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- Wie verhalten sich die Werte zueinander, wenn man sie dividiert oder subtrahiert? - Was bedeutet es für die Änderung von Schritt zu Schritt, wenn ein Modell „linear“ genannt wird? - Welche Rechenoperation gehört zu einem Wachstumsfaktor? - Wie berechnet man den Unterschied zwischen zwei Werten im Verhältnis zum ursprünglichen Wert?

1. Berechnung der Quotienten: \(\frac{300}{200} = 1{,}5\); \(\frac{450}{300} = 1{,}5\); \(\frac{675}{450} = 1{,}5\). Da alle Quotienten gleich sind, liegt ein exponentielles Modell mit dem Wachstumsfaktor \(a = 1{,}5\) vor. 2. Bestimmung von \(d\) aus Woche 0 und 1: \(d = A_1 - A_0 = 300 - 200 = 100\). Das lineare Modell lautet \(L_{n+1} = L_n + 100\). 3. Berechnung für Woche 3: \(L_3 = 200 + 3 \cdot 100 = 500\). Die absolute Abweichung beträgt \(675 - 500 = 175\). Die prozentuale Abweichung bezogen auf den realen Wert beträgt \(\frac{175}{675} \approx 25{,}9\,\%\).

1. \(a = 1{,}5\) 2. \(d = 100\) 3. \(L_3 = 500\); Abweichung ca. \(25{,}9\,\%\)

- Überlege zuerst, wie groß der Temperaturunterschied zu Beginn ist. - Wenn ein Wert um einen Prozentsatz sinkt, mit welchem Faktor musst du ihn dann multiplizieren? - Wie viele 10-Minuten-Intervalle stecken in einer Stunde? - Die Temperatur der Limonade nähert sich der Umgebungstemperatur an. Wie hängen Temperatur, Umgebungstemperatur und Differenz zusammen?

1. Bestimmung der Anfangsdifferenz: \(D_0 = 22{,}0^\circ\text{C} - 6{,}0^\circ\text{C} = 16{,}0^\circ\text{C}\). 2. Da sich die Differenz um \(12\,\%\) verringert, beträgt der Wachstumsfaktor \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 3. Die explizite Folge für die Differenz lautet \(D_n = 16 \cdot 0{,}88^n\). 4. Die Temperatur \(T_n\) ergibt sich aus der Umgebungstemperatur minus der aktuellen Differenz: \(T_n = 22 - 16 \cdot 0{,}88^n\). 5. Für eine Stunde (60 Minuten) gilt \(n = \frac{60}{10} = 6\). 6. Berechnung von \(T_6 = 22 - 16 \cdot 0{,}88^6 \approx 22 - 16 \cdot 0{,}464404 \approx 22 - 7{,}430464 = 14{,}569536\).

a) \(T_n = 22 - 16 \cdot 0{,}88^n\) (mit \(T_n\) in \(^\circ\text{C}\)) b) Nach einer Stunde beträgt die Temperatur ca. \(14{,}6^\circ\text{C}\).

- Wie viel Prozent des Wirkstoffs bleiben nach dem Abbau übrig? - Stelle dir vor, was bei jeder neuen Medikamentengabe passiert: Ein Teil des alten Wirkstoffs ist noch da, und eine feste Menge kommt hinzu. - Ein Grenzwert ist erreicht, wenn sich die Konzentration von einer Gabe zur nächsten nicht mehr verändert.

1. Zu Beginn der Behandlung ist \(c_0 = 0\). Nach der ersten Gabe (\(n=1\)) ist \(c_1 = 80\). 2. Vor der \((n+1)\)-ten Gabe sind noch \(60\,\%\) von \(c_n\) vorhanden (Abbau um \(40\,\%\)), also \(0{,}6 \cdot c_n\). 3. Durch die neue Gabe erhöht sich dieser Wert um \(80\), woraus die Rekursion \(c_{n+1} = 0{,}6 \cdot c_n + 80\) folgt. 4. Der Grenzwert \(L\) wird durch die Fixpunktgleichung \(L = 0{,}6 \cdot L + 80\) bestimmt. 5. Umstellen der Gleichung: \(0{,}4 \cdot L = 80\). 6. Auflösen nach \(L\): \(L = \frac{80}{0{,}4} = 200\).

a) \(c_0 = 0\); \(c_{n+1} = 0{,}6 \cdot c_n + 80\) (oder für \(n \geq 1\): \(c_n = 0{,}6 \cdot c_{n-1} + 80\)) b) Der Grenzwert beträgt \(200\,\text{mg/l}\).

