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- Erinnere dich daran, dass der Ableitungswert \(f'(x_0)\) der Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt \((x_0 \mid f(x_0))\) entspricht. - Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem? Suche dir dafür zwei Punkte auf der jeweiligen Tangente, die du exakt ablesen kannst, und zeichne gedanklich ein Steigungsdreieck. - Was bedeutet es für das Vorzeichen der Ableitung, wenn der Graph an einer Stelle steigt, fällt oder einen Extrempunkt (wie einen Hochpunkt) besitzt?

1. Zur Bestimmung von \(f'(0)\) liest man die Steigung der Tangente \(t_1\) am Berührpunkt \(A(0 \mid 2)\) ab. Mit einem Steigungsdreieck, zum Beispiel zwischen \(A(0 \mid 2)\) und dem weiteren gut ablesbaren Punkt \((-2 \mid 0)\) auf der Tangente, ergibt sich: \(f'(0) = \frac{2 - 0}{0 - (-2)} = 1\). 2. Zur Bestimmung von \(f'(4)\) liest man die Steigung der Tangente \(t_2\) am Berührpunkt \(B(4 \mid 2)\) ab. Mit einem Steigungsdreieck, zum Beispiel zwischen \(B(4 \mid 2)\) und dem weiteren gut ablesbaren Punkt \((6 \mid 0)\) auf der Tangente, ergibt sich: \(f'(4) = \frac{0 - 2}{6 - 4} = -1\). 3. Für Teilaufgabe b) betrachtet man das Steigungsverhalten des Graphen: - Bei \(x = 2\) liegt der Hochpunkt (Scheitelpunkt) des Graphen. Die Tangente verläuft hier waagerecht, die Steigung ist somit null: \(f'(2) = 0\). - Bei \(x = 5\) fällt der Graph streng monoton, weshalb die Steigung negativ ist: \(f'(5) < 0\). - Bei \(x = -2\) steigt der Graph streng monoton, weshalb die Steigung positiv ist: \(f'(-2) > 0\).

a) \(f'(0) = 1\) und \(f'(4) = -1\) b) 1) Bei \(x = 2\) ist die Ableitung gleich null (\(f'(2) = 0\)), da der Graph dort einen Hochpunkt hat (waagerechte Tangente). 2) Bei \(x = 5\) ist die Ableitung negativ (\(f'(5) < 0\)), da der Graph dort fällt. 3) Bei \(x = -2\) ist die Ableitung positiv (\(f'(-2) > 0\)), da der Graph dort steigt.

- Kannst du beschreiben, was die Ableitung \(f'(x)\) geometrisch an einer bestimmten Stelle des Graphen von \(f\) darstellt? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Monotonieverhalten (steigend oder fallend) einer Funktion und dem Vorzeichen ihrer Ableitung? - Welche besondere Eigenschaft hat die Tangente an einen Graphen an einem lokalen Hoch- oder Tiefpunkt, und was bedeutet das für den Wert der Ableitung? - Welche Vorzeichen hat \(f'\) links von \(x = -2\), zwischen \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie rechts von \(x = 2\)? Zu welcher Öffnungsrichtung einer Parabel passt dieses Muster?

1. Analyse der Aussage A: An der Stelle \(x = 0\) fällt der Graph der Funktion \(f\) (negative Steigung), weshalb die Ableitung dort negativ ist (\(f'(0) < 0\)). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bzw. der Verlauf durch den Ursprung bestimmt nicht das Vorzeichen der Ableitung. Die Aussage ist falsch. 2. Analyse der Aussage B: Bei \(x = -2\) und \(x = 2\) liegen lokale Extrempunkte (ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt) des Graphen von \(f\) vor. Die Tangenten an diesen Stellen verlaufen waagerecht, was einer Steigung von \(0\) entspricht. Somit gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). Die Aussage ist wahr. 3. Analyse der Aussage C: Im offenen Intervall \((-2; 2)\) ist der Graph von \(f\) streng monoton fallend, was bedeutet, dass die Steigung überall negativ ist. Daher gilt \(f'(x) < 0\) für alle \(x \in (-2; 2)\), sodass der Graph von \(f'\) in diesem Bereich unterhalb der \(x\)-Achse liegt. Die Aussage ist wahr. 4. Analyse der Aussage D: Links von \(x = -2\) und rechts von \(x = 2\) steigt der Graph von \(f\), während er zwischen diesen Stellen fällt. Daher ist \(f'\) außerhalb der beiden Nullstellen positiv und dazwischen negativ. Dieses Vorzeichenmuster passt nicht zu einer nach unten geöffneten Parabel, sondern zu einer nach oben geöffneten Parabel. Die Aussage ist falsch.

A) Falsch, da der Graph bei \(x = 0\) fällt und somit die Ableitung negativ ist (\(f'(0) < 0\)). B) Wahr, da an den Extremstellen bei \(x = -2\) (Hochpunkt) und \(x = 2\) (Tiefpunkt) waagerechte Tangenten vorliegen, also die Steigung \(0\) ist. C) Wahr, da die Funktion im Intervall \((-2; 2)\) streng monoton fällt, wodurch die Steigung und somit die Ableitungsfunktion \(f'\) dort negativ ist. D) Falsch, da \(f'\) außerhalb der Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\) positiv und dazwischen negativ ist; dieses Vorzeichenmuster gehört zu einer nach oben geöffneten Parabel.

- Überlege zuerst, welche Steigung die Funktion \(f\) an ihren Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkten) hat. Welchen Wert muss die Ableitungsfunktion an diesen Stellen annehmen? - Betrachte das Monotonieverhalten der Funktion \(f\): In welchen Bereichen steigt der Graph, und in welchen fällt er? - Welches Vorzeichen (positiv oder negativ) muss die Ableitung in den Bereichen haben, in denen die Funktion fällt? - Schau dir den Bereich zwischen den beiden Extremstellen genauer an. Verläuft der Graph der entsprechenden Ableitung dort oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse?

1. Lokalisierung der Extrempunkte der Ausgangsfunktion \(f\): Diese liegen bei \(x = -2\) (lokaler Hochpunkt) und \(x = 2\) (lokaler Tiefpunkt). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung: Da die Tangentensteigung an den Extremstellen null ist, muss gelten: \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). Damit scheidet Graph C aus, da er nur eine Nullstelle bei \(x = 0\) hat. 3. Untersuchung des Monotonieverhaltens: Im Intervall \([-2; 2]\) fällt der Graph von \(f\). Die Ableitungsfunktion \(f'\) muss in diesem Intervall folglich negative Werte annehmen (\(f'(x) < 0\)). 4. Abgleich mit den Graphen A und B: Graph A verläuft im Intervall \([-2; 2]\) unterhalb der \(x\)-Achse (negative Werte), während Graph B dort oberhalb der \(x\)-Achse verläuft (positive Werte). Somit stellt Graph A die gesuchte Ableitungsfunktion dar.

**Graph A** stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

- Welche geometrische Bedeutung hat die Ableitung \(f'(x)\) an einer bestimmten Stelle \(x\)? - Wo hat der Graph der Funktion \(f\) waagerechte Tangenten (Steigung gleich null)? Was bedeutet das für den Graphen der Ableitung \(f'\)? - In welchen Bereichen steigt der Graph von \(f\) und in welchen fällt er? Welches Vorzeichen muss die Ableitung in diesen Bereichen jeweils haben? - Schließe Schritt für Schritt die falschen Graphen aus, indem du die Nullstellen und das Vorzeichen der Steigung überprüfst.

1. **Bestimmung der Extrempunkte von \(f\)**: Der Graph von \(f\) besitzt einen lokalen Hochpunkt bei \(x = -1\) und einen lokalen Tiefpunkt bei \(x = 3\). An diesen Stellen muss die Ableitungsfunktion \(f'\) Nullstellen besitzen, also \(f'(-1) = 0\) und \(f'(3) = 0\). Dies schließt Graph C (Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 1\)) und Graph D (Nullstelle bei \(x = 1\)) aus. 2. **Analyse des Monotonieverhaltens**: Im Intervall \([-1; 3]\) ist die Funktion \(f\) streng monoton fallend. Die Ableitungsfunktion \(f'\) muss in diesem Bereich also negative Werte annehmen (\(f'(x) < 0\)). Dies ist nur bei Graph A der Fall, während Graph B dort oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. 3. **Ergebnis**: Graph A stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

**Graph A** stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

- Woran erkennst du im Graphen einer Funktion \(f\), dass die Steigung (also die Ableitung \(f'\)) gleich Null ist? - Welche Eigenschaft des Graphen von \(f\) hängt mit dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) zusammen? - Wie kannst du die Steigung einer Kurve in einem bestimmten Punkt zeichnerisch oder gedanklich bestimmen? - Denke an das Konzept einer Tangente und eines Steigungsdreiecks.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f'\): Der Graph von \(f\) hat einen lokalen Tiefpunkt bei \(x = -1\) und einen lokalen Hochpunkt bei \(x = 1\). Somit sind die Nullstellen von \(f'\) bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). 2. Bestimmung des Intervalls mit \(f'(x) > 0\): Der Graph von \(f\) steigt zwischen den beiden Extremstellen. Daher gilt \(f'(x) > 0\) für \(x \in (-1; 1)\). 3. Näherungsweise Ermittlung von \(f'(0)\): Die Ableitung an der Stelle \(x = 0\) ist die Steigung der Tangente im Wendepunkt \(W(0 \mid 1)\). Mit den Punkten \((0 \mid 1)\) und \((1 \mid 2{,}5)\) auf der Tangente ergibt sich \(f'(0) \approx 1{,}5\). Schätzwerte im Bereich \([1{,}3; 1{,}7]\) sind plausibel.

a) Nullstellen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). b) \(f'(x) > 0\) für \(x \in (-1; 1)\). c) \(f'(0) \approx 1{,}5\); plausible Schätzwerte liegen etwa zwischen \(1{,}3\) und \(1{,}7\).

- Überlege dir zuerst, welcher allgemeine Zusammenhang zwischen dem Monotonieverhalten einer Funktion \(f\) und dem Vorzeichen ihrer Ableitungsfunktion \(f'\) besteht. - An welchen Stellen ändert sich das Monotonieverhalten der Funktion \(f\)? Was bedeutet das für den Wert der Ableitungsfunktion \(f'\) an diesen Stellen? - Betrachte die Nullstellen der drei abgebildeten Graphen. Welche Graphen besitzen Nullstellen an genau diesen Übergangsstellen? - Untersuche das Vorzeichen (oberhalb oder unterhalb der x-Achse) der verbleibenden Graphen in den verschiedenen Abschnitten. Welcher Graph entspricht einem Wachstum für die äußeren Bereiche und einem Abfall im mittleren Bereich?

1. Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung: Eine differenzierbare Funktion \(f\) ist in einem Intervall streng monoton wachsend, wenn ihre Ableitungsfunktion \(f'\) dort nicht-negative Werte annimmt (\(f'(x) \ge 0\)). Sie ist streng monoton fallend, wenn ihre Ableitungsfunktion dort nicht-positive Werte annimmt (\(f'(x) \le 0\)). 2. Nullstellen der Ableitungsfunktion: Da die Monotonie bei \(x = -1\) und \(x = 3\) wechselt, muss die Ableitungsfunktion \(f'\) an diesen Stellen Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzen. - Graph I hat Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 3\). - Graph II hat ebenfalls Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 3\). - Graph III hat Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 1\). Damit scheidet Graph III aus. 3. Vorzeichenprüfung: - Für \(x < -1\) und \(x > 3\) ist \(f\) streng monoton wachsend, folglich muss \(f'(x) \ge 0\) gelten. Der Graph von \(f'\) muss also oberhalb der x-Achse (oder auf ihr) verlaufen. - Für \(-1 < x < 3\) ist \(f\) streng monoton fallend, folglich muss \(f'(x) \le 0\) gelten. Der Graph von \(f'\) muss also unterhalb der x-Achse (oder auf ihr) verlaufen. - Graph I erfüllt diese Bedingungen (er verläuft für \(x < -1\) und \(x > 3\) oberhalb der x-Achse und für \(-1 < x < 3\) unterhalb). - Graph II zeigt das umgekehrte Verhalten. Somit ist Graph I der gesuchte Graph der Ableitungsfunktion \(f'\).

Graph I ist der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\).

- Wie hängen die lokalen Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) einer Funktion mit ihrer Ableitung zusammen? - Welche Steigung hat eine waagerechte Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt? - Wie ist die Ableitung \(f'(x_0)\) an einer bestimmten Stelle \(x_0\) geometrisch definiert? - Wie kannst du die Steigung der eingezeichneten Tangente \(t\) mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen? - In welchen Bereichen fällt der Graph der Funktion \(f\), und was bedeutet das für das Vorzeichen der Ableitung?

1. Die Nullstellen von \(f'\) entsprechen den Stellen, an denen der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. Aus dem Hochpunkt bei \(x = -3\) und dem Tiefpunkt bei \(x = 3\) folgen die Nullstellen \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\). 2. Der Wert \(f'(0)\) entspricht der Steigung der Tangente \(t\) im Punkt \((0 \mid 0)\). Die Tangente verläuft außerdem durch \((2 \mid -3)\). Daher ist \(f'(0) = \frac{-3-0}{2-0} = -1{,}5\). 3. Zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt fällt der Graph von \(f\). An den Randstellen ist die Ableitung gleich null. Daher gilt \(f'(x) < 0\) genau für \(x \in (-3; 3)\).

a) \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\). b) \(f'(0) = -1{,}5\). c) \(f'(x) < 0\) für \(x \in (-3; 3)\).

- Überlege dir, was der Wert der Ableitungsfunktion an einer bestimmten Stelle über die Tangente am Graphen der ursprünglichen Funktion aussagt. - Wie hängen Hoch- oder Tiefpunkte der Funktion \(f\) mit den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) zusammen? - Betrachte das Monotonieverhalten von \(f\), um auf das Vorzeichen der Funktionswerte von \(f'\) zu schließen. - Achte auf die Krümmung des Graphen: Verändert sich die Steigung immer in dieselbe Richtung?

1. Aussage (A) ist wahr. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x = 0\) einen lokalen Hochpunkt. Daher ist die Tangente dort waagerecht und \(f'(0) = 0\). 2. Aussage (B) ist wahr. Legt man bei \(x = 2\) eine Tangente an, fällt diese bei einer waagerechten Änderung um etwa \(2\) Einheiten um etwa \(2\) Einheiten. Daher ist die Steigung näherungsweise \(-1\), also \(f'(2) \approx -1\). 3. Aussage (C) ist wahr. Die Tangentensteigungen nehmen im gesamten dargestellten Bereich von links nach rechts stetig ab. Daher ist \(f'\) dort streng monoton fallend. 4. Aussage (D) ist falsch. Für \(x < 0\) steigt der Graph von \(f\), daher gilt dort \(f'(x) > 0\); der Graph von \(f'\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse.

Wahr sind die Aussagen (A), (B) und (C). Die Aussage (D) ist falsch.

- Überlege dir, was die Steigung des Graphen von \(f\) über den Wert der Ableitungsfunktion \(f'\) aussagt. - Wo hat der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente? - In welchen Bereichen steigt der Graph von \(f\), und in welchen fällt er?

1. Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat dort eine Nullstelle, wo der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente besitzt (Extrempunkt). Im Graphen liegt der Scheitelpunkt bei \(x = 0\). Somit gilt \(f'(0) = 0\). Die Nullstelle von \(f'\) liegt bei \(x = 0\). 2. Da der Graph von \(f\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist die Funktion für \(x < 0\) streng monoton steigend (\(f'(x) > 0\)) und für \(x > 0\) streng monoton fallend (\(f'(x) < 0\)). Der Graph von \(f'\) ist eine Gerade mit negativer Steigung, die die \(x\)-Achse im Ursprung von oben nach unten schneidet.

1. Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat eine Nullstelle bei \(x = 0\). 2. Der Graph von \(f'\) verläuft für \(x < 0\) oberhalb der \(x\)-Achse (positives Vorzeichen) und für \(x > 0\) unterhalb der \(x\)-Achse (negatives Vorzeichen).

- Was passiert mit der Steigung einer Funktion an ihrem tiefsten Punkt? - Wie hängen Monotonie (Steigen/Fallen) und das Vorzeichen der Ableitung zusammen?

1. Der Graph von \(f\) hat seinen Tiefpunkt bei \(x = 2\). An dieser Stelle ist die Steigung null, also hat die Ableitungsfunktion \(f'\) dort eine Nullstelle: \(f'(2) = 0\). 2. Für \(x > 2\) ist der Graph von \(f\) streng monoton steigend. Da die Ableitungsfunktion die lokale Steigung angibt, müssen die Werte von \(f'(x)\) in diesem Intervall positiv sein (\(f'(x) > 0\)).

1. Der Graph von \(f'\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 2\). 2. Für \(x > 2\) sind die Werte von \(f'\) positiv, da die Funktion \(f\) in diesem Bereich steigt.

- Suche nach den Stellen, an denen der Graph von \(f\) „umkehrt“ (Berge und Täler). - Was sagt ein „Tal“ im Graphen von \(f\) über die Ableitung aus? - Erinnere dich: Fällt der Graph, ist die Steigung negativ.

1. Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat Nullstellen an den Extremstellen von \(f\). Aus dem Graphen lassen sich ein lokaler Hochpunkt bei \(x = -2\) und ein lokaler Tiefpunkt bei \(x = 2\) ablesen. Somit schneidet \(f'\) die \(x\)-Achse bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 2. Die Ableitungsfunktion \(f'\) ist in dem Intervall negativ, in dem die Funktion \(f\) streng monoton fällt. Dies ist zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt der Fall, also im Intervall \((-2; 2)\).

1. Die Schnittpunkte von \(f'\) mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). 2. Im Intervall \(-2 < x < 2\) ist \(f'\) negativ, da die Funktion \(f\) dort fällt.

- Wo hat der Graph der Funktion eine waagerechte Tangente? Was bedeutet das für den Wert der Ableitung an dieser Stelle? - Überlege dir, in welchen Bereichen die Funktion steigt und in welchen sie fällt. Welches Vorzeichen hat dort jeweils die Ableitung? - Wenn die Ausgangsfunktion eine Parabel ist, welche Form hat dann wohl ihre Ableitungsfunktion? - Versuche, an ein oder zwei Stellen die Steigung mit einem Steigungsdreieck abzuschätzen.

1. Der Graph von \(f\) hat bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt. Daher gilt \(f'(2) = 0\). 2. Aus dem Graphen lassen sich weitere Steigungen abschätzen: bei \(x = 0\) etwa \(-2\), bei \(x = 4\) etwa \(2\). 3. Da \(f\) eine Parabel ist, ist \(f'\) eine Gerade. 4. Die Gerade verläuft durch \((2 \mid 0)\), \((0 \mid -2)\) und \((4 \mid 2)\). Somit lautet die Ableitungsfunktion \(f'(x) = x - 2\).

Der Graph von \(f'\) ist die Gerade \(f'(x) = x - 2\). Sie schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 2\) und verläuft durch \((0 \mid -2)\).

- Was bedeutet eine positive Steigung für den Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion? - Überlege, ob die Funktion \(f\) irgendwo waagerechte Tangenten hat. - Wie verändert sich die Steilheit des Graphen, wenn du von links nach rechts gehst?

1. Die Exponentialfunktion \(f(x) = 1{,}25^x\) ist für alle \(x\) positiv und streng monoton steigend. Daher gilt \(f'(x) > 0\) für alle \(x\), und \(f'\) besitzt keine Nullstelle. 2. Die Steilheit von \(f\) nimmt von links nach rechts zu. Daher ist auch \(f'\) streng monoton steigend. 3. Für \(x \to -\infty\) wird der Graph von \(f\) immer flacher. Entsprechend nähert sich \(f'(x)\) der \(0\) von oben. Der Graph von \(f'\) ist daher qualitativ wieder eine wachsende Exponentialkurve oberhalb der \(x\)-Achse.

Der Graph von \(f'\) verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, ist streng monoton steigend und nähert sich für \(x \to -\infty\) der \(x\)-Achse von oben. Nullstellen besitzt \(f'\) nicht.

- Überlege dir, ob der Graph in den jeweiligen Abschnitten steigt oder fällt. - Was bedeutet "fallen" für den Wert der Ableitung an dieser Stelle? - Kannst du dir eine Tangente an einer beliebigen Stelle einzeichnen? Welche Ausrichtung hat sie?

1. Analyse für \(x < 0\): Der Graph von \(f\) fällt in diesem Bereich streng monoton. Jede Tangente hat somit eine negative Steigung. Ergebnis: \(f'(x) < 0\). 2. Analyse für \(x > 0\): Auch in diesem Bereich fällt der Graph von \(f\) streng monoton ab. Ergebnis: \(f'(x) < 0\). 3. Zusammenfassung: Die Tangentensteigungskurve verläuft für alle definierten Stellen (\(x \neq 0\)) unterhalb der \(x\)-Achse.

Sowohl für \(x < 0\) als auch für \(x > 0\) ist das Vorzeichen der Tangentensteigungskurve negativ (\(f'(x) < 0\)), da der Graph von \(f\) in beiden Ästen des Definitionsbereichs streng monoton fällt.

- Was sagt der Wert der Ableitung über die Steigung der ursprünglichen Funktion aus? - Erinnere dich daran, welche Steigung eine Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt hat. - Suche im Graphen nach Stellen, an denen die Funktion weder steigt noch fällt.

1. Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) entsprechen den Stellen, an denen der Graph der Funktion \(f\) eine waagerechte Tangente besitzt, also die lokale Steigung \(0\) aufweist. 2. Im Graphen von \(f\) erkennt man lokale Extrempunkte (ein Maximum und ein Minimum) bei den Stellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 3. An diesen Stellen ist die Steigung der Funktion null, folglich gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 4. Die gesuchten Nullstellen von \(f'\) liegen somit bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\).

Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). An diesen Stellen hat der Graph von \(f\) Extrempunkte und somit eine waagerechte Tangente (Steigung \(0\)).

- Die Steigung einer Geraden lässt sich bestimmen, indem man die Differenz der \(y\)-Werte durch die Differenz der \(x\)-Werte zweier Punkte auf der Geraden teilt. - Wo ändert der Graph seine Richtung von „fallend“ zu „steigend“? Was bedeutet das für die Steigung in diesem Punkt? - Eine positive Zahl ist immer größer als eine negative Zahl.

1. Ableitung bei \(x = 0\): Die Tangente verläuft durch \((0|-1)\) und \((1|-2)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-2 - (-1)}{1 - 0} = -1\). Also \(g'(0) = -1\). 2. Ableitung bei \(x = 4\): Die Tangente verläuft durch \((4|-1)\) und \((5|0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - (-1)}{5 - 4} = 1\). Also \(g'(4) = 1\). 3. Stelle mit Ableitung \(0\): Am Scheitelpunkt \(S(2|-2)\) ist die Tangente waagerecht. Es gilt \(g'(2) = 0\). Der Fachbegriff für \(S\) ist Scheitelpunkt oder lokales Minimum (Tiefpunkt). 4. Vergleich der Steigungen: Bei \(x = 1\) fällt der Graph (negative Steigung), bei \(x = 3\) steigt der Graph (positive Steigung). Somit ist \(g'(3) > g'(1)\).

a) \(g'(0) = -1\) und \(g'(4) = 1\). b) An der Stelle \(x = 2\) ist \(g'(x) = 0\). Der Punkt \(S\) ist der Scheitelpunkt (oder Tiefpunkt). c) Die Steigung bei \(x = 3\) ist größer, da sie positiv ist, während sie bei \(x = 1\) negativ ist.

- Schau dir an, wo der ursprüngliche Funktionsgraph steigt oder fällt. Was bedeutet das für das Vorzeichen der Ableitung? - Wo hat die Funktion \(f\) waagerechte Tangenten (Extremstellen)? Was muss an diesen Stellen im Graphen der Ableitung passieren? - Überprüfe die Steigung an einer bestimmten Stelle, zum Beispiel bei \(x = 2\). Ist sie positiv oder negativ? Welcher Ableitungsgraph passt dazu?

1. Analyse des Graphen von \(f\): Die Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt bei \(x = 0\). 2. Zusammenhang zur Ableitung: An der Stelle des Extrempunktes (\(x = 0\)) muss die Ableitungsfunktion eine Nullstelle haben. Dies trifft auf beide Graphen (1) und (2) zu. 3. Monotonie-Betrachtung: Für \(x > 0\) steigt der Graph von \(f\) (positive Steigung), daher muss \(f'(x) > 0\) gelten. Für \(x < 0\) fällt der Graph (negative Steigung), also muss \(f'(x) < 0\) gelten. 4. Auswahl: Graph (1) verläuft für \(x > 0\) oberhalb der \(x\)-Achse und für \(x < 0\) unterhalb. Graph (2) zeigt genau das umgekehrte Verhalten. 5. Ergebnis: Somit ist Graph (1) die korrekte Ableitungsfunktion.

Graph (1) ist die korrekte Ableitungsfunktion. Begründung: Der Graph von \(f\) hat bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt, weshalb die Ableitung dort eine Nullstelle haben muss. Da \(f\) für \(x > 0\) streng monoton steigt, muss die Ableitungsfunktion in diesem Bereich positive Werte annehmen. Dies ist nur bei Graph (1) der Fall.

- Wie steil ist die Kurve genau im höchsten Punkt? - Wenn du eine Tangente im höchsten Punkt einzeichnest, welche Steigung hat diese Gerade? - Wenn die Funktion \(f\) links vom Scheitelpunkt steigt, müssen die Werte von \(f'\) dort positiv sein. - Nutze die Symmetrie der Parabel aus, um Steigungen an gespiegelten Stellen zu vergleichen.

1. Zeichnerische Bestimmung der Steigung: An der Stelle \(x = 0\) ist der Graph waagerecht, da sich dort der Scheitelpunkt (Maximum) befindet. Die Steigung der Tangente ist also \(0\). Somit gilt \(f'(0) = 0\). 2. Bestimmung weiterer Punkte: Bei \(x = 2\) fällt der Graph. Zeichnet man dort eine Tangente, erkennt man die Steigung \(-2\). Also \(f'(2) = -2\). Aufgrund der Symmetrie ist die Steigung bei \(x = -2\) dann \(+2\). 3. Skizzieren von \(f'\): Die Ableitungsfunktion einer nach unten geöffneten Parabel ist eine fallende Gerade. Sie verläuft durch den Ursprung \((0|0)\) und den Punkt \((2|-2)\). 4. Zusammenhang: Der x-Wert des Scheitelpunkts von \(f\) entspricht der Nullstelle von \(f'\).

Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(0\). Der Graph von \(f'\) ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Gleichung \(f'(x) = -x\). Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \(x=0\), weshalb \(f'\) dort seine Nullstelle hat.

- Nutze ein Steigungsdreieck, um die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem zu bestimmen. - Überlege dir, wie der Wert der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) mit der Tangentensteigung an der Stelle \(x\) zusammenhängt. - Zeichne die gefundenen Punkte \(Q\) gedanklich in ein Koordinatensystem ein. Welches Muster erkennst du? - Erinnere dich an die Potenzregel für das Ableiten von Funktionen.

1. Bestimmung der Steigungen aus dem Graphen: An der Stelle \(x_1 = -2\) hat die Tangente \(t_1\) die Steigung \(m_1 = -2\) (für eine Einheit nach rechts geht es zwei Einheiten nach unten). An der Stelle \(x_2 = 0\) verläuft die Tangente \(t_2\) horizontal, woraus die Steigung \(m_2 = 0\) folgt. An der Stelle \(x_3 = 2\) hat die Tangente \(t_3\) die Steigung \(m_3 = 2\) (für eine Einheit nach rechts geht es zwei Einheiten nach oben). 2. Koordinaten der Punkte auf dem Graphen von \(f'\): Da die \(y\)-Koordinate der Steigung der Tangente an der Stelle \(x\) entspricht, ergeben sich die Punkte \(Q_1(-2 \mid -2)\), \(Q_2(0 \mid 0)\) und \(Q_3(2 \mid 2)\). 3. Analyse des Funktionstyps: Die Punkte \(Q_1, Q_2\) und \(Q_3\) liegen auf einer Ursprungsgerade. Da die Ableitung einer quadratischen Funktion stets eine lineare Funktion ergibt, wird für \(f'\) ein linearer Verlauf erwartet.

a) \(m_1 = -2\), \(m_2 = 0\), \(m_3 = 2\) b) \(Q_1(-2 \mid -2)\), \(Q_2(0 \mid 0)\), \(Q_3(2 \mid 2)\) c) Die Ableitungsfunktion \(f'\) ist linear, da die Punkte \(Q_1, Q_2, Q_3\) auf einer Geraden liegen.

- Schau dir für die Funktionswerte einfach die Höhe des Graphen über der x-Achse an. - Die Steigung an einer Stelle entspricht der Steilheit einer Tangente, die du dir an den Graphen angelegt vorstellen kannst. - Überlege dir bei der Krümmung, in welche Richtung du lenken müsstest, wenn du mit einem Fahrrad direkt auf der Kurve von links nach rechts fahren würdest. - Achte bei der Steigung auf das Vorzeichen: Eine stark fallende Kurve hat eine sehr kleine (stark negative) Steigung.

1. Analyse der Funktionswerte \(f(x)\): Durch Ablesen der y-Werte erkennt man, dass die Funktion an den Stellen \(x_1\) und \(x_7\) die höchsten markierten Werte erreicht (\(f(x_1) = f(x_7) \approx 15{,}66\)). Die tiefsten markierten Werte liegen an den lokalen Minima bei \(x_2\) und \(x_6\) vor (\(f(x_2) = f(x_6) \approx 10{,}4\)). 2. Analyse der Steigung \(f'(x)\): Die Steigung ist am größten, wo der Graph am steilsten ansteigt. Dies ist am rechten Rand bei \(x_7\) der Fall. Am kleinsten (am stärksten negativ) ist die Steigung dort, wo der Graph am steilsten fällt, also am linken Rand bei \(x_1\). 3. Analyse der Krümmung \(f''(x)\): Eine Rechtskrümmung (\(f''(x) < 0\)) liegt vor, wenn der Graph eine „Rechtskurve“ beschreibt, was im Bereich des lokalen Maximums der Fall ist. Dies trifft auf die Stelle \(x_4\) zu. An den Stellen \(x_1, x_2, x_6, x_7\) ist der Graph linksgekrümmt, während \(x_3\) und \(x_5\) näherungsweise Wendepunkte sind.

a) \(f(x)\) ist am größten bei \(x_1\) und \(x_7\); am kleinsten bei \(x_2\) und \(x_6\). b) \(f'(x)\) ist am größten bei \(x_7\); am kleinsten bei \(x_1\). c) Eine Rechtskrümmung (\(f''(x) < 0\)) liegt an der Stelle \(x_4\) vor.

- Überlege dir, was der Funktionswert \(f(x)\) grafisch bedeutet: Liegt der Punkt oberhalb, auf oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Was sagt die erste Ableitung \(f'(x)\) über den Verlauf des Graphen aus? - Wie erkennst du das Krümmungsverhalten (Links- oder Rechtskurve) an der zweiten Ableitung \(f''(x)\)? - Betrachte die Steigung der Tangente in jedem der markierten Punkte.

Anhand des Graphen lassen sich die Eigenschaften der Funktion in den Punkten wie folgt bestimmen: 1. Punkt \(A(1|0)\): Der Punkt liegt auf der x-Achse, also ist \(f(1) = 0\). Die Tangente fällt, daher ist die Steigung \(f'(1) < 0\). Der Graph beschreibt eine Linkskurve, somit ist \(f''(1) > 0\). 2. Punkt \(B(2|-0{,}5)\): Der Punkt liegt unterhalb der x-Achse, also ist \(f(2) < 0\). Die Tangente verläuft waagrecht (Scheitelpunkt), daher ist \(f'(2) = 0\). Da es sich um eine Linkskurve handelt, ist \(f''(2) > 0\). 3. Punkt \(C(3|0)\): Der Punkt liegt auf der x-Achse, also ist \(f(3) = 0\). Der Graph steigt an dieser Stelle, folglich ist \(f'(3) > 0\). Die Linkskrümmung bleibt erhalten, also ist \(f''(3) > 0\).

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr><th>Punkt</th><th>\(f(x)\)</th><th>\(f'(x)\)</th><th>\(f''(x)\)</th></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(0\)</td><td>\(-\)</td><td>\(+\)</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(-\)</td><td>\(0\)</td><td>\(+\)</td></tr> <tr><td>\(C\)</td><td>\(0\)</td><td>\(+\)</td><td>\(+\)</td></tr> </table>

- Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über den Verlauf des Funktionsgraphen aus? - In welchen Bereichen „geht es bergauf“, wenn du den Graphen von links nach rechts betrachtest? - Markiere dir die Punkte auf der \(x\)-Achse, an denen der Graph seine Richtung von „fallend“ zu „steigend“ (oder umgekehrt) ändert.

Die Ableitungsfunktion \(g'\) gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von \(g\) an. Ein positiver Wert von \(g'(x)\) bedeutet, dass die Funktion \(g\) an dieser Stelle lokal streng monoton steigend ist. Aus dem Graphen von \(g\) ist ersichtlich: 1. Im Bereich \(x < -2\) fällt der Graph, hier ist \(g'(x) < 0\). 2. Bei \(x \approx -2\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor (\(g'(-2) = 0\)). 3. Zwischen \(x \approx -2\) und \(x = 0\) steigt der Graph, hier ist \(g'(x) > 0\). 4. Bei \(x = 0\) liegt ein lokaler Hochpunkt vor (\(g'(0) = 0\)). 5. Zwischen \(x = 0\) und \(x \approx 2\) fällt der Graph, hier ist \(g'(x) < 0\). 6. Bei \(x \approx 2\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor (\(g'(2) = 0\)). 7. Für \(x > 2\) steigt der Graph wieder, hier ist \(g'(x) > 0\). Somit gilt \(g'(x) > 0\) in den Intervallen \(]-2; 0[\) und \(]2; \infty[\).

Die Ableitungsfunktion \(g'\) nimmt in den Intervallen \(]-2; 0[\) und \(]2; \infty[\) positive Werte an, da die Funktion \(g\) in diesen Bereichen streng monoton steigend ist.

