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- Gesucht ist eine Bedingung, die bei jedem differenzierbaren lokalen Extremum erfüllt sein muss. - Denke an die Tangentensteigung an einer glatten Hoch- oder Tiefstelle. - Eine notwendige Bedingung muss auch dann gelten, wenn der Funktionswert des Extremums nicht null ist.

1. Für ein lokales Extremum an einer inneren Stelle ist bei Differenzierbarkeit eine waagerechte Tangente notwendig. 2. Deshalb muss \(f'(x_0)=0\) gelten. 3. Die Aussagen B und C sind keine notwendigen Bedingungen für jedes lokale Extremum.

A: \(f'(x_0)=0\)

- Ein Gegenbeispiel muss die Voraussetzung erfüllen, aber die behauptete Folgerung verletzen. - Vergleiche in beiden Abbildungen die Funktionswerte unmittelbar links und rechts von \(x=0\). - Frage dich, ob der markierte Punkt wirklich höher oder tiefer als alle nahe gelegenen Punkte ist.

1. In Abbildung a) besitzt der Graph bei \(x=0\) ein lokales Minimum. Diese Abbildung ist daher kein Gegenbeispiel. 2. In Abbildung b) verläuft der Graph durch den Ursprung weiter von links unten nach rechts oben. Bei \(x=0\) liegt trotz waagerechter Tangente kein lokales Extremum vor. 3. Damit ist Abbildung b) das gesuchte Gegenbeispiel.

Abbildung b). Dort gilt \(f'(0)=0\), aber bei \(x=0\) liegt kein lokales Extremum vor.

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle immer gelten? - Berechne die Werte der Ableitungen an der konkret genannten Stelle. - Überlege, ob eine Krümmung allein (zweite Ableitung ungleich Null) ausreicht, um einen „Gipfel“ oder ein „Tal“ zu erzeugen. - Was sagt die erste Ableitung über die Steigung des Graphen aus?

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung: \(f'(x) = 2x + 6\) und \(f''(x) = 2\). 2. Überprüfung der Bedingung an der Stelle \(x_0 = 0\): Es gilt \(f''(0) = 2\). Somit ist die Bedingung \(f''(0) \neq 0\) erfüllt. 3. Überprüfung der notwendigen Bedingung für Extremstellen: \(f'(0) = 2 \cdot 0 + 6 = 6\). Da \(f'(0) \neq 0\) ist, liegt an der Stelle \(x_0 = 0\) kein Extremum vor. 4. Schlussfolgerung: Die Bedingung \(f''(x_0) \neq 0\) ist nicht hinreichend, da die notwendige Bedingung \(f'(x_0) = 0\) (waagerechte Tangente) zusätzlich erfüllt sein muss.

Die Behauptung ist falsch. Für \(f(x) = x^2 + 6x\) gilt zwar \(f''(0) = 2 \neq 0\), aber da \(f'(0) = 6 \neq 0\) ist, hat der Graph an dieser Stelle keine waagerechte Tangente und somit keine Extremstelle. Die notwendige Bedingung \(f'(x_0) = 0\) ist nicht erfüllt.

- Bei einer notwendigen Bedingung frage: Was muss gelten, sobald die betrachtete Eigenschaft vorliegt? - Formuliere in a) zuerst klar, welche Eigenschaft Voraussetzung und welche Folgerung ist. - Achte in b) darauf, dass die Aussage über \(f'\) die vorausgesetzte Differenzierbarkeit auf \(I\) benutzt.

1. „B ist notwendig für A“ bedeutet: Wenn A gilt, dann gilt B. Daher lautet a): Wenn \(f\) bei \(x_0\) differenzierbar ist, dann ist \(f\) dort stetig. 2. Zu b): Dass \(f'(x)\ge0\) für alle \(x\in I\) gilt, ist notwendig dafür, dass die auf \(I\) differenzierbare Funktion \(f\) dort streng monoton zunimmt.

a) Wenn \(f\) bei \(x_0\) differenzierbar ist, dann ist \(f\) dort stetig. b) Die Bedingung \(f'(x)\ge0\) für alle \(x\in I\) ist notwendig dafür, dass die differenzierbare Funktion \(f\) auf \(I\) streng monoton zunimmt.

- Welche Gleichung liefert die notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle bei einer differenzierbaren Funktion? - Faktorisiere die Ableitungen, bevor du die Nullstellen bestimmst. - Gefragt sind nur Kandidaten nach der notwendigen Bedingung, noch nicht die Extremumarten.

1. Für a) gilt \(f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\). Die notwendige Bedingung \(f'(x)=0\) ist bei \(x=-1\) und \(x=3\) erfüllt. 2. Für b) gilt \(g'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)\). Aus \(g'(x)=0\) folgt \(x=-2\) oder \(x=2\).

a) \(x=-1\) und \(x=3\) b) \(x=-2\) und \(x=2\)

- Welche notwendige Bedingung muss an einer lokalen Extremstelle einer differenzierbaren Funktion erfüllt sein? - Untersuche das Vorzeichen der gesamten Ableitungsfunktion, ohne eine Gleichung unnötig kompliziert zu lösen. - Welche Eigenschaft hat \(x^2\) für alle reellen \(x\)?

1. Ableiten ergibt \(f'(x)=3x^2+4\). 2. Für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt \(3x^2\ge0\), also \(f'(x)\ge4>0\). 3. Die notwendige Bedingung \(f'(x)=0\) ist daher an keiner Stelle erfüllt. Somit besitzt \(f\) keine relativen Extremstellen.

\(f'(x)=3x^2+4>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\). Daher besitzt \(f\) keine relativen Extremstellen.

- Bei einer notwendigen Bedingung steht die Eigenschaft, für die etwas notwendig ist, im Wenn-Teil. - Prüfe bei a), ob die Ableitung überhaupt definiert sein muss, bevor du \(f'(x_0)=0\) formulierst. - Formuliere jede Aussage als klare Implikation ohne ihre logische Richtung umzudrehen.

1. „A ist notwendig für B“ bedeutet: Wenn B gilt, dann muss auch A gelten. 2. Für a) folgt: Wenn eine an \(x_0\) differenzierbare Funktion \(f\) dort ein lokales Extremum besitzt, dann gilt \(f'(x_0)=0\). 3. Für b) folgt: Wenn der Graph einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion \(f\) an \(x_0\) einen Wendepunkt besitzt, dann gilt \(f''(x_0)=0\). 4. Für c) folgt direkt: Wenn \(f\) an \(x_0\) differenzierbar ist, dann ist \(f\) dort stetig.

a) Wenn eine an \(x_0\) differenzierbare Funktion \(f\) dort ein lokales Extremum besitzt, dann gilt \(f'(x_0)=0\). b) Wenn der Graph einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion \(f\) an \(x_0\) einen Wendepunkt besitzt, dann gilt \(f''(x_0)=0\). c) Wenn eine Funktion \(f\) an \(x_0\) differenzierbar ist, dann ist sie dort stetig.

- Welche logische Richtung gehört zu „hinreichend“? - Welche logische Richtung gehört zu „notwendig“? - Formuliere jeweils Voraussetzung und Folgerung ausdrücklich als „Wenn …, dann …“.

1. „\(A\) ist hinreichend für \(B\)“ bedeutet: Wenn \(A\) gilt, dann gilt \(B\). „\(A\) ist notwendig für \(B\)“ bedeutet: Wenn \(B\) gilt, dann gilt \(A\). 2. Zu a): Wenn \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)>0\) gilt, dann hat \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein lokales Minimum. 3. Zu b): Wenn für eine differenzierbare Funktion \(f'(x)>0\) für alle \(x\in I\) gilt, dann ist \(f\) auf \(I\) streng monoton zunehmend. 4. Zu c): Wenn eine Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar ist, dann ist sie dort stetig.

a) Wenn \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)>0\) gilt, dann hat \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein lokales Minimum. b) Wenn \(f'(x)>0\) für alle \(x\in I\) gilt, dann ist \(f\) auf \(I\) streng monoton zunehmend. c) Wenn \(f\) an \(x_0\) differenzierbar ist, dann ist \(f\) dort stetig.

- Überlege dir, welche der Teilaussagen die Voraussetzung ist und welche die zwangsläufige Folge daraus. - Erinnere dich an die logische Struktur: Wenn aus einer Eigenschaft \(A\) immer die Eigenschaft \(B\) folgt, dann ist \(B\) eine notwendige Bedingung für \(A\). - Gibt es einen Zustand, der auf jeden Fall erfüllt sein muss, damit etwas anderes überhaupt möglich ist?

1. Teilaufgabe a): Die Bedingung \(f'(x_0) = 0\) ist eine notwendige Bedingung für die Existenz eines lokalen Extremums an der Stelle \(x_0\). 2. Teilaufgabe b): Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist es eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepunkts, dass die zweite Ableitung an der Stelle \(x_0\) den Wert null annimmt (\(f''(x_0) = 0\)). 3. Teilaufgabe c): Die Stetigkeit einer Funktion an der Stelle \(x_0\) ist eine notwendige Bedingung für ihre Differenzierbarkeit an dieser Stelle.

a) \(f'(x_0) = 0\) ist eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum an der Stelle \(x_0\). b) Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist \(f''(x_0) = 0\) eine notwendige Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle \(x_0\). c) Die Stetigkeit an der Stelle \(x_0\) ist eine notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit an dieser Stelle.

- „Hinreichend“ bedeutet: Sind die Bedingungen erfüllt, ist die behauptete Eigenschaft garantiert. - Suche für b) nach einer Funktion mit waagerechter Tangente, aber ohne lokale Extremstelle. - Unterscheide dabei eine notwendige Bedingung von einer Bedingung, die allein schon ausreicht.

1. Die Bedingungen \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)<0\) sind hinreichend für ein lokales Maximum bei \(x_0\). 2. Die Bedingung \(f'(x_0)=0\) allein ist nicht hinreichend, weil eine waagerechte Tangente auch ohne lokales Extremum auftreten kann. 3. Zum Beispiel gilt für \(f(x)=x^3\) bei \(x_0=0\): \(f'(0)=0\), aber der Graph besitzt dort keinen Hoch- oder Tiefpunkt, sondern einen Terrassenpunkt.

a) \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)<0\) sind hinreichend für ein lokales Maximum bei \(x_0\). b) Nicht hinreichend; Gegenbeispiel \(f(x)=x^3\) bei \(x_0=0\).

- Welche Bedingung muss für die Ableitungsfunktion \(f'\) an einer Extremstelle der Funktion \(f\) erfüllt sein? - Schau dir die Punkte an, an denen der Graph der Ableitung die x-Achse schneidet. Was bedeuten diese Punkte für die Steigung der ursprünglichen Funktion? - Wie verhält sich die Steigung der Funktion \(f\) kurz vor und kurz nach einer potenziellen Extremstelle? Überlege, was ein Vorzeichenwechsel der Ableitung bedeutet. - Wenn eine Funktion erst fällt und dann steigt, welche Art von Extrempunkt liegt dann vor? Wie sieht das aus, wenn sie erst steigt und dann fällt?

1. Notwendige Bedingung: Lokale Extremstellen einer differenzierbaren Funktion \(f\) können nur an den Stellen vorliegen, an denen die Ableitung gleich null ist, also \(f'(x) = 0\). Aus dem Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) lassen sich die Nullstellen direkt ablesen: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 4\). 2. Hinreichende Bedingung (Vorzeichenwechselkriterium): Bei \(x_1 = -3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; somit hat \(f\) dort ein lokales Minimum. Bei \(x_2 = 1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; somit hat \(f\) dort ein lokales Maximum. Bei \(x_3 = 4\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; somit hat \(f\) dort ein lokales Minimum.

Die Funktion \(f\) besitzt bei \(x = -3\) ein lokales Minimum, bei \(x = 1\) ein lokales Maximum und bei \(x = 4\) ein lokales Minimum.

- Welche mathematische Bedingung muss für die Ableitung \(f'\) an einer Stelle gelten, damit dort ein Extremum vorliegen kann? - Wo schneidet der Graph von \(f'\) die x-Achse? - Was bedeutet es für den Verlauf der Originalfunktion \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) negativ ist, und was, wenn sie positiv ist? - Achte darauf, wie der Graph der Ableitung an den Nullstellen die x-Achse überquert (von unten nach oben oder von oben nach unten).

1. Identifikation der notwendigen Bedingung: Für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion \(f\) gilt \(f'(x) = 0\). Dies entspricht den Nullstellen des abgebildeten Graphen von \(f'\). 2. Ablesen der Stellen: Aus dem Graphen von \(f'\) ergeben sich die Nullstellen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 6\). 3. Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums: - Bei \(x_1 = 2\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von minus (unterhalb der x-Achse) nach plus (oberhalb der x-Achse). Da \(f'(x) < 0\) für \(x < 2\) und \(f'(x) > 0\) für \(2 < x < 6\), liegt bei \(x_1 = 2\) ein lokales Minimum von \(f\) vor. - Bei \(x_2 = 6\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von plus (oberhalb der x-Achse) nach minus (unterhalb der x-Achse). Da \(f'(x) > 0\) für \(2 < x < 6\) und \(f'(x) < 0\) für \(x > 6\), liegt bei \(x_2 = 6\) ein lokales Maximum von \(f\) vor.

a) Die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) ist an den Stellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 6\) erfüllt, da dort die Nullstellen von \(f'\) liegen. b) Bei \(x = 2\) liegt ein lokales Minimum vor (Vorzeichenwechsel von minus nach plus). Bei \(x = 6\) liegt ein lokales Maximum vor (Vorzeichenwechsel von plus nach minus).

- Welche markierten Punktarten besitzen beide eine waagerechte Tangente? - Vergleiche die Monotonierichtung von \(f\) links und rechts der beiden Stellen. - Woran erkennst du zusätzlich, dass die zweite waagerechte Stelle ein Wendepunkt ist?

1. Aus der Grafik liest man \(T(-2|-3)\) und den Terrassenpunkt \(S(0|-1)\) ab. 2. An beiden Stellen besitzt der Graph eine waagerechte Tangente. Daher gilt \(f'(-2)=0\) und \(f'(0)=0\). 3. Bei \(x=-2\) fällt der Graph links der Stelle und steigt rechts davon. Somit wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; dort liegt ein Tiefpunkt vor. 4. Bei \(x=0\) steigt der Graph auf beiden Seiten, daher wechselt \(f'\) nicht das Vorzeichen. Zusätzlich ist dort ein Krümmungswechsel sichtbar. Damit ist \(S\) ein Terrassenpunkt.

a) \(T(-2|-3)\), \(S(0|-1)\) b) \(f'(-2)=0\), \(f'(0)=0\) c) Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; bei \(x=0\) bleibt \(f'\) auf beiden Seiten positiv und der Graph wechselt die Krümmung.

- Suche im Graphen von \(f'\) zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente an \(f\). - Prüfe anschließend im Graphen von \(f''\) das Vorzeichen an jeder gefundenen Stelle. - Welche Extremart entspricht einem positiven beziehungsweise negativen Wert von \(f''\) an einer stationären Stelle?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x_1=-2\), \(x_2=0\) und \(x_3=2\). 2. An diesen Stellen wird das Vorzeichen von \(f''\) abgelesen. 3. Bei \(x=-2\) gilt \(f''(-2)>0\). Daher liegt dort eine lokale Minimalstelle vor. 4. Bei \(x=0\) gilt \(f''(0)<0\). Daher liegt dort eine lokale Maximalstelle vor. 5. Bei \(x=2\) gilt \(f''(2)>0\). Daher liegt dort eine lokale Minimalstelle vor.

Lokale Minimalstellen: \(x=-2\) und \(x=2\) Lokale Maximalstelle: \(x=0\)

- Eine Nullstelle der Ableitung allein reicht nicht aus, um eine Extremstelle zu sichern. - Vergleiche das Vorzeichen von \(g'\) unmittelbar links und rechts der beiden Stellen. - Entscheidend ist, ob ein Wechsel von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus auftritt.

1. Eine Nullstelle von \(g'\) führt nur dann zu einer lokalen Extremstelle, wenn das Vorzeichen der Ableitung wechselt. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(g'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(g\) dort ein lokales Maximum. 3. Bei \(x=4\) gilt zwar \(g'(4)=0\), aber \(g'\) bleibt links und rechts dieser Stelle negativ. Daher liegt bei \(x=4\) keine Extremstelle vor.

Bei \(x=-2\) liegt ein lokales Maximum vor. Bei \(x=4\) liegt keine Extremstelle vor.

