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- Überlege zuerst, welcher Graph welche Information liefert: Wo liest du Funktionswerte ab und wo Steigungen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion. - Bei Teilaufgabe c) suchst du einen \(x\)-Wert zu einem gegebenen \(y\)-Wert auf dem Graphen von \(f\). - Bei Teilaufgabe d) ist nach Stellen mit einer bestimmten Steigung gefragt. Welchen Funktionswert muss die Ableitungsfunktion \(f'\) an diesen Stellen annehmen?

1. Bestimmung des Funktionswerts \(f(2)\) durch direktes Ablesen am Graphen von \(f\) (Fig. 1): Bei \(x = 2\) ergibt sich \(y = -1\), also \(f(2) = -1\). 2. Bestimmung der Steigung des Graphen von \(f\) an der Stelle \(x = -1\) durch Ablesen des Werts der Ableitungsfunktion \(f'(-1)\) am Graphen von \(f'\) (Fig. 2): Bei \(x = -1\) ergibt sich \(y = -1{,}5\), also ist die Steigung \(-1{,}5\). 3. Bestimmung einer Stelle \(a\) mit \(f(a) = 1\) durch Suche nach Punkten auf dem Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Koordinate \(1\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0|1)\), somit ist \(a = 0\) eine Lösung (weitere Lösungen liegen näherungsweise bei \(\pm 2{,}45\)). 4. Bestimmung aller Stellen \(b\) mit der Steigung \(3\) auf dem Graphen von \(f\) durch Suche nach Stellen, an denen \(f'(b) = 3\) gilt: Ablesen der \(x\)-Werte für \(y = 3\) auf dem Graphen von \(f'\) liefert \(b_1 = -2\) und \(b_2 = 2\).

a) \(f(2) = -1\) b) Die Steigung ist \(-1{,}5\) c) \(a = 0\) d) \(b_1 = -2\) und \(b_2 = 2\)

- Welche Bedeutung hat der Funktionswert der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) für den Graphen der Originalfunktion \(f\)? - Wann besitzt eine Funktion eine waagerechte Tangente? Welchen Wert muss die Ableitung an diesen Stellen haben? - Wie hängt das Monotonieverhalten einer Funktion \(f\) vom Vorzeichen ihrer Ableitung \(f'\) ab? - Was passiert mit dem Graphen der Originalfunktion, wenn die Ableitung von positiven zu negativen Werten wechselt?

1. Bestimmung der Stellen mit waagerechter Tangente: Eine waagerechte Tangente liegt an den Stellen vor, an denen die Steigung der Funktion null ist, also \(f'(x) = 0\) gilt. Aus dem Graphen lassen sich die Nullstellen der Ableitung ablesen: \(x = -3\), \(x = 0\) und \(x = 3\). 2. Charakterisierung des Extrempunkts bei \(x = 0\): Da \(f'(0) = 0\) gilt, liegt ein Kandidat für eine Extremstelle vor. Für \(x < 0\) (nahe \(0\)) ist \(f'(x) > 0\) (der Graph von \(f'\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse, d. h. \(f\) steigt) und für \(x > 0\) (nahe \(0\)) ist \(f'(x) < 0\) (der Graph von \(f'\) verläuft unterhalb der \(x\)-Achse, d. h. \(f\) fällt). Aufgrund dieses Vorzeichenwechsels von Plus nach Minus hat der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 0\) einen lokalen Hochpunkt. 3. Begründung des Monotonieverhaltens im Intervall \([0; 3]\): Im Intervall \([0; 3]\) verläuft der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) unterhalb bzw. auf der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) \le 0\). Da die Ableitung im Inneren des Intervalls streng negativ ist (\(f'(x) < 0\) für \(x \in (0; 3)\)), ist die Originalfunktion \(f\) in diesem Intervall streng monoton fallend.

a) Der Graph von \(f\) besitzt an den Stellen \(x = -3\), \(x = 0\) und \(x = 3\) eine waagerechte Tangente. b) Bei \(x = 0\) liegt ein lokaler Hochpunkt vor, da dort \(f'(0) = 0\) gilt und die Ableitung \(f'\) an dieser Stelle das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt (der Graph verläuft von oberhalb nach unterhalb der \(x\)-Achse). c) Im Intervall \([0; 3]\) gilt \(f'(x) \le 0\) (der Graph von \(f'\) liegt unterhalb bzw. auf der \(x\)-Achse). Da die Steigung in diesem Bereich fast überall negativ und nirgends positiv ist, fällt der Graph von \(f\) dort streng monoton.

- Wie hängen die Steigung einer Funktion und der Wert ihrer Ableitungsfunktion zusammen? - An welchen Stellen hat eine Funktion eine waagerechte Tangente (Steigung 0) und was bedeutet das für die Ableitung? - In welchen Bereichen steigt oder fällt die Funktion und welches Vorzeichen hat die Ableitung dort? - Nutze die x-Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte der Kurven, um die Nullstellen der Ableitung zu finden.

1. Charakteristische Punkte von \(f_1\) analysieren: Der Graph von \(f_1\) besitzt einen lokalen Hochpunkt bei \(x \approx -1{,}83\) und einen lokalen Tiefpunkt bei \(x \approx 1{,}83\). 2. Zusammenhang zur Ableitung herstellen: An den lokalen Extremstellen von \(f_1\) muss die zugehörige Ableitungsfunktion Nullstellen besitzen. Dies ist sowohl bei \(A\) als auch bei \(B\) an den Stellen \(x \approx \pm 1{,}83\) der Fall. 3. Monotonieverhalten prüfen: Zwischen den Extremstellen fällt der Graph von \(f_1\). Daher muss die Ableitungsfunktion im Intervall \((-1{,}83; 1{,}83)\) negativ sein. 4. Zuordnung treffen: Der Graph \(A\) verläuft in diesem Intervall unterhalb der \(x\)-Achse, der Graph \(B\) oberhalb. Folglich gehört \(A\) zu \(f_1\) und \(B\) zu \(f_2\). 5. Im dargestellten Bereich ist \(f_1\) auf \([-3{,}5; -1{,}83]\) und \([1{,}83; 3{,}5]\) streng monoton wachsend. Auf \([-1{,}83; 1{,}83]\) ist \(f_1\) streng monoton fallend.

a) \(f_1 \rightarrow A\) und \(f_2 \rightarrow B\). Zwischen den beiden Extremstellen von \(f_1\) ist die Steigung negativ; dies trifft auf den Graphen \(A\) zu. b) Im dargestellten Bereich: - streng monoton wachsend auf \([-3{,}5; -1{,}83]\) und \([1{,}83; 3{,}5]\), - streng monoton fallend auf \([-1{,}83; 1{,}83]\).

- Überlege zuerst, wie sich der Grad einer ganzrationalen Funktion beim Ableiten verändert. - Welche Steigung hat eine Funktion an ihren lokalen Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkte)? Was bedeutet das für den Wert der Ableitungsfunktion an diesen Stellen? - Betrachte die Intervalle, in denen die Funktionen steigen oder fallen. Welches Vorzeichen muss die Ableitung in diesen Bereichen haben?

1. Zuordnung für \(f\): - Der Graph der Funktion \(f\) gehört zur Ableitungsfunktion \(A\). - Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x = -1\) einen lokalen Hochpunkt und bei \(x = 3\) einen lokalen Tiefpunkt. Graph \(A\) hat genau dort seine Nullstellen. - Im Intervall \((-1; 3)\) fällt \(f\), daher muss \(A\) dort unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen. Außerhalb dieses Intervalls steigt \(f\), und \(A\) ist positiv. 2. Zuordnung für \(g\): - Der Graph der Funktion \(g\) gehört zur Ableitungsfunktion \(B\). - Die quadratische Funktion \(g\) hat bei \(x = 2\) einen Hochpunkt; Graph \(B\) hat dort seine Nullstelle. - Für \(x < 2\) steigt \(g\), also ist \(B\) positiv. Für \(x > 2\) fällt \(g\), also ist \(B\) negativ.

a) \(f \rightarrow A\) und \(g \rightarrow B\). b) \(f\) hat bei \(x = -1\) einen Hochpunkt und bei \(x = 3\) einen Tiefpunkt; diese Stellen sind die Nullstellen von \(A\). Zwischen ihnen fällt \(f\), daher ist \(A\) dort negativ. Der Graph von \(g\) hat bei \(x = 2\) einen Hochpunkt; dort hat \(B\) seine Nullstelle. Links davon ist \(B\) positiv, rechts davon negativ.

- Erinnere dich daran, welche Bedeutung die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle für die Tangente des Graphen hat. - Wo kannst du den Wert der Ableitungsfunktion direkt aus der Zeichnung ablesen? - Was bedeutet es grafisch, wenn der Funktionswert einer Funktion mit dem Wert ihrer Ableitung übereinstimmt? - Suche nach den Punkten, an denen sich die beiden Graphen schneiden.

1. **Teilaufgabe a):** Die Steigung der Tangente an den Graphen \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle, also \(f'(0)\). Aus dem Graphen \(G_{f'}\) (oder durch Einsetzen in \(f'(x)\)) liest man für \(x = 0\) den Wert \(-1\) ab. Die richtige Antwort ist somit \(-1\). 2. **Teilaufgabe b):** Die Übereinstimmung von Funktionswert und Ableitungswert bedeutet \(f(x) = f'(x)\). Dies entspricht den Schnittpunkten der beiden Graphen \(G_f\) und \(G_{f'}\). In der Abbildung sind zwei Schnittpunkte erkennbar: - Der erste Schnittpunkt liegt bei \((1 \mid 0)\), also an der Stelle \(x = 1\). - Der zweite Schnittpunkt liegt bei \((3 \mid 2)\), also an der Stelle \(x = 3\). Die gesuchten Stellen sind somit \(x = 1\) und \(x = 3\).

a) \(-1\) b) \(x = 1\) und \(x = 3\)

- Welche Eigenschaft muss die Ableitungsfunktion an einer Stelle haben, an der die ursprüngliche Funktion einen Hoch- oder Tiefpunkt besitzt? - Betrachte den Scheitelpunkt der blauen Kurve. Welchen Wert müsste die grüne Kurve an dieser x-Stelle haben, wenn sie die Ableitung wäre? - Vergleiche den x-Wert des Extrempunkts von \(f\) mit dem x-Wert der Nullstelle von \(g\).

1. Identifikation der Extremstellen von \(f\): Der Graph der Funktion \(f\) (Parabel) hat seinen tiefsten Punkt (Tiefpunkt) an der Stelle \(x = 0\). 2. Zusammenhang zur Ableitungsfunktion: Wenn \(g\) die Ableitungsfunktion von \(f\) wäre (\(g = f'\)), müsste \(g\) an jeder Extremstelle von \(f\) eine Nullstelle besitzen. Es müsste also gelten: \(g(0) = 0\). 3. Überprüfung am Graphen von \(g\): Der Graph der Funktion \(g\) schneidet die y-Achse bei \(y = 1\), es gilt also \(g(0) = 1\). 4. Schlussfolgerung: Da \(g(0) \neq 0\) ist, kann \(g\) nicht die Ableitungsfunktion von \(f\) sein.

Die Funktion \(f\) hat bei \(x = 0\) eine Extremstelle (Tiefpunkt). Wäre \(g\) die Ableitungsfunktion von \(f\), müsste \(g\) an dieser Stelle eine Nullstelle haben (\(g(0) = 0\)). Aus dem Graphen ist jedoch ersichtlich, dass \(g(0) = 1\) gilt. Daher kann \(g\) nicht die Ableitungsfunktion von \(f\) sein.

- Was sagt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion über das Steigungsverhalten (Monotonie) der ursprünglichen Funktion aus? - Schau dir den Bereich rechts von der y-Achse an. Fällt oder steigt die blaue Kurve dort? - Welches Vorzeichen müsste eine Ableitungsfunktion in einem Bereich haben, in dem die Ausgangsfunktion fällt?

1. Analyse des Monotonieverhaltens von \(g\): Für \(x > 0\) fällt der Graph der Funktion \(g\) (Parabel nach unten geöffnet). Die Funktion \(g\) ist in diesem Intervall also streng monoton fallend. 2. Zusammenhang zur Ableitungsfunktion: Wenn \(f\) die Ableitungsfunktion von \(g\) wäre (\(f = g'\)), müssten die Funktionswerte von \(f\) überall dort negativ sein (\(f(x) < 0\)), wo \(g\) fällt. 3. Überprüfung am Graphen von \(f\): Im Intervall \((0; 4]\) verläuft der Graph von \(f\) jedoch oberhalb der x-Achse, die Funktionswerte sind dort also positiv (\(f(x) > 0\)). 4. Schlussfolgerung: Da das Vorzeichen von \(f\) nicht zum Monotonieverhalten von \(g\) passt, kann \(f\) nicht die Ableitungsfunktion von \(g\) sein.

Für \(x > 0\) ist die Funktion \(g\) streng monoton fallend. Wäre \(f\) die Ableitungsfunktion von \(g\), müsste \(f\) in diesem Bereich negative Werte annehmen. Da der Graph von \(f\) für \(x > 0\) jedoch oberhalb der x-Achse verläuft (\(f(x) > 0\)), kann \(f\) nicht die Ableitungsfunktion von \(g\) sein.

- Wo liegen die Hoch- oder Tiefpunkte der einen Funktion? Schau nach, was die andere Funktion an diesen Stellen macht. - Achte darauf, in welchen Bereichen eine Kurve steigt oder fällt. Welches Vorzeichen müssen die Werte der Ableitungsfunktion dort haben? - Überlege dir, welchen Grad die Funktionen jeweils haben könnten (z. B. Parabel vs. Gerade).

1. Analyse der Extrema: Der blaue Graph hat bei \(x = 0\) ein lokales Maximum. An dieser Stelle hat der grüne Graph eine Nullstelle. Dies passt zur notwendigen Bedingung für Extrema (\(f'(x) = 0\)). 2. Analyse des Monotonieverhaltens: Für \(x > 0\) fällt der blaue Graph (negative Steigung). In diesem Bereich verläuft der grüne Graph unterhalb der \(x\)-Achse (negative Werte). Auch dies bestätigt den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung. 3. Ergebnis: Der blaue Graph gehört zu \(f\) und der grüne Graph zu \(f'\).

Der blaue Graph stellt die Funktion \(f\) dar, der grüne Graph die Ableitung \(f'\). Begründung: Das Maximum von \(f\) bei \(x = 0\) entspricht der Nullstelle von \(f'\). Zudem ist \(f\) für \(x > 0\) streng monoton fallend, was zu den negativen Werten von \(f'\) in diesem Bereich passt.

- Überlege dir, wo die Steigung der ursprünglichen Funktion null ist. Was bedeutet das für den Wert des Ableitungsgraphen an dieser Stelle? - Achte auf die Bereiche, in denen die Funktion steigt oder fällt. Welches Vorzeichen muss die Ableitung dort haben? - Wenn eine Funktion einen Sattelpunkt hat, welchen speziellen Punkt muss die Ableitungsfunktion dann an dieser Stelle aufweisen? - Betrachte das Krümmungsverhalten: Eine Linkskrümmung bedeutet eine zunehmende Steigung.

1. Graph A ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung. Die Ableitung ist eine steigende Ursprungsgerade; daher gehört A zu 3. 2. Graph B ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt \((0 \mid 3)\). Die Ableitung ist eine fallende Ursprungsgerade; daher gehört B zu 2. 3. Graph C ist eine kubische Funktion mit einem Sattelpunkt im Ursprung. Ihre Steigung ist stets nichtnegativ und im Ursprung null. Die Ableitung ist daher eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung; C gehört zu 1. Zusammenfassend: A \(\to\) 3, B \(\to\) 2, C \(\to\) 1.

Die korrekte Zuordnung lautet: A \(\to\) 3 B \(\to\) 2 C \(\to\) 1

- Überlege dir, was die Nullstellen der Ableitungsfunktion über die Extremstellen der ursprünglichen Funktion aussagen. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion und dem Steigungsverhalten (Monotonie) der Funktion? - Betrachte die Form der Graphen: Welchen Grad könnte die Funktion haben und welchen Grad müsste dann ihre Ableitung haben?

1. Zuordnung: Zu \(f_1\) gehört der Graph \(g_1\). Zu \(f_2\) gehört der Graph \(g_2\). 2. Begründung für \(f_1\): Der Graph von \(f_1\) besitzt bei \(x = -2\) einen Hochpunkt und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt. An diesen Stellen muss die Ableitungsfunktion Nullstellen besitzen. Dies trifft auf \(g_1\) zu. Zudem fällt \(f_1\) im Bereich zwischen den Extremstellen (negative Steigung), was dazu passt, dass \(g_1\) in diesem Bereich unterhalb der x-Achse verläuft (\(g_1(x) < 0\)). 3. Monotonie: Eine Funktion ist dort streng monoton fallend, wo ihre Ableitung negativ ist. Aus dem Graphen von \(f_1\) (bzw. \(g_1\)) ergibt sich das Intervall \([-2; 2]\).

1. \(f_1 \rightarrow g_1\); \(f_2 \rightarrow g_2\). 2. \(f_1\) hat lokale Extrema bei \(x = \pm 2\), wo \(g_1\) Nullstellen hat. Zwischen \(x = -2\) und \(x = 2\) fällt der Graph von \(f_1\), dort ist \(g_1\) negativ. 3. \(f_1\) ist im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton fallend.

- Bestimme zuerst die Ableitungsfunktionen \(f'(x)\) und \(g'(x)\) mithilfe der bekannten Ableitungsregeln. - Überlege dir, welche Form der Graph einer linearen Funktion im Vergleich zu einer trigonometrischen Funktion hat. - Untersuche bei der Geraden den \(y\)-Achsenabschnitt und die Steigung, um Verwechslungen auszuschließen. - Bei der trigonometrischen Funktion hilft es, den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) und den Verlauf unmittelbar danach zu betrachten.

