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- Welches Werkzeug der Differenzialrechnung hilft dir, Steigungen von Null zu finden? - Hast du überprüft, ob alle gefundenen Lösungen innerhalb der vorgegebenen Grenzen liegen? - Wie stellst du sicher, dass es sich wirklich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt und nicht um Sattelpunkte?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 3\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) lösen: \(3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1\). 3. Überprüfen, ob die Stellen im Intervall \((-1,8; 1,8)\) liegen: Beides erfüllt. 4. Hinreichende Bedingung (\(f''(x) = 6x\)): \(f''(1) = 6 > 0\) (Minimum), \(f''(-1) = -6 < 0\) (Maximum). 5. Resultat: 2 lokale Extremstellen.

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- Was bedeutet es für die Steigung einer Tangente, wenn sie parallel zur \(x\)-Achse liegt? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Wie gehst du vor, wenn du nach Punkten (also \(x\)- und \(y\)-Werten) und nicht nur nach Stellen gefragt bist?

1. Ableitung der Funktion \(f\) bilden: \(f'(x) = 6x^2 + 6x - 12\). 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente (Steigung null) ansetzen: \(f'(x) = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(6x^2 + 6x - 12 = 0\) (bzw. \(x^2 + x - 2 = 0\)) ergibt die \(x\)-Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2\). 4. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion: \(f(1) = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 4 = -3\). \(f(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 - 12 \cdot (-2) + 4 = -16 + 12 + 24 + 4 = 24\). 5. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(1 \mid -3)\) und \(P_2(-2 \mid 24)\).

Die Punkte mit waagerechter Tangente sind \(P_1(1 \mid -3)\) und \(P_2(-2 \mid 24)\).

- Welche Bedingung muss für die Steigung an einer Stelle mit waagerechter Tangente gelten? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung oder eines Vorzeichenwechselkriteriums die Art eines Extrempunktes bestimmen? - Erinnere dich daran, was ein positives oder negatives Ergebnis der zweiten Ableitung über die Krümmung und damit über den Typ des Punktes aussagt.

1. Berechnung der Stellen mit waagerechter Tangente durch Nullsetzen der Ableitung: \(-x^2 + 4x - 3 = 0\). Anwendung der Mitternachtsformel oder Faktorisieren ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 2. Bestimmung der zweiten Ableitung zur Klassifizierung: \(f''(x) = -2x + 4\). 3. Überprüfung von \(x_1 = 1\): \(f''(1) = -2 \cdot 1 + 4 = 2\). Da \(f'(1) = 0\) und \(f''(1) > 0\), liegt an der Stelle \(x = 1\) ein Tiefpunkt vor. 4. Überprüfung von \(x_2 = 3\): \(f''(3) = -2 \cdot 3 + 4 = -2\). Da \(f'(3) = 0\) und \(f''(3) < 0\), liegt an der Stelle \(x = 3\) ein Hochpunkt vor.

Waagerechte Tangenten liegen an den Stellen \(x = 1\) und \(x = 3\) vor. An der Stelle \(x = 1\) befindet sich ein Tiefpunkt (da \(f''(1) = 2 > 0\)). An der Stelle \(x = 3\) befindet sich ein Hochpunkt (da \(f''(3) = -2 < 0\)).

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Hast du daran gedacht, die y-Koordinaten der Punkte zu berechnen? - Überprüfe deine Vorzeichen beim Einsetzen negativer Werte in die Funktionsgleichung.

1. Erste und zweite Ableitung bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\) und \(f''(x) = 6x - 6\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(3(x^2 - 2x - 3) = 0\) liefert durch Faktorisierung oder Mitternachtsformel die kritischen Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''(3) = 12 > 0\), daraus folgt ein lokales Minimum an der Stelle \(x = 3\). \(f''(-1) = -12 < 0\), daraus folgt ein lokales Maximum an der Stelle \(x = -1\). 4. Funktionswerte ermitteln: \(f(3) = 27 - 27 - 27 + 10 = -17\) und \(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 10 = 15\). 5. Ergebnisse zusammenführen: Hochpunkt \(H(-1 | 15)\) und Tiefpunkt \(T(3 | -17)\).

Die Funktion hat einen lokalen Hochpunkt bei \(H(-1 | 15)\) und einen lokalen Tiefpunkt bei \(T(3 | -17)\).

- Was sagt die erste Ableitung über das Steigungsverhalten einer Funktion aus? - Wann genau wechselt eine Kurve ihre Krümmungsrichtung? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung und der Linkskurve bzw. Rechtskurve. - Es kann helfen, eine Vorzeichentabelle für die Ableitungen zu erstellen.

1. Ableitungen bestimmen: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1{,}5\) und \(g''(x) = x - 2\). 2. Nullstellen von \(g'\) finden: \(\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Monotonieintervalle: Testeinsetzungen in \(g'\) ergeben: positiv in \((-\infty; 1)\), negativ in \((1; 3)\), positiv in \((3; \infty)\). Somit ist \(g\) streng monoton steigend in \((-\infty; 1]\) und \([3; \infty)\) sowie streng monoton fallend in \([1; 3]\). 4. Nullstelle von \(g''\) finden: \(x - 2 = 0 \Rightarrow x_3 = 2\). 5. Krümmungsverhalten: Für \(x < 2\) ist \(g''(x) < 0\), der Graph ist also rechtsgekrümmt. Für \(x > 2\) ist \(g''(x) > 0\), der Graph ist linksgekrümmt.

Monotonie: streng monoton steigend in \((-\infty; 1]\) und \([3; \infty)\), streng monoton fallend in \([1; 3]\). Krümmung: rechtsgekrümmt in \((-\infty; 2)\), linksgekrümmt in \((2; \infty)\).

- Welche Bedingung muss für die Steigung an einem Hochpunkt gelten? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung überprüfen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? - Was gibt der Funktionswert \(h(t)\) an einer bestimmten Stelle \(t\) an?

1. Erste und zweite Ableitung bestimmen: \(h'(t) = -9{,}8t + 12\) und \(h''(t) = -9{,}8\). 2. Nullstelle der ersten Ableitung berechnen (notwendige Bedingung): \(h'(t) = 0 \Rightarrow -9{,}8t + 12 = 0 \Rightarrow t = \frac{12}{9{,}8} \approx 1{,}224\). 3. Art des Extrempunkts prüfen (hinreichende Bedingung): Da \(h''(1{,}224) = -9{,}8 < 0\), liegt an der Stelle \(t \approx 1{,}22\) ein lokales Maximum vor. 4. Funktionswert an der Stelle \(t \approx 1{,}224\) berechnen: \(h(1{,}224) = -4{,}9 \cdot (1{,}224)^2 + 12 \cdot 1{,}224 + 1{,}5 \approx 8{,}847\). Der Ball erreicht nach ca. \(1{,}22\,\text{s}\) seinen höchsten Punkt in einer Höhe von ca. \(8{,}85\,\text{m}\).

Der höchste Punkt wird nach etwa \(1{,}22\,\text{s}\) erreicht. Die maximale Höhe beträgt ca. \(8{,}85\,\text{m}\).

- Wie hängen die Position (Höhe) und die Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Was lässt sich über die Geschwindigkeit eines Objekts sagen, wenn es seinen höchsten Punkt erreicht hat? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Änderungsrate einer Funktion zu finden?

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion durch Ableitung der Höhenfunktion: \(v(t) = h'(t) = -10t + 20\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit für \(t = 1\): \(v(1) = -10 \cdot 1 + 20 = 10\). Die Geschwindigkeit beträgt \(10\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). 3. Der höchste Punkt wird erreicht, wenn die Momentangeschwindigkeit null ist: \(-10t + 20 = 0 \Rightarrow t = 2\). Der Ball erreicht nach \(2\,\text{s}\) den höchsten Punkt. 4. Berechnung der maximalen Höhe durch Einsetzen von \(t = 2\) in \(h(t)\): \(h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 + 1{,}2 = -20 + 40 + 1{,}2 = 21{,}2\). Die maximale Höhe beträgt \(21{,}2\,\text{m}\).

a) Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 1\,\text{s}\) beträgt \(10\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). b) Der Ball erreicht nach \(2\,\text{s}\) seinen höchsten Punkt in einer Höhe von \(21{,}2\,\text{m}\).

- Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Steigungsverhalten des Graphen zusammen? - Kannst du den Term der Ableitung so umformen, dass man sein Vorzeichen sofort erkennt? - Was bedeutet es für die Monotonie, wenn die Ableitung nur an einem einzelnen Punkt Null ist, sonst aber positiv?

1. Erste Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = x^2 + 4x + 4\). 2. Die Ableitungsfunktion mithilfe der ersten binomischen Formel umformen: \(f'(x) = (x+2)^2\). 3. Analyse des Vorzeichens: Da Quadrate reeller Zahlen stets nicht-negativ sind, gilt \(f'(x) \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). 4. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \((x+2)^2 = 0\) liefert die einzige Lösung \(x = -2\). 5. Da die Ableitung an fast allen Stellen positiv ist und nur an der isolierten Stelle \(x = -2\) den Wert Null annimmt (ein Sattelpunkt), ist die Funktion \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend.

Die Funktion \(f\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend. Die Ableitung \(f'(x) = (x+2)^2\) ist für alle \(x \neq -2\) positiv und an der Stelle \(x = -2\) gleich Null. Da die Nullstelle der Ableitung isoliert ist, bleibt die strenge Monotonie erhalten.

- Was sagt der Wert der ersten Ableitung an einer Stelle über den Verlauf des Graphen aus? - Kannst du die Steigung an den gesuchten Stellen berechnen? - Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen der Steigung für das Wachstum der Funktion?

1. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\). 2. Überprüfung an der Stelle \(x = -2\): Einsetzen in die Ableitungsfunktion ergibt \(f'(-2) = 3 \cdot (-2)^2 - 6 \cdot (-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15\). Da \(f'(-2) > 0\), steigt der Graph an dieser Stelle. 3. Überprüfung an der Stelle \(x = 2\): Einsetzen ergibt \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 - 9 = 12 - 12 - 9 = -9\). Da \(f'(2) < 0\), fällt der Graph an dieser Stelle.

An der Stelle \(x = -2\) besitzt der Graph eine positive Steigung (\(f'(-2) = 15 > 0\)). An der Stelle \(x = 2\) besitzt der Graph eine negative Steigung (\(f'(2) = -9 < 0\)).

- Welchen Grad hat die erste Ableitung einer Funktion vom Grad 6? - Wie hängen die Nullstellen der Ableitungsfunktion mit den Extremstellen der Originalfunktion zusammen? - Wie viele Nullstellen kann eine ganzrationale Funktion eines bestimmten Grades höchstens haben? - Welche Ableitung benötigst du, um Aussagen über Wendepunkte zu treffen?

1. Eine lokale Extremstelle liegt nur dort vor, wo die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) erfüllt ist. Die Ableitungsfunktion \(f'\) einer ganzrationalen Funktion vom Grad 6 ist eine ganzrationale Funktion vom Grad \(6 - 1 = 5\). Da eine ganzrationale Funktion vom Grad \(k\) maximal \(k\) Nullstellen besitzt, hat \(f'\) höchstens 5 Nullstellen. Folglich kann \(f\) maximal 5 Extremstellen (und damit Extrempunkte) haben. 2. Wendestellen sind Stellen, an denen die zweite Ableitung \(f''(x) = 0\) ist (notwendige Bedingung). Die zweite Ableitungsfunktion \(f''\) hat den Grad \(6 - 2 = 4\). Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat höchstens 4 Nullstellen. Somit kann der Graph von \(f\) maximal 4 Wendepunkte besitzen.

a) Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat den Grad 5 und somit maximal 5 Nullstellen. Da Extremstellen Nullstellen der ersten Ableitung sein müssen, gibt es höchstens 5 Extrempunkte. b) Maximal 4 Wendepunkte. Die zweite Ableitung \(f''\) hat den Grad 4 und somit maximal 4 Nullstellen, was die Anzahl der möglichen Wendestellen begrenzt.

- Was ist die notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle? - Wie lautet die Ableitung von \(\frac{1}{x}\)? - Kannst du begründen, warum die Ableitungsfunktion für keinen Wert des Definitionsbereichs null werden kann? - Betrachte die Vorzeichen der einzelnen Summanden in der Ableitung.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 4 + \frac{3}{x^2}\). 2. Ansatz für Extremstellen: \(f'(x) = 0\). 3. Untersuchung der Gleichung: Da \(x^2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) gilt, ist der Term \(\frac{3}{x^2}\) stets positiv. 4. Daraus folgt \(f'(x) = 4 + \frac{3}{x^2} \geq 4\) für den gesamten Definitionsbereich. 5. Da die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) für keinen Wert erfüllt werden kann, besitzt die Funktion keine kritischen Stellen und somit keine relativen Extremstellen.

Die Ableitung \(f'(x) = 4 + \frac{3}{x^2}\) ist für alle \(x \neq 0\) stets größer als null (\(f'(x) > 0\)). Da die notwendige Bedingung für Extremstellen \(f'(x) = 0\) nie erfüllt ist, besitzt die Funktion keine relativen Extremstellen.

- Erinnere dich an die Bedingung für eine waagerechte Tangente. - Wie kannst du eine quadratische Gleichung lösen, um die Kandidaten für die Extremstellen zu finden? - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein, um die Höhe der Punkte zu bestimmen. - Ein Punkt mit einem höheren \(y\)-Wert ist bei zwei benachbarten Extremstellen oft der Hochpunkt – prüfe dies durch das allgemeine Steigungsverhalten der Funktion.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\). 2. Notwendiges Kriterium \(f'(x) = 0\) lösen: \(3(x^2 - 4x + 3) = 0\). Mit der pq-Formel oder Faktorisierung \((x-1)(x-3) = 0\) ergeben sich die Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Funktionswerte berechnen: \(f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 2 = 6\) und \(f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 2 = 27 - 54 + 27 + 2 = 2\). 4. Analyse: Da \(f(1) > f(3)\) und die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(+\infty\) sowie für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\) strebt, muss bei \(x = 1\) ein lokaler Hochpunkt und bei \(x = 3\) ein lokaler Tiefpunkt liegen. 5. Ergebnis: Hochpunkt \(H(1|6)\) und Tiefpunkt \(T(3|2)\).

Die Extrempunkte der Funktion sind \(H(1|6)\) und \(T(3|2)\).

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung herausfinden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? - Vergiss nicht, am Ende die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu berechnen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\) und \(f''(x) = 6x - 12\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(3(x^2 - 4x + 3) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: - Für \(x_1 = 1\): \(f''(1) = 6 \cdot 1 - 12 = -6 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum vor. Funktionswert: \(f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 4 = 8\). Hochpunkt \(H(1 | 8)\). - Für \(x_2 = 3\): \(f''(3) = 6 \cdot 3 - 12 = 6 > 0\). Es liegt ein lokales Minimum vor. Funktionswert: \(f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 4 = 4\). Tiefpunkt \(T(3 | 4)\).

Die lokalen Extrempunkte sind der Hochpunkt \(H(1 | 8)\) und der Tiefpunkt \(T(3 | 4)\).

- Was sagt die erste Ableitung über die Steigung einer Kurve aus? - An welchem Punkt einer Flugbahn ist die Steigung genau null? - Wie berechnet man den passenden Funktionswert, wenn die Stelle \(x\) bekannt ist? - Erinnere dich an die Bedeutung der Tangentensteigung im höchsten Punkt.

1. Berechnung der ersten Ableitung der Funktion \(h(x)\): \(h'(x) = -0{,}1x + 0{,}8\). 2. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(-0{,}1x + 0{,}8 = 0 \implies x = 8\). Die horizontale Entfernung zum höchsten Punkt beträgt \(8\,\text{m}\). 3. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(h''(x) = -0{,}1\). Da \(h''(8) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 8\): \(h(8) = -0{,}05 \cdot 8^2 + 0{,}8 \cdot 8 + 1{,}5 = -3{,}2 + 6{,}4 + 1{,}5 = 4{,}7\). Die maximale Höhe beträgt \(4{,}7\,\text{m}\). 5. Interpretation von \(h'(x) = 0\): An dieser Stelle ist die Steigung der Tangente an den Graphen null. Das bedeutet, dass der Ball dort weder steigt noch fällt; es ist der Umkehrpunkt der vertikalen Bewegung (Scheitelpunkt der Parabel).

a) Der Ball erreicht nach einer horizontalen Entfernung von \(8\,\text{m}\) seinen höchsten Punkt. b) Die maximale Höhe des Balls beträgt \(4{,}7\,\text{m}\). c) Die Bedingung \(h'(x) = 0\) kennzeichnet die Stelle mit waagerechter Tangente, also den höchsten Punkt (Scheitelpunkt) der Flugbahn, an dem die vertikale Steigung null ist.

- Welches Werkzeug hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion zu analysieren? - Suche nach den Stellen, an denen die Steigung Null ist. - Teile den Definitionsbereich in Intervalle ein und prüfe das Vorzeichen der Ableitung in jedem Abschnitt. - Denk daran, dass die Funktion an den Grenzen der Intervalle stetig ist.

1. Erste Ableitung bilden: \(h'(x) = 6x^2 - 30x + 36\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(6(x^2 - 5x + 6) = 0\). Mit der pq-Formel oder Faktorisierung \((x-2)(x-3) = 0\) ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 3\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(h'(x)\): - Intervall \((-\infty; 2)\): Wähle \(x=0 \Rightarrow h'(0) = 36 > 0 \Rightarrow\) streng monoton steigend. - Intervall \((2; 3)\): Wähle \(x=2{,}5 \Rightarrow h'(2{,}5) = 6(6{,}25 - 12{,}5 + 6) = -1{,}5 < 0 \Rightarrow\) streng monoton fallend. - Intervall \((3; \infty)\): Wähle \(x=4 \Rightarrow h'(4) = 6(16 - 20 + 6) = 12 > 0 \Rightarrow\) streng monoton steigend. 4. Zusammenfassung: \(h\) ist streng monoton steigend für \(x \leq 2\) sowie für \(x \geq 3\) und streng monoton fallend für \(2 \leq x \leq 3\).

Die Funktion \(h\) ist im Intervall \((-\infty; 2]\) streng monoton steigend, im Intervall \([2; 3]\) streng monoton fallend und im Intervall \([3; \infty)\) streng monoton steigend.

- Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und die Steigung des Graphen zusammen? - Welche Stellen im Definitionsbereich solltest du zuerst finden, um die Monotoniebereiche abzugrenzen? - Teste Werte aus den Bereichen zwischen den Nullstellen der Ableitung, um das Vorzeichen zu bestimmen. - Überlege, wie du die Ränder der Intervalle in deine Lösung einbeziehst.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'\): Aus \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\) folgen durch Faktorisierung \(x(x - 1)(x - 2) = 0\) die Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 3. Vorzeichenuntersuchung von \(f'(x)\) in den durch die Nullstellen definierten Intervallen: - Für \(x < 0\) ist \(f'(x) < 0\). - Für \(0 < x < 1\) ist \(f'(x) > 0\). - Für \(1 < x < 2\) ist \(f'(x) < 0\). - Für \(x > 2\) ist \(f'(x) > 0\). 4. Anwendung des Monotoniesatzes: Die Funktion \(f\) ist streng monoton fallend für \(x \in (-\infty; 0]\) und \(x \in [1; 2]\). Sie ist streng monoton steigend für \(x \in [0; 1]\) und \(x \in [2; \infty)\).

Die Funktion \(f\) ist im Intervall \((-\infty; 0]\) streng monoton fallend, im Intervall \([0; 1]\) streng monoton steigend, im Intervall \([1; 2]\) streng monoton fallend und im Intervall \([2; \infty)\) streng monoton steigend.

- Was bedeutet die Formulierung „Ableitung von \(f'\)“ mathematisch? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit einem möglichen Vorzeichenwechsel zusammen? - Ist ein Vorzeichenwechsel an einer Stelle möglich, an der die Funktion einen Wert ungleich Null hat? - Untersuche die Werte der Ableitungsfunktion kurz vor und kurz nach der betrachteten Stelle.

1. Bestimmung der zweiten Ableitung: Die erste Ableitung ist \(f'(x) = 2x^3 - 6x\), die zweite Ableitung (Ableitung von \(f'\)) lautet \(f''(x) = 6x^2 - 6\). 2. Untersuchung an der Stelle \(x = 0\): Es gilt \(f''(0) = 6 \cdot 0^2 - 6 = -6\). Da der Funktionswert ungleich Null ist und die Funktion stetig ist, liegt kein Vorzeichenwechsel vor. 3. Untersuchung an der Stelle \(x = 1\): Es gilt \(f''(1) = 6 \cdot 1^2 - 6 = 0\). Da \(f''(x) = 6(x^2 - 1) = 6(x - 1)(x + 1)\) an der Stelle \(x = 1\) eine Nullstelle mit ungerader Vielfachheit (einfache Nullstelle) besitzt, findet ein Vorzeichenwechsel statt (von Minus nach Plus).

An der Stelle \(x = 0\) liegt kein Vorzeichenwechsel vor (\(f''(0) = -6\)). An der Stelle \(x = 1\) liegt ein Vorzeichenwechsel vor (\(f''(1) = 0\) und \(f''\) ist eine Parabel mit Nullstellen bei \(\pm 1\)).

- Was sagt die Steigung an einem Gipfel oder in einem Tal über den Wert der ersten Ableitung aus? - Wenn die Kurve an einer Stelle nach unten geöffnet ist, welche Art von Extrempunkt liegt dann vor? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen in die Funktionsgleichung besonders auf die Vorzeichenregeln bei Potenzen.

1. Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = 6x^2 + 6x - 12\) und \(f''(x) = 12x + 6\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(6(x^2 + x - 2) = 0\) führt über die pq-Formel oder Faktorisierung \((x+2)(x-1) = 0\) zu \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\). 3. Zweite Ableitung an den Stellen auswerten: - \(f''(-2) = 12 \cdot (-2) + 6 = -18 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt. - \(f''(1) = 12 \cdot 1 + 6 = 18 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt. 4. \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(f(x)\) ermitteln: - \(f(-2) = 2(-8) + 3(4) - 12(-2) + 4 = -16 + 12 + 24 + 4 = 24\). - \(f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 4 = 2 + 3 - 12 + 4 = -3\). Ergebnisse: \(H(-2|24)\) und \(T(1|-3)\).

Die Funktion hat einen relativen Hochpunkt bei \(H(-2|24)\) und einen relativen Tiefpunkt bei \(T(1|-3)\).

- Was sagt die erste Ableitung über die Steigung des Graphen aus? - Wie findest du die Stellen, an denen sich das Steigungsverhalten ändern könnte? - Überprüfe das Vorzeichen der Ableitung zwischen den berechneten Nullstellen. - Denk daran, wie man Intervalle mathematisch korrekt notiert.

1. Ableitung bestimmen: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\). 2. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(x^2 - 2x - 3 = 0\) liefert mit der \(pq\)-Formel \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Vorzeichen von \(f'(x)\) in den durch die Nullstellen definierten Intervallen prüfen: - Für \(x < -1\) ist \(f'(x) > 0\) (z. B. \(f'(-2) = 5\)). - Für \(-1 < x < 3\) ist \(f'(x) < 0\) (z. B. \(f'(0) = -3\)). - Für \(x > 3\) ist \(f'(x) > 0\) (z. B. \(f'(4) = 5\)). 4. Schlussfolgerung nach dem Monotoniesatz: - Streng monoton steigend in \((-\infty; -1]\) und \([3; \infty)\). - Streng monoton fallend in \([-1; 3]\).

Die Funktion \(f\) ist im Intervall \((-\infty; -1]\) sowie im Intervall \([3; \infty)\) streng monoton steigend. Im Intervall \([-1; 3]\) ist sie streng monoton fallend.

- Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen aus? - Wie findest du die Stellen, an denen die Steigung der Funktion null ist? - Vergiss nicht zu prüfen, ob die Funktion vor und nach einem kritischen Punkt steigt oder fällt. - Ist es bei einer Untersuchung auf einem abgeschlossenen Intervall wichtig, auch die Werte an den Rändern zu betrachten?

1. Ableitung der Funktion \(P(x)\) berechnen: \(P'(x) = -6x^2 + 48x\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen: \(-6x(x - 8) = 0 \implies x_1 = 0\) und \(x_2 = 8\). 3. Monotonie untersuchen: Die Funktion ist auf \([0; 8]\) streng monoton steigend und auf \([8; 12]\) streng monoton fallend. 4. Lokales Maximum bei \(x = 8\) identifizieren (Vorzeichenwechsel von \(P'\) von Plus nach Minus oder \(P''(8) = -12(8) + 48 = -48 < 0\)). 5. Randwerte prüfen: \(P(0) = 0\) und \(P(12) = -2(1728) + 24(144) = -3456 + 3456 = 0\). Das Maximum liegt somit bei \(x = 8\).

Die Funktion ist auf \([0; 8]\) streng monoton steigend und auf \([8; 12]\) streng monoton fallend. Die maximale Leistung wird bei einer Drehzahl von \(x = 8\) (entspricht \(8\,000\) Umdrehungen pro Minute) erreicht.

- Welche Größe soll maximiert werden? Formuliere dafür eine Gleichung. - Welche Einschränkung gibt es durch die Zaunlänge? Achte darauf, dass eine Seite nicht eingezäunt werden muss. - Kannst du die zu maximierende Größe so ausdrücken, dass sie nur noch von einer Variablen abhängt? - Wie findet man mithilfe der Ableitung den höchsten Punkt einer Funktion?

1. Aufstellen der Hauptbedingung für den Flächeninhalt: \(A(x, y) = x \cdot y\), wobei \(x\) die Länge einer der beiden zum Stall senkrechten Seiten und \(y\) die Länge der parallelen Seite ist. 2. Aufstellen der Nebenbedingung über den Umfang (ohne Stallwand): \(2x + y = 60\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(y\): \(y = 60 - 2x\). 4. Einsetzen in die Hauptbedingung zur Bildung der Zielfunktion: \(A(x) = x \cdot (60 - 2x) = 60x - 2x^2\). 5. Bestimmung der ersten Ableitung: \(A'(x) = 60 - 4x\). 6. Nullsetzen der Ableitung zur Ermittlung der Extremstelle: \(60 - 4x = 0 \implies x = 15\). 7. Überprüfung mittels der zweiten Ableitung: \(A''(x) = -4\). Da \(A''(15) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 8. Berechnung der zweiten Seitenlänge: \(y = 60 - 2 \cdot 15 = 30\).

Die Seitenlängen des Geheges betragen \(15\,\text{m}\) (senkrecht zur Wand) und \(30\,\text{m}\) (parallel zur Wand).

- Überlege dir, wie die Breite des Blechs auf die drei Seiten des Querschnitts verteilt wird. - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt auf, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Wie findet man in der Analysis den höchsten Punkt einer Funktion? - Prüfe, ob dein Ergebnis im Kontext der ursprünglichen Blechbreite sinnvoll ist.

1. Aufstellen der Nebenbedingung für den Umfang des Querschnitts (drei Seiten): \(2h + b = 24\), wobei \(b\) die Breite des Bodens ist. Umstellen nach \(b\): \(b = 24 - 2h\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): \(A(h) = h \cdot b = h \cdot (24 - 2h) = 24h - 2h^2\). 3. Bestimmung des Extremwertes durch Ableiten: \(A'(h) = 24 - 4h\). Nullsetzen der ersten Ableitung: \(24 - 4h = 0 \Rightarrow h = 6\). 4. Überprüfung des Maximums mit der zweiten Ableitung: \(A''(h) = -4\). Da \(A''(6) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 5. Ergebnis: Die optimale Höhe der Seitenwände beträgt \(6\,\text{cm}\).

Die Höhe der Seitenwände muss \(h = 6\,\text{cm}\) betragen.

- Welchen Punkt auf einer Kurve suchen wir, wenn nach einem "Maximum" gefragt ist? - Welche Bedingung muss für die Änderung der Höhe gelten, wenn der höchste Punkt erreicht ist? - Hast du nach dem Finden des optimalen Zeitpunkts auch die eigentliche Höhe ausgerechnet?

1. Ableitungsfunktion für die Steigung der Höhe bestimmen: \(h'(t) = -0,3t^2 + 0,4t + 1,5\). 2. Nullstellen der Ableitung berechnen (\(h'(t) = 0\)): Anwendung der Mitternachtsformel ergibt \(t_1 = 3\) und \(t_2 = -\frac{5}{3}\) (unrelevant, da \(t \ge 0\)). 3. Überprüfung mit zweiter Ableitung (\(h''(t) = -0,6t + 0,4\)): \(h''(3) = -1,4 < 0\), also liegt ein Maximum bei \(t = 3\) vor. 4. Maximalen Höhenwert berechnen: \(h(3) = -0,1(3^3) + 0,2(3^2) + 1,5(3) = -2,7 + 1,8 + 4,5 = 3,6\) km.

3,6 km

- Wie hängen die Position und die Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Welche Eigenschaft hat die Geschwindigkeit an dem Punkt, an dem die Rakete umkehrt? - Was bedeutet „auf dem Boden aufschlagen“ für den Wert der Höhenfunktion? - Überlege dir, ob eine negative Geschwindigkeit beim Aufprall physikalisch sinnvoll ist.

1. Die momentane Geschwindigkeit ist die erste Ableitung der Höhenfunktion: \(v(t) = h'(t) = -10t + 30\). 2. Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit Null: \(-10t + 30 = 0 \implies t = 3\,\text{s}\). Die maximale Höhe beträgt \(h(3) = -5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 + 0{,}5 = -45 + 90 + 0{,}5 = 45{,}5\,\text{m}\). 3. Die Rakete schlägt auf dem Boden auf, wenn \(h(t) = 0\). Die Lösung der quadratischen Gleichung \(-5t^2 + 30t + 0{,}5 = 0\) ergibt (für \(t > 0\)) \(t \approx 6{,}017\,\text{s}\). Die Aufprallgeschwindigkeit berechnet sich durch Einsetzen in \(v(t)\): \(v(6{,}017) = -10 \cdot 6{,}017 + 30 \approx -30{,}17\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

a) \(v(t) = -10t + 30\) b) Zeitpunkt: \(3\,\text{s}\); maximale Höhe: \(45{,}5\,\text{m}\) c) Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt ca. \(30{,}17\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (nach unten gerichtet).

- Untersuche das Vorzeichen der ersten Ableitung im gesamten Bereich. - Überlege, was passiert, wenn die Ableitung genau Null ist. - Bedenke, dass eine streng monotone Funktion immer auch die einfache Monotonie-Eigenschaft erfüllt. - Prüfe, ob eine Funktion in verschiedenen Abschnitten unterschiedliches Steigungsverhalten zeigt.

1. Für \(f_1(x) = x^3 + 5x\) gilt \(f_1'(x) = 3x^2 + 5\). Da \(3x^2 + 5 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist die Funktion streng monoton zunehmend (a) und damit auch monoton zunehmend (c). 2. Für \(f_2(x) = 4 - x^2\) gilt \(f_2'(x) = -2x\). Die Ableitung wechselt bei \(x = 0\) das Vorzeichen (\(f_2'(x) > 0\) für \(x < 0\) und \(f_2'(x) < 0\) für \(x > 0\)). Somit ist die Funktion auf \(\mathbb{R}\) weder monoton zunehmend noch abnehmend. 3. Für \(f_3(x) = -2x - 7\) gilt \(f_3'(x) = -2\). Da \(f_3'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist die Funktion streng monoton abnehmend (b) und damit auch monoton abnehmend (d). 4. Für \(f_4(x) = 8\) gilt \(f_4'(x) = 0\). Da \(f_4'(x) \ge 0\) und \(f_4'(x) \le 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) erfüllt ist, ist die Funktion sowohl monoton zunehmend (c) als auch monoton abnehmend (d), jedoch nicht streng.

\(f_1\): a, c \(f_2\): keine der Eigenschaften trifft auf ganz \(\mathbb{R}\) zu \(f_3\): b, d \(f_4\): c, d

- Wie hängen das Vorzeichen der Ableitung und das Monotonieverhalten zusammen? - Kannst du den Term der Ableitung so umformen, dass man sein Vorzeichen sofort erkennt? - Was bedeutet es für die strenge Monotonie, wenn die Ableitung nur an einem einzigen Punkt Null wird?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(g'(x) = -x^2 + 2x - 1\). 2. Umformung der Ableitung (z. B. durch Ausklammern von \(-1\) und Anwendung der binomischen Formel): \(g'(x) = -(x^2 - 2x + 1) = -(x - 1)^2\). 3. Analyse des Vorzeichens: Da Quadratzahlen immer nicht-negativ sind, ist \((x - 1)^2 \ge 0\). Das negative Vorzeichen davor bewirkt, dass \(g'(x) \le 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt. 4. Prüfung auf strenge Monotonie: Die Ableitung wird nur an der isolierten Stelle \(x = 1\) Null (\(g'(1) = 0\)). Da \(g'(x) \le 0\) gilt und die Ableitung auf keinem Intervall identisch null ist, ist die Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton abnehmend.

Ja, die Funktion ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton abnehmend. Die erste Ableitung \(g'(x) = -(x - 1)^2\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) kleiner oder gleich Null und besitzt nur eine isolierte Nullstelle bei \(x = 1\).

- Woran erkennst du an der Ableitungsfunktion, ob der Graph der ursprünglichen Funktion steigt? - Welche Form hat der Graph der Ableitungsfunktion hier? - Untersuche die Bereiche zwischen und außerhalb der Nullstellen der Ableitung. - Denke daran, dass Randpunkte bei der Angabe von Monotonieintervallen mit eingeschlossen werden.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = -3x^2 + 12x + 15\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'(x)\): \(-3(x^2 - 4x - 5) = 0 \iff -3(x-5)(x+1) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 5\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f'(x)\): Da der Graph von \(f'\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt \(f'(x) \ge 0\) für \(x \in [-1; 5]\). In diesem Intervall ist \(f'(x) > 0\) für alle \(x\) außer an den isolierten Stellen \(-1\) und \(5\). 4. Schlussfolgerung: Das größtmögliche Intervall für streng monotones Wachstum ist \([-1; 5]\).

\([-1; 5]\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung und der Steigung des Graphen. - Wenn ein Term in einer Gleichung in jedem Glied vorkommt, kannst du ihn ausklammern, um die Gleichung einfacher zu lösen. - Überlege, wie viele Stellen eine Funktion vierten Grades maximal mit dieser Eigenschaft haben könnte.

1. Erste Ableitung von \(g\) bestimmen: \(g'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). 2. Die Bedingung für eine waagerechte Tangente ist \(g'(x) = 0\). 3. Lösen der Gleichung \(x^3 - 3x^2 + 2x = 0\). 4. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 - 3x + 2) = 0\). 5. Nullstellen bestimmen: Die erste Lösung ist \(x_1 = 0\). 6. Die weiteren Lösungen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x + 2 = 0\) liefern \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\).

Die Stellen mit waagerechter Tangente liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\).

- Überlege zuerst, an welchen Stellen im Inneren des Intervalls die Steigung null sein muss. - Vergiss nicht, auch die Ränder des Intervalls zu prüfen, da dort die absoluten Höchst- oder Tiefwerte liegen können. - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Vergleiche am Ende alle gefundenen Funktionswerte, um die globalen Extrema zu bestimmen.

1. Berechnung der Ableitungen: \(f'(x) = x^3 - 4x\) und \(f''(x) = 3x^2 - 4\). 2. Notwendige Bedingung für lokale Extrema (\(f'(x) = 0\)): \(x(x^2 - 4) = 0\) liefert die kritischen Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). Alle Stellen liegen im Intervall \(I\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: - \(f''(0) = -4 < 0 \Rightarrow\) lokaler Hochpunkt \(H(0 | 3)\). - \(f''(2) = 8 > 0 \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt \(T_1(2 | -1)\). - \(f''(-2) = 8 > 0 \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt \(T_2(-2 | -1)\). 4. Untersuchung der Randwerte: \(f(-3) = 5{,}25\) und \(f(2{,}5) = 0{,}265625\). 5. Vergleich aller Funktionswerte (\(-1; 0{,}265625; 3; 5{,}25\)): - Globales Maximum bei \(x = -3\) mit \(f(-3) = 5{,}25\). - Globales Minimum bei \(x = -2\) und \(x = 2\) mit \(f(-2) = f(2) = -1\).

Lokale Extrema: \(H(0 | 3)\) (lokaler Hochpunkt), \(T_1(2 | -1)\) und \(T_2(-2 | -1)\) (lokale Tiefpunkte). Globale Extrema: Globales Maximum am linken Intervallrand bei \(P_{max}(-3 | 5{,}25)\); globale Minima an den Stellen \(x = -2\) und \(x = 2\) mit dem Wert \(-1\).

- Was ist der erste Schritt, um Stellen mit waagerechter Tangente zu finden? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Stelle ein lokales Maximum oder Minimum ist? - Warum ist es bei einem fest vorgegebenen Intervall wichtig, die Funktionswerte an den Intervallgrenzen zu berechnen? - Ein globales Extremum ist der absolut höchste oder niedrigste Wert im gesamten betrachteten Bereich.

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung: \(\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0\). Dies ergibt \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). Beide Werte liegen im Intervall \([-2; 4]\). 3. Art der lokalen Extrema mit \(g''(x) = x - 1\) prüfen: - \(g''(-1) = -2 < 0 \Rightarrow\) lokales Maximum bei \(x = -1\). Funktionswert: \(g(-1) = \frac{17}{6} \approx 2{,}83\). - \(g''(3) = 2 > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum bei \(x = 3\). Funktionswert: \(g(3) = -2{,}5\). 4. Randwerte berechnen: - Linker Rand: \(g(-2) = \frac{5}{3} \approx 1{,}67\). - Rechter Rand: \(g(4) = -\frac{4}{3} \approx -1{,}33\). 5. Ergebnis: Lokales Maximum bei \(x = -1\), lokales Minimum bei \(x = 3\). Das globale Maximum liegt bei \(x = -1\) (\(y \approx 2{,}83\)), das globale Minimum bei \(x = 3\) (\(y = -2{,}5\)).

Im Intervall \([-2; 4]\) besitzt die Funktion \(g\) ein lokales (und globales) Maximum bei \(x = -1\) mit \(g(-1) = \frac{17}{6} \approx 2{,}83\) sowie ein lokales (und globales) Minimum bei \(x = 3\) mit \(g(3) = -2{,}5\). Die Randwerte sind \(g(-2) = \frac{5}{3}\) und \(g(4) = -\frac{4}{3}\).

- Was bedeutet „Abstand zur \(x\)-Achse“ mathematisch für einen Punkt auf dem Graphen? - Wenn der Graph die \(x\)-Achse nicht schneidet, ist die Funktion entweder immer positiv oder immer negativ. - Wie hängen Extremstellen einer Funktion mit dem minimalen Abstand zur \(x\)-Achse zusammen? - Vergiss nicht, am Ende die vollständigen Koordinaten \((x|y)\) anzugeben.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 4x^3 - 4x\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(4x(x^2 - 1) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 3. Art der Extremstellen prüfen: \(f''(x) = 12x^2 - 4\). Es gilt \(f''(0) = -4 < 0\) (lokales Maximum), \(f''(1) = 8 > 0\) (lokales Minimum) und \(f''(-1) = 8 > 0\) (lokales Minimum). 4. Da der Graph die \(x\)-Achse nicht schneidet und \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\) gilt, wird der kleinste Abstand an den globalen Minima erreicht. 5. Funktionswerte berechnen: \(f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 5 = 4\) und \(f(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 5 = 4\). 6. Die Koordinaten der gesuchten Punkte angeben.

\(P_1(-1|4)\) und \(P_2(1|4)\)

- Wie findet man Stellen, an denen die Steigung null ist? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art eines Extrempunktes aus? - Überlege dir, ob der Graph die x-Achse überqueren muss, wenn er von einem sehr hohen Wert zu einem Tiefpunkt unterhalb der Achse verläuft. - Hilft es, die Lage der Extrempunkte grob in ein Koordinatensystem zu skizzieren?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x + 2\). Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\), also \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(f''(0) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T_1(0|-4)\); \(f''(1) = -1 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(1|-3{,}75)\); \(f''(2) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T_2(2|-4)\). 2. Da der Leitkoeffizient positiv und der Grad der Funktion gerade ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \infty\). Der höchste Punkt der Funktion im Bereich der Extrema ist der Hochpunkt \(H(1|-3{,}75)\). Da dessen \(y\)-Wert negativ ist, verläuft der Graph zwischen den Tiefpunkten und dem Hochpunkt vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Aufgrund des Grenzverhaltens gegen \(+\infty\) und \(-\infty\) muss der Graph die \(x\)-Achse jedoch jeweils einmal links vom ersten Tiefpunkt (\(x < 0\)) und einmal rechts vom zweiten Tiefpunkt (\(x > 2\)) schneiden. Somit besitzt die Funktion genau zwei Nullstellen.

1. Die Extrempunkte sind \(T_1(0|-4)\) (Tiefpunkt), \(H(1|-3{,}75)\) (Hochpunkt) und \(T_2(2|-4)\) (Tiefpunkt). 2. Die Funktion besitzt genau zwei Nullstellen, da alle lokalen Extremwerte negativ sind und die Funktionswerte für sehr große und sehr kleine \(x\) gegen unendlich streben.

- Überlege dir, welche Bedingung an die erste Ableitung für eine Extremstelle erfüllt sein muss. - Wie hängen der Grad einer Funktion und der Grad ihrer Ableitung zusammen? - Wie viele Nullstellen kann ein Polynom eines bestimmten Grades maximal haben? - Bedenke den Unterschied zwischen einer bloßen Nullstelle der Ableitung und einer tatsächlichen Extremstelle. Welches Kriterium muss zusätzlich erfüllt sein?

1. Notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist \(f'(x) = 0\). 2. Der Grad der Ableitungsfunktion \(f'\) einer ganzrationalen Funktion \(n\)-ten Grades ist \(n-1\). 3. Ein Polynom vom Grad \(n-1\) besitzt höchstens \(n-1\) reelle Nullstellen. Da jede Extremstelle eine Nullstelle von \(f'\) sein muss, kann die Anzahl der Extremstellen den Wert \(n-1\) nicht überschreiten. 4. Die Funktion \(f'(x) = (x-3)^2 \cdot (x+1)\) ist ein Produkt aus einem quadratischen und einem linearen Term, hat also den Grad \(2 + 1 = 3\). Da der Grad der Ableitung um 1 niedriger ist als der von \(f\), hat die Funktion \(f\) den Grad 4. 5. Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x_1 = 3\) (doppelte Nullstelle) und \(x_2 = -1\) (einfache Nullstelle). 6. Eine Extremstelle liegt nur vor, wenn an der Nullstelle der Ableitung ein Vorzeichenwechsel (VZW) stattfindet. Dies ist bei \(x_2 = -1\) (ungerade Vielfachheit) der Fall, jedoch nicht bei \(x_1 = 3\) (gerade Vielfachheit, Berührpunkt). 7. Somit besitzt die Funktion \(f\) genau eine Extremstelle.

a) Da \(f'\) den Grad \(n-1\) hat und somit maximal \(n-1\) Nullstellen besitzen kann, folgt aus der notwendigen Bedingung \(f'(x)=0\), dass es höchstens \(n-1\) Extremstellen geben kann. b) Der Grad von \(f\) ist 4. Die Funktion hat genau eine Extremstelle (bei \(x = -1\)), da nur dort ein Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion vorliegt.

- Welche notwendigen Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einem Terrassenpunkt erfüllt sein? - Wie hängen die Nullstellen der Ableitungsfunktion mit der Anzahl der Extrempunkte zusammen? - Erinnere dich an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung, um die Anzahl der Nullstellen zu bestimmen.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f_t'(x) = x^2 + 2tx + 9\) und \(f_t''(x) = 2x + 2t\). 2. Bedingung für einen Terrassenpunkt: \(f_t'(x) = 0\) und \(f_t''(x) = 0\). Aus \(f_t''(x) = 2x + 2t = 0\) folgt \(x = -t\). 3. Einsetzen in die erste Ableitung: \(f_t'(-t) = (-t)^2 + 2t(-t) + 9 = -t^2 + 9 = 0\). Dies liefert für \(t > 0\) den Wert \(t = 3\). 4. Koordinaten berechnen: Für \(t = 3\) liegt die Stelle bei \(x = -3\). Der Funktionswert ist \(f_3(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + 3(-3)^2 + 9(-3) = -9 + 27 - 27 = -9\). Der Terrassenpunkt lautet \((-3 \mid -9)\). 5. Existenz von zwei Extrempunkten: Die Ableitungsfunktion \(f_t'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Zwei lokale Extrempunkte existieren genau dann, wenn \(f_t'(x) = 0\) zwei verschiedene reelle Lösungen besitzt, also wenn die Diskriminante \(D = (2t)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4t^2 - 36\) positiv ist. 6. \(4t^2 - 36 > 0 \iff t^2 > 9 \iff |t| > 3\). Die Funktion besitzt für \(t < -3\) oder \(t > 3\) zwei lokale Extrempunkte.

a) \(t = 3\); Terrassenpunkt \((-3 \mid -9)\) b) Für \(|t| > 3\) (bzw. \(t < -3\) oder \(t > 3\))

- Welche Bedingungen müssen für eine Extremstelle erfüllt sein? - Wie helfen dir die Nullstellen der ersten Ableitung weiter? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung an einer Stelle über die Krümmung und damit über die Art des Extremums aus? - Hast du alle Lösungen der Gleichung \(f'(x) = 0\) berücksichtigt?

1. Erste und zweite Ableitung bestimmen: \(f'(x) = x^3 - 4x\) und \(f''(x) = 3x^2 - 4\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\) anwenden: \(x^3 - 4x = 0 \iff x(x^2 - 4) = 0\). Dies liefert die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung prüfen: \(f''(0) = -4 < 0 \implies\) Lokales Maximum bei \(x = 0\). \(f''(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 = 8 > 0 \implies\) Lokales Minimum bei \(x = 2\). \(f''(-2) = 3 \cdot (-2)^2 - 4 = 8 > 0 \implies\) Lokales Minimum bei \(x = -2\).

Lokales Maximum bei \(x = 0\); lokale Minima bei \(x = 2\) und \(x = -2\).

