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- Ersetze in der Funktionsgleichung jedes \(x\) durch \((-x)\) und schaue, ob sich der Term verändert. - Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Löse die Gleichungen \(x^2 - 4 = 0\) und \(x^2 - 25 = 0\). - Die Ordinatenachse ist ein anderer Name für die \(y\)-Achse. - Bestimme den Grad der Funktion und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten, um das Fernverhalten zu beurteilen.

1. Symmetrie prüfen: Es gilt \(q(-x) = \frac{1}{10}((-x)^2 - 4)((-x)^2 - 25) = \frac{1}{10}(x^2 - 4)(x^2 - 25) = q(x)\). Somit ist der Graph \(G_q\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Nullstellen berechnen: Setze \(q(x) = 0\). Dies führt auf \(x^2 - 4 = 0 \implies x_{1,2} = \pm 2\) und \(x^2 - 25 = 0 \implies x_{3,4} = \pm 5\). Da alle Faktoren in der Form \((x-x_i)\) nur einmal vorkommen (bzw. die quadratischen Faktoren keine weiteren mehrfachen Nullstellen erzeugen), handelt es sich um vier einfache Nullstellen. 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Berechne \(q(0) = \frac{1}{10}(0^2 - 4)(0^2 - 25) = \frac{1}{10} \cdot (-4) \cdot (-25) = \frac{100}{10} = 10\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 10)\). 4. Verhalten im Unendlichen: Der Term mit der höchsten Potenz in der Normalform ist \(\frac{1}{10} \cdot x^2 \cdot x^2 = 0{,}1x^4\). Da der Koeffizient positiv und der Exponent gerade ist, gilt: für \(x \to \infty \implies q(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty \implies q(x) \to \infty\).

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da \(q(-x) = q(x)\). b) Nullstellen: \(x_1 = -5\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = 5\) (alle einfach). c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 10)\). d) \(x \to \pm \infty \implies q(x) \to \infty\).

- Überlege, wie du die Gleichung durch eine Ersetzung (Substitution) in eine bekannte Form (quadratische Gleichung) bringen kannst. - Vergiss nach dem Lösen der quadratischen Gleichung nicht, die Ersetzung wieder rückgängig zu machen. - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung vierten Grades maximal haben?

1. Ansatz für die Nullstellen: \(f(x) = 0\), also \(x^4 - 20x^2 + 64 = 0\). 2. Substitution von \(z = x^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(z^2 - 20z + 64 = 0\). 3. Anwendung der \(p-q\)-Formel: \(z_{1,2} = 10 \pm \sqrt{100 - 64} = 10 \pm 6\). 4. Daraus ergeben sich die Lösungen für \(z\): \(z_1 = 16\) und \(z_2 = 4\). 5. Resubstitution für \(z_1 = 16\): \(x^2 = 16 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -4\). 6. Resubstitution für \(z_2 = 4\): \(x^2 = 4 \Rightarrow x_3 = 2, x_4 = -2\).

Die Nullstellen der Funktion liegen bei \(x_1 = -4\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = 2\) und \(x_4 = 4\).

- Wenn du eine Nullstelle kennst, kannst du den zugehörigen Linearfaktor bilden. - Wie kannst du den Grad der Funktion reduzieren, um eine quadratische Gleichung zu erhalten? - Welche Formel hilft dir weiter, nachdem du die Polynomdivision durchgeführt hast?

1. Durchführung der Polynomdivision des Funktionsterms durch den Linearfaktor \((x - 2)\): \((x^3 - 4x^2 - 11x + 30) : (x - 2) = x^2 - 2x - 15\). 2. Nullsetzen des resultierenden quadratischen Terms: \(x^2 - 2x - 15 = 0\). 3. Lösung der quadratischen Gleichung, zum Beispiel mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{1 + 15} = 1 \pm 4\). 4. Bestimmung der weiteren Nullstellen: \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -3\).

Die weiteren Nullstellen der Funktion \(f\) liegen bei \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -3\).

- Kannst du den Funktionsterm ausklammern, um die Nullstellen leichter zu finden? - Welche Bedingungen müssen für die Ableitungen an Extrem- und Wendepunkten erfüllt sein? - Untersuche die Exponenten der Variable, um eine Aussage über die Symmetrie zu treffen. - Wie verhält sich der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte?

1. Symmetrie zum Koordinatensystem: Da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung symmetrisch. 2. Achsenschnittpunkte: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(f(0) = 0\). Die Nullstellen ergeben sich aus \(x(x^2 - 6x + 9) = 0\). Dies führt zu \(x_1 = 0\) und der doppelten Nullstelle \(x_{2,3} = 3\). 3. Extrempunkte: Die erste Ableitung \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\) wird Null gesetzt: \(3(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 6x - 12\). Überprüfung: \(f''(1) = -6 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt \(H(1|4)\); \(f''(3) = 6 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt \(T(3|0)\). 4. Wendepunkte: Die notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\) liefert \(6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2\). Wegen \(f'''(x) = 6 \neq 0\) liegt an \(x=2\) ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 = 8 - 24 + 18 = 2\). Somit ist \(W(2|2)\). Außerdem gilt für alle \(u \in \mathbb{R}\): \(f(2+u)-2 = u^3 - 3u = -(f(2-u)-2)\). Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(2|2)\).

Symmetrie: weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung, aber punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(2|2)\); Achsenschnittpunkte: \(N_1(0|0)\), \(N_2(3|0)\); Extrempunkte: Hochpunkt \(H(1|4)\), Tiefpunkt \(T(3|0)\); Wendepunkt: \(W(2|2)\).

- Achte auf die Art der Exponenten (gerade oder ungerade), um die Symmetrie schnell zu bestimmen. - Klammere bei der Nullstellenberechnung \(x\) aus. - Setze die erste Ableitung gleich Null, um mögliche Extremstellen zu finden, und nutze die zweite Ableitung zur Bestätigung. - Überlege dir, ob eine Funktion ungeraden Grades Schranken für ihre \(y\)-Werte haben kann.

1. Symmetrie: Da nur ungerade Exponenten vorkommen (\(x^3\) und \(x^1\)), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Verhalten im Unendlichen: Der Leitterm \(\frac{1}{4}x^3\) bestimmt das Verhalten. Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Achsenschnittpunkte: \(y\)-Achse: \(g(0) = 0 \Rightarrow S_y(0|0)\). Nullstellen: \(\frac{1}{4}x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(\frac{1}{4}x^2 - 3) = 0\). Dies liefert \(x_1 = 0\) und \(\frac{1}{4}x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 12 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\). 4. Extrempunkte: \(g'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3\). \(g'(x) = 0 \Rightarrow \frac{3}{4}x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). Zweite Ableitung: \(g''(x) = \frac{3}{2}x\). Überprüfung: \(g''(2) = 3 > 0 \Rightarrow TP(2|-4)\); \(g''(-2) = -3 < 0 \Rightarrow HP(-2|4)\). 5. Wendepunkte: \(g''(x) = 0 \Rightarrow x = 0\). Da \(g'''(x) = \frac{3}{2} \neq 0\), liegt ein Wendepunkt bei \(W(0|0)\) vor. 6. Wertemenge: Da es sich um eine Funktion ungeraden Grades handelt und die Grenzwerte \(\pm\infty\) sind, ist die Wertemenge \(W = \mathbb{R}\).

(1) Punktsymmetrie zum Ursprung. (2) \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). (3) \(S_y(0|0)\); Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm 2\sqrt{3}\). (4) Hochpunkt \(HP(-2|4)\), Tiefpunkt \(TP(2|-4)\). (5) Wendepunkt \(W(0|0)\). (6) \(W = \mathbb{R}\).

- Kannst du ein \(x\) aus dem Funktionsterm ausklammern, um die Suche nach Nullstellen zu vereinfachen? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn eine Nullstelle „doppelt“ vorkommt? - Erinnere dich an das Kriterium für die Existenz von Extremstellen mithilfe der Ableitungen. - Wie hängen die Anzahl der Extremstellen und der Grad der Funktion zusammen?

1. Aus \(g(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x(x-3)^2 = 0\) ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 0\) (einfach) und \(x_2 = 3\) (doppelt). 2. Die erste Ableitung ist \(g'(x) = 3x^2 - 12x + 9\). Nullsetzen liefert \(3(x^2 - 4x + 3) = 0\), also \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 3\). Mit \(g''(x) = 6x - 12\) folgt: \(g''(1) = -6 < 0 \implies H(1 | 4)\) (Hochpunkt) und \(g''(3) = 6 > 0 \implies T(3 | 0)\) (Tiefpunkt). Der Graph besitzt insgesamt 2 Extrempunkte. 3. Die notwendige Bedingung für den Wendepunkt ist \(g''(x) = 0\). Aus \(6x - 12 = 0\) folgt \(x_w = 2\). Der Funktionswert ist \(g(2) = 2^3 - 6\cdot 2^2 + 9\cdot 2 = 8 - 24 + 18 = 2\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(2 | 2)\).

1. Nullstellen: \(x = 0\) (einfach), \(x = 3\) (doppelt) 2. Extrempunkte: \(H(1 | 4)\) und \(T(3 | 0)\); insgesamt 2 Extrempunkte. 3. Wendepunkt: \(W(2 | 2)\)

- Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen dem zurückgelegten Weg und der Geschwindigkeit? - Die Ableitung einer Funktion gibt die momentane Änderungsrate an. - Wenn du das Maximum einer Größe suchst, musst du deren Ableitung untersuchen. - Achte auf die Einheiten und die Umrechnung von \(\text{m/s}\) in \(\text{km/h}\).

1. Bestimmung der Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Weges nach der Zeit. \( v(t) = s'(t) = -0{,}15t^2 + 1{,}8t \). 2. Berechnung für \( t = 4 \): \( v(4) = -0{,}15 \cdot 4^2 + 1{,}8 \cdot 4 = -2{,}4 + 7{,}2 = 4{,}8\,\text{m/s} \). 3. Zeitpunkt der maximalen Geschwindigkeit: Die Beschleunigung (Ableitung der Geschwindigkeit) muss Null sein. \( v'(t) = a(t) = s''(t) = -0{,}3t + 1{,}8 \). Nullsetzen: \( -0{,}3t + 1{,}8 = 0 \implies 0{,}3t = 1{,}8 \implies t = 6\,\text{s} \). Da \( v''(t) = -0{,}3 < 0 \), liegt ein Maximum vor. 4. Berechnung der maximalen Geschwindigkeit: \( v(6) = -0{,}15 \cdot 6^2 + 1{,}8 \cdot 6 = -5{,}4 + 10{,}8 = 5{,}4\,\text{m/s} \). 5. Umrechnung in \(\text{km/h}\): \( 5{,}4 \cdot 3{,}6 = 19{,}44\,\text{km/h} \).

a) \( v(t) = -0{,}15t^2 + 1{,}8t \); nach \( 4\,\text{s} \) beträgt die Geschwindigkeit \( 4{,}8\,\text{m/s} \). b) Die maximale Geschwindigkeit wird zum Zeitpunkt \( t = 6\,\text{s} \) erreicht. c) Die maximale Geschwindigkeit beträgt \( 5{,}4\,\text{m/s} \), was \( 19{,}44\,\text{km/h} \) entspricht.

- Welche allgemeine Form hat die Funktionsgleichung einer Parabel? - Wie viele Unbekannte musst du bestimmen und wie viele Informationen liefert der Text? - Was bedeutet die Information über den Scheitelpunkt für die Ableitung an dieser Stelle? - Kannst du die Informationen über den Punkt \(P\) und die Tangente in mathematische Gleichungen übersetzen?

1. Allgemeiner Ansatz für eine quadratische Funktion: \(f(x) = ax^2 + bx + c\) mit der Ableitung \(f'(x) = 2ax + b\). 2. Verwendung des Punktes \(P(0 | 1)\): \(f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 1\), woraus \(c = 1\) folgt. 3. Verwendung der Steigung im Punkt \(P\): \(f'(0) = 2a \cdot 0 + b = -4\), woraus \(b = -4\) folgt. 4. Bedingung für den Scheitelpunkt bei \(x = 2\): Da dort die Steigung Null ist, gilt \(f'(2) = 2a \cdot 2 + b = 0\). 5. Einsetzen von \(b = -4\) in die Scheitelpunktbedingung: \(4a - 4 = 0 \implies 4a = 4 \implies a = 1\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung mit den ermittelten Parametern: \(f(x) = x^2 - 4x + 1\).

\(f(x) = x^2 - 4x + 1\)

- Überlege dir zuerst, welche allgemeine Form eine Funktion mit der geforderten Symmetrie hat. - Welche Auswirkungen haben die Bedingungen für lokale Extrema auf die erste und zweite Ableitung? - Du kannst für die Koeffizienten einfache Zahlen wählen, solange alle Bedingungen erfüllt bleiben. - Wie viele Nullstellen muss die Ableitungsfunktion haben, wenn die Anzahl der Extrempunkte vorgegeben ist?

1. Teilaufgabe a): Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse enthält der Ansatz nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). Die Ableitung \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)\) muss drei verschiedene reelle Nullstellen haben, damit drei Extrema existieren. Dies ist erfüllt, wenn \(-\frac{b}{2a} > 0\) gilt. Wählt man \(a=1\) und \(b=-2\) (sowie \(c=0\)), ergibt sich \(f(x) = x^4 - 2x^2\). Die zweite Ableitung \(f''(x) = 12x^2 - 4\) bestätigt mit \(f''(0) = -4 < 0\) das Maximum bei \(x=0\) und mit \(f''(\pm 1) = 8 > 0\) die Minima bei \(x = \pm 1\). 2. Teilaufgabe b): Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung enthält der Ansatz nur ungerade Exponenten: \(f(x) = ax^3 + cx\). Die Bedingung für ein lokales Extremum bei \(x = -2\) lautet \(f'(-2) = 0\). Mit \(f'(x) = 3ax^2 + c\) folgt \(12a + c = 0\), also \(c = -12a\). Für ein Maximum muss \(f''(-2) < 0\) gelten. Da \(f''(x) = 6ax\) ist, folgt \(6a(-2) < 0\), also \(a > 0\). Mit \(a=1\) ergibt sich \(c = -12\) und somit der Term \(f(x) = x^3 - 12x\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = x^4 - 2x^2\) b) \(f(x) = x^3 - 12x\)

- Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Wie hängen Ableitungen damit zusammen? - Erinnere dich an die Potenzfunktionen. Wie sieht der Graph von \(x^3\) aus und wie kannst du ihn verschieben? - Was bedeutet die Symmetrie zur \(y\)-Achse für die Wahl der Exponenten im Funktionsterm? - Wie stellst du sicher, dass eine Ableitung genau die geforderte Anzahl an Nullstellen hat?

1. Teilaufgabe a): Ein Sattelpunkt bei \(x=x_0\) bedeutet \(g'(x_0)=0\) und \(g''(x_0)=0\). Der einfachste Ansatz für eine Funktion 3. Grades mit einem Sattelpunkt ist eine verschobene kubische Potenzfunktion der Form \(g(x) = a(x-x_0)^3 + e\). Mit \(x_0 = 2\) und \(a=1, e=0\) erhält man \(g(x) = (x-2)^3\). Da die Ableitung \(g'(x) = 3(x-2)^2\) für alle \(x\) nicht negativ ist (\(g'(x) \ge 0\)) und nur an einer isolierten Stelle null wird, ist die Funktion streng monoton wachsend. 2. Teilaufgabe b): Wegen der Achsensymmetrie gilt der Ansatz \(g(x) = ax^4 + bx^2 + c\). Der Punkt \(P(0|1)\) liefert den \(y\)-Achsenabschnitt \(c=1\). Die Ableitung \(g'(x) = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)\) besitzt die Nullstelle \(x_1 = 0\). Für genau drei Extrempunkte müssen zwei weitere Nullstellen aus \(2ax^2 + b = 0 \implies x^2 = -\frac{b}{2a}\) existieren, was \(-\frac{b}{2a} > 0\) erfordert. Mit der Wahl \(a=1\) und \(b=-4\) ergibt sich \(x^2 = 2\), also zwei weitere Stellen. Ein möglicher Term ist somit \(g(x) = x^4 - 4x^2 + 1\).

Mögliche Funktionsgleichungen sind: a) \(g(x) = (x-2)^3\) b) \(g(x) = x^4 - 4x^2 + 1\)

- Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an Extremstellen gelten? - Wie berechnet man den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn die \(x\)-Koordinate bekannt ist? - Erinnere dich an die allgemeine Geradengleichung \(y = m \cdot x + c\). Welche Informationen aus dem Wendepunkt benötigst du dafür? - Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Berührstelle.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\), \(f''(x) = 2x - 2\), \(f'''(x) = 2\). 2. Lokale Extrempunkte: \(f'(x) = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Überprüfung mit zweiter Ableitung: \(f''(-1) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(-1 | \frac{11}{3})\); \(f''(3) = 4 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(3 | -7)\). 4. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x_w = 1\). Da \(f'''(1) = 2 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. Koordinaten: \(f(1) = \frac{1}{3} - 1 - 3 + 2 = -\frac{5}{3}\). Wendepunkt \(W(1 | -\frac{5}{3})\). 5. Steigung im Wendepunkt: \(f'(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4\). 6. Wendetangente: Punkt-Steigungs-Form mit \(m = -4\) und \(W(1 | -\frac{5}{3})\): \(y = -4 \cdot (x - 1) - \frac{5}{3} = -4x + 4 - \frac{5}{3} = -4x + \frac{7}{3}\).

a) Hochpunkt \(H(-1 | \frac{11}{3})\), Tiefpunkt \(T(3 | -7)\) b) Wendepunkt \(W(1 | -\frac{5}{3})\), Steigung \(m = -4\) c) \(t_w: y = -4x + \frac{7}{3}\)

- Nutze das notwendige und das hinreichende Kriterium für Extrem- und Wendepunkte. - Für die Wendetangente benötigst du sowohl die Koordinaten des Wendepunkts als auch die Steigung an dieser Stelle. - Wie findet man rechnerisch heraus, wo eine Gerade die \(x\)-Achse oder die \(y\)-Achse kreuzt?

1. Ableitungen: \(g'(x) = -3x^2 + 12x - 9\), \(g''(x) = -6x + 12\), \(g'''(x) = -6\). 2. Extrempunkte: \(g'(x) = 0 \implies -3(x^2 - 4x + 3) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = 3\). 3. Art der Extrema: \(g''(1) = 6 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(1 | 0)\); \(g''(3) = -6 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(3 | 4)\). 4. Wendepunkt: \(g''(x) = 0 \implies x_w = 2\). Funktionswert \(g(2) = -8 + 24 - 18 + 4 = 2\). Wendepunkt \(W(2 | 2)\). 5. Wendetangente: Steigung \(m = g'(2) = -3(4) + 12(2) - 9 = 3\). Gleichung \(y = 3(x - 2) + 2 \implies y = 3x - 4\). 6. Achsenschnittpunkte: Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(x = 0 \implies y = -4\), also \(S_y(0 | -4)\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(y = 0 \implies 3x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{3}\), also \(S_x(\frac{4}{3} | 0)\).

a) Tiefpunkt \(T(1 | 0)\), Hochpunkt \(H(3 | 4)\), Wendepunkt \(W(2 | 2)\) b) \(y = 3x - 4\) c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 | -4)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(\frac{4}{3} | 0)\)

- Überlege dir, ob für eine durchschnittliche Änderung der Differenzenquotient oder die Ableitung benötigt wird. - Wie hängen die Begriffe „momentane Änderung“ und „Steigung der Tangente“ zusammen? - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Extremum erfüllt sein? - Was beschreibt die zweite Ableitung im Hinblick auf die Änderungsrate der Steigung? - Denke bei der Interpretation der Wendestelle an die Dynamik des Zuflusses.