- Eine Nullstelle von \(f'\) liefert zunächst nur einen Kandidaten für eine Extremstelle. - Suche nach einer einfachen ganzrationalen Funktion mit waagerechter Tangente, die trotzdem weiter in dieselbe Richtung verläuft. - Prüfe beim Gegenbeispiel das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts der betrachteten Stelle.

1. Die Aussage ist falsch. 2. Die Bedingung \(f'(x_0)=0\) ist für eine lokale Extremstelle einer differenzierbaren Funktion im Inneren des Definitionsbereichs notwendig, aber nicht hinreichend. 3. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x)=x^3\). Dann gilt \(f'(x)=3x^2\) und damit \(f'(0)=0\). 4. Für \(x\neq0\) ist \(f'(x)>0\). Die Funktion steigt also links und rechts von \(0\) weiter an; bei \(x=0\) liegt deshalb kein lokales Extremum vor.

Die Aussage ist falsch. Zum Beispiel gilt für \(f(x)=x^3\) zwar \(f'(0)=0\), aber \(f'(x)>0\) für \(x\neq0\). Daher besitzt \(f\) bei \(x=0\) kein lokales Extremum.

- Welche Information liefern die Nullstellen des Graphen von \(f'\)? - Nutze den Graphen von \(f''\), um die Kandidaten anschließend zu klassifizieren. - Achte darauf, erste und zweite Ableitung in deiner Begründung nicht zu vertauschen.

1. Der Graph von \(f'\) hat Nullstellen bei \(x=1\) und \(x=3\). Dort liegen die Kandidaten für lokale Extremstellen von \(f\). 2. Bei \(x=1\) gilt laut Graph \(f''(1)<0\); daher liegt eine lokale Hochstelle vor. Bei \(x=3\) gilt \(f''(3)>0\); daher liegt eine lokale Tiefstelle vor.

Lokale Hochstelle bei \(x=1\), da \(f'(1)=0\) und \(f''(1)<0\). Lokale Tiefstelle bei \(x=3\), da \(f'(3)=0\) und \(f''(3)>0\).

- An allen drei Stellen ist \(f'(x)=0\) bereits gegeben. - Bestimme das Vorzeichen von \(f''\) an jeder Stelle. - Ein positives \(f''\) klassifiziert eine stationäre Stelle als lokale Minimalstelle, ein negatives als lokale Maximalstelle.

1. Bei \(x_1=-2\sqrt{3}\) gilt \(f''(x_1)=8>0\). Zusammen mit \(f'(x_1)=0\) liegt eine lokale Minimalstelle vor. 2. Bei \(x_2=0\) gilt \(f''(0)=-4<0\). Zusammen mit \(f'(0)=0\) liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Bei \(x_3=2\sqrt{3}\) gilt \(f''(x_3)=8>0\). Daher liegt dort eine lokale Minimalstelle vor.

Lokale Minimalstellen bei \(x=-2\sqrt{3}\) und \(x=2\sqrt{3}\); lokale Maximalstelle bei \(x=0\).

- Die waagerechten Tangenten liefern bereits die stationären Stellen von \(f\). - Lies für jede dieser Stellen im dargestellten Graphen ab, ob \(f''\) positiv oder negativ ist. - Ordne \(\pm\sqrt{17}\) auf der \(x\)-Achse relativ zu den sichtbaren Vorzeichenwechseln des Graphen ein.

1. Aus der Abbildung liest man ab: \(f''(x)<0\) für \(x<-3\) und für \(0<x<3\); \(f''(x)>0\) für \(-3<x<0\) und für \(x>3\). 2. Da \(\sqrt{17}>3\) gilt, liegt \(-\sqrt{17}\) links von \(-3\). Somit ist \(f''(-\sqrt{17})<0\), also liegt dort ein lokales Maximum vor. 3. Bei \(x=-1\) ist der Graph von \(f''\) oberhalb der \(x\)-Achse. Daher liegt dort ein lokales Minimum vor. 4. Bei \(x=1\) ist der Graph von \(f''\) unterhalb der \(x\)-Achse. Daher liegt dort ein lokales Maximum vor. 5. Da \(\sqrt{17}>3\) gilt, ist \(f''(\sqrt{17})>0\). Daher liegt dort ein lokales Minimum vor.

Lokale Maxima: \(x=-\sqrt{17}\) und \(x=1\) Lokale Minima: \(x=-1\) und \(x=\sqrt{17}\)

- Ein lokales Extremum erkennst du an einem „Berg“ oder einem „Tal“ im Graphen. - Ein Terrassenpunkt hat eine waagerechte Tangente, aber der Graph steigt oder fällt davor und danach in die gleiche Richtung. - Erinnere dich daran, dass die Ableitung \(f'(x)\) die Steigung der Tangente an den Graphen angibt. - Überlege dir, ob der Graph vor und nach einem Punkt steigt oder fällt.

1. Aus dem Graphen liest man näherungsweise den Tiefpunkt \(T(-5 \mid -2)\), den Hochpunkt \(H(-1 \mid 2)\) und den Terrassenpunkt \(S(3 \mid 0{,}8)\) ab. 2. Beim Tiefpunkt \(T\) fällt der Graph links von \(x = -5\) und steigt rechts davon. Daher wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. 3. Beim Hochpunkt \(H\) steigt der Graph links von \(x = -1\) und fällt rechts davon. Daher wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. 4. Beim Punkt \(S\) fällt der Graph auf beiden Seiten von \(x = 3\). Deshalb ist \(f'(3) = 0\), aber \(f'\) wechselt das Vorzeichen nicht. Zusätzlich ist am Graphen ein Wechsel der Krümmung erkennbar. Erst diese Kombination begründet die Einordnung als Terrassenpunkt.

a) \(T \approx (-5 \mid -2)\), \(H \approx (-1 \mid 2)\), \(S \approx (3 \mid 0{,}8)\). b) Bei \(T\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; bei \(H\) von positiv zu negativ. Bei \(S\) bleibt \(f'\) negativ, während der Graph zusätzlich seine Krümmung wechselt.

- Wo hat der Graph „Hügel“ oder „Täler“, an denen die Tangente waagerecht liegt? - Was sagt die Art des Extrempunkts über die Krümmung und damit über die zweite Ableitung aus?

1. Waagerechte Tangenten liegen an den lokalen Extremstellen vor. Aus dem Graphen liest man ein lokales Maximum bei \(x_1 = 0\) und zwei lokale Minima bei \(x_2 \approx -2{,}2\) und \(x_3 \approx 2{,}2\) ab. Somit gilt dort jeweils \(f'(x) = 0\). 2. An der Stelle \(x = 0\) liegt ein lokales Maximum vor. Der Graph ist dort rechtsgekrümmt. 3. Daher ist die zweite Ableitung an dieser Stelle negativ: \(f''(0) < 0\).

Die erste Ableitung ist bei \(x = 0\), \(x \approx -2{,}2\) und \(x \approx 2{,}2\) null; außerdem gilt \(f''(0) < 0\).

- Welches besondere Merkmal weist der Graph im Punkt \(P\) auf? - Was bedeutet ein Hochpunkt für die Steigung und die Krümmung an dieser Stelle?

1. Der Punkt \(P(-2 \mid 1{,}6)\) ist ein lokaler Hochpunkt. 2. An einem Extrempunkt liegt eine waagerechte Tangente vor, daher gilt \(f'(-2) = 0\). 3. Da es sich um einen Hochpunkt handelt, ist der Graph in einer Umgebung von \(x = -2\) rechtsgekrümmt. Daher gilt \(f''(-2) < 0\).

An der Stelle \(x = -2\) gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f''(-2) < 0\).

- Welche Steigung besitzt die Tangente an einem Terrassenpunkt? - Wie unterscheidet sich das Monotonieverhalten bei einer Terrassenstelle von dem bei einer lokalen Extremstelle? - Was folgt daraus für das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts der Stelle?

1. Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Daher gilt \(f'(-1)=0\). 2. Da kein lokales Extremum vorliegt, nimmt \(f\) vor und nach dem Punkt in dieselbe Richtung weiter zu oder ab. Somit wechselt \(f'\) dort nicht das Vorzeichen. 3. Aussage c) ist richtig.

c) \(f'(-1)=0\) und \(f'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen.

- Erinnere dich an die Definition eines lokalen Maximums: Der Funktionswert an dieser Stelle muss größer oder gleich allen Werten in der direkten Nachbarschaft sein. - Schau dir an, ob der Graph in der Nähe von \(x_0\) steigt oder fällt. - Achte bei Unstetigkeitsstellen (Sprüngen oder Löchern) genau darauf, wo der Funktionswert \(f(x_0)\) im Vergleich zu den naheliegenden Werten liegt.

Eine Stelle \(x_0\) ist eine lokale Maximalstelle, wenn die Funktionswerte in einer kleinen Umgebung von \(x_0\) nicht größer als \(f(x_0)\) sind. 1. Graph a): Hier liegt ein lokales Minimum vor, da der Graph eine nach oben geöffnete Parabel mit dem tiefsten Punkt bei \(x_0\) zeigt. 2. Graph b): Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt liegt bei \(x_0\), also ist \(f(x_0)\) der größte Wert in der Umgebung. Dies ist eine lokale Maximalstelle. 3. Graph c): Die Funktion ist streng monoton zunehmend. Es gibt kein lokales Extremum bei \(x_0\). 4. Graph d): Es liegt eine Sprungstelle vor. Der isolierte Punkt bei \(x_0\) liegt tiefer als die Grenzwerte von links und rechts. Somit ist \(x_0\) eine lokale Minimalstelle, keine Maximalstelle. Ergebnis: Graph b).

Graph b)

- Vergleiche bei jedem Graphen den Funktionswert an \(x_0\) mit den Funktionswerten an nahe gelegenen Stellen. - Ein lokales Minimum muss in einer genügend kleinen Umgebung den kleinsten Funktionswert besitzen. - Beobachte jeweils das Verhalten des Graphen unmittelbar links und rechts von \(x_0\).

1. Graph a): Die Gerade nimmt streng monoton ab. Bei \(x_0\) liegt kein lokales Extremum vor. 2. Graph b): Die Parabel ist nach unten geöffnet; bei \(x_0\) liegt ein lokales Maximum vor. 3. Graph c): Bei \(x_0\) liegt der Punkt auf einem streng zunehmenden Ast der Parabel. Daher liegt dort kein lokales Extremum vor. 4. Graph d): Der Graph ist bei \(x_0\) V-förmig und besitzt dort den kleinsten Funktionswert in einer Umgebung. Daher ist \(x_0\) eine lokale Minimalstelle. 5. Somit ist Graph d) richtig.

Graph d)

- Suche nach den „Gipfeln“ und „Tälern“ des Graphen. - Eine Extremstelle ist der \(x\)-Wert, an dem ein solcher Punkt erreicht wird. - Überlege, in welchen Bereichen der Graph steigt oder fällt. - Ein Maximum liegt vor, wenn der Graph vor dem Punkt steigt und danach fällt.

1. Lokale Maxima liegen an den Stellen vor, an denen der Graph von einem steigenden in einen fallenden Verlauf übergeht. Aus dem Graphen liest man die Stellen \(x = -4\) und \(x = 3\) ab. 2. Lokale Minima liegen an den Stellen vor, an denen der Graph von einem fallenden in einen steigenden Verlauf übergeht. Diese befinden sich bei \(x = -1\) und \(x = 5\). 3. Somit sind \(x = -4\) und \(x = 3\) Maximalstellen sowie \(x = -1\) und \(x = 5\) Minimalstellen.

Maximalstellen bei \(x = -4\) und \(x = 3\); Minimalstellen bei \(x = -1\) und \(x = 5\).

- Überlege dir, welche Bedingung für die Ableitung an einer Extremstelle der Originalfunktion gelten muss. - Reicht es aus, wenn die Ableitung nur Null ist, oder muss noch etwas anderes passieren? - Schau dir den Graphen genau an: Wo schneidet oder berührt er die \(x\)-Achse?

1. Lokale Extremstellen der Funktion \(f\) befinden sich an den Stellen, an denen die Ableitungsfunktion \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. 2. Aus dem Graphen von \(f'\) lassen sich drei Nullstellen ablesen: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 4\). 3. An allen drei Stellen wechselt der Graph der Ableitung die Seite der \(x\)-Achse, es findet also jeweils ein Vorzeichenwechsel statt. 4. Somit hat die Funktion \(f\) im gezeigten Bereich insgesamt 3 lokale Extremstellen.

Die Funktion \(f\) hat im dargestellten Bereich 3 lokale Extremstellen, da die Ableitungsfunktion \(f'\) an den Stellen \(x = -3\), \(x = 1\) und \(x = 4\) jeweils eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.

- Ein lokales Minimum bedeutet, dass die Funktion erst fällt und dann steigt. Was sagt das über das Vorzeichen der Ableitung aus? - Unterscheide zwischen Stellen, an denen der Graph die Achse schneidet, und Stellen, an denen er sie nur berührt. - Achte auf die Richtung des Wechsels: von Minus nach Plus oder von Plus nach Minus?

1. Ein lokales Minimum von \(f\) liegt an einer Nullstelle von \(f'\) vor, wenn \(f'\) dort von negativ zu positiv wechselt. 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -2\), \(x = 1\) und \(x = 3\). 3. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Minimum. 4. Bei \(x = 1\) findet kein Vorzeichenwechsel statt; dort liegt deshalb kein lokales Minimum vor. 5. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ; dort liegt ein lokales Maximum und kein Minimum vor. 6. Somit ist \(x = -2\) die einzige lokale Minimalstelle.

Die Funktion \(f\) besitzt bei \(x = -2\) ein lokales Minimum, weil \(f'\) dort von Minus nach Plus wechselt.

- Wo müsste der Graph der Ableitung liegen, damit eine Extremstelle möglich wäre? - Gibt es im Bild einen Punkt, an dem die Ableitung den Wert null hat?

1. Eine notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle an einer Stelle \(x_0\) ist \(f'(x_0) = 0\). 2. Der Graph von \(f'\) verläuft im gesamten dargestellten Bereich oberhalb der \(x\)-Achse. 3. Die Ableitung besitzt daher keine Nullstelle im dargestellten Bereich. 4. Somit kann die Funktion \(f\) dort keine lokale Extremstelle besitzen.

Nein. Da \(f'\) im dargestellten Bereich überall positiv ist und keine Nullstelle besitzt, hat \(f\) dort keine lokale Extremstelle.

- Unterscheide genau zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen. - Welche Aussage liefert der Satz über die Ableitung an einer inneren lokalen Extremstelle? - Suche für c) und d) nach einem einfachen Gegenbeispiel mit waagerechter Tangente ohne Richtungswechsel. - Strenge Monotonie wird über die Reihenfolge von Funktionswerten definiert, nicht durch die Forderung \(f'>0\) an jeder einzelnen Stelle.

1. Aussage a) ist wahr. Eine überall positive Ableitung auf dem Intervall ist ein hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie. 2. Aussage b) ist wahr. Für eine differenzierbare Funktion gilt an einer lokalen inneren Extremstelle notwendig \(f'(x_0)=0\). 3. Aussage c) ist falsch. Bei \(f(x)=x^3\) gilt \(f'(0)=0\), aber \(x=0\) ist keine Extremstelle; der Graph besitzt dort einen Terrassenpunkt. 4. Aussage d) ist falsch. Die Funktion \(f(x)=x^3\) ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend, obwohl \(f'(0)=0\) gilt.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Falsch

- Welche Bedingung erfüllt \(f'\) an einer Stelle mit waagerechter Tangente? - Wie kann \(f''\) eine stationäre Stelle als lokale Maximal- oder Minimalstelle klassifizieren? - Da keine Funktionswerte von \(f\) gegeben sind, bestimmst du Stellen und Arten, nicht Punktkoordinaten.

1. Waagerechte Tangenten liegen bei den Nullstellen von \(f'\). Aus \(-x^2+4x-3=0\) folgen \(x=1\) und \(x=3\). 2. Die Ableitung von \(f'\) ist \(f''(x)=-2x+4\). 3. Es gilt \(f''(1)=2>0\). Daher besitzt \(f\) bei \(x=1\) eine lokale Minimalstelle. 4. Es gilt \(f''(3)=-2<0\). Daher besitzt \(f\) bei \(x=3\) eine lokale Maximalstelle. 5. Eine Terrassenstelle liegt an keiner der beiden Stellen vor.

Waagerechte Tangenten bei \(x=1\) und \(x=3\). Lokale Minimalstelle bei \(x=1\); lokale Maximalstelle bei \(x=3\); keine Terrassenstelle.

