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- Welche notwendigen Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einem Terrassenpunkt erfüllt sein? - Wie hängen die Nullstellen der Ableitungsfunktion mit der Anzahl der Extrempunkte zusammen? - Erinnere dich an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung, um die Anzahl der Nullstellen zu bestimmen.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f_t'(x) = x^2 + 2tx + 9\) und \(f_t''(x) = 2x + 2t\). 2. Bedingung für einen Terrassenpunkt: \(f_t'(x) = 0\) und \(f_t''(x) = 0\). Aus \(f_t''(x) = 2x + 2t = 0\) folgt \(x = -t\). 3. Einsetzen in die erste Ableitung: \(f_t'(-t) = (-t)^2 + 2t(-t) + 9 = -t^2 + 9 = 0\). Dies liefert für \(t > 0\) den Wert \(t = 3\). 4. Koordinaten berechnen: Für \(t = 3\) liegt die Stelle bei \(x = -3\). Der Funktionswert ist \(f_3(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + 3(-3)^2 + 9(-3) = -9 + 27 - 27 = -9\). Der Terrassenpunkt lautet \((-3 \mid -9)\). 5. Existenz von zwei Extrempunkten: Die Ableitungsfunktion \(f_t'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Zwei lokale Extrempunkte existieren genau dann, wenn \(f_t'(x) = 0\) zwei verschiedene reelle Lösungen besitzt, also wenn die Diskriminante \(D = (2t)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4t^2 - 36\) positiv ist. 6. \(4t^2 - 36 > 0 \iff t^2 > 9 \iff |t| > 3\). Die Funktion besitzt für \(t < -3\) oder \(t > 3\) zwei lokale Extrempunkte.

a) \(t = 3\); Terrassenpunkt \((-3 \mid -9)\) b) Für \(|t| > 3\) (bzw. \(t < -3\) oder \(t > 3\))

- Wie findet man bei einer quadratischen Funktion den tiefsten Punkt? - Wann hat eine nach oben geöffnete Parabel genau einen Kontaktpunkt mit der \(x\)-Achse? - Überlege dir, wie die Lage des Scheitelpunktes mit der Anzahl der Nullstellen zusammenhängt. - Was müsste passieren, damit der Parameter in der Funktionsgleichung keine Rolle mehr spielt?

1. Berechnung der Ableitung: \(f_a'(x) = 2x - 2a\). Nullsetzen der Ableitung liefert die Extremstelle \(x_S = a\). 2. Bestimmung der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes: \(f_a(a) = a^2 - 2a^2 + a = -a^2 + a\). Der Scheitelpunkt ist \(S(a \mid -a^2 + a)\). 3. Bedingung für das Berühren der \(x\)-Achse: Das globale Minimum (der Scheitelpunkt) muss auf der \(x\)-Achse liegen, also \(-a^2 + a = 0\). Aus \(a(1 - a) = 0\) folgen die Werte \(a_1 = 0\) und \(a_2 = 1\). 4. Bedingung für keine Nullstellen: Da die Parabeln nach oben geöffnet sind, hat die Funktion keine Nullstellen, wenn die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes positiv ist: \(-a^2 + a > 0\). Dies ist für \(0 < a < 1\) erfüllt (nach unten geöffnete Parabel in \(a\) mit Nullstellen bei \(0\) und \(1\)). 5. Suche nach einem gemeinsamen Punkt: Der Funktionsterm wird nach \(a\) umgeformt: \(f_a(x) = x^2 + a(1 - 2x)\). Damit der Wert unabhängig von \(a\) ist, muss der Term in der Klammer null sein: \(1 - 2x = 0 \Rightarrow x = 0{,}5\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(f_a(0{,}5) = 0{,}5^2 + a(0) = 0{,}25\). Der gemeinsame Punkt ist \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\).

a) \(S(a \mid -a^2 + a)\) b) \(a = 0\) oder \(a = 1\) c) Für \(0 < a < 1\) d) Der gemeinsame Punkt ist \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\).

- Mit welcher Bedingung lassen sich mögliche Stellen für Extrempunkte berechnen? - Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt von einem bestimmten Ausdruck unter der Wurzel ab. - Überlege dir, wie der Graph der Ableitungsfunktion aussehen muss, damit ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Punkt, an dem die Steigung null ist, aber kein Extremum vorliegt. Wann tritt dieser Fall bei der Untersuchung der Ableitungsnullstellen auf?

1. Ableitung bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 2kx + 3k\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f_k'(x) = 0\) untersuchen: \(3x^2 - 2kx + 3k = 0\). 3. Diskriminante der quadratischen Gleichung aufstellen: \(D = (-2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3k = 4k^2 - 36k\). 4. Analyse der Diskriminante: \(D = 4k(k - 9)\). Die Nullstellen der Diskriminante sind \(k = 0\) und \(k = 9\). 5. Fall \(D > 0\): Für \(k < 0\) oder \(k > 9\) hat die Ableitung zwei einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, somit existieren zwei lokale Extrempunkte. 6. Fall \(D = 0\): Für \(k = 0\) oder \(k = 9\) hat die Ableitung eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, es liegt jeweils ein Sattelpunkt und somit kein Extrempunkt vor. 7. Fall \(D < 0\): Für \(0 < k < 9\) hat die Ableitung keine Nullstellen, es existieren keine Extrempunkte. 8. Ergebnis: Zwei Extrempunkte für \(k \in (-\infty; 0) \cup (9; \infty)\); keine Extrempunkte für \(k \in [0; 9]\); Sattelpunkte für \(k = 0\) und \(k = 9\).

Zwei lokale Extrempunkte für \(k < 0\) oder \(k > 9\). Keine lokalen Extrempunkte für \(0 \le k \le 9\). Ein Sattelpunkt liegt für \(k = 0\) oder \(k = 9\) vor.

- Was bedeutet „waagerechte Tangente“ für die Steigung der Funktion an dieser Stelle? - Wie hängen die Nullstellen der Ableitungsfunktion mit der Anzahl der waagerechten Tangenten zusammen? - Erinnere dich an die Bedingung für die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung (Diskriminante). - Wie berechnet man den zugehörigen \(y\)-Wert, wenn die \(x\)-Stelle bekannt ist?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = x^2 + 2kx + 9\). 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente: \(f_k'(x) = 0\), also \(x^2 + 2kx + 9 = 0\). 3. Damit es genau eine Lösung gibt, muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung null sein: \(D = (2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4k^2 - 36\). 4. Lösen von \(4k^2 - 36 = 0\) ergibt \(k^2 = 9\), also \(k = 3\) oder \(k = -3\). 5. Fall \(k = 3\): Die Gleichung \(x^2 + 6x + 9 = 0\) hat die Lösung \(x = -3\). Der Funktionswert ist \(f_3(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + 3(-3)^2 + 9(-3) + 2 = -9 + 27 - 27 + 2 = -7\). Der Punkt ist \(P_1(-3 | -7)\). 6. Fall \(k = -3\): Die Gleichung \(x^2 - 6x + 9 = 0\) hat die Lösung \(x = 3\). Der Funktionswert ist \(f_{-3}(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 3(3)^2 + 9(3) + 2 = 9 - 27 + 27 + 2 = 11\). Der Punkt ist \(P_2(3 | 11)\).

Die Funktion besitzt für \(k = 3\) und \(k = -3\) genau eine Stelle mit waagerechter Tangente. Die entsprechenden Punkte sind \(P_1(-3 | -7)\) für \(k = 3\) und \(P_2(3 | 11)\) für \(k = -3\).

- Was muss für die Anzahl der Nullstellen der Ableitung gelten, wenn es genau einen stationären Punkt gibt? - Wie kannst du die Art eines stationären Punktes bestimmen, wenn du keinen Vorzeichentest für die Steigung machen möchtest? - Betrachte den Term der Ableitungsfunktion für den gefundenen Parameterwert genau. Kann dieser Term jemals negativ werden?

1. Erste Ableitung bilden: \(g_t'(x) = 3x^2 + 12x + t\). 2. Bedingung für genau einen stationären Punkt: Die quadratische Gleichung \(3x^2 + 12x + t = 0\) muss genau eine Lösung haben. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante \(D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot t = 144 - 12t\) gleich null ist. 3. Lösen nach \(t\): \(144 - 12t = 0 \implies 12t = 144 \implies t = 12\). 4. Für \(t = 12\) lautet die Ableitung \(g_{12}'(x) = 3x^2 + 12x + 12 = 3(x^2 + 4x + 4) = 3(x+2)^2\). 5. Die einzige Nullstelle der Ableitung liegt bei \(x = -2\). Da der Term \(3(x+2)^2\) für alle \(x \neq -2\) positiv ist, findet an der Stelle \(x = -2\) kein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung statt. 6. Ohne Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung liegt keine Extremstelle vor; es handelt sich um einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt).

a) Für \(t = 12\) besitzt die Funktion genau einen stationären Punkt. b) Es handelt sich nicht um eine Extremstelle, sondern um einen Sattelpunkt. Da die Ableitung \(g_{12}'(x) = 3(x+2)^2\) an der Stelle \(x = -2\) eine doppelte Nullstelle hat und somit keinen Vorzeichenwechsel aufweist, ändert sich das Steigungsverhalten der Funktion dort nicht.

- Wie lautet die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei differenzierbaren Funktionen? - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, wenn eine andere Variable als fester Wert vorgegeben ist? - Welches Vorzeichen muss die zweite Ableitung an einer Stelle haben, damit dort ein Maximum vorliegt? - Wie berechnet man den Funktionswert zu einer gegebenen Stelle?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = 2kx - 6\). 2. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(2kx - 6 = 0 \Rightarrow x_E = \frac{3}{k}\). 3. Bestimmung von \(k\) für \(x_E = -1\): \(\frac{3}{k} = -1 \Rightarrow k = -3\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(f_k''(x) = 2k\): Für \(k = -3\) gilt \(f_{-3}''(x) = -6\). Da \(-6 < 0\), liegt an der Stelle \(x = -1\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f_{-3}(-1) = -3 \cdot (-1)^2 - 6 \cdot (-1) - 1 = -3 + 6 - 1 = 2\). Der Hochpunkt liegt bei \(H(-1 \mid 2)\).

a) \(f_k'(x) = 2kx - 6\); \(x_E = \frac{3}{k}\) b) \(k = -3\) c) \(H(-1 \mid 2)\)

- Welche zwei Informationen liefert dir ein bekannter Extrempunkt über die Funktion und ihre Ableitung? - Kannst du aus den Bedingungen zwei separate Gleichungen für die Unbekannten aufstellen? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, die Art eines Extrempunktes zu bestimmen?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 2ax + b\). 2. Bedingung für Extremstelle bei \(x = 1\): \(f'(1) = 0 \Rightarrow 2a \cdot 1 + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 0\). 3. Bedingung für den Punkt \((1 \mid 2)\): \(f(1) = 2 \Rightarrow a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 3 = 2 \Rightarrow a + b = -1\). 4. Lösen des Gleichungssystems: Aus \(b = -2a\) folgt durch Einsetzen in die zweite Gleichung \(a - 2a = -1\), also \(a = 1\). Damit ergibt sich \(b = -2\). 5. Art des Extremums prüfen: Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 2a\). Mit \(a = 1\) ist \(f''(1) = 2\). Da \(2 > 0\), handelt es sich um ein lokales Minimum, also einen Tiefpunkt.

a) \(f'(x) = 2ax + b\) b) \(a = 1\), \(b = -2\) c) Es handelt sich um einen Tiefpunkt, da \(f''(1) = 2 > 0\).

