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- Welche Ableitung gibt dir Auskunft über das Krümmungsverhalten und Wendepunkte einer Funktion? - Was muss an der Stelle \(x = 2\) für diese Ableitung gelten? - Versuche, die Gleichung so umzustellen, dass der gesuchte Parameter alleine auf einer Seite steht.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(y' = 3x^2 - 2ax\), \(y'' = 6x - 2a\). 2. Bedingung für Wendepunkt ansetzen: \(y''(2) = 0\). 3. Einsetzen und nach \(a\) auflösen: \(6 \cdot 2 - 2a = 0 \implies 12 = 2a \implies a = 6\).

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- Wie hängen Linkskrümmung und das Vorzeichen der zweiten Ableitung zusammen? - Kannst du begründen, warum der Ausdruck für die zweite Ableitung niemals Null oder negativ werden kann? - Welche Eigenschaft haben Quadratzahlen, die dir hier weiterhelfen könnte?

1. Bildung der Ableitungen: Die erste Ableitung ist \(g'(x) = x^3 + 6x\). Die zweite Ableitung lautet \(g''(x) = 3x^2 + 6\). 2. Analyse des Vorzeichens von \(g''(x)\): Da das Quadrat einer reellen Zahl \(x^2\) immer größer oder gleich Null ist (\(x^2 \ge 0\)), ist der Term \(3x^2\) ebenfalls stets größer oder gleich Null. 3. Schlussfolgerung: Durch die Addition von \(6\) ergibt sich \(3x^2 + 6 \ge 6\). Damit ist \(g''(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Da die zweite Ableitung überall positiv ist, ist der Graph der Funktion \(g\) im gesamten Definitionsbereich linksgekrümmt.

Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = 3x^2 + 6\). Da \(x^2 \ge 0\) für alle \(x\) gilt, ist \(3x^2 + 6 \ge 6 > 0\). Wegen \(g''(x) > 0\) ist der Graph für alle \(x \in \mathbb{R}\) linksgekrümmt.

- Wie oft muss man eine Funktion ableiten, um Informationen über das Krümmungsverhalten zu erhalten? - Welchen Grad hat die Ableitungsfunktion im Vergleich zur ursprünglichen Funktion? - Was muss an einer Stelle \(x_0\) für die zweite Ableitung gelten, damit dort ein Krümmungswechsel vorliegt? - Wie viele Nullstellen kann eine lineare oder eine kubische Funktion maximal haben?

1. Für \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit \(a \neq 0\) lauten die Ableitungen \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). Da \(a \neq 0\), ist \(6a \neq 0\), womit \(f''(x)\) eine lineare Funktion der Form \(mx + n\) ist. 2. Eine lineare Funktion \(f''(x) = 6ax + 2b\) hat genau eine Nullstelle bei \(x_W = -\frac{2b}{6a} = -\frac{b}{3a}\). Da die Steigung \(6a \neq 0\) ist, findet an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) statt. Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bedeutet einen Wechsel des Krümmungsverhaltens, also liegt genau ein Wendepunkt vor. 3. Bei einer Funktion \(g\) vom Grad \(n = 5\) ist die zweite Ableitung \(g''\) eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n - 2 = 3\). Eine Funktion dritten Grades hat maximal drei Nullstellen. Da ein Krümmungswechsel einen Vorzeichenwechsel von \(g''\) voraussetzt und dieser nur an Nullstellen auftreten kann, kann der Graph von \(g\) höchstens drei Wendestellen besitzen.

a) \(f''(x) = 6ax + 2b\), was der Form einer linearen Funktion entspricht. b) Die lineare Funktion \(f''\) hat genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, da die Steigung \(6a \neq 0\) ist. c) Maximal drei Stellen, da die zweite Ableitung \(g''\) den Grad 3 hat und somit höchstens drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzen kann.

- Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Form des Graphen aus? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit man sicher von einem Extrempunkt sprechen kann? - Wann ändert ein Graph sein Krümmungsverhalten? - Schau dir die Ableitungsordnungen genau an – geht es um die Steigung, die Krümmung oder die Änderung der Krümmung?

1. Bedingung 1 (\(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\)) ist das hinreichende Kriterium für ein lokales Minimum (Tiefpunkt), da eine waagerechte Tangente bei gleichzeitiger Linkskrümmung vorliegt. Zuordnung: 1 – C. 2. Bedingung 2 (\(f''(x) < 0\) für alle \(x \in I\)) bedeutet nach dem Krümmungskriterium, dass der Graph im gesamten Intervall eine Rechtskrümmung aufweist. Zuordnung: 2 – A. 3. Bedingung 3 (\(f''(x_0) = 0\) und \(f'''(x_0) \neq 0\)) ist das hinreichende Kriterium für eine Wendestelle, da die zweite Ableitung null ist und an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) (da \(f''' \neq 0\)) garantiert ist. Zuordnung: 3 – B.

1 – C 2 – A 3 – B

- Welche Ableitung gibt Aufschluss über das Krümmungsverhalten eines Graphen? - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Wendestelle. - Wie kannst du mit der dritten Ableitung sicherstellen, dass tatsächlich ein Krümmungswechsel stattfindet? - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass quadratische Gleichungen zwei Lösungen haben können.

1. Berechnung der ersten drei Ableitungen der Funktion: \(f'(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x\) \(f''(x) = x^2 - 2\) \(f'''(x) = 2x\) 2. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung (notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\)): \(x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{1} = -\sqrt{2}\) und \(x_{2} = \sqrt{2}\) 3. Überprüfung der hinreichenden Bedingung (\(f'''(x) \neq 0\)): \(f'''(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} \neq 0\) \(f'''(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \neq 0\) Da an beiden Stellen die dritte Ableitung ungleich Null ist, liegen dort Wendestellen vor.

Die Wendestellen der Funktion \(f\) liegen bei \(x_1 = -\sqrt{2}\) und \(x_2 = \sqrt{2}\).

- Welche Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung eines Graphen? - Erinnere dich an die Bedingung für Linkskrümmung und Rechtskrümmung in Bezug auf das Vorzeichen der Ableitung. - Überlege, was die zweite Ableitung über die Steigung der ersten Ableitung aussagt. - Wie verhält sich eine Funktion, wenn ihre Ableitung positiv ist? Übertrage dies auf \(f'\) und \(f''\).

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 10\) und \(f''(x) = 6x - 12\). 2. Bestimmung der Nullstelle der zweiten Ableitung zur Identifikation möglicher Wendepunkte: \(6x - 12 = 0 \implies x = 2\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f''(x)\): Für \(x < 2\) ist \(f''(x) < 0\), was einer Rechtskrümmung entspricht. Für \(x > 2\) ist \(f''(x) > 0\), was eine Linkskrümmung anzeigt. 4. Die Intervalle lauten somit: Rechtsgekrümmt in \((-\infty; 2)\) und linksgekrümmt in \((2; \infty)\). 5. Erläuterung des Zusammenhangs: Da in einem linksgekrümmten Bereich \(f''(x) > 0\) gilt, ist die erste Ableitung \(f'\) (die Steigungsfunktion) in diesem Intervall streng monoton steigend. Das bedeutet, dass die Tangentensteigung des Graphen von \(f\) mit wachsendem \(x\) immer größer wird.

a) Der Graph ist im Intervall \((-\infty; 2)\) rechtsgekrümmt und im Intervall \((2; \infty)\) linksgekrümmt. b) Linkskrümmung bedeutet, dass die zweite Ableitung \(f''(x)\) positiv ist. Da \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, folgt daraus, dass die Steigungsfunktion \(f'\) im entsprechenden Intervall streng monoton steigt.

- An welcher Stelle muss die zweite Ableitung einer Funktion gleich Null sein, wenn dort ein Wendepunkt vorliegt? - Leite die Funktion zweimal nach \(x\) ab und behandle den Parameter dabei wie eine konstante Zahl. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die zweite Ableitung ein und löse die entstehende Gleichung nach dem Parameter auf.

1. Bildung der ersten und zweiten Ableitung der Funktion \(f_a\): \(f_a'(x) = x^2 + 2(a - 3)x + 7\) \(f_a''(x) = 2x + 2a - 6\) 2. Bedingung für eine Wendestelle an der Stelle \(x = 5\) ist \(f_a''(5) = 0\): \(2 \cdot 5 + 2a - 6 = 0\) \(10 + 2a - 6 = 0\) \(4 + 2a = 0\) 3. Auflösen nach \(a\): \(2a = -4 \implies a = -2\) 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: Da \(f_{-2}'''(x) = 2 \neq 0\) für alle \(x\), liegt bei \(x = 5\) tatsächlich eine Wendestelle vor.

\(a = -2\)

- Erinnere dich daran, welche Eigenschaften die Steigung und die Krümmung an einem Sattelpunkt haben müssen. - Welche Ableitungen musst du berechnen, um stationäre Stellen und Wendestellen zu finden? - Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt – was ist das Besondere an seiner Tangente? - Wie kannst du sicherstellen, dass an einer Stelle mit waagerechter Tangente kein lokales Extremum vorliegt?

1. Erste drei Ableitungen bilden: \(f'(x) = -3x^2 + 6x - 3\), \(f''(x) = -6x + 6\), \(f'''(x) = -6\). 2. Notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt (\(f'(x) = 0\) und \(f''(x) = 0\)) prüfen: \(-3x^2 + 6x - 3 = 0 \Leftrightarrow -3(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1\). Überprüfung der zweiten Ableitung: \(f''(1) = -6(1) + 6 = 0\). Die notwendige Bedingung ist für \(x = 1\) erfüllt. 3. Hinreichendes Kriterium prüfen: Da \(f''(1) = 0\) und \(f'''(1) = -6 \neq 0\), liegt an der Stelle \(x = 1\) ein Wendepunkt vor. Da zusätzlich \(f'(1) = 0\) gilt, handelt es sich um einen Sattelpunkt. 4. Funktionswert berechnen: \(f(1) = -(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) + 2 = 1\). Der Sattelpunkt liegt bei \(S(1 \mid 1)\).

Der Sattelpunkt der Funktion \(f\) befindet sich an den Koordinaten \(S(1 \mid 1)\).

- Was weißt du über die Steigung einer Geraden? Ist sie veränderlich oder konstant? - Wie berechnet man die zweite Ableitung einer linearen Funktion? - Welches Vorzeichen muss die zweite Ableitung für eine Linkskurve oder eine Rechtskurve haben? - Ist die Zahl Null positiv oder negativ?

1. Aufstellen der Ableitungsfunktionen: Für \(f(x) = mx + n\) ergibt sich die erste Ableitung \(f'(x) = m\) und die zweite Ableitung \(f''(x) = 0\). 2. Anwendung der Krümmungskriterien: Eine Funktion beschreibt eine Linkskurve, wenn \(f''(x) > 0\) gilt, und eine Rechtskurve, wenn \(f''(x) < 0\) gilt. 3. Auswertung: Da die zweite Ableitung einer Geraden konstant \(0\) ist, ist keine der Bedingungen (\(>0\) oder \(<0\)) erfüllt. 4. Fazit: Die Gerade ist weder links- noch rechtsgekrümmt. Mathematisch gesehen besitzt sie die Krümmung Null, was der umgangssprachlichen Vorstellung von „keiner Krümmung“ entspricht.

Die Aussage ist mathematisch korrekt im Sinne der Krümmungsrichtung: Da für eine Gerade \(f''(x) = 0\) gilt, ist sie weder linksgekrümmt (\(f''(x) > 0\)) noch rechtsgekrümmt (\(f''(x) < 0\)). Sie hat überall die Krümmung Null.

- Was genau stellt die „Wachstumsrate“ in der Differentialrechnung dar? - Wenn eine Größe (hier die Wachstumsrate) ein Maximum erreicht, was bedeutet das für ihre eigene Ableitung? - Wie hängen die Zunahme oder Abnahme der Steigung mit der Krümmung des Graphen zusammen? - Stell dir vor, wie eine Kurve aussieht, die erst immer steiler wird und dann anfängt, flacher zu verlaufen.

1. Da die Wachstumsrate (die erste Ableitung \(V'\)) an der Stelle \(t_w\) ein Maximum besitzt und davor zu- sowie danach abnimmt, handelt es sich bei dem Punkt \(W(t_w \mid V(t_w))\) um einen Wendepunkt des Graphen von \(V\). 2. Eine notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist, dass die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle null ist, also \(V''(t_w) = 0\). 3. Vor dem Erreichen des Maximums der Wachstumsrate nimmt die Steigung stetig zu, was einer Linkskrümmung (\(V''(t) > 0\)) entspricht (progressives Wachstum). Nach dem Zeitpunkt \(t_w\) nimmt die Wachstumsrate ab, obwohl die Gesamtzahl der Aufrufe weiter steigt; die Steigung wird also kleiner, was einer Rechtskrümmung (\(V''(t) < 0\)) entspricht (degressives Wachstum).

1. Es handelt sich um einen Wendepunkt (speziell einen Links-Rechts-Wendepunkt). 2. Die notwendige Bedingung lautet \(V''(t_w) = 0\). 3. Vor \(t_w\) liegt eine Linkskrümmung vor (die Steigung nimmt zu), nach \(t_w\) liegt eine Rechtskrümmung vor (die Steigung nimmt ab).

- Erinnere dich an das Verfahren zur Bestimmung von Wendepunkten. - Drücke die x-Koordinate des Wendepunkts in Abhängigkeit von \(t\) aus. - Wie kannst du \(t\) aus der Gleichung eliminieren, um eine Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) zu finden?

1. Ableitungen bestimmen: \(g_t'(x) = 3x^2 - 6tx\), \(g_t''(x) = 6x - 6t\) und \(g_t'''(x) = 6\). 2. Wendestellen berechnen: \(g_t''(x) = 0 \implies 6x - 6t = 0 \implies x = t\). 3. Da \(g_t'''(x) = 6 \neq 0\) für alle \(x\), besitzt jede Funktion der Schar genau einen Wendepunkt bei \(x = t\). 4. Zusammenhang zwischen \(x\) und \(t\) nutzen: \(t = x\). 5. \(t\) in die Funktionsgleichung einsetzen, um die y-Koordinate in Abhängigkeit von \(x\) zu erhalten: \(y = x^3 - 3(x)x^2 + 1\). 6. Vereinfachen: \(y = x^3 - 3x^3 + 1 = -2x^3 + 1\).

