Kostenlose Arbeitsblätter

- Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über den Verlauf des Funktionsgraphen aus? - In welchen Bereichen steigt der Graph von links nach rechts? - Bestimme die Stellen, an denen der Graph seine Richtung von fallend zu steigend oder umgekehrt ändert.

Die Ableitungsfunktion \(g'\) gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von \(g\) an. Ein positiver Wert von \(g'(x)\) bedeutet, dass \(g\) an dieser Stelle streng monoton steigt. 1. Für \(-4 < x < -2\) fällt der Graph, also ist \(g'(x) < 0\). 2. Bei \(x = -2\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor, also gilt \(g'(-2) = 0\). 3. Für \(-2 < x < 0\) steigt der Graph, also ist \(g'(x) > 0\). 4. Bei \(x = 0\) liegt ein lokaler Hochpunkt vor, also gilt \(g'(0) = 0\). 5. Für \(0 < x < 2\) fällt der Graph, also ist \(g'(x) < 0\). 6. Bei \(x = 2\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor, also gilt \(g'(2) = 0\). 7. Für \(2 < x < 4\) steigt der Graph, also ist \(g'(x) > 0\). Somit gilt im dargestellten Bereich \(g'(x) > 0\) für \(x \in (-2; 0)\) und \(x \in (2; 4)\).

Im dargestellten Bereich nimmt \(g'\) für \(x \in (-2; 0)\) und \(x \in (2; 4)\) positive Werte an, weil \(g\) dort streng monoton steigt.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Kurve und ihrer Ableitung. - Wie sieht die Tangente an einem Punkt aus, wenn die Ableitung dort null ist? - Welche besonderen Punkte eines Graphen haben eine waagerechte Tangente?

1. Geometrische Bedeutung der Ableitung: Der Wert \(f'(x)\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen an der Stelle \(x\). 2. Bedingung für eine horizontale Tangente: Die Ableitung ist genau dann null, wenn die Tangente waagerecht verläuft. Dies ist an lokalen Extrempunkten der Fall. 3. Auswertung der Punkte: - Punkt \(A\) ist ein lokaler Tiefpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_A) = 0\). - Punkt \(B\) ist ein lokaler Hochpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_B) = 0\). - Punkt \(C\) liegt in einem fallenden Bereich, also \(f'(x_C) < 0\). - Punkt \(D\) ist ein lokaler Tiefpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_D) = 0\). 4. Ergebnis: An den Punkten \(A, B\) und \(D\) gilt \(f'(x) = 0\).

An den Punkten \(A, B\) und \(D\) ist die Ableitung \(f'(x) = 0\), da der Graph dort lokale Extrempunkte (Tief- bzw. Hochpunkte) besitzt und die Tangenten somit waagerecht verlaufen.

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph einen Hoch- oder Tiefpunkt hat. - Was weißt du über die Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt? - Überlege, ob der Graph bei \(x = 0\) steigt oder fällt.

1. Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \(x = -2\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 2\). 2. An Extremstellen verläuft die Tangente waagerecht. Somit gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 3. Im Bereich um \(x = 0\) ist der Graph streng monoton fallend. Folglich ist die Ableitung dort negativ, also \(f'(0) < 0\).

a) Die Ableitungsfunktion nimmt bei \(x = -2\) und \(x = 2\) den Wert \(0\) an, da der Graph dort Extrempunkte mit waagerechter Tangente hat. b) \(f'(0) < 0\), da der Graph bei \(x = 0\) fällt.

- Der y-Wert des dargestellten Graphen ist direkt ein Ableitungswert von \(f\). - Was bedeutet ein negativer Ableitungswert für die lokale Steigung des ursprünglichen Graphen?

1. Am Graphen liest man \(g(0)=-1\) ab. Da \(g=f'\) gilt, ist \(f'(0)=-1\). 2. Der Ableitungswert ist negativ. Daher fällt der Graph von \(f\) an der Stelle \(x=0\).

\(f'(0)=-1\). Der Graph von \(f\) fällt bei \(x=0\).

- Lies den Ableitungswert an der jeweils genannten Stelle ab. - Das Vorzeichen von \(f'\) beschreibt die lokale Richtung von \(f\). - Eine waagerechte Tangente entspricht einem bestimmten Ableitungswert.

1. Bei \(x=0\) ist \(f'(0)=-1<0\). Daher fällt \(f\) dort. 2. Bei \(x=2\) ist \(f'(2)=1>0\). Daher steigt \(f\) dort. 3. Eine waagerechte Tangente liegt dort vor, wo \(f'(x)=0\). Der dargestellte Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1\).

a) \(f\) fällt bei \(x=0\). b) \(f\) steigt bei \(x=2\). c) Bei \(x=1\).

- Trenne Funktionswerte von lokalen Steigungen. - Suche zuerst die waagerechten Tangenten. - Prüfe dann, wo der Graph steigt oder fällt. - Welche Eigenschaften des Ableitungsgraphen sind damit festgelegt und welche nicht?

1. A ist falsch. Bei \(x=0\) fällt der Graph, also ist \(f'(0)<0\). Der Funktionswert sagt nichts über die Tangentensteigung aus. 2. B ist wahr. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) sind die Tangenten waagerecht. 3. C ist wahr. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt der Graph, daher ist \(f'(x)<0\). 4. D ist falsch. Aus dem Graphen lassen sich Nullstellen und Vorzeichen von \(f'\) erschließen, aber ohne zusätzliche Information nicht die exakte Kurvenform von \(f'\).

A) Falsch — bei \(x=0\) fällt \(f\), also ist \(f'(0)<0\). B) Wahr — bei \(x=-2\) und \(x=2\) sind die Tangenten waagerecht. C) Wahr — im Intervall \((-2;2)\) fällt \(f\). D) Falsch — Nullstellen und Vorzeichen legen die exakte Form von \(f'\) nicht fest.

- Überlege zuerst, welcher Graph Funktionswerte und welcher Steigungen liefert. - Die Steigung von \(f\) an einer Stelle ist der zugehörige Funktionswert von \(f'\). - Bei c) suchst du einen \(x\)-Wert zu dem Funktionswert \(1\). - Bei d) suchst du Stellen, an denen die Ableitungsfunktion den Wert \(3\) hat.

1. Am Graphen von \(f\) liest man bei \(x = 2\) den Wert \(f(2) = -1\) ab. 2. Die Steigung bei \(x = -1\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion. Am Graphen von \(f'\) liest man \(f'(-1) = -1{,}5\) ab. 3. Der Graph von \(f\) schneidet bei \((0 \mid 1)\) die \(y\)-Achse. Daher ist \(a = 0\) eine mögliche Stelle mit \(f(a) = 1\). 4. Die Steigung \(3\) liegt an den Stellen vor, an denen \(f'(b) = 3\) gilt. Am Ableitungsgraphen liest man \(b_1 = -2\) und \(b_2 = 2\) ab.

a) \(f(2) = -1\). b) Die Steigung beträgt \(-1{,}5\). c) Eine mögliche Stelle ist \(a = 0\). d) \(b_1 = -2\) und \(b_2 = 2\).

- Waagerechte Tangenten liegen an Nullstellen von \(f'\). - Welche Richtung hat der Vorzeichenwechsel von \(f'\) bei \(x=0\)? - Welches Vorzeichen besitzt \(f'\) im Inneren von \([0;3]\)?

1. Waagerechte Tangenten liegen an den Nullstellen von \(f'\). Aus dem Graphen liest man \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\) ab. 2. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort eine lokale Maximalstelle von \(f\) vor. 3. Für \(0<x<3\) gilt \(f'(x)<0\); an den Randpunkten gilt \(f'=0\). Daher nimmt \(f\) auf \([0;3]\) streng monoton ab.

a) Waagerechte Tangenten bei \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\). b) Bei \(x=0\) liegt eine lokale Maximalstelle vor. c) \(f\) ist auf \([0;3]\) streng monoton abnehmend.

- Suche im Graphen von \(f\) zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Welche Werte muss \(f'\) an diesen Stellen haben? - Prüfe anschließend, wo der Graph von \(f\) fällt und welches Vorzeichen \(f'\) dort haben muss.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Deshalb muss \(f'(-1)=0\) und \(f'(3)=0\) gelten. Damit scheiden c und d aus. 2. Zwischen \(x=-1\) und \(x=3\) fällt der Graph von \(f\). Daher muss \(f'(x)<0\) für \(-1<x<3\) gelten. 3. Nur Kandidat a liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse. Daher stellt a die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Kandidat a stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

- An Stellen mit waagerechter Tangente hat die Ableitung den Wert \(0\). - Vergleiche die Vorzeichen der beiden Kandidaten dort, wo \(f_1\) zunimmt oder abnimmt. - Für die Monotonieintervalle benötigst du die Nullstellen und Vorzeichen der zugeordneten Ableitung.

1. Der Graph von \(f_1\) besitzt bei \(x\approx-1{,}83\) und \(x\approx1{,}83\) waagerechte Tangenten. Die zugehörige Ableitung muss dort Nullstellen besitzen. 2. Zwischen diesen Stellen nimmt \(f_1\) ab. Die zugehörige Ableitung muss dort negativ sein. Dies trifft auf \(g\) zu, während \(h\) dort positiv ist. Daher gehört \(g\) zu \(f_1\) und \(h\) zu \(f_2\). 3. Im dargestellten Bereich nimmt \(f_1\) auf \([-3{,}5;-1{,}83]\) und \([1{,}83;3{,}5]\) streng monoton zu sowie auf \([-1{,}83;1{,}83]\) streng monoton ab.

a) \(f_1\rightarrow g\), \(f_2\rightarrow h\). b) Streng monoton zunehmend auf \([-3{,}5;-1{,}83]\) und \([1{,}83;3{,}5]\); streng monoton abnehmend auf \([-1{,}83;1{,}83]\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen von \(f'\) und dem Monotonieverhalten von \(f\). - Welche Bedeutung haben Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel für \(f\)? - Wie hängt ein lokales Extremum von \(f'\) mit dem Krümmungsverhalten von \(f\) zusammen?

1. Das Monotonieverhalten von \(f\) folgt aus dem Vorzeichen von \(f'\). Für \(x \in [-4; -2]\) und \(x \in [2; 4]\) ist \(f\) streng monoton zunehmend; für \(x \in [-2; 2]\) ist \(f\) streng monoton abnehmend. An den Randstellen \(x=-2\) und \(x=2\) gilt zwar \(f'(x)=0\), im Inneren der jeweiligen Intervalle hat \(f'\) aber das angegebene Vorzeichen. 2. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher hat \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher hat \(f\) dort eine lokale Minimalstelle. 3. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x = 0\) ein lokales Minimum: Links davon nimmt \(f'\) ab, rechts davon nimmt \(f'\) zu. Damit wechselt die Krümmungsrichtung von \(f\), also besitzt \(f\) bei \(x=0\) eine Wendestelle.

a) Streng monoton zunehmend auf \([-4; -2]\) und \([2; 4]\); streng monoton abnehmend auf \([-2; 2]\). b) Lokale Maximalstelle bei \(x = -2\); lokale Minimalstelle bei \(x = 2\). c) \(f'\) besitzt bei \(x=0\) ein lokales Minimum. Daher wechselt dort die Krümmungsrichtung von \(f\), und \(x=0\) ist eine Wendestelle.

- Beide Kandidaten haben dieselbe Grundform; die Form allein entscheidet die Zuordnung nicht. - Bestimme zuerst die \(x\)-Koordinate der waagerechten Tangente jedes Funktionsgraphen. - Prüfe danach, auf welcher Seite dieser Stelle die Funktion steigt und auf welcher sie fällt.

1. \(f\) besitzt bei \(x=1\) eine waagerechte Tangente, fällt links davon und steigt rechts davon. Kandidat \(q\) hat bei \(x=1\) eine Nullstelle und wechselt dort von negativen zu positiven Werten. Daher gilt \(f'=q\). 2. \(g\) besitzt bei \(x=-2\) eine waagerechte Tangente, steigt links davon und fällt rechts davon. Kandidat \(p\) hat bei \(x=-2\) eine Nullstelle und wechselt dort von positiven zu negativen Werten. Daher gilt \(g'=p\).

a) \(f\rightarrow q\), \(g\rightarrow p\) b) Die Nullstellen und Vorzeichenwechsel der Kandidaten stimmen jeweils mit waagerechter Tangente und Steig-/Fallwechsel des zugehörigen Funktionsgraphen überein.

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Vorzeichen von \(f'\) und dem Monotonieverhalten von \(f\)? - Woran erkennst du an einer Nullstelle von \(f'\), ob dort eine lokale Maximal- oder Minimalstelle von \(f\) liegt? - Für eine Wendestelle von \(f\) ist wichtig, ob \(f'\) seine Monotonierichtung wechselt. Wo erkennst du einen solchen Wechsel im dargestellten Graphen?

1. Im Inneren der Intervalle \([-4; -1]\) und \([3; 6]\) ist \(f'(x) < 0\); daher ist \(f\) dort streng monoton abnehmend. Im Inneren des Intervalls \([-1; 3]\) ist \(f'(x) > 0\); daher ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. 2. Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Der Graph von \(f'\) hat bei \(x = 1\) ein lokales Maximum. Links davon nimmt \(f'\) zu, rechts davon nimmt \(f'\) ab. Damit wechselt dort die Krümmungsrichtung von \(f\); der Graph von \(f\) besitzt bei \(x = 1\) eine Wendestelle.

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-1; 3]\) streng monoton zunehmend und auf \([-4; -1]\) sowie \([3; 6]\) streng monoton abnehmend. b) Lokale Minimalstelle bei \(x = -1\); lokale Maximalstelle bei \(x = 3\). c) Wendestelle bei \(x = 1\).

- Erinnere dich daran, welche Bedeutung die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle für die Tangente des Graphen hat. - Wo kannst du den Wert der Ableitungsfunktion direkt aus der Zeichnung ablesen? - Was bedeutet es grafisch, wenn der Funktionswert einer Funktion mit dem Wert ihrer Ableitung übereinstimmt? - Suche nach den Punkten, an denen sich die beiden Graphen schneiden.

1. **Teilaufgabe a):** Die Steigung der Tangente an den Graphen \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle, also \(f'(0)\). Aus dem Graphen \(G_{f'}\) (oder durch Einsetzen in \(f'(x)\)) liest man für \(x = 0\) den Wert \(-1\) ab. Die richtige Antwort ist somit \(-1\). 2. **Teilaufgabe b):** Die Übereinstimmung von Funktionswert und Ableitungswert bedeutet \(f(x) = f'(x)\). Dies entspricht den Schnittpunkten der beiden Graphen \(G_f\) und \(G_{f'}\). In der Abbildung sind zwei Schnittpunkte erkennbar: - Der erste Schnittpunkt liegt bei \((1 \mid 0)\), also an der Stelle \(x = 1\). - Der zweite Schnittpunkt liegt bei \((3 \mid 2)\), also an der Stelle \(x = 3\). Die gesuchten Stellen sind somit \(x = 1\) und \(x = 3\).

a) \(-1\) b) \(x = 1\) und \(x = 3\)

- Suche zuerst die Stellen, an denen \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. - Welche Kandidatengraphen haben dort den Wert \(0\)? - Prüfe danach, welches Vorzeichen die Ableitung in einem Bereich haben muss, in dem der Graph von \(f\) fällt.

1. Bei \(x\approx-0{,}15\) und \(x\approx2{,}15\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(f'\) an diesen beiden Stellen Nullstellen besitzen. Das trifft auf \(g\) und \(h\) zu; \(k\) scheidet aus. 2. Zwischen diesen beiden Stellen fällt der Graph von \(f\). Deshalb muss die Ableitung dort negativ sein. 3. Der Graph \(g\) liegt in diesem Bereich unterhalb der \(x\)-Achse, der Graph \(h\) oberhalb. 4. Daher stellt \(g\) die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Der Graph \(g\) stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

- Eine waagerechte Tangente entspricht dem Ableitungswert \(0\). - Schätze \(f'(2)\) über die lokale Steilheit des Graphen. - Entscheide links und rechts des Ursprungs getrennt, ob der Graph steigt oder fällt.

1. (A) ist wahr. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. 2. (B) ist wahr. Bei \(x=2\) kann eine Tangentensteigung von ungefähr \(-1\) abgeschätzt werden. 3. (C) ist wahr. Rechts vom Ursprung fällt der dargestellte Graph. 4. (D) ist falsch. Links vom Ursprung steigt der dargestellte Graph, also ist \(f'(x)>0\).

(A) Wahr — bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. (B) Wahr — bei \(x=2\) ist die lokale Steigung ungefähr \(-1\). (C) Wahr — für \(x>0\) fällt \(f\) im dargestellten Bereich. (D) Falsch — für \(x<0\) steigt \(f\) im dargestellten Bereich.

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Nutze Steigen und Fallen für das Vorzeichen von \(g'\). - Prüfe die beiden in (D) genannten Stellen direkt am dargestellten Graphen.

1. (A) ist wahr. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) sind die Tangenten waagerecht. 2. (B) ist wahr. Zwischen diesen Stellen fällt \(g\). 3. (C) ist falsch. Bei \(x=0\) fällt \(g\), also ist \(g'(0)<0\). 4. (D) ist wahr. Bei \(x=-1{,}5\) und \(x=1{,}5\) steigt der dargestellte Graph.

(A) Wahr (B) Wahr (C) Falsch (D) Wahr

- Welche Eigenschaft muss die Ableitungsfunktion an einer Stelle haben, an der die ursprüngliche Funktion einen Hoch- oder Tiefpunkt besitzt? - Betrachte den Scheitelpunkt der blauen Kurve. Welchen Wert müsste die grüne Kurve an dieser x-Stelle haben, wenn sie die Ableitung wäre? - Vergleiche den x-Wert des Extrempunkts von \(f\) mit dem x-Wert der Nullstelle von \(g\).