- Welche Eigenschaft hat die Steigung des Graphen an einer Extremstelle? - Wie berechnet man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Setze die Information über die Stelle in die Ableitung ein und löse die entstehende Gleichung nach dem Parameter auf. - Überprüfe am Ende, ob die Bedingung für eine Extremstelle wirklich erfüllt ist.

1. Erste Ableitung der Funktionenschar bilden: \(f_k'(x) = 2x^3 - 2kx\). 2. Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle an der Stelle \(x = 2\) lautet \(f_k'(2) = 0\). 3. Den Wert \(x = 2\) in die Ableitungsfunktion einsetzen: \(2 \cdot 2^3 - 2k \cdot 2 = 16 - 4k\). 4. Die Gleichung \(16 - 4k = 0\) nach \(k\) auflösen: \(4k = 16 \implies k = 4\). 5. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mit der zweiten Ableitung \(f_4''(x) = 6x^2 - 8\): \(f_4''(2) = 6 \cdot 4 - 8 = 16 \neq 0\). Somit liegt bei \(x = 2\) tatsächlich eine Extremstelle (ein lokales Minimum) vor.

\(k = 4\)

- Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem Parameter auf. - Kannst du einen Term ausklammern, um die Nullstellen einfacher zu finden? - Wie hängen die Ableitungen einer Funktion mit ihren Hoch- und Tiefpunkten zusammen? - Überlege dir, wie das Vorzeichen des Parameters die Krümmung an den Stellen mit waagerechter Tangente beeinflusst.

1. Punktprobe für \(P(2|4)\): \(f_k(2) = 4 \implies k \cdot 2^2 - 2^3 = 4 \implies 4k - 8 = 4 \implies 4k = 12 \implies k = 3\). 2. Nullstellen berechnen: \(kx^2 - x^3 = 0 \implies x^2(k - x) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = k\). 3. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 2kx - 3x^2\) und \(f_k''(x) = 2k - 6x\). 4. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_k'(x) = x(2k - 3x) = 0 \implies x_1 = 0\) oder \(x_2 = \frac{2}{3}k\). 5. Art der Extrema prüfen: \(f_k''(0) = 2k\) und \(f_k''(\frac{2}{3}k) = 2k - 6(\frac{2}{3}k) = -2k\). 6. Fallunterscheidung für \(k > 0\): \(f_k''(0) > 0 \implies\) lokaler Tiefpunkt \(T(0 | 0)\); \(f_k''(\frac{2}{3}k) < 0 \implies\) lokaler Hochpunkt \(H(\frac{2}{3}k | \frac{4}{27}k^3)\). 7. Fallunterscheidung für \(k < 0\): \(f_k''(0) < 0 \implies\) lokaler Hochpunkt \(H(0 | 0)\); \(f_k''(\frac{2}{3}k) > 0 \implies\) lokaler Tiefpunkt \(T(\frac{2}{3}k | \frac{4}{27}k^3)\).

a) \(k = 3\) b) \(x_1 = 0\), \(x_2 = k\) c) Für \(k > 0\): \(T(0 | 0)\) und \(H(\frac{2}{3}k | \frac{4}{27}k^3)\); für \(k < 0\): \(H(0 | 0)\) und \(T(\frac{2}{3}k | \frac{4}{27}k^3)\).

- Was muss für die Funktionswerte und die Ableitungen an einer Stelle gelten, damit dort ein Extrempunkt vorliegt? - Nutze das Ausklammern von \(x^2\), um die Nullstellen zu bestimmen. - Untersuche die erste Ableitung auf weitere Nullstellen, um den zweiten Extrempunkt zu finden. - Stelle die \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts als Term in Abhängigkeit von \(t\) dar und setze diesen gleich \(-4\).

1. Nachweis Ursprung: \(g_t(0) = 0^3 - 3t \cdot 0^2 = 0\). Damit verlaufen alle Graphen durch \((0|0)\). 2. Nachweis Extremum im Ursprung: \(g_t'(x) = 3x^2 - 6tx\), also \(g_t'(0) = 0\). Die zweite Ableitung ist \(g_t''(x) = 6x - 6t\). Für \(t > 0\) ist \(g_t''(0) = -6t < 0\). Somit liegt bei \(x = 0\) immer ein lokaler Hochpunkt vor. 3. Nullstellen: \(x^3 - 3tx^2 = 0 \implies x^2(x - 3t) = 0 \implies x_1 = 0\), \(x_2 = 3t\). 4. Weiterer Extrempunkt: \(g_t'(x) = 3x(x - 2t) = 0 \implies x = 2t\) (da \(x=0\) bereits bekannt ist). 5. Art des Extrempunktes: \(g_t''(2t) = 6(2t) - 6t = 6t\). Da \(t > 0\), ist \(g_t''(2t) > 0\), also liegt ein lokaler Tiefpunkt vor. 6. \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts: \(g_t(2t) = (2t)^3 - 3t(2t)^2 = 8t^3 - 12t^3 = -4t^3\). 7. Bedingung \(y = -4\): \(-4t^3 = -4 \implies t^3 = 1 \implies t = 1\).

a) \(g_t(0) = 0\), \(g_t'(0) = 0\) und \(g_t''(0) = -6t < 0\) für \(t > 0\); daher liegt der Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\) vor. b) \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3t\) c) \(t = 1\)

- Kannst du den Funktionsterm ausklammern, um die Nullstellen leichter zu finden? - Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie hängen der x-Wert und der y-Wert des Tiefpunkts zusammen, wenn du den Parameter eliminierst? - Setze die berechnete y-Koordinate des Hochpunkts in eine Ungleichung ein.

1. Nullstellen: Aus \(f_t(x) = x \cdot (\frac{1}{3}x^2 - t^2) = 0\) folgen die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = t\sqrt{3}\) und \(x_3 = -t\sqrt{3}\). 2. Extremstellen: Die erste Ableitung \(f_t'(x) = x^2 - t^2\) hat Nullstellen bei \(x = t\) und \(x = -t\). 3. Art der Extrema: Mit \(f_t''(x) = 2x\) folgt \(f_t''(t) = 2t > 0\) (Tiefpunkt) und \(f_t''(-t) = -2t < 0\) (Hochpunkt). 4. Koordinaten: Der Tiefpunkt liegt bei \(T(t \mid -\frac{2}{3}t^3)\), der Hochpunkt bei \(H(-t \mid \frac{2}{3}t^3)\). 5. Ortskurve der Tiefpunkte: Aus \(x = t\) folgt durch Einsetzen in die \(y\)-Koordinate \(y = -\frac{2}{3}x^3\). Da \(t > 0\), gilt dies für \(x > 0\). 6. Bedingung für Hochpunkt: \(\frac{2}{3}t^3 > 18 \iff t^3 > 27 \iff t > 3\).

a) \(x_1 = 0\); \(x_2 = t\sqrt{3}\); \(x_3 = -t\sqrt{3}\) b) \(H(-t \mid \frac{2}{3}t^3)\) und \(T(t \mid -\frac{2}{3}t^3)\) c) \(y = -\frac{2}{3}x^3\) für \(x > 0\) d) \(t > 3\)

- Bestimme zuerst die erste Ableitung der Funktion. - Suche nach den Stellen, an denen die Steigung null ist, und achte darauf, welche Stelle sich mit dem Parameter verändert. - Berechne für diese Stelle den passenden Funktionswert in Abhängigkeit vom Parameter. - Versuche, den Parameter in deiner Gleichung für die x-Koordinate zu isolieren. - Ersetze den Parameter in der y-Gleichung durch den Ausdruck, den du für x gefunden hast.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = x^2 - 2kx\). 2. Bestimmung der Extremstellen durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(x(x - 2k) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\). 3. Da die \(x\)-Koordinate vom Parameter \(k\) abhängen soll, wird \(x = 2k\) betrachtet. 4. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinate durch Einsetzen in \(f_k\): \(y = f_k(2k) = \frac{1}{3}(2k)^3 - k(2k)^2 + 4 = \frac{8}{3}k^3 - 4k^3 + 4 = -\frac{4}{3}k^3 + 4\). 5. Umstellen der Gleichung \(x = 2k\) nach \(k\): \(k = \frac{x}{2}\). 6. Einsetzen von \(k\) in die Gleichung für \(y\): \(y = -\frac{4}{3}(\frac{x}{2})^3 + 4 = -\frac{4}{3} \cdot \frac{x^3}{8} + 4 = -\frac{1}{6}x^3 + 4\). 7. Wegen \(k \neq 0\) gilt für die Ortskurve \(x \neq 0\).

Die Ortskurve hat die Gleichung \(y = -\frac{1}{6}x^3 + 4\) mit \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

- Wie gehst du vor, wenn du die waagerechten Tangenten einer Funktionenschar suchst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Term unter der Wurzel zu vereinfachen. - Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? Was bedeutet das für den Graphen? - Wenn alle Graphen durch denselben Punkt gehen, muss der Funktionswert an dieser Stelle für jedes beliebige \(a\) gleich sein. Wie kannst du den Term so umformen, dass du \(a\) ausklammerst?

1. Zur Bestimmung der Extremstellen wird die erste Ableitung gebildet: \(f_a'(x) = 3x^2 - 6ax + 12a - 12\). 2. Setzt man \(f_a'(x) = 0\), ergibt sich die quadratische Gleichung \(x^2 - 2ax + 4a - 4 = 0\). Die linke Seite lässt sich faktorisieren: \(x^2 - 2ax + 4a - 4 = (x - 2)(x - (2a - 2))\). Die stationären Stellen liegen somit bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 2a - 2\). 3. Für \(a = 2\) fallen beide Stellen zusammen (\(x_1 = x_2 = 2\)). Da \(f_2'(x) = 3(x-2)^2\) an dieser Stelle keinen Vorzeichenwechsel aufweist, besitzt \(f_2\) kein lokales Extremum, sondern einen Sattelpunkt bei \(x = 2\). 4. Gemeinsame Punkte liegen dort, wo der Funktionsterm unabhängig von \(a\) ist. Umformung: \(f_a(x) = x^3 - 12x + 10 + a(-3x^2 + 12x)\). Der Term in der Klammer muss null sein: \(-3x(x-4) = 0\). Dies liefert \(x = 0\) und \(x = 4\). 5. Einsetzen der \(x\)-Werte in \(f_a(x)\) ergibt die Punkte \(P_1(0 \mid 10)\) und \(P_2(4 \mid 26)\).

a) Für \(a \neq 2\) sind die Extremstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 2a - 2\). Für \(a = 2\) fallen die stationären Stellen bei \(x = 2\) zusammen, ohne ein Extremum zu bilden. b) Für \(a = 2\) gibt es kein Extremum; an der Stelle \(x = 2\) liegt ein Sattelpunkt vor. c) Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(0 \mid 10)\) und \(P_2(4 \mid 26)\).

