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- Welches Werkzeug der Differenzialrechnung hilft dir, Steigungen von Null zu finden? - Hast du überprüft, ob alle gefundenen Lösungen innerhalb der vorgegebenen Grenzen liegen? - Wie stellst du sicher, dass es sich wirklich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt und nicht um Sattelpunkte?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 3\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) lösen: \(3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1\). 3. Überprüfen, ob die Stellen im Intervall \((-1{,}8; 1{,}8)\) liegen: Beide Stellen liegen im Intervall. 4. Hinreichende Bedingung (\(f''(x) = 6x\)): \(f''(1) = 6 > 0\) (Minimum), \(f''(-1) = -6 < 0\) (Maximum). 5. Resultat: 2 lokale Extremstellen.

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- Was bedeutet es für die Steigung einer Tangente, wenn sie parallel zur \(x\)-Achse liegt? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Wie gehst du vor, wenn du nach Punkten (also \(x\)- und \(y\)-Werten) und nicht nur nach Stellen gefragt bist?

1. Ableitung der Funktion \(f\) bilden: \(f'(x) = 6x^2 + 6x - 12\). 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente (Steigung null) ansetzen: \(f'(x) = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(6x^2 + 6x - 12 = 0\) (bzw. \(x^2 + x - 2 = 0\)) ergibt die \(x\)-Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2\). 4. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion: \(f(1) = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 4 = -3\). \(f(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 - 12 \cdot (-2) + 4 = -16 + 12 + 24 + 4 = 24\). 5. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(1 \mid -3)\) und \(P_2(-2 \mid 24)\).

Die Punkte mit waagerechter Tangente sind \(P_1(1 \mid -3)\) und \(P_2(-2 \mid 24)\).

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Hast du daran gedacht, die y-Koordinaten der Punkte zu berechnen? - Überprüfe deine Vorzeichen beim Einsetzen negativer Werte in die Funktionsgleichung.

1. Erste und zweite Ableitung bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\) und \(f''(x) = 6x - 6\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(3(x^2 - 2x - 3) = 0\) liefert durch Faktorisierung oder Mitternachtsformel die kritischen Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''(3) = 12 > 0\), daraus folgt ein lokales Minimum an der Stelle \(x = 3\). \(f''(-1) = -12 < 0\), daraus folgt ein lokales Maximum an der Stelle \(x = -1\). 4. Funktionswerte ermitteln: \(f(3) = 27 - 27 - 27 + 10 = -17\) und \(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 10 = 15\). 5. Ergebnisse zusammenführen: Hochpunkt \(H(-1 | 15)\) und Tiefpunkt \(T(3 | -17)\).

Die Funktion hat einen lokalen Hochpunkt bei \(H(-1 | 15)\) und einen lokalen Tiefpunkt bei \(T(3 | -17)\).

- Welche Bedingung muss für die Steigung an einem Hochpunkt gelten? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung überprüfen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? - Was gibt der Funktionswert \(h(t)\) an einer bestimmten Stelle \(t\) an?

1. Erste und zweite Ableitung bestimmen: \(h'(t) = -9{,}8t + 12\) und \(h''(t) = -9{,}8\). 2. Nullstelle der ersten Ableitung berechnen (notwendige Bedingung): \(h'(t) = 0 \Rightarrow -9{,}8t + 12 = 0 \Rightarrow t = \frac{12}{9{,}8} \approx 1{,}224\). 3. Art des Extrempunkts prüfen (hinreichende Bedingung): Da \(h''(1{,}224) = -9{,}8 < 0\), liegt an der Stelle \(t \approx 1{,}22\) ein lokales Maximum vor. 4. Funktionswert an der Stelle \(t \approx 1{,}224\) berechnen: \(h(1{,}224) = -4{,}9 \cdot (1{,}224)^2 + 12 \cdot 1{,}224 + 1{,}5 \approx 8{,}847\). Der Ball erreicht nach ca. \(1{,}22\,\text{s}\) seinen höchsten Punkt in einer Höhe von ca. \(8{,}85\,\text{m}\).

Der höchste Punkt wird nach etwa \(1{,}22\,\text{s}\) erreicht. Die maximale Höhe beträgt ca. \(8{,}85\,\text{m}\).

- Wie hängen die Position (Höhe) und die Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Was lässt sich über die Geschwindigkeit eines Objekts sagen, wenn es seinen höchsten Punkt erreicht hat? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Änderungsrate einer Funktion zu finden?

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion durch Ableitung der Höhenfunktion: \(v(t) = h'(t) = -10t + 20\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit für \(t = 1\): \(v(1) = -10 \cdot 1 + 20 = 10\). Die Geschwindigkeit beträgt \(10\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). 3. Der höchste Punkt wird erreicht, wenn die Momentangeschwindigkeit null ist: \(-10t + 20 = 0 \Rightarrow t = 2\). Der Ball erreicht nach \(2\,\text{s}\) den höchsten Punkt. 4. Berechnung der maximalen Höhe durch Einsetzen von \(t = 2\) in \(h(t)\): \(h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 + 1{,}2 = -20 + 40 + 1{,}2 = 21{,}2\). Die maximale Höhe beträgt \(21{,}2\,\text{m}\).

a) Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 1\,\text{s}\) beträgt \(10\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). b) Der Ball erreicht nach \(2\,\text{s}\) seinen höchsten Punkt in einer Höhe von \(21{,}2\,\text{m}\).

- Erinnere dich an die Bedingung für eine waagerechte Tangente. - Wie kannst du eine quadratische Gleichung lösen, um die Kandidaten für die Extremstellen zu finden? - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein, um die Höhe der Punkte zu bestimmen. - Ein Punkt mit einem höheren \(y\)-Wert ist bei zwei benachbarten Extremstellen oft der Hochpunkt – prüfe dies durch das allgemeine Steigungsverhalten der Funktion.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\). 2. Notwendiges Kriterium \(f'(x) = 0\) lösen: \(3(x^2 - 4x + 3) = 0\). Mit der pq-Formel oder Faktorisierung \((x-1)(x-3) = 0\) ergeben sich die Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Funktionswerte berechnen: \(f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 2 = 6\) und \(f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 2 = 27 - 54 + 27 + 2 = 2\). 4. Analyse: Da \(f(1) > f(3)\) und die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(+\infty\) sowie für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\) strebt, muss bei \(x = 1\) ein lokaler Hochpunkt und bei \(x = 3\) ein lokaler Tiefpunkt liegen. 5. Ergebnis: Hochpunkt \(H(1|6)\) und Tiefpunkt \(T(3|2)\).

Die Extrempunkte der Funktion sind \(H(1|6)\) und \(T(3|2)\).

- Was sagt die erste Ableitung über die Steigung einer Kurve aus? - An welchem Punkt einer Flugbahn ist die Steigung genau null? - Wie berechnet man den passenden Funktionswert, wenn die Stelle \(x\) bekannt ist? - Erinnere dich an die Bedeutung der Tangentensteigung im höchsten Punkt.

1. Berechnung der ersten Ableitung der Funktion \(h(x)\): \(h'(x) = -0{,}1x + 0{,}8\). 2. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(-0{,}1x + 0{,}8 = 0 \implies x = 8\). Die horizontale Entfernung zum höchsten Punkt beträgt \(8\,\text{m}\). 3. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(h''(x) = -0{,}1\). Da \(h''(8) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 8\): \(h(8) = -0{,}05 \cdot 8^2 + 0{,}8 \cdot 8 + 1{,}5 = -3{,}2 + 6{,}4 + 1{,}5 = 4{,}7\). Die maximale Höhe beträgt \(4{,}7\,\text{m}\). 5. Interpretation von \(h'(x) = 0\): An dieser Stelle ist die Steigung der Tangente an den Graphen null. Das bedeutet, dass der Ball dort weder steigt noch fällt; es ist der Umkehrpunkt der vertikalen Bewegung (Scheitelpunkt der Parabel).

a) Der Ball erreicht nach einer horizontalen Entfernung von \(8\,\text{m}\) seinen höchsten Punkt. b) Die maximale Höhe des Balls beträgt \(4{,}7\,\text{m}\). c) Die Bedingung \(h'(x) = 0\) kennzeichnet die Stelle mit waagerechter Tangente, also den höchsten Punkt (Scheitelpunkt) der Flugbahn, an dem die vertikale Steigung null ist.

- Was sagt die Steigung an einem Gipfel oder in einem Tal über den Wert der ersten Ableitung aus? - Wenn die Kurve an einer Stelle nach unten geöffnet ist, welche Art von Extrempunkt liegt dann vor? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen in die Funktionsgleichung besonders auf die Vorzeichenregeln bei Potenzen.

1. Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = 6x^2 + 6x - 12\) und \(f''(x) = 12x + 6\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(6(x^2 + x - 2) = 0\) führt über die pq-Formel oder Faktorisierung \((x+2)(x-1) = 0\) zu \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\). 3. Zweite Ableitung an den Stellen auswerten: - \(f''(-2) = 12 \cdot (-2) + 6 = -18 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt. - \(f''(1) = 12 \cdot 1 + 6 = 18 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt. 4. \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(f(x)\) ermitteln: - \(f(-2) = 2(-8) + 3(4) - 12(-2) + 4 = -16 + 12 + 24 + 4 = 24\). - \(f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 4 = 2 + 3 - 12 + 4 = -3\). Ergebnisse: \(H(-2|24)\) und \(T(1|-3)\).

Die Funktion hat einen relativen Hochpunkt bei \(H(-2|24)\) und einen relativen Tiefpunkt bei \(T(1|-3)\).

- Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen dem zurückgelegten Weg und der Geschwindigkeit? - Die Ableitung einer Funktion gibt die momentane Änderungsrate an. - Wenn du das Maximum einer Größe suchst, musst du deren Ableitung untersuchen. - Achte auf die Einheiten und die Umrechnung von \(\text{m/s}\) in \(\text{km/h}\).