1. Berechnung der Ableitungsfunktionen: Nach der Potenz- und Summenregel ergibt sich für \(f(x) = x^2 - 3x\) die Ableitung \(f'(x) = 2x - 3\). Unter Verwendung der Ableitungsregel für die Kosinusfunktion (\(\cos'(x) = -\sin(x)\)) und der Faktorregel folgt für \(g(x) = 2\cos(x)\) die Ableitungsfunktion \(g'(x) = -2\sin(x)\). 2. Zuordnung von \(f'\): Die Funktion \(f'(x) = 2x - 3\) ist eine lineare Funktion. Ihr Graph ist eine Gerade mit der Steigung \(m = 2\) und dem \(y\)-Achsenabschnitt bei \(-3\). Zudem schneidet sie die \(x\)-Achse bei \(x = 1{,}5\). Diese Eigenschaften treffen exakt auf **Graph (1)** zu. 3. Zuordnung von \(g'\): Die Funktion \(g'(x) = -2\sin(x)\) beschreibt eine trigonometrische Funktion. Es handelt sich um eine Sinuskurve mit der Amplitude \(2\). Da das Vorzeichen negativ ist, ist die Kurve an der \(x\)-Achse gespiegelt; sie verläuft also vom Ursprung aus zunächst im negativen Bereich. Dies entspricht **Graph (2)**.

Der Graph (1) stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar, und der Graph (2) stellt die Ableitungsfunktion \(g'\) dar.

- Überlege dir, was ein Hoch- oder Tiefpunkt im Graphen der Funktion für die Nullstellen der Ableitungsfunktion bedeutet. - Achte auf die Bereiche, in denen der Funktionsgraph steigt oder fällt. Was sagt das über das Vorzeichen der Ableitung aus? - Betrachte den Grad der Funktionen: Wenn eine Funktion eine Parabel (Grad 2) ist, welchen Grad hat dann ihre Ableitung?

1. Zuordnung für Graph (1): Der Graph zeigt eine nach unten geöffnete Parabel mit einem Hochpunkt bei \(x = 2\). Die Ableitungsfunktion muss daher an der Stelle \(x = 2\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus haben. Dies trifft auf die Gerade in Graph (B) zu. Somit gehört (1) zu (B). 2. Zuordnung für Graph (2): Der Graph zeigt eine kubische Funktion mit einem Hochpunkt bei \(x = -2\) und einem Tiefpunkt bei \(x = 2\). Die Ableitungsfunktion muss an diesen Stellen Nullstellen haben und dazwischen negativ sein (da der Graph fällt). Dies entspricht der Parabel in Graph (A). Somit gehört (2) zu (A).

a) (1) gehört zu (B); (2) gehört zu (A). b) Begründung: Der Hochpunkt von (1) bei \(x = 2\) entspricht der Nullstelle von (B) bei \(x = 2\). Die Extremstellen von (2) bei \(x = -2\) und \(x = 2\) entsprechen den Nullstellen der Parabel (A).

- Überlege dir zuerst, welchen Grad die Ableitungsfunktion einer Funktion vierten Grades haben muss. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Extremstellen einer Funktion und den Nullstellen ihrer Ableitung. - Wie verhält sich die Symmetrie einer Funktion beim Ableiten? - Prüfe das Verhalten der Funktion \(f\) für sehr große \(x\)-Werte und vergleiche es mit dem Graphen.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 4x^3 - 4x\). 2. Argument 1 (Grad der Funktion): Da \(f\) eine Funktion 4. Grades ist, muss die Ableitungsfunktion \(f'\) eine Funktion 3. Grades sein. Der dargestellte Graph von \(g\) beschreibt jedoch eine Parabel, also eine Funktion 2. Grades. 3. Argument 2 (Symmetrie): Die Funktion \(f\) ist eine gerade Funktion (nur gerade Exponenten). Die Ableitungsfunktion \(f'\) einer geraden Funktion muss eine ungerade Funktion sein (punktsymmetrisch zum Ursprung). Der Graph von \(g\) ist jedoch achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (eine gerade Funktion). 4. Argument 3 (Funktionswerte): An der Stelle \(x = 0\) hat \(f\) ein lokales Extremum, da \(f'(0) = 4 \cdot 0^3 - 4 \cdot 0 = 0\). Der Graph von \(g\) hat an der Stelle \(x = 0\) jedoch den Funktionswert \(g(0) = -2\).

Der Graph von \(g\) kann nicht die Ableitungsfunktion \(f'\) sein, weil: 1. \(f'\) vom Grad 3 sein müsste, \(g\) aber eine Parabel (Grad 2) ist. 2. \(f\) achsensymmetrisch ist, weshalb \(f'\) punktsymmetrisch sein müsste; \(g\) ist jedoch achsensymmetrisch. 3. \(f\) bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente (\(f'(0)=0\)) hat, der Graph von \(g\) dort aber den Wert \(-2\) zeigt.

- Überlege dir, was eine Nullstelle der Ableitungsfunktion für den Verlauf der ursprünglichen Funktion bedeutet. - Wie hängen die Krümmung und die Extremstellen der Ableitungsfunktion mit den Wendepunkten zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und der Monotonie der Funktion. - Schau dir genau an, in welchem Bereich der Graph der Ableitung über oder unter der \(x\)-Achse liegt.

1. Extremstellen von \(f\) finden: Die Extremstellen von \(f\) entsprechen den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\) ab. 2. Art der Extrema bestimmen: Bei \(x = -4\) wechselt \(f'\) von negativen zu positiven Werten, was auf ein lokales Minimum (Tiefpunkt) von \(f\) hinweist. Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) von positiven zu negativen Werten, was ein lokales Maximum (Hochpunkt) bedeutet. 3. Wendestelle von \(f\) bestimmen: Die Wendestellen von \(f\) entsprechen den Extremstellen von \(f'\). Der Graph von \(f'\) (eine nach unten geöffnete Parabel) hat seinen Scheitelpunkt bei \(x = -1\). Somit liegt bei \(x = -1\) eine Wendestelle von \(f\) vor. 4. Vergleich der Funktionswerte: Im Intervall \([-1; 0]\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) > 0\). Damit ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton steigend. Da \(0 > -1\) ist, folgt daraus \(f(0) > f(-1)\).

a) Lokales Minimum bei \(x = -4\); lokales Maximum bei \(x = 2\). b) Die Wendestelle von \(f\) liegt bei \(x = -1\). c) Da \(f'(x)\) im Intervall \([-1; 0]\) positiv ist, steigt die Funktion \(f\) dort streng monoton an. Daher muss der Funktionswert an der Stelle \(0\) größer sein als an der Stelle \(-1\).

- Überlege dir, welche Bedeutung die Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen für den Graphen der Ableitung haben. - Achte auf die Bereiche, in denen der Graph der Funktion steigt oder fällt. Was lässt sich daraus für das Vorzeichen der Ableitung schließen? - Betrachte die Nullstellen der Ableitungsfunktion. Welchen besonderen Stellen im Funktionsgraphen entsprechen sie? - Überprüfe, ob eine positive Steigung der Funktion einem positiven Funktionswert der Ableitung entspricht.

1. Analyse von Funktion \(f\): Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \(x = 0\) und zwei Tiefpunkte bei \(x \approx \pm 2{,}2\). Die zugehörige Ableitungsfunktion muss daher an diesen Stellen Nullstellen aufweisen. 2. Vergleich mit den Ableitungsgraphen: Graph \(h_2\) hat Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x \approx \pm 2{,}2\). Da \(f\) für \(x < -2{,}2\) fallend ist, muss die Ableitung dort negativ sein, was auf \(h_2\) zutrifft. Somit gilt: \(f \rightarrow h_2\). 3. Analyse von Funktion \(g\): Der Graph von \(g\) besitzt einen Tiefpunkt bei \(x = 0\) und zwei Hochpunkte bei \(x \approx \pm 2{,}8\). Die Ableitung muss also bei \(x = 0\) und \(x \approx \pm 2{,}8\) Nullstellen haben. 4. Vergleich mit den Ableitungsgraphen: Graph \(h_1\) besitzt genau diese Nullstellen. Da \(g\) im Intervall \(-2{,}8 < x < 0\) steigend ist, muss die Ableitung dort positiv sein. Dies ist bei \(h_1\) der Fall. Somit gilt: \(g \rightarrow h_1\).

Die Zuordnung lautet: \(f \rightarrow h_2\) \(g \rightarrow h_1\)

- Welcher der beiden Graphen zeigt die Steigung der ursprünglichen Funktion an? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und der Tangentensteigung. - Wo auf der x-Achse treffen sich die beiden Kurven?

1. Die Steigung der Tangente an einer Stelle \(x\) entspricht dem Funktionswert der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) an dieser Stelle. 2. Für \(x = 1\) wird am Graphen \(G_{f'}\) der Wert \(f'(1) = 0{,}5\) abgelesen. 3. Für \(x = 4\) wird am Graphen \(G_{f'}\) der Wert \(f'(4) = 0{,}25\) abgelesen. 4. Die Übereinstimmung von Funktionswert und Ableitungswert entspricht dem Schnittpunkt der Graphen \(G_f\) und \(G_{f'}\). 5. Der Schnittpunkt liegt bei \(x = 0{,}5\). Rechnerisch gilt hier \(\sqrt{0{,}5} = \frac{1}{2\sqrt{0{,}5}} \approx 0{,}707\).

a) Die Steigung an der Stelle \(x = 1\) beträgt \(0{,}5\), an der Stelle \(x = 4\) beträgt sie \(0{,}25\). b) Die Stelle ist \(x = 0{,}5\).

- Welche besonderen Punkte eines Funktionsgraphen (z. B. Hoch- und Tiefpunkte) hängen mit den Nullstellen der Ableitungsfunktion zusammen? - Betrachte die Steigung des Graphen von \(f\): In welchen Bereichen steigt der Graph, in welchen fällt er? - Welches Vorzeichen muss die Ableitung in den Bereichen haben, in denen die ursprüngliche Funktion steigt oder fällt? - Überprüfe beide Richtungen: Könnte \(g\) die Ableitung von \(f\) sein, oder umgekehrt \(f\) die Ableitung von \(g\)?

Um herauszufinden, welcher Graph die Funktion und welcher die Ableitungsfunktion darstellt, betrachten wir die charakteristischen Eigenschaften der beiden Graphen: 1. **Zusammenhang zwischen Extrema und Nullstellen**: Die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) einer differenzierbaren Funktion entsprechen den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion. - Der blaue Graph \(f\) besitzt zwei lokale Extrempunkte: einen Hochpunkt bei ca. \(x \approx -1{,}73\) und einen Tiefpunkt bei ca. \(x \approx 1{,}73\). - Der grüne Graph \(g\) besitzt genau an diesen Stellen seine Nullstellen, d. h. er schneidet dort die x-Achse (\(g(-1{,}73) = 0\) und \(g(1{,}73) = 0\)). 2. **Zusammenhang zwischen Monotonie und Vorzeichen**: - Für \(x < -1{,}73\) steigt der Graph von \(f\) (positive Steigung). In diesem Bereich verläuft der Graph von \(g\) oberhalb der x-Achse (positive Werte). - Für \(-1{,}73 < x < 1{,}73\) fällt der Graph von \(f\) (negative Steigung). In diesem Bereich verläuft der Graph von \(g\) unterhalb der x-Achse (negative Werte). - Für \(x > 1{,}73\) steigt der Graph von \(f\) wieder (positive Steigung). In diesem Bereich ist der Graph von \(g\) wieder positiv. 3. **Ausschluss der Gegenrichtung**: Würde \(f\) die Ableitung von \(g\) darstellen, müsste \(f\) an der Stelle des Tiefpunkts von \(g\) (bei \(x = 0\)) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von minus nach plus haben. Zwar ist \(f(0) = 0\), aber der Vorzeichenwechsel von \(f\) bei \(x = 0\) verläuft von plus nach minus (der Graph geht von oben nach unten durch den Ursprung), was zu einem Hochpunkt führen müsste, nicht zu einem Tiefpunkt. Zudem passen die übrigen Extremstellen nicht zusammen. Somit stellt der Graph \(f\) die Funktion und der Graph \(g\) ihre Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Der Graph \(f\) (blau) stellt die Funktion dar und der Graph \(g\) (grün) stellt ihre Ableitungsfunktion dar, also \(g = f'\).

- Schau dir die markanten Punkte der beiden Graphen an, insbesondere die Hoch- und Tiefpunkte sowie die Nullstellen (Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse). - Welche Steigung hat eine Funktion an ihren Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkten)? Welcher Wert muss die Ableitungsfunktion an diesen Stellen also annehmen? - Betrachte die Bereiche, in denen ein Graph steigt oder fällt. Was bedeutet das für das Vorzeichen des anderen Graphen? - Beachte genau, welcher Graph zu \(f\) und welcher zu \(f'\) gehört, wenn du die Werte in Aufgabenteil b) abliest.

1. Zuordnung von \(K_1\) und \(K_2\): \(K_1\) (blau) besitzt Extrempunkte bei \(x = 1\) (Hochpunkt) und \(x = 3\) (Tiefpunkt). Die Steigung an diesen Stellen ist null. \(K_2\) (rot) hat an genau diesen Stellen Nullstellen (Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse). Außerdem ist \(K_1\) im Intervall \((1; 3)\) streng monoton fallend, was mit den negativen Werten von \(K_2\) in diesem Bereich übereinstimmt. Somit ist \(K_1\) der Graph von \(f\) und \(K_2\) der Graph von \(f'\). 2. Ablesen der Werte: - Da \(K_1\) der Graph von \(f\) ist: \(f(2) = 2\) und \(f(3) = 1\). - Da \(K_2\) der Graph von \(f'\) ist: \(f'(2) = -1{,}5\) und \(f'(1) = 0\).

a) \(K_1\) (blau) ist der Graph von \(f\) und \(K_2\) (rot) ist der Graph von \(f'\), da die Nullstellen von \(K_2\) bei \(x = 1\) und \(x = 3\) genau mit den Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkt) von \(K_1\) übereinstimmen. b) Die gesuchten Werte sind: - \(f(2) = 2\) - \(f'(2) = -1{,}5\) - \(f(3) = 1\) - \(f'(1) = 0\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\). - Wie hängen die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit den lokalen Extrempunkten von \(f\) zusammen? - Achte auf die Richtung des Vorzeichenwechsels von \(f'\) an einer Nullstelle, um zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt zu unterscheiden. - Wenn eine Funktion auf einem Intervall streng monoton fallend ist, wie verhalten sich dann die Funktionswerte zweier Punkte in diesem Intervall zueinander?

1. Analyse von Aussage a: Extremstellen von \(f\) erfordern \(f'(x) = 0\) mit Vorzeichenwechsel. Der Graph von \(f'\) zeigt einfache Nullstellen bei \(x = -2\), \(x = 1\) und \(x = 3\). An all diesen Stellen wechselt \(f'\) das Vorzeichen. Somit hat \(f\) im Intervall \([-3; 4]\) genau drei Extrempunkte. Aussage a ist wahr. 2. Analyse von Aussage b: Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung kleiner oder gleich null ist (und nicht abschnittsweise konstant null). Im Intervall \([1; 3]\) gilt \(f'(x) \le 0\), weshalb \(f\) dort streng monoton fallend ist. Aussage b ist wahr. 3. Analyse von Aussage c: Ein Tiefpunkt erfordert einen Vorzeichenwechsel von \(f'\) von minus nach plus. An der Stelle \(x = 1\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von plus nach minus, was einem Hochpunkt entspricht. Aussage c ist falsch. 4. Analyse von Aussage d: Da \(f\) im Intervall \([1; 3]\) streng monoton fallend ist, gilt dies auch für das Teilintervall \([2; 3]\). Daraus folgt direkt \(f(2) > f(3)\). Aussage d ist falsch.

a) **Wahr**: Die Ableitung \(f'\) hat im Intervall \([-3; 4]\) drei einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\), \(x = 1\) und \(x = 3\). An diesen Stellen liegen die Extrempunkte von \(f\). b) **Wahr**: Im Intervall \([1; 3]\) gilt \(f'(x) \le 0\), wobei \(f'\) nur an den Intervallgrenzen null ist. Somit ist \(f\) dort streng monoton fallend. c) **Falsch**: Bei \(x = 1\) wechselt die Ableitung \(f'\) das Vorzeichen von plus nach minus. Daher hat der Graph von \(f\) dort einen Hochpunkt (lokales Maximum), keinen Tiefpunkt. d) **Falsch**: Da \(f\) auf dem Intervall \([1; 3]\) streng monoton fallend ist, gilt für alle \(x_1 < x_2\) in diesem Intervall \(f(x_1) > f(x_2)\). Für \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 3\) folgt somit \(f(2) > f(3)\).

- Wie hängen eine Funktion und ihre Ableitung graphisch zusammen? Denke an die Bedeutung von Steigung und Funktionswert. - Betrachte den Verlauf eines der beiden Graphen. Wo hat er eine Steigung von Null (z. B. einen Tiefpunkt), und welchen Wert nimmt der andere Graph an genau dieser Stelle an? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung \(f'\) an einer Extremstelle von \(f\) erfüllt sein? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung \(f''\) entscheiden, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt?