- Wie findet man allgemein die Tiefpunkte einer Funktion? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der x- und y-Koordinate des Tiefpunkts für die Ortskurve? - Was sagt die Diskriminante über die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung aus? - Wie muss ein Term beschaffen sein, damit sein Wert nicht von einer Variablen abhängt?

1. Erste Ableitung bilden: \(f_a'(x) = 2x - 2a\). Nullsetzen ergibt die Extremstelle \(x = a\). Wegen \(f_a''(x) = 2 > 0\) liegt ein Tiefpunkt vor. Funktionswert berechnen: \(f_a(a) = a^2 - 2a^2 + 3a = -a^2 + 3a\). Tiefpunkt: \(T_a(a | -a^2 + 3a)\). 2. Aus \(x = a\) folgt durch Ersetzen im Ordinatenwert \(y = -a^2 + 3a\) die Gleichung der Ortskurve: \(y = -x^2 + 3x\). 3. Diskriminante der Gleichung \(x^2 - 2ax + 3a = 0\) aufstellen: \(D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3a = 4a^2 - 12a = 4a(a - 3)\). Zwei Nullstellen für \(D > 0 \iff a < 0\) oder \(a > 3\). Eine Nullstelle für \(D = 0 \iff a = 0\) oder \(a = 3\). Keine Nullstelle für \(D < 0 \iff 0 < a < 3\). 4. Funktionsterm nach \(a\) sortieren: \(f_a(x) = x^2 + a(3 - 2x)\). Damit der Wert unabhängig von \(a\) ist, muss \(3 - 2x = 0\) gelten, woraus \(x = 1{,}5\) folgt. Einsetzen ergibt \(y = 1{,}5^2 = 2{,}25\). Gemeinsamer Punkt: \(P(1{,}5 | 2{,}25)\).

a) \(T_a(a | -a^2 + 3a)\) b) \(y = -x^2 + 3x\) c) Zwei Nullstellen für \(a < 0\) oder \(a > 3\); eine Nullstelle für \(a = 0\) oder \(a = 3\); keine Nullstelle für \(0 < a < 3\). d) \(P(1{,}5 | 2{,}25)\)

- Verwende die Ableitung, um das Maximum der Parabel zu bestimmen. - Stelle die x-Koordinate des Hochpunkts nach dem Parameter um und setze sie in die y-Koordinate ein. - Wann berührt der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel die x-Achse? - Untersuche, für welchen x-Wert der Teil des Funktionsterms, der den Parameter enthält, verschwindet.

1. Ableitung \(h_t'(x) = -2x + t\) nullsetzen ergibt \(x = \frac{t}{2}\). Wegen \(h_t''(x) = -2 < 0\) liegt ein Hochpunkt vor. Funktionswert: \(h_t(\frac{t}{2}) = -(\frac{t}{2})^2 + t \cdot \frac{t}{2} - 2t + 4 = \frac{t^2}{4} - 2t + 4\). Hochpunkt: \(H_t(0{,}5t | 0{,}25t^2 - 2t + 4)\). 2. Mit \(x = \frac{t}{2}\) folgt \(t = 2x\). Einsetzen in den \(y\)-Wert des Hochpunkts ergibt \(y = \frac{(2x)^2}{4} - 2(2x) + 4 = x^2 - 4x + 4\). Ortskurve: \(y = (x - 2)^2\). 3. Ein Berühren der \(x\)-Achse liegt vor, wenn der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts (Hochpunkts) null ist: \(0{,}25t^2 - 2t + 4 = 0 \iff 0{,}25(t^2 - 8t + 16) = 0 \iff 0{,}25(t - 4)^2 = 0\). Dies ist für \(t = 4\) der Fall. 4. Um einen gemeinsamen Punkt zu finden, wird der Term nach \(t\) umgeformt: \(h_t(x) = -x^2 + 4 + t(x - 2)\). Für \(x = 2\) ist der Ausdruck für jedes \(t\) gleich \(h_t(2) = -2^2 + 4 + t(2 - 2) = 0\). Alle Graphen gehen durch \(P(2 | 0)\), der auf der \(x\)-Achse liegt.

a) \(H_t(0{,}5t | 0{,}25t^2 - 2t + 4)\) b) \(y = x^2 - 4x + 4\) oder \(y = (x - 2)^2\) c) \(t = 4\) d) Gemeinsamer Punkt ist \(P(2 | 0)\).

- Wie bestimmt man allgemein die Extremstellen einer Funktion? - Der Scheitelpunkt einer Parabel ist ihr höchster oder tiefster Punkt. - Du erhältst die Koordinaten des Punktes in Abhängigkeit vom Parameter. Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der der Parameter nicht mehr vorkommt. - Überlege dir, welche Werte die x-Koordinate annehmen kann, wenn du die Einschränkung für den Parameter berücksichtigst.

1. Ableitung bilden: \(f_k'(x) = -\frac{4}{k}x + 8\). 2. Notwendige Bedingung für Extrempunkte \(f_k'(x) = 0\) anwenden: \(-\frac{4}{k}x + 8 = 0 \implies x = 2k\). 3. \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen: \(f_k(2k) = -\frac{2}{k}(2k)^2 + 8(2k) + 1 = -8k + 16k + 1 = 8k + 1\). 4. Koordinatengleichungen aufstellen: \(x = 2k\) und \(y = 8k + 1\). 5. Parameter \(k\) eliminieren: Aus \(x = 2k\) folgt \(k = \frac{x}{2}\). Einsetzen in die \(y\)-Gleichung ergibt \(y = 8\left(\frac{x}{2}\right) + 1 = 4x + 1\). 6. Definitionsbereich beachten: Da \(k > 0\), gilt für die Ortskurve \(x > 0\).

Die Gleichung der Ortskurve lautet \(y = 4x + 1\) für \(x > 0\).

- Berechne zuerst die Ableitung der Funktion. Der Parameter \(a\) wird dabei wie eine Zahl behandelt. - Überlege dir, welche Form der Graph der Ableitungsfunktion für verschiedene Werte von \(a\) annimmt (z. B. Gerade oder Parabel). - Wann liegt eine Parabel vollständig oberhalb oder auf der x-Achse? - Was passiert mit dem Term \(3ax^2\), wenn \(a\) negativ ist und \(x\) immer größer wird?

1. Ableitung der Funktionenschar in Abhängigkeit von \(a\) bilden: \(f_a'(x) = 3ax^2 + 3\). 2. Bedingung für streng monotones Wachstum auf \(\mathbb{R}\) aufstellen: Es muss \(f_a'(x) \ge 0\) für alle \(x\) gelten, wobei \(f_a'(x) = 0\) nur an isolierten Stellen auftreten darf. 3. Fallunterscheidung für \(a\): - Fall \(a > 0\): Der Term \(3ax^2\) ist für alle \(x\) größer oder gleich Null. Damit ist \(3ax^2 + 3 \ge 3\). Die Ableitung ist also überall positiv. - Fall \(a = 0\): Es ergibt sich \(f_0'(x) = 3\). Die Ableitung ist eine konstante positive Funktion. - Fall \(a < 0\): Die Ableitungsfunktion \(f_a'(x) = 3ax^2 + 3\) beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Für sehr große Werte von \(x\) (positiv oder negativ) wird der Term \(3ax^2\) so stark negativ, dass die gesamte Ableitung negativ wird. Damit ist die Funktion in diesen Bereichen streng monoton fallend. 4. Ergebnis kombinieren: Die Bedingung ist für alle \(a \ge 0\) erfüllt.

Die Funktion \(f_a\) ist genau dann auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend, wenn \(a \ge 0\) gilt. Für \(a \ge 0\) ist die Ableitung \(f_a'(x) = 3ax^2 + 3\) stets mindestens \(3\) (und damit positiv), während sie für \(a < 0\) für ausreichend große \(x\)-Werte negativ wird.

- Wie findet man die Bereiche, in denen eine Funktion fällt? - Skizziere im Kopf den Verlauf einer nach oben geöffneten Parabel und ihrer Nullstellen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten auf der x-Achse? - Was passiert mit dem Abstand, wenn du die Werte der Endpunkte mit demselben Faktor multiplizierst?

1. Erste Ableitung bestimmen: \(f_a'(x) = x^2 - a^2\). 2. Nullstellen der Ableitung finden: \(x^2 - a^2 = 0 \Rightarrow x_{1} = -a\) und \(x_{2} = a\). 3. Monotonie bestimmen: Da \(f_a'(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, gilt \(f_a'(x) \leq 0\) für \(x \in [-a; a]\). In diesem Intervall ist die Funktion streng monoton fallend. 4. Länge des Intervalls berechnen: \(L = a - (-a) = 2a\). 5. Parameteränderung untersuchen: Wird \(a\) durch \(3a\) ersetzt, ergibt sich die neue Länge \(L_{neu} = 3a - (-3a) = 6a\). 6. Vergleich: Da \(6a = 3 \cdot (2a)\), verdreifacht sich die Länge des Intervalls ebenfalls.

a) Das Intervall ist \([-a; a]\). b) Die Länge des Intervalls beträgt \(2a\). Bei einer Verdreifachung des Parameters \(a\) verdreifacht sich auch die Länge des Intervalls auf \(6a\).

- Überlege zuerst, für welche \( x \)-Werte die Funktion überhaupt definiert ist. - Erinnere dich an die Quotientenregel zur Ableitung gebrochen-rationaler Funktionen. - Wann hat eine quadratische Gleichung zwei, eine oder gar keine Lösung? - Denke daran, dass eine Nullstelle der Ableitung nur dann eine Extremstelle ist, wenn dort ein Vorzeichenwechsel stattfindet und die Stelle im Definitionsbereich liegt.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \). 2. Bildung der ersten Ableitung mit der Quotientenregel: \( f_a'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+a) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - a}{(x-1)^2} \). 3. Notwendige Bedingung für Extremstellen: \( f_a'(x) = 0 \). Dies führt auf die quadratische Gleichung \( x^2 - 2x - a = 0 \). 4. Berechnung der Diskriminante: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 4 + 4a \). 5. Fallunterscheidung nach der Anzahl der Nullstellen der Ableitung: - Wenn \( a < -1 \), ist \( D < 0 \). Es gibt keine reellen Nullstellen der Ableitung und somit keine Extremstellen. - Wenn \( a = -1 \), ist \( D = 0 \). Die einzige Nullstelle ist \( x = 1 \). Da dieser Wert nicht im Definitionsbereich liegt, gibt es keine Extremstellen. (Zudem liegt bei einer doppelten Nullstelle der Ableitung kein Vorzeichenwechsel vor). - Wenn \( a > -1 \), ist \( D > 0 \). Die Gleichung hat zwei verschiedene Lösungen \( x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4a}}{2} = 1 \pm \sqrt{1+a} \). Da \( a > -1 \), ist \( \sqrt{1+a} \neq 0 \), also sind beide Stellen ungleich \( 1 \) und liegen im Definitionsbereich. Da die Zählerfunktion eine Parabel mit zwei einfachen Nullstellen ist, findet jeweils ein Vorzeichenwechsel statt. Es existieren genau zwei Extremstellen.