1. Bestimmung der Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Weges nach der Zeit. \( v(t) = s'(t) = -0{,}15t^2 + 1{,}8t \). 2. Berechnung für \( t = 4 \): \( v(4) = -0{,}15 \cdot 4^2 + 1{,}8 \cdot 4 = -2{,}4 + 7{,}2 = 4{,}8\,\text{m/s} \). 3. Zeitpunkt der maximalen Geschwindigkeit: Die Beschleunigung (Ableitung der Geschwindigkeit) muss Null sein. \( v'(t) = a(t) = s''(t) = -0{,}3t + 1{,}8 \). Nullsetzen: \( -0{,}3t + 1{,}8 = 0 \implies 0{,}3t = 1{,}8 \implies t = 6\,\text{s} \). Da \( v''(t) = -0{,}3 < 0 \), liegt ein Maximum vor. 4. Berechnung der maximalen Geschwindigkeit: \( v(6) = -0{,}15 \cdot 6^2 + 1{,}8 \cdot 6 = -5{,}4 + 10{,}8 = 5{,}4\,\text{m/s} \). 5. Umrechnung in \(\text{km/h}\): \( 5{,}4 \cdot 3{,}6 = 19{,}44\,\text{km/h} \).

a) \( v(t) = -0{,}15t^2 + 1{,}8t \); nach \( 4\,\text{s} \) beträgt die Geschwindigkeit \( 4{,}8\,\text{m/s} \). b) Die maximale Geschwindigkeit wird zum Zeitpunkt \( t = 6\,\text{s} \) erreicht. c) Die maximale Geschwindigkeit beträgt \( 5{,}4\,\text{m/s} \), was \( 19{,}44\,\text{km/h} \) entspricht.

- Welchen Punkt auf einer Kurve suchen wir, wenn nach einem „Maximum“ gefragt ist? - Welche Bedingung muss für die Änderung der Höhe gelten, wenn der höchste Punkt erreicht ist? - Hast du nach dem Finden des optimalen Zeitpunkts auch die eigentliche Höhe ausgerechnet?

1. Ableitungsfunktion für die Steigung der Höhe bestimmen: \(h'(t) = -0{,}3t^2 + 0{,}4t + 1{,}5\). 2. Nullstellen der Ableitung berechnen (\(h'(t) = 0\)): Anwendung der Mitternachtsformel ergibt \(t_1 = 3\) und \(t_2 = -\frac{5}{3}\) (nicht relevant, da \(t \ge 0\)). 3. Überprüfung mit zweiter Ableitung (\(h''(t) = -0{,}6t + 0{,}4\)): \(h''(3) = -1{,}4 < 0\), also liegt ein Maximum bei \(t = 3\) vor. 4. Maximalen Höhenwert berechnen: \(h(3) = -0{,}1(3^3) + 0{,}2(3^2) + 1{,}5(3) = -2{,}7 + 1{,}8 + 4{,}5 = 3{,}6\,\text{km}\).

\(3{,}6\,\text{km}\)

- Wie hängen die Position und die Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Welche Eigenschaft hat die Geschwindigkeit an dem Punkt, an dem die Rakete umkehrt? - Was bedeutet „auf dem Boden aufschlagen“ für den Wert der Höhenfunktion? - Überlege dir, ob eine negative Geschwindigkeit beim Aufprall physikalisch sinnvoll ist.

1. Die momentane Geschwindigkeit ist die erste Ableitung der Höhenfunktion: \(v(t) = h'(t) = -10t + 30\). 2. Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit Null: \(-10t + 30 = 0 \implies t = 3\,\text{s}\). Die maximale Höhe beträgt \(h(3) = -5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 + 0{,}5 = -45 + 90 + 0{,}5 = 45{,}5\,\text{m}\). 3. Die Rakete schlägt auf dem Boden auf, wenn \(h(t) = 0\). Die Lösung der quadratischen Gleichung \(-5t^2 + 30t + 0{,}5 = 0\) ergibt (für \(t > 0\)) \(t \approx 6{,}017\,\text{s}\). Die Aufprallgeschwindigkeit berechnet sich durch Einsetzen in \(v(t)\): \(v(6{,}017) = -10 \cdot 6{,}017 + 30 \approx -30{,}17\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

a) \(v(t) = -10t + 30\) b) Zeitpunkt: \(3\,\text{s}\); maximale Höhe: \(45{,}5\,\text{m}\) c) Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt ca. \(30{,}17\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (nach unten gerichtet).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung und der Steigung des Graphen. - Wenn ein Term in einer Gleichung in jedem Glied vorkommt, kannst du ihn ausklammern, um die Gleichung einfacher zu lösen. - Überlege, wie viele Stellen eine Funktion vierten Grades maximal mit dieser Eigenschaft haben könnte.

1. Erste Ableitung von \(g\) bestimmen: \(g'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). 2. Die Bedingung für eine waagerechte Tangente ist \(g'(x) = 0\). 3. Lösen der Gleichung \(x^3 - 3x^2 + 2x = 0\). 4. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 - 3x + 2) = 0\). 5. Nullstellen bestimmen: Die erste Lösung ist \(x_1 = 0\). 6. Die weiteren Lösungen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x + 2 = 0\) liefern \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\).

Die Stellen mit waagerechter Tangente liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\).

- Überlege zuerst, an welchen Stellen im Inneren des Intervalls die Steigung null sein muss. - Vergiss nicht, auch die Ränder des Intervalls zu prüfen, da dort die absoluten Höchst- oder Tiefwerte liegen können. - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Vergleiche am Ende alle gefundenen Funktionswerte, um die globalen Extrema zu bestimmen.

1. Berechnung der Ableitungen: \(f'(x) = x^3 - 4x\) und \(f''(x) = 3x^2 - 4\). 2. Notwendige Bedingung für lokale Extrema (\(f'(x) = 0\)): \(x(x^2 - 4) = 0\) liefert die kritischen Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). Alle Stellen liegen im Intervall \(I\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: - \(f''(0) = -4 < 0 \Rightarrow\) lokaler Hochpunkt \(H(0 | 3)\). - \(f''(2) = 8 > 0 \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt \(T_1(2 | -1)\). - \(f''(-2) = 8 > 0 \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt \(T_2(-2 | -1)\). 4. Untersuchung der Randwerte: \(f(-3) = 5{,}25\) und \(f(2{,}5) = 0{,}265625\). 5. Vergleich aller Funktionswerte (\(-1; 0{,}265625; 3; 5{,}25\)): - Globales Maximum bei \(x = -3\) mit \(f(-3) = 5{,}25\). - Globales Minimum bei \(x = -2\) und \(x = 2\) mit \(f(-2) = f(2) = -1\).

Lokale Extrema: \(H(0 | 3)\) (lokaler Hochpunkt), \(T_1(2 | -1)\) und \(T_2(-2 | -1)\) (lokale Tiefpunkte). Globale Extrema: Globales Maximum am linken Intervallrand bei \(P_{max}(-3 | 5{,}25)\); globale Minima an den Stellen \(x = -2\) und \(x = 2\) mit dem Wert \(-1\).

- Was ist der erste Schritt, um Stellen mit waagerechter Tangente zu finden? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Stelle ein lokales Maximum oder Minimum ist? - Warum ist es bei einem fest vorgegebenen Intervall wichtig, die Funktionswerte an den Intervallgrenzen zu berechnen? - Ein globales Extremum ist der absolut höchste oder niedrigste Wert im gesamten betrachteten Bereich.

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung: \(\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0\). Dies ergibt \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). Beide Werte liegen im Intervall \([-2; 4]\). 3. Art der lokalen Extrema mit \(g''(x) = x - 1\) prüfen: - \(g''(-1) = -2 < 0 \Rightarrow\) lokales Maximum bei \(x = -1\). Funktionswert: \(g(-1) = \frac{17}{6} \approx 2{,}83\). - \(g''(3) = 2 > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum bei \(x = 3\). Funktionswert: \(g(3) = -2{,}5\). 4. Randwerte berechnen: - Linker Rand: \(g(-2) = \frac{5}{3} \approx 1{,}67\). - Rechter Rand: \(g(4) = -\frac{4}{3} \approx -1{,}33\). 5. Ergebnis: Lokales Maximum bei \(x = -1\), lokales Minimum bei \(x = 3\). Das globale Maximum liegt bei \(x = -1\) (\(y \approx 2{,}83\)), das globale Minimum bei \(x = 3\) (\(y = -2{,}5\)).

Im Intervall \([-2; 4]\) besitzt die Funktion \(g\) ein lokales (und globales) Maximum bei \(x = -1\) mit \(g(-1) = \frac{17}{6} \approx 2{,}83\) sowie ein lokales (und globales) Minimum bei \(x = 3\) mit \(g(3) = -2{,}5\). Die Randwerte sind \(g(-2) = \frac{5}{3}\) und \(g(4) = -\frac{4}{3}\).

- Was bedeutet „Abstand zur \(x\)-Achse“ mathematisch für einen Punkt auf dem Graphen? - Wenn der Graph die \(x\)-Achse nicht schneidet, ist die Funktion entweder immer positiv oder immer negativ. - Wie hängen Extremstellen einer Funktion mit dem minimalen Abstand zur \(x\)-Achse zusammen? - Vergiss nicht, am Ende die vollständigen Koordinaten \((x|y)\) anzugeben.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 4x^3 - 4x\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(4x(x^2 - 1) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 3. Art der Extremstellen prüfen: \(f''(x) = 12x^2 - 4\). Es gilt \(f''(0) = -4 < 0\) (lokales Maximum), \(f''(1) = 8 > 0\) (lokales Minimum) und \(f''(-1) = 8 > 0\) (lokales Minimum). 4. Da der Graph die \(x\)-Achse nicht schneidet und \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\) gilt, wird der kleinste Abstand an den globalen Minima erreicht. 5. Funktionswerte berechnen: \(f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 5 = 4\) und \(f(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 5 = 4\). 6. Die Koordinaten der gesuchten Punkte angeben.

