv. Die Werte wachsen zunächst, erreichen ungefähr bei \(t=5\) ihr Maximum und nehmen danach wieder ab. \(N'\) beschreibt den momentanen Nutzerzuwachs in Millionen Nutzern pro Monat.

a) Etwa nach \(5\) Monaten. b) \(g\) steht im Modell für eine angenommene Sättigungsgrenze von \(12\) Millionen Nutzern. c) \(N'>0\); die Werte steigen zunächst, sind bei etwa \(t=5\) am größten und fallen danach. \(N'\) gibt den momentanen Nutzerzuwachs pro Monat an.

- Welche Stellen von \(f\) entsprechen Nullstellen von \(f'\)? - Wo wechselt der Graph seine Krümmung? - Welche Symmetrie besitzt die Ableitung einer ungeraden Funktion? - Welches Vorzeichen von \(f''\) gehört zur Rechtskrümmung?

1. Aussage (1) ist wahr. Der Graph von \(f\) besitzt lokale Extremstellen bei \(x=-2\) und \(x=2\); daher hat \(f'\) genau zwei Nullstellen. 2. Aussage (2) ist wahr. Der Graph wechselt seine Krümmung bei \(x=0\) sowie ungefähr bei \(x=-3{,}5\) und \(x=3{,}5\). 3. Aussage (3) ist wahr. Der Graph steigt im Ursprung, also gilt \(f'(0)>0\). 4. Aussage (4) ist falsch. \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung; daher ist \(f'\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 5. Aussage (5) ist falsch. Bei \(x=1\) ist der Graph rechtsgekrümmt, also gilt \(f''(1)<0\).

(1) Wahr (2) Wahr (3) Wahr (4) Falsch (5) Falsch

- Suche die waagerechten Tangenten. - Prüfe in den drei Teilbereichen, ob \(f\) steigt oder fällt. - Unterscheide zwischen den sicher bestimmbaren Vorzeichen und der exakten Form des Ableitungsgraphen.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten. Daher ist \(f'\) dort null. 2. Links von \(-1\) steigt \(f\), zwischen \(-1\) und \(1\) fällt \(f\), rechts von \(1\) steigt \(f\). Daher ist \(f'\) außerhalb der beiden Nullstellen positiv und dazwischen negativ. 3. Diese Angaben bestimmen Nullstellen und Vorzeichen des qualitativen Ableitungsgraphen; seine exakte Kurvenform folgt daraus allein nicht.

1. \(x=-1\), \(x=1\) 2. \(f'>0\) links von \(-1\) und rechts von \(1\), \(f'<0\) dazwischen; die exakte Kurvenform ist damit noch nicht festgelegt.

- Wo ist die Steigung der Glockenkurve null? Dort hat \(f'\) eine Nullstelle. - Suche die Bereiche, in denen die Kurve am steilsten steigt beziehungsweise fällt. - Nutze die Symmetrie des Graphen von \(f\).

1. Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und hat ein Maximum bei \(x = 0\). Daher gilt \(f'(0) = 0\). Für \(x < 0\) steigt \(f\), also ist \(f'(x) > 0\); für \(x > 0\) fällt \(f\), also ist \(f'(x) < 0\). 2. Die Extremstellen von \(f'\) liegen an den Stellen, an denen der Graph von \(f\) am steilsten ist. Dies sind die Wendestellen von \(f\). Im Graphen liegen diese bei etwa \(x \approx -1\) (Maximum von \(f'\)) und \(x \approx 1\) (Minimum von \(f'\)).

1. Der Graph von \(f'\) nähert sich links der \(x\)-Achse von oben, hat bei \(x \approx -1\) ein Maximum, schneidet bei \(x = 0\) die Achse, hat bei \(x \approx 1\) ein Minimum und nähert sich rechts der Achse von unten. 2. Die Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x \approx -1\) und \(x \approx 1\); dies sind die Wendestellen von \(f\).

