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- Beobachte zuerst, ob die dargestellte Ableitungsfunktion zu- oder abnimmt. - Die Krümmung der ursprünglichen Funktion hängt davon ab, wie sich ihre Tangentensteigung verändert. - Eine zunehmende erste Ableitung und eine abnehmende erste Ableitung führen zu entgegengesetzten Krümmungsrichtungen.

1. In Abbildung a) nimmt \(f'\) mit wachsendem \(x\) zu. Daher ist \(f''(x)>0\) und der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt. 2. In Abbildung b) nimmt \(g'\) mit wachsendem \(x\) ab. Daher ist \(g''(x)<0\) und der Graph von \(g\) ist rechtsgekrümmt.

a) \(f\) ist linksgekrümmt. b) \(g\) ist rechtsgekrümmt.

- Welche Funktion hat \(f''\) als erste Ableitung? - Übersetze das negative Vorzeichen einer Ableitung in eine Monotonieaussage. - Verbinde anschließend das Vorzeichen von \(f''\) mit der Krümmungsrichtung von \(f\).

1. Aus \(f''(x)<0\) folgt, dass die erste Ableitung \(f'\) auf \(I\) streng monoton abnimmt. 2. Ein negatives Vorzeichen von \(f''\) bedeutet zugleich, dass der Graph von \(f\) auf \(I\) rechtsgekrümmt ist.

Auf \(I\) ist \(f'\) streng monoton abnehmend und der Graph von \(f\) ist rechtsgekrümmt.

- Welche Ableitung beschreibt die Krümmung des Graphen? - Übersetze die vorgegebene Wendestelle zunächst in eine notwendige Gleichung für den Parameter. - Wie kannst du anschließend prüfen, dass die gefundene Stelle wirklich ein Wendepunkt ist?

1. Es gilt \(y'(x)=3x^2-2ax\) und \(y''(x)=6x-2a\). 2. Aus der notwendigen Wendepunktbedingung \(y''(2)=0\) folgt \(12-2a=0\) und damit \(a=6\). 3. Zur Kontrolle gilt für jeden Parameter \(y'''(x)=6\). Insbesondere ist \(y'''(2)=6\neq0\), also liegt bei \(x=2\) für \(a=6\) tatsächlich eine Wendestelle vor.

\(a=6\)

- Wie hängen Linkskrümmung und das Vorzeichen der zweiten Ableitung zusammen? - Kannst du begründen, warum der Ausdruck für die zweite Ableitung niemals Null oder negativ werden kann? - Welche Eigenschaft haben Quadratzahlen, die dir hier weiterhelfen könnte?

1. Bildung der Ableitungen: Die erste Ableitung ist \(g'(x) = x^3 + 6x\). Die zweite Ableitung lautet \(g''(x) = 3x^2 + 6\). 2. Analyse des Vorzeichens von \(g''(x)\): Da das Quadrat einer reellen Zahl \(x^2\) immer größer oder gleich Null ist (\(x^2 \ge 0\)), ist der Term \(3x^2\) ebenfalls stets größer oder gleich Null. 3. Schlussfolgerung: Durch die Addition von \(6\) ergibt sich \(3x^2 + 6 \ge 6\). Damit ist \(g''(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Da die zweite Ableitung überall positiv ist, ist der Graph der Funktion \(g\) im gesamten Definitionsbereich linksgekrümmt.

Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = 3x^2 + 6\). Da \(x^2 \ge 0\) für alle \(x\) gilt, ist \(3x^2 + 6 \ge 6 > 0\). Wegen \(g''(x) > 0\) ist der Graph für alle \(x \in \mathbb{R}\) linksgekrümmt.

- Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Form des Graphen aus? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit man sicher von einem Extrempunkt sprechen kann? - Wann ändert ein Graph sein Krümmungsverhalten? - Schau dir die Ableitungsordnungen genau an – geht es um die Steigung, die Krümmung oder die Änderung der Krümmung?

1. Bedingung 1 (\(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\)) ist das hinreichende Kriterium für ein lokales Minimum (Tiefpunkt), da eine waagerechte Tangente bei gleichzeitiger Linkskrümmung vorliegt. Zuordnung: 1 – C. 2. Bedingung 2 (\(f''(x) < 0\) für alle \(x \in I\)) bedeutet nach dem Krümmungskriterium, dass der Graph im gesamten Intervall eine Rechtskrümmung aufweist. Zuordnung: 2 – A. 3. Bedingung 3 (\(f''(x_0) = 0\) und \(f'''(x_0) \neq 0\)) ist das hinreichende Kriterium für eine Wendestelle, da die zweite Ableitung null ist und an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) (da \(f''' \neq 0\)) garantiert ist. Zuordnung: 3 – B.

1 – C 2 – A 3 – B

- Welche Ableitung beschreibt die Änderung der Tangentensteigung? - Welches Vorzeichen von \(f''\) kennzeichnet Links- beziehungsweise Rechtskrümmung? - Was folgt für die Monotonie von \(f'\), wenn \(f''>0\) gilt?

1. Es gilt \(f'(x)=3x^2-12x+10\) und \(f''(x)=6x-12\). 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=2\). 3. Für \(x<2\) gilt \(f''(x)<0\), also ist der Graph rechtsgekrümmt. Für \(x>2\) gilt \(f''(x)>0\), also ist der Graph linksgekrümmt. 4. Damit ist der Graph auf \(( -\infty;2)\) rechtsgekrümmt und auf \((2;\infty)\) linksgekrümmt. 5. In einem linksgekrümmten Bereich gilt \(f''(x)>0\). Da \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, ist \(f'\) dort streng monoton zunehmend. Die Tangentensteigungen von \(f\) werden mit wachsendem \(x\) größer.

a) Rechtsgekrümmt auf \(( -\infty;2)\); linksgekrümmt auf \((2;\infty)\). b) Bei Linkskrümmung gilt \(f''>0\); deshalb ist \(f'\) dort streng monoton zunehmend.

- An welcher Stelle muss die zweite Ableitung einer Funktion gleich Null sein, wenn dort ein Wendepunkt vorliegt? - Leite die Funktion zweimal nach \(x\) ab und behandle den Parameter dabei wie eine konstante Zahl. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die zweite Ableitung ein und löse die entstehende Gleichung nach dem Parameter auf.

1. Bildung der ersten und zweiten Ableitung der Funktion \(f_a\): \(f_a'(x) = x^2 + 2(a - 3)x + 7\) \(f_a''(x) = 2x + 2a - 6\) 2. Bedingung für eine Wendestelle an der Stelle \(x = 5\) ist \(f_a''(5) = 0\): \(2 \cdot 5 + 2a - 6 = 0\) \(10 + 2a - 6 = 0\) \(4 + 2a = 0\) 3. Auflösen nach \(a\): \(2a = -4 \implies a = -2\) 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: Da \(f_{-2}'''(x) = 2 \neq 0\) für alle \(x\), liegt bei \(x = 5\) tatsächlich eine Wendestelle vor.

\(a = -2\)

- Bestimme die zweiten Ableitungen und trenne ihre Vorzeichenanalyse für \(x<0\) und \(x>0\). - Achte darauf, dass die Krümmung vom Vorzeichen der zweiten Ableitung und nicht vom Vorzeichen der Funktion abhängt. - Prüfe für einen Wendepunkt immer, ob die betreffende Stelle überhaupt zum Definitionsbereich gehört.

1. Für \(g\) gilt \(g'(x)=-\frac{1}{x^2}\) und \(g''(x)=\frac{2}{x^3}\). Für \(h\) gilt \(h'(x)=-\frac{2}{x^3}\) und \(h''(x)=\frac{6}{x^4}\). Beide zweiten Ableitungen haben für \(x\neq0\) keine Nullstelle. 2. Für \(g\) gilt wegen \(g''(x)=\frac{2}{x^3}\): Für \(x<0\) ist \(g''(x)<0\), also ist der linke Ast rechtsgekrümmt. Für \(x>0\) ist \(g''(x)>0\), also ist der rechte Ast linksgekrümmt. 3. Für \(h\) gilt \(h''(x)=\frac{6}{x^4}>0\) für alle \(x\neq0\). Beide Äste sind daher linksgekrümmt. 4. Bei \(x=0\) sind beide Funktionen nicht definiert. Deshalb kann dort trotz des Krümmungsunterschieds bei \(g\) kein Wendepunkt liegen.

a) \(g''(x)=\frac{2}{x^3}\neq0\) und \(h''(x)=\frac{6}{x^4}\neq0\) für alle \(x\neq0\). b) Bei \(g\) ist der linke Ast rechtsgekrümmt und der rechte linksgekrümmt. Bei \(h\) sind beide Äste linksgekrümmt. Bei \(x=0\) liegt kein Wendepunkt, da die Funktionen dort nicht definiert sind.

- Was bedeutet die Formulierung „Ableitung von \(f'\)“ mathematisch? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit einem möglichen Vorzeichenwechsel zusammen? - Ist ein Vorzeichenwechsel an einer Stelle möglich, an der die Funktion einen Wert ungleich Null hat? - Untersuche die Werte der Ableitungsfunktion kurz vor und kurz nach der betrachteten Stelle.

1. Bestimmung der zweiten Ableitung: Die erste Ableitung ist \(f'(x) = 2x^3 - 6x\), die zweite Ableitung (Ableitung von \(f'\)) lautet \(f''(x) = 6x^2 - 6\). 2. Untersuchung an der Stelle \(x = 0\): Es gilt \(f''(0) = 6 \cdot 0^2 - 6 = -6\). Da der Funktionswert ungleich Null ist und die Funktion stetig ist, liegt kein Vorzeichenwechsel vor. 3. Untersuchung an der Stelle \(x = 1\): Es gilt \(f''(1) = 6 \cdot 1^2 - 6 = 0\). Da \(f''(x) = 6(x^2 - 1) = 6(x - 1)(x + 1)\) an der Stelle \(x = 1\) eine Nullstelle mit ungerader Vielfachheit (einfache Nullstelle) besitzt, findet ein Vorzeichenwechsel statt (von Minus nach Plus).

An der Stelle \(x = 0\) liegt kein Vorzeichenwechsel vor (\(f''(0) = -6\)). An der Stelle \(x = 1\) liegt ein Vorzeichenwechsel vor (\(f''(1) = 0\) und \(f''\) ist eine Parabel mit Nullstellen bei \(\pm 1\)).

- Welche Ableitung beschreibt die Wachstumsrate \(V'\), und was bedeutet ein Maximum dieser Größe? - Welche notwendige Ableitungsbedingung gilt an einem inneren Maximum einer differenzierbaren Funktion? - Beschreibe die Krümmung über die Frage, ob die Tangentensteigung zu- oder abnimmt.

1. Die Wachstumsrate ist \(V'\). Da \(V'\) vor \(t_w\) zunimmt und danach abnimmt, besitzt \(V'\) bei \(t_w\) ein lokales Maximum. Damit wechselt die Krümmung von \(V\); \(W(t_w|V(t_w))\) ist ein Wendepunkt. 2. Ist \(V\) zweimal differenzierbar, so ist \(V''\) die Ableitung von \(V'\). Am inneren Maximum von \(V'\) gilt daher notwendig \(V''(t_w)=0\). 3. Vor \(t_w\) nimmt \(V'\) zu. Daher ist der Graph von \(V\) dort linksgekrümmt. Nach \(t_w\) nimmt \(V'\) ab; dort ist der Graph von \(V\) rechtsgekrümmt. Diese Krümmungsaussagen folgen aus der Monotonie von \(V'\) und erfordern nicht die zusätzliche Behauptung, dass \(V''\) an jedem einzelnen Nachbarpunkt strikt positiv beziehungsweise strikt negativ sein müsse.

1. \(t_w\) ist die Stelle eines Wendepunkts von \(V\). 2. Notwendig gilt \(V''(t_w)=0\). 3. Vor \(t_w\) ist \(V\) linksgekrümmt, weil \(V'\) zunimmt; nach \(t_w\) ist \(V\) rechtsgekrümmt, weil \(V'\) abnimmt.

- Untersuche, auf welchen Abschnitten der Graph von \(f'\) zunimmt und auf welchen er abnimmt. - Wie hängt die Monotonie von \(f'\) mit dem Vorzeichen von \(f''\) und der Krümmung von \(f\) zusammen? - An welchen Stellen ändert der Graph von \(f'\) seine Monotonie?

1. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wenn \(f'\) zunimmt, und rechtsgekrümmt, wenn \(f'\) abnimmt. 2. Im dargestellten Bereich nimmt \(f'\) für \(-5\le x<-1\) und für \(3<x\le6\) zu. Daher ist \(f\) auf \([-5;-1)\) und \((3;6]\) linksgekrümmt. 3. Für \(-1<x<3\) nimmt \(f'\) ab. Daher ist \(f\) auf \((-1;3)\) rechtsgekrümmt. 4. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt \(f'\) lokale Extremstellen; dort wechselt die Monotonie von \(f'\) und damit die Krümmung von \(f\). Somit liegen dort die Wendestellen von \(f\).

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-5;-1)\) und \((3;6]\) linksgekrümmt sowie auf \((-1;3)\) rechtsgekrümmt. b) Die Wendestellen liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\).

- Welche besonderen Punkte kannst du im Graphen erkennen? - Wo zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt ändert sich die Krümmung des kubischen Graphen? - Vergleiche die Form des Graphen links und rechts von dieser Stelle.

1. Der Hochpunkt \(H(1\mid3)\) und der Tiefpunkt \(T(3\mid-1)\) liegen punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Daher ist \(W(2\mid1)\). 2. Im dargestellten Bereich \([0;4]\) ist der Graph für \(0\le x<2\) rechtsgekrümmt. 3. Für \(2<x\le4\) ist der Graph linksgekrümmt. Die Wendestelle selbst gehört zu keinem der beiden Krümmungsintervalle.

a) Rechtsgekrümmt auf \([0;2)\). b) Linksgekrümmt auf \((2;4]\). c) \(W(2\mid1)\)

- Welche Information über \(f(x)\) liefert die Lage des Punktes oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Wie erkennst du am Verlauf des Graphen das Vorzeichen von \(f'(x)\)? - Welche Vorzeichen von \(f''(x)\) gehören zu linksgekrümmten beziehungsweise rechtsgekrümmten Graphabschnitten? - Was ist an einer Wendestelle mit der Krümmung besonders?

1. Punkt \(A\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse, der Graph nimmt dort zu und ist rechtsgekrümmt. Daher gilt \(f(x_A)<0\), \(f'(x_A)>0\) und \(f''(x_A)<0\). 2. Punkt \(B\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse an einem lokalen Maximum; der Graph ist dort rechtsgekrümmt. Daher gilt \(f(x_B)>0\), \(f'(x_B)=0\) und \(f''(x_B)<0\). 3. Punkt \(C\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse; der Graph nimmt dort ab und wechselt seine Krümmung. Daher gilt \(f(x_C)>0\), \(f'(x_C)<0\) und \(f''(x_C)=0\). 4. Punkt \(D\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse an einem lokalen Minimum; der Graph ist dort linksgekrümmt. Daher gilt \(f(x_D)<0\), \(f'(x_D)=0\) und \(f''(x_D)>0\).

<table border="1" style="border-collapse: collapse; text-align: center;"> <thead> <tr><th>Punkt</th><th>\(f(x)\)</th><th>\(f'(x)\)</th><th>\(f''(x)\)</th></tr> </thead> <tbody> <tr><td>\(A\)</td><td>negativ</td><td>positiv</td><td>negativ</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>positiv</td><td>null</td><td>negativ</td></tr> <tr><td>\(C\)</td><td>positiv</td><td>negativ</td><td>null</td></tr> <tr><td>\(D\)</td><td>negativ</td><td>null</td><td>positiv</td></tr> </tbody> </table>

- Achte darauf, an welcher Stelle sich die Krümmungsrichtung des Graphen ändert. - Lies die Höhe des Wendepunkts nur mit der Genauigkeit ab, die das Raster zulässt. - Welches Vorzeichen hat \(f''\) bei Rechtskrümmung und welches bei Linkskrümmung?

1. Der Krümmungswechsel liegt bei \(x=1\). Links davon ist der Graph im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt, rechts davon linksgekrümmt. 2. Aus dem Raster liest man \(x_W=1\) und für die Höhe näherungsweise \(y_W\approx1\) ab. Damit ist \(W\approx(1|1)\). 3. Bei Rechtskrümmung gilt \(f''(x)<0\), bei Linkskrümmung gilt \(f''(x)>0\). Daher ist \(f''(-1)<0\) und \(f''(3)>0\).

a) Im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt für \(x<1\), linksgekrümmt für \(x>1\). b) \(W\approx(1|1)\). c) \(f''(-1)<0\) und \(f''(3)>0\).

- Welche markierten Punktarten besitzen beide eine waagerechte Tangente? - Vergleiche die Monotonierichtung von \(f\) links und rechts der beiden Stellen. - Woran erkennst du zusätzlich, dass die zweite waagerechte Stelle ein Wendepunkt ist?

1. Aus der Grafik liest man \(T(-2|-3)\) und den Terrassenpunkt \(S(0|-1)\) ab. 2. An beiden Stellen besitzt der Graph eine waagerechte Tangente. Daher gilt \(f'(-2)=0\) und \(f'(0)=0\). 3. Bei \(x=-2\) fällt der Graph links der Stelle und steigt rechts davon. Somit wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; dort liegt ein Tiefpunkt vor. 4. Bei \(x=0\) steigt der Graph auf beiden Seiten, daher wechselt \(f'\) nicht das Vorzeichen. Zusätzlich ist dort ein Krümmungswechsel sichtbar. Damit ist \(S\) ein Terrassenpunkt.

a) \(T(-2|-3)\), \(S(0|-1)\) b) \(f'(-2)=0\), \(f'(0)=0\) c) Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; bei \(x=0\) bleibt \(f'\) auf beiden Seiten positiv und der Graph wechselt die Krümmung.

- Suche die Stellen, an denen sich die Krümmungsrichtung des Graphen ändert. - Beschreibe anschließend die Krümmung in den drei dadurch entstehenden Bereichen. - Lies die Höhen der Wendepunkte nur mit der Genauigkeit ab, die das Raster zulässt.

1. Die Krümmungsrichtung wechselt bei \(x=-1\) und \(x=1\). 2. Im dargestellten Bereich ist der Graph für \(x<-1\) und \(x>1\) linksgekrümmt und für \(-1<x<1\) rechtsgekrümmt. 3. Aus dem Raster liest man die Wendepunkte näherungsweise als \(W_1\approx(-1|1)\) und \(W_2\approx(1|3)\) ab.

a) Im dargestellten Bereich linksgekrümmt für \(x<-1\) und \(x>1\); rechtsgekrümmt für \(-1<x<1\). b) \(W_1\approx(-1|1)\), \(W_2\approx(1|3)\).

- Achte darauf, wo sich die Krümmungsrichtung des Graphen ändert. - Beschreibe die Krümmung links und rechts von dieser Stelle. - Lies die Höhe des Wendepunkts nur mit der Genauigkeit ab, die das Raster zulässt.

1. Im dargestellten Intervall ändert sich die Krümmungsrichtung bei \(x=2\). 2. Daher ist der Graph für \(-1\le x<2\) linksgekrümmt und für \(2<x\le6\) rechtsgekrümmt. 3. Aus dem Raster liest man für die Höhe des Wendepunkts näherungsweise \(y\approx3\) ab. Somit ist \(W\approx(2|3)\).

a) Linksgekrümmt für \(-1\le x<2\), rechtsgekrümmt für \(2<x\le6\). b) \(W\approx(2|3)\).

- Welche Aussage über \(f\) folgt aus dem Vorzeichen von \(f'\) im Inneren eines Intervalls? - Achte bei einer Nullstelle von \(f'\) auf die Richtung des Vorzeichenwechsels. - Wie hängt die Krümmung von \(f\) mit dem Zu- oder Abnehmen von \(f'\) zusammen?

1. Aussage a) ist wahr. Für \(1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\); an den Randstellen \(x=1\) und \(x=3\) ist \(f'(x)=0\). Daher ist \(f\) auf \([1;3]\) streng monoton abnehmend. 2. Aussage b) ist wahr. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 3. Aussage c) ist falsch. Bei \(x=0\) nimmt \(f'\) ab, also gilt \(f''(0)<0\). Daher ist der Graph von \(f\) dort rechtsgekrümmt.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch

- Wie hängen die Steigung der Ableitungsfunktion \(f'\) und die Krümmung der Ausgangsfunktion \(f\) zusammen? - Was kannst du über die Krümmung von \(f\) sagen, wenn \(f'\) in einem Bereich zunimmt oder abnimmt? - Wendestellen sind Stellen, an denen sich die Krümmung ändert. Wo findet man diese im Graphen der Ableitung?

1. Wendestellen von \(f\) liegen dort, wo \(f'\) zwischen Zunehmen und Abnehmen wechselt, also an lokalen Extremstellen von \(f'\). 2. Aus dem Graphen von \(f'\) erkennt man solche Stellen bei \(x=-2\) und \(x=2\). 3. \(f'\) nimmt im dargestellten Bereich auf \([-4;-2[\) und \(]2;4]\) zu; dort ist \(f\) linksgekrümmt. Auf \(]-2;2[\) nimmt \(f'\) ab; dort ist \(f\) rechtsgekrümmt. 4. An \(x=-2\) und \(x=2\) wechselt die Krümmungsrichtung, daher sind dies Wendestellen.

Wendestellen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Im dargestellten Bereich linksgekrümmt auf \([-4;-2[\) und \(]2;4]\), rechtsgekrümmt auf \(]-2;2[\).

- Ein lokales Extremum erkennst du an einem „Berg“ oder einem „Tal“ im Graphen. - Ein Terrassenpunkt hat eine waagerechte Tangente, aber der Graph steigt oder fällt davor und danach in die gleiche Richtung. - Erinnere dich daran, dass die Ableitung \(f'(x)\) die Steigung der Tangente an den Graphen angibt. - Überlege dir, ob der Graph vor und nach einem Punkt steigt oder fällt.

1. Aus dem Graphen liest man näherungsweise den Tiefpunkt \(T(-5 \mid -2)\), den Hochpunkt \(H(-1 \mid 2)\) und den Terrassenpunkt \(S(3 \mid 0{,}8)\) ab. 2. Beim Tiefpunkt \(T\) fällt der Graph links von \(x = -5\) und steigt rechts davon. Daher wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. 3. Beim Hochpunkt \(H\) steigt der Graph links von \(x = -1\) und fällt rechts davon. Daher wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. 4. Beim Punkt \(S\) fällt der Graph auf beiden Seiten von \(x = 3\). Deshalb ist \(f'(3) = 0\), aber \(f'\) wechselt das Vorzeichen nicht. Zusätzlich ist am Graphen ein Wechsel der Krümmung erkennbar. Erst diese Kombination begründet die Einordnung als Terrassenpunkt.

a) \(T \approx (-5 \mid -2)\), \(H \approx (-1 \mid 2)\), \(S \approx (3 \mid 0{,}8)\). b) Bei \(T\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; bei \(H\) von positiv zu negativ. Bei \(S\) bleibt \(f'\) negativ, während der Graph zusätzlich seine Krümmung wechselt.

- Welche Bedeutung hat das Vorzeichen von \(f''\) für die Krümmung von \(f\)? - Welche Nullstellen von \(f''\) führen tatsächlich zu Wendestellen? - Suche die Bereiche, in denen der Graph von \(f''\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Die Nullstellen von \(f''\) mit Vorzeichenwechsel liegen bei \(x=-4\), \(x=0\) und \(x=4\). Daher liegen dort Wendestellen von \(f\). 2. Im dargestellten Bereich \([-6;6]\) gilt \(f''(x)<0\) auf \([-6;-4)\) und \((0;4)\). Dort ist der Graph von \(f\) rechtsgekrümmt.

Wendestellen bei \(x=-4\), \(x=0\) und \(x=4\). Rechtsgekrümmt auf \([-6;-4)\) und \((0;4)\).

- Wo ändert der Graph sichtbar seine Krümmungsart? - Welche Rolle spielt die Nullstelle von \(g''\)? - Prüfe das Vorzeichen von \(g''\) links und rechts dieser Stelle.

1. Es gilt \(g'(x)=\frac{1}{2}x^2-2x\) und \(g''(x)=x-2\). 2. Aus \(g''(x)=0\) folgt \(x=2\). Dort ändert sich die Krümmung. 3. Für \(x<2\) gilt \(g''(x)<0\), also ist der Graph rechtsgekrümmt. Für \(x>2\) gilt \(g''(x)>0\), also ist er linksgekrümmt.

a) Im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt auf \([-1;2)\), linksgekrümmt auf \((2;5]\); Krümmungswechsel bei \(x=2\). b) Global rechtsgekrümmt auf \(( -\infty;2)\) und linksgekrümmt auf \((2;\infty)\).

- Wo ändert sich die Art der Krümmung? - Nimmt die Tangentensteigung in einem Bereich zu oder ab? - Wie hängt dieses Verhalten mit Links- beziehungsweise Rechtskrümmung zusammen?

1. Der Krümmungswechsel liegt bei \(x=1\). 2. Im dargestellten Bereich \([-3;5]\) ist der Graph auf \([-3;1)\) linksgekrümmt und auf \((1;5]\) rechtsgekrümmt.

Linksgekrümmt auf \([-3;1)\); rechtsgekrümmt auf \((1;5]\).

- Suche die Stellen, an denen der Graph seine Krümmung ändert. - Die Wendestellen trennen die Krümmungsintervalle. - Ordne jedem offenen Teilintervall eine Krümmungsart zu.

1. Die Wendestellen liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\). 2. Im dargestellten Bereich \([-6;6]\) ist der Graph auf \([-6;-2)\) und \((2;6]\) linksgekrümmt sowie auf \((-2;2)\) rechtsgekrümmt.