- Beginne damit, die ersten beiden Ableitungen der Funktion zu bilden. - Suche zuerst nach den Stellen, an denen die Steigung der Funktion null ist. - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung unterscheiden, ob an einer Stelle ein „Berg“ oder ein „Tal“ vorliegt? - Achte beim Lösen der quadratischen Gleichung auf die Vorzeichen.

1. Ableitungsfunktionen berechnen: \(g'(x) = -3x^2 + 9x - 6\) und \(g''(x) = -6x + 9\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen (\(g'(x) = 0\)): \(-3x^2 + 9x - 6 = 0 \iff x^2 - 3x + 2 = 0\). Mithilfe der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x-1)(x-2) = 0\) ergeben sich \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 3. Art der Extrema durch Einsetzen in \(g''(x)\) bestimmen: \(g''(1) = -6 \cdot 1 + 9 = 3 > 0 \implies\) Lokales Minimum an der Stelle \(x = 1\). \(g''(2) = -6 \cdot 2 + 9 = -3 < 0 \implies\) Lokales Maximum an der Stelle \(x = 2\).

Lokales Minimum bei \(x = 1\); lokales Maximum bei \(x = 2\).

- Welche Bedingung muss für die Steigung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der Krümmung entscheiden, ob ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vorliegt? - Was musst du tun, um die vollständigen Koordinaten eines Punktes auf dem Graphen zu erhalten? - Achte darauf, alle notwendigen Ableitungen sauber nacheinander zu bilden.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = x^2 - 4x + 3\) und \(f''(x) = 2x - 4\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(x^2 - 4x + 3 = 0\) liefert die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung prüfen: \(f''(1) = -2 < 0\), daraus folgt ein lokales Maximum bei \(x_1 = 1\); \(f''(3) = 2 > 0\), daraus folgt ein lokales Minimum bei \(x_2 = 3\). 4. Funktionswerte berechnen: \(f(1) = \frac{16}{3}\) und \(f(3) = 4\). 5. Ergebnisse zusammenfassen: Hochpunkt \(H(1 \mid \frac{16}{3})\) und Tiefpunkt \(T(3 \mid 4)\).

Extremstellen: \(x_1 = 1\) (Maximum) und \(x_2 = 3\) (Minimum). Lage und Art der Extrempunkte: Hochpunkt \(H(1 \mid \frac{16}{3})\) und Tiefpunkt \(T(3 \mid 4)\).

- Suche zuerst die Stellen, an denen die Tangente waagerecht verläuft. - Überlege, wie du die zweite Ableitung nutzen kannst, um das Vorliegen eines Hoch- oder Tiefpunkts nachzuweisen. - Wie erhältst du die \(y\)-Werte der gesuchten Punkte? - Überprüfe deine Rechenschritte beim Lösen der quadratischen Gleichung sorgfältig.

1. Ableitungsfunktionen bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 3x - 6\) und \(f''(x) = 6x - 3\). 2. Mögliche Extremstellen durch \(f'(x) = 0\) finden: \(3(x^2 - x - 2) = 0 \implies x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 3. Art der Extremstellen mit \(f''\) bestimmen: \(f''(-1) = -9 < 0 \implies\) Hochpunkt; \(f''(2) = 9 > 0 \implies\) Tiefpunkt. 4. \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(f(x)\) ermitteln: \(f(-1) = 5{,}5\) und \(f(2) = -8\). 5. Koordinaten der Punkte: \(H(-1 \mid 5{,}5)\) und \(T(2 \mid -8)\).

Extremstellen: \(x_1 = -1\) (Maximum) und \(x_2 = 2\) (Minimum). Extrempunkte: Hochpunkt \(H(-1 \mid 5{,}5)\) und Tiefpunkt \(T(2 \mid -8)\).

- Überlege dir, wie die Ableitung der neuen Funktion im Vergleich zur ursprünglichen Funktion aussieht. - Welche Auswirkungen haben die Rechenregeln für Ableitungen (Summenregel, Faktorregel, Kettenregel) auf die Nullstellen der Ableitungsfunktion? - Stelle dir die geometrische Veränderung des Graphen vor: Wird er verschoben oder gestreckt? Ändert sich dabei die horizontale Position der „Hügel“ und „Täler“? - Was passiert mit einem Punkt auf dem Graphen, wenn man das Argument \(x\) innerhalb der Klammer verändert?

1. Für \(g(x) = f(x) - 12\) gilt nach der Summen- und Konstantenregel \(g'(x) = f'(x)\). Die Bedingung für potenzielle Extremstellen \(g'(x) = 0\) führt auf dieselbe Gleichung wie \(f'(x) = 0\). Da sich auch das Vorzeichenverhalten der Ableitung nicht ändert, bleiben alle Extremstellen identisch. 2. Für \(h(x) = 5 \cdot f(x)\) gilt nach der Faktorregel \(h'(x) = 5 \cdot f'(x)\). Die Gleichung \(h'(x) = 0\) ist äquivalent zu \(f'(x) = 0\), da der Faktor \(5 \neq 0\) ist. Da der Faktor positiv ist, bleibt auch die Art der Extrema (Maximum/Minimum) an den Stellen erhalten. Die Extremstellen sind identisch. 3. Für \(k(x) = f(x + 4)\) gilt nach der Kettenregel \(k'(x) = f'(x + 4) \cdot 1\). Ist \(x_E\) eine Extremstelle von \(f\), also \(f'(x_E) = 0\), so gilt \(k'(x) = 0\) für \(x + 4 = x_E\), woraus \(x = x_E - 4\) folgt. Die Extremstellen sind somit um \(4\) Einheiten nach links verschoben und nicht identisch mit denen von \(f\).

a) Ja, die Extremstellen sind identisch, da \(g'(x) = f'(x)\). b) Ja, die Extremstellen sind identisch, da \(h'(x) = 0\) dieselben Lösungen wie \(f'(x) = 0\) besitzt. c) Nein, die Extremstellen sind nicht identisch; sie sind um \(4\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung verschoben.

- Überlege dir, wie der Graph der Funktion grob aussieht. Wo liegen die Hoch- und Tiefpunkte? - Die Anzahl der Lösungen entspricht der Anzahl der Schnittpunkte zwischen dem Graphen und einer waagerechten Geraden. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Skizziere den Verlauf der Funktion basierend auf den Extrempunkten, um die verschiedenen Fälle für die Gerade zu sehen.

1. Bestimmung der Ableitung: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 2. Berechnung der Extremstellen durch \(f'(x) = 0\): \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\). 3. Berechnung der Funktionswerte an den Extremstellen: \(f(-2) = -1\) (lokales Minimum), \(f(0) = 3\) (lokales Maximum), \(f(2) = -1\) (lokales Minimum). 4. Betrachtung des Grenzwertverhaltens: Für \(|x| \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). 5. Analyse der Lösungsanzahl durch Vergleich der horizontalen Geraden \(y = a\) mit dem Graphen: - Keine Lösung: \(a < -1\). - Zwei Lösungen: \(a = -1\) (Berührungspunkte in den Minima) oder \(a > 3\). - Drei Lösungen: \(a = 3\) (Berührungspunkt im Maximum und zwei weitere Schnittpunkte). - Vier Lösungen: \(-1 < a < 3\). - Eine Lösung: Für keinen Wert von \(a\) (da die Minima auf gleicher Höhe liegen und der Grad der Funktion gerade ist).

- Keine Lösung für \(a < -1\) - Zwei Lösungen für \(a = -1\) oder \(a > 3\) - Drei Lösungen für \(a = 3\) - Vier Lösungen für \(-1 < a < 3\) - Eine Lösung für keinen Wert von \(a\)

- Bestimme zuerst die lokalen Maxima und Minima der Funktion auf der linken Seite. - Stell dir vor, du verschiebst eine horizontale Gerade \(y = k\) von unten nach oben durch das Koordinatensystem. - Wie oft schneidet diese Gerade den Graphen in den verschiedenen Bereichen? - Achte besonders auf die Werte von \(k\), die genau den Funktionswerten der Extrempunkte entsprechen.

1. Definition der Funktion \(g(x) = x^3 - 12x + 10\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(g'(x) = 3x^2 - 12\). 3. Berechnung der Extremstellen: \(g'(x) = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2\), \(x_2 = 2\). 4. Berechnung der Extremwerte: \(g(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 10 = -8 + 24 + 10 = 26\) (lokales Maximum); \(g(2) = 2^3 - 12(2) + 10 = 8 - 24 + 10 = -6\) (lokales Minimum). 5. Analyse des Verlaufs: Da \(g\) eine kubische Funktion mit positivem Leitkoeffizienten ist, gilt \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) und \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\). 6. Bestimmung der Lösungsanzahl für \(g(x) = k\): - Eine Lösung: Wenn die Gerade \(y=k\) unterhalb des Minimums oder oberhalb des Maximums liegt, also \(k < -6\) oder \(k > 26\). - Zwei Lösungen: Wenn die Gerade genau durch einen der Extrempunkte verläuft, also \(k = -6\) oder \(k = 26\). - Drei Lösungen: Wenn die Gerade zwischen den Extremwerten liegt, also \(-6 < k < 26\).

- Eine Lösung für \(k < -6\) oder \(k > 26\) - Zwei Lösungen für \(k = -6\) oder \(k = 26\) - Drei Lösungen für \(-6 < k < 26\)

- Mit welcher Bedingung lassen sich mögliche Stellen für Extrempunkte berechnen? - Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt von einem bestimmten Ausdruck unter der Wurzel ab. - Überlege dir, wie der Graph der Ableitungsfunktion aussehen muss, damit ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Punkt, an dem die Steigung null ist, aber kein Extremum vorliegt. Wann tritt dieser Fall bei der Untersuchung der Ableitungsnullstellen auf?

1. Ableitung bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 2kx + 3k\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f_k'(x) = 0\) untersuchen: \(3x^2 - 2kx + 3k = 0\). 3. Diskriminante der quadratischen Gleichung aufstellen: \(D = (-2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3k = 4k^2 - 36k\). 4. Analyse der Diskriminante: \(D = 4k(k - 9)\). Die Nullstellen der Diskriminante sind \(k = 0\) und \(k = 9\). 5. Fall \(D > 0\): Für \(k < 0\) oder \(k > 9\) hat die Ableitung zwei einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, somit existieren zwei lokale Extrempunkte. 6. Fall \(D = 0\): Für \(k = 0\) oder \(k = 9\) hat die Ableitung eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, es liegt jeweils ein Sattelpunkt und somit kein Extrempunkt vor. 7. Fall \(D < 0\): Für \(0 < k < 9\) hat die Ableitung keine Nullstellen, es existieren keine Extrempunkte. 8. Ergebnis: Zwei Extrempunkte für \(k \in (-\infty; 0) \cup (9; \infty)\); keine Extrempunkte für \(k \in [0; 9]\); Sattelpunkte für \(k = 0\) und \(k = 9\).

Zwei lokale Extrempunkte für \(k < 0\) oder \(k > 9\). Keine lokalen Extrempunkte für \(0 \le k \le 9\). Ein Sattelpunkt liegt für \(k = 0\) oder \(k = 9\) vor.

- Was bedeutet „waagerechte Tangente“ für die Steigung der Funktion an dieser Stelle? - Wie hängen die Nullstellen der Ableitungsfunktion mit der Anzahl der waagerechten Tangenten zusammen? - Erinnere dich an die Bedingung für die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung (Diskriminante). - Wie berechnet man den zugehörigen \(y\)-Wert, wenn die \(x\)-Stelle bekannt ist?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = x^2 + 2kx + 9\). 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente: \(f_k'(x) = 0\), also \(x^2 + 2kx + 9 = 0\). 3. Damit es genau eine Lösung gibt, muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung null sein: \(D = (2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4k^2 - 36\). 4. Lösen von \(4k^2 - 36 = 0\) ergibt \(k^2 = 9\), also \(k = 3\) oder \(k = -3\). 5. Fall \(k = 3\): Die Gleichung \(x^2 + 6x + 9 = 0\) hat die Lösung \(x = -3\). Der Funktionswert ist \(f_3(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + 3(-3)^2 + 9(-3) + 2 = -9 + 27 - 27 + 2 = -7\). Der Punkt ist \(P_1(-3 | -7)\). 6. Fall \(k = -3\): Die Gleichung \(x^2 - 6x + 9 = 0\) hat die Lösung \(x = 3\). Der Funktionswert ist \(f_{-3}(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 3(3)^2 + 9(3) + 2 = 9 - 27 + 27 + 2 = 11\). Der Punkt ist \(P_2(3 | 11)\).

Die Funktion besitzt für \(k = 3\) und \(k = -3\) genau eine Stelle mit waagerechter Tangente. Die entsprechenden Punkte sind \(P_1(-3 | -7)\) für \(k = 3\) und \(P_2(3 | 11)\) für \(k = -3\).

- Was muss für die Anzahl der Nullstellen der Ableitung gelten, wenn es genau einen stationären Punkt gibt? - Wie kannst du die Art eines stationären Punktes bestimmen, wenn du keinen Vorzeichentest für die Steigung machen möchtest? - Betrachte den Term der Ableitungsfunktion für den gefundenen Parameterwert genau. Kann dieser Term jemals negativ werden?

1. Erste Ableitung bilden: \(g_t'(x) = 3x^2 + 12x + t\). 2. Bedingung für genau einen stationären Punkt: Die quadratische Gleichung \(3x^2 + 12x + t = 0\) muss genau eine Lösung haben. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante \(D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot t = 144 - 12t\) gleich null ist. 3. Lösen nach \(t\): \(144 - 12t = 0 \implies 12t = 144 \implies t = 12\). 4. Für \(t = 12\) lautet die Ableitung \(g_{12}'(x) = 3x^2 + 12x + 12 = 3(x^2 + 4x + 4) = 3(x+2)^2\). 5. Die einzige Nullstelle der Ableitung liegt bei \(x = -2\). Da der Term \(3(x+2)^2\) für alle \(x \neq -2\) positiv ist, findet an der Stelle \(x = -2\) kein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung statt. 6. Ohne Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung liegt keine Extremstelle vor; es handelt sich um einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt).

a) Für \(t = 12\) besitzt die Funktion genau einen stationären Punkt. b) Es handelt sich nicht um eine Extremstelle, sondern um einen Sattelpunkt. Da die Ableitung \(g_{12}'(x) = 3(x+2)^2\) an der Stelle \(x = -2\) eine doppelte Nullstelle hat und somit keinen Vorzeichenwechsel aufweist, ändert sich das Steigungsverhalten der Funktion dort nicht.

- Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn du die beiden Einzelterme addierst? - Erinnere dich daran, dass Extremstellen im Inneren eines Intervalls dort liegen können, wo die Ableitung null ist. - Vergiss nicht, die Funktionswerte an den Grenzen des Definitionsbereichs zu prüfen. - Ein Extremum ist ein „inneres Extremum“, wenn die Stelle zwischen den Intervallgrenzen liegt, und ein „Randextremum“, wenn sie genau auf einer Grenze liegt.

1. Bildung der Summenfunktion: \(s(x) = (x^2 - 4x + 6) + (-0{,}5x^2 + x + 2) = 0{,}5x^2 - 3x + 8\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(s'(x) = x - 3\). 3. Suche nach stationären Stellen im Inneren des Intervalls: \(s'(x) = 0 \implies x = 3\). Da \(3 \in (0; 6)\) liegt, ist dies ein potenzielles inneres Extremum. 4. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 3\): \(s(3) = 0{,}5 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 8 = 4{,}5 - 9 + 8 = 3{,}5\). 5. Untersuchung der Randwerte des Intervalls \([0; 6]\): \(s(0) = 0{,}5 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 8 = 8\). \(s(6) = 0{,}5 \cdot 6^2 - 3 \cdot 6 + 8 = 18 - 18 + 8 = 8\). 6. Vergleich der Werte: Der kleinste Wert ist \(3{,}5\) bei \(x = 3\), der größte Wert ist \(8\) bei \(x = 0\) und \(x = 6\). 7. Klassifizierung: Bei \(x = 3\) liegt ein inneres Extremum vor (globales Minimum). Bei \(x = 0\) und \(x = 6\) liegen Randextrema vor (globale Maxima).

Das globale Minimum der Summenfunktion liegt bei \(x = 3\) mit dem Wert \(s(3) = 3{,}5\). Da die Stelle \(x = 3\) innerhalb des Intervalls \((0; 6)\) liegt, handelt es sich um ein inneres Extremum. Das globale Maximum wird an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 6\) mit dem Wert \(s(0) = s(6) = 8\) erreicht. Da diese Stellen die Grenzen des Intervalls bilden, handelt es sich um Randextrema.

- Achte beim Bilden der Differenzfunktion besonders auf das Minuszeichen vor der gesamten Funktion \(g(x)\). - Welche Stellen musst du untersuchen, um die absolut größten und kleinsten Werte in einem abgeschlossenen Intervall zu finden? - Prüfe nach der Berechnung der Nullstellen der Ableitung, welche davon tatsächlich im vorgegebenen Bereich liegen. - Vergleiche am Ende alle gefundenen Funktionswerte (von den Rändern und aus dem Inneren), um das globale Maximum und Minimum zu bestimmen.

1. Aufstellen der Differenzfunktion: \(d(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 4) - (-x^2 + x + 1) = \frac{1}{3}x^3 - x + 3\). 2. Ableitung bilden: \(d'(x) = x^2 - 1\). 3. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(x^2 - 1 = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = -1\). Da nur \(x = 1\) im Intervall \([0; 3]\) liegt, wird nur dieser Wert als inneres Extremum geprüft. 4. Funktionswert an der inneren Stelle: \(d(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - 1 + 3 = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2{,}33\). 5. Randwerte berechnen: \(d(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 - 0 + 3 = 3\). \(d(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 3 + 3 = 9\). 6. Vergleich der Werte: Der globale Minimalwert ist \(2\frac{1}{3}\) (bei \(x = 1\)), der globale Maximalwert ist \(9\) (bei \(x = 3\)). 7. Klassifizierung: \(x = 1\) ist eine innere Extremstelle (globales Minimum). \(x = 3\) ist eine Randextremstelle (globales Maximum). Der Randwert \(d(0)=3\) ist zwar ein lokales Maximum am Rand, aber nicht das globale Maximum des Intervalls.

Das globale Minimum der Differenzfunktion liegt bei \(x = 1\) mit dem Wert \(d(1) = 2\frac{1}{3}\). Es handelt sich um ein inneres Extremum. Das globale Maximum liegt bei \(x = 3\) mit dem Wert \(d(3) = 9\). Es handelt sich um ein Randextremum.

- Wie viele Nullstellen kann die Ableitungsfunktion einer Funktion vierten Grades höchstens haben? - Kannst du die erste Ableitung faktorisieren, um die Nullstellen leichter zu finden? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extrempunktes aus? - Beachte die Achsensymmetrie der Funktion bei der Berechnung der Funktionswerte.

1. Ableitungsfunktionen berechnen: \(f'(x) = x^3 - 4x\) und \(f''(x) = 3x^2 - 4\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen: Aus \(x^3 - 4x = 0\) folgt durch Ausklammern \(x(x^2 - 4) = 0\), woraus sich die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) ergeben. 3. Art der Extremstellen mit der zweiten Ableitung prüfen: \(f''(0) = -4 < 0\) ergibt ein lokales Maximum; \(f''(2) = 8 > 0\) ergibt ein lokales Minimum; \(f''(-2) = 8 > 0\) ergibt ein lokales Minimum. 4. Funktionswerte berechnen: \(f(0) = 5\), \(f(2) = 4 - 8 + 5 = 1\) und \(f(-2) = 4 - 8 + 5 = 1\). 5. Zusammenfassung der Punkte: Hochpunkt \(H(0 | 5)\), Tiefpunkte \(T_1(2 | 1)\) und \(T_2(-2 | 1)\).

Die Funktion besitzt einen lokalen Hochpunkt bei \(H(0 | 5)\) sowie zwei lokale Tiefpunkte bei \(T_1(2 | 1)\) und \(T_2(-2 | 1)\).

- Überlege dir zuerst, welche Ableitungen du benötigst, um Aussagen über die Monotonie und die Krümmung zu treffen. - Wie hängen die Vorzeichen der Ableitungen mit dem Verlauf des Graphen zusammen? - Achte bei der Monotonie besonders auf Stellen, an denen die Ableitung Null ist, ohne dass ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Für die Krümmung hilft es, die Nullstellen der zweiten Ableitung als Grenzen für deine Intervalle zu verwenden.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(x^2(x - 3) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) (doppelte Nullstelle) und \(x_2 = 3\). 3. Monotonieverhalten prüfen: Da \(f'(x) \le 0\) für alle \(x \in (-\infty; 3]\) (mit isolierten Nullstellen), ist die Funktion in \((-\infty; 3]\) streng monoton fallend. Für \(x \ge 3\) gilt \(f'(x) \ge 0\), somit ist \(f\) in \([3; \infty)\) streng monoton steigend. 4. Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen: \(3x(x - 2) = 0\) liefert \(x_3 = 0\) und \(x_4 = 2\). 5. Krümmungsverhalten bestimmen: Da \(f''(x) > 0\) für \(x < 0\), ist \(G_f\) in \((-\infty; 0)\) linksgekrümmt. Da \(f''(x) < 0\) für \(0 < x < 2\), ist \(G_f\) in \((0; 2)\) rechtsgekrümmt. Da \(f''(x) > 0\) für \(x > 2\), ist \(G_f\) in \((2; \infty)\) linksgekrümmt.

Monotonie: streng monoton fallend in \((-\infty; 3]\), streng monoton steigend in \([3; \infty)\). Krümmung: linksgekrümmt in \((-\infty; 0)\) und \((2; \infty)\), rechtsgekrümmt in \((0; 2)\).

- Wie lautet die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei differenzierbaren Funktionen? - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, wenn eine andere Variable als fester Wert vorgegeben ist? - Welches Vorzeichen muss die zweite Ableitung an einer Stelle haben, damit dort ein Maximum vorliegt? - Wie berechnet man den Funktionswert zu einer gegebenen Stelle?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = 2kx - 6\). 2. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(2kx - 6 = 0 \Rightarrow x_E = \frac{3}{k}\). 3. Bestimmung von \(k\) für \(x_E = -1\): \(\frac{3}{k} = -1 \Rightarrow k = -3\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(f_k''(x) = 2k\): Für \(k = -3\) gilt \(f_{-3}''(x) = -6\). Da \(-6 < 0\), liegt an der Stelle \(x = -1\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f_{-3}(-1) = -3 \cdot (-1)^2 - 6 \cdot (-1) - 1 = -3 + 6 - 1 = 2\). Der Hochpunkt liegt bei \(H(-1 \mid 2)\).

a) \(f_k'(x) = 2kx - 6\); \(x_E = \frac{3}{k}\) b) \(k = -3\) c) \(H(-1 \mid 2)\)

- Welche zwei Informationen liefert dir ein bekannter Extrempunkt über die Funktion und ihre Ableitung? - Kannst du aus den Bedingungen zwei separate Gleichungen für die Unbekannten aufstellen? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, die Art eines Extrempunktes zu bestimmen?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 2ax + b\). 2. Bedingung für Extremstelle bei \(x = 1\): \(f'(1) = 0 \Rightarrow 2a \cdot 1 + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 0\). 3. Bedingung für den Punkt \((1 \mid 2)\): \(f(1) = 2 \Rightarrow a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 3 = 2 \Rightarrow a + b = -1\). 4. Lösen des Gleichungssystems: Aus \(b = -2a\) folgt durch Einsetzen in die zweite Gleichung \(a - 2a = -1\), also \(a = 1\). Damit ergibt sich \(b = -2\). 5. Art des Extremums prüfen: Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 2a\). Mit \(a = 1\) ist \(f''(1) = 2\). Da \(2 > 0\), handelt es sich um ein lokales Minimum, also einen Tiefpunkt.

a) \(f'(x) = 2ax + b\) b) \(a = 1\), \(b = -2\) c) Es handelt sich um einen Tiefpunkt, da \(f''(1) = 2 > 0\).

- Welche Eigenschaft hat die Steigung des Graphen an einer Extremstelle? - Wie berechnet man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Setze die Information über die Stelle in die Ableitung ein und löse die entstehende Gleichung nach dem Parameter auf. - Überprüfe am Ende, ob die Bedingung für eine Extremstelle wirklich erfüllt ist.

1. Erste Ableitung der Funktionenschar bilden: \(f_k'(x) = 2x^3 - 2kx\). 2. Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle an der Stelle \(x = 2\) lautet \(f_k'(2) = 0\). 3. Den Wert \(x = 2\) in die Ableitungsfunktion einsetzen: \(2 \cdot 2^3 - 2k \cdot 2 = 16 - 4k\). 4. Die Gleichung \(16 - 4k = 0\) nach \(k\) auflösen: \(4k = 16 \implies k = 4\). 5. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mit der zweiten Ableitung \(f_4''(x) = 6x^2 - 8\): \(f_4''(2) = 6 \cdot 4 - 8 = 16 \neq 0\). Somit liegt bei \(x = 2\) tatsächlich eine Extremstelle (ein lokales Minimum) vor.

\(k = 4\)

- Welche Bedeutung hat die erste Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion in der Physik? - Was passiert mit der Geschwindigkeit des Pfeils genau in dem Moment, in dem er umkehrt? - Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Steigen oder Fallen des Graphen zusammen? - Überlege dir, ab welchem Startzeitpunkt die Bewegung beginnt.

1. Ableitungsfunktion bilden: \(h'(t) = -9{,}81 \cdot t + 45\). 2. Notwendige Bedingung für ein Extremum (\(h'(t) = 0\)) anwenden: \(-9{,}81 \cdot t + 45 = 0 \Rightarrow t = \frac{45}{9{,}81} \approx 4{,}587\). Der Pfeil erreicht nach etwa \(4{,}59\,\text{s}\) seine maximale Höhe. 3. Maximale Höhe berechnen: \(h(4{,}587) = -4{,}905 \cdot (4{,}587)^2 + 45 \cdot 4{,}587 \approx 103{,}21\). Die maximale Höhe beträgt ca. \(103{,}21\,\text{m}\). 4. Monotonie untersuchen: Der Pfeil steigt, solange die Steigung der Höhenfunktion positiv ist (\(h'(t) > 0\)). Dies ist für \(0 \le t < 4{,}587\) der Fall. Da \(h''(t) = -9{,}81 < 0\) ist, handelt es sich beim berechneten Zeitpunkt tatsächlich um ein Maximum, nach dem die Höhe wieder abnimmt.

a) Der Pfeil erreicht nach ca. \(4{,}59\,\text{s}\) seine maximale Höhe. b) Die maximale Höhe beträgt ca. \(103{,}21\,\text{m}\). c) Der Pfeil steigt im Intervall \([0; 4{,}59)\) (in Sekunden), da dort \(h'(t) > 0\) gilt.

- Überlege dir zuerst, wie die Funktion für den Gewinn aus den gegebenen Funktionen für Erlös und Kosten gebildet wird. - Was bedeutet ein negativer Wert für die Gewinnfunktion im Sachzusammenhang? - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für ein Extremum einer Funktion. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, indem du ein geeignetes Kriterium (z. B. die zweite Ableitung) nutzt. - Achte darauf, ob das berechnete Ergebnis innerhalb des vorgegebenen Definitionsbereichs liegt.

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = 25x - (x^3 - 6x^2 + 10x + 50) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50\). 2. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 2\): \(G(2) = -(2)^3 + 6 \cdot (2)^2 + 15 \cdot 2 - 50 = -8 + 24 + 30 - 50 = -4\). Da \(G(2) = -4 < 0\), entsteht ein Verlust von \(4000\,\text{€}\). 3. Bestimmung der ersten Ableitung der Gewinnfunktion: \(G'(x) = -3x^2 + 12x + 15\). 4. Nullstellen der ersten Ableitung finden: \(-3x^2 + 12x + 15 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x - 5 = 0\). Mithilfe der p-q-Formel ergeben sich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Da nur \(x \in [0; 7]\) relevant ist, wird \(x = 5\) untersucht. 5. Prüfung der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -6x + 12\). Einsetzen von \(x = 5\) ergibt \(G''(5) = -6 \cdot 5 + 12 = -18\). Da \(G''(5) < 0\), liegt an der Stelle \(x = 5\) ein lokales Maximum vor. 6. Vergleich mit den Randwerten: \(G(0) = -50\) und \(G(7) = -(7)^3 + 6 \cdot (7)^2 + 15 \cdot 7 - 50 = -343 + 294 + 105 - 50 = 6\). Da \(G(5) = 50\) größer als die Randwerte ist, liegt das absolute Maximum bei \(x = 5\).

a) Der Gewinn bei \(x = 2\) beträgt \(G(2) = -4\). Ein negativer Wert bedeutet einen Verlust (hier \(4000\,\text{€}\)). b) Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(5\,\text{Tonnen}\) erzielt.

- Wie hängen Erlös, Kosten und Gewinn zusammen? Erstelle daraus eine Funktionsgleichung. - Achte auf die Einheiten: Was bedeutet \(x=1\) im Kontext der Aufgabe? - Um eine Stelle mit dem größten Wert zu finden, helfen dir die Ableitungen der Funktion. - Denk daran, dass ein Extremum im Inneren eines Intervalls mit den Werten an den Rändern des Intervalls verglichen werden muss.

1. Bildung der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 25x - (x^3 - 9x^2 + 40x + 10) = -x^3 + 9x^2 - 15x - 10\). 2. Berechnung für \(100\,\text{Stück}\) (\(x = 1\)): \(G(1) = -1^3 + 9 \cdot 1^2 - 15 \cdot 1 - 10 = -1 + 9 - 15 - 10 = -17\). Dies entspricht einem Verlust von \(17\,000\,\text{€}\). 3. Ableitungen bilden: \(G'(x) = -3x^2 + 18x - 15\) und \(G''(x) = -6x + 18\). 4. Notwendige Bedingung \(G'(x) = 0\): \(-3x^2 + 18x - 15 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 5 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 5. Hinreichende Bedingung prüfen: \(G''(1) = -6 \cdot 1 + 18 = 12 > 0\) (Minimum); \(G''(5) = -6 \cdot 5 + 18 = -12 < 0\) (Maximum). 6. Maximalgewinn berechnen: \(G(5) = -5^3 + 9 \cdot 5^2 - 15 \cdot 5 - 10 = -125 + 225 - 75 - 10 = 15\). 7. Randwertprüfung: \(G(0) = -10\), \(G(8) = -8^3 + 9 \cdot 8^2 - 15 \cdot 8 - 10 = -512 + 576 - 120 - 10 = -66\). Das absolute Maximum liegt bei \(x = 5\) mit \(G(5) = 15\).

a) Bei einer Menge von \(100\,\text{Stück}\) (\(x=1\)) macht das Unternehmen einen Verlust von \(17\,000\,\text{€}\). b) Der maximale Gewinn wird bei einer Menge von \(500\,\text{Stück}\) (\(x=5\)) erzielt und beträgt \(15\,000\,\text{€}\).

- Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem Parameter auf. - Kannst du einen Term ausklammern, um die Nullstellen einfacher zu finden? - Wie hängen die Ableitungen einer Funktion mit ihren Hoch- und Tiefpunkten zusammen? - Überlege dir, wie das Vorzeichen des Parameters die Krümmung an den Stellen mit waagerechter Tangente beeinflusst.

1. Punktprobe für \(P(2|4)\): \(f_k(2) = 4 \implies k \cdot 2^2 - 2^3 = 4 \implies 4k - 8 = 4 \implies 4k = 12 \implies k = 3\). 2. Nullstellen berechnen: \(kx^2 - x^3 = 0 \implies x^2(k - x) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = k\). 3. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 2kx - 3x^2\) und \(f_k''(x) = 2k - 6x\). 4. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_k'(x) = x(2k - 3x) = 0 \implies x_1 = 0\) oder \(x_2 = \frac{2}{3}k\). 5. Art der Extrema prüfen: \(f_k''(0) = 2k\) und \(f_k''(\frac{2}{3}k) = 2k - 6(\frac{2}{3}k) = -2k\). 6. Fallunterscheidung für \(k > 0\): \(f_k''(0) > 0 \implies\) lokaler Tiefpunkt \(T(0 | 0)\); \(f_k''(\frac{2}{3}k) < 0 \implies\) lokaler Hochpunkt \(H(\frac{2}{3}k | \frac{4}{27}k^3)\). 7. Fallunterscheidung für \(k < 0\): \(f_k''(0) < 0 \implies\) lokaler Hochpunkt \(H(0 | 0)\); \(f_k''(\frac{2}{3}k) > 0 \implies\) lokaler Tiefpunkt \(T(\frac{2}{3}k | \frac{4}{27}k^3)\).

a) \(k = 3\) b) \(x_1 = 0\), \(x_2 = k\) c) Für \(k > 0\): \(T(0 | 0)\) und \(H(\frac{2}{3}k | \frac{4}{27}k^3)\); für \(k < 0\): \(H(0 | 0)\) und \(T(\frac{2}{3}k | \frac{4}{27}k^3)\).

- Was muss für die Funktionswerte und die Ableitungen an einer Stelle gelten, damit dort ein Extrempunkt vorliegt? - Nutze das Ausklammern von \(x^2\), um die Nullstellen zu bestimmen. - Untersuche die erste Ableitung auf weitere Nullstellen, um den zweiten Extrempunkt zu finden. - Stelle die \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts als Term in Abhängigkeit von \(t\) dar und setze diesen gleich \(-4\).

1. Nachweis Ursprung: \(g_t(0) = 0^3 - 3t \cdot 0^2 = 0\). Damit verlaufen alle Graphen durch \((0|0)\). 2. Nachweis Extremum im Ursprung: \(g_t'(x) = 3x^2 - 6tx\), also \(g_t'(0) = 0\). Die zweite Ableitung ist \(g_t''(x) = 6x - 6t\). Für \(t > 0\) ist \(g_t''(0) = -6t < 0\). Somit liegt bei \(x = 0\) immer ein lokaler Hochpunkt vor. 3. Nullstellen: \(x^3 - 3tx^2 = 0 \implies x^2(x - 3t) = 0 \implies x_1 = 0\), \(x_2 = 3t\). 4. Weiterer Extrempunkt: \(g_t'(x) = 3x(x - 2t) = 0 \implies x = 2t\) (da \(x=0\) bereits bekannt ist). 5. Art des Extrempunktes: \(g_t''(2t) = 6(2t) - 6t = 6t\). Da \(t > 0\), ist \(g_t''(2t) > 0\), also liegt ein lokaler Tiefpunkt vor. 6. \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts: \(g_t(2t) = (2t)^3 - 3t(2t)^2 = 8t^3 - 12t^3 = -4t^3\). 7. Bedingung \(y = -4\): \(-4t^3 = -4 \implies t^3 = 1 \implies t = 1\).

a) \(g_t(0) = 0\), \(g_t'(0) = 0\) und \(g_t''(0) = -6t < 0\) für \(t > 0\); daher liegt der Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\) vor. b) \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3t\) c) \(t = 1\)

- Überlege dir, welche Bedingung für die erste Ableitung erfüllt sein muss, damit eine Funktion Extremstellen hat. - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über die Steigung der Kosten aus? - Der Gewinn berechnet sich aus dem Erlös minus den Kosten. - Achte beim Aufstellen der Erlösfunktion darauf, dass die Einheiten (hier Tausend Euro) konsistent bleiben. - Wie findest du mithilfe der Ableitungen den höchsten Punkt einer Kurve?

1. Berechnung der ersten Ableitung der Kostenfunktion: \(K'(x) = x^2 - 8x + 20\). 2. Untersuchung auf Nullstellen von \(K'(x)\): Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 - 8x + 20 = 0\) ist \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16\). Da \(D < 0\), hat \(K'(x)\) keine reellen Nullstellen und \(K(x)\) somit keine lokalen Extremstellen. Da \(K'(0) = 20 > 0\), ist die Funktion streng monoton steigend. Wirtschaftlich ist dies sinnvoll, da mit steigender Produktionsmenge in der Regel auch die Gesamtkosten steigen. 3. Aufstellen der Erlösfunktion: Da ein Paket (100 Stück) \(40\,000\,\text{€}\) (entspricht \(40\) in Tausend Euro) kostet, gilt \(E(x) = 40x\). 4. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 40x - (\frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 20x + 50) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 + 20x - 50\). 5. Bestimmung des Maximums von \(G(x)\): \(G'(x) = -x^2 + 8x + 20\). Nullstellen von \(G'(x)\): \(-x^2 + 8x + 20 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 8x - 20 = 0 \Rightarrow x_1 = 10\) und \(x_2 = -2\). Da \(x \ge 0\), ist nur \(x = 10\) relevant. 6. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -2x + 8\); \(G''(10) = -20 + 8 = -12 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(10) = -\frac{1}{3} \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 20 \cdot 10 - 50 = -\frac{1000}{3} + 400 + 200 - 50 = 216\frac{2}{3} \approx 216{,}67\).

a) Nachweis über \(K'(x) = x^2 - 8x + 20\), welche keine reellen Nullstellen hat (\(D = -16\)). Wirtschaftlich sinnvoll, da die Kosten bei Mehrproduktion stets steigen. b) Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 + 20x - 50\). Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(x = 10\) (entspricht \(1\,000\) Stück) erzielt und beträgt \(216\frac{2}{3}\) Tausend Euro (ca. \(216\,666{,}67\,\text{€}\)).

- Wie hängen die Monotonie einer Funktion und das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung zusammen? - Untersuche die Diskriminante der Ableitungsfunktion, um zu prüfen, ob es Punkte mit der Steigung Null gibt. - Achte beim Erlös darauf, den Preis pro Tonne in der gleichen Einheit wie die Kostenfunktion (\(1\,000\,\text{€}\)) anzugeben. - Um den Gewinn zu maximieren, musst du die Stelle finden, an der die Differenz zwischen Erlös und Kosten am größten ist.

1. Erste Ableitung der Kostenfunktion bestimmen: \(K'(x) = \frac{1}{10}x^2 - x + 4\). 2. Untersuchung des Vorzeichens von \(K'(x)\): Die Nullstellen von \(0{,}1x^2 - x + 4 = 0\) werden mit der Mitternachtsformel gesucht. Die Diskriminante ist \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 0{,}1 \cdot 4 = 1 - 1{,}6 = -0{,}6\). Da \(D < 0\) und der Leitkoeffizient \(0{,}1 > 0\) ist, gilt \(K'(x) > 0\) für alle \(x\). Somit ist \(K(x)\) streng monoton steigend. 3. Erlösfunktion aufstellen: Da \(1\) Tonne \(6{,}4\) Tausend Euro einbringt, ist \(E(x) = 6{,}4x\). 4. Gewinnfunktion bilden: \(G(x) = E(x) - K(x) = 6{,}4x - (\frac{1}{30}x^3 - 0{,}5x^2 + 4x + 20) = -\frac{1}{30}x^3 + 0{,}5x^2 + 2{,}4x - 20\). 5. Extremstelle von \(G(x)\) berechnen: \(G'(x) = -0{,}1x^2 + x + 2{,}4\). Nullstellen: \(-0{,}1x^2 + x + 2{,}4 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 10x - 24 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 12\) und \(x_2 = -2\). 6. Relevant ist \(x = 12\). Überprüfung der Art des Extremums: \(G''(x) = -0{,}2x + 1\); \(G''(12) = -2{,}4 + 1 = -1{,}4 < 0\). Es handelt sich um ein lokales Maximum. 7. Maximalen Gewinn berechnen: \(G(12) = -\frac{1}{30} \cdot 12^3 + 0{,}5 \cdot 12^2 + 2{,}4 \cdot 12 - 20 = -57{,}6 + 72 + 28{,}8 - 20 = 23{,}2\).

a) Da \(K'(x) = 0{,}1x^2 - x + 4\) keine reellen Nullstellen hat (\(D = -0{,}6\)) und stets positiv ist, steigt \(K\) streng monoton. b) Der maximale Gewinn wird bei \(x = 12\), also bei einer Produktionsmenge von \(12\,\text{t}\), erreicht. Die Höhe des Gewinns beträgt \(23{,}2\) Tausend Euro (entspricht \(23\,200\,\text{€}\)).

- Kannst du den Funktionsterm ausklammern, um die Nullstellen leichter zu finden? - Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie hängen der x-Wert und der y-Wert des Tiefpunkts zusammen, wenn du den Parameter eliminierst? - Setze die berechnete y-Koordinate des Hochpunkts in eine Ungleichung ein.

1. Nullstellen: Aus \(f_t(x) = x \cdot (\frac{1}{3}x^2 - t^2) = 0\) folgen die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = t\sqrt{3}\) und \(x_3 = -t\sqrt{3}\). 2. Extremstellen: Die erste Ableitung \(f_t'(x) = x^2 - t^2\) hat Nullstellen bei \(x = t\) und \(x = -t\). 3. Art der Extrema: Mit \(f_t''(x) = 2x\) folgt \(f_t''(t) = 2t > 0\) (Tiefpunkt) und \(f_t''(-t) = -2t < 0\) (Hochpunkt). 4. Koordinaten: Der Tiefpunkt liegt bei \(T(t \mid -\frac{2}{3}t^3)\), der Hochpunkt bei \(H(-t \mid \frac{2}{3}t^3)\). 5. Ortskurve der Tiefpunkte: Aus \(x = t\) folgt durch Einsetzen in die \(y\)-Koordinate \(y = -\frac{2}{3}x^3\). Da \(t > 0\), gilt dies für \(x > 0\). 6. Bedingung für Hochpunkt: \(\frac{2}{3}t^3 > 18 \iff t^3 > 27 \iff t > 3\).

a) \(x_1 = 0\); \(x_2 = t\sqrt{3}\); \(x_3 = -t\sqrt{3}\) b) \(H(-t \mid \frac{2}{3}t^3)\) und \(T(t \mid -\frac{2}{3}t^3)\) c) \(y = -\frac{2}{3}x^3\) für \(x > 0\) d) \(t > 3\)

- Bestimme zuerst die erste Ableitung der Funktion. - Suche nach den Stellen, an denen die Steigung null ist, und achte darauf, welche Stelle sich mit dem Parameter verändert. - Berechne für diese Stelle den passenden Funktionswert in Abhängigkeit vom Parameter. - Versuche, den Parameter in deiner Gleichung für die x-Koordinate zu isolieren. - Ersetze den Parameter in der y-Gleichung durch den Ausdruck, den du für x gefunden hast.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = x^2 - 2kx\). 2. Bestimmung der Extremstellen durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(x(x - 2k) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\). 3. Da die \(x\)-Koordinate vom Parameter \(k\) abhängen soll, wird \(x = 2k\) betrachtet. 4. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinate durch Einsetzen in \(f_k\): \(y = f_k(2k) = \frac{1}{3}(2k)^3 - k(2k)^2 + 4 = \frac{8}{3}k^3 - 4k^3 + 4 = -\frac{4}{3}k^3 + 4\). 5. Umstellen der Gleichung \(x = 2k\) nach \(k\): \(k = \frac{x}{2}\). 6. Einsetzen von \(k\) in die Gleichung für \(y\): \(y = -\frac{4}{3}(\frac{x}{2})^3 + 4 = -\frac{4}{3} \cdot \frac{x^3}{8} + 4 = -\frac{1}{6}x^3 + 4\). 7. Wegen \(k \neq 0\) gilt für die Ortskurve \(x \neq 0\).

Die Ortskurve hat die Gleichung \(y = -\frac{1}{6}x^3 + 4\) mit \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

- Wie findest du die Wendepunkte einer Funktion? Nutze die notwendige Bedingung für die zweite Ableitung. - Berechne die Koordinaten des Wendepunkts so, dass sie nur noch vom Parameter abhängen. - Kannst du den Parameter so umformen, dass er allein auf einer Seite der Gleichung steht? - Nutze diese Umformung, um den Parameter aus der Gleichung für den Funktionswert zu eliminieren. - Überlege am Ende, welche Werte die x-Koordinate annehmen kann, basierend auf der Definitionsmenge des Parameters.

1. Berechnung der Ableitungen: \(g_a'(x) = 3x^2 + 6ax\) und \(g_a''(x) = 6x + 6a\). 2. Bestimmung der Wendestelle durch \(g_a''(x) = 0\): \(6x = -6a \implies x = -a\). Die Bedingung \(g_a'''(x) = 6 \neq 0\) ist erfüllt. 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Wendepunkts: \(y = g_a(-a) = (-a)^3 + 3a(-a)^2 - 2a = -a^3 + 3a^3 - 2a = 2a^3 - 2a\). 4. Auflösen der Gleichung \(x = -a\) nach \(a\): \(a = -x\). 5. Einsetzen von \(a = -x\) in den Ausdruck für \(y\): \(y = 2(-x)^3 - 2(-x) = -2x^3 + 2x\). 6. Da \(a > 0\) vorgegeben ist, gilt für die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts \(x = -a < 0\).

Die Ortskurve der Wendepunkte hat die Gleichung \(y = -2x^3 + 2x\) für \(x < 0\).

- Wie gehst du vor, wenn du die waagerechten Tangenten einer Funktionenschar suchst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Term unter der Wurzel zu vereinfachen. - Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? Was bedeutet das für den Graphen? - Wenn alle Graphen durch denselben Punkt gehen, muss der Funktionswert an dieser Stelle für jedes beliebige \(a\) gleich sein. Wie kannst du den Term so umformen, dass du \(a\) ausklammerst?