- Was bedeutet „notwendig“ und was bedeutet „hinreichend“? - Suche eine Funktion mit \(f''(x_0)=0\), bei der die Krümmungsrichtung nicht wechselt. - Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Welche Eigenschaft fehlt beim Gegenbeispiel?

1. Bei stetiger zweiter Ableitung setzt ein Krümmungswechsel voraus, dass \(f''\) an der Übergangsstelle den Wert null annimmt. Daher ist \(f''(x_0)=0\) notwendig. 2. Die Bedingung ist nicht hinreichend. Für \(f(x)=x^4\) gilt \(f''(x)=12x^2\) und damit \(f''(0)=0\). Links und rechts von \(0\) ist \(f''\) jedoch positiv; es findet kein Krümmungswechsel statt. Bei \(x=0\) liegt ein lokales Minimum vor. 3. Auch die beiden Bedingungen aus b) sind nicht hinreichend. Beim selben Gegenbeispiel gilt zusätzlich \(f'(0)=0\), dennoch liegt kein Wendepunkt und somit kein Terrassenpunkt vor.

a) Notwendig, aber nicht hinreichend; Gegenbeispiel \(f(x)=x^4\) bei \(x_0=0\). b) Nein. Auch \(f'(0)=f''(0)=0\) bei \(f(x)=x^4\) ergibt keinen Terrassenpunkt.

- Überlege dir, welche Bedingung an die erste Ableitung für eine Extremstelle erfüllt sein muss. - Wie hängen der Grad einer Funktion und der Grad ihrer Ableitung zusammen? - Wie viele Nullstellen kann ein Polynom eines bestimmten Grades maximal haben? - Bedenke den Unterschied zwischen einer bloßen Nullstelle der Ableitung und einer tatsächlichen Extremstelle. Welches Kriterium muss zusätzlich erfüllt sein?

1. Notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist \(f'(x) = 0\). 2. Der Grad der Ableitungsfunktion \(f'\) einer ganzrationalen Funktion \(n\)-ten Grades ist \(n-1\). 3. Ein Polynom vom Grad \(n-1\) besitzt höchstens \(n-1\) reelle Nullstellen. Da jede Extremstelle eine Nullstelle von \(f'\) sein muss, kann die Anzahl der Extremstellen den Wert \(n-1\) nicht überschreiten. 4. Die Funktion \(f'(x) = (x-3)^2 \cdot (x+1)\) ist ein Produkt aus einem quadratischen und einem linearen Term, hat also den Grad \(2 + 1 = 3\). Da der Grad der Ableitung um 1 niedriger ist als der von \(f\), hat die Funktion \(f\) den Grad 4. 5. Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x_1 = 3\) (doppelte Nullstelle) und \(x_2 = -1\) (einfache Nullstelle). 6. Eine Extremstelle liegt nur vor, wenn an der Nullstelle der Ableitung ein Vorzeichenwechsel (VZW) stattfindet. Dies ist bei \(x_2 = -1\) (ungerade Vielfachheit) der Fall, jedoch nicht bei \(x_1 = 3\) (gerade Vielfachheit, Berührpunkt). 7. Somit besitzt die Funktion \(f\) genau eine Extremstelle.

a) Da \(f'\) den Grad \(n-1\) hat und somit maximal \(n-1\) Nullstellen besitzen kann, folgt aus der notwendigen Bedingung \(f'(x)=0\), dass es höchstens \(n-1\) Extremstellen geben kann. b) Der Grad von \(f\) ist 4. Die Funktion hat genau eine Extremstelle (bei \(x = -1\)), da nur dort ein Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion vorliegt.

- Unterscheide zwischen einem Funktionswert, einer Wachstumsrate und einem Extremum der Wachstumsrate. - Welche Ableitung spielt jeweils die Rolle der „Funktion“, deren lokales Maximum betrachtet wird? - Achte darauf, dass hier hinreichende Bedingungskombinationen gesucht sind, nicht alle logisch notwendigen Bedingungen.

1. Für (1) beschreibt \(h(12)=80\) die angegebene Höhe direkt. Daher genügt Kärtchen A. 2. Ein lokales Maximum der Wachstumsrate \(h'\) ist durch \(h''(6)=0\) und \(h'''(6)<0\) hinreichend gesichert. Da ausdrücklich eine positive Wachstumsrate gefordert ist, kommt \(h'(6)>0\) hinzu. Daher passen B, F und G. 3. Für den lokalen Hochpunkt mit der vorgegebenen Höhe liefern \(h(25)=160\), \(h'(25)=0\) und \(h''(25)<0\) zusammen eine hinreichende Beschreibung. Daher passen C, D und E.

(1): A (2): B, F, G (3): C, D, E

- Welche Funktion beschreibt die Vertikalgeschwindigkeit der Drohne? - Übersetze „lokal am schnellsten sinken“ in ein lokales Minimum dieser Geschwindigkeitsfunktion. - Gesucht sind hinreichende Bedingungskombinationen; sie müssen die jeweilige Situation sicherstellen, aber nicht logisch notwendig sein.

1. „Lokal am schnellsten sinken“ bedeutet, dass die Vertikalgeschwindigkeit \(H'\) dort ein lokales Minimum besitzt und negativ ist. Die Kombination \(H''(10)=0\), \(H'''(10)>0\) und \(H'(10)<0\) ist dafür hinreichend. Somit passen D, E und F. 2. Für einen lokalen Hochpunkt der Flughöhe mit dem vorgegebenen Wert ist die Kombination \(H(30)=120\), \(H'(30)=0\) und \(H''(30)<0\) hinreichend. Somit passen A, B und C.

(1): D, E, F (2): A, B, C

- Welche Endformen können ganzrationale Funktionen geraden Grades haben, ohne die \(x\)-Achse zu schneiden? - Eine Nullstelle von \(f'\) reicht nicht automatisch für eine Extremstelle. Was passiert bei \(x^3\)? - Welchen Grad hat \(f''\) bei einer Funktion dritten Grades?

1. Aussage a) ist falsch. Zum Beispiel besitzt \(f(x)=x^4+1\) keine Nullstelle, da \(f(x)\ge1\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt. 2. Aussage b) ist falsch. Für \(f(x)=x^3\) gilt \(f'(x)=3x^2\). Zwar ist \(f'(0)=0\), aber \(f'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen; bei \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt und keine Extremstelle vor. 3. Aussage c) ist wahr. Für \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(a\neq0\) ist \(f''(x)=6ax+2b\) eine lineare Funktion mit genau einer Nullstelle. Da eine nichtkonstante lineare Funktion dort ihr Vorzeichen wechselt, besitzt \(f\) genau eine Wendestelle.

a) Falsch; Gegenbeispiel \(f(x)=x^4+1\) b) Falsch; Gegenbeispiel \(f(x)=x^3\) c) Wahr

- Prüfe bei a), ob die quadratische Ableitung einer kubischen Funktion überhaupt reelle Nullstellen haben muss. - Für b) genügt ein Beispiel, dessen erste Ableitung drei einfache Nullstellen besitzt. - Welchen Grad hat die zweite Ableitung einer Funktion vierten Grades?

1. Aussage a) ist falsch. Für \(f(x)=x^3+x\) gilt \(f'(x)=3x^2+1>0\) für alle \(x\), also besitzt \(f\) keine lokale Extremstelle. Auch \(x^3\) zeigt, dass eine stationäre Stelle nicht zwingend eine Extremstelle ist: Bei \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor. 2. Aussage b) ist wahr. Für \(f(x)=x^4-2x^2\) gilt \(f'(x)=4x(x-1)(x+1)\). An den drei einfachen Nullstellen \(-1\), \(0\) und \(1\) wechselt \(f'\) jeweils das Vorzeichen, also besitzt \(f\) genau drei lokale Extremstellen. 3. Aussage c) ist wahr. Bei einer Funktion vierten Grades ist \(f''\) quadratisch und besitzt höchstens zwei reelle Nullstellen. Da jede Wendestelle die notwendige Bedingung \(f''(x)=0\) erfüllt, sind höchstens zwei Wendestellen möglich.

a) Falsch b) Wahr c) Wahr

- Welche einfache Funktionsart hat immer einen Tiefpunkt? Wie kannst du diese so verschieben, dass der Tiefstelle bei \(x = 5\) liegt? - Was passiert mit der zweiten Ableitung an der Extremstelle, wenn du höhere gerade Potenzen wie \(x^4\) verwendest? - Wenn die zweite Ableitung null ist, welches andere Kriterium kennst du, um die Art eines Punktes mit waagerechter Tangente zu bestimmen? - Überlege dir, wie sich die Steigung kurz vor und kurz nach einem Tiefpunkt verhalten muss.

1. Für Teilaufgabe a) eignet sich eine Parabel mit dem Scheitelpunkt bei \(x = 5\). Ein möglicher Term ist \(f(x) = (x-5)^2\). Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 2(x-5)\) und \(f''(x) = 2\). Es gilt \(f'(5) = 0\) und \(f''(5) = 2 > 0\), womit die hinreichende Bedingung für ein lokales Minimum erfüllt ist. 2. Für Teilaufgabe b) kann eine Funktion vierter Ordnung gewählt werden, zum Beispiel \(f(x) = (x-5)^4\). Die Ableitungen sind \(f'(x) = 4(x-5)^3\) und \(f''(x) = 12(x-5)^2\). Hier gilt \(f'(5) = 0\) und \(f''(5) = 0\), weshalb die zweite Ableitung keine Aussage liefert. 3. Zum Nachweis des Minimums wird das Vorzeichenwechselkriterium der ersten Ableitung genutzt: Für \(x < 5\) ist der Faktor \((x-5)^3\) negativ, also \(f'(x) < 0\). Für \(x > 5\) ist \((x-5)^3\) positiv, also \(f'(x) > 0\). Der Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) an der Stelle \(x = 5\) bestätigt das lokale Minimum.

a) z. B. \(f(x) = (x-5)^2\) b) z. B. \(f(x) = (x-5)^4\). Der Nachweis erfolgt über den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung \(f'(x) = 4(x-5)^3\) von Minus nach Plus an der Stelle \(x = 5\).

- Berechne für jede Funktion \(f'\) und \(f''\) an der Stelle \(x=1\). - Wenn \(f''(x_0)=0\) ist, entscheidet dieses Kriterium nicht über ein Extremum. - Untersuche dann das Vorzeichen der ersten Ableitung links und rechts von \(x=1\). - Falls kein Extremum vorliegt: Wechselt die zweite Ableitung dort ihr Vorzeichen?

1. Es gilt \(f'(x)=2(x-1)\) und \(f''(x)=2\). Daher ist \(f''(1)=2>0\), also besitzt \(f\) bei \(x=1\) ein lokales Minimum. 2. Für \(g\) gilt \(g'(x)=3(x-1)^2\) und \(g''(x)=6(x-1)\). Damit ist \(g''(1)=0\), sodass das Kriterium mit der zweiten Ableitung keine Extremumsklassifikation liefert. Da \(g'\) links und rechts von \(1\) positiv bleibt, liegt kein Extremum vor. Zugleich wechselt \(g''\) bei \(x=1\) von negativ zu positiv; daher ist \(x=1\) eine Wendestelle. Wegen \(g'(1)=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor. 3. Für \(h\) gilt \(h'(x)=4(x-1)^3\) und \(h''(x)=12(x-1)^2\). Auch hier ist \(h''(1)=0\). Die erste Ableitung wechselt jedoch bei \(x=1\) von negativ zu positiv, also besitzt \(h\) dort ein lokales Minimum.

a) Bei \(f\) liegt bei \(x=1\) ein lokales Minimum vor. b) Bei \(g\) liegt ein Terrassenpunkt vor; bei \(h\) ein lokales Minimum.

- Denke an eine einfache ganzrationale Funktion mit waagerechter Tangente, aber ohne Extremstelle. - Wie kannst du einen solchen Graphen so verschieben, dass die besondere Stelle bei \((-3|2)\) liegt? - Überprüfe anschließend Funktionswert und erste Ableitung an \(x=-3\). - Wie verhält sich das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts dieser Stelle?

1. Ein geeignetes Beispiel erhält man durch Verschieben der Funktion \(x^3\): \(f(x)=(x+3)^3+2\). 2. Es gilt \(f(-3)=2\), also verläuft der Graph durch \(P(-3|2)\). 3. Die erste Ableitung ist \(f'(x)=3(x+3)^2\). Damit gilt \(f'(-3)=0\), also besitzt der Graph dort eine waagerechte Tangente. 4. Da \(f'(x)\ge0\) auf beiden Seiten von \(x=-3\) gilt und kein Vorzeichenwechsel auftritt, liegt dort keine lokale Extremstelle vor. Bei diesem Beispiel ist \(P\) ein Terrassenpunkt.

Zum Beispiel \(f(x)=(x+3)^3+2\).

- Unterscheide bei a) zwischen einer notwendigen und einer hinreichenden Bedingung. - Welche Eigenschaft muss eine stetige zweite Ableitung bei einem Krümmungswechsel besitzen? - Ordne die Vorzeichen von \(f''\) den beiden Krümmungsrichtungen zu. - Welche Aussage liefert das Kriterium mit \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)\neq0\)?

1. Aussage a) ist falsch. Bei \(f(x)=x^3\) gilt \(f'(0)=0\), aber bei \(x=0\) liegt kein Extremum, sondern ein Terrassenpunkt vor. 2. Aussage b) ist wahr. Bei stetiger zweiter Ableitung setzt ein Krümmungswechsel eine Nullstelle von \(f''\) voraus. 3. Aussage c) ist falsch. Aus \(f''(x_0)<0\) folgt Rechtskrümmung; Linkskrümmung entspricht \(f''(x_0)>0\). 4. Aussage d) ist wahr. Zusammen mit \(f'(x_0)=0\) klassifiziert \(f''(x_0)>0\) die Stelle als lokale Minimalstelle und \(f''(x_0)<0\) als lokale Maximalstelle.

a) Falsch b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Faktorisiere \(g'\) und untersuche ihr Vorzeichen links und rechts der Nullstelle. - Eine stationäre Stelle ist nicht automatisch eine Extremstelle. - Falls kein Extremum vorliegt, prüfe zusätzlich, ob die Krümmung dort wechselt.

1. Es gilt \(g'(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\). Die einzige stationäre Stelle ist \(x=-1\). 2. Da \(g'(x)\ge0\) für alle \(x\) gilt und links sowie rechts von \(-1\) positiv ist, wechselt \(g'\) dort nicht das Vorzeichen. Somit liegt keine lokale Extremstelle vor. 3. Die zweite Ableitung ist \(g''(x)=2x+2\). Sie wechselt bei \(x=-1\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(g\) dort eine Wendestelle. 4. Weil zusätzlich \(g'(-1)=0\) gilt, ist diese Wendestelle ein Terrassenpunkt.

Keine lokalen Extremstellen. Bei \(x=-1\) liegt ein Terrassenpunkt vor.

- Faktorisiere \(g'\) und untersuche das Vorzeichen links und rechts ihrer Nullstelle. - Kein Vorzeichenwechsel von \(g'\) schließt eine lokale Extremstelle aus, bestimmt aber noch nicht die Punktart. - Prüfe deshalb zusätzlich, ob \(g''\) an derselben Stelle das Vorzeichen wechselt.

1. Es gilt \(g'(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2\). Daher ist \(x=-2\) die einzige Stelle mit waagerechter Tangente. 2. Da \(g'(x)\ge0\) gilt und links wie rechts von \(-2\) positiv ist, wechselt \(g'\) dort nicht das Vorzeichen. Somit liegt keine lokale Extremstelle vor. 3. Die zweite Ableitung ist \(g''(x)=2x+4\). Sie wechselt bei \(x=-2\) von negativ zu positiv. Daher liegt dort ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also ein Terrassenpunkt, vor.

Bei \(x=-2\) liegt keine lokale Extremstelle, sondern ein Terrassenpunkt vor.

- Welche Exponenten kommen bei einer geraden ganzrationalen Funktion vor? - Welche Symmetrie besitzt die Ableitung einer geraden Funktion? - Was bedeutet diese Symmetrie für die Vorzeichen von \(f'(x)\) und \(f'(-x)\) nahe dem Ursprung?