1. Zuordnung der Graphen: Da \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, muss der Graph von \(f''\) an den Extremstellen des Graphen von \(f'\) eine Nullstelle haben. Der Graph \(g\) (Parabel) hat seinen Tiefpunkt bei \(x = 1\). Der Graph \(h\) (Gerade) hat genau dort seine Nullstelle (\(h(1) = 0\)). Zudem ist \(g\) für \(x < 1\) fallend (Steigung negativ), während \(h\) dort negative Werte hat. Für \(x > 1\) ist \(g\) steigend (Steigung positiv), während \(h\) dort positive Werte hat. Also ist \(h\) die Ableitung von \(g\). Folglich gehört \(g\) zu \(f'\) und \(h\) zu \(f''\). 2. Extremstellen von \(f\): Lokale Extremstellen von \(f\) können nur dort liegen, wo die erste Ableitung gleich null ist, also \(f'(x) = 0\). Wir suchen somit die Nullstellen des Graphen \(g\). Diese liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). Zur Bestimmung der Art des Extremums nutzen wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''\) (Graph \(h\)) an diesen Stellen: - Bei \(x_1 = -1\) ist \(f''(-1) = h(-1) = -4 < 0\). Da die zweite Ableitung negativ ist, liegt bei \(x_1 = -1\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. - Bei \(x_2 = 3\) ist \(f''(3) = h(3) = 4 > 0\). Da die zweite Ableitung positiv ist, liegt bei \(x_2 = 3\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor.

a) Der Graph \(g\) (blau) gehört zu \(f'\) und der Graph \(h\) (rot) gehört zu \(f''\). b) Bei \(x = -1\) hat \(f\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) und bei \(x = 3\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Nullstellen der Ableitung \(f'\) und den Extremstellen der Funktion \(f\). - Wie wirkt sich das Vorzeichen von \(f'(x)\) auf das Monotonieverhalten von \(f\) aus? - Welche Punkte auf dem Graphen von \(f'\) entsprechen den Wendepunkten von \(f\)? - Achte genau darauf, dass hier der Graph von \(f'\) gegeben ist und nicht der von \(f\).

1. **Aussage a) ist wahr:** Extremstellen einer differenzierbaren Funktion \(f\) entsprechen den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Aus dem Graphen von \(f'\) lassen sich im Intervall \([-2{,}5; 3{,}5]\) drei Nullstellen ablesen: bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 3\). Da der Graph von \(f'\) die \(x\)-Achse an allen drei Stellen schneidet (Vorzeichenwechsel von \(f'\)), hat \(f\) dort genau drei Extremstellen (zwei lokale Minima und ein lokales Maximum). 2. **Aussage b) ist wahr:** Eine Funktion \(f\) ist in einem Intervall streng monoton fallend, wenn ihre Ableitungsfunktion dort negativ ist (\(f'(x) < 0\)). Im Intervall \([0{,}5; 2{,}5]\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) < 0\). Somit ist \(f\) dort streng monoton fallend. 3. **Aussage c) ist falsch:** Wendepunkte der Funktion \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen (Hoch- oder Tiefpunkten) der Ableitungsfunktion \(f'\). An der Stelle \(x = 0\) hat der Graph von \(f'\) eine Nullstelle, aber keine Extremstelle. Der lokale Hochpunkt von \(f'\) liegt bei etwa \(x \approx -1{,}1\) und der lokale Tiefpunkt bei etwa \(x \approx 1{,}8\). Daher hat \(f\) bei \(x = 0\) keinen Wendepunkt, sondern einen lokalen Hochpunkt.

a) **Wahr**, da \(f'\) im Intervall \([-2{,}5; 3{,}5]\) genau drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt (bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 3\)). b) **Wahr**, da \(f'(x) < 0\) im gesamten Intervall \([0{,}5; 2{,}5]\) gilt. c) **Falsch**, da \(f'\) bei \(x = 0\) keine Extremstelle (sondern eine Nullstelle) besitzt. Ein Wendepunkt von \(f\) liegt an den Extremstellen von \(f'\) vor.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\). - Was bedeutet es für den Graphen von \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) an einer Stelle den Wert null annimmt? Wann handelt es sich um ein Extremum und wann um einen Sattelpunkt? - Betrachte bei den Nullstellen von \(f'\) genau den Vorzeichenwechsel (Wechsel von oberhalb zu unterhalb der \(x\)-Achse oder umgekehrt). - Wie verhält sich eine Funktion auf einem Intervall, in dem ihre Ableitung ausschließlich positive Werte annimmt? Was bedeutet das für den Vergleich zweier Funktionswerte in diesem Intervall?

1. Aussage a): Bei \(x = -2\) hat die Ableitung \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus (der Graph von \(f'\) wechselt von unterhalb zu oberhalb der \(x\)-Achse). Dies bedeutet, dass die Steigung von \(f\) von negativ auf positiv wechselt, was charakteristisch für einen lokalen Tiefpunkt (Minimum) von \(f\) ist. Die Aussage ist somit **wahr**. 2. Aussage b): Im Intervall \(1 < x < 3\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) < 0\). Da die Ableitung negativ ist, nimmt die Funktion \(f\) in diesem Intervall streng monoton ab. Die Aussage ist somit **wahr**. 3. Aussage c): Im Intervall \([0; 1]\) ist die Ableitung \(f'(x) \ge 0\) (und positiv für alle \(x \in [0; 1)\)). Das bedeutet, dass \(f\) auf diesem Intervall streng monoton steigt. Daraus folgt \(f(0) < f(1)\). Die Aussage \(f(0) > f(1)\) ist somit **falsch**. 4. Aussage d): Bei \(x = 1\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Dies entspricht einem lokalen Hochpunkt (Maximum) der Funktion \(f\). Für einen Sattelpunkt müsste die Ableitung an der Stelle null sein, ohne ihr Vorzeichen zu wechseln (Terrassenpunkt). Die Aussage ist somit **falsch**.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Falsch **Begründungen:** - **a)** Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von Minus nach Plus, was für \(f\) einen Tiefpunkt bedeutet. - **b)** Da \(f'(x) < 0\) für alle \(x \in (1; 3)\), ist \(f\) dort streng monoton fallend. - **c)** Im Bereich \([0; 1]\) ist \(f'\) positiv, \(f\) steigt also, weshalb \(f(0) < f(1)\) gilt. - **d)** Bei \(x = 1\) liegt ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) vor (von Plus nach Minus), was einen Hochpunkt und keinen Sattelpunkt beschreibt.

- Wie hängen die Nullstellen der Ableitungsfunktion mit den Extremstellen der Originalfunktion zusammen? - Betrachte die Bereiche, in denen ein Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. Was bedeutet das für die Steigung des anderen Graphen? - Welche besondere Eigenschaft hat die Ableitung an einer Wendestelle der Originalfunktion? - Wie kannst du die Koordinaten von Hoch-, Tief- und Wendepunkten direkt aus dem Graphen ablesen?

1. Zuordnung: Der rote Graph \(G_1\) gehört zur Funktion \(f\), der blaue Graph \(G_2\) zur Ableitungsfunktion \(f'\). 2. Begründung: An den Extremstellen von \(G_1\) bei \(x = -2\) und \(x = 2\) hat \(G_2\) Nullstellen. Im Intervall \([-2; 2]\) fällt \(G_1\) und \(G_2\) verläuft unterhalb der \(x\)-Achse (\(f'(x) < 0\)). An der Wendestelle von \(G_1\) bei \(x = 0\) hat \(G_2\) ein Minimum (Tiefpunkt). 3. Extrempunkte und Wendepunkt ablesen: - Hochpunkt von \(f\): \(H(-2 \mid 3)\) - Tiefpunkt von \(f\): \(T(2 \mid -1)\) - Wendepunkt von \(f\): \(W(0 \mid 1)\) 4. Monotonie: \(f\) ist streng monoton fallend im Intervall \([-2; 2]\) (oder \(]-2; 2[\)).

a) Der rote Graph \(G_1\) gehört zu \(f\), der blaue Graph \(G_2\) zu \(f'\). Begründung: Die Nullstellen von \(G_2\) bei \(x = -2\) und \(x = 2\) stimmen mit den Extremstellen von \(G_1\) überein. Zudem ist \(G_2\) im Intervall \([-2; 2]\) negativ, wo \(G_1\) fällt. b) Hochpunkt: \(H(-2 \mid 3)\), Tiefpunkt: \(T(2 \mid -1)\), Wendepunkt: \(W(0 \mid 1)\). c) Im Intervall \([-2; 2]\) (bzw. \(]-2; 2[\)).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Ausgangsfunktion \(f\). - Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Ableitung mit Vorzeichenwechsel für den Graphen von \(f\)? - Wie hängen die Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit den Wendestellen der Ausgangsfunktion \(f\) zusammen? - Betrachte den Tiefpunkt des Graphen von \(f'\) — was bedeutet dieser Punkt für die Steigung von \(f\)?

1. **Monotonie von \(f\):** Das Monotonieverhalten von \(f\) entscheidet sich am Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\): - Für \(x \in [-4; -2[\) und \(x \in ]2; 4]\) ist \(f'(x) > 0\), weshalb die Funktion \(f\) in diesen Bereichen streng monoton steigend ist. - Für \(x \in ]-2; 2[\) ist \(f'(x) < 0\), weshalb die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton fallend ist. 2. **Lokale Extremstellen von \(f\):** Lokale Extremstellen liegen an den Stellen vor, an denen \(f'(x) = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel stattfindet: - Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\). Daher hat \(f\) dort eine lokale Maximalstelle (Hochpunkt). - Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\). Daher hat \(f\) dort eine lokale Minimalstelle (Tiefpunkt). 3. **Wendestelle von \(f\):** Eine Wendestelle der Ausgangsfunktion \(f\) entspricht einer lokalen Extremstelle der Ableitungsfunktion \(f'\). Da die Ableitung \(f'\) an der Stelle \(x = 0\) einen lokalen Tiefpunkt besitzt (Steigung von \(f'\) ist dort null mit Vorzeichenwechsel), liegt bei \(x = 0\) eine Wendestelle von \(f\) vor.

a) Streng monoton steigend für \(x \in [-4; -2]\) und \(x \in [2; 4]\); streng monoton fallend für \(x \in [-2; 2]\). b) Lokale Maximalstelle (Hochpunkt) bei \(x = -2\); lokale Minimalstelle (Tiefpunkt) bei \(x = 2\). c) Eine Wendestelle von \(f\) liegt an den Extremstellen von \(f'\) vor. Da \(f'\) bei \(x = 0\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt) hat, besitzt \(f\) dort eine Wendestelle.

- Wie hängen das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und das Monotonieverhalten der Originalfunktion \(f\) zusammen? - Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) für den Verlauf von \(f\)? Woran erkennst du, ob es sich um ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum handelt? - Überlege, wie die Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit den Wendestellen der Originalfunktion \(f\) zusammenhängen. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Steigungsverhalten von \(f'\) (also der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f'\)) und der Krümmung des Graphen von \(f\)?

1. **Monotonieverhalten von \(f\):** - Für \(x \in [-5; -4]\) und \(x \in [-1; 4]\) ist \(f\) streng monoton steigend. - Für \(x \in [-4; -1]\) und \(x \in [4; 5]\) ist \(f\) streng monoton fallend. Dies folgt aus dem Vorzeichen von \(f'\); im Inneren der jeweiligen Intervalle ist \(f'\) positiv bzw. negativ. 2. **Lokale Extremstellen von \(f\):** - Bei \(x = -4\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ: lokale Maximalstelle. - Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv: lokale Minimalstelle. - Bei \(x = 4\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ: lokale Maximalstelle. 3. **Wendestellen und Krümmungsverhalten von \(f\):** Die Wendestellen von \(f\) liegen an den lokalen Extremstellen von \(f'\). Aus dem Graphen liest man näherungsweise \(x \approx -2{,}67\) und \(x = 2\) ab. - Linksgekrümmt ist der Graph von \(f\) für \(x \in (-2{,}67; 2)\), weil \(f'\) dort steigt. - Rechtsgekrümmt ist der Graph von \(f\) für \(x \in [-5; -2{,}67)\) und \(x \in (2; 5]\), weil \(f'\) dort fällt.

a) Streng monoton steigend auf \([-5; -4]\) und \([-1; 4]\); streng monoton fallend auf \([-4; -1]\) und \([4; 5]\). b) Lokale Maximalstellen bei \(x = -4\) und \(x = 4\); lokale Minimalstelle bei \(x = -1\). c) Wendestellen bei \(x \approx -2{,}67\) und \(x = 2\). Linksgekrümmt für \(x \in (-2{,}67; 2)\); rechtsgekrümmt für \(x \in [-5; -2{,}67)\) und \(x \in (2; 5]\).

- Kannst du beschreiben, wie das Steigungsverhalten einer Funktion mit dem Vorzeichen ihrer Ableitung zusammenhängt? - Betrachte die Stellen, an denen die eine Funktion Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkte) hat. Welche Werte müsste die Ableitungsfunktion an diesen Stellen annehmen? - Wo verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse und was bedeutet das für die Steigung der Originalfunktion? - Welcher Punkt auf dem Graphen der Ableitungsfunktion gibt dir die Steigung an der Stelle \(x = 0\)?

1. Zuordnung der Graphen: Der Graph \(G_1\) (linker Graph) gehört zur Funktion \(f\) und der Graph \(G_2\) (rechter Graph) gehört zur Ableitungsfunktion \(f'\). Begründung: - Für \(x < -1\) ist der Graph \(G_1\) streng monoton steigend. Die zugehörige Ableitung muss dort positiv sein. Dies trifft auf den Graphen \(G_2\) zu, da dieser für \(x < -1\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Für \(-1 < x < 3\) ist der Graph \(G_1\) streng monoton fallend. Die Ableitung muss in diesem Bereich negativ sein. Der Graph \(G_2\) verläuft für \(-1 < x < 3\) tatsächlich unterhalb der \(x\)-Achse. - Für \(x > 3\) ist der Graph \(G_1\) wieder streng monoton steigend, was dazu passt, dass \(G_2\) für \(x > 3\) positiv ist. - Zudem liegen die lokalen Extremstellen von \(G_1\) (Hochpunkt bei \(x = -1\), Tiefpunkt bei \(x = 3\)) exakt bei den Nullstellen von \(G_2\). 2. Monotonie von \(f\): Die Funktion \(f\) ist im Intervall \([-1; 3]\) streng monoton fallend. Im Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) (Graph \(G_2\)) spiegelt sich dies dadurch wider, dass der Graph im Intervall \([-1; 3]\) unterhalb oder auf der \(x\)-Achse liegt, d. h. es gilt \(f'(x) \le 0\). 3. Tangentensteigung an der Stelle \(x = 0\): Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x = 0\) entspricht dem Funktionswert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle, also \(f'(0)\). Aus dem Graphen \(G_2\) lässt sich für \(x = 0\) der Funktionswert \(y = -0{,}75\) ablesen. Die Tangentensteigung beträgt somit \(-0{,}75\).

a) Graph \(G_1\) gehört zu \(f\), Graph \(G_2\) gehört zu \(f'\). Wenn \(f\) steigt (\(x < -1\) und \(x > 3\)), ist \(f'\) positiv (oberhalb der \(x\)-Achse). Wenn \(f\) fällt (\(-1 < x < 3\)), ist \(f'\) negativ (unterhalb der \(x\)-Achse). b) \(f\) ist im Intervall \([-1; 3]\) streng monoton fallend. In diesem Intervall verläuft der Graph von \(f'\) unterhalb der \(x\)-Achse (\(f'(x) \le 0\)). c) Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(-0{,}75\).

- Welche Bedeutung haben Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen für den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion? - Wie spiegelt sich das Steigungsverhalten (Monotonie) einer Funktion in den Werten ihrer Ableitung wider? - Betrachte Graph A: Wo ist die Steigung null, wo ist sie negativ und wo positiv? Welcher Ableitungsgraph zeigt genau dieses Vorzeichenverhalten? - Schau dir den Verlauf von Graph B an: In welchen Bereichen fällt oder steigt die Kurve? Welche Werte muss die Ableitung dort annehmen?

1. Graph A zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (Tiefpunkt) bei \(x = 1\). Für \(x < 1\) fällt der Graph (die Steigung ist negativ), für \(x > 1\) steigt er (die Steigung ist positiv). Die Ableitungsfunktion muss daher bei \(x = 1\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus haben. Dies trifft genau auf die ansteigende Gerade in Abbildung (2) zu. Somit gehört Graph A zu Ableitung (2). 2. Graph B zeigt den Graphen einer Funktion dritten Grades mit einem lokalen Maximum (Hochpunkt) bei \(x = -2\) und einem lokalen Minimum (Tiefpunkt) bei \(x = 2\). Dazwischen (für \(-2 < x < 2\)) fällt der Graph (die Steigung ist negativ), außerhalb dieses Intervalls steigt er (die Steigung ist positiv). Die Ableitungsfunktion muss somit Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\) besitzen und im Intervall \((-2; 2)\) negativ sein. Dies beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse. Das entspricht Abbildung (3). Somit gehört Graph B zu Ableitung (3). 3. Graph C zeigt eine glockenförmige Kurve mit einem Maximum (Hochpunkt) bei \(x = 0\). Für \(x < 0\) steigt der Graph (die Steigung ist positiv), für \(x > 0\) fällt er (die Steigung ist negativ). Die Ableitungsfunktion muss daher bei \(x = 0\) eine Nullstelle haben, für negative x-Werte im positiven Bereich verlaufen und für positive x-Werte im negativen Bereich. Dies entspricht der Kurve in Abbildung (1). Somit gehört Graph C zu Ableitung (1).

Die richtige Zuordnung lautet: - Graph A gehört zu Ableitung (2) - Graph B gehört zu Ableitung (3) - Graph C gehört zu Ableitung (1)

- Bestimme zuerst rechnerisch die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) der gegebenen Funktion \(f(x)\). - Welchen Grad hat die Ableitungsfunktion und wie müsste ihr Graph im Vergleich zum abgebildeten Graphen im Unendlichen verlaufen? - Überlege, in welchen Bereichen die Funktion \(f(x)\) steigt oder fällt. Welche Vorzeichen müsste die Ableitungsfunktion \(f'\) in diesen Bereichen haben? - Betrachte die Nullstellen des abgebildeten Graphen. Welche Arten von Extrempunkten (Hoch- oder Tiefpunkt) würden zu den jeweiligen Vorzeichenwechseln gehören?