Die Ortslinie der Wendepunkte ist gegeben durch \(y = -2x^3 + 1\).

- Wie berechnet man den Wert einer Größe zu einem bestimmten Zeitpunkt, wenn die Funktion die Gesamtsumme angibt? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen der durchschnittlichen Steigung in einem Intervall und der Steigung in einem Punkt. - Welcher mathematische Fachbegriff beschreibt die „Steigung der Steigung“ und wo findet man die steilste Stelle einer Kurve? - Überlege, welche Ableitung die Änderungsrate einer Funktion darstellt.

1. Berechnung der Gesamtmenge zum Zeitpunkt \(t = 20\): \(G(20) = -0{,}05 \cdot 20^3 + 1{,}5 \cdot 20^2 + 10 \cdot 20 = -400 + 600 + 200 = 400\). In den ersten \(20\) Stunden wurden insgesamt \(400\,\text{m}^3\) Gas produziert. 2. Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate im Intervall \([4; 12]\) mithilfe des Differenzenquotienten: \(G(12) = -0{,}05 \cdot 12^3 + 1{,}5 \cdot 12^2 + 10 \cdot 12 = 249{,}6\) und \(G(4) = -0{,}05 \cdot 4^3 + 1{,}5 \cdot 4^2 + 10 \cdot 4 = 60{,}8\). Die mittlere Rate beträgt \(\frac{G(12) - G(4)}{12 - 4} = \frac{249{,}6 - 60{,}8}{8} = \frac{188{,}8}{8} = 23{,}6\). Die durchschnittliche Produktionsrate liegt bei \(23{,}6\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Die momentane Produktionsrate wird durch die erste Ableitung \(G'(t) = -0{,}15t^2 + 3t + 10\) beschrieben. Ihr Maximum liegt an der Wendestelle von \(G\). Bestimmung der zweiten Ableitung: \(G''(t) = -0{,}3t + 3\). Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(-0{,}3t + 3 = 0 \Rightarrow t = 10\). Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(G'''(t) = -0{,}3\). Da \(G'''(10) < 0\), liegt an der Stelle \(t = 10\) ein Maximum der Steigung vor. Die Produktionsrate ist nach \(10\) Stunden am größten.

a) Es wurden insgesamt \(400\,\text{m}^3\) Gas produziert. b) Die durchschnittliche Produktionsrate beträgt \(23{,}6\,\text{m}^3/\text{h}\). c) Die momentane Produktionsrate ist zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{h}\) am größten.

- Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Krümmung des Graphen aus? - Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit an einer Stelle ein lokaler Hochpunkt existiert? - Versuche zuerst, die allgemeine Formel für die zweite Ableitung zu finden, bevor du Werte einsetzt. - Überlege dir, wie man eine Ungleichung löst, um einen Bereich für die Krümmung zu bestimmen.

1. Berechnung der ersten beiden Ableitungen: \(f'(x) = x^2 - 4x + 3\) und \(f''(x) = 2x - 4\). 2. Nachweis der Linkskrümmung: Für \(x > 2\) gilt \(2x > 4\), woraus \(2x - 4 > 0\) folgt. Da \(f''(x) > 0\) für alle \(x > 2\) ist, ist der Graph in diesem Bereich linksgekrümmt. 3. Nachweis des Hochpunkts: Zunächst wird geprüft, ob die notwendige Bedingung \(f'(1) = 0\) erfüllt ist: \(1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 0\). Dann wird die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung geprüft: \(f''(1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2\). Da \(f'(1) = 0\) und \(f''(1) < 0\) ist, liegt bei \(x = 1\) ein lokaler Hochpunkt vor.

a) \(f''(x) = 2x - 4\); für \(x > 2\) ist \(f''(x) > 0\), daher ist der Graph linksgekrümmt. b) \(f'(1) = 0\) und \(f''(1) = -2 < 0\), somit liegt an der Stelle \(x = 1\) ein lokaler Hochpunkt vor.

- Überlege dir, wie die Steigung der Tangente (beschrieben durch \(f'\)) sich verändert, wenn der Graph eine Kurve macht. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen für besondere Punkte eines Graphen. - Kannst du eine Funktion finden, deren zweite Ableitung null wird, ohne dass sich die Krümmung ändert? - Was bedeutet Monotonie einer Funktion für das Vorzeichen ihrer Ableitung?

1. Aussage a ist wahr, da ein positiver Wert der zweiten Ableitung (\(f''(x) > 0\)) bedeutet, dass die Steigung der Tangenten zunimmt, was grafisch einer Linkskurve entspricht. 2. Aussage b ist wahr, da \(f''(x_0) = 0\) bei einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion eine notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Wendestelle ist. 3. Aussage c ist falsch, da für eine Wendestelle zusätzlich ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vorliegen muss. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^4\) an der Stelle \(x = 0\); hier gilt \(f''(0) = 0\), aber es liegt ein lokales Minimum (kein Krümmungswechsel) vor. 4. Aussage d ist wahr, da eine streng monoton fallende erste Ableitung \(f'\) bedeutet, dass die Steigung der Tangenten abnimmt, was das charakteristische Merkmal einer Rechtskrümmung ist.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Untersuche, für welche \(x\)-Werte die zweite Ableitung positiv oder negativ ist. - Was muss an einer Stelle passieren, damit man von einem Krümmungswechsel spricht? - Kombiniere die Information über die Krümmung mit der Information über die Steigung an der Stelle \(x = 4\). - Wie nennt man einen Wendepunkt, an dem die Tangente waagerecht verläuft?

1. Berechnung der Nullstelle von \(f''\): \(0{,}5x - 2 = 0 \implies x = 4\). 2. Untersuchung des Vorzeichens von \(f''(x)\): Für \(x < 4\) ist \(f''(x) < 0\), was einer Rechtskrümmung entspricht. Für \(x > 4\) ist \(f''(x) > 0\), was einer Linkskrümmung entspricht. 3. Nachweis der Wendestelle: Da \(f''(4) = 0\) gilt und an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) (von minus nach plus) vorliegt, ist \(x = 4\) eine Wendestelle. 4. Bestimmung des speziellen Punktes: Da \(f'(4) = 0\) (waagerechte Tangente) und \(x = 4\) eine Wendestelle ist, handelt es sich um einen Terrassenpunkt (auch Sattelpunkt genannt).

a) Rechtsgekrümmt für \(x < 4\) (bzw. im Intervall \(]-\infty; 4[\)), linksgekrümmt für \(x > 4\) (bzw. im Intervall \(]4; \infty[\)). b) Es liegt eine Wendestelle vor, da \(f''(4) = 0\) ist und die zweite Ableitung dort ihr Vorzeichen wechselt (Krümmungswechsel). c) Es handelt sich um einen Terrassenpunkt (Sattelpunkt), da an der Wendestelle die Steigung \(f'(4) = 0\) beträgt.

- Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Krümmung des Graphen aus? - Wann hat eine Funktion (hier \(f'\)) eine Extremstelle? Welchen Zusammenhang gibt es zur Ableitung dieser Funktion? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Überlege dir, in welchen Bereichen die Faktoren der Funktionsgleichung positiv oder negativ sind.

1. Zur Bestimmung des Krümmungsverhaltens werden die Nullstellen von \(f''\) ermittelt: \(x = -4\), \(x = -1\) und \(x = 2\). Durch Testeinsetzungen in den Intervallen ergeben sich die Vorzeichen von \(f''\): Für \(x < -4\) ist \(f''(x) < 0\) (rechtsgekrümmt), für \(-4 < x < -1\) ist \(f''(x) > 0\) (linksgekrümmt), für \(-1 < x < 2\) ist \(f''(x) < 0\) (rechtsgekrümmt) und für \(x > 2\) ist \(f''(x) > 0\) (linksgekrümmt). Somit ist der Graph für \(x \in (-\infty; -4)\) und \(x \in (-1; 2)\) rechtsgekrümmt. 2. Die Extremstellen von \(f'\) entsprechen den Nullstellen von \(f''\) mit Vorzeichenwechsel. Da alle drei Nullstellen einfach sind, findet an jeder ein Vorzeichenwechsel statt. Die gesuchten Stellen sind \(x = -4\), \(x = -1\) und \(x = 2\). 3. Zur Klassifizierung der Extrema von \(f\) wird das Vorzeichen von \(f''\) an den gegebenen Stellen geprüft: - \(f''(-5) = (-1) \cdot (-4) \cdot (-7) = -28 < 0\). Da \(f'(-5) = 0\) und \(f''(-5) < 0\), liegt bei \(x_1 = -5\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. - \(f''(3) = (7) \cdot (4) \cdot (1) = 28 > 0\). Da \(f'(3) = 0\) und \(f''(3) > 0\), liegt bei \(x_2 = 3\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor.

a) Der Graph von \(f\) ist rechtsgekrümmt für \(x < -4\) sowie für \(-1 < x < 2\). b) Die Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -4\), \(x = -1\) und \(x = 2\). c) Bei \(x_1 = -5\) liegt ein lokales Maximum vor, da \(f''(-5) < 0\) ist. Bei \(x_2 = 3\) liegt ein lokales Minimum vor, da \(f''(3) > 0\) ist.

- Welche Bedingungen müssen für eine Wendestelle erfüllt sein? - Wie hängen Linkskrümmung und das Vorzeichen von \(f''\) zusammen? - Untersuche die Nullstellen des Terms \(x^2 - 16\), um die Intervalle für die Krümmung besser eingrenzen zu können. - Nutze das Vorzeichen von \(f''\) an den Stellen mit waagerechter Tangente zur Klassifizierung der Extrema.

1. Für einen Wendepunkt an der Stelle \(x = 0\) muss \(f''(0) = 0\) gelten und ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) vorliegen. Einsetzen ergibt \(f''(0) = -0{,}5 \cdot 0 \cdot (0 - 16) = 0\). Für kleine negative \(x\) (z. B. \(x = -1\)) ist \(f''(-1) = -0{,}5 \cdot (-1) \cdot (-15) = -7{,}5 < 0\). Für kleine positive \(x\) (z. B. \(x = 1\)) ist \(f''(1) = -0{,}5 \cdot 1 \cdot (-15) = 7{,}5 > 0\). Da ein Vorzeichenwechsel vorliegt, ist \(x = 0\) eine Wendestelle. 2. Linkskrümmung liegt vor, wenn \(f''(x) > 0\) ist. Die Nullstellen von \(f''\) sind \(x = -4\), \(x = 0\) und \(x = 4\). Die Vorzeichenprüfung ergibt: \(f''(x) > 0\) für \(x < -4\) und für \(0 < x < 4\). Somit ist der Graph in den Intervallen \((-\infty; -4)\) und \((0; 4)\) linksgekrümmt. 3. Untersuchung der Extremstellen von \(f\): - \(f''(-2) = -0{,}5 \cdot (-2) \cdot ((-2)^2 - 16) = 1 \cdot (4 - 16) = -12 < 0\). Da \(f'(-2) = 0\) und \(f''(-2) < 0\), ist \(x_a = -2\) eine lokale Maximalstelle. - \(f''(2) = -0{,}5 \cdot 2 \cdot (2^2 - 16) = -1 \cdot (4 - 16) = 12 > 0\). Da \(f'(2) = 0\) und \(f''(2) > 0\), ist \(x_b = 2\) eine lokale Minimalstelle.

a) Es gilt \(f''(0) = 0\) und \(f''\) wechselt bei \(x = 0\) das Vorzeichen (von negativ zu positiv), daher liegt ein Wendepunkt vor. b) Der Graph ist linksgekrümmt für \(x \in (-\infty; -4)\) und \(x \in (0; 4)\). c) Bei \(x_a = -2\) liegt eine Maximalstelle vor (\(f''(-2) = -12 < 0\)). Bei \(x_b = 2\) liegt eine Minimalstelle vor (\(f''(2) = 12 > 0\)).

- Berechne zuerst die zweite Ableitung der Funktion. - Wann hat eine quadratische Gleichung der Form \(ax^2 + c = 0\) keine, eine oder zwei Lösungen? - Überlege dir, ob an den Nullstellen der zweiten Ableitung tatsächlich ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Was bedeutet es für den Graphen von \(f_k''\), wenn \(k\) positiv, null oder negativ ist?

1. Die Ableitungen berechnen: \(f_k'(x) = 4x^3 + 2kx\) und \(f_k''(x) = 12x^2 + 2k\). 2. Für eine Änderung des Krümmungsverhaltens muss \(f_k''(x)\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzen. Die Gleichung \(12x^2 + 2k = 0\) führt auf \(x^2 = -\frac{k}{6}\). 3. Fall \(k > 0\): Der Ausdruck \(-\frac{k}{6}\) ist negativ. Die Gleichung \(x^2 = -\frac{k}{6}\) hat keine reellen Lösungen. Somit ist \(f_k''(x) > 0\) für alle \(x\), und das Krümmungsverhalten ändert sich nicht (der Graph ist überall linksgekrümmt). 4. Fall \(k = 0\): \(f_0''(x) = 12x^2\). Es gibt eine Nullstelle bei \(x = 0\), aber ohne Vorzeichenwechsel (da \(x^2 \geq 0\)). Das Krümmungsverhalten ändert sich nicht. 5. Fall \(k < 0\): Der Ausdruck \(-\frac{k}{6}\) ist positiv. Es gibt zwei Nullstellen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{k}{6}}\). Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit zwei Nullstellen handelt, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt. Es gibt genau zwei Wendestellen.

a) \(f_k''(x) = 12x^2 + 2k\) b) Für \(k \geq 0\) ändert sich das Krümmungsverhalten nicht. c) Für \(k \geq 0\) gibt es keine Wendestellen; für \(k < 0\) gibt es genau zwei Wendestellen.