\(P_1(-1|4)\) und \(P_2(1|4)\)

- Beginne damit, die ersten beiden Ableitungen der Funktion zu bilden. - Suche zuerst nach den Stellen, an denen die Steigung der Funktion null ist. - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung unterscheiden, ob an einer Stelle ein „Berg“ oder ein „Tal“ vorliegt? - Achte beim Lösen der quadratischen Gleichung auf die Vorzeichen.

1. Ableitungsfunktionen berechnen: \(g'(x) = -3x^2 + 9x - 6\) und \(g''(x) = -6x + 9\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen (\(g'(x) = 0\)): \(-3x^2 + 9x - 6 = 0 \iff x^2 - 3x + 2 = 0\). Mithilfe der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x-1)(x-2) = 0\) ergeben sich \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 3. Art der Extrema durch Einsetzen in \(g''(x)\) bestimmen: \(g''(1) = -6 \cdot 1 + 9 = 3 > 0 \implies\) Lokales Minimum an der Stelle \(x = 1\). \(g''(2) = -6 \cdot 2 + 9 = -3 < 0 \implies\) Lokales Maximum an der Stelle \(x = 2\).

Lokales Minimum bei \(x = 1\); lokales Maximum bei \(x = 2\).

- Welche Bedingung muss für die Steigung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der Krümmung entscheiden, ob ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vorliegt? - Was musst du tun, um die vollständigen Koordinaten eines Punktes auf dem Graphen zu erhalten? - Achte darauf, alle notwendigen Ableitungen sauber nacheinander zu bilden.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = x^2 - 4x + 3\) und \(f''(x) = 2x - 4\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(x^2 - 4x + 3 = 0\) liefert die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung prüfen: \(f''(1) = -2 < 0\), daraus folgt ein lokales Maximum bei \(x_1 = 1\); \(f''(3) = 2 > 0\), daraus folgt ein lokales Minimum bei \(x_2 = 3\). 4. Funktionswerte berechnen: \(f(1) = \frac{16}{3}\) und \(f(3) = 4\). 5. Ergebnisse zusammenfassen: Hochpunkt \(H(1 \mid \frac{16}{3})\) und Tiefpunkt \(T(3 \mid 4)\).

Extremstellen: \(x_1 = 1\) (Maximum) und \(x_2 = 3\) (Minimum). Lage und Art der Extrempunkte: Hochpunkt \(H(1 \mid \frac{16}{3})\) und Tiefpunkt \(T(3 \mid 4)\).

- Suche zuerst die Stellen, an denen die Tangente waagerecht verläuft. - Überlege, wie du die zweite Ableitung nutzen kannst, um das Vorliegen eines Hoch- oder Tiefpunkts nachzuweisen. - Wie erhältst du die \(y\)-Werte der gesuchten Punkte? - Überprüfe deine Rechenschritte beim Lösen der quadratischen Gleichung sorgfältig.

1. Ableitungsfunktionen bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 3x - 6\) und \(f''(x) = 6x - 3\). 2. Mögliche Extremstellen durch \(f'(x) = 0\) finden: \(3(x^2 - x - 2) = 0 \implies x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 3. Art der Extremstellen mit \(f''\) bestimmen: \(f''(-1) = -9 < 0 \implies\) Hochpunkt; \(f''(2) = 9 > 0 \implies\) Tiefpunkt. 4. \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(f(x)\) ermitteln: \(f(-1) = 5{,}5\) und \(f(2) = -8\). 5. Koordinaten der Punkte: \(H(-1 \mid 5{,}5)\) und \(T(2 \mid -8)\).

Extremstellen: \(x_1 = -1\) (Maximum) und \(x_2 = 2\) (Minimum). Extrempunkte: Hochpunkt \(H(-1 \mid 5{,}5)\) und Tiefpunkt \(T(2 \mid -8)\).

- Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn du die beiden Einzelterme addierst? - Erinnere dich daran, dass Extremstellen im Inneren eines Intervalls dort liegen können, wo die Ableitung null ist. - Vergiss nicht, die Funktionswerte an den Grenzen des Definitionsbereichs zu prüfen. - Ein Extremum ist ein „inneres Extremum“, wenn die Stelle zwischen den Intervallgrenzen liegt, und ein „Randextremum“, wenn sie genau auf einer Grenze liegt.

1. Bildung der Summenfunktion: \(s(x) = (x^2 - 4x + 6) + (-0{,}5x^2 + x + 2) = 0{,}5x^2 - 3x + 8\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(s'(x) = x - 3\). 3. Suche nach stationären Stellen im Inneren des Intervalls: \(s'(x) = 0 \implies x = 3\). Da \(3 \in (0; 6)\) liegt, ist dies ein potenzielles inneres Extremum. 4. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 3\): \(s(3) = 0{,}5 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 8 = 4{,}5 - 9 + 8 = 3{,}5\). 5. Untersuchung der Randwerte des Intervalls \([0; 6]\): \(s(0) = 0{,}5 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 8 = 8\). \(s(6) = 0{,}5 \cdot 6^2 - 3 \cdot 6 + 8 = 18 - 18 + 8 = 8\). 6. Vergleich der Werte: Der kleinste Wert ist \(3{,}5\) bei \(x = 3\), der größte Wert ist \(8\) bei \(x = 0\) und \(x = 6\). 7. Klassifizierung: Bei \(x = 3\) liegt ein inneres Extremum vor (globales Minimum). Bei \(x = 0\) und \(x = 6\) liegen Randextrema vor (globale Maxima).

Das globale Minimum der Summenfunktion liegt bei \(x = 3\) mit dem Wert \(s(3) = 3{,}5\). Da die Stelle \(x = 3\) innerhalb des Intervalls \((0; 6)\) liegt, handelt es sich um ein inneres Extremum. Das globale Maximum wird an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 6\) mit dem Wert \(s(0) = s(6) = 8\) erreicht. Da diese Stellen die Grenzen des Intervalls bilden, handelt es sich um Randextrema.

- Achte beim Bilden der Differenzfunktion besonders auf das Minuszeichen vor der gesamten Funktion \(g(x)\). - Welche Stellen musst du untersuchen, um die absolut größten und kleinsten Werte in einem abgeschlossenen Intervall zu finden? - Prüfe nach der Berechnung der Nullstellen der Ableitung, welche davon tatsächlich im vorgegebenen Bereich liegen. - Vergleiche am Ende alle gefundenen Funktionswerte (von den Rändern und aus dem Inneren), um das globale Maximum und Minimum zu bestimmen.

1. Aufstellen der Differenzfunktion: \(d(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 4) - (-x^2 + x + 1) = \frac{1}{3}x^3 - x + 3\). 2. Ableitung bilden: \(d'(x) = x^2 - 1\). 3. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(x^2 - 1 = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = -1\). Da nur \(x = 1\) im Intervall \([0; 3]\) liegt, wird nur dieser Wert als inneres Extremum geprüft. 4. Funktionswert an der inneren Stelle: \(d(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - 1 + 3 = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2{,}33\). 5. Randwerte berechnen: \(d(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 - 0 + 3 = 3\). \(d(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 3 + 3 = 9\). 6. Vergleich der Werte: Der globale Minimalwert ist \(2\frac{1}{3}\) (bei \(x = 1\)), der globale Maximalwert ist \(9\) (bei \(x = 3\)). 7. Klassifizierung: \(x = 1\) ist eine innere Extremstelle (globales Minimum). \(x = 3\) ist eine Randextremstelle (globales Maximum). Der Randwert \(d(0)=3\) ist zwar ein lokales Maximum am Rand, aber nicht das globale Maximum des Intervalls.

Das globale Minimum der Differenzfunktion liegt bei \(x = 1\) mit dem Wert \(d(1) = 2\frac{1}{3}\). Es handelt sich um ein inneres Extremum. Das globale Maximum liegt bei \(x = 3\) mit dem Wert \(d(3) = 9\). Es handelt sich um ein Randextremum.

- Wie viele Nullstellen kann die Ableitungsfunktion einer Funktion vierten Grades höchstens haben? - Kannst du die erste Ableitung faktorisieren, um die Nullstellen leichter zu finden? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extrempunktes aus? - Beachte die Achsensymmetrie der Funktion bei der Berechnung der Funktionswerte.

1. Ableitungsfunktionen berechnen: \(f'(x) = x^3 - 4x\) und \(f''(x) = 3x^2 - 4\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen: Aus \(x^3 - 4x = 0\) folgt durch Ausklammern \(x(x^2 - 4) = 0\), woraus sich die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) ergeben. 3. Art der Extremstellen mit der zweiten Ableitung prüfen: \(f''(0) = -4 < 0\) ergibt ein lokales Maximum; \(f''(2) = 8 > 0\) ergibt ein lokales Minimum; \(f''(-2) = 8 > 0\) ergibt ein lokales Minimum. 4. Funktionswerte berechnen: \(f(0) = 5\), \(f(2) = 4 - 8 + 5 = 1\) und \(f(-2) = 4 - 8 + 5 = 1\). 5. Zusammenfassung der Punkte: Hochpunkt \(H(0 | 5)\), Tiefpunkte \(T_1(2 | 1)\) und \(T_2(-2 | 1)\).

Die Funktion besitzt einen lokalen Hochpunkt bei \(H(0 | 5)\) sowie zwei lokale Tiefpunkte bei \(T_1(2 | 1)\) und \(T_2(-2 | 1)\).

- Welche Bedeutung hat die erste Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion in der Physik? - Was passiert mit der Geschwindigkeit des Pfeils genau in dem Moment, in dem er umkehrt? - Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Steigen oder Fallen des Graphen zusammen? - Überlege dir, ab welchem Startzeitpunkt die Bewegung beginnt.