1. Durchschnittliche Änderungsrate im Intervall \([2; 5]\): Berechnung der Funktionswerte \(V(2) = -2^3 + 15 \cdot 2^2 + 200 = 252\) und \(V(5) = -5^3 + 15 \cdot 5^2 + 200 = 450\). Der Differenzenquotient ergibt \(\frac{450 - 252}{5 - 2} = \frac{198}{3} = 66\). Die durchschnittliche Änderung beträgt \(66\,\text{m}^3/\text{h}\). 2. Momentane Änderungsrate bei \(t = 4\): Erste Ableitung bilden: \(V'(t) = -3t^2 + 30t\). Einsetzen ergibt \(V'(4) = -3 \cdot 16 + 30 \cdot 4 = -48 + 120 = 72\). Die momentane Änderungsrate beträgt \(72\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Maximales Volumen: Bedingung \(V'(t) = 0 \Rightarrow -3t(t - 10) = 0\). Die relevante Lösung im Intervall ist \(t = 10\). Da \(V''(t) = -6t + 30\) und \(V''(10) = -30 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. Das Volumen beträgt \(V(10) = -1000 + 1500 + 200 = 700\,\text{m}^3\). Ein Vergleich mit den Randwerten \(V(0) = 200\) und \(V(12) = 632\) bestätigt das globale Maximum bei \(t = 10\). 4. Wendepunkt: Bedingung \(V''(t) = 0 \Rightarrow -6t + 30 = 0 \Rightarrow t = 5\). Der Funktionswert ist \(V(5) = 450\). Koordinaten: \(W(5|450)\). Die Wendestelle \(t = 5\) gibt den Zeitpunkt an, zu dem das Volumen am schnellsten zunimmt. Die Steigung der Wendetangente \(V'(5) = -3 \cdot 25 + 30 \cdot 5 = 75\) gibt diese maximale Zunahmerate in \(\text{m}^3/\text{h}\) an.

a) Die durchschnittliche Änderungsrate beträgt \(66\,\text{m}^3/\text{h}\). b) Die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 4\) beträgt \(72\,\text{m}^3/\text{h}\). c) Das maximale Volumen von \(700\,\text{m}^3\) wird nach \(10\,\text{Stunden}\) erreicht. d) Der Wendepunkt liegt bei \(W(5|450)\). Zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{Stunden}\) ist die Zunahme des Wasservolumens mit \(75\,\text{m}^3/\text{h}\) am größten.

- Was ist der Unterschied zwischen einer mittleren und einer momentanen Geschwindigkeit in Bezug auf die Ableitung? - Suche nach den Stellen, an denen die erste Ableitung null wird, um Hochpunkte zu finden. - Die Wendestelle markiert bei einem Aufstieg oft den Punkt der größten Dynamik – was bedeutet das hier für die Geschwindigkeit? - Vergiss nicht, die Einheiten in deiner Interpretation zu berücksichtigen.

1. Mittlere Steiggeschwindigkeit \([0; 5]\): \(h(0) = 20\) und \(h(5) = -0{,}2 \cdot 125 + 3 \cdot 25 + 20 = -25 + 75 + 20 = 70\). Differenzenquotient: \(\frac{70 - 20}{5 - 0} = \frac{50}{5} = 10\). Die mittlere Geschwindigkeit beträgt \(10\,\text{m}/\text{min}\). 2. Momentane Steiggeschwindigkeit bei \(t = 3\): \(h'(t) = -0{,}6t^2 + 6t\). Einsetzen: \(h'(3) = -0{,}6 \cdot 9 + 6 \cdot 3 = -5{,}4 + 18 = 12{,}6\). Die Geschwindigkeit beträgt \(12{,}6\,\text{m}/\text{min}\). 3. Maximale Höhe: Notwendige Bedingung \(h'(t) = 0 \Rightarrow -0{,}6t(t - 10) = 0\). Lösungen sind \(t = 0\) und \(t = 10\). Da \(h''(t) = -1{,}2t + 6\) und \(h''(10) = -6 < 0\), liegt bei \(t = 10\) ein Maximum vor. \(h(10) = -0{,}2 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 20 = 120\). Die maximale Höhe ist \(120\,\text{m}\). 4. Wendestelle: \(h''(t) = 0 \Rightarrow -1{,}2t + 6 = 0 \Rightarrow t = 5\). Die Steigung an dieser Stelle ist \(h'(5) = -0{,}6 \cdot 25 + 6 \cdot 5 = 15\). Interpretation: Nach \(5\,\text{Minuten}\) erreicht der Ballon seine höchste Steiggeschwindigkeit von \(15\,\text{m}/\text{min}\). Ab diesem Zeitpunkt nimmt die Steiggeschwindigkeit wieder ab.

a) Die mittlere Steiggeschwindigkeit beträgt \(10\,\text{m}/\text{min}\). b) Nach 3 Minuten beträgt die Steiggeschwindigkeit \(12{,}6\,\text{m}/\text{min}\). c) Die maximale Höhe von \(120\,\text{m}\) wird nach \(10\,\text{Minuten}\) erreicht. d) Die Wendestelle liegt bei \(t = 5\). Die Steigung dort beträgt \(15\,\text{m}/\text{min}\). Das bedeutet, dass der Ballon nach \(5\,\text{Minuten}\) am schnellsten steigt (maximale Steiggeschwindigkeit von \(15\,\text{m}/\text{min}\)).

- Was bedeutet der Zeitpunkt zu Beginn der Beobachtung für den Wert von \(t\)? - Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihr Steigungsverhalten (Wachsen/Sinken) zusammen? - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Extremum erfüllt sein? - Vergiss bei der Suche nach dem absolut höchsten Wert nicht, auch die Werte an den Grenzen des Zeitbereichs zu prüfen. - Denk daran, dass die Änderungsrate selbst durch eine Funktion beschrieben wird – wie findet man deren Extremwerte?

1. Berechnung der Funktionswerte: Zu Beginn (\(t=0\)) gilt \(h(0) = 200\). Nach 5 Stunden (\(t=5\)) gilt \(h(5) = -5^3 + 15 \cdot 5^2 - 48 \cdot 5 + 200 = -125 + 375 - 240 + 200 = 210\). Die Wasserstände betragen \(200\,\text{cm}\) und \(210\,\text{cm}\). 2. Untersuchung der Monotonie: Die erste Ableitung lautet \(h'(t) = -3t^2 + 30t - 48\). Nullstellen von \(h'(t)\): \(-3(t^2 - 10t + 16) = 0\) liefert \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 8\). Da der Graph von \(h'\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist \(h'(t) < 0\) in den Intervallen \([0; 2]\) und \([8; 12]\). In diesen Zeiträumen sinkt der Wasserspiegel. 3. Bestimmung des absoluten Maximums: Mögliche Stellen sind die Ränder (\(t=0, t=12\)) und die lokalen Extrema (\(t=2, t=8\)). Da \(h'(t)\) bei \(t=2\) von negativ zu positiv wechselt, liegt dort ein lokales Minimum (\(h(2) = 156\)). Bei \(t=8\) wechselt \(h'(t)\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein lokales Maximum (\(h(8) = 264\)). Randwerte: \(h(0) = 200\), \(h(12) = -1728 + 2160 - 576 + 200 = 56\). Das absolute Maximum liegt bei \(t = 8\) mit einer Höhe von \(264\,\text{cm}\). 4. Stärkstes Sinken: Gesucht ist das Minimum der Ableitung \(h'(t)\). Die zweite Ableitung ist \(h''(t) = -6t + 30\). Nullsetzen ergibt \(t = 5\). Da \(h'''(t) = -6 < 0\), liegt bei \(t = 5\) die maximale Steigung vor. Da jedoch das stärkste Sinken gesucht ist (minimaler Wert von \(h'(t)\)), müssen die Ränder und der Wendepunkt verglichen werden: \(h'(5) = 27\), \(h'(0) = -48\), \(h'(12) = -3 \cdot 144 + 360 - 48 = -120\). Der Wasserspiegel sinkt zum Zeitpunkt \(t = 12\) am stärksten.

a) Zu Beginn: \(200\,\text{cm}\); nach 5 Stunden: \(210\,\text{cm}\). b) Der Wasserspiegel sinkt in den Zeiträumen \([0; 2]\) und \([8; 12]\) (Angaben in Stunden). c) Der Wasserstand ist nach 8 Stunden am höchsten und beträgt \(264\,\text{cm}\). d) Der Wasserspiegel sinkt am Ende des Beobachtungszeitraums, also zum Zeitpunkt \(t = 12\), am stärksten.

- Achte genau darauf, welcher Wert von \(t\) welcher Uhrzeit entspricht. - Was sagt die erste Ableitung über die Veränderung der Leistung aus? - Wie findet man den höchsten Punkt einer Kurve in einem abgeschlossenen Intervall? - Wenn nach der „schnellsten Zunahme“ gefragt ist, ist eigentlich nach dem Maximum der Steigung gesucht.

1. Berechnung für 10 Uhr: Da \(t=0\) um 6 Uhr ist, entspricht 10 Uhr dem Wert \(t=4\). \(P(4) = -4^3 + 12 \cdot 4^2 + 60 \cdot 4 = -64 + 192 + 240 = 368\). Die Leistung beträgt \(368\,\text{W}\). 2. Ableitungen: \(P'(t) = -3t^2 + 24t + 60\) beschreibt die momentane Änderungsrate der Leistung in \(\text{W}/\text{h}\). \(P''(t) = -6t + 24\) beschreibt die Änderungsrate dieser Änderungsrate in \(\text{W}/\text{h}^2\). 3. Maximalleistung: Bedingung \(P'(t) = 0 \implies -3(t^2 - 8t - 20) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(t_1 = 10\) und \(t_2 = -2\). Da nur \(0 \le t \le 12\) relevant ist, wird \(t = 10\) untersucht. \(P''(10) = -60 + 24 = -36 < 0\), also liegt ein lokales Maximum vor. Randwerte: \(P(0) = 0\), \(P(12) = -1728 + 1728 + 720 = 720\). Vergleich: \(P(10) = -1000 + 1200 + 600 = 800\). Das absolute Maximum liegt bei \(t = 10\) (entspricht 16 Uhr) mit \(800\,\text{W}\). 4. Schnellste Zunahme: Gesucht ist das Maximum von \(P'(t)\). Bedingung \(P''(t) = 0 \implies -6t + 24 = 0 \implies t = 4\). Wegen \(P'''(t) = -6 < 0\) liegt bei \(t = 4\) ein lokales Maximum der Änderungsrate vor. Die Leistung nimmt um 10 Uhr (\(t=4\)) am schnellsten zu.

a) Um 10 Uhr morgens (\(t=4\)) beträgt die Leistung \(368\,\text{W}\). b) \(P'(t) = -3t^2 + 24t + 60\) (Änderungsrate der Leistung); \(P''(t) = -6t + 24\) (Änderungsrate der Änderungsrate der Leistung). c) Die maximale Leistung wird um 16 Uhr (\(t=10\)) erreicht und beträgt \(800\,\text{W}\). d) Die Leistung nimmt um 10 Uhr morgens (\(t=4\)) am schnellsten zu.

- Überlege, welche Ableitung die momentane Änderungsrate (Wachstum) beschreibt. - Wie hängen Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkte) mit der ersten und zweiten Ableitung zusammen? - Was bedeutet es für die Ableitungen, wenn eine Änderung „am stärksten“ ist? - Ein Funktionswert beschreibt immer einen direkten Zustand zu einem Zeitpunkt.

1. Für Situation (1) wird lediglich der Funktionswert an der Stelle \(t = 12\) benötigt. Dies entspricht Kärtchen A: \(h(12) = 80\). 2. Das stärkste Wachstum bedeutet, dass die positive Steigung an dieser Stelle maximal ist. Dafür gilt \(h''(6) = 0\) (Kärtchen B) und \(h'''(6) < 0\) (Kärtchen G), sodass \(h'\) dort ein lokales Maximum besitzt. Da es sich um Wachstum handelt, muss zudem \(h'(6) > 0\) (Kärtchen F) gelten. 3. Das Erreichen der maximalen Höhe beschreibt einen Hochpunkt. Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(h(25) = 160\) (Kärtchen C). Die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum ist \(h'(25) = 0\) (Kärtchen D), und die hinreichende Bedingung für ein Maximum ist \(h''(25) < 0\) (Kärtchen E).

(1): A (2): B, F, G (3): C, D, E

- Welche mathematische Eigenschaft hat ein Graph an der Stelle, an der er am steilsten fällt? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Punkt ein lokaler Hochpunkt ist? - Unterscheide zwischen dem Wert der Funktion selbst und den Werten ihrer Ableitungen.

1. Situation (1) beschreibt den Zeitpunkt des steilsten Abstiegs, also ein lokales Minimum der Vertikalgeschwindigkeit \(H'\). Dafür gilt \(H''(10) = 0\) (Kärtchen D) und \(H'''(10) > 0\) (Kärtchen F). Da die Drohne sinkt, muss außerdem \(H'(10) < 0\) (Kärtchen E) gelten. 2. Situation (2) beschreibt einen Hochpunkt des Graphen. Die Höhe zum Zeitpunkt \(t = 30\) beträgt \(H(30) = 120\) (Kärtchen A). Für ein lokales Maximum muss die erste Ableitung null sein, also \(H'(30) = 0\) (Kärtchen B), und die zweite Ableitung muss negativ sein, um die Rechtskrümmung zu bestätigen: \(H''(30) < 0\) (Kärtchen C).

(1): D, E, F (2): A, B, C

- Untersuche die Exponenten der Funktionsterme, um direkt auf Symmetrieeigenschaften zu schließen. - Wie viele Lösungen hat die Gleichung \(f(x) = 0\)? Achte darauf, ob Nullstellen mehrfach vorkommen. - Nutze die erste und zweite Ableitung, um die Anzahl und Art der Extrempunkte sowie mögliche Terrassenpunkte zu bestimmen. - Überlege, ob man einen Funktionsterm mithilfe binomischer Formeln vereinfachen kann, um die Analyse zu erleichtern.

1. Analyse von \(f(x) = 2x^2 - x^4\): Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (A). Die Nullstellenberechnung \(x^2(2 - x^2) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = \pm\sqrt{2}\), also genau drei verschiedene Nullstellen (E). Die Ableitung \(f'(x) = 4x - 4x^3 = 4x(1 - x^2)\) hat Nullstellen bei \(x \in \{0; 1; -1\}\). Da \(f''(0) = 4\) (Minimum) und \(f''(\pm 1) = -8\) (Maxima), liegen drei Extrempunkte vor (C entfällt). Es gibt keinen Terrassenpunkt (D entfällt). 2. Analyse von \(g(x) = x^3 - 3x\): Da nur ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (B). Die Nullstellenberechnung \(x(x^2 - 3) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = \pm\sqrt{3}\), also genau drei Nullstellen (E). Die Ableitung \(g'(x) = 3x^2 - 3\) hat Nullstellen bei \(x = \pm 1\). Mit \(g''(1) = 6\) (Minimum) und \(g''(-1) = -6\) (Maximum) ergeben sich genau zwei Extrempunkte (C). 3. Analyse von \(h(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\): Dies entspricht \((x-1)^3\). Eine Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse liegt nicht vor. Es gibt nur die Nullstelle \(x=1\) (E entfällt). Die Ableitung \(h'(x) = 3(x-1)^2\) hat bei \(x=1\) eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, was einen Terrassenpunkt bedeutet (D). Da \(h'(x) \ge 0\), gibt es keine lokalen Extrempunkte (C entfällt).

(1): A, E (2): B, C, E (3): D

- Überlege dir, welche Eigenschaft der Funktion an einem Hochpunkt vorliegen muss. - Wie hängen die Begriffe „Änderungsrate“ und „Steigung“ mit den Ableitungen zusammen? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Zunahme am stärksten ist? Welcher besondere Punkt ist hier gesucht? - Achte darauf, dass nur Zeitpunkte innerhalb des betrachteten Zeitintervalls sinnvoll sind.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(k'(t) = -3t^2 + 18t + 48\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(k'(t)\): \(-3(t^2 - 6t - 16) = 0 \implies (t-8)(t+2) = 0\). Die relevante Lösung im Intervall \([0; 12]\) ist \(t = 8\). 3. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(k''(t) = -6t + 18\). Da \(k''(8) = -30 < 0\), liegt bei \(t = 8\) ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des Funktionswertes: \(k(8) = -(8)^3 + 9(8)^2 + 48(8) + 50 = 498\). Die maximale Konzentration beträgt \(498\,\text{mg/l}\) nach \(8\,\text{Stunden}\). 5. Bestimmung des Wendepunkts für die maximale Zunahme: \(k''(t) = -6t + 18 = 0 \implies t = 3\). 6. Da \(k'''(t) = -6 < 0\), besitzt \(k'\) bei \(t = 3\) ein lokales Maximum. Die Änderungsrate beträgt \(k'(3) = -3(3)^2 + 18(3) + 48 = 75\,\frac{\text{mg/l}}{\text{h}}\).

a) Die Konzentration ist nach \(8\,\text{Stunden}\) am höchsten und beträgt dort \(498\,\text{mg/l}\). b) Die Konzentration nimmt nach \(3\,\text{Stunden}\) am stärksten zu. Die Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt beträgt \(75\,\frac{\text{mg/l}}{\text{h}}\).

- Überlege dir, wie der Graph einer Funktion aussieht, die nach oben verschoben wurde. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einem Sattelpunkt und einer Extremstelle. - Untersuche den Grad der zweiten Ableitung bei einer Funktion 3. Grades.

1. Aussage a) ist falsch. Gegenbeispiel: Die Funktion \(f(x) = x^4 + 1\) verläuft stets oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \ge 1\)) und besitzt somit keine Nullstellen. 2. Aussage b) ist falsch. Gegenbeispiel: Für \(f(x) = x^3\) lautet die Ableitung \(f'(x) = 3x^2\). Die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) ist nur für \(x = 0\) erfüllt, jedoch findet dort kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) statt (Sattelpunkt), weshalb keine Extremstelle vorliegt. 3. Aussage c) ist wahr. Eine Funktion 3. Grades hat die Form \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit \(a \neq 0\). Die zweite Ableitung \(f''(x) = 6ax + 2b\) ist eine lineare Funktion. Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle (\(x = -\frac{b}{3a}\)) und wechselt dort stets ihr Vorzeichen, was die Bedingung für eine Wendestelle ist.

a) Falsch (Gegenbeispiel: \(f(x) = x^4 + 1\)) b) Falsch (Gegenbeispiel: \(f(x) = x^3\)) c) Wahr

- Wie findet man bei einer quadratischen Funktion den tiefsten Punkt? - Wann hat eine nach oben geöffnete Parabel genau einen Kontaktpunkt mit der \(x\)-Achse? - Überlege dir, wie die Lage des Scheitelpunktes mit der Anzahl der Nullstellen zusammenhängt. - Was müsste passieren, damit der Parameter in der Funktionsgleichung keine Rolle mehr spielt?

