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- Beginne mit dem angegebenen Verhalten für sehr große negative \(x\)-Werte. - Ordne anschließend Nullstelle und Tiefpunkt nach ihren \(x\)-Koordinaten. - Nutze die Achsensymmetrie, um die rechte Hälfte aus der linken Hälfte abzuleiten.

1. Für große negative \(x\) liegt der Graph wegen \(f(x)\to\infty\) weit oben. 2. Er nimmt bis zur einfachen Nullstelle bei \(x=-2\) ab und schneidet dort die \(x\)-Achse. 3. Danach nimmt er weiter bis zum Tiefpunkt \(T(0|-3)\) ab. 4. Wegen der Achsensymmetrie verläuft die rechte Seite spiegelbildlich: Der Graph nimmt zu, schneidet bei \(x=2\) erneut die \(x\)-Achse und steigt für große positive \(x\) nach oben.

Von links nach rechts: oben beginnend abnehmen, die \(x\)-Achse bei \(x=-2\) schneiden, weiter bis \(T(0|-3)\) abnehmen, danach spiegelbildlich zunehmen, die \(x\)-Achse bei \(x=2\) schneiden und nach rechts oben weiterlaufen.

- Ordne die drei Punkte zuerst nach ihren \(x\)-Koordinaten. - Ein Hochpunkt trennt zunehmendes von abnehmendem Verhalten; ein Tiefpunkt trennt abnehmendes von zunehmendem Verhalten. - Eine Wendestelle muss die Monotonierichtung nicht ändern.

1. Nach den \(x\)-Koordinaten liegt zuerst \(H\) bei \(x=-2\), dann \(W\) bei \(x=0\) und schließlich \(T\) bei \(x=2\). 2. Vom linken Endverhalten aus nimmt der Graph bis zum Hochpunkt \(H(-2|3)\) streng monoton zu. 3. Vom Hochpunkt \(H(-2|3)\) bis zum Tiefpunkt \(T(2|-3)\) nimmt der Graph streng monoton ab. Die Wendestelle bei \(x=0\) ändert dabei die Krümmung, nicht die Monotonierichtung. 4. Ab dem Tiefpunkt \(T(2|-3)\) nimmt der Graph wieder streng monoton zu.

Reihenfolge: \(H(-2|3)\), \(W(0|0)\), \(T(2|-3)\) Streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;\infty)\) Streng monoton abnehmend auf \([-2;2]\)

- Ersetze in der Funktionsgleichung jedes \(x\) durch \((-x)\) und schaue, ob sich der Term verändert. - Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Löse die Gleichungen \(x^2 - 4 = 0\) und \(x^2 - 25 = 0\). - Die Ordinatenachse ist ein anderer Name für die \(y\)-Achse. - Bestimme den Grad der Funktion und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten, um das Fernverhalten zu beurteilen.

1. Symmetrie prüfen: Es gilt \(q(-x) = \frac{1}{10}((-x)^2 - 4)((-x)^2 - 25) = \frac{1}{10}(x^2 - 4)(x^2 - 25) = q(x)\). Somit ist der Graph \(G_q\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Nullstellen berechnen: Setze \(q(x) = 0\). Dies führt auf \(x^2 - 4 = 0 \implies x_{1,2} = \pm 2\) und \(x^2 - 25 = 0 \implies x_{3,4} = \pm 5\). Da alle Faktoren in der Form \((x-x_i)\) nur einmal vorkommen (bzw. die quadratischen Faktoren keine weiteren mehrfachen Nullstellen erzeugen), handelt es sich um vier einfache Nullstellen. 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Berechne \(q(0) = \frac{1}{10}(0^2 - 4)(0^2 - 25) = \frac{1}{10} \cdot (-4) \cdot (-25) = \frac{100}{10} = 10\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 10)\). 4. Verhalten im Unendlichen: Der Term mit der höchsten Potenz in der Normalform ist \(\frac{1}{10} \cdot x^2 \cdot x^2 = 0{,}1x^4\). Da der Koeffizient positiv und der Exponent gerade ist, gilt: für \(x \to \infty \implies q(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty \implies q(x) \to \infty\).

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da \(q(-x) = q(x)\). b) Nullstellen: \(x_1 = -5\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = 5\) (alle einfach). c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 10)\). d) \(x \to \pm \infty \implies q(x) \to \infty\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen von \(f'\) und dem Monotonieverhalten von \(f\). - Welche Bedeutung haben Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel für \(f\)? - Wie hängt ein lokales Extremum von \(f'\) mit dem Krümmungsverhalten von \(f\) zusammen?

1. Das Monotonieverhalten von \(f\) folgt aus dem Vorzeichen von \(f'\). Für \(x \in [-4; -2]\) und \(x \in [2; 4]\) ist \(f\) streng monoton zunehmend; für \(x \in [-2; 2]\) ist \(f\) streng monoton abnehmend. An den Randstellen \(x=-2\) und \(x=2\) gilt zwar \(f'(x)=0\), im Inneren der jeweiligen Intervalle hat \(f'\) aber das angegebene Vorzeichen. 2. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher hat \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher hat \(f\) dort eine lokale Minimalstelle. 3. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x = 0\) ein lokales Minimum: Links davon nimmt \(f'\) ab, rechts davon nimmt \(f'\) zu. Damit wechselt die Krümmungsrichtung von \(f\), also besitzt \(f\) bei \(x=0\) eine Wendestelle.

a) Streng monoton zunehmend auf \([-4; -2]\) und \([2; 4]\); streng monoton abnehmend auf \([-2; 2]\). b) Lokale Maximalstelle bei \(x = -2\); lokale Minimalstelle bei \(x = 2\). c) \(f'\) besitzt bei \(x=0\) ein lokales Minimum. Daher wechselt dort die Krümmungsrichtung von \(f\), und \(x=0\) ist eine Wendestelle.

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Vorzeichen von \(f'\) und dem Monotonieverhalten von \(f\)? - Woran erkennst du an einer Nullstelle von \(f'\), ob dort eine lokale Maximal- oder Minimalstelle von \(f\) liegt? - Für eine Wendestelle von \(f\) ist wichtig, ob \(f'\) seine Monotonierichtung wechselt. Wo erkennst du einen solchen Wechsel im dargestellten Graphen?

1. Im Inneren der Intervalle \([-4; -1]\) und \([3; 6]\) ist \(f'(x) < 0\); daher ist \(f\) dort streng monoton abnehmend. Im Inneren des Intervalls \([-1; 3]\) ist \(f'(x) > 0\); daher ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. 2. Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Der Graph von \(f'\) hat bei \(x = 1\) ein lokales Maximum. Links davon nimmt \(f'\) zu, rechts davon nimmt \(f'\) ab. Damit wechselt dort die Krümmungsrichtung von \(f\); der Graph von \(f\) besitzt bei \(x = 1\) eine Wendestelle.

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-1; 3]\) streng monoton zunehmend und auf \([-4; -1]\) sowie \([3; 6]\) streng monoton abnehmend. b) Lokale Minimalstelle bei \(x = -1\); lokale Maximalstelle bei \(x = 3\). c) Wendestelle bei \(x = 1\).

- Für a) prüfst du den Vorzeichenwechsel von \(f'\) an \(x=0\). - Für b) betrachtest du das Vorzeichen von \(f'\) im Inneren des Intervalls. - Für c) liest du das Vorzeichen von \(f''(1)\) aus der Steigung des Graphen von \(f'\) ab.

1. Bei \(x=0\) hat \(f'\) eine Nullstelle und wechselt von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. Aussage a) ist wahr. 2. Im Inneren von \([0;2]\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf \([0;2]\) streng monoton abnehmend. Aussage b) ist wahr. 3. Der Wert \(f''(1)\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\) bei \(x=1\). Dort nimmt \(f'\) ab, also ist diese Steigung negativ. Aussage c) ist wahr.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr; \(f''(1)<0\).

- Für a) untersuchst du den Vorzeichenwechsel von \(f'\) bei \(x=0\). - Für b) ist das Vorzeichen von \(f'\) im Intervallinneren entscheidend. - Für c) betrachtest du, ob \(f'\) bei \(x=2\) von Abnehmen zu Zunehmen wechselt.

1. Bei \(x=0\) hat \(f'\) eine Nullstelle und wechselt von positiv nach negativ. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. Aussage a) ist wahr. 2. Im Inneren von \([0;4]\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf \([0;4]\) streng monoton abnehmend. Aussage b) ist wahr. 3. Bei \(x=2\) hat \(f'\) ein lokales Minimum. Links davon nimmt \(f'\) ab, rechts davon nimmt \(f'\) zu; damit wechselt \(f''\) dort das Vorzeichen. Also besitzt \(f\) bei \(x=2\) eine Wendestelle. Aussage c) ist wahr.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr.

- Zähle die Stellen, an denen der Graph von \(f'\) die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel kreuzt. - Bei welchem Vorzeichenwechsel von \(f'\) geht \(f\) von Abnehmen zu Zunehmen über? - Wo wechselt \(f'\) selbst seine Monotonierichtung? Diese Stellen sind für die Krümmung von \(f\) entscheidend.

1. Extremstellen von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Diese liegen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\); daher besitzt \(f\) drei Extremstellen. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Wendestellen von \(f\) liegen an lokalen Extremstellen von \(f'\). Der dargestellte Graph von \(f'\) besitzt zwei lokale Extremstellen. Daher besitzt \(f\) im gezeigten Bereich zwei Wendestellen.

1. \(f\) besitzt drei Extremstellen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Die lokale Minimalstelle liegt bei \(x=0\); bei \(x=-2\) und \(x=2\) liegen lokale Maximalstellen. 3. Der Graph von \(f\) besitzt zwei Wendestellen.

- Wo liegen die lokalen Hoch- und Tiefpunkte des Graphen? - Eine Wendestelle liegt dort, wo der Graph zwischen Links- und Rechtskrümmung wechselt. - Zähle die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse im angegebenen Bereich. - Achte auf die Symmetrie des Graphen zur \(y\)-Achse.

1. Der Graph zeigt drei lokale Extremstellen: zwei Minimalstellen bei \(x\approx-2{,}2\) und \(x\approx2{,}2\) sowie eine Maximalstelle bei \(x=0\). 2. Wendestellen befinden sich dort, wo der Graph seine Krümmung ändert. Aus dem Graphen lässt sich schätzen, dass die Wendestellen bei etwa \(x\approx-1{,}3\) und \(x\approx1{,}3\) liegen. Sie befinden sich also zwischen \(-2\) und \(-1\) beziehungsweise zwischen \(1\) und \(2\). 3. Im Intervall \([-3;3]\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse an vier Stellen. Somit sind vier Nullstellen erkennbar.

a) 3 Extrempunkte: 2 Tiefpunkte und 1 Hochpunkt. b) Es gibt 2 Wendestellen bei etwa \(x\approx\pm1{,}3\). Sie liegen zwischen \(-2\) und \(-1\) sowie zwischen \(1\) und \(2\). c) Es sind 4 Nullstellen erkennbar.

- Welche Bedingung beschreibt eine waagerechte Tangente? - Welche Ableitungen helfen dir, einen Terrassenpunkt von einem lokalen Extremum zu unterscheiden? - Was sagt das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts der untersuchten Stelle über den Verlauf aus?

1. Die Ableitungen sind \(f'(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\), \(f''(x)=2x-4\) und \(f'''(x)=2\). 2. Eine waagerechte Tangente liegt bei \(f'(x)=0\) vor. Aus \((x-2)^2=0\) folgt \(x=2\). 3. Es gilt \(f'(2)=0\), \(f''(2)=0\) und \(f'''(2)=2\neq0\). Daher liegt bei \(x=2\) ein Terrassenpunkt vor. 4. Weil \(f'(x)=(x-2)^2\ge0\) gilt und die Ableitung nur an der einzelnen Stelle \(x=2\) null ist, nimmt die Rampenhöhe vor und nach dieser Stelle weiter zu; die Rampe ist dort nur momentan waagerecht.

a) Bei \(x=2\,\text{m}\). b) Bei \(x=2\,\text{m}\) liegt ein Terrassenpunkt vor. Die Rampenhöhe nimmt vor und nach dieser Stelle weiter zu.

- Für a) betrachtest du das Vorzeichen von \(f'\). - Für b) prüfst du die Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von \(f'\). - Für c) untersuchst du, ob \(f'\) links und rechts von \(x=2\) abnimmt oder zunimmt.

1. Im dargestellten Bereich gilt \(f'(x)>0\) für \(-1\le x<1\) und \(3<x\le5\). Somit ist \(f\) auf \([-1;1]\) und \([3;5]\) streng monoton zunehmend. 2. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also hat \(f\) dort ein lokales Maximum. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also hat \(f\) dort ein lokales Minimum. 3. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x=2\) ein lokales Minimum. Links davon nimmt \(f'\) ab, rechts davon nimmt \(f'\) zu. Damit wechselt \(f''\) von negativ zu positiv. Der Graph von \(f\) wechselt dort von Rechts- zu Linkskrümmung und besitzt bei \(x=2\) eine Wendestelle.

a) \([-1;1]\) und \([3;5]\). b) Lokales Maximum bei \(x=1\); lokales Minimum bei \(x=3\). c) Bei \(x=2\) liegt eine Wendestelle mit Wechsel von Rechts- zu Linkskrümmung vor.

- Schau dir den Graphen genau an: Gibt es eine Spiegelachse? - Was kannst du über die Steigung an Stellen sagen, an denen der Graph einen „Hügel“ oder ein „Tal“ hat? - Geht der Graph in einem bestimmten Bereich nach oben oder nach unten? Was bedeutet das für die Steigung? - Zähle einfach die Stellen, an denen der Graph die waagerechte Achse kreuzt oder berührt.

1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Aussage (1) ist wahr. 2. Bei \(x=0\) besitzt der Graph ein lokales Minimum, also gilt \(f'(0)=0\). Aussage (2) ist wahr. 3. Im dargestellten Bereich \(2<x\le3{,}5\) fällt der Graph. Daher ist die Steigung negativ. Aussage (3) ist falsch. 4. Im Intervall \([-3;3]\) sind vier Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu erkennen. Aussage (4) ist wahr.

(1) wahr (2) wahr (3) falsch (4) wahr

- Für die Extremstellen prüfst du die Vorzeichenwechsel von \(f'\) an seinen Nullstellen. - Linksgekrümmt ist \(f\) dort, wo \(f'\) zunimmt. - Achte darauf, wo der Ableitungsgraph von zunehmend zu abnehmend wechselt.

1. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, daher liegt dort eine lokale Minimalstelle. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, daher liegt dort eine lokale Maximalstelle. 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wo \(f'\) zunimmt. Im dargestellten Bereich nimmt \(f'\) für \(-0{,}5\le x<2\) zu. Daher ist \(f\) dort linksgekrümmt. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von zunehmend zu abnehmend; dort liegt eine Wendestelle von \(f\).

a) Lokale Minimalstelle bei \(x=1\); lokale Maximalstelle bei \(x=3\). b) Linksgekrümmt für \(-0{,}5\le x<2\); Wendestelle bei \(x=2\).

- Welche Bedeutung haben Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel für \(f\)? - Wie hängen lokale Extremstellen von \(f'\) mit Wendestellen von \(f\) zusammen? - Was folgt aus einem positiven Vorzeichen von \(f'\) für die Monotonie von \(f\)?

1. Die Extremstellen von \(f\) entsprechen den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Aus dem Graphen liest man \(x=-4\) und \(x=2\) ab. 2. Bei \(x=-4\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt dort ein lokales Minimum von \(f\). Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein lokales Maximum. 3. Wendestellen von \(f\) entsprechen hier lokalen Extremstellen von \(f'\). Der Graph von \(f'\) hat seinen Scheitelpunkt bei \(x=-1\). Somit liegt bei \(x=-1\) eine Wendestelle von \(f\) vor. 4. Im Intervall \([-1;0]\) liegt der Graph von \(f'\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(f'(x)>0\). Damit ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. Aus \(0>-1\) folgt \(f(0)>f(-1)\).

a) Lokales Minimum bei \(x=-4\); lokales Maximum bei \(x=2\). b) Die Wendestelle von \(f\) liegt bei \(x=-1\). c) Da \(f'(x)>0\) auf \([-1;0]\) gilt, ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. Daher gilt \(f(0)>f(-1)\).

- Achte darauf, dass der dargestellte Graph zu \(g'\) gehört. - Was sagt das Vorzeichen von \(g'\) über die Monotonie von \(g\) aus? - Welche Vorzeichenwechsel von \(g'\) kennzeichnen lokale Extremstellen von \(g\)? - Wo nimmt \(g'\) im betrachteten Bereich seinen kleinsten Wert an?

1. Eine Funktion \(g\) nimmt dort streng monoton ab, wo \(g'<0\) gilt. Aus dem Graphen liest man \(g'(x)<0\) für \(-2<x<2\) ab. Damit ist \(g\) auf \([-2;2]\) streng monoton abnehmend. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(g'\) von positiv zu negativ; dort liegt eine lokale Maximalstelle von \(g\). Bei \(x=2\) wechselt \(g'\) von negativ zu positiv; dort liegt eine lokale Minimalstelle. 3. Die stärkste negative Steigung entspricht dem kleinsten Wert von \(g'\) im betrachteten Bereich. Der Scheitelpunkt der Parabel \(g'\) liegt bei \(x=0\) mit \(g'(0)=-4\). Daher besitzt \(g\) bei \(x=0\) die stärkste negative Steigung \(-4\).

1. Auf \([-2;2]\). 2. Lokale Maximalstelle bei \(x=-2\); lokale Minimalstelle bei \(x=2\). 3. Bei \(x=0\) ist die Steigung mit \(-4\) am stärksten negativ.

- Welche Bedeutung haben Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel für \(f\)? - Wie hängen positive beziehungsweise negative Werte von \(f'\) mit der Monotonie von \(f\) zusammen? - Welche Bedeutung haben lokale Extremstellen von \(f'\) für die Wendestellen von \(f\)?

1. Die Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt dort eine lokale Maximalstelle. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt dort eine lokale Minimalstelle. 2. Der Graph von \(f\) nimmt bis \(x=-1\) zu, nimmt dann bis \(x=3\) ab und nimmt danach wieder zu. Der Punkt \((0\mid1)\) liegt auf dem Graphen. 3. Eine Wendestelle von \(f\) liegt dort, wo \(f'\) ein lokales Extremum besitzt. Der Graph von \(f'\) hat seine lokale Minimalstelle bei \(x=1\). Daher hat \(f\) bei \(x=1\) eine Wendestelle.

1. Lokale Maximalstelle bei \(x=-1\), lokale Minimalstelle bei \(x=3\). 2. Qualitativer Verlauf: zunehmend für \(x<-1\), abnehmend für \(-1<x<3\), zunehmend für \(x>3\); der Graph verläuft durch \((0\mid1)\). 3. Wendestelle bei \(x=1\), da \(f'\) dort eine lokale Minimalstelle besitzt.

- Lies die stationären Stellen direkt aus den Faktoren von \(f'\) ab. - Setze diese Stellen in die gegebene zweite Ableitung ein. - Prüfe beim Graphenvergleich sowohl die Reihenfolge der Extremstellen als auch das Verhalten für große \(|x|\).

1. Aus dem gegebenen Faktorprodukt von \(f'\) folgen die stationären Stellen \(x=-1\), \(x=\frac12\) und \(x=2\). 2. Es gilt \(f''(-1)=18>0\), \(f''(\frac12)=-9<0\) und \(f''(2)=18>0\). Daher liegen bei \(x=-1\) und \(x=2\) lokale Minimalstellen und bei \(x=\frac12\) eine lokale Maximalstelle vor. 3. Die Funktionswerte sind \(f(-1)=-2\), \(f(\frac12)=\frac{49}{16}\) und \(f(2)=-2\). Wegen des positiven Leitkoeffizienten gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 4. Nur Abbildung a) zeigt die Tiefpunkte \(T_1(-1|-2)\) und \(T_2(2|-2)\), dazwischen den Hochpunkt \(H(0{,}5|\frac{49}{16})\), und beidseitig nach oben laufende Äste.

a) Lokale Minimalstellen bei \(x=-1\) und \(x=2\); lokale Maximalstelle bei \(x=0{,}5\). b) Abbildung a).

- Wie findet man Stellen, an denen die Steigung null ist? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art eines Extrempunktes aus? - Überlege dir, ob der Graph die x-Achse überqueren muss, wenn er von einem sehr hohen Wert zu einem Tiefpunkt unterhalb der Achse verläuft. - Hilft es, die Lage der Extrempunkte grob in ein Koordinatensystem zu skizzieren?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x + 2\). Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\), also \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(f''(0) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T_1(0 \mid -4)\); \(f''(1) = -1 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(1 \mid -3{,}75)\); \(f''(2) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T_2(2 \mid -4)\). 2. Da der Leitkoeffizient positiv und der Grad der Funktion gerade ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \infty\). Der höchste Punkt der Funktion im Bereich der Extrema ist der Hochpunkt \(H(1 \mid -3{,}75)\). Da dessen \(y\)-Wert negativ ist, verläuft der Graph zwischen den Tiefpunkten und dem Hochpunkt vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Aufgrund des Grenzverhaltens gegen \(+\infty\) und \(-\infty\) muss der Graph die \(x\)-Achse jedoch jeweils einmal links vom ersten Tiefpunkt (\(x < 0\)) und einmal rechts vom zweiten Tiefpunkt (\(x > 2\)) schneiden. Somit besitzt die Funktion genau zwei Nullstellen.

1. Die Extrempunkte sind \(T_1(0 \mid -4)\) (Tiefpunkt), \(H(1 \mid -3{,}75)\) (Hochpunkt) und \(T_2(2 \mid -4)\) (Tiefpunkt). 2. Die Funktion besitzt genau zwei Nullstellen, da alle lokalen Extremwerte negativ sind und die Funktionswerte für sehr große und sehr kleine \(x\) gegen unendlich streben.

- Überlege dir, welche Bedingung an die erste Ableitung für eine Extremstelle erfüllt sein muss. - Wie hängen der Grad einer Funktion und der Grad ihrer Ableitung zusammen? - Wie viele Nullstellen kann ein Polynom eines bestimmten Grades maximal haben? - Bedenke den Unterschied zwischen einer bloßen Nullstelle der Ableitung und einer tatsächlichen Extremstelle. Welches Kriterium muss zusätzlich erfüllt sein?

1. Notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist \(f'(x) = 0\). 2. Der Grad der Ableitungsfunktion \(f'\) einer ganzrationalen Funktion \(n\)-ten Grades ist \(n-1\). 3. Ein Polynom vom Grad \(n-1\) besitzt höchstens \(n-1\) reelle Nullstellen. Da jede Extremstelle eine Nullstelle von \(f'\) sein muss, kann die Anzahl der Extremstellen den Wert \(n-1\) nicht überschreiten. 4. Die Funktion \(f'(x) = (x-3)^2 \cdot (x+1)\) ist ein Produkt aus einem quadratischen und einem linearen Term, hat also den Grad \(2 + 1 = 3\). Da der Grad der Ableitung um 1 niedriger ist als der von \(f\), hat die Funktion \(f\) den Grad 4. 5. Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x_1 = 3\) (doppelte Nullstelle) und \(x_2 = -1\) (einfache Nullstelle). 6. Eine Extremstelle liegt nur vor, wenn an der Nullstelle der Ableitung ein Vorzeichenwechsel (VZW) stattfindet. Dies ist bei \(x_2 = -1\) (ungerade Vielfachheit) der Fall, jedoch nicht bei \(x_1 = 3\) (gerade Vielfachheit, Berührpunkt). 7. Somit besitzt die Funktion \(f\) genau eine Extremstelle.

a) Da \(f'\) den Grad \(n-1\) hat und somit maximal \(n-1\) Nullstellen besitzen kann, folgt aus der notwendigen Bedingung \(f'(x)=0\), dass es höchstens \(n-1\) Extremstellen geben kann. b) Der Grad von \(f\) ist 4. Die Funktion hat genau eine Extremstelle (bei \(x = -1\)), da nur dort ein Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion vorliegt.

- Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an Extremstellen gelten? - Wie berechnet man den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn die \(x\)-Koordinate bekannt ist? - Erinnere dich an die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + c\). Welche Informationen aus dem Wendepunkt benötigst du dafür? - Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Berührstelle.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\), \(f''(x) = 2x - 2\), \(f'''(x) = 2\). 2. Lokale Extrempunkte: \(f'(x) = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Überprüfung mit zweiter Ableitung: \(f''(-1) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(-1 \mid \frac{11}{3})\); \(f''(3) = 4 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(3 \mid -7)\). 4. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x_w = 1\). Da \(f'''(1) = 2 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. Koordinaten: \(f(1) = \frac{1}{3} - 1 - 3 + 2 = -\frac{5}{3}\). Wendepunkt \(W(1 \mid -\frac{5}{3})\). 5. Steigung im Wendepunkt: \(f'(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4\). 6. Wendetangente: Punkt-Steigungs-Form mit \(m = -4\) und \(W(1 \mid -\frac{5}{3})\): \(y = -4(x - 1) - \frac{5}{3} = -4x + 4 - \frac{5}{3} = -4x + \frac{7}{3}\).

a) Hochpunkt \(H(-1 \mid \frac{11}{3})\), Tiefpunkt \(T(3 \mid -7)\) b) Wendepunkt \(W(1 \mid -\frac{5}{3})\), Steigung \(m = -4\) c) \(t_w: y = -4x + \frac{7}{3}\)

- Nutze das notwendige und das hinreichende Kriterium für Extrem- und Wendepunkte. - Für die Wendetangente benötigst du sowohl die Koordinaten des Wendepunkts als auch die Steigung an dieser Stelle. - Wie findet man rechnerisch heraus, wo eine Gerade die \(x\)-Achse oder die \(y\)-Achse kreuzt?

1. Ableitungen: \(g'(x) = -3x^2 + 12x - 9\), \(g''(x) = -6x + 12\), \(g'''(x) = -6\). 2. Extrempunkte: \(g'(x) = 0 \implies -3(x^2 - 4x + 3) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = 3\). 3. Art der Extrema: \(g''(1) = 6 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(1 \mid 0)\); \(g''(3) = -6 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(3 \mid 4)\). 4. Wendepunkt: \(g''(x) = 0 \implies x_w = 2\). Funktionswert \(g(2) = -8 + 24 - 18 + 4 = 2\). Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\). 5. Wendetangente: Steigung \(m = g'(2) = -3(4) + 12(2) - 9 = 3\). Gleichung \(y = 3(x - 2) + 2 \implies y = 3x - 4\). 6. Achsenschnittpunkte: Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(x = 0 \implies y = -4\), also \(S_y(0 \mid -4)\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(y = 0 \implies 3x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{3}\), also \(S_x(\frac{4}{3} \mid 0)\).

a) Tiefpunkt \(T(1 \mid 0)\), Hochpunkt \(H(3 \mid 4)\), Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\) b) \(y = 3x - 4\) c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -4)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(\frac{4}{3} \mid 0)\)

- Überlege dir, ob für eine durchschnittliche Änderung der Differenzenquotient oder die Ableitung benötigt wird. - Wie hängen die Begriffe „momentane Änderung“ und „Steigung der Tangente“ zusammen? - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Extremum erfüllt sein? - Was beschreibt die zweite Ableitung im Hinblick auf die Änderungsrate der Steigung? - Denke bei der Interpretation der Wendestelle an die Dynamik der Volumenänderung.

1. Durchschnittliche Änderungsrate im Intervall \([2; 5]\): Berechnung der Funktionswerte \(V(2) = -2^3 + 15 \cdot 2^2 + 200 = 252\) und \(V(5) = -5^3 + 15 \cdot 5^2 + 200 = 450\). Der Differenzenquotient ergibt \(\frac{450 - 252}{5 - 2} = \frac{198}{3} = 66\). Die durchschnittliche Änderung beträgt \(66\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). 2. Momentane Änderungsrate bei \(t = 4\): Erste Ableitung bilden: \(V'(t) = -3t^2 + 30t\). Einsetzen ergibt \(V'(4) = -3 \cdot 16 + 30 \cdot 4 = -48 + 120 = 72\). Die momentane Änderungsrate beträgt \(72\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). 3. Maximales Volumen: Bedingung \(V'(t) = 0 \Rightarrow -3t(t - 10) = 0\). Die relevante Lösung im Intervall ist \(t = 10\). Da \(V''(t) = -6t + 30\) und \(V''(10) = -30 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. Das Volumen beträgt \(V(10) = -1000 + 1500 + 200 = 700\,\text{m}^3\). Ein Vergleich mit den Randwerten \(V(0) = 200\) und \(V(12) = 632\) bestätigt das globale Maximum bei \(t = 10\). 4. Wendepunkt: Bedingung \(V''(t) = 0 \Rightarrow -6t + 30 = 0 \Rightarrow t = 5\). Der Funktionswert ist \(V(5) = 450\). Koordinaten: \(W(5 \mid 450)\). Die Wendestelle \(t = 5\) gibt den Zeitpunkt an, zu dem das Volumen am schnellsten zunimmt. Die Steigung der Wendetangente \(V'(5) = -3 \cdot 25 + 30 \cdot 5 = 75\) gibt diese maximale Zunahmerate in \(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) an.

a) Die durchschnittliche Änderungsrate beträgt \(66\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). b) Die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 4\) beträgt \(72\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). c) Das maximale Volumen von \(700\,\text{m}^3\) wird nach \(10\,\text{Stunden}\) erreicht. d) Der Wendepunkt liegt bei \(W(5 \mid 450)\). Zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{Stunden}\) ist die Zunahme des Wasservolumens mit \(75\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) am größten.

- Was ist der Unterschied zwischen einer mittleren und einer momentanen Geschwindigkeit in Bezug auf die Ableitung? - Suche nach den Stellen, an denen die erste Ableitung null wird, um Hochpunkte zu finden. - Die Wendestelle markiert bei einem Aufstieg oft den Punkt der größten Dynamik – was bedeutet das hier für die Geschwindigkeit? - Vergiss nicht, die Einheiten in deiner Interpretation zu berücksichtigen.

1. Mittlere Steiggeschwindigkeit \([0; 5]\): \(h(0) = 20\) und \(h(5) = -0{,}2 \cdot 125 + 3 \cdot 25 + 20 = -25 + 75 + 20 = 70\). Differenzenquotient: \(\frac{70 - 20}{5 - 0} = \frac{50}{5} = 10\). Die mittlere Geschwindigkeit beträgt \(10\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 2. Momentane Steiggeschwindigkeit bei \(t = 3\): \(h'(t) = -0{,}6t^2 + 6t\). Einsetzen: \(h'(3) = -0{,}6 \cdot 9 + 6 \cdot 3 = -5{,}4 + 18 = 12{,}6\). Die Geschwindigkeit beträgt \(12{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 3. Maximale Höhe: Notwendige Bedingung \(h'(t) = 0 \Rightarrow -0{,}6t(t - 10) = 0\). Lösungen sind \(t = 0\) und \(t = 10\). Da \(h''(t) = -1{,}2t + 6\) und \(h''(10) = -6 < 0\), liegt bei \(t = 10\) ein Maximum vor. \(h(10) = -0{,}2 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 20 = 120\). Die maximale Höhe ist \(120\,\text{m}\). 4. Wendestelle: \(h''(t) = 0 \Rightarrow -1{,}2t + 6 = 0 \Rightarrow t = 5\). Die Steigung an dieser Stelle ist \(h'(5) = -0{,}6 \cdot 25 + 6 \cdot 5 = 15\). Interpretation: Nach \(5\,\text{Minuten}\) erreicht der Ballon seine höchste Steiggeschwindigkeit von \(15\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). Ab diesem Zeitpunkt nimmt die Steiggeschwindigkeit wieder ab.

a) Die mittlere Steiggeschwindigkeit beträgt \(10\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). b) Nach 3 Minuten beträgt die Steiggeschwindigkeit \(12{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). c) Die maximale Höhe von \(120\,\text{m}\) wird nach \(10\,\text{Minuten}\) erreicht. d) Die Wendestelle liegt bei \(t = 5\). Die Steigung dort beträgt \(15\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). Das bedeutet, dass der Ballon nach \(5\,\text{Minuten}\) am schnellsten steigt (maximale Steiggeschwindigkeit von \(15\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\)).

- Was bedeutet der Zeitpunkt zu Beginn der Beobachtung für den Wert von \(t\)? - Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihr Steigungsverhalten (Wachsen/Sinken) zusammen? - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Extremum erfüllt sein? - Vergiss bei der Suche nach dem absolut höchsten Wert nicht, auch die Werte an den Grenzen des Zeitbereichs zu prüfen. - Denk daran, dass die Änderungsrate selbst durch eine Funktion beschrieben wird – wie findet man deren Extremwerte?

1. Berechnung der Funktionswerte: Zu Beginn (\(t=0\)) gilt \(h(0) = 200\). Nach 5 Stunden (\(t=5\)) gilt \(h(5) = -5^3 + 15 \cdot 5^2 - 48 \cdot 5 + 200 = -125 + 375 - 240 + 200 = 210\). Die Wasserstände betragen \(200\,\text{cm}\) und \(210\,\text{cm}\). 2. Untersuchung der Monotonie: Die erste Ableitung lautet \(h'(t) = -3t^2 + 30t - 48\). Nullstellen von \(h'(t)\): \(-3(t^2 - 10t + 16) = 0\) liefert \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 8\). Da der Graph von \(h'\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist \(h'(t) < 0\) in den Intervallen \([0; 2]\) und \([8; 12]\). In diesen Zeiträumen sinkt der Wasserspiegel. 3. Bestimmung des absoluten Maximums: Mögliche Stellen sind die Ränder (\(t=0, t=12\)) und die lokalen Extrema (\(t=2, t=8\)). Da \(h'(t)\) bei \(t=2\) von negativ zu positiv wechselt, liegt dort ein lokales Minimum (\(h(2) = 156\)). Bei \(t=8\) wechselt \(h'(t)\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein lokales Maximum (\(h(8) = 264\)). Randwerte: \(h(0) = 200\), \(h(12) = -1728 + 2160 - 576 + 200 = 56\). Das absolute Maximum liegt bei \(t = 8\) mit einer Höhe von \(264\,\text{cm}\). 4. Stärkstes Sinken: Gesucht ist das Minimum der Ableitung \(h'(t)\). Die zweite Ableitung ist \(h''(t) = -6t + 30\). Nullsetzen ergibt \(t = 5\). Da \(h'''(t) = -6 < 0\), liegt bei \(t = 5\) die maximale Steigung vor. Da jedoch das stärkste Sinken gesucht ist (minimaler Wert von \(h'(t)\)), müssen die Ränder und der Wendepunkt verglichen werden: \(h'(5) = 27\), \(h'(0) = -48\), \(h'(12) = -3 \cdot 144 + 360 - 48 = -120\). Der Wasserspiegel sinkt zum Zeitpunkt \(t = 12\) am stärksten.

a) Zu Beginn: \(200\,\text{cm}\); nach 5 Stunden: \(210\,\text{cm}\). b) Der Wasserspiegel sinkt in den Zeiträumen \([0; 2]\) und \([8; 12]\) (Angaben in Stunden). c) Der Wasserstand ist nach 8 Stunden am höchsten und beträgt \(264\,\text{cm}\). d) Der Wasserspiegel sinkt am Ende des Beobachtungszeitraums, also zum Zeitpunkt \(t = 12\), am stärksten.