Linksgekrümmt auf \([-6;-2)\) und \((2;6]\); rechtsgekrümmt auf \((-2;2)\).

- Nutze die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus. - Entscheide die Krümmungsrichtung über das Vorzeichen der zweiten Ableitung. - Prüfe bei den Randpunkten gesondert, ob dort die strenge Vorzeichenbedingung erfüllt ist.

1. Es gilt \(f'(x)=2\cos(x)\) und \(f''(x)=-2\sin(x)\). 2. Für \(-\pi<x<0\) ist \(\sin(x)<0\), also \(f''(x)>0\). Der Graph ist dort linksgekrümmt. 3. Für \(0<x<\pi\) ist \(\sin(x)>0\), also \(f''(x)<0\). Der Graph ist dort rechtsgekrümmt. 4. Bei \(x=0\) wechselt \(f''\) von positiv zu negativ; dort liegt eine Wendestelle. An den Randpunkten \(\pm\pi\) ist \(f''=0\), sie gehören daher nicht zu den streng gekrümmten offenen Teilintervallen.

a) \(f''(x)=-2\sin(x)\) b) Linksgekrümmt auf \(( -\pi;0)\); rechtsgekrümmt auf \((0;\pi)\); Wendestelle \(x=0\). c) Der dargestellte Graph zeigt denselben Krümmungswechsel bei \(x=0\).

- Vergleiche für die Funktionswerte die Höhen der markierten Punkte. - Die Steigung an einer Stelle entspricht der Steilheit der Tangente. - Überlege dir bei der Krümmung, in welche Richtung die Kurve gebogen ist. - Achte bei der Steigung auf das Vorzeichen: Eine stark fallende Kurve hat eine sehr kleine, stark negative Steigung.

1. Analyse der Funktionswerte \(f(x)\): Durch Vergleich der Höhen erkennt man, dass die Funktion an den Stellen \(x_1\) und \(x_7\) die höchsten markierten Werte erreicht. Die tiefsten markierten Werte liegen an den lokalen Minima bei \(x_2\) und \(x_6\) vor. 2. Analyse der Steigung \(f'(x)\): Die Steigung ist am größten, wo der Graph am steilsten ansteigt. Dies ist bei \(x_7\) der Fall. Am kleinsten ist die Steigung dort, wo der Graph am steilsten fällt, also bei \(x_1\). 3. Analyse der Krümmung \(f''(x)\): Eine Rechtskrümmung (\(f''(x) < 0\)) liegt im Bereich des lokalen Maximums vor. Von den markierten Stellen trifft dies auf \(x_4\) zu. Die Stellen \(x_3\) und \(x_5\) sind näherungsweise Wendestellen.

a) Am größten ist \(f(x)\) bei \(x_1\) und \(x_7\), am kleinsten bei \(x_2\) und \(x_6\). b) Am größten ist \(f'(x)\) bei \(x_7\), am kleinsten bei \(x_1\). c) Rechtsgekrümmt ist der Graph bei \(x_4\).

- Liegt der jeweilige Punkt oberhalb, auf oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Was sagt die Tangentenrichtung über das Vorzeichen von \(f'\) aus? - Welche Krümmungsart gehört zu einem positiven Wert von \(f''\)?

1. Punkt \(A(1\mid0)\): Der Punkt liegt auf der \(x\)-Achse, also ist \(f(1)=0\). Die Tangente fällt, daher ist \(f'(1)<0\). Der Graph ist linksgekrümmt, also ist \(f''(1)>0\). 2. Punkt \(B(2\mid-0{,}5)\): Der Punkt liegt unterhalb der \(x\)-Achse, also ist \(f(2)<0\). Die Tangente verläuft waagrecht, daher ist \(f'(2)=0\). Der Graph ist linksgekrümmt, also ist \(f''(2)>0\). 3. Punkt \(C(3\mid0)\): Der Punkt liegt auf der \(x\)-Achse, also ist \(f(3)=0\). Der Graph steigt, daher ist \(f'(3)>0\). Die Linkskrümmung bleibt erhalten, also ist \(f''(3)>0\).

<table> <tr><th>Punkt</th><th>\(f(x)\)</th><th>\(f'(x)\)</th><th>\(f''(x)\)</th></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(0\)</td><td>\(-\)</td><td>\(+\)</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(-\)</td><td>\(0\)</td><td>\(+\)</td></tr> <tr><td>\(C\)</td><td>\(0\)</td><td>\(+\)</td><td>\(+\)</td></tr> </table>

- Ein steigender Graph besitzt an der Stelle eine positive erste Ableitung. - Welches Vorzeichen von \(f''\) gehört zur Rechtskrümmung? - Wo verläuft die Tangente waagrecht?

1. Bei \(A\) steigt der Graph und ist rechtsgekrümmt. Daher gilt \(f'(x)>0\) und \(f''(x)<0\). 2. Bei \(B\) liegt die lokale Maximalstelle des Graphen. Die Tangente ist waagrecht, also gilt \(f'(x)=0\). 3. Bei \(C\) fällt der Graph und ist weiterhin rechtsgekrümmt. Daher gilt \(f'(x)<0\) und \(f''(x)<0\).

<table> <tr><th>Beschreibung</th><th>Punkt</th></tr> <tr><td>Der Graph steigt und ist rechtsgekrümmt.</td><td>\(A\)</td></tr> <tr><td>Der Graph hat eine waagrechte Tangente.</td><td>\(B\)</td></tr> <tr><td>Der Graph fällt und ist rechtsgekrümmt.</td><td>\(C\)</td></tr> </table>

- Liegt der Punkt oberhalb, auf oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Steigt oder fällt der Graph an der jeweiligen Stelle? - Welche Krümmungsart erkennst du an der Stelle, und welches Vorzeichen von \(f''\) gehört dazu?

1. Bei \(A(0\mid0)\) gilt \(f(0)=0\). Der Graph steigt und ist rechtsgekrümmt, daher gilt \(f'(0)>0\) und \(f''(0)<0\). 2. Bei \(B\) liegt eine lokale Maximalstelle. Der Funktionswert ist positiv, die Tangente ist waagrecht und der Graph ist rechtsgekrümmt. Daher gilt \(f(2)>0\), \(f'(2)=0\) und \(f''(2)<0\). 3. Bei \(C\) ist der Funktionswert positiv und der Graph fällt. Dort liegt eine Wendestelle mit Wechsel von Rechts- zu Linkskrümmung. Daher gilt \(f(4)>0\), \(f'(4)<0\) und \(f''(4)=0\).

\(A\): \(f(x)=0\), \(f'(x)>0\), \(f''(x)<0\) \(B\): \(f(x)>0\), \(f'(x)=0\), \(f''(x)<0\) \(C\): \(f(x)>0\), \(f'(x)<0\), \(f''(x)=0\)

- Lies zuerst ab, ob die Punkte oberhalb, auf oder unterhalb der \(x\)-Achse liegen. - Welche Steigung besitzt der Graph in jedem markierten Punkt? - Vergleiche die Krümmungsrichtung links und rechts von \(B\). - Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

1. Punkt \(A\): Es gilt \(f(x)=0\). Der Graph nimmt zu, also ist \(f'(x)>0\), und er ist rechtsgekrümmt, also ist \(f''(x)<0\). 2. Punkt \(B\): Es gilt \(f(x)>0\). Die Tangente ist waagerecht, daher ist \(f'(x)=0\). Außerdem wechselt der Graph dort von Rechts- zu Linkskrümmung; deshalb ist \(B\) ein Wendepunkt und es gilt \(f''(x)=0\). Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt Terrassenpunkt. 3. Punkt \(C\): Es gilt \(f(x)>0\). Der Graph nimmt zu, also ist \(f'(x)>0\), und er ist linksgekrümmt, also ist \(f''(x)>0\).

Punkt \(A\): \(f(x)=0\), \(f'(x)>0\), \(f''(x)<0\) Punkt \(B\): \(f(x)>0\), \(f'(x)=0\), \(f''(x)=0\); Terrassenpunkt Punkt \(C\): \(f(x)>0\), \(f'(x)>0\), \(f''(x)>0\)

- Wie verändert sich die Tangentensteigung während der Abkühlung? - Welcher Krümmungsart entspricht eine zunehmende Tangentensteigung? - Welches Vorzeichen besitzt dann die zweite Ableitung?

1. Der Graph fällt, wird dabei aber zunehmend flacher. Seine Tangentensteigung ist negativ, nimmt jedoch zu. 2. Damit ist der Graph im gesamten dargestellten Bereich linksgekrümmt. 3. Bei Linkskrümmung gilt \(T''(t)>0\). Daher ist die zweite Ableitung im gesamten dargestellten Bereich positiv.

Im gesamten dargestellten Bereich gilt \(T''(t)>0\), da der Graph linksgekrümmt ist.

- Steigt oder fällt der Graph an der jeweiligen Stelle? - Ist der Graph dort links- oder rechtsgekrümmt? - Übersetze diese beiden Beobachtungen in Vorzeichen von \(f'\) und \(f''\).

1. Bei \(A\) steigt der Graph und ist rechtsgekrümmt. Daher gilt \(f'(1)>0\) und \(f''(1)<0\). 2. Bei \(B\) fällt der Graph und ist linksgekrümmt. Daher gilt \(f'(5)<0\) und \(f''(5)>0\).

\(A\): \(f'(x)>0\) und \(f''(x)<0\) \(B\): \(f'(x)<0\) und \(f''(x)>0\)

- Wo hat der Graph „Hügel“ oder „Täler“, an denen die Tangente waagerecht liegt? - Was sagt die Art des Extrempunkts über die Krümmung und damit über die zweite Ableitung aus?

1. Waagerechte Tangenten liegen an den lokalen Extremstellen vor. Aus dem Graphen liest man ein lokales Maximum bei \(x_1 = 0\) und zwei lokale Minima bei \(x_2 \approx -2{,}2\) und \(x_3 \approx 2{,}2\) ab. Somit gilt dort jeweils \(f'(x) = 0\). 2. An der Stelle \(x = 0\) liegt ein lokales Maximum vor. Der Graph ist dort rechtsgekrümmt. 3. Daher ist die zweite Ableitung an dieser Stelle negativ: \(f''(0) < 0\).

Die erste Ableitung ist bei \(x = 0\), \(x \approx -2{,}2\) und \(x \approx 2{,}2\) null; außerdem gilt \(f''(0) < 0\).

- Welches besondere Merkmal weist der Graph im Punkt \(P\) auf? - Was bedeutet ein Hochpunkt für die Steigung und die Krümmung an dieser Stelle?

1. Der Punkt \(P(-2 \mid 1{,}6)\) ist ein lokaler Hochpunkt. 2. An einem Extrempunkt liegt eine waagerechte Tangente vor, daher gilt \(f'(-2) = 0\). 3. Da es sich um einen Hochpunkt handelt, ist der Graph in einer Umgebung von \(x = -2\) rechtsgekrümmt. Daher gilt \(f''(-2) < 0\).

An der Stelle \(x = -2\) gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f''(-2) < 0\).

- Wo ändert sich die Krümmungsart des Graphen? - Welches Vorzeichen von \(f''\) gehört zu Rechtskrümmung, welches zu Linkskrümmung?

1. Der Krümmungswechsel ist im Graphen ungefähr bei \(x=2\) zu erkennen. 2. Für \(x<2\) ist der Graph rechtsgekrümmt, also gilt \(f''(x)<0\). 3. Für \(x>2\) ist der Graph linksgekrümmt, also gilt \(f''(x)>0\). 4. Damit wechselt \(f''\) an der Wendestelle ungefähr bei \(x=2\) von Minus nach Plus.

Wendestelle ungefähr bei \(x=2\); \(f''\) wechselt dort von negativ zu positiv.

- Suche die Stellen, an denen sich die Krümmungsart sichtbar ändert. - Nutze die Symmetrie des Graphen als Kontrolle.

1. Die Wendestellen lassen sich ungefähr bei \(x\approx-1{,}4\) und \(x\approx1{,}4\) ablesen. 2. Im dargestellten Bereich \([-5;5]\) ist der Graph auf \((-1{,}4;1{,}4)\) linksgekrümmt sowie auf \([-5;-1{,}4)\) und \((1{,}4;5]\) rechtsgekrümmt.

Wendestellen ungefähr bei \(x\approx-1{,}4\) und \(x\approx1{,}4\). Linksgekrümmt auf \((-1{,}4;1{,}4)\); rechtsgekrümmt auf \([-5;-1{,}4)\) und \((1{,}4;5]\).

- Suche direkt nach sichtbaren Krümmungswechseln; eine wellenförmige Form allein bedeutet nicht Periodizität. - Prüfe für jedes Intervall zwischen zwei Wendepunkten die Krümmungsart.

1. Die Wendepunkte liegen näherungsweise bei \(W_1(-6\mid1{,}8)\), \(W_2(0\mid0)\) und \(W_3(6\mid-1{,}8)\). 2. Im dargestellten Bereich liegt Linkskrümmung näherungsweise auf \((-6;0)\) und \((6;10]\) vor.

Wendepunkte: \(W_1\approx(-6\mid1{,}8)\), \(W_2(0\mid0)\), \(W_3\approx(6\mid-1{,}8)\) Linkskrümmung: ungefähr auf \((-6;0)\) und \((6;10]\)

- Nimmt \(f'\) zu oder ab? - Welche Stellen von \(f'\) entsprechen Wendestellen von \(f\)? - Beschränke deine Aussagen auf den dargestellten Bereich.

1. Aussage 1 ist wahr. Auf \((-1;3)\) nimmt \(f'\) zu; daher gilt \(f''(x)>0\) und \(f\) ist linksgekrümmt. 2. Aussage 2 ist falsch. Wendestellen von \(f\) liegen an lokalen Extremstellen von \(f'\). Diese liegen hier bei \(x=-1\) und \(x=3\), nicht bei \(x=0\). 3. Aussage 3 ist wahr. Für \(3<x\le5{,}5\) nimmt \(f'\) ab; daher gilt \(f''(x)<0\) und \(f\) ist rechtsgekrümmt.

1. Wahr 2. Falsch 3. Wahr

- Suche die Stelle, an der der Graph am steilsten ansteigt. - Welche Ressourcen oder Flächen sind in einer Petrischale begrenzt?

1. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist dort maximal, wo die Tangentensteigung von \(A\) am größten ist. Aus dem Graphen liest man dafür \(t=10\,\text{h}\) ab. 2. Eine Sättigungsgrenze kann im Modell durch die endliche Fläche der Petrischale, begrenzte Nährstoffe oder andere limitierende Bedingungen entstehen.

a) Nach \(10\,\text{h}\). b) Zum Beispiel begrenzter Platz, begrenzte Nährstoffe oder andere limitierende Bedingungen.

- Suche zuerst die beiden Talstellen des Graphen und nutze nur die geforderte Rastergenauigkeit. - Wo wechselt der Graph zwischen Links- und Rechtskrümmung? - Die Anzahl der Krümmungswechsel entspricht hier der Anzahl der Wendepunkte.

1. Die beiden lokalen Minima liegen im Raster ungefähr bei \(x\approx-1{,}5\) und \(x\approx1{,}5\). 2. Die Krümmungsrichtung wechselt bei \(x=-1\) und \(x=1\). Zwischen diesen Stellen ist der Graph rechtsgekrümmt. 3. Da der Graph zweimal seine Krümmungsrichtung ändert, besitzt er zwei Wendepunkte.

a) Näherungsweise \(x\approx-1{,}5\) und \(x\approx1{,}5\). b) Rechtsgekrümmt für \(-1<x<1\). c) Zwei Wendepunkte; die Wendestellen liegen bei \(x=-1\) und \(x=1\).

- Suche für \(f'\) nach Stellen mit waagrechter Tangente. - Prüfe für \(f''\), ob sich die Krümmungsart innerhalb eines zusammenhängenden Graphenastes ändert. - Eine Definitionslücke ist keine Wendestelle.

1. Der Graph von \(f\) nimmt auf beiden Teilintervallen seines Definitionsbereichs ab und besitzt keine waagrechte Tangente. Daher hat \(f'\) keine Nullstelle. 2. In jedem der beiden Graphenäste bleibt die Krümmungsart gleich; innerhalb des Definitionsbereichs gibt es keine Wendestelle. Daher hat \(f''\) ebenfalls keine Nullstelle.

\(f'\) hat \(0\) Nullstellen und \(f''\) hat \(0\) Nullstellen.

- Wie berechnet man den Wert einer Größe zu einem bestimmten Zeitpunkt, wenn die Funktion die Gesamtsumme angibt? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen der durchschnittlichen Steigung in einem Intervall und der Steigung in einem Punkt. - Welcher mathematische Fachbegriff beschreibt die „Steigung der Steigung“ und wo findet man die steilste Stelle einer Kurve? - Überlege, welche Ableitung die Änderungsrate einer Funktion darstellt.

1. Berechnung der Gesamtmenge zum Zeitpunkt \(t = 20\): \(G(20) = -0{,}05 \cdot 20^3 + 1{,}5 \cdot 20^2 + 10 \cdot 20 = -400 + 600 + 200 = 400\). In den ersten \(20\) Stunden wurden insgesamt \(400\,\text{m}^3\) Gas produziert. 2. Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate im Intervall \([4; 12]\) mithilfe des Differenzenquotienten: \(G(12) = -0{,}05 \cdot 12^3 + 1{,}5 \cdot 12^2 + 10 \cdot 12 = 249{,}6\) und \(G(4) = -0{,}05 \cdot 4^3 + 1{,}5 \cdot 4^2 + 10 \cdot 4 = 60{,}8\). Die mittlere Rate beträgt \(\frac{G(12) - G(4)}{12 - 4} = \frac{249{,}6 - 60{,}8}{8} = \frac{188{,}8}{8} = 23{,}6\). Die durchschnittliche Produktionsrate liegt bei \(23{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). 3. Die momentane Produktionsrate wird durch die erste Ableitung \(G'(t) = -0{,}15t^2 + 3t + 10\) beschrieben. Ihr Maximum liegt an der Wendestelle von \(G\). Bestimmung der zweiten Ableitung: \(G''(t) = -0{,}3t + 3\). Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(-0{,}3t + 3 = 0 \Rightarrow t = 10\). Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(G'''(t) = -0{,}3\). Da \(G'''(10) < 0\), liegt an der Stelle \(t = 10\) ein Maximum der Steigung vor. Die Produktionsrate ist nach \(10\) Stunden am größten.

a) Es wurden insgesamt \(400\,\text{m}^3\) Gas produziert. b) Die durchschnittliche Produktionsrate beträgt \(23{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). c) Die momentane Produktionsrate ist zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{h}\) am größten.

- Welches Vorzeichen von \(f''\) kennzeichnet Linkskrümmung? - Welche hinreichenden Ableitungsbedingungen kannst du nutzen, um eine lokale Maximalstelle nachzuweisen? - Bestimme zuerst \(f'\) und \(f''\), bevor du \(x=1\) einsetzt.

1. Es gilt \(f'(x)=x^2-4x+3\) und \(f''(x)=2x-4\). 2. Für \(x>2\) gilt \(f''(x)=2x-4>0\). Daher ist der Graph in diesem Bereich linksgekrümmt. 3. Für \(x=1\) gilt \(f'(1)=0\) und \(f''(1)=-2<0\). Nach dem hinreichenden Kriterium mit der zweiten Ableitung besitzt \(f\) bei \(x=1\) eine lokale Maximalstelle.

a) \(f''(x)=2x-4>0\) für \(x>2\); daher ist der Graph dort linksgekrümmt. b) \(f'(1)=0\) und \(f''(1)=-2<0\); daher besitzt \(f\) bei \(x=1\) eine lokale Maximalstelle.

- Wie hängen die Monotonie von \(f'\) und die Krümmung von \(f\) zusammen? - Unterscheide notwendige von hinreichenden Bedingungen für Wendestellen. - Welches Gegenbeispiel zeigt, dass \(f''(x_0)=0\) allein nicht genügt?

1. Aussage a) ist wahr: Aus \(f''(x)>0\) folgt, dass \(f'\) zunimmt; der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt. 2. Aussage b) ist wahr: Bei einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion ist \(f''(x_0)=0\) eine notwendige Bedingung für eine Wendestelle. 3. Aussage c) ist falsch: Eine Nullstelle von \(f''\) genügt nicht. Bei \(f(x)=x^4\) gilt \(f''(0)=0\), aber \(f''\) wechselt dort nicht das Vorzeichen; es liegt keine Wendestelle vor. 4. Aussage d) ist wahr: Wenn \(f'\) streng monoton abnimmt, nehmen die Tangentensteigungen mit wachsendem \(x\) ab; das entspricht Rechtskrümmung.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Für welche \(x\)-Werte ist \(f''\) negativ beziehungsweise positiv? - Welche Änderung des Vorzeichens von \(f''\) kennzeichnet eine Wendestelle? - Welche zusätzliche Eigenschaft macht aus einer Wendestelle einen Terrassenpunkt?

1. Aus \(0{,}5x-2=0\) folgt \(x=4\). 2. Für \(x<4\) gilt \(f''(x)<0\), also ist der Graph rechtsgekrümmt. Für \(x>4\) gilt \(f''(x)>0\), also ist er linksgekrümmt. 3. Bei \(x=4\) wechselt \(f''\) von negativ zu positiv. Daher liegt dort eine Wendestelle vor. 4. Gilt zusätzlich \(f'(4)=0\), so besitzt die Wendestelle eine waagerechte Tangente. Damit liegt ein Terrassenpunkt vor.

a) Rechtsgekrümmt für \(x<4\); linksgekrümmt für \(x>4\). b) Bei \(x=4\) wechselt \(f''\) das Vorzeichen; daher liegt eine Wendestelle vor. c) Bei zusätzlichem \(f'(4)=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor.

- Welche Vorzeichen von \(f''\) kennzeichnen Rechtskrümmung? - An welchen Nullstellen von \(f''\) ändert sich das Monotonieverhalten von \(f'\)? - Welches hinreichende Kriterium mit \(f'\) und \(f''\) kannst du in c) nutzen?

1. Die Nullstellen von \(f''\) sind \(x=-4\), \(x=-1\) und \(x=2\). Die Vorzeichenfolge von \(f''\) ist negativ, positiv, negativ, positiv. Daher ist der Graph auf \(( -\infty;-4)\) und \((-1;2)\) rechtsgekrümmt. 2. An allen drei einfachen Nullstellen von \(f''\) wechselt das Vorzeichen. Daher besitzt \(f'\) bei \(x=-4\), \(x=-1\) und \(x=2\) Extremstellen. 3. Es gilt \(f''(-5)=-28<0\). Zusammen mit \(f'(-5)=0\) folgt eine lokale Maximalstelle bei \(x=-5\). 4. Es gilt \(f''(3)=28>0\). Zusammen mit \(f'(3)=0\) folgt eine lokale Minimalstelle bei \(x=3\).

a) Rechtsgekrümmt für \(x<-4\) und \(-1<x<2\). b) Extremstellen von \(f'\) bei \(x=-4\), \(x=-1\), \(x=2\). c) Lokale Maximalstelle bei \(x=-5\); lokale Minimalstelle bei \(x=3\).

- Prüfe für a) nicht nur \(f''(0)=0\), sondern auch das Vorzeichen von \(f''\) links und rechts davon. - Welche Vorzeichen von \(f''\) kennzeichnen Linkskrümmung? - Welches hinreichende Kriterium mit \(f'\) und \(f''\) kannst du in c) verwenden?

1. Es gilt \(f''(0)=0\). Weiter ist \(f''(-1)=-7{,}5<0\) und \(f''(1)=7{,}5>0\). Daher wechselt \(f''\) bei \(x=0\) von negativ zu positiv; dort liegt eine Wendestelle vor. 2. Die Nullstellen von \(f''\) sind \(x=-4\), \(x=0\) und \(x=4\). Die Vorzeichenanalyse ergibt \(f''(x)>0\) für \(x<-4\) und \(0<x<4\). Daher ist der Graph dort linksgekrümmt. 3. Es gilt \(f''(-2)=-12<0\). Zusammen mit \(f'(-2)=0\) folgt eine lokale Maximalstelle bei \(x=-2\). 4. Es gilt \(f''(2)=12>0\). Zusammen mit \(f'(2)=0\) folgt eine lokale Minimalstelle bei \(x=2\).

a) Bei \(x=0\) liegt wegen des Vorzeichenwechsels von \(f''\) eine Wendestelle vor. b) Linksgekrümmt für \(x<-4\) und \(0<x<4\). c) Lokale Maximalstelle bei \(x=-2\); lokale Minimalstelle bei \(x=2\).

- Berechne zuerst die zweite Ableitung der Funktion. - Wann hat eine quadratische Gleichung der Form \(ax^2 + c = 0\) keine, eine oder zwei Lösungen? - Überlege dir, ob an den Nullstellen der zweiten Ableitung tatsächlich ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Was bedeutet es für den Graphen von \(f_k''\), wenn \(k\) positiv, null oder negativ ist?

1. Die Ableitungen berechnen: \(f_k'(x) = 4x^3 + 2kx\) und \(f_k''(x) = 12x^2 + 2k\). 2. Für eine Änderung des Krümmungsverhaltens muss \(f_k''(x)\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzen. Die Gleichung \(12x^2 + 2k = 0\) führt auf \(x^2 = -\frac{k}{6}\). 3. Fall \(k > 0\): Der Ausdruck \(-\frac{k}{6}\) ist negativ. Die Gleichung \(x^2 = -\frac{k}{6}\) hat keine reellen Lösungen. Somit ist \(f_k''(x) > 0\) für alle \(x\), und das Krümmungsverhalten ändert sich nicht (der Graph ist überall linksgekrümmt). 4. Fall \(k = 0\): \(f_0''(x) = 12x^2\). Es gibt eine Nullstelle bei \(x = 0\), aber ohne Vorzeichenwechsel (da \(x^2 \geq 0\)). Das Krümmungsverhalten ändert sich nicht. 5. Fall \(k < 0\): Der Ausdruck \(-\frac{k}{6}\) ist positiv. Es gibt zwei Nullstellen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{k}{6}}\). Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit zwei Nullstellen handelt, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt. Es gibt genau zwei Wendestellen.

a) \(f_k''(x) = 12x^2 + 2k\) b) Für \(k \geq 0\) ändert sich das Krümmungsverhalten nicht. c) Für \(k \geq 0\) gibt es keine Wendestellen; für \(k < 0\) gibt es genau zwei Wendestellen.