- Welche Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung eines Graphen? - Wie hängen das Vorzeichen dieser Ableitung und die Art der Krümmung (links oder rechts) zusammen? - Was passiert mit der Krümmung an einem Wendepunkt? - Wie rechnet man die zugehörigen Funktionswerte (y-Koordinaten) aus?

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 2\) und \(f''(x) = x^2 - 1\). 2. Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen: \(x^2 - 1 = 0\) liefert \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). Da \(f''(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt. 3. Krümmungsintervalle festlegen: Für \(x < -1\) ist \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung), für \(-1 < x < 1\) ist \(f''(x) < 0\) (Rechtskrümmung) und für \(x > 1\) ist \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung). 4. Wendepunkte berechnen: Die Funktionswerte an den Stellen \(x_1\) und \(x_2\) bestimmen: \(f(-1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{29}{12}\) und \(f(1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{19}{12}\). Die Wendepunkte liegen bei \(W_1(-1 \mid -\frac{29}{12})\) und \(W_2(1 \mid \frac{19}{12})\).

1. Der Graph ist linksgekrümmt für \(x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\) und rechtsgekrümmt für \(x \in (-1; 1)\). 2. Die Wendepunkte sind \(W_1(-1 \mid -\frac{29}{12})\) und \(W_2(1 \mid \frac{19}{12})\).

- Welche Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung einer Funktion? - Wie hängen das Vorzeichen der zweiten Ableitung und die Art der Krümmung zusammen? - An welchen Stellen kann ein Graph sein Krümmungsverhalten ändern? - Wie nutzt man die erste und zweite Ableitung, um Extrema zu finden und zu klassifizieren?

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 6kx\), \(f_k''(x) = 6x - 6k\), \(f_k'''(x) = 6\). 2. Wendestelle bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \implies 6x = 6k \implies x_W = k\). Da \(f_k''\) linear ist und genau eine Nullstelle besitzt sowie \(f_k'''(k) = 6 \neq 0\) gilt, ist \(x_W = k\) die einzige Wendestelle. 3. Krümmungsverhalten: Da die zweite Ableitung \(f_k''(x) = 6(x - k)\) eine lineare Funktion mit positiver Steigung ist, gilt \(f_k''(x) < 0\) für \(x < k\) (Rechtskrümmung) und \(f_k''(x) > 0\) für \(x > k\) (Linkskrümmung). Somit liegt ein Wechsel von Rechts- nach Linkskrümmung vor. 4. Extrema: \(f_k'(x) = 3x(x - 2k) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\). 5. Art und Lage der Extrema: \(f_k''(0) = -6k < 0\) und \(f_k(0) = 2\). Daher liegt der Hochpunkt bei \(H(0 \mid 2)\). Außerdem gilt \(f_k''(2k) = 6k > 0\) und \(f_k(2k) = 2 - 4k^3\). Daher liegt der Tiefpunkt bei \(T(2k \mid 2 - 4k^3)\).

a) Die einzige Stelle mit Krümmungswechsel ist die Wendestelle \(x_W = k\). b) Für \(x < k\) ist \(f_k''(x) < 0\) (Rechtskrümmung), für \(x > k\) ist \(f_k''(x) > 0\) (Linkskrümmung). c) Der Hochpunkt liegt bei \(H(0 \mid 2)\), der Tiefpunkt bei \(T(2k \mid 2 - 4k^3)\).

- Erinnere dich an die notwendige und hinreichende Bedingung für Wendestellen. - Wie verhält sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung bei einer Rechts- bzw. Linkskrümmung? - Um ein Extremum nachzuweisen, betrachte die erste Ableitung für die Steigung null und die zweite Ableitung für die Art des Extremums.

1. Ableitungen berechnen: \(h_a'(x) = ax^2 - 4x\), \(h_a''(x) = 2ax - 4\), \(h_a'''(x) = 2a\). 2. Wendestelle nachweisen: \(h_a''(x) = 0 \implies 2ax = 4 \implies x_W = \frac{2}{a}\). Da \(a > 0\), ist \(h_a'''(\frac{2}{a}) = 2a \neq 0\), also liegt dort eine Wendestelle vor. 3. Krümmungsintervalle: Für \(x < \frac{2}{a}\) ist \(2ax < 4\), also \(h_a''(x) < 0\) (Rechtskrümmung). Für \(x > \frac{2}{a}\) ist \(2ax > 4\), also \(h_a''(x) > 0\) (Linkskrümmung). 4. Lokales Maximum: \(h_a'(0) = a \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 = 0\) und \(h_a''(0) = -4 < 0\). Damit ist bei \(x = 0\) ein lokales Maximum nachgewiesen. 5. Lokales Minimum: \(h_a'(x) = x(ax - 4) = 0\) liefert neben \(x = 0\) die Stelle \(x_{min} = \frac{4}{a}\). Wegen \(h_a''(\frac{4}{a}) = 2a(\frac{4}{a}) - 4 = 4 > 0\) liegt dort ein lokales Minimum vor.

a) Die Wendestelle ergibt sich aus \(h_a''(x) = 0\) zu \(x_W = \frac{2}{a}\). b) Für \(x < \frac{2}{a}\) ist der Graph rechtsgekrümmt, für \(x > \frac{2}{a}\) ist er linksgekrümmt. c) Das lokale Maximum liegt bei \(x = 0\) (da \(h_a''(0) = -4 < 0\)). Das lokale Minimum befindet sich an der Stelle \(x = \frac{4}{a}\).

- Überlege dir bei den Aussagen, ob es sich um notwendige oder hinreichende Bedingungen handelt. - Ein Gegenbeispiel muss alle Voraussetzungen der Aussage erfüllen, aber die Folgerung widerlegen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung der Ableitungsfunktion und der Krümmung des Graphen. - Wie sieht der Graph von \(f(x) = x^4\) an der Stelle \(0\) aus und was sagen die Ableitungen dort aus?

1. Aussage a) ist wahr. Gemäß dem Krümmungskriterium bedeutet eine positive zweite Ableitung im gesamten Intervall, dass die Steigung der Tangenten streng monoton zunimmt, was einer Linkskrümmung entspricht. 2. Aussage b) ist falsch. Die Bedingung \(f''(x_0) = 0\) ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend für eine Wendestelle. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^4\) bei \(x_0 = 0\); hier ist \(f''(0) = 0\), aber die Funktion hat dort einen Tiefpunkt und keinen Krümmungswechsel (keine Wendestelle). 3. Aussage c) ist wahr. Dies entspricht dem hinreichenden Kriterium für lokale Extrema: Wenn die erste Ableitung null ist (waagerechte Tangente) und die zweite Ableitung negativ ist (Rechtskrümmung), liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor.

a) Wahr b) Falsch (Gegenbeispiel: \(f(x) = x^4\) bei \(x_0 = 0\)) c) Wahr

- Es kann hilfreich sein, den Funktionsterm zuerst auszumultiplizieren, bevor du mit dem Ableiten beginnst. - Welche Bedingung muss für die zweite Ableitung an einer Wendestelle gelten? - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer quadratischen Gleichung für die zweite Ableitung? - Vergiss nicht zu prüfen, ob an den berechneten Stellen wirklich ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vorliegt.

1. Ausmultiplizieren des Funktionsterms zur Vereinfachung der Ableitungsbildung: \(g(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^3 + 3x^2\) 2. Bestimmung der Ableitungen: \(g'(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x\) \(g''(x) = 3x^2 - 9x + 6\) \(g'''(x) = 6x - 9\) 3. Lösen der Gleichung \(g''(x) = 0\): \(3(x^2 - 3x + 2) = 0\) Anwendung der Mitternachtsformel oder des Satzes von Vieta ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(g'''(1) = 6 \cdot 1 - 9 = -3 \neq 0\) \(g'''(2) = 6 \cdot 2 - 9 = 3 \neq 0\) An beiden Stellen liegt ein Krümmungswechsel vor.

Die Funktion \(g\) besitzt Wendestellen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\).

- Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines Wendepunkts erfüllt sein? - Wie hängen die Steigung einer Tangente und die Ableitungsfunktion zusammen? - Was unterscheidet einen allgemeinen Wendepunkt von einem speziellen Terrassenpunkt (Sattelpunkt)? - Denk daran, dass für einen Terrassenpunkt eine zusätzliche Bedingung an die erste Ableitung geknüpft ist.

1. Ableitungen der Funktion bilden: \(f'(x) = \frac{1}{4}x^2 - 2x + 3\), \(f''(x) = \frac{1}{2}x - 2\) und \(f'''(x) = \frac{1}{2}\). 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen \(f''(x) = 0\) anwenden: \(\frac{1}{2}x - 2 = 0 \implies x_w = 4\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f'''(4) = \frac{1}{2} \neq 0\), somit liegt bei \(x_w = 4\) eine Wendestelle vor. 4. Koordinaten des Wendepunkts bestimmen: \(f(4) = \frac{1}{12} \cdot 4^3 - 4^2 + 3 \cdot 4 - 1 = \frac{16}{3} - 16 + 12 - 1 = \frac{1}{3}\). Der Wendepunkt ist \(W(4 \mid \frac{1}{3})\). 5. Steigung der Wendetangente berechnen: \(f'(4) = \frac{1}{4} \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\). 6. Prüfung auf Terrassenpunkt: Da die Steigung im Wendepunkt \(f'(4) = -1 \neq 0\) ist, handelt es sich nicht um einen Terrassenpunkt.

a) \(W(4 \mid \frac{1}{3})\) b) \(m = -1\) c) Nein, da die Steigung im Wendepunkt ungleich Null ist (\(f'(4) = -1\)).

- Wie findet man mathematisch die Punkte, an denen sich die Krümmung ändert? - Denke an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der zweiten Ableitung und der Art der Krümmung. - Wenn eine Kurve eine „Linkskurve“ beschreibt, was passiert dann mit dem Winkel der Tangente, wenn man die Kurve von links nach rechts abfährt? - Nutze eine Teststelle innerhalb des Intervalls, um das Vorzeichen der zweiten Ableitung schnell zu prüfen.

1. Bildung der Ableitungen: \(g'(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x\) und \(g''(x) = -x^2 + 2\). 2. Berechnung der potenziellen Wendestellen durch Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(-x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_1 = -\sqrt{2} \approx -1{,}41\) und \(x_2 = \sqrt{2} \approx 1{,}41\). 3. Prüfung des Krümmungsverhaltens: Die zweite Ableitung \(g''(x) = -x^2 + 2\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Zwischen den Nullstellen (also für \(x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})\)) sind die Funktionswerte von \(g''\) positiv (\(g''(x) > 0\)). 4. Nachweis der Krümmung: Da \(g''(x) > 0\) für alle \(x\) im Intervall \((-\sqrt{2}; \sqrt{2})\) gilt, ist der Graph dort definitionsgemäß linksgekrümmt. 5. Interpretation: Eine Linkskrümmung bedeutet, dass die Tangentensteigung \(g'(x)\) mit zunehmendem \(x\) ansteigt. Die Steigung der Kurve nimmt also kontinuierlich zu (wird „steiler“ im positiven Sinne oder „weniger steil“ im negativen Sinne).

a) Die Krümmung ändert sich an den Stellen \(x_1 = -\sqrt{2}\) und \(x_2 = \sqrt{2}\). b) Da \(g''(x) = -x^2 + 2\) im Intervall \((-\sqrt{2}; \sqrt{2})\) größer als Null ist, liegt eine Linkskrümmung vor. Dies bedeutet, dass die Tangentensteigung \(g'\) in diesem Intervall streng monoton zunimmt.

- Welche Ableitungen benötigst du, um Wendestellen zu finden? - Wie lautet die notwendige Bedingung für eine Wendestelle? - Erinnerst du dich an die allgemeine Geradengleichung für eine Tangente an einem Punkt? - Wodurch zeichnet sich ein Terrassenpunkt im Vergleich zu einem gewöhnlichen Wendepunkt aus?

1. Erste drei Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x\), \(f''(x) = 3x^2 - 3\), \(f'''(x) = 6x\). 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen \(f''(x) = 0\) liefert \(3x^2 = 3\), also \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f'''(-1) = -6 \neq 0\) und \(f'''(1) = 6 \neq 0\). Es liegen zwei Wendepunkte vor. 4. Koordinaten berechnen: \(f(-1) = -1{,}25\) und \(f(1) = -1{,}25\). Die Wendepunkte sind \(W_1(-1 \mid -1{,}25)\) und \(W_2(1 \mid -1{,}25)\). 5. Steigungen berechnen: \(f'(-1) = 2\) und \(f'(1) = -2\). Da beide Steigungen ungleich Null sind, liegt kein Terrassenpunkt vor. 6. Wendetangenten aufstellen: Für \(W_1\) gilt \(y = 2(x + 1) - 1{,}25 = 2x + 0{,}75\). Für \(W_2\) gilt \(y = -2(x - 1) - 1{,}25 = -2x + 0{,}75\).

Wendepunkte: \(W_1(-1 \mid -1{,}25)\) und \(W_2(1 \mid -1{,}25)\). Wendetangenten: \(t_1: y = 2x + 0{,}75\) und \(t_2: y = -2x + 0{,}75\). Es liegen keine Terrassenpunkte vor.

- Wie viele Ableitungen musst du bilden, um die Krümmung und Wendepunkte zu untersuchen? - Überlege, welche Bedingung die Steigung an einem Terrassenpunkt erfüllen muss. - Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt einer Tangente, wenn Steigung und Punkt bekannt sind?

1. Ableitungen bestimmen: \(g'(x) = 4x^3 - 12x^2\), \(g''(x) = 12x^2 - 24x\), \(g'''(x) = 24x - 24\). 2. Wendestellen finden: \(g''(x) = 0 \implies 12x(x - 2) = 0\), daraus folgen die Kandidaten \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(g'''(0) = -24 \neq 0\) (Wendestelle) und \(g'''(2) = 24 \neq 0\) (Wendestelle). 4. Funktionswerte und Steigungen: \(g(0) = 0\), \(g'(0) = 0\) sowie \(g(2) = -16\), \(g'(2) = -16\). 5. Terrassenpunkt: Da \(g'(0) = 0\) ist, ist \(W_1(0 \mid 0)\) ein Terrassenpunkt. Bei \(x_2 = 2\) ist \(g'(2) \neq 0\), also liegt dort kein Terrassenpunkt vor. 6. Tangentengleichungen: Bei \(x_1 = 0\) ist die Tangente \(y = 0 \cdot (x - 0) + 0\), also \(y = 0\). Bei \(x_2 = 2\) ist die Tangente \(y = -16(x - 2) - 16\), also \(y = -16x + 16\).

