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- Welche Ableitung gibt dir Auskunft über das Krümmungsverhalten und Wendepunkte einer Funktion? - Was muss an der Stelle \(x = 2\) für diese Ableitung gelten? - Versuche, die Gleichung so umzustellen, dass der gesuchte Parameter alleine auf einer Seite steht.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(y' = 3x^2 - 2ax\), \(y'' = 6x - 2a\). 2. Bedingung für Wendepunkt ansetzen: \(y''(2) = 0\). 3. Einsetzen und nach \(a\) auflösen: \(6 \cdot 2 - 2a = 0 \implies 12 = 2a \implies a = 6\).

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- Wie hängen Linkskrümmung und das Vorzeichen der zweiten Ableitung zusammen? - Kannst du begründen, warum der Ausdruck für die zweite Ableitung niemals Null oder negativ werden kann? - Welche Eigenschaft haben Quadratzahlen, die dir hier weiterhelfen könnte?

1. Bildung der Ableitungen: Die erste Ableitung ist \(g'(x) = x^3 + 6x\). Die zweite Ableitung lautet \(g''(x) = 3x^2 + 6\). 2. Analyse des Vorzeichens von \(g''(x)\): Da das Quadrat einer reellen Zahl \(x^2\) immer größer oder gleich Null ist (\(x^2 \ge 0\)), ist der Term \(3x^2\) ebenfalls stets größer oder gleich Null. 3. Schlussfolgerung: Durch die Addition von \(6\) ergibt sich \(3x^2 + 6 \ge 6\). Damit ist \(g''(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Da die zweite Ableitung überall positiv ist, ist der Graph der Funktion \(g\) im gesamten Definitionsbereich linksgekrümmt.

Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = 3x^2 + 6\). Da \(x^2 \ge 0\) für alle \(x\) gilt, ist \(3x^2 + 6 \ge 6 > 0\). Wegen \(g''(x) > 0\) ist der Graph für alle \(x \in \mathbb{R}\) linksgekrümmt.

- Wie oft muss man eine Funktion ableiten, um Informationen über das Krümmungsverhalten zu erhalten? - Welchen Grad hat die Ableitungsfunktion im Vergleich zur ursprünglichen Funktion? - Was muss an einer Stelle \(x_0\) für die zweite Ableitung gelten, damit dort ein Krümmungswechsel vorliegt? - Wie viele Nullstellen kann eine lineare oder eine kubische Funktion maximal haben?

1. Für \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit \(a \neq 0\) lauten die Ableitungen \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). Da \(a \neq 0\), ist \(6a \neq 0\), womit \(f''(x)\) eine lineare Funktion der Form \(mx + n\) ist. 2. Eine lineare Funktion \(f''(x) = 6ax + 2b\) hat genau eine Nullstelle bei \(x_W = -\frac{2b}{6a} = -\frac{b}{3a}\). Da die Steigung \(6a \neq 0\) ist, findet an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) statt. Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bedeutet einen Wechsel des Krümmungsverhaltens, also liegt genau ein Wendepunkt vor. 3. Bei einer Funktion \(g\) vom Grad \(n = 5\) ist die zweite Ableitung \(g''\) eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n - 2 = 3\). Eine Funktion dritten Grades hat maximal drei Nullstellen. Da ein Krümmungswechsel einen Vorzeichenwechsel von \(g''\) voraussetzt und dieser nur an Nullstellen auftreten kann, kann der Graph von \(g\) höchstens drei Wendestellen besitzen. 4. Die obere Schranke ist erreichbar. Wählt man zum Beispiel \(g(x)=\frac{1}{20}x^5-\frac{1}{6}x^3\), so ist \(g''(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)\). Die zweite Ableitung wechselt an \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\) jeweils das Vorzeichen. Der Graph besitzt damit tatsächlich drei Wendestellen.

a) \(f''(x) = 6ax + 2b\), was der Form einer linearen Funktion entspricht. b) Die lineare Funktion \(f''\) hat genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, da die Steigung \(6a \neq 0\) ist. c) Maximal drei Stellen. Die zweite Ableitung hat höchstens drei Nullstellen. Die Schranke ist erreichbar, zum Beispiel bei \(g(x)=\frac{1}{20}x^5-\frac{1}{6}x^3\), denn \(g''(x)=x(x-1)(x+1)\) wechselt an drei Stellen das Vorzeichen.

- Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Form des Graphen aus? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit man sicher von einem Extrempunkt sprechen kann? - Wann ändert ein Graph sein Krümmungsverhalten? - Schau dir die Ableitungsordnungen genau an – geht es um die Steigung, die Krümmung oder die Änderung der Krümmung?

1. Bedingung 1 (\(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\)) ist das hinreichende Kriterium für ein lokales Minimum (Tiefpunkt), da eine waagerechte Tangente bei gleichzeitiger Linkskrümmung vorliegt. Zuordnung: 1 – C. 2. Bedingung 2 (\(f''(x) < 0\) für alle \(x \in I\)) bedeutet nach dem Krümmungskriterium, dass der Graph im gesamten Intervall eine Rechtskrümmung aufweist. Zuordnung: 2 – A. 3. Bedingung 3 (\(f''(x_0) = 0\) und \(f'''(x_0) \neq 0\)) ist das hinreichende Kriterium für eine Wendestelle, da die zweite Ableitung null ist und an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) (da \(f''' \neq 0\)) garantiert ist. Zuordnung: 3 – B.

1 – C 2 – A 3 – B

- Welche Ableitung gibt Aufschluss über das Krümmungsverhalten eines Graphen? - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Wendestelle. - Wie kannst du mit der dritten Ableitung sicherstellen, dass tatsächlich ein Krümmungswechsel stattfindet? - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass quadratische Gleichungen zwei Lösungen haben können.

1. Berechnung der ersten drei Ableitungen der Funktion: \(f'(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x\) \(f''(x) = x^2 - 2\) \(f'''(x) = 2x\) 2. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung (notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\)): \(x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{1} = -\sqrt{2}\) und \(x_{2} = \sqrt{2}\) 3. Überprüfung der hinreichenden Bedingung (\(f'''(x) \neq 0\)): \(f'''(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} \neq 0\) \(f'''(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \neq 0\) Da an beiden Stellen die dritte Ableitung ungleich Null ist, liegen dort Wendestellen vor.

Die Wendestellen der Funktion \(f\) liegen bei \(x_1 = -\sqrt{2}\) und \(x_2 = \sqrt{2}\).

- Welche Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung eines Graphen? - Erinnere dich an die Bedingung für Linkskrümmung und Rechtskrümmung in Bezug auf das Vorzeichen der Ableitung. - Überlege, was die zweite Ableitung über die Steigung der ersten Ableitung aussagt. - Wie verhält sich eine Funktion, wenn ihre Ableitung positiv ist? Übertrage dies auf \(f'\) und \(f''\).

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 10\) und \(f''(x) = 6x - 12\). 2. Bestimmung der Nullstelle der zweiten Ableitung zur Identifikation möglicher Wendepunkte: \(6x - 12 = 0 \implies x = 2\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f''(x)\): Für \(x < 2\) ist \(f''(x) < 0\), was einer Rechtskrümmung entspricht. Für \(x > 2\) ist \(f''(x) > 0\), was eine Linkskrümmung anzeigt. 4. Die Intervalle lauten somit: Rechtsgekrümmt in \((-\infty; 2)\) und linksgekrümmt in \((2; \infty)\). 5. Erläuterung des Zusammenhangs: Da in einem linksgekrümmten Bereich \(f''(x) > 0\) gilt, ist die erste Ableitung \(f'\) (die Steigungsfunktion) in diesem Intervall streng monoton steigend. Das bedeutet, dass die Tangentensteigung des Graphen von \(f\) mit wachsendem \(x\) immer größer wird.

a) Der Graph ist im Intervall \((-\infty; 2)\) rechtsgekrümmt und im Intervall \((2; \infty)\) linksgekrümmt. b) Linkskrümmung bedeutet, dass die zweite Ableitung \(f''(x)\) positiv ist. Da \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, folgt daraus, dass die Steigungsfunktion \(f'\) im entsprechenden Intervall streng monoton steigt.

- An welcher Stelle muss die zweite Ableitung einer Funktion gleich Null sein, wenn dort ein Wendepunkt vorliegt? - Leite die Funktion zweimal nach \(x\) ab und behandle den Parameter dabei wie eine konstante Zahl. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die zweite Ableitung ein und löse die entstehende Gleichung nach dem Parameter auf.

1. Bildung der ersten und zweiten Ableitung der Funktion \(f_a\): \(f_a'(x) = x^2 + 2(a - 3)x + 7\) \(f_a''(x) = 2x + 2a - 6\) 2. Bedingung für eine Wendestelle an der Stelle \(x = 5\) ist \(f_a''(5) = 0\): \(2 \cdot 5 + 2a - 6 = 0\) \(10 + 2a - 6 = 0\) \(4 + 2a = 0\) 3. Auflösen nach \(a\): \(2a = -4 \implies a = -2\) 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: Da \(f_{-2}'''(x) = 2 \neq 0\) für alle \(x\), liegt bei \(x = 5\) tatsächlich eine Wendestelle vor.

\(a = -2\)

- Für die Wendestelle musst du die zweite Ableitung gleich Null setzen. - Die Tangentengleichung lässt sich mit der Punkt-Steigungs-Formel oder über \(y = mx + c\) bestimmen. - Welche Steigung hat die Tangente im Wendepunkt?

1. Ableitungen berechnen: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3\), \(g''(x) = x - 2\), \(g'''(x) = 1\). 2. Wendestelle bestimmen: \(g''(x) = 0 \Rightarrow x_W = 2\). Da \(g'''(2) = 1 \neq 0\), ist dies eine Wendestelle. 3. Koordinaten des Wendepunkts: \(g(2) = \frac{1}{6} \cdot 8 - 4 + 6 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}\), also \(W(2 \mid \frac{10}{3})\). 4. Steigung der Tangente: \(m = g'(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 3 = 2 - 4 + 3 = 1\). 5. Gleichung der Wendetangente \(w\): \(y - \frac{10}{3} = 1 \cdot (x - 2) \Rightarrow y = x - 2 + \frac{10}{3} \Rightarrow y = x + \frac{4}{3}\).

Wendepunkt: \(W(2 \mid \frac{10}{3})\) Wendetangente: \(w: y = x + \frac{4}{3}\)

- Schreibe die Brüche als Potenzen mit negativen Exponenten um, um das Ableiten zu erleichtern. - Achte beim Krümmungswechsel besonders auf das Vorzeichen des Nenners bei negativen und positiven \(x\)-Werten. - Überlege, welchen Einfluss gerade und ungerade Exponenten auf das Vorzeichen eines Terms haben.

1. Die Ableitungen für \(g\) sind \(g'(x) = -x^{-2}\) und \(g''(x) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}\). Für \(h\) gilt \(h'(x) = -2x^{-3}\) und \(h''(x) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}\). Beide Zähler sind konstant ungleich Null, daher haben \(g''\) und \(h''\) keine Nullstellen. 2. Untersuchung von \(g\): Für \(x<0\) ist \(g(x)<0\) (rechtsgekrümmt), für \(x>0\) ist \(g(x)>0\) (linksgekrümmt). Die beiden getrennten Graphenäste haben somit unterschiedliche Krümmungsrichtungen. Ein Krümmungswechsel an \(x=0\) und ein Wendepunkt liegen dort nicht vor, da \(g(0)\) nicht definiert ist. 3. Untersuchung von \(h\): Da \(x^4 > 0\) für alle \(x \neq 0\), ist \(h''(x) = \frac{6}{x^4} > 0\) für alle \(x \in D_h\). Der Graph ist im gesamten Definitionsbereich linksgekrümmt; es findet kein Krümmungswechsel statt.

a) \(g''(x) = \frac{2}{x^3} \neq 0\) und \(h''(x) = \frac{6}{x^4} \neq 0\) für alle \(x \neq 0\). b) Bei \(g\) ist der linke Graphenast rechtsgekrümmt und der rechte Graphenast linksgekrümmt. Bei \(h\) sind beide Graphenäste linksgekrümmt. An \(x=0\) liegt bei keiner Funktion ein Wendepunkt, da beide Funktionen dort nicht definiert sind.

- Was bedeutet die Formulierung „Ableitung von \(f'\)“ mathematisch? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit einem möglichen Vorzeichenwechsel zusammen? - Ist ein Vorzeichenwechsel an einer Stelle möglich, an der die Funktion einen Wert ungleich Null hat? - Untersuche die Werte der Ableitungsfunktion kurz vor und kurz nach der betrachteten Stelle.

1. Bestimmung der zweiten Ableitung: Die erste Ableitung ist \(f'(x) = 2x^3 - 6x\), die zweite Ableitung (Ableitung von \(f'\)) lautet \(f''(x) = 6x^2 - 6\). 2. Untersuchung an der Stelle \(x = 0\): Es gilt \(f''(0) = 6 \cdot 0^2 - 6 = -6\). Da der Funktionswert ungleich Null ist und die Funktion stetig ist, liegt kein Vorzeichenwechsel vor. 3. Untersuchung an der Stelle \(x = 1\): Es gilt \(f''(1) = 6 \cdot 1^2 - 6 = 0\). Da \(f''(x) = 6(x^2 - 1) = 6(x - 1)(x + 1)\) an der Stelle \(x = 1\) eine Nullstelle mit ungerader Vielfachheit (einfache Nullstelle) besitzt, findet ein Vorzeichenwechsel statt (von Minus nach Plus).

An der Stelle \(x = 0\) liegt kein Vorzeichenwechsel vor (\(f''(0) = -6\)). An der Stelle \(x = 1\) liegt ein Vorzeichenwechsel vor (\(f''(1) = 0\) und \(f''\) ist eine Parabel mit Nullstellen bei \(\pm 1\)).

- Erinnere dich daran, welche Eigenschaften die Steigung und die Krümmung an einem Sattelpunkt haben müssen. - Welche Ableitungen musst du berechnen, um stationäre Stellen und Wendestellen zu finden? - Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt – was ist das Besondere an seiner Tangente? - Wie kannst du sicherstellen, dass an einer Stelle mit waagerechter Tangente kein lokales Extremum vorliegt?

1. Erste drei Ableitungen bilden: \(f'(x) = -3x^2 + 6x - 3\), \(f''(x) = -6x + 6\), \(f'''(x) = -6\). 2. Notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt (\(f'(x) = 0\) und \(f''(x) = 0\)) prüfen: \(-3x^2 + 6x - 3 = 0 \Leftrightarrow -3(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1\). Überprüfung der zweiten Ableitung: \(f''(1) = -6(1) + 6 = 0\). Die notwendige Bedingung ist für \(x = 1\) erfüllt. 3. Hinreichendes Kriterium prüfen: Da \(f''(1) = 0\) und \(f'''(1) = -6 \neq 0\), liegt an der Stelle \(x = 1\) ein Wendepunkt vor. Da zusätzlich \(f'(1) = 0\) gilt, handelt es sich um einen Sattelpunkt. 4. Funktionswert berechnen: \(f(1) = -(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) + 2 = 1\). Der Sattelpunkt liegt bei \(S(1 \mid 1)\).

Der Sattelpunkt der Funktion \(f\) befindet sich an den Koordinaten \(S(1 \mid 1)\).

- Berechne die erste und zweite Ableitung einer linearen Funktion. - Prüfe getrennt die strengen Bedingungen \(f''>0\) und \(f''<0\). - Überlege, was bei nicht-strengen Konvexitäts- und Konkavitätsungleichungen geschieht, wenn stets Gleichheit gilt.

1. Für \(f(x)=mx+n\) gilt \(f'(x)=m\) und \(f''(x)=0\) für alle \(x\). 2. Nach dem strengen schulischen Kriterium ist ein Graph linksgekrümmt, wenn \(f''>0\), und rechtsgekrümmt, wenn \(f''<0\). Eine Gerade erfüllt keine der beiden Bedingungen und hat geometrisch überall die Krümmung null. 3. Bei der nicht-strengen Definition sind lineare Funktionen zugleich konvex und konkav, weil für sie die entsprechenden Ungleichungen jeweils mit Gleichheit gelten. 4. Die Behauptung ist daher nur nach dem strengen Krümmungsrichtungskriterium zutreffend; ohne Angabe der verwendeten Definition ist sie unvollständig.

Nach dem strengen Kriterium ist eine Gerade weder links- noch rechtsgekrümmt, weil \(f''(x)=0\) gilt; ihre geometrische Krümmung ist überall null. Nach der nicht-strengen Definition ist sie zugleich konvex und konkav. Die Aussage hängt somit von der verwendeten Definition ab.

- Was genau stellt die „Wachstumsrate“ in der Differentialrechnung dar? - Wenn eine Größe (hier die Wachstumsrate) ein Maximum erreicht, was bedeutet das für ihre eigene Ableitung? - Wie hängen die Zunahme oder Abnahme der Steigung mit der Krümmung des Graphen zusammen? - Stell dir vor, wie eine Kurve aussieht, die erst immer steiler wird und dann anfängt, flacher zu verlaufen.

1. Da die Wachstumsrate (die erste Ableitung \(V'\)) an der Stelle \(t_w\) ein Maximum besitzt und davor zu- sowie danach abnimmt, handelt es sich bei dem Punkt \(W(t_w \mid V(t_w))\) um einen Wendepunkt des Graphen von \(V\). 2. Eine notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist, dass die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle null ist, also \(V''(t_w) = 0\). 3. Vor dem Erreichen des Maximums der Wachstumsrate nimmt die Steigung stetig zu, was einer Linkskrümmung (\(V''(t) > 0\)) entspricht (progressives Wachstum). Nach dem Zeitpunkt \(t_w\) nimmt die Wachstumsrate ab, obwohl die Gesamtzahl der Aufrufe weiter steigt; die Steigung wird also kleiner, was einer Rechtskrümmung (\(V''(t) < 0\)) entspricht (degressives Wachstum).

1. Es handelt sich um einen Wendepunkt (speziell einen Links-Rechts-Wendepunkt). 2. Die notwendige Bedingung lautet \(V''(t_w) = 0\). 3. Vor \(t_w\) liegt eine Linkskrümmung vor (die Steigung nimmt zu), nach \(t_w\) liegt eine Rechtskrümmung vor (die Steigung nimmt ab).

- Stell dir vor, du fährst mit einem Fahrrad den Graphen entlang. In welche Richtung musst du den Lenker einschlagen? - Ein Wendepunkt ist der Punkt, an dem sich die Lenkrichtung von links nach rechts (oder umgekehrt) ändert. - Schau dir die Stellen an, an denen der Graph am steilsten bzw. am flachsten ansteigt oder abfällt.

Im dargestellten Bereich \([-3{,}5;3{,}5]\) liegen Wendestellen ungefähr bei \(x=-1\) und \(x=1\). Der Graph ist auf \([-3{,}5;-1)\) und \((1;3{,}5]\) linksgekrümmt sowie auf \((-1;1)\) rechtsgekrümmt. Aus der Zeichnung liest man \(W_1\approx(-1{,}0\mid0{,}6)\) und \(W_2\approx(1{,}0\mid2{,}6)\) ab.

a) Im dargestellten Bereich Linkskurve auf \([-3{,}5;-1)\) und \((1;3{,}5]\); Rechtskurve auf \((-1;1)\). b) \(W_1\approx(-1{,}0\mid0{,}6)\), \(W_2\approx(1{,}0\mid2{,}6)\).

- Überlege dir, ob die Kurve eine „Linkskurve“ (wie eine nach oben geöffnete Parabel) oder eine „Rechtskurve“ (wie eine nach unten geöffnete Parabel) ist. - Der Wendepunkt liegt genau zwischen einem lokalen Maximum und einem lokalen Minimum (falls vorhanden).

Im Intervall \([-1;6]\) liegt der Krümmungswechsel bei \(x=2\). Daher ist der Graph auf \([-1;2)\) linksgekrümmt und auf \((2;6]\) rechtsgekrümmt. Aus der Grafik ergibt sich näherungsweise \(W(2{,}0\mid2{,}6)\).

a) Linkskurve auf \([-1;2)\), Rechtskurve auf \((2;6]\). b) \(W\approx(2{,}0\mid2{,}6)\).

- Überlege dir, wie man eine Rechtskurve von einer Linkskurve unterscheidet, wenn man den Graphen entlangfährt. - Welchen Wert nimmt die zweite Ableitung an der Stelle an, an der die Krümmung umschlägt? - Überprüfe das Vorzeichen der zweiten Ableitung in den Bereichen links und rechts von dieser besonderen Stelle.

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x\). 2. Zweite Ableitung bilden: \(g''(x) = x - 2\). 3. Bedingung für Krümmungswechsel: \(g''(x) = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\). 4. Krümmungsintervalle analysieren: - Für \(x < 2\) gilt \(g''(x) < 0\), d. h. der Graph ist rechtsgekrümmt. - Für \(x > 2\) gilt \(g''(x) > 0\), d. h. der Graph ist linksgekrümmt. 5. Ergebnis: Der Graph ist für \(x < 2\) rechtsgekrümmt und für \(x > 2\) linksgekrümmt. Die Wendestelle liegt bei \(x = 2\).

a) Im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt auf \([-1;2[\) und linksgekrümmt auf \(]2;5]\); die Krümmung ändert sich bei \(x=2\). b) Mit \(g''(x)=x-2\) ist der Graph auf \(]-\infty;2[\) rechtsgekrümmt und auf \(]2;\infty[\) linksgekrümmt.

- Suche den Punkt, an dem sich die Kurve von einer „Schale“ in einen „Hügel“ verwandelt. - Überprüfe die Steigung: Nimmt sie im betrachteten Bereich zu (Linkskurve) oder ab (Rechtskurve)?

Im dargestellten Bereich \([-3;5]\) liegt die Wendestelle bei \(x=1\). Der Graph ist auf \([-3;1[\) linksgekrümmt und auf \(]1;5]\) rechtsgekrümmt.

Im dargestellten Bereich linksgekrümmt auf \([-3;1[\) und rechtsgekrümmt auf \(]1;5]\).

- Achte darauf, wo der Graph seine Krümmungsrichtung wechselt. - Die Wendestellen trennen die Krümmungsintervalle. - Ordne jedem offenen Teilintervall eine Links- oder Rechtskrümmung zu.

Die Wendestellen liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Im dargestellten Bereich \([-6;6]\) ist der Graph auf \([-6;-2[\) und \(]2;6]\) linksgekrümmt sowie auf \(]-2;2[\) rechtsgekrümmt.

Im dargestellten Bereich linksgekrümmt auf \([-6;-2[\) und \(]2;6]\); rechtsgekrümmt auf \(]-2;2[\).

- Suche im dargestellten Intervall die Stelle, an der sich die Krümmungsrichtung ändert. - Nutze die π-Beschriftung der \(x\)-Achse.

Für \(f(x)=2\sin(x)+2\) gilt \(f''(x)=-2\sin(x)\). Auf \([-\pi;0[\) ist \(\sin(x)<0\), also \(f''(x)>0\): Der Graph ist linksgekrümmt. Auf \(]0;\pi]\) ist \(\sin(x)>0\), also \(f''(x)<0\): Der Graph ist rechtsgekrümmt. Bei \(x=0\) liegt die Wendestelle.

Linksgekrümmt auf \([-\pi;0[\); rechtsgekrümmt auf \(]0;\pi]\).

- Stell dir vor, du fährst mit einem Fahrrad den Graphen von links nach rechts entlang. In welche Richtung musst du den Lenker einschlagen? - Wie hängen das Krümmungsverhalten eines Graphen und das Vorzeichen der zweiten Ableitung zusammen?

1. Der Graph beschreibt eine Linkskurve, da er sich im Verlauf der Zeit immer „flacher“ an die Zeitachse anschmiegt. 2. Die Steigung ist negativ, wird aber größer, weil ihr Betrag abnimmt. 3. Bei einer Linkskurve ist die zweite Ableitung positiv. Daher gilt im dargestellten Bereich \(T''(t)>0\).

Im gesamten dargestellten Bereich gilt \(T''(t)>0\), da der Graph linksgekrümmt ist.

- Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der sich die Krümmung des Graphen ändert. Wo „kippt“ die Kurve von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt? - Wie hängen Rechtskurven und Linkskurven jeweils mit dem Vorzeichen von \(f''(x)\) zusammen?

1. Schätzung des Wendepunkts: Der Übergang von einer Rechtskurve in eine Linkskurve findet etwa bei \(x = 2\) statt. Dort liegt der Wendepunkt \(W(2 \mid 1{,}33)\). 2. Krümmungsverhalten links von \(W\): Für \(x < 2\) ist der Graph rechtsgekrümmt, was \(f''(x) < 0\) entspricht. 3. Krümmungsverhalten rechts von \(W\): Für \(x > 2\) ist der Graph linksgekrümmt, was \(f''(x) > 0\) entspricht. 4. Vorzeichenwechsel: Die zweite Ableitung wechselt an der Stelle \(x = 2\) ihr Vorzeichen von Minus nach Plus.

