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- Was sagt die erste Ableitung über das Steigungsverhalten einer Funktion aus? - Wann genau wechselt eine Kurve ihre Krümmungsrichtung? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung und der Linkskurve bzw. Rechtskurve. - Es kann helfen, eine Vorzeichentabelle für die Ableitungen zu erstellen.

1. Ableitungen bestimmen: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1{,}5\) und \(g''(x) = x - 2\). 2. Nullstellen von \(g'\) finden: \(\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Monotonieintervalle: Testeinsetzungen in \(g'\) ergeben: positiv in \((-\infty; 1)\), negativ in \((1; 3)\), positiv in \((3; \infty)\). Somit ist \(g\) streng monoton steigend in \((-\infty; 1]\) und \([3; \infty)\) sowie streng monoton fallend in \([1; 3]\). 4. Nullstelle von \(g''\) finden: \(x - 2 = 0 \Rightarrow x_3 = 2\). 5. Krümmungsverhalten: Für \(x < 2\) ist \(g''(x) < 0\), der Graph ist also rechtsgekrümmt. Für \(x > 2\) ist \(g''(x) > 0\), der Graph ist linksgekrümmt.

Monotonie: streng monoton steigend in \((-\infty; 1]\) und \([3; \infty)\), streng monoton fallend in \([1; 3]\). Krümmung: rechtsgekrümmt in \((-\infty; 2)\), linksgekrümmt in \((2; \infty)\).

- Ersetze in der Funktionsgleichung jedes \(x\) durch \((-x)\) und schaue, ob sich der Term verändert. - Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Löse die Gleichungen \(x^2 - 4 = 0\) und \(x^2 - 25 = 0\). - Die Ordinatenachse ist ein anderer Name für die \(y\)-Achse. - Bestimme den Grad der Funktion und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten, um das Fernverhalten zu beurteilen.

1. Symmetrie prüfen: Es gilt \(q(-x) = \frac{1}{10}((-x)^2 - 4)((-x)^2 - 25) = \frac{1}{10}(x^2 - 4)(x^2 - 25) = q(x)\). Somit ist der Graph \(G_q\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Nullstellen berechnen: Setze \(q(x) = 0\). Dies führt auf \(x^2 - 4 = 0 \implies x_{1,2} = \pm 2\) und \(x^2 - 25 = 0 \implies x_{3,4} = \pm 5\). Da alle Faktoren in der Form \((x-x_i)\) nur einmal vorkommen (bzw. die quadratischen Faktoren keine weiteren mehrfachen Nullstellen erzeugen), handelt es sich um vier einfache Nullstellen. 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Berechne \(q(0) = \frac{1}{10}(0^2 - 4)(0^2 - 25) = \frac{1}{10} \cdot (-4) \cdot (-25) = \frac{100}{10} = 10\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 10)\). 4. Verhalten im Unendlichen: Der Term mit der höchsten Potenz in der Normalform ist \(\frac{1}{10} \cdot x^2 \cdot x^2 = 0{,}1x^4\). Da der Koeffizient positiv und der Exponent gerade ist, gilt: für \(x \to \infty \implies q(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty \implies q(x) \to \infty\).

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da \(q(-x) = q(x)\). b) Nullstellen: \(x_1 = -5\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = 5\) (alle einfach). c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 10)\). d) \(x \to \pm \infty \implies q(x) \to \infty\).

- Kannst du den Funktionsterm ausklammern, um die Nullstellen leichter zu finden? - Welche Bedingungen müssen für die Ableitungen an Extrem- und Wendepunkten erfüllt sein? - Untersuche die Exponenten der Variable, um eine Aussage über die Symmetrie zu treffen. - Wie verhält sich der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte?

1. Symmetrie zum Koordinatensystem: Da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung symmetrisch. 2. Achsenschnittpunkte: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(f(0) = 0\). Die Nullstellen ergeben sich aus \(x(x^2 - 6x + 9) = 0\). Dies führt zu \(x_1 = 0\) und der doppelten Nullstelle \(x_{2,3} = 3\). 3. Extrempunkte: Die erste Ableitung \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\) wird Null gesetzt: \(3(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 6x - 12\). Überprüfung: \(f''(1) = -6 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt \(H(1 \mid 4)\); \(f''(3) = 6 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt \(T(3 \mid 0)\). 4. Wendepunkte: Die notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\) liefert \(6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2\). Wegen \(f'''(x) = 6 \neq 0\) liegt an \(x=2\) ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 = 8 - 24 + 18 = 2\). Somit ist \(W(2 \mid 2)\). Außerdem gilt für alle \(u \in \mathbb{R}\): \(f(2+u)-2 = u^3 - 3u = -(f(2-u)-2)\). Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\).

Symmetrie: weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung, aber punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\); Achsenschnittpunkte: \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\); Extrempunkte: Hochpunkt \(H(1 \mid 4)\), Tiefpunkt \(T(3 \mid 0)\); Wendepunkt: \(W(2 \mid 2)\).

- Achte auf die Art der Exponenten (gerade oder ungerade), um die Symmetrie schnell zu bestimmen. - Klammere bei der Nullstellenberechnung \(x\) aus. - Setze die erste Ableitung gleich Null, um mögliche Extremstellen zu finden, und nutze die zweite Ableitung zur Bestätigung. - Überlege dir, ob eine Funktion ungeraden Grades Schranken für ihre \(y\)-Werte haben kann.

1. Symmetrie: Da nur ungerade Exponenten vorkommen (\(x^3\) und \(x^1\)), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Verhalten im Unendlichen: Der Leitterm \(\frac{1}{4}x^3\) bestimmt das Verhalten. Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Achsenschnittpunkte: \(y\)-Achse: \(g(0) = 0 \Rightarrow S_y(0 \mid 0)\). Nullstellen: \(\frac{1}{4}x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(\frac{1}{4}x^2 - 3) = 0\). Dies liefert \(x_1 = 0\) und \(\frac{1}{4}x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 12 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\). 4. Extrempunkte: \(g'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3\). \(g'(x) = 0 \Rightarrow \frac{3}{4}x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). Zweite Ableitung: \(g''(x) = \frac{3}{2}x\). Überprüfung: \(g''(2) = 3 > 0 \Rightarrow T(2 \mid -4)\); \(g''(-2) = -3 < 0 \Rightarrow H(-2 \mid 4)\). 5. Wendepunkte: \(g''(x) = 0 \Rightarrow x = 0\). Da \(g'''(x) = \frac{3}{2} \neq 0\), liegt ein Wendepunkt bei \(W(0 \mid 0)\) vor. 6. Wertemenge: Da es sich um eine Funktion ungeraden Grades handelt und die Grenzwerte \(\pm\infty\) sind, ist die Wertemenge \(W = \mathbb{R}\).

(1) Punktsymmetrie zum Ursprung. (2) \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). (3) \(S_y(0 \mid 0)\); Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm 2\sqrt{3}\). (4) Hochpunkt \(H(-2 \mid 4)\), Tiefpunkt \(T(2 \mid -4)\). (5) Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\). (6) \(W = \mathbb{R}\).

- Wo liegen die tiefsten und höchsten Punkte in der Umgebung? - Ein Wendepunkt liegt dort, wo die Kurve von einer „Linkskurve“ in eine „Rechtskurve“ übergeht. - Zähle die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse im angegebenen Bereich. - Achte auf die Symmetrie des Graphen zur \(y\)-Achse.

1. Der Graph zeigt drei lokale Extrempunkte: zwei Tiefpunkte (lokale Minima) bei \(x \approx -2{,}2\) und \(x \approx 2{,}2\) sowie einen Hochpunkt (lokales Maximum) bei \(x = 0\). 2. Wendestellen befinden sich dort, wo der Graph seine Krümmung ändert. Dies geschieht jeweils zwischen einem Minimum und dem Maximum. Aus dem Graphen lässt sich schätzen, dass die Wendestellen bei etwa \(x \approx -1{,}3\) und \(x \approx 1{,}3\) liegen. Sie befinden sich also jeweils zwischen \(-2\) und \(-1\) bzw. zwischen \(1\) und \(2\). 3. Im Intervall \([-3; 3]\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse an vier Stellen. Somit sind vier Nullstellen erkennbar (bei ca. \(\pm 1{,}1\) und \(\pm 3{,}0\)).

a) 3 Extrempunkte: 2 Tiefpunkte und 1 Hochpunkt. b) Es gibt 2 Wendestellen bei ca. \(x \approx \pm 1{,}3\). Sie liegen zwischen \(-2\) und \(-1\) sowie zwischen \(1\) und \(2\). c) Es sind 4 Nullstellen erkennbar.

- Überlege dir, welche mathematische Größe die Steigung einer Kurve an einem Punkt beschreibt. - Wie lautet die Bedingung dafür, dass eine Tangente parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Ein Punkt mit waagerechter Tangente kann ein Maximum, ein Minimum oder ein Sattelpunkt sein. Welche Kriterien (z. B. höhere Ableitungen) helfen bei der Unterscheidung? - Denke daran, dass bei einem Sattelpunkt auch die Krümmung der Kurve ihr Vorzeichen wechselt.

1. Ableitungen: \(f'(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\), \(f''(x)=2x-4\), \(f'''(x)=2\). 2. Eine waagerechte Tangente liegt bei \(f'(x)=0\) vor. Aus \((x-2)^2=0\) folgt \(x=2\). 3. Es gilt \(f'(2)=0\), \(f''(2)=0\) und \(f'''(2)=2\neq0\). Daher liegt bei \(x=2\) ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt) vor. 4. Weil \(f'(x)=(x-2)^2\ge0\) für alle \(x\) gilt, steigt die Rampe vor und nach dieser Stelle weiter an; sie ist bei \(x=2\) nur momentan waagerecht.

a) Die Rampe hat bei \(x=2\,\text{m}\) eine waagerechte Tangente. b) Bei \(x=2\,\text{m}\) liegt ein Sattelpunkt vor, denn \(f'(2)=0\), \(f''(2)=0\) und \(f'''(2)=2\neq0\). Die Rampe bleibt vor und nach dem Punkt steigend.

- Schau dir den Graphen genau an: Gibt es eine Spiegelachse? - Was kannst du über die Steigung an Stellen sagen, an denen der Graph einen „Hügel“ oder ein „Tal“ hat? - Geht der Graph in einem bestimmten Bereich nach oben oder nach unten? Was bedeutet das für die Steigung? - Zähle einfach die Stellen, an denen der Graph die waagerechte Achse kreuzt oder berührt.

1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Aussage (1) ist wahr. 2. Bei \(x=0\) besitzt der Graph ein lokales Minimum, also gilt \(f'(0)=0\). Aussage (2) ist wahr. 3. Im dargestellten Bereich \(2<x\le3{,}5\) fällt der Graph. Daher ist die Steigung negativ. Aussage (3) ist falsch. 4. Im Intervall \([-3;3]\) sind vier Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu erkennen. Aussage (4) ist wahr.

(1) wahr (2) wahr (3) falsch (4) wahr

- Wie viele Extremstellen siehst du? Was sagt das über den Grad aus? - Überlege, ob der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. - Welche Exponenten fallen bei der jeweiligen Symmetrie im allgemeinen Funktionsterm weg? - Nutze die Koordinaten der markierten Punkte und die Bedingung für Extremstellen, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

1. Der Graph besitzt zwei lokale Extrempunkte (einen Hochpunkt \(H\) und einen Tiefpunkt \(T\)). Da eine ganzrationale Funktion \(n\)-ten Grades höchstens \(n-1\) Extremstellen haben kann, muss der Grad mindestens 3 sein. 2. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung \(O(0 \mid 0)\). Daher enthält der Funktionsterm nur ungerade Exponenten: \(f(x) = ax^3 + cx\). 3. Aus dem Graphen lassen sich die Koordinaten des Hochpunkts \(H(-1 \mid 2)\) ablesen. Es gilt \(f(-1) = 2\) und \(f'(-1) = 0\). Einsetzen in \(f(x)\): \(a(-1)^3 + c(-1) = 2 \Rightarrow -a - c = 2 \Rightarrow a + c = -2\). Ableitung bilden: \(f'(x) = 3ax^2 + c\). Einsetzen in \(f'(x)\): \(3a(-1)^2 + c = 0 \Rightarrow 3a + c = 0\). Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung: \(2a = 2 \Rightarrow a = 1\). Einsetzen in \(a + c = -2\): \(1 + c = -2 \Rightarrow c = -3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^3 - 3x\).

1. Der kleinstmögliche Grad ist 3, da der Graph zwei Extremstellen besitzt und punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft. 2. Aufgrund der Punktsymmetrie gilt: \(f(x) = ax^3 + cx\). 3. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = x^3 - 3x\).

- Wie findet man Stellen, an denen die Steigung null ist? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art eines Extrempunktes aus? - Überlege dir, ob der Graph die x-Achse überqueren muss, wenn er von einem sehr hohen Wert zu einem Tiefpunkt unterhalb der Achse verläuft. - Hilft es, die Lage der Extrempunkte grob in ein Koordinatensystem zu skizzieren?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x + 2\). Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\), also \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(f''(0) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T_1(0 \mid -4)\); \(f''(1) = -1 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(1 \mid -3{,}75)\); \(f''(2) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T_2(2 \mid -4)\). 2. Da der Leitkoeffizient positiv und der Grad der Funktion gerade ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \infty\). Der höchste Punkt der Funktion im Bereich der Extrema ist der Hochpunkt \(H(1 \mid -3{,}75)\). Da dessen \(y\)-Wert negativ ist, verläuft der Graph zwischen den Tiefpunkten und dem Hochpunkt vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Aufgrund des Grenzverhaltens gegen \(+\infty\) und \(-\infty\) muss der Graph die \(x\)-Achse jedoch jeweils einmal links vom ersten Tiefpunkt (\(x < 0\)) und einmal rechts vom zweiten Tiefpunkt (\(x > 2\)) schneiden. Somit besitzt die Funktion genau zwei Nullstellen.

1. Die Extrempunkte sind \(T_1(0 \mid -4)\) (Tiefpunkt), \(H(1 \mid -3{,}75)\) (Hochpunkt) und \(T_2(2 \mid -4)\) (Tiefpunkt). 2. Die Funktion besitzt genau zwei Nullstellen, da alle lokalen Extremwerte negativ sind und die Funktionswerte für sehr große und sehr kleine \(x\) gegen unendlich streben.

- Überlege dir zuerst, welche allgemeine Form eine Funktion mit der geforderten Symmetrie hat. - Welche Auswirkungen haben die Bedingungen für lokale Extrema auf die erste und zweite Ableitung? - Du kannst für die Koeffizienten einfache Zahlen wählen, solange alle Bedingungen erfüllt bleiben. - Wie viele Nullstellen muss die Ableitungsfunktion haben, wenn die Anzahl der Extrempunkte vorgegeben ist?

1. Teilaufgabe a): Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse enthält der Ansatz nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). Die Ableitung \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)\) muss drei verschiedene reelle Nullstellen haben, damit drei Extrema existieren. Dies ist erfüllt, wenn \(-\frac{b}{2a} > 0\) gilt. Wählt man \(a=1\) und \(b=-2\) (sowie \(c=0\)), ergibt sich \(f(x) = x^4 - 2x^2\). Die zweite Ableitung \(f''(x) = 12x^2 - 4\) bestätigt mit \(f''(0) = -4 < 0\) das Maximum bei \(x=0\) und mit \(f''(\pm 1) = 8 > 0\) die Minima bei \(x = \pm 1\). 2. Teilaufgabe b): Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung enthält der Ansatz nur ungerade Exponenten: \(f(x) = ax^3 + cx\). Die Bedingung für ein lokales Extremum bei \(x = -2\) lautet \(f'(-2) = 0\). Mit \(f'(x) = 3ax^2 + c\) folgt \(12a + c = 0\), also \(c = -12a\). Für ein Maximum muss \(f''(-2) < 0\) gelten. Da \(f''(x) = 6ax\) ist, folgt \(6a(-2) < 0\), also \(a > 0\). Mit \(a=1\) ergibt sich \(c = -12\) und somit der Term \(f(x) = x^3 - 12x\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = x^4 - 2x^2\) b) \(f(x) = x^3 - 12x\)

- Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Wie hängen Ableitungen damit zusammen? - Erinnere dich an die Potenzfunktionen. Wie sieht der Graph von \(x^3\) aus und wie kannst du ihn verschieben? - Was bedeutet die Symmetrie zur \(y\)-Achse für die Wahl der Exponenten im Funktionsterm? - Wie stellst du sicher, dass eine Ableitung genau die geforderte Anzahl an Nullstellen hat?

1. Teilaufgabe a): Ein Sattelpunkt bei \(x=x_0\) bedeutet \(g'(x_0)=0\) und \(g''(x_0)=0\). Der einfachste Ansatz für eine Funktion 3. Grades mit einem Sattelpunkt ist eine verschobene kubische Potenzfunktion der Form \(g(x) = a(x-x_0)^3 + e\). Mit \(x_0 = 2\) und \(a=1, e=0\) erhält man \(g(x) = (x-2)^3\). Da die Ableitung \(g'(x) = 3(x-2)^2\) für alle \(x\) nicht negativ ist (\(g'(x) \ge 0\)) und nur an einer isolierten Stelle null wird, ist die Funktion streng monoton wachsend. 2. Teilaufgabe b): Wegen der Achsensymmetrie gilt der Ansatz \(g(x) = ax^4 + bx^2 + c\). Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) liefert den \(y\)-Achsenabschnitt \(c=1\). Die Ableitung \(g'(x) = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)\) besitzt die Nullstelle \(x_1 = 0\). Für genau drei Extrempunkte müssen zwei weitere Nullstellen aus \(2ax^2 + b = 0 \implies x^2 = -\frac{b}{2a}\) existieren, was \(-\frac{b}{2a} > 0\) erfordert. Mit der Wahl \(a=1\) und \(b=-4\) ergibt sich \(x^2 = 2\), also zwei weitere Stellen. Ein möglicher Term ist somit \(g(x) = x^4 - 4x^2 + 1\).

Mögliche Funktionsgleichungen sind: a) \(g(x) = (x-2)^3\) b) \(g(x) = x^4 - 4x^2 + 1\)

- Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an Extremstellen gelten? - Wie berechnet man den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn die \(x\)-Koordinate bekannt ist? - Erinnere dich an die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + c\). Welche Informationen aus dem Wendepunkt benötigst du dafür? - Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Berührstelle.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\), \(f''(x) = 2x - 2\), \(f'''(x) = 2\). 2. Lokale Extrempunkte: \(f'(x) = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Überprüfung mit zweiter Ableitung: \(f''(-1) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(-1 \mid \frac{11}{3})\); \(f''(3) = 4 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(3 \mid -7)\). 4. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x_w = 1\). Da \(f'''(1) = 2 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. Koordinaten: \(f(1) = \frac{1}{3} - 1 - 3 + 2 = -\frac{5}{3}\). Wendepunkt \(W(1 \mid -\frac{5}{3})\). 5. Steigung im Wendepunkt: \(f'(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4\). 6. Wendetangente: Punkt-Steigungs-Form mit \(m = -4\) und \(W(1 \mid -\frac{5}{3})\): \(y = -4(x - 1) - \frac{5}{3} = -4x + 4 - \frac{5}{3} = -4x + \frac{7}{3}\).

a) Hochpunkt \(H(-1 \mid \frac{11}{3})\), Tiefpunkt \(T(3 \mid -7)\) b) Wendepunkt \(W(1 \mid -\frac{5}{3})\), Steigung \(m = -4\) c) \(t_w: y = -4x + \frac{7}{3}\)

- Nutze das notwendige und das hinreichende Kriterium für Extrem- und Wendepunkte. - Für die Wendetangente benötigst du sowohl die Koordinaten des Wendepunkts als auch die Steigung an dieser Stelle. - Wie findet man rechnerisch heraus, wo eine Gerade die \(x\)-Achse oder die \(y\)-Achse kreuzt?

1. Ableitungen: \(g'(x) = -3x^2 + 12x - 9\), \(g''(x) = -6x + 12\), \(g'''(x) = -6\). 2. Extrempunkte: \(g'(x) = 0 \implies -3(x^2 - 4x + 3) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = 3\). 3. Art der Extrema: \(g''(1) = 6 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(1 \mid 0)\); \(g''(3) = -6 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(3 \mid 4)\). 4. Wendepunkt: \(g''(x) = 0 \implies x_w = 2\). Funktionswert \(g(2) = -8 + 24 - 18 + 4 = 2\). Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\). 5. Wendetangente: Steigung \(m = g'(2) = -3(4) + 12(2) - 9 = 3\). Gleichung \(y = 3(x - 2) + 2 \implies y = 3x - 4\). 6. Achsenschnittpunkte: Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(x = 0 \implies y = -4\), also \(S_y(0 \mid -4)\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(y = 0 \implies 3x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{3}\), also \(S_x(\frac{4}{3} \mid 0)\).

a) Tiefpunkt \(T(1 \mid 0)\), Hochpunkt \(H(3 \mid 4)\), Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\) b) \(y = 3x - 4\) c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -4)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(\frac{4}{3} \mid 0)\)

- Überlege dir, ob für eine durchschnittliche Änderung der Differenzenquotient oder die Ableitung benötigt wird. - Wie hängen die Begriffe „momentane Änderung“ und „Steigung der Tangente“ zusammen? - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Extremum erfüllt sein? - Was beschreibt die zweite Ableitung im Hinblick auf die Änderungsrate der Steigung? - Denke bei der Interpretation der Wendestelle an die Dynamik der Volumenänderung.

1. Durchschnittliche Änderungsrate im Intervall \([2; 5]\): Berechnung der Funktionswerte \(V(2) = -2^3 + 15 \cdot 2^2 + 200 = 252\) und \(V(5) = -5^3 + 15 \cdot 5^2 + 200 = 450\). Der Differenzenquotient ergibt \(\frac{450 - 252}{5 - 2} = \frac{198}{3} = 66\). Die durchschnittliche Änderung beträgt \(66\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). 2. Momentane Änderungsrate bei \(t = 4\): Erste Ableitung bilden: \(V'(t) = -3t^2 + 30t\). Einsetzen ergibt \(V'(4) = -3 \cdot 16 + 30 \cdot 4 = -48 + 120 = 72\). Die momentane Änderungsrate beträgt \(72\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). 3. Maximales Volumen: Bedingung \(V'(t) = 0 \Rightarrow -3t(t - 10) = 0\). Die relevante Lösung im Intervall ist \(t = 10\). Da \(V''(t) = -6t + 30\) und \(V''(10) = -30 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. Das Volumen beträgt \(V(10) = -1000 + 1500 + 200 = 700\,\text{m}^3\). Ein Vergleich mit den Randwerten \(V(0) = 200\) und \(V(12) = 632\) bestätigt das globale Maximum bei \(t = 10\). 4. Wendepunkt: Bedingung \(V''(t) = 0 \Rightarrow -6t + 30 = 0 \Rightarrow t = 5\). Der Funktionswert ist \(V(5) = 450\). Koordinaten: \(W(5 \mid 450)\). Die Wendestelle \(t = 5\) gibt den Zeitpunkt an, zu dem das Volumen am schnellsten zunimmt. Die Steigung der Wendetangente \(V'(5) = -3 \cdot 25 + 30 \cdot 5 = 75\) gibt diese maximale Zunahmerate in \(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) an.

a) Die durchschnittliche Änderungsrate beträgt \(66\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). b) Die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 4\) beträgt \(72\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). c) Das maximale Volumen von \(700\,\text{m}^3\) wird nach \(10\,\text{Stunden}\) erreicht. d) Der Wendepunkt liegt bei \(W(5 \mid 450)\). Zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{Stunden}\) ist die Zunahme des Wasservolumens mit \(75\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) am größten.

- Was ist der Unterschied zwischen einer mittleren und einer momentanen Geschwindigkeit in Bezug auf die Ableitung? - Suche nach den Stellen, an denen die erste Ableitung null wird, um Hochpunkte zu finden. - Die Wendestelle markiert bei einem Aufstieg oft den Punkt der größten Dynamik – was bedeutet das hier für die Geschwindigkeit? - Vergiss nicht, die Einheiten in deiner Interpretation zu berücksichtigen.

1. Mittlere Steiggeschwindigkeit \([0; 5]\): \(h(0) = 20\) und \(h(5) = -0{,}2 \cdot 125 + 3 \cdot 25 + 20 = -25 + 75 + 20 = 70\). Differenzenquotient: \(\frac{70 - 20}{5 - 0} = \frac{50}{5} = 10\). Die mittlere Geschwindigkeit beträgt \(10\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 2. Momentane Steiggeschwindigkeit bei \(t = 3\): \(h'(t) = -0{,}6t^2 + 6t\). Einsetzen: \(h'(3) = -0{,}6 \cdot 9 + 6 \cdot 3 = -5{,}4 + 18 = 12{,}6\). Die Geschwindigkeit beträgt \(12{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 3. Maximale Höhe: Notwendige Bedingung \(h'(t) = 0 \Rightarrow -0{,}6t(t - 10) = 0\). Lösungen sind \(t = 0\) und \(t = 10\). Da \(h''(t) = -1{,}2t + 6\) und \(h''(10) = -6 < 0\), liegt bei \(t = 10\) ein Maximum vor. \(h(10) = -0{,}2 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 20 = 120\). Die maximale Höhe ist \(120\,\text{m}\). 4. Wendestelle: \(h''(t) = 0 \Rightarrow -1{,}2t + 6 = 0 \Rightarrow t = 5\). Die Steigung an dieser Stelle ist \(h'(5) = -0{,}6 \cdot 25 + 6 \cdot 5 = 15\). Interpretation: Nach \(5\,\text{Minuten}\) erreicht der Ballon seine höchste Steiggeschwindigkeit von \(15\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). Ab diesem Zeitpunkt nimmt die Steiggeschwindigkeit wieder ab.

a) Die mittlere Steiggeschwindigkeit beträgt \(10\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). b) Nach 3 Minuten beträgt die Steiggeschwindigkeit \(12{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). c) Die maximale Höhe von \(120\,\text{m}\) wird nach \(10\,\text{Minuten}\) erreicht. d) Die Wendestelle liegt bei \(t = 5\). Die Steigung dort beträgt \(15\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). Das bedeutet, dass der Ballon nach \(5\,\text{Minuten}\) am schnellsten steigt (maximale Steiggeschwindigkeit von \(15\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\)).

- Was bedeutet der Zeitpunkt zu Beginn der Beobachtung für den Wert von \(t\)? - Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihr Steigungsverhalten (Wachsen/Sinken) zusammen? - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Extremum erfüllt sein? - Vergiss bei der Suche nach dem absolut höchsten Wert nicht, auch die Werte an den Grenzen des Zeitbereichs zu prüfen. - Denk daran, dass die Änderungsrate selbst durch eine Funktion beschrieben wird – wie findet man deren Extremwerte?

1. Berechnung der Funktionswerte: Zu Beginn (\(t=0\)) gilt \(h(0) = 200\). Nach 5 Stunden (\(t=5\)) gilt \(h(5) = -5^3 + 15 \cdot 5^2 - 48 \cdot 5 + 200 = -125 + 375 - 240 + 200 = 210\). Die Wasserstände betragen \(200\,\text{cm}\) und \(210\,\text{cm}\). 2. Untersuchung der Monotonie: Die erste Ableitung lautet \(h'(t) = -3t^2 + 30t - 48\). Nullstellen von \(h'(t)\): \(-3(t^2 - 10t + 16) = 0\) liefert \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 8\). Da der Graph von \(h'\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist \(h'(t) < 0\) in den Intervallen \([0; 2]\) und \([8; 12]\). In diesen Zeiträumen sinkt der Wasserspiegel. 3. Bestimmung des absoluten Maximums: Mögliche Stellen sind die Ränder (\(t=0, t=12\)) und die lokalen Extrema (\(t=2, t=8\)). Da \(h'(t)\) bei \(t=2\) von negativ zu positiv wechselt, liegt dort ein lokales Minimum (\(h(2) = 156\)). Bei \(t=8\) wechselt \(h'(t)\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein lokales Maximum (\(h(8) = 264\)). Randwerte: \(h(0) = 200\), \(h(12) = -1728 + 2160 - 576 + 200 = 56\). Das absolute Maximum liegt bei \(t = 8\) mit einer Höhe von \(264\,\text{cm}\). 4. Stärkstes Sinken: Gesucht ist das Minimum der Ableitung \(h'(t)\). Die zweite Ableitung ist \(h''(t) = -6t + 30\). Nullsetzen ergibt \(t = 5\). Da \(h'''(t) = -6 < 0\), liegt bei \(t = 5\) die maximale Steigung vor. Da jedoch das stärkste Sinken gesucht ist (minimaler Wert von \(h'(t)\)), müssen die Ränder und der Wendepunkt verglichen werden: \(h'(5) = 27\), \(h'(0) = -48\), \(h'(12) = -3 \cdot 144 + 360 - 48 = -120\). Der Wasserspiegel sinkt zum Zeitpunkt \(t = 12\) am stärksten.

a) Zu Beginn: \(200\,\text{cm}\); nach 5 Stunden: \(210\,\text{cm}\). b) Der Wasserspiegel sinkt in den Zeiträumen \([0; 2]\) und \([8; 12]\) (Angaben in Stunden). c) Der Wasserstand ist nach 8 Stunden am höchsten und beträgt \(264\,\text{cm}\). d) Der Wasserspiegel sinkt am Ende des Beobachtungszeitraums, also zum Zeitpunkt \(t = 12\), am stärksten.