1. Bei einer zur \(y\)-Achse symmetrischen ganzrationalen Funktion treten nur gerade Exponenten auf. Beim Ableiten entstehen daher nur ungerade Potenzen von \(x\), sodass jeder Term von \(f'\) bei \(x=0\) den Wert null hat. Somit gilt \(f'(0)=0\). 2. Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade, also gilt \(f'(-x)=-f'(x)\). 3. Da \(f\) nicht konstant ist, ist \(f'\) nicht die Nullfunktion. In einer hinreichend kleinen Umgebung von \(0\) wird das Vorzeichen von \(f'\) durch den niedrigsten nichtverschwindenden ungeraden Potenzterm bestimmt. Daher besitzt \(f'\) links und rechts von \(0\) entgegengesetzte Vorzeichen. 4. Somit wechselt \(f\) bei \(x=0\) seine Monotonierichtung und besitzt dort eine lokale Extremstelle. Ein Terrassenpunkt ist daher ausgeschlossen.

a) \(f'(0)=0\). b) Wegen der Punktsymmetrie von \(f'\) wechselt \(f'\) bei \(x=0\) das Vorzeichen; daher liegt dort eine Extremstelle und kein Terrassenpunkt vor.

- Prüfe zuerst nur die notwendige Bedingung \(f'(0)=0\). - Vergleiche danach das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts von \(0\). - Für einen Terrassenpunkt brauchst du zusätzlich einen nachgewiesenen Krümmungswechsel.

1. Die erste Ableitung ist \(f'(x)=5x^4+6x^2\). Daher gilt \(f'(0)=0\); die notwendige Bedingung ist erfüllt. 2. Für alle \(x\neq0\) gilt \(f'(x)>0\). Deshalb wechselt \(f'\) bei \(x=0\) nicht das Vorzeichen und es liegt kein lokales Extremum vor. 3. Die zweite Ableitung ist \(f''(x)=20x^3+12x=4x(5x^2+3)\). Da \(5x^2+3>0\) gilt, wechselt \(f''\) bei \(x=0\) von negativ zu positiv. Somit liegt dort eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also ein Terrassenpunkt, vor.

a) \(f'(0)=0\). b) Kein lokales Extremum; bei \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor.

- Faktorisiere \(g'\), um ihr Vorzeichen in einer kleinen Umgebung von \(0\) zu untersuchen. - Kein Vorzeichenwechsel von \(g'\) schließt eine lokale Extremstelle aus. - Prüfe anschließend, ob \(g''\) bei derselben Stelle das Vorzeichen wechselt.

1. Es gilt \(g'(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)\), also \(g'(0)=0\). 2. In einer Umgebung von \(0\) ist \(2x-3<0\), während \(2x^2>0\) für \(x\neq0\) gilt. Daher ist \(g'(x)\) links und rechts von \(0\) negativ. Es gibt keinen Vorzeichenwechsel und somit keine lokale Extremstelle. 3. Die zweite Ableitung ist \(g''(x)=12x^2-12x=12x(x-1)\). Für kleine negative \(x\) ist \(g''(x)>0\), für kleine positive \(x\) ist \(g''(x)<0\). Die Krümmung wechselt also bei \(x=0\). 4. Zusammen mit \(g'(0)=0\) folgt, dass bei \(x=0\) ein Terrassenpunkt vorliegt.

Bei \(x=0\) liegt keine lokale Extremstelle, sondern ein Terrassenpunkt vor.

- Was bedeutet es anschaulich, wenn ein Punkt ein „Gipfel“ (Maximum) oder ein „Tal“ (Minimum) ist? - Vergleiche den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) mit Werten, die ganz nah links und ganz nah rechts davon liegen. - Kann ein Punkt eine Extremstelle sein, wenn es in seiner unmittelbaren Nähe sowohl größere als auch kleinere Werte gibt? - Untersuche die beiden Teilfunktionen separat für Werte nahe Null.

1. Funktionswert an der Stelle bestimmen: Es gilt \(f(0) = 0^2 + 1 = 1\). 2. Umgebung rechts von \(0\) betrachten: Für alle \(x > 0\) gilt \(f(x) = x^2 + 1\). Da \(x^2 > 0\) für \(x \neq 0\), ist \(f(x) > 1\) für alle \(x > 0\). In jeder Rechtsumgebung von \(0\) gibt es also Werte, die größer als \(f(0)\) sind. 3. Umgebung links von \(0\) betrachten: Für alle \(x < 0\) gilt \(f(x) = x\). Da \(x < 0\), ist \(f(x) < 0\) und damit insbesondere \(f(x) < 1\). In jeder Linksumgebung von \(0\) gibt es also Werte, die kleiner als \(f(0)\) sind. 4. Schlussfolgerung: Da in jeder noch so kleinen Umgebung um \(x = 0\) sowohl Funktionswerte existieren, die größer als \(f(0)\) sind, als auch Funktionswerte, die kleiner als \(f(0)\) sind, kann \(f(0)\) weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum sein. Somit liegt bei \(x = 0\) keine Extremstelle vor.

An der Stelle \(x = 0\) ist \(f(0) = 1\). Für \(x > 0\) sind die Funktionswerte stets größer als \(1\) (\(x^2 + 1 > 1\)), während sie für \(x < 0\) stets kleiner als \(1\) sind (da \(x < 0\)). Da in jeder Umgebung von \(x = 0\) sowohl größere als auch kleinere Werte als \(f(0)\) vorkommen, liegt laut Definition kein lokales Extremum vor.

- Prüfe bei jeder Aussage zuerst, ob sie eine notwendige oder eine hinreichende Bedingung behauptet. - Suche für falsche Aussagen nach möglichst einfachen ganzrationalen Gegenbeispielen. - Beachte bei globalen Extrema, ob der betreffende Punkt tatsächlich zum offenen Intervall gehört. - Nutze bei der strengen Monotonie die Definition über die Reihenfolge von Funktionswerten, nicht eine vermeintliche Bedingung \(f'>0\) an jeder Stelle.

1. Aussage (1) ist wahr. Bei strenger Monotonie gilt für \(x_1<x_2\) stets \(f(x_1)<f(x_2)\). Daher kann kein innerer Punkt ein lokales Maximum oder Minimum sein; auf \(\mathbb{R}\) gibt es auch kein globales Extremum. 2. Aussage (2) ist falsch. Bei \(f(x)=x^3\) gilt \(f'(0)=0\), aber \(x=0\) ist keine Extremstelle. Der Graph besitzt dort einen Terrassenpunkt. 3. Aussage (3) ist falsch. Die Funktion \(f(x)=-x^2\) besitzt auf \((-1;1)\) bei \(x=0\) ein globales Maximum. 4. Aussage (4) ist wahr. Liegt bei einer im inneren Punkt \(x_0\) differenzierbaren Funktion ein lokales Extremum vor, so gilt notwendig \(f'(x_0)=0\).

(1) Wahr (2) Falsch; Gegenbeispiel \(f(x)=x^3\) bei \(x=0\) (3) Falsch; Gegenbeispiel \(f(x)=-x^2\) auf \((-1;1)\) (4) Wahr

- Skizziere dir Verläufe von Graphen, die mehrfach steigen und fallen. Kann ein lokales „Tal“ weiter oben liegen als ein entfernter lokaler „Berg“? - Was passiert am linken Rand eines Intervalls, wenn eine Funktion streng monoton fällt? - Welche Voraussetzungen benötigt der Satz vom Maximum und Minimum?

1. Wahr. Da die Funktion streng monoton fällt, gilt für alle \(x > a\), dass \(f(a) > f(x)\). Somit ist der linke Randwert der größte Wert im Intervall. 2. Wahr. Dies ist bei Funktionen möglich, die mehrere lokale Extrema auf unterschiedlichen Niveaus besitzen. Ein lokaler Hochpunkt muss nur gegenüber seiner unmittelbaren Umgebung höher liegen; sein Funktionswert kann daher kleiner sein als der eines entfernten lokalen Tiefpunkts. 3. Wahr. Dies entspricht dem Satz vom Maximum und Minimum (Weierstraß): Eine stetige Funktion nimmt auf einem kompakten Intervall ihren maximalen und ihren minimalen Funktionswert an.

(1) Wahr. (2) Wahr. (3) Wahr (Satz vom Maximum und Minimum).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Tangente waagerecht verläuft? - Wie verhält sich die Steigung kurz vor und kurz nach einem Tiefpunkt? - Überlege dir den Unterschied: Muss etwas gelten (notwendig) oder reicht es aus, wenn es gilt (hinreichend)? - Betrachte das Ergebnis der zweiten Ableitung im Vergleich zur tatsächlichen Art des Punktes.

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = 4(x - 5)^3\). Die Bedingung für eine waagerechte Tangente \(f'(x) = 0\) führt auf \(x_0 = 5\). 2. Vorzeichenwechsel prüfen: Für \(x < 5\) (z. B. \(x = 4\)) gilt \(f'(4) = 4 \cdot (-1)^3 = -4 < 0\). Für \(x > 5\) (z. B. \(x = 6\)) gilt \(f'(6) = 4 \cdot 1^3 = 4 > 0\). Da ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus vorliegt, ist \(x_0 = 5\) eine lokale Minimalstelle. 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 12(x - 5)^2\). Einsetzen von \(x_0 = 5\) ergibt \(f''(5) = 12 \cdot (5 - 5)^2 = 0\). 4. Da an der Stelle \(x_0 = 5\) ein Minimum vorliegt, aber \(f''(5) = 0\) gilt, ist die Bedingung \(f''(x_0) \neq 0\) nicht notwendig. Ein Extrempunkt kann also auch dann existieren, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle Null ist.

a) \(f'(x) = 4(x - 5)^3\); \(x_0 = 5\) b) \(f'(4) = -4 < 0\) und \(f'(6) = 4 > 0\); Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) bestätigt ein Minimum. c) \(f''(5) = 0\) d) Nein, die Bedingung ist nicht notwendig, da trotz \(f''(x_0) = 0\) ein Extrempunkt vorliegt.

- Unterscheide notwendige und hinreichende Bedingungen. - Prüfe die ersten beiden Aussagen an einfachen Potenzfunktionen mit besonders flachem Verlauf im Ursprung. - Übersetze bei Aussage 3 einen Vorzeichenwechsel von \(f'\) in einen Wechsel der Monotonierichtung von \(f\).

1. Aussage 1 ist falsch. Für \(f(x)=x^3\) gilt \(f'(0)=0\), aber bei \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt und kein lokales Extremum vor. 2. Aussage 2 ist falsch. Für \(f(x)=x^4\) liegt bei \(x=0\) ein lokales Minimum vor, obwohl \(f''(0)=0\) gilt. 3. Aussage 3 ist wahr. Wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, liegt eine lokale Maximalstelle vor; wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, liegt eine lokale Minimalstelle vor.

1. Falsch; Gegenbeispiel \(f(x)=x^3\) 2. Falsch; Gegenbeispiel \(f(x)=x^4\) 3. Wahr

- Wie ist ein Wendepunkt über das Krümmungsverhalten des Graphen definiert? - Überlege dir, ob aus der Erfüllung einer Bedingung (Prämisse) zwingend die Schlussfolgerung (Wendepunkt) folgt. - Untersuche das Vorzeichen der zweiten Ableitung von \(f(x) = x^4\) links und rechts der Stelle \(x = 0\). - Was muss mathematisch passieren, damit ein Wert von positiv nach negativ wechseln kann?

1. Die Wenn-dann-Form lautet: „Wenn für eine Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) die Bedingungen \(f''(x_0) = 0\) und \(f'''(x_0) \neq 0\) erfüllt sind, dann besitzt der Graph von \(f\) an dieser Stelle einen Wendepunkt.“ Da die Erfüllung dieser Bedingungen die Existenz des Wendepunkts garantiert, handelt es sich um eine hinreichende Bedingung. 2. Die Ableitungen von \(f(x) = x^4\) lauten \(f'(x) = 4x^3\) und \(f''(x) = 12x^2\). An der Stelle \(x_0 = 0\) gilt \(f''(0) = 0\). Da der Graph dort jedoch einen Tiefpunkt besitzt und die Krümmung links und rechts der Nullstelle positiv bleibt (\(f''(x) > 0\) für \(x \neq 0\)), findet kein Krümmungswechsel statt. Somit ist \(f''(x_0) = 0\) nicht hinreichend. 3. Ein Wendepunkt ist definiert als eine Stelle mit Vorzeichenwechsel des Krümmungsverhaltens. Da die zweite Ableitung die Krümmung repräsentiert und hier stetig ist, muss sie an der Stelle des Übergangs den Wert null annehmen. Somit ist \(f''(x_0) = 0\) eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunkts.

a) Wenn \(f''(x_0) = 0\) und \(f'''(x_0) \neq 0\), dann liegt ein Wendepunkt vor. b) Nicht hinreichend, da \(f(x) = x^4\) bei \(x=0\) die Bedingung \(f''(0)=0\) erfüllt, aber einen Tiefpunkt (keinen Wendepunkt) hat. c) Notwendig, da ein Vorzeichenwechsel der stetigen zweiten Ableitung eine Nullstelle voraussetzt.

- Was muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du anhand der Ableitungsfunktion feststellen, ob an einer Nullstelle tatsächlich ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Untersuche die Faktoren der Funktionsausdrücke – was verraten sie dir über die Nullstellen? - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von einer Nullstelle verhält.

1. Die Nullstellen der Ableitungen werden bestimmt: Für \(f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)\) ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Da es sich um einfache Nullstellen handelt, findet jeweils ein Vorzeichenwechsel (VZW) statt, sodass bei \(x=1\) und \(x=3\) Extremstellen vorliegen. Für \(g'(x) = -2(x-1)(x-3)\) ergeben sich dieselben Nullstellen mit VZW, also dieselben Extremstellen. 2. Die Ableitung \(h'(x) = (x-2)(x-1)(x-3)\) besitzt die Nullstellen \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). Da alle Faktoren einfache Nullstellen sind, findet an jeder dieser Stellen ein VZW statt. Somit hat \(h\) ebenfalls Extremstellen bei \(x=1\) und \(x=3\). 3. Die zusätzliche Extremstelle von \(h\) liegt bei \(x = 2\). Die Art wird durch das VZW-Kriterium bestimmt: Für \(x < 2\) (z. B. \(x=1{,}5\)) ist \(h'(1{,}5) = (-0{,}5) \cdot (0{,}5) \cdot (-1{,}5) = 0{,}375 > 0\). Für \(x > 2\) (z. B. \(x=2{,}5\)) ist \(h'(2{,}5) = (0{,}5) \cdot (1{,}5) \cdot (-0{,}5) = -0{,}375 < 0\). Da ein VZW von Plus nach Minus vorliegt, hat \(h\) bei \(x = 2\) ein lokales Maximum.

1. Beide Funktionen \(f\) und \(g\) haben Extremstellen bei \(x = 1\) und \(x = 3\). 2. Die Funktion \(h\) hat an den Stellen \(x = 1\) und \(x = 3\) ebenfalls einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel in der Ableitung. 3. Die zusätzliche Extremstelle von \(h\) liegt bei \(x = 2\). Es handelt sich um ein lokales Maximum.

- Waagerechte Tangenten liegen an Nullstellen von \(k'\). - Vergleiche das Vorzeichen von \(k'\) links und rechts jeder Nullstelle. - Wenn kein Extremum vorliegt, prüfe zusätzlich, ob \(k''\) dort das Vorzeichen wechselt.

1. Aus \(k'(x)=0\) folgen \(x=4\) und \(x=-1\). 2. Bei \(x=4\) wechselt \(k'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(k\) dort eine lokale Minimalstelle. 3. Bei \(x=-1\) bleibt \(k'\) auf beiden Seiten negativ, weil die Nullstelle durch den quadratischen Faktor \((x+1)^2\) gerade Vielfachheit besitzt. Somit liegt dort keine Extremstelle vor. 4. Es gilt \(k''(x)=3x^2-4x-7=(3x-7)(x+1)\). Bei \(x=-1\) wechselt \(k''\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also eine Terrassenstelle, vor.

1. Waagerechte Tangenten bei \(x=-1\) und \(x=4\). 2. Lokale Minimalstelle bei \(x=4\). 3. Terrassenstelle bei \(x=-1\).

- Überlege dir, wie der Graph verlaufen muss, wenn er von einem tiefen Punkt zu einem anderen tiefen Punkt führt. - Betrachte das Grenzverhalten (Globalverhalten) von Funktionen mit geradem Grad. - Was wissen wir über die Anzahl der Nullstellen der Ableitungsfunktion bei Funktionen vierten Grades?