- Achte genau darauf, welcher Wert von \(t\) welcher Uhrzeit entspricht. - Was sagt die erste Ableitung über die Veränderung der Leistung aus? - Wie findet man den höchsten Punkt einer Kurve in einem abgeschlossenen Intervall? - Wenn nach der „schnellsten Zunahme“ gefragt ist, ist eigentlich nach dem Maximum der Steigung gesucht.

1. Berechnung für 10 Uhr: Da \(t=0\) um 6 Uhr ist, entspricht 10 Uhr dem Wert \(t=4\). \(P(4) = -4^3 + 12 \cdot 4^2 + 60 \cdot 4 = -64 + 192 + 240 = 368\). Die Leistung beträgt \(368\,\text{W}\). 2. Ableitungen: \(P'(t) = -3t^2 + 24t + 60\) beschreibt die momentane Änderungsrate der Leistung in \(\frac{\text{W}}{\text{h}}\). \(P''(t) = -6t + 24\) beschreibt die Änderungsrate dieser Änderungsrate in \(\frac{\text{W}}{\text{h}^2}\). 3. Maximalleistung: Bedingung \(P'(t) = 0 \implies -3(t^2 - 8t - 20) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(t_1 = 10\) und \(t_2 = -2\). Da nur \(0 \le t \le 12\) relevant ist, wird \(t = 10\) untersucht. \(P''(10) = -60 + 24 = -36 < 0\), also liegt ein lokales Maximum vor. Randwerte: \(P(0) = 0\), \(P(12) = -1728 + 1728 + 720 = 720\). Vergleich: \(P(10) = -1000 + 1200 + 600 = 800\). Das absolute Maximum liegt bei \(t = 10\) (entspricht 16 Uhr) mit \(800\,\text{W}\). 4. Schnellste Zunahme: Gesucht ist das Maximum von \(P'(t)\). Bedingung \(P''(t) = 0 \implies -6t + 24 = 0 \implies t = 4\). Wegen \(P'''(t) = -6 < 0\) liegt bei \(t = 4\) ein lokales Maximum der Änderungsrate vor. Die Leistung nimmt um 10 Uhr (\(t=4\)) am schnellsten zu.

a) Um 10 Uhr morgens (\(t=4\)) beträgt die Leistung \(368\,\text{W}\). b) \(P'(t) = -3t^2 + 24t + 60\) (Änderungsrate der Leistung); \(P''(t) = -6t + 24\) (Änderungsrate der Änderungsrate der Leistung). c) Die maximale Leistung wird um 16 Uhr (\(t=10\)) erreicht und beträgt \(800\,\text{W}\). d) Die Leistung nimmt um 10 Uhr morgens (\(t=4\)) am schnellsten zu.

- Untersuche die Exponenten der Funktionsterme, um direkt auf Symmetrieeigenschaften zu schließen. - Wie viele Lösungen hat die Gleichung \(f(x) = 0\)? Achte darauf, ob Nullstellen mehrfach vorkommen. - Nutze die erste und zweite Ableitung, um die Anzahl und Art der Extrempunkte sowie mögliche Terrassenpunkte zu bestimmen. - Überlege, ob man einen Funktionsterm mithilfe binomischer Formeln vereinfachen kann, um die Analyse zu erleichtern.

1. Analyse von \(f(x) = 2x^2 - x^4\): Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (A). Die Nullstellenberechnung \(x^2(2 - x^2) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = \pm\sqrt{2}\), also genau drei verschiedene Nullstellen (E). Die Ableitung \(f'(x) = 4x - 4x^3 = 4x(1 - x^2)\) hat Nullstellen bei \(x \in \{0; 1; -1\}\). Da \(f''(0) = 4\) (Minimum) und \(f''(\pm 1) = -8\) (Maxima), liegen drei Extrempunkte vor (C entfällt). Es gibt keinen Terrassenpunkt (D entfällt). 2. Analyse von \(g(x) = x^3 - 3x\): Da nur ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (B). Die Nullstellenberechnung \(x(x^2 - 3) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = \pm\sqrt{3}\), also genau drei Nullstellen (E). Die Ableitung \(g'(x) = 3x^2 - 3\) hat Nullstellen bei \(x = \pm 1\). Mit \(g''(1) = 6\) (Minimum) und \(g''(-1) = -6\) (Maximum) ergeben sich genau zwei Extrempunkte (C). 3. Analyse von \(h(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\): Dies entspricht \((x-1)^3\). Eine Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse liegt nicht vor. Es gibt nur die Nullstelle \(x=1\) (E entfällt). Die Ableitung \(h'(x) = 3(x-1)^2\) hat bei \(x=1\) eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, was einen Terrassenpunkt bedeutet (D). Da \(h'(x) \ge 0\), gibt es keine lokalen Extrempunkte (C entfällt).

(1): A, E (2): B, C, E (3): D

- Berechne für jede Funktion die erste Ableitung und bestimme deren Nullstellen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Ableitungsnullstelle und der Art des Kurvenpunkts (Extrempunkt vs. Terrassenpunkt). - Überprüfe bei quadratischen Funktionen die Symmetrie über die Scheitelpunktform oder die Lage des Scheitelpunktes. - Überlege, ob die Funktion überall steigt oder fällt, um auf die Existenz von Extrema zu schließen.

1. Untersuchung von \(f(x) = x^4 + 1\): Die Ableitung \(f'(x) = 4x^3\) hat nur die Nullstelle \(x = 0\) (A). Bei \(x = 0\) liegt wegen \(f''(0) = 0\), \(f'''(0) = 0\) und \(f^{(4)}(0) = 24 > 0\) ein lokales Minimum vor, also kein Terrassenpunkt (B entfällt) und ein Extremum ist vorhanden (C entfällt). Die Symmetrieachse ist die \(y\)-Achse (\(x = 0\)), nicht \(x = 1\) (D entfällt). 2. Untersuchung von \(g(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\): Dies ist gleich \((x + 1)^3\). Die Ableitung \(g'(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2\) hat nur die Nullstelle \(x = -1\) (A). Da es eine doppelte Nullstelle der Ableitung ist (kein Vorzeichenwechsel von \(g'\)), handelt es sich um einen Terrassenpunkt (B). Da \(g\) streng monoton zunehmend ist, gibt es kein lokales Extremum (C). Achsensymmetrie liegt bei ungeraden Graden nicht vor (D entfällt). 3. Untersuchung von \(h(x) = x^2 - 2x + 5\): Die Ableitung \(h'(x) = 2x - 2\) hat nur die Nullstelle \(x = 1\) (A). Der Graph ist eine Parabel. Die Scheitelpunktform \(h(x) = (x - 1)^2 + 4\) zeigt, dass der Scheitelpunkt bei \(x = 1\) liegt. Somit ist der Graph achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\) (D). Da ein Minimum vorliegt, ist C falsch; ein Terrassenpunkt existiert bei quadratischen Funktionen nicht (B entfällt).

(1): A (2): A, B, C (3): A, D

- Überlege dir, wie der Graph der Funktion grob aussieht. Wo liegen die Hoch- und Tiefpunkte? - Die Anzahl der Lösungen entspricht der Anzahl der Schnittpunkte zwischen dem Graphen und einer waagerechten Geraden. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Skizziere den Verlauf der Funktion basierend auf den Extrempunkten, um die verschiedenen Fälle für die Gerade zu sehen.

1. Bestimmung der Ableitung: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 2. Berechnung der Extremstellen durch \(f'(x) = 0\): \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\). 3. Berechnung der Funktionswerte an den Extremstellen: \(f(-2) = -1\) (lokales Minimum), \(f(0) = 3\) (lokales Maximum), \(f(2) = -1\) (lokales Minimum). 4. Betrachtung des Grenzwertverhaltens: Für \(|x| \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). 5. Analyse der Lösungsanzahl durch Vergleich der horizontalen Geraden \(y = a\) mit dem Graphen: - Keine Lösung: \(a < -1\). - Zwei Lösungen: \(a = -1\) (Berührungspunkte in den Minima) oder \(a > 3\). - Drei Lösungen: \(a = 3\) (Berührungspunkt im Maximum und zwei weitere Schnittpunkte). - Vier Lösungen: \(-1 < a < 3\). - Eine Lösung: Für keinen Wert von \(a\) (da die Minima auf gleicher Höhe liegen und der Grad der Funktion gerade ist).

- Keine Lösung für \(a < -1\) - Zwei Lösungen für \(a = -1\) oder \(a > 3\) - Drei Lösungen für \(a = 3\) - Vier Lösungen für \(-1 < a < 3\) - Eine Lösung für keinen Wert von \(a\)

- Bestimme zuerst die lokalen Maxima und Minima der Funktion auf der linken Seite. - Stell dir vor, du verschiebst eine horizontale Gerade \(y = k\) von unten nach oben durch das Koordinatensystem. - Wie oft schneidet diese Gerade den Graphen in den verschiedenen Bereichen? - Achte besonders auf die Werte von \(k\), die genau den Funktionswerten der Extrempunkte entsprechen.

1. Definition der Funktion \(g(x) = x^3 - 12x + 10\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(g'(x) = 3x^2 - 12\). 3. Berechnung der Extremstellen: \(g'(x) = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2\), \(x_2 = 2\). 4. Berechnung der Extremwerte: \(g(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 10 = -8 + 24 + 10 = 26\) (lokales Maximum); \(g(2) = 2^3 - 12(2) + 10 = 8 - 24 + 10 = -6\) (lokales Minimum). 5. Analyse des Verlaufs: Da \(g\) eine kubische Funktion mit positivem Leitkoeffizienten ist, gilt \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) und \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\). 6. Bestimmung der Lösungsanzahl für \(g(x) = k\): - Eine Lösung: Wenn die Gerade \(y=k\) unterhalb des Minimums oder oberhalb des Maximums liegt, also \(k < -6\) oder \(k > 26\). - Zwei Lösungen: Wenn die Gerade genau durch einen der Extrempunkte verläuft, also \(k = -6\) oder \(k = 26\). - Drei Lösungen: Wenn die Gerade zwischen den Extremwerten liegt, also \(-6 < k < 26\).

- Eine Lösung für \(k < -6\) oder \(k > 26\) - Zwei Lösungen für \(k = -6\) oder \(k = 26\) - Drei Lösungen für \(-6 < k < 26\)

- Für ein absolutes Maximum auf einem geschlossenen Zeitintervall müssen auch die Randwerte geprüft werden. - Welche Ableitung beschreibt die Änderungsrate der Konzentration? - Wenn diese Änderungsrate maximal sein soll, welche weitere Ableitung hilft bei der Kandidatensuche?

1. Es gilt \(k'(t)=-3t^2+18t+48=-3(t-8)(t+2)\). Im Intervall \([0;12]\) ist nur \(t=8\) eine innere kritische Stelle. 2. Mit \(k''(t)=-6t+18\) folgt \(k''(8)=-30<0\); bei \(t=8\) liegt ein lokales Maximum. 3. Für das absolute Maximum werden auch die Randwerte verglichen: \(k(0)=50\), \(k(8)=498\) und \(k(12)=194\). Damit ist die modellierte Konzentration bei \(t=8\) mit \(498\,\frac{\text{mg}}{\text{l}}\) am höchsten. 4. Die stärkste Zunahme entspricht einem Maximum von \(k'\). Aus \(k''(t)=0\) folgt \(t=3\). Wegen \(k'''(t)=-6<0\) besitzt \(k'\) dort ein lokales Maximum. 5. Es ist \(k'(3)=75\,\frac{\text{mg}}{\text{l}\cdot\text{h}}\).

a) Nach \(8\,\text{h}\) ist die modellierte Konzentration mit \(498\,\frac{\text{mg}}{\text{l}}\) maximal. b) Nach \(3\,\text{h}\) ist die Zunahme am stärksten; die Änderungsrate beträgt \(75\,\frac{\text{mg}}{\text{l}\cdot\text{h}}\).

- Was versteht man in der Mathematik unter Grenzkosten? - Welche Ableitung hilft dir dabei, die Extremstellen der Steigung zu finden? - Erinnere dich an die Bedeutung des Wendepunkts für das Krümmungsverhalten eines Graphen. - Wie verändert sich die Steigung links und rechts vom Wendepunkt in diesem Fall?

1. Bildung der ersten Ableitung (Grenzkostenfunktion): \(K'(x) = x^2 - 12x + 45\). 2. Bildung der zweiten Ableitung: \(K''(x) = 2x - 12\). 3. Bestimmung des Minimums der Grenzkosten durch Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(2x - 12 = 0 \implies x = 6\). 4. Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(K'''(x) = 2 > 0\), somit liegt bei \(x = 6\) ein Minimum der Steigung (Grenzkosten) vor. 5. Berechnung des Funktionswertes an der Wendestelle: \(K(6) = \frac{1}{3}(6)^3 - 6(6)^2 + 45(6) + 120 = 72 - 216 + 270 + 120 = 246\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(6 \mid 246)\). 6. Interpretation: Bis zur Produktionsmenge \(x = 6\) steigen die Kosten unterproportional (degressiv), da die Steigung abnimmt. Ab \(x = 6\) steigen die Kosten überproportional (progressiv), da die Steigung wieder zunimmt.

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(x = 6\,\text{ME}\) am geringsten. b) Der Wendepunkt liegt bei \(W(6 \mid 246)\). An dieser Stelle geht der Kostenverlauf von einem degressiven (rechtsgekrümmten) in einen progressiven (linksgekrümmten) Zuwachs über; hier wachsen die Kosten am langsamsten.

- Welche Endformen können ganzrationale Funktionen geraden Grades haben, ohne die \(x\)-Achse zu schneiden? - Eine Nullstelle von \(f'\) reicht nicht automatisch für eine Extremstelle. Was passiert bei \(x^3\)? - Welchen Grad hat \(f''\) bei einer Funktion dritten Grades?

1. Aussage a) ist falsch. Zum Beispiel besitzt \(f(x)=x^4+1\) keine Nullstelle, da \(f(x)\ge1\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt. 2. Aussage b) ist falsch. Für \(f(x)=x^3\) gilt \(f'(x)=3x^2\). Zwar ist \(f'(0)=0\), aber \(f'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen; bei \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt und keine Extremstelle vor. 3. Aussage c) ist wahr. Für \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(a\neq0\) ist \(f''(x)=6ax+2b\) eine lineare Funktion mit genau einer Nullstelle. Da eine nichtkonstante lineare Funktion dort ihr Vorzeichen wechselt, besitzt \(f\) genau eine Wendestelle.

a) Falsch; Gegenbeispiel \(f(x)=x^4+1\) b) Falsch; Gegenbeispiel \(f(x)=x^3\) c) Wahr

- Prüfe bei a), ob die quadratische Ableitung einer kubischen Funktion überhaupt reelle Nullstellen haben muss. - Für b) genügt ein Beispiel, dessen erste Ableitung drei einfache Nullstellen besitzt. - Welchen Grad hat die zweite Ableitung einer Funktion vierten Grades?

1. Aussage a) ist falsch. Für \(f(x)=x^3+x\) gilt \(f'(x)=3x^2+1>0\) für alle \(x\), also besitzt \(f\) keine lokale Extremstelle. Auch \(x^3\) zeigt, dass eine stationäre Stelle nicht zwingend eine Extremstelle ist: Bei \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor. 2. Aussage b) ist wahr. Für \(f(x)=x^4-2x^2\) gilt \(f'(x)=4x(x-1)(x+1)\). An den drei einfachen Nullstellen \(-1\), \(0\) und \(1\) wechselt \(f'\) jeweils das Vorzeichen, also besitzt \(f\) genau drei lokale Extremstellen. 3. Aussage c) ist wahr. Bei einer Funktion vierten Grades ist \(f''\) quadratisch und besitzt höchstens zwei reelle Nullstellen. Da jede Wendestelle die notwendige Bedingung \(f''(x)=0\) erfüllt, sind höchstens zwei Wendestellen möglich.

a) Falsch b) Wahr c) Wahr

- Bei einem geschlossenen Beobachtungsintervall müssen auch beide Randwerte in den Vergleich eingehen. - Die erste Ableitung beschreibt hier die Wachstumsrate der Pflanzenhöhe. - Für die stärkste Wachstumsphase suchst du ein Maximum dieser Änderungsrate.

1. Es gilt \(h'(t)=-0{,}06t^2+1{,}2t=t(-0{,}06t+1{,}2)\). Kritische Stellen im Intervall sind \(t=0\) und \(t=20\). 2. Mit \(h''(t)=-0{,}12t+1{,}2\) folgt \(h''(20)=-1{,}2<0\); bei \(t=20\) liegt ein lokales Maximum. 3. Für das absolute Maximum werden die Werte an allen Rand- und Kandidatenstellen verglichen: \(h(0)=20\,\text{cm}\), \(h(20)=100\,\text{cm}\), \(h(25)=82{,}5\,\text{cm}\). Damit liegt das absolute Maximum bei \(t=20\). 4. Für die maximale Wachstumsrate wird \(h'\) maximiert. Aus \(h''(t)=0\) folgt \(t=10\), und wegen \(h'''(t)=-0{,}12<0\) liegt dort ein Maximum von \(h'\). 5. Es ist \(h'(10)=6\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\).

a) Nach \(20\) Tagen erreicht die Pflanze im betrachteten Zeitraum ihre maximale Höhe von \(100\,\text{cm}\). b) Nach \(10\) Tagen wächst sie am schnellsten; die Wachstumsrate beträgt \(6\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\).

- Wie hängen Geschwindigkeit und Beschleunigung mathematisch zusammen? - Welche Eigenschaft hat die erste Ableitung an einem Wendepunkt der Originalfunktion? - Was bedeutet eine hohe Steigung im Kontext von Zeit und Geschwindigkeit?

1. Ableitungen bestimmen: \(v'(t) = -0{,}3t^2 + 3{,}6t\) und \(v''(t) = -0{,}6t + 3{,}6\). 2. Maximum berechnen: \(v'(t) = 0 \Rightarrow t \cdot (-0{,}3t + 3{,}6) = 0\). Lösungen sind \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 12\). Wegen \(v''(12) = -3{,}6 < 0\) liegt bei \(t = 12\,\text{s}\) ein lokales Maximum vor. Randprüfung: \(v(12) = 91{,}4\), \(v(15) = 72{,}5\), \(v(0) = 5\). Die Höchstgeschwindigkeit wird bei \(t = 12\,\text{s}\) erreicht. 3. Wendestelle berechnen: \(v''(t) = 0 \Rightarrow -0{,}6t + 3{,}6 = 0 \Rightarrow t = 6\). Da \(v'''(t) = -0{,}6 < 0\), besitzt \(v'\) bei \(t = 6\,\text{s}\) ein lokales Maximum; zugleich liegt dort die Wendestelle von \(v\). 4. Bedeutung im Sachkontext: Die Wendestelle \(t = 6\,\text{s}\) markiert den Zeitpunkt der maximalen Beschleunigung. 5. Steigung der Wendetangente: \(v'(6) = -0{,}3 \cdot 36 + 3{,}6 \cdot 6 = 10{,}8\). Dies ist der Wert der maximalen Beschleunigung in \(\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

a) Das Fahrzeug erreicht seine Höchstgeschwindigkeit nach \(12\) Sekunden. b) Die Wendestelle liegt bei \(t = 6\,\text{s}\). Sie gibt den Zeitpunkt an, an dem das Fahrzeug am stärksten beschleunigt. Die Steigung der Wendetangente (\(10{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)) entspricht dieser maximalen Beschleunigung.

- Welche Ableitung benötigst du, um die Krümmung einer Funktion zu untersuchen? - Wie prüft man rechnerisch, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Überlege dir, wie viele Einheiten der Punkt in horizontale und vertikale Richtung bewegt wurde. - Wenn ein Graph um \(d\) nach rechts verschoben wird, wie ändert sich dann das Argument \(x\) in der Funktionsgleichung?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\), \(f''(x) = 6x - 6\) und \(f'''(x) = 6\). 2. Wendestelle bestimmen: \(f''(x) = 0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x = 1\). Da \(f'''(1) \neq 0\), liegt an der Stelle \(x = 1\) ein Wendepunkt vor. 3. y-Koordinate des Wendepunkts berechnen: \(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 5 = -6\). Der Wendepunkt ist \(W(1 \mid -6)\). 4. Nachweis auf der Geraden: Einsetzen der Koordinaten von \(W\) in \(y = -4x - 2\) ergibt \(-6 = -4 \cdot 1 - 2\), was eine wahre Aussage ist. 5. Verschiebung ermitteln: Der Punkt \(P(0 \mid 5)\) wird auf \(P'(2 \mid 1)\) abgebildet. Dies entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (\(x_0 = 2\)) und um \(4\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (\(y_0 = -4\)). 6. Funktionsgleichung aufstellen: \(h(x) = f(x - 2) - 4 = (x - 2)^3 - 3(x - 2)^2 - 9(x - 2) + 1\).

a) Der Wendepunkt ist \(W(1 \mid -6)\). Einsetzen in die Geradengleichung: \(-6 = -4 \cdot 1 - 2\) ist korrekt. b) Eine mögliche Gleichung ist \(h(x) = (x - 2)^3 - 3(x - 2)^2 - 9(x - 2) + 1\) (oder ausmultipliziert \(h(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 1\)).

- Bestimme zuerst die Stelle, an der die zweite Ableitung null wird. - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes, wenn er zum Ursprung verschoben wird? - Erinnere dich an die binomischen Formeln oder das pascalsche Dreieck, um Potenzen wie \((x+2)^3\) aufzulösen. - Funktionen der Form \(f(x) = ax^3 + bx\) sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Das kann dir helfen, dein Ergebnis in Teil b zu überprüfen.

1. Ableitungen berechnen: \(g'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 6x + 4\), \(g''(x) = 3x - 6\). 2. Wendepunkt bestimmen: \(g''(x) = 0 \implies x = 2\). Die y-Koordinate ist \(g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 - 12 + 8 = 0\). Somit ist \(W(2 \mid 0)\). 3. Geradenprüfung: Einsetzen von \(x = 2\) in \(y = -x + 2\) ergibt \(y = -2 + 2 = 0\), was mit der y-Koordinate von \(W\) übereinstimmt. 4. Verschiebung bestimmen: Um den Punkt \(W(2 \mid 0)\) in den Ursprung \((0 \mid 0)\) zu verschieben, muss der Graph um \(2\) Einheiten nach links verschoben werden. 5. Transformation durchführen: \(k(x) = g(x + 2) = \frac{1}{2}(x + 2)^3 - 3(x + 2)^2 + 4(x + 2)\). 6. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(k(x) = \frac{1}{2}(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - 3(x^2 + 4x + 4) + 4x + 8\) \(k(x) = \frac{1}{2}x^3 + 3x^2 + 6x + 4 - 3x^2 - 12x - 12 + 4x + 8 = \frac{1}{2}x^3 - 2x\).

a) Der Wendepunkt ist \(W(2 \mid 0)\). Einsetzen in \(y = -x + 2\) ergibt \(0 = -2 + 2\). b) \(k(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2x\)

- Welche Ableitung bestimmt das Monotonieverhalten? - Beachte isolierte Nullstellen von \(f'\), an denen kein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Welche Vorzeichen von \(f''\) gehören zu Links- und Rechtskrümmung?

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-3x^2=x^2(x-3)\) und \(f''(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). 2. Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x=0\) (doppelt) und \(x=3\). Für \(x<3\) ist \(f'(x)<0\), abgesehen von der isolierten Nullstelle \(x=0\); für \(x>3\) gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) auf \(( -\infty;3]\) streng monoton abnehmend und auf \([3;\infty)\) streng monoton zunehmend. 3. Die Nullstellen von \(f''\) sind \(x=0\) und \(x=2\). Für \(x<0\) und \(x>2\) gilt \(f''(x)>0\), also ist der Graph linksgekrümmt. Für \(0<x<2\) gilt \(f''(x)<0\), also ist er rechtsgekrümmt.

Monotonie: streng monoton abnehmend auf \(( -\infty;3]\), streng monoton zunehmend auf \([3;\infty)\). Krümmung: linksgekrümmt auf \(( -\infty;0)\) und \((2;\infty)\), rechtsgekrümmt auf \((0;2)\).

- Was sagt das Vorzeichen von \(g'\) über die Monotonie aus? - Welche Rolle spielt \(g''\) für die Krümmung? - Eine Vorzeichentabelle kann beide Untersuchungen übersichtlich machen.

1. Es gilt \(g'(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+1{,}5=\frac{1}{2}(x-1)(x-3)\) und \(g''(x)=x-2\). 2. Für \(x<1\) und \(x>3\) gilt \(g'(x)>0\), für \(1<x<3\) gilt \(g'(x)<0\). Daher ist \(g\) auf \(( -\infty;1]\) und \([3;\infty)\) streng monoton zunehmend sowie auf \([1;3]\) streng monoton abnehmend. 3. Für \(x<2\) gilt \(g''(x)<0\), also ist der Graph rechtsgekrümmt. Für \(x>2\) gilt \(g''(x)>0\), also ist er linksgekrümmt.

Monotonie: streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;1]\) und \([3;\infty)\), streng monoton abnehmend auf \([1;3]\). Krümmung: rechtsgekrümmt auf \(( -\infty;2)\), linksgekrümmt auf \((2;\infty)\).

- Faktorisiere den Funktionsterm für die Nullstellen. - Wie hängen die stationären Stellen von \(k\) ab? - Nutze \(k>0\), wenn du die Vorzeichen von \(f_k''\) an den stationären Stellen beurteilst. - Welche Bedingung bestätigt den Wendepunkt im Ursprung?

1. Aus \(f_k(x)=x(x^2-3k^2)\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt3k\). Der Ursprung \((0\mid0)\) ist zugleich Schnittpunkt mit beiden Koordinatenachsen. Weitere Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \((\sqrt3k\mid0)\) und \((-\sqrt3k\mid0)\). 2. Es gilt \(f_k'(x)=3x^2-3k^2\). Die stationären Stellen liegen bei \(x=\pm k\). Mit \(f_k''(x)=6x\) folgt wegen \(k>0\): \(H(-k\mid2k^3)\) und \(T(k\mid-2k^3)\). 3. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt \(x=0\). Wegen \(f_k'''(x)=6\neq0\) liegt dort der Wendepunkt \(W(0\mid0)\).

Achsenschnittpunkte: \((0\mid0)\), \((\sqrt3k\mid0)\), \((-\sqrt3k\mid0)\) Extrempunkte: \(H(-k\mid2k^3)\), \(T(k\mid-2k^3)\) Wendepunkt: \(W(0\mid0)\)

- Faktorisiere den Funktionsterm für die Achsenschnittpunkte. - Wie hängen die stationären Stellen vom Parameter \(a\) ab? - Nutze \(a>0\), wenn du die Extremstellen klassifizierst. - Welche Ableitung bestätigt die beiden Wendestellen?

1. Aus \(g_a(x)=\frac{1}{4}x^2(x^2-4a^2)\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm2a\). Der Ursprung \((0\mid0)\) ist zugleich Schnittpunkt mit beiden Koordinatenachsen; weitere Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \((2a\mid0)\) und \((-2a\mid0)\). 2. Es gilt \(g_a'(x)=x^3-2a^2x\) und \(g_a''(x)=3x^2-2a^2\). Die stationären Stellen sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt2a\). Wegen \(a>0\) folgt \(H(0\mid0)\) sowie \(T_{1,2}(\pm\sqrt2a\mid-a^4)\). 3. Aus \(g_a''(x)=0\) folgen \(x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}a\). Da \(g_a'''(x)=6x\) dort jeweils ungleich null ist, liegen die Wendepunkte \(W_{1,2}(\pm\sqrt{\frac{2}{3}}a\mid-\frac{5}{9}a^4)\) vor.

Achsenschnittpunkte: \((0\mid0)\), \((2a\mid0)\), \((-2a\mid0)\) Extrempunkte: \(H(0\mid0)\), \(T_{1,2}(\pm\sqrt2a\mid-a^4)\) Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm\sqrt{\frac{2}{3}}a\mid-\frac{5}{9}a^4)\)

- Wie kannst du die Nullstellen direkt aus der Klammerdarstellung ablesen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du für \(x\) die Zahl Null einsetzt? - Überlege dir, welcher Teil der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte am wichtigsten wird. - Wenn ein Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist, was muss dann für jede Nullstelle \(x_0\) auch gelten?

1. Nullstellen bestimmen: Aus der faktorisierten Form ergeben sich die Nullstellen durch Nullsetzen der Faktoren. \(x_1 = -3\) (einfache Nullstelle, da der Faktor \((x+3)\) die Potenz 1 hat) und \(x_2 = 1\) (doppelte Nullstelle, da der Faktor \((x-1)\) im Quadrat steht). 2. \(y\)-Achsenabschnitt berechnen: Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung: \(p(0) = -0{,}1 \cdot (0 + 3) \cdot (0 - 1)^2 = -0{,}1 \cdot 3 \cdot 1 = -0{,}3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -0{,}3)\). 3. Globalverhalten untersuchen: Der Leitterm der ausmultiplizierten Funktion ist \(-0{,}1 \cdot x \cdot x^2 = -0{,}1x^3\). Für \(x \to \infty\) gilt \(p(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(p(x) \to \infty\). 4. Symmetrie begründen: Wäre der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung, müssten die Nullstellen symmetrisch zum Ursprung liegen. Da jedoch \(x = 1\) eine doppelte Nullstelle ist, müsste bei Achsensymmetrie auch \(x = -1\) eine doppelte Nullstelle sein; bei Punktsymmetrie müsste \(x = -1\) ebenfalls eine doppelte Nullstelle sein. Dies ist hier nicht der Fall (die andere Nullstelle liegt bei \(x = -3\) und ist einfach).

a) Nullstellen: \(x_1 = -3\) (einfach), \(x_2 = 1\) (doppelt). b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -0{,}3)\). c) \(x \to \infty \implies p(x) \to -\infty\); \(x \to -\infty \implies p(x) \to \infty\). d) Die Nullstellen liegen nicht symmetrisch zum Ursprung (zu \(x_2 = 1\) müsste \(x = -1\) eine Nullstelle mit gleicher Vielfachheit sein), daher liegt keine der genannten Symmetrien vor.

- Prüfe die Symmetrie durch Einsetzen von \(-x\). - Bei den Nullstellen liefert die Vielfachheit Information darüber, ob die Achse geschnitten oder berührt wird. - Für Extrempunkte brauchst du stationäre Stellen und eine Klassifikation. - Das Verhalten im Unendlichen wird vom führenden Term bestimmt.

1. Es gilt \(f(-x)=f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Aus \(x^4-4x^2=x^2(x-2)(x+2)=0\) folgen \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Bei \(x=0\) liegt eine doppelte Nullstelle vor; der Graph berührt dort die \(x\)-Achse. Bei \(x=\pm2\) liegen einfache Nullstellen vor; dort schneidet der Graph die Achse. 3. Es ist \(f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)\). Die stationären Stellen sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt2\). Mit \(f''(x)=12x^2-8\) folgt \(f''(0)<0\) und \(f''(\pm\sqrt2)>0\). Daher liegen \(H(0\mid0)\), \(T_1(-\sqrt2\mid-4)\) und \(T_2(\sqrt2\mid-4)\) vor. 4. Wegen des führenden Terms \(x^4\) gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\).

1. Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Nullstellen: \(x=-2\) und \(x=2\) als Schnittstellen; \(x=0\) als Berührstelle. 3. Hochpunkt \(H(0\mid0)\); Tiefpunkte \(T_1(-\sqrt2\mid-4)\) und \(T_2(\sqrt2\mid-4)\). 4. \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\).

- Die Gleichung für die Nullstellen enthält nur \(x^4\) und \(x^2\); eine Substitution reduziert den Grad. - Für die Extrempunkte brauchst du die Nullstellen der ersten Ableitung und eine Klassifikation. - Symmetrie und führender Term helfen dir, die berechneten charakteristischen Punkte zu einem qualitativen Verlauf zusammenzufügen.

1. Aus \(-\frac{1}{2}x^4+4x^2-6=0\) folgt \(x^4-8x^2+12=0\). Mit \(u=x^2\) erhält man \(u^2-8u+12=0\), also \(u=6\) oder \(u=2\). Damit sind die Nullstellen \(x=\pm\sqrt6\) und \(x=\pm\sqrt2\). 2. Es gilt \(f'(x)=-2x^3+8x=-2x(x^2-4)\) und \(f''(x)=-6x^2+8\). Die stationären Stellen sind \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Wegen \(f''(0)=8>0\) liegt \(T(0\mid-6)\) vor; wegen \(f''(\pm2)=-16<0\) liegen \(H_1(-2\mid2)\) und \(H_2(2\mid2)\) vor. 3. Da nur gerade Potenzen vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Für \(x\to\pm\infty\) gilt wegen des negativen führenden Koeffizienten \(f(x)\to-\infty\). Von links kommend steigt der Graph zum Hochpunkt bei \(-2\), fällt zum Tiefpunkt bei \(0\), steigt zum Hochpunkt bei \(2\) und fällt anschließend wieder. Dabei schneidet er die \(x\)-Achse an den vier berechneten Nullstellen.

1. Nullstellen: \(x=\pm\sqrt6\) und \(x=\pm\sqrt2\). 2. Hochpunkte \(H_1(-2\mid2)\), \(H_2(2\mid2)\); Tiefpunkt \(T(0\mid-6)\). 3. Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\); Verlauf Hochpunkt–Tiefpunkt–Hochpunkt in dieser Reihenfolge.

- Welche Ableitung bestimmt das Monotonieverhalten? - Wo kann sich das Monotonieverhalten ändern? - Untersuche das Vorzeichen von \(f'\) zwischen den Nullstellen. - Setze die bestätigten Extremstellen in \(f\) ein.

1. Es gilt \(f'(x)=-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3)\). Die Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=3\). 2. Für \(x<-1\) und \(x>3\) gilt \(f'(x)<0\), für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) auf \(( -\infty;-1]\) und \([3;\infty)\) streng monoton abnehmend sowie auf \([-1;3]\) streng monoton zunehmend. 3. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; mit \(f(-1)=-\frac{8}{3}\) folgt \(T(-1\mid-\frac{8}{3})\). Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; mit \(f(3)=8\) folgt \(H(3\mid8)\).

Streng monoton zunehmend auf \([-1;3]\). Streng monoton abnehmend auf \(( -\infty;-1]\) und \([3;\infty)\). Extrempunkte: \(T(-1\mid-\frac{8}{3})\) und \(H(3\mid8)\).