- Achte genau darauf, welcher Wert von \(t\) welcher Uhrzeit entspricht. - Was sagt die erste Ableitung über die Veränderung der Leistung aus? - Wie findet man den höchsten Punkt einer Kurve in einem abgeschlossenen Intervall? - Wenn nach der „schnellsten Zunahme“ gefragt ist, ist eigentlich nach dem Maximum der Steigung gesucht.

1. Berechnung für 10 Uhr: Da \(t=0\) um 6 Uhr ist, entspricht 10 Uhr dem Wert \(t=4\). \(P(4) = -4^3 + 12 \cdot 4^2 + 60 \cdot 4 = -64 + 192 + 240 = 368\). Die Leistung beträgt \(368\,\text{W}\). 2. Ableitungen: \(P'(t) = -3t^2 + 24t + 60\) beschreibt die momentane Änderungsrate der Leistung in \(\frac{\text{W}}{\text{h}}\). \(P''(t) = -6t + 24\) beschreibt die Änderungsrate dieser Änderungsrate in \(\frac{\text{W}}{\text{h}^2}\). 3. Maximalleistung: Bedingung \(P'(t) = 0 \implies -3(t^2 - 8t - 20) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(t_1 = 10\) und \(t_2 = -2\). Da nur \(0 \le t \le 12\) relevant ist, wird \(t = 10\) untersucht. \(P''(10) = -60 + 24 = -36 < 0\), also liegt ein lokales Maximum vor. Randwerte: \(P(0) = 0\), \(P(12) = -1728 + 1728 + 720 = 720\). Vergleich: \(P(10) = -1000 + 1200 + 600 = 800\). Das absolute Maximum liegt bei \(t = 10\) (entspricht 16 Uhr) mit \(800\,\text{W}\). 4. Schnellste Zunahme: Gesucht ist das Maximum von \(P'(t)\). Bedingung \(P''(t) = 0 \implies -6t + 24 = 0 \implies t = 4\). Wegen \(P'''(t) = -6 < 0\) liegt bei \(t = 4\) ein lokales Maximum der Änderungsrate vor. Die Leistung nimmt um 10 Uhr (\(t=4\)) am schnellsten zu.

a) Um 10 Uhr morgens (\(t=4\)) beträgt die Leistung \(368\,\text{W}\). b) \(P'(t) = -3t^2 + 24t + 60\) (Änderungsrate der Leistung); \(P''(t) = -6t + 24\) (Änderungsrate der Änderungsrate der Leistung). c) Die maximale Leistung wird um 16 Uhr (\(t=10\)) erreicht und beträgt \(800\,\text{W}\). d) Die Leistung nimmt um 10 Uhr morgens (\(t=4\)) am schnellsten zu.

- Untersuche die Exponenten der Funktionsterme, um direkt auf Symmetrieeigenschaften zu schließen. - Wie viele Lösungen hat die Gleichung \(f(x) = 0\)? Achte darauf, ob Nullstellen mehrfach vorkommen. - Nutze die erste und zweite Ableitung, um die Anzahl und Art der Extrempunkte sowie mögliche Terrassenpunkte zu bestimmen. - Überlege, ob man einen Funktionsterm mithilfe binomischer Formeln vereinfachen kann, um die Analyse zu erleichtern.

1. Analyse von \(f(x) = 2x^2 - x^4\): Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (A). Die Nullstellenberechnung \(x^2(2 - x^2) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = \pm\sqrt{2}\), also genau drei verschiedene Nullstellen (E). Die Ableitung \(f'(x) = 4x - 4x^3 = 4x(1 - x^2)\) hat Nullstellen bei \(x \in \{0; 1; -1\}\). Da \(f''(0) = 4\) (Minimum) und \(f''(\pm 1) = -8\) (Maxima), liegen drei Extrempunkte vor (C entfällt). Es gibt keinen Terrassenpunkt (D entfällt). 2. Analyse von \(g(x) = x^3 - 3x\): Da nur ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (B). Die Nullstellenberechnung \(x(x^2 - 3) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = \pm\sqrt{3}\), also genau drei Nullstellen (E). Die Ableitung \(g'(x) = 3x^2 - 3\) hat Nullstellen bei \(x = \pm 1\). Mit \(g''(1) = 6\) (Minimum) und \(g''(-1) = -6\) (Maximum) ergeben sich genau zwei Extrempunkte (C). 3. Analyse von \(h(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\): Dies entspricht \((x-1)^3\). Eine Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse liegt nicht vor. Es gibt nur die Nullstelle \(x=1\) (E entfällt). Die Ableitung \(h'(x) = 3(x-1)^2\) hat bei \(x=1\) eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, was einen Terrassenpunkt bedeutet (D). Da \(h'(x) \ge 0\), gibt es keine lokalen Extrempunkte (C entfällt).

(1): A, E (2): B, C, E (3): D

- Überlege dir, wie der Graph der Funktion grob aussieht. Wo liegen die Hoch- und Tiefpunkte? - Die Anzahl der Lösungen entspricht der Anzahl der Schnittpunkte zwischen dem Graphen und einer waagerechten Geraden. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Skizziere den Verlauf der Funktion basierend auf den Extrempunkten, um die verschiedenen Fälle für die Gerade zu sehen.

1. Bestimmung der Ableitung: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 2. Berechnung der Extremstellen durch \(f'(x) = 0\): \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\). 3. Berechnung der Funktionswerte an den Extremstellen: \(f(-2) = -1\) (lokales Minimum), \(f(0) = 3\) (lokales Maximum), \(f(2) = -1\) (lokales Minimum). 4. Betrachtung des Grenzwertverhaltens: Für \(|x| \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). 5. Analyse der Lösungsanzahl durch Vergleich der horizontalen Geraden \(y = a\) mit dem Graphen: - Keine Lösung: \(a < -1\). - Zwei Lösungen: \(a = -1\) (Berührungspunkte in den Minima) oder \(a > 3\). - Drei Lösungen: \(a = 3\) (Berührungspunkt im Maximum und zwei weitere Schnittpunkte). - Vier Lösungen: \(-1 < a < 3\). - Eine Lösung: Für keinen Wert von \(a\) (da die Minima auf gleicher Höhe liegen und der Grad der Funktion gerade ist).

- Keine Lösung für \(a < -1\) - Zwei Lösungen für \(a = -1\) oder \(a > 3\) - Drei Lösungen für \(a = 3\) - Vier Lösungen für \(-1 < a < 3\) - Eine Lösung für keinen Wert von \(a\)

- Bestimme zuerst die lokalen Maxima und Minima der Funktion auf der linken Seite. - Stell dir vor, du verschiebst eine horizontale Gerade \(y = k\) von unten nach oben durch das Koordinatensystem. - Wie oft schneidet diese Gerade den Graphen in den verschiedenen Bereichen? - Achte besonders auf die Werte von \(k\), die genau den Funktionswerten der Extrempunkte entsprechen.

1. Definition der Funktion \(g(x) = x^3 - 12x + 10\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(g'(x) = 3x^2 - 12\). 3. Berechnung der Extremstellen: \(g'(x) = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2\), \(x_2 = 2\). 4. Berechnung der Extremwerte: \(g(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 10 = -8 + 24 + 10 = 26\) (lokales Maximum); \(g(2) = 2^3 - 12(2) + 10 = 8 - 24 + 10 = -6\) (lokales Minimum). 5. Analyse des Verlaufs: Da \(g\) eine kubische Funktion mit positivem Leitkoeffizienten ist, gilt \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) und \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\). 6. Bestimmung der Lösungsanzahl für \(g(x) = k\): - Eine Lösung: Wenn die Gerade \(y=k\) unterhalb des Minimums oder oberhalb des Maximums liegt, also \(k < -6\) oder \(k > 26\). - Zwei Lösungen: Wenn die Gerade genau durch einen der Extrempunkte verläuft, also \(k = -6\) oder \(k = 26\). - Drei Lösungen: Wenn die Gerade zwischen den Extremwerten liegt, also \(-6 < k < 26\).

- Eine Lösung für \(k < -6\) oder \(k > 26\) - Zwei Lösungen für \(k = -6\) oder \(k = 26\) - Drei Lösungen für \(-6 < k < 26\)

- Überlege dir, welche Eigenschaft der Funktion an einem Hochpunkt vorliegen muss. - Wie hängen die Begriffe „Änderungsrate“ und „Steigung“ mit den Ableitungen zusammen? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Zunahme am stärksten ist? Welcher besondere Punkt ist hier gesucht? - Achte darauf, dass nur Zeitpunkte innerhalb des betrachteten Zeitintervalls sinnvoll sind.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(k'(t) = -3t^2 + 18t + 48\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(k'(t)\): \(-3(t^2 - 6t - 16) = 0 \implies (t-8)(t+2) = 0\). Die relevante Lösung im Intervall \([0; 12]\) ist \(t = 8\). 3. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(k''(t) = -6t + 18\). Da \(k''(8) = -30 < 0\), liegt bei \(t = 8\) ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des Funktionswertes: \(k(8) = -(8)^3 + 9(8)^2 + 48(8) + 50 = 498\). Die maximale Konzentration beträgt \(498\,\frac{\text{mg}}{\text{l}}\) nach \(8\,\text{Stunden}\). 5. Bestimmung des Wendepunkts für die maximale Zunahme: \(k''(t) = -6t + 18 = 0 \implies t = 3\). 6. Da \(k'''(t) = -6 < 0\), besitzt \(k'\) bei \(t = 3\) ein lokales Maximum. Die Änderungsrate beträgt \(k'(3) = -3(3)^2 + 18(3) + 48 = 75\,\frac{\text{mg}}{\text{l}\cdot\text{h}}\).

a) Die Konzentration ist nach \(8\,\text{Stunden}\) am höchsten und beträgt dort \(498\,\frac{\text{mg}}{\text{l}}\). b) Die Konzentration nimmt nach \(3\,\text{Stunden}\) am stärksten zu. Die Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt beträgt \(75\,\frac{\text{mg}}{\text{l}\cdot\text{h}}\).

- Woran erkennt man in einem Funktionsgraphen den höchsten Punkt? - Was gibt die erste Ableitung einer Bestandsfunktion im Sachzusammenhang an? - An welcher Stelle einer Kurve ist die Steigung am größten? - Denke daran, bei Intervallen auch die Werte an den Grenzen zu betrachten.

1. Erste Ableitung bilden: \(h'(t) = -0{,}06t^2 + 1{,}2t\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(h'(t) = 0 \Rightarrow t \cdot (-0{,}06t + 1{,}2) = 0\). Dies liefert \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 20\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(h''(t) = -0{,}12t + 1{,}2\). Da \(h''(20) = -2{,}4 + 1{,}2 = -1{,}2 < 0\), liegt bei \(t = 20\) ein lokales Maximum vor. 4. Randwerte prüfen: \(h(20) = 100\), \(h(25) = 82{,}5\). Das absolute Maximum liegt somit am Tag 20 vor. 5. Zeitpunkt des stärksten Wachstums (Wendestelle): \(h''(t) = 0 \Rightarrow -0{,}12t + 1{,}2 = 0 \Rightarrow t = 10\). Da \(h'''(t) = -0{,}12 < 0\), besitzt \(h'\) an der Stelle \(t = 10\) ein lokales Maximum. 6. Maximale Wachstumsrate berechnen: \(h'(10) = -0{,}06 \cdot 10^2 + 1{,}2 \cdot 10 = -6 + 12 = 6\). Die Pflanze wächst nach 10 Tagen mit \(6\,\text{cm}\) pro Tag am schnellsten.

a) Die Pflanze erreicht ihre maximale Höhe nach \(20\) Tagen. b) Das stärkste Wachstum findet nach \(10\) Tagen statt. Die Wachstumsrate beträgt zu diesem Zeitpunkt \(6\,\text{cm}\) pro Tag.

- Wie hängen Geschwindigkeit und Beschleunigung mathematisch zusammen? - Welche Eigenschaft hat die erste Ableitung an einem Wendepunkt der Originalfunktion? - Was bedeutet eine hohe Steigung im Kontext von Zeit und Geschwindigkeit?

1. Ableitungen bestimmen: \(v'(t) = -0{,}3t^2 + 3{,}6t\) und \(v''(t) = -0{,}6t + 3{,}6\). 2. Maximum berechnen: \(v'(t) = 0 \Rightarrow t \cdot (-0{,}3t + 3{,}6) = 0\). Lösungen sind \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 12\). Wegen \(v''(12) = -3{,}6 < 0\) liegt bei \(t = 12\,\text{s}\) ein lokales Maximum vor. Randprüfung: \(v(12) = 91{,}4\), \(v(15) = 72{,}5\), \(v(0) = 5\). Die Höchstgeschwindigkeit wird bei \(t = 12\,\text{s}\) erreicht. 3. Wendestelle berechnen: \(v''(t) = 0 \Rightarrow -0{,}6t + 3{,}6 = 0 \Rightarrow t = 6\). Da \(v'''(t) = -0{,}6 < 0\), besitzt \(v'\) bei \(t = 6\,\text{s}\) ein lokales Maximum; zugleich liegt dort die Wendestelle von \(v\). 4. Bedeutung im Sachkontext: Die Wendestelle \(t = 6\,\text{s}\) markiert den Zeitpunkt der maximalen Beschleunigung. 5. Steigung der Wendetangente: \(v'(6) = -0{,}3 \cdot 36 + 3{,}6 \cdot 6 = 10{,}8\). Dies ist der Wert der maximalen Beschleunigung in \(\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

a) Das Fahrzeug erreicht seine Höchstgeschwindigkeit nach \(12\) Sekunden. b) Die Wendestelle liegt bei \(t = 6\,\text{s}\). Sie gibt den Zeitpunkt an, an dem das Fahrzeug am stärksten beschleunigt. Die Steigung der Wendetangente (\(10{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)) entspricht dieser maximalen Beschleunigung.

- Welche Ableitung benötigst du, um die Krümmung einer Funktion zu untersuchen? - Wie prüft man rechnerisch, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Überlege dir, wie viele Einheiten der Punkt in horizontale und vertikale Richtung bewegt wurde. - Wenn ein Graph um \(d\) nach rechts verschoben wird, wie ändert sich dann das Argument \(x\) in der Funktionsgleichung?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\), \(f''(x) = 6x - 6\) und \(f'''(x) = 6\). 2. Wendestelle bestimmen: \(f''(x) = 0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x = 1\). Da \(f'''(1) \neq 0\), liegt an der Stelle \(x = 1\) ein Wendepunkt vor. 3. y-Koordinate des Wendepunkts berechnen: \(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 5 = -6\). Der Wendepunkt ist \(W(1 \mid -6)\). 4. Nachweis auf der Geraden: Einsetzen der Koordinaten von \(W\) in \(y = -4x - 2\) ergibt \(-6 = -4 \cdot 1 - 2\), was eine wahre Aussage ist. 5. Verschiebung ermitteln: Der Punkt \(P(0 \mid 5)\) wird auf \(P'(2 \mid 1)\) abgebildet. Dies entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (\(x_0 = 2\)) und um \(4\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (\(y_0 = -4\)). 6. Funktionsgleichung aufstellen: \(h(x) = f(x - 2) - 4 = (x - 2)^3 - 3(x - 2)^2 - 9(x - 2) + 1\).

a) Der Wendepunkt ist \(W(1 \mid -6)\). Einsetzen in die Geradengleichung: \(-6 = -4 \cdot 1 - 2\) ist korrekt. b) Eine mögliche Gleichung ist \(h(x) = (x - 2)^3 - 3(x - 2)^2 - 9(x - 2) + 1\) (oder ausmultipliziert \(h(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 1\)).

- Überlege dir zuerst, welche Ableitungen du benötigst, um Aussagen über die Monotonie und die Krümmung zu treffen. - Wie hängen die Vorzeichen der Ableitungen mit dem Verlauf des Graphen zusammen? - Achte bei der Monotonie besonders auf Stellen, an denen die Ableitung Null ist, ohne dass ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Für die Krümmung hilft es, die Nullstellen der zweiten Ableitung als Grenzen für deine Intervalle zu verwenden.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(x^2(x - 3) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) (doppelte Nullstelle) und \(x_2 = 3\). 3. Monotonieverhalten prüfen: Da \(f'(x) \le 0\) für alle \(x \in (-\infty; 3]\) (mit isolierten Nullstellen), ist die Funktion in \((-\infty; 3]\) streng monoton fallend. Für \(x \ge 3\) gilt \(f'(x) \ge 0\), somit ist \(f\) in \([3; \infty)\) streng monoton steigend. 4. Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen: \(3x(x - 2) = 0\) liefert \(x_3 = 0\) und \(x_4 = 2\). 5. Krümmungsverhalten bestimmen: Da \(f''(x) > 0\) für \(x < 0\), ist \(G_f\) in \((-\infty; 0)\) linksgekrümmt. Da \(f''(x) < 0\) für \(0 < x < 2\), ist \(G_f\) in \((0; 2)\) rechtsgekrümmt. Da \(f''(x) > 0\) für \(x > 2\), ist \(G_f\) in \((2; \infty)\) linksgekrümmt.

Monotonie: streng monoton fallend in \((-\infty; 3]\), streng monoton steigend in \([3; \infty)\). Krümmung: linksgekrümmt in \((-\infty; 0)\) und \((2; \infty)\), rechtsgekrümmt in \((0; 2)\).

- Welche Bedingungen müssen für einen Punkt auf dem Graphen und für eine Wendestelle erfüllt sein? - Nutze die erste und zweite Ableitung der Funktion. - Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit der Art der Extrempunkte zusammen? - Ein Vorzeichenwechselkriterium oder die Untersuchung der höheren Ableitungen hilft dir bei der Klassifizierung.

1. Aufstellen des Gleichungssystems: Aus \(P(1 \mid -6) \in G_f\) folgt \(f(1) = a \cdot 1^4 + b \cdot 1^3 = -6\), also \(a + b = -6\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = 12ax^2 + 6bx\). Da an der Stelle \(x = 2\) ein Wendepunkt vorliegt, gilt \(f''(2) = 0\), woraus \(12a \cdot 2^2 + 6b \cdot 2 = 48a + 12b = 0\) folgt. 2. Lösen des Systems: Aus \(48a + 12b = 0\) ergibt sich \(b = -4a\). Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(a - 4a = -6\), also \(-3a = -6\), woraus \(a = 2\) und \(b = -8\) folgen. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2x^4 - 8x^3\). 3. Bestimmung der Wendepunkte: \(f''(x) = 24x^2 - 48x = 24x(x - 2)\). Die Nullstellen von \(f''\) sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Da \(f'''(x) = 48x - 48\) an diesen Stellen ungleich Null ist (\(f'''(0) = -48\), \(f'''(2) = 48\)), liegen Wendepunkte vor. Die Koordinaten sind \(W_1(0 \mid 0)\) und \(W_2(2 \mid -32)\). 4. Bestimmung der Extrempunkte: \(f'(x) = 8x^3 - 24x^2 = 8x^2(x - 3)\). Die Nullstellen der ersten Ableitung sind \(x_3 = 0\) und \(x_4 = 3\). Da \(x_3 = 0\) auch eine Nullstelle von \(f''\) ist und \(f'(x)\) dort keinen Vorzeichenwechsel besitzt (doppelte Nullstelle), ist \(W_1(0 \mid 0)\) ein Terrassenpunkt. An der Stelle \(x_4 = 3\) gilt \(f''(3) = 24 \cdot 3 \cdot (3 - 2) = 72 > 0\), weshalb dort ein lokales Minimum vorliegt. Der Tiefpunkt ist \(T(3 \mid -54)\).

a) \(a = 2\) und \(b = -8\) b) \(W_1(0 \mid 0)\) und \(W_2(2 \mid -32)\) c) Tiefpunkt \(T(3 \mid -54)\). (An der Stelle \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor.)

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du die Nullstellen direkt ablesen oder leicht berechnen kannst? - Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie beeinflusst die Bedingung \(k > 0\) das Vorzeichen deiner Ergebnisse in der zweiten Ableitung? - Welche Ableitungen benötigst du, um die Krümmungsänderung und damit den Wendepunkt zu untersuchen?

1. Achsenschnittpunkte: Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(f_k(0) = 0\), also \(S_y(0 \mid 0)\). Die Nullstellen ergeben sich aus \(x(x^2 - 3k^2) = 0\) zu \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{3}k\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{3}k \mid 0)\) und \(N_3(-\sqrt{3}k \mid 0)\). 2. Extrempunkte: Die erste Ableitung \(f_k'(x) = 3x^2 - 3k^2\) hat Nullstellen bei \(x = \pm k\). Die zweite Ableitung ist \(f_k''(x) = 6x\). Da \(f_k''(k) = 6k > 0\) (wegen \(k > 0\)), liegt bei \(x = k\) ein Tiefpunkt \(T(k \mid -2k^3)\). Da \(f_k''(-k) = -6k < 0\), liegt bei \(x = -k\) ein Hochpunkt \(H(-k \mid 2k^3)\). 3. Wendepunkte: Die notwendige Bedingung \(f_k''(x) = 6x = 0\) liefert \(x = 0\). Wegen \(f_k'''(x) = 6 \neq 0\) liegt an der Stelle \(x = 0\) ein Wendepunkt vor. Die Koordinaten sind \(W(0 \mid 0)\).

Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 0)\), \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{3}k \mid 0)\), \(N_3(-\sqrt{3}k \mid 0)\) Extrempunkte: Hochpunkt \(H(-k \mid 2k^3)\), Tiefpunkt \(T(k \mid -2k^3)\) Wendepunkt: \(W(0 \mid 0)\)

- Wie gehst du vor, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse bei einer Funktion vierten Grades zu finden? - Welche Rolle spielen die Vorzeichen der zweiten Ableitung bei der Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkten? - Achte beim Einsetzen der Stellen in die Originalfunktion darauf, wie sich die Potenzen auf den Parameter \(a\) auswirken. - Gibt es Symmetrieeigenschaften, die dir die Arbeit bei der Berechnung der Punkte erleichtern könnten?

1. Achsenschnittpunkte: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid 0)\). Die Nullstellen der Funktion ergeben sich aus \(\frac{1}{4}x^2(x^2 - 4a^2) = 0\), woraus \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm 2a\) folgt. Die Punkte sind \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(2a \mid 0)\) und \(N_3(-2a \mid 0)\). 2. Extrempunkte: Die Ableitungen lauten \(g_a'(x) = x^3 - 2a^2x\) und \(g_a''(x) = 3x^2 - 2a^2\). Die Bedingung \(g_a'(x) = 0\) führt auf \(x(x^2 - 2a^2) = 0\), also \(x = 0\) oder \(x = \pm \sqrt{2}a\). Da \(g_a''(0) = -2a^2 < 0\), liegt ein Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\) vor. Da \(g_a''(\pm \sqrt{2}a) = 4a^2 > 0\), liegen Tiefpunkte bei \(T_1(\sqrt{2}a \mid -a^4)\) und \(T_2(-\sqrt{2}a \mid -a^4)\). 3. Wendepunkte: Die Bedingung \(g_a''(x) = 3x^2 - 2a^2 = 0\) liefert \(x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}a\). Da die dritte Ableitung \(g_a'''(x) = 6x\) an diesen Stellen ungleich Null ist, existieren zwei Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}a \mid -\frac{5}{9}a^4)\).

Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 0)\), \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(2a \mid 0)\), \(N_3(-2a \mid 0)\) Extrempunkte: Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\), Tiefpunkte \(T_{1,2}(\pm \sqrt{2}a \mid -a^4)\) Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}a \mid -\frac{5}{9}a^4)\)

- Wie kannst du die Nullstellen direkt aus der Klammerdarstellung ablesen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du für \(x\) die Zahl Null einsetzt? - Überlege dir, welcher Teil der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte am wichtigsten wird. - Wenn ein Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist, was muss dann für jede Nullstelle \(x_0\) auch gelten?

1. Nullstellen bestimmen: Aus der faktorisierten Form ergeben sich die Nullstellen durch Nullsetzen der Faktoren. \(x_1 = -3\) (einfache Nullstelle, da der Faktor \((x+3)\) die Potenz 1 hat) und \(x_2 = 1\) (doppelte Nullstelle, da der Faktor \((x-1)\) im Quadrat steht). 2. \(y\)-Achsenabschnitt berechnen: Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung: \(p(0) = -0{,}1 \cdot (0 + 3) \cdot (0 - 1)^2 = -0{,}1 \cdot 3 \cdot 1 = -0{,}3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -0{,}3)\). 3. Globalverhalten untersuchen: Der Leitterm der ausmultiplizierten Funktion ist \(-0{,}1 \cdot x \cdot x^2 = -0{,}1x^3\). Für \(x \to \infty\) gilt \(p(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(p(x) \to \infty\). 4. Symmetrie begründen: Wäre der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung, müssten die Nullstellen symmetrisch zum Ursprung liegen. Da jedoch \(x = 1\) eine doppelte Nullstelle ist, müsste bei Achsensymmetrie auch \(x = -1\) eine doppelte Nullstelle sein; bei Punktsymmetrie müsste \(x = -1\) ebenfalls eine doppelte Nullstelle sein. Dies ist hier nicht der Fall (die andere Nullstelle liegt bei \(x = -3\) und ist einfach).

a) Nullstellen: \(x_1 = -3\) (einfach), \(x_2 = 1\) (doppelt). b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -0{,}3)\). c) \(x \to \infty \implies p(x) \to -\infty\); \(x \to -\infty \implies p(x) \to \infty\). d) Die Nullstellen liegen nicht symmetrisch zum Ursprung (zu \(x_2 = 1\) müsste \(x = -1\) eine Nullstelle mit gleicher Vielfachheit sein), daher liegt keine der genannten Symmetrien vor.

- Wie kannst du an den Exponenten der Funktionsgleichung direkt die Symmetrie erkennen? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine Gleichung der Form \(x^4 - 4x^2 = 0\) zu lösen? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extremstellen (Ableitungen). - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt, wohin die „Arme“ des Graphen für sehr große \(x\) zeigen?

1. Da nur gerade Exponenten vorkommen, gilt \(f(-x) = (-x)^4 - 4(-x)^2 = x^4 - 4x^2 = f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Nullstellen durch Ausklammern: \(x^2 \cdot (x^2 - 4) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\) (doppelt), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \((0 \mid 0)\), \((2 \mid 0)\) und \((-2 \mid 0)\). 3. Erste Ableitung: \(f'(x) = 4x^3 - 8x\). Nullsetzen der ersten Ableitung: \(4x \cdot (x^2 - 2) = 0\) liefert die Extremstellen \(x_E \in \{0; \sqrt{2}; -\sqrt{2}\}\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = 12x^2 - 8\). Überprüfung: \(f''(0) = -8 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\). \(f''(\sqrt{2}) = 12 \cdot 2 - 8 = 16 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt \(T_1(\sqrt{2} \mid -4)\). Aufgrund der Symmetrie liegt der zweite Tiefpunkt bei \(T_2(-\sqrt{2} \mid -4)\). 4. Für \(x \to \pm\infty\) dominiert das Glied mit der höchsten Potenz \(x^4\). Da der Koeffizient positiv ist, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\).

Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Die Nullstellen liegen bei \(x = 0\) (Berührpunkt), \(x = 2\) und \(x = -2\). Es gibt einen lokalen Hochpunkt bei \(H(0 \mid 0)\) und zwei lokale Tiefpunkte bei \(T_1(\sqrt{2} \mid -4)\) und \(T_2(-\sqrt{2} \mid -4)\). Für \(x \to \pm\infty\) strebt \(f(x)\) gegen \(+\infty\).

- Überlege dir, was die erste Ableitung über die Steigung des Graphen aussagt. - Wie kannst du die Stellen finden, an denen sich das Steigungsverhalten ändern könnte? - Untersuche die Vorzeichen der Ableitung zwischen den berechneten Nullstellen. - Vergiss nicht, die \(y\)-Koordinaten der markanten Punkte mit der ursprünglichen Funktionsgleichung zu berechnen.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = -x^2 + 2x + 3\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(-x^2 + 2x + 3 = 0\). Division durch \(-1\) ergibt \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel oder Faktorisierung liefert \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Vorzeichen von \(f'(x)\) untersuchen: - Für \(x < -1\) ist \(f'(x) < 0\) (z. B. \(f'(-2) = -5\)). - Für \(-1 < x < 3\) ist \(f'(x) > 0\) (z. B. \(f'(0) = 3\)). - Für \(x > 3\) ist \(f'(x) < 0\) (z. B. \(f'(4) = -5\)). 4. Monotonieintervalle festlegen: - Streng monoton fallend für \(x \le -1\) und \(x \ge 3\), also auf den Intervallen \((-\infty; -1]\) und \([3; \infty)\). - Streng monoton steigend für \(-1 \le x \le 3\), also auf dem Intervall \([-1; 3]\). 5. Extrempunkte berechnen: - Lokales Minimum bei \(x = -1\): \(f(-1) = -\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1) - 1 = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 1 = -\frac{8}{3}\). Tiefpunkt \(T\left(-1 \mid -\frac{8}{3}\right)\). - Lokales Maximum bei \(x = 3\): \(f(3) = -\frac{1}{3}(3)^3 + 3^2 + 3(3) - 1 = -9 + 9 + 9 - 1 = 8\). Hochpunkt \(H(3 \mid 8)\).