- Welche Steigung hat eine Tangente an einem Sattelpunkt? - Ändert sich das Steigungsverhalten der Funktion vor und nach dem Sattelpunkt? - Wenn eine Funktion überall steigt, welches Vorzeichen müssen dann die Werte der Ableitungsfunktion haben?

An einem Sattelpunkt ist die Steigung der Funktion null, aber das Vorzeichen der Steigung ändert sich nicht. 1. Da \(h\) für alle \(x\) (außer bei \(x=1\)) streng monoton steigend ist, muss der Graph der Ableitungsfunktion \(h'\) für alle \(x \neq 1\) oberhalb der \(x\)-Achse verlaufen. 2. Bei \(x = 1\) hat \(h\) eine waagerechte Tangente, daher gilt \(h'(1) = 0\). Der Graph von \(h'\) berührt also die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 1\), ohne sie zu kreuzen. 3. Da der Graph von \(h\) punktsymmetrisch zum Sattelpunkt \((1|1)\) ist, ist der Graph der Ableitungsfunktion achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\). Der resultierende Graph von \(h'\) ähnelt einer nach oben geöffneten Parabel mit dem Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse bei \((1|0)\).

Der Graph von \(h'\) verläuft stets oberhalb oder auf der \(x\)-Achse. Er hat eine Nullstelle bei \(x = 1\), die gleichzeitig ein lokaler Tiefpunkt (Berührpunkt mit der \(x\)-Achse) ist. Vor und nach \(x = 1\) ist \(h'(x) > 0\).

- Überlege dir, wie Extrempunkte im Graphen mit den Nullstellen der ersten Ableitung zusammenhängen. - Wie erkennst du Wendepunkte im Graphen und was bedeutet das für die zweite Ableitung? - Achte auf die Monotonie der Funktion in den einzelnen Abschnitten.

1. Die erste Ableitung \(f'\) gibt die Steigung der Funktion an. Im Graphen ist zu erkennen, dass die Funktion in ihren Definitionsbereichen streng monoton fallend ist. Es gibt keine Stellen mit einer waagerechten Tangente (Extrempunkte oder Sattelpunkte). Daher hat \(f'\) keine Nullstellen (Anzahl: 0). 2. Die zweite Ableitung \(f''\) beschreibt das Krümmungsverhalten. Der Graph zeigt in jedem der beiden Äste eine gleichbleibende Krümmung (links vom Pol eine Rechtskurve, rechts davon eine Linkskurve), ohne dass ein Wendepunkt (Krümmungswechsel) vorliegt. Daher hat \(f''\) ebenfalls keine Nullstellen (Anzahl: 0).

Die erste Ableitung \(f'\) hat 0 Nullstellen. Die zweite Ableitung \(f''\) hat 0 Nullstellen.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Kurve und ihrer Ableitung. - Wie sieht die Tangente an einem Punkt aus, wenn die Ableitung dort null ist? - Welche besonderen Punkte eines Graphen haben eine waagerechte Tangente?

1. Geometrische Bedeutung der Ableitung: Der Wert \(f'(x)\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen an der Stelle \(x\). 2. Bedingung für eine horizontale Tangente: Die Ableitung ist genau dann null, wenn die Tangente waagerecht verläuft. Dies ist an lokalen Extrempunkten der Fall. 3. Auswertung der Punkte: - Punkt \(A\) ist ein lokaler Tiefpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_A) = 0\). - Punkt \(B\) ist ein lokaler Hochpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_B) = 0\). - Punkt \(C\) liegt in einem fallenden Bereich, also \(f'(x_C) < 0\). - Punkt \(D\) ist ein lokaler Tiefpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_D) = 0\). 4. Ergebnis: An den Punkten \(A, B\) und \(D\) gilt \(f'(x) = 0\).

An den Punkten \(A, B\) und \(D\) ist die Ableitung \(f'(x) = 0\), da der Graph dort lokale Extrempunkte (Tief- bzw. Hochpunkte) besitzt und die Tangenten somit waagerecht verlaufen.

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph einen „Hügel“ oder ein „Tal“ hat. - Was weißt du über die Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt? - Überlege, ob der Graph an einer bestimmten Stelle steigt oder fällt. - Erinnere dich daran, was die Ableitungsfunktion über die Steigung des Graphen aussagt.

1. Identifikation der lokalen Extrema: Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \(x = -2\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 2\). 2. Zusammenhang mit der Ableitung: Da an Extremstellen die Tangente an den Graphen waagerecht verläuft, ist die Steigung dort Null. Somit gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 3. Steigungsverhalten bei \(x = 0\): Im Bereich um \(x = 0\) ist der Graph streng monoton fallend. Folglich ist die Ableitung (Steigung) dort negativ, also \(f'(0) < 0\).

a) Die Ableitungsfunktion nimmt an den Stellen \(x = -2\) und \(x = 2\) den Wert \(0\) an, da der Graph dort lokale Extrempunkte (einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt) mit waagerechter Tangente hat. b) Der Wert \(f'(0)\) ist negativ, da der Graph an der Stelle \(x = 0\) fällt.

- Schau dir zuerst die besonderen Punkte des Funktionsgraphen von \(f\) an, wie zum Beispiel die Hoch- und Tiefpunkte. - Welche Steigung hat die Tangente an einem solchen Extrempunkt? Was bedeutet das für den Wert der Ableitung an diesen Stellen? - Überlege dir, in welchen Bereichen der Graph von \(f\) steigt und in welchen er fällt. - Wie spiegelt sich das Steigen oder Fallen einer Funktion im Vorzeichen ihrer Ableitungsfunktion wider? - Vergleiche diese Erkenntnisse Schritt für Schritt mit den drei gegebenen Antwortgraphen A, B und C.

1. **Extremstellen bestimmen**: Der Graph der Funktion \(f\) hat einen lokalen Hochpunkt bei \(x = -1\) und einen lokalen Tiefpunkt bei \(x = 1\). An diesen Stellen ist die Steigung der Tangente null. Daher muss die Ableitungsfunktion \(f'\) an diesen Stellen Nullstellen haben, also \(f'(-1) = 0\) und \(f'(1) = 0\). Damit scheidet die Gerade \(C\) aus, da sie nur eine einzige Nullstelle besitzt. 2. **Monotonieverhalten analysieren**: Für \(x < -1\) und für \(x > 1\) steigt der Graph von \(f\) (streng monoton steigend), weshalb die Ableitungsfunktion in diesen Bereichen positive Werte annehmen muss (\(f'(x) > 0\), d. h. der Graph verläuft oberhalb der \(x\)-Achse). Im Intervall \((-1; 1)\) fällt der Graph von \(f\) (streng monoton fallend), weshalb die Ableitung dort negative Werte annehmen muss (\(f'(x) < 0\), d. h. der Graph verläuft unterhalb der \(x\)-Achse). 3. **Graph zuordnen**: Nur der blaue Graph \(A\) erfüllt alle diese Bedingungen. Der rote Graph \(B\) verläuft im Intervall \((-1; 1)\) oberhalb der \(x\)-Achse, was einer positiven Steigung entsprechen würde und somit falsch ist. Folglich stellt **Graph A** die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Der korrekte Graph ist **Graph A** (blau).

- Schau dir den Verlauf des Graphen von \(f\) an: In welchen Bereichen steigt der Graph und in welchen fällt er? - Was bedeutet eine steigende oder fallende Funktion für das Vorzeichen der Ableitung \(f'\)? - Welche Steigung hat eine Tangente an den Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) des Graphen? - Überlege, an welcher Stelle der Graph von \(f\) am steilsten bergab geht. Welchen Wert nimmt die Ableitung dort an?

1. **Aussage (1) ist wahr:** Der Graph der Funktion \(f\) fällt im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton. Da das Intervall \([-1; 1]\) vollständig darin liegt, ist die Steigung von \(f\) in diesem Bereich überall negativ. Folglich gilt \(f'(x) < 0\) für alle \(x \in [-1; 1]\), sodass der Graph von \(f'\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. 2. **Aussage (2) ist wahr:** Bei \(x = -2\) hat der Graph von \(f\) einen lokalen Hochpunkt. Die Tangente an dieser Stelle verläuft waagerecht, was bedeutet, dass die Steigung dort null ist. Somit gilt \(f'(-2) = 0\). 3. **Aussage (3) ist falsch:** Der Graph von \(f\) verringert seine Steigung (wird steiler im Sinken) bis zur Stelle \(x = 0\) und flacht danach wieder ab. Bei \(x = 0\) liegt der Wendepunkt mit der maximalen negativen Steigung vor. Da die Steigung dort am kleinsten (negativsten) ist, hat die Ableitungsfunktion \(f'\) an der Stelle \(x = 0\) einen lokalen Tiefpunkt, keinen Hochpunkt. 4. **Aussage (4) ist falsch:** Rechts vom lokalen Tiefpunkt bei \(x = 2\) steigt der Graph von \(f\) streng monoton an. Für alle \(x > 2\) ist die Steigung somit positiv. Da \(3 > 2\) ist, muss \(f'(3) > 0\) gelten.

(1) Wahr (2) Wahr (3) Falsch (4) Falsch

- Welche geometrische Bedeutung hat die Ableitung \(f'(x)\) an einer bestimmten Stelle \(x\) auf dem Graphen von \(f\)? - An welchen besonderen Punkten eines Graphen ist die Tangente waagerecht, und welche Steigung hat sie dort? - Wie kannst du mithilfe eines Steigungsdreiecks an der eingezeichneten roten Tangente \(t\) die Steigung im Ursprung bestimmen? - In welchem Bereich verläuft der Graph der Funktion \(f\) von links nach rechts fallend?

1. Die Ableitung \(f'(x)\) gibt die Steigung des Graphen von \(f\) an der Stelle \(x\) an. An den lokalen Extrempunkten (dem Hochpunkt bei \(x = -2\) und dem Tiefpunkt bei \(x = 2\)) verläuft die Tangente waagerecht, hat also die Steigung \(0\). Daraus folgt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). Die gesuchten Stellen sind somit \(x = -2\) und \(x = 2\). 2. Der Wert \(f'(0)\) entspricht der Steigung der Tangente \(t\) im Wendepunkt \(W(0|0)\). Mithilfe zweier Punkte auf der Tangente, zum Beispiel \(W(0|0)\) und \((1|-3)\), berechnet man die Steigung zu \(m = \frac{-3 - 0}{1 - 0} = -3\). Somit ist \(f'(0) = -3\). 3. Eine Funktion ist in einem Intervall streng monoton fallend, wenn ihr Graph von links nach rechts fällt. Dies ist im Bereich zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt der Fall. Das maximale Intervall, in dem \(f\) streng monoton fallend ist, lautet \([-2; 2]\).

a) \(x = -2\) und \(x = 2\) b) \(f'(0) = -3\) c) \([-2; 2]\)

- Erinnere dich daran, was die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle geometrisch bedeutet. - Wie kannst du die Steigung einer Geraden (Tangente) mithilfe von zwei Punkten auf der Geraden bestimmen? - Welche Eigenschaft hat die Ableitung an den Stellen, an denen die Ausgangsfunktion ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum besitzt? - Überlege dir, in welchen Bereichen die Funktion \(f\) steigt oder fällt und welches Vorzeichen die Ableitung in diesen Bereichen haben muss.

1. Bestimmung der Tangentensteigung: Die Tangente \(t\) verläuft durch den Berührpunkt \(P(2 \mid 2)\) und einen weiteren gut ablesbaren Punkt, wie zum Beispiel \((0 \mid 4)\) oder \((4 \mid 0)\). Ein Steigungsdreieck liefert die Steigung \(m = \frac{0 - 2}{4 - 2} = -1\). Da die Steigung der Tangente im Punkt \(P\) dem Wert der Ableitung an der Stelle \(x = 2\) entspricht, gilt \(f'(2) = -1\). 2. Zuordnung des Ableitungsgraphen: - Überprüfung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 2\): Alle drei Graphen \(g_1\), \(g_2\) und \(g_3\) haben an der Stelle \(x = 2\) den Funktionswert \(-1\). Dies allein reicht zur Unterscheidung noch nicht aus. - Überprüfung der Extremstellen: Der Graph von \(f\) hat ein lokales Maximum bei \(x \approx 0{,}85\) und ein lokales Minimum bei \(x \approx 3{,}15\). An diesen Stellen muss die Ableitungsfunktion Nullstellen besitzen (\(f'(x) = 0\)). - Nur der Graph \(g_1\) besitzt Nullstellen bei \(x \approx 0{,}85\) und \(x \approx 3{,}15\). Der Graph \(g_2\) hat seine Nullstellen verschoben (bei \(x \approx -0{,}5\) und \(x \approx 2{,}5\)), während der Graph \(g_3\) keine reellen Nullstellen besitzt. - Überprüfung des Monotonieverhaltens: Für \(x < 0{,}85\) und \(x > 3{,}15\) ist \(f\) streng monoton steigend, weshalb die Ableitungsfunktion dort positive Werte annehmen muss. Dies ist ebenfalls nur bei \(g_1\) der Fall. Somit stellt der Graph \(g_1\) die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

a) Die Steigung der Tangente \(t\) beträgt \(-1\). Demnach gilt \(f'(2) = -1\). b) Der Graph \(g_1\) stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar. Dies lässt sich daran erkennen, dass \(g_1(2) = -1\) gilt und \(g_1\) genau an den Extremstellen von \(f\) (bei \(x \approx 0{,}85\) und \(x \approx 3{,}15\)) seine Nullstellen besitzt. Zudem ist \(g_1\) in den Bereichen, in denen \(f\) steigt, positiv.

- Überlege dir zuerst, welchen Zusammenhang es zwischen den Extrempunkten einer Funktion \(f\) und den Nullstellen ihrer Ableitung \(f'\) gibt. - Wie hängt das Monotonieverhalten (Steigen oder Fallen) des Graphen von \(f\) mit dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) zusammen? - Erinnere dich daran, wie ein Wendepunkt im Graphen aussieht und wie man seine Lage bei einer symmetrischen Funktion dritten Grades bestimmen kann. - Betrachte für das Verhalten im Unendlichen die Steigung des Graphen, wenn du weit nach links auf der \(x\)-Achse gehst.

1. **Aussage (1):** Die Nullstellen der Ableitung \(f'\) entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente (Extremstellen) von \(f\). Der Graph \(G_f\) hat genau einen Hochpunkt bei \(x = -2\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 2\). Da \(f\) vom Grad 3 ist, ist \(f'\) eine Parabel mit genau diesen zwei Nullstellen. Somit ist die Aussage **wahr**. 2. **Aussage (2):** Im Intervall \([-2; 2]\) ist der Graph von \(f\) streng monoton fallend. Daher gilt für die Ableitung \(f'(x) \le 0\), d.h. der Graph von \(f'\) verläuft unterhalb der \(x\)-Achse (bzw. berührt sie an den Rändern). Somit ist die Aussage **falsch**. 3. **Aussage (3):** Der Wendepunkt einer ganzrationalen Funktion 3. Grades liegt symmetrisch genau in der Mitte zwischen den beiden Extremstellen. Mit \(x_H = -2\) und \(x_T = 2\) liegt der Wendepunkt bei \(x = 0\) mit dem Funktionswert \(f(0) = 1\), also im Punkt \((0; 1)\). Somit ist die Aussage **wahr**. 4. **Aussage (4):** Für \(x \to -\infty\) verläuft der Graph von \(f\) von links unten nach rechts oben, seine Steigung ist positiv und wird für immer kleinere \(x\)-Werte immer steiler. Daher gilt \(\lim_{x \to -\infty} f'(x) = +\infty\). Somit ist die Aussage **falsch**.

Die Aussagen (1) und (3) sind wahr. Die Aussagen (2) und (4) sind falsch.

- Bestimme zunächst die \(x\)-Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von \(f\). Welche Bedeutung haben diese Stellen für die Ableitungsfunktion \(f'\)? - Überprüfe, welche der vorgegebenen Funktionsterme die passenden Nullstellen für \(f'\) liefern. - Achte auf das Monotonieverhalten des Graphen: Wo steigt der Graph von \(f\) und wo fällt er? Was bedeutet das für das Vorzeichen von \(f'\) und die Öffnung der Parabel? - Nutze die Steigung an einer bestimmten Stelle (z. B. der Wendestelle bei \(x = 1\)), um zwischen den verbleibenden Möglichkeiten zu entscheiden. Wie steil fällt der Graph dort ungefähr?

