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- Welche Regel wendest du an, wenn ein Faktor vor der Potenz steht? - Was geschieht mit dem Exponenten beim Ableiten? - Was ist die Ableitung einer konstanten Zahl ohne \(x\)? - Wie behandelst du eine Summe von mehreren Termen?

1. Anwendung der Potenz- und Faktorregel auf den ersten Term: \(\frac{1}{2} \cdot 4x^3 = 2x^3\). 2. Anwendung auf den zweiten Term: \(-4 \cdot 3x^2 = -12x^2\). 3. Ableitung des linearen Terms \(12x\) ergibt \(12\). 4. Die Konstante \(-5\) fällt beim Ableiten weg (Ableitung ist \(0\)). 5. Zusammenfügen der Teilterme gemäß der Summenregel ergibt \(f'(x) = 2x^3 - 12x^2 + 12\).

\(f'(x) = 2x^3 - 12x^2 + 12\)

- Wie gehst du vor, wenn eine Funktion aus mehreren Summanden besteht? - Was passiert mit dem Exponenten und dem Vorfaktor beim Ableiten einer Potenz? - Welchen Wert hat die Ableitung einer konstanten Zahl ohne Variable? - Wie behandelst du Dezimalzahlen als Koeffizienten?

1. Anwendung der Potenzregel auf den ersten Term: \(6 \cdot \frac{5}{6}x^{6-1} = 5x^5\). 2. Anwendung der Potenzregel auf den zweiten Term: \(3 \cdot 2x^{3-1} = 6x^2\). 3. Anwendung der Potenzregel auf den dritten Term: \(2 \cdot 0{,}4x^{2-1} = 0{,}8x\). 4. Die Ableitung der Konstante \(-9\) ist \(0\). 5. Zusammenführen der Terme unter Berücksichtigung der Summenregel ergibt \(f'(x) = 5x^5 - 6x^2 + 0{,}8x\).

\(f'(x) = 5x^5 - 6x^2 + 0{,}8x\)

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle an? - Welche Regeln benötigst du, um eine Summe von Potenztermen abzuleiten? - Wie gehst du vor, wenn du die Steigung an einem konkreten Punkt wissen möchtest?

1. Bildung der Ableitungsfunktion \(f'\) unter Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{6}x^2 - 2 \cdot 3x + 10 = \frac{1}{2}x^2 - 6x + 10\). 2. Einsetzen des gegebenen Wertes \(x_0 = 6\) in die Ableitungsfunktion: \(f'(6) = \frac{1}{2} \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 10\). 3. Berechnung des Funktionswertes: \(f'(6) = 18 - 36 + 10 = -8\).

Die Steigung des Graphen an der Stelle \(x_0 = 6\) beträgt \(-8\).

- Welche Regel gilt für die Ableitung von Termen der Form \(c \cdot x\)? - Was passiert mit der Hochzahl beim Ableiten? - Überprüfe, ob alle Summanden der ursprünglichen Funktion korrekt behandelt wurden.

1. Analyse des Fehlers: Beim Ableiten des linearen Glieds \(7x\) wurde die Potenzregel nicht korrekt angewendet. Der Schüler hat den Faktor \(7\) beibehalten, aber die Variable \(x\) nicht korrekt differenziert (aus \(x^1\) wird \(1 \cdot x^0 = 1\)). Stattdessen wurde das \(x\) einfach stehen gelassen. 2. Korrekte Ableitung der einzelnen Terme: - \(\frac{1}{3}x^3 \to 3 \cdot \frac{1}{3}x^2 = x^2\) - \(-4x^2 \to 2 \cdot (-4)x = -8x\) - \(7x \to 7\) - \(-5 \to 0\) 3. Zusammenfügen der Ergebnisse zur korrekten Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^2 - 8x + 7\).

Der Fehler liegt beim Term \(7x\): Die Ableitung von \(7x\) ist \(7\), nicht \(7x\). Der Schüler hat vergessen, den Exponenten von \(x\) um 1 zu verringern (bzw. \(x^0 = 1\) zu setzen). Die korrekte Ableitungsfunktion lautet: \(f'(x) = x^2 - 8x + 7\).

- Beginne damit, die \(x\)-Koordinaten aller Schnittpunkte mit beiden Achsen zu bestimmen. - Welche Regel wendest du an, um die Steigungsfunktion zu erhalten? - Achte bei der Berechnung der Nullstellen auf die Vorzeichen. - Setze die gefundenen Stellen nacheinander in die Ableitung ein.

1. Bildung der Ableitungsfunktion: \(g'(x) = x - 2\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x=0\) ergibt \(g(0) = -6\). Die Steigung an dieser Stelle ist \(g'(0) = 0 - 2 = -2\). 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Lösen der quadratischen Gleichung \(0{,}5x^2 - 2x - 6 = 0\). Multiplikation mit \(2\) führt zu \(x^2 - 4x - 12 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\). 4. Steigungen an den Nullstellen: Einsetzen in \(g'(x)\) ergibt \(g'(6) = 6 - 2 = 4\) und \(g'(-2) = -2 - 2 = -4\).

Am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \((0 \mid -6)\) beträgt die Steigung \(-2\). An den Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse beträgt die Steigung \(4\) (bei \(x = 6\)) bzw. \(-4\) (bei \(x = -2\)).

- Welche Regel kennst du für das Ableiten von Summen? - Berechne zuerst die Ableitungen der beiden Funktionen getrennt voneinander. - Was passiert, wenn du die beiden Ableitungen addierst, und was, wenn du sie multiplizierst? - Setze eine einfache Zahl für \(x\) in beide Ausdrücke ein, um zu sehen, ob sie gleich sind.

1. Nennen der korrekten Regel: Nach der Summenregel gilt für \(f(x) = g(x) + h(x)\) die Ableitung \(f'(x) = g'(x) + h'(x)\). 2. Bestimmen der einzelnen Ableitungen für das Beispiel: Für \(g(x) = x^3\) ist \(g'(x) = 3x^2\) und für \(h(x) = x^2\) ist \(h'(x) = 2x\). 3. Berechnung der korrekten Ableitung der Summe: \(f'(x) = 3x^2 + 2x\). 4. Berechnung des Produkts der Ableitungen gemäß der Schülervermutung: \(g'(x) \cdot h'(x) = 3x^2 \cdot 2x = 6x^3\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(3x^2 + 2x\) im Allgemeinen nicht mit \(6x^3\) übereinstimmt (beispielsweise gilt für \(x=1\): \(5 \neq 6\)), ist die Vermutung widerlegt.

Die Vermutung ist falsch. Nach der Summenregel werden die Ableitungen der Summanden addiert, nicht multipliziert. Für \(g(x) = x^3\) und \(h(x) = x^2\) ist die richtige Ableitung \(f'(x) = 3x^2 + 2x\), während das Produkt der Ableitungen \(6x^3\) ergibt.

- Unterscheide zwischen einer Multiplikation und einer Addition. - Wie lautet die Faktorregel für Ableitungen genau? - Was passiert mit einem konstanten Faktor, wenn er vor einer Potenz von \(x\) steht? - Überlege dir, wie der Graph der Funktion \(f(x) = 5x^4\) aussieht – kann die Steigung überall Null sein?

1. Identifikation des Fehlers: Die Schülerin verwechselt die Potenzregel/Faktorregel mit der Konstantenregel für Summanden. Die Zahl \(5\) ist hier ein multiplikativer Faktor, kein einzelner Summand. 2. Anwendung der Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten: \((c \cdot g(x))' = c \cdot g'(x)\). 3. Berechnung der Ableitung von \(x^4\): Nach der Potenzregel ist dies \(4x^3\). 4. Zusammenführung: \(f'(x) = 5 \cdot 4x^3 = 20x^3\). 5. Fazit: Die Ableitung ist nur dann \(0\), wenn die Funktion eine reine Konstante ohne Variable ist (z. B. \(h(x) = 5\)).

Die Aussage ist falsch. Die Schülerin wendet die Konstantenregel fälschlicherweise auf einen Faktor an. Nach der Faktorregel bleibt die \(5\) als Faktor erhalten. Die korrekte Ableitung lautet \(f'(x) = 5 \cdot 4x^3 = 20x^3\).

- Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Ableitung zusammen? - Erinnere dich an die Regeln zum Ableiten von Potenzfunktionen. - Wenn die Ableitung einen bestimmten Wert haben soll, kannst du eine Gleichung aufstellen. - Isoliere die Variable \(x\), um die gesuchte Stelle zu finden.

1. Bildung der Ableitungsfunktion \(f'\) mithilfe der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = 3x - 7\). 2. Gleichsetzen der Ableitung mit dem Zielwert: \(3x - 7 = 5\). 3. Lösen der linearen Gleichung nach \(x\): \(3x = 12\) führt zu \(x = 4\).

\(x = 4\)

- Was berechnen die Formeln \(x^2\) und \(x^3\) in der Geometrie? - Welche Ableitungsregel hilft dir bei Potenzfunktionen? - Stell dir vor, du vergrößerst ein Quadrat oder einen Würfel an einer Ecke – an welchen Seiten oder Flächen findet das Wachstum statt? - Überlege, welche Einheit die Ableitung im Vergleich zur Ausgangsfunktion hat.

1. Die Ableitungsfunktionen lauten \(A'(x) = 2x\) und \(V'(x) = 3x^2\). 2. \(A(x)\) beschreibt den Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge \(x\). Die Ableitung \(A'(x)\) gibt die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts bei einer Änderung der Seitenlänge an; geometrisch entspricht \(2x\) der Summe der Längen der zwei Seiten, an denen das Quadrat bei einer Vergrößerung von \(x\) wächst. 3. \(V(x)\) beschreibt das Volumen eines Würfels mit Kantenlänge \(x\). Die Ableitung \(V'(x)\) gibt die momentane Änderungsrate des Volumens an; geometrisch entspricht \(3x^2\) der Summe der Flächeninhalte der drei Seitenflächen, über die der Würfel bei einer Vergrößerung von \(x\) wächst.

1. \(A'(x) = 2x\) und \(V'(x) = 3x^2\). 2. \(A(x)\): Flächeninhalt eines Quadrats; \(A'(x)\): Änderungsrate des Flächeninhalts (Summe zweier Seitenlängen). \(V(x)\): Volumen eines Würfels; \(V'(x)\): Änderungsrate des Volumens (Summe dreier Seitenflächen).

- Überlege dir, welche Variable die Veränderliche ist und welche Buchstaben als feste Zahlen (Parameter) behandelt werden. - Erinnere dich an die Regel für konstante Summanden beim Ableiten. - Wie gehst du vor, wenn vor der Potenz ein Faktor steht? - Gibt es eine Regel für Funktionen, die aus mehreren Summanden bestehen?

1. Für \(f(x) = 0{,}4x^5 - 2x^3 + 9\) wird die Potenzregel gliedweise angewendet: \(f'(x) = 5 \cdot 0{,}4x^4 - 3 \cdot 2x^2 + 0 = 2x^4 - 6x^2\). 2. Für \(g(t) = \frac{1}{6}t^3 - \frac{3}{4}t^2 + t\) ergibt sich durch Anwendung der Potenz- und Faktorregel: \(g'(t) = 3 \cdot \frac{1}{6}t^2 - 2 \cdot \frac{3}{4}t + 1 = \frac{1}{2}t^2 - \frac{3}{2}t + 1\). 3. Bei \(h(x) = k^2x^2 - 2kx\) wird nach \(x\) differenziert, wobei \(k\) als Konstante behandelt wird: \(h'(x) = 2 \cdot k^2x - 2k = 2k^2x - 2k\).

a) \(f'(x) = 2x^4 - 6x^2\) b) \(g'(t) = \frac{1}{2}t^2 - \frac{3}{2}t + 1\) (oder \(0{,}5t^2 - 1{,}5t + 1\)) c) \(h'(x) = 2k^2x - 2k\)

- Kannst du die Potenzregel auf jedes Glied einzeln anwenden? - Was passiert beim Ableiten mit konstanten Summanden, die kein \(x\) oder \(z\) enthalten? - Hilft es dir, Klammerausdrücke zuerst aufzulösen, bevor du mit dem Ableiten beginnst? - Wie gehst du mit Dezimalzahlen oder Brüchen als Vorfaktoren um?

1. Für \(f(x)\) werden die Potenz-, Faktor- und Summenregel angewendet: \(f'(x) = 0{,}2 \cdot 5x^4 - \frac{3}{4} \cdot 4x^3 + 7 \cdot 1 - 0 = x^4 - 3x^3 + 7\). 2. Für \(g(z)\) wird der Funktionsterm zuerst durch Ausmultiplizieren vereinfacht: \(g(z) = z^2 \cdot z + z^2 \cdot 2 - 5 \cdot z - 5 \cdot 2 = z^3 + 2z^2 - 5z - 10\). 3. Anschließend wird gliedweise abgeleitet: \(g'(z) = 3z^2 + 4z - 5\).

a) \(f'(x) = x^4 - 3x^3 + 7\) b) \(g'(z) = 3z^2 + 4z - 5\)

- Überlege dir, welche physikalische Größe durch die erste Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion beschrieben wird. - Wie hängen Geschwindigkeit und Beschleunigung mathematisch zusammen? - Setze den gegebenen Zeitwert in die entsprechende Funktionsgleichung ein, um einen Momentanwert zu erhalten. - Wenn ein Wert wie die Beschleunigung vorgegeben ist, musst du die zugehörige Gleichung nach der Zeit lösen.

1. Die Geschwindigkeit \(v(t)\) entspricht der ersten Ableitung der Weg-Zeit-Funktion: \(v(t) = s'(t) = 1{,}5t^2 - 6t + 10\). Die Beschleunigung \(a(t)\) entspricht der zweiten Ableitung der Weg-Zeit-Funktion bzw. der ersten Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t) = v'(t) = s''(t) = 3t - 6\). 2. Einsetzen von \(t = 2\) in die Geschwindigkeitsfunktion: \(v(2) = 1{,}5 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 10 = 6 - 12 + 10 = 4\). Die Geschwindigkeit beträgt \(4\,\text{m/s}\). 3. Nullstellen der Beschleunigungsfunktion bestimmen: \(a(t) = 0 \implies 3t - 6 = 0 \implies 3t = 6 \implies t = 2\). Zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\) ist die Beschleunigung \(0\,\text{m/s}^2\).

