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- Überlege dir zuerst, wie die allgemeine Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lautet. - Welche Ableitung benötigst du für die Berechnung? - Achte darauf, die Funktionswerte und die Werte der Ableitung an den jeweiligen Stellen \(x_n\) korrekt zu berechnen, bevor du sie in die Formel einsetzt. - Runde erst am Ende deiner Rechnung auf die geforderten Stellen.

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = 3x^2 + 2\). 2. Ersten Iterationsschritt berechnen: \(f(1) = 1^3 + 2 \cdot 1 - 5 = -2\) und \(f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2 = 5\). Einsetzen in die Formel: \(x_1 = 1 - \frac{-2}{5} = 1{,}4\). 3. Zweiten Iterationsschritt berechnen: \(f(1{,}4) = 1{,}4^3 + 2 \cdot 1{,}4 - 5 = 2{,}744 + 2{,}8 - 5 = 0{,}544\). 4. Ableitung an der Stelle \(x_1\) berechnen: \(f'(1{,}4) = 3 \cdot 1{,}4^2 + 2 = 3 \cdot 1{,}96 + 2 = 7{,}88\). 5. Einsetzen in die Formel: \(x_2 = 1{,}4 - \frac{0{,}544}{7{,}88} \approx 1{,}330964\dots\). 6. Runden auf vier Dezimalstellen: \(x_1 = 1{,}4000\) und \(x_2 \approx 1{,}3310\).

\(x_1 = 1{,}4000\) \(x_2 \approx 1{,}3310\)

- Was ist die allgemeine Iterationsformel für das Newton-Verfahren? - Welche Funktion musst du zuerst bilden, um die Formel anwenden zu können? - Setze den berechneten Wert \(x_1\) wieder als neuen Startwert in die Formel ein, um \(x_2\) zu erhalten. - Achte darauf, Zwischenergebnisse entweder als Brüche oder mit ausreichender Genauigkeit zu notieren.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 + 2x + 1\) 2. Erster Schritt des Newton-Verfahrens: \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\) 3. Funktionswerte an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = 1^3 + 1^2 + 1 - 5 = -2\) und \(f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + 1 = 6\) 4. Berechnung von \(x_1\): \(x_1 = 1 - \frac{-2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}3333\) 5. Zweiter Schritt des Newton-Verfahrens: \(x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\) 6. Funktionswerte an der Stelle \(x_1 = \frac{4}{3}\): \(f\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^3 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{4}{3} - 5 = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{4}{3} - 5 = \frac{64+48+36-135}{27} = \frac{13}{27} \approx 0{,}4815\) 7. Ableitungswert an der Stelle \(x_1 = \frac{4}{3}\): \(f'\left(\frac{4}{3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 + 2 \cdot \frac{4}{3} + 1 = \frac{16}{3} + \frac{8}{3} + 1 = \frac{24}{3} + 1 = 9\) 8. Berechnung von \(x_2\): \(x_2 = \frac{4}{3} - \frac{13/27}{9} = \frac{4}{3} - \frac{13}{243} = \frac{324-13}{243} = \frac{311}{243} \approx 1{,}2798\)

\(x_1 \approx 1{,}3333\); \(x_2 \approx 1{,}2798\)

- Stelle zunächst die Ableitungsfunktion auf. - Berechne für den ersten Schritt \(f(x_0)\) und \(f'(x_0)\). - Verwende für den zweiten Schritt den Wert \(x_1\), den du im ersten Schritt erhalten hast. - Prüfe, ob dein Ergebnis zwischen den Werten liegt, bei denen ein Vorzeichenwechsel der Funktion stattfindet.

1. Ableitung der Funktion bestimmen: \(f'(x) = 1{,}5x^2 + 1\) 2. Berechnung von \(x_1\): \(f(2) = 0{,}5 \cdot 2^3 + 2 - 4 = 4 + 2 - 4 = 2\) und \(f'(2) = 1{,}5 \cdot 2^2 + 1 = 6 + 1 = 7\). Es folgt \(x_1 = 2 - \frac{2}{7} = \frac{12}{7} \approx 1{,}7143\). 3. Berechnung von \(x_2\): \(f\left(\frac{12}{7}\right) = 0{,}5 \cdot \left(\frac{12}{7}\right)^3 + \frac{12}{7} - 4 = \frac{864}{343} + \frac{588}{343} - \frac{1372}{343} = \frac{80}{343} \approx 0{,}2332\). 4. Ableitungswert berechnen: \(f'\left(\frac{12}{7}\right) = 1{,}5 \cdot \left(\frac{12}{7}\right)^2 + 1 = \frac{3}{2} \cdot \frac{144}{49} + 1 = \frac{216}{49} + \frac{49}{49} = \frac{265}{49} \approx 5{,}4082\). 5. Einsetzen in die Formel: \(x_2 = \frac{12}{7} - \frac{80/343}{265/49} = \frac{12}{7} - \frac{80}{343} \cdot \frac{49}{265} = \frac{12}{7} - \frac{80}{7 \cdot 265} = \frac{12}{7} - \frac{16}{371} = \frac{636-16}{371} = \frac{620}{371} \approx 1{,}6712\).