1. Berechnung der Ableitung: \(f_a'(x) = 2x - 2a\). Nullsetzen der Ableitung liefert die Extremstelle \(x_S = a\). 2. Bestimmung der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes: \(f_a(a) = a^2 - 2a^2 + a = -a^2 + a\). Der Scheitelpunkt ist \(S(a \mid -a^2 + a)\). 3. Bedingung für das Berühren der \(x\)-Achse: Das globale Minimum (der Scheitelpunkt) muss auf der \(x\)-Achse liegen, also \(-a^2 + a = 0\). Aus \(a(1 - a) = 0\) folgen die Werte \(a_1 = 0\) und \(a_2 = 1\). 4. Bedingung für keine Nullstellen: Da die Parabeln nach oben geöffnet sind, hat die Funktion keine Nullstellen, wenn die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes positiv ist: \(-a^2 + a > 0\). Dies ist für \(0 < a < 1\) erfüllt (nach unten geöffnete Parabel in \(a\) mit Nullstellen bei \(0\) und \(1\)). 5. Suche nach einem gemeinsamen Punkt: Der Funktionsterm wird nach \(a\) umgeformt: \(f_a(x) = x^2 + a(1 - 2x)\). Damit der Wert unabhängig von \(a\) ist, muss der Term in der Klammer null sein: \(1 - 2x = 0 \Rightarrow x = 0{,}5\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(f_a(0{,}5) = 0{,}5^2 + a(0) = 0{,}25\). Der gemeinsame Punkt ist \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\).

a) \(S(a \mid -a^2 + a)\) b) \(a = 0\) oder \(a = 1\) c) Für \(0 < a < 1\) d) Der gemeinsame Punkt ist \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\).

- Betrachte die Ableitungsfunktionen und deren maximal mögliche Anzahl an Nullstellen. - Überlege dir, welche Bedingung an die Ableitung für ein lokales Extremum geknüpft ist. - Denke an einfache Funktionen wie Potenzfunktionen als mögliche Gegenbeispiele. - Welchen Grad hat die zweite Ableitung einer Funktion vierten Grades?

1. Die Aussage a) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion \(f(x) = x^3 + x\). Ihre Ableitung \(f'(x) = 3x^2 + 1\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) größer als Null, weshalb keine Extremstellen (Nullstellen der Ableitung) existieren. Auch bei \(f(x) = x^3\) liegt an der Stelle \(x = 0\) lediglich ein Sattelpunkt und kein Extremum vor, da die Ableitung \(f'(x) = 3x^2\) keinen Vorzeichenwechsel aufweist. 2. Die Aussage b) ist wahr. Ein Beispiel ist die Funktion \(f(x) = x^4 - 2x^2\). Die erste Ableitung \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)\) besitzt die drei Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). Da an jeder dieser einfachen Nullstellen ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) stattfindet, liegen genau drei lokale Extremstellen vor. 3. Die Aussage c) ist wahr. Die zweite Ableitung \(f''(x)\) einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades (eine quadratische Funktion). Da eine quadratische Gleichung \(f''(x) = 0\) maximal zwei Lösungen besitzen kann, kann es höchstens zwei Stellen geben, die die notwendige Bedingung für eine Wendestelle erfüllen.

a) Falsch b) Wahr c) Wahr

- Woran erkennt man in einem Funktionsgraphen den höchsten Punkt? - Was gibt die erste Ableitung einer Bestandsfunktion im Sachzusammenhang an? - An welcher Stelle einer Kurve ist die Steigung am größten? - Denke daran, bei Intervallen auch die Werte an den Grenzen zu betrachten.

1. Erste Ableitung bilden: \(h'(t) = -0{,}06t^2 + 1{,}2t\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(h'(t) = 0 \Rightarrow t \cdot (-0{,}06t + 1{,}2) = 0\). Dies liefert \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 20\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(h''(t) = -0{,}12t + 1{,}2\). Da \(h''(20) = -2{,}4 + 1{,}2 = -1{,}2 < 0\), liegt bei \(t = 20\) ein lokales Maximum vor. 4. Randwerte prüfen: \(h(20) = 100\), \(h(25) = 82{,}5\). Das absolute Maximum liegt somit am Tag 20 vor. 5. Zeitpunkt des stärksten Wachstums (Wendestelle): \(h''(t) = 0 \Rightarrow -0{,}12t + 1{,}2 = 0 \Rightarrow t = 10\). Da \(h'''(t) = -0{,}12 < 0\), besitzt \(h'\) an der Stelle \(t = 10\) ein lokales Maximum. 6. Maximale Wachstumsrate berechnen: \(h'(10) = -0{,}06 \cdot 10^2 + 1{,}2 \cdot 10 = -6 + 12 = 6\). Die Pflanze wächst nach 10 Tagen mit \(6\,\text{cm}\) pro Tag am schnellsten.

a) Die Pflanze erreicht ihre maximale Höhe nach \(20\) Tagen. b) Das stärkste Wachstum findet nach \(10\) Tagen statt. Die Wachstumsrate beträgt zu diesem Zeitpunkt \(6\,\text{cm}\) pro Tag.

- Wie hängen Geschwindigkeit und Beschleunigung mathematisch zusammen? - Welche Eigenschaft hat die erste Ableitung an einem Wendepunkt der Originalfunktion? - Was bedeutet eine hohe Steigung im Kontext von Zeit und Geschwindigkeit?

1. Ableitungen bestimmen: \(v'(t) = -0{,}3t^2 + 3{,}6t\) und \(v''(t) = -0{,}6t + 3{,}6\). 2. Maximum berechnen: \(v'(t) = 0 \Rightarrow t \cdot (-0{,}3t + 3{,}6) = 0\). Lösungen sind \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 12\). Wegen \(v''(12) = -3{,}6 < 0\) liegt bei \(t = 12\,\text{s}\) ein lokales Maximum vor. Randprüfung: \(v(12) = 91{,}4\), \(v(15) = 72{,}5\), \(v(0) = 5\). Die Höchstgeschwindigkeit wird bei \(t = 12\,\text{s}\) erreicht. 3. Wendestelle berechnen: \(v''(t) = 0 \Rightarrow -0{,}6t + 3{,}6 = 0 \Rightarrow t = 6\). Da \(v'''(t) = -0{,}6 < 0\), besitzt \(v'\) bei \(t = 6\,\text{s}\) ein lokales Maximum; zugleich liegt dort die Wendestelle von \(v\). 4. Bedeutung im Sachkontext: Die Wendestelle \(t = 6\,\text{s}\) markiert den Zeitpunkt der maximalen Beschleunigung. 5. Steigung der Wendetangente: \(v'(6) = -0{,}3 \cdot 36 + 3{,}6 \cdot 6 = 10{,}8\). Dies ist der Wert der maximalen Beschleunigung in \(\text{m/s}^2\).

a) Das Fahrzeug erreicht seine Höchstgeschwindigkeit nach \(12\) Sekunden. b) Die Wendestelle liegt bei \(t = 6\,\text{s}\). Sie gibt den Zeitpunkt an, an dem das Fahrzeug am stärksten beschleunigt. Die Steigung der Wendetangente (\(10{,}8\,\text{m/s}^2\)) entspricht dieser maximalen Beschleunigung.

- Welche Ableitung benötigst du, um die Krümmung einer Funktion zu untersuchen? - Wie prüft man rechnerisch, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Überlege dir, wie viele Einheiten der Punkt in horizontale und vertikale Richtung bewegt wurde. - Wenn ein Graph um \(d\) nach rechts verschoben wird, wie ändert sich dann das Argument \(x\) in der Funktionsgleichung?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\), \(f''(x) = 6x - 6\) und \(f'''(x) = 6\). 2. Wendestelle bestimmen: \(f''(x) = 0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x = 1\). Da \(f'''(1) \neq 0\), liegt an der Stelle \(x = 1\) ein Wendepunkt vor. 3. y-Koordinate des Wendepunkts berechnen: \(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 5 = -6\). Der Wendepunkt ist \(W(1 | -6)\). 4. Nachweis auf der Geraden: Einsetzen der Koordinaten von \(W\) in \(y = -4x - 2\) ergibt \(-6 = -4 \cdot 1 - 2\), was eine wahre Aussage ist. 5. Verschiebung ermitteln: Der Punkt \(P(0 | 5)\) wird auf \(P'(2 | 1)\) abgebildet. Dies entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (\(x_0 = 2\)) und um \(4\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (\(y_0 = -4\)). 6. Funktionsgleichung aufstellen: \(h(x) = f(x - 2) - 4 = (x - 2)^3 - 3(x - 2)^2 - 9(x - 2) + 1\).

a) Der Wendepunkt ist \(W(1 | -6)\). Einsetzen in die Geradengleichung: \(-6 = -4 \cdot 1 - 2\) ist korrekt. b) Eine mögliche Gleichung ist \(h(x) = (x - 2)^3 - 3(x - 2)^2 - 9(x - 2) + 1\) (oder ausmultipliziert \(h(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 1\)).

- Welche Bedingungen müssen für einen Punkt auf dem Graphen und für eine Wendestelle erfüllt sein? - Nutze die erste und zweite Ableitung der Funktion. - Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit der Art der Extrempunkte zusammen? - Ein Vorzeichenwechselkriterium oder die Untersuchung der höheren Ableitungen hilft dir bei der Klassifizierung.

1. Aufstellen des Gleichungssystems: Aus \(P(1|-6) \in G_f\) folgt \(f(1) = a \cdot 1^4 + b \cdot 1^3 = -6\), also \(a + b = -6\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = 12ax^2 + 6bx\). Da an der Stelle \(x = 2\) ein Wendepunkt vorliegt, gilt \(f''(2) = 0\), woraus \(12a \cdot 2^2 + 6b \cdot 2 = 48a + 12b = 0\) folgt. 2. Lösen des Systems: Aus \(48a + 12b = 0\) ergibt sich \(b = -4a\). Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(a - 4a = -6\), also \(-3a = -6\), woraus \(a = 2\) und \(b = -8\) folgen. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2x^4 - 8x^3\). 3. Bestimmung der Wendepunkte: \(f''(x) = 24x^2 - 48x = 24x(x - 2)\). Die Nullstellen von \(f''\) sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Da \(f'''(x) = 48x - 48\) an diesen Stellen ungleich Null ist (\(f'''(0) = -48\), \(f'''(2) = 48\)), liegen Wendepunkte vor. Die Koordinaten sind \(W_1(0|0)\) und \(W_2(2|-32)\). 4. Bestimmung der Extrempunkte: \(f'(x) = 8x^3 - 24x^2 = 8x^2(x - 3)\). Die Nullstellen der ersten Ableitung sind \(x_3 = 0\) und \(x_4 = 3\). Da \(x_3 = 0\) auch eine Nullstelle von \(f''\) ist und \(f'(x)\) dort keinen Vorzeichenwechsel besitzt (doppelte Nullstelle), ist \(W_1(0|0)\) ein Terrassenpunkt. An der Stelle \(x_4 = 3\) gilt \(f''(3) = 24 \cdot 3 \cdot (3 - 2) = 72 > 0\), weshalb dort ein lokales Minimum vorliegt. Der Tiefpunkt ist \(TP(3|-54)\).

a) \(a = 2\) und \(b = -8\) b) \(W_1(0|0)\) und \(W_2(2|-32)\) c) Tiefpunkt \(TP(3|-54)\). (An der Stelle \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor.)

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du die Nullstellen direkt ablesen oder leicht berechnen kannst? - Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie beeinflusst die Bedingung \(k > 0\) das Vorzeichen deiner Ergebnisse in der zweiten Ableitung? - Welche Ableitungen benötigst du, um die Krümmungsänderung und damit den Wendepunkt zu untersuchen?

1. Achsenschnittpunkte: Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(f_k(0) = 0\), also \(S_y(0|0)\). Die Nullstellen ergeben sich aus \(x(x^2 - 3k^2) = 0\) zu \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{3}k\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(0|0)\), \(N_2(\sqrt{3}k|0)\) und \(N_3(-\sqrt{3}k|0)\). 2. Extrempunkte: Die erste Ableitung \(f_k'(x) = 3x^2 - 3k^2\) hat Nullstellen bei \(x = \pm k\). Die zweite Ableitung ist \(f_k''(x) = 6x\). Da \(f_k''(k) = 6k > 0\) (wegen \(k > 0\)), liegt bei \(x = k\) ein Tiefpunkt \(T(k|-2k^3)\). Da \(f_k''(-k) = -6k < 0\), liegt bei \(x = -k\) ein Hochpunkt \(H(-k|2k^3)\). 3. Wendepunkte: Die notwendige Bedingung \(f_k''(x) = 6x = 0\) liefert \(x = 0\). Wegen \(f_k'''(x) = 6 \neq 0\) liegt an der Stelle \(x = 0\) ein Wendepunkt vor. Die Koordinaten sind \(W(0|0)\).

Achsenschnittpunkte: \(S_y(0|0)\), \(N_1(0|0)\), \(N_2(\sqrt{3}k|0)\), \(N_3(-\sqrt{3}k|0)\) Extrempunkte: Hochpunkt \(H(-k|2k^3)\), Tiefpunkt \(T(k|-2k^3)\) Wendepunkt: \(W(0|0)\)

- Wie gehst du vor, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse bei einer Funktion vierten Grades zu finden? - Welche Rolle spielen die Vorzeichen der zweiten Ableitung bei der Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkten? - Achte beim Einsetzen der Stellen in die Originalfunktion darauf, wie sich die Potenzen auf den Parameter \(a\) auswirken. - Gibt es Symmetrieeigenschaften, die dir die Arbeit bei der Berechnung der Punkte erleichtern könnten?

1. Achsenschnittpunkte: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|0)\). Die Nullstellen der Funktion ergeben sich aus \(\frac{1}{4}x^2(x^2 - 4a^2) = 0\), woraus \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm 2a\) folgt. Die Punkte sind \(N_1(0|0)\), \(N_2(2a|0)\) und \(N_3(-2a|0)\). 2. Extrempunkte: Die Ableitungen lauten \(g_a'(x) = x^3 - 2a^2x\) und \(g_a''(x) = 3x^2 - 2a^2\). Die Bedingung \(g_a'(x) = 0\) führt auf \(x(x^2 - 2a^2) = 0\), also \(x = 0\) oder \(x = \pm \sqrt{2}a\). Da \(g_a''(0) = -2a^2 < 0\), liegt ein Hochpunkt \(H(0|0)\) vor. Da \(g_a''(\pm \sqrt{2}a) = 4a^2 > 0\), liegen Tiefpunkte bei \(T_1(\sqrt{2}a|-a^4)\) und \(T_2(-\sqrt{2}a|-a^4)\). 3. Wendepunkte: Die Bedingung \(g_a''(x) = 3x^2 - 2a^2 = 0\) liefert \(x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}a\). Da die dritte Ableitung \(g_a'''(x) = 6x\) an diesen Stellen ungleich Null ist, existieren zwei Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}a | -\frac{5}{9}a^4)\).

Achsenschnittpunkte: \(S_y(0|0)\), \(N_1(0|0)\), \(N_2(2a|0)\), \(N_3(-2a|0)\) Extrempunkte: Hochpunkt \(H(0|0)\), Tiefpunkte \(T_{1,2}(\pm \sqrt{2}a|-a^4)\) Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}a | -\frac{5}{9}a^4)\)

- Welche Information liefert das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen? - Wie findet man die Stellen, an denen die Steigung null ist? - Mit welcher Ableitung kann man feststellen, ob eine Kurve an einer Stelle einen Berg oder ein Tal hat? - Wie berechnet man den passenden \(y\)-Wert zu einer \(x\)-Stelle?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = 2x^2 - 2x - 12\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\) lösen: \(2(x^2 - x - 6) = 0 \implies (x-3)(x+2) = 0\). Die kritischen Stellen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 3. Monotonieintervalle bestimmen: Da \(f'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, gilt \(f'(x) > 0\) für \(x < -2\) und \(x > 3\) (streng monoton steigend) sowie \(f'(x) < 0\) für \(-2 < x < 3\) (streng monoton fallend). 4. Art der Extrempunkte mit der zweiten Ableitung \(f''(x) = 4x - 2\) prüfen: \(f''(-2) = -10 < 0 \implies\) Hochpunkt bei \(x = -2\). \(f''(3) = 10 > 0 \implies\) Tiefpunkt bei \(x = 3\). 5. Funktionswerte berechnen: \(f(-2) = \frac{56}{3} = 18\frac{2}{3}\) und \(f(3) = -23\). Ergebnisse: Hochpunkt \(H\left(-2 \mid 18\frac{2}{3}\right)\), Tiefpunkt \(T(3 \mid -23)\).

a) Streng monoton steigend für \(x \in (-\infty; -2]\) und \(x \in [3; \infty)\); streng monoton fallend für \(x \in [-2; 3]\). b) Hochpunkt \(H\left(-2 \mid \frac{56}{3}\right)\), Tiefpunkt \(T(3 \mid -23)\).

- Welche Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung eines Graphen? - Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen der zweiten Ableitung für die Form der Kurve? - An welchen Stellen ändert sich die Krümmung einer Funktion? - Wie prüft man, ob an einer Stelle mit der Krümmung Null tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt?

1. Ableitungen bestimmen: \(h'(x) = 2x^3 - 6x + 5\), \(h''(x) = 6x^2 - 6\), \(h'''(x) = 12x\). 2. Notwendige Bedingung für Wendepunkte \(h''(x) = 0\) lösen: \(6x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1\). 3. Krümmungsverhalten über das Vorzeichen von \(h''(x)\) ermitteln: Für \(x < -1\) ist \(h''(x) > 0 \implies\) linksgekrümmt (konvex). Für \(-1 < x < 1\) ist \(h''(x) < 0 \implies\) rechtsgekrümmt (konkav). Für \(x > 1\) ist \(h''(x) > 0 \implies\) linksgekrümmt (konvex). 4. Hinreichende Bedingung für Wendepunkte prüfen: \(h'''(-1) = -12 \neq 0\) und \(h'''(1) = 12 \neq 0\). Es liegen Wendepunkte vor. 5. \(y\)-Koordinaten berechnen: \(h(-1) = \frac{1}{2}(-1)^4 - 3(-1)^2 + 5(-1) - 2 = 0{,}5 - 3 - 5 - 2 = -9{,}5\). \(h(1) = \frac{1}{2}(1)^4 - 3(1)^2 + 5(1) - 2 = 0{,}5 - 3 + 5 - 2 = 0{,}5\). Wendepunkte: \(W_1(-1 \mid -9{,}5)\) und \(W_2(1 \mid 0{,}5)\).

a) Linksgekrümmt für \(x \in (-\infty; -1)\) und \(x \in (1; \infty)\); rechtsgekrümmt für \(x \in (-1; 1)\). b) Wendepunkte \(W_1(-1 \mid -9{,}5)\) und \(W_2(1 \mid 0{,}5)\).

- Wie kannst du die Nullstellen direkt aus der Klammerdarstellung ablesen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du für \(x\) die Zahl Null einsetzt? - Überlege dir, welcher Teil der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte am wichtigsten wird. - Wenn ein Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist, was muss dann für jede Nullstelle \(x_0\) auch gelten?