1. \(v(t) = 1{,}5t^2 - 6t + 10\); \(a(t) = 3t - 6\) 2. \(4\,\text{m/s}\) 3. \(t = 2\,\text{s}\)

- Kennst du eine Möglichkeit, ein Produkt in eine Summe umzuwandeln, bevor du ableitest? - Was passiert mit Zahlen ohne Variable (Konstanten), wenn man die Ableitung bildet? - Wie hängen der Wert der Ableitungsfunktion an einer bestimmten Stelle und die Steigung des Graphen zusammen?

1. Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel für Teil a): \(f'(x) = 6 \cdot 0{,}5x^5 - 3 \cdot 4x^2 + 2 = 3x^5 - 12x^2 + 2\). 2. Ableitung für Teil b): Da \(\pi\) eine Konstante ist, fällt sie beim Differenzieren weg. Es ergibt sich \(f'(x) = 3 \cdot \frac{2}{3}x^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}x = 2x^2 - x\). 3. Umformen von Teil c) durch Ausmultiplizieren: \(f(x) = 2x^3 - x^2\). 4. Ableitung von Teil c): \(f'(x) = 6x^2 - 2x\). 5. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 2\): Einsetzen in die Ableitung ergibt \(f'(2) = 6 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 = 6 \cdot 4 - 4 = 20\).

a) \(f'(x) = 3x^5 - 12x^2 + 2\) b) \(f'(x) = 2x^2 - x\) c) \(f'(x) = 6x^2 - 2x\); die Steigung an der Stelle \(x = 2\) beträgt \(20\).

- Welche Regeln für Potenzen und konstante Faktoren kennst du? - Was passiert mit einem Summanden, der gar kein \(x\) (oder die entsprechende Variable) enthält? - Kannst du Brüche so umschreiben, dass jeder Teil des Zählers einzeln durch den Nenner geteilt wird? - Achte darauf, nach welcher Variable (z. B. \(x\) oder \(t\)) abgeleitet werden soll.

1. Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel auf \(y = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 5\): \(y' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x + 0 = x^3 - 4x\). 2. Ableitung einer linearen Funktion \(y = 15 - 6x\): Die Konstante fällt weg, die Steigung bleibt: \(y' = -6\). 3. Ableitung nach der Variablen \(t\) für \(z = 4t^3 - 5t^2\): \(z' = 4 \cdot 3t^2 - 5 \cdot 2t = 12t^2 - 10t\). 4. Umformung von \(f(x) = \frac{2x^3 - 9x}{3}\) zu \(f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x\). Ableitung: \(f'(x) = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 3 = 2x^2 - 3\). 5. Ableitung der allgemeinen quadratischen Funktion mit den Parametern \(a\), \(b\) und \(c\): \(y' = 2ax + b\).

1) \(y' = x^3 - 4x\) 2) \(y' = -6\) 3) \(z' = 12t^2 - 10t\) 4) \(f'(x) = 2x^2 - 3\) 5) \(y' = 2ax + b\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für das Ableiten von Potenzen? - Was bedeutet die Notation mit den zwei Strichen für den Ableitungsvorgang? - Musst du für die Berechnung eines Funktionswertes der Ableitung erst den allgemeinen Term bestimmen?

1. Berechnung der ersten Ableitung mit der Potenz- und Faktorregel: \(\frac{dy}{dx} = 4 \cdot \frac{1}{4}x^3 - 3 \cdot \frac{5}{6}x^2 + 2x = x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung: \(f'(x) = \frac{5}{20}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 7 = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 7\). Bestimmung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = 4 \cdot \frac{1}{4}x^3 - 2 \cdot \frac{3}{2}x = x^3 - 3x\). 3. Bestimmung der ersten Ableitung: \(f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 5\). Bestimmung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = x - 2\). Einsetzen von \(x = 2\): \(f''(2) = 2 - 2 = 0\).

1) \(\frac{dy}{dx} = x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x\) 2) \(f''(x) = x^3 - 3x\) 3) \(f''(2) = 0\)

- Welche physikalische Größe erhältst du, wenn du die Ortsfunktion nach der Zeit ableitest? - Wie hängen Geschwindigkeit und Beschleunigung mathematisch zusammen? - Überlege dir, welche Ableitung du für die jeweilige Teilaufgabe benötigst. - Was bedeutet „Momentangeschwindigkeit“ im Kontext der Differentialrechnung?

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) durch die erste Ableitung der Ortsfunktion: \(v(t) = s'(t) = 1{,}5t^2 - 6t + 10\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{s}\): \(v(4) = 1{,}5 \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 + 10 = 24 - 24 + 10 = 10\,\text{m/s}\). 3. Bestimmung der Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) durch die zweite Ableitung der Ortsfunktion: \(a(t) = v'(t) = s''(t) = 3t - 6\). 4. Ansatz zur Bestimmung des Zeitpunkts für eine Beschleunigung von \(6\,\text{m/s}^2\): \(3t - 6 = 6\). 5. Lösen der Gleichung nach \(t\): \(3t = 12 \Rightarrow t = 4\,\text{s}\).

a) Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{s}\) beträgt \(10\,\text{m/s}\). b) Die Beschleunigung beträgt zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{s}\) exakt \(6\,\text{m/s}^2\).

- Welche physikalische Größe lässt sich durch die erste Ableitung des Weges nach der Zeit bestimmen? - Wie ist die Beschleunigung mathematisch mit der Geschwindigkeit verknüpft? - Überlege, was ein negativer Wert für die Änderung einer Größe bedeutet. - Achte darauf, die Einheiten für Geschwindigkeit und Beschleunigung korrekt anzugeben.

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) durch die erste Ableitung der Wegfunktion: \(v(t) = s'(t) = 0{,}06t^2 - 0{,}72t + 2{,}4\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{s}\): \(v(5) = 0{,}06 \cdot 5^2 - 0{,}72 \cdot 5 + 2{,}4 = 1{,}5 - 3{,}6 + 2{,}4 = 0{,}3\,\text{m/s}\). 3. Bestimmung der Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) durch die zweite Ableitung der Wegfunktion (bzw. erste Ableitung der Geschwindigkeit): \(a(t) = v'(t) = 0{,}12t - 0{,}72\). 4. Berechnung der Beschleunigung zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{s}\): \(a(5) = 0{,}12 \cdot 5 - 0{,}72 = 0{,}6 - 0{,}72 = -0{,}12\,\text{m/s}^2\). 5. Interpretation des Vorzeichens: Da die Beschleunigung negativ ist (\(a < 0\)) und die Geschwindigkeit positiv ist, verringert der Roboter seine Geschwindigkeit (Bremsvorgang).

a) Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{s}\) beträgt \(v(5) = 0{,}3\,\text{m/s}\). b) Die Beschleunigung beträgt \(a(5) = -0{,}12\,\text{m/s}^2\). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass der Roboter zu diesem Zeitpunkt langsamer wird (Verzögerung).

- Überlege dir, wie die Beschleunigung mit der Position verknüpft ist. - Welche mathematische Operation hilft dir, von einer Bestandsgröße zur momentanen Änderungsrate zu gelangen? - Du benötigst die Beschleunigung zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt. - Achte auf die Einheiten, damit das Ergebnis in Newton angegeben werden kann.

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) durch die erste Ableitung der Wegfunktion: \(v(t) = s'(t) = \frac{1}{4}t^2 + 2t + 5\). 2. Bestimmung der Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) durch die zweite Ableitung der Wegfunktion: \(a(t) = s''(t) = \frac{1}{2}t + 2\). 3. Berechnung der Beschleunigung zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{s}\): \(a(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 = 4\,\text{m/s}^2\). 4. Berechnung der wirkenden Kraft mittels \(F = m \cdot a\): \(F = 1200\,\text{kg} \cdot 4\,\text{m/s}^2 = 4800\,\text{N}\).

Die auf das Fahrzeug wirkende Kraft zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{s}\) beträgt \(4800\,\text{N}\).

- Wie gehst du vor, um eine Potenzfunktion schrittweise abzuleiten? - Was passiert mit dem Grad eines Polynoms bei jedem Ableitungsschritt? - Wie behandelst du konstante Summanden beim Ableiten? - Kannst du die Regeln für eine einzelne Ableitung mehrmals hintereinander anwenden?

1. Erste Ableitung durch Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 10x\). 2. Zweite Ableitung durch Ableiten von \(f'\): \(f''(x) = 3x^2 - 6x + 10\). 3. Dritte Ableitung durch Ableiten von \(f''\): \(f'''(x) = 6x - 6\). 4. Vierte Ableitung durch Ableiten der linearen Funktion \(f'''\): \(f^{(4)}(x) = 6\).

\(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 10x\) \(f''(x) = 3x^2 - 6x + 10\) \(f'''(x) = 6x - 6\) \(f^{(4)}(x) = 6\)

- Wie verändert sich der Exponent einer Potenzfunktion bei jedem Ableitungsschritt? - Was passiert mit Summanden ohne \(x\), wenn du die Ableitung bildest? - Erinnerst du dich an die Regel für konstante Faktoren vor einer Potenz? - Höhere Ableitungen erhältst du, indem du das Ergebnis der vorherigen Ableitung erneut ableitest.

1. Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel zur Bestimmung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{6}x^2 - 2 \cdot 2x + 5 = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 5\). 2. Ableiten der ersten Ableitungsfunktion zur Bestimmung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}x - 4 = x - 4\). 3. Ableiten der zweiten Ableitungsfunktion zur Bestimmung der dritten Ableitung: \(f'''(x) = 1\). 4. Ableiten der konstanten Funktion zur Bestimmung der vierten Ableitung: \(f^{(4)}(x) = 0\).

\(f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 5\) \(f''(x) = x - 4\) \(f'''(x) = 1\) \(f^{(4)}(x) = 0\)

- Wie hängen die Tangentensteigung und die Ableitung einer Funktion zusammen? - Stelle die Ableitungsfunktion auf. - Löse für jeden der gesuchten Werte eine lineare Gleichung.

1. Aufstellen der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 2x - 3\). 2. Da die Tangentensteigung dem Wert der Ableitung an der Stelle \(x\) entspricht, müssen die Gleichungen \(2x - 3 = k\) für die gegebenen Werte \(k\) gelöst werden. 3. Für \(0\): \(2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1{,}5\). 4. Für \(1\): \(2x - 3 = 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\). 5. Für \(-1\): \(2x - 3 = -1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1\). 6. Für \(\frac{1}{2}\): \(2x - 3 = 0{,}5 \Rightarrow 2x = 3{,}5 \Rightarrow x = 1{,}75\). 7. Für \(-\frac{1}{2}\): \(2x - 3 = -0{,}5 \Rightarrow 2x = 2{,}5 \Rightarrow x = 1{,}25\).

Die Steigungswerte werden an folgenden Stellen erreicht: \(0\) bei \(x = 1{,}5\) \(1\) bei \(x = 2\) \(-1\) bei \(x = 1\) \(\frac{1}{2}\) bei \(x = 1{,}75\) \(-\frac{1}{2}\) bei \(x = 1{,}25\)

- Schau dir an, wie sich der Exponent und der Faktor vor dem \(x\) bei den einzelnen Ableitungen verändern. - Gibt es ein festes Muster, wie der neue Exponent aus dem alten entsteht? - Wenn du die Ableitung kennst, musst du den Prozess des Ableitens rückgängig machen. Welcher Exponent führt beim Ableiten zu \(x^{11}\)?

1. Berechnung der Ableitungen durch Anwendung der Potenzregel (Exponent als Faktor vorziehen und Exponent um 1 verringern): \(f_1'(x) = 3x^2\) \(f_2'(x) = 5x^4\) \(f_3'(x) = 7x^6\) 2. Verallgemeinerung der Regel: Für eine Funktion \(f(x) = x^n\) lautet die Ableitungsfunktion \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\). 3. Umkehrung der Potenzregel für \(h'(x) = 12x^{11}\): Suche eine Funktion \(h(x) = a \cdot x^n\), deren Ableitung \(a \cdot n \cdot x^{n-1} = 12x^{11}\) ergibt. Vergleich der Exponenten: \(n-1 = 11 \Rightarrow n = 12\). Vergleich der Koeffizienten: \(a \cdot 12 = 12 \Rightarrow a = 1\). Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x) = x^{12}\).

a) \(f_1'(x) = 3x^2\), \(f_2'(x) = 5x^4\), \(f_3'(x) = 7x^6\) b) \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\) c) \(h(x) = x^{12}\)

- Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit dem Exponenten Null. - Was passiert, wenn du eine Zahl mit Null multiplizierst? - Überlege, ob man durch jede beliebige Zahl dividieren darf, wenn du den Term \(x^{-1}\) umschreibst.

1. Die Funktion \(f(x) = 1\) kann als \(f(x) = x^0\) geschrieben werden (für \(x \neq 0\)). 2. Anwendung der Potenzregel mit \(n = 0\): \(f'(x) = 0 \cdot x^{0-1} = 0 \cdot x^{-1}\). 3. Für \(x \neq 0\) ergibt sich wegen des Faktors \(0\) der Wert \(f'(x) = 0\), was mit der Konstantenregel übereinstimmt. Dieses Potenzregel-Argument ist an \(x = 0\) nicht anwendbar, weil \(x^{-1}\) dort nicht definiert ist. Die ursprüngliche konstante Funktion ist jedoch auch an \(x = 0\) differenzierbar und hat dort ebenfalls die Ableitung \(0\).

1. \(f(x) = x^0\) für \(x \neq 0\) 2. \(f'(x) = 0 \cdot x^{-1} = 0\) für \(x \neq 0\) 3. Das Potenzregel-Argument gilt nur für \(x \neq 0\). Für die ursprüngliche konstante Funktion gilt unabhängig davon auch \(f'(0) = 0\).