1. Bestimmung der Extremstellen von \(f\) aus dem Graphen: Es liegt ein Hochpunkt bei \(x = -1\) und ein Tiefpunkt bei \(x = 3\) vor. An diesen Stellen muss die Ableitung Nullstellen besitzen: \(f'(-1) = 0\) und \(f'(3) = 0\). 2. Überprüfung der Optionen hinsichtlich dieser Nullstellen: - Für Option D gilt: \(f'(x) = 0{,}5(x^2 + 2x - 3) = 0{,}5(x+3)(x-1)\), was zu Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 1\) führt. Option D scheidet somit aus. - Die Optionen A, B und C weisen alle die korrekten Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 3\) auf. 3. Analyse des Monotonieverhaltens: Da die Funktion \(f\) für \(x < -1\) und \(x > 3\) streng monoton steigt, muss die Ableitung in diesen Bereichen positiv sein (\(f'(x) > 0\)). Der Graph von \(f'\) stellt somit eine nach oben geöffnete Parabel dar. Bei Option B ist der Koeffizient vor \(x^2\) negativ, weshalb diese Parabel nach unten geöffnet ist. Option B scheidet somit aus. 4. Bestimmung der Steigung an der Wendestelle bei \(x = 1\): Die Steigung im Intervall \([0; 2]\) lässt sich durch die mittlere Änderungsrate abschätzen: \(\frac{f(2)-f(0)}{2-0} \approx \frac{-1{,}7-2}{2} = -1{,}85\). Die momentane Steigung bei \(x = 1\) liegt somit nahe bei \(-2\). - Für Option A gilt: \(f'(1) = 0{,}5 \cdot 1^2 - 1 - 1{,}5 = -2\). - Für Option C gilt: \(f'(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4\). Da eine Steigung von \(-4\) deutlich zu steil für den gezeigten Graphen ist, scheidet Option C aus. Somit gehört Option A zur Ableitungsfunktion.

Der korrekte Funktionsterm der Ableitungsfunktion \(f'\) ist **A**: \(f'(x) = 0{,}5x^2 - x - 1{,}5\).

- Erinnere dich daran, welche geometrische Bedeutung die Ableitung \(f'(x)\) an einer Stelle \(x\) für den Graphen von \(f\) hat. - Überlege, wie das Monotonieverhalten (Steigen und Fallen) des Graphen von \(f\) mit dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) zusammenhängt. - Was bedeutet es für die Tangente und damit für die Ableitung, wenn der Graph von \(f\) an einer Stelle einen Hoch- oder Tiefpunkt hat? - Achte darauf, nicht den Funktionswert \(f(x)\) (die \(y\)-Koordinate auf dem Graphen) mit dem Ableitungswert \(f'(x)\) (der Steigung) zu verwechseln. - Denke an die Symmetrieeigenschaften von ganzrationalen Funktionen dritten Grades und deren Ableitungen (Parabeln).

1. Aussage (1) ist wahr. Im offenen Intervall \((0; 4)\) steigt der dargestellte Graph von \(f\) und besitzt dort keine waagerechte Tangente. Daher gilt im dargestellten Fall \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in (0; 4)\). 2. Aussage (2) ist falsch. Bei \(x = 2\) liegt ein Wendepunkt mit positiver Steigung vor; aus dem Graphen ergibt sich \(f'(2) = 3 \neq 0\). 3. Aussage (3) ist wahr. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt \(W(2; 2)\). Die Tangentensteigungen an den symmetrisch zu \(x = 2\) liegenden Stellen \(x = 1\) und \(x = 3\) sind daher gleich: \(f'(1) = f'(3)\). 4. Aussage (4) ist falsch. Bei \(x = 0\) hat der Graph von \(f\) einen lokalen Tiefpunkt, also gilt \(f'(0) = 0\). Der Wert \(-2\) ist der Funktionswert \(f(0)\), nicht der Ableitungswert.

Wahr sind die Aussagen (1) und (3). Die Aussagen (2) und (4) sind falsch.

- Denke daran, welche geometrische Bedeutung die Ableitung \(f'(x)\) an einer bestimmten Stelle \(x\) für den Graphen von \(f\) hat. - Wo hat der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente? Was bedeutet das für den Wert der Ableitung an dieser Stelle? - Wie hängen die Steigung der Tangente \(t\) und der Wert der Ableitungsfunktion \(f'(0)\) zusammen? - In welchen Bereichen steigt der Graph von \(f\) an, und was bedeutet das für das Vorzeichen der Ableitung?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen an den Stellen mit waagerechter Tangente. Aus den Extrempunkten \(H(-2 \mid 4)\) und \(T(2 \mid -4)\) folgt: \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 2. Die Tangente bei \(x = 0\) verläuft durch \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid -3)\). Daher ist \(f'(0) = \frac{-3-0}{1-0} = -3\). 3. Im dargestellten Bereich steigt \(f\) für \(-5 \le x < -2\) und für \(2 < x \le 5\). Somit gilt \(f'(x) > 0\) für \(x \in [-5; -2)\) und \(x \in (2; 5]\).

a) \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). b) \(f'(0) = -3\). c) Im dargestellten Bereich gilt \(f'(x) > 0\) für \(x \in [-5; -2)\) und \(x \in (2; 5]\).

- Überlege dir zuerst, welchen Zusammenhang es zwischen den Eigenschaften des Graphen von \(f\) (wie Steigung, Krümmung und Extrema) und den Werten der Ableitungsfunktionen \(f'\) und \(f''\) gibt. - Wo hat der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten und was bedeutet das für \(f'\)? - Wie hängen Monotonie (Steigen oder Fallen des Graphen) und das Vorzeichen der ersten Ableitung zusammen? - Welche geometrische Eigenschaft des Graphen von \(f\) wird durch die Nullstellen der zweiten Ableitung \(f''\) beschrieben? - Wenn eine Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, welche Symmetrie besitzt dann ihre Ableitungsfunktion?

1. Aussage (1) ist wahr: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente (lokale Extrema) von \(f\). Der Graph von \(f\) besitzt im Intervall \([-3; 3]\) drei lokale Extrema (ein Minimum bei \(x = 0\) und zwei Maxima bei \(x = -2\) und \(x = 2\)), sodass \(f'\) dort genau drei Nullstellen hat. 2. Aussage (2) ist falsch: Für \(x > 2\) ist die Funktion \(f\) streng monoton fallend, woraus eine negative Tangentensteigung und somit \(f'(x) < 0\) folgt. 3. Aussage (3) ist wahr: Die Nullstellen der zweiten Ableitung \(f''\) entsprechen den Wendestellen von \(f\). Der Graph wechselt im Intervall \([-3; 3]\) zweimal seine Krümmung (Rechts-Linkskrümmung bei \(x \approx -1{,}15\) und Links-Rechtskrümmung bei \(x \approx 1{,}15\)), woraus zwei Nullstellen für \(f''\) folgen. 4. Aussage (4) ist falsch: Da der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist (gerade Funktion), ist der Graph ihrer Ableitungsfunktion \(f'\) punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion). 5. Aussage (5) ist wahr: Im Intervall \([0; 2]\) ist \(f\) streng monoton steigend, woraus eine positive Steigung an der Stelle \(x = 1\) folgt, also \(f'(1) > 0\).

(1) Wahr (2) Falsch (3) Wahr (4) Falsch (5) Wahr

- Erinnere dich daran, welche geometrische Bedeutung die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle hat. - Wo befinden sich die Kuppen und Täler des Graphen? Was bedeutet das für die Steigung der Tangente an diesen Stellen? - Wie kannst du die Steigung einer Kurve in einem einzelnen Punkt zeichnerisch bestimmen? Denke an eine Tangente und ein Steigungsdreieck. - Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad entlang der Kurve von links nach rechts. Wann musst du den Lenker nach rechts eingeschlagen halten, und wann nach links? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Richtung, in die die Kurve gekrümmt ist, und dem Vorzeichen der zweiten Ableitung?

1. Der Hochpunkt liegt bei \(H(-2 \mid 4)\), der Tiefpunkt bei \(T(2 \mid -4)\). Dort sind die Tangenten waagerecht, also gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 2. Im Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\) nimmt der Tangentenwert bei einem Schritt um \(1\) in \(x\)-Richtung um \(3\) ab. Daher beträgt die Steigung \(-3\), also \(f'(0) = -3\). 3. Für \(x < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt und \(f''(x) < 0\). Für \(x > 0\) ist der Graph linksgekrümmt und \(f''(x) > 0\).

a) \(H(-2 \mid 4)\) und \(T(2 \mid -4)\); an beiden Stellen hat \(f'\) eine Nullstelle. b) \(f'(0) = -3\). c) Für \(x < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt und \(f''(x) < 0\); für \(x > 0\) ist er linksgekrümmt und \(f''(x) > 0\).

- Wo hat die ursprüngliche Funktion \(f\) waagerechte Tangenten? Was bedeutet das für den Wert der Ableitung an diesen Stellen? - In welchen Bereichen steigt der Graph von \(f\) an, und in welchen fällt er? Welches Vorzeichen muss die Ableitungsfunktion dort jeweils haben? - Überlege dir den Grad der Funktionen: Wenn \(f\) eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist, welchen Grad muss dann ihre Ableitung haben?

Um die Ableitungsfunktion \(f'\) zu identifizieren, betrachtet man den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften von \(f\) und den Funktionswerten von \(f'\): 1. Lokale Extrempunkte von \(f\): Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \(x \approx -0{,}15\) und einen Tiefpunkt bei \(x \approx 2{,}15\). An diesen Stellen muss die Ableitungsfunktion \(f'\) Nullstellen haben. Dies trifft sowohl auf den roten Graphen \(g\) als auch auf den blauen Graphen \(h\) zu. 2. Monotonie von \(f\): Im Intervall zwischen den Extremstellen, also für \(-0{,}15 < x < 2{,}15\), ist der Graph von \(f\) streng monoton fallend. In diesem Bereich müssen die Funktionswerte der Ableitungsfunktion \(f'\) negativ sein. 3. Vergleich der Kandidaten: Der rote Graph \(g\) verläuft in diesem Intervall unterhalb der x-Achse (\(g(x) < 0\)), während der blaue Graph \(h\) oberhalb verläuft. 4. Ergebnis: Somit ist der rote Graph \(g\) die gesuchte Ableitungsfunktion \(f'\). Der grüne Graph \(k\) scheidet aus, da er nur eine Nullstelle besitzt und somit nicht zu einer Funktion dritten Grades passt.

Der rote Graph \(g\) stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

- Welche Steigung hat eine Tangente in einem lokalen Extrempunkt? - In welchen Bereichen steigt die Funktion \(g\) und in welchen fällt sie? Was bedeutet das für das Vorzeichen von \(g'\)? - Kannst du die Steigung der Tangente im Ursprung direkt am Graphen abschätzen? - Wenn eine Funktion eine Kurve dritten Grades ist, welchen Typs muss dann ihre Ableitungsfunktion sein?

1. Aussage (A) ist wahr. Der Graph von \(g\) weist bei \(x = -1\) einen Hochpunkt und bei \(x = 1\) einen Tiefpunkt auf. An diesen Stellen ist die Tangente waagerecht, was bedeutet, dass die Ableitung dort den Wert Null hat: \(g'(-1) = 0\) und \(g'(1) = 0\). 2. Aussage (B) ist wahr. Zwischen den beiden Extremstellen (\(-1 < x < 1\)) fällt der Graph von \(g\). Da die Steigung in diesem Intervall negativ ist, müssen die Funktionswerte der Ableitungsfunktion \(g'\) negativ sein. Der Graph von \(g'\) liegt somit unterhalb der \(x\)-Achse. 3. Aussage (C) ist falsch. Da die Funktion \(g\) an der Stelle \(x = 0\) eine negative Steigung aufweist (der Graph fällt), muss \(g'(0)\) negativ sein. Ein Blick auf den Graphen zeigt eine Steigung von etwa \(-1{,}5\). 4. Aussage (D) ist wahr. Die Funktion \(g\) ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades (erkennbar an den zwei Extremstellen und dem globalen Verlauf). Die Ableitungsfunktion einer Funktion dritten Grades ist stets eine quadratische Funktion (Parabel). Da \(g\) für sehr große \(x\)-Werte steigt, muss die Steigung dort positiv sein, was für eine nach oben geöffnete Parabel spricht.

Wahr sind die Aussagen (A), (B) und (D). Die Aussage (C) ist falsch.

- Schau dir die Steigung direkt im Punkt \((-1 \mid -1)\) an. Wie würde eine Tangente dort aussehen? - Steigt die Funktion links und rechts von \(x = -1\)? - Was bedeutet durchgehendes Steigen für das Vorzeichen der Ableitung?

1. Ja, \(f'\) hat bei \(x = -1\) eine Nullstelle. Der Graph von \(f\) besitzt dort einen Terrassenpunkt (Sattelpunkt), was bedeutet, dass die Tangente in diesem Punkt waagerecht verläuft (\(f'(-1) = 0\)). 2. Da die Funktion \(f\) sowohl vor als auch nach \(x = -1\) streng monoton steigt, ist die Ableitung \(f'(x)\) in der Umgebung von \(-1\) (außer an der Stelle selbst) stets positiv. Es findet also kein Vorzeichenwechsel bei \(x = -1\) statt; der Graph von \(f'\) berührt die \(x\)-Achse nur.

1. Ja, \(f'(-1) = 0\), da dort eine waagerechte Tangente vorliegt. 2. Nein, \(f'\) wechselt das Vorzeichen nicht; die Werte bleiben (außer bei \(x = -1\)) positiv, da die Funktion \(f\) überall steigt.

- Zähle alle „Berge“ und „Täler“ des Graphen von \(f\). - Wo ändert sich die Krümmung des Graphen von \(f\) (von einer Rechtskurve in eine Linkskurve oder umgekehrt)? - Was entspricht einem Wendepunkt von \(f\) im Graphen von \(f'\)?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen an den Stellen mit waagerechter Tangente. Der Graph von \(f\) hat Tiefpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie einen Hochpunkt bei \(x = 0\). Daher hat \(f'\) die Nullstellen \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 2. Am dargestellten Graphen von \(f\) erkennt man zwischen \(-2\) und \(0\) sowie zwischen \(0\) und \(2\) jeweils einen Krümmungswechsel. An diesen beiden Wendestellen ist die Tangentensteigung lokal extrem. Daher besitzt \(f'\) mindestens zwei Extremstellen.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 2. \(f'\) besitzt mindestens zwei Extremstellen, weil der dargestellte Graph von \(f\) zwei Wendestellen aufweist.

- Identifiziere alle Kuppen und Täler im Graphen. - Wo „kippt“ der Graph von einer Linkskurve in eine Rechtskurve? - Wo wirkt der Anstieg des Graphen am steilsten?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei den lokalen Extrema von \(f\). Im Bereich \([-4; 4]\) hat \(f\) einen Hochpunkt bei \(x \approx 1{,}57\) (\(\frac{\pi}{2}\)) und einen Tiefpunkt bei \(x \approx -1{,}57\) (\(-\frac{\pi}{2}\)). Dort schneidet \(f'\) die \(x\)-Achse. 2. Die Ableitungsfunktion \(f'\) ist dort am größten, wo der Graph von \(f\) am steilsten ansteigt. Das ist im Ursprung bei \(x = 0\) der Fall (Wendepunkt mit maximaler Steigung).

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x \approx -1{,}57\) und \(x \approx 1{,}57\). 2. Der größte Wert von \(f'\) wird bei \(x = 0\) erreicht, da der Graph dort am steilsten steigt.

- Überlege dir, was der Funktionswert der Ableitung \(f'(x)\) über den Verlauf des Graphen von \(f\) aussagt. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Extrempunkten einer Funktion und den Nullstellen ihrer Ableitung. - Wie hängen Monotonie (Steigen und Fallen) und das Vorzeichen der Ableitung zusammen? - Achte auf Symmetrien im Graphen der ursprünglichen Funktion.

1. Wahr: Der Graph von \(f\) steigt bei \(x = 0\), daher ist \(f'(0) > 0\). 2. Wahr: Im gezeigten Bereich besitzt \(f\) zwei lokale Extrempunkte, ungefähr bei \(x \approx -1{,}4\) und \(x \approx 1{,}4\). Dort hat \(f'\) Nullstellen. 3. Wahr: Im Intervall \([1{,}5; 3]\) fällt \(f\), daher ist \(f'(x) < 0\). 4. Wahr: Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((0 \mid 1)\). Daher ist \(f'\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und es gilt \(f'(2) = f'(-2)\). 5. Falsch: Für einen Durchgang von \(f'\) durch den Ursprung müsste \(f'(0) = 0\) gelten. Der Graph von \(f\) hat bei \(x = 0\) jedoch eine positive Steigung.

(1) Wahr (2) Wahr (3) Wahr (4) Wahr (5) Falsch

- Wo hat der Graph waagerechte Tangenten? Was bedeutet das für die Ableitung? - Wenn eine Funktion steigt, welches Vorzeichen hat dann ihre Ableitung? - Was passiert mit der Steigung, wenn man einen Graphen an der \(y\)-Achse spiegelt? - Überprüfe für jeden Punkt, ob der Graph dort bergauf oder bergab geht.

1. Wahr: Der Graph von \(g\) hat bei \(x = 0\) ein lokales Maximum. Dort ist die Tangente waagerecht, also gilt \(g'(0) = 0\). 2. Wahr: Für \(x < 0\) ist die Funktion \(g\) streng monoton steigend. Daher muss die Ableitung \(g'(x)\) für alle diese Werte positiv sein. 3. Falsch: Es gibt im Bereich \([-4; 4]\) nur einen Punkt mit waagerechter Tangente (das Maximum bei \(x = 0\)). Somit hat \(g'\) dort nur genau eine Nullstelle. 4. Wahr: Da die Funktion \(g\) für \(x > 0\) streng monoton fällt, ist die Steigung \(g'(x)\) dort negativ. Dies gilt insbesondere für \(x = 1\). 5. Wahr: Der Graph von \(g\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Die Ableitung einer achsensymmetrischen Funktion ist stets punktsymmetrisch zum Ursprung. Man erkennt dies auch daran, dass die positive Steigung links vom Maximum betragsmäßig den gleichen Werten entspricht wie die negative Steigung rechts vom Maximum (z. B. \(g'(-1) = -g'(1)\)).