- Prüfe zuerst, ob der Graph für \(x>0\) steigt oder fällt. - Vergleiche die Steilheit an mehreren zunehmend großen \(x\)-Werten. - Formuliere die Aussage über sehr große \(x\) als qualitative Beobachtung aus der Abbildung.

1. Für \(x>0\) steigt der dargestellte Graph von \(f\). Daher sind die Tangentensteigungen positiv und es gilt \(f'(x)>0\). 2. Mit wachsendem \(x\) wird der Graph immer flacher. Die positiven Tangentensteigungen werden daher kleiner. 3. Dem dargestellten Verlauf zufolge nähern sich die Tangentensteigungen für große \(x\)-Werte dem Wert \(0\) von oben.

Für \(x>0\) gilt \(f'(x)>0\). Die Werte von \(f'\) werden kleiner und nähern sich dem Graphen zufolge für große \(x\)-Werte \(0\) von oben.

- Zähle zunächst die Stellen mit waagrechter Tangente. - Suche anschließend die Stellen, an denen sich die Krümmungsart ändert. - Unterscheide klar zwischen Nullstellen von \(h'\) und Nullstellen von \(h''\).

1. Bei \(x=0\) besitzt der Graph eine waagrechte Tangente. Weitere waagrechte Tangenten sind nicht vorhanden. Daher hat \(h'\) genau eine Nullstelle. 2. Links und rechts der lokalen Maximalstelle wechselt der Graph jeweils einmal seine Krümmung. Daher besitzt \(h''\) genau zwei Nullstellen.

\(h'\) hat \(1\) Nullstelle und \(h''\) hat \(2\) Nullstellen.

- Wo besitzt \(G_f\) waagerechte Tangenten? - Welche Information über \(f''\) liefern die markierten Wendestellen? - Wo ist die Steigung im betrachteten fallenden Bereich am kleinsten? - Welche Symmetrie erhält die Ableitungsfunktion einer geraden Funktion?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen an den Stellen mit waagerechter Tangente. Aus dem Raster liest man näherungsweise \(x\approx-1{,}5\), \(x=0\) und \(x\approx1{,}5\) ab. 2. Die Nullstellen von \(f''\) liegen an den markierten Wendestellen, also bei \(x=-1\) und \(x=1\). 3. Zwischen dem Ursprung und der rechten lokalen Minimalstelle ist die Steigung negativ. Am Wendepunkt \(x=1\) ist die Steigung in diesem Bereich am kleinsten; dort fällt \(f\) am steilsten. 4. Da \(f\) vom Grad 4 und achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, ist \(f'\) eine punktsymmetrische Funktion dritten Grades. Ihr Graph hat die näherungsweise abgelesenen Nullstellen \(x\approx-1{,}5\), \(0\) und \(x\approx1{,}5\), eine lokale Maximalstelle bei \(x=-1\) und eine lokale Minimalstelle bei \(x=1\).

a) Nullstellen von \(f'\): näherungsweise \(x\approx-1{,}5\), \(0\), \(x\approx1{,}5\); Nullstellen von \(f''\): \(x=-1\), \(x=1\). b) Bei \(x=1\) fällt \(f\) am steilsten. c) \(G_{f'}\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat die genannten drei Nullstellen, eine lokale Maximalstelle bei \(x=-1\) und eine lokale Minimalstelle bei \(x=1\).

- Suche die Stellen, an denen der Graph kurz waagerecht verläuft. - Ändert der Graph dort seine Monotonierichtung oder setzt er sie fort? - Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

1. Waagerechte Tangenten liegen an den Stellen mit Steigung null. 2. Bei \(x=-3\) wechselt der Graph von zunehmend zu abnehmend; dort liegt ein Hochpunkt vor. 3. Bei \(x=0\) ist der Graph waagerecht, setzt seinen abnehmenden Verlauf danach aber fort und wechselt die Krümmung; dort liegt ein Terrassenpunkt vor. 4. Bei \(x=3\) wechselt der Graph von abnehmend zu zunehmend; dort liegt ein Tiefpunkt vor.