Die Funktion ist im Intervall \([-1; 3]\) streng monoton steigend und in den Intervallen \((-\infty; -1]\) sowie \([3; \infty)\) streng monoton fallend. Es gibt einen lokalen Tiefpunkt bei \(T\left(-1 \mid -\frac{8}{3}\right)\) und einen lokalen Hochpunkt bei \(H(3 \mid 8)\).

- Überlege dir, wie die Kurve verlaufen muss, um die Punkte in der richtigen Reihenfolge zu verbinden. - Was weißt du über die Abfolge von Hoch- und Tiefpunkten bei einer stetigen Funktion? - Skizziere den Verlauf grob anhand der gegebenen Punkte. - Nutze den Zwischenwertsatz: Wenn eine stetige Funktion von einem negativen zu einem positiven Wert verläuft, muss sie die Achse schneiden.

1. Bei aufeinanderfolgenden lokalen Extrempunkten einer differenzierbaren Funktion wechseln Hoch- und Tiefpunkte einander ab. Aus der Reihenfolge der \(x\)-Werte \(-2 < 1 < 4\) und dem Vergleich der \(y\)-Werte \(4 > 1\) und \(1 < 5\) folgt, dass \(B(1 \mid 1)\) ein Tiefpunkt sein muss. Wäre \(B\) ein Hochpunkt, müsste die Funktion dorthin steigen und danach fallen; das passt nicht zu den höheren Werten \(y_A=4\) und \(y_C=5\). Folglich sind \(A\) und \(C\) Hochpunkte. 2. Da \(A(-2 \mid 4)\) der am weitesten links liegende Extrempunkt und ein Hochpunkt ist, muss die Funktion für \(x < -2\) steigen, woraus \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) folgt. Da \(C(4 \mid 5)\) der am weitesten rechts liegende Extrempunkt und ebenfalls ein Hochpunkt ist, muss die Funktion für \(x > 4\) fallen, woraus \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) folgt. 3. Im Intervall \((-\infty; -2]\) steigt die Funktion von \(-\infty\) auf \(4\), schneidet also genau einmal die \(x\)-Achse. Zwischen den Extremstellen \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=4\) liegen alle Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse, sodass dort keine Nullstellen existieren. Im Intervall \([4; \infty)\) fällt die Funktion von \(5\) gegen \(-\infty\), was eine weitere Nullstelle ergibt. Die Funktion hat somit insgesamt genau zwei Nullstellen.

a) \(A(-2 \mid 4)\) und \(C(4 \mid 5)\) sind Hochpunkte, \(B(1 \mid 1)\) ist ein Tiefpunkt. b) \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\). c) Die Funktion hat genau zwei Nullstellen.

- Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit den Hoch- und Tiefpunkten zusammen? - Welches Vorzeichen muss die erste Ableitung haben, damit eine Funktion steigt oder fällt? - Was beschreibt die zweite Ableitung im Hinblick auf die Änderungsrate der ersten Ableitung? - Untersuche den Bereich vor und nach dem berechneten Extremwert für die Monotonie.

1. Bildung der ersten beiden Ableitungen: \(f'(t) = -3t^2 + 24t\) und \(f''(t) = -6t + 24\). 2. Suche nach Extremstellen: \(f'(t) = 0 \implies -3t(t - 8) = 0\). Die relevanten Lösungen sind \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 8\). 3. Klassifizierung: \(f''(8) = -6 \cdot 8 + 24 = -24 < 0\), daher liegt bei \(t = 8\) ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des Maximums: \(f(8) = -(8^3) + 12 \cdot 8^2 + 60 = -512 + 768 + 60 = 316\). Die maximale Population beträgt 316 Insekten. 5. Monotonie: Da \(f'(t) = -3t(t-8)\) für \(0 < t < 8\) positiv ist, ist die Funktion in \([0; 8]\) streng monoton steigend. Für \(8 < t < 12\) ist \(f'(t)\) negativ, also ist die Funktion in \([8; 12]\) streng monoton fallend. 6. Bedeutung von \(f''(t) = 0\): \(-6t + 24 = 0 \implies t = 4\). Dies ist die Wendestelle der Funktion. Im Kontext der Population gibt dieser Punkt den Zeitpunkt an, an dem die Zuwachsrate (die Geschwindigkeit des Wachstums) ihr Maximum erreicht.

a) Die Population erreicht nach \(8\) Wochen ihre maximale Größe. b) Die maximale Anzahl beträgt \(316\) Insekten. c) Die Funktion ist im Intervall \([0; 8]\) streng monoton steigend und im Intervall \([8; 12]\) streng monoton fallend. d) Die Stelle \(t = 4\) (Lösung von \(f''(t) = 0\)) markiert den Zeitpunkt des stärksten Populationswachstums (maximalen Zuwachses).

- Bestimme zuerst alle Stellen, an denen die Steigung der Funktion null ist. - Berechne die y-Werte an diesen Stellen. Liegen sie oberhalb oder unterhalb der x-Achse? - Untersuche das Verhalten der Funktion am Rand des Definitionsbereichs (für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\)). - Wie oft muss der Graph die x-Achse schneiden, wenn er von einem positiven zu einem negativen Wert (oder umgekehrt) wechselt?

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = x^3 - x^2 - 2x\). 2. Extremstellen finden: \(x(x^2 - x - 2) = 0\) liefert durch Ausklammern und die p-q-Formel (oder Faktorisierung) die Stellen \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 3. Funktionswerte an den Extremstellen bestimmen: \(f(-1) = \frac{19}{12} \approx 1{,}58\), \(f(0) = 2\) und \(f(2) = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67\). 4. Grenzverhalten: Da es sich um eine Funktion 4. Grades mit positivem Leitkoeffizienten handelt, gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty\). 5. Monotonie und Nullstellen: - Auf \((-\infty; -1]\) fällt \(f\) von \(\infty\) auf \(1{,}58\) (keine Nullstelle). - Auf \([-1; 0]\) steigt \(f\) von \(1{,}58\) auf \(2\) (keine Nullstelle). - Auf \([0; 2]\) fällt \(f\) von \(2\) auf \(-\frac{2}{3}\) (eine Nullstelle). - Auf \([2; \infty)\) steigt \(f\) von \(-\frac{2}{3}\) auf \(\infty\) (eine Nullstelle). Es existieren somit genau 2 Lösungen.

Die Gleichung besitzt genau 2 reelle Lösungen.

- Betrachte die Exponenten der Variable, um auf Symmetrie zu schließen. - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Nutze die faktorisierte Form, um die Nullstellen direkt abzulesen. - Denke an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrem- und Wendepunkte.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten auftreten (\(f(x) = 3x^2 - \frac{1}{2}x^4\)), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Globalverhalten: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), da der Leitterm \(-\frac{1}{2}x^4\) negativ ist. 3. Nullstellen: \(f(x) = 0 \Rightarrow x^2 = 0\) oder \(6 - x^2 = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{6}\). 4. Ableitungen: \(f'(x) = 6x - 2x^3\) und \(f''(x) = 6 - 6x^2\). 5. Extrema: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 2x(3 - x^2) = 0\). Kandidaten sind \(x = 0\) und \(x = \pm \sqrt{3}\). Überprüfung mit \(f''\): \(f''(0) = 6 > 0 \Rightarrow T(0 \mid 0)\); \(f''(\pm \sqrt{3}) = 6 - 18 = -12 < 0 \Rightarrow H_1(-\sqrt{3} \mid 4{,}5)\) und \(H_2(\sqrt{3} \mid 4{,}5)\). 6. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 6x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm 1\). Da \(f'''(x) = -12x \neq 0\) für \(x = \pm 1\), liegen Wendepunkte bei \(W_1(-1 \mid 2{,}5)\) und \(W_2(1 \mid 2{,}5)\).

Symmetrie: Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse Verhalten: \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\) Nullstellen: \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{6} \mid 0)\), \(N_3(-\sqrt{6} \mid 0)\) Extrema: Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\), Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{3} \mid 4{,}5)\) und \(H_2(\sqrt{3} \mid 4{,}5)\) Wendepunkte: \(W_1(-1 \mid 2{,}5)\), \(W_2(1 \mid 2{,}5)\)

- Es kann hilfreich sein, die Klammern zuerst aufzulösen, um die Ableitungen leichter zu bilden. - Was bedeutet eine quadrierte Klammer für die Art der Nullstelle? - Wie viele Extremstellen kann eine Funktion dritten Grades höchstens haben? - Der Wendepunkt liegt bei Funktionen dritten Grades immer genau in der Mitte zwischen den Extremstellen.

1. Ausmultiplizieren: \(f(x) = (x^2 + 4x + 4)(x - 1) = x^3 + 3x^2 - 4\). 2. Globalverhalten: Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Nullstellen: Aus der faktorisierten Form direkt ablesbar: \(x_1 = -2\) (doppelt) und \(x_2 = 1\). 4. Extrema: \(f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)\). Nullsetzen liefert \(x = 0\) und \(x = -2\). \(f''(x) = 6x + 6\). Überprüfung: \(f''(-2) = -6 < 0 \Rightarrow H(-2 \mid 0)\); \(f''(0) = 6 > 0 \Rightarrow T(0 \mid -4)\). 5. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 6x = -6 \Rightarrow x = -1\). \(f'''(x) = 6 \neq 0\). Funktionswert: \(f(-1) = (-1+2)^2(-1-1) = 1 \cdot (-2) = -2\). Somit \(W(-1 \mid -2)\).

Verhalten: \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\), \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) Nullstellen: \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(1 \mid 0)\) Extrema: Hochpunkt \(H(-2 \mid 0)\), Tiefpunkt \(T(0 \mid -4)\) Wendepunkt: \(W(-1 \mid -2)\)

- Wie berechnet man den Gewinn aus dem Erlös und den Kosten? - Denke an die notwendige und hinreichende Bedingung für ein Maximum einer Funktion. - Was bedeutet ein negatives Ergebnis bei der Gewinnberechnung für das Unternehmen? - Achte beim Aufstellen der Gewinnfunktion auf die Vorzeichen, wenn du die Kostenfunktion subtrahierst.

1. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(x) = 600x\). 2. Bildung der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 600x - (0{,}05x^3 - 6x^2 + 465x + 4700) = -0{,}05x^3 + 6x^2 + 135x - 4700\). 3. Bestimmung des Gewinnmaximums: \(G'(x) = -0{,}15x^2 + 12x + 135\). Setze \(G'(x) = 0\): \(-0{,}15x^2 + 12x + 135 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 80x - 900 = 0\). Lösungen über die \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 40 \pm \sqrt{1600 + 900} = 40 \pm 50\). Da \(x > 0\), ist \(x = 90\) die relevante Stelle. 4. Überprüfung mit \(G''(x) = -0{,}3x + 12\): \(G''(90) = -0{,}3 \cdot 90 + 12 = -27 + 12 = -15 < 0\). Es liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(90) = -0{,}05 \cdot 90^3 + 6 \cdot 90^2 + 135 \cdot 90 - 4700 = -36\,450 + 48\,600 + 12\,150 - 4700 = 19\,600\,\text{€}\). 6. Prüfung für \(x = 10\): \(G(10) = -0{,}05 \cdot 10^3 + 6 \cdot 10^2 + 135 \cdot 10 - 4700 = -50 + 600 + 1350 - 4700 = -2800\). Da \(G(10) < 0\), entsteht ein Verlust von \(2800\,\text{€}\).

a) \(G(x) = -0{,}05x^3 + 6x^2 + 135x - 4700\) b) Das Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(90\,\text{kg}\). Der maximale Gewinn beträgt \(19\,600\,\text{€}\). c) Bei einer Menge von \(10\,\text{kg}\) entsteht ein Verlust von \(2800\,\text{€}\).

- Die Grenzkosten sind minimal, wenn die Steigung der Kostenfunktion ihren kleinsten Wert erreicht. Welcher besondere Punkt der Kurvendiskussion ist das? - Wie hängen der Begriff „degressiv“, die Rechtskrümmung und das Steigungsverhalten der Ableitung zusammen? - Überlege dir, was die zweite Ableitung über die Änderung der Grenzkosten aussagt.

1. Grenzkostenfunktion bilden: \(K'(x) = 0{,}6x^2 - 24x + 300\). 2. Minimum der Grenzkosten bestimmen: \(K''(x) = 1{,}2x - 24\). Setze \(K''(x) = 0 \Rightarrow 1{,}2x = 24 \Rightarrow x = 20\). 3. Überprüfung: \(K'''(x) = 1{,}2 > 0\). Bei \(x = 20\) liegt ein Minimum der Grenzkosten vor (Kostenkehre). 4. Wert der minimalen Grenzkosten: \(K'(20) = 0{,}6 \cdot 20^2 - 24 \cdot 20 + 300 = 240 - 480 + 300 = 60\,\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). 5. Degressiver Kostenverlauf: Dieser liegt vor, solange die Grenzkosten sinken, also bis zum Minimum der Grenzkosten (dem Wendepunkt der Kostenfunktion). Mathematisch gilt dies für \(K''(x) < 0\). \(1{,}2x - 24 < 0 \Rightarrow x < 20\). Somit steigen die Kosten im Bereich \(0 \le x < 20\) degressiv.

a) \(K'(x) = 0{,}6x^2 - 24x + 300\) b) Die Grenzkosten sind bei einer Menge von \(20\,\text{Stück}\) minimal und betragen dort \(60\,\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). c) Im Bereich von \(0\) bis unter \(20\,\text{Stück}\) steigen die Kosten degressiv, da in diesem Intervall die zweite Ableitung \(K''(x) < 0\) ist, was bedeutet, dass die Grenzkosten abnehmen.

- Achte bei der Symmetrie auf die Exponenten der Variable \(x\). - Wie verhält sich der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? Welches Glied der Funktion dominiert dann? - Verwende die Ableitungen, um Steigung und Krümmung zu untersuchen. - Denke daran, die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung einzusetzen, um die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu bestimmen.

1. Symmetrie und Verhalten im Unendlichen: Da die Funktion sowohl gerade als auch ungerade Exponenten besitzt, liegt keine einfache Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse vor. Für das Verhalten im Unendlichen ist die höchste Potenz \(x^3\) maßgeblich: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). 2. Lokale Extrempunkte: Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\). Nullstellen von \(f'\) ergeben sich aus \((x-3)(x+1) = 0\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 2x - 2\). Prüfung der Stellen: \(f''(3) = 4 > 0 \implies\) lokaler Tiefpunkt bei \(x = 3\). Funktionswert: \(f(3) = 9 - 9 - 9 + \frac{11}{3} = -\frac{16}{3}\), also \(T(3 \mid -\frac{16}{3})\). Prüfung: \(f''(-1) = -4 < 0 \implies\) lokaler Hochpunkt bei \(x = -1\). Funktionswert: \(f(-1) = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + \frac{11}{3} = \frac{16}{3}\), also \(H(-1 \mid \frac{16}{3})\). 3. Wendepunkte: Bedingung \(f''(x) = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1\). Mit \(f'''(x) = 2 \neq 0\) ist ein Wendepunkt bestätigt. Funktionswert: \(f(1) = \frac{1}{3} - 1 - 3 + \frac{11}{3} = 0\), also \(W(1 \mid 0)\).

1. Keine einfache Symmetrie; \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). 2. Hochpunkt \(H(-1 \mid \frac{16}{3})\), Tiefpunkt \(T(3 \mid -\frac{16}{3})\). 3. Wendepunkt \(W(1 \mid 0)\).

- Welcher Teilterm der Funktionsgleichung bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine x-Werte? - Schau dir die Exponenten der Variablen an. Sind sie alle gerade, ungerade oder gemischt? - Wie kannst du die Gleichung durch Ausklammern vereinfachen, um die Nullstellen zu finden? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Grad der Funktion und der Anzahl ihrer Kurvenpunkte?

1. Da der Leitkoeffizient \(a_4 = \frac{1}{8} > 0\) positiv ist und der Grad \(n = 4\) gerade ist, gilt für den Globalverlauf: \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\). 2. Die Funktionsgleichung enthält nur gerade Exponenten (\(4\) und \(2\)). Es gilt \(f(-x) = \frac{1}{8}(-x)^4 - (-x)^2 = \frac{1}{8}x^4 - x^2 = f(x)\). Somit ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Ansatz \(f(x) = 0\): \(\frac{1}{8}x^4 - x^2 = 0 \iff x^2 \cdot (\frac{1}{8}x^2 - 1) = 0\). Daraus folgt \(x_1 = 0\) (doppelte Nullstelle) oder \(\frac{1}{8}x^2 = 1 \iff x^2 = 8\). Dies ergibt die weiteren Nullstellen \(x_{2,3} = \pm 2\sqrt{2}\). 4. Eine ganzrationale Funktion \(n\)-ten Grades hat höchstens \(n-1\) Extremstellen und höchstens \(n-2\) Wendestellen. Für \(n=4\) sind dies maximal 3 Extremstellen und 2 Wendestellen. Bei \(f\) liegen Extremstellen bei \(x \in \{0; 2; -2\}\) (3 Stellen) und Wendestellen bei \(x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}\) (2 Stellen) vor, was den Maximalwerten entspricht.

1. \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\). 2. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. 3. \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = \pm 2\sqrt{2}\). 4. Maximal 3 Extremstellen und 2 Wendestellen; die Funktion \(f\) erreicht diese Maximalanzahl.

- Kannst du einen Faktor finden, der in Teilen des Terms gemeinsam vorkommt, um die Nullstellen einfacher zu bestimmen? - Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einem Extrempunkt erfüllt sein? - Überlege dir, welchen Grad die zweite Ableitung einer Funktion dritten Grades hat. Wie viele Nullstellen kann eine solche Funktion haben? - Wie berechnet man den passenden y-Wert, wenn man die x-Stelle eines Punktes bereits kennt?

1. Die Nullstellen werden durch \(f(x) = 0\) bestimmt. Durch Ausklammern oder Raten einer Nullstelle und anschließende Polynomdivision (oder direktes Faktorisieren: \(\frac{1}{3}(x^2(x-3) - 9(x-3))\)) erhält man \(f(x) = \frac{1}{3}(x-3)^2(x+3)\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 3\) (doppelt) und \(x_2 = -3\). 2. Für die Extrempunkte wird die erste Ableitung \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) gleich null gesetzt. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -1\). Mit der zweiten Ableitung \(f''(x) = 2x - 2\) ergibt sich: \(f''(3) = 4 > 0 \implies T(3 \mid 0)\) (lokales Minimum) und \(f''(-1) = -4 < 0 \implies H(-1 \mid \frac{32}{3})\) (lokales Maximum), näherungsweise \(H(-1 \mid 10{,}67)\). 3. Der Wendepunkt ergibt sich aus \(f''(x) = 0\), also \(2x - 2 = 0 \implies x_w = 1\). Der Funktionswert ist \(f(1) = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(1 \mid \frac{16}{3})\). Da die zweite Ableitung einer Funktion 3. Grades eine lineare Funktion der Form \(f''(x) = ax + b\) (mit \(a \neq 0\)) ist, besitzt diese genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, was stets zu genau einem Wendepunkt führt.

1. Nullstellen: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\) 2. Extrempunkte: \(T(3 \mid 0)\) und \(H(-1 \mid \frac{32}{3})\) 3. Wendepunkt: \(W(1 \mid \frac{16}{3})\). Begründung: Die zweite Ableitung ist eine lineare Funktion mit genau einer Nullstelle (und Vorzeichenwechsel).

- Wie hoch sind die Kosten, wenn die Produktion noch nicht gestartet ist? - Die Grenzkosten werden mathematisch durch die erste Ableitung beschrieben. Wie findet man den Tiefpunkt einer Funktion? - Welche Eigenschaft muss die erste Ableitung einer Funktion haben, damit die Funktion überall steigt? - Erinnere dich an die Diskriminante quadratischer Funktionen – was sagt sie über die Existenz von Nullstellen aus?

1. Zur Bestimmung der Fixkosten wird der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) berechnet: \(K(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 - 4 \cdot 0^2 + 21 \cdot 0 + 60 = 60\). Die Fixkosten betragen somit \(60\,\text{GE}\). 2. Die Grenzkostenfunktion entspricht der ersten Ableitung der Kostenfunktion: \(K'(x) = x^2 - 8x + 21\). Um deren Minimum zu finden, wird die zweite Ableitung \(K''(x) = 2x - 8\) gebildet und gleich Null gesetzt: \(2x - 8 = 0 \implies x = 4\). Wegen \(K'''(x) = 2 > 0\) liegt bei \(x = 4\,\text{ME}\) tatsächlich ein Minimum der Grenzkosten vor. 3. Für den Nachweis der strengen Monotonie wird die erste Ableitung \(K'(x) = x^2 - 8x + 21\) untersucht. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 - 8x + 21 = 0\) ergibt sich zu \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 64 - 84 = -20\). Da \(D < 0\) ist und der Graph von \(K'\) eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, gilt \(K'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Damit ist die Funktion \(K\) im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.

a) Die Fixkosten betragen \(60\,\text{GE}\). b) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(4\,\text{ME}\) minimal. c) Da die erste Ableitung \(K'(x) = x^2 - 8x + 21\) keine reellen Nullstellen besitzt (\(D = -20\)) und stets positiv ist, ist die Funktion \(K\) streng monoton steigend.

- Überlege dir, welcher Wert für die Variable \( x \) steht, wenn keine Düngung stattfindet. - Um ein Maximum zu finden, musst du die erste Ableitung der Funktion untersuchen. - Die Wachstumsrate oder der Grenzertrag wird durch die Steigung der Funktion beschrieben. Wo ist die Steigung einer Kurve am steilsten? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Krümmung einer Funktion (zweite Ableitung) und dem Wendepunkt.

1. Berechnung des Ertrags ohne Dünger: \( f(0) = -0{,}00005 \cdot 0^3 + 0{,}006 \cdot 0^2 + 0{,}3 \cdot 0 + 45 = 45 \). Der Basisertrag beträgt \( 45\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}} \). 2. Bestimmung des Maximums: Erste Ableitung bilden: \( f'(x) = -0{,}00015x^2 + 0{,}012x + 0{,}3 \). Nullstellen von \( f'(x) \) berechnen: \( -0{,}00015x^2 + 0{,}012x + 0{,}3 = 0 \). Division durch \(-0{,}00015\) ergibt \( x^2 - 80x - 2000 = 0 \). Mit der \(pq\)-Formel folgt \( x_{1,2} = 40 \pm \sqrt{1600 + 2000} = 40 \pm 60 \). Die relevante Lösung im Intervall ist \( x = 100\,\frac{\text{kg}}{\text{ha}} \). 3. Überprüfung und Funktionswert: \( f''(x) = -0{,}0003x + 0{,}012 \). Da \( f''(100) = -0{,}03 + 0{,}012 = -0{,}018 < 0 \), liegt ein Maximum vor. Maximaler Ertrag: \( f(100) = -50 + 60 + 30 + 45 = 85\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}} \). 4. Bestimmung des Wendepunkts (maximaler Grenzertrag): Zweite Ableitung Null setzen: \( f''(x) = -0{,}0003x + 0{,}012 = 0 \implies 0{,}0003x = 0{,}012 \implies x = 40 \). Da \( f'''(x) = -0{,}0003 < 0 \), besitzt \(f'\) dort ein lokales Maximum. Die Düngermenge mit maximalem Grenzertrag beträgt \( 40\,\frac{\text{kg}}{\text{ha}} \).

a) Der Ertrag ohne Dünger beträgt \( 45\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}} \). b) Der maximale Ertrag wird bei einer Düngermenge von \( 100\,\frac{\text{kg}}{\text{ha}} \) erreicht und beträgt \( 85\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}} \). c) Die Zunahme des Ertrags ist bei einer Düngermenge von \( 40\,\frac{\text{kg}}{\text{ha}} \) am größten.

- Untersuche die Exponenten der Variable, um auf die Symmetrie zu schließen. - Überlege dir, wie du die Gleichung vierten Grades für die Nullstellenberechnung vereinfachen kannst. - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte unter Verwendung der Ableitungen. - Denk daran, dass doppelte Nullstellen oft auch Extrempunkte sind.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten auftreten, gilt \(f(-x) = f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Achsenschnittpunkte: \(f(0) = 81 \implies S_y(0 \mid 81)\). Nullstellen durch Substitution \(z = x^2\): \(z^2 - 18z + 81 = 0 \implies (z-9)^2 = 0 \implies z = 9\). Somit \(x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3\). Nullstellen sind \(N_1(-3 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 3. Extrempunkte: \(f'(x) = 4x^3 - 36x = 4x(x^2 - 9)\). Nullstellen der Ableitung bei \(x_0 = 0\) und \(x_{1,2} = \pm 3\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = 12x^2 - 36\). - \(f''(0) = -36 < 0 \implies H(0 \mid 81)\). - \(f''(\pm 3) = 12 \cdot 9 - 36 = 72 > 0 \implies T_1(-3 \mid 0)\) und \(T_2(3 \mid 0)\). 4. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \implies 12x^2 = 36 \implies x^2 = 3 \implies x_{W1,2} = \pm \sqrt{3}\). Funktionswerte: \(f(\pm \sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 - 18(\sqrt{3})^2 + 81 = 9 - 54 + 81 = 36\). Da \(f'''(x) = 24x \neq 0\) für \(x \neq 0\), liegen Wendepunkte bei \(W_1(-\sqrt{3} \mid 36)\) und \(W_2(\sqrt{3} \mid 36)\) vor.

Symmetrie: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse Schnittpunkte: \(S_y(0 \mid 81)\), \(N_1(-3 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\) Extrempunkte: \(H(0 \mid 81)\), \(T_1(-3 \mid 0)\), \(T_2(3 \mid 0)\) Wendepunkte: \(W_1(-\sqrt{3} \mid 36)\), \(W_2(\sqrt{3} \mid 36)\)

- Untersuche zuerst, ob die Funktion nur gerade oder nur ungerade Exponenten besitzt. - Wie verhält sich der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Nutze eine Substitution, um die Gleichung für die Nullstellen zu lösen. - Bestimme die ersten drei Ableitungen, um Extrema und Wendepunkte zu berechnen.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten auftreten, gilt \(f(-x) = f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Verhalten im Unendlichen: Da der Leitkoeffizient positiv und der Grad gerade ist, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\). 3. Nullstellen: Ansatz \(0{,}25x^4 - 2{,}5x^2 + 4 = 0\). Substitution \(u = x^2\) führt auf \(0{,}25u^2 - 2{,}5u + 4 = 0\), woraus \(u_1 = 8\) und \(u_2 = 2\) folgen. Rücksubstitution ergibt \(x_{1,2} = \pm \sqrt{8} \approx \pm 2{,}83\) und \(x_{3,4} = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1{,}41\). Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(f(0) = 4\). 4. Extrempunkte: \(f'(x) = x^3 - 5x\). Nullstellen der ersten Ableitung sind \(x = 0\) und \(x = \pm \sqrt{5} \approx \pm 2{,}24\). Überprüfung mit \(f''(x) = 3x^2 - 5\): \(f''(0) = -5 < 0 \implies H(0 \mid 4)\); \(f''(\pm \sqrt{5}) = 10 > 0 \implies T_1(-2{,}24 \mid -2{,}25)\) und \(T_2(2{,}24 \mid -2{,}25)\). 5. Wendepunkte: Ansatz \(f''(x) = 3x^2 - 5 = 0 \implies x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} \approx \pm 1{,}29\). Da \(f'''(x) = 6x \neq 0\) für diese Stellen, liegen Wendepunkte bei \(W_1(-1{,}29 \mid 0{,}53)\) und \(W_2(1{,}29 \mid 0{,}53)\).

Symmetrie: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse Verhalten im Unendlichen: \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\) Nullstellen: \(N_1(-2{,}83 \mid 0)\), \(N_2(-1{,}41 \mid 0)\), \(N_3(1{,}41 \mid 0)\), \(N_4(2{,}83 \mid 0)\) \(y\)-Achsenabschnitt: \(S_y(0 \mid 4)\) Extrempunkte: \(T_1(-2{,}24 \mid -2{,}25)\), \(H(0 \mid 4)\), \(T_2(2{,}24 \mid -2{,}25)\) Wendepunkte: \(W_1(-1{,}29 \mid 0{,}53)\), \(W_2(1{,}29 \mid 0{,}53)\)

- Achte auf die Mischung der Exponenten bei der Symmetrieuntersuchung. - Der Summand mit der höchsten Potenz bestimmt das Verhalten für sehr große x-Werte. - Setze die notwendigen Bedingungen für Extrema und Wendepunkte an. - Falls du bei den Nullstellen nicht durch Ausklammern oder Raten weiterkommst, verwende dein digitales Werkzeug.