Wendepunkte: \(W_1(0 \mid 0)\) und \(W_2(2 \mid -16)\). Wendetangenten: \(t_1: y = 0\) und \(t_2: y = -16x + 16\). Der Punkt \(W_1(0 \mid 0)\) ist ein Terrassenpunkt.

- Welche Ableitungen benötigst du, um die Krümmung einer Funktion zu untersuchen? - Wie lautet die Bedingung für eine mögliche Wendestelle? - Denk daran, dass der Parameter \(t\) beim Ableiten wie eine normale Zahl behandelt wird. - Wie erhältst du den passenden Funktionswert, wenn du die Stelle \(x\) bereits kennst?

1. Ableitungen bilden: \(g_t'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2tx + 10\), \(g_t''(x) = x - 2t\), \(g_t'''(x) = 1\). 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen: \(g_t''(x) = 0 \implies x - 2t = 0 \implies x_w = 2t\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: Da \(g_t'''(2t) = 1 \neq 0\), liegt bei \(x_w = 2t\) ein Wendepunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(g_t(2t) = \frac{1}{6}(2t)^3 - t(2t)^2 + 10(2t) = \frac{8}{6}t^3 - 4t^3 + 20t = \frac{4}{3}t^3 - \frac{12}{3}t^3 + 20t = -\frac{8}{3}t^3 + 20t\). 5. Koordinaten angeben: \(W_t(2t \mid -\frac{8}{3}t^3 + 20t)\).

\(W_t(2t \mid -\frac{8}{3}t^3 + 20t)\)

- Bestimme zuerst die ersten beiden Ableitungen der Funktion nach \(x\). - Setze die zweite Ableitung gleich Null, um die Stelle \(x\) in Abhängigkeit von \(k\) zu finden. - Achte beim Einsetzen von \(x\) in die Funktionsgleichung besonders auf die Potenzgesetze und die Vorzeichen. - Warum muss in der Aufgabenstellung \(k \neq 0\) vorausgesetzt werden?

1. Erste drei Ableitungen bestimmen: \(h_k'(x) = 3kx^2 + 18x\), \(h_k''(x) = 6kx + 18\), \(h_k'''(x) = 6k\). 2. Wendestelle berechnen: \(h_k''(x) = 0 \implies 6kx + 18 = 0 \implies x_w = -\frac{18}{6k} = -\frac{3}{k}\). 3. Hinreichende Bedingung: Da \(k \neq 0\), ist \(h_k'''(-\frac{3}{k}) = 6k \neq 0\), somit existiert ein Wendepunkt. 4. Funktionswert bestimmen: \(h_k(-\frac{3}{k}) = k \cdot (-\frac{3}{k})^3 + 9 \cdot (-\frac{3}{k})^2 - 5 = k \cdot (-\frac{27}{k^3}) + 9 \cdot \frac{9}{k^2} - 5 = -\frac{27}{k^2} + \frac{81}{k^2} - 5 = \frac{54}{k^2} - 5\). 5. Ergebnis: \(W_k(-\frac{3}{k} \mid \frac{54}{k^2} - 5)\).

\(W_k(-\frac{3}{k} \mid \frac{54}{k^2} - 5)\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Bestimme zuerst die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts, indem du die notwendige Bedingung für Wendestellen nutzt. - Berechne anschließend den zugehörigen Funktionswert in Abhängigkeit von \(k\). - Welche Bedingung muss für diesen Funktionswert erfüllt sein, damit der Punkt auf der \(x\)-Achse liegt?

1. Bestimmung der Ableitungen: \(g_k'(x) = 3x^2 - 6x\) \(g_k''(x) = 6x - 6\) 2. Berechnung der Wendestelle durch Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(6x - 6 = 0 \implies x_W = 1\) (Überprüfung: \(g_k'''(1) = 6 \neq 0\), also liegt ein Wendepunkt vor.) 3. Bedingung für die Lage auf der \(x\)-Achse: Der Funktionswert an der Wendestelle muss Null sein (\(g_k(1) = 0\)). \(g_k(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + k = 0\) \(1 - 3 + k = 0\) \(-2 + k = 0 \implies k = 2\)

\(k = 2\)

- Wie findet man die Wendestelle einer Funktion, wenn ein Parameter enthalten ist? - Welche Ableitungen sind für die Krümmung und Wendepunkte relevant? - Ein Punkt liegt auf dem Graphen, wenn seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. Wie kannst du das hier nutzen? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Stelle \(x_W\) und dem Funktionswert \(f(x_W)\)?

1. Ableitungsfunktionen bestimmen: \(f_a'(x) = 3x^2 - 6ax\) und \(f_a''(x) = 6x - 6a\). 2. Bedingung für Wendestellen ansetzen: \(f_a''(x) = 0 \Rightarrow 6x - 6a = 0 \Rightarrow x_W = a\). 3. Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(f_a'''(x) = 6 \neq 0\), somit liegt an der Stelle \(x_W = a\) stets ein Wendepunkt vor. 4. Bedingung für die \(y\)-Koordinate des Wendepunkts nutzen: \(f_a(x_W) = 6\). 5. Einsetzen und Gleichung lösen: \(f_a(a) = a^3 - 3a^2 \cdot a + 4 = -2a^3 + 4 = 6\). 6. Berechnung von \(a\): \(-2a^3 = 2 \Rightarrow a^3 = -1 \Rightarrow a = -1\).

\(a = -1\)

- Wie findet man die Stellen eines Graphen, an denen sich das Krümmungsverhalten ändert? - Welche Ableitungen benötigst du für die Bestimmung eines Wendepunkts? - Die Tangente ist eine Gerade. Welche Informationen (Punkt und Steigung) brauchst du für ihre Gleichung? - Skizziere die Tangente in einem Koordinatensystem, um die Lage der Schnittpunkte mit den Achsen zu visualisieren. - Das Dreieck ist rechtwinklig, da die Koordinatenachsen senkrecht aufeinanderstehen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3x\), \(f''(x) = \frac{3}{2}x - 3\), \(f'''(x) = \frac{3}{2}\). 2. Wendestelle bestimmen: \(f''(x) = 0 \Rightarrow \frac{3}{2}x - 3 = 0 \Rightarrow x_W = 2\). Da \(f'''(2) \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. 3. Koordinaten des Wendepunkts: \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 8 - \frac{3}{2} \cdot 4 + 2 = 2 - 6 + 2 = -2\), also \(W(2 \mid -2)\). 4. Steigung der Wendetangente: \(m = f'(2) = \frac{3}{4} \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 3 - 6 = -3\). 5. Gleichung der Wendetangente \(t\): \(y = -3 \cdot (x - 2) - 2 \Rightarrow y = -3x + 4\). 6. Schnittpunkte mit den Achsen: Für \(A\) setze \(y = 0 \Rightarrow 0 = -3x + 4 \Rightarrow x_A = \frac{4}{3}\), also \(A(\frac{4}{3} \mid 0)\). Für \(B\) setze \(x = 0 \Rightarrow y_B = 4\), also \(B(0 \mid 4)\). 7. Flächeninhalt des Dreiecks \(OAB\): \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot |x_A| \cdot |y_B| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}\,\text{FE} \approx 2{,}67\,\text{FE}\).

a) Wendepunkt \(W(2 \mid -2)\), Wendetangente \(t: y = -3x + 4\) b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(\frac{8}{3}\,\text{FE} \approx 2{,}67\,\text{FE}\).

- Welche Ableitungen benötigst du, um Wendestellen zu finden? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Symmetrie weist die Funktion auf und was bedeutet das für die Lage der Wendepunkte? - Wie findet man den gemeinsamen Punkt zweier linearer Funktionen?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 2x^3 - 6x\), \(f''(x) = 6x^2 - 6\), \(f'''(x) = 12x\). 2. Wendestellen bestimmen: \(f''(x) = 0 \implies 6x^2 = 6 \implies x_1 = 1, x_2 = -1\). Da \(f'''(\pm 1) \neq 0\), liegen Wendepunkte vor. 3. Koordinaten und Steigungen berechnen: \(f(1) = -2{,}5\) und \(f'(1) = -4\); \(f(-1) = -2{,}5\) und \(f'(-1) = 4\). Die Wendepunkte sind \(W_1(1 \mid -2{,}5)\) und \(W_2(-1 \mid -2{,}5)\). 4. Tangentengleichungen aufstellen: \(t_1: y = -4(x - 1) - 2{,}5 = -4x + 1{,}5\) und \(t_2: y = 4(x + 1) - 2{,}5 = 4x + 1{,}5\). 5. Schnittpunkt berechnen: Gleichsetzen \(4x + 1{,}5 = -4x + 1{,}5 \implies 8x = 0 \implies x = 0\). Einsetzen liefert \(y = 1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S(0 \mid 1{,}5)\).

\(S(0 \mid 1{,}5)\)

- Was bedeutet "Wachstumsrate" im Kontext der Ableitung einer Bestandsfunktion? - Wie unterscheidet sich die Berechnung für ein Zeitintervall von der für einen Zeitpunkt? - Wenn du die größte Wachstumsrate suchst, suchst du das Maximum der Steigungsfunktion. Welches Werkzeug nutzt man zur Extremwertbestimmung?

1. Berechnung der mittleren Wachstumsrate im Intervall \([0; 5]\): \(B(0) = 100\) \(B(5) = 100 + 20 \cdot 5^2 - 5^3 = 100 + 500 - 125 = 475\) \(\frac{B(5) - B(0)}{5 - 0} = \frac{475 - 100}{5} = \frac{375}{5} = 75\,\text{Bakterien/h}\) 2. Berechnung der momentanen Wachstumsrate mittels der ersten Ableitung: \(B'(t) = 40t - 3t^2\) \(B'(5) = 40 \cdot 5 - 3 \cdot 5^2 = 200 - 75 = 125\,\text{Bakterien/h}\) 3. Bestimmung des Maximums der Wachstumsrate \(B'(t)\): Untersuchung der zweiten Ableitung \(B''(t) = 40 - 6t\). Setze \(B''(t) = 0 \implies 40 - 6t = 0 \implies t = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\). Da \(B'''(t) = -6 < 0\), liegt bei \(t = \frac{20}{3}\) ein lokales Maximum der Wachstumsrate vor.

a) Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(75\,\text{Bakterien/h}\). b) Die momentane Wachstumsrate beträgt \(125\,\text{Bakterien/h}\). c) Die momentane Wachstumsrate ist zum Zeitpunkt \(t = \frac{20}{3}\,\text{h} \approx 6{,}67\,\text{h}\) am größten. Dies entspricht dem Maximum der ersten Ableitung (Wendepunkt der Bestandsfunktion).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung und der Krümmung einer Funktion. - Suche zuerst nach den Stellen, an denen sich das Krümmungsverhalten ändern könnte. - Überprüfe das Vorzeichen der zweiten Ableitung in den Bereichen zwischen diesen Stellen. - Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen der zweiten Ableitung für den Kurvenverlauf?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2\). 2. Berechnung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = x^3 - x\). 3. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung zur Identifikation möglicher Wendestellen: \(x^3 - x = 0 \iff x(x^2 - 1) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 1\). 4. Untersuchung des Vorzeichens von \(f''(x)\) in den durch die Nullstellen definierten Intervallen: - Für \(x < -1\) ist \(f''(x) < 0\) (z. B. \(f''(-2) = -6\)), also liegt eine Rechtskurve vor. - Für \(-1 < x < 0\) ist \(f''(x) > 0\) (z. B. \(f''(-0{,}5) = 0{,}375\)), also liegt eine Linkskurve vor. - Für \(0 < x < 1\) ist \(f''(x) < 0\) (z. B. \(f''(0{,}5) = -0{,}375\)), also liegt eine Rechtskurve vor. - Für \(x > 1\) ist \(f''(x) > 0\) (z. B. \(f''(2) = 6\)), also liegt eine Linkskurve vor.

Der Graph von \(f\) ist im Intervall \((-1; 0)\) und im Intervall \((1; \infty)\) linksgekrümmt (Linkskurve). Der Graph von \(f\) ist im Intervall \((-\infty; -1)\) und im Intervall \((0; 1)\) rechtsgekrümmt (Rechtskurve).

- Welche Ableitung benötigst du, um Aussagen über Wendepunkte zu treffen? - Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion maximal haben? - Reicht es aus, nur die Nullstellen der Ableitung zu finden, oder musst du noch etwas über den Vorzeichenwechsel sagen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Form der Parabel der zweiten Ableitung und ihren Nullstellen.

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung der Funktion \(f\): \(f'(x) = \frac{1}{24}(4x^3 - 6x^2 - 72x)\) \(f''(x) = \frac{1}{24}(12x^2 - 12x - 72) = \frac{1}{2}(x^2 - x - 6)\) 2. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung (notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\)): \(x^2 - x - 6 = 0\) ergibt mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung \((x-3)(x+2) = 0\) die Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 3. Überprüfung des Krümmungswechsels (hinreichende Bedingung): Da \(f''\) eine nach oben geöffnete Parabel mit zwei einfachen Nullstellen ist, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) statt (von positiv zu negativ bei \(x = -2\) und von negativ zu positiv bei \(x = 3\)). Alternativ gilt für die dritte Ableitung \(f'''(x) = x - 0{,}5\), dass \(f'''(3) = 2{,}5 \neq 0\) und \(f'''(-2) = -2{,}5 \neq 0\). Somit liegen genau zwei Wendestellen und damit genau zwei Wendepunkte vor.