Für \( a \le -1 \) besitzt die Funktion \( f_a \) keine Extremstellen. Für \( a > -1 \) besitzt die Funktion \( f_a \) genau zwei Extremstellen.

- Wann hat eine Funktion dritten Grades keine Hoch- oder Tiefpunkte? - Was muss für die erste Ableitung gelten, damit kein Vorzeichenwechsel stattfindet? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion und ihrer Diskriminante. - Überlege, was es für den Graphen der Ableitung bedeutet, wenn die Diskriminante negativ oder null ist.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = x^2 + 2kx + 25\). 2. Eine Funktion dritten Grades hat genau dann keine Extremstellen, wenn ihre Ableitungsfunktion keinen Vorzeichenwechsel aufweist. Da \(f_k'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, tritt kein Vorzeichenwechsel ein, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(f_k'(x) = 0\) kleiner oder gleich null ist. 3. Aufstellen der Diskriminante: \(D = (2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 4k^2 - 100\). 4. Lösen der Ungleichung \(4k^2 - 100 \le 0\): Dies ist äquivalent zu \(k^2 \le 25\). 5. Daraus ergibt sich der Bereich \(-5 \le k \le 5\).

\(k \in [-5; 5]\)

- Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit den Extrempunkten zusammen? - Welche Rolle spielt die Diskriminante bei der Bestimmung der Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion? - Was passiert graphisch mit der Ableitungsfunktion, wenn die Diskriminante genau null ist? - Kannst du den Ausdruck für die Diskriminante mithilfe einer binomischen Formel vereinfachen?

1. Bildung der ersten Ableitung: \(g_a'(x) = 3x^2 - 6ax + (6a-3)\). 2. Bedingung für das Fehlen von Extremstellen ist, dass die Ableitung \(g_a'(x) = 0\) keine oder nur eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit (Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel) besitzt. 3. Berechnung der Diskriminante \(D\) der quadratischen Gleichung \(3x^2 - 6ax + 6a - 3 = 0\): \(D = (-6a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (6a-3) = 36a^2 - 72a + 36\). 4. Faktorisieren der Diskriminante: \(D = 36(a^2 - 2a + 1) = 36(a-1)^2\). 5. Da \((a-1)^2\) für alle reellen \(a\) größer oder gleich null ist, ist \(D \ge 0\). Damit \(g_a\) keinen Extrempunkt hat, muss \(D = 0\) gelten. 6. Lösen von \(36(a-1)^2 = 0\) ergibt \(a = 1\). Für \(a=1\) liegt an der Stelle \(x=1\) ein Sattelpunkt vor.

Ja, für \(a = 1\) besitzt die Funktion keinen Extrempunkt.

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der ersten Ableitung einer Funktion und ihrem Monotonieverhalten? - Wann ist eine quadratische Funktion (eine Parabel) immer größer oder gleich Null? - Erinnere dich an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung und was sie über die Anzahl der Nullstellen aussagt.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = x^2 + 2kx + 16\). 2. Eine differenzierbare Funktion ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend, wenn \(f_k'(x) \geq 0\) gilt und die Ableitung nur isolierte Nullstellen besitzt. 3. Da der Graph von \(f_k'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist die Bedingung \(f_k'(x) \geq 0\) erfüllt, wenn die Diskriminante \(D\) des quadratischen Terms kleiner oder gleich Null ist. 4. Berechnung der Diskriminante: \(D = (2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 4k^2 - 64\). 5. Lösen der Ungleichung \(4k^2 - 64 \leq 0\): Dies führt zu \(k^2 \leq 16\) und somit zum Intervall \(-4 \leq k \leq 4\).

\(-4 \leq k \leq 4\) (oder \(k \in [-4; 4]\))

- Wie findet man die Bereiche, in denen eine Funktion steigt, mithilfe der Ableitung? - Untersuche die Nullstellen der Ableitungsfunktion. - Überlege dir den Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion, um die Vorzeichen in den Zwischenbereichen zu bestimmen. - Vergiss nicht, dass der Parameter \(a\) in deinen Intervallgrenzen vorkommen wird.

1. Bildung der ersten Ableitung: \(g_a'(x) = 2ax - x^3\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung: Durch Ausklammern erhält man \(x(2a - x^2) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = -\sqrt{2a}\) und \(x_3 = \sqrt{2a}\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(g_a'(x)\): Da \(g_a'\) eine kubische Funktion mit negativem Leitkoeffizienten ist, ist sie positiv für \(x < -\sqrt{2a}\) und für \(0 < x < \sqrt{2a}\). 4. Die Funktion \(g_a\) ist somit in den Intervallen \((-\infty; -\sqrt{2a}]\) und \([0; \sqrt{2a}]\) streng monoton steigend.

\(x \in (-\infty; -\sqrt{2a}]\) und \(x \in [0; \sqrt{2a}]\)

- Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Monotonieverhalten zusammen? - Bestimme zunächst die Nullstellen der Ableitung in Abhängigkeit von \(a\). - Überlege dir, wie sich die Lage der Nullstellen zueinander verändert, wenn \(a\) positiv, negativ oder null ist. - Eine Skizze des Graphen der Ableitungsfunktion (eine Parabel) kann helfen, die Vorzeichenbereiche zu finden.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_a'(x) = 3x^2 - 2ax = x(3x - 2a)\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{2}{3}a\). 3. Fallunterscheidung für \(a\): - Fall \(a = 0\): \(f_0'(x) = 3x^2 \ge 0\) für alle \(x\). Die Funktion ist auf ganz \(\mathbb{R}\) monoton steigend. - Fall \(a > 0\): Es gilt \(0 < \frac{2}{3}a\). Die Parabel der Ableitung ist nach oben geöffnet. \(f_a'(x) \ge 0\) für \(x \in (-\infty; 0] \cup [\frac{2}{3}a; \infty)\) und \(f_a'(x) \le 0\) für \(x \in [0; \frac{2}{3}a]\). Somit ist \(f_a\) monoton steigend auf \((-\infty; 0]\) und \([\frac{2}{3}a; \infty)\) sowie monoton fallend auf \([0; \frac{2}{3}a]\). - Fall \(a < 0\): Es gilt \(\frac{2}{3}a < 0\). \(f_a'(x) \ge 0\) für \(x \in (-\infty; \frac{2}{3}a] \cup [0; \infty)\) und \(f_a'(x) \le 0\) für \(x \in [\frac{2}{3}a; 0]\). Somit ist \(f_a\) monoton steigend auf \((-\infty; \frac{2}{3}a]\) und \([0; \infty)\) sowie monoton fallend auf \([\frac{2}{3}a; 0]\).

Für \(a = 0\): Monoton steigend auf \(\mathbb{R}\). Für \(a > 0\): Monoton steigend auf \((-\infty; 0]\) und \([\frac{2}{3}a; \infty)\); monoton fallend auf \([0; \frac{2}{3}a]\). Für \(a < 0\): Monoton steigend auf \((-\infty; \frac{2}{3}a]\) und \([0; \infty)\); monoton fallend auf \([\frac{2}{3}a; 0]\).

- Welche Informationen liefern die Punkte \(P\) und \(Q\) für die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel? - Wie hängen die Öffnungsrichtung einer Parabel und die Lage ihres Scheitelpunkts mit den Parametern der Gleichung zusammen? - Mit welchem Werkzeug aus der Differenzialrechnung bestimmt man die Stelle, an der eine Funktion ihren höchsten Wert annimmt?

1. Ansatz für die Parabel: \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Aus \(P(0 \mid 1{,}5)\) folgt direkt \(c = 1{,}5\). 2. Einsetzen von \(Q(30 \mid 0)\): \(a \cdot 30^2 + b \cdot 30 + 1{,}5 = 0 \implies 900a + 30b + 1{,}5 = 0\). 3. Umstellen nach \(b\): \(30b = -900a - 1{,}5 \implies b = -30a - 0{,}05\). Einsetzen in den Ansatz ergibt \(f_a(x) = ax^2 - (30a + 0{,}05)x + 1{,}5\). 4. Für eine nach unten geöffnete Parabel muss \(a < 0\) gelten. Damit der Scheitelpunkt rechts von der Düse liegt, muss \(b = -(30a + 0{,}05) > 0\) sein. Daher gilt \(30a + 0{,}05 < 0\), also \(a < -\frac{1}{600}\). 5. Es ist \(f'_a(x) = 2ax - (30a + 0{,}05)\). Nullsetzen liefert \(x = \frac{30a + 0{,}05}{2a} = 15 + \frac{0{,}025}{a}\).

a) Die Gleichung folgt durch Einsetzen der Punkte \(P(0 \mid 1{,}5)\) und \(Q(30 \mid 0)\) in \(f(x) = ax^2 + bx + c\). b) \(a < -\frac{1}{600}\). Der Grenzwert \(-\frac{1}{600}\) beträgt näherungsweise \(-0{,}00167\). c) Das Maximum liegt bei \(x = 15 + \frac{0{,}025}{a}\).

- Was musst du über die Ableitungen wissen, um Extrempunkte zu finden? - Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes ausdrücken, wenn sie von einem Parameter abhängen? - Versuche, den Parameter aus der Gleichung für die \(x\)-Koordinate zu isolieren und in die Gleichung für die \(y\)-Koordinate einzusetzen.

1. Ableitungen bestimmen: \(f_t'(x) = 3x^2 - 2tx\) und \(f_t''(x) = 6x - 2t\). 2. Extremstellen berechnen: \(f_t'(x) = 0\) führt zu \(x \cdot (3x - 2t) = 0\), also \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{2}{3}t\). 3. Da \(x \neq 0\), wird \(x = \frac{2}{3}t\) betrachtet. Wegen \(f_t''(\frac{2}{3}t) = 2t \neq 0\) liegt dort stets ein Extrempunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate des Extrempunkts berechnen: \(y = f_t(\frac{2}{3}t) = (\frac{2}{3}t)^3 - t \cdot (\frac{2}{3}t)^2 = \frac{8}{27}t^3 - \frac{4}{9}t^3 = -\frac{4}{27}t^3\). 5. Parameter \(t\) eliminieren: Aus \(x = \frac{2}{3}t\) folgt \(t = \frac{3}{2}x\). 6. Einsetzen in die \(y\)-Gleichung: \(y = -\frac{4}{27} \cdot (\frac{3}{2}x)^3 = -\frac{4}{27} \cdot \frac{27}{8}x^3 = -\frac{1}{2}x^3\). 7. Die Gleichung der Ortslinie lautet \(y = -\frac{1}{2}x^3\) für \(x \neq 0\).