Um zu zeigen, dass der abgebildete Graph \(g\) nicht die Ableitungsfunktion \(f'\) darstellen kann, wird zunächst die tatsächliche Ableitungsfunktion berechnet: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) Es lassen sich folgende drei Widersprüche aufzeigen: 1. **Globalverhalten:** Da der Leitkoeffizient von \(f'\) positiv ist, handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit \(\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = \infty\). Der abgebildete Graph \(g\) verläuft jedoch für \(x \to \pm\infty\) nach \(-\infty\) (nach unten geöffnete Parabel). 2. **Monotonieverhalten:** Im Intervall \((-1; 3)\) ist \(f'(x) < 0\), was bedeutet, dass die Funktion \(f\) dort streng monoton fällt. Der Graph \(g\) verläuft in diesem Intervall jedoch oberhalb der \(x\)-Achse, nimmt also nur positive Werte an. 3. **Art der Extremstellen:** Bei \(x = -1\) hat \(f\) einen lokalen Hochpunkt, da die Steigung von positiv (für \(x < -1\)) zu negativ (für \(x > -1\)) wechselt. Somit müsste \(f'\) bei \(x = -1\) einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus haben. Der Graph \(g\) wechselt an dieser Stelle jedoch sein Vorzeichen von minus nach plus.

Mögliche Begründungen sind: 1. **Globalverhalten:** Die Ableitung \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar (\(f'(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\)), während der abgebildete Graph nach unten geöffnet ist. 2. **Monotonie:** Im Intervall \((-1; 3)\) ist \(f'(x) < 0\) (die Funktion \(f\) fällt), aber der abgebildete Graph ist dort positiv. 3. **Extremstellen:** An der Stelle \(x = -1\) liegt ein Hochpunkt von \(f\) vor, weshalb die Ableitung einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus haben müsste. Der Graph zeigt jedoch einen Wechsel von minus nach plus (was einem Tiefpunkt entspräche).

- Wie hängen die Extremstellen einer Funktion \(f\) mit ihrer ersten Ableitung \(f'\) zusammen? - Welche Gleichung musst du lösen, um die Stellen zu finden, an denen \(f'(x) = 0\) gilt? - Wie kannst du am Graphen von \(g\) erkennen, ob \(f'(x)\) positiv oder negativ ist? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Wendestellen von \(f\) und den Eigenschaften der Ableitungsfunktion \(f'\)? - Überlege, an welcher Stelle die Ableitung \(f'(x) = g(x) - 1\) ihre Steigung ändert oder ein Extremum hat.

1. Extremstellen von \(f\): - Notwendige Bedingung für eine Extremstelle von \(f\) ist \(f'(x) = 0\). Wegen \(f'(x) = g(x) - 1\) entspricht dies der Bedingung \(g(x) = 1\). - Aus dem Graphen \(G_g\) lässt sich ablesen, dass \(g(x) = 1\) für \(x = -2\) und \(x = 2\) gilt. - Zur Bestimmung der Art der Extremstellen betrachten wir das Vorzeichen von \(f'(x) = g(x) - 1\): - Für \(x < -2\) ist \(g(x) < 1\), also \(f'(x) < 0\). Für \(-2 < x < 2\) ist \(g(x) > 1\), also \(f'(x) > 0\). An der Stelle \(x = -2\) liegt somit ein Vorzeichenwechsel von minus nach plus vor, weshalb \(f\) dort ein lokales Minimum hat. - Für \(-2 < x < 2\) ist \(f'(x) > 0\). Für \(x > 2\) ist \(g(x) < 1\), also \(f'(x) < 0\). An der Stelle \(x = 2\) liegt somit ein Vorzeichenwechsel von plus nach minus vor, weshalb \(f\) dort ein lokales Maximum hat. 2. Wendestellen von \(f\): - Eine notwendige Bedingung für eine Wendestelle von \(f\) ist \(f''(x) = 0\) mit einem Vorzeichenwechsel von \(f''(x)\). - Da \(f'(x) = g(x) - 1\) ist, gilt für die zweite Ableitung \(f''(x) = g'(x)\). Die Wendestellen von \(f\) entsprechen somit den Extremstellen von \(g\). - Dem Graphen entnehmen wir, dass \(g\) bei \(x = 0\) ein lokales Maximum (den Scheitelpunkt) besitzt. Da dort die Steigung \(g'\) ihr Vorzeichen wechselt, ist \(x = 0\) die einzige Wendestelle von \(f\).

a) Lokales Minimum bei \(x = -2\), da \(f'(-2) = 0\) mit einem Vorzeichenwechsel von minus nach plus. Lokales Maximum bei \(x = 2\), da \(f'(2) = 0\) mit einem Vorzeichenwechsel von plus nach minus. b) Wendestelle bei \(x = 0\), da die zweite Ableitung \(f''(x) = g'(x)\) dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt (Extremstelle von \(g\)).

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen den Nullstellen der Ableitung \(f'\) und den Extremstellen der Ausgangsfunktion \(f\) besteht. - Wie kannst du am Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion erkennen, ob ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt vorliegt? - Was gibt der Funktionswert der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) an einer bestimmten Stelle \(x\) anschaulich für die Ausgangsfunktion \(f\) an? - Wenn zwei Geraden parallel sind, was lässt sich dann über ihre Steigungen sagen? - Nutze die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel, um direkt zwei der gesuchten Parameter in der Scheitelpunktform zu bestimmen.

1. Bestimmung der Extremstellen von \(f\) über die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit Vorzeichenwechsel (VZW): * Bei \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit einem VZW von minus nach plus. Daher liegt an der Stelle \(x = 0\) eine lokale Minimalstelle von \(f\) vor. * Bei \(x = 4\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit einem VZW von plus nach minus. Daher liegt an der Stelle \(x = 4\) eine lokale Maximalstelle von \(f\) vor. 2. Die größte Steigung von \(f\) entspricht dem globalen Maximum von \(f'\): * Der Scheitelpunkt (Hochpunkt) von \(f'\) liegt bei \((2 \mid 2)\). * Somit hat der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 2\) die größte Steigung. Der Wert dieser Steigung beträgt \(2\). 3. Für eine Tangente parallel zur Geraden \(g(x) = 1{,}5x - 4\) muss die Bedingung \(f'(x) = 1{,}5\) erfüllt sein: * Aus dem Graphen liest man für den Funktionswert \(1{,}5\) die zugehörigen Stellen \(x = 1\) und \(x = 3\) ab. 4. Bestimmung der Parameter der Funktion \(f'(x) = a(x - d)^2 + c\): * Aus dem Scheitelpunkt \(S(2 \mid 2)\) folgen direkt die Verschiebungen \(d = 2\) und \(c = 2\). * Einsetzen des Punktes \((0 \mid 0)\) in die Gleichung \(f'(x) = a(x - 2)^2 + 2\) liefert: \(0 = a(0 - 2)^2 + 2 \implies 4a = -2 \implies a = -0{,}5\).

a) Lokale Minimalstelle bei \(x = 0\), lokale Maximalstelle bei \(x = 4\). b) Größte Steigung bei \(x = 2\) mit dem Wert \(2\). c) An den Stellen \(x = 1\) und \(x = 3\). d) \(a = -0{,}5\), \(d = 2\), \(c = 2\).

- Bestimme zunächst die Definitionslücke (Polstelle) der Funktion \(f\). Wie spiegelt sich diese in den beiden Abbildungen wider? - Untersuche das Verhalten der Funktionswerte nahe der Definitionslücke. Gibt es einen Vorzeichenwechsel oder nicht? - Überlege dir, welches Vorzeichen die Ableitung \(f'\) besitzt. Was bedeutet ein stets negatives Vorzeichen der Ableitung für den Graphen von \(f\)? - Betrachte das Verhalten der Funktionen für sehr große und sehr kleine x-Werte (\(x \to \pm\infty\)). Welchem festen Wert nähern sich die Funktionswerte an?

1. Zuordnung (Teil a): Die Funktion \(f(x) = \frac{2}{x-1} - 1\) besitzt eine Definitionslücke bei \(x = 1\). Da der Term \((x-1)\) im Nenner eine ungerade Potenz hat, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel: Für \(x \to 1^-\) gilt \(f(x) \to -\infty\) und für \(x \to 1^+\) gilt \(f(x) \to +\infty\). Dies stimmt mit dem Verlauf in Abbildung 1 überein. Alternativ ist die Ableitungsfunktion \(f'(x) = -\frac{2}{(x-1)^2}\) für alle \(x \neq 1\) streng negativ, da der Nenner stets positiv ist. Somit muss der Graph von \(f\) überall streng monoton fallend sein, was ebenfalls auf Abbildung 1 zutrifft. Der Graph in Abbildung 2 verläuft vollständig unterhalb der x-Achse, was der stets negativen Ableitung \(f'(x) < 0\) entspricht. Zudem liegt bei \(x = 1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor (\(f'(x) \to -\infty\) von beiden Seiten), was für die quadratische Nennerpotenz von \(f'\) charakteristisch ist. Daraus folgt: Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) und Abbildung 2 den Graphen von \(f'\). 2. Waagerechte Asymptoten (Teil b): Für \(f(x)\) gilt: Wenn \(x \to \pm\infty\), geht der Bruch \(\frac{2}{x-1} \to 0\). Damit nähert sich der Funktionswert dem Wert \(-1\) an, also \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -1\). Die waagerechte Asymptote von \(f\) lautet \(y = -1\). Für \(f'(x)\) gilt entsprechend: Wenn \(x \to \pm\infty\), geht der Term \(-\frac{2}{(x-1)^2} \to 0\), also \(\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = 0\). Die waagerechte Asymptote von \(f'\) lautet \(y = 0\) (die x-Achse).

a) **Abbildung 1** zeigt den Graphen von \(f\). **Abbildung 2** zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\). b) Die waagerechte Asymptote des Graphen von \(f\) hat die Gleichung **\(y = -1\)**. Die waagerechte Asymptote des Graphen von \(f'\) hat die Gleichung **\(y = 0\)**.

- Überlege dir zuerst, welche Zusammenhänge zwischen den besonderen Punkten eines Graphen (z. B. Hoch- und Tiefpunkte) und den Eigenschaften seiner Ableitungsfunktion (z. B. Nullstellen) bestehen. - Wie hängen das Steigungsverhalten einer Funktion (steigend oder fallend) und das Vorzeichen ihrer Ableitung (positiv oder negativ) zusammen? - Betrachte die Grade der Funktionen: Wenn eine Funktion ein Polynom vom Grad \(n\) ist, welchen Grad haben dann ihre Ableitung und ihre Stammfunktion? - Suche nach einem Graphen, der Hoch- oder Tiefpunkte besitzt, und prüfe, welcher der anderen Graphen an genau diesen Stellen die x-Achse schneidet.

1. Analyse der Zusammenhänge zwischen den Graphen: - Ein Extrempunkt eines Graphen entspricht einer Nullstelle seiner Ableitungsfunktion. - Ein fallender Bereich eines Graphen entspricht negativen Werten der Ableitungsfunktion. - Ein steigender Bereich eines Graphen entspricht positiven Werten der Ableitungsfunktion. 2. Zuordnung von Graph B und Graph C: - Graph B (eine Funktion 3. Grades) hat lokale Extrema bei \(x = 2\) (Maximum) und \(x = 6\) (Minimum). - Graph C (eine Parabel) hat genau bei \(x = 2\) und \(x = 6\) seine Nullstellen. - Im Intervall \(]2; 6[\) fällt Graph B, während Graph C negativ ist. Für \(x < 2\) und \(x > 6\) steigt Graph B, während Graph C positiv ist. - Daraus folgt: Graph C ist die Ableitung von Graph B. Somit ist Graph B die Stammfunktion \(F\) und Graph C die Funktion \(f\). 3. Zuordnung von Graph A und Graph C: - Graph C hat einen Tiefpunkt bei \(x = 4\). - Graph A (eine Gerade) hat bei \(x = 4\) eine Nullstelle. - Für \(x < 4\) fällt Graph C, während Graph A negative Werte annimmt. Für \(x > 4\) steigt Graph C, während Graph A positive Werte annimmt. - Daraus folgt: Graph A ist die Ableitung von Graph C. Da Graph C als \(f\) identifiziert wurde, ist Graph A die Ableitungsfunktion \(f'\). 4. Ergebnis: - Graph A \(\rightarrow f'\) - Graph B \(\rightarrow F\) - Graph C \(\rightarrow f\)

Graph A gehört zu \(f'\). Graph B gehört zu \(F\). Graph C gehört zu \(f\).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der ursprünglichen Funktion \(f\)? - Woran erkennt man im Graphen der Ableitung, dass die ursprüngliche Funktion einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt hat? Achte auf den Vorzeichenwechsel. - Überlege dir, wie eine Wendestelle von \(f\) mit den Eigenschaften der Ableitungsfunktion \(f'\) zusammenhängt. Was muss an einer Wendestelle für die Steigung der Tangente gelten? - Betrachte den Scheitelpunkt der Parabel im Graphen. Welche Bedeutung hat dieser besondere Punkt für die ursprüngliche Funktion?

1. Im Inneren der Intervalle \([-4; -1]\) und \([3; 6]\) ist \(f'(x) < 0\); daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Im Inneren des Intervalls \([-1; 3]\) ist \(f'(x) > 0\); daher ist \(f\) dort streng monoton steigend. 2. Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Der Graph von \(f'\) hat bei \(x = 1\) ein lokales Maximum. Damit wechselt dort die Monotonierichtung von \(f'\), also die Krümmung von \(f\). Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x = 1\) eine Wendestelle.

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-1; 3]\) streng monoton steigend und auf \([-4; -1]\) sowie \([3; 6]\) streng monoton fallend. b) Lokale Minimalstelle bei \(x = -1\); lokale Maximalstelle bei \(x = 3\). c) Wendestelle bei \(x = 1\).

- Bestimme zuerst rechnerisch die Ableitungsfunktionen \(f'(x)\) und \(g'(x)\). - Welche charakteristischen Eigenschaften haben die Graphen (z. B. Symmetrie, Grad der Funktion, Achsenschnittpunkte oder Extrempunkte)? - Überlege, welcher Graph zu einer linearen Funktion (Gerade) und welche zu quadratischen Funktionen (Parabeln) gehören. - Wie hängen die Extrempunkte einer Funktion mit den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion zusammen?

1. Berechnung der Ableitungsfunktionen: Durch Anwendung der Ableitungsregeln erhält man: \(f'(x) = x\) \(g'(x) = -0{,}6x^2 + 1{,}5\) 2. Zuordnung von \(f\) und \(f'\): - Graph (3) zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid -2)\). Dies entspricht der quadratischen Funktion \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\). - Die zugehörige Ableitungsfunktion \(f'(x) = x\) ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung \(1\). Dies entspricht genau Graph (1). 3. Zuordnung von \(g\) und \(g'\): - Graph (2) stellt eine punktsymmetrische Kurve dritten Grades dar, die für große \(x\)-Werte gegen \(-\infty\) strebt. Dies entspricht der Funktion \(g(x) = -0{,}2x^3 + 1{,}5x\). - Die zugehörige Ableitungsfunktion \(g'(x) = -0{,}6x^2 + 1{,}5\) beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid 1{,}5)\). Dies entspricht Graph (4).

Die richtige Zuordnung lautet: - Graph (1) gehört zu \(f'\) - Graph (2) gehört zu \(g\) - Graph (3) gehört zu \(f\) - Graph (4) gehört zu \(g'\)

- Wie hängen die charakteristischen Punkte einer Funktion (wie Hoch- und Tiefpunkte) mit den Eigenschaften ihrer Ableitungsfunktion zusammen? - An welchen Stellen muss die Ableitungsfunktion den Wert Null annehmen? - Betrachte die Bereiche, in denen ein Graph steigt oder fällt. Welches Vorzeichen muss die zugehörige Ableitung in diesen Bereichen haben? - Wende diese Überlegungen zuerst auf zwei der Graphen an und prüfe danach, ob der verbleibende Graph als weitere Ableitung dazu passt.

1. **Zusammenhang zwischen Extrempunkten und Nullstellen:** Ein lokaler Extrempunkt einer differenzierbaren Funktion entspricht einer Nullstelle ihrer Ableitungsfunktion mit Vorzeichenwechsel. 2. **Analyse von Graph \(A\) (rot) und Graph \(B\) (blau):** Der rote Graph \(A\) besitzt zwei lokale Extrempunkte (einen Hochpunkt bei \(x = -2\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 2\)). Der blaue Graph \(B\) hat genau an diesen Stellen Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. Zudem ist der Graph \(A\) für \(x < -2\) streng monoton steigend (Ableitung positiv, also Graph \(B > 0\)), für \(-2 < x < 2\) streng monoton fallend (Ableitung negativ, also Graph \(B < 0\)) und für \(x > 2\) wieder streng monoton steigend (Ableitung positiv, also Graph \(B > 0\)). Dies zeigt, dass Graph \(B\) die Ableitung von Graph \(A\) ist. 3. **Analyse von Graph \(B\) (blau) und Graph \(C\) (grün):** Der blaue Graph \(B\) hat einen lokalen Tiefpunkt bei \(x = 0\). Der grüne Graph \(C\) hat genau bei \(x = 0\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Da Graph \(B\) für \(x < 0\) monoton fallend (Ableitung negativ, also Graph \(C < 0\)) und für \(x > 0\) monoton steigend (Ableitung positiv, also Graph \(C > 0\)) ist, ist Graph \(C\) die Ableitung von Graph \(B\). 4. **Schlussfolgerung:** Graph \(A\) ist die Ausgangsfunktion, Graph \(B\) ist die erste Ableitung und Graph \(C\) ist die zweite Ableitung.

Graph \(A\) ist die Ausgangsfunktion, Graph \(B\) ist die erste Ableitung und Graph \(C\) ist die zweite Ableitung.

- Erinnere dich: Funktionswerte liest du am Graphen von \(g\) ab, Steigungen am Graphen von \(g'\). - Die Ableitung \(g'(x)\) gibt dir direkt die Steigung der Tangente an. - Wenn nach einer „Stelle“ gefragt wird, gibst du die Koordinate auf der horizontalen Achse an. - Überprüfe bei Teilaufgabe e), wo der Graph der Ableitung die \(x\)-Achse berührt oder schneidet.