\(x_1 \approx 1{,}7143\); \(x_2 \approx 1{,}6712\)

- Schau dir die Formel in Zelle C1 an und ersetze den Zellbezug B1 durch die Variable \(x\). - Vergleiche die Formeln in der Tabelle mit der allgemeinen Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\). - Der Startwert ist der erste Wert, mit dem die Rechnung beginnt. - Um den Wert in B2 zu finden, musst du die Formeln der ersten Zeile Schritt für Schritt mit dem Startwert ausrechnen.

1. Aus der Formel in Zelle C1 (\(0{,}5 \cdot B1^2 - 4\)) lässt sich die Funktion \(f(x) = 0{,}5x^2 - 4\) ablesen. Der Startwert \(x_0\) steht in Zelle B1 und beträgt \(4\). 2. In Zelle E1 wird der Quotient \(\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) berechnet, also das Korrekturglied des Newton-Verfahrens. In Zelle F1 wird dieses Korrekturglied vom aktuellen Näherungswert subtrahiert (\(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)), um den verbesserten Näherungswert für den nächsten Schritt zu erhalten. 3. Zelle B2 übernimmt den Wert aus F1. Zuerst werden C1 und D1 für \(x_0 = 4\) berechnet: \(f(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 - 4 = 4\) und \(f'(4) = 4\) (da die Ableitung von \(0{,}5x^2 - 4\) gleich \(x\) ist). Damit ist \(E1 = 4 : 4 = 1\) und \(F1 = 4 - 1 = 3\). In B2 steht somit der Wert \(3\).

1. \(f(x) = 0{,}5x^2 - 4\); \(x_0 = 4\) 2. E1 berechnet das Korrekturglied \(\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\); F1 berechnet den neuen Näherungswert \(x_{n+1}\). 3. In Zelle B2 steht der Wert \(3\).

- Überlege zuerst, wie die allgemeine Formel für das Newton-Verfahren lautet. - Welche mathematische Operation musst du an der Funktion \(f(x)\) durchführen, um die Formel anwenden zu können? - Achte darauf, die berechneten Werte für \(f(x_n)\) und \(f'(x_n)\) sorgfältig in den Bruch einzusetzen. - Nutze den Taschenrechner für die Potenzen, aber notiere dir die Zwischenschritte.

1. Bestimmung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 4x^3 + 2\). 2. Berechnung des ersten Iterationsschritts: \(f(1) = -2\) und \(f'(1) = 6\). Damit ergibt sich \(x_1 = 1 - \frac{-2}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}3333\). 3. Berechnung des zweiten Iterationsschritts mit \(x_1 = \frac{4}{3}\): \(f(\frac{4}{3}) = \frac{67}{81} \approx 0{,}8272\) und \(f'(\frac{4}{3}) = \frac{310}{27} \approx 11{,}4815\). 4. Einsetzen in die Formel: \(x_2 = \frac{4}{3} - \frac{67/81}{310/27} = \frac{4}{3} - \frac{67}{930} = \frac{1173}{930} = \frac{391}{310} \approx 1{,}2613\).

\(x_1 \approx 1{,}3333\) \(x_2 \approx 1{,}2613\)

- Was ist das Ziel des Newton-Verfahrens und welche Rolle spielt dabei die Tangente an den Graphen? - Überprüfe vor jedem Schritt, ob du die Ableitungsfunktion korrekt aufgestellt hast. - Setze den jeweils neuen Wert \(x_n\) immer wieder als Startwert für den nächsten Schritt ein. - Achte auf die Rundungsvorgaben in der Aufgabenstellung.

1. Definition der Funktion \(f(x) = x^3 - 4x + 1\) und Bildung der Ableitung \(f'(x) = 3x^2 - 4\). 2. Erster Iterationsschritt: \(f(2) = 1{,}0000\) und \(f'(2) = 8{,}0000\). Damit gilt \(x_1 = 2 - \frac{1}{8} = 1{,}8750\). 3. Zweiter Iterationsschritt: \(f(1{,}8750) = 0{,}091796875 \approx 0{,}0918\) und \(f'(1{,}8750) = 6{,}546875 \approx 6{,}5469\). 4. Damit gilt \(x_2 = 1{,}8750 - \frac{0{,}091796875}{6{,}546875} \approx 1{,}8610\).

\(x_1 = 1{,}8750\) \(x_2 \approx 1{,}8610\)

- Erinnere dich an die allgemeine Iterationsformel des Newton-Verfahrens. - Welche Rolle spielt die Ableitung \(f'(x)\) in der Formel? - Überlege, welche Tangente im Newton-Verfahren verwendet wird. - Wo schneidet diese Tangente die horizontale Achse?

1. Berechnung der Funktionswerte an der Stelle \(x_0 = -3\): \(f(-3) = 0{,}25 \cdot (-3)^3 - (-3) + 1 = -6{,}75 + 3 + 1 = -2{,}75\) \(f'(x) = 0{,}75x^2 - 1\) \(f'(-3) = 0{,}75 \cdot (-3)^2 - 1 = 6{,}75 - 1 = 5{,}75\) 2. Anwendung der Newton-Formel \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\): \(x_1 = -3 - \frac{-2{,}75}{5{,}75} = -3 + \frac{11}{23} = -\frac{58}{23} \approx -2{,}52\) 3. Geometrische Deutung: Der Wert \(x_1\) ist die Nullstelle der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P(-3 \mid -2{,}75)\).

a) \(x_1 = -\frac{58}{23} \approx -2{,}52\) b) \(x_1\) ist die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts der Tangente an den Graphen von \(f\) an der Stelle \(x_0 = -3\) mit der \(x\)-Achse.