- Kannst du Brüche mit \(x\) im Nenner als Potenzen mit negativem Exponenten schreiben? - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir, wenn zwei Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden? - Wie verändert sich der Exponent beim Ableiten nach der Potenzregel?

1. Anwendung der Potenzregel \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\) auf \(f(x) = x^{13}\) ergibt \(f'(x) = 13x^{12}\). 2. Umschreiben von \(g(x) = \frac{1}{x^5}\) zu \(x^{-5}\) und Ableiten führt zu \(g'(x) = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}\). 3. Ableiten von \(h(x) = x^{-9}\) ergibt \(h'(x) = -9x^{-10} = -\frac{9}{x^{10}}\). 4. Vereinfachen von \(s(t) = t^2 \cdot t^{-6}\) zu \(s(t) = t^{-4}\) mithilfe der Potenzgesetze. Ableiten ergibt \(s'(t) = -4t^{-5} = -\frac{4}{t^5}\).

a) \(f'(x) = 13x^{12}\) b) \(g'(x) = -\frac{5}{x^6}\) für \(x \neq 0\) c) \(h'(x) = -\frac{9}{x^{10}}\) für \(x \neq 0\) d) \(s'(t) = -\frac{4}{t^5}\) für \(t \neq 0\)

- Überlege dir, wie sich der Exponent einer Potenzfunktion bei jeder Ableitung verändert. - Wie oft musst du die Ableitungsregel rückwärts anwenden, um von der zweiten Ableitung zur ursprünglichen Funktion zu gelangen? - Stelle eine Gleichung auf, um den unbekannten Koeffizienten \(a\) und den Exponenten \(n\) zu bestimmen. - Was passiert mit dem Faktor vor dem \(x\), wenn du zweimal ableitest?

1. Für \(f(x) = a \cdot x^n\) gilt allgemein \(f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}\) und \(f''(x) = a \cdot n \cdot (n-1) \cdot x^{n-2}\). 2. Zu a): Vergleich der Exponenten \(n-2 = 1 \implies n=3\). Vergleich der Koeffizienten \(a \cdot 3 \cdot 2 = 6 \implies 6a = 6 \implies a=1\). Ergebnis: \(f(x) = x^3\). 3. Zu b): Vergleich der Exponenten \(n-2 = 6 \implies n=8\). Vergleich der Koeffizienten \(a \cdot 8 \cdot 7 = 56 \implies 56a = 56 \implies a=1\). Ergebnis: \(f(x) = x^8\). 4. Zu c): Vergleich der Exponenten \(n-2 = k \implies n = k+2\). Vergleich der Koeffizienten \(a \cdot (k+2) \cdot (k+1) = (k+2)(k+1) \implies a=1\). Ergebnis: \(f(x) = x^{k+2}\).

a) \(f(x) = x^3\) b) \(f(x) = x^8\) c) \(f(x) = x^{k+2}\)

- Was gibt die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle an? - Wie lautet die Ableitungsregel für Funktionen mit negativem Exponenten? - Kannst du die gegebenen Steigungswerte mit dem Funktionsterm der Ableitung gleichsetzen? - Achte bei Teilaufgabe b) darauf, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung haben kann.

1. Berechnung der Ableitungsfunktionen unter Verwendung der Potenz- und Faktorregel: \(f'(x) = x - 3\) und \(g'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}\). 2. Ansatz für Teilaufgabe a): \(f'(x) = m \implies x - 3 = 2\). Durch Addition von \(3\) ergibt sich die Stelle \(x = 5\). 3. Ansatz für Teilaufgabe b): \(g'(x) = m \implies -\frac{2}{x^2} = -0{,}5\). Multiplikation mit \(-x^2\) und Division durch \(0{,}5\) führt auf \(x^2 = \frac{2}{0{,}5} = 4\). 4. Lösen der Quadratwurzel ergibt die zwei Stellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

a) \(x = 5\) b) \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\)

- Wende die Potenzregel \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \) schrittweise an. - Was passiert mit konstanten Summanden beim Ableiten? - Beachte, dass ein konstanter Faktor beim Differenzieren erhalten bleibt. - Überlege, was passiert, wenn du eine konstante Zahl ableitest.

1. Erste Ableitung unter Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = \frac{4}{24}x^3 - x + 3 = \frac{1}{6}x^3 - x + 3\). 2. Zweite Ableitung durch erneutes Ableiten von \(f'\): \(f''(x) = \frac{3}{6}x^2 - 1 = \frac{1}{2}x^2 - 1\). 3. Dritte Ableitung durch Ableiten von \(f''\): \(f'''(x) = \frac{2}{2}x = x\). 4. Vierte Ableitung durch Ableiten von \(f'''\): \(f^{(4)}(x) = 1\). 5. Fünfte Ableitung durch Ableiten der konstanten Funktion \(f^{(4)}\): \(f^{(5)}(x) = 0\).

\(f'(x) = \frac{1}{6}x^3 - x + 3\) \(f''(x) = \frac{1}{2}x^2 - 1\) \(f'''(x) = x\) \(f^{(4)}(x) = 1\) \(f^{(5)}(x) = 0\)

- Erinnere dich an die Potenzregel: Wie verändert sich der Exponent und was passiert mit dem alten Exponenten beim Ableiten? - Was passiert mit Summanden ohne \(x\) (Konstanten), wenn du sie ableitest? - Wann verschwindet die Variable \(x\) in einem Term vollständig? - Überlege, wie sich der Grad der Funktion mit jeder Ableitung verringert.

1. Durch wiederholte Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel ergeben sich die Ableitungen: \(f'(x) = 4x^3 + 15x^2 - 2\) \(f''(x) = 12x^2 + 30x\) \(f'''(x) = 24x + 30\) \(f^{(4)}(x) = 24\) 2. Die vierte Ableitung \(f^{(4)}(x) = 24\) ist unabhängig von \(x\) und somit eine konstante Funktion. Der Wert ist \(24\). 3. Die fünfte Ableitung ist \(f^{(5)}(x) = 0\), da die Ableitung einer konstanten Funktion (hier der Wert \(24\)) immer Null ergibt.

1. \(f'(x) = 4x^3 + 15x^2 - 2\); \(f''(x) = 12x^2 + 30x\); \(f'''(x) = 24x + 30\); \(f^{(4)}(x) = 24\) 2. Die vierte Ableitung ist konstant mit dem Wert \(24\). 3. \(f^{(5)}(x) = 0\), da die Ableitung einer Konstanten Null ist.

- Wie gehst du vor, wenn eine Funktion aus mehreren Gliedern besteht, die mit Plus oder Minus verbunden sind? - Was passiert mit einem konstanten Faktor vor einer Potenz von \(x\), wenn du ableitest? - Erinnerst du dich an die Ableitung einer einfachen Zahl ohne \(x\)? - Was ist die Ableitung von \(x\), wenn kein Exponent (bzw. der Exponent 1) dasteht?

1. Anwendung der Potenzregel und Faktorregel auf den ersten Term \(4x^6\): \(4 \cdot 6x^5 = 24x^5\). 2. Anwendung auf den zweiten Term \(-\frac{1}{2}x^4\): \(-\frac{1}{2} \cdot 4x^3 = -2x^3\). 3. Anwendung auf den linearen Term \(3x\): Die Ableitung von \(x\) ist 1, also \(3 \cdot 1 = 3\). 4. Anwendung auf das Absolutglied \(-5\): Die Ableitung einer Konstanten ist 0. 5. Zusammenführen der Ergebnisse mittels der Summenregel: \(f'(x) = 24x^5 - 2x^3 + 3\).

\(f'(x) = 24x^5 - 2x^3 + 3\)

- Überlege, wie sich der Exponent und der Koeffizient eines Terms beim Ableiten verändern. - Was passiert mit Gliedern, die gar kein \(x\) enthalten? - Kannst du die Funktion in ihre einzelnen Bestandteile zerlegen und diese nacheinander bearbeiten? - Erinnerst du dich an die Regel für das Ableiten von Potenzfunktionen mit einem konstanten Vorfaktor?

1. Anwendung der Summenregel: Die Ableitung der Funktion ergibt sich aus der Summe der Ableitungen ihrer Glieder. 2. Ableitung von \(\frac{5}{6}x^6\) mittels Potenz- und Faktorregel: \(6 \cdot \frac{5}{6}x^{6-1} = 5x^5\). 3. Ableitung von \(-1{,}2x^5\): \(5 \cdot (-1{,}2)x^{5-1} = -6x^4\). 4. Ableitung von \(\sqrt{7}x^2\): \(2 \cdot \sqrt{7}x^{2-1} = 2\sqrt{7}x\). 5. Ableitung der Konstanten \(-9\): Diese ist \(0\). 6. Zusammenführung der Ergebnisse: \(f'(x) = 5x^5 - 6x^4 + 2\sqrt{7}x\).

\(f'(x) = 5x^5 - 6x^4 + 2\sqrt{7}x\)

- Wende die Potenzregel gliedweise auf jeden Summanden an. - Was passiert mit konstanten Summanden beim Ableiten? - Multipliziere den Exponenten mit dem Koeffizienten vor der Variablen und verringere dann den Exponenten um eins. - Wiederhole diesen Vorgang nacheinander für die höheren Ableitungen.

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = 5 \cdot 2x^4 - 4 \cdot \frac{3}{2}x^3 + 2 \cdot 8x - 5 + 0 = 10x^4 - 6x^3 + 16x - 5\). 2. Zweite Ableitung durch erneutes Ableiten von \(f'(x)\): \(f''(x) = 4 \cdot 10x^3 - 3 \cdot 6x^2 + 16 = 40x^3 - 18x^2 + 16\). 3. Dritte Ableitung durch Ableiten von \(f''(x)\): \(f'''(x) = 3 \cdot 40x^2 - 2 \cdot 18x = 120x^2 - 36x\).

\(f'(x) = 10x^4 - 6x^3 + 16x - 5\) \(f''(x) = 40x^3 - 18x^2 + 16\) \(f'''(x) = 120x^2 - 36x\)

- Wie lässt sich ein Bruch mit Potenzen der gleichen Basis vereinfachen? - Was erhältst du, wenn du den Zähler für sich und den Nenner für sich ableitest? - Sind zwei Terme wie \(4x^3\) und \(3x^4\) für jeden beliebigen Wert von \(x\) identisch?

1. Kürzen des Bruchs mithilfe der Potenzgesetze: \(k(x) = x^{6-2} = x^4\). 2. Korrekte Ableitung mit der Potenzregel: \(k'(x) = 4x^3\). 3. Ableiten des Zählers \(z(x) = x^6\): \(z'(x) = 6x^5\). 4. Ableiten des Nenners \(n(x) = x^2\): \(n'(x) = 2x\). 5. Bildung des Quotienten der Ableitungen: \(\frac{z'(x)}{n'(x)} = \frac{6x^5}{2x} = 3x^4\). 6. Vergleich der Funktionsterme: Da \(4x^3\) und \(3x^4\) für fast alle \(x\) (außer für \(x = \frac{4}{3}\)) unterschiedliche Werte liefern, ist die Methode der getrennten Ableitung nicht zulässig.

a) \(k'(x) = 4x^3\) b) Der Quotient der Ableitungen ist \(3x^4\). c) Nein, die getrennte Ableitung führt nicht zum richtigen Ergebnis, da \(4x^3 \neq 3x^4\) gilt (außer für \(x = \frac{4}{3}\)).

- Bestimme zuerst die Ableitungen mit der Potenzregel. - Stelle die Ableitung und die Formel für den Umfang bzw. die Oberfläche gegenüber. - Kannst du eine Zahl finden, mit der man den Umfang multiplizieren muss, um auf die Ableitung zu kommen? - Überlege, ob dieses Verhältnis bei beiden Körpern gleich ist.

1. Ableitung von \(A(x) = x^2\) nach \(x\) ergibt \(A'(x) = 2x\). 2. Vergleich mit \(U(x) = 4x\) zeigt, dass \(A'(x) = \frac{1}{2} \cdot U(x)\) ist. 3. Ableitung von \(V(x) = x^3\) nach \(x\) ergibt \(V'(x) = 3x^2\). 4. Vergleich mit \(O(x) = 6x^2\) zeigt, dass \(V'(x) = \frac{1}{2} \cdot O(x)\) ist. 5. In beiden Fällen entspricht die Ableitung genau der Hälfte der Berandungsgröße. Das Verhältnis von Ableitung zu Umfang/Oberfläche ist stets \(1:2\) bzw. \(0{,}5\).

a) \(A'(x) = 2x\). Die Ableitung entspricht der Hälfte des Umfangs \(U(x) = 4x\). b) \(V'(x) = 3x^2\). Die Ableitung entspricht der Hälfte der Oberfläche \(O(x) = 6x^2\). c) In beiden Fällen ist die Ableitung genau halb so groß wie die zugehörige Berandungsgröße (Verhältnis \(1:2\)).

- Kannst du den Funktionsterm zuerst durch Ausmultiplizieren in eine Summe von Potenzen umwandeln? - Achte beim Auflösen von Klammern besonders auf Minuszeichen vor der Klammer. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um Quadrate von Klammern schneller aufzulösen. - Nachdem du den Term vereinfacht hast, kannst du jeden Summanden einzeln mit der Potenzregel ableiten.