Der Wendepunkt liegt bei etwa \(x=2\). Das Vorzeichen von \(f''(x)\) wechselt dort von negativ für \(x<2\) zu positiv für \(x>2\).

- Suche nach den Stellen, an denen der Graph von einer „U-Form“ (linksgekrümmt) in eine „umgedrehte U-Form“ (rechtsgekrümmt) übergeht. - Achte auf die Symmetrie des Graphen, um die Punkte genauer zu bestimmen.

Aus dem Graphen liest man die Wendestellen ungefähr bei \(x\approx-1{,}4\) und \(x\approx1{,}4\) ab. Im dargestellten Bereich \([-5;5]\) ist der Graph auf \(]-1{,}4;1{,}4[\) linksgekrümmt sowie auf \([-5;-1{,}4[\) und \(]1{,}4;5]\) rechtsgekrümmt.

Wendestellen ungefähr bei \(x\approx-1{,}4\) und \(x\approx1{,}4\). Im dargestellten Bereich linksgekrümmt auf \(]-1{,}4;1{,}4[\), rechtsgekrümmt auf \([-5;-1{,}4[\) und \(]1{,}4;5]\).

- Wie berechnet man den Wert einer Größe zu einem bestimmten Zeitpunkt, wenn die Funktion die Gesamtsumme angibt? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen der durchschnittlichen Steigung in einem Intervall und der Steigung in einem Punkt. - Welcher mathematische Fachbegriff beschreibt die „Steigung der Steigung“ und wo findet man die steilste Stelle einer Kurve? - Überlege, welche Ableitung die Änderungsrate einer Funktion darstellt.

1. Berechnung der Gesamtmenge zum Zeitpunkt \(t = 20\): \(G(20) = -0{,}05 \cdot 20^3 + 1{,}5 \cdot 20^2 + 10 \cdot 20 = -400 + 600 + 200 = 400\). In den ersten \(20\) Stunden wurden insgesamt \(400\,\text{m}^3\) Gas produziert. 2. Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate im Intervall \([4; 12]\) mithilfe des Differenzenquotienten: \(G(12) = -0{,}05 \cdot 12^3 + 1{,}5 \cdot 12^2 + 10 \cdot 12 = 249{,}6\) und \(G(4) = -0{,}05 \cdot 4^3 + 1{,}5 \cdot 4^2 + 10 \cdot 4 = 60{,}8\). Die mittlere Rate beträgt \(\frac{G(12) - G(4)}{12 - 4} = \frac{249{,}6 - 60{,}8}{8} = \frac{188{,}8}{8} = 23{,}6\). Die durchschnittliche Produktionsrate liegt bei \(23{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). 3. Die momentane Produktionsrate wird durch die erste Ableitung \(G'(t) = -0{,}15t^2 + 3t + 10\) beschrieben. Ihr Maximum liegt an der Wendestelle von \(G\). Bestimmung der zweiten Ableitung: \(G''(t) = -0{,}3t + 3\). Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(-0{,}3t + 3 = 0 \Rightarrow t = 10\). Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(G'''(t) = -0{,}3\). Da \(G'''(10) < 0\), liegt an der Stelle \(t = 10\) ein Maximum der Steigung vor. Die Produktionsrate ist nach \(10\) Stunden am größten.

a) Es wurden insgesamt \(400\,\text{m}^3\) Gas produziert. b) Die durchschnittliche Produktionsrate beträgt \(23{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). c) Die momentane Produktionsrate ist zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{h}\) am größten.

- Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Krümmung des Graphen aus? - Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit an einer Stelle ein lokaler Hochpunkt existiert? - Versuche zuerst, die allgemeine Formel für die zweite Ableitung zu finden, bevor du Werte einsetzt. - Überlege dir, wie man eine Ungleichung löst, um einen Bereich für die Krümmung zu bestimmen.

1. Berechnung der ersten beiden Ableitungen: \(f'(x) = x^2 - 4x + 3\) und \(f''(x) = 2x - 4\). 2. Nachweis der Linkskrümmung: Für \(x > 2\) gilt \(2x > 4\), woraus \(2x - 4 > 0\) folgt. Da \(f''(x) > 0\) für alle \(x > 2\) ist, ist der Graph in diesem Bereich linksgekrümmt. 3. Nachweis des Hochpunkts: Zunächst wird geprüft, ob die notwendige Bedingung \(f'(1) = 0\) erfüllt ist: \(1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 0\). Dann wird die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung geprüft: \(f''(1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2\). Da \(f'(1) = 0\) und \(f''(1) < 0\) ist, liegt bei \(x = 1\) ein lokaler Hochpunkt vor.

a) \(f''(x) = 2x - 4\); für \(x > 2\) ist \(f''(x) > 0\), daher ist der Graph linksgekrümmt. b) \(f'(1) = 0\) und \(f''(1) = -2 < 0\), somit liegt an der Stelle \(x = 1\) ein lokaler Hochpunkt vor.

- Überlege dir, wie die Steigung der Tangente (beschrieben durch \(f'\)) sich verändert, wenn der Graph eine Kurve macht. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen für besondere Punkte eines Graphen. - Kannst du eine Funktion finden, deren zweite Ableitung null wird, ohne dass sich die Krümmung ändert? - Was bedeutet Monotonie einer Funktion für das Vorzeichen ihrer Ableitung?

1. Aussage a ist wahr, da ein positiver Wert der zweiten Ableitung (\(f''(x) > 0\)) bedeutet, dass die Steigung der Tangenten zunimmt, was grafisch einer Linkskurve entspricht. 2. Aussage b ist wahr, da \(f''(x_0) = 0\) bei einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion eine notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Wendestelle ist. 3. Aussage c ist falsch, da für eine Wendestelle zusätzlich ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vorliegen muss. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^4\) an der Stelle \(x = 0\); hier gilt \(f''(0) = 0\), aber es liegt ein lokales Minimum (kein Krümmungswechsel) vor. 4. Aussage d ist wahr, da eine streng monoton fallende erste Ableitung \(f'\) bedeutet, dass die Steigung der Tangenten abnimmt, was das charakteristische Merkmal einer Rechtskrümmung ist.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Untersuche, für welche \(x\)-Werte die zweite Ableitung positiv oder negativ ist. - Was muss an einer Stelle passieren, damit man von einem Krümmungswechsel spricht? - Kombiniere die Information über die Krümmung mit der Information über die Steigung an der Stelle \(x = 4\). - Wie nennt man einen Wendepunkt, an dem die Tangente waagerecht verläuft?

1. Berechnung der Nullstelle von \(f''\): \(0{,}5x - 2 = 0 \implies x = 4\). 2. Untersuchung des Vorzeichens von \(f''(x)\): Für \(x < 4\) ist \(f''(x) < 0\), was einer Rechtskrümmung entspricht. Für \(x > 4\) ist \(f''(x) > 0\), was einer Linkskrümmung entspricht. 3. Nachweis der Wendestelle: Da \(f''(4) = 0\) gilt und an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) (von minus nach plus) vorliegt, ist \(x = 4\) eine Wendestelle. 4. Bestimmung des speziellen Punktes: Da \(f'(4) = 0\) (waagerechte Tangente) und \(x = 4\) eine Wendestelle ist, handelt es sich um einen Terrassenpunkt (auch Sattelpunkt genannt).

a) Rechtsgekrümmt für \(x < 4\) (bzw. im Intervall \((-\infty; 4)\)), linksgekrümmt für \(x > 4\) (bzw. im Intervall \((4; \infty)\)). b) Es liegt eine Wendestelle vor, da \(f''(4) = 0\) ist und die zweite Ableitung dort ihr Vorzeichen wechselt (Krümmungswechsel). c) Es handelt sich um einen Terrassenpunkt (Sattelpunkt), da an der Wendestelle die Steigung \(f'(4) = 0\) beträgt.

- Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Krümmung des Graphen aus? - Wann hat eine Funktion (hier \(f'\)) eine Extremstelle? Welchen Zusammenhang gibt es zur Ableitung dieser Funktion? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Überlege dir, in welchen Bereichen die Faktoren der Funktionsgleichung positiv oder negativ sind.

1. Zur Bestimmung des Krümmungsverhaltens werden die Nullstellen von \(f''\) ermittelt: \(x = -4\), \(x = -1\) und \(x = 2\). Durch Testeinsetzungen in den Intervallen ergeben sich die Vorzeichen von \(f''\): Für \(x < -4\) ist \(f''(x) < 0\) (rechtsgekrümmt), für \(-4 < x < -1\) ist \(f''(x) > 0\) (linksgekrümmt), für \(-1 < x < 2\) ist \(f''(x) < 0\) (rechtsgekrümmt) und für \(x > 2\) ist \(f''(x) > 0\) (linksgekrümmt). Somit ist der Graph für \(x \in (-\infty; -4)\) und \(x \in (-1; 2)\) rechtsgekrümmt. 2. Die Extremstellen von \(f'\) entsprechen den Nullstellen von \(f''\) mit Vorzeichenwechsel. Da alle drei Nullstellen einfach sind, findet an jeder ein Vorzeichenwechsel statt. Die gesuchten Stellen sind \(x = -4\), \(x = -1\) und \(x = 2\). 3. Zur Klassifizierung der Extrema von \(f\) wird das Vorzeichen von \(f''\) an den gegebenen Stellen geprüft: - \(f''(-5) = (-1) \cdot (-4) \cdot (-7) = -28 < 0\). Da \(f'(-5) = 0\) und \(f''(-5) < 0\), liegt bei \(x_1 = -5\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. - \(f''(3) = (7) \cdot (4) \cdot (1) = 28 > 0\). Da \(f'(3) = 0\) und \(f''(3) > 0\), liegt bei \(x_2 = 3\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor.

a) Der Graph von \(f\) ist rechtsgekrümmt für \(x < -4\) sowie für \(-1 < x < 2\). b) Die Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -4\), \(x = -1\) und \(x = 2\). c) Bei \(x_1 = -5\) liegt ein lokales Maximum vor, da \(f''(-5) < 0\) ist. Bei \(x_2 = 3\) liegt ein lokales Minimum vor, da \(f''(3) > 0\) ist.

- Welche Bedingungen müssen für eine Wendestelle erfüllt sein? - Wie hängen Linkskrümmung und das Vorzeichen von \(f''\) zusammen? - Untersuche die Nullstellen des Terms \(x^2 - 16\), um die Intervalle für die Krümmung besser eingrenzen zu können. - Nutze das Vorzeichen von \(f''\) an den Stellen mit waagerechter Tangente zur Klassifizierung der Extrema.

1. Für einen Wendepunkt an der Stelle \(x = 0\) muss \(f''(0) = 0\) gelten und ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) vorliegen. Einsetzen ergibt \(f''(0) = -0{,}5 \cdot 0 \cdot (0 - 16) = 0\). Für kleine negative \(x\) (z. B. \(x = -1\)) ist \(f''(-1) = -0{,}5 \cdot (-1) \cdot (-15) = -7{,}5 < 0\). Für kleine positive \(x\) (z. B. \(x = 1\)) ist \(f''(1) = -0{,}5 \cdot 1 \cdot (-15) = 7{,}5 > 0\). Da ein Vorzeichenwechsel vorliegt, ist \(x = 0\) eine Wendestelle. 2. Linkskrümmung liegt vor, wenn \(f''(x) > 0\) ist. Die Nullstellen von \(f''\) sind \(x = -4\), \(x = 0\) und \(x = 4\). Die Vorzeichenprüfung ergibt: \(f''(x) > 0\) für \(x < -4\) und für \(0 < x < 4\). Somit ist der Graph in den Intervallen \((-\infty; -4)\) und \((0; 4)\) linksgekrümmt. 3. Untersuchung der Extremstellen von \(f\): - \(f''(-2) = -0{,}5 \cdot (-2) \cdot ((-2)^2 - 16) = 1 \cdot (4 - 16) = -12 < 0\). Da \(f'(-2) = 0\) und \(f''(-2) < 0\), ist \(x_a = -2\) eine lokale Maximalstelle. - \(f''(2) = -0{,}5 \cdot 2 \cdot (2^2 - 16) = -1 \cdot (4 - 16) = 12 > 0\). Da \(f'(2) = 0\) und \(f''(2) > 0\), ist \(x_b = 2\) eine lokale Minimalstelle.

a) Es gilt \(f''(0) = 0\) und \(f''\) wechselt bei \(x = 0\) das Vorzeichen (von negativ zu positiv), daher liegt ein Wendepunkt vor. b) Der Graph ist linksgekrümmt für \(x \in (-\infty; -4)\) und \(x \in (0; 4)\). c) Bei \(x_a = -2\) liegt eine Maximalstelle vor (\(f''(-2) = -12 < 0\)). Bei \(x_b = 2\) liegt eine Minimalstelle vor (\(f''(2) = 12 > 0\)).

- Berechne zuerst die zweite Ableitung der Funktion. - Wann hat eine quadratische Gleichung der Form \(ax^2 + c = 0\) keine, eine oder zwei Lösungen? - Überlege dir, ob an den Nullstellen der zweiten Ableitung tatsächlich ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Was bedeutet es für den Graphen von \(f_k''\), wenn \(k\) positiv, null oder negativ ist?

1. Die Ableitungen berechnen: \(f_k'(x) = 4x^3 + 2kx\) und \(f_k''(x) = 12x^2 + 2k\). 2. Für eine Änderung des Krümmungsverhaltens muss \(f_k''(x)\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzen. Die Gleichung \(12x^2 + 2k = 0\) führt auf \(x^2 = -\frac{k}{6}\). 3. Fall \(k > 0\): Der Ausdruck \(-\frac{k}{6}\) ist negativ. Die Gleichung \(x^2 = -\frac{k}{6}\) hat keine reellen Lösungen. Somit ist \(f_k''(x) > 0\) für alle \(x\), und das Krümmungsverhalten ändert sich nicht (der Graph ist überall linksgekrümmt). 4. Fall \(k = 0\): \(f_0''(x) = 12x^2\). Es gibt eine Nullstelle bei \(x = 0\), aber ohne Vorzeichenwechsel (da \(x^2 \geq 0\)). Das Krümmungsverhalten ändert sich nicht. 5. Fall \(k < 0\): Der Ausdruck \(-\frac{k}{6}\) ist positiv. Es gibt zwei Nullstellen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{k}{6}}\). Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit zwei Nullstellen handelt, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt. Es gibt genau zwei Wendestellen.

a) \(f_k''(x) = 12x^2 + 2k\) b) Für \(k \geq 0\) ändert sich das Krümmungsverhalten nicht. c) Für \(k \geq 0\) gibt es keine Wendestellen; für \(k < 0\) gibt es genau zwei Wendestellen.

- Welche Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung eines Graphen? - Wie hängen das Vorzeichen dieser Ableitung und die Art der Krümmung (links oder rechts) zusammen? - Was passiert mit der Krümmung an einem Wendepunkt? - Wie rechnet man die zugehörigen Funktionswerte (y-Koordinaten) aus?

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 2\) und \(f''(x) = x^2 - 1\). 2. Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen: \(x^2 - 1 = 0\) liefert \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). Da \(f''(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt. 3. Krümmungsintervalle festlegen: Für \(x < -1\) ist \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung), für \(-1 < x < 1\) ist \(f''(x) < 0\) (Rechtskrümmung) und für \(x > 1\) ist \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung). 4. Wendepunkte berechnen: Die Funktionswerte an den Stellen \(x_1\) und \(x_2\) bestimmen: \(f(-1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{29}{12}\) und \(f(1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{19}{12}\). Die Wendepunkte liegen bei \(W_1(-1 \mid -\frac{29}{12})\) und \(W_2(1 \mid \frac{19}{12})\).

1. Der Graph ist linksgekrümmt für \(x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\) und rechtsgekrümmt für \(x \in (-1; 1)\). 2. Die Wendepunkte sind \(W_1(-1 \mid -\frac{29}{12})\) und \(W_2(1 \mid \frac{19}{12})\).

- Welche Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung einer Funktion? - Wie hängen das Vorzeichen der zweiten Ableitung und die Art der Krümmung zusammen? - An welchen Stellen kann ein Graph sein Krümmungsverhalten ändern? - Wie nutzt man die erste und zweite Ableitung, um Extrema zu finden und zu klassifizieren?

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 6kx\), \(f_k''(x) = 6x - 6k\), \(f_k'''(x) = 6\). 2. Wendestelle bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \implies 6x = 6k \implies x_W = k\). Da \(f_k''\) linear ist und genau eine Nullstelle besitzt sowie \(f_k'''(k) = 6 \neq 0\) gilt, ist \(x_W = k\) die einzige Wendestelle. 3. Krümmungsverhalten: Da die zweite Ableitung \(f_k''(x) = 6(x - k)\) eine lineare Funktion mit positiver Steigung ist, gilt \(f_k''(x) < 0\) für \(x < k\) (Rechtskrümmung) und \(f_k''(x) > 0\) für \(x > k\) (Linkskrümmung). Somit liegt ein Wechsel von Rechts- nach Linkskrümmung vor. 4. Extrema: \(f_k'(x) = 3x(x - 2k) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\). 5. Art und Lage der Extrema: \(f_k''(0) = -6k < 0\) und \(f_k(0) = 2\). Daher liegt der Hochpunkt bei \(H(0 \mid 2)\). Außerdem gilt \(f_k''(2k) = 6k > 0\) und \(f_k(2k) = 2 - 4k^3\). Daher liegt der Tiefpunkt bei \(T(2k \mid 2 - 4k^3)\).

a) Die einzige Stelle mit Krümmungswechsel ist die Wendestelle \(x_W = k\). b) Für \(x < k\) ist \(f_k''(x) < 0\) (Rechtskrümmung), für \(x > k\) ist \(f_k''(x) > 0\) (Linkskrümmung). c) Der Hochpunkt liegt bei \(H(0 \mid 2)\), der Tiefpunkt bei \(T(2k \mid 2 - 4k^3)\).

- Erinnere dich an die notwendige und hinreichende Bedingung für Wendestellen. - Wie verhält sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung bei einer Rechts- bzw. Linkskrümmung? - Um ein Extremum nachzuweisen, betrachte die erste Ableitung für die Steigung null und die zweite Ableitung für die Art des Extremums.

1. Ableitungen berechnen: \(h_a'(x) = ax^2 - 4x\), \(h_a''(x) = 2ax - 4\), \(h_a'''(x) = 2a\). 2. Wendestelle nachweisen: \(h_a''(x) = 0 \implies 2ax = 4 \implies x_W = \frac{2}{a}\). Da \(a > 0\), ist \(h_a'''(\frac{2}{a}) = 2a \neq 0\), also liegt dort eine Wendestelle vor. 3. Krümmungsintervalle: Für \(x < \frac{2}{a}\) ist \(2ax < 4\), also \(h_a''(x) < 0\) (Rechtskrümmung). Für \(x > \frac{2}{a}\) ist \(2ax > 4\), also \(h_a''(x) > 0\) (Linkskrümmung). 4. Lokales Maximum: \(h_a'(0) = a \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 = 0\) und \(h_a''(0) = -4 < 0\). Damit ist bei \(x = 0\) ein lokales Maximum nachgewiesen. 5. Lokales Minimum: \(h_a'(x) = x(ax - 4) = 0\) liefert neben \(x = 0\) die Stelle \(x_{min} = \frac{4}{a}\). Wegen \(h_a''(\frac{4}{a}) = 2a(\frac{4}{a}) - 4 = 4 > 0\) liegt dort ein lokales Minimum vor.

a) Die Wendestelle ergibt sich aus \(h_a''(x) = 0\) zu \(x_W = \frac{2}{a}\). b) Für \(x < \frac{2}{a}\) ist der Graph rechtsgekrümmt, für \(x > \frac{2}{a}\) ist er linksgekrümmt. c) Das lokale Maximum liegt bei \(x = 0\) (da \(h_a''(0) = -4 < 0\)). Das lokale Minimum befindet sich an der Stelle \(x = \frac{4}{a}\).

- Es kann hilfreich sein, den Funktionsterm zuerst auszumultiplizieren, bevor du mit dem Ableiten beginnst. - Welche Bedingung muss für die zweite Ableitung an einer Wendestelle gelten? - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer quadratischen Gleichung für die zweite Ableitung? - Vergiss nicht zu prüfen, ob an den berechneten Stellen wirklich ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vorliegt.

1. Ausmultiplizieren des Funktionsterms zur Vereinfachung der Ableitungsbildung: \(g(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^3 + 3x^2\) 2. Bestimmung der Ableitungen: \(g'(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x\) \(g''(x) = 3x^2 - 9x + 6\) \(g'''(x) = 6x - 9\) 3. Lösen der Gleichung \(g''(x) = 0\): \(3(x^2 - 3x + 2) = 0\) Anwendung der Mitternachtsformel oder des Satzes von Vieta ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(g'''(1) = 6 \cdot 1 - 9 = -3 \neq 0\) \(g'''(2) = 6 \cdot 2 - 9 = 3 \neq 0\) An beiden Stellen liegt ein Krümmungswechsel vor.

Die Funktion \(g\) besitzt Wendestellen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\).

- Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines Wendepunkts erfüllt sein? - Wie hängen die Steigung einer Tangente und die Ableitungsfunktion zusammen? - Was unterscheidet einen allgemeinen Wendepunkt von einem speziellen Terrassenpunkt (Sattelpunkt)? - Denk daran, dass für einen Terrassenpunkt eine zusätzliche Bedingung an die erste Ableitung geknüpft ist.

1. Ableitungen der Funktion bilden: \(f'(x) = \frac{1}{4}x^2 - 2x + 3\), \(f''(x) = \frac{1}{2}x - 2\) und \(f'''(x) = \frac{1}{2}\). 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen \(f''(x) = 0\) anwenden: \(\frac{1}{2}x - 2 = 0 \implies x_w = 4\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f'''(4) = \frac{1}{2} \neq 0\), somit liegt bei \(x_w = 4\) eine Wendestelle vor. 4. Koordinaten des Wendepunkts bestimmen: \(f(4) = \frac{1}{12} \cdot 4^3 - 4^2 + 3 \cdot 4 - 1 = \frac{16}{3} - 16 + 12 - 1 = \frac{1}{3}\). Der Wendepunkt ist \(W(4 \mid \frac{1}{3})\). 5. Steigung der Wendetangente berechnen: \(f'(4) = \frac{1}{4} \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\). 6. Prüfung auf Terrassenpunkt: Da die Steigung im Wendepunkt \(f'(4) = -1 \neq 0\) ist, handelt es sich nicht um einen Terrassenpunkt.

a) \(W(4 \mid \frac{1}{3})\) b) \(m = -1\) c) Nein, da die Steigung im Wendepunkt ungleich Null ist (\(f'(4) = -1\)).

- Wie findet man mathematisch die Punkte, an denen sich die Krümmung ändert? - Denke an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der zweiten Ableitung und der Art der Krümmung. - Wenn eine Kurve eine „Linkskurve“ beschreibt, was passiert dann mit dem Winkel der Tangente, wenn man die Kurve von links nach rechts abfährt? - Nutze eine Teststelle innerhalb des Intervalls, um das Vorzeichen der zweiten Ableitung schnell zu prüfen.

1. Bildung der Ableitungen: \(g'(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x\) und \(g''(x) = -x^2 + 2\). 2. Berechnung der potenziellen Wendestellen durch Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(-x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_1 = -\sqrt{2} \approx -1{,}41\) und \(x_2 = \sqrt{2} \approx 1{,}41\). 3. Prüfung des Krümmungsverhaltens: Die zweite Ableitung \(g''(x) = -x^2 + 2\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Zwischen den Nullstellen (also für \(x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})\)) sind die Funktionswerte von \(g''\) positiv (\(g''(x) > 0\)). 4. Nachweis der Krümmung: Da \(g''(x) > 0\) für alle \(x\) im Intervall \((-\sqrt{2}; \sqrt{2})\) gilt, ist der Graph dort definitionsgemäß linksgekrümmt. 5. Interpretation: Eine Linkskrümmung bedeutet, dass die Tangentensteigung \(g'(x)\) mit zunehmendem \(x\) ansteigt. Die Steigung der Kurve nimmt also kontinuierlich zu (wird „steiler“ im positiven Sinne oder „weniger steil“ im negativen Sinne).

a) Die Krümmung ändert sich an den Stellen \(x_1 = -\sqrt{2}\) und \(x_2 = \sqrt{2}\). b) Da \(g''(x) = -x^2 + 2\) im Intervall \((-\sqrt{2}; \sqrt{2})\) größer als Null ist, liegt eine Linkskrümmung vor. Dies bedeutet, dass die Tangentensteigung \(g'\) in diesem Intervall streng monoton zunimmt.