- Erinnere dich an die Potenzregel für das Ableiten von Polynomen. - Die Formel für den neuen Näherungswert im Newton-Verfahren lautet \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\). - Achte beim Berechnen von \(x_2\) darauf, das Ergebnis von \(x_1\) als neuen Ausgangswert zu verwenden. - Nutze für die Tabellenformeln die Zelladresse B1 anstelle von \(x\).

1. Die Ableitung der Funktion \(f(x) = x^3 - 2x - 5\) lautet \(f'(x) = 3x^2 - 2\). 2. Die Formeln lauten: C1: `=B1^3 - 2*B1 - 5`; D1: `=3*B1^2 - 2`; E1: `=B1 - C1/D1`. 3. Schritt 1 (\(x_0 = 2\)): \(f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 - 5 = 8 - 4 - 5 = -1\). \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 = 12 - 2 = 10\). Damit ist \(x_1 = 2 - \frac{-1}{10} = 2{,}1\). Schritt 2 (\(x_1 = 2{,}1\)): \(f(2{,}1) = 2{,}1^3 - 2 \cdot 2{,}1 - 5 = 9{,}261 - 4{,}2 - 5 = 0{,}061\). \(f'(2{,}1) = 3 \cdot 2{,}1^2 - 2 = 13{,}23 - 2 = 11{,}23\). Damit ist \(x_2 = 2{,}1 - \frac{0{,}061}{11{,}23} \approx 2{,}09457\).

1. \(f'(x) = 3x^2 - 2\) 2. C1: `=B1^3 - 2*B1 - 5`; D1: `=3*B1^2 - 2`; E1: `=B1 - C1/D1` 3. \(x_1 = 2{,}1\); \(x_2 \approx 2{,}09457\)

- Untersuche das Vorzeichen der Funktionswerte an verschiedenen Stellen, um die Existenz einer Nullstelle zu prüfen. - Betrachte die erste Ableitung der Funktion, um eine Aussage über die Monotonie zu treffen. - Erinnere dich an die Formel für die Iterationsschritte beim Newton-Verfahren. - Führe die Berechnungen so lange durch, bis die gewünschte Anzahl an Dezimalstellen stabil bleibt.

1. Nachweis der Existenz einer Nullstelle: Da \(f\) als Polynomfunktion stetig ist und \(f(1) = -2 < 0\) sowie \(f(2) = 10 > 0\) gilt, existiert nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle im Intervall \((1; 2)\). 2. Nachweis der Eindeutigkeit: Die Ableitung \(f'(x) = 3x^2 + 5\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) positiv. Daher ist \(f\) streng monoton steigend und besitzt höchstens eine Nullstelle. 3. Newton-Verfahren mit \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + 5x_n - 8}{3x_n^2 + 5}\): \(x_0 = 1\) \(x_1 = 1 - \frac{-2}{8} = 1{,}25\) \(x_2 = 1{,}25 - \frac{0{,}203125}{9{,}6875} \approx 1{,}2290323\) \(x_3 \approx 1{,}2288603\) \(x_4 \approx 1{,}2288602\) 4. Da \(x_3\) und \(x_4\) auf vier Dezimalstellen übereinstimmen, liegt die Nullstelle bei \(x \approx 1{,}2289\).

a) Die Existenz folgt aus dem Vorzeichenwechsel zwischen \(f(1) = -2\) und \(f(2) = 10\). Die Eindeutigkeit folgt aus \(f'(x) = 3x^2 + 5 > 0\) für alle \(x\). b) Die Nullstelle liegt bei \(x \approx 1{,}2289\).

- Wie verhält sich die Steigung der Funktion im angegebenen Intervall? - Welcher Wert im Intervall \([0; 1]\) bietet sich als erster Schätzwert für das Verfahren an? - Achte darauf, bei den Zwischenschritten mit einer höheren Genauigkeit zu rechnen als im Endergebnis gefordert.

1. Existenz im Intervall: Es gilt \(g(0) = -2\) und \(g(1) = 1^4 + 3 \cdot 1 - 2 = 2\). Wegen des Vorzeichenwechsels und der Stetigkeit von \(g\) liegt mindestens eine Nullstelle in \([0; 1]\). 2. Eindeutigkeit im Intervall: Die Ableitung \(g'(x) = 4x^3 + 3\) ist für alle \(x \in [0; 1]\) positiv (da \(x^3 \ge 0\)). Somit ist \(g\) in diesem Intervall streng monoton steigend, was die Eindeutigkeit der Nullstelle garantiert. 3. Newton-Verfahren mit \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^4 + 3x_n - 2}{4x_n^3 + 3}\), Startwert z. B. \(x_0 = 0{,}5\): - \(x_0 = 0{,}5\) - \(x_1 \approx 0{,}5 - \frac{-0{,}4375}{3{,}5} = 0{,}625\) - \(x_2 \approx 0{,}625 - \frac{0{,}027588}{3{,}976563} \approx 0{,}618062\) - \(x_3 \approx 0{,}618034\) - \(x_4 \approx 0{,}618034\) 4. Die auf vier Stellen genaue Lösung ist \(x \approx 0{,}6180\).

a) Wegen \(g(0) = -2\) und \(g(1) = 2\) gibt es nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle. Da \(g'(x) = 4x^3 + 3 > 0\) für \(x \in [0; 1]\), ist die Funktion dort streng monoton steigend, was die Eindeutigkeit zeigt. b) Die Nullstelle ist \(x \approx 0{,}6180\).