- Für Aufgabenteil a) musst du lediglich die gegebenen Zeitpunkte in die Funktionsgleichung einsetzen. - Denke bei Extremwertaufgaben in b) daran, sowohl die notwendige Bedingung als auch ein Kriterium zur Überprüfung der Art des Extremums zu nutzen. - Vergiss bei der Suche nach dem absoluten Maximum nicht, die Werte an den Rändern des Definitionsbereichs zu prüfen. - Die zweite Ableitung gibt an, wie sich die Steigung (also die Änderungsrate) der Funktion verändert. - Das Maximum einer Änderungsrate findest du dort, wo die Ableitung dieser Rate null wird.

1. Einsetzen der Zeitwerte in die Funktionsgleichung: \(c(0) = 5\) und \(c(12) = -0{,}1 \cdot 12^3 + 1{,}2 \cdot 12^2 + 5 = -172{,}8 + 172{,}8 + 5 = 5\). Zu Beginn und nach 12 Minuten beträgt die Konzentration jeweils \(5\,\text{mg}/\text{l}\). 2. Bestimmung des Maximums über die erste Ableitung: \(c'(t) = -0{,}3t^2 + 2{,}4t\). Nullstellen von \(c'\): \(0{,}3t(-t + 8) = 0\) liefert \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 8\). Die zweite Ableitung \(c''(t) = -0{,}6t + 2{,}4\) ergibt \(c''(8) = -2{,}4 < 0\), also liegt bei \(t = 8\) ein lokales Maximum vor. Da die Randwerte \(c(0) = 5\) und \(c(12) = 5\) kleiner sind als \(c(8) = -0{,}1 \cdot 8^3 + 1{,}2 \cdot 8^2 + 5 = 30{,}6\), ist dies das globale Maximum. 3. Berechnung von \(c''(2) = -0{,}6 \cdot 2 + 2{,}4 = 1{,}2\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min}^2)\). Da \(c''(2) > 0\), nimmt die Änderungsrate der Konzentration zu diesem Zeitpunkt zu; die Zunahme der Konzentration beschleunigt sich also. 4. Die maximale Zunahme liegt am Wendepunkt (Maximum der ersten Ableitung). \(c''(t) = 0 \implies -0{,}6t + 2{,}4 = 0 \implies t = 4\). Die maximale Änderungsrate beträgt \(c'(4) = -0{,}3 \cdot 4^2 + 2{,}4 \cdot 4 = -4{,}8 + 9{,}6 = 4{,}8\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min})\).

a) \(c(0) = 5\,\text{mg}/\text{l}\) und \(c(12) = 5\,\text{mg}/\text{l}\). b) Das Maximum wird nach \(8\,\text{Minuten}\) erreicht und beträgt \(30{,}6\,\text{mg}/\text{l}\). c) \(c''(2) = 1{,}2\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min}^2)\). Dies bedeutet, dass die Änderungsrate der Konzentration zum Zeitpunkt \(t = 2\) ansteigt (positive Beschleunigung der Konzentrationszunahme). d) Die Konzentration nimmt nach \(4\,\text{Minuten}\) am schnellsten zu. Die maximale Änderungsrate beträgt \(4{,}8\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min})\).

- Skizziere dir Verläufe von Graphen, die mehrfach steigen und fallen. Kann ein lokales „Tal“ weiter oben liegen als ein entfernter lokaler „Berg“? - Was passiert am linken Rand eines Intervalls, wenn eine Funktion streng monoton fällt? - Welche Voraussetzungen benötigt der Satz vom Maximum und Minimum?

1. Wahr. Da die Funktion streng monoton fällt, gilt für alle \(x > a\), dass \(f(a) > f(x)\). Somit ist der linke Randwert der größte Wert im Intervall. 2. Wahr. Dies ist bei Funktionen möglich, die mehrere lokale Extrema auf unterschiedlichen Niveaus besitzen. Ein lokaler Hochpunkt muss nur gegenüber seiner unmittelbaren Umgebung höher liegen; sein Funktionswert kann daher kleiner sein als der eines entfernten lokalen Tiefpunkts. 3. Wahr. Dies entspricht dem Satz vom Maximum und Minimum (Weierstraß): Eine stetige Funktion nimmt auf einem kompakten Intervall ihren maximalen und ihren minimalen Funktionswert an.

(1) Wahr. (2) Wahr. (3) Wahr (Satz vom Maximum und Minimum).

- Welche Nullstellen von \(f'\) sind im betrachteten Intervall relevant? - Was sagt das Vorzeichen von \(f'\) über die Monotonie aus? - Welche Bedeutung hat ein Extremum von \(f'\) im Populationsmodell?

1. Es gilt \(f'(t)=-3t^2+24t=-3t(t-8)\) und \(f''(t)=-6t+24\). 2. Im betrachteten Intervall liegen die stationären Stellen bei \(t=0\) und \(t=8\). Wegen \(f''(8)=-24<0\) liegt bei \(t=8\) ein lokales Maximum. Mit \(f(8)=316\) ergibt sich die maximale Population im Modell. 3. Für \(0<t<8\) gilt \(f'(t)>0\), also ist \(f\) auf \([0;8]\) streng monoton zunehmend. Für \(8<t<12\) gilt \(f'(t)<0\), also ist \(f\) auf \([8;12]\) streng monoton abnehmend. 4. Aus \(f''(t)=0\) folgt \(t=4\). Dort ist die Wachstumsrate \(f'\) maximal; die Population nimmt zu diesem Zeitpunkt am stärksten zu.

a) Nach \(8\) Wochen. b) \(316\) Insekten. c) Streng monoton zunehmend auf \([0;8]\), streng monoton abnehmend auf \([8;12]\). d) Bei \(t=4\) ist die Wachstumsrate maximal.

- Bestimme zuerst alle Stellen, an denen die Steigung der Funktion null ist. - Berechne die y-Werte an diesen Stellen. Liegen sie oberhalb oder unterhalb der x-Achse? - Untersuche das Verhalten der Funktion am Rand des Definitionsbereichs (für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\)). - Wie oft muss der Graph die x-Achse schneiden, wenn er von einem positiven zu einem negativen Wert (oder umgekehrt) wechselt?

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = x^3 - x^2 - 2x\). 2. Extremstellen finden: \(x(x^2 - x - 2) = 0\) liefert durch Ausklammern und die p-q-Formel (oder Faktorisierung) die Stellen \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 3. Funktionswerte an den Extremstellen bestimmen: \(f(-1) = \frac{19}{12} \approx 1{,}58\), \(f(0) = 2\) und \(f(2) = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67\). 4. Grenzverhalten: Da es sich um eine Funktion 4. Grades mit positivem Leitkoeffizienten handelt, gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty\). 5. Monotonie und Nullstellen: - Auf \((-\infty; -1]\) fällt \(f\) von \(\infty\) auf \(1{,}58\) (keine Nullstelle). - Auf \([-1; 0]\) steigt \(f\) von \(1{,}58\) auf \(2\) (keine Nullstelle). - Auf \([0; 2]\) fällt \(f\) von \(2\) auf \(-\frac{2}{3}\) (eine Nullstelle). - Auf \([2; \infty)\) steigt \(f\) von \(-\frac{2}{3}\) auf \(\infty\) (eine Nullstelle). Es existieren somit genau 2 Lösungen.

Die Gleichung besitzt genau 2 reelle Lösungen.

- Kannst du den Funktionsterm ausklammern, um die Nullstellen leichter zu finden? - Welche Bedingungen müssen für die Ableitungen an Extrem- und Wendepunkten erfüllt sein? - Untersuche die Exponenten der Variable, um eine Aussage über die Symmetrie zu treffen. - Wie verhält sich der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte?

1. Symmetrie zum Koordinatensystem: Da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung symmetrisch. 2. Achsenschnittpunkte: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(f(0) = 0\). Die Nullstellen ergeben sich aus \(x(x^2 - 6x + 9) = 0\). Dies führt zu \(x_1 = 0\) und der doppelten Nullstelle \(x_{2,3} = 3\). 3. Extrempunkte: Die erste Ableitung \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\) wird Null gesetzt: \(3(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 6x - 12\). Überprüfung: \(f''(1) = -6 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt \(H(1 \mid 4)\); \(f''(3) = 6 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt \(T(3 \mid 0)\). 4. Wendepunkte: Die notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\) liefert \(6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2\). Wegen \(f'''(x) = 6 \neq 0\) liegt an \(x=2\) ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 = 8 - 24 + 18 = 2\). Somit ist \(W(2 \mid 2)\). Außerdem gilt für alle \(u \in \mathbb{R}\): \(f(2+u)-2 = u^3 - 3u = -(f(2-u)-2)\). Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\).

Symmetrie: weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung, aber punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\); Achsenschnittpunkte: \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\); Extrempunkte: Hochpunkt \(H(1 \mid 4)\), Tiefpunkt \(T(3 \mid 0)\); Wendepunkt: \(W(2 \mid 2)\).

- Achte auf die Art der Exponenten (gerade oder ungerade), um die Symmetrie schnell zu bestimmen. - Klammere bei der Nullstellenberechnung \(x\) aus. - Setze die erste Ableitung gleich Null, um mögliche Extremstellen zu finden, und nutze die zweite Ableitung zur Bestätigung. - Überlege dir, ob eine Funktion ungeraden Grades Schranken für ihre \(y\)-Werte haben kann.

1. Symmetrie: Da nur ungerade Exponenten vorkommen (\(x^3\) und \(x^1\)), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Verhalten im Unendlichen: Der Leitterm \(\frac{1}{4}x^3\) bestimmt das Verhalten. Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Achsenschnittpunkte: \(y\)-Achse: \(g(0) = 0 \Rightarrow S_y(0 \mid 0)\). Nullstellen: \(\frac{1}{4}x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(\frac{1}{4}x^2 - 3) = 0\). Dies liefert \(x_1 = 0\) und \(\frac{1}{4}x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 12 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\). 4. Extrempunkte: \(g'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3\). \(g'(x) = 0 \Rightarrow \frac{3}{4}x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). Zweite Ableitung: \(g''(x) = \frac{3}{2}x\). Überprüfung: \(g''(2) = 3 > 0 \Rightarrow T(2 \mid -4)\); \(g''(-2) = -3 < 0 \Rightarrow H(-2 \mid 4)\). 5. Wendepunkte: \(g''(x) = 0 \Rightarrow x = 0\). Da \(g'''(x) = \frac{3}{2} \neq 0\), liegt ein Wendepunkt bei \(W(0 \mid 0)\) vor. 6. Wertemenge: Da es sich um eine Funktion ungeraden Grades handelt und die Grenzwerte \(\pm\infty\) sind, ist die Wertemenge \(W = \mathbb{R}\).

(1) Punktsymmetrie zum Ursprung. (2) \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). (3) \(S_y(0 \mid 0)\); Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm 2\sqrt{3}\). (4) Hochpunkt \(H(-2 \mid 4)\), Tiefpunkt \(T(2 \mid -4)\). (5) Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\). (6) \(W = \mathbb{R}\).

- Betrachte die Exponenten der Variable, um auf Symmetrie zu schließen. - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Nutze die faktorisierte Form, um die Nullstellen direkt abzulesen. - Denke an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrem- und Wendepunkte.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten auftreten (\(f(x) = 3x^2 - \frac{1}{2}x^4\)), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Globalverhalten: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), da der Leitterm \(-\frac{1}{2}x^4\) negativ ist. 3. Nullstellen: \(f(x) = 0 \Rightarrow x^2 = 0\) oder \(6 - x^2 = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{6}\). 4. Ableitungen: \(f'(x) = 6x - 2x^3\) und \(f''(x) = 6 - 6x^2\). 5. Extrema: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 2x(3 - x^2) = 0\). Kandidaten sind \(x = 0\) und \(x = \pm \sqrt{3}\). Überprüfung mit \(f''\): \(f''(0) = 6 > 0 \Rightarrow T(0 \mid 0)\); \(f''(\pm \sqrt{3}) = 6 - 18 = -12 < 0 \Rightarrow H_1(-\sqrt{3} \mid 4{,}5)\) und \(H_2(\sqrt{3} \mid 4{,}5)\). 6. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 6x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm 1\). Da \(f'''(x) = -12x \neq 0\) für \(x = \pm 1\), liegen Wendepunkte bei \(W_1(-1 \mid 2{,}5)\) und \(W_2(1 \mid 2{,}5)\).

Symmetrie: Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse Verhalten: \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\) Nullstellen: \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{6} \mid 0)\), \(N_3(-\sqrt{6} \mid 0)\) Extrema: Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\), Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{3} \mid 4{,}5)\) und \(H_2(\sqrt{3} \mid 4{,}5)\) Wendepunkte: \(W_1(-1 \mid 2{,}5)\), \(W_2(1 \mid 2{,}5)\)

- Es kann hilfreich sein, die Klammern zuerst aufzulösen, um die Ableitungen leichter zu bilden. - Was bedeutet eine quadrierte Klammer für die Art der Nullstelle? - Wie viele Extremstellen kann eine Funktion dritten Grades höchstens haben? - Der Wendepunkt liegt bei Funktionen dritten Grades immer genau in der Mitte zwischen den Extremstellen.

1. Ausmultiplizieren: \(f(x) = (x^2 + 4x + 4)(x - 1) = x^3 + 3x^2 - 4\). 2. Globalverhalten: Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Nullstellen: Aus der faktorisierten Form direkt ablesbar: \(x_1 = -2\) (doppelt) und \(x_2 = 1\). 4. Extrema: \(f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)\). Nullsetzen liefert \(x = 0\) und \(x = -2\). \(f''(x) = 6x + 6\). Überprüfung: \(f''(-2) = -6 < 0 \Rightarrow H(-2 \mid 0)\); \(f''(0) = 6 > 0 \Rightarrow T(0 \mid -4)\). 5. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 6x = -6 \Rightarrow x = -1\). \(f'''(x) = 6 \neq 0\). Funktionswert: \(f(-1) = (-1+2)^2(-1-1) = 1 \cdot (-2) = -2\). Somit \(W(-1 \mid -2)\).

Verhalten: \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\), \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) Nullstellen: \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(1 \mid 0)\) Extrema: Hochpunkt \(H(-2 \mid 0)\), Tiefpunkt \(T(0 \mid -4)\) Wendepunkt: \(W(-1 \mid -2)\)

- Überlege dir, wie der Graph verlaufen muss, wenn er von einem tiefen Punkt zu einem anderen tiefen Punkt führt. - Betrachte das Grenzverhalten (Globalverhalten) von Funktionen mit geradem Grad. - Was wissen wir über die Anzahl der Nullstellen der Ableitungsfunktion bei Funktionen vierten Grades?

1. Aussage a) ist wahr. Seien \(x_1 < x_2\) zwei lokale Minimalstellen. Auf dem abgeschlossenen Intervall \([x_1; x_2]\) nimmt die stetige Funktion \(f\) ein Maximum an. Dieses Maximum wird im Inneren des Intervalls angenommen; falls auf einem Teilintervall ein konstanter Maximalwert vorliegt, sind dessen innere Punkte ebenfalls lokale Maximalstellen. Somit liegt zwischen den beiden lokalen Minimalstellen mindestens eine lokale Maximalstelle. 2. Aussage b) ist wahr. Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) verläuft für \(x \to \pm \infty\) entweder beidseitig gegen \(+\infty\) (für \(a > 0\)) oder beidseitig gegen \(-\infty\) (für \(a < 0\)). Folglich muss die Funktion aufgrund ihrer Stetigkeit ein globales Minimum (bzw. Maximum) besitzen. An dieser Stelle ist die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) erfüllt und es liegt ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor, also eine Extremstelle.

a) Wahr. Zwischen zwei lokalen Minima muss der Graph steigen und wieder fallen, was ein lokales Maximum erzwingt. b) Wahr. Funktionen mit geradem Grad besitzen immer ein globales Extremum (Minimum oder Maximum) und damit mindestens eine Extremstelle.

- Wie entsteht die Gewinnfunktion aus Erlös und Kosten? - Welche stationären Stellen liegen im zulässigen Bereich \(x\ge0\)? - Wie zeigt dir der Vorzeichenwechsel von \(G'\), dass ein globales Maximum vorliegt?

1. Der Erlös ist \(E(x)=600x\). Daher gilt \(G(x)=E(x)-K(x)=-0{,}05x^3+6x^2+135x-4700\). 2. Es gilt \(G'(x)=-0{,}15x^2+12x+135=-0{,}15(x-90)(x+10)\). Auf dem zulässigen Bereich \(x\ge0\) ist nur \(x=90\) stationär. 3. Für \(0\le x<90\) gilt \(G'(x)>0\), für \(x>90\) gilt \(G'(x)<0\). Damit nimmt \(G\) bis \(x=90\) zu und danach ab; \(x=90\) liefert also das globale Gewinnmaximum auf \([0;\infty)\). 4. Es ist \(G(90)=19\,600\,\text{€}\). 5. Für \(x=10\) gilt \(G(10)=-2800\,\text{€}\). Es entsteht ein Verlust von \(2800\,\text{€}\).

a) \(G(x)=-0{,}05x^3+6x^2+135x-4700\) b) Bei \(90\,\text{kg}\); maximaler Gewinn \(19\,600\,\text{€}\). c) Verlust von \(2800\,\text{€}\).

- Die Grenzkosten sind minimal, wenn die Steigung der Kostenfunktion ihren kleinsten Wert erreicht. Welcher besondere Punkt der Kurvendiskussion ist das? - Wie hängen der Begriff „degressiv“, die Rechtskrümmung und das Steigungsverhalten der Ableitung zusammen? - Überlege dir, was die zweite Ableitung über die Änderung der Grenzkosten aussagt.

1. Grenzkostenfunktion bilden: \(K'(x) = 0{,}6x^2 - 24x + 300\). 2. Minimum der Grenzkosten bestimmen: \(K''(x) = 1{,}2x - 24\). Setze \(K''(x) = 0 \Rightarrow 1{,}2x = 24 \Rightarrow x = 20\). 3. Überprüfung: \(K'''(x) = 1{,}2 > 0\). Bei \(x = 20\) liegt ein Minimum der Grenzkosten vor (Kostenkehre). 4. Wert der minimalen Grenzkosten: \(K'(20) = 0{,}6 \cdot 20^2 - 24 \cdot 20 + 300 = 240 - 480 + 300 = 60\,\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). 5. Degressiver Kostenverlauf: Dieser liegt vor, solange die Grenzkosten sinken, also bis zum Minimum der Grenzkosten (dem Wendepunkt der Kostenfunktion). Mathematisch gilt dies für \(K''(x) < 0\). \(1{,}2x - 24 < 0 \Rightarrow x < 20\). Somit steigen die Kosten im Bereich \(0 \le x < 20\) degressiv.

a) \(K'(x) = 0{,}6x^2 - 24x + 300\) b) Die Grenzkosten sind bei einer Menge von \(20\,\text{Stück}\) minimal und betragen dort \(60\,\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). c) Im Bereich von \(0\) bis unter \(20\,\text{Stück}\) steigen die Kosten degressiv, da in diesem Intervall die zweite Ableitung \(K''(x) < 0\) ist, was bedeutet, dass die Grenzkosten abnehmen.

- Achte bei der Symmetrie auf die Exponenten der Variable \(x\). - Wie verhält sich der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? Welches Glied der Funktion dominiert dann? - Verwende die Ableitungen, um Steigung und Krümmung zu untersuchen. - Denke daran, die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung einzusetzen, um die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu bestimmen.

1. Symmetrie und Verhalten im Unendlichen: Da die Funktion sowohl gerade als auch ungerade Exponenten besitzt, liegt keine einfache Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse vor. Für das Verhalten im Unendlichen ist die höchste Potenz \(x^3\) maßgeblich: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). 2. Lokale Extrempunkte: Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\). Nullstellen von \(f'\) ergeben sich aus \((x-3)(x+1) = 0\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 2x - 2\). Prüfung der Stellen: \(f''(3) = 4 > 0 \implies\) lokale Minimalstelle bei \(x = 3\). Funktionswert: \(f(3) = 9 - 9 - 9 + \frac{11}{3} = -\frac{16}{3}\), also \(T(3 \mid -\frac{16}{3})\). Prüfung: \(f''(-1) = -4 < 0 \implies\) lokale Maximalstelle bei \(x = -1\). Funktionswert: \(f(-1) = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + \frac{11}{3} = \frac{16}{3}\), also \(H(-1 \mid \frac{16}{3})\). 3. Wendepunkte: Bedingung \(f''(x) = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1\). Mit \(f'''(x) = 2 \neq 0\) ist ein Wendepunkt bestätigt. Funktionswert: \(f(1) = \frac{1}{3} - 1 - 3 + \frac{11}{3} = 0\), also \(W(1 \mid 0)\).

1. Keine einfache Symmetrie; \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). 2. Hochpunkt \(H(-1 \mid \frac{16}{3})\), Tiefpunkt \(T(3 \mid -\frac{16}{3})\). 3. Wendepunkt \(W(1 \mid 0)\).

- Nutze die Symmetrieeigenschaften, um Rechnungen zu verkürzen. - Für die Nullstellenberechnung bei einer Funktion 4. Grades kann eine Ersetzung (Substitution) hilfreich sein. - Überlege dir, wie viele Extrempunkte eine Funktion 4. Grades maximal haben kann. - Vergiss nicht, die hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte zu prüfen.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Achsenschnittpunkte: \(y\)-Achsenabschnitt: \(g(0) = -2 \implies S_y(0 \mid -2)\). Nullstellen: \(-\frac{1}{8}x^4 + x^2 - 2 = 0\). Substitution \(z = x^2\) führt zu \(z^2 - 8z + 16 = 0\), woraus \((z-4)^2 = 0\), also \(z = 4\) folgt. Rücksubstitution ergibt \(x^2 = 4 \implies x_{1,2} = \pm 2\). Nullstellen: \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). 3. Extrempunkte: \(g'(x) = -\frac{1}{2}x^3 + 2x\). \(g'(x) = 0 \implies -\frac{1}{2}x(x^2 - 4) = 0 \implies x_1 = 0, x_{2,3} = \pm 2\). Zweite Ableitung: \(g''(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 2\). Prüfung: \(g''(0) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(0 \mid -2)\). \(g''(\pm 2) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkte \(H_1(-2 \mid 0)\) und \(H_2(2 \mid 0)\). 4. Wendepunkte: \(g''(x) = 0 \implies \frac{3}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1{,}15\). Da \(g'''(x) = -3x \neq 0\) für diese Stellen, liegen Wendepunkte vor. Funktionswerte: \(g(\pm \sqrt{4/3}) = -\frac{1}{8}(\frac{16}{9}) + \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{9} + \frac{12}{9} - \frac{18}{9} = -\frac{8}{9}\). Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \frac{2}{\sqrt{3}} \mid -\frac{8}{9})\).

Symmetrie: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. Schnittpunkte: \(S_y(0 \mid -2)\), \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(T(0 \mid -2)\), \(H_1(-2 \mid 0)\), \(H_2(2 \mid 0)\). Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \frac{2}{\sqrt{3}} \mid -\frac{8}{9})\).

- Der führende Term bestimmt das Verhalten im Unendlichen. - Prüfe die Symmetrie durch Einsetzen von \(-x\). - Für den Vergleich in Teil 4 musst du die tatsächlichen Nullstellen von \(f'\) und \(f''\) bestimmen, nicht nur die theoretischen Grenzen nennen.

1. Wegen des positiven führenden Terms \(\frac18x^4\) gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 2. Es gilt \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Aus \(f(x)=x^2(\frac18x^2-1)=0\) folgen \(x=0\) sowie \(x=\pm2\sqrt2\). 4. Eine ganzrationale Funktion 4. Grades kann höchstens \(3\) Extremstellen und \(2\) Wendestellen besitzen. 5. Es gilt \(f'(x)=\frac12x^3-2x=\frac12x(x^2-4)\). Die drei Nullstellen \(x=-2,0,2\) sind einfache Nullstellen von \(f'\), also liegen tatsächlich drei Extremstellen vor. 6. Es ist \(f''(x)=\frac32x^2-2\). Aus \(f''(x)=0\) folgen \(x=\pm\sqrt{\frac43}\). Wegen \(f'''(x)=3x\neq0\) an beiden Stellen liegen tatsächlich zwei Wendestellen vor.

1. \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 2. Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Nullstellen: \(x=0\), \(x=\pm2\sqrt2\). 4. Höchstens \(3\) Extremstellen und \(2\) Wendestellen; \(f\) erreicht mit drei Extremstellen und zwei Wendestellen beide Maximalanzahlen.

- Kannst du einen Faktor finden, der in Teilen des Terms gemeinsam vorkommt, um die Nullstellen einfacher zu bestimmen? - Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einem Extrempunkt erfüllt sein? - Überlege dir, welchen Grad die zweite Ableitung einer Funktion dritten Grades hat. Wie viele Nullstellen kann eine solche Funktion haben? - Wie berechnet man den passenden y-Wert, wenn man die x-Stelle eines Punktes bereits kennt?

1. Die Nullstellen werden durch \(f(x) = 0\) bestimmt. Durch Ausklammern oder Raten einer Nullstelle und anschließende Polynomdivision (oder direktes Faktorisieren: \(\frac{1}{3}(x^2(x-3) - 9(x-3))\)) erhält man \(f(x) = \frac{1}{3}(x-3)^2(x+3)\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 3\) (doppelt) und \(x_2 = -3\). 2. Für die Extrempunkte wird die erste Ableitung \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) gleich null gesetzt. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -1\). Mit der zweiten Ableitung \(f''(x) = 2x - 2\) ergibt sich: \(f''(3) = 4 > 0 \implies T(3 \mid 0)\) (lokales Minimum) und \(f''(-1) = -4 < 0 \implies H(-1 \mid \frac{32}{3})\) (lokales Maximum), näherungsweise \(H(-1 \mid 10{,}67)\). 3. Der Wendepunkt ergibt sich aus \(f''(x) = 0\), also \(2x - 2 = 0 \implies x_w = 1\). Der Funktionswert ist \(f(1) = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(1 \mid \frac{16}{3})\). Da die zweite Ableitung einer Funktion 3. Grades eine lineare Funktion der Form \(f''(x) = ax + b\) (mit \(a \neq 0\)) ist, besitzt diese genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, was stets zu genau einem Wendepunkt führt.

1. Nullstellen: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\) 2. Extrempunkte: \(T(3 \mid 0)\) und \(H(-1 \mid \frac{32}{3})\) 3. Wendepunkt: \(W(1 \mid \frac{16}{3})\). Begründung: Die zweite Ableitung ist eine lineare Funktion mit genau einer Nullstelle (und Vorzeichenwechsel).

- Wie hoch sind die Kosten, wenn die Produktion noch nicht gestartet ist? - Die Grenzkosten werden mathematisch durch die erste Ableitung beschrieben. Wie findet man den Tiefpunkt einer Funktion? - Welche Eigenschaft muss die erste Ableitung einer Funktion haben, damit die Funktion überall steigt? - Erinnere dich an die Diskriminante quadratischer Funktionen – was sagt sie über die Existenz von Nullstellen aus?

1. Zur Bestimmung der Fixkosten wird der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) berechnet: \(K(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 - 4 \cdot 0^2 + 21 \cdot 0 + 60 = 60\). Die Fixkosten betragen somit \(60\,\text{GE}\). 2. Die Grenzkostenfunktion entspricht der ersten Ableitung der Kostenfunktion: \(K'(x) = x^2 - 8x + 21\). Um deren Minimum zu finden, wird die zweite Ableitung \(K''(x) = 2x - 8\) gebildet und gleich Null gesetzt: \(2x - 8 = 0 \implies x = 4\). Wegen \(K'''(x) = 2 > 0\) liegt bei \(x = 4\,\text{ME}\) tatsächlich ein Minimum der Grenzkosten vor. 3. Für den Nachweis der strengen Monotonie wird die erste Ableitung \(K'(x) = x^2 - 8x + 21\) untersucht. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 - 8x + 21 = 0\) ergibt sich zu \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 64 - 84 = -20\). Da \(D < 0\) ist und der Graph von \(K'\) eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, gilt \(K'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Damit ist die Funktion \(K\) im gesamten Definitionsbereich streng monoton zunehmend.

a) Die Fixkosten betragen \(60\,\text{GE}\). b) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(4\,\text{ME}\) minimal. c) Da die erste Ableitung \(K'(x) = x^2 - 8x + 21\) keine reellen Nullstellen besitzt (\(D = -20\)) und stets positiv ist, ist die Funktion \(K\) streng monoton zunehmend.

- Ohne Düngung setzt du \(x=0\). - Für ein absolutes Maximum auf einem geschlossenen Intervall vergleichst du innere Kandidaten und Randwerte. - Die größte Zunahme entspricht einem Maximum der ersten Ableitung.

1. Es ist \(f(0)=45\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}}\). 2. Es gilt \(f'(x)=-0{,}00015x^2+0{,}012x+0{,}3\). Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=100\) und \(x=-20\); im betrachteten Intervall ist nur \(x=100\) relevant. 3. Wegen \(f''(100)=-0{,}018<0\) liegt dort ein lokales Maximum. Für das absolute Maximum werden die Randwerte verglichen: \(f(0)=45\), \(f(100)=85\) und \(f(160)=41{,}8\), jeweils in \(\frac{\text{dt}}{\text{ha}}\). Daher liegt das Maximum des Modells bei \(100\,\frac{\text{kg}}{\text{ha}}\) mit \(85\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}}\). 4. Die größte Zunahme entspricht einem Maximum von \(f'\). Aus \(f''(x)=-0{,}0003x+0{,}012=0\) folgt \(x=40\). Wegen \(f'''(x)=-0{,}0003<0\) besitzt \(f'\) dort ein Maximum.

a) \(45\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}}\) b) \(100\,\frac{\text{kg}}{\text{ha}}\); maximaler Modell-Ertrag \(85\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}}\) c) \(40\,\frac{\text{kg}}{\text{ha}}\)

- Untersuche die Exponenten der Variable, um auf die Symmetrie zu schließen. - Überlege dir, wie du die Gleichung vierten Grades für die Nullstellenberechnung vereinfachen kannst. - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte unter Verwendung der Ableitungen. - Denk daran, dass doppelte Nullstellen oft auch Extrempunkte sind.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten auftreten, gilt \(f(-x) = f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Achsenschnittpunkte: \(f(0) = 81 \implies S_y(0 \mid 81)\). Nullstellen durch Substitution \(z = x^2\): \(z^2 - 18z + 81 = 0 \implies (z-9)^2 = 0 \implies z = 9\). Somit \(x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3\). Nullstellen sind \(N_1(-3 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 3. Extrempunkte: \(f'(x) = 4x^3 - 36x = 4x(x^2 - 9)\). Nullstellen der Ableitung bei \(x_0 = 0\) und \(x_{1,2} = \pm 3\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = 12x^2 - 36\). - \(f''(0) = -36 < 0 \implies H(0 \mid 81)\). - \(f''(\pm 3) = 12 \cdot 9 - 36 = 72 > 0 \implies T_1(-3 \mid 0)\) und \(T_2(3 \mid 0)\). 4. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \implies 12x^2 = 36 \implies x^2 = 3 \implies x_{W1,2} = \pm \sqrt{3}\). Funktionswerte: \(f(\pm \sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 - 18(\sqrt{3})^2 + 81 = 9 - 54 + 81 = 36\). Da \(f'''(x) = 24x \neq 0\) für \(x \neq 0\), liegen Wendepunkte bei \(W_1(-\sqrt{3} \mid 36)\) und \(W_2(\sqrt{3} \mid 36)\) vor.

Symmetrie: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse Schnittpunkte: \(S_y(0 \mid 81)\), \(N_1(-3 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\) Extrempunkte: \(H(0 \mid 81)\), \(T_1(-3 \mid 0)\), \(T_2(3 \mid 0)\) Wendepunkte: \(W_1(-\sqrt{3} \mid 36)\), \(W_2(\sqrt{3} \mid 36)\)

- Prüfe zuerst Symmetrie und Grenzverhalten. - Für die Nullstellen kann die Substitution \(u=x^2\) helfen. - Bestimme die ersten drei Ableitungen für Extrem- und Wendepunkte. - Runde nicht-exakte Werte erst am Ende.

1. Da nur gerade Exponenten auftreten, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Wegen des positiven Leitkoeffizienten gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 2. Mit \(u=x^2\) folgt aus \(0{,}25u^2-2{,}5u+4=0\) die Lösung \(u=8\) oder \(u=2\). Damit liegen die Nullstellen bei \(x=\pm\sqrt8\approx\pm2{,}83\) und \(x=\pm\sqrt2\approx\pm1{,}41\). Außerdem ist \(S_y(0\mid4)\). 3. Es gilt \(f'(x)=x^3-5x\). Die stationären Stellen sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt5\approx\pm2{,}24\). Mit \(f''(x)=3x^2-5\) folgt \(H(0\mid4)\) sowie \(T_{1,2}(\pm2{,}24\mid-2{,}25)\). 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{\frac53}\approx\pm1{,}29\). Wegen \(f'''(x)=6x\neq0\) liegen Wendepunkte bei \(W_{1,2}(\pm1{,}29\mid0{,}53)\).

Symmetrie: achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Verhalten im Unendlichen: \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). Nullstellen: \(N_1(-2{,}83\mid0)\), \(N_2(-1{,}41\mid0)\), \(N_3(1{,}41\mid0)\), \(N_4(2{,}83\mid0)\). \(y\)-Achsenabschnitt: \(S_y(0\mid4)\). Extrempunkte: \(T_1(-2{,}24\mid-2{,}25)\), \(H(0\mid4)\), \(T_2(2{,}24\mid-2{,}25)\). Wendepunkte: \(W_1(-1{,}29\mid0{,}53)\), \(W_2(1{,}29\mid0{,}53)\).

- Prüfe zuerst die üblichen Symmetrien zum Koordinatensystem, aber bedenke, dass ein kubischer Graph auch zu einem verschobenen Punkt symmetrisch sein kann. - Der führende Term bestimmt das Globalverhalten. - Bestimme Extrem- und Wendepunkte mit den Ableitungen. - Nach dem Wendepunkt kann eine Verschiebung des Koordinatenursprungs die Punktsymmetrie sichtbar machen.

1. Es gilt weder \(f(-x)=f(x)\) noch \(f(-x)=-f(x)\); der Graph ist also weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung symmetrisch. 2. Wegen des positiven kubischen Leitglieds gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). 3. Aus \(f'(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)\) folgen die stationären Stellen \(x=-1\) und \(x=2\). Mit \(f''(x)=2x-1\) erhält man \(H(-1\mid\frac{13}{6})\) und \(T(2\mid-\frac73)\). 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=\frac12\). Wegen \(f'''(x)=2\neq0\) liegt der Wendepunkt \(W(\frac12\mid-\frac1{12})\) vor. 5. Mit der Verschiebung \(x=u+\frac12\) ergibt sich \(f(u+\frac12)=\frac13u^3-\frac94u-\frac1{12}\). Der von \(u\) abhängige Teil ist ungerade. Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(\frac12\mid-\frac1{12})\). 6. Mit einem digitalen Werkzeug erhält man die Nullstellen näherungsweise \(x_1\approx-2{,}08\), \(x_2\approx0{,}46\) und \(x_3\approx3{,}12\).

Punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(0{,}5\mid-\frac1{12})\), aber weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung symmetrisch. Globalverhalten: \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\), \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). Extrempunkte: \(H(-1\mid\frac{13}{6})\), \(T(2\mid-\frac73)\). Wendepunkt: \(W(0{,}5\mid-\frac1{12})\). Nullstellen: \(x_1\approx-2{,}08\), \(x_2\approx0{,}46\), \(x_3\approx3{,}12\).

- Welche Bedingungen liefern die Koordinaten des Wendepunkts? - Was bedeutet eine zur \(x\)-Achse parallele Tangente für die erste Ableitung? - Wie kannst du nach dem Bestimmen der Koeffizienten prüfen, ob die geforderte Wendestelle tatsächlich vorliegt?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Dann gilt \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\) und \(f'''(x)=6a\). 2. Aus \(W(0\mid2)\) folgen \(f(0)=2\) und \(f''(0)=0\). Damit ist \(d=2\) und \(b=0\). 3. Aus \(P(2\mid6)\) folgt \(f(2)=6\): \(8a+2c+2=6\), also \(4a+c=2\). 4. Die Tangente in \(P\) ist waagerecht, also \(f'(2)=0\): \(12a+c=0\). 5. Aus dem Gleichungssystem folgt \(a=-0{,}25\) und \(c=3\). Damit ist \(f(x)=-0{,}25x^3+3x+2\). 6. Für diese Funktion gilt \(f'''(x)=-1{,}5\). Insbesondere ist \(f'''(0)\neq0\); daher ist \(x=0\) tatsächlich eine Wendestelle.

\(f(x)=-0{,}25x^3+3x+2\)

- Übersetze Tiefpunkt und Wendepunkt jeweils in Bedingungen an Funktion und Ableitungen. - Wie viele Koeffizienten musst du im allgemeinen kubischen Ansatz bestimmen? - Welche zusätzlichen Prüfungen zeigen am Ende, dass die geforderten Punktarten wirklich vorliegen?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\) und \(f'''(x)=6a\). 2. Aus \(T(0\mid2)\) folgen \(f(0)=2\) und \(f'(0)=0\). Damit ist \(d=2\) und \(c=0\). 3. Aus \(W(1\mid4)\) folgen \(f(1)=4\) und \(f''(1)=0\). Aus \(6a+2b=0\) erhält man \(b=-3a\). 4. Mit \(f(1)=4\) gilt \(a+b+2=4\). Einsetzen von \(b=-3a\) liefert \(-2a=2\), also \(a=-1\) und \(b=3\). 5. Damit ist \(f(x)=-x^3+3x^2+2\). 6. Es gilt \(f''(0)=6>0\), also liegt bei \(x=0\) tatsächlich ein lokaler Tiefpunkt vor. 7. Außerdem ist \(f'''(x)=-6\), also \(f'''(1)\neq0\). Damit ist \(x=1\) tatsächlich eine Wendestelle.

\(f(x)=-x^3+3x^2+2\)

- Übersetze Tiefpunkt und Wendepunkt jeweils in Bedingungen an \(f\), \(f'\) bzw. \(f''\). - Du erhältst genau fünf Gleichungen für fünf Koeffizienten. - Eine Kandidatenbedingung \(f''(1)=0\) muss anschließend noch als Wendepunkt verifiziert werden.

1. Die Bedingungen sind \(f(0)=4\), \(f(2)=0\), \(f'(2)=0\), \(f(1)=1\) und \(f''(1)=0\). 2. Mit dem allgemeinen Ansatz und seinen Ableitungen ergibt das lineare Gleichungssystem \(a=1\), \(b=-5\), \(c=9\), \(d=-8\), \(e=4\). 3. Also \(f(x)=x^4-5x^3+9x^2-8x+4\). 4. \(f''(2)=6>0\), daher ist \(T\) ein Tiefpunkt. Außerdem \(f'''(1)=-6\neq0\), daher ist \(W\) tatsächlich ein Wendepunkt.

\(f(x)=x^4-5x^3+9x^2-8x+4\)

- Welche zwei Informationen liefert die Gleichung der Wendetangente an der Stelle \(x=1\)? - Welche notwendige Bedingung gilt an einer Wendestelle? - Wie kannst du nach dem Bestimmen der Koeffizienten überprüfen, dass die Wendestelle tatsächlich vorliegt?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Aus \(f(0)=0\) folgt \(d=0\). 2. Die Wendetangente liefert an \(x=1\) den Funktionswert \(f(1)=1\) und die Steigung \(f'(1)=-1\). 3. Wegen der Wendestelle gilt außerdem \(f''(1)=0\). 4. Mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) und \(f''(x)=6ax+2b\) erhält man \(a+b+c=1\), \(3a+2b+c=-1\) und \(6a+2b=0\). 5. Aus \(6a+2b=0\) folgt \(b=-3a\). Einsetzen in die ersten beiden Gleichungen liefert \(a=2\), \(b=-6\) und \(c=5\). 6. Damit ist \(f(x)=2x^3-6x^2+5x\). 7. Für die dritte Ableitung gilt \(f'''(x)=12\). Da \(f'''(1)\neq0\), liegt bei \(x=1\) tatsächlich eine Wendestelle vor.

\(f(x)=2x^3-6x^2+5x\)

- Welche mathematischen Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Punkt ein Tiefpunkt ist? - Wie viele Unbekannte hat eine Funktion dritten Grades und wie viele Gleichungen kannst du aus dem Text aufstellen? - Bestimme zuerst die Funktionsgleichung, die durch die Punkte und die Wendestelle festgelegt ist. - Überprüfe am Ende mit der zweiten Ableitung, ob es sich wirklich um die geforderte Art von Extrempunkt handelt.

1. Ansatz für die Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit den Ableitungen \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems aus den Bedingungen: - \(f(0) = 0 \implies d = 0\) - \(f''(3) = 0 \implies 18a + 2b = 0 \implies b = -9a\) - \(f(2) = 4 \implies 8a + 4b + 2c = 4\) - \(f'(2) = 0 \implies 12a + 4b + c = 0\) 3. Lösen des Systems: Einsetzen von \(b = -9a\) in die letzten beiden Gleichungen führt zu \(8a - 36a + 2c = 4 \implies -28a + 2c = 4\) und \(12a - 36a + c = 0 \implies c = 24a\). 4. Bestimmung der Koeffizienten: \(-28a + 2(24a) = 4 \implies 20a = 4 \implies a = 0{,}2\). Daraus folgen \(b = -1{,}8\) und \(c = 4{,}8\). Die Funktion lautet \(f(x) = 0{,}2x^3 - 1{,}8x^2 + 4{,}8x\). 5. Überprüfung der Art des Extremums: \(f''(2) = 6 \cdot 0{,}2 \cdot 2 + 2 \cdot (-1{,}8) = 2{,}4 - 3{,}6 = -1{,}2\). 6. Da \(f''(2) < 0\) ist, liegt bei \(T(2 \mid 4)\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. Ein lokaler Tiefpunkt an dieser Stelle ist für eine Funktion dritten Grades unter diesen Bedingungen somit nicht möglich.

Durch Lösen des Gleichungssystems erhält man die einzige mögliche Funktion \(f(x) = 0{,}2x^3 - 1{,}8x^2 + 4{,}8x\). Die Überprüfung der zweiten Ableitung an der Stelle \(x = 2\) ergibt \(f''(2) = -1{,}2\). Da dieser Wert kleiner als Null ist, handelt es sich um einen Hochpunkt und nicht um einen Tiefpunkt. Somit existiert keine solche Funktion dritten Grades.

- Überlege dir zuerst, welche Potenzen von \(x\) bei einer achsensymmetrischen Funktion vorkommen dürfen. - Wie viele Unbekannte hat dein Ansatz und wie viele Informationen liefert der Text? - Welche mathematische Bedingung muss an einer Stelle mit einem Tiefpunkt erfüllt sein? - Setze die bekannten Punkte und Eigenschaften in den Funktionsansatz und seine Ableitungen ein.

1. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und des Grades 4 lautet der allgemeine Ansatz \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse folgt \(f(0) = 2\), woraus sich direkt \(c = 2\) ergibt. 3. Der Punkt \(P(2 \mid -6)\) liegt auf dem Graphen, also gilt \(f(2) = -6\). Dies führt zur Gleichung \(16a + 4b + 2 = -6\), vereinfacht \(16a + 4b = -8\). 4. Da bei \(x = 2\) ein Tiefpunkt vorliegt, muss die erste Ableitung dort null sein: \(f'(2) = 0\). Mit \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) ergibt sich \(32a + 4b = 0\). 5. Das lineare Gleichungssystem aus \(16a + 4b = -8\) und \(32a + 4b = 0\) liefert durch Subtraktion \(16a = 8\), also \(a = 0{,}5\). Einsetzen in eine der Gleichungen ergibt \(b = -4\). 6. Überprüfung der Art des Extrempunkts: \(f''(x) = 6x^2 - 8\), also \(f''(2) = 16 > 0\). Damit ist \(P(2 \mid -6)\) tatsächlich ein Tiefpunkt. 7. Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 0{,}5x^4 - 4x^2 + 2\).

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 4x^2 + 2\)

- Welche Fälle für die Anzahl der Nullstellen von \(g_k'\) musst du in Abhängigkeit von \(k\) unterscheiden? - Woran erkennst du, ob eine stationäre Stelle tatsächlich eine Extremstelle ist? - Welche Ableitung beschreibt einen möglichen Krümmungswechsel des Graphen? - Welche Bedingung muss die zweite Koordinate von \(W_k\) in Teil c) erfüllen?

1. Es gilt \(g_k'(x)=x^2-2kx+6\). Extremstellen können nur an Nullstellen von \(g_k'\) auftreten. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2-2kx+6=0\) ist \(D=4k^2-24\). Für \(D<0\) gibt es keine stationären Stellen; für \(D=0\) gibt es eine doppelte Nullstelle von \(g_k'\), an der kein Vorzeichenwechsel von \(g_k'\) und damit kein Extremum vorliegt. Somit besitzt der Graph für \(-\sqrt{6}\le k\le\sqrt{6}\) keine Extrempunkte. In den Randfällen \(|k|=\sqrt{6}\) liegt stattdessen eine Terrassenstelle vor. 2. Es gilt \(g_k''(x)=2x-2k\). Aus \(g_k''(x)=0\) folgt \(x=k\). Da \(g_k'''(x)=2\ne0\) ist, liegt dort stets eine Wendestelle vor. Mit \(g_k(k)=-\frac{2}{3}k^3+6k\) ergibt sich \(W_k\left(k\mid-\frac{2}{3}k^3+6k\right)\). 3. Für einen Wendepunkt auf der \(x\)-Achse muss \(-\frac{2}{3}k^3+6k=0\) gelten. Daraus folgt \(k\left(-\frac{2}{3}k^2+6\right)=0\), also \(k\in\{-3;0;3\}\).

a) Für \(-\sqrt{6}\le k\le\sqrt{6}\) besitzt der Graph keine Extrempunkte. b) \(W_k\left(k\mid-\frac{2}{3}k^3+6k\right)\) c) \(k\in\{-3;0;3\}\)

- Welche Bedingungen liefern der gegebene Punkt, der Extrempunkt und die Wendestelle? - Nutze die notwendigen Bedingungen zunächst zum Bestimmen der Koeffizienten. - Welche zusätzlichen Prüfungen zeigen anschließend, dass die geforderten Punktarten wirklich vorliegen?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\) und \(f'''(x)=6a\). 2. Aus \(f(0)=0\) folgt \(d=0\). 3. Aus \(E(2\mid-4)\) folgen \(f(2)=-4\) und \(f'(2)=0\): \(8a+4b+2c=-4\) und \(12a+4b+c=0\). 4. Aus der Wendebedingung bei \(x=1\) folgt \(f''(1)=0\), also \(6a+2b=0\) und damit \(b=-3a\). 5. Einsetzen liefert zunächst \(c=0\) und anschließend \(a=1\). Damit ist \(b=-3\) und \(f(x)=x^3-3x^2\). 6. Es gilt \(f''(2)=6>0\); somit ist \(E(2\mid-4)\) tatsächlich ein lokaler Tiefpunkt. 7. Außerdem gilt \(f'''(x)=6\), also \(f'''(1)\neq0\). Damit ist \(x=1\) tatsächlich eine Wendestelle.

\(f(x)=x^3-3x^2\)

- Welche Bedingungen liefert ein Wendepunkt im Ursprung? - Was sagt die Gleichung der Wendetangente über \(f'(0)\) aus? - Wie kannst du am Ende überprüfen, dass im Ursprung tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). 2. Aus dem Wendepunkt im Ursprung folgen \(f(0)=0\) und \(f''(0)=0\). Damit ist \(d=0\) und \(b=0\), also \(f(x)=ax^3+cx\). 3. Die Wendetangente hat die Steigung \(-3\). Daher gilt \(f'(0)=-3\), also \(c=-3\). 4. Aus der Nullstelle bei \(x=3\) folgt \(27a-9=0\), also \(a=\frac{1}{3}\). 5. Damit ist \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x\). 6. Für die gefundene Funktion gilt \(f'''(x)=2\). Da \(f'''(0)\neq0\), ist der Ursprung tatsächlich ein Wendepunkt.

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x\)

- Der Ursprung reduziert den allgemeinen kubischen Ansatz um den konstanten Term. - Ein vorgegebener Tiefpunkt liefert sowohl eine Punktbedingung als auch \(f'(4)=0\). - Verifiziere die Extremumart mit der zweiten Ableitung.

1. Wegen des Ursprungs gilt \(f(x)=ax^3+bx^2+cx\). 2. Aus \(f(2)=4\), \(f(4)=2\) und der Extremumbedingung \(f'(4)=0\) entsteht ein lineares Gleichungssystem. 3. Es liefert \(a=\frac5{16}\), \(b=-\frac{21}{8}\), \(c=6\). Damit \(f(x)=\frac5{16}x^3-\frac{21}{8}x^2+6x\). 4. \(f''(x)=\frac{15}{8}x-\frac{21}{4}\), also \(f''(4)=\frac94>0\). Der vorgegebene Punkt ist tatsächlich ein Tiefpunkt.

\(f(x)=\frac5{16}x^3-\frac{21}{8}x^2+6x\)

- Schaue dir für Aufgabenteil a) charakteristische Eigenschaften wie Achsenschnittpunkte, Symmetrie oder Grenzverhalten an. - Wie verhält sich eine Potenzfunktion mit geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten im Unendlichen? - Verwende bei der Berechnung der Nullstellen in b) das Verfahren der Substitution, um die Gleichung vierten Grades zu lösen. - Zur Bestimmung der Extrempunkte benötigst du die erste und zweite Ableitung. Welche Bedingungen müssen für Hoch- und Tiefpunkte erfüllt sein?

1. Vergleich mit dem dargestellten Graphen: - Symmetrie: Da \(f\) nur gerade Exponenten besitzt, ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der dargestellte Graph von \(g\) ist dagegen zur Geraden \(x = 1\) symmetrisch. - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = 6\), also schneidet \(G_f\) die \(y\)-Achse bei \((0 \mid 6)\). Der dargestellte Graph schneidet sie bei \((0 \mid 1)\). - Extrempunkte: \(G_f\) hat einen Hochpunkt bei \((0 \mid 6)\); der dargestellte Graph hat dort keinen Hochpunkt. 2. Kurvendiskussion: - Verhalten im Unendlichen: Wegen des positiven Leitkoeffizienten und des geraden Grades gilt \(f(x) \to +\infty\) für \(x \to \pm\infty\). - Nullstellen: \(0{,}5x^4 - 4x^2 + 6 = 0\). Nach Multiplikation mit \(2\) und der Substitution \(u = x^2\) erhält man \(u^2 - 8u + 12 = 0\), also \((u-2)(u-6)=0\). Damit sind \(x_1=-\sqrt{6}\approx-2{,}45\), \(x_2=-\sqrt{2}\approx-1{,}41\), \(x_3=\sqrt{2}\approx1{,}41\) und \(x_4=\sqrt{6}\approx2{,}45\). - Extrempunkte: \(f'(x)=2x^3-8x=2x(x^2-4)\), also \(x=-2,0,2\). Mit \(f''(x)=6x^2-8\) folgt \(f''(0)=-8<0\) und \(f''(\pm2)=16>0\). Somit liegen der Hochpunkt \(H(0 \mid 6)\) und die Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -2)\), \(T_2(2 \mid -2)\) vor.

a) Mögliche Begründungen, warum die Abbildung nicht den Graphen von \(f\) zeigt: - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Für \(f\) gilt \(f(0)=6\), der abgebildete Graph schneidet die \(y\)-Achse jedoch bei \(y=1\). - Symmetrie: Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, der abgebildete Graph ist jedoch zur Geraden \(x=1\) symmetrisch. - Extrempunkte: Der Graph von \(f\) hat einen Hochpunkt bei \((0 \mid 6)\), während der abgebildete Graph seinen Hochpunkt bei \((1 \mid 3{,}2)\) hat. b) Kurvendiskussion von \(f\): 1. Verhalten für \(x \to \pm\infty\): \(f(x) \to +\infty\) 2. Nullstellen: \(x_{1,2}=\pm\sqrt{2}\approx\pm1{,}41\) und \(x_{3,4}=\pm\sqrt{6}\approx\pm2{,}45\) 3. Extrempunkte: Hochpunkt \(H(0 \mid 6)\), Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -2)\) und \(T_2(2 \mid -2)\)

- Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel entsprechen Extremstellen von \(f\). - Das Vorzeichen von \(f'\) bestimmt das Monotonieverhalten von \(f\). - Extremstellen von \(f'\) entsprechen Wendestellen von \(f\).

1. Der Graph von \(f'\) hat im angegebenen Intervall Nullstellen mit Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 3\). Daher hat \(f\) dort genau drei Extremstellen. Aussage a) ist wahr. 2. Im Intervall \([0{,}5; 2{,}5]\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) dort streng monoton abnehmend. Aussage b) ist wahr. 3. Wendepunkte von \(f\) entsprechen Extremstellen von \(f'\). Bei \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle, aber keine Extremstelle. Daher hat \(f\) dort keinen Wendepunkt. Aussage c) ist falsch.

a) Wahr, da \(f'\) drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. b) Wahr, da \(f'(x) < 0\) im gesamten Intervall \([0{,}5; 2{,}5]\) gilt. c) Falsch, da \(f'\) bei \(x = 0\) keine Extremstelle hat.

- Überlege dir zuerst, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung \(f'\) mit den Extremstellen der Funktion \(f\) zusammen? Welcher Vorzeichenwechsel deutet auf ein Maximum, welcher auf ein Minimum hin? - Welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\) entspricht den Wendestellen der Funktion \(f\)? Denke an die zweite Ableitung \(f''\).

1. Monotonieverhalten (Teilaufgabe a): Die Funktion \(f\) ist streng monoton steigend auf Intervallen, in deren Innerem \(f'(x) > 0\) gilt. Dem Graphen entnimmt man \(f'(x) > 0\) für \(-4 < x < -1\) und \(3 < x < 4\). Somit ist \(f\) auf \([-4; -1]\) und \([3; 4]\) streng monoton steigend. Entsprechend gilt \(f'(x) < 0\) für \(-5 < x < -4\) und \(-1 < x < 3\), sodass \(f\) auf \([-5; -4]\) und \([-1; 3]\) streng monoton fallend ist. 2. Extremstellen (Teilaufgabe b): Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -4\), \(x = -1\) und \(x = 3\). Bei \(x = -4\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; daher liegt dort eine lokale Minimalstelle (Tiefstelle) vor. Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; daher liegt dort eine lokale Maximalstelle (Hochstelle) vor. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; daher liegt dort eine lokale Minimalstelle (Tiefstelle) vor. 3. Wendestellen (Teilaufgabe c): Wendestellen von \(f\) entsprechen lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\), sofern deren Steigung dort das Vorzeichen wechselt. Der Graph von \(f'\) besitzt im gegebenen Intervall genau zwei lokale Extrempunkte, einen Hochpunkt bei \(x \approx -2{,}7\) und einen Tiefpunkt bei \(x \approx 1{,}4\). Somit besitzt \(f\) im Intervall genau zwei Wendestellen.

a) Streng monoton steigend für \(x \in [-4; -1]\) und \(x \in [3; 4]\); streng monoton fallend für \(x \in [-5; -4]\) und \(x \in [-1; 3]\). b) Drei Extremstellen: lokale Minimalstellen bei \(x = -4\) und \(x = 3\), eine lokale Maximalstelle bei \(x = -1\). c) Zwei Wendestellen.

- Bestimme zuerst die notwendigen Ableitungen der gegebenen Funktionsgleichung. - Wie lauten die Bedingungen für das Vorliegen von lokalen Extrempunkten und Wendepunkten? - Berechne die exakten Koordinaten dieser charakteristischen Punkte. - Vergleiche die berechneten Koordinaten (insbesondere die \(x\)- und \(y\)-Werte der Hoch- und Tiefpunkte) mit den Werten, die du im Koordinatensystem ablesen kannst. - Achte genau auf die Skalierung der Achsen im Graphen.

1. Bestimmung der ersten drei Ableitungen der Funktion \(f(x) = -\frac{1}{4}x^3 + 3x\): \(f'(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 3\) \(f''(x) = -\frac{3}{2}x\) \(f'''(x) = -\frac{3}{2}\) 2. Berechnung der Extremstellen über \(f'(x) = 0\): \(-\frac{3}{4}x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) Überprüfung mit der zweiten Ableitung: - \(f''(2) = -3 < 0 \implies\) lokale Maximalstelle bei \(x = 2\) mit \(f(2) = -\frac{1}{4} \cdot 8 + 6 = 4\). Somit \(H(2 \mid 4)\). - \(f''(-2) = 3 > 0 \implies\) lokale Minimalstelle bei \(x = -2\) mit \(f(-2) = -\frac{1}{4} \cdot (-8) - 6 = -4\). Somit \(T(-2 \mid -4)\). 3. Berechnung des Wendepunkts über \(f''(x) = 0 \implies x = 0\). Da \(f'''(0) = -\frac{3}{2} \neq 0\), liegt der Wendepunkt im Ursprung bei \(W(0 \mid 0)\). 4. Abgleich mit dem Graphen: Der abgebildete Graph zeigt den Hochpunkt bei \( (2 \mid 3) \) und den Tiefpunkt bei \( (-2 \mid -3) \). Da die berechneten \(y\)-Werte der Extrempunkte nicht mit dem Graphen übereinstimmen, ist der Graph nicht korrekt; er ist in \(y\)-Richtung um den Faktor \(\frac{3}{4}\) gestaucht.

a) Hochpunkt: \(H(2 \mid 4)\), Tiefpunkt: \(T(-2 \mid -4)\), Wendepunkt: \(W(0 \mid 0)\). b) Nein, der Graph ist nicht korrekt. Die berechneten Extrempunkte liegen bei \(y=4\) bzw. \(y=-4\), im Graphen befinden sie sich jedoch bei \(y=3\) bzw. \(y=-3\).

- Nullstellen der Ableitung entsprechen Extremstellen der Originalfunktion. - Das Vorzeichen der Ableitung zeigt, wo die Originalfunktion zu- oder abnimmt. - Ein Extrempunkt der Ableitung entspricht einer Wendestelle der Originalfunktion.

1. Der rote Graph \(G_1\) gehört zur Funktion \(f\), der blaue Graph \(G_2\) zur Ableitungsfunktion \(f'\). An den Extremstellen von \(G_1\) bei \(x = -2\) und \(x = 2\) hat \(G_2\) Nullstellen. Im Intervall \([-2; 2]\) nimmt \(G_1\) ab, und \(G_2\) verläuft dort unterhalb der \(x\)-Achse. 2. Aus dem Graphen liest man den Hochpunkt \(H(-2 \mid 3)\), den Tiefpunkt \(T(2 \mid -1)\) und den Wendepunkt \(W(0 \mid 1)\) ab. 3. \(f\) ist im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton abnehmend.

a) \(G_1\) (rot) gehört zu \(f\), und \(G_2\) (blau) gehört zu \(f'\). b) \(H(-2 \mid 3)\), \(T(2 \mid -1)\), \(W(0 \mid 1)\). c) \(f\) ist auf \([-2; 2]\) streng monoton abnehmend.

- Welche notwendige Bedingung gilt an Extremstellen? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung Hoch- und Tiefpunkte unterscheiden? - Welche Bedingung verwendest du für Kandidaten auf Wendestellen, und wie überprüfst du sie anschließend?

1. Es gilt \(f'(x)=-0{,}4x^3+1{,}6x\), \(f''(x)=-1{,}2x^2+1{,}6\) und \(f'''(x)=-2{,}4x\). 2. Für die Extremstellen löst man \(f'(x)=0\): \(x(-0{,}4x^2+1{,}6)=0\). Daraus folgen \(x=0\) und \(x=\pm2\). 3. Mit \(f''(0)=1{,}6>0\) und \(f(0)=1\) erhält man den Tiefpunkt \(T(0\mid1)\). Für \(x=\pm2\) gilt \(f''(\pm2)=-3{,}2<0\) und \(f(\pm2)=2{,}6\); damit sind \(H_1(-2\mid2{,}6)\) und \(H_2(2\mid2{,}6)\) Hochpunkte. 4. Für die Wendestellen löst man \(f''(x)=0\): \(-1{,}2x^2+1{,}6=0\), also \(x=\pm\frac{2}{3}\sqrt{3}\). 5. Da \(f'''\left(\pm\frac{2}{3}\sqrt{3}\right)\neq0\), liegen dort tatsächlich Wendestellen vor.

a) Hochpunkte \(H_1(-2 \mid 2{,}6)\) und \(H_2(2 \mid 2{,}6)\), Tiefpunkt \(T(0 \mid 1)\). b) Wendestellen bei \(x_1=-\frac{2}{3}\sqrt{3}\approx-1{,}15\) und \(x_2=\frac{2}{3}\sqrt{3}\approx1{,}15\).

- Wie hängen das Vorzeichen von \(f'\) und das Monotonieverhalten von \(f\) zusammen? - Woran erkennst du an einer Nullstelle von \(f'\), ob dort eine Maximal- oder Minimalstelle von \(f\) liegt? - Für die Wendestellen kannst du untersuchen, wo \(f'\) von Abnehmen zu Zunehmen oder umgekehrt wechselt. - Wie lässt sich dieser Wechsel mit dem gegebenen Term von \(f'\) exakt berechnen?

1. Aus dem Vorzeichen von \(f'\) folgt: \(f\) ist auf \([-5; -4]\) und \([-1; 4]\) streng monoton zunehmend sowie auf \([-4; -1]\) und \([4; 5]\) streng monoton abnehmend. 2. Bei \(x=-4\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x=4\) wechselt \(f'\) wieder von positiv zu negativ, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Für die Wendestellen werden die Extremstellen von \(f'\) bestimmt. Aus \(f'(x)=-0{,}1(x^3+x^2-16x-16)\) folgt \(f''(x)=-0{,}1(3x^2+2x-16)\). 4. Aus \(f''(x)=0\) erhält man \(3x^2+2x-16=0\), also \(x=-\frac{8}{3}\) und \(x=2\). An beiden Stellen wechselt das Vorzeichen von \(f''\); daher sind beide Stellen Wendestellen von \(f\). 5. Für \(x\in\left(-\frac{8}{3};2\right)\) gilt \(f''(x)>0\), also ist der Graph linksgekrümmt. Für \(x\in\left[-5;-\frac{8}{3}\right)\) und \(x\in(2;5]\) gilt \(f''(x)<0\), also ist der Graph rechtsgekrümmt.

a) Streng monoton zunehmend auf \([-5; -4]\) und \([-1; 4]\); streng monoton abnehmend auf \([-4; -1]\) und \([4; 5]\). b) Lokale Maximalstellen bei \(x=-4\) und \(x=4\); lokale Minimalstelle bei \(x=-1\). c) Wendestellen bei \(x=-\frac{8}{3}\) und \(x=2\). Linksgekrümmt auf \(\left(-\frac{8}{3};2\right)\); rechtsgekrümmt auf \(\left[-5;-\frac{8}{3}\right)\) und \((2;5]\).

- Überlege zuerst, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung \(f'\) und deren Vorzeichenwechsel mit den lokalen Extremstellen von \(f\) zusammen? - Erinnere dich daran, dass ein Vorzeichenwechsel der Ableitung von negativ zu positiv eine Tiefstelle und ein Wechsel von positiv zu negativ eine Hochstelle anzeigt. - Überlege, welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\), beispielsweise ein Hoch- oder Tiefpunkt, einer Wendestelle der Originalfunktion \(f\) entspricht.

1. Monotonieverhalten: Im Inneren des Intervalls \([-3; 1]\) gilt \(f'(x) > 0\). Daher ist \(f\) im dargestellten Bereich auf \([-3; 1]\) streng monoton steigend. Im Inneren der Intervalle \([-5; -3]\) und \([1; 3]\) gilt \(f'(x) < 0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. 2. Lokale Extremstellen: Bei \(x = -3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 3. Wendestelle: Der Graph von \(f'\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit einem lokalen Maximum bei \(x = -1\). Links davon steigt \(f'\), rechts davon fällt \(f'\). Somit wechselt \(f''\) bei \(x = -1\) von positiv zu negativ, und \(f\) besitzt dort eine Wendestelle.

a) Im dargestellten Bereich streng monoton steigend auf \([-3; 1]\); streng monoton fallend auf \([-5; -3]\) und \([1; 3]\). b) Lokale Minimalstelle bei \(x = -3\); lokale Maximalstelle bei \(x = 1\). c) Wendestelle bei \(x = -1\), weil \(f'\) dort von steigend zu fallend wechselt.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\). - Welche Bedingung muss an einer Stelle \(x\) erfüllt sein, damit dort ein Extrempunkt des Graphen von \(f\) vorliegt? - Wie lässt sich ein Hochpunkt von einem Tiefpunkt anhand des Verlaufs der Ableitung \(f'\) unterscheiden? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Wendepunkten von \(f\) und den Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\)?

1. Aussage (1) ist falsch. An der Stelle \(x = -2\) hat die Ableitungsfunktion \(f'\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Dies ist das hinreichende Kriterium für einen Hochpunkt der Funktion \(f\), nicht für einen Tiefpunkt. 2. Aussage (2) ist wahr. Im offenen Intervall \((1; 3)\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) > 0\). Daher ist die Funktion \(f\) im Intervall \([1; 3]\) streng monoton steigend. 3. Aussage (3) ist wahr. An der Stelle \(x = 1\) liegt eine Nullstelle von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus vor. Dies ist das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt von \(f\). 4. Aussage (4) ist wahr. Die Wendestellen einer Funktion \(f\) entsprechen den Extremstellen ihrer Ableitungsfunktion \(f'\). Der abgebildete Graph von \(f'\) besitzt im Intervall \([-3; 4]\) genau zwei Extremstellen: einen Tiefpunkt bei \(x \approx -0{,}8\) und einen Hochpunkt bei \(x \approx 2{,}1\). Folglich hat der Graph von \(f\) in diesem Intervall genau zwei Wendestellen.

(1) Falsch — bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ; dort liegt eine lokale Maximalstelle von \(f\). (2) Wahr — auf \((1;3)\) ist \(f'(x)>0\), daher steigt \(f\). (3) Wahr — bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv; dort liegt eine lokale Minimalstelle. (4) Wahr — der Graph von \(f'\) besitzt im angegebenen Intervall zwei Extremstellen; entsprechend liegen dort zwei Wendestellen von \(f\).

- Welche Nullstellen von \(f'\) sind Kandidaten für lokale Extremstellen von \(f\)? - Welches Vorzeichen von \(f''\) klassifiziert eine stationäre Stelle als lokale Maximal- oder Minimalstelle? - Weshalb kann eine waagerechte Tangente auch ohne Extremum auftreten? - An welchen Stellen wechselt das Vorzeichen von \(f''\)?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen näherungsweise bei \(x\approx-2{,}5\), \(x=1\) und \(x\approx4{,}5\). 2. Bei \(x\approx-2{,}5\) und \(x\approx4{,}5\) ist \(f''>0\), also besitzt \(f\) dort lokale Minimalstellen. Bei \(x=1\) ist \(f''<0\), also liegt dort eine lokale Maximalstelle vor. 3. Die Bedingung \(f'(x_0)=0\) ist für eine differenzierbare Funktion an einer inneren lokalen Extremstelle notwendig, reicht allein aber nicht aus; auch ein Terrassenpunkt kann eine waagerechte Tangente besitzen. Zusammen mit \(f''(x_0)>0\) beziehungsweise \(f''(x_0)<0\) ist die Klassifikation als lokale Minimal- beziehungsweise Maximalstelle hinreichend. 4. Die Nullstellen von \(f''\) liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f''\) von positiv zu negativ, also von Links- zu Rechtskrümmung. Bei \(x=3\) wechselt \(f''\) von negativ zu positiv, also von Rechts- zu Linkskrümmung.

a) Lokale Minimalstellen bei \(x\approx-2{,}5\) und \(x\approx4{,}5\); lokale Maximalstelle bei \(x=1\). b) \(f'(x_0)=0\) ist notwendig, aber nicht hinreichend; mit \(f''(x_0)\neq0\) kann die stationäre Stelle hinreichend als Extremstelle klassifiziert werden. c) Wendestellen bei \(x=-1\) und \(x=3\); dort wechselt die Krümmungsrichtung jeweils.

- Bestimme zuerst rechnerisch die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) der gegebenen Funktion \(f(x)\). - Welchen Grad hat die Ableitungsfunktion und wie müsste ihr Graph im Vergleich zum abgebildeten Graphen im Unendlichen verlaufen? - Überlege, in welchen Bereichen die Funktion \(f(x)\) steigt oder fällt. Welche Vorzeichen müsste die Ableitungsfunktion \(f'\) in diesen Bereichen haben? - Betrachte die Nullstellen des abgebildeten Graphen. Welche Arten von Extrempunkten (Hoch- oder Tiefpunkt) würden zu den jeweiligen Vorzeichenwechseln gehören?