1. Identifikation der Extremstellen von \(f\): Der Graph der Funktion \(f\) (Parabel) hat seinen tiefsten Punkt (Tiefpunkt) an der Stelle \(x = 0\). 2. Zusammenhang zur Ableitungsfunktion: Wenn \(g\) die Ableitungsfunktion von \(f\) wäre (\(g = f'\)), müsste \(g\) an jeder Extremstelle von \(f\) eine Nullstelle besitzen. Es müsste also gelten: \(g(0) = 0\). 3. Überprüfung am Graphen von \(g\): Der Graph der Funktion \(g\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 1\), es gilt also \(g(0) = 1\). 4. Schlussfolgerung: Da \(g(0) \neq 0\) ist, kann \(g\) nicht die Ableitungsfunktion von \(f\) sein.

Die Funktion \(f\) hat bei \(x = 0\) eine Extremstelle (Tiefpunkt). Wäre \(g\) die Ableitungsfunktion von \(f\), müsste \(g\) an dieser Stelle eine Nullstelle haben (\(g(0) = 0\)). Aus dem Graphen ist jedoch ersichtlich, dass \(g(0) = 1\) gilt. Daher kann \(g\) nicht die Ableitungsfunktion von \(f\) sein.

- Beschreibe zunächst, ob der Graph von \(g\) rechts von der y-Achse steigt oder fällt. - Welches Vorzeichen müsste die Ableitung von \(g\) dort besitzen? - Vergleiche dieses Vorzeichen mit den Werten des Graphen von \(f\).

1. Für \(x>0\) fällt der Graph von \(g\). 2. Wäre \(f=g'\), müsste deshalb für \(x>0\) gelten \(f(x)<0\). 3. Der Graph von \(f\) liegt in diesem Bereich jedoch oberhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(f(x)>0\). 4. Daher kann \(f\) nicht die Ableitungsfunktion von \(g\) sein.

Für \(x>0\) fällt \(g\), daher müsste eine Ableitung \(g'\) dort negativ sein. Der dargestellte Graph von \(f\) ist dort positiv. Somit gilt \(f\ne g'\).

- Vergleiche Nullstellen eines Graphen mit waagerechten Tangenten des anderen. - Prüfe zusätzlich das Vorzeichen in steigenden und fallenden Abschnitten. - Lies nach der Zuordnung den Funktionswert an \(p\) und den Ableitungswert an \(q\) ab.

1. Der Graph von \(q\) hat Nullstellen bei \(x=-1\) und \(x=3\). An diesen Stellen besitzt \(p\) waagerechte Tangenten. Das Vorzeichen von \(q\) stimmt außerdem mit Steigen und Fallen von \(p\) überein. Daher ist \(q=p'\). 2. Aus dem Graphen liest man \(p(1)=1\). 3. Weil \(q=p'\), ist \(p'(1)=q(1)=-2\).

a) \(q=p'\) b) \(p(1)=1\), \(p'(1)=-2\)

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe links und rechts von \(0\), ob der Graph steigt oder fällt. - Überlege für die Symmetrieaussage, wie sich Tangentensteigungen bei Spiegelung an der y-Achse verhalten.

1. (1) ist wahr. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. 2. (2) ist wahr. Links vom Ursprung steigt der dargestellte Graph. 3. (3) ist falsch. Im dargestellten Intervall ist nur bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente sichtbar. 4. (4) ist wahr. Bei \(x=1\) fällt \(g\). 5. (5) ist wahr. Wegen der Achsensymmetrie von \(g\) haben die Tangenten an \(x\) und \(-x\) entgegengesetzte Steigungen gleichen Betrags.

(1) Wahr — bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. (2) Wahr — links vom Ursprung steigt \(g\) im dargestellten Bereich. (3) Falsch — im dargestellten Intervall ist nur \(x=0\) eine Nullstelle von \(g'\). (4) Wahr — bei \(x=1\) fällt \(g\). (5) Wahr — aus der Achsensymmetrie von \(g\) folgt Punktsymmetrie der lokalen Steigungen.

- Eine Nullstelle der Ableitung allein reicht nicht aus, um eine Extremstelle zu sichern. - Vergleiche das Vorzeichen von \(g'\) unmittelbar links und rechts der beiden Stellen. - Entscheidend ist, ob ein Wechsel von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus auftritt.

1. Eine Nullstelle von \(g'\) führt nur dann zu einer lokalen Extremstelle, wenn das Vorzeichen der Ableitung wechselt. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(g'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(g\) dort ein lokales Maximum. 3. Bei \(x=4\) gilt zwar \(g'(4)=0\), aber \(g'\) bleibt links und rechts dieser Stelle negativ. Daher liegt bei \(x=4\) keine Extremstelle vor.

Bei \(x=-2\) liegt ein lokales Maximum vor. Bei \(x=4\) liegt keine Extremstelle vor.

- Für a) prüfst du den Vorzeichenwechsel von \(f'\) an \(x=0\). - Für b) betrachtest du das Vorzeichen von \(f'\) im Inneren des Intervalls. - Für c) liest du das Vorzeichen von \(f''(1)\) aus der Steigung des Graphen von \(f'\) ab.

1. Bei \(x=0\) hat \(f'\) eine Nullstelle und wechselt von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. Aussage a) ist wahr. 2. Im Inneren von \([0;2]\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf \([0;2]\) streng monoton abnehmend. Aussage b) ist wahr. 3. Der Wert \(f''(1)\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\) bei \(x=1\). Dort nimmt \(f'\) ab, also ist diese Steigung negativ. Aussage c) ist wahr.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr; \(f''(1)<0\).

- Für a) untersuchst du den Vorzeichenwechsel von \(f'\) bei \(x=0\). - Für b) ist das Vorzeichen von \(f'\) im Intervallinneren entscheidend. - Für c) betrachtest du, ob \(f'\) bei \(x=2\) von Abnehmen zu Zunehmen wechselt.

1. Bei \(x=0\) hat \(f'\) eine Nullstelle und wechselt von positiv nach negativ. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. Aussage a) ist wahr. 2. Im Inneren von \([0;4]\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf \([0;4]\) streng monoton abnehmend. Aussage b) ist wahr. 3. Bei \(x=2\) hat \(f'\) ein lokales Minimum. Links davon nimmt \(f'\) ab, rechts davon nimmt \(f'\) zu; damit wechselt \(f''\) dort das Vorzeichen. Also besitzt \(f\) bei \(x=2\) eine Wendestelle. Aussage c) ist wahr.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr.

- Zähle die Stellen, an denen der Graph von \(f'\) die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel kreuzt. - Bei welchem Vorzeichenwechsel von \(f'\) geht \(f\) von Abnehmen zu Zunehmen über? - Wo wechselt \(f'\) selbst seine Monotonierichtung? Diese Stellen sind für die Krümmung von \(f\) entscheidend.

1. Extremstellen von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Diese liegen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\); daher besitzt \(f\) drei Extremstellen. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Wendestellen von \(f\) liegen an lokalen Extremstellen von \(f'\). Der dargestellte Graph von \(f'\) besitzt zwei lokale Extremstellen. Daher besitzt \(f\) im gezeigten Bereich zwei Wendestellen.

1. \(f\) besitzt drei Extremstellen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Die lokale Minimalstelle liegt bei \(x=0\); bei \(x=-2\) und \(x=2\) liegen lokale Maximalstellen. 3. Der Graph von \(f\) besitzt zwei Wendestellen.

- Welche Beziehung besteht zwischen einer Extremstelle von \(f\) und einem Wert von \(f'\)? - Lies für b) Funktionswert und Ableitungswert an derselben Stelle aus den beiden Graphen ab. - Wie stellst du aus Berührpunkt und Tangentensteigung die Geradengleichung auf?

1. Graph \(a\) gehört zu \(f\), Graph \(b\) zu \(f'\). Graph \(a\) hat bei \(x=0\) einen Tiefpunkt; Graph \(b\) hat dort die Nullstelle, die zu \(f'(0)=0\) passt. 2. Bei \(x=2\) liest man am Graphen \(a\) den Punkt \(P(2|0)\) und am Graphen \(b\) den Wert \(f'(2)=1\) ab. 3. Die Tangente durch \(P\) mit Steigung \(1\) lautet \(y=x-2\).

a) \(a\) ist \(f\), \(b\) ist \(f'\). b) \(y=x-2\)

- Vergleiche eine waagerechte Tangente des einen Graphen mit einer Nullstelle des anderen. - Prüfe zusätzlich, ob das Vorzeichen des Kandidaten zur lokalen Steigung des anderen Graphen passt. - Nutze die Graphenbezeichnungen \(p\) und \(q\), nicht ihre Farben.

1. Der Graph \(p\) besitzt bei \(x=0\) ein lokales Maximum. Der Graph \(q\) hat an derselben Stelle eine Nullstelle. Das passt zu \(q=f'\). 2. Für \(x>0\) fällt \(p\). In diesem Bereich ist \(q<0\). Auch das passt zur Ableitungsbeziehung. 3. Daher ist \(p\) der Graph von \(f\) und \(q\) der Graph von \(f'\).

\(p=f\) und \(q=f'\). Bei \(x=0\) hat \(p\) eine waagerechte Tangente und \(q\) eine Nullstelle; für \(x>0\) fällt \(p\) und \(q\) ist negativ.

- Suche bei jedem Funktionsgraphen zunächst Stellen mit waagerechter Tangente. - Vergleiche danach das Steig- und Fallverhalten mit den Vorzeichen der möglichen Ableitungsgraphen. - Bei Graph C ist besonders wichtig, dass die Steigung auf beiden Seiten des Ursprungs dasselbe Vorzeichen hat.

1. Graph A ist eine nach oben geöffnete Parabel mit waagerechter Tangente im Ursprung. Links davon fällt A, rechts davon steigt A. Die Ableitung muss deshalb eine steigende Gerade durch den Ursprung sein. A gehört zu (3). 2. Graph B ist eine nach unten geöffnete Parabel mit waagerechter Tangente bei \(x=0\). Links davon steigt B, rechts davon fällt B. Die Ableitung muss deshalb eine fallende Gerade durch den Ursprung sein. B gehört zu (2). 3. Graph C steigt auf beiden Seiten des Ursprungs und hat dort eine waagerechte Tangente. Die Ableitung ist daher auf beiden Seiten positiv und bei \(x=0\) null. Das trifft auf die nach oben geöffnete Parabel (1) zu.

A \(\rightarrow\) (3), B \(\rightarrow\) (2), C \(\rightarrow\) (1).

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente mit den Nullstellen der Kandidaten. - Wo \(f_1\) fällt, muss seine Ableitung negativ sein. - Nutze die Form des zweiten Funktionsgraphen als zusätzliche Kontrolle für die verbleibende Zuordnung.

1. Zu \(f_1\) gehört \(g_1\), zu \(f_2\) gehört \(g_2\). 2. Der Graph von \(f_1\) besitzt bei \(x=-2\) und \(x=2\) waagerechte Tangenten. Genau dort hat \(g_1\) Nullstellen. Zwischen diesen Stellen fällt \(f_1\), und \(g_1\) ist dort negativ. Außerhalb steigt \(f_1\), und \(g_1\) ist positiv. 3. Der Graph von \(f_1\) fällt auf \([-2;2]\).

1. \(f_1\rightarrow g_1\); \(f_2\rightarrow g_2\). 2. Die Nullstellen und Vorzeichen von \(g_1\) passen zu den waagerechten Tangenten sowie zum Steig- und Fallverhalten von \(f_1\). 3. \([-2;2]\).

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente mit Nullstellen des anderen Graphen. - Prüfe das Vorzeichen des möglichen Ableitungsgraphen dort, wo der andere steigt oder fällt. - Beide Merkmale zusammen machen die Zuordnung eindeutig.

1. Der Graph \(k\) besitzt bei \(x=-1\) und \(x=3\) waagerechte Tangenten. Der Graph \(m\) hat genau an diesen Stellen Nullstellen. 2. Zwischen \(x=-1\) und \(x=3\) fällt \(k\), während \(m\) dort negative Werte besitzt. Außerhalb steigt \(k\), während \(m\) positive Werte annimmt. 3. Daher ist \(k\) der Graph von \(f\) und \(m\) der Graph von \(f'\).

\(k=f\) und \(m=f'\).

- Für a) betrachtest du das Vorzeichen von \(f'\). - Für b) prüfst du die Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von \(f'\). - Für c) untersuchst du, ob \(f'\) links und rechts von \(x=2\) abnimmt oder zunimmt.

1. Im dargestellten Bereich gilt \(f'(x)>0\) für \(-1\le x<1\) und \(3<x\le5\). Somit ist \(f\) auf \([-1;1]\) und \([3;5]\) streng monoton zunehmend. 2. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also hat \(f\) dort ein lokales Maximum. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also hat \(f\) dort ein lokales Minimum. 3. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x=2\) ein lokales Minimum. Links davon nimmt \(f'\) ab, rechts davon nimmt \(f'\) zu. Damit wechselt \(f''\) von negativ zu positiv. Der Graph von \(f\) wechselt dort von Rechts- zu Linkskrümmung und besitzt bei \(x=2\) eine Wendestelle.

a) \([-1;1]\) und \([3;5]\). b) Lokales Maximum bei \(x=1\); lokales Minimum bei \(x=3\). c) Bei \(x=2\) liegt eine Wendestelle mit Wechsel von Rechts- zu Linkskrümmung vor.

- Suche zuerst die Stelle mit waagerechter Tangente. - Prüfe links und rechts davon, ob \(f\) steigt oder fällt. - Vergleiche die daraus folgenden Vorzeichen mit den beiden Kandidaten.

1. Der Graph von \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einer waagerechten Tangente bei \(x=0\). Daher muss \(f'(0)=0\) gelten. Beide Kandidaten erfüllen diese Bedingung. 2. Für \(x<0\) fällt der Graph von \(f\), deshalb muss \(f'(x)<0\) sein. Für \(x>0\) steigt der Graph von \(f\), deshalb muss \(f'(x)>0\) sein. 3. Nur Graph 1 zeigt diese Vorzeichenverteilung. Daher ist Graph 1 die Ableitungsfunktion.

Graph 1 ist die Ableitungsfunktion \(f'\).

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente im Graphen von \(g\). - Prüfe, ob der Graph zwischen diesen Stellen steigt oder fällt. - Welcher Kandidat hat in diesem Bereich das passende Vorzeichen?

1. Der Graph von \(g\) besitzt ungefähr bei \(x\approx-1{,}73\) und \(x\approx1{,}73\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(g'\) an diesen Stellen Nullstellen besitzen. Beide Kandidaten erfüllen dies. 2. Zwischen diesen beiden Stellen fällt der Graph von \(g\). Deshalb muss \(g'(x)<0\) gelten. 3. Graph 3 liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse, Graph 4 dagegen oberhalb. 4. Somit stellt Graph 3 die Ableitungsfunktion \(g'\) dar.

Graph 3 ist die Ableitungsfunktion \(g'\).

- Suche im Temperaturgraphen zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Welche Kandidaten haben an denselben Zeitpunkten den Wert \(0\)? - Prüfe anschließend das Vorzeichen der Änderungsrate in einem Zeitraum, in dem die Temperatur fällt.

1. Bei \(t=3\) und \(t=7\) besitzt der Temperaturgraph waagerechte Tangenten. Die Änderungsrate muss daher bei \(t=3\) und \(t=7\) den Wert \(0\) haben. 2. Kandidat d hat nur eine Nullstelle, Kandidat c die Nullstellen an anderen Stellen. Es bleiben a und b. 3. Zwischen \(t=3\) und \(t=7\) fällt die Temperatur. Die Änderungsrate muss dort negativ sein. 4. Nur Kandidat a liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(t\)-Achse. Daher ist a der gesuchte Graph.

Kandidat a stellt die momentane Änderungsrate der Temperatur dar.

- Bestimme zuerst beide Ableitungsfunktionen rechnerisch. - Vergleiche Funktionstyp, Achsenschnittpunkte und Nullstellen mit den vier Kandidaten. - Nutze die Symmetrie des kubischen Ableitungsgraphen als zusätzliche Kontrolle.

1. Es gilt \(f'(x)=2x-3\) und \(g'(x)=x^3-2x\). 2. \(f'\) ist eine Gerade mit Steigung \(2\), y-Achsenabschnitt \(-3\) und Nullstelle bei \(x=1{,}5\). Das ist Graph (1). 3. \(g'\) ist eine punktsymmetrische kubische Funktion mit Nullstellen bei \(x=-\sqrt2\), \(x=0\) und \(x=\sqrt2\). Das ist Graph (2).

\(f'(x)=2x-3\) gehört zu Graph (1). \(g'(x)=x^3-2x\) gehört zu Graph (2).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Extrema einer Funktion und den Nullstellen ihrer Ableitung. - Wie hängen Monotonie (Steigen/Fallen) und das Vorzeichen der Ableitung zusammen? - Betrachte die Tangentenrichtung an den jeweiligen Stellen, um die Steigungen zu vergleichen.