- Überlege dir zuerst, wie die Ableitung einer Potenzfunktion gebildet wird. - Versuche beim Umformen der Formel, alle Terme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Achte bei den numerischen Berechnungen darauf, Zwischenergebnisse nicht zu früh zu runden, um die Genauigkeit von \(x_2\) nicht zu gefährden. - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Wert eine Nullstelle der Funktion \(f(x) = x^4 - a\) ist?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 4x^3\). 2. Einsetzen in die Newton-Iterationsformel: \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^4 - a}{4x_n^3}\). 3. Zusammenfassen der Terme durch Erweitern des ersten Summanden mit \(4x_n^3\): \(x_{n+1} = \frac{4x_n^4 - (x_n^4 - a)}{4x_n^3} = \frac{3x_n^4 + a}{4x_n^3} = \frac{1}{4} \left(3x_n + \frac{a}{x_n^3}\right)\). 4. Numerische Berechnung für \(a = 100\) und \(x_0 = 3\): \(x_1 = \frac{1}{4} \left(3 \cdot 3 + \frac{100}{3^3}\right) \approx 3{,}175926 \approx 3{,}1759\) \(x_2 = \frac{1}{4} \left(3 \cdot 3{,}175926 + \frac{100}{3{,}175926^3}\right) \approx 3{,}162365 \approx 3{,}1624\) 5. Mit dem ungerundeten Wert \(x_2 \approx 3{,}162365\) gilt \(x_2^4 \approx 100{,}0111\). Mit dem gerundeten Wert \(3{,}1624\) erhält man \(3{,}1624^4 \approx 100{,}0155\).

a) \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^4 - a}{4x_n^3} = \frac{4x_n^4 - x_n^4 + a}{4x_n^3} = \frac{3x_n^4 + a}{4x_n^3} = \frac{1}{4} \left( 3x_n + \frac{a}{x_n^3} \right)\) b) \(x_1 \approx 3{,}1759\); \(x_2 \approx 3{,}1624\) c) Mit dem gerundeten Wert gilt \(3{,}1624^4 \approx 100{,}0155\). Die Abweichung zu \(100\) beträgt etwa \(0{,}0155\).

- Erinnere dich daran, dass \(1\,\text{Liter}\) genau \(1\,\text{dm}^3\) entspricht. - Um das Newton-Verfahren anzuwenden, musst du die Gleichung zuerst in die Form \(f(h) = 0\) bringen. - Welche Formel berechnet aus einem Näherungswert \(h_n\) den nächsten, besseren Wert \(h_{n+1}\)? - Du benötigst für das Verfahren sowohl die Funktionswerte als auch die Werte der ersten Ableitung an den jeweiligen Stellen.

1. Aufstellen der Gleichung und der Funktion für das Newton-Verfahren: Da \(120\,\text{l} = 120\,\text{dm}^3\), suchen wir die Nullstelle von \(f(h) = 0{,}5h^3 + 9\pi h - 120\). 2. Ableitung bilden: \(f'(h) = 1{,}5h^2 + 9\pi\). 3. Erster Iterationsschritt mit \(h_0 = 3\): \(f(3) = 0{,}5 \cdot 3^3 + 9\pi \cdot 3 - 120 = 13{,}5 + 27\pi - 120 \approx -21{,}677\) \(f'(3) = 1{,}5 \cdot 3^2 + 9\pi = 13{,}5 + 9\pi \approx 41{,}774\) \(h_1 = 3 - \frac{-21{,}677}{41{,}774} \approx 3{,}519\) 4. Zweiter Iterationsschritt mit dem ungerundeten Wert \(h_1 \approx 3{,}518907\): \(f(3{,}518907) \approx 1{,}282\) \(f'(3{,}518907) \approx 46{,}848\) \(h_2 = 3{,}518907 - \frac{1{,}282}{46{,}848} \approx 3{,}492\)

Nach dem ersten Schritt ergibt sich \(h_1 \approx 3{,}519\). Nach dem zweiten Schritt ergibt sich \(h_2 \approx 3{,}492\). Die notwendige Füllhöhe beträgt somit etwa \(3{,}492\,\text{dm}\).

- Überlege zuerst, wie die Ableitung einer Potenzfunktion gebildet wird. - Versuche beim Vereinfachen der Formel, alle Terme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Setze für den zweiten Teil die gegebenen Werte für \(a\) und \(x_1\) Schritt für Schritt in deine hergeleitete Formel ein. - Achte darauf, das Ergebnis aus dem ersten Schritt exakt (als Bruch) oder mit ausreichend Nachkommastellen für den nächsten Schritt zu verwenden.