Um zu zeigen, dass der abgebildete Graph \(g\) nicht die Ableitungsfunktion \(f'\) darstellen kann, wird zunächst die tatsächliche Ableitungsfunktion berechnet: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) Es lassen sich folgende drei Widersprüche aufzeigen: 1. **Globalverhalten:** Da der Leitkoeffizient von \(f'\) positiv ist, handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit \(\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = \infty\). Der abgebildete Graph \(g\) verläuft jedoch für \(x \to \pm\infty\) nach \(-\infty\) (nach unten geöffnete Parabel). 2. **Monotonieverhalten:** Im Intervall \((-1; 3)\) ist \(f'(x) < 0\), was bedeutet, dass die Funktion \(f\) dort streng monoton fällt. Der Graph \(g\) verläuft in diesem Intervall jedoch oberhalb der \(x\)-Achse, nimmt also nur positive Werte an. 3. **Art der Extremstellen:** Bei \(x = -1\) hat \(f\) einen lokalen Hochpunkt, da die Steigung von positiv (für \(x < -1\)) zu negativ (für \(x > -1\)) wechselt. Somit müsste \(f'\) bei \(x = -1\) einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus haben. Der Graph \(g\) wechselt an dieser Stelle jedoch sein Vorzeichen von minus nach plus.

1. **Globalverhalten:** Die Ableitung \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar (\(f'(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\)), während der abgebildete Graph nach unten geöffnet ist. 2. **Monotonie:** Im Intervall \((-1; 3)\) ist \(f'(x) < 0\) (die Funktion \(f\) fällt), aber der abgebildete Graph ist dort positiv. 3. **Extremstellen:** An der Stelle \(x = -1\) liegt ein Hochpunkt von \(f\) vor, weshalb die Ableitung einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus haben müsste. Der Graph zeigt jedoch einen Wechsel von minus nach plus (was einem Tiefpunkt entspräche).

- Betrachte das Verhalten der Funktionswerte für sehr große positive und sehr kleine negative \(x\)-Werte. Wie verhält sich die Funktion \(f\) im Vergleich zu den Graphen? - Untersuche die Gleichung der Funktion \(f\) auf Symmetrieeigenschaften. Welche Symmetrie müsste ein Graph aufweisen, und trifft das auf Graph A oder Graph B zu? - Bestimme die Nullstellen der Funktion \(f\) und überlege dir, ob es sich um einfache Schnittpunkte oder mehrfache Berührpunkte handelt. Wie verhalten sich die Graphen im Ursprung? - Ermittle die Lage der Extrempunkte von \(f\) und vergleiche sie mit den Extrempunkten in den Abbildungen.

1. Ausschluss von Graph A: - Globalverhalten: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), während Graph A gegen \(-\infty\) verläuft. Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), während Graph A gegen \(\infty\) verläuft. - Funktionswerte für negative \(x\): Für \(x < 0\) gilt \(f(x) = x^2(x-3) < 0\). Graph A verläuft dort jedoch im positiven Bereich. - Extrempunkte: \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\) liefert die Extremstellen \(x = 0\) mit Hochpunkt \((0 \mid 0)\) und \(x = 2\) mit Tiefpunkt \((2 \mid -4)\). Graph A hat stattdessen einen Tiefpunkt im Ursprung und eine Hochstelle bei \(x = 2\). 2. Ausschluss von Graph B: - Symmetrie: Graph B ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Da die Funktionsgleichung von \(f(x)\) sowohl gerade als auch ungerade Exponenten besitzt, ist der Graph von \(f\) weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. - Verhalten im Ursprung: Graph B schneidet die \(x\)-Achse im Ursprung. Bei \(f(x) = x^2(x-3)\) ist \(x = 0\) jedoch eine doppelte Nullstelle und damit ein Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel. - Lage der Extrempunkte: Der Hochpunkt von Graph B liegt bei einem negativen \(x\)-Wert, während der Hochpunkt von \(f\) im Ursprung liegt.

Graph A kann aus folgenden Gründen nicht zu \(f\) gehören; zwei Begründungen genügen: 1. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), während Graph A gegen \(-\infty\) fällt. 2. Für \(x<0\) gilt \(f(x)<0\), Graph A verläuft dort jedoch oberhalb der \(x\)-Achse. 3. \(f\) hat den Hochpunkt \(H(0\mid0)\) und den Tiefpunkt \(T(2\mid-4)\); bei Graph A ist dies umgekehrt. Graph B kann aus folgenden Gründen nicht zu \(f\) gehören; zwei Begründungen genügen: 1. Graph B ist punktsymmetrisch zum Ursprung, \(f\) ist jedoch nicht punktsymmetrisch. 2. Graph B schneidet die \(x\)-Achse im Ursprung, während \(f\) dort eine doppelte Nullstelle und damit einen Berührpunkt besitzt. 3. Der Hochpunkt von Graph B liegt bei \(x<0\), der Hochpunkt von \(f\) liegt im Ursprung.

- Untersuche für die Monotonie das Vorzeichen von \(f'\). - Für das Krümmungsverhalten ist das Vorzeichen von \(f''\) entscheidend. - Nutze die Abbildung anschließend als Kontrolle: Stimmen Richtungs- und Krümmungswechsel mit deinen berechneten Stellen überein?

1. Es gilt \(f'(x)=0{,}75x^2-3=0{,}75(x-2)(x+2)\). Daher ist \(f'(x)>0\) für \(x<-2\) und \(x>2\) sowie \(f'(x)<0\) für \(-2<x<2\). 2. Somit ist \(f\) auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;\infty)\) streng monoton zunehmend sowie auf \([-2;2]\) streng monoton abnehmend. 3. Es gilt \(f''(x)=1{,}5x\). Daher ist der Graph für \(x<0\) rechtsgekrümmt und für \(x>0\) linksgekrümmt. 4. In der Abbildung sind die Richtungswechsel bei \(x=-2\) und \(x=2\) sichtbar. Außerdem wechselt die Krümmung am Punkt mit \(x=0\), was zur Vorzeichenänderung von \(f''\) passt.

a) Streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;\infty)\); streng monoton abnehmend auf \([-2;2]\). b) Rechtsgekrümmt für \(x<0\); linksgekrümmt für \(x>0\). c) Passende sichtbare Merkmale sind die Richtungswechsel bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie der Krümmungswechsel bei \(x=0\).

- Welche Bedingungen liefert der Wendepunkt auf der \(y\)-Achse für \(f\) und \(f''\)? - Welche zwei Bedingungen liefert der Tiefpunkt \(T\)? - Nutze den Hochpunkt erst nach der Bestimmung der Funktion als unabhängige Kontrolle. - Welche Bedeutung hat ein Tiefpunkt auf der \(x\)-Achse für die Vielfachheit einer Nullstelle?

1. Aus dem Graphen liest man \(H(-1|4)\), \(T(1|0)\) und \(W(0|2)\) ab. 2. Mit \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) gilt \(f''(x)=6ax+2b\). Aus der Wendestelle \(x=0\) folgt \(b=0\), und aus \(f(0)=2\) folgt \(d=2\). Damit ist \(f(x)=ax^3+cx+2\). 3. Der Tiefpunkt \(T(1|0)\) liefert \(f(1)=0\) und \(f'(1)=0\). Somit gilt \(a+c=-2\) und \(3a+c=0\). Daraus folgen \(a=1\) und \(c=-3\), also \(f(x)=x^3-3x+2\). 4. Zur Kontrolle gilt \(f(-1)=4\) und \(f'(-1)=0\); der abgelesene Hochpunkt \(H(-1|4)\) passt also zur bestimmten Funktion. 5. Es gilt \(f(x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\). Daher ist \(x=1\) eine doppelte und \(x=-2\) eine einfache Nullstelle.

a) \(H(-1|4)\), \(T(1|0)\), \(W(0|2)\). b) \(f(x)=x^3-3x+2\); der Hochpunkt \(H(-1|4)\) bestätigt das Ergebnis. c) \(x=1\) ist eine doppelte Nullstelle, \(x=-2\) eine einfache Nullstelle.

- Welche Bedingungen liefern die beiden gegebenen Extrempunkte jeweils für Funktionswert und Ableitung? - Löse die daraus entstehenden Bedingungen für die vier Koeffizienten der kubischen Funktion. - Prüfe den zusätzlich behaupteten Punkt erst an der vollständig bestimmten Funktion. - Vergleiche für die Symmetrie die Lage des Wendepunkts mit dem Mittelpunkt der beiden Extrempunkte.

1. Mit \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) und \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) ergeben sich aus den Extrempunkten die Bedingungen \(f(-1)=4\), \(f(1)=0\), \(f'(-1)=0\) und \(f'(1)=0\). 2. Aus den beiden Ableitungsbedingungen folgen \(b=0\) und \(c=-3a\). Die Punktbedingungen liefern anschließend \(a=1\) und \(d=2\). Damit lautet die Funktion \(f(x)=x^3-3x+2\). 3. Für den behaupteten Punkt gilt \(f(2)=2^3-3\cdot2+2=4\). Wegen \(4\neq5\) liegt \(P(2\mid5)\) nicht auf dem Graphen; Jonas' Behauptung ist falsch. 4. Aus dem Graphen liest man \(f(2)=4\) und \(W(0\mid2)\) ab. Der Wendepunkt ist der Mittelpunkt der Strecke \(HT\), denn die Mittelwerte der Koordinaten sind \(0\) und \(2\). Damit passt \(W\) als Symmetriezentrum zur Punktsymmetrie des kubischen Graphen.

a) \(f(x)=x^3-3x+2\) und \(f(2)=4\neq5\); die Behauptung ist falsch. b) \(f(2)=4\), \(W(0\mid2)\); \(W\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(HT\) und damit das Symmetriezentrum des Graphen.

- Übersetze die Bedingung \(f'(x)=0\) mithilfe der gegebenen Beziehung in eine Aussage über den Graphen von \(g\). - Für die Art einer Extremstelle ist der Vorzeichenwechsel von \(f'\) entscheidend. - Für die Wendestelle untersuchst du, wie sich \(g\) in der Umgebung seines Scheitelpunkts verändert.

1. Extremstellen von \(f\) können dort liegen, wo \(f'(x)=0\). Wegen \(f'(x)=g(x)-1\) entspricht dies der Bedingung \(g(x)=1\). Aus dem Graphen liest man \(x=-2\) und \(x=2\) ab. 2. Für \(x<-2\) gilt \(g(x)<1\), also \(f'(x)<0\). Für \(-2<x<2\) gilt \(g(x)>1\), also \(f'(x)>0\). Deshalb hat \(f\) bei \(x=-2\) ein lokales Minimum. 3. Für \(x>2\) gilt wieder \(g(x)<1\), also \(f'(x)<0\). Deshalb hat \(f\) bei \(x=2\) ein lokales Maximum. 4. Aus \(f'(x)=g(x)-1\) folgt \(f''(x)=g'(x)\). Der Graph von \(g\) hat bei \(x=0\) ein lokales Maximum; dort wechselt \(g'\) von positiv zu negativ. Somit wechselt \(f''\) bei \(x=0\) das Vorzeichen, also besitzt \(f\) dort eine Wendestelle.

a) Lokales Minimum bei \(x=-2\); lokales Maximum bei \(x=2\). b) Wendestelle bei \(x=0\).

- Für die Blattspitzen suchst du gemeinsame Punkte der beiden Randfunktionen. - Welche Funktion beschreibt den vertikalen Abstand zwischen oberem und unterem Blattrand? - Bestimme anschließend das Maximum dieser Abstandsfunktion mit den Methoden der Extremwertuntersuchung.

1. Für die Blattspitzen setzt man \(f(x)=g(x)\): \(-0{,}25x^2+1{,}5x=0{,}1x^2-0{,}6x\). Daraus folgt \(x(0{,}35x-2{,}1)=0\), also \(x=0\) oder \(x=6\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\) und \(S_2(6|0)\). 2. Die vertikale Breite wird durch \(h(x)=f(x)-g(x)=-0{,}35x^2+2{,}1x\) beschrieben. Es gilt \(h'(x)=-0{,}7x+2{,}1\), also \(h'(x)=0\) genau bei \(x=3\). 3. Wegen \(h''(x)=-0{,}7<0\) liegt dort ein Maximum vor. Mit \(h(3)=3{,}15\) beträgt die maximale Breite \(3{,}15\,\text{cm}\) und wird bei \(x=3\,\text{cm}\) erreicht.

a) \(S_1(0|0)\) und \(S_2(6|0)\) b) Maximale Breite \(3{,}15\,\text{cm}\) bei \(x=3\,\text{cm}\)

- Welche charakteristischen Punkte kannst du im Graphen erkennen und welche Koordinaten haben sie? - Wie hängt die Anzahl der Extrempunkte mit dem Mindestgrad einer ganzrationalen Funktion zusammen? - Welche Symmetrie weist der Graph auf, wenn man die Lage des Hochpunktes und des Tiefpunktes vergleicht? - Welche Exponenten treten in der Funktionsgleichung auf, wenn der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Welche mathematischen Bedingungen gelten an einem Tiefpunkt für den Funktionswert und für den Wert der ersten Ableitung?

1. Kleinstmöglicher Grad: Der Graph weist zwei Extrempunkte auf. Da eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) höchstens \(n-1\) Extrempunkte besitzen kann, muss der Grad mindestens \(3\) sein. Somit ist der kleinstmögliche Grad \(3\). 2. Symmetrie: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung \(O(0 \mid 0)\), da der Hochpunkt \(H(-2 \mid 4)\) durch Spiegelung am Ursprung auf den Tiefpunkt \(T(2 \mid -4)\) abgebildet wird. Daher treten im Funktionsterm nur ungerade Exponenten auf: \(f(x)=ax^3+cx\). 3. Bestimmung der Funktion: Es gilt \(f'(x)=3ax^2+c\). Aus \(f(2)=-4\) und \(f'(2)=0\) folgen \(8a+2c=-4\) und \(12a+c=0\). Daraus erhält man \(a=0{,}25\) und \(c=-3\). Somit lautet die Funktion \(f(x)=0{,}25x^3-3x\).

a) Der kleinstmögliche Grad ist \(3\), da der Graph zwei Extrempunkte besitzt. b) Der allgemeine Funktionsterm lautet \(f(x)=ax^3+cx\). c) Die Funktionsgleichung ist \(f(x)=0{,}25x^3-3x\).

- Welche Form eines Funktionsterms bietet sich an, wenn alle Nullstellen bekannt sind? - Welche Rolle spielt ein zusätzlicher Punkt, wenn in der Nullstellenform noch ein Faktor unbekannt ist? - Wie erhältst du anschließend die Normalform?

1. Aus den drei Nullstellen folgt der Ansatz \(f(x)=a(x+2)(x-1)(x-3)\) mit \(a\neq0\). 2. Mit \(P(-1\mid4)\) gilt \(4=a(1)(-2)(-4)=8a\). Daher ist \(a=0{,}5\). 3. Die faktorisierte Form lautet \(f(x)=0{,}5(x+2)(x-1)(x-3)\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=0{,}5x^3-x^2-2{,}5x+3\).

Faktorisierte Form: \(f(x)=0{,}5(x+2)(x-1)(x-3)\). Normalform: \(f(x)=0{,}5x^3-x^2-2{,}5x+3\).

- Welche Bedingungen beschreiben die beiden Endpunkte und die horizontalen Übergänge? - Welche Ableitung hilft dir, den Wendepunkt zu bestimmen? - Wie hängt die größte betragsmäßige Steigung mit dem Wendepunkt dieser kubischen Profilfunktion zusammen? - Wie wandelst du ein Steigungsmaß in Prozent und in einen Neigungswinkel um?

1. \(f(10)=0\) bedeutet, dass die Rutsche nach \(10\,\text{m}\) horizontaler Entfernung den Erdboden erreicht. \(f'(0)=0\) bedeutet, dass sie am Startpunkt horizontal beginnt. 2. Mit \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) und \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) folgen aus den vier Randbedingungen \(d=8\), \(c=0\), \(1000a+100b+8=0\) und \(300a+20b=0\). Daraus erhält man \(a=0{,}016\) und \(b=-0{,}24\). Somit ist \(f(x)=0{,}016x^3-0{,}24x^2+8\). 3. Es gilt \(f''(x)=0{,}096x-0{,}48\). Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=5\), und \(f(5)=4\). Der Wendepunkt ist \(W(5\mid4)\); dort wechselt die Krümmungsrichtung und das Gefälle ist am stärksten. 4. Es ist \(f'(5)=-1{,}2\). Das maximale Gefälle beträgt daher \(120\,\%\). Mit \(\tan(\alpha)=1{,}2\) folgt \(\alpha\approx50{,}2^\circ\).

a) \(f(10)=0\): Die Rutsche erreicht nach \(10\,\text{m}\) den Boden. \(f'(0)=0\): Sie startet horizontal. b) \(f(x)=0{,}016x^3-0{,}24x^2+8\). c) \(W(5 \mid 4)\); dort ist das Gefälle am stärksten und die Krümmungsrichtung wechselt. d) Maximales Gefälle \(120\,\%\); maximaler Neigungswinkel \(\alpha\approx50{,}2^\circ\).

- Welche Bedingungen an Funktionswert und Steigung beschreiben einen knickfreien Übergang zu einer horizontalen Plattform? - Wie bestimmst du bei einer kubischen Funktion die Stelle mit extremaler Steigung? - Welche Größe musst du mit dem Grenzwert \(0{,}6\) vergleichen?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\). 2. Für einen knickfreien Übergang gelten in \(A\) die Bedingungen \(f(0)=0\) und \(f'(0)=0\), in \(B\) die Bedingungen \(f(4)=2\) und \(f'(4)=0\). 3. Daraus folgen \(a=-\frac{1}{16}\), \(b=\frac{3}{8}\) und \(c=d=0\). Somit ist \(f(x)=-\frac{1}{16}x^3+\frac{3}{8}x^2\). 4. Es gilt \(f''(x)=-\frac{3}{8}x+\frac{3}{4}\). Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=2\), und \(f(2)=1\). Daher ist \(W(2\mid1)\) der Wendepunkt; dort ist die Rampe am steilsten. 5. Die maximale Steigung beträgt \(f'(2)=0{,}75\), also \(75\,\%\). Damit wird die Grenze von \(60\,\%\) überschritten.

a) \(f(x)=-\frac{1}{16}x^3+\frac{3}{8}x^2\). b) \(W(2 \mid 1)\); dort ist die Rampe am steilsten. c) Nein. Die maximale Steigung beträgt \(75\,\%\) und überschreitet \(60\,\%\).

- Verwende die erste Ableitung, um Stellen mit waagrechter Tangente zu finden. - Die zweite Ableitung hilft dir zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktion \(p\) ein. - Für die Tangente benötigst du den Funktionswert und die Steigung an der Stelle \(x=1\).

1. Ableitungen bilden: \(p'(x) = -4x^3 + 8x\) und \(p''(x) = -12x^2 + 8\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(p'(x) = 0 \Rightarrow -4x(x^2 - 2) = 0\). Daraus folgen die Extremstellen \(x = 0\) und \(x = \pm\sqrt{2}\). 3. Art der Extrema prüfen: \(p''(0) = 8 > 0\), also liegt bei \((0 \mid 0)\) ein Tiefpunkt. Für \(x=\pm\sqrt{2}\) gilt \(p''(x)=-16<0\), also liegen dort Hochpunkte. 4. Die Funktionswerte sind \(p(\pm\sqrt{2})=4\). Daher lauten die Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{2} \mid 4)\) und \(H_2(\sqrt{2} \mid 4)\). 5. Für die Tangente gilt \(p(1)=3\) und \(p'(1)=4\). Mit \(t(x)=4x+c\) folgt aus \(3=4+c\), dass \(c=-1\). Somit ist \(t(x)=4x-1\).

a) Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{2} \mid 4)\) und \(H_2(\sqrt{2} \mid 4)\), Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\). b) Die Punkte stimmen mit den Extremstellen des dargestellten Graphen überein. c) \(t(x)=4x-1\).

- Welche Form des Funktionsterms hilft dir, die Nullstellen direkt zu erkennen? - Welche Bedingungen verwendest du für Extremstellen und Wendestellen? - Wie überprüfst du die jeweiligen Kandidaten?

1. Es gilt \(f(x)=\frac{1}{4}(x^2-4)^2\). Daher sind \(x=-2\) und \(x=2\) doppelte Nullstellen: \(N_1(-2\mid0)\) und \(N_2(2\mid0)\). 2. Die Ableitungen sind \(f'(x)=x^3-4x\), \(f''(x)=3x^2-4\) und \(f'''(x)=6x\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=\pm2\). Wegen \(f''(0)=-4<0\) liegt der Hochpunkt bei \(H(0\mid4)\). 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{\frac{4}{3}}\). Die zugehörigen Funktionswerte sind jeweils \(\frac{16}{9}\). Da \(f'''\left(\pm\sqrt{\frac{4}{3}}\right)\neq0\), sind dies Wendestellen.

Nullstellen: \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\). Hochpunkt: \(H(0 \mid 4)\). Wendepunkte: \(W_1\left(-\sqrt{\frac{4}{3}} \mid \frac{16}{9}\right)\) und \(W_2\left(\sqrt{\frac{4}{3}} \mid \frac{16}{9}\right)\).

- Wie erkennt man eine doppelte Nullstelle im Graphen? - Welche Ableitung hilft dir dabei, die Steigung an einer bestimmten Stelle zu finden? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art eines Extrempunkts aus? - Überprüfe, ob der Wendepunkt genau in der Mitte zwischen dem Hoch- und dem Tiefpunkt liegt.

1. Nullstellen: \(f(x)=x(x-3)^2\). Daraus folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=3\), wobei \(x=3\) eine doppelte Nullstelle ist. Die Punkte sind \(N_1(0 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 2. Ableitungen: \(f'(x)=3x^2-12x+9\), \(f''(x)=6x-12\) und \(f'''(x)=6\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=1\) und \(x=3\). Wegen \(f''(1)=-6<0\) liegt der Hochpunkt bei \(H(1 \mid 4)\); wegen \(f''(3)=6>0\) liegt der Tiefpunkt bei \(T(3 \mid 0)\). 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=2\). Mit \(f(2)=2\) und \(f'''(2)\neq0\) ergibt sich der Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\).

Nullstellen: \(N_1(0 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\), wobei \(x=3\) doppelt ist. Extrempunkte: \(H(1 \mid 4)\) und \(T(3 \mid 0)\). Wendepunkt: \(W(2 \mid 2)\).

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung \(f'\) über das Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion \(f\) aussagt. - Wie hängen die Nullstellen von \(f'\) mit den Extremstellen von \(f\) zusammen? Achte dabei besonders auf den Vorzeichenwechsel. - Welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\) gibt dir Auskunft über die Wendestellen von \(f\)? - Erinnere dich daran, dass die zweite Ableitung \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, also die Steigung des Graphen von \(f'\) beschreibt.

1. An der Stelle \(x = -3\) hat die Ableitungsfunktion \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Dies bedeutet, dass die Steigung von \(f\) von negativ auf positiv wechselt, was charakteristisch für ein lokales Minimum ist. Die Aussage ist wahr. 2. Im Intervall \((1; 4)\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) < 0\). Folglich ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton fallend. Die Aussage ist falsch. 3. Wendestellen der Funktion \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen ihrer Ableitungsfunktion \(f'\). Da der Graph von \(f'\) im gezeigten Bereich einen Hochpunkt (ca. bei \(x \approx -1{,}4\)) und einen Tiefpunkt (ca. bei \(x \approx 2{,}7\)) besitzt, hat \(f\) dort genau zwei Wendestellen. Die Aussage ist wahr. 4. Der Wert \(f''(1)\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f'\) an der Stelle \(x = 1\). Da der Graph von \(f'\) an dieser Stelle fällt, ist die Steigung negativ, also \(f''(1) < 0\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr — bei \(x=-3\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv; dort hat \(f\) eine lokale Minimalstelle. b) Falsch — auf \((1;4)\) ist \(f'(x)<0\), also fällt \(f\). c) Wahr — der dargestellte Graph von \(f'\) besitzt zwei lokale Extremstellen; entsprechend hat \(f\) dort zwei Wendestellen. d) Wahr — bei \(x=1\) fällt der Graph von \(f'\), daher ist seine Steigung und damit \(f''(1)\) negativ.

- An welchen Nullstellen von \(f'\) wechselt das Vorzeichen, und in welche Richtung? - In welchen Intervallinneren liegt der Graph von \(f'\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse? - Welche Eigenschaft muss \(f'\) an einer Wendestelle von \(f\) besitzen?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Aus dem Graphen liest man \(x=-3\), \(x=1\) und \(x=5\) ab. 2. Bei \(x=-3\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv, daher liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ, daher liegt eine lokale Maximalstelle vor. Bei \(x=5\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv, daher liegt eine lokale Minimalstelle vor. 3. Im Inneren von \([-4;-3]\) und \([1;5]\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf diesen Intervallen streng monoton abnehmend. Die Nullstellen von \(f'\) an den Randpunkten ändern daran nichts. 4. Wendestellen von \(f\) entsprechen lokalen Extremstellen von \(f'\). Der dargestellte Graph von \(f'\) besitzt im betrachteten Bereich zwei lokale Extremstellen. Somit besitzt \(f\) dort genau zwei Wendestellen.

a) Lokale Minimalstellen bei \(x=-3\) und \(x=5\); lokale Maximalstelle bei \(x=1\). b) \(f\) ist auf \([-4;-3]\) und \([1;5]\) streng monoton abnehmend. c) \(f\) besitzt im Bereich \(-4<x<6\) genau zwei Wendestellen, weil \(f'\) dort zwei lokale Extremstellen besitzt.

- Was sagt ein Hochpunkt im Graphen der Ableitung über die Krümmung oder die Steigungsänderung der Originalfunktion aus? - Wenn die Ableitung in einem Bereich positiv ist, was weißt du dann über das Wachstum der Funktion? - Wo genau liest man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ab, wenn man den Graphen der Ableitung gegeben hat?

1. Wendestelle bei \(x = 3\): Eine Wendestelle von \(f\) liegt dort vor, wo die Steigung der Funktion \(f\) (also \(f'\)) ein lokales Extremum hat. Da der Graph von \(f'\) bei \(x = 3\) einen Hochpunkt besitzt, hat \(f\) dort eine Wendestelle. 2. Vergleich von \(f(1)\) und \(f(3)\): Im Intervall \((1; 5)\) verläuft der Graph von \(f'\) oberhalb der x-Achse (\(f'(x) > 0\)). Das bedeutet, dass die Funktion \(f\) im Intervall \([1; 3]\) streng monoton steigt. Da \(3 > 1\) ist, muss folglich \(f(3) > f(1)\) gelten. 3. Tangentensteigung bei \(x = 0\): Die Steigung der Tangente an \(f\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion \(f'(0)\). Aus dem Graphen lässt sich an der Stelle \(x = 0\) der Funktionswert \(y = -2{,}5\) ablesen. Die Steigung beträgt also \(-2{,}5\).

a) \(f\) hat bei \(x = 3\) eine Wendestelle, da \(f'\) dort eine lokale Extremstelle (einen Hochpunkt) besitzt. b) Es gilt \(f(3) > f(1)\), da \(f'\) im Intervall \((1; 3)\) positiv ist und die Funktion \(f\) dort somit streng monoton steigt. c) Die Tangentensteigung an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(f'(0) = -2{,}5\).

- Übersetze das Vorzeichen von \(f'\) zunächst in zunehmendes oder abnehmendes Verhalten von \(f\). - Achte an den Nullstellen von \(f'\) darauf, ob und in welche Richtung das Vorzeichen wechselt. - Eine waagerechte Tangente folgt direkt aus einer Nullstelle der ersten Ableitung; die Punktart erfordert zusätzliche Information.

1. Aussage a) ist falsch. Im Inneren des Intervalls \((-2;0)\) liegt der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. 2. Aussage b) ist richtig. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Somit wechselt \(f\) von zunehmend zu abnehmend und besitzt dort eine lokale Maximalstelle. 3. Aussage c) ist falsch. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle und keine Terrassenstelle. 4. Aussage d) ist richtig. Aus \(f'(3)=0\) folgt, dass die Tangentensteigung an dieser Stelle null ist; die Tangente ist waagerecht.

a) Falsch; \(f\) ist dort streng monoton zunehmend. b) Richtig; bei \(x=0\) liegt eine lokale Maximalstelle vor. c) Falsch; bei \(x=3\) liegt eine lokale Minimalstelle vor. d) Richtig; \(f'(3)=0\) bedeutet eine waagerechte Tangente.

- Wie bestimmst du die Schnittpunkte zweier Graphen rechnerisch? - Welche Steigungen haben die beiden Graphen an einem Schnittpunkt? - Wie berechnest du aus zwei Tangentensteigungen den kleineren Schnittwinkel?

1. Aus \(\frac{1}{4}x^3=x\) folgt \(x(x^2-4)=0\). Damit sind \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Die Schnittpunkte sind \(Q(-2\mid-2)\), \(O(0\mid0)\) und \(P(2\mid2)\). 2. Es gilt \(f'(x)=\frac{3}{4}x^2\) und \(g'(x)=1\). 3. Im Ursprung sind die Steigungen \(0\) und \(1\), daher beträgt der Schnittwinkel \(45^\circ\). 4. Bei \(x=\pm2\) sind die Steigungen \(3\) und \(1\). Somit gilt \(\tan(\varphi)=\left|\frac{3-1}{1+3\cdot1}\right|=0{,}5\), also \(\varphi\approx26{,}6^\circ\).

a) \(Q(-2 \mid -2)\), \(O(0 \mid 0)\) und \(P(2 \mid 2)\). b) Bei \(O\): \(45^\circ\). Bei \(Q\) und \(P\): jeweils \(\varphi\approx26{,}6^\circ\).

- Prüfe zuerst, welche Achsenschnittpunkte zusammenfallen können. - Nullstellen findest du, indem du den Funktionsterm gleich null setzt. Kannst du hier ausklammern? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrema. - Überprüfe nach deinen Rechnungen, ob die berechneten Koordinaten zu den Punkten im Gitter passen.

1. Achsenschnittpunkte: Aus \(f(0)=0\) folgt, dass der Ursprung \(O(0\mid0)\) auf beiden Koordinatenachsen liegt. Außerdem gilt \(x^3-3x^2=x^2(x-3)=0\), sodass \(x=3\) eine weitere Nullstelle ist. Damit sind die verschiedenen Achsenschnittpunkte \(O(0\mid0)\) und \(N(3\mid0)\); die Nullstelle \(x=0\) ist doppelt. 2. Extremstellen: \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). Daraus folgen \(x=0\) und \(x=2\). 3. Mit \(f''(x)=6x-6\) gilt \(f''(0)=-6<0\) und \(f''(2)=6>0\). Somit liegen der Hochpunkt \(H(0\mid0)\) und der Tiefpunkt \(T(2\mid-4)\) vor. 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=1\). Mit \(f(1)=-2\) ergibt sich der Wendepunkt \(W(1\mid-2)\). 5. Alle berechneten Punkte stimmen mit dem dargestellten Graphen überein; der Graph ist korrekt.

Der Graph ist korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(O(0\mid0)\) als gemeinsamer Schnittpunkt mit beiden Achsen und \(N(3\mid0)\). Extrempunkte: \(H(0\mid0)\), \(T(2\mid-4)\). Wendepunkt: \(W(1\mid-2)\).

- Berechne zuerst den Wert an der Stelle \(x=0\) und vergleiche ihn mit dem Punkt auf der vertikalen Achse. - Faktorisiere den Funktionsterm, um die Nullstellen und ihre Vielfachheiten zu bestimmen. - Nutze die erste Ableitung, um die Stellen mit waagrechter Tangente zu finden. - Achte beim Ablesen aus dem Graphen auf die Skalierung der Achsen.

1. \(y\)-Achsenschnittpunkt: \(f(0)=2\). Daher ist \(S_y(0 \mid 2)\). 2. Nullstellen: Es gilt \(f(x)=-(x+1)^2(x-2)\). Somit sind \(x=-1\) eine doppelte und \(x=2\) eine einfache Nullstelle. Die Punkte sind \(N_1(-1 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\). 3. Extremstellen: \(f'(x)=-3x^2+3\). Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x=\pm1\). 4. Mit \(f''(x)=-6x\) gilt \(f''(-1)=6>0\) und \(f''(1)=-6<0\). Daher liegen der Tiefpunkt \(T(-1 \mid 0)\) und der Hochpunkt \(H(1 \mid 4)\) vor. 5. Im Diagramm liegt der \(y\)-Achsenschnittpunkt bei \(1{,}6\) und der Hochpunkt bei etwa \((1 \mid 3{,}2)\). Der dargestellte Graph ist daher nicht korrekt.

Der Graph ist nicht korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 2)\), \(N_1(-1 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(T(-1 \mid 0)\), \(H(1 \mid 4)\).

- Nutze die Symmetrie der Funktion, um deine Rechnungen zu prüfen. - Klammere bei der Bestimmung der Nullstellen \(x^2\) aus. - Die Extremstellen liegen dort, wo die erste Ableitung null ist. - Überprüfe die \(y\)-Werte der Tiefpunkte im Diagramm.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Achsenschnittpunkte: \(f(0)=0\). Aus \(\frac{1}{2}x^2(x^2-4)=0\) folgen \(x=0\) als doppelte Nullstelle und \(x=\pm2\). Die Punkte sind \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(-2 \mid 0)\) und \(N_3(2 \mid 0)\). 3. Extremstellen: \(f'(x)=2x^3-4x=2x(x^2-2)\). Daher sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{2}\). 4. Mit \(f''(x)=6x^2-4\) folgt \(f''(0)<0\), also \(H(0 \mid 0)\), und \(f''(\pm\sqrt{2})>0\), also Tiefpunkte. 5. Es gilt \(f(\pm\sqrt{2})=-2\). Daher sind \(T_1(-\sqrt{2} \mid -2)\) und \(T_2(\sqrt{2} \mid -2)\). 6. Alle berechneten Punkte stimmen mit dem dargestellten Graphen überein.

Der Graph ist korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(-2 \mid 0)\), \(N_3(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(H(0 \mid 0)\), \(T_1(-\sqrt{2} \mid -2)\), \(T_2(\sqrt{2} \mid -2)\).

- Beginne mit \(f(0)\); schon der \(y\)-Achsenabschnitt kann die Zeichnung widerlegen. - Welche Nullstellen von \(f'\) sind echte Extremstellen? - Welche Nullstellen von \(f''\) sind tatsächliche Wendestellen, und wie kannst du das prüfen?

1. Es gilt \(f(0)=2\). Der korrekte Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist also \(S_y(0\mid2)\); im Diagramm liegt dieser Punkt bei \(y=4\). 2. Die Ableitungen sind \(f'(x)=x^3-3x^2=x^2(x-3)\), \(f''(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\) und \(f'''(x)=6x-6\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=3\). Bei \(x=3\) ist \(f''(3)=9>0\) und \(f(3)=-4{,}75\); daher liegt dort der Tiefpunkt \(T(3\mid-4{,}75)\). 4. Die Wendestellen folgen aus \(f''(x)=0\): \(x=0\) und \(x=2\). Da \(f'''(0)=-6\neq0\) und \(f'''(2)=6\neq0\), liegen an beiden Stellen Wendepunkte vor. 5. Wegen \(f'(0)=0\) ist \(W_1(0\mid2)\) ein Terrassenpunkt. Außerdem ist \(f(2)=-2\), also \(W_2(2\mid-2)\). 6. Der dargestellte Graph besitzt andere Höhen für diese Punkte und ist daher keine korrekte Darstellung von \(f\).