- Welche Ableitungen benötigst du, um Wendestellen zu finden? - Wie lautet die notwendige Bedingung für eine Wendestelle? - Erinnerst du dich an die allgemeine Geradengleichung für eine Tangente an einem Punkt? - Wodurch zeichnet sich ein Terrassenpunkt im Vergleich zu einem gewöhnlichen Wendepunkt aus?

1. Erste drei Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x\), \(f''(x) = 3x^2 - 3\), \(f'''(x) = 6x\). 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen \(f''(x) = 0\) liefert \(3x^2 = 3\), also \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f'''(-1) = -6 \neq 0\) und \(f'''(1) = 6 \neq 0\). Es liegen zwei Wendepunkte vor. 4. Koordinaten berechnen: \(f(-1) = -1{,}25\) und \(f(1) = -1{,}25\). Die Wendepunkte sind \(W_1(-1 \mid -1{,}25)\) und \(W_2(1 \mid -1{,}25)\). 5. Steigungen berechnen: \(f'(-1) = 2\) und \(f'(1) = -2\). Da beide Steigungen ungleich Null sind, liegt kein Terrassenpunkt vor. 6. Wendetangenten aufstellen: Für \(W_1\) gilt \(y = 2(x + 1) - 1{,}25 = 2x + 0{,}75\). Für \(W_2\) gilt \(y = -2(x - 1) - 1{,}25 = -2x + 0{,}75\).

Wendepunkte: \(W_1(-1 \mid -1{,}25)\) und \(W_2(1 \mid -1{,}25)\). Wendetangenten: \(t_1: y = 2x + 0{,}75\) und \(t_2: y = -2x + 0{,}75\). Es liegen keine Terrassenpunkte vor.

- Wie viele Ableitungen musst du bilden, um die Krümmung und Wendepunkte zu untersuchen? - Überlege, welche Bedingung die Steigung an einem Terrassenpunkt erfüllen muss. - Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt einer Tangente, wenn Steigung und Punkt bekannt sind?

1. Ableitungen bestimmen: \(g'(x) = 4x^3 - 12x^2\), \(g''(x) = 12x^2 - 24x\), \(g'''(x) = 24x - 24\). 2. Wendestellen finden: \(g''(x) = 0 \implies 12x(x - 2) = 0\), daraus folgen die Kandidaten \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(g'''(0) = -24 \neq 0\) (Wendestelle) und \(g'''(2) = 24 \neq 0\) (Wendestelle). 4. Funktionswerte und Steigungen: \(g(0) = 0\), \(g'(0) = 0\) sowie \(g(2) = -16\), \(g'(2) = -16\). 5. Terrassenpunkt: Da \(g'(0) = 0\) ist, ist \(W_1(0 \mid 0)\) ein Terrassenpunkt. Bei \(x_2 = 2\) ist \(g'(2) \neq 0\), also liegt dort kein Terrassenpunkt vor. 6. Tangentengleichungen: Bei \(x_1 = 0\) ist die Tangente \(y = 0 \cdot (x - 0) + 0\), also \(y = 0\). Bei \(x_2 = 2\) ist die Tangente \(y = -16(x - 2) - 16\), also \(y = -16x + 16\).

Wendepunkte: \(W_1(0 \mid 0)\) und \(W_2(2 \mid -16)\). Wendetangenten: \(t_1: y = 0\) und \(t_2: y = -16x + 16\). Der Punkt \(W_1(0 \mid 0)\) ist ein Terrassenpunkt.

- Welche Ableitungen benötigst du, um die Krümmung einer Funktion zu untersuchen? - Wie lautet die Bedingung für eine mögliche Wendestelle? - Denk daran, dass der Parameter \(t\) beim Ableiten wie eine normale Zahl behandelt wird. - Wie erhältst du den passenden Funktionswert, wenn du die Stelle \(x\) bereits kennst?

1. Ableitungen bilden: \(g_t'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2tx + 10\), \(g_t''(x) = x - 2t\), \(g_t'''(x) = 1\). 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen: \(g_t''(x) = 0 \implies x - 2t = 0 \implies x_w = 2t\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: Da \(g_t'''(2t) = 1 \neq 0\), liegt bei \(x_w = 2t\) ein Wendepunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(g_t(2t) = \frac{1}{6}(2t)^3 - t(2t)^2 + 10(2t) = \frac{8}{6}t^3 - 4t^3 + 20t = \frac{4}{3}t^3 - \frac{12}{3}t^3 + 20t = -\frac{8}{3}t^3 + 20t\). 5. Koordinaten angeben: \(W_t(2t \mid -\frac{8}{3}t^3 + 20t)\).

\(W_t(2t \mid -\frac{8}{3}t^3 + 20t)\)

- Bestimme zuerst die ersten beiden Ableitungen der Funktion nach \(x\). - Setze die zweite Ableitung gleich Null, um die Stelle \(x\) in Abhängigkeit von \(k\) zu finden. - Achte beim Einsetzen von \(x\) in die Funktionsgleichung besonders auf die Potenzgesetze und die Vorzeichen. - Warum muss in der Aufgabenstellung \(k \neq 0\) vorausgesetzt werden?

1. Erste drei Ableitungen bestimmen: \(h_k'(x) = 3kx^2 + 18x\), \(h_k''(x) = 6kx + 18\), \(h_k'''(x) = 6k\). 2. Wendestelle berechnen: \(h_k''(x) = 0 \implies 6kx + 18 = 0 \implies x_w = -\frac{18}{6k} = -\frac{3}{k}\). 3. Hinreichende Bedingung: Da \(k \neq 0\), ist \(h_k'''(-\frac{3}{k}) = 6k \neq 0\), somit existiert ein Wendepunkt. 4. Funktionswert bestimmen: \(h_k(-\frac{3}{k}) = k \cdot (-\frac{3}{k})^3 + 9 \cdot (-\frac{3}{k})^2 - 5 = k \cdot (-\frac{27}{k^3}) + 9 \cdot \frac{9}{k^2} - 5 = -\frac{27}{k^2} + \frac{81}{k^2} - 5 = \frac{54}{k^2} - 5\). 5. Ergebnis: \(W_k(-\frac{3}{k} \mid \frac{54}{k^2} - 5)\).

\(W_k(-\frac{3}{k} \mid \frac{54}{k^2} - 5)\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Bestimme zuerst die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts, indem du die notwendige Bedingung für Wendestellen nutzt. - Berechne anschließend den zugehörigen Funktionswert in Abhängigkeit von \(k\). - Welche Bedingung muss für diesen Funktionswert erfüllt sein, damit der Punkt auf der \(x\)-Achse liegt?

1. Bestimmung der Ableitungen: \(g_k'(x) = 3x^2 - 6x\) \(g_k''(x) = 6x - 6\) 2. Berechnung der Wendestelle durch Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(6x - 6 = 0 \implies x_W = 1\) (Überprüfung: \(g_k'''(1) = 6 \neq 0\), also liegt ein Wendepunkt vor.) 3. Bedingung für die Lage auf der \(x\)-Achse: Der Funktionswert an der Wendestelle muss Null sein (\(g_k(1) = 0\)). \(g_k(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + k = 0\) \(1 - 3 + k = 0\) \(-2 + k = 0 \implies k = 2\)

\(k = 2\)

- Wie findet man die Wendestelle einer Funktion, wenn ein Parameter enthalten ist? - Welche Ableitungen sind für die Krümmung und Wendepunkte relevant? - Ein Punkt liegt auf dem Graphen, wenn seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. Wie kannst du das hier nutzen? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Stelle \(x_W\) und dem Funktionswert \(f(x_W)\)?

1. Ableitungsfunktionen bestimmen: \(f_a'(x) = 3x^2 - 6ax\) und \(f_a''(x) = 6x - 6a\). 2. Bedingung für Wendestellen ansetzen: \(f_a''(x) = 0 \Rightarrow 6x - 6a = 0 \Rightarrow x_W = a\). 3. Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(f_a'''(x) = 6 \neq 0\), somit liegt an der Stelle \(x_W = a\) stets ein Wendepunkt vor. 4. Bedingung für die \(y\)-Koordinate des Wendepunkts nutzen: \(f_a(x_W) = 6\). 5. Einsetzen und Gleichung lösen: \(f_a(a) = a^3 - 3a^2 \cdot a + 4 = -2a^3 + 4 = 6\). 6. Berechnung von \(a\): \(-2a^3 = 2 \Rightarrow a^3 = -1 \Rightarrow a = -1\).

\(a = -1\)

- Wie findet man die Stellen eines Graphen, an denen sich das Krümmungsverhalten ändert? - Welche Ableitungen benötigst du für die Bestimmung eines Wendepunkts? - Die Tangente ist eine Gerade. Welche Informationen (Punkt und Steigung) brauchst du für ihre Gleichung? - Skizziere die Tangente in einem Koordinatensystem, um die Lage der Schnittpunkte mit den Achsen zu visualisieren. - Das Dreieck ist rechtwinklig, da die Koordinatenachsen senkrecht aufeinanderstehen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3x\), \(f''(x) = \frac{3}{2}x - 3\), \(f'''(x) = \frac{3}{2}\). 2. Wendestelle bestimmen: \(f''(x) = 0 \Rightarrow \frac{3}{2}x - 3 = 0 \Rightarrow x_W = 2\). Da \(f'''(2) \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. 3. Koordinaten des Wendepunkts: \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 8 - \frac{3}{2} \cdot 4 + 2 = 2 - 6 + 2 = -2\), also \(W(2 \mid -2)\). 4. Steigung der Wendetangente: \(m = f'(2) = \frac{3}{4} \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 3 - 6 = -3\). 5. Gleichung der Wendetangente \(t\): \(y = -3 \cdot (x - 2) - 2 \Rightarrow y = -3x + 4\). 6. Schnittpunkte mit den Achsen: Für \(A\) setze \(y = 0 \Rightarrow 0 = -3x + 4 \Rightarrow x_A = \frac{4}{3}\), also \(A(\frac{4}{3} \mid 0)\). Für \(B\) setze \(x = 0 \Rightarrow y_B = 4\), also \(B(0 \mid 4)\). 7. Flächeninhalt des Dreiecks \(OAB\): \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot |x_A| \cdot |y_B| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}\,\text{FE} \approx 2{,}67\,\text{FE}\).

a) Wendepunkt \(W(2 \mid -2)\), Wendetangente \(t: y = -3x + 4\) b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(\frac{8}{3}\,\text{FE} \approx 2{,}67\,\text{FE}\).

- Wie findest du die Wendepunkte einer Funktion? Nutze die notwendige Bedingung für die zweite Ableitung. - Berechne die Koordinaten des Wendepunkts so, dass sie nur noch vom Parameter abhängen. - Kannst du den Parameter so umformen, dass er allein auf einer Seite der Gleichung steht? - Nutze diese Umformung, um den Parameter aus der Gleichung für den Funktionswert zu eliminieren. - Überlege am Ende, welche Werte die x-Koordinate annehmen kann, basierend auf der Definitionsmenge des Parameters.

1. Berechnung der Ableitungen: \(g_a'(x) = 3x^2 + 6ax\) und \(g_a''(x) = 6x + 6a\). 2. Bestimmung der Wendestelle durch \(g_a''(x) = 0\): \(6x = -6a \implies x = -a\). Die Bedingung \(g_a'''(x) = 6 \neq 0\) ist erfüllt. 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Wendepunkts: \(y = g_a(-a) = (-a)^3 + 3a(-a)^2 - 2a = -a^3 + 3a^3 - 2a = 2a^3 - 2a\). 4. Auflösen der Gleichung \(x = -a\) nach \(a\): \(a = -x\). 5. Einsetzen von \(a = -x\) in den Ausdruck für \(y\): \(y = 2(-x)^3 - 2(-x) = -2x^3 + 2x\). 6. Da \(a > 0\) vorgegeben ist, gilt für die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts \(x = -a < 0\).

Die Ortskurve der Wendepunkte hat die Gleichung \(y = -2x^3 + 2x\) für \(x < 0\).

- Welche Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung eines Graphen? - Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen der zweiten Ableitung für die Form der Kurve? - An welchen Stellen ändert sich die Krümmung einer Funktion? - Wie prüft man, ob an einer Stelle mit \(h''(x) = 0\) tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt?

1. Ableitungen bestimmen: \(h'(x) = 2x^3 - 6x + 5\), \(h''(x) = 6x^2 - 6\), \(h'''(x) = 12x\). 2. Notwendige Bedingung für Wendepunkte \(h''(x) = 0\) lösen: \(6x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1\). 3. Krümmungsverhalten über das Vorzeichen von \(h''(x)\) ermitteln: Für \(x < -1\) ist \(h''(x) > 0 \implies\) linksgekrümmt (konvex). Für \(-1 < x < 1\) ist \(h''(x) < 0 \implies\) rechtsgekrümmt (konkav). Für \(x > 1\) ist \(h''(x) > 0 \implies\) linksgekrümmt (konvex). 4. Hinreichende Bedingung für Wendepunkte prüfen: \(h'''(-1) = -12 \neq 0\) und \(h'''(1) = 12 \neq 0\). Es liegen Wendepunkte vor. 5. \(y\)-Koordinaten berechnen: \(h(-1) = \frac{1}{2}(-1)^4 - 3(-1)^2 + 5(-1) - 2 = 0{,}5 - 3 - 5 - 2 = -9{,}5\). \(h(1) = \frac{1}{2}(1)^4 - 3(1)^2 + 5(1) - 2 = 0{,}5 - 3 + 5 - 2 = 0{,}5\). Wendepunkte: \(W_1(-1 \mid -9{,}5)\) und \(W_2(1 \mid 0{,}5)\).

a) Linksgekrümmt für \(x \in (-\infty; -1)\) und \(x \in (1; \infty)\); rechtsgekrümmt für \(x \in (-1; 1)\). b) Wendepunkte \(W_1(-1 \mid -9{,}5)\) und \(W_2(1 \mid 0{,}5)\).

- Welche Ableitungen benötigst du, um Wendestellen zu finden? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Symmetrie weist die Funktion auf und was bedeutet das für die Lage der Wendepunkte? - Wie findet man den gemeinsamen Punkt zweier linearer Funktionen?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 2x^3 - 6x\), \(f''(x) = 6x^2 - 6\), \(f'''(x) = 12x\). 2. Wendestellen bestimmen: \(f''(x) = 0 \implies 6x^2 = 6 \implies x_1 = 1, x_2 = -1\). Da \(f'''(\pm 1) \neq 0\), liegen Wendepunkte vor. 3. Koordinaten und Steigungen berechnen: \(f(1) = -2{,}5\) und \(f'(1) = -4\); \(f(-1) = -2{,}5\) und \(f'(-1) = 4\). Die Wendepunkte sind \(W_1(1 \mid -2{,}5)\) und \(W_2(-1 \mid -2{,}5)\). 4. Tangentengleichungen aufstellen: \(t_1: y = -4(x - 1) - 2{,}5 = -4x + 1{,}5\) und \(t_2: y = 4(x + 1) - 2{,}5 = 4x + 1{,}5\). 5. Schnittpunkt berechnen: Gleichsetzen \(4x + 1{,}5 = -4x + 1{,}5 \implies 8x = 0 \implies x = 0\). Einsetzen liefert \(y = 1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S(0 \mid 1{,}5)\).

\(S(0 \mid 1{,}5)\)

- Was bedeutet "Wachstumsrate" im Kontext der Ableitung einer Bestandsfunktion? - Wie unterscheidet sich die Berechnung für ein Zeitintervall von der für einen Zeitpunkt? - Wenn du die größte Wachstumsrate suchst, suchst du das Maximum der Steigungsfunktion. Welches Werkzeug nutzt man zur Extremwertbestimmung?

1. Berechnung der mittleren Wachstumsrate im Intervall \([0; 5]\): \(B(0) = 100\) \(B(5) = 100 + 20 \cdot 5^2 - 5^3 = 100 + 500 - 125 = 475\) \(\frac{B(5) - B(0)}{5 - 0} = \frac{475 - 100}{5} = \frac{375}{5} = 75\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}\) 2. Berechnung der momentanen Wachstumsrate mittels der ersten Ableitung: \(B'(t) = 40t - 3t^2\) \(B'(5) = 40 \cdot 5 - 3 \cdot 5^2 = 200 - 75 = 125\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}\) 3. Bestimmung des Maximums der Wachstumsrate \(B'(t)\): Untersuchung der zweiten Ableitung \(B''(t) = 40 - 6t\). Setze \(B''(t) = 0 \implies 40 - 6t = 0 \implies t = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\). Da \(B'(t) = 40t - 3t^2\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, liegt bei \(t = \frac{20}{3}\) das globale Maximum der Wachstumsrate im Modellintervall vor.

a) Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(75\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}\). b) Die momentane Wachstumsrate beträgt \(125\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}\). c) Die momentane Wachstumsrate ist zum Zeitpunkt \(t = \frac{20}{3}\,\text{h} \approx 6{,}67\,\text{h}\) am größten. Dies entspricht dem Maximum der ersten Ableitung (Wendepunkt der Bestandsfunktion).

- Überlege zuerst, welche Werte für \(x\) im Nenner problematisch sind. - Nutze die Quotientenregel oder die Kettenregel für die Ableitungen. - Erinnere dich daran, wie das Vorzeichen der zweiten Ableitung mit der Rechts- oder Linkskrümmung zusammenhängt. - Unterscheide zwischen unterschiedlichen Krümmungsrichtungen auf getrennten Definitionsintervallen und einem Wendepunkt des Graphen.

1. Der Nenner \(x^2-1\) wird Null für \(x = 1\) und \(x = -1\), also ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). Die Ableitungen lauten \(f'(x) = -2x \cdot (x^2-1)^{-2}\) und \(f''(x) = \frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}\). 2. Die Gleichung \(6x^2+2 = 0\) hat in \(\mathbb{R}\) keine Lösung, da \(6x^2+2 \geq 2\) für alle \(x\) gilt. Somit hat \(f''\) keine Nullstellen. 3. Das Vorzeichen von \(f''(x)\) hängt nur vom Nenner \((x^2-1)^3\) ab. Für \(|x| > 1\) ist \(x^2-1 > 0\), also \(f''(x) > 0\) (linksgekrümmt). Für \(|x| < 1\) ist \(x^2-1 < 0\), also \(f''(x) < 0\) (rechtsgekrümmt). Intervalle: linksgekrümmt in \((-\infty; -1)\) und \((1; \infty)\), rechtsgekrümmt in \((-1; 1)\). 4. Auf den äußeren Graphenästen ist der Graph linksgekrümmt, auf dem mittleren Graphenast rechtsgekrümmt. Diese Äste sind durch die Polstellen getrennt; der Graph durchläuft dort keinen Punkt. Deshalb darf man nicht von einem Krümmungswechsel an \(x=-1\) oder \(x=1\) sprechen. Wendepunkte liegen nicht vor, weil die beiden Stellen nicht zum Definitionsbereich gehören.

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); \(f''(x) = \frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}\) 2. \(6x^2+2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), daher keine Nullstellen. 3. Linksgekrümmt für \(x \in (-\infty; -1)\) und \(x \in (1; \infty)\); rechtsgekrümmt für \(x \in (-1; 1)\). 4. Die getrennten Graphenäste besitzen unterschiedliche Krümmungsrichtungen. An den Polstellen gibt es jedoch keine Graphenpunkte und daher keine Wendepunkte.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung und der Krümmung einer Funktion. - Suche zuerst nach den Stellen, an denen sich das Krümmungsverhalten ändern könnte. - Überprüfe das Vorzeichen der zweiten Ableitung in den Bereichen zwischen diesen Stellen. - Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen der zweiten Ableitung für den Kurvenverlauf?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2\). 2. Berechnung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = x^3 - x\). 3. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung zur Identifikation möglicher Wendestellen: \(x^3 - x = 0 \iff x(x^2 - 1) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 1\). 4. Untersuchung des Vorzeichens von \(f''(x)\) in den durch die Nullstellen definierten Intervallen: - Für \(x < -1\) ist \(f''(x) < 0\) (z. B. \(f''(-2) = -6\)), also liegt eine Rechtskrümmung vor. - Für \(-1 < x < 0\) ist \(f''(x) > 0\) (z. B. \(f''(-0{,}5) = 0{,}375\)), also liegt eine Linkskrümmung vor. - Für \(0 < x < 1\) ist \(f''(x) < 0\) (z. B. \(f''(0{,}5) = -0{,}375\)), also liegt eine Rechtskrümmung vor. - Für \(x > 1\) ist \(f''(x) > 0\) (z. B. \(f''(2) = 6\)), also liegt eine Linkskrümmung vor.

Der Graph von \(f\) ist im Intervall \((-1; 0)\) und im Intervall \((1; \infty)\) linksgekrümmt (Linkskrümmung). Der Graph von \(f\) ist im Intervall \((-\infty; -1)\) und im Intervall \((0; 1)\) rechtsgekrümmt (Rechtskrümmung).

- Welche Ableitung benötigst du, um Aussagen über Wendepunkte zu treffen? - Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion maximal haben? - Reicht es aus, nur die Nullstellen der Ableitung zu finden, oder musst du noch etwas über den Vorzeichenwechsel sagen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Form der Parabel der zweiten Ableitung und ihren Nullstellen.

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung der Funktion \(f\): \(f'(x) = \frac{1}{24}(4x^3 - 6x^2 - 72x)\) \(f''(x) = \frac{1}{24}(12x^2 - 12x - 72) = \frac{1}{2}(x^2 - x - 6)\) 2. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung (notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\)): \(x^2 - x - 6 = 0\) ergibt mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung \((x-3)(x+2) = 0\) die Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 3. Überprüfung des Krümmungswechsels (hinreichende Bedingung): Da \(f''\) eine nach oben geöffnete Parabel mit zwei einfachen Nullstellen ist, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) statt (von positiv zu negativ bei \(x = -2\) und von negativ zu positiv bei \(x = 3\)). Alternativ gilt für die dritte Ableitung \(f'''(x) = x - 0{,}5\), dass \(f'''(3) = 2{,}5 \neq 0\) und \(f'''(-2) = -2{,}5 \neq 0\). Somit liegen genau zwei Wendestellen und damit genau zwei Wendepunkte vor.

Die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 3\) ist eine quadratische Funktion. Ihre Nullstellen liegen bei \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). Da es sich um zwei einfache Nullstellen einer Parabel handelt, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt, was die Existenz von genau zwei Wendepunkten bestätigt.

- Was bedeutet eine „Änderung des Krümmungsverhaltens“ für die zweite Ableitung? - Wie kannst du die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Gleichung bestimmen, ohne sie unbedingt exakt ausrechnen zu müssen? - Welche Bedingung muss an einer Stelle erfüllt sein, damit dort tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt?

1. Ableitungen bilden: \(g'(x) = 0{,}4x^3 + 2{,}4x^2 - 1{,}2x\) \(g''(x) = 1{,}2x^2 + 4{,}8x - 1{,}2\) 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen (\(g''(x) = 0\)): \(1{,}2(x^2 + 4x - 1) = 0 \iff x^2 + 4x - 1 = 0\) Für die äquivalente quadratische Gleichung \(x^2 + 4x - 1 = 0\) gilt \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 20 > 0\). Daher gibt es zwei unterschiedliche reelle Lösungen: \(x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{5}\). 3. Begründung des Krümmungswechsels: Die zweite Ableitung \(g''\) ist eine quadratische Funktion mit zwei einfachen Nullstellen. An jeder einfachen Nullstelle wechselt \(g''(x)\) das Vorzeichen. Deshalb ändert der Graph von \(g\) an genau zwei Stellen sein Krümmungsverhalten.

Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = 1{,}2x^2 + 4{,}8x - 1{,}2\). Die äquivalente Gleichung \(x^2 + 4x - 1 = 0\) hat wegen \(D = 20 > 0\) zwei verschiedene reelle Lösungen. Da dies einfache Nullstellen von \(g''\) sind, wechselt dort jeweils das Vorzeichen von \(g''\). Der Graph besitzt also genau zwei Stellen mit Krümmungsänderung.

- Bestimme \(f''\) und seine Nullstellen. - Untersuche das Vorzeichen von \(f''\) auf den dadurch entstehenden offenen Intervallen. - Eine Wendestelle erfordert einen Wechsel der Krümmungsrichtung. - Vergleiche den Vorzeichenwechsel mit der konstanten zweiten Ableitung einer Geraden.