\(x=-3\): Hochpunkt \(x=0\): Terrassenpunkt \(x=3\): Tiefpunkt

- Suche zuerst die waagerechten Tangenten. - Ordne jedem steigenden oder fallenden Graphenabschnitt das Vorzeichen von \(f'\) zu. - Vergleiche die Vorzeichen direkt links und rechts jeder Nullstelle. - Die exakte algebraische Form des Ableitungsgraphen ist für die qualitative Skizze nicht nötig.

1. Bei \(x=-2\) und \(x=1\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen. 2. Links von \(-2\) steigt \(f\), zwischen \(-2\) und \(1\) fällt \(f\), rechts von \(1\) steigt \(f\). Daher ist \(f'\) außerhalb positiv und dazwischen negativ. 3. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ; bei \(x=1\) von negativ nach positiv. Die qualitative Skizze muss diese beiden Achsendurchgänge und Vorzeichenbereiche zeigen. Eine exakte Funktionsart wird nicht verlangt.

a) \(x=-2\), \(x=1\) b) \(f'>0\) für \(x<-2\) und \(x>1\); \(f'<0\) für \(-2<x<1\) c) Bei \(-2\): Vorzeichenwechsel \(+\to-\); bei \(1\): \(-\to+\)

- Vergleiche zuerst die waagerechten Tangenten von \(f\) mit den Nullstellen von \(g\). - Prüfe dann Abschnitt für Abschnitt, ob \(f\) steigt oder fällt. - Ein korrekter Ableitungsgraph muss beide Prüfungen gleichzeitig bestehen. - Für die Skizze ist keine Ableitungsregel nötig.

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\) waagerechte Tangenten. Ein Ableitungsgraph muss daher drei Nullstellen an diesen Stellen haben. Jonas Graph hat diese Nullstellen nicht. 2. Zudem fällt \(f\) links von \(-2\), steigt zwischen \(-2\) und \(0\), fällt zwischen \(0\) und \(2\) und steigt rechts von \(2\). Die Ableitung muss daher die Vorzeichenfolge \(-,+,-,+\) besitzen; auch das erfüllt \(g\) nicht. 3. Ein qualitativ passender Ableitungsgraph durchquert die x-Achse bei \(-2,0,2\) und hat in den vier Bereichen die Vorzeichen \(-,+,-,+\).

a) Jonas Graph hat falsche Nullstellen und das falsche Vorzeichenverhalten. b) Qualitative Skizze mit den unten genannten Eigenschaften. c) Nullstellen: \(-2,0,2\); Vorzeichenfolge: \(-,+,-,+\).

- Übertrage jede gemessene Tangentensteigung als \(y\)-Koordinate an dieselbe \(x\)-Stelle in den Ableitungsgraphen. - Suche in den fünf Punkten nach Symmetrie und nach einem kleinsten Wert. - Nutze beim quadratischen Ansatz auch die Symmetrie der fünf Werte und prüfe den gefundenen Term anschließend an allen Stellen.

1. Die Tangentensteigung an der Stelle \(x\) ist der Funktionswert \(f'(x)\). Damit erhält man die Punkte \((-2\mid3)\), \((-1\mid0)\), \((0\mid-1)\), \((1\mid0)\), \((2\mid3)\). 2. Die Werte sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, haben bei \(x=0\) ihren kleinsten Wert und steigen zu beiden Seiten an. Ein glatter nach oben geöffneter Verlauf passt zu den Punkten. 3. Für einen quadratischen Ansatz \(f'(x)=ax^2+bx+c\) liefern die Symmetrie der Werte und \(f'(0)=-1\) zunächst \(b=0\) und \(c=-1\). Mit \(f'(1)=0\) folgt \(a=1\). Daher gilt \(f'(x)=x^2-1\): Für \(x=0\) ist der Wert \(-1\), bei \(x=\pm1\) ist er \(0\), bei \(x=\pm2\) ist er \(3\).

a) \((-2\mid3)\), \((-1\mid0)\), \((0\mid-1)\), \((1\mid0)\), \((2\mid3)\). b) Ein glatter, zur \(y\)-Achse symmetrischer Verlauf mit Tiefpunkt bei \((0\mid-1)\). c) Ein passender quadratischer Term ist \(f'(x)=x^2-1\).