1. Ableitung der Funktion \(f(x) = x^3 - a\) bestimmen: \(f'(x) = 3x^2\). 2. Einsetzen in die Newton-Formel: \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 - a}{3x_n^2}\). 3. Vereinfachen durch Hauptnennerbildung: \(x_{n+1} = \frac{3x_n^3 - (x_n^3 - a)}{3x_n^2} = \frac{2x_n^3 + a}{3x_n^2} = \frac{1}{3} \cdot \left(2x_n + \frac{a}{x_n^2}\right)\). 4. Berechnung von \(x_2\) für \(a = 26\) und \(x_1 = 3\): \(x_2 = \frac{1}{3} \cdot \left(2 \cdot 3 + \frac{26}{3^2}\right) = \frac{1}{3} \cdot \left(6 + \frac{26}{9}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{54 + 26}{9} = \frac{80}{27} \approx 2{,}96296\). 5. Berechnung von \(x_3\): \(x_3 = \frac{1}{3} \cdot \left(2 \cdot \frac{80}{27} + \frac{26}{(80/27)^2}\right) = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{160}{27} + \frac{26 \cdot 729}{6400}\right) = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{160}{27} + \frac{18954}{6400}\right) \approx 2{,}962496\).

a) \(x_{n+1} = \frac{1}{3} \cdot \left(2x_n + \frac{a}{x_n^2}\right)\) oder \(x_{n+1} = \frac{2x_n^3 + a}{3x_n^2}\) b) \(x_2 = \frac{80}{27} \approx 2{,}9630\); \(x_3 \approx 2{,}9625\)

- Überlege dir zuerst, wie die Ableitung der Funktion lautet. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für den nächsten Näherungswert beim Newton-Verfahren. - Setze die Werte Schritt für Schritt in deinen Taschenrechner ein. - Achte darauf, während der Rechnung mit genügend vielen Nachkommastellen zu arbeiten, um Rundungsfehler zu vermeiden.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 3x^2 + 4x\). 2. Aufstellen der Rekursionsformel des Newton-Verfahrens: \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + 2x_n^2 - 7}{3x_n^2 + 4x_n}\). 3. Erster Iterationsschritt mit \(x_0 = 1{,}5\): \(f(1{,}5) = 0{,}875\) und \(f'(1{,}5) = 12{,}75\). Daraus folgt \(x_1 = 1{,}5 - \frac{0{,}875}{12{,}75} \approx 1{,}431373\). 4. Zweiter Iterationsschritt: \(f(1{,}431373) \approx 0{,}030290\) und \(f'(1{,}431373) \approx 11{,}871972\). Daraus folgt \(x_2 \approx 1{,}431373 - \frac{0{,}030290}{11{,}871972} \approx 1{,}428821\). 5. Dritter Iterationsschritt: \(f(1{,}428821) \approx 0{,}000041\) und \(f'(1{,}428821) \approx 11{,}839874\). Daraus folgt \(x_3 \approx 1{,}428818\). 6. Da sich die ersten drei Nachkommastellen stabilisiert haben, ist der Näherungswert gefunden.

Die Nullstelle liegt bei etwa \(x \approx 1{,}429\).

- Bilde zuerst die Ableitungsfunktion und setze sie korrekt in die Newton-Formel ein. - Verwende den angegebenen Startwert \(x_0 = 1{,}5\). - Führe die Rechnung so lange fort, bis sich das Ergebnis auf die gewünschte Anzahl an Stellen nicht mehr ändert.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 4x^3 - 5\). 2. Newton-Formel: \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^4 - 5x_n + 1}{4x_n^3 - 5}\). 3. Berechnung der Iterationswerte mit \(x_0 = 1{,}5\): - \(x_1 = 1{,}5 - \frac{-1{,}4375}{8{,}5} \approx 1{,}669118\) - \(x_2 \approx 1{,}669118 - \frac{0{,}415950}{13{,}600338} \approx 1{,}638534\) - \(x_3 \approx 1{,}638534 - \frac{0{,}015445}{12{,}596498} \approx 1{,}637308\) - \(x_4 \approx 1{,}637308 - \frac{0{,}000024}{12{,}557024} \approx 1{,}637306\) 4. Die Werte stabilisieren sich auf drei Dezimalstellen bei \(1{,}637\).

Die Nullstelle im Intervall \([1; 2]\) ist \(x \approx 1{,}637\).

- Hast du die Funktionsgleichung so aufgeschrieben, dass eine Seite der Gleichung Null ist? - Erinnere dich an die Formel für das Newton-Verfahren. Welche Ableitung benötigst du? - Führe die Schritte der Iteration nacheinander aus und notiere die Zwischenergebnisse. - Wann merkst du, dass du genau genug gerechnet hast? Vergleiche die Ergebnisse aufeinanderfolgender Schritte.

1. Definition der Funktion \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) und ihrer Ableitung \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). 2. Anwendung der Newton-Iterationsformel \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) mit dem Startwert \(x_0 = 0{,}5\). 3. Erste Iteration: \(x_1 = 0{,}5 - \frac{0{,}375}{-2{,}25} \approx 0{,}6667\). 4. Zweite Iteration: \(x_2 \approx 0{,}6667 - \frac{-0{,}0370}{-2{,}6667} \approx 0{,}6528\). 5. Dritte Iteration: \(x_3 \approx 0{,}6528 - \frac{-0{,}0002}{-2{,}6383} \approx 0{,}6527\). 6. Da sich die ersten beiden Nachkommastellen stabilisiert haben, ergibt sich der Näherungswert \(x \approx 0{,}65\).

\(x \approx 0{,}65\)

- Überlege dir zuerst, in welchem Bereich die Lösung ungefähr liegen könnte, indem du Funktionswerte testest. - Denke daran, die Gleichung so umzuformen, dass eine Seite Null ergibt. - Die Iterationsformel benötigt sowohl die Funktion als auch ihre erste Ableitung. - Wiederhole das Verfahren so lange, bis sich die gewünschten Nachkommastellen nicht mehr verändern.