1. Es gilt \(f'(x)=\frac{1}{3}x^3-x\) und \(f''(x)=x^2-1\). 2. Aus \(x^2-1=0\) folgen die möglichen Wendestellen \(x=-1\) und \(x=1\). 3. Für \(x<-1\) und \(x>1\) ist \(f''(x)>0\); der Graph ist auf \(( -\infty;-1)\) und \((1;\infty)\) linksgekrümmt. Für \(-1<x<1\) ist \(f''(x)<0\); dort ist er rechtsgekrümmt. 4. An beiden Nullstellen wechselt \(f''\) das Vorzeichen. Deshalb sind \(x=-1\) und \(x=1\) Wendestellen. Die Krümmungsrichtung wird auf den angrenzenden Intervallen beschrieben, nicht als punktweise Eigenschaft der einzelnen Stelle. 5. Bei einer Geraden gilt \(f''=0\) auf einem ganzen Intervall beziehungsweise überall, ohne Vorzeichenwechsel; daher besitzt sie keine Wendestelle.

Der Graph ist auf \(( -\infty;-1)\) und \((1;\infty)\) linksgekrümmt sowie auf \((-1;1)\) rechtsgekrümmt. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) wechselt \(f''\) das Vorzeichen, also liegen dort Wendestellen. Eine Gerade hat dagegen überall die zweite Ableitung null und keinen solchen Vorzeichenwechsel.

- Was muss für die zweite Ableitung an einer Wendestelle gelten? - Wie hängen die Extremstellen der ersten Ableitung mit den Wendestellen der Originalfunktion zusammen? - Wenn eine Funktion an einer Stelle ein lokales Minimum von Null hat und sonst nur positive Werte annimmt, findet dann ein Vorzeichenwechsel statt? - Untersuche die Steigung der ersten Ableitung (also die zweite Ableitung) auf ihr Vorzeichen in der Umgebung der kritischen Stelle.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x\) und \(f''(x) = 12x^2 - 24x + 12\). 2. Extremstellen von \(f\): \(f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 3) = 0\). Die Klammer hat keine reellen Nullstellen (\(D = 9 - 12 = -3\)), also ist \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f'\). Da \(f''(0) = 12 > 0\), liegt bei \(x = 0\) ein relatives Minimum vor. 3. Untersuchung auf Wendestellen: \(f''(x) = 12(x-1)^2\). Es gilt \(f''(1) = 0\). 4. Monotonie von \(f''\): Die Ableitung von \(f''\) ist \(f'''(x) = 24x - 24\). Für \(x < 1\) ist \(f'''(x) < 0\) (\(f''\) fallend) und für \(x > 1\) ist \(f'''(x) > 0\) (\(f''\) steigend). Somit hat \(f''\) bei \(x = 1\) ein lokales Minimum mit dem Wert \(f''(1) = 0\). 5. Schlussfolgerung: Da \(f''(1) = 0\) ein Minimum ist, gilt \(f''(x) \geq 0\) für alle \(x\). Die Steigungsfunktion \(f'\) ist daher auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend und besitzt bei \(x = 1\) keine Extremstelle. Ohne Extremstelle der ersten Ableitung liegt bei \(f\) an dieser Stelle keine Wendestelle vor.

a) \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x\); \(f''(x) = 12x^2 - 24x + 12\) b) Relatives Minimum bei \(x = 0\). c) Keine Wendestelle bei \(x = 1\), da \(f''\) dort ein lokales Minimum hat und somit keinen Vorzeichenwechsel vollzieht (bzw. \(f'\) dort keine Extremstelle hat).

- Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der ersten Ableitung? - Wenn eine Funktion steigt und danach fällt, welche Art von Punkt liegt dann vor? - Wie hängen die Monotonie der Ableitung und die Krümmung des Graphen zusammen? - Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad den Graphen entlang – in welche Richtung musst du lenken, wenn die Steigung immer kleiner wird?

1. Die waagerechte Tangente liefert \(f'(3)=0\). 2. Weil \(f'\) auf einem Intervall mit \(3\) im Inneren streng monoton fällt, gilt für \(x<3\) in diesem Intervall \(f'(x)>f'(3)=0\) und für \(x>3\) gilt \(f'(x)<f'(3)=0\). 3. Somit steigt \(f\) vor \(x=3\) und fällt danach. Bei \(x=3\) liegt daher ein lokales Maximum vor. 4. Eine streng fallende Ableitungsfunktion ist das Kriterium dafür, dass \(f\) in diesem Intervall rechtsgekrümmt beziehungsweise streng konkav ist. Daraus folgt nicht, dass \(f''(x)\) an jeder einzelnen Stelle negativ sein muss.

Bei \(x=3\) liegt ein lokales Maximum vor. Im betrachteten Intervall ist der Graph rechtsgekrümmt, weil \(f'\) dort streng monoton fällt.

- Welche Eigenschaft müssen die Exponenten einer ganzrationalen Funktion haben, damit Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für die Existenz einer Wendestelle. - Was passiert mit den Konstanten und den Potenzen von \(x\), wenn du die Funktion ableitest?

1. Für die Punktsymmetrie zum Ursprung dürfen bei einer ganzrationalen Funktion nur ungerade Exponenten vorkommen. Daraus folgt direkt \(b = 0\) und \(d = 0\). 2. Die Funktion lautet somit \(f(x) = ax^3 + cx\). 3. Die ersten drei Ableitungen sind: \(f'(x) = 3ax^2 + c\), \(f''(x) = 6ax\) und \(f'''(x) = 6a\). 4. Notwendige Bedingung für eine Wendestelle: \(f''(x) = 0 \implies 6ax = 0\). Da \(a \neq 0\), folgt \(x = 0\). 5. Hinreichende Bedingung: \(f'''(0) = 6a\). Da \(a \neq 0\), ist \(f'''(0) \neq 0\). Somit besitzt der Graph bei \(x = 0\) einen Wendepunkt. Da \(f(0) = 0\), liegt dieser Wendepunkt im Koordinatenursprung.

a) \(b = 0\) und \(d = 0\), da bei Punktsymmetrie zum Ursprung nur ungerade Exponenten auftreten dürfen. b) Mit \(f''(x) = 6ax\) ist \(f''(0) = 0\). Da \(f'''(x) = 6a \neq 0\) für \(a \neq 0\) gilt und \(f(0) = 0\) ist, besitzt der Graph einen Wendepunkt im Koordinatenursprung.

- Überlege dir zuerst, ob der Funktionswert steigt oder fällt. Was sagt das über die erste Ableitung aus? - Wenn eine Bewegung „gebremst“ wird, wie verändert sich dann die Steigung im Koordinatensystem? Wird sie steiler oder flacher? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung und dem Krümmungstyp (links- oder rechtsgekrümmt). - Welche Art von Punkt trennt zwei Bereiche mit unterschiedlicher Krümmung?

1. Der Begriff „Talfahrt“ bedeutet, dass die Aktienkurse sinken. Mathematisch entspricht dies einer negativen Steigung des Funktionsgraphen, also gilt \(f'(t) < 0\). 2. „Gebremst“ bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Sinkens abnimmt. Die negativen Steigungswerte werden also betragsmäßig kleiner, was mathematisch einem Anstieg der Steigungswerte entspricht (sie werden „weniger negativ“). Somit muss die Änderung der Steigung positiv sein, also \(f''(t) > 0\). 3. Da \(f''(t) > 0\) gilt, weist der Graph in dieser Phase eine Linkskrümmung (positiv gekrümmt) auf. Der Übergang von einer sich beschleunigenden Talfahrt (\(f'' < 0\), Rechtskrümmung) zu einer gebremsten Talfahrt (\(f'' > 0\), Linkskrümmung) markiert den Punkt der maximalen Sinkgeschwindigkeit und wird mathematisch als Wendepunkt bezeichnet.

1. Die erste Ableitung ist negativ: \(f'(t) < 0\). 2. Die zweite Ableitung ist positiv: \(f''(t) > 0\). 3. In der gebremsten Phase ist der Graph linksgekrümmt. Der Übergangspunkt ist ein Wendepunkt (speziell der Punkt mit der minimalen Steigung).

- Welche Ableitung ist für die Untersuchung von Wendepunkten entscheidend? - Überlege dir, unter welcher Bedingung eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = c\) zwei Lösungen hat. - Reicht es aus, dass die zweite Ableitung Null wird, oder muss noch eine weitere Bedingung erfüllt sein? - Wie sieht der Graph der zweiten Ableitung aus und was bedeutet das für den Vorzeichenwechsel?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = 2x^3 + 2kx + 7\) 2. Berechnung der zweiten Ableitung: \(f_k''(x) = 6x^2 + 2k\) 3. Ansatz für Wendestellen: \(f_k''(x) = 0 \implies 6x^2 + 2k = 0 \implies x^2 = -\frac{k}{3}\) 4. Bedingung für zwei Wendestellen: Damit die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen besitzt, muss der Term \(-\frac{k}{3}\) größer als Null sein, also \(k < 0\). Da \(f_k''(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, findet an beiden Nullstellen ein Vorzeichenwechsel statt, sodass tatsächlich zwei Wendepunkte vorliegen.

Die Funktion \(f_k\) besitzt genau dann zwei Wendepunkte, wenn \(k < 0\) gilt.

- Überlege dir zuerst, wie die Funktion lautet, deren Minimum du suchst. - Wie findet man allgemein die Tiefpunkte einer Funktion mithilfe von Ableitungen? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Grenzkostenfunktion und der ursprünglichen Kostenfunktion? - Denke daran, dass du die notwendige Bedingung (Ableitung gleich Null) und die hinreichende Bedingung prüfen musst.

1. Bildung der Grenzkostenfunktion durch die erste Ableitung der Kostenfunktion: \( K'(x) = \frac{1}{100}x^2 - x + 40 \). 2. Bestimmung der Extremstelle der Grenzkostenfunktion durch die Ableitungen von \( K' \), also die zweite und dritte Ableitung der Kostenfunktion: \( K''(x) = \frac{1}{50}x - 1 \) und \( K'''(x) = \frac{1}{50} \). 3. Nullsetzen der zweiten Ableitung zur Ermittlung der potenziellen Extremstelle: \( \frac{1}{50}x - 1 = 0 \implies x = 50 \). 4. Überprüfung der Art des Extremums: Da \( K'''(50) = \frac{1}{50} > 0 \), liegt an der Stelle \( x = 50 \) ein lokales Minimum der Grenzkostenfunktion vor. 5. Berechnung des minimalen Grenzkostenwerts: \( K'(50) = \frac{1}{100} \cdot 50^2 - 50 + 40 = 25 - 50 + 40 = 15 \). Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \( 50\,\text{ME} \) minimal und betragen dort \( 15\,\frac{\text{€}}{\text{ME}} \).

Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \( x = 50\,\text{ME} \) minimal. Der Wert der minimalen Grenzkosten beträgt \( 15\,\frac{\text{€}}{\text{ME}} \).

- Welche mathematische Bedingung muss für einen Wendepunkt erfüllt sein? - Erinnere dich daran, dass die Steigung einer Funktion durch ihre erste Ableitung beschrieben wird. - Was bedeutet es für die Steigung, wenn eine Kurve ihre Krümmung ändert? - Wie hängen die Extremstellen der Ableitungsfunktion mit den besonderen Punkten der Originalfunktion zusammen?

1. Ableitungen der Kostenfunktion berechnen: \( K'(x) = 6x^2 - 72x + 300 \), \( K''(x) = 12x - 72 \), \( K'''(x) = 12 \). 2. Wendestelle bestimmen: Bedingung \( K''(x) = 0 \implies 12x - 72 = 0 \implies x = 6 \). Da \( K'''(6) = 12 \neq 0 \), liegt bei \( x = 6 \) ein Wendepunkt vor. 3. \( y \)-Koordinate des Wendepunkts berechnen: \( K(6) = 2 \cdot 6^3 - 36 \cdot 6^2 + 300 \cdot 6 + 500 = 432 - 1296 + 1800 + 500 = 1436 \). Der Wendepunkt ist \( W(6 \mid 1436) \). 4. Erläuterung des Zusammenhangs: Der Wendepunkt einer Funktion markiert die Stelle der extremalen Steigung. Da die Grenzkostenfunktion die Steigung der Kostenfunktion beschreibt, entspricht die Wendestelle der Kostenfunktion genau der Extremstelle (hier dem Minimum) der Grenzkostenfunktion. An dieser Stelle geht die Krümmung der Kostenfunktion von einer Rechtskrümmung (degressiv, \( K'' < 0 \)) in eine Linkskrümmung (progressiv, \( K'' > 0 \)) über.

a) Der Wendepunkt liegt bei \( W(6 \mid 1436) \). b) Der Wendepunkt der Kostenfunktion ist die Stelle, an der die Steigung (also die Grenzkosten) am kleinsten ist. Er markiert den Übergang von sinkenden zu steigenden Grenzkosten.

- Welche Ableitung gibt dir Auskunft über die Krümmung und damit über Wendepunkte? - Wie hängen die Extrema der Steigung mit der Krümmung der Funktion zusammen? - Was muss für die Steigung an einer Stelle gelten, damit ein Wendepunkt speziell als Sattelpunkt bezeichnet wird? - Erinnere dich an das notwendige und das hinreichende Kriterium für Wendepunkte.

1. Berechnung der ersten drei Ableitungen: \(f'(x) = x^3 - 3x^2\), \(f''(x) = 3x^2 - 6x\), \(f'''(x) = 6x - 6\). 2. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung: \(3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0\). Daraus ergeben sich die potenziellen Wendestellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Klassifizierung der Steigungsextrema mit der dritten Ableitung: - Für \(x_1 = 0\): \(f'''(0) = -6 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum der Steigung vor. - Für \(x_2 = 2\): \(f'''(2) = 6 > 0\). Es liegt ein lokales Minimum der Steigung vor. 4. Prüfung auf Sattelpunkte (\(f'(x) = 0\)) und Berechnung der \(y\)-Koordinaten: - \(f'(0) = 0\). Da zusätzlich \(f''(0) = 0\) gilt, ist \(S(0 \mid 0)\) ein Sattelpunkt. - \(f'(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4 \neq 0\). Somit ist \(W(2 \mid -4)\) ein gewöhnlicher Wendepunkt (kein Sattelpunkt).

Der Graph hat einen Sattelpunkt bei \(S(0 \mid 0)\) mit einem lokalen Maximum der Steigung und einen Wendepunkt bei \(W(2 \mid -4)\) mit einem lokalen Minimum der Steigung.

- Was muss für die Steigung in einem Sattelpunkt gelten? - Ein Sattelpunkt ist eine Wendestelle mit waagerechter Tangente. Prüfe beide Eigenschaften für die gegebene Stelle. - Nutze den Hinweis zur zweiten Ableitung, um die Krümmungseigenschaft schnell zu beurteilen. - Wie berechnet man den zugehörigen Punkt auf dem Graphen, wenn die Stelle \(x\) bekannt ist?

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\). 2. Bedingung für waagerechte Tangente an der Stelle \(x = 3\) prüfen: \(g'(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 = 27 - 54 + 27 = 0\). Die notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt (waagerechte Tangente) ist erfüllt. 3. Bedingung für Wendestelle an der Stelle \(x = 3\) prüfen: Aus dem Hinweis \(g''(x) = 3(x-1)(x-3)\) folgt direkt \(g''(3) = 0\). Da \(x=3\) eine einfache Nullstelle von \(g''\) ist, liegt dort ein Vorzeichenwechsel von \(g''\) (von minus nach plus) und somit eine Wendestelle vor. 4. Da \(g'(3) = 0\) und an der Stelle \(x = 3\) eine Wendestelle vorliegt, handelt es sich um einen Sattelpunkt. 5. \(y\)-Koordinate berechnen: \(g(3) = \frac{1}{4} \cdot 3^4 - 2 \cdot 3^3 + \frac{9}{2} \cdot 3^2 - 5 = \frac{81}{4} - 54 + \frac{81}{2} - 5 = 20{,}25 - 54 + 40{,}5 - 5 = 1{,}75\). Der Sattelpunkt hat die Koordinaten \(S(3 \mid 1{,}75)\).

An der Stelle \(x = 3\) liegt ein Sattelpunkt vor, da dort \(g'(3) = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung \(g''\) vorliegt. Die Koordinaten des Sattelpunkts sind \(S(3 \mid 1{,}75)\).

- Wann hat eine quadratische Funktion keine oder nur eine einzige Nullstelle? - Welche Rolle spielt die zweite Ableitung bei der Suche nach Wendepunkten? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(ak^3 + bk = 0\) nach \(k\) auflösen?

1. Extrempunkte existieren nicht, wenn die erste Ableitung \(g_k'(x) = x^2 - 2kx + 6\) keine Vorzeichenwechsel besitzt. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 - 2kx + 6 = 0\) kleiner oder gleich null ist. Es gilt \(D = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4k^2 - 24\). Die Bedingung \(4k^2 - 24 \le 0\) führt zu \(k^2 \le 6\), also \(-\sqrt{6} \le k \le \sqrt{6}\). In diesen Fällen liegen entweder keine Nullstellen oder eine doppelte Nullstelle (Sattelpunkt) vor. 2. Für den Wendepunkt muss \(g_k''(x) = 0\) gelten. Mit \(g_k''(x) = 2x - 2k\) folgt \(2x - 2k = 0 \implies x = k\). Da \(g_k'''(x) = 2 \neq 0\) ist, liegt bei \(x = k\) stets ein Wendepunkt vor. Der Funktionswert ist \(g_k(k) = \frac{1}{3}k^3 - k \cdot k^2 + 6k = -\frac{2}{3}k^3 + 6k\). Die Koordinaten sind \(W_k(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + 6k)\). 3. Der Wendepunkt liegt auf der \(x\)-Achse, wenn seine \(y\)-Koordinate null ist: \(-\frac{2}{3}k^3 + 6k = 0\). Ausklammern ergibt \(k(-\frac{2}{3}k^2 + 6) = 0\). Dies liefert \(k_1 = 0\) oder \(\frac{2}{3}k^2 = 6\), woraus \(k^2 = 9\) und somit \(k_2 = 3\) sowie \(k_3 = -3\) folgen.

a) Für \(-\sqrt{6} \le k \le \sqrt{6}\) besitzt der Graph keine Extrempunkte. b) Wendepunkt \(W_k(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + 6k)\). c) Der Wendepunkt liegt für \(k \in \{-3; 0; 3\}\) auf der \(x\)-Achse.

- Forme den Funktionsterm zuerst in eine Summe aus Potenzen um, um das Ableiten zu erleichtern. - Was ist die notwendige Bedingung für eine Wendestelle? - Überprüfe, ob die gefundene Stelle für alle \(k > 0\) existiert und ob dort tatsächlich ein Krümmungswechsel stattfindet. - Welche besondere Eigenschaft hat die Steigung in einem Sattelpunkt?

1. Ableitungen bilden: - \(f_k(x) = x + \frac{3}{x} + \frac{k}{x^2} = x + 3x^{-1} + kx^{-2}\). - \(f_k'(x) = 1 - 3x^{-2} - 2kx^{-3} = 1 - \frac{3}{x^2} - \frac{2k}{x^3}\). - \(f_k''(x) = 6x^{-3} + 6kx^{-4} = \frac{6}{x^3} + \frac{6k}{x^4} = \frac{6x + 6k}{x^4}\). 2. Wendepunkt nachweisen: - Notwendige Bedingung \(f_k''(x) = 0 \Rightarrow 6x + 6k = 0 \Rightarrow x_W = -k\). Da \(k > 0\), ist \(x_W \neq 0\) im Definitionsbereich enthalten. - Hinreichende Bedingung: Der Zähler \(6x + 6k\) ist eine lineare Funktion mit einer einfachen Nullstelle bei \(x = -k\). Da der Nenner \(x^4\) für alle \(x \neq 0\) positiv ist, findet an der Stelle \(x_W = -k\) ein Vorzeichenwechsel von \(f_k''\) statt. Jede Funktion hat also genau einen Wendepunkt. 3. Sattelpunktbedingung: - Ein Wendepunkt ist ein Sattelpunkt, wenn zusätzlich \(f_k'(x_W) = 0\) gilt. - Einsetzen von \(x_W = -k\) in die erste Ableitung: \(f_k'(-k) = 1 - \frac{3}{(-k)^2} - \frac{2k}{(-k)^3} = 1 - \frac{3}{k^2} + \frac{2k}{k^3} = 1 - \frac{3}{k^2} + \frac{2}{k^2} = 1 - \frac{1}{k^2}\). - Gleichung lösen: \(1 - \frac{1}{k^2} = 0 \Rightarrow k^2 = 1\). Da laut Voraussetzung \(k > 0\) gilt, folgt \(k = 1\).

Jede Funktion hat genau eine Wendestelle bei \(x = -k\). Der Wendepunkt ist ein Sattelpunkt für \(k = 1\).

- Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad entlang der Kurve von links nach rechts. In welchen Abschnitten musst du den Lenker nach rechts bzw. nach links eingeschlagen halten? - An welcher Stelle wechselt die Richtung des Lenkeinschlags? Das ist die Position des Wendepunkts. - Wie hängen die Steigung einer Tangente an einer bestimmten Stelle und die erste Ableitung der Funktion zusammen? - Welche allgemeine Formel beschreibt eine lineare Funktion (Gerade), wenn du die Steigung und einen Punkt auf der Geraden kennst?

1. Anhand des Graphen erkennt man den Krümmungswechsel bei \(x = 3\). Für \(x < 3\) verläuft der Graph in einer Rechtskurve, für \(x > 3\) in einer Linkskurve. 2. Der Wendepunkt ist \(W(3 \mid 2)\). 3. Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{3}{4}(x-3)^2 - 3\). Daher ist die Tangentensteigung \(m = f'(3) = -3\). Mit \(W(3 \mid 2)\) und \(t(x)=mx+n\) gilt \(2=-3 \cdot 3+n\), also \(n = 11\). Die Wendetangente lautet \(t(x) = -3x + 11\).

a) Rechtskurve im Intervall \(( -\infty; 3)\); Linkskurve im Intervall \((3; \infty)\). b) Wendepunkt \(W(3 \mid 2)\). c) Die Gleichung der Wendetangente lautet \(t(x) = -3x + 11\) (oder \(y = -3x + 11\)).

- Welche Bedeutung hat das Vorzeichen von \(f'\) für die Monotonie von \(f\)? - Woran erkennst du an \(f'\), ob \(f\) einen Hoch- oder Tiefpunkt besitzt? - Welche Rolle spielt die Steigung des Graphen von \(f'\) für das Vorzeichen von \(f''\) und damit für die Krümmung von \(f\)?

1. Aussage a) ist wahr: Im Intervall \(-1 < x < 1\) liegt der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton steigend. 2. Aussage b) ist falsch: Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus. Daher besitzt \(f\) dort einen lokalen Tiefpunkt, keinen Hochpunkt. 3. Aussage c) ist wahr: Im Intervall \(0<x<2\) fällt der Graph von \(f'\). Somit gilt \(f''(x)<0\), und der Graph von \(f\) ist dort rechtsgekrümmt.

a) Wahr, da \(f'(x)>0\) für \(-1<x<1\). b) Falsch, da \(f'\) bei \(x=3\) von Minus nach Plus wechselt; dort liegt ein lokaler Tiefpunkt. c) Wahr, da \(f'\) im Intervall \(0<x<2\) fällt und deshalb \(f''(x)<0\) gilt.

- Untersuche, wo der Graph von \(f'\) steigt und wo er fällt. - Steigt \(f'\), so gilt \(f''>0\); fällt \(f'\), so gilt \(f''<0\). - Wendestellen von \(f\) entsprechen lokalen Extremstellen von \(f'\).

Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wenn \(f'\) steigt, und rechtsgekrümmt, wenn \(f'\) fällt. Im dargestellten Bereich steigt \(f'\) für \(-5 \le x < -1\) und für \(3 < x \le 6\). Daher ist \(f\) auf \([-5; -1)\) und \((3; 6]\) linksgekrümmt. Für \(-1 < x < 3\) fällt \(f'\). Daher ist \(f\) auf \((-1; 3)\) rechtsgekrümmt. An den lokalen Extremstellen von \(f'\) bei \(x=-1\) und \(x=3\) wechselt das Krümmungsverhalten von \(f\). Dies sind die Wendestellen.

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-5; -1)\) und \((3; 6]\) linksgekrümmt sowie auf \((-1; 3)\) rechtsgekrümmt. b) Die Wendestellen liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\).

- Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad entlang des Graphen von links nach rechts. In welchen Abschnitten musst du den Lenker nach links und in welchen nach rechts eingeschlagen halten? - An welchen Stellen wechselt die Richtung, in die du lenkst? Das sind anschaulich die Wendepunkte. - Welche Ableitung einer Funktion gibt Auskunft über die Krümmung des Graphen? - Wie lautet die notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunkts? - Welches Vorzeichen hat die zweite Ableitung in einem linksgekrümmten bzw. rechtsgekrümmten Bereich?