1. Für Teil a): Den Funktionsterm ausmultiplizieren: \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 20x - 15\). Anwendung der Potenz- und Summenregel ergibt \(f'(x) = 12x^2 - 6x + 20\). 2. Für Teil b): Klammern auflösen und zusammenfassen: \(h(t) = (2t^2 + 8t) - (t^2 - 2t + 1) = t^2 + 10t - 1\). Ableiten ergibt \(h'(t) = 2t + 10\). 3. Für Teil c): Den Term vereinfachen: \(g(z) = 0{,}2z^3 - 2z + z^2 - 4\). Terme nach Potenzen ordnen: \(g(z) = 0{,}2z^3 + z^2 - 2z - 4\). Ableiten ergibt \(g'(z) = 0{,}6z^2 + 2z - 2\).

a) \(f'(x) = 12x^2 - 6x + 20\) b) \(h'(t) = 2t + 10\) c) \(g'(z) = 0{,}6z^2 + 2z - 2\)

- Überlege dir für jedes Glied der Summe einzeln, welche Regel (Potenz-, Faktor- oder Summenregel) du anwenden musst. - Was passiert mit Zahlen, bei denen kein \( x \) steht, wenn man sie ableitet? - Behandle Parameter wie \( k \), \( n \) oder \( \pi \) einfach wie feste Zahlen.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Potenzregel auf jedes Glied einzeln angewendet: \( \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 2 \cdot 3x^2 + 5 \). Dies ergibt \( f'(x) = x^3 - 6x^2 + 5 \). 2. In Teilaufgabe b) wird der konstante Faktor \( \frac{2}{3} \) beibehalten und \( x^6 \) zu \( 6x^5 \) abgeleitet. Der Term \( \sqrt{5}x^2 \) wird zu \( 2\sqrt{5}x \). Die Konstante \( \pi \) fällt beim Ableiten weg. Das Ergebnis ist \( f'(x) = 4x^5 + 2\sqrt{5}x \). 3. Für Teilaufgabe c) wird die allgemeine Potenzregel auf \( x^n \) angewendet, was \( n \cdot x^{n-1} \) ergibt. Multipliziert mit dem Parameter \( k \) und ergänzt um die Ableitung von \( 2x \) folgt \( f'(x) = n \cdot k \cdot x^{n-1} + 2 \).

a) \( f'(x) = x^3 - 6x^2 + 5 \) b) \( f'(x) = 4x^5 + 2\sqrt{5}x \) c) \( f'(x) = n \cdot k \cdot x^{n-1} + 2 \)

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass er nur noch aus einer Summe einfacher Potenzen besteht? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um Klammern aufzulösen. - Unterscheide genau, welcher Buchstabe die Variable ist, nach der abgeleitet wird, und was lediglich ein Parameter ist.

1. In Teilaufgabe a) wird der Bruch zuerst in Einzelterme zerlegt: \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x \). Durch Anwendung der Potenz- und Faktorregel erhält man \( f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 = x^2 - 2 \). 2. Für Teilaufgabe b) wird das Quadrat mithilfe der ersten binomischen Formel aufgelöst: \( f(x) = x^2 + 6x + 9 \). Die gliedweise Ableitung ergibt \( f'(x) = 2x + 6 \). 3. In Teilaufgabe c) werden \( a^2 \) und \( a \) als konstante Faktoren behandelt. Die Ableitung von \( a^2x^2 \) ist \( 2a^2x \), die Ableitung von \( ax \) ist \( a \), und die Konstante \( 1 \) fällt weg. Es ergibt sich \( f'(x) = 2a^2x + a \).

a) \( f'(x) = x^2 - 2 \) b) \( f'(x) = 2x + 6 \) c) \( f'(x) = 2a^2x + a \)

- Was gibt die Ableitungsfunktion an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Bestimme zuerst allgemein die Ableitung der Funktion. - Welchen Wert musst du für \(x\) in deine Ableitung einsetzen?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f'\) unter Verwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = 10x^4 - 6x\). 2. Die Steigung an der Stelle \(x = 1\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle: \(f'(1)\). 3. Einsetzen von \(x = 1\) in den Ableitungsterm: \(10 \cdot 1^4 - 6 \cdot 1\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(10 - 6 = 4\).

\(4\)

- Achte darauf, welche Variable in der Klammer bei \(f(...)\) steht – nur nach dieser wird abgeleitet. - Konstante Summanden ohne die Variable fallen beim Ableiten weg. - Potenzregel: Der Exponent wird als Faktor nach vorne gezogen und der neue Exponent um 1 verringert. - Parameter wie \(m, n\) oder \(x\) (wenn nach \(k\) abgeleitet wird) werden wie feste Zahlen behandelt.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Potenz- und Faktorregel angewendet: \(f'(x) = 5 \cdot 0{,}2x^4 - 2 \cdot 3x^1 + 0 = x^4 - 6x\). 2. In b) führt die gliedweise Ableitung nach \(t\) zu \(f'(t) = 4 \cdot \frac{1}{4}t^3 - 3 \cdot \frac{2}{3}t^2 + 7 = t^3 - 2t^2 + 7\). 3. Bei c) sind \(m\), \(n\) und \(p\) Parameter, die Variable ist \(x\). Die Ableitung ergibt \(f'(x) = 2mx + n\). 4. In d) ist \(k\) die Variable der Funktion. Der Term \(x^3\) wird als konstanter Faktor behandelt: \(f'(k) = x^3 \cdot 2k - 5 = 2x^3k - 5\).

a) \(f'(x) = x^4 - 6x\) b) \(f'(t) = t^3 - 2t^2 + 7\) c) \(f'(x) = 2mx + n\) d) \(f'(k) = 2x^3k - 5\)

- Überlege dir bei jedem Summanden einzeln, ob er die Variable enthält. - Wenn ein Summand die Variable nicht enthält, ist seine Ableitung Null. - Brüche als Koeffizienten können oft mit dem Exponenten gekürzt werden. - Achte in Teilaufgabe d) darauf, dass \(x\) die Variable und \(k\) ein Parameter ist.

1. Für a) ergibt die Anwendung der Potenzregel auf jedes Glied: \(f'(z) = 3 \cdot \frac{1}{6}z^2 - 2z + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}z^2 - 2z + \frac{1}{2}\). 2. In b) ist \(x\) die Variable und \(a\) ein Parameter: \(f'(x) = 7 \cdot 4x^6 - 3 \cdot 2ax^2 = 28x^6 - 6ax^2\). 3. Bei c) handelt es sich um eine lineare Funktion in \(t\). Da \(v\) und \(s_0\) konstant sind, gilt \(s'(t) = v\). 4. In d) ist \(x\) die Variable. Der Term \(-5k\) enthält kein \(x\) und ist somit eine Konstante, die beim Ableiten wegfällt. Es ergibt sich \(f'(x) = 3x^2 \cdot k^2 = 3k^2x^2\).

a) \(f'(z) = \frac{1}{2}z^2 - 2z + \frac{1}{2}\) b) \(f'(x) = 28x^6 - 6ax^2\) c) \(s'(t) = v\) d) \(f'(x) = 3k^2x^2\)

- Überlege, welche mathematische Operation die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle beschreibt. - Welche Ableitungsregeln musst du auf die einzelnen Summanden der Funktion anwenden? - Welchen Wert musst du in die berechnete Ableitungsfunktion einsetzen, um die Steigung im gegebenen Punkt zu erhalten?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f'\) unter Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = x^3 - 4x + 3\). 2. Einsetzen der \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) (\(x = 2\)) in die Ableitungsfunktion: \(f'(2) = 2^3 - 4 \cdot 2 + 3\). 3. Berechnung des Funktionswertes der Ableitung: \(f'(2) = 8 - 8 + 3 = 3\).

Die Steigung im Punkt \(P\) beträgt \(3\).

- Erinnere dich daran, dass die Steigung der Tangente an einer Stelle \(x\) dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle entspricht. - Leite die Funktion Term für Term ab. - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen in die Ableitungsfunktion besonders auf die Klammerung und die Vorzeichenregeln.

1. Bildung der ersten Ableitung \(g'(x)\) mithilfe der grundlegenden Ableitungsregeln: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1\). 2. Einsetzen des gegebenen \(x\)-Wertes \(x = -2\) in die Ableitungsfunktion: \(g'(-2) = \frac{1}{2} \cdot (-2)^2 + \frac{1}{2} \cdot (-2) - 1\). 3. Ausrechnen des Ergebnisses: \(g'(-2) = 2 - 1 - 1 = 0\).

Die Steigung an der Stelle \(x = -2\) beträgt \(0\).

- Welche Rolle spielt der Buchstabe \(a\), wenn nach der Variablen \(t\) abgeleitet wird? - Kannst du die Potenzregel auch anwenden, wenn Koeffizienten als Brüche mit Parametern geschrieben sind? - Überlege, was mit dem linearen Glied \(5t\) beim Ableiten passiert. - Achte darauf, dass der Parameter im Nenner unverändert bleibt, da er Teil des konstanten Faktors ist.

1. Identifikation der Variable \(t\) und des Parameters \(a\), wobei \(a\) beim Ableiten wie eine Konstante behandelt wird. 2. Ableiten des ersten Terms nach \(t\): \(3 \cdot \frac{a}{3}t^2 = at^2\). 3. Ableiten des zweiten Terms nach \(t\): \(2 \cdot \frac{1}{a}t = \frac{2}{a}t\). 4. Ableiten des dritten Terms nach \(t\): \(1 \cdot 5t^0 = 5\). 5. Kombination der Ergebnisse zur Ableitungsfunktion \(g_a'(t) = at^2 - \frac{2}{a}t + 5\).

\(g_a'(t) = at^2 - \frac{2}{a}t + 5\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Tangentensteigung und der Ableitung. - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen besonders auf die Vorzeichenregeln bei Potenzen. - Was passiert mit konstanten Termen (Zahlen ohne \(x\)) beim Ableiten?

1. Ableiten der Funktion \(h\) mit den grundlegenden Ableitungsregeln: \(h'(x) = 4 \cdot 0{,}5x^3 - 3 \cdot \frac{2}{3}x^2 + 1 = 2x^3 - 2x^2 + 1\). 2. Einsetzen der Stelle \(x_0 = -1\) in den Term der Ableitungsfunktion: \(h'(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + 1\). 3. Ausrechnen des Ergebnisses: \(h'(-1) = 2 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 + 1 = -2 - 2 + 1 = -3\).

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = -1\) beträgt \(-3\).

- Wie hängen die Steigung eines Graphen und die Ableitungsfunktion zusammen? - Erinnere dich an die Regeln zum Ableiten von Potenzfunktionen. - Welches Vorzeichen der Ableitung deutet auf einen steigenden Graphen hin, welches auf einen fallenden?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion unter Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = 0{,}5x^4 - 6x^2 + 10\). 2. Berechnung des Werts der Ableitung an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f'(2) = 0{,}5 \cdot 2^4 - 6 \cdot 2^2 + 10 = 8 - 24 + 10 = -6\). 3. Da der Wert der Ableitung negativ ist (\(f'(2) < 0\)), fällt der Graph der Funktion an dieser Stelle.

\(f'(x) = 0{,}5x^4 - 6x^2 + 10\); der Graph fällt an der Stelle \(x_0 = 2\).

- Was sagt der Wert der Ableitungsfunktion an einer bestimmten Stelle über den Graphen aus? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen besonders auf die Klammern und die Potenzgesetze. - Überlege dir zuerst die allgemeine Formel für die Ableitung, bevor du den Punkt einsetzt.

1. Ableiten der Funktion mithilfe der Standardregeln für Polynome: \(g'(x) = -x^5 + 8x\). 2. Einsetzen des gegebenen \(x\)-Wertes in die Ableitungsfunktion: \(g'(-1) = -(-1)^5 + 8 \cdot (-1) = 1 - 8 = -7\). 3. Vergleich des Ergebnisses mit Null: Wegen \(-7 < 0\) ist die Steigung an der untersuchten Stelle negativ.

\(g'(x) = -x^5 + 8x\); die Steigung ist negativ.

- Was passiert mit Zahlen ohne \(x\) (Konstanten), wenn man die Funktion ableitet? - Schreibe Brüche mit \(x\) im Nenner zuerst als Potenz mit negativem Exponenten um. - Achte beim Ableiten von negativen Exponenten besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation.

1. Analyse von (1): Beim Summanden \(+12\) wurde die Konstantenregel missachtet. Die Ableitung einer Konstanten ist \(0\), der Schüler hat die \(12\) jedoch unverändert übernommen. Korrekt: \(g'(x) = 2x^3 - 4x\). 2. Analyse von (2): Zuerst Umschreiben \(h(x) = 2x^5 - 3x^{-2}\). Beim Ableiten von \(-3x^{-2}\) muss mit dem Exponenten \(-2\) multipliziert werden: \((-3) \cdot (-2) = +6\). Der Schüler hat das Vorzeichen falsch berechnet (vermutlich nur mit \(2\) multipliziert oder das Minuszeichen der Basis ignoriert). Korrekt: \(h'(x) = 10x^4 + 6x^{-3}\) bzw. \(h'(x) = 10x^4 + \frac{6}{x^3}\).

(1) Fehler: Die Konstante \(12\) muss beim Ableiten wegfallen (Ableitung ist \(0\)). Richtig: \(g'(x) = 2x^3 - 4x\). (2) Fehler: Beim Ableiten von \(-3x^{-2}\) wurde das Vorzeichen falsch berechnet (\(-3 \cdot (-2) = +6\)). Richtig: \(h'(x) = 10x^4 + 6x^{-3}\) (oder \(h'(x) = 10x^4 + \frac{6}{x^3}\)).

- Was weißt du über die Steigungen von zwei Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Welcher Teil der Geradengleichung gibt die Steigung an? - Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle entspricht der Steigung der Tangente an dieser Stelle. - Nach dem Ableiten und Gleichsetzen erhältst du eine quadratische Gleichung. Welche Lösungsverfahren kennst du dafür?

1. Bestimmung der Steigung der gegebenen Geraden aus der Form \(y = mx + b\): \(m = 8\). 2. Bildung der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\): \(f'(x) = x^2 + x - 4\). 3. Da parallele Geraden die gleiche Steigung haben, muss \(f'(x) = 8\) gelten. 4. Aufstellen und Lösen der quadratischen Gleichung: \(x^2 + x - 4 = 8 \Leftrightarrow x^2 + x - 12 = 0\). 5. Anwendung der \(pq\)-Formel oder Faktorisierung \((x+4)(x-3) = 0\) ergibt die Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -4\).