1. Aussage a) ist wahr. Seien \(x_1 < x_2\) zwei lokale Minimalstellen. Auf dem abgeschlossenen Intervall \([x_1; x_2]\) nimmt die stetige Funktion \(f\) ein Maximum an. Dieses Maximum wird im Inneren des Intervalls angenommen; falls auf einem Teilintervall ein konstanter Maximalwert vorliegt, sind dessen innere Punkte ebenfalls lokale Maximalstellen. Somit liegt zwischen den beiden lokalen Minimalstellen mindestens eine lokale Maximalstelle. 2. Aussage b) ist wahr. Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) verläuft für \(x \to \pm \infty\) entweder beidseitig gegen \(+\infty\) (für \(a > 0\)) oder beidseitig gegen \(-\infty\) (für \(a < 0\)). Folglich muss die Funktion aufgrund ihrer Stetigkeit ein globales Minimum (bzw. Maximum) besitzen. An dieser Stelle ist die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) erfüllt und es liegt ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor, also eine Extremstelle.

a) Wahr. Zwischen zwei lokalen Minima muss der Graph steigen und wieder fallen, was ein lokales Maximum erzwingt. b) Wahr. Funktionen mit geradem Grad besitzen immer ein globales Extremum (Minimum oder Maximum) und damit mindestens eine Extremstelle.

- Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über die Steigung der ursprünglichen Funktion aus? - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen einer Potenz verhält, wenn die Basis negativ ist und der Exponent gerade oder ungerade ist. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einem Vorzeichenwechsel der Ableitung und der Art des Extrempunktes. - Ein Punkt mit waagerechter Tangente, an dem kein Vorzeichenwechsel der Ableitung stattfindet, hat einen speziellen Namen.

1. Nullstelle bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies (x + 3)^5 = 0 \implies x = -3\). 2. Vorzeichenuntersuchung: Da der Exponent \(5\) ungerade ist, wechselt \((x+3)^5\) an der Stelle \(x = -3\) das Vorzeichen. Für \(x < -3\) ist \(f'(x) < 0\), für \(x > -3\) ist \(f'(x) > 0\). 3. Klassifizierung: Ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus bedeutet einen Übergang von fallender zu steigender Monotonie. Somit liegt bei \(x = -3\) ein lokales Minimum vor. 4. Abhängigkeit von \(k\): Ist \(k\) ungerade, wechselt \(g'(x)=(x+3)^k\) von Minus nach Plus; \(g\) besitzt bei \(x=-3\) ein lokales Minimum. Ist \(k\) gerade, gilt \(g'(x) \ge 0\) auf beiden Seiten, sodass kein Extremum vorliegt. Zusätzlich ist \(g''(x)=k(x+3)^{k-1}\). Für gerades \(k\) ist \(k-1\) ungerade, daher wechselt \(g''\) bei \(x=-3\) von Minus nach Plus. Somit liegt ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also ein Terrassenpunkt, vor.

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = -3\). Für \(x < -3\) ist \(f'(x) < 0\), für \(x > -3\) ist \(f'(x) > 0\). b) Es liegt ein lokales Minimum vor. c) Für ungerades \(k\) liegt ein lokales Minimum vor. Für gerades \(k\) liegt kein Extremum, sondern wegen des Vorzeichenwechsels von \(g''\) ein Terrassenpunkt vor.

- Was ist die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunkts? - Wie kannst du die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Nullstelle der Ableitung und dem Vorliegen eines Extremums? - Was sagt das Vorzeichen der Diskriminante über die Nullstellen eines quadratischen Terms aus?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^4 - 2x^3 + \frac{3}{2}x^2\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'(x)\): Ausklammern ergibt \(x^2 \cdot (x^2 - 2x + 1{,}5) = 0\). 3. Untersuchung der Faktoren: Der erste Faktor \(x^2\) liefert die doppelte Nullstelle \(x_1 = 0\). Der zweite Faktor \(x^2 - 2x + 1{,}5 = 0\) besitzt keine reellen Lösungen, da die Diskriminante \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1{,}5 = -2\) kleiner als null ist. 4. Überprüfung auf Vorzeichenwechsel: Es gilt \(f'(x) = x^2 \cdot ((x-1)^2 + 0{,}5) \ge 0\) für alle \(x\). Daher findet bei \(x=0\) kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) statt. 5. Da \(x=0\) die einzige stationäre Stelle ist und dort kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) vorliegt, besitzt \(f\) keine lokalen Extrempunkte.

Die erste Ableitung \(f'(x) = x^2(x^2 - 2x + 1{,}5)\) hat lediglich bei \(x = 0\) eine Nullstelle. Da es sich um eine doppelte Nullstelle handelt (quadratischer Faktor), findet dort kein Vorzeichenwechsel statt. Der quadratische Term \(x^2 - 2x + 1{,}5\) hat keine reellen Nullstellen (\(D = -2\)). Somit besitzt \(f\) keinen Extrempunkt.

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung \(f'\) an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du diese Bedingung im Graphen von \(f'\) erkennen? - Welches Kriterium mit der zweiten Ableitung \(f''\) hilft dir zu entscheiden, ob eine Hochstelle oder eine Tiefstelle vorliegt? - Wie liest du den Wert der zweiten Ableitung an den potenziellen Extremstellen aus dem Graphen von \(f''\) ab?

1. Notwendige Bedingung für Extremstellen: Eine lokale Extremstelle kann nur dort vorliegen, wo die erste Ableitung gleich null ist, also \(f'(x) = 0\). Aus dem orangefarbenen Graphen von \(f'\) lassen sich die Nullstellen an den Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse ablesen: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 2. Hinreichende Bedingung für Extremstellen: Wir überprüfen das Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''\) an diesen Stellen mithilfe des blauen Graphen. Für \(x_1 = -1\) liest man \(f''(-1) = -4\) ab. Da \(f''(-1) < 0\) ist, liegt bei \(x = -1\) eine lokale Maximalstelle (Hochstelle) vor. Für \(x_2 = 3\) liest man \(f''(3) = 4\) ab. Da \(f''(3) > 0\) ist, liegt bei \(x = 3\) eine lokale Minimalstelle (Tiefstelle) vor.

Bei \(x = -1\) liegt eine lokale Maximalstelle (Hochstelle) und bei \(x = 3\) eine lokale Minimalstelle (Tiefstelle) vor.

- Welche besondere Eigenschaft hat die Steigung einer Kurve und damit die erste Ableitung an einer Extremstelle? - Wie kannst du die Nullstellen der ersten Ableitung im Graphen erkennen? - Welche Information liefert das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extremums? - Schau dir die Werte der zweiten Ableitung an den zuvor gefundenen Stellen an. Sind sie positiv oder negativ?

1. Notwendige Bedingung für Extremstellen: Eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum ist, dass die erste Ableitungsfunktion gleich null ist, also \(f'(x) = 0\). Die Nullstellen von \(f'\) lassen sich aus dem orangefarbenen Graphen an den Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse ablesen: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). Diese drei Stellen sind die Kandidaten für lokale Extremstellen. 2. Hinreichende Bedingung für Extremstellen: Wir prüfen das Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''\) an den Stellen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\). Für \(x_1 = -3\) gilt \(f''(-3) = 6 > 0\), also liegt dort ein lokales Minimum vor. Für \(x_2 = 1\) gilt \(f''(1) = -2 < 0\), also liegt dort ein lokales Maximum vor. Für \(x_3 = 3\) gilt \(f''(3) = 3 > 0\), also liegt dort ein lokales Minimum vor.

a) Die potenziellen Extremstellen von \(f\) liegen bei \(x = -3\), \(x = 1\) und \(x = 3\). b) Bei \(x = -3\) liegt ein lokales Minimum, bei \(x = 1\) ein lokales Maximum und bei \(x = 3\) ein lokales Minimum vor.

- Wie lautet die mathematische Definition für ein lokales Minimum und ein lokales Maximum? - Muss eine Funktion an einer Stelle unbedingt differenzierbar sein, damit dort ein Extrempunkt existieren kann? - Betrachte die Funktionswerte in einer kleinen Umgebung direkt links und rechts von jedem der drei Punkte. Sind sie alle größer, alle kleiner oder teils größer und teils kleiner? - Wenn die Steigung an einer Stelle null ist, handelt es sich dann immer automatisch um eine Extremstelle?

Um zu beurteilen, ob an den Stellen lokale Extremstellen vorliegen, nutzen wir die Definitionen von lokalen Extrema und untersuchen das Verhalten der Funktion in einer offenen Umgebung um die jeweiligen Stellen: 1. Stelle \(x_1 = -2\) (Punkt \(A\)): An dieser Stelle hat der Graph einen „Knick“, was bedeutet, dass die Funktion \(f\) an der Stelle \(x_1 = -2\) nicht differenzierbar ist. Dennoch gilt in einer kleinen offenen Umgebung um \(x_1\), dass alle Funktionswerte größer oder gleich dem Funktionswert \(f(-2) = 0{,}1\) sind. Da \(f(x) \ge f(-2)\) in dieser Umgebung gilt, liegt bei \(x_1 = -2\) ein lokales Minimum vor. Dieses Beispiel zeigt, dass Differenzierbarkeit keine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist. 2. Stelle \(x_2 = 0\) (Punkt \(B\)): Der Graph verläuft hier glatt und erreicht einen Hochpunkt. In einer offenen Umgebung um \(x_2 = 0\) gilt \(f(x) \le f(0) = 3{,}5\). Da die Funktion hier differenzierbar ist, ist die notwendige Bedingung für ein Extremum erfüllt: Die Steigung der Tangente ist null (\(f'(0) = 0\)). Da die Steigung zudem von positiv links von \(0\) auf negativ rechts von \(0\) wechselt, liegt bei \(x_2 = 0\) ein lokales Maximum vor. 3. Stelle \(x_3 = 2\) (Punkt \(C\)): An dieser Stelle verläuft die Tangente an den Graphen ebenfalls waagerecht, es gilt also \(f'(2) = 0\). Allerdings ist die Funktion in einer offenen Umgebung um \(x_3 = 2\) streng monoton fallend; die Steigung ist sowohl links als auch rechts von \(x_3\) negativ. Es gilt also \(f(x) > f(2) = 3{,}3\) für \(x < 2\) und \(f(x) < f(2) = 3{,}3\) für \(x > 2\) in der nahen Umgebung. Somit liegt bei \(x_3 = 2\) kein lokales Extremum, sondern ein Sattelpunkt vor. Dies zeigt, dass die Bedingung \(f'(x) = 0\) für differenzierbare Funktionen zwar notwendig, aber nicht hinreichend ist.

Bei \(x_1 = -2\) (Punkt \(A\)) liegt trotz der Nichtdifferenzierbarkeit ein lokales Minimum vor; bei \(x_2 = 0\) (Punkt \(B\)) liegt ein lokales Maximum vor; bei \(x_3 = 2\) (Punkt \(C\)) liegt keine Extremstelle, sondern ein Sattelpunkt vor.

- Überlege, wie Nullstellen von \(f''\) mit Extremstellen von \(f'\) zusammenhängen. - Für Extremstellen von \(f\) suchst du zuerst Nullstellen von \(f'\). - Das Vorzeichen von \(f''\) an einer solchen Stelle hilft dir bei der Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkt.

1. Da \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, muss der Graph von \(f''\) an den Extremstellen des Graphen von \(f'\) eine Nullstelle haben. Der Graph \(g\) hat bei \(x=1\) einen Tiefpunkt, und der Graph \(h\) hat dort eine Nullstelle. Zudem passen die Vorzeichen von \(h\) dazu, ob \(g\) fällt oder steigt. Daher gehört \(g\) zu \(f'\) und \(h\) zu \(f''\). 2. Die Nullstellen von \(g\) liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\). Bei \(x=-1\) gilt \(h(-1)<0\), daher hat \(f\) dort einen Hochpunkt. Bei \(x=3\) gilt \(h(3)>0\), daher hat \(f\) dort einen Tiefpunkt.

a) \(g\) gehört zu \(f'\), und \(h\) gehört zu \(f''\). b) Bei \(x=-1\) hat \(f\) einen Hochpunkt und bei \(x=3\) einen Tiefpunkt.

- Überlege dir zuerst, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung \(f'\) mit den Extremstellen der Funktion \(f\) zusammen? Welcher Vorzeichenwechsel deutet auf ein Maximum, welcher auf ein Minimum hin? - Welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\) entspricht den Wendestellen der Funktion \(f\)? Denke an die zweite Ableitung \(f''\).

1. Monotonieverhalten (Teilaufgabe a): Die Funktion \(f\) ist streng monoton steigend auf Intervallen, in deren Innerem \(f'(x) > 0\) gilt. Dem Graphen entnimmt man \(f'(x) > 0\) für \(-4 < x < -1\) und \(3 < x < 4\). Somit ist \(f\) auf \([-4; -1]\) und \([3; 4]\) streng monoton steigend. Entsprechend gilt \(f'(x) < 0\) für \(-5 < x < -4\) und \(-1 < x < 3\), sodass \(f\) auf \([-5; -4]\) und \([-1; 3]\) streng monoton fallend ist. 2. Extremstellen (Teilaufgabe b): Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -4\), \(x = -1\) und \(x = 3\). Bei \(x = -4\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; daher liegt dort eine lokale Minimalstelle (Tiefstelle) vor. Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; daher liegt dort eine lokale Maximalstelle (Hochstelle) vor. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; daher liegt dort eine lokale Minimalstelle (Tiefstelle) vor. 3. Wendestellen (Teilaufgabe c): Wendestellen von \(f\) entsprechen lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\), sofern deren Steigung dort das Vorzeichen wechselt. Der Graph von \(f'\) besitzt im gegebenen Intervall genau zwei lokale Extrempunkte, einen Hochpunkt bei \(x \approx -2{,}7\) und einen Tiefpunkt bei \(x \approx 1{,}4\). Somit besitzt \(f\) im Intervall genau zwei Wendestellen.

a) Streng monoton steigend für \(x \in [-4; -1]\) und \(x \in [3; 4]\); streng monoton fallend für \(x \in [-5; -4]\) und \(x \in [-1; 3]\). b) Drei Extremstellen: lokale Minimalstellen bei \(x = -4\) und \(x = 3\), eine lokale Maximalstelle bei \(x = -1\). c) Zwei Wendestellen.

- Wo hat \(f'\) den Wert null? - Die zweite Ableitung entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\). - Prüfe an jeder Nullstelle von \(f'\), ob das Vorzeichen wechselt. - Für eine Terrassenstelle reicht „kein Vorzeichenwechsel“ nicht aus; prüfe zusätzlich, ob \(f'\) dort seine Monotonierichtung wechselt.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Dort besitzt \(f\) waagerechte Tangenten. 2. Bei \(x=2\) besitzt \(f'\) ein lokales Maximum mit waagerechter Tangente. Daher ist die Steigung von \(f'\) dort null, also \(f''(2)=0\). Das genannte Kriterium ist dort nicht anwendbar. 3. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ; daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 4. Bei \(x=2\) bleibt \(f'\) auf beiden Seiten negativ, also liegt kein Extremum vor. Gleichzeitig nimmt \(f'\) links von \(2\) zu und rechts davon ab; damit wechselt \(f\) seine Krümmungsrichtung. Wegen \(f'(2)=0\) liegt eine Terrassenstelle vor.

a) \(x=-2\) und \(x=2\). b) Bei \(x=2\) gilt \(f''(2)=0\); das Kriterium ist dort nicht anwendbar. c) Lokale Maximalstelle bei \(x=-2\); Terrassenstelle bei \(x=2\).

- Überlege zuerst, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung \(f'\) und deren Vorzeichenwechsel mit den lokalen Extremstellen von \(f\) zusammen? - Erinnere dich daran, dass ein Vorzeichenwechsel der Ableitung von negativ zu positiv eine Tiefstelle und ein Wechsel von positiv zu negativ eine Hochstelle anzeigt. - Überlege, welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\), beispielsweise ein Hoch- oder Tiefpunkt, einer Wendestelle der Originalfunktion \(f\) entspricht.