Der Graph ist nicht korrekt dargestellt. \(y\)-Achsenschnittpunkt: \(S_y(0 \mid 2)\). Extrempunkt: \(T(3 \mid -4{,}75)\). Wendepunkte: \(W_1(0 \mid 2)\) als Terrassenpunkt und \(W_2(2 \mid -2)\).

- Nutze die Substitution \(z=x^2\), um die Nullstellen zu finden. - Die Symmetrie hilft dir, die Anzahl der Berechnungen zu reduzieren. - Vergleiche die berechneten Nullstellen und Extrempunkte mit dem Diagramm.

1. Symmetrie: Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. \(y\)-Achsenschnittpunkt: \(f(0)=-5\), also \(S_y(0 \mid -5)\). 3. Nullstellen: Mit \(z=x^2\) folgt \(z^2-6z+5=0\), also \(z=1\) oder \(z=5\). Daher sind \(x=\pm1\) und \(x=\pm\sqrt{5}\). 4. Extremstellen: \(f'(x)=-4x^3+12x=-4x(x^2-3)\). Daher sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{3}\). 5. Mit \(f''(x)=-12x^2+12\) ergibt sich der Tiefpunkt \(T(0 \mid -5)\) sowie die Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{3} \mid 4)\) und \(H_2(\sqrt{3} \mid 4)\). 6. Alle Punkte stimmen mit dem dargestellten Graphen überein.

Der Graph ist korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid -5)\), \(N_{1,2}(\pm1 \mid 0)\), \(N_{3,4}(\pm\sqrt{5} \mid 0)\). Extrempunkte: \(T(0 \mid -5)\), \(H_{1,2}(\pm\sqrt{3} \mid 4)\).

- Faktorisiere den Funktionsterm, um die Nullstellen und ihre Vielfachheiten zu erkennen. - Welche Stellen mit waagerechter Tangente ergeben sich aus \(f'\)? - Welche zusätzliche charakteristische Stelle erhältst du aus \(f''(x)=0\)? - Vergleiche anschließend die exakten Koordinaten mit dem Diagramm.

1. Es gilt \(f(0)=4\), also ist \(S_y(0\mid4)\). 2. Der Funktionsterm faktorisiert zu \(f(x)=(x+1)(x-2)^2\). Damit sind \(N_1(-1\mid0)\) und \(N_2(2\mid0)\), wobei \(x=2\) eine doppelte Nullstelle ist. 3. Es gilt \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\) und \(f''(x)=6x-6\). Daher sind \(x=0\) und \(x=2\) stationäre Stellen. 4. Wegen \(f''(0)=-6<0\) liegt \(H(0\mid4)\) vor. Wegen \(f''(2)=6>0\) liegt \(T(2\mid0)\) vor. 5. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=1\). Mit \(f(1)=2\) und \(f'''(x)=6\neq0\) ergibt sich der Wendepunkt \(W(1\mid2)\). 6. Im Diagramm liegt die Tiefstelle bei \(x=3\) statt bei \(x=2\); daher ist die Darstellung falsch.

Der Graph ist nicht korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 4)\), \(N_1(-1 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(H(0 \mid 4)\), \(T(2 \mid 0)\). Wendepunkt: \(W(1 \mid 2)\).

- Vergleiche die Grade der beiden dargestellten Graphen. - Welche Bedeutung haben die Nullstellen von \(f'\) für den Verlauf von \(f\)? - Achte beim Klassifizieren der Extremstellen auf den Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Welche besondere Stelle von \(f'\) weist auf eine Wendestelle von \(f\) hin?

1. Der blaue Graph ist kubisch, der rote eine Parabel. Beim Ableiten sinkt der Grad eines Polynoms um \(1\). Außerdem stimmen die Nullstellen des roten Graphen mit den Extremstellen des blauen Graphen überein. Daher gehört Blau zu \(f\) und Rot zu \(f'\). 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-1\) und \(x=2\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt dort eine lokale Maximalstelle. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt dort eine lokale Minimalstelle. 3. Der Scheitelpunkt von \(f'\) liegt bei \(x=0{,}5\). Dort wechselt die Monotonie von \(f'\), also liegt bei \(f\) eine Wendestelle. Am blauen Graphen liest man für die Ordinate näherungsweise \(0{,}4\) ab.

a) Blau gehört zu \(f\), Rot zu \(f'\). b) Lokale Maximalstelle bei \(x=-1\); lokale Minimalstelle bei \(x=2\). c) \(W\approx(0{,}5\mid0{,}4)\).

- Welche Informationen kannst du direkt aus den Achsenschnitten und den Hoch-/Tiefpunkten des Graphen ablesen? - Welche Form hat die erste Ableitung einer kubischen Funktion? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel im Verhältnis zu zwei verschiedenen Nullstellen? - Was bedeutet eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(f''\) für \(f\)?

1. Im Graphen sind drei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu erkennen. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades kann höchstens drei reelle Nullstellen besitzen. 2. Der Graph besitzt zwei lokale Extrempunkte. Wegen des ungeraden Grades und des negativen Leitkoeffizienten gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\) und \(f(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\). 3. Bei einer Funktion dritten Grades ist \(f'\) eine quadratische Funktion. Die beiden Extremstellen von \(f\) sind zwei verschiedene Nullstellen von \(f'\). Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt zwischen ihren beiden Nullstellen. 4. Am Scheitelpunkt von \(f'\) gilt \(f''(x)=0\). Da \(f''\) bei einer kubischen Funktion eine nicht konstante lineare Funktion ist, wechselt \(f''\) dort das Vorzeichen. Somit besitzt \(f\) zwischen den beiden Extremstellen einen Wendepunkt.

a) Drei Nullstellen; ein Polynom dritten Grades besitzt höchstens drei reelle Nullstellen. b) Zwei lokale Extrempunkte. Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\), für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\). c) Die quadratische Ableitung \(f'\) hat an den beiden Extremstellen zwei verschiedene Nullstellen. Ihr Scheitelpunkt liegt dazwischen; dort ist \(f''=0\). Weil \(f''\) linear und nicht konstant ist, wechselt es dort das Vorzeichen, also liegt zwischen den Extremstellen ein Wendepunkt.

- Bestimme zuerst die stationären Stellen mit \(f'(x)=0\) und prüfe ihre Art mit geeigneten Kriterien. - Welche Ableitungsbedingung kann eine Wendestelle bei \(x=3\) hinreichend bestätigen? - Welche zusätzliche Eigenschaft der Tangente unterscheidet einen Terrassenpunkt von einem nichtstationären Wendepunkt?

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-6x^2+9x=x(x-3)^2\), \(f''(x)=3x^2-12x+9\) und \(f'''(x)=6x-12\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=3\). Bei \(x=0\) gilt \(f''(0)=9>0\), daher liegt dort ein lokaler Tiefpunkt. Mit \(f(0)=2\) ist \(T(0|2)\). 3. Bei \(x=3\) gilt \(f'(3)=0\) und \(f''(3)=0\). Außerdem ist \(f'''(3)=6\neq0\); damit liegt bei \(x=3\) ein Wendepunkt vor. Wegen \(f'(3)=0\) besitzt dieser Wendepunkt eine waagerechte Tangente und ist daher ein Terrassenpunkt. 4. Es ist \(f(3)=8{,}75\). Der Terrassenpunkt lautet \(S(3|8{,}75)\). 5. Bei einem Terrassenpunkt gilt zusätzlich zur Wendepunkteigenschaft \(f'(x_0)=0\). Bei einem Wendepunkt ohne waagerechte Tangente ist \(f'(x_0)\neq0\).

a) \(T(0|2)\) b) \(S(3|8{,}75)\) ist ein Terrassenpunkt, da \(f'(3)=0\), \(f''(3)=0\) und \(f'''(3)=6\neq0\). c) Für einen Terrassenpunkt gilt zusätzlich \(f'(x_0)=0\).

- Für Extremstellen untersuchst du Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Für die Krümmung betrachtest du, ob der Graph von \(f'\) zunimmt oder abnimmt. - Wendestellen von \(f\) hängen mit lokalen Extremstellen von \(f'\) zusammen.

1. Die Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel liegen bei \(x=-\sqrt{3}\approx-1{,}73\), \(x=0\) und \(x=\sqrt{3}\approx1{,}73\). Bei \(x=-\sqrt{3}\) und \(x=\sqrt{3}\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegen lokale Minimalstellen vor. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wo \(f'\) zunimmt. Im dargestellten Intervall gilt das für \(-2{,}5\le x<-1\) und \(1<x\le2{,}5\). 3. Wendestellen von \(f\) liegen dort, wo \(f'\) lokale Extremstellen besitzt. Diese liegen bei \(x=-1\) und \(x=1\).

1. Lokale Minimalstellen bei \(x=\pm\sqrt{3}\approx\pm1{,}73\); lokale Maximalstelle bei \(x=0\). 2. Im dargestellten Intervall linksgekrümmt für \(-2{,}5\le x<-1\) und \(1<x\le2{,}5\). 3. Wendestellen bei \(x=-1\) und \(x=1\).

- Eine Berührnullstelle besitzt gerade Vielfachheit; bei einer kubischen Funktion ist hier eine doppelte Nullstelle gemeint. - Schreibe den Term zunächst in Nullstellenform. - Nutze anschließend den \(y\)-Achsenabschnitt, um den Streckfaktor zu bestimmen.

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=-1\); daher ist \(-1\) eine doppelte Nullstelle. Bei \(x=2\) schneidet er die Achse; dort liegt eine einfache Nullstelle vor. 2. Für eine kubische Funktion gilt deshalb \(f(x)=a(x+1)^2(x-2)\). 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(f(0)=2\). Damit ist \(-2a=2\), also \(a=-1\). 4. Ausmultipliziert: \(f(x)=-(x+1)^2(x-2)=-x^3+3x+2\). Somit sind \(a=-1\), \(b=3\), \(c=2\).

\(a = -1\), \(b = 3\), \(c = 2\); somit \(f(x) = -x^3 + 3x + 2\).

- Der markierte Wendepunkt liefert zunächst eine Punktbedingung. - Ein Tiefpunkt liefert sowohl eine Punktbedingung als auch eine Bedingung an \(f'\). - Überprüfe nach dem Lösen Tief- und Wendepunkt mit den höheren Ableitungen.

1. Aus \(W(0|1)\) folgt \(f(0)=c=1\). 2. Aus \(T(1|-1)\) folgt die Punktbedingung \(a+b+1=-1\), also \(a+b=-2\). 3. \(f'(x)=3ax^2+b\). Wegen der waagerechten Tangente im Tiefpunkt gilt \(f'(1)=3a+b=0\). Zusammen mit \(a+b=-2\) ergibt sich \(a=1\) und \(b=-3\). 4. Damit ist \(f(x)=x^3-3x+1\). 5. Zur Kontrolle: \(f''(x)=6x\), also \(f''(1)=6>0\); \(T\) ist ein Tiefpunkt. Außerdem gilt \(f''(0)=0\) und \(f'''(x)=6\neq0\); \(W\) ist ein Wendepunkt.

\(a=1\), \(b=-3\), \(c=1\); also \(f(x)=x^3-3x+1\).

- Klammere aus dem vorgegebenen Term die größtmögliche Potenz von \(x\) aus. - Welche Vielfachheit der Nullstelle \(x=0\) ist damit bereits festgelegt? - Lies die zweite Nullstelle ab und nutze danach den markierten Punkt für den Streckfaktor.

1. Wegen \(f(x)=x^3(ax+b)\) ist \(x=0\) eine mindestens dreifache Nullstelle. Der Graph zeigt dort tatsächlich eine dreifache Nullstelle. 2. Die zweite Nullstelle liest man bei \(x=4\) ab. Daher kann man \(f(x)=c\,x^3(x-4)\) schreiben. 3. Der markierte Punkt ist \(T(3\mid-6{,}75)\). Einsetzen ergibt \(-27c=-6{,}75\), also \(c=0{,}25\). 4. Somit \(f(x)=0{,}25x^3(x-4)=0{,}25x^4-x^3\). Daher \(a=0{,}25\), \(b=-1\).

\(a=0{,}25\), \(b=-1\)

- Ein optisch flacher Verlauf allein entscheidet noch nicht über die Art einer stationären Stelle. - Prüfe rechnerisch zunächst, ob bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente vorliegt. - Nutze anschließend die zweite Ableitung, um die stationäre Stelle zu klassifizieren.

1. Die ersten beiden Ableitungen lauten \(f'(x)=-4x^3+30x^2+0{,}2x\) und \(f''(x)=-12x^2+60x+0{,}2\). 2. An der Stelle \(x=0\) gilt \(f'(0)=0\). Damit ist die notwendige Bedingung für eine Extremstelle erfüllt. 3. Weiter gilt \(f''(0)=0{,}2>0\). Daher liegt bei \(x=0\) eine lokale Minimalstelle und kein Terrassenpunkt vor. 4. Die Darstellung im gewählten Maßstab täuscht, weil die Krümmung am Ursprung nur schwach ausgeprägt ist und die kleine Senke gegenüber den wesentlich größeren Funktionswerten im weiteren Verlauf kaum sichtbar wird.

a) Die Aussage ist falsch; der breite Maßstab lässt die Umgebung des Ursprungs nur scheinbar wie einen Terrassenpunkt wirken. b) Bei \(x=0\) liegt eine lokale Minimalstelle vor, da \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0{,}2>0\) gilt.

- Welcher Teil des Funktionsterms hat bei sehr kleinen \(x\)-Werten den größten Einfluss auf das Ergebnis? - Welcher Teil dominiert bei sehr großen \(x\)-Werten? - Vergleiche die \(y\)-Achsen-Skalierung der beiden Bilder. - Erinnere dich an das Verhalten von Potenzfunktionen für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\).

1. In Fenster (1) (\(-2 \le x \le 2\)) dominiert der Term \(-2x^2 + 50\), da der \(x^4\)-Term aufgrund des kleinen Koeffizienten \(0{,}01\) und der kleinen \(x\)-Werte vernachlässigbar klein ist (\(0{,}01 \cdot 2^4 = 0{,}16\)). Der Graph sieht aus wie eine nach unten geöffnete Parabel. 2. In Fenster (2) (\(-20 \le x \le 20\)) dominiert für große \(x\)-Werte der Term \(0{,}01x^4\). Beispielsweise ist für \(x=20\) der Wert \(0{,}01 \cdot 20^4 = 1600\), während \(-2 \cdot 20^2 + 50 = -750\) ist. Der Graph zeigt hier die charakteristische W-Form einer Funktion vierten Grades mit positivem Leitkoeffizienten. 3. Fenster (1) ist ungeeignet, da es nur ein lokales Maximum zeigt und suggeriert, dass die Funktionswerte für \(|x| \to \infty\) gegen \(-\infty\) streben. Tatsächlich bestimmt das Glied mit der höchsten Potenz (\(0{,}01x^4\)) das Globalverhalten, sodass die Werte für \(|x| \to \infty\) gegen \(+\infty\) streben.

a) In Fenster (1) erscheint der Graph als nach unten geöffnete Parabel; in Fenster (2) zeigt sich die W-Form einer Funktion vierten Grades. b) Fenster (1) täuscht über das Globalverhalten hinweg, da dort der Einfluss des führenden Terms \(0{,}01x^4\) noch gering ist. Für große Beträge von \(x\) bewirkt dieser Term den Wiederanstieg gegen \(+\infty\).

- Kannst du für die Nullstellen \(x\) ausklammern? - Welche Bedingungen verwendest du für Extrempunkte und Wendepunkte? - Denke daran, zu jeder gefundenen Stelle auch den Funktionswert zu bestimmen.

1. Aus \(0{,}5x(x^2-12)=0\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{12}\). Der Ursprung \((0\mid0)\) ist zugleich Schnittpunkt mit beiden Achsen. 2. Die Ableitungen sind \(f'(x)=1{,}5x^2-6\), \(f''(x)=3x\) und \(f'''(x)=3\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=-2\) und \(x=2\). Wegen \(f''(-2)=-6<0\) liegt \(H(-2\mid8)\) vor; wegen \(f''(2)=6>0\) liegt \(T(2\mid-8)\) vor. 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=0\). Da \(f'''(0)=3\neq0\), ist \(W(0\mid0)\) ein Wendepunkt.

Achsenschnittpunkte: \(S(0\mid0)\), \(N_1(\sqrt{12}\mid0)\approx N_1(3{,}46\mid0)\), \(N_2(-\sqrt{12}\mid0)\approx N_2(-3{,}46\mid0)\). Der Punkt \(S(0\mid0)\) ist der gemeinsame Schnittpunkt mit beiden Achsen. Hochpunkt: \(H(-2\mid8)\), Tiefpunkt: \(T(2\mid-8)\). Wendepunkt: \(W(0\mid0)\).

- Welche Informationen liefert die faktorisierte Form \(x^3(x-4)\)? - Welche stationären Stellen erhältst du aus \(f'\), und wie klassifizierst du sie? - Welche Kandidaten für Wendestellen liefert \(f''\), und wie überprüfst du sie?

1. Es gilt \(f(x)=x^3(x-4)\). Daher sind \(x=0\) eine dreifache und \(x=4\) eine einfache Nullstelle. Wegen des positiven Leitkoeffizienten und des geraden Grades gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 2. Die Ableitungen sind \(f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)\), \(f''(x)=12x^2-24x\) und \(f'''(x)=24x-24\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=3\). Bei \(x=0\) gilt \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=-24\neq0\); dort liegt ein Terrassenpunkt, kein Extremum, vor. Bei \(x=3\) gilt \(f''(3)=36>0\) und \(f(3)=-27\), also \(T(3\mid-27)\). 4. Aus \(f''(x)=12x(x-2)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=2\). Da \(f'''(0)=-24\neq0\) und \(f'''(2)=24\neq0\), sind beide Stellen Wendestellen. Es sind \(W_1(0\mid0)\) und \(W_2(2\mid-16)\).

a) Nullstellen: \(x=0\) dreifach und \(x=4\) einfach. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to\infty\). b) Lokaler Tiefpunkt \(T(3\mid-27)\); bei \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor. c) \(W_1(0\mid0)\) und \(W_2(2\mid-16)\).

- Untersuche für die Monotonie das Vorzeichen von \(f'\) zwischen seinen Nullstellen. - Welcher Vorzeichenwechsel von \(f'\) gehört zu einer lokalen Maximalstelle von \(f\)? - Für die Krümmung von \(f\) ist entscheidend, ob \(f'\) zunimmt oder abnimmt. - Wendestellen von \(f\) erkennst du hier an Stellen, an denen \(f'\) seine Monotonierichtung wechselt.

1. Aussage 1 ist wahr. Auf dem offenen Intervall \((-3;0)\) liegt \(G_{f'}\) oberhalb der \(x\)-Achse, also gilt dort \(f'(x)>0\). An den Randpunkten ist \(f'=0\). Daher ist \(f\) auf \([-3;0]\) streng monoton zunehmend. 2. Aussage 2 ist falsch. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiven zu negativen Werten. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 3. Aussage 3 ist falsch. Rechtskrümmung von \(f\) entspricht abnehmenden Werten von \(f'\). Der Graph von \(f'\) nimmt im Intervall \([1;3]\) nicht durchgehend ab, sondern besitzt dort eine lokale Minimalstelle. 4. Aussage 4 ist wahr. Im dargestellten Bereich besitzt \(G_{f'}\) genau zwei lokale Extremstellen. An diesen Stellen wechselt die Monotonie von \(f'\), also ändert \(f\) jeweils seine Krümmungsrichtung.

1. Wahr 2. Falsch 3. Falsch 4. Wahr

- Nutze für a) und b) Vorzeichen und Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Für c) betrachtest du, ob der Graph von \(f'\) steigt oder fällt. - Für d) reicht das Monotonieverhalten zwischen \(x=-2\) und \(x=0\).

1. Im Inneren von \([-2;2]\) gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. Aussage a) ist wahr. 2. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Maximum und kein Minimum. Aussage b) ist falsch. 3. Für \(0<x<4\) fällt der Graph von \(f'\), also gilt \(f''(x)<0\). Daher ist der Graph von \(f\) dort rechtsgekrümmt. Aussage c) ist wahr. 4. Da \(f\) auf \([-2;2]\) streng steigt, gilt \(f(0)>f(-2)=0\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr. b) Falsch. c) Wahr. d) Falsch.

- Bestimme zuerst unabhängig von „lokal“ oder „global“ alle inneren Hoch- und Tiefpunkte. - Vergleiche für die globale Eigenschaft anschließend die Funktionswerte im gesamten Intervall. - Ein innerer Extrempunkt verliert seine lokale Eigenschaft nicht dadurch, dass er zugleich global ist.

1. Aus dem Graphen liest man die Hochpunkte \(H_1(-2{,}5|3)\) und \(H_2(1|4)\) sowie die Tiefpunkte \(T_1(-1|1)\) und \(T_2(3|-3)\) ab. 2. Alle vier Punkte liegen im Inneren des Intervalls und sind jeweils in ihrer Umgebung lokale Extrema. 3. Der größte Funktionswert im gesamten Intervall ist \(4\). Daher ist \(H_2\) zusätzlich ein globales Maximum. \(H_1\) ist nur ein lokales Maximum. 4. Der kleinste Funktionswert im gesamten Intervall ist \(-3\). Daher ist \(T_2\) zusätzlich ein globales Minimum. \(T_1\) ist nur ein lokales Minimum.

a) \(H_1(-2{,}5|3)\), \(T_1(-1|1)\), \(H_2(1|4)\), \(T_2(3|-3)\) b) \(H_1\): nur lokales Maximum; \(H_2\): lokales und globales Maximum; \(T_1\): nur lokales Minimum; \(T_2\): lokales und globales Minimum.

- Überlege, welche Information die Funktionswerte des dargestellten Ableitungsgraphen über die ursprüngliche Funktion liefern. - Untersuche an den Nullstellen von \(f'\), ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Für die Krümmung von \(f\) ist entscheidend, ob der Graph von \(f'\) zunimmt oder abnimmt. - Eine Tangentensteigung von \(f\) lässt sich direkt als Funktionswert von \(f'\) ablesen.

1. Für \(-2<x<1\) gilt \(f'(x)<0\), und an den Randstellen ist \(f'(x)=0\). Daher ist \(f\) auf \([-2;1]\) streng monoton abnehmend. Aussage a) ist wahr. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort eine lokale Maximalstelle, keine Minimalstelle. Aussage b) ist falsch. 3. Für \(0<x<3\) nimmt der dargestellte Graph von \(f'\) zu. Somit gilt \(f''(x)>0\), und der Graph von \(f\) ist dort linksgekrümmt. Aussage c) ist wahr. 4. Die Tangentensteigung bei \(x=-1\) ist \(f'(-1)\). Aus dem Graphen liest man \(f'(-1)=-1\) ab. Aussage d) ist wahr.

a) Wahr. b) Falsch; bei \(x=-2\) liegt eine lokale Maximalstelle. c) Wahr. d) Wahr.

- Für strenge Abnahme genügt es hier, das Vorzeichen von \(f'\) im Inneren des Intervalls zu untersuchen. - Prüfe an \(x=1\), in welche Richtung \(f'\) das Vorzeichen wechselt. - Für die Krümmung von \(f\) betrachtest du die Monotonie von \(f'\). - Welche Bedeutung haben lokale Extremstellen von \(f'\) für \(f\)?

1. Für \(1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\); nur an den Randstellen \(x=1\) und \(x=3\) ist \(f'(x)=0\). Daher ist \(f\) auf \([1;3]\) streng monoton abnehmend. Aussage a) ist wahr. 2. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Dies entspricht einem lokalen Maximum der Funktion \(f\). Aussage b) ist falsch. 3. Das Krümmungsverhalten wird durch die Monotonie von \(f'\) bestimmt. Da \(f'\) bei \(x\approx-0{,}8\) ein lokales Maximum besitzt, wechselt \(f'\) dort von zunehmend zu abnehmend. Damit wechselt der Graph von \(f\) von Links- zu Rechtskrümmung. Aussage c) ist falsch. 4. Wendestellen von \(f\) entsprechen hier den lokalen Extremstellen von \(f'\). Im dargestellten Bereich besitzt \(f'\) genau zwei lokale Extremstellen, bei etwa \(x=-0{,}8\) und \(x=2{,}1\). Aussage d) ist wahr.

a) Wahr. b) Falsch. c) Falsch. d) Wahr.

- Nullstellen von \(f'\) sind Kandidaten für lokale Extremstellen. - Welches Vorzeichen von \(f''\) klassifiziert eine stationäre Stelle als lokale Maximal- oder Minimalstelle? - Für die Monotonie ist das Vorzeichen von \(f'\) zwischen den Nullstellen entscheidend.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-4\), \(x=-1\) und \(x=2\). 2. Bei \(x=-4\) und \(x=2\) gilt \(f''>0\), also liegen lokale Minimalstellen vor. Bei \(x=-1\) gilt \(f''<0\), also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Auf den offenen Intervallen \((-5;-4)\) und \((-1;2)\) gilt \(f'(x)<0\); an den jeweiligen Randstellen ist \(f'=0\). Daher ist \(f\) im dargestellten Bereich auf \([-5;-4]\) und \([-1;2]\) streng monoton abnehmend.

a) Lokale Extremstellen bei \(x=-4\), \(x=-1\) und \(x=2\). b) Lokale Minimalstellen bei \(x=-4\) und \(x=2\); lokale Maximalstelle bei \(x=-1\). c) Streng monoton abnehmend auf \([-5;-4]\) und \([-1;2]\).

- Überprüfe die Symmetrieeigenschaften der Funktionsgleichung und vergleiche sie mit dem Graphen. - Berechne den Funktionswert an einer markanten Stelle, zum Beispiel dort, wo der Graph die \(y\)-Achse schneidet. - Achte auf die Positionen der Hoch- und Tiefpunkte. - Welche Auswirkungen haben die Exponenten in der Gleichung auf das Aussehen des Graphen?

1. Symmetrie: Die Funktion \(f\) enthält nur gerade Exponenten (\(x^4, x^2, x^0\)) und ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der dargestellte Graph ist jedoch nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, sondern scheint gegenüber dieser nach rechts verschoben zu sein. 2. \(y\)-Achsenabschnitt: Durch Einsetzen von \(x=0\) in die Funktionsgleichung erhält man \(f(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^2 + 2 = 2\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse jedoch bei \(y = -1\). 3. Lage der Extremstellen: Die Ableitung \(f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)\) hat Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm\sqrt{2}\). Somit muss \(f\) an der Stelle \(x=0\) ein lokales Extremum (hier ein Maximum) besitzen. Im Graphen liegt an der Stelle \(x=0\) jedoch kein Extrempunkt vor.

Der Graph gehört nicht zu \(f\), weil: 1. \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, der Graph aber nicht. 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt von \(f\) bei \(2\) liegt, während der Graph die \(y\)-Achse bei \(-1\) schneidet. 3. \(f\) bei \(x=0\) ein lokales Maximum hat, der Graph dort aber eine Steigung ungleich null aufweist.

- Welche Produktform ergibt sich direkt aus den drei Nullstellen? - Wie bestimmst du den noch unbekannten Streckfaktor mit dem Punkt \(P\)? - Welche Ableitungsbedingungen bestätigen den Wendepunkt? - Wie verändert sich ein Funktionsterm bei einer Verschiebung nach rechts und nach oben?

1. Aus den Nullstellen folgt \(f(x)=ax(x+3)(x-3)=a(x^3-9x)\). 2. Mit \(P(1\mid-2)\) gilt \(-2=-8a\), also \(a=0{,}25\). Damit ist \(f(x)=0{,}25(x^3-9x)\). 3. Die Ableitungen sind \(f'(x)=0{,}75x^2-2{,}25\), \(f''(x)=1{,}5x\) und \(f'''(x)=1{,}5\). Damit gilt \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)\neq0\), also ist \(W(0\mid0)\) ein Wendepunkt. 4. Die Steigung der Wendetangente ist \(f'(0)=-2{,}25\). Daher lautet sie \(y=-2{,}25x\). 5. Es gilt \(f(-x)=-f(x)\); daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 6. Die Verschiebung um \(2\) nach rechts und \(1\) nach oben ergibt \(h(x)=f(x-2)+1=0{,}25((x-2)^3-9(x-2))+1\).

a) \(f(x)=\frac{1}{4}(x^3-9x)\). b) \(W(0 \mid 0)\); Wendetangente \(y=-2{,}25x\). c) \(f(-x)=-f(x)\), also Punktsymmetrie zum Ursprung. \(h(x)=\frac{1}{4}((x-2)^3-9(x-2))+1\).

- Welche Bedingungen an \(f\) und \(f'\) liefert der Start im Ursprung mit waagerechter Tangente? - Welche zwei Bedingungen liefert der angegebene Hochpunkt? - Wie kannst du nach dem Bestimmen der Koeffizienten prüfen, ob dort wirklich ein Hochpunkt vorliegt?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). 2. Aus \(f(0)=0\) und \(f'(0)=0\) folgen \(d=0\) und \(c=0\). Damit ist \(f(x)=ax^3+bx^2\). 3. Aus \(f(2)=2\) folgt \(8a+4b=2\). Aus der waagerechten Tangente am Hochpunkt folgt \(f'(2)=0\), also \(12a+4b=0\). 4. Das Gleichungssystem liefert \(a=-0{,}5\) und \(b=1{,}5\). Somit ist \(f(x)=-0{,}5x^3+1{,}5x^2\). 5. Es gilt \(f''(x)=-3x+3\), also \(f''(2)=-3<0\). Damit ist \((2\mid2)\) tatsächlich ein lokaler Hochpunkt.

\(f(x)=-0{,}5x^3+1{,}5x^2\)

- Welche Bedingungen folgen aus Wendepunkt, waagerechter Tangente und gegebenem Punkt? - Wie kannst du nach dem Bestimmen von \(f\) prüfen, ob \(x=1\) tatsächlich eine Wendestelle ist? - Wie verändert eine Spiegelung an der waagerechten Geraden \(y=1\) die Funktionswerte?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Aus der Wendestelle \(x=1\) folgt \(f''(1)=0\), also \(6a+2b=0\) und damit \(b=-3a\). 2. Wegen der waagerechten Tangente bei \(x=0\) gilt \(f'(0)=0\), also \(c=0\). 3. Aus \(A(3\mid5)\) folgt \(d=5\). Mit \(f(1)=1\) erhält man \(-2a+5=1\), also \(a=2\) und \(b=-6\). Damit ist \(f(x)=2x^3-6x^2+5\). 4. Es gilt \(f'''(x)=12\neq0\). Somit ist \(x=1\) tatsächlich eine Wendestelle und \(W(1\mid1)\) ein Wendepunkt. 5. Spiegelung an \(y=1\) bedeutet \(g(x)=2-f(x)\). Daher ist \(g(x)=-2x^3+6x^2-3\). 6. Aus \(f'(x)=6x(x-2)\) folgen \(x=0\) und \(x=2\). Wegen \(f''(0)=-12<0\) und \(f''(2)=12>0\) sind die Extrempunkte \(H(0\mid5)\) und \(T(2\mid-3)\).

a) \(f(x)=2x^3-6x^2+5\). b) \(g(x)=2-f(x)=-2x^3+6x^2-3\). c) \(H(0 \mid 5)\) und \(T(2 \mid -3)\).

- Für Extremstellen von \(f\) sind Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f'\) entscheidend. - Für Wendestellen von \(f\) untersuche, wo sich die Monotonie von \(f'\) ändert. - Der Wert von \(f''\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\).

1. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. Aussage (1) ist wahr. 2. Für \(0<x<3\) gilt \(f'(x)<0\), an den Randstellen gilt \(f'(x)=0\). Daher ist \(f\) auf \([0;3]\) streng monoton abnehmend. Aussage (2) ist wahr. 3. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x=-\sqrt{3}\) und \(x=\sqrt{3}\) lokale Extremstellen. An beiden Stellen wechselt die Monotonie von \(f'\). Daher besitzt \(f\) im dargestellten Bereich zwei Wendestellen. Aussage (3) ist wahr. 4. \(f''(2)\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\) bei \(x=2\). Dort nimmt \(f'\) zu, also gilt \(f''(2)>0\). Aussage (4) ist wahr. 5. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle, keine Maximalstelle. Aussage (5) ist falsch.

(1) wahr (2) wahr (3) wahr (4) wahr (5) falsch

- Beginne in a) wirklich beim Graphen: Wo hat \(f\) waagerechte Tangenten, und wo nimmt \(f\) zu beziehungsweise ab? - Beobachte die Krümmung links und rechts von \(x=0\): Der Graph wechselt von Rechtskrümmung zu Linkskrümmung. - Vergleiche erst danach deine qualitative Erwartung mit den algebraisch berechneten Ableitungen.

1. Aus dem Graphen von \(f\) erkennt man zunächst einen Hochpunkt bei etwa \(x=-2\) und einen Tiefpunkt bei etwa \(x=2\). Daher muss \(f'\) dort Nullstellen besitzen. Zwischen diesen Stellen nimmt \(f\) ab, außerhalb nimmt \(f\) zu; \(f'\) ist also zwischen den Nullstellen negativ und außerhalb positiv. Qualitativ passt dazu eine nach oben geöffnete Parabel. 2. Links von \(x=0\) ist der Graph von \(f\) rechtsgekrümmt, rechts von \(x=0\) linksgekrümmt. Daher ist \(f''\) links von \(0\) negativ, bei \(0\) null und rechts von \(0\) positiv. Qualitativ passt dazu eine steigende Gerade durch den Ursprung. 3. Rechnerisch ist \(f'(x)=0{,}6x^2-2{,}4\). 4. Die zweite Ableitung lautet \(f''(x)=1{,}2x\). 5. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x^2=4\), also \(x=-2\) und \(x=2\). Diese Werte bestätigen die aus dem Graphen erwarteten stationären Stellen. 6. Es gilt \(f''(0)=0\). Damit schneidet \(G_{f''}\) die \(y\)-Achse im Ursprung \(S_y(0|0)\); dies bestätigt den Krümmungswechsel von \(f\) bei \(x=0\).

a) \(G_{f'}\) ist qualitativ eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen bei etwa \(x=-2\) und \(x=2\); \(G_{f''}\) ist qualitativ eine steigende Gerade durch den Ursprung. b) \(f'(x)=0{,}6x^2-2{,}4\), \(f''(x)=1{,}2x\) c) Nullstellen von \(f'\): \(x=-2\) und \(x=2\); Schnittpunkt von \(G_{f''}\) mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0|0)\)

- Achte auf die Symmetrie des Graphen bezüglich des Koordinatenursprungs. - Welche Form hat ein Funktionsterm, wenn nur ungerade Potenzen vorkommen dürfen? - Du kannst entweder die Nullstellenform oder den allgemeinen Ansatz mit den Koeffizienten verwenden. - Suche dir einen gut ablesbaren Punkt auf dem Gitter, um die Unbekannten zu bestimmen.