1. Zur Bestimmung der Extremstellen wird die erste Ableitung gebildet: \(f_a'(x) = 3x^2 - 6ax + 12a - 12\). 2. Setzt man \(f_a'(x) = 0\), ergibt sich die quadratische Gleichung \(x^2 - 2ax + 4a - 4 = 0\). Die linke Seite lässt sich faktorisieren: \(x^2 - 2ax + 4a - 4 = (x - 2)(x - (2a - 2))\). Die stationären Stellen liegen somit bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 2a - 2\). 3. Für \(a = 2\) fallen beide Stellen zusammen (\(x_1 = x_2 = 2\)). Da \(f_2'(x) = 3(x-2)^2\) an dieser Stelle keinen Vorzeichenwechsel aufweist, besitzt \(f_2\) kein lokales Extremum, sondern einen Sattelpunkt bei \(x = 2\). 4. Gemeinsame Punkte liegen dort, wo der Funktionsterm unabhängig von \(a\) ist. Umformung: \(f_a(x) = x^3 - 12x + 10 + a(-3x^2 + 12x)\). Der Term in der Klammer muss null sein: \(-3x(x-4) = 0\). Dies liefert \(x = 0\) und \(x = 4\). 5. Einsetzen der \(x\)-Werte in \(f_a(x)\) ergibt die Punkte \(P_1(0 \mid 10)\) und \(P_2(4 \mid 26)\).

a) Für \(a \neq 2\) sind die Extremstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 2a - 2\). Für \(a = 2\) fallen die stationären Stellen bei \(x = 2\) zusammen, ohne ein Extremum zu bilden. b) Für \(a = 2\) gibt es kein Extremum; an der Stelle \(x = 2\) liegt ein Sattelpunkt vor. c) Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(0 \mid 10)\) und \(P_2(4 \mid 26)\).

- Wie findet man allgemein die Tiefpunkte einer Funktion? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der x- und y-Koordinate des Tiefpunkts für die Ortskurve? - Was sagt die Diskriminante über die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung aus? - Wie muss ein Term beschaffen sein, damit sein Wert nicht von einer Variablen abhängt?

1. Erste Ableitung bilden: \(f_a'(x) = 2x - 2a\). Nullsetzen ergibt die Extremstelle \(x = a\). Wegen \(f_a''(x) = 2 > 0\) liegt ein Tiefpunkt vor. Funktionswert berechnen: \(f_a(a) = a^2 - 2a^2 + 3a = -a^2 + 3a\). Tiefpunkt: \(T_a(a | -a^2 + 3a)\). 2. Aus \(x = a\) folgt durch Ersetzen im Ordinatenwert \(y = -a^2 + 3a\) die Gleichung der Ortskurve: \(y = -x^2 + 3x\). 3. Diskriminante der Gleichung \(x^2 - 2ax + 3a = 0\) aufstellen: \(D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3a = 4a^2 - 12a = 4a(a - 3)\). Zwei Nullstellen für \(D > 0 \iff a < 0\) oder \(a > 3\). Eine Nullstelle für \(D = 0 \iff a = 0\) oder \(a = 3\). Keine Nullstelle für \(D < 0 \iff 0 < a < 3\). 4. Funktionsterm nach \(a\) sortieren: \(f_a(x) = x^2 + a(3 - 2x)\). Damit der Wert unabhängig von \(a\) ist, muss \(3 - 2x = 0\) gelten, woraus \(x = 1{,}5\) folgt. Einsetzen ergibt \(y = 1{,}5^2 = 2{,}25\). Gemeinsamer Punkt: \(P(1{,}5 | 2{,}25)\).

a) \(T_a(a | -a^2 + 3a)\) b) \(y = -x^2 + 3x\) c) Zwei Nullstellen für \(a < 0\) oder \(a > 3\); eine Nullstelle für \(a = 0\) oder \(a = 3\); keine Nullstelle für \(0 < a < 3\). d) \(P(1{,}5 | 2{,}25)\)

- Verwende die Ableitung, um das Maximum der Parabel zu bestimmen. - Stelle die x-Koordinate des Hochpunkts nach dem Parameter um und setze sie in die y-Koordinate ein. - Wann berührt der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel die x-Achse? - Untersuche, für welchen x-Wert der Teil des Funktionsterms, der den Parameter enthält, verschwindet.

1. Ableitung \(h_t'(x) = -2x + t\) nullsetzen ergibt \(x = \frac{t}{2}\). Wegen \(h_t''(x) = -2 < 0\) liegt ein Hochpunkt vor. Funktionswert: \(h_t(\frac{t}{2}) = -(\frac{t}{2})^2 + t \cdot \frac{t}{2} - 2t + 4 = \frac{t^2}{4} - 2t + 4\). Hochpunkt: \(H_t(0{,}5t | 0{,}25t^2 - 2t + 4)\). 2. Mit \(x = \frac{t}{2}\) folgt \(t = 2x\). Einsetzen in den \(y\)-Wert des Hochpunkts ergibt \(y = \frac{(2x)^2}{4} - 2(2x) + 4 = x^2 - 4x + 4\). Ortskurve: \(y = (x - 2)^2\). 3. Ein Berühren der \(x\)-Achse liegt vor, wenn der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts (Hochpunkts) null ist: \(0{,}25t^2 - 2t + 4 = 0 \iff 0{,}25(t^2 - 8t + 16) = 0 \iff 0{,}25(t - 4)^2 = 0\). Dies ist für \(t = 4\) der Fall. 4. Um einen gemeinsamen Punkt zu finden, wird der Term nach \(t\) umgeformt: \(h_t(x) = -x^2 + 4 + t(x - 2)\). Für \(x = 2\) ist der Ausdruck für jedes \(t\) gleich \(h_t(2) = -2^2 + 4 + t(2 - 2) = 0\). Alle Graphen gehen durch \(P(2 | 0)\), der auf der \(x\)-Achse liegt.

a) \(H_t(0{,}5t | 0{,}25t^2 - 2t + 4)\) b) \(y = x^2 - 4x + 4\) oder \(y = (x - 2)^2\) c) \(t = 4\) d) Gemeinsamer Punkt ist \(P(2 | 0)\).

- Wie bestimmt man allgemein die Extremstellen einer Funktion? - Der Scheitelpunkt einer Parabel ist ihr höchster oder tiefster Punkt. - Du erhältst die Koordinaten des Punktes in Abhängigkeit vom Parameter. Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der der Parameter nicht mehr vorkommt. - Überlege dir, welche Werte die x-Koordinate annehmen kann, wenn du die Einschränkung für den Parameter berücksichtigst.

1. Ableitung bilden: \(f_k'(x) = -\frac{4}{k}x + 8\). 2. Notwendige Bedingung für Extrempunkte \(f_k'(x) = 0\) anwenden: \(-\frac{4}{k}x + 8 = 0 \implies x = 2k\). 3. \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen: \(f_k(2k) = -\frac{2}{k}(2k)^2 + 8(2k) + 1 = -8k + 16k + 1 = 8k + 1\). 4. Koordinatengleichungen aufstellen: \(x = 2k\) und \(y = 8k + 1\). 5. Parameter \(k\) eliminieren: Aus \(x = 2k\) folgt \(k = \frac{x}{2}\). Einsetzen in die \(y\)-Gleichung ergibt \(y = 8\left(\frac{x}{2}\right) + 1 = 4x + 1\). 6. Definitionsbereich beachten: Da \(k > 0\), gilt für die Ortskurve \(x > 0\).

Die Gleichung der Ortskurve lautet \(y = 4x + 1\) für \(x > 0\).

- Wie hängen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung mathematisch über Ableitungen zusammen? - Was bedeutet der Begriff „Momentangeschwindigkeit“ für die Funktion \(s(t)\)? - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für ein Extremum einer Funktion. Was bedeutet das hier für die Geschwindigkeit? - Kannst du die Einheiten der Ergebnisse aus den gegebenen Größen ableiten?

1. Die Geschwindigkeit \(v(t)\) ist die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion: \(v(t) = s'(t) = 0{,}6t^2 - 3t + 4\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit für \(t = 5\): \(v(5) = 0{,}6 \cdot 5^2 - 3 \cdot 5 + 4 = 15 - 15 + 4 = 4\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). 3. Die Beschleunigung \(a(t)\) ist die Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t) = v'(t) = 1{,}2t - 3\). 4. Die Geschwindigkeit ist minimal, wenn ihre Ableitung (die Beschleunigung) null ist: \(1{,}2t - 3 = 0 \implies t = 2{,}5\,\text{s}\). 5. Da \(t = 2{,}5\) die Nullstelle der Beschleunigungsfunktion ist, beträgt die Beschleunigung zu diesem Zeitpunkt \(a(2{,}5) = 0\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\).

a) Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{s}\) beträgt \(4\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). b) Die Geschwindigkeit ist zum Zeitpunkt \(t = 2{,}5\,\text{s}\) minimal; die Beschleunigung beträgt dort \(0\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\).

- Wann ist die Geschwindigkeit eines Objekts gleich Null? - Wie kannst du die Beschleunigung aus der Geschwindigkeitsfunktion herleiten? - Was sagt ein negatives Vorzeichen bei der Beschleunigung über die Änderung der Geschwindigkeit aus? - Stell dir den Graphen der Geschwindigkeitsfunktion vor – was passiert an den Nullstellen mit Vorzeichenwechsel?

1. Bildung der Geschwindigkeitsfunktion: \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 18t + 24\). 2. Stillstand bedeutet \(v(t) = 0\). Lösen der quadratischen Gleichung \(3t^2 - 18t + 24 = 0 \Leftrightarrow t^2 - 6t + 8 = 0\). 3. Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung ergibt \((t-2)(t-4) = 0\), also \(t_1 = 2\,\text{s}\) und \(t_2 = 4\,\text{s}\). 4. Bildung der Beschleunigungsfunktion: \(a(t) = v'(t) = 6t - 18\). 5. Berechnung der Beschleunigungswerte: \(a(2) = 6 \cdot 2 - 18 = -6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\) und \(a(4) = 6 \cdot 4 - 18 = 6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\). 6. Interpretation: Bei \(t = 2\) ist die Beschleunigung negativ, das Objekt kehrt von einer positiven in eine negative Bewegungsrichtung um. Bei \(t = 4\) ist die Beschleunigung positiv, das Objekt kehrt von einer negativen in eine positive Bewegungsrichtung um.

a) Das Objekt steht bei \(t_1 = 2\,\text{s}\) und \(t_2 = 4\,\text{s}\) momentan still. b) Die Beschleunigung beträgt \(a(2) = -6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\) und \(a(4) = 6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\). c) Bei \(t = 2\,\text{s}\) findet ein Wechsel von positiver zu negativer Geschwindigkeit statt (Bremsvorgang/Umkehr), bei \(t = 4\,\text{s}\) ein Wechsel von negativer zu positiver Geschwindigkeit.

- Berechne zuerst die Ableitung der Funktion. Der Parameter \(a\) wird dabei wie eine Zahl behandelt. - Überlege dir, welche Form der Graph der Ableitungsfunktion für verschiedene Werte von \(a\) annimmt (z. B. Gerade oder Parabel). - Wann liegt eine Parabel vollständig oberhalb oder auf der x-Achse? - Was passiert mit dem Term \(3ax^2\), wenn \(a\) negativ ist und \(x\) immer größer wird?

1. Ableitung der Funktionenschar in Abhängigkeit von \(a\) bilden: \(f_a'(x) = 3ax^2 + 3\). 2. Bedingung für streng monotones Wachstum auf \(\mathbb{R}\) aufstellen: Es muss \(f_a'(x) \ge 0\) für alle \(x\) gelten, wobei \(f_a'(x) = 0\) nur an isolierten Stellen auftreten darf. 3. Fallunterscheidung für \(a\): - Fall \(a > 0\): Der Term \(3ax^2\) ist für alle \(x\) größer oder gleich Null. Damit ist \(3ax^2 + 3 \ge 3\). Die Ableitung ist also überall positiv. - Fall \(a = 0\): Es ergibt sich \(f_0'(x) = 3\). Die Ableitung ist eine konstante positive Funktion. - Fall \(a < 0\): Die Ableitungsfunktion \(f_a'(x) = 3ax^2 + 3\) beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Für sehr große Werte von \(x\) (positiv oder negativ) wird der Term \(3ax^2\) so stark negativ, dass die gesamte Ableitung negativ wird. Damit ist die Funktion in diesen Bereichen streng monoton fallend. 4. Ergebnis kombinieren: Die Bedingung ist für alle \(a \ge 0\) erfüllt.

Die Funktion \(f_a\) ist genau dann auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend, wenn \(a \ge 0\) gilt. Für \(a \ge 0\) ist die Ableitung \(f_a'(x) = 3ax^2 + 3\) stets mindestens \(3\) (und damit positiv), während sie für \(a < 0\) für ausreichend große \(x\)-Werte negativ wird.

- Wie findet man die Bereiche, in denen eine Funktion fällt? - Skizziere im Kopf den Verlauf einer nach oben geöffneten Parabel und ihrer Nullstellen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten auf der x-Achse? - Was passiert mit dem Abstand, wenn du die Werte der Endpunkte mit demselben Faktor multiplizierst?

1. Erste Ableitung bestimmen: \(f_a'(x) = x^2 - a^2\). 2. Nullstellen der Ableitung finden: \(x^2 - a^2 = 0 \Rightarrow x_{1} = -a\) und \(x_{2} = a\). 3. Monotonie bestimmen: Da \(f_a'(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, gilt \(f_a'(x) \leq 0\) für \(x \in [-a; a]\). In diesem Intervall ist die Funktion streng monoton fallend. 4. Länge des Intervalls berechnen: \(L = a - (-a) = 2a\). 5. Parameteränderung untersuchen: Wird \(a\) durch \(3a\) ersetzt, ergibt sich die neue Länge \(L_{neu} = 3a - (-3a) = 6a\). 6. Vergleich: Da \(6a = 3 \cdot (2a)\), verdreifacht sich die Länge des Intervalls ebenfalls.

a) Das Intervall ist \([-a; a]\). b) Die Länge des Intervalls beträgt \(2a\). Bei einer Verdreifachung des Parameters \(a\) verdreifacht sich auch die Länge des Intervalls auf \(6a\).

- Überlege dir, was die erste Ableitung über die Steigung des Graphen aussagt. - Wie kannst du die Stellen finden, an denen sich das Steigungsverhalten ändern könnte? - Untersuche die Vorzeichen der Ableitung zwischen den berechneten Nullstellen. - Vergiss nicht, die \(y\)-Koordinaten der markanten Punkte mit der ursprünglichen Funktionsgleichung zu berechnen.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = -x^2 + 2x + 3\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(-x^2 + 2x + 3 = 0\). Division durch \(-1\) ergibt \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel oder Faktorisierung liefert \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Vorzeichen von \(f'(x)\) untersuchen: - Für \(x < -1\) ist \(f'(x) < 0\) (z. B. \(f'(-2) = -5\)). - Für \(-1 < x < 3\) ist \(f'(x) > 0\) (z. B. \(f'(0) = 3\)). - Für \(x > 3\) ist \(f'(x) < 0\) (z. B. \(f'(4) = -5\)). 4. Monotonieintervalle festlegen: - Streng monoton fallend für \(x \le -1\) und \(x \ge 3\), also auf den Intervallen \((-\infty; -1]\) und \([3; \infty)\). - Streng monoton steigend für \(-1 \le x \le 3\), also auf dem Intervall \([-1; 3]\). 5. Extrempunkte berechnen: - Lokales Minimum bei \(x = -1\): \(f(-1) = -\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1) - 1 = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 1 = -\frac{8}{3}\). Tiefpunkt \(T\left(-1 \mid -\frac{8}{3}\right)\). - Lokales Maximum bei \(x = 3\): \(f(3) = -\frac{1}{3}(3)^3 + 3^2 + 3(3) - 1 = -9 + 9 + 9 - 1 = 8\). Hochpunkt \(H(3 \mid 8)\).

Die Funktion ist im Intervall \([-1; 3]\) streng monoton steigend und in den Intervallen \((-\infty; -1]\) sowie \([3; \infty)\) streng monoton fallend. Es gibt einen lokalen Tiefpunkt bei \(T\left(-1 \mid -\frac{8}{3}\right)\) und einen lokalen Hochpunkt bei \(H(3 \mid 8)\).

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Term der Ableitung zu vereinfachen. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Ableitung an einer Stelle null ist, aber davor und danach dasselbe Vorzeichen hat? - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion überall steigt?

1. Ableitung berechnen: \(g'(x) = 3x^2 - 6x + 3\). 2. Ableitungsterm umformen: Ausklammern der \(3\) ergibt \(g'(x) = 3(x^2 - 2x + 1)\). Dies entspricht der binomischen Formel: \(g'(x) = 3(x-1)^2\). 3. Analyse des Vorzeichens: Da \((x-1)^2 \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt stets \(g'(x) \ge 0\). Somit ist die Funktion im gesamten Definitionsbereich monoton steigend. Da die Ableitung nur an der isolierten Stelle \(x=1\) den Wert Null annimmt, ist die Funktion sogar streng monoton steigend. 4. Waagerechte Tangente: \(g'(x) = 0\) führt zu \(x = 1\). 5. Art der Stelle bestimmen: Da \(g'(x)\) vor und nach \(x=1\) positiv ist (kein Vorzeichenwechsel), liegt kein lokales Extremum vor. Es handelt sich um einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt). 6. Funktionswert berechnen: \(g(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 3(1) + 2 = 3\).

a) Da \(g'(x) = 3(x-1)^2 \ge 0\) für alle \(x\) gilt, ist die Funktion überall monoton steigend. b) Die Stelle mit waagerechter Tangente liegt bei \(x = 1\). Da die Ableitung dort keinen Vorzeichenwechsel aufweist, ist dies keine Extremstelle, sondern ein Sattelpunkt bei \(S(1 \mid 3)\).

- Was ist die notwendige Bedingung für eine waagerechte Tangente? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung feststellen, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt? - Vergiss nicht, die \(y\)-Werte der Punkte zu berechnen, indem du die Stellen in die ursprüngliche Funktion einsetzt.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 9x + 6\) und \(f''(x) = 6x - 9\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\) lösen: \(3(x^2 - 3x + 2) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 3. Hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung prüfen: - Für \(x_1 = 1\): \(f''(1) = 6 \cdot 1 - 9 = -3\). Da \(f''(1) < 0\), liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. - Für \(x_2 = 2\): \(f''(2) = 6 \cdot 2 - 9 = 3\). Da \(f''(2) > 0\), liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 4. Funktionswerte berechnen: - \(f(1) = 1^3 - 4{,}5 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 2 = 4{,}5\). - \(f(2) = 2^3 - 4{,}5 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 + 2 = 8 - 18 + 12 + 2 = 4\). 5. Ergebnis: Hochpunkt \(H(1 \mid 4{,}5)\) und Tiefpunkt \(T(2 \mid 4)\).

Die Funktion hat einen Hochpunkt bei \(H(1 \mid 4{,}5)\) und einen Tiefpunkt bei \(T(2 \mid 4)\).

- Wie findet man Stellen, an denen der Graph eine waagerechte Tangente besitzt? - Welche Kriterien kennst du, um zu entscheiden, ob an einer solchen Stelle ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt vorliegt? - Was bedeutet es für den Graphen der Ableitungsfunktion, wenn an einer Stelle ein Extremum vorliegt? - Denke daran, dass eine Nullstelle der zweiten Ableitung allein noch nicht ausreicht, um die Art eines Punktes festzulegen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen: \(f'(x) = 0 \implies x^2(x - 3) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Überprüfung der Art der Stellen: - Für \(x_2 = 3\) gilt \(f''(3) = 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 = 27 - 18 = 9 > 0\). Es liegt ein lokales Minimum vor. Der Funktionswert ist \(f(3) = \frac{1}{4} \cdot 3^4 - 3^3 + 2 = \frac{81}{4} - 27 + 2 = 20{,}25 - 25 = -4{,}75\). Der Tiefpunkt ist \(T(3 | -4{,}75)\). - Für \(x_1 = 0\) gilt \(f''(0) = 0\). Das Vorzeichenwechselkriterium für \(f'\) zeigt: Für \(x < 0\) (z. B. \(x = -1\)) ist \(f'(-1) = -4 < 0\). Für \(0 < x < 3\) (z. B. \(x = 1\)) ist \(f'(1) = -2 < 0\). Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, ist \(x_1 = 0\) kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt \(S(0 | 2)\).

Die Funktion besitzt nur ein lokales Extremum: einen Tiefpunkt bei \(T(3 | -4{,}75)\). An der Stelle \(x = 0\) liegt ein Sattelpunkt \(S(0 | 2)\) vor, da die erste Ableitung dort zwar null ist, aber ihr Vorzeichen nicht wechselt.

- Was weißt du über die Steigung einer Geraden, die parallel zur \(x\)-Achse liegt? - Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Ableitung zusammen? - Welches Verfahren kennst du, um Nullstellen von Ausdrücken wie \(x^3 - 4x\) zu finden? - Wie kannst du sicherstellen, ob eine Stelle mit waagerechter Tangente wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt ist?

1. Da die Tangente an einem Extrempunkt waagerecht verläuft, muss ihre Steigung null sein. Da die erste Ableitung \(f'(x)\) die Tangentensteigung an der Stelle \(x\) angibt, folgt daraus die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\). 2. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 3. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen: \(x^3 - 4x = 0 \iff x(x^2 - 4) = 0\). Daraus ergeben sich die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(f''(x) = 3x^2 - 4\): - \(f''(0) = -4 < 0 \implies\) lokales Maximum bei \(x_1 = 0\). Funktionswert: \(f(0) = 3\). Hochpunkt \(H(0 \mid 3)\). - \(f''(2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0 \implies\) lokales Minimum bei \(x_2 = 2\). Funktionswert: \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\). Tiefpunkt \(T_1(2 \mid -1)\). - \(f''(-2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0 \implies\) lokales Minimum bei \(x_3 = -2\). Funktionswert: \(f(-2) = -1\). Tiefpunkt \(T_2(-2 \mid -1)\).

a) Da die Tangente waagerecht ist, muss die Steigung \(0\) sein, also gilt \(f'(x) = 0\). b) Die Stellen mit waagerechter Tangente sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). c) Die Extrempunkte sind \(H(0 \mid 3)\), \(T_1(2 \mid -1)\) und \(T_2(-2 \mid -1)\).

- Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie viele Nullstellen kann eine Funktion dritten Grades maximal haben? - Überlege, wie du die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen kannst. Hilft Ausklammern? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Vorzeichenwechsel der Ableitung und der Anzahl der Extrempunkte.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 8x^3 - 12x^2 - 18x\). 2. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung (\(f'(x) = 0\)): Ausklammern von \(2x\) ergibt \(2x \cdot (4x^2 - 6x - 9) = 0\). Die erste Nullstelle ist \(x_1 = 0\). 3. Untersuchung des quadratischen Terms \(4x^2 - 6x - 9 = 0\): Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Mitternachtsformel. Die Diskriminante \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 36 + 144 = 180\). Da \(D > 0\), existieren zwei weitere, voneinander verschiedene reelle Nullstellen \(x_2\) und \(x_3\). 4. Da \(f'(x)\) eine Polynomfunktion dritten Grades mit drei einfachen (verschiedenen) Nullstellen ist, findet an jeder dieser Stellen ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) statt. Somit liegen genau drei Extremstellen vor.

Die erste Ableitung \(f'(x) = 8x^3 - 12x^2 - 18x\) hat die drei verschiedenen Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{4}\) und \(x_3 = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{4}\). Da es sich um eine ganzrationale Funktion handelt und die Ableitung an diesen drei Stellen jeweils das Vorzeichen wechselt (einfache Nullstellen), besitzt \(f\) genau drei Extrempunkte.

- Bestimme zuerst die erste Ableitung der Funktion. - Welche Gleichung musst du lösen, um mögliche Extremstellen zu finden? - Kannst du die resultierende Gleichung durch Ausklammern vereinfachen? - Wie kannst du sicherstellen, dass an den gefundenen Stellen tatsächlich ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt?

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = x^3 - 5x^2 + 6x\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen \(g'(x) = 0\) anwenden: \(x^3 - 5x^2 + 6x = x(x^2 - 5x + 6) = 0\). Daraus folgt \(x_1 = 0\) oder \(x^2 - 5x + 6 = 0\). 3. Nullstellen des quadratischen Terms bestimmen: \(x_{2,3} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 6} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5\). Dies ergibt \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(g''(x) = 3x^2 - 10x + 6\): \(g''(0) = 6 > 0\) (lokales Minimum), \(g''(2) = 3 \cdot 4 - 20 + 6 = -2 < 0\) (lokales Maximum), \(g''(3) = 3 \cdot 9 - 30 + 6 = 3 > 0\) (lokales Minimum). Da an allen drei Stellen die hinreichende Bedingung für Extrema (\(g'(x)=0\) und \(g''(x) \neq 0\)) erfüllt ist, gibt es genau drei Extremstellen.

Die Ableitung \(g'(x) = x(x-2)(x-3)\) besitzt die drei einfachen Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). Da die zweite Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist (\(g''(0)=6\), \(g''(2)=-2\), \(g''(3)=3\)), liegen drei lokale Extremstellen vor.

- Welche Bedingung muss für die Steigung an einer Extremstelle gelten? - Erinnerst du dich an die Potenzregel beim Ableiten? - Wie kann man einen Bruch mit \(x\) im Nenner umschreiben, um ihn leichter abzuleiten? - Überlege, welche Werte für \(x\) bei der zweiten Funktion überhaupt eingesetzt werden dürfen.

1. Für Teilaufgabe a) wird die erste Ableitung gebildet: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\). Die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt zur quadratischen Gleichung \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Durch Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x-3)(x+1) = 0\) ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Funktion zu \(f(x) = x + 4x^{-1}\) umgeschrieben und abgeleitet: \(f'(x) = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2}\). Die Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(1 = \frac{4}{x^2}\), woraus \(x^2 = 4\) folgt. Die Lösungen sind \(x_3 = 2\) und \(x_4 = -2\).

a) \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\) b) \(x_1 = 2\), \(x_2 = -2\)

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du zeigen, dass ein Term wie \(x^2 + x + 1\) niemals null wird? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von der gefundenen Nullstelle. - Vergiss nicht, am Ende den Funktionswert zu berechnen, um den Punkt anzugeben.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 4x^3 + 4x^2 + 4x\). 2. Ausklammern ergibt \(f'(x) = 4x(x^2 + x + 1)\). 3. Untersuchung der Nullstellen von \(f'\): Der Faktor \(x^2 + x + 1\) hat keine reellen Nullstellen, da die Diskriminante \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3\) negativ ist. Somit ist \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f'\). 4. Da \(f'(x)\) an der Stelle \(x = 0\) das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt (da \(x^2+x+1\) stets positiv ist), liegt dort ein lokales Minimum vor. Da dies die einzige Nullstelle mit Vorzeichenwechsel ist, existiert genau ein Extrempunkt. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(0) = 0^4 + \frac{4}{3} \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 7 = 7\). Der Extrempunkt liegt bei \(E(0 \mid 7)\).

Der Graph hat genau einen Extrempunkt bei \(E(0 \mid 7)\).

- Welche Bedingung muss für eine waagerechte Tangente erfüllt sein? - Wie prüfst du, ob an einer Stelle mit waagerechter Tangente tatsächlich ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Erinnere dich an das Kriterium des Vorzeichenwechsels der ersten Ableitung. - Was sagt eine doppelte Nullstelle der Ableitungsfunktion über den Graphen der ursprünglichen Funktion aus?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(g'(x) = x^2 + 4x + 4\). 2. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung): \(x^2 + 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow (x + 2)^2 = 0\). Dies liefert die einzige kritische Stelle \(x_0 = -2\). An dieser Stelle liegt eine waagerechte Tangente vor. 3. Untersuchung auf Vorzeichenwechsel (hinreichende Bedingung): Da \(g'(x) = (x + 2)^2\) ein Quadrat ist, gilt \(g'(x) \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). 4. Schlussfolgerung: Da bei \(x_0 = -2\) kein Vorzeichenwechsel von \(g'\) stattfindet (die Steigung ist davor und danach positiv), handelt es sich um einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt) und nicht um eine Extremstelle.

Die Ableitung \(g'(x) = (x + 2)^2\) hat bei \(x = -2\) eine Nullstelle, was die waagerechte Tangente belegt. Da \(g'(x)\) als Quadrat für alle \(x \in \mathbb{R}\) nicht negativ ist, findet bei \(x = -2\) kein Vorzeichenwechsel statt. Somit liegt dort ein Sattelpunkt und keine relative Extremstelle vor.

- Was muss für die Steigung an einem Hoch- oder Tiefpunkt gelten? - Wie findet man die Nullstellen einer Funktion dritten Grades, wenn man \(x\) ausklammern kann? - Überlege dir, ob der Graph nach oben oder nach unten geöffnet ist, indem du sehr große Werte für \(x\) einsetzt. - Vergleiche die \(y\)-Werte der gefundenen Stellen untereinander – welcher Punkt liegt höher, welcher tiefer?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = 2x^3 - 8x\). 2. Notwendiges Kriterium \(f'(x) = 0\) anwenden: \(2x(x^2 - 4) = 0\) liefert die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Funktionswerte an diesen Stellen berechnen: \(f(0) = 6\), \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 16 - 4 \cdot 4 + 6 = -2\) und \(f(-2) = \frac{1}{2} \cdot 16 - 4 \cdot 4 + 6 = -2\). 4. Klassifizierung: Da der Koeffizient von \(x^4\) positiv ist, strebt die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\). Da \(f(2)\) und \(f(-2)\) kleiner sind als \(f(0)\), müssen bei \(x = \pm 2\) Tiefpunkte und bei \(x = 0\) ein Hochpunkt vorliegen. 5. Extrempunkte angeben: \(H(0|6)\), \(T_1(2|-2)\) und \(T_2(-2|-2)\).

Die Extrempunkte sind \(H(0|6)\), \(T_1(2|-2)\) und \(T_2(-2|-2)\).

- Schreibe den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten um, um die Ableitungsregeln leichter anzuwenden. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, die Variable aus dem Nenner zu eliminieren. - Überlege dir gut, was ein positives Ergebnis der zweiten Ableitung über die Krümmung und damit die Art des Extrempunktes aussagt.

1. Ableitungen berechnen: \(f(x) = x^2 + 16x^{-1}\), also \(f'(x) = 2x - 16x^{-2} = 2x - \frac{16}{x^2}\) und \(f''(x) = 2 + 32x^{-3} = 2 + \frac{32}{x^3}\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) lösen: \(2x - \frac{16}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x = \frac{16}{x^2} \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''(2) = 2 + \frac{32}{2^3} = 2 + 4 = 6 > 0\). Da die zweite Ableitung positiv ist, liegt ein lokales Minimum vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(2) = 2^2 + \frac{16}{2} = 4 + 8 = 12\).

Die Funktion besitzt einen lokalen Tiefpunkt bei \(T(2 | 12)\).

- Überlege dir, wie die Kurve verlaufen muss, um die Punkte in der richtigen Reihenfolge zu verbinden. - Was weißt du über die Abfolge von Hoch- und Tiefpunkten bei einer stetigen Funktion? - Skizziere den Verlauf grob anhand der gegebenen Punkte. - Nutze den Zwischenwertsatz: Wenn eine stetige Funktion von einem negativen zu einem positiven Wert verläuft, muss sie die Achse schneiden.

1. Da zwischen zwei Extremstellen einer ganzrationalen Funktion stets eine Extremstelle des jeweils anderen Typs liegen muss, folgt aus der Reihenfolge der \(x\)-Werte (\(-2 < 1 < 4\)) und dem Vergleich der \(y\)-Werte (\(4 > 1\) und \(1 < 5\)), dass \(B(1|1)\) ein Tiefpunkt sein muss. Wäre \(B\) ein Hochpunkt, müsste die Funktion dorthin steigen und danach fallen, was im Widerspruch zu den höheren Werten \(y_A=4\) und \(y_C=5\) steht. Folglich sind \(A\) und \(C\) Hochpunkte. 2. Da \(A(-2|4)\) der am weitesten links liegende Extrempunkt und ein Hochpunkt ist, muss die Funktion für \(x < -2\) steigen, woraus \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) folgt. Da \(C(4|5)\) der am weitesten rechts liegende Extrempunkt und ebenfalls ein Hochpunkt ist, muss die Funktion für \(x > 4\) fallen, woraus \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) folgt. 3. Im Intervall \((-\infty; -2]\) steigt die Funktion von \(-\infty\) auf \(4\), schneidet also genau einmal die \(x\)-Achse. Zwischen den Extremstellen \(x=-2, x=1\) und \(x=4\) liegen alle Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse (\(4, 1, 5\)), sodass dort keine Nullstellen existieren. Im Intervall \([4; \infty)\) fällt die Funktion von \(5\) gegen \(-\infty\), was eine weitere Nullstelle ergibt. Die Funktion hat somit insgesamt genau zwei Nullstellen.

a) \(A(-2|4)\) und \(C(4|5)\) sind Hochpunkte, \(B(1|1)\) ist ein Tiefpunkt. b) \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\). c) Die Funktion hat genau zwei Nullstellen.

- Wann hat eine Funktion dritten Grades keine Hoch- oder Tiefpunkte? - Was muss für die erste Ableitung gelten, damit kein Vorzeichenwechsel stattfindet? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion und ihrer Diskriminante. - Überlege, was es für den Graphen der Ableitung bedeutet, wenn die Diskriminante negativ oder null ist.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = x^2 + 2kx + 25\). 2. Eine Funktion dritten Grades hat genau dann keine Extremstellen, wenn ihre Ableitungsfunktion keinen Vorzeichenwechsel aufweist. Da \(f_k'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, tritt kein Vorzeichenwechsel ein, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(f_k'(x) = 0\) kleiner oder gleich null ist. 3. Aufstellen der Diskriminante: \(D = (2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 4k^2 - 100\). 4. Lösen der Ungleichung \(4k^2 - 100 \le 0\): Dies ist äquivalent zu \(k^2 \le 25\). 5. Daraus ergibt sich der Bereich \(-5 \le k \le 5\).

\(k \in [-5; 5]\)

- Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit den Extrempunkten zusammen? - Welche Rolle spielt die Diskriminante bei der Bestimmung der Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion? - Was passiert graphisch mit der Ableitungsfunktion, wenn die Diskriminante genau null ist? - Kannst du den Ausdruck für die Diskriminante mithilfe einer binomischen Formel vereinfachen?

1. Bildung der ersten Ableitung: \(g_a'(x) = 3x^2 - 6ax + (6a-3)\). 2. Bedingung für das Fehlen von Extremstellen ist, dass die Ableitung \(g_a'(x) = 0\) keine oder nur eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit (Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel) besitzt. 3. Berechnung der Diskriminante \(D\) der quadratischen Gleichung \(3x^2 - 6ax + 6a - 3 = 0\): \(D = (-6a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (6a-3) = 36a^2 - 72a + 36\). 4. Faktorisieren der Diskriminante: \(D = 36(a^2 - 2a + 1) = 36(a-1)^2\). 5. Da \((a-1)^2\) für alle reellen \(a\) größer oder gleich null ist, ist \(D \ge 0\). Damit \(g_a\) keinen Extrempunkt hat, muss \(D = 0\) gelten. 6. Lösen von \(36(a-1)^2 = 0\) ergibt \(a = 1\). Für \(a=1\) liegt an der Stelle \(x=1\) ein Sattelpunkt vor.

Ja, für \(a = 1\) besitzt die Funktion keinen Extrempunkt.

- Welche Exponenten dürfen bei einer achsensymmetrischen ganzrationalen Funktion vorkommen? - Wie verändert sich der Exponent eines Terms beim Ableiten? - Was bedeutet es für den Graphen von \(f'\), wenn \(f\) achsensymmetrisch ist? - Erinnere dich an die Bedingung für einen Sattelpunkt im Vergleich zu einem Extrempunkt bezüglich des Vorzeichenwechsels der ersten Ableitung.

1. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bedeutet, dass im Funktionsterm nur gerade Exponenten vorkommen (\(a_k = 0\) für alle ungeraden \(k\)). 2. Die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) enthält somit nur ungerade Exponenten (\(x^1, x^3, \dots\)). Jeder Summand von \(f'(x)\) hat die Form \(k \cdot a_k \cdot x^{k-1}\), wobei \(k\) gerade und somit \(k-1\) ungerade (mindestens 1) ist. 3. Durch Einsetzen von \(x = 0\) in \(f'(x)\) ergibt jeder Summand Null, woraus \(f'(0) = 0\) folgt. Dies bestätigt die waagerechte Tangente. 4. Da \(f\) achsensymmetrisch ist, ist die Ableitungsfunktion \(f'\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 5. Ein Sattelpunkt bei \(x = 0\) würde bedeuten, dass \(f'(0) = 0\) gilt, aber kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) vorliegt. 6. Aufgrund der Punktsymmetrie von \(f'\) gilt jedoch \(f'(-x) = -f'(x)\). Wenn \(f'(x) \neq 0\) für kleine \(x > 0\) ist, muss \(f'\) für negative \(x\) das entgegengesetzte Vorzeichen haben. 7. Es findet also zwingend ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) an der Stelle \(x = 0\) statt, was die Existenz eines Extrempunktes beweist.

a) Bei Achsensymmetrie treten nur gerade Exponenten auf. In der Ableitung \(f'\) haben alle Terme ungerade Exponenten (mindestens \(x^1\)), weshalb \(f'(0) = 0\) gilt. b) Da \(f\) achsensymmetrisch ist, ist \(f'\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Eine punktsymmetrische Funktion (die nicht lokal Null ist) wechselt bei \(x = 0\) stets ihr Vorzeichen. Ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an einer Nullstelle bedeutet, dass ein Extrempunkt und kein Sattelpunkt vorliegt.

- Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einer Tiefstelle erfüllt sein? - Wie lautet die Ableitungsregel für Potenzfunktionen? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extrempunkts aus?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 2. Überprüfung der notwendigen Bedingung an der Stelle \(x = 2\): \(f'(2) = 2^3 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0\). 3. Berechnung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = 3x^2 - 4\). 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung durch Einsetzen der Stelle in die zweite Ableitung: \(f''(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 = 12 - 4 = 8\). 5. Da \(f'(2) = 0\) und \(f''(2) > 0\) gilt, liegt an der Stelle \(x = 2\) ein lokaler Tiefpunkt vor.

Der Nachweis erfolgt über die Ableitungskriterien: Es gilt \(f'(2) = 0\) (notwendige Bedingung) und \(f''(2) = 8 > 0\) (hinreichende Bedingung für ein lokales Minimum). Somit besitzt der Graph an der Stelle \(x = 2\) einen Tiefpunkt.

- Was bedeutet es anschaulich, wenn ein Punkt ein „Gipfel“ (Maximum) oder ein „Tal“ (Minimum) ist? - Vergleiche den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) mit Werten, die ganz nah links und ganz nah rechts davon liegen. - Kann ein Punkt eine Extremstelle sein, wenn es in seiner unmittelbaren Nähe sowohl größere als auch kleinere Werte gibt? - Untersuche die beiden Teilfunktionen separat für Werte nahe Null.

1. Funktionswert an der Stelle bestimmen: Es gilt \(f(0) = 0^2 + 1 = 1\). 2. Umgebung rechts von \(0\) betrachten: Für alle \(x > 0\) gilt \(f(x) = x^2 + 1\). Da \(x^2 > 0\) für \(x \neq 0\), ist \(f(x) > 1\) für alle \(x > 0\). In jeder Rechtsumgebung von \(0\) gibt es also Werte, die größer als \(f(0)\) sind. 3. Umgebung links von \(0\) betrachten: Für alle \(x < 0\) gilt \(f(x) = x\). Da \(x < 0\), ist \(f(x) < 0\) und damit insbesondere \(f(x) < 1\). In jeder Linksumgebung von \(0\) gibt es also Werte, die kleiner als \(f(0)\) sind. 4. Schlussfolgerung: Da in jeder noch so kleinen Umgebung um \(x = 0\) sowohl Funktionswerte existieren, die größer als \(f(0)\) sind, als auch Funktionswerte, die kleiner als \(f(0)\) sind, kann \(f(0)\) weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum sein. Somit liegt bei \(x = 0\) keine Extremstelle vor.

An der Stelle \(x = 0\) ist \(f(0) = 1\). Für \(x > 0\) sind die Funktionswerte stets größer als \(1\) (\(x^2 + 1 > 1\)), während sie für \(x < 0\) stets kleiner als \(1\) sind (da \(x < 0\)). Da in jeder Umgebung von \(x = 0\) sowohl größere als auch kleinere Werte als \(f(0)\) vorkommen, liegt laut Definition kein lokales Extremum vor.

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wenn die erste Ableitung Null ist, ist das dann automatisch eine Extremstelle? Welches Kriterium hilft dir, das zu entscheiden? - Untersuche das Vorzeichen der Steigung kurz vor und kurz nach der Stelle \(x = 0\). - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichenwechsel der Ableitung und der Art des Extremums.

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = 5x^4 + 3x^2\). 2. Notwendige Bedingung prüfen: \(f'(0) = 5 \cdot 0^4 + 3 \cdot 0^2 = 0\). Damit ist die Bedingung für einen stationären Punkt erfüllt. 3. Hinreichendes Kriterium (Vorzeichenwechselkriterium) anwenden: Die erste Ableitung lässt sich faktorisieren zu \(f'(x) = x^2 \cdot (5x^2 + 3)\). 4. Analyse des Vorzeichens: Der Term \((5x^2 + 3)\) ist für alle \(x\) stets positiv (mindestens \(3\)). Der Term \(x^2\) ist für alle \(x \neq 0\) ebenfalls stets positiv. 5. Schlussfolgerung: Da \(f'(x) > 0\) für alle \(x \neq 0\) gilt, findet an der Stelle \(x = 0\) kein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung statt (die Funktion ist vor und nach der Stelle streng monoton steigend). Somit liegt kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt vor. Alternativ über höhere Ableitungen: \(f''(x) = 20x^3 + 6x \implies f''(0) = 0\); \(f'''(x) = 60x^2 + 6 \implies f'''(0) = 6 \neq 0\). Da die erste nicht verschwindende Ableitung von ungerader Ordnung ist, liegt ein Wendepunkt (Sattelpunkt) vor.

Die notwendige Bedingung ist erfüllt, da \(f'(0) = 0\). Die erste Ableitung \(f'(x) = x^2(5x^2 + 3)\) ist jedoch für alle \(x \neq 0\) positiv. Da somit kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) an der Stelle \(x = 0\) stattfindet, liegt dort kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt vor.

- Überlege dir bei jeder Aussage, ob du ein einfaches Beispiel (wie eine Gerade, eine Parabel oder \(x^3\)) finden kannst, das die Aussage bestätigt oder entkräftet. - Achte genau auf den Unterschied zwischen notwendigen Bedingungen (was muss gelten?) und hinreichenden Bedingungen (was reicht aus?). - Unterscheide zwischen dem Verhalten im Inneren eines Intervalls und an den Rändern. - Was bedeutet „streng monoton“ für die Steigung der Funktion?

1. Wahr. Bei strenger Monotonie gibt es keinen Vorzeichenwechsel der Steigung und keine konstanten Abschnitte, daher kann kein Punkt die Bedingung für ein lokales oder globales Extremum erfüllen. 2. Falsch. Gegenbeispiel: Ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt) wie bei \(f(x) = x^3\) an der Stelle \(x_0 = 0\). Hier ist \(f'(0) = 0\), aber es liegt kein Extremum vor, da kein Vorzeichenwechsel der Ableitung stattfindet. 3. Falsch. Gegenbeispiel: Die Funktion \(f(x) = -x^2\) auf dem offenen Intervall \((-1; 1)\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) ein globales Maximum, da \(0\) im Intervall liegt und \(f(0) \geq f(x)\) für alle \(x \in (-1; 1)\) gilt. 4. Wahr. Dies ist das notwendige Kriterium für lokale Extrema: Wenn an einer inneren Stelle \(x_0\) ein lokales Extremum vorliegt und die Funktion dort differenzierbar ist, muss die Tangente waagerecht sein, also \(f'(x_0) = 0\).

(1) Wahr; (2) Falsch (Gegenbeispiel: Sattelpunkt bei \(f(x) = x^3\)); (3) Falsch (Gegenbeispiel: \(f(x) = -x^2\) auf \((-1; 1)\)); (4) Wahr.

- Erinnere dich an die Definition eines Maximums: Muss der Wert strikt größer sein als die Nachbarwerte oder reicht „größer oder gleich“? - Skizziere dir Verläufe von Graphen, die zwischendurch steigen und fallen. Kann ein „Tal“ weiter oben liegen als ein „Berg“? - Was passiert an den Rändern eines Intervalls, wenn die Funktion dort einfach aufhört? - Überlege, was die Stetigkeit für den Verlauf des Graphen bedeutet, wenn man den Stift nicht absetzen darf.

1. Falsch. Nach der Definition eines Hochpunkts (\(f(x_0) \geq f(x)\) in einer Umgebung) ist bei einer konstanten Funktion jeder Punkt sowohl ein Hochpunkt als auch ein Tiefpunkt, da der Funktionswert überall gleich \(c\) ist. 2. Wahr. Da die Funktion streng monoton fällt, gilt für alle \(x > a\), dass \(f(a) > f(x)\). Somit ist der linke Randwert der größte Wert im Intervall. 3. Wahr. Dies ist bei Funktionen möglich, die nicht monoton sind und deren lokale Extrema weit auseinanderliegen, beispielsweise bei einer rationalen Funktion oder einer abschnittsweise definierten Funktion, bei der ein „Hügel“ tiefer liegt als ein „Tal“ an einer anderen Stelle des Graphen. 4. Wahr. Dies entspricht dem Satz vom Maximum und Minimum (Weierstraß): Eine stetige Funktion nimmt auf einem kompakten (abgeschlossenen und beschränkten) Intervall stets ihren maximalen und minimalen Funktionswert an.

(1) Falsch (jeder Punkt ist Hoch- und Tiefpunkt); (2) Wahr; (3) Wahr (z. B. bei Graphen mit mehreren „Wellen“ auf unterschiedlichem Niveau); (4) Wahr (Satz vom Maximum und Minimum).

- Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit den Hoch- und Tiefpunkten zusammen? - Welches Vorzeichen muss die erste Ableitung haben, damit eine Funktion steigt oder fällt? - Was beschreibt die zweite Ableitung im Hinblick auf die Änderungsrate der ersten Ableitung? - Untersuche den Bereich vor und nach dem berechneten Extremwert für die Monotonie.

