- Welche Monotonierichtung gehört zu einem positiven Wert von \(f'\)? - Welche Monotonierichtung gehört zu einem negativen Wert von \(f'\)? - Wende diese Zuordnung getrennt auf die drei Intervalle an.

1. Ein positives Vorzeichen von \(f'\) im Intervallinneren bedeutet strenge Zunahme; ein negatives Vorzeichen bedeutet strenge Abnahme. 2. Für \(I_1\) ist \(f'>0\), also gilt A. 3. Für \(I_2\) ist \(f'<0\), also gilt B. 4. Für \(I_3\) ist \(f'>0\), also gilt A.

\(I_1\): A, \(I_2\): B, \(I_3\): A

- Betrachte den Verlauf jedes Graphen von links nach rechts zwischen den gestrichelten Grenzen. - Bei strenger Monotonie müssen für jedes Paar \(x_1<x_2\) die Funktionswerte in der entsprechenden strikten Reihenfolge liegen. - Welche Auswirkung hat ein waagerechter Abschnitt auf strenge Monotonie?

1. Graph a): Der Funktionswert nimmt im gesamten Intervall \(I=[1;5]\) mit wachsendem \(x\) stets ab. Die Funktion ist streng monoton abnehmend: Aussage 3. 2. Graph b): Der Graph nimmt zunächst zu, ist zwischen \(x=2\) und \(x=4\) konstant und nimmt danach weiter zu. Wegen des konstanten Abschnitts ist die Funktion monoton zunehmend, aber nicht streng: Aussage 2. 3. Graph c): Der Funktionswert nimmt im gesamten Intervall \(I=[1;5]\) mit wachsendem \(x\) stets zu. Die Funktion ist streng monoton zunehmend: Aussage 1.

a) Aussage 3 b) Aussage 2 c) Aussage 1

- Betrachte das Höhenprofil von links nach rechts: Wo nimmt die Höhe ab, wo nimmt sie zu? - Die Stelle, an der der Abstieg endet und der Aufstieg beginnt, trennt die beiden Intervalle. - Nutze die Werte des Wegparameters als Intervallgrenzen.

1. Der Tiefpunkt des Graphen liegt bei \(x=2\). 2. Von \(x=-2\) bis \(x=2\) sinkt die Höhe kontinuierlich. Der Wanderer geht im Intervall \([-2;2]\) bergab. 3. Von \(x=2\) bis \(x=6\) steigt die Höhe kontinuierlich. Der Wanderer geht im Intervall \([2;6]\) bergauf.

Bergab: \([-2;2]\) Bergauf: \([2;6]\)

- Welche Bedeutung hat ein durchgehend negatives beziehungsweise positives Vorzeichen der Ableitung? - Liegt einer der beiden Ableitungsgraphen auf oder über der \(x\)-Achse? - Formuliere die Monotonie jeweils nur für den dargestellten Bereich.

1. Der Graph von \(f'\) liegt im dargestellten Bereich vollständig unterhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf \([-1;5]\) streng monoton abnehmend. 2. Der Graph von \(g'\) liegt im dargestellten Bereich vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(g'(x)>0\). Daher ist \(g\) auf \([-1;5]\) streng monoton zunehmend.

\(f\): streng monoton abnehmend auf \([-1;5]\) \(g\): streng monoton zunehmend auf \([-1;5]\)

- An welcher Stelle ändert der Graph seine Richtung? - Werden die Funktionswerte links vom Scheitelpunkt größer oder kleiner, wenn \(x\) zunimmt?

1. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-2|3)\). 2. Links vom Scheitelpunkt nimmt der Graph mit wachsendem \(x\) zu, rechts davon nimmt er ab. 3. Daher ist \(f\) auf \([-5;-2]\) streng monoton zunehmend und auf \([-2;1]\) streng monoton abnehmend.

Streng monoton zunehmend auf \([-5;-2]\); streng monoton abnehmend auf \([-2;1]\).

- Wo liegt der tiefste Punkt der Parabel? - Wie ändern sich die Funktionswerte links und rechts von diesem Punkt?

1. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(x=3\). 2. Von \(x=0\) bis \(x=3\) werden die Funktionswerte mit wachsendem \(x\) kleiner. Daher ist \(f\) auf \([0;3]\) streng monoton abnehmend. 3. Von \(x=3\) bis \(x=6\) werden die Funktionswerte mit wachsendem \(x\) größer. Daher ist \(f\) auf \([3;6]\) streng monoton zunehmend.

Streng monoton abnehmend auf \([0;3]\); streng monoton zunehmend auf \([3;6]\).

- In welchem Bereich liegt der Graph von \(f'\) unterhalb der \(x\)-Achse? - Welche Monotonierichtung von \(f\) gehört zu negativen Ableitungswerten?

1. Der Graph von \(f'\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=3\). 2. Für \(3<x\le6\) gilt \(f'(x)<0\). 3. Daher ist \(f\) im dargestellten Bereich auf \([3;6]\) streng monoton abnehmend.

Streng monoton abnehmend auf \([3;6]\).

- Gesucht ist die Definition, nicht ein Kriterium mit der Ableitung. - Achte darauf, ob der Vergleich der Funktionswerte strikt oder nicht strikt sein muss. - Überlege, welche Aussage direkt zwei beliebige Stellen des Intervalls miteinander vergleicht.

1. Streng monoton zunehmend bedeutet, dass zu zwei Stellen in derselben Reihenfolge auch die Funktionswerte strikt in derselben Reihenfolge liegen. 2. Genau das beschreibt Aussage A mit \(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\). 3. Aussage B beschreibt nur monotones Zunehmen ohne Strenge. Aussage C ist ein hinreichendes Ableitungskriterium, aber nicht die Definition.

A: \(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\) für alle \(x_1,x_2\in I\).

- Welche Stelle teilt die Zahlengerade in zwei Bereiche? - Wähle links und rechts davon je einen einfachen Testwert.

1. Die Nullstelle von \(f'\) liegt bei \(x=1\). 2. Für \(x<1\) ist \(f'(x)<0\); für \(x>1\) ist \(f'(x)>0\). 3. Daher fällt \(f\) auf \(( -\infty;1]\) streng und steigt auf \([1;\infty)\) streng.

<table><tr><th>Bereich</th><th>\(x<1\)</th><th>\(x=1\)</th><th>\(x>1\)</th></tr><tr><td>Vorzeichen von \(f'\)</td><td>−</td><td>0</td><td>+</td></tr></table> \(f\) fällt streng auf \(( -\infty;1]\) und steigt streng auf \([1;\infty)\).

- Untersuche das Vorzeichen der ersten Ableitung im gesamten Bereich. - Überlege, was passiert, wenn die Ableitung genau Null ist. - Bedenke, dass eine streng monotone Funktion immer auch die einfache Monotonie-Eigenschaft erfüllt. - Prüfe, ob eine Funktion in verschiedenen Abschnitten unterschiedliches Steigungsverhalten zeigt.

1. Für \(f_1(x) = x^3 + 5x\) gilt \(f_1'(x) = 3x^2 + 5\). Da \(3x^2 + 5 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist die Funktion streng monoton zunehmend (a) und damit auch monoton zunehmend (c). 2. Für \(f_2(x) = 4 - x^2\) gilt \(f_2'(x) = -2x\). Die Ableitung wechselt bei \(x = 0\) das Vorzeichen (\(f_2'(x) > 0\) für \(x < 0\) und \(f_2'(x) < 0\) für \(x > 0\)). Somit ist die Funktion auf \(\mathbb{R}\) weder monoton zunehmend noch abnehmend. 3. Für \(f_3(x) = -2x - 7\) gilt \(f_3'(x) = -2\). Da \(f_3'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist die Funktion streng monoton abnehmend (b) und damit auch monoton abnehmend (d). 4. Für \(f_4(x) = 8\) gilt \(f_4'(x) = 0\). Da \(f_4'(x) \ge 0\) und \(f_4'(x) \le 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) erfüllt ist, ist die Funktion sowohl monoton zunehmend (c) als auch monoton abnehmend (d), jedoch nicht streng.

\(f_1\): a, c \(f_2\): keine der Eigenschaften trifft auf ganz \(\mathbb{R}\) zu \(f_3\): b, d \(f_4\): c, d

- Bestimme die Stellen, an denen \(h'\) null ist. - Teile den Definitionsbereich durch diese Stellen in Intervalle. - Untersuche in jedem Intervall das Vorzeichen von \(h'\).

1. Die erste Ableitung lautet \(h'(x)=6x^2-30x+36=6(x-2)(x-3)\). 2. Die Nullstellen der Ableitung sind \(x=2\) und \(x=3\). 3. Für \(x<2\) gilt \(h'(x)>0\), für \(2<x<3\) gilt \(h'(x)<0\) und für \(x>3\) gilt \(h'(x)>0\). 4. Somit nimmt \(h\) auf \(( -\infty;2]\) und \([3;\infty)\) streng monoton zu und auf \([2;3]\) streng monoton ab.

\(h\) ist auf \(( -\infty;2]\) und \([3;\infty)\) streng monoton zunehmend und auf \([2;3]\) streng monoton abnehmend.

- Wie hängen das Vorzeichen von \(f'\) und die Monotonie von \(f\) zusammen? - Bestimme zuerst die Nullstellen von \(f'\). - Untersuche anschließend das Vorzeichen von \(f'\) in jedem der dadurch entstehenden Intervalle.

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)\). 2. Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x=0\), \(x=1\) und \(x=2\). 3. Für \(x<0\) gilt \(f'(x)<0\), für \(0<x<1\) gilt \(f'(x)>0\), für \(1<x<2\) gilt \(f'(x)<0\) und für \(x>2\) gilt \(f'(x)>0\). 4. Daher nimmt \(f\) auf \(( -\infty;0]\) und \([1;2]\) streng monoton ab sowie auf \([0;1]\) und \([2;\infty)\) streng monoton zu.

Streng monoton abnehmend auf \(( -\infty;0]\) und \([1;2]\); streng monoton zunehmend auf \([0;1]\) und \([2;\infty)\).

- Welche Vorzeichen haben \(x^4\), \(2x^2\) und die Konstante \(3\)? - Was folgt aus einem überall positiven Wert von \(g'\) für die Monotonie von \(g\)? - Kann eine streng monoton zunehmende Funktion einen lokalen Hoch- oder Tiefpunkt besitzen?

1. Es gilt \(g'(x)=x^4+2x^2+3\). 2. Da \(x^4\ge0\) und \(2x^2\ge0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gelten, ist \(g'(x)\ge3>0\). Somit besitzt \(g'\) keine reellen Nullstellen. 3. Wegen \(g'(x)>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) nimmt \(g\) auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zu. 4. Eine streng monoton zunehmende Funktion kann auf \(\mathbb{R}\) keinen lokalen Extrempunkt besitzen. Außerdem gibt es keine Stelle mit \(g'(x)=0\).

a) \(g'(x)=x^4+2x^2+3\ge3>0\); daher besitzt \(g'\) keine reellen Nullstellen. b) \(g\) ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend und besitzt keine Extrempunkte.

- Übersetze das Vorzeichen von \(f'\) jeweils in eine Monotonieaussage über \(f\). - Achte bei a) und b) auf das Vorzeichen im Inneren des angegebenen Intervalls. - Welche geometrische Bedeutung hat die Bedingung \(f'(1)=0\)?