\(x_1 = 3\) und \(x_2 = -4\)

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle an? - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, wenn nach einer ganz bestimmten Steigung gefragt ist? - Was bedeutet es für die Ableitungsfunktionen, wenn zwei Graphen an derselben Stelle dieselbe Steigung haben sollen? - Kannst du die Bedingung für gleiche Steigungen als eine neue Gleichung schreiben und nach \(x\) auflösen?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 2x - 4\) und \(g'(x) = x^2 - 4x + 1\). 2. Bedingung für a): \(f'(x) = 6 \implies 2x - 4 = 6 \implies 2x = 10 \implies x = 5\). Die gesuchte Stelle ist \(x = 5\). 3. Überprüfung für b): \(g'(5) = 5^2 - 4 \cdot 5 + 1 = 25 - 20 + 1 = 6\). Da \(f'(5) = 6\) und \(g'(5) = 6\), haben beide Graphen an der Stelle \(x = 5\) dieselbe Steigung. 4. Bedingung für c): Gleichsetzen der Ableitungen \(f'(x) = g'(x) \implies 2x - 4 = x^2 - 4x + 1\). 5. Gleichung lösen: \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). Die weitere Stelle ist somit \(x = 1\).

a) \(x = 5\) b) Ja, an der Stelle \(x = 5\) haben beide Graphen die Steigung \(m = 6\). c) Eine weitere Stelle ist \(x = 1\).

- Welchen Wert hat die Steigung einer Geraden, die parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie findet man die \(y\)-Koordinate eines Punktes, wenn die \(x\)-Koordinate bekannt ist? - Wenn zwei Funktionen dieselbe Steigung haben, was lässt sich dann über ihre Ableitungen sagen? - Erinnere dich an Verfahren wie die p-q-Formel, um quadratische Gleichungen zu lösen.

1. Ableitungen bestimmen: \(h'(x) = 3x^2 - 12x + 9\) und \(k'(x) = -3x + 3\). 2. Bedingung für a): Eine waagrechte Tangente hat die Steigung \(0\), also \(h'(x) = 0\). 3. Quadratische Gleichung lösen: \(3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 4. Punkte bestimmen: \(h(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 2 = 6\) und \(h(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 2 = 2\). Die Punkte sind \(P_1(1 \mid 6)\) und \(P_2(3 \mid 2)\). 5. Bedingung für b): \(h'(x) = k'(x) \implies 3x^2 - 12x + 9 = -3x + 3\). 6. Gleichung lösen: \(3x^2 - 9x + 6 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\).

a) Die Punkte sind \(P_1(1 \mid 6)\) und \(P_2(3 \mid 2)\). b) Die Stellen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\).

- Welche Buchstaben sind hier Variablen und welche sind Konstanten? - Erkennst du die Formel \(2 \cdot \pi \cdot r\) aus der Kreisgeometrie wieder? - Wie verändert sich die Mantelfläche eines Zylinders, wenn man ihn einfach „höher“ macht? - Was passiert mit der Oberfläche einer Kugel, wenn man sie wie eine Zwiebel um eine extrem dünne Schicht vergrößert?

1. Für \(M(h) = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\) lautet die Ableitung nach \(h\): \(M'(h) = 2 \cdot \pi \cdot r\). Geometrisch stellt \(M(h)\) die Mantelfläche des Zylinders dar. Die Ableitung \(2 \cdot \pi \cdot r\) entspricht dem Umfang der Grundfläche des Zylinders. Sie gibt an, um wie viel die Mantelfläche wächst, wenn die Höhe um eine Einheit zunimmt. 2. Für \(O(r) = 4 \cdot \pi \cdot r^2\) lautet die Ableitung nach \(r\): \(O'(r) = 8 \cdot \pi \cdot r\). Geometrisch stellt \(O(r)\) die Oberfläche der Kugel dar. Die Ableitung \(8 \cdot \pi \cdot r\) ist die momentane Änderungsrate des Oberflächeninhalts bezüglich des Radius (entspricht dem Vierfachen des Umfangs eines Großkreises).

a) \(M'(h) = 2\pi r\); Bedeutung: Umfang der Grundfläche des Zylinders. b) \(O'(r) = 8\pi r\); Bedeutung: Momentane Änderungsrate des Oberflächeninhalts der Kugel bei Radiusänderung.

- Kannst du den Term so umformen, dass du nur noch einfache Potenzen addieren musst? - Was passiert mit Zahlen oder Symbolen, die kein \(x\) (oder die entsprechende Variable) enthalten, wenn sie als Summand auftreten? - Vergiss nicht, dass Brüche oder Symbole wie \(\pi\) einfach nur feste Zahlenwerte darstellen.

1. Für \(f(x)\) wird zuerst das Produkt ausmultipliziert: \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 10\). Ableiten nach der Potenz- und Summenregel ergibt \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 5\). 2. Für \(g(x)\) wird die Summenregel angewendet. Da \(\pi\) eine Konstante ist, fällt sie beim Ableiten weg: \(g'(x) = 4 \cdot \frac{1}{4}x^3 - 3 \cdot \frac{2}{3}x^2 = x^3 - 2x^2\). 3. Für \(h(z)\) wird nach \(z\) abgeleitet, wobei \(c\) und \(\frac{1}{c}\) konstante Faktoren sind: \(h'(z) = 3cz^2 - \frac{1}{c}\).

a) \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 5\) b) \(g'(x) = x^3 - 2x^2\) c) \(h'(z) = 3cz^2 - \frac{1}{c}\)

- Welcher Buchstabe ist die Variable, nach der abgeleitet wird, und welche Buchstaben sind feste Zahlenwerte? - Wie behandelst du einen Parameter, der als Faktor vor einer Potenz steht? - Was ist die Ableitung eines Terms, in dem die Variable gar nicht vorkommt? - Könntest du eine binomische Formel nutzen, um den Term zu vereinfachen?

1. Bei \(h(x)\) ist \(x\) die Variable und \(a\) ein Parameter. Es gilt: \(h'(x) = \frac{1}{a} \cdot 3x^2 + a \cdot 2x - a^3 \cdot 1 + 0 = \frac{3}{a}x^2 + 2ax - a^3\). 2. Der Term \(p(t)\) wird zunächst mithilfe der zweiten binomischen Formel entwickelt: \(p(t) = (3t)^2 - 2 \cdot 3t \cdot k + k^2 = 9t^2 - 6kt + k^2\). 3. Die Ableitung erfolgt nach der Variablen \(t\), während \(k\) als Konstante betrachtet wird: \(p'(t) = 9 \cdot 2t - 6k \cdot 1 + 0 = 18t - 6k\).

a) \(h'(x) = \frac{3}{a}x^2 + 2ax - a^3\) b) \(p'(t) = 18t - 6k\)

- Wie findet man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Erinnere dich daran, dass die Momentangeschwindigkeit die Änderungsrate des Weges ist. - Die Beschleunigung gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert. - Um Zeitpunkte mit gleichen Eigenschaften zu finden, hilft oft das Gleichsetzen von Funktionsausdrücken.

1. Berechnung der Geschwindigkeitsfunktionen durch Ableiten: \(v_1(t) = s_1'(t) = 12t + 2\) und \(v_2(t) = s_2'(t) = 3t^2 + 6t + 5\). Auswertung zum Startzeitpunkt \(t = 0\): \(v_1(0) = 2\,\text{cm/s}\) und \(v_2(0) = 5\,\text{cm/s}\). Da \(5 > 2\), hat Auto 2 zum Startzeitpunkt die höhere Geschwindigkeit. 2. Berechnung der Beschleunigungsfunktionen durch erneutes Ableiten: \(a_1(t) = v_1'(t) = 12\) und \(a_2(t) = v_2'(t) = 6t + 6\). Gleichsetzen der Funktionen: \(a_1(t) = a_2(t) \implies 12 = 6t + 6\). Lösen nach \(t\): \(6 = 6t \implies t = 1\). Nach \(1\,\text{s}\) ist die Beschleunigung beider Autos identisch.

1. Auto 2 ist mit \(5\,\text{cm/s}\) schneller als Auto 1 mit \(2\,\text{cm/s}\). 2. Zum Zeitpunkt \(t = 1\,\text{s}\).

- Was bedeutet die Eigenschaft „waagerecht“ für den Wert der Steigung? - Behandle den Parameter \(k\) beim Ableiten wie eine ganz normale Zahl. - An welcher Stelle soll die Bedingung für die Tangente erfüllt sein? Setze diesen Wert für die passende Variable ein.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f_k'(x)\) unter Behandlung von \(k\) als konstanten Faktor: \(f_k'(x) = 3 \cdot k \cdot x^2 - 2 \cdot 3x = 3kx^2 - 6x\). 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente: Die Steigung an der entsprechenden Stelle muss null sein, also \(f_k'(1) = 0\). 3. Einsetzen von \(x = 1\) in die Ableitungsfunktion: \(f_k'(1) = 3k(1)^2 - 6(1) = 3k - 6\). 4. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(3k - 6 = 0 \Rightarrow 3k = 6 \Rightarrow k = 2\).

a) \(f_k'(x) = 3kx^2 - 6x\) b) Für \(k = 2\) hat der Graph an der Stelle \(x = 1\) eine waagerechte Tangente.

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle an? - Welchen Wert muss die Ableitung an den gesuchten Stellen annehmen? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, in der die Unbekannte im Quadrat vorkommt? - Hast du alle Lösungen der Gleichung gefunden?

1. Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) mittels Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = x^2 - 2x - 5\). 2. Gleichsetzen der Ableitung mit der geforderten Steigung: \(x^2 - 2x - 5 = 3\). 3. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 2x - 8 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = \frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2 + 8} = 1 \pm \sqrt{1 + 8} = 1 \pm 3\). 5. Ermittlung der Stellen: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\).

Die Stellen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\).

- Ist es einfacher, das Produkt direkt abzuleiten oder den Term vorher umzuformen? - Wie gehst du vor, um herauszufinden, wann ein Term den Wert Null hat? - Denke daran, dass beim Lösen von Gleichungen mit Quadraten oft zwei Lösungen möglich sind.

1. Auflösen der Klammer zur Vereinfachung der Ableitung: \(h(t) = 6t^2 - t^4\). Anwendung der Potenzregel: \(h'(t) = 12t - 4t^3\). 2. Erneutes Ableiten von \(h'(t)\): \(h''(t) = 12 - 12t^2\). 3. Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(12 - 12t^2 = 0 \Leftrightarrow 12t^2 = 12 \Leftrightarrow t^2 = 1\). Die Lösungen sind \(t_1 = 1\) und \(t_2 = -1\).

1) \(h'(t) = 12t - 4t^3\) 2) \(h''(t) = 12 - 12t^2\) 3) \(t = 1\) und \(t = -1\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in der Differentialrechnung. - Wie rechnet man eine Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde in Kilometer pro Stunde um? - Was gibt die Steigung der Tangente an der Stelle \(t\) im Zeit-Weg-Diagramm an?

1. Bildung der ersten Ableitung zur Bestimmung der Geschwindigkeit: \(v(t) = s'(t) = 0{,}015t^2 + 0{,}12t\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit bei \(t = 20\,\text{s}\): \(v(20) = 0{,}015 \cdot 20^2 + 0{,}12 \cdot 20 = 0{,}015 \cdot 400 + 2{,}4 = 6 + 2{,}4 = 8{,}4\,\text{m/s}\). 3. Umrechnung der Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\): \(8{,}4 \cdot 3{,}6 = 30{,}24\,\text{km/h}\). 4. Bildung der zweiten Ableitung zur Bestimmung der Beschleunigung: \(a(t) = s''(t) = 0{,}03t + 0{,}12\). 5. Berechnung der Beschleunigung bei \(t = 20\,\text{s}\): \(a(20) = 0{,}03 \cdot 20 + 0{,}12 = 0{,}6 + 0{,}12 = 0{,}72\,\text{m/s}^2\).

a) Die Geschwindigkeit nach \(20\) Sekunden beträgt \(8{,}4\,\text{m/s}\), was \(30{,}24\,\text{km/h}\) entspricht. b) Die Beschleunigung zum Zeitpunkt \(t = 20\,\text{s}\) beträgt \(0{,}72\,\text{m/s}^2\).

- Die Kraft ist direkt proportional zur Beschleunigung. Wie findest du die Beschleunigung aus der Wegfunktion? - „Keine Kraft“ bedeutet mathematisch, dass der Wert der Kraftfunktion gleich Null ist. - Denke daran, dass für die Geschwindigkeit die erste Ableitung der Wegfunktion relevant ist. - Achte beim Einsetzen der Zeit in die Geschwindigkeitsfunktion auf das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Ableiten der Wegfunktion \(s(t)\) zur Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\): \(v(t) = s'(t) = 2t^2 - 12t + 10\). 2. Ableiten der Geschwindigkeitsfunktion zur Beschleunigungsfunktion \(a(t)\): \(a(t) = v'(t) = 4t - 12\). 3. Aufstellen der Kraftfunktion \(F(t) = m \cdot a(t)\): \(F(t) = 0{,}5 \cdot (4t - 12) = 2t - 6\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts, an dem keine Kraft wirkt: \(F(t) = 0 \Rightarrow 2t - 6 = 0 \Rightarrow t = 3\,\text{s}\). 5. Berechnung der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 3\,\text{s}\): \(v(3) = 2 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 10 = 18 - 36 + 10 = -8\,\text{m/s}\).

a) \(F(t) = 2t - 6\) (in Newton) b) Zum Zeitpunkt \(t = 3\,\text{s}\) wirkt keine Kraft auf das Objekt. c) Die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt beträgt \(-8\,\text{m/s}\).

- Wie findest du die dritte Ableitung, wenn du die Ausgangsfunktion kennst? - Was bedeutet die Notation \(g'''(2)\) für dein Vorgehen? - Achte beim Einsetzen auf die korrekte Reihenfolge der Rechenoperationen (Potenz vor Multiplikation).