- Wie hängen lokale Extremstellen eines Graphen mit Nullstellen seiner ersten Ableitung zusammen? - Welche geometrische Eigenschaft kennzeichnet eine Wendestelle und damit eine mögliche Nullstelle der zweiten Ableitung? - Achte bei \(g\) auf die Definitionslücken: Kann an einer Stelle außerhalb der Definitionsmenge eine Wendestelle liegen?

1. Untersuchung von \(f\): Der Graph besitzt ein lokales Minimum bei \(x=-1\) und ein lokales Maximum bei \(x=1\). Daher hat \(f'\) genau zwei Nullstellen. Der Graph wechselt seine Krümmung dreimal: einmal zwischen \(x=-2\) und \(x=-1\), im Ursprung und einmal zwischen \(x=1\) und \(x=2\). Daher hat \(f''\) genau drei Nullstellen. 2. Untersuchung von \(g\): Der Graph besitzt genau ein lokales Minimum bei \(x=0\). Daher hat \(g'\) genau eine Nullstelle. Innerhalb der Definitionsmenge findet kein Krümmungswechsel statt. Die Änderungen an den senkrechten Asymptoten \(x=-1\) und \(x=1\) sind keine Wendestellen, weil \(g\) dort nicht definiert ist. Daher hat \(g''\) keine Nullstelle.

a) \(f'\) hat \(2\) Nullstellen und \(f''\) hat \(3\) Nullstellen. b) \(g'\) hat \(1\) Nullstelle und \(g''\) hat keine Nullstelle.

- Welche geometrische Eigenschaft kennzeichnet eine Nullstelle der ersten Ableitung? - Wo ändert ein Graph seine Krümmung, und was bedeutet das für die zweite Ableitung? - Prüfe bei senkrechten Asymptoten zuerst, ob die Funktion dort überhaupt definiert ist.

1. Abbildung a): Der Graph von \(f\) besitzt genau eine lokale Minimalstelle bei \(x=0\). Daher hat \(f'\) genau eine Nullstelle. Innerhalb der drei stetigen Teilintervalle des Definitionsbereichs wechselt der Graph seine Krümmung nicht. Die senkrechten Asymptoten bei \(x=-1\) und \(x=1\) sind keine Wendestellen. Daher hat \(f''\) keine Nullstelle. 2. Abbildung b): Der Graph von \(g\) besitzt genau zwei lokale Extremstellen, ungefähr bei \(x=-2{,}45\) und \(x=2{,}45\). Daher hat \(g'\) genau zwei Nullstellen. Der Graph wechselt seine Krümmung ungefähr bei \(x=-3{,}46\) und \(x=3{,}46\). Daher hat \(g''\) genau zwei Nullstellen.

a) \(f'\) hat \(1\) Nullstelle; \(f''\) hat keine Nullstelle. b) \(g'\) hat \(2\) Nullstellen; \(g''\) hat \(2\) Nullstellen.

- Zähle die Stellen mit waagrechter Tangente. - Prüfe jeden zusammenhängenden Graphenast auf einen Krümmungswechsel. - Eine Polstelle gehört nicht zum Graphen und ist daher keine Wendestelle.

1. Der Graph besitzt zwei Stellen mit waagrechter Tangente, eine auf jedem Ast. Daher hat \(p'\) genau zwei Nullstellen. 2. Innerhalb der beiden zusammenhängenden Graphenäste ändert sich die Krümmungsart nicht. Es gibt daher keine Wendestelle im Definitionsbereich und \(p''\) hat keine Nullstelle.

\(p'\) hat \(2\) Nullstellen und \(p''\) hat keine Nullstelle.