1. Monotonieverhalten: Im Inneren des Intervalls \([-3; 1]\) gilt \(f'(x) > 0\). Daher ist \(f\) im dargestellten Bereich auf \([-3; 1]\) streng monoton steigend. Im Inneren der Intervalle \([-5; -3]\) und \([1; 3]\) gilt \(f'(x) < 0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. 2. Lokale Extremstellen: Bei \(x = -3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 3. Wendestelle: Der Graph von \(f'\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit einem lokalen Maximum bei \(x = -1\). Links davon steigt \(f'\), rechts davon fällt \(f'\). Somit wechselt \(f''\) bei \(x = -1\) von positiv zu negativ, und \(f\) besitzt dort eine Wendestelle.

a) Im dargestellten Bereich streng monoton steigend auf \([-3; 1]\); streng monoton fallend auf \([-5; -3]\) und \([1; 3]\). b) Lokale Minimalstelle bei \(x = -3\); lokale Maximalstelle bei \(x = 1\). c) Wendestelle bei \(x = -1\), weil \(f'\) dort von steigend zu fallend wechselt.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\). - Welche Bedingung muss an einer Stelle \(x\) erfüllt sein, damit dort ein Extrempunkt des Graphen von \(f\) vorliegt? - Wie lässt sich ein Hochpunkt von einem Tiefpunkt anhand des Verlaufs der Ableitung \(f'\) unterscheiden? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Wendepunkten von \(f\) und den Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\)?

1. Aussage (1) ist falsch. An der Stelle \(x = -2\) hat die Ableitungsfunktion \(f'\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Dies ist das hinreichende Kriterium für einen Hochpunkt der Funktion \(f\), nicht für einen Tiefpunkt. 2. Aussage (2) ist wahr. Im offenen Intervall \((1; 3)\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) > 0\). Daher ist die Funktion \(f\) im Intervall \([1; 3]\) streng monoton steigend. 3. Aussage (3) ist wahr. An der Stelle \(x = 1\) liegt eine Nullstelle von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus vor. Dies ist das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt von \(f\). 4. Aussage (4) ist wahr. Die Wendestellen einer Funktion \(f\) entsprechen den Extremstellen ihrer Ableitungsfunktion \(f'\). Der abgebildete Graph von \(f'\) besitzt im Intervall \([-3; 4]\) genau zwei Extremstellen: einen Tiefpunkt bei \(x \approx -0{,}8\) und einen Hochpunkt bei \(x \approx 2{,}1\). Folglich hat der Graph von \(f\) in diesem Intervall genau zwei Wendestellen.

(1) Falsch — bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ; dort liegt eine lokale Maximalstelle von \(f\). (2) Wahr — auf \((1;3)\) ist \(f'(x)>0\), daher steigt \(f\). (3) Wahr — bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv; dort liegt eine lokale Minimalstelle. (4) Wahr — der Graph von \(f'\) besitzt im angegebenen Intervall zwei Extremstellen; entsprechend liegen dort zwei Wendestellen von \(f\).

- Bestimme zuerst die Nullstellen von \(f'\). - Ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) klassifiziert lokale Extremstellen von \(f\). - Für eine Terrassenstelle genügt eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel nicht. Prüfe zusätzlich, ob \(f'\) dort seine Monotonierichtung wechselt.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-3\), \(x=2\) und \(x=5\). 2. Bei \(x=-3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle. 3. Bei \(x=5\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ; daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 4. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen nicht, also liegt dort kein Extremum vor. Zugleich besitzt \(f'\) bei \(x=2\) ein lokales Minimum: Links davon nimmt \(f'\) ab, rechts davon zu. Damit wechselt \(f\) dort seine Krümmungsrichtung. 5. Zusammen mit \(f'(2)=0\) folgt, dass \(f\) bei \(x=2\) eine Terrassenstelle besitzt.

a) Lokale Minimalstelle bei \(x=-3\); lokale Maximalstelle bei \(x=5\). b) Terrassenstelle bei \(x=2\).

- Welche Nullstellen von \(f'\) sind Kandidaten für lokale Extremstellen von \(f\)? - Welches Vorzeichen von \(f''\) klassifiziert eine stationäre Stelle als lokale Maximal- oder Minimalstelle? - Weshalb kann eine waagerechte Tangente auch ohne Extremum auftreten? - An welchen Stellen wechselt das Vorzeichen von \(f''\)?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen näherungsweise bei \(x\approx-2{,}5\), \(x=1\) und \(x\approx4{,}5\). 2. Bei \(x\approx-2{,}5\) und \(x\approx4{,}5\) ist \(f''>0\), also besitzt \(f\) dort lokale Minimalstellen. Bei \(x=1\) ist \(f''<0\), also liegt dort eine lokale Maximalstelle vor. 3. Die Bedingung \(f'(x_0)=0\) ist für eine differenzierbare Funktion an einer inneren lokalen Extremstelle notwendig, reicht allein aber nicht aus; auch ein Terrassenpunkt kann eine waagerechte Tangente besitzen. Zusammen mit \(f''(x_0)>0\) beziehungsweise \(f''(x_0)<0\) ist die Klassifikation als lokale Minimal- beziehungsweise Maximalstelle hinreichend. 4. Die Nullstellen von \(f''\) liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f''\) von positiv zu negativ, also von Links- zu Rechtskrümmung. Bei \(x=3\) wechselt \(f''\) von negativ zu positiv, also von Rechts- zu Linkskrümmung.

a) Lokale Minimalstellen bei \(x\approx-2{,}5\) und \(x\approx4{,}5\); lokale Maximalstelle bei \(x=1\). b) \(f'(x_0)=0\) ist notwendig, aber nicht hinreichend; mit \(f''(x_0)\neq0\) kann die stationäre Stelle hinreichend als Extremstelle klassifiziert werden. c) Wendestellen bei \(x=-1\) und \(x=3\); dort wechselt die Krümmungsrichtung jeweils.

- Wo hat der dargestellte Graph waagerechte Tangenten? - In welchen Bereichen nimmt \(f\) zu beziehungsweise ab? - Wie muss ein Ableitungsgraph an einer Nullstelle aussehen, wenn das Vorzeichen wechselt, und wie ohne Vorzeichenwechsel?

1. Bei \(x=0\) besitzt \(f\) eine lokale Minimalstelle, bei \(x=3\) eine Terrassenstelle. An beiden Stellen gilt \(f'(x)=0\). 2. Für \(x<0\) nimmt \(f\) ab, also ist \(f'(x)<0\). Für \(0<x<3\) und für \(x>3\) nimmt \(f\) zu, also ist \(f'(x)>0\). 3. Bei \(x=0\) muss \(G_{f'}\) die \(x\)-Achse von unten nach oben schneiden. Bei \(x=3\) muss \(G_{f'}\) die \(x\)-Achse von oben berühren, ohne das Vorzeichen zu wechseln.

1. Lokale Minimalstelle bei \(x=0\); Terrassenstelle bei \(x=3\). 2. \(f'<0\) für \(x<0\), \(f'>0\) für \(0<x<3\) und \(x>3\); bei \(x=0\) Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, bei \(x=3\) berührende Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Erinnere dich an die allgemeine Definition eines lokalen Extremums: Muss eine Funktion an dieser Stelle glatt verlaufen? - Was passiert mit den Funktionswerten links und rechts von \(x_1\)? - Betrachte den Bereich um \(x_2\): Verändern sich die Werte dort überhaupt? - Schau dir an, welche Bedingungen für ein lokales Maximum oder Minimum erfüllt sein müssen.

1. Definition einer lokalen Extremstelle: Ein Punkt \(x_0\) ist eine lokale Extremstelle, wenn es eine Umgebung um \(x_0\) gibt, in der alle Funktionswerte entweder kleiner oder gleich (Maximum) bzw. größer oder gleich (Minimum) als der Funktionswert \(f(x_0)\) sind. 2. Untersuchung an der Stelle \(x_1 = -2\): Der Funktionswert \(f(-2) = 4\) ist der höchste Punkt in einer kleinen Umgebung. Da alle benachbarten Werte kleiner sind, liegt hier ein lokales Maximum vor. Dass die Funktion dort einen „Knick“ hat (nicht differenzierbar ist), spielt für die Existenz eines Extremums keine Rolle. 3. Untersuchung an der Stelle \(x_2 = 1{,}5\): Die Funktion ist im Intervall \([0; 3]\) konstant mit \(f(x) = 1\). In einer Umgebung von \(1{,}5\) gilt daher sowohl \(f(x) \le f(1{,}5)\) als auch \(f(x) \ge f(1{,}5)\). Nach der mathematischen Definition ist somit jeder Punkt in einem konstanten Abschnitt sowohl eine lokale Minimalstelle als auch eine lokale Maximalstelle.

An der Stelle \(x_1 = -2\) liegt ein lokales Maximum vor, da der Funktionswert dort in einer Umgebung am größten ist. An der Stelle \(x_2 = 1{,}5\) liegt sowohl ein lokales Maximum als auch ein lokales Minimum vor, da die Funktion in diesem Bereich konstant verläuft und somit die Bedingungen für beide Extremumstypen erfüllt sind.

- Muss eine Funktion an einer lokalen Extremstelle zwingend differenzierbar sein? - Wie verhalten sich die Funktionswerte direkt neben der Spitze bei \(x_1\)? - Betrachte die Öffnungsrichtung und den Scheitelpunkt des Parabelstücks bei \(x_2\).

1. Untersuchung bei \(x_1 = -1\): Der Graph zeigt an dieser Stelle eine Spitze in V-Form. Für alle \(x\) in einer Umgebung von \(-1\) gilt \(f(x) \ge f(-1) = 0\). Da der Funktionswert dort der kleinste in der Umgebung ist, liegt eine lokale Minimalstelle vor. Die Funktion ist dort zwar nicht differenzierbar, ein Extremum ist jedoch über die Funktionswerte definiert. 2. Untersuchung bei \(x_2 = 3\): Der Graph verläuft hier glatt. Da es sich um den Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel handelt, ist die Steigung \(f'(3) = 0\), und die Funktion wechselt von steigend zu fallend. Somit liegt bei \(x_2 = 3\) ein lokales Maximum vor.

a) Bei \(x_1 = -1\) liegt trotz fehlender Differenzierbarkeit eine lokale Minimalstelle vor, weil \(f(-1)\) in einer Umgebung der kleinste Funktionswert ist. b) Bei \(x_2 = 3\) liegt ein lokales Maximum vor.

- Überlege dir, was der Funktionswert von \(f'\) über die Steigung von \(f\) aussagt. - Wo muss der Graph von \(f'\) liegen, damit die Funktion \(f\) steigt oder fällt? - Was passiert mit der Funktion \(f\) an einer Stelle, an der \(f'\) die x-Achse kreuzt? - Achte darauf, in welche Richtung der Graph von \(f'\) die x-Achse an den Nullstellen schneidet.

1. Lokale Extremstellen einer Funktion \(f\) treten dort auf, wo die Ableitung \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. 2. Bei \(x = -5\) wechselt \(f'\) vom Negativen ins Positive. Da die Steigung von \(f\) von negativ auf positiv wechselt, liegt hier ein lokales Minimum vor. 3. Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) vom Positiven ins Negative. Da die Steigung von \(f\) von positiv auf negativ wechselt, liegt hier ein lokales Maximum vor. 4. Bei \(x = 4\) wechselt \(f'\) vom Negativen ins Positive. Somit liegt bei \(x = 4\) ein weiteres lokales Minimum vor.

Lokales Minimum bei \(x = -5\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(-\) nach \(+\)); lokales Maximum bei \(x = 0\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(+\) nach \(-\)); lokales Minimum bei \(x = 4\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(-\) nach \(+\)).

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung \(f'\) über das Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion \(f\) aussagt. - Wie hängen die Nullstellen von \(f'\) mit den Extremstellen von \(f\) zusammen? Achte dabei besonders auf den Vorzeichenwechsel. - Welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\) gibt dir Auskunft über die Wendestellen von \(f\)? - Erinnere dich daran, dass die zweite Ableitung \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, also die Steigung des Graphen von \(f'\) beschreibt.

1. An der Stelle \(x = -3\) hat die Ableitungsfunktion \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Dies bedeutet, dass die Steigung von \(f\) von negativ auf positiv wechselt, was charakteristisch für ein lokales Minimum ist. Die Aussage ist wahr. 2. Im Intervall \((1; 4)\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) < 0\). Folglich ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton fallend. Die Aussage ist falsch. 3. Wendestellen der Funktion \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen ihrer Ableitungsfunktion \(f'\). Da der Graph von \(f'\) im gezeigten Bereich einen Hochpunkt (ca. bei \(x \approx -1{,}4\)) und einen Tiefpunkt (ca. bei \(x \approx 2{,}7\)) besitzt, hat \(f\) dort genau zwei Wendestellen. Die Aussage ist wahr. 4. Der Wert \(f''(1)\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f'\) an der Stelle \(x = 1\). Da der Graph von \(f'\) an dieser Stelle fällt, ist die Steigung negativ, also \(f''(1) < 0\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr — bei \(x=-3\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv; dort hat \(f\) eine lokale Minimalstelle. b) Falsch — auf \((1;4)\) ist \(f'(x)<0\), also fällt \(f\). c) Wahr — der dargestellte Graph von \(f'\) besitzt zwei lokale Extremstellen; entsprechend hat \(f\) dort zwei Wendestellen. d) Wahr — bei \(x=1\) fällt der Graph von \(f'\), daher ist seine Steigung und damit \(f''(1)\) negativ.

- Was sagt ein Hochpunkt im Graphen der Ableitung über die Krümmung oder die Steigungsänderung der Originalfunktion aus? - Wenn die Ableitung in einem Bereich positiv ist, was weißt du dann über das Wachstum der Funktion? - Wo genau liest man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ab, wenn man den Graphen der Ableitung gegeben hat?

1. Wendestelle bei \(x = 3\): Eine Wendestelle von \(f\) liegt dort vor, wo die Steigung der Funktion \(f\) (also \(f'\)) ein lokales Extremum hat. Da der Graph von \(f'\) bei \(x = 3\) einen Hochpunkt besitzt, hat \(f\) dort eine Wendestelle. 2. Vergleich von \(f(1)\) und \(f(3)\): Im Intervall \((1; 5)\) verläuft der Graph von \(f'\) oberhalb der x-Achse (\(f'(x) > 0\)). Das bedeutet, dass die Funktion \(f\) im Intervall \([1; 3]\) streng monoton steigt. Da \(3 > 1\) ist, muss folglich \(f(3) > f(1)\) gelten. 3. Tangentensteigung bei \(x = 0\): Die Steigung der Tangente an \(f\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion \(f'(0)\). Aus dem Graphen lässt sich an der Stelle \(x = 0\) der Funktionswert \(y = -2{,}5\) ablesen. Die Steigung beträgt also \(-2{,}5\).

a) \(f\) hat bei \(x = 3\) eine Wendestelle, da \(f'\) dort eine lokale Extremstelle (einen Hochpunkt) besitzt. b) Es gilt \(f(3) > f(1)\), da \(f'\) im Intervall \((1; 3)\) positiv ist und die Funktion \(f\) dort somit streng monoton steigt. c) Die Tangentensteigung an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(f'(0) = -2{,}5\).

- Welcher der beiden Graphen kann die Ableitung des anderen sein? - Waagerechte Tangenten von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\). - Das Vorzeichen von \(f''\) an einer stationären Stelle klassifiziert sie als lokale Maximal- oder Minimalstelle.

1. Der Graph \(g_1\) ist kubisch und \(g_2\) quadratisch. Zudem liegen die Nullstellen von \(g_2\) an den lokalen Extremstellen von \(g_1\). Daher gilt \(g_1=f'\) und \(g_2=f''\). 2. Waagerechte Tangenten von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\), also bei \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\). 3. Bei \(x=-3\) und \(x=3\) gilt \(f''>0\), also liegen dort lokale Minimalstellen vor. Bei \(x=0\) gilt \(f''<0\), also liegt dort eine lokale Maximalstelle vor.

a) \(g_1=f'\), \(g_2=f''\). b) Waagerechte Tangenten bei \(x=-3\), \(x=0\), \(x=3\); lokale Minimalstellen bei \(x=-3\) und \(x=3\), lokale Maximalstelle bei \(x=0\).

- Überlege dir, was es grafisch bedeutet, wenn eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist. Wie müsste der Übergang dort aussehen? - Vergleiche die Steigung kurz vor der Stelle \(x_e\) mit der Steigung kurz nach \(x_e\). - Erinnere dich an die Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten. - Gilt das Kriterium \(f'(x) = 0\) für jede Art von Extrempunkt oder gibt es Voraussetzungen an die Funktion selbst?

1. Der Graph der Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x_e = 2\) eine sogenannte „Knickstelle“. Das bedeutet, dass die Steigung der Funktion links von dieser Stelle (hier \(+1\)) einen anderen Wert hat als unmittelbar rechts davon (hier \(-1\)). Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar; die Ableitung \(f'(2)\) existiert somit nicht. 2. Das notwendige Kriterium \(f'(x) = 0\) setzt voraus, dass die Funktion an der betrachteten Stelle differenzierbar ist. Da dies bei \(x_e = 2\) nicht der Fall ist, kann die Gleichung \(f'(x) = 0\) für diese Stelle gar nicht erst aufgestellt werden. Das Maximum lässt sich also nicht über die Nullstelle der Ableitung finden.