1. Symmetrie: Es treten sowohl gerade als auch ungerade Exponenten auf (einschließlich \(x^0\) bei der Konstanten). Es liegt keine einfache Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse vor. 2. Verhalten im Unendlichen: Da der höchste Grad \(x^3\) ungerade und der Koeffizient positiv ist, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Extrempunkte: \(f'(x) = x^2 - x - 2\). Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). Mit \(f''(x) = 2x - 1\) folgt: \(f''(2) = 3 > 0 \implies T(2 \mid -\frac{7}{3}) \approx T(2 \mid -2{,}33)\); \(f''(-1) = -3 < 0 \implies H(-1 \mid \frac{13}{6}) \approx H(-1 \mid 2{,}17)\). 4. Wendepunkte: \(f''(x) = 2x - 1 = 0 \implies x = 0{,}5\). Da \(f'''(x) = 2 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt bei \(W(0{,}5 \mid -\frac{1}{12}) \approx W(0{,}5 \mid -0{,}08)\). 5. Nullstellen: Die Gleichung \(\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 = 0\) besitzt keine offensichtlichen ganzzahligen Lösungen. Mithilfe eines GTR/CAS ergeben sich die Näherungswerte \(x_1 \approx -2{,}08\), \(x_2 \approx 0{,}46\) und \(x_3 \approx 3{,}12\).

Symmetrie: Keine einfache Symmetrie (weder achsen- noch punktsymmetrisch zum Ursprung) Globalverhalten: \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\); \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) Extrempunkte: \(H(-1 \mid 2{,}17)\), \(T(2 \mid -2{,}33)\) Wendepunkte: \(W(0{,}5 \mid -0{,}08)\) Nullstellen: \(x_1 \approx -2{,}08\); \(x_2 \approx 0{,}46\); \(x_3 \approx 3{,}12\)

- Welche Informationen liefert ein Wendepunkt für die Funktionswerte und die Ableitungen? - Was bedeutet es für die Steigung, wenn eine Tangente parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie viele Unbekannte hat eine Funktion 3. Grades im allgemeinen Ansatz? - Nutze die Koordinaten der gegebenen Punkte direkt für das Aufstellen von Gleichungen.

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion 3. Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Ableitungen bilden: \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Bedingung (1): Wendepunkt bei \(W(0 \mid 2)\) liefert \(f(0) = 2 \Rightarrow d = 2\) und \(f''(0) = 0 \Rightarrow 2b = 0 \Rightarrow b = 0\). 3. Bedingung (2): Der Punkt \(P(2 \mid 6)\) liegt auf dem Graphen, also \(f(2) = 6\). Mit \(b=0\) und \(d=2\) folgt: \(a \cdot 2^3 + c \cdot 2 + 2 = 6 \Rightarrow 8a + 2c = 4 \Rightarrow 4a + c = 2\). 4. Bedingung (2): Die Tangente ist parallel zur \(x\)-Achse, also \(f'(2) = 0\). Mit \(b=0\) folgt: \(3a \cdot 2^2 + c = 0 \Rightarrow 12a + c = 0\). 5. Gleichungssystem lösen: Aus \(c = -12a\) folgt in der anderen Gleichung \(4a - 12a = 2 \Rightarrow -8a = 2 \Rightarrow a = -0{,}25\). Daraus ergibt sich \(c = -12 \cdot (-0{,}25) = 3\). 6. Funktionsgleichung aufstellen: \(f(x) = -0{,}25x^3 + 3x + 2\).

\(f(x) = -0{,}25x^3 + 3x + 2\)

- Welche allgemeinen Eigenschaften hat eine Funktion dritten Grades und wie sehen ihre Ableitungen aus? - Wie viele Bedingungen benötigst du, um die vier Unbekannten einer Funktion dritten Grades zu bestimmen? - Übersetze die Begriffe „Tiefpunkt“ und „Wendepunkt“ in mathematische Gleichungen für die Funktion und ihre Ableitungen. - Vergiss nicht am Ende zu prüfen, ob die gefundene Funktion tatsächlich einen Tiefpunkt (und keinen Hochpunkt) an der angegebenen Stelle hat.

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Aus der Bedingung für den Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\) folgt \(f(0) = 2\) und \(f'(0) = 0\). Dies ergibt direkt \(d = 2\) und \(c = 0\). 3. Der Wendepunkt \(W(1 \mid 4)\) liefert die Bedingungen \(f(1) = 4\) und \(f''(1) = 0\). 4. Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 6ax + 2b\). Aus \(f''(1) = 0\) folgt \(6a + 2b = 0\), woraus sich \(b = -3a\) ergibt. 5. Einsetzen der Ergebnisse in die Funktionsgleichung für \(f(1) = 4\): \(a \cdot 1^3 + (-3a) \cdot 1^2 + 0 \cdot 1 + 2 = 4\). Dies vereinfacht sich zu \(-2a = 2\), also \(a = -1\). 6. Daraus ergibt sich \(b = -3 \cdot (-1) = 3\). 7. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2\). 8. Überprüfung der Art des Extremums: \(f''(0) = 6 \cdot (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 6\). Da \(f''(0) > 0\), liegt bei \(x = 0\) tatsächlich ein lokaler Tiefpunkt vor.

\(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2\)

- Welche Potenzen von \(x\) dürfen in der Funktionsgleichung vorkommen, wenn der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Ein Extrempunkt liefert dir immer zwei Informationen: eine über den Funktionswert und eine über die Steigung. - Wie viele Unbekannte hast du im Ansatz und wie viele Gleichungen kannst du aus den gegebenen Punkten aufstellen?

1. Ansatz aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\). 2. Punkt \(P(0 \mid 4)\) einsetzen: \(f(0) = e = 4\). 3. Extrempunkt \(E(2 \mid 0)\) liefert zwei Bedingungen: \(f(2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 4. Gleichung aus \(f(2) = 0\): \(16a + 4c + 4 = 0 \implies 4a + c = -1\). 5. Gleichung aus \(f'(x) = 4ax^3 + 2cx\) und \(f'(2) = 0\): \(32a + 4c = 0 \implies 8a + c = 0\). 6. Lineares Gleichungssystem lösen: Aus \(c = -8a\) folgt in der ersten Gleichung \(4a - 8a = -1\), also \(-4a = -1 \implies a = 0{,}25\). 7. \(c\) berechnen: \(c = -8 \cdot 0{,}25 = -2\). 8. Ergebnis: \(f(x) = 0{,}25x^4 - 2x^2 + 4\).

\(f(x) = 0{,}25x^4 - 2x^2 + 4\)

- Überlege dir, welche allgemeine Form eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat. - Welche Informationen kannst du aus der Eigenschaft „Wendepunkt im Ursprung“ direkt für die Koeffizienten ableiten? - Was bedeutet es für die Ableitung an einer Stelle, wenn die Tangente dort parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie viele Bedingungen benötigst du insgesamt, um alle unbekannten Parameter zu bestimmen?

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Ableitungen: \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Punkt im Ursprung: \(f(0) = 0 \implies d = 0\). 3. Wendepunkt im Ursprung: \(f''(0) = 0 \implies 2b = 0 \implies b = 0\). Die Funktion ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung mit \(f(x) = ax^3 + cx\). 4. Punkt \(P(1 \mid 4)\): \(f(1) = 4 \implies a + c = 4\). 5. Waagerechte Tangente in \(P\): \(f'(1) = 0 \implies 3a + c = 0\). 6. Lösung des Gleichungssystems: Aus \(c = -3a\) folgt durch Einsetzen in die erste Gleichung \(a - 3a = 4\), also \(-2a = 4\) bzw. \(a = -2\). Daraus ergibt sich \(c = 6\). 7. Aufstellen des Funktionsterms: \(f(x) = -2x^3 + 6x\).

\(f(x) = -2x^3 + 6x\)

- Welche allgemeine Form hat eine Funktion dritten Grades? - Wie viele Unbekannte musst du bestimmen und wie viele Informationen liefert dir der Text? - Welche mathematischen Bedingungen lassen sich aus den Begriffen „Wendepunkt“ und „Tiefpunkt“ ableiten? - Nutze die Koordinaten der Punkte direkt für die Funktionswerte.

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) sowie Ableitungen \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Bedingung aus dem Wendepunkt \(W(0 \mid 1)\): \(f(0) = 1 \implies d = 1\) und \(f''(0) = 0 \implies 2b = 0 \implies b = 0\). 3. Bedingung aus dem Tiefpunkt \(T(1 \mid 0)\): \(f(1) = 0 \implies a + b + c + d = 0\) und \(f'(1) = 0 \implies 3a + 2b + c = 0\). 4. Einsetzen der bekannten Werte \(b=0\) und \(d=1\) in die Gleichungen aus Schritt 3: \(a + c = -1\) und \(3a + c = 0\). 5. Lösen des Gleichungssystems: Aus \(c = -3a\) folgt \(a - 3a = -1\), also \(-2a = -1 \implies a = 0{,}5\). Damit ergibt sich \(c = -1{,}5\). 6. Überprüfung der Art des Extrempunkts: \(f''(1) = 6 \cdot 0{,}5 \cdot 1 = 3 > 0\). Damit liegt bei \(x=1\) tatsächlich ein lokaler Tiefpunkt vor. 7. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x + 1\).

\(f(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x + 1\)

- Welche Informationen stecken in der Gleichung einer Wendetangente? - Beachte, dass der Berührpunkt von Graph und Tangente gleichzeitig der Wendepunkt ist. - Wie hängen die Ableitungen an einer Wendestelle mit der Tangentensteigung zusammen? - Setze ein lineares Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\) zu berechnen.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Da der Graph durch den Ursprung verläuft, gilt \(f(0) = 0\), woraus \(d = 0\) folgt. 2. Die Wendetangente an der Stelle \(x=1\) liefert zwei Informationen: Den Funktionswert \(f(1)\) und die Steigung \(f'(1)\). Da der Punkt auf der Tangente liegt, gilt \(f(1) = -1 + 2 = 1\). Die Steigung der Tangente ist \(m = -1\), also \(f'(1) = -1\). 3. Die Wendestelle bei \(x=1\) bedeutet \(f''(1) = 0\). 4. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(f(1) = a + b + c = 1\) (II) \(f'(1) = 3a + 2b + c = -1\) (III) \(f''(1) = 6a + 2b = 0 \implies b = -3a\) 5. Einsetzen von \(b = -3a\) in (I) und (II): (I') \(a - 3a + c = 1 \implies -2a + c = 1 \implies c = 2a + 1\) (II') \(3a + 2(-3a) + c = -1 \implies -3a + c = -1\) 6. Einsetzen von \(c = 2a + 1\) in (II'): \(-3a + 2a + 1 = -1 \implies -a = -2 \implies a = 2\). 7. Daraus folgen \(b = -6\) und \(c = 5\). Die Funktion ist \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5x\).

\(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5x\)

- Welche mathematischen Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Punkt ein Tiefpunkt ist? - Wie viele Unbekannte hat eine Funktion dritten Grades und wie viele Gleichungen kannst du aus dem Text aufstellen? - Bestimme zuerst die Funktionsgleichung, die durch die Punkte und die Wendestelle festgelegt ist. - Überprüfe am Ende mit der zweiten Ableitung, ob es sich wirklich um die geforderte Art von Extrempunkt handelt.

1. Ansatz für die Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit den Ableitungen \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems aus den Bedingungen: - \(f(0) = 0 \implies d = 0\) - \(f''(3) = 0 \implies 18a + 2b = 0 \implies b = -9a\) - \(f(2) = 4 \implies 8a + 4b + 2c = 4\) - \(f'(2) = 0 \implies 12a + 4b + c = 0\) 3. Lösen des Systems: Einsetzen von \(b = -9a\) in die letzten beiden Gleichungen führt zu \(8a - 36a + 2c = 4 \implies -28a + 2c = 4\) und \(12a - 36a + c = 0 \implies c = 24a\). 4. Bestimmung der Koeffizienten: \(-28a + 2(24a) = 4 \implies 20a = 4 \implies a = 0{,}2\). Daraus folgen \(b = -1{,}8\) und \(c = 4{,}8\). Die Funktion lautet \(f(x) = 0{,}2x^3 - 1{,}8x^2 + 4{,}8x\). 5. Überprüfung der Art des Extremums: \(f''(2) = 6 \cdot 0{,}2 \cdot 2 + 2 \cdot (-1{,}8) = 2{,}4 - 3{,}6 = -1{,}2\). 6. Da \(f''(2) < 0\) ist, liegt bei \(T(2 \mid 4)\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. Ein lokaler Tiefpunkt an dieser Stelle ist für eine Funktion dritten Grades unter diesen Bedingungen somit nicht möglich.

Durch Lösen des Gleichungssystems erhält man die einzige mögliche Funktion \(f(x) = 0{,}2x^3 - 1{,}8x^2 + 4{,}8x\). Die Überprüfung der zweiten Ableitung an der Stelle \(x = 2\) ergibt \(f''(2) = -1{,}2\). Da dieser Wert kleiner als Null ist, handelt es sich um einen Hochpunkt und nicht um einen Tiefpunkt. Somit existiert keine solche Funktion dritten Grades.

- Überlege dir zuerst, welche Potenzen von \(x\) bei einer achsensymmetrischen Funktion vorkommen dürfen. - Wie viele Unbekannte hat dein Ansatz und wie viele Informationen liefert der Text? - Welche mathematische Bedingung muss an einer Stelle mit einem Tiefpunkt erfüllt sein? - Setze die bekannten Punkte und Eigenschaften in den Funktionsansatz und seine Ableitungen ein.

1. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und des Grades 4 lautet der allgemeine Ansatz \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse folgt \(f(0) = 2\), woraus sich direkt \(c = 2\) ergibt. 3. Der Punkt \(P(2 \mid -6)\) liegt auf dem Graphen, also gilt \(f(2) = -6\). Dies führt zur Gleichung \(16a + 4b + 2 = -6\), vereinfacht \(16a + 4b = -8\). 4. Da bei \(x = 2\) ein Tiefpunkt vorliegt, muss die erste Ableitung dort null sein: \(f'(2) = 0\). Mit \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) ergibt sich \(32a + 4b = 0\). 5. Das lineare Gleichungssystem aus \(16a + 4b = -8\) und \(32a + 4b = 0\) liefert durch Subtraktion \(16a = 8\), also \(a = 0{,}5\). Einsetzen in eine der Gleichungen ergibt \(b = -4\). 6. Überprüfung der Art des Extrempunkts: \(f''(x) = 6x^2 - 8\), also \(f''(2) = 16 > 0\). Damit ist \(P(2 \mid -6)\) tatsächlich ein Tiefpunkt. 7. Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 0{,}5x^4 - 4x^2 + 2\).

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 4x^2 + 2\)

- Welche Bedingungen müssen für einen Sattelpunkt an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Wie vereinfacht sich der allgemeine Funktionsterm, wenn die Bedingungen im Ursprung liegen? - Was bedeutet die Information über eine waagerechte Tangente für die Ableitung? - Wie viele Unbekannte bleiben nach Berücksichtigung der Bedingungen im Ursprung noch übrig?

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion 4. Grades: \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\). 2. Ein Sattelpunkt im Ursprung bedeutet \(f(0) = 0\), \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). Daraus folgen direkt die Koeffizienten \(e = 0\), \(d = 0\) und \(c = 0\). Die Funktion vereinfacht sich zu \(f(x) = ax^4 + bx^3\). 3. Aus dem Punkt \(P(1 \mid 2)\) ergibt sich die Gleichung \(f(1) = 2\), also \(a + b = 2\). 4. Eine waagerechte Tangente bei \(x = 1{,}5\) bedeutet \(f'(1{,}5) = 0\). Mit der Ableitung \(f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2\) folgt: \(4a \cdot 1{,}5^3 + 3b \cdot 1{,}5^2 = 13{,}5a + 6{,}75b = 0\). 5. Das lineare Gleichungssystem besteht aus \(a + b = 2\) und \(13{,}5a + 6{,}75b = 0\). Aus der ersten Gleichung folgt \(b = 2 - a\). Einsetzen in die zweite Gleichung liefert \(13{,}5a + 6{,}75(2 - a) = 0\), woraus \(6{,}75a = -13{,}5\) und somit \(a = -2\) resultiert. 6. Damit ist \(b = 2 - (-2) = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x^4 + 4x^3\). 7. Überprüfung des Sattelpunktes: Für \(f(x) = -2x^4 + 4x^3\) gilt \(f'(0)=0\), \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=24 \neq 0\). Damit besitzt der Graph im Ursprung einen Sattelpunkt.

\(f(x) = -2x^4 + 4x^3\)

- Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades? - Welche Bedingungen für die erste und zweite Ableitung leiten sich aus den Begriffen „Extrempunkt“ und „Wendepunkt“ ab? - Wie viele Gleichungen benötigst du, um alle Koeffizienten der Funktion zu bestimmen? - Versuche, ein lineares Gleichungssystem aus den gegebenen Eigenschaften aufzustellen.

1. Allgemeiner Ansatz für eine Funktion 3. Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit den Ableitungen \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Bedingung aus dem Koordinatenursprung: \(f(0) = 0 \implies d = 0\). 3. Bedingungen aus dem Extrempunkt \(E(2 \mid -4)\): Punktbedingung \(f(2) = 8a + 4b + 2c = -4\) und notwendige Bedingung für Extrema \(f'(2) = 12a + 4b + c = 0\). 4. Bedingung aus dem Wendepunkt bei \(x = 1\): Notwendige Bedingung für Wendepunkte \(f''(1) = 6a + 2b = 0\), woraus \(b = -3a\) folgt. 5. Einsetzen von \(b = -3a\) in die Extremumsbedingung: \(12a + 4(-3a) + c = 0 \implies c = 0\). 6. Einsetzen von \(b = -3a\) und \(c = 0\) in die Punktbedingung: \(8a + 4(-3a) + 2(0) = -4 \implies -4a = -4 \implies a = 1\). 7. Bestimmung von \(b\): \(b = -3 \cdot 1 = -3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^3 - 3x^2\).

\(f(x) = x^3 - 3x^2\)

- Welche Informationen liefert ein Wendepunkt im Ursprung für die Koeffizienten der Funktionsgleichung? - Was bedeutet die Angabe der Wendetangente für den Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle? - Überlege, welche Symmetrieeigenschaften der Graph aufgrund des Wendepunkts im Ursprung besitzt. - Wie viele Bedingungen benötigst du insgesamt, um alle Koeffizienten einer Funktion dritten Grades zu bestimmen?

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Wendepunkt im Ursprung: \(f(0) = 0 \implies d = 0\) und \(f''(0) = 0 \implies 2b = 0 \implies b = 0\). Daraus folgt die punktsymmetrische Form \(f(x) = ax^3 + cx\). 3. Steigung der Wendetangente im Ursprung: \(f'(0) = -3\). Mit \(f'(x) = 3ax^2 + c\) ergibt sich \(c = -3\). 4. Nullstelle bei \(x = 3\): \(f(3) = 0 \implies a \cdot 3^3 - 3 \cdot 3 = 0 \implies 27a - 9 = 0\). Daraus folgt \(a = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x\).

\(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x\)

- Was bedeutet es für den Funktionswert und die Steigung, wenn ein Graph die \(x\)-Achse an einer Stelle berührt? - Stelle für jede Information eine mathematische Gleichung auf. - Welche Information erhältst du direkt aus der Tatsache, dass der Graph durch den Ursprung geht? - Versuche, das entstandene Gleichungssystem schrittweise durch Einsetzen oder Subtrahieren zu lösen.

1. Bedingungen aus dem Text ableiten: \(f(0) = 0\), \(f(2) = 4\), sowie \(f(4) = 0\) und \(f'(4) = 0\) (da der Graph die Achse berührt). 2. Allgemeiner Ansatz \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Aus \(f(0) = 0\) folgt direkt \(d = 0\). 3. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems für \(a\), \(b\) und \(c\): I. \(f(4) = 0 \implies 64a + 16b + 4c = 0 \implies 16a + 4b + c = 0\) II. \(f'(4) = 0 \implies 48a + 8b + c = 0\) III. \(f(2) = 4 \implies 8a + 4b + 2c = 4 \implies 4a + 2b + c = 2\) 4. Subtraktion von I und II liefert \(32a + 4b = 0 \implies b = -8a\). 5. Einsetzen in I ergibt \(16a + 4(-8a) + c = 0 \implies c = 16a\). 6. Einsetzen in III ergibt \(4a + 2(-8a) + 16a = 2 \implies 4a = 2 \implies a = 0{,}5\). 7. Berechnung der restlichen Koeffizienten: \(b = -4\) und \(c = 8\). 8. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 0{,}5x^3 - 4x^2 + 8x\).

\(f(x) = 0{,}5x^3 - 4x^2 + 8x\)

- Schaue dir für Aufgabenteil a) charakteristische Eigenschaften wie Achsenschnittpunkte, Symmetrie oder Grenzverhalten an. - Wie verhält sich eine Potenzfunktion mit geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten im Unendlichen? - Verwende bei der Berechnung der Nullstellen in b) das Verfahren der Substitution, um die Gleichung vierten Grades zu lösen. - Zur Bestimmung der Extrempunkte benötigst du die erste und zweite Ableitung. Welche Bedingungen müssen für Hoch- und Tiefpunkte erfüllt sein?

1. Vergleich mit dem dargestellten Graphen: - Symmetrie: Da \(f\) nur gerade Exponenten besitzt, ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der dargestellte Graph von \(g\) ist dagegen zur Geraden \(x = 1\) symmetrisch. - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = 6\), also schneidet \(G_f\) die \(y\)-Achse bei \((0 \mid 6)\). Der dargestellte Graph schneidet sie bei \((0 \mid 1)\). - Extrempunkte: \(G_f\) hat einen Hochpunkt bei \((0 \mid 6)\); der dargestellte Graph hat dort keinen Hochpunkt. 2. Kurvendiskussion: - Verhalten im Unendlichen: Wegen des positiven Leitkoeffizienten und des geraden Grades gilt \(f(x) \to +\infty\) für \(x \to \pm\infty\). - Nullstellen: \(0{,}5x^4 - 4x^2 + 6 = 0\). Nach Multiplikation mit \(2\) und der Substitution \(u = x^2\) erhält man \(u^2 - 8u + 12 = 0\), also \((u-2)(u-6)=0\). Damit sind \(x_1=-\sqrt{6}\approx-2{,}45\), \(x_2=-\sqrt{2}\approx-1{,}41\), \(x_3=\sqrt{2}\approx1{,}41\) und \(x_4=\sqrt{6}\approx2{,}45\). - Extrempunkte: \(f'(x)=2x^3-8x=2x(x^2-4)\), also \(x=-2,0,2\). Mit \(f''(x)=6x^2-8\) folgt \(f''(0)=-8<0\) und \(f''(\pm2)=16>0\). Somit liegen der Hochpunkt \(H(0 \mid 6)\) und die Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -2)\), \(T_2(2 \mid -2)\) vor.

a) Mögliche Begründungen, warum die Abbildung nicht den Graphen von \(f\) zeigt: - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Für \(f\) gilt \(f(0)=6\), der abgebildete Graph schneidet die \(y\)-Achse jedoch bei \(y=1\). - Symmetrie: Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, der abgebildete Graph ist jedoch zur Geraden \(x=1\) symmetrisch. - Extrempunkte: Der Graph von \(f\) hat einen Hochpunkt bei \((0 \mid 6)\), während der abgebildete Graph seinen Hochpunkt bei \((1 \mid 3{,}2)\) hat. b) Kurvendiskussion von \(f\): 1. Verhalten für \(x \to \pm\infty\): \(f(x) \to +\infty\) 2. Nullstellen: \(x_{1,2}=\pm\sqrt{2}\approx\pm1{,}41\) und \(x_{3,4}=\pm\sqrt{6}\approx\pm2{,}45\) 3. Extrempunkte: Hochpunkt \(H(0 \mid 6)\), Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -2)\) und \(T_2(2 \mid -2)\)

- Bestimme zuerst die notwendigen Ableitungen der gegebenen Funktionsgleichung. - Wie lauten die Bedingungen für das Vorliegen von lokalen Extrempunkten und Wendepunkten? - Berechne die exakten Koordinaten dieser charakteristischen Punkte. - Vergleiche die berechneten Koordinaten (insbesondere die \(x\)- und \(y\)-Werte der Hoch- und Tiefpunkte) mit den Werten, die du im Koordinatensystem ablesen kannst. - Achte genau auf die Skalierung der Achsen im Graphen.

1. Bestimmung der ersten drei Ableitungen der Funktion \(f(x) = -\frac{1}{4}x^3 + 3x\): \(f'(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 3\) \(f''(x) = -\frac{3}{2}x\) \(f'''(x) = -\frac{3}{2}\) 2. Berechnung der Extremstellen über \(f'(x) = 0\): \(-\frac{3}{4}x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) Überprüfung mit der zweiten Ableitung: - \(f''(2) = -3 < 0 \implies\) Hochpunkt bei \(x = 2\) mit \(f(2) = -\frac{1}{4} \cdot 8 + 6 = 4\). Somit \(H(2 \mid 4)\). - \(f''(-2) = 3 > 0 \implies\) Tiefpunkt bei \(x = -2\) mit \(f(-2) = -\frac{1}{4} \cdot (-8) - 6 = -4\). Somit \(T(-2 \mid -4)\). 3. Berechnung des Wendepunkts über \(f''(x) = 0 \implies x = 0\). Da \(f'''(0) = -\frac{3}{2} \neq 0\), liegt der Wendepunkt im Ursprung bei \(W(0 \mid 0)\). 4. Abgleich mit dem Graphen: Der abgebildete Graph zeigt den Hochpunkt bei \( (2 \mid 3) \) und den Tiefpunkt bei \( (-2 \mid -3) \). Da die berechneten \(y\)-Werte der Extrempunkte nicht mit dem Graphen übereinstimmen, ist der Graph nicht korrekt; er ist in \(y\)-Richtung um den Faktor \(\frac{3}{4}\) gestaucht.

a) Hochpunkt: \(H(2 \mid 4)\), Tiefpunkt: \(T(-2 \mid -4)\), Wendepunkt: \(W(0 \mid 0)\). b) Nein, der Graph ist nicht korrekt. Die berechneten Extrempunkte liegen bei \(y=4\) bzw. \(y=-4\), im Graphen befinden sie sich jedoch bei \(y=3\) bzw. \(y=-3\).

- Wie hängen die Hoch- und Tiefpunkte eines Graphen mit der ersten Ableitung der Funktion zusammen? Welche Bedingung muss an diesen Stellen gelten? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung überprüfen, ob ein Extremum ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist? - Welche Ableitung benötigst du, um die Stellen zu finden, an denen sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert? - Welche Bedingungen müssen für eine Wendestelle erfüllt sein?

1. Bestimmung der Ableitungen von \(f(x) = -0{,}1x^4 + 0{,}8x^2 + 1\): \(f'(x) = -0{,}4x^3 + 1{,}6x\) \(f''(x) = -1{,}2x^2 + 1{,}6\) \(f'''(x) = -2{,}4x\) 2. Teilaufgabe a) Extrempunkte berechnen: - Notwendige Bedingung: \(f'(x) = 0\) \(-0{,}4x^3 + 1{,}6x = 0 \iff x(-0{,}4x^2 + 1{,}6) = 0\) Daraus ergeben sich die Extremstellen \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm 2\). - Überprüfung mit der zweiten Ableitung: - Für \(x_1 = 0\): \(f''(0) = 1{,}6 > 0 \implies\) Tiefpunkt. Mit \(f(0) = 1\) ergibt sich \(T(0 \mid 1)\). - Für \(x_2 = -2\): \(f''(-2) = -3{,}2 < 0 \implies\) Hochpunkt. Mit \(f(-2) = 2{,}6\) ergibt sich \(H_1(-2 \mid 2{,}6)\). - Für \(x_3 = 2\): \(f''(2) = -3{,}2 < 0 \implies\) Hochpunkt. Mit \(f(2) = 2{,}6\) ergibt sich \(H_2(2 \mid 2{,}6)\). 3. Teilaufgabe b) Wendestellen berechnen: - Notwendige Bedingung: \(f''(x) = 0\) \(-1{,}2x^2 + 1{,}6 = 0 \iff x^2 = \frac{4}{3} \iff x = \pm \frac{2}{3}\sqrt{3} \approx \pm 1{,}15\). - Da \(f'''\left(\pm \frac{2}{3}\sqrt{3}\right) \neq 0\), liegen dort Wendestellen vor.

a) Hochpunkte \(H_1(-2 \mid 2{,}6)\) und \(H_2(2 \mid 2{,}6)\), Tiefpunkt \(T(0 \mid 1)\). b) Wendestellen bei \(x_1=-\frac{2}{3}\sqrt{3}\approx-1{,}15\) und \(x_2=\frac{2}{3}\sqrt{3}\approx1{,}15\).