1. Nullstellen bestimmen: Aus der faktorisierten Form ergeben sich die Nullstellen durch Nullsetzen der Faktoren. \(x_1 = -3\) (einfache Nullstelle, da der Faktor \((x+3)\) die Potenz 1 hat) und \(x_2 = 1\) (doppelte Nullstelle, da der Faktor \((x-1)\) im Quadrat steht). 2. \(y\)-Achsenabschnitt berechnen: Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung: \(p(0) = -0{,}1 \cdot (0 + 3) \cdot (0 - 1)^2 = -0{,}1 \cdot 3 \cdot 1 = -0{,}3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -0{,}3)\). 3. Globalverhalten untersuchen: Der Leitterm der ausmultiplizierten Funktion ist \(-0{,}1 \cdot x \cdot x^2 = -0{,}1x^3\). Für \(x \to \infty\) gilt \(p(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(p(x) \to \infty\). 4. Symmetrie begründen: Wäre der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung, müssten die Nullstellen symmetrisch zum Ursprung liegen. Da jedoch \(x = 1\) eine doppelte Nullstelle ist, müsste bei Achsensymmetrie auch \(x = -1\) eine doppelte Nullstelle sein; bei Punktsymmetrie müsste \(x = -1\) ebenfalls eine doppelte Nullstelle sein. Dies ist hier nicht der Fall (die andere Nullstelle liegt bei \(x = -3\) und ist einfach).

a) Nullstellen: \(x_1 = -3\) (einfach), \(x_2 = 1\) (doppelt). b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -0{,}3)\). c) \(x \to \infty \implies p(x) \to -\infty\); \(x \to -\infty \implies p(x) \to \infty\). d) Die Nullstellen liegen nicht symmetrisch zum Ursprung (zu \(x_2 = 1\) müsste \(x = -1\) eine Nullstelle mit gleicher Vielfachheit sein), daher liegt keine der genannten Symmetrien vor.

- Wie oft kannst du die Division durchführen, ohne dass ein Rest ungleich Null bleibt? - Was sagt das Ergebnis der Division an der Stelle \(x = 2\) über die weitere Teilbarkeit aus? - Kannst du den quadratischen Restterm am Ende noch weiter zerlegen?

1. Nachweis der Nullstelle: \(f(2) = 2^4 - 4 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 4 = 16 - 32 + 12 + 8 - 4 = 0\) 2. Erste Polynomdivision: \((x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 4x - 4) : (x - 2) = x^3 - 2x^2 - x + 2\) 3. Zweite Polynomdivision: \((x^3 - 2x^2 - x + 2) : (x - 2) = x^2 - 1\) 4. Prüfung auf weitere Teilbarkeit: Für \(g(x) = x^2 - 1\) gilt \(g(2) = 2^2 - 1 = 3 \neq 0\). Der Faktor lässt sich somit genau zweimal abspalten; die Vielfachheit ist 2. 5. Vollständige Faktorisierung: Mit \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\) ergibt sich \(f(x) = (x - 2)^2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)\).

Die Nullstelle \(x_0 = 2\) hat die Vielfachheit 2 (doppelte Nullstelle). Die vollständige Faktorisierung lautet \(f(x) = (x - 2)^2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)\).

- Führe die Polynomdivision schrittweise nacheinander aus. - Achte darauf, dass bei jedem der drei Schritte der Rest der Division Null sein muss. - Prüfe am Ende, ob der verbleibende Term \(g(x)\) an der Stelle \(x = 2\) ebenfalls Null ergibt.

1. Erste Polynomdivision: \((x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 28x - 24) : (x - 2) = x^3 - x^2 - 8x + 12\) 2. Zweite Polynomdivision: \((x^3 - x^2 - 8x + 12) : (x - 2) = x^2 + x - 6\) 3. Dritte Polynomdivision: \((x^2 + x - 6) : (x - 2) = x + 3\) 4. Identifikation des Restterms: \(g(x) = x + 3\) 5. Begründung der Vielfachheit: Da \(g(2) = 2 + 3 = 5 \neq 0\), ist \(x = 2\) keine Nullstelle von \(g(x)\). Der Linearfaktor \((x - 2)\) lässt sich somit kein viertes Mal abspalten.

Nach dreimaligem Abspalten bleibt der Term \(g(x) = x + 3\) übrig. Da \(g(2) = 5 \neq 0\) ist, ist \(x_0 = 2\) eine dreifache, aber keine vierfache Nullstelle.

- Wie kannst du eine erste Nullstelle finden, wenn kein Verfahren direkt offensichtlich ist? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \( x \)-Werte? - Wie verhält sich das Vorzeichen einer Funktion beim Passieren einer einfachen Nullstelle? - Kannst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen, um die Vorzeichenbereiche leichter zu bestimmen?

1. Durch Probieren findet man die Nullstelle \( x_1 = 1 \). Die Polynomdivision \( (x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (x - 1) \) ergibt \( x^2 - 3x - 10 \). Die weiteren Nullstellen berechnen sich aus \( x^2 - 3x - 10 = 0 \) zu \( x_2 = -2 \) und \( x_3 = 5 \). 2. Da der Leitterm \( x^3 \) einen positiven Koeffizienten und einen ungeraden Grad hat, gilt: Für \( x \to \infty \) folgt \( f(x) \to \infty \); für \( x \to -\infty \) folgt \( f(x) \to -\infty \). 3. Die Nullstellen teilen die \( x \)-Achse in die Intervalle \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 1) \), \( (1; 5) \) und \( (5; \infty) \). Durch Untersuchung der Vorzeichen (oder Berücksichtigung des Verhaltens im Unendlichen und der einfachen Nullstellen) ergibt sich: \( f(x) < 0 \) für \( x \in (-\infty; -2) \cup (1; 5) \). \( f(x) > 0 \) für \( x \in (-2; 1) \cup (5; \infty) \).

1. Nullstellen: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 \), \( x_3 = 5 \). 2. Verhalten: \( f(x) \to \infty \) für \( x \to \infty \) und \( f(x) \to -\infty \) für \( x \to -\infty \). 3. Positiv: \( x \in (-2; 1) \cup (5; \infty) \); Negativ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (1; 5) \).

- Erkennst du eine Struktur im Funktionsterm, die eine Substitution (Ersetzung) ermöglicht? - Überlege dir, wie viele Nullstellen eine Funktion vierten Grades maximal haben kann. - Was sagt das Vorzeichen vor der höchsten Potenz über die Öffnung des Graphen aus? - Ein Vorzeichentest an ausgewählten Stellen zwischen den Nullstellen kann helfen, die Intervalle zu bestimmen.

1. Mit der Substitution \( u = x^2 \) erhält man die quadratische Gleichung \( -u^2 + 10u - 9 = 0 \). Die Lösungen für \( u \) sind \( u_1 = 1 \) und \( u_2 = 9 \). Rücksubstitution liefert \( x^2 = 1 \implies x_{1,2} = \pm 1 \) und \( x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm 3 \). 2. Der Leitterm \( -x^4 \) hat einen negativen Koeffizienten und einen geraden Grad. Daher gilt sowohl für \( x \to \infty \) als auch für \( x \to -\infty \), dass \( g(x) \to -\infty \). 3. Aufgrund des Verhaltens im Unendlichen und der vier einfachen Nullstellen wechselt das Vorzeichen an jeder Nullstelle: Negativ (\( g(x) < 0 \)) in \( (-\infty; -3) \), \( (-1; 1) \) und \( (3; \infty) \). Positiv (\( g(x) > 0 \)) in \( (-3; -1) \) und \( (1; 3) \).

1. Nullstellen: \( x \in \{-3; -1; 1; 3\} \). 2. Verhalten: \( g(x) \to -\infty \) für \( x \to \pm \infty \). 3. Positiv: \( x \in (-3; -1) \cup (1; 3) \); Negativ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 1) \cup (3; \infty) \).

- Überlege dir, wie du den Term faktorisieren kannst, um die Nullstellen direkt abzulesen. - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte. - Achte bei der Berechnung der Wendestellen auf die Anwendung der \(pq\)-Formel oder der quadratischen Ergänzung. - Was sagt die Vielfachheit einer Nullstelle über den Verlauf des Graphen an dieser Stelle aus?

1. Nullstellen: Aus \(\frac{1}{4}x^2(x^2 - 4x + 4) = 0\) folgt \(\frac{1}{4}x^2(x-2)^2 = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\) (jeweils doppelte Nullstellen mit Berührung der \(x\)-Achse). 2. Extrempunkte: Die Ableitung \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) wird Null gesetzt: \(x(x^2 - 3x + 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = 2\). Mit \(f''(x) = 3x^2 - 6x + 2\) ergibt sich: \(f''(0) = 2 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt \(T_1(0|0)\); \(f''(1) = -1 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt \(H(1|0{,}25)\); \(f''(2) = 2 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt \(T_2(2|0)\). 3. Wendepunkte: \(f''(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0\) führt über die \(pq\)-Formel zu \(x_{w1,w2} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = 1 \pm \sqrt{\frac{1}{3}} \approx 1 \pm 0{,}577\). Die \(y\)-Koordinaten berechnen sich zu \(f(1 \pm \sqrt{1/3}) = \frac{1}{9}\). Die Wendepunkte sind \(W_1(1 - \sqrt{1/3} | \frac{1}{9})\) und \(W_2(1 + \sqrt{1/3} | \frac{1}{9})\).

Nullstellen: \(N_1(0|0)\), \(N_2(2|0)\); Extrempunkte: Tiefpunkte \(T_1(0|0)\) und \(T_2(2|0)\), Hochpunkt \(H(1|0{,}25)\); Wendepunkte: \(W_{1,2}(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} | \frac{1}{9})\).

- Betrachte die Exponenten der Variable, um auf Symmetrie zu schließen. - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Nutze die faktorisierte Form, um die Nullstellen direkt abzulesen. - Denke an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrem- und Wendepunkte.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten auftreten (\(f(x) = 3x^2 - \frac{1}{2}x^4\)), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Globalverhalten: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), da der Leitterm \(-\frac{1}{2}x^4\) negativ ist. 3. Nullstellen: \(f(x) = 0 \Rightarrow x^2 = 0\) oder \(6 - x^2 = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{6}\). 4. Ableitungen: \(f'(x) = 6x - 2x^3\) und \(f''(x) = 6 - 6x^2\). 5. Extrema: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 2x(3 - x^2) = 0\). Kandidaten sind \(x = 0\) und \(x = \pm \sqrt{3}\). Überprüfung mit \(f''\): \(f''(0) = 6 > 0 \Rightarrow T(0|0)\); \(f''(\pm \sqrt{3}) = 6 - 18 = -12 < 0 \Rightarrow H_1(-\sqrt{3}|4{,}5)\) und \(H_2(\sqrt{3}|4{,}5)\). 6. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 6x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm 1\). Da \(f'''(x) = -12x \neq 0\) für \(x = \pm 1\), liegen Wendepunkte bei \(W_1(-1|2{,}5)\) und \(W_2(1|2{,}5)\).

Symmetrie: Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse Verhalten: \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\) Nullstellen: \(N_1(0|0)\), \(N_2(\sqrt{6}|0)\), \(N_3(-\sqrt{6}|0)\) Extrema: Tiefpunkt \(T(0|0)\), Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{3}|4{,}5)\) und \(H_2(\sqrt{3}|4{,}5)\) Wendepunkte: \(W_1(-1|2{,}5)\), \(W_2(1|2{,}5)\)

- Es kann hilfreich sein, die Klammern zuerst aufzulösen, um die Ableitungen leichter zu bilden. - Was bedeutet eine quadrierte Klammer für die Art der Nullstelle? - Wie viele Extremstellen kann eine Funktion dritten Grades höchstens haben? - Der Wendepunkt liegt bei Funktionen dritten Grades immer genau in der Mitte zwischen den Extremstellen.

1. Ausmultiplizieren: \(f(x) = (x^2 + 4x + 4)(x - 1) = x^3 + 3x^2 - 4\). 2. Globalverhalten: Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Nullstellen: Aus der faktorisierten Form direkt ablesbar: \(x_1 = -2\) (doppelt) und \(x_2 = 1\). 4. Extrema: \(f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)\). Nullsetzen liefert \(x = 0\) und \(x = -2\). \(f''(x) = 6x + 6\). Überprüfung: \(f''(-2) = -6 < 0 \Rightarrow H(-2|0)\); \(f''(0) = 6 > 0 \Rightarrow T(0|-4)\). 5. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 6x = -6 \Rightarrow x = -1\). \(f'''(x) = 6 \neq 0\). Funktionswert: \(f(-1) = (-1+2)^2(-1-1) = 1 \cdot (-2) = -2\). Somit \(W(-1|-2)\).

Verhalten: \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\), \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) Nullstellen: \(N_1(-2|0)\), \(N_2(1|0)\) Extrema: Hochpunkt \(H(-2|0)\), Tiefpunkt \(T(0|-4)\) Wendepunkt: \(W(-1|-2)\)

- Überlege dir, wie der Graph verlaufen muss, wenn er von einem tiefen Punkt zu einem anderen tiefen Punkt führt. - Betrachte das Grenzverhalten (Globalverhalten) von Funktionen mit geradem Grad. - Was wissen wir über die Anzahl der Nullstellen der Ableitungsfunktion bei Funktionen vierten Grades?

1. Aussage a) ist wahr. Seien \(x_1 < x_2\) zwei lokale Minimalstellen. Auf dem abgeschlossenen Intervall \([x_1; x_2]\) nimmt die stetige Funktion \(f\) ein Maximum an. Dieses Maximum wird im Inneren des Intervalls angenommen; falls auf einem Teilintervall ein konstanter Maximalwert vorliegt, sind dessen innere Punkte ebenfalls lokale Maximalstellen. Somit liegt zwischen den beiden lokalen Minimalstellen mindestens eine lokale Maximalstelle. 2. Aussage b) ist wahr. Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) verläuft für \(x \to \pm \infty\) entweder beidseitig gegen \(+\infty\) (für \(a > 0\)) oder beidseitig gegen \(-\infty\) (für \(a < 0\)). Folglich muss die Funktion aufgrund ihrer Stetigkeit ein globales Minimum (bzw. Maximum) besitzen. An dieser Stelle ist die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) erfüllt und es liegt ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor, also eine Extremstelle.

a) Wahr. Zwischen zwei lokalen Minima muss der Graph steigen und wieder fallen, was ein lokales Maximum erzwingt. b) Wahr. Funktionen mit geradem Grad besitzen immer ein globales Extremum (Minimum oder Maximum) und damit mindestens eine Extremstelle.

- Wie berechnet man den Gewinn aus dem Erlös und den Kosten? - Denke an die notwendige und hinreichende Bedingung für ein Maximum einer Funktion. - Was bedeutet ein negatives Ergebnis bei der Gewinnberechnung für das Unternehmen? - Achte beim Aufstellen der Gewinnfunktion auf die Vorzeichen, wenn du die Kostenfunktion subtrahierst.

1. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(x) = 600 \cdot x\). 2. Bildung der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 600x - (0{,}05x^3 - 6x^2 + 465x + 4\,700) = -0{,}05x^3 + 6x^2 + 135x - 4\,700\). 3. Bestimmung des Gewinnmaximums: \(G'(x) = -0{,}15x^2 + 12x + 135\). Setze \(G'(x) = 0\): \(-0{,}15x^2 + 12x + 135 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 80x - 900 = 0\). Lösungen über die \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 40 \pm \sqrt{1\,600 + 900} = 40 \pm 50\). Da \(x > 0\), ist \(x = 90\) die relevante Stelle. 4. Überprüfung mit \(G''(x) = -0{,}3x + 12\): \(G''(90) = -0{,}3 \cdot 90 + 12 = -27 + 12 = -15 < 0\). Es liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(90) = -0{,}05 \cdot 90^3 + 6 \cdot 90^2 + 135 \cdot 90 - 4\,700 = -36\,450 + 48\,600 + 12\,150 - 4\,700 = 19\,600\,\text{€}\). 6. Prüfung für \(x = 10\): \(G(10) = -0{,}05 \cdot 10^3 + 6 \cdot 10^2 + 135 \cdot 10 - 4\,700 = -50 + 600 + 1\,350 - 4\,700 = -2\,800\). Da \(G(10) < 0\), entsteht ein Verlust von \(2\,800\,\text{€}\).

a) \(G(x) = -0{,}05x^3 + 6x^2 + 135x - 4\,700\) b) Das Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(90\,\text{kg}\). Der maximale Gewinn beträgt \(19\,600\,\text{€}\). c) Bei einer Menge von \(10\,\text{kg}\) entsteht ein Verlust von \(2\,800\,\text{€}\).

- Die Grenzkosten sind minimal, wenn die Steigung der Kostenfunktion ihren kleinsten Wert erreicht. Welcher besondere Punkt der Kurvendiskussion ist das? - Wie hängen der Begriff „degressiv“, die Rechtskrümmung und das Steigungsverhalten der Ableitung zusammen? - Überlege dir, was die zweite Ableitung über die Änderung der Grenzkosten aussagt.

1. Grenzkostenfunktion bilden: \(K'(x) = 0{,}6x^2 - 24x + 300\). 2. Minimum der Grenzkosten bestimmen: \(K''(x) = 1{,}2x - 24\). Setze \(K''(x) = 0 \Rightarrow 1{,}2x = 24 \Rightarrow x = 20\). 3. Überprüfung: \(K'''(x) = 1{,}2 > 0\). Bei \(x = 20\) liegt ein Minimum der Grenzkosten vor (Kostenkehre). 4. Wert der minimalen Grenzkosten: \(K'(20) = 0{,}6 \cdot 20^2 - 24 \cdot 20 + 300 = 240 - 480 + 300 = 60\,\text{€}/\text{Stück}\). 5. Degressiver Kostenverlauf: Dieser liegt vor, solange die Grenzkosten sinken, also bis zum Minimum der Grenzkosten (dem Wendepunkt der Kostenfunktion). Mathematisch gilt dies für \(K''(x) < 0\). \(1{,}2x - 24 < 0 \Rightarrow x < 20\). Somit steigen die Kosten im Bereich \(0 \le x < 20\) degressiv.

a) \(K'(x) = 0{,}6x^2 - 24x + 300\) b) Die Grenzkosten sind bei einer Menge von \(20\,\text{Stück}\) minimal und betragen dort \(60\,\text{€}/\text{Stück}\). c) Im Bereich von \(0\) bis unter \(20\,\text{Stück}\) steigen die Kosten degressiv, da in diesem Intervall die zweite Ableitung \(K''(x) < 0\) ist, was bedeutet, dass die Grenzkosten abnehmen.

- Achte bei der Symmetrie auf die Exponenten der Variable \(x\). - Wie verhält sich der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? Welches Glied der Funktion dominiert dann? - Verwende die Ableitungen, um Steigung und Krümmung zu untersuchen. - Denke daran, die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung einzusetzen, um die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu bestimmen.

1. Symmetrie und Verhalten im Unendlichen: Da die Funktion sowohl gerade als auch ungerade Exponenten besitzt, liegt keine einfache Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse vor. Für das Verhalten im Unendlichen ist die höchste Potenz \(x^3\) maßgeblich: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). 2. Lokale Extrempunkte: Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\). Nullstellen von \(f'\) ergeben sich aus \((x-3)(x+1) = 0\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 2x - 2\). Prüfung der Stellen: \(f''(3) = 4 > 0 \implies\) lokaler Tiefpunkt bei \(x = 3\). Funktionswert: \(f(3) = 9 - 9 - 9 + \frac{11}{3} = -\frac{16}{3}\), also \(T(3 \mid -\frac{16}{3})\). Prüfung: \(f''(-1) = -4 < 0 \implies\) lokaler Hochpunkt bei \(x = -1\). Funktionswert: \(f(-1) = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + \frac{11}{3} = \frac{16}{3}\), also \(H(-1 \mid \frac{16}{3})\). 3. Wendepunkte: Bedingung \(f''(x) = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1\). Mit \(f'''(x) = 2 \neq 0\) ist ein Wendepunkt bestätigt. Funktionswert: \(f(1) = \frac{1}{3} - 1 - 3 + \frac{11}{3} = 0\), also \(W(1 \mid 0)\).