1. Graphische Analyse im dargestellten Bereich \([-3{,}5; 3{,}5]\): - Wendepunkte näherungsweise bei \(x \approx -1\) und \(x \approx 1\). - Linksgekrümmt ungefähr für \(-1<x<1\). - Rechtsgekrümmt ungefähr für \(-3{,}5 \le x<-1\) und \(1<x\le 3{,}5\). 2. Rechnerischer Nachweis: \(f'(x)=-0{,}5x^3+1{,}5x\), \(f''(x)=-1{,}5x^2+1{,}5\), \(f'''(x)=-3x\). Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=\pm1\). Da \(f'''(-1)=3\neq0\) und \(f'''(1)=-3\neq0\), liegen Wendestellen vor. 3. Koordinaten: \(f(-1)=f(1)=0{,}625\). Daher sind \(W_1(-1 \mid 0{,}625)\) und \(W_2(1 \mid 0{,}625)\) die Wendepunkte. 4. Global gilt: rechtsgekrümmt für \(x<-1\) und \(x>1\), linksgekrümmt für \(-1<x<1\).

a) Im dargestellten Bereich näherungsweise linksgekrümmt für \((-1;1)\) und rechtsgekrümmt für \([-3{,}5;-1)\) sowie \((1;3{,}5]\). Wendepunkte ungefähr bei \((-1 \mid 0{,}6)\) und \((1 \mid 0{,}6)\). b) Exakt: \(W_1(-1 \mid 0{,}625)\), \(W_2(1 \mid 0{,}625)\); rechtsgekrümmt für \(x<-1\) und \(x>1\), linksgekrümmt für \(-1<x<1\).

- Kannst du besondere Punkte wie Hoch- und Tiefpunkte im Graphen erkennen? - Gibt es eine Symmetrie zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt bei einer Funktion dritten Grades? - Wie verändert sich die Kurvenrichtung (Lenkrichtung), wenn du dem Graphen von links nach rechts folgst? - An welcher Stelle ändert sich die Kurvenrichtung von einer Rechtskurve in eine Linkskurve?

Der Hochpunkt \(H(1 \mid 3)\) und der Tiefpunkt \(T(3 \mid -1)\) liegen punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Daher ist \(W(2 \mid 1)\). Im dargestellten Bereich \([0;4]\) ist der Graph für \(0\le x<2\) rechtsgekrümmt und für \(2<x\le4\) linksgekrümmt. Die Wendestelle selbst gehört zu keinem Krümmungsintervall.

a) Rechtsgekrümmt auf \([0;2)\). b) Linksgekrümmt auf \((2;4]\). c) \(W(2 \mid 1)\).

- Erinnere dich daran, woran man anschaulich erkennt, dass ein Graph seine Krümmungsrichtung ändert. Wie nennt man diese Punkte? - Welche Ableitung einer Funktion gibt Auskunft über das Krümmungsverhalten des Graphen? - Welche mathematische Bedingung muss für die zweite Ableitung an einer Wendestelle erfüllt sein? - Wie kannst du mithilfe der berechneten Wendestellen die Intervalle für die Links- und Rechtskrümmung festlegen?

1. Für die rechnerische Bestimmung der Wendepunkte bilden wir die ersten drei Ableitungen der Funktion \(f(x) = 0{,}1x^4 - 0{,}6x^2 + 0{,}4x\): \(f'(x) = 0{,}4x^3 - 1{,}2x + 0{,}4\) \(f''(x) = 1{,}2x^2 - 1{,}2\) \(f'''(x) = 2{,}4x\) 2. Zur Ermittlung der Wendepunkte setzen wir die zweite Ableitung gleich null (notwendige Bedingung): \(f''(x) = 0 \implies 1{,}2x^2 - 1{,}2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). Die Überprüfung mit der dritten Ableitung (hinreichende Bedingung) liefert: \(f'''(-1) = -2{,}4 \neq 0 \implies\) Wendepunkt bei \(x = -1\). \(f'''(1) = 2{,}4 \neq 0 \implies\) Wendepunkt bei \(x = 1\). Die zugehörigen Funktionswerte sind: \(f(-1) = 0{,}1(-1)^4 - 0{,}6(-1)^2 + 0{,}4(-1) = -0{,}9\) \(f(1) = 0{,}1(1)^4 - 0{,}6(1)^2 + 0{,}4(1) = -0{,}1\) Die Wendepunkte lauten somit \(W_1(-1 \mid -0{,}9)\) und \(W_2(1 \mid -0{,}1)\). Dies stimmt mit den aus der Abbildung abgelesenen Werten überein. 3. Das Krümmungsverhalten lässt sich anhand des Vorzeichens der zweiten Ableitung bestimmen: - Für \(x < -1\) ist \(f''(x) > 0\), der Graph ist linksgekrümmt (konvex). - Für \(-1 < x < 1\) ist \(f''(x) < 0\), der Graph ist rechtsgekrümmt (konkav). - Für \(x > 1\) ist \(f''(x) > 0\), der Graph ist linksgekrümmt (konvex).

a) Abgelesene Wendestellen: \(x \approx -1\) und \(x \approx 1\) (entspricht den Punkten \((-1 \mid -0{,}9)\) und \((1 \mid -0{,}1)\)). b) Berechnete Wendepunkte: \(W_1(-1 \mid -0{,}9)\) und \(W_2(1 \mid -0{,}1)\). c) Linksgekrümmt für \(x < -1\) und \(x > 1\), also auf \(( -\infty;-1)\) und \((1;\infty)\); rechtsgekrümmt für \(-1 < x < 1\), also auf \((-1;1)\).

- Wie hängt der Vorzeichen-Verlauf des Funktionswerts \(f(x)\) mit der Lage des Graphen im Koordinatensystem zusammen? - Was sagt die Steigung der Tangente an einem Punkt über das Vorzeichen der ersten Ableitung \(f'(x)\) aus? - Welche besondere geometrische Eigenschaft besitzen Hoch- und Tiefpunkte bezüglich ihrer Tangente? - Wie kannst du am Verlauf des Graphen (Rechtskurve oder Linkskurve) erkennen, welches Vorzeichen die zweite Ableitung \(f''(x)\) hat? - Was zeichnet einen Wendepunkt im Hinblick auf die Krümmung und damit auf die zweite Ableitung aus?

Die Bestimmung der Vorzeichen erfolgt in drei Schritten für jeden der markierten Punkte: 1. **Bestimmung des Funktionswerts \(f(x)\)** anhand der Lage des Punktes zur \(x\)-Achse: * \(A\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse, also \(f(x_A) < 0\). * \(B\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse, also \(f(x_B) > 0\). * \(C\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse, also \(f(x_C) > 0\). * \(D\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse, also \(f(x_D) < 0\). 2. **Bestimmung der ersten Ableitung \(f'(x)\)** anhand des Steigungsverhaltens (Tangentensteigung): * Bei \(A\) steigt der Graph von links nach rechts an, also \(f'(x_A) > 0\). * Bei \(B\) liegt ein lokaler Hochpunkt (waagerechte Tangente) vor, also \(f'(x_B) = 0\). * Bei \(C\) fällt der Graph, also \(f'(x_C) < 0\). * Bei \(D\) liegt ein lokaler Tiefpunkt (waagerechte Tangente) vor, also \(f'(x_D) = 0\). 3. **Bestimmung der zweiten Ableitung \(f''(x)\)** anhand des Krümmungsverhaltens: * Bei \(A\) und \(B\) ist der Graph rechtsgekrümmt (konkav), also \(f''(x_A) < 0\) und \(f''(x_B) < 0\). * Bei \(C\) liegt der Wendepunkt (Krümmungswechsel von rechts nach links) vor, also \(f''(x_C) = 0\). * Bei \(D\) ist der Graph linksgekrümmt (konvex), also \(f''(x_D) > 0\).

Die ausgefüllte Tabelle lautet: <table border="1" style="border-collapse: collapse; text-align: center; margin-top: 10px;"> <thead> <tr> <th style="padding: 5px 10px; background-color: #f2f2f2;">Punkt</th> <th style="padding: 5px 10px; background-color: #f2f2f2;">\(f(x)\)</th> <th style="padding: 5px 10px; background-color: #f2f2f2;">\(f'(x)\)</th> <th style="padding: 5px 10px; background-color: #f2f2f2;">\(f''(x)\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="padding: 5px 10px; font-weight: bold;">\(A\)</td> <td style="padding: 5px 10px; color: red;">negativ (\(<\!0\))</td> <td style="padding: 5px 10px; color: green;">positiv (\(>\!0\))</td> <td style="padding: 5px 10px; color: red;">negativ (\(<\!0\))</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px 10px; font-weight: bold;">\(B\)</td> <td style="padding: 5px 10px; color: green;">positiv (\(>\!0\))</td> <td style="padding: 5px 10px;">null (\(=\!0\))</td> <td style="padding: 5px 10px; color: red;">negativ (\(<\!0\))</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px 10px; font-weight: bold;">\(C\)</td> <td style="padding: 5px 10px; color: green;">positiv (\(>\!0\))</td> <td style="padding: 5px 10px; color: red;">negativ (\(<\!0\))</td> <td style="padding: 5px 10px;">null (\(=\!0\))</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px 10px; font-weight: bold;">\(D\)</td> <td style="padding: 5px 10px; color: red;">negativ (\(<\!0\))</td> <td style="padding: 5px 10px;">null (\(=\!0\))</td> <td style="padding: 5px 10px; color: green;">positiv (\(>\!0\))</td> </tr> </tbody> </table>

- Wie hängen die Ableitungen einer Funktion mit der Krümmung ihres Graphen zusammen? - Welche Ableitung musst du untersuchen, um Wendepunkte und Krümmungsintervalle zu bestimmen? - Welche Bedingungen müssen für das Vorliegen eines Wendepunkts erfüllt sein? - Wie kannst du die berechneten Stellen im Graphen wiederfinden, um dein Ergebnis visuell zu überprüfen?

1. Ableitungen berechnen: \(f'(x) = 0{,}4x^3 - 1{,}2x\) \(f''(x) = 1{,}2x^2 - 1{,}2\) \(f'''(x) = 2{,}4x\) 2. Notwendige Bedingung für Wendepunkte (\(f''(x) = 0\)): \(1{,}2x^2 - 1{,}2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1\), \(x_2 = 1\) 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f'''(-1) = -2{,}4 \neq 0\) \(f'''(1) = 2{,}4 \neq 0\) Da die dritte Ableitung an den Nullstellen der zweiten Ableitung ungleich Null ist, liegen Wendepunkte vor. 4. Koordinaten der Wendepunkte berechnen: \(f(-1) = 0{,}1 \cdot (-1)^4 - 0{,}6 \cdot (-1)^2 + 0{,}5 = 0 \implies W_1(-1 \mid 0)\) \(f(1) = 0{,}1 \cdot 1^4 - 0{,}6 \cdot 1^2 + 0{,}5 = 0 \implies W_2(1 \mid 0)\) 5. Krümmungsintervalle bestimmen: - Linksgekrümmt für \(f''(x) > 0 \implies 1{,}2x^2 - 1{,}2 > 0 \implies x^2 > 1\), also für \(x < -1\) oder \(x > 1\). Die Intervalle sind \(( -\infty; -1)\) und \((1; \infty)\). - Rechtsgekrümmt für \(f''(x) < 0 \implies 1{,}2x^2 - 1{,}2 < 0 \implies x^2 < 1\), also für \(-1 < x < 1\). Das Intervall ist \((-1; 1)\). 6. Vergleich mit der Abbildung: In der Abbildung ist zu sehen, dass der Graph für \(x < -1\) linksgekrümmt ist, bei \(x = -1\) (auf der x-Achse) seine Krümmung zu einer Rechtskrümmung ändert, und bei \(x = 1\) (ebenfalls auf der x-Achse) wieder in eine Linkskrümmung übergeht. Dies stimmt exakt mit den berechneten Wendepunkten \(W_1(-1 \mid 0)\) und \(W_2(1 \mid 0)\) überein.

1. Die Wendepunkte des Graphen lauten \(W_1(-1 \mid 0)\) und \(W_2(1 \mid 0)\). 2. Der Graph von \(f\) ist auf \((-1;1)\) rechtsgekrümmt und auf \(( -\infty;-1)\) sowie \((1;\infty)\) linksgekrümmt; dies stimmt mit dem Verlauf in der Abbildung überein.

- Kannst du das Krümmungsverhalten des Graphen mit einer anschaulichen Vorstellung (wie dem Fahren einer Kurve mit dem Fahrrad) beschreiben? - Überlege, an welcher Stelle der Graph von einer Rechtskurve in eine Linkskurve übergeht. - Wie hängt das Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''(x)\) mit der Krümmung (Links- oder Rechtskurve) des Graphen zusammen? - Betrachte die Stellen \(x = -1\) und \(x = 3\) auf der x-Achse und schaue dir die Krümmung des Graphen genau an diesen Stellen an.

Im gezeichneten Bereich \([-3{,}4;5{,}3]\) liegt der Krümmungswechsel bei \(x=1\). Der Graph ist für \(-3{,}4\le x<1\) rechtsgekrümmt und für \(1<x\le5{,}3\) linksgekrümmt. Aus dem Graphen liest man näherungsweise \(W(1 \mid 0{,}9)\) ab. Daher gilt \(f''(-1)<0\) und \(f''(3)>0\).

a) Im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt auf \([-3{,}4;1)\) und linksgekrümmt auf \((1;5{,}3]\). b) \(W(1 \mid 0{,}9)\). c) \(f''(-1)<0\) und \(f''(3)>0\).

- Erinnere dich daran, was die Werte \(f(x)\), \(f'(x)\) und \(f''(x)\) geometrisch für den Graphen bedeuten. - Der Funktionswert \(f(x)\) entspricht der vertikalen Position (y-Koordinate) des Punktes auf dem Graphen. - Die erste Ableitung \(f'(x)\) gibt die Steigung der Tangente an. Überlege, ob der Graph an der jeweiligen Stelle steigt, fällt oder waagerecht verläuft. - Die zweite Ableitung \(f''(x)\) beschreibt das Krümmungsverhalten. Bei einer Linkskurve ist \(f''(x) > 0\), bei einer Rechtskurve gilt \(f''(x) < 0\). - Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der sich die Krümmungsrichtung des Graphen ändert.

1. **Teilaufgabe a):** Der Funktionswert \(f(x)\) entspricht der y-Koordinate auf dem Graphen. Durch Vergleichen der Höhen aller markierten Punkte stellt man fest, dass der tiefste Punkt bei \(x_6\) liegt (mit \(f(x_6) \approx -1{,}54\)). 2. **Teilaufgabe b):** Die erste Ableitung \(f'(x)\) entspricht der Tangentensteigung. Die markierten Stellen \(x_2\), \(x_4\) und \(x_6\) liegen jeweils nahe an einem lokalen Extrempunkt, sodass die Steigung dort betragsmäßig klein, aber nicht exakt null ist (\(f'(x) \approx 0\)). Bei \(x_5\) fällt der Graph (negative Steigung). Bei \(x_3\) steigt der Graph (positive Steigung). Somit ist die Steigung unter den betrachteten Stellen bei \(x_3\) am größten. 3. **Teilaufgabe c):** Eine negative zweite Ableitung (\(f''(x) < 0\)) bedeutet, dass der Graph rechtsgekrümmt (konkav) ist. Dies ist im Bereich zwischen den beiden Wendepunkten (also für \(-1 < x < 2\)) der Fall. Die einzige markierte Stelle in diesem Intervall ist \(x_4\). 4. **Teilaufgabe d):** Die Wendepunkte des Graphen liegen an den Stellen, an denen sich das Krümmungsverhalten ändert (von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt). Dies ist genau an den Übergangsstellen \(x_3 = -1\) und \(x_5 = 2\) der Fall, wo die zweite Ableitung null ist.

a) \(x_6\) b) \(x_3\) c) \(x_4\) d) \(x_3\) und \(x_5\)

- Überlege dir zuerst den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''(x)\) und dem Krümmungsverhalten des Graphen von \(f\). - Wann genau ändert ein Graph sein Krümmungsverhalten (was kennzeichnet eine Wendestelle)? Welche Eigenschaft muss \(f''\) an einer solchen Stelle haben? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der ersten Ableitung \(f'\) und der zweiten Ableitung \(f''\)? Wie hängen Extrempunkte einer Funktion mit den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion zusammen?

Im dargestellten Bereich gilt \(f''(x)>0\) für \(-4\le x<-2\) und \(2<x\le4\). Dort ist \(f\) linksgekrümmt. Für \(-2<x<2\) gilt \(f''(x)<0\); dort ist \(f\) rechtsgekrümmt. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) hat \(f''\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. Daher liegen dort Wendestellen von \(f\). Die Aussage in c) ist falsch, denn für einen lokalen Extrempunkt von \(f'\) wäre \(f''(0)=0\) notwendig. Aus dem Graphen folgt jedoch \(f''(0)=-4\).

a) Linksgekrümmt auf \([-4;-2)\) und \((2;4]\); rechtsgekrümmt auf \((-2;2)\). b) Wendestellen bei \(x=-2\) und \(x=2\). c) Falsch, da \(f''(0)=-4 \neq 0\).

- Überlege dir zuerst, in welchem Zusammenhang die Eigenschaften einer Funktion (Monotonie, Krümmung, Extrempunkte, Wendepunkte) zu ihrer ersten Ableitung und ihrer zweiten Ableitung stehen. - Wie hängen die Monotonie einer Funktion und das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung zusammen? - Wie hängen die Krümmung einer Funktion und das Monotonieverhalten ihrer ersten Ableitung zusammen? - Wo liegen die Extremstellen einer Funktion, wenn der Graph der ersten Ableitung gegeben ist? - Wo liegen die Wendestellen einer Funktion, wenn der Graph der ersten Ableitung gegeben ist?

1. Aussage a) ist wahr: Auf \(0<x<2\) fällt \(f'\), also gilt \(f''(x)<0\). Damit ist \(f\) auf \([0;2]\) rechtsgekrümmt. 2. Aussage b) ist falsch: Bei \(x=1\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, aber keine Extremstelle. Daher besitzt \(f\) dort einen Hochpunkt und keine Wendestelle. 3. Aussage c) ist wahr: Die lokalen Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x\approx-0{,}73\) und \(x\approx2{,}73\); dort liegen die beiden Wendestellen von \(f\). 4. Aussage d) ist wahr: Auf \([1;4]\) ist \(f'(x)\le0\), wobei \(f'\) nur an isolierten Stellen null ist. Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. 5. Aussage e) ist falsch: Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; \(f\) besitzt dort einen Tiefpunkt.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Wahr e) Falsch

- Erinnere dich daran, was eine Wendestelle geometrisch bedeutet: Hier ändert sich die Krümmung des Graphen. - Wenn du dir vorstellst, mit einem Fahrrad entlang des Graphen von links nach rechts zu fahren: Wann lenkst du nach links (Linkskrümmung) und wann nach rechts (Rechtskrümmung)? - Überlege dir, wie sich die Steigung der Tangenten (also die Werte der Ableitung \(f'\)) in einer Linkskrümmung verhält (wird sie größer oder kleiner?) und wie in einer Rechtskrümmung. - An den Übergangspunkten (den Wendestellen) erreicht die Steigung entweder einen Höchstwert oder einen Tiefstwert.

1. Ablesen der Wendestellen: Aus der Abbildung lässt sich erkennen, dass sich das Krümmungsverhalten des Graphen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) ändert. Dies sind die beiden Wendestellen. 2. Untersuchung der Ableitungsfunktion \(f'\): - An der Wendestelle \(x_1 = 1\) wechselt der Graph von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung. Die Steigung des Graphen erreicht hier ihren größten Wert in der Umgebung. Daher liegt an der Stelle \(x_1 = 1\) ein lokales Maximum der Ableitung \(f'\) vor (es gilt \(f'(1) = 8\)). - An der Wendestelle \(x_2 = 3\) wechselt der Graph von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung. Die Steigung des Graphen erreicht hier ihren kleinsten Wert in der Umgebung. Daher liegt an der Stelle \(x_2 = 3\) ein lokales Minimum der Ableitung \(f'\) vor (es gilt \(f'(3) = -8\)). 3. Bestimmung der Krümmungsintervalle: - Der Graph ist linksgekrümmt (konvex) in den Intervallen \([-0{,}5; 1)\) und \((3; 4{,}5]\). - Der Graph ist rechtsgekrümmt (konkav) im Intervall \((1; 3)\).

a) Die Wendestellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). b) Bei \(x_1 = 1\) liegt ein lokales Maximum der Ableitungsfunktion \(f'\) vor (Übergang von Links- zu Rechtskrümmung), und bei \(x_2 = 3\) liegt ein lokales Minimum von \(f'\) vor (Übergang von Rechts- zu Linkskrümmung). c) Linksgekrümmt: \([-0{,}5;1)\) und \((3;4{,}5]\); rechtsgekrümmt: \((1;3)\).

- Welche Ableitungen einer Funktion benötigst du, um einen Wendepunkt zu bestimmen und zu überprüfen? - Wie hängen die Krümmung einer Kurve und das Vorzeichen der zweiten Ableitung zusammen? - Welche mathematische Größe beschreibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens? - Überlege, an welcher Stelle einer Kurve die Steigung (Zunahme) ihr Maximum erreicht.

1. Wendepunkt: \(V'(t)=-1{,}5t^2+12t\), \(V''(t)=-3t+12\), \(V'''(t)=-3\). Aus \(V''(t)=0\) folgt \(t=4\), und wegen \(V'''(4)\neq0\) liegt \(W(4\,\text{h} \mid 84\,\text{m}^3)\) vor. Dort ist die Steigung maximal. 2. \(V'(4)=24\), also beträgt die maximale Änderungsrate des Wasservolumens \(24\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Für \(0\le t<4\) gilt \(V''(t)>0\): Die Änderungsrate des Wasservolumens nimmt zu. Für \(4<t\le10\) gilt \(V''(t)<0\): Die Änderungsrate des Wasservolumens nimmt ab. Bei \(t=8\) ist \(V'(8)=0\); erst für \(t>8\) ist \(V'(t)<0\), sodass das Volumen abnimmt.

a) \(W(4\,\text{h} \mid 84\,\text{m}^3)\); dort wechselt die Krümmung, und das Volumen nimmt am schnellsten zu. b) \(24\,\text{m}^3/\text{h}\). c) Für \(0\le t<4\) linksgekrümmt, für \(4<t\le10\) rechtsgekrümmt. Bei \(t=8\) ist die Änderungsrate null; für \(t>8\) nimmt das Volumen ab.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Nullstellen der Ableitung \(f'\) und den Extremstellen der Funktion \(f\)? - Woran erkennt man an der Ableitung \(f'\), ob eine Nullstelle ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder einen Sattelpunkt von \(f\) darstellt? - Wie hängt das Krümmungsverhalten einer Funktion \(f\) (Links- oder Rechtskrümmung) mit dem Monotonieverhalten ihrer Ableitung \(f'\) zusammen? - Welche Eigenschaft der Ableitung \(f'\) hilft dir, die Wendestellen der Funktion \(f\) im Graphen zu finden? - Überlege für den Vergleich von Funktionswerten, wie sich die Monotonie von \(f\) auf dem entsprechenden Intervall verhält.

1. \(f'\) hat bei \(x=-4\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus; dort besitzt \(f\) eine lokale Minimalstelle. Bei \(x=-1\) liegt eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel vor; dort besitzt \(f\) einen Sattelpunkt, aber kein Extremum. 2. Im dargestellten Bereich steigt \(f'\) auf \([-5;-3)\) und \((-1;1]\). Daher ist \(f\) dort linksgekrümmt. Auf \((-3;-1)\) fällt \(f'\); dort ist \(f\) rechtsgekrümmt. 3. Die lokalen Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-3\) und \(x=-1\). Dies sind die Wendestellen von \(f\). 4. Auf \([-4;-2]\) ist \(f\) streng monoton steigend, weil \(f'(x)>0\) für \(-4<x\le-2\). Daher gilt \(f(-2)>f(-4)\).

a) Lokale Minimalstelle bei \(x=-4\); bei \(x=-1\) liegt ein Sattelpunkt vor. b) Im dargestellten Bereich linksgekrümmt auf \([-5;-3)\) und \((-1;1]\), rechtsgekrümmt auf \((-3;-1)\). c) Wendestellen bei \(x=-3\) und \(x=-1\). d) \(f(-2)>f(-4)\), da \(f\) auf \([-4;-2]\) streng monoton steigt.

- Erinnere dich: Die Extrema von \(f'\) geben dir Auskunft über die Wendestellen von \(f\). - Das Monotonieverhalten von \(f'\) hängt direkt mit der Krümmung von \(f\) zusammen. - Wenn die Ableitung positiv ist, was sagt das über den Vergleich von zwei Funktionswerten der Originalfunktion aus? - Achte beim Vorzeichenwechsel an einer Nullstelle der Ableitung darauf, ob die Steigung von positiv zu negativ oder umgekehrt wechselt.