- Welche Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung eines Graphen? - Wie hängen das Vorzeichen dieser Ableitung und die Art der Krümmung (links oder rechts) zusammen? - Was passiert mit der Krümmung an einem Wendepunkt? - Wie rechnet man die zugehörigen Funktionswerte (y-Koordinaten) aus?

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 2\) und \(f''(x) = x^2 - 1\). 2. Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen: \(x^2 - 1 = 0\) liefert \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). Da \(f''(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt. 3. Krümmungsintervalle festlegen: Für \(x < -1\) ist \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung), für \(-1 < x < 1\) ist \(f''(x) < 0\) (Rechtskrümmung) und für \(x > 1\) ist \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung). 4. Wendepunkte berechnen: Die Funktionswerte an den Stellen \(x_1\) und \(x_2\) bestimmen: \(f(-1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{29}{12}\) und \(f(1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{19}{12}\). Die Wendepunkte liegen bei \(W_1(-1 \mid -\frac{29}{12})\) und \(W_2(1 \mid \frac{19}{12})\).

1. Der Graph ist linksgekrümmt für \(x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\) und rechtsgekrümmt für \(x \in (-1; 1)\). 2. Die Wendepunkte sind \(W_1(-1 \mid -\frac{29}{12})\) und \(W_2(1 \mid \frac{19}{12})\).

- Welche Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung einer Funktion? - Wie hängen das Vorzeichen der zweiten Ableitung und die Art der Krümmung zusammen? - An welchen Stellen kann ein Graph sein Krümmungsverhalten ändern? - Wie nutzt man die erste und zweite Ableitung, um Extrema zu finden und zu klassifizieren?

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 6kx\), \(f_k''(x) = 6x - 6k\), \(f_k'''(x) = 6\). 2. Wendestelle bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \implies 6x = 6k \implies x_W = k\). Da \(f_k''\) linear ist und genau eine Nullstelle besitzt sowie \(f_k'''(k) = 6 \neq 0\) gilt, ist \(x_W = k\) die einzige Wendestelle. 3. Krümmungsverhalten: Da die zweite Ableitung \(f_k''(x) = 6(x - k)\) eine lineare Funktion mit positiver Steigung ist, gilt \(f_k''(x) < 0\) für \(x < k\) (Rechtskrümmung) und \(f_k''(x) > 0\) für \(x > k\) (Linkskrümmung). Somit liegt ein Wechsel von Rechts- nach Linkskrümmung vor. 4. Extrema: \(f_k'(x) = 3x(x - 2k) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\). 5. Art und Lage der Extrema: \(f_k''(0) = -6k < 0\) und \(f_k(0) = 2\). Daher liegt der Hochpunkt bei \(H(0 \mid 2)\). Außerdem gilt \(f_k''(2k) = 6k > 0\) und \(f_k(2k) = 2 - 4k^3\). Daher liegt der Tiefpunkt bei \(T(2k \mid 2 - 4k^3)\).

a) Die einzige Stelle mit Krümmungswechsel ist die Wendestelle \(x_W = k\). b) Für \(x < k\) ist \(f_k''(x) < 0\) (Rechtskrümmung), für \(x > k\) ist \(f_k''(x) > 0\) (Linkskrümmung). c) Der Hochpunkt liegt bei \(H(0 \mid 2)\), der Tiefpunkt bei \(T(2k \mid 2 - 4k^3)\).

- Erinnere dich an die notwendige und hinreichende Bedingung für Wendestellen. - Wie verhält sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung bei einer Rechts- bzw. Linkskrümmung? - Um ein Extremum nachzuweisen, betrachte die erste Ableitung für die Steigung null und die zweite Ableitung für die Art des Extremums.

1. Ableitungen berechnen: \(h_a'(x) = ax^2 - 4x\), \(h_a''(x) = 2ax - 4\), \(h_a'''(x) = 2a\). 2. Wendestelle nachweisen: \(h_a''(x) = 0 \implies 2ax = 4 \implies x_W = \frac{2}{a}\). Da \(a > 0\), ist \(h_a'''(\frac{2}{a}) = 2a \neq 0\), also liegt dort eine Wendestelle vor. 3. Krümmungsintervalle: Für \(x < \frac{2}{a}\) ist \(2ax < 4\), also \(h_a''(x) < 0\) (Rechtskrümmung). Für \(x > \frac{2}{a}\) ist \(2ax > 4\), also \(h_a''(x) > 0\) (Linkskrümmung). 4. Lokales Maximum: \(h_a'(0) = a \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 = 0\) und \(h_a''(0) = -4 < 0\). Damit ist bei \(x = 0\) ein lokales Maximum nachgewiesen. 5. Lokales Minimum: \(h_a'(x) = x(ax - 4) = 0\) liefert neben \(x = 0\) die Stelle \(x_{min} = \frac{4}{a}\). Wegen \(h_a''(\frac{4}{a}) = 2a(\frac{4}{a}) - 4 = 4 > 0\) liegt dort ein lokales Minimum vor.

a) Die Wendestelle ergibt sich aus \(h_a''(x) = 0\) zu \(x_W = \frac{2}{a}\). b) Für \(x < \frac{2}{a}\) ist der Graph rechtsgekrümmt, für \(x > \frac{2}{a}\) ist er linksgekrümmt. c) Das lokale Maximum liegt bei \(x = 0\) (da \(h_a''(0) = -4 < 0\)). Das lokale Minimum befindet sich an der Stelle \(x = \frac{4}{a}\).

- Welche Ableitung gibt Aufschluss über das Krümmungsverhalten eines Graphen? - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Wendestelle. - Wie kannst du mit der dritten Ableitung sicherstellen, dass tatsächlich ein Krümmungswechsel stattfindet? - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass quadratische Gleichungen zwei Lösungen haben können.

1. Berechnung der ersten drei Ableitungen der Funktion: \(f'(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x\) \(f''(x) = x^2 - 2\) \(f'''(x) = 2x\) 2. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung (notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\)): \(x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{1} = -\sqrt{2}\) und \(x_{2} = \sqrt{2}\) 3. Überprüfung der hinreichenden Bedingung (\(f'''(x) \neq 0\)): \(f'''(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} \neq 0\) \(f'''(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \neq 0\) Da an beiden Stellen die dritte Ableitung ungleich Null ist, liegen dort Wendestellen vor.

Die Wendestellen der Funktion \(f\) liegen bei \(x_1 = -\sqrt{2}\) und \(x_2 = \sqrt{2}\).

- Es kann hilfreich sein, den Funktionsterm zuerst auszumultiplizieren, bevor du mit dem Ableiten beginnst. - Welche Bedingung muss für die zweite Ableitung an einer Wendestelle gelten? - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer quadratischen Gleichung für die zweite Ableitung? - Vergiss nicht zu prüfen, ob an den berechneten Stellen wirklich ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vorliegt.

1. Ausmultiplizieren des Funktionsterms zur Vereinfachung der Ableitungsbildung: \(g(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^3 + 3x^2\) 2. Bestimmung der Ableitungen: \(g'(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x\) \(g''(x) = 3x^2 - 9x + 6\) \(g'''(x) = 6x - 9\) 3. Lösen der Gleichung \(g''(x) = 0\): \(3(x^2 - 3x + 2) = 0\) Anwendung der Mitternachtsformel oder des Satzes von Vieta ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(g'''(1) = 6 \cdot 1 - 9 = -3 \neq 0\) \(g'''(2) = 6 \cdot 2 - 9 = 3 \neq 0\) An beiden Stellen liegt ein Krümmungswechsel vor.

Die Funktion \(g\) besitzt Wendestellen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\).

- Welche Bedingung liefert zunächst eine mögliche Wendestelle, und wie kannst du sie hier absichern? - Wie erhältst du aus der Wendestelle den vollständigen Punkt und die Tangentensteigung? - Welche zusätzliche Bedingung an \(f'\) kennzeichnet einen Terrassenpunkt?

1. Es gilt \(f'(x)=\frac{1}{4}x^2-2x+3\), \(f''(x)=\frac{1}{2}x-2\) und \(f'''(x)=\frac{1}{2}\). 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x_W=4\). Wegen \(f'''(4)=\frac{1}{2}\ne0\) liegt dort eine Wendestelle vor. 3. Es gilt \(f(4)=\frac{1}{3}\). Daher ist der Wendepunkt \(W(4|\frac{1}{3})\). 4. Die Tangentensteigung beträgt \(f'(4)=-1\). 5. Da \(f'(4)\ne0\), ist der Wendepunkt kein Terrassenpunkt.

a) \(W(4|\frac{1}{3})\) b) \(m=-1\) c) Nein, denn \(f'(4)=-1\ne0\).

- Kann eine Funktion mehr als einen Wendepunkt haben? - Wie gehst du vor, um Stellen mit einer waagerechten Tangente zu finden? - Überlege dir, welche Eigenschaft die erste Ableitung an einem Terrassenpunkt haben muss. - Setze die gefundenen x-Werte in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinaten zu erhalten.

1. Erste drei Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = x^3 - 3x^2\), \(f''(x) = 3x^2 - 6x\), \(f'''(x) = 6x - 6\). 2. Wendestellen über \(f''(x) = 0\) suchen: \(3x(x - 2) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Hinreichende Bedingung \(f'''(x) \neq 0\) prüfen: \(f'''(0) = -6 \neq 0\) und \(f'''(2) = 6 \neq 0\). Beide Stellen sind Wendestellen. 4. Koordinaten berechnen: \(f(0) = 2 \implies W_1(0 \mid 2)\); \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 8 + 2 = -2 \implies W_2(2 \mid -2)\). 5. Tangentensteigungen berechnen: \(f'(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0\); \(f'(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4\). 6. Identifikation des Terrassenpunkts: \(W_1(0 \mid 2)\) ist ein Terrassenpunkt, da dort die Steigung \(f'(0) = 0\) ist. \(W_2(2 \mid -2)\) ist ein gewöhnlicher Wendepunkt mit Steigung \(-4\).

a) \(W_1(0 \mid 2)\) und \(W_2(2 \mid -2)\) b) Steigung in \(W_1\): \(m_1 = 0\); Steigung in \(W_2\): \(m_2 = -4\) c) \(W_1(0 \mid 2)\) ist ein Terrassenpunkt, da \(f'(0) = 0\).

- Welche Gleichung liefert mögliche Stellen eines Krümmungswechsels? - Welches Vorzeichen von \(g''\) kennzeichnet Linkskrümmung? - Was bedeutet \(g''>0\) für das Monotonieverhalten von \(g'\)?

1. Es gilt \(g'(x)=-\frac{1}{3}x^3+2x\) und \(g''(x)=-x^2+2\). 2. Aus \(g''(x)=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{2}\). 3. Zwischen diesen beiden Nullstellen gilt \(g''(x)>0\). Daher ist der Graph auf \(( -\sqrt{2};\sqrt{2})\) linksgekrümmt. 4. Weil \(g''\) dort positiv ist, ist \(g'\) in diesem Intervall streng monoton zunehmend. Die Tangentensteigung wird mit wachsendem \(x\) größer.

a) Krümmungswechsel bei \(x=-\sqrt{2}\) und \(x=\sqrt{2}\). b) Auf \(( -\sqrt{2};\sqrt{2})\) gilt \(g''(x)>0\); der Graph ist linksgekrümmt und \(g'\) streng monoton zunehmend.

- Welche Ableitungen benötigst du, um Wendestellen zu finden? - Wie lautet die notwendige Bedingung für eine Wendestelle? - Erinnerst du dich an die allgemeine Geradengleichung für eine Tangente an einem Punkt? - Wodurch zeichnet sich ein Terrassenpunkt im Vergleich zu einem gewöhnlichen Wendepunkt aus?

1. Erste drei Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x\), \(f''(x) = 3x^2 - 3\), \(f'''(x) = 6x\). 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen \(f''(x) = 0\) liefert \(3x^2 = 3\), also \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f'''(-1) = -6 \neq 0\) und \(f'''(1) = 6 \neq 0\). Es liegen zwei Wendepunkte vor. 4. Koordinaten berechnen: \(f(-1) = -1{,}25\) und \(f(1) = -1{,}25\). Die Wendepunkte sind \(W_1(-1 \mid -1{,}25)\) und \(W_2(1 \mid -1{,}25)\). 5. Steigungen berechnen: \(f'(-1) = 2\) und \(f'(1) = -2\). Da beide Steigungen ungleich Null sind, liegt kein Terrassenpunkt vor. 6. Wendetangenten aufstellen: Für \(W_1\) gilt \(y = 2(x + 1) - 1{,}25 = 2x + 0{,}75\). Für \(W_2\) gilt \(y = -2(x - 1) - 1{,}25 = -2x + 0{,}75\).

Wendepunkte: \(W_1(-1 \mid -1{,}25)\) und \(W_2(1 \mid -1{,}25)\). Wendetangenten: \(t_1: y = 2x + 0{,}75\) und \(t_2: y = -2x + 0{,}75\). Es liegen keine Terrassenpunkte vor.

- Wie viele Ableitungen musst du bilden, um die Krümmung und Wendepunkte zu untersuchen? - Überlege, welche Bedingung die Steigung an einem Terrassenpunkt erfüllen muss. - Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt einer Tangente, wenn Steigung und Punkt bekannt sind?

1. Ableitungen bestimmen: \(g'(x) = 4x^3 - 12x^2\), \(g''(x) = 12x^2 - 24x\), \(g'''(x) = 24x - 24\). 2. Wendestellen finden: \(g''(x) = 0 \implies 12x(x - 2) = 0\), daraus folgen die Kandidaten \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(g'''(0) = -24 \neq 0\) (Wendestelle) und \(g'''(2) = 24 \neq 0\) (Wendestelle). 4. Funktionswerte und Steigungen: \(g(0) = 0\), \(g'(0) = 0\) sowie \(g(2) = -16\), \(g'(2) = -16\). 5. Terrassenpunkt: Da \(g'(0) = 0\) ist, ist \(W_1(0 \mid 0)\) ein Terrassenpunkt. Bei \(x_2 = 2\) ist \(g'(2) \neq 0\), also liegt dort kein Terrassenpunkt vor. 6. Tangentengleichungen: Bei \(x_1 = 0\) ist die Tangente \(y = 0 \cdot (x - 0) + 0\), also \(y = 0\). Bei \(x_2 = 2\) ist die Tangente \(y = -16(x - 2) - 16\), also \(y = -16x + 16\).

Wendepunkte: \(W_1(0 \mid 0)\) und \(W_2(2 \mid -16)\). Wendetangenten: \(t_1: y = 0\) und \(t_2: y = -16x + 16\). Der Punkt \(W_1(0 \mid 0)\) ist ein Terrassenpunkt.

- Welche Ableitungen benötigst du, um die Krümmung einer Funktion zu untersuchen? - Wie lautet die Bedingung für eine mögliche Wendestelle? - Denk daran, dass der Parameter \(t\) beim Ableiten wie eine normale Zahl behandelt wird. - Wie erhältst du den passenden Funktionswert, wenn du die Stelle \(x\) bereits kennst?

1. Ableitungen bilden: \(g_t'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2tx + 10\), \(g_t''(x) = x - 2t\), \(g_t'''(x) = 1\). 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen: \(g_t''(x) = 0 \implies x - 2t = 0 \implies x_w = 2t\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: Da \(g_t'''(2t) = 1 \neq 0\), liegt bei \(x_w = 2t\) ein Wendepunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(g_t(2t) = \frac{1}{6}(2t)^3 - t(2t)^2 + 10(2t) = \frac{8}{6}t^3 - 4t^3 + 20t = \frac{4}{3}t^3 - \frac{12}{3}t^3 + 20t = -\frac{8}{3}t^3 + 20t\). 5. Koordinaten angeben: \(W_t(2t \mid -\frac{8}{3}t^3 + 20t)\).

\(W_t(2t \mid -\frac{8}{3}t^3 + 20t)\)

- Bestimme zuerst die ersten beiden Ableitungen der Funktion nach \(x\). - Setze die zweite Ableitung gleich Null, um die Stelle \(x\) in Abhängigkeit von \(k\) zu finden. - Achte beim Einsetzen von \(x\) in die Funktionsgleichung besonders auf die Potenzgesetze und die Vorzeichen. - Warum muss in der Aufgabenstellung \(k \neq 0\) vorausgesetzt werden?

1. Erste drei Ableitungen bestimmen: \(h_k'(x) = 3kx^2 + 18x\), \(h_k''(x) = 6kx + 18\), \(h_k'''(x) = 6k\). 2. Wendestelle berechnen: \(h_k''(x) = 0 \implies 6kx + 18 = 0 \implies x_w = -\frac{18}{6k} = -\frac{3}{k}\). 3. Hinreichende Bedingung: Da \(k \neq 0\), ist \(h_k'''(-\frac{3}{k}) = 6k \neq 0\), somit existiert ein Wendepunkt. 4. Funktionswert bestimmen: \(h_k(-\frac{3}{k}) = k \cdot (-\frac{3}{k})^3 + 9 \cdot (-\frac{3}{k})^2 - 5 = k \cdot (-\frac{27}{k^3}) + 9 \cdot \frac{9}{k^2} - 5 = -\frac{27}{k^2} + \frac{81}{k^2} - 5 = \frac{54}{k^2} - 5\). 5. Ergebnis: \(W_k(-\frac{3}{k} \mid \frac{54}{k^2} - 5)\).

\(W_k(-\frac{3}{k} \mid \frac{54}{k^2} - 5)\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Bestimme zuerst die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts, indem du die notwendige Bedingung für Wendestellen nutzt. - Berechne anschließend den zugehörigen Funktionswert in Abhängigkeit von \(k\). - Welche Bedingung muss für diesen Funktionswert erfüllt sein, damit der Punkt auf der \(x\)-Achse liegt?

1. Bestimmung der Ableitungen: \(g_k'(x) = 3x^2 - 6x\) \(g_k''(x) = 6x - 6\) 2. Berechnung der Wendestelle durch Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(6x - 6 = 0 \implies x_W = 1\) (Überprüfung: \(g_k'''(1) = 6 \neq 0\), also liegt ein Wendepunkt vor.) 3. Bedingung für die Lage auf der \(x\)-Achse: Der Funktionswert an der Wendestelle muss Null sein (\(g_k(1) = 0\)). \(g_k(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + k = 0\) \(1 - 3 + k = 0\) \(-2 + k = 0 \implies k = 2\)

\(k = 2\)

- Wie findet man die Wendestelle einer Funktion, wenn ein Parameter enthalten ist? - Welche Ableitungen sind für die Krümmung und Wendepunkte relevant? - Ein Punkt liegt auf dem Graphen, wenn seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. Wie kannst du das hier nutzen? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Stelle \(x_W\) und dem Funktionswert \(f(x_W)\)?

1. Ableitungsfunktionen bestimmen: \(f_a'(x) = 3x^2 - 6ax\) und \(f_a''(x) = 6x - 6a\). 2. Bedingung für Wendestellen ansetzen: \(f_a''(x) = 0 \Rightarrow 6x - 6a = 0 \Rightarrow x_W = a\). 3. Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(f_a'''(x) = 6 \neq 0\), somit liegt an der Stelle \(x_W = a\) stets ein Wendepunkt vor. 4. Bedingung für die \(y\)-Koordinate des Wendepunkts nutzen: \(f_a(x_W) = 6\). 5. Einsetzen und Gleichung lösen: \(f_a(a) = a^3 - 3a^2 \cdot a + 4 = -2a^3 + 4 = 6\). 6. Berechnung von \(a\): \(-2a^3 = 2 \Rightarrow a^3 = -1 \Rightarrow a = -1\).

\(a = -1\)

- Wie findet man die Stellen eines Graphen, an denen sich das Krümmungsverhalten ändert? - Welche Ableitungen benötigst du für die Bestimmung eines Wendepunkts? - Die Tangente ist eine Gerade. Welche Informationen (Punkt und Steigung) brauchst du für ihre Gleichung? - Skizziere die Tangente in einem Koordinatensystem, um die Lage der Schnittpunkte mit den Achsen zu visualisieren. - Das Dreieck ist rechtwinklig, da die Koordinatenachsen senkrecht aufeinanderstehen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3x\), \(f''(x) = \frac{3}{2}x - 3\), \(f'''(x) = \frac{3}{2}\). 2. Wendestelle bestimmen: \(f''(x) = 0 \Rightarrow \frac{3}{2}x - 3 = 0 \Rightarrow x_W = 2\). Da \(f'''(2) \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. 3. Koordinaten des Wendepunkts: \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 8 - \frac{3}{2} \cdot 4 + 2 = 2 - 6 + 2 = -2\), also \(W(2 \mid -2)\). 4. Steigung der Wendetangente: \(m = f'(2) = \frac{3}{4} \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 3 - 6 = -3\). 5. Gleichung der Wendetangente \(t\): \(y = -3 \cdot (x - 2) - 2 \Rightarrow y = -3x + 4\). 6. Schnittpunkte mit den Achsen: Für \(A\) setze \(y = 0 \Rightarrow 0 = -3x + 4 \Rightarrow x_A = \frac{4}{3}\), also \(A(\frac{4}{3} \mid 0)\). Für \(B\) setze \(x = 0 \Rightarrow y_B = 4\), also \(B(0 \mid 4)\). 7. Flächeninhalt des Dreiecks \(OAB\): \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot |x_A| \cdot |y_B| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}\,\text{FE} \approx 2{,}67\,\text{FE}\).

a) Wendepunkt \(W(2 \mid -2)\), Wendetangente \(t: y = -3x + 4\) b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(\frac{8}{3}\,\text{FE} \approx 2{,}67\,\text{FE}\).

- Für die Wendestelle musst du die zweite Ableitung gleich Null setzen. - Die Tangentengleichung lässt sich mit der Punkt-Steigungs-Formel oder über \(y = mx + c\) bestimmen. - Welche Steigung hat die Tangente im Wendepunkt?

1. Ableitungen berechnen: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3\), \(g''(x) = x - 2\), \(g'''(x) = 1\). 2. Wendestelle bestimmen: \(g''(x) = 0 \Rightarrow x_W = 2\). Da \(g'''(2) = 1 \neq 0\), ist dies eine Wendestelle. 3. Koordinaten des Wendepunkts: \(g(2) = \frac{1}{6} \cdot 8 - 4 + 6 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}\), also \(W(2 \mid \frac{10}{3})\). 4. Steigung der Tangente: \(m = g'(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 3 = 2 - 4 + 3 = 1\). 5. Gleichung der Wendetangente \(w\): \(y - \frac{10}{3} = 1 \cdot (x - 2) \Rightarrow y = x - 2 + \frac{10}{3} \Rightarrow y = x + \frac{4}{3}\).

Wendepunkt: \(W(2 \mid \frac{10}{3})\) Wendetangente: \(w: y = x + \frac{4}{3}\)

- Bestimme zunächst die Wendepunktkoordinaten eines beliebigen Scharmitglieds in Abhängigkeit vom Parameter. - Welche Beziehung zwischen der Wendestellenkoordinate und dem Parameter kannst du anschließend nach dem Parameter auflösen? - Eliminiere den Parameter aus der Ordinate und beachte am Ende seinen zulässigen Wertebereich.

1. Es gilt \(g_a'(x)=3x^2+6ax\) und \(g_a''(x)=6x+6a\). 2. Aus \(g_a''(x)=0\) folgt \(x=-a\). Da \(g_a'''(x)=6\neq0\) ist, liegt dort tatsächlich eine Wendestelle. 3. Für die Ordinate gilt \(g_a(-a)=-a^3+3a^3-2a=2a^3-2a\). 4. Aus \(x=-a\) folgt \(a=-x\). Eingesetzt in die Ordinate ergibt sich \(y=2(-x)^3-2(-x)=-2x^3+2x\). 5. Wegen \(a>0\) gilt für die Wendepunkte \(x<0\).

Die Ortskurve der Wendepunkte hat die Gleichung \(y=-2x^3+2x\) für \(x<0\).

- Welche Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung des Graphen? - Welches Vorzeichen von \(h''\) gehört zu Links- beziehungsweise Rechtskrümmung? - Wie sicherst du ab, dass eine Nullstelle von \(h''\) tatsächlich zu einem Wendepunkt gehört?

1. Es gilt \(h'(x)=2x^3-6x+5\), \(h''(x)=6x^2-6\) und \(h'''(x)=12x\). 2. Aus \(h''(x)=0\) folgt \(x=-1\) oder \(x=1\). 3. Für \(x<-1\) und \(x>1\) gilt \(h''(x)>0\); dort ist der Graph linksgekrümmt. Für \(-1<x<1\) gilt \(h''(x)<0\); dort ist der Graph rechtsgekrümmt. 4. Wegen \(h'''(-1)=-12\ne0\) und \(h'''(1)=12\ne0\) liegen bei beiden Stellen Wendepunkte vor. 5. Es gilt \(h(-1)=-9{,}5\) und \(h(1)=0{,}5\). Daher sind \(W_1(-1|-9{,}5)\) und \(W_2(1|0{,}5)\) die Wendepunkte.

a) Linksgekrümmt auf \(( -\infty;-1)\) und \((1;\infty)\); rechtsgekrümmt auf \((-1;1)\). b) \(W_1(-1|-9{,}5)\) und \(W_2(1|0{,}5)\).