1. Ableitungsfunktion bilden: \(h'(t) = -9{,}81 \cdot t + 45\). 2. Notwendige Bedingung für ein Extremum (\(h'(t) = 0\)) anwenden: \(-9{,}81 \cdot t + 45 = 0 \Rightarrow t = \frac{45}{9{,}81} \approx 4{,}587\). Der Pfeil erreicht nach etwa \(4{,}59\,\text{s}\) seine maximale Höhe. 3. Maximale Höhe berechnen: \(h(4{,}587) = -4{,}905 \cdot (4{,}587)^2 + 45 \cdot 4{,}587 \approx 103{,}21\). Die maximale Höhe beträgt ca. \(103{,}21\,\text{m}\). 4. Monotonie untersuchen: Der Pfeil steigt, solange die Steigung der Höhenfunktion positiv ist (\(h'(t) > 0\)). Dies ist für \(0 \le t < 4{,}587\) der Fall. Da \(h''(t) = -9{,}81 < 0\) ist, handelt es sich beim berechneten Zeitpunkt tatsächlich um ein Maximum, nach dem die Höhe wieder abnimmt.

a) Der Pfeil erreicht nach ca. \(4{,}59\,\text{s}\) seine maximale Höhe. b) Die maximale Höhe beträgt ca. \(103{,}21\,\text{m}\). c) Der Pfeil steigt im Intervall \([0; 4{,}59)\) (in Sekunden), da dort \(h'(t) > 0\) gilt.

- Überlege dir zuerst, wie die Funktion für den Gewinn aus den gegebenen Funktionen für Erlös und Kosten gebildet wird. - Was bedeutet ein negativer Wert für die Gewinnfunktion im Sachzusammenhang? - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für ein Extremum einer Funktion. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, indem du ein geeignetes Kriterium (z. B. die zweite Ableitung) nutzt. - Achte darauf, ob das berechnete Ergebnis innerhalb des vorgegebenen Definitionsbereichs liegt.

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = 25x - (x^3 - 6x^2 + 10x + 50) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50\). 2. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 2\): \(G(2) = -(2)^3 + 6 \cdot (2)^2 + 15 \cdot 2 - 50 = -8 + 24 + 30 - 50 = -4\). Da \(G(2) = -4 < 0\), entsteht ein Verlust von \(4000\,\text{€}\). 3. Bestimmung der ersten Ableitung der Gewinnfunktion: \(G'(x) = -3x^2 + 12x + 15\). 4. Nullstellen der ersten Ableitung finden: \(-3x^2 + 12x + 15 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x - 5 = 0\). Mithilfe der p-q-Formel ergeben sich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Da nur \(x \in [0; 7]\) relevant ist, wird \(x = 5\) untersucht. 5. Prüfung der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -6x + 12\). Einsetzen von \(x = 5\) ergibt \(G''(5) = -6 \cdot 5 + 12 = -18\). Da \(G''(5) < 0\), liegt an der Stelle \(x = 5\) ein lokales Maximum vor. 6. Vergleich mit den Randwerten: \(G(0) = -50\) und \(G(7) = -(7)^3 + 6 \cdot (7)^2 + 15 \cdot 7 - 50 = -343 + 294 + 105 - 50 = 6\). Da \(G(5) = 50\) größer als die Randwerte ist, liegt das absolute Maximum bei \(x = 5\).

a) Der Gewinn bei \(x = 2\) beträgt \(G(2) = -4\). Ein negativer Wert bedeutet einen Verlust (hier \(4000\,\text{€}\)). b) Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(5\,\text{Tonnen}\) erzielt.

- Wie hängen Erlös, Kosten und Gewinn zusammen? Erstelle daraus eine Funktionsgleichung. - Achte auf die Einheiten: Was bedeutet \(x=1\) im Kontext der Aufgabe? - Um eine Stelle mit dem größten Wert zu finden, helfen dir die Ableitungen der Funktion. - Denk daran, dass ein Extremum im Inneren eines Intervalls mit den Werten an den Rändern des Intervalls verglichen werden muss.

1. Bildung der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 25x - (x^3 - 9x^2 + 40x + 10) = -x^3 + 9x^2 - 15x - 10\). 2. Berechnung für \(100\,\text{Stück}\) (\(x = 1\)): \(G(1) = -1^3 + 9 \cdot 1^2 - 15 \cdot 1 - 10 = -1 + 9 - 15 - 10 = -17\). Dies entspricht einem Verlust von \(17\,000\,\text{€}\). 3. Ableitungen bilden: \(G'(x) = -3x^2 + 18x - 15\) und \(G''(x) = -6x + 18\). 4. Notwendige Bedingung \(G'(x) = 0\): \(-3x^2 + 18x - 15 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 5 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 5. Hinreichende Bedingung prüfen: \(G''(1) = -6 \cdot 1 + 18 = 12 > 0\) (Minimum); \(G''(5) = -6 \cdot 5 + 18 = -12 < 0\) (Maximum). 6. Maximalgewinn berechnen: \(G(5) = -5^3 + 9 \cdot 5^2 - 15 \cdot 5 - 10 = -125 + 225 - 75 - 10 = 15\). 7. Randwertprüfung: \(G(0) = -10\), \(G(8) = -8^3 + 9 \cdot 8^2 - 15 \cdot 8 - 10 = -512 + 576 - 120 - 10 = -66\). Das absolute Maximum liegt bei \(x = 5\) mit \(G(5) = 15\).

a) Bei einer Menge von \(100\,\text{Stück}\) (\(x=1\)) macht das Unternehmen einen Verlust von \(17\,000\,\text{€}\). b) Der maximale Gewinn wird bei einer Menge von \(500\,\text{Stück}\) (\(x=5\)) erzielt und beträgt \(15\,000\,\text{€}\).

- Überlege dir, welche Bedingung für die erste Ableitung erfüllt sein muss, damit eine Funktion Extremstellen hat. - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über die Steigung der Kosten aus? - Der Gewinn berechnet sich aus dem Erlös minus den Kosten. - Achte beim Aufstellen der Erlösfunktion darauf, dass die Einheiten (hier Tausend Euro) konsistent bleiben. - Wie findest du mithilfe der Ableitungen den höchsten Punkt einer Kurve?

1. Berechnung der ersten Ableitung der Kostenfunktion: \(K'(x) = x^2 - 8x + 20\). 2. Untersuchung auf Nullstellen von \(K'(x)\): Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 - 8x + 20 = 0\) ist \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16\). Da \(D < 0\), hat \(K'(x)\) keine reellen Nullstellen und \(K(x)\) somit keine lokalen Extremstellen. Da \(K'(0) = 20 > 0\), ist die Funktion streng monoton steigend. Wirtschaftlich ist dies sinnvoll, da mit steigender Produktionsmenge in der Regel auch die Gesamtkosten steigen. 3. Aufstellen der Erlösfunktion: Da ein Paket (100 Stück) \(40\,000\,\text{€}\) (entspricht \(40\) in Tausend Euro) kostet, gilt \(E(x) = 40x\). 4. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 40x - (\frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 20x + 50) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 + 20x - 50\). 5. Bestimmung des Maximums von \(G(x)\): \(G'(x) = -x^2 + 8x + 20\). Nullstellen von \(G'(x)\): \(-x^2 + 8x + 20 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 8x - 20 = 0 \Rightarrow x_1 = 10\) und \(x_2 = -2\). Da \(x \ge 0\), ist nur \(x = 10\) relevant. 6. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -2x + 8\); \(G''(10) = -20 + 8 = -12 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(10) = -\frac{1}{3} \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 20 \cdot 10 - 50 = -\frac{1000}{3} + 400 + 200 - 50 = 216\frac{2}{3} \approx 216{,}67\).

a) Nachweis über \(K'(x) = x^2 - 8x + 20\), welche keine reellen Nullstellen hat (\(D = -16\)). Wirtschaftlich sinnvoll, da die Kosten bei Mehrproduktion stets steigen. b) Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 + 20x - 50\). Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(x = 10\) (entspricht \(1\,000\) Stück) erzielt und beträgt \(216\frac{2}{3}\) Tausend Euro (ca. \(216\,666{,}67\,\text{€}\)).

- Wie hängen die Monotonie einer Funktion und das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung zusammen? - Untersuche die Diskriminante der Ableitungsfunktion, um zu prüfen, ob es Punkte mit der Steigung Null gibt. - Achte beim Erlös darauf, den Preis pro Tonne in der gleichen Einheit wie die Kostenfunktion (\(1\,000\,\text{€}\)) anzugeben. - Um den Gewinn zu maximieren, musst du die Stelle finden, an der die Differenz zwischen Erlös und Kosten am größten ist.

1. Erste Ableitung der Kostenfunktion bestimmen: \(K'(x) = \frac{1}{10}x^2 - x + 4\). 2. Untersuchung des Vorzeichens von \(K'(x)\): Die Nullstellen von \(0{,}1x^2 - x + 4 = 0\) werden mit der Mitternachtsformel gesucht. Die Diskriminante ist \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 0{,}1 \cdot 4 = 1 - 1{,}6 = -0{,}6\). Da \(D < 0\) und der Leitkoeffizient \(0{,}1 > 0\) ist, gilt \(K'(x) > 0\) für alle \(x\). Somit ist \(K(x)\) streng monoton steigend. 3. Erlösfunktion aufstellen: Da \(1\) Tonne \(6{,}4\) Tausend Euro einbringt, ist \(E(x) = 6{,}4x\). 4. Gewinnfunktion bilden: \(G(x) = E(x) - K(x) = 6{,}4x - (\frac{1}{30}x^3 - 0{,}5x^2 + 4x + 20) = -\frac{1}{30}x^3 + 0{,}5x^2 + 2{,}4x - 20\). 5. Extremstelle von \(G(x)\) berechnen: \(G'(x) = -0{,}1x^2 + x + 2{,}4\). Nullstellen: \(-0{,}1x^2 + x + 2{,}4 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 10x - 24 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 12\) und \(x_2 = -2\). 6. Relevant ist \(x = 12\). Überprüfung der Art des Extremums: \(G''(x) = -0{,}2x + 1\); \(G''(12) = -2{,}4 + 1 = -1{,}4 < 0\). Es handelt sich um ein lokales Maximum. 7. Maximalen Gewinn berechnen: \(G(12) = -\frac{1}{30} \cdot 12^3 + 0{,}5 \cdot 12^2 + 2{,}4 \cdot 12 - 20 = -57{,}6 + 72 + 28{,}8 - 20 = 23{,}2\).

a) Da \(K'(x) = 0{,}1x^2 - x + 4\) keine reellen Nullstellen hat (\(D = -0{,}6\)) und stets positiv ist, steigt \(K\) streng monoton. b) Der maximale Gewinn wird bei \(x = 12\), also bei einer Produktionsmenge von \(12\,\text{t}\), erreicht. Die Höhe des Gewinns beträgt \(23{,}2\) Tausend Euro (entspricht \(23\,200\,\text{€}\)).