1. Stellen mit \(g'(x) = 0\): Die Ableitung ist an den Stellen null, an denen der Graph von \(g\) eine waagerechte Tangente hat. Dies ist bei den lokalen Extrema der Fall. Aus dem Graphen liest man das lokale Maximum bei \(x = 0\) und das lokale Minimum bei \(x = 2\) ab. Also gilt \(g'(0) = 0\) und \(g'(2) = 0\). 2. Vorzeichen im Intervall \((0; 2)\): In diesem Bereich fällt der Graph von \(g\) (monoton fallend). Eine fallende Funktion hat eine negative Ableitung, daher ist \(g'(x) < 0\) für alle \(x \in (0; 2)\). 3. Vergleich von \(g'(-1)\) und \(g'(1)\): Bei \(x = -1\) steigt der Graph von \(g\), die Steigung \(g'(-1)\) ist also positiv. Bei \(x = 1\) fällt der Graph von \(g\), die Steigung \(g'(1)\) ist also negativ. Da jeder positive Wert größer als jeder negative Wert ist, gilt \(g'(-1) > g'(1)\).

a) \(g'(x) = 0\) für \(x = 0\) und \(x = 2\). b) \(g'(x) < 0\) für \(0 < x < 2\), da \(g\) dort fällt. c) \(g'(-1) > g'(1)\), da die Steigung bei \(x = -1\) positiv und bei \(x = 1\) negativ ist.

- Übersetze waagerechte Tangenten in Nullstellen von \(h'\). - Nutze Steigen und Fallen für das Vorzeichen von \(h'\). - Beziehe die Anzahl der Nullstellen ausdrücklich nur auf den dargestellten Bereich.

1. (1) ist wahr. Bei \(x=-2\) ist die Tangente waagerecht. 2. (2) ist falsch. Bei \(x=0\) fällt \(h\), also ist \(h'(0)<0\). 3. (3) ist wahr. Im gesamten Intervall \([-1;1]\) fällt der Graph. 4. (4) ist wahr. Im dargestellten Bereich sind genau zwei waagerechte Tangenten sichtbar, bei \(x=-2\) und \(x=2\).

(1) Wahr — waagerechte Tangente bei \(x=-2\). (2) Falsch — bei \(x=0\) fällt \(h\). (3) Wahr — auf \([-1;1]\) fällt \(h\). (4) Wahr — im dargestellten Bereich sind zwei waagerechte Tangenten sichtbar.

- Für die Extremstellen prüfst du die Vorzeichenwechsel von \(f'\) an seinen Nullstellen. - Linksgekrümmt ist \(f\) dort, wo \(f'\) zunimmt. - Achte darauf, wo der Ableitungsgraph von zunehmend zu abnehmend wechselt.

1. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, daher liegt dort eine lokale Minimalstelle. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, daher liegt dort eine lokale Maximalstelle. 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wo \(f'\) zunimmt. Im dargestellten Bereich nimmt \(f'\) für \(-0{,}5\le x<2\) zu. Daher ist \(f\) dort linksgekrümmt. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von zunehmend zu abnehmend; dort liegt eine Wendestelle von \(f\).

a) Lokale Minimalstelle bei \(x=1\); lokale Maximalstelle bei \(x=3\). b) Linksgekrümmt für \(-0{,}5\le x<2\); Wendestelle bei \(x=2\).

- In welchen Bereichen ist \(f'\) negativ? - An welchen Nullstellen von \(f'\) ändert sich das Vorzeichen? - Welche Art von Extremstelle gehört jeweils zur Richtung des Vorzeichenwechsels?

1. Für \(-4<x<-2\) und \(1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf \([-4;-2]\) und \([1;3]\) streng monoton abnehmend. 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=3\). 3. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; dort liegt eine lokale Minimalstelle. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; dort liegt eine lokale Maximalstelle. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; dort liegt eine lokale Minimalstelle.

a) Streng monoton abnehmend auf \([-4;-2]\) und \([1;3]\). b) Lokale Minimalstellen bei \(x=-2\) und \(x=3\); lokale Maximalstelle bei \(x=1\).

- Vergleiche zunächst den Grad, den eine Ableitung von \(f\) haben muss, mit der Form des dargestellten Graphen. - Überlege, wie sich die Symmetrie einer geraden Funktion beim Ableiten verändert. - Suche eine einzelne x-Stelle, an der sich der berechnete Ableitungswert und der dargestellte Funktionswert direkt vergleichen lassen.

1. Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x)=4x^3-4x\). 2. Grad: Die Ableitung einer Funktion 4. Grades ist eine Funktion 3. Grades. Der dargestellte Graph von \(g\) ist dagegen eine Parabel, also vom Grad 2. 3. Symmetrie: \(f\) ist gerade. Daher ist \(f'\) ungerade und ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Graph von \(g\) ist dagegen achsensymmetrisch zur y-Achse. 4. Funktionswert: Es gilt \(f'(0)=0\), während der dargestellte Graph \(g(0)=-2\) zeigt. Schon dieser unterschiedliche Wert schließt \(g=f'\) aus.

Der Graph von \(g\) kann nicht der Graph von \(f'\) sein, weil 1. \(f'\) vom Grad 3 sein muss, \(g\) aber vom Grad 2 ist, 2. \(f'\) als Ableitung der geraden Funktion \(f\) ungerade sein muss, \(g\) aber gerade ist, 3. \(f'(0)=0\) gilt, der Graph von \(g\) dort aber den Wert \(-2\) hat.

- Welche Bedeutung haben Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel für \(f\)? - Wie hängen lokale Extremstellen von \(f'\) mit Wendestellen von \(f\) zusammen? - Was folgt aus einem positiven Vorzeichen von \(f'\) für die Monotonie von \(f\)?

1. Die Extremstellen von \(f\) entsprechen den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Aus dem Graphen liest man \(x=-4\) und \(x=2\) ab. 2. Bei \(x=-4\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt dort ein lokales Minimum von \(f\). Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein lokales Maximum. 3. Wendestellen von \(f\) entsprechen hier lokalen Extremstellen von \(f'\). Der Graph von \(f'\) hat seinen Scheitelpunkt bei \(x=-1\). Somit liegt bei \(x=-1\) eine Wendestelle von \(f\) vor. 4. Im Intervall \([-1;0]\) liegt der Graph von \(f'\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(f'(x)>0\). Damit ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. Aus \(0>-1\) folgt \(f(0)>f(-1)\).

a) Lokales Minimum bei \(x=-4\); lokales Maximum bei \(x=2\). b) Die Wendestelle von \(f\) liegt bei \(x=-1\). c) Da \(f'(x)>0\) auf \([-1;0]\) gilt, ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. Daher gilt \(f(0)>f(-1)\).

- Achte darauf, dass der dargestellte Graph zu \(g'\) gehört. - Was sagt das Vorzeichen von \(g'\) über die Monotonie von \(g\) aus? - Welche Vorzeichenwechsel von \(g'\) kennzeichnen lokale Extremstellen von \(g\)? - Wo nimmt \(g'\) im betrachteten Bereich seinen kleinsten Wert an?

1. Eine Funktion \(g\) nimmt dort streng monoton ab, wo \(g'<0\) gilt. Aus dem Graphen liest man \(g'(x)<0\) für \(-2<x<2\) ab. Damit ist \(g\) auf \([-2;2]\) streng monoton abnehmend. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(g'\) von positiv zu negativ; dort liegt eine lokale Maximalstelle von \(g\). Bei \(x=2\) wechselt \(g'\) von negativ zu positiv; dort liegt eine lokale Minimalstelle. 3. Die stärkste negative Steigung entspricht dem kleinsten Wert von \(g'\) im betrachteten Bereich. Der Scheitelpunkt der Parabel \(g'\) liegt bei \(x=0\) mit \(g'(0)=-4\). Daher besitzt \(g\) bei \(x=0\) die stärkste negative Steigung \(-4\).

1. Auf \([-2;2]\). 2. Lokale Maximalstelle bei \(x=-2\); lokale Minimalstelle bei \(x=2\). 3. Bei \(x=0\) ist die Steigung mit \(-4\) am stärksten negativ.

- Überlege dir, welche Bedeutung die Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen für den Graphen der Ableitung haben. - Achte auf die Bereiche, in denen der Graph der Funktion steigt oder fällt. Was lässt sich daraus für das Vorzeichen der Ableitung schließen? - Betrachte die Nullstellen der Ableitungsfunktion. Welchen besonderen Stellen im Funktionsgraphen entsprechen sie? - Überprüfe, ob eine positive Steigung der Funktion einem positiven Funktionswert der Ableitung entspricht.

1. Analyse von Funktion \(f\): Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \(x = 0\) und zwei Tiefpunkte bei \(x \approx \pm 2{,}2\). Die zugehörige Ableitungsfunktion muss daher an diesen Stellen Nullstellen aufweisen. 2. Vergleich mit den Ableitungsgraphen: Graph \(h_2\) hat Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x \approx \pm 2{,}2\). Da \(f\) für \(x < -2{,}2\) fallend ist, muss die Ableitung dort negativ sein, was auf \(h_2\) zutrifft. Somit gilt: \(f \rightarrow h_2\). 3. Analyse von Funktion \(g\): Der Graph von \(g\) besitzt einen Tiefpunkt bei \(x = 0\) und zwei Hochpunkte bei \(x \approx \pm 2{,}8\). Die Ableitung muss also bei \(x = 0\) und \(x \approx \pm 2{,}8\) Nullstellen haben. 4. Vergleich mit den Ableitungsgraphen: Graph \(h_1\) besitzt genau diese Nullstellen. Da \(g\) im Intervall \(-2{,}8 < x < 0\) steigend ist, muss die Ableitung dort positiv sein. Dies ist bei \(h_1\) der Fall. Somit gilt: \(g \rightarrow h_1\).

\(f \rightarrow h_2\), \(g \rightarrow h_1\).

- Suche im Graphen von \(k\) die Stellen mit waagerechter Tangente. - Welche Kandidaten besitzen an beiden Stellen eine Nullstelle? - Prüfe danach das Vorzeichen im Bereich zwischen diesen Stellen.

1. Bei \(x=0\) und \(x=2\) besitzt der Graph von \(k\) waagerechte Tangenten. Deshalb muss \(k'\) an beiden Stellen Nullstellen besitzen. Graph d scheidet aus, weil er nur eine Nullstelle hat. 2. Die Graphen b und c besitzen die passenden Nullstellen. 3. Zwischen \(x=0\) und \(x=2\) fällt der Graph von \(k\). Daher muss \(k'(x)<0\) gelten. 4. Nur Graph b liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse. Daher stellt b die Ableitungsfunktion \(k'\) dar.

Graph b stellt die Ableitungsfunktion \(k'\) dar.

- Welche Bedeutung haben Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel für \(f\)? - Wie hängen positive beziehungsweise negative Werte von \(f'\) mit der Monotonie von \(f\) zusammen? - Welche Bedeutung haben lokale Extremstellen von \(f'\) für die Wendestellen von \(f\)?

1. Die Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt dort eine lokale Maximalstelle. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt dort eine lokale Minimalstelle. 2. Der Graph von \(f\) nimmt bis \(x=-1\) zu, nimmt dann bis \(x=3\) ab und nimmt danach wieder zu. Der Punkt \((0\mid1)\) liegt auf dem Graphen. 3. Eine Wendestelle von \(f\) liegt dort, wo \(f'\) ein lokales Extremum besitzt. Der Graph von \(f'\) hat seine lokale Minimalstelle bei \(x=1\). Daher hat \(f\) bei \(x=1\) eine Wendestelle.

1. Lokale Maximalstelle bei \(x=-1\), lokale Minimalstelle bei \(x=3\). 2. Qualitativer Verlauf: zunehmend für \(x<-1\), abnehmend für \(-1<x<3\), zunehmend für \(x>3\); der Graph verläuft durch \((0\mid1)\). 3. Wendestelle bei \(x=1\), da \(f'\) dort eine lokale Minimalstelle besitzt.

- Welcher der beiden Graphen liefert direkt die Tangentensteigung von \(f\)? - Lies für Teil a die y-Werte dieses Graphen an den beiden vorgegebenen x-Stellen ab. - Für Teil b suchst du eine Stelle, an der beide dargestellten Graphen denselben y-Wert haben.

1. Die Tangentensteigung von \(f\) an einer Stelle \(x\) entspricht dem Wert des Ableitungsgraphen \(g\) an dieser Stelle. 2. Aus dem Graphen von \(g\) liest man \(g(1)=0{,}5\) und \(g(4)=0{,}25\) ab. Daher betragen die Tangentensteigungen \(0{,}5\) beziehungsweise \(0{,}25\). 3. Die Bedingung \(f(x)=f'(x)\) bedeutet hier \(f(x)=g(x)\). Der Schnittpunkt der beiden dargestellten Graphen liegt bei \(x=0{,}5\).

a) Bei \(x=1\): \(0{,}5\); bei \(x=4\): \(0{,}25\). b) \(x=0{,}5\).

- Suche eine waagerechte Tangente und vergleiche ihre Stelle mit einer Nullstelle des anderen Graphen. - Kontrolliere die Zuordnung über die Vorzeichen des möglichen Ableitungsgraphen in steigenden und fallenden Bereichen. - Die Steigung von \(g\) liest du als Funktionswert von \(g'\) ab. - Für gleiche Werte von \(g\) und \(g'\) suchst du einen Schnittpunkt der beiden Graphen.

1. Graph \(k\) hat bei \(x=0\) einen Tiefpunkt mit waagerechter Tangente. Graph \(m\) hat dort eine Nullstelle. Für \(x<0\) fällt \(k\) und \(m\) ist negativ; für \(x>0\) steigt \(k\) und \(m\) ist positiv. Daher ist \(k\) der Graph von \(g\) und \(m\) der Graph von \(g'\). 2. Die Steigung von \(g\) bei \(x=3\) ist der Wert von \(g'\) dort. Am Graphen \(m\) liest man \(g'(3)=1{,}5\) ab. 3. Gleiche Werte liegen an einem Schnittpunkt der Graphen vor. Für \(x>0\) schneiden sich \(k\) und \(m\) bei \(x=2\); dort gilt \(g(2)=g'(2)=1\).

a) \(k\) gehört zu \(g\), \(m\) zu \(g'\). Bei \(x=0\) hat \(k\) eine waagerechte Tangente und \(m\) eine Nullstelle; außerdem passen die Vorzeichen von \(m\) zum Steig- und Fallverhalten von \(k\). b) \(1{,}5\). c) \(x=2\).

- Der dargestellte y-Wert ist bereits eine momentane Änderungsrate des Volumens. - Eine momentane Volumenänderung von null entspricht einer Nullstelle des dargestellten Graphen. - Das Vorzeichen von \(V'\) entscheidet, ob \(V\) zunimmt oder abnimmt.

1. Aus dem Graphen liest man \(r(2)=3\,\text{L/min}\) ab. Zu diesem Zeitpunkt nimmt das gespeicherte Wasservolumen momentan mit \(3\,\text{L}\) pro Minute zu. 2. Das Volumen ändert sich momentan nicht, wenn \(V'(t)=r(t)=0\) gilt. Der Graph schneidet die t-Achse bei \(t=8\,\text{min}\). 3. Für \(0\le t<8\) ist \(r(t)>0\), also nimmt \(V\) zu. Für \(8<t\le10\) ist \(r(t)<0\), also nimmt \(V\) ab.

a) \(r(2)=3\,\text{L/min}\); das Volumen nimmt in diesem Moment mit \(3\,\text{L}\) pro Minute zu. b) Bei \(t=8\,\text{min}\). c) Zunahme für \(0\le t<8\); Abnahme für \(8<t\le10\).

- Suche zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente im linken Graphen. - Welche Werte muss die Ableitung an diesen Stellen besitzen? - Prüfe danach, wo der Funktionsgraph steigt oder fällt und welches Vorzeichen \(f'\) dort haben muss. - Vergleiche diese Bedingungen mit den drei Kandidaten.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(f'(-1)=0\) und \(f'(1)=0\) gelten. Kandidat c scheidet damit aus. 2. Für \(x<-1\) und \(x>1\) steigt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x)>0\). Zwischen \(-1\) und \(1\) fällt der Graph, also ist \(f'(x)<0\). 3. Nur Kandidat a besitzt genau dieses Nullstellen- und Vorzeichenverhalten. Daher ist a der Graph von \(f'\).

Kandidat a.

- Welche besonderen Punkte eines Funktionsgraphen (z. B. Hoch- und Tiefpunkte) hängen mit den Nullstellen der Ableitungsfunktion zusammen? - Betrachte die Steigung des Graphen von \(f\): In welchen Bereichen steigt der Graph, in welchen fällt er? - Welches Vorzeichen muss die Ableitung in den Bereichen haben, in denen die ursprüngliche Funktion steigt oder fällt? - Überprüfe beide Richtungen: Könnte \(g\) die Ableitung von \(f\) sein, oder umgekehrt \(f\) die Ableitung von \(g\)?