1. Berechnung der ersten drei Ableitungen unter Verwendung der grundlegenden Ableitungsregeln: \(g'(x) = -0{,}5x^4 + 6x^2 - 1\) \(g''(x) = -2x^3 + 12x\) \(g'''(x) = -6x^2 + 12\) 2. Einsetzen von \(x = 2\) in den Term der dritten Ableitung: \(g'''(2) = -6 \cdot 2^2 + 12 = -6 \cdot 4 + 12 = -24 + 12 = -12\).

a) \(g'''(x) = -6x^2 + 12\) b) \(g'''(2) = -12\)

- Überlege dir, wie oft du eine Funktion vom Grad 4 ableiten musst, damit eine Konstante übrig bleibt. - Was geschieht mit einer Konstanten, wenn man sie noch einmal ableitet? - Du kannst die Ableitungen nacheinander bilden, um zu sehen, wie sich der Grad des Polynoms verringert.

1. Schrittweise Ableitung zur Bestimmung von \(g''(x)\): Erste Ableitung \(g'(x) = 8x^3 - 6x\), zweite Ableitung \(g''(x) = 24x^2 - 6\). 2. Fortführung der Ableitungen zur Bestimmung von \(g^{(4)}(x)\): Dritte Ableitung \(g'''(x) = 48x\), vierte Ableitung \(g^{(4)}(x) = 48\). 3. Bestimmung der kleinsten Ableitungsordnung: Da \(g^{(4)}(x) = 48\) eine konstante Funktion ungleich Null ist, ergibt die nächste Ableitung \(g^{(5)}(x) = 0\). Somit ist \(n = 5\) die kleinste natürliche Zahl, für die die Ableitungsfunktion identisch Null ist.

a) \(g''(x) = 24x^2 - 6\); \(g^{(4)}(x) = 48\) b) \(n = 5\)

- Bestimme zuerst die allgemeine Ableitungsfunktion. - Was bedeutet es mathematisch, wenn die Ableitung an einer Stelle einen bestimmten Wert annimmt? - Setze die Ableitungsfunktion mit den gesuchten Werten gleich und löse die entstandenen Gleichungen nach \(x\) auf. - Denk daran, dass bei Gleichungen der Form \(x^2 = a\) zwei Lösungen existieren können.

1. Berechnung der Ableitungsfunktion unter Verwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = x^2 - \frac{1}{4}\). 2. Bestimmung der Stellen für den Wert \(0\): Lösen der Gleichung \(x^2 - \frac{1}{4} = 0\) führt zu \(x^2 = \frac{1}{4}\), also \(x_1 = \frac{1}{2}\) und \(x_2 = -\frac{1}{2}\). 3. Bestimmung der Stellen für den Wert \(\frac{3}{4}\): Lösen der Gleichung \(x^2 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) führt zu \(x^2 = 1\), also \(x_3 = 1\) und \(x_4 = -1\). 4. Bestimmung der Stellen für den Wert \(2\): Lösen der Gleichung \(x^2 - \frac{1}{4} = 2\) führt zu \(x^2 = \frac{9}{4}\), also \(x_5 = \frac{3}{2}\) und \(x_6 = -\frac{3}{2}\).

Für \(f'(x) = 0\): \(x \in \{-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\}\) Für \(f'(x) = \frac{3}{4}\): \(x \in \{-1; 1\}\) Für \(f'(x) = 2\): \(x \in \{-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\}\)

- Überlege dir zuerst, welche mathematische Funktion die Steigung eines Graphen beschreibt. - Wie gehst du vor, wenn du prüfen möchtest, ob eine Funktion einen bestimmten Wert erreichen kann? - Was weißt du über die Ergebnisse von Quadratzahlen im Bereich der reellen Zahlen?

1. Die Steigung der Tangente an einer Stelle \(x\) wird durch die erste Ableitungsfunktion \(f'\) berechnet. Unter Anwendung der Potenz-, Summen- und Faktorregel ergibt sich \(f'(x) = 3x^2 + 3\). 2. Um zu prüfen, ob die Steigung \(2\) vorkommen kann, setzt man die Ableitung mit diesem Wert gleich: \(3x^2 + 3 = 2\). 3. Durch Umformung erhält man \(3x^2 = -1\) bzw. \(x^2 = -\frac{1}{3}\). 4. Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann (\(x^2 \geq 0\)), besitzt diese Gleichung keine reelle Lösung. Somit tritt der Wert \(2\) als Tangentensteigung nicht auf.

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = 3x^2 + 3\). Da \(3x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist die kleinstmögliche Steigung \(f'(0) = 3\). Der Wert \(2\) liegt unterhalb dieses Minimums und wird daher nicht angenommen.

- Erinnere dich daran, dass die Steigung an einer Stelle durch den Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle angegeben wird. - Die zweite Ableitung erhältst du, indem du die erste Ableitung noch einmal nach denselben Regeln ableitest. - Wenn du eine Funktion suchst, deren zweite Ableitung gegeben ist, überlege dir schrittweise, welche Funktion beim zweimaligen Ableiten diesen Term erzeugt.

1. Bestimmung von \(a\): Die Ableitung von \(f(x) = a \cdot x^4\) ist \(f'(x) = 4a \cdot x^3\). Die Bedingung „Steigung an der Stelle \(1\) ist \(20\)“ bedeutet \(f'(1) = 20\). Einsetzen ergibt: \(4a \cdot 1^3 = 20 \Rightarrow 4a = 20 \Rightarrow a = 5\). 2. Berechnung der zweiten Ableitung von \(g(x)\): Erste Ableitung: \(g'(x) = 3 \cdot \frac{1}{6}x^2 - 2 \cdot 5x + 0 = \frac{1}{2}x^2 - 10x\). Zweite Ableitung: \(g''(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}x^1 - 10 = x - 10\). 3. Bestimmung von \(k(x)\) aus der zweiten Ableitung \(k''(x) = 12x^2\): Die zweifache Ableitung einer Potenzfunktion \(k(x) = x^n\) führt zu \(n(n-1)x^{n-2}\). Exponentenvergleich: \(n-2 = 2 \Rightarrow n = 4\). Koeffizientenvergleich: \(1 \cdot 4 \cdot 3 = 12\). Dies passt exakt zum Koeffizienten \(12\) in \(k''(x)\). Ein möglicher Funktionsterm ist \(k(x) = x^4\).

a) \(a = 5\) b) \(g''(x) = x - 10\) c) \(k(x) = x^4\)

- Wie hängen der Begriff der Steigung und die Ableitungsfunktion zusammen? - Was musst du tun, um den Wert der Steigung an einer ganz bestimmten Stelle zu finden? - Erinnere dich daran, wie man Brüche in Potenzen mit negativen Exponenten umwandelt, bevor du ableitest. - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen besonders auf die Vorzeichenregeln bei Potenzen.

1. Umschreiben der Funktion zu \(f(x) = x^4 - x^{-2}\). Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel ergibt die Ableitungsfunktion \(f'(x) = 4x^3 - (-2)x^{-3} = 4x^3 + 2x^{-3} = 4x^3 + \frac{2}{x^3}\). 2. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 1\) durch Einsetzen in die Ableitung: \(f'(1) = 4 \cdot 1^3 + \frac{2}{1^3} = 4 + 2 = 6\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = -1\): \(f'(-1) = 4 \cdot (-1)^3 + \frac{2}{(-1)^3} = -4 - 2 = -6\). Da der Wert der Ableitung \(-6\) kleiner als \(0\) ist, ist die Steigung an dieser Stelle negativ.

a) \(f'(x) = 4x^3 + \frac{2}{x^3}\) b) Die Steigung an der Stelle \(x = 1\) beträgt \(6\). c) \(f'(-1) = -6\). Da \(-6 < 0\), ist die Steigung negativ.

- Bestimme zuerst den Grad der ursprünglichen Funktion, indem du beachtest, dass zweimaliges Ableiten den Exponenten um 2 verringert. - Nutze die allgemeine Form der zweiten Ableitung \(a \cdot n \cdot (n-1) \cdot x^{n-2}\), um den Vorfaktor \(a\) zu berechnen. - Setze am Ende den gegebenen \(x\)-Wert in deine gefundene Funktionsgleichung ein.

1. Bestimmung des Exponenten: Aus dem Exponenten der zweiten Ableitung \(n-2 = 2\) folgt \(n = 4\). 2. Bestimmung des Koeffizienten: Die zweite Ableitung von \(a \cdot x^4\) ist \(a \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 = 12a \cdot x^2\). Durch Gleichsetzen mit \(1{,}5x^2\) ergibt sich \(12a = 1{,}5\), also \(a = \frac{1{,}5}{12} = 0{,}125\) (oder \(\frac{1}{8}\)). 3. Funktionsgleichung: \(f(x) = 0{,}125x^4\). 4. Funktionswert berechnen: \(f(2) = 0{,}125 \cdot 2^4 = 0{,}125 \cdot 16 = 2\).

1. \(f(x) = 0{,}125x^4\) (oder \(f(x) = \frac{1}{8}x^4\)) 2. \(f(2) = 2\)

- Kannst du die Terme mit Brüchen oder Wurzeln zuerst als Potenzen mit negativen oder rationalen Exponenten umschreiben? - Was passiert mit dem konstanten Faktor vor dem \(x\), wenn du ableitest? - Erinnere dich an die allgemeine Regel für die Ableitung von \(x^n\).

1. Anwendung der Faktorregel \( (c \cdot g(x))' = c \cdot g'(x) \) und der Potenzregel \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \). 2. Für a): \( f'(x) = 2{,}5 \cdot 4 \cdot x^3 = 10x^3 \). 3. Für b): \( f'(x) = \frac{5}{12} \cdot 6 \cdot x^5 = \frac{5}{2}x^5 = 2{,}5x^5 \). 4. Für c): Umschreiben zu \( f(x) = -3x^{-2} \). Ableitung: \( f'(x) = -3 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = 6x^{-3} = \frac{6}{x^3} \). 5. Für d): Umschreiben zu \( f(x) = 6x^{\frac{1}{2}} \). Ableitung: \( f'(x) = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = 3x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{\sqrt{x}} \).

a) \(f'(x) = 10x^3\) b) \(f'(x) = \frac{5}{2}x^5\) oder \(f'(x) = 2{,}5x^5\) c) \(f'(x) = \frac{6}{x^3}\) für \(x \neq 0\) d) \(f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}}\) für \(x > 0\)

- Berechne die Ableitungen nacheinander und vereinfache die Brüche. - Wann wird eine Potenzfunktion zu einer Konstanten? - Wie verändert sich der Grad eines Polynoms bei jeder Ableitung? - Was ist die Ableitung einer konstanten Zahl wie \(1\) oder \(0\)?

1. Berechnung der Ableitungen: \(g'(x) = \frac{5}{120}x^4 = \frac{1}{24}x^4\) \(g''(x) = \frac{4}{24}x^3 = \frac{1}{6}x^3\) \(g'''(x) = \frac{3}{6}x^2 = \frac{1}{2}x^2\) \(g^{(4)}(x) = \frac{2}{2}x = x\) \(g^{(5)}(x) = 1\) 2. Da die fünfte Ableitung \(g^{(5)}(x) = 1\) eine konstante Funktion ist, ist ihre Ableitung \(g^{(6)}(x) = 0\). Da die Ableitung der Nullfunktion wiederum die Nullfunktion ist, gilt \(g^{(n)}(x) = 0\) für alle \(n \geq 6\).

a) \(g'(x) = \frac{1}{24}x^4\); \(g''(x) = \frac{1}{6}x^3\); \(g'''(x) = \frac{1}{2}x^2\); \(g^{(4)}(x) = x\); \(g^{(5)}(x) = 1\) b) Für \(n \geq 6\) gilt \(g^{(n)}(x) = 0\), da die Ableitung einer Konstanten Null ist und alle weiteren Ableitungen von Null ebenfalls Null ergeben.

- Führe die Ableitungen Schritt für Schritt durch und achte darauf, wie die Koeffizienten entstehen. - Kannst du ein Muster in der Entstehung der Koeffizienten erkennen, wenn du die Multiplikationen nicht sofort zusammenfasst? - Was passiert mit dem Exponenten \(x^n\) nach genau \(n\) Ableitungen?

1. Schrittweise Berechnung der Ableitungen: \(f'(x) = 5x^4\) \(f''(x) = 5 \cdot 4x^3 = 20x^3\) \(f'''(x) = 20 \cdot 3x^2 = 60x^2\) \(f^{(4)}(x) = 60 \cdot 2x^1 = 120x\) \(f^{(5)}(x) = 120\) 2. Das Produkt \(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\) ergibt exakt \(120\). Der konstante Wert der 5. Ableitung entspricht also genau dem Produkt aller natürlichen Zahlen von \(1\) bis zum ursprünglichen Exponenten. 3. Für eine Funktion \(g(x) = x^n\) ist die \(n\)-te Ableitung konstant. Der Wert dieser Ableitung ist das Produkt \(n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1\), auch bekannt als Fakultät \(n!\).

1. \(f'(x) = 5x^4\); \(f''(x) = 20x^3\); \(f'''(x) = 60x^2\); \(f^{(4)}(x) = 120x\); \(f^{(5)}(x) = 120\) 2. Der Wert der 5. Ableitung (\(120\)) ist identisch mit dem Produkt \(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\). 3. Die \(n\)-te Ableitung von \(x^n\) hat den konstanten Wert \(n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1\).

- Überlege dir zuerst, an welcher Stelle \(x\) der Rand des Beckens liegt, wenn die Gesamtbreite gegeben ist. - Wie lässt sich eine prozentuale Steigung mathematisch als Wert für die Ableitung ausdrücken? - Welche Information liefert dir die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle? - Wie hängen der Randpunkt und die Tiefe des Beckens zusammen?