- Wie hängen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung mathematisch über Ableitungen zusammen? - Was bedeutet der Begriff „Momentangeschwindigkeit“ für die Funktion \(s(t)\)? - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für ein Extremum einer Funktion. Was bedeutet das hier für die Geschwindigkeit? - Kannst du die Einheiten der Ergebnisse aus den gegebenen Größen ableiten?

1. Die Geschwindigkeit \(v(t)\) ist die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion: \(v(t) = s'(t) = 0{,}6t^2 - 3t + 4\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit für \(t = 5\): \(v(5) = 0{,}6 \cdot 5^2 - 3 \cdot 5 + 4 = 15 - 15 + 4 = 4\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). 3. Die Beschleunigung \(a(t)\) ist die Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t) = v'(t) = 1{,}2t - 3\). 4. Die Geschwindigkeit ist minimal, wenn ihre Ableitung (die Beschleunigung) null ist: \(1{,}2t - 3 = 0 \implies t = 2{,}5\,\text{s}\). 5. Da \(t = 2{,}5\) die Nullstelle der Beschleunigungsfunktion ist, beträgt die Beschleunigung zu diesem Zeitpunkt \(a(2{,}5) = 0\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\).

a) Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{s}\) beträgt \(4\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). b) Die Geschwindigkeit ist zum Zeitpunkt \(t = 2{,}5\,\text{s}\) minimal; die Beschleunigung beträgt dort \(0\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\).

- Wann ist die Geschwindigkeit eines Objekts gleich Null? - Wie kannst du die Beschleunigung aus der Geschwindigkeitsfunktion herleiten? - Was sagt ein negatives Vorzeichen bei der Beschleunigung über die Änderung der Geschwindigkeit aus? - Stell dir den Graphen der Geschwindigkeitsfunktion vor – was passiert an den Nullstellen mit Vorzeichenwechsel?

1. Bildung der Geschwindigkeitsfunktion: \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 18t + 24\). 2. Stillstand bedeutet \(v(t) = 0\). Lösen der quadratischen Gleichung \(3t^2 - 18t + 24 = 0 \Leftrightarrow t^2 - 6t + 8 = 0\). 3. Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung ergibt \((t-2)(t-4) = 0\), also \(t_1 = 2\,\text{s}\) und \(t_2 = 4\,\text{s}\). 4. Bildung der Beschleunigungsfunktion: \(a(t) = v'(t) = 6t - 18\). 5. Berechnung der Beschleunigungswerte: \(a(2) = 6 \cdot 2 - 18 = -6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\) und \(a(4) = 6 \cdot 4 - 18 = 6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\). 6. Interpretation: Bei \(t = 2\) ist die Beschleunigung negativ, das Objekt kehrt von einer positiven in eine negative Bewegungsrichtung um. Bei \(t = 4\) ist die Beschleunigung positiv, das Objekt kehrt von einer negativen in eine positive Bewegungsrichtung um.

a) Das Objekt steht bei \(t_1 = 2\,\text{s}\) und \(t_2 = 4\,\text{s}\) momentan still. b) Die Beschleunigung beträgt \(a(2) = -6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\) und \(a(4) = 6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\). c) Bei \(t = 2\,\text{s}\) findet ein Wechsel von positiver zu negativer Geschwindigkeit statt (Bremsvorgang/Umkehr), bei \(t = 4\,\text{s}\) ein Wechsel von negativer zu positiver Geschwindigkeit.

- Was ist die notwendige Bedingung für eine waagerechte Tangente? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung feststellen, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt? - Vergiss nicht, die \(y\)-Werte der Punkte zu berechnen, indem du die Stellen in die ursprüngliche Funktion einsetzt.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 9x + 6\) und \(f''(x) = 6x - 9\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\) lösen: \(3(x^2 - 3x + 2) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 3. Hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung prüfen: - Für \(x_1 = 1\): \(f''(1) = 6 \cdot 1 - 9 = -3\). Da \(f''(1) < 0\), liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. - Für \(x_2 = 2\): \(f''(2) = 6 \cdot 2 - 9 = 3\). Da \(f''(2) > 0\), liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 4. Funktionswerte berechnen: - \(f(1) = 1^3 - 4{,}5 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 2 = 4{,}5\). - \(f(2) = 2^3 - 4{,}5 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 + 2 = 8 - 18 + 12 + 2 = 4\). 5. Ergebnis: Hochpunkt \(H(1 \mid 4{,}5)\) und Tiefpunkt \(T(2 \mid 4)\).

Die Funktion hat einen Hochpunkt bei \(H(1 \mid 4{,}5)\) und einen Tiefpunkt bei \(T(2 \mid 4)\).

- Wie findet man Stellen, an denen der Graph eine waagerechte Tangente besitzt? - Welche Kriterien kennst du, um zu entscheiden, ob an einer solchen Stelle ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt vorliegt? - Was bedeutet es für den Graphen der Ableitungsfunktion, wenn an einer Stelle ein Extremum vorliegt? - Denke daran, dass eine Nullstelle der zweiten Ableitung allein noch nicht ausreicht, um die Art eines Punktes festzulegen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen: \(f'(x) = 0 \implies x^2(x - 3) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Überprüfung der Art der Stellen: - Für \(x_2 = 3\) gilt \(f''(3) = 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 = 27 - 18 = 9 > 0\). Es liegt ein lokales Minimum vor. Der Funktionswert ist \(f(3) = \frac{1}{4} \cdot 3^4 - 3^3 + 2 = \frac{81}{4} - 27 + 2 = 20{,}25 - 25 = -4{,}75\). Der Tiefpunkt ist \(T(3 | -4{,}75)\). - Für \(x_1 = 0\) gilt \(f''(0) = 0\). Das Vorzeichenwechselkriterium für \(f'\) zeigt: Für \(x < 0\) (z. B. \(x = -1\)) ist \(f'(-1) = -4 < 0\). Für \(0 < x < 3\) (z. B. \(x = 1\)) ist \(f'(1) = -2 < 0\). Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, ist \(x_1 = 0\) kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt \(S(0 | 2)\).

Die Funktion besitzt nur ein lokales Extremum: einen Tiefpunkt bei \(T(3 | -4{,}75)\). An der Stelle \(x = 0\) liegt ein Sattelpunkt \(S(0 | 2)\) vor, da die erste Ableitung dort zwar null ist, aber ihr Vorzeichen nicht wechselt.

- Prüfe, ob die Quotientenregel richtig angewendet wurde. - Schau dir die Umformung des Funktionsterms genau an. Ist sie mathematisch zulässig? - Achte beim Lösen von Gleichungen der Form \(u^2 = a\) darauf, wie viele Lösungen möglich sind. - Kontrolliere, ob alle gefundenen Werte im Definitionsbereich der Funktion liegen.

1. Analyse von Jonas' Lösung: Jonas verwendet die Quotientenregel korrekt. Die Ableitung \(f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}\) ist richtig. Die Nullstellen des Zählers führen zu \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Da beide Werte im Definitionsbereich \(D_f\) liegen, sind dies die korrekten Stellen für mögliche Extrema. 2. Analyse von Sarahs Lösung: Sarah formt den Funktionsterm durch Polynomdivision bzw. geschicktes Ergänzen korrekt um. Auch ihre Ableitung \(f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 1)^2}\) ist mathematisch richtig. Bei der Lösung der Gleichung \((x - 1)^2 = 1\) vergisst sie jedoch die negative Wurzel: \(x - 1 = -1\) führt zu \(x = 0\). 3. Ergebnis: Jonas' Lösungsweg und Ergebnis sind vollständig und korrekt. Sarahs Lösungsweg ist elegant, aber ihr Ergebnis ist unvollständig, da sie eine Lösung der quadratischen Gleichung übersehen hat.

Jonas hat die Aufgabe vollständig und korrekt gelöst. Sarah hat zwar einen korrekten Rechenweg über eine Termumformung gewählt, aber beim Lösen der Gleichung \((x - 1)^2 = 1\) die zweite Lösung \(x = 0\) übersehen. Beide Stellen, \(x = 0\) und \(x = 2\), sind mögliche Extremstellen.

- Was bedeutet die geometrische Bedingung „waagerechte Tangente“ für die Ableitung der Funktion? - Unterscheide klar zwischen den Nullstellen einer Funktion \(g(x)\) und den Nullstellen ihrer Ableitung \(g'(x)\). - Nutze die Quotientenregel, um die Steigungsfunktion zu bestimmen. - Wann genau ist ein Bruchterm gleich null?

1. Berechnung der Ableitung mit der Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{2x \cdot (x^2 + 1) - (x^2 - 4) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}\). 2. Vereinfachung des Zählers: \(2x^3 + 2x - (2x^3 - 8x) = 2x^3 + 2x - 2x^3 + 8x = 10x\). 3. Aufstellen der Bedingung für waagerechte Tangenten: \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{10x}{(x^2 + 1)^2} = 0\). 4. Lösung der Gleichung: Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist. \(10x = 0 \Rightarrow x = 0\). 5. Beurteilung der Behauptung: Die Nullstellen der Funktion (\(x = \pm 2\)) sind nicht identisch mit den Stellen waagerechter Tangenten. Die Behauptung des Schülers ist falsch, da er die Nullstellen der Funktion mit den Nullstellen der Ableitung verwechselt hat. Nur an der Stelle \(x = 0\) liegt eine waagerechte Tangente vor.