- Überlege dir, wie sich die Temperaturdifferenz von einer Minute zur nächsten verändert. - Welchen Wert strebt die Temperatur langfristig an? - Kannst du den Term für den Anteil, der nach einer Minute von der Differenz übrig bleibt, bestimmen? - Setze die Zieltemperatur in deine Formel ein und löse nach der Zeit auf.

1. Aufstellen der rekursiven Vorschrift: Die Temperatur nach \( n+1 \) Minuten berechnet sich aus der aktuellen Temperatur \( T_n \) abzüglich des Anteils der Abkühlung: \( T_{n+1} = T_n - 0{,}12 \cdot (T_n - 21) = 0{,}88 \cdot T_n + 2{,}52 \) mit \( T_0 = 80 \). 2. Bestimmung der expliziten Formel: Der Prozess beschreibt begrenztes Wachstum (bzw. Abnahme) gegen den Grenzwert \( S = 21 \). Die Differenz zur Schranke beträgt anfangs \( 80 - 21 = 59 \). Die Differenz nimmt pro Schritt um den Faktor \( 0{,}88 \) ab. Somit gilt: \( T_n = 21 + 59 \cdot 0{,}88^n \). 3. Berechnung des Zeitpunkts für \( T_n < 45 \): Ansatz \( 21 + 59 \cdot 0{,}88^n < 45 \). Umformung führt zu \( 59 \cdot 0{,}88^n < 24 \), also \( 0{,}88^n < \frac{24}{59} \). 4. Logarithmieren ergibt \( n > \frac{\ln(24/59)}{\ln(0{,}88)} \approx 7{,}045 \). Da \( n \) eine ganze Zahl sein muss, ist der Kaffee nach \( 8 \) Minuten zum ersten Mal kälter als \( 45^\circ\text{C} \).

a) \( T_{n+1} = 0{,}88 \cdot T_n + 2{,}52 \) mit \( T_0 = 80 \) b) \( T_n = 21 + 59 \cdot 0{,}88^n \) c) Nach \( 8 \) Minuten.

- Überlege dir, wie sich die Restschuld am Ende eines Jahres aus der Schuld des Vorjahres, den Zinsen und der Rückzahlung zusammensetzt. - Welchen Startwert musst du für die jeweilige Berechnung wählen? Beachte dabei den Unterschied zwischen dem ausgezahlten Betrag und der tatsächlichen Kreditsumme. - Berechne die Werte schrittweise Jahr für Jahr. - Vergleiche die Restbeträge nach dem fünften Jahr direkt miteinander.

1. Aufstellen der Iterationsvorschrift für Angebot A: \(K_{n+1} = K_n \cdot 1{,}055 - 20\,000\) mit \(K_0 = 150\,000\). 2. Berechnung der Restschulden für Angebot A: \(K_1 = 150\,000 \cdot 1{,}055 - 20\,000 = 138\,250\,\text{€}\) \(K_2 \approx 125\,853{,}75\,\text{€}\) \(K_3 \approx 112\,775{,}71\,\text{€}\) \(K_4 \approx 98\,978{,}37\,\text{€}\) \(K_5 \approx 84\,422{,}18\,\text{€}\) 3. Aufstellen der Iterationsvorschrift für Angebot B: \(K_{n+1} = K_n \cdot 1{,}03 - 20\,000\) mit \(K_0 = 165\,000\). 4. Berechnung der Restschulden für Angebot B: \(K_1 = 165\,000 \cdot 1{,}03 - 20\,000 = 149\,950\,\text{€}\) \(K_2 = 134\,448{,}50\,\text{€}\) \(K_3 \approx 118\,481{,}96\,\text{€}\) \(K_4 \approx 102\,036{,}41\,\text{€}\) \(K_5 \approx 85\,097{,}51\,\text{€}\) 5. Vergleich der Ergebnisse nach 5 Jahren: Angebot A hat eine Restschuld von ca. \(84\,422{,}18\,\text{€}\), Angebot B ca. \(85\,097{,}51\,\text{€}\). Angebot A ist nach 5 Jahren günstiger.

Nach 5 Jahren beträgt die Restschuld bei Angebot A ca. \(84\,422{,}18\,\text{€}\) und bei Angebot B ca. \(85\,097{,}51\,\text{€}\). Damit ist Angebot A vorteilhafter, da die Restschuld trotz des höheren Zinssatzes schneller sinkt, weil die anfängliche Kreditsumme niedriger ist.

- Erstelle für beide Modelle eine Tabelle oder eine Liste der jährlichen Berechnungen. - Beachte bei Modell 2, dass sich der Wachstumsfaktor in jedem Schritt ändert. - Denk daran, dass die Entnahme erst erfolgt, nachdem die Zinsen zum Kapital addiert wurden.