1. In Abbildung 1 liegt bei \(x = 2\) der Punkt \((2 \mid -0{,}6)\). Daher ist \(g(2) = -0{,}6\). 2. Die Steigung bei \(x = 2\) entspricht \(g'(2)\). Aus Abbildung 2 liest man \(g'(2) = 0\) ab. 3. Aus Abbildung 2 folgt \(g'(1) = -1{,}2\). 4. Der Graph von \(g\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\); daher ist \(x = 0\) eine Lösung von \(g(x) = 1\). 5. Waagerechte Tangenten liegen bei den Nullstellen von \(g'\): \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 6. Aus Abbildung 2 liest man \(g'(-1) = 1{,}2\) ab. Daher ist \(x = -1\) eine passende Stelle.

a) \(g(2) = -0{,}6\) b) \(0\) c) \(-1{,}2\) d) \(x = 0\) e) \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\) f) \(x = -1\)

- Überlege dir, welche Steigung ein Graph an einem Hoch- oder Tiefpunkt hat. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit dem Verlauf der ursprünglichen Funktion zusammen? - Wenn du einen Wert wie \(f'(x)\) bestimmen sollst, musst du im Graphen der Ableitungsfunktion nachsehen.

1. Identifikation: Der Graph von \(q\) hat Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 3\). An genau diesen Stellen besitzt der Graph von \(p\) einen lokalen Hochpunkt bzw. einen lokalen Tiefpunkt (waagerechte Tangenten). Da die Ableitung an Extremstellen den Wert Null annehmen muss, ist \(q\) die Ableitungsfunktion von \(p\), also \(q = p'\). 2. Ablesen der Werte: - Für \(p(2)\) sucht man die Stelle \(x = 2\) auf der horizontalen Achse und liest den zugehörigen \(y\)-Wert des blauen Graphen ab: \(p(2) \approx -0{,}4\). - Da \(q = p'\) gilt, entspricht \(p'(2)\) dem Funktionswert von \(q\) an der Stelle \(x = 2\). Man liest am grünen Graphen ab: \(p'(2) = q(2) \approx -1{,}8\).

a) \(q\) ist die Ableitungsfunktion von \(p\), da die Nullstellen von \(q\) bei \(x = -1\) und \(x = 3\) mit den Extremstellen von \(p\) übereinstimmen. b) Aus der Abbildung liest man ab: \(p(2) \approx -0{,}4\) und \(p'(2) = q(2) \approx -1{,}8\).

- In welchen Bereichen steigt ein Graph an, und welches Vorzeichen hat dort seine Ableitung? - Erinnere dich: Die Steigung einer Funktion an einer Stelle ist genau der Funktionswert ihrer Ableitung an dieser Stelle. - Die zweite Ableitung gibt die Steigung der ersten Ableitung an. Was fällt dir am Verlauf des Graphen von \(s\) auf?

1. Der blaue Graph steigt für \(x < 3\) und fällt für \(x > 3\). Der grüne Graph ist entsprechend für \(x < 3\) positiv und für \(x > 3\) negativ. Somit ist der blaue Graph \(r\) und der grüne Graph \(s = r'\). 2. Die Steigung von \(r\) bei \(x = 1\) ist der Funktionswert von \(s\) an dieser Stelle: \(r'(1) = s(1) = 0{,}8\). 3. Der Wert \(r''(1)\) ist die Steigung der Geraden \(s\). Mit den Punkten \((0 \mid 1{,}2)\) und \((3 \mid 0)\) ergibt sich \(r''(1) = \frac{0-1{,}2}{3-0} = -0{,}4\).

a) Der blaue Graph ist \(r\), der grüne Graph ist \(s = r'\). b) \(r'(1) = 0{,}8\). c) \(r''(1) = -0{,}4\).

- Überlege dir, was der Funktionswert von \(f'\) über die Steigung von \(f\) aussagt. - Wo muss der Graph von \(f'\) liegen, damit die Funktion \(f\) steigt oder fällt? - Was passiert mit der Funktion \(f\) an einer Stelle, an der \(f'\) die x-Achse kreuzt? - Achte darauf, in welche Richtung der Graph von \(f'\) die x-Achse an den Nullstellen schneidet.

1. Lokale Extremstellen einer Funktion \(f\) treten dort auf, wo die Ableitung \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. 2. Bei \(x = -5\) wechselt \(f'\) vom Negativen ins Positive. Da die Steigung von \(f\) von negativ auf positiv wechselt, liegt hier ein lokales Minimum vor. 3. Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) vom Positiven ins Negative. Da die Steigung von \(f\) von positiv auf negativ wechselt, liegt hier ein lokales Maximum vor. 4. Bei \(x = 4\) wechselt \(f'\) vom Negativen ins Positive. Somit liegt bei \(x = 4\) ein weiteres lokales Minimum vor.

Die Funktion \(f\) besitzt: - ein lokales Minimum bei \(x = -5\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(-\) nach \(+\)), - ein lokales Maximum bei \(x = 0\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(+\) nach \(-\)), - ein lokales Minimum bei \(x = 4\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(-\) nach \(+\)).

- Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle erfüllt sein? - Reicht es aus, dass die Ableitung an einer Stelle null ist, um eine Extremstelle zu garantieren? - Schau dir den Verlauf des Graphen direkt vor und nach den Nullstellen an. Ändert sich das Vorzeichen der y-Werte?

1. Eine lokale Extremstelle liegt an einer Nullstelle von \(g'\) mit Vorzeichenwechsel. 2. Bei \(x = -2\) wechselt \(g'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(g\) dort ein lokales Maximum. 3. Bei \(x = 4\) ist \(g'(4) = 0\), aber \(g'\) bleibt links und rechts negativ. Somit liegt keine Extremstelle vor. Der Graph von \(g'\) hat dort zugleich ein lokales Maximum; seine Steigung wechselt von positiv zu negativ. Daher wechselt \(g''\) das Vorzeichen, und \(g\) besitzt bei \(x = 4\) einen Sattelpunkt.

- Bei \(x = -2\) liegt ein lokales Maximum vor, da \(g'\) von positiv zu negativ wechselt. - Bei \(x = 4\) liegt keine Extremstelle, sondern ein Sattelpunkt vor: \(g'(4) = 0\) ohne Vorzeichenwechsel, während \(g'\) dort ein lokales Maximum besitzt und damit \(g''\) das Vorzeichen wechselt.

- Überlege dir den Zusammenhang zwischen den Funktionswerten der Ableitung \(f'\) und dem Steigungsverhalten der Originalfunktion \(f\). - Wo muss der Graph der Ableitung die \(x\)-Achse schneiden, damit die Originalfunktion ein Extremum hat? - Wie erkennst du an der Ableitung, ob ein Berg (Hochpunkt) oder ein Tal (Tiefpunkt) vorliegt? - Was bedeutet „Steigung“ in Bezug auf die Ableitungsfunktion?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Aus dem Graphen von \(f'\) liest man die Nullstellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\) ab. Bei \(x = -2\) wechselt das Vorzeichen von \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt ein lokaler Tiefpunkt vor. Bei \(x = 4\) wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus, also liegt ein lokaler Hochpunkt vor. 2. Eine Funktion steigt streng monoton, wenn ihre Ableitung positiv ist. Der Graph von \(f'\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \((-2; 4)\). Somit ist \(f\) auf \([-2; 4]\) streng monoton steigend. 3. Die Steigung von \(f\) entspricht den Funktionswerten von \(f'\). Die größte Steigung liegt also am Hochpunkt des Graphen von \(f'\) vor. Dieser befindet sich im Scheitelpunkt der Parabel bei \(x = 1\). Der zugehörige Funktionswert (die maximale Steigung) beträgt \(f'(1) = 4{,}5\).

a) Lokaler Tiefpunkt bei \(x = -2\); lokaler Hochpunkt bei \(x = 4\). b) Das Intervall ist \([-2; 4]\). c) Die größte Steigung liegt an der Stelle \(x = 1\) vor und beträgt \(4{,}5\).

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen den Nullstellen der Ableitung und den Extrempunkten der ursprünglichen Funktion besteht. - Achte beim Bestimmen der Art des Extrempunktes darauf, ob die Ableitung von oben nach unten oder von unten nach oben durch die x-Achse geht. - Wo ist die Steigung der Funktion negativ? Was bedeutet das für das Monotonieverhalten? - Erinnere dich daran, dass die Steigung in einem Wendepunkt extremal ist. Was muss also im Graphen der Ableitung an diesen Stellen zu sehen sein?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 5\) ab. 2. Art der Extremstellen: - Bei \(x = -3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, daher liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. - Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, daher liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. - Bei \(x = 5\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, daher liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 3. Monotonie: Die Funktion \(f\) ist streng monoton fallend, wenn \(f'(x) \le 0\) gilt. Dies ist in den Intervallen \([-4; -3]\) und \([1; 5]\) der Fall. 4. Wendestellen: Die Wendestellen von \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Der Graph von \(f'\) hat zwei Extrempunkte (einen Hochpunkt bei \(x \approx -1{,}3\) und einen Tiefpunkt bei \(x \approx 3{,}3\)). Somit besitzt \(f\) im betrachteten Bereich genau zwei Wendestellen.

a) Lokale Minimalstellen bei \(x = -3\) und \(x = 5\) (Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\)); lokale Maximalstelle bei \(x = 1\) (Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\)). b) Die Funktion \(f\) fällt streng monoton in den Intervallen \([-4; -3]\) und \([1; 5]\). c) Es gibt 2 Wendestellen, da der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) im gezeigten Bereich zwei lokale Extremstellen besitzt.

- Überlege dir, wie der Grad einer Ableitungsfunktion im Vergleich zur ursprünglichen Funktion aussieht. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Extremstellen einer Funktion und den Nullstellen ihrer Ableitung? - Wie hilft dir der Wert der zweiten Ableitung an einer Stelle dabei, die Art eines Extrempunkts zu bestimmen?

1. Identifikation: Der blaue Graph ist eine kubische Funktion, der rote eine Parabel. Da die Ableitung einer kubischen Funktion quadratisch ist, muss der blaue Graph \(f'\) und der rote Graph \(f''\) sein. Dies wird bestätigt, da die Extremstellen von \(f'\) (blau) bei den Nullstellen von \(f''\) (rot) liegen (ca. bei \(x \approx \pm 1{,}7\)). 2. Waagerechte Tangenten von \(f\): Diese treten bei den Nullstellen von \(f'\) auf. Im blauen Graphen sind dies \(x_1 = -3\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 3\). 3. Klassifikation der Extrema mithilfe von \(f''\) (rot): Bei \(x_1 = -3\) ist \(f''(-3) > 0\) (roter Graph oberhalb der x-Achse) \(\implies\) lokales Minimum (Tiefpunkt). Bei \(x_2 = 0\) ist \(f''(0) < 0\) (roter Graph unterhalb der x-Achse) \(\implies\) lokales Maximum (Hochpunkt). Bei \(x_3 = 3\) ist \(f''(3) > 0\) (roter Graph oberhalb der x-Achse) \(\implies\) lokales Minimum (Tiefpunkt).

a) Der blaue Graph gehört zu \(f'\), der rote zu \(f''\). Der rote Graph ist die Ableitung des blauen, da er an dessen Extremstellen Nullstellen besitzt. b) Der Graph von \(f\) hat waagerechte Tangenten bei \(x = -3\), \(x = 0\) und \(x = 3\). Bei \(x = -3\) und \(x = 3\) liegen Tiefpunkte vor, bei \(x = 0\) ein Hochpunkt.

- Schau dir die Formen der Kurven an: Welche könnte die Ableitung der anderen sein? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der zweiten Ableitung und der Krümmung des Graphen. - Wo liegt der Graph der zweiten Ableitung oberhalb der x-Achse?

1. Der rote Graph \(g_1\) ist kubisch, der blaue Graph \(g_2\) quadratisch. Da \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, gilt \(g_1 = f'\) und \(g_2 = f''\). Die Nullstellen von \(g_2\) liegen an den Extremstellen von \(g_1\). 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x) > 0\). Der blaue Graph liegt zwischen seinen Nullstellen \(x = -\sqrt{3}\) und \(x = \sqrt{3}\) oberhalb der \(x\)-Achse. 3. Daher ist \(f\) für \(x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3})\), näherungsweise für \(x \in (-1{,}73; 1{,}73)\), linksgekrümmt.

a) \(g_1 = f'\) und \(g_2 = f''\). b) \(f\) ist für \(x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3})\), also näherungsweise für \(x \in (-1{,}73; 1{,}73)\), linksgekrümmt.

- Bestimme zuerst die Eigenschaften der Basisfunktion \(f\), wie zum Beispiel den Scheitelpunkt oder die Nullstellen. - Überlege dir, wie sich der Graph verändert, wenn man eine Zahl zum Funktionswert addiert oder zum Argument \(x\). - Erinnere dich daran, welchen Funktionstyp die Ableitung einer quadratischen Funktion hat. - Nutze markante Punkte wie den tiefsten Punkt (Scheitelpunkt), um die Verschiebungen zu verfolgen.

1. Identifikation der Basisfunktion \(f(x) = x^2 - 2x\): Dies ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=2\) sowie dem Scheitelpunkt bei \((1 \mid -1)\). Dies entspricht Graph II. 2. Identifikation der Ableitungsfunktion \(f'(x)\): Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist linear. \(f'(x) = 2x - 2\). Dies ist eine Gerade mit der Steigung 2 und dem y-Achsenabschnitt \(-2\). Dies entspricht Graph IV. 3. Identifikation der vertikalen Verschiebung \(g(x) = f(x) + 3\): Der Graph von \(f\) wird um 3 Einheiten nach oben verschoben. Der neue Scheitelpunkt liegt bei \((1 \mid -1 + 3) = (1 \mid 2)\). Dies entspricht Graph I. 4. Identifikation der horizontalen Verschiebung \(h(x) = f(x + 2)\): Der Graph von \(f\) wird um 2 Einheiten nach links verschoben. Der neue Scheitelpunkt liegt bei \((1 - 2 \mid -1) = (-1 \mid -1)\). Dies entspricht Graph III.

Graph I: \(g(x) = f(x) + 3\) Graph II: \(f(x)\) Graph III: \(h(x) = f(x + 2)\) Graph IV: \(f'(x)\)

- Was sagt der Wert von \(f'(x)\) über die Tangentensteigung der Originalfunktion \(f\) aus? - Wie hängen die Krümmung von \(f\) bzw. die Steigung von \(f'\) mit der zweiten Ableitung \(f''\) zusammen? - Achte genau darauf, ob nach Eigenschaften von \(f\), \(f'\) oder \(f''\) gefragt wird. - Überlege dir, wie du aus dem Graphen von \(f'\) ablesen kannst, ob \(f'\) selbst steigt oder fällt.

1. Zu Aussage a): Bei \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle. Für \(x < 0\) (nahe 0) ist \(f'(x) > 0\) und für \(x > 0\) (nahe 0) ist \(f'(x) < 0\). Dieser Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus zeigt an, dass \(f\) bei \(x = 0\) von Steigen auf Fallen wechselt, also ein lokales Maximum vorliegt. Die Aussage ist wahr. 2. Zu Aussage b): Im offenen Intervall \((0; 2)\) liegt der Graph von \(f'\) unterhalb der \(x\)-Achse (\(f'(x) < 0\)). Damit ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton fallend. Die Aussage ist wahr. 3. Zu Aussage c): Die zweite Ableitung \(f''(1)\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f'\) an der Stelle \(x = 1\). Da der Graph von \(f'\) bei \(x = 1\) fällt, ist die Steigung dort negativ, also \(f''(1) < 0\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr: Nullstelle von \(f'\) bei \(x = 0\) mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\). b) Wahr: Da \(f'(x) < 0\) für alle \(x \in (0; 2)\). c) Wahr: Der Graph von \(f'\) hat bei \(x = 1\) eine negative Steigung, somit ist \(f''(1) < 0\).

- Denke daran: Die Nullstellen von \(f'\) geben Hinweise auf die Extremstellen von \(f\). - Achte auf das Vorzeichen der Ableitung: Wo ist sie positiv, wo negativ? - Was bedeuten die Extrempunkte von \(f'\) für die Krümmung der Originalfunktion \(f\)?

1. Aussage a): Wahr. Bei \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus. Das bedeutet, \(f\) steigt links von \(0\) und fällt rechts davon. 2. Aussage b): Wahr. Im Intervall \((0; 4)\) verläuft der Graph von \(f'\) unterhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(f'(x) < 0\). Damit fällt \(f\) in diesem Bereich streng monoton. 3. Aussage c): Wahr. Bei \(x = 2\) hat die Ableitungsfunktion \(f'\) einen lokalen Extrempunkt (Tiefpunkt). Die Steigung von \(f'\) ist dort null, was \(f''(2) = 0\) entspricht. Da \(f'\) dort die Richtung ändert, liegt ein Krümmungswechsel und somit eine Wendestelle von \(f\) vor.

a) Wahr, da \(f'(0) = 0\) mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\). b) Wahr, da \(f'(x) \leq 0\) für \(x \in [0; 4]\). c) Wahr, da \(f'\) bei \(x = 2\) eine Extremstelle hat.

- Zähle die Stellen, an denen der Graph der Ableitung die \(x\)-Achse kreuzt. - Überlege dir, bei welchem Vorzeichenwechsel von \(f'\) die Funktion von Sinken auf Steigen umschaltet. - Wo ändert die Ableitung ihre Steigungsrichtung? Diese Stellen sind wichtig für die Krümmung.

1. Extremstellen von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Diese liegen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\); daher besitzt \(f\) drei Extremstellen. 2. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt ein lokales Maximum vor. Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt ein lokales Minimum vor. Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt ein lokales Maximum vor. 3. Wendepunkte von \(f\) liegen an den Extremstellen von \(f'\). Der Graph von \(f'\) besitzt zwei Extremstellen, ungefähr bei \(x \approx -1{,}15\) und \(x \approx 1{,}15\). Daher besitzt \(f\) zwei Wendepunkte.