1. Keine einfache Symmetrie; \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). 2. Hochpunkt \(H(-1 \mid \frac{16}{3})\), Tiefpunkt \(T(3 \mid -\frac{16}{3})\). 3. Wendepunkt \(W(1 \mid 0)\).

- Forme den Funktionsterm um oder vergleiche \(f(1+u)\) und \(f(1-u)\), um eine verschobene Symmetrieachse zu erkennen. - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt den Verlauf des Graphen für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Wie hängen die Ableitungen einer Funktion mit ihren Hoch- und Tiefpunkten zusammen? - Welche Ableitung hilft dir dabei, die Krümmung und Wendestellen zu bestimmen?

1. Es gilt \(f(x) = x^2(x-2)^2 + 1 = ((x-1)^2-1)^2 + 1\). Daher ist \(f(1+u) = f(1-u)\) für alle \(u \in \mathbb{R}\), und der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\). 2. Für \(x \to \pm \infty\) dominiert der Term \(x^4\). Daher gilt: \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Erste Ableitung: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2)\). Die Nullstellen der ersten Ableitung sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = 12x^2 - 24x + 8\). Überprüfung: \(f''(0) = 8 > 0 \implies\) Tiefpunkt bei \((0 | 1)\); \(f''(1) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt bei \((1 | 2)\); \(f''(2) = 8 > 0 \implies\) Tiefpunkt bei \((2 | 1)\). 4. Bedingung für Wendestellen: \(f''(x) = 0 \implies 12x^2 - 24x + 8 = 0 \implies 3x^2 - 6x + 2 = 0\). Mit der Mitternachtsformel oder \(p\)-\(q\)-Formel ergeben sich die Wendestellen \(x_{W1} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}42\) und \(x_{W2} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}58\). Da \(f'''(x) = 24x - 24\) an diesen Stellen ungleich Null ist, liegen dort tatsächlich Wendepunkte vor.

1. Achsensymmetrie zur Geraden \(x = 1\). 2. \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\). 3. Tiefpunkte bei \((0 | 1)\) und \((2 | 1)\), Hochpunkt bei \((1 | 2)\). 4. Wendestellen bei \(x \approx 0{,}42\) und \(x \approx 1{,}58\).

- Welcher Teilterm der Funktionsgleichung bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine x-Werte? - Schau dir die Exponenten der Variablen an. Sind sie alle gerade, ungerade oder gemischt? - Wie kannst du die Gleichung durch Ausklammern vereinfachen, um die Nullstellen zu finden? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Grad der Funktion und der Anzahl ihrer Kurvenpunkte?

1. Da der Leitkoeffizient \(a_4 = \frac{1}{8} > 0\) positiv ist und der Grad \(n = 4\) gerade ist, gilt für den Globalverlauf: \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\). 2. Die Funktionsgleichung enthält nur gerade Exponenten (\(4\) und \(2\)). Es gilt \(f(-x) = \frac{1}{8}(-x)^4 - (-x)^2 = \frac{1}{8}x^4 - x^2 = f(x)\). Somit ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (2. Achse). 3. Ansatz \(f(x) = 0\): \(\frac{1}{8}x^4 - x^2 = 0 \iff x^2 \cdot (\frac{1}{8}x^2 - 1) = 0\). Daraus folgt \(x_1 = 0\) (doppelte Nullstelle) oder \(\frac{1}{8}x^2 = 1 \iff x^2 = 8\). Dies ergibt die weiteren Nullstellen \(x_2 = \sqrt{8} \approx 2{,}83\) und \(x_3 = -\sqrt{8} \approx -2{,}83\). 4. Eine ganzrationale Funktion \(n\)-ten Grades hat höchstens \(n-1\) Extremstellen und höchstens \(n-2\) Wendestellen. Für \(n=4\) sind dies maximal 3 Extremstellen und 2 Wendestellen. Bei \(f\) liegen Extremstellen bei \(x \in \{0; 2; -2\}\) (3 Stellen) und Wendestellen bei \(x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}\) (2 Stellen) vor, was den Maximalwerten entspricht.

1. \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\). 2. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. 3. \(x_1 = 0\), \(x_2 = \sqrt{8}\), \(x_3 = -\sqrt{8}\). 4. Maximal 3 Extremstellen und 2 Wendestellen; die Funktion \(f\) erreicht diese Maximalanzahl.

- Wie nutzt man die Ableitungen, um Hoch- und Tiefpunkte zu unterscheiden? - Was muss für die zweite Ableitung an einer Wendestelle gelten? - Wie hängen das Vorzeichen der Steigung und das Steigen oder Fallen des Graphen zusammen? - Welche zusätzliche Bedingung muss ein Wendepunkt erfüllen, um als Sattelpunkt bezeichnet zu werden?

1. Ableitungen: \(g'(x) = 3x^2 - 12x + 9\) und \(g''(x) = 6x - 12\). Notwendige Bedingung für Extrema: \(g'(x) = 0 \iff 3(x^2 - 4x + 3) = 0 \iff (x-1)(x-3) = 0\). Mögliche Stellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\). Prüfung: \(g''(1) = -6 < 0 \implies H(1|4)\) (Hochpunkt); \(g''(3) = 6 > 0 \implies T(3|0)\) (Tiefpunkt). 2. Notwendige Bedingung für Wendepunkte: \(g''(x) = 0 \iff 6x - 12 = 0 \iff x = 2\). Prüfung: \(g'''(x) = 6 \neq 0\). Funktionswert: \(g(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 = 8 - 24 + 18 = 2\). Wendepunkt \(W(2|2)\). 3. Für \(x \in (1; 3)\) ist die erste Ableitung \(g'(x) = 3(x-1)(x-3)\) negativ (da der erste Faktor positiv und der zweite negativ ist). Gemäß dem Monotoniesatz ist die Funktion im Intervall \([1; 3]\) streng monoton fallend. 4. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente (\(g'(x_W) = 0\)). Da \(g'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \neq 0\), liegt bei \(x = 2\) kein Sattelpunkt vor.

1. Hochpunkt \(H(1|4)\), Tiefpunkt \(T(3|0)\). 2. Wendepunkt \(W(2|2)\). 3. Im Intervall \((1; 3)\) ist \(g'(x) < 0\), daher ist \(g\) dort streng monoton fallend. 4. Kein Sattelpunkt, da die Steigung \(g'(2) = -3 \neq 0\) ist.

- Kannst du einen Faktor finden, der in Teilen des Terms gemeinsam vorkommt, um die Nullstellen einfacher zu bestimmen? - Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einem Extrempunkt erfüllt sein? - Überlege dir, welchen Grad die zweite Ableitung einer Funktion dritten Grades hat. Wie viele Nullstellen kann eine solche Funktion haben? - Wie berechnet man den passenden y-Wert, wenn man die x-Stelle eines Punktes bereits kennt?

1. Die Nullstellen werden durch \(f(x) = 0\) bestimmt. Durch Ausklammern oder Raten einer Nullstelle und anschließende Polynomdivision (oder direktes Faktorisieren: \(\frac{1}{3}(x^2(x-3) - 9(x-3))\)) erhält man \(f(x) = \frac{1}{3}(x-3)^2(x+3)\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 3\) (doppelt) und \(x_2 = -3\). 2. Für die Extrempunkte wird die erste Ableitung \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) gleich null gesetzt. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -1\). Mit der zweiten Ableitung \(f''(x) = 2x - 2\) ergibt sich: \(f''(3) = 4 > 0 \implies T(3 | 0)\) (lokales Minimum) und \(f''(-1) = -4 < 0 \implies H(-1 | \frac{32}{3})\) (lokales Maximum), näherungsweise \(H(-1 | 10{,}67)\). 3. Der Wendepunkt ergibt sich aus \(f''(x) = 0\), also \(2x - 2 = 0 \implies x_w = 1\). Der Funktionswert ist \(f(1) = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(1 | \frac{16}{3})\). Da die zweite Ableitung einer Funktion 3. Grades eine lineare Funktion der Form \(f''(x) = ax + b\) (mit \(a \neq 0\)) ist, besitzt diese genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, was stets zu genau einem Wendepunkt führt.

1. Nullstellen: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\) 2. Extrempunkte: \(T(3 | 0)\) und \(H(-1 | \frac{32}{3})\) 3. Wendepunkt: \(W(1 | \frac{16}{3})\). Begründung: Die zweite Ableitung ist eine lineare Funktion mit genau einer Nullstelle (und Vorzeichenwechsel).

- Wie hoch sind die Kosten, wenn die Produktion noch nicht gestartet ist? - Die Grenzkosten werden mathematisch durch die erste Ableitung beschrieben. Wie findet man den Tiefpunkt einer Funktion? - Welche Eigenschaft muss die erste Ableitung einer Funktion haben, damit die Funktion überall steigt? - Erinnere dich an die Diskriminante quadratischer Funktionen – was sagt sie über die Existenz von Nullstellen aus?

1. Zur Bestimmung der Fixkosten wird der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) berechnet: \(K(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 - 4 \cdot 0^2 + 21 \cdot 0 + 60 = 60\). Die Fixkosten betragen somit \(60\,\text{GE}\). 2. Die Grenzkostenfunktion entspricht der ersten Ableitung der Kostenfunktion: \(K'(x) = x^2 - 8x + 21\). Um deren Minimum zu finden, wird die zweite Ableitung \(K''(x) = 2x - 8\) gebildet und gleich Null gesetzt: \(2x - 8 = 0 \implies x = 4\). Wegen \(K'''(x) = 2 > 0\) liegt bei \(x = 4\,\text{ME}\) tatsächlich ein Minimum der Grenzkosten vor. 3. Für den Nachweis der strengen Monotonie wird die erste Ableitung \(K'(x) = x^2 - 8x + 21\) untersucht. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 - 8x + 21 = 0\) ergibt sich zu \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 64 - 84 = -20\). Da \(D < 0\) ist und der Graph von \(K'\) eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, gilt \(K'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Damit ist die Funktion \(K\) im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.

a) Die Fixkosten betragen \(60\,\text{GE}\). b) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(4\,\text{ME}\) minimal. c) Da die erste Ableitung \(K'(x) = x^2 - 8x + 21\) keine reellen Nullstellen besitzt (\(D = -20\)) und stets positiv ist, ist die Funktion \(K\) streng monoton steigend.

- Überlege dir, welcher Wert für die Variable \( x \) steht, wenn keine Düngung stattfindet. - Um ein Maximum zu finden, musst du die erste Ableitung der Funktion untersuchen. - Die Wachstumsrate oder der Grenzertrag wird durch die Steigung der Funktion beschrieben. Wo ist die Steigung einer Kurve am steilsten? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Krümmung einer Funktion (zweite Ableitung) und dem Wendepunkt.

1. Berechnung des Ertrags ohne Dünger: \( f(0) = -0{,}00005 \cdot 0^3 + 0{,}006 \cdot 0^2 + 0{,}3 \cdot 0 + 45 = 45 \). Der Basisertrag beträgt \( 45\,\text{dt/ha} \). 2. Bestimmung des Maximums: Erste Ableitung bilden: \( f'(x) = -0{,}00015x^2 + 0{,}012x + 0{,}3 \). Nullstellen von \( f'(x) \) berechnen: \( -0{,}00015x^2 + 0{,}012x + 0{,}3 = 0 \). Division durch \(-0{,}00015\) ergibt \( x^2 - 80x - 2000 = 0 \). Mit der \(pq\)-Formel folgt \( x_{1,2} = 40 \pm \sqrt{1600 + 2000} = 40 \pm 60 \). Die relevante Lösung im Intervall ist \( x = 100\,\text{kg/ha} \). 3. Überprüfung und Funktionswert: \( f''(x) = -0{,}0003x + 0{,}012 \). Da \( f''(100) = -0{,}03 + 0{,}012 = -0{,}018 < 0 \), liegt ein Maximum vor. Maximaler Ertrag: \( f(100) = -50 + 60 + 30 + 45 = 85\,\text{dt/ha} \). 4. Bestimmung des Wendepunkts (maximaler Grenzertrag): Zweite Ableitung Null setzen: \( f''(x) = -0{,}0003x + 0{,}012 = 0 \implies 0{,}0003x = 0{,}012 \implies x = 40 \). Da \( f'''(x) = -0{,}0003 < 0 \), besitzt \(f'\) dort ein lokales Maximum. Die Düngermenge mit maximalem Grenzertrag beträgt \( 40\,\text{kg/ha} \).

a) Der Ertrag ohne Dünger beträgt \( 45\,\text{dt/ha} \). b) Der maximale Ertrag wird bei einer Düngermenge von \( 100\,\text{kg/ha} \) erreicht und beträgt \( 85\,\text{dt/ha} \). c) Die Zunahme des Ertrags ist bei einer Düngermenge von \( 40\,\text{kg/ha} \) am größten.

- Untersuche die Exponenten der Variable, um auf die Symmetrie zu schließen. - Überlege dir, wie du die Gleichung vierten Grades für die Nullstellenberechnung vereinfachen kannst. - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte unter Verwendung der Ableitungen. - Denk daran, dass doppelte Nullstellen oft auch Extrempunkte sind.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten auftreten, gilt \(f(-x) = f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Achsenschnittpunkte: \(f(0) = 81 \implies S_y(0|81)\). Nullstellen durch Substitution \(z = x^2\): \(z^2 - 18z + 81 = 0 \implies (z-9)^2 = 0 \implies z = 9\). Somit \(x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3\). Nullstellen sind \(N_1(-3|0)\) und \(N_2(3|0)\). 3. Extrempunkte: \(f'(x) = 4x^3 - 36x = 4x(x^2 - 9)\). Nullstellen der Ableitung bei \(x_0 = 0\) und \(x_{1,2} = \pm 3\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = 12x^2 - 36\). - \(f''(0) = -36 < 0 \implies HP(0|81)\). - \(f''(\pm 3) = 12 \cdot 9 - 36 = 72 > 0 \implies TP_1(-3|0)\) und \(TP_2(3|0)\). 4. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \implies 12x^2 = 36 \implies x^2 = 3 \implies x_{W1,2} = \pm \sqrt{3}\). Funktionswerte: \(f(\pm \sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 - 18(\sqrt{3})^2 + 81 = 9 - 54 + 81 = 36\). Da \(f'''(x) = 24x \neq 0\) für \(x \neq 0\), liegen Wendepunkte bei \(W_1(-\sqrt{3}|36)\) und \(W_2(\sqrt{3}|36)\) vor.

Symmetrie: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse Schnittpunkte: \(S_y(0|81)\), \(N_1(-3|0)\), \(N_2(3|0)\) Extrempunkte: \(HP(0|81)\), \(TP_1(-3|0)\), \(TP_2(3|0)\) Wendepunkte: \(W_1(-\sqrt{3}|36)\), \(W_2(\sqrt{3}|36)\)

- Untersuche zuerst, ob die Funktion nur gerade oder nur ungerade Exponenten besitzt. - Wie verhält sich der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Nutze eine Substitution, um die Gleichung für die Nullstellen zu lösen. - Bestimme die ersten drei Ableitungen, um Extrema und Wendepunkte zu berechnen.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten auftreten, gilt \(f(-x) = f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Verhalten im Unendlichen: Da der Leitkoeffizient positiv und der Grad gerade ist, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\). 3. Nullstellen: Ansatz \(0{,}25x^4 - 2{,}5x^2 + 4 = 0\). Substitution \(u = x^2\) führt auf \(0{,}25u^2 - 2{,}5u + 4 = 0\), woraus \(u_1 = 8\) und \(u_2 = 2\) folgen. Rücksubstitution ergibt \(x_{1,2} = \pm \sqrt{8} \approx \pm 2{,}83\) und \(x_{3,4} = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1{,}41\). Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(f(0) = 4\). 4. Extrempunkte: \(f'(x) = x^3 - 5x\). Nullstellen der ersten Ableitung sind \(x = 0\) und \(x = \pm \sqrt{5} \approx \pm 2{,}24\). Überprüfung mit \(f''(x) = 3x^2 - 5\): \(f''(0) = -5 < 0 \implies H(0 | 4)\); \(f''(\pm \sqrt{5}) = 10 > 0 \implies T_1(-2{,}24 | -2{,}25)\) und \(T_2(2{,}24 | -2{,}25)\). 5. Wendepunkte: Ansatz \(f''(x) = 3x^2 - 5 = 0 \implies x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} \approx \pm 1{,}29\). Da \(f'''(x) = 6x \neq 0\) für diese Stellen, liegen Wendepunkte bei \(W_1(-1{,}29 | 0{,}53)\) und \(W_2(1{,}29 | 0{,}53)\).

Symmetrie: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse Verhalten im Unendlichen: \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\) Nullstellen: \(N_1(-2{,}83 | 0)\), \(N_2(-1{,}41 | 0)\), \(N_3(1{,}41 | 0)\), \(N_4(2{,}83 | 0)\) \(y\)-Achsenabschnitt: \(S_y(0 | 4)\) Extrempunkte: \(T_1(-2{,}24 | -2{,}25)\), \(H(0 | 4)\), \(T_2(2{,}24 | -2{,}25)\) Wendepunkte: \(W_1(-1{,}29 | 0{,}53)\), \(W_2(1{,}29 | 0{,}53)\)

- Achte auf die Mischung der Exponenten bei der Symmetrieuntersuchung. - Der Summand mit der höchsten Potenz bestimmt das Verhalten für sehr große x-Werte. - Setze die notwendigen Bedingungen für Extrema und Wendepunkte an. - Falls du bei den Nullstellen nicht durch Ausklammern oder Raten weiterkommst, verwende dein digitales Werkzeug.

1. Symmetrie: Es treten sowohl gerade als auch ungerade Exponenten auf (einschließlich \(x^0\) bei der Konstanten). Es liegt keine einfache Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse vor. 2. Verhalten im Unendlichen: Da der höchste Grad \(x^3\) ungerade und der Koeffizient positiv ist, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Extrempunkte: \(f'(x) = x^2 - x - 2\). Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). Mit \(f''(x) = 2x - 1\) folgt: \(f''(2) = 3 > 0 \implies T(2 | -\frac{7}{3}) \approx T(2 | -2{,}33)\); \(f''(-1) = -3 < 0 \implies H(-1 | \frac{13}{6}) \approx H(-1 | 2{,}17)\). 4. Wendepunkte: \(f''(x) = 2x - 1 = 0 \implies x = 0{,}5\). Da \(f'''(x) = 2 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt bei \(W(0{,}5 | -\frac{1}{12}) \approx W(0{,}5 | -0{,}08)\). 5. Nullstellen: Die Gleichung \(\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 = 0\) besitzt keine offensichtlichen ganzzahligen Lösungen. Mithilfe eines GTR/CAS ergeben sich die Näherungswerte \(x_1 \approx -2{,}08\), \(x_2 \approx 0{,}46\) und \(x_3 \approx 3{,}12\).