Um herauszufinden, welcher Graph die Funktion und welcher die Ableitungsfunktion darstellt, betrachten wir die charakteristischen Eigenschaften der beiden Graphen: 1. **Zusammenhang zwischen Extrema und Nullstellen**: Die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) einer differenzierbaren Funktion entsprechen den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion. - Der blaue Graph \(f\) besitzt zwei lokale Extrempunkte: einen Hochpunkt bei ca. \(x \approx -1{,}73\) und einen Tiefpunkt bei ca. \(x \approx 1{,}73\). - Der grüne Graph \(g\) besitzt genau an diesen Stellen seine Nullstellen, d. h. er schneidet dort die x-Achse (\(g(-1{,}73) = 0\) und \(g(1{,}73) = 0\)). 2. **Zusammenhang zwischen Monotonie und Vorzeichen**: - Für \(x < -1{,}73\) steigt der Graph von \(f\) (positive Steigung). In diesem Bereich verläuft der Graph von \(g\) oberhalb der x-Achse (positive Werte). - Für \(-1{,}73 < x < 1{,}73\) fällt der Graph von \(f\) (negative Steigung). In diesem Bereich verläuft der Graph von \(g\) unterhalb der x-Achse (negative Werte). - Für \(x > 1{,}73\) steigt der Graph von \(f\) wieder (positive Steigung). In diesem Bereich ist der Graph von \(g\) wieder positiv. 3. **Ausschluss der Gegenrichtung**: Würde \(f\) die Ableitung von \(g\) darstellen, müsste \(f\) an der Stelle des Tiefpunkts von \(g\) (bei \(x = 0\)) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von minus nach plus haben. Zwar ist \(f(0) = 0\), aber der Vorzeichenwechsel von \(f\) bei \(x = 0\) verläuft von plus nach minus (der Graph geht von oben nach unten durch den Ursprung), was zu einem Hochpunkt führen müsste, nicht zu einem Tiefpunkt. Zudem passen die übrigen Extremstellen nicht zusammen. Somit stellt der Graph \(f\) die Funktion und der Graph \(g\) ihre Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Der Graph \(f\) (blau) stellt die Funktion dar und der Graph \(g\) (grün) stellt ihre Ableitungsfunktion dar, also \(g = f'\).

- Prüfe zuerst, ob der Graph steigt, fällt oder waagerecht verläuft. - Für Aussage (3) reicht das Vorzeichen nicht: Vergleiche auch die Stärke der negativen Steigungen links und rechts von \(x=0\). - Formuliere zu jeder Entscheidung eine kurze Begründung aus der lokalen Steigung.

1. (1) ist wahr: Auf \([-1;1]\) fällt \(f\), also sind die lokalen Steigungen negativ. 2. (2) ist wahr: Bei \(x=-2\) ist die Tangente waagerecht. 3. (3) ist falsch: Um \(x=0\) wird die fallende Steigung zunächst stärker negativ und danach wieder weniger negativ. Daher hat \(f'\) dort einen lokalen Tiefpunkt. 4. (4) ist falsch: Bei \(x=3\) steigt \(f\), also ist \(f'(3)>0\).

(1) Wahr — \(f\) fällt auf \([-1;1]\). (2) Wahr — bei \(x=-2\) ist die Tangente waagerecht. (3) Falsch — die lokalen Steigungen sind um \(x=0\) am stärksten negativ; \(f'\) hat dort einen Tiefpunkt. (4) Falsch — bei \(x=3\) steigt \(f\).

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente in einem Graphen mit Nullstellen des anderen Graphen. - Prüfe zusätzlich, welches Vorzeichen der zweite Graph dort hat, wo der erste steigt oder fällt. - Lies die gefragten Funktions- und Ableitungswerte erst ab, nachdem du die beiden Graphen zugeordnet hast.

1. Der Graph \(k_1\) besitzt bei \(x=1\) und \(x=3\) waagerechte Tangenten. Der Graph \(k_2\) hat an genau diesen Stellen Nullstellen. 2. Zwischen \(x=1\) und \(x=3\) fällt \(k_1\), während \(k_2\) dort negative Werte hat. Außerhalb dieses Bereichs steigt \(k_1\), während \(k_2\) positive Werte hat. Daher ist \(k_1\) der Graph von \(f\) und \(k_2\) der Graph von \(f'\). 3. Am Graphen von \(k_1\) liest man \(f(2)=2\) und \(f(3)=1\) ab. 4. Am Graphen von \(k_2\) liest man \(f'(2)=-1{,}5\) und \(f'(1)=0\) ab.

a) \(k_1\) ist der Graph von \(f\), und \(k_2\) ist der Graph von \(f'\). b) \(f(2)=2\), \(f'(2)=-1{,}5\), \(f(3)=1\) und \(f'(1)=0\).

- Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel entsprechen Extremstellen von \(f\). - Das Vorzeichen von \(f'\) bestimmt die Monotonierichtung von \(f\). - Nutze die Monotonie auf \([1;3]\), um \(f(2)\) und \(f(3)\) zu vergleichen.

1. Der Graph von \(f'\) hat bei \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=3\) einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. Daher besitzt \(f\) genau drei Extremstellen. Aussage a) ist wahr. 2. Für \(1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\); an den Randpunkten ist \(f'=0\). Daher nimmt \(f\) auf \([1;3]\) streng monoton ab. Aussage b) ist wahr. 3. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort eine lokale Maximalstelle und keine lokale Minimalstelle vor. Aussage c) ist falsch. 4. Wegen der strengen Abnahme auf \([1;3]\) gilt \(f(2)>f(3)\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr. b) Wahr. c) Falsch; bei \(x=1\) liegt eine lokale Maximalstelle vor. d) Falsch; es gilt \(f(2)>f(3)\).

- Überlege, wie Nullstellen von \(f''\) mit Extremstellen von \(f'\) zusammenhängen. - Für Extremstellen von \(f\) suchst du zuerst Nullstellen von \(f'\). - Das Vorzeichen von \(f''\) an einer solchen Stelle hilft dir bei der Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkt.

1. Da \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, muss der Graph von \(f''\) an den Extremstellen des Graphen von \(f'\) eine Nullstelle haben. Der Graph \(g\) hat bei \(x=1\) einen Tiefpunkt, und der Graph \(h\) hat dort eine Nullstelle. Zudem passen die Vorzeichen von \(h\) dazu, ob \(g\) fällt oder steigt. Daher gehört \(g\) zu \(f'\) und \(h\) zu \(f''\). 2. Die Nullstellen von \(g\) liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\). Bei \(x=-1\) gilt \(h(-1)<0\), daher hat \(f\) dort einen Hochpunkt. Bei \(x=3\) gilt \(h(3)>0\), daher hat \(f\) dort einen Tiefpunkt.

a) \(g\) gehört zu \(f'\), und \(h\) gehört zu \(f''\). b) Bei \(x=-1\) hat \(f\) einen Hochpunkt und bei \(x=3\) einen Tiefpunkt.

- Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel entsprechen Extremstellen von \(f\). - Das Vorzeichen von \(f'\) bestimmt das Monotonieverhalten von \(f\). - Extremstellen von \(f'\) entsprechen Wendestellen von \(f\).

1. Der Graph von \(f'\) hat im angegebenen Intervall Nullstellen mit Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 3\). Daher hat \(f\) dort genau drei Extremstellen. Aussage a) ist wahr. 2. Im Intervall \([0{,}5; 2{,}5]\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) dort streng monoton abnehmend. Aussage b) ist wahr. 3. Wendepunkte von \(f\) entsprechen Extremstellen von \(f'\). Bei \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle, aber keine Extremstelle. Daher hat \(f\) dort keinen Wendepunkt. Aussage c) ist falsch.

a) Wahr, da \(f'\) drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. b) Wahr, da \(f'(x) < 0\) im gesamten Intervall \([0{,}5; 2{,}5]\) gilt. c) Falsch, da \(f'\) bei \(x = 0\) keine Extremstelle hat.

- Das Vorzeichen von \(f'\) bestimmt das Monotonieverhalten von \(f\). - Achte an den Nullstellen von \(f'\) auf die Richtung des Vorzeichenwechsels. - Ein Terrassenpunkt besitzt eine waagerechte Tangente, ist aber keine Extremstelle; dafür braucht es zusätzlich einen Krümmungswechsel.

1. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher liegt dort eine lokale Minimalstelle vor. Aussage a) ist wahr. 2. Für \(1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\). Daher nimmt \(f\) dort streng monoton ab. Aussage b) ist wahr. 3. Für \(0<x<1\) gilt \(f'(x)>0\). Daher nimmt \(f\) auf \([0;1]\) streng monoton zu und es gilt \(f(0)<f(1)\). Aussage c) ist falsch. 4. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort eine lokale Maximalstelle und kein Terrassenpunkt vor. Aussage d) ist falsch.

a) Wahr. b) Wahr. c) Falsch; es gilt \(f(0)<f(1)\). d) Falsch; bei \(x=1\) liegt eine lokale Maximalstelle vor.

- Überlege dir zuerst, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung \(f'\) mit den Extremstellen der Funktion \(f\) zusammen? Welcher Vorzeichenwechsel deutet auf ein Maximum, welcher auf ein Minimum hin? - Welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\) entspricht den Wendestellen der Funktion \(f\)? Denke an die zweite Ableitung \(f''\).

1. Monotonieverhalten (Teilaufgabe a): Die Funktion \(f\) ist streng monoton steigend auf Intervallen, in deren Innerem \(f'(x) > 0\) gilt. Dem Graphen entnimmt man \(f'(x) > 0\) für \(-4 < x < -1\) und \(3 < x < 4\). Somit ist \(f\) auf \([-4; -1]\) und \([3; 4]\) streng monoton steigend. Entsprechend gilt \(f'(x) < 0\) für \(-5 < x < -4\) und \(-1 < x < 3\), sodass \(f\) auf \([-5; -4]\) und \([-1; 3]\) streng monoton fallend ist. 2. Extremstellen (Teilaufgabe b): Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -4\), \(x = -1\) und \(x = 3\). Bei \(x = -4\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; daher liegt dort eine lokale Minimalstelle (Tiefstelle) vor. Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; daher liegt dort eine lokale Maximalstelle (Hochstelle) vor. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; daher liegt dort eine lokale Minimalstelle (Tiefstelle) vor. 3. Wendestellen (Teilaufgabe c): Wendestellen von \(f\) entsprechen lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\), sofern deren Steigung dort das Vorzeichen wechselt. Der Graph von \(f'\) besitzt im gegebenen Intervall genau zwei lokale Extrempunkte, einen Hochpunkt bei \(x \approx -2{,}7\) und einen Tiefpunkt bei \(x \approx 1{,}4\). Somit besitzt \(f\) im Intervall genau zwei Wendestellen.

a) Streng monoton steigend für \(x \in [-4; -1]\) und \(x \in [3; 4]\); streng monoton fallend für \(x \in [-5; -4]\) und \(x \in [-1; 3]\). b) Drei Extremstellen: lokale Minimalstellen bei \(x = -4\) und \(x = 3\), eine lokale Maximalstelle bei \(x = -1\). c) Zwei Wendestellen.

- Nullstellen der Ableitung entsprechen Extremstellen der Originalfunktion. - Das Vorzeichen der Ableitung zeigt, wo die Originalfunktion zu- oder abnimmt. - Ein Extrempunkt der Ableitung entspricht einer Wendestelle der Originalfunktion.

1. Der rote Graph \(G_1\) gehört zur Funktion \(f\), der blaue Graph \(G_2\) zur Ableitungsfunktion \(f'\). An den Extremstellen von \(G_1\) bei \(x = -2\) und \(x = 2\) hat \(G_2\) Nullstellen. Im Intervall \([-2; 2]\) nimmt \(G_1\) ab, und \(G_2\) verläuft dort unterhalb der \(x\)-Achse. 2. Aus dem Graphen liest man den Hochpunkt \(H(-2 \mid 3)\), den Tiefpunkt \(T(2 \mid -1)\) und den Wendepunkt \(W(0 \mid 1)\) ab. 3. \(f\) ist im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton abnehmend.

a) \(G_1\) (rot) gehört zu \(f\), und \(G_2\) (blau) gehört zu \(f'\). b) \(H(-2 \mid 3)\), \(T(2 \mid -1)\), \(W(0 \mid 1)\). c) \(f\) ist auf \([-2; 2]\) streng monoton abnehmend.

- Wie hängen das Vorzeichen von \(f'\) und das Monotonieverhalten von \(f\) zusammen? - Woran erkennst du an einer Nullstelle von \(f'\), ob dort eine Maximal- oder Minimalstelle von \(f\) liegt? - Für die Wendestellen kannst du untersuchen, wo \(f'\) von Abnehmen zu Zunehmen oder umgekehrt wechselt. - Wie lässt sich dieser Wechsel mit dem gegebenen Term von \(f'\) exakt berechnen?

1. Aus dem Vorzeichen von \(f'\) folgt: \(f\) ist auf \([-5; -4]\) und \([-1; 4]\) streng monoton zunehmend sowie auf \([-4; -1]\) und \([4; 5]\) streng monoton abnehmend. 2. Bei \(x=-4\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x=4\) wechselt \(f'\) wieder von positiv zu negativ, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Für die Wendestellen werden die Extremstellen von \(f'\) bestimmt. Aus \(f'(x)=-0{,}1(x^3+x^2-16x-16)\) folgt \(f''(x)=-0{,}1(3x^2+2x-16)\). 4. Aus \(f''(x)=0\) erhält man \(3x^2+2x-16=0\), also \(x=-\frac{8}{3}\) und \(x=2\). An beiden Stellen wechselt das Vorzeichen von \(f''\); daher sind beide Stellen Wendestellen von \(f\). 5. Für \(x\in\left(-\frac{8}{3};2\right)\) gilt \(f''(x)>0\), also ist der Graph linksgekrümmt. Für \(x\in\left[-5;-\frac{8}{3}\right)\) und \(x\in(2;5]\) gilt \(f''(x)<0\), also ist der Graph rechtsgekrümmt.

a) Streng monoton zunehmend auf \([-5; -4]\) und \([-1; 4]\); streng monoton abnehmend auf \([-4; -1]\) und \([4; 5]\). b) Lokale Maximalstellen bei \(x=-4\) und \(x=4\); lokale Minimalstelle bei \(x=-1\). c) Wendestellen bei \(x=-\frac{8}{3}\) und \(x=2\). Linksgekrümmt auf \(\left(-\frac{8}{3};2\right)\); rechtsgekrümmt auf \(\left[-5;-\frac{8}{3}\right)\) und \((2;5]\).

- Überlege zuerst, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung \(f'\) und deren Vorzeichenwechsel mit den lokalen Extremstellen von \(f\) zusammen? - Erinnere dich daran, dass ein Vorzeichenwechsel der Ableitung von negativ zu positiv eine Tiefstelle und ein Wechsel von positiv zu negativ eine Hochstelle anzeigt. - Überlege, welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\), beispielsweise ein Hoch- oder Tiefpunkt, einer Wendestelle der Originalfunktion \(f\) entspricht.

1. Monotonieverhalten: Im Inneren des Intervalls \([-3; 1]\) gilt \(f'(x) > 0\). Daher ist \(f\) im dargestellten Bereich auf \([-3; 1]\) streng monoton steigend. Im Inneren der Intervalle \([-5; -3]\) und \([1; 3]\) gilt \(f'(x) < 0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. 2. Lokale Extremstellen: Bei \(x = -3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 3. Wendestelle: Der Graph von \(f'\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit einem lokalen Maximum bei \(x = -1\). Links davon steigt \(f'\), rechts davon fällt \(f'\). Somit wechselt \(f''\) bei \(x = -1\) von positiv zu negativ, und \(f\) besitzt dort eine Wendestelle.

a) Im dargestellten Bereich streng monoton steigend auf \([-3; 1]\); streng monoton fallend auf \([-5; -3]\) und \([1; 3]\). b) Lokale Minimalstelle bei \(x = -3\); lokale Maximalstelle bei \(x = 1\). c) Wendestelle bei \(x = -1\), weil \(f'\) dort von steigend zu fallend wechselt.

- Vergleiche die Extremstellen eines Kandidaten mit den Nullstellen des anderen. - Wo liegt der Ableitungsgraph unterhalb der \(x\)-Achse? - Welcher Funktionswert des Ableitungsgraphen entspricht der Tangentensteigung bei \(x=0\)?

1. Abbildung 1 zeigt \(f\), Abbildung 2 zeigt \(f'\): Für \(x<-1\) nimmt der Graph in Abbildung 1 zu und der Graph in Abbildung 2 liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Für \(-1<x<3\) nimmt Abbildung 1 ab und Abbildung 2 ist negativ. Für \(x>3\) nimmt Abbildung 1 wieder zu und Abbildung 2 ist positiv. Außerdem stimmen die Extremstellen bei \(x=-1\) und \(x=3\) mit den Nullstellen der Ableitung überein. 2. \(f\) nimmt auf \([-1;3]\) streng monoton ab. Im Intervallinneren gilt \(f'(x)<0\); an den Randstellen gilt \(f'(x)=0\). 3. Die Tangentensteigung bei \(x=0\) ist \(f'(0)\). Aus Abbildung 2 liest man \(f'(0)=-0{,}75\) ab.

a) Abbildung 1 zeigt \(f\), Abbildung 2 zeigt \(f'\). b) \(f\) ist auf \([-1;3]\) streng monoton abnehmend; für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\). c) Die Tangentensteigung bei \(x=0\) beträgt \(-0{,}75\).

- Die drei Kandidaten haben dieselbe grobe Form; reine Formerkennung reicht daher nicht. - Übertrage jede waagerechte Tangente des Funktionsgraphen auf eine Nullstelle des passenden Ableitungsgraphen. - Prüfe zusätzlich mindestens ein Intervall: Steigt die Funktion, muss der Kandidat dort positiv sein; fällt sie, muss er negativ sein.

1. Graph \(A\) besitzt bei \(x=-1\) und \(x=1\) waagerechte Tangenten. Außerhalb dieses Intervalls steigt \(A\), dazwischen fällt er. Nur Kandidat (3) hat Nullstellen bei \(-1\) und \(1\), ist dazwischen negativ und außerhalb positiv. Daher gilt \(A\rightarrow(3)\). 2. Graph \(B\) besitzt bei \(x=-2\) und \(x=2\) waagerechte Tangenten. Zwischen diesen Stellen steigt \(B\), außerhalb fällt er. Kandidat (2) hat genau diese Nullstellen und das passende Vorzeichenmuster. Daher gilt \(B\rightarrow(2)\). 3. Graph \(C\) steigt im gesamten dargestellten Bereich und besitzt keine waagerechte Tangente. Kandidat (1) ist überall positiv und hat keine Nullstelle. Daher gilt \(C\rightarrow(1)\).