Die Behauptung ist falsch. Waagerechte Tangenten liegen nur an den Stellen vor, an denen die Ableitung null ist. Die Berechnung ergibt \(g'(x) = \frac{10x}{(x^2 + 1)^2}\). Die einzige Stelle mit waagerechter Tangente ist somit \(x = 0\). Die Stellen \(x = 2\) und \(x = -2\) sind lediglich die Nullstellen der Funktion selbst, an denen die Steigung jedoch \(g'(2) = 0{,}8\) bzw. \(g'(-2) = -0{,}8\) beträgt.

- Was musst du beim Ableiten eines Bruchs beachten? - Wie findest du die Stellen, an denen die Steigung der Tangente null ist? - Hast du daran gedacht, auch die y-Koordinaten der Punkte zu berechnen? - Welches Kriterium hilft dir zu entscheiden, ob ein Berg oder ein Tal vorliegt?

1. Bestimmung der ersten Ableitung mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{(2x+2) \cdot (x+1) - (x^2+2x+10) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) liefert die Gleichung \(x^2+2x-8 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\). 3. Berechnung der zugehörigen Funktionswerte: \(f(2) = \frac{2^2+2\cdot 2+10}{2+1} = 6\) und \(f(-4) = \frac{(-4)^2+2\cdot(-4)+10}{-4+1} = -6\). 4. Überprüfung der Art mithilfe der zweiten Ableitung \(f''(x) = \frac{18}{(x+1)^3}\). 5. \(f''(2) = \frac{18}{27} > 0\), daraus folgt ein lokales Minimum bei \(TP(2|6)\). 6. \(f''(-4) = \frac{18}{-27} < 0\), daraus folgt ein lokales Maximum bei \(HP(-4|-6)\).

Der Graph der Funktion \(f\) besitzt einen Tiefpunkt bei \(TP(2|6)\) und einen Hochpunkt bei \(HP(-4|-6)\).

- Was weißt du über die Steigung einer Geraden, die parallel zur \(x\)-Achse liegt? - Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Ableitung zusammen? - Welches Verfahren kennst du, um Nullstellen von Ausdrücken wie \(x^3 - 4x\) zu finden? - Wie kannst du sicherstellen, ob eine Stelle mit waagerechter Tangente wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt ist?

1. Da die Tangente an einem Extrempunkt waagerecht verläuft, muss ihre Steigung null sein. Da die erste Ableitung \(f'(x)\) die Tangentensteigung an der Stelle \(x\) angibt, folgt daraus die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\). 2. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 3. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen: \(x^3 - 4x = 0 \iff x(x^2 - 4) = 0\). Daraus ergeben sich die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(f''(x) = 3x^2 - 4\): - \(f''(0) = -4 < 0 \implies\) lokales Maximum bei \(x_1 = 0\). Funktionswert: \(f(0) = 3\). Hochpunkt \(H(0 \mid 3)\). - \(f''(2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0 \implies\) lokales Minimum bei \(x_2 = 2\). Funktionswert: \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\). Tiefpunkt \(T_1(2 \mid -1)\). - \(f''(-2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0 \implies\) lokales Minimum bei \(x_3 = -2\). Funktionswert: \(f(-2) = -1\). Tiefpunkt \(T_2(-2 \mid -1)\).

a) Da die Tangente waagerecht ist, muss die Steigung \(0\) sein, also gilt \(f'(x) = 0\). b) Die Stellen mit waagerechter Tangente sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). c) Die Extrempunkte sind \(H(0 \mid 3)\), \(T_1(2 \mid -1)\) und \(T_2(-2 \mid -1)\).

- Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie viele Nullstellen kann eine Funktion dritten Grades maximal haben? - Überlege, wie du die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen kannst. Hilft Ausklammern? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Vorzeichenwechsel der Ableitung und der Anzahl der Extrempunkte.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 8x^3 - 12x^2 - 18x\). 2. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung (\(f'(x) = 0\)): Ausklammern von \(2x\) ergibt \(2x \cdot (4x^2 - 6x - 9) = 0\). Die erste Nullstelle ist \(x_1 = 0\). 3. Untersuchung des quadratischen Terms \(4x^2 - 6x - 9 = 0\): Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Mitternachtsformel. Die Diskriminante \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 36 + 144 = 180\). Da \(D > 0\), existieren zwei weitere, voneinander verschiedene reelle Nullstellen \(x_2\) und \(x_3\). 4. Da \(f'(x)\) eine Polynomfunktion dritten Grades mit drei einfachen (verschiedenen) Nullstellen ist, findet an jeder dieser Stellen ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) statt. Somit liegen genau drei Extremstellen vor.

Die erste Ableitung \(f'(x) = 8x^3 - 12x^2 - 18x\) hat die drei verschiedenen Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{4}\) und \(x_3 = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{4}\). Da es sich um eine ganzrationale Funktion handelt und die Ableitung an diesen drei Stellen jeweils das Vorzeichen wechselt (einfache Nullstellen), besitzt \(f\) genau drei Extrempunkte.

- Bestimme zuerst die erste Ableitung der Funktion. - Welche Gleichung musst du lösen, um mögliche Extremstellen zu finden? - Kannst du die resultierende Gleichung durch Ausklammern vereinfachen? - Wie kannst du sicherstellen, dass an den gefundenen Stellen tatsächlich ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt?

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = x^3 - 5x^2 + 6x\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen \(g'(x) = 0\) anwenden: \(x^3 - 5x^2 + 6x = x(x^2 - 5x + 6) = 0\). Daraus folgt \(x_1 = 0\) oder \(x^2 - 5x + 6 = 0\). 3. Nullstellen des quadratischen Terms bestimmen: \(x_{2,3} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 6} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5\). Dies ergibt \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(g''(x) = 3x^2 - 10x + 6\): \(g''(0) = 6 > 0\) (lokales Minimum), \(g''(2) = 3 \cdot 4 - 20 + 6 = -2 < 0\) (lokales Maximum), \(g''(3) = 3 \cdot 9 - 30 + 6 = 3 > 0\) (lokales Minimum). Da an allen drei Stellen die hinreichende Bedingung für Extrema (\(g'(x)=0\) und \(g''(x) \neq 0\)) erfüllt ist, gibt es genau drei Extremstellen.

Die Ableitung \(g'(x) = x(x-2)(x-3)\) besitzt die drei einfachen Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). Da die zweite Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist (\(g''(0)=6\), \(g''(2)=-2\), \(g''(3)=3\)), liegen drei lokale Extremstellen vor.

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du zeigen, dass ein Term wie \(x^2 + x + 1\) niemals null wird? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von der gefundenen Nullstelle. - Vergiss nicht, am Ende den Funktionswert zu berechnen, um den Punkt anzugeben.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 4x^3 + 4x^2 + 4x\). 2. Ausklammern ergibt \(f'(x) = 4x(x^2 + x + 1)\). 3. Untersuchung der Nullstellen von \(f'\): Der Faktor \(x^2 + x + 1\) hat keine reellen Nullstellen, da die Diskriminante \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3\) negativ ist. Somit ist \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f'\). 4. Da \(f'(x)\) an der Stelle \(x = 0\) das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt (da \(x^2+x+1\) stets positiv ist), liegt dort ein lokales Minimum vor. Da dies die einzige Nullstelle mit Vorzeichenwechsel ist, existiert genau ein Extrempunkt. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(0) = 0^4 + \frac{4}{3} \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 7 = 7\). Der Extrempunkt liegt bei \(E(0 \mid 7)\).

Der Graph hat genau einen Extrempunkt bei \(E(0 \mid 7)\).

- Was muss für die Steigung an einem Hoch- oder Tiefpunkt gelten? - Wie findet man die Nullstellen einer Funktion dritten Grades, wenn man \(x\) ausklammern kann? - Überlege dir, ob der Graph nach oben oder nach unten geöffnet ist, indem du sehr große Werte für \(x\) einsetzt. - Vergleiche die \(y\)-Werte der gefundenen Stellen untereinander – welcher Punkt liegt höher, welcher tiefer?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = 2x^3 - 8x\). 2. Notwendiges Kriterium \(f'(x) = 0\) anwenden: \(2x(x^2 - 4) = 0\) liefert die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Funktionswerte an diesen Stellen berechnen: \(f(0) = 6\), \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 16 - 4 \cdot 4 + 6 = -2\) und \(f(-2) = \frac{1}{2} \cdot 16 - 4 \cdot 4 + 6 = -2\). 4. Klassifizierung: Da der Koeffizient von \(x^4\) positiv ist, strebt die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\). Da \(f(2)\) und \(f(-2)\) kleiner sind als \(f(0)\), müssen bei \(x = \pm 2\) Tiefpunkte und bei \(x = 0\) ein Hochpunkt vorliegen. 5. Extrempunkte angeben: \(H(0|6)\), \(T_1(2|-2)\) und \(T_2(-2|-2)\).

Die Extrempunkte sind \(H(0|6)\), \(T_1(2|-2)\) und \(T_2(-2|-2)\).

- Schreibe den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten um, um die Ableitungsregeln leichter anzuwenden. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, die Variable aus dem Nenner zu eliminieren. - Überlege dir gut, was ein positives Ergebnis der zweiten Ableitung über die Krümmung und damit die Art des Extrempunktes aussagt.

1. Ableitungen berechnen: \(f(x) = x^2 + 16x^{-1}\), also \(f'(x) = 2x - 16x^{-2} = 2x - \frac{16}{x^2}\) und \(f''(x) = 2 + 32x^{-3} = 2 + \frac{32}{x^3}\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) lösen: \(2x - \frac{16}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x = \frac{16}{x^2} \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''(2) = 2 + \frac{32}{2^3} = 2 + 4 = 6 > 0\). Da die zweite Ableitung positiv ist, liegt ein lokales Minimum vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(2) = 2^2 + \frac{16}{2} = 4 + 8 = 12\).

Die Funktion besitzt einen lokalen Tiefpunkt bei \(T(2 | 12)\).

- Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Extremstelle erfüllen? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt zu unterscheiden? - Denk daran, am Ende die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu berechnen, indem du die Stellen in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzt. - Kannst du beim Lösen der Gleichung \(f'(x) = 0\) einen Faktor ausklammern?