Die Funktion ist bei \(x_e = 2\) nicht differenzierbar, da der Graph dort einen Knick hat (die linksseitige Steigung unterscheidet sich von der rechtsseitigen). Da die Ableitung \(f'(2)\) nicht existiert, kann das notwendige Kriterium \(f'(x) = 0\), welches Differenzierbarkeit voraussetzt, nicht angewendet werden.

- Unterscheide zwischen lokalen Extremstellen im Inneren eines Bereichs und Extremstellen, die an den Grenzen des Definitionsbereichs liegen. - Schau dir den Verlauf des Graphen direkt an der Stelle \(x_e\) an. Würde die Funktion dort waagerecht verlaufen, wenn man den Definitionsbereich erweitern würde? - Überlege dir, welche Punkte ein Intervall wie \([0; 5]\) hat, die keine „inneren“ Punkte sind.

1. Aus dem Graphen liest man ab, dass das globale Maximum am rechten Rand des Definitionsbereichs bei \(x_e=5\) liegt. Der zugehörige Funktionswert ist \(g(5)=4\). 2. Der Graph steigt bis zum rechten Rand weiter an; seine Tangente ist dort nicht waagerecht. Daher ist \(g'(5)>0\) und insbesondere \(g'(5)\ne 0\). Das Maximum entsteht hier, weil der Definitionsbereich bei \(x=5\) endet. 3. Für eine differenzierbare Funktion ist \(g'(x_0)=0\) eine notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle, wenn \(x_0\) ein innerer Punkt des Definitionsbereichs ist.

1. Das globale Maximum liegt bei \(x_e=5\) mit \(g(5)=4\). 2. \(x_e=5\) ist ein Randpunkt. Der Graph steigt dort noch, also ist die Tangente nicht waagerecht und \(g'(5)\ne 0\). 3. Die Bedingung \(g'(x_0)=0\) ist für eine lokale Extremstelle notwendig, wenn \(x_0\) im Inneren des Definitionsbereichs liegt und \(g\) dort differenzierbar ist.

- Überlege dir, was ein Tiefpunkt im Graphen der Ableitungsfunktion für den Wert der zweiten Ableitung an dieser Stelle bedeutet. - Erinnere dich an die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung als Steigung der ersten Ableitung. - Schau dir den Verlauf des Graphen von \(f'\) genau an: Ändern sich die Werte von positiv nach negativ oder umgekehrt, wenn man über die Nullstelle geht? - Was passiert mit der Steigung der ursprünglichen Funktion \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) zwar null wird, aber ihr Vorzeichen nicht ändert?

1. Da der Graph von \(f'\) bei \(x_e=2\) einen Tiefpunkt besitzt, hat er dort eine waagerechte Tangente. Somit gilt \(f''(2)=0\). Das Kriterium \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)\ne 0\) ist daher nicht anwendbar. 2. Der Graph von \(f'\) berührt bei \(x=2\) die \(x\)-Achse und bleibt auf beiden Seiten positiv. Deshalb besitzt \(f\) dort kein lokales Extremum. 3. Zusätzlich fällt \(f'\) links von \(x=2\) und steigt rechts davon. Damit wechselt \(f''\) von negativ zu positiv, also ändert \(f\) bei \(x=2\) ihre Krümmung. Zusammen mit \(f'(2)=0\) folgt: \(f\) besitzt dort einen Terrassenpunkt.

a) Das Kriterium ist nicht anwendbar, weil \(f''(2)=0\) gilt. b) Bei \(x=2\) liegt kein Extremum vor, da \(f'\) keinen Vorzeichenwechsel besitzt. Da \(f'\) dort außerdem von fallend zu steigend wechselt, ändert \(f\) ihre Krümmung; somit liegt ein Terrassenpunkt vor.

- Was bedeutet ein Knick im Graphen von \(f'\) für die Ableitbarkeit von \(f'\)? - Vergleiche die Vorzeichen von \(f'\) links und rechts der Nullstelle. - Welcher Wechsel der Monotonierichtung von \(f\) gehört zu einer lokalen Maximalstelle?

1. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x_e=2\) einen Knick. Daher ist \(f'\) dort nicht differenzierbar und \(f''(2)\) existiert nicht. Das Kriterium mit der zweiten Ableitung kann deshalb nicht verwendet werden. 2. Links von \(x=2\) gilt \(f'(x)>0\), rechts davon \(f'(x)<0\). Damit wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. 3. Folglich nimmt \(f\) zunächst zu und danach ab. Bei \(x_e=2\) besitzt \(f\) eine lokale Maximalstelle.

a) \(f''(2)\) existiert nicht, weil \(G_{f'}\) bei \(x=2\) einen Knick besitzt. b) Lokale Maximalstelle bei \(x=2\).

- Lokale Extremstellen von \(f\) können an Nullstellen von \(f'\) liegen. - Prüfe an jeder Nullstelle, ob \(f'\) das Vorzeichen wechselt. - Ein Wechsel von negativ zu positiv bedeutet ein lokales Minimum; ohne Vorzeichenwechsel liegt kein Extremum vor.

1. Der Graph von \(f'\) hat Nullstellen bei \(x=-2\) und \(x=1\). 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher geht \(f\) von fallend zu steigend über und besitzt bei \(x=-2\) ein lokales Minimum. 3. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen nicht. Daher besitzt \(f\) dort keine lokale Extremstelle. Der Graph von \(f'\) hat an dieser Stelle zwar ein lokales Minimum, was zusätzlich auf einen Terrassenpunkt von \(f\) hinweist; für die gestellte Extremwertfrage ist entscheidend, dass kein Vorzeichenwechsel vorliegt.

Die einzige lokale Extremstelle liegt bei \(x=-2\); dort besitzt \(f\) ein lokales Minimum, weil \(f'\) von negativ zu positiv wechselt. Bei \(x=1\) liegt wegen des fehlenden Vorzeichenwechsels keine Extremstelle vor.

- Untersuche an jeder Nullstelle von \(f'\), ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt. - Eine Terrassenstelle benötigt neben \(f'(x)=0\) auch einen Krümmungswechsel der ursprünglichen Funktion. - Woran erkennst du am Graphen von \(f'\), dass sich die Monotonie von \(f'\) bei \(x=4\) ändert?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. 2. Bei \(x=-3\) wechselt \(f'\) von negativen zu positiven Werten. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle. 3. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiven zu negativen Werten. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 4. Bei \(x=4\) gilt \(f'(4)=0\), aber \(f'\) bleibt links und rechts davon negativ. Zugleich besitzt \(f'\) bei \(x=4\) ein lokales Maximum: Die Werte von \(f'\) nehmen davor zu und danach ab. Damit ändert \(f\) dort seine Krümmungsrichtung und hat eine waagerechte Tangente. Also liegt bei \(x=4\) eine Terrassenstelle vor.

a) Lokale Minimalstelle bei \(x=-3\); lokale Maximalstelle bei \(x=1\). b) Terrassenstelle bei \(x=4\).

- Eine Nullstelle von \(f'\) allein entscheidet noch nicht über eine Extremstelle. - Vergleiche das Vorzeichen von \(f'\) unmittelbar links und rechts der Nullstellen. - Für eine Terrassenstelle ist zusätzlich wichtig, ob \(f'\) dort seine Monotonierichtung wechselt.

1. Bei \(x=2\) gilt \(f'(2)=0\), aber \(f'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen. Daher besitzt \(f\) bei \(x=2\) keine Extremstelle. 2. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Deshalb besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 3. Bei \(x=2\) besitzt \(f'\) ein lokales Maximum mit dem Wert null. Damit gilt \(f'(2)=0\) ohne Vorzeichenwechsel, und zugleich wechselt die Monotonie von \(f'\) von zunehmend zu abnehmend. Deshalb ändert \(f\) dort seine Krümmungsrichtung. Bei \(x=2\) liegt eine Terrassenstelle vor.

a) Keine Extremstelle bei \(x=2\). b) Lokale Maximalstelle bei \(x=-1\). c) Terrassenstelle bei \(x=2\).

- Welche Bedingungen müssen für ein lokales Extremum (Maximum oder Minimum) gelten? - Woran erkennst du einen Wendepunkt im Graphen? - Überlege dir, wie sich die Krümmung am Wendepunkt \(B\) verändert. - Schau dir die Steigung der Tangente in den Punkten \(A\) und \(C\) genau an.

Die Analyse der Punkte ergibt: 1. Punkt \(A\): Hier liegt ein lokales Maximum vor. Die Steigung ist Null (\(f'(x) = 0\)) und der Graph ist rechtsgekrümmt (\(f''(x) < 0\)). 2. Punkt \(B\): Dies ist ein Wendepunkt. Der Graph geht von einer Rechts- in eine Linkskrümmung über, daher ist \(f''(x) = 0\). Da der Graph dort fällt, ist die Steigung negativ (\(f'(x) < 0\)). 3. Punkt \(C\): Hier liegt ein lokales Minimum vor. Die Steigung ist Null (\(f'(x) = 0\)) und der Graph ist linksgekrümmt (\(f''(x) > 0\)).

- Punkt \(A\): \(f'(x) = 0\), \(f''(x) < 0\); lokales Maximum. - Punkt \(B\): \(f'(x) < 0\), \(f''(x) = 0\); Wendepunkt. - Punkt \(C\): \(f'(x) = 0\), \(f''(x) > 0\); lokales Minimum.

- Leite zuerst die Kosinusfunktion zweimal ab, bevor du die markierten Stellen untersuchst. - Nutze die bekannten Sinus- und Kosinuswerte bei \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\) und \(\frac{3\pi}{2}\). - Für einen Wendepunkt genügt \(f''=0\) allein nicht; prüfe den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.

1. Aus \(f(x)=\cos(x)-0{,}5\) folgt \(f'(x)=-\sin(x)\) und \(f''(x)=-\cos(x)\). 2. Bei \(A\) mit \(x=\frac{\pi}{2}\) gilt \(f=-0{,}5<0\), \(f'=-1<0\) und \(f''=0\). Bei \(B\) mit \(x=\pi\) gilt \(f=-1{,}5<0\), \(f'=0\) und \(f''=1>0\). Bei \(C\) mit \(x=\frac{3\pi}{2}\) gilt \(f=-0{,}5<0\), \(f'=1>0\) und \(f''=0\). 3. Bei \(B\) liegt wegen \(f'=0\) und \(f''>0\) ein lokales Minimum vor. Bei \(A\) und \(C\) wechselt \(f''=-\cos(x)\) jeweils das Vorzeichen; beide sind Wendepunkte.

1. \(f'(x)=-\sin(x)\), \(f''(x)=-\cos(x)\) 2. \(A\): \(f<0\), \(f'<0\), \(f''=0\); \(B\): \(f<0\), \(f'=0\), \(f''>0\); \(C\): \(f<0\), \(f'>0\), \(f''=0\) 3. \(B\) ist ein lokales Minimum; \(A\) und \(C\) sind Wendepunkte.

- Nullstellen von \(f'\) sind Kandidaten für lokale Extremstellen. - Welches Vorzeichen von \(f''\) klassifiziert eine stationäre Stelle als lokale Maximal- oder Minimalstelle? - Für die Monotonie ist das Vorzeichen von \(f'\) zwischen den Nullstellen entscheidend.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-4\), \(x=-1\) und \(x=2\). 2. Bei \(x=-4\) und \(x=2\) gilt \(f''>0\), also liegen lokale Minimalstellen vor. Bei \(x=-1\) gilt \(f''<0\), also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Auf den offenen Intervallen \((-5;-4)\) und \((-1;2)\) gilt \(f'(x)<0\); an den jeweiligen Randstellen ist \(f'=0\). Daher ist \(f\) im dargestellten Bereich auf \([-5;-4]\) und \([-1;2]\) streng monoton abnehmend.

a) Lokale Extremstellen bei \(x=-4\), \(x=-1\) und \(x=2\). b) Lokale Minimalstellen bei \(x=-4\) und \(x=2\); lokale Maximalstelle bei \(x=-1\). c) Streng monoton abnehmend auf \([-5;-4]\) und \([-1;2]\).

- Bei konstantem positivem Zähler wird der Bruch maximal, wenn sein Nenner minimal ist. - Setze den gegebenen Wendestellen-Zeitpunkt in den Funktionsterm ein. - Welche besondere Eigenschaft besitzt die Änderungsrate an einer Wendestelle im fallenden Bereich?

1. Der Funktionsterm ist maximal, wenn sein positiver Nenner minimal ist. Wegen \((t-10)^2\ge0\) geschieht dies bei \(t=10\). Daher ist \(k(10)=\frac{80}{12}=\frac{20}{3}\,\text{mg/L}\approx6{,}67\,\text{mg/L}\). 2. An der gegebenen Wendestelle ist \(k(12)=\frac{80}{4+12}=5\,\text{mg/L}\). 3. Im fallenden Bereich kennzeichnet diese Wendestelle ein lokales Minimum der Änderungsrate \(k'\). Daher nimmt die Konzentration bei \(t=12\,\text{h}\) lokal am schnellsten ab.

a) Nach \(10\,\text{h}\); \(k(10)=\frac{20}{3}\,\text{mg/L}\approx6{,}67\,\text{mg/L}\) b) \(k(12)=5\,\text{mg/L}\); dort nimmt die Konzentration lokal am schnellsten ab.

- Suche die Stellen, an denen der Graph kurz waagerecht verläuft. - Ändert der Graph dort seine Monotonierichtung oder setzt er sie fort? - Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

1. Waagerechte Tangenten liegen an den Stellen mit Steigung null. 2. Bei \(x=-3\) wechselt der Graph von zunehmend zu abnehmend; dort liegt ein Hochpunkt vor. 3. Bei \(x=0\) ist der Graph waagerecht, setzt seinen abnehmenden Verlauf danach aber fort und wechselt die Krümmung; dort liegt ein Terrassenpunkt vor. 4. Bei \(x=3\) wechselt der Graph von abnehmend zu zunehmend; dort liegt ein Tiefpunkt vor.

\(x=-3\): Hochpunkt \(x=0\): Terrassenpunkt \(x=3\): Tiefpunkt

- Welchen Grad hat \(f'\), wenn \(f\) vom Grad 4 ist? - Was bedeutet eine zunehmende Ableitungsfunktion geometrisch für die Tangentensteigungen von \(f\)? - Suche für c) nach einem lokalen Maximum mit besonders flachem Verlauf. - Welche unterschiedlichen Vorzeichenmuster kann die quadratische Ableitung einer Funktion dritten Grades haben?

1. Aussage a) ist wahr. Die Ableitung eines Polynoms vierten Grades ist ein Polynom dritten Grades und besitzt mindestens eine reelle Nullstelle. Wegen des entgegengesetzten Endverhaltens von \(f'\) gibt es mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, also mindestens eine lokale Extremstelle von \(f\). 2. Aussage b) ist wahr. Wenn \(f'\) streng monoton zunimmt, werden die Tangentensteigungen größer; das entspricht Linkskrümmung von \(f\). 3. Aussage c) ist falsch. Die Bedingung \(f''(x_0)<0\) ist hinreichend, aber nicht notwendig. Zum Beispiel hat \(f(x)=-x^4\) bei \(x=0\) ein lokales Maximum, obwohl \(f''(0)=0\). 4. Aussage d) ist falsch. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades kann auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton sein oder zwei lokale Extremstellen besitzen. Entsprechend entstehen ein oder drei maximale Monotonieintervalle, nicht zwingend zwei.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Falsch

- Faktorisiere \(f'\), um die Stellen mit waagerechter Tangente zu finden. - Wenn \(f''\) an einer solchen Stelle gleich \(0\) ist, reicht der zweite-Ableitungs-Test nicht aus. - Prüfe dann sowohl das Vorzeichen von \(f'\) als auch, ob tatsächlich ein Krümmungswechsel vorliegt.