Symmetrie: Keine einfache Symmetrie (weder achsen- noch punktsymmetrisch zum Ursprung) Globalverhalten: \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\); \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) Extrempunkte: \(H(-1 | 2{,}17)\), \(T(2 | -2{,}33)\) Wendepunkte: \(W(0{,}5 | -0{,}08)\) Nullstellen: \(x_1 \approx -2{,}08\); \(x_2 \approx 0{,}46\); \(x_3 \approx 3{,}12\)

- Welche Informationen liefert ein Wendepunkt für die Funktionswerte und die Ableitungen? - Was bedeutet es für die Steigung, wenn eine Tangente parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie viele Unbekannte hat eine Funktion 3. Grades im allgemeinen Ansatz? - Nutze die Koordinaten der gegebenen Punkte direkt für das Aufstellen von Gleichungen.

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion 3. Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Ableitungen bilden: \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Bedingung (1): Wendepunkt bei \(W(0 \mid 2)\) liefert \(f(0) = 2 \Rightarrow d = 2\) und \(f''(0) = 0 \Rightarrow 2b = 0 \Rightarrow b = 0\). 3. Bedingung (2): Der Punkt \(P(2 \mid 6)\) liegt auf dem Graphen, also \(f(2) = 6\). Mit \(b=0\) und \(d=2\) folgt: \(a \cdot 2^3 + c \cdot 2 + 2 = 6 \Rightarrow 8a + 2c = 4 \Rightarrow 4a + c = 2\). 4. Bedingung (2): Die Tangente ist parallel zur \(x\)-Achse, also \(f'(2) = 0\). Mit \(b=0\) folgt: \(3a \cdot 2^2 + c = 0 \Rightarrow 12a + c = 0\). 5. Gleichungssystem lösen: Aus \(c = -12a\) folgt in der anderen Gleichung \(4a - 12a = 2 \Rightarrow -8a = 2 \Rightarrow a = -0{,}25\). Daraus ergibt sich \(c = -12 \cdot (-0{,}25) = 3\). 6. Funktionsgleichung aufstellen: \(f(x) = -0{,}25x^3 + 3x + 2\).

\(f(x) = -0{,}25x^3 + 3x + 2\)

- Welche allgemeinen Eigenschaften hat eine Funktion dritten Grades und wie sehen ihre Ableitungen aus? - Wie viele Bedingungen benötigst du, um die vier Unbekannten einer Funktion dritten Grades zu bestimmen? - Übersetze die Begriffe „Tiefpunkt“ und „Wendepunkt“ in mathematische Gleichungen für die Funktion und ihre Ableitungen. - Vergiss nicht am Ende zu prüfen, ob die gefundene Funktion tatsächlich einen Tiefpunkt (und keinen Hochpunkt) an der angegebenen Stelle hat.

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Aus der Bedingung für den Tiefpunkt \(T(0|2)\) folgt \(f(0) = 2\) und \(f'(0) = 0\). Dies ergibt direkt \(d = 2\) und \(c = 0\). 3. Der Wendepunkt \(W(1|4)\) liefert die Bedingungen \(f(1) = 4\) und \(f''(1) = 0\). 4. Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 6ax + 2b\). Aus \(f''(1) = 0\) folgt \(6a + 2b = 0\), woraus sich \(b = -3a\) ergibt. 5. Einsetzen der Ergebnisse in die Funktionsgleichung für \(f(1) = 4\): \(a \cdot 1^3 + (-3a) \cdot 1^2 + 0 \cdot 1 + 2 = 4\). Dies vereinfacht sich zu \(-2a = 2\), also \(a = -1\). 6. Daraus ergibt sich \(b = -3 \cdot (-1) = 3\). 7. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2\). 8. Überprüfung der Art des Extremums: \(f''(0) = 6 \cdot (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 6\). Da \(f''(0) > 0\), liegt bei \(x = 0\) tatsächlich ein lokaler Tiefpunkt vor.

\(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2\)

- Welche Potenzen von \(x\) dürfen in der Funktionsgleichung vorkommen, wenn der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Ein Extrempunkt liefert dir immer zwei Informationen: eine über den Funktionswert und eine über die Steigung. - Wie viele Unbekannte hast du im Ansatz und wie viele Gleichungen kannst du aus den gegebenen Punkten aufstellen?

1. Ansatz aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\). 2. Punkt \(P(0|4)\) einsetzen: \(f(0) = e = 4\). 3. Extrempunkt \(E(2|0)\) liefert zwei Bedingungen: \(f(2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 4. Gleichung aus \(f(2) = 0\): \(16a + 4c + 4 = 0 \implies 4a + c = -1\). 5. Gleichung aus \(f'(x) = 4ax^3 + 2cx\) und \(f'(2) = 0\): \(32a + 4c = 0 \implies 8a + c = 0\). 6. Lineares Gleichungssystem lösen: Aus \(c = -8a\) folgt in der ersten Gleichung \(4a - 8a = -1\), also \(-4a = -1 \implies a = 0{,}25\). 7. \(c\) berechnen: \(c = -8 \cdot 0{,}25 = -2\). 8. Ergebnis: \(f(x) = 0{,}25x^4 - 2x^2 + 4\).

\(f(x) = 0{,}25x^4 - 2x^2 + 4\)

- Überlege dir, welche allgemeine Form eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat. - Welche Informationen kannst du aus der Eigenschaft „Wendepunkt im Ursprung“ direkt für die Koeffizienten ableiten? - Was bedeutet es für die Ableitung an einer Stelle, wenn die Tangente dort parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie viele Bedingungen benötigst du insgesamt, um alle unbekannten Parameter zu bestimmen?

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Ableitungen: \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Punkt im Ursprung: \(f(0) = 0 \implies d = 0\). 3. Wendepunkt im Ursprung: \(f''(0) = 0 \implies 2b = 0 \implies b = 0\). Die Funktion ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung mit \(f(x) = ax^3 + cx\). 4. Punkt \(P(1|4)\): \(f(1) = 4 \implies a + c = 4\). 5. Waagerechte Tangente in \(P\): \(f'(1) = 0 \implies 3a + c = 0\). 6. Lösung des Gleichungssystems: Aus \(c = -3a\) folgt durch Einsetzen in die erste Gleichung \(a - 3a = 4\), also \(-2a = 4\) bzw. \(a = -2\). Daraus ergibt sich \(c = 6\). 7. Aufstellen des Funktionsterms: \(f(x) = -2x^3 + 6x\).

\(f(x) = -2x^3 + 6x\)

- Welche allgemeine Form hat eine Funktion dritten Grades? - Wie viele Unbekannte musst du bestimmen und wie viele Informationen liefert dir der Text? - Welche mathematischen Bedingungen lassen sich aus den Begriffen „Wendepunkt“ und „Tiefpunkt“ ableiten? - Nutze die Koordinaten der Punkte direkt für die Funktionswerte.

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) sowie Ableitungen \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Bedingung aus dem Wendepunkt \(W(0|1)\): \(f(0) = 1 \implies d = 1\) und \(f''(0) = 0 \implies 2b = 0 \implies b = 0\). 3. Bedingung aus dem Tiefpunkt \(T(1|0)\): \(f(1) = 0 \implies a + b + c + d = 0\) und \(f'(1) = 0 \implies 3a + 2b + c = 0\). 4. Einsetzen der bekannten Werte \(b=0\) und \(d=1\) in die Gleichungen aus Schritt 3: \(a + c = -1\) und \(3a + c = 0\). 5. Lösen des Gleichungssystems: Aus \(c = -3a\) folgt \(a - 3a = -1\), also \(-2a = -1 \implies a = 0{,}5\). Damit ergibt sich \(c = -1{,}5\). 6. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x + 1\).

\(f(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x + 1\)

- Welche Informationen stecken in der Gleichung einer Wendetangente? - Beachte, dass der Berührpunkt von Graph und Tangente gleichzeitig der Wendepunkt ist. - Wie hängen die Ableitungen an einer Wendestelle mit der Tangentensteigung zusammen? - Setze ein lineares Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\) zu berechnen.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Da der Graph durch den Ursprung verläuft, gilt \(f(0) = 0\), woraus \(d = 0\) folgt. 2. Die Wendetangente an der Stelle \(x=1\) liefert zwei Informationen: Den Funktionswert \(f(1)\) und die Steigung \(f'(1)\). Da der Punkt auf der Tangente liegt, gilt \(f(1) = -1 + 2 = 1\). Die Steigung der Tangente ist \(m = -1\), also \(f'(1) = -1\). 3. Die Wendestelle bei \(x=1\) bedeutet \(f''(1) = 0\). 4. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(f(1) = a + b + c = 1\) (II) \(f'(1) = 3a + 2b + c = -1\) (III) \(f''(1) = 6a + 2b = 0 \implies b = -3a\) 5. Einsetzen von \(b = -3a\) in (I) und (II): (I') \(a - 3a + c = 1 \implies -2a + c = 1 \implies c = 2a + 1\) (II') \(3a + 2(-3a) + c = -1 \implies -3a + c = -1\) 6. Einsetzen von \(c = 2a + 1\) in (II'): \(-3a + 2a + 1 = -1 \implies -a = -2 \implies a = 2\). 7. Daraus folgen \(b = -6\) und \(c = 5\). Die Funktion ist \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5x\).

\(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5x\)

- Welche mathematischen Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Punkt ein Tiefpunkt ist? - Wie viele Unbekannte hat eine Funktion dritten Grades und wie viele Gleichungen kannst du aus dem Text aufstellen? - Bestimme zuerst die Funktionsgleichung, die durch die Punkte und die Wendestelle festgelegt ist. - Überprüfe am Ende mit der zweiten Ableitung, ob es sich wirklich um die geforderte Art von Extrempunkt handelt.

1. Ansatz für die Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit den Ableitungen \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems aus den Bedingungen: - \(f(0) = 0 \implies d = 0\) - \(f''(3) = 0 \implies 18a + 2b = 0 \implies b = -9a\) - \(f(2) = 4 \implies 8a + 4b + 2c = 4\) - \(f'(2) = 0 \implies 12a + 4b + c = 0\) 3. Lösen des Systems: Einsetzen von \(b = -9a\) in die letzten beiden Gleichungen führt zu \(8a - 36a + 2c = 4 \implies -28a + 2c = 4\) und \(12a - 36a + c = 0 \implies c = 24a\). 4. Bestimmung der Koeffizienten: \(-28a + 2(24a) = 4 \implies 20a = 4 \implies a = 0{,}2\). Daraus folgen \(b = -1{,}8\) und \(c = 4{,}8\). Die Funktion lautet \(f(x) = 0{,}2x^3 - 1{,}8x^2 + 4{,}8x\). 5. Überprüfung der Art des Extremums: \(f''(2) = 6 \cdot 0{,}2 \cdot 2 + 2 \cdot (-1{,}8) = 2{,}4 - 3{,}6 = -1{,}2\). 6. Da \(f''(2) < 0\) ist, liegt bei \(T(2|4)\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. Ein lokaler Tiefpunkt an dieser Stelle ist für eine Funktion dritten Grades unter diesen Bedingungen somit nicht möglich.

Durch Lösen des Gleichungssystems erhält man die einzige mögliche Funktion \(f(x) = 0{,}2x^3 - 1{,}8x^2 + 4{,}8x\). Die Überprüfung der zweiten Ableitung an der Stelle \(x = 2\) ergibt \(f''(2) = -1{,}2\). Da dieser Wert kleiner als Null ist, handelt es sich um einen Hochpunkt und nicht um einen Tiefpunkt. Somit existiert keine solche Funktion dritten Grades.

- Überlege dir zuerst, welche Potenzen von \(x\) bei einer achsensymmetrischen Funktion vorkommen dürfen. - Wie viele Unbekannte hat dein Ansatz und wie viele Informationen liefert der Text? - Welche mathematische Bedingung muss an einer Stelle mit einem Tiefpunkt erfüllt sein? - Setze die bekannten Punkte und Eigenschaften in den Funktionsansatz und seine Ableitungen ein.

1. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und des Grades 4 lautet der allgemeine Ansatz \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse folgt \(f(0) = 2\), woraus sich direkt \(c = 2\) ergibt. 3. Der Punkt \(P(2|-6)\) liegt auf dem Graphen, also gilt \(f(2) = -6\). Dies führt zur Gleichung \(16a + 4b + 2 = -6\), vereinfacht \(16a + 4b = -8\). 4. Da bei \(x = 2\) ein Tiefpunkt vorliegt, muss die erste Ableitung dort null sein: \(f'(2) = 0\). Mit \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) ergibt sich \(32a + 4b = 0\). 5. Das lineare Gleichungssystem aus \(16a + 4b = -8\) und \(32a + 4b = 0\) liefert durch Subtraktion \(16a = 8\), also \(a = 0{,}5\). Einsetzen in eine der Gleichungen ergibt \(b = -4\). 6. Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 0{,}5x^4 - 4x^2 + 2\).

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 4x^2 + 2\)

- Welche Bedingungen müssen für einen Sattelpunkt an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Wie vereinfacht sich der allgemeine Funktionsterm, wenn die Bedingungen im Ursprung liegen? - Was bedeutet die Information über eine waagerechte Tangente für die Ableitung? - Wie viele Unbekannte bleiben nach Berücksichtigung der Bedingungen im Ursprung noch übrig?

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion 4. Grades: \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\). 2. Ein Sattelpunkt im Ursprung bedeutet \(f(0) = 0\), \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). Daraus folgen direkt die Koeffizienten \(e = 0\), \(d = 0\) und \(c = 0\). Die Funktion vereinfacht sich zu \(f(x) = ax^4 + bx^3\). 3. Aus dem Punkt \(P(1|2)\) ergibt sich die Gleichung \(f(1) = 2\), also \(a + b = 2\). 4. Eine waagerechte Tangente bei \(x = 1{,}5\) bedeutet \(f'(1{,}5) = 0\). Mit der Ableitung \(f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2\) folgt: \(4a \cdot 1{,}5^3 + 3b \cdot 1{,}5^2 = 13{,}5a + 6{,}75b = 0\). 5. Das lineare Gleichungssystem besteht aus \(a + b = 2\) und \(13{,}5a + 6{,}75b = 0\). Aus der ersten Gleichung folgt \(b = 2 - a\). Einsetzen in die zweite Gleichung liefert \(13{,}5a + 6{,}75(2 - a) = 0\), woraus \(6{,}75a = -13{,}5\) und somit \(a = -2\) resultiert. 6. Damit ist \(b = 2 - (-2) = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x^4 + 4x^3\).

\(f(x) = -2x^4 + 4x^3\)

- Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades? - Welche Bedingungen für die erste und zweite Ableitung leiten sich aus den Begriffen „Extrempunkt“ und „Wendepunkt“ ab? - Wie viele Gleichungen benötigst du, um alle Koeffizienten der Funktion zu bestimmen? - Versuche, ein lineares Gleichungssystem aus den gegebenen Eigenschaften aufzustellen.

1. Allgemeiner Ansatz für eine Funktion 3. Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit den Ableitungen \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Bedingung aus dem Koordinatenursprung: \(f(0) = 0 \implies d = 0\). 3. Bedingungen aus dem Extrempunkt \(E(2 | -4)\): Punktbedingung \(f(2) = 8a + 4b + 2c = -4\) und notwendige Bedingung für Extrema \(f'(2) = 12a + 4b + c = 0\). 4. Bedingung aus dem Wendepunkt bei \(x = 1\): Notwendige Bedingung für Wendepunkte \(f''(1) = 6a + 2b = 0\), woraus \(b = -3a\) folgt. 5. Einsetzen von \(b = -3a\) in die Extremumsbedingung: \(12a + 4(-3a) + c = 0 \implies c = 0\). 6. Einsetzen von \(b = -3a\) und \(c = 0\) in die Punktbedingung: \(8a + 4(-3a) + 2(0) = -4 \implies -4a = -4 \implies a = 1\). 7. Bestimmung von \(b\): \(b = -3 \cdot 1 = -3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^3 - 3x^2\).

\(f(x) = x^3 - 3x^2\)

- Welche Informationen liefert ein Wendepunkt im Ursprung für die Koeffizienten der Funktionsgleichung? - Was bedeutet die Angabe der Wendetangente für den Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle? - Überlege, welche Symmetrieeigenschaften der Graph aufgrund des Wendepunkts im Ursprung besitzt. - Wie viele Bedingungen benötigst du insgesamt, um alle Koeffizienten einer Funktion dritten Grades zu bestimmen?

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Wendepunkt im Ursprung: \(f(0) = 0 \implies d = 0\) und \(f''(0) = 0 \implies 2b = 0 \implies b = 0\). Daraus folgt die punktsymmetrische Form \(f(x) = ax^3 + cx\). 3. Steigung der Wendetangente im Ursprung: \(f'(0) = -3\). Mit \(f'(x) = 3ax^2 + c\) ergibt sich \(c = -3\). 4. Nullstelle bei \(x = 3\): \(f(3) = 0 \implies a \cdot 3^3 - 3 \cdot 3 = 0 \implies 27a - 9 = 0\). Daraus folgt \(a = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x\).

\(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x\)

- Was bedeutet es für den Funktionswert und die Steigung, wenn ein Graph die \(x\)-Achse an einer Stelle berührt? - Stelle für jede Information eine mathematische Gleichung auf. - Welche Information erhältst du direkt aus der Tatsache, dass der Graph durch den Ursprung geht? - Versuche, das entstandene Gleichungssystem schrittweise durch Einsetzen oder Subtrahieren zu lösen.

1. Bedingungen aus dem Text ableiten: \(f(0) = 0\), \(f(2) = 4\), sowie \(f(4) = 0\) und \(f'(4) = 0\) (da der Graph die Achse berührt). 2. Allgemeiner Ansatz \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Aus \(f(0) = 0\) folgt direkt \(d = 0\). 3. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems für \(a\), \(b\) und \(c\): I. \(f(4) = 0 \implies 64a + 16b + 4c = 0 \implies 16a + 4b + c = 0\) II. \(f'(4) = 0 \implies 48a + 8b + c = 0\) III. \(f(2) = 4 \implies 8a + 4b + 2c = 4 \implies 4a + 2b + c = 2\) 4. Subtraktion von I und II liefert \(32a + 4b = 0 \implies b = -8a\). 5. Einsetzen in I ergibt \(16a + 4(-8a) + c = 0 \implies c = 16a\). 6. Einsetzen in III ergibt \(4a + 2(-8a) + 16a = 2 \implies 4a = 2 \implies a = 0{,}5\). 7. Berechnung der restlichen Koeffizienten: \(b = -4\) und \(c = 8\). 8. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 0{,}5x^3 - 4x^2 + 8x\).

\(f(x) = 0{,}5x^3 - 4x^2 + 8x\)

- Berechne für jede Funktion die erste Ableitung und bestimme deren Nullstellen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Ableitungsnullstelle und der Art des Kurvenpunkts (Extrempunkt vs. Terrassenpunkt). - Überprüfe bei quadratischen Funktionen die Symmetrie über die Scheitelpunktform oder die Lage des Scheitelpunktes. - Überlege, ob die Funktion überall steigt oder fällt, um auf die Existenz von Extrema zu schließen.