- Welche Ableitungen benötigst du, um Wendestellen zu finden? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Symmetrie weist die Funktion auf und was bedeutet das für die Lage der Wendepunkte? - Wie findet man den gemeinsamen Punkt zweier linearer Funktionen?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 2x^3 - 6x\), \(f''(x) = 6x^2 - 6\), \(f'''(x) = 12x\). 2. Wendestellen bestimmen: \(f''(x) = 0 \implies 6x^2 = 6 \implies x_1 = 1, x_2 = -1\). Da \(f'''(\pm 1) \neq 0\), liegen Wendepunkte vor. 3. Koordinaten und Steigungen berechnen: \(f(1) = -2{,}5\) und \(f'(1) = -4\); \(f(-1) = -2{,}5\) und \(f'(-1) = 4\). Die Wendepunkte sind \(W_1(1 \mid -2{,}5)\) und \(W_2(-1 \mid -2{,}5)\). 4. Tangentengleichungen aufstellen: \(t_1: y = -4(x - 1) - 2{,}5 = -4x + 1{,}5\) und \(t_2: y = 4(x + 1) - 2{,}5 = 4x + 1{,}5\). 5. Schnittpunkt berechnen: Gleichsetzen \(4x + 1{,}5 = -4x + 1{,}5 \implies 8x = 0 \implies x = 0\). Einsetzen liefert \(y = 1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S(0 \mid 1{,}5)\).

\(S(0 \mid 1{,}5)\)

- Was bedeutet "Wachstumsrate" im Kontext der Ableitung einer Bestandsfunktion? - Wie unterscheidet sich die Berechnung für ein Zeitintervall von der für einen Zeitpunkt? - Wenn du die größte Wachstumsrate suchst, suchst du das Maximum der Steigungsfunktion. Welches Werkzeug nutzt man zur Extremwertbestimmung?

1. Berechnung der mittleren Wachstumsrate im Intervall \([0; 5]\): \(B(0) = 100\) \(B(5) = 100 + 20 \cdot 5^2 - 5^3 = 100 + 500 - 125 = 475\) \(\frac{B(5) - B(0)}{5 - 0} = \frac{475 - 100}{5} = \frac{375}{5} = 75\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}\) 2. Berechnung der momentanen Wachstumsrate mittels der ersten Ableitung: \(B'(t) = 40t - 3t^2\) \(B'(5) = 40 \cdot 5 - 3 \cdot 5^2 = 200 - 75 = 125\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}\) 3. Bestimmung des Maximums der Wachstumsrate \(B'(t)\): Untersuchung der zweiten Ableitung \(B''(t) = 40 - 6t\). Setze \(B''(t) = 0 \implies 40 - 6t = 0 \implies t = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\). Da \(B'(t) = 40t - 3t^2\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, liegt bei \(t = \frac{20}{3}\) das globale Maximum der Wachstumsrate im Modellintervall vor.

a) Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(75\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}\). b) Die momentane Wachstumsrate beträgt \(125\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}\). c) Die momentane Wachstumsrate ist zum Zeitpunkt \(t = \frac{20}{3}\,\text{h} \approx 6{,}67\,\text{h}\) am größten. Dies entspricht dem Maximum der ersten Ableitung (Wendepunkt der Bestandsfunktion).

- Prüfe zuerst Nennernullstellen und mögliche Zählernullstellen. - Eine Zerlegung in einen linearen Anteil und einen Restbruch macht die Asymptoten sichtbar. - Für die Krümmung ist das Vorzeichen der gegebenen zweiten Ableitung entscheidend. - Eine Polstelle kann kein Wendepunkt sein, weil dort kein Graphenpunkt existiert.

1. Der Nenner darf nicht null sein. Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Der Zähler \(x^2-4x+7\) hat die Diskriminante \(16-28=-12<0\); es gibt keine reellen Nullstellen. 3. Es gilt \((x-2)^2+3=x^2-4x+7\). Damit folgt \(f(x)=x-2+\frac{3}{x-2}\). 4. Die senkrechte Asymptote ist \(x=2\), die schräge Asymptote ist \(y=x-2\). 5. Für \(x<2\) gilt \(f''(x)<0\), also ist der Graph rechtsgekrümmt. Für \(x>2\) gilt \(f''(x)>0\), also ist er linksgekrümmt. 6. \(f''\) besitzt keine Nullstelle, und \(x=2\) gehört nicht zum Definitionsbereich. Daher besitzt \(G_f\) keinen Wendepunkt.

a) \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); keine Nullstellen. b) Asymptoten: \(x=2\) und \(y=x-2\). c) Rechtsgekrümmt für \(x<2\), linksgekrümmt für \(x>2\); keine Wendepunkte.

- Prüfe den Nenner auf mögliche Nullstellen und teste anschließend \(f(-x)\). - Bei gleich hohen Graden von Zähler und Nenner bestimmt das Verhältnis der führenden Koeffizienten den Grenzwert. - Nutze für die Ableitungen Quotienten- und Kettenregel und untersuche anschließend ihre Vorzeichen. - Vorzeichenwechsel der Ableitungen entscheiden über Extrem- und Wendestellen.

1. Da \(x^2+2>0\) für alle reellen \(x\) gilt, ist \(D_f=\mathbb{R}\). Aus \(8-2x^2=0\) folgen die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=2\). 2. Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to-2\). 3. Die Quotientenregel liefert \(f'(x)=\frac{-24x}{(x^2+2)^2}\). Damit steigt \(f\) für \(x<0\) und fällt für \(x>0\). Es liegt der Hochpunkt \(H(0\mid4)\) vor. 4. Es gilt \(f''(x)=\frac{72x^2-48}{(x^2+2)^3}\). Aus \(72x^2-48=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{\frac23}=\pm\frac{\sqrt6}{3}\). Dort ist \(f(x)=2{,}5\), und der Zähler von \(f''\) wechselt jeweils das Vorzeichen. 5. Die Wendepunkte sind daher \(W_1\left(-\frac{\sqrt6}{3}\mid2{,}5\right)\) und \(W_2\left(\frac{\sqrt6}{3}\mid2{,}5\right)\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\); Nullstellen: \(x=-2\), \(x=2\) b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-2\) c) Hochpunkt \(H(0\mid4)\) d) \(W_{1,2}\left(\pm\frac{\sqrt6}{3}\mid2{,}5\right)\)

- Bestimme zuerst die Nennernullstellen und damit den Definitionsbereich. - Untersuche für die Krümmung getrennt Zähler- und Nennervorzeichen von \(f''\). - Ein Krümmungsunterschied zwischen getrennten Ästen ist nicht dasselbe wie ein Wendepunkt.

1. Es ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). Die Ableitungen sind \(f'(x)=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\) und \(f''(x)=\frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}\). 2. Der Zähler \(6x^2+2\) ist für alle reellen \(x\) positiv. Daher hat \(f''\) im Definitionsbereich keine Nullstelle. 3. Für \(|x|>1\) gilt \(f''(x)>0\), also ist der Graph linksgekrümmt. Für \(|x|<1\) gilt \(f''(x)<0\), also ist er rechtsgekrümmt. 4. Die Graphenäste sind an \(x=-1\) und \(x=1\) durch Polstellen getrennt. Dort existiert kein Graphenpunkt; deshalb können diese Stellen keine Wendepunkte sein.

1. \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\); \(f''(x)=\frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}\). 2. Keine Nullstellen von \(f''\). 3. Linksgekrümmt auf \(( -\infty;-1)\) und \((1;\infty)\); rechtsgekrümmt auf \((-1;1)\). 4. An den Polstellen liegen keine Wendepunkte, weil dort keine Funktionswerte existieren.

- Bestimme die Nullstellen von \(f''\). - Prüfe das Vorzeichen von \(f''\) in jedem dadurch entstehenden Intervall. - Welches Vorzeichen von \(f''\) gehört zu Links- beziehungsweise Rechtskrümmung?

1. Es gilt \(f'(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2\) und \(f''(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)\). 2. Die Nullstellen von \(f''\) sind \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\). 3. Für \(x<-1\) und \(0<x<1\) gilt \(f''(x)<0\); dort ist der Graph rechtsgekrümmt. 4. Für \(-1<x<0\) und \(x>1\) gilt \(f''(x)>0\); dort ist der Graph linksgekrümmt.

Linksgekrümmt auf \((-1;0)\) und \((1;\infty)\); rechtsgekrümmt auf \(( -\infty;-1)\) und \((0;1)\).

- Welche Bedingungen kennzeichnen eine stationäre Wendestelle? - Wie kannst du die Wendestelle hier mit \(f'''\) absichern? - Vergiss nicht, nach der Stelle auch den Funktionswert zu bestimmen.

1. Es gilt \(f'(x)=-3x^2+6x-3=-3(x-1)^2\), \(f''(x)=-6x+6\) und \(f'''(x)=-6\). 2. Für einen Terrassenpunkt muss eine stationäre Wendestelle vorliegen. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x=1\), und zusätzlich gilt \(f''(1)=0\). 3. Wegen \(f'''(1)=-6\ne0\) liegt bei \(x=1\) eine Wendestelle vor. Zusammen mit \(f'(1)=0\) ist sie eine Terrassenstelle. 4. Es gilt \(f(1)=1\). Daher ist \(S(1|1)\) der Terrassenpunkt.

Der Terrassenpunkt ist \(S(1|1)\).

- Welche Ableitung benötigst du, um Aussagen über Wendepunkte zu treffen? - Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion maximal haben? - Reicht es aus, nur die Nullstellen der Ableitung zu finden, oder musst du noch etwas über den Vorzeichenwechsel sagen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Form der Parabel der zweiten Ableitung und ihren Nullstellen.

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung der Funktion \(f\): \(f'(x) = \frac{1}{24}(4x^3 - 6x^2 - 72x)\) \(f''(x) = \frac{1}{24}(12x^2 - 12x - 72) = \frac{1}{2}(x^2 - x - 6)\) 2. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung (notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\)): \(x^2 - x - 6 = 0\) ergibt mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung \((x-3)(x+2) = 0\) die Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 3. Überprüfung des Krümmungswechsels (hinreichende Bedingung): Da \(f''\) eine nach oben geöffnete Parabel mit zwei einfachen Nullstellen ist, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) statt (von positiv zu negativ bei \(x = -2\) und von negativ zu positiv bei \(x = 3\)). Alternativ gilt für die dritte Ableitung \(f'''(x) = x - 0{,}5\), dass \(f'''(3) = 2{,}5 \neq 0\) und \(f'''(-2) = -2{,}5 \neq 0\). Somit liegen genau zwei Wendestellen und damit genau zwei Wendepunkte vor.

Die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 3\) ist eine quadratische Funktion. Ihre Nullstellen liegen bei \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). Da es sich um zwei einfache Nullstellen einer Parabel handelt, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt, was die Existenz von genau zwei Wendepunkten bestätigt.

- Was bedeutet eine „Änderung des Krümmungsverhaltens“ für die zweite Ableitung? - Wie kannst du die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Gleichung bestimmen, ohne sie unbedingt exakt ausrechnen zu müssen? - Welche Bedingung muss an einer Stelle erfüllt sein, damit dort tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt?

1. Ableitungen bilden: \(g'(x) = 0{,}4x^3 + 2{,}4x^2 - 1{,}2x\) \(g''(x) = 1{,}2x^2 + 4{,}8x - 1{,}2\) 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen (\(g''(x) = 0\)): \(1{,}2(x^2 + 4x - 1) = 0 \iff x^2 + 4x - 1 = 0\) Für die äquivalente quadratische Gleichung \(x^2 + 4x - 1 = 0\) gilt \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 20 > 0\). Daher gibt es zwei unterschiedliche reelle Lösungen: \(x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{5}\). 3. Begründung des Krümmungswechsels: Die zweite Ableitung \(g''\) ist eine quadratische Funktion mit zwei einfachen Nullstellen. An jeder einfachen Nullstelle wechselt \(g''(x)\) das Vorzeichen. Deshalb ändert der Graph von \(g\) an genau zwei Stellen sein Krümmungsverhalten.

Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = 1{,}2x^2 + 4{,}8x - 1{,}2\). Die äquivalente Gleichung \(x^2 + 4x - 1 = 0\) hat wegen \(D = 20 > 0\) zwei verschiedene reelle Lösungen. Da dies einfache Nullstellen von \(g''\) sind, wechselt dort jeweils das Vorzeichen von \(g''\). Der Graph besitzt also genau zwei Stellen mit Krümmungsänderung.

- Bestimme \(f''\) und seine Nullstellen. - Untersuche das Vorzeichen von \(f''\) auf den dadurch entstehenden offenen Intervallen. - Eine Wendestelle erfordert einen Wechsel der Krümmungsrichtung. - Vergleiche den Vorzeichenwechsel mit der konstanten zweiten Ableitung einer Geraden.

1. Es gilt \(f'(x)=\frac{1}{3}x^3-x\) und \(f''(x)=x^2-1\). 2. Aus \(x^2-1=0\) folgen die möglichen Wendestellen \(x=-1\) und \(x=1\). 3. Für \(x<-1\) und \(x>1\) ist \(f''(x)>0\); der Graph ist auf \(( -\infty;-1)\) und \((1;\infty)\) linksgekrümmt. Für \(-1<x<1\) ist \(f''(x)<0\); dort ist er rechtsgekrümmt. 4. An beiden Nullstellen wechselt \(f''\) das Vorzeichen. Deshalb sind \(x=-1\) und \(x=1\) Wendestellen. Die Krümmungsrichtung wird auf den angrenzenden Intervallen beschrieben, nicht als punktweise Eigenschaft der einzelnen Stelle. 5. Bei einer Geraden gilt \(f''=0\) auf einem ganzen Intervall beziehungsweise überall, ohne Vorzeichenwechsel; daher besitzt sie keine Wendestelle.

Der Graph ist auf \(( -\infty;-1)\) und \((1;\infty)\) linksgekrümmt sowie auf \((-1;1)\) rechtsgekrümmt. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) wechselt \(f''\) das Vorzeichen, also liegen dort Wendestellen. Eine Gerade hat dagegen überall die zweite Ableitung null und keinen solchen Vorzeichenwechsel.

- Faktorisiere \(f''\), bevor du über einen Krümmungswechsel entscheidest. - Was sagt das Vorzeichen von \(f''\) über die Monotonie von \(f'\) aus? - Reicht eine Nullstelle von \(f''\) allein für eine Wendestelle?

1. Es gilt \(f'(x)=4x^3-12x^2+12x\) und \(f''(x)=12x^2-24x+12=12(x-1)^2\). 2. Aus \(f'(x)=4x(x^2-3x+3)=0\) folgt wegen der negativen Diskriminante der Klammer nur \(x=0\). Da \(f''(0)=12>0\), liegt dort eine lokale Minimalstelle vor. 3. Zwar gilt \(f''(1)=0\), aber \(f''(x)=12(x-1)^2\ge0\) und wechselt bei \(x=1\) nicht das Vorzeichen. 4. Mit \(f'''(x)=24x-24\) sieht man: \(f''\) nimmt für \(x<1\) ab und für \(x>1\) zu; bei \(x=1\) besitzt \(f''\) ein lokales Minimum mit Wert \(0\). 5. Für \(x\ne1\) gilt \(f''(x)>0\). Daher ist \(f'\) auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend und besitzt bei \(x=1\) keine Extremstelle. Folglich besitzt \(f\) dort keine Wendestelle.

a) \(f'(x)=4x^3-12x^2+12x\), \(f''(x)=12x^2-24x+12\) b) Lokale Minimalstelle bei \(x=0\) c) Keine Wendestelle bei \(x=1\), da \(f''\) dort keinen Vorzeichenwechsel hat und \(f'\) keine Extremstelle besitzt.

- Bestimme zuerst alle Stellen, an denen die zweite Ableitung Null wird. - Erinnere dich daran, dass \(f''(x) = 0\) nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist. - Was passiert mit dem Graphen der zweiten Ableitung bei einer doppelten Nullstelle im Vergleich zu einer einfachen Nullstelle? - Ein Vorzeichenwechsel von \(g''\) bedeutet, dass sich das Krümmungsverhalten des Graphen von \(g\) ändert.

1. Ableitungen berechnen: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3\), \(g''(x) = 2x^3 - 6x^2 = 2x^2(x - 3)\). 2. Kandidaten für Wendestellen (\(g''(x) = 0\)): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Überprüfung \(x_1 = 0\): Für Werte knapp unter 0 (z. B. \(-0{,}1\)) ist \(2x^2 > 0\) und \((x-3) < 0\), also \(g''(x) < 0\). Für Werte knapp über 0 (z. B. \(0{,}1\)) ist \(2x^2 > 0\) und \((x-3) < 0\), also \(g''(x) < 0\). Es findet kein Vorzeichenwechsel statt, daher keine Wendestelle bei \(x = 0\). 4. Überprüfung \(x_2 = 3\): Für \(x < 3\) (nahe 3) ist \(g''(x) < 0\), für \(x > 3\) ist \(g''(x) > 0\) (da \(x-3\) das Vorzeichen wechselt). Es liegt ein Vorzeichenwechsel vor, somit ist \(x = 3\) eine Wendestelle. 5. Wendepunkt berechnen: \(g(3) = \frac{1}{10} \cdot 243 - \frac{1}{2} \cdot 81 + 5 = 24{,}3 - 40{,}5 + 5 = -11{,}2\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(3 \mid -11{,}2)\).

Die Funktion besitzt bei \(x = 0\) keine Wendestelle, da die zweite Ableitung \(g''(x) = 2x^2(x-3)\) dort keinen Vorzeichenwechsel aufweist. Bei \(x = 3\) liegt eine Wendestelle mit dem Wendepunkt \(W(3 \mid -11{,}2)\) vor.

- Welche Ableitungsbedingung folgt aus der waagerechten Tangente? - Was bewirkt eine streng monoton abnehmende Funktion \(f'\) für die Vorzeichen links und rechts von \(x=3\)? - Wie hängt die Monotonie von \(f'\) mit der Krümmung von \(f\) zusammen?

1. Aus der waagerechten Tangente folgt \(f'(3)=0\). 2. Weil \(f'\) im betrachteten Intervall streng monoton abnimmt, gilt links von \(3\): \(f'(x)>f'(3)=0\), und rechts von \(3\): \(f'(x)<0\). 3. Daher nimmt \(f\) vor \(x=3\) zu und danach ab. Bei \(x=3\) liegt eine lokale Maximalstelle vor. 4. Eine streng monoton abnehmende Ableitungsfunktion bedeutet, dass die Tangentensteigungen von \(f\) mit wachsendem \(x\) kleiner werden. Der Graph von \(f\) ist daher im betrachteten Intervall rechtsgekrümmt.

Bei \(x=3\) liegt eine lokale Maximalstelle vor. Im betrachteten Intervall ist der Graph rechtsgekrümmt, weil \(f'\) dort streng monoton abnimmt.

- Welche Eigenschaft müssen die Exponenten einer ganzrationalen Funktion haben, damit Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für die Existenz einer Wendestelle. - Was passiert mit den Konstanten und den Potenzen von \(x\), wenn du die Funktion ableitest?

1. Für die Punktsymmetrie zum Ursprung dürfen bei einer ganzrationalen Funktion nur ungerade Exponenten vorkommen. Daraus folgt direkt \(b = 0\) und \(d = 0\). 2. Die Funktion lautet somit \(f(x) = ax^3 + cx\). 3. Die ersten drei Ableitungen sind: \(f'(x) = 3ax^2 + c\), \(f''(x) = 6ax\) und \(f'''(x) = 6a\). 4. Notwendige Bedingung für eine Wendestelle: \(f''(x) = 0 \implies 6ax = 0\). Da \(a \neq 0\), folgt \(x = 0\). 5. Hinreichende Bedingung: \(f'''(0) = 6a\). Da \(a \neq 0\), ist \(f'''(0) \neq 0\). Somit besitzt der Graph bei \(x = 0\) einen Wendepunkt. Da \(f(0) = 0\), liegt dieser Wendepunkt im Koordinatenursprung.

a) \(b = 0\) und \(d = 0\), da bei Punktsymmetrie zum Ursprung nur ungerade Exponenten auftreten dürfen. b) Mit \(f''(x) = 6ax\) ist \(f''(0) = 0\). Da \(f'''(x) = 6a \neq 0\) für \(a \neq 0\) gilt und \(f(0) = 0\) ist, besitzt der Graph einen Wendepunkt im Koordinatenursprung.

- Übersetze zunächst „Talfahrt“ in eine Aussage darüber, ob die Funktionswerte steigen oder fallen. - Überlege bei „gebremst“, wie sich eine negative Steigung im Zeitverlauf verändert. - Die zweite Ableitung beschreibt, ob die Steigungswerte zu- oder abnehmen. - Ein Wechsel des Krümmungstyps kennzeichnet eine Wendestelle.

1. „Talfahrt“ bedeutet, dass die Kurswerte sinken. Daher gilt \(f'(t)<0\). 2. „Gebremst“ bedeutet, dass die negative Steigung betragsmäßig kleiner wird, also die Steigungswerte zunehmen. Daher gilt \(f''(t)>0\). 3. Bei \(f''(t)>0\) ist der Graph linksgekrümmt. Wechselt \(f''\) lokal von negativ zu positiv, liegt ein Wendepunkt vor. Dort nimmt \(f'\) lokal seinen kleinsten Wert an; die Sinkgeschwindigkeit ist in dieser lokalen Umgebung am größten.

1. \(f'(t)<0\) 2. \(f''(t)>0\) 3. Linkskrümmung; der lokale Übergang von beschleunigter zu gebremster Talfahrt liegt an einem Wendepunkt, an dem die Steigung lokal minimal ist.

- Welche Ableitung ist für die Untersuchung von Wendepunkten entscheidend? - Überlege dir, unter welcher Bedingung eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = c\) zwei Lösungen hat. - Reicht es aus, dass die zweite Ableitung Null wird, oder muss noch eine weitere Bedingung erfüllt sein? - Wie sieht der Graph der zweiten Ableitung aus und was bedeutet das für den Vorzeichenwechsel?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = 2x^3 + 2kx + 7\) 2. Berechnung der zweiten Ableitung: \(f_k''(x) = 6x^2 + 2k\) 3. Ansatz für Wendestellen: \(f_k''(x) = 0 \implies 6x^2 + 2k = 0 \implies x^2 = -\frac{k}{3}\) 4. Bedingung für zwei Wendestellen: Damit die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen besitzt, muss der Term \(-\frac{k}{3}\) größer als Null sein, also \(k < 0\). Da \(f_k''(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, findet an beiden Nullstellen ein Vorzeichenwechsel statt, sodass tatsächlich zwei Wendepunkte vorliegen.

Die Funktion \(f_k\) besitzt genau dann zwei Wendepunkte, wenn \(k < 0\) gilt.

- Wann hat eine Funktion keine Wendestellen? Denke an den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung. - Wenn die zweite Ableitung eine quadratische Funktion ist, wann wechselt sie ihre Werte nicht von Plus nach Minus (oder umgekehrt)? - Erinnere dich an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Was sagt sie über die Anzahl der Nullstellen aus? - Was passiert an einer „doppelten“ Nullstelle der zweiten Ableitung mit der Krümmung?

1. Erste Ableitung: \(g_c'(x) = 4x^3 + 6cx^2 + 12x\) 2. Zweite Ableitung: \(g_c''(x) = 12x^2 + 12cx + 12 = 12(x^2 + cx + 1)\) 3. Bedingung für Wendestellen: Eine Wendestelle liegt vor, wenn \(g_c''(x) = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel stattfindet. 4. Analyse der quadratischen Funktion: Der Term \(x^2 + cx + 1\) besitzt keine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, wenn die zugehörige Parabel entweder keine Nullstellen hat oder die \(x\)-Achse nur berührt (doppelte Nullstelle). 5. Diskriminante bestimmen: \(D = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = c^2 - 4\) 6. Bedingung für keine Wendestellen: \(D \le 0 \implies c^2 - 4 \le 0 \implies c^2 \le 4 \implies -2 \le c \le 2\). In diesen Fällen wechselt \(g_c''(x)\) das Vorzeichen nicht.

Die Funktion \(g_c\) hat keine Wendestellen, wenn der Parameter \(c\) im Intervall \([-2; 2]\) liegt (also \(-2 \le c \le 2\)).

- Welche Funktion soll minimiert werden: \(K\) oder \(K'\)? - Für Extremstellen von \(K'\) musst du \(K''\) untersuchen. - Für Globalität auf \(x\ge0\) reicht die lokale Klassifikation nicht: beachte Rand und Monotonieverlauf von \(K'\).

1. \(K'(x)=x^3-\frac{15}{2}x^2+12x+40\). Gesucht ist das globale Minimum dieser kubischen Funktion auf \(x\ge0\). 2. Die Ableitung der Grenzkosten ist \(K''(x)=3x^2-15x+12=3(x-1)(x-4)\). Stationäre Stellen von \(K'\): \(x=1\) und \(x=4\). 3. Mit \(K'''(x)=6x-15\) gilt \(K'''(1)=-9<0\) und \(K'''(4)=9>0\). Also besitzt \(K'\) bei \(x=4\) ein lokales Minimum. 4. Für \(x\ge0\) ist \(K''\) zunächst positiv, dann auf \((1,4)\) negativ und ab \(4\) wieder positiv. Außerdem wächst \(K'(x)\to\infty\). Vergleich mit dem Rand: \(K'(0)=40\), \(K'(4)=32\). Damit ist das Minimum bei \(x=4\) global.

Die Grenzkosten sind bei \(x=4\) ME global minimal; der minimale Grenzkostenwert ist \(K'(4)=32\) Euro pro ME.