\(A\rightarrow(3)\), \(B\rightarrow(2)\), \(C\rightarrow(1)\)

- Bestimme die Tangentensteigung aus zwei gut ablesbaren Punkten der Geraden \(t\). - Suche im Graphen von \(f\) nach Stellen mit waagerechter Tangente. - Vergleiche außerdem, wo \(f\) steigt oder fällt, mit dem Vorzeichen der drei Kandidatengraphen.

1. Die Tangente \(t\) verläuft durch \(P(2\mid2)\) und zum Beispiel durch \((4\mid0)\). Daher ist ihre Steigung \(m=\frac{0-2}{4-2}=-1\). Somit gilt \(f'(2)=-1\). 2. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x\approx0{,}85\) und \(x\approx3{,}15\) waagerechte Tangenten. Dort muss \(f'\) Nullstellen haben. 3. Nur \(g_1\) besitzt Nullstellen an diesen beiden Stellen. Außerdem liegt \(g_1\) dort oberhalb der \(x\)-Achse, wo \(f\) steigt, und unterhalb der \(x\)-Achse, wo \(f\) fällt. 4. Damit ist \(g_1\) der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\).

a) \(f'(2)=-1\). b) \(g_1\) ist der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\).

- Nullstellen von \(f'\) findest du an waagerechten Tangenten von \(f\). - Das Vorzeichen von \(f'\) folgt daraus, ob \(f\) steigt oder fällt. - Beziehe Aussagen nur auf den tatsächlich dargestellten Bereich.

1. (1) ist wahr. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten; weitere sind im dargestellten Bereich nicht zu sehen. 2. (2) ist falsch. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt \(f\), daher ist \(f'(x)<0\) im Inneren. 3. (3) ist wahr. Bei \(x=0\) fällt \(f\). 4. (4) ist wahr. Links von \(x=-2\) steigt der dargestellte Graph, daher sind dort die lokalen Steigungen positiv.

(1) Wahr — im dargestellten Bereich liegen waagerechte Tangenten bei \(x=-2\) und \(x=2\). (2) Falsch — zwischen \(-2\) und \(2\) fällt \(f\). (3) Wahr — bei \(x=0\) fällt \(f\). (4) Wahr — links von \(x=-2\) steigt \(f\) im dargestellten Bereich.

- Beginne mit den Stellen, an denen der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. - Vergleiche anschließend, wo \(f\) steigt oder fällt, mit dem Vorzeichen der angebotenen Funktionsterme. - Wenn noch mehrere Möglichkeiten übrig sind, vergleiche ihre Steigungen an einer gut ablesbaren Stelle mit der Steilheit des Graphen.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(f'(-1)=0\) und \(f'(3)=0\) gelten. Option D scheidet aus, weil sie andere Nullstellen besitzt. 2. Für \(x<-1\) und \(x>3\) steigt der Graph von \(f\). Dort muss \(f'\) positiv sein. Deshalb scheidet Option B aus. 3. Übrig bleiben A und C. In der Umgebung von \(x=1\) fällt der Graph mit einer Steigung von ungefähr \(-2\). Option A liefert \(f'(1)=-2\), Option C dagegen \(f'(1)=-4\), was deutlich zu steil ist. 4. Damit passt Option A zum dargestellten Graphen.

A: \(f'(x)=0{,}5x^2-x-1{,}5\).

- Entscheide bei jeder Stelle, ob \(f\) steigt, fällt oder waagerecht verläuft. - Verknüpfe diese Beobachtung mit dem Vorzeichen beziehungsweise Wert von \(f'\). - Unterscheide besonders sorgfältig zwischen \(f(x)\) und \(f'(x)\).

1. (1) ist wahr. Auf \((0;4)\) steigt \(f\), also gilt \(f'(x)>0\). 2. (2) ist falsch. Bei \(x=2\) steigt der Graph deutlich; die Tangente ist nicht waagerecht. 3. (3) ist wahr. Bei \(x=1\) steigt \(f\). 4. (4) ist falsch. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht, also \(f'(0)=0\). Der Wert \(-2\) ist der Funktionswert \(f(0)\).

(1) Wahr — \(f\) steigt auf \((0;4)\). (2) Falsch — bei \(x=2\) steigt \(f\). (3) Wahr — bei \(x=1\) ist die lokale Steigung positiv. (4) Falsch — bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht; \(-2\) ist \(f(0)\), nicht \(f'(0)\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\). - Welche Bedingung muss an einer Stelle \(x\) erfüllt sein, damit dort ein Extrempunkt des Graphen von \(f\) vorliegt? - Wie lässt sich ein Hochpunkt von einem Tiefpunkt anhand des Verlaufs der Ableitung \(f'\) unterscheiden? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Wendepunkten von \(f\) und den Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\)?

1. Aussage (1) ist falsch. An der Stelle \(x = -2\) hat die Ableitungsfunktion \(f'\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Dies ist das hinreichende Kriterium für einen Hochpunkt der Funktion \(f\), nicht für einen Tiefpunkt. 2. Aussage (2) ist wahr. Im offenen Intervall \((1; 3)\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) > 0\). Daher ist die Funktion \(f\) im Intervall \([1; 3]\) streng monoton steigend. 3. Aussage (3) ist wahr. An der Stelle \(x = 1\) liegt eine Nullstelle von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus vor. Dies ist das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt von \(f\). 4. Aussage (4) ist wahr. Die Wendestellen einer Funktion \(f\) entsprechen den Extremstellen ihrer Ableitungsfunktion \(f'\). Der abgebildete Graph von \(f'\) besitzt im Intervall \([-3; 4]\) genau zwei Extremstellen: einen Tiefpunkt bei \(x \approx -0{,}8\) und einen Hochpunkt bei \(x \approx 2{,}1\). Folglich hat der Graph von \(f\) in diesem Intervall genau zwei Wendestellen.

(1) Falsch — bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ; dort liegt eine lokale Maximalstelle von \(f\). (2) Wahr — auf \((1;3)\) ist \(f'(x)>0\), daher steigt \(f\). (3) Wahr — bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv; dort liegt eine lokale Minimalstelle. (4) Wahr — der Graph von \(f'\) besitzt im angegebenen Intervall zwei Extremstellen; entsprechend liegen dort zwei Wendestellen von \(f\).

- Bestimme zuerst rechnerisch die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) der gegebenen Funktion \(f(x)\). - Welchen Grad hat die Ableitungsfunktion und wie müsste ihr Graph im Vergleich zum abgebildeten Graphen im Unendlichen verlaufen? - Überlege, in welchen Bereichen die Funktion \(f(x)\) steigt oder fällt. Welche Vorzeichen müsste die Ableitungsfunktion \(f'\) in diesen Bereichen haben? - Betrachte die Nullstellen des abgebildeten Graphen. Welche Arten von Extrempunkten (Hoch- oder Tiefpunkt) würden zu den jeweiligen Vorzeichenwechseln gehören?

Um zu zeigen, dass der abgebildete Graph \(g\) nicht die Ableitungsfunktion \(f'\) darstellen kann, wird zunächst die tatsächliche Ableitungsfunktion berechnet: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) Es lassen sich folgende drei Widersprüche aufzeigen: 1. **Globalverhalten:** Da der Leitkoeffizient von \(f'\) positiv ist, handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit \(\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = \infty\). Der abgebildete Graph \(g\) verläuft jedoch für \(x \to \pm\infty\) nach \(-\infty\) (nach unten geöffnete Parabel). 2. **Monotonieverhalten:** Im Intervall \((-1; 3)\) ist \(f'(x) < 0\), was bedeutet, dass die Funktion \(f\) dort streng monoton fällt. Der Graph \(g\) verläuft in diesem Intervall jedoch oberhalb der \(x\)-Achse, nimmt also nur positive Werte an. 3. **Art der Extremstellen:** Bei \(x = -1\) hat \(f\) einen lokalen Hochpunkt, da die Steigung von positiv (für \(x < -1\)) zu negativ (für \(x > -1\)) wechselt. Somit müsste \(f'\) bei \(x = -1\) einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus haben. Der Graph \(g\) wechselt an dieser Stelle jedoch sein Vorzeichen von minus nach plus.

1. **Globalverhalten:** Die Ableitung \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar (\(f'(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\)), während der abgebildete Graph nach unten geöffnet ist. 2. **Monotonie:** Im Intervall \((-1; 3)\) ist \(f'(x) < 0\) (die Funktion \(f\) fällt), aber der abgebildete Graph ist dort positiv. 3. **Extremstellen:** An der Stelle \(x = -1\) liegt ein Hochpunkt von \(f\) vor, weshalb die Ableitung einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus haben müsste. Der Graph zeigt jedoch einen Wechsel von minus nach plus (was einem Tiefpunkt entspräche).

- Übersetze die Bedingung \(f'(x)=0\) mithilfe der gegebenen Beziehung in eine Aussage über den Graphen von \(g\). - Für die Art einer Extremstelle ist der Vorzeichenwechsel von \(f'\) entscheidend. - Für die Wendestelle untersuchst du, wie sich \(g\) in der Umgebung seines Scheitelpunkts verändert.

1. Extremstellen von \(f\) können dort liegen, wo \(f'(x)=0\). Wegen \(f'(x)=g(x)-1\) entspricht dies der Bedingung \(g(x)=1\). Aus dem Graphen liest man \(x=-2\) und \(x=2\) ab. 2. Für \(x<-2\) gilt \(g(x)<1\), also \(f'(x)<0\). Für \(-2<x<2\) gilt \(g(x)>1\), also \(f'(x)>0\). Deshalb hat \(f\) bei \(x=-2\) ein lokales Minimum. 3. Für \(x>2\) gilt wieder \(g(x)<1\), also \(f'(x)<0\). Deshalb hat \(f\) bei \(x=2\) ein lokales Maximum. 4. Aus \(f'(x)=g(x)-1\) folgt \(f''(x)=g'(x)\). Der Graph von \(g\) hat bei \(x=0\) ein lokales Maximum; dort wechselt \(g'\) von positiv zu negativ. Somit wechselt \(f''\) bei \(x=0\) das Vorzeichen, also besitzt \(f\) dort eine Wendestelle.

a) Lokales Minimum bei \(x=-2\); lokales Maximum bei \(x=2\). b) Wendestelle bei \(x=0\).

- Suche zuerst die waagerechten Tangenten. - Prüfe Vorzeichen von \(f'\) über Steigen und Fallen von \(f\). - Vergleiche für die Symmetrieaussage die lokalen Steigungen bei \(x\) und \(-x\). - Beziehe Aussagen nur auf den dargestellten Bereich.

1. (1) ist wahr. Waagerechte Tangenten liegen bei \(x=-2,0,2\). 2. (2) ist wahr. Rechts von \(x=2\) fällt der dargestellte Graph. 3. (3) ist wahr, weil \(f'(0)=0\). 4. (4) ist falsch. An gegenüberliegenden Stellen haben die Steigungen entgegengesetzte Vorzeichen. 5. (5) ist wahr. Bei \(x=1\) steigt \(f\).

(1) Wahr (2) Wahr (3) Wahr (4) Falsch (5) Wahr

- Überlege bei jeder Teilfrage, welcher Funktionswert von \(f'\) zur gesuchten Tangentensteigung gehört. - Für die größte Steigung suchst du den größten y-Wert des Ableitungsgraphen. - Parallele Geraden besitzen dieselbe Steigung. - Für die Scheitelpunktform kannst du Scheitelpunkt und einen weiteren gut ablesbaren Punkt verwenden.

1. Waagerechte Tangenten von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\). Aus dem Graphen liest man \(x=0\) und \(x=4\) ab. 2. Die größte Steigung von \(f\) ist der größte Funktionswert von \(f'\). Der Scheitelpunkt des Ableitungsgraphen ist \((2\mid2)\). Daher besitzt \(f\) bei \(x=2\) die größte Steigung \(2\). 3. Eine zu \(g\) parallele Tangente muss die Steigung \(1{,}5\) haben. Aus \(f'(x)=1{,}5\) liest man \(x=1\) und \(x=3\) ab. 4. Aus dem Scheitelpunkt folgen \(d=2\) und \(c=2\). Mit dem Punkt \((0\mid0)\) gilt \(0=a(0-2)^2+2\), also \(a=-0{,}5\).

a) \(x=0\) und \(x=4\). b) Bei \(x=2\) mit der Steigung \(2\). c) \(x=1\) und \(x=3\). d) \(a=-0{,}5\), \(d=2\), \(c=2\).

- Vergleiche zunächst das einseitige Verhalten beider Terme an \(x=1\). - Welches Vorzeichen besitzt \(f'(x)\) auf beiden Seiten der Polstelle? - Welche Grenzwerte haben die beiden Restterme für große \(|x|\)?

1. Bei \(f\) liegt bei \(x=1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor: Für \(x\to1^-\) gilt \(f(x)\to-\infty\), für \(x\to1^+\) gilt \(f(x)\to+\infty\). Das passt zu Abbildung 1. 2. Für \(f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^2}\) gilt auf beiden Seiten der Polstelle \(f'(x)\to-\infty\). Außerdem ist \(f'(x)<0\) für alle \(x\neq1\). Das passt zu Abbildung 2. 3. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{2}{x-1}\to0\). Daher ist \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-1\), also lautet die waagrechte Asymptote \(y=-1\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(-\frac{2}{(x-1)^2}\to0\). Daher lautet die waagrechte Asymptote von \(f'\) \(y=0\).

a) Abbildung 1 zeigt \(f\), Abbildung 2 zeigt \(f'\). b) Für \(f\): \(y=-1\); für \(f'\): \(y=0\)

- Beginne mit dem Graphen, der bei \(x=0\) eine deutliche Extremstelle besitzt, und suche einen möglichen Ableitungsgraphen mit einer Nullstelle dort. - Kontrolliere deine Vermutung zusätzlich über die Vorzeichen links und rechts von \(0\). - Für den zweiten Ableitungsschritt gibt es zwei weitere markante Extremstellen. Welche Graphen besitzen an denselben x-Stellen Nullstellen? - Eine Zuordnung ist erst vollständig begründet, wenn für beide Schritte auch Monotonie und Vorzeichen zusammenpassen.

1. Graph b besitzt bei \(x=0\) ein lokales Minimum. Graph c hat dort eine Nullstelle, ist links davon negativ und rechts davon positiv. Entsprechend fällt b für \(x<0\) und steigt für \(x>0\). Daher gilt \(b'=c\). 2. Graph c besitzt bei \(x=-1\) ein lokales Minimum und bei \(x=1\) ein lokales Maximum. Graph a hat bei \(x=-1\) und \(x=1\) Nullstellen. Außerdem ist a zwischen diesen Nullstellen positiv und außerhalb negativ; passend dazu steigt c zwischen \(-1\) und \(1\) und fällt außerhalb. Daher gilt \(c'=a\). 3. Somit gehört b zu \(F\), c zu \(f\) und a zu \(f'\).

a) gehört zu \(f'\), b) zu \(F\), c) zu \(f\). Für beide Ableitungsschritte stimmen Extremstellen mit Nullstellen und Monotonie mit dem Vorzeichen des jeweiligen Ableitungsgraphen überein.

- Bestimme zuerst rechnerisch die Ableitungsfunktionen \(f'(x)\) und \(g'(x)\). - Welche charakteristischen Eigenschaften haben die Graphen (z. B. Symmetrie, Grad der Funktion, Achsenschnittpunkte oder Extrempunkte)? - Überlege, welcher Graph zu einer linearen Funktion (Gerade) und welche zu quadratischen Funktionen (Parabeln) gehören. - Wie hängen die Extrempunkte einer Funktion mit den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion zusammen?

1. Berechnung der Ableitungsfunktionen: Durch Anwendung der Ableitungsregeln erhält man: \(f'(x) = x\) \(g'(x) = -0{,}6x^2 + 1{,}5\) 2. Zuordnung von \(f\) und \(f'\): - Graph (3) zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid -2)\). Dies entspricht der quadratischen Funktion \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\). - Die zugehörige Ableitungsfunktion \(f'(x) = x\) ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung \(1\). Dies entspricht genau Graph (1). 3. Zuordnung von \(g\) und \(g'\): - Graph (2) stellt eine punktsymmetrische Kurve dritten Grades dar, die für große \(x\)-Werte gegen \(-\infty\) strebt. Dies entspricht der Funktion \(g(x) = -0{,}2x^3 + 1{,}5x\). - Die zugehörige Ableitungsfunktion \(g'(x) = -0{,}6x^2 + 1{,}5\) beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid 1{,}5)\). Dies entspricht Graph (4).

Graph (1) gehört zu \(f'\); Graph (2) gehört zu \(g\); Graph (3) gehört zu \(f\); Graph (4) gehört zu \(g'\).

- An welchen Stellen einer Funktion muss ihre Ableitung null sein? - Vergleiche die Vorzeichen eines möglichen Ableitungsgraphen mit den Bereichen, in denen der zugehörige Graph zunimmt oder abnimmt. - Wende dieselbe Idee anschließend noch einmal auf die erste und zweite Ableitung an.

1. Der Graph von \(p\) besitzt bei \(x=-2\) eine lokale Maximalstelle und bei \(x=2\) eine lokale Minimalstelle. Der Graph von \(q\) hat genau dort Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. 2. Außerdem ist \(p\) für \(x<-2\) zunehmend, für \(-2<x<2\) abnehmend und für \(x>2\) wieder zunehmend. Dazu passen die Vorzeichen von \(q\). Daher ist \(q=p'\). 3. Der Graph von \(q\) besitzt bei \(x=0\) eine lokale Minimalstelle. Der Graph von \(r\) hat dort eine Nullstelle und wechselt von negativen zu positiven Werten. Daher ist \(r=q'\). 4. Somit ist \(p\) die Ausgangsfunktion, \(q\) ihre erste Ableitung und \(r\) ihre zweite Ableitung.