1. Auf \([-1;0]\) gilt im Intervallinneren \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton zunehmend; a) ist wahr. 2. Auf \([1;2]\) gilt im Intervallinneren \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton abnehmend; b) ist falsch. 3. Aus \(f'(1)=0\) folgt, dass der Graph von \(f\) bei \(x=1\) eine waagerechte Tangente besitzt; c) ist wahr.

a) Wahr. b) Falsch; auf \([1;2]\) ist \(f\) streng monoton abnehmend. c) Wahr.

- Waagerechte Tangenten liegen an Nullstellen von \(f'\). - Welche Richtung hat der Vorzeichenwechsel von \(f'\) bei \(x=0\)? - Welches Vorzeichen besitzt \(f'\) im Inneren von \([0;3]\)?

1. Waagerechte Tangenten liegen an den Nullstellen von \(f'\). Aus dem Graphen liest man \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\) ab. 2. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort eine lokale Maximalstelle von \(f\) vor. 3. Für \(0<x<3\) gilt \(f'(x)<0\); an den Randpunkten gilt \(f'=0\). Daher nimmt \(f\) auf \([0;3]\) streng monoton ab.

a) Waagerechte Tangenten bei \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\). b) Bei \(x=0\) liegt eine lokale Maximalstelle vor. c) \(f\) ist auf \([0;3]\) streng monoton abnehmend.

- Übersetze die Lage von \(f'\) oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse in das Monotonieverhalten von \(f\). - Achte darauf, ob \(f'\) eine Nullstelle schneidet oder nur berührt. - Eine einzelne Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel muss ein Intervall strenger Monotonie nicht unterbrechen.

1. In Abbildung a) gilt \(f'(x)<0\) für \(-1<x<1\), \(f'(x)>0\) für \(1<x<4\) und \(f'(x)<0\) für \(4<x<6\). Daher nimmt \(f\) auf \([-1;1]\) und \([4;6]\) streng monoton ab sowie auf \([1;4]\) streng monoton zu. 2. In Abbildung b) gilt im dargestellten Bereich \(f'(x)\ge0\), wobei \(f'\) nur bei \(x=2\) null ist und auf beiden Seiten positiv bleibt. Die isolierte Nullstelle unterbricht die strenge Monotonie nicht. Daher nimmt \(f\) auf \([-1;5]\) streng monoton zu; ein streng monoton abnehmendes Intervall gibt es nicht.

a) Streng monoton zunehmend auf \([1;4]\); streng monoton abnehmend auf \([-1;1]\) und \([4;6]\). b) Streng monoton zunehmend auf \([-1;5]\); kein streng monoton abnehmendes Intervall.

- An Stellen mit waagerechter Tangente hat die Ableitung den Wert \(0\). - Vergleiche die Vorzeichen der beiden Kandidaten dort, wo \(f_1\) zunimmt oder abnimmt. - Für die Monotonieintervalle benötigst du die Nullstellen und Vorzeichen der zugeordneten Ableitung.

1. Der Graph von \(f_1\) besitzt bei \(x\approx-1{,}83\) und \(x\approx1{,}83\) waagerechte Tangenten. Die zugehörige Ableitung muss dort Nullstellen besitzen. 2. Zwischen diesen Stellen nimmt \(f_1\) ab. Die zugehörige Ableitung muss dort negativ sein. Dies trifft auf \(g\) zu, während \(h\) dort positiv ist. Daher gehört \(g\) zu \(f_1\) und \(h\) zu \(f_2\). 3. Im dargestellten Bereich nimmt \(f_1\) auf \([-3{,}5;-1{,}83]\) und \([1{,}83;3{,}5]\) streng monoton zu sowie auf \([-1{,}83;1{,}83]\) streng monoton ab.

a) \(f_1\rightarrow g\), \(f_2\rightarrow h\). b) Streng monoton zunehmend auf \([-3{,}5;-1{,}83]\) und \([1{,}83;3{,}5]\); streng monoton abnehmend auf \([-1{,}83;1{,}83]\).

- Lies die Stellen ab, an denen sich die Monotonierichtung ändert. - Zwischen welchen Stellen nimmt der Graph zu, zwischen welchen nimmt er ab? - Berücksichtige die Grenzen des dargestellten Definitionsbereichs.

1. Aus dem Graphen liest man eine lokale Maximalstelle bei \(x=-1\) und eine lokale Minimalstelle bei \(x=3\) ab. 2. Daher nimmt \(f\) auf \([-3;-1]\) streng monoton zu, auf \([-1;3]\) streng monoton ab und auf \([3;5]\) streng monoton zu.

Streng monoton zunehmend auf \([-3;-1]\) und \([3;5]\); streng monoton abnehmend auf \([-1;3]\).

- Wie hängt das Vorzeichen von \(f'\) mit dem Monotonieverhalten von \(f\) zusammen? - In welchen Bereichen liegt der Graph von \(f'\) oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Welche Vorzeichenwechsel liegen an den Nullstellen von \(f'\) vor?

1. Für \(-1<x<3\) liegt der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) auf \([-1;3]\) streng monoton zunehmend. Für \(-4<x<-1\) und \(3<x<6\) liegt der Graph von \(f'\) unterhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) auf \([-4;-1]\) und \([3;6]\) streng monoton abnehmend. 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle.

a) Streng monoton zunehmend auf \([-1;3]\); streng monoton abnehmend auf \([-4;-1]\) und \([3;6]\). b) Lokale Minimalstelle bei \(x=-1\); lokale Maximalstelle bei \(x=3\).

- Ordne jedem angegebenen Intervall zuerst das Vorzeichen von \(f'\) zu. - Ein Wechsel von negativ zu positiv kennzeichnet eine lokale Minimalstelle. - Für strenge Monotonie genügt hier das konstante Vorzeichen von \(f'\) im jeweiligen Intervallinneren.

1. Auf \((1;4)\) gilt \(f'<0\). Daher ist \(f\) auf \([1;4]\) streng monoton abnehmend; a) ist wahr. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Dort liegt eine lokale Minimalstelle, keine Maximalstelle; b) ist falsch. 3. Auf \((-1;1)\) gilt \(f'>0\). Daher ist \(f\) auf \([-1;1]\) streng monoton zunehmend; c) ist wahr.

a) Wahr. b) Falsch; bei \(x=-2\) liegt eine lokale Minimalstelle. c) Wahr.

- Nutze die gegebene Monotonie nur in der Richtung von \(f\) zu möglichen Vorzeichen von \(f'\). - Was folgt an den beiden Stellen, an denen \(f\) sein Monotonieverhalten wechselt und zugleich differenzierbar ist? - Vergleiche anschließend die Nullstellen und Vorzeichenbereiche der drei Kandidaten.

1. Aus der angegebenen strengen Monotonie folgt als notwendige Bedingung: Für \(x<-1\) und \(x>3\) gilt \(f'(x)\ge0\), für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)\le0\). Die Umkehrung „\(f'\ge0\) bedeutet streng monoton zunehmend“ ist ohne Zusatzbedingungen nicht allgemein richtig. 2. Da \(f\) bei \(x=-1\) von strenger Zunahme zu strenger Abnahme und bei \(x=3\) wieder zu strenger Zunahme wechselt und dort differenzierbar ist, gilt \(f'(-1)=0\) und \(f'(3)=0\). 3. Graph III scheidet aus, weil seine Nullstellen nicht bei \(-1\) und \(3\) liegen. 4. Graph I ist außerhalb von \((-1;3)\) nichtnegativ und innerhalb nichtpositiv. Graph II zeigt die umgekehrten Vorzeichen. 5. Daher kann Graph I der Graph von \(f'\) sein.

Graph I kann der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) sein.

- Prüfe für jedes Intervall, ob der Graph dort seine Änderungsrichtung wechselt. - Wenn ein Graph innerhalb eines Intervalls sowohl zu- als auch abnimmt, ist er dort nicht monoton. - Wo liegen die Stellen, an denen sich die Monotonierichtung ändert?

1. Im Intervall \(I_1=[-2{,}5;-1]\) nimmt der Graph von links nach rechts durchgehend zu. Ergebnis: streng monoton zunehmend. 2. Im Intervall \(I_2=[-0{,}5;1]\) liegt bei \(x=0\) eine lokale Maximalstelle. Die Funktion nimmt zunächst zu und danach ab. Ergebnis: nicht monoton. 3. Im Intervall \(I_3=[1{,}5;3{,}5]\) nimmt der Graph von links nach rechts durchgehend ab. Ergebnis: streng monoton abnehmend.

\(I_1\): streng monoton zunehmend \(I_2\): nicht monoton \(I_3\): streng monoton abnehmend

- Bestimme in den genannten Bereichen nur die Vorzeichen der beiden Faktoren von \(f'\). - Berücksichtige das Minuszeichen vor dem Produkt. - Für die Extremstelle bei \(x=1\) ist der Vorzeichenwechsel von \(f'\) entscheidend.

1. Für \(-1<x<0\) ist \((x-1)<0\) und \((x+2)>0\); wegen des Minuszeichens gilt \(f'(x)>0\). Aussage 1 ist wahr. 2. Für \(2<x<3\) sind beide Faktoren positiv; wegen des Minuszeichens gilt \(f'(x)<0\). Aussage 2 ist falsch. 3. Unmittelbar links von \(x=1\) ist \(f'>0\), unmittelbar rechts davon \(f'<0\). Der Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ zeigt eine lokale Maximalstelle; Aussage 3 ist wahr.

1. Wahr. 2. Falsch; dort ist \(f\) streng monoton abnehmend. 3. Wahr; bei \(x=1\) liegt eine lokale Maximalstelle.

- Verfolge den Graphen im dargestellten Bereich von links nach rechts. - An welchen Stellen wechselt der Graph zwischen Zunahme und Abnahme? - Verwende diese Stellen als Grenzen der maximalen Monotonieintervalle.

1. Von \(x=-3\) bis zur lokalen Minimalstelle bei \(x=-2\) nimmt \(f\) streng monoton ab. 2. Von \(x=-2\) bis zur lokalen Maximalstelle bei \(x=0\) nimmt \(f\) streng monoton zu. 3. Von \(x=0\) bis zur lokalen Minimalstelle bei \(x=2\) nimmt \(f\) streng monoton ab. 4. Von \(x=2\) bis zum Rand bei \(x=3\) nimmt \(f\) streng monoton zu.

Streng monoton abnehmend: \([-3;-2]\) und \([0;2]\) Streng monoton zunehmend: \([-2;0]\) und \([2;3]\)

- Suche zuerst die Stellen, an denen der Graph von abnehmend zu zunehmend oder umgekehrt wechselt. - Nutze für die geforderte Genauigkeit die halben Einheiten des Rasters. - Lies anschließend nur die Bereiche ab, in denen die Funktionswerte von links nach rechts kleiner werden.

1. Am Raster erkennt man eine lokale Minimalstelle zwischen \(x=-1{,}5\) und \(x=-1\) sowie eine lokale Maximalstelle zwischen \(x=1\) und \(x=1{,}5\). 2. Auf eine halbe \(x\)-Einheit genau werden die beiden Grenzen mit \(x\approx-1{,}5\) und \(x\approx1{,}5\) abgelesen. 3. Links von der Minimalstelle und rechts von der Maximalstelle nimmt der Graph ab. 4. Im dargestellten Intervall ergeben sich daher näherungsweise die Bereiche \([-3;-1{,}5]\) und \([1{,}5;3]\).