1. Definition der Funktion \(f(x) = x^3 + 3x - 5\) und ihrer Ableitung \(f'(x) = 3x^2 + 3\). 2. Wahl eines Startwertes: Da \(f(1) = -1\) und \(f(2) = 9\), liegt eine Nullstelle im Intervall \([1; 2]\). Sei \(x_0 = 1\). 3. Erste Iteration: \(x_1 = 1 - \frac{f(1)}{f'(1)} = 1 - \frac{-1}{6} \approx 1{,}1667\). 4. Zweite Iteration: \(x_2 = 1{,}1667 - \frac{f(1{,}1667)}{f'(1{,}1667)} \approx 1{,}1667 - \frac{0{,}0879}{7{,}0834} \approx 1{,}1543\). 5. Dritte Iteration: \(x_3 = 1{,}1543 - \frac{f(1{,}1543)}{f'(1{,}1543)} \approx 1{,}15417\). 6. Da sich die ersten beiden Nachkommastellen nicht mehr ändern, ist die Lösung näherungsweise \(1{,}15\).

\(x \approx 1{,}15\)

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für einen Schritt des Näherungsverfahrens. Welche Funktionswerte benötigst du dafür? - Was bedeutet es geometrisch, wenn wir eine Tangente an den Graphen legen? Wie hängt die Steigung dieser Tangente mit der Ableitung zusammen? - Betrachte den Graphen an der Stelle \(x = 1\). Welche besondere Eigenschaft hat die Kurve dort und was bedeutet das für die Tangente? - Stelle dir die Tangente an der Stelle \(x = 1{,}1\) vor. Wo schneidet diese Tangente die \(x\)-Achse?

1. Ableitung der Funktion bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 3\) 2. Ersten Schritt für \(x_0 = 2\) berechnen: \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 1 = 3\) \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 3 = 9\) \(x_1 = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} = 2 - \frac{3}{9} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\) 3. Zweiten Schritt für \(x_1 = \frac{5}{3}\) berechnen: \(f\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right)^3 - 3 \cdot \frac{5}{3} + 1 = \frac{125}{27} - 4 = \frac{17}{27}\) \(f'\left(\frac{5}{3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 3 = \frac{25}{3} - 3 = \frac{16}{3}\) \(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{f\left(\frac{5}{3}\right)}{f'\left(\frac{5}{3}\right)} = \frac{5}{3} - \frac{\frac{17}{27}}{\frac{16}{3}} = \frac{5}{3} - \frac{17}{144} = \frac{223}{144} \approx 1{,}549\) 4. Begründung für \(x_0 = 1\): Rechnerisch gilt \(f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 0\). Da die Newton-Formel eine Division durch \(f'(x_n)\) verlangt, ist der Schritt für \(f'(x_0) = 0\) nicht definiert. Anschaulich besitzt die Funktion bei \(x = 1\) ein lokales Minimum. Die Tangente an dieser Stelle verläuft waagerecht und schneidet die \(x\)-Achse nicht. 5. Erklärung für \(x_0 = 1{,}1\): Da \(x_0 = 1{,}1\) sehr nahe am Tiefpunkt bei \(x = 1\) liegt, ist die Steigung der Tangente dort sehr klein (\(f'(1{,}1) = 0{,}63\)). Da der Funktionswert negativ ist (\(f(1{,}1) = -0{,}969\)), führt die flache Tangente dazu, dass man entlang dieser Linie sehr weit nach rechts gehen muss, um die \(x\)-Achse zu schneiden (\(x_1 \approx 2{,}64\)).

a) \(x_1 = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\) und \(x_2 = \frac{223}{144} \approx 1{,}549\) b) Rechnerisch ist \(f'(1) = 0\), weshalb eine Division durch null entstehen würde. Anschaulich verläuft die Tangente am Tiefpunkt waagerecht und hat keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. c) Da die Steigung der Tangente nahe am Tiefpunkt sehr klein ist, verläuft sie fast waagerecht. Von einem Punkt unterhalb der \(x\)-Achse aus liegt ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse deshalb weit rechts von der tatsächlichen Nullstelle.

- Schau dir an, wo der Graph die waagerechte Achse schneidet. - Erinnere dich an die allgemeine Iterationsformel des Newton-Verfahrens. - Überlege, was geometrisch passiert, wenn die Tangente an einer Stelle parallel zur \(x\)-Achse verläuft. - Welcher Teil der Newton-Formel darf niemals den Wert null annehmen?