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2x\) und \(f''(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) lösen: \(\frac{1}{2}x(x^2 - 4) = 0\) liefert die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Hinreichendes Kriterium prüfen: - \(f''(0) = -2 < 0 \Rightarrow\) relatives Maximum (Hochpunkt). - \(f''(2) = \frac{3}{2} \cdot 4 - 2 = 4 > 0 \Rightarrow\) relatives Minimum (Tiefpunkt). - \(f''(-2) = \frac{3}{2} \cdot 4 - 2 = 4 > 0 \Rightarrow\) relatives Minimum (Tiefpunkt). 4. Funktionswerte berechnen: \(f(0) = 3\), \(f(2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 4 + 3 = 1\) und \(f(-2) = 1\). Die lokalen Extrempunkte sind \(H(0|3)\), \(T_1(2|1)\) und \(T_2(-2|1)\).

Die Funktion besitzt einen Hochpunkt bei \(H(0|3)\) sowie zwei Tiefpunkte bei \(T_1(2|1)\) und \(T_2(-2|1)\).

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung oder eines Vorzeichenwechselkriteriums entscheiden, ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt? - Kannst du beim Lösen der Gleichung \(f'(x) = 0\) einen Faktor ausklammern?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 3x^2 - 6x + 2\). 4. Hinreichende Bedingung prüfen: - \(f''(0) = 2 > 0 \implies\) Lokales Minimum an der Stelle \(x = 0\). - \(f''(1) = 3 - 6 + 2 = -1 < 0 \implies\) Lokales Maximum an der Stelle \(x = 1\). - \(f''(2) = 12 - 12 + 2 = 2 > 0 \implies\) Lokales Minimum an der Stelle \(x = 2\).

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei \(x = 0\), ein lokales Maximum bei \(x = 1\) und ein weiteres lokales Minimum bei \(x = 2\).

- Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Extremstellen zusammen? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung prüfen, ob ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt vorliegt? - Vergiss nicht, am Ende die \(y\)-Werte zu berechnen, um die vollständigen Punkte anzugeben.

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung: \(f'(x) = x^2 - x - 2\) und \(f''(x) = 2x - 1\). 2. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\)): Die Gleichung \(x^2 - x - 2 = 0\) liefert mit der \(p\)-\(q\)-Formel die Lösungen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 3. Klassifizierung mithilfe der zweiten Ableitung (hinreichende Bedingung): - Für \(x_1 = -1\): \(f''(-1) = 2 \cdot (-1) - 1 = -3 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum vor. - Für \(x_2 = 2\): \(f''(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3 > 0\). Es liegt ein lokales Minimum vor. 4. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: - \(f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 - 2(-1) + 4 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 + 4 = \frac{31}{6} = 5\frac{1}{6}\). - \(f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) + 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 + 4 = \frac{2}{3}\). 5. Ergebnis: Hochpunkt \(H\left(-1 \mid \frac{31}{6}\right)\) und Tiefpunkt \(T\left(2 \mid \frac{2}{3}\right)\).

Hochpunkt \(H\left(-1 \mid \frac{31}{6}\right)\) (oder ca. \(H(-1 \mid 5{,}17)\)), Tiefpunkt \(T\left(2 \mid \frac{2}{3}\right)\) (oder ca. \(T(2 \mid 0{,}67)\)).

- Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit den Extrempunkten zusammen? - Was bedeutet es für die Art der Stelle, wenn die erste Ableitung dort eine doppelte Nullstelle hat? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der ersten Ableitung und dem Monotonieverhalten? - Prüfe genau, ob jede Stelle mit Steigung Null auch wirklich ein Extrempunkt sein muss.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 2x^3 - 12x^2 + 18x\) und \(f''(x) = 6x^2 - 24x + 18\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\): \(2x(x^2 - 6x + 9) = 0 \Leftrightarrow 2x(x-3)^2 = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Art der Extremstellen prüfen: \(f''(0) = 18 > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum (Tiefpunkt). \(f''(3) = 6 \cdot 9 - 24 \cdot 3 + 18 = 54 - 72 + 18 = 0\). Da \(f'(x)\) bei \(x = 3\) das Vorzeichen nicht wechselt (wegen des Quadrats in der faktorisierten Form), liegt bei \(x = 3\) ein Sattelpunkt und kein Extrempunkt vor. 4. Koordinaten berechnen: \(f(0) = 0 \Rightarrow \text{TP}(0|0)\). Für den Sattelpunkt (kein Extrempunkt) gilt \(f(3) = 0{,}5 \cdot 81 - 4 \cdot 27 + 9 \cdot 9 = 13{,}5\). 5. Monotonieverhalten: Da \(f'(x) < 0\) für \(x < 0\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > 0\) (mit \(f'(3)=0\)), ist die Funktion im Intervall \((-\infty; 0]\) streng monoton fallend.

a) Der Graph besitzt nur einen lokalen Extrempunkt: einen Tiefpunkt bei \(\text{TP}(0|0)\). Bei \(x = 3\) liegt ein Sattelpunkt \((3|13{,}5)\) vor. b) Die Funktion ist im Intervall \((-\infty; 0]\) streng monoton fallend.

- Überlege dir, ob der kleinste Abstand bei einem Minimum oder einem Maximum der Funktion liegt, wenn alle Werte negativ sind. - Untersuche alle Stellen mit waagerechter Tangente genau. Handelt es sich immer um einen Hoch- oder Tiefpunkt? - Wie verhält sich die Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = -x^3 + 3x^2\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\) anwenden: \(-x^2(x - 3) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Art der Stellen untersuchen: \(f''(x) = -3x^2 + 6x\). \(f''(3) = -27 + 18 = -9 < 0\), also liegt bei \(x = 3\) ein lokales Maximum vor. Bei \(x = 0\) liegt wegen \(f''(0) = 0\) und fehlendem Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) ein Sattelpunkt vor. 4. Da der Graph für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, ist das lokale Maximum bei \(x = 3\) das globale Maximum. 5. Da alle Funktionswerte negativ sind, ist der Abstand zum Nullniveau dort am geringsten, wo der Funktionswert am größten (am wenigsten negativ) ist. 6. Funktionswert berechnen: \(f(3) = -\frac{1}{4} \cdot 3^4 + 3^3 - 10 = -20{,}25 + 27 - 10 = -3{,}25\).

\(P(3|-3{,}25)\)

- Ein Gleichgewichtsbestand liegt vor, wenn sich der Bestand von einem Jahr zum nächsten nicht ändert. - Formuliere den natürlichen Zuwachs als Funktion des Bestands. - Bestimme das Maximum dieser quadratischen Funktion. - Vergleiche die feste Entnahme mit dem maximal möglichen natürlichen Zuwachs.

1. In einem Gleichgewicht gilt \(B_{n+1}=B_n\). Daher muss die Entnahme dem natürlichen Zuwachs entsprechen: \(A = Z(B) = 0{,}12B\left(1-\frac{B}{12\,500}\right)\). 2. Die Ableitung der Zuwachsfunktion lautet \(Z'(B) = 0{,}12 - \frac{0{,}24}{12\,500}B\). Aus \(Z'(B)=0\) folgt \(B=6250\). Da \(Z\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, liegt dort das Maximum. 3. Der maximale Zuwachs beträgt \(Z(6250) = 0{,}12 \cdot 6250 \cdot \left(1-\frac{6250}{12\,500}\right) = 375\). Damit ist \(A_{\max}=375\). Bei \(A>375\) existiert kein positiver Gleichgewichtsbestand mehr.

Die maximale feste Entnahmemenge beträgt \(A_{\max}=375\) Bäume pro Jahr. Bei \(A=375\) liegt der zugehörige Gleichgewichtsbestand bei \(6250\) Bäumen.

- Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines lokalen Extrempunkts erfüllt sein? - Kannst du einen Faktor aus der Ableitungsfunktion ausklammern, um den Grad der Gleichung zu reduzieren? - Wenn du eine Gleichung der Form \(x^4 + ax^2 + b = 0\) erhältst, welches Verfahren hilft dir hier weiter? - Denke daran, alle gefundenen Stellen mit der zweiten Ableitung auf ihre Art (Maximum oder Minimum) zu untersuchen.

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = x^5 - 6x^3 + 8x\). 2. Notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\): \(x(x^4 - 6x^2 + 8) = 0\). 3. Erste Lösung: \(x_1 = 0\). 4. Biquadratische Gleichung lösen: \(x^4 - 6x^2 + 8 = 0\). Substitution \(z = x^2\) ergibt \(z^2 - 6z + 8 = 0\). 5. Lösungen für \(z\) via \(p-q\)-Formel: \(z_2 = 4\) und \(z_3 = 2\). 6. Resubstitution ergibt weitere Stellen: \(x_{2,3} = \pm 2\) und \(x_{4,5} = \pm \sqrt{2}\). 7. Zweite Ableitung bilden: \(g''(x) = 5x^4 - 18x^2 + 8\). 8. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g''(0) = 8 > 0 \Rightarrow\) Minimum bei \(x = 0\). \(g''(\pm 2) = 5 \cdot 16 - 18 \cdot 4 + 8 = 16 > 0 \Rightarrow\) Minima bei \(x = \pm 2\). \(g''(\pm \sqrt{2}) = 5 \cdot 4 - 18 \cdot 2 + 8 = -8 < 0 \Rightarrow\) Maxima bei \(x = \pm \sqrt{2}\).

Lokale Minima befinden sich bei \(x = 0\), \(x = 2\) und \(x = -2\). Lokale Maxima befinden sich bei \(x = \sqrt{2}\) und \(x = -\sqrt{2}\).

- Welche Gleichung musst du lösen, um potenzielle Extremstellen zu finden? - Kannst du beim Lösen der Gleichung einen Faktor ausklammern? - Wenn die zweite Ableitung an einer Stelle \(0\) ergibt, was bedeutet das für die Untersuchung? - Wie verhält sich die Steigung kurz vor und kurz nach einer Stelle, an der sie \(0\) ist?