Die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 3\) ist eine quadratische Funktion. Ihre Nullstellen liegen bei \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). Da es sich um zwei einfache Nullstellen einer Parabel handelt, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt, was die Existenz von genau zwei Wendepunkten bestätigt.

- Was bedeutet eine „Änderung des Krümmungsverhaltens“ für die zweite Ableitung? - Wie kannst du die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Gleichung bestimmen, ohne sie unbedingt exakt ausrechnen zu müssen? - Welche Bedingung muss an einer Stelle erfüllt sein, damit dort tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt?

1. Ableitungen bilden: \(g'(x) = 0{,}4x^3 + 2{,}4x^2 - 1{,}2x\) \(g''(x) = 1{,}2x^2 + 4{,}8x - 1{,}2\) 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen (\(g''(x) = 0\)): \(1{,}2(x^2 + 4x - 1) = 0 \iff x^2 + 4x - 1 = 0\) Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 + 1} = -2 \pm \sqrt{5}\). Dies ergibt zwei unterschiedliche reelle Werte: \(x_1 \approx 0{,}236\) und \(x_2 \approx -4{,}236\). 3. Begründung des Krümmungswechsels: Die zweite Ableitung \(g''\) ist eine quadratische Funktion (Parabel). Da die Diskriminante \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 20\) positiv ist, hat die Parabel genau zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. An jeder dieser einfachen Nullstellen wechselt \(g''(x)\) das Vorzeichen, was jeweils eine Änderung des Krümmungsverhaltens (von Linkskrümmung zu Rechtskrümmung oder umgekehrt) bedeutet. Folglich gibt es genau zwei solcher Stellen.

Die Untersuchung der zweiten Ableitung \(g''(x) = 1{,}2x^2 + 4{,}8x - 1{,}2\) zeigt, dass die zugehörige quadratische Gleichung eine positive Diskriminante (\(D = 20\)) besitzt. Daraus folgen zwei unterschiedliche Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, was genau zwei Stellen mit Krümmungsänderung entspricht.

- Wie hängen die Krümmung einer Kurve und das Vorzeichen der zweiten Ableitung zusammen? - Wie findest du die Stellen, an denen sich das Krümmungsverhalten ändern könnte? - Was passiert mit der Krümmung genau an dem Punkt, an dem sie von einem negativen zu einem positiven Wert wechselt? - Erinnere dich an die zweite Ableitung einer Geraden.

1. Berechnung der Ableitungen: \(f'(x) = \frac{1}{3}x^3 - x\) und \(f''(x) = x^2 - 1\). 2. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung: \(x^2 - 1 = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = 1\). 3. Untersuchung der Intervalle: - Für \(x < -1\) ist \(f''(x) > 0\) (z. B. \(f''(-2) = 3\)), also Linkskurve. - Für \(-1 < x < 1\) ist \(f''(x) < 0\) (z. B. \(f''(0) = -1\)), also Rechtskurve. - Für \(x > 1\) ist \(f''(x) > 0\) (z. B. \(f''(2) = 3\)), also Linkskurve. 4. Analyse der Übergangsstellen: An den Stellen \(x = \pm 1\) ist \(f''(x) = 0\). Hier liegt punktuell keine Krümmung vor (Krümmung Null). 5. Vergleich: An diesen Wendestellen ist die Krümmung nur punktuell null. Bei einer Geraden ist die Krümmung dagegen an jeder Stelle null.

Der Graph ist eine Linkskurve für \(x \in (-\infty; -1)\) und \(x \in (1; \infty)\) sowie eine Rechtskurve für \(x \in (-1; 1)\). An den Stellen \(x = -1\) und \(x = 1\) ist die Krümmung punktuell null. Im Unterschied dazu ist die Krümmung einer Geraden überall null.

- Was muss für die zweite Ableitung an einer Wendestelle gelten? - Wie hängen die Extremstellen der ersten Ableitung mit den Wendestellen der Originalfunktion zusammen? - Wenn eine Funktion an einer Stelle ein lokales Minimum von Null hat und sonst nur positive Werte annimmt, findet dann ein Vorzeichenwechsel statt? - Untersuche die Steigung der ersten Ableitung (also die zweite Ableitung) auf ihr Vorzeichen in der Umgebung der kritischen Stelle.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x\) und \(f''(x) = 12x^2 - 24x + 12\). 2. Extremstellen von \(f\): \(f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 3) = 0\). Die Klammer hat keine reellen Nullstellen (\(D = 9 - 12 = -3\)), also ist \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f'\). Da \(f''(0) = 12 > 0\), liegt bei \(x = 0\) ein relatives Minimum vor. 3. Untersuchung auf Wendestellen: \(f''(x) = 12(x-1)^2\). Es gilt \(f''(1) = 0\). 4. Monotonie von \(f''\): Die Ableitung von \(f''\) ist \(f'''(x) = 24x - 24\). Für \(x < 1\) ist \(f'''(x) < 0\) (\(f''\) fallend) und für \(x > 1\) ist \(f'''(x) > 0\) (\(f''\) steigend). Somit hat \(f''\) bei \(x = 1\) ein lokales Minimum mit dem Wert \(f''(1) = 0\). 5. Schlussfolgerung: Da \(f''(1) = 0\) ein Minimum ist, gilt \(f''(x) \geq 0\) für alle \(x\). Die Steigungsfunktion \(f'\) ist daher auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend und besitzt bei \(x = 1\) keine Extremstelle. Ohne Extremstelle der ersten Ableitung liegt bei \(f\) an dieser Stelle keine Wendestelle vor.

a) \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x\); \(f''(x) = 12x^2 - 24x + 12\) b) Relatives Minimum bei \(x = 0\). c) Keine Wendestelle bei \(x = 1\), da \(f''\) dort ein lokales Minimum hat und somit keinen Vorzeichenwechsel vollzieht (bzw. \(f'\) dort keine Extremstelle hat).

- Wie hängen das Vorzeichen der zweiten Ableitung und das Krümmungsverhalten zusammen? - Untersuche die Teilfunktionen einzeln in ihren jeweiligen Definitionsbereichen. - Achte besonders auf die Stelle, an der die Definition der Funktion wechselt. Ist die Funktion dort glatt (differenzierbar)? - Bestimme zuerst die Stellen, an denen die zweite Ableitung null ist oder sich ihr Vorzeichen ändern könnte.

1. Untersuchung des Bereichs \(x < 0\): Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 6x + 12\). Die Nullstelle der zweiten Ableitung liegt bei \(x = -2\). Für \(x < -2\) gilt \(f''(x) < 0\) (Rechtskurve), für \(-2 < x < 0\) gilt \(f''(x) > 0\) (Linkskurve). 2. Untersuchung des Bereichs \(x \geq 0\): Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 4\). Da \(f''(x) > 0\) für alle \(x > 0\), liegt hier eine Linkskurve vor. 3. Überprüfung des Übergangs bei \(x = 0\): Die Funktion ist an der Stelle \(x = 0\) differenzierbar, da die einseitigen Ableitungen übereinstimmen und \(f'(0) = 0\) gilt. Die zweite Ableitung existiert dort jedoch nicht: Für \(x \to 0^-\) gilt \(f''(x) \to 12\), für \(x \to 0^+\) gilt \(f''(x) = 4\). Daher wird \(x = 0\) bei der Angabe der Krümmungsintervalle ausgeschlossen. 4. Zusammenfassung der Intervalle: Der Graph ist im Intervall \((-\infty; -2)\) rechtsgekrümmt und in den Intervallen \((-2; 0)\) und \((0; \infty)\) linksgekrümmt.

Linkskurve: \((-2; 0)\) und \((0; \infty)\) Rechtskurve: \((-\infty; -2)\)

- Welche Eigenschaft müssen die Exponenten einer ganzrationalen Funktion haben, damit Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für die Existenz einer Wendestelle. - Was passiert mit den Konstanten und den Potenzen von \(x\), wenn du die Funktion ableitest?

1. Für die Punktsymmetrie zum Ursprung dürfen bei einer ganzrationalen Funktion nur ungerade Exponenten vorkommen. Daraus folgt direkt \(b = 0\) und \(d = 0\). 2. Die Funktion lautet somit \(f(x) = ax^3 + cx\). 3. Die ersten drei Ableitungen sind: \(f'(x) = 3ax^2 + c\), \(f''(x) = 6ax\) und \(f'''(x) = 6a\). 4. Notwendige Bedingung für eine Wendestelle: \(f''(x) = 0 \implies 6ax = 0\). Da \(a \neq 0\), folgt \(x = 0\). 5. Hinreichende Bedingung: \(f'''(0) = 6a\). Da \(a \neq 0\), ist \(f'''(0) \neq 0\). Somit liegt bei \(x = 0\) (dem Ursprung) stets eine Wendestelle vor.

a) \(b = 0\) und \(d = 0\), da bei Punktsymmetrie zum Ursprung nur ungerade Exponenten auftreten dürfen. b) Mit \(f''(x) = 6ax\) ist \(f''(0) = 0\). Da \(f'''(x) = 6a \neq 0\) für \(a \neq 0\), ist die Stelle \(x = 0\) immer eine Wendestelle.

- Überlege dir zuerst, ob der Funktionswert steigt oder fällt. Was sagt das über die erste Ableitung aus? - Wenn eine Bewegung „gebremst“ wird, wie verändert sich dann die Steigung im Koordinatensystem? Wird sie steiler oder flacher? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung und dem Krümmungstyp (links- oder rechtsgekrümmt). - Welche Art von Punkt trennt zwei Bereiche mit unterschiedlicher Krümmung?

1. Der Begriff „Talfahrt“ bedeutet, dass die Aktienkurse sinken. Mathematisch entspricht dies einer negativen Steigung des Funktionsgraphen, also gilt \(f'(t) < 0\). 2. „Gebremst“ bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Sinkens abnimmt. Die negativen Steigungswerte werden also betragsmäßig kleiner, was mathematisch einem Anstieg der Steigungswerte entspricht (sie werden „weniger negativ“). Somit muss die Änderung der Steigung positiv sein, also \(f''(t) > 0\). 3. Da \(f''(t) > 0\) gilt, weist der Graph in dieser Phase eine Linkskrümmung (positiv gekrümmt) auf. Der Übergang von einer sich beschleunigenden Talfahrt (\(f'' < 0\), Rechtskrümmung) zu einer gebremsten Talfahrt (\(f'' > 0\), Linkskrümmung) markiert den Punkt der maximalen Sinkgeschwindigkeit und wird mathematisch als Wendepunkt bezeichnet.

1. Die erste Ableitung ist negativ: \(f'(t) < 0\). 2. Die zweite Ableitung ist positiv: \(f''(t) > 0\). 3. In der gebremsten Phase ist der Graph linksgekrümmt. Der Übergangspunkt ist ein Wendepunkt (speziell der Punkt mit der minimalen Steigung).

- Welche Ableitung ist für die Untersuchung von Wendepunkten entscheidend? - Überlege dir, unter welcher Bedingung eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = c\) zwei Lösungen hat. - Reicht es aus, dass die zweite Ableitung Null wird, oder muss noch eine weitere Bedingung erfüllt sein? - Wie sieht der Graph der zweiten Ableitung aus und was bedeutet das für den Vorzeichenwechsel?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = 2x^3 + 2kx + 7\) 2. Berechnung der zweiten Ableitung: \(f_k''(x) = 6x^2 + 2k\) 3. Ansatz für Wendestellen: \(f_k''(x) = 0 \implies 6x^2 + 2k = 0 \implies x^2 = -\frac{k}{3}\) 4. Bedingung für zwei Wendestellen: Damit die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen besitzt, muss der Term \(-\frac{k}{3}\) größer als Null sein, also \(k < 0\). Da \(f_k''(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, findet an beiden Nullstellen ein Vorzeichenwechsel statt, sodass tatsächlich zwei Wendepunkte vorliegen.

Die Funktion \(f_k\) besitzt genau dann zwei Wendepunkte, wenn \(k < 0\) gilt.

- Überlege dir zuerst, wie die Funktion lautet, deren Minimum du suchst. - Wie findet man allgemein die Tiefpunkte einer Funktion mithilfe von Ableitungen? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Grenzkostenfunktion und der ursprünglichen Kostenfunktion? - Denke daran, dass du die notwendige Bedingung (Ableitung gleich Null) und die hinreichende Bedingung prüfen musst.

1. Bildung der Grenzkostenfunktion durch die erste Ableitung der Kostenfunktion: \( K'(x) = \frac{1}{100}x^2 - x + 40 \). 2. Bestimmung der Extremstelle der Grenzkostenfunktion durch die Ableitungen von \( K' \), also die zweite und dritte Ableitung der Kostenfunktion: \( K''(x) = \frac{1}{50}x - 1 \) und \( K'''(x) = \frac{1}{50} \). 3. Nullsetzen der zweiten Ableitung zur Ermittlung der potenziellen Extremstelle: \( \frac{1}{50}x - 1 = 0 \implies x = 50 \). 4. Überprüfung der Art des Extremums: Da \( K'''(50) = \frac{1}{50} > 0 \), liegt an der Stelle \( x = 50 \) ein lokales Minimum der Grenzkostenfunktion vor. 5. Berechnung des minimalen Grenzkostenwerts: \( K'(50) = \frac{1}{100} \cdot 50^2 - 50 + 40 = 25 - 50 + 40 = 15 \). Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \( 50\,\text{ME} \) minimal und betragen dort \( 15\,\text{€}/\text{ME} \).

Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \( x = 50\,\text{ME} \) minimal. Der Wert der minimalen Grenzkosten beträgt \( 15\,\text{€}/\text{ME} \).

- Welche mathematische Bedingung muss für einen Wendepunkt erfüllt sein? - Erinnere dich daran, dass die Steigung einer Funktion durch ihre erste Ableitung beschrieben wird. - Was bedeutet es für die Steigung, wenn eine Kurve ihre Krümmung ändert? - Wie hängen die Extremstellen der Ableitungsfunktion mit den besonderen Punkten der Originalfunktion zusammen?