- Welche mathematische Bedingung muss für einen Wendepunkt erfüllt sein? - Erinnere dich daran, dass die Steigung einer Funktion durch ihre erste Ableitung beschrieben wird. - Was bedeutet es für die Steigung, wenn eine Kurve ihre Krümmung ändert? - Wie hängen die Extremstellen der Ableitungsfunktion mit den besonderen Punkten der Originalfunktion zusammen?

1. Ableitungen der Kostenfunktion berechnen: \( K'(x) = 6x^2 - 72x + 300 \), \( K''(x) = 12x - 72 \), \( K'''(x) = 12 \). 2. Wendestelle bestimmen: Bedingung \( K''(x) = 0 \implies 12x - 72 = 0 \implies x = 6 \). Da \( K'''(6) = 12 \neq 0 \), liegt bei \( x = 6 \) ein Wendepunkt vor. 3. \( y \)-Koordinate des Wendepunkts berechnen: \( K(6) = 2 \cdot 6^3 - 36 \cdot 6^2 + 300 \cdot 6 + 500 = 432 - 1296 + 1800 + 500 = 1436 \). Der Wendepunkt ist \( W(6 \mid 1436) \). 4. Erläuterung des Zusammenhangs: Der Wendepunkt einer Funktion markiert die Stelle der extremalen Steigung. Da die Grenzkostenfunktion die Steigung der Kostenfunktion beschreibt, entspricht die Wendestelle der Kostenfunktion genau der Extremstelle (hier dem Minimum) der Grenzkostenfunktion. An dieser Stelle geht die Krümmung der Kostenfunktion von einer Rechtskrümmung (degressiv, \( K'' < 0 \)) in eine Linkskrümmung (progressiv, \( K'' > 0 \)) über.

a) Der Wendepunkt liegt bei \( W(6 \mid 1436) \). b) Der Wendepunkt der Kostenfunktion ist die Stelle, an der die Steigung (also die Grenzkosten) am kleinsten ist. Er markiert den Übergang von sinkenden zu steigenden Grenzkosten.

- An welchen Stellen kann \(f'\) ein Extremum besitzen? - Wie kannst du über \(f'''\) zwischen lokalem Maximum und Minimum von \(f'\) unterscheiden? - Welche zusätzliche Bedingung an \(f'\) macht einen Wendepunkt zu einem Terrassenpunkt?

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-3x^2\), \(f''(x)=3x^2-6x\) und \(f'''(x)=6x-6\). 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=0\) oder \(x=2\). 3. Bei \(x=0\) gilt \(f'''(0)=-6<0\); dort besitzt die Steigungsfunktion \(f'\) ein lokales Maximum. Bei \(x=2\) gilt \(f'''(2)=6>0\); dort besitzt \(f'\) ein lokales Minimum. 4. Es gilt \(f'(0)=0\) und \(f(0)=0\). Daher ist \(S(0|0)\) ein Terrassenpunkt. 5. Es gilt \(f'(2)=-4\ne0\) und \(f(2)=-4\). Daher ist \(W(2|-4)\) ein Wendepunkt, aber kein Terrassenpunkt.

Terrassenpunkt \(S(0|0)\) mit lokalem Maximum der Steigung; Wendepunkt \(W(2|-4)\) mit lokalem Minimum der Steigung.

- Welche Bedingungen müssen eine Terrassenstelle und eine Wendestelle gleichzeitig erfüllen? - Suche zunächst nach gemeinsamen Nullstellen von \(f'\) und \(f''\). - Mit welchem Kriterium kannst du den Krümmungswechsel an diesen Stellen absichern?

1. Es gilt \(f'(x)=\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2=\frac{1}{4}x^2(x-2)^2\) und \(f''(x)=x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)\). 2. Gemeinsame Nullstellen von \(f'\) und \(f''\) sind \(x=0\) und \(x=2\). 3. Weiter gilt \(f'''(x)=3x^2-6x+2\). Es ist \(f'''(0)=2\ne0\) und \(f'''(2)=2\ne0\). Daher liegen an beiden Stellen Wendestellen vor; wegen \(f'=0\) sind es Terrassenstellen. 4. Es gilt \(f(0)=0\) und \(f(2)=\frac{4}{15}\).

Die Terrassenpunkte sind \(S_1(0|0)\) und \(S_2(2|\frac{4}{15})\).

- Welche zwei Eigenschaften muss eine Terrassenstelle erfüllen? - Was zeigt die einfache Nullstelle von \(g''\) bei \(x=3\)? - Berechne zuletzt den Funktionswert an der gefundenen Stelle.

1. Es gilt \(g'(x)=x^3-6x^2+9x\). Damit ist \(g'(3)=27-54+27=0\); die Tangente ist waagerecht. 2. Aus \(g''(x)=3(x-1)(x-3)\) folgt \(g''(3)=0\). Da \(x=3\) eine einfache Nullstelle von \(g''\) ist, wechselt \(g''\) dort das Vorzeichen. Daher liegt eine Wendestelle vor. 3. Zusammen mit \(g'(3)=0\) ist die Wendestelle eine Terrassenstelle. 4. Es gilt \(g(3)=1{,}75\). Daher ist \(S(3|1{,}75)\) der Terrassenpunkt.

Bei \(x=3\) liegt ein Terrassenpunkt \(S(3|1{,}75)\) vor.

- Die Grenzkosten sind minimal, wenn die Steigung der Kostenfunktion ihren kleinsten Wert erreicht. Welcher besondere Punkt der Kurvendiskussion ist das? - Wie hängen der Begriff „degressiv“, die Rechtskrümmung und das Steigungsverhalten der Ableitung zusammen? - Überlege dir, was die zweite Ableitung über die Änderung der Grenzkosten aussagt.

1. Grenzkostenfunktion bilden: \(K'(x) = 0{,}6x^2 - 24x + 300\). 2. Minimum der Grenzkosten bestimmen: \(K''(x) = 1{,}2x - 24\). Setze \(K''(x) = 0 \Rightarrow 1{,}2x = 24 \Rightarrow x = 20\). 3. Überprüfung: \(K'''(x) = 1{,}2 > 0\). Bei \(x = 20\) liegt ein Minimum der Grenzkosten vor (Kostenkehre). 4. Wert der minimalen Grenzkosten: \(K'(20) = 0{,}6 \cdot 20^2 - 24 \cdot 20 + 300 = 240 - 480 + 300 = 60\,\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). 5. Degressiver Kostenverlauf: Dieser liegt vor, solange die Grenzkosten sinken, also bis zum Minimum der Grenzkosten (dem Wendepunkt der Kostenfunktion). Mathematisch gilt dies für \(K''(x) < 0\). \(1{,}2x - 24 < 0 \Rightarrow x < 20\). Somit steigen die Kosten im Bereich \(0 \le x < 20\) degressiv.

a) \(K'(x) = 0{,}6x^2 - 24x + 300\) b) Die Grenzkosten sind bei einer Menge von \(20\,\text{Stück}\) minimal und betragen dort \(60\,\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). c) Im Bereich von \(0\) bis unter \(20\,\text{Stück}\) steigen die Kosten degressiv, da in diesem Intervall die zweite Ableitung \(K''(x) < 0\) ist, was bedeutet, dass die Grenzkosten abnehmen.

- Bestimme mögliche Wendestellen über die zweite Ableitung und prüfe anschließend ein hinreichendes Kriterium. - Für einen Sattelpunkt brauchst du zusätzlich eine waagerechte Tangente. - Beachte den Definitionsbereich der gebrochen-rationalen Funktion.

1. Es gilt \(f'(x)=x+\frac{4}{x^2}\), \(f''(x)=1-\frac{8}{x^3}\) und \(f'''(x)=\frac{24}{x^4}\). 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x^3=8\), also \(x=2\). 3. Es ist \(f'''(2)=\frac{24}{16}=1{,}5\neq0\). Daher liegt bei \(x=2\) tatsächlich eine Wendestelle vor. 4. Mit \(f(2)=0\) erhält man den Wendepunkt \(W(2\mid0)\). 5. Da \(f'(2)=3\neq0\), ist die Tangente im Wendepunkt nicht waagerecht. Somit liegt kein Sattelpunkt vor.

Wendepunkt: \(W(2\mid0)\) Kein Sattelpunkt.

- Welche Fälle für die Anzahl der Nullstellen von \(g_k'\) musst du in Abhängigkeit von \(k\) unterscheiden? - Woran erkennst du, ob eine stationäre Stelle tatsächlich eine Extremstelle ist? - Welche Ableitung beschreibt einen möglichen Krümmungswechsel des Graphen? - Welche Bedingung muss die zweite Koordinate von \(W_k\) in Teil c) erfüllen?

1. Es gilt \(g_k'(x)=x^2-2kx+6\). Extremstellen können nur an Nullstellen von \(g_k'\) auftreten. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2-2kx+6=0\) ist \(D=4k^2-24\). Für \(D<0\) gibt es keine stationären Stellen; für \(D=0\) gibt es eine doppelte Nullstelle von \(g_k'\), an der kein Vorzeichenwechsel von \(g_k'\) und damit kein Extremum vorliegt. Somit besitzt der Graph für \(-\sqrt{6}\le k\le\sqrt{6}\) keine Extrempunkte. In den Randfällen \(|k|=\sqrt{6}\) liegt stattdessen eine Terrassenstelle vor. 2. Es gilt \(g_k''(x)=2x-2k\). Aus \(g_k''(x)=0\) folgt \(x=k\). Da \(g_k'''(x)=2\ne0\) ist, liegt dort stets eine Wendestelle vor. Mit \(g_k(k)=-\frac{2}{3}k^3+6k\) ergibt sich \(W_k\left(k\mid-\frac{2}{3}k^3+6k\right)\). 3. Für einen Wendepunkt auf der \(x\)-Achse muss \(-\frac{2}{3}k^3+6k=0\) gelten. Daraus folgt \(k\left(-\frac{2}{3}k^2+6\right)=0\), also \(k\in\{-3;0;3\}\).

a) Für \(-\sqrt{6}\le k\le\sqrt{6}\) besitzt der Graph keine Extrempunkte. b) \(W_k\left(k\mid-\frac{2}{3}k^3+6k\right)\) c) \(k\in\{-3;0;3\}\)

- Beginne mit Eigenschaften, die sich direkt aus dem Funktionsterm ablesen lassen. - Für Extrempunkte untersuchst du Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Für Wendepunkte untersuchst du entsprechend \(f''\). - Nutze die Punktsymmetrie zur Kontrolle paarweise auftretender Punkte.

1. Da \(x^2+4>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, ist \(D_f=\mathbb{R}\). 2. Es gilt \(f(-x)=-f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Die einzige Nullstelle und zugleich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \((0\mid0)\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to0\); die waagerechte Asymptote ist \(y=0\). 5. Die Ableitungen lauten \(f'(x)=\frac{4(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\) und \(f''(x)=\frac{8x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}\). 6. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=-2\) und \(x=2\). Das Vorzeichen wechselt bei \(-2\) von negativ zu positiv und bei \(2\) von positiv zu negativ. Daher liegen \(T(-2\mid-1)\) und \(H(2\mid1)\) vor. 7. Aus \(f''(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=\pm2\sqrt3\). An allen drei Stellen wechselt \(f''\) das Vorzeichen. Die Wendepunkte sind \(W_1(0\mid0)\), \(W_2(-2\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{2})\) und \(W_3(2\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{2})\).

\(D_f=\mathbb{R}\); punktsymmetrisch zum Ursprung; Achsenschnittpunkt \((0\mid0)\); waagerechte Asymptote \(y=0\); \(T(-2\mid-1)\), \(H(2\mid1)\); Wendepunkte \(W_1(0\mid0)\), \(W_2(-2\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{2})\), \(W_3(2\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{2})\).

- Prüfe Definitionsbereich, Symmetrie und Asymptote zunächst direkt am Funktionsterm. - Vergleiche die Nullstellen der Funktion mit den Nullstellen der zweiten Ableitung. - Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bestätigt eine Wendestelle. - Für den Extrempunkt ist der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung entscheidend.

1. Da \(x^2+3>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, ist \(D_f=\mathbb{R}\). Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Aus \(x^2-1=0\) folgen die Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\). Wegen gleicher Zähler- und Nennergrade ist \(y=1\) eine waagerechte Asymptote. 3. Es gilt \(f'(x)=\frac{8x}{(x^2+3)^2}\) und \(f''(x)=\frac{24(1-x^2)}{(x^2+3)^3}\). Die zweite Ableitung wird bei \(x=-1\) und \(x=1\) null und wechselt dort jeweils das Vorzeichen. Daher sind \(W_1(-1\mid0)\) und \(W_2(1\mid0)\) Wendepunkte. 4. Die erste Ableitung wird nur bei \(x=0\) null und wechselt dort von negativ zu positiv. Daher liegt der Tiefpunkt \(T(0\mid-\frac13)\) vor.

1. \(D_f=\mathbb{R}\), achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse 2. Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\); waagerechte Asymptote \(y=1\) 3. \(W_1(-1\mid0)\) und \(W_2(1\mid0)\) 4. \(T(0\mid-\frac13)\)

- Bestimme die Wendestelle eines allgemeinen Scharmitglieds in Abhängigkeit vom Parameter. - Prüfe, ob die zweite Ableitung an dieser Stelle wirklich ihr Vorzeichen wechselt. - Für einen Sattelpunkt kommt zur Wendepunktbedingung eine Bedingung an die erste Ableitung hinzu.

1. Es gilt \(f_k(x)=x+\frac{3}{x}+\frac{k}{x^2}\), \(f_k'(x)=1-\frac{3}{x^2}-\frac{2k}{x^3}\) und \(f_k''(x)=\frac{6x+6k}{x^4}\). 2. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt \(x_W=-k\). Wegen \(k>0\) gehört diese Stelle zum Definitionsbereich. 3. Der Zähler \(6x+6k\) hat bei \(x=-k\) eine einfache Nullstelle und der Nenner \(x^4\) ist positiv. Daher wechselt \(f_k''\) dort das Vorzeichen; jedes Scharmitglied besitzt genau einen Wendepunkt. 4. Für einen Sattelpunkt muss zusätzlich \(f_k'(-k)=0\) gelten. Es ist \(f_k'(-k)=1-\frac{1}{k^2}\). 5. Aus \(1-\frac{1}{k^2}=0\) folgt \(k^2=1\). Wegen \(k>0\) ist \(k=1\).

a) Jede Funktion besitzt genau eine Wendestelle bei \(x=-k\). b) Der Wendepunkt ist für \(k=1\) ein Sattelpunkt.

- Wo ändert der dargestellte Graph seine Krümmungsart? - Welche Koordinaten kannst du an dieser Stelle direkt aus dem Koordinatensystem ablesen? - Welche Bedeutung hat \(f'(3)\) für die gesuchte Tangente? - Wie bestimmst du eine Gerade aus ihrer Steigung und einem Punkt auf der Geraden?

1. Der Graph wechselt bei \(x=3\) seine Krümmung. Für \(x<3\) ist er rechtsgekrümmt, für \(x>3\) linksgekrümmt. 2. Aus der Abbildung liest man \(W(3\mid2)\) ab. 3. Es gilt \(f'(x)=\frac{3}{4}(x-3)^2-3\). Daher hat die Wendetangente die Steigung \(m=f'(3)=-3\). 4. Mit \(W(3\mid2)\) und \(t(x)=mx+n\) gilt \(2=-3\cdot3+n\), also \(n=11\). Damit lautet die Wendetangente \(t(x)=-3x+11\).

a) Rechtsgekrümmt für \(x<3\), linksgekrümmt für \(x>3\). b) \(W(3\mid2)\) c) \(t(x)=-3x+11\)

- Welche Information über die Monotonie von \(f\) liefert das Vorzeichen von \(f'\)? - Welcher Vorzeichenwechsel von \(f'\) kennzeichnet eine lokale Minimalstelle beziehungsweise Maximalstelle? - Was sagt es über \(f''\) aus, wenn der Graph von \(f'\) auf einem Intervall abnimmt?

1. Aussage a) ist wahr: Im Intervall \(-1<x<1\) liegt der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. 2. Aussage b) ist falsch: Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle, keine lokale Maximalstelle. 3. Aussage c) ist wahr: Im Intervall \(0<x<2\) nimmt \(f'\) ab. Somit gilt dort \(f''(x)<0\), und der Graph von \(f\) ist rechtsgekrümmt.

a) Wahr, da \(f'(x)>0\) für \(-1<x<1\). b) Falsch; bei \(x=3\) liegt eine lokale Minimalstelle vor. c) Wahr, da \(f'\) für \(0<x<2\) abnimmt und damit \(f''(x)<0\) gilt.

- Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad entlang des Graphen von links nach rechts. In welchen Abschnitten musst du den Lenker nach links und in welchen nach rechts eingeschlagen halten? - An welchen Stellen wechselt die Richtung, in die du lenkst? Das sind anschaulich die Wendepunkte. - Welche Ableitung einer Funktion gibt Auskunft über die Krümmung des Graphen? - Wie lautet die notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunkts? - Welches Vorzeichen hat die zweite Ableitung in einem linksgekrümmten bzw. rechtsgekrümmten Bereich?

1. Graphische Analyse im dargestellten Bereich \([-3{,}5; 3{,}5]\): - Wendepunkte näherungsweise bei \(x \approx -1\) und \(x \approx 1\). - Linksgekrümmt ungefähr für \(-1<x<1\). - Rechtsgekrümmt ungefähr für \(-3{,}5 \le x<-1\) und \(1<x\le 3{,}5\). 2. Rechnerischer Nachweis: \(f'(x)=-0{,}5x^3+1{,}5x\), \(f''(x)=-1{,}5x^2+1{,}5\), \(f'''(x)=-3x\). Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=\pm1\). Da \(f'''(-1)=3\neq0\) und \(f'''(1)=-3\neq0\), liegen Wendestellen vor. 3. Koordinaten: \(f(-1)=f(1)=0{,}625\). Daher sind \(W_1(-1 \mid 0{,}625)\) und \(W_2(1 \mid 0{,}625)\) die Wendepunkte. 4. Global gilt: rechtsgekrümmt für \(x<-1\) und \(x>1\), linksgekrümmt für \(-1<x<1\).

a) Im dargestellten Bereich näherungsweise linksgekrümmt für \((-1;1)\) und rechtsgekrümmt für \([-3{,}5;-1)\) sowie \((1;3{,}5]\). Wendepunkte ungefähr bei \((-1 \mid 0{,}6)\) und \((1 \mid 0{,}6)\). b) Exakt: \(W_1(-1 \mid 0{,}625)\), \(W_2(1 \mid 0{,}625)\); rechtsgekrümmt für \(x<-1\) und \(x>1\), linksgekrümmt für \(-1<x<1\).

- Bestimme zuerst die Nullstellen von \(f'\). - Ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) klassifiziert lokale Extremstellen von \(f\). - Für eine Terrassenstelle genügt eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel nicht. Prüfe zusätzlich, ob \(f'\) dort seine Monotonierichtung wechselt.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-3\), \(x=2\) und \(x=5\). 2. Bei \(x=-3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle. 3. Bei \(x=5\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ; daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 4. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen nicht, also liegt dort kein Extremum vor. Zugleich besitzt \(f'\) bei \(x=2\) ein lokales Minimum: Links davon nimmt \(f'\) ab, rechts davon zu. Damit wechselt \(f\) dort seine Krümmungsrichtung. 5. Zusammen mit \(f'(2)=0\) folgt, dass \(f\) bei \(x=2\) eine Terrassenstelle besitzt.

a) Lokale Minimalstelle bei \(x=-3\); lokale Maximalstelle bei \(x=5\). b) Terrassenstelle bei \(x=2\).

- An welchen Stellen scheint der dargestellte Graph seine Krümmung zu wechseln? - Welche Ableitung musst du untersuchen, um die vermuteten Wendestellen rechnerisch zu bestimmen? - Wie hilft dir das Vorzeichen von \(f''\), die Krümmungsintervalle festzulegen?

1. Aus dem Graphen lassen sich die Wendestellen näherungsweise bei \(x=-1\) und \(x=1\) vermuten. 2. Es gilt \(f'(x)=0{,}4x^3-1{,}2x+0{,}4\), \(f''(x)=1{,}2x^2-1{,}2\) und \(f'''(x)=2{,}4x\). 3. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=-1\) oder \(x=1\). Da \(f'''(-1)=-2{,}4\ne0\) und \(f'''(1)=2{,}4\ne0\), liegen an beiden Stellen Wendestellen vor. 4. Es gilt \(f(-1)=-0{,}9\) und \(f(1)=-0{,}1\). Somit sind \(W_1(-1\mid-0{,}9)\) und \(W_2(1\mid-0{,}1)\) die Wendepunkte. 5. Für \(x<-1\) und \(x>1\) gilt \(f''(x)>0\); dort ist der Graph linksgekrümmt. Für \(-1<x<1\) gilt \(f''(x)<0\); dort ist er rechtsgekrümmt.

a) Näherungsweise \(x=-1\) und \(x=1\). b) \(W_1(-1\mid-0{,}9)\) und \(W_2(1\mid-0{,}1)\) c) Linksgekrümmt für \(x<-1\) und \(x>1\); rechtsgekrümmt für \(-1<x<1\).

- Vergleiche für Teil a) die vertikale Lage der markierten Punkte. - Für Teil b) ist nicht der Funktionswert, sondern die Tangentensteigung entscheidend. - Welche Krümmungsart gehört zu \(f''(x)<0\)? - Wo ändert der Graph seine Krümmung?

1. Der Funktionswert ist an der tiefsten markierten Stelle am kleinsten. Das ist bei \(x_6\) der Fall. 2. Unter \(x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\) nimmt der Graph bei \(x_3\) am stärksten zu. Dort ist die Tangentensteigung und damit \(f'(x)\) am größten. 3. Eine negative zweite Ableitung bedeutet Rechtskrümmung. Diese liegt zwischen den Wendestellen \(x=-1\) und \(x=2\) vor. Von den markierten Stellen liegt nur \(x_4\) in diesem Bereich. 4. Bei \(x_3=-1\) und \(x_5=2\) wechselt der Graph seine Krümmung. Dort liegen die Wendestellen.

a) \(x_6\) b) \(x_3\) c) \(x_4\) d) \(x_3\) und \(x_5\)

- Überlege dir zuerst den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''(x)\) und dem Krümmungsverhalten des Graphen von \(f\). - Wann genau ändert ein Graph sein Krümmungsverhalten (was kennzeichnet eine Wendestelle)? Welche Eigenschaft muss \(f''\) an einer solchen Stelle haben? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der ersten Ableitung \(f'\) und der zweiten Ableitung \(f''\)? Wie hängen Extrempunkte einer Funktion mit den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion zusammen?

Im dargestellten Bereich gilt \(f''(x)>0\) für \(-4\le x<-2\) und \(2<x\le4\). Dort ist \(f\) linksgekrümmt. Für \(-2<x<2\) gilt \(f''(x)<0\); dort ist \(f\) rechtsgekrümmt. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) hat \(f''\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. Daher liegen dort Wendestellen von \(f\). Die Aussage in c) ist falsch, denn für einen lokalen Extrempunkt von \(f'\) wäre \(f''(0)=0\) notwendig. Aus dem Graphen folgt jedoch \(f''(0)=-4\).

a) Linksgekrümmt auf \([-4;-2)\) und \((2;4]\); rechtsgekrümmt auf \((-2;2)\). b) Wendestellen bei \(x=-2\) und \(x=2\). c) Falsch, da \(f''(0)=-4 \neq 0\).

- Überlege, wie Monotonie und Krümmung von \(f\) mit dem Verlauf von \(f'\) zusammenhängen. - Welche Vorzeichenwechsel von \(f'\) kennzeichnen lokale Extremstellen von \(f\)? - Woran erkennst du Wendestellen von \(f\) direkt am Verlauf von \(f'\)?

1. Aussage a) ist wahr: Auf \(0<x<2\) nimmt \(f'\) ab, also gilt \(f''(x)<0\). Damit ist \(f\) auf \([0;2]\) rechtsgekrümmt. 2. Aussage b) ist falsch: Bei \(x=1\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, aber keine Extremstelle. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle und keine Wendestelle. 3. Aussage c) ist wahr: Die lokalen Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x\approx-0{,}73\) und \(x\approx2{,}73\); dort liegen die beiden Wendestellen von \(f\). 4. Aussage d) ist wahr: Auf \([1;4]\) gilt im Inneren des Intervalls \(f'(x)<0\), abgesehen von isolierten Nullstellen. Daher ist \(f\) auf \([1;4]\) streng monoton abnehmend. 5. Aussage e) ist falsch: Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; \(f\) besitzt dort eine lokale Minimalstelle.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Wahr e) Falsch

- Eine Wendestelle ist eine Stelle, an der die Krümmungsrichtung wechselt. - Wie verändert sich die Tangentensteigung in einem linksgekrümmten beziehungsweise rechtsgekrümmten Bereich? - Für die globalen Krümmungsintervalle kannst du das Vorzeichen von \(f''\) untersuchen.

1. Aus der Abbildung liest man die Wendestellen \(x=1\) und \(x=3\) ab. 2. Bei \(x=1\) wechselt der Graph von Links- zu Rechtskrümmung. Die Werte von \(f'\) nehmen davor zu und danach ab, also besitzt \(f'\) dort ein lokales Maximum. 3. Bei \(x=3\) wechselt der Graph von Rechts- zu Linkskrümmung. Die Werte von \(f'\) nehmen davor ab und danach zu, also besitzt \(f'\) dort ein lokales Minimum. 4. Es gilt \(f''(x)=12x^2-48x+36=12(x-1)(x-3)\). Daher ist \(f''(x)>0\) für \(x<1\) und \(x>3\) sowie \(f''(x)<0\) für \(1<x<3\). 5. Somit ist der Graph für \(x<1\) und \(x>3\) linksgekrümmt und für \(1<x<3\) rechtsgekrümmt.

a) \(x=1\) und \(x=3\). b) Bei \(x=1\) besitzt \(f'\) ein lokales Maximum, bei \(x=3\) ein lokales Minimum. c) Linksgekrümmt für \(x<1\) und \(x>3\); rechtsgekrümmt für \(1<x<3\).