Ausgangsfunktion: \(p\) Erste Ableitung: \(q\) Zweite Ableitung: \(r\)

- Funktionswerte liest du am Graphen von \(g\), Steigungen am Graphen von \(g'\). - Waagerechte Tangenten entsprechen Nullstellen von \(g'\). - Bei f) suchst du im Ableitungsgraphen den Funktionswert \(1{,}5\).

1. Aus Abbildung 1 liest man \(g(2)=-1\). 2. Die Steigung bei \(x=2\) ist \(g'(2)=0\). 3. Aus Abbildung 2 liest man \(g'(1)=-1{,}5\). 4. Bei \(x=0\) gilt \(g(0)=1\). 5. Die Nullstellen von \(g'\) liegen bei \(x=-2,0,2\); dort hat \(g\) waagerechte Tangenten. 6. Aus \(g'(-1)=1{,}5\) folgt als passende Stelle \(x=-1\).

a) \(g(2)=-1\) b) \(0\) c) \(g'(1)=-1{,}5\) d) \(x=0\) e) \(x=-2,0,2\) f) \(x=-1\)

- Vergleiche das Steig- und Fallverhalten eines Graphen mit dem Vorzeichen des anderen. - Die Steigung von \(r\) liest du als Funktionswert von \(r'\) ab. - Für \(r''(1)\) brauchst du die Steigung des Graphen von \(r'\).

1. Der Graph \(p\) steigt für \(x<3\) und fällt für \(x>3\). Der Graph \(q\) ist entsprechend für \(x<3\) positiv und für \(x>3\) negativ. Daher ist \(p=r\) und \(q=s=r'\). 2. Die Steigung von \(r\) bei \(x=1\) ist \(r'(1)=s(1)=q(1)=0{,}8\). 3. Der Wert \(r''(1)\) ist die Steigung des Graphen von \(r'=s\). Der Graph \(q\) ist eine Gerade; aus den Punkten \((0\mid1{,}2)\) und \((3\mid0)\) erhält man die Steigung \(\frac{0-1{,}2}{3-0}=-0{,}4\). Somit gilt \(r''(1)=-0{,}4\).

a) \(p=r\), \(q=s=r'\). b) \(r'(1)=0{,}8\). c) \(r''(1)=-0{,}4\).

- Nutze waagerechte Tangenten für Nullstellen von \(f'\). - Prüfe das Vorzeichen über Steigen und Fallen von \(f\). - Verwende für (4) die im Text angegebene Punktsymmetrie.

1. (1) ist wahr. Bei \(x=0\) steigt \(f\). 2. (2) ist wahr. Im gezeigten Bereich liegen zwei waagerechte Tangenten ungefähr bei \(x=-1{,}4\) und \(x=1{,}4\). 3. (3) ist wahr. Auf \([1{,}5;3]\) fällt \(f\). 4. (4) ist wahr. Wegen der angegebenen Punktsymmetrie haben die Tangenten an den symmetrischen Stellen \(x=2\) und \(x=-2\) dieselbe Steigung. 5. (5) ist falsch. Ein Durchgang durch den Ursprung würde \(f'(0)=0\) bedeuten; bei \(x=0\) steigt \(f\).

(1) Wahr — bei \(x=0\) steigt \(f\). (2) Wahr — im gezeigten Bereich sind zwei waagerechte Tangenten sichtbar. (3) Wahr — auf \([1{,}5;3]\) fällt \(f\). (4) Wahr — die Punktsymmetrie liefert gleiche Tangentensteigungen an \(x\) und \(-x\). (5) Falsch — \(f'(0)>0\), also liegt \((0\mid0)\) nicht auf dem Graphen von \(f'\).

- Überlege dir, was der Funktionswert von \(f'\) über die Steigung von \(f\) aussagt. - Wo muss der Graph von \(f'\) liegen, damit die Funktion \(f\) steigt oder fällt? - Was passiert mit der Funktion \(f\) an einer Stelle, an der \(f'\) die x-Achse kreuzt? - Achte darauf, in welche Richtung der Graph von \(f'\) die x-Achse an den Nullstellen schneidet.

1. Lokale Extremstellen einer Funktion \(f\) treten dort auf, wo die Ableitung \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. 2. Bei \(x = -5\) wechselt \(f'\) vom Negativen ins Positive. Da die Steigung von \(f\) von negativ auf positiv wechselt, liegt hier ein lokales Minimum vor. 3. Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) vom Positiven ins Negative. Da die Steigung von \(f\) von positiv auf negativ wechselt, liegt hier ein lokales Maximum vor. 4. Bei \(x = 4\) wechselt \(f'\) vom Negativen ins Positive. Somit liegt bei \(x = 4\) ein weiteres lokales Minimum vor.

Lokales Minimum bei \(x = -5\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(-\) nach \(+\)); lokales Maximum bei \(x = 0\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(+\) nach \(-\)); lokales Minimum bei \(x = 4\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(-\) nach \(+\)).

- Welche Vorzeichenwechsel von \(f'\) kennzeichnen lokale Minimal- und Maximalstellen von \(f\)? - In welchem Bereich liegt der Ableitungsgraph oberhalb der \(x\)-Achse? - Wie findest du die größte Steigung von \(f\) direkt im Graphen von \(f'\)?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Aus dem Graphen liest man \(x=-2\) und \(x=4\) ab. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x=4\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 2. Für \(-2<x<4\) gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) auf \([-2;4]\) streng monoton zunehmend. 3. Die Steigung von \(f\) entspricht dem Funktionswert von \(f'\). Der größte Wert des dargestellten Ableitungsgraphen liegt bei \(x=1\) und beträgt \(f'(1)=4{,}5\). Dort besitzt \(f\) die größte Steigung.

a) Lokale Minimalstelle bei \(x=-2\); lokale Maximalstelle bei \(x=4\). b) Streng monoton zunehmend auf \([-2;4]\). c) Größte Steigung bei \(x=1\); sie beträgt \(4{,}5\).

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung \(f'\) über das Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion \(f\) aussagt. - Wie hängen die Nullstellen von \(f'\) mit den Extremstellen von \(f\) zusammen? Achte dabei besonders auf den Vorzeichenwechsel. - Welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\) gibt dir Auskunft über die Wendestellen von \(f\)? - Erinnere dich daran, dass die zweite Ableitung \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, also die Steigung des Graphen von \(f'\) beschreibt.

1. An der Stelle \(x = -3\) hat die Ableitungsfunktion \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Dies bedeutet, dass die Steigung von \(f\) von negativ auf positiv wechselt, was charakteristisch für ein lokales Minimum ist. Die Aussage ist wahr. 2. Im Intervall \((1; 4)\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) < 0\). Folglich ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton fallend. Die Aussage ist falsch. 3. Wendestellen der Funktion \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen ihrer Ableitungsfunktion \(f'\). Da der Graph von \(f'\) im gezeigten Bereich einen Hochpunkt (ca. bei \(x \approx -1{,}4\)) und einen Tiefpunkt (ca. bei \(x \approx 2{,}7\)) besitzt, hat \(f\) dort genau zwei Wendestellen. Die Aussage ist wahr. 4. Der Wert \(f''(1)\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f'\) an der Stelle \(x = 1\). Da der Graph von \(f'\) an dieser Stelle fällt, ist die Steigung negativ, also \(f''(1) < 0\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr — bei \(x=-3\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv; dort hat \(f\) eine lokale Minimalstelle. b) Falsch — auf \((1;4)\) ist \(f'(x)<0\), also fällt \(f\). c) Wahr — der dargestellte Graph von \(f'\) besitzt zwei lokale Extremstellen; entsprechend hat \(f\) dort zwei Wendestellen. d) Wahr — bei \(x=1\) fällt der Graph von \(f'\), daher ist seine Steigung und damit \(f''(1)\) negativ.

- An welchen Nullstellen von \(f'\) wechselt das Vorzeichen, und in welche Richtung? - In welchen Intervallinneren liegt der Graph von \(f'\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse? - Welche Eigenschaft muss \(f'\) an einer Wendestelle von \(f\) besitzen?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Aus dem Graphen liest man \(x=-3\), \(x=1\) und \(x=5\) ab. 2. Bei \(x=-3\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv, daher liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ, daher liegt eine lokale Maximalstelle vor. Bei \(x=5\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv, daher liegt eine lokale Minimalstelle vor. 3. Im Inneren von \([-4;-3]\) und \([1;5]\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf diesen Intervallen streng monoton abnehmend. Die Nullstellen von \(f'\) an den Randpunkten ändern daran nichts. 4. Wendestellen von \(f\) entsprechen lokalen Extremstellen von \(f'\). Der dargestellte Graph von \(f'\) besitzt im betrachteten Bereich zwei lokale Extremstellen. Somit besitzt \(f\) dort genau zwei Wendestellen.

a) Lokale Minimalstellen bei \(x=-3\) und \(x=5\); lokale Maximalstelle bei \(x=1\). b) \(f\) ist auf \([-4;-3]\) und \([1;5]\) streng monoton abnehmend. c) \(f\) besitzt im Bereich \(-4<x<6\) genau zwei Wendestellen, weil \(f'\) dort zwei lokale Extremstellen besitzt.

- Was sagt ein Hochpunkt im Graphen der Ableitung über die Krümmung oder die Steigungsänderung der Originalfunktion aus? - Wenn die Ableitung in einem Bereich positiv ist, was weißt du dann über das Wachstum der Funktion? - Wo genau liest man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ab, wenn man den Graphen der Ableitung gegeben hat?

1. Wendestelle bei \(x = 3\): Eine Wendestelle von \(f\) liegt dort vor, wo die Steigung der Funktion \(f\) (also \(f'\)) ein lokales Extremum hat. Da der Graph von \(f'\) bei \(x = 3\) einen Hochpunkt besitzt, hat \(f\) dort eine Wendestelle. 2. Vergleich von \(f(1)\) und \(f(3)\): Im Intervall \((1; 5)\) verläuft der Graph von \(f'\) oberhalb der x-Achse (\(f'(x) > 0\)). Das bedeutet, dass die Funktion \(f\) im Intervall \([1; 3]\) streng monoton steigt. Da \(3 > 1\) ist, muss folglich \(f(3) > f(1)\) gelten. 3. Tangentensteigung bei \(x = 0\): Die Steigung der Tangente an \(f\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion \(f'(0)\). Aus dem Graphen lässt sich an der Stelle \(x = 0\) der Funktionswert \(y = -2{,}5\) ablesen. Die Steigung beträgt also \(-2{,}5\).

a) \(f\) hat bei \(x = 3\) eine Wendestelle, da \(f'\) dort eine lokale Extremstelle (einen Hochpunkt) besitzt. b) Es gilt \(f(3) > f(1)\), da \(f'\) im Intervall \((1; 3)\) positiv ist und die Funktion \(f\) dort somit streng monoton steigt. c) Die Tangentensteigung an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(f'(0) = -2{,}5\).

- Welcher der beiden Graphen kann die Ableitung des anderen sein? - Waagerechte Tangenten von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\). - Das Vorzeichen von \(f''\) an einer stationären Stelle klassifiziert sie als lokale Maximal- oder Minimalstelle.

1. Der Graph \(g_1\) ist kubisch und \(g_2\) quadratisch. Zudem liegen die Nullstellen von \(g_2\) an den lokalen Extremstellen von \(g_1\). Daher gilt \(g_1=f'\) und \(g_2=f''\). 2. Waagerechte Tangenten von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\), also bei \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\). 3. Bei \(x=-3\) und \(x=3\) gilt \(f''>0\), also liegen dort lokale Minimalstellen vor. Bei \(x=0\) gilt \(f''<0\), also liegt dort eine lokale Maximalstelle vor.

a) \(g_1=f'\), \(g_2=f''\). b) Waagerechte Tangenten bei \(x=-3\), \(x=0\), \(x=3\); lokale Minimalstellen bei \(x=-3\) und \(x=3\), lokale Maximalstelle bei \(x=0\).

- Prüfe anhand von Form und Extremstellen, welcher Graph die Ableitung des anderen ist. - Linksgekrümmt bedeutet hier \(f''(x)>0\). - Bestimme dazu den Bereich, in dem der Graph von \(f''\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Der Graph \(g_1\) ist kubisch und \(g_2\) quadratisch. Die Nullstellen von \(g_2\) liegen an den Extremstellen von \(g_1\). Daher gilt \(g_1=f'\) und \(g_2=f''\). 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x)>0\). Die Nullstellen von \(g_2\) liegen bei \(x=\pm\sqrt3\approx\pm1{,}73\). Zwischen ihnen liegt \(g_2\) oberhalb der \(x\)-Achse. 3. Daher ist \(f\) für \(x\in(-\sqrt3;\sqrt3)\) linksgekrümmt.

a) \(g_1=f'\), \(g_2=f''\). b) \(x\in(-\sqrt3;\sqrt3)\), näherungsweise \((-1{,}73;1{,}73)\).

- Bestimme zuerst die Eigenschaften der Basisfunktion \(f\), wie zum Beispiel den Scheitelpunkt oder die Nullstellen. - Überlege dir, wie sich der Graph verändert, wenn man eine Zahl zum Funktionswert addiert oder zum Argument \(x\). - Erinnere dich daran, welchen Funktionstyp die Ableitung einer quadratischen Funktion hat. - Nutze markante Punkte wie den tiefsten Punkt (Scheitelpunkt), um die Verschiebungen zu verfolgen.

1. Identifikation der Basisfunktion \(f(x) = x^2 - 2x\): Dies ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=2\) sowie dem Scheitelpunkt bei \((1 \mid -1)\). Dies entspricht Graph II. 2. Identifikation der Ableitungsfunktion \(f'(x)\): Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist linear. \(f'(x) = 2x - 2\). Dies ist eine Gerade mit der Steigung 2 und dem y-Achsenabschnitt \(-2\). Dies entspricht Graph IV. 3. Identifikation der vertikalen Verschiebung \(g(x) = f(x) + 3\): Der Graph von \(f\) wird um 3 Einheiten nach oben verschoben. Der neue Scheitelpunkt liegt bei \((1 \mid -1 + 3) = (1 \mid 2)\). Dies entspricht Graph I. 4. Identifikation der horizontalen Verschiebung \(h(x) = f(x + 2)\): Der Graph von \(f\) wird um 2 Einheiten nach links verschoben. Der neue Scheitelpunkt liegt bei \((1 - 2 \mid -1) = (-1 \mid -1)\). Dies entspricht Graph III.

Graph I: \(g(x) = f(x) + 3\); Graph II: \(f(x)\); Graph III: \(h(x) = f(x + 2)\); Graph IV: \(f'(x)\).

- Übersetze das Vorzeichen von \(f'\) zunächst in zunehmendes oder abnehmendes Verhalten von \(f\). - Achte an den Nullstellen von \(f'\) darauf, ob und in welche Richtung das Vorzeichen wechselt. - Eine waagerechte Tangente folgt direkt aus einer Nullstelle der ersten Ableitung; die Punktart erfordert zusätzliche Information.

1. Aussage a) ist falsch. Im Inneren des Intervalls \((-2;0)\) liegt der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. 2. Aussage b) ist richtig. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Somit wechselt \(f\) von zunehmend zu abnehmend und besitzt dort eine lokale Maximalstelle. 3. Aussage c) ist falsch. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle und keine Terrassenstelle. 4. Aussage d) ist richtig. Aus \(f'(3)=0\) folgt, dass die Tangentensteigung an dieser Stelle null ist; die Tangente ist waagerecht.

a) Falsch; \(f\) ist dort streng monoton zunehmend. b) Richtig; bei \(x=0\) liegt eine lokale Maximalstelle vor. c) Falsch; bei \(x=3\) liegt eine lokale Minimalstelle vor. d) Richtig; \(f'(3)=0\) bedeutet eine waagerechte Tangente.

- Vergleiche die Extremstellen eines Graphen mit den Nullstellen des anderen. - Welche zwei Werte brauchst du bei \(x=0\) für die Tangente? - Nutze die Graphbezeichnungen \(a\) und \(b\), nicht ihre Farben.

1. Graph \(a\) stellt \(f\) dar, Graph \(b\) die Ableitungsfunktion \(f'\). Die Nullstellen von \(b\) liegen bei den Extremstellen von \(a\). 2. Bei \(x=0\) verläuft \(f\) durch den Ursprung, also ist der Berührpunkt \(P(0|0)\). Am Graphen \(b\) liest man \(f'(0)=2\) ab. 3. Die Tangente lautet daher \(y=2x\).

a) \(a\) ist \(f\), \(b\) ist \(f'\). b) \(y=2x\)

- Vergleiche die Grade der beiden dargestellten Graphen. - Welche Bedeutung haben die Nullstellen von \(f'\) für den Verlauf von \(f\)? - Achte beim Klassifizieren der Extremstellen auf den Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Welche besondere Stelle von \(f'\) weist auf eine Wendestelle von \(f\) hin?