1. Ableitungen der Kostenfunktion berechnen: \( K'(x) = 6x^2 - 72x + 300 \), \( K''(x) = 12x - 72 \), \( K'''(x) = 12 \). 2. Wendestelle bestimmen: Bedingung \( K''(x) = 0 \implies 12x - 72 = 0 \implies x = 6 \). Da \( K'''(6) = 12 \neq 0 \), liegt bei \( x = 6 \) ein Wendepunkt vor. 3. \( y \)-Koordinate des Wendepunkts berechnen: \( K(6) = 2 \cdot 6^3 - 36 \cdot 6^2 + 300 \cdot 6 + 500 = 432 - 1296 + 1800 + 500 = 1436 \). Der Wendepunkt ist \( W(6 \mid 1436) \). 4. Erläuterung des Zusammenhangs: Der Wendepunkt einer Funktion markiert die Stelle der extremalen Steigung. Da die Grenzkostenfunktion die Steigung der Kostenfunktion beschreibt, entspricht die Wendestelle der Kostenfunktion genau der Extremstelle (hier dem Minimum) der Grenzkostenfunktion. An dieser Stelle geht die Krümmung der Kostenfunktion von einer Rechtskrümmung (degressiv, \( K'' < 0 \)) in eine Linkskrümmung (progressiv, \( K'' > 0 \)) über.

a) Der Wendepunkt liegt bei \( W(6 \mid 1436) \). b) Der Wendepunkt der Kostenfunktion ist die Stelle, an der die Steigung (also die Grenzkosten) am kleinsten ist. Er markiert den Übergang von sinkenden zu steigenden Grenzkosten.

- Welche Ableitung gibt dir Auskunft über die Krümmung und damit über Wendepunkte? - Wie hängen die Extrema der Steigung mit der Krümmung der Funktion zusammen? - Was muss für die Steigung an einer Stelle gelten, damit ein Wendepunkt speziell als Sattelpunkt bezeichnet wird? - Erinnere dich an das notwendige und das hinreichende Kriterium für Wendepunkte.

1. Berechnung der ersten drei Ableitungen: \(f'(x) = x^3 - 3x^2\), \(f''(x) = 3x^2 - 6x\), \(f'''(x) = 6x - 6\). 2. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung: \(3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0\). Daraus ergeben sich die potenziellen Wendestellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Klassifizierung der Steigungsextrema mit der dritten Ableitung: - Für \(x_1 = 0\): \(f'''(0) = -6 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum der Steigung vor. - Für \(x_2 = 2\): \(f'''(2) = 6 > 0\). Es liegt ein lokales Minimum der Steigung vor. 4. Prüfung auf Sattelpunkte (\(f'(x) = 0\)) und Berechnung der \(y\)-Koordinaten: - \(f'(0) = 0\). Da zusätzlich \(f''(0) = 0\) gilt, ist \(S(0 \mid 0)\) ein Sattelpunkt. - \(f'(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4 \neq 0\). Somit ist \(W(2 \mid -4)\) ein gewöhnlicher Wendepunkt (kein Sattelpunkt).

Der Graph hat einen Sattelpunkt bei \(S(0 \mid 0)\) mit einem lokalen Maximum der Steigung und einen Wendepunkt bei \(W(2 \mid -4)\) mit einem lokalen Minimum der Steigung.

- Was muss für die Steigung in einem Sattelpunkt gelten? - Ein Sattelpunkt ist eine Wendestelle mit waagerechter Tangente. Prüfe beide Eigenschaften für die gegebene Stelle. - Nutze den Hinweis zur zweiten Ableitung, um die Krümmungseigenschaft schnell zu beurteilen. - Wie berechnet man den zugehörigen Punkt auf dem Graphen, wenn die Stelle \(x\) bekannt ist?

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\). 2. Bedingung für waagerechte Tangente an der Stelle \(x = 3\) prüfen: \(g'(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 = 27 - 54 + 27 = 0\). Die notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt (waagerechte Tangente) ist erfüllt. 3. Bedingung für Wendestelle an der Stelle \(x = 3\) prüfen: Aus dem Hinweis \(g''(x) = 3(x-1)(x-3)\) folgt direkt \(g''(3) = 0\). Da \(x=3\) eine einfache Nullstelle von \(g''\) ist, liegt dort ein Vorzeichenwechsel von \(g''\) (von minus nach plus) und somit eine Wendestelle vor. 4. Da \(g'(3) = 0\) und an der Stelle \(x = 3\) eine Wendestelle vorliegt, handelt es sich um einen Sattelpunkt. 5. \(y\)-Koordinate berechnen: \(g(3) = \frac{1}{4} \cdot 3^4 - 2 \cdot 3^3 + \frac{9}{2} \cdot 3^2 - 5 = \frac{81}{4} - 54 + \frac{81}{2} - 5 = 20{,}25 - 54 + 40{,}5 - 5 = 1{,}75\). Der Sattelpunkt hat die Koordinaten \(S(3 \mid 1{,}75)\).

An der Stelle \(x = 3\) liegt ein Sattelpunkt vor, da dort \(g'(3) = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung \(g''\) vorliegt. Die Koordinaten des Sattelpunkts sind \(S(3 \mid 1{,}75)\).

- Überlege, welche Bedingungen für die Ableitungen an einer Wendestelle und speziell an einem Sattelpunkt gelten müssen. - Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt, an dem die Steigung null ist. - Vergiss nicht, die y-Koordinaten der Punkte durch Einsetzen in die Originalfunktion zu berechnen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2\), \(f''(x) = 12x^2 - 24x\), \(f'''(x) = 24x - 24\). 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 12x(x - 2) = 0\). Dies liefert die Kandidaten \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Überprüfung mit der dritten Ableitung: - Für \(x_1 = 0\): \(f'''(0) = -24 \neq 0\). Es liegt eine Wendestelle vor. Da zusätzlich \(f'(0) = 0\) gilt, ist der Punkt \(S(0 \mid 10)\) ein Sattelpunkt. - Für \(x_2 = 2\): \(f'''(2) = 24 \neq 0\). Es liegt eine Wendestelle vor. Da \(f'(2) = 4 \cdot 8 - 12 \cdot 4 = -16 \neq 0\), ist dies kein Sattelpunkt. Der Funktionswert ist \(f(2) = 2^4 - 4 \cdot 2^3 + 10 = -6\). Somit ist \(W(2 \mid -6)\) ein Wendepunkt.

Sattelpunkt: \(S(0 \mid 10)\) Wendepunkt: \(W(2 \mid -6)\)

- Schreibe den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten um, um die Ableitungsregeln leichter anzuwenden. - Prüfe nach dem Finden der Wendestelle, ob dort die erste Ableitung den Wert null annimmt. - Achte auf den Definitionsbereich der Funktion.

1. Ableitungen berechnen: \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x^{-1}\), daraus folgt \(f'(x) = x + 4x^{-2} = x + \frac{4}{x^2}\), \(f''(x) = 1 - 8x^{-3} = 1 - \frac{8}{x^3}\) und \(f'''(x) = 24x^{-4} = \frac{24}{x^4}\). 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{8}{x^3} = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f'''(2) = \frac{24}{16} = 1{,}5 \neq 0\). Es existiert eine Wendestelle bei \(x = 2\). 4. Sattelpunktprüfung: \(f'(2) = 2 + \frac{4}{4} = 3 \neq 0\). Da die Steigung an der Wendestelle nicht null ist, liegt kein Sattelpunkt vor. 5. Koordinaten berechnen: \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{4}{2} = 2 - 2 = 0\). Der Wendepunkt ist \(W(2 \mid 0)\).

Wendepunkt: \(W(2 \mid 0)\) Es liegt kein Sattelpunkt vor.

- Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn eine Stelle eine Nullstelle ist? - Wie hängen die Koordinaten eines Wendepunkts mit dem Parameter zusammen? Versuche, den Parameter aus der Gleichung für die x-Koordinate zu eliminieren. - Welche Ableitung nutzt man, um die Steigung an einer Extremstelle zu untersuchen? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung prüfen, um welche Art von Extrempunkt es sich handelt?

1. Zur Berechnung der Nullstellen wird \(f_a(x) = 0\) gesetzt: \(x^2(a - x) = 0\). Daraus folgen die Nullstellen \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = a\). 2. Die Ableitungen lauten \(f_a'(x) = 2ax - 3x^2\) und \(f_a''(x) = 2a - 6x\). Die Bedingung \(f_a''(x) = 0\) liefert die Wendestelle \(x_W = \frac{a}{3}\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt den \(y\)-Wert \(y_W = f_a(\frac{a}{3}) = a \cdot (\frac{a}{3})^2 - (\frac{a}{3})^3 = \frac{a^3}{9} - \frac{a^3}{27} = \frac{2a^3}{27}\). Um die Ortskurve zu finden, wird \(x = \frac{a}{3}\) nach \(a\) umgestellt (\(a = 3x\)) und in \(y_W\) eingesetzt: \(y = \frac{2 \cdot (3x)^3}{27} = \frac{2 \cdot 27x^3}{27} = 2x^3\). 3. Für eine Extremstelle bei \(x = 4\) muss \(f_a'(4) = 0\) gelten: \(2a \cdot 4 - 3 \cdot 4^2 = 8a - 48 = 0\). Dies ergibt \(a = 6\). Mit \(f_6''(4) = 2 \cdot 6 - 6 \cdot 4 = 12 - 24 = -12 < 0\) folgt, dass bei \(x = 4\) ein lokales Maximum vorliegt.

1. \(x_1 = 0\), \(x_2 = a\) 2. Nachweis über \(x_W = \frac{a}{3}\) und \(y_W = \frac{2a^3}{27}\) führt zu \(y = 2x^3\). 3. \(a = 6\); es handelt sich um ein lokales Maximum.

- Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines Wendepunkts erfüllt sein? - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Funktion \(f_0\), um Rechenarbeit zu sparen. - Wie stellt man eine Tangentengleichung auf, wenn der Berührpunkt und die Funktion bekannt sind? - Wo liegt ein Punkt im Koordinatensystem, wenn seine \(x\)-Koordinate Null ist?

1. Für \(a = 0\) gilt \(f_0(x) = \frac{1}{8}x^4 - 3x^2 + 10\). Die Ableitungen sind \(f_0'(x) = \frac{1}{2}x^3 - 6x\) und \(f_0''(x) = \frac{3}{2}x^2 - 6\). Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(\frac{3}{2}x^2 = 6 \implies x^2 = 4 \implies x_{w1} = 2, x_{w2} = -2\). Da \(f_0'''(x) = 3x\) an diesen Stellen ungleich Null ist, liegen Wendepunkte vor. Die \(y\)-Koordinaten sind \(f_0(2) = \frac{1}{8}(16) - 3(4) + 10 = 0\) und aufgrund der Achsensymmetrie \(f_0(-2) = 0\). Die Wendepunkte sind \(W_1(2 \mid 0)\) und \(W_2(-2 \mid 0)\). 2. Die Steigungen in den Wendepunkten sind \(m_1 = f_0'(2) = \frac{1}{2}(8) - 12 = -8\) und \(m_2 = f_0'(-2) = \frac{1}{2}(-8) + 12 = 8\). Die Gleichung der ersten Wendetangente ist \(t_1: y = -8(x - 2) + 0 = -8x + 16\). Die Gleichung der zweiten Wendetangente ist \(t_2: y = 8(x + 2) + 0 = 8x + 16\). Beide Tangenten haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 16\). Sie schneiden sich daher im Punkt \(S(0 \mid 16)\) auf der \(y\)-Achse.

1. Wendepunkte: \(W_1(2 \mid 0)\) und \(W_2(-2 \mid 0)\). 2. Der Schnittpunkt der Wendetangenten liegt bei \(S(0 \mid 16)\).

- Wann hat eine quadratische Funktion keine oder nur eine einzige Nullstelle? - Welche Rolle spielt die zweite Ableitung bei der Suche nach Wendepunkten? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(ak^3 + bk = 0\) nach \(k\) auflösen?

1. Extrempunkte existieren nicht, wenn die erste Ableitung \(g_k'(x) = x^2 - 2kx + 6\) keine Vorzeichenwechsel besitzt. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 - 2kx + 6 = 0\) kleiner oder gleich null ist. Es gilt \(D = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4k^2 - 24\). Die Bedingung \(4k^2 - 24 \le 0\) führt zu \(k^2 \le 6\), also \(-\sqrt{6} \le k \le \sqrt{6}\). In diesen Fällen liegen entweder keine Nullstellen oder eine doppelte Nullstelle (Sattelpunkt) vor. 2. Für den Wendepunkt muss \(g_k''(x) = 0\) gelten. Mit \(g_k''(x) = 2x - 2k\) folgt \(2x - 2k = 0 \implies x = k\). Da \(g_k'''(x) = 2 \neq 0\) ist, liegt bei \(x = k\) stets ein Wendepunkt vor. Der Funktionswert ist \(g_k(k) = \frac{1}{3}k^3 - k \cdot k^2 + 6k = -\frac{2}{3}k^3 + 6k\). Die Koordinaten sind \(W_k(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + 6k)\). 3. Der Wendepunkt liegt auf der \(x\)-Achse, wenn seine \(y\)-Koordinate null ist: \(-\frac{2}{3}k^3 + 6k = 0\). Ausklammern ergibt \(k(-\frac{2}{3}k^2 + 6) = 0\). Dies liefert \(k_1 = 0\) oder \(\frac{2}{3}k^2 = 6\), woraus \(k^2 = 9\) und somit \(k_2 = 3\) sowie \(k_3 = -3\) folgen.

a) Für \(-\sqrt{6} \le k \le \sqrt{6}\) besitzt der Graph keine Extrempunkte. b) Wendepunkt \(W_k(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + 6k)\). c) Der Wendepunkt liegt für \(k \in \{-3; 0; 3\}\) auf der \(x\)-Achse.

- Wenn die erste Ableitung eine Geschwindigkeit ist, was gibt dann die Ableitung dieser Geschwindigkeit an? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über das Krümmungsverhalten des Graphen aus? - Überlege, was passieren müsste, damit das Volumen im Becken kleiner wird, und ob das zur Aufgabenstellung passt. - Untersuche das Verhalten der Steigung für wachsende Zeitwerte.