- Welche Ableitungen einer Funktion benötigst du, um einen Wendepunkt zu bestimmen und zu überprüfen? - Wie hängen die Krümmung einer Kurve und das Vorzeichen der zweiten Ableitung zusammen? - Welche mathematische Größe beschreibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens? - Überlege, an welcher Stelle einer Kurve die Steigung (Zunahme) ihr Maximum erreicht.

1. Wendepunkt: \(V'(t)=-1{,}5t^2+12t\), \(V''(t)=-3t+12\), \(V'''(t)=-3\). Aus \(V''(t)=0\) folgt \(t=4\), und wegen \(V'''(4)\neq0\) liegt \(W(4\,\text{h} \mid 84\,\text{m}^3)\) vor. Dort ist die Steigung maximal. 2. \(V'(4)=24\), also beträgt die maximale Änderungsrate des Wasservolumens \(24\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Für \(0\le t<4\) gilt \(V''(t)>0\): Die Änderungsrate des Wasservolumens nimmt zu. Für \(4<t\le10\) gilt \(V''(t)<0\): Die Änderungsrate des Wasservolumens nimmt ab. Bei \(t=8\) ist \(V'(8)=0\); erst für \(t>8\) ist \(V'(t)<0\), sodass das Volumen abnimmt.

a) \(W(4\,\text{h} \mid 84\,\text{m}^3)\); dort wechselt die Krümmung, und das Volumen nimmt am schnellsten zu. b) \(24\,\text{m}^3/\text{h}\). c) Für \(0\le t<4\) linksgekrümmt, für \(4<t\le10\) rechtsgekrümmt. Bei \(t=8\) ist die Änderungsrate null; für \(t>8\) nimmt das Volumen ab.

- Welche Vorzeichenwechsel von \(f'\) kennzeichnen lokale Extremstellen von \(f\)? - Woran erkennst du am Verlauf von \(f'\), dass eine stationäre Stelle von \(f\) zugleich eine Wendestelle ist? - Wie hängt das Krümmungsverhalten von \(f\) mit dem Monotonieverhalten von \(f'\) zusammen? - Welche Eigenschaft von \(f'\) hilft dir beim Vergleich von \(f(-2)\) und \(f(-4)\)?

1. \(f'\) hat bei \(x=-4\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus; dort besitzt \(f\) eine lokale Minimalstelle. Bei \(x=-1\) liegt eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. Zugleich besitzt \(f'\) dort ein lokales Minimum, sodass \(f\) bei \(x=-1\) eine Terrassenstelle, aber kein Extremum besitzt. 2. Im dargestellten Bereich nimmt \(f'\) auf \([-5;-3)\) und \((-1;1]\) zu. Daher ist \(f\) dort linksgekrümmt. Auf \((-3;-1)\) nimmt \(f'\) ab; dort ist \(f\) rechtsgekrümmt. 3. Die lokalen Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-3\) und \(x=-1\). Dies sind die Wendestellen von \(f\). 4. Auf \([-4;-2]\) ist \(f\) streng monoton zunehmend, weil \(f'(x)>0\) für \(-4<x\le-2\). Daher gilt \(f(-2)>f(-4)\).

a) Lokale Minimalstelle bei \(x=-4\); bei \(x=-1\) liegt eine Terrassenstelle vor. b) Im dargestellten Bereich linksgekrümmt auf \([-5;-3)\) und \((-1;1]\), rechtsgekrümmt auf \((-3;-1)\). c) Wendestellen bei \(x=-3\) und \(x=-1\). d) \(f(-2)>f(-4)\), da \(f\) auf \([-4;-2]\) streng monoton zunimmt.

- An welchen Stellen einer Funktion muss ihre Ableitung null sein? - Vergleiche die Vorzeichen eines möglichen Ableitungsgraphen mit den Bereichen, in denen der zugehörige Graph zunimmt oder abnimmt. - Wende dieselbe Idee anschließend noch einmal auf die erste und zweite Ableitung an.

1. Der Graph von \(p\) besitzt bei \(x=-2\) eine lokale Maximalstelle und bei \(x=2\) eine lokale Minimalstelle. Der Graph von \(q\) hat genau dort Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. 2. Außerdem ist \(p\) für \(x<-2\) zunehmend, für \(-2<x<2\) abnehmend und für \(x>2\) wieder zunehmend. Dazu passen die Vorzeichen von \(q\). Daher ist \(q=p'\). 3. Der Graph von \(q\) besitzt bei \(x=0\) eine lokale Minimalstelle. Der Graph von \(r\) hat dort eine Nullstelle und wechselt von negativen zu positiven Werten. Daher ist \(r=q'\). 4. Somit ist \(p\) die Ausgangsfunktion, \(q\) ihre erste Ableitung und \(r\) ihre zweite Ableitung.

Ausgangsfunktion: \(p\) Erste Ableitung: \(q\) Zweite Ableitung: \(r\)

- Erinnere dich daran, welche geometrische Bedeutung die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle hat. - Wo befinden sich die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen? Was bedeutet das für die Tangentensteigung an diesen Stellen? - Lies zwei Punkte der eingezeichneten Tangente ab und berechne daraus ihre Steigung. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Krümmungsrichtung und dem Vorzeichen der zweiten Ableitung?

1. Der Hochpunkt liegt bei \(H(-2 \mid 4)\), der Tiefpunkt bei \(T(2 \mid -4)\). Dort sind die Tangenten waagerecht, also gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 2. Im Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\) nimmt der Tangentenwert bei einem Schritt um \(1\) in \(x\)-Richtung um \(3\) ab. Daher beträgt die Steigung \(-3\), also \(f'(0) = -3\). 3. Für \(x < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt und \(f''(x) < 0\). Für \(x > 0\) ist der Graph linksgekrümmt und \(f''(x) > 0\).

a) \(H(-2 \mid 4)\) und \(T(2 \mid -4)\); an beiden Stellen hat \(f'\) eine Nullstelle. b) \(f'(0) = -3\). c) Für \(x < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt und \(f''(x) < 0\); für \(x > 0\) ist er linksgekrümmt und \(f''(x) > 0\).

- Zähle alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von \(f\). - Wo ändert sich die Krümmung des Graphen von \(f\)? - Was entspricht einem Wendepunkt von \(f\) im Graphen von \(f'\)?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen an den Stellen mit waagerechter Tangente. Der Graph von \(f\) hat Tiefstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie eine Hochstelle bei \(x = 0\). Daher hat \(f'\) die Nullstellen \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 2. Am dargestellten Graphen von \(f\) erkennt man zwischen \(-2\) und \(0\) sowie zwischen \(0\) und \(2\) jeweils einen Krümmungswechsel. An diesen beiden Wendestellen ist die Tangentensteigung lokal extrem. Daher besitzt \(f'\) mindestens zwei Extremstellen.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 2. \(f'\) besitzt mindestens zwei Extremstellen, weil \(f\) zwei Wendestellen aufweist.

- Vergleiche das Steig- und Fallverhalten eines Graphen mit dem Vorzeichen des anderen. - Die Steigung von \(r\) liest du als Funktionswert von \(r'\) ab. - Für \(r''(1)\) brauchst du die Steigung des Graphen von \(r'\).

1. Der Graph \(p\) steigt für \(x<3\) und fällt für \(x>3\). Der Graph \(q\) ist entsprechend für \(x<3\) positiv und für \(x>3\) negativ. Daher ist \(p=r\) und \(q=s=r'\). 2. Die Steigung von \(r\) bei \(x=1\) ist \(r'(1)=s(1)=q(1)=0{,}8\). 3. Der Wert \(r''(1)\) ist die Steigung des Graphen von \(r'=s\). Der Graph \(q\) ist eine Gerade; aus den Punkten \((0\mid1{,}2)\) und \((3\mid0)\) erhält man die Steigung \(\frac{0-1{,}2}{3-0}=-0{,}4\). Somit gilt \(r''(1)=-0{,}4\).

a) \(p=r\), \(q=s=r'\). b) \(r'(1)=0{,}8\). c) \(r''(1)=-0{,}4\).

- Welche Stellen von \(f'\) entsprechen Wendestellen von \(f\)? - Wie hängt die Krümmung von \(f\) mit dem Zu- oder Abnehmen von \(f'\) zusammen? - Welche Folgerung erlaubt \(f'(x)>0\) für den Vergleich von Funktionswerten? - Welcher Vorzeichenwechsel von \(f'\) kennzeichnet eine lokale Maximalstelle von \(f\)?

1. Aussage 1 ist wahr: Der Graph von \(f'\) besitzt zwei lokale Extremstellen; daher hat \(f\) zwei Wendestellen. 2. Aussage 2 ist falsch: \(f'\) nimmt auf \([0;2]\) nicht durchgehend ab, sondern ab ungefähr \(x=1{,}15\) wieder zu. Daher ist \(f\) dort nicht im gesamten Intervall rechtsgekrümmt. 3. Aussage 3 ist wahr: Für \(2<x<3\) gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) auf \([2;3]\) streng monoton zunehmend und somit \(f(2)<f(3)\). 4. Aussage 4 ist falsch: Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; \(f\) besitzt dort eine lokale Maximalstelle.

1. Wahr 2. Falsch 3. Wahr 4. Falsch

- Bestimme zunächst die Kandidaten über die Nullstellen der zweiten Ableitung. - Prüfe an jeder Kandidatenstelle das angegebene hinreichende Kriterium mit der dritten Ableitung. - Setze erst danach die bestätigten Abszissen in die Ausgangsfunktion ein.

1. Für \(f\) gilt \(f'(x)=x^3-6x^2+9x\), \(f''(x)=3x^2-12x+9\) und \(f'''(x)=6x-12\). 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt \((x-1)(x-3)=0\), also \(x=1\) und \(x=3\). Es ist \(f'''(1)=-6\neq0\) und \(f'''(3)=6\neq0\); beide Stellen sind Wendestellen. 3. Es gilt \(f(1)=-2{,}25\) und \(f(3)=1{,}75\). Damit sind \(W_1(1\mid-2{,}25)\) und \(W_2(3\mid1{,}75)\) die Wendepunkte. 4. Für \(g\) gilt \(g'(x)=0{,}5x^2-2x+1\), \(g''(x)=x-2\) und \(g'''(x)=1\). 5. Aus \(g''(x)=0\) folgt \(x=2\). Wegen \(g'''(2)=1\neq0\) liegt dort eine Wendestelle. 6. Es gilt \(g(2)=\frac{10}{3}\). Der Wendepunkt ist \(W(2\mid\frac{10}{3})\).

a) \(W_1(1\mid-2{,}25)\) und \(W_2(3\mid1{,}75)\) b) \(W(2\mid\frac{10}{3})\)

- Die erste Ableitung beschreibt die Tangentensteigung: Nimmt oder fällt der Graph an der markierten Stelle? - Welche Vorzeichen von \(f''\) gehören zu Links- beziehungsweise Rechtskrümmung? - Wo ist die Tangentensteigung am kleinsten?

1. Bei \(x_A=-1\) steigt der Graph, also ist \(f'(-1)>0\). Zugleich ist er rechtsgekrümmt, also gilt \(f''(-1)<0\). Daher gehört \(x_A\) zu Beschreibung 2. 2. Bei \(x_B=1\) liegt eine Wendestelle mit Übergang von Rechts- zu Linkskrümmung. Dort ist die Steigung lokal minimal. Daher gehört \(x_B\) zu Beschreibung 3. 3. Bei \(x_C=2\) fällt der Graph, also ist \(f'(2)<0\). Zugleich ist er linksgekrümmt, also gilt \(f''(2)>0\). Daher gehört \(x_C\) zu Beschreibung 1. 4. Bei \(x_D=4\) steigt der Graph wieder und ist linksgekrümmt; diese Stelle gehört zu keiner der drei gefragten Beschreibungen.

1. \(x_C=2\) 2. \(x_A=-1\) 3. \(x_B=1\)

- Untersuche für a) das Vorzeichen von \(f'\) im ganzen angegebenen Bereich und beachte die isolierte Nullstelle. - Vergleiche links und rechts von \(x=3\) die Vorzeichen von \(f'\), bevor du über eine Extremstelle entscheidest. - Wie verändert sich \(f'\) unmittelbar links und rechts von seinem lokalen Extremum bei \(x=3\)? - Die Steigung von \(f\) an einer Stelle ist der dortige Funktionswert von \(f'\).

1. Aussage a) ist wahr. Der Graph von \(f'\) liegt für \(-2<x\le5\) unterhalb der \(x\)-Achse; nur bei \(x=3\) berührt er sie. Damit gilt \(f'(x)<0\) außer an dieser isolierten Stelle, und \(f\) nimmt im gesamten angegebenen Bereich streng monoton ab. 2. Aussage b) ist falsch. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen nicht, daher ändert \(f\) dort nicht seine Monotonierichtung. 3. Aussage c) ist wahr. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x=3\) ein lokales Maximum. Damit wechselt \(f'\) dort von zunehmend zu abnehmend, also ändert \(f\) seine Krümmungsrichtung. 4. Aussage d) ist falsch, denn aus dem Graphen liest man \(f'(1)<0\) ab.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Falsch

- Prüfe anhand von Form und Extremstellen, welcher Graph die Ableitung des anderen ist. - Linksgekrümmt bedeutet hier \(f''(x)>0\). - Bestimme dazu den Bereich, in dem der Graph von \(f''\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Der Graph \(g_1\) ist kubisch und \(g_2\) quadratisch. Die Nullstellen von \(g_2\) liegen an den Extremstellen von \(g_1\). Daher gilt \(g_1=f'\) und \(g_2=f''\). 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x)>0\). Die Nullstellen von \(g_2\) liegen bei \(x=\pm\sqrt3\approx\pm1{,}73\). Zwischen ihnen liegt \(g_2\) oberhalb der \(x\)-Achse. 3. Daher ist \(f\) für \(x\in(-\sqrt3;\sqrt3)\) linksgekrümmt.

a) \(g_1=f'\), \(g_2=f''\). b) \(x\in(-\sqrt3;\sqrt3)\), näherungsweise \((-1{,}73;1{,}73)\).

- Bestimme zuerst eine mögliche Wendestelle und bestätige sie mit einem hinreichenden Kriterium. - Für die Tangente brauchst du sowohl den Punkt auf dem Graphen als auch die dortige Steigung. - Setze die bekannten Größen anschließend in eine Tangentengleichung ein.

1. Es gilt \(f'(x)=\frac{1}{2}x^2-x-1\), \(f''(x)=x-1\) und \(f'''(x)=1\). 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x_W=1\). Wegen \(f'''(1)=1\neq0\) liegt dort eine Wendestelle. 3. Mit \(f(1)=-\frac13\) ergibt sich \(W(1\mid-\frac13)\). 4. Die Tangentensteigung ist \(m=f'(1)=-1{,}5\). 5. Damit lautet die Wendetangente \(t_w: y=-1{,}5(x-1)-\frac13=-1{,}5x+\frac76\).

a) \(W(1\mid-\frac13)\) b) \(t_w: y=-1{,}5x+\frac76\)

- Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung und prüfe anschließend, ob sie echte Wendestellen sind. - Nutze die Achsensymmetrie als Kontrolle für die Lage der beiden Punkte. - Wenn zwei Punkte dieselbe Ordinate besitzen, hängt ihr Abstand nur von den Abszissen ab.

1. Es gilt \(f'(x)=4x^3-12x\), \(f''(x)=12x^2-12\) und \(f'''(x)=24x\). 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=\pm1\). Wegen \(f'''(-1)=-24\neq0\) und \(f'''(1)=24\neq0\) liegen an beiden Stellen Wendepunkte vor. 3. Es gilt \(f(-1)=f(1)=0\). Somit sind die Wendepunkte \(W_1(-1\mid0)\) und \(W_2(1\mid0)\). 4. Beide Punkte liegen auf derselben Horizontalen; ihr Abstand beträgt \(2\) Längeneinheiten.

Wendepunkte: \(W_1(-1\mid0)\) und \(W_2(1\mid0)\) Abstand: \(2\) Längeneinheiten

- Wie hängt das Zu- oder Abnehmen von \(f'\) mit der Krümmung von \(f\) zusammen? - Welcher Vorzeichenwechsel von \(f'\) kennzeichnet eine lokale Maximalstelle von \(f\)? - Welche Stellen von \(f'\) entsprechen Wendestellen von \(f\)? - Nutze für die Monotonie von \(f\) das Vorzeichen von \(f'\).

1. Aussage a) ist falsch. Für \(x>2\) nimmt \(f'\) ab. Daher gilt \(f''(x)<0\), und der Graph von \(f\) ist dort rechtsgekrümmt. 2. Aussage b) ist wahr. Bei \(x=4\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 3. Aussage c) ist wahr. Bei \(x=2\) besitzt \(f'\) ein lokales Maximum. Daher liegt dort eine Wendestelle von \(f\). 4. Aussage d) ist falsch. Für \(0<x<2\) gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) auf \([0;2]\) streng monoton zunehmend.

a) Falsch b) Wahr c) Wahr d) Falsch

- Nutze die Ableitungsregel für Funktionen der Form \(a^x\). - Welche Vorzeichen haben die Faktoren in \(f'\) und \(f''\)? - Die Monotonie von \(f'\) hängt unmittelbar mit dem Vorzeichen von \(f''\) zusammen.

1. Mit der Ableitungsregel für Exponentialfunktionen gilt \(f'(x)=4\cdot0{,}75^x\ln(0{,}75)\) und \(f''(x)=4\cdot0{,}75^x(\ln(0{,}75))^2\). 2. Da \(0{,}75^x>0\) und \((\ln(0{,}75))^2>0\) gilt, ist \(f''(x)>0\) für alle \(x\). Der Graph von \(f\) ist daher linksgekrümmt und \(f'\) streng monoton steigend. 3. Weil \(\ln(0{,}75)<0\), gilt \(f'(x)<0\) für alle \(x\). Der Graph von \(f'\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse. 4. Für \(x\to\infty\) gilt \(0{,}75^x\to0\), also nähert sich \(f'(x)\) der \(0\) von unten.

a) \(f'(x)=4\cdot0{,}75^x\ln(0{,}75)\), \(f''(x)=4\cdot0{,}75^x(\ln(0{,}75))^2\) b) \(f''(x)>0\): \(f\) ist linksgekrümmt und \(f'\) streng monoton steigend. c) \(f'(x)<0\); der Graph von \(f'\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse und nähert sich für \(x\to\infty\) der \(x\)-Achse von unten.

- Welche Stellen von \(g'\) entsprechen Wendestellen von \(g\)? - Prüfe bei \(x=2\), ob \(g'\) sein Vorzeichen wechselt. - Welche zusätzliche Eigenschaft macht eine stationäre Wendestelle zu einer Terrassenstelle?

1. Wendestellen von \(g\) entsprechen lokalen Extremstellen von \(g'\). Im Graphen von \(g'\) erkennt man ein lokales Maximum bei \(x=0\) und ein lokales Minimum bei \(x=2\). Daher liegen die Wendestellen von \(g\) bei \(x=0\) und \(x=2\). 2. Bei \(x=2\) gilt zusätzlich \(g'(2)=0\). Der Graph von \(g'\) berührt dort die \(x\)-Achse und wechselt sein Vorzeichen nicht, also besitzt \(g\) dort kein Extremum. Da \(x=2\) zugleich eine Wendestelle ist, liegt eine Terrassenstelle vor.

a) Wendestellen bei \(x=0\) und \(x=2\). b) Bei \(x=2\) liegt eine Terrassenstelle vor.

- Bestimme den Wendepunkt über die zweite Ableitung und bestätige ihn anschließend. - Die Wendetangente braucht den Wendepunkt und die dortige erste Ableitung. - Eine vorgegebene Steigung übersetzt du in eine Gleichung für die erste Ableitung.

1. Es gilt \(g'(x)=-0{,}3x^2+1{,}2x\), \(g''(x)=-0{,}6x+1{,}2\) und \(g'''(x)=-0{,}6\). 2. Aus \(g''(x)=0\) folgt \(x=2\). Wegen \(g'''(2)=-0{,}6\neq0\) liegt dort eine Wendestelle. Mit \(g(2)=2{,}6\) ergibt sich \(W(2\mid2{,}6)\). 3. Die Tangentensteigung ist \(g'(2)=1{,}2\). Daher lautet die Wendetangente \(t(x)=1{,}2(x-2)+2{,}6=1{,}2x+0{,}2\). 4. Für die gesuchten Stellen gilt \(g'(x)=0{,}9\). Daraus folgt \(x^2-4x+3=0\) und damit \(x=1\) oder \(x=3\).

a) \(W(2\mid2{,}6)\) b) \(t(x)=1{,}2x+0{,}2\) c) \(x=1\) und \(x=3\)

- Welche Stellen von \(f'\) entsprechen Wendestellen von \(f\)? - Wie hängt Rechtskrümmung von \(f\) mit dem Zu- oder Abnehmen von \(f'\) zusammen? - Suche im Graphen von \(f'\) nach lokalen Hoch- und Tiefstellen.

1. Wendestellen von \(f\) entsprechen lokalen Extremstellen von \(f'\). Im Graphen liegen diese bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Im dargestellten Bereich \([-3;3]\) nimmt \(f'\) auf \([-3;-2)\) und \((0;2)\) ab. Daher gilt dort \(f''(x)<0\), und der Graph von \(f\) ist rechtsgekrümmt.

a) Wendestellen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). b) Im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt auf \([-3;-2)\) und \((0;2)\).

- Wo ist die Steigung des Graphen von \(f\) am kleinsten? Was bedeutet das für den Graphen von \(f'\)? - Betrachte den Bereich zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt. Ist die Steigung dort positiv oder negativ? - Wie verändert sich die Steigung, wenn du dich dem Ursprung näherst? - Wenn \(f\) eine Funktion 3. Grades ist, welche Form hat dann die Ableitung?

1. Der Graph \(G_f\) hat bei \(x = -2\) einen Hochpunkt und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen: \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 2. Im Ursprung liegt ein Wendepunkt von \(f\), an dem der Graph am steilsten fällt. Die Steigung ist dort am kleinsten. Daher hat \(f'\) bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt. 3. Der Graph von \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(x = -2\) und \(x = 2\). Ihr Scheitelpunkt liegt bei \(x = 0\) unterhalb der \(x\)-Achse.

Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt; ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(x = -2\) und \(x = 2\).

- Untersuche an jeder Nullstelle von \(f'\), ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt. - Eine Terrassenstelle benötigt neben \(f'(x)=0\) auch einen Krümmungswechsel der ursprünglichen Funktion. - Woran erkennst du am Graphen von \(f'\), dass sich die Monotonie von \(f'\) bei \(x=4\) ändert?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. 2. Bei \(x=-3\) wechselt \(f'\) von negativen zu positiven Werten. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle. 3. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiven zu negativen Werten. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 4. Bei \(x=4\) gilt \(f'(4)=0\), aber \(f'\) bleibt links und rechts davon negativ. Zugleich besitzt \(f'\) bei \(x=4\) ein lokales Maximum: Die Werte von \(f'\) nehmen davor zu und danach ab. Damit ändert \(f\) dort seine Krümmungsrichtung und hat eine waagerechte Tangente. Also liegt bei \(x=4\) eine Terrassenstelle vor.

a) Lokale Minimalstelle bei \(x=-3\); lokale Maximalstelle bei \(x=1\). b) Terrassenstelle bei \(x=4\).

- Eine Nullstelle von \(f'\) allein entscheidet noch nicht über eine Extremstelle. - Vergleiche das Vorzeichen von \(f'\) unmittelbar links und rechts der Nullstellen. - Für eine Terrassenstelle ist zusätzlich wichtig, ob \(f'\) dort seine Monotonierichtung wechselt.

1. Bei \(x=2\) gilt \(f'(2)=0\), aber \(f'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen. Daher besitzt \(f\) bei \(x=2\) keine Extremstelle. 2. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Deshalb besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 3. Bei \(x=2\) besitzt \(f'\) ein lokales Maximum mit dem Wert null. Damit gilt \(f'(2)=0\) ohne Vorzeichenwechsel, und zugleich wechselt die Monotonie von \(f'\) von zunehmend zu abnehmend. Deshalb ändert \(f\) dort seine Krümmungsrichtung. Bei \(x=2\) liegt eine Terrassenstelle vor.

a) Keine Extremstelle bei \(x=2\). b) Lokale Maximalstelle bei \(x=-1\). c) Terrassenstelle bei \(x=2\).

- Welche Stellen von \(f'\) entsprechen Wendestellen von \(f\)? - Wo nimmt der Graph von \(f'\) zu, wo nimmt er ab? - Welche Krümmungsart von \(f\) gehört jeweils dazu?

1. Die lokalen Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Daher sind dies Wendestellen von \(f\). 2. Im dargestellten Bereich \([-4;4]\) nimmt \(f'\) auf \((-2;2)\) zu. Daher ist \(f\) dort linksgekrümmt. Auf \([-4;-2)\) und \((2;4]\) nimmt \(f'\) ab; dort ist \(f\) rechtsgekrümmt.

a) Wendestellen bei \(x=-2\) und \(x=2\). b) Im dargestellten Bereich linksgekrümmt auf \((-2;2)\); rechtsgekrümmt auf \([-4;-2)\) und \((2;4]\).

- Wo ändert der Graph sichtbar seine Krümmungsart? - Welches Vorzeichen von \(f''\) gehört zu Links- beziehungsweise Rechtskrümmung? - Bestimme die Nullstellen von \(f''\) als Grenzen der Krümmungsintervalle.