1. Bildung der ersten beiden Ableitungen: \(f'(t) = -3t^2 + 24t\) und \(f''(t) = -6t + 24\). 2. Suche nach Extremstellen: \(f'(t) = 0 \implies -3t(t - 8) = 0\). Die relevanten Lösungen sind \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 8\). 3. Klassifizierung: \(f''(8) = -6 \cdot 8 + 24 = -24 < 0\), daher liegt bei \(t = 8\) ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des Maximums: \(f(8) = -(8^3) + 12 \cdot 8^2 + 60 = -512 + 768 + 60 = 316\). Die maximale Population beträgt 316 Insekten. 5. Monotonie: Da \(f'(t) = -3t(t-8)\) für \(0 < t < 8\) positiv ist, ist die Funktion in \([0; 8]\) streng monoton steigend. Für \(8 < t < 12\) ist \(f'(t)\) negativ, also ist die Funktion in \([8; 12]\) streng monoton fallend. 6. Bedeutung von \(f''(t) = 0\): \(-6t + 24 = 0 \implies t = 4\). Dies ist die Wendestelle der Funktion. Im Kontext der Population gibt dieser Punkt den Zeitpunkt an, an dem die Zuwachsrate (die Geschwindigkeit des Wachstums) ihr Maximum erreicht.

a) Die Population erreicht nach \(8\) Wochen ihre maximale Größe. b) Die maximale Anzahl beträgt \(316\) Insekten. c) Die Funktion ist im Intervall \([0; 8]\) streng monoton steigend und im Intervall \([8; 12]\) streng monoton fallend. d) Die Stelle \(t = 4\) (Lösung von \(f''(t) = 0\)) markiert den Zeitpunkt des stärksten Populationswachstums (maximalen Zuwachses).

- Wie beeinflussen Parameter innerhalb und außerhalb der Klammer die Lage und Form eines Graphen? - Welches Vorzeichen hat die erste Ableitung in den jeweiligen Bereichen? - Was bedeutet eine Nullstelle der Ableitung ohne Vorzeichenwechsel für die Monotonie? - Denke an die Kettenregel beim Ableiten von Termen der Form \(a(x-x_0)^n\).

1. Der Graph von \(f\) entsteht aus \(g(x) = x^4\) durch eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach links (in negative \(x\)-Richtung), eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) und eine Verschiebung um \(8\) Einheiten nach unten (in negative \(y\)-Richtung). 2. Die erste Ableitung der Funktion lautet \(f'(x) = 8(x + 1)^3\). Die Nullstelle der Ableitung liegt bei \(x = -1\). Für \(x < -1\) ist die Ableitung negativ (\(f'(x) < 0\)), da die Basis der Potenz negativ ist und ein ungerader Exponent das Vorzeichen erhält. Somit ist die Funktion im Intervall \((-\infty; -1]\) streng monoton fallend. Für \(x > -1\) ist die Ableitung positiv (\(f'(x) > 0\)), weshalb die Funktion im Intervall \([-1; \infty)\) streng monoton wachsend ist.

1. Verschiebung um \(1\) nach links, Streckung mit Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung, Verschiebung um \(8\) nach unten. 2. Streng monoton fallend für \(x \leq -1\) (Intervall \((-\infty; -1]\)); streng monoton wachsend für \(x \geq -1\) (Intervall \([-1; \infty)\)).

- Welche Rolle spielt das Minuszeichen vor dem Streckungsfaktor? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und der Steigung des Graphen. - Überlege, ob ein Quadrat jemals negative Werte annehmen kann. - Was passiert mit der Monotonie an Stellen, an denen die Ableitung null ist, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet?

1. Der Graph von \(g(x) = x^3\) wird um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Anschließend erfolgt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse kombiniert mit einer Stauchung in \(y\)-Richtung (Faktor \(\frac{1}{4}\)). Zuletzt wird der Graph um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. 2. Die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = -\frac{3}{4}(x - 2)^2\). Da der quadratische Term \((x - 2)^2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) größer oder gleich Null ist, ist das Produkt mit dem negativen Faktor \(-\frac{3}{4}\) stets kleiner oder gleich Null (\(f'(x) \leq 0\)). Die Ableitung hat lediglich an der Stelle \(x = 2\) eine Nullstelle (Sattelpunkt), ändert dort aber ihr Vorzeichen nicht. Folglich ist die Funktion \(f\) auf dem gesamten Bereich \(\mathbb{R}\) streng monoton fallend.

1. Verschiebung um \(2\) nach rechts, Spiegelung an der \(x\)-Achse und Stauchung mit Faktor \(0{,}25\), Verschiebung um \(3\) nach oben. 2. Die Funktion ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton fallend, da \(f'(x) \leq 0\) gilt und die einzige Nullstelle der Ableitung bei \(x = 2\) ein isolierter Punkt ist.

- Überlege zuerst, wie du die Steigung der Funktion an einer beliebigen Stelle berechnen kannst. - Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über den Verlauf des Graphen aus? - Wie kannst du die Stellen finden, an denen sich das Monotonieverhalten möglicherweise ändert? - Untersuche die Bereiche zwischen diesen kritischen Stellen, indem du Testwerte einsetzt.

1. Bildung der ersten Ableitung: \(g'(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung durch Erraten einer Nullstelle (\(x = 2\)) und anschließende Polynomdivision oder Faktorisierung: \(g'(x) = (x-2)(x^2 - x - 6) = (x-2)(x-3)(x+2)\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 3. Vorzeichenuntersuchung von \(g'(x)\) in den durch die Nullstellen definierten Intervallen: - Für \(x < -2\) ist \(g'(-3) = -30 < 0 \Rightarrow\) streng monoton fallend. - Für \(-2 < x < 2\) ist \(g'(0) = 12 > 0 \Rightarrow\) streng monoton wachsend. - Für \(2 < x < 3\) ist \(g'(2{,}5) = -1{,}125 < 0 \Rightarrow\) streng monoton fallend. - Für \(x > 3\) ist \(g'(4) = 12 > 0 \Rightarrow\) streng monoton wachsend. 4. Angabe der Intervalle unter Einbeziehung der Randpunkte (da \(g\) stetig ist): Streng monoton fallend für \(x \in (-\infty; -2]\) und \(x \in [2; 3]\); streng monoton wachsend für \(x \in [-2; 2]\) und \(x \in [3; \infty)\).

Die Funktion \(g\) ist streng monoton fallend in den Intervallen \((-\infty; -2]\) und \([2; 3]\). Die Funktion \(g\) ist streng monoton wachsend in den Intervallen \([-2; 2]\) und \([3; \infty)\).

- Kann eine Funktion auch dann streng monoton steigen, wenn die Ableitung an einer Stelle null ist? - Was sagt dir die Form der Ableitungsfunktion über ihr Vorzeichen aus? - Erinnere dich an die Definition eines Sattelpunktes und dessen Auswirkung auf die Monotonie. - Überprüfe, ob die Ableitung irgendwo negative Werte annimmt.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(g'(x) = 3x^2 - 12x + 12\). 2. Bestimmung der Nullstellen: \(3(x^2 - 4x + 4) = 0 \implies 3(x - 2)^2 = 0\). Es ergibt sich die einzige Nullstelle \(x = 2\). 3. Untersuchung des Vorzeichens: Da der Ausdruck \((x - 2)^2\) für alle \(x \neq 2\) positiv ist und bei \(x = 2\) den Wert null annimmt, gilt \(g'(x) \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). 4. Begründung: Da \(g'(x) > 0\) für alle \(x \neq 2\) gilt und die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist, ist die Funktion \(g\) nach dem Monotoniesatz auf dem gesamten Bereich \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend.

a) \(g'(x) = 3x^2 - 12x + 12\); einzige Nullstelle bei \(x = 2\). b) Ja, die Funktion ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend. Da \(g'(x) = 3(x - 2)^2 \ge 0\) für alle \(x\) gilt und die Ableitung nur an der isolierten Stelle \(x = 2\) null wird, ändert sich das Steigungsverhalten nicht.

- Überlege dir zuerst, welche Bedingung für die erste Ableitung erfüllt sein muss, damit eine Funktion (streng) monoton steigt oder fällt. - Wie kannst du die Stellen finden, an denen sich das Monotonieverhalten möglicherweise ändert? - Testeinsetzungen von Werten innerhalb der Intervalle können dir helfen, das Vorzeichen der Ableitung schnell zu bestimmen. - Denk daran, dass die Grenzen der Intervalle (die Nullstellen) in der Regel mit eingeschlossen werden.

1. Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen: \(-\frac{1}{2}x^3 + 2x = 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2}x(x^2 - 4) = 0\). Daraus ergeben sich die Stellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Vorzeichen von \(f'(x)\) in den durch die Nullstellen definierten Intervallen prüfen: - Für \(x \in (-\infty; -2)\) ist \(f'(-3) = 7{,}5 > 0\). - Für \(x \in (-2; 0)\) ist \(f'(-1) = -1{,}5 < 0\). - Für \(x \in (0; 2)\) ist \(f'(1) = 1{,}5 > 0\). - Für \(x \in (2; \infty)\) ist \(f'(3) = -7{,}5 < 0\). 3. Ableitungswerte interpretieren: \(f\) ist streng monoton steigend in den Intervallen, in denen \(f'(x) \geq 0\) gilt, also für \(x \in (-\infty; -2]\) und \(x \in [0; 2]\). 4. \(f\) ist streng monoton fallend in den Intervallen, in denen \(f'(x) \leq 0\) gilt, also für \(x \in [-2; 0]\) und \(x \in [2; \infty)\).

Die Funktion \(f\) ist im Intervall \((-\infty; -2]\) sowie im Intervall \([0; 2]\) streng monoton steigend. Im Intervall \([-2; 0]\) sowie im Intervall \([2; \infty)\) ist die Funktion \(f\) streng monoton fallend.

- Wie hängen die Steigung einer Funktion und das Vorzeichen ihrer Ableitung zusammen? - Welche Bedingung muss an einer Stelle erfüllt sein, damit dort ein Extrempunkt vorliegen kann? - Wie kannst du mit Testwerten in den Intervallen zwischen den Nullstellen der Ableitung herausfinden, ob der Graph steigt oder fällt? - Vergiss nicht, die \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung einzusetzen, um die \(y\)-Koordinaten zu berechnen.

1. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\). 2. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung: \(x^2 - 2x - 3 = 0\) führt zu \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f'\) zur Bestimmung der Monotonieintervalle: Für \(x < -1\) ist \(f'(x) > 0\) (streng monoton steigend), für \(-1 < x < 3\) ist \(f'(x) < 0\) (streng monoton fallend) und für \(x > 3\) ist \(f'(x) > 0\) (streng monoton steigend). 4. Bestimmung der Art der Extrempunkte: Bei \(x = -1\) findet ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) statt, also liegt ein Hochpunkt vor. Bei \(x = 3\) findet ein Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) statt, also liegt ein Tiefpunkt vor. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: \(f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 5 = 6\frac{2}{3}\) und \(f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 5 = -4\).

Die Funktion ist für \(x \le -1\) und für \(x \ge 3\) streng monoton steigend. Im Intervall \([-1; 3]\) ist sie streng monoton fallend. Hochpunkt: \(H\left(-1 \mid 6\frac{2}{3}\right)\) Tiefpunkt: \(T(3 \mid -4)\)

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der ersten Ableitung einer Funktion und ihrem Monotonieverhalten? - Wann ist eine quadratische Funktion (eine Parabel) immer größer oder gleich Null? - Erinnere dich an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung und was sie über die Anzahl der Nullstellen aussagt.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = x^2 + 2kx + 16\). 2. Eine differenzierbare Funktion ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend, wenn \(f_k'(x) \geq 0\) gilt und die Ableitung nur isolierte Nullstellen besitzt. 3. Da der Graph von \(f_k'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist die Bedingung \(f_k'(x) \geq 0\) erfüllt, wenn die Diskriminante \(D\) des quadratischen Terms kleiner oder gleich Null ist. 4. Berechnung der Diskriminante: \(D = (2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 4k^2 - 64\). 5. Lösen der Ungleichung \(4k^2 - 64 \leq 0\): Dies führt zu \(k^2 \leq 16\) und somit zum Intervall \(-4 \leq k \leq 4\).

\(-4 \leq k \leq 4\) (oder \(k \in [-4; 4]\))

- Wie findet man die Bereiche, in denen eine Funktion steigt, mithilfe der Ableitung? - Untersuche die Nullstellen der Ableitungsfunktion. - Überlege dir den Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion, um die Vorzeichen in den Zwischenbereichen zu bestimmen. - Vergiss nicht, dass der Parameter \(a\) in deinen Intervallgrenzen vorkommen wird.

1. Bildung der ersten Ableitung: \(g_a'(x) = 2ax - x^3\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung: Durch Ausklammern erhält man \(x(2a - x^2) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = -\sqrt{2a}\) und \(x_3 = \sqrt{2a}\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(g_a'(x)\): Da \(g_a'\) eine kubische Funktion mit negativem Leitkoeffizienten ist, ist sie positiv für \(x < -\sqrt{2a}\) und für \(0 < x < \sqrt{2a}\). 4. Die Funktion \(g_a\) ist somit in den Intervallen \((-\infty; -\sqrt{2a}]\) und \([0; \sqrt{2a}]\) streng monoton steigend.

\(x \in (-\infty; -\sqrt{2a}]\) und \(x \in [0; \sqrt{2a}]\)

- Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Extremstelle erfüllen? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt zu unterscheiden? - Denk daran, am Ende die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu berechnen, indem du die Stellen in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzt. - Kannst du beim Lösen der Gleichung \(f'(x) = 0\) einen Faktor ausklammern?

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2x\) und \(f''(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) lösen: \(\frac{1}{2}x(x^2 - 4) = 0\) liefert die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Hinreichendes Kriterium prüfen: - \(f''(0) = -2 < 0 \Rightarrow\) relatives Maximum (Hochpunkt). - \(f''(2) = \frac{3}{2} \cdot 4 - 2 = 4 > 0 \Rightarrow\) relatives Minimum (Tiefpunkt). - \(f''(-2) = \frac{3}{2} \cdot 4 - 2 = 4 > 0 \Rightarrow\) relatives Minimum (Tiefpunkt). 4. Funktionswerte berechnen: \(f(0) = 3\), \(f(2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 4 + 3 = 1\) und \(f(-2) = 1\). Die lokalen Extrempunkte sind \(H(0|3)\), \(T_1(2|1)\) und \(T_2(-2|1)\).

Die Funktion besitzt einen Hochpunkt bei \(H(0|3)\) sowie zwei Tiefpunkte bei \(T_1(2|1)\) und \(T_2(-2|1)\).

- Bestimme zuerst alle Stellen, an denen die Steigung der Funktion null ist. - Berechne die y-Werte an diesen Stellen. Liegen sie oberhalb oder unterhalb der x-Achse? - Untersuche das Verhalten der Funktion am Rand des Definitionsbereichs (für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\)). - Wie oft muss der Graph die x-Achse schneiden, wenn er von einem positiven zu einem negativen Wert (oder umgekehrt) wechselt?

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = x^3 - x^2 - 2x\). 2. Extremstellen finden: \(x(x^2 - x - 2) = 0\) liefert durch Ausklammern und die p-q-Formel (oder Faktorisierung) die Stellen \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 3. Funktionswerte an den Extremstellen bestimmen: \(f(-1) = \frac{19}{12} \approx 1{,}58\), \(f(0) = 2\) und \(f(2) = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67\). 4. Grenzverhalten: Da es sich um eine Funktion 4. Grades mit positivem Leitkoeffizienten handelt, gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty\). 5. Monotonie und Nullstellen: - Auf \((-\infty; -1]\) fällt \(f\) von \(\infty\) auf \(1{,}58\) (keine Nullstelle). - Auf \([-1; 0]\) steigt \(f\) von \(1{,}58\) auf \(2\) (keine Nullstelle). - Auf \([0; 2]\) fällt \(f\) von \(2\) auf \(-\frac{2}{3}\) (eine Nullstelle). - Auf \([2; \infty)\) steigt \(f\) von \(-\frac{2}{3}\) auf \(\infty\) (eine Nullstelle). Es existieren somit genau 2 Lösungen.

Die Gleichung besitzt genau 2 reelle Lösungen.

- Wie berechnet man den Gewinn aus Erlös und Kosten? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung prüfen, ob es sich um ein Maximum handelt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Unternehmen Verlust macht? - Kannst du die Nullstellen der Gewinnfunktion näherungsweise bestimmen oder berechnen?

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x)\). Mit \(E(x) = 500x\) ergibt sich \(G(x) = 500x - (x^3 - 30x^2 + 500x + 1\,000) = -x^3 + 30x^2 - 1\,000\). 2. Bestimmung des Gewinnmaximums: Ableitung bilden \(G'(x) = -3x^2 + 60x\). Nullstellen der Ableitung: \(-3x(x - 20) = 0\), daraus folgen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 20\). 3. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -6x + 60\). Da \(G''(20) = -120 + 60 = -60 < 0\), liegt bei \(x = 20\) ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(20) = -(20)^3 + 30 \cdot (20)^2 - 1\,000 = -8\,000 + 12\,000 - 1\,000 = 3\,000\,\text{€}\). 5. Bestimmung der Verlustbereiche: Lösen der Gleichung \(G(x) = 0\), also \(-x^3 + 30x^2 - 1\,000 = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x \approx 6{,}53\) und \(x \approx 28{,}79\) (sowie eine negative Lösung). Im kontinuierlichen Modell liegt ein Verlust (\(G(x) < 0\)) für \(0 \le x < 6{,}53\) und für \(x > 28{,}79\) vor. Da \(x\) eine Stückzahl ist, bedeutet dies für ganzzahlige Produktionsmengen: Verlust bei \(x = 0, 1, \ldots, 6\) und bei \(x \ge 29\).

a) \(G(x) = -x^3 + 30x^2 - 1\,000\) b) Das Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(20\) Stück; der Gewinn beträgt dort \(3\,000\,\text{€}\). c) Im kontinuierlichen Modell entsteht ein Verlust für \(0 \le x < 6{,}53\) und für \(x > 28{,}79\). Für ganzzahlige Stückzahlen gilt: Verlust bei \(0\) bis \(6\) Stück und ab \(29\) Stück.

- Was muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du anhand der Ableitungsfunktion feststellen, ob an einer Nullstelle tatsächlich ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Untersuche die Faktoren der Funktionsausdrücke – was verraten sie dir über die Nullstellen? - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von einer Nullstelle verhält.

1. Die Nullstellen der Ableitungen werden bestimmt: Für \(f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)\) ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Da es sich um einfache Nullstellen handelt, findet jeweils ein Vorzeichenwechsel (VZW) statt, sodass bei \(x=1\) und \(x=3\) Extremstellen vorliegen. Für \(g'(x) = -2(x-1)(x-3)\) ergeben sich dieselben Nullstellen mit VZW, also dieselben Extremstellen. 2. Die Ableitung \(h'(x) = (x-2)(x-1)(x-3)\) besitzt die Nullstellen \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). Da alle Faktoren einfache Nullstellen sind, findet an jeder dieser Stellen ein VZW statt. Somit hat \(h\) ebenfalls Extremstellen bei \(x=1\) und \(x=3\). 3. Die zusätzliche Extremstelle von \(h\) liegt bei \(x = 2\). Die Art wird durch das VZW-Kriterium bestimmt: Für \(x < 2\) (z. B. \(x=1{,}5\)) ist \(h'(1{,}5) = (-0{,}5) \cdot (0{,}5) \cdot (-1{,}5) = 0{,}375 > 0\). Für \(x > 2\) (z. B. \(x=2{,}5\)) ist \(h'(2{,}5) = (0{,}5) \cdot (1{,}5) \cdot (-0{,}5) = -0{,}375 < 0\). Da ein VZW von Plus nach Minus vorliegt, hat \(h\) bei \(x = 2\) ein lokales Maximum.

1. Beide Funktionen \(f\) und \(g\) haben Extremstellen bei \(x = 1\) und \(x = 3\). 2. Die Funktion \(h\) hat an den Stellen \(x = 1\) und \(x = 3\) ebenfalls einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel in der Ableitung. 3. Die zusätzliche Extremstelle von \(h\) liegt bei \(x = 2\). Es handelt sich um ein lokales Maximum.

- Welche Bedingung muss für die Steigung an einer Stelle mit waagerechter Tangente erfüllt sein? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Ableitung an einer Stelle null ist, aber ihr Vorzeichen nicht wechselt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Nullstelle in der Ableitung und dem Vorliegen eines Extremums. - Teste Werte in der Nähe der Nullstellen, um den Verlauf der Steigung zu prüfen.

1. Waagerechte Tangenten liegen an den Nullstellen der Ableitung vor: \(k'(x) = (x - 4) \cdot (x + 1)^2 = 0\). Dies liefert die Stellen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -1\). 2. Untersuchung des Vorzeichenwechsels (VZW) an \(x_1 = 4\): Für \(x < 4\) (z. B. \(x=0\)) ist \(k'(0) = (-4) \cdot 1^2 = -4 < 0\). Für \(x > 4\) (z. B. \(x=5\)) ist \(k'(5) = 1 \cdot 6^2 = 36 > 0\). Da ein VZW von Minus nach Plus vorliegt, besitzt \(k\) bei \(x = 4\) ein lokales Minimum. 3. Untersuchung an \(x_2 = -1\): Da der Faktor \((x+1)\) quadratisch vorkommt (doppelte Nullstelle), findet kein VZW statt. Für \(x < -1\) (z. B. \(x=-2\)) ist \(k'(-2) = (-6) \cdot (-1)^2 = -6 < 0\). Für \(-1 < x < 4\) (z. B. \(x=0\)) ist \(k'(0) = -4 < 0\). Da die Steigung vor und nach der Stelle negativ bleibt, liegt kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt (bzw. Terrassenpunkt) vor.

1. Die Tangente verläuft waagerecht bei \(x = 4\) und \(x = -1\). 2. Bei \(x = 4\) liegt ein lokales Minimum vor (Vorzeichenwechsel von minus nach plus). 3. Bei \(x = -1\) liegt kein Extremum vor, da die Ableitung dort keinen Vorzeichenwechsel aufweist (doppelte Nullstelle). Es handelt sich um einen Sattelpunkt.

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung oder eines Vorzeichenwechselkriteriums entscheiden, ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt? - Kannst du beim Lösen der Gleichung \(f'(x) = 0\) einen Faktor ausklammern?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 3x^2 - 6x + 2\). 4. Hinreichende Bedingung prüfen: - \(f''(0) = 2 > 0 \implies\) Lokales Minimum an der Stelle \(x = 0\). - \(f''(1) = 3 - 6 + 2 = -1 < 0 \implies\) Lokales Maximum an der Stelle \(x = 1\). - \(f''(2) = 12 - 12 + 2 = 2 > 0 \implies\) Lokales Minimum an der Stelle \(x = 2\).

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei \(x = 0\), ein lokales Maximum bei \(x = 1\) und ein weiteres lokales Minimum bei \(x = 2\).

- Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der ersten Ableitung? - Wenn eine Funktion steigt und danach fällt, welche Art von Punkt liegt dann vor? - Wie hängen die Monotonie der Ableitung und die Krümmung des Graphen zusammen? - Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad den Graphen entlang – in welche Richtung musst du lenken, wenn die Steigung immer kleiner wird?

1. Die Bedingung einer waagerechten Tangente bedeutet, dass die erste Ableitung an dieser Stelle Null ist: \(f'(3) = 0\). 2. Da die Ableitungsfunktion \(f'\) streng monoton fallend ist, müssen die Funktionswerte der Ableitung vor der Stelle positiv (\(f'(x) > 0\) für \(x < 3\)) und nach der Stelle negativ (\(f'(x) < 0\) für \(x > 3\)) sein. Es liegt also ein Vorzeichenwechsel der Steigung von Plus nach Minus vor. 3. Eine streng monoton fallende erste Ableitung bedeutet mathematisch, dass die Krümmung des Graphen negativ ist, was einer Rechtskurve entspricht. 4. Aus der Kombination einer waagerechten Tangente und einer Rechtskurve folgt, dass an der Stelle \(x = 3\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vorliegt.

An der Stelle \(x = 3\) liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. Der Graph beschreibt in diesem Bereich eine Rechtskurve.

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der ersten Ableitung und dem Steigungsverhalten des Graphen? - Wie findet man die Stellen, an denen sich das Monotonieverhalten ändern könnte? - Was bedeutet es für die Monotonie, wenn die Ableitung an einer Stelle null ist, aber davor und danach dasselbe Vorzeichen hat? - Es hilft, eine Vorzeichentabelle für die Ableitungsfunktion zu erstellen.

1. Für \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 7\) wird die Ableitung \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) gebildet. 2. Die Nullstellen der Ableitung sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Vorzeichenprüfung der Ableitung: Für \(x < -1\) ist \(f'(x) > 0\), für \(-1 < x < 3\) ist \(f'(x) < 0\) und für \(x > 3\) ist \(f'(x) > 0\). 4. Somit ist \(f\) für \(x \le -1\) und für \(x \ge 3\) streng monoton steigend sowie für \(-1 \le x \le 3\) streng monoton fallend. 5. Für \(h(x) = -2x^3 + 6x^2 - 6x + 1\) wird die Ableitung \(h'(x) = -6x^2 + 12x - 6\) gebildet. 6. Faktorisieren ergibt \(h'(x) = -6(x^2 - 2x + 1) = -6(x-1)^2\). 7. Da \((x-1)^2 \ge 0\) für alle \(x\) gilt, ist \(h'(x) \le 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Die einzige Nullstelle bei \(x = 1\) ist isoliert. 8. Daher ist \(h\) auf dem gesamten Definitionsbereich \(\mathbb{R}\) streng monoton fallend.

(1) Streng monoton steigend für \(x \in (-\infty; -1]\) und \(x \in [3; \infty)\); streng monoton fallend für \(x \in [-1; 3]\). (2) Streng monoton fallend für alle \(x \in \mathbb{R}\).

- Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über die Steigung der ursprünglichen Funktion aus? - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen einer Potenz verhält, wenn die Basis negativ ist und der Exponent gerade oder ungerade ist. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einem Vorzeichenwechsel der Ableitung und der Art des Extrempunktes. - Ein Punkt mit waagerechter Tangente, an dem kein Vorzeichenwechsel der Ableitung stattfindet, hat einen speziellen Namen.

1. Nullstelle bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies (x + 3)^5 = 0 \implies x = -3\). 2. Vorzeichenuntersuchung: Da der Exponent \(5\) ungerade ist, wechselt die Potenz \((x+3)^5\) an der Stelle \(x = -3\) das Vorzeichen. Für \(x < -3\) ist \(x+3 < 0\) und somit \(f'(x) < 0\). Für \(x > -3\) ist \(x+3 > 0\) und somit \(f'(x) > 0\). 3. Klassifizierung: Ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus an einer Nullstelle der Ableitung bedeutet einen Übergang von einer fallenden zu einer steigenden Monotonie. Somit liegt an der Stelle \(x = -3\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 4. Abhängigkeit von \(k\): Wenn \(k\) ungerade ist, findet ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus statt (lokales Minimum). Wenn \(k\) gerade ist, gilt \((x+3)^k \ge 0\) für alle \(x\). Da \(g'(-3) = 0\) ist, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet, liegt für gerade \(k\) ein Terrassenpunkt vor.

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = -3\). Für \(x < -3\) ist \(f'(x) < 0\), für \(x > -3\) ist \(f'(x) > 0\). b) Es liegt ein lokales Minimum vor, da die Ableitung an der Nullstelle \(x = -3\) einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus aufweist. c) Ist \(k\) ungerade, liegt ein lokales Minimum vor (Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\)). Ist \(k\) gerade, liegt ein Terrassenpunkt vor (kein Vorzeichenwechsel, da \(g'(x) \ge 0\)).

- Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Monotonieverhalten zusammen? - Bestimme zunächst die Nullstellen der Ableitung in Abhängigkeit von \(a\). - Überlege dir, wie sich die Lage der Nullstellen zueinander verändert, wenn \(a\) positiv, negativ oder null ist. - Eine Skizze des Graphen der Ableitungsfunktion (eine Parabel) kann helfen, die Vorzeichenbereiche zu finden.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_a'(x) = 3x^2 - 2ax = x(3x - 2a)\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{2}{3}a\). 3. Fallunterscheidung für \(a\): - Fall \(a = 0\): \(f_0'(x) = 3x^2 \ge 0\) für alle \(x\). Die Funktion ist auf ganz \(\mathbb{R}\) monoton steigend. - Fall \(a > 0\): Es gilt \(0 < \frac{2}{3}a\). Die Parabel der Ableitung ist nach oben geöffnet. \(f_a'(x) \ge 0\) für \(x \in (-\infty; 0] \cup [\frac{2}{3}a; \infty)\) und \(f_a'(x) \le 0\) für \(x \in [0; \frac{2}{3}a]\). Somit ist \(f_a\) monoton steigend auf \((-\infty; 0]\) und \([\frac{2}{3}a; \infty)\) sowie monoton fallend auf \([0; \frac{2}{3}a]\). - Fall \(a < 0\): Es gilt \(\frac{2}{3}a < 0\). \(f_a'(x) \ge 0\) für \(x \in (-\infty; \frac{2}{3}a] \cup [0; \infty)\) und \(f_a'(x) \le 0\) für \(x \in [\frac{2}{3}a; 0]\). Somit ist \(f_a\) monoton steigend auf \((-\infty; \frac{2}{3}a]\) und \([0; \infty)\) sowie monoton fallend auf \([\frac{2}{3}a; 0]\).

Für \(a = 0\): Monoton steigend auf \(\mathbb{R}\). Für \(a > 0\): Monoton steigend auf \((-\infty; 0]\) und \([\frac{2}{3}a; \infty)\); monoton fallend auf \([0; \frac{2}{3}a]\). Für \(a < 0\): Monoton steigend auf \((-\infty; \frac{2}{3}a]\) und \([0; \infty)\); monoton fallend auf \([\frac{2}{3}a; 0]\).

- Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Extremstellen zusammen? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung prüfen, ob ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt vorliegt? - Vergiss nicht, am Ende die \(y\)-Werte zu berechnen, um die vollständigen Punkte anzugeben.

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung: \(f'(x) = x^2 - x - 2\) und \(f''(x) = 2x - 1\). 2. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\)): Die Gleichung \(x^2 - x - 2 = 0\) liefert mit der \(p\)-\(q\)-Formel die Lösungen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 3. Klassifizierung mithilfe der zweiten Ableitung (hinreichende Bedingung): - Für \(x_1 = -1\): \(f''(-1) = 2 \cdot (-1) - 1 = -3 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum vor. - Für \(x_2 = 2\): \(f''(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3 > 0\). Es liegt ein lokales Minimum vor. 4. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: - \(f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 - 2(-1) + 4 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 + 4 = \frac{31}{6} = 5\frac{1}{6}\). - \(f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) + 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 + 4 = \frac{2}{3}\). 5. Ergebnis: Hochpunkt \(H\left(-1 \mid \frac{31}{6}\right)\) und Tiefpunkt \(T\left(2 \mid \frac{2}{3}\right)\).

Hochpunkt \(H\left(-1 \mid \frac{31}{6}\right)\) (oder ca. \(H(-1 \mid 5{,}17)\)), Tiefpunkt \(T\left(2 \mid \frac{2}{3}\right)\) (oder ca. \(T(2 \mid 0{,}67)\)).

- Was ist die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunkts? - Wie kannst du die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Nullstelle der Ableitung und dem Vorliegen eines Extremums? - Was sagt das Vorzeichen der Diskriminante über die Nullstellen eines quadratischen Terms aus?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^4 - 2x^3 + \frac{3}{2}x^2\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'(x)\): Ausklammern ergibt \(x^2 \cdot (x^2 - 2x + 1{,}5) = 0\). 3. Untersuchung der Faktoren: Der erste Faktor \(x^2\) liefert die doppelte Nullstelle \(x_1 = 0\). Der zweite Faktor \(x^2 - 2x + 1{,}5 = 0\) besitzt keine reellen Lösungen, da die Diskriminante \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1{,}5 = -2\) kleiner als Null ist. 4. Überprüfung auf Vorzeichenwechsel: Da \(x_1 = 0\) eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit ist (bzw. \(f'(x) = x^2 \cdot ((x-1)^2 + 0{,}5) \ge 0\) für alle \(x\)), findet an dieser Stelle kein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung statt. 5. Schlussfolgerung: Da die einzige Stelle mit waagerechter Tangente ein Sattelpunkt ist und keine weiteren potenziellen Extremstellen existieren, hat der Graph keine Extrempunkte.

Die erste Ableitung \(f'(x) = x^2(x^2 - 2x + 1{,}5)\) hat lediglich bei \(x = 0\) eine Nullstelle. Da es sich um eine doppelte Nullstelle handelt (quadratischer Faktor), findet dort kein Vorzeichenwechsel statt. Der quadratische Term \(x^2 - 2x + 1{,}5\) hat keine reellen Nullstellen (\(D = -2\)). Somit besitzt \(f\) keinen Extrempunkt.

- Welche Informationen liefern die Punkte \(P\) und \(Q\) für die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel? - Wie hängen die Öffnungsrichtung einer Parabel und die Lage ihres Scheitelpunkts mit den Parametern der Gleichung zusammen? - Mit welchem Werkzeug aus der Differenzialrechnung bestimmt man die Stelle, an der eine Funktion ihren höchsten Wert annimmt?

1. Ansatz für die Parabel: \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Aus \(P(0|1{,}5)\) folgt direkt \(c = 1{,}5\). 2. Einsetzen von \(Q(30|0)\): \(a \cdot 30^2 + b \cdot 30 + 1{,}5 = 0 \implies 900a + 30b + 1{,}5 = 0\). 3. Umstellen nach \(b\): \(30b = -900a - 1{,}5 \implies b = -30a - 0{,}05\). Einsetzen in den Ansatz ergibt \(f_a(x) = ax^2 - (30a + 0{,}05)x + 1{,}5\). 4. Einschränkungen für \(a\): Für eine nach unten geöffnete Parabel muss \(a < 0\) gelten. Damit der Scheitelpunkt rechts von der Düse liegt (\(x_s > 0\)), muss der Koeffizient \(b = -(30a + 0{,}05) > 0\) sein, also \(30a + 0{,}05 < 0\). Dies führt zu \(a < -\frac{0{,}05}{30} = -\frac{1}{600}\). 5. Bestimmung des Maximums: \(f'_a(x) = 2ax - (30a + 0{,}05)\). Nullsetzen ergibt \(2ax = 30a + 0{,}05 \implies x = \frac{30a + 0{,}05}{2a} = 15 + \frac{0{,}025}{a}\).

a) Nachweis durch Einsetzen der Punkte \(P(0|1{,}5)\) und \(Q(30|0)\) in \(f(x) = ax^2 + bx + c\). b) \(a < -\frac{1}{600}\) (bzw. \(a < -0{,}00167\)). c) Das Maximum liegt an der Stelle \(x = 15 + \frac{0{,}025}{a}\).

- Überlege zuerst, wie du die Stellen findest, an denen die Tangente waagerecht verläuft. - Wie kannst du sicherstellen, ob an diesen Stellen tatsächlich ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Vergiss nicht, auch die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu berechnen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 4x\) und \(f''(x) = 3x^2 - 4\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) lösen: \(x(x^2 - 4) = 0\) liefert die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Hinreichende Bedingung mit \(f''(x)\) prüfen: - \(f''(0) = -4 < 0 \implies\) lokales Maximum bei \(x_1 = 0\). - \(f''(2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0 \implies\) lokales Minimum bei \(x_2 = 2\). - \(f''(-2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0 \implies\) lokales Minimum bei \(x_3 = -2\). 4. Funktionswerte berechnen: - \(f(0) = 5 \implies H(0 \mid 5)\). - \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \implies T_1(2 \mid 1)\). - \(f(-2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 5 = 1 \implies T_2(-2 \mid 1)\).

Die Extrempunkte sind \(H(0 \mid 5)\), \(T_1(2 \mid 1)\) und \(T_2(-2 \mid 1)\).

- Bestimme zuerst die Ableitungsfunktion. - An welchen Stellen ist die Steigung null? Diese Stellen unterteilen den Definitionsbereich in Intervalle. - Wähle aus jedem Intervall einen beliebigen Wert und setze ihn in die Ableitung ein, um das Vorzeichen zu bestimmen. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und der Monotonie?

1. Erste Ableitung bilden: \(h'(x) = -x^3 + 4x\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(-x(x^2 - 4) = 0\) ergibt \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(h'(x)\) in den Intervallen: - \(I_1 = (-\infty; -2)\): \(h'(-3) = 15 > 0 \Rightarrow\) streng monoton steigend. - \(I_2 = (-2; 0)\): \(h'(-1) = -3 < 0 \Rightarrow\) streng monoton fallend. - \(I_3 = (0; 2)\): \(h'(1) = 3 > 0 \Rightarrow\) streng monoton steigend. - \(I_4 = (2; \infty)\): \(h'(3) = -15 < 0 \Rightarrow\) streng monoton fallend. 4. Da \(h\) stetig ist, werden die Randpunkte der Intervalle eingeschlossen.

Streng monoton steigend für \(x \in (-\infty; -2]\) und \(x \in [0; 2]\). Streng monoton fallend für \(x \in [-2; 0]\) und \(x \in [2; \infty)\).

- Welche geometrischen Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Quaders kennst du? - Beachte, dass der Behälter oben offen ist. Wie wirkt sich das auf die Oberflächenformel aus? - Kannst du eine der Variablen (Höhe oder Grundseite) durch die andere ausdrücken, indem du das gegebene Volumen nutzt? - Wie findest du das Minimum einer Funktion mithilfe der Ableitung?

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Oberfläche \(O\): \(O = a^2 + 4 \cdot a \cdot h\), wobei \(a\) die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und \(h\) die Höhe ist. 2. Aufstellen der Nebenbedingung über das Volumen \(V\): \(V = a^2 \cdot h = 108\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{108}{a^2}\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Zielfunktion zur Bildung der Zielfunktion in Abhängigkeit von \(a\): \(O(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{108}{a^2} = a^2 + \frac{432}{a}\). 5. Bestimmung der ersten Ableitung: \(O'(a) = 2a - \frac{432}{a^2}\). 6. Nullsetzen der ersten Ableitung zur Bestimmung der Extremstelle: \(2a - \frac{432}{a^2} = 0 \Rightarrow 2a^3 = 432 \Rightarrow a^3 = 216 \Rightarrow a = 6\). 7. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung \(O''(a) = 2 + \frac{864}{a^3}\): Da \(O''(6) = 6 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. 8. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{108}{6^2} = \frac{108}{36} = 3\).

Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt \(6\,\text{dm}\) und die Höhe des Behälters beträgt \(3\,\text{dm}\).

- Was ist hier die Größe, die maximiert werden soll, und welche Größe ist fest vorgegeben? - Stelle eine Gleichung für die Oberfläche eines geschlossenen Quaders mit quadratischer Grundfläche auf. - Wie kannst du die Höhe eliminieren, um das Volumen nur noch in Abhängigkeit von der Grundseite darzustellen? - An welchem Punkt der Kurve erreicht das Volumen seinen höchsten Wert?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen \(V\): \(V = a^2 \cdot h\), wobei \(a\) die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und \(h\) die Höhe ist. 2. Aufstellen der Nebenbedingung über die Oberfläche \(O\): \(O = 2a^2 + 4ah = 150\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach \(h\): \(4ah = 150 - 2a^2 \Rightarrow h = \frac{150 - 2a^2}{4a} = \frac{37{,}5}{a} - 0{,}5a\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Zielfunktion: \(V(a) = a^2 \cdot \left(\frac{37{,}5}{a} - 0{,}5a\right) = 37{,}5a - 0{,}5a^3\). 5. Bestimmung der ersten Ableitung: \(V'(a) = 37{,}5 - 1{,}5a^2\). 6. Nullsetzen der ersten Ableitung: \(37{,}5 - 1{,}5a^2 = 0 \Rightarrow 1{,}5a^2 = 37{,}5 \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\) (da \(a > 0\)). 7. Überprüfung des Extremums mit der zweiten Ableitung \(V''(a) = -3a\): Da \(V''(5) = -15 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 8. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{150 - 2 \cdot 5^2}{4 \cdot 5} = \frac{150 - 50}{20} = 5\).

Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt \(5\,\text{cm}\) und die Höhe beträgt ebenfalls \(5\,\text{cm}\) (der Karton ist also ein Würfel).

- Überlege zuerst, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet, wenn die Seitenlängen durch die Koordinaten eines Punktes auf der Kurve gegeben sind. - Denke daran, dass Extremwerte nicht nur dort liegen können, wo die Ableitung Null ist. - Was passiert an den Grenzen des Definitionsbereichs? - Vergleiche alle berechneten Werte, um den tatsächlich größten Flächeninhalt zu finden.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x^2 - 6x + 10) = x^3 - 6x^2 + 10x\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(A'(x) = 3x^2 - 12x + 10\). 3. Suche nach lokalen Extremstellen durch Nullsetzen der Ableitung: \(3x^2 - 12x + 10 = 0\) ergibt mithilfe der \(p-q\)-Formel oder Mitternachtsformel die Stellen \(x_1 = 2 - \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 1{,}18\) und \(x_2 = 2 + \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 2{,}82\). 4. Prüfung der Funktionswerte an den kritischen Stellen: \(A(2 - \frac{\sqrt{6}}{3}) \approx 5{,}09\) (lokales Maximum) und \(A(2 + \frac{\sqrt{6}}{3}) \approx 2{,}91\) (lokales Minimum). 5. Vergleich mit den Randwerten des Intervalls \([0; 4]\): \(A(0) = 0\) und \(A(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 10 \cdot 4 = 64 - 96 + 40 = 8\). 6. Da der Randwert \(A(4) = 8\) größer ist als der lokale Maximalwert \(5{,}09\), liegt das absolute Maximum am rechten Rand vor.

Der maximale Flächeninhalt wird am Rand des Intervalls bei \(x = 4\) erreicht.

- Was genau soll minimiert werden und welche Größe ist konstant? - Kannst du eine der Variablen durch die andere ausdrücken, indem du die Volumenformel nutzt? - Wie sieht die Funktion aus, wenn sie nur noch von einer Variablen abhängt? - Erinnerst du dich an das Vorgehen zur Bestimmung von Tiefpunkten einer Funktion?

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Oberfläche: \(O(r, h) = 2\pi r^2 + 2\pi r h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für das Volumen: \(V = \pi r^2 h\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{V}{\pi r^2}\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Zielfunktion: \(O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(O'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}\). 6. Nullsetzen der ersten Ableitung zur Bestimmung des Extremums: \(4\pi r = \frac{2V}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{V}{2\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\). 7. Überprüfung der zweiten Ableitung \(O''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0\) für \(r > 0\) bestätigt das Minimum. 8. Berechnung der Höhe \(h\): \(h = \frac{V}{\pi \cdot (\frac{V}{2\pi})^{\frac{2}{3}}} = \frac{V \cdot (2\pi)^{\frac{2}{3}}}{\pi \cdot V^{\frac{2}{3}}} = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\). 9. Ergebnis: Der Radius beträgt \(r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\) und die Höhe \(h = 2r = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\).

Die Oberfläche ist minimal für \(r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\) und \(h = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\). Das bedeutet, die Höhe des Zylinders entspricht genau seinem Durchmesser.

- Stell dir die Schachtel ohne Deckel vor – wie viele Flächen hat sie? - Nutze das feste Volumen, um die Höhe durch die Grundseite zu ersetzen. - Überlege dir, wie du das Verhältnis \(a : h\) am Ende isolieren kannst. - Welche Bedingungen müssen für ein Minimum erfüllt sein?

1. Definition der Zielfunktion für die Oberfläche: \(A(a, h) = a^2 + 4ah\) (Boden plus vier Seitenflächen). 2. Definition der Nebenbedingung für das Volumen: \(V = a^2 h\). 3. Auflösen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{V}{a^2}\). 4. Substitution in die Zielfunktion: \(A(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{V}{a^2} = a^2 + \frac{4V}{a}\). 5. Ableiten der Funktion: \(A'(a) = 2a - \frac{4V}{a^2}\). 6. Bestimmung der Extremstelle durch \(A'(a) = 0\): \(2a = \frac{4V}{a^2} \Rightarrow a^3 = 2V \Rightarrow a = \sqrt[3]{2V}\). 7. Nachweis des Minimums: \(A''(a) = 2 + \frac{8V}{a^3} > 0\) für \(a > 0\). 8. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{V}{(\sqrt[3]{2V})^2} = \frac{V}{2^{\frac{2}{3}} V^{\frac{2}{3}}} = \frac{V^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{2} \sqrt[3]{2V}\). 9. Vergleich von \(a\) und \(h\): \(a = \sqrt[3]{2V}\) und \(h = \frac{1}{2}a\). 10. Das Verhältnis ist \(a : h = 2 : 1\).

Der Materialverbrauch ist minimal, wenn die Seitenlänge der Grundfläche \(a\) doppelt so groß ist wie die Höhe \(h\). Das Verhältnis beträgt somit \(a : h = 2 : 1\).

- Welche Größe soll in dieser Aufgabe maximal werden? Formuliere dafür eine Formel. - Wie hängen die Längen der Zaunstücke mit der Gesamtlänge des Drahtes zusammen? - Kannst du eine der Variablen in deiner Flächenformel durch die andere ersetzen? - Wie findet man rechnerisch den höchsten Punkt einer Kurve? - Hast du geprüft, ob dein Ergebnis tatsächlich ein Maximum und kein Minimum ist?

1. Aufstellen der Hauptbedingung für den Flächeninhalt: \(A(x, y) = x \cdot y\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für die Zaunlänge: \(3x + y = 120\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(y\): \(y = 120 - 3x\). 4. Aufstellen der Zielfunktion durch Einsetzen in die Hauptbedingung: \(A(x) = x \cdot (120 - 3x) = 120x - 3x^2\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(A'(x) = 120 - 6x\). 6. Bestimmen der Nullstelle der ersten Ableitung: \(120 - 6x = 0 \Rightarrow x = 20\). 7. Überprüfung der Maximaleigenschaft mit der zweiten Ableitung: \(A''(x) = -6\). Da \(A''(20) = -6 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 8. Berechnung der zugehörigen Länge \(y\): \(y = 120 - 3 \cdot 20 = 60\). Die optimalen Maße sind \(x = 20\,\text{m}\) und \(y = 60\,\text{m}\).