1. Die erste Ableitung \(W'(t)\) gibt die momentane Änderungsrate des Volumens an, also die Zuflussgeschwindigkeit. Die zweite Ableitung \(W''(t)\) beschreibt somit die Änderung dieser Zuflussgeschwindigkeit pro Zeiteinheit (die „Beschleunigung“ des Füllvorgangs). 2. Berechnung der Ableitungen: \(W'(t) = -0{,}6t^2 + 6t + 20\) und \(W''(t) = -1{,}2t + 6\). Einsetzen der Werte: \(W''(2) = -1{,}2 \cdot 2 + 6 = 3{,}6\,\text{m}^3/\text{min}^2\) und \(W''(8) = -1{,}2 \cdot 8 + 6 = -3{,}6\,\text{m}^3/\text{min}^2\). Da \(W''(2) > 0\), nimmt die Zuflussgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 2\) noch zu (die Kurve ist linksgekrümmt). Da \(W''(8) < 0\), nimmt die Zuflussgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 8\) bereits wieder ab (die Kurve ist rechtsgekrümmt). 3. Untersuchung der ersten Ableitung für große \(t\): \(W'(t) = -0{,}6t^2 + 6t + 20\). Für \(t = 15\) ergibt sich \(W'(15) = -0{,}6 \cdot 225 + 6 \cdot 15 + 20 = -135 + 90 + 20 = -25\,\text{m}^3/\text{min}\). Eine negative Änderungsrate bedeutet, dass das Volumen sinkt. Da das Modell jedoch den Füllvorgang beschreiben soll, ist ein sinkendes Volumen (negativer Zufluss) im Sachzusammenhang einer reinen Befüllung nicht sinnvoll.

a) \(W''(t)\) beschreibt die Änderung der Zuflussgeschwindigkeit (Beschleunigung des Zuflusses). b) \(W''(2) = 3{,}6\,\text{m}^3/\text{min}^2\) (Zunahme der Geschwindigkeit); \(W''(8) = -3{,}6\,\text{m}^3/\text{min}^2\) (Abnahme der Geschwindigkeit). c) Für große \(t\) wird die erste Ableitung \(W'(t)\) negativ (z. B. \(W'(15) = -25\,\text{m}^3/\text{min}\)), was einem Abfluss statt einem Zufluss entsprechen würde und dem Sachkontext widerspricht.

- Betrachte die zweite Ableitung der Funktion. - Was kannst du über den Term \(x^2\) allgemein aussagen, wenn du verschiedene Werte für \(x\) einsetzt? - Wie beeinflusst das Vorzeichen von \(t\) das Ergebnis der zweiten Ableitung? - Denke bei Ungleichungen daran, was passiert, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.

1. Bildung der zweiten Ableitung: \(g_t'(x) = 4tx^3 + 12x\) und \(g_t''(x) = 12tx^2 + 12 = 12(tx^2 + 1)\). 2. Untersuchung für \(t \geq 0\): Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist für \(t \geq 0\) auch \(tx^2 \geq 0\). Daraus folgt \(tx^2 + 1 \geq 1\), womit \(g_t''(x) \geq 12 > 0\) für alle \(x\) gilt. Ein positiver Wert der zweiten Ableitung bedeutet eine Linkskrümmung über dem gesamten Definitionsbereich. 3. Untersuchung für \(t < 0\): Eine Rechtskrümmung liegt vor, wenn \(g_t''(x) < 0\). Dies führt zur Ungleichung \(12(tx^2 + 1) < 0\), also \(tx^2 < -1\). 4. Da \(t < 0\) ist, dreht sich das Ungleichheitszeichen bei der Division durch \(t\) um: \(x^2 > -\frac{1}{t}\). Dies ist erfüllt für \(x > \sqrt{-\frac{1}{t}}\) oder \(x < -\sqrt{-\frac{1}{t}}\).

1. Der Nachweis erfolgt über \(g_t''(x) = 12(tx^2 + 1)\), was für \(t \geq 0\) stets größer als Null ist. 2. Für \(t < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt für \(x < -\sqrt{-\frac{1}{t}}\) sowie für \(x > \sqrt{-\frac{1}{t}}\).

- Kann eine Funktion mehr als einen Wendepunkt haben? - Wie gehst du vor, um Stellen mit einer waagerechten Tangente zu finden? - Überlege dir, welche Eigenschaft die erste Ableitung an einem Terrassenpunkt haben muss. - Setze die gefundenen x-Werte in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinaten zu erhalten.

1. Erste drei Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = x^3 - 3x^2\), \(f''(x) = 3x^2 - 6x\), \(f'''(x) = 6x - 6\). 2. Wendestellen über \(f''(x) = 0\) suchen: \(3x(x - 2) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Hinreichende Bedingung \(f'''(x) \neq 0\) prüfen: \(f'''(0) = -6 \neq 0\) und \(f'''(2) = 6 \neq 0\). Beide Stellen sind Wendestellen. 4. Koordinaten berechnen: \(f(0) = 2 \implies W_1(0 \mid 2)\); \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 8 + 2 = -2 \implies W_2(2 \mid -2)\). 5. Tangentensteigungen berechnen: \(f'(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0\); \(f'(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4\). 6. Identifikation des Terrassenpunkts: \(W_1(0 \mid 2)\) ist ein Terrassenpunkt, da dort die Steigung \(f'(0) = 0\) ist. \(W_2(2 \mid -2)\) ist ein gewöhnlicher Wendepunkt mit Steigung \(-4\).

a) \(W_1(0 \mid 2)\) und \(W_2(2 \mid -2)\) b) Steigung in \(W_1\): \(m_1 = 0\); Steigung in \(W_2\): \(m_2 = -4\) c) \(W_1(0 \mid 2)\) ist ein Terrassenpunkt, da \(f'(0) = 0\).

- Wie verändert eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse die \(x\)-Koordinate eines Punktes? - Untersuche, wie sich die zweite Ableitung verhält, wenn die gesamte Funktion mit einem Faktor multipliziert wird. - Was passiert mit den Stellen besonderer Eigenschaften, wenn das Innere der Funktion (das Argument) verändert wird? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Streckungen in \(x\)-Richtung und dem Faktor vor dem \(x\).

1. Bei \(p(x) = f(x) + 8\) handelt es sich um eine Verschiebung des Graphen um \(8\) Einheiten in \(y\)-Richtung. Da \(p''(x) = f''(x)\) gilt, bleibt die Wendestelle bei \(x = 3\) unverändert. 2. Bei \(q(x) = -2 \cdot f(x)\) wird der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung gestreckt. Da \(q''(x) = -2 \cdot f''(x)\) gilt, ist \(q''(x) = 0\) genau dann, wenn \(f''(x) = 0\). Die Wendestelle bleibt bei \(x = 3\). 3. Bei \(r(x) = f(3x)\) liegt eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) vor. Mit der Kettenregel ergibt sich \(r'(x) = 3 \cdot f'(3x)\) und \(r''(x) = 9 \cdot f''(3x)\). Die Bedingung \(r''(x) = 0\) ist erfüllt, wenn \(3x = 3\) gilt, also bei \(x = 1\). Die neue Wendestelle liegt bei \(x = 1\).

a) Wendestelle bei \(x = 3\) (Verschiebung in \(y\)-Richtung). b) Wendestelle bei \(x = 3\) (Streckung in \(y\)-Richtung und Spiegelung an der \(x\)-Achse). c) Wendestelle bei \(x = 1\) (Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(\frac{1}{3}\)).

- Was ist der Unterschied zwischen einem Wendepunkt und einer Wendestelle? - Bestimme zuerst die Stellen, an denen die Krümmung des Graphen ihr Vorzeichen ändert. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Werten auf der \(x\)-Achse? - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch der Parameter \(k\) als Unbekannte vorkommt.

1. Erste und zweite Ableitung berechnen: \(g_k'(x) = \frac{1}{3}x^3 - kx + 5\) und \(g_k''(x) = x^2 - k\). 2. Mögliche Wendestellen durch \(g_k''(x) = 0\) bestimmen: \(x^2 - k = 0 \Rightarrow x_{W1} = -\sqrt{k}\) und \(x_{W2} = \sqrt{k}\) (existieren, da \(k > 0\)). 3. Verifikation: \(g_k'''(x) = 2x\) ist an den Stellen \(\pm \sqrt{k}\) ungleich Null, da \(k > 0\). 4. Abstand der Wendestellen auf der \(x\)-Achse formulieren: \(d = x_{W2} - x_{W1} = \sqrt{k} - (-\sqrt{k}) = 2\sqrt{k}\). 5. Gleichung mit dem gegebenen Abstand aufstellen: \(2\sqrt{k} = 6\). 6. Nach \(k\) auflösen: \(\sqrt{k} = 3 \Rightarrow k = 9\).

\(k = 9\)

- Für die Wendestelle musst du die zweite Ableitung gleich Null setzen. - Die Tangentengleichung lässt sich mit der Punkt-Steigungs-Formel oder über \(y = mx + c\) bestimmen. - Überlege dir, welche geometrische Form entsteht, wenn ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten rotiert. - Welche Maße des Dreiecks entsprechen dem Radius und der Höhe des entstehenden Körpers?

1. Ableitungen berechnen: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3\), \(g''(x) = x - 2\), \(g'''(x) = 1\). 2. Wendestelle bestimmen: \(g''(x) = 0 \Rightarrow x_W = 2\). Da \(g'''(2) = 1 \neq 0\), ist dies eine Wendestelle. 3. Koordinaten des Wendepunkts: \(g(2) = \frac{1}{6} \cdot 8 - 4 + 6 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}\), also \(W(2 \mid \frac{10}{3})\). 4. Steigung der Tangente: \(m = g'(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 3 = 2 - 4 + 3 = 1\). 5. Gleichung der Wendetangente \(w\): \(y - \frac{10}{3} = 1 \cdot (x - 2) \Rightarrow y = x - 2 + \frac{10}{3} \Rightarrow y = x + \frac{4}{3}\). 6. Schnittpunkte mit den Achsen: \(y\)-Achsenabschnitt bei \(x=0\) ergibt \(S_y(0 \mid \frac{4}{3})\). Nullstelle bei \(y=0\) ergibt \(0 = x + \frac{4}{3} \Rightarrow x = -\frac{4}{3}\), also \(S_x(-\frac{4}{3} \mid 0)\). 7. Das rotierende Dreieck erzeugt einen Kegel mit Radius \(r = |y_{S_y}| = \frac{4}{3}\) und Höhe \(h = |x_{S_x}| = \frac{4}{3}\). 8. Volumen des Kegels: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{4}{3}\right)^2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{16}{9} \cdot \frac{4}{3} = \frac{64}{81}\pi\,\text{VE} \approx 2{,}48\,\text{VE}\).

a) Wendepunkt \(W(2 \mid \frac{10}{3})\), Wendetangente \(w: y = x + \frac{4}{3}\) b) Schnittpunkte: \(S_x(-\frac{4}{3} \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid \frac{4}{3})\); Volumen \(V = \frac{64}{81}\pi\,\text{VE} \approx 2{,}48\,\text{VE}\).

- Erinnere dich an die notwendige und hinreichende Bedingung für Wendestellen. - Achte beim Rechnen mit Wurzeln darauf, diese erst ganz am Ende oder gar nicht zu runden. - Überlege dir, welche Eigenschaft die \(x\)-Koordinate eines Punktes hat, der auf der \(y\)-Achse liegt. - Kannst du die Symmetrie der Funktion nutzen, um Rechenschritte abzukürzen?

1. Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = -x^3 + 6x\), \(f''(x) = -3x^2 + 6\). 2. Wendestellen berechnen: \(-3x^2 + 6 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{w1} = \sqrt{2}, x_{w2} = -\sqrt{2}\). Da \(f'''(x) = -6x\) an diesen Stellen ungleich Null ist, sind es Wendestellen. 3. Funktionswerte und Steigungen: \(f(\sqrt{2}) = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 5\); \(f'(\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). Analog für die zweite Stelle aufgrund der Achsensymmetrie: \(f(-\sqrt{2}) = 5\), \(f'(-\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}\). 4. Wendetangenten aufstellen: \(t_1: y = 4\sqrt{2}(x - \sqrt{2}) + 5 = 4\sqrt{2}x - 8 + 5 = 4\sqrt{2}x - 3\). Für die zweite Tangente ergibt sich \(t_2: y = -4\sqrt{2}x - 3\). 5. Nachweis des Schnittpunkts: Durch Gleichsetzen der Tangentengleichungen \(4\sqrt{2}x - 3 = -4\sqrt{2}x - 3\) folgt \(8\sqrt{2}x = 0\), also \(x = 0\). Da die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts Null ist, liegt der Punkt \(S(0 \mid -3)\) auf der \(y\)-Achse.

\(t_1: y = 4\sqrt{2}x - 3\); \(t_2: y = -4\sqrt{2}x - 3\); Schnittpunkt \(S(0 \mid -3)\).

- Was muss für die erste und zweite Ableitung an der Stelle eines Sattelpunktes gelten? - Bestimme zuerst die mögliche Stelle \(x\) des Wendepunktes, da diese unabhängig von \(k\) berechnet werden kann. - Setze diese Stelle in die Bedingung für die waagerechte Tangente ein, um den passenden Wert für \(k\) zu finden. - Vergiss nicht, am Ende den zugehörigen Funktionswert zu berechnen.

1. Ableitungen bestimmen: \(g_k'(x) = x^2 + 2x + k\), \(g_k''(x) = 2x + 2\), \(g_k'''(x) = 2\). 2. Bedingung für eine Wendestelle: \(g_k''(x) = 0 \Rightarrow 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1\). 3. Da \(g_k'''(-1) = 2 \neq 0\), ist \(x = -1\) für jedes \(k\) eine Wendestelle. 4. Damit an der Wendestelle ein Sattelpunkt vorliegt, muss die Steigung dort null sein (notwendige Bedingung für Sattelpunkte): \(g_k'(-1) = 0\). 5. Einsetzen und nach \(k\) auflösen: \((-1)^2 + 2(-1) + k = 0 \Rightarrow 1 - 2 + k = 0 \Rightarrow k = 1\). 6. \(y\)-Koordinate für \(k = 1\) berechnen: \(g_1(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 1(-1) = -\frac{1}{3} + 1 - 1 = -\frac{1}{3}\). Der Sattelpunkt existiert für \(k = 1\) und liegt bei \(S(-1 \mid -\frac{1}{3})\).