Korrekt sind die Aussagen (1), (2), (4) und (5). Aussage (3) ist falsch.

- Welche besonderen Punkte des Graphen von \(f\) geben dir direkt Auskunft über die Nullstellen von \(f'\)? - Betrachte die Bereiche zwischen den Extremstellen: Steigt oder fällt die Kurve dort? - Achte auf die Symmetrie des Graphen. Überträgt sich diese Symmetrie auf die Ableitungsfunktion?

1. Nullstellen der Ableitung: Die Funktion \(f\) besitzt lokale Extrema bei \(x = -2\) (Hochpunkt), \(x = 0\) (Tiefpunkt) und \(x = 2\) (Hochpunkt). An diesen Stellen ist die Steigung Null, also gilt \(f'(-2) = 0\), \(f'(0) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 2. Vorzeichen der Ableitung: - Für \(x < -2\) steigt \(f\) an \(\rightarrow f'(x) > 0\). - Für \(-2 < x < 0\) fällt \(f\) ab \(\rightarrow f'(x) < 0\). - Für \(0 < x < 2\) steigt \(f\) an \(\rightarrow f'(x) > 0\). - Für \(x > 2\) fällt \(f\) ab \(\rightarrow f'(x) < 0\). 3. Skizze: Da \(f\) vom Grad 4 ist, ist \(f'\) eine Funktion 3. Grades. Der Graph verläuft von links oben durch die Nullstellen bei \(-2\), \(0\) und \(2\) nach rechts unten.

a) Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). b) Der Graph von \(f'\) ist eine ungerade Funktion 3. Grades, die bei \(x = -2\) und \(x = 2\) die x-Achse schneidet und durch den Ursprung verläuft.

- Was ist das Besondere an der Steigung in einem Sattelpunkt? - Ändert sich das Steigungsverhalten (positiv/negativ) der Funktion, wenn man über den Sattelpunkt hinweggeht? - Zeichne dir ein paar Tangentensteigungen vor und nach der Stelle \(x = 1\) ein.

1. Am Sattelpunkt bei \(x = 1\) ist die Tangente waagerecht, also gilt \(f'(1) = 0\). 2. Der Graph von \(f\) steigt links und rechts des Sattelpunkts. Daher gilt \(f'(x) > 0\) für \(x \neq 1\). 3. Der Graph von \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((1 \mid 0)\). Sie berührt dort die \(x\)-Achse, ohne sie zu schneiden. 4. Im Graphen von \(f'\) erkennt man den Sattelpunkt von \(f\) an einer Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Der Graph von \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel, die die \(x\)-Achse im Punkt \((1 \mid 0)\) berührt. Die Nullstelle hat keinen Vorzeichenwechsel.

- Die erste Ableitung \(f'\) gibt die Steigung an: Steigt der Graph (aufwärts) oder fällt er (abwärts)? - Die zweite Ableitung \(f''\) beschreibt die Krümmung: Macht der Graph eine Linkskurve oder eine Rechtskurve? - Wo im Verlauf einer Kurve ist das Gefälle (die negative Steigung) am stärksten?

1. An der Stelle \(x_A = -1\) steigt der Graph (\(f'(-1) > 0\)) und verläuft in einer Rechtskurve (\(f''(-1) < 0\)). Dies entspricht Beschreibung 2. 2. An der Stelle \(x_B = 1\) befindet sich ein Wendepunkt mit Übergang von Rechts- zu Linkskrümmung. Da der Graph hier am steilsten fällt, ist die Steigung \(f'(x)\) dort minimal. Dies entspricht Beschreibung 3. 3. An der Stelle \(x_C = 2\) fällt der Graph (\(f'(2) < 0\)) und verläuft in einer Linkskurve (\(f''(2) > 0\)). Dies entspricht Beschreibung 1. 4. An der Stelle \(x_D = 4\) steigt der Graph wieder (\(f'(4) > 0\)) und ist linksgekrümmt (\(f''(4) > 0\)).

1. \(x_C = 2\) 2. \(x_A = -1\) 3. \(x_B = 1\)

- Schau dir den rechten Rand des Graphen an. Wie verläuft die Kurve dort im Vergleich zu einer waagerechten Linie? - Was passiert mit der Steilheit einer Kurve, wenn sie sich einer waagerechten Asymptote annähert? - Überlege, ob die Steigungswerte für \(x > 0\) positiv oder negativ sind.

1. Für \(x \to \infty\) nähert sich der Graph von \(f\) der waagerechten Asymptote \(y = 3\). Daher gilt \(\lim_{x \to \infty} f'(x) = 0\). 2. Für \(x > 0\) steigt \(f\), also ist \(f'(x) > 0\). 3. Die Tangenten werden mit wachsendem \(x\) immer flacher. Daher ist \(f'\) für \(x > 0\) streng monoton fallend und nähert sich der \(x\)-Achse von oben. Die Gerade \(y = 0\) ist eine waagerechte Asymptote des Ableitungsgraphen.

Für \(x > 0\) ist \(f'(x)\) positiv und streng monoton fallend. Für \(x \to \infty\) gilt \(f'(x) \to 0\); der Graph von \(f'\) nähert sich der \(x\)-Achse von oben.

- Die Beschleunigung ist physikalisch gesehen die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. - Suche für die maximale Beschleunigung die Stelle, an der die Kurve am steilsten nach oben geht. - Achte auf das Vorzeichen der Steigung: Ein positiver Wert bedeutet Beschleunigung, ein negativer Wert bedeutet Verzögerung. - Du kannst ein Lineal an den Bildschirm halten, um die Steigung der Tangente besser abschätzen zu können.

1. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(t = 20\,\text{s}\). Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort \(10\,\text{m/s}\). 2. Die Beschleunigung bei \(t = 10\,\text{s}\) entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Ein Steigungsdreieck liefert einen Wert von etwa \(0{,}75\,\text{m/s}^2\). 3. Die maximale Beschleunigung tritt am Wendepunkt im ansteigenden Teil des Graphen auf. Dies ist bei \(t = 10\,\text{s}\) der Fall, da der Graph dort am steilsten ansteigt. 4. Bei \(t = 5\,\text{s}\) ist die Steigung positiv (ca. \(0{,}56\,\text{m/s}^2\)), der Radfahrer wird also schneller. Bei \(t = 25\,\text{s}\) ist die Steigung negativ (ca. \(-0{,}94\,\text{m/s}^2\)), er bremst also ab bzw. wird langsamer.

a) Die Höchstgeschwindigkeit von \(10\,\text{m/s}\) wird nach \(20\,\text{s}\) erreicht. b) Die Beschleunigung bei \(t = 10\,\text{s}\) beträgt etwa \(0{,}75\,\text{m/s}^2\). c) Die Beschleunigung ist zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{s}\) am größten. d) Bei \(t = 5\,\text{s}\) beschleunigt der Radfahrer (Geschwindigkeitszunahme), während er bei \(t = 25\,\text{s}\) abbremst (Geschwindigkeitsabnahme).

- Wo liegen die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion \(g\)? Markiere diese Stellen auf der \(x\)-Achse der Ableitungsgraphen. - In welchen Bereichen geht der Graph von \(g\) "bergab"? Welches Vorzeichen müssen die \(y\)-Werte der Ableitung dort haben? - Stell dir eine Tangente an den Graphen vor, die von links nach rechts wandert. Wie verändert sich ihre Steigung?

1. Analyse von \(g\): Der Graph zeigt eine kubische Funktion mit einem lokalen Maximum bei \(x \approx -1{,}73\) und einem lokalen Minimum bei \(x \approx 1{,}73\). 2. Zusammenhang zur Ableitung: An diesen Extremstellen muss die Ableitungsfunktion \(g'\) Nullstellen besitzen. Beide Graphen (3) und (4) haben Nullstellen bei diesen Werten. 3. Monotonie-Betrachtung: Zwischen den Extremstellen (im Intervall \((-1{,}73; 1{,}73)\)) fällt der Graph von \(g\). Das bedeutet, die Ableitungsfunktion muss in diesem Bereich negative Werte besitzen (\(g'(x) < 0\)). 4. Auswahl: In Graph (3) verläuft die Kurve zwischen den Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse. In Graph (4) verläuft sie oberhalb. 5. Ergebnis: Daher stellt Graph (3) die Ableitungsfunktion \(g'\) dar.

Graph (3) ist die Ableitungsfunktion von \(g\). Begründung: Die Funktion \(g\) fällt im Bereich zwischen ihren beiden Extremstellen (\(x \approx \pm 1{,}73\)). In diesem Intervall muss die Ableitungsfunktion also negative Werte haben. Nur Graph (3) verläuft zwischen den Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse.

- Wo hat der Graph waagerechte Tangenten? Markiere diese x-Werte auf der x-Achse für deine Skizze von \(f'\). - Überlege dir für verschiedene Abschnitte: Geht es bergauf oder bergab? - Wenn der Graph von \(f\) sehr steil ist, muss der Wert von \(f'\) weit weg von der x-Achse liegen. - Eine Funktion 4. Grades führt beim Ableiten zu einer Funktion 3. Grades. Wie sieht so ein Graph typischerweise aus?

1. Nullstellen von \(f'\): Diese liegen an den Stellen, an denen \(G_f\) waagerechte Tangenten hat (Extrempunkte). Im Graphen sind Tiefpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie ein Hochpunkt bei \(x = 0\) erkennbar. Die Nullstellen von \(f'\) sind also \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Vorzeichen von \(f'\): - Für \(x < -2\) fällt \(G_f\), also ist \(f'(x) < 0\) (Graph unterhalb der x-Achse). - Für \(-2 < x < 0\) steigt \(G_f\), also ist \(f'(x) > 0\) (Graph oberhalb). - Für \(0 < x < 2\) fällt \(G_f\), also ist \(f'(x) < 0\). - Für \(x > 2\) steigt \(G_f\), also ist \(f'(x) > 0\). 3. Skizze: Der Graph von \(f'\) ist eine Funktion 3. Grades (S-Form), die durch \((-2|0)\), \((0|0)\) und \((2|0)\) verläuft.

a) Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). b) Der Graph von \(f'\) verläuft unterhalb der x-Achse, wenn \(f\) fällt, und oberhalb, wenn \(f\) steigt. Die Skizze zeigt eine punktsymmetrische Kurve 3. Grades durch die genannten Nullstellen.

- Wo sind die Stellen mit der größten oder kleinsten Steigung im Graphen von \(f\)? Was bedeutet das für die Kurve von \(f'\)? - Betrachte den Bereich zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt. Ist die Steigung dort positiv oder negativ? - Wie verändert sich die Steigung, wenn du dich dem Ursprung näherst? Wird die Kurve dort steiler oder flacher? - Wenn \(f\) eine Funktion 3. Grades ist, welche Form hat dann die Ableitung?

1. Analyse der markanten Punkte: Der Graph \(G_f\) hat bei \(x = -2\) einen Hochpunkt und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen: \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 2. Wendepunkt und Extremum von \(f'\): Im Ursprung \((0|0)\) scheint ein Wendepunkt von \(f\) zu liegen, an dem der Graph am steilsten fällt. Die Steigung im Ursprung lässt sich näherungsweise als \(-3\) ablesen (Tangente durch \((1|-3)\)). Da dies die steilste Stelle im negativen Sinne ist, hat \(f'\) dort einen Tiefpunkt bei \((0|-3)\). 3. Skizze: \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0|-3)\) und den Nullstellen \(\pm 2\).

Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat ein Extremum (Tiefpunkt) an der Stelle \(x = 0\), da dort der Wendepunkt von \(f\) mit der maximalen negativen Steigung liegt. Der Graph von \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(x = -2\) und \(x = 2\).

- Wo „kippt“ die Funktion von Steigen auf Fallen um? - Schau dir an, wie flach die Kurve ganz am Rand des Bildes wird. Was bedeutet eine fast waagerechte Kurve für den Wert der Ableitung? - Suche die Stellen, an denen die Kurve am steilsten nach oben oder unten geht. Markiere diese als Höchst- oder Tiefpunkte in deiner Skizze von \(f'\).

1. Nullstelle: Der Graph von \(f\) hat bei \(x = 0\) ein Maximum. Dort ist die Steigung null, also hat \(f'\) bei \(x = 0\) eine Nullstelle. 2. Vorzeichen: Für \(x < 0\) steigt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x) > 0\). Für \(x > 0\) fällt der Graph, also ist \(f'(x) < 0\). 3. Wendepunkte und Extrema von \(f'\): Etwa bei \(x \approx -1\) ist die Steigung am größten (positiv), dort hat \(f'\) einen Hochpunkt. Bei \(x \approx 1\) ist die Steigung am kleinsten (am stärksten negativ), dort hat \(f'\) einen Tiefpunkt. 4. Grenzverhalten: Da sich der Graph von \(f\) für große \(x\) der x-Achse anschmiegt, wird die Steigung immer flacher und nähert sich Null an. Daher gilt \(f'(x) \to 0\) für \(x \to \pm \infty\).

Der Graph von \(f'\) hat eine Nullstelle bei \(x = 0\). Er kommt von der x-Achse (\(y=0\)), steigt zu einem Maximum im negativen Bereich an, kreuzt den Ursprung und fällt zu einem Minimum im positiven Bereich ab, bevor er sich wieder von unten der x-Achse nähert.

- Erinnere dich an die Definition der Steigung als „eine Einheit nach rechts – wie viel nach oben oder unten?“. Schau dir den Ursprung genau an. - Wo hat die Sinuskurve ihre Berge und Täler? Was ist dort die Steigung? - Zeichne die Punkte für die Steigungswerte direkt in das Diagramm ein und verbinde sie mit einer glatten Kurve. - Kommt dir die Form der neuen Kurve bekannt vor? Sie sieht fast aus wie die ursprüngliche, ist aber verschoben.

1. Steigungen bestimmen: - Bei \(x = 0\) ist die Kurve am steilsten steigend; die Steigung ist \(1\). Also \(f'(0) = 1\). - Bei \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) ist ein Hochpunkt; die Steigung ist \(0\). Also \(f'(\frac{\pi}{2}) = 0\). - Bei \(x = \pi \approx 3{,}14\) ist die Kurve am steilsten fallend; die Steigung ist \(-1\). Also \(f'(\pi) = -1\). - Bei \(x = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\) ist ein Tiefpunkt; die Steigung ist \(0\). Also \(f'(\frac{3\pi}{2}) = 0\). - Bei \(x = 2\pi \approx 6{,}28\) ist die Steigung wieder \(1\). Also \(f'(2\pi) = 1\). 2. Skizzieren: Verbindet man diese Punkte \((0|1)\), \((1{,}57|0)\), \((3{,}14|-1)\), \((4{,}71|0)\) und \((6{,}28|1)\) harmonisch, erhält man den Graphen der Kosinusfunktion. 3. Ergebnis: Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion: \(f'(x) = \cos(x)\).

Die Steigungen sind: \(f'(0)=1\), \(f'(\frac{\pi}{2})=0\), \(f'(\pi)=-1\) und \(f'(2\pi)=1\). Der skizzierte Graph entspricht der Kosinusfunktion \(g(x) = \cos(x)\).

- Überlege dir, was das Steigungsverhalten (Monotonie) des Funktionsgraphen über das Vorzeichen der Ableitung aussagt. - Erinnere dich daran, welchen Wert die Ableitung an Stellen mit waagerechten Tangenten (Extremstellen) annimmt. - Wie hängen Wendepunkte der ursprünglichen Funktion mit den Extremstellen der Ableitungsfunktion zusammen? - Du kannst die Steigung an einem Punkt abschätzen, indem du dir eine Tangente an den Graphen vorstellst.

1. Analyse der Monotonie: Da die Funktion \(f\) im Intervall \((-2; 2)\) streng monoton fällt, muss die Ableitung dort negativ sein (\(f'(x) < 0\)). Der Graph von \(f'\) verläuft also unterhalb der \(x\)-Achse. Aussage (1) ist falsch. 2. Waagerechte Tangenten: An den Stellen \(x = -2\) (lokales Maximum) und \(x = 2\) (lokales Minimum) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Folglich gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\), also \(f'(-2) = f'(2)\). Aussage (2) ist wahr. 3. Vergleich der Steigungen: Bei \(x=0\) fällt der Graph (\(f'(0) < 0\)), während er bei \(x=4\) steigt (\(f'(4) > 0\)). Damit ist der Wert der Ableitung bei \(x=0\) kleiner als bei \(x=4\). Aussage (3) ist wahr. 4. Krümmung und Wendepunkt: Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=0\) einen Wendepunkt (Übergang von Rechts- zu Linkskrümmung). Ein Wendepunkt der Funktion entspricht einer lokalen Extremstelle der Ableitungsfunktion. Aussage (4) ist wahr.

Die Aussagen (2), (3) und (4) sind wahr. Aussage (1) ist falsch.