1. Aus der Grafik lässt sich näherungsweise erkennen, dass der Graph zwischen \(x=-1\) und \(x=1\) rechtsgekrümmt und außerhalb dieses Bereichs linksgekrümmt ist. 2. Es gilt \(f''(x)=3x^2-3\). Die Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=1\). 3. Für \(-1<x<1\) gilt \(f''(x)<0\), also ist der Graph rechtsgekrümmt. Für \(x<-1\) und \(x>1\) gilt \(f''(x)>0\), also ist er linksgekrümmt.

a) Näherungsweise rechtsgekrümmt zwischen \(x=-1\) und \(x=1\), außerhalb linksgekrümmt. b) Rechtsgekrümmt auf \((-1;1)\); linksgekrümmt auf \(( -\infty;-1)\cup(1;\infty)\).

- Wo ändert der Graph sichtbar seine Krümmungsart? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen \(f''\) und der Krümmung von \(f\)? - Prüfe nach der Nullstelle von \(f''\), ob dort tatsächlich ein Krümmungswechsel vorliegt.

1. Im dargestellten Bereich ist der Graph näherungsweise auf \([-3;1)\) rechtsgekrümmt und auf \((1;5]\) linksgekrümmt. 2. Es gilt \(f'(x)=x^2-2x-3\), \(f''(x)=2x-2\) und \(f'''(x)=2\). 3. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=1\). Wegen \(f'''(1)\neq0\) liegt dort eine Wendestelle. Global ist der Graph für \(x<1\) rechtsgekrümmt und für \(x>1\) linksgekrümmt.

a) Im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt auf \([-3;1)\), linksgekrümmt auf \((1;5]\). b) Wendestelle bei \(x=1\); global rechtsgekrümmt auf \(( -\infty;1)\) und linksgekrümmt auf \((1;\infty)\).

- Suche die Stellen, an denen sich die Krümmungsart ändert. - Untersuche jeden Abschnitt zwischen zwei solchen Stellen getrennt. - Entscheide jeweils zwischen Links- und Rechtskrümmung.

1. Im dargestellten Bereich \([-6;6]\) liegen Krümmungswechsel bei \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\). 2. Der Graph ist auf \([-6;-3)\) und \((0;3)\) rechtsgekrümmt sowie auf \((-3;0)\) und \((3;6]\) linksgekrümmt.

Rechtsgekrümmt auf \([-6;-3)\) und \((0;3)\); linksgekrümmt auf \((-3;0)\) und \((3;6]\).

- Für a) vergleichst du die Höhen der markierten Punkte. - Für b) suchst du die Stelle mit der stärksten negativen Tangentensteigung. - Eine Wendestelle erkennst du an einem Wechsel der Krümmungsart.

1. Der höchste markierte Funktionswert liegt bei \(x_3\). 2. Die Steigung ist dort am kleinsten, wo der Graph am steilsten abfällt. Das ist bei \(x_5\) der Fall. 3. Bei \(x_5\) wechselt der Graph von Rechts- zu Linkskrümmung. Daher liegt dort eine Wendestelle; zugleich ist die Steigung dort lokal minimal.

a) \(x_3\) b) \(x_5\) c) \(x_5\)

- Welche Bedingungen müssen für ein lokales Extremum (Maximum oder Minimum) gelten? - Woran erkennst du einen Wendepunkt im Graphen? - Überlege dir, wie sich die Krümmung am Wendepunkt \(B\) verändert. - Schau dir die Steigung der Tangente in den Punkten \(A\) und \(C\) genau an.

Die Analyse der Punkte ergibt: 1. Punkt \(A\): Hier liegt ein lokales Maximum vor. Die Steigung ist Null (\(f'(x) = 0\)) und der Graph ist rechtsgekrümmt (\(f''(x) < 0\)). 2. Punkt \(B\): Dies ist ein Wendepunkt. Der Graph geht von einer Rechts- in eine Linkskrümmung über, daher ist \(f''(x) = 0\). Da der Graph dort fällt, ist die Steigung negativ (\(f'(x) < 0\)). 3. Punkt \(C\): Hier liegt ein lokales Minimum vor. Die Steigung ist Null (\(f'(x) = 0\)) und der Graph ist linksgekrümmt (\(f''(x) > 0\)).

- Punkt \(A\): \(f'(x) = 0\), \(f''(x) < 0\); lokales Maximum. - Punkt \(B\): \(f'(x) < 0\), \(f''(x) = 0\); Wendepunkt. - Punkt \(C\): \(f'(x) = 0\), \(f''(x) > 0\); lokales Minimum.

- Welches Vorzeichen von \(f''\) gehört zur Linkskrümmung? - Welche Bedingung muss \(f''\) an einer Wendestelle erfüllen? - Wenn \(f''<0\) gilt, nimmt \(f'\) dort zu oder ab?

1. Aussage a) ist wahr. Für \(1<x<3\) gilt \(f''(x)>0\); daher ist der Graph von \(f\) dort linksgekrümmt. 2. Aussage b) ist falsch. Es gilt \(f''(2)=1\neq0\), also kann bei \(x=2\) keine Wendestelle liegen. 3. Aussage c) ist falsch. Für \(0<x<1\) gilt \(f''(x)<0\), also nimmt \(f'\) dort ab. Damit kann \(f'\) auf \([0;2]\) nicht streng monoton zunehmend sein. 4. Aussage d) ist wahr. Bei \(x=3\) besitzt \(f''\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Daher liegt dort eine Wendestelle von \(f\).

a) Wahr b) Falsch c) Falsch d) Wahr

- Wie hängt das Vorzeichen von \(f''\) mit der Krümmung von \(f\) zusammen? - Was bedeutet \(f''>0\) für das Monotonieverhalten von \(f'\)? - Welche Bedingung muss \(f''\) an einer Wendestelle erfüllen? - Welches hinreichende Kriterium klassifiziert eine stationäre Stelle mithilfe von \(f''\)?

1. Aussage a) ist wahr, da \(f''(x)<0\) für \(-1<x<3\). 2. Aussage b) ist falsch. Für \(3<x\le5\) gilt \(f''(x)>0\); daher ist \(f'\) dort streng monoton zunehmend. 3. Aussage c) ist falsch, da \(f''(1)\neq0\). 4. Aussage d) ist wahr. Aus \(f'(0)=0\) und \(f''(0)<0\) folgt nach dem hinreichenden Kriterium eine lokale Maximalstelle.

a) Wahr b) Falsch c) Falsch d) Wahr

- Wo ist die Tangentensteigung des Graphen am größten? - Was bedeutet eine zunehmende beziehungsweise abnehmende Steigung für die Wachstumsrate? - Welche begrenzenden Faktoren können in einem Populationsmodell zu einer Sättigung führen?

1. Das schnellste Wachstum entspricht der maximalen Steigung und damit der Wendestelle. Aus der Grafik lässt sich diese bei etwa \(t\approx7{,}5\) Jahren ablesen; dort liegt die modellierte Population bei ungefähr \(50\) Adlern. 2. Für \(0\le t<7{,}5\) ist der Graph linksgekrümmt: Die Steigung und damit die Wachstumsrate nehmen zu. Für \(7{,}5<t\le15\) ist der Graph rechtsgekrümmt: Die Population wächst weiter, aber die Wachstumsrate nimmt ab. 3. Das Abflachen kann im Modell durch begrenzte Ressourcen wie Nahrung, Nistplätze oder verfügbare Revierfläche erklärt werden.

a) Nach etwa \(7{,}5\) Jahren bei ungefähr \(50\) Adlern. b) Vorher Linkskrümmung mit zunehmender Wachstumsrate, danach Rechtskrümmung mit abnehmender Wachstumsrate. c) Zum Beispiel begrenzte Nahrung, Nistplätze oder Revierfläche.

- Wo wechselt der Graph seine Krümmungsart? - In welchem Bereich nimmt die Tangentensteigung ab? - Was folgt für \(f'\), wenn die Steigung zunächst ab- und anschließend zunimmt?

1. Die Wendestelle liegt bei \(x=2\), da dort der Graph von Rechts- zu Linkskrümmung wechselt. 2. Im dargestellten Bereich ist der Graph auf \([-1;2)\) rechtsgekrümmt. 3. Vor \(x=2\) nimmt die Tangentensteigung ab, nach \(x=2\) nimmt sie zu. Daher besitzt \(f'\) bei \(x=2\) ein lokales Minimum.

1. Wendestelle bei \(x=2\). 2. Rechtsgekrümmt auf \([-1;2)\). 3. \(f'\) besitzt bei \(x=2\) ein lokales Minimum.

- Wo wechselt der Graph seine Krümmungsart? - Wo ist die Tangentensteigung am stärksten negativ beziehungsweise positiv? - Wie verändert sich \(g'\), wenn die Tangentensteigung von \(g\) zu- oder abnimmt?

1. Der Graph ist zwischen den beiden Wendestellen auf \((2;6)\) linksgekrümmt. 2. Die größte negative Steigung liegt bei \(x=2\), die größte positive Steigung bei \(x=6\). Beide Stellen sind Wendestellen. 3. Bei Rechtskrümmung nimmt die Tangentensteigung ab; daher ist \(g'\) im dargestellten Bereich auf \([0;2]\) und \([6;8]\) streng monoton abnehmend. Bei Linkskrümmung nimmt die Tangentensteigung zu; daher ist \(g'\) auf \([2;6]\) streng monoton zunehmend.

a) Linksgekrümmt auf \((2;6)\). b) Größte negative Steigung bei \(x=2\), größte positive Steigung bei \(x=6\); beide sind Wendestellen. c) Bei Rechtskrümmung nimmt \(g'\) ab, bei Linkskrümmung nimmt \(g'\) zu.

- Welche Bedingung liefert zunächst nur Kandidaten für Wendestellen? - Wodurch wird hier der tatsächliche Krümmungswechsel bestätigt? - Wo liegt der Graph von \(f''\) unterhalb der \(x\)-Achse? - Was bedeutet ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) von Plus nach Minus für \(f'\)?

1. Notwendig für eine Wendestelle ist hier \(f''(x)=0\). Der Graph von \(f''\) besitzt Nullstellen bei \(x=-0{,}5\), \(x=1{,}5\) und \(x=3{,}5\). An allen drei Stellen wechselt \(f''\) sein Vorzeichen; damit ist die hinreichende Bedingung erfüllt und es liegen Wendestellen vor. 2. Rechtskrümmung liegt vor, wenn \(f''(x)<0\). Im dargestellten Bereich gilt dies auf \([-1{,}5;-0{,}5)\) und \((1{,}5;3{,}5)\). 3. Bei \(x=1{,}5\) wechselt \(f''\) von Plus nach Minus. Daher nimmt \(f'\) vorher zu und danach ab; \(f'\) besitzt dort ein lokales Maximum. Somit ist die Steigung von \(f\) an dieser Wendestelle lokal maximal.

a) Wendestellen bei \(x=-0{,}5\), \(x=1{,}5\) und \(x=3{,}5\). Notwendig ist \(f''(x)=0\); hinreichend ist hier der Vorzeichenwechsel von \(f''\). b) Rechtsgekrümmt auf \([-1{,}5;-0{,}5)\) und \((1{,}5;3{,}5)\). c) Bei \(x=1{,}5\) wechselt \(f''\) von Plus nach Minus; daher besitzt \(f'\) dort ein lokales Maximum.

- Welche Bedingung muss für die zweite Ableitung \(g''\) an einer Wendestelle von \(g\) erfüllt sein? - Reicht es aus, dass die zweite Ableitung an einer Stelle Null ist, damit dort ein Wendepunkt vorliegt? - Überlege dir, wie viele Nullstellen mit Vorzeichenwechsel jeder der drei Graphen im gegebenen Intervall besitzt. - Was ist der grafische Unterschied zwischen einer Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und einer Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel?

1. Kriterium für Wendepunkte: Wendestellen einer Funktion \(g\) entsprechen den Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion \(g''\), an denen ein Vorzeichenwechsel (VZW) stattfindet. 2. Analyse von Graph III: Dieser Graph berührt die \(x\)-Achse an den Stellen \(x = -3\) und \(x = 3\), wechselt dort aber nicht das Vorzeichen (die Funktionswerte bleiben negativ). Ohne VZW in \(g''\) liegen bei \(g\) keine Wendepunkte vor. 3. Analyse von Graph II: Dieser Graph weist drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel auf (bei \(x = -3\), \(x = 0\) und \(x = 3\)). Dies würde bedeuten, dass die Funktion \(g\) drei Wendepunkte im Intervall besitzt, gefordert sind jedoch genau zwei. 4. Analyse von Graph I: Dieser Graph besitzt genau zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel (bei \(x = -3\) und \(x = 3\)). Dies steht im Einklang mit der Information, dass \(g\) genau zwei Wendepunkte hat. 5. Ergebnis: Graph I stellt die zweite Ableitungsfunktion \(g''\) dar.

Graph I stellt die zweite Ableitungsfunktion \(g''\) dar. Begründung: Wendepunkte von \(g\) treten nur an den Stellen auf, an denen \(g''\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. - Graph I hat im Intervall genau zwei solcher Nullstellen (\(x = -3\) und \(x = 3\)). - Graph II hat drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, was drei Wendepunkten entspräche. - Graph III hat zwar zwei Nullstellen, jedoch handelt es sich um Berührpunkte ohne Vorzeichenwechsel, weshalb dort keine Wendepunkte vorliegen.

- Welche Stellen von \(f'\) entsprechen Wendestellen von \(f\)? - Wo nimmt \(f'\) ab? - Liegt \(f'\) zwischen \(-2\) und \(-1\) oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse?

1. Die lokalen Extremstellen von \(f'\) liegen ungefähr bei \(x=-2{,}3\) und \(x=2{,}3\). Daher liegen dort die Wendestellen von \(f\). 2. Zwischen diesen beiden Stellen nimmt \(f'\) ab. Daher gilt dort \(f''(x)<0\), und \(f\) ist auf \((-2{,}3;2{,}3)\) rechtsgekrümmt. 3. Für \(-2<x<-1\) gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) auf \([-2;-1]\) streng monoton zunehmend, also \(f(-1)>f(-2)\).

a) Wendestellen ungefähr bei \(x=-2{,}3\) und \(x=2{,}3\). b) Rechtsgekrümmt auf \((-2{,}3;2{,}3)\). c) \(f(-1)>f(-2)\), da \(f\) auf \([-2;-1]\) streng monoton zunimmt.

- Welche Stellen von \(f\) entsprechen Nullstellen von \(f'\)? - Wo wechselt der Graph seine Krümmung? - Welche Symmetrie besitzt die Ableitung einer ungeraden Funktion? - Welches Vorzeichen von \(f''\) gehört zur Rechtskrümmung?

1. Aussage (1) ist wahr. Der Graph von \(f\) besitzt lokale Extremstellen bei \(x=-2\) und \(x=2\); daher hat \(f'\) genau zwei Nullstellen. 2. Aussage (2) ist wahr. Der Graph wechselt seine Krümmung bei \(x=0\) sowie ungefähr bei \(x=-3{,}5\) und \(x=3{,}5\). 3. Aussage (3) ist wahr. Der Graph steigt im Ursprung, also gilt \(f'(0)>0\). 4. Aussage (4) ist falsch. \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung; daher ist \(f'\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 5. Aussage (5) ist falsch. Bei \(x=1\) ist der Graph rechtsgekrümmt, also gilt \(f''(1)<0\).

(1) Wahr (2) Wahr (3) Wahr (4) Falsch (5) Falsch

- Wo ist die Steigung der Glockenkurve null? Dort hat \(f'\) eine Nullstelle. - Suche die Bereiche, in denen die Kurve am steilsten steigt beziehungsweise fällt. - Nutze die Symmetrie des Graphen von \(f\).

1. Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und hat ein Maximum bei \(x = 0\). Daher gilt \(f'(0) = 0\). Für \(x < 0\) steigt \(f\), also ist \(f'(x) > 0\); für \(x > 0\) fällt \(f\), also ist \(f'(x) < 0\). 2. Die Extremstellen von \(f'\) liegen an den Stellen, an denen der Graph von \(f\) am steilsten ist. Dies sind die Wendestellen von \(f\). Im Graphen liegen diese bei etwa \(x \approx -1\) (Maximum von \(f'\)) und \(x \approx 1\) (Minimum von \(f'\)).

1. Der Graph von \(f'\) nähert sich links der \(x\)-Achse von oben, hat bei \(x \approx -1\) ein Maximum, schneidet bei \(x = 0\) die Achse, hat bei \(x \approx 1\) ein Minimum und nähert sich rechts der Achse von unten. 2. Die Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x \approx -1\) und \(x \approx 1\); dies sind die Wendestellen von \(f\).

- Zähle zunächst die Stellen mit waagrechter Tangente. - Suche anschließend die Stellen, an denen sich die Krümmungsart ändert. - Unterscheide klar zwischen Nullstellen von \(h'\) und Nullstellen von \(h''\).

1. Bei \(x=0\) besitzt der Graph eine waagrechte Tangente. Weitere waagrechte Tangenten sind nicht vorhanden. Daher hat \(h'\) genau eine Nullstelle. 2. Links und rechts der lokalen Maximalstelle wechselt der Graph jeweils einmal seine Krümmung. Daher besitzt \(h''\) genau zwei Nullstellen.

\(h'\) hat \(1\) Nullstelle und \(h''\) hat \(2\) Nullstellen.

- Wo besitzt \(G_f\) waagerechte Tangenten? - Welche Information über \(f''\) liefern die markierten Wendestellen? - Wo ist die Steigung im betrachteten fallenden Bereich am kleinsten? - Welche Symmetrie erhält die Ableitungsfunktion einer geraden Funktion?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen an den Stellen mit waagerechter Tangente. Aus dem Raster liest man näherungsweise \(x\approx-1{,}5\), \(x=0\) und \(x\approx1{,}5\) ab. 2. Die Nullstellen von \(f''\) liegen an den markierten Wendestellen, also bei \(x=-1\) und \(x=1\). 3. Zwischen dem Ursprung und der rechten lokalen Minimalstelle ist die Steigung negativ. Am Wendepunkt \(x=1\) ist die Steigung in diesem Bereich am kleinsten; dort fällt \(f\) am steilsten. 4. Da \(f\) vom Grad 4 und achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, ist \(f'\) eine punktsymmetrische Funktion dritten Grades. Ihr Graph hat die näherungsweise abgelesenen Nullstellen \(x\approx-1{,}5\), \(0\) und \(x\approx1{,}5\), eine lokale Maximalstelle bei \(x=-1\) und eine lokale Minimalstelle bei \(x=1\).

a) Nullstellen von \(f'\): näherungsweise \(x\approx-1{,}5\), \(0\), \(x\approx1{,}5\); Nullstellen von \(f''\): \(x=-1\), \(x=1\). b) Bei \(x=1\) fällt \(f\) am steilsten. c) \(G_{f'}\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat die genannten drei Nullstellen, eine lokale Maximalstelle bei \(x=-1\) und eine lokale Minimalstelle bei \(x=1\).

- Suche die Stellen, an denen der Graph kurz waagerecht verläuft. - Ändert der Graph dort seine Monotonierichtung oder setzt er sie fort? - Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

1. Waagerechte Tangenten liegen an den Stellen mit Steigung null. 2. Bei \(x=-3\) wechselt der Graph von zunehmend zu abnehmend; dort liegt ein Hochpunkt vor. 3. Bei \(x=0\) ist der Graph waagerecht, setzt seinen abnehmenden Verlauf danach aber fort und wechselt die Krümmung; dort liegt ein Terrassenpunkt vor. 4. Bei \(x=3\) wechselt der Graph von abnehmend zu zunehmend; dort liegt ein Tiefpunkt vor.

\(x=-3\): Hochpunkt \(x=0\): Terrassenpunkt \(x=3\): Tiefpunkt

- Wenn die erste Ableitung eine Geschwindigkeit ist, was gibt dann die Ableitung dieser Geschwindigkeit an? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über das Krümmungsverhalten des Graphen aus? - Überlege, was passieren müsste, damit das Volumen im Becken kleiner wird, und ob das zur Aufgabenstellung passt. - Untersuche das Verhalten der Steigung für wachsende Zeitwerte.

1. Die erste Ableitung \(W'(t)\) gibt die momentane Änderungsrate des Volumens an, also unter dieser Annahme die Zuflussgeschwindigkeit. Die zweite Ableitung \(W''(t)\) beschreibt somit die Änderung dieser Zuflussgeschwindigkeit pro Zeiteinheit (die „Beschleunigung“ des Füllvorgangs). 2. Berechnung der Ableitungen: \(W'(t) = -0{,}6t^2 + 6t + 20\) und \(W''(t) = -1{,}2t + 6\). Einsetzen der Werte: \(W''(2) = -1{,}2 \cdot 2 + 6 = 3{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}^2}\) und \(W''(8) = -1{,}2 \cdot 8 + 6 = -3{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}^2}\). Da \(W''(2) > 0\), nimmt die Zuflussgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 2\) noch zu (die Kurve ist linksgekrümmt). Da \(W''(8) < 0\), nimmt die Zuflussgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 8\) bereits wieder ab (die Kurve ist rechtsgekrümmt). 3. Bei einer Extrapolation über den angegebenen Modellzeitraum hinaus gilt \(W'(t) = -0{,}6t^2 + 6t + 20\). Für \(t = 15\) ergibt sich \(W'(15) = -0{,}6 \cdot 225 + 6 \cdot 15 + 20 = -135 + 90 + 20 = -25\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}}\). Eine negative Änderungsrate bedeutet, dass das Volumen sinkt. Da das Modell unter der Annahme eines reinen Füllvorgangs verwendet wird, ist ein sinkendes Volumen im Sachzusammenhang nicht sinnvoll. Deshalb sollte das Modell nicht über den angegebenen Zeitraum hinaus extrapoliert werden, wenn weiterhin eine Zunahme des Volumens beschrieben werden soll.

a) \(W''(t)\) beschreibt die Änderung der Zuflussgeschwindigkeit (Beschleunigung des Zuflusses). b) \(W''(2) = 3{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}^2}\) (Zunahme der Geschwindigkeit); \(W''(8) = -3{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}^2}\) (Abnahme der Geschwindigkeit). c) Bei einer Extrapolation auf \(t = 15\) wird die erste Ableitung negativ: \(W'(15) = -25\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}}\). Das würde ein sinkendes Volumen bedeuten und widerspricht der Modellannahme, dass kein Wasser abfließt.

- Wie oft muss man eine Funktion ableiten, um Informationen über das Krümmungsverhalten zu erhalten? - Welchen Grad hat die Ableitungsfunktion im Vergleich zur ursprünglichen Funktion? - Was muss an einer Stelle \(x_0\) für die zweite Ableitung gelten, damit dort ein Krümmungswechsel vorliegt? - Wie viele Nullstellen kann eine lineare oder eine kubische Funktion maximal haben?

1. Für \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit \(a \neq 0\) lauten die Ableitungen \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). Da \(a \neq 0\), ist \(6a \neq 0\), womit \(f''(x)\) eine lineare Funktion der Form \(mx + n\) ist. 2. Eine lineare Funktion \(f''(x) = 6ax + 2b\) hat genau eine Nullstelle bei \(x_W = -\frac{2b}{6a} = -\frac{b}{3a}\). Da die Steigung \(6a \neq 0\) ist, findet an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) statt. Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bedeutet einen Wechsel des Krümmungsverhaltens, also liegt genau ein Wendepunkt vor. 3. Bei einer Funktion \(g\) vom Grad \(n = 5\) ist die zweite Ableitung \(g''\) eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n - 2 = 3\). Eine Funktion dritten Grades hat maximal drei Nullstellen. Da ein Krümmungswechsel einen Vorzeichenwechsel von \(g''\) voraussetzt und dieser nur an Nullstellen auftreten kann, kann der Graph von \(g\) höchstens drei Wendestellen besitzen. 4. Die obere Schranke ist erreichbar. Wählt man zum Beispiel \(g(x)=\frac{1}{20}x^5-\frac{1}{6}x^3\), so ist \(g''(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)\). Die zweite Ableitung wechselt an \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\) jeweils das Vorzeichen. Der Graph besitzt damit tatsächlich drei Wendestellen.

a) \(f''(x) = 6ax + 2b\), was der Form einer linearen Funktion entspricht. b) Die lineare Funktion \(f''\) hat genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, da die Steigung \(6a \neq 0\) ist. c) Maximal drei Stellen. Die zweite Ableitung hat höchstens drei Nullstellen. Die Schranke ist erreichbar, zum Beispiel bei \(g(x)=\frac{1}{20}x^5-\frac{1}{6}x^3\), denn \(g''(x)=x(x-1)(x+1)\) wechselt an drei Stellen das Vorzeichen.

- Betrachte die zweite Ableitung der Funktion. - Was kannst du über den Term \(x^2\) allgemein aussagen, wenn du verschiedene Werte für \(x\) einsetzt? - Wie beeinflusst das Vorzeichen von \(t\) das Ergebnis der zweiten Ableitung? - Denke bei Ungleichungen daran, was passiert, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.

1. Bildung der zweiten Ableitung: \(g_t'(x) = 4tx^3 + 12x\) und \(g_t''(x) = 12tx^2 + 12 = 12(tx^2 + 1)\). 2. Untersuchung für \(t \geq 0\): Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist für \(t \geq 0\) auch \(tx^2 \geq 0\). Daraus folgt \(tx^2 + 1 \geq 1\), womit \(g_t''(x) \geq 12 > 0\) für alle \(x\) gilt. Ein positiver Wert der zweiten Ableitung bedeutet eine Linkskrümmung über dem gesamten Definitionsbereich. 3. Untersuchung für \(t < 0\): Eine Rechtskrümmung liegt vor, wenn \(g_t''(x) < 0\). Dies führt zur Ungleichung \(12(tx^2 + 1) < 0\), also \(tx^2 < -1\). 4. Da \(t < 0\) ist, dreht sich das Ungleichheitszeichen bei der Division durch \(t\) um: \(x^2 > -\frac{1}{t}\). Dies ist erfüllt für \(x > \sqrt{-\frac{1}{t}}\) oder \(x < -\sqrt{-\frac{1}{t}}\).