1. Aussage 1 ist wahr: Der Graph von \(f'\) besitzt zwei lokale Extremstellen; daher hat \(f\) zwei Wendestellen. 2. Aussage 2 ist falsch: \(f'\) fällt auf \([0;2]\) nicht durchgehend, sondern steigt ab etwa \(x=1{,}15\) wieder. Daher ist \(f\) dort nicht im gesamten Intervall rechtsgekrümmt. 3. Aussage 3 ist wahr: Für \(2<x<3\) gilt \(f'(x)>0\); daher steigt \(f\) und es folgt \(f(2)<f(3)\). 4. Aussage 4 ist falsch: Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; \(f\) besitzt dort einen lokalen Hochpunkt.

1. Wahr, da \(f'\) zwei lokale Extremstellen besitzt. 2. Falsch, da \(f'\) im Intervall \([0; 2]\) nicht durchgehend fällt (ab ca. \(x = 1{,}15\) steigt \(f'\) wieder). 3. Wahr, da \(f'(x) > 0\) für \(x \in (2; 3)\) gilt und \(f\) somit dort streng monoton steigt. 4. Falsch, da bei \(x = 0\) ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) vorliegt, was einen Hochpunkt kennzeichnet.

- Erinnere dich an die Schritte zur Wendepunktberechnung: Erstens die notwendige Bedingung (zweite Ableitung null setzen) und zweitens die hinreichende Bedingung (dritte Ableitung prüfen). - Vergiss am Ende nicht, die x-Werte in die Ausgangsfunktion einzusetzen, um die y-Koordinaten der Punkte zu erhalten.

Zu a): 1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\), \(f''(x) = 3x^2 - 12x + 9\), \(f'''(x) = 6x - 12\). 2. Notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\): \(3(x^2 - 4x + 3) = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0\). Mögliche Wendestellen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Hinreichende Bedingung \(f'''(x) \neq 0\): \(f'''(1) = -6 \neq 0\) (Wendepunkt), \(f'''(3) = 6 \neq 0\) (Wendepunkt). 4. y-Koordinaten berechnen: \(f(1) = -2{,}25\), \(f(3) = 1{,}75\). Ergebnis: \(W_1(1 \mid -2{,}25)\), \(W_2(3 \mid 1{,}75)\). Zu b): 1. Ableitungen bilden: \(g'(x) = 0{,}5x^2 - 2x + 1\), \(g''(x) = x - 2\), \(g'''(x) = 1\). 2. Notwendige Bedingung \(g''(x) = 0\): \(x - 2 = 0 \implies x = 2\). 3. Hinreichende Bedingung \(g'''(2) = 1 \neq 0\). Ein Wendepunkt liegt vor. 4. y-Koordinate: \(g(2) = \frac{8}{6} - 4 + 2 + 4 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}\). Ergebnis: \(W(2 \mid \frac{10}{3})\).

a) \(W_1(1 \mid -2{,}25)\) und \(W_2(3 \mid 1{,}75)\) b) \(W(2 \mid \frac{10}{3})\)

- Die Vorgehensweise ist systematisch: Leite die Funktion dreimal ab. - Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind deine Kandidaten für Wendestellen. - Setze diese Kandidaten in die dritte Ableitung ein. Wenn das Ergebnis ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.

Zu a): 1. Ableitungen: \(f'(x) = 4x^3 - 12x\), \(f''(x) = 12x^2 - 12\), \(f'''(x) = 24x\). 2. Notwendige Bedingung \(f''(x) = 0 \implies 12(x^2 - 1) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = 1\). 3. Hinreichende Bedingung: \(f'''(-1) = -24 \neq 0\), \(f'''(1) = 24 \neq 0\). Es liegen Wendepunkte vor. 4. y-Werte: \(f(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^2 + 8 = 3\), \(f(1) = 1^4 - 6 \cdot 1^2 + 8 = 3\). Ergebnis: \(W_1(-1 \mid 3)\), \(W_2(1 \mid 3)\). Zu b): 1. Ableitungen: \(g'(x) = 6x^2 - 24x + 18\), \(g''(x) = 12x - 24\), \(g'''(x) = 12\). 2. Notwendige Bedingung \(g''(x) = 0 \implies 12x = 24 \implies x = 2\). 3. Hinreichende Bedingung: \(g'''(2) = 12 \neq 0\). Ein Wendepunkt liegt vor. 4. y-Wert: \(g(2) = 2 \cdot 2^3 - 12 \cdot 2^2 + 18 \cdot 2 = 16 - 48 + 36 = 4\). Ergebnis: \(W(2 \mid 4)\).

a) \(W_1(-1 \mid 3)\) und \(W_2(1 \mid 3)\) b) \(W(2 \mid 4)\)

- Überlege dir, was der Funktionswert von \(f'\) über das Steigungsverhalten von \(f\) aussagt. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit den Extrempunkten der ursprünglichen Funktion zusammen? Achte dabei auf den Vorzeichenwechsel. - Die Krümmung einer Funktion lässt sich am Monotonieverhalten ihrer ersten Ableitung ablesen.

1. Aussage a) ist wahr. Im Intervall \([1; 3]\) verläuft der Graph von \(f'\) unterhalb der \(x\)-Achse (bzw. auf ihr), es gilt also \(f'(x) \le 0\). Damit ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton fallend. 2. Aussage b) ist wahr. An der Stelle \(x = 1\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Da die Steigung von positiv auf negativ wechselt, liegt bei \(f\) ein lokaler Hochpunkt vor. 3. Aussage c) ist falsch. Bei \(x = 0\) ist der Graph von \(f'\) streng monoton fallend, was bedeutet, dass die zweite Ableitung negativ ist (\(f''(0) < 0\)). Eine negative zweite Ableitung entspricht einer Rechtskrümmung des Graphen von \(f\).

a) Wahr, da \(f'(x) \le 0\) für \(x \in [1; 3]\). b) Wahr, da \(f'(1) = 0\) und ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) vorliegt. c) Falsch, da \(f'\) bei \(x = 0\) fällt, was \(f''(0) < 0\) und somit eine Rechtskrümmung bedeutet.

- Ein Vorzeichenwechsel der Ableitung ist notwendig für eine Extremstelle. Was passiert am Graphen von \(f'\), wenn kein Vorzeichenwechsel an einer Nullstelle vorliegt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Extremstellen von \(f'\) und den Wendestellen von \(f\). - Die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle lässt sich direkt als Funktionswert der Ableitung an dieser Stelle ablesen. - Achte darauf, in welchen Bereichen der Graph der Ableitung oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.

a) Wahr: Für \(-2<x\le5\) gilt \(f'(x)\le0\); nur bei \(x=3\) ist \(f'(x)=0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. b) Falsch: Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen nicht. c) Wahr: \(f'\) besitzt bei \(x=3\) ein lokales Extremum; daher hat \(f\) dort eine Wendestelle. d) Falsch: \(f'(1)<0\).

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Falsch

- Bilde zuerst die ersten drei Ableitungen der Funktion. - Die Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung null wird. - Vergiss nicht, den \(x\)-Wert in die Originalfunktion einzusetzen, um die \(y\)-Koordinate zu erhalten. - Die Steigung der Tangente berechnest du mit der ersten Ableitung an der Wendestelle.

1. Ableitungen berechnen: \(f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - 1\) \(f''(x) = x - 1\) \(f'''(x) = 1\) 2. Wendestelle finden: \(f''(x) = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x_w = 1\). Da \(f'''(1) \neq 0\), ist es eine Wendestelle. 3. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(1) = \frac{1}{6} \cdot 1^3 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 - 1 + 1 = \frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{3}\). Also \(W(1 \mid -\frac{1}{3})\). 4. Steigung der Wendetangente: \(m_w = f'(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 - 1 - 1 = -1{,}5\). 5. Tangentengleichung: \(y = m_w(x - x_w) + y_w \implies y = -1{,}5(x - 1) - \frac{1}{3} = -1{,}5x + 1{,}5 - \frac{1}{3} = -1{,}5x + \frac{7}{6}\).

a) Wendepunkt \(W(1 \mid -\frac{1}{3})\). b) Wendetangente \(t_w: y = -1{,}5x + \frac{7}{6}\).

- Leite die Funktion zweimal ab, um die Krümmung zu untersuchen. - Setze die zweite Ableitung gleich Null, um mögliche Wendestellen zu finden. - Da die Funktion achsensymmetrisch ist, müssten die Wendepunkte symmetrisch zur \(y\)-Achse liegen. - Der Abstand zwischen zwei Punkten auf derselben horizontalen Linie lässt sich leicht ablesen oder berechnen.

\(f'(x)=4x^3-12x\), \(f''(x)=12x^2-12\) und \(f'''(x)=24x\). Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=\pm1\). Da \(f'''(-1)=-24 \neq 0\) und \(f'''(1)=24 \neq 0\), liegen an beiden Stellen Wendepunkte vor. Es gilt \(f(-1)=f(1)=0\), also \(W_1(-1 \mid 0)\) und \(W_2(1 \mid 0)\). Ihr Abstand beträgt \(2\).

Die Wendepunkte sind \(W_1(-1 \mid 0)\) und \(W_2(1 \mid 0)\). Der Abstand zwischen ihnen beträgt \(2\) Längeneinheiten.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Monotonie der Ableitungsfunktion und der Krümmung der Originalfunktion. - Wie hängen die Extrempunkte der Ableitung mit den besonderen Punkten der Originalfunktion zusammen? - Überprüfe das Vorzeichen von \(f'(x)\), um Aussagen über das Steigen oder Fallen von \(f\) zu treffen. - Was passiert mit der Steigung der Tangente an einer Wendestelle?

1. Zusammenhang Krümmung und \(f'\): Ein Graph ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x) > 0\), was bedeutet, dass die Ableitung \(f'\) streng monoton steigt. Er ist rechtsgekrümmt, wenn \(f'\) streng monoton fällt (\(f''(x) < 0\)). 2. Aussage a): Falsch. Für \(x > 2\) ist der Graph von \(f'\) streng monoton fallend. Somit ist \(f''(x) < 0\) und der Graph von \(f\) ist dort rechtsgekrümmt. 3. Aussage b): Richtig. Bei \(x = 4\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Dies ist das Kriterium für einen lokalen Hochpunkt von \(f\). 4. Aussage c): Richtig. Wendestellen von \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Da \(f'\) bei \(x = 2\) einen Hochpunkt hat, liegt dort eine Wendestelle von \(f\) vor. 5. Aussage d): Falsch. Im Intervall \((0; 2)\) verläuft der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse (\(f'(x) > 0\)). Daher ist die Funktion \(f\) dort streng monoton steigend.

a) Falsch, da \(f'\) für \(2<x\le5\) fällt und \(f\) dort rechtsgekrümmt ist. b) Wahr: \(f'\) wechselt bei \(x=4\) von Plus nach Minus. c) Wahr: \(f'\) besitzt bei \(x=2\) ein lokales Maximum. d) Falsch, da \(f'(x)>0\) für \(0<x<2\) gilt.

- Schau dir an, wie sich die Steigung der Tangenten verändert, wenn du den Graphen von links nach rechts abläufst. - Werden die Tangenten steiler negativ oder flacher? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Krümmung einer Funktion und der Monotonie ihrer Ableitung.

1. Der Graph von \(f\) fällt streng monoton, daher gilt \(f'(x) < 0\). 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt. Er liegt oberhalb der \(x\)-Achse und nähert sich ihr für wachsende \(x\) von oben. 3. Die negativen Tangentensteigungen werden von links nach rechts betragsmäßig kleiner und nähern sich \(0\). Daher ist \(f'\) streng monoton steigend, liegt unterhalb der \(x\)-Achse und nähert sich ihr von unten.

Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt. Deshalb ist \(f'\) streng monoton steigend. Da \(f\) fällt, gilt stets \(f'(x) < 0\); der Graph von \(f'\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse und nähert sich für \(x \to \infty\) der \(x\)-Achse von unten.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung der Ableitungsfunktion (also der zweiten Ableitung) und den Wendepunkten der Originalfunktion? - Wo hat ein Funktionsgraph seine extremste Steigung oder sein extremstes Gefälle? - Erinnere dich an die Definition eines Sattelpunktes im Zusammenhang mit der ersten und zweiten Ableitung. - Was passiert mit der Steigung der Originalfunktion an einer Stelle, an der die Ableitung eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat?

1. Wendepunkte der Ausgangsfunktion \(g\) entsprechen den lokalen Extremstellen (Hoch- oder Tiefpunkte) der Ableitungsfunktion \(g'\). 2. Im Graphen von \(g'\) erkennt man einen lokalen Hochpunkt bei \(x = 0\) und einen lokalen Tiefpunkt bei \(x = 2\). Folglich liegen die Wendestellen von \(g\) bei \(x = 0\) und \(x = 2\). 3. Untersuchung der Stelle \(x = 2\): An dieser Stelle ist \(g'(2) = 0\), was eine notwendige Bedingung für ein Extremum ist. Da der Graph von \(g'\) die \(x\)-Achse dort jedoch nur berührt (Tiefpunkt auf der Achse), findet kein Vorzeichenwechsel statt. Ohne Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung liegt kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vor.

a) Die Wendepunkte von \(g\) liegen bei \(x = 0\) und \(x = 2\), da die Ableitungsfunktion \(g'\) an diesen Stellen lokale Extrempunkte besitzt. b) An der Stelle \(x = 2\) besitzt die Funktion \(g\) einen Sattelpunkt. Begründung: Es gilt \(g'(2) = 0\), aber die Ableitungsfunktion \(g'\) hat an dieser Stelle keinen Vorzeichenwechsel, da dort ein lokaler Tiefpunkt auf der \(x\)-Achse vorliegt.

- Denke daran, dass die Wendestelle dort liegt, wo die zweite Ableitung null ist und ihr Vorzeichen wechselt. - Die Steigung einer Kurve an einer bestimmten Stelle entspricht immer dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Eine Tangentengleichung hat die allgemeine Form \(y = mx + c\). Du kennst die Steigung \(m\) und einen Punkt, durch den sie verläuft. - Wenn eine bestimmte Steigung gesucht ist, musst du die erste Ableitung gleich diesem Wert setzen und die entstehende Gleichung lösen.

1. Ableitungen berechnen: \(g'(x) = -0{,}3x^2 + 1{,}2x\) \(g''(x) = -0{,}6x + 1{,}2\) \(g'''(x) = -0{,}6\) 2. Wendepunkt bestimmen (Teilaufgabe a): Notwendige Bedingung: \(g''(x) = 0 \Rightarrow -0{,}6x + 1{,}2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Hinreichende Bedingung: \(g'''(2) = -0{,}6 \neq 0\). Es liegt eine Wendestelle bei \(x = 2\) vor. Funktionswert: \(g(2) = -0{,}1 \cdot 8 + 0{,}6 \cdot 4 + 1 = -0{,}8 + 2{,}4 + 1 = 2{,}6\). Wendepunkt: \(W(2 \mid 2{,}6)\). 3. Wendetangente aufstellen (Teilaufgabe b): Steigung im Wendepunkt: \(m = g'(2) = -0{,}3 \cdot 4 + 1{,}2 \cdot 2 = -1{,}2 + 2{,}4 = 1{,}2\). Punkt-Steigungs-Form: \(y = m(x - x_w) + y_w\) \(t(x) = 1{,}2(x - 2) + 2{,}6 = 1{,}2x - 2{,}4 + 2{,}6 = 1{,}2x + 0{,}2\). 4. Stellen mit Steigung \(0{,}9\) finden (Teilaufgabe c): Ansatz: \(g'(x) = 0{,}9\) \(-0{,}3x^2 + 1{,}2x = 0{,}9\) \(0{,}3x^2 - 1{,}2x + 0{,}9 = 0\). Durch Division durch \(0{,}3\) folgt \(x^2 - 4x + 3 = 0\) Anwendung der pq-Formel: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1\). Die gesuchten Stellen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\).

a) Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W(2 \mid 2{,}6)\). b) Die Gleichung der Wendetangente lautet \(t(x) = 1{,}2x + 0{,}2\). c) Der Graph besitzt an den Stellen \(x = 1\) und \(x = 3\) eine Steigung von \(0{,}9\).

- Welche Eigenschaft hat die Steigung einer Funktion an einem Wendepunkt? Betrachte dazu den Graphen der Ableitung. - Erinnere dich daran, dass die Krümmung einer Funktion mit der zweiten Ableitung zusammenhängt. Was bedeutet das für die Steigung der ersten Ableitung? - Wo hat der gezeigte Graph seine Berge und Täler? - Wenn eine Funktion „kurvt“, ändert sich ihre Steigung. In welche Richtung ändert sie sich bei einer Rechtskurve?

Die Wendestellen von \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen von \(f'\). Im Graphen liegen sie bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Im dargestellten Bereich \([-3;3]\) fällt \(f'\) auf \([-3;-2[\) und \(]0;2[\). Daher ist \(f\) dort rechtsgekrümmt.

a) Wendestellen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). b) Im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt auf \([-3;-2[\) und \(]0;2[\).

- Wie hängen die Steigung der Ableitungsfunktion \(f'\) und die Krümmung der Ausgangsfunktion \(f\) zusammen? - Was kannst du über die Krümmung von \(f\) sagen, wenn \(f'\) in einem Bereich zunimmt oder abnimmt? - Wendepunkte sind Stellen, an denen sich die Krümmung ändert. Wo findet man diese im Graphen der Ableitung?

Die lokalen Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\); daher besitzt \(f\) dort Wendestellen. Im dargestellten Bereich \([-4;4]\) steigt \(f'\) auf \([-4;-2[\) und \(]2;4]\), sodass \(f\) dort linksgekrümmt ist. Auf \(]-2;2[\) fällt \(f'\); dort ist \(f\) rechtsgekrümmt.

Wendestellen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Im dargestellten Bereich linksgekrümmt auf \([-4;-2[\) und \(]2;4]\), rechtsgekrümmt auf \(]-2;2[\).

- Welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\) entspricht der zweiten Ableitung \(f''\)? - Erinnere dich: Die Krümmung einer Funktion hängt davon ab, ob die Steigung zunimmt oder abnimmt. - Wo sind die Stellen, an denen die Steigung der Ableitungsfunktion \(f'\) null wird? - Überlege dir, in welchen Bereichen der Graph von \(f'\) steigt oder fällt.

Die lokalen Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\); daher sind dies Wendestellen von \(f\). Im gezeichneten Bereich \([-4;4]\) steigt \(f'\) auf \(]-2;2[\), also ist \(f\) dort linksgekrümmt. Auf \([-4;-2[\) und \(]2;4]\) fällt \(f'\); dort ist \(f\) rechtsgekrümmt.

a) Wendestellen bei \(x=-2\) und \(x=2\). b) Im dargestellten Bereich linksgekrümmt auf \(]-2;2[\); rechtsgekrümmt auf \([-4;-2[\) und \(]2;4]\).

- Welche Information liefert das Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''(x)\) über die Krümmung des Graphen von \(f\)? - Woran erkennt man Wendestellen im Graphen der zweiten Ableitungsfunktion? - Achte darauf, in welchen Abschnitten der gegebene Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.

Die Nullstellen von \(f''\) mit Vorzeichenwechsel liegen bei \(x=-4\), \(x=0\) und \(x=4\); dies sind die Wendestellen von \(f\). Im dargestellten Bereich \([-6;6]\) gilt \(f''(x)<0\) auf \([-6;-4[\) und \(]0;4[\). Dort ist \(f\) rechtsgekrümmt.

Wendestellen bei \(x=-4\), \(x=0\) und \(x=4\). Im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt auf \([-6;-4[\) und \(]0;4[\).

- Schau dir den Graphen an: Wo macht er eine „Linkskurve“ und wo eine „Rechtskurve“? - Die Krümmung ändert sich an den Stellen, an denen der Graph von einer Kurvenform in die andere übergeht. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der zweiten Ableitung und der Krümmung des Graphen. - Setze die zweite Ableitung gleich null, um die Grenzen der Krümmungsintervalle zu finden.

Aus der Grafik lässt sich näherungsweise erkennen: rechtsgekrümmt für \(-1<x<1\), linksgekrümmt außerhalb dieses Bereichs. Rechnerisch gilt \(f''(x)=3x^2-3\). Die Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=1\). Daher ist der Graph für \(]-1;1[\) rechtsgekrümmt und für \(]-\infty;-1[\cup]1;\infty[\) linksgekrümmt.

a) Aus der Grafik lässt sich ablesen, dass der Graph etwa zwischen \(x=-1\) und \(x=1\) rechtsgekrümmt ist; außerhalb dieses Bereichs ist er linksgekrümmt. b) \(f''(x)=3x^2-3\). Der Graph ist für \(]-1;1[\) rechtsgekrümmt und für \(]-\infty;-1[\cup]1;\infty[\) linksgekrümmt.

- Stell dir vor, du fährst mit einem Fahrrad den Graphen entlang. In welche Richtung musst du lenken? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung und der Krümmung eines Graphen. - Die Stelle, an der sich die Krümmung ändert, nennt man Wendestelle. - Wie kannst du mithilfe eines Terms rechnerisch feststellen, ob eine Funktion eine Rechts- oder Linkskurve macht?

1. Im dargestellten Bereich ist der Graph auf \([-3;1[\) rechtsgekrümmt und auf \(]1;5]\) linksgekrümmt. Der Krümmungswechsel liegt bei etwa \(x=1\). 2. Es gilt \(f'(x)=x^2-2x-3\) und \(f''(x)=2x-2\). 3. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=1\). Da \(f'''(x)=2 \neq 0\), liegt dort eine Wendestelle. Rechnerisch gilt global Rechtskrümmung für \(x<1\) und Linkskrümmung für \(x>1\).

a) Im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt auf \([-3;1[\), linksgekrümmt auf \(]1;5]\). b) Wendestelle bei \(x=1\); global rechtsgekrümmt auf \(]-\infty;1[\) und linksgekrümmt auf \(]1;\infty[\).

- Suche die Stellen, an denen sich die Krümmung ändert. - Überlege dir für jeden Abschnitt zwischen diesen Stellen separat, ob es eine Rechts- oder Linkskurve ist.

Im dargestellten Bereich \([-6;6]\) liegen Krümmungswechsel bei \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\). Der Graph ist auf \([-6;-3[\) und \(]0;3[\) rechtsgekrümmt sowie auf \(]-3;0[\) und \(]3;6]\) linksgekrümmt.

Rechtsgekrümmt auf \([-6;-3[\) und \(]0;3[\); linksgekrümmt auf \(]-3;0[\) und \(]3;6]\).

- Stell dir vor, du fährst mit einem Fahrrad den Graphen entlang. In welche Richtung musst du lenken? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung und der Kurvenform (Links- oder Rechtskurve). - An welchen Stellen ändert sich die Krümmung? Diese Punkte nennt man Wendepunkte. - Überprüfe das Vorzeichen der zweiten Ableitung in den verschiedenen Bereichen.

Grafisch erkennt man Wendestellen bei \(x=-1\) und \(x=1\). Im dargestellten Bereich ist der Graph auf \([-3{,}5;-1[\) und \(]1;3{,}5]\) linksgekrümmt sowie auf \(]-1;1[\) rechtsgekrümmt. Rechnerisch gilt \(f''(x)=1{,}5x^2-1{,}5\). Damit ist \(f''(x)>0\) für \(x<-1\) und \(x>1\), während \(f''(x)<0\) für \(-1<x<1\) gilt.

a) Im dargestellten Bereich linksgekrümmt auf \([-3{,}5;-1[\) und \(]1;3{,}5]\); rechtsgekrümmt auf \(]-1;1[\). b) \(f''(x)=1{,}5x^2-1{,}5\); global linksgekrümmt auf \(]-\infty;-1[\) und \(]1;\infty[\), rechtsgekrümmt auf \(]-1;1[\).

- Beobachte, an welcher Stelle der Graph seine Krümmungsrichtung wechselt. - Bilde zur Kontrolle die zweite Ableitung. - Untersuche das Vorzeichen von \(f''\) links und rechts ihrer Nullstelle.

1. Es gilt \(f'(x)=0{,}3x^2-1{,}2x+0{,}9\) und \(f''(x)=0{,}6x-1{,}2\). 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x_W=2\). Der Wendepunkt ist \(W(2 \mid 1{,}2)\). 3. Im dargestellten Bereich ist der Graph auf \([-1;2[\) rechtsgekrümmt und auf \(]2;5]\) linksgekrümmt. Global gilt Rechtskrümmung für \(x<2\) und Linkskrümmung für \(x>2\).

a) Im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt auf \([-1;2[\), linksgekrümmt auf \(]2;5]\). b) \(f''(x)=0{,}6x-1{,}2\); Wendestelle \(x=2\), Wendepunkt \(W(2 \mid 1{,}2)\), global rechtsgekrümmt auf \(]-\infty;2[\) und linksgekrümmt auf \(]2;\infty[\).