- Betrachte das Verhalten der Funktionswerte für sehr große positive und sehr kleine negative \(x\)-Werte. Wie verhält sich die Funktion \(f\) im Vergleich zu den Graphen? - Untersuche die Gleichung der Funktion \(f\) auf Symmetrieeigenschaften. Welche Symmetrie müsste ein Graph aufweisen, und trifft das auf Graph A oder Graph B zu? - Bestimme die Nullstellen der Funktion \(f\) und überlege dir, ob es sich um einfache Schnittpunkte oder mehrfache Berührpunkte handelt. Wie verhalten sich die Graphen im Ursprung? - Ermittle die Lage der Extrempunkte von \(f\) und vergleiche sie mit den Extrempunkten in den Abbildungen.

1. Ausschluss von Graph A: - Globalverhalten: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), während Graph A gegen \(-\infty\) verläuft. Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), während Graph A gegen \(\infty\) verläuft. - Funktionswerte für negative \(x\): Für \(x < 0\) gilt \(f(x) = x^2(x-3) < 0\). Graph A verläuft dort jedoch im positiven Bereich. - Extrempunkte: \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\) liefert die Extremstellen \(x = 0\) mit Hochpunkt \((0 \mid 0)\) und \(x = 2\) mit Tiefpunkt \((2 \mid -4)\). Graph A hat stattdessen einen Tiefpunkt im Ursprung und einen Hochpunkt bei \(x = 2\). 2. Ausschluss von Graph B: - Symmetrie: Graph B ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Da die Funktionsgleichung von \(f(x)\) sowohl gerade als auch ungerade Exponenten besitzt, ist der Graph von \(f\) weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. - Verhalten im Ursprung: Graph B schneidet die \(x\)-Achse im Ursprung. Bei \(f(x) = x^2(x-3)\) ist \(x = 0\) jedoch eine doppelte Nullstelle und damit ein Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel. - Lage der Extrempunkte: Der Hochpunkt von Graph B liegt bei einem negativen \(x\)-Wert, während der Hochpunkt von \(f\) im Ursprung liegt.

Graph A kann aus folgenden Gründen nicht zu \(f\) gehören; zwei Begründungen genügen: 1. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), während Graph A gegen \(-\infty\) fällt. 2. Für \(x<0\) gilt \(f(x)<0\), Graph A verläuft dort jedoch oberhalb der \(x\)-Achse. 3. \(f\) hat einen Hochpunkt im Ursprung und einen Tiefpunkt bei \(x=2\); bei Graph A ist dies umgekehrt. Graph B kann aus folgenden Gründen nicht zu \(f\) gehören; zwei Begründungen genügen: 1. Graph B ist punktsymmetrisch zum Ursprung, \(f\) ist jedoch nicht punktsymmetrisch. 2. Graph B schneidet die \(x\)-Achse im Ursprung, während \(f\) dort eine doppelte Nullstelle und damit einen Berührpunkt besitzt. 3. Der Hochpunkt von Graph B liegt bei \(x<0\), der Hochpunkt von \(f\) liegt im Ursprung.

- Bestimme die Stellen, an denen die erste Ableitung null ist, und untersuche ihr Vorzeichen. - Für das Krümmungsverhalten ist das Vorzeichen der zweiten Ableitung entscheidend. - Eine Wendestelle gehört nicht zu einem Intervall, in dem die zweite Ableitung strikt positiv oder strikt negativ ist.

1. Monotonie: Die Extremstellen liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Daher ist \(f\) in \(]-\infty;-2]\) und \([2;\infty[\) streng monoton zunehmend sowie in \([-2;2]\) streng monoton abnehmend. 2. Krümmungsverhalten: Es gilt \(f''(x)=1{,}5x\). Somit ist \(f''(x)<0\) für \(x<0\) und \(f''(x)>0\) für \(x>0\). Der Graph ist in \(]-\infty;0[\) rechtsgekrümmt und in \(]0;\infty[\) linksgekrümmt. Bei \(x=0\) liegt der Wendepunkt \(W(0 \mid 1)\).

a) Streng monoton zunehmend in \(]-\infty;-2]\) und \([2;\infty[\); streng monoton abnehmend in \([-2;2]\). b) Rechtsgekrümmt in \(]-\infty;0[\); linksgekrümmt in \(]0;\infty[\).

- Kannst du die Koordinaten der Extrempunkte und des Wendepunkts direkt aus dem Graphen ablesen? - Welche Bedingungen müssen an den Extrempunkten für die erste Ableitung gelten? - Wie vereinfacht sich die allgemeine Gleichung einer Funktion dritten Grades, wenn der Wendepunkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Nutze die Koordinaten des Tiefpunkts und die Bedingung für die Steigung am Tiefpunkt, um ein Gleichungssystem für die verbleibenden Parameter aufzustellen. - Wenn ein Tiefpunkt direkt auf der \(x\)-Achse liegt, was sagt das über die Vielfachheit dieser Nullstelle aus?

1. Ablesen der markanten Punkte: Aus dem Graphen lassen sich der Hochpunkt \(H(-1 \mid 4)\), der Tiefpunkt \(T(1 \mid 0)\) und der Wendepunkt \(W(0 \mid 2)\) ablesen. 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der allgemeine Ansatz lautet \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Die Ableitungen sind \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). Aus \(f''(0)=0\) folgt \(b=0\), aus \(f(0)=2\) folgt \(d=2\). Damit gilt \(f(x)=ax^3+cx+2\). Mit \(f(1)=0\) und \(f'(1)=0\) erhält man \(a+c=-2\) und \(3a+c=0\). Daraus folgen \(a=1\) und \(c=-3\). Somit lautet die Funktion \(f(x)=x^3-3x+2\). 3. Berechnen der Nullstellen: Da \(T(1 \mid 0)\) ein Tiefpunkt auf der \(x\)-Achse ist, ist \(x=1\) eine doppelte Nullstelle. Es gilt \(f(x)=(x-1)^2(x+2)\). Die weitere Nullstelle ist daher \(x=-2\).

a) \(H(-1 \mid 4)\), \(T(1 \mid 0)\) und \(W(0 \mid 2)\). b) \(f(x)=x^3-3x+2\). c) \(x=1\) ist eine doppelte Nullstelle und \(x=-2\) eine einfache Nullstelle.

- Wie viele Bedingungen benötigst du, um eine ganzrationale Funktion dritten Grades eindeutig zu bestimmen? - Welche Eigenschaften müssen an den Stellen der Extrempunkte für die erste Ableitung gelten? - Wie kannst du überprüfen, ob ein gegebener Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt? - Erinnere dich an die geometrische Symmetrie von Funktionen dritten Grades bezüglich ihres Wendepunkts.

1. Aufstellen der Bedingungen: Mit \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) und \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) ergeben sich aus den Extrempunkten die Gleichungen \(f(-1)=4\), \(f(1)=0\), \(f'(-1)=0\) und \(f'(1)=0\). 2. Lösen des Gleichungssystems: Aus den beiden Ableitungsbedingungen folgen \(b=0\) und \(c=-3a\). Die Punktbedingungen liefern anschließend \(a=1\) und \(d=2\). Damit lautet die eindeutige Funktion \(f(x)=x^3-3x+2\). 3. Punktprobe mit \(P(2 \mid 5)\): \(f(2)=2^3-3\cdot2+2=4\). Wegen \(4\neq5\) liegt \(P\) nicht auf dem Graphen; die Behauptung ist falsch. 4. Ablesen und Symmetrie: Der korrekte Funktionswert ist \(f(2)=4\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(0 \mid 2)\). Dieser Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke \(HT\), denn \(\left(\frac{-1+1}{2}\;\middle|\;\frac{4+0}{2}\right)=(0 \mid 2)\).

a) \(f(x)=x^3-3x+2\) und \(f(2)=4\neq5\); die Behauptung ist falsch. b) \(f(2)=4\), \(W(0 \mid 2)\); \(W\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(HT\) und damit das Symmetriezentrum des Graphen.

- Kannst du die Bedingungen für die Schnittpunkte zweier Graphen mathematisch formulieren? - Wie lässt sich der vertikale Abstand zwischen zwei Kurven als Funktion in Abhängigkeit von \(x\) darstellen? - Welches Werkzeug der Differentialrechnung hilft dir, den größten Wert einer Funktion zu bestimmen? - Wie hängen die Steigung einer Tangente an einem Punkt und der Steigungswinkel der Kurve zusammen? - Welche Formel berechnet den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden, wenn deren Steigungen bekannt sind?

1. Berechnung der Blattspitzen (Schnittpunkte von \(f\) und \(g\)): Gleichsetzen: \(-0{,}25x^2 + 1{,}5x = 0{,}1x^2 - 0{,}6x\) Umformen: \(0{,}35x^2 - 2{,}1x = 0 \Rightarrow x(0{,}35x - 2{,}1) = 0\) Lösungen: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\) Schnittpunkte liegen bei \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(6 \mid 0)\). 2. Berechnung der maximalen Breite (Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x)\)): \(h(x) = -0{,}35x^2 + 2{,}1x\) Ableitung bilden und nullsetzen: \(h'(x) = -0{,}7x + 2{,}1 = 0 \Rightarrow x = 3\) Nachweis des Maximums: \(h''(3) = -0{,}7 < 0\) Maximale Breite bei \(x = 3\,\text{cm}\): \(h(3) = -0{,}35 \cdot 3^2 + 2{,}1 \cdot 3 = 3{,}15\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Schnittwinkels \(\varphi\) bei \(x = 6\): Ableitungen an der Stelle \(x = 6\): \(f'(x) = -0{,}5x + 1{,}5 \Rightarrow f'(6) = -1{,}5\) \(g'(x) = 0{,}2x - 0{,}6 \Rightarrow g'(6) = 0{,}6\) Winkelberechnung über Steigungen \(m_1 = -1{,}5\) und \(m_2 = 0{,}6\): \(\tan(\varphi) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| = \left| \frac{-1{,}5 - 0{,}6}{1 + (-1{,}5) \cdot 0{,}6} \right| = 21\) \(\varphi = \arctan(21) \approx 87{,}3^\circ\)

a) Die Blattspitzen befinden sich in den Punkten \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(6 \mid 0)\). b) Die maximale Breite beträgt \(3{,}15\,\text{cm}\) und wird an der Stelle \(x = 3\,\text{cm}\) erreicht. c) Der Schnittwinkel an der rechten Blattspitze beträgt ca. \(87{,}3^\circ\).

- Welche charakteristischen Punkte kannst du im Graphen erkennen und welche Koordinaten haben sie? - Wie hängt die Anzahl der Extrempunkte mit dem Mindestgrad einer ganzrationalen Funktion zusammen? - Welche Symmetrie weist der Graph auf, wenn man die Lage des Hochpunktes und des Tiefpunktes vergleicht? - Welche Exponenten treten in der Funktionsgleichung auf, wenn der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Welche mathematischen Bedingungen gelten an einem Tiefpunkt für den Funktionswert und für den Wert der ersten Ableitung?

1. Kleinstmöglicher Grad: Der Graph weist zwei Extrempunkte auf. Da eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) höchstens \(n-1\) Extrempunkte besitzen kann, muss der Grad mindestens \(3\) sein. Somit ist der kleinstmögliche Grad \(3\). 2. Symmetrie: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung \(O(0 \mid 0)\), da der Hochpunkt \(H(-2 \mid 4)\) durch Spiegelung am Ursprung auf den Tiefpunkt \(T(2 \mid -4)\) abgebildet wird. Daher treten im Funktionsterm nur ungerade Exponenten auf: \(f(x)=ax^3+cx\). 3. Bestimmung der Funktion: Es gilt \(f'(x)=3ax^2+c\). Aus \(f(2)=-4\) und \(f'(2)=0\) folgen \(8a+2c=-4\) und \(12a+c=0\). Daraus erhält man \(a=0{,}25\) und \(c=-3\). Somit lautet die Funktion \(f(x)=0{,}25x^3-3x\).

a) Der kleinstmögliche Grad ist \(3\), da der Graph zwei Extrempunkte besitzt. b) Der allgemeine Funktionsterm lautet \(f(x)=ax^3+cx\). c) Die Funktionsgleichung ist \(f(x)=0{,}25x^3-3x\).

- Welche Form eines Funktionsterms bietet sich an, wenn du alle Nullstellen einer ganzrationalen Funktion kennst? - Erinnere dich an die Nullstellenform (auch faktorisierte Form genannt) für ein Polynom dritten Grades. - Wie kannst du den verbleibenden Parameter in deinem Ansatz bestimmen, wenn du einen weiteren Punkt auf dem Graphen kennst? - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes für \(x\) und \(y\) beziehungsweise \(f(x)\) in deinen Ansatz ein. - Multipliziere am Ende die Klammern schrittweise aus, um die Normalform der Funktion zu erhalten.

1. Da die Nullstellen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\) liegen, lautet der Ansatz in der faktorisierten Form: \(f(x) = a(x + 2)(x - 1)(x - 3)\) mit \(a \neq 0\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(-1 \mid 4)\): \(f(-1) = a(-1 + 2)(-1 - 1)(-1 - 3) = 4\) \(8a = 4 \implies a = \frac{1}{2} = 0{,}5\) 3. Faktorisierte Form: \(f(x) = 0{,}5(x + 2)(x - 1)(x - 3)\) 4. Ausmultiplizieren zur Normalform: \(f(x) = 0{,}5(x^2 + x - 2)(x - 3) = 0{,}5(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) = 0{,}5x^3 - x^2 - 2{,}5x + 3\)

Faktorisierte Form: \(f(x)=0{,}5(x+2)(x-1)(x-3)\). Normalform: \(f(x)=0{,}5x^3-x^2-2{,}5x+3\).

- Übersetze die gegebenen Punkte und Eigenschaften in mathematische Bedingungen. - Welche Bedingungen gelten für die Funktion und ihre erste Ableitung an Stellen, an denen der Graph horizontal verläuft? - Welche Ableitung ist für die Bestimmung eines Wendepunkts entscheidend? - Wie hängen die Steigung an einer Stelle und der Neigungswinkel des Graphen zusammen?

1. Teilaufgabe a): \(f(10) = 0\) bedeutet, dass die Rutsche nach einer horizontalen Entfernung von \(10\,\text{m}\) den Erdboden erreicht. \(f'(0) = 0\) bedeutet, dass die Rutsche am Startpunkt horizontal beginnt. 2. Teilaufgabe b): Mit \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) und \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) folgen aus den Bedingungen \(d=8\), \(c=0\), \(1000a+100b+8=0\) und \(300a+20b=0\). Daraus ergeben sich \(a=0{,}016\) und \(b=-0{,}24\). Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=0{,}016x^3-0{,}24x^2+8\). 3. Teilaufgabe c): Es gilt \(f''(x)=0{,}096x-0{,}48\). Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=5\); mit \(f(5)=4\) ergibt sich \(W(5 \mid 4)\). Dort ist das Gefälle der Rutsche am steilsten und die Krümmungsrichtung wechselt. 4. Teilaufgabe d): Die Steigung im Wendepunkt beträgt \(f'(5)=-1{,}2\). Das maximale Gefälle beträgt daher \(120\,\%\). Für den Neigungswinkel gilt \(\tan(\alpha)=1{,}2\), also \(\alpha\approx50{,}2^\circ\).

a) \(f(10)=0\) bedeutet, dass die Rutsche nach \(10\,\text{m}\) den Boden erreicht; \(f'(0)=0\) bedeutet, dass sie horizontal startet. b) \(f(x)=0{,}016x^3-0{,}24x^2+8\). c) \(W(5 \mid 4)\); dort ist das Gefälle am stärksten und die Krümmungsrichtung wechselt. d) Maximales Gefälle \(120\,\%\); maximaler Neigungswinkel \(\alpha\approx50{,}2^\circ\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Kurventeile „knickfrei“ ineinander übergehen? Welche Bedingungen für die Steigung an den Übergangsstellen ergeben sich daraus? - Stelle den allgemeinen Ansatz für eine ganzrationale Funktion dritten Grades auf und bestimme die Ableitung. - Überlege, wie viele Bedingungen du benötigst, um alle Koeffizienten der Funktion zu bestimmen. - Wie hängen der Wendepunkt eines Graphen und die maximale beziehungsweise minimale Steigung zusammen? - Berechne die Steigung an der steilsten Stelle der Rampe und vergleiche diesen Wert mit dem zulässigen Grenzwert.

1. Ansatz für die ganzrationale Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\). 2. Bedingungen für den knickfreien Übergang: - In \(A(0 \mid 0)\) gilt \(f(0)=0\) und \(f'(0)=0\). - In \(B(4 \mid 2)\) gilt \(f(4)=2\) und \(f'(4)=0\). 3. Lösen des Gleichungssystems ergibt \(a=-\frac{1}{16}\), \(b=\frac{3}{8}\), \(c=d=0\). Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=-\frac{1}{16}x^3+\frac{3}{8}x^2\). 4. Es gilt \(f''(x)=-\frac{3}{8}x+\frac{3}{4}\). Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=2\), und \(f(2)=1\). Der Wendepunkt \(W(2 \mid 1)\) ist die steilste Stelle der Rampe. 5. Die maximale Steigung beträgt \(f'(2)=0{,}75\), also \(75\,\%\). Da \(75\,\%>60\,\%\) gilt, wird die Sicherheitsvorgabe nicht eingehalten.

a) \(f(x)=-\frac{1}{16}x^3+\frac{3}{8}x^2\). b) \(W(2 \mid 1)\); dort ist die Rampe am steilsten. c) Nein. Die maximale Steigung beträgt \(75\,\%\) beziehungsweise \(0{,}75\) und überschreitet den Grenzwert von \(60\,\%\).

- Welche Bedingungen müssen für Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte erfüllt sein? - Kannst du die Symmetrie des Graphen nutzen, um deine Ergebnisse zu überprüfen? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für lokale Extrema und Wendepunkte. - Achte beim Berechnen der Nullstellen darauf, ob du eine bekannte Formel oder eine Substitution anwenden kannst.

1. Nullstellen berechnen: \(f(x)=\frac{1}{4}(x^2-4)^2\). Daher sind \(x=-2\) und \(x=2\) doppelte Nullstellen. Die Punkte sind \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\). 2. Ableitungen bilden: \(f'(x)=x^3-4x\), \(f''(x)=3x^2-4\) und \(f'''(x)=6x\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=\pm2\). Wegen \(f''(0)=-4<0\) liegt der Hochpunkt bei \(H(0 \mid 4)\). Die Stellen \(x=\pm2\) sind Tiefpunkte und zugleich die Nullstellen. 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{\frac{4}{3}}\). Die Funktionswerte betragen jeweils \(\frac{16}{9}\). Da \(f'''\left(\pm\sqrt{\frac{4}{3}}\right)\neq0\), liegen die Wendepunkte \(W_1\left(-\sqrt{\frac{4}{3}} \mid \frac{16}{9}\right)\) und \(W_2\left(\sqrt{\frac{4}{3}} \mid \frac{16}{9}\right)\) vor.

Nullstellen: \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\). Hochpunkt: \(H(0 \mid 4)\). Wendepunkte: \(W_1\left(-\sqrt{\frac{4}{3}} \mid \frac{16}{9}\right)\) und \(W_2\left(\sqrt{\frac{4}{3}} \mid \frac{16}{9}\right)\).

- Wie erkennt man eine doppelte Nullstelle im Graphen? - Welche Ableitung hilft dir dabei, die Steigung an einer bestimmten Stelle zu finden? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art eines Extrempunkts aus? - Überprüfe, ob der Wendepunkt genau in der Mitte zwischen dem Hoch- und dem Tiefpunkt liegt.

1. Nullstellen: \(f(x)=x(x-3)^2\). Daraus folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=3\), wobei \(x=3\) eine doppelte Nullstelle ist. Die Punkte sind \(N_1(0 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 2. Ableitungen: \(f'(x)=3x^2-12x+9\), \(f''(x)=6x-12\) und \(f'''(x)=6\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=1\) und \(x=3\). Wegen \(f''(1)=-6<0\) liegt der Hochpunkt bei \(H(1 \mid 4)\); wegen \(f''(3)=6>0\) liegt der Tiefpunkt bei \(T(3 \mid 0)\). 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=2\). Mit \(f(2)=2\) und \(f'''(2)\neq0\) ergibt sich der Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\).

Nullstellen: \(N_1(0 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\), wobei \(x=3\) doppelt ist. Extrempunkte: \(H(1 \mid 4)\) und \(T(3 \mid 0)\). Wendepunkt: \(W(2 \mid 2)\).

- Setze für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(x=0\) in die Funktionsgleichung ein. - Nullstellen findest du, indem du den Funktionsterm gleich null setzt. Kannst du hier ausklammern? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrema. - Überprüfe nach deinen Rechnungen, ob die berechneten Koordinaten zu den Punkten im Gitter passen.

1. \(y\)-Achsenschnittpunkt: \(f(0)=0\). Daher ist \(S_y(0 \mid 0)\). 2. Nullstellen: \(x^3-3x^2=x^2(x-3)=0\). Damit sind \(x=0\) eine doppelte und \(x=3\) eine einfache Nullstelle. Die Punkte sind \(N_1(0 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 3. Extremstellen: \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). Daraus folgen \(x=0\) und \(x=2\). 4. Mit \(f''(x)=6x-6\) gilt \(f''(0)=-6<0\) und \(f''(2)=6>0\). Somit liegen der Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\) und der Tiefpunkt \(T(2 \mid -4)\) vor. 5. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=1\). Mit \(f(1)=-2\) ergibt sich der Wendepunkt \(W(1 \mid -2)\). 6. Alle berechneten Punkte stimmen mit dem dargestellten Graphen überein; der Graph ist korrekt.

Der Graph ist korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 0)\), \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\). Extrempunkte: \(H(0 \mid 0)\), \(T(2 \mid -4)\). Wendepunkt: \(W(1 \mid -2)\).

- Berechne zuerst den Wert an der Stelle \(x=0\) und vergleiche ihn mit dem Punkt auf der vertikalen Achse. - Faktorisiere den Funktionsterm, um die Nullstellen und ihre Vielfachheiten zu bestimmen. - Nutze die erste Ableitung, um die Stellen mit waagrechter Tangente zu finden. - Achte beim Ablesen aus dem Graphen auf die Skalierung der Achsen.

1. \(y\)-Achsenschnittpunkt: \(f(0)=2\). Daher ist \(S_y(0 \mid 2)\). 2. Nullstellen: Es gilt \(f(x)=-(x+1)^2(x-2)\). Somit sind \(x=-1\) eine doppelte und \(x=2\) eine einfache Nullstelle. Die Punkte sind \(N_1(-1 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\). 3. Extremstellen: \(f'(x)=-3x^2+3\). Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x=\pm1\). 4. Mit \(f''(x)=-6x\) gilt \(f''(-1)=6>0\) und \(f''(1)=-6<0\). Daher liegen der Tiefpunkt \(T(-1 \mid 0)\) und der Hochpunkt \(H(1 \mid 4)\) vor. 5. Im Diagramm liegt der \(y\)-Achsenschnittpunkt bei \(1{,}6\) und der Hochpunkt bei etwa \((1 \mid 3{,}2)\). Der dargestellte Graph ist daher nicht korrekt.

Der Graph ist nicht korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 2)\), \(N_1(-1 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(T(-1 \mid 0)\), \(H(1 \mid 4)\).

- Bestimme die Stellen mit waagrechter Tangente und vergleiche ihre \(x\)-Werte mit dem Graphen. - Ein Tiefpunkt auf der \(x\)-Achse ist zugleich eine mehrfache Nullstelle. - Prüfe, ob die berechnete Nullstelle bei \(x=-1\) mit dem Bild übereinstimmt.

1. \(y\)-Achsenschnittpunkt: \(f(0)=4\), also \(S_y(0 \mid 4)\). 2. Extremstellen: \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). Daher sind \(x=0\) und \(x=2\). 3. Mit \(f''(x)=6x-6\) folgt der Hochpunkt \(H(0 \mid 4)\) und der Tiefpunkt \(T(2 \mid 0)\). 4. Da der Tiefpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, ist \(x=2\) eine doppelte Nullstelle. Die weitere Nullstelle ist \(x=-1\). 5. Im Diagramm liegt der Tiefpunkt bei \(x=3\) statt bei \(x=2\). Daher ist die Darstellung falsch.

Der Graph ist nicht korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 4)\), \(N_1(-1 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(H(0 \mid 4)\), \(T(2 \mid 0)\).

- Schau dir die Schnittpunkte des Graphen mit der waagerechten Achse an. - Überlege, wie der höchste Exponent der Funktionsgleichung die Anzahl der Nullstellen begrenzt. - Suche nach den „Hügeln“ und „Tälern“ im Graphen. - Was passiert mit dem Wert von \(x^3\), wenn \(x\) sehr groß wird, und welchen Einfluss hat das Vorzeichen davor? - Erinnere dich daran, was ein Wendepunkt über die Krümmung des Graphen aussagt.

1. Aus dem Graphen lassen sich drei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse ablesen, also hat die Funktion drei Nullstellen. Ein Polynom dritten Grades kann höchstens drei reelle Nullstellen besitzen. 2. Der Graph weist zwei lokale Extrempunkte auf: ein lokales Minimum bei \(x \approx -1{,}4\) und ein lokales Maximum bei \(x \approx 1{,}4\). Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), und für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to +\infty\), weil der Grad ungerade und der Leitkoeffizient negativ ist. 3. An den beiden Extremstellen gilt jeweils \(f'(x)=0\). Nach dem Satz von Rolle besitzt die Ableitungsfunktion \(f'\) zwischen diesen beiden Stellen eine Extremstelle, an der \(f''(x)=0\) gilt. Da \(f''\) bei einer Funktion dritten Grades eine nicht konstante lineare Funktion ist, wechselt sie an ihrer einzigen Nullstelle das Vorzeichen. Daher besitzt \(f\) zwischen den Extremstellen einen Wendepunkt.

a) Es gibt drei Nullstellen. Ein Polynom dritten Grades besitzt höchstens drei reelle Nullstellen. b) Es gibt zwei lokale Extrempunkte. Es gilt \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to +\infty\) für \(x \to -\infty\). c) Zwischen den beiden Nullstellen von \(f'\) liegt nach dem Satz von Rolle eine Nullstelle von \(f''\). Da \(f''\) linear ist und dort das Vorzeichen wechselt, besitzt \(f\) zwischen den Extremstellen einen Wendepunkt.

- Denke daran, dass für einen Tiefpunkt die erste Ableitung null und die zweite Ableitung positiv sein muss. - Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt, der eine zusätzliche Eigenschaft bezüglich der Steigung besitzt. - Nutze die Faktorregel und die Potenzregel, um die Ableitungen der Funktion zu bilden. - Für die Koordinaten musst du die gefundenen x-Werte immer in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen.

1. Erste Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\) \(f''(x) = 3x^2 - 12x + 9\) \(f'''(x) = 6x - 12\) 2. Lokale Extrema bestimmen (Teilaufgabe a): Notwendige Bedingung: \(f'(x) = 0 \Rightarrow x(x^2 - 6x + 9) = 0 \Rightarrow x(x-3)^2 = 0\). Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Prüfung mit \(f''(x)\): \(f''(0) = 9 > 0 \Rightarrow\) Lokales Minimum (Tiefpunkt) bei \(x = 0\). Funktionswert: \(f(0) = 2\). Tiefpunkt: \(T(0 \mid 2)\). 3. Sattelpunkt nachweisen (Teilaufgabe b): An der Stelle \(x = 3\) gilt: \(f'(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 = 27 - 54 + 27 = 0\) (waagerechte Tangente). \(f''(3) = 3 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0\) (notwendige Bedingung für Wendepunkt). \(f'''(3) = 6 \cdot 3 - 12 = 6 \neq 0\) (hinreichende Bedingung für Wendepunkt). Da \(f'(3) = 0\) und ein Wendepunkt vorliegt, ist \(S(3 \mid f(3))\) ein Sattelpunkt. Funktionswert: \(f(3) = 0{,}25 \cdot 81 - 2 \cdot 27 + 4{,}5 \cdot 9 + 2 = 20{,}25 - 54 + 40{,}5 + 2 = 8{,}75\). Sattelpunkt: \(S(3 \mid 8{,}75)\). 4. Vergleich (Teilaufgabe c): Bei einem Sattelpunkt muss die erste Ableitung an dieser Stelle null sein (\(f'(x_0) = 0\)), was bedeutet, dass dort eine waagerechte Tangente vorliegt. Bei einem gewöhnlichen Wendepunkt ist die Steigung ungleich null.

a) Der lokale Tiefpunkt liegt bei \(T(0 \mid 2)\). b) Da \(f'(3) = 0\), \(f''(3) = 0\) und \(f'''(3) = 6 \neq 0\) gilt, liegt bei \(x = 3\) ein Sattelpunkt vor. Die Koordinaten sind \(S(3 \mid 8{,}75)\). c) An einem Sattelpunkt muss die erste Ableitung null sein (\(f'(x) = 0\)), d. h. es muss eine waagerechte Tangente vorliegen. Bei einem gewöhnlichen Wendepunkt ist die Steigung an der Wendestelle von null verschieden.

- Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn der Graph die \(x\)-Achse an einer Stelle nur berührt? - Nutze den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, um den Wert von \(c\) direkt zu bestimmen oder den Streckfaktor zu berechnen.

1. \(y\)-Achsenabschnitt: Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 2\), also ist \(c = 2\). 2. Markante Punkte: Der Graph hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = -1\) (Berührpunkt) und eine einfache Nullstelle bei \(x = 2\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = a(x + 1)^2(x - 2)\). 4. Einsetzen des \(y\)-Achsenabschnitts \((0 \mid 2)\): \(2 = a \cdot (0 + 1)^2 \cdot (0 - 2) = -2a \implies a = -1\). 5. Ausmultiplizieren: \(f(x) = -1 \cdot (x^2 + 2x + 1) \cdot (x - 2) = -(x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + x - 2) = -x^3 + 3x + 2\). 6. Ergebnis: \(a = -1\), \(b = 3\), \(c = 2\).

\(a = -1\), \(b = 3\), \(c = 2\); somit \(f(x) = -x^3 + 3x + 2\).

- Der Wendepunkt liegt auf der \(y\)-Achse. Was bedeutet das für die Koeffizienten einer Funktion dritten Grades? - Nutze die Koordinaten der Hoch- oder Tiefpunkte, um Gleichungen für \(a\) und \(b\) aufzustellen.

1. Symmetriezentrum: Der Graph besitzt einen Wendepunkt bei \((0 \mid 1)\), was direkt \(c = 1\) liefert. 2. Lokale Extrema: Es sind Extrema bei \(H({-1} \mid 3)\) und \(T(1 \mid {-1})\) erkennbar. 3. Ableitungsbedingung: \(f'(x) = 3ax^2 + b\). Da bei \(x = 1\) ein Tiefpunkt liegt, muss \(f'(1) = 3a + b = 0\) gelten, also \(b = -3a\). 4. Punktprobe: Einsetzen von \((1 \mid {-1})\) in \(f(x) = ax^3 - 3ax + 1\) ergibt \(-1 = a - 3a + 1 \implies -2 = -2a \implies a = 1\). Damit ist \(b = -3\). 5. Ergebnis: \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).

\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)

- Ein Sattelpunkt im Ursprung bedeutet, dass die ersten beiden Ableitungen dort null sind. - Verwende die Nullstelle bei \(x = 4\) für einen schnellen Ansatz. - Nutze den Tiefpunkt, um den genauen Wert des Streckfaktors zu ermitteln.

1. Analyse des Graphen: Es liegt ein Sattelpunkt im Ursprung \((0 \mid 0)\) vor (dreifache Nullstelle). Eine weitere Nullstelle befindet sich bei \(x = 4\). 2. Ansatz: \(f(x) = ax^3(x - 4) = ax^4 - 4ax^3\). Damit ist \(b = -4a\). 3. Extrempunkt: Der Graph hat einen Tiefpunkt bei \(x = 3\) mit dem \(y\)-Wert \({-6{,}75}\). 4. Berechnung von \(a\): Einsetzen von \((3 \mid {-6{,}75})\) ergibt \({-6{,}75} = a \cdot 3^3 \cdot (3 - 4) = a \cdot 27 \cdot (-1) = -27a\). Somit ist \(a = \frac{-6{,}75}{-27} = 0{,}25\). 5. Bestimmung von \(b\): \(b = -4 \cdot 0{,}25 = -1\). 6. Funktionsterm: \(f(x) = 0{,}25x^4 - x^3\).

\(a = 0{,}25\), \(b = -1\); somit \(f(x) = 0{,}25x^4 - x^3\).

- Was ist die notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt im Vergleich zu einem Extrempunkt? - Wie verhält sich die Steigung der Tangente an einem Sattelpunkt? - Kann man allein optisch immer sicher zwischen einem sehr flachen Minimum und einem Sattelpunkt unterscheiden? - Nutze die zweite Ableitung, um die Krümmung an der untersuchten Stelle exakt zu bestimmen.

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung: \(f'(x) = -4x^3 + 30x^2 + 0{,}2x\) und \(f''(x) = -12x^2 + 60x + 0{,}2\). 2. Überprüfung der notwendigen Bedingung für Extremstellen an der Stelle \(x = 0\): \(f'(0) = -4 \cdot 0^3 + 30 \cdot 0^2 + 0{,}2 \cdot 0 = 0\). Die Bedingung ist erfüllt. 3. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mithilfe der zweiten Ableitung: \(f''(0) = -12 \cdot 0^2 + 60 \cdot 0 + 0{,}2 = 0{,}2\). 4. Da \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) > 0\) ist, liegt an der Stelle \(x = 0\) ein lokaler Tiefpunkt vor, kein Sattelpunkt. 5. Stellungnahme: Die visuelle Darstellung im gewählten Maßstab täuscht, da der Wert der zweiten Ableitung sehr klein ist und die minimale Senke des Graphen gegenüber den hohen Funktionswerten im weiteren Verlauf (Maximum bei \(x \approx 7{,}5\)) verschwindet.

a) Die Aussage des Schülers ist nicht zutreffend; der breite Maßstab lässt die Umgebung des Ursprungs nur scheinbar wie einen Sattelpunkt wirken. b) Bei \(x = 0\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor, da \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 0{,}2 > 0\) gilt.

- Welcher Teil des Funktionsterms hat bei sehr kleinen \(x\)-Werten den größten Einfluss auf das Ergebnis? - Welcher Teil dominiert bei sehr großen \(x\)-Werten? - Vergleiche die \(y\)-Achsen-Skalierung der beiden Bilder. - Erinnere dich an das Verhalten von Potenzfunktionen für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\).

1. In Fenster (1) (\(-2 \le x \le 2\)) dominiert der Term \(-2x^2 + 50\), da der \(x^4\)-Term aufgrund des kleinen Koeffizienten \(0{,}01\) und der kleinen \(x\)-Werte vernachlässigbar klein ist (\(0{,}01 \cdot 2^4 = 0{,}16\)). Der Graph sieht aus wie eine nach unten geöffnete Parabel. 2. In Fenster (2) (\(-20 \le x \le 20\)) dominiert für große \(x\)-Werte der Term \(0{,}01x^4\). Beispielsweise ist für \(x=20\) der Wert \(0{,}01 \cdot 20^4 = 1600\), während \(-2 \cdot 20^2 + 50 = -750\) ist. Der Graph zeigt hier die charakteristische W-Form einer Funktion vierten Grades mit positivem Leitkoeffizienten. 3. Fenster (1) ist ungeeignet, da es nur ein lokales Maximum zeigt und suggeriert, dass die Funktionswerte für \(|x| \to \infty\) gegen \(-\infty\) streben. Tatsächlich bestimmt das Glied mit der höchsten Potenz (\(0{,}01x^4\)) das Globalverhalten, sodass die Werte für \(|x| \to \infty\) gegen \(+\infty\) streben.

a) In Fenster (1) erscheint der Graph als nach unten geöffnete Parabel; in Fenster (2) zeigt sich die W-Form einer Funktion vierten Grades. b) Fenster (1) täuscht über das Globalverhalten hinweg, da dort der Einfluss des führenden Terms \(0{,}01x^4\) noch gering ist. Für große Beträge von \(x\) bewirkt dieser Term den Wiederanstieg gegen \(+\infty\).

- Für die Nullstellen kannst du \(x\) ausklammern. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte unter Verwendung der ersten drei Ableitungen. - Achte darauf, am Ende sowohl die \(x\)- als auch die \(y\)-Koordinaten der Punkte anzugeben.

1. Achsenschnittpunkte: - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = 0 \Rightarrow S_y(0 \mid 0)\). - Nullstellen (\(x\)-Achse): \(0{,}5x(x^2 - 12) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_{2,3} = \pm\sqrt{12} \approx \pm 3{,}46\). 2. Ableitungen berechnen: \(f'(x) = 1{,}5x^2 - 6\), \(f''(x) = 3x\), \(f'''(x) = 3\). 3. Lokale Extrema: - Notwendige Bedingung: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 1{,}5x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_{E1} = -2, x_{E2} = 2\). - Hinreichende Bedingung: \(f''(-2) = -6 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt bei \(H(-2 \mid f(-2))\). \(f(-2) = 0{,}5(-8) - 6(-2) = -4 + 12 = 8\). - \(f''(2) = 6 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt bei \(T(2 \mid f(2))\). \(f(2) = 0{,}5(8) - 6(2) = 4 - 12 = -8\). 4. Wendepunkt: - Notwendige Bedingung: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x_W = 0\). - Hinreichende Bedingung: \(f'''(0) = 3 \neq 0\). Koordinaten: \(W(0 \mid f(0)) = W(0 \mid 0)\).

Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 0)\), \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{12} \mid 0) \approx N_2(3{,}46 \mid 0)\), \(N_3(-\sqrt{12} \mid 0) \approx N_3(-3{,}46 \mid 0)\). Hochpunkt: \(H(-2 \mid 8)\), Tiefpunkt: \(T(2 \mid -8)\). Wendepunkt: \(W(0 \mid 0)\).

- Ein Hochpunkt ist eine „Bergspitze“, ein Tiefpunkt ein „Talboden“. - Schau dir die \(y\)-Werte der gefundenen Punkte genau an. - Ein Extremum ist global, wenn es im gesamten betrachteten Bereich keinen höheren bzw. tieferen Funktionswert gibt. - Prüfe auch die Randwerte des Intervalls.

1. Ablesen der Hochpunkte (HP) und Tiefpunkte (TP) aus dem Graphen: Durch Betrachten der Kurvenverläufe ergeben sich die Hochpunkte \(H_1(-2{,}5 \mid 3)\) und \(H_2(1 \mid 4)\) sowie die Tiefpunkte \(T_1(-1 \mid 1)\) und \(T_2(3 \mid -3)\). 2. Bestimmung der Randwerte des Intervalls \([-4; 4]\): Am linken Rand gilt \(f(-4) = -2\), am rechten Rand gilt \(f(4) = -1\). 3. Klassifizierung als lokal oder global: - \(H_2(1 \mid 4)\) ist ein globales Maximum, da der Funktionswert \(4\) der größte Wert im gesamten Intervall \([-4; 4]\) ist. - \(H_1(-2{,}5 \mid 3)\) ist ein lokales Maximum, da der Wert \(3\) kleiner ist als der Wert des globalen Maximums (\(4\)). - \(T_2(3 \mid -3)\) ist ein globales Minimum, da der Funktionswert \(-3\) der kleinste Wert im gesamten Intervall \([-4; 4]\) ist (kleiner als der Randwert \(-2\)). - \(T_1(-1 \mid 1)\) ist ein lokales Minimum, da es im Intervall kleinere Funktionswerte gibt (z. B. bei \(x = 3\) oder am Rand).

a) Hochpunkte: \(H_1(-2{,}5 \mid 3)\) und \(H_2(1 \mid 4)\); Tiefpunkte: \(T_1(-1 \mid 1)\) und \(T_2(3 \mid -3)\). b) \(H_2\) ist ein globales Maximum, da \(4\) der höchste Wert im Intervall ist. \(T_2\) ist ein globales Minimum, da \(-3\) der niedrigste Wert im Intervall ist. \(H_1\) und \(T_1\) sind nur lokale Extrema, da es jeweils höhere bzw. tiefere Punkte im Intervall gibt.

- Überprüfe die Symmetrieeigenschaften der Funktionsgleichung und vergleiche sie mit dem Graphen. - Berechne den Funktionswert an einer markanten Stelle, zum Beispiel dort, wo der Graph die \(y\)-Achse schneidet. - Achte auf die Positionen der Hoch- und Tiefpunkte. - Welche Auswirkungen haben die Exponenten in der Gleichung auf das Aussehen des Graphen?

1. Symmetrie: Die Funktion \(f\) enthält nur gerade Exponenten (\(x^4, x^2, x^0\)) und ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der dargestellte Graph ist jedoch nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, sondern scheint gegenüber dieser nach rechts verschoben zu sein. 2. \(y\)-Achsenabschnitt: Durch Einsetzen von \(x=0\) in die Funktionsgleichung erhält man \(f(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^2 + 2 = 2\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse jedoch bei \(y = -1\). 3. Lage der Extremstellen: Die Ableitung \(f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)\) hat Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm\sqrt{2}\). Somit muss \(f\) an der Stelle \(x=0\) ein lokales Extremum (hier ein Maximum) besitzen. Im Graphen liegt an der Stelle \(x=0\) jedoch kein Extrempunkt vor.

Der Graph gehört nicht zu \(f\), weil: 1. \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, der Graph aber nicht. 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt von \(f\) bei \(2\) liegt, während der Graph die \(y\)-Achse bei \(-1\) schneidet. 3. \(f\) bei \(x=0\) ein lokales Maximum hat, der Graph dort aber eine Steigung ungleich null aufweist.

- Nutze die Nullstellen, um einen Ansatz für die Funktionsgleichung in der Produktdarstellung zu finden. - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in deinen Ansatz ein, um den fehlenden Streckfaktor zu berechnen. - Für die Bestimmung des Wendepunkts benötigst du die ersten drei Ableitungen der Funktion. - Überprüfe die Exponenten der Variablen im Funktionsterm, um eine Vermutung zur Symmetrie aufzustellen. - Eine Verschiebung eines Graphen wird durch Anpassungen direkt an der Variable \(x\) und am gesamten Funktionsterm realisiert.

1. Ansatz mit Nullstellen \(x_1 = -3\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 3\): \(f(x) = ax(x + 3)(x - 3) = a(x^3 - 9x)\). 2. Bestimmung von \(a\) durch Punktprobe mit \(P(1 \mid {-2})\): \(-2 = a(1^3 - 9 \cdot 1) = -8a \implies a = 0{,}25\). Funktionsterm: \(f(x) = 0{,}25(x^3 - 9x)\). 3. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 0{,}75x^2 - 2{,}25\), \(f''(x) = 1{,}5x\), \(f'''(x) = 1{,}5\). 4. Nachweis Wendepunkt: \(f''(0) = 0\) und \(f'''(0) = 1{,}5 \neq 0\), also Wendepunkt bei \(W(0 \mid 0)\). 5. Wendetangente: Steigung \(m = f'(0) = -2{,}25\). Gleichung: \(y = -2{,}25x\). 6. Symmetrienachweis: \(f(-x) = 0{,}25((-x)^3 - 9(-x)) = 0{,}25(-x^3 + 9x) = -f(x)\). Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor. 7. Verschiebung von \(W(0 \mid 0)\) nach \(W'(2 \mid 1)\): Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach oben. Neuer Term: \(h(x) = f(x - 2) + 1 = 0{,}25((x - 2)^3 - 9(x - 2)) + 1\).

a) \(f(x) = \frac{1}{4}(x^3 - 9x)\) b) Wendepunkt bei \(W(0 \mid 0)\), da \(f''(0) = 0\) und \(f'''(0) = 1{,}5 \neq 0\). Wendetangente: \(y = -2{,}25x\). c) Punktsymmetrie, da \(f(-x) = -f(x)\). Verschobene Funktion: \(h(x) = \frac{1}{4}((x - 2)^3 - 9(x - 2)) + 1\).

- Welche Informationen über die Ableitung stecken in den Begriffen „Steigung von 0“ oder „Hochpunkt“? - Wie viele Unbekannte hat eine Funktion 3. Grades im allgemeinen Fall? - Kannst du den Funktionsterm vereinfachen, wenn du weißt, dass der Graph durch den Ursprung geht und dort eine waagerechte Tangente hat? - Setze die bekannten Koordinaten und Steigungen in den Funktionsterm und seine Ableitung ein.

1. Allgemeiner Ansatz für eine Funktion 3. Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Bedingungen aus dem Text: - \(f(0) = 0 \Rightarrow d = 0\) - \(f'(0) = 0 \Rightarrow c = 0\) (waagerechter Beginn) - Damit vereinfacht sich der Ansatz zu \(f(x) = ax^3 + bx^2\). - \(f(2) = 2\) (Hochpunkt auf \(2\,\text{m}\) Höhe) - \(f'(2) = 0\) (Bedingung für den Hochpunkt) 3. Aufstellen der Gleichungen: - \(a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 = 2 \Rightarrow 8a + 4b = 2\) - \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx \Rightarrow 3a \cdot 2^2 + 2b \cdot 2 = 0 \Rightarrow 12a + 4b = 0\) 4. Lösen des Systems: - Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung: \(4a = -2 \Rightarrow a = -0{,}5\). - Einsetzen in \(12a + 4b = 0\): \(12 \cdot (-0{,}5) + 4b = 0 \Rightarrow -6 + 4b = 0 \Rightarrow 4b = 6 \Rightarrow b = 1{,}5\). 5. Die Funktionsgleichung lautet: \(f(x) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x^2\).

\(f(x) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x^2\)

- Welche mathematische Bedingung muss für eine waagerechte Tangente erfüllt sein? - Nutze die Symmetrie zum Wendepunkt, um die Anzahl der Unbekannten im Ansatz zu reduzieren oder Ergebnisse zu prüfen. - Was passiert mit den \(y\)-Werten einer Funktion, wenn man sie an einer waagerechten Geraden spiegelt? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Lage des Wendepunkts und der Lage der Extremstellen bei Funktionen dritten Grades.

1. Ansatz für \(f\): \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Wendepunkt \(W(1\mid1)\) bedeutet \(f(1) = 1\) und \(f''(1) = 0\). 3. Aus \(f''(x) = 6ax + 2b\) folgt \(6a + 2b = 0 \Rightarrow b = -3a\). 4. Waagerechte Tangente bei \(x = 0\) bedeutet \(f'(0) = 0\). Da \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\), folgt \(c = 0\). 5. Punkt \(A(3\mid5)\) einsetzen: \(f(3) = a \cdot 3^3 - 3a \cdot 3^2 + d = 27a - 27a + d = 5 \Rightarrow d = 5\). 6. Bedingung \(f(1) = 1\) nutzen: \(f(1) = a - 3a + 5 = -2a + 5 = 1 \Rightarrow -2a = -4 \Rightarrow a = 2\). 7. Funktionsterm von \(f\): \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5\). 8. Spiegelung an \(y = 1\): Der Abstand eines Punktes zu \(y=1\) wird umgekehrt. \(g(x) = 1 - (f(x) - 1) = 2 - f(x) = 2 - (2x^3 - 6x^2 + 5) = -2x^3 + 6x^2 - 3\). 9. Extremstellen von \(f\): \(f'(x) = 6x^2 - 12x = 6x(x-2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2\). 10. Koordinaten: \(f(0) = 5 \Rightarrow H(0\mid5)\) (Hochpunkt, da \(f''(0) = -12 < 0\)); \(f(2) = 2 \cdot 8 - 6 \cdot 4 + 5 = -3 \Rightarrow T(2\mid-3)\) (Tiefpunkt).

a) \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5\) b) Durch die Spiegelung an \(y = 1\) gilt \(g(x) = 2 - f(x)\). Einsetzen ergibt \(g(x) = 2 - (2x^3 - 6x^2 + 5) = -2x^3 + 6x^2 - 3\). c) Die Extrempunkte von \(f\) sind \(H(0\mid5)\) und \(T(2\mid-3)\).

- Achte auf die Symmetrie des Graphen bezüglich des Koordinatenursprungs. - Welche Form hat ein Funktionsterm, wenn nur ungerade Potenzen vorkommen dürfen? - Du kannst entweder die Nullstellenform oder den allgemeinen Ansatz mit den Koeffizienten verwenden. - Suche dir einen gut ablesbaren Punkt auf dem Gitter, um die Unbekannten zu bestimmen.

1. Der Graph weist zwei lokale Extremstellen auf, was auf einen Grad von mindestens 3 hindeutet. Da er zudem punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft, ist Grad 3 die einfachste Möglichkeit. 2. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung gilt \(g(x) = ax^3 + cx\). 3. Aus dem Graphen entnehmen wir die Nullstellen bei \(0\) und \(\pm 3\). Wir nutzen zusätzlich einen Punkt, z. B. \(P(1 \mid -2)\). Einsetzen von \(P(1 \mid -2)\) in \(g(x)\): \(a(1)^3 + c(1) = -2 \Rightarrow a + c = -2\). Einsetzen der Nullstelle \(x=3\): \(a(3)^3 + c(3) = 0 \Rightarrow 27a + 3c = 0 \Rightarrow 9a + c = 0\). Subtraktion: \(8a = 2 \Rightarrow a = 0{,}25\). Einsetzen in \(a + c = -2\): \(0{,}25 + c = -2 \Rightarrow c = -2{,}25\). Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = 0{,}25x^3 - 2{,}25x\).

1. Der kleinstmögliche Grad ist 3 (zwei Extremstellen, Punktsymmetrie). 2. Ansatz: \(g(x) = ax^3 + cx\). 3. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = 0{,}25x^3 - 2{,}25x\).

- Zähle die Anzahl der Kurvenbögen oder Extremstellen, um den Mindestgrad zu schätzen. - Spiegel den Graphen gedanklich an der \(y\)-Achse. Was stellst du fest? - Welche Terme fallen bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse weg? - Nutze sowohl den Funktionswert als auch die Steigung an einer der Extremstellen für deine Rechnung.

1. Der Graph hat drei lokale Extremstellen (\(T_1\), \(H\), \(T_2\)). Damit muss der Grad mindestens \(3+1 = 4\) sein. 2. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der Funktionsterm enthält daher nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 3. Ablesen der Punkte: \(H(0 \mid 0)\) und \(T_2(2 \mid -4)\). Aus \(H(0 \mid 0)\) folgt direkt \(c = 0\). Also \(f(x) = ax^4 + bx^2\). Punkt \(T_2(2 \mid -4)\): \(f(2) = a \cdot 2^4 + b \cdot 2^2 = 16a + 4b = -4 \Rightarrow 4a + b = -1\). Extremstelle bei \(x = 2\): \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\). \(f'(2) = 4a \cdot 8 + 2b \cdot 2 = 32a + 4b = 0 \Rightarrow 8a + b = 0\). Gleichungssystem lösen: Aus der zweiten Gleichung folgt \(b = -8a\). Einsetzen in die erste: \(4a - 8a = -1 \Rightarrow -4a = -1 \Rightarrow a = 0{,}25\). Dann ist \(b = -8 \cdot 0{,}25 = -2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}25x^4 - 2x^2\).

1. Der Grad ist mindestens 4, da drei Extremstellen vorliegen. 2. Es liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor; Ansatz: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 3. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 0{,}25x^4 - 2x^2\).

- Überlege dir, welche Information ein Funktionswert und welche eine Ableitung über die Flugbahn liefert. - Für die Funktionsgleichung kannst du die Scheitelpunktform nutzen, da der höchste Punkt gegeben ist. - Der Auftreffpunkt auf dem Boden entspricht mathematisch einer Nullstelle der Funktion. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Kurve in einem Punkt und dem Tangens des Steigungswinkels.

1. Interpretation: \(f(0) = 0{,}5\) bedeutet, dass das Wasser in einer Anfangshöhe von \(0{,}5\,\text{m}\) austritt. \(f'(2) = 0\) bedeutet, dass die Flugbahn bei einer horizontalen Entfernung von \(2\,\text{m}\) eine waagerechte Tangente besitzt, dort also die maximale Höhe erreicht wird. 2. Funktionsbestimmung: Mit dem Scheitelpunkt \(S(2 \mid 2{,}5)\) lautet der Ansatz \(f(x) = a(x - 2)^2 + 2{,}5\). Einsetzen von \(f(0) = 0{,}5\) ergibt \(a(0 - 2)^2 + 2{,}5 = 0{,}5\), also \(4a = -2\) und somit \(a = -0{,}5\). Der Funktionsterm ist \(f(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 2{,}5 = -0{,}5x^2 + 2x + 0{,}5\). 3. Nullstelle: \(-0{,}5x^2 + 2x + 0{,}5 = 0 \iff x^2 - 4x - 1 = 0\). Die positive Lösung ist \(x = 2 + \sqrt{5} \approx 4{,}24\). Der Wasserstrahl trifft nach ca. \(4{,}24\,\text{m}\) auf. 4. Austrittswinkel: Die Steigung an der Düse ist \(f'(0)\). Mit \(f'(x) = -x + 2\) folgt \(f'(0) = 2\). Der Winkel \(\alpha\) berechnet sich über \(\tan(\alpha) = 2\), woraus \(\alpha \approx 63{,}4^\circ\) folgt.

a) \(f(0) = 0{,}5\) ist die Austrittshöhe der Düse; \(f'(2) = 0\) kennzeichnet die Stelle der maximalen Höhe. b) \(f(x) = -0{,}5x^2 + 2x + 0{,}5\) c) Der Strahl trifft nach ca. \(4{,}24\,\text{m}\) auf. d) Der Austrittswinkel beträgt etwa \(63{,}4^\circ\).

- Nutze die Symmetrie zur \(y\)-Achse, um den Funktionsansatz zu vereinfachen. - Welche mathematische Bedeutung hat die Information, dass die Kurve „waagerecht“ in das Gelände mündet? - Welche Punkte des Graphen kannst du direkt aus der Beschreibung ablesen? - Stelle ein Gleichungssystem für die unbekannten Parameter auf.

1. Ansatz einer achsensymmetrischen Funktion 4. Grades: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Der Scheitelpunkt in der Mitte \((0 \mid 4)\) ergibt direkt den Parameter \(c = 4\). 3. Die Nullstelle am Ufer \((4 \mid 0)\) liefert die Gleichung \(f(4) = a \cdot 4^4 + b \cdot 4^2 + 4 = 0\), also \(256a + 16b + 4 = 0\). 4. Die Bedingung für den waagerechten Übergang am Ufer (\(f'(4) = 0\)) führt mit der Ableitung \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) zu \(4a \cdot 4^3 + 2b \cdot 4 = 0\), woraus \(256a + 8b = 0\) folgt. 5. Aus dem Gleichungssystem ergibt sich durch Subtraktion \(8b = -4\), also \(b = -0{,}5\). Einsetzen liefert \(256a = -8b = 4\), woraus \(a = \frac{4}{256} = \frac{1}{64}\) folgt. 6. Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = \frac{1}{64}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 4\).

Die Funktionsgleichung des Brückenbogens lautet \(f(x) = \frac{1}{64}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 4\).

- Überlege dir, wie eine waagerechte Gerade \(y = c\) im Koordinatensystem aussieht. - Wie viele Schnittpunkte hat diese Gerade mit dem Funktionsgraphen für verschiedene Höhen? - Achte besonders auf die Stellen, an denen sich die Anzahl der Schnittpunkte ändert, wie zum Beispiel an Hoch- und Tiefpunkten. - Was passiert mit dem Graphen weit links und weit rechts (außerhalb des sichtbaren Bereichs)?

1. Die Anzahl der Lösungen von \(f(x) = 0\) entspricht der Anzahl der Nullstellen. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an den Stellen \(-4\), \(-2\), \(2\) und \(4\). Es gibt also genau 4 Lösungen. 2. Die Gleichung hat genau vier Lösungen, wenn eine waagerechte Gerade \(y = c\) den Graphen viermal schneidet. Dies ist im Bereich zwischen den globalen Tiefpunkten (\(y = -3{,}6\)) und dem lokalen Hochpunkt (\(y = 6{,}4\)) der Fall. Das Intervall lautet somit \(-3{,}6 < c < 6{,}4\). 3. Genau zwei Lösungen treten in zwei Fällen auf: - An den beiden globalen Tiefpunkten bei \(c = -3{,}6\). - Oberhalb des lokalen Hochpunkts bei \(c > 6{,}4\). 4. Genau drei Lösungen gibt es, wenn die Gerade \(y = c\) genau durch den lokalen Hochpunkt verläuft und die beiden äußeren Äste schneidet. Das ist bei \(c = 6{,}4\) der Fall.

a) Die Gleichung hat 4 Lösungen. b) Für \(-3{,}6 < c < 6{,}4\). c) Für \(c = -3{,}6\) oder \(c > 6{,}4\). d) Für \(c = 6{,}4\).

- Bestimme zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktion. - Achte beim Berechnen der Funktionswerte an den Extremstellen besonders auf die Vorzeichen. - Wie verhält sich ein Graph zwischen einem Tiefpunkt mit negativem y-Wert und einem Hochpunkt mit positivem y-Wert? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird?