1. Der blaue Graph ist kubisch, der rote eine Parabel. Beim Ableiten sinkt der Grad eines Polynoms um \(1\). Außerdem stimmen die Nullstellen des roten Graphen mit den Extremstellen des blauen Graphen überein. Daher gehört Blau zu \(f\) und Rot zu \(f'\). 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-1\) und \(x=2\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt dort eine lokale Maximalstelle. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt dort eine lokale Minimalstelle. 3. Der Scheitelpunkt von \(f'\) liegt bei \(x=0{,}5\). Dort wechselt die Monotonie von \(f'\), also liegt bei \(f\) eine Wendestelle. Am blauen Graphen liest man für die Ordinate näherungsweise \(0{,}4\) ab.

a) Blau gehört zu \(f\), Rot zu \(f'\). b) Lokale Maximalstelle bei \(x=-1\); lokale Minimalstelle bei \(x=2\). c) \(W\approx(0{,}5\mid0{,}4)\).

- Für Extremstellen untersuchst du Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Für die Krümmung betrachtest du, ob der Graph von \(f'\) zunimmt oder abnimmt. - Wendestellen von \(f\) hängen mit lokalen Extremstellen von \(f'\) zusammen.

1. Die Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel liegen bei \(x=-\sqrt{3}\approx-1{,}73\), \(x=0\) und \(x=\sqrt{3}\approx1{,}73\). Bei \(x=-\sqrt{3}\) und \(x=\sqrt{3}\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegen lokale Minimalstellen vor. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wo \(f'\) zunimmt. Im dargestellten Intervall gilt das für \(-2{,}5\le x<-1\) und \(1<x\le2{,}5\). 3. Wendestellen von \(f\) liegen dort, wo \(f'\) lokale Extremstellen besitzt. Diese liegen bei \(x=-1\) und \(x=1\).

1. Lokale Minimalstellen bei \(x=\pm\sqrt{3}\approx\pm1{,}73\); lokale Maximalstelle bei \(x=0\). 2. Im dargestellten Intervall linksgekrümmt für \(-2{,}5\le x<-1\) und \(1<x\le2{,}5\). 3. Wendestellen bei \(x=-1\) und \(x=1\).

- Welche besondere Eigenschaft hat die Ableitung an einer Stelle, an der die Originalfunktion einen Hoch- oder Tiefpunkt hat? - Betrachte die Steigung der Geraden \(g\). Wie müsste der Graph einer Funktion aussehen, die diese Steigung beschreibt? - Vergleiche die Nullstellen der einen Funktion mit den waagerechten Tangenten der anderen Funktion.

1. Überprüfung, ob \(g = f'\) gilt: Der Graph von \(f\) (Parabel) hat seinen Tiefpunkt (Extremstelle) bei \(x = 2\). Eine Ableitungsfunktion müsste dort eine Nullstelle haben. Da der Graph von \(g\) an der Stelle \(x = 2\) den Funktionswert \(g(2) = 0{,}5 \neq 0\) besitzt, kann \(g\) nicht die Ableitungsfunktion von \(f\) sein. 2. Überprüfung, ob \(f = g'\) gilt: Der Graph von \(g\) ist eine Gerade mit einer konstanten, negativen Steigung (hier \(m = -0{,}5\)). Die Ableitungsfunktion einer linearen Funktion ist immer eine konstante Funktion. Da der Graph von \(f\) eine Parabel und somit keine Parallele zur x-Achse ist, kann \(f\) nicht die Ableitungsfunktion von \(g\) sein.

\(g\) ist nicht die Ableitungsfunktion von \(f\), da \(f\) bei \(x = 2\) ein Minimum hat, \(g\) dort aber keine Nullstelle besitzt (\(g(2) = 0{,}5\)). \(f\) ist nicht die Ableitungsfunktion von \(g\), da \(g\) eine Gerade mit konstanter negativer Steigung ist, die Ableitungsfunktion also eine konstante negative Funktion sein müsste, während \(f\) eine Parabel ist.

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente eines Graphen mit Nullstellen des anderen. - Prüfe für beide möglichen Richtungen, ob das Vorzeichen des möglichen Ableitungsgraphen zum Steigen oder Fallen des anderen Graphen passt. - Für die Kontrolle bei \(x=0\) brauchst du eine lokale Steigung und den Funktionswert des anderen Graphen an derselben Stelle.

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=-2\) einen Hochpunkt und bei \(x=2\) einen Tiefpunkt. Dort sind die Tangenten waagerecht. Der Graph von \(g\) hat genau bei \(x=-2\) und \(x=2\) Nullstellen. 2. Zwischen \(x=-2\) und \(x=2\) fällt \(f\), und \(g\) ist dort negativ. Außerhalb steigt \(f\), und \(g\) ist dort positiv. Damit passen Nullstellen und Vorzeichen zu \(g=f'\). 3. Umgekehrt kann \(f\) nicht die Ableitung von \(g\) sein: Links von \(x=0\) fällt \(g\), also müsste eine Ableitung von \(g\) dort negativ sein. Der Graph von \(f\) liegt beispielsweise bei \(x=-1\) oberhalb der \(x\)-Achse und hat dort einen positiven Funktionswert. 4. Bei \(x=0\) beträgt die Steigung des Graphen von \(f\) näherungsweise \(-1{,}2\). Am Graphen von \(g\) liest man \(g(0)=-1{,}2\) ab. Die Werte stimmen überein.

a) \(g=f'\). Die Nullstellen von \(g\) bei \(x=-2\) und \(x=2\) passen zu den waagerechten Tangenten von \(f\); außerdem stimmen die Vorzeichen von \(g\) mit dem Steig- und Fallverhalten von \(f\) überein. Umgekehrt kann \(f\) nicht die Ableitung von \(g\) sein, weil \(g\) links von \(x=0\) fällt, \(f\) dort aber nicht durchgehend negativ ist. b) Bei \(x=0\) ist die Steigung von \(f\) näherungsweise \(-1{,}2\); zugleich gilt \(g(0)=-1{,}2\).

- Prüfe für jede Aussage, ob der Graph von \(f\) an den betreffenden Stellen steigt, fällt oder eine waagerechte Tangente besitzt. - Eine waagerechte Tangente liefert den Ableitungswert \(0\). - Vergleiche bei Aussage (3) nur die Vorzeichen der beiden Steigungen.

1. Aussage (1) ist falsch. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt der Graph von \(f\), daher gilt dort \(f'(x)<0\). 2. Aussage (2) ist wahr. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt der Graph waagerechte Tangenten. Daher gilt \(f'(-2)=f'(2)=0\). 3. Aussage (3) ist wahr. Bei \(x=0\) fällt der Graph, während er bei \(x=4\) steigt. Somit ist \(f'(0)<0<f'(4)\). 4. Aussage (4) ist wahr. Links von \(x=-2\) steigt der Graph von \(f\), deshalb gilt dort \(f'(x)>0\).

Wahr sind (2), (3) und (4). Aussage (1) ist falsch.

- Prüfe zuerst, wo der dargestellte Graph steigt, fällt oder waagerecht verläuft. - Vergleiche für (3) zwei negative Steigungen nach ihrer Steilheit. - Beziehe Aussagen nur auf den dargestellten Bereich.

1. (1) ist wahr. Im dargestellten Bereich fällt \(f\) für \(x<-1\) und \(x>1\); bei \(x=\pm1\) sind die Tangenten waagerecht. 2. (2) ist falsch. Bei \(x=0\) steigt \(f\), also ist \(f'(0)>0\). 3. (3) ist wahr. Bei \(x=2\) fällt der Graph steiler als bei \(x=3\); daher ist die negativere Steigung bei \(x=2\) kleiner. 4. (4) ist wahr. Bei \(x=1\) ist die Tangente waagerecht.

Richtig sind (1), (3) und (4). Aussage (2) ist falsch.

- Erinnere dich an die physikalische Bedeutung der Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit. - Wo im Graphen der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung Null? - Schau dir den Bereich von \(t = 2\) bis \(t = 6\) an. Wird das Fahrzeug dort schneller oder langsamer? Was bedeutet das für das Vorzeichen der Beschleunigung? - Vergleiche den Wert der Beschleunigung zum Zeitpunkt \(t = 0\) mit der Steigung des Geschwindigkeitsgraphen an dieser Stelle.

1. Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung: Die Beschleunigung \(a(t)\) entspricht der Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\). 2. Analyse der Extremstellen von \(v\): Die Geschwindigkeit \(v\) erreicht bei \(t = 2\) und \(t = 10\) ein Maximum und bei \(t = 6\) ein Minimum. An diesen Stellen ist die Steigung der Tangente gleich Null, weshalb die Beschleunigung \(a\) dort Nullstellen besitzen muss. 3. Überprüfung der Graphen auf Nullstellen: Graph (c) hat Nullstellen bei \(t = 0\), \(t = 4\), \(t = 8\) und \(t = 12\), was nicht zu den Extremstellen von \(v\) passt. Die Graphen (a) und (b) haben passende Nullstellen bei \(t = 2\), \(t = 6\) und \(t = 10\). 4. Analyse der Steigung (Vorzeichen von \(a\)): Zu Beginn (\(t = 0\)) steigt der Graph von \(v\) an, die Steigung ist also positiv. Folglich muss \(a(0) > 0\) gelten. Graph (a) startet bei einem positiven Wert (\(a(0) \approx 1{,}57\)), während Graph (b) bei einem negativen Wert startet. 5. Ergebnis: Nur Graph (a) erfüllt alle Bedingungen und stellt somit die Beschleunigung dar.

Graph (a) stellt die Beschleunigung dar. Begründung: Die Geschwindigkeit \(v\) hat Extremstellen bei \(t = 2\), \(t = 6\) und \(t = 10\). An diesen Stellen muss die Beschleunigung Nullstellen haben, was auf (a) und (b) zutrifft. Da \(v\) zu Beginn (\(t = 0\)) ansteigt, muss die Beschleunigung dort positiv sein. Dies ist nur bei Graph (a) der Fall.

- Bestimme zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe, welche angebotenen Terme dort Nullstellen besitzen. - Entscheide anschließend anhand eines Bereichs, in dem der Graph steigt, welches Vorzeichen die Ableitung haben muss.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Die gesuchte Ableitung muss dort Nullstellen besitzen. 2. A und B haben die passenden Nullstellen. C hat nur eine Nullstelle, D andere Nullstellen. 3. Zwischen \(-1\) und \(3\) steigt der Graph von \(f\). Daher muss \(f'\) dort positiv sein. 4. Für A gilt \(f'(0)=0{,}9>0\), für B dagegen \(f'(0)=-0{,}9<0\). Daher ist A der passende Term.

A) \(f'(x)=-0{,}3x^2+0{,}6x+0{,}9\).

- Berechne zunächst die Ableitungen \(f'(x)\) und \(g'(x)\). - Achte auf den Grad der resultierenden Funktionen: Die Ableitung einer Funktion 3. Grades ist quadratisch, die einer Funktion 4. Grades kubisch. - Nutze die Symmetrieeigenschaften: Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch, solche mit ungeraden Exponenten punktsymmetrisch. - Bestimme die Nullstellen der Ableitungen und vergleiche sie mit den Schnittpunkten auf der \(x\)-Achse in den Abbildungen.

1. Bestimmung der Ableitungen: Durch Anwendung der Potenzregel erhält man: \(f'(x) = x^2 - 1\) \(g'(x) = x^3 - 4x\) 2. Analyse von \(f'\): Die Funktion \(f'(x) = x^2 - 1\) ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete, achsensymmetrische Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid -1)\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 1\) und \(x = -1\). Diese Merkmale finden sich in Graph A. 3. Analyse von \(g'\): Die Funktion \(g'(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4)\) ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung und besitzt drei Nullstellen: bei \(x = 0\), \(x = 2\) und \(x = -2\). Diese Eigenschaften werden durch Graph B korrekt dargestellt.

Die Ableitungsfunktion \(f'\) wird durch Graph A dargestellt, die Ableitungsfunktion \(g'\) durch Graph B.

- Überlege dir, was der Wert der Ableitung an einer bestimmten Stelle über den Verlauf des Funktionsgraphen aussagt. - Welche besonderen Punkte des Graphen von \(f\) führen zu Nullstellen in der Ableitungsfunktion? - Achte auf die Monotonie: Wo steigt der Graph und wo fällt er? - Eine positive Ableitung bedeutet, dass der Graph der ursprünglichen Funktion steigt.

1. Wahr: Der Graph von \(f\) steigt an der Stelle \(x = -1\), somit ist die Ableitung dort positiv: \(f'(-1) > 0\). 2. Wahr: An der Stelle \(x = 0\) liegt ein lokales Maximum vor. Die Tangente ist dort waagerecht, also gilt \(f'(0) = 0\). 3. Falsch: Bei \(x = 0\) gilt \(f'(0) = 0\); für \(0 < x \le 1{,}5\) fällt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x) < 0\). Der Graph von \(f'\) liegt daher nicht im gesamten Intervall \([0; 1{,}5]\) oberhalb der \(x\)-Achse. 4. Wahr: Bei \(x \approx 1{,}73\) befindet sich ein lokaler Tiefpunkt von \(f\). Dort ist die Steigung null, also hat \(f'\) dort eine Nullstelle. 5. Falsch: An der Stelle \(x = 2\) steigt der Graph von \(f\), die Steigung ist also positiv (\(f'(2) > 0\)). 6. Wahr: Der Graph von \(f\) besitzt drei Punkte mit waagerechter Tangente (zwei lokale Tiefpunkte und ein lokales Maximum). Jede dieser Stellen entspricht einer Nullstelle der Ableitungsfunktion \(f'\).

(1) Wahr; (2) Wahr; (3) Falsch; (4) Wahr; (5) Falsch; (6) Wahr

- Zähle die Stellen mit waagerechter Tangente im Graphen von \(g\). Wie viele Nullstellen muss \(g'\) also haben? - Prüfe das Vorzeichen der Steigung: Wo geht es bergauf, wo bergab? - Vergleiche die Lage der Extrema von \(g\) exakt mit den Schnittpunkten der Kandidaten mit der \(x\)-Achse.

1. Analyse von \(g\): Der Graph der Funktion vierten Grades hat drei Extremstellen: zwei Tiefpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie einen Hochpunkt bei \(x = 0\). 2. Anforderungen an \(g'\): Die Ableitungsfunktion muss an den Stellen \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\) Nullstellen besitzen. 3. Ausschlussverfahren: - Graph (A) hat nur zwei Nullstellen (bei ca. \(\pm 1{,}4\)), passt also nicht. - Graph (C) hat zwar drei Nullstellen, aber sie liegen bei anderen Werten (ca. \(-1{,}7\), \(0\) und \(1{,}7\)) und der Verlauf (erst positiv, dann negativ) widerspricht dem Monotonieverhalten von \(g\) (zuerst fallend, also \(g' < 0\)). - Graph (B) hat Nullstellen bei \(-2\), \(0\) und \(2\). Für \(x < -2\) fällt \(g\), dort ist der Graph von (B) im negativen Bereich. Zwischen \(-2\) und \(0\) steigt \(g\), dort ist (B) positiv. Dies setzt sich konsistent fort. 4. Ergebnis: Graph (B) ist die Ableitungsfunktion \(g'\).

Der richtige Graph ist (B); (A) hat zu wenige Nullstellen, und (C) hat die Nullstellen an den falschen Stellen sowie das falsche Vorzeichenverhalten.

- Untersuche für die Monotonie das Vorzeichen von \(f'\) zwischen seinen Nullstellen. - Welcher Vorzeichenwechsel von \(f'\) gehört zu einer lokalen Maximalstelle von \(f\)? - Für die Krümmung von \(f\) ist entscheidend, ob \(f'\) zunimmt oder abnimmt. - Wendestellen von \(f\) erkennst du hier an Stellen, an denen \(f'\) seine Monotonierichtung wechselt.

1. Aussage 1 ist wahr. Auf dem offenen Intervall \((-3;0)\) liegt \(G_{f'}\) oberhalb der \(x\)-Achse, also gilt dort \(f'(x)>0\). An den Randpunkten ist \(f'=0\). Daher ist \(f\) auf \([-3;0]\) streng monoton zunehmend. 2. Aussage 2 ist falsch. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiven zu negativen Werten. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 3. Aussage 3 ist falsch. Rechtskrümmung von \(f\) entspricht abnehmenden Werten von \(f'\). Der Graph von \(f'\) nimmt im Intervall \([1;3]\) nicht durchgehend ab, sondern besitzt dort eine lokale Minimalstelle. 4. Aussage 4 ist wahr. Im dargestellten Bereich besitzt \(G_{f'}\) genau zwei lokale Extremstellen. An diesen Stellen wechselt die Monotonie von \(f'\), also ändert \(f\) jeweils seine Krümmungsrichtung.

1. Wahr 2. Falsch 3. Falsch 4. Wahr

- Nutze für a) und b) Vorzeichen und Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Für c) betrachtest du, ob der Graph von \(f'\) steigt oder fällt. - Für d) reicht das Monotonieverhalten zwischen \(x=-2\) und \(x=0\).

1. Im Inneren von \([-2;2]\) gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. Aussage a) ist wahr. 2. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Maximum und kein Minimum. Aussage b) ist falsch. 3. Für \(0<x<4\) fällt der Graph von \(f'\), also gilt \(f''(x)<0\). Daher ist der Graph von \(f\) dort rechtsgekrümmt. Aussage c) ist wahr. 4. Da \(f\) auf \([-2;2]\) streng steigt, gilt \(f(0)>f(-2)=0\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr. b) Falsch. c) Wahr. d) Falsch.