Die Ortslinie der Extrempunkte hat die Gleichung \(y = -\frac{1}{2}x^3\) mit \(x \neq 0\).

- Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines Tiefpunktes erfüllt sein? - Wie hängen die x-Koordinate und der Parameter der Schar an den Extremstellen zusammen? - Kannst du den Parameter in der Funktionsgleichung durch einen Ausdruck ersetzen, der nur von x abhängt? - Überlege dir, für welche Werte des Parameters überhaupt Tiefpunkte existieren.

1. Es ist \(f_k'(x)=2x^3-2kx=2x(x^2-k)\) und \(f_k''(x)=6x^2-2k\). 2. Die Stelle \(x=0\) ist für jedes \(k\) stationär. Für \(k>0\) existieren zusätzlich die Stellen \(x=\pm\sqrt{k}\). 3. An \(x=0\) gilt \(f_k''(0)=-2k\). Für \(k>0\) liegt dort ein Hochpunkt vor, für \(k<0\) ein Tiefpunkt. Für \(k=0\) ist \(f_0(x)=\frac{1}{2}x^4\), sodass bei \(x=0\) ebenfalls ein Tiefpunkt vorliegt. 4. Für \(k>0\) gilt an \(x=\pm\sqrt{k}\): \(f_k''(\pm\sqrt{k})=4k>0\). Dort liegen Tiefpunkte. Mit \(k=x^2\) ist ihre y-Koordinate \(y=\frac{1}{2}x^4-kx^2=-\frac{1}{2}x^4\). 5. Die Tiefpunkte bei \(x=0\) und \(k\le0\) ergeben den Punkt \((0 \mid 0)\), der ebenfalls auf dieser Kurve liegt. Damit durchlaufen alle lokalen Tiefpunkte insgesamt die Ortslinie \(y=-\frac{1}{2}x^4\) für \(x\in\mathbb{R}\).

Die Ortslinie aller lokalen Tiefpunkte lautet \(y=-\frac{1}{2}x^4\) für \(x\in\mathbb{R}\).

- Welche Eigenschaft müssen die Exponenten einer ganzrationalen Funktion haben, damit Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vorliegt? - Wie nutzt du die erste und zweite Ableitung, um Tiefpunkte zu finden? - Achte darauf, dass \(a\) als Parameter wie eine Zahl behandelt wird. - Welche Einschränkungen für den Parameter \(a\) werden in der Aufgabenstellung genannt?

1. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse wird durch \(g_a(-x) = g_a(x)\) nachgewiesen: \((-x)^4 - 2a(-x)^2 = x^4 - 2ax^2\). Die Bedingung ist für alle \(a\) erfüllt. 2. Zur Berechnung der Extrempunkte wird die erste Ableitung \(g_a'(x) = 4x^3 - 4ax\) gebildet und gleich null gesetzt: \(4x(x^2 - a) = 0\). Die kritischen Stellen sind \(x_0 = 0\) sowie \(x_{1,2} = \pm\sqrt{a}\) (da \(a > 0\)). 3. Die zweite Ableitung \(g_a''(x) = 12x^2 - 4a\) dient zur Artbestimmung. Für \(x = \pm\sqrt{a}\) ergibt sich \(g_a''(\pm\sqrt{a}) = 12a - 4a = 8a\). Da \(a > 0\), ist \(8a > 0\), es liegen also Tiefpunkte vor. 4. Die \(y\)-Koordinaten der Tiefpunkte berechnen sich zu \(g_a(\pm\sqrt{a}) = (\pm\sqrt{a})^4 - 2a(\pm\sqrt{a})^2 = a^2 - 2a^2 = -a^2\). Die Tiefpunkte sind \(T_1(\sqrt{a}|-a^2)\) und \(T_2(-\sqrt{a}|-a^2)\). 5. Um \(a\) zu bestimmen, wird die \(y\)-Koordinate gleich \(-25\) gesetzt: \(-a^2 = -25 \implies a^2 = 25\). Da \(a > 0\) vorausgesetzt ist, folgt \(a = 5\).

a) Wegen \(g_a(-x) = (-x)^4 - 2a(-x)^2 = x^4 - 2ax^2 = g_a(x)\) sind die Graphen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Die Tiefpunkte liegen bei \(T_1(\sqrt{a} | -a^2)\) und \(T_2(-\sqrt{a} | -a^2)\). c) Der gesuchte Wert ist \(a = 5\).

- Wie kannst du zeigen, dass ein Punkt für alle Werte eines Parameters gleich bleibt? - Welche Ableitung benötigst du, um Bedingungen für Extremstellen aufzustellen? - Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit der Anzahl der Extrempunkte zusammen? - Erinnerst du dich, wie man die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung mithilfe der Diskriminante bestimmt?

1. Zur Bestimmung der gemeinsamen Punkte wird der Ansatz \(f_a(x) = f_b(x)\) für \(a \neq b\) gewählt: \(x^3 + ax^2 - (a+1)x = x^3 + bx^2 - (b+1)x\). Dies vereinfacht sich zu \((a-b)x^2 - (a-b)x = 0\), woraus \((a-b)(x^2-x) = 0\) folgt. Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f_a(0) = 0\) und \(f_a(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 - (a+1) \cdot 1 = 0\). Die gemeinsamen Punkte sind somit \(P_1(0|0)\) und \(P_2(1|0)\). 2. Für eine Extremstelle an der Stelle \(x = -1\) muss die notwendige Bedingung \(f_a'(-1) = 0\) erfüllt sein. Mit \(f_a'(x) = 3x^2 + 2ax - (a+1)\) ergibt sich \(f_a'(-1) = 3(-1)^2 + 2a(-1) - a - 1 = 2 - 3a\). Aus \(2 - 3a = 0\) folgt \(a = \frac{2}{3}\). Die hinreichende Bedingung \(f_{\frac{2}{3}}''(-1) = 6(-1) + 2 \cdot \frac{2}{3} = -6 + \frac{4}{3} \neq 0\) ist erfüllt. 3. Die Anzahl der Extremstellen hängt von den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f_a'(x) = 3x^2 + 2ax - (a+1)\) ab. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(3x^2 + 2ax - (a+1) = 0\) lautet \(D = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-(a+1)) = 4a^2 + 12a + 12 = 4(a^2 + 3a + 3)\). Da die Diskriminante der inneren Parabel \(a^2 + 3a + 3\) den Wert \(3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -3 < 0\) hat und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(a^2 + 3a + 3 > 0\) für alle \(a\). Somit ist \(D\) immer positiv, was bedeutet, dass \(f_a'\) stets zwei verschiedene reelle Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. Folglich hat jeder Graph genau zwei Extrempunkte.

a) Gemeinsame Punkte: \(P_1(0|0)\) und \(P_2(1|0)\). b) Der Parameterwert ist \(a = \frac{2}{3}\). c) Die Diskriminante der Ableitungsfunktion \(f_a'(x) = 0\) ist \(D = 4a^2 + 12a + 12\). Da \(D > 0\) für alle \(a \in \mathbb{R}\) gilt, existieren stets zwei Extremstellen mit Vorzeichenwechsel in \(f_a'\).

- Welche zwei mathematischen Bedingungen müssen an einem Punkt erfüllt sein, damit er ein Extrempunkt mit einem bestimmten \(y\)-Wert ist? - Stelle ein Gleichungssystem mit den beiden Parametern auf. - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium prüfen, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist?

1. Aufstellen der Bedingungen für den Tiefpunkt: \(f_{a,b}(-2) = -1\) und \(f_{a,b}'(-2) = 0\). 2. Einsetzen von \(x = -2\) in die Funktionsgleichung: \(\frac{-2a + b}{(-2)^2 + 1} = -1 \implies -2a + b = -5 \implies b = 2a - 5\). 3. Ableitung bilden: \(f_{a,b}'(x) = \frac{a(x^2 + 1) - (ax + b)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-ax^2 - 2bx + a}{(x^2 + 1)^2}\). 4. Einsetzen von \(x = -2\) in die Ableitung: \(\frac{-4a + 4b + a}{25} = 0 \implies -3a + 4b = 0\). 5. Lösen des Gleichungssystems: \(-3a + 4(2a - 5) = 0 \implies 5a = 20 \implies a = 4\). Daraus folgt \(b = 2(4) - 5 = 3\). 6. Nachweis der Art des Extremums: Mit \(a=4, b=3\) ist \(f'(x) = \frac{-4x^2 - 6x + 4}{(x^2 + 1)^2}\). Die zweite Ableitung an der Stelle \(x = -2\) ergibt \(f''(-2) = \frac{(-8(-2) - 6) \cdot 25 - 0}{25^2} = \frac{10}{25} = 0{,}4 > 0\). Es liegt somit ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor.

Die Parameter sind \(a = 4\) und \(b = 3\). Für diese Werte gilt \(f''(-2) = 0{,}4 > 0\); daher ist \(T(-2 \mid -1)\) tatsächlich ein Tiefpunkt.

- Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der Ableitungsfunktion? - Überlege dir, wie der Graph einer quadratischen Funktion aussieht, wenn sie nur eine einzige Nullstelle hat. Ändert sich dort das Vorzeichen der Funktionswerte? - Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Monotonieverhalten zusammen? - Wann liegt eine Parabel vollständig oberhalb der x-Achse oder berührt diese nur?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(g_c'(x) = 3x^2 - 6x + c\). Waagerechte Tangenten liegen an den Nullstellen von \(g_c'\) vor. 2. Bedingung für zwei waagerechte Tangenten: Die quadratische Gleichung \(3x^2 - 6x + c = 0\) muss zwei verschiedene reelle Lösungen haben. Die Diskriminante \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot c = 36 - 12c\) muss also positiv sein: \(36 - 12c > 0 \implies c < 3\). 3. Fall einer waagerechten Tangente: Dies tritt bei \(D = 0\) ein, also \(c = 3\). Die Ableitung \(g_3'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x-1)^2\) hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 1\). Da das Quadrat \((x-1)^2\) nie negativ ist, gilt \(g_3'(x) \geq 0\). Es findet kein Vorzeichenwechsel der Steigung statt, was bei einer waagerechten Tangente einen Terrassenpunkt definiert. 4. Bedingung für strenge Monotonie: Eine ganzrationale Funktion ist streng monoton steigend, wenn \(g_c'(x) \geq 0\) für alle \(x\) gilt und die Nullstellen der Ableitung isoliert sind. Da die Parabel von \(g_c'\) nach oben geöffnet ist, muss ihr Scheitelpunkt auf oder oberhalb der x-Achse liegen, was \(D \leq 0\) entspricht. 5. \(36 - 12c \leq 0 \implies 12c \geq 36 \implies c \geq 3\).

a) \(c < 3\) b) Bei genau einer waagerechten Tangente hat die Ableitungsfunktion eine doppelte Nullstelle (Scheitelpunkt auf der x-Achse). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt \(g_c'(x) \geq 0\) für alle \(x\). Ohne Vorzeichenwechsel an der Nullstelle liegt ein Terrassenpunkt vor. c) \(c \geq 3\)

- Nutze die erste Ableitung, um das Minimum zu bestimmen. - Wann liegt der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel oberhalb, auf oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Was passiert mit dem Parameter \(k\), wenn du die Koordinaten des Punktes \(Q\) einsetzt?