Die Gesamtfläche wird maximal für die Maße \(x = 20\,\text{m}\) und \(y = 60\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilstücken der Zaun besteht und wie diese mit den Seitenlängen des Rechtecks zusammenhängen. - Welche Information im Text beschreibt eine feste Größe, die du als Bedingung nutzen kannst? - Versuche, eine Formel für die Größe aufzustellen, die minimal werden soll, und ersetze eine der Variablen mithilfe der festen Größe. - Wie findet man rechnerisch den kleinsten Wert einer Funktion?

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Zaunlänge \(L\): Sei \(x\) die Länge einer der beiden zur Mauer senkrechten Seiten und \(y\) die Länge der zur Mauer parallelen Seite. Dann gilt \(L(x, y) = 2x + y\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung über den Flächeninhalt: \(A = x \cdot y = 18\), woraus folgt \(y = \frac{18}{x}\). 3. Bilden der Zielfunktion in Abhängigkeit von einer Variablen: \(L(x) = 2x + \frac{18}{x}\) für \(x > 0\). 4. Bestimmung der Ableitung: \(L'(x) = 2 - \frac{18}{x^2}\). 5. Suche nach der Extremstelle durch Nullsetzen der Ableitung: \(2 - \frac{18}{x^2} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3\) (da \(x > 0\)). 6. Überprüfung der Art des Extremums: \(L''(x) = \frac{36}{x^3}\). Da \(L''(3) = \frac{36}{27} > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. 7. Berechnung der zweiten Seite: \(y = \frac{18}{3} = 6\). Das Gehege muss somit \(3\,\text{m}\) tief (senkrecht zur Mauer) und \(6\,\text{m}\) breit (parallel zur Mauer) sein.

Die zur Mauer senkrechten Seiten müssen \(3\,\text{m}\) lang sein und die zur Mauer parallele Seite muss \(6\,\text{m}\) lang sein.

- Skizziere im Kopf oder auf Papier, wie das Blech nach dem Ausschneiden der Ecken aussieht. - Wie hängen die Maße des Schachtelbodens und die Höhe der Schachtel von der Länge \(x\) ab? - Stelle eine Funktion für das Volumen in Abhängigkeit von \(x\) auf. - In welchem Bereich muss \(x\) liegen, damit überhaupt eine Schachtel entstehen kann? - Nutze die Ableitungsregeln, um das Maximum der Volumenfunktion zu finden.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: Das Volumen einer Schachtel ist \(V = \text{Grundfläche} \cdot \text{Höhe}\). Nach dem Ausschneiden der Ecken hat der Boden die Seitenlängen \(24 - 2x\) und die Höhe der Schachtel ist \(x\). 2. Aufstellen der Zielfunktion: \(V(x) = (24 - 2x)^2 \cdot x = (576 - 96x + 4x^2) \cdot x = 4x^3 - 96x^2 + 576x\). 3. Festlegen des Definitionsbereichs: Da die Seitenlängen positiv sein müssen, gilt \(0 < x < 12\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(V'(x) = 12x^2 - 192x + 576\). 5. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(12x^2 - 192x + 576 = 0 \implies x^2 - 16x + 48 = 0\). Anwendung der p-q-Formel liefert \(x_1 = 4\) und \(x_2 = 12\). 6. Überprüfung der Extremstelle: Da \(x_2 = 12\) am Rand des Definitionsbereichs liegt (Volumen wäre 0), wird \(x_1 = 4\) untersucht. Zweite Ableitung: \(V''(x) = 24x - 192\). \(V''(4) = 96 - 192 = -96 < 0\), also liegt ein Maximum vor. 7. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(4) = (24 - 2 \cdot 4)^2 \cdot 4 = 16^2 \cdot 4 = 256 \cdot 4 = 1024\).

Die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate muss \(x = 4\,\text{cm}\) betragen. Das maximale Volumen der Schachtel ist \(1024\,\text{cm}^3\).

- Aus welchen Teilflächen setzt sich das Beet zusammen? - Welche Teilstücke der Ränder bilden zusammen den gesamten Umfang? - Kannst du eine der Variablen durch die Umfangsgleichung ausdrücken und in die Flächenformel einsetzen? - Wie findet man die Stelle, an der eine Funktion ihren höchsten Wert erreicht? - Überprüfe am Ende, ob deine Maße für das Rechteck und den Halbkreis sinnvoll sind.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): Die Gesamtfläche setzt sich aus dem Rechteck \(b \cdot l\) und dem Halbkreis \(\frac{1}{2} \pi (\frac{b}{2})^2\) zusammen: \(A(b, l) = b \cdot l + \frac{\pi b^2}{8}\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für den Umfang \(U\): Die Begrenzung besteht aus einer Rechteckseite \(b\), zwei Seiten der Länge \(l\) und dem Halbkreisbogen \(\frac{1}{2} \pi b\). Es gilt: \(b + 2l + \frac{\pi b}{2} = 10\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach \(l\): \(l = 5 - \frac{b}{2} - \frac{\pi b}{4}\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion ergibt: \(A(b) = b \cdot (5 - \frac{b}{2} - \frac{\pi b}{4}) + \frac{\pi b^2}{8} = 5b - \frac{b^2}{2} - \frac{\pi b^2}{8}\). 5. Bestimmung des Maximums durch Ableiten: \(A'(b) = 5 - b - \frac{\pi}{4} b\). Nullsetzen liefert \(b = \frac{5}{1 + \frac{\pi}{4}} = \frac{20}{4 + \pi} \approx 2{,}80\,\text{m}\). 6. Berechnung der Länge \(l\): Einsetzen von \(b\) in die umgeformte Nebenbedingung ergibt \(l = \frac{10}{4 + \pi} \approx 1{,}40\,\text{m}\). Wegen \(A''(b) = -(1 + \frac{\pi}{4}) < 0\) handelt es sich um ein Maximum.

Die Breite des Rechtecks beträgt \(b = \frac{20}{4 + \pi} \approx 2{,}80\,\text{m}\) und die Länge der Seiten beträgt \(l = \frac{10}{4 + \pi} \approx 1{,}40\,\text{m}\).

- Stelle zuerst eine Gleichung für die Oberfläche der Schachtel auf, die aus dem Boden und den vier Wänden besteht. - Drücke das Volumen durch eine einzige Variable aus, indem du die Oberflächenformel nach einer Variablen auflöst und einsetzt. - Denke daran, die erste Ableitung der Volumenfunktion zu nutzen, um das Maximum zu finden. - Vergiss nicht, am Ende auch die zweite Dimension zu berechnen.

1. Aufstellen der Nebenbedingung für die Oberfläche: \(O = a^2 + 4ah = 108\). Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{108 - a^2}{4a}\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen \(V\): \(V(a) = a^2 \cdot h = a^2 \cdot \frac{108 - a^2}{4a} = \frac{108a - a^3}{4} = 27a - 0{,}25a^3\). 3. Bestimmung der Extremstelle: \(V'(a) = 27 - 0{,}75a^2\). Nullsetzen: \(27 - 0{,}75a^2 = 0 \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6\) (da \(a > 0\)). 4. Überprüfung des Maximums: \(V''(a) = -1{,}5a\). Da \(V''(6) = -9 < 0\), liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{108 - 6^2}{4 \cdot 6} = \frac{72}{24} = 3\). 6. Ergebnis: Die Grundseite beträgt \(6\,\text{cm}\) und die Höhe \(3\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt \(a = 6\,\text{cm}\) und die Höhe der Schachtel beträgt \(h = 3\,\text{cm}\).

- Kannst du die Situation in einem Koordinatensystem darstellen? Wo liegen die Eckpunkte der Bruchlinie? - Was ist die Zielgröße, die maximiert werden soll, und von welchen Variablen hängt sie ab? - Wie hängen die Breite und die Höhe des neuen Rechtecks zusammen, wenn eine Ecke auf der Bruchlinie liegen muss? - Überlege dir, für welchen Bereich von \(x\) die Bruchlinie überhaupt relevant ist.

1. Legen des Koordinatensystems mit dem Ursprung in die unbeschädigte Ecke: Die Platte erstreckt sich von \(x = 0\) bis \(x = 120\) und von \(y = 0\) bis \(y = 80\). 2. Bestimmung der Eckpunkte der Bruchkante: Mittelpunkt der langen Seite bei \((60|80)\), Mittelpunkt der kurzen Seite bei \((120|40)\). 3. Aufstellen der Geradengleichung für die Bruchkante: Steigung \(m = \frac{40 - 80}{120 - 60} = -\frac{2}{3}\). Gleichung: \(y = -\frac{2}{3}(x - 60) + 80 = -\frac{2}{3}x + 120\). 4. Definition der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A(x) = x \cdot y\) unter Verwendung der Nebenbedingung \(y = -\frac{2}{3}x + 120\): \(A(x) = x \cdot (-\frac{2}{3}x + 120) = -\frac{2}{3}x^2 + 120x\). 5. Bestimmung des Extremums durch Ableiten: \(A'(x) = -\frac{4}{3}x + 120\). Nullsetzen liefert \(-\frac{4}{3}x = -120 \Rightarrow x = 90\). 6. Prüfung der Randwerte und der zweiten Ableitung: Da \(A''(x) = -\frac{4}{3} < 0\), liegt ein Maximum vor. Für \(x = 90\) ergibt sich \(y = -\frac{2}{3} \cdot 90 + 120 = 60\). 7. Vergleich mit den Eckpunkten der Bruchstrecke: \(A(60) = 4800\,\text{cm}^2\), \(A(120) = 4800\,\text{cm}^2\), \(A(90) = 5400\,\text{cm}^2\). Das Maximum ist \(5400\,\text{cm}^2\).

Die neue Glasplatte hat die Maße \(90\,\text{cm} \times 60\,\text{cm}\).

- Welche mathematische Beziehung besteht zwischen der Breite \(x\) und der Höhe \(y\) des Rechtecks? - In welchem Bereich darf sich der Punkt \((x|y)\) auf der schrägen Kante bewegen? - Wie lautet die Funktion für den Flächeninhalt, wenn du \(y\) durch den gegebenen Funktionsterm ersetzt? - Hast du nach dem Finden des Extremwerts auch die Ränder des Definitionsbereichs überprüft?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x, y) = x \cdot y\). 2. Einsetzen der Nebenbedingung \(y = -0{,}5x + 13\) in die Zielfunktion: \(A(x) = x \cdot (-0{,}5x + 13) = -0{,}5x^2 + 13x\). 3. Bestimmung des Definitionsbereichs für \(x\): Die Schnittkante existiert für \(6 \le x \le 16\). 4. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = -x + 13\). 5. Berechnen der Nullstelle der ersten Ableitung: \(-x + 13 = 0 \Rightarrow x = 13\). 6. Überprüfung der Art des Extremums: \(A''(x) = -1 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung der zugehörigen Koordinate \(y = -0{,}5 \cdot 13 + 13 = 6{,}5\). 8. Vergleich mit den Randwerten: \(A(6) = 6 \cdot 10 = 60\), \(A(16) = 16 \cdot 5 = 80\), \(A(13) = 13 \cdot 6{,}5 = 84{,}5\). Das absolute Maximum liegt bei \(x = 13\).

Die optimalen Seitenlängen sind \(x = 13\,\text{dm}\) und \(y = 6{,}5\,\text{dm}\).

- Drücke die Kosten als Funktion der Oberfläche aus und berücksichtige dabei die Gewichtung der verschiedenen Flächen. - Nutze das gegebene Volumen, um eine der beiden Variablen (\(x\) oder \(h\)) zu eliminieren. - Suche das Minimum der entstandenen Funktion mithilfe der Ableitung. - Achte darauf, dass die Grundfläche quadratisch ist, was die Formeln vereinfacht.

1. Hauptbedingung: Minimierung der Kostenfunktion \(K\). Sei \(c\) der Kostensatz pro Flächeneinheit der Seitenwände. Dann gilt: \(K = 2 \cdot (x^2 \cdot 2c) + 4 \cdot (x \cdot h \cdot c) = c \cdot (4x^2 + 4xh)\). Da \(c\) ein konstanter Faktor ist, kann die Funktion \(f(x, h) = 4x^2 + 4xh\) minimiert werden. 2. Nebenbedingung: Volumen \(V = x^2 \cdot h = 54\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{54}{x^2}\). 4. Einsetzen in die Kostenfunktion ergibt die Zielfunktion: \(K(x) = 4x^2 + 4x \cdot \frac{54}{x^2} = 4x^2 + \frac{216}{x}\). 5. Erste Ableitung bilden: \(K'(x) = 8x - \frac{216}{x^2}\). 6. Extremstelle berechnen: \(8x - \frac{216}{x^2} = 0 \implies 8x^3 = 216 \implies x^3 = 27 \implies x = 3\). 7. Überprüfung (optional): \(K''(x) = 8 + \frac{432}{x^3} > 0\) für \(x=3\), also liegt ein Minimum vor. 8. Höhe berechnen: \(h = \frac{54}{3^2} = \frac{54}{9} = 6\). 9. Ergebnisse in \(\text{dm}\): \(x = 3\,\text{dm}\) und \(h = 6\,\text{dm}\).

Die Materialkosten sind minimal, wenn die Grundseite \(x = 3\,\text{dm}\) (bzw. \(30\,\text{cm}\)) und die Höhe \(h = 6\,\text{dm}\) (bzw. \(60\,\text{cm}\)) beträgt.

- Stelle zuerst eine Formel für den Umfang auf, um eine Variable durch die andere auszudrücken. - Wie hängen die Seitenlängen in einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse zusammen? - Die Lichtmenge ist proportional zur Fläche und zum Transmissionsgrad (1 minus Absorptionsgrad). - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein berechneter Wert tatsächlich ein Maximum liefert.

1. Aufstellen der Nebenbedingung für den Umfang: Mit der Hypotenuse \(x\) sind die Katheten des Dreiecks \(s = \frac{x}{\sqrt{2}}\). Der Umfang ist \(U = x + 2y + 2s = x + 2y + \sqrt{2}x = 8\). Umgestellt nach \(y\) ergibt sich \(y = 4 - \frac{1+\sqrt{2}}{2}x\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Lichttransmission \(L\): Die Flächeninhalte sind \(A_R = x \cdot y\) und \(A_D = \frac{1}{2} \cdot s^2 = \frac{1}{4}x^2\). Die Transmission beträgt \(L(x) = 0{,}9 \cdot A_R + 0{,}6 \cdot A_D\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung: \(L(x) = 0{,}9 \cdot x \cdot (4 - \frac{1+\sqrt{2}}{2}x) + 0{,}6 \cdot \frac{1}{4}x^2 = 3{,}6x - (0{,}45 + 0{,}45\sqrt{2} - 0{,}15)x^2 = 3{,}6x - (0{,}3 + 0{,}45\sqrt{2})x^2\). 4. Bestimmung des Extremums: Die Ableitung \(L'(x) = 3{,}6 - (0{,}6 + 0{,}9\sqrt{2})x\) wird null gesetzt. Dies führt zu \(x = \frac{3{,}6}{0{,}6 + 0{,}9\sqrt{2}} \approx 1{,}92\,\text{m}\). 5. Berechnung von \(y\): Durch Einsetzen von \(x\) in die Umfangsformel erhält man \(y \approx 1{,}68\,\text{m}\). Die zweite Ableitung \(L''(x) = -(0{,}6 + 0{,}9\sqrt{2}) < 0\) bestätigt das Maximum.

Die Breite beträgt etwa \(x \approx 1{,}92\,\text{m}\) und die Höhe etwa \(y \approx 1{,}68\,\text{m}\).

- Welche geometrische Bedingung muss erfüllt sein? Nutze diese, um eine Variable zu eliminieren. - Stelle eine Funktion für die Gesamtkosten auf, die nur noch von einer Variable abhängt. - Beachte, dass die Box oben offen ist und somit nur eine Grundfläche berechnet werden muss. - Verwende die Ableitungsregeln für Potenzen, auch für den Term im Nenner.

1. Aufstellen der Nebenbedingung für das Volumen: \(V = x^2 \cdot h = 6\), woraus folgt \(h = \frac{6}{x^2}\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Kosten \(K\): Die Kosten setzen sich aus der Bodenfläche (\(12 \cdot x^2\)) und den vier Seitenflächen (\(4 \cdot 8 \cdot x \cdot h\)) zusammen. Es gilt \(K(x, h) = 12x^2 + 32xh\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(K(x) = 12x^2 + 32x \cdot \frac{6}{x^2} = 12x^2 + \frac{192}{x}\). 4. Bestimmung des Minimums: Die erste Ableitung \(K'(x) = 24x - \frac{192}{x^2}\) wird null gesetzt. Dies führt zu \(24x^3 = 192\), also \(x^3 = 8\), woraus \(x = 2\,\text{m}\) folgt. 5. Berechnung der Höhe: Mit \(x = 2\) ergibt sich \(h = \frac{6}{2^2} = 1{,}5\,\text{m}\). Die zweite Ableitung \(K''(x) = 24 + \frac{384}{x^3}\) ist für positive \(x\) immer positiv, was das Kostenminimum bestätigt.

Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt \(x = 2\,\text{m}\) und die Höhe der Box beträgt \(h = 1{,}5\,\text{m}\).

- Überlege dir, wie du die Fläche eines Rechtecks berechnest, wenn die Eckpunkte durch eine Funktion gegeben sind. - Wie hängen die Breite des Rechtecks und die \(x\)-Koordinate eines Punktes auf der Parabel zusammen, wenn das Rechteck symmetrisch zur \(y\)-Achse liegt? - Welche mathematische Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion an einer Stelle einen maximalen Wert annimmt? - Vergiss nicht zu prüfen, ob dein Ergebnis im Kontext der Aufgabenstellung (Definitionsbereich) sinnvoll ist.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\) in Abhängigkeit von der halben Breite \(x\): \(A(x) = 2x \cdot f(x) = 2x \cdot (-0{,}25x^2 + 3) = -0{,}5x^3 + 6x\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung: \(A'(x) = -1{,}5x^2 + 6\). 3. Notwendige Bedingung für ein Extremum \(A'(x) = 0\) liefert \(-1{,}5x^2 = -6\), also \(x^2 = 4\). Da \(x > 0\) sein muss, folgt \(x = 2\). 4. Überprüfung der Hinreichenden Bedingung mittels der zweiten Ableitung \(A''(x) = -3x\): \(A''(2) = -6 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung der Maße: Die Breite beträgt \(w = 2x = 4\,\text{m}\), die Höhe beträgt \(h = f(2) = -0{,}25 \cdot 2^2 + 3 = 2\,\text{m}\).

Das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt hat eine Breite von \(4\,\text{m}\) und eine Höhe von \(2\,\text{m}\).

- Skizziere die Metallplatte und markiere die Quadrate an den Ecken mit der Seitenlänge \(x\). - Wie ändern sich Länge, Breite und Höhe der Schachtel, wenn du Quadrate der Länge \(x\) entfernst und die Seiten hochklappst? - Stelle eine Formel für das Volumen eines Quaders auf und setze die neuen Seitenlängen ein. - Achte darauf, welche Werte für \(x\) überhaupt möglich sind, damit die Schachtel existieren kann.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen \(V\) in Abhängigkeit von der Seitenlänge \(x\): \(V(x) = x \cdot (48 - 2x) \cdot (30 - 2x)\). 2. Ausmultiplizieren der Funktion: \(V(x) = x \cdot (1440 - 96x - 60x + 4x^2) = 4x^3 - 156x^2 + 1440x\). 3. Bestimmung der ersten Ableitung: \(V'(x) = 12x^2 - 312x + 1440\). 4. Setzen der Ableitung gleich Null: \(12(x^2 - 26x + 120) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 20\). 5. Definitionsbereich beachten: Da die kürzere Seite \(30\,\text{cm}\) lang ist, muss \(2x < 30\) gelten, also \(x < 15\). Somit ist nur \(x = 6\) relevant. 6. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(V''(x) = 24x - 312\): \(V''(6) = 144 - 312 = -168 < 0\), also liegt ein Maximum vor. 7. Berechnung des Volumens: \(V(6) = 6 \cdot (48 - 12) \cdot (30 - 12) = 6 \cdot 36 \cdot 18 = 3888\,\text{cm}^3\).

Die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate muss \(6\,\text{cm}\) betragen. Das maximale Volumen der Schachtel ist \(3888\,\text{cm}^3\).

- Welche Formeln für Volumen und Oberfläche eines Zylinders kennst du? - Überlege, welche Größe fest vorgegeben ist und welche maximiert werden soll. - Kannst du eine der Variablen in der Volumenformel durch die Oberflächenformel ersetzen? - Wie findet man rechnerisch den höchsten Punkt einer Funktion? - Für den prozentualen Vergleich hilft das Verhältnis der beiden Volumina.

1. Berechnung der Werte für die gegebene Dose: \(V_1 = \pi \cdot (3{,}3\,\text{cm})^2 \cdot 11{,}5\,\text{cm} \approx 393{,}42\,\text{cm}^3\). Der Oberflächeninhalt ist \(O = 2\pi \cdot (3{,}3\,\text{cm})^2 + 2\pi \cdot 3{,}3\,\text{cm} \cdot 11{,}5\,\text{cm} \approx 306{,}87\,\text{cm}^2\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen \(V(r, h) = \pi r^2 h\) mit der Nebenbedingung \(O = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 306{,}87\). Umstellen der Nebenbedingung nach \(h = \frac{O - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{O}{2\pi r} - r\). 3. Einsetzen in die Zielfunktion: \(V(r) = \frac{O}{2}r - \pi r^3 \approx 153{,}435r - \pi r^3\). 4. Ableiten und Nullstelle finden: \(V'(r) = \frac{O}{2} - 3\pi r^2 = 0 \implies r = \sqrt{\frac{O}{6\pi}} \approx 4{,}03\,\text{cm}\). 5. Berechnung der optimalen Höhe: \(h = 2r \approx 8{,}07\,\text{cm}\). 6. Berechnung des maximalen Volumens: \(V_{\text{max}} = \pi \cdot (4{,}0345\ldots)^2 \cdot 8{,}069\ldots \approx 412{,}33\,\text{cm}^3\). 7. Vergleich: \(\frac{412{,}33}{393{,}42} \approx 1{,}0481\). Das Volumen steigt um ca. \(4{,}81\,\%\).

a) \(V \approx 393{,}42\,\text{cm}^3\); \(O \approx 306{,}87\,\text{cm}^2\) b) \(r \approx 4{,}03\,\text{cm}\); \(h \approx 8{,}07\,\text{cm}\) c) Das Volumen ist um ca. \(4{,}81\,\%\) größer.

- Was ist hier die Zielgröße, die so klein wie möglich sein soll? - Welche Information ist konstant und dient als Nebenbedingung? - Drücke die Höhe durch den Radius aus, um eine Funktion mit nur einer Variablen zu erhalten. - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Terme der Form \(\frac{1}{x}\). - Wie bestätigst du mathematisch, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt?

1. Zielfunktion für die Oberfläche: \(O(r, h) = 2\pi r^2 + 2\pi rh\). Nebenbedingung für das Volumen: \(V = \pi r^2 h = 800\). 2. Nebenbedingung nach \(h\) auflösen: \(h = \frac{800}{\pi r^2}\). 3. Einsetzen in die Zielfunktion: \(O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{800}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1\,600}{r}\). 4. Erste Ableitung bilden und Nullstelle suchen: \(O'(r) = 4\pi r - \frac{1\,600}{r^2} = 0 \implies 4\pi r^3 = 1\,600 \implies r^3 = \frac{400}{\pi}\). 5. Ergebnis für den Radius: \(r = \sqrt[3]{\frac{400}{\pi}} \approx 5{,}03\,\text{cm}\). 6. Zweite Ableitung zur Überprüfung: \(O''(r) = 4\pi + \frac{3\,200}{r^3}\). Da \(r > 0\), ist \(O''(r) > 0\), es liegt also ein lokales Minimum vor. 7. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{800}{\pi \cdot (5{,}030\ldots)^2} \approx 10{,}06\,\text{cm}\). (Es gilt \(h = 2r\)).

\(r = \sqrt[3]{\frac{400}{\pi}} \approx 5{,}03\,\text{cm}\) \(h \approx 10{,}06\,\text{cm}\) Nachweis über \(O''(r) > 0\).

- Nutze den Strahlensatz in einer Querschnittszeichnung des Kegels, um eine Beziehung zwischen den Radien und Höhen herzustellen. - Überlege dir, welche Größen konstant (Parameter) und welche variabel sind. - Die Mantelfläche eines Zylinders berechnet sich aus dem Umfang der Grundfläche mal der Höhe. - Für den Anteil am Ende benötigst du die Formel für die Mantelfläche eines Kegels und den Satz des Pythagoras.

1. Aus dem Strahlensatz folgt die Beziehung zwischen Zylinderradius \(r\) und Zylinderhöhe \(h\): \(\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H}\), woraus \(r = R \cdot (1 - \frac{h}{H})\) resultiert. Die Mantelfläche des Zylinders ist \(M(h) = 2\pi \cdot r \cdot h = 2\pi \cdot R \cdot (1 - \frac{h}{H}) \cdot h = 2\pi R \cdot (h - \frac{h^2}{H})\). 2. Zur Bestimmung des Extremums wird die Ableitung \(M'(h) = 2\pi R \cdot (1 - \frac{2h}{H})\) gebildet und nullgesetzt. Dies liefert \(1 - \frac{2h}{H} = 0\), also \(h = \frac{1}{2}H\). Da \(M''(h) = -\frac{4\pi R}{H} < 0\), liegt ein Maximum vor. 3. Für \(R = 5\) und \(H = 12\) ist die Mantellinie des Kegels \(s = \sqrt{R^2 + H^2} = 13\,\text{cm}\). Die Kegelmantelfläche beträgt \(M_{\text{Kegel}} = \pi \cdot R \cdot s = 65\pi\,\text{cm}^2\). Mit \(h = 6\,\text{cm}\) ergibt sich \(r = 2{,}5\,\text{cm}\) und \(M_{\text{Zylinder}} = 2\pi \cdot 2{,}5 \cdot 6 = 30\pi\,\text{cm}^2\). Der Anteil beträgt \(\frac{30\pi}{65\pi} = \frac{6}{13} \approx 46{,}2\,\%\).

1. \(M(h) = 2\pi R \cdot (h - \frac{h^2}{H})\) 2. \(h = \frac{1}{2}H\) 3. Der Anteil beträgt \(\frac{6}{13} \approx 46{,}2\,\%\).

- Stelle zuerst eine Gleichung für das Volumen auf, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Überlege dir, wie sich die Gesamtkosten aus den Flächeninhalten des Bodens und der vier Seitenwände zusammensetzen. - Beachte den Kostenfaktor für das Bodenmaterial beim Aufstellen der Zielfunktion. - Wie findet man rechnerisch die Stelle, an der eine Funktion ihren kleinsten Wert annimmt? - Achte bei den Einheiten darauf, dass Liter in Kubikdezimeter umgerechnet werden können.

1. Aufstellen der Volumenformel für einen Quader mit quadratischer Grundfläche: \(V = a^2 \cdot h = 32\,\text{dm}^3\). 2. Umstellen nach der Höhe: \(h = \frac{32}{a^2}\). 3. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\). Da der Boden doppelt so teuer ist, gilt mit dem Kostensatz \(k\) für die Seitenwände: \(K(a) = 2k \cdot a^2 + 4k \cdot a \cdot h\). Da \(k\) ein konstanter Faktor ist, minimiert man \(f(a) = 2a^2 + 4a \cdot \frac{32}{a^2} = 2a^2 + \frac{128}{a}\). 4. Ableitung bilden: \(f'(a) = 4a - \frac{128}{a^2}\). 5. Nullstelle der Ableitung bestimmen: \(4a - \frac{128}{a^2} = 0 \Leftrightarrow 4a^3 = 128 \Leftrightarrow a^3 = 32 \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{32} \approx 3{,}175\). 6. Überprüfung der Art des Extrempunktes: \(f''(a) = 4 + \frac{256}{a^3}\). Da \(f''(3{,}175) > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. 7. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{32}{(\sqrt[3]{32})^2} = \sqrt[3]{32} \approx 3{,}175\). Die Maße sind \(a \approx 31{,}7\,\text{cm}\) und \(h \approx 31{,}7\,\text{cm}\).

Die Kosten werden minimal für eine Seitenlänge von \(a = \sqrt[3]{32}\,\text{dm} \approx 31{,}7\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h = \sqrt[3]{32}\,\text{dm} \approx 31{,}7\,\text{cm}\).

- Stelle dir vor, wie die Maße der Bodenfläche der Schachtel kleiner werden, wenn du größere Quadrate an den Ecken ausschneidest. - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Welche Werte für die Höhe ergeben im Sachzusammenhang überhaupt Sinn? - Suche nach dem Hochpunkt der Volumenfunktion.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen \(V\) in Abhängigkeit von der Höhe \(h\): \(V(h) = (24 - 2h) \cdot (24 - 2h) \cdot h = 4h^3 - 96h^2 + 576h\). 2. Bestimmung des Definitionsbereichs für \(h\): Da die Seitenlänge \(24\,\text{cm}\) beträgt, muss \(2h < 24\) gelten, also \(h \in (0; 12)\). 3. Ableiten der Zielfunktion: \(V'(h) = 12h^2 - 192h + 576\). 4. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung: \(12(h^2 - 16h + 48) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(h_1 = 4\) und \(h_2 = 12\). 5. Überprüfung der Extremstelle: Da \(h = 12\) am Rand des Definitionsbereichs liegt (Volumen wird null), ist \(h = 4\) der einzige relevante Kandidat. Die zweite Ableitung \(V''(h) = 24h - 192\) ergibt für \(V''(4) = 96 - 192 = -96 < 0\), was ein lokales Maximum bestätigt. 6. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(4) = (24 - 2 \cdot 4)^2 \cdot 4 = 16^2 \cdot 4 = 256 \cdot 4 = 1024\,\text{cm}^3\).

Die Höhe muss \(h = 4\,\text{cm}\) gewählt werden; das maximale Volumen beträgt \(V = 1024\,\text{cm}^3\).

- Überlege, wie lang und breit der Boden des Kastens ist, nachdem die Quadrate entfernt wurden. - Stelle eine Funktionsgleichung für das Volumen in Abhängigkeit von der Höhe auf. - Gibt es eine Obergrenze für die Seitenlänge der Quadrate, damit man überhaupt noch einen Boden übrig behält? - Verwende die Ableitung, um das Maximum der Funktion zu bestimmen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(h) = (45 - 2h) \cdot (24 - 2h) \cdot h = 4h^3 - 138h^2 + 1080h\). 2. Festlegung des Definitionsbereichs: Aufgrund der kürzeren Seite (\(24\,\text{cm}\)) muss \(0 < 2h < 24\) gelten, also \(h \in (0; 12)\). 3. Ableiten der Funktion: \(V'(h) = 12h^2 - 276h + 1080\). 4. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(12(h^2 - 23h + 90) = 0\). Mittels Mitternachtsformel oder Faktorisierung ergeben sich \(h_1 = 5\) und \(h_2 = 18\). 5. Untersuchung der Extremstellen: Da \(h = 18\) außerhalb des Definitionsbereichs liegt, wird nur \(h = 5\) betrachtet. Die zweite Ableitung \(V''(h) = 24h - 276\) liefert \(V''(5) = 120 - 276 = -156 < 0\), somit liegt ein Maximum vor. 6. Berechnung der Grundfläche \(A\) für \(h = 5\): \(A = (45 - 2 \cdot 5) \cdot (24 - 2 \cdot 5) = 35 \cdot 14 = 490\,\text{cm}^2\).

Die Höhe muss \(h = 5\,\text{cm}\) und die Grundfläche \(A = 490\,\text{cm}^2\) gewählt werden.

- Zeichne das Dreieck und das Rechteck in ein Koordinatensystem oder fertige eine Skizze an. - Nutze den Strahlensatz, um eine Beziehung zwischen der Breite \(a\) und der Höhe \(b\) des Rechtecks herzustellen. - Welche Funktion beschreibt die Fläche, die du maximieren möchtest? - Wie gehst du vor, um den höchsten Punkt einer nach unten geöffneten Parabel zu finden?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(a, b) = a \cdot b\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung mithilfe des Strahlensatzes oder der Ähnlichkeit von Dreiecken: \(\frac{b}{9} = \frac{12 - a}{12}\) (Verhältnis der Höhe des kleinen abgeschnittenen Dreiecks oben zur Gesamthöhe entspricht dem Verhältnis der Basen). 3. Umformen der Nebenbedingung: \(b = 9 \cdot (1 - \frac{a}{12}) = 9 - \frac{3}{4}a\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(A(a) = a \cdot (9 - \frac{3}{4}a) = 9a - \frac{3}{4}a^2\). 5. Bestimmung der ersten Ableitung: \(A'(a) = 9 - \frac{3}{2}a\). 6. Nullstelle der Ableitung finden: \(9 - \frac{3}{2}a = 0 \Rightarrow \frac{3}{2}a = 9 \Rightarrow a = 6\,\text{cm}\). 7. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(b = 9 - \frac{3}{4} \cdot 6 = 4{,}5\,\text{cm}\). 8. Da \(A''(a) = -1{,}5 < 0\), handelt es sich um ein Maximum.

Der Flächeninhalt des Rechtecks wird maximal, wenn die Seitenlänge auf der Basis \(a = 6\,\text{cm}\) und die Höhe des Rechtecks \(b = 4{,}5\,\text{cm}\) beträgt.

- Welche Formel beschreibt das Volumen eines Kegels? - Wie hängen der Radius der Grundfläche, die Höhe und die Mantellinie in einem Kegel zusammen? - Kannst du eine der Variablen in der Volumenformel durch die andere ausdrücken, indem du die feste Länge der Mantellinie nutzt? - Überlege dir, für welchen Bereich der Höhe das Problem physikalisch sinnvoll ist.

1. Aufstellen der Hauptbedingung für das Volumen des Kegels: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung unter Verwendung des Satzes des Pythagoras im Kegelquerschnitt: \(r^2 + h^2 = s^2\). Mit \(s = 12\,\text{cm}\) folgt \(r^2 = 144 - h^2\). 3. Aufstellen der Zielfunktion durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung: \(V(h) = \frac{1}{3} \pi (144 - h^2) \cdot h = \frac{1}{3} \pi (144h - h^3)\). 4. Bestimmung des Extremums durch Ableiten der Zielfunktion: \(V'(h) = \frac{1}{3} \pi (144 - 3h^2)\). Nullsetzen von \(V'(h)\) führt zu \(144 - 3h^2 = 0\), woraus \(h^2 = 48\) und somit \(h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\,\text{cm}\) folgt. 5. Überprüfung des Maximums: \(V''(h) = -2\pi h\). Da \(V''(4\sqrt{3}) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 6. Berechnung des zugehörigen Radius: \(r = \sqrt{144 - 48} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \approx 9{,}80\,\text{cm}\).

Der Radius beträgt \(r = 4\sqrt{6}\,\text{cm} \approx 9{,}80\,\text{cm}\) und die Höhe beträgt \(h = 4\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 6{,}93\,\text{cm}\).

- Welche geometrische Form hat die Dose und welche Formeln für Volumen und Oberfläche kennst du? - Wie kannst du eine der Variablen (Radius oder Höhe) durch die andere ersetzen, indem du das feste Volumen nutzt? - Was muss für die Steigung der Oberflächenfunktion an einem Tiefpunkt gelten? - Überlege dir, welche Faktoren außer dem Materialverbrauch für einen Hersteller wichtig sein könnten.

1. Aufstellen der Hauptbedingung für die Oberfläche: \(O = 2\pi r^2 + 2\pi rh\). 2. Nebenbedingung über das Volumen: \(V = \pi r^2 h = 800 \implies h = \frac{800}{\pi r^2}\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung zur Zielfunktion: \(O(r) = 2\pi r^2 + \frac{1600}{r}\). 4. Bestimmung der Ableitung: \(O'(r) = 4\pi r - \frac{1600}{r^2}\). 5. Nullsetzen der Ableitung: \(4\pi r^3 = 1600 \implies r^3 = \frac{400}{\pi} \implies r = \sqrt[3]{\frac{400}{\pi}} \approx 5{,}03\,\text{cm}\). 6. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{800}{\pi \cdot (\sqrt[3]{\frac{400}{\pi}})^2} = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{400}{\pi}} \approx 10{,}06\,\text{cm}\). 7. Überprüfung der Art des Extremums: \(O''(r) = 4\pi + \frac{3200}{r^3} > 0\) für \(r > 0\), also liegt ein Minimum vor. 8. Mögliche Gründe für Abweichungen: Stapelbarkeit im Regal, optische Wirkung (schmälere Dosen wirken größer), Handhabung (Greifbarkeit) oder Verschnittoptimierung bei der Blechverarbeitung.

a) Der Radius beträgt ca. \(5{,}03\,\text{cm}\) und die Höhe ca. \(10{,}06\,\text{cm}\). b) Mögliche Gründe sind unter anderem die Stapelbarkeit, die bessere Handhabung für den Konsumenten oder produktionstechnische Gründe wie die Minimierung von Verschnitt beim Ausschneiden der Bleche.

- Achte auf die Einheiten: Es empfiehlt sich, direkt in Dezimetern zu rechnen. - Welche Flächen machen die Gesamtoberfläche aus, wenn der Behälter oben offen ist? - Stelle eine Gleichung auf, die nur noch von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt. - Wie nutzt du die zweite Ableitung, um die Art des Extrempunktes zu bestimmen?

1. Hauptbedingung für die Oberfläche (ohne Deckel): \(A = a^2 + 4ah\). 2. Nebenbedingung Volumen (in \(\text{dm}\), da \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3\)): \(V = a^2 \cdot h = 256 \implies h = \frac{256}{a^2}\). 3. Zielfunktion aufstellen: \(A(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{256}{a^2} = a^2 + \frac{1024}{a}\). 4. Erste Ableitung bilden: \(A'(a) = 2a - \frac{1024}{a^2}\). 5. Extremstelle berechnen: \(2a - \frac{1024}{a^2} = 0 \implies 2a^3 = 1024 \implies a^3 = 512 \implies a = 8\,\text{dm}\). 6. Höhe berechnen: \(h = \frac{256}{8^2} = \frac{256}{64} = 4\,\text{dm}\). 7. Zweite Ableitung bilden: \(A''(a) = 2 + \frac{2048}{a^3}\). 8. Nachweis des Minimums: \(A''(8) = 2 + \frac{2048}{512} = 2 + 4 = 6 > 0\). Da die zweite Ableitung positiv ist, liegt an der Stelle \(a = 8\) ein lokales Minimum vor.

a) Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt \(a = 8\,\text{dm}\) (oder \(80\,\text{cm}\)) und die Höhe beträgt \(h = 4\,\text{dm}\) (oder \(40\,\text{cm}\)). b) Die zweite Ableitung \(A''(a) = 2 + \frac{2048}{a^3}\) ist für \(a = 8\) positiv (\(A''(8) = 6\)), woraus folgt, dass ein lokales Minimum vorliegt.

- Überlege dir, aus welchen Teilflächen sich die Oberfläche einer geschlossenen Dose zusammensetzt. - Wie hängen Radius, Höhe und Volumen bei einem Zylinder zusammen? - Du kannst eine der Variablen in der Oberflächenformel ersetzen, indem du die Volumenformel nutzt. - Suche den Tiefpunkt der so entstandenen Funktion. - Denke an den Zusammenhang zwischen Millilitern und Kubikzentimetern.

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Oberfläche: \(O(r, h) = 2\pi r^2 + 2\pi rh\). 2. Nebenbedingung über das Volumen: \(V = \pi r^2 h = 850\,\text{cm}^3\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{850}{\pi r^2}\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(O(r) = 2\pi r^2 + \frac{1700}{r}\). 5. Bestimmung der ersten Ableitung: \(O'(r) = 4\pi r - \frac{1700}{r^2}\). 6. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(4\pi r^3 = 1700 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{425}{\pi}} \approx 5{,}13\,\text{cm}\). 7. Überprüfung der Art des Extremums (z. B. \(O''(r) = 4\pi + \frac{3400}{r^3} > 0\)) bestätigt ein lokales Minimum. 8. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{850}{\pi \cdot 5{,}133^2} \approx 10{,}27\,\text{cm}\).

Der Radius beträgt ca. \(5{,}13\,\text{cm}\) und die Höhe ca. \(10{,}27\,\text{cm}\).

- Welche Fläche soll minimiert werden? Überlege, aus welchen Teilflächen das Becken besteht. - Wie hängen die Grundseite und die Höhe über das Volumen zusammen? - Kannst du die Formel für die Oberfläche so umschreiben, dass sie nur noch von einer Variablen abhängt? - Wie findest du rechnerisch den tiefsten Punkt einer Funktion? - Vergiss nicht, am Ende auch die zweite gesuchte Größe zu berechnen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Materialbedarf (Oberfläche ohne Deckel): \(O(a, h) = a^2 + 4ah\), wobei \(a\) die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und \(h\) die Höhe ist. 2. Aufstellen der Nebenbedingung über das Volumen: \(V = a^2 \cdot h = 32\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{32}{a^2}\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion, um die Zielfunktion in Abhängigkeit von einer Variablen zu erhalten: \(O(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{32}{a^2} = a^2 + \frac{128}{a}\). 5. Bestimmung des Minimums durch Ableiten: \(O'(a) = 2a - \frac{128}{a^2}\). Setzen von \(O'(a) = 0\) ergibt \(2a^3 = 128\), also \(a^3 = 64\), woraus \(a = 4\) folgt. 6. Überprüfung des Minimums (z. B. über die zweite Ableitung \(O''(a) = 2 + \frac{256}{a^3} > 0\)) und Berechnung der Höhe: \(h = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2\). Die Abmessungen betragen \(a = 4\,\text{m}\) und \(h = 2\,\text{m}\).

Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche beträgt \(4\,\text{m}\) und die Höhe des Beckens \(2\,\text{m}\).

- Notiere dir zuerst die Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Quaders. - Nutze die Information über das Verhältnis von Länge zu Breite, um die Anzahl der Variablen zu reduzieren. - Stelle eine Gleichung auf, die nur noch eine Unbekannte enthält, indem du die Volumenformel nach einer Variablen auflöst und in die Oberflächenformel einsetzt. - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Minimalstelle gelten? - Überprüfe, ob deine Lösung für alle drei Dimensionen (Länge, Breite, Höhe) angegeben ist.

1. Definition der Variablen: Breite \(w\), Länge \(l = 2w\), Höhe \(h\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Gesamtoberfläche: \(O = 2 \cdot (l \cdot w + l \cdot h + w \cdot h) = 2 \cdot (2w^2 + 2wh + wh) = 4w^2 + 6wh\). 3. Aufstellen der Nebenbedingung für das Volumen: \(V = l \cdot w \cdot h = 2w \cdot w \cdot h = 2w^2 h = 72\). 4. Auflösen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{72}{2w^2} = \frac{36}{w^2}\). 5. Einsetzen in die Zielfunktion: \(O(w) = 4w^2 + 6w \cdot \frac{36}{w^2} = 4w^2 + \frac{216}{w}\). 6. Ableiten und Nullstellen bestimmen: \(O'(w) = 8w - \frac{216}{w^2}\). Aus \(8w - \frac{216}{w^2} = 0\) folgt \(8w^3 = 216\), also \(w^3 = 27\) und somit \(w = 3\). 7. Berechnung der weiteren Maße: \(l = 2 \cdot 3 = 6\) und \(h = \frac{36}{3^2} = 4\). Die optimalen Maße sind Länge \(6\,\text{dm}\), Breite \(3\,\text{dm}\) und Höhe \(4\,\text{dm}\).

Die Maße für den minimalen Materialverbrauch sind: Länge \(6\,\text{dm}\), Breite \(3\,\text{dm}\) und Höhe \(4\,\text{dm}\).

- Kannst du eine Skizze des Querschnitts machen, um den Zusammenhang zwischen Radius, Höhe und Stangenlänge zu sehen? - Welcher bekannte Satz hilft dir, eine Gleichung mit \(r\) und \(h\) aufzustellen? - Versuche, die Variable \(r^2\) in der Volumenformel durch einen Ausdruck mit \(h\) zu ersetzen. - Denke daran, wie man mithilfe der Ableitung den höchsten Punkt einer Funktion bestimmt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Kegelvolumen: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). 2. Verwendung der Nebenbedingung aus dem Satz des Pythagoras für die Mantellinie \(s = 4\,\text{m}\): \(r^2 + h^2 = 4^2\), woraus \(r^2 = 16 - h^2\) folgt. 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion ergibt die Zielfunktion in Abhängigkeit von nur einer Variablen: \(V(h) = \frac{1}{3} \pi (16 - h^2) h = \frac{\pi}{3}(16h - h^3)\). 4. Bestimmung des Maximums durch die erste Ableitung: \(V'(h) = \frac{\pi}{3}(16 - 3h^2)\). Nullsetzen führt zu \(3h^2 = 16\), woraus sich die optimale Höhe \(h = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}31\,\text{m}\) ergibt. 5. Berechnung des zugehörigen Radius über die Nebenbedingung: \(r = \sqrt{16 - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{32}{3}} \approx 3{,}27\,\text{m}\). Die Überprüfung der zweiten Ableitung \(V''(h) = -2\pi h\) bestätigt ein lokales Maximum für \(h > 0\).

Die Höhe des Zelts beträgt \(h = \frac{4}{\sqrt{3}}\,\text{m} \approx 2{,}31\,\text{m}\) und der Radius der Grundfläche beträgt \(r = \sqrt{\frac{32}{3}}\,\text{m} \approx 3{,}27\,\text{m}\).

- Aus welchen einzelnen Teilflächen besteht die Oberfläche eines Behälters, der oben keinen Deckel hat? - Nutze die Angabe zur Oberfläche, um eine Beziehung zwischen der Grundseite und der Höhe herzustellen. - Überlege dir, welche Größe (das Volumen) maximiert werden soll und stelle dafür eine Formel auf. - In welchem Schritt hilft dir die erste Ableitung der Volumenfunktion weiter?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V = a^2 \cdot h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für die Oberfläche eines oben offenen Quaders: \(O = a^2 + 4ah = 12\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach der Höhe \(h\): \(h = \frac{12 - a^2}{4a}\). 4. Einsetzen des Ausdrucks für \(h\) in die Zielfunktion: \(V(a) = a^2 \cdot \frac{12 - a^2}{4a} = \frac{1}{4}(12a - a^3)\). 5. Ableiten der Zielfunktion nach \(a\): \(V'(a) = \frac{1}{4}(12 - 3a^2)\). 6. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung der Extremstelle: \(12 - 3a^2 = 0 \implies a^2 = 4 \implies a = 2\,\text{m}\) (da \(a > 0\)). 7. Berechnung der optimalen Höhe: \(h = \frac{12 - 2^2}{4 \cdot 2} = \frac{8}{8} = 1\,\text{m}\). Die zweite Ableitung \(V''(a) = -1{,}5a\) ist an der Stelle \(a = 2\) negativ, was das Maximum bestätigt.

Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche beträgt \(a = 2\,\text{m}\) und die Höhe des Behälters beträgt \(h = 1\,\text{m}\).

- Wie berechnet man allgemein den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem? - Überlege dir, warum es ausreicht, das Quadrat des Abstands zu minimieren, um die Rechnung zu vereinfachen. - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Minimum einer Funktion erfüllt sein? - Hast du alle Bedingungen der Aufgabenstellung, wie zum Beispiel den Definitionsbereich, berücksichtigt?

1. Aufstellen der Abstandsfunktion: Der Abstand \(d\) eines Punktes \(P(x \mid f(x))\) zum Ursprung wird über \(d = \sqrt{x^2 + (f(x))^2}\) berechnet. Zur Vereinfachung wird das Quadrat des Abstands \(g(x) = d^2 = x^2 + \left(\frac{4}{x}\right)^2 = x^2 + 16x^{-2}\) minimiert. 2. Ableiten der Funktion \(g\): \(g'(x) = 2x - 32x^{-3} = 2x - \frac{32}{x^3}\). 3. Bestimmen der stationären Punkte: Setze \(g'(x) = 0\). Dies führt zu \(2x = \frac{32}{x^3} \implies x^4 = 16\). Da \(x > 0\) vorgegeben ist, ergibt sich \(x = 2\). 4. Überprüfung der Art des Extremums: Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = 2 + 96x^{-4} = 2 + \frac{96}{x^4}\). Da \(g''(2) = 2 + \frac{96}{16} = 8 > 0\), liegt an der Stelle \(x = 2\) ein lokales Minimum vor. 5. Berechnung der Koordinaten: Der Funktionswert an der Stelle \(x = 2\) ist \(f(2) = \frac{4}{2} = 2\). Der gesuchte Punkt ist somit \(P(2 \mid 2)\).

Der Punkt \(P(2 \mid 2)\) hat den minimalen Abstand zum Ursprung.

- Stelle eine Funktion für den Abstand eines beliebigen Punktes auf der Kurve zum Ursprung auf. - Kannst du den Ausdruck für den Abstand vereinfachen, bevor du ihn ableitest? - Wie viele Punkte erwartest du aufgrund der Symmetrie der Parabel zur y-Achse? - Vergiss nicht, die berechneten x-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung einzusetzen, um die y-Koordinaten zu finden.

1. Zielfunktion aufstellen: Der quadrierte Abstand eines Punktes \(P(x \mid f(x))\) zum Ursprung ist \(g(x) = x^2 + (x^2 - 1{,}5)^2\). Ausmultipliziert ergibt dies \(g(x) = x^2 + x^4 - 3x^2 + 2{,}25 = x^4 - 2x^2 + 2{,}25\). 2. Ableitungen bilden: \(g'(x) = 4x^3 - 4x\) und \(g''(x) = 12x^2 - 4\). 3. Notwendige Bedingung für Extrema: \(g'(x) = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 4. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g''(0) = -4 < 0\) (lokales Maximum), \(g''(1) = 8 > 0\) (lokales Minimum), \(g''(-1) = 8 > 0\) (lokales Minimum). 5. Koordinaten bestimmen: Für \(x = \pm 1\) ergibt sich \(f(\pm 1) = (\pm 1)^2 - 1{,}5 = -0{,}5\). Die gesuchten Punkte sind \(P_1(1 \mid -0{,}5)\) und \(P_2(-1 \mid -0{,}5)\).

Die Punkte mit dem geringsten Abstand zum Ursprung sind \(P_1(1 \mid -0{,}5)\) und \(P_2(-1 \mid -0{,}5)\).

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn die Koordinaten eines Eckpunkts bekannt sind? - Überlege dir, wie du die Zielfunktion für den Umfang nur in Abhängigkeit von \(x\) ausdrücken kannst. - Nutze die notwendige Bedingung für Extremstellen, um den optimalen \(x\)-Wert zu finden. - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn \(x\) sehr große Werte annimmt?

1. Aufstellen der Umfangsfunktion: Da das Rechteck achsenparallel ist und einen Eckpunkt im Ursprung hat, sind die Seitenlängen \(x\) und \(f(x)\). Der Umfang berechnet sich zu \(U(x) = 2 \cdot (x + f(x)) = 2 \cdot (x + x + \frac{8}{x}) = 4x + \frac{16}{x}\). 2. Bestimmung des Minimums: Die erste Ableitung ist \(U'(x) = 4 - \frac{16}{x^2}\). Nullsetzen ergibt \(4 = \frac{16}{x^2} \Rightarrow x^2 = 4\). Da \(x > 0\), ist \(x = 2\). Die zweite Ableitung \(U''(x) = \frac{32}{x^3}\) ist für \(x = 2\) positiv (\(U''(2) = 4 > 0\)), daher liegt ein lokales Minimum vor. 3. Seitenlängen: Die erste Seite ist \(x = 2\). Die zweite Seite ist \(f(2) = 2 + \frac{8}{2} = 6\). 4. Minimaler Umfang: \(U(2) = 4 \cdot 2 + \frac{16}{2} = 16\). 5. Untersuchung des Flächeninhalts: Die Zielfunktion für die Fläche ist \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x + \frac{8}{x}) = x^2 + 8\). Da \(\lim_{x \to \infty} A(x) = \infty\), existiert für \(x > 0\) kein globales Maximum für den Flächeninhalt.

a) Die Seitenlängen betragen \(2\) und \(6\). b) Der minimale Umfang beträgt \(16\). c) Der Flächeninhalt wird durch \(A(x) = x^2 + 8\) beschrieben. Da dieser Term für \(x \to \infty\) unendlich groß wird, gibt es keinen maximalen Flächeninhalt.

- Überlege zuerst, wie man den Erlös aus dem Preis und der Menge berechnet. - Der Gewinn ist die Differenz zwischen dem, was man einnimmt, und dem, was die Herstellung kostet. - Um eine Stelle mit maximalem Wert zu finden, hilft die erste Ableitung der Funktion. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel). - Achte darauf, dass Produktionsmengen in der Realität nicht negativ sein können.

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x)\). Mit \(E(x) = 40 \cdot x\) ergibt sich \(G(x) = 40x - (x^3 - 6x^2 + 25x + 50) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50\). 2. Bestimmung der Ableitungen: \(G'(x) = -3x^2 + 12x + 15\) und \(G''(x) = -6x + 12\). 3. Notwendige Bedingung für Extrema: \(G'(x) = 0 \Rightarrow -3(x^2 - 4x - 5) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Da die Produktionsmenge nicht negativ sein kann, ist nur \(x = 5\) relevant. 4. Hinreichende Bedingung prüfen: \(G''(5) = -6 \cdot 5 + 12 = -18\). Da \(G''(5) < 0\), liegt an der Stelle \(x = 5\) ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(5) = -(5)^3 + 6 \cdot (5)^2 + 15 \cdot 5 - 50 = -125 + 150 + 75 - 50 = 50\).

a) \(G(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50\) b) Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(x = 5\,\text{ME}\) erreicht. c) Der maximale Gewinn beträgt \(50\,\text{GE}\).

- Wie hängt der Gesamterlös mathematisch mit der verkauften Menge und dem Preis zusammen? - Welches Werkzeug der Kurvendiskussion hilft dir dabei, den höchsten Punkt einer Funktion zu finden? - Wie kannst du sicherstellen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt? - Welche Werte musst du am Ende berechnen: die Menge, den Preis oder den Geldbetrag?

1. Der Erlös \(E(x)\) ist das Produkt aus Menge \(x\) und Preis \(p(x)\): \(E(x) = x \cdot (360 - 1{,}5x) = 360x - 1{,}5x^2\). 2. Zur Bestimmung des Maximums wird die erste Ableitung gebildet und gleich null gesetzt: \(E'(x) = 360 - 3x\). Aus \(360 - 3x = 0\) folgt \(x = 120\). Die zweite Ableitung \(E''(x) = -3\) ist negativ, somit liegt bei \(x = 120\) ein Maximum vor. 3. Der maximale Erlös beträgt \(E(120) = 360 \cdot 120 - 1{,}5 \cdot 120^2 = 43\,200 - 21\,600 = 21\,600\,\text{€}\). Der zugehörige Preis ergibt sich aus \(p(120) = 360 - 1{,}5 \cdot 120 = 180\,\text{€}\).

1. \(E(x) = 360x - 1{,}5x^2\) 2. Die optimale Absatzmenge liegt bei \(120\) Stück. 3. Der maximale Erlös beträgt \(21\,600\,\text{€}\) bei einem Stückpreis von \(180\,\text{€}\).

- In dieser Aufgabe ist der Preis die Variable, von der alles abhängt. - Wie stellst du die Formel für den Umsatz auf, wenn du den Preis \(p\) und die Besucheranzahl \(x(p)\) kennst? - Suche die Stelle, an der die Steigung der Umsatzfunktion null ist. - Denk daran, am Ende sowohl den Preis als auch die Menge und den Gesamtwert anzugeben.

1. Die Umsatzfunktion \(U(p)\) ergibt sich aus Preis mal Besucheranzahl: \(U(p) = p \cdot x(p) = p \cdot (600 - 25p) = 600p - 25p^2\). 2. Um das Maximum zu finden, wird die Ableitung nach \(p\) gebildet: \(U'(p) = 600 - 50p\). 3. Nullsetzen der Ableitung: \(600 - 50p = 0 \Rightarrow 50p = 600 \Rightarrow p = 12\). Da \(U''(p) = -50 < 0\), liegt ein Maximum vor. 4. Die Besucherzahl bei \(p = 12\) ist \(x(12) = 600 - 25 \cdot 12 = 600 - 300 = 300\). 5. Der maximale Umsatz beträgt \(U(12) = 12 \cdot 300 = 3\,600\,\text{€}\).

Der optimale Ticketpreis beträgt \(12\,\text{€}\). Bei diesem Preis werden \(300\) Besucher erwartet, was zu einem maximalen Umsatz von \(3\,600\,\text{€}\) führt.

- Wie berechnest du den Durchschnittswert der Kosten, wenn du die Gesamtkosten kennst? - Erinnere dich an das notwendige Kriterium für Extremstellen einer Funktion. - Kannst du die Gleichung durch Multiplikation mit \(x^2\) so umformen, dass kein Bruch mehr vorkommt? - Denk daran, dein Ergebnis mit der zweiten Ableitung auf ein Minimum zu prüfen.

1. Aufstellen der Stückkostenfunktion: \(k(x) = \frac{K(x)}{x} = x^2 - 12x + 60 + \frac{256}{x}\). 2. Ableiten der Stückkostenfunktion: \(k'(x) = 2x - 12 - \frac{256}{x^2}\). 3. Bestimmen der Nullstellen von \(k'(x)\): \(2x - 12 - \frac{256}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2x^3 - 12x^2 - 256 = 0 \Leftrightarrow x^3 - 6x^2 - 128 = 0\). Durch Probieren oder systematisches Lösen ergibt sich \(x = 8\) als einzige reelle Lösung. 4. Überprüfen der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(k''(x) = 2 + \frac{512}{x^3}\). Es gilt \(k''(8) = 2 + \frac{512}{512} = 3 > 0\), somit liegt bei \(x = 8\) ein lokales Minimum vor. 5. Berechnen des minimalen Stückkostenwerts: \(k(8) = 8^2 - 12 \cdot 8 + 60 + \frac{256}{8} = 64 - 96 + 60 + 32 = 60\).

Die Stückkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(x = 8\,\text{ME}\) minimal. Die minimalen Stückkosten betragen \(60\,\text{€}\,\text{ME}^{-1}\).

- Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit den Extrempunkten zusammen? - Was bedeutet es für die Art der Stelle, wenn die erste Ableitung dort eine doppelte Nullstelle hat? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der ersten Ableitung und dem Monotonieverhalten? - Prüfe genau, ob jede Stelle mit Steigung Null auch wirklich ein Extrempunkt sein muss.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 2x^3 - 12x^2 + 18x\) und \(f''(x) = 6x^2 - 24x + 18\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\): \(2x(x^2 - 6x + 9) = 0 \Leftrightarrow 2x(x-3)^2 = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Art der Extremstellen prüfen: \(f''(0) = 18 > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum (Tiefpunkt). \(f''(3) = 6 \cdot 9 - 24 \cdot 3 + 18 = 54 - 72 + 18 = 0\). Da \(f'(x)\) bei \(x = 3\) das Vorzeichen nicht wechselt (wegen des Quadrats in der faktorisierten Form), liegt bei \(x = 3\) ein Sattelpunkt und kein Extrempunkt vor. 4. Koordinaten berechnen: \(f(0) = 0 \Rightarrow \text{TP}(0|0)\). Für den Sattelpunkt (kein Extrempunkt) gilt \(f(3) = 0{,}5 \cdot 81 - 4 \cdot 27 + 9 \cdot 9 = 13{,}5\). 5. Monotonieverhalten: Da \(f'(x) < 0\) für \(x < 0\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > 0\) (mit \(f'(3)=0\)), ist die Funktion im Intervall \((-\infty; 0]\) streng monoton fallend.

a) Der Graph besitzt nur einen lokalen Extrempunkt: einen Tiefpunkt bei \(\text{TP}(0|0)\). Bei \(x = 3\) liegt ein Sattelpunkt \((3|13{,}5)\) vor. b) Die Funktion ist im Intervall \((-\infty; 0]\) streng monoton fallend.

- Wie berechnet man den Gewinn aus Erlös und Kosten? - Was bedeutet es mathematisch für die Gewinnfunktion, wenn ein Unternehmen „mit Gewinn“ arbeitet? - Wie findest du die Stellen, an denen eine Funktion ihren höchsten Wert erreicht? - Welche Ableitungen benötigst du, um die Art eines Extrempunktes zu bestimmen?

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 52x - (x^3 - 15x^2 + 100x + 10) = -x^3 + 15x^2 - 48x - 10\). 2. Berechnung der Nullstellen von \(G(x)\): Durch den Hinweis \(x_1 = 5\) und Polynomdivision ergibt sich \((x-5)(-x^2 + 10x + 2) = 0\). Die weiteren Nullstellen liegen bei \(x = 5 \pm \sqrt{27}\), also \(x_2 \approx -0{,}20\) (ökonomisch nicht relevant) und \(x_3 \approx 10{,}20\). 3. Bestimmung der Gewinnzone: Da der Graph der Gewinnfunktion zwischen den positiven Nullstellen oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, liegt die Gewinnzone im Intervall \((5; 10{,}20)\). 4. Ermittlung des Gewinnmaximums: Die erste Ableitung \(G'(x) = -3x^2 + 30x - 48\) gleich Null setzen liefert \(x^2 - 10x + 16 = 0\), woraus die Extremstellen \(x = 2\) (Minimum) und \(x = 8\) (Maximum) folgen. 5. Berechnung des maximalen Gewinns: Einsetzen von \(x = 8\) in \(G(x)\) ergibt \(G(8) = -8^3 + 15 \cdot 8^2 - 48 \cdot 8 - 10 = 54\). Das Gewinnmaximum liegt bei \(8\,\text{ME}\) mit einem Gewinn von \(54\,\text{GE}\).

a) \(G(x) = -x^3 + 15x^2 - 48x - 10\); Gewinnzone: \((5; 10{,}20)\) (in ME). b) Das Gewinnmaximum liegt bei \(x = 8\,\text{ME}\) und beträgt \(54\,\text{GE}\).

- Überlege dir, wie die Breite des Rechtecks mit der \(x\)-Koordinate eines Punktes auf der Parabel zusammenhängt, wenn das Rechteck symmetrisch zur Achse liegt. - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Wie findet man in der Analysis den größten Wert einer Funktion? - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): Da das Rechteck symmetrisch zur \(y\)-Achse liegt, hat es die Breite \(2x\) und die Höhe \(f(x)\). Somit gilt \(A(x) = 2x \cdot (-0{,}5x^2 + 6) = -x^3 + 12x\). 2. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = -3x^2 + 12\). 3. Bestimmung der Extremstellen: \(A'(x) = 0 \Rightarrow -3x^2 + 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4\). Da \(x > 0\) sein muss, folgt \(x = 2\). 4. Überprüfung des Maximums: \(A''(x) = -6x\). Da \(A''(2) = -12 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung der Abmessungen: Die Breite ist \(b = 2 \cdot 2 = 4\,\text{m}\). Die Höhe ist \(h = f(2) = -0{,}5 \cdot 2^2 + 6 = 4\,\text{m}\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: \(A(2) = 4 \cdot 4 = 16\,\text{m}^2\).

Die Breite des Rechtecks beträgt \(4\,\text{m}\), die Höhe beträgt \(4\,\text{m}\) und der maximale Flächeninhalt ist \(16\,\text{m}^2\).

- Skizziere die Situation im Koordinatensystem, um die Seitenlängen des Rechtecks zu identifizieren. - Welche Variable bestimmt die Höhe des Rechtecks, wenn ein Eckpunkt auf der Kurve liegt? - Nutze die erste Ableitung der Flächenfunktion, um die optimale Breite zu finden. - Achte auf die Einheiten in deiner finalen Antwort.

1. Aufstellen der Zielfunktion: Das Rechteck hat die Seitenlängen \(x\) und \(y = f(x)\). Der Flächeninhalt ist \(A(x) = x \cdot (75 - 0{,}01x^2) = 75x - 0{,}01x^3\). 2. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 75 - 0{,}03x^2\). 3. Bestimmung der kritischen Punkte: \(A'(x) = 0 \Rightarrow 0{,}03x^2 = 75 \Rightarrow x^2 = 2500 \Rightarrow x = 50\) (da \(x > 0\)). 4. Nachweis des Maximums: \(A''(x) = -0{,}06x\). Da \(A''(50) = -3 < 0\), handelt es sich um ein Maximum. 5. Berechnung der Seitenlängen: Die erste Seite ist \(x = 50\,\text{cm}\). Die zweite Seite ist \(y = f(50) = 75 - 0{,}01 \cdot 50^2 = 75 - 25 = 50\,\text{cm}\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = 50 \cdot 50 = 2500\,\text{cm}^2\).

Die Seitenlängen der Platte betragen jeweils \(50\,\text{cm}\) (es handelt sich um ein Quadrat). Der maximale Flächeninhalt ist \(2500\,\text{cm}^2\).

- Überlege zuerst, wie die Funktion der Grenzkosten aus der Gesamtkostenfunktion hervorgeht. - Das Minimum einer Funktion findest du dort, wo ihre Ableitung Null ist und ein Vorzeichenwechsel vorliegt. - Erinnere dich daran, dass die Durchschnittskosten die Kosten pro produzierter Einheit angeben. - Um eine Gleichung dritten Grades wie in b) zu lösen, kannst du Werte testen oder ein Näherungsverfahren nutzen.

1. Grenzkostenfunktion bilden: \(K'(x) = 0{,}003x^2 - 0{,}12x + 5\). 2. Minimum der Grenzkosten durch Nullsetzen der zweiten Ableitung bestimmen: \(K''(x) = 0{,}006x - 0{,}12 = 0 \Rightarrow x = 20\). Da \(K'''(x) = 0{,}006 > 0\), liegt ein Minimum vor. Die Grenzkosten sind bei \(x = 20\,\text{ME}\) minimal. 3. Durchschnittskostenfunktion aufstellen: \(V(x) = 0{,}001x^2 - 0{,}06x + 5 + \frac{100}{x}\). 4. Ableitung der Durchschnittskosten bilden: \(V'(x) = 0{,}002x - 0{,}06 - \frac{100}{x^2}\). 5. Minimum der Durchschnittskosten durch \(V'(x) = 0\) bestimmen: \(0{,}002x^3 - 0{,}06x^2 - 100 = 0\). Durch systematisches Probieren oder Lösen ergibt sich \(x = 50\). 6. Grenzkosten an der Stelle \(x = 50\) berechnen: \(K'(50) = 0{,}003 \cdot 50^2 - 0{,}12 \cdot 50 + 5 = 7{,}5 - 6 + 5 = 6{,}5\). 7. Durchschnittskosten an der Stelle \(x = 50\) berechnen: \(V(50) = 0{,}001 \cdot 50^2 - 0{,}06 \cdot 50 + 5 + \frac{100}{50} = 2{,}5 - 3 + 5 + 2 = 6{,}5\). Somit gilt \(K'(50) = V(50)\).

a) Die Grenzkosten sind bei \(x = 20\,\text{ME}\) minimal. b) Die Durchschnittskosten sind bei \(x = 50\,\text{ME}\) minimal (Betriebsoptimum). c) An der Stelle \(x = 50\) gilt \(K'(50) = V(50) = 6{,}5\,\text{GE}\,\text{ME}^{-1}\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Flächen sich ein oben offener Kasten zusammensetzt. - Wie hängen das Volumen, die Grundkante und die Höhe mathematisch zusammen? - Du kannst eine der Variablen durch die andere ausdrücken, um eine Funktion zu erhalten, die nur noch von einer Unbekannten abhängt. - Erinnere dich an das Vorgehen zur Bestimmung von Minima bei Funktionen.

1. Aufstellen der Hauptbedingung für die Oberfläche eines oben offenen Quaders: \(O = a^2 + 4 \cdot a \cdot h\). 2. Verwendung der Nebenbedingung für das Volumen: \(V = a^2 \cdot h = 32\), umgeformt nach \(h = \frac{32}{a^2}\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung ergibt die Zielfunktion: \(O(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{32}{a^2} = a^2 + \frac{128}{a}\). 4. Bildung der ersten Ableitung der Zielfunktion: \(O'(a) = 2a - \frac{128}{a^2}\). 5. Nullsetzen der ersten Ableitung zur Bestimmung des Extremums: \(2a - \frac{128}{a^2} = 0 \Rightarrow 2a^3 = 128 \Rightarrow a^3 = 64\). Daraus ergibt sich die Grundkante \(a = 4\,\text{dm}\). 6. Nachweis des Minimums über die zweite Ableitung \(O''(a) = 2 + \frac{256}{a^3}\), die für \(a = 4\) positiv ist (\(O''(4) = 6 > 0\)). 7. Berechnung der optimalen Höhe über die Nebenbedingung: \(h = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2\,\text{dm}\).

Die Grundkante muss \(a = 4\,\text{dm}\) und die Höhe \(h = 2\,\text{dm}\) betragen.

- Was versteht man unter Grenzkosten in der Mathematik? - Wie hängen die Grenzkosten mit der Steigung der Kostenkurve zusammen? - Der Gewinn ist der Teil des Erlöses, der nach Abzug aller Kosten übrig bleibt. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extremstellen einer Funktion.

1. Zur Bestimmung des Grenzkostenminimums wird die erste Ableitung der Kostenfunktion \(K'(x) = 0{,}03x^2 - 6x + 400\) gebildet. 2. Die Minimalstelle der Grenzkostenfunktion wird über die Bedingung \(K''(x) = 0\) gefunden: \(0{,}06x - 6 = 0 \Rightarrow x = 100\). Mit \(K'''(100) = 0{,}06 > 0\) liegt ein lokales Minimum bei \(x = 100\,\text{ME}\) vor. 3. Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = E(x) - K(x) = -0{,}01x^3 + 3x^2 + 63x - 5000\). 4. Zur Gewinnmaximierung wird \(G'(x) = -0{,}03x^2 + 6x + 63 = 0\) gesetzt. Die quadratische Gleichung \(x^2 - 200x - 2100 = 0\) führt zu den Lösungen \(x_1 = 210\) und \(x_2 = -10\). 5. Da nur \(x > 0\) ökonomisch sinnvoll ist und \(G''(210) = -0{,}06 \cdot 210 + 6 = -6{,}6 < 0\) gilt, liegt das Gewinnmaximum bei \(x = 210\,\text{ME}\).

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(100\,\text{ME}\) minimal. b) Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = -0{,}01x^3 + 3x^2 + 63x - 5000\). Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(210\,\text{ME}\) erreicht.

- Was musst du über die Ableitungen wissen, um Extrempunkte zu finden? - Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes ausdrücken, wenn sie von einem Parameter abhängen? - Versuche, den Parameter aus der Gleichung für die \(x\)-Koordinate zu isolieren und in die Gleichung für die \(y\)-Koordinate einzusetzen.

1. Ableitungen bestimmen: \(f_t'(x) = 3x^2 - 2tx\) und \(f_t''(x) = 6x - 2t\). 2. Extremstellen berechnen: \(f_t'(x) = 0\) führt zu \(x \cdot (3x - 2t) = 0\), also \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{2}{3}t\). 3. Da \(x \neq 0\), wird \(x = \frac{2}{3}t\) betrachtet. Wegen \(f_t''(\frac{2}{3}t) = 2t \neq 0\) liegt dort stets ein Extrempunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate des Extrempunkts berechnen: \(y = f_t(\frac{2}{3}t) = (\frac{2}{3}t)^3 - t \cdot (\frac{2}{3}t)^2 = \frac{8}{27}t^3 - \frac{4}{9}t^3 = -\frac{4}{27}t^3\). 5. Parameter \(t\) eliminieren: Aus \(x = \frac{2}{3}t\) folgt \(t = \frac{3}{2}x\). 6. Einsetzen in die \(y\)-Gleichung: \(y = -\frac{4}{27} \cdot (\frac{3}{2}x)^3 = -\frac{4}{27} \cdot \frac{27}{8}x^3 = -\frac{1}{2}x^3\). 7. Die Gleichung der Ortslinie lautet \(y = -\frac{1}{2}x^3\) für \(x \neq 0\).

Die Ortslinie der Extrempunkte hat die Gleichung \(y = -\frac{1}{2}x^3\) mit \(x \neq 0\).

- Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines Tiefpunktes erfüllt sein? - Wie hängen die x-Koordinate und der Parameter der Schar an den Extremstellen zusammen? - Kannst du den Parameter in der Funktionsgleichung durch einen Ausdruck ersetzen, der nur von x abhängt? - Überlege dir, für welche Werte des Parameters überhaupt Tiefpunkte existieren.

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 2x^3 - 2kx\) und \(f_k''(x) = 6x^2 - 2k\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(2x^3 - 2kx = 0 \iff 2x(x^2 - k) = 0\). Daraus folgen die Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm\sqrt{k}\) (für \(k > 0\)). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: Für \(x_{2,3} = \pm\sqrt{k}\) ist \(f_k''(\pm\sqrt{k}) = 6k - 2k = 4k\). Für \(k > 0\) ist \(4k > 0\), es liegen also Tiefpunkte vor. (An der Stelle \(x_1 = 0\) liegt für \(k > 0\) ein Hochpunkt vor). 4. Koordinaten der Tiefpunkte: \(x^2 = k\) in die Funktionsgleichung einsetzen: \(y = \frac{1}{2}(x^2)^2 - k \cdot x^2 = \frac{1}{2}k^2 - k^2 = -\frac{1}{2}k^2\). 5. Parameter \(k\) eliminieren: Da \(k = x^2\) gilt, folgt durch Einsetzen \(y = -\frac{1}{2}(x^2)^2 = -\frac{1}{2}x^4\). 6. Definitionsbereich: Da Tiefpunkte nur für \(k > 0\) existieren, gilt \(x \neq 0\).

Die Ortslinie der Tiefpunkte hat die Gleichung \(y = -\frac{1}{2}x^4\) für \(x \neq 0\).

- Welche Eigenschaft müssen die Exponenten einer ganzrationalen Funktion haben, damit Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vorliegt? - Wie nutzt du die erste und zweite Ableitung, um Tiefpunkte zu finden? - Achte darauf, dass \(a\) als Parameter wie eine Zahl behandelt wird. - Welche Einschränkungen für den Parameter \(a\) werden in der Aufgabenstellung genannt?

1. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse wird durch \(g_a(-x) = g_a(x)\) nachgewiesen: \((-x)^4 - 2a(-x)^2 = x^4 - 2ax^2\). Die Bedingung ist für alle \(a\) erfüllt. 2. Zur Berechnung der Extrempunkte wird die erste Ableitung \(g_a'(x) = 4x^3 - 4ax\) gebildet und gleich null gesetzt: \(4x(x^2 - a) = 0\). Die kritischen Stellen sind \(x_0 = 0\) sowie \(x_{1,2} = \pm\sqrt{a}\) (da \(a > 0\)). 3. Die zweite Ableitung \(g_a''(x) = 12x^2 - 4a\) dient zur Artbestimmung. Für \(x = \pm\sqrt{a}\) ergibt sich \(g_a''(\pm\sqrt{a}) = 12a - 4a = 8a\). Da \(a > 0\), ist \(8a > 0\), es liegen also Tiefpunkte vor. 4. Die \(y\)-Koordinaten der Tiefpunkte berechnen sich zu \(g_a(\pm\sqrt{a}) = (\pm\sqrt{a})^4 - 2a(\pm\sqrt{a})^2 = a^2 - 2a^2 = -a^2\). Die Tiefpunkte sind \(T_1(\sqrt{a}|-a^2)\) und \(T_2(-\sqrt{a}|-a^2)\). 5. Um \(a\) zu bestimmen, wird die \(y\)-Koordinate gleich \(-25\) gesetzt: \(-a^2 = -25 \implies a^2 = 25\). Da \(a > 0\) vorausgesetzt ist, folgt \(a = 5\).

a) Wegen \(g_a(-x) = (-x)^4 - 2a(-x)^2 = x^4 - 2ax^2 = g_a(x)\) sind die Graphen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Die Tiefpunkte liegen bei \(T_1(\sqrt{a} | -a^2)\) und \(T_2(-\sqrt{a} | -a^2)\). c) Der gesuchte Wert ist \(a = 5\).

- Wie kannst du zeigen, dass ein Punkt für alle Werte eines Parameters gleich bleibt? - Welche Ableitung benötigst du, um Bedingungen für Extremstellen aufzustellen? - Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit der Anzahl der Extrempunkte zusammen? - Erinnerst du dich, wie man die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung mithilfe der Diskriminante bestimmt?

1. Zur Bestimmung der gemeinsamen Punkte wird der Ansatz \(f_a(x) = f_b(x)\) für \(a \neq b\) gewählt: \(x^3 + ax^2 - (a+1)x = x^3 + bx^2 - (b+1)x\). Dies vereinfacht sich zu \((a-b)x^2 - (a-b)x = 0\), woraus \((a-b)(x^2-x) = 0\) folgt. Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f_a(0) = 0\) und \(f_a(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 - (a+1) \cdot 1 = 0\). Die gemeinsamen Punkte sind somit \(P_1(0|0)\) und \(P_2(1|0)\). 2. Für eine Extremstelle an der Stelle \(x = -1\) muss die notwendige Bedingung \(f_a'(-1) = 0\) erfüllt sein. Mit \(f_a'(x) = 3x^2 + 2ax - (a+1)\) ergibt sich \(f_a'(-1) = 3(-1)^2 + 2a(-1) - a - 1 = 2 - 3a\). Aus \(2 - 3a = 0\) folgt \(a = \frac{2}{3}\). Die hinreichende Bedingung \(f_{\frac{2}{3}}''(-1) = 6(-1) + 2 \cdot \frac{2}{3} = -6 + \frac{4}{3} \neq 0\) ist erfüllt. 3. Die Anzahl der Extremstellen hängt von den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f_a'(x) = 3x^2 + 2ax - (a+1)\) ab. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(3x^2 + 2ax - (a+1) = 0\) lautet \(D = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-(a+1)) = 4a^2 + 12a + 12 = 4(a^2 + 3a + 3)\). Da die Diskriminante der inneren Parabel \(a^2 + 3a + 3\) den Wert \(3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -3 < 0\) hat und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(a^2 + 3a + 3 > 0\) für alle \(a\). Somit ist \(D\) immer positiv, was bedeutet, dass \(f_a'\) stets zwei verschiedene reelle Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. Folglich hat jeder Graph genau zwei Extrempunkte.

a) Gemeinsame Punkte: \(P_1(0|0)\) und \(P_2(1|0)\). b) Der Parameterwert ist \(a = \frac{2}{3}\). c) Die Diskriminante der Ableitungsfunktion \(f_a'(x) = 0\) ist \(D = 4a^2 + 12a + 12\). Da \(D > 0\) für alle \(a \in \mathbb{R}\) gilt, existieren stets zwei Extremstellen mit Vorzeichenwechsel in \(f_a'\).

- Wie lautet die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes? - Denke daran, dass der Parameter wie eine Zahl behandelt wird, sein Vorzeichen aber das Ergebnis der zweiten Ableitung beeinflussen kann. - Was passiert mit den beiden potenziellen Extremstellen, wenn der Parameter Null ist? - Zur Bestimmung der \(y\)-Koordinaten musst du die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen.

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 12kx + 9k^2\) und \(f_k''(x) = 6x - 12k\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_k'(x) = 0 \implies 3(x^2 - 4kx + 3k^2) = 0 \implies (x-k)(x-3k) = 0\). Die kritischen Stellen sind \(x_1 = k\) und \(x_2 = 3k\). 3. Untersuchung der Extrema: - Für \(k > 0\): \(f_k''(k) = -6k < 0 \implies H(k \mid 4k^3)\); \(f_k''(3k) = 6k > 0 \implies T(3k \mid 0)\). - Für \(k < 0\): \(f_k''(k) = -6k > 0 \implies T(k \mid 4k^3)\); \(f_k''(3k) = 6k < 0 \implies H(3k \mid 0)\). - Für \(k = 0\): \(f_0(x) = x^3\) hat bei \(x = 0\) einen Sattelpunkt \(S(0 \mid 0)\), keine lokalen Extrema. 4. Wendepunkt bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \implies 6x - 12k = 0 \implies x = 2k\). Da \(f_k'''(x) = 6 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(f_k(2k) = (2k)^3 - 6k(2k)^2 + 9k^2(2k) = 2k^3\). Koordinaten: \(W(2k \mid 2k^3)\).

Für \(k > 0\): Hochpunkt \(H(k \mid 4k^3)\), Tiefpunkt \(T(3k \mid 0)\). Für \(k < 0\): Tiefpunkt \(T(k \mid 4k^3)\), Hochpunkt \(H(3k \mid 0)\). Für \(k = 0\): Kein lokales Extremum (Sattelpunkt bei \((0 \mid 0)\)). Wendepunkt allgemein: \(W(2k \mid 2k^3)\).

- Berechne zuerst die ersten drei Ableitungen der Funktion. - Achte beim Lösen der Gleichung für die Extremstellen darauf, alle Lösungen in Abhängigkeit von \(a\) zu finden. - Wann fallen zwei potenzielle Extremstellen zu einer einzigen Stelle zusammen? - Überprüfe mit der zweiten Ableitung, wie der Parameter \(a\) die Krümmung an den Stellen beeinflusst.

1. Ableitungen bestimmen: \(g_a'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 3ax\), \(g_a''(x) = 3x - 3a\), \(g_a'''(x) = 3\). 2. Extremstellen berechnen: \(g_a'(x) = 0 \implies \frac{3}{2}x(x - 2a) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 2a\). 3. Art der Extrema (\(a \neq 0\)): - \(g_a''(0) = -3a\). Für \(a > 0\) ist \(-3a < 0\) (Hochpunkt), für \(a < 0\) ist \(-3a > 0\) (Tiefpunkt). - \(g_a''(2a) = 3a\). Für \(a > 0\) ist \(3a > 0\) (Tiefpunkt), für \(a < 0\) ist \(3a < 0\) (Hochpunkt). 4. Koordinaten der Punkte: \(P_1(0 \mid 2)\), \(P_2(2a \mid 2 - 2a^3)\). 5. Sonderfall \(a = 0\): Hier ist \(x_1 = x_2 = 0\). Da \(g_0''(0) = 0\) und \(g_0'''(0) = 3 \neq 0\), liegt ein Sattelpunkt bei \(S(0 \mid 2)\) vor. 6. Wendepunkt: \(g_a''(x) = 0 \implies x = a\). Funktionswert: \(g_a(a) = \frac{1}{2}a^3 - \frac{3}{2}a^3 + 2 = 2 - a^3\). Wendepunkt \(W(a \mid 2 - a^3)\).

Für \(a > 0\): Hochpunkt \(H(0 \mid 2)\) und Tiefpunkt \(T(2a \mid 2 - 2a^3)\). Für \(a < 0\): Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\) und Hochpunkt \(H(2a \mid 2 - 2a^3)\). Der Punkt auf der \(y\)-Achse \((0 \mid 2)\) ist somit für \(a > 0\) ein Hochpunkt. Für \(a = 0\) liegt ein Sattelpunkt bei \((0 \mid 2)\) vor; es gibt keinen lokalen Extrempunkt. Wendepunkt: \(W(a \mid 2 - a^3)\).

- Überlege dir zuerst, wie man das Volumen eines Quaders berechnet. - Wie hängen die Länge und die Seitenlänge der Grundfläche über die Versandbedingung zusammen? - Versuche, eine Variable durch die andere auszudrücken, um eine Funktion zu erhalten, die nur noch von einer Unbekannten abhängt. - Erinnere dich daran, wie man mit Hilfe der Ableitung den höchsten Punkt einer Funktion bestimmt. - Prüfe am Ende, ob deine berechnete Länge die zusätzliche Bedingung (maximal \(80\,\text{cm}\)) erfüllt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(a, l) = a^2 \cdot l\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für das maximale Maß: \(l + 4a = 160\), woraus folgt \(l = 160 - 4a\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion ergibt die Zielfunktion in Abhängigkeit von \(a\): \(V(a) = a^2 \cdot (160 - 4a) = 160a^2 - 4a^3\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(V'(a) = 320a - 12a^2\). 5. Nullsetzen der ersten Ableitung zur Findung der Extremstellen: \(320a - 12a^2 = 0 \implies 4a(80 - 3a) = 0\). Die relevante Lösung ist \(a = \frac{80}{3} \approx 26{,}67\,\text{cm}\). 6. Überprüfung der zweiten Ableitung: \(V''(a) = 320 - 24a\). Da \(V''(\frac{80}{3}) = 320 - 640 = -320 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung der zugehörigen Länge: \(l = 160 - 4 \cdot \frac{80}{3} = \frac{160}{3} \approx 53{,}33\,\text{cm}\). Da \(l \le 80\,\text{cm}\) gilt, ist die Bedingung erfüllt. 8. Berechnung des maximalen Volumens: \(V = (\frac{80}{3})^2 \cdot \frac{160}{3} = \frac{1\,024\,000}{27} \approx 37\,925{,}93\,\text{cm}^3\).

Das Paket hat das maximale Volumen bei einer Seitenlänge von \(a = \frac{80}{3}\,\text{cm} \approx 26{,}67\,\text{cm}\) und einer Länge von \(l = \frac{160}{3}\,\text{cm} \approx 53{,}33\,\text{cm}\). Das maximale Volumen beträgt etwa \(37\,925{,}93\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir zuerst, wie man das Volumen eines Zylinders berechnet und welche Größen darin vorkommen. - Wie hängen der Umfang und der Radius eines Kreises zusammen? - Du hast eine Bedingung für die Summe aus Länge und Umfang gegeben. Nutze diese, um eine der Variablen durch die andere zu ersetzen. - Wenn du eine Funktion für das Volumen hast, wie findest du den Wert für den Radius, bei dem die Funktion ihren höchsten Punkt erreicht? - Achte darauf, ob nach dem exakten Wert oder einem gerundeten Wert gefragt ist.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot l\). 2. Nutzen der Nebenbedingung \(l + U = 120\) mit \(U = 2\pi \cdot r\): \(l + 2\pi \cdot r = 120 \Rightarrow l = 120 - 2\pi \cdot r\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(V(r) = \pi \cdot r^2 \cdot (120 - 2\pi \cdot r) = 120\pi \cdot r^2 - 2\pi^2 \cdot r^3\). 4. Bestimmen der ersten Ableitung: \(V'(r) = 240\pi \cdot r - 6\pi^2 \cdot r^2\). 5. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(6\pi \cdot r \cdot (40 - \pi \cdot r) = 0\). Da \(r > 0\), folgt \(40 - \pi \cdot r = 0\), also \(r = \frac{40}{\pi} \approx 12{,}73\,\text{cm}\). 6. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(V''(r) = 240\pi - 12\pi^2 \cdot r\). Für \(r = \frac{40}{\pi}\) ergibt sich \(V''(\frac{40}{\pi}) = 240\pi - 480\pi = -240\pi < 0\), folglich liegt ein Maximum vor. 7. Berechnung der optimalen Länge: \(l = 120 - 2\pi \cdot \frac{40}{\pi} = 120 - 80 = 40\,\text{cm}\). 8. Berechnung des maximalen Volumens: \(V = \pi \cdot (\frac{40}{\pi})^2 \cdot 40 = \frac{64\,000}{\pi} \approx 20\,371{,}8\,\text{cm}^3\).

a) \(V(r) = 120\pi \cdot r^2 - 2\pi^2 \cdot r^3\) b) \(r = \frac{40}{\pi} \approx 12{,}7\,\text{cm}\) und \(l = 40\,\text{cm}\) c) \(V_{max} \approx 20\,371{,}8\,\text{cm}^3\)

- Wie hängen das Vorzeichen der Ableitung und das Monotonieverhalten zusammen? - Setze beispielhafte Werte in die Ableitung ein, um das Vorzeichen in verschiedenen Bereichen zu prüfen. - Achte besonders darauf, ob die Ableitung an einer Nullstelle ihr Vorzeichen wechselt oder nicht. - Was bedeutet eine „doppelte Nullstelle“ der Ableitung für den Verlauf des Graphen von \(f\)?

1. Bildung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^3 - 2x^2\). 2. Faktorisieren der Ableitung zur Nullstellenbestimmung: \(f'(x) = x^2(x - 2)\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = 2\) (einfach). 3. Vorzeichenbetrachtung von \(f'(x)\): Für \(x < 0\) ist \(f'(x) < 0\), für \(0 < x < 2\) ist \(f'(x) < 0\) und für \(x > 2\) ist \(f'(x) > 0\). 4. Da \(f'(x) \ge 0\) nur für \(x \ge 2\) gilt (mit \(f'(2) = 0\) als isolierter Nullstelle), ist die Funktion im Intervall \([2; \infty)\) streng monoton zunehmend.

\([2; \infty)\)

- Wie findet man die Nullstellen eines Terms, in dem jede Komponente ein \(x\) enthält? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die erste Ableitung an einer Stelle Null ist, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet? - Wenn die zweite Ableitung an einer Nullstelle der ersten Ableitung ebenfalls Null ergibt, welches weitere Kriterium kannst du zur Identifikation nutzen?

1. Nullstellen von \(f'\) berechnen: \(x^3 - 6x^2 + 9x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 6x + 9) = 0 \Leftrightarrow x(x-3)^2 = 0\). Die Stellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 3x^2 - 12x + 9\). 3. Untersuchung von \(x_1 = 0\): \(f''(0) = 9 > 0\). Da die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung positiv ist, liegt bei \(x = 0\) ein lokaler Tiefpunkt vor. 4. Untersuchung von \(x_2 = 3\): \(f''(3) = 3(3)^2 - 12(3) + 9 = 27 - 36 + 9 = 0\). Da die zweite Ableitung Null ist, ist das Kriterium nicht eindeutig. Untersuchung des Vorzeichenwechsels von \(f'(x) = x(x-3)^2\): Da \((x-3)^2\) für alle \(x \neq 3\) positiv ist, hängt das Vorzeichen von \(f'\) in der Nähe von \(x=3\) nur von \(x\) ab. Da \(x\) für Werte nahe \(3\) stets positiv ist, findet bei \(x = 3\) kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) statt. Somit liegt ein Terrassenpunkt vor.

Der Graph von \(f\) besitzt waagerechte Tangenten an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 3\). An der Stelle \(x = 0\) liegt ein Tiefpunkt vor, da \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 9 > 0\) ist. An der Stelle \(x = 3\) liegt ein Terrassenpunkt vor, da \(f'(3) = 0\) gilt und die Ableitungsfunktion \(f'\) dort keinen Vorzeichenwechsel aufweist (bzw. \(f''(3) = 0\) und \(f'''(3) \neq 0\)).

- Überlege dir, ob der kleinste Abstand bei einem Minimum oder einem Maximum der Funktion liegt, wenn alle Werte negativ sind. - Untersuche alle Stellen mit waagerechter Tangente genau. Handelt es sich immer um einen Hoch- oder Tiefpunkt? - Wie verhält sich die Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = -x^3 + 3x^2\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\) anwenden: \(-x^2(x - 3) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Art der Stellen untersuchen: \(f''(x) = -3x^2 + 6x\). \(f''(3) = -27 + 18 = -9 < 0\), also liegt bei \(x = 3\) ein lokales Maximum vor. Bei \(x = 0\) liegt wegen \(f''(0) = 0\) und fehlendem Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) ein Sattelpunkt vor. 4. Da der Graph für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, ist das lokale Maximum bei \(x = 3\) das globale Maximum. 5. Da alle Funktionswerte negativ sind, ist der Abstand zum Nullniveau dort am geringsten, wo der Funktionswert am größten (am wenigsten negativ) ist. 6. Funktionswert berechnen: \(f(3) = -\frac{1}{4} \cdot 3^4 + 3^3 - 10 = -20{,}25 + 27 - 10 = -3{,}25\).

\(P(3|-3{,}25)\)

- Bestimme zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktion. - Achte beim Berechnen der Funktionswerte an den Extremstellen besonders auf die Vorzeichen. - Wie verhält sich ein Graph zwischen einem Tiefpunkt mit negativem y-Wert und einem Hochpunkt mit positivem y-Wert? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird?