- Untersuche an jeder Nullstelle von \(f'\), ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt. - Eine Terrassenstelle benötigt neben \(f'(x)=0\) auch einen Krümmungswechsel der ursprünglichen Funktion. - Woran erkennst du am Graphen von \(f'\), dass sich die Monotonie von \(f'\) bei \(x=4\) ändert?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. 2. Bei \(x=-3\) wechselt \(f'\) von negativen zu positiven Werten. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle. 3. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiven zu negativen Werten. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 4. Bei \(x=4\) gilt \(f'(4)=0\), aber \(f'\) bleibt links und rechts davon negativ. Zugleich besitzt \(f'\) bei \(x=4\) ein lokales Maximum: Die Werte von \(f'\) nehmen davor zu und danach ab. Damit ändert \(f\) dort seine Krümmungsrichtung und hat eine waagerechte Tangente. Also liegt bei \(x=4\) eine Terrassenstelle vor.

a) Lokale Minimalstelle bei \(x=-3\); lokale Maximalstelle bei \(x=1\). b) Terrassenstelle bei \(x=4\).

- Eine Nullstelle von \(f'\) allein entscheidet noch nicht über eine Extremstelle. - Vergleiche das Vorzeichen von \(f'\) unmittelbar links und rechts der Nullstellen. - Für eine Terrassenstelle ist zusätzlich wichtig, ob \(f'\) dort seine Monotonierichtung wechselt.

1. Bei \(x=2\) gilt \(f'(2)=0\), aber \(f'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen. Daher besitzt \(f\) bei \(x=2\) keine Extremstelle. 2. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Deshalb besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 3. Bei \(x=2\) besitzt \(f'\) ein lokales Maximum mit dem Wert null. Damit gilt \(f'(2)=0\) ohne Vorzeichenwechsel, und zugleich wechselt die Monotonie von \(f'\) von zunehmend zu abnehmend. Deshalb ändert \(f\) dort seine Krümmungsrichtung. Bei \(x=2\) liegt eine Terrassenstelle vor.

a) Keine Extremstelle bei \(x=2\). b) Lokale Maximalstelle bei \(x=-1\). c) Terrassenstelle bei \(x=2\).

- Überlege, welche Information die Funktionswerte des dargestellten Ableitungsgraphen über die ursprüngliche Funktion liefern. - Untersuche an den Nullstellen von \(f'\), ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Für die Krümmung von \(f\) ist entscheidend, ob der Graph von \(f'\) zunimmt oder abnimmt. - Eine Tangentensteigung von \(f\) lässt sich direkt als Funktionswert von \(f'\) ablesen.

1. Für \(-2<x<1\) gilt \(f'(x)<0\), und an den Randstellen ist \(f'(x)=0\). Daher ist \(f\) auf \([-2;1]\) streng monoton abnehmend. Aussage a) ist wahr. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort eine lokale Maximalstelle, keine Minimalstelle. Aussage b) ist falsch. 3. Für \(0<x<3\) nimmt der dargestellte Graph von \(f'\) zu. Somit gilt \(f''(x)>0\), und der Graph von \(f\) ist dort linksgekrümmt. Aussage c) ist wahr. 4. Die Tangentensteigung bei \(x=-1\) ist \(f'(-1)\). Aus dem Graphen liest man \(f'(-1)=-1\) ab. Aussage d) ist wahr.

a) Wahr. b) Falsch; bei \(x=-2\) liegt eine lokale Maximalstelle. c) Wahr. d) Wahr.

- Für strenge Abnahme genügt es hier, das Vorzeichen von \(f'\) im Inneren des Intervalls zu untersuchen. - Prüfe an \(x=1\), in welche Richtung \(f'\) das Vorzeichen wechselt. - Für die Krümmung von \(f\) betrachtest du die Monotonie von \(f'\). - Welche Bedeutung haben lokale Extremstellen von \(f'\) für \(f\)?

1. Für \(1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\); nur an den Randstellen \(x=1\) und \(x=3\) ist \(f'(x)=0\). Daher ist \(f\) auf \([1;3]\) streng monoton abnehmend. Aussage a) ist wahr. 2. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Dies entspricht einem lokalen Maximum der Funktion \(f\). Aussage b) ist falsch. 3. Das Krümmungsverhalten wird durch die Monotonie von \(f'\) bestimmt. Da \(f'\) bei \(x\approx-0{,}8\) ein lokales Maximum besitzt, wechselt \(f'\) dort von zunehmend zu abnehmend. Damit wechselt der Graph von \(f\) von Links- zu Rechtskrümmung. Aussage c) ist falsch. 4. Wendestellen von \(f\) entsprechen hier den lokalen Extremstellen von \(f'\). Im dargestellten Bereich besitzt \(f'\) genau zwei lokale Extremstellen, bei etwa \(x=-0{,}8\) und \(x=2{,}1\). Aussage d) ist wahr.

a) Wahr. b) Falsch. c) Falsch. d) Wahr.

- Vergleiche den Grad der gesuchten Ableitungsfunktion mit der Form des dargestellten Graphen. - Untersuche die Nullstelle bei \(x=0\) genauer: Entscheidend ist nicht nur, dass der Wert null ist, sondern auch das Vorzeichen links und rechts davon. - Prüfe, welches Vorzeichen \(f'(x)\) für negative x-Werte haben muss.

1. Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)\). 2. Grad: Die Ableitung einer Funktion 4. Grades ist eine Funktion 3. Grades. Der Graph von \(g\) ist dagegen eine Parabel, also vom Grad 2. 3. Nullstelle und Vorzeichen: \(f'\) hat bei \(x=0\) wegen des Faktors \(x^2\) eine doppelte Nullstelle und wechselt dort nicht das Vorzeichen. Der Graph von \(g\) wechselt bei \(x=0\) dagegen das Vorzeichen. 4. Negative x-Werte: Für \(x<0\) gilt \(4x^2>0\) und \(x-3<0\), also \(f'(x)<0\). Der Graph von \(g\) nimmt für negative x-Werte dagegen positive Werte an.

Der Graph von \(g\) kann nicht der Graph von \(f'\) sein, weil 1. \(f'\) vom Grad 3 sein muss, \(g\) aber vom Grad 2 ist, 2. \(f'\) bei \(x=0\) eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat, \(g\) dort aber das Vorzeichen wechselt, 3. \(f'(x)<0\) für alle \(x<0\) gilt, während \(g\) dort auch positive Werte hat.

- Überlege dir, welche Eigenschaft die Ableitungsfunktion an einer Extremstelle der Originalfunktion haben muss. - Wie unterscheiden sich die Vorzeichenwechsel der Ableitung bei einem Maximum und einem Minimum? - Achte auf die Vorzeichenwechsel der Graphen an den markanten Stellen. - Was bedeutet es für den Graphen von \(f'\), wenn \(f\) in einem Bereich steigt oder fällt?

1. Zusammenhang von Extremstellen und Ableitung: An den Stellen \(x = -2\) und \(x = 2\) muss die Ableitungsfunktion \(f'\) Nullstellen besitzen. Da es sich um ein lokales Minimum beziehungsweise Maximum handelt, muss zudem ein Vorzeichenwechsel vorliegen. 2. Bei einem lokalen Minimum bei \(x = -2\) wechselt die Steigung von negativ nach positiv; bei einem lokalen Maximum bei \(x = 2\) wechselt sie von positiv nach negativ. 3. Graph C hat nur eine Nullstelle bei \(x = 0\) und scheidet daher aus. Graph B hat zwar Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\), zeigt dort aber die umgekehrten Vorzeichenwechsel. Graph A zeigt bei \(x = -2\) den Wechsel von Minus nach Plus und bei \(x = 2\) den Wechsel von Plus nach Minus. 4. Daher stellt Graph A die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Graph A stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar, weil er bei \(x = -2\) von Minus nach Plus und bei \(x = 2\) von Plus nach Minus wechselt; Graph B zeigt die umgekehrten Wechsel, und Graph C hat nur eine Nullstelle.

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente mit den Nullstellen der Kandidaten. - Prüfe links und rechts jeder solchen Stelle, ob die Kandidaten das zum Steigen oder Fallen passende Vorzeichen haben. - Nutze die Kombination aus Nullstellen und Vorzeichen, um Kandidaten auszuschließen.

1. Der Graph von \(f\) hat bei \(x=2\) eine waagerechte Tangente. Daher muss \(f'\) bei \(x=2\) eine Nullstelle haben. Links davon fällt \(f\), rechts davon steigt \(f\); die Ableitung muss also von negativen zu positiven Werten wechseln. Das erfüllt nur Graph (1). 2. Der Graph von \(g\) hat bei \(x\approx-1{,}2\) einen Hochpunkt und bei \(x\approx3{,}2\) einen Tiefpunkt. Die Ableitung muss dort Nullstellen haben. Zwischen diesen Stellen fällt \(g\), außerhalb steigt \(g\). Graph (2) besitzt die passenden Nullstellen und Vorzeichen.

Der Graph (1) gehört zur Ableitungsfunktion \(f'\) und der Graph (2) gehört zur Ableitungsfunktion \(g'\).

- Nutze die physikalischen Beziehungen \(s'(t)=v(t)\) und \(v'(t)=a(t)\). - Vergleiche Extremstellen eines Graphen mit Nullstellen eines möglichen Ableitungsgraphen. - Kontrolliere die Zuordnung zusätzlich über Vorzeichen: Wo ein Graph steigt, muss sein Ableitungsgraph positiv sein; wo er fällt, negativ.

1. Zusammenhang zwischen Position \(s\), Geschwindigkeit \(v\) und Beschleunigung \(a\): Es gilt \(s'(t) = v(t)\) und \(v'(t) = a(t)\). 2. Analyse von Graph \(h\) (blau) und \(g\) (grün): Graph \(h\) besitzt ein lokales Maximum bei \(t = 2\) und ein lokales Minimum bei \(t = 6\). An genau diesen Stellen hat Graph \(g\) seine Nullstellen. Da die Nullstellen der Ableitung den Extremstellen der Funktion entsprechen, ist \(g\) die Ableitung von \(h\). Somit ist \(h\) die Position \(s(t)\) und \(g\) die Geschwindigkeit \(v(t)\). 3. Analyse von Graph \(g\) (grün) und \(f\) (rot): Graph \(g\) hat ein lokales Minimum bei \(t = 4\). An dieser Stelle hat der lineare Graph \(f\) seine Nullstelle. Da die Nullstelle der Ableitung der Extremstelle der Funktion entspricht, ist \(f\) die Ableitung von \(g\). Somit ist \(f\) die Beschleunigung \(a(t)\). 4. Ergebnis: \(h = s(t)\), \(g = v(t)\), \(f = a(t)\).

Der Graph \(h\) (blau) stellt die Position \(s(t)\) dar, der Graph \(g\) (grün) die Geschwindigkeit \(v(t)\) und der Graph \(f\) (rot) die Beschleunigung \(a(t)\). Die Extremstellen von \(h\) bei \(t = 2\) und \(t = 6\) stimmen mit den Nullstellen von \(g\) überein, und die Extremstelle von \(g\) bei \(t = 4\) stimmt mit der Nullstelle von \(f\) überein.

- Für Extremstellen von \(f\) sind Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f'\) entscheidend. - Für Wendestellen von \(f\) untersuche, wo sich die Monotonie von \(f'\) ändert. - Der Wert von \(f''\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\).

1. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. Aussage (1) ist wahr. 2. Für \(0<x<3\) gilt \(f'(x)<0\), an den Randstellen gilt \(f'(x)=0\). Daher ist \(f\) auf \([0;3]\) streng monoton abnehmend. Aussage (2) ist wahr. 3. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x=-\sqrt{3}\) und \(x=\sqrt{3}\) lokale Extremstellen. An beiden Stellen wechselt die Monotonie von \(f'\). Daher besitzt \(f\) im dargestellten Bereich zwei Wendestellen. Aussage (3) ist wahr. 4. \(f''(2)\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\) bei \(x=2\). Dort nimmt \(f'\) zu, also gilt \(f''(2)>0\). Aussage (4) ist wahr. 5. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle, keine Maximalstelle. Aussage (5) ist falsch.

(1) wahr (2) wahr (3) wahr (4) wahr (5) falsch

- Lies zuerst die Schnittpunkte des Ableitungsgraphen mit der x-Achse ab und vergleiche die Vorzeichen auf beiden Seiten. - Übersetze den gegebenen Steigungswinkel in den gesuchten Wert von \(f'\). - Die beiden Nullstellen liefern eine geeignete faktorisierten Form der Parabel; der markierte Punkt bestimmt den noch fehlenden Faktor.

1. Die Nullstellen des dargestellten Graphen liegen bei \(x=1\) und \(x=5\). Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, bei \(x=5\) von positiv zu negativ. 2. Ein Steigungswinkel von \(45^\circ\) entspricht der Steigung \(m=\tan(45^\circ)=1\). Aus dem Graphen liest man \(f'(x)=1\) bei \(x=2\) und \(x=4\) ab. 3. Wegen der Nullstellen gilt \(f'(x)=a(x-1)(x-5)\). Mit \(P(2\mid1)\) folgt \(1=a(2-1)(2-5)=-3a\), also \(a=-\frac{1}{3}\). 4. Damit ist \(f'(x)=-\frac{1}{3}(x-1)(x-5)=-\frac{1}{3}x^2+2x-\frac{5}{3}\). Somit sind \(a=-\frac{1}{3}\), \(b=2\) und \(c=-\frac{5}{3}\).

a) Nullstellen: \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv; \(x=5\) mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. b) Bei \(x=2\) und \(x=4\). c) \(a=-\frac{1}{3}\), \(b=2\), \(c=-\frac{5}{3}\).

- Lies zuerst nur das Vorzeichen von \(f'\) zwischen seinen Nullstellen. - Achte an jeder Nullstelle darauf, in welche Richtung das Vorzeichen wechselt. - Für die Steilheit an einer bestimmten Stelle brauchst du den dortigen Funktionswert von \(f'\).

1. Im dargestellten Bereich ist \(f'\) für \(-3<x<-1\) positiv, für \(-1<x<1\) negativ und für \(1<x<3\) positiv. Daher steigt \(f\), fällt dann und steigt anschließend wieder. 2. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) gilt \(f'(x)=0\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ: \(f\) steigt davor und fällt danach. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv: \(f\) fällt davor und steigt danach. 3. Aus dem Graphen liest man \(f'(-2)=3\), \(f'(0)=-1\) und \(f'(2)=3\). Somit steigt \(f\) bei \(x=\pm2\) gleich steil, während es bei \(x=0\) mit der Steigung \(-1\) fällt.

a) Im dargestellten Bereich steigt \(f\) für \(-3<x<-1\), fällt für \(-1<x<1\) und steigt für \(1<x<3\). b) Waagerechte Tangenten bei \(x=-1\) und \(x=1\); bei \(x=-1\) wechselt der Graph von steigend zu fallend, bei \(x=1\) von fallend zu steigend. c) \(f'(-2)=3\), \(f'(0)=-1\), \(f'(2)=3\); bei \(x=-2\) und \(x=2\) ist die lokale Steilheit gleich groß.

- Passt die Nullstelle von \(g\) zur waagrechten Tangente von \(f\)? - Wo nimmt \(g=f'\) zu beziehungsweise ab? - Welche Stellen von \(g\) entsprechen Nullstellen von \(f''=g'\)?

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=0\) eine waagrechte Tangente und dort eine lokale Maximalstelle. Der Graph von \(g\) hat bei \(x=0\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Zudem stimmen die Vorzeichen von \(g\) mit dem Zu- und Abnehmen von \(f\) überein. Daher gilt \(g=f'\). 2. Rechtskrümmung von \(f\) liegt dort vor, wo \(f''<0\). Da \(f''=g'\), ist dies genau dort der Fall, wo \(g\) abnimmt. Aus dem Graphen liest man ungefähr \(-0{,}6<x<0{,}6\) ab. 3. Die Nullstellen von \(f''\) liegen an den lokalen Extremstellen von \(g\), ungefähr bei \(x=-0{,}6\) und \(x=0{,}6\). Für \(x<-0{,}6\) und \(x>0{,}6\) nimmt \(g\) zu, also ist \(f''>0\). Für \(-0{,}6<x<0{,}6\) nimmt \(g\) ab, also ist \(f''<0\).

a) \(g=f'\). b) Näherungsweise rechtsgekrümmt auf \((-0{,}6;0{,}6)\). c) Nullstellen von \(f''\) ungefähr bei \(x=-0{,}6\) und \(x=0{,}6\); \(f''>0\) außerhalb und \(f''<0\) zwischen diesen Stellen.

- Vergleiche zuerst die Nullstelle von \(f'\) mit den Stellen waagerechter Tangenten der drei Kandidaten. - Prüfe anschließend die Richtung des Steigens und Fallens links und rechts davon. - Frage dich, was passiert, wenn man einen ganzen Funktionsgraphen nur senkrecht verschiebt: Ändern sich dadurch seine Tangentensteigungen?

1. Der Graph von \(f'\) hat bei \(x=0\) eine Nullstelle, ist links negativ und rechts positiv. Ein zugehöriger Graph von \(f\) muss daher bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente besitzen, links fallen und rechts steigen. Das erfüllen sowohl \(p\) als auch \(q\). 2. Die Graphen \(p\) und \(q\) haben überall dieselben Tangentensteigungen und unterscheiden sich nur durch eine Verschiebung nach oben oder unten. Der Graph \(r\) hat seine waagerechte Tangente nicht bei \(x=0\) und passt deshalb nicht. 3. Aus \(f'\) allein folgt nicht die vertikale Lage von \(f\), also insbesondere kein einzelner Funktionswert von \(f\). 4. Mit der Zusatzinformation \(f(0)=4\) bleibt nur Graph \(p\), denn er geht bei \(x=0\) durch die Höhe \(4\).

a) \(p\) und \(q\) sind möglich; \(r\) nicht. b) \(f'\) legt die Tangentensteigungen, aber nicht die vertikale Lage beziehungsweise einen absoluten Funktionswert von \(f\) fest. c) Mit \(f(0)=4\) ist \(p\) der passende Graph.