Näherungsweise auf eine halbe \(x\)-Einheit genau: \([-3;-1{,}5]\) und \([1{,}5;3]\).

- An welchen Stellen kann sich das Vorzeichen von \(h'\) ändern? - Untersuche das Vorzeichen von \(h'\) in den drei dadurch entstehenden Bereichen. - Begründe, warum die isolierten Nullstellen von \(h'\) als Grenzen der maximalen Monotonieintervalle einbezogen werden können.

1. \(h'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Die Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=1\). 2. Für \(x<-1\) ist \(h'(x)>0\), für \(-1<x<1\) ist \(h'(x)<0\), und für \(x>1\) ist \(h'(x)>0\). 3. Daher ist \(h\) auf \(( -\infty;-1]\) und \([1;\infty)\) streng monoton zunehmend sowie auf \([-1;1]\) streng monoton abnehmend.

Streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;-1]\) und \([1;\infty)\); streng monoton abnehmend auf \([-1;1]\).

- Welche Aussage über das Vorzeichen von \(f'\) genügt, um strenge Abnahme zu zeigen? - Bestimme die Nullstellen der quadratischen Ableitungsfunktion. - Nutze die Öffnungsrichtung der Ableitungsparabel für die Vorzeichenentscheidung zwischen den Nullstellen.

1. Die erste Ableitung lautet \(f'(x)=\frac{1}{2}x^2-x-\frac{3}{2}\). 2. Es gilt \(2f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\). Daher sind \(x=-1\) und \(x=3\) die Nullstellen von \(f'\). 3. Da die Parabel \(f'\) nach oben geöffnet ist, gilt für alle \(x\in(-1;3)\) die Ungleichung \(f'(x)<0\). 4. Nach dem Monotoniesatz ist \(f\) auf \([-1;3]\) streng monoton abnehmend.

Für alle \(x\in(-1;3)\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf \([-1;3]\) streng monoton abnehmend.

- Wo befinden sich Hoch- und Tiefpunkt des Temperaturverlaufs? - Ein maximales Monotonieintervall endet dort, wo der Verlauf seine Richtung wechselt. - Lies die zugehörigen Zeitparameter an der horizontalen Achse ab.

1. Eine Hochstelle liegt bei \(x=-2\), eine Tiefstelle bei \(x=3\). 2. Der Graph steigt vom Startpunkt bis zum Hochpunkt sowie vom Tiefpunkt bis zum Endpunkt. Die Temperatur nimmt in \([-4;-2]\) und \([3;5]\) streng monoton zu. 3. Zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt fällt der Graph. Die Temperatur nimmt in \([-2;3]\) streng monoton ab.

Streng monoton zunehmend: \([-4;-2]\) und \([3;5]\) Streng monoton abnehmend: \([-2;3]\)

- An welchen Stellen ändert der Graph seine Monotonierichtung? - In welchen Abschnitten werden die Funktionswerte mit wachsendem \(x\) stets kleiner? - Berücksichtige auch die Randbereiche des dargestellten Definitionsbereichs.

1. Der Graph besitzt bei \(x=-2\) eine lokale Minimalstelle und bei \(x=4\) eine lokale Maximalstelle. 2. Vom linken Rand bis \(x=-2\) nimmt der Graph streng monoton ab. Das erste Intervall ist daher \([-4;-2]\). 3. Zwischen \(x=-2\) und \(x=4\) nimmt der Graph zu; dort liegt kein Intervall strenger Abnahme. 4. Von \(x=4\) bis zum rechten Rand nimmt der Graph wieder streng monoton ab. Das zweite Intervall ist \([4;6]\).

Die Funktion \(f\) ist auf \([-4;-2]\) und \([4;6]\) streng monoton abnehmend.

- Verfolge das Rampenprofil von links nach rechts und achte darauf, wo die Höhe zunimmt. - An welchen Extremstellen ändert sich die Monotonierichtung? - Nutze die Symmetrie des Profils als Kontrolle.

1. Der Graph besitzt lokale Minimalstellen bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie eine lokale Maximalstelle bei \(x=0\). 2. Vom linken Minimum bis zur Maximalstelle nimmt der Graph streng monoton zu, also auf \([-2;0]\). 3. Vom rechten Minimum bis zum rechten Rand nimmt der Graph erneut streng monoton zu, also auf \([2;3]\).

Streng monoton zunehmend auf \([-2;0]\) und \([2;3]\).

- Die drei Nullstellen teilen die Zahlengerade in vier Intervalle. - Bestimme in jedem Intervall nur das Vorzeichen der drei Faktoren. - Übersetze anschließend das Vorzeichen von \(f'\) in die Monotonierichtung von \(f\).

1. Die Nullstellen von \(f'\) sind \(0,1,2\). 2. Testwerte oder die Vorzeichen der drei Faktoren liefern nacheinander \(-,+,-,+\). Damit ist Folge A korrekt. 3. Also ist \(f\) auf \(( -\infty;0]\) streng monoton abnehmend, auf \([0;1]\) streng monoton zunehmend, auf \([1;2]\) streng monoton abnehmend und auf \([2;\infty)\) streng monoton zunehmend. 4. Folge B ist beispielsweise auf \((0;1)\) falsch: Dort sind \(x>0\), \(x-1<0\) und \(x-2<0\); das Produkt ist daher positiv.

Korrekt ist A: \(-,+,-,+\). Streng monoton abnehmend auf \(( -\infty;0]\) und \([1;2]\); streng monoton zunehmend auf \([0;1]\) und \([2;\infty)\).

- Lies die Vorzeichen direkt aus den beiden Faktoren von \(f'\) ab. - Ein Wechsel von positiv zu negativ bedeutet eine lokale Maximalstelle. - Ein Wechsel von negativ zu positiv bedeutet eine lokale Minimalstelle.

1. Für \(x<-1\) sind beide Faktoren negativ, also ist \(f'(x)>0\). Für \(-1<x<2\) ist \(f'(x)<0\), und für \(x>2\) ist \(f'(x)>0\). 2. Die Monotonieaussage der Schülerin ist daher korrekt: zunehmend, abnehmend, zunehmend. 3. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ; dort liegt eine lokale Maximalstelle. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; dort liegt eine lokale Minimalstelle. 4. Falsch sind also nur die beiden Punktarten.

Die Monotonieintervalle sind korrekt. Bei \(x=-1\) liegt jedoch eine lokale Maximalstelle und bei \(x=2\) eine lokale Minimalstelle.

- Wo ist \(f'\) positiv, wo ist \(f'\) negativ? - An welchen Nullstellen von \(f'\) ändert sich das Vorzeichen? - Welche Art von Extremstelle gehört jeweils zu einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus beziehungsweise von Minus nach Plus?

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen von \(f'\) bei \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=3\) ab. 2. Im dargestellten Bereich gilt \(f'(x)>0\) für \(-3{,}5\le x<-2\) und \(1<x<3\). Daher ist \(f\) auf \([-3{,}5;-2]\) und \([1;3]\) streng monoton zunehmend. 3. Es gilt \(f'(x)<0\) für \(-2<x<1\) und \(3<x\le4{,}5\). Daher ist \(f\) auf \([-2;1]\) und \([3;4{,}5]\) streng monoton abnehmend. 4. Bei \(x=-2\) und \(x=3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; dort liegen lokale Maximalstellen. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; dort liegt eine lokale Minimalstelle.

a) Streng monoton zunehmend auf \([-3{,}5;-2]\) und \([1;3]\); streng monoton abnehmend auf \([-2;1]\) und \([3;4{,}5]\). b) Lokale Maximalstellen bei \(x=-2\) und \(x=3\); lokale Minimalstelle bei \(x=1\).

- Bestimme zunächst die Nullstellen von \(h'\). - Untersuche das Vorzeichen von \(h'\) in jedem dadurch entstehenden Intervall. - Übersetze die Vorzeichen von \(h'\) in die zugehörigen Richtungen strenger Monotonie. - Kontrolliere abschließend, ob die Vorzeichen an allen drei Bereichen mit deiner Intervallangabe übereinstimmen.

1. \(h'(x)=-3x^2+9x-6=-3(x-1)(x-2)\). Die Nullstellen sind \(x=1\) und \(x=2\). 2. Für \(x<1\) ist \(h'(x)<0\), für \(1<x<2\) ist \(h'(x)>0\), für \(x>2\) ist \(h'(x)<0\). 3. Daher ist \(h\) auf \(( -\infty;1]\) streng monoton abnehmend, auf \([1;2]\) streng monoton zunehmend und auf \([2;\infty)\) streng monoton abnehmend.

Streng monoton zunehmend auf \([1;2]\); streng monoton abnehmend auf \(( -\infty;1]\) und \([2;\infty)\).

- Die drei Nullstellen von \(h'\) zerlegen den betrachteten Bereich in vier Teilintervalle. - Bestimme in jedem Teilintervall das Vorzeichen der drei Faktoren. - Strenge Abnahme gehört zu den Intervallen, in denen \(h'<0\) gilt.

1. Die Nullstellen von \(h'\) sind \(x=-4,1,5\). 2. Für \(-6<x<-4\) ist das Produkt negativ; für \(-4<x<1\) positiv; für \(1<x<5\) negativ; für \(5<x<7\) positiv. 3. Strenge Abnahme liegt genau in den Bereichen mit \(h'(x)<0\) vor. Daher ist \(h\) auf \([-6;-4]\) und \([1;5]\) streng monoton abnehmend.

Streng monoton abnehmend auf \([-6;-4]\) und \([1;5]\).

- An welchen Stellen ändert der Graph seine Monotonierichtung? - Teile den dargestellten Bereich an diesen Stellen in Abschnitte.

1. Der Graph besitzt einen Hochpunkt bei \(H(-2|4)\) und einen Tiefpunkt bei \(T(2|-4)\). 2. Von \(x=-4\) bis \(x=-2\) nimmt der Graph streng monoton zu. 3. Von \(x=-2\) bis \(x=2\) nimmt er streng monoton ab. 4. Von \(x=2\) bis \(x=4\) nimmt er wieder streng monoton zu.

Streng monoton zunehmend auf \([-4;-2]\) und \([2;4]\); streng monoton abnehmend auf \([-2;2]\).

- Lies die \(x\)-Werte der Hoch- und Tiefpunkte ab. - Welche Monotonierichtung hat der Graph in jedem dadurch entstehenden Abschnitt?

1. Der Graph nimmt zunächst bis zum Tiefpunkt \(T(0|0)\) ab. 2. Vom Tiefpunkt \(T(0|0)\) bis zum Hochpunkt \(H(2|4)\) nimmt der Graph zu. 3. Ab dem Hochpunkt \(H(2|4)\) nimmt der Graph bis zum Rand bei \(x=3\) wieder ab. 4. Damit ist \(f\) auf \([-1;0]\) und \([2;3]\) streng monoton abnehmend sowie auf \([0;2]\) streng monoton zunehmend.

Streng monoton abnehmend auf \([-1;0]\) und \([2;3]\); streng monoton zunehmend auf \([0;2]\).

- Verfolge den Graphen von links nach rechts und achte darauf, an welchen Stellen er seine Bewegungsrichtung ändert. - Die Extremstellen teilen den dargestellten Bereich in die gesuchten Monotonieintervalle.