1. Ablesen der Nullstellen aus dem Graphen: \(x_{N1} \approx -2{,}5\), \(x_{N2} \approx 0{,}5\), \(x_{N3} \approx 1{,}9\). 2. Berechnung der Ableitung: \(f'(x) = 0{,}6x^2 - 1\). 3. Erster Newton-Schritt mit \(x_0 = 2\): \(f(2) = 0{,}2 \cdot 2^3 - 2 + 0{,}5 = 1{,}6 - 2 + 0{,}5 = 0{,}1\) \(f'(2) = 0{,}6 \cdot 2^2 - 1 = 2{,}4 - 1 = 1{,}4\) \(x_1 = 2 - \frac{0{,}1}{1{,}4} = 2 - \frac{1}{14} \approx 1{,}929\) 4. Problematische Startwerte sind Stellen mit waagerechter Tangente, also Stellen mit \(f'(x) = 0\). Dort ist die Newton-Formel wegen einer Division durch null nicht definiert. 5. Berechnung der Stellen: \(0{,}6x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{0{,}6} = \frac{5}{3} \Rightarrow x \approx \pm 1{,}29\).

a) Die Nullstellen liegen etwa bei \(-2{,}5\), \(0{,}5\) und \(1{,}9\). b) Der erste Näherungswert beträgt \(x_1 \approx 1{,}929\). c) Startwerte an lokalen Extremstellen sind unzulässig, da dort \(f'(x) = 0\) gilt. Für die gegebene Funktion sind dies die Stellen \(x \approx -1{,}29\) und \(x \approx 1{,}29\).

- Überlege dir zuerst die Formel für einen Schritt im Newton-Verfahren. - Welche Rolle spielt die Ableitung \(f'\) in der Berechnungsformel? - Betrachte den Graphen: Was passiert mit einer Tangente in der Nähe eines Hoch- oder Tiefpunkts? - Erinnere dich daran, dass das Newton-Verfahren den Schnittpunkt einer Tangente mit der \(x\)-Achse nutzt.

1. Funktionswerte und Ableitung bestimmen: \(f(x) = 0{,}25x^4 - 2x^2 + 0{,}5x + 1\) \(f'(x) = x^3 - 4x + 0{,}5\) 2. Erster Iterationsschritt mit \(x_0 = 3\): \(f(3) = 0{,}25 \cdot 3^4 - 2 \cdot 3^2 + 0{,}5 \cdot 3 + 1 = 20{,}25 - 18 + 1{,}5 + 1 = 4{,}75\) \(f'(3) = 3^3 - 4 \cdot 3 + 0{,}5 = 27 - 12 + 0{,}5 = 15{,}5\) \(x_1 = 3 - \frac{4{,}75}{15{,}5} \approx 2{,}694\) 3. Zweiter Iterationsschritt mit \(x_1 \approx 2{,}6935\): \(f(2{,}6935) \approx 0{,}996\) \(f'(2{,}6935) \approx 9{,}268\) \(x_2 = 2{,}6935 - \frac{0{,}996}{9{,}268} \approx 2{,}586\) 4. Startwerte in der Nähe eines lokalen Extrempunkts sind problematisch, weil die Tangente dort nahezu waagerecht verläuft. Ein Beispiel ist \(x_0 \approx 1{,}9\), nahe dem lokalen Minimum bei \(x \approx 1{,}93\). Am Extrempunkt selbst gilt \(f'(x) = 0\), sodass die Newton-Formel nicht definiert ist.

a) Nach zwei Schritten erhält man \(x_1 \approx 2{,}694\) und \(x_2 \approx 2{,}586\). b) Ein problematischer Startwert ist zum Beispiel \(x_0 \approx 1{,}9\). Dort verläuft die Tangente nahezu waagerecht; am benachbarten lokalen Extrempunkt ist der Newton-Schritt wegen \(f'(x) = 0\) nicht definiert.

- Erinnere dich an die Newton-Formel: \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\). - Rechne konsequent mit Brüchen, um ein exaktes Ergebnis ohne Rundungsfehler zu erhalten. - Beim Dividieren durch einen Bruch musst du mit dem Kehrwert multiplizieren. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob der Bruch weiter gekürzt werden kann.

1. Definition der Funktion und ihrer Ableitung: \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) und \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). 2. Berechnung von \(x_1\): \(f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 1 = 1\) und \(f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 = 9\). Daraus folgt \(x_1 = 3 - \frac{1}{9} = \frac{26}{9}\). 3. Berechnung von \(x_2\): Zuerst \(f\left(\frac{26}{9}\right) = \left(\frac{26}{9}\right)^3 - 3 \cdot \left(\frac{26}{9}\right)^2 + 1 = \frac{17576}{729} - \frac{2028}{81} + 1 = \frac{17576 - 18252 + 729}{729} = \frac{53}{729}\). 4. Berechnung von \(f'\left(\frac{26}{9}\right) = 3 \cdot \left(\frac{26}{9}\right)^2 - 6 \cdot \frac{26}{9} = \frac{676}{27} - \frac{156}{9} = \frac{676 - 468}{27} = \frac{208}{27}\). 5. Berechnung des Bruchs für \(x_2\): \(x_2 = \frac{26}{9} - \frac{53/729}{208/27} = \frac{26}{9} - \frac{53}{729} \cdot \frac{27}{208} = \frac{26}{9} - \frac{53}{27 \cdot 208} = \frac{26}{9} - \frac{53}{5616}\). 6. Hauptnenner bilden: \(x_2 = \frac{16224 - 53}{5616} = \frac{16171}{5616}\).

\(x_1 = \frac{26}{9}\) \(x_2 = \frac{16171}{5616}\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregel für Brüche oder negative Exponenten. - Ein Doppelbruch lässt sich vereinfachen, indem man mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert. - Führe die Berechnungen in Teil b) schrittweise durch und achte auf das Vorzeichen des Terms in der Klammer. - Wenn eine Folge von Werten immer weiter vom Zielwert wegführt, spricht man von Divergenz.