1. \(f\) besitzt drei Extremstellen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 2. Das lokale Minimum liegt bei \(x = 0\). Bei \(x = -2\) und \(x = 2\) liegen lokale Maxima. 3. Der Graph von \(f\) besitzt zwei Wendepunkte.

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung über das Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion aussagt. - Wie erkennst du an der Ableitung, ob ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt vorliegt? - Achte besonders auf die Stellen, an denen der Graph der Ableitung die x-Achse schneidet oder berührt. - Was bedeutet eine Nullstelle der Ableitung für die Steigung der Tangente im Funktionsgraphen?

1. Analyse des Graphen von \(f'\): Die Funktion \(f\) ist dort streng monoton steigend, wo \(f'(x) > 0\), und streng monoton fallend, wo \(f'(x) < 0\). Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel (VZW) kennzeichnen lokale Extrema von \(f\). 2. Aussage a): Falsch. Im Intervall \((-2; 0)\) verläuft der Graph von \(f'\) oberhalb der x-Achse (\(f'(x) > 0\)), daher ist \(f\) dort streng monoton steigend. 3. Aussage b): Richtig. An der Stelle \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Das bedeutet, \(f\) wechselt von Steigen zu Fallen, was einen Hochpunkt definiert. 4. Aussage c): Falsch. Bei \(x = 3\) hat \(f'\) einen VZW von Minus nach Plus. Dies entspricht einem Tiefpunkt von \(f\). Ein Sattelpunkt läge nur vor, wenn \(f'(3) = 0\) ohne VZW wäre. 5. Aussage d): Richtig. Eine Nullstelle der Ableitungsfunktion (\(f'(x_0) = 0\)) bedeutet geometrisch immer, dass die Tangente an den Graphen von \(f\) an dieser Stelle die Steigung Null hat, also waagerecht verläuft.

a) Falsch, da \(f'(x) > 0\) für \(x \in (-2; 0)\). b) Richtig, da \(f'(0) = 0\) mit VZW von \(+\) nach \(-\). c) Falsch, da \(f'(3) = 0\) mit VZW von \(-\) nach \(+\) (Tiefpunkt). d) Richtig, da \(f'(3) = 0\) die Bedingung für eine waagerechte Tangente ist.

- Wo liegen die Hoch- und Tiefpunkte der Funktionen? Schau nach den entsprechenden Nullstellen in den Ableitungsgraphen. - Überprüfe die Monotonie: Wenn der Funktionsgraph fällt, muss der Ableitungsgraph unterhalb der x-Achse liegen. - Wie verhält sich die Steigung in der Nähe des Ursprungs? Ist sie positiv, negativ oder null? - Kannst du anhand der Form des Funktionsgraphen (z. B. Parabel, Sinuswelle) bereits vermuten, welche Form der Ableitungsgraph haben muss?

1. Graph A ist eine Parabel mit Tiefpunkt bei \(x = 2\). Die Ableitung muss dort von negativ zu positiv wechseln. Dies trifft auf Graph 1 zu. 2. Graph B ist die Sinusfunktion. Ihre Extremstellen liegen bei \(x \approx \pm 1{,}57\), und im Ursprung ist die Steigung positiv. Daher gehört die Cosinusfunktion in Graph 2 zu B. 3. Graph C besitzt bei \(x = -1\) einen Tiefpunkt und bei \(x = 1\) einen Hochpunkt. Zwischen diesen Stellen steigt der Graph, außerhalb fällt er. Die Ableitung muss daher zwischen \(-1\) und \(1\) positiv und außerhalb negativ sein. Dies trifft auf die nach unten geöffnete Parabel in Graph 3 zu. Zusammenfassend: A \(\to\) 1, B \(\to\) 2, C \(\to\) 3.

Die Zuordnung ist: A \(\to\) 1 B \(\to\) 2 C \(\to\) 3

- Überlege, welche Steigung die Funktion an ihren Hoch- und Tiefpunkten hat. Welchen Wert muss die Ableitungsfunktion dort annehmen? - Achte auf die Bereiche, in denen der Funktionsgraph steigt oder fällt. Was bedeutet das für das Vorzeichen der Ableitungsfunktion? - Wenn eine Funktion vom Grad \(n\) ist, welchen Grad hat dann ihre Ableitungsfunktion? - Schau dir die Symmetrie der Graphen an. Eine achsensymmetrische Funktion hat oft eine punktsymmetrische Ableitung.

1. Graph (1) zeigt eine Funktion 4. Grades mit zwei lokalen Minima bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie einem lokalen Maximum bei \(x = 0\). Die Ableitungsfunktion muss daher Nullstellen bei \(-2\), \(0\) und \(2\) haben. Dies trifft auf Graph (B) zu. 2. Graph (2) stellt eine Sinusfunktion dar, die bei \(x \approx 1{,}57\) (\(\frac{\pi}{2}\)) ein Maximum und bei \(x \approx -1{,}57\) ein Minimum hat. Die Ableitung muss dort Nullstellen besitzen und periodisch sein. Graph (C) zeigt die entsprechende Kosinusfunktion. 3. Graph (3) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei \(x = 0\). Die Ableitung muss eine Gerade mit negativer Steigung sein, die die x-Achse bei \(0\) schneidet. Dies entspricht Graph (A). Ergebnis: (1) \(\rightarrow\) (B), (2) \(\rightarrow\) (C), (3) \(\rightarrow\) (A).

Die richtige Zuordnung lautet: (1) gehört zu (B) (2) gehört zu (C) (3) gehört zu (A)

- Überlege dir, wie der Grad einer Funktion und ihrer Ableitung zusammenhängen. - Welchen besonderen Wert muss die Ableitung an den Stellen haben, an denen die Ausgangsfunktion einen Berg oder ein Tal hat? - Achte auf das Vorzeichen der Ableitung: Was bedeutet es für die Steigung der Funktion, wenn der Graph der Ableitung oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft? - Wo findet man im Graphen der Ableitung den Hinweis auf die stärkste Steigung oder das stärkste Gefälle der Ausgangsfunktion?

1. Der blaue Graph ist kubisch, der rote eine Parabel. Da beim Ableiten der Grad um \(1\) sinkt und die Nullstellen des roten Graphen mit den Extremstellen des blauen übereinstimmen, gehört Blau zu \(f\) und Rot zu \(f'\). 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -1\) und \(x = 2\). Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt ein Hochpunkt vor. Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt ein Tiefpunkt vor. 3. Der Scheitelpunkt von \(f'\) liegt bei \(x = 0{,}5\). Am blauen Graphen liest man dort \(f(0{,}5) \approx 0{,}35\) ab. Der Wendepunkt liegt näherungsweise bei \(W(0{,}5 \mid 0{,}35)\).

a) Blau gehört zu \(f\), Rot zu \(f'\). b) Hochpunkt bei \(x = -1\); Tiefpunkt bei \(x = 2\). c) \(W(0{,}5 \mid 0{,}35)\) näherungsweise.

- Wie hängen die Steigung der Ableitungsfunktion \(f'\) (also \(f''\)) und die Krümmung der Ausgangsfunktion \(f\) zusammen? - Schau dir an, wo die Ableitungsfunktion steigt oder fällt. Was bedeutet das für die Krümmung von \(f\)? - Überlege, was die lokalen Maxima und Minima der Ableitungsfunktion für die Wendepunkte der Ausgangsfunktion bedeuten. - Achte auf die Stellen, an denen der Graph von \(f'\) die \(x\)-Achse von oben nach unten oder von unten nach oben kreuzt.

1. Lokale Extremstellen: Diese befinden sich an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Im Intervall \([-2{,}5; 2{,}5]\) gibt es drei Nullstellen: - Bei \(x \approx -1{,}73\) (VZW von \(-\) nach \(+\)): Lokales Minimum. - Bei \(x = 0\) (VZW von \(+\) nach \(-\)): Lokales Maximum. - Bei \(x \approx 1{,}73\) (VZW von \(-\) nach \(+\)): Lokales Minimum. Es gibt also insgesamt drei lokale Extremstellen. 2. Krümmungsverhalten: Eine Funktion \(f\) ist linksgekrümmt, wenn ihre Ableitungsfunktion \(f'\) streng monoton steigend ist (da dann \(f''(x) > 0\) gilt). Dem Graphen ist zu entnehmen, dass \(f'\) in den Intervallen \([-2{,}5; -1]\) und \([1; 2{,}5]\) steigt. Somit ist \(f\) dort linksgekrümmt. 3. Wendestellen: Die Wendestellen von \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Der Graph von \(f'\) hat einen Hochpunkt bei \(x = -1\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 1\). Daher liegen die Wendestellen von \(f\) bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\).

1. Es gibt drei lokale Extremstellen: Lokale Minima bei \(x \approx -1{,}73\) und \(x \approx 1{,}73\) sowie ein lokales Maximum bei \(x = 0\). 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wenn \(f'\) steigt. Dies ist für \(x \in [-2{,}5; -1]\) und \(x \in [1; 2{,}5]\) der Fall. 3. Die Wendestellen von \(f\) liegen bei \(x = -1\) und \(x = 1\).

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung über die Steigung der ursprünglichen Funktion aussagt. - Wo schneidet der Graph der Ableitung die x-Achse? Das sind die Kandidaten für Extremstellen. - Schau dir an, wie sich die Werte der Ableitung kurz vor und kurz nach einer Nullstelle verändern. Geht der Graph von oben nach unten durch die Achse oder umgekehrt? - Erinnere dich daran, dass "wachsend" bedeutet, dass die Steigung positiv ist.

1. Im dargestellten Bereich ist \(f'(x) > 0\) für \(-4 \le x < -2\) und für \(1 < x < 3\). Daher ist \(f\) auf \([-4; -2]\) und \([1; 3]\) streng monoton wachsend. 2. Es gilt \(f'(x) < 0\) für \(-2 < x < 1\) und für \(3 < x \le 5\). Daher ist \(f\) auf \([-2; 1]\) und \([3; 5]\) streng monoton fallend. 3. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus: lokales Maximum. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus: lokales Minimum. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus: lokales Maximum.

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-4; -2]\) und \([1; 3]\) streng monoton wachsend sowie auf \([-2; 1]\) und \([3; 5]\) streng monoton fallend. b) Lokale Maxima bei \(x = -2\) und \(x = 3\); lokales Minimum bei \(x = 1\).

- Überlege dir, welche Eigenschaft die Ableitungsfunktion an den Stellen hat, an denen die ursprüngliche Funktion einen Berg oder ein Tal (Extrempunkt) besitzt. - Schau dir an, ob ein Graph an der Stelle Null ist, an der der andere einen Hoch- oder Tiefpunkt hat. - Achte darauf, ob ein Graph positive Werte hat, wenn der andere Graph ansteigt. - Hilft dir der Grad der Funktionen weiter? Eine Parabel ist oft die Ableitung einer Funktion dritten Grades.

1. Analyse der markanten Punkte: Der blaue Graph \(k\) besitzt zwei lokale Extremstellen bei \(x = -1\) (lokales Maximum) und \(x = 3\) (lokales Minimum). 2. Abgleich mit dem roten Graphen \(m\): An genau diesen Stellen, \(x = -1\) und \(x = 3\), hat der rote Graph \(m\) seine Nullstellen. 3. Überprüfung des Monotonieverhaltens: Im Intervall \((-1; 3)\) fällt der blaue Graph \(k\), während der rote Graph \(m\) dort unterhalb der x-Achse verläuft (negative Werte). Für \(x < -1\) und \(x > 3\) steigt der blaue Graph \(k\), und der rote Graph \(m\) nimmt dort positive Werte an. 4. Schlussfolgerung: Da die Nullstellen von \(m\) mit den Extremstellen von \(k\) übereinstimmen und das Vorzeichen von \(m\) der Steigung von \(k\) entspricht, muss der blaue Graph \(k\) die Funktion \(f\) und der rote Graph \(m\) die Ableitungsfunktion \(f'\) darstellen.

Der blaue Graph \(k\) gehört zur Funktion \(f\), und der rote Graph \(m\) gehört zur Ableitungsfunktion \(f'\). Begründung: Die lokalen Extremstellen von \(k\) bei \(x = -1\) und \(x = 3\) entsprechen exakt den Nullstellen des Graphen \(m\). Zudem ist \(m\) dort positiv, wo \(k\) steigt, und negativ, wo \(k\) fällt.

- Achte auf die Stellen, an denen die ursprüngliche Funktion einen waagrechten Tangentenabschnitt (Extrempunkt) hat. Was bedeutet das für den Wert der Ableitungsfunktion? - Überlege dir, in welchen Bereichen die Funktion steigt oder fällt. Welches Vorzeichen muss der Graph der Ableitung in diesen Intervallen haben? - Betrachte die Symmetrie der Graphen. Wenn eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, welche Symmetrie erwartest du dann bei ihrer Ableitung? - Vergleiche die Krümmung. Wo die Funktion am steilsten ist, muss der Ableitungsgraph einen Extremwert (Maximum oder Minimum) haben.

Die Zuordnung erfolgt durch den Vergleich der Eigenschaften der Funktionsgraphen mit den Werten der Ableitungsgraphen: 1. Funktion \(f\) (blau) ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt bei \(x = 0\). Dort ist die Steigung null. Der zugehörige Ableitungsgraph muss also eine Nullstelle bei \(x = 0\) haben. Dies trifft auf den grauen Graphen (3) zu, der eine Gerade durch den Ursprung ist. Somit gehört \(f\) zu (3). 2. Funktion \(g\) (grün) ist eine kubische Funktion mit einem lokalen Minimum bei \(x = -2\) und einem lokalen Maximum bei \(x = 2\). Die Ableitung muss an diesen Stellen Nullstellen haben. Dies erfüllt der rote Graph (1), eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(\pm 2\). Somit gehört \(g\) zu (1). 3. Funktion \(h\) (lila) ist eine Sinuskurve. Sie hat ein Maximum bei etwa \(x \approx 2{,}6\), wo die Ableitung eine Nullstelle haben muss. Der orangefarbene Graph (2) zeigt eine Kosinuskurve, die genau an diesen Stellen Nullstellen und bei \(x = 0\) ihr Maximum hat (entsprechend der maximalen Steigung von \(h\) im Ursprung). Somit gehört \(h\) zu (2). Zusammenfassung: \(f \rightarrow (3)\), \(g \rightarrow (1)\), \(h \rightarrow (2)\).

Die korrekte Zuordnung lautet: - Der Funktion \(f\) (blau) entspricht der Ableitungsgraph (3) (grau). - Der Funktion \(g\) (grün) entspricht der Ableitungsgraph (1) (rot). - Der Funktion \(h\) (lila) entspricht der Ableitungsgraph (2) (orange).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'(x)\) und dem Steigungsverhalten der Funktion \(f(x)\). - Wo die Ableitung die x-Achse schneidet, hat die ursprüngliche Funktion eine waagrechte Tangente. Schau dir den Vorzeichenwechsel an diesen Stellen genau an. - Die Steigung des Graphen von \(f'\) an einer Stelle \(x\) entspricht dem Wert der zweiten Ableitung \(f''(x)\). Was sagt dieser über die Krümmung von \(f\) aus? - Ein Extrempunkt im Graphen der Ableitung deutet oft auf eine besondere Stelle im Graphen der Ausgangsfunktion hin. Welche könnte das sein?

Analyse des Ableitungsgraphen \(f'\): 1. Monotonie von \(f\): Die Funktion \(f\) steigt dort, wo \(f'(x) > 0\) gilt. Aus dem Graphen liest man ab, dass \(f'(x) > 0\) für \(x < 1\) und \(x > 3\) ist. Somit ist \(f\) in den Intervallen \((-\infty; 1]\) und \([3; \infty)\) streng monoton steigend. 2. Extremstellen von \(f\): Lokale Extremstellen liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. - Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ, also hat \(f\) dort ein lokales Maximum. - Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv, also hat \(f\) dort ein lokales Minimum. 3. Krümmung von \(f\): Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x = 2\) ein lokales Minimum. Seine Steigung ist dort null, also gilt \(f''(2) = 0\). Links von \(x = 2\) fällt \(f'\), rechts davon steigt \(f'\). Damit wechselt \(f''\) von negativ zu positiv. Der Graph von \(f\) wechselt folglich an der Stelle \(x = 2\) von Rechtskrümmung zu Linkskrümmung und besitzt dort einen Wendepunkt.

a) Die Funktion \(f\) ist in den Intervallen \((-\infty; 1]\) und \([3; \infty)\) streng monoton steigend. b) Bei \(x = 1\) liegt ein lokales Maximum vor (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(+\) nach \(-\)). Bei \(x = 3\) liegt ein lokales Minimum vor (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(-\) nach \(+\)). c) Es gilt \(f''(2) = 0\). An der Stelle \(x = 2\) besitzt \(f\) einen Wendepunkt; die Krümmung wechselt von rechts nach links.

- Welche besondere Eigenschaft hat die Ableitung an einer Stelle, an der die Originalfunktion einen Hoch- oder Tiefpunkt hat? - Betrachte die Steigung der Geraden \(g\). Wie müsste der Graph einer Funktion aussehen, die diese Steigung beschreibt? - Vergleiche die Nullstellen der einen Funktion mit den waagerechten Tangenten der anderen Funktion.

1. Überprüfung, ob \(g = f'\) gilt: Der Graph von \(f\) (Parabel) hat seinen Tiefpunkt (Extremstelle) bei \(x = 2\). Eine Ableitungsfunktion müsste dort eine Nullstelle haben. Da der Graph von \(g\) an der Stelle \(x = 2\) den Funktionswert \(g(2) = 0{,}5 \neq 0\) besitzt, kann \(g\) nicht die Ableitungsfunktion von \(f\) sein. 2. Überprüfung, ob \(f = g'\) gilt: Der Graph von \(g\) ist eine Gerade mit einer konstanten, negativen Steigung (hier \(m = -0{,}5\)). Die Ableitungsfunktion einer linearen Funktion ist immer eine konstante Funktion. Da der Graph von \(f\) eine Parabel und somit keine Parallele zur x-Achse ist, kann \(f\) nicht die Ableitungsfunktion von \(g\) sein.