1. Der Graph besitzt im dargestellten Bereich eine lokale Minimalstelle bei \(x=-1\) und eine lokale Maximalstelle bei \(x=1\). 2. Von \(x=-2\) bis \(x=-1\) fällt der Graph streng, von \(x=-1\) bis \(x=1\) steigt er streng und von \(x=1\) bis \(x=2\) fällt er wieder streng. 3. Daher ist \(f\) auf \([-2;-1]\) und \([1;2]\) streng monoton abnehmend sowie auf \([-1;1]\) streng monoton zunehmend.

Streng monoton abnehmend auf \([-2;-1]\) und \([1;2]\); streng monoton zunehmend auf \([-1;1]\).

- Achte auf die Stellen, an denen der Graph seine Richtung ändert (Hoch- und Tiefpunkte). - Überlege dir, was „streng monoton zunehmend“ und „streng monoton abnehmend“ für den Verlauf der Kurve von links nach rechts bedeutet. - Die Grenzen der Intervalle sind genau die x-Werte der Extrempunkte.

1. Der Graph besitzt bei \(x=-1\) ein lokales Minimum und bei \(x=3\) ein lokales Maximum. 2. Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-3;-1]\) streng monoton abnehmend, auf \([-1;3]\) streng monoton zunehmend und auf \([3;5]\) wieder streng monoton abnehmend.

Streng monoton zunehmend auf \([-1;3]\); streng monoton abnehmend auf \([-3;-1]\) und \([3;5]\).

- In welchen Bereichen steigt der Graph von links nach rechts an? - In welchen Bereichen fällt er?

1. Der Graph besitzt lokale Maxima bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie ein lokales Minimum bei \(x=0\). 2. Im dargestellten Bereich ist \(g\) auf \([-4;-2]\) und \([0;2]\) streng monoton zunehmend. 3. Auf \([-2;0]\) und \([2;4]\) ist \(g\) streng monoton abnehmend.

Streng monoton zunehmend auf \([-4;-2]\) und \([0;2]\); streng monoton abnehmend auf \([-2;0]\) und \([2;4]\).

- Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Steigung einer Funktion an jedem Punkt zu bestimmen? - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über das Steigungsverhalten der Funktion aus? - Wie kannst du die Nullstellen der Ableitung nutzen, um den Definitionsbereich in Intervalle zu unterteilen?

1. \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\). Die Nullstellen sind \(x=1\) und \(x=3\). 2. Für \(x<1\) gilt \(f'(x)>0\), für \(1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\), für \(x>3\) gilt wieder \(f'(x)>0\). 3. Somit ist \(f\) auf \(( -\infty;1]\) streng monoton zunehmend, auf \([1;3]\) streng monoton abnehmend und auf \([3;\infty)\) streng monoton zunehmend.

Streng monoton abnehmend auf \([1;3]\); streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;1]\) und \([3;\infty)\).

- In welchen Bereichen ist \(f'\) negativ? - An welchen Nullstellen von \(f'\) ändert sich das Vorzeichen? - Welche Art von Extremstelle gehört jeweils zur Richtung des Vorzeichenwechsels?

1. Für \(-4<x<-2\) und \(1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf \([-4;-2]\) und \([1;3]\) streng monoton abnehmend. 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=3\). 3. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; dort liegt eine lokale Minimalstelle. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; dort liegt eine lokale Maximalstelle. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; dort liegt eine lokale Minimalstelle.

a) Streng monoton abnehmend auf \([-4;-2]\) und \([1;3]\). b) Lokale Minimalstellen bei \(x=-2\) und \(x=3\); lokale Maximalstelle bei \(x=1\).

- In welchen Bereichen liegt der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse? - In welchen Bereichen liegt er darunter? - Nutze die Nullstellen von \(f'\) als Intervallgrenzen.

1. Aus dem Graphen liest man \(f'(x)>0\) für \(-2<x<3\) ab. Daher ist \(f\) auf \([-2;3]\) streng monoton zunehmend. 2. Für \(-4\le x<-2\) sowie \(3<x\le6\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf \([-4;-2]\) und \([3;6]\) streng monoton abnehmend.

Streng monoton zunehmend auf \([-2;3]\); streng monoton abnehmend auf \([-4;-2]\) und \([3;6]\).

- Was gibt die erste Ableitung \(f'(x)\) anschaulich für den Verlauf des Graphen an? - Schau dir an, wo der Graph der Funktion steigt und wo er fällt. - Gibt es einen besonderen Punkt, an dem sich dieses Verhalten ändert?

1. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(2 \mid -1)\). 2. Rechts vom Scheitelpunkt steigt der Graph; dort ist die Steigung positiv. Im dargestellten Bereich gilt daher \(f'(x)>0\) für \(2<x\le 6\).

Im dargestellten Bereich ist \(f'(x)>0\) für \(x\in(2;6]\).

- Stell dir vor, du fährst mit einem Fahrrad den Graphen von links nach rechts ab. Wo geht es bergauf und wo bergab? - Die Stellen, an denen der Graph seine Richtung ändert (Hoch- und Tiefpunkte), markieren den Übergang zwischen den Intervallen. - Achte darauf, die Intervalle als Bereiche auf der waagrechten Zeitachse anzugeben. - „Streng monoton zunehmend“ bedeutet, dass der Graph in diesem Bereich ausschließlich steigt.

1. Identifikation der lokalen Extrempunkte: Der Graph weist bei \(t = 2\) einen Hochpunkt und bei \(t = 6\) einen Tiefpunkt auf. 2. Bestimmung der Intervalle mit positiver Steigung (streng monoton zunehmend): Im Bereich von \(t = 0\) bis \(t = 2\) steigt der Graph an. Ebenso steigt er im Bereich von \(t = 6\) bis \(t = 8\) an. Somit ist die Funktion in den Intervallen \([0; 2]\) und \([6; 8]\) streng monoton zunehmend. 3. Bestimmung der Intervalle mit negativer Steigung (streng monoton abnehmend): Zwischen dem Hochpunkt bei \(t = 2\) und dem Tiefpunkt bei \(t = 6\) fällt der Graph ab. Somit ist die Funktion im Intervall \([2; 6]\) streng monoton abnehmend.

Die Geschwindigkeit ist im Zeitintervall \([0; 2]\) und im Intervall \([6; 8]\) streng monoton zunehmend. Im Intervall \([2; 6]\) ist sie streng monoton abnehmend.

- Betrachte den Graphen abschnittsweise von links nach rechts. - In welchem Abschnitt bleiben alle Funktionswerte gleich? - Lies die Übergangsstellen an der \(x\)-Achse ab.

1. Von \(x=0\) bis \(x=3\) nimmt der Graph geradlinig zu. Daher ist \(g\) auf \([0;3]\) streng monoton zunehmend. 2. Von \(x=3\) bis \(x=7\) verläuft der Graph waagerecht bei \(y=8\). Daher ist \(g\) auf \([3;7]\) konstant. 3. Von \(x=7\) bis \(x=10\) nimmt der Graph ab. Daher ist \(g\) auf \([7;10]\) streng monoton abnehmend.

Streng monoton zunehmend auf \([0;3]\); konstant auf \([3;7]\); streng monoton abnehmend auf \([7;10]\).

- Faktorisiere \(x^2-1\), um die möglichen Intervallgrenzen zu erkennen. - Bestimme das Vorzeichen von \(f'\) in den drei Teilintervallen. - Strenge Zunahme liegt dort vor, wo \(f'(x)>0\) gilt.

1. \(f'(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)\) hat die Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\). 2. Für \(-3<x<-1\) und \(1<x<3\) ist \(f'(x)>0\); für \(-1<x<1\) ist \(f'(x)<0\). 3. Daher ist \(f\) auf \([-3;-1]\) und \([1;3]\) streng monoton zunehmend.

Streng monoton zunehmend auf \([-3;-1]\) und \([1;3]\).

- Vergleiche für jede Funktion das Vorzeichen ihrer Ableitung im ganzen Intervall. - Bei welcher der drei Ableitungen kannst du direkt erkennen, dass sie auf \([0;2]\) überall positiv ist? - Ein Vorzeichenwechsel einer Ableitung innerhalb des Intervalls schließt strenge Monotonie in nur einer Richtung auf dem gesamten Intervall aus.

1. Der Graph von \(f'\) schneidet bei \(x=1\) die \(x\)-Achse und wechselt von negativen zu positiven Werten. Daher ist \(f\) nicht auf dem gesamten Intervall streng monoton zunehmend. 2. Der Graph von \(g'\) liegt auf dem gesamten Intervall \([0;2]\) oberhalb der \(x\)-Achse. Somit gilt dort \(g'(x)>0\), also ist \(g\) streng monoton zunehmend. 3. Für \(x>0\) liegt der Graph von \(h'\) unterhalb der \(x\)-Achse. Daher nimmt \(h\) dort ab. 4. Nur \(g\) erfüllt die geforderte Eigenschaft.

Nur \(g\) ist auf \([0;2]\) streng monoton zunehmend.

- Prüfe das Vorzeichen jeder Ableitungsfunktion im gesamten Intervall. - Welche Vorzeichenbedingung genügt für strenge Abnahme? - Achte bei einem Achsenschnitt darauf, ob sich das Vorzeichen ändert.

1. Für strenge Abnahme muss die Ableitung im Inneren des betrachteten Intervalls negativ sein. 2. Der Graph von \(f'\) liegt zwischen \(x=-1\) und \(x=1\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) dort streng monoton abnehmend. 3. Der Graph von \(g'\) liegt im gesamten Intervall oberhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(g\) dort streng monoton zunehmend. 4. Der Graph von \(h'\) wechselt am Ursprung von negativen zu positiven Werten. Daher nimmt \(h\) zunächst ab und danach zu. 5. Nur \(f\) ist auf dem gesamten Intervall streng monoton abnehmend.

Die Funktion \(f\) ist im Intervall \([-1;1]\) streng monoton abnehmend.

- Welche Nullstellen hat \(g'\)? - Untersuche das Vorzeichen jedes Faktors links und rechts dieser Stellen.

1. Die Nullstellen sind \(x=-2\) und \(x=1\). Bei \(x=1\) liegt wegen des Quadrats eine doppelte Nullstelle vor. 2. Für \(x<-2\) ist \(g'(x)<0\). Für \(-2<x<1\) und für \(x>1\) ist \(g'(x)>0\). 3. An \(x=1\) wechselt das Vorzeichen nicht. Die Funktion steigt daher trotz \(g'(1)=0\) auf dem gesamten Intervall \([-2;\infty)\) streng.

<table><tr><th>Bereich</th><th>\(x<-2\)</th><th>\(x=-2\)</th><th>\(-2<x<1\)</th><th>\(x=1\)</th><th>\(x>1\)</th></tr><tr><td>Vorzeichen von \(g'\)</td><td>−</td><td>0</td><td>+</td><td>0</td><td>+</td></tr></table> \(x=1\) teilt das steigende Intervall nicht, weil \(g'\) dort das Vorzeichen nicht wechselt. \(g\) ist auf \([-2;\infty)\) streng steigend.