1. Ableitung der Funktion \(f(x) = x^{-1} - b\): \(f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). 2. Anwendung der Newton-Formel: \(x_{n+1} = x_n - \frac{\frac{1}{x_n} - b}{-\frac{1}{x_n^2}} = x_n + \left(\frac{1}{x_n} - b\right)x_n^2\). 3. Vereinfachung: \(x_{n+1} = x_n + x_n - bx_n^2 = 2x_n - bx_n^2 = x_n(2 - bx_n)\). 4. Für \(b = 13\) und \(x_0 = 0{,}1\): \(x_1 = 0{,}1(2 - 13 \cdot 0{,}1) = 0{,}07\) \(x_2 = 0{,}07(2 - 13 \cdot 0{,}07) = 0{,}0763\) \(x_3 = 0{,}0763(2 - 13 \cdot 0{,}0763) = 0{,}07691803\) 5. Für \(x_0 = 0{,}2\) erhält man: \(x_1 = -0{,}12\) \(x_2 = -0{,}4272\) \(x_3 \approx -3{,}2269\) Die Beträge wachsen schnell; die Folge divergiert. Für \(b = 13\) konvergiert die Iteration bei positiven Startwerten nur für \(0 < x_0 < \frac{2}{13}\). Der Wert \(0{,}2\) liegt außerhalb dieses Bereichs.

a) \(x_{n+1} = x_n(2 - bx_n)\) b) \(x_1 = 0{,}07\); \(x_2 = 0{,}0763\); \(x_3 = 0{,}07691803\) c) Für \(x_0 = 0{,}2\) gilt \(x_1 = -0{,}12\), \(x_2 = -0{,}4272\) und \(x_3 \approx -3{,}2269\). Die Folge divergiert, weil \(0{,}2 > \frac{2}{13}\) gilt.

- Nutze die Newton-Formel schrittweise und behalte genügend Nachkommastellen in den Zwischenergebnissen. - Überlege dir, welche Steigung die Tangente im Ursprung hat. - Prüfe nach mehreren Schritten, ob sich die ersten beiden Dezimalstellen nicht mehr ändern.

1. \(f'(x) = x^3 - 4x\). 2. Mit \(x_0 = 3\): \(f(3) = 4{,}25\), \(f'(3) = 15\), also \(x_1 = 3 - \frac{4{,}25}{15} \approx 2{,}7167\). 3. Zweiter Schritt: \(f(2{,}7167) \approx 0{,}8566\), \(f'(2{,}7167) \approx 9{,}1831\), also \(x_2 \approx 2{,}6234\). 4. Dritter Schritt: \(f(2{,}6234) \approx 0{,}0767\), \(f'(2{,}6234) \approx 7{,}5611\), also \(x_3 \approx 2{,}6132\). 5. Vierter Schritt: \(f(2{,}6132) \approx 0{,}0009\), \(f'(2{,}6132) \approx 7{,}3929\), also \(x_4 \approx 2{,}6131\). Damit ist die größte positive Nullstelle auf zwei Dezimalstellen \(2{,}61\). 6. Für \(x_0 = 0\) gilt \(f'(0) = 0\). Die Tangente durch \((0 \mid 2)\) ist waagerecht und schneidet die \(x\)-Achse nicht; die Newton-Formel würde durch null teilen.

a) Die größte positive Nullstelle liegt bei etwa \(2{,}61\). b) Für \(x_0 = 0\) ist \(f'(0) = 0\); deshalb ist der Newton-Schritt nicht definiert. Die Tangente ist waagerecht und schneidet die \(x\)-Achse nicht.

- Gesucht sind Nullstellen von \(f'\). In der Newton-Formel verwendest du daher \(f'\) als Funktion und \(f''\) als deren Ableitung. - Achte beim Ablesen darauf, welcher Graph zu welcher Ableitung gehört. - Was sagt der Wert von \(f''\) über die Steigung des Graphen von \(f'\) aus? - Überprüfe, was passiert, wenn der Nenner in der Newton-Formel null wird.

1. Die Funktion für das Newton-Verfahren ist \(g(x) = f'(x) = x^3 - 3x^2 + 1\). 2. Die benötigte Ableitung ist \(g'(x) = f''(x) = 3x^2 - 6x\). 3. Erster Schritt mit \(x_0 = 3\): \(g(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 1 = 1\) \(g'(3) = 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 = 9\) \(x_1 = 3 - \frac{1}{9} \approx 2{,}889\) 4. Zweiter Schritt mit \(x_1 \approx 2{,}8889\): \(g(2{,}8889) \approx 0{,}0727\) \(g'(2{,}8889) \approx 7{,}7037\) \(x_2 = 2{,}8889 - \frac{0{,}0727}{7{,}7037} \approx 2{,}879\) 5. Bei \(x = 2\) hat der Graph von \(f''\) eine Nullstelle. Da \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, besitzt der Graph von \(f'\) dort eine waagerechte Tangente. In der Newton-Formel würde durch \(f''(2) = 0\) dividiert.

a) Nach dem ersten Schritt ergibt sich \(x_1 \approx 2{,}889\), nach dem zweiten Schritt \(x_2 \approx 2{,}879\). b) Bei \(x = 2\) ist \(f''(2) = 0\). Der Graph von \(f'\) hat dort eine waagerechte Tangente; deshalb ist der Newton-Schritt wegen einer Division durch null nicht definiert.