- Wo steigt der Graph, wo fällt er? Das sagt dir, ob die Ableitung positiv oder negativ ist. - Schau dir die Stellen mit waagerechten Tangenten genau an. Was bedeutet das für die Nullstellen von \(f'\)? - Um Steigungen zu vergleichen, stelle dir vor, wie steil eine Tangente an den jeweiligen Stellen nach oben oder unten geneigt ist. - Achte beim Vergleich negativer Zahlen darauf, welche Zahl näher an der Null liegt.

1. Monotonieprüfung: Der Graph von \(f\) fällt für \(x \leq -1\) und für \(x \geq 1\). In diesen Bereichen ist die Ableitung \(f'(x) \leq 0\). Aussage (1) ist wahr. 2. Steigung im Ursprung: Zeichnet man eine Tangente im Punkt \((0|0)\) ein, so erkennt man, dass diese steiler verläuft als die erste Winkelhalbierende (die die Steigung \(1\) hätte). Tatsächlich beträgt die Steigung \(f'(0) = 2\). Aussage (2) ist falsch. 3. Vergleich negativer Steigungen: Im Bereich \(x > 1\) ist die Kurve fallend, wird aber mit zunehmendem \(x\) immer flacher. Das bedeutet, die negative Steigung wird betragsmäßig kleiner und nähert sich Null an. Da \(-0{,}24 < -0{,}16\) gilt (Beispielwerte), ist die Steigung bei \(x=2\) kleiner als bei \(x=3\). Aussage (3) ist wahr. 4. Lokales Extremum: Bei \(x=1\) liegt ein lokaler Hochpunkt vor. Die Tangente ist dort waagerecht, woraus \(f'(1) = 0\) folgt. Aussage (4) ist wahr.

Die Aussagen (1), (3) und (4) sind wahr. Aussage (2) ist falsch.

- Überlege dir, welche Steigung der Temperaturgraph an seinen höchsten und tiefsten Punkten hat. - In welchen Zeitabschnitten steigt die Temperatur an, und was bedeutet das für das Vorzeichen der Änderungsrate? - Achte darauf, wo der Temperaturgraph am steilsten fällt oder steigt. Welchen Wert muss die Änderungsrate dort ungefähr haben? - Vergleiche die Lage der Nullstellen der Kandidaten-Graphen mit den Stellen, an denen der Graph von \(T\) waagerechte Tangenten besitzt.

1. Identifikation der Extremstellen von \(T\): Der Graph der Temperatur \(T\) besitzt einen Hochpunkt bei \(t = 3\) und einen Tiefpunkt bei \(t = 7\). 2. Zusammenhang mit der Ableitungsfunktion: An den Stellen der lokalen Extrema der Funktion muss die Ableitungsfunktion (die Änderungsrate) Nullstellen besitzen. 3. Überprüfung der Kandidaten auf Nullstellen: - Graph (2) hat bei \(t = 3\) und \(t = 7\) keine Nullstellen. - Graph (4) ist eine Gerade und besitzt nur eine einzige Nullstelle. - Die Graphen (1) und (3) besitzen jeweils zwei Nullstellen. Graph (3) hat seine Nullstellen jedoch bei \(t = 1\) und \(t = 5\), während Graph (1) genau bei \(t = 3\) und \(t = 7\) die \(t\)-Achse schneidet. 4. Überprüfung der Monotonie: Im Intervall \([3; 7]\) fällt der Graph von \(T\), daher muss die Änderungsrate dort negative Werte annehmen. Dies trifft auf Graph (1) zu. 5. Ergebnis: Graph (1) stellt den Verlauf der Änderungsrate dar.

Graph (1) stellt die Änderungsrate dar. Begründung: Die Temperatur \(T\) hat bei \(t = 3\) einen Hochpunkt und bei \(t = 7\) einen Tiefpunkt; dort muss die Änderungsrate Nullstellen haben, was nur bei Graph (1) zutrifft (Graph (3) hat die Nullstellen an den falschen Positionen). Zudem fällt \(T\) zwischen \(t = 3\) und \(t = 7\), weshalb die Änderungsrate dort negativ sein muss, wie es bei Graph (1) der Fall ist.

- Erinnere dich an die physikalische Bedeutung der Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit. - Wo im Graphen der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung Null? - Schau dir den Bereich von \(t = 2\) bis \(t = 6\) an. Wird das Fahrzeug dort schneller oder langsamer? Was bedeutet das für das Vorzeichen der Beschleunigung? - Vergleiche den Wert der Beschleunigung zum Zeitpunkt \(t = 0\) mit der Steigung des Geschwindigkeitsgraphen an dieser Stelle.

1. Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung: Die Beschleunigung \(a(t)\) entspricht der Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\). 2. Analyse der Extremstellen von \(v\): Die Geschwindigkeit \(v\) erreicht bei \(t = 2\) und \(t = 10\) ein Maximum und bei \(t = 6\) ein Minimum. An diesen Stellen ist die Steigung der Tangente gleich Null, weshalb die Beschleunigung \(a\) dort Nullstellen besitzen muss. 3. Überprüfung der Graphen auf Nullstellen: Graph (c) hat Nullstellen bei \(t = 0\), \(t = 4\), \(t = 8\) und \(t = 12\), was nicht zu den Extremstellen von \(v\) passt. Die Graphen (a) und (b) haben passende Nullstellen bei \(t = 2\), \(t = 6\) und \(t = 10\). 4. Analyse der Steigung (Vorzeichen von \(a\)): Zu Beginn (\(t = 0\)) steigt der Graph von \(v\) an, die Steigung ist also positiv. Folglich muss \(a(0) > 0\) gelten. Graph (a) startet bei einem positiven Wert (\(a(0) \approx 1{,}57\)), während Graph (b) bei einem negativen Wert startet. 5. Ergebnis: Nur Graph (a) erfüllt alle Bedingungen und stellt somit die Beschleunigung dar.

Graph (a) stellt die Beschleunigung dar. Begründung: Die Geschwindigkeit \(v\) hat Extremstellen bei \(t = 2\), \(t = 6\) und \(t = 10\). An diesen Stellen muss die Beschleunigung Nullstellen haben, was auf (a) und (b) zutrifft. Da \(v\) zu Beginn (\(t = 0\)) ansteigt, muss die Beschleunigung dort positiv sein. Dies ist nur bei Graph (a) der Fall.

- Überlege dir, welche Besonderheiten des Graphen von \(f\) (wie Hoch- oder Tiefpunkte) Rückschlüsse auf die Nullstellen der Ableitung zulassen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Steigungsverhalten einer Funktion und dem Vorzeichen ihrer Ableitung. - Was bedeutet ein Wendepunkt für den Verlauf der Steigung? - Wenn eine Funktion vom Grad 3 ist, welchen Grad hat dann ihre Ableitung? Wie verhalten sich solche Funktionen für sehr große x-Werte?

1. Zusammenhang zwischen Extrema von \(f\) und Nullstellen von \(f'\) analysieren: Der Graph \(G_f\) hat bei \(x = -1\) ein lokales Maximum und bei \(x = 3\) ein lokales Minimum. Folglich hat die Ableitungsfunktion \(f'\) an diesen Stellen Nullstellen. Aussage (1) ist wahr. 2. Monotonie von \(f\) und Vorzeichen von \(f'\) prüfen: Im Intervall \(]-1; 3[\) fällt der Graph von \(f\). Daher muss die Ableitung \(f'(x)\) in diesem Bereich negativ sein, der Graph von \(f'\) verläuft also unterhalb der x-Achse. Aussage (2) ist falsch. 3. Zusammenhang zwischen Wendepunkten von \(f\) und Extrema von \(f'\) prüfen: Der Graph \(G_f\) weist bei \(x = 1\) einen Wendepunkt auf (Übergang von einer Rechts- in eine Linkskrümmung). Ein Wendepunkt der Ausgangsfunktion entspricht einer Extremstelle der Ableitungsfunktion. Aussage (3) ist wahr. 4. Globalverhalten der Ableitung untersuchen: Da \(f\) eine Funktion 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten ist (\(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\)), ist \(f'\) eine nach oben geöffnete Parabel 2. Grades. Somit gilt \(\lim_{x \to \infty} f'(x) = \infty\). Aussage (4) ist wahr.

Wahr sind die Aussagen (1), (3) und (4).

- Welche besondere Eigenschaft hat die Steigung einer Funktion an ihren Hoch- und Tiefpunkten? - Schau dir an, in welchen Bereichen der Graph steigt oder fällt. Was bedeutet das für das Vorzeichen der Ableitung? - Du kannst die Nullstellen der vorgeschlagenen Ableitungsfunktionen berechnen oder markante Punkte wie den \(y\)-Achsenabschnitt prüfen. - Überlege dir, welchen Grad die Ableitungsfunktion haben muss, wenn die ursprüngliche Funktion eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist.

1. Analyse der Extremstellen von \(f\): Der Graph zeigt ein lokales Minimum bei \(x = -1\) und ein lokales Maximum bei \(x = 3\). An diesen Stellen muss die Ableitungsfunktion \(f'\) Nullstellen besitzen. 2. Überprüfung der Terme auf Nullstellen: - Für Term A gilt: \(-0{,}3 \cdot ((-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 3) = -0{,}3 \cdot (1 + 2 - 3) = 0\) und \(-0{,}3 \cdot (3^2 - 2 \cdot 3 - 3) = -0{,}3 \cdot (9 - 6 - 3) = 0\). - Term B hat ebenfalls Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 3\). - Term C ist linear und hat nur eine Nullstelle bei \(x = 1\). - Term D hat Nullstellen bei \(x \approx -1{,}85\) und \(x \approx 4{,}85\). 3. Analyse der Monotonie: Zwischen den Extremstellen (\(-1 < x < 3\)) steigt der Graph von \(f\) an. Daher muss die Ableitung \(f'\) in diesem Intervall positiv sein. 4. Test eines Wertes im Intervall: - Für Term A: \(f'(0) = 0{,}9 > 0\). - Für Term B: \(f'(0) = -0{,}9 < 0\). 5. Ergebnis: Nur Term A erfüllt alle Bedingungen.

Der richtige Funktionsterm ist A) \(f'(x) = -0{,}3x^2 + 0{,}6x + 0{,}9\).

- Überlege dir, was der Wert der Ableitung an einer bestimmten Stelle über den Verlauf des Funktionsgraphen aussagt. - Welche besonderen Punkte des Graphen von \(f\) führen zu Nullstellen in der Ableitungsfunktion? - Achte auf die Monotonie: Wo steigt der Graph und wo fällt er? - Eine positive Ableitung bedeutet, dass der Graph der ursprünglichen Funktion steigt.

1. Wahr: Der Graph von \(f\) steigt an der Stelle \(x = -1\), somit ist die Ableitung dort positiv: \(f'(-1) > 0\). 2. Wahr: An der Stelle \(x = 0\) liegt ein lokales Maximum vor. Die Tangente ist dort waagerecht, also gilt \(f'(0) = 0\). 3. Falsch: Bei \(x = 0\) gilt \(f'(0) = 0\); für \(0 < x \le 1{,}5\) fällt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x) < 0\). Der Graph von \(f'\) liegt daher nicht im gesamten Intervall \([0; 1{,}5]\) oberhalb der \(x\)-Achse. 4. Wahr: Bei \(x \approx 1{,}73\) befindet sich ein lokaler Tiefpunkt von \(f\). Dort ist die Steigung null, also hat \(f'\) dort eine Nullstelle. 5. Falsch: An der Stelle \(x = 2\) steigt der Graph von \(f\), die Steigung ist also positiv (\(f'(2) > 0\)). 6. Wahr: Der Graph von \(f\) besitzt drei Punkte mit waagerechter Tangente (zwei lokale Tiefpunkte und ein lokales Maximum). Jede dieser Stellen entspricht einer Nullstelle der Ableitungsfunktion \(f'\).

(1) Wahr (2) Wahr (3) Falsch (4) Wahr (5) Falsch (6) Wahr

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Extrema einer Funktion und den Nullstellen ihrer Ableitung. - Wie hängen Monotonie (Steigen/Fallen) und das Vorzeichen der Ableitung zusammen? - Du kannst dir an jeder Stelle eine Tangente an den Graphen denken, um die Steigung abzuschätzen.

1. Stellen mit \(g'(x) = 0\): Die Ableitung ist an den Stellen null, an denen der Graph von \(g\) eine waagerechte Tangente hat. Dies ist bei den lokalen Extrema der Fall. Aus dem Graphen liest man das lokale Maximum bei \(x = 0\) und das lokale Minimum bei \(x = 2\) ab. Also gilt \(g'(0) = 0\) und \(g'(2) = 0\). 2. Vorzeichen im Intervall \((0; 2)\): In diesem Bereich fällt der Graph von \(g\) (monoton fallend). Eine fallende Funktion hat eine negative Ableitung, daher ist \(g'(x) < 0\) für alle \(x \in (0; 2)\). 3. Vergleich von \(g'(-1)\) und \(g'(1)\): Bei \(x = -1\) steigt der Graph von \(g\), die Steigung \(g'(-1)\) ist also positiv. Bei \(x = 1\) fällt der Graph von \(g\), die Steigung \(g'(1)\) ist also negativ. Da jeder positive Wert größer als jeder negative Wert ist, gilt \(g'(-1) > g'(1)\).

a) \(g'(x) = 0\) für \(x = 0\) und \(x = 2\). b) Negativ, da der Graph von \(g\) im Intervall \((0; 2)\) streng monoton fallend ist. c) \(g'(-1)\) ist größer, da die Steigung dort positiv ist (Graph steigt), während sie bei \(x = 1\) negativ ist (Graph fällt).

- Überlege dir, was die Ableitung an einer Stelle grafisch bedeutet. - Achte auf die Bereiche, in denen der Graph steigt oder fällt. Was sagt das über das Vorzeichen der Ableitung aus? - Wo hat der Graph waagerechte Tangenten? Was bedeutet das für den Wert der Ableitungsfunktion an diesen Stellen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Extremstellen der Ausgangsfunktion und den Nullstellen der Ableitung.

1. Aussage (1) ist wahr, da die Funktion \(h\) an der Stelle \(x = -2\) ein lokales Maximum besitzt. Dort ist die Tangente waagerecht, also die Steigung \(h'(-2) = 0\). 2. Aussage (2) ist falsch. Im Bereich um \(x = 0\) fällt der Graph von \(h\). Eine fallende Funktion bedeutet eine negative Steigung, also \(h'(0) < 0\). 3. Aussage (3) ist wahr. Da die Funktion \(h\) im gesamten Intervall \([-2; 2]\) streng monoton fällt, sind die Werte der Ableitungsfunktion \(h'(x)\) in diesem Bereich negativ. Somit verläuft \(G_{h'}\) dort unterhalb der \(x\)-Achse. 4. Aussage (4) ist wahr. Nullstellen der Ableitungsfunktion entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente (lokale Extrema). Der Graph zeigt genau zwei solcher Stellen (ein lokales Maximum bei \(x = -2\) und ein lokales Minimum bei \(x = 2\)).

(1) Wahr, da bei \(x = -2\) ein lokales Extremum vorliegt. (2) Falsch, da die Funktion bei \(x = 0\) eine negative Steigung hat. (3) Wahr, da die Funktion im Intervall \([-1; 1]\) streng monoton fällt. (4) Wahr, da die Funktion genau zwei Stellen mit waagerechter Tangente besitzt.

- Zähle die Stellen mit waagerechter Tangente im Graphen von \(g\). Wie viele Nullstellen muss \(g'\) also haben? - Prüfe das Vorzeichen der Steigung: Wo geht es bergauf, wo bergab? - Vergleiche die Lage der Extrema von \(g\) exakt mit den Schnittpunkten der Kandidaten mit der x-Achse.

1. Analyse von \(g\): Der Graph der Funktion vierten Grades hat drei Extremstellen: zwei Tiefpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie einen Hochpunkt bei \(x = 0\). 2. Anforderungen an \(g'\): Die Ableitungsfunktion muss an den Stellen \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\) Nullstellen besitzen. 3. Ausschlussverfahren: - Graph (A) hat nur zwei Nullstellen (bei ca. \(\pm 1{,}4\)), passt also nicht. - Graph (C) hat zwar drei Nullstellen, aber sie liegen bei anderen Werten (ca. \(-1{,}7\), \(0\) und \(1{,}7\)) und der Verlauf (erst positiv, dann negativ) widerspricht dem Monotonieverhalten von \(g\) (zuerst fallend, also \(g' < 0\)). - Graph (B) hat Nullstellen bei \(-2\), \(0\) und \(2\). Für \(x < -2\) fällt \(g\), dort ist der Graph von (B) im negativen Bereich. Zwischen \(-2\) und \(0\) steigt \(g\), dort ist (B) positiv. Dies setzt sich konsistent fort. 4. Ergebnis: Graph (B) ist die Ableitungsfunktion \(g'\).

Der richtige Graph ist (B). Ausschluss: (A) hat zu wenige Nullstellen. (C) hat die Nullstellen an den falschen Positionen und zeigt ein falsches Vorzeichenverhalten (z. B. positiv vor \(x=-2\), obwohl \(g\) dort fällt).

- Das Maximum findest du am höchsten „Gipfel“ des Graphen. - Die Änderungsrate \(g'(x)\) ist die Steigung. Suche die Stelle, an der es am steilsten bergab geht. - Ein Wendepunkt ist der Punkt, an dem sich die Kurvenrichtung ändert – stell dir vor, du würdest das Lenkrad eines Autos von rechts nach links (oder umgekehrt) drehen.