1. Erste Ableitung \(f'(x) = 2x^3 - 4x\). Nullstellen von \(f'\): \(2x(x^2 - 2) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) und \(x_3 = -\sqrt{2} \approx -1{,}41\). 2. Zweite Ableitung \(f''(x) = 6x^2 - 4\). Überprüfung der Stellen: \(f''(0) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(0|1{,}5)\). \(f''(\pm\sqrt{2}) = 6 \cdot 2 - 4 = 8 > 0 \implies\) Tiefpunkte \(T_1(-\sqrt{2}|-0{,}5)\) und \(T_2(\sqrt{2}|-0{,}5)\). 3. Globalverhalten: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). 4. Schlussfolgerung auf Nullstellen: Da die Tiefpunkte unterhalb der \(x\)-Achse (\(y = -0{,}5\)) und der Hochpunkt dazwischen oberhalb der \(x\)-Achse (\(y = 1{,}5\)) liegen, muss der Graph zwischen \(x = -\sqrt{2}\) und \(x = 0\) sowie zwischen \(x = 0\) und \(x = \sqrt{2}\) die \(x\)-Achse schneiden (2 Nullstellen). Wegen des Grenzverhaltens gegen \(\infty\) gibt es zudem jeweils eine Nullstelle im Bereich \(x < -\sqrt{2}\) und \(x > \sqrt{2}\). Insgesamt ergeben sich also 4 Nullstellen.

Die Extrempunkte sind \(H(0|1{,}5)\) (lokaler Hochpunkt) sowie \(T_1(-\sqrt{2}|-0{,}5)\) und \(T_2(\sqrt{2}|-0{,}5)\) (lokale Tiefpunkte). Da die \(y\)-Werte der Minima negativ und der \(y\)-Wert des Maximums positiv sind und die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) strebt, hat die Funktion genau vier Nullstellen.

- Welchen Grad hat die Ableitungsfunktion einer Funktion vierten Grades? - Erinnere dich an das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriterium für Extremstellen. - Überlege dir, welche Arten von Nullstellen (einfach, doppelt, dreifach) ein Polynom dritten Grades haben kann. - Wie viele Vorzeichenwechsel sind bei einem Polynom dritten Grades insgesamt möglich? - Betrachte das Verhalten der Ableitungsfunktion für sehr große und sehr kleine x-Werte.

1. Eine ganzrationale Funktion \(f\) vierten Grades besitzt eine Ableitungsfunktion \(f'\) dritten Grades. 2. Eine Extremstelle von \(f\) setzt voraus, dass \(f'(x) = 0\) gilt und an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel (VZW) von \(f'\) stattfindet. 3. Für ein Polynom 3. Grades (ungerader Grad) gibt es folgende Möglichkeiten für reelle Nullstellen: - Drei einfache Nullstellen: An jeder Nullstelle findet ein VZW statt, was zu 3 Extremstellen führt. - Eine einfache und eine doppelte Nullstelle: Nur an der einfachen Nullstelle findet ein VZW statt (an der doppelten liegt ein Sattelpunkt vor), was zu genau 1 Extremstelle führt. - Eine dreifache Nullstelle: Es findet ein VZW statt, was zu genau 1 Extremstelle führt. - Eine einfache reelle Nullstelle und zwei komplexe Nullstellen: Es findet nur an der reellen Nullstelle ein VZW statt, was zu genau 1 Extremstelle führt. 4. Da ein Polynom 3. Grades immer mindestens eine und höchstens drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt und die Anzahl der VZW bei ungeradem Grad immer ungerade sein muss (da die Grenzwerte für \(x \to \pm \infty\) unterschiedliche Vorzeichen haben), ist die Anzahl der Extremstellen stets 1 oder 3. 5. Die Aussage des Schülers ist somit wahr.

Die Aussage ist wahr. Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat den Grad 3. Ein Polynom 3. Grades wechselt sein Vorzeichen entweder an genau einer oder an genau drei Stellen (abhängig von der Vielfachheit der Nullstellen). Daher kann die ursprüngliche Funktion \(f\) nur eine oder drei Extremstellen besitzen.

- Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der Ableitungsfunktion? - Überlege dir, wie der Graph einer quadratischen Funktion aussieht, wenn sie nur eine einzige Nullstelle hat. Ändert sich dort das Vorzeichen der Funktionswerte? - Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Monotonieverhalten zusammen? - Wann liegt eine Parabel vollständig oberhalb der x-Achse oder berührt diese nur?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(g_c'(x) = 3x^2 - 6x + c\). Waagerechte Tangenten liegen an den Nullstellen von \(g_c'\) vor. 2. Bedingung für zwei waagerechte Tangenten: Die quadratische Gleichung \(3x^2 - 6x + c = 0\) muss zwei verschiedene reelle Lösungen haben. Die Diskriminante \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot c = 36 - 12c\) muss also positiv sein: \(36 - 12c > 0 \implies c < 3\). 3. Fall einer waagerechten Tangente: Dies tritt bei \(D = 0\) ein, also \(c = 3\). Die Ableitung \(g_3'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x-1)^2\) hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 1\). Da das Quadrat \((x-1)^2\) nie negativ ist, gilt \(g_3'(x) \geq 0\). Es findet kein Vorzeichenwechsel der Steigung statt, was bei einer waagerechten Tangente einen Terrassenpunkt definiert. 4. Bedingung für strenge Monotonie: Eine ganzrationale Funktion ist streng monoton steigend, wenn \(g_c'(x) \geq 0\) für alle \(x\) gilt und die Nullstellen der Ableitung isoliert sind. Da die Parabel von \(g_c'\) nach oben geöffnet ist, muss ihr Scheitelpunkt auf oder oberhalb der x-Achse liegen, was \(D \leq 0\) entspricht. 5. \(36 - 12c \leq 0 \implies 12c \geq 36 \implies c \geq 3\).

a) \(c < 3\) b) Bei genau einer waagerechten Tangente hat die Ableitungsfunktion eine doppelte Nullstelle (Scheitelpunkt auf der x-Achse). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt \(g_c'(x) \geq 0\) für alle \(x\). Ohne Vorzeichenwechsel an der Nullstelle liegt ein Terrassenpunkt vor. c) \(c \geq 3\)

- Was passiert mit dem Grad der Funktion, wenn der Parameter vor der höchsten Potenz null wird? - Untersuche die Ableitung der Funktion. Welchen Typ von Gleichung musst du lösen, um die kritischen Stellen zu finden? - Erinnere dich daran, dass die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion über die Diskriminante bestimmt werden kann. - Überlege für jeden Fall, ob an den gefundenen Stellen tatsächlich ein Extremum (mit Vorzeichenwechsel der Steigung) vorliegt.

1. Fallunterscheidung nach dem Grad der Funktion: 2. Fall \(a = 0\): Die Funktion \(g_0(x) = 3x^2 + 3x\) ist eine Parabel. Die Ableitung \(g_0'(x) = 6x + 3\) hat genau eine Nullstelle bei \(x = -0{,}5\) mit Vorzeichenwechsel. Es gibt genau eine lokale Extremstelle. 3. Fall \(a \neq 0\): Die Funktion ist ein Polynom 3. Grades. Ableitung: \(g_a'(x) = 3ax^2 + 6x + 3\). 4. Notwendige Bedingung \(g_a'(x) = 0\) führt auf \(3ax^2 + 6x + 3 = 0\). 5. Diskriminante berechnen: \(D = 6^2 - 4 \cdot 3a \cdot 3 = 36 - 36a = 36(1 - a)\). 6. \(D > 0 \iff a < 1\): Unter Berücksichtigung von \(a \neq 0\) gibt es zwei verschiedene Nullstellen der Ableitung mit Vorzeichenwechsel, also zwei lokale Extremstellen. 7. \(D = 0 \iff a = 1\): Es gibt eine doppelte Nullstelle der Ableitung bei \(x = -1\). Da \(g_1'(x) = 3(x+1)^2 \ge 0\), findet kein Vorzeichenwechsel statt (Sattelpunkt). Keine Extremstelle. 8. \(D < 0 \iff a > 1\): Die Ableitung hat keine Nullstellen. Keine Extremstelle. 9. Zusammenfassung: Für \(a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)\) gibt es zwei Extremstellen, für \(a = 0\) eine Extremstelle und für \(a \ge 1\) keine Extremstelle.

Genau zwei lokale Extremstellen für \(a < 1\) mit \(a \neq 0\). Genau eine lokale Extremstelle für \(a = 0\). Keine lokalen Extremstellen für \(a \ge 1\).

- Was weißt du über die erste Ableitung an einer Stelle mit waagrechter Tangente? - Stelle die Ableitung der Funktionenschar allgemein in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Wenn du eine Gleichung mit dem Parameter im Nenner erhältst, wie kannst du diese in eine einfachere Form bringen? - Gibt es möglicherweise mehr als einen Wert für den Parameter, der die Bedingung erfüllt?

1. Die Ableitungsfunktion der Schar bestimmen: \(g_a'(x) = \frac{3}{a}x^2 + 12x + 9a\). 2. Die Bedingung für eine waagrechte Tangente an der Stelle \(x = -3\) ist \(g_a'(-3) = 0\). 3. Den Wert \(x = -3\) in die Ableitung einsetzen: \(\frac{3}{a} \cdot (-3)^2 + 12 \cdot (-3) + 9a = \frac{27}{a} - 36 + 9a\). 4. Die Gleichung \(\frac{27}{a} - 36 + 9a = 0\) nach \(a\) auflösen. Multiplikation mit \(a\) liefert die quadratische Gleichung \(9a^2 - 36a + 27 = 0\). 5. Durch Division mit 9 vereinfachen: \(a^2 - 4a + 3 = 0\). 6. Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen oder durch Faktorisieren \((a-1)(a-3) = 0\) die Werte \(a_1 = 1\) und \(a_2 = 3\) bestimmen.

\(a_1 = 1\) und \(a_2 = 3\)

- Untersuche die Nullstellen beider Funktionen getrennt voneinander und vergleiche die Ergebnisse. - Verwende die notwendige Bedingung für Extremstellen bei der Funktion \(q_a\). - Um die Ortskurve zu finden, stelle die Gleichung für den x-Wert nach dem Parameter um und ersetze diesen in der y-Gleichung. - Wann ist ein negativer Wert „kleiner“ als ein anderer negativer Wert? Achte beim Lösen der Ungleichung auf das Relationszeichen.

1. Nullstellenvergleich: \(p_a(x) = x(x - 2a) = 0\) liefert \(x = 0\) und \(x = 2a\). \(q_a(x) = x^2(\frac{1}{a}x - 2) = 0\) liefert ebenfalls \(x = 0\) und \(x = 2a\). 2. Extremstellen von \(q_a\): \(q_a'(x) = \frac{3}{a}x^2 - 4x = x(\frac{3}{a}x - 4) = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{4}{3}a\). 3. Art und Koordinaten: \(q_a''(x) = \frac{6}{a}x - 4\). \(q_a''(\frac{4}{3}a) = 4 > 0\), also Tiefpunkt bei \(T(\frac{4}{3}a \mid -\frac{32}{27}a^2)\). 4. Ortskurve: Mit \(x = \frac{4}{3}a\) folgt \(a = \frac{3}{4}x\). Einsetzen in \(y = -\frac{32}{27}a^2\) ergibt \(y = -\frac{32}{27} \cdot (\frac{3}{4}x)^2 = -\frac{2}{3}x^2\) für \(x > 0\). 5. Ungleichung: \(-\frac{32}{27}a^2 < -32 \iff a^2 > 27 \iff a > \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).

a) Nullstellen sind jeweils \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2a\). b) \(T(\frac{4}{3}a \mid -\frac{32}{27}a^2)\) c) \(y = -\frac{2}{3}x^2\) für \(x > 0\) d) \(a > 3\sqrt{3}\) (bzw. \(a > \sqrt{27} \approx 5{,}20\))

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Fahrzeuge zum selben Zeitpunkt die gleiche Geschwindigkeit haben? - Die zurückgelegte Strecke entspricht der Fläche unter dem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen. - Überlege dir, wie die Differenz der beiden Funktionen im Intervall zwischen ihren Schnittpunkten aussieht. Ist eine Funktion dort immer „höher“ als die andere? - Du kannst die Differenz der Funktionen \(v_1(t)\) und \(v_3(t)\) bilden und ihr Vorzeichen im Intervall prüfen.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme \(v_1(t) = v_3(t)\) führt auf \(-t^3 + 3t^2 - 12t + 12t + 100 = -t^3 + 9t^2 - 36t + 12t + 100\). 2. Vereinfachung ergibt \(3t^2 = 9t^2 - 24t\), also \(6t^2 - 24t = 0\). Ausklammern liefert \(6t(t-4) = 0\), woraus die Zeitpunkte \(t=0\,\text{s}\) und \(t=4\,\text{s}\) folgen. 3. Um zu bestimmen, welches Fahrzeug eine größere Strecke zurücklegt, wird die Differenzfunktion \(d(t) = v_1(t) - v_3(t)\) im Intervall \((0; 4)\) betrachtet: \(d(t) = (v_1(t) - v_3(t)) = (1-3)(3t^2 - 12t) = -2(3t^2 - 12t) = -6t(t-4)\). 4. Im Bereich \(0 < t < 4\) ist der Faktor \(t\) positiv und \((t-4)\) negativ. Damit ist das Produkt \(-6t(t-4)\) stets positiv. 5. Da \(v_1(t) > v_3(t)\) für alle \(t \in (0; 4)\) gilt, ist Fahrzeug 1 fast während des gesamten Zeitraums schneller und legt somit die größere Strecke zurück.

a) Die Fahrzeuge haben zum Zeitpunkt \(t = 0\,\text{s}\) und \(t = 4\,\text{s}\) die gleiche Geschwindigkeit. b) Fahrzeug 1 legt die größere Strecke zurück, da seine Geschwindigkeit im gesamten Intervall \((0; 4)\) höher ist als die von Fahrzeug 3 (\(v_1(t) > v_3(t)\)).

- Gehe wie bei einer normalen Kurvendiskussion vor, um die Extremstellen zu finden, behandle den Parameter dabei wie eine Zahl. - Du wirst zwei Stellen finden, die vom Parameter abhängen. - Setze diese Stellen in die Funktionsgleichung ein, um die zugehörigen Funktionswerte zu erhalten. - Das Ziel ist eine Funktionsgleichung \(y = f(x)\), die für alle Extrempunkte gilt, egal welchen Wert der Parameter hat. - Achte darauf, ob bestimmte x-Werte aufgrund der Definitionsmenge des Parameters ausgeschlossen werden müssen.

1. Ableitungen berechnen: \(g_a'(x) = 3x^2 - 3a^2\) und \(g_a''(x) = 6x\). 2. Extremstellen bestimmen: \(3x^2 - 3a^2 = 0 \implies x^2 = a^2 \implies x_1 = a, x_2 = -a\). 3. Da \(a \neq 0\), ist \(g_a''(a) = 6a \neq 0\) und \(g_a''(-a) = -6a \neq 0\), somit liegen an beiden Stellen lokale Extrema vor. 4. \(y\)-Koordinaten berechnen: Für \(x = a\): \(y = a^3 - 3a^2(a) + 2 = -2a^3 + 2\). Für \(x = -a\): \(y = (-a)^3 - 3a^2(-a) + 2 = -a^3 + 3a^3 + 2 = 2a^3 + 2\). 5. Parameter eliminieren: Fall \(x = a\): Einsetzen von \(a = x\) in \(y = -2a^3 + 2\) ergibt \(y = -2x^3 + 2\). Fall \(x = -a\): Einsetzen von \(a = -x\) in \(y = 2a^3 + 2\) ergibt \(y = 2(-x)^3 + 2 = -2x^3 + 2\). 6. Da \(a \neq 0\), ist \(x = 0\) von der Ortskurve auszuschließen.

Die Gleichung der Ortskurve lautet \(y = -2x^3 + 2\) für \(x \neq 0\).

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und dem Monotonieverhalten? - Was muss für eine nach oben geöffnete Parabel gelten, damit sie keine Werte unterhalb der x-Achse annimmt? - Erinnere dich an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung. - Wann hat eine quadratische Gleichung keine oder genau eine Lösung?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 + 2kx + 3\). 2. Bedingung für strenge Monotonie: Eine differenzierbare Funktion ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend, wenn \(f'(x) \geq 0\) gilt und die Nullstellen von \(f'\) isoliert sind. 3. Da der Graph von \(f'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist die Bedingung \(f'(x) \geq 0\) genau dann erfüllt, wenn die Diskriminante \(D\) der quadratischen Gleichung \(3x^2 + 2kx + 3 = 0\) kleiner oder gleich Null ist. 4. Diskriminante berechnen: \(D = (2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4k^2 - 36\). 5. Ungleichung lösen: \(4k^2 - 36 \leq 0 \Rightarrow k^2 \leq 9\). 6. Ergebnis: Die Bedingung ist für \(-3 \leq k \leq 3\) erfüllt. In den Grenzfällen \(k = \pm 3\) hat die Ableitung nur eine doppelte Nullstelle (Sattelpunkt), was die strenge Monotonie nicht verletzt.

Die Funktion ist für \(k \in [-3; 3]\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend.

- Reicht es aus, wenn die erste Ableitung an einer Stelle null ist, um sicher zu sein, dass dort ein Extrempunkt liegt? - Was passiert mit der Steigung der Funktion kurz vor und kurz nach der Stelle, an der die Ableitung null ist? - Kannst du die erste Ableitung in eine Form bringen, die dir zeigt, ob sie jemals negativ werden kann?

1. Erste Ableitung berechnen: \(g'(x) = x^2 + 2x + 1\). 2. Notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\) prüfen: \(x^2 + 2x + 1 = 0 \iff (x+1)^2 = 0\). Dies liefert die einzige potentielle Extremstelle \(x = -1\). 3. Überprüfung auf Art des Extremums: - Methode Vorzeichenwechsel: Da \(g'(x) = (x+1)^2\) ein Quadrat ist, gilt \(g'(x) \ge 0\) für alle \(x\). Die Steigung ist vor und nach \(x = -1\) positiv, es findet kein Vorzeichenwechsel statt. - Methode höhere Ableitungen: \(g''(x) = 2x + 2\). Es gilt \(g''(-1) = 0\). Da auch die zweite Ableitung an dieser Stelle null ist, muss die dritte Ableitung \(g'''(x) = 2\) betrachtet werden. Wegen \(g'''(-1) \neq 0\) liegt ein Sattelpunkt vor. 4. Schlussfolgerung: Da an der einzigen Stelle mit waagerechter Tangente kein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung vorliegt (bzw. die Bedingungen für einen Sattelpunkt erfüllt sind), besitzt die Funktion keine lokalen Extremstellen.

Die Funktion \(g\) besitzt keine lokalen Extremstellen. An der Stelle \(x = -1\) liegt ein Sattelpunkt vor, da die erste Ableitung dort zwar null ist, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet.

- Wie hängen die Anzahl der Nullstellen der Ableitungsfunktion und die Anzahl der Extremstellen zusammen? - Erinnere dich an die Bedingung für die Existenz von Lösungen bei quadratischen Gleichungen. - Wie gehst du vor, wenn ein konkreter Wert für den Parameter vorgegeben ist? - Vergiss nicht, am Ende sowohl die x- als auch die y-Koordinaten der Punkte anzugeben.

1. Erste Ableitung bilden: \(f_k'(x) = x^2 - kx + 4\). 2. Bedingung für zwei Extremstellen: Die quadratische Gleichung \(x^2 - kx + 4 = 0\) muss zwei verschiedene reelle Lösungen besitzen. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante \(D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16\) größer als Null ist. 3. Ungleichung lösen: \(k^2 - 16 > 0 \implies |k| > 4\). Also für \(k < -4\) oder \(k > 4\). 4. Fall \(k = 5\): \(f_5'(x) = x^2 - 5x + 4\). Nullstellen über die p-q-Formel oder Faktorisierung \((x - 1)(x - 4) = 0\) ergeben \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). 5. Art der Extrema prüfen: \(f_5''(x) = 2x - 5\). - \(f_5''(1) = 2(1) - 5 = -3 < 0 \implies\) Hochpunkt. \(f_5(1) = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{2 - 15 + 24}{6} = \frac{11}{6}\). Punkt \(H(1 | \frac{11}{6})\). - \(f_5''(4) = 2(4) - 5 = 3 > 0 \implies\) Tiefpunkt. \(f_5(4) = \frac{64}{3} - \frac{5}{2} \cdot 16 + 16 = \frac{64}{3} - 40 + 16 = \frac{64 - 72}{3} = -\frac{8}{3}\). Punkt \(T(4 | -\frac{8}{3})\).

a) Die Funktion besitzt genau zwei lokale Extrempunkte, wenn \(k < -4\) oder \(k > 4\) gilt. b) Für \(k = 5\) liegen die Extrempunkte bei \(H(1 | \frac{11}{6})\) (Hochpunkt) und \(T(4 | -\frac{8}{3})\) (Tiefpunkt).

- Welche Gleichung musst du lösen, um potenzielle Extremstellen zu finden? - Kannst du beim Lösen der Gleichung einen Faktor ausklammern? - Wenn die zweite Ableitung an einer Stelle \(0\) ergibt, was bedeutet das für die Untersuchung? - Wie verhält sich die Steigung kurz vor und kurz nach einer Stelle, an der sie \(0\) ist?

1. Erste Ableitung berechnen: \(g'(x) = -\frac{1}{4}x^4 + x^2\). 2. Notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\) anwenden: \(-\frac{1}{4}x^4 + x^2 = 0 \iff x^2(-\frac{1}{4}x^2 + 1) = 0\). Dies liefert die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Zweite Ableitung berechnen: \(g''(x) = -x^3 + 2x\). 4. Überprüfung der Stellen: - \(g''(2) = -8 + 4 = -4 < 0 \implies\) lokales Maximum. Funktionswert: \(g(2) = -\frac{32}{20} + \frac{8}{3} = -1{,}6 + 2{,}66\dots = \frac{16}{15}\). Hochpunkt \(H(2 \mid \frac{16}{15})\). - \(g''(-2) = 8 - 4 = 4 > 0 \implies\) lokales Minimum. Funktionswert: \(g(-2) = \frac{32}{20} - \frac{8}{3} = -\frac{16}{15}\). Tiefpunkt \(T(-2 \mid -\frac{16}{15})\). - \(g''(0) = 0\). Untersuchung des Vorzeichenwechsels von \(g'(x)\) an der Stelle \(x=0\): Da \(g'(x) = x^2(1 - \frac{1}{4}x^2)\) für kleine Werte von \(x\) (nahe \(0\)) stets positiv ist (Quadrat mal positiver Klammer), findet kein Vorzeichenwechsel statt. Somit liegt bei \(S(0 \mid 0)\) ein Sattelpunkt vor.

a) Die Ableitung ist \(g'(x) = -\frac{1}{4}x^4 + x^2\). Die potenziellen Extremstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). b) Die Extrempunkte sind \(H(2 \mid \frac{16}{15})\) und \(T(-2 \mid -\frac{16}{15})\). An der Stelle \(x=0\) liegt der Sattelpunkt \(S(0 \mid 0)\) vor.

- Was wissen wir über die Anzahl der Nullstellen der Ableitung, wenn wir die Anzahl der Extremstellen kennen? - Wie hängen der Grad einer Funktion und der Grad ihrer Ableitung zusammen? - Überlege dir den typischen Verlauf von Funktionen mit geradem Grad (wie \(x^2, x^4\)) und ungeradem Grad (wie \(x^3, x^5\)). - Wie viele Extremstellen hat eine Parabel oder eine Funktion dritten Grades üblicherweise? Gibt es da ein Muster bei geraden/ungeraden Graden?

1. Für jede Extremstelle muss die notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\) erfüllt sein. Wenn \(g\) vier Extremstellen hat, muss die Ableitungsfunktion \(g'\) mindestens 4 Nullstellen besitzen. Da eine ganzrationale Funktion vom Grad \(k\) höchstens \(k\) Nullstellen hat, muss der Grad von \(g'\) mindestens 4 sein. Da der Grad von \(g\) um eins höher ist als der von \(g'\), muss \(g\) mindestens vom Grad 5 sein. 2. Bei ganzrationalen Funktionen mit geradem Grad ist das Verhalten für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) gleich (beide gegen \(+\infty\) oder beide gegen \(-\infty\)). Dies führt dazu, dass die Anzahl der lokalen Extremstellen immer ungerade ist (mindestens ein globales Extremum, weitere treten paarweise als Maximum und Minimum auf). Bei Funktionen mit ungeradem Grad ist das Verhalten im Unendlichen gegensätzlich, wodurch eine gerade Anzahl an Extremstellen (einschließlich null) möglich ist. Da \(g\) genau 4 (eine gerade Zahl) Extremstellen hat, muss der Grad von \(g\) ungerade sein.

a) Der kleinstmögliche Grad ist 5. Da es 4 Extremstellen gibt, muss die Ableitung \(g'\) mindestens Grad 4 haben, woraus für \(g\) mindestens Grad 5 folgt. b) Der Grad muss ungerade sein. Funktionen mit geradem Grad haben stets eine ungerade Anzahl an Extremstellen, da sie auf beiden Seiten des Koordinatensystems gegen denselben Unendlichkeitswert streben. Nur bei ungeradem Grad ist eine gerade Anzahl an Extremstellen (hier 4) möglich.

- Leite die Funktion mithilfe der Potenzregel ab. Denke daran, dass \(\frac{1}{x} = x^{-1}\) ist. - Setze die Ableitung gleich null und löse die Gleichung nach \(x\) auf. - Überlege dir, warum es im Bereich \(x < 0\) keine Lösung für die Gleichung geben kann. - Wie verhält sich die Steigung der Funktion im positiven Bereich?

1. Bildung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = \frac{2}{3}x - 18x^{-2} = \frac{2}{3}x - \frac{18}{x^2}\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'\): \(\frac{2}{3}x - \frac{18}{x^2} = 0 \iff \frac{2}{3}x = \frac{18}{x^2} \iff x^3 = 27 \iff x = 3\). 3. Begründung der Einzigartigkeit: Für \(x < 0\) sind sowohl \(\frac{2}{3}x\) als auch \(-\frac{18}{x^2}\) negativ, sodass \(f'(x) < 0\) gilt und keine Nullstellen vorliegen. Für \(x > 0\) ist die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{2}{3} + \frac{36}{x^3}\) stets positiv. Damit ist \(f'\) für \(x > 0\) streng monoton steigend und besitzt dort höchstens eine (und hier genau eine) Nullstelle. 4. Nachweis der Extremstelle: Da \(f'(x)\) bei \(x = 3\) das Vorzeichen wechselt (oder wegen \(f''(3) > 0\)), liegt ein lokales Minimum vor. Die einzige Extremstelle ist somit \(x = 3\).

Die einzige Extremstelle der Funktion ist \(x = 3\).

- Erinnere dich daran, was eine waagerechte Tangente über die Ableitung aussagt und welche Arten von Punkten dort möglich sind. - Wenn die Funktion zwischen zwei waagerechten Tangenten steigen muss, was schließt das für den ersten Punkt aus? - Überlege dir, wie sich das Globalverhalten ändert, je nachdem ob der letzte besondere Punkt ein Extremum oder ein Sattelpunkt ist. - Wie oft kann eine Funktion, die nur zwei Stellen mit waagerechter Tangente hat, ihre Richtung ändern?

1. Da \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\), muss die Funktion bis zum Punkt \(P(0|2)\) steigen. Wäre \(P\) ein Hochpunkt, müsste sie danach fallen. Um den höheren Punkt \(Q(2|5)\) zu erreichen, wäre dann ein zusätzlicher Tiefpunkt zwischen \(x=0\) und \(x=2\) nötig, was der Bedingung von genau zwei waagerechten Tangenten widerspricht. Ein Tiefpunkt bei \(P\) ist unmöglich, da die Funktion sonst vor \(x=0\) fallen müsste. Also ist \(P\) ein Sattelpunkt. 2. Da die Funktion bei \(P\) ein Sattelpunkt ist und davor stieg, steigt sie auch nach \(P\) weiter an. Sie erreicht \(Q(2|5)\) also von unten. Wäre \(Q\) ein Tiefpunkt, müsste sie davor fallen. Somit kann \(Q\) nur ein Hochpunkt oder ein weiterer Sattelpunkt sein. Ist \(Q\) ein Hochpunkt, fällt die Funktion danach (\(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\)). Ist \(Q\) ein Sattelpunkt, steigt sie weiter an (\(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\)). 3. Da die Funktion von \(-\infty\) kommend bis \(P(0|2)\) steigt, gibt es im Intervall \((-\infty; 0)\) genau eine Nullstelle. Zwischen \(x=0\) und \(x=2\) steigt die Funktion von \(2\) auf \(5\), dort gibt es keine Nullstelle. Falls \(Q\) ein Sattelpunkt ist, steigt sie weiter, also bleibt es bei einer Nullstelle. Falls \(Q\) ein Hochpunkt ist, fällt sie für \(x > 2\) von \(5\) nach \(-\infty\) und erzeugt eine zweite Nullstelle. Die Anzahl ist also minimal 1 und maximal 2.

a) \(P\) muss ein Sattelpunkt sein, da die Funktion von \(-\infty\) kommt, bis \(P\) steigen muss und ohne weiteren Extrempunkt den höheren Punkt \(Q\) nur erreichen kann, wenn sie bei \(P\) nicht umkehrt. b) \(Q\) kann ein Hochpunkt (mit \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\)) oder ein Sattelpunkt (mit \(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\)) sein. c) Die Funktion \(h\) hat entweder eine (falls \(Q\) ein Sattelpunkt ist) oder zwei Nullstellen (falls \(Q\) ein Hochpunkt ist).

- Schreibe den Bruchterm zuerst als Potenz mit negativem Exponenten um, um das Ableiten zu erleichtern. - Erinnerst du dich an das hinreichende Kriterium für Extremstellen? - Überprüfe, ob die Ableitung an der fraglichen Stelle tatsächlich Null ergibt. - Was bedeutet eine positive zweite Ableitung für die Form des Graphen?

1. Bestimmung der ersten Ableitung unter Verwendung der Potenzregel (\(\frac{4}{x^2} = 4x^{-2}\)): \(f'(x) = 1 - 8x^{-3} = 1 - \frac{8}{x^3}\). 2. Nachweis der horizontalen Tangente an der Stelle \(x = 2\): \(f'(2) = 1 - \frac{8}{2^3} = 1 - \frac{8}{8} = 0\). 3. Bestimmung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = 24x^{-4} = \frac{24}{x^4}\). 4. Prüfung des Krümmungsverhaltens: \(f''(2) = \frac{24}{2^4} = \frac{24}{16} = 1{,}5\). 5. Aus \(f'(2) = 0\) und \(f''(2) = 1{,}5 > 0\) folgt, dass an der Stelle \(x = 2\) ein lokaler Tiefpunkt (Minimum) existiert.

An der Stelle \(x = 2\) ist die notwendige Bedingung für ein Extremum erfüllt, da \(f'(2) = 1 - \frac{8}{2^3} = 0\) gilt. Da die zweite Ableitung an dieser Stelle mit \(f''(2) = 1{,}5\) positiv ist, ist das Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt.

- Was passiert mit dem Monotonieverhalten an einer Nullstelle der Ableitung, wenn diese kein Vorzeichenwechsel besitzt (z. B. eine doppelte Nullstelle)? - Untersuche die Vorzeichen der Faktoren im Funktionsterm einzeln, um das Gesamtvorzeichen zu bestimmen. - Kann eine Funktion über eine Nullstelle der Ableitung hinweg streng monoton bleiben?

1. Nullstellen von \(f'(x)\) berechnen: \((x^2 - 4) \cdot (x - 1)^2 = 0\). Dies führt zu \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und der doppelten Nullstelle \(x_3 = 1\). 2. Vorzeichenanalyse von \(f'(x)\): - Für \(x < -2\): \(f'(-3) = (9-4) \cdot (-4)^2 = 5 \cdot 16 = 80 > 0\). - Für \(-2 < x < 1\): \(f'(0) = (-4) \cdot (-1)^2 = -4 < 0\). - Für \(1 < x < 2\): \(f'(1{,}5) = (2{,}25-4) \cdot (0{,}5)^2 = -1{,}75 \cdot 0{,}25 = -0{,}4375 < 0\). - Für \(x > 2\): \(f'(3) = (9-4) \cdot (2)^2 = 5 \cdot 4 = 20 > 0\). 3. Da \(f'(x)\) an der Stelle \(x = 1\) zwar null ist, aber davor und danach negativ bleibt, ändert sich das Monotonieverhalten dort nicht. Die Funktion ist im gesamten Intervall \([-2; 2]\) streng monoton fallend. 4. In den Intervallen \((-\infty; -2]\) und \([2; \infty)\) ist die Funktion streng monoton steigend.

Die Funktion \(f\) ist streng monoton steigend für \(x \in (-\infty; -2]\) und für \(x \in [2; \infty)\). Die Funktion \(f\) ist streng monoton fallend für \(x \in [-2; 2]\).

- Was passiert mit dem Monotonieverhalten an den Stellen, an denen die Ableitung null ist? - Erstelle eine Vorzeichentabelle für die erste Ableitung, um den Überblick über die Intervalle zu behalten. - Achte auf das Vorzeichen des Leitkoeffizienten der Funktion, um das Verhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte abzuschätzen. - Wie viele Extremstellen kann eine Funktion vierten Grades maximal haben?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = -4x^3 + 16x\). 2. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(-4x(x^2 - 4) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Monotonieintervalle durch Vorzeichenprüfung von \(f'\) bestimmen: - \(x \in (-\infty; -2)\): \(f'(x) > 0 \Rightarrow\) streng monoton steigend. - \(x \in (-2; 0)\): \(f'(x) < 0 \Rightarrow\) streng monoton fallend. - \(x \in (0; 2)\): \(f'(x) > 0 \Rightarrow\) streng monoton steigend. - \(x \in (2; \infty)\): \(f'(x) < 0 \Rightarrow\) streng monoton fallend. 4. Klassifizierung der Extremstellen: Hochpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\) (Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\)), Tiefpunkt bei \(x = 0\) (Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\)). 5. Funktionswerte berechnen: \(f(-2) = 16\), \(f(0) = 0\), \(f(2) = 16\).

Streng monoton steigend für \(x \in (-\infty; -2]\) und \(x \in [0; 2]\). Streng monoton fallend für \(x \in [-2; 0]\) und \(x \in [2; \infty)\). Hochpunkte: \(H_1(-2 \mid 16)\) und \(H_2(2 \mid 16)\) Tiefpunkt: \(T(0 \mid 0)\)

- Wie viele Extremstellen kann eine Funktion 5. Grades höchstens besitzen? - Überlege dir, wie sich der Graph zwischen den Extrempunkten verhält. Muss er die x-Achse kreuzen? - Was passiert mit den Funktionswerten für sehr große oder sehr kleine x-Werte? - Skizziere den Verlauf des Graphen grob anhand der berechneten Punkte.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 15x^4 - 75x^2 + 60\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: Durch Substitution \(z = x^2\) erhält man \(15z^2 - 75z + 60 = 0\), woraus \(z_1 = 1\) und \(z_2 = 4\) folgen. Die Extremstellen liegen somit bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2\). 3. Funktionswerte an den Extremstellen berechnen: \(f(-2) = -36\) (lokales Maximum), \(f(-1) = -58\) (lokales Minimum), \(f(1) = 18\) (lokales Maximum) und \(f(2) = -4\) (lokales Minimum). 4. Grenzverhalten untersuchen: Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\). 5. Nullstellenintervalle analysieren: - Im Intervall \((-\infty; -2]\) steigt die Funktion von \(-\infty\) auf \(-36\) (keine Nullstelle). - Im Intervall \([-2; -1]\) fällt sie von \(-36\) auf \(-58\) (keine Nullstelle). - Im Intervall \([-1; 1]\) steigt sie von \(-58\) auf \(18\) (eine Nullstelle). - Im Intervall \([1; 2]\) fällt sie von \(18\) auf \(-4\) (eine Nullstelle). - Im Intervall \([2; \infty)\) steigt sie von \(-4\) auf \(\infty\) (eine Nullstelle). Insgesamt ergeben sich somit genau 3 Lösungen.

Die Gleichung hat genau 3 reelle Lösungen.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Preis, Menge und Erlös. - Wie gehst du vor, um die Nullstellen einer quadratischen Gleichung zu finden? - Achte darauf, dass nur positive Produktionsmengen ökonomisch sinnvoll sind. - Die Grenzen der Gewinnzone sind die Punkte, an denen der Gewinn genau Null ist.

1. Gewinnfunktion: \(G(x) = 100x - (0{,}01x^3 - 1{,}35x^2 + 70x + 1\,200) = -0{,}01x^3 + 1{,}35x^2 + 30x - 1\,200\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen: \(G'(x) = -0{,}03x^2 + 2{,}7x + 30 = 0\). Division durch \(-0{,}03\) ergibt \(x^2 - 90x - 1\,000 = 0\). 3. Nullstellen von \(G'(x)\): Die Anwendung der p-q-Formel liefert \(x = 45 \pm \sqrt{2\,025 + 1\,000} = 45 \pm 55\). Damit sind \(x_1 = -10\) (ökonomisch nicht sinnvoll) und \(x_2 = 100\). 4. Hinreichende Bedingung: \(G''(x) = -0{,}06x + 2{,}7\). Da \(G''(100) = -6 + 2{,}7 = -3{,}3 < 0\), liegt bei \(x = 100\) ein Maximum vor. 5. Maximaler Gewinn: \(G(100) = -10\,000 + 13\,500 + 3\,000 - 1\,200 = 5\,300\,\text{€}\). 6. Gewinnzone: Suche nach den Nullstellen von \(G(x) = -0{,}01x^3 + 1{,}35x^2 + 30x - 1\,200\). Durch numerische Verfahren oder Probieren finden sich die relevanten Nullstellen bei \(x \approx 21{,}91\) (Gewinnschwelle) und \(x \approx 149{,}69\) (Gewinngrenze). Die Gewinnzone liegt somit im Intervall \((21{,}91; 149{,}69)\).

a) \(G(x) = -0{,}01x^3 + 1{,}35x^2 + 30x - 1\,200\) b) Der maximale Gewinn von \(5\,300\,\text{€}\) wird bei einer Menge von \(100\,\text{ME}\) erreicht. c) Die Gewinnzone liegt zwischen ca. \(21{,}91\,\text{ME}\) und \(149{,}69\,\text{ME}\).

- Wie nennt man einen Punkt, an dem sich die Krümmung des Graphen ändert? - Welchen besonderen Namen hat ein Wendepunkt mit einer waagerechten Tangente? - Überlege dir, ob die Steigung vor und nach dem Punkt ihr Vorzeichen wechselt. - Was passiert mit der Steigung, wenn sie erst zunimmt (Linkskurve) und dann wieder abnimmt (Rechtskurve), aber dazwischen den Wert Null erreicht?

1. Die Bedingung \(g'(0) = 0\) impliziert eine waagerechte Tangente an der Stelle \(x = 0\). 2. Der Wechsel des Krümmungsverhaltens von einer Linkskurve (\(g''(x) > 0\)) zu einer Rechtskurve (\(g''(x) < 0\)) definiert die Stelle \(x = 0\) als Wendestelle. 3. Ein Wendepunkt, an dem zusätzlich eine waagerechte Tangente vorliegt, wird speziell als Sattelpunkt (oder Terrassenpunkt) bezeichnet. 4. Da die Krümmung von positiv nach negativ wechselt, besitzt die Ableitungsfunktion \(g'\) an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Maximum. Da dieser maximale Wert \(g'(0) = 0\) ist, gilt in der unmittelbaren Umgebung \(g'(x) \leq 0\). Da die Steigung vor und nach der Stelle das gleiche Vorzeichen hat (kein Vorzeichenwechsel von \(g'\)), kann kein lokales Extremum der Funktion \(g\) vorliegen.

Es handelt sich um einen Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt genannt). Es liegt kein lokales Extremum vor, da die erste Ableitung an dieser Stelle keinen Vorzeichenwechsel vollzieht (die Funktion fällt sowohl kurz vor als auch kurz nach der Stelle \(x = 0\)).

- An welchen Stellen muss die Ableitungsfunktion Nullstellen haben, wenn sich dort das Monotonieverhalten ändert? - Wenn eine Funktion dritten Grades gegeben ist, welchen Grad hat dann ihre Ableitungsfunktion? - Wie muss der Graph der Ableitungsfunktion (eine Parabel) aussehen, damit sie zwischen zwei Werten negativ und außerhalb positiv ist? - Wie gelangst du von der Ableitungsfunktion zurück zur ursprünglichen Funktion? - Welchen Wert der Funktionsgleichung kannst du direkt aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ablesen?

1. Da die Monotonie sich bei \(x = -2\) und \(x = 4\) ändert, müssen dies die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(g'\) sein. 2. Da \(g\) vom Grad 3 ist, ist \(g'\) vom Grad 2. Ein Ansatz für die Ableitung ist \(g'(x) = a \cdot (x + 2) \cdot (x - 4) = a(x^2 - 2x - 8)\). 3. Da die Funktion außerhalb des Intervalls \([-2; 4]\) steigt und innerhalb fällt, muss die nach oben geöffnete Parabel \(g'\) positive Werte für \(x < -2\) und \(x > 4\) annehmen. Daraus folgt \(a > 0\). 4. Wählt man beispielsweise \(a = 3\), ergibt sich \(g'(x) = 3x^2 - 6x - 24\). 5. Durch Bilden einer Stammfunktion erhält man \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + c\). 6. Die Bedingung \(S_y(0|5)\) bedeutet \(g(0) = 5\), woraus \(c = 5\) folgt. 7. Eine mögliche Funktionsgleichung ist somit \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5\).

Eine mögliche Funktionsgleichung ist \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5\). (Andere Lösungen sind durch Wahl eines anderen Faktors \(a > 0\) möglich, z. B. \(g(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + 5\) für \(a=1\)).

- Wie findet man die Stellen, an denen die Tangente waagerecht verläuft? - Du kannst das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen zwischen den Nullstellen prüfen, indem du Testwerte einsetzt. - Achte besonders auf die Vielfachheit der Nullstellen in der Ableitungsfunktion. - Was muss für die Ableitung gelten, damit ein Punkt zwar eine waagerechte Tangente hat, aber kein Maximum oder Minimum ist?

1. Nullstellen der Ableitung: \(h'(x) = 0 \implies (x - 1) = 0\) oder \((x + 2)^2 = 0\). Die Stellen mit waagerechter Tangente sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2\). 2. Analyse bei \(x_1 = 1\): Der Faktor \((x + 2)^2\) ist in einer Umgebung von \(1\) stets positiv. Der Faktor \((x - 1)\) wechselt bei \(x = 1\) das Vorzeichen von Minus nach Plus. Daher wechselt \(h'(x)\) das Vorzeichen von Minus nach Plus. Es liegt ein lokales Minimum vor. 3. Analyse bei \(x_2 = -2\): Der Faktor \((x + 2)^2\) ist für alle \(x \neq -2\) positiv. Der Faktor \((x - 1)\) ist für \(x\) nahe \(-2\) stets negativ (da \(-2 - 1 = -3\)). Das Produkt \(h'(x) = (x - 1)(x + 2)^2\) ist also sowohl links als auch rechts von \(x = -2\) negativ (bzw. Null bei \(x = -2\)). 4. Schlussfolgerung: Da bei \(x_2 = -2\) kein Vorzeichenwechsel von \(h'\) stattfindet, liegt dort kein Extrempunkt, sondern ein Terrassenpunkt vor.

a) Die Stellen mit waagerechter Tangente sind \(x = 1\) und \(x = -2\). b) Bei \(x = 1\) liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor, da \(h'\) dort das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt. c) Bei \(x = -2\) liegt kein Extrempunkt vor, da die Ableitung dort keinen Vorzeichenwechsel vollzieht. Wegen des quadratischen Terms \((x + 2)^2\) bleibt dieser Teil der Funktion stets nicht-negativ, und da \((x - 1)\) bei \(x = -2\) negativ ist, gilt \(h'(x) \le 0\) in der Umgebung von \(-2\). Es handelt sich um einen Terrassenpunkt.

- Bestimme die Ableitungsfunktion und klammere \(x\) aus. - Wann hat die Gleichung \(x^2 - k = 0\) keine, eine oder zwei Lösungen? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen zwischen den Nullstellen. - Was passiert mit dem Term \((x^2 - k)\), wenn \(k\) negativ ist?

1. Erste Ableitung bilden: \(g_k'(x) = x^3 - kx = x(x^2 - k)\). 2. Nullstellen von \(g_k'\) bestimmen: \(x = 0\) ist immer eine Nullstelle. Weitere Nullstellen existieren nur, wenn \(x^2 = k\), also für \(k > 0\) bei \(x = \pm \sqrt{k}\). 3. Fallunterscheidung: - Fall \(k \le 0\): Der Ausdruck \((x^2 - k)\) ist stets \(\ge 0\). Das Vorzeichen von \(g_k'(x)\) entspricht dem Vorzeichen von \(x\). Für \(x \le 0\) ist \(g_k'(x) \le 0\) (monoton fallend), für \(x \ge 0\) ist \(g_k'(x) \ge 0\) (monoton steigend). - Fall \(k > 0\): Die Ableitung hat drei Nullstellen bei \(-\sqrt{k}, 0, \sqrt{k}\). Durch Betrachtung des Graphen von \(g_k'\) (ungerade Funktion 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten) ergeben sich die Vorzeichen: negativ auf \((-\infty; -\sqrt{k}]\), positiv auf \([-\sqrt{k}; 0]\), negativ auf \([0; \sqrt{k}]\) und positiv auf \([\sqrt{k}; \infty)\). 4. Zusammenfassung: Für \(k \le 0\) ist die Funktion monoton fallend auf \((-\infty; 0]\) und monoton steigend auf \([0; \infty)\). Für \(k > 0\) ist sie monoton fallend auf \((-\infty; -\sqrt{k}]\) und \([0; \sqrt{k}]\), sowie monoton steigend auf \([-\sqrt{k}; 0]\) und \([\sqrt{k}; \infty)\).

Für \(k \le 0\): Monoton fallend auf \((-\infty; 0]\), monoton steigend auf \([0; \infty)\). Für \(k > 0\): Monoton fallend auf \((-\infty; -\sqrt{k}]\) und \([0; \sqrt{k}]\); monoton steigend auf \([-\sqrt{k}; 0]\) und \([\sqrt{k}; \infty)\).