\(g\) ist nicht die Ableitungsfunktion von \(f\), da \(f\) bei \(x = 2\) ein Minimum hat, \(g\) dort aber keine Nullstelle besitzt (\(g(2) = 0{,}5\)). \(f\) ist nicht die Ableitungsfunktion von \(g\), da \(g\) eine Gerade mit konstanter negativer Steigung ist, die Ableitungsfunktion also eine konstante negative Funktion sein müsste, während \(f\) eine Parabel ist.

- Betrachte die Stellen, an denen einer der Graphen einen Hoch- oder Tiefpunkt hat. Welchen Wert muss der andere Graph dort haben, wenn er die Ableitung ist? - Überlege dir, wie sich das Steigen oder Fallen einer Funktion im Vorzeichen ihrer Ableitungsfunktion widerspiegelt. - Ein Steigungsdreieck an einer beliebigen Stelle hilft dir, die Steigung eines Graphen mit dem Funktionswert der Ableitung zu vergleichen. - Beachte den Verlauf für große \(x\)-Werte: Wie ändert sich der Grad einer Funktion beim Ableiten?

1. Zusammenhang zwischen Extremstellen und Nullstellen: Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x = -2\) einen Hochpunkt und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt. Da die Tangente in Extrempunkten waagerecht verläuft, muss die Ableitungsfunktion dort den Wert null annehmen. Der Graph von \(g\) besitzt genau an diesen Stellen Nullstellen, was \(g = f'\) bestätigt. Umgekehrt kann \(f\) nicht die Ableitungsfunktion von \(g\) sein: \(g\) ist quadratisch, daher wäre \(g'\) linear; der Graph von \(f\) ist jedoch kubisch. 2. Zusammenhang zwischen Monotonie und Vorzeichen: Im Intervall \((-2; 2)\) ist der Graph von \(f\) streng monoton fallend. Die Ableitungsfunktion muss dort negative Werte annehmen. Tatsächlich verläuft der Graph von \(g\) in diesem Intervall unterhalb der \(x\)-Achse. Für \(x < -2\) und \(x > 2\) steigt \(f\), und \(g\) ist positiv. 3. Überprüfung an der Stelle \(x = 0\): An der Stelle \(x = 0\) zeigt der Graph von \(f\) eine negative Steigung. Mit einem Steigungsdreieck lässt sich ein Wert von etwa \(-1{,}2\) ablesen. Der Funktionswert der Ableitungsfunktion \(g\) an dieser Stelle beträgt \(g(0) = -1{,}2\).

a) \(g\) ist die Ableitungsfunktion von \(f\) (\(g = f'\)), da die Nullstellen von \(g\) bei \(x = -2\) und \(x = 2\) exakt mit den Extremstellen von \(f\) übereinstimmen. Zudem ist \(g\) negativ, wo \(f\) fällt, und positiv, wo \(f\) steigt. b) Bei \(x = 0\) ist der Funktionswert \(g(0) = -1{,}2\). Dies entspricht der Steigung des Graphen von \(f\) an dieser Stelle, die ebenfalls etwa \(-1{,}2\) beträgt.

- Berechne zunächst die Ableitungen \(f'(x)\) und \(g'(x)\). - Achte auf den Grad der resultierenden Funktionen: Die Ableitung einer Funktion 3. Grades ist quadratisch, die einer Funktion 4. Grades kubisch. - Nutze die Symmetrieeigenschaften: Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch, solche mit ungeraden Exponenten punktsymmetrisch. - Bestimme die Nullstellen der Ableitungen und vergleiche sie mit den Schnittpunkten auf der \(x\)-Achse in den Abbildungen.

1. Bestimmung der Ableitungen: Durch Anwendung der Potenzregel erhält man: \(f'(x) = x^2 - 1\) \(g'(x) = x^3 - 4x\) 2. Analyse von \(f'\): Die Funktion \(f'(x) = x^2 - 1\) ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete, achsensymmetrische Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid -1)\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 1\) und \(x = -1\). Diese Merkmale finden sich in **Graph A**. 3. Analyse von \(g'\): Die Funktion \(g'(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4)\) ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung und besitzt drei Nullstellen: bei \(x = 0\), \(x = 2\) und \(x = -2\). Diese Eigenschaften werden durch **Graph B** korrekt dargestellt.

Die Ableitungsfunktion \(f'\) wird durch Graph A dargestellt, die Ableitungsfunktion \(g'\) durch Graph B.

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung \(f'\) über die Monotonie der Funktion \(f\) aussagt. - Wie hängen die Nullstellen von \(f'\) mit den Extremstellen von \(f\) zusammen? Achte dabei auf den Vorzeichenwechsel. - Die Krümmung von \(f\) lässt sich am Monotonieverhalten von \(f'\) ablesen. Wann ist eine Funktion links- oder rechtsgekrümmt? - Wo findet man die Wendestellen einer Funktion im Graphen ihrer Ableitung?

1. **Wahr**: Im Intervall \([-3; 0]\) verläuft der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) oberhalb oder auf der \(x\)-Achse (\(f'(x) \ge 0\)). Daher ist die Ausgangsfunktion \(f\) dort streng monoton steigend. 2. **Falsch**: An der Stelle \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus. Dies entspricht einer lokalen Maximalstelle von \(f\), keiner Minimalstelle. 3. **Falsch**: Ein Graph ist rechtsgekrümmt, wenn die Ableitung \(f'\) streng monoton fallend ist. Der Graph von \(f'\) fällt zwar ab \(x = 0\), erreicht aber bei ca. \(x \approx 2{,}4\) einen Tiefpunkt und steigt danach wieder an. Somit ist \(f\) nicht im gesamten Intervall \([1; 3]\) rechtsgekrümmt. 4. **Wahr**: Wendestellen von \(f\) liegen an den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Da \(G_{f'}\) im gezeigten Bereich genau einen Hochpunkt (bei \(x \approx -1{,}7\)) und einen Tiefpunkt (bei \(x \approx 2{,}4\)) besitzt, hat \(f\) genau zwei Wendestellen.

1. Wahr 2. Falsch 3. Falsch 4. Wahr

- Erinnere dich an den Zusammenhang: Wenn \(f'\) die \(x\)-Achse schneidet, was passiert dann bei \(f\)? - Die Krümmung von \(f\) hat direkt mit der Steigung von \(f'\) zu tun. Schau dir an, wo der Graph von \(f'\) steigt oder fällt.

1. Lokale Extremstellen: Die Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel sind die Extremstellen von \(f\). Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv, dort liegt ein Tiefpunkt. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ, dort liegt ein Hochpunkt. 2. Krümmung: Ein Graph ist linksgekrümmt, wenn \(f'\) zunimmt. Im dargestellten Bereich steigt der Graph von \(f'\) für \(-0{,}5 \le x < 2\). Daher ist \(f\) im Intervall \([-0{,}5; 2)\) linksgekrümmt. Bei \(x = 2\) gilt \(f''(2)=0\); dort liegt die Wendestelle.

a) Tiefpunkt bei \(x = 1\); Hochpunkt bei \(x = 3\). b) Im dargestellten Bereich ist \(f\) im Intervall \([-0{,}5; 2)\) linksgekrümmt, da \(f'\) dort steigt.

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung \(f'(x)\) über das Steigungsverhalten von \(f\) aussagt. - Achte auf die Nullstellen von \(f'\) und wie sich das Vorzeichen dort ändert, um Maxima und Minima zu finden. - Die Steigung des Graphen von \(f'\) entspricht der zweiten Ableitung \(f''\). Was sagt diese über die Krümmung aus? - Wenn eine Funktion in einem Bereich steigt, wie verhalten sich dann zwei Funktionswerte zueinander?

1. Analyse der Monotonie: Da der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) im Intervall \([-2; 2]\) oberhalb oder auf der x-Achse verläuft (\(f'(x) \ge 0\)), ist die Funktion \(f\) dort streng monoton zunehmend. Aussage a) ist wahr. 2. Bestimmung der Extrema: An der Stelle \(x = 2\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Das bedeutet, dass \(f\) dort ein lokales Maximum (und kein Minimum) besitzt. Aussage b) ist falsch. 3. Untersuchung der Krümmung: Die Krümmung von \(G_f\) wird durch das Steigungsverhalten von \(f'\) bestimmt. Da \(G_{f'}\) für \(x > 0\) fällt (negative Steigung von \(f'\), also \(f''(x) < 0\)), ist \(G_f\) in diesem Bereich rechtsgekrümmt. Aussage c) ist wahr. 4. Vergleich von Funktionswerten: Da \(f\) im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton steigt, muss für jeden Wert \(x > -2\) in diesem Intervall gelten: \(f(x) > f(-2)\). Mit \(f(-2) = 0\) folgt somit \(f(0) > 0\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Falsch

- Wo die Ableitung \(f'(x)\) die \(x\)-Achse schneidet, hat die ursprüngliche Funktion \(f\) eine waagerechte Tangente. - Ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) bedeutet, dass die Funktion von Steigen auf Fallen (oder umgekehrt) wechselt. - Was passiert mit der Funktion \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) zwar Null wird, aber danach dasselbe Vorzeichen behält wie davor? - Achte genau darauf, ob der gezeigte Graph die Funktion selbst oder ihre Ableitung darstellt.

1. Bestimmung der Extremstellen von \(f\): - Lokale Extremstellen liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. - Bei \(x = -3\) wechselt \(f'\) vom negativen in den positiven Bereich. Dies entspricht einem Übergang von fallendem zu steigendem Graphen von \(f\), also liegt ein Tiefpunkt vor. - Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) vom positiven in den negativen Bereich. Dies entspricht einem Übergang von steigendem zu fallendem Graphen von \(f\), also liegt ein Hochpunkt vor. 2. Bestimmung des Terrassenpunkts von \(f\): - Ein Terrassenpunkt liegt vor, wenn \(f'(x) = 0\) gilt, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Bei \(x = 4\) hat \(f'\) eine Nullstelle, bleibt aber sowohl links als auch rechts davon im negativen Bereich (\(f'(x) < 0\)). Daher hat der Graph von \(f\) an dieser Stelle eine waagerechte Tangente, fällt aber weiter. Es liegt ein Terrassenpunkt vor.

a) Bei \(x = -3\) liegt ein Tiefpunkt vor (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(-\) nach \(+\)). Bei \(x = 1\) liegt ein Hochpunkt vor (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(+\) nach \(-\)). b) Bei \(x = 4\) liegt ein Terrassenpunkt vor, da \(f'(4) = 0\) gilt, aber kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) stattfindet (die Steigung bleibt negativ).

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Steigungsverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Was passiert mit dem Graphen von \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) die x-Achse schneidet? - Achte auf die Richtung des Vorzeichenwechsels an den Nullstellen der Ableitung.

1. Monotonie bestimmen: Die Funktion \(f\) ist dort streng monoton fallend, wo ihre Ableitung negativ ist (\(f'(x) < 0\)). Dem Graphen entnimmt man die Intervalle \(x < -2\) und \(1 < x < 3\). Da die Nullstellen isoliert liegen, ist \(f\) auf den abgeschlossenen Intervallen \((-\infty; -2]\) und \([1; 3]\) streng monoton fallend. 2. Nullstellen von \(f'\) identifizieren: Die Nullstellen der Ableitung liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). 3. Art der Extrema durch Vorzeichenwechsel (VZW) bestimmen: - Bei \(x = -2\) findet ein VZW von Minus nach Plus statt, daher liegt dort ein lokales Minimum von \(f\) vor. - Bei \(x = 1\) findet ein VZW von Plus nach Minus statt, daher liegt dort ein lokales Maximum von \(f\) vor. - Bei \(x = 3\) findet ein VZW von Minus nach Plus statt, daher liegt dort ein lokales Minimum von \(f\) vor.

a) \(f\) ist streng monoton fallend für \(x \in (-\infty; -2]\) und \(x \in [1; 3]\). b) Lokale Minima bei \(x = -2\) und \(x = 3\) (VZW von \(-\) nach \(+\)); lokales Maximum bei \(x = 1\) (VZW von \(+\) nach \(-\)).

- Erinnere dich daran, dass eine Nullstelle der Ableitung allein noch nicht ausreicht, um eine Extremstelle zu garantieren. - Was ist der Unterschied zwischen einem Schnittpunkt und einem Berührpunkt mit der x-Achse für die ursprüngliche Funktion? - Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Punkt, an dem die Steigung null ist, aber kein Extremum vorliegt.

1. Untersuchung von \(x = 2\): An der Stelle \(x = 2\) gilt zwar \(f'(2) = 0\), jedoch findet kein Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion statt (der Graph berührt die x-Achse nur und verläuft davor und danach im negativen Bereich). Somit liegt bei \(x = 2\) keine Extremstelle vor. 2. Lokale Extremstelle: Eine Extremstelle erfordert \(f'(x) = 0\) mit Vorzeichenwechsel. Dies ist laut Graph nur bei \(x = -1\) der Fall. Da die Ableitung dort von Plus nach Minus wechselt, hat \(f\) bei \(x = -1\) ein lokales Maximum. 3. Sattelpunkt: Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn \(f'(x) = 0\) gilt, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet. Dies ist bei \(x = 2\) der Fall, da der Graph von \(f'\) die x-Achse dort nur berührt.

a) Nein, da bei \(x = 2\) kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) vorliegt. b) Lokales Maximum bei \(x = -1\) (VZW von \(+\) nach \(-\)). c) Bei \(x = 2\), da \(f'(2) = 0\) ohne Vorzeichenwechsel gilt.

- Überlege dir, welche Information die y-Werte des dargestellten Graphen über die Steigung der ursprünglichen Funktion liefern. - Wie hängen Nullstellen und Vorzeichenwechsel der Ableitung mit den Extrempunkten zusammen? - Erinnere dich daran, dass die Steigung des gegebenen Graphen der zweiten Ableitung der ursprünglichen Funktion entspricht. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Krümmung eines Graphen aus?

1. Monotonie von \(f\): Die Funktion \(f\) ist streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung \(f'(x) < 0\) gilt. Dem Graphen ist zu entnehmen, dass \(f'(x) < 0\) für alle \(x \in (-2; 1)\) gilt. Somit ist die Aussage a) wahr. 2. Extrempunkte: Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist \(f'(x) = 0\). Dies ist bei \(x = -2\) der Fall. Da die Funktionswerte von \(f'\) dort von positiven zu negativen Werten wechseln (VZW von \(+\) nach \(-\)), liegt ein lokaler Hochpunkt vor. Aussage b) ist somit falsch. 3. Krümmungsverhalten: Die Krümmung von \(f\) wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''\) bestimmt, welche der Steigung von \(f'\) entspricht. Der Graph von \(f'\) steigt für alle \(x > -0{,}5\). Folglich ist \(f''(x) > 0\) für \(x > -0{,}5\), was eine Linkskrümmung bedeutet. Da \(0 > -0{,}5\) ist, ist die Funktion für alle \(x > 0\) linksgekrümmt. Aussage c) ist wahr. 4. Tangentensteigung: Die Steigung der Tangente an \(f\) an einer Stelle \(x_0\) ist gleich dem Funktionswert der Ableitung \(f'(x_0)\). Aus dem Graphen lässt sich \(f'(-1) = -1\) ablesen. Aussage d) ist wahr.

a) Wahr; b) Falsch (es ist ein Hochpunkt); c) Wahr; d) Wahr.

- Überlege dir, wie das Vorzeichen der ersten Ableitung mit dem Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion zusammenhängt. - Wie erkennst du an einem Ableitungsgraphen, ob die ursprüngliche Funktion an einer Stelle steigt oder fällt? - Was sagt die Steigung der ersten Ableitung (also die zweite Ableitung) über die Krümmung des Funktionsgraphen aus? - Denke an den Zusammenhang zwischen Extremstellen der Ableitung und besonderen Stellen der ursprünglichen Funktion.

1. Monotonie von \(f\): Da der Graph der Ableitung \(f'\) im Intervall \([1; 3]\) auf oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft (\(f'(x) \le 0\)), ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage (a) ist wahr. 2. Art der Extremstelle bei \(x=1\): Der Graph von \(f'\) wechselt bei \(x=1\) das Vorzeichen von Plus nach Minus. Dies entspricht einem lokalen Maximum der Funktion \(f\). Aussage (b) ist falsch. 3. Krümmungsverhalten von \(f\): Das Krümmungsverhalten wird durch die Steigung von \(f'\) bestimmt. Da \(f'\) bei \(x \approx -0{,}8\) ein lokales Maximum hat, wechselt die Steigung dort von positiv zu negativ, was einem Wechsel von Links- zu Rechtskrümmung entspricht. Somit ist \(f\) nicht im gesamten Intervall \([-1; 1]\) linksgekrümmt. Aussage (c) ist falsch. 4. Anzahl der Wendestellen: Wendestellen von \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Im abgebildeten Bereich besitzt der Graph von \(f'\) genau zwei Extremstellen (ein lokales Maximum bei \(x \approx -0{,}8\) und ein lokales Minimum bei \(x \approx 2{,}1\)). Aussage (d) ist wahr.

a) Wahr b) Falsch c) Falsch d) Wahr

- Achte darauf, dass hier nicht die Funktion selbst, sondern ihre Ableitung dargestellt ist. - Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über das Steigungsverhalten der Originalfunktion aus? - Wo findet man im Graphen der Ableitung die Information über die Steilstelle der Originalfunktion? - Wie erkennst du an einem Ableitungsgraphen, ob ein Extrempunkt ein Maximum oder ein Minimum ist?