1. Der Graph weist zwei lokale Extremstellen auf, was auf einen Grad von mindestens 3 hindeutet. Da er zudem punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft, ist Grad 3 die einfachste Möglichkeit. 2. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung gilt \(g(x) = ax^3 + cx\). 3. Aus dem Graphen entnehmen wir die Nullstellen bei \(0\) und \(\pm 3\). Wir nutzen zusätzlich einen Punkt, z. B. \(P(1 \mid -2)\). Einsetzen von \(P(1 \mid -2)\) in \(g(x)\): \(a(1)^3 + c(1) = -2 \Rightarrow a + c = -2\). Einsetzen der Nullstelle \(x=3\): \(a(3)^3 + c(3) = 0 \Rightarrow 27a + 3c = 0 \Rightarrow 9a + c = 0\). Subtraktion: \(8a = 2 \Rightarrow a = 0{,}25\). Einsetzen in \(a + c = -2\): \(0{,}25 + c = -2 \Rightarrow c = -2{,}25\). Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = 0{,}25x^3 - 2{,}25x\).

1. Der kleinstmögliche Grad ist 3 (zwei Extremstellen, Punktsymmetrie). 2. Ansatz: \(g(x) = ax^3 + cx\). 3. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = 0{,}25x^3 - 2{,}25x\).

- Wie begrenzt der Grad einer ganzrationalen Funktion die Anzahl ihrer Extremstellen? - Welche Potenzen dürfen bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse auftreten? - Welche Bedingungen liefern Punkt und waagerechte Tangente an einem markierten Extrempunkt? - Wie überprüfst du die Extremumarten mit \(f''\)?

1. Der Graph besitzt drei lokale Extremstellen. Daher muss der Grad mindestens \(4\) sein. 2. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Daher hat der Ansatz die Form \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). 3. Aus \(H(0\mid0)\) folgt \(c=0\). Mit \(T_2(2\mid-4)\) erhält man \(16a+4b=-4\). Da \(x=2\) eine Extremstelle ist, gilt zusätzlich \(32a+4b=0\). 4. Das Gleichungssystem liefert \(a=0{,}25\) und \(b=-2\). Somit ist \(f(x)=0{,}25x^4-2x^2\). 5. Es gilt \(f'(x)=x^3-4x\) und \(f''(x)=3x^2-4\). Damit ist \(f''(0)=-4<0\), also \(H(0\mid0)\) ein Hochpunkt. Wegen \(f''(\pm2)=8>0\) sind \(T_1(-2\mid-4)\) und \(T_2(2\mid-4)\) Tiefpunkte.

1. Mindestgrad \(4\), da drei Extremstellen vorliegen. 2. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; Ansatz \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). 3. \(f(x)=0{,}25x^4-2x^2\). \(H(0 \mid 0)\) ist ein Hochpunkt, \(T_1(-2 \mid -4)\) und \(T_2(2 \mid -4)\) sind Tiefpunkte.

- Wo besitzt \(G_f\) waagerechte Tangenten? - Welche Information über \(f''\) liefern die markierten Wendestellen? - Wo ist die Steigung im betrachteten fallenden Bereich am kleinsten? - Welche Symmetrie erhält die Ableitungsfunktion einer geraden Funktion?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen an den Stellen mit waagerechter Tangente. Aus dem Raster liest man näherungsweise \(x\approx-1{,}5\), \(x=0\) und \(x\approx1{,}5\) ab. 2. Die Nullstellen von \(f''\) liegen an den markierten Wendestellen, also bei \(x=-1\) und \(x=1\). 3. Zwischen dem Ursprung und der rechten lokalen Minimalstelle ist die Steigung negativ. Am Wendepunkt \(x=1\) ist die Steigung in diesem Bereich am kleinsten; dort fällt \(f\) am steilsten. 4. Da \(f\) vom Grad 4 und achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, ist \(f'\) eine punktsymmetrische Funktion dritten Grades. Ihr Graph hat die näherungsweise abgelesenen Nullstellen \(x\approx-1{,}5\), \(0\) und \(x\approx1{,}5\), eine lokale Maximalstelle bei \(x=-1\) und eine lokale Minimalstelle bei \(x=1\).

a) Nullstellen von \(f'\): näherungsweise \(x\approx-1{,}5\), \(0\), \(x\approx1{,}5\); Nullstellen von \(f''\): \(x=-1\), \(x=1\). b) Bei \(x=1\) fällt \(f\) am steilsten. c) \(G_{f'}\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat die genannten drei Nullstellen, eine lokale Maximalstelle bei \(x=-1\) und eine lokale Minimalstelle bei \(x=1\).

- Welche Informationen liefern Funktionswert und Ableitung im Sachzusammenhang? - Welche Funktionsform bietet sich an, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist? - Welche Gleichung beschreibt den Auftreffpunkt auf der Wasseroberfläche? - Wie hängt die Tangentensteigung mit dem Steigungswinkel zusammen?

1. \(f(0)=0{,}5\) beschreibt die Austrittshöhe. \(f'(2)=0\) bedeutet, dass die Flugbahn dort eine waagerechte Tangente und damit ihren höchsten Punkt hat. 2. Mit dem Scheitelpunkt \(S(2\mid2{,}5)\) ist \(f(x)=a(x-2)^2+2{,}5\). Aus \(f(0)=0{,}5\) folgt \(4a+2{,}5=0{,}5\), also \(a=-0{,}5\). Damit ist \(f(x)=-0{,}5x^2+2x+0{,}5\). 3. Für den Auftreffpunkt löst man \(-0{,}5x^2+2x+0{,}5=0\). Die positive Lösung ist \(x=2+\sqrt5\approx4{,}24\). Der Wasserstrahl trifft nach etwa \(4{,}24\,\text{m}\) auf. 4. Es gilt \(f'(x)=-x+2\), also \(f'(0)=2\). Mit \(\tan(\alpha)=2\) folgt \(\alpha\approx63{,}4^\circ\).

a) \(f(0)=0{,}5\) beschreibt die Austrittshöhe; \(f'(2)=0\) die waagerechte Tangente am höchsten Punkt. b) \(f(x)=-0{,}5x^2+2x+0{,}5\). c) \(x=2+\sqrt5\approx4{,}24\,\text{m}\). d) \(\alpha\approx63{,}4^\circ\).

- Was bedeutet „berührend“ für die Vielfachheit einer Nullstelle? - Nutze die beiden doppelten Nullstellen direkt für die Produktform. - Die Höhe in der Mitte liefert den Streckfaktor.

1. Weil der Graph die Grundlinie bei \(x=-4\) und \(x=4\) jeweils berührt, sind beide Nullstellen doppelt. 2. Eine Funktion 4. Grades mit genau diesen Nullstellen hat daher die Form \(f(x)=a(x+4)^2(x-4)^2=a(x^2-16)^2\). 3. In der Mitte gilt \(f(0)=4\). Damit ist \(256a=4\), also \(a=\frac1{64}\). 4. Somit \(f(x)=\frac1{64}(x^2-16)^2\).

\(f(x)=\frac1{64}(x^2-16)^2\)

- Überlege dir, wie eine waagerechte Gerade \(y = c\) im Koordinatensystem aussieht. - Wie viele Schnittpunkte hat diese Gerade mit dem Funktionsgraphen für verschiedene Höhen? - Achte besonders auf die Stellen, an denen sich die Anzahl der Schnittpunkte ändert, wie zum Beispiel an Hoch- und Tiefpunkten. - Was passiert mit dem Graphen weit links und weit rechts (außerhalb des sichtbaren Bereichs)?

1. Die Anzahl der Lösungen von \(f(x) = 0\) entspricht der Anzahl der Nullstellen. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an den Stellen \(-4\), \(-2\), \(2\) und \(4\). Es gibt also genau 4 Lösungen. 2. Die Gleichung hat genau vier Lösungen, wenn eine waagerechte Gerade \(y = c\) den Graphen viermal schneidet. Dies ist im Bereich zwischen den globalen Tiefpunkten (\(y = -3{,}6\)) und dem lokalen Hochpunkt (\(y = 6{,}4\)) der Fall. Das Intervall lautet somit \(-3{,}6 < c < 6{,}4\). 3. Genau zwei Lösungen treten in zwei Fällen auf: - An den beiden globalen Tiefpunkten bei \(c = -3{,}6\). - Oberhalb des lokalen Hochpunkts bei \(c > 6{,}4\). 4. Genau drei Lösungen gibt es, wenn die Gerade \(y = c\) genau durch den lokalen Hochpunkt verläuft und die beiden äußeren Äste schneidet. Das ist bei \(c = 6{,}4\) der Fall.

a) Die Gleichung hat 4 Lösungen. b) Für \(-3{,}6 < c < 6{,}4\). c) Für \(c = -3{,}6\) oder \(c > 6{,}4\). d) Für \(c = 6{,}4\).

- Leite zuerst symbolisch ab; nur die Nullstellen der kubischen Funktion \(f'\) sollen numerisch mit Software bestimmt werden. - Übernimm genügend Dezimalstellen aus der Software und runde erst am Ende auf zwei Dezimalstellen. - Die Wendestellen stammen aus einer quadratischen Gleichung und können daher exakt angegeben werden.

1. \(f'(x)=4x^3+\frac32x^2-6x+1\). Ein Mathematikprogramm liefert die Nullstellen näherungsweise \(x_1\approx-1{,}49\), \(x_2\approx0{,}18\), \(x_3\approx0{,}94\). 2. \(f''(x)=12x^2+3x-6\). An den drei Näherungsstellen gilt der Reihe nach \(f''>0\), \(f''<0\), \(f''>0\). Also liegen zwei lokale Tiefpunkte und dazwischen ein lokaler Hochpunkt vor. 3. Die Funktionswerte sind näherungsweise \(f(-1{,}4924)\approx-4{,}88\), \(f(0{,}1784)\approx0{,}09\) und \(f(0{,}9390)\approx-0{,}51\). Damit: \(T_1(-1{,}49|-4{,}88)\), \(H(0{,}18|0{,}09)\), \(T_2(0{,}94|-0{,}51)\). 4. Für Wendestellen löst man \(12x^2+3x-6=0\). Das ergibt \(x=\frac{-1\pm\sqrt{33}}8\). Wegen \(f'''(x)=24x+3\) ist diese Ableitung an beiden Stellen ungleich null, also sind beide Kandidaten Wendestellen. 5. Der Softwaregraph dient anschließend zur Kontrolle, ob die charakteristischen Stellen in der berechneten Reihenfolge auftreten; die Klassifikation folgt aus den Ableitungen.

Software-Nullstellen von \(f'\): \(x\approx-1{,}49;0{,}18;0{,}94\). Extrempunkte: \(T_1(-1{,}49|-4{,}88)\), \(H(0{,}18|0{,}09)\), \(T_2(0{,}94|-0{,}51)\). Wendestellen: \(x=\frac{-1-\sqrt{33}}8\) und \(x=\frac{-1+\sqrt{33}}8\). Zusätzlich ist die verwendete Softwareeingabe/-funktion anzugeben.

- Welchen Grad hat \(f'\), wenn \(f\) vom Grad 4 ist? - Was bedeutet eine zunehmende Ableitungsfunktion geometrisch für die Tangentensteigungen von \(f\)? - Suche für c) nach einem lokalen Maximum mit besonders flachem Verlauf. - Welche unterschiedlichen Vorzeichenmuster kann die quadratische Ableitung einer Funktion dritten Grades haben?

1. Aussage a) ist wahr. Die Ableitung eines Polynoms vierten Grades ist ein Polynom dritten Grades und besitzt mindestens eine reelle Nullstelle. Wegen des entgegengesetzten Endverhaltens von \(f'\) gibt es mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, also mindestens eine lokale Extremstelle von \(f\). 2. Aussage b) ist wahr. Wenn \(f'\) streng monoton zunimmt, werden die Tangentensteigungen größer; das entspricht Linkskrümmung von \(f\). 3. Aussage c) ist falsch. Die Bedingung \(f''(x_0)<0\) ist hinreichend, aber nicht notwendig. Zum Beispiel hat \(f(x)=-x^4\) bei \(x=0\) ein lokales Maximum, obwohl \(f''(0)=0\). 4. Aussage d) ist falsch. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades kann auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton sein oder zwei lokale Extremstellen besitzen. Entsprechend entstehen ein oder drei maximale Monotonieintervalle, nicht zwingend zwei.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Falsch

- Bestimme zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktion. - Achte beim Berechnen der Funktionswerte an den Extremstellen besonders auf die Vorzeichen. - Wie verhält sich ein Graph zwischen einem Tiefpunkt mit negativem y-Wert und einem Hochpunkt mit positivem y-Wert? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird?

1. Erste Ableitung \(f'(x) = 2x^3 - 4x\). Nullstellen von \(f'\): \(2x(x^2 - 2) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) und \(x_3 = -\sqrt{2} \approx -1{,}41\). 2. Zweite Ableitung \(f''(x) = 6x^2 - 4\). Überprüfung der Stellen: \(f''(0) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(0 \mid 1{,}5)\). \(f''(\pm\sqrt{2}) = 6 \cdot 2 - 4 = 8 > 0 \implies\) Tiefpunkte \(T_1(-\sqrt{2} \mid -0{,}5)\) und \(T_2(\sqrt{2} \mid -0{,}5)\). 3. Globalverhalten: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). 4. Schlussfolgerung auf Nullstellen: Da die Tiefpunkte unterhalb der \(x\)-Achse (\(y = -0{,}5\)) und der Hochpunkt dazwischen oberhalb der \(x\)-Achse (\(y = 1{,}5\)) liegen, muss der Graph zwischen \(x = -\sqrt{2}\) und \(x = 0\) sowie zwischen \(x = 0\) und \(x = \sqrt{2}\) die \(x\)-Achse schneiden (2 Nullstellen). Wegen des Grenzverhaltens gegen \(\infty\) gibt es zudem jeweils eine Nullstelle im Bereich \(x < -\sqrt{2}\) und \(x > \sqrt{2}\). Insgesamt ergeben sich also 4 Nullstellen.

Die Extrempunkte sind \(H(0 \mid 1{,}5)\) (lokaler Hochpunkt) sowie \(T_1(-\sqrt{2} \mid -0{,}5)\) und \(T_2(\sqrt{2} \mid -0{,}5)\) (lokale Tiefpunkte). Da die \(y\)-Werte der Minima negativ und der \(y\)-Wert des Maximums positiv sind und die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) strebt, hat die Funktion genau vier Nullstellen.

- Überlege dir zuerst, welche allgemeine Form eine Funktion mit der geforderten Symmetrie hat. - Welche Auswirkungen haben die Bedingungen für lokale Extrema auf die erste und zweite Ableitung? - Du kannst für die Koeffizienten einfache Zahlen wählen, solange alle Bedingungen erfüllt bleiben. - Wie viele Nullstellen muss die Ableitungsfunktion haben, wenn die Anzahl der Extrempunkte vorgegeben ist?

1. Teilaufgabe a): Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse enthält der Ansatz nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). Die Ableitung \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)\) muss drei verschiedene reelle Nullstellen haben, damit drei Extrema existieren. Dies ist erfüllt, wenn \(-\frac{b}{2a} > 0\) gilt. Wählt man \(a=1\) und \(b=-2\) (sowie \(c=0\)), ergibt sich \(f(x) = x^4 - 2x^2\). Die zweite Ableitung \(f''(x) = 12x^2 - 4\) bestätigt mit \(f''(0) = -4 < 0\) das Maximum bei \(x=0\) und mit \(f''(\pm 1) = 8 > 0\) die Minima bei \(x = \pm 1\). 2. Teilaufgabe b): Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung enthält der Ansatz nur ungerade Exponenten: \(f(x) = ax^3 + cx\). Die Bedingung für ein lokales Extremum bei \(x = -2\) lautet \(f'(-2) = 0\). Mit \(f'(x) = 3ax^2 + c\) folgt \(12a + c = 0\), also \(c = -12a\). Für ein Maximum muss \(f''(-2) < 0\) gelten. Da \(f''(x) = 6ax\) ist, folgt \(6a(-2) < 0\), also \(a > 0\). Mit \(a=1\) ergibt sich \(c = -12\) und somit der Term \(f(x) = x^3 - 12x\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = x^4 - 2x^2\) b) \(f(x) = x^3 - 12x\)

- Welche verschobene Potenzfunktion besitzt eine stationäre Wendestelle? - Wie kannst du zusätzlich prüfen, dass dort tatsächlich ein Krümmungswechsel vorliegt? - Welche Exponenten sind bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse möglich? - Wie muss \(g'\) aussehen, damit genau drei Extremstellen entstehen?

1. Für a) eignet sich eine verschobene kubische Potenzfunktion. Mit \(g(x)=(x-2)^3\) gilt \(g'(x)=3(x-2)^2\), \(g''(x)=6(x-2)\) und \(g'''(x)=6\). Damit ist \(x=2\) eine stationäre Wendestelle und somit eine Terrassenstelle. Außerdem ist \(g'(x)\ge0\) und nur bei \(x=2\) null; daher ist \(g\) streng monoton zunehmend. 2. Für b) folgt aus der Achsensymmetrie der Ansatz \(g(x)=ax^4+bx^2+c\). Aus \(P(0\mid1)\) folgt \(c=1\). Mit \(a=1\) und \(b=-4\) erhält man \(g'(x)=4x(x^2-2)\) mit den drei einfachen Nullstellen \(x=-\sqrt2\), \(x=0\) und \(x=\sqrt2\). Daher besitzt \(g(x)=x^4-4x^2+1\) genau drei Extrempunkte.

a) Zum Beispiel \(g(x)=(x-2)^3\). b) Zum Beispiel \(g(x)=x^4-4x^2+1\).

- Verknüpfe den Grad von \(f\) mit dem Grad von \(f'\) und den möglichen Vielfachheiten ihrer reellen Nullstellen. - Nicht jede Nullstelle von \(f'\) erzeugt eine Extremstelle; entscheidend ist das lokale Verhalten des Vorzeichens. - Untersuche, welche Nullstellenkonstellationen bei einem Polynom dritten Grades möglich sind und wie viele Vorzeichenwechsel daraus entstehen können. - Nutze das Endverhalten von \(f'\) als Kontrolle für die mögliche Anzahl der Vorzeichenwechsel.

1. Eine ganzrationale Funktion \(f\) vierten Grades besitzt eine Ableitungsfunktion \(f'\) dritten Grades. 2. Eine Extremstelle von \(f\) setzt voraus, dass \(f'(x) = 0\) gilt und an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) stattfindet. 3. Hat \(f'\) drei einfache reelle Nullstellen, wechselt das Vorzeichen an jeder davon; \(f\) besitzt dann drei Extremstellen. 4. Hat \(f'\) eine einfache und eine doppelte reelle Nullstelle, findet nur an der einfachen Nullstelle ein Vorzeichenwechsel statt; \(f\) besitzt dann genau eine Extremstelle. 5. Hat \(f'\) eine dreifache reelle Nullstelle, findet dort ein Vorzeichenwechsel statt; auch dann besitzt \(f\) genau eine Extremstelle. 6. Hat \(f'\) nur eine einfache reelle Nullstelle und zwei nicht reelle Nullstellen, findet genau ein reeller Vorzeichenwechsel statt; \(f\) besitzt wiederum genau eine Extremstelle. 7. Damit sind bei einer Funktion vierten Grades genau eine oder genau drei Extremstellen möglich. Noahs Aussage ist wahr.

Die Aussage ist wahr. Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat Grad 3. Je nach Vielfachheit und Anzahl ihrer reellen Nullstellen wechselt sie ihr Vorzeichen an genau einer oder an drei Stellen. Daher besitzt \(f\) genau eine oder genau drei Extremstellen, nicht zwei.

- Kannst du ein Beispiel für eine Funktion 4. Grades finden, deren zweite Ableitung zwei einfache Nullstellen hat? - Überlege dir, wie das Vorzeichen der Ableitung an den Rändern des Definitionsbereichs bei geradem und ungeradem Grad zusammenhängt. - Gibt es Funktionen mit einem Grad höher als 2, deren Krümmung sich nie ändert?

1. Aussage a) ist wahr. Beispiel: Für \(f(x) = x^4 - 6x^2\) ist \(f''(x) = 12x^2 - 12\). Die Gleichung \(12x^2 - 12 = 0\) hat die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). An beiden Stellen liegt ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) vor. 2. Aussage b) ist wahr. Die Anzahl der Extremstellen entspricht der Anzahl der Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion \(f'\) (Grad \(n-1\)). Da das Grenzverhalten von \(f'\) für \(x \to \pm\infty\) bei geradem Grad \(n-1\) gleich ist (beide gegen \(+\infty\) oder beide gegen \(-\infty\)), muss die Anzahl der Vorzeichenwechsel gerade sein (0, 2, 4, ...). Damit \(n-1\) gerade ist, muss \(n\) ungerade sein. 3. Aussage c) ist falsch. Gegenbeispiel: Die Funktion \(f(x) = x^4\) hat die zweite Ableitung \(f''(x) = 12x^2\). Diese hat zwar eine Nullstelle bei \(x = 0\), aber keinen Vorzeichenwechsel. Somit besitzt die Funktion 4. Grades keinen Wendepunkt.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch (Gegenbeispiel: \(f(x) = x^4\))

- Welche Form hat der Funktionsterm bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Wie hängen die Koeffizienten mit der Krümmung an einer bestimmten Stelle zusammen? - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte. - Du kannst für die Koeffizienten einfache Zahlen wählen, solange sie die Bedingungen erfüllen.

1. Da der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, enthält der Funktionsterm nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) und \(f''(x) = 12ax^2 + 2b\). 3. Für ein lokales Maximum bei \(x = 0\) muss \(f'(0) = 0\) (stets erfüllt) und \(f''(0) < 0\) gelten. Daraus folgt \(2b < 0\), also \(b < 0\). 4. Für genau zwei Wendestellen muss \(f''(x) = 0\) zwei Lösungen mit Vorzeichenwechsel haben: \(12ax^2 = -2b \Rightarrow x^2 = -\frac{b}{6a}\). Da \(b < 0\) ist, muss \(a > 0\) gewählt werden, damit die rechte Seite positiv ist und zwei reelle Lösungen für \(x\) existieren. 5. Beispielwahl: Setze \(a = 1\), \(b = -6\) und \(c = 0\). Dies ergibt \(f(x) = x^4 - 6x^2\). 6. Nachweis: \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 12 \cdot 0^2 - 12 = -12 < 0\) bestätigt das Maximum. \(f''(x) = 12x^2 - 12 = 0\) liefert \(x^2 = 1\), also \(x = \pm 1\). Da \(f''(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt, was die zwei Wendestellen bestätigt.

Eine mögliche Funktion ist \(f(x) = x^4 - 6x^2\). (Andere Lösungen wie \(f(x) = x^4 - x^2\) sind ebenfalls korrekt).

- Welche Bedingungen müssen für einen Punkt auf dem Graphen und für eine Wendestelle erfüllt sein? - Nutze die erste und zweite Ableitung der Funktion. - Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit der Art der Extrempunkte zusammen? - Ein Vorzeichenwechselkriterium oder die Untersuchung der höheren Ableitungen hilft dir bei der Klassifizierung.

1. Aufstellen des Gleichungssystems: Aus \(P(1 \mid -6) \in G_f\) folgt \(f(1) = a \cdot 1^4 + b \cdot 1^3 = -6\), also \(a + b = -6\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = 12ax^2 + 6bx\). Da an der Stelle \(x = 2\) ein Wendepunkt vorliegt, gilt \(f''(2) = 0\), woraus \(12a \cdot 2^2 + 6b \cdot 2 = 48a + 12b = 0\) folgt. 2. Lösen des Systems: Aus \(48a + 12b = 0\) ergibt sich \(b = -4a\). Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(a - 4a = -6\), also \(-3a = -6\), woraus \(a = 2\) und \(b = -8\) folgen. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2x^4 - 8x^3\). 3. Bestimmung der Wendepunkte: \(f''(x) = 24x^2 - 48x = 24x(x - 2)\). Die Nullstellen von \(f''\) sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Da \(f'''(x) = 48x - 48\) an diesen Stellen ungleich Null ist (\(f'''(0) = -48\), \(f'''(2) = 48\)), liegen Wendepunkte vor. Die Koordinaten sind \(W_1(0 \mid 0)\) und \(W_2(2 \mid -32)\). 4. Bestimmung der Extrempunkte: \(f'(x) = 8x^3 - 24x^2 = 8x^2(x - 3)\). Die Nullstellen der ersten Ableitung sind \(x_3 = 0\) und \(x_4 = 3\). Da \(x_3 = 0\) auch eine Nullstelle von \(f''\) ist und \(f'(x)\) dort keinen Vorzeichenwechsel besitzt (doppelte Nullstelle), ist \(W_1(0 \mid 0)\) ein Terrassenpunkt. An der Stelle \(x_4 = 3\) gilt \(f''(3) = 24 \cdot 3 \cdot (3 - 2) = 72 > 0\), weshalb dort ein lokales Minimum vorliegt. Der Tiefpunkt ist \(T(3 \mid -54)\).

a) \(a = 2\) und \(b = -8\) b) \(W_1(0 \mid 0)\) und \(W_2(2 \mid -32)\) c) Tiefpunkt \(T(3 \mid -54)\). (An der Stelle \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor.)

- Übersetze die beiden vorgegebenen Wendestellen zunächst in Bedingungen an die zweite Ableitung. - Nach dem Bestimmen der Parameter musst du noch prüfen, ob die Krümmung an beiden Kandidaten tatsächlich wechselt. - Für die Eindeutigkeit des Extrempunkts ist entscheidend, wie viele reelle Nullstellen die erste Ableitung besitzt. - Prüfe den Typ des verbleibenden stationären Punkts erst am Ende.

1. Es gilt \(g'(x)=4x^3+3ax^2+2bx\) und \(g''(x)=12x^2+6ax+2b\). 2. Aus \(g''(1)=0\) und \(g''(2)=0\) folgt das Gleichungssystem \(12+6a+2b=0\) und \(48+12a+2b=0\). Daraus erhält man \(a=-6\) und \(b=12\). 3. Damit ist \(g''(x)=12x^2-36x+24=12(x-1)(x-2)\). Für \(x<1\) ist \(g''>0\), für \(1<x<2\) ist \(g''<0\), für \(x>2\) ist \(g''>0\). Somit findet an \(x=1\) und \(x=2\) tatsächlich jeweils ein Krümmungswechsel statt. 4. Für die so bestimmte Funktion gilt \(g'(x)=4x^3-18x^2+24x=2x(2x^2-9x+12)\). 5. Die quadratische Gleichung \(2x^2-9x+12=0\) hat die Diskriminante \(81-96=-15<0\). Daher ist \(x=0\) die einzige reelle Nullstelle von \(g'\). 6. Es gilt \(g''(0)=24>0\) und \(g(0)=0\). Der einzige relative Extrempunkt ist der Tiefpunkt \(T(0\mid0)\).

a) \(a=-6\), \(b=12\) b) Einziger relativer Extrempunkt: \(T(0\mid0)\)

- Welchen Grad haben \(f'\) und \(f''\), wenn \(f\) Grad \(6\) hat? - Warum liefert die Anzahl möglicher Nullstellen der Ableitungen zunächst nur eine obere Schranke? - Welche zusätzliche Eigenschaft der Nullstellen muss ein Beispiel erfüllen, damit tatsächlich Extrem- beziehungsweise Wendestellen entstehen?

1. Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat Grad \(5\) und daher höchstens fünf reelle Nullstellen. Jede lokale Extremstelle muss eine Nullstelle von \(f'\) sein, also sind höchstens fünf lokale Extremstellen möglich. 2. Für \(p(x)=\frac{1}{6}x^6-\frac{5}{4}x^4+2x^2\) gilt \(p'(x)=x(x^2-1)(x^2-4)\). Die fünf Nullstellen \(-2,-1,0,1,2\) sind einfach; \(p'\) wechselt an jeder das Vorzeichen. Daher besitzt \(p\) fünf lokale Extremstellen. 3. Die zweite Ableitungsfunktion einer Funktion sechsten Grades hat Grad \(4\). Deshalb kann \(f''\) höchstens vier reelle Nullstellen besitzen, also kann \(f\) höchstens vier Wendestellen besitzen. 4. Für dasselbe Beispiel gilt \(p''(x)=5x^4-15x^2+4\). Mit \(y=x^2\) ergibt sich \(5y^2-15y+4=0\) mit den beiden positiven Lösungen \(y=\frac{15\pm\sqrt{145}}{10}\). Damit besitzt \(p''\) vier verschiedene einfache reelle Nullstellen, an denen jeweils ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Also besitzt \(p\) vier Wendestellen.

a) Höchstens fünf lokale Extremstellen; erreichbar zum Beispiel bei \(p(x)=\frac{1}{6}x^6-\frac{5}{4}x^4+2x^2\). b) Höchstens vier Wendestellen; beim selben Beispiel werden vier erreicht.

- Welche notwendige Bedingung erfüllt jede lokale Extremstelle einer differenzierbaren Funktion? - Wie viele verschiedene Nullstellen muss \(g'\) deshalb mindestens besitzen? - Vergleiche das Endverhalten von Polynomen geraden und ungeraden Grades. - Wenn lokale Maxima und Minima abwechseln: Welche Anzahl von Richtungswechseln passt zu gleichgerichteten beziehungsweise entgegengesetzten Enden?

1. Zu jeder lokalen Extremstelle im Inneren von \(\mathbb{R}\) gehört eine Nullstelle von \(g'\). Bei vier lokalen Extremstellen muss \(g'\) daher mindestens vier verschiedene Nullstellen besitzen. 2. Eine ganzrationale Funktion mit mindestens vier verschiedenen Nullstellen hat mindestens Grad 4. Somit hat \(g'\) mindestens Grad 4 und \(g\) mindestens Grad 5. 3. Bei einem Polynom geraden Grades zeigen beide Enden des Graphen in dieselbe Richtung. Beim Durchlaufen des Graphen von links nach rechts müssen lokale Maxima und Minima abwechseln; damit beginnt und endet die Folge der lokalen Extrema mit demselben Typ und ihre Anzahl ist ungerade. 4. Vier lokale Extremstellen sind daher mit geradem Grad nicht möglich. Bei ungeradem Grad zeigen die beiden Enden in entgegengesetzte Richtungen, sodass eine gerade Anzahl lokaler Extremstellen möglich ist. Der Grad von \(g\) muss also ungerade sein; der kleinste mögliche Grad ist \(5\).

a) Kleinstmöglicher Grad: \(5\). b) Der Grad muss ungerade sein.

- Überlege dir, wie die Kurve verlaufen muss, um die Punkte in der richtigen Reihenfolge zu verbinden. - Was weißt du über die Abfolge von Hoch- und Tiefpunkten bei einer stetigen Funktion? - Skizziere den Verlauf grob anhand der gegebenen Punkte. - Nutze den Zwischenwertsatz: Wenn eine stetige Funktion von einem negativen zu einem positiven Wert verläuft, muss sie die Achse schneiden.

1. Bei aufeinanderfolgenden lokalen Extrempunkten einer differenzierbaren Funktion wechseln Hoch- und Tiefpunkte einander ab. Aus der Reihenfolge der \(x\)-Werte \(-2 < 1 < 4\) und dem Vergleich der \(y\)-Werte \(4 > 1\) und \(1 < 5\) folgt, dass \(B(1 \mid 1)\) ein Tiefpunkt sein muss. Wäre \(B\) ein Hochpunkt, müsste die Funktion dorthin steigen und danach fallen; das passt nicht zu den höheren Werten \(y_A=4\) und \(y_C=5\). Folglich sind \(A\) und \(C\) Hochpunkte. 2. Da \(A(-2 \mid 4)\) der am weitesten links liegende Extrempunkt und ein Hochpunkt ist, muss die Funktion für \(x < -2\) steigen, woraus \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) folgt. Da \(C(4 \mid 5)\) der am weitesten rechts liegende Extrempunkt und ebenfalls ein Hochpunkt ist, muss die Funktion für \(x > 4\) fallen, woraus \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) folgt. 3. Im Intervall \((-\infty; -2]\) steigt die Funktion von \(-\infty\) auf \(4\), schneidet also genau einmal die \(x\)-Achse. Zwischen den Extremstellen \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=4\) liegen alle Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse, sodass dort keine Nullstellen existieren. Im Intervall \([4; \infty)\) fällt die Funktion von \(5\) gegen \(-\infty\), was eine weitere Nullstelle ergibt. Die Funktion hat somit insgesamt genau zwei Nullstellen.

a) \(A(-2 \mid 4)\) und \(C(4 \mid 5)\) sind Hochpunkte, \(B(1 \mid 1)\) ist ein Tiefpunkt. b) \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\). c) Die Funktion hat genau zwei Nullstellen.

- Welche zusätzlichen Richtungswechsel wären nötig, wenn \(P\) ein Hoch- oder Tiefpunkt wäre? - Was ist eine stationäre Stelle ohne Extremum bei einer ganzrationalen Funktion? - Welche beiden Möglichkeiten bleiben für \(Q\), wenn die Funktion dort von unten ankommt? - Verfolge für beide Fälle das Vorzeichen der Funktionswerte bis ins Unendliche.

1. Von \(-\infty\) kommend muss \(h\) bis \(P(0\mid2)\) insgesamt zunehmen. Wäre \(P\) ein lokales Maximum, wäre zwischen \(P\) und dem höheren Punkt \(Q\) eine zusätzliche lokale Minimalstelle nötig. Wäre \(P\) ein lokales Minimum, wäre links von \(P\) eine zusätzliche lokale Maximalstelle nötig. Beides widerspricht den genau zwei Stellen mit waagrechter Tangente. Daher ist \(P\) eine stationäre Nicht-Extremstelle; bei einer ganzrationalen Funktion liegt hier eine Terrassenstelle vor. 2. Nach \(P\) nimmt \(h\) bis \(Q\) weiter zu. Daher kann \(Q\) kein lokales Minimum sein. Ist \(Q\) ein lokales Maximum, nimmt \(h\) danach ab und es gilt \(h(x)\to-\infty\). Ist \(Q\) eine Terrassenstelle, nimmt \(h\) weiter zu und es gilt \(h(x)\to\infty\). 3. Links von \(P\) gibt es genau eine Nullstelle. Zwischen \(P\) und \(Q\) gibt es keine. Ist \(Q\) eine Terrassenstelle, bleibt es bei einer Nullstelle. Ist \(Q\) ein lokales Maximum, entsteht rechts von \(Q\) eine zweite Nullstelle. Somit sind eine oder zwei Nullstellen möglich.

a) \(P\) ist ein Terrassenpunkt. b) \(Q\) kann ein lokaler Hochpunkt oder ein Terrassenpunkt sein. c) Minimal \(1\), maximal \(2\) Nullstellen.