1. Maximum von \(g(x)\): Durch Betrachten des Graphen erkennt man den höchsten Punkt (lokales Maximum) bei der Stelle \(x_3\). Dort ist der Funktionswert \(g(x_3) \approx 6{,}23\). 2. Kleinste Steigung \(g'(x)\): Die Steigung ist dort am kleinsten, wo der Graph am steilsten abfällt. Dies ist im Bereich nach dem Maximum der Fall. Vergleicht man die markierten Stellen im fallenden Bereich (\(x_4, x_5, x_6\)), so ist der Abfall bei \(x_5\) am steilsten. Dort hat die Ableitung ihren minimalen Wert (\(g'(x_5) \approx -0{,}09\)). 3. Wendepunkt \(g''(x) = 0\): Ein Wendepunkt markiert den Übergang zwischen einer Rechts- und einer Linkskrümmung. Der Graph wechselt bei \(x_5\) von einer Rechtskurve (um das Maximum herum) zu einer Linkskurve (flacher werdender Auslauf rechts). Somit ist \(x_5\) die gesuchte Stelle.

a) Das Maximum liegt an der Stelle \(x_3\). b) Die Steigung \(g'(x)\) ist an der Stelle \(x_5\) am kleinsten. c) Ein Wendepunkt (\(g''(x) = 0\)) liegt an der Stelle \(x_5\) vor.

- Ein steigender Graph bedeutet eine positive erste Ableitung. - Eine Rechtskrümmung erkennst du an einer negativen zweiten Ableitung. - Wo genau im Koordinatensystem verläuft die Tangente waagrecht? - Achte darauf, ob der Graph in der Umgebung der Punkte eine „Kurve nach rechts“ oder „Kurve nach links“ beschreibt.

Die Zuordnung erfolgt durch Analyse der Steigung und der Krümmung: 1. Punkt \(A\): Der Graph steigt (\(f'(x) > 0\)) und beschreibt eine Rechtskurve (\(f''(x) < 0\)). Dies entspricht der ersten Beschreibung. 2. Punkt \(B\): Hier liegt der Hochpunkt des Graphen vor. Die Tangente ist waagrecht, also gilt \(f'(x) = 0\). Dies entspricht der zweiten Beschreibung. 3. Punkt \(C\): Der Graph fällt (\(f'(x) < 0\)) und ist weiterhin rechtsgekrümmt (\(f''(x) < 0\)). Dies entspricht der dritten Beschreibung.

Die Zuordnung ist: - Der Graph steigt und ist rechtsgekrümmt: Punkt \(A\) - Der Graph hat eine waagrechte Tangente: Punkt \(B\) - Der Graph fällt und ist rechtsgekrümmt: Punkt \(C\)

- Überlege dir für die erste Ableitung, ob der Graph am jeweiligen Punkt steigt oder fällt. - Für die zweite Ableitung hilft die Vorstellung einer Links- oder Rechtskurve.

1. Punkt \(A \approx (1|1{,}29)\): Der Graph steigt an dieser Stelle (Tangente hat positive Steigung), also ist \(f'(1) > 0\). Der Graph beschreibt eine Rechtskurve (konkav), daher ist \(f''(1) < 0\). 2. Punkt \(B \approx (5|{-0{,}70})\): Der Graph fällt an dieser Stelle (Tangente hat negative Steigung), also ist \(f'(5) < 0\). Der Graph beschreibt eine Linkskurve (konvex), daher ist \(f''(5) > 0\).

Punkt \(A\): \(f'(x) > 0\) und \(f''(x) < 0\). Punkt \(B\): \(f'(x) < 0\) und \(f''(x) > 0\).

- Überlege dir, welche Eigenschaft die Ableitungsfunktion an einer Extremstelle der Originalfunktion haben muss. - Wie unterscheiden sich die Nullstellen einer Ableitungsfunktion bei einem Maximum und einem Minimum? - Achte auf den Vorzeichenwechsel der Graphen an den markanten Stellen. - Was bedeutet es für den Graphen von \(f'\), wenn \(f\) in einem Bereich steigt oder fällt?

1. Zusammenhang von Extremstellen und Ableitung: An den Stellen \(x = -2\) und \(x = 2\) muss die Ableitungsfunktion \(f'\) Nullstellen besitzen. Da es sich um ein lokales Minimum bzw. Maximum handelt, muss zudem ein Vorzeichenwechsel (VZW) vorliegen. 2. Analyse der VZW-Richtung: - Bei einem lokalen Minimum (\(x = -2\)) wechselt die Steigung von negativ nach positiv, die Ableitungsfunktion \(f'\) muss also einen VZW von Minus nach Plus aufweisen. - Bei einem lokalen Maximum (\(x = 2\)) wechselt die Steigung von positiv nach negativ, \(f'\) muss also einen VZW von Plus nach Minus aufweisen. 3. Überprüfung der Graphen: - Graph C hat nur eine einzige Nullstelle bei \(x = 0\) und kann daher nicht die Ableitungsfunktion einer Funktion mit zwei Extremstellen sein. - Graph B hat Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Bei \(x = -2\) findet jedoch ein VZW von Plus nach Minus statt (Maximum) und bei \(x = 2\) ein VZW von Minus nach Plus (Minimum). Dies widerspricht den Vorgaben. - Graph A hat Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Der VZW bei \(x = -2\) erfolgt von Minus nach Plus (Minimum) und bei \(x = 2\) von Plus nach Minus (Maximum). 4. Ergebnis: Graph A stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Graph A stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar. Begründung: Lokale Extremstellen von \(f\) entsprechen Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Ein Minimum bei \(x = -2\) erfordert einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus; ein Maximum bei \(x = 2\) einen von Plus nach Minus. Dies trifft nur auf Graph A zu. Graph B zeigt die umgekehrten Extremstellen und Graph C besitzt nicht die erforderliche Anzahl an Nullstellen.

- Wo ist die Steigung der Kurve am steilsten? - Was passiert mit dem Graphen, wenn er sich einer waagerechten Linie immer weiter annähert? - Erinnere dich daran, dass die erste Ableitung die Steigung der ursprünglichen Funktion beschreibt. - Überlege, wie sich die Steigung vor und nach dem steilsten Punkt verändert.

1. Der Zeitpunkt der stärksten Zunahme entspricht der Stelle mit der maximalen Steigung, also dem Wendepunkt des Graphen \(G_N\). Durch Ablesen des steilsten Punktes in der Mitte des S-Verlaufs ergibt sich \(t = 5\) Monate. 2. Die Gerade \(g\) stellt die waagerechte Asymptote bei \(y = 12\) dar. Im Sachkontext bedeutet dies eine Sättigungsgrenze von \(12\,\text{Millionen}\) Nutzern, die langfristig nicht überschritten wird (Marktsättigung). 3. Der Graph von \(N'\) (die Ableitungsfunktion) beschreibt die momentane Änderungsrate der Nutzerzahlen in Millionen Nutzern pro Monat. Er hat einen glockenförmigen Verlauf mit einem Maximum an der Stelle \(t = 5\), was bestätigt, dass dort der Zuwachs am höchsten ist.

a) Die Nutzerzahl nimmt nach genau \(5\) Monaten am stärksten zu. b) Die Gerade \(g\) markiert die Sättigungsgrenze von \(12\,\text{Millionen}\) Nutzern. c) Der Graph von \(N'\) ist eine Glockenkurve mit dem Hochpunkt bei \(t = 5\). Er gibt die Geschwindigkeit des Nutzerzuwachses an, die bis zum fünften Monat steigt und danach wieder fällt.

- Überlege dir, welche Eigenschaft die Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt hat. - Wie hängen die Steigung einer Funktion und das Vorzeichen ihrer Ableitung zusammen? - Eine Tangente berührt den Graphen in einem Punkt und hat dort dieselbe Steigung wie die Funktion. - Erinnere dich an die Bedeutung von „Nullstelle der Ableitung“ für den Verlauf des Funktionsgraphen.

1. Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) entsprechen den Stellen mit waagrechter Tangente im Graphen von \(f\). Dies sind die lokalen Extremstellen bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). 2. Durch Anlegen einer Tangente an den Graphen im Punkt \((0|1)\) lässt sich ein Steigungsdreieck bilden. Die Steigung beträgt \(f'(0) = 1{,}2\). 3. Die Ableitungsfunktion \(f'\) ist dort negativ (verläuft unterhalb der \(x\)-Achse), wo die Funktion \(f\) streng monoton fallend ist. Dies ist in den Intervallen \((-\infty; -1)\) und \((1; 3)\) der Fall.

1. \(x \in \{-1; 1; 3\}\). An diesen Stellen liegen lokale Extrema von \(f\) vor, weshalb die Steigung dort null ist. 2. \(f'(0) = 1{,}2\). 3. Für \(x < -1\) und für \(1 < x < 3\), da der Graph von \(f\) in diesen Bereichen fällt.

- Wo hat die Funktion waagerechte Tangenten? Was bedeutet das für den Wert der Ableitung an diesen Stellen? - Schau dir das Vorzeichen der Steigung an: Wo geht es bergauf, wo geht es bergab? - Wenn eine Funktion vom Grad 3 ist, welchen Grad muss dann ihre Ableitung haben? Wie sieht ein solcher Graph typischerweise aus? - Überprüfe einen Punkt zwischen zwei Extrema: Ist die Funktion dort steigend oder fallend? Passt das zum Vorzeichen des Ableitungsgraphen?

1. Bestimmung der Extremstellen von \(k\): Der Graph der Funktion \(k\) hat einen lokalen Hochpunkt bei \(x = 0\) und einen lokalen Tiefpunkt bei \(x = 2\). Folglich muss der Graph der Ableitungsfunktion \(k'\) an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 2\) Nullstellen besitzen. 2. Ausschluss von Graph d): Graph d) zeigt eine Gerade mit nur einer Nullstelle bei \(x = 1\). Da \(k\) eine Funktion dritten Grades ist, muss die Ableitung eine Funktion zweiten Grades (Parabel) sein. Graph d) scheidet somit aus. 3. Vergleich von Graph b) und Graph c): Beide Graphen sind Parabeln mit Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). 4. Analyse des Steigungsverhaltens: Im Intervall \(0 < x < 2\) fällt der Graph von \(k\), was bedeutet, dass die Ableitung in diesem Bereich negativ sein muss. 5. Entscheidung: Graph b) verläuft zwischen den Nullstellen unterhalb der x-Achse (negative Werte), während Graph c) dort oberhalb verläuft. Daher stellt Graph b) die korrekte Ableitungsfunktion \(k'\) dar.

Der Graph in Abbildung b) stellt die Ableitungsfunktion \(k'\) dar.

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen den Extrempunkten einer Funktion und den Nullstellen ihrer Ableitung besteht. - Wie erkennt man Wendestellen im Graphen der Ausgangsfunktion? Achte auf den Wechsel zwischen Links- und Rechtskurven. - Die erste Ableitung an einer Stelle gibt die Steigung der Tangente an dieser Stelle an. - Wenn eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, welche Symmetrie weist dann ihre Ableitungsfunktion auf? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Krümmungsverhalten eines Graphen und dem Vorzeichen der zweiten Ableitung.

1. Nullstellen von \(f'\) entsprechen den lokalen Extrema von \(f\). Der Graph von \(f\) hat einen Tiefpunkt bei \(x = -2\) und einen Hochpunkt bei \(x = 2\). Somit hat \(f'\) genau zwei Nullstellen. Aussage (1) ist wahr. 2. Wendestellen von \(f\) sind Punkte mit Krümmungswechsel. Der Graph wechselt seine Krümmung im Ursprung (\(x = 0\)) sowie jeweils einmal im negativen (\(x \approx -3{,}5\)) und positiven Bereich (\(x \approx 3{,}5\)). Aussage (2) ist wahr. 3. Die Steigung des Graphen von \(f\) im Ursprung ist positiv, da der Graph dort ansteigt. Somit ist \(f'(0) > 0\). Aussage (3) ist wahr. 4. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion). Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion, also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Aussage (4) ist falsch. 5. An der Stelle \(x = 1\) ist der Graph von \(f\) rechtsgekrümmt; er liegt dort lokal unterhalb seiner Tangente. Dies entspricht einer negativen zweiten Ableitung (\(f''(1) < 0\)). Aussage (5) ist falsch.

(1) wahr, (2) wahr, (3) wahr, (4) falsch, (5) falsch

- Überlege dir, welche besondere Eigenschaft der Graph von \(f\) an den Stellen hat, an denen die Ableitung null ist. - Wie hängen das Steigungsverhalten (Zunahme oder Abnahme der Funktionswerte) von \(f\) und das Vorzeichen von \(f'\) zusammen? - Wo ist der Graph von \(f\) am steilsten? Was bedeutet das für den Wert der Ableitung an dieser Stelle?

1. Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat Nullstellen an den Extremstellen von \(f\). Aus dem Graphen lassen sich die lokalen Maxima und Minima bei etwa \(x \approx -1{,}4\) und \(x \approx 1{,}4\) ablesen. 2. Für die Skizze von \(f'\) gilt: - Im Intervall \(]- \infty; -1{,}4[\) steigt \(f\), also ist \(f'(x) > 0\). - Im Intervall \(]-1{,}4; 1{,}4[\) fällt \(f\), also ist \(f'(x) < 0\). - Im Intervall \(]1{,}4; \infty[\) steigt \(f\), also ist \(f'(x) > 0\). Der Graph von \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse bei \(x = 0\) (da dort die Steigung von \(f\) am steilsten negativ ist).

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x \approx -1{,}4\) und \(x \approx 1{,}4\). 2. Der Graph von \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel, die oberhalb der \(x\)-Achse beginnt, bei \(x \approx -1{,}4\) die Achse schneidet, ins Negative geht (mit einem Minimum bei \(x = 0\)), bei \(x \approx 1{,}4\) wieder die Achse schneidet und dann im Positiven verläuft.

- Wo ist die Steigung der Glockenkurve null? Dort muss \(f'\) die \(x\)-Achse schneiden. - Suche die Bereiche, in denen die Kurve am steilsten nach oben geht und am steilsten nach unten abfällt. Was bedeutet das für die Extrempunkte von \(f'\)? - Nutze die Symmetrie des Graphen von \(f\).

1. Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und hat ein Maximum bei \(x = 0\). Daher gilt \(f'(0) = 0\). Für \(x < 0\) steigt \(f\) (also \(f'(x) > 0\)), für \(x > 0\) fällt \(f\) (also \(f'(x) < 0\)). 2. Die Extremstellen von \(f'\) liegen an den Stellen, an denen der Graph von \(f\) am steilsten ist (maximale Steigung bzw. maximales Gefälle). Dies sind die Wendestellen von \(f\). Im Graphen liegen diese bei etwa \(x \approx -1\) (Maximum von \(f'\)) und \(x \approx 1\) (Minimum von \(f'\)).

1. Der Graph von \(f'\) startet nahe null, steigt zu einem Maximum bei \(x \approx -1\) an, schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 0\), sinkt zu einem Minimum bei \(x \approx 1\) ab und nähert sich dann wieder von unten der \(x\)-Achse an. 2. Die Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x \approx -1\) und \(x \approx 1\). Dies sind die Wendestellen des Graphen von \(f\).

- Was passiert mit der Steigung einer Kurve, wenn sie sich einer waagerechten Linie immer mehr annähert? - Wenn eine Funktion immer weiter steigt, aber dabei immer „flacher“ wird, was sagt das über die Größe der Ableitungswerte aus? - Schau dir den Graphen am Anfang (\(x=0\)) an: Ist er dort steil oder flach?

1. Der Graph von \(f\) steigt für \(x > 0\) streng monoton an. Daher muss \(f'(x) > 0\) für alle \(x > 0\) gelten. 2. Da der Graph sich einer waagerechten Asymptote annähert, wird die Steigung der Kurve immer flacher. 3. Mathematisch bedeutet das, dass die Werte der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) für \(x \to \infty\) gegen \(0\) streben müssen, da die Tangenten fast waagerecht verlaufen. Der Graph von \(f'\) startet also bei einem positiven Wert (da \(f\) bei \(x=0\) steil ist) und nähert sich von oben der \(x\)-Achse an.

Der Graph von \(f'\) verläuft vollständig im positiven Bereich (\(f'(x) > 0\)) und nähert sich für \(x \to \infty\) der \(x\)-Achse an (\(f'(x) \to 0\)). Die Begründung liegt darin, dass die Steigung der Funktion \(f\) aufgrund der waagerechten Asymptote immer weiter abnimmt und gegen Null geht.

- Suche nach Stellen mit waagerechter Tangente für die erste Ableitung. - Suche nach Stellen, an denen sich die Kurve von einer Links- in eine Rechtskurve biegt.

1. Der Graph besitzt bei \(x = 0\) einen lokalen Hochpunkt. An dieser Stelle ist die Tangente waagerecht, die Steigung also null. Somit hat \(h'\) genau eine Nullstelle bei \(x = 0\) (Anzahl: 1). 2. Die Funktion wechselt zweimal ihr Krümmungsverhalten: von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve (vor dem Hochpunkt) und von einer Rechtskurve wieder zu einer Linkskurve (nach dem Hochpunkt). Es liegen zwei Wendepunkte vor, also hat \(h''\) zwei Nullstellen (Anzahl: 2).