1. Iteration für Modell 1 (\(K_{n+1} = K_n \cdot 1{,}035 - 4\,000\)): \(K_0 = 50\,000\,\text{€}\) \(K_1 = 50\,000 \cdot 1{,}035 - 4\,000 = 47\,750\,\text{€}\) \(K_2 = 47\,750 \cdot 1{,}035 - 4\,000 = 45\,421{,}25\,\text{€}\) \(K_3 \approx 43\,010{,}99\,\text{€}\) \(K_4 \approx 40\,516{,}38\,\text{€}\) 2. Iteration für Modell 2 (\(K_{n+1} = K_n \cdot q_n - 4\,000\)): \(K_0 = 50\,000\,\text{€}\) \(K_1 = 50\,000 \cdot 1{,}02 - 4\,000 = 47\,000\,\text{€}\) \(K_2 = 47\,000 \cdot 1{,}025 - 4\,000 = 44\,175\,\text{€}\) \(K_3 = 44\,175 \cdot 1{,}03 - 4\,000 = 41\,500{,}25\,\text{€}\) \(K_4 = 41\,500{,}25 \cdot 1{,}035 - 4\,000 \approx 38\,952{,}76\,\text{€}\) 3. Vergleich: Modell 1 führt nach 4 Jahren zu einem höheren Kapitalstand.

Nach 4 Jahren beträgt das Restkapital bei Modell 1 ca. \(40\,516{,}38\,\text{€}\) und bei Modell 2 ca. \(38\,952{,}76\,\text{€}\). Somit ist Modell 1 nach vier Jahren das rentablere Modell.

- Überlege, welcher Anteil der Fische von einem Monat zum nächsten erhalten bleibt und wie viele neu hinzukommen. - Setze die Werte für \( q \), \( c \) und \( a_1 \) sorgfältig in die vorgegebene Formel ein. - Was bedeutet es für die Folgenglieder \( a_n \) und \( a_{n+1} \), wenn sich der Bestand nicht mehr ändert?

1. Aufstellen der Rekursionsgleichung: Da \( 80\,\% \) verbleiben und \( 500 \) hinzukommen, gilt \( a_{n+1} = 0{,}8 \cdot a_n + 500 \) mit \( q = 0{,}8 \) und \( c = 500 \). 2. Anwendung der expliziten Vorschrift für \( n = 5 \): \( a_5 = 0{,}8^{5-1} \cdot 500 + 500 \cdot \frac{0{,}8^{4} - 1}{0{,}8 - 1} \). 3. Berechnung von \( a_5 \): \( a_5 = 0{,}8^4 \cdot 500 + 500 \cdot \frac{0{,}4096 - 1}{-0{,}2} = 0{,}4096 \cdot 500 + 500 \cdot 2{,}952 = 204{,}8 + 1476 = 1680{,}8 \). Im 5. Monat sind es ca. \( 1681 \) Fische. 4. Bestimmung des Grenzwerts \( L \): Im stabilen Zustand gilt \( L = 0{,}8 \cdot L + 500 \). Dies führt zu \( 0{,}2 \cdot L = 500 \), woraus \( L = 2500 \) folgt. Der Bestand nähert sich langfristig \( 2500 \) Fischen an.

a) \( a_{n+1} = 0{,}8 \cdot a_n + 500 \) mit \( a_1 = 500 \) b) \( a_5 = 1680{,}8 \) (ca. \( 1681 \) Fische) c) Der Bestand nähert sich dem Wert \( 2500 \) an.

- Überlege dir zuerst, welcher Anteil des Wirkstoffs nach einem Tag noch im Körper vorhanden ist. - Wie kannst du den Zustand an einem Tag aus dem Zustand des Vortags berechnen? - Was bedeutet es mathematisch für die Werte der Folge, wenn sich langfristig ein stabiler Zustand einstellt? - Untersuche, ob die Werte der Folge immer größer werden oder sich einem bestimmten Wert nähern.

1. Aufstellen der Iterationsvorschrift: Beim Abbau von \(20\,\%\) verbleiben \(80\,\%\) im Körper. Die tägliche Zufuhr beträgt \(12\,\text{mg}\). Es gilt \(a_{n+1} = 0{,}8 \cdot a_n + 12\) mit \(a_0 = 0\). 2. Berechnung der Werte für Teilaufgabe a): \(a_1 = 12\,\text{mg}\); \(a_2 = 0{,}8 \cdot 12 + 12 = 21{,}6\,\text{mg}\); \(a_3 = 0{,}8 \cdot 21{,}6 + 12 = 29{,}28\,\text{mg}\); \(a_4 = 0{,}8 \cdot 29{,}28 + 12 = 35{,}424\,\text{mg}\); \(a_5 = 0{,}8 \cdot 35{,}424 + 12 = 40{,}3392\,\text{mg}\). 3. Berechnung des Sättigungswerts für Teilaufgabe b): Bedingung für den Fixpunkt \(x = 0{,}8 \cdot x + 12\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(0{,}2 \cdot x = 12\), woraus \(x = 60\,\text{mg}\) folgt. 4. Beurteilung für Teilaufgabe c): Da die Folge streng monoton wachsend gegen den Grenzwert \(60\,\text{mg}\) konvergiert, wird der kritische Wert von \(50\,\text{mg}\) im Laufe der Zeit überschritten (erstmals am 9. Tag mit ca. \(51{,}95\,\text{mg}\)). 5. Vergleich für Teilaufgabe d): Bei doppelter Zufuhr lautet die Gleichung \(x = 0{,}8 \cdot x + 24\). Dies führt zu \(0{,}2 \cdot x = 24\) und somit zu einem Sättigungswert von \(x = 120\,\text{mg}\). Der Sättigungswert verdoppelt sich also ebenfalls.

a) Tag 1: \(12\,\text{mg}\); Tag 2: \(21{,}6\,\text{mg}\); Tag 3: \(29{,}28\,\text{mg}\); Tag 4: \(35{,}424\,\text{mg}\); Tag 5: \(40{,}3392\,\text{mg}\). b) Der Sättigungswert liegt bei \(60\,\text{mg}\). c) Der Grenzwert von \(50\,\text{mg}\) wird überschritten, da der Sättigungswert darüber liegt. d) Der Sättigungswert würde sich auf \(120\,\text{mg}\) verdoppeln.

- Stelle eine Gleichung auf, die die Salzmenge eines Jahres mit der des Vorjahres verknüpft. - Achte darauf, ob der Startwert über oder unter dem berechneten Sättigungswert liegt. - Was passiert mit der Gleichung für den Sättigungswert, wenn du einen der Parameter änderst? - Wie verhält sich eine Größe, die jedes Jahr um einen festen Prozentsatz abnimmt, ohne dass etwas hinzugefügt wird?

1. Aufstellen der Iterationsvorschrift: Mit einem Abfluss von \(10\,\%\) bleiben \(90\,\%\) der Salzmenge erhalten. Die Zufuhr beträgt \(200\,\text{kg}\). Es gilt \(s_{n+1} = 0{,}9 \cdot s_n + 200\) mit \(s_0 = 1500\,\text{kg}\). 2. Berechnung der Werte für Teilaufgabe a): \(s_1 = 0{,}9 \cdot 1500 + 200 = 1550\,\text{kg}\); \(s_2 = 0{,}9 \cdot 1550 + 200 = 1595\,\text{kg}\). Weiterführend: \(s_3 = 0{,}9 \cdot 1595 + 200 = 1635{,}5\,\text{kg}\); \(s_4 = 0{,}9 \cdot 1635{,}5 + 200 = 1671{,}95\,\text{kg}\). 3. Bestimmung des Grenzwerts für Teilaufgabe b): \(x = 0{,}9 \cdot x + 200 \implies 0{,}1 \cdot x = 200 \implies x = 2000\,\text{kg}\). 4. Änderung des Grenzwerts für Teilaufgabe c): Mit neuem Zufluss gilt \(x = 0{,}9 \cdot x + 150 \implies 0{,}1 \cdot x = 150 \implies x = 1500\,\text{kg}\). Die Salzmenge würde also langfristig auf dem Anfangsniveau bleiben. 5. Analyse für Teilaufgabe d): Ohne Zufluss gilt \(s_{n+1} = 0{,}9 \cdot s_n\). Dies ist eine geometrische Folge mit dem Abnahmefaktor \(0{,}9\). Die Salzmenge würde exponentiell abnehmen und gegen \(0\,\text{kg}\) konvergieren.

a) \(s_{n+1} = 0{,}9 \cdot s_n + 200\). Nach 2 Jahren: \(1595\,\text{kg}\); nach 4 Jahren: \(1671{,}95\,\text{kg}\). b) Die Salzmenge pendelt sich langfristig bei \(2000\,\text{kg}\) ein. c) Der Sättigungswert sinkt auf \(1500\,\text{kg}\). d) Die Salzmenge nimmt exponentiell ab und nähert sich langfristig dem Wert \(0\,\text{kg}\) an.

- Stelle zuerst die Gleichung für den Zuwachs im ersten Jahr auf, um die Unbekannte zu finden. - Was bedeutet es für die Entwicklung der Population, wenn der Abzug durch Fischen größer ist als der maximale natürliche Zuwachs? - Betrachte die Wachstumsfunktion für sehr kleine Bestände