1. Erste Ableitung \(f'(x) = 2x^3 - 4x\). Nullstellen von \(f'\): \(2x(x^2 - 2) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) und \(x_3 = -\sqrt{2} \approx -1{,}41\). 2. Zweite Ableitung \(f''(x) = 6x^2 - 4\). Überprüfung der Stellen: \(f''(0) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(0 \mid 1{,}5)\). \(f''(\pm\sqrt{2}) = 6 \cdot 2 - 4 = 8 > 0 \implies\) Tiefpunkte \(T_1(-\sqrt{2} \mid -0{,}5)\) und \(T_2(\sqrt{2} \mid -0{,}5)\). 3. Globalverhalten: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). 4. Schlussfolgerung auf Nullstellen: Da die Tiefpunkte unterhalb der \(x\)-Achse (\(y = -0{,}5\)) und der Hochpunkt dazwischen oberhalb der \(x\)-Achse (\(y = 1{,}5\)) liegen, muss der Graph zwischen \(x = -\sqrt{2}\) und \(x = 0\) sowie zwischen \(x = 0\) und \(x = \sqrt{2}\) die \(x\)-Achse schneiden (2 Nullstellen). Wegen des Grenzverhaltens gegen \(\infty\) gibt es zudem jeweils eine Nullstelle im Bereich \(x < -\sqrt{2}\) und \(x > \sqrt{2}\). Insgesamt ergeben sich also 4 Nullstellen.

Die Extrempunkte sind \(H(0 \mid 1{,}5)\) (lokaler Hochpunkt) sowie \(T_1(-\sqrt{2} \mid -0{,}5)\) und \(T_2(\sqrt{2} \mid -0{,}5)\) (lokale Tiefpunkte). Da die \(y\)-Werte der Minima negativ und der \(y\)-Wert des Maximums positiv sind und die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) strebt, hat die Funktion genau vier Nullstellen.

- Berechne für jede Funktion die erste Ableitung und bestimme deren Nullstellen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Ableitungsnullstelle und der Art des Kurvenpunkts (Extrempunkt vs. Terrassenpunkt). - Überprüfe bei quadratischen Funktionen die Symmetrie über die Scheitelpunktform oder die Lage des Scheitelpunktes. - Überlege, ob die Funktion überall steigt oder fällt, um auf die Existenz von Extrema zu schließen.

1. Untersuchung von \(f(x) = x^4 + 1\): Die Ableitung \(f'(x) = 4x^3\) hat nur die Nullstelle \(x = 0\) (A). Bei \(x = 0\) liegt wegen \(f''(0) = 0\), \(f'''(0) = 0\) und \(f^{(4)}(0) = 24 > 0\) ein lokales Minimum vor, also kein Terrassenpunkt (B entfällt) und ein Extremum ist vorhanden (C entfällt). Die Symmetrieachse ist die \(y\)-Achse (\(x = 0\)), nicht \(x = 1\) (D entfällt). 2. Untersuchung von \(g(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\): Dies ist gleich \((x + 1)^3\). Die Ableitung \(g'(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2\) hat nur die Nullstelle \(x = -1\) (A). Da es eine doppelte Nullstelle der Ableitung ist (kein Vorzeichenwechsel von \(g'\)), handelt es sich um einen Terrassenpunkt (B). Da \(g\) streng monoton steigend ist, gibt es kein lokales Extremum (C). Achsensymmetrie liegt bei ungeraden Graden nicht vor (D entfällt). 3. Untersuchung von \(h(x) = x^2 - 2x + 5\): Die Ableitung \(h'(x) = 2x - 2\) hat nur die Nullstelle \(x = 1\) (A). Der Graph ist eine Parabel. Die Scheitelpunktform \(h(x) = (x - 1)^2 + 4\) zeigt, dass der Scheitelpunkt bei \(x = 1\) liegt. Somit ist der Graph achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\) (D). Da ein Minimum vorliegt, ist C falsch; ein Terrassenpunkt existiert bei quadratischen Funktionen nicht (B entfällt).

(1): A (2): A, B, C (3): A, D

- Was versteht man in der Mathematik unter Grenzkosten? - Welche Ableitung hilft dir dabei, die Extremstellen der Steigung zu finden? - Erinnere dich an die Bedeutung des Wendepunkts für das Krümmungsverhalten eines Graphen. - Wie verändert sich die Steigung links und rechts vom Wendepunkt in diesem Fall?

1. Bildung der ersten Ableitung (Grenzkostenfunktion): \(K'(x) = x^2 - 12x + 45\). 2. Bildung der zweiten Ableitung: \(K''(x) = 2x - 12\). 3. Bestimmung des Minimums der Grenzkosten durch Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(2x - 12 = 0 \implies x = 6\). 4. Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(K'''(x) = 2 > 0\), somit liegt bei \(x = 6\) ein Minimum der Steigung (Grenzkosten) vor. 5. Berechnung des Funktionswertes an der Wendestelle: \(K(6) = \frac{1}{3}(6)^3 - 6(6)^2 + 45(6) + 120 = 72 - 216 + 270 + 120 = 246\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(6 \mid 246)\). 6. Interpretation: Bis zur Produktionsmenge \(x = 6\) steigen die Kosten unterproportional (degressiv), da die Steigung abnimmt. Ab \(x = 6\) steigen die Kosten überproportional (progressiv), da die Steigung wieder zunimmt.

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(x = 6\,\text{ME}\) am geringsten. b) Der Wendepunkt liegt bei \(W(6 \mid 246)\). An dieser Stelle geht der Kostenverlauf von einem degressiven (rechtsgekrümmten) in einen progressiven (linksgekrümmten) Zuwachs über; hier wachsen die Kosten am langsamsten.

- Welche Form hat der Funktionsterm bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Wie hängen die Koeffizienten mit der Krümmung an einer bestimmten Stelle zusammen? - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte. - Du kannst für die Koeffizienten einfache Zahlen wählen, solange sie die Bedingungen erfüllen.

1. Da der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, enthält der Funktionsterm nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) und \(f''(x) = 12ax^2 + 2b\). 3. Für ein lokales Maximum bei \(x = 0\) muss \(f'(0) = 0\) (stets erfüllt) und \(f''(0) < 0\) gelten. Daraus folgt \(2b < 0\), also \(b < 0\). 4. Für genau zwei Wendestellen muss \(f''(x) = 0\) zwei Lösungen mit Vorzeichenwechsel haben: \(12ax^2 = -2b \Rightarrow x^2 = -\frac{b}{6a}\). Da \(b < 0\) ist, muss \(a > 0\) gewählt werden, damit die rechte Seite positiv ist und zwei reelle Lösungen für \(x\) existieren. 5. Beispielwahl: Setze \(a = 1\), \(b = -6\) und \(c = 0\). Dies ergibt \(f(x) = x^4 - 6x^2\). 6. Nachweis: \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 12 \cdot 0^2 - 12 = -12 < 0\) bestätigt das Maximum. \(f''(x) = 12x^2 - 12 = 0\) liefert \(x^2 = 1\), also \(x = \pm 1\). Da \(f''(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt, was die zwei Wendestellen bestätigt.

Eine mögliche Funktion ist \(f(x) = x^4 - 6x^2\). (Andere Lösungen wie \(f(x) = x^4 - x^2\) sind ebenfalls korrekt).

- Bestimme zuerst die Stelle, an der die zweite Ableitung null wird. - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes, wenn er zum Ursprung verschoben wird? - Erinnere dich an die binomischen Formeln oder das pascalsche Dreieck, um Potenzen wie \((x+2)^3\) aufzulösen. - Funktionen der Form \(f(x) = ax^3 + bx\) sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Das kann dir helfen, dein Ergebnis in Teil b zu überprüfen.

1. Ableitungen berechnen: \(g'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 6x + 4\), \(g''(x) = 3x - 6\). 2. Wendepunkt bestimmen: \(g''(x) = 0 \implies x = 2\). Die y-Koordinate ist \(g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 - 12 + 8 = 0\). Somit ist \(W(2 \mid 0)\). 3. Geradenprüfung: Einsetzen von \(x = 2\) in \(y = -x + 2\) ergibt \(y = -2 + 2 = 0\), was mit der y-Koordinate von \(W\) übereinstimmt. 4. Verschiebung bestimmen: Um den Punkt \(W(2 \mid 0)\) in den Ursprung \((0 \mid 0)\) zu verschieben, muss der Graph um \(2\) Einheiten nach links verschoben werden. 5. Transformation durchführen: \(k(x) = g(x + 2) = \frac{1}{2}(x + 2)^3 - 3(x + 2)^2 + 4(x + 2)\). 6. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(k(x) = \frac{1}{2}(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - 3(x^2 + 4x + 4) + 4x + 8\) \(k(x) = \frac{1}{2}x^3 + 3x^2 + 6x + 4 - 3x^2 - 12x - 12 + 4x + 8 = \frac{1}{2}x^3 - 2x\).

a) Der Wendepunkt ist \(W(2 \mid 0)\). Einsetzen in \(y = -x + 2\) ergibt \(0 = -2 + 2\). b) \(k(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2x\)

- Erinnere dich an die notwendige Bedingung für Wendestellen. - Ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten lässt sich gut durch das Additions- oder Einsetzungsverfahren lösen. - Um zu zeigen, dass es nur einen Extrempunkt gibt, musst du alle Nullstellen der ersten Ableitung finden und prüfen, ob weitere reelle Lösungen existieren. - Denke an die Diskriminante bei quadratischen Gleichungen.

1. Ableitungen bilden: \(g'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx\) und \(g''(x) = 12x^2 + 6ax + 2b\). 2. Parameter bestimmen: Die Bedingungen für Wendestellen sind \(g''(1) = 0\) und \(g''(2) = 0\). Dies führt auf das Gleichungssystem: (I) \(12 + 6a + 2b = 0\) (II) \(48 + 12a + 2b = 0\) Subtraktion (II) - (I) ergibt \(36 + 6a = 0\), also \(a = -6\). Einsetzen in (I) liefert \(12 - 36 + 2b = 0\), also \(2b = 24\) bzw. \(b = 12\). Die Funktion lautet \(g(x) = x^4 - 6x^3 + 12x^2\). 3. Extrempunkte untersuchen: \(g'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 24x = 2x(2x^2 - 9x + 12)\). Die Nullstellen von \(g'\) sind die Lösungen von \(2x = 0\) (also \(x = 0\)) und \(2x^2 - 9x + 12 = 0\). Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 81 - 96 = -15 < 0\). Somit gibt es keine weiteren reellen Nullstellen. 4. Art und Lage: \(g''(0) = 2b = 24 > 0\). Daher liegt an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Minimum vor. Der Funktionswert ist \(g(0) = 0\). Der einzige Extrempunkt ist somit der Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\).

a) \(a = -6\) und \(b = 12\) b) Der einzige relative Extrempunkt ist der Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\).

- Wenn in einer Gleichung nur \(x^4\) und \(x^2\) vorkommen, kannst du \(x^2\) durch einen anderen Buchstaben ersetzen, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. - Vergiss bei der Rücksubstitution nicht, dass eine positive Zahl zwei Quadratwurzeln hat. - Wie viele Extremstellen kann eine Funktion vierten Grades maximal haben? - Nutze die berechneten Punkte (Nullstellen, Minima, Maxima), um den Graphen präzise zu skizzieren.

1. Nullstellen: \(-\frac{1}{2}x^4 + 4x^2 - 6 = 0 \Leftrightarrow x^4 - 8x^2 + 12 = 0\). Substitution \(u = x^2\): \(u^2 - 8u + 12 = 0\). Mit der pq-Formel ergeben sich \(u_1 = 6\) und \(u_2 = 2\). Rücksubstitution: \(x_{1,2} = \pm\sqrt{6} \approx \pm 2{,}45\) und \(x_{3,4} = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41\). 2. Ableitungen: \(f'(x) = -2x^3 + 8x\) und \(f''(x) = -6x^2 + 8\). Extremstellen bestimmen: \(-2x \cdot (x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x_E \in \{0; 2; -2\}\). Art bestimmen: \(f''(0) = 8 > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum bei \(T(0 \mid -6)\). \(f''(2) = -6 \cdot 4 + 8 = -16 < 0 \Rightarrow\) lokales Maximum bei \(H_1(2 \mid 2)\). Aufgrund der Achsensymmetrie (nur gerade Exponenten) liegt das zweite Maximum bei \(H_2(-2 \mid 2)\). 3. Für die Skizze sollten die Punkte \(T(0 \mid -6)\), \(H_1(2 \mid 2)\), \(H_2(-2 \mid 2)\) sowie die vier Nullstellen markiert und glatt verbunden werden. Da der Leitkoeffizient negativ ist (\(-0{,}5\)), kommt der Graph von \(-\infty\) und geht nach \(-\infty\).

Die Nullstellen liegen bei \(x = \pm\sqrt{6}\) und \(x = \pm\sqrt{2}\). Die Funktion besitzt zwei lokale Maxima bei \(H_1(2 \mid 2)\) und \(H_2(-2 \mid 2)\) sowie ein lokales Minimum bei \(T(0 \mid -6)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und erfüllt \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm\infty\).

- Erinnere dich daran, was eine waagerechte Tangente über die Ableitung aussagt und welche Arten von Punkten dort möglich sind. - Wenn die Funktion zwischen zwei waagerechten Tangenten steigen muss, was schließt das für den ersten Punkt aus? - Überlege dir, wie sich das Globalverhalten ändert, je nachdem ob der letzte besondere Punkt ein Extremum oder ein Sattelpunkt ist. - Wie oft kann eine Funktion, die nur zwei Stellen mit waagerechter Tangente hat, ihre Richtung ändern?

1. Da \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\), muss die Funktion bis zum Punkt \(P(0 \mid 2)\) steigen. Wäre \(P\) ein Hochpunkt, müsste sie danach fallen. Um den höheren Punkt \(Q(2 \mid 5)\) zu erreichen, wäre dann ein zusätzlicher Tiefpunkt zwischen \(x=0\) und \(x=2\) nötig, was der Bedingung von genau zwei waagerechten Tangenten widerspricht. Ein Tiefpunkt bei \(P\) ist unmöglich, da die Funktion sonst vor \(x=0\) fallen müsste. Also ist \(P\) ein Sattelpunkt. 2. Da die Funktion bei \(P\) ein Sattelpunkt ist und davor stieg, steigt sie auch nach \(P\) weiter an. Sie erreicht \(Q(2 \mid 5)\) also von unten. Wäre \(Q\) ein Tiefpunkt, müsste sie davor fallen. Somit kann \(Q\) nur ein Hochpunkt oder ein weiterer Sattelpunkt sein. Ist \(Q\) ein Hochpunkt, fällt die Funktion danach (\(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\)). Ist \(Q\) ein Sattelpunkt, steigt sie weiter an (\(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\)). 3. Da die Funktion von \(-\infty\) kommend bis \(P(0 \mid 2)\) steigt, gibt es im Intervall \((-\infty; 0)\) genau eine Nullstelle. Zwischen \(x=0\) und \(x=2\) steigt die Funktion von \(2\) auf \(5\), dort gibt es keine Nullstelle. Falls \(Q\) ein Sattelpunkt ist, steigt sie weiter, also bleibt es bei einer Nullstelle. Falls \(Q\) ein Hochpunkt ist, fällt sie für \(x > 2\) von \(5\) nach \(-\infty\) und erzeugt eine zweite Nullstelle. Die Anzahl ist also minimal 1 und maximal 2.

a) \(P\) muss ein Sattelpunkt sein, da die Funktion von \(-\infty\) kommt, bis \(P\) steigen muss und ohne weiteren Extrempunkt den höheren Punkt \(Q\) nur erreichen kann, wenn sie bei \(P\) nicht umkehrt. b) \(Q\) kann ein Hochpunkt (mit \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\)) oder ein Sattelpunkt (mit \(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\)) sein. c) Die Funktion \(h\) hat entweder eine (falls \(Q\) ein Sattelpunkt ist) oder zwei Nullstellen (falls \(Q\) ein Hochpunkt ist).

- Wie viele Extremstellen kann eine Funktion 5. Grades höchstens besitzen? - Überlege dir, wie sich der Graph zwischen den Extrempunkten verhält. Muss er die x-Achse kreuzen? - Was passiert mit den Funktionswerten für sehr große oder sehr kleine x-Werte? - Skizziere den Verlauf des Graphen grob anhand der berechneten Punkte.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 15x^4 - 75x^2 + 60\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: Durch Substitution \(z = x^2\) erhält man \(15z^2 - 75z + 60 = 0\), woraus \(z_1 = 1\) und \(z_2 = 4\) folgen. Die Extremstellen liegen somit bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2\). 3. Funktionswerte an den Extremstellen berechnen: \(f(-2) = -36\) (lokales Maximum), \(f(-1) = -58\) (lokales Minimum), \(f(1) = 18\) (lokales Maximum) und \(f(2) = -4\) (lokales Minimum). 4. Grenzverhalten untersuchen: Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\). 5. Nullstellenintervalle analysieren: - Im Intervall \((-\infty; -2]\) steigt die Funktion von \(-\infty\) auf \(-36\) (keine Nullstelle). - Im Intervall \([-2; -1]\) fällt sie von \(-36\) auf \(-58\) (keine Nullstelle). - Im Intervall \([-1; 1]\) steigt sie von \(-58\) auf \(18\) (eine Nullstelle). - Im Intervall \([1; 2]\) fällt sie von \(18\) auf \(-4\) (eine Nullstelle). - Im Intervall \([2; \infty)\) steigt sie von \(-4\) auf \(\infty\) (eine Nullstelle). Insgesamt ergeben sich somit genau 3 Lösungen.

Die Gleichung hat genau 3 reelle Lösungen.

- Forme den Term um oder vergleiche \(f(1+u)\) und \(f(1-u)\), um eine mögliche verschobene Symmetrieachse zu erkennen. - Für die Nullstellen kannst du das Ausklammern von \(x^2\) und anschließend die binomischen Formeln nutzen. - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrem- und Wendepunkte (Ableitungen). - Das Verhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. - Die Wertemenge ergibt sich aus dem globalen Verlauf und den gefundenen Extremwerten.

1. Symmetrie: Es gilt \(f(x) = x^2(x-2)^2 = ((x-1)^2-1)^2\). Daher ist \(f(1+u) = f(1-u)\) für alle \(u \in \mathbb{R}\), und der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\). 2. Verhalten im Unendlichen: Da der Leitterm \(x^4\) positiv ist und einen geraden Exponenten besitzt, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Schnittpunkte mit den Achsen: \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = 0\), also \(S_y(0 \mid 0)\). Nullstellen: \(x^2(x^2 - 4x + 4) = 0 \Rightarrow x^2(x-2)^2 = 0\). Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 4. Extrempunkte: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x-1)(x-2)\). Nullstellen der ersten Ableitung bei \(x \in \{0; 1; 2\}\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = 12x^2 - 24x + 8\). Überprüfung: \(f''(0) = 8 > 0 \Rightarrow T_1(0 \mid 0)\); \(f''(1) = -4 < 0 \Rightarrow H(1 \mid 1)\); \(f''(2) = 8 > 0 \Rightarrow T_2(2 \mid 0)\). 5. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 12x^2 - 24x + 8 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x + 2 = 0\). Mit der pq-Formel: \(x_{W1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\). Funktionswerte: \(f(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}\). Wendepunkte bei \(W_1(1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \mid \frac{4}{9})\) und \(W_2(1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \mid \frac{4}{9})\). 6. Wertemenge: Da die globalen Minima bei \(y = 0\) liegen und die Funktion gegen \(+\infty\) strebt, ist \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 0\}\).

(1) Achsensymmetrie zur Geraden \(x = 1\). (2) \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\). (3) \(S_y(0 \mid 0)\); Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). (4) Tiefpunkte \(T_1(0 \mid 0)\) und \(T_2(2 \mid 0)\), Hochpunkt \(H(1 \mid 1)\). (5) Wendepunkte \(W_{1,2}(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \mid \frac{4}{9})\). (6) \(W = [0; \infty)\).

- Nutze die Symmetrieeigenschaften, um Rechnungen zu verkürzen. - Für die Nullstellenberechnung bei einer Funktion 4. Grades kann eine Ersetzung (Substitution) hilfreich sein. - Überlege dir, wie viele Extrempunkte eine Funktion 4. Grades maximal haben kann. - Vergiss nicht, die hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte zu prüfen.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Achsenschnittpunkte: \(y\)-Achsenabschnitt: \(g(0) = -2 \implies S_y(0 \mid -2)\). Nullstellen: \(-\frac{1}{8}x^4 + x^2 - 2 = 0\). Substitution \(z = x^2\) führt zu \(z^2 - 8z + 16 = 0\), woraus \((z-4)^2 = 0\), also \(z = 4\) folgt. Rücksubstitution ergibt \(x^2 = 4 \implies x_{1,2} = \pm 2\). Nullstellen: \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). 3. Extrempunkte: \(g'(x) = -\frac{1}{2}x^3 + 2x\). \(g'(x) = 0 \implies -\frac{1}{2}x(x^2 - 4) = 0 \implies x_1 = 0, x_{2,3} = \pm 2\). Zweite Ableitung: \(g''(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 2\). Prüfung: \(g''(0) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(0 \mid -2)\). \(g''(\pm 2) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkte \(H_1(-2 \mid 0)\) und \(H_2(2 \mid 0)\). 4. Wendepunkte: \(g''(x) = 0 \implies \frac{3}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1{,}15\). Da \(g'''(x) = -3x \neq 0\) für diese Stellen, liegen Wendepunkte vor. Funktionswerte: \(g(\pm \sqrt{4/3}) = -\frac{1}{8}(\frac{16}{9}) + \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{9} + \frac{12}{9} - \frac{18}{9} = -\frac{8}{9}\). Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \frac{2}{\sqrt{3}} \mid -\frac{8}{9})\).

Symmetrie: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. Schnittpunkte: \(S_y(0 \mid -2)\), \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(T(0 \mid -2)\), \(H_1(-2 \mid 0)\), \(H_2(2 \mid 0)\). Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \frac{2}{\sqrt{3}} \mid -\frac{8}{9})\).

- Nutze den Satz vom Nullprodukt für die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. - Überlege dir, ob es einfacher ist, die Produktregel anzuwenden oder den Term zuerst auszumultiplizieren. - Denk daran, dass bei einer doppelten Nullstelle der Graph die Achse berührt – was bedeutet das für die Steigung? - Verwende die zweite Ableitung, um die Art der Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt) zu bestätigen.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = (0^2 - 4) \cdot (0 - 1)^2 = -4 \cdot 1 = -4\). Punkt \(S_y(0 \mid -4)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(f(x) = 0 \iff x^2 - 4 = 0\) oder \((x - 1)^2 = 0\). Dies liefert \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und die doppelte Nullstelle \(x_3 = 1\). Schnittpunkte: \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\), \(N_3(1 \mid 0)\). 2. Zur Bestimmung der Extrema wird die Funktion ausmultipliziert: \(f(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 2x + 1) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 8x - 4\). Erste Ableitung: \(f'(x) = 4x^3 - 6x^2 - 6x + 8\). Da \(x=1\) eine doppelte Nullstelle von \(f\) ist, muss dort eine Extremstelle vorliegen: \(f'(1) = 4 - 6 - 6 + 8 = 0\). Polynomdivision von \(f'(x)\) durch \((x-1)\) ergibt \(4x^2 - 2x - 8\). Weitere Nullstellen von \(f'(x)\) via \(4x^2 - 2x - 8 = 0\): \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (-8)}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{132}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}\). Dies ergibt \(x \approx 1{,}69\) und \(x \approx -1{,}19\). Überprüfung mit \(f''(x) = 12x^2 - 12x - 6\): \(f''(1) = -6 < 0 \implies H(1 \mid 0)\). \(f''(-1{,}19) \approx 25{,}2 > 0 \implies T_1(-1{,}19 \mid f(-1{,}19)) \approx T_1(-1{,}19 \mid -12{,}40)\). \(f''(1{,}69) \approx 7{,}8 > 0 \implies T_2(1{,}69 \mid f(1{,}69)) \approx T_2(1{,}69 \mid -0{,}54)\).

1. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid -4)\), \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\), \(N_3(1 \mid 0)\). 2. Lokale Extrempunkte: Hochpunkt \(H(1 \mid 0)\), Tiefpunkte \(T_1 \approx (-1{,}19 \mid -12{,}40)\) und \(T_2 \approx (1{,}69 \mid -0{,}54)\).

- Prüfe, ob alle Exponenten von \(x\) gerade oder ungerade sind. - Klammere zuerst \(x\) aus, um die Nullstellen zu finden, und nutze dann ein weiteres Verfahren für den verbleibenden Term. - Für die Extrema musst du die Nullstellen der Ableitung bestimmen; eine Substitution kann hier hilfreich sein. - Nutze die Punktsymmetrie, um die Anzahl der notwendigen Berechnungen für die Extrempunkte zu reduzieren.

1. Symmetrie: Nur ungerade Exponenten kommen vor, daher \(f(-x) = -f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Nullstellen: \(x(x^4 - 2x^2 + 1) = 0 \iff x(x^2 - 1)^2 = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) (einfach) sowie \(x_{2,3} = \pm 1\) (jeweils doppelt). Nullstellen: \((0 \mid 0), (-1 \mid 0), (1 \mid 0)\). 3. Extrempunkte: \(f'(x) = 5x^4 - 6x^2 + 1\). Mit Substitution \(u = x^2\): \(5u^2 - 6u + 1 = 0 \implies u_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36-20}}{10}\), also \(u_1 = 1\) und \(u_2 = \frac{1}{5}\). Kandidaten für Extrema: \(x = \pm 1\) und \(x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}\). Prüfung mit \(f''(x) = 20x^3 - 12x\): - \(f''(-1) = -8 < 0 \implies H(-1 \mid 0)\). - \(f''\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = \frac{8\sqrt{5}}{5} > 0 \implies TP\left(-\frac{\sqrt{5}}{5} \mid -\frac{16\sqrt{5}}{125}\right)\). - \(f''\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{8\sqrt{5}}{5} < 0 \implies HP\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \mid \frac{16\sqrt{5}}{125}\right)\). - \(f''(1) = 8 > 0 \implies T(1 \mid 0)\).

a) Symmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung; Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = -1\), \(x_{4,5} = 1\) b) Hochpunkte: \(H(-1 \mid 0)\), \(HP_2\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \mid \frac{16\sqrt{5}}{125}\right)\); Tiefpunkte: \(T(1 \mid 0)\), \(TP_2\left(-\frac{\sqrt{5}}{5} \mid -\frac{16\sqrt{5}}{125}\right)\)

- Wie vereinfacht sich der allgemeine Ansatz einer Funktion 4. Grades bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Welche Ableitungsbedingung muss an einer Extremstelle (Minimum/Maximum) erfüllt sein? - Wie kannst du den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse direkt in den Funktionsterm einbauen? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob die berechneten Werte alle Bedingungen erfüllen.

1. Ansatz aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\). Ableitung: \(f'(x) = 4ax^3 + 2cx\). 2. Bedingung \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = 5 \Rightarrow e = 5\). 3. Bedingung Punkt \(P(1 \mid -2)\): \(f(1) = -2 \Rightarrow a \cdot 1^4 + c \cdot 1^2 + 5 = -2 \Rightarrow a + c = -7\). 4. Bedingung lokales Minimum bei \(x = 2\): \(f'(2) = 0 \Rightarrow 4a \cdot 2^3 + 2c \cdot 2 = 0 \Rightarrow 32a + 4c = 0 \Rightarrow 8a + c = 0\). 5. Gleichungssystem lösen: Subtraktion der Gleichungen \((8a + c) - (a + c) = 0 - (-7) \Rightarrow 7a = 7 \Rightarrow a = 1\). Einsetzen liefert \(1 + c = -7 \Rightarrow c = -8\). 6. Prüfung der Hinreichenden Bedingung: \(f''(x) = 12ax^2 + 2c\). Mit \(a=1, c=-8\) ist \(f''(2) = 12 \cdot 4 - 16 = 32 > 0\). Es liegt tatsächlich ein Minimum vor. 7. Ergebnis: \(f(x) = x^4 - 8x^2 + 5\).

\(f(x) = x^4 - 8x^2 + 5\)

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung und die benötigten Ableitungen auf. - Welche Informationen liefert der Ursprung als Wendepunkt für die Koeffizienten? - Was sagt die Gleichung der Wendetangente über die Steigung der Funktion an dieser Stelle aus? - Nutze die notwendige Bedingung für Extremstellen, um den verbleibenden Parameter zu berechnen. - Untersuche dann mit der hinreichenden Bedingung, welche Art von Extremum an der Stelle \(x = 1\) tatsächlich vorliegt.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Wendepunkt im Ursprung \((0 \mid 0)\) bedeutet \(f(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). Daraus folgt direkt \(d = 0\) und \(b = 0\). 3. Die Wendetangente \(w(x) = x\) hat die Steigung \(1\). Somit gilt \(f'(0) = 1\), woraus \(c = 1\) folgt. Die Funktion hat bisher die Form \(f(x) = ax^3 + x\). 4. Für einen lokalen Extrempunkt bei \(x = 1\) muss \(f'(1) = 0\) gelten. Mit \(f'(x) = 3ax^2 + 1\) folgt: \(3a \cdot 1^2 + 1 = 0 \implies 3a = -1 \implies a = -\frac{1}{3}\). 5. Um zu prüfen, ob ein Tiefpunkt vorliegt, betrachtet man die zweite Ableitung \(f''(x) = 6ax = -2x\). 6. An der Stelle \(x = 1\) gilt \(f''(1) = -2 \cdot 1 = -2\). 7. Da \(f''(1) < 0\) ist, liegt bei \(x = 1\) ein lokaler Hochpunkt vor. 8. Da die Bedingung eines Tiefpunkts nicht erfüllt werden kann, existiert keine solche Funktion.