1. Da die Gesamtbreite \(12\,\text{m}\) beträgt, liegt der rechte Rand des Beckens bei \(x = 6\) (Symmetrie zur \(y\)-Achse). 2. Die Steigung am rechten Rand beträgt \(120\,\%\), also \(f'(6) = 1{,}2\). 3. Aus \(f(x) = ax^2\) folgt die Ableitung \(f'(x) = 2ax\). 4. Einsetzen der Randbedingung: \(2 \cdot a \cdot 6 = 1{,}2 \implies 12a = 1{,}2 \implies a = 0{,}1\). Die Gleichung lautet \(f(x) = 0{,}1x^2\). 5. Die Tiefe entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(x = 6\): \(f(6) = 0{,}1 \cdot 6^2 = 0{,}1 \cdot 36 = 3{,}6\,\text{m}\).

a) \(f(x) = 0{,}1x^2\) b) Das Becken ist \(3{,}6\,\text{m}\) tief.

- Lass dich von Wurzeln oder Symbolen wie \(\pi\) nicht verunsichern; behandle sie wie jede andere feste Zahl. - Wie verhält sich ein Term der Form \(c \cdot x\), wenn du ihn ableitest? - Welche Regel wendest du an, wenn mehrere Potenzen von \(x\) durch Plus- oder Minuszeichen verbunden sind? - Achte darauf, den Exponenten jedes Mal um genau eins zu verringern.

1. Gliedweise Differenziation unter Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel. 2. Ableitung des ersten Terms: \(8 \cdot \frac{1}{4}x^7 = 2x^7\). 3. Ableitung des zweiten Terms: \(-6 \cdot \frac{2}{3}x^5 = -4x^5\). 4. Ableitung des dritten Terms: \(4 \cdot \frac{3}{4}x^3 = 3x^3\). 5. Ableitung des linearen Terms \(-\sqrt[5]{10}x\): Der Faktor vor dem \(x\) bleibt erhalten, das Ergebnis ist \(-\sqrt[5]{10}\). 6. Ableitung der Konstante \(\pi\): Da \(\pi\) unabhängig von \(x\) ist, beträgt die Ableitung \(0\). 7. Kombination der Teilergebnisse: \(f'(x) = 2x^7 - 4x^5 + 3x^3 - \sqrt[5]{10}\).

\(f'(x) = 2x^7 - 4x^5 + 3x^3 - \sqrt[5]{10}\)

- Welche mathematische Größe gibt die Steigung eines Graphen an einer bestimmten Stelle an? - Schreibe die Wurzel und den Bruch zuerst in Potenzen um, bevor du die Ableitungsregeln anwendest. - Was musst du tun, nachdem du die allgemeine Ableitungsfunktion gefunden hast, um die Steigung an einer konkreten Stelle zu erhalten?

1. Umschreiben der Funktionsterme in Potenzschreibweise: \(f(x) = 4x^{1/2} - 9x^{-1} + 2\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion mittels Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 9 \cdot (-1)x^{-2} + 0\). 3. Vereinfachung des Terms: \(f'(x) = 2x^{-1/2} + 9x^{-2} = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{9}{x^2}\). 4. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 1\) durch Einsetzen in \(f'\): \(f'(1) = \frac{2}{\sqrt{1}} + \frac{9}{1^2} = 2 + 9 = 11\).

a) \(f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{9}{x^2}\) für \(x > 0\) b) Die Steigung an der Stelle \(x = 1\) beträgt \(11\).

- Behandle Brüche als konstante Faktoren, die beim Ableiten erhalten bleiben. - Beachte, dass Symbole wie \(\pi\) für feste Zahlenwerte stehen. - Kürze die Brüche nach jedem Ableitungsschritt, um die weiteren Berechnungen zu vereinfachen. - Überprüfe bei jedem Schritt, ob alle Summanden korrekt nach der Potenzregel transformiert wurden.

1. Berechnung von \(h'(x)\) mit der Potenzregel: \(\frac{5}{60}x^4 - \frac{4}{12}x^3 + \frac{3 \cdot 2}{3}x^2 - 0 = \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 2x^2\). 2. Berechnung von \(h''(x)\) aus \(h'(x)\): \(\frac{4}{12}x^3 - \frac{3}{3}x^2 + 2 \cdot 2x = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 4x\). 3. Berechnung von \(h'''(x)\) aus \(h''(x)\): \(\frac{3}{3}x^2 - 2x + 4 = x^2 - 2x + 4\).

\(h'(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 2x^2\) \(h''(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 4x\) \(h'''(x) = x^2 - 2x + 4\)

- Hilft es dir, den Funktionsterm zuerst zu vereinfachen, bevor du mit dem Ableiten beginnst? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? - Was passiert mit dem Grad einer ganzrationalen Funktion bei jedem Ableitungsschritt? - Wann wird eine Funktion beim Ableiten zu einer Konstanten und wann schließlich zu Null?

1. Vereinfachung des Funktionsterms durch Anwendung der binomischen Formeln: \(f(x) = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = x^4 - 16\). 2. Berechnung der Ableitungen unter Verwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = 4x^3\) \(f''(x) = 12x^2\) \(f'''(x) = 24x\) \(f^{(4)}(x) = 24\) \(f^{(5)}(x) = 0\) 3. Die kleinste Ordnung, für die die Ableitung identisch Null ist, ist \(n = 5\).

Die Ableitungen sind: \(f'(x) = 4x^3\) \(f''(x) = 12x^2\) \(f'''(x) = 24x\) \(f^{(4)}(x) = 24\) \(f^{(5)}(x) = 0\) Die kleinste Ordnung ist \(n = 5\).

- Was musst du beim Ableiten beachten, wenn ein Teil des Terms keinen Buchstaben \(x\) enthält? - Ist \(\pi^2\) eine Variable oder eine feste Zahl? - Überlege dir an einfachen Beispielen (wie \(x^1, x^2, x^3\)), wie oft du ableiten musst, bis Null herauskommt. Siehst du ein Muster?

a) Berechnung der Ableitungen (beachte, dass \(\pi^2\) eine Konstante ist): \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 10x\) \(g''(x) = x - 10\) \(g'''(x) = 1\) \(g^{(4)}(x) = 0\) b) Eine ganzrationale Funktion vom Grad \(d\) besitzt nach \(d\) Ableitungen einen konstanten Wert ungleich Null (da sich der Grad pro Schritt um 1 verringert). Die darauf folgende \((d+1)\)-te Ableitung der Konstanten ergibt somit zum ersten Mal die Nullfunktion.

a) Die Ableitungen sind: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 10x\) \(g''(x) = x - 10\) \(g'''(x) = 1\) \(g^{(4)}(x) = 0\) b) Die \((d+1)\)-te Ableitung ist die erste Nullfunktion, da jede Ableitung den Grad um 1 senkt und die Ableitung einer Konstanten Null ist.

- Kannst du die Funktion \(p(x)\) als eine einzige Potenz schreiben, bevor du sie ableitest? - Was passiert, wenn du die Ableitungsregeln auf die einzelnen Faktoren anwendest und diese dann multiplizierst? - Erinnerst du dich an das Ausklammern beim Lösen von Gleichungen mit Potenzen? - Wann sind zwei mathematische Funktionen im Allgemeinen gleich?

1. Vereinfachung des Produkts: \(p(x) = 2x^3 \cdot 5x^4 = 10x^7\). 2. Ableitung mit der Potenzregel: \(p'(x) = 70x^6\). 3. Bestimmung der Einzelableitungen: \(f'(x) = 6x^2\) und \(g'(x) = 20x^3\). 4. Berechnung des Produkts der Ableitungen: \(f'(x) \cdot g'(x) = 120x^5\). 5. Gleichsetzen der Ausdrücke zur Untersuchung der Übereinstimmung: \(70x^6 = 120x^5\). 6. Umformen zur Nullform: \(70x^6 - 120x^5 = 0 \Leftrightarrow x^5(70x - 120) = 0\). 7. Bestimmung der Lösungen: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{120}{70} = \frac{12}{7} \approx 1{,}71\). Da die Terme nur an diesen zwei Stellen übereinstimmen, ist die Vermutung im Allgemeinen falsch.

a) \(p'(x) = 70x^6\) b) \(f'(x) \cdot g'(x) = 120x^5\) c) Die Gleichung \(70x^6 = 120x^5\) besitzt die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{12}{7}\). Nur an diesen Stellen sind die Werte identisch.

- Welche Ableitungsregel hilft dir bei Termen der Form \(c \cdot r^2\)? - Setze den gegebenen Wert für die Höhe in die Formel für die Mantelfläche ein und vergleiche die Terme. - Stell dir vor, du würdest den Zylinder mit einer hauchdünnen Schicht Farbe an der Außenseite (dem Mantel) bestreichen. Wie verändert das das Volumen?

1. Anwendung der Potenz- und Faktorregel auf \(V(r) = 10\pi \cdot r^2\) ergibt die Ableitung \(V'(r) = 10\pi \cdot 2r = 20\pi r\). 2. Einsetzen der festen Höhe \(h = 10\,\text{cm}\) in die Formel für die Mantelfläche \(M(r) = 2\pi \cdot r \cdot 10 = 20\pi r\). 3. Vergleich der Ergebnisse zeigt die Identität \(V'(r) = M(r)\). 4. Geometrische Begründung: Wenn der Radius um einen kleinen Betrag \(\Delta r\) wächst, nimmt das Volumen um eine dünne Schicht zu, die die Mantelfläche des Zylinders umhüllt. Die Änderungsrate des Volumens entspricht daher genau dem Flächeninhalt dieser Mantelfläche.

a) \(V'(r) = 20\pi r\) b) Es gilt \(V'(r) = M(r)\); die Ableitung des Volumens nach dem Radius entspricht genau der Mantelfläche des Zylinders. c) Die Ableitung gibt die momentane Änderungsrate des Volumens an. Bei einer Vergrößerung des Radius wird das Volumen um eine „Schicht“ vergrößert, deren Fläche der Mantelfläche entspricht.

- Behandle Parameter wie \(a\) oder \(k\) beim Ableiten einfach wie feste Zahlen. - Welche binomische Formel hilft dir bei Teil b), um das Produkt schnell zu berechnen? - Multipliziere bei Teil c) erst die Klammer aus, bevor du das Ergebnis mit dem Faktor davor multiplizierst. - Überlege dir bei jedem Summanden: Was ist die Variable und was ist nur ein konstanter Faktor?

1. Für Teil a): Binomische Formel anwenden und mit \(k\) multiplizieren: \(f(x) = k(x^2 + 2ax + a^2) - bx = kx^2 + 2akx + ka^2 - bx\). Ableiten nach \(x\) (Parameter wie Zahlen behandeln): \(f'(x) = 2kx + 2ak - b\). 2. Für Teil b): Dritte binomische Formel nutzen: \((t^2 + 4)(t^2 - 4) = t^4 - 16\). Der gesamte Term ist \(s(t) = t^4 + \frac{2}{3}t^3 - 16\). Ableiten ergibt \(s'(t) = 4t^3 + 2t^2\). 3. Für Teil c): Zuerst das Quadrat auflösen und dann mit \(3r\) multiplizieren: \(q(r) = 3r(r^2 - 4r + 4) = 3r^3 - 12r^2 + 12r\). Ableiten nach \(r\) ergibt \(q'(r) = 9r^2 - 24r + 12\).

a) \(f'(x) = 2kx + 2ak - b\) b) \(s'(t) = 4t^3 + 2t^2\) c) \(q'(r) = 9r^2 - 24r + 12\)

- Wie hängen Gesamtwert, Anzahl und Durchschnittswert zusammen? - Erinnere dich an die Produktregel: Wie leitet man ein Produkt aus zwei Funktionen ab? - Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über den Verlauf einer Funktion aus? - Überlege dir, was passieren muss, damit ein Durchschnittswert kleiner wird. Muss der neue Wert dann über oder unter dem alten Durchschnitt liegen?

1. Umstellen der Formel für die Durchschnittskosten ergibt \(K(x) = x \cdot k(x)\). Die Anwendung der Produktregel liefert für die Grenzkosten: \(K'(x) = 1 \cdot k(x) + x \cdot k'(x)\). 2. Für sinkende Durchschnittskosten gilt \(k'(x) < 0\). Da die Produktionsmenge \(x\) positiv ist (\(x > 0\)), ist das Produkt \(x \cdot k'(x)\) negativ. 3. Aus der Gleichung \(K'(x) = k(x) + x \cdot k'(x)\) folgt somit, dass \(K'(x)\) um einen positiven Betrag kleiner ist als \(k(x)\), also \(K'(x) < k(x)\). 4. Ökonomisch bzw. anschaulich bedeutet dies: Wenn die Kosten für die nächste produzierte Einheit (Grenzkosten) niedriger sind als der bisherige Durchschnitt, sinkt der Gesamtdurchschnitt aller produzierten Einheiten. Analog dazu sinkt ein Notendurchschnitt genau dann, wenn die Note der neuesten Arbeit besser (im Sinne einer kleineren Zahl) als der bisherige Schnitt ist.

a) \(K'(x) = k(x) + x \cdot k'(x)\) b) Da \(x > 0\) und \(k'(x) < 0\), ist der Term \(x \cdot k'(x)\) negativ. Daraus folgt direkt \(K'(x) < k(x)\). c) Wenn zum Beispiel die Note einer neuen Arbeit als Zahl kleiner und damit besser als der bisherige Notendurchschnitt ist, sinkt der neue Notendurchschnitt.

- Die momentane Änderungsrate entspricht der ersten Ableitung der Funktion. - Den Durchschnittswert erhältst du, indem du den Funktionswert durch die Variable teilst. - Vergleiche die resultierenden Terme für verschiedene Werte von \(t\). - Wann ist die Ableitung einer Funktion gleich Null?