1. Untersuchung von \(f(x) = x^4 + 1\): Die Ableitung \(f'(x) = 4x^3\) hat nur die Nullstelle \(x = 0\) (A). Bei \(x = 0\) liegt wegen \(f''(0) = 0\), \(f'''(0) = 0\) und \(f^{(4)}(0) = 24 > 0\) ein lokales Minimum vor, also kein Terrassenpunkt (B entfällt) und ein Extremum ist vorhanden (C entfällt). Die Symmetrieachse ist die \(y\)-Achse (\(x = 0\)), nicht \(x = 1\) (D entfällt). 2. Untersuchung von \(g(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\): Dies ist gleich \((x + 1)^3\). Die Ableitung \(g'(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2\) hat nur die Nullstelle \(x = -1\) (A). Da es eine doppelte Nullstelle der Ableitung ist (kein Vorzeichenwechsel von \(g'\)), handelt es sich um einen Terrassenpunkt (B). Da \(g\) streng monoton steigend ist, gibt es kein lokales Extremum (C). Achsensymmetrie liegt bei ungeraden Graden nicht vor (D entfällt). 3. Untersuchung von \(h(x) = x^2 - 2x + 5\): Die Ableitung \(h'(x) = 2x - 2\) hat nur die Nullstelle \(x = 1\) (A). Der Graph ist eine Parabel. Die Scheitelpunktform \(h(x) = (x - 1)^2 + 4\) zeigt, dass der Scheitelpunkt bei \(x = 1\) liegt. Somit ist der Graph achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\) (D). Da ein Minimum vorliegt, ist C falsch; ein Terrassenpunkt existiert bei quadratischen Funktionen nicht (B entfällt).

(1): A (2): A, B, C (3): A, D

- Was versteht man in der Mathematik unter Grenzkosten? - Welche Ableitung hilft dir dabei, die Extremstellen der Steigung zu finden? - Erinnere dich an die Bedeutung des Wendepunkts für das Krümmungsverhalten eines Graphen. - Wie verändert sich die Steigung links und rechts vom Wendepunkt in diesem Fall?

1. Bildung der ersten Ableitung (Grenzkostenfunktion): \(K'(x) = x^2 - 12x + 45\). 2. Bildung der zweiten Ableitung: \(K''(x) = 2x - 12\). 3. Bestimmung des Minimums der Grenzkosten durch Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(2x - 12 = 0 \implies x = 6\). 4. Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(K'''(x) = 2 > 0\), somit liegt bei \(x = 6\) ein Minimum der Steigung (Grenzkosten) vor. 5. Berechnung des Funktionswertes an der Wendestelle: \(K(6) = \frac{1}{3}(6)^3 - 6(6)^2 + 45(6) + 120 = 72 - 216 + 270 + 120 = 246\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(6|246)\). 6. Interpretation: Bis zur Produktionsmenge \(x = 6\) steigen die Kosten unterproportional (degressiv), da die Steigung abnimmt. Ab \(x = 6\) steigen die Kosten überproportional (progressiv), da die Steigung wieder zunimmt.

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(x = 6\,\text{ME}\) am geringsten. b) Der Wendepunkt liegt bei \(W(6|246)\). An dieser Stelle geht der Kostenverlauf von einem degressiven (rechtsgekrümmten) in einen progressiven (linksgekrümmten) Zuwachs über; hier wachsen die Kosten am langsamsten.

- Kannst du ein Beispiel für eine Funktion 4. Grades finden, deren zweite Ableitung zwei einfache Nullstellen hat? - Überlege dir, wie das Vorzeichen der Ableitung an den Rändern des Definitionsbereichs bei geradem und ungeradem Grad zusammenhängt. - Gibt es Funktionen mit einem Grad höher als 2, deren Krümmung sich nie ändert?

1. Aussage a) ist wahr. Beispiel: Für \(f(x) = x^4 - 6x^2\) ist \(f''(x) = 12x^2 - 12\). Die Gleichung \(12x^2 - 12 = 0\) hat die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). An beiden Stellen liegt ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) vor. 2. Aussage b) ist wahr. Die Anzahl der Extremstellen entspricht der Anzahl der Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion \(f'\) (Grad \(n-1\)). Da das Grenzverhalten von \(f'\) für \(x \to \pm\infty\) bei geradem Grad \(n-1\) gleich ist (beide gegen \(+\infty\) oder beide gegen \(-\infty\)), muss die Anzahl der Vorzeichenwechsel gerade sein (0, 2, 4, ...). Damit \(n-1\) gerade ist, muss \(n\) ungerade sein. 3. Aussage c) ist falsch. Gegenbeispiel: Die Funktion \(f(x) = x^4\) hat die zweite Ableitung \(f''(x) = 12x^2\). Diese hat zwar eine Nullstelle bei \(x = 0\), aber keinen Vorzeichenwechsel. Somit besitzt die Funktion 4. Grades keinen Wendepunkt.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch (Gegenbeispiel: \(f(x) = x^4\))

- Nutze die erste Ableitung, um das Minimum zu bestimmen. - Wann liegt der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel oberhalb, auf oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Was passiert mit dem Parameter \(k\), wenn du die Koordinaten des Punktes \(Q\) einsetzt?

1. Bestimmung der Extremstelle: \(g_k'(x) = 2x - k = 0 \Rightarrow x = \frac{k}{2}\). 2. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(g_k\left(\frac{k}{2}\right) = \left(\frac{k}{2}\right)^2 - k \cdot \frac{k}{2} + 2k - 3 = \frac{k^2}{4} - \frac{k^2}{2} + 2k - 3 = -\frac{1}{4}k^2 + 2k - 3\). Der Tiefpunkt liegt bei \(T\left(\frac{k}{2} \mid -\frac{1}{4}k^2 + 2k - 3\right)\). 3. Analyse der Nullstellen über die Diskriminante \(D\) oder die Lage des Tiefpunktes: \(g_k\) hat keine Nullstellen, wenn \(-\frac{1}{4}k^2 + 2k - 3 > 0\). Die Nullstellen des Terms in \(k\) sind \(k_1 = 2\) und \(k_2 = 6\). - Keine Nullstellen für \(2 < k < 6\). - Genau eine Nullstelle für \(k = 2\) oder \(k = 6\). - Zwei Nullstellen für \(k < 2\) oder \(k > 6\). 4. Nachweis des gemeinsamen Punktes: Einsetzen von \(x = 2\) in \(g_k(x)\): \(g_k(2) = 2^2 - k \cdot 2 + 2k - 3 = 4 - 2k + 2k - 3 = 1\). Da das Ergebnis \(1\) unabhängig von \(k\) ist, liegt \(Q(2 \mid 1)\) auf jedem Graphen von \(g_k\).

a) \(T\left(\frac{k}{2} \mid -\frac{1}{4}k^2 + 2k - 3\right)\) b) Zwei Nullstellen für \(k \in ]-\infty; 2[ \cup ]6; \infty[\); eine Nullstelle für \(k \in \{2; 6\}\); keine Nullstelle für \(k \in ]2; 6[\). c) Nachweis durch Einsetzen: \(g_k(2) = 1\) für alle \(k\).

- Welche Form hat der Funktionsterm bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Wie hängen die Koeffizienten mit der Krümmung an einer bestimmten Stelle zusammen? - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte. - Du kannst für die Koeffizienten einfache Zahlen wählen, solange sie die Bedingungen erfüllen.

1. Da der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, enthält der Funktionsterm nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) und \(f''(x) = 12ax^2 + 2b\). 3. Für ein lokales Maximum bei \(x = 0\) muss \(f'(0) = 0\) (stets erfüllt) und \(f''(0) < 0\) gelten. Daraus folgt \(2b < 0\), also \(b < 0\). 4. Für genau zwei Wendestellen muss \(f''(x) = 0\) zwei Lösungen mit Vorzeichenwechsel haben: \(12ax^2 = -2b \Rightarrow x^2 = -\frac{b}{6a}\). Da \(b < 0\) ist, muss \(a > 0\) gewählt werden, damit die rechte Seite positiv ist und zwei reelle Lösungen für \(x\) existieren. 5. Beispielwahl: Setze \(a = 1\), \(b = -6\) und \(c = 0\). Dies ergibt \(f(x) = x^4 - 6x^2\). 6. Nachweis: \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 12 \cdot 0^2 - 12 = -12 < 0\) bestätigt das Maximum. \(f''(x) = 12x^2 - 12 = 0\) liefert \(x^2 = 1\), also \(x = \pm 1\). Da \(f''(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt, was die zwei Wendestellen bestätigt.

Eine mögliche Funktion ist \(f(x) = x^4 - 6x^2\). (Andere Lösungen wie \(f(x) = x^4 - x^2\) sind ebenfalls korrekt).

- Bestimme zuerst die Stelle, an der die zweite Ableitung null wird. - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes, wenn er zum Ursprung verschoben wird? - Erinnere dich an die binomischen Formeln oder das pascalsche Dreieck, um Potenzen wie \((x+2)^3\) aufzulösen. - Funktionen der Form \(f(x) = ax^3 + bx\) sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Das kann dir helfen, dein Ergebnis in Teil b zu überprüfen.

1. Ableitungen berechnen: \(g'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 6x + 4\), \(g''(x) = 3x - 6\). 2. Wendepunkt bestimmen: \(g''(x) = 0 \implies x = 2\). Die y-Koordinate ist \(g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 - 12 + 8 = 0\). Somit ist \(W(2 | 0)\). 3. Geradenprüfung: Einsetzen von \(x = 2\) in \(y = -x + 2\) ergibt \(y = -2 + 2 = 0\), was mit der y-Koordinate von \(W\) übereinstimmt. 4. Verschiebung bestimmen: Um den Punkt \(W(2 | 0)\) in den Ursprung \((0 | 0)\) zu verschieben, muss der Graph um \(2\) Einheiten nach links verschoben werden. 5. Transformation durchführen: \(k(x) = g(x + 2) = \frac{1}{2}(x + 2)^3 - 3(x + 2)^2 + 4(x + 2)\). 6. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(k(x) = \frac{1}{2}(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - 3(x^2 + 4x + 4) + 4x + 8\) \(k(x) = \frac{1}{2}x^3 + 3x^2 + 6x + 4 - 3x^2 - 12x - 12 + 4x + 8 = \frac{1}{2}x^3 - 2x\).

a) Der Wendepunkt ist \(W(2 | 0)\). Einsetzen in \(y = -x + 2\) ergibt \(0 = -2 + 2\). b) \(k(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2x\)

- Erinnere dich an die notwendige Bedingung für Wendestellen. - Ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten lässt sich gut durch das Additions- oder Einsetzungsverfahren lösen. - Um zu zeigen, dass es nur einen Extrempunkt gibt, musst du alle Nullstellen der ersten Ableitung finden und prüfen, ob weitere reelle Lösungen existieren. - Denke an die Diskriminante bei quadratischen Gleichungen.

1. Ableitungen bilden: \(g'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx\) und \(g''(x) = 12x^2 + 6ax + 2b\). 2. Parameter bestimmen: Die Bedingungen für Wendestellen sind \(g''(1) = 0\) und \(g''(2) = 0\). Dies führt auf das Gleichungssystem: (I) \(12 + 6a + 2b = 0\) (II) \(48 + 12a + 2b = 0\) Subtraktion (II) - (I) ergibt \(36 + 6a = 0\), also \(a = -6\). Einsetzen in (I) liefert \(12 - 36 + 2b = 0\), also \(2b = 24\) bzw. \(b = 12\). Die Funktion lautet \(g(x) = x^4 - 6x^3 + 12x^2\). 3. Extrempunkte untersuchen: \(g'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 24x = 2x(2x^2 - 9x + 12)\). Die Nullstellen von \(g'\) sind die Lösungen von \(2x = 0\) (also \(x = 0\)) und \(2x^2 - 9x + 12 = 0\). Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 81 - 96 = -15 < 0\). Somit gibt es keine weiteren reellen Nullstellen. 4. Art und Lage: \(g''(0) = 2b = 24 > 0\). Daher liegt an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Minimum vor. Der Funktionswert ist \(g(0) = 0\). Der einzige Extrempunkt ist somit der Tiefpunkt \(TP(0|0)\).

a) \(a = -6\) und \(b = 12\) b) Der einzige relative Extrempunkt ist der Tiefpunkt \(TP(0|0)\).

- Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines lokalen Extrempunkts erfüllt sein? - Kannst du einen Faktor aus der Ableitungsfunktion ausklammern, um den Grad der Gleichung zu reduzieren? - Wenn du eine Gleichung der Form \(x^4 + ax^2 + b = 0\) erhältst, welches Verfahren hilft dir hier weiter? - Denke daran, alle gefundenen Stellen mit der zweiten Ableitung auf ihre Art (Maximum oder Minimum) zu untersuchen.

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = x^5 - 6x^3 + 8x\). 2. Notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\): \(x(x^4 - 6x^2 + 8) = 0\). 3. Erste Lösung: \(x_1 = 0\). 4. Biquadratische Gleichung lösen: \(x^4 - 6x^2 + 8 = 0\). Substitution \(z = x^2\) ergibt \(z^2 - 6z + 8 = 0\). 5. Lösungen für \(z\) via \(p-q\)-Formel: \(z_2 = 4\) und \(z_3 = 2\). 6. Resubstitution ergibt weitere Stellen: \(x_{2,3} = \pm 2\) und \(x_{4,5} = \pm \sqrt{2}\). 7. Zweite Ableitung bilden: \(g''(x) = 5x^4 - 18x^2 + 8\). 8. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g''(0) = 8 > 0 \Rightarrow\) Minimum bei \(x = 0\). \(g''(\pm 2) = 5 \cdot 16 - 18 \cdot 4 + 8 = 16 > 0 \Rightarrow\) Minima bei \(x = \pm 2\). \(g''(\pm \sqrt{2}) = 5 \cdot 4 - 18 \cdot 2 + 8 = -8 < 0 \Rightarrow\) Maxima bei \(x = \pm \sqrt{2}\).

Lokale Minima befinden sich bei \(x = 0\), \(x = 2\) und \(x = -2\). Lokale Maxima befinden sich bei \(x = \sqrt{2}\) und \(x = -\sqrt{2}\).

- Forme den Term um oder vergleiche \(f(1+u)\) und \(f(1-u)\), um eine mögliche verschobene Symmetrieachse zu erkennen. - Für die Nullstellen kannst du das Ausklammern von \(x^2\) und anschließend die binomischen Formeln nutzen. - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrem- und Wendepunkte (Ableitungen). - Das Verhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. - Die Wertemenge ergibt sich aus dem globalen Verlauf und den gefundenen Extremwerten.

1. Symmetrie: Es gilt \(f(x) = x^2(x-2)^2 = ((x-1)^2-1)^2\). Daher ist \(f(1+u) = f(1-u)\) für alle \(u \in \mathbb{R}\), und der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\). 2. Verhalten im Unendlichen: Da der Leitterm \(x^4\) positiv ist und einen geraden Exponenten besitzt, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Schnittpunkte mit den Achsen: \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = 0\), also \(S_y(0|0)\). Nullstellen: \(x^2(x^2 - 4x + 4) = 0 \Rightarrow x^2(x-2)^2 = 0\). Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 4. Extrempunkte: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x-1)(x-2)\). Nullstellen der ersten Ableitung bei \(x \in \{0; 1; 2\}\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = 12x^2 - 24x + 8\). Überprüfung: \(f''(0) = 8 > 0 \Rightarrow TP_1(0|0)\); \(f''(1) = -4 < 0 \Rightarrow HP(1|1)\); \(f''(2) = 8 > 0 \Rightarrow TP_2(2|0)\). 5. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 12x^2 - 24x + 8 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x + 2 = 0\). Mit der pq-Formel: \(x_{W1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\). Funktionswerte: \(f(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}\). Wendepunkte bei \(W_1(1 - \frac{\sqrt{3}}{3} | \frac{4}{9})\) und \(W_2(1 + \frac{\sqrt{3}}{3} | \frac{4}{9})\). 6. Wertemenge: Da die globalen Minima bei \(y = 0\) liegen und die Funktion gegen \(+\infty\) strebt, ist \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 0\}\).

(1) Achsensymmetrie zur Geraden \(x = 1\). (2) \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\). (3) \(S_y(0|0)\); Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). (4) Tiefpunkte \(TP_1(0|0)\) und \(TP_2(2|0)\), Hochpunkt \(HP(1|1)\). (5) Wendepunkte \(W_{1,2}(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} | \frac{4}{9})\). (6) \(W = [0; \infty)\).

- Kannst du eine Funktion finden, die zwar Kurvenkrümmungen ändert, aber deren Steigung immer positiv bleibt? - Welche Exponenten treten bei einer punktsymmetrischen ganzrationalen Funktion auf? - Was bedeutet Punktsymmetrie für die zweite Ableitung an der Stelle \(0\)? - Denk an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Wendestellen.

1. Aussage a) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion \(f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 5x\). Die zweite Ableitung \(f''(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)\) hat Nullstellen mit Vorzeichenwechsel bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 1\), also liegen dort Wendestellen vor. Die erste Ableitung \(f'(x) = x^4 - 2x^2 + 5\) hat jedoch keine reellen Nullstellen (da die Diskriminante von \(z^2 - 2z + 5\) negativ ist), weshalb die Funktion keine Extremstellen besitzt. 2. Aussage b) ist wahr. Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet bei ganzrationalen Funktionen, dass nur ungerade Exponenten vorkommen. Somit gilt \(f(x) = a_n x^n + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_1 x\). Die zweite Ableitung \(f''(x)\) enthält dann ebenfalls nur ungerade Exponenten (z. B. \(x^3 \to 6x\)). Da \(f''\) eine ungerade Funktion ist, gilt \(f''(0) = 0\). Da \(f\) vom Grad \(n \geq 3\) ist, ist \(f''\) kein Nullpolynom. Ein ungerades Polynom wechselt an der Stelle \(x=0\) stets das Vorzeichen, womit die Bedingung für einen Wendepunkt erfüllt ist.

a) Falsch. Es gibt Funktionen (z. B. \(f(x) = x^5 - x^3 + 5x\)), die Wendestellen besitzen, aber deren Ableitung keine Nullstellen hat. b) Wahr. Bei Punktsymmetrie zum Ursprung ist \(f''(x)\) eine ungerade Funktion mit \(f''(0) = 0\) und einem Vorzeichenwechsel an dieser Stelle.

- Nutze die Symmetrieeigenschaften, um Rechnungen zu verkürzen. - Für die Nullstellenberechnung bei einer Funktion 4. Grades kann eine Ersetzung (Substitution) hilfreich sein. - Überlege dir, wie viele Extrempunkte eine Funktion 4. Grades maximal haben kann. - Vergiss nicht, die hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte zu prüfen.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Achsenschnittpunkte: \(y\)-Achsenabschnitt: \(g(0) = -2 \implies S_y(0 \mid -2)\). Nullstellen: \(-\frac{1}{8}x^4 + x^2 - 2 = 0\). Substitution \(z = x^2\) führt zu \(z^2 - 8z + 16 = 0\), woraus \((z-4)^2 = 0\), also \(z = 4\) folgt. Rücksubstitution ergibt \(x^2 = 4 \implies x_{1,2} = \pm 2\). Nullstellen: \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). 3. Extrempunkte: \(g'(x) = -\frac{1}{2}x^3 + 2x\). \(g'(x) = 0 \implies -\frac{1}{2}x(x^2 - 4) = 0 \implies x_1 = 0, x_{2,3} = \pm 2\). Zweite Ableitung: \(g''(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 2\). Prüfung: \(g''(0) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(0 \mid -2)\). \(g''(\pm 2) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkte \(H_1(-2 \mid 0)\) und \(H_2(2 \mid 0)\). 4. Wendepunkte: \(g''(x) = 0 \implies \frac{3}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1{,}15\). Da \(g'''(x) = -3x \neq 0\) für diese Stellen, liegen Wendepunkte vor. Funktionswerte: \(g(\pm \sqrt{4/3}) = -\frac{1}{8}(\frac{16}{9}) + \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{9} + \frac{12}{9} - \frac{18}{9} = -\frac{8}{9}\). Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \frac{2}{\sqrt{3}} \mid -\frac{8}{9})\).