- Wie hängen das Vorzeichen der Ableitung und das Monotonieverhalten zusammen? - Kannst du den Term der Ableitung so umformen, dass man sein Vorzeichen sofort erkennt? - Was bedeutet es für die strenge Monotonie, wenn die Ableitung nur an einem einzigen Punkt Null wird?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(g'(x) = -x^2 + 2x - 1\). 2. Umformung der Ableitung (z. B. durch Ausklammern von \(-1\) und Anwendung der binomischen Formel): \(g'(x) = -(x^2 - 2x + 1) = -(x - 1)^2\). 3. Analyse des Vorzeichens: Da Quadratzahlen immer nicht-negativ sind, ist \((x - 1)^2 \ge 0\). Das negative Vorzeichen davor bewirkt, dass \(g'(x) \le 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt. 4. Prüfung auf strenge Monotonie: Die Ableitung wird nur an der isolierten Stelle \(x = 1\) Null (\(g'(1) = 0\)). Da \(g'(x) \le 0\) gilt und die Ableitung auf keinem Intervall identisch null ist, ist die Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton abnehmend.

Ja, die Funktion ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton abnehmend. Die erste Ableitung \(g'(x) = -(x - 1)^2\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) kleiner oder gleich Null und besitzt nur eine isolierte Nullstelle bei \(x = 1\).

- Bestimme zuerst die Nullstellen von \(f'\). - In welchem Bereich ist \(f'\) positiv? - Prüfe, ob die Nullstellen von \(f'\) als Randpunkte des maximalen Intervalls eingeschlossen werden können.

1. Es gilt \(f'(x)=-3x^2+12x+15=-3(x-5)(x+1)\). 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-1\) und \(x=5\). 3. Da \(f'\) zwischen diesen Nullstellen positiv und außerhalb negativ ist, nimmt \(f\) auf \([-1;5]\) streng monoton zu. 4. Die Randpunkte können eingeschlossen werden, obwohl dort \(f'=0\) gilt; im Inneren ist \(f'(x)>0\).

\([-1;5]\)

- Faktorisiere \(f'\), um Nullstellen und Vorzeichen leicht zu erkennen. - Eine isolierte Nullstelle von \(f'\) macht ein ganzes Intervall nicht automatisch zunehmend. - Suche das größtmögliche zusammenhängende Intervall, auf dessen Innerem die Ableitung positiv ist.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=x^3-2x^2=x^2(x-2)\). Ihre Nullstellen sind \(x=0\) (doppelt) und \(x=2\). 2. Für \(x<2\) ist \(x-2<0\), während \(x^2\ge0\). Daher gilt \(f'(x)<0\) für alle \(x<2\) außer an der isolierten Stelle \(x=0\), an der \(f'(0)=0\). 3. Für \(x>2\) gilt \(f'(x)>0\), und bei \(x=2\) ist \(f'(2)=0\). Somit ist \(f\) auf \([2;\infty)\) streng monoton zunehmend.

\([2;\infty)\)

- Untersuche das Vorzeichen von \(f'\) in den durch ihre Nullstellen getrennten Bereichen. - Welche zweite Ableitung klassifiziert die beiden stationären Stellen? - Setze die Stellen anschließend in \(f\) ein, um die Punktkoordinaten zu erhalten.

1. Es gilt \(f'(x)=2x^2-2x-12=2(x-3)(x+2)\). Die stationären Stellen sind \(x=-2\) und \(x=3\). 2. Für \(x<-2\) und \(x>3\) gilt \(f'(x)>0\), für \(-2<x<3\) gilt \(f'(x)<0\). Daher nimmt \(f\) auf \(( -\infty;-2]\) und \([3;\infty)\) streng monoton zu und auf \([-2;3]\) streng monoton ab. 3. Mit \(f''(x)=4x-2\) gilt \(f''(-2)=-10<0\), also liegt bei \(x=-2\) ein Hochpunkt vor. Weiter ist \(f''(3)=10>0\), also liegt bei \(x=3\) ein Tiefpunkt vor. 4. Die Funktionswerte sind \(f(-2)=\frac{56}{3}\) und \(f(3)=-23\). Somit ist \(H\left(-2\mid\frac{56}{3}\right)\) und \(T(3|-23)\).

a) Streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;-2]\) und \([3;\infty)\); streng monoton abnehmend auf \([-2;3]\). b) \(H\left(-2\mid\frac{56}{3}\right)\), \(T(3|-23)\).

- Forme \(f'\) so um, dass ihr Vorzeichen unmittelbar erkennbar ist. - Eine isolierte Stelle mit \(f'(x)=0\) zerstört strenge Monotonie nicht automatisch. - Vergleiche das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts der Nullstelle.

1. Die erste Ableitung lautet \(f'(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2\). 2. Daher gilt \(f'(x)\ge0\) für alle \(x\), und nur bei \(x=-2\) ist \(f'(x)=0\). 3. Auf beiden Seiten von \(-2\) ist \(f'(x)>0\). Die isolierte Nullstelle ändert die Monotonierichtung nicht. Somit ist \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend.

\(f\) ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend.

- Welche Ableitung bestimmt das Monotonieverhalten? - Wo kann sich das Monotonieverhalten ändern? - Untersuche das Vorzeichen von \(f'\) zwischen den Nullstellen. - Setze die bestätigten Extremstellen in \(f\) ein.

1. Es gilt \(f'(x)=-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3)\). Die Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=3\). 2. Für \(x<-1\) und \(x>3\) gilt \(f'(x)<0\), für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) auf \(( -\infty;-1]\) und \([3;\infty)\) streng monoton abnehmend sowie auf \([-1;3]\) streng monoton zunehmend. 3. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; mit \(f(-1)=-\frac{8}{3}\) folgt \(T(-1\mid-\frac{8}{3})\). Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; mit \(f(3)=8\) folgt \(H(3\mid8)\).

Streng monoton zunehmend auf \([-1;3]\). Streng monoton abnehmend auf \(( -\infty;-1]\) und \([3;\infty)\). Extrempunkte: \(T(-1\mid-\frac{8}{3})\) und \(H(3\mid8)\).

- Forme \(g'\) mithilfe einer binomischen Formel um. - Prüfe, ob die isolierte Nullstelle von \(g'\) die Monotonierichtung ändert. - Wenn keine Extremstelle vorliegt, untersuche zusätzlich \(g''\) und \(g'''\) auf einen Wendepunkt.

1. Es gilt \(g'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\). 2. Daher ist \(g'(x)\ge0\) für alle \(x\) und nur bei \(x=1\) gleich null. Auf beiden Seiten von \(x=1\) ist \(g'(x)>0\). Somit nimmt \(g\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton zu. 3. Die waagerechte Tangente liegt bei \(x=1\). Da \(g'\) dort keinen Vorzeichenwechsel besitzt, liegt keine lokale Extremstelle vor. 4. Es gilt \(g''(x)=6x-6\), also \(g''(1)=0\), und \(g'''(x)=6\neq0\). Daher liegt bei \(x=1\) eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also ein Terrassenpunkt, vor. 5. Mit \(g(1)=3\) ist der Terrassenpunkt \(S(1|3)\).

a) \(g\) ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend. b) Waagerechte Tangente bei \(x=1\); keine Extremstelle, sondern Terrassenpunkt \(S(1|3)\).

- Überlege zuerst, welche Verschiebungen und Streckungen du direkt am Funktionsterm erkennen kannst. - Kannst du den Funktionsterm vor dem Ableiten in eine Summe von Potenzen umformen? - Für die Monotonie ist entscheidend, welches Vorzeichen \(f'\) links und rechts von seiner Nullstelle besitzt.

1. Der Graph von \(f\) entsteht aus \(g(x)=x^4\) durch eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach links, eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) und eine Verschiebung um \(8\) Einheiten nach unten. 2. Ausmultipliziert ist \(f(x)=2x^4+8x^3+12x^2+8x-6\). Daher gilt \(f'(x)=8x^3+24x^2+24x+8=8(x+1)^3\). 3. Die einzige Nullstelle von \(f'\) liegt bei \(x=-1\). Für \(x<-1\) gilt \(f'(x)<0\), für \(x>-1\) gilt \(f'(x)>0\). 4. Somit nimmt \(f\) auf \(( -\infty;-1]\) streng monoton ab und auf \([-1;\infty)\) streng monoton zu.

1. Verschiebung um \(1\) nach links, Streckung mit Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung, Verschiebung um \(8\) nach unten. 2. Streng monoton abnehmend auf \(( -\infty;-1]\); streng monoton zunehmend auf \([-1;\infty)\).

- Welche Wirkung haben Verschiebung, negativer Vorfaktor und vertikale Verschiebung auf den Grundgraphen? - Kannst du den Funktionsterm vor dem Ableiten als Polynom in \(x\) schreiben? - Prüfe, ob das Vorzeichen von \(f'\) an seiner einzigen Nullstelle tatsächlich wechselt.

1. Der Graph von \(g(x)=x^3\) wird um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Anschließend erfolgt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse zusammen mit einer Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\). Zuletzt wird der Graph um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. 2. Ausmultipliziert ist \(f(x)=-\frac{1}{4}x^3+\frac{3}{2}x^2-3x+5\). Daher gilt \(f'(x)=-\frac{3}{4}x^2+3x-3=-\frac{3}{4}(x-2)^2\). 3. Somit gilt \(f'(x)\le0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\), und nur bei \(x=2\) ist \(f'(x)=0\). Auf beiden Seiten dieser isolierten Nullstelle gilt \(f'(x)<0\). 4. Daher ist \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton abnehmend.

1. Verschiebung um \(2\) nach rechts, Spiegelung an der \(x\)-Achse und Stauchung mit Faktor \(0{,}25\), Verschiebung um \(3\) nach oben. 2. \(f\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton abnehmend.

- Welche Ableitung beschreibt die Steigung von \(g\)? - Bestimme die Nullstellen von \(g'\) und nutze sie als Grenzen für eine Vorzeichenuntersuchung. - Was bedeutet ein positives bzw. negatives Vorzeichen von \(g'\) für die Monotonie von \(g\)?

1. Die erste Ableitung lautet \(g'(x)=x^3-3x^2-4x+12\). 2. Durch Faktorisieren erhält man \(g'(x)=(x-2)(x-3)(x+2)\). Die Nullstellen sind \(x=-2\), \(x=2\) und \(x=3\). 3. Für \(x<-2\) gilt \(g'(x)<0\), für \(-2<x<2\) gilt \(g'(x)>0\), für \(2<x<3\) gilt \(g'(x)<0\) und für \(x>3\) gilt \(g'(x)>0\). 4. Daher nimmt \(g\) auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;3]\) streng monoton ab sowie auf \([-2;2]\) und \([3;\infty)\) streng monoton zu.

Streng monoton abnehmend auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;3]\); streng monoton zunehmend auf \([-2;2]\) und \([3;\infty)\).

- Bestimme die Nullstellen von \(f'\). - Prüfe das Vorzeichen von \(f'\) zwischen den Nullstellen. - Für strenge Monotonie ist das Vorzeichen im Inneren des jeweiligen Intervalls entscheidend.

1. Es gilt \(f'(x)=-\frac{1}{2}x(x^2-4)=-\frac{1}{2}x(x-2)(x+2)\). Die Nullstellen sind \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Für \(x<-2\) gilt \(f'(x)>0\), für \(-2<x<0\) gilt \(f'(x)<0\), für \(0<x<2\) gilt \(f'(x)>0\) und für \(x>2\) gilt \(f'(x)<0\). 3. Somit nimmt \(f\) auf \(( -\infty;-2]\) und \([0;2]\) streng monoton zu sowie auf \([-2;0]\) und \([2;\infty)\) streng monoton ab. Entscheidend ist, dass \(f'\) in den jeweiligen Intervallinneren strikt positiv bzw. strikt negativ ist; die Nullstellen können als Randpunkte eingeschlossen werden.

Streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;-2]\) und \([0;2]\); streng monoton abnehmend auf \([-2;0]\) und \([2;\infty)\).

- Untersuche zuerst die Nullstellen und ihre Vielfachheiten in \(f'\). - Welche Auswirkung hat eine doppelte Nullstelle auf das Vorzeichen von \(f'\)? - Eine isolierte Nullstelle von \(f'\) muss ein Intervall strenger Monotonie nicht unterbrechen.

1. Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=2\), wobei \(x=1\) eine doppelte Nullstelle ist. 2. Für \(x<-2\) gilt \(f'(x)>0\), für \(-2<x<1\) gilt \(f'(x)<0\), für \(1<x<2\) gilt ebenfalls \(f'(x)<0\) und für \(x>2\) gilt \(f'(x)>0\). 3. An der doppelten Nullstelle \(x=1\) wechselt \(f'\) sein Vorzeichen nicht. Deshalb bleibt \(f\) über diese Stelle hinweg auf dem gesamten Intervall \([-2;2]\) streng monoton abnehmend. 4. Auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;\infty)\) ist \(f\) streng monoton zunehmend.

Streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;\infty)\); streng monoton abnehmend auf \([-2;2]\).

- Bestimme die Nullstellen von \(f'\) und untersuche ihr Vorzeichen in den entstehenden Intervallen. - Welche Vorzeichenwechsel von \(f'\) kennzeichnen Hoch- und Tiefpunkte? - Setze die beiden stationären Stellen anschließend in \(f\) ein.

1. Es gilt \(f'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\). Die stationären Stellen sind \(x=-1\) und \(x=3\). 2. Für \(x<-1\) gilt \(f'(x)>0\), für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\) und für \(x>3\) gilt \(f'(x)>0\). Daher nimmt \(f\) auf \(( -\infty;-1]\) und \([3;\infty)\) streng monoton zu und auf \([-1;3]\) streng monoton ab. 3. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt ein Hochpunkt vor. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt ein Tiefpunkt vor. 4. Es gilt \(f(-1)=\frac{20}{3}\) und \(f(3)=-4\). Somit sind die Extrempunkte \(H\left(-1\mid\frac{20}{3}\right)\) und \(T(3|-4)\).

Streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;-1]\) und \([3;\infty)\); streng monoton abnehmend auf \([-1;3]\). Hochpunkt: \(H\left(-1\mid\frac{20}{3}\right)\) Tiefpunkt: \(T(3|-4)\)

- Bestimme die Nullstellen von \(f'\). - Untersuche das Vorzeichen von \(f'\) in den vier entstehenden Bereichen. - Welche Vorzeichenwechsel von \(f'\) kennzeichnen Hoch- bzw. Tiefpunkte?

1. Es gilt \(f'(x)=-4x^3+16x=-4x(x-2)(x+2)\). Die stationären Stellen sind \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Für \(x<-2\) gilt \(f'(x)>0\), für \(-2<x<0\) gilt \(f'(x)<0\), für \(0<x<2\) gilt \(f'(x)>0\) und für \(x>2\) gilt \(f'(x)<0\). 3. Daher nimmt \(f\) auf \(( -\infty;-2]\) und \([0;2]\) streng monoton zu und auf \([-2;0]\) und \([2;\infty)\) streng monoton ab. 4. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ; dort liegen Hochpunkte. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; dort liegt ein Tiefpunkt. 5. Es gilt \(f(-2)=16\), \(f(0)=0\) und \(f(2)=16\). Somit sind die Extrempunkte \(H_1(-2|16)\), \(T(0|0)\) und \(H_2(2|16)\).

Streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;-2]\) und \([0;2]\); streng monoton abnehmend auf \([-2;0]\) und \([2;\infty)\). Hochpunkte: \(H_1(-2|16)\), \(H_2(2|16)\) Tiefpunkt: \(T(0|0)\)

- Bestimme die Nullstellen von \(P'\) im vorgegebenen Intervall. - Untersuche das Vorzeichen von \(P'\) zwischen diesen Stellen. - Wie kannst du aus dem Wechsel von Zunahme zu Abnahme das globale Maximum auf dem Intervall erkennen?

1. Es gilt \(P'(x)=-6x^2+48x=-6x(x-8)\). Im Intervall \([0;12]\) sind \(x=0\) und \(x=8\) die Nullstellen von \(P'\). 2. Für \(0<x<8\) gilt \(P'(x)>0\), für \(8<x<12\) gilt \(P'(x)<0\). Daher nimmt \(P\) auf \([0;8]\) streng monoton zu und auf \([8;12]\) streng monoton ab. 3. Bei \(x=8\) wechselt \(P'\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein lokales Maximum vor. 4. Da \(P\) auf \([0;8]\) zunimmt und auf \([8;12]\) abnimmt, ist dieses Maximum zugleich das globale Maximum auf \([0;12]\). Es wird bei \(x=8\), also bei \(8000\) Umdrehungen pro Minute, erreicht.

Streng monoton zunehmend auf \([0;8]\), streng monoton abnehmend auf \([8;12]\). Die maximale Leistung wird bei \(8000\) Umdrehungen pro Minute erreicht.

- Betrachte den Graphen von links nach rechts und markiere die Stellen, an denen sich die Monotonierichtung ändert. - Bestimme für den rechnerischen Nachweis die Nullstellen von \(f'\). - Welches Vorzeichen besitzt \(f'\) zwischen den beiden Nullstellen?

1. Aus dem Graphen liest man eine lokale Minimalstelle bei \(x=-1\) und eine lokale Maximalstelle bei \(x=2\) ab. Daher nimmt \(f\) auf \([-3;-1]\) und \([2;4]\) streng monoton ab sowie auf \([-1;2]\) streng monoton zu. 2. Es gilt \(f'(x)=-x^2+x+2=-(x-2)(x+1)\). Die Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=2\). 3. Für alle \(x\in(-1;2)\) gilt \(f'(x)>0\). Daher nimmt \(f\) auf \([-1;2]\) streng monoton zu.

a) Streng monoton zunehmend auf \([-1;2]\); streng monoton abnehmend auf \([-3;-1]\) und \([2;4]\). b) \(f'(x)=-x^2+x+2\) ist für alle \(x\in(-1;2)\) positiv; daher ist \(f\) auf \([-1;2]\) streng monoton zunehmend.

- Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel entsprechen Extremstellen von \(f\). - Das Vorzeichen von \(f'\) bestimmt die Monotonierichtung von \(f\). - Nutze die Monotonie auf \([1;3]\), um \(f(2)\) und \(f(3)\) zu vergleichen.

1. Der Graph von \(f'\) hat bei \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=3\) einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. Daher besitzt \(f\) genau drei Extremstellen. Aussage a) ist wahr. 2. Für \(1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\); an den Randpunkten ist \(f'=0\). Daher nimmt \(f\) auf \([1;3]\) streng monoton ab. Aussage b) ist wahr. 3. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort eine lokale Maximalstelle und keine lokale Minimalstelle vor. Aussage c) ist falsch. 4. Wegen der strengen Abnahme auf \([1;3]\) gilt \(f(2)>f(3)\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr. b) Wahr. c) Falsch; bei \(x=1\) liegt eine lokale Maximalstelle vor. d) Falsch; es gilt \(f(2)>f(3)\).

- Das Vorzeichen von \(f'\) bestimmt das Monotonieverhalten von \(f\). - Achte an den Nullstellen von \(f'\) auf die Richtung des Vorzeichenwechsels. - Ein Terrassenpunkt besitzt eine waagerechte Tangente, ist aber keine Extremstelle; dafür braucht es zusätzlich einen Krümmungswechsel.

1. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher liegt dort eine lokale Minimalstelle vor. Aussage a) ist wahr. 2. Für \(1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\). Daher nimmt \(f\) dort streng monoton ab. Aussage b) ist wahr. 3. Für \(0<x<1\) gilt \(f'(x)>0\). Daher nimmt \(f\) auf \([0;1]\) streng monoton zu und es gilt \(f(0)<f(1)\). Aussage c) ist falsch. 4. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort eine lokale Maximalstelle und kein Terrassenpunkt vor. Aussage d) ist falsch.

a) Wahr. b) Wahr. c) Falsch; es gilt \(f(0)<f(1)\). d) Falsch; bei \(x=1\) liegt eine lokale Maximalstelle vor.

- Bestimme die Nullstellen von \(f'\) und untersuche ihr Vorzeichen in den Zwischenräumen. - Welches Vorzeichen von \(f'\) entspricht Zunahme, welches Abnahme? - Warum kann ein sehr kurzer abnehmender Abschnitt im dargestellten Maßstab kaum sichtbar sein?

1. Es gilt \(f'(x)=-x^3+4{,}2x^2-0{,}8x=-x(x-0{,}2)(x-4)\). Die Nullstellen sind \(x=0\), \(x=0{,}2\) und \(x=4\). 2. Für \(x<0\) und \(0{,}2<x<4\) gilt \(f'(x)>0\); für \(0<x<0{,}2\) und \(x>4\) gilt \(f'(x)<0\). 3. Daher nimmt \(f\) auf \(( -\infty;0]\) und \([0{,}2;4]\) streng monoton zu sowie auf \([0;0{,}2]\) und \([4;\infty)\) streng monoton ab. 4. Die Vermutung aus a) ist falsch. Der abnehmende Abschnitt \([0;0{,}2]\) ist sehr kurz; zudem gilt \(f(0)=0\) und \(f(0{,}2)=-0{,}0052\). Dieser geringe Unterschied ist im dargestellten Maßstab kaum sichtbar.

a) Die Vermutung ist optisch naheliegend, weil der abnehmende Abschnitt \([0;0{,}2]\) sehr kurz ist und sich die Funktionswerte dort nur gering ändern. b) \(f'(x)=-x^3+4{,}2x^2-0{,}8x\) hat die Nullstellen \(0\), \(0{,}2\) und \(4\). Streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;0]\) und \([0{,}2;4]\); streng monoton abnehmend auf \([0;0{,}2]\) und \([4;\infty)\). Die Vermutung ist falsch.

- Bestimme die Nullstellen von \(f'\). - Untersuche das Vorzeichen von \(f'\) in den drei entstehenden Bereichen. - Vergleiche die rechnerischen Monotoniegrenzen mit den Richtungswechseln im Bild.

1. Es gilt \(f'(x)=-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3)\). Die Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=3\). 2. Für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)>0\), für \(x<-1\) und \(x>3\) gilt \(f'(x)<0\). 3. Daher nimmt \(f\) auf \([-1;3]\) streng monoton zu und auf \(( -\infty;-1]\) sowie \([3;\infty)\) streng monoton ab. 4. Der abgebildete Graph wechselt seine Monotonierichtung dagegen bei \(x=-2\) und \(x=2\): Er nimmt zwischen diesen Stellen zu und außerhalb ab. 5. Die Monotonieintervalle stimmen nicht überein. Jonas' Vermutung ist daher falsch.

Jonas' Vermutung ist falsch. \(f\) ist auf \([-1;3]\) streng monoton zunehmend und auf \(( -\infty;-1]\) sowie \([3;\infty)\) streng monoton abnehmend. Der abgebildete Graph wechselt seine Monotonierichtung dagegen bei \(x=-2\) und \(x=2\).