1. Bestimmung der Extremstelle: \(g_k'(x) = 2x - k = 0 \Rightarrow x = \frac{k}{2}\). 2. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(g_k\left(\frac{k}{2}\right) = \left(\frac{k}{2}\right)^2 - k \cdot \frac{k}{2} + 2k - 3 = \frac{k^2}{4} - \frac{k^2}{2} + 2k - 3 = -\frac{1}{4}k^2 + 2k - 3\). Der Tiefpunkt liegt bei \(T\left(\frac{k}{2} \mid -\frac{1}{4}k^2 + 2k - 3\right)\). 3. Analyse der Nullstellen über die Diskriminante \(D\) oder die Lage des Tiefpunktes: \(g_k\) hat keine Nullstellen, wenn \(-\frac{1}{4}k^2 + 2k - 3 > 0\). Die Nullstellen des Terms in \(k\) sind \(k_1 = 2\) und \(k_2 = 6\). - Keine Nullstellen für \(2 < k < 6\). - Genau eine Nullstelle für \(k = 2\) oder \(k = 6\). - Zwei Nullstellen für \(k < 2\) oder \(k > 6\). 4. Nachweis des gemeinsamen Punktes: Einsetzen von \(x = 2\) in \(g_k(x)\): \(g_k(2) = 2^2 - k \cdot 2 + 2k - 3 = 4 - 2k + 2k - 3 = 1\). Da das Ergebnis \(1\) unabhängig von \(k\) ist, liegt \(Q(2 \mid 1)\) auf jedem Graphen von \(g_k\).

a) \(T\left(\frac{k}{2} \mid -\frac{1}{4}k^2 + 2k - 3\right)\) b) Zwei Nullstellen für \(k \in ]-\infty; 2[ \cup ]6; \infty[\); eine Nullstelle für \(k \in \{2; 6\}\); keine Nullstelle für \(k \in ]2; 6[\). c) Nachweis durch Einsetzen: \(g_k(2) = 1\) für alle \(k\).

- Was passiert mit dem Grad der Funktion, wenn der Parameter vor der höchsten Potenz null wird? - Untersuche die Ableitung der Funktion. Welchen Typ von Gleichung musst du lösen, um die kritischen Stellen zu finden? - Erinnere dich daran, dass die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion über die Diskriminante bestimmt werden kann. - Überlege für jeden Fall, ob an den gefundenen Stellen tatsächlich ein Extremum (mit Vorzeichenwechsel der Steigung) vorliegt.

1. Fallunterscheidung nach dem Grad der Funktion: 2. Fall \(a = 0\): Die Funktion \(g_0(x) = 3x^2 + 3x\) ist eine Parabel. Die Ableitung \(g_0'(x) = 6x + 3\) hat genau eine Nullstelle bei \(x = -0{,}5\) mit Vorzeichenwechsel. Es gibt genau eine lokale Extremstelle. 3. Fall \(a \neq 0\): Die Funktion ist ein Polynom 3. Grades. Ableitung: \(g_a'(x) = 3ax^2 + 6x + 3\). 4. Notwendige Bedingung \(g_a'(x) = 0\) führt auf \(3ax^2 + 6x + 3 = 0\). 5. Diskriminante berechnen: \(D = 6^2 - 4 \cdot 3a \cdot 3 = 36 - 36a = 36(1 - a)\). 6. \(D > 0 \iff a < 1\): Unter Berücksichtigung von \(a \neq 0\) gibt es zwei verschiedene Nullstellen der Ableitung mit Vorzeichenwechsel, also zwei lokale Extremstellen. 7. \(D = 0 \iff a = 1\): Es gibt eine doppelte Nullstelle der Ableitung bei \(x = -1\). Da \(g_1'(x) = 3(x+1)^2 \ge 0\), findet kein Vorzeichenwechsel statt (Sattelpunkt). Keine Extremstelle. 8. \(D < 0 \iff a > 1\): Die Ableitung hat keine Nullstellen. Keine Extremstelle. 9. Zusammenfassung: Für \(a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)\) gibt es zwei Extremstellen, für \(a = 0\) eine Extremstelle und für \(a \ge 1\) keine Extremstelle.

Genau zwei lokale Extremstellen für \(a < 1\) mit \(a \neq 0\). Genau eine lokale Extremstelle für \(a = 0\). Keine lokalen Extremstellen für \(a \ge 1\).

- Was weißt du über die erste Ableitung an einer Stelle mit waagrechter Tangente? - Stelle die Ableitung der Funktionenschar allgemein in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Wenn du eine Gleichung mit dem Parameter im Nenner erhältst, wie kannst du diese in eine einfachere Form bringen? - Gibt es möglicherweise mehr als einen Wert für den Parameter, der die Bedingung erfüllt?

1. Die Ableitungsfunktion der Schar bestimmen: \(g_a'(x) = \frac{3}{a}x^2 + 12x + 9a\). 2. Die Bedingung für eine waagrechte Tangente an der Stelle \(x = -3\) ist \(g_a'(-3) = 0\). 3. Den Wert \(x = -3\) in die Ableitung einsetzen: \(\frac{3}{a} \cdot (-3)^2 + 12 \cdot (-3) + 9a = \frac{27}{a} - 36 + 9a\). 4. Die Gleichung \(\frac{27}{a} - 36 + 9a = 0\) nach \(a\) auflösen. Multiplikation mit \(a\) liefert die quadratische Gleichung \(9a^2 - 36a + 27 = 0\). 5. Durch Division mit 9 vereinfachen: \(a^2 - 4a + 3 = 0\). 6. Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen oder durch Faktorisieren \((a-1)(a-3) = 0\) die Werte \(a_1 = 1\) und \(a_2 = 3\) bestimmen.

\(a_1 = 1\) und \(a_2 = 3\)

- Untersuche die Nullstellen beider Funktionen getrennt voneinander und vergleiche die Ergebnisse. - Verwende die notwendige Bedingung für Extremstellen bei der Funktion \(q_a\). - Um die Ortskurve zu finden, stelle die Gleichung für den x-Wert nach dem Parameter um und ersetze diesen in der y-Gleichung. - Wann ist ein negativer Wert „kleiner“ als ein anderer negativer Wert? Achte beim Lösen der Ungleichung auf das Relationszeichen.

1. Nullstellenvergleich: \(p_a(x) = x(x - 2a) = 0\) liefert \(x = 0\) und \(x = 2a\). \(q_a(x) = x^2(\frac{1}{a}x - 2) = 0\) liefert ebenfalls \(x = 0\) und \(x = 2a\). 2. Extremstellen von \(q_a\): \(q_a'(x) = \frac{3}{a}x^2 - 4x = x(\frac{3}{a}x - 4) = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{4}{3}a\). 3. Art und Koordinaten: \(q_a''(x) = \frac{6}{a}x - 4\). \(q_a''(\frac{4}{3}a) = 4 > 0\), also Tiefpunkt bei \(T(\frac{4}{3}a \mid -\frac{32}{27}a^2)\). 4. Ortskurve: Mit \(x = \frac{4}{3}a\) folgt \(a = \frac{3}{4}x\). Einsetzen in \(y = -\frac{32}{27}a^2\) ergibt \(y = -\frac{32}{27} \cdot (\frac{3}{4}x)^2 = -\frac{2}{3}x^2\) für \(x > 0\). 5. Ungleichung: \(-\frac{32}{27}a^2 < -32 \iff a^2 > 27 \iff a > \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).

a) Nullstellen sind jeweils \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2a\). b) \(T(\frac{4}{3}a \mid -\frac{32}{27}a^2)\) c) \(y = -\frac{2}{3}x^2\) für \(x > 0\) d) \(a > 3\sqrt{3}\) (bzw. \(a > \sqrt{27} \approx 5{,}20\))

- Gehe wie bei einer normalen Kurvendiskussion vor, um die Extremstellen zu finden, behandle den Parameter dabei wie eine Zahl. - Du wirst zwei Stellen finden, die vom Parameter abhängen. - Setze diese Stellen in die Funktionsgleichung ein, um die zugehörigen Funktionswerte zu erhalten. - Das Ziel ist eine Funktionsgleichung \(y = f(x)\), die für alle Extrempunkte gilt, egal welchen Wert der Parameter hat. - Achte darauf, ob bestimmte x-Werte aufgrund der Definitionsmenge des Parameters ausgeschlossen werden müssen.

1. Ableitungen berechnen: \(g_a'(x) = 3x^2 - 3a^2\) und \(g_a''(x) = 6x\). 2. Extremstellen bestimmen: \(3x^2 - 3a^2 = 0 \implies x^2 = a^2 \implies x_1 = a, x_2 = -a\). 3. Da \(a \neq 0\), ist \(g_a''(a) = 6a \neq 0\) und \(g_a''(-a) = -6a \neq 0\), somit liegen an beiden Stellen lokale Extrema vor. 4. \(y\)-Koordinaten berechnen: Für \(x = a\): \(y = a^3 - 3a^2(a) + 2 = -2a^3 + 2\). Für \(x = -a\): \(y = (-a)^3 - 3a^2(-a) + 2 = -a^3 + 3a^3 + 2 = 2a^3 + 2\). 5. Parameter eliminieren: Fall \(x = a\): Einsetzen von \(a = x\) in \(y = -2a^3 + 2\) ergibt \(y = -2x^3 + 2\). Fall \(x = -a\): Einsetzen von \(a = -x\) in \(y = 2a^3 + 2\) ergibt \(y = 2(-x)^3 + 2 = -2x^3 + 2\). 6. Da \(a \neq 0\), ist \(x = 0\) von der Ortskurve auszuschließen.

Die Gleichung der Ortskurve lautet \(y = -2x^3 + 2\) für \(x \neq 0\).

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und dem Monotonieverhalten? - Was muss für eine nach oben geöffnete Parabel gelten, damit sie keine Werte unterhalb der x-Achse annimmt? - Erinnere dich an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung. - Wann hat eine quadratische Gleichung keine oder genau eine Lösung?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 + 2kx + 3\). 2. Bedingung für strenge Monotonie: Eine differenzierbare Funktion ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend, wenn \(f'(x) \geq 0\) gilt und die Nullstellen von \(f'\) isoliert sind. 3. Da der Graph von \(f'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist die Bedingung \(f'(x) \geq 0\) genau dann erfüllt, wenn die Diskriminante \(D\) der quadratischen Gleichung \(3x^2 + 2kx + 3 = 0\) kleiner oder gleich Null ist. 4. Diskriminante berechnen: \(D = (2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4k^2 - 36\). 5. Ungleichung lösen: \(4k^2 - 36 \leq 0 \Rightarrow k^2 \leq 9\). 6. Ergebnis: Die Bedingung ist für \(-3 \leq k \leq 3\) erfüllt. In den Grenzfällen \(k = \pm 3\) hat die Ableitung nur eine doppelte Nullstelle (Sattelpunkt), was die strenge Monotonie nicht verletzt.