1. Der Nachweis erfolgt über \(g_t''(x) = 12(tx^2 + 1)\), was für \(t \geq 0\) stets größer als Null ist. 2. Für \(t < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt für \(x < -\sqrt{-\frac{1}{t}}\) sowie für \(x > \sqrt{-\frac{1}{t}}\).

- Wie verändert eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse die \(x\)-Koordinate eines Punktes? - Untersuche, wie sich die zweite Ableitung verhält, wenn die gesamte Funktion mit einem Faktor multipliziert wird. - Was passiert mit den Stellen besonderer Eigenschaften, wenn das Innere der Funktion (das Argument) verändert wird? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Streckungen in \(x\)-Richtung und dem Faktor vor dem \(x\).

1. Bei \(p(x) = f(x) + 8\) handelt es sich um eine Verschiebung des Graphen um \(8\) Einheiten in \(y\)-Richtung. Die \(x\)-Koordinate der Wendestelle bleibt dadurch unverändert, also liegt die Wendestelle weiterhin bei \(x = 3\). 2. Bei \(q(x) = -2f(x)\) wird der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung gestreckt. Diese Transformation verändert die \(x\)-Koordinate der Wendestelle nicht. Die Wendestelle bleibt daher bei \(x = 3\). 3. Bei \(r(x) = f(3x)\) liegt eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) vor. Die ursprüngliche Wendestelle bei \(x = 3\) erscheint bei der neuen \(x\)-Koordinate, für die \(3x = 3\) gilt. Daraus folgt \(x = 1\). Die neue Wendestelle liegt also bei \(x = 1\).

a) Wendestelle bei \(x = 3\) (Verschiebung in \(y\)-Richtung). b) Wendestelle bei \(x = 3\) (Streckung in \(y\)-Richtung und Spiegelung an der \(x\)-Achse). c) Wendestelle bei \(x = 1\) (Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(\frac{1}{3}\)).

- Was ist der Unterschied zwischen einem Wendepunkt und einer Wendestelle? - Bestimme zuerst die Stellen, an denen die Krümmung des Graphen ihr Vorzeichen ändert. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Werten auf der \(x\)-Achse? - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch der Parameter \(k\) als Unbekannte vorkommt.

1. Erste und zweite Ableitung berechnen: \(g_k'(x) = \frac{1}{3}x^3 - kx + 5\) und \(g_k''(x) = x^2 - k\). 2. Mögliche Wendestellen durch \(g_k''(x) = 0\) bestimmen: \(x^2 - k = 0 \Rightarrow x_{W1} = -\sqrt{k}\) und \(x_{W2} = \sqrt{k}\) (existieren, da \(k > 0\)). 3. Verifikation: \(g_k'''(x) = 2x\) ist an den Stellen \(\pm \sqrt{k}\) ungleich Null, da \(k > 0\). 4. Abstand der Wendestellen auf der \(x\)-Achse formulieren: \(d = x_{W2} - x_{W1} = \sqrt{k} - (-\sqrt{k}) = 2\sqrt{k}\). 5. Gleichung mit dem gegebenen Abstand aufstellen: \(2\sqrt{k} = 6\). 6. Nach \(k\) auflösen: \(\sqrt{k} = 3 \Rightarrow k = 9\).

\(k = 9\)

- Erinnere dich an die notwendige und hinreichende Bedingung für Wendestellen. - Achte beim Rechnen mit Wurzeln darauf, diese erst ganz am Ende oder gar nicht zu runden. - Überlege dir, welche Eigenschaft die \(x\)-Koordinate eines Punktes hat, der auf der \(y\)-Achse liegt. - Kannst du die Symmetrie der Funktion nutzen, um Rechenschritte abzukürzen?

1. Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = -x^3 + 6x\), \(f''(x) = -3x^2 + 6\). 2. Wendestellen berechnen: \(-3x^2 + 6 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{w1} = \sqrt{2}, x_{w2} = -\sqrt{2}\). Da \(f'''(x) = -6x\) an diesen Stellen ungleich Null ist, sind es Wendestellen. 3. Funktionswerte und Steigungen: \(f(\sqrt{2}) = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 5\); \(f'(\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). Analog für die zweite Stelle aufgrund der Achsensymmetrie: \(f(-\sqrt{2}) = 5\), \(f'(-\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}\). 4. Wendetangenten aufstellen: \(t_1: y = 4\sqrt{2}(x - \sqrt{2}) + 5 = 4\sqrt{2}x - 8 + 5 = 4\sqrt{2}x - 3\). Für die zweite Tangente ergibt sich \(t_2: y = -4\sqrt{2}x - 3\). 5. Nachweis des Schnittpunkts: Durch Gleichsetzen der Tangentengleichungen \(4\sqrt{2}x - 3 = -4\sqrt{2}x - 3\) folgt \(8\sqrt{2}x = 0\), also \(x = 0\). Da die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts Null ist, liegt der Punkt \(S(0 \mid -3)\) auf der \(y\)-Achse.

\(t_1: y = 4\sqrt{2}x - 3\); \(t_2: y = -4\sqrt{2}x - 3\); Schnittpunkt \(S(0 \mid -3)\).

- Prüfe zunächst die Symmetrie durch Einsetzen von \(-x\) und das Grenzverhalten des Quotienten. - Für Extrempunkte brauchst du die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(h'\). - Für Wendepunkte untersuchst du entsprechend \(h''\). - Die Quotientenregel ist hier der zentrale Ableitungsweg.

1. Es gilt \(h(-x)=-h(x)\); der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Außerdem gilt \(h(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\), also ist \(y=0\) eine waagrechte Asymptote. 2. Die Quotientenregel liefert \(h'(x)=\frac{3-x^2}{(x^2+3)^2}\). Die Nullstellen sind \(x=\pm\sqrt3\). Der Vorzeichenwechsel ergibt den Tiefpunkt \(T(-\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{6})\) und den Hochpunkt \(H(\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{6})\). 3. Es gilt \(h''(x)=\frac{2x^3-18x}{(x^2+3)^3}=\frac{2x(x^2-9)}{(x^2+3)^3}\). Die Nullstellen sind \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\). Der Zähler wechselt an jeder dieser einfachen Nullstellen das Vorzeichen. 4. Damit liegen die Wendepunkte bei \(W_1(-3\mid-0{,}25)\), \(W_2(0\mid0)\) und \(W_3(3\mid0{,}25)\).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; waagrechte Asymptote \(y=0\). b) Tiefpunkt \(T(-\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{6})\); Hochpunkt \(H(\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{6})\). c) Wendepunkte \(W_1(-3\mid-0{,}25)\), \(W_2(0\mid0)\), \(W_3(3\mid0{,}25)\).

- Bestimme zuerst die Wendestelle der Schar über \(g_k''\). - Welche zusätzliche Bedingung an \(g_k'\) macht die Wendestelle zu einer Terrassenstelle? - Setze den gefundenen Parameterwert anschließend in \(g_k\) ein.

1. Es gilt \(g_k'(x)=x^2+2x+k\), \(g_k''(x)=2x+2\) und \(g_k'''(x)=2\). 2. Aus \(g_k''(x)=0\) folgt \(x=-1\). Wegen \(g_k'''(-1)=2\ne0\) ist \(x=-1\) für jedes \(k\) eine Wendestelle. 3. Für einen Terrassenpunkt muss dort zusätzlich \(g_k'(-1)=0\) gelten. Es folgt \(1-2+k=0\), also \(k=1\). 4. Es gilt \(g_1(-1)=-\frac{1}{3}\). Daher liegt der Terrassenpunkt bei \(S(-1|-\frac{1}{3})\).

\(k=1\); Terrassenpunkt \(S(-1|-\frac{1}{3})\).

- Untersuche die Ableitungen zunächst auf beiden Teilbereichen getrennt. - Krümmung lässt sich auch über die Monotonie der ersten Ableitung beschreiben. - Prüfe am Übergang \(x=0\), ob \(f'\) trotz fehlender zweiter Ableitung weiterhin in derselben Richtung verläuft.

1. Für \(x<0\) gilt \(f''(x)=6x+12\). Bei \(x=-2\) liegt eine Nullstelle vor. Für \(x<-2\) ist \(f''(x)<0\), für \(-2<x<0\) ist \(f''(x)>0\). 2. Für \(x>0\) gilt \(f''(x)=4>0\). 3. An \(x=0\) ist \(f\) differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar. Dennoch ist \(f'\) auf \((-2;\infty)\) streng monoton steigend: Links von \(0\) steigt \(f'\) bis zum Wert \(0\), rechts davon steigt \(f'\) von \(0\) aus weiter. Daher ist der Graph auf \((-2;\infty)\) durchgehend linksgekrümmt. 4. Auf \(( -\infty;-2)\) ist \(f'\) streng monoton fallend; dort ist der Graph rechtsgekrümmt.

Linkskrümmung: \((-2;\infty)\) Rechtskrümmung: \(( -\infty;-2)\)

- Löse den Betrag durch eine Fallunterscheidung auf. - Bestimme die zweite Ableitung auf beiden Seiten von \(0\) und untersuche ihr Vorzeichen. - Prüfe gesondert, ob die Krümmungsintervalle über \(x=0\) zusammengefasst werden dürfen.

1. Für \(x\geq0\) gilt \(f(x)=\frac{1}{6}x^3-x^2\), für \(x<0\) gilt \(f(x)=-\frac{1}{6}x^3-x^2\). 2. Für \(x>0\) ist \(f''(x)=x-2\). Damit ist der Graph für \(0<x<2\) rechtsgekrümmt und für \(x>2\) linksgekrümmt. 3. Für \(x<0\) ist \(f''(x)=-x-2\). Damit ist der Graph für \(x<-2\) linksgekrümmt und für \(-2<x<0\) rechtsgekrümmt. 4. Bei \(x=0\) stimmen die für die zweite Ableitung relevanten Grenzwerte überein; es gilt \(f''(0)=-2\). Die Rechtskrümmung setzt sich daher über \(x=0\) hinweg fort. 5. Insgesamt ist der Graph auf \(( -\infty;-2)\) und \((2;\infty)\) linksgekrümmt sowie auf \((-2;2)\) rechtsgekrümmt.

Linkskrümmung: \(( -\infty;-2)\) und \((2;\infty)\) Rechtskrümmung: \((-2;2)\)

- Was kennzeichnet eine Wendestelle mit waagerechter Tangente? - Wie verändert sich \(g'\) in links- beziehungsweise rechtsgekrümmten Bereichen? - Welches Vorzeichenverhalten von \(g'\) wäre für ein lokales Extremum nötig?

1. Aus \(g'(0)=0\) folgt eine waagerechte Tangente bei \(x=0\). 2. Der Wechsel von Links- zu Rechtskrümmung zeigt, dass bei \(x=0\) eine Wendestelle liegt. 3. Eine Wendestelle mit waagerechter Tangente ist ein Terrassenpunkt. 4. Links von \(0\) nimmt \(g'\) wegen der Linkskrümmung zu, rechts von \(0\) nimmt \(g'\) wegen der Rechtskrümmung ab. Damit besitzt \(g'\) bei \(0\) ein lokales Maximum. Da dieses Maximum den Wert \(g'(0)=0\) hat, ist \(g'\) in einer Umgebung von \(0\) auf beiden Seiten nichtpositiv. Es findet kein Vorzeichenwechsel von \(g'\) statt; daher besitzt \(g\) dort kein lokales Extremum.

Bei \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor. Es gibt dort kein lokales Extremum, weil \(g'\) keinen Vorzeichenwechsel hat.

- Wie verändert sich der Grad einer ganzrationalen Funktion, wenn man sie ableitet? - Was weißt du über das globale Verhalten von Funktionen mit ungeradem Grad im Vergleich zu Funktionen mit geradem Grad? - Wann genau spricht man bei einer Nullstelle der zweiten Ableitung von einer Wendestelle? - Überlege dir ein Beispiel für eine Funktion mit \(n=1\). Kann diese eine Kurve oder eine Wendestelle haben?

1. Der Grad einer Funktion verringert sich bei jeder Ableitung um 1. Bei \(n = 5\) hat \(f'\) den Grad 4 und \(f''\) den Grad 3. 2. Eine ganzrationale Funktion mit ungeradem Grad (hier Grad 3) verläuft für \(x \to \pm \infty\) gegen unterschiedliche Vorzeichen (\(\infty\) und \(-\infty\)). Nach dem Zwischenwertsatz muss sie daher die \(x\)-Achse schneiden. Wegen der unterschiedlichen Vorzeichen für \(x \to -\infty\) und \(x \to \infty\) muss mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegen. 3. Allgemein: Hat \(f\) den ungeraden Grad \(n\), so hat \(f''\) den Grad \(n-2\). Wenn \(n \geq 3\) ungerade ist, ist auch \(n-2 \geq 1\) eine ungerade Zahl. 4. Jede ganzrationale Funktion mit ungeradem Grad besitzt mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Ein Vorzeichenwechsel in \(f''\) entspricht einer Änderung des Krümmungsverhaltens von \(f\), also einer Wendestelle. 5. Für \(n = 1\) (lineare Funktion) wäre \(f'' = 0\), es gäbe keine Krümmung und somit keine Wendestelle.

a) Der Grad von \(f''\) ist 3. Da Funktionen ungeraden Grades von \(-\infty\) nach \(+\infty\) (oder umgekehrt) verlaufen, müssen sie die x-Achse kreuzen, was einen Vorzeichenwechsel bedeutet. b) Wenn \(n \geq 3\) ungerade ist, ist auch der Grad von \(f''\) (\(n-2\)) ungerade und mindestens 1. Jede Funktion ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, was eine Wendestelle von \(f\) definiert. Für \(n=1\) ist die Funktion eine Gerade ohne Krümmung.

- Welche beiden Bedingungen liefert die Wendetangente am Berührpunkt \(x=1\)? - Welche zusätzliche Ableitungsbedingung gilt an der Wendestelle? - Wie viele unabhängige Bedingungen benötigst du, um die vier Koeffizienten einer allgemeinen kubischen Funktion zu bestimmen? - Prüfe am Ende, ob die gefundene Funktion sowohl die Nullstelle als auch die Tangentenbedingungen erfüllt.

1. Setze \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Dann gilt \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) und \(f''(x)=6ax+2b\). 2. Aus der Nullstelle folgt \(f(2)=0\). Die Wendetangente liefert am Berührpunkt \(f(1)=t(1)=1\) und \(f'(1)=-3\). Wegen der Wendestelle gilt außerdem \(f''(1)=0\). 3. Damit erhält man \(8a+4b+2c+d=0\), \(a+b+c+d=1\), \(3a+2b+c=-3\) und \(6a+2b=0\). 4. Aus \(6a+2b=0\) folgt \(b=-3a\). Aus \(3a+2b+c=-3\) folgt \(c=3a-3\). Aus \(a+b+c+d=1\) folgt \(d=4-a\). Einsetzen in \(f(2)=0\) ergibt \(a=2\). 5. Damit sind \(b=-6\), \(c=3\) und \(d=2\). Es folgt \(f(x)=2x^3-6x^2+3x+2\). Da \(f'''(x)=12\ne0\), ist die Wendestelle bei \(x=1\) abgesichert.

\(f(x)=2x^3-6x^2+3x+2\)

- Waagerechte Tangenten findest du über die Nullstellen von \(f'\). - Wie kannst du eine Wendestelle mithilfe von \(f''\) und \(f'''\) hinreichend bestätigen? - Welche zusätzliche Bedingung unterscheidet einen Terrassenpunkt von einem Wendepunkt ohne waagerechte Tangente?

1. Es gilt \(f'(x)=60x^4-120x^3+60x^2=60x^2(x-1)^2\). Daher liegen waagerechte Tangenten bei \(x=0\) und \(x=1\) vor. 2. Die weiteren Ableitungen sind \(f''(x)=240x^3-360x^2+120x\) und \(f'''(x)=720x^2-720x+120\). 3. Bei \(x=0\) gilt \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=120\neq0\). Damit liegt eine Wendestelle vor; wegen \(f'(0)=0\) ist sie ein Terrassenpunkt. Mit \(f(0)=0\) ist \(S_1(0|0)\). 4. Bei \(x=1\) gilt \(f''(1)=0\) und \(f'''(1)=120\neq0\). Wegen \(f'(1)=0\) liegt auch hier ein Terrassenpunkt vor. Mit \(f(1)=2\) ist \(S_2(1|2)\). 5. Aus \(f''(x)=120x(2x-1)(x-1)=0\) folgt zusätzlich \(x=0{,}5\). Dort gilt \(f'''(0{,}5)=-60\neq0\), also liegt eine Wendestelle vor. Es ist \(f(0{,}5)=1\) und \(f'(0{,}5)=3{,}75\). 6. Da die Steigung bei \(W(0{,}5|1)\) nicht null ist, besitzt der Graph dort keine waagerechte Tangente; der Wendepunkt ist daher kein Terrassenpunkt.

a) \(x=0\) und \(x=1\) b) \(S_1(0|0)\) und \(S_2(1|2)\) sind Terrassenpunkte. c) \(W(0{,}5|1)\) mit Steigung \(3{,}75\); kein Terrassenpunkt, weil \(f'(0{,}5)\neq0\).

- Wie hängen lokale Extremstellen eines Graphen mit Nullstellen seiner ersten Ableitung zusammen? - Welche geometrische Eigenschaft kennzeichnet eine Wendestelle und damit eine mögliche Nullstelle der zweiten Ableitung? - Achte bei \(g\) auf die Definitionslücken: Kann an einer Stelle außerhalb der Definitionsmenge eine Wendestelle liegen?

1. Untersuchung von \(f\): Der Graph besitzt ein lokales Minimum bei \(x=-1\) und ein lokales Maximum bei \(x=1\). Daher hat \(f'\) genau zwei Nullstellen. Der Graph wechselt seine Krümmung dreimal: einmal zwischen \(x=-2\) und \(x=-1\), im Ursprung und einmal zwischen \(x=1\) und \(x=2\). Daher hat \(f''\) genau drei Nullstellen. 2. Untersuchung von \(g\): Der Graph besitzt genau ein lokales Minimum bei \(x=0\). Daher hat \(g'\) genau eine Nullstelle. Innerhalb der Definitionsmenge findet kein Krümmungswechsel statt. Die Änderungen an den senkrechten Asymptoten \(x=-1\) und \(x=1\) sind keine Wendestellen, weil \(g\) dort nicht definiert ist. Daher hat \(g''\) keine Nullstelle.

a) \(f'\) hat \(2\) Nullstellen und \(f''\) hat \(3\) Nullstellen. b) \(g'\) hat \(1\) Nullstelle und \(g''\) hat keine Nullstelle.

- Welche geometrische Eigenschaft kennzeichnet eine Nullstelle der ersten Ableitung? - Wo ändert ein Graph seine Krümmung, und was bedeutet das für die zweite Ableitung? - Prüfe bei senkrechten Asymptoten zuerst, ob die Funktion dort überhaupt definiert ist.

1. Abbildung a): Der Graph von \(f\) besitzt genau eine lokale Minimalstelle bei \(x=0\). Daher hat \(f'\) genau eine Nullstelle. Innerhalb der drei stetigen Teilintervalle des Definitionsbereichs wechselt der Graph seine Krümmung nicht. Die senkrechten Asymptoten bei \(x=-1\) und \(x=1\) sind keine Wendestellen. Daher hat \(f''\) keine Nullstelle. 2. Abbildung b): Der Graph von \(g\) besitzt genau zwei lokale Extremstellen, ungefähr bei \(x=-2{,}45\) und \(x=2{,}45\). Daher hat \(g'\) genau zwei Nullstellen. Der Graph wechselt seine Krümmung ungefähr bei \(x=-3{,}46\) und \(x=3{,}46\). Daher hat \(g''\) genau zwei Nullstellen.

a) \(f'\) hat \(1\) Nullstelle; \(f''\) hat keine Nullstelle. b) \(g'\) hat \(2\) Nullstellen; \(g''\) hat \(2\) Nullstellen.

- Überlege dir, wie sich der Wasserspiegel ändert, wenn das Gefäß an einer Stelle sehr breit oder sehr schmal ist. - Was sagt die Steigung des Graphen über die Änderung der Höhe aus? - Wo genau im Graphen findest du die Information über die Formänderung des Gefäßes? - Für die durchschnittliche Geschwindigkeit kannst du die Steigung einer Sekante betrachten.

a) Die Steiggeschwindigkeit des Wasserspiegels nimmt bis \(t=6\,\text{s}\) zu und danach ab. Bei \(t=6\,\text{s}\) steigt der Wasserspiegel am schnellsten. b) Bei konstantem Zufluss entspricht eine große Steiggeschwindigkeit einem kleinen Querschnitt. Das Gefäß ist daher unten breit, wird bis zur Mitte schmaler und danach wieder breiter. c) Aus dem Graphen liest man näherungsweise \(h(0)\approx0\,\text{cm}\) und \(h(12)\approx15\,\text{cm}\) ab. Die mittlere Steiggeschwindigkeit beträgt daher \((15-0):12\approx1{,}25\,\text{cm/s}\).

a) Am schnellsten steigt der Wasserspiegel bei \(t=6\,\text{s}\). b) Das Gefäß ist unten breit, in der Mitte am schmalsten und oben wieder breiter. c) Nach \(12\,\text{s}\) beträgt die Füllhöhe ungefähr \(15\,\text{cm}\); die mittlere Steiggeschwindigkeit liegt bei etwa \(1{,}25\,\text{cm/s}\).

- Zähle die Stellen mit waagrechter Tangente. - Prüfe jeden zusammenhängenden Graphenast auf einen Krümmungswechsel. - Eine Polstelle gehört nicht zum Graphen und ist daher keine Wendestelle.

1. Der Graph besitzt zwei Stellen mit waagrechter Tangente, eine auf jedem Ast. Daher hat \(p'\) genau zwei Nullstellen. 2. Innerhalb der beiden zusammenhängenden Graphenäste ändert sich die Krümmungsart nicht. Es gibt daher keine Wendestelle im Definitionsbereich und \(p''\) hat keine Nullstelle.

\(p'\) hat \(2\) Nullstellen und \(p''\) hat keine Nullstelle.

- Suche zuerst nach waagerechten Tangenten. - Untersuche anschließend jeden Graphenast auf einen Wechsel der Krümmungsrichtung. - Trenne die Aussagen über \(r'\) und \(r''\) sorgfältig.

1. In keinem Teil des Definitionsbereichs besitzt der Graph eine waagerechte Tangente. Daher hat \(r'\) keine Nullstelle. 2. Im mittleren Ast wechselt der Graph bei \(x=0\) seine Krümmungsrichtung. In den äußeren Ästen tritt kein weiterer Krümmungswechsel auf. Daher hat \(r''\) genau eine Nullstelle.

\(r'\) hat \(0\) Nullstellen und \(r''\) hat \(1\) Nullstelle.

- Bestimme die Stellen mit waagerechter Tangente. - Achte auf die Form der Kurve: Wo ändert sie sich von Rechts- zu Linkskrümmung oder umgekehrt? - Polstellen sind keine Wendepunkte oder Extrempunkte.

1. Untersuchung von Funktion \(h\): Der Graph zeigt einen Tiefpunkt bei \(x = -1\) und einen Hochpunkt bei \(x = 1\). Daher hat \(h'\) zwei Nullstellen. Krümmungswechsel liegen bei \(x \approx -1{,}7\), \(x = 0\) und \(x \approx 1{,}7\) vor. Somit hat \(h''\) drei Nullstellen. 2. Untersuchung von Funktion \(k\): Es ist genau ein lokaler Hochpunkt bei \(x = 2\) erkennbar. Daher hat \(k'\) eine Nullstelle. Bei \(x = 3\) liegt ein Krümmungswechsel vor, also hat \(k''\) eine Nullstelle.

Für \(h\) hat die erste Ableitung 2 Nullstellen und die zweite Ableitung 3 Nullstellen; für \(k\) hat die erste Ableitung 1 Nullstelle und die zweite Ableitung 1 Nullstelle.

- Passt die Nullstelle von \(g\) zur waagrechten Tangente von \(f\)? - Wo nimmt \(g=f'\) zu beziehungsweise ab? - Welche Stellen von \(g\) entsprechen Nullstellen von \(f''=g'\)?

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=0\) eine waagrechte Tangente und dort eine lokale Maximalstelle. Der Graph von \(g\) hat bei \(x=0\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Zudem stimmen die Vorzeichen von \(g\) mit dem Zu- und Abnehmen von \(f\) überein. Daher gilt \(g=f'\). 2. Rechtskrümmung von \(f\) liegt dort vor, wo \(f''<0\). Da \(f''=g'\), ist dies genau dort der Fall, wo \(g\) abnimmt. Aus dem Graphen liest man ungefähr \(-0{,}6<x<0{,}6\) ab. 3. Die Nullstellen von \(f''\) liegen an den lokalen Extremstellen von \(g\), ungefähr bei \(x=-0{,}6\) und \(x=0{,}6\). Für \(x<-0{,}6\) und \(x>0{,}6\) nimmt \(g\) zu, also ist \(f''>0\). Für \(-0{,}6<x<0{,}6\) nimmt \(g\) ab, also ist \(f''<0\).

a) \(g=f'\). b) Näherungsweise rechtsgekrümmt auf \((-0{,}6;0{,}6)\). c) Nullstellen von \(f''\) ungefähr bei \(x=-0{,}6\) und \(x=0{,}6\); \(f''>0\) außerhalb und \(f''<0\) zwischen diesen Stellen.