Es existiert keine solche Funktion, da die Berechnungen für ein lokales Extremum bei \(x = 1\) zwingend zu einem lokalen Hochpunkt (\(f''(1) = -2 < 0\)) führen, was im Widerspruch zur Forderung eines Tiefpunkts steht.

- Überlege zuerst, welche allgemeine Form eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion 3. Grades hat. - Was sagt dir die Steigung an einer bestimmten Stelle über die Ableitungsfunktion aus? - Wenn nach „allen“ Funktionen gefragt ist, bleibt oft ein Parameter im Funktionsterm stehen. - Nutze den zusätzlichen Punkt am Ende, um den verbliebenen Parameter konkret zu berechnen.

1. Ansatz aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(x) = ax^3 + cx\). 2. Bedingung für die Steigung: \(f'(1) = 6\). 3. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3ax^2 + c\). 4. Einsetzen: \(3a \cdot 1^2 + c = 6 \implies 3a + c = 6 \implies c = 6 - 3a\). 5. Funktionenschar aufstellen: \(f_a(x) = ax^3 + (6 - 3a)x\) mit \(a \neq 0\). 6. Punktprobe mit \(Q(2 \mid 20)\): \(f_a(2) = a \cdot 2^3 + (6 - 3a) \cdot 2 = 20\). 7. Gleichung lösen: \(8a + 12 - 6a = 20 \implies 2a + 12 = 20 \implies 2a = 8 \implies a = 4\). 8. Parameter \(c\) bestimmen: \(c = 6 - 3 \cdot 4 = -6\). 9. Ergebnis: \(f(x) = 4x^3 - 6x\).

Alle Funktionen: \(f_a(x) = ax^3 + (6 - 3a)x\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Spezielle Funktion durch \(Q\): \(f(x) = 4x^3 - 6x\).

- Notiere dir zuerst die allgemeine Funktionsgleichung und die benötigten Ableitungen. - Übersetze jede Information aus dem Text in eine mathematische Gleichung (z. B. Punkt, Steigung, Krümmung). - Achte darauf, dass ein Punkt auf dem Graphen immer eine Bedingung für \(f(x)\) liefert, während Eigenschaften der Steigung oder Krümmung die Ableitungen betreffen. - Verwende ein Verfahren deiner Wahl (z. B. Einsetzungsverfahren), um das resultierende Gleichungssystem zu lösen.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(y=3\): \(f(0) = 3 \implies d = 3\). 3. Steigung an der Stelle \(x=0\): \(f'(0) = -6 \implies c = -6\). 4. Wendebedingung bei \(x=1\): \(f''(1) = 0 \implies 6a + 2b = 0\) bzw. \(3a + b = 0\). 5. Funktionswert am Wendepunkt \(W(1 \mid 1)\): \(f(1) = 1 \implies a + b + c + d = 1\). Einsetzen der bekannten Werte ergibt \(a + b - 6 + 3 = 1\), also \(a + b = 4\). 6. Lösung des Gleichungssystems: Aus \(b = -3a\) folgt \(a - 3a = 4\), woraus sich \(a = -2\) ergibt. Einsetzen liefert \(b = 6\). 7. Ergebnis: \(f(x) = -2x^3 + 6x^2 - 6x + 3\).

\(f(x) = -2x^3 + 6x^2 - 6x + 3\)

- Nutze den Parameter \(a\) als freie Variable, da du für eine Funktion 4. Grades fünf Koeffizienten, aber nur vier punkt- bzw. ableitungsbezogene Gleichungen hast. - Drücke alle anderen Koeffizienten durch \(a\) aus. - Erinnere dich an das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt: \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\). - Stelle eine Ungleichung für \(a\) auf, die sicherstellt, dass die zweite Ableitung an der Stelle \(x = 2\) positiv ist.

1. Ansatz: \(g(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) mit \(g'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d\) und \(g''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c\). 2. Bedingungen anwenden: - \(g(0) = 0 \implies e = 0\) - \(g''(3) = 0 \implies 108a + 18b + 2c = 0 \implies c = -54a - 9b\) - \(g(2) = 4 \implies 16a + 8b + 4c + 2d = 4\) - \(g'(2) = 0 \implies 32a + 12b + 4c + d = 0\) 3. Abhängigkeiten von \(a\) berechnen: Durch Substitution von \(c\) in die Gleichungen für \(g(2)\) und \(g'(2)\) erhält man ein System für \(b\) und \(d\). Es ergibt sich \(b = 0{,}2 - 8{,}4a\), \(c = 21{,}6a - 1{,}8\) und \(d = 4{,}8 - 17{,}6a\). 4. Bedingung für Tiefpunkt: Es muss \(g''(2) > 0\) gelten. 5. \(g''(2)\) in Abhängigkeit von \(a\) berechnen: \(g''(2) = 48a + 12b + 2c = 48a + 12(0{,}2 - 8{,}4a) + 2(21{,}6a - 1{,}8) = -9{,}6a - 1{,}2\). 6. Ungleichung lösen: \(-9{,}6a - 1{,}2 > 0 \implies -9{,}6a > 1{,}2 \implies a < -0{,}125\). 7. Für alle \(a < -0{,}125\) existiert eine solche Funktion (unter der zusätzlichen Bedingung \(g'''(3) \neq 0\), was hier für diesen Bereich erfüllt ist).

Ja, es gibt unendlich viele solcher Funktionen vierten Grades. Damit der Punkt \(T(2 \mid 4)\) ein lokaler Tiefpunkt ist, muss für den Leitkoeffizienten \(a\) die Bedingung \(a < -0{,}125\) erfüllt sein.

- Wie vereinfacht die Achsensymmetrie den allgemeinen Ansatz einer Funktion vierten Grades? - Welche Ableitungen benötigst du, um Bedingungen für Wendepunkte und Tangentensteigungen zu formulieren? - Erinnere dich daran, welche Ableitung die Krümmung (Wendepunkt) und welche die Steigung (Tangente) beschreibt. - Stelle ein Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten auf.

1. Der Ansatz für eine achsensymmetrische Funktion vierten Grades ist \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Der Punkt \(S(0 \mid 5)\) liefert die Bedingung \(f(0) = 5\), woraus \(c = 5\) folgt. 3. Ein Wendepunkt an der Stelle \(x = 1\) bedeutet, dass die zweite Ableitung dort null ist: \(f''(1) = 0\). Mit \(f''(x) = 12ax^2 + 2b\) ergibt sich die Gleichung \(12a + 2b = 0\). 4. Die Steigung der Wendetangente ist der Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle: \(f'(1) = -4\). Mit \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) folgt \(4a + 2b = -4\). 5. Durch Lösen des Gleichungssystems (\(12a + 2b = 0\) und \(4a + 2b = -4\)) erhält man durch Subtraktion \(8a = 4\), also \(a = 0{,}5\). Hieraus folgt \(b = -3\). 6. Zur Bestätigung der Wendestelle gilt für die gefundene Funktion \(f'''(x) = 12x\), also \(f'''(1)=12 \neq 0\). Damit liegt bei \(x=1\) tatsächlich ein Wendepunkt vor. 7. Die gesuchte Funktion ist \(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 5\).

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 5\)

- Ein Sattelpunkt auf der \(x\)-Achse ist gleichzeitig eine Nullstelle. Was bedeutet das für die Vielfachheit dieser Nullstelle? - Du kannst entweder den allgemeinen Ansatz \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) nutzen oder die Nullstellenform verwenden. - Überlege, wie du die Informationen über den Punkt und die Steigung in ein Gleichungssystem übersetzt. - Falls du den allgemeinen Ansatz nutzt: Welche drei Bedingungen liefert der Sattelpunkt bei \(x=2\)?

1. Ein Sattelpunkt an einer Nullstelle \(x_0\) bei einer Funktion 4. Grades deutet auf eine dreifache Nullstelle hin. Der Ansatz lautet daher \(f(x) = a(x - 2)^3(x - k)\). 2. Bedingung Punkt \(Q(0 \mid 8)\): \(f(0) = a(0 - 2)^3(0 - k) = 8ak = 8\), woraus \(ak = 1\) folgt. 3. Bedingung Steigung \(f'(0) = -20\): Die Ableitung nach der Produktregel ist \(f'(x) = 3a(x - 2)^2(x - k) + a(x - 2)^3 = a(x - 2)^2(4x - 3k - 2)\). Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f'(0) = a(-2)^2(-3k - 2) = 4a(-3k - 2) = -12ak - 8a = -20\). 4. Da \(ak = 1\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(-12(1) - 8a = -20\). Dies führt zu \(-8a = -8\), also \(a = 1\). 5. Aus \(ak = 1\) folgt dann \(k = 1\). 6. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = (x - 2)^3(x - 1)\). Ausmultipliziert ergibt dies \(f(x) = x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8\).

\(f(x) = x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8\)

- Was weißt du über das Verhalten von \(x^2, x^4, \dots\) für sehr große positive und negative \(x\)-Werte? - Wenn eine Funktion von weit oben kommt und wieder weit nach oben geht, was muss dazwischen passieren? - Wie hängen der Grad einer Funktion und der Grad ihrer Ableitung zusammen? - Wie viele Nullstellen kann ein Polynom vom Grad \(k\) maximal haben?

1. Globalverhalten (Teil a): Bei einer ganzrationalen Funktion mit geradem Grad \(n\) streben die Funktionswerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) in dieselbe Richtung, also beide gegen \(+\infty\) oder beide gegen \(-\infty\). Daher besitzt die Funktion mindestens ein globales Minimum beziehungsweise ein globales Maximum. 2. Anzahl der Extremstellen (Teil b): Notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist \(f'(x)=0\). Wenn \(f\) den Grad \(4\) hat, besitzt die Ableitungsfunktion \(f'\) den Grad \(3\). Ein Polynom dritten Grades hat maximal drei Nullstellen. Daher kann \(f\) höchstens drei Extremstellen besitzen.

a) Bei geradem Grad streben beide Äste des Graphen in dieselbe Richtung; daher besitzt die Funktion mindestens ein globales Minimum oder ein globales Maximum. b) Die Ableitung einer Funktion 4. Grades ist ein Polynom 3. Grades, das höchstens drei Nullstellen besitzt. Daher sind höchstens drei Extremstellen möglich.

- Berechne zuerst die Ableitungen der Funktionen. - Wie viele Nullstellen kann die Ableitung einer Funktion 3. Grades haben? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einer einfachen Nullstelle der Ableitung und einer Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. - Was passiert graphisch bei einer stationären Wendestelle?

1. Untersuchung von \(f\): Die Ableitung ist \(f'(x)=3x^2+1\). Die Gleichung \(3x^2+1=0\) hat keine reelle Lösung. \(f\) besitzt daher keine Extremstelle. 2. Untersuchung von \(g\): Die Ableitung ist \(g'(x)=3x^2-3\). Ihre Nullstellen liegen bei \(x=\pm1\), und an beiden Stellen wechselt das Vorzeichen. \(g\) besitzt daher zwei Extremstellen. 3. Allgemeine Begründung: Die Ableitung einer Funktion 3. Grades ist eine quadratische Funktion. Sie kann keine, eine doppelte oder zwei einfache Nullstellen besitzen. Bei einer doppelten Nullstelle findet kein Vorzeichenwechsel statt, sodass dort keine Extremstelle, sondern eine stationäre Wendestelle vorliegt. Daher sind entweder keine oder zwei lokale Extremstellen möglich.

a) \(f\) besitzt keine lokale Extremstelle; \(g\) besitzt zwei lokale Extremstellen. b) Eine einzige Nullstelle der quadratischen Ableitung wäre eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel und damit keine Extremstelle. Daher sind nur null oder zwei lokale Extremstellen möglich.

- Verwende die erste Ableitung, um Stellen mit waagrechter Tangente zu finden. - Die zweite Ableitung hilft dir zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktion \(p\) ein. - Für die Tangente benötigst du den Funktionswert und die Steigung an der Stelle \(x=1\).

1. Ableitungen bilden: \(p'(x) = -4x^3 + 8x\) und \(p''(x) = -12x^2 + 8\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(p'(x) = 0 \Rightarrow -4x(x^2 - 2) = 0\). Daraus folgen die Extremstellen \(x = 0\) und \(x = \pm\sqrt{2}\). 3. Art der Extrema prüfen: \(p''(0) = 8 > 0\), also liegt bei \((0 \mid 0)\) ein Tiefpunkt. Für \(x=\pm\sqrt{2}\) gilt \(p''(x)=-16<0\), also liegen dort Hochpunkte. 4. Die Funktionswerte sind \(p(\pm\sqrt{2})=4\). Daher lauten die Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{2} \mid 4)\) und \(H_2(\sqrt{2} \mid 4)\). 5. Für die Tangente gilt \(p(1)=3\) und \(p'(1)=4\). Mit \(t(x)=4x+c\) folgt aus \(3=4+c\), dass \(c=-1\). Somit ist \(t(x)=4x-1\).

a) Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{2} \mid 4)\) und \(H_2(\sqrt{2} \mid 4)\), Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\). b) Die Punkte stimmen mit den Extremstellen des dargestellten Graphen überein. c) \(t(x)=4x-1\).

- Setze die beiden Funktionsterme gleich, um alle Schnittpunkte zu bestimmen. - Leite die Funktionen ab, um die Steigungen an den Schnittstellen zu erhalten. - Verwende den Zusammenhang zwischen den beiden Steigungen und dem Tangens des Schnittwinkels.

1. Schnittpunkte: Aus \(\frac{1}{4}x^3=x\) folgt \(x(x^2-4)=0\). Daher sind \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Die Schnittpunkte lauten \(Q(-2 \mid -2)\), \(O(0 \mid 0)\) und \(P(2 \mid 2)\). 2. Ableitungen: \(f'(x)=\frac{3}{4}x^2\) und \(g'(x)=1\). 3. Im Ursprung gelten die Steigungen \(m_f=0\) und \(m_g=1\). Daher beträgt der Schnittwinkel \(45^\circ\). 4. In den Punkten \(Q\) und \(P\) gelten \(m_f=3\) und \(m_g=1\). Somit ist \(\tan(\varphi)=\left|\frac{3-1}{1+3\cdot1}\right|=0{,}5\), also \(\varphi\approx26{,}6^\circ\).

Schnittpunkte: \(Q(-2 \mid -2)\), \(O(0 \mid 0)\) und \(P(2 \mid 2)\). Schnittwinkel: bei \(O\) \(45^\circ\), bei \(Q\) und \(P\) jeweils \(\varphi\approx26{,}6^\circ\).

- Nutze die Symmetrie der Funktion, um deine Rechnungen zu prüfen. - Klammere bei der Bestimmung der Nullstellen \(x^2\) aus. - Die Extremstellen liegen dort, wo die erste Ableitung null ist. - Überprüfe die \(y\)-Werte der Tiefpunkte im Diagramm.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Achsenschnittpunkte: \(f(0)=0\). Aus \(\frac{1}{2}x^2(x^2-4)=0\) folgen \(x=0\) als doppelte Nullstelle und \(x=\pm2\). Die Punkte sind \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(-2 \mid 0)\) und \(N_3(2 \mid 0)\). 3. Extremstellen: \(f'(x)=2x^3-4x=2x(x^2-2)\). Daher sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{2}\). 4. Mit \(f''(x)=6x^2-4\) folgt \(f''(0)<0\), also \(H(0 \mid 0)\), und \(f''(\pm\sqrt{2})>0\), also Tiefpunkte. 5. Es gilt \(f(\pm\sqrt{2})=-2\). Daher sind \(T_1(-\sqrt{2} \mid -2)\) und \(T_2(\sqrt{2} \mid -2)\). 6. Alle berechneten Punkte stimmen mit dem dargestellten Graphen überein.

Der Graph ist korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(-2 \mid 0)\), \(N_3(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(H(0 \mid 0)\), \(T_1(-\sqrt{2} \mid -2)\), \(T_2(\sqrt{2} \mid -2)\).

- Der Wert bei \(x=0\) kann bereits zeigen, ob der Graph zur Funktion passt. - Wenn die erste und zweite Ableitung an einer Stelle null sind, welche weitere Ableitung kannst du prüfen? - Berechne die \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts exakt und vergleiche sie mit dem Bild.

1. \(y\)-Achsenschnittpunkt: \(f(0)=2\). Der dargestellte Graph schneidet die \(y\)-Achse jedoch bei \(4\). 2. Ableitungen: \(f'(x)=x^3-3x^2=x^2(x-3)\), \(f''(x)=3x^2-6x\) und \(f'''(x)=6x-6\). 3. Stationäre Stellen: Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=0\) als doppelte Nullstelle von \(f'\) und \(x=3\). 4. Bei \(x=3\) gilt \(f''(3)=9>0\) und \(f(3)=-4{,}75\). Daher liegt der Tiefpunkt \(T(3 \mid -4{,}75)\) vor. 5. Bei \(x=0\) gilt \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=-6\neq0\). Daher liegt der Terrassenpunkt \(W(0 \mid 2)\) vor. 6. Die dargestellten Höhen dieser charakteristischen Punkte stimmen nicht mit der Funktion überein; der Graph ist falsch.

Der Graph ist nicht korrekt dargestellt. \(y\)-Achsenschnittpunkt und Terrassenpunkt: \(W(0 \mid 2)\). Tiefpunkt: \(T(3 \mid -4{,}75)\).

- Nutze die Substitution \(z=x^2\), um die Nullstellen zu finden. - Die Symmetrie hilft dir, die Anzahl der Berechnungen zu reduzieren. - Vergleiche die berechneten Nullstellen und Extrempunkte mit dem Diagramm.

1. Symmetrie: Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. \(y\)-Achsenschnittpunkt: \(f(0)=-5\), also \(S_y(0 \mid -5)\). 3. Nullstellen: Mit \(z=x^2\) folgt \(z^2-6z+5=0\), also \(z=1\) oder \(z=5\). Daher sind \(x=\pm1\) und \(x=\pm\sqrt{5}\). 4. Extremstellen: \(f'(x)=-4x^3+12x=-4x(x^2-3)\). Daher sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{3}\). 5. Mit \(f''(x)=-12x^2+12\) ergibt sich der Tiefpunkt \(T(0 \mid -5)\) sowie die Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{3} \mid 4)\) und \(H_2(\sqrt{3} \mid 4)\). 6. Alle Punkte stimmen mit dem dargestellten Graphen überein.

Der Graph ist korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid -5)\), \(N_{1,2}(\pm1 \mid 0)\), \(N_{3,4}(\pm\sqrt{5} \mid 0)\). Extrempunkte: \(T(0 \mid -5)\), \(H_{1,2}(\pm\sqrt{3} \mid 4)\).

- Nutze das Ausklammern von \(x^3\) für die Nullstellen. - Überlege dir beim Globalverhalten, welches Glied des Funktionsterms für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte dominiert. - Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt, bei dem die Steigung null ist.

1. Nullstellen und Globalverhalten: - \(f(x) = x^3(x - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) (dreifache Nullstelle), \(x_2 = 4\) (einfache Nullstelle). - Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to \infty\) (da die höchste Potenz \(x^4\) gerade ist und einen positiven Koeffizienten hat). 2. Ableitungen: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2\), \(f''(x) = 12x^2 - 24x\), \(f'''(x) = 24x - 24\). 3. Lokale Extrema: - \(f'(x) = 0 \Rightarrow 4x^2(x - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 3\). - Bei \(x = 0\) ist \(f''(0) = 0\). Da \(f'''(0) = -24 \neq 0\), liegt ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt) vor, kein Extremum. - Bei \(x = 3\) ist \(f''(3) = 12(9) - 24(3) = 108 - 72 = 36 > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum. \(f(3) = 3^4 - 4 \cdot 3^3 = 81 - 108 = -27\). Tiefpunkt \(T(3 \mid -27)\). 4. Wendepunkte: - \(f''(x) = 0 \Rightarrow 12x(x - 2) = 0 \Rightarrow x_{W1} = 0, x_{W2} = 2\). - Da \(f'''(0) = -24 \neq 0\) und \(f'''(2) = 24(2) - 24 = 24 \neq 0\), sind beides Wendestellen. - Koordinaten: \(W_1(0 \mid 0)\) (Sattelpunkt), \(W_2(2 \mid -16)\) mit \(f(2) = 2^4 - 4 \cdot 2^3 = 16 - 32 = -16\).

a) Nullstellen: \(x_1=0\) (dreifache Nullstelle und Wendestelle) und \(x_2=4\) (einfache Nullstelle). Es gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). b) Lokaler Tiefpunkt \(T(3 \mid -27)\); bei \(x=0\) liegt ein Sattelpunkt vor. c) Wendestellen bei \(x=0\) und \(x=2\), mit \(W_1(0 \mid 0)\) und \(W_2(2 \mid -16)\).

- Welche Informationen über die Koeffizienten liefert dir die Lage des Wendepunkts auf der \(y\)-Achse? - Erinnere dich daran, welche Bedingung die erste Ableitung an einer Extremstelle erfüllen muss. - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen des Leitkoeffizienten \(a\) auf die Art der Extrema links und rechts vom Wendepunkt auswirkt.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Wendepunkt bei \(x = 0\) bedeutet \(f''(0) = 0\). Da \(f''(x) = 6ax + 2b\), folgt \(2b = 0\), also \(b = 0\). 3. \(W(0 \mid 1)\) liegt auf dem Graphen: \(f(0) = 1 \Rightarrow d = 1\). 4. Extremum bei \(x = -1\) bedeutet \(f'(-1) = 0\). Mit \(f'(x) = 3ax^2 + c\) folgt \(3a + c = 0\), also \(c = -3a\). 5. Punkt \(P(2 \mid 0)\) einsetzen: \(f(2) = a \cdot 2^3 - 3a \cdot 2 + 1 = 8a - 6a + 1 = 2a + 1 = 0 \Rightarrow a = -0{,}5\). 6. Daraus ergibt sich \(c = -3 \cdot (-0{,}5) = 1{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x + 1\). 7. Art des Extremums: \(f''(x) = -3x\). Einsetzen von \(x = -1\) ergibt \(f''(-1) = 3 > 0\). Es handelt sich um einen Tiefpunkt. 8. Prüfung der Behauptung: Für den Punkt \(Q(2 \mid 3)\) müsste \(f(2) = 2a + 1 = 3\) gelten, also \(2a = 2\) bzw. \(a = 1\). 9. Wäre \(a = 1\), so wäre \(f''(-1) = 6 \cdot 1 \cdot (-1) = -6 < 0\). Das Extremum bei \(x = -1\) wäre dann ein Hochpunkt. 10. Die Behauptung ist also wahr: Ein Tiefpunkt bei \(x = -1\) und der Punkt \(Q(2 \mid 3)\) schließen sich bei gegebenem Wendepunkt \(W(0 \mid 1)\) gegenseitig aus.

a) \(f(x) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x + 1\) b) Da \(f''(-1) = 3 > 0\), ist das Extremum ein Tiefpunkt. c) Die Behauptung ist wahr. Für den Punkt \(Q(2 \mid 3)\) müsste \(a = 1\) sein, was an der Stelle \(x = -1\) zu einem Hochpunkt führen würde (\(f''(-1) = -6 < 0\)).

- Die Information „Wendepunkt auf der \(x\)-Achse“ liefert dir zwei Bedingungen: den Funktionswert und den Wert der zweiten Ableitung. - Nutze den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, um eine der Unbekannten sofort zu bestimmen. - Denke daran, dass für einen Wendepunkt die zweite Ableitung null sein muss. - Löse das entstandene System aus zwei Gleichungen für \(a\) und \(b\).

1. Wegen der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse lautet der Ansatz: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Aus dem Hochpunkt \(H(0 \mid 4)\) folgt direkt \(c = 4\). Die Wendepunkte liegen bei \(x = \pm 1\) auf der \(x\)-Achse, also gilt \(f(1) = 0\) und \(f''(1) = 0\). \(f(1) = a \cdot 1^4 + b \cdot 1^2 + 4 = 0 \Rightarrow a + b = -4\). Ableitungen: \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\), \(f''(x) = 12ax^2 + 2b\). \(f''(1) = 12a + 2b = 0 \Rightarrow 6a + b = 0 \Rightarrow b = -6a\). Einsetzen von \(b = -6a\) in \(a + b = -4\): \(a - 6a = -4 \Rightarrow -5a = -4 \Rightarrow a = 0{,}8\). Berechnung von \(b\): \(b = -6 \cdot 0{,}8 = -4{,}8\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 0{,}8x^4 - 4{,}8x^2 + 4\).

1. Ansatz: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 0{,}8x^4 - 4{,}8x^2 + 4\).

- Nutze die Symmetrie, um die Anzahl der Unbekannten im Funktionsterm zu reduzieren. - Ein Wendepunkt gibt dir Informationen über die Krümmung (zweite Ableitung). - Um die Hochpunkte zu finden, musst du die Stellen suchen, an denen die Steigung null ist. - Gib nicht ganzzahlige Lösungen in exakter Form an.

1. Ansatz wegen Achsensymmetrie: \(g(x) = ax^4 + bx^2 + c\). Da der Graph durch den Ursprung verläuft, ist \(g(0) = 0\), also \(c = 0\). Ablesen des Wendepunkts \(W_2(1 \mid 2{,}5)\): I. \(g(1) = a + b = 2{,}5\) II. \(g''(x) = 12ax^2 + 2b \Rightarrow g''(1) = 12a + 2b = 0 \Rightarrow 6a + b = 0\). Aus II folgt \(b = -6a\). Einsetzen in I: \(a - 6a = 2{,}5 \Rightarrow -5a = 2{,}5 \Rightarrow a = -0{,}5\). Dann ist \(b = -6 \cdot (-0{,}5) = 3\). Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = -0{,}5x^4 + 3x^2\). 2. Hochpunkte bestimmen (\(g'(x) = 0\)): \(g'(x) = -2x^3 + 6x = -2x(x^2 - 3) = 0\). Lösungen: \(x_1 = 0\) (Tiefpunkt), \(x_{2,3} = \pm \sqrt{3}\). Funktionswert: \(g(\sqrt{3}) = -0{,}5(\sqrt{3})^4 + 3(\sqrt{3})^2 = -0{,}5 \cdot 9 + 3 \cdot 3 = -4{,}5 + 9 = 4{,}5\). Die Hochpunkte liegen bei \(H_{1,2}(\pm \sqrt{3} \mid 4{,}5)\).

1. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = -0{,}5x^4 + 3x^2\). 2. Die Hochpunkte liegen exakt bei \((\pm \sqrt{3} \mid 4{,}5)\).

- Welche Vielfachheit hat eine Nullstelle von \(f'\) an einem Terrassenpunkt? - Wie hängen Wendestellen von \(f\) mit Extremstellen von \(f'\) zusammen? - Stelle \(f'\) mithilfe seiner bekannten Nullstellen in Produktform auf. - Welche Bedingung bestimmt den noch unbekannten Faktor, und welche bestimmt anschließend die Integrationskonstante?

1. Nullstellen von \(f'\): Bei \(x=-1{,}5\) liegt wegen des Tiefpunkts eine einfache Nullstelle vor. Bei \(x=3\) liegt wegen des Terrassenpunkts eine doppelte Nullstelle vor. Da \(f'\) dritten Grades ist, sind dies alle Nullstellen. 2. Nullstellen von \(f''\): Die Wendestellen von \(f\) liegen bei \(x=0\) und \(x=3\). Beide Nullstellen von \(f''\) sind einfach, da jeweils ein Krümmungswechsel vorliegt. 3. Extrema von \(f'\): Bei \(x=0\) wechselt \(f''\) von positiv zu negativ, daher hat \(f'\) dort ein lokales Maximum. Bei \(x=3\) wechselt \(f''\) von negativ zu positiv, daher hat \(f'\) dort ein lokales Minimum. 4. Eindeutigkeit: Aus den Nullstellen und ihren Vielfachheiten folgt \(f'(x)=k(x+1{,}5)(x-3)^2\). Mit der Tangentensteigung \(f'(0)=2\) ergibt sich \(2=k\cdot1{,}5\cdot9\), also \(k=\frac{4}{27}\). Damit ist \(f'\) eindeutig bestimmt. Die Bedingung \(f(0)=2\) legt anschließend die Integrationskonstante eindeutig fest. Somit ist auch \(f\) eindeutig bestimmt.

a) \(f'\): \(x=-1{,}5\) einfach und \(x=3\) doppelt. \(f''\): \(x=0\) und \(x=3\), jeweils einfach. b) \(f'\) hat bei \(x=0\) ein lokales Maximum und bei \(x=3\) ein lokales Minimum. c) Ja. Die Nullstellenstruktur bestimmt \(f'\) bis auf einen Faktor; \(f'(0)=2\) bestimmt diesen Faktor und \(f(0)=2\) die Integrationskonstante.