- Betrachte zuerst den Funktionswert: Liegt der Punkt über, unter oder auf der \(x\)-Achse? - Die Steigung \(f'(x)\) entspricht dem Anstieg oder Abfall des Graphen. - Für die Krümmung \(f''(x)\) stellst du dir vor, du fährst mit einem Fahrrad den Graphen entlang. In welche Richtung musst du lenken? - Ein Wendepunkt ist der Ort, an dem sich die Lenkrichtung ändert.

Die Untersuchung der Punkte liefert folgende Ergebnisse: 1. Punkt \(A(0 \mid 0)\): Der Graph geht durch den Ursprung, also \(f(0) = 0\). Die Steigung ist positiv (\(f'(0) > 0\)). Da der Graph in diesem Bereich rechtsgekrümmt ist, gilt \(f''(0) < 0\). 2. Punkt \(B(2 \mid f(2))\): Dies ist der Hochpunkt des Graphen. Der Funktionswert ist positiv (\(f(2) > 0\)). Die Tangente ist waagrecht, also \(f'(2) = 0\). Der Graph ist hier rechtsgekrümmt, somit ist \(f''(2) < 0\). 3. Punkt \(C(4 \mid f(4))\): Der Funktionswert ist positiv (\(f(4) > 0\)). Der Graph fällt in diesem Punkt, daher ist \(f'(4) < 0\). Hier liegt ein Wendepunkt vor, an dem die Krümmung von rechts nach links wechselt, folglich ist \(f''(4) = 0\).

- Punkt \(A\): \(f(x) = 0\), \(f'(x) > 0\), \(f''(x) < 0\) - Punkt \(B\): \(f(x) > 0\), \(f'(x) = 0\), \(f''(x) < 0\) - Punkt \(C\): \(f(x) > 0\), \(f'(x) < 0\), \(f''(x) = 0\)

- Was passiert mit der Krümmung, wenn der Graph von einer Rechtskurve in eine Linkskurve übergeht? - Eine waagrechte Tangente kann auch an einem Wendepunkt auftreten. - Vergleiche die Steigung kurz vor und kurz nach dem Punkt \(B\).

Die Untersuchung ergibt: 1. Punkt \(A\): Der Funktionswert ist Null (\(f(x) = 0\)). Der Graph steigt (\(f'(x) > 0\)) und ist rechtsgekrümmt (\(f''(x) < 0\)). 2. Punkt \(B\): Der Funktionswert ist positiv (\(f(x) > 0\)). Die Tangente ist waagrecht (\(f'(x) = 0\)). Gleichzeitig findet hier ein Krümmungswechsel statt (Wendepunkt), sodass \(f''(x) = 0\) gilt. Ein Punkt mit waagrechter Tangente, der gleichzeitig ein Wendepunkt ist, heißt Sattelpunkt (oder Terrassenpunkt). 3. Punkt \(C\): Der Funktionswert ist positiv (\(f(x) > 0\)). Der Graph steigt (\(f'(x) > 0\)) und ist linksgekrümmt (\(f''(x) > 0\)).

- Punkt \(A\): \(f(x)=0\), \(f'(x)>0\), \(f''(x)<0\) - Punkt \(B\): \(f(x)>0\), \(f'(x)=0\), \(f''(x)=0\). Dieser Punkt heißt Sattelpunkt (oder Terrassenpunkt). - Punkt \(C\): \(f(x)>0\), \(f'(x)>0\), \(f''(x)>0\)

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der zweiten Ableitung und der Krümmung? - Was muss für die zweite Ableitung an einer Wendestelle gelten? - Die Monotonie einer Funktion lässt sich über das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung bestimmen. Wende dies auf die Funktion \(f'\) an. - Achte genau darauf, welche Ableitungsfunktion im Koordinatensystem dargestellt ist.

1. Krümmungsverhalten: Ein Graph ist linksgekrümmt, wenn seine zweite Ableitung positiv ist (\(f''(x) > 0\)). Im Intervall \(]1;3[\) verläuft der Graph von \(f''\) oberhalb der \(x\)-Achse. Somit ist die Aussage a) wahr. 2. Wendestellen: Eine notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist \(f''(x) = 0\). An der Stelle \(x = 2\) gilt jedoch \(f''(2) = 1 \neq 0\). Daher kann dort keine Wendestelle vorliegen. Aussage b) ist falsch. 3. Monotonie von \(f'\): Eine Funktion steigt streng monoton, wenn ihre Ableitung positiv ist. Die Ableitung von \(f'\) ist \(f''\). Im Intervall \([0;2]\) nimmt \(f''\) sowohl negative Werte (für \(x < 1\)) als auch positive Werte (für \(x > 1\)) an. Daher ist \(f'\) dort nicht durchgehend streng monoton zunehmend. Aussage c) ist falsch. 4. Wendestelle: Eine Wendestelle liegt vor, wenn die zweite Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. Bei \(x = 3\) ist \(f''(3) = 0\) und es findet ein Vorzeichenwechsel von plus nach minus statt. Aussage d) ist wahr.

a) Wahr. b) Falsch. c) Falsch. d) Wahr.

- Bei periodischen Funktionen wie dieser liegen Wendepunkte oft auf der „Mittellinie“ des Schwingungsverlaufs. - Überprüfe für jedes Intervall zwischen zwei Wendepunkten, ob eine Rechts- oder Linkskurve vorliegt.

1. Die Wendepunkte liegen an den Stellen, an denen der Graph seine Krümmungsrichtung ändert. In der Abbildung sind dies näherungsweise die Punkte \(W_1(-6{,}3 \mid -1{,}3)\), \(W_2(0 \mid 0)\) und \(W_3(6{,}3 \mid 1{,}3)\). 2. Eine Linkskurve liegt vor, wenn sich die Steigung vergrößert. Dies ist im dargestellten Bereich näherungsweise in den Intervallen \(]-6{,}3;0[\) und \(]6{,}3;10]\) der Fall.

Wendepunkte: \(W_1\approx(-6{,}3 \mid -1{,}3)\), \(W_2(0 \mid 0)\), \(W_3\approx(6{,}3 \mid 1{,}3)\) Linkskrümmung: ungefähr auf \(]-6{,}3;0[\) und \(]6{,}3;10]\)

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der zweiten Ableitung und der Krümmung der Funktion? - Erinnere dich daran, dass die zweite Ableitung die Steigungsänderung (Monotonie) der ersten Ableitung beschreibt. - Welche Bedingungen müssen an der Stelle einer Wendestelle für die zweite Ableitung erfüllt sein? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung die Art einer Extremstelle bestimmen, wenn die erste Ableitung dort null ist?

a) Wahr, da \(f''(x)<0\) für \(-1<x<3\). b) Falsch, da \(f''(x)>0\) für \(3<x\le5\); somit steigt \(f'\) dort. c) Falsch, da \(f''(1) \neq 0\). d) Wahr, da \(f''(0)<0\); zusammen mit \(f'(0)=0\) folgt ein lokales Maximum.

a) Wahr b) Falsch c) Falsch d) Wahr

- Wo ist die Steigung des Graphen am steilsten? - Was bedeutet eine zunehmende Steigung für die Veränderung der Bestandszahlen? - Überlege, was passiert, wenn ein Lebensraum nur eine bestimmte Menge an Tieren versorgen kann. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung und der Krümmung.

1. Der Zeitpunkt des maximalen Wachstums entspricht dem Wendepunkt des Graphen. Aus der Grafik lässt sich dieser bei etwa \(t \approx 7{,}5\) Jahren ablesen. Die Anzahl der Adler beträgt dort etwa \(50\) Tiere. 2. Im Intervall \([0;7{,}5[\) ist der Graph linksgekrümmt. Das bedeutet, die Steigung nimmt zu; die Population wächst also immer schneller. Im Intervall \(]7{,}5;15]\) ist der Graph rechtsgekrümmt. Die Steigung nimmt ab; die Population wächst zwar weiter, aber das Wachstum verlangsamt sich. 3. Dass der Graph flacher wird, deutet auf eine Sättigung hin. Biologische Gründe können begrenzte Ressourcen wie Nahrung, Nistplätze oder die Reviergröße sein, die ein unbegrenztes Wachstum verhindern.

a) Das schnellste Wachstum liegt nach etwa \(7{,}5\,\text{Jahren}\) bei einer Population von ungefähr \(50\) Adlern vor. b) Vor diesem Zeitpunkt nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit zu (Linkskrümmung), danach nimmt sie ab (Rechtskrümmung). Der Wendepunkt markiert das Maximum der Wachstumsrate. c) Begrenzte Ressourcen wie Nahrung und Platz führen dazu, dass sich die Populationsgröße einer Sättigungsgrenze annähert.

- Stell dir vor, du fährst mit einem Fahrrad den Graphen von links nach rechts ab. Wann musst du den Lenker nach rechts eingeschlagen halten? - Eine Wendestelle ist die Stelle, an der sich die Krümmungsrichtung ändert. - Überlege, wie sich die Steigung der Tangente in einer Rechtskurve im Vergleich zu einer Linkskurve verändert. - Wo scheint der Graph im negativen Bereich am steilsten zu sein?

1. Die Wendestelle liegt bei \(x = 2\), da dort der Graph von einer Rechts- in eine Linkskrümmung übergeht. 2. Der Graph ist im Bereich von \(x = -1\) bis \(x = 2\) rechtsgekrümmt, also im Intervall \([-1;2[\). 3. An der Wendestelle \(x = 2\) liegt ein lokales Minimum der Ableitung \(f'\) vor. Begründung: Da der Graph vor der Wendestelle rechtsgekrümmt ist, nimmt die Steigung stetig ab. Nach der Wendestelle ist er linksgekrümmt, die Steigung nimmt also wieder zu. Folglich muss die Steigung an der Übergangsstelle \(x = 2\) ihren geringsten Wert erreichen.

1. Die Wendestelle liegt bei \(x=2\). 2. Im dargestellten Bereich ist der Graph auf \([-1;2[\) rechtsgekrümmt. 3. \(f'\) besitzt bei \(x=2\) ein lokales Minimum, da \(f'\) zunächst fällt und danach steigt.

- Wo „öffnet“ sich die Kurve nach oben (wie eine Schale), und wo nach unten? - Achte darauf, wo der Graph am steilsten nach oben oder nach unten verläuft. - Erinnere dich daran, dass die Ableitung \(g'(x)\) die Steigung an jedem Punkt angibt. Was bedeutet es für \(g'\), wenn die Steigung immer größer wird? - Die Krümmung hängt direkt mit der zweiten Ableitung \(g''(x)\) zusammen.

a) Der Graph ist im Bereich zwischen den beiden Wendestellen linksgekrümmt, also im Intervall \(]2;6[\). b) Die größte negative Steigung (stärkstes Gefälle) liegt bei \(x = 2\) vor. Die größte positive Steigung (stärkster Anstieg) liegt bei \(x = 6\) vor. Diese Stellen nennt man Wendestellen. c) In Intervallen, in denen der Graph rechtsgekrümmt ist (\([0;2[\) und \(]6;8]\)), nimmt die Steigung ab; die Ableitungsfunktion \(g'\) ist dort also streng monoton fallend. In Intervallen mit Linkskrümmung (\(]2;6[\)) nimmt die Steigung zu; \(g'\) ist dort streng monoton steigend.

a) Der Graph ist auf \(]2;6[\) linksgekrümmt. b) Das stärkste Gefälle liegt bei \(x=2\), der stärkste Anstieg bei \(x=6\). Beide Stellen sind Wendestellen. c) Bei Rechtskrümmung fällt \(g'\); bei Linkskrümmung steigt \(g'\).

- Welche Ableitungsfunktion gibt Auskunft über die Krümmung eines Graphen? - Was ist der Unterschied zwischen einer Bedingung, die erfüllt sein muss (notwendig), und einer, die die Existenz garantiert (hinreichend)? - Wie hängen die Extrempunkte der ersten Ableitung mit den Eigenschaften der Originalfunktion zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der zweiten Ableitung und der Krümmungsrichtung.

1. Wendestellen bestimmen: Notwendig für eine Wendestelle ist \(f''(x) = 0\). Der Graph von \(f''\) hat Nullstellen bei \(x_1 = -0{,}5\), \(x_2 = 1{,}5\) und \(x_3 = 3{,}5\). Hinreichend ist der Vorzeichenwechsel (VZW) von \(f''\) an diesen Stellen. Da der rote Graph die \(x\)-Achse an allen drei Stellen schneidet, liegen dort Wendestellen vor. 2. Krümmungsverhalten: Ein Graph ist rechtsgekrümmt, wenn \(f''(x) < 0\) gilt. Dies ist dort der Fall, wo der rote Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. Ablesbare Intervalle: \([-1{,}5;-0{,}5[\) und \(]1{,}5;3{,}5[\). 3. Maximale Steigung: Die Steigung wird durch \(f'\) beschrieben. Ein lokales Maximum der Steigung liegt vor, wenn \(f'\) ein lokales Maximum hat. Dies ist der Fall, wenn \(f''(x) = 0\) gilt und \(f''\) einen VZW von Plus nach Minus aufweist. Am Graphen sieht man bei \(x = 1{,}5\), dass \(f''\) von positiven zu negativen Werten wechselt. Somit ist die Steigung dort lokal maximal.

a) Wendestellen: \(x \in \{-0{,}5; 1{,}5; 3{,}5\}\). Notwendig ist \(f''(x) = 0\), hinreichend ist hier der Vorzeichenwechsel von \(f''\). b) Rechtsgekrümmt in \([-1{,}5;-0{,}5[\) und \(]1{,}5;3{,}5[\), da dort \(f''(x) < 0\) ist. c) Bei \(x = 1{,}5\) ist \(f''(1{,}5) = 0\) mit einem VZW von Plus nach Minus. Daher hat \(f'\) (die Steigung von \(f\)) dort ein lokales Maximum.

- Steigt \(f'\), so ist \(f\) linksgekrümmt; fällt \(f'\), so ist \(f\) rechtsgekrümmt. - Wendestellen von \(f\) liegen an lokalen Extremstellen von \(f'\). - Beschränke deine Aussagen auf den gezeichneten Bereich.

1. Aussage 1 ist wahr: Die Krümmung von \(f\) hängt vom Monotonieverhalten von \(f'\) ab. Im Intervall \(]-1;3[\) steigt der Graph von \(f'\), was bedeutet, dass die zweite Ableitung \(f''(x) > 0\) ist. Daher ist \(f\) dort linksgekrümmt. 2. Aussage 2 ist falsch: Eine Wendestelle von \(f\) liegt dort vor, wo \(f'\) eine lokale Extremstelle besitzt. Der Graph von \(f'\) hat seine Extremstellen bei \(x = -1\) (Minimum) und \(x = 3\) (Maximum), aber nicht bei \(x = 0\). 3. Aussage 3 ist wahr: Für \(x > 3\) fällt der Graph von \(f'\), woraus \(f''(x) < 0\) folgt. Dies entspricht einer Rechtskrümmung des Graphen von \(f\).

1. Wahr, da \(f'\) auf \(]-1;3[\) steigt. 2. Falsch, da \(f'\) bei \(x=0\) keine lokale Extremstelle besitzt. 3. Wahr, da \(f'\) für \(3<x\le5{,}5\) fällt.

- Welche Bedingung muss für die zweite Ableitung \(g''\) an einer Wendestelle von \(g\) erfüllt sein? - Reicht es aus, dass die zweite Ableitung an einer Stelle Null ist, damit dort ein Wendepunkt vorliegt? - Überlege dir, wie viele Nullstellen mit Vorzeichenwechsel jeder der drei Graphen im gegebenen Intervall besitzt. - Was ist der grafische Unterschied zwischen einer Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und einer Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel?

1. Kriterium für Wendepunkte: Wendestellen einer Funktion \(g\) entsprechen den Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion \(g''\), an denen ein Vorzeichenwechsel (VZW) stattfindet. 2. Analyse von Graph III: Dieser Graph berührt die \(x\)-Achse an den Stellen \(x = -3\) und \(x = 3\), wechselt dort aber nicht das Vorzeichen (die Funktionswerte bleiben negativ). Ohne VZW in \(g''\) liegen bei \(g\) keine Wendepunkte vor. 3. Analyse von Graph II: Dieser Graph weist drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel auf (bei \(x = -3\), \(x = 0\) und \(x = 3\)). Dies würde bedeuten, dass die Funktion \(g\) drei Wendepunkte im Intervall besitzt, gefordert sind jedoch genau zwei. 4. Analyse von Graph I: Dieser Graph besitzt genau zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel (bei \(x = -3\) und \(x = 3\)). Dies steht im Einklang mit der Information, dass \(g\) genau zwei Wendepunkte hat. 5. Ergebnis: Graph I stellt die zweite Ableitungsfunktion \(g''\) dar.

Graph I stellt die zweite Ableitungsfunktion \(g''\) dar. Begründung: Wendepunkte von \(g\) treten nur an den Stellen auf, an denen \(g''\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. - Graph I hat im Intervall genau zwei solcher Nullstellen (\(x = -3\) und \(x = 3\)). - Graph II hat drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, was drei Wendepunkten entspräche. - Graph III hat zwar zwei Nullstellen, jedoch handelt es sich um Berührpunkte ohne Vorzeichenwechsel, weshalb dort keine Wendepunkte vorliegen.

- Die größte Wachstumsgeschwindigkeit liegt am Wendepunkt der Wachstumskurve. - Überlege, welche Ressourcen in einer Petrischale begrenzt sind.

a) Die Wachstumsgeschwindigkeit ist am Wendepunkt des Graphen von \(A\) maximal. Aus der Abbildung ergibt sich \(t=10\,\text{h}\). b) Die Grenze von \(500\,\text{mm}^2\) kann durch die begrenzte Fläche der Petrischale, Nährstoffmangel oder andere limitierende Umweltfaktoren erklärt werden.

a) Nach \(10\,\text{h}\). b) Mögliche Gründe sind Platzmangel, begrenzte Nährstoffe oder andere limitierende Bedingungen.

- Lokale Minima sind die „Täler“ des Graphen. - Überlege dir, in welchem Bereich der Graph wie eine nach unten geöffnete Parabel geformt ist – das ist der Bereich der Rechtskrümmung. - Ein Wendepunkt markiert immer den Übergang zwischen einer Links- und einer Rechtskurve. Zähle, wie oft dieser Übergang vorkommt.

1. Lokale Minima ablesen: Die tiefsten Punkte des Graphen liegen bei den Stellen \(x \approx -1{,}73\) und \(x \approx 1{,}73\) (genau \(\pm\sqrt{3}\)). 2. Krümmungswechsel finden: Der Graph wechselt zwischen Linkskrümmung (außen) und Rechtskrümmung (innen). Die Wendestellen liegen bei \(x = -1\) und \(x = 1\). 3. Intervall der Rechtskrümmung: Zwischen den Wendestellen wölbt sich der Graph nach rechts, also im Intervall \(]-1;1[\). 4. Anzahl der Wendepunkte: Es gibt genau zwei Wendepunkte, da der Graph zweimal seine Krümmungsrichtung ändert.

a) Die lokalen Minima liegen bei \(x\approx-1{,}73\) und \(x\approx1{,}73\). b) Der Graph ist auf \(]-1;1[\) rechtsgekrümmt. c) Der Graph besitzt zwei Wendepunkte; die Wendestellen liegen bei \(x=-1\) und \(x=1\).

- Welche besonderen Punkte im Graphen der Ableitung geben Auskunft über die Wendepunkte der Originalfunktion? - Wie verändert sich die Steigung der Originalfunktion in einem Bereich mit Rechtskrümmung? Was bedeutet das für den Graphen von \(f'\)? - Betrachte den Bereich zwischen \(-2\) und \(-1\) auf der \(x\)-Achse. Liegt die Ableitung dort im positiven oder negativen Bereich? - Nutze den Zusammenhang zwischen der Monotonie von \(f\) und dem Vorzeichen von \(f'\).

1. Wendestellen bestimmen: Die Wendestellen von \(f\) sind die Stellen, an denen die Ableitungsfunktion \(f'\) lokale Extremstellen besitzt. Aus dem Graphen von \(f'\) liest man ein lokales Maximum bei \(x \approx -2{,}3\) und ein lokales Minimum bei \(x \approx 2{,}3\) ab. Dies sind die Wendestellen von \(f\). 2. Krümmungsverhalten analysieren: Ein Graph ist rechtsgekrümmt, wenn seine zweite Ableitung negativ ist (\(f''(x) < 0\)). Das bedeutet, dass die erste Ableitungsfunktion \(f'\) in diesem Bereich streng monoton fallend sein muss. Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass \(f'\) zwischen seinem Hochpunkt und seinem Tiefpunkt fällt. Das Intervall der Rechtskrümmung ist also \(]-2{,}3;2{,}3[\). 3. Vergleich der Funktionswerte: Im Intervall \([-2; -1]\) verläuft der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse (\(f'(x) > 0\)). Die Funktion \(f\) ist dort also streng monoton steigend. Da \(-1 > -2\) ist, folgt daraus \(f(-1) > f(-2)\).

a) Wendestellen bei \(x\approx-2{,}3\) und \(x\approx2{,}3\). b) Rechtsgekrümmt auf \(]-2{,}3;2{,}3[\), da \(f'\) dort fällt. c) Auf \([-2;-1]\) gilt \(f'(x)>0\); daher ist \(f(-1)>f(-2)\).

- Wenn die erste Ableitung eine Geschwindigkeit ist, was gibt dann die Ableitung dieser Geschwindigkeit an? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über das Krümmungsverhalten des Graphen aus? - Überlege, was passieren müsste, damit das Volumen im Becken kleiner wird, und ob das zur Aufgabenstellung passt. - Untersuche das Verhalten der Steigung für wachsende Zeitwerte.

1. Die erste Ableitung \(W'(t)\) gibt die momentane Änderungsrate des Volumens an, also unter dieser Annahme die Zuflussgeschwindigkeit. Die zweite Ableitung \(W''(t)\) beschreibt somit die Änderung dieser Zuflussgeschwindigkeit pro Zeiteinheit (die „Beschleunigung“ des Füllvorgangs). 2. Berechnung der Ableitungen: \(W'(t) = -0{,}6t^2 + 6t + 20\) und \(W''(t) = -1{,}2t + 6\). Einsetzen der Werte: \(W''(2) = -1{,}2 \cdot 2 + 6 = 3{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}^2}\) und \(W''(8) = -1{,}2 \cdot 8 + 6 = -3{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}^2}\). Da \(W''(2) > 0\), nimmt die Zuflussgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 2\) noch zu (die Kurve ist linksgekrümmt). Da \(W''(8) < 0\), nimmt die Zuflussgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 8\) bereits wieder ab (die Kurve ist rechtsgekrümmt). 3. Bei einer Extrapolation über den angegebenen Modellzeitraum hinaus gilt \(W'(t) = -0{,}6t^2 + 6t + 20\). Für \(t = 15\) ergibt sich \(W'(15) = -0{,}6 \cdot 225 + 6 \cdot 15 + 20 = -135 + 90 + 20 = -25\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}}\). Eine negative Änderungsrate bedeutet, dass das Volumen sinkt. Da das Modell unter der Annahme eines reinen Füllvorgangs verwendet wird, ist ein sinkendes Volumen im Sachzusammenhang nicht sinnvoll. Deshalb sollte das Modell nicht über den angegebenen Zeitraum hinaus extrapoliert werden, wenn weiterhin eine Zunahme des Volumens beschrieben werden soll.

a) \(W''(t)\) beschreibt die Änderung der Zuflussgeschwindigkeit (Beschleunigung des Zuflusses). b) \(W''(2) = 3{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}^2}\) (Zunahme der Geschwindigkeit); \(W''(8) = -3{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}^2}\) (Abnahme der Geschwindigkeit). c) Bei einer Extrapolation auf \(t = 15\) wird die erste Ableitung negativ: \(W'(15) = -25\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}}\). Das würde ein sinkendes Volumen bedeuten und widerspricht der Modellannahme, dass kein Wasser abfließt.

- Betrachte die zweite Ableitung der Funktion. - Was kannst du über den Term \(x^2\) allgemein aussagen, wenn du verschiedene Werte für \(x\) einsetzt? - Wie beeinflusst das Vorzeichen von \(t\) das Ergebnis der zweiten Ableitung? - Denke bei Ungleichungen daran, was passiert, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.