1. Eine Funktion \(g\) nimmt dort streng monoton ab, wo ihre Ableitung \(g'\) negativ ist. Aus dem Graphen von \(g'\) liest man ab, dass \(g'(x) < 0\) für \(x \in (-2; 2)\) gilt. Die Funktion \(g\) nimmt also im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton ab. 2. Lokale Extremstellen liegen an den Nullstellen von \(g'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Bei \(x = -2\) wechselt \(g'\) von positiv zu negativ, daher liegt dort ein lokales Maximum von \(g\). Bei \(x = 2\) wechselt \(g'\) von negativ zu positiv, was auf ein lokales Minimum von \(g\) hindeutet. 3. Die stärkste negative Steigung entspricht dem globalen Minimum der Ableitungsfunktion im betrachteten Bereich. Der Scheitelpunkt der Parabel \(g'\) liegt bei \(x = 0\) mit dem Wert \(g'(0) = -4\). Somit ist die stärkste negative Steigung von \(g\) an der Stelle \(x = 0\) und beträgt \(-4\).

1. Im Intervall \([-2; 2]\). 2. Lokales Maximum bei \(x = -2\); lokales Minimum bei \(x = 2\). 3. An der Stelle \(x = 0\) ist die Steigung mit \(-4\) am stärksten negativ.

- Überlege dir, an welchen Stellen die ursprüngliche Funktion eine waagerechte Tangente hat. Was bedeutet das für den Wert der Ableitungsfunktion? - Achte auf die Bereiche, in denen die Funktion steigt oder fällt. Welches Vorzeichen hat dort die Ableitung? - Wenn die ursprüngliche Funktion eine Parabel (Grad 2) ist, welchen Grad hat dann ihre Ableitung? - Schau dir den Kurvenverlauf genau an: Wo ist die Steigung am steilsten? Dort muss die Ableitungsfunktion einen Extremwert haben.

1. Analyse von \(f\): Der Graph von \(f\) stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar, deren Scheitelpunkt bei \(x = 2\) liegt. An dieser Stelle ist die Steigung der Tangente gleich \(0\), weshalb die Ableitungsfunktion \(f'\) bei \(x = 2\) eine Nullstelle besitzen muss. Da der Graph für \(x < 2\) fällt (negative Steigung) und für \(x > 2\) steigt (positive Steigung), kommt nur der lineare Graph (1) infrage. Somit gilt: \(f \rightarrow (1)\). 2. Analyse von \(g\): Der Graph von \(g\) weist bei \(x \approx -1{,}2\) einen Hochpunkt und bei \(x \approx 3{,}2\) einen Tiefpunkt auf. Die Ableitungsfunktion \(g'\) muss folglich an diesen Stellen Nullstellen haben. Da \(g\) zwischen diesen Werten fällt, muss \(g'\) dort negative Werte annehmen. Dies entspricht dem Verlauf der Parabel (2). Somit gilt: \(g \rightarrow (2)\).

Der Graph (1) gehört zur Ableitungsfunktion \(f'\) und der Graph (2) gehört zur Ableitungsfunktion \(g'\).

- Erinnere dich an die physikalischen Zusammenhänge: Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges, und die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit. - Suche nach Stellen, an denen ein Graph einen Berg oder ein Tal (Extrempunkt) hat. Was passiert an dieser Stelle beim Graphen der Ableitungsfunktion? - Überprüfe, ob ein Graph über einen Bereich steigt oder fällt. Welches Vorzeichen muss der Graph der Ableitungsfunktion in diesem Bereich haben? - Wenn eine Funktion eine Parabel (Grad 2) ist, welche Form hat dann ihre Ableitung?

1. Zusammenhang zwischen Position \(s\), Geschwindigkeit \(v\) und Beschleunigung \(a\): Es gilt \(s'(t) = v(t)\) und \(v'(t) = a(t)\). 2. Analyse von Graph \(h\) (blau) und \(g\) (grün): Graph \(h\) besitzt ein lokales Maximum bei \(t = 2\) und ein lokales Minimum bei \(t = 6\). An genau diesen Stellen hat Graph \(g\) seine Nullstellen. Da die Nullstellen der Ableitung den Extremstellen der Funktion entsprechen, ist \(g\) die Ableitung von \(h\). Somit ist \(h\) die Position \(s(t)\) und \(g\) die Geschwindigkeit \(v(t)\). 3. Analyse von Graph \(g\) (grün) und \(f\) (rot): Graph \(g\) hat ein lokales Minimum bei \(t = 4\). An dieser Stelle hat der lineare Graph \(f\) seine Nullstelle. Da die Nullstelle der Ableitung der Extremstelle der Funktion entspricht, ist \(f\) die Ableitung von \(g\). Somit ist \(f\) die Beschleunigung \(a(t)\). 4. Ergebnis: \(h = s(t)\), \(g = v(t)\), \(f = a(t)\).

Der Graph \(h\) (blau) stellt die Position \(s(t)\) dar, der Graph \(g\) (grün) die Geschwindigkeit \(v(t)\) und der Graph \(f\) (rot) die Beschleunigung \(a(t)\). Begründung: Die Extremstellen von \(h\) bei \(t=2\) und \(t=6\) fallen mit den Nullstellen von \(g\) zusammen (\(s' = v\)). Die Extremstelle (Minimum) von \(g\) bei \(t=4\) fällt mit der Nullstelle von \(f\) zusammen (\(v' = a\)).

- Achte darauf, dass hier der Graph der Ableitung \(f'\) gegeben ist, nicht der von \(f\). - Wie hängen die Nullstellen von \(f'\) mit den Extremstellen von \(f\) zusammen? Betrachte dabei unbedingt den Vorzeichenwechsel. - Welches Vorzeichen muss \(f'\) haben, damit die Funktion \(f\) fällt oder steigt? - Überlege dir, welche Punkte im Graphen von \(f'\) den Wendepunkten von \(f\) entsprechen. - Die Steigung des Graphen von \(f'\) an einer Stelle entspricht dem Wert der zweiten Ableitung \(f''\) an dieser Stelle.

1. Ein lokales Maximum von \(f\) liegt vor, wenn die Ableitung \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus besitzt. Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) von positiven zu negativen Werten. Aussage (1) ist wahr. 2. Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung im betrachteten Intervall (fast überall) negativ ist. Im Intervall \([0; 3]\) verläuft der Graph von \(f'\) unterhalb der \(x\)-Achse, abgesehen von den Randpunkten. Aussage (2) ist wahr. 3. Wendestellen von \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Da der Graph von \(f'\) genau zwei Extrempunkte besitzt (einen Hochpunkt bei \(x \approx -1{,}7\) und einen Tiefpunkt bei \(x \approx 1{,}7\)), hat \(f\) genau zwei Wendestellen. Aussage (3) ist wahr. 4. Der Wert \(f''(2)\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\) an der Stelle \(x = 2\). Da der Graph von \(f'\) dort ansteigt, ist die Steigung positiv, also \(f''(2) > 0\). Aussage (4) ist wahr. 5. Bei \(x = 3\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von minus nach plus. Dies entspricht einem lokalen Minimum von \(f\), keinem Hochpunkt. Aussage (5) ist falsch.

(1) wahr, (2) wahr, (3) wahr, (4) wahr, (5) falsch

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen den Nullstellen der Ableitung und den Extremstellen der Ausgangsfunktion besteht. - Wie hängen der Steigungswinkel einer Tangente und der Wert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle zusammen? - Achte auf den Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion an den Nullstellen, um zwischen Maximum und Minimum zu unterscheiden. - Nutze die Nullstellenform einer Parabel, um die Funktionsgleichung systematisch aufzustellen.

1. Bestimmung der Extremstellen: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit Vorzeichenwechsel entsprechen den lokalen Extremstellen der Funktion \(f\). Aus dem Graphen lassen sich die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\) ablesen. 2. Art der Extremstellen: Bei \(x_1 = 1\) wechselt der Graph von \(f'\) von unterhalb nach oberhalb der x-Achse (negatives zu positivem Vorzeichen), was ein lokales Minimum für \(f\) bedeutet. Bei \(x_2 = 5\) findet ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus statt, was auf ein lokales Maximum hinweist. 3. Steigungswinkel \(45^\circ\): Ein Steigungswinkel von \(45^\circ\) entspricht der Steigung \(m = \tan(45^\circ) = 1\). Gesucht sind also die x-Werte, für die \(f'(x) = 1\) gilt. Laut Graph ist dies bei \(x = 2\) und \(x = 4\) der Fall. 4. Bestimmung der Funktionsgleichung: Da die Nullstellen bei \(1\) und \(5\) liegen, hat die Parabel die Form \(f'(x) = a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)\). Mit dem Scheitelpunkt \(S(3 \mid \frac{4}{3})\) ergibt sich durch Einsetzen: \(\frac{4}{3} = a \cdot (3 - 1) \cdot (3 - 5) = -4a\). Daraus folgt \(a = -\frac{1}{3}\). Ausmultiplizieren liefert \(f'(x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x + 5) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - \frac{5}{3}\). Die Parameter sind somit \(a = -\frac{1}{3}\), \(b = 2\) und \(c = -\frac{5}{3}\).

a) Lokales Minimum bei \(x = 1\); lokales Maximum bei \(x = 5\). b) Bei \(x = 2\) und \(x = 4\). c) \(a = -\frac{1}{3}\), \(b = 2\), \(c = -\frac{5}{3}\).

- Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Ableitungsfunktion für die ursprüngliche Funktion? - Wie hängen die Intervalle, in denen die Ableitung positiv oder negativ ist, mit dem Steigen und Fallen der Funktion zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Extremstellen der Ableitung und den Wendestellen der Funktion. - Ein Vorzeichenwechsel der Ableitung gibt dir Auskunft über die Art des Extrempunktes.

1. Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) sind die potenziellen Extremstellen von \(f\). Im Graphen sind Nullstellen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) erkennbar. Bei \(x_1 = -1\) findet ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus statt, also liegt dort ein lokales Maximum vor. Bei \(x_2 = 3\) wechselt das Vorzeichen von Minus nach Plus, folglich liegt dort ein lokales Minimum vor. 2. Der Graph von \(f\) steigt bis \(x = -1\), fällt dann bis \(x = 3\) und steigt danach wieder an. Der Punkt \((0|1)\) liegt auf dem Graphen. 3. Eine Wendestelle von \(f\) liegt dort vor, wo die Ableitungsfunktion \(f'\) ein lokales Extremum besitzt. Der Graph von \(f'\) hat seinen Tiefpunkt bei \(x = 1\). Daher hat \(f\) an der Stelle \(x = 1\) eine Wendestelle.

1. Lokales Maximum bei \(x = -1\), lokales Minimum bei \(x = 3\). 2. Qualitativer Verlauf: Steigend für \(x < -1\), fallend für \(-1 < x < 3\), steigend für \(x > 3\); geht durch \((0|1)\). 3. Wendestelle bei \(x = 1\), da dort die Ableitungsfunktion \(f'\) ein lokales Extremum (Tiefpunkt) hat.

- Überlege dir, welchen Grad die Ableitungsfunktion einer quadratischen Funktion hat. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit den Extrempunkten der Originalfunktion zusammen? - Wo kannst du den Wert der Steigung direkt ablesen? - Suche nach einem Punkt, an dem sich die Linien kreuzen.

1. Identifikation: Der Graph \(k\) gehört zur Funktion \(g\) (Parabel) und der Graph \(m\) zur Ableitungsfunktion \(g'\) (Gerade). Begründung: Die Ableitungsfunktion einer quadratischen Funktion ist linear. Alternativ: Da \(g\) bei \(x=0\) einen Tiefpunkt mit waagerechter Tangente hat, muss \(g'\) dort eine Nullstelle besitzen, was auf Graph \(m\) zutrifft. 2. Steigung bei \(x = 3\): Die Steigung von \(g\) entspricht dem y-Wert von \(g'\) an dieser Stelle. Am Graphen \(m\) liest man bei \(x = 3\) den Wert \(y = 1{,}5\) ab. 3. Gleiche Werte: Der Schnittpunkt der Graphen \(k\) und \(m\) für \(x > 0\) liegt bei \(x = 2\). Dort gilt \(g(2) = 1\) und \(g'(2) = 1\).

a) Der Graph \(k\) gehört zu \(g\) und der Graph \(m\) zu \(g'\). Begründung: \(g\) ist eine quadratische Funktion, deren Ableitung eine Gerade sein muss. b) Die Steigung an der Stelle \(x = 3\) beträgt \(1{,}5\). c) Die Stelle ist \(x = 2\).

- Wo liegen die Extremstellen der Ausgangsfunktion? Dort muss die Ableitungsfunktion die x-Achse schneiden. - Ist die Funktion in einem Intervall streng monoton steigend, so verläuft der Graph der Ableitungsfunktion oberhalb der x-Achse. - Überlege dir für markante Punkte (z. B. bei \(x=1\)) grob den Wert der Steigung und vergleiche ihn mit den y-Werten der Ableitungsgraphen. - Betrachte das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs oder an Polstellen.

1. Graph (1) zeigt eine Exponentialfunktion (\(f(x) = e^x - 2\)), die überall streng monoton steigt. Ihre Ableitung muss daher stets positiv sein und ebenfalls ein exponentielles Wachstum zeigen. Dies passt zu Graph (A) (\(f'(x) = e^x\)). 2. Graph (2) ist eine Hyperbel (\(f(x) = \frac{1}{x}\)). Die Funktion fällt in beiden Ästen ihres Definitionsbereichs streng monoton. Die Ableitung muss folglich überall negativ sein. Graph (C) zeigt den Verlauf von \(-\frac{1}{x^2}\), der genau diese Eigenschaft erfüllt. 3. Graph (3) zeigt eine kubische Funktion mit einem Maximum bei \(x = -1\) und einem Minimum bei \(x = 1\). Die Ableitungsfunktion muss an diesen Stellen Nullstellen haben und eine nach oben geöffnete Parabel sein. Dies trifft auf Graph (B) zu. Ergebnis: (1) \(\rightarrow\) (A), (2) \(\rightarrow\) (C), (3) \(\rightarrow\) (B).

Die Zuordnung ist: (1) \(\rightarrow\) (A) (2) \(\rightarrow\) (C) (3) \(\rightarrow\) (B)

- Welchen Grad muss die Ableitung haben? - Untersuche das Verhalten der Funktion \(f\) an der Stelle \(x=0\). Handelt es sich um ein Extremum oder einen Sattelpunkt? - Prüfe die Vorzeichen des Graphen für negative \(x\)-Werte. - Wie ändert sich die Steigung von \(f\) in der Nähe der Nullstellen des Graphen?

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)\). 2. Argument 1 (Grad der Funktion): Da \(f\) eine Funktion 4. Grades ist, muss \(f'\) eine Funktion 3. Grades sein. Der Graph von \(g\) zeigt jedoch eine Parabel, also eine Funktion 2. Grades. 3. Argument 2 (Vorzeichenwechsel): Die Ableitungsfunktion \(f'(x) = 4x^2(x - 3)\) hat bei \(x = 0\) eine doppelte Nullstelle (Sattelpunkt von \(f\)), also keinen Vorzeichenwechsel. Der Graph von \(g\) wechselt bei \(x = 0\) jedoch das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\). 4. Argument 3 (Wertebereich für \(x < 0\)): Für \(x < 0\) ist \(f'(x) = 4x^2(x - 3)\) stets negativ (da \(4x^2 > 0\) und \(x - 3 < 0\)). Der Graph von \(g\) nimmt für \(x < 0\) jedoch positive Werte an.

Der Graph von \(g\) ist nicht \(f'\), da: 1. \(f'\) vom Grad 3 sein muss, \(g\) aber eine Parabel (Grad 2) ist. 2. \(f\) bei \(x = 0\) einen Sattelpunkt hat (kein Vorzeichenwechsel in \(f'\)), \(g\) dort aber das Vorzeichen wechselt. 3. \(f'(x)\) für alle \(x < 0\) negativ sein muss, \(g\) dort aber positive Werte hat.

- Welche Beziehung besteht zwischen den Nullstellen der Ableitung und den Extrempunkten der Ausgangsfunktion? - Wie hängen die Steigung der Ableitungsfunktion und das Krümmungsverhalten der Ausgangsfunktion zusammen? - Betrachte die Symmetrieeigenschaften der beiden Graphen: Einer ist achsensymmetrisch, der andere punktsymmetrisch. - Wo hat der Graph von \(g\) seine Extrema und was bedeutet das für die Steigung von \(g\) in diesem Bereich?

1. Identifikation der Ableitung: \(f\) besitzt bei \(x = 0\) ein lokales Maximum. An dieser Stelle hat der Graph von \(g\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Zudem ist \(f\) für \(x < 0\) streng monoton steigend (während \(g(x) > 0\)) und für \(x > 0\) streng monoton fallend (während \(g(x) < 0\)). Daraus folgt \(g = f'\). 2. Bestimmung der Krümmung: Eine Rechtskrümmung von \(f\) liegt vor, wenn \(f''(x) < 0\) gilt, was bedeutet, dass die erste Ableitung \(g\) streng monoton fallend ist. Im Graphen von \(g\) ist dies im Intervall zwischen den beiden lokalen Extremstellen der Fall, also etwa für \(x \in ]-0{,}6; 0{,}6[\). 3. Skizze von \(f''\): Da \(f''\) die Ableitung von \(g\) ist, hat \(f''\) Nullstellen an den Extremstellen von \(g\) (\(x \approx \pm 0{,}6\)). Zwischen diesen Nullstellen ist \(f''\) negativ (da \(g\) dort fällt) mit einem Minimum bei \(x = 0\) (steilstes Gefälle von \(g\)). Außerhalb dieses Bereichs ist \(f''\) positiv und nähert sich für große \(|x|\) der \(x\)-Achse an.

a) \(g\) ist die Ableitung von \(f\), da das Maximum von \(f\) bei \(x=0\) mit der Nullstelle von \(g\) übereinstimmt und die Vorzeichen von \(g\) zum Monotonieverhalten von \(f\) passen. b) \(f\) ist rechtsgekrümmt, wo \(g\) fällt, also im Intervall \(]-0{,}58; 0{,}58[\). c) \(f''\) hat Nullstellen bei den Extremstellen von \(g\) (\(x \approx \pm 0{,}6\)) und ein Minimum an der Stelle, wo \(g\) am steilsten fällt (\(x = 0\)).