- Bei Funktionen höheren Grades hilft oft das Faktorisieren der Ableitung, um Nullstellen zu finden. - Gibt es einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst, nachdem du eine Nullstelle gefunden hast? - Achte auf die Vorzeichen beim Einsetzen der \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktion. - Ein Vorzeichenwechselkriterium wäre eine Alternative zur zweiten Ableitung.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x - 4\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\): Durch Raten einer Nullstelle (\(x=2\)) oder Ausklammern (\(x^2(x-3) - 4(x-3) = 0\)) erhält man \((x^2 - 4)(x - 3) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: - \(f''(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 4 = 12 + 12 - 4 = 20 > 0 \implies\) Tiefpunkt. - \(f''(2) = 3(2)^2 - 6(2) - 4 = 12 - 12 - 4 = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt. - \(f''(3) = 3(3)^2 - 6(3) - 4 = 27 - 18 - 4 = 5 > 0 \implies\) Tiefpunkt. 4. Funktionswerte berechnen: - \(f(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - (-2)^3 - 2(-2)^2 + 12(-2) = 4 + 8 - 8 - 24 = -20\). - \(f(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - 2^3 - 2(2)^2 + 12(2) = 4 - 8 - 8 + 24 = 12\). - \(f(3) = \frac{1}{4}(3)^4 - 3^3 - 2(3)^2 + 12(3) = 20{,}25 - 27 - 18 + 36 = 11{,}25\). 5. Ergebnis: Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -20)\) und \(T_2(3 \mid 11{,}25)\), Hochpunkt \(H(2 \mid 12)\).

Tiefpunkte: \(T_1(-2 \mid -20)\) und \(T_2(3 \mid 11{,}25)\) (oder \(T_2(3 \mid \frac{45}{4})\)) Hochpunkt: \(H(2 \mid 12)\)

- Wie gehst du vor, um Nullstellen einer Gleichung der Form \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) zu finden? - Welche Eigenschaft muss die Ableitung haben, damit eine Funktion streng monoton steigend ist? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen waagerechten Tangenten und Extrempunkten? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Ableitung niemals den Wert Null annimmt?

1. Bildung der ersten Ableitung: \(g'(x) = x^4 + 2x^2 + 3\). 2. Nullstellensuche für \(g'\): Ansatz \(x^4 + 2x^2 + 3 = 0\). Substitution \(u = x^2\) führt auf \(u^2 + 2u + 3 = 0\). 3. Prüfung der quadratischen Gleichung: Die Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -8\) ist negativ, daher gibt es keine reellen Lösungen für \(u\) und somit auch keine für \(x\). 4. Nachweis der Monotonie: Da \(g'\) eine stetige Funktion ohne Nullstellen ist und beispielsweise \(g'(0) = 3 > 0\) gilt, ist \(g'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). 5. Schlussfolgerung: Aus \(g'(x) > 0\) folgt, dass \(g\) streng monoton steigend ist. Da für einen Extrempunkt die notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\) erfüllt sein müsste, was hier nicht der Fall ist, besitzt \(g\) keine Extrempunkte.

a) Die Ableitung \(g'(x) = x^4 + 2x^2 + 3\) führt über die Substitution \(u=x^2\) zu einer quadratischen Gleichung ohne reelle Lösung (\(D = -8\)). b) Da \(g'(x)\) für alle \(x\) positiv ist (\(x^4 \ge 0, 2x^2 \ge 0, 3 > 0\)), ist die Funktion streng monoton steigend. Ohne Stellen mit waagerechter Tangente (\(g'(x)=0\)) können keine Extrempunkte existieren.

- Wie nutzt du die erste und zweite Ableitung, um Extremstellen und deren Art zu bestimmen? - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über das Steigungsverhalten des Graphen aus? - Beachte bei der Bestimmung von \(t\) die Definitionsmenge des Parameters.

1. Ableitungen bilden: \(f'_t(x) = x^2 - t^2\) und \(f''_t(x) = 2x\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f'_t(x) = 0 \implies x^2 = t^2 \implies x_1 = t, x_2 = -t\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''_t(t) = 2t > 0\) (da \(t > 0\)), also liegt bei \(x = t\) ein lokales Minimum vor. \(f''_t(-t) = -2t < 0\), also liegt bei \(x = -t\) ein lokales Maximum vor. 4. Monotonie: \(f'_t(x) = (x-t)(x+t)\). Die Parabel \(f'_t\) ist nach oben geöffnet mit Nullstellen bei \(\pm t\). Somit ist \(f'_t(x) \ge 0\) für \(x \in (-\infty; -t]\) und \(x \in [t; \infty)\) (monoton steigend) und \(f'_t(x) \le 0\) für \(x \in [-t; t]\) (monoton fallend). 5. Bestimmung von \(t\): Die Extremstellen sind \(x = \pm t\). Soll ein Extremum bei \(x = 4\) liegen, muss \(t = 4\) oder \(-t = 4\) gelten. Da \(t > 0\) vorausgesetzt ist, folgt \(t = 4\).

a) Lokales Maximum bei \(x = -t\), lokales Minimum bei \(x = t\). b) Monoton steigend für \(x \le -t\) und \(x \ge t\); monoton fallend für \(-t \le x \le t\). c) \(t = 4\).

- Was bedeutet es für die Art der Stelle, wenn eine Nullstelle der Ableitung eine gerade oder ungerade Vielfachheit hat? - Untersuche das Verhalten der Steigung links und rechts von deinen berechneten Stellen. - Ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt) zählt nicht zu den Extrempunkten.

1. Erste Ableitung berechnen: \(f'(x) = x^5 - 2x^4 + x^3\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen: \(x^3(x^2 - 2x + 1) = 0 \implies x^3(x-1)^2 = 0\). Dies ergibt die stationären Stellen \(x_1 = 0\) (dreifache Nullstelle) und \(x_2 = 1\) (doppelte Nullstelle). 3. Art der Stellen untersuchen (Vorzeichenwechselkriterium von \(f'\)): - Bei \(x_1 = 0\) liegt eine Nullstelle mit ungerader Vielfachheit vor. Da \(f'(-1) = -1 - 2 - 1 = -4 < 0\) und \(f'(0{,}5) = 0{,}5^3(0{,}5-1)^2 > 0\), findet ein Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) statt. Es liegt ein lokales Minimum vor. - Bei \(x_2 = 1\) liegt eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit vor. Da \(f'(0{,}5) > 0\) und \(f'(2) = 2^3(1)^2 = 8 > 0\), findet kein Vorzeichenwechsel statt. Es handelt sich um einen Sattelpunkt, nicht um einen Extrempunkt. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(0) = 1\).

Der einzige lokale Extrempunkt ist der Tiefpunkt \(T(0 \mid 1)\).

- Stelle eine Funktion für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Nutze die Ableitung, um nach Hochpunkten innerhalb des Intervalls zu suchen. - Es ist bei solchen Aufgaben sehr wichtig, die Werte an den Intervallgrenzen mit den lokalen Maxima zu vergleichen. - Kann es sein, dass ein Maximum mehrmals vorkommt?

1. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt lautet \(A(x) = x \cdot ((x-2)^2 + 1) = x(x^2 - 4x + 5) = x^3 - 4x^2 + 5x\). 2. Die erste Ableitung ist \(A'(x) = 3x^2 - 8x + 5\). 3. Nullstellen der Ableitung: \(3x^2 - 8x + 5 = 0\) liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = \frac{5}{3} \approx 1{,}67\). 4. Überprüfung der Art der Extrema: \(A''(x) = 6x - 8\). Da \(A''(1) = -2 < 0\), ist bei \(x=1\) ein lokales Maximum. Da \(A''(\frac{5}{3}) = 2 > 0\), ist bei \(x=\frac{5}{3}\) ein lokales Minimum. 5. Berechnung der Flächeninhalte: \(A(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 2\). 6. Randwertbetrachtung: \(A(0) = 0\) und \(A(2) = 2 \cdot ((2-2)^2 + 1) = 2 \cdot 1 = 2\). 7. Ergebnisvergleich: Sowohl an der lokalen Maximalstelle \(x = 1\) als auch am rechten Intervallrand \(x = 2\) beträgt der Flächeninhalt \(2\).

Der maximale Flächeninhalt von \(2\) Flächeneinheiten wird an zwei Stellen erreicht: bei \(x = 1\) und am Rand bei \(x = 2\).

- Bestimme zuerst die Ableitungen und die Art des Extremums für die einfache Funktion. - Wende die Kettenregel oder die ausmultiplizierte Form an, um die Extremstelle der quadrierten Funktion zu untersuchen. - Was passiert mit negativen Zahlen, wenn man sie quadriert? Vergleiche zum Beispiel \(-5\) und \(-4\). - Welche Rolle spielt die Monotonie der Funktion \(y = x^2\) für verschiedene Vorzeichenbereiche?

1. Die Ableitung ist \(f'(x) = 2x\). Die einzige Nullstelle ist \(x_0 = 0\). Da \(f''(x) = 2 > 0\), liegt bei \(x_0 = 0\) ein lokales Minimum mit dem Funktionswert \(f(0) = -5\) vor. 2. Es ist \(g(x) = (x^2 - 5)^2\). Die Ableitung ist \(g'(x) = 2(x^2 - 5) \cdot 2x = 4x^3 - 20x\). Die zweite Ableitung lautet \(g''(x) = 12x^2 - 20\). An der Stelle \(x_0 = 0\) gilt \(g''(0) = -20 < 0\). Somit hat \(g\) an der Stelle \(x_0 = 0\) ein lokales Maximum. 3. Da \(f(0) = -5\) negativ ist, kehrt das Quadrieren die Größenverhältnisse in der Umgebung um: Während \(f(0)\) der kleinste Wert ist (z. B. \(-5 < -4{,}9\)), wird \(g(0) = (-5)^2 = 25\) zum größten Wert, da \((-5)^2 > (-4{,}9)^2\). Die streng monoton fallende Eigenschaft der Quadratfunktion für negative Werte kehrt das Minimum von \(f\) in ein Maximum von \(g\) um.

1. Lokales Minimum bei \(x_0 = 0\). 2. Lokales Maximum bei \(x_0 = 0\). 3. Da \(f(0) < 0\), kehrt das Quadrieren die Ordnung der Funktionswerte um (aus kleineren negativen Werten werden größere positive Werte), wodurch das Minimum zum Maximum wird.

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilflächen sich die Oberfläche der oben offenen Schachtel zusammensetzt. - Stelle eine Gleichung für das Volumen auf, das optimiert werden soll. - Nutze die gegebene Oberfläche, um eine Variable durch die andere auszudrücken. - An welcher Stelle ist die Steigung der Volumenfunktion null? - Vergiss nicht, die zweite Ableitung zu nutzen, um zu zeigen, dass das Volumen dort wirklich am größten ist.

1. Hauptbedingung für das Volumen: \(V(x, h) = x^2 \cdot h\). 2. Nebenbedingung für die Oberfläche (Boden plus vier Seitenwände): \(O = x^2 + 4xh = 1200\). 3. Auflösen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{1200 - x^2}{4x}\). 4. Aufstellen der Zielfunktion: \(V(x) = x^2 \cdot \frac{1200 - x^2}{4x} = \frac{1}{4}(1200x - x^3) = 300x - 0{,}25x^3\). 5. Ableiten der Zielfunktion: \(V'(x) = 300 - 0{,}75x^2\). 6. Nullstellen von \(V'(x)\) bestimmen: \(300 - 0{,}75x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 400 \Rightarrow x = 20\) (da \(x > 0\)). 7. Nachweis des Maximums mit der zweiten Ableitung: \(V''(x) = -1{,}5x\). Da \(V''(20) = -30 < 0\), liegt ein Maximum vor. 8. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{1200 - 20^2}{4 \cdot 20} = \frac{800}{80} = 10\). Die Schachtel hat die Maße \(x = 20\,\text{cm}\) und \(h = 10\,\text{cm}\).

Das Volumen ist maximal für eine Grundseitenlänge von \(x = 20\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h = 10\,\text{cm}\).

- Skizziere die Situation und unterscheide zwischen der bedruckten Fläche und der Gesamtfläche des Plakats. - Drücke die Gesamthöhe und Gesamtbreite durch die Maße der bedruckten Fläche und die Randbreiten aus. - Die Zielfunktion beschreibt den gesamten Papierverbrauch, also die gesamte Fläche des Plakats. - Nutze den festen Wert der bedruckten Fläche, um eine Variable in deiner Zielfunktion zu eliminieren.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Breite und \(y\) die Höhe der bedruckten Fläche. Die Gesamtbreite ist \(B = x + 4\) und die Gesamthöhe ist \(H = y + 6\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Gesamtfläche \(A_{ges}\): \(A_{ges}(x, y) = (x + 4) \cdot (y + 6)\). 3. Nebenbedingung für die bedruckte Fläche: \(x \cdot y = 384\), also \(y = \frac{384}{x}\). 4. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(A_{ges}(x) = (x + 4) \cdot (\frac{384}{x} + 6) = 384 + 6x + \frac{1536}{x} + 24 = 6x + \frac{1536}{x} + 408\). 5. Ableitung bilden: \(A_{ges}'(x) = 6 - \frac{1536}{x^2}\). 6. Extremstelle bestimmen: \(6 - \frac{1536}{x^2} = 0 \implies x^2 = 256 \implies x = 16\) (da \(x > 0\)). 7. Überprüfung: \(A_{ges}''(x) = \frac{3072}{x^3} > 0\) für \(x=16\), also liegt ein Minimum vor. 8. Berechnung der Gesamtabmessungen: \(x = 16 \implies B = 16 + 4 = 20\,\text{cm}\). Die Höhe der bedruckten Fläche ist \(y = \frac{384}{16} = 24\), also \(H = 24 + 6 = 30\,\text{cm}\).

Das Plakat sollte eine Gesamtbreite von \(20\,\text{cm}\) und eine Gesamthöhe von \(30\,\text{cm}\) haben.

- Wie berechnet man die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit von seiner Seitenlänge? - Welche Kanten des Fensters gehören zum äußeren Umfang und welche nicht? - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt auf, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Welche mathematische Bedingung muss für ein Maximum erfüllt sein? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit gemacht werden.

1. Hauptbedingung: Der Flächeninhalt \(A\) ist die Summe aus Rechtecksfläche \(b \cdot h\) und Dreiecksfläche \(\frac{\sqrt{3}}{4} b^2\). Also \(A(b, h) = b \cdot h + \frac{\sqrt{3}}{4} b^2\). 2. Nebenbedingung: Der Umfang \(U\) setzt sich aus der unteren Seite \(b\), den zwei vertikalen Seiten \(h\) und den zwei oberen Seiten des gleichseitigen Dreiecks (jeweils \(b\)) zusammen. Es gilt: \(U = 3b + 2h = 300\). 3. Zielfunktion: Aus der Nebenbedingung folgt \(h = 150 - 1{,}5b\). Einsetzen in \(A\) liefert \(A(b) = b(150 - 1{,}5b) + \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 = 150b - \frac{6 - \sqrt{3}}{4} b^2\). 4. Extremwertberechnung: Die Ableitung \(A'(b) = 150 - \frac{6 - \sqrt{3}}{2} b\) wird null für \(b = \frac{300}{6 - \sqrt{3}} \approx 70{,}30\,\text{cm}\). 5. Berechnung von \(h\): Einsetzen in die Gleichung für \(h\) ergibt \(h = \frac{450 - 150\sqrt{3}}{6 - \sqrt{3}} \approx 44{,}55\,\text{cm}\). Da \(A''(b) < 0\), liegt ein Maximum vor.

Die Breite des Fensters beträgt \(b = \frac{300}{6 - \sqrt{3}} \approx 70{,}30\,\text{cm}\) und die Höhe des rechteckigen Teils beträgt \(h = \frac{450 - 150\sqrt{3}}{6 - \sqrt{3}} \approx 44{,}55\,\text{cm}\).

- Ein Zylinder im Kegel hat sein maximales Volumen stets bei einem Drittel der Kegelhöhe. - Der Radius des maximalen Zylinders entspricht immer zwei Dritteln des Kegelradius. - Der „Restkegel“ hat als Grundkreisradius genau den Radius des darunterliegenden Zylinders. - Berechne die Volumina Schritt für Schritt und addiere sie am Ende.

1. Das Volumen eines Zylinders im Kegel ist \(V = \pi r^2 h\). Mit dem Strahlensatz \(r = R(1 - \frac{h}{H})\) ergibt sich \(V(h) = \pi R^2 (1 - \frac{h}{H})^2 h\). Die Extremstelle liegt bei \(h = \frac{1}{3}H\). Für den ersten Zylinder gilt: \(h_1 = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6\,\text{cm}\) und \(r_1 = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\,\text{cm}\). Der Restkegel hat die Höhe \(H_2 = H - h_1 = 12\,\text{cm}\) und den Radius \(R_2 = r_1 = 6\,\text{cm}\). Für den zweiten Zylinder gilt analog: \(h_2 = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4\,\text{cm}\) und \(r_2 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\,\text{cm}\). 2. Das Volumen des Kegels ist \(V_K = \frac{1}{3}\pi \cdot 9^2 \cdot 18 = 486\pi\,\text{cm}^3\). Die Zylindervolumina sind \(V_{Z1} = \pi \cdot 6^2 \cdot 6 = 216\pi\,\text{cm}^3\) und \(V_{Z2} = \pi \cdot 4^2 \cdot 4 = 64\pi\,\text{cm}^3\). Das Gesamtvolumen ist \(V_{ges} = 280\pi\,\text{cm}^3\). Das Verhältnis ist \(\frac{280\pi}{486\pi} = \frac{140}{243} \approx 0{,}576\).

1. Zylinder 1: \(r_1 = 6\,\text{cm}\), \(h_1 = 6\,\text{cm}\); Zylinder 2: \(r_2 = 4\,\text{cm}\), \(h_2 = 4\,\text{cm}\). 2. Das Verhältnis beträgt \(\frac{140}{243} \approx 0{,}576\).

- Das Gesamtvolumen setzt sich aus zwei Teilkörpern zusammen. Nutze diese Information für die Nebenbedingung. - Verwende den Satz des Pythagoras, um die Mantellinie des Kegels durch den Radius auszudrücken. - Die Zielfunktion beschreibt die Summe der Mantelflächen von Zylinder und Kegel. - Überlege dir, welche Variable du in der Zielfunktion ersetzen kannst, um eine Funktion in Abhängigkeit von nur einer Unbekannten zu erhalten. - Denk daran, am Ende zu prüfen, ob deine Lösung für die Höhe im Sachzusammenhang sinnvoll (positiv) ist.

1. Bestimmung des Gesamtvolumens: \(V = V_{\text{Zyl}} + V_{\text{Keg}} = \pi r^2 h + \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot r = \pi r^2 h + \frac{1}{3} \pi r^3 = 600\). 2. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{600 - \frac{1}{3} \pi r^3}{\pi r^2} = \frac{600}{\pi r^2} - \frac{1}{3}r\). 3. Aufstellen der Mantelflächenfunktion: \(A(r) = M_{\text{Zyl}} + M_{\text{Keg}} = 2\pi r h + \pi r s\). Mit der Mantellinie \(s = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}\) folgt: \(A(r) = 2\pi r (\frac{600}{\pi r^2} - \frac{1}{3}r) + \pi r^2 \sqrt{2} = \frac{1200}{r} - \frac{2}{3}\pi r^2 + \sqrt{2}\pi r^2\). 4. Zusammenfassen der Zielfunktion: \(A(r) = \frac{1200}{r} + \pi r^2 (\sqrt{2} - \frac{2}{3})\). 5. Ableitung bilden und Nullstelle suchen: \(A'(r) = -\frac{1200}{r^2} + 2\pi r (\sqrt{2} - \frac{2}{3}) = 0\). 6. Auflösen nach \(r\): \(r^3 = \frac{600}{\pi (\sqrt{2} - \frac{2}{3})} \approx 255{,}48 \Rightarrow r \approx 6{,}345\,\text{m}\). 7. Überprüfung mittels zweiter Ableitung: \(A''(r) = \frac{2400}{r^3} + 2\pi (\sqrt{2} - \frac{2}{3}) > 0\) für \(r > 0\), also Minimum. 8. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{600}{\pi \cdot 6{,}345^2} - \frac{6{,}345}{3} \approx 4{,}744 - 2{,}115 \approx 2{,}629\,\text{m}\).

Der Stoffverbrauch ist minimal für einen Radius von \(r \approx 6{,}35\,\text{m}\) und eine Zylinderhöhe von \(h \approx 2{,}63\,\text{m}\).

- Überlege dir, wie der Radius der Halbkugel, der Radius des Zylinders und die Höhe des Zylinders in einer Skizze zusammenhängen. Welches rechtwinklige Dreieck lässt sich finden? - Welche Größe soll maximiert werden? Formuliere dafür eine passende Formel. - Kannst du eine der Variablen in deiner Formel durch die andere ausdrücken, indem du den Zusammenhang aus der Skizze nutzt? - Erinnere dich an die Schritte zur Extremwertberechnung: Ableiten, Nullstellen finden und die Art des Extremums prüfen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(r, h) = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung unter Verwendung des Satzes des Pythagoras im Querschnitt der Halbkugel: \(r^2 + h^2 = R^2\), also \(r^2 = 100 - h^2\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(V(h) = \pi \cdot (100 - h^2) \cdot h = 100\pi h - \pi h^3\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(V'(h) = 100\pi - 3\pi h^2\). 5. Ermittlung der notwendigen Bedingung für Extrema (\(V'(h) = 0\)): \(3\pi h^2 = 100\pi \Rightarrow h^2 = \frac{100}{3} \Rightarrow h = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5{,}77\,\text{cm}\). 6. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(V''(h) = -6\pi h\). Da \(V''(\frac{10}{\sqrt{3}}) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung des Radius: \(r = \sqrt{100 - \frac{100}{3}} = \sqrt{\frac{200}{3}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 8{,}16\,\text{cm}\).

Das Volumen des Zylinders wird maximal für eine Höhe von \(h = \frac{10}{\sqrt{3}}\,\text{cm} \approx 5{,}77\,\text{cm}\) und einen Radius von \(r = 10 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\,\text{cm} \approx 8{,}16\,\text{cm}\).

- Skizziere den Querschnitt des Kegels mit dem darin liegenden Zylinder. - Welche geometrischen Sätze helfen dir, ein Verhältnis zwischen der Höhe und dem Radius des Zylinders innerhalb des Kegels aufzustellen? - Was ist die Zielgröße, die so groß wie möglich werden soll? - Achte auf die Definitionsgrenzen für den Radius des Zylinders.

1. Hauptbedingung für das Volumen des Zylinders: \(V = \pi r^2 h\). 2. Nebenbedingung mithilfe des Strahlensatzes im Achsenschnitt des Kegels: \(\frac{h}{H} = \frac{R-r}{R}\). Einsetzen der Werte ergibt \(\frac{h}{20} = \frac{10-r}{10}\), woraus \(h = 2(10 - r) = 20 - 2r\) folgt. 3. Aufstellen der Zielfunktion: \(V(r) = \pi r^2 (20 - 2r) = 20\pi r^2 - 2\pi r^3\). 4. Ableiten der Zielfunktion zur Bestimmung der Extremstellen: \(V'(r) = 40\pi r - 6\pi r^2\). 5. Nullsetzen der ersten Ableitung: \(r(40\pi - 6\pi r) = 0\). Da \(r > 0\), ergibt sich \(r = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\,\text{cm}\). 6. Überprüfung des Maximums: \(V''(r) = 40\pi - 12\pi r\). Einsetzen von \(r = \frac{20}{3}\) ergibt \(40\pi - 80\pi = -40\pi < 0\), also ein Maximum. 7. Berechnung der Zylinderhöhe: \(h = 20 - 2 \cdot \frac{20}{3} = \frac{60}{3} - \frac{40}{3} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\,\text{cm}\).

Der Radius des Zylinders beträgt \(r = \frac{20}{3}\,\text{cm} \approx 6{,}67\,\text{cm}\) und die Höhe beträgt ebenfalls \(h = \frac{20}{3}\,\text{cm} \approx 6{,}67\,\text{cm}\).

- Erstelle zuerst eine Formel für die Kosten, die sowohl die Fläche als auch den jeweiligen Preis pro Quadratmeter berücksichtigt. - Beachte, dass der Behälter oben offen ist – wie wirkt sich das auf die Oberflächenformel aus? - Nutze das gegebene Volumen, um eine Variable durch die andere auszudrücken. - Die Kostenfunktion hängt nach der Substitution nur noch vom Radius ab. - Gehe wie bei einer klassischen Kurvendiskussion vor, um das Minimum zu finden.

1. Aufstellen der Kostenfunktion: \(K(r, h) = 60 \cdot \pi r^2 + 35 \cdot 2\pi rh\). 2. Nebenbedingung über das Volumen: \(V = \pi r^2 h = 2{,}5 \Rightarrow h = \frac{2{,}5}{\pi r^2}\). 3. Einsetzen von \(h\) in die Kostenfunktion: \(K(r) = 60\pi r^2 + \frac{175}{r}\). 4. Ableiten der Kostenfunktion: \(K'(r) = 120\pi r - \frac{175}{r^2}\). 5. Nullstelle der Ableitung finden: \(120\pi r^3 = 175 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{175}{120\pi}} = \sqrt[3]{\frac{35}{24\pi}} \approx 0{,}77\,\text{m}\). 6. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(K''(r) = 120\pi + \frac{350}{r^3} > 0\) für \(r > 0\) zeigt ein Minimum an. 7. Höhe berechnen: \(h = \frac{2{,}5}{\pi \cdot 0{,}7743^2} \approx 1{,}33\,\text{m}\).

Der optimale Radius beträgt ca. \(0{,}77\,\text{m}\) und die optimale Höhe beträgt ca. \(1{,}33\,\text{m}\).

- Setze die Funktionsterme der Geraden und der Kurve gleich, um die Schnittstellen zu finden. - Erinnere dich an die Abstandsformel zwischen zwei Punkten \(P_1(x_1|y_1)\) und \(P_2(x_2|y_2)\). - Wenn du eine Wurzel-Funktion minimieren möchtest, reicht es oft aus, den Ausdruck unter der Wurzel zu untersuchen. - Beachte bei der Lösung von Gleichungen wie \(m^2 = k\) die Definitionsmenge für die Steigung.

1. Schnittpunkte berechnen: Gleichsetzen von \(g(x) = mx\) und \(f(x) = \frac{9}{x}\) ergibt \(mx = \frac{9}{x} \Rightarrow x^2 = \frac{9}{m}\). Daraus folgen \(x_1 = \frac{3}{\sqrt{m}}\) und \(x_2 = -\frac{3}{\sqrt{m}}\). Die \(y\)-Koordinaten sind \(y_1 = m \cdot \frac{3}{\sqrt{m}} = 3\sqrt{m}\) und \(y_2 = -3\sqrt{m}\). Die Punkte sind \(P_1\left(\frac{3}{\sqrt{m}} \mid 3\sqrt{m}\right)\) und \(P_2\left(-\frac{3}{\sqrt{m}} \mid -3\sqrt{m}\right)\). 2. Minimum der Abstandsfunktion: Um \(d(m)\) zu minimieren, reicht es, den Radikanden \(h(m) = m + \frac{1}{m}\) zu minimieren. Die Ableitung ist \(h'(m) = 1 - \frac{1}{m^2}\). Nullsetzen ergibt \(m^2 = 1\), also \(m = 1\) (da \(m > 0\)). Wegen \(h''(m) = \frac{2}{m^3} > 0\) liegt ein Minimum vor. 3. Koordinaten und Abstand: Für \(m = 1\) ergeben sich die Punkte \(P_1(3 \mid 3)\) und \(P_2(-3 \mid -3)\). Der minimale Abstand ist \(d(1) = \sqrt{36 \cdot (1 + 1)} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\).

a) \(P_1\left(\frac{3}{\sqrt{m}} \mid 3\sqrt{m}\right)\) und \(P_2\left(-\frac{3}{\sqrt{m}} \mid -3\sqrt{m}\right)\). b) Die Steigung für den minimalen Abstand beträgt \(m = 1\). c) Die Punkte sind \(P_1(3 \mid 3)\) und \(P_2(-3 \mid -3)\). Der minimale Abstand beträgt \(6\sqrt{2} \approx 8{,}49\).

- Wenn eine Funktion ansteigt, was sagt das über das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung aus? - Bestimme zuerst die Stellen, an denen die Steigung null ist. - Untersuche die Bereiche zwischen diesen Stellen, um herauszufinden, wo die Funktion steigt oder fällt. - Ein Maximum liegt vor, wenn die Kurve von einer Steigung in ein Gefälle übergeht.

1. Bestimmung der ersten Ableitung zur Untersuchung der Monotonie: \(G'(x) = -3x^2 + 18x - 15\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(-3(x^2 - 6x + 5) = 0\). Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 3. Monotonieintervalle bestimmen: Da der Graph von \(G'\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt \(G'(x) > 0\) für \(1 < x < 5\). In diesem Intervall ist die Gewinnfunktion streng monoton steigend. 4. Lokale Extrema klassifizieren: Die zweite Ableitung ist \(G''(x) = -6x + 18\). 5. Prüfung der Stellen: \(G''(1) = 12 > 0\) (lokales Minimum), \(G''(5) = -12 < 0\) (lokales Maximum). 6. Ergebnis: Der Gewinn steigt im Bereich \(1 < x < 5\) an. Das lokale Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(x = 5\,\text{ME}\) und hat den Wert \(G(5) = 5\).

a) Der Gewinn steigt im Intervall \((1; 5)\) bzw. für \(1 < x < 5\) an. b) Ein lokales Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(x = 5\,\text{ME}\) vor; der maximale Funktionswert beträgt \(G(5) = 5\).

- Überlege zuerst, wie sich der Gesamterlös aus dem Preis und der verkauften Menge zusammensetzt. - Die Gewinnschwelle und Gewinngrenze sind die Grenzen der Gewinnzone – was gilt dort für den Gewinn? - Nutze die Ableitungsregeln, um die notwendige Bedingung für ein Maximum zu prüfen. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum oder ein Minimum handelt.

1. Aufstellen der Funktionen: \(E(x) = 70x\) und \(G(x) = E(x) - K(x) = -0{,}5x^3 + 9x^2 - 30x - 80\). 2. Berechnung von Gewinnschwelle und -grenze: \(G(x) = 0\). Mit \(x_1 = 8\) und Polynomdivision folgt \((x-8)(-0{,}5x^2 + 5x + 10) = 0\). Die Mitternachtsformel für den quadratischen Term liefert \(x = 5 \pm \sqrt{45}\). Die relevanten Nullstellen sind \(x_1 = 8\) (Gewinnschwelle) und \(x_3 \approx 11{,}71\) (Gewinngrenze). 3. Bestimmung des Extremums: \(G'(x) = -1{,}5x^2 + 18x - 30 = 0\). Division durch \(-1{,}5\) ergibt \(x^2 - 12x + 20 = 0\), woraus \(x = 2\) und \(x = 10\) folgen. 4. Überprüfung der Art des Extremums: \(G''(x) = -3x + 18\). Da \(G''(10) = -12 < 0\), liegt bei \(x = 10\) ein Maximum vor. 5. Berechnung des Funktionswerts: \(G(10) = -0{,}5 \cdot 1000 + 9 \cdot 100 - 30 \cdot 10 - 80 = 20\). Das Maximum liegt bei \(10\,\text{ME}\) mit einem Gewinn von \(20\,\text{GE}\).

a) \(E(x) = 70x\); \(G(x) = -0{,}5x^3 + 9x^2 - 30x - 80\); Gewinnschwelle: \(8\,\text{ME}\); Gewinngrenze: \(\approx 11{,}71\,\text{ME}\). b) Das Gewinnmaximum liegt bei \(x = 10\,\text{ME}\). Der maximale Gewinn beträgt \(20\,\text{GE}\).

- Wie berechnet man den vertikalen Abstand zwischen zwei Punkten, die dieselbe \(x\)-Koordinate haben? - Stelle eine Funktion für die Länge der Strecke auf, indem du die Funktionsgleichungen voneinander abziehst. - Suche nach den Stellen, an denen die Steigung dieser Abstandsfunktion null ist. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich an der gefundenen Stelle wirklich um einen kleinsten Wert handelt.

1. Die Länge der vertikalen Strecke \(\overline{PQ}\) entspricht der Differenz der Funktionswerte. Im Bereich \([-4; -1]\) gilt \(f(x) \ge g(x)\), daher lautet die Abstandsfunktion: \(d(a) = f(a) - g(a) = -\frac{1}{3}a^3 - 2a^2 - 3a + 3\). 2. Zur Bestimmung der Extrema wird die erste Ableitung gebildet: \(d'(a) = -a^2 - 4a - 3\). 3. Nullsetzen der Ableitung ergibt \(-a^2 - 4a - 3 = 0\), was zu den Lösungen \(a_1 = -1\) und \(a_2 = -3\) führt. 4. Die zweite Ableitung \(d''(a) = -2a - 4\) dient zur Klassifizierung: Für \(a = -3\) ist \(d''(-3) = 2 > 0\), was ein lokales Minimum bestätigt. Für \(a = -1\) ist \(d''(-1) = -2 < 0\), was ein lokales Maximum darstellt. 5. Der minimale Abstand an der Stelle \(a = -3\) beträgt \(d(-3) = -\frac{1}{3}(-27) - 2(9) - 3(-3) + 3 = 9 - 18 + 9 + 3 = 3\). 6. Ein Vergleich mit dem Randwert \(d(-4) \approx 4{,}33\) bestätigt, dass der kleinste Abstand im Intervall bei \(a = -3\) liegt.

Die Strecke wird für \(a = -3\) minimal. Der minimale Abstand beträgt \(3\).

- Wie hängen Grenzkosten und die Ableitung der Kostenfunktion zusammen? - Für die näherungsweise Bestimmung in b) kannst du eine Wertetabelle nutzen oder gezielt Werte einsetzen, um das Vorzeichen der Ableitung zu prüfen. - Überlege dir für c), wann eine Gerade durch den Ursprung, die einen Funktionsgraphen schneidet, die geringste Steigung hat.

1. Grenzkostenfunktion \(K'(x) = 0{,}006x^2 - 0{,}2x + 8\). Das Minimum liegt an der Nullstelle von \(K''(x) = 0{,}012x - 0{,}2\). Lösung: \(x = \frac{0{,}2}{0{,}012} \approx 16{,}67\,\text{ME}\). 2. Durchschnittskostenfunktion \(V(x) = 0{,}002x^2 - 0{,}1x + 8 + \frac{500}{x}\). Die Ableitung ist \(V'(x) = 0{,}004x - 0{,}1 - \frac{500}{x^2}\). 3. Nullstelle von \(V'(x)\) näherungsweise bestimmen: \(V'(50) = 0{,}004 \cdot 50 - 0{,}1 - \frac{500}{2500} = 0{,}2 - 0{,}1 - 0{,}2 = -0{,}1\). \(V'(60) = 0{,}004 \cdot 60 - 0{,}1 - \frac{500}{3600} \approx 0{,}24 - 0{,}1 - 0{,}139 \approx 0{,}001\). Das Minimum der Durchschnittskosten liegt also bei etwa \(x \approx 60\,\text{ME}\). 4. Geometrische Begründung: Die Durchschnittskosten sind die Steigung der Sekante vom Ursprung zum Punkt \((x \mid K(x))\). Diese Steigung ist minimal, wenn die Sekante zur Tangente an den Graphen von \(K\) wird. Da die Tangentensteigung den Grenzkosten \(K'(x)\) entspricht, müssen im Minimum der Durchschnittskosten (Tangentialpunkt) Grenzkosten und Durchschnittskosten gleich groß sein.

a) Die Grenzkosten sind bei \(x \approx 16{,}67\,\text{ME}\) minimal. b) Die Durchschnittskosten sind bei ca. \(x \approx 60\,\text{ME}\) minimal. c) Die minimale Steigung der Ursprungsgeraden an die Kostenkurve tritt im Berührpunkt auf; dort entspricht die Tangentensteigung (Grenzkosten) der Sekantensteigung (Durchschnittskosten).

- Hier soll nicht die Fläche, sondern die Kostenfunktion minimiert werden. Multipliziere die Teilflächen mit ihren jeweiligen Preisen. - Nutze das vorgegebene Volumen, um eine der Abmessungen zu eliminieren. - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Minimalstelle gelten? - Vergiss nicht, am Ende auch die Höhe der Schachtel zu berechnen.

1. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\) in Abhängigkeit von den Flächeninhalten: \(K = 0{,}20 \cdot (2 \cdot a^2) + 0{,}10 \cdot (4 \cdot a \cdot h) = 0{,}4a^2 + 0{,}4ah\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für das Volumen: \(V = a^2 \cdot h = 250\), woraus folgt \(h = \frac{250}{a^2}\). 3. Substitution von \(h\) in die Kostenfunktion zur Zielfunktion: \(K(a) = 0{,}4a^2 + 0{,}4a \cdot \frac{250}{a^2} = 0{,}4a^2 + \frac{100}{a}\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(K'(a) = 0{,}8a - \frac{100}{a^2}\). 5. Berechnung der Extremstelle durch \(K'(a) = 0\): \(0{,}8a = \frac{100}{a^2} \Rightarrow a^3 = \frac{100}{0{,}8} = 125\). Dies liefert \(a = 5\,\text{cm}\). 6. Verifizierung des Minimums: \(K''(a) = 0{,}8 + \frac{200}{a^3}\), was für \(a = 5\) positiv ist (\(K''(5) = 2{,}4 > 0\)). 7. Ermittlung der Höhe: \(h = \frac{250}{5^2} = \frac{250}{25} = 10\,\text{cm}\).

Die Materialkosten sind minimal, wenn die Grundkante \(a = 5\,\text{cm}\) und die Höhe \(h = 10\,\text{cm}\) beträgt.

- Wie berechnet man die Durchschnittskosten für eine gegebene Menge? - An welcher Stelle schneiden sich die Grenzkostenkurve und die Durchschnittskostenkurve? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung einer Funktion an einer Extremstelle gelten? - Überlege dir, ob alle mathematisch möglichen Lösungen im Sachzusammenhang sinnvoll sind.

1. Berechnung der Grenzkostenfunktion: \(K'(x) = 1{,}5x^2 - 30x + 600\). Das Minimum der Grenzkosten liegt bei \(K''(x) = 3x - 30 = 0\), also bei \(x = 10\,\text{Stück}\). 2. Aufstellen der Durchschnittskostenfunktion: \(\bar{k}(x) = \frac{K(x)}{x} = 0{,}5x^2 - 15x + 600 + \frac{2000}{x}\). Das Betriebsoptimum wird erreicht, wenn die Grenzkosten gleich den Durchschnittskosten sind: \(1{,}5x^2 - 30x + 600 = 0{,}5x^2 - 15x + 600 + \frac{2000}{x}\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(x^2 - 15x = \frac{2000}{x} \Rightarrow x^3 - 15x^2 - 2000 = 0\). Durch systematisches Probieren oder Einsetzen findet man die Nullstelle \(x = 20\,\text{Stück}\). 4. Gewinnmaximierung: \(G'(x) = E'(x) - K'(x) = 0\), also \(744 - (1{,}5x^2 - 30x + 600) = 0\). Dies führt zu \(-1{,}5x^2 + 30x + 144 = 0\) bzw. \(x^2 - 20x - 96 = 0\). 5. Die Lösungen sind \(x_1 = 24\) und \(x_2 = -4\). Das Gewinnmaximum liegt bei \(x = 24\,\text{Stück}\) (da \(G''(24) = -3 \cdot 24 + 30 = -42 < 0\)).

a) Die Grenzkosten sind bei \(10\,\text{Stück}\) minimal. b) Das Betriebsoptimum liegt bei \(20\,\text{Stück}\). c) Die gewinnmaximale Menge beträgt \(24\,\text{Stück}\).

- Nutze die Ableitungen, um die Koordinaten des Extrempunkts in Abhängigkeit von \(a\) zu finden. - Stelle die Gleichung für die x-Koordinate nach \(a\) um und setze diesen Ausdruck in die Gleichung für die y-Koordinate ein. - Welche Rolle spielt das Vorzeichen des Parameters für die Art des Extrempunkts bei einer quadratischen Funktion? - Achte beim Lösen der Ungleichung im letzten Schritt besonders auf das Vorzeichen von \(a\), wenn du damit multiplizierst.

1. Bestimmung des Extrempunkts: Die notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 2ax - 4 = 0\) liefert \(x = \frac{2}{a}\). Die y-Koordinate ergibt sich durch Einsetzen: \(y = f_a\left(\frac{2}{a}\right) = a \cdot \left(\frac{2}{a}\right)^2 - 4 \cdot \frac{2}{a} + a = \frac{4}{a} - \frac{8}{a} + a = a - \frac{4}{a}\). 2. Nachweis der Ortskurve: Aus \(x = \frac{2}{a}\) folgt \(a = \frac{2}{x}\). Einsetzen in die Gleichung für \(y\) ergibt \(y = \frac{2}{x} - \frac{4}{\frac{2}{x}} = \frac{2}{x} - 2x\). 3. Bedingung für ein Maximum: Die zweite Ableitung ist \(f_a''(x) = 2a\). Ein Maximum liegt vor, wenn \(2a < 0\), also \(a < 0\). 4. Bedingung für die Lage unterhalb der x-Achse: Es muss \(y < 0\) gelten, also \(a - \frac{4}{a} < 0\). Da \(a < 0\) vorausgesetzt ist, führt die Multiplikation mit \(a\) zur Umkehrung des Relationszeichens: \(a^2 - 4 > 0\). Dies ist für \(a < -2\) oder \(a > 2\) erfüllt. 5. Zusammenführung der Bedingungen: Da \(a < 0\) und (\(a < -2\) oder \(a > 2\)) gelten muss, ist die Lösung \(a < -2\).

a) Nachweis durch Einsetzen von \(a = \frac{2}{x}\) in \(y = a - \frac{4}{a}\). b) Der Extrempunkt ist ein Maximum und liegt unterhalb der \(x\)-Achse für \(a < -2\).

- Welche Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Wie hängen der Umfang eines Kreises und sein Radius zusammen? - Nutze die Bedingung „Summe aus Höhe und Umfang ist \(120\,\text{cm}\)“, um die Höhe durch den Radius auszudrücken. - Wo findet man in der Analysis üblicherweise die höchsten Werte einer Funktion? - Achte darauf, dass am Ende sowohl der Radius als auch die Höhe gefragt sind.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen des Zylinders: \(V(r, h) = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung mit dem Umfang \(U = 2\pi r\): \(h + 2\pi r = 120\). Umstellen nach \(h\): \(h = 120 - 2\pi r\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(V(r) = \pi r^2 (120 - 2\pi r) = 120\pi r^2 - 2\pi^2 r^3\). 4. Bilden der ersten Ableitung nach \(r\): \(V'(r) = 240\pi r - 6\pi^2 r^2\). 5. Bestimmung der Extremstellen durch \(V'(r) = 0\): \(6\pi r(40 - \pi r) = 0\). Da \(r > 0\) sein muss, folgt \(\pi r = 40\), also \(r = \frac{40}{\pi} \approx 12{,}73\,\text{cm}\). 6. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(V''(r) = 240\pi - 12\pi^2 r\). Einsetzen von \(r = \frac{40}{\pi}\) ergibt \(240\pi - 480\pi = -240\pi < 0\), somit liegt ein Maximum vor. 7. Berechnung der optimalen Höhe: \(h = 120 - 2\pi \cdot \frac{40}{\pi} = 120 - 80 = 40\,\text{cm}\).

Das Volumen der Dose ist maximal bei einem Radius von \(r = \frac{40}{\pi}\,\text{cm} \approx 12{,}73\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(h = 40\,\text{cm}\).

- Erstelle zuerst eine Gleichung für die Gesamtlänge der acht Kanten. - Ersetze in der Volumenformel das \(h\) durch einen Ausdruck mit \(a\), um die Formel aus Aufgabenteil a) zu erhalten. - Überlege dir gut, welchen Bereich die Seitenlänge \(a\) annehmen darf, wenn die Höhe mindestens \(40\,\text{cm}\) sein muss. - Untersuche den Verlauf der Volumenfunktion. Steigt oder fällt das Volumen, wenn \(a\) sich der Grenze des erlaubten Bereichs nähert? - Wenn eine Funktion in einem Bereich immer weiter ansteigt und dann der Bereich endet, wo muss dann das Maximum liegen?

1. Aufstellen der Bedingung für die Kantenlänge: \(4a + 4h = 360\). Vereinfachen zu \(a + h = 90\), woraus folgt \(h = 90 - a\). 2. Einsetzen in die Volumenformel \(V = a^2 \cdot h\): \(V(a) = a^2 \cdot (90 - a) = 90a^2 - a^3\). 3. Berücksichtigung des Definitionsbereichs durch die Bedingung \(h \ge 40\): \(90 - a \ge 40 \Rightarrow a \le 50\). Da \(a\) und \(h\) positiv sein müssen, gilt \(0 < a \le 50\). 4. Ableitung der Volumenfunktion: \(V'(a) = 180a - 3a^2\). 5. Suche nach Extremstellen: \(3a \cdot (60 - a) = 0\) liefert \(a = 0\) (Minimum) und \(a = 60\). 6. Analyse der Monotonie: Da die einzige für ein Maximum relevante Nullstelle der Ableitung (\(a = 60\)) außerhalb des zulässigen Bereichs \((0; 50]\) liegt und \(V'(a) > 0\) für alle \(a \in (0; 50)\) gilt, ist die Funktion im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. 7. Das Maximum liegt daher am rechten Rand des Intervalls bei \(a = 50\). 8. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = 90 - 50 = 40\,\text{cm}\). 9. Berechnung des Volumens: \(V(50) = 50^2 \cdot 40 = 2\,500 \cdot 40 = 100\,000\,\text{cm}^3\).

a) Nachweis durch \(h = 90 - a\) und \(V = a^2 \cdot h\). b) \(a = 50\,\text{cm}\) und \(h = 40\,\text{cm}\) c) \(V_{max} = 100\,000\,\text{cm}^3\)