Die Funktion ist für \(k \in [-3; 3]\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend.

- Wie hängen die Anzahl der Nullstellen der Ableitungsfunktion und die Anzahl der Extremstellen zusammen? - Erinnere dich an die Bedingung für die Existenz von Lösungen bei quadratischen Gleichungen. - Wie gehst du vor, wenn ein konkreter Wert für den Parameter vorgegeben ist? - Vergiss nicht, am Ende sowohl die x- als auch die y-Koordinaten der Punkte anzugeben.

1. Erste Ableitung bilden: \(f_k'(x) = x^2 - kx + 4\). 2. Bedingung für zwei Extremstellen: Die quadratische Gleichung \(x^2 - kx + 4 = 0\) muss zwei verschiedene reelle Lösungen besitzen. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante \(D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16\) größer als Null ist. 3. Ungleichung lösen: \(k^2 - 16 > 0 \implies |k| > 4\). Also für \(k < -4\) oder \(k > 4\). 4. Fall \(k = 5\): \(f_5'(x) = x^2 - 5x + 4\). Nullstellen über die p-q-Formel oder Faktorisierung \((x - 1)(x - 4) = 0\) ergeben \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). 5. Art der Extrema prüfen: \(f_5''(x) = 2x - 5\). - \(f_5''(1) = 2(1) - 5 = -3 < 0 \implies\) Hochpunkt. \(f_5(1) = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{2 - 15 + 24}{6} = \frac{11}{6}\). Punkt \(H(1 | \frac{11}{6})\). - \(f_5''(4) = 2(4) - 5 = 3 > 0 \implies\) Tiefpunkt. \(f_5(4) = \frac{64}{3} - \frac{5}{2} \cdot 16 + 16 = \frac{64}{3} - 40 + 16 = \frac{64 - 72}{3} = -\frac{8}{3}\). Punkt \(T(4 | -\frac{8}{3})\).

a) Die Funktion besitzt genau zwei lokale Extrempunkte, wenn \(k < -4\) oder \(k > 4\) gilt. b) Für \(k = 5\) liegen die Extrempunkte bei \(H(1 | \frac{11}{6})\) (Hochpunkt) und \(T(4 | -\frac{8}{3})\) (Tiefpunkt).

- Nutze die Quotientenregel für die Ableitung. - Wann ist ein Bruch negativ, wenn der Nenner bereits ein Quadrat ist? - Wie bestimmt man den Grenzwert im Unendlichen bei gebrochen-rationalen Funktionen? Vergleiche die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner. - Überlege dir den Grad des Zählers und des Nenners bei der gegebenen Funktionsform.

1. Mit der Quotientenregel: \(u(x) = ax+4\), \(u'(x) = a\); \(v(x) = x+2\), \(v'(x) = 1\). \(g_a'(x) = \frac{a(x+2) - 1(ax+4)}{(x+2)^2} = \frac{ax+2a-ax-4}{(x+2)^2} = \frac{2a-4}{(x+2)^2}\). 2. Damit \(g_a\) streng monoton fallend ist, muss \(g_a'(x) < 0\) gelten. Da der Nenner \((x+2)^2\) für \(x \neq -2\) stets positiv ist, muss der Zähler negativ sein: \(2a-4 < 0 \Rightarrow 2a < 4 \Rightarrow a < 2\). (Der Fall \(a=2\) führt zu einer konstanten Funktion). 3. Der Grenzwert im Unendlichen einer linear-gebrochenen Funktion entspricht dem Verhältnis der Koeffizienten von \(x\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{ax+4}{x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{a+\frac{4}{x}}{1+\frac{2}{x}} = a\). Für \(a < 2\) ist dieser Grenzwert eine endliche reelle Zahl \(a\). 4. Nein. Eine Funktion der Form \(y = \frac{ax+b}{cx+d}\) mit \(c \neq 0\) besitzt für \(x \to \pm \infty\) immer einen endlichen Grenzwert (waagerechte Asymptote bei \(y = \frac{a}{c}\)). Unendliche Grenzwerte treten bei gebrochen-rationalen Funktionen nur auf, wenn der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der des Nennerpolynoms. In diesem Fall (linear durch linear) ist das jedoch nicht möglich.

1. Nachweis via Quotientenregel: \(g_a'(x) = \frac{a(x+2)-(ax+4)}{(x+2)^2} = \frac{2a-4}{(x+2)^2}\). 2. \(a < 2\). 3. \(\lim_{x \to \infty} g_a(x) = a\). 4. Nein, solche Funktionen besitzen stets eine waagerechte Asymptote \(y = \frac{a}{c}\) und streben somit gegen einen endlichen Wert, niemals gegen \(\pm \infty\).

- Bestimme die Ableitungsfunktion und klammere \(x\) aus. - Wann hat die Gleichung \(x^2 - k = 0\) keine, eine oder zwei Lösungen? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen zwischen den Nullstellen. - Was passiert mit dem Term \((x^2 - k)\), wenn \(k\) negativ ist?

1. Erste Ableitung bilden: \(g_k'(x) = x^3 - kx = x(x^2 - k)\). 2. Nullstellen von \(g_k'\) bestimmen: \(x = 0\) ist immer eine Nullstelle. Weitere Nullstellen existieren nur, wenn \(x^2 = k\), also für \(k > 0\) bei \(x = \pm \sqrt{k}\). 3. Fallunterscheidung: - Fall \(k \le 0\): Der Ausdruck \((x^2 - k)\) ist stets \(\ge 0\). Das Vorzeichen von \(g_k'(x)\) entspricht dem Vorzeichen von \(x\). Für \(x \le 0\) ist \(g_k'(x) \le 0\) (monoton fallend), für \(x \ge 0\) ist \(g_k'(x) \ge 0\) (monoton steigend). - Fall \(k > 0\): Die Ableitung hat drei Nullstellen bei \(-\sqrt{k}, 0, \sqrt{k}\). Durch Betrachtung des Graphen von \(g_k'\) (ungerade Funktion 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten) ergeben sich die Vorzeichen: negativ auf \((-\infty; -\sqrt{k}]\), positiv auf \([-\sqrt{k}; 0]\), negativ auf \([0; \sqrt{k}]\) und positiv auf \([\sqrt{k}; \infty)\). 4. Zusammenfassung: Für \(k \le 0\) ist die Funktion monoton fallend auf \((-\infty; 0]\) und monoton steigend auf \([0; \infty)\). Für \(k > 0\) ist sie monoton fallend auf \((-\infty; -\sqrt{k}]\) und \([0; \sqrt{k}]\), sowie monoton steigend auf \([-\sqrt{k}; 0]\) und \([\sqrt{k}; \infty)\).

Für \(k \le 0\): Monoton fallend auf \((-\infty; 0]\), monoton steigend auf \([0; \infty)\). Für \(k > 0\): Monoton fallend auf \((-\infty; -\sqrt{k}]\) und \([0; \sqrt{k}]\); monoton steigend auf \([-\sqrt{k}; 0]\) und \([\sqrt{k}; \infty)\).

- Wie nutzt du die erste und zweite Ableitung, um Extremstellen und deren Art zu bestimmen? - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über das Steigungsverhalten des Graphen aus? - Beachte bei der Bestimmung von \(t\) die Definitionsmenge des Parameters.

1. Ableitungen bilden: \(f'_t(x) = x^2 - t^2\) und \(f''_t(x) = 2x\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f'_t(x) = 0 \implies x^2 = t^2 \implies x_1 = t, x_2 = -t\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''_t(t) = 2t > 0\) (da \(t > 0\)), also liegt bei \(x = t\) ein lokales Minimum vor. \(f''_t(-t) = -2t < 0\), also liegt bei \(x = -t\) ein lokales Maximum vor. 4. Monotonie: \(f'_t(x) = (x-t)(x+t)\). Die Parabel \(f'_t\) ist nach oben geöffnet mit Nullstellen bei \(\pm t\). Somit ist \(f'_t(x) \ge 0\) für \(x \in (-\infty; -t]\) und \(x \in [t; \infty)\) (monoton steigend) und \(f'_t(x) \le 0\) für \(x \in [-t; t]\) (monoton fallend). 5. Bestimmung von \(t\): Die Extremstellen sind \(x = \pm t\). Soll ein Extremum bei \(x = 4\) liegen, muss \(t = 4\) oder \(-t = 4\) gelten. Da \(t > 0\) vorausgesetzt ist, folgt \(t = 4\).

a) Lokales Maximum bei \(x = -t\), lokales Minimum bei \(x = t\). b) Monoton steigend für \(x \le -t\) und \(x \ge t\); monoton fallend für \(-t \le x \le t\). c) \(t = 4\).

- Untersuche die zweite Ableitung der Funktion, um die Wendestelle zu finden. - Was sagt das Vorzeichen der dritten Ableitung über die Art des Krümmungswechsels aus? - Wann hat eine quadratische Gleichung keine oder nur eine einzige Lösung? Nutze die Diskriminante. - Überlege dir, wie sich der Graph der Kosten verhalten würde, wenn es ein Maximum gäbe – wäre das sinnvoll?

1. Es werden die ersten drei Ableitungen gebildet: \(K'(x) = 0{,}3x^2 - 3x + c\), \(K''(x) = 0{,}6x - 3\) und \(K'''(x) = 0{,}6\). Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle \(K''(x) = 0\) führt auf \(0{,}6x - 3 = 0\), woraus \(x = 5\) folgt. Da \(K'''(5) = 0{,}6 > 0\) ist, liegt unabhängig von \(c\) eine Wendestelle vor. Da die zweite Ableitung für \(x < 5\) negativ und für \(x > 5\) positiv ist, findet ein Wechsel von einer Rechts- in eine Linkskrümmung statt. 2. Lokale Extremstellen liegen vor, wenn \(K'(x) = 0\) einen Vorzeichenwechsel aufweist. Keine Extremstellen existieren, wenn die quadratische Gleichung \(0{,}3x^2 - 3x + c = 0\) höchstens eine Lösung hat (Sattelpunkt bei einer Lösung). Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 0{,}3 \cdot c = 9 - 1{,}2c \le 0\) ist. Auflösen nach \(c\) ergibt \(1{,}2c \ge 9\), also \(c \ge 7{,}5\). 3. Ökonomisch bedeutet das Fehlen von Extremstellen bei einer monoton steigenden Kostenfunktion, dass die Gesamtkosten mit zunehmender Produktionsmenge \(x\) immer weiter ansteigen. Es gibt keinen Bereich, in dem eine Erhöhung der Produktion zu sinkenden Gesamtkosten führen würde, was für Kostenverläufe in der Produktionstheorie konsistent ist.

a) Die Wendestelle liegt bei \(x = 5\). Da \(K'''(5) = 0{,}6 > 0\), liegt ein Rechts-Links-Wendepunkt vor. b) Die Funktion besitzt für \(c \ge 7{,}5\) keine lokalen Extremstellen. c) Ökonomisch bedeutet dies, dass die Gesamtkosten mit steigender Produktionsmenge niemals abnehmen, was einem realistischen Kostenverlauf entspricht.