- Vergleiche die Extremstellen eines Kandidaten mit den Nullstellen des anderen. - Wo liegt der Ableitungsgraph unterhalb der \(x\)-Achse? - Welcher Funktionswert des Ableitungsgraphen entspricht der Tangentensteigung bei \(x=0\)?

1. Abbildung 1 zeigt \(f\), Abbildung 2 zeigt \(f'\): Für \(x<-1\) nimmt der Graph in Abbildung 1 zu und der Graph in Abbildung 2 liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Für \(-1<x<3\) nimmt Abbildung 1 ab und Abbildung 2 ist negativ. Für \(x>3\) nimmt Abbildung 1 wieder zu und Abbildung 2 ist positiv. Außerdem stimmen die Extremstellen bei \(x=-1\) und \(x=3\) mit den Nullstellen der Ableitung überein. 2. \(f\) nimmt auf \([-1;3]\) streng monoton ab. Im Intervallinneren gilt \(f'(x)<0\); an den Randstellen gilt \(f'(x)=0\). 3. Die Tangentensteigung bei \(x=0\) ist \(f'(0)\). Aus Abbildung 2 liest man \(f'(0)=-0{,}75\) ab.

a) Abbildung 1 zeigt \(f\), Abbildung 2 zeigt \(f'\). b) \(f\) ist auf \([-1;3]\) streng monoton abnehmend; für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\). c) Die Tangentensteigung bei \(x=0\) beträgt \(-0{,}75\).

- Lies die Stellen ab, an denen sich die Monotonierichtung ändert. - Verfolge den Graphen im dargestellten Bereich von links nach rechts. - Unterscheide zwischen der Höhe des Graphen und seiner lokalen Änderungsrichtung.

1. Aus dem Graphen liest man einen lokalen Hochpunkt bei \(H(-2|5)\) und einen lokalen Tiefpunkt bei \(T(2|-3)\) ab. 2. Im dargestellten Bereich nimmt der Graph von \(x=-4{,}5\) bis \(x=-2\) zu, von \(x=-2\) bis \(x=2\) ab und von \(x=2\) bis \(x=4{,}5\) wieder zu. 3. Daher ist \(f\) auf \([-4{,}5;-2]\) und \([2;4{,}5]\) streng monoton zunehmend sowie auf \([-2;2]\) streng monoton abnehmend. 4. Amelies Behauptung ist falsch. Der positive Funktionswert \(f(0)=1\) beschreibt nur die Höhe des Graphen. In einer Umgebung von \(x=0\) nimmt der Graph ab; für Monotonie ist die Änderungsrichtung, nicht das Vorzeichen des Funktionswerts, entscheidend.

a) Streng monoton zunehmend auf \([-4{,}5;-2]\) und \([2;4{,}5]\); streng monoton abnehmend auf \([-2;2]\). b) Falsch. Ein positiver Funktionswert bedeutet nicht, dass die Funktion zunimmt; der Graph nimmt in einer Umgebung von \(x=0\) ab.

- Forme \(f'\) mithilfe einer binomischen Formel um. - Welche Bedingung verlangt die Definition der strengen Monotonie für beliebige \(x_1<x_2\)? - Schreibe \(f(x)\) als \((x-1)^3+2\) und nutze die strenge Monotonie der Kubikfunktion.

1. Es gilt \(f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\). Daher ist \(f'(x)\ge0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\), und nur bei \(x=1\) gilt \(f'(x)=0\). 2. Tims Aussage ist falsch. Für \(x_1<x_2\) gilt \(f(x_2)-f(x_1)=(x_2-1)^3-(x_1-1)^3\). Da die Funktion \(u\mapsto u^3\) streng monoton zunimmt, folgt aus \(x_1-1<x_2-1\), dass \((x_1-1)^3<(x_2-1)^3\). Also gilt \(f(x_1)<f(x_2)\). 3. Damit erfüllt \(f\) die Definition der strengen Monotonie auf ganz \(\mathbb{R}\). Die isolierte waagerechte Tangente bei \(x=1\) unterbricht die strenge Zunahme nicht.

a) \(f'(x)=3(x-1)^2\ge0\); nur bei \(x=1\) ist \(f'(x)=0\). b) Tims Aussage ist falsch. Für alle \(x_1<x_2\) gilt \(f(x_1)<f(x_2)\); daher ist \(f\) auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend. Die isolierte waagerechte Tangente am Terrassenpunkt ändert daran nichts.

- Wie hängt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit dem Monotonieverhalten von \(f\) zusammen? - Wie erkennst du an einem Vorzeichenwechsel von \(f'\), welche Art von Extremstelle \(f\) besitzt? - Welche Änderung des Monotonieverhaltens von \(f'\) weist auf eine Wendestelle von \(f\) hin? - Kannst du aus der Ableitung die genaue vertikale Lage von \(G_f\) bestimmen?

1. Da \(f'(x)<0\) für \(x\in(1;4)\) gilt, ist \(f\) auf \([1;4]\) streng monoton abnehmend. Aussage 1 ist wahr. Da \(f'(x)>0\) für \(x\in(-3;1)\) gilt, ist \(f\) auf \([-3;1]\) streng monoton zunehmend. Aussage 3 ist wahr. 2. Bei \(x=-3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Aussage 2 ist falsch. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. Aussage 4 ist wahr. 3. Der Graph \(G_{f'}\) besitzt im Intervall \([-4;5]\) genau zwei Extremstellen. An beiden ändert sich die Monotonierichtung von \(f'\); daher hat \(f\) dort genau zwei Wendestellen. Aussage 5 ist falsch. 4. Aus dem Graphen von \(f'\) lässt sich die vertikale Lage von \(G_f\) nicht bestimmen. Aussage 6 ist daher falsch.

1. Wahr 2. Falsch 3. Wahr 4. Wahr 5. Falsch 6. Falsch

- Verfolge den Graphen von links nach rechts und achte darauf, wann sich seine Änderungsrichtung umkehrt. - Welche Uhrzeit entspricht einem gegebenen Wert von \(t\)? - Welche Nullstellen von \(T'\) liegen im betrachteten Zeitraum, und welche davon kann ein inneres Maximum liefern? - Wie kannst du mit dem Monotonieverhalten bestätigen, dass das lokale Maximum zugleich der Höchstwert des betrachteten Zeitraums ist?

1. Aus dem Graphen liest man ab: Die Temperatur nimmt auf \([0;8]\) streng monoton zu und auf \([8;12]\) streng monoton ab. Im Sachkontext entspricht das 06:00 Uhr bis 14:00 Uhr beziehungsweise 14:00 Uhr bis 18:00 Uhr. 2. Es gilt \(T'(t)=-0{,}15t^2+1{,}2t=t(-0{,}15t+1{,}2)\). Damit sind \(t=0\) und \(t=8\) die Nullstellen von \(T'\). 3. Die zweite Ableitung lautet \(T''(t)=-0{,}3t+1{,}2\). Wegen \(T''(8)=-1{,}2<0\) besitzt \(T\) bei \(t=8\) ein lokales Maximum. 4. Da \(T\) auf \([0;8]\) zunimmt und auf \([8;12]\) abnimmt, ist dieses Maximum zugleich der Höchstwert im betrachteten Zeitraum. Der Zeitpunkt \(t=8\) entspricht 14:00 Uhr.

a) Streng monoton zunehmend für \(t\in[0;8]\), also von 06:00 Uhr bis 14:00 Uhr; streng monoton abnehmend für \(t\in[8;12]\), also von 14:00 Uhr bis 18:00 Uhr. b) \(T'(t)=-0{,}15t^2+1{,}2t\). Der Höchstwert wird bei \(t=8\), also um 14:00 Uhr, erreicht.

- Welche Vorzeichenwechsel von \(f'\) kennzeichnen lokale Minimal- und Maximalstellen von \(f\)? - In welchem Bereich liegt der Ableitungsgraph oberhalb der \(x\)-Achse? - Wie findest du die größte Steigung von \(f\) direkt im Graphen von \(f'\)?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Aus dem Graphen liest man \(x=-2\) und \(x=4\) ab. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x=4\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 2. Für \(-2<x<4\) gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) auf \([-2;4]\) streng monoton zunehmend. 3. Die Steigung von \(f\) entspricht dem Funktionswert von \(f'\). Der größte Wert des dargestellten Ableitungsgraphen liegt bei \(x=1\) und beträgt \(f'(1)=4{,}5\). Dort besitzt \(f\) die größte Steigung.

a) Lokale Minimalstelle bei \(x=-2\); lokale Maximalstelle bei \(x=4\). b) Streng monoton zunehmend auf \([-2;4]\). c) Größte Steigung bei \(x=1\); sie beträgt \(4{,}5\).

- Achte auf die Bereiche, in denen der Graph der Ableitung oberhalb, unterhalb oder auf der \(x\)-Achse liegt. - Welche zusätzliche Besonderheit entsteht, wenn die Ableitung auf einem ganzen Intervall null ist? - Unterscheide monotone Abnahme von strenger monotoner Abnahme.

1. Für \(h\) gilt: \(h'(x)>0\) für \(1<x<3\) und \(h'(x)<0\) für \(-1\le x<1\) sowie \(3<x\le5\). Daher ist \(h\) auf \([1;3]\) streng monoton zunehmend und auf \([-1;1]\) sowie \([3;5]\) streng monoton abnehmend. 2. Für \(k\) gilt im dargestellten Bereich \(k'(x)\le0\). Daher ist \(k\) auf \([-2;4]\) monoton abnehmend. Auf \([-2;0]\) und \([2;4]\) ist \(k\) streng monoton abnehmend; auf \([0;2]\) ist \(k\) konstant.

Für \(h\): streng monoton zunehmend auf \([1;3]\); streng monoton abnehmend auf \([-1;1]\) und \([3;5]\) Für \(k\): monoton abnehmend auf \([-2;4]\); streng monoton abnehmend auf \([-2;0]\) und \([2;4]\); konstant auf \([0;2]\)

- Bestimme die Nullstellen von \(f'\). - Untersuche das Vorzeichen von \(f'\) in den drei entstehenden Bereichen. - Vergleiche zusätzlich die Funktionswerte an den beiden Extremstellen mit dem Graphen.

1. Es gilt \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x=0\) und \(x=2\). 2. Für \(x<0\) ist \(f'(x)>0\), für \(0<x<2\) ist \(f'(x)<0\), und für \(x>2\) ist \(f'(x)>0\). 3. Daher ist \(f\) auf \(( -\infty;0]\) streng monoton zunehmend, auf \([0;2]\) streng monoton abnehmend und auf \([2;\infty)\) wieder streng monoton zunehmend. 4. Außerdem gilt \(f(0)=1\) und \(f(2)=-3\). Der dargestellte Graph zeigt genau diese Richtungswechsel und Extrempunktkoordinaten. 5. Der Graph passt zur Funktion \(f\).

Ja. \(f\) ist bis \(x=0\) streng monoton zunehmend, auf \([0;2]\) streng monoton abnehmend und ab \(x=2\) wieder streng monoton zunehmend. Die Extrempunkte \((0|1)\) und \((2|-3)\) stimmen mit der Abbildung überein.

- Bestimme die Nullstellen von \(f'\). - Welche Vorzeichen hat \(f'\) in den drei dadurch entstehenden Bereichen? - Vergleiche die daraus folgende Monotonierichtung mit der Abbildung.