1. Bildung der zweiten Ableitung: \(g_t'(x) = 4tx^3 + 12x\) und \(g_t''(x) = 12tx^2 + 12 = 12(tx^2 + 1)\). 2. Untersuchung für \(t \geq 0\): Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist für \(t \geq 0\) auch \(tx^2 \geq 0\). Daraus folgt \(tx^2 + 1 \geq 1\), womit \(g_t''(x) \geq 12 > 0\) für alle \(x\) gilt. Ein positiver Wert der zweiten Ableitung bedeutet eine Linkskrümmung über dem gesamten Definitionsbereich. 3. Untersuchung für \(t < 0\): Eine Rechtskrümmung liegt vor, wenn \(g_t''(x) < 0\). Dies führt zur Ungleichung \(12(tx^2 + 1) < 0\), also \(tx^2 < -1\). 4. Da \(t < 0\) ist, dreht sich das Ungleichheitszeichen bei der Division durch \(t\) um: \(x^2 > -\frac{1}{t}\). Dies ist erfüllt für \(x > \sqrt{-\frac{1}{t}}\) oder \(x < -\sqrt{-\frac{1}{t}}\).

1. Der Nachweis erfolgt über \(g_t''(x) = 12(tx^2 + 1)\), was für \(t \geq 0\) stets größer als Null ist. 2. Für \(t < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt für \(x < -\sqrt{-\frac{1}{t}}\) sowie für \(x > \sqrt{-\frac{1}{t}}\).

- Kann eine Funktion mehr als einen Wendepunkt haben? - Wie gehst du vor, um Stellen mit einer waagerechten Tangente zu finden? - Überlege dir, welche Eigenschaft die erste Ableitung an einem Terrassenpunkt haben muss. - Setze die gefundenen x-Werte in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinaten zu erhalten.

1. Erste drei Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = x^3 - 3x^2\), \(f''(x) = 3x^2 - 6x\), \(f'''(x) = 6x - 6\). 2. Wendestellen über \(f''(x) = 0\) suchen: \(3x(x - 2) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Hinreichende Bedingung \(f'''(x) \neq 0\) prüfen: \(f'''(0) = -6 \neq 0\) und \(f'''(2) = 6 \neq 0\). Beide Stellen sind Wendestellen. 4. Koordinaten berechnen: \(f(0) = 2 \implies W_1(0 \mid 2)\); \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 8 + 2 = -2 \implies W_2(2 \mid -2)\). 5. Tangentensteigungen berechnen: \(f'(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0\); \(f'(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4\). 6. Identifikation des Terrassenpunkts: \(W_1(0 \mid 2)\) ist ein Terrassenpunkt, da dort die Steigung \(f'(0) = 0\) ist. \(W_2(2 \mid -2)\) ist ein gewöhnlicher Wendepunkt mit Steigung \(-4\).

a) \(W_1(0 \mid 2)\) und \(W_2(2 \mid -2)\) b) Steigung in \(W_1\): \(m_1 = 0\); Steigung in \(W_2\): \(m_2 = -4\) c) \(W_1(0 \mid 2)\) ist ein Terrassenpunkt, da \(f'(0) = 0\).

- Wie verändert eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse die \(x\)-Koordinate eines Punktes? - Untersuche, wie sich die zweite Ableitung verhält, wenn die gesamte Funktion mit einem Faktor multipliziert wird. - Was passiert mit den Stellen besonderer Eigenschaften, wenn das Innere der Funktion (das Argument) verändert wird? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Streckungen in \(x\)-Richtung und dem Faktor vor dem \(x\).

1. Bei \(p(x) = f(x) + 8\) handelt es sich um eine Verschiebung des Graphen um \(8\) Einheiten in \(y\)-Richtung. Die \(x\)-Koordinate der Wendestelle bleibt dadurch unverändert, also liegt die Wendestelle weiterhin bei \(x = 3\). 2. Bei \(q(x) = -2f(x)\) wird der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung gestreckt. Diese Transformation verändert die \(x\)-Koordinate der Wendestelle nicht. Die Wendestelle bleibt daher bei \(x = 3\). 3. Bei \(r(x) = f(3x)\) liegt eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) vor. Die ursprüngliche Wendestelle bei \(x = 3\) erscheint bei der neuen \(x\)-Koordinate, für die \(3x = 3\) gilt. Daraus folgt \(x = 1\). Die neue Wendestelle liegt also bei \(x = 1\).

a) Wendestelle bei \(x = 3\) (Verschiebung in \(y\)-Richtung). b) Wendestelle bei \(x = 3\) (Streckung in \(y\)-Richtung und Spiegelung an der \(x\)-Achse). c) Wendestelle bei \(x = 1\) (Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(\frac{1}{3}\)).

- Was ist der Unterschied zwischen einem Wendepunkt und einer Wendestelle? - Bestimme zuerst die Stellen, an denen die Krümmung des Graphen ihr Vorzeichen ändert. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Werten auf der \(x\)-Achse? - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch der Parameter \(k\) als Unbekannte vorkommt.

1. Erste und zweite Ableitung berechnen: \(g_k'(x) = \frac{1}{3}x^3 - kx + 5\) und \(g_k''(x) = x^2 - k\). 2. Mögliche Wendestellen durch \(g_k''(x) = 0\) bestimmen: \(x^2 - k = 0 \Rightarrow x_{W1} = -\sqrt{k}\) und \(x_{W2} = \sqrt{k}\) (existieren, da \(k > 0\)). 3. Verifikation: \(g_k'''(x) = 2x\) ist an den Stellen \(\pm \sqrt{k}\) ungleich Null, da \(k > 0\). 4. Abstand der Wendestellen auf der \(x\)-Achse formulieren: \(d = x_{W2} - x_{W1} = \sqrt{k} - (-\sqrt{k}) = 2\sqrt{k}\). 5. Gleichung mit dem gegebenen Abstand aufstellen: \(2\sqrt{k} = 6\). 6. Nach \(k\) auflösen: \(\sqrt{k} = 3 \Rightarrow k = 9\).

\(k = 9\)

- Erinnere dich an die notwendige und hinreichende Bedingung für Wendestellen. - Achte beim Rechnen mit Wurzeln darauf, diese erst ganz am Ende oder gar nicht zu runden. - Überlege dir, welche Eigenschaft die \(x\)-Koordinate eines Punktes hat, der auf der \(y\)-Achse liegt. - Kannst du die Symmetrie der Funktion nutzen, um Rechenschritte abzukürzen?

1. Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = -x^3 + 6x\), \(f''(x) = -3x^2 + 6\). 2. Wendestellen berechnen: \(-3x^2 + 6 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{w1} = \sqrt{2}, x_{w2} = -\sqrt{2}\). Da \(f'''(x) = -6x\) an diesen Stellen ungleich Null ist, sind es Wendestellen. 3. Funktionswerte und Steigungen: \(f(\sqrt{2}) = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 5\); \(f'(\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). Analog für die zweite Stelle aufgrund der Achsensymmetrie: \(f(-\sqrt{2}) = 5\), \(f'(-\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}\). 4. Wendetangenten aufstellen: \(t_1: y = 4\sqrt{2}(x - \sqrt{2}) + 5 = 4\sqrt{2}x - 8 + 5 = 4\sqrt{2}x - 3\). Für die zweite Tangente ergibt sich \(t_2: y = -4\sqrt{2}x - 3\). 5. Nachweis des Schnittpunkts: Durch Gleichsetzen der Tangentengleichungen \(4\sqrt{2}x - 3 = -4\sqrt{2}x - 3\) folgt \(8\sqrt{2}x = 0\), also \(x = 0\). Da die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts Null ist, liegt der Punkt \(S(0 \mid -3)\) auf der \(y\)-Achse.

\(t_1: y = 4\sqrt{2}x - 3\); \(t_2: y = -4\sqrt{2}x - 3\); Schnittpunkt \(S(0 \mid -3)\).

- Was muss für die erste und zweite Ableitung an der Stelle eines Sattelpunktes gelten? - Bestimme zuerst die mögliche Stelle \(x\) des Wendepunktes, da diese unabhängig von \(k\) berechnet werden kann. - Setze diese Stelle in die Bedingung für die waagerechte Tangente ein, um den passenden Wert für \(k\) zu finden. - Vergiss nicht, am Ende den zugehörigen Funktionswert zu berechnen.

1. Ableitungen bestimmen: \(g_k'(x) = x^2 + 2x + k\), \(g_k''(x) = 2x + 2\), \(g_k'''(x) = 2\). 2. Bedingung für eine Wendestelle: \(g_k''(x) = 0 \Rightarrow 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1\). 3. Da \(g_k'''(-1) = 2 \neq 0\), ist \(x = -1\) für jedes \(k\) eine Wendestelle. 4. Damit an der Wendestelle ein Sattelpunkt vorliegt, muss die Steigung dort null sein (notwendige Bedingung für Sattelpunkte): \(g_k'(-1) = 0\). 5. Einsetzen und nach \(k\) auflösen: \((-1)^2 + 2(-1) + k = 0 \Rightarrow 1 - 2 + k = 0 \Rightarrow k = 1\). 6. \(y\)-Koordinate für \(k = 1\) berechnen: \(g_1(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 1(-1) = -\frac{1}{3} + 1 - 1 = -\frac{1}{3}\). Der Sattelpunkt existiert für \(k = 1\) und liegt bei \(S(-1 \mid -\frac{1}{3})\).

Die Funktion besitzt für \(k = 1\) einen Sattelpunkt an den Koordinaten \(S(-1 \mid -\frac{1}{3})\).

- Bestimme zuerst alle Stellen, an denen die zweite Ableitung Null wird. - Erinnere dich daran, dass \(f''(x) = 0\) nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist. - Was passiert mit dem Graphen der zweiten Ableitung bei einer doppelten Nullstelle im Vergleich zu einer einfachen Nullstelle? - Ein Vorzeichenwechsel von \(g''\) bedeutet, dass sich das Krümmungsverhalten des Graphen von \(g\) ändert.

1. Ableitungen berechnen: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3\), \(g''(x) = 2x^3 - 6x^2 = 2x^2(x - 3)\). 2. Kandidaten für Wendestellen (\(g''(x) = 0\)): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Überprüfung \(x_1 = 0\): Für Werte knapp unter 0 (z. B. \(-0{,}1\)) ist \(2x^2 > 0\) und \((x-3) < 0\), also \(g''(x) < 0\). Für Werte knapp über 0 (z. B. \(0{,}1\)) ist \(2x^2 > 0\) und \((x-3) < 0\), also \(g''(x) < 0\). Es findet kein Vorzeichenwechsel statt, daher kein Wendepunkt bei \(x = 0\). 4. Überprüfung \(x_2 = 3\): Für \(x < 3\) (nahe 3) ist \(g''(x) < 0\), für \(x > 3\) ist \(g''(x) > 0\) (da \(x-3\) das Vorzeichen wechselt). Es liegt ein Vorzeichenwechsel vor, somit ist \(x = 3\) eine Wendestelle. 5. Wendepunkt berechnen: \(g(3) = \frac{1}{10} \cdot 243 - \frac{1}{2} \cdot 81 + 5 = 24{,}3 - 40{,}5 + 5 = -11{,}2\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(3 \mid -11{,}2)\).

Die Funktion besitzt bei \(x = 0\) keine Wendestelle, da die zweite Ableitung \(g''(x) = 2x^2(x-3)\) dort keinen Vorzeichenwechsel aufweist. Bei \(x = 3\) liegt eine Wendestelle mit dem Wendepunkt \(W(3 \mid -11{,}2)\) vor.

- Untersuche zunächst die zweite Ableitung auf beiden Teilbereichen. - Krümmung kann auch über die Monotonie von \(f'\) auf einem ganzen Intervall beschrieben werden. - Prüfe, ob \(f'\) beim Übergang über \(x=0\) weiterhin streng zunimmt, auch wenn \(f''(0)\) nicht existiert.

1. Für \(x<0\) gilt \(f''(x)=6x+12\). Bei \(x=-2\) liegt eine Nullstelle vor. Für \(x<-2\) ist \(f''(x)<0\), für \(-2<x<0\) ist \(f''(x)>0\). 2. Für \(x>0\) gilt \(f''(x)=4>0\). 3. An \(x=0\) ist \(f\) differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar. Dennoch ist \(f'\) auf dem gesamten Intervall \((-2;\infty)\) streng monoton steigend: links von \(0\) steigt \(f'\) bis zum Wert \(0\), rechts davon steigt \(f'\) von \(0\) aus weiter. Daher ist der Graph auf \((-2;\infty)\) durchgehend linksgekrümmt; das Intervall wird bei \(x=0\) nicht geteilt. 4. Auf \(( -\infty;-2)\) ist \(f'\) streng monoton fallend, also ist der Graph dort rechtsgekrümmt.

Linkskrümmung: \((-2;\infty)\) Rechtskrümmung: \(( -\infty;-2)\)

- Nutze eine Fallunterscheidung, um den Betrag aufzulösen. - Berechne für beide Fälle die zweite Ableitung und finde deren Nullstellen. - Prüfe, ob die Krümmungsintervalle an der Stelle \(x = 0\) zusammengefasst werden können. - Erinnere dich: Eine Linkskrümmung liegt vor, wenn die Steigung der Tangente zunimmt.

1. Fallunterscheidung für den Betrag: Für \(x \geq 0\) ist \(f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2\). Für \(x < 0\) ist \(f(x) = -\frac{1}{6}x^3 - x^2\). 2. Ableitungen für \(x > 0\): \(f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x\) und \(f''(x) = x - 2\). Die Nullstelle von \(f''(x)\) ist \(x = 2\). Für \(0 < x < 2\) ist \(f''(x) < 0\) (Rechtskrümmung), für \(x > 2\) ist \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung). 3. Ableitungen für \(x < 0\): \(f'(x) = -\frac{1}{2}x^2 - 2x\) und \(f''(x) = -x - 2\). Die Nullstelle von \(f''(x)\) ist \(x = -2\). Für \(x < -2\) ist \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung), für \(-2 < x < 0\) ist \(f''(x) < 0\) (Rechtskrümmung). 4. Untersuchung bei \(x = 0\): Die Grenzwerte der zweiten Ableitung für \(x \to 0\) ergeben beidseitig \(-2\). Da \(f\) an der Stelle \(x=0\) zweimal differenzierbar mit \(f''(0) = -2\) ist, bleibt das Krümmungsverhalten (Rechtskrümmung) über \(x=0\) hinweg erhalten. 5. Zusammenfassung: Linkskrümmung in \((-\infty; -2)\) und \((2; \infty)\), Rechtskrümmung in \((-2; 2)\).

Linkskrümmung: \((-\infty; -2)\) und \((2; \infty)\) Rechtskrümmung: \((-2; 2)\)

- Wie nennt man einen Punkt, an dem sich die Krümmung des Graphen ändert? - Welchen besonderen Namen hat ein Wendepunkt mit einer waagerechten Tangente? - Überlege dir, ob die Steigung vor und nach dem Punkt ihr Vorzeichen wechselt. - Was passiert mit der Steigung, wenn sie erst zunimmt (Linkskrümmung) und dann wieder abnimmt (Rechtskrümmung), aber dazwischen den Wert Null erreicht?

1. Die Bedingung \(g'(0) = 0\) impliziert eine waagerechte Tangente an der Stelle \(x = 0\). 2. Der Wechsel des Krümmungsverhaltens von einer Linkskrümmung (\(g''(x) > 0\)) zu einer Rechtskrümmung (\(g''(x) < 0\)) definiert die Stelle \(x = 0\) als Wendestelle. 3. Ein Wendepunkt, an dem zusätzlich eine waagerechte Tangente vorliegt, wird speziell als Sattelpunkt (oder Terrassenpunkt) bezeichnet. 4. Da die Krümmung von positiv nach negativ wechselt, besitzt die Ableitungsfunktion \(g'\) an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Maximum. Da dieser maximale Wert \(g'(0) = 0\) ist, gilt in der unmittelbaren Umgebung \(g'(x) \leq 0\). Da die Steigung vor und nach der Stelle das gleiche Vorzeichen hat (kein Vorzeichenwechsel von \(g'\)), kann kein lokales Extremum der Funktion \(g\) vorliegen.

Es handelt sich um einen Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt genannt). Es liegt kein lokales Extremum vor, da die erste Ableitung an dieser Stelle keinen Vorzeichenwechsel vollzieht (die Funktion fällt sowohl kurz vor als auch kurz nach der Stelle \(x = 0\)).

- Wie verändert sich der Grad einer ganzrationalen Funktion, wenn man sie ableitet? - Was weißt du über das globale Verhalten von Funktionen mit ungeradem Grad im Vergleich zu Funktionen mit geradem Grad? - Wann genau spricht man bei einer Nullstelle der zweiten Ableitung von einer Wendestelle? - Überlege dir ein Beispiel für eine Funktion mit \(n=1\). Kann diese eine Kurve oder eine Wendestelle haben?

1. Der Grad einer Funktion verringert sich bei jeder Ableitung um 1. Bei \(n = 5\) hat \(f'\) den Grad 4 und \(f''\) den Grad 3. 2. Eine ganzrationale Funktion mit ungeradem Grad (hier Grad 3) verläuft für \(x \to \pm \infty\) gegen unterschiedliche Vorzeichen (\(\infty\) und \(-\infty\)). Nach dem Zwischenwertsatz muss sie daher die \(x\)-Achse schneiden. Wegen der unterschiedlichen Vorzeichen für \(x \to -\infty\) und \(x \to \infty\) muss mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegen. 3. Allgemein: Hat \(f\) den ungeraden Grad \(n\), so hat \(f''\) den Grad \(n-2\). Wenn \(n \geq 3\) ungerade ist, ist auch \(n-2 \geq 1\) eine ungerade Zahl. 4. Jede ganzrationale Funktion mit ungeradem Grad besitzt mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Ein Vorzeichenwechsel in \(f''\) entspricht einer Änderung des Krümmungsverhaltens von \(f\), also einer Wendestelle. 5. Für \(n = 1\) (lineare Funktion) wäre \(f'' = 0\), es gäbe keine Krümmung und somit keine Wendestelle.

a) Der Grad von \(f''\) ist 3. Da Funktionen ungeraden Grades von \(-\infty\) nach \(+\infty\) (oder umgekehrt) verlaufen, müssen sie die x-Achse kreuzen, was einen Vorzeichenwechsel bedeutet. b) Wenn \(n \geq 3\) ungerade ist, ist auch der Grad von \(f''\) (\(n-2\)) ungerade und mindestens 1. Jede Funktion ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, was eine Wendestelle von \(f\) definiert. Für \(n=1\) ist die Funktion eine Gerade ohne Krümmung.

- Wann hat eine Funktion keine Wendestellen? Denke an den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung. - Wenn die zweite Ableitung eine quadratische Funktion ist, wann wechselt sie ihre Werte nicht von Plus nach Minus (oder umgekehrt)? - Erinnere dich an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Was sagt sie über die Anzahl der Nullstellen aus? - Was passiert an einer „doppelten“ Nullstelle der zweiten Ableitung mit der Krümmung?

1. Erste Ableitung: \(g_c'(x) = 4x^3 + 6cx^2 + 12x\) 2. Zweite Ableitung: \(g_c''(x) = 12x^2 + 12cx + 12 = 12(x^2 + cx + 1)\) 3. Bedingung für Wendestellen: Eine Wendestelle liegt vor, wenn \(g_c''(x) = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel stattfindet. 4. Analyse der quadratischen Funktion: Der Term \(x^2 + cx + 1\) besitzt keine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, wenn die zugehörige Parabel entweder keine Nullstellen hat oder die \(x\)-Achse nur berührt (doppelte Nullstelle). 5. Diskriminante bestimmen: \(D = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = c^2 - 4\) 6. Bedingung für keine Wendestellen: \(D \le 0 \implies c^2 - 4 \le 0 \implies c^2 \le 4 \implies -2 \le c \le 2\). In diesen Fällen wechselt \(g_c''(x)\) das Vorzeichen nicht.

Die Funktion \(g_c\) hat keine Wendestellen, wenn der Parameter \(c\) im Intervall \([-2; 2]\) liegt (also \(-2 \le c \le 2\)).

- Überlege dir, welche Bedingungen für die erste und zweite Ableitung an einem Sattelpunkt gelten müssen. - Ein Sattelpunkt ist ein Spezialfall eines Wendepunkts mit einer besonderen Eigenschaft der Steigung. - Wie kannst du sicherstellen, dass an einer Stelle tatsächlich ein Krümmungswechsel vorliegt? - Vergiss nicht, am Ende die \(y\)-Koordinaten der gefundenen Stellen zu berechnen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\) und \(f''(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). 2. Notwendige Bedingung für Sattelpunkte (\(f'(x) = 0\) und \(f''(x) = 0\)): \(f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - x + 1) = \frac{1}{4}x^2(x-2)^2 = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). \(f''(x) = x(x^2 - 3x + 2) = x(x-1)(x-2) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_3 = 1\) und \(x_2 = 2\). Gemeinsame Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen (z. B. \(f'''(x) \neq 0\) oder Vorzeichenwechsel von \(f''\)): \(f'''(x) = 3x^2 - 6x + 2\). Für \(x_1 = 0\): \(f'''(0) = 2 \neq 0\). Sattelpunkt liegt vor. Für \(x_2 = 2\): \(f'''(2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot 2 + 2 = 2 \neq 0\). Sattelpunkt liegt vor. 4. Funktionswerte berechnen: \(f(0) = 0\) und \(f(2) = \frac{32}{20} - \frac{16}{4} + \frac{8}{3} = \frac{8}{5} - 4 + \frac{8}{3} = \frac{4}{15}\). Die Sattelpunkte liegen bei \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(2 \mid \frac{4}{15})\).

Es liegen zwei Sattelpunkte vor: \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(2 \mid \frac{4}{15})\).

- Welche Informationen kannst du aus der Gleichung der Wendetangente für den Funktionswert und die erste Ableitung an der Stelle \(x=1\) ablesen? - Übersetze jede geometrische Eigenschaft in eine Gleichung für \(f(x)\), \(f'(x)\) oder \(f''(x)\). - Wie viele Unbekannte hat eine Funktion 3. Grades und wie viele unabhängige Gleichungen benötigst du? - Prüfe nach dem Bestimmen der Koeffizienten auch, ob der Funktionswert am Berührpunkt mit der Tangente übereinstimmt.

1. Ansatz für eine Funktion 3. Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Die Bedingungen ergeben: \(f(0) = 2 \Rightarrow d = 2\) \(f(2) = 0 \Rightarrow 8a + 4b + 2c = -2\) \(f''(1) = 0 \Rightarrow 6a + 2b = 0\) \(f'(1) = -3 \Rightarrow 3a + 2b + c = -3\) Außerdem muss am Berührpunkt \(f(1) = t(1) = 1\) gelten. 3. Aus \(6a + 2b = 0\) folgt \(b = -3a\). Einsetzen in die beiden weiteren Gleichungen liefert \(-2a + c = -1\) und \(-3a + c = -3\). Subtraktion ergibt \(a = 2\). Damit sind \(b = -6\), \(c = 3\) und \(d = 2\). 4. Somit ist \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x + 2\). Es gilt \(f(1) = 1 = t(1)\), \(f'(1) = -3\) und \(f''(1) = 0\). Außerdem ist \(f'''(x) = 12 \neq 0\), sodass bei \(x=1\) tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt.

\(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x + 2\)

- Überlege dir, wie sich der Wasserspiegel ändert, wenn das Gefäß an einer Stelle sehr breit oder sehr schmal ist. - Was sagt die Steigung des Graphen über die Änderung der Höhe aus? - Wo genau im Graphen findest du die Information über die Formänderung des Gefäßes? - Für die durchschnittliche Geschwindigkeit kannst du die Steigung einer Sekante betrachten.

a) Die Steiggeschwindigkeit des Wasserspiegels nimmt bis \(t=6\,\text{s}\) zu und danach ab. Bei \(t=6\,\text{s}\) steigt der Wasserspiegel am schnellsten. b) Bei konstantem Zufluss entspricht eine große Steiggeschwindigkeit einem kleinen Querschnitt. Das Gefäß ist daher unten breit, wird bis zur Mitte schmaler und danach wieder breiter. c) Aus dem Graphen liest man näherungsweise \(h(0)\approx0\,\text{cm}\) und \(h(12)\approx15\,\text{cm}\) ab. Die mittlere Steiggeschwindigkeit beträgt daher \((15-0):12\approx1{,}25\,\text{cm/s}\).

a) Am schnellsten steigt der Wasserspiegel bei \(t=6\,\text{s}\). b) Das Gefäß ist unten breit, in der Mitte am schmalsten und oben wieder breiter. c) Nach \(12\,\text{s}\) beträgt die Füllhöhe ungefähr \(15\,\text{cm}\); die mittlere Steiggeschwindigkeit liegt bei etwa \(1{,}25\,\text{cm/s}\).