1. Erste Ableitung berechnen: \(g'(x) = -\frac{1}{4}x^4 + x^2\). 2. Notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\) anwenden: \(-\frac{1}{4}x^4 + x^2 = 0 \iff x^2(-\frac{1}{4}x^2 + 1) = 0\). Dies liefert die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Zweite Ableitung berechnen: \(g''(x) = -x^3 + 2x\). 4. Überprüfung der Stellen: - \(g''(2) = -8 + 4 = -4 < 0 \implies\) lokales Maximum. Funktionswert: \(g(2) = -\frac{32}{20} + \frac{8}{3} = -1{,}6 + 2{,}66\dots = \frac{16}{15}\). Hochpunkt \(H(2 \mid \frac{16}{15})\). - \(g''(-2) = 8 - 4 = 4 > 0 \implies\) lokales Minimum. Funktionswert: \(g(-2) = \frac{32}{20} - \frac{8}{3} = -\frac{16}{15}\). Tiefpunkt \(T(-2 \mid -\frac{16}{15})\). - \(g''(0) = 0\). Untersuchung des Vorzeichenwechsels von \(g'(x)\) an der Stelle \(x=0\): Da \(g'(x) = x^2(1 - \frac{1}{4}x^2)\) für kleine Werte von \(x\) (nahe \(0\)) stets positiv ist (Quadrat mal positiver Klammer), findet kein Vorzeichenwechsel statt. Somit liegt bei \(S(0 \mid 0)\) ein Sattelpunkt vor.

a) Die Ableitung ist \(g'(x) = -\frac{1}{4}x^4 + x^2\). Die potenziellen Extremstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). b) Die Extrempunkte sind \(H(2 \mid \frac{16}{15})\) und \(T(-2 \mid -\frac{16}{15})\). An der Stelle \(x=0\) liegt der Sattelpunkt \(S(0 \mid 0)\) vor.

- Leite die Funktion mithilfe der Potenzregel ab. Denke daran, dass \(\frac{1}{x} = x^{-1}\) ist. - Setze die Ableitung gleich null und löse die Gleichung nach \(x\) auf. - Überlege dir, warum es im Bereich \(x < 0\) keine Lösung für die Gleichung geben kann. - Wie verhält sich die Steigung der Funktion im positiven Bereich?

1. Bildung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = \frac{2}{3}x - 18x^{-2} = \frac{2}{3}x - \frac{18}{x^2}\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'\): \(\frac{2}{3}x - \frac{18}{x^2} = 0 \iff \frac{2}{3}x = \frac{18}{x^2} \iff x^3 = 27 \iff x = 3\). 3. Begründung der Einzigartigkeit: Für \(x < 0\) sind sowohl \(\frac{2}{3}x\) als auch \(-\frac{18}{x^2}\) negativ, sodass \(f'(x) < 0\) gilt und keine Nullstellen vorliegen. Für \(x > 0\) ist die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{2}{3} + \frac{36}{x^3}\) stets positiv. Damit ist \(f'\) für \(x > 0\) streng monoton steigend und besitzt dort höchstens eine (und hier genau eine) Nullstelle. 4. Nachweis der Extremstelle: Da \(f'(x)\) bei \(x = 3\) das Vorzeichen wechselt (oder wegen \(f''(3) > 0\)), liegt ein lokales Minimum vor. Die einzige Extremstelle ist somit \(x = 3\).

Die einzige Extremstelle der Funktion ist \(x = 3\).

- Schreibe den Bruchterm zuerst als Potenz mit negativem Exponenten um, um das Ableiten zu erleichtern. - Erinnerst du dich an das hinreichende Kriterium für Extremstellen? - Überprüfe, ob die Ableitung an der fraglichen Stelle tatsächlich Null ergibt. - Was bedeutet eine positive zweite Ableitung für die Form des Graphen?

1. Bestimmung der ersten Ableitung unter Verwendung der Potenzregel (\(\frac{4}{x^2} = 4x^{-2}\)): \(f'(x) = 1 - 8x^{-3} = 1 - \frac{8}{x^3}\). 2. Nachweis der horizontalen Tangente an der Stelle \(x = 2\): \(f'(2) = 1 - \frac{8}{2^3} = 1 - \frac{8}{8} = 0\). 3. Bestimmung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = 24x^{-4} = \frac{24}{x^4}\). 4. Prüfung des Krümmungsverhaltens: \(f''(2) = \frac{24}{2^4} = \frac{24}{16} = 1{,}5\). 5. Aus \(f'(2) = 0\) und \(f''(2) = 1{,}5 > 0\) folgt, dass an der Stelle \(x = 2\) ein lokaler Tiefpunkt (Minimum) existiert.

An der Stelle \(x = 2\) ist die notwendige Bedingung für ein Extremum erfüllt, da \(f'(2) = 1 - \frac{8}{2^3} = 0\) gilt. Da die zweite Ableitung an dieser Stelle mit \(f''(2) = 1{,}5\) positiv ist, ist das Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt.

- Bei Funktionen höheren Grades hilft oft das Faktorisieren der Ableitung, um Nullstellen zu finden. - Gibt es einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst, nachdem du eine Nullstelle gefunden hast? - Achte auf die Vorzeichen beim Einsetzen der \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktion. - Ein Vorzeichenwechselkriterium wäre eine Alternative zur zweiten Ableitung.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x - 4\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\): Durch Raten einer Nullstelle (\(x=2\)) oder Ausklammern (\(x^2(x-3) - 4(x-3) = 0\)) erhält man \((x^2 - 4)(x - 3) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: - \(f''(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 4 = 12 + 12 - 4 = 20 > 0 \implies\) Tiefpunkt. - \(f''(2) = 3(2)^2 - 6(2) - 4 = 12 - 12 - 4 = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt. - \(f''(3) = 3(3)^2 - 6(3) - 4 = 27 - 18 - 4 = 5 > 0 \implies\) Tiefpunkt. 4. Funktionswerte berechnen: - \(f(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - (-2)^3 - 2(-2)^2 + 12(-2) = 4 + 8 - 8 - 24 = -20\). - \(f(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - 2^3 - 2(2)^2 + 12(2) = 4 - 8 - 8 + 24 = 12\). - \(f(3) = \frac{1}{4}(3)^4 - 3^3 - 2(3)^2 + 12(3) = 20{,}25 - 27 - 18 + 36 = 11{,}25\). 5. Ergebnis: Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -20)\) und \(T_2(3 \mid 11{,}25)\), Hochpunkt \(H(2 \mid 12)\).

Tiefpunkte: \(T_1(-2 \mid -20)\) und \(T_2(3 \mid 11{,}25)\) (oder \(T_2(3 \mid \frac{45}{4})\)) Hochpunkt: \(H(2 \mid 12)\)

- Was bedeutet es für die Art der Stelle, wenn eine Nullstelle der Ableitung eine gerade oder ungerade Vielfachheit hat? - Untersuche das Verhalten der Steigung links und rechts von deinen berechneten Stellen. - Ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt) zählt nicht zu den Extrempunkten.

1. Erste Ableitung berechnen: \(f'(x) = x^5 - 2x^4 + x^3\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen: \(x^3(x^2 - 2x + 1) = 0 \implies x^3(x-1)^2 = 0\). Dies ergibt die stationären Stellen \(x_1 = 0\) (dreifache Nullstelle) und \(x_2 = 1\) (doppelte Nullstelle). 3. Art der Stellen untersuchen (Vorzeichenwechselkriterium von \(f'\)): - Bei \(x_1 = 0\) liegt eine Nullstelle mit ungerader Vielfachheit vor. Da \(f'(-1) = -1 - 2 - 1 = -4 < 0\) und \(f'(0{,}5) = 0{,}5^3(0{,}5-1)^2 > 0\), findet ein Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) statt. Es liegt ein lokales Minimum vor. - Bei \(x_2 = 1\) liegt eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit vor. Da \(f'(0{,}5) > 0\) und \(f'(2) = 2^3(1)^2 = 8 > 0\), findet kein Vorzeichenwechsel statt. Es handelt sich um einen Sattelpunkt, nicht um einen Extrempunkt. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(0) = 1\).

Der einzige lokale Extrempunkt ist der Tiefpunkt \(T(0 \mid 1)\).

- Notiere alle Bedingungen, die aus den Koordinaten und den Eigenschaften der Extrempunkte folgen. - Verwende für Extremstellen die erste Ableitung und überprüfe die Art der Extrempunkte anschließend mit der zweiten Ableitung. - Wenn mehr Bedingungen als Unbekannte vorliegen, bestimme zuerst die Funktion aus einem unabhängigen Teilsystem und prüfe danach die verbleibende Bedingung. - Ein Widerspruch bei der letzten Bedingung zeigt, dass keine Funktion mit allen geforderten Eigenschaften existiert.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Aus den Punkt- und Extremstellenbedingungen folgen: \(f(0) = 4 \Rightarrow d = 4\) \(f'(0) = 0 \Rightarrow c = 0\) \(f(2) = 0 \Rightarrow 8a + 4b = -4 \Rightarrow 2a + b = -1\) \(f'(2) = 0 \Rightarrow 12a + 4b = 0 \Rightarrow 3a + b = 0\) 3. Aus \(3a + b = 0\) folgt \(b = -3a\). Einsetzen in \(2a + b = -1\) ergibt \(a = 1\) und damit \(b = -3\). Somit erhält man \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\). 4. Die Art der Extrempunkte stimmt: \(f''(x) = 6x - 6\), also \(f''(0) = -6 < 0\) und \(f''(2) = 6 > 0\). Daher liegt bei \(x=0\) ein Hochpunkt und bei \(x=2\) ein Tiefpunkt vor. 5. Für die Zusatzbedingung gilt jedoch \(f(1) = 1 - 3 + 4 = 2\). Da \(2 \neq 3\), verläuft diese Funktion nicht durch \(P(1|3)\). Die Bedingungen sind daher insgesamt unvereinbar.

Es existiert keine solche Funktion, da die Extrempunktbedingungen eindeutig zu \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) führen, für diese Funktion aber \(f(1) = 2 \neq 3\) gilt.