- Nutze die Ableitungen, um die Koordinaten des Extrempunkts in Abhängigkeit von \(a\) zu finden. - Stelle die Gleichung für die x-Koordinate nach \(a\) um und setze diesen Ausdruck in die Gleichung für die y-Koordinate ein. - Welche Rolle spielt das Vorzeichen des Parameters für die Art des Extrempunkts bei einer quadratischen Funktion? - Achte beim Lösen der Ungleichung im letzten Schritt besonders auf das Vorzeichen von \(a\), wenn du damit multiplizierst.

1. Die notwendige Bedingung \(f_a'(x)=2ax-4=0\) liefert \(x=\frac{2}{a}\). Die y-Koordinate ist \(y=f_a\left(\frac{2}{a}\right)=a-\frac{4}{a}\). 2. Aus \(x=\frac{2}{a}\) folgt \(a=\frac{2}{x}\). Da \(a e0\), gilt dabei \(x e0\). Einsetzen ergibt \(y=\frac{2}{x}-\frac{4}{2/x}=\frac{2}{x}-2x\). 3. Es ist \(f_a''(x)=2a\). Ein Maximum liegt für \(a<0\) vor. 4. Für die Lage unterhalb der \(x\)-Achse muss \(a-\frac{4}{a}<0\) gelten. Unter der bereits bekannten Bedingung \(a<0\) kehrt sich beim Multiplizieren mit \(a\) das Relationszeichen um: \(a^2-4>0\). Zusammen mit \(a<0\) folgt \(a<-2\).

a) Die Extrempunkte liegen auf \(y=\frac{2}{x}-2x\) mit \(x e0\). b) Der Extrempunkt ist für \(a<-2\) ein Maximum unterhalb der \(x\)-Achse.

- Wie lautet die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes? - Denke daran, dass der Parameter wie eine Zahl behandelt wird, sein Vorzeichen aber das Ergebnis der zweiten Ableitung beeinflussen kann. - Was passiert mit den beiden potenziellen Extremstellen, wenn der Parameter Null ist? - Zur Bestimmung der \(y\)-Koordinaten musst du die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen.

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 12kx + 9k^2\) und \(f_k''(x) = 6x - 12k\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_k'(x) = 0 \implies 3(x^2 - 4kx + 3k^2) = 0 \implies (x-k)(x-3k) = 0\). Die kritischen Stellen sind \(x_1 = k\) und \(x_2 = 3k\). 3. Untersuchung der Extrema: - Für \(k > 0\): \(f_k''(k) = -6k < 0 \implies H(k \mid 4k^3)\); \(f_k''(3k) = 6k > 0 \implies T(3k \mid 0)\). - Für \(k < 0\): \(f_k''(k) = -6k > 0 \implies T(k \mid 4k^3)\); \(f_k''(3k) = 6k < 0 \implies H(3k \mid 0)\). - Für \(k = 0\): \(f_0(x) = x^3\) hat bei \(x = 0\) einen Sattelpunkt \(S(0 \mid 0)\), keine lokalen Extrema. 4. Wendepunkt bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \implies 6x - 12k = 0 \implies x = 2k\). Da \(f_k'''(x) = 6 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(f_k(2k) = (2k)^3 - 6k(2k)^2 + 9k^2(2k) = 2k^3\). Koordinaten: \(W(2k \mid 2k^3)\).

Für \(k > 0\): Hochpunkt \(H(k \mid 4k^3)\), Tiefpunkt \(T(3k \mid 0)\). Für \(k < 0\): Tiefpunkt \(T(k \mid 4k^3)\), Hochpunkt \(H(3k \mid 0)\). Für \(k = 0\): Kein lokales Extremum (Sattelpunkt bei \((0 \mid 0)\)). Wendepunkt allgemein: \(W(2k \mid 2k^3)\).

- Berechne zuerst die ersten drei Ableitungen der Funktion. - Achte beim Lösen der Gleichung für die Extremstellen darauf, alle Lösungen in Abhängigkeit von \(a\) zu finden. - Wann fallen zwei potenzielle Extremstellen zu einer einzigen Stelle zusammen? - Überprüfe mit der zweiten Ableitung, wie der Parameter \(a\) die Krümmung an den Stellen beeinflusst.

1. Ableitungen bestimmen: \(g_a'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 3ax\), \(g_a''(x) = 3x - 3a\), \(g_a'''(x) = 3\). 2. Extremstellen berechnen: \(g_a'(x) = 0 \implies \frac{3}{2}x(x - 2a) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 2a\). 3. Art der Extrema (\(a \neq 0\)): - \(g_a''(0) = -3a\). Für \(a > 0\) ist \(-3a < 0\) (Hochpunkt), für \(a < 0\) ist \(-3a > 0\) (Tiefpunkt). - \(g_a''(2a) = 3a\). Für \(a > 0\) ist \(3a > 0\) (Tiefpunkt), für \(a < 0\) ist \(3a < 0\) (Hochpunkt). 4. Koordinaten der Punkte: \(P_1(0 \mid 2)\), \(P_2(2a \mid 2 - 2a^3)\). 5. Sonderfall \(a = 0\): Hier ist \(x_1 = x_2 = 0\). Da \(g_0''(0) = 0\) und \(g_0'''(0) = 3 \neq 0\), liegt ein Sattelpunkt bei \(S(0 \mid 2)\) vor. 6. Wendepunkt: \(g_a''(x) = 0 \implies x = a\). Funktionswert: \(g_a(a) = \frac{1}{2}a^3 - \frac{3}{2}a^3 + 2 = 2 - a^3\). Wendepunkt \(W(a \mid 2 - a^3)\).

Für \(a > 0\): Hochpunkt \(H(0 \mid 2)\) und Tiefpunkt \(T(2a \mid 2 - 2a^3)\). Für \(a < 0\): Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\) und Hochpunkt \(H(2a \mid 2 - 2a^3)\). Der Punkt auf der \(y\)-Achse \((0 \mid 2)\) ist somit für \(a > 0\) ein Hochpunkt. Für \(a = 0\) liegt ein Sattelpunkt bei \((0 \mid 2)\) vor; es gibt keinen lokalen Extrempunkt. Wendepunkt: \(W(a \mid 2 - a^3)\).

- Überprüfe \(h_k(-x)\), um auf Symmetrie zu schließen. - Nutze die Quotientenregel für die erste Ableitung und vereinfache den Zähler so weit wie möglich. - Beachte, dass der Faktor \((4+k)\) im Zähler der Ableitung das Vorzeichen und die Nullstellen beeinflusst. - Was passiert mit der Funktion, wenn der Zähler der ursprünglichen Funktion genau dem Nenner entspricht?

1. Symmetrie: Da im Funktionsterm nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, gilt \(h_k(-x) = \frac{(-x)^2 + k}{(-x)^2 - 4} = \frac{x^2 + k}{x^2 - 4} = h_k(x)\). Die Graphen sind für alle \(k \in \mathbb{R}\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Ableitung berechnen: Mit der Quotientenregel ergibt sich \(h_k'(x) = \frac{2x(x^2 - 4) - (x^2 + k)(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 - 2kx}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-2x(4 + k)}{(x^2 - 4)^2}\). 3. Extremstellen: \(h_k'(x) = 0 \iff -2x(4 + k) = 0\). - Fall \(k = -4\): \(h_{-4}(x) = 1\) für \(x \neq \pm 2\). Die Funktion ist auf jedem Teilintervall ihres Definitionsbereichs konstant; daher gibt es keine isolierten Extrempunkte. - Fall \(k \neq -4\): Die einzige potenzielle Extremstelle liegt bei \(x = 0\). Der Funktionswert ist \(h_k(0) = \frac{k}{-4} = -0{,}25k\). 4. Art der Extrema: Die zweite Ableitung an der Stelle \(0\) ist \(h_k''(0) = \frac{-2(4 + k) \cdot (-4)^2 - 0}{(-4)^4} = \frac{-32(4 + k)}{256} = -\frac{4 + k}{8}\). - Für \(k > -4\) ist \(h_k''(0) < 0\), also liegt ein Hochpunkt \(H(0 \mid -0{,}25k)\) vor. - Für \(k < -4\) ist \(h_k''(0) > 0\), also liegt ein Tiefpunkt \(T(0 \mid -0{,}25k)\) vor.

a) Die Graphen von \(h_k\) sind für alle \(k \in \mathbb{R}\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Extrempunkte: - Für \(k > -4\): Hochpunkt \(H(0 \mid -0{,}25k)\). - Für \(k < -4\): Tiefpunkt \(T(0 \mid -0{,}25k)\). - Für \(k = -4\): keine isolierten Extrempunkte (konstante Funktion \(h_{-4}(x) = 1\)).

- Untersuche den Zähler der ersten Ableitung. Wann ist eine quadratische Gleichung linear? - Wovon hängt die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion ab? - Überlege, ob die Diskriminante für bestimmte Werte von \(a\) und \(b\) null oder negativ werden kann. - Vergiss nicht zu prüfen, ob an den Nullstellen der Ableitung auch ein Vorzeichenwechsel vorliegt.

1. Bestimmung der Ableitung: \(g_{a,b}'(x) = \frac{(2x + a)(x^2 + 1) - (x^2 + ax + b)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-ax^2 + 2(1 - b)x + a}{(x^2 + 1)^2}\). 2. Zu Teil a): Damit genau ein Extremum existiert, muss der Zähler \(N(x) = -ax^2 + 2(1 - b)x + a\) genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel haben. Fall \(a = 0\): \(N(x) = 2(1 - b)x\). Für \(b \neq 1\) ist dies eine Gerade mit einer Nullstelle bei \(x = 0\) und Vorzeichenwechsel. Somit hat \(g_{0,b}\) für \(b \neq 1\) genau ein Extremum. 3. Zu Teil b): Für \(a \neq 0\) ist der Zähler eine quadratische Funktion. Die Diskriminante der Gleichung \(-ax^2 + 2(1 - b)x + a = 0\) lautet \(D = (2(1 - b))^2 - 4(-a)(a) = 4(1 - b)^2 + 4a^2\). 4. Da \(a \neq 0\), ist \(4a^2 > 0\). Da zudem \(4(1 - b)^2 \geq 0\) für alle \(b\), gilt stets \(D > 0\). 5. Eine quadratische Funktion mit \(D > 0\) hat zwei verschiedene reelle Nullstellen, an denen jeweils ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Da der Nenner der Ableitung stets positiv ist, besitzt \(g_{a,b}\) für \(a \neq 0\) genau zwei Extremstellen.

a) Ja, für \(a = 0\) und \(b \neq 1\) besitzt die Funktion genau ein lokales Extremum (an der Stelle \(x = 0\)). b) Für \(a \neq 0\) ist die Diskriminante des Zählers der Ableitung \(D = 4(1 - b)^2 + 4a^2\). Da \(a^2 > 0\) und \((1 - b)^2 \geq 0\), ist \(D\) immer positiv, was zwei Extremstellen garantiert.