1. Modell 1: \(E'(t) = 0{,}04t\); \(d(t) = \frac{0{,}02t^2}{t} = 0{,}02t\). Vergleich: \(E'(t) = 2 \cdot d(t)\), also \(E'(t) > d(t)\). 2. Modell 2: \(E'(t) = 1{,}5\); \(d(t) = \frac{1{,}5t}{t} = 1{,}5\). Vergleich: \(E'(t) = d(t)\). 3. Modell 3: \(E'(t) = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{2}{\sqrt{t}}\); \(d(t) = \frac{4\sqrt{t}}{t} = \frac{4}{\sqrt{t}}\). Vergleich: \(E'(t) = \frac{1}{2} d(t)\), also \(E'(t) < d(t)\). 4. Ein regressives Verhalten liegt bei Modell 3 vor, da dort die momentane Rate stets kleiner als der Durchschnitt ist. 5. Bei Modell 2 ist \(d(t) = 1{,}5\) eine konstante Funktion. Die Ableitung \(d'(t) = 0\) bestätigt, dass sich der Durchschnittsverbrauch über die Zeit nicht ändert.

a) Modell 1: \(E'(t) = 0{,}04t\), \(d(t) = 0{,}02t\); Modell 2: \(E'(t) = 1{,}5\), \(d(t) = 1{,}5\); Modell 3: \(E'(t) = \frac{2}{\sqrt{t}}\), \(d(t) = \frac{4}{\sqrt{t}}\). b) Modell 3 ist regressiv, da \(E'(t) = \frac{2}{\sqrt{t}} < \frac{4}{\sqrt{t}} = d(t)\) für alle \(t > 0\). c) Bei Modell 2 ist der Durchschnittsverbrauch konstant, da \(d(t) = 1{,}5\) und somit \(d'(t) = 0\) gilt.

- Was bedeutet es für die Steigung einer Geraden, wenn sie parallel zur \(x\)-Achse liegt? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Welche Bedingung muss die Ableitung an den gesuchten Stellen erfüllen? - Wie kommst du von einer \(x\)-Stelle zu einem vollständigen Punkt auf dem Graphen?

1. Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel zur Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^2 - 4x + 3\) 2. Ansatz der Bedingung für waagerechte Tangenten (Steigung gleich Null): \(f'(x) = 0\) 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\) ergibt die Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) 4. Berechnung der zugehörigen Funktionswerte durch Einsetzen in \(f(x)\): \(f(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 5 = \frac{19}{3}\) und \(f(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 5 = 5\) 5. Angabe der Punkte: \(P_1(1 \mid \frac{19}{3})\) und \(P_2(3 \mid 5)\)

Die gesuchten Punkte sind \(P_1(1 \mid \frac{19}{3})\) und \(P_2(3 \mid 5)\).

- Wie hängt die Steigung der Tangente mit der Ableitung der Funktion zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch der Parameter \(a\) als Unbekannte vorkommt? - Welche Informationen (Punkt und Steigung) benötigst du für die Gleichung einer Geraden? - Wie findest du den \(y\)-Wert des Punktes, an dem die Tangente den Graphen berührt?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion unter Verwendung der Ableitungsregeln: \(g'(x) = 2ax + 4\) 2. Nutzung der Information über die Tangentensteigung: \(g'(-1) = 2\) 3. Aufstellen und Lösen der Gleichung: \(2a \cdot (-1) + 4 = 2 \Rightarrow -2a = -2 \Rightarrow a = 1\) 4. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Berührpunktes mit \(a = 1\): \(g(-1) = 1 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 2 = -5\). Der Berührpunkt ist \(P(-1 \mid -5)\) 5. Aufstellen der Tangentengleichung \(t(x) = m \cdot x + n\) mit \(m = 2\): Einsetzen des Punktes \(P\) ergibt \(-5 = 2 \cdot (-1) + n \Rightarrow n = -3\) 6. Resultierende Tangentengleichung: \(t(x) = 2x - 3\)

a) \(a = 1\) b) \(t(x) = 2x - 3\)

- Kannst du Brüche mit \(x\) im Nenner oder Wurzelterme als Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten schreiben? - Was passiert mit Zahlen, die ohne ein \(x\) in der Summe stehen, wenn man ableitet? - Wie gehst du vor, wenn eine Funktion aus mehreren Teilen besteht, die mit Plus oder Minus verbunden sind? - Überlege bei Parametern wie \(a\), \(c\) oder \(n\), welche Rolle sie im Vergleich zu \(x\) spielen.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Potenz-, Faktor- und Summenregel angewendet: Jeder Summand wird einzeln abgeleitet. \(0{,}2 \cdot 5x^4 - 2 \cdot 3x^2 + 4\). Zusammengefasst ergibt dies \(f'(x) = x^4 - 6x^2 + 4\). 2. In Teilaufgabe b) gilt wegen des Wurzelterms und des Bruchs \(x > 0\). Die Terme werden zuerst in Potenzschreibweise umgewandelt: \(4x^{-1} + 6x^{0{,}5}\). Die Ableitung lautet \(-4x^{-2} + 3x^{-0{,}5}\). Zurückgeführt in die ursprüngliche Form ergibt sich \(f'(x) = -\frac{4}{x^2} + \frac{3}{\sqrt{x}}\). 3. Für Teilaufgabe c) wird die Potenzregel auf den allgemeinen Term \(x^n\) mit \(n \in \mathbb{N}\) und \(n \geq 1\) angewendet und der konstante Summand \(a\) fällt weg. Das Ergebnis ist \(f'(x) = n \cdot c \cdot x^{n-1}\).

a) \(f'(x) = x^4 - 6x^2 + 4\) b) \(f'(x) = -\frac{4}{x^2} + \frac{3}{\sqrt{x}}\) für \(x > 0\) c) \(f'(x) = n \cdot c \cdot x^{n-1}\)

- Überlege zuerst, wie du den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse berechnest. - Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Welches Verfahren hilft dir, die Steigung an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Vergiss nicht, alle gefundenen \(x\)-Werte in die Ableitungsfunktion einzusetzen.

1. Berechnung der Ableitungsfunktion mit der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = 4x^3 - 15x^2 + 8x\). 2. Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x=0\): \(f(0) = 0^4 - 5 \cdot 0^3 + 4 \cdot 0^2 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 0)\). 3. Bestimmung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse durch Lösen von \(f(x) = 0\): Aus \(x^2(x^2 - 5x + 4) = 0\) folgen die Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 4\). Die Punkte sind \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(1 \mid 0)\) und \(N_3(4 \mid 0)\). 4. Berechnung der Steigungen durch Einsetzen der \(x\)-Werte in \(f'(x)\): \(f'(0) = 4 \cdot 0^3 - 15 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 = 0\) \(f'(1) = 4 \cdot 1^3 - 15 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 = -3\) \(f'(4) = 4 \cdot 4^3 - 15 \cdot 4^2 + 8 \cdot 4 = 256 - 240 + 32 = 48\)

In den Schnittpunkten mit den Achsen ergeben sich folgende Steigungen: An der Stelle \(x = 0\) (Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und zugleich Nullstelle) ist die Steigung \(0\). An der Nullstelle \(x = 1\) ist die Steigung \(-3\). An der Nullstelle \(x = 4\) ist die Steigung \(48\).

- Was gibt die erste Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion an, und was die zweite? - Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass eine Eigenschaft zu einem bestimmten Zeitpunkt „gleich“ ist? - Um Geschwindigkeiten zu vergleichen, musst du den zuvor gefundenen Zeitpunkt in die entsprechenden Funktionen einsetzen.

1. Bestimmung der Beschleunigungsfunktionen über die zweiten Ableitungen: Für Objekt A: \(v_A(t) = \frac{1}{4}t^2 + t + 2\) und \(a_A(t) = \frac{1}{2}t + 1\). Für Objekt B: \(v_B(t) = \frac{3}{2}t + 3\) und \(a_B(t) = \frac{3}{2} = 1{,}5\). 2. Gleichsetzen der Beschleunigungen für Teilaufgabe a): \(\frac{1}{2}t + 1 = 1{,}5 \Rightarrow 0{,}5t = 0{,}5 \Rightarrow t = 1\,\text{s}\). 3. Berechnung der Geschwindigkeiten zum Zeitpunkt \(t = 1\) für Teilaufgabe b): \(v_A(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^2 + 1 + 2 = 3{,}25\,\text{m/s}\). \(v_B(1) = \frac{3}{2} \cdot 1 + 3 = 4{,}5\,\text{m/s}\). 4. Vergleich: Da \(4{,}5 > 3{,}25\), bewegt sich Objekt B zum fraglichen Zeitpunkt schneller.

a) Die Beschleunigungen sind zum Zeitpunkt \(t = 1\,\text{s}\) gleich. b) Zum Zeitpunkt \(t = 1\,\text{s}\) ist Objekt B mit \(v_B = 4{,}5\,\text{m/s}\) schneller als Objekt A mit \(v_A = 3{,}25\,\text{m/s}\).

- Leite die allgemeine Funktion \(f_n(x)\) nach \(x\) ab. - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^k = c\) in Abhängigkeit davon, ob \(k\) gerade oder ungerade ist? - Überlege dir, welchen Einfluss der Exponent in der Ableitung auf die Symmetrie und die Anzahl der Schnittpunkte mit einer horizontalen Geraden hat. - Vergiss nicht, den Spezialfall \(n=1\) separat zu prüfen.

1. Die Ableitung der Funktionen lautet allgemein \(f_n'(x) = n \cdot x^{n-1}\). Die Bedingung für die Steigung lautet \(n \cdot x^{n-1} = 10\), was zu \(x^{n-1} = \frac{10}{n}\) umgeformt werden kann. 2. Da \(n\) eine positive natürliche Zahl ist, ist der Wert \(\frac{10}{n}\) stets positiv. 3. Eine Gleichung der Form \(x^k = a\) mit \(a > 0\) hat im Reellen genau dann zwei Lösungen, wenn der Exponent \(k\) eine gerade Zahl ungleich Null ist (z. B. \(x^2 = 4\) oder \(x^4 = 16\)). Ist \(k\) ungerade, gibt es nur eine Lösung. Ist \(k=0\), gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen. 4. Hier ist der Exponent \(k = n-1\). Damit \(n-1\) gerade ist, muss \(n\) ungerade sein. 5. Prüfung der ungeraden Werte aus der Menge: Für \(n=1\) gilt \(f_1'(x) = 1\). Die Gleichung \(1 = 10\) hat keine Lösung. Für \(n=3\) gilt \(3x^2 = 10 \implies x^2 = \frac{10}{3}\), was zwei Lösungen liefert (\(x = \pm \sqrt{\frac{10}{3}}\)). Für \(n=5\) gilt \(5x^4 = 10 \implies x^4 = 2\), was ebenfalls zwei Lösungen liefert (\(x = \pm \sqrt[4]{2}\)). 6. Für gerade \(n\) (\(2, 4, 6\)) ist der Exponent \(n-1\) ungerade, weshalb es jeweils nur eine Lösung gibt.

Die Bedingung ist für \(n = 3\) und \(n = 5\) erfüllt.

- Hilft es dir, Brüche mit \(x\) im Nenner oder Wurzelterme zuerst als Potenzen mit negativen oder rationalen Exponenten zu schreiben? - Welche Regel für Exponenten nutzt du, um \(\frac{1}{x^n}\) umzuformen? - Wie lässt sich \(\sqrt{x}\) als Potenz ausdrücken? - Achte beim Ableiten besonders auf das Vorzeichen, wenn der Exponent negativ ist.

1. Umschreiben der Terme in Potenzschreibweise: \(g(x) = 2x^{-2} + 6x^{0{,}5} - x^3\). 2. Ableiten des ersten Terms \(2x^{-2}\): \(2 \cdot (-2)x^{-3} = -4x^{-3}\). 3. Ableiten des zweiten Terms \(6x^{0{,}5}\): \(6 \cdot 0{,}5x^{-0{,}5} = 3x^{-0{,}5}\). 4. Ableiten des dritten Terms \(-x^3\): \(-3x^2\). 5. Umwandlung zurück in die Bruch- und Wurzelform: \(-4x^{-3} = -\frac{4}{x^3}\) und \(3x^{-0{,}5} = \frac{3}{\sqrt{x}}\). 6. Zusammenfassen zur Ableitungsfunktion: \(g'(x) = -\frac{4}{x^3} + \frac{3}{\sqrt{x}} - 3x^2\).

\(g'(x) = -\frac{4}{x^3} + \frac{3}{\sqrt{x}} - 3x^2\) für \(x > 0\)

- Wenn die Oberkante auf der \(x\)-Achse liegt, welche Koordinaten haben dann die Randpunkte? - Was bedeutet eine Steigung von \(50\,\%\) für den Wert der Ableitung? - Wie kannst du den tiefsten Punkt einer Parabel finden, wenn die Gleichung bekannt ist? - Achte darauf, dass die Tiefe als positiver Längenwert angegeben wird.

1. Die Breite von \(20\,\text{m}\) bedeutet, dass die Ränder bei \(x = 10\) und \(x = -10\) liegen. Da die Oberkante auf der \(x\)-Achse liegt, gilt \(f(10) = 0\). 2. Die Steigung am rechten Rand ist \(f'(10) = 0{,}8\). Mit \(f'(x) = 2ax\) folgt: \(2 \cdot a \cdot 10 = 0{,}8 \implies 20a = 0{,}8 \implies a = 0{,}04\). 3. Bestimmung von \(c\) durch Einsetzen in \(f(10) = 0\): \(0{,}04 \cdot 10^2 + c = 0 \implies 4 + c = 0 \implies c = -4\). Die Gleichung lautet \(f(x) = 0{,}04x^2 - 4\). 4. Die maximale Tiefe liegt bei \(x = 0\) vor: \(|f(0)| = |-4| = 4\,\text{m}\). 5. Für die Steigung von \(50\,\%\) setze \(f'(x) = 0{,}5\): \(0{,}08x = 0{,}5 \implies x = 6{,}25\). Die Entfernung beträgt \(6{,}25\,\text{m}\).

a) \(f(x) = 0{,}04x^2 - 4\) b) Die maximale Tiefe beträgt \(4\,\text{m}\). c) In einer Entfernung von \(6{,}25\,\text{m}\) von der Mitte.