Die erste Ableitung \(h'\) hat 1 Nullstelle. Die zweite Ableitung \(h''\) hat 2 Nullstellen.

- Wo sind die Steigungen des Graphen gleich null? - In welchem Zusammenhang stehen Wendepunkte und die Steigung einer Funktion? - Schau dir den Bereich an, in dem die Funktion abnimmt. Wo ist die Kurve dort am „steilsten“? - Überlege dir den Grad der Ableitungsfunktion und ihre Symmetrieeigenschaften basierend auf dem Graphen von \(f\).

1. Nullstellen von \(f'\): Diese liegen an den Stellen der waagerechten Tangenten (Extrema). Aus dem Text: \(x_1 \approx -1{,}73\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 \approx 1{,}73\). 2. Nullstellen von \(f''\): Diese liegen an den Wendestellen von \(f\). Aus dem Text: \(x_4 = -1\) und \(x_5 = 1\). 3. Steilstes Gefälle im vorgegebenen Intervall: Dort entspricht das steilste Gefälle dem lokalen Minimum der ersten Ableitung. Zwischen \(x=0\) und \(x \approx 1{,}73\) fällt der Graph; die kleinste Steigung liegt am Wendepunkt \(x = 1\). 4. Verlauf von \(f'\): Da \(f\) vom Grad 4 ist und achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse erscheint, ist \(f'\) vom Grad 3 und punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Graph hat Nullstellen bei \(0\) und \(\pm 1{,}73\), bei \(x=-1\) einen Hochpunkt und bei \(x=1\) einen Tiefpunkt.

a) Nullstellen von \(f'\): \(x \approx \pm 1{,}73\) und \(x = 0\). Nullstellen von \(f''\): \(x = \pm 1\). b) Im Intervall \(0 \le x \le 1{,}73\) fällt der Graph bei \(x = 1\) am steilsten; dort besitzt \(f'\) ein lokales Minimum. c) \(G_{f'}\) ist eine punktsymmetrische Funktion 3. Grades mit Nullstellen bei \(0\) und \(\pm 1{,}73\), einem Hochpunkt bei \(x = -1\) und einem Tiefpunkt bei \(x = 1\).

- Schaue auf der horizontalen Achse beim Wert 10 nach oben zum Graphen und lies den zugehörigen Wert auf der vertikalen Achse ab. - Suche die Schnittpunkte des Graphen mit der horizontalen Linie bei \(40\,\text{m}\). - Denke an eine Tangente, die den Graphen an der Stelle genau berührt. Wie steil ist diese Gerade? - Überlege dir, was die Terme auf beiden Seiten der Gleichung für die Höhe und den Zeitpunkt aussagen.

1. Ablesen des Funktionswertes bei \(t = 10\): Der Graph verläuft durch den Punkt \((10|45)\), also ist die Höhe nach \(10\,\text{s}\) etwa \(45\,\text{m}\). 2. Bestimmung des Zeitraums für \(h(t) \ge 40\,\text{m}\): Die Schnittstellen des Graphen mit der Höhe \(40\,\text{m}\) liegen näherungsweise bei \(t \approx 8{,}1\,\text{s}\) und \(t \approx 29{,}0\,\text{s}\). Dazwischen fliegt die Drohne mindestens \(40\,\text{m}\) hoch. 3. Schätzung der momentanen Änderungsrate bei \(t = 10\): Durch Anlegen einer Tangente am Punkt \((10|45)\) lässt sich die Steigung bestimmen. Mit einem Steigungsdreieck ergibt sich näherungsweise \(h'(10) \approx 2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 4. Interpretation der Gleichung: Für einen betrachteten Zeitpunkt \(t\) bedeutet \(h(t+10) = h(t) + 15\), dass die Drohne \(10\,\text{s}\) später genau \(15\,\text{m}\) höher fliegt. 5. Überprüfung für \(t = 10\): Zu prüfen ist \(h(20) = h(10) + 15\). Aus der Abbildung liest man \(h(10) \approx 45\) und \(h(20) \approx 60\) ab. Da \(60 = 45 + 15\) gilt, ist die Beziehung für \(t = 10\) erfüllt.

a) Nach \(10\,\text{s}\) ist die Drohne etwa \(45\,\text{m}\) hoch. Sie fliegt ungefähr von \(t=8{,}1\,\text{s}\) bis \(t=29{,}0\,\text{s}\) mindestens \(40\,\text{m}\) hoch. b) Die momentane Steiggeschwindigkeit beträgt etwa \(2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). c) Die Gleichung bedeutet für den betrachteten Zeitpunkt \(t\), dass die Drohne \(10\,\text{s}\) später \(15\,\text{m}\) höher fliegt. Für \(t = 10\) gilt sie, da \(h(20) \approx 60\) und \(h(10) \approx 45\) ist.

- Wo verläuft der Graph für einen kurzen Moment vollkommen flach? - Achte darauf, ob der Graph an einer flachen Stelle seine Richtung ändert (steigen/fallen) oder ob er nach einer kurzen Pause in dieselbe Richtung weiterläuft. - Ein Punkt, an dem der Graph flach ist, aber seine Steigungsrichtung nicht ändert, heißt Terrassenpunkt.

1. Eine waagerechte Tangente liegt an den Stellen vor, an denen die Steigung der Funktion null ist, also \(g'(x) = 0\). Grafisch erkennt man dies an „flachen“ Stellen (Extrema oder Sattelpunkte). 2. Bei \(x = -3\) hat der Graph einen Hochpunkt, da er dort von Steigen auf Fallen wechselt. 3. Bei \(x = 0\) ist der Graph ebenfalls flach, setzt seinen fallenden Verlauf danach jedoch fort. Hier liegt ein Terrassenpunkt (auch Sattelpunkt genannt) vor. 4. Bei \(x = 3\) hat der Graph einen Tiefpunkt, da er dort von Fallen auf Steigen wechselt. 5. Ergebnis: Waagerechte Tangenten bei \(x = -3\) (Hochpunkt), \(x = 0\) (Terrassenpunkt) und \(x = 3\) (Tiefpunkt).

\(x = -3\): Hochpunkt \(x = 0\): Terrassenpunkt \(x = 3\): Tiefpunkt

- Wie hängen die lokalen Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) eines Graphen mit den Nullstellen seiner ersten Ableitung zusammen? - Welche geometrische Eigenschaft eines Graphen (z. B. Krümmungswechsel) deutet auf eine Nullstelle der zweiten Ableitung hin? - Achte bei der zweiten Funktion besonders auf die Definitionslücken: Kann ein Krümmungswechsel an einer Stelle, an der die Funktion gar nicht definiert ist, ein Wendepunkt sein? - Zähle die Stellen mit waagerechter Tangente, um die Nullstellen der ersten Ableitung zu finden.

1. Untersuchung von \(f\) (Abbildung 1): - Die Nullstellen von \(f'\) entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente. Der Graph von \(f\) besitzt ein lokales Minimum bei \(x = -1\) und ein lokales Maximum bei \(x = 1\). Somit hat \(f'\) genau \(2\) Nullstellen. - Die Nullstellen von \(f''\) entsprechen den Wendestellen. Der Graph wechselt seine Krümmung dreimal: einmal zwischen \(x = -2\) und \(x = -1\), im Ursprung \((0 \mid 0)\) und einmal zwischen \(x = 1\) und \(x = 2\). Somit hat \(f''\) genau \(3\) Nullstellen. 2. Untersuchung von \(g\) (Abbildung 2): - Der Graph von \(g\) besitzt genau ein lokales Minimum bei \(x = 0\). Somit hat \(g'\) genau \(1\) Nullstelle. - Innerhalb der Definitionsmenge findet kein Krümmungswechsel statt. Die Änderungen an den senkrechten Asymptoten \(x = -1\) und \(x = 1\) sind keine Wendestellen, weil \(g\) dort nicht definiert ist. Somit hat \(g''\) keine Nullstelle.

a) Die erste Ableitung \(f'\) hat genau \(2\) Nullstellen (da \(f\) zwei lokale Extrema besitzt). Die zweite Ableitung \(f''\) hat genau \(3\) Nullstellen (da \(f\) drei Wendepunkte besitzt). b) Die erste Ableitung \(g'\) hat genau \(1\) Nullstelle (da \(g\) ein lokales Minimum besitzt). Die zweite Ableitung \(g''\) hat genau \(0\) Nullstellen (da \(g\) keine Wendepunkte besitzt; der Krümmungswechsel erfolgt nur über die Definitionslücken hinweg).

- Überlege zuerst, welche geometrische Bedeutung die erste Ableitung einer Funktion an einer Stelle hat. An welchen besonderen Punkten ist diese Steigung genau null? - Achte beim ersten Graphen darauf, wie viele Hoch- oder Tiefpunkte (lokale Extrema) zu sehen sind. - Die zweite Ableitung beschreibt das Krümmungsverhalten des Graphen. Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung (und damit eine Nullstelle) entspricht einem Wendepunkt. - Suche nach Stellen, an denen sich der Graph von einer Linkskurve in eine Rechtskurve (oder umgekehrt) biegt. Verfolge den Verlauf von links nach rechts ganz genau.

1. **Abbildung a) (Funktion \(f\))**: - **Erste Ableitung \(f'\)**: Die Nullstellen von \(f'\) entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente (lokale Extrema oder Sattelpunkte). Der Graph \(G_f\) besitzt genau ein lokales Minimum bei \(x = 0\) und keine weiteren Extrema. Daher hat \(f'\) genau **1 Nullstelle**. - **Zweite Ableitung \(f''\)**: Die Nullstellen von \(f''\) entsprechen den Wendepunkten (Stellen mit Krümmungswechsel). Für \(x < -1\) ist der Graph durchgehend rechtsgekrümmt, für \(-1 < x < 1\) linksgekrümmt und für \(x > 1\) rechtsgekrümmt. Innerhalb der stetigen Intervalle des Definitionsbereichs ändert sich das Krümmungsverhalten nie, sodass keine Wendepunkte existieren. Daher hat \(f''\) genau **0 Nullstellen**. 2. **Abbildung b) (Funktion \(g\))**: - **Erste Ableitung \(g'\)**: Der Graph \(G_g\) hat genau zwei lokale Extrema: ein lokales Minimum bei \(x \approx -2{,}45\) und ein lokales Maximum bei \(x \approx 2{,}45\). An diesen beiden Stellen liegt eine waagerechte Tangente vor. Daher hat \(g'\) genau **2 Nullstellen**. - **Zweite Ableitung \(g''\)**: Für \(x < 0\) ändert der Graph seine Krümmung bei \(x \approx -3{,}46\) von einer Rechtskrümmung zu einer Linkskrümmung. Für \(x > 0\) ändert er seine Krümmung bei \(x \approx 3{,}46\) von einer Rechtskrümmung zu einer Linkskrümmung. Es liegen somit genau zwei Wendepunkte vor. Daher hat \(g''\) genau **2 Nullstellen**.

- **Abbildung a) (Funktion \(f\))**: - Nullstellen der ersten Ableitung \(f'\): **1** (da genau ein lokales Minimum vorliegt) - Nullstellen der zweiten Ableitung \(f''\): **0** (da der Graph keine Wendepunkte besitzt) - **Abbildung b) (Funktion \(g\))**: - Nullstellen der ersten Ableitung \(g'\): **2** (da genau zwei lokale Extrema vorliegen) - Nullstellen der zweiten Ableitung \(g''\): **2** (da genau zwei Wendepunkte vorliegen)

- Welche x-Werte haben eine waagerechte Tangente im Graphen von \(f\)? - Unterscheide zwischen Stellen, an denen die Funktion ihr Steigungsverhalten ändert (Extrema), und Stellen, an denen sie es beibehält (Sattelpunkte). - Wie wirkt sich dieser Unterschied auf den Verlauf des Graphen von \(f'\) an der x-Achse aus?

1. Erstellung der Tabelle: <table> <tr><th>Stelle \(x\)</th><th>Art des Punktes von \(f\)</th><th>Wert von \(f'(x)\)</th></tr> <tr><td>\(0\)</td><td>Tiefpunkt</td><td>\(0\)</td></tr> <tr><td>\(3\)</td><td>Sattelpunkt</td><td>\(0\)</td></tr> </table> 2. Analyse der Steigung: - Für \(x < 0\): \(f\) fällt \(\rightarrow f'(x) < 0\). - Für \(0 < x < 3\): \(f\) steigt \(\rightarrow f'(x) > 0\). - Für \(x > 3\): \(f\) steigt weiter \(\rightarrow f'(x) > 0\). 3. Skizze: Der Graph von \(f'\) schneidet die x-Achse bei \(x = 0\) mit einem Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Bei \(x = 3\) berührt der Graph die x-Achse von oben, ohne sie zu schneiden (da dort ein Sattelpunkt vorliegt). Ein weiterer Punkt zur Orientierung ist etwa \(f'(1) \approx 0{,}8\).

Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 3\). Bei \(x = 0\) findet ein Vorzeichenwechsel von negativ nach positiv statt (Schnittpunkt), bei \(x = 3\) bleibt das Vorzeichen positiv (Berührpunkt).

- Wie viele Punkte mit waagerechter Tangente kannst du sehen? - Gibt es innerhalb eines Astes einen Wechsel zwischen Links- und Rechtskurve?

1. Der Graph hat zwei lokale Extrempunkte (einen Hochpunkt im linken Ast und einen Tiefpunkt im rechten Ast). An diesen beiden Stellen ist die Steigung null, daher hat \(p'\) zwei Nullstellen (Anzahl: 2). 2. Innerhalb der beiden Äste ändert sich die Krümmung nicht (der linke Ast ist durchgehend rechtsgekrümmt, der rechte Ast durchgehend linksgekrümmt). Es gibt keine Wendepunkte, daher hat \(p''\) keine Nullstellen (Anzahl: 0).

Die erste Ableitung \(p'\) hat 2 Nullstellen. Die zweite Ableitung \(p''\) hat 0 Nullstellen.

- Ist die Funktion irgendwo flach (waagerechte Tangente)? - Findest du einen Punkt, an dem sich die Krümmung der Kurve umkehrt?

1. Die Funktion ist in allen Intervallen ihres Definitionsbereichs streng monoton fallend. Es gibt keine Extrempunkte oder Sattelpunkte mit waagerechter Tangente. Daher hat \(r'\) keine Nullstellen (Anzahl: 0). 2. Im mittleren Ast des Graphen (zwischen den Polstellen) ist ein Wechsel der Krümmung von einer Linkskurve in eine Rechtskurve am Ursprung \((0|0)\) zu erkennen. Dies ist ein Wendepunkt. Da in den äußeren Ästen kein Krümmungswechsel stattfindet, hat \(r''\) genau eine Nullstelle (Anzahl: 1).

Die erste Ableitung \(r'\) hat 0 Nullstellen. Die zweite Ableitung \(r''\) hat 1 Nullstelle.

- Wo hat der Graph eine Steigung von null? Markiere diese Punkte gedanklich. - Achte auf die Form der Kurve: Wo ändert sie sich von „nach unten geöffnet“ zu „nach oben geöffnet“? - Denke daran, dass Polstellen (Asymptoten) keine Wendepunkte oder Extrempunkte sind, auch wenn sich dort das Aussehen des Graphen stark ändert.

1. Untersuchung von Funktion \(h\): - Nullstellen von \(h'\): Der Graph zeigt einen Tiefpunkt bei \(x = -1\) und einen Hochpunkt bei \(x = 1\). An diesen beiden Stellen ist die Tangente waagerecht, daher hat \(h'\) zwei Nullstellen. - Nullstellen von \(h''\): Ein Krümmungswechsel findet beim Übergang vom Minimum zum Maximum (im Ursprung) statt, sowie jeweils in den Außenbereichen, wo die Kurve sich wieder der \(x\)-Achse anschmiegt. Insgesamt sind drei Wendepunkte erkennbar (bei \(x \approx -1{,}7\), \(x = 0\) und \(x \approx 1{,}7\)). Somit hat \(h''\) drei Nullstellen. 2. Untersuchung von Funktion \(k\): - Nullstellen von \(k'\): Es ist genau ein lokaler Hochpunkt bei \(x = 2\) erkennbar. Dies ist die einzige Stelle mit waagerechter Tangente, also hat \(k'\) eine Nullstelle. - Nullstellen von \(k''\): Rechts vom Hochpunkt flacht der Graph ab und nähert sich der \(x\)-Achse, wobei sich die Krümmung von einer Rechtskrümmung (beim Maximum) zu einer Linkskrümmung ändert. Dieser eine Wendepunkt (bei \(x = 3\)) bedeutet, dass \(k''\) eine Nullstelle hat. Im linken Ast (für \(x < 0\)) ist kein Krümmungswechsel sichtbar.

Graph \(h\): - Anzahl der Nullstellen von \(h'\): 2 (zwei lokale Extrema). - Anzahl der Nullstellen von \(h''\): 3 (drei Wendepunkte). Graph \(k\): - Anzahl der Nullstellen von \(k'\): 1 (ein lokales Maximum). - Anzahl der Nullstellen von \(k''\): 1 (ein Wendepunkt).