1. Es gilt \(f'(x)=-3x^2+3\). Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x=-1\) und \(x=1\). 2. Für \(x<-1\) gilt \(f'(x)<0\), also ist \(f\) streng monoton abnehmend. Für \(-1<x<1\) gilt \(f'(x)>0\), also ist \(f\) streng monoton zunehmend. Für \(x>1\) gilt wieder \(f'(x)<0\), also ist \(f\) streng monoton abnehmend. 3. Der dargestellte Graph zeigt das entgegengesetzte Verhalten: Er nimmt für \(x<-1\) zu, für \(-1<x<1\) ab und für \(x>1\) wieder zu. 4. Der Graph passt daher nicht zur Funktion \(f\).

Nein. \(f\) ist für \(x<-1\) streng monoton abnehmend, für \(-1<x<1\) streng monoton zunehmend und für \(x>1\) wieder streng monoton abnehmend; der dargestellte Graph zeigt das entgegengesetzte Verhalten.

- Bestimme die Nullstellen von \(f'\). - Untersuche das Vorzeichen von \(f'\) in den vier entstehenden Bereichen. - Vergleiche die erwarteten Richtungswechsel mit dem Graphen.

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-4x=x(x-2)(x+2)\). Die Nullstellen sind \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Für \(x<-2\) ist \(f'(x)<0\), für \(-2<x<0\) ist \(f'(x)>0\), für \(0<x<2\) ist \(f'(x)<0\), und für \(x>2\) ist \(f'(x)>0\). 3. Daher ist \(f\) abwechselnd streng monoton abnehmend, zunehmend, abnehmend und zunehmend. 4. Der dargestellte Graph besitzt lokale Minimalstellen bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie eine lokale Maximalstelle bei \(x=0\). Das stimmt mit der Rechnung überein.

Ja. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(-2\), \(0\) und \(2\); das daraus folgende Monotonieverhalten stimmt mit dem dargestellten Graphen überein.

- Wie viele reelle Nullstellen kann \(f'\) hier besitzen? - Welche Vorzeichen hat \(f'\) links und rechts von dieser Nullstelle? - Vergleiche die daraus folgende Anzahl der Extremstellen mit dem dargestellten Graphen.

1. Es gilt \(f'(x)=4x^3+4x=4x(x^2+1)\). 2. Da \(x^2+1>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, besitzt \(f'\) nur die Nullstelle \(x=0\). 3. Für \(x<0\) gilt \(f'(x)<0\), also ist \(f\) streng monoton abnehmend. Für \(x>0\) gilt \(f'(x)>0\), also ist \(f\) streng monoton zunehmend. 4. Damit besitzt \(f\) nur eine lokale Minimalstelle bei \(x=0\). Der dargestellte Graph besitzt dagegen drei Extremstellen. 5. Bens Behauptung ist falsch.

Die Behauptung ist falsch. \(f\) ist für \(x<0\) streng monoton abnehmend und für \(x>0\) streng monoton zunehmend und besitzt nur eine lokale Minimalstelle bei \(x=0\). Der dargestellte Graph zeigt dagegen drei Extremstellen.

- Welche Information liefern die Nullstellen und Vielfachheiten von \(k'\) für die Vorzeichenanalyse? - Was zeigt ein fehlender Vorzeichenwechsel von \(k'\) über eine mögliche Extremstelle? - Welche zusätzliche Eigenschaft musst du für einen Terrassenpunkt über die Krümmung prüfen?

1. Die erste Ableitung lautet \(k'(x)=0{,}5x^4-2x^2=0{,}5x^2(x^2-4)\). 2. Die Nullstellen von \(k'\) sind \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\); bei \(x=0\) liegt eine doppelte Nullstelle vor. 3. Für \(x<-2\) und \(x>2\) gilt \(k'(x)>0\). Für \(-2<x<0\) und \(0<x<2\) gilt \(k'(x)<0\). Daher ist \(k\) auf \([-2;2]\) streng monoton abnehmend. 4. Bei \(x=0\) gilt zwar \(k'(0)=0\), aber \(k'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen. Es liegt daher keine Extremstelle vor. 5. Weiter gilt \(k''(x)=2x^3-4x=2x(x^2-2)\). In einer Umgebung von \(0\) wechselt \(k''\) von positiv zu negativ; die Krümmung ändert sich. Zusammen mit \(k'(0)=0\) folgt der Terrassenpunkt \(S(0|0)\).

a) \(k'(x)=0{,}5x^2(x^2-4)\); Nullstellen: \(x=-2\), \(x=0\), \(x=2\), wobei \(x=0\) doppelt ist. b) \(k\) ist auf \([-2;2]\) streng monoton abnehmend. Bei \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt \(S(0|0)\) vor.

- Unterscheide zwischen der Definition strenger Monotonie und einem hinreichenden Ableitungskriterium. - Vergleiche für \(f(x)=x^3\) direkt die Werte \(f(x_1)\) und \(f(x_2)\) für \(x_1<x_2\). - Welche Rolle spielt eine einzelne waagerechte Tangente im Unterschied zu einem ganzen konstanten Abschnitt?

1. Für \(g\) gilt \(g'(x)=3x^2+2>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\). Daher ist \(g\) streng monoton zunehmend. 2. Für \(f\) gilt \(f'(x)=3x^2\ge0\) und \(f'(0)=0\). Daraus allein folgt die strenge Monotonie noch nicht über die Umkehrung eines hinreichenden Kriteriums. 3. Verwende deshalb die Definition. Für \(x_1<x_2\) gilt \(f(x_2)-f(x_1)=x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)\). Der erste Faktor ist positiv. Der zweite Faktor ist nichtnegativ und kann bei \(x_1<x_2\) nicht null sein. Daher ist \(f(x_2)-f(x_1)>0\), also \(f(x_1)<f(x_2)\). 4. Somit ist auch \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend. Die waagerechte Tangente am Terrassenpunkt \((0|0)\) unterbricht die strenge Monotonie nicht.

Lukas' Aussage ist falsch. Sowohl \(f(x)=x^3\) als auch \(g(x)=x^3+2x\) sind auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend. Bei \(f\) verhindert die isolierte Stelle \(f'(0)=0\) die strenge Monotonie nicht.

- Verfolge den Graphen innerhalb des dargestellten Intervalls von links nach rechts. - An welchen Stellen ändert sich die Richtung des Graphen? - Prüfe die Randpunktfrage mit der Definition der strengen Monotonie, nicht nur mit dem Wert der Ableitung an einem einzelnen Punkt.

1. Im dargestellten Intervall nimmt \(h\) auf \([-3;-2]\) und \([0;2]\) streng monoton ab. Auf \([-2;0]\) und \([2;3]\) nimmt \(h\) streng monoton zu. 2. Leons Behauptung ist falsch. Eine Stelle mit waagerechter Tangente kann als Randpunkt eines Intervalls strenger Monotonie enthalten sein. Entscheidend ist die Definition: Für je zwei verschiedene Punkte des gesamten Intervalls müssen die Funktionswerte in der richtigen Reihenfolge liegen.

1. Streng monoton abnehmend: \([-3;-2]\) und \([0;2]\); streng monoton zunehmend: \([-2;0]\) und \([2;3]\). 2. Die Behauptung ist falsch. Die drei Stellen dürfen als Randpunkte der jeweiligen Monotonieintervalle enthalten sein.

- Untersuche zuerst das Vorzeichen von \(f'\) zwischen den Nullstellen. - Welcher Vorzeichenwechsel von \(f'\) kennzeichnet eine lokale Maximal- beziehungsweise Minimalstelle von \(f\)? - Wie verändert sich \(f'\) links und rechts von seinem lokalen Extremum bei \(x=0\)? - Nutze für d) nur die Reihenfolge der Funktionswerte, die aus der Monotonie folgt.

1. Auf dem offenen Intervall \((-2;2)\) gilt \(f'(x)<0\), während \(f'(-2)=f'(2)=0\). Daher ist \(f\) auf \([-2;2]\) streng monoton abnehmend. Aussage a) ist wahr. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiven zu negativen Werten. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. Aussage b) ist falsch. 3. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x=0\) ein lokales Minimum. Damit wechselt die Monotonie von \(f'\) von abnehmend zu zunehmend; entsprechend ändert sich die Krümmungsrichtung von \(f\). Aussage c) ist wahr. 4. Auf \([0;2]\) ist \(f\) streng monoton abnehmend. Aus \(0<1\) folgt daher \(f(1)<f(0)=4\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Falsch

- Was passiert, wenn du die Gleichung nach dem Gleichsetzen mit dem Nenner multiplizierst? - Wie verhält sich ein Polynom dritten Grades bezüglich seiner Nullstellen? - Kannst du mithilfe der Ableitung des entstandenen Polynoms etwas über dessen Monotonie aussagen? - Warum ist es wichtig, den Wert der Definitionslücke in die entstandene Gleichung einzusetzen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{x+2}{x-1} = x^2 + 2\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \(x-1\): \(x+2 = (x^2+2)(x-1) = x^3 - x^2 + 2x - 2\). 3. Zusammenfassen zu einer kubischen Gleichung: \(x^3 - x^2 + x - 4 = 0\). 4. Untersuchung der Funktion \(k(x) = x^3 - x^2 + x - 4\) auf Nullstellen: Die Ableitung \(k'(x) = 3x^2 - 2x + 1\) hat die Diskriminante \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = -8 < 0\). 5. Da \(k'(x) > 0\) für alle \(x\) gilt, ist die Funktion \(k\) streng monoton zunehmend. 6. Aufgrund der Grenzwerte \(\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty\) besitzt \(k\) genau eine reelle Nullstelle. 7. Prüfung der Definitionslücke: Da \(k(1) = 1 - 1 + 1 - 4 = -3 \neq 0\), liegt die Nullstelle nicht bei \(x=1\). 8. Es existiert somit genau ein Schnittpunkt und damit genau ein gemeinsamer Punkt.

Die Graphen \(G_h\) und \(G_p\) haben genau einen gemeinsamen Punkt.

- Welche Nullstellen und welches Vorzeichenmuster muss \(g'\) wegen der vorgegebenen Monotonie besitzen? - Wie sieht die Ableitung einer allgemeinen ganzrationalen Funktion dritten Grades aus? - Welche Konstante wird durch den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse festgelegt?

1. An \(x=-2\) und \(x=4\) wechselt das Monotonieverhalten. Daher soll \(g'\) dort einfache Nullstellen besitzen, außerhalb von \([-2;4]\) positiv und innerhalb negativ sein. 2. Eine passende Ableitung ist zum Beispiel \(g'(x)=3(x+2)(x-4)=3x^2-6x-24\). 3. Für \(g(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) gilt \(g'(x)=3ax^2+2bx+c\). Durch Koeffizientenvergleich erhält man \(a=1\), \(b=-3\) und \(c=-24\). 4. Aus \(g(0)=5\) folgt \(d=5\). Damit ist \(g(x)=x^3-3x^2-24x+5\) eine mögliche Funktion. 5. Da \(g'(x)=3(x+2)(x-4)\) außerhalb von \([-2;4]\) positiv und innerhalb negativ ist, erfüllt die Funktion die geforderte strenge Monotonie.

Eine mögliche Funktionsgleichung ist \(g(x)=x^3-3x^2-24x+5\).