1. Faktorisieren liefert \(f'(x)=x(x-3)^2\). Daher liegen waagerechte Tangenten bei \(x=0\) und \(x=3\). 2. Die zweite Ableitung lautet \(f''(x)=3x^2-12x+9\). Für \(x=0\) gilt \(f''(0)=9>0\), also liegt dort ein lokaler Tiefpunkt vor. 3. Für \(x=3\) gilt \(f''(3)=0\); der zweite-Ableitungs-Test ist dort nicht entscheidend. Außerdem ist \(f'(x)=x(x-3)^2\) in einer Umgebung von \(3\) auf beiden Seiten positiv, also liegt kein Extremum vor. 4. Die dritte Ableitung ist \(f'''(x)=6x-12\), damit gilt \(f'''(3)=6\neq0\). Also wechselt \(f''\) bei \(x=3\) das Vorzeichen. Zusammen mit \(f'(3)=0\) ist dies ein Terrassenpunkt.

Waagerechte Tangenten liegen bei \(x=0\) und \(x=3\). Bei \(x=0\) liegt ein Tiefpunkt vor. Bei \(x=3\) liegt ein Terrassenpunkt vor, weil \(f'(3)=0\), kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) vorliegt und \(f'''(3)=6\neq0\) den Krümmungswechsel sichert.

- Verknüpfe den Grad von \(f\) mit dem Grad von \(f'\) und den möglichen Vielfachheiten ihrer reellen Nullstellen. - Nicht jede Nullstelle von \(f'\) erzeugt eine Extremstelle; entscheidend ist das lokale Verhalten des Vorzeichens. - Untersuche, welche Nullstellenkonstellationen bei einem Polynom dritten Grades möglich sind und wie viele Vorzeichenwechsel daraus entstehen können. - Nutze das Endverhalten von \(f'\) als Kontrolle für die mögliche Anzahl der Vorzeichenwechsel.

1. Eine ganzrationale Funktion \(f\) vierten Grades besitzt eine Ableitungsfunktion \(f'\) dritten Grades. 2. Eine Extremstelle von \(f\) setzt voraus, dass \(f'(x) = 0\) gilt und an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) stattfindet. 3. Hat \(f'\) drei einfache reelle Nullstellen, wechselt das Vorzeichen an jeder davon; \(f\) besitzt dann drei Extremstellen. 4. Hat \(f'\) eine einfache und eine doppelte reelle Nullstelle, findet nur an der einfachen Nullstelle ein Vorzeichenwechsel statt; \(f\) besitzt dann genau eine Extremstelle. 5. Hat \(f'\) eine dreifache reelle Nullstelle, findet dort ein Vorzeichenwechsel statt; auch dann besitzt \(f\) genau eine Extremstelle. 6. Hat \(f'\) nur eine einfache reelle Nullstelle und zwei nicht reelle Nullstellen, findet genau ein reeller Vorzeichenwechsel statt; \(f\) besitzt wiederum genau eine Extremstelle. 7. Damit sind bei einer Funktion vierten Grades genau eine oder genau drei Extremstellen möglich. Noahs Aussage ist wahr.

Die Aussage ist wahr. Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat Grad 3. Je nach Vielfachheit und Anzahl ihrer reellen Nullstellen wechselt sie ihr Vorzeichen an genau einer oder an drei Stellen. Daher besitzt \(f\) genau eine oder genau drei Extremstellen, nicht zwei.

- Kannst du ein Beispiel für eine Funktion 4. Grades finden, deren zweite Ableitung zwei einfache Nullstellen hat? - Überlege dir, wie das Vorzeichen der Ableitung an den Rändern des Definitionsbereichs bei geradem und ungeradem Grad zusammenhängt. - Gibt es Funktionen mit einem Grad höher als 2, deren Krümmung sich nie ändert?

1. Aussage a) ist wahr. Beispiel: Für \(f(x) = x^4 - 6x^2\) ist \(f''(x) = 12x^2 - 12\). Die Gleichung \(12x^2 - 12 = 0\) hat die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). An beiden Stellen liegt ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) vor. 2. Aussage b) ist wahr. Die Anzahl der Extremstellen entspricht der Anzahl der Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion \(f'\) (Grad \(n-1\)). Da das Grenzverhalten von \(f'\) für \(x \to \pm\infty\) bei geradem Grad \(n-1\) gleich ist (beide gegen \(+\infty\) oder beide gegen \(-\infty\)), muss die Anzahl der Vorzeichenwechsel gerade sein (0, 2, 4, ...). Damit \(n-1\) gerade ist, muss \(n\) ungerade sein. 3. Aussage c) ist falsch. Gegenbeispiel: Die Funktion \(f(x) = x^4\) hat die zweite Ableitung \(f''(x) = 12x^2\). Diese hat zwar eine Nullstelle bei \(x = 0\), aber keinen Vorzeichenwechsel. Somit besitzt die Funktion 4. Grades keinen Wendepunkt.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch (Gegenbeispiel: \(f(x) = x^4\))

- Übersetze jede Aussage zuerst in eine Aussage über Monotonie oder Vorzeichen einer Ableitungsfunktion. - Welche beiden Eigenschaften charakterisieren einen Terrassenpunkt? - Prüfe bei c), ob die genannte Bedingung allein überhaupt sicherstellt, dass \(f''\) null ist. - Welche lokale Änderung von \(f''\) folgt aus einer negativen Steigung von \(f''\) an einer Nullstelle?

1. Aussage a) ist wahr. Der angegebene Vorzeichenwechsel von \(f''\) bedeutet einen Krümmungswechsel von \(f\), also liegt eine Wendestelle vor. 2. Aussage b) ist wahr. Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also gilt \(f'(x_0)=0\). Weil die Krümmung wechselt, ändert \(f'\) dort seine Monotonierichtung und besitzt eine lokale Extremstelle. 3. Aussage c) ist falsch. Allein \(f'''(x_0)\neq0\) reicht nicht; zusätzlich muss \(f''(x_0)=0\) gelten. Zum Beispiel ist bei \(f(x)=x^3+x^2\) zwar \(f'''(0)=6\neq0\), aber \(f''(0)=2\), also liegt bei \(x=0\) keine Wendestelle vor. 4. Aussage d) ist wahr. Aus \(f''(x_0)=0\) und \(f'''(x_0)<0\) folgt lokal ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) von positiv zu negativ, also von Links- zu Rechtskrümmung. Zusammen mit \(f'(x_0)=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Welchen Grad haben \(f'\) und \(f''\), wenn \(f\) Grad \(6\) hat? - Warum liefert die Anzahl möglicher Nullstellen der Ableitungen zunächst nur eine obere Schranke? - Welche zusätzliche Eigenschaft der Nullstellen muss ein Beispiel erfüllen, damit tatsächlich Extrem- beziehungsweise Wendestellen entstehen?

1. Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat Grad \(5\) und daher höchstens fünf reelle Nullstellen. Jede lokale Extremstelle muss eine Nullstelle von \(f'\) sein, also sind höchstens fünf lokale Extremstellen möglich. 2. Für \(p(x)=\frac{1}{6}x^6-\frac{5}{4}x^4+2x^2\) gilt \(p'(x)=x(x^2-1)(x^2-4)\). Die fünf Nullstellen \(-2,-1,0,1,2\) sind einfach; \(p'\) wechselt an jeder das Vorzeichen. Daher besitzt \(p\) fünf lokale Extremstellen. 3. Die zweite Ableitungsfunktion einer Funktion sechsten Grades hat Grad \(4\). Deshalb kann \(f''\) höchstens vier reelle Nullstellen besitzen, also kann \(f\) höchstens vier Wendestellen besitzen. 4. Für dasselbe Beispiel gilt \(p''(x)=5x^4-15x^2+4\). Mit \(y=x^2\) ergibt sich \(5y^2-15y+4=0\) mit den beiden positiven Lösungen \(y=\frac{15\pm\sqrt{145}}{10}\). Damit besitzt \(p''\) vier verschiedene einfache reelle Nullstellen, an denen jeweils ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Also besitzt \(p\) vier Wendestellen.

a) Höchstens fünf lokale Extremstellen; erreichbar zum Beispiel bei \(p(x)=\frac{1}{6}x^6-\frac{5}{4}x^4+2x^2\). b) Höchstens vier Wendestellen; beim selben Beispiel werden vier erreicht.

- Welche notwendige Bedingung erfüllt jede lokale Extremstelle einer differenzierbaren Funktion? - Wie viele verschiedene Nullstellen muss \(g'\) deshalb mindestens besitzen? - Vergleiche das Endverhalten von Polynomen geraden und ungeraden Grades. - Wenn lokale Maxima und Minima abwechseln: Welche Anzahl von Richtungswechseln passt zu gleichgerichteten beziehungsweise entgegengesetzten Enden?

1. Zu jeder lokalen Extremstelle im Inneren von \(\mathbb{R}\) gehört eine Nullstelle von \(g'\). Bei vier lokalen Extremstellen muss \(g'\) daher mindestens vier verschiedene Nullstellen besitzen. 2. Eine ganzrationale Funktion mit mindestens vier verschiedenen Nullstellen hat mindestens Grad 4. Somit hat \(g'\) mindestens Grad 4 und \(g\) mindestens Grad 5. 3. Bei einem Polynom geraden Grades zeigen beide Enden des Graphen in dieselbe Richtung. Beim Durchlaufen des Graphen von links nach rechts müssen lokale Maxima und Minima abwechseln; damit beginnt und endet die Folge der lokalen Extrema mit demselben Typ und ihre Anzahl ist ungerade. 4. Vier lokale Extremstellen sind daher mit geradem Grad nicht möglich. Bei ungeradem Grad zeigen die beiden Enden in entgegengesetzte Richtungen, sodass eine gerade Anzahl lokaler Extremstellen möglich ist. Der Grad von \(g\) muss also ungerade sein; der kleinste mögliche Grad ist \(5\).

a) Kleinstmöglicher Grad: \(5\). b) Der Grad muss ungerade sein.

- Kannst du eine Funktion finden, die zwar Kurvenkrümmungen ändert, aber deren Steigung immer positiv bleibt? - Welche Exponenten treten bei einer punktsymmetrischen ganzrationalen Funktion auf? - Was bedeutet Punktsymmetrie für die zweite Ableitung an der Stelle \(0\)? - Denk an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Wendestellen.

1. Aussage a) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion \(f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 5x\). Die zweite Ableitung \(f''(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)\) hat Nullstellen mit Vorzeichenwechsel bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 1\), also liegen dort Wendestellen vor. Die erste Ableitung \(f'(x) = x^4 - 2x^2 + 5\) hat jedoch keine reellen Nullstellen (da die Diskriminante von \(z^2 - 2z + 5\) negativ ist), weshalb die Funktion keine Extremstellen besitzt. 2. Aussage b) ist wahr. Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet bei ganzrationalen Funktionen, dass nur ungerade Exponenten vorkommen. Somit gilt \(f(x) = a_n x^n + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_1 x\). Die zweite Ableitung \(f''(x)\) enthält dann ebenfalls nur ungerade Exponenten (z. B. \(x^3 \to 6x\)). Da \(f''\) eine ungerade Funktion ist, gilt \(f''(0) = 0\). Da \(f\) vom Grad \(n \geq 3\) ist, ist \(f''\) kein Nullpolynom. Ein ungerades Polynom wechselt an der Stelle \(x=0\) stets das Vorzeichen, womit die Bedingung für einen Wendepunkt erfüllt ist.

a) Falsch. Gegenbeispiel: \(f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 5x\). Diese Funktion besitzt Wendestellen, aber keine Extremstellen. b) Wahr. Bei Punktsymmetrie zum Ursprung ist \(f''(x)\) eine ungerade Funktion mit \(f''(0) = 0\) und einem Vorzeichenwechsel an dieser Stelle.

- Nutze die faktorisierte erste Ableitung, um alle stationären Stellen vollständig zu erfassen. - Klassifiziere jede stationäre Stelle mit einem geeigneten Kriterium. - Vergleiche anschließend Lage und Funktionswerte der beiden sehr nahen stationären Stellen mit dem Maßstab der Abbildung.

1. Aus \(f'(x)=2(x^2-4)(10x-21)=0\) folgen die stationären Stellen \(x=-2\), \(x=2\) und \(x=2{,}1\). 2. Die zweite Ableitung lautet \(f''(x)=60x^2-84x-80\). 3. Es gilt \(f''(-2)=328>0\), also liegt \(T_1(-2|-304)\) vor. 4. Es gilt \(f''(2)=-8<0\), also liegt \(H(2|144)\) vor. 5. Es gilt \(f''(2{,}1)=8{,}2>0\), also liegt \(T_2(2{,}1|143{,}9865)\) vor. 6. Da dies alle Nullstellen von \(f'\) sind und an keiner davon \(f''=0\) gilt, besitzt die Funktion keinen Terrassenpunkt. 7. Die beiden Extremstellen \(x=2\) und \(x=2{,}1\) liegen nur \(0{,}1\) auseinander; ihre Funktionswerte unterscheiden sich nur um \(0{,}0135\). Im dargestellten Maßstab erscheint dieser kleine Ausschlag nahezu waagerecht.

a) \(T_1(-2|-304)\), \(H(2|144)\), \(T_2(2{,}1|143{,}9865)\); kein Terrassenpunkt. b) Die beiden nahe beieinanderliegenden Extremstellen bei \(x=2\) und \(x=2{,}1\) unterscheiden sich in der Höhe nur um \(0{,}0135\), was im Maßstab kaum sichtbar ist.

- Waagerechte Tangenten findest du über die Nullstellen von \(f'\). - Wie kannst du eine Wendestelle mithilfe von \(f''\) und \(f'''\) hinreichend bestätigen? - Welche zusätzliche Bedingung unterscheidet einen Terrassenpunkt von einem Wendepunkt ohne waagerechte Tangente?

1. Es gilt \(f'(x)=60x^4-120x^3+60x^2=60x^2(x-1)^2\). Daher liegen waagerechte Tangenten bei \(x=0\) und \(x=1\) vor. 2. Die weiteren Ableitungen sind \(f''(x)=240x^3-360x^2+120x\) und \(f'''(x)=720x^2-720x+120\). 3. Bei \(x=0\) gilt \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=120\neq0\). Damit liegt eine Wendestelle vor; wegen \(f'(0)=0\) ist sie ein Terrassenpunkt. Mit \(f(0)=0\) ist \(S_1(0|0)\). 4. Bei \(x=1\) gilt \(f''(1)=0\) und \(f'''(1)=120\neq0\). Wegen \(f'(1)=0\) liegt auch hier ein Terrassenpunkt vor. Mit \(f(1)=2\) ist \(S_2(1|2)\). 5. Aus \(f''(x)=120x(2x-1)(x-1)=0\) folgt zusätzlich \(x=0{,}5\). Dort gilt \(f'''(0{,}5)=-60\neq0\), also liegt eine Wendestelle vor. Es ist \(f(0{,}5)=1\) und \(f'(0{,}5)=3{,}75\). 6. Da die Steigung bei \(W(0{,}5|1)\) nicht null ist, besitzt der Graph dort keine waagerechte Tangente; der Wendepunkt ist daher kein Terrassenpunkt.

a) \(x=0\) und \(x=1\) b) \(S_1(0|0)\) und \(S_2(1|2)\) sind Terrassenpunkte. c) \(W(0{,}5|1)\) mit Steigung \(3{,}75\); kein Terrassenpunkt, weil \(f'(0{,}5)\neq0\).

- Prüfe zuerst die beiden in a) genannten Bedingungen direkt. - Diese Bedingungen allein entscheiden die Punktart noch nicht. - Untersuche in b) konsequent entweder das Vorzeichen von \(g'\) links und rechts von \(2\) oder die höheren Ableitungen.

1. Es gilt \(g'(x)=0{,}4x^3-2{,}4x^2+4{,}8x-3{,}2\), \(g''(x)=1{,}2x^2-4{,}8x+4{,}8\), \(g^{(3)}(x)=2{,}4x-4{,}8\) und \(g^{(4)}(x)=2{,}4\). 2. Bei \(x=2\) gilt \(g'(2)=0\) und \(g''(2)=0\). 3. Es ist \(g'(x)=0{,}4(x-2)^3\). Daher gilt für \(x<2\) die Ungleichung \(g'(x)<0\) und für \(x>2\) gilt \(g'(x)>0\). Die erste Ableitung wechselt von negativ zu positiv; somit liegt eine lokale Minimalstelle vor. 4. Alternativ gilt \(g^{(3)}(2)=0\) und \(g^{(4)}(2)=2{,}4>0\), was ebenfalls eine lokale Minimalstelle bestätigt. 5. Miras Vermutung ist falsch: Bei \(x=2\) liegt kein Terrassenpunkt vor.

a) \(g'(2)=0\) und \(g''(2)=0\). b) Kein Terrassenpunkt; bei \(x=2\) liegt eine lokale Minimalstelle vor.