- Suche zuerst nach waagerechten Tangenten. - Untersuche anschließend jeden Graphenast auf einen Wechsel der Krümmungsrichtung. - Trenne die Aussagen über \(r'\) und \(r''\) sorgfältig.

1. In keinem Teil des Definitionsbereichs besitzt der Graph eine waagerechte Tangente. Daher hat \(r'\) keine Nullstelle. 2. Im mittleren Ast wechselt der Graph bei \(x=0\) seine Krümmungsrichtung. In den äußeren Ästen tritt kein weiterer Krümmungswechsel auf. Daher hat \(r''\) genau eine Nullstelle.

\(r'\) hat \(0\) Nullstellen und \(r''\) hat \(1\) Nullstelle.

- Bestimme die Stellen mit waagerechter Tangente. - Achte auf die Form der Kurve: Wo ändert sie sich von Rechts- zu Linkskrümmung oder umgekehrt? - Polstellen sind keine Wendepunkte oder Extrempunkte.

1. Untersuchung von Funktion \(h\): Der Graph zeigt einen Tiefpunkt bei \(x = -1\) und einen Hochpunkt bei \(x = 1\). Daher hat \(h'\) zwei Nullstellen. Krümmungswechsel liegen bei \(x \approx -1{,}7\), \(x = 0\) und \(x \approx 1{,}7\) vor. Somit hat \(h''\) drei Nullstellen. 2. Untersuchung von Funktion \(k\): Es ist genau ein lokaler Hochpunkt bei \(x = 2\) erkennbar. Daher hat \(k'\) eine Nullstelle. Bei \(x = 3\) liegt ein Krümmungswechsel vor, also hat \(k''\) eine Nullstelle.

Für \(h\) hat die erste Ableitung 2 Nullstellen und die zweite Ableitung 3 Nullstellen; für \(k\) hat die erste Ableitung 1 Nullstelle und die zweite Ableitung 1 Nullstelle.

- Beginne mit Stellen, an denen \(f\) eine waagerechte Tangente hat, und vergleiche sie mit den Nullstellen von \(g\). - Ein Knick ist für den Ableitungsgraphen anders zu behandeln als eine gewöhnliche Stelle. - Für die Höhe des Ableitungsgraphen nahe dem Knick musst du die Steilheit der beiden angrenzenden Äste von \(f\) getrennt betrachten.

1. Der Graph von \(f\) hat bei \(x=-2\) eine waagerechte Tangente; die richtige Ableitung muss dort eine Nullstelle haben. Der vorgeschlagene Graph \(g\) hat seine linke Nullstelle dagegen bei \(x=-1\). 2. Bei \(x=0\) hat \(f\) einen Knick. Daher ist \(f'(0)\) nicht definiert. Der Vorschlag \(g\) ist dort jedoch ohne Lücke gezeichnet und besitzt einen Funktionswert. 3. Eine weitere waagerechte Tangente liegt bei \(x=2\). Die richtigen Nullstellen sind also \(x=-2\) und \(x=2\). Es gilt \(f'<0\) auf \((-4;-2)\), \(f'>0\) auf \((-2;0)\) und \((0;2)\), sowie \(f'<0\) auf \((2;4)\). 4. Links vom Knick nähert sich die Steigung dem Wert \(2\), rechts dem Wert \(1\). Ein korrekter Ableitungsgraph hat deshalb bei \(x=0\) keinen Punkt, sondern getrennte offene Enden in den Höhen \(2\) und \(1\).

a) Zum Beispiel: Die linke Nullstelle von \(g\) liegt falsch; außerdem hat \(g\) bei \(x=0\) fälschlich einen Wert, obwohl \(f\) dort einen Knick besitzt. b) Nullstellen: \(x=-2\), \(x=2\). Vorzeichen: negativ auf \((-4;-2)\), positiv auf \((-2;0)\) und \((0;2)\), negativ auf \((2;4)\). c) Linksseitige Steigung \(2\), rechtsseitige Steigung \(1\); \(f'(0)\) ist nicht definiert.