Die Funktion besitzt für \(k = 1\) einen Sattelpunkt an den Koordinaten \(S(-1 \mid -\frac{1}{3})\).

- Bestimme zuerst alle Stellen, an denen die zweite Ableitung Null wird. - Erinnere dich daran, dass \(f''(x) = 0\) nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist. - Was passiert mit dem Graphen der zweiten Ableitung bei einer doppelten Nullstelle im Vergleich zu einer einfachen Nullstelle? - Ein Vorzeichenwechsel von \(g''\) bedeutet, dass sich das Krümmungsverhalten des Graphen von \(g\) ändert.

1. Ableitungen berechnen: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3\), \(g''(x) = 2x^3 - 6x^2 = 2x^2(x - 3)\). 2. Kandidaten für Wendestellen (\(g''(x) = 0\)): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Überprüfung \(x_1 = 0\): Für Werte knapp unter 0 (z. B. \(-0{,}1\)) ist \(2x^2 > 0\) und \((x-3) < 0\), also \(g''(x) < 0\). Für Werte knapp über 0 (z. B. \(0{,}1\)) ist \(2x^2 > 0\) und \((x-3) < 0\), also \(g''(x) < 0\). Es findet kein Vorzeichenwechsel statt, daher kein Wendepunkt bei \(x = 0\). 4. Überprüfung \(x_2 = 3\): Für \(x < 3\) (nahe 3) ist \(g''(x) < 0\), für \(x > 3\) ist \(g''(x) > 0\) (da \(x-3\) das Vorzeichen wechselt). Es liegt ein Vorzeichenwechsel vor, somit ist \(x = 3\) eine Wendestelle. 5. Wendepunkt berechnen: \(g(3) = \frac{1}{10} \cdot 243 - \frac{1}{2} \cdot 81 + 5 = 24{,}3 - 40{,}5 + 5 = -11{,}2\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(3 \mid -11{,}2)\).

Die Funktion besitzt bei \(x = 0\) keine Wendestelle, da die zweite Ableitung \(g''(x) = 2x^2(x-3)\) dort keinen Vorzeichenwechsel aufweist. Bei \(x = 3\) liegt eine Wendestelle mit dem Wendepunkt \(W(3 \mid -11{,}2)\) vor.

- Nutze für den Nachweis des Minimums die Tatsache, dass die Sinusfunktion nach unten beschränkt ist. - Achte beim Ableiten für \(x \neq 0\) auf die Kettenregel für den inneren Teil der Sinusfunktion. - Überlege dir, wie der Graph der Ableitung nahe Null aussieht, wenn ein Teil davon schnell oszilliert.

1. Berechnung über den Differenzenquotienten: \(g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2(2 + \sin(1/h)) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h(2 + \sin(1/h))\). Da \(1 \leq 2 + \sin(1/h) \leq 3\), liegt der Ausdruck zwischen \(h\) und \(3h\) (bzw. \(-3|h|\) und \(3|h|\)). Der Grenzwert ist somit \(0\). 2. Für alle \(x \neq 0\) gilt \(\sin(1/x) \geq -1\), also \(2 + \sin(1/x) \geq 1\). Daraus folgt \(g(x) = x^2 \cdot (2 + \sin(1/x)) \geq x^2 \cdot 1 > 0\). Da \(g(0) = 0\), ist \(g(0)\) kleiner als alle Funktionswerte in einer beliebigen Umgebung. Es liegt ein (globales) Minimum vor. 3. Für \(x \neq 0\) ergibt die Produkt- und Kettenregel: \(g'(x) = 2x \cdot (2 + \sin(1/x)) + x^2 \cdot \cos(1/x) \cdot (-1/x^2) = 4x + 2x \cdot \sin(1/x) - \cos(1/x)\). Das Vorzeichenwechselkriterium ist schwierig, da der Term \(\cos(1/x)\) in jeder Umgebung von \(0\) unendlich oft zwischen \(-1\) und \(1\) oszilliert, während \(4x + 2x \sin(1/x)\) gegen \(0\) strebt. Daher wechselt \(g'(x)\) in jeder Umgebung von \(0\) unendlich oft das Vorzeichen, anstatt nur einmalig von minus nach plus zu wechseln.

1. \(g'(0) = 0\) (mithilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten). 2. Lokales Minimum bei \(x=0\), da \(g(x) \geq x^2 > 0\) für alle \(x \neq 0\) und \(g(0)=0\). 3. \(g'(x) = 4x + 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)\). Das Kriterium ist schwierig, da \(g'(x)\) aufgrund des Kosinus-Terms in jeder Umgebung von \(0\) unendlich oft das Vorzeichen wechselt.

- Nutze eine Fallunterscheidung, um den Betrag aufzulösen. - Berechne für beide Fälle die zweite Ableitung und finde deren Nullstellen. - Prüfe, ob die Krümmungsintervalle an der Stelle \(x = 0\) zusammengefasst werden können. - Erinnere dich: Eine Linkskurve liegt vor, wenn die Steigung der Tangente zunimmt.

1. Fallunterscheidung für den Betrag: Für \(x \geq 0\) ist \(f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2\). Für \(x < 0\) ist \(f(x) = -\frac{1}{6}x^3 - x^2\). 2. Ableitungen für \(x > 0\): \(f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x\) und \(f''(x) = x - 2\). Die Nullstelle von \(f''(x)\) ist \(x = 2\). Für \(0 < x < 2\) ist \(f''(x) < 0\) (Rechtskurve), für \(x > 2\) ist \(f''(x) > 0\) (Linkskurve). 3. Ableitungen für \(x < 0\): \(f'(x) = -\frac{1}{2}x^2 - 2x\) und \(f''(x) = -x - 2\). Die Nullstelle von \(f''(x)\) ist \(x = -2\). Für \(x < -2\) ist \(f''(x) > 0\) (Linkskurve), für \(-2 < x < 0\) ist \(f''(x) < 0\) (Rechtskurve). 4. Untersuchung bei \(x = 0\): Die Grenzwerte der zweiten Ableitung für \(x \to 0\) ergeben beidseitig \(-2\). Da \(f\) an der Stelle \(x=0\) zweimal differenzierbar mit \(f''(0) = -2\) ist, bleibt das Krümmungsverhalten (Rechtskurve) über \(x=0\) hinweg erhalten. 5. Zusammenfassung: Linkskurve in \((-\infty; -2)\) und \((2; \infty)\), Rechtskurve in \((-2; 2)\).

Linkskurve: \((-\infty; -2)\) und \((2; \infty)\) Rechtskurve: \((-2; 2)\)

- Wie verändert sich der Grad einer ganzrationalen Funktion, wenn man sie ableitet? - Was weißt du über das globale Verhalten von Funktionen mit ungeradem Grad im Vergleich zu Funktionen mit geradem Grad? - Wann genau spricht man bei einer Nullstelle der zweiten Ableitung von einer Wendestelle? - Überlege dir ein Beispiel für eine Funktion mit \(n=1\). Kann diese eine Kurve oder eine Wendestelle haben?

1. Der Grad einer Funktion verringert sich bei jeder Ableitung um 1. Bei \(n = 5\) hat \(f'\) den Grad 4 und \(f''\) den Grad 3. 2. Eine ganzrationale Funktion mit ungeradem Grad (hier Grad 3) verläuft für \(x \to \pm \infty\) gegen unterschiedliche Vorzeichen (\(\infty\) und \(-\infty\)). Nach dem Zwischenwertsatz muss sie daher die \(x\)-Achse schneiden. Wegen der unterschiedlichen Vorzeichen für \(x \to -\infty\) und \(x \to \infty\) muss mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegen. 3. Allgemein: Hat \(f\) den ungeraden Grad \(n\), so hat \(f''\) den Grad \(n-2\). Wenn \(n \geq 3\) ungerade ist, ist auch \(n-2 \geq 1\) eine ungerade Zahl. 4. Jede ganzrationale Funktion mit ungeradem Grad besitzt mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Ein Vorzeichenwechsel in \(f''\) entspricht einer Änderung des Krümmungsverhaltens von \(f\), also einer Wendestelle. 5. Für \(n = 1\) (lineare Funktion) wäre \(f'' = 0\), es gäbe keine Krümmung und somit keine Wendestelle.

a) Der Grad von \(f''\) ist 3. Da Funktionen ungeraden Grades von \(-\infty\) nach \(+\infty\) (oder umgekehrt) verlaufen, müssen sie die x-Achse kreuzen, was einen Vorzeichenwechsel bedeutet. b) Wenn \(n \geq 3\) ungerade ist, ist auch der Grad von \(f''\) (\(n-2\)) ungerade und mindestens 1. Jede Funktion ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, was eine Wendestelle von \(f\) definiert. Für \(n=1\) ist die Funktion eine Gerade ohne Krümmung.

- Wann hat eine Funktion keine Wendestellen? Denke an den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung. - Wenn die zweite Ableitung eine quadratische Funktion ist, wann wechselt sie ihre Werte nicht von Plus nach Minus (oder umgekehrt)? - Erinnere dich an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Was sagt sie über die Anzahl der Nullstellen aus? - Was passiert an einer „doppelten“ Nullstelle der zweiten Ableitung mit der Krümmung?

1. Erste Ableitung: \(g_c'(x) = 4x^3 + 6cx^2 + 12x\) 2. Zweite Ableitung: \(g_c''(x) = 12x^2 + 12cx + 12 = 12(x^2 + cx + 1)\) 3. Bedingung für Wendestellen: Eine Wendestelle liegt vor, wenn \(g_c''(x) = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel stattfindet. 4. Analyse der quadratischen Funktion: Der Term \(x^2 + cx + 1\) besitzt keine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, wenn die zugehörige Parabel entweder keine Nullstellen hat oder die \(x\)-Achse nur berührt (doppelte Nullstelle). 5. Diskriminante bestimmen: \(D = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = c^2 - 4\) 6. Bedingung für keine Wendestellen: \(D \le 0 \implies c^2 - 4 \le 0 \implies c^2 \le 4 \implies -2 \le c \le 2\). In diesen Fällen wechselt \(g_c''(x)\) das Vorzeichen nicht.

Die Funktion \(g_c\) hat keine Wendestellen, wenn der Parameter \(c\) im Intervall \([-2; 2]\) liegt (also \(-2 \le c \le 2\)).

- Überlege dir, welche Bedingungen für die erste und zweite Ableitung an einem Sattelpunkt gelten müssen. - Ein Sattelpunkt ist ein Spezialfall eines Wendepunkts mit einer besonderen Eigenschaft der Steigung. - Wie kannst du sicherstellen, dass an einer Stelle tatsächlich ein Krümmungswechsel vorliegt? - Vergiss nicht, am Ende die \(y\)-Koordinaten der gefundenen Stellen zu berechnen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\) und \(f''(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). 2. Notwendige Bedingung für Sattelpunkte (\(f'(x) = 0\) und \(f''(x) = 0\)): \(f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - x + 1) = \frac{1}{4}x^2(x-2)^2 = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). \(f''(x) = x(x^2 - 3x + 2) = x(x-1)(x-2) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_3 = 1\) und \(x_2 = 2\). Gemeinsame Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen (z. B. \(f'''(x) \neq 0\) oder Vorzeichenwechsel von \(f''\)): \(f'''(x) = 3x^2 - 6x + 2\). Für \(x_1 = 0\): \(f'''(0) = 2 \neq 0\). Sattelpunkt liegt vor. Für \(x_2 = 2\): \(f'''(2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot 2 + 2 = 2 \neq 0\). Sattelpunkt liegt vor. 4. Funktionswerte berechnen: \(f(0) = 0\) und \(f(2) = \frac{32}{20} - \frac{16}{4} + \frac{8}{3} = \frac{8}{5} - 4 + \frac{8}{3} = \frac{4}{15}\). Die Sattelpunkte liegen bei \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(2 \mid \frac{4}{15})\).

Es liegen zwei Sattelpunkte vor: \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(2 \mid \frac{4}{15})\).

- Berechne zuerst allgemein die Stellen für die Extrema und die Wendepunkte in Abhängigkeit von \(a\). - Wie bildet man mathematisch ein Verhältnis zwischen zwei Werten? - Was muss am Ende einer Rechnung passieren, damit man sagen kann, ein Ergebnis sei „unabhängig von einem Parameter“?

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(g_a'(x) = 4ax^3 - 4x\) und \(g_a''(x) = 12ax^2 - 4\). 2. \(x\)-Koordinate des positiven Tiefpunkts bestimmen: \(g_a'(x) = 0 \implies 4x(ax^2 - 1) = 0\). Für \(x > 0\) folgt \(x^2 = \frac{1}{a}\), also \(x_T = \frac{1}{\sqrt{a}}\). 3. \(x\)-Koordinate der positiven Wendestelle bestimmen: \(g_a''(x) = 0 \implies 12ax^2 - 4 = 0 \implies x^2 = \frac{4}{12a} = \frac{1}{3a}\). Für \(x > 0\) folgt \(x_W = \frac{1}{\sqrt{3a}}\). 4. Verhältnis berechnen: \(\frac{x_T}{x_W} = \frac{\frac{1}{\sqrt{a}}}{\frac{1}{\sqrt{3a}}} = \frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{a}} = \sqrt{3}\). 5. Das Ergebnis \(\sqrt{3}\) ist eine Konstante und enthält den Parameter \(a\) nicht mehr, womit die Unabhängigkeit gezeigt ist.

Das Verhältnis beträgt \(\frac{x_T}{x_W} = \sqrt{3}\). Da dieser Wert konstant ist, hängt das Verhältnis nicht von \(a\) ab.