- Wie viele Extremstellen kann eine Funktion 5. Grades höchstens besitzen? - Überlege dir, wie sich der Graph zwischen den Extrempunkten verhält. Muss er die x-Achse kreuzen? - Was passiert mit den Funktionswerten für sehr große oder sehr kleine x-Werte? - Skizziere den Verlauf des Graphen grob anhand der berechneten Punkte.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 15x^4 - 75x^2 + 60\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: Durch Substitution \(z = x^2\) erhält man \(15z^2 - 75z + 60 = 0\), woraus \(z_1 = 1\) und \(z_2 = 4\) folgen. Die Extremstellen liegen somit bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2\). 3. Funktionswerte an den Extremstellen berechnen: \(f(-2) = -36\) (lokales Maximum), \(f(-1) = -58\) (lokales Minimum), \(f(1) = 18\) (lokales Maximum) und \(f(2) = -4\) (lokales Minimum). 4. Grenzverhalten untersuchen: Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\). 5. Nullstellenintervalle analysieren: - Im Intervall \((-\infty; -2]\) steigt die Funktion von \(-\infty\) auf \(-36\) (keine Nullstelle). - Im Intervall \([-2; -1]\) fällt sie von \(-36\) auf \(-58\) (keine Nullstelle). - Im Intervall \([-1; 1]\) steigt sie von \(-58\) auf \(18\) (eine Nullstelle). - Im Intervall \([1; 2]\) fällt sie von \(18\) auf \(-4\) (eine Nullstelle). - Im Intervall \([2; \infty)\) steigt sie von \(-4\) auf \(\infty\) (eine Nullstelle). Insgesamt ergeben sich somit genau 3 Lösungen.

Die Gleichung hat genau 3 reelle Lösungen.

- Forme den Term um oder vergleiche \(f(1+u)\) und \(f(1-u)\), um eine mögliche verschobene Symmetrieachse zu erkennen. - Für die Nullstellen kannst du das Ausklammern von \(x^2\) und anschließend die binomischen Formeln nutzen. - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrem- und Wendepunkte (Ableitungen). - Das Verhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. - Die Wertemenge ergibt sich aus dem globalen Verlauf und den gefundenen Extremwerten.

1. Symmetrie: Es gilt \(f(x) = x^2(x-2)^2 = ((x-1)^2-1)^2\). Daher ist \(f(1+u) = f(1-u)\) für alle \(u \in \mathbb{R}\), und der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\). 2. Verhalten im Unendlichen: Da der Leitterm \(x^4\) positiv ist und einen geraden Exponenten besitzt, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Schnittpunkte mit den Achsen: \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = 0\), also \(S_y(0 \mid 0)\). Nullstellen: \(x^2(x^2 - 4x + 4) = 0 \Rightarrow x^2(x-2)^2 = 0\). Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 4. Extrempunkte: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x-1)(x-2)\). Nullstellen der ersten Ableitung bei \(x \in \{0; 1; 2\}\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = 12x^2 - 24x + 8\). Überprüfung: \(f''(0) = 8 > 0 \Rightarrow T_1(0 \mid 0)\); \(f''(1) = -4 < 0 \Rightarrow H(1 \mid 1)\); \(f''(2) = 8 > 0 \Rightarrow T_2(2 \mid 0)\). 5. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 12x^2 - 24x + 8 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x + 2 = 0\). Mit der pq-Formel: \(x_{W1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\). Funktionswerte: \(f(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}\). Wendepunkte bei \(W_1(1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \mid \frac{4}{9})\) und \(W_2(1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \mid \frac{4}{9})\). 6. Wertemenge: Da die globalen Minima bei \(y = 0\) liegen und die Funktion gegen \(+\infty\) strebt, ist \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 0\}\).

(1) Achsensymmetrie zur Geraden \(x = 1\). (2) \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\). (3) \(S_y(0 \mid 0)\); Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). (4) Tiefpunkte \(T_1(0 \mid 0)\) und \(T_2(2 \mid 0)\), Hochpunkt \(H(1 \mid 1)\). (5) Wendepunkte \(W_{1,2}(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \mid \frac{4}{9})\). (6) \(W = [0; \infty)\).

- Kannst du eine Funktion finden, die zwar Kurvenkrümmungen ändert, aber deren Steigung immer positiv bleibt? - Welche Exponenten treten bei einer punktsymmetrischen ganzrationalen Funktion auf? - Was bedeutet Punktsymmetrie für die zweite Ableitung an der Stelle \(0\)? - Denk an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Wendestellen.

1. Aussage a) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion \(f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 5x\). Die zweite Ableitung \(f''(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)\) hat Nullstellen mit Vorzeichenwechsel bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 1\), also liegen dort Wendestellen vor. Die erste Ableitung \(f'(x) = x^4 - 2x^2 + 5\) hat jedoch keine reellen Nullstellen (da die Diskriminante von \(z^2 - 2z + 5\) negativ ist), weshalb die Funktion keine Extremstellen besitzt. 2. Aussage b) ist wahr. Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet bei ganzrationalen Funktionen, dass nur ungerade Exponenten vorkommen. Somit gilt \(f(x) = a_n x^n + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_1 x\). Die zweite Ableitung \(f''(x)\) enthält dann ebenfalls nur ungerade Exponenten (z. B. \(x^3 \to 6x\)). Da \(f''\) eine ungerade Funktion ist, gilt \(f''(0) = 0\). Da \(f\) vom Grad \(n \geq 3\) ist, ist \(f''\) kein Nullpolynom. Ein ungerades Polynom wechselt an der Stelle \(x=0\) stets das Vorzeichen, womit die Bedingung für einen Wendepunkt erfüllt ist.

a) Falsch. Gegenbeispiel: \(f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 5x\). Diese Funktion besitzt Wendestellen, aber keine Extremstellen. b) Wahr. Bei Punktsymmetrie zum Ursprung ist \(f''(x)\) eine ungerade Funktion mit \(f''(0) = 0\) und einem Vorzeichenwechsel an dieser Stelle.

- Nutze die faktorisierte Form zuerst für die Nullstellen. - Multipliziere den Funktionsterm vor dem Ableiten aus. - Klassifiziere die stationären Stellen erst nach ihrer vollständigen Bestimmung. - Runde erst am Ende auf zwei Dezimalstellen.

1. Es ist \(f(0)=-4\), also \(S_y(0\mid-4)\). Aus \((x^2-4)(x-1)^2=0\) folgen die Nullstellen \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=2\). 2. Ausmultipliziert ist \(f(x)=x^4-2x^3-3x^2+8x-4\), also \(f'(x)=4x^3-6x^2-6x+8\). 3. Die stationären Stellen sind \(x=1\) und \(x=\frac{1\pm\sqrt{33}}{4}\), näherungsweise \(-1{,}19\) und \(1{,}69\). 4. Mit \(f''(x)=12x^2-12x-6\) folgt \(H(1\mid0)\) sowie näherungsweise \(T_1(-1{,}19\mid-12{,}40)\) und \(T_2(1{,}69\mid-0{,}54)\).

1. \(S_y(0\mid-4)\), \(N_1(-2\mid0)\), \(N_2(1\mid0)\), \(N_3(2\mid0)\) 2. \(H(1\mid0)\), \(T_1\approx(-1{,}19\mid-12{,}40)\), \(T_2\approx(1{,}69\mid-0{,}54)\)

- Prüfe die Exponenten auf Symmetrie. - Faktorisiere den Funktionsterm vollständig, um Nullstellen und Vielfachheiten zu erkennen. - Für die stationären Stellen hilft die Substitution \(u=x^2\). - Nutze die Punktsymmetrie als Kontrolle für die Extrempunkte.

1. Da nur ungerade Exponenten auftreten, gilt \(f(-x)=-f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Es gilt \(f(x)=x(x^2-1)^2=x(x-1)^2(x+1)^2\). Die verschiedenen Nullstellen sind \(x=0\) mit Vielfachheit \(1\) sowie \(x=-1\) und \(x=1\) mit Vielfachheit \(2\). 3. Es gilt \(f'(x)=5x^4-6x^2+1\). Mit \(u=x^2\) folgt \(5u^2-6u+1=0\), also \(u=1\) oder \(u=\frac15\). Damit sind die stationären Stellen \(x=\pm1\) und \(x=\pm\frac{\sqrt5}{5}\). 4. Mit \(f''(x)=20x^3-12x\) erhält man die Hochpunkte \(H_1(-1\mid0)\), \(H_2(\frac{\sqrt5}{5}\mid\frac{16\sqrt5}{125})\) sowie die Tiefpunkte \(T_1(-\frac{\sqrt5}{5}\mid-\frac{16\sqrt5}{125})\), \(T_2(1\mid0)\).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung. Nullstellen: \(x=0\) einfach, \(x=-1\) und \(x=1\) jeweils doppelt. b) Hochpunkte: \(H_1(-1\mid0)\), \(H_2(\frac{\sqrt5}{5}\mid\frac{16\sqrt5}{125})\). Tiefpunkte: \(T_1(-\frac{\sqrt5}{5}\mid-\frac{16\sqrt5}{125})\), \(T_2(1\mid0)\).

- Jeder vorgegebene Extrempunkt liefert eine Punktbedingung und eine Ableitungsbedingung. - Der \(y\)-Achsenabschnitt bestimmt den konstanten Koeffizienten direkt. - Prüfe die Punktarten nach dem Lösen mit \(f''\).

1. Aus \(f(0)=10\) folgt \(e=10\). Die beiden Extrempunkte liefern \(f(-1)=-9\), \(f'(-1)=0\), \(f(1)=23\), \(f'(1)=0\). 2. Mit \(f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\) entsteht ein lineares Gleichungssystem für \(a,b,c,d\). Seine Lösung ist \(a=3\), \(b=-8\), \(c=-6\), \(d=24\). 3. Damit \(f(x)=3x^4-8x^3-6x^2+24x+10\). 4. \(f''(x)=36x^2-48x-12\). Es gilt \(f''(-1)=72>0\) und \(f''(1)=-24<0\). Also sind die vorgegebenen Punktarten bestätigt.

\(f(x)=3x^4-8x^3-6x^2+24x+10\)

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung und die benötigten Ableitungen auf. - Welche Informationen liefert der Ursprung als Wendepunkt für die Koeffizienten? - Was sagt die Gleichung der Wendetangente über die Steigung der Funktion an dieser Stelle aus? - Nutze die notwendige Bedingung für Extremstellen, um den verbleibenden Parameter zu berechnen. - Untersuche dann mit der hinreichenden Bedingung, welche Art von Extremum an der Stelle \(x = 1\) tatsächlich vorliegt.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Wendepunkt im Ursprung \((0 \mid 0)\) bedeutet \(f(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). Daraus folgt direkt \(d = 0\) und \(b = 0\). 3. Die Wendetangente \(w(x) = x\) hat die Steigung \(1\). Somit gilt \(f'(0) = 1\), woraus \(c = 1\) folgt. Die Funktion hat bisher die Form \(f(x) = ax^3 + x\). 4. Für einen lokalen Extrempunkt bei \(x = 1\) muss \(f'(1) = 0\) gelten. Mit \(f'(x) = 3ax^2 + 1\) folgt: \(3a \cdot 1^2 + 1 = 0 \implies 3a = -1 \implies a = -\frac{1}{3}\). 5. Um zu prüfen, ob ein Tiefpunkt vorliegt, betrachtet man die zweite Ableitung \(f''(x) = 6ax = -2x\). 6. An der Stelle \(x = 1\) gilt \(f''(1) = -2 \cdot 1 = -2\). 7. Da \(f''(1) < 0\) ist, liegt bei \(x = 1\) ein lokaler Hochpunkt vor. 8. Da die Bedingung eines Tiefpunkts nicht erfüllt werden kann, existiert keine solche Funktion.

Es existiert keine solche Funktion, da die Berechnungen für ein lokales Extremum bei \(x = 1\) zwingend zu einem lokalen Hochpunkt (\(f''(1) = -2 < 0\)) führen, was im Widerspruch zur Forderung eines Tiefpunkts steht.

- Überlege zuerst, welche allgemeine Form eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion 3. Grades hat. - Was sagt dir die Steigung an einer bestimmten Stelle über die Ableitungsfunktion aus? - Wenn nach „allen“ Funktionen gefragt ist, bleibt oft ein Parameter im Funktionsterm stehen. - Nutze den zusätzlichen Punkt am Ende, um den verbliebenen Parameter konkret zu berechnen.

1. Ansatz aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(x) = ax^3 + cx\). 2. Bedingung für die Steigung: \(f'(1) = 6\). 3. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3ax^2 + c\). 4. Einsetzen: \(3a \cdot 1^2 + c = 6 \implies 3a + c = 6 \implies c = 6 - 3a\). 5. Funktionenschar aufstellen: \(f_a(x) = ax^3 + (6 - 3a)x\) mit \(a \neq 0\). 6. Punktprobe mit \(Q(2 \mid 20)\): \(f_a(2) = a \cdot 2^3 + (6 - 3a) \cdot 2 = 20\). 7. Gleichung lösen: \(8a + 12 - 6a = 20 \implies 2a + 12 = 20 \implies 2a = 8 \implies a = 4\). 8. Parameter \(c\) bestimmen: \(c = 6 - 3 \cdot 4 = -6\). 9. Ergebnis: \(f(x) = 4x^3 - 6x\).

Alle Funktionen: \(f_a(x) = ax^3 + (6 - 3a)x\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Spezielle Funktion durch \(Q\): \(f(x) = 4x^3 - 6x\).

- Übersetze den \(y\)-Achsenabschnitt und die dortige Steigung in Bedingungen an \(f\) und \(f'\). - Welche beiden Bedingungen liefert der angegebene Wendepunkt? - Wie kannst du nach dem Lösen des Gleichungssystems prüfen, ob die Wendebedingung hinreichend erfüllt ist?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\) und \(f'''(x)=6a\). 2. Aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse folgt \(f(0)=3\), also \(d=3\). Die dortige Steigung liefert \(f'(0)=-6\), also \(c=-6\). 3. Aus der Wendebedingung bei \(x=1\) folgt \(f''(1)=0\): \(6a+2b=0\), also \(3a+b=0\). 4. Aus \(W(1\mid1)\) folgt zusätzlich \(f(1)=1\): \(a+b-6+3=1\), also \(a+b=4\). 5. Das Gleichungssystem liefert \(a=-2\) und \(b=6\). Damit ist \(f(x)=-2x^3+6x^2-6x+3\). 6. Für diese Funktion ist \(f'''(x)=-12\). Insbesondere gilt \(f'''(1)\neq0\); damit ist \(W(1\mid1)\) tatsächlich ein Wendepunkt.

\(f(x)=-2x^3+6x^2-6x+3\)

- Nutze den Parameter \(a\) als freie Variable, da du für eine Funktion 4. Grades fünf Koeffizienten, aber nur vier punkt- bzw. ableitungsbezogene Gleichungen hast. - Drücke alle anderen Koeffizienten durch \(a\) aus. - Erinnere dich an das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt: \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\). - Stelle eine Ungleichung für \(a\) auf, die sicherstellt, dass die zweite Ableitung an der Stelle \(x = 2\) positiv ist.

1. Ansatz: \(g(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) mit \(g'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d\) und \(g''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c\). 2. Bedingungen anwenden: - \(g(0) = 0 \implies e = 0\) - \(g''(3) = 0 \implies 108a + 18b + 2c = 0 \implies c = -54a - 9b\) - \(g(2) = 4 \implies 16a + 8b + 4c + 2d = 4\) - \(g'(2) = 0 \implies 32a + 12b + 4c + d = 0\) 3. Abhängigkeiten von \(a\) berechnen: Durch Substitution von \(c\) in die Gleichungen für \(g(2)\) und \(g'(2)\) erhält man ein System für \(b\) und \(d\). Es ergibt sich \(b = 0{,}2 - 8{,}4a\), \(c = 21{,}6a - 1{,}8\) und \(d = 4{,}8 - 17{,}6a\). 4. Bedingung für Tiefpunkt: Es muss \(g''(2) > 0\) gelten. 5. \(g''(2)\) in Abhängigkeit von \(a\) berechnen: \(g''(2) = 48a + 12b + 2c = 48a + 12(0{,}2 - 8{,}4a) + 2(21{,}6a - 1{,}8) = -9{,}6a - 1{,}2\). 6. Ungleichung lösen: \(-9{,}6a - 1{,}2 > 0 \implies -9{,}6a > 1{,}2 \implies a < -0{,}125\). 7. Für alle \(a < -0{,}125\) existiert eine solche Funktion (unter der zusätzlichen Bedingung \(g'''(3) \neq 0\), was hier für diesen Bereich erfüllt ist).

Ja, es gibt unendlich viele solcher Funktionen vierten Grades. Damit der Punkt \(T(2 \mid 4)\) ein lokaler Tiefpunkt ist, muss für den Leitkoeffizienten \(a\) die Bedingung \(a < -0{,}125\) erfüllt sein.

- Wie vereinfacht die Achsensymmetrie den allgemeinen Ansatz einer Funktion vierten Grades? - Welche Ableitungen benötigst du, um Bedingungen für Wendepunkte und Tangentensteigungen zu formulieren? - Erinnere dich daran, welche Ableitung die Krümmung (Wendepunkt) und welche die Steigung (Tangente) beschreibt. - Stelle ein Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten auf.

1. Der Ansatz für eine achsensymmetrische Funktion vierten Grades ist \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Der Punkt \(S(0 \mid 5)\) liefert die Bedingung \(f(0) = 5\), woraus \(c = 5\) folgt. 3. Ein Wendepunkt an der Stelle \(x = 1\) bedeutet, dass die zweite Ableitung dort null ist: \(f''(1) = 0\). Mit \(f''(x) = 12ax^2 + 2b\) ergibt sich die Gleichung \(12a + 2b = 0\). 4. Die Steigung der Wendetangente ist der Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle: \(f'(1) = -4\). Mit \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) folgt \(4a + 2b = -4\). 5. Durch Lösen des Gleichungssystems (\(12a + 2b = 0\) und \(4a + 2b = -4\)) erhält man durch Subtraktion \(8a = 4\), also \(a = 0{,}5\). Hieraus folgt \(b = -3\). 6. Zur Bestätigung der Wendestelle gilt für die gefundene Funktion \(f'''(x) = 12x\), also \(f'''(1)=12 \neq 0\). Damit liegt bei \(x=1\) tatsächlich ein Wendepunkt vor. 7. Die gesuchte Funktion ist \(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 5\).

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 5\)

- Welche Bedingungen müssen für einen Terrassenpunkt an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Wie vereinfacht sich der allgemeine Funktionsterm, wenn die Bedingungen im Ursprung liegen? - Was bedeutet die Information über eine waagerechte Tangente für die Ableitung? - Wie viele Unbekannte bleiben nach Berücksichtigung der Bedingungen im Ursprung noch übrig?

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion 4. Grades: \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\). 2. Ein Terrassenpunkt im Ursprung bedeutet \(f(0) = 0\), \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). Daraus folgen direkt die Koeffizienten \(e = 0\), \(d = 0\) und \(c = 0\). Die Funktion vereinfacht sich zu \(f(x) = ax^4 + bx^3\). 3. Aus dem Punkt \(P(1 \mid 2)\) ergibt sich die Gleichung \(f(1) = 2\), also \(a + b = 2\). 4. Eine waagerechte Tangente bei \(x = 1{,}5\) bedeutet \(f'(1{,}5) = 0\). Mit der Ableitung \(f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2\) folgt: \(4a \cdot 1{,}5^3 + 3b \cdot 1{,}5^2 = 13{,}5a + 6{,}75b = 0\). 5. Das lineare Gleichungssystem besteht aus \(a + b = 2\) und \(13{,}5a + 6{,}75b = 0\). Aus der ersten Gleichung folgt \(b = 2 - a\). Einsetzen in die zweite Gleichung liefert \(13{,}5a + 6{,}75(2 - a) = 0\), woraus \(6{,}75a = -13{,}5\) und somit \(a = -2\) resultiert. 6. Damit ist \(b = 2 - (-2) = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x^4 + 4x^3\). 7. Überprüfung des Terrassenpunkts: Für \(f(x) = -2x^4 + 4x^3\) gilt \(f'(0)=0\), \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=24 \neq 0\). Damit besitzt der Graph im Ursprung tatsächlich einen Terrassenpunkt.

\(f(x) = -2x^4 + 4x^3\)

- Welche Bedingungen erfüllen Funktionswert, erste und zweite Ableitung an einem Terrassenpunkt? - Welche Koeffizienten erhältst du direkt aus dem Punkt \(Q(0\mid8)\) und der dortigen Steigung? - Wie kannst du nach dem Lösen des linearen Gleichungssystems prüfen, ob wirklich ein Terrassenpunkt vorliegt?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\). 2. Aus \(Q(0\mid8)\) folgt \(e=8\). Aus der Steigung \(f'(0)=-20\) folgt \(d=-20\). 3. Für den Terrassenpunkt \((2\mid0)\) gelten \(f(2)=0\), \(f'(2)=0\) und \(f''(2)=0\). 4. Mit \(d=-20\) und \(e=8\) erhält man aus diesen drei Bedingungen \(4a+2b+c=8\), \(8a+3b+c=5\) und \(24a+6b+c=0\). 5. Subtrahieren der ersten von der zweiten Gleichung ergibt \(4a+b=-3\). Subtrahieren der zweiten von der dritten Gleichung ergibt \(16a+3b=-5\). 6. Daraus folgen \(a=1\), \(b=-7\) und \(c=18\). Somit ist \(f(x)=x^4-7x^3+18x^2-20x+8\). 7. Es gilt \(f'''(x)=24x-42\) und damit \(f'''(2)=6\neq0\). Der Punkt \((2\mid0)\) ist daher tatsächlich ein Terrassenpunkt.

\(f(x)=x^4-7x^3+18x^2-20x+8\)

- Welche beiden Bedingungen liefert die Wendetangente am Berührpunkt \(x=1\)? - Welche zusätzliche Ableitungsbedingung gilt an der Wendestelle? - Wie viele unabhängige Bedingungen benötigst du, um die vier Koeffizienten einer allgemeinen kubischen Funktion zu bestimmen? - Prüfe am Ende, ob die gefundene Funktion sowohl die Nullstelle als auch die Tangentenbedingungen erfüllt.

1. Setze \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Dann gilt \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) und \(f''(x)=6ax+2b\). 2. Aus der Nullstelle folgt \(f(2)=0\). Die Wendetangente liefert am Berührpunkt \(f(1)=t(1)=1\) und \(f'(1)=-3\). Wegen der Wendestelle gilt außerdem \(f''(1)=0\). 3. Damit erhält man \(8a+4b+2c+d=0\), \(a+b+c+d=1\), \(3a+2b+c=-3\) und \(6a+2b=0\). 4. Aus \(6a+2b=0\) folgt \(b=-3a\). Aus \(3a+2b+c=-3\) folgt \(c=3a-3\). Aus \(a+b+c+d=1\) folgt \(d=4-a\). Einsetzen in \(f(2)=0\) ergibt \(a=2\). 5. Damit sind \(b=-6\), \(c=3\) und \(d=2\). Es folgt \(f(x)=2x^3-6x^2+3x+2\). Da \(f'''(x)=12\ne0\), ist die Wendestelle bei \(x=1\) abgesichert.

\(f(x)=2x^3-6x^2+3x+2\)

- Notiere alle Bedingungen, die aus den Koordinaten und den Eigenschaften der Extrempunkte folgen. - Verwende für Extremstellen die erste Ableitung und überprüfe die Art der Extrempunkte anschließend mit der zweiten Ableitung. - Wenn mehr Bedingungen als Unbekannte vorliegen, bestimme zuerst die Funktion aus einem unabhängigen Teilsystem und prüfe danach die verbleibende Bedingung. - Ein Widerspruch bei der letzten Bedingung zeigt, dass keine Funktion mit allen geforderten Eigenschaften existiert.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Aus den Punkt- und Extremstellenbedingungen folgen: \(f(0) = 4 \Rightarrow d = 4\) \(f'(0) = 0 \Rightarrow c = 0\) \(f(2) = 0 \Rightarrow 8a + 4b = -4 \Rightarrow 2a + b = -1\) \(f'(2) = 0 \Rightarrow 12a + 4b = 0 \Rightarrow 3a + b = 0\) 3. Aus \(3a + b = 0\) folgt \(b = -3a\). Einsetzen in \(2a + b = -1\) ergibt \(a = 1\) und damit \(b = -3\). Somit erhält man \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\). 4. Die Art der Extrempunkte stimmt: \(f''(x) = 6x - 6\), also \(f''(0) = -6 < 0\) und \(f''(2) = 6 > 0\). Daher liegt bei \(x=0\) ein Hochpunkt und bei \(x=2\) ein Tiefpunkt vor. 5. Für die Zusatzbedingung gilt jedoch \(f(1) = 1 - 3 + 4 = 2\). Da \(2 \neq 3\), verläuft diese Funktion nicht durch \(P(1 \mid 3)\). Die Bedingungen sind daher insgesamt unvereinbar.

Es existiert keine solche Funktion, da die Extrempunktbedingungen eindeutig zu \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) führen, für diese Funktion aber \(f(1) = 2 \neq 3\) gilt.

- Wie verhalten sich ganzrationale Funktionen geraden Grades für sehr große positive und negative \(x\)-Werte? - Welche notwendige Bedingung gilt an einer lokalen Extremstelle? - Wie hängen der Grad einer Funktion und der Grad ihrer Ableitung zusammen?

1. Bei einer ganzrationalen Funktion mit geradem Grad streben die Funktionswerte für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) in dieselbe Richtung, also beide gegen \(+\infty\) oder beide gegen \(-\infty\). Daher besitzt die Funktion mindestens ein globales Minimum beziehungsweise ein globales Maximum. 2. Eine Funktion 4. Grades hat eine Ableitungsfunktion 3. Grades. Da ein Polynom 3. Grades höchstens drei reelle Nullstellen besitzt und jede lokale Extremstelle eine Nullstelle von \(f'\) erfordert, kann die Funktion höchstens drei Extremstellen besitzen.

a) Bei geradem Grad streben beide Äste des Graphen in dieselbe Richtung; daher besitzt die Funktion mindestens ein globales Minimum oder ein globales Maximum. b) Die Ableitung hat Grad 3 und höchstens drei Nullstellen. Daher sind höchstens drei Extremstellen möglich.

- Untersuche zuerst die Nullstellen der beiden Ableitungsfunktionen. - Welche Möglichkeiten hat eine quadratische Funktion hinsichtlich ihrer reellen Nullstellen? - Wann führt eine Nullstelle von \(f'\) tatsächlich zu einer lokalen Extremstelle?

1. Für \(f\) gilt \(f'(x)=3x^2+1>0\) für alle \(x\in\mathbb R\). Daher besitzt \(f\) keine lokale Extremstelle. 2. Für \(g\) gilt \(g'(x)=3x^2-3\). Die Nullstellen sind \(x=\pm1\), und an beiden Stellen wechselt \(g'\) das Vorzeichen. Daher besitzt \(g\) zwei lokale Extremstellen. 3. Allgemein ist die Ableitung einer Funktion 3. Grades quadratisch. Sie kann keine reelle Nullstelle, eine doppelte Nullstelle oder zwei einfache Nullstellen besitzen. Bei einer doppelten Nullstelle wechselt \(f'\) das Vorzeichen nicht; daher entsteht dort keine lokale Extremstelle. Somit sind für eine kubische Funktion entweder keine oder zwei lokale Extremstellen möglich.

a) \(f\) besitzt keine lokale Extremstelle; \(g\) besitzt zwei lokale Extremstellen. b) Eine einzelne reelle Nullstelle der quadratischen Ableitung ist doppelt und bewirkt keinen Vorzeichenwechsel. Daher kann eine kubische Funktion nicht genau eine lokale Extremstelle besitzen.

- Welche Bedingungen liefert der Wendepunkt auf der \(y\)-Achse für die Koeffizienten? - Welche notwendige Bedingung gilt an der Extremstelle \(x=-1\)? - Wie entscheidet das Vorzeichen von \(f''(-1)\) über die Extremumart? - Welche Konsequenz hätte die zusätzliche Punktbedingung \(Q(2\mid3)\) für den Leitkoeffizienten?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). 2. Aus \(W(0\mid1)\) folgen \(f(0)=1\) und \(f''(0)=0\). Damit ist \(d=1\) und \(b=0\). 3. Aus dem Extremum bei \(x=-1\) folgt \(f'(-1)=0\). Mit \(f'(x)=3ax^2+c\) ergibt sich \(c=-3a\). 4. Aus \(P(2\mid0)\) folgt \(8a-6a+1=0\), also \(a=-0{,}5\) und damit \(c=1{,}5\). Somit ist \(f(x)=-0{,}5x^3+1{,}5x+1\). 5. Für diese Funktion ist \(f'''(x)=-3\neq0\). Daher ist \(W(0\mid1)\) tatsächlich ein Wendepunkt. 6. Es gilt \(f''(x)=-3x\), also \(f''(-1)=3>0\). Das Extremum bei \(x=-1\) ist ein Tiefpunkt. 7. Für \(Q(2\mid3)\) müsste allgemein \(2a+1=3\) gelten, also \(a=1\). Dann wäre \(f''(-1)=-6<0\), sodass bei \(x=-1\) ein Hochpunkt statt eines Tiefpunkts läge. Die Behauptung ist daher richtig.

a) \(f(x)=-0{,}5x^3+1{,}5x+1\). b) Tiefpunkt, da \(f''(-1)=3>0\). c) Die Behauptung ist richtig. Der Punkt \(Q(2 \mid 3)\) würde \(a=1\) erzwingen; dann wäre das Extremum bei \(x=-1\) ein Hochpunkt.

- Welche Form hat eine ganzrationale Funktion 4. Grades bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Welche zwei Bedingungen liefert ein Wendepunkt auf der \(x\)-Achse? - Welche Prüfungen zeigen nach dem Bestimmen der Koeffizienten, dass Hochpunkt und Wendepunkte tatsächlich vorliegen?

1. Wegen der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse lautet der Ansatz \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). 2. Aus \(H(0\mid4)\) folgt \(c=4\). Aus dem Wendepunkt \(W_2(1\mid0)\) folgen \(f(1)=0\) und \(f''(1)=0\). 3. Damit gelten \(a+b=-4\) und \(12a+2b=0\), also \(b=-6a\). Daraus folgt \(a=0{,}8\) und \(b=-4{,}8\). 4. Somit ist \(f(x)=0{,}8x^4-4{,}8x^2+4\). 5. Es gilt \(f''(0)=-9{,}6<0\); daher ist \(H(0\mid4)\) tatsächlich ein lokaler Hochpunkt. 6. Weiter gilt \(f'''(x)=19{,}2x\). Daher ist \(f'''(1)=19{,}2\neq0\) und \(f'''(-1)=-19{,}2\neq0\). Somit sind \((-1\mid0)\) und \((1\mid0)\) tatsächlich Wendepunkte.

1. Ansatz: \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). 2. \(f(x)=0{,}8x^4-4{,}8x^2+4\).

- Wie vereinfacht die Achsensymmetrie den allgemeinen Funktionsterm? - Welche zwei Bedingungen liefert der markierte Wendepunkt? - Wie kannst du nach dem Bestimmen des Funktionsterms die Wendestelle und die Extremumarten überprüfen?

1. Wegen der Achsensymmetrie gilt \(g(x)=ax^4+bx^2+c\). Da der Graph durch den Ursprung verläuft, ist \(c=0\). 2. Aus dem markierten Wendepunkt \(W_2(1\mid2{,}5)\) folgen \(a+b=2{,}5\) und \(g''(1)=12a+2b=0\). Daraus ergibt sich \(a=-0{,}5\) und \(b=3\). Somit ist \(g(x)=-0{,}5x^4+3x^2\). 3. Es gilt \(g'''(x)=-12x\). Damit ist \(g'''(1)=-12\neq0\), also ist der verwendete Punkt bei \(x=1\) tatsächlich ein Wendepunkt. 4. Aus \(g'(x)=-2x(x^2-3)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt3\). Für \(x=\pm\sqrt3\) gilt \(g''(x)=-12<0\), also liegen dort lokale Hochpunkte. 5. Der Funktionswert ist \(g(\pm\sqrt3)=4{,}5\). Daher sind die Hochpunkte \(H_1(-\sqrt3\mid4{,}5)\) und \(H_2(\sqrt3\mid4{,}5)\).

1. \(g(x)=-0{,}5x^4+3x^2\). 2. \(H_1(-\sqrt3 \mid 4{,}5)\) und \(H_2(\sqrt3 \mid 4{,}5)\).

- Welche Vielfachheit hat eine Nullstelle von \(f'\) an einem Terrassenpunkt? - Wie hängen Wendestellen von \(f\) mit Extremstellen von \(f'\) zusammen? - Welche Produktform für \(f'\) ergibt sich aus den bekannten Nullstellen? - Wie kannst du einen bekannten Term für \(f'\) mit der Ableitung eines allgemeinen Polynoms 4. Grades vergleichen?

1. Wegen des Tiefpunkts bei \(x=-1{,}5\) besitzt \(f'\) dort eine einfache Nullstelle. Wegen des Terrassenpunkts bei \(x=3\) besitzt \(f'\) dort eine doppelte Nullstelle. Da \(f'\) dritten Grades ist, sind dies alle Nullstellen. 2. Die Wendestellen von \(f\) liegen bei \(x=0\) und \(x=3\). Daher besitzt \(f''\) dort einfache Nullstellen. Aus dem Krümmungswechsel folgt: \(f'\) hat bei \(x=0\) ein lokales Maximum und bei \(x=3\) ein lokales Minimum. 3. Aus den Nullstellen folgt \(f'(x)=k(x+1{,}5)(x-3)^2\). Mit \(f'(0)=2\) erhält man \(2=13{,}5k\), also \(k=\frac{4}{27}\). 4. Ausmultipliziert ist \(f'(x)=\frac{4}{27}x^3-\frac{2}{3}x^2+2\). 5. Vergleiche dies mit der Ableitung eines allgemeinen Polynoms \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\): \(f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\). Dadurch sind \(a=\frac{1}{27}\), \(b=-\frac{2}{9}\), \(c=0\) und \(d=2\) eindeutig bestimmt. 6. Aus \(f(0)=2\) folgt zusätzlich \(e=2\). Somit reichen die Angaben aus, um \(f\) eindeutig zu bestimmen.

a) \(f'\): \(x=-1{,}5\) einfach und \(x=3\) doppelt. \(f''\): \(x=0\) und \(x=3\), jeweils einfach. b) \(f'\) hat bei \(x=0\) ein lokales Maximum und bei \(x=3\) ein lokales Minimum. c) Ja. Es ergibt sich eindeutig \(f(x)=\frac{1}{27}x^4-\frac{2}{9}x^3+2x+2\).