Symmetrie: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. Schnittpunkte: \(S_y(0 \mid -2)\), \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(T(0 \mid -2)\), \(H_1(-2 \mid 0)\), \(H_2(2 \mid 0)\). Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \frac{2}{\sqrt{3}} \mid -\frac{8}{9})\).

- Nutze den Satz vom Nullprodukt für die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. - Überlege dir, ob es einfacher ist, die Produktregel anzuwenden oder den Term zuerst auszumultiplizieren. - Denk daran, dass bei einer doppelten Nullstelle der Graph die Achse berührt – was bedeutet das für die Steigung? - Verwende die zweite Ableitung, um die Art der Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt) zu bestätigen.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = (0^2 - 4) \cdot (0 - 1)^2 = -4 \cdot 1 = -4\). Punkt \(S_y(0 | -4)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(f(x) = 0 \iff x^2 - 4 = 0\) oder \((x - 1)^2 = 0\). Dies liefert \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und die doppelte Nullstelle \(x_3 = 1\). Schnittpunkte: \(N_1(-2 | 0)\), \(N_2(2 | 0)\), \(N_3(1 | 0)\). 2. Zur Bestimmung der Extrema wird die Funktion ausmultipliziert: \(f(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 2x + 1) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 8x - 4\). Erste Ableitung: \(f'(x) = 4x^3 - 6x^2 - 6x + 8\). Da \(x=1\) eine doppelte Nullstelle von \(f\) ist, muss dort eine Extremstelle vorliegen: \(f'(1) = 4 - 6 - 6 + 8 = 0\). Polynomdivision von \(f'(x)\) durch \((x-1)\) ergibt \(4x^2 - 2x - 8\). Weitere Nullstellen von \(f'(x)\) via \(4x^2 - 2x - 8 = 0\): \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (-8)}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{132}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}\). Dies ergibt \(x \approx 1{,}69\) und \(x \approx -1{,}19\). Überprüfung mit \(f''(x) = 12x^2 - 12x - 6\): \(f''(1) = -6 < 0 \implies H(1 | 0)\). \(f''(-1{,}19) \approx 25{,}2 > 0 \implies T_1(-1{,}19 | f(-1{,}19)) \approx T_1(-1{,}19 | -12{,}40)\). \(f''(1{,}69) \approx 7{,}8 > 0 \implies T_2(1{,}69 | f(1{,}69)) \approx T_2(1{,}69 | -0{,}54)\).

1. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 | -4)\), \(N_1(-2 | 0)\), \(N_2(2 | 0)\), \(N_3(1 | 0)\). 2. Lokale Extrempunkte: Hochpunkt \(H(1 | 0)\), Tiefpunkte \(T_1 \approx (-1{,}19 | -12{,}40)\) und \(T_2 \approx (1{,}69 | -0{,}54)\).

- Untersuche die zweite Ableitung der Funktion, um die Wendestelle zu finden. - Was sagt das Vorzeichen der dritten Ableitung über die Art des Krümmungswechsels aus? - Wann hat eine quadratische Gleichung keine oder nur eine einzige Lösung? Nutze die Diskriminante. - Überlege dir, wie sich der Graph der Kosten verhalten würde, wenn es ein Maximum gäbe – wäre das sinnvoll?

1. Es werden die ersten drei Ableitungen gebildet: \(K'(x) = 0{,}3x^2 - 3x + c\), \(K''(x) = 0{,}6x - 3\) und \(K'''(x) = 0{,}6\). Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle \(K''(x) = 0\) führt auf \(0{,}6x - 3 = 0\), woraus \(x = 5\) folgt. Da \(K'''(5) = 0{,}6 > 0\) ist, liegt unabhängig von \(c\) eine Wendestelle vor. Da die zweite Ableitung für \(x < 5\) negativ und für \(x > 5\) positiv ist, findet ein Wechsel von einer Rechts- in eine Linkskrümmung statt. 2. Lokale Extremstellen liegen vor, wenn \(K'(x) = 0\) einen Vorzeichenwechsel aufweist. Keine Extremstellen existieren, wenn die quadratische Gleichung \(0{,}3x^2 - 3x + c = 0\) höchstens eine Lösung hat (Sattelpunkt bei einer Lösung). Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 0{,}3 \cdot c = 9 - 1{,}2c \le 0\) ist. Auflösen nach \(c\) ergibt \(1{,}2c \ge 9\), also \(c \ge 7{,}5\). 3. Ökonomisch bedeutet das Fehlen von Extremstellen bei einer monoton steigenden Kostenfunktion, dass die Gesamtkosten mit zunehmender Produktionsmenge \(x\) immer weiter ansteigen. Es gibt keinen Bereich, in dem eine Erhöhung der Produktion zu sinkenden Gesamtkosten führen würde, was für Kostenverläufe in der Produktionstheorie konsistent ist.

a) Die Wendestelle liegt bei \(x = 5\). Da \(K'''(5) = 0{,}6 > 0\), liegt ein Rechts-Links-Wendepunkt vor. b) Die Funktion besitzt für \(c \ge 7{,}5\) keine lokalen Extremstellen. c) Ökonomisch bedeutet dies, dass die Gesamtkosten mit steigender Produktionsmenge niemals abnehmen, was einem realistischen Kostenverlauf entspricht.

- Prüfe, ob alle Exponenten von \(x\) gerade oder ungerade sind. - Klammere zuerst \(x\) aus, um die Nullstellen zu finden, und nutze dann ein weiteres Verfahren für den verbleibenden Term. - Für die Extrema musst du die Nullstellen der Ableitung bestimmen; eine Substitution kann hier hilfreich sein. - Nutze die Punktsymmetrie, um die Anzahl der notwendigen Berechnungen für die Extrempunkte zu reduzieren.

1. Symmetrie: Nur ungerade Exponenten kommen vor, daher \(f(-x) = -f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Nullstellen: \(x(x^4 - 2x^2 + 1) = 0 \iff x(x^2 - 1)^2 = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) (einfach) sowie \(x_{2,3} = \pm 1\) (jeweils doppelt). Nullstellen: \((0|0), (-1|0), (1|0)\). 3. Extrempunkte: \(f'(x) = 5x^4 - 6x^2 + 1\). Mit Substitution \(u = x^2\): \(5u^2 - 6u + 1 = 0 \implies u_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36-20}}{10} \implies u_1 = 1, u_2 = 0{,}2\). Kandidaten für Extrema: \(x = \pm 1\) und \(x = \pm \sqrt{0{,}2}\). Prüfung mit \(f''(x) = 20x^3 - 12x\): - \(f''(-1) = -8 < 0 \implies HP(-1|0)\). - \(f''(-\sqrt{0{,}2}) \approx 8 \cdot \sqrt{0{,}2} > 0 \implies TP(-\sqrt{0{,}2} | -0{,}64\sqrt{0{,}2})\). - \(f''(\sqrt{0{,}2}) \approx -8 \cdot \sqrt{0{,}2} < 0 \implies HP(\sqrt{0{,}2} | 0{,}64\sqrt{0{,}2})\). - \(f''(1) = 8 > 0 \implies TP(1|0)\). Die Funktionswerte an den Stellen \(\pm \sqrt{0{,}2}\) ergeben sich zu \(f(x) = x(x^2-1)^2\), also \(f(\sqrt{0{,}2}) = \sqrt{0{,}2}(0{,}2-1)^2 = 0{,}64\sqrt{0{,}2}\).

a) Symmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung; Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = -1\), \(x_{4,5} = 1\) b) Hochpunkte: \(HP_1(-1|0)\), \(HP_2(\sqrt{0{,}2}|0{,}64\sqrt{0{,}2})\); Tiefpunkte: \(TP_1(1|0)\), \(TP_2(-\sqrt{0{,}2}|-0{,}64\sqrt{0{,}2})\)

- Wie vereinfacht sich der allgemeine Ansatz einer Funktion 4. Grades bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Welche Ableitungsbedingung muss an einer Extremstelle (Minimum/Maximum) erfüllt sein? - Wie kannst du den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse direkt in den Funktionsterm einbauen? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob die berechneten Werte alle Bedingungen erfüllen.

1. Ansatz aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\). Ableitung: \(f'(x) = 4ax^3 + 2cx\). 2. Bedingung \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = 5 \Rightarrow e = 5\). 3. Bedingung Punkt \(P(1 \mid -2)\): \(f(1) = -2 \Rightarrow a \cdot 1^4 + c \cdot 1^2 + 5 = -2 \Rightarrow a + c = -7\). 4. Bedingung lokales Minimum bei \(x = 2\): \(f'(2) = 0 \Rightarrow 4a \cdot 2^3 + 2c \cdot 2 = 0 \Rightarrow 32a + 4c = 0 \Rightarrow 8a + c = 0\). 5. Gleichungssystem lösen: Subtraktion der Gleichungen \((8a + c) - (a + c) = 0 - (-7) \Rightarrow 7a = 7 \Rightarrow a = 1\). Einsetzen liefert \(1 + c = -7 \Rightarrow c = -8\). 6. Prüfung der Hinreichenden Bedingung: \(f''(x) = 12ax^2 + 2c\). Mit \(a=1, c=-8\) ist \(f''(2) = 12 \cdot 4 - 16 = 32 > 0\). Es liegt tatsächlich ein Minimum vor. 7. Ergebnis: \(f(x) = x^4 - 8x^2 + 5\).

\(f(x) = x^4 - 8x^2 + 5\)

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung und die benötigten Ableitungen auf. - Welche Informationen liefert der Ursprung als Wendepunkt für die Koeffizienten? - Was sagt die Gleichung der Wendetangente über die Steigung der Funktion an dieser Stelle aus? - Nutze die notwendige Bedingung für Extremstellen, um den verbleibenden Parameter zu berechnen. - Untersuche dann mit der hinreichenden Bedingung, welche Art von Extremum an der Stelle \(x = 1\) tatsächlich vorliegt.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Wendepunkt im Ursprung \((0|0)\) bedeutet \(f(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). Daraus folgt direkt \(d = 0\) und \(b = 0\). 3. Die Wendetangente \(w(x) = x\) hat die Steigung \(1\). Somit gilt \(f'(0) = 1\), woraus \(c = 1\) folgt. Die Funktion hat bisher die Form \(f(x) = ax^3 + x\). 4. Für einen lokalen Extrempunkt bei \(x = 1\) muss \(f'(1) = 0\) gelten. Mit \(f'(x) = 3ax^2 + 1\) folgt: \(3a \cdot 1^2 + 1 = 0 \implies 3a = -1 \implies a = -\frac{1}{3}\). 5. Um zu prüfen, ob ein Tiefpunkt vorliegt, betrachtet man die zweite Ableitung \(f''(x) = 6ax = -2x\). 6. An der Stelle \(x = 1\) gilt \(f''(1) = -2 \cdot 1 = -2\). 7. Da \(f''(1) < 0\) ist, liegt bei \(x = 1\) ein lokaler Hochpunkt vor. 8. Da die Bedingung eines Tiefpunkts nicht erfüllt werden kann, existiert keine solche Funktion.

Es existiert keine solche Funktion, da die Berechnungen für ein lokales Extremum bei \(x = 1\) zwingend zu einem lokalen Hochpunkt (\(f''(1) = -2 < 0\)) führen, was im Widerspruch zur Forderung eines Tiefpunkts steht.

- Überlege zuerst, welche allgemeine Form eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion 3. Grades hat. - Was sagt dir die Steigung an einer bestimmten Stelle über die Ableitungsfunktion aus? - Wenn nach „allen“ Funktionen gefragt ist, bleibt oft ein Parameter im Funktionsterm stehen. - Nutze den zusätzlichen Punkt am Ende, um den verbliebenen Parameter konkret zu berechnen.

1. Ansatz aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(x) = ax^3 + cx\). 2. Bedingung für die Steigung: \(f'(1) = 6\). 3. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3ax^2 + c\). 4. Einsetzen: \(3a \cdot 1^2 + c = 6 \implies 3a + c = 6 \implies c = 6 - 3a\). 5. Funktionenschar aufstellen: \(f_a(x) = ax^3 + (6 - 3a)x\) mit \(a \neq 0\). 6. Punktprobe mit \(Q(2|20)\): \(f_a(2) = a \cdot 2^3 + (6 - 3a) \cdot 2 = 20\). 7. Gleichung lösen: \(8a + 12 - 6a = 20 \implies 2a + 12 = 20 \implies 2a = 8 \implies a = 4\). 8. Parameter \(c\) bestimmen: \(c = 6 - 3 \cdot 4 = -6\). 9. Ergebnis: \(f(x) = 4x^3 - 6x\).

Alle Funktionen: \(f_a(x) = ax^3 + (6 - 3a)x\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Spezielle Funktion durch \(Q\): \(f(x) = 4x^3 - 6x\).

- Notiere dir zuerst die allgemeine Funktionsgleichung und die benötigten Ableitungen. - Übersetze jede Information aus dem Text in eine mathematische Gleichung (z. B. Punkt, Steigung, Krümmung). - Achte darauf, dass ein Punkt auf dem Graphen immer eine Bedingung für \(f(x)\) liefert, während Eigenschaften der Steigung oder Krümmung die Ableitungen betreffen. - Verwende ein Verfahren deiner Wahl (z. B. Einsetzungsverfahren), um das resultierende Gleichungssystem zu lösen.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(y=3\): \(f(0) = 3 \implies d = 3\). 3. Steigung an der Stelle \(x=0\): \(f'(0) = -6 \implies c = -6\). 4. Wendebedingung bei \(x=1\): \(f''(1) = 0 \implies 6a + 2b = 0\) bzw. \(3a + b = 0\). 5. Funktionswert am Wendepunkt \(W(1|1)\): \(f(1) = 1 \implies a + b + c + d = 1\). Einsetzen der bekannten Werte ergibt \(a + b - 6 + 3 = 1\), also \(a + b = 4\). 6. Lösung des Gleichungssystems: Aus \(b = -3a\) folgt \(a - 3a = 4\), woraus sich \(a = -2\) ergibt. Einsetzen liefert \(b = 6\). 7. Ergebnis: \(f(x) = -2x^3 + 6x^2 - 6x + 3\).

\(f(x) = -2x^3 + 6x^2 - 6x + 3\)

- Nutze den Parameter \(a\) als freie Variable, da du für eine Funktion 4. Grades fünf Koeffizienten, aber nur vier punkt- bzw. ableitungsbezogene Gleichungen hast. - Drücke alle anderen Koeffizienten durch \(a\) aus. - Erinnere dich an das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt: \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\). - Stelle eine Ungleichung für \(a\) auf, die sicherstellt, dass die zweite Ableitung an der Stelle \(x = 2\) positiv ist.

1. Ansatz: \(g(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) mit \(g'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d\) und \(g''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c\). 2. Bedingungen anwenden: - \(g(0) = 0 \implies e = 0\) - \(g''(3) = 0 \implies 108a + 18b + 2c = 0 \implies c = -54a - 9b\) - \(g(2) = 4 \implies 16a + 8b + 4c + 2d = 4\) - \(g'(2) = 0 \implies 32a + 12b + 4c + d = 0\) 3. Abhängigkeiten von \(a\) berechnen: Durch Substitution von \(c\) in die Gleichungen für \(g(2)\) und \(g'(2)\) erhält man ein System für \(b\) und \(d\). Es ergibt sich \(b = 0{,}2 - 8{,}4a\), \(c = 21{,}6a - 1{,}8\) und \(d = 4{,}8 - 17{,}6a\). 4. Bedingung für Tiefpunkt: Es muss \(g''(2) > 0\) gelten. 5. \(g''(2)\) in Abhängigkeit von \(a\) berechnen: \(g''(2) = 48a + 12b + 2c = 48a + 12(0{,}2 - 8{,}4a) + 2(21{,}6a - 1{,}8) = -9{,}6a - 1{,}2\). 6. Ungleichung lösen: \(-9{,}6a - 1{,}2 > 0 \implies -9{,}6a > 1{,}2 \implies a < -0{,}125\). 7. Für alle \(a < -0{,}125\) existiert eine solche Funktion (unter der zusätzlichen Bedingung \(g'''(3) \neq 0\), was hier für diesen Bereich erfüllt ist).

Ja, es gibt unendlich viele solcher Funktionen vierten Grades. Damit der Punkt \(T(2|4)\) ein lokaler Tiefpunkt ist, muss für den Leitkoeffizienten \(a\) die Bedingung \(a < -0{,}125\) erfüllt sein.

- Wie vereinfacht die Achsensymmetrie den allgemeinen Ansatz einer Funktion vierten Grades? - Welche Ableitungen benötigst du, um Bedingungen für Wendepunkte und Tangentensteigungen zu formulieren? - Erinnere dich daran, welche Ableitung die Krümmung (Wendepunkt) und welche die Steigung (Tangente) beschreibt. - Stelle ein Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten auf.

1. Der Ansatz für eine achsensymmetrische Funktion vierten Grades ist \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Der Punkt \(S(0|5)\) liefert die Bedingung \(f(0) = 5\), woraus \(c = 5\) folgt. 3. Ein Wendepunkt an der Stelle \(x = 1\) bedeutet, dass die zweite Ableitung dort null ist: \(f''(1) = 0\). Mit \(f''(x) = 12ax^2 + 2b\) ergibt sich die Gleichung \(12a + 2b = 0\). 4. Die Steigung der Wendetangente ist der Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle: \(f'(1) = -4\). Mit \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) folgt \(4a + 2b = -4\). 5. Durch Lösen des Gleichungssystems (\(12a + 2b = 0\) und \(4a + 2b = -4\)) erhält man durch Subtraktion \(8a = 4\), also \(a = 0{,}5\). Hieraus folgt \(b = -3\). 6. Die gesuchte Funktion ist \(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 5\).

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 5\)

- Ein Sattelpunkt auf der \(x\)-Achse ist gleichzeitig eine Nullstelle. Was bedeutet das für die Vielfachheit dieser Nullstelle? - Du kannst entweder den allgemeinen Ansatz \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) nutzen oder die Nullstellenform verwenden. - Überlege, wie du die Informationen über den Punkt und die Steigung in ein Gleichungssystem übersetzt. - Falls du den allgemeinen Ansatz nutzt: Welche drei Bedingungen liefert der Sattelpunkt bei \(x=2\)?

1. Ein Sattelpunkt an einer Nullstelle \(x_0\) bei einer Funktion 4. Grades deutet auf eine dreifache Nullstelle hin. Der Ansatz lautet daher \(f(x) = a(x - 2)^3(x - k)\). 2. Bedingung Punkt \(Q(0|8)\): \(f(0) = a(0 - 2)^3(0 - k) = 8ak = 8\), woraus \(ak = 1\) folgt. 3. Bedingung Steigung \(f'(0) = -20\): Die Ableitung nach der Produktregel ist \(f'(x) = 3a(x - 2)^2(x - k) + a(x - 2)^3 = a(x - 2)^2(4x - 3k - 2)\). Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f'(0) = a(-2)^2(-3k - 2) = 4a(-3k - 2) = -12ak - 8a = -20\). 4. Da \(ak = 1\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(-12(1) - 8a = -20\). Dies führt zu \(-8a = -8\), also \(a = 1\). 5. Aus \(ak = 1\) folgt dann \(k = 1\). 6. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = (x - 2)^3(x - 1)\). Ausmultipliziert ergibt dies \(f(x) = x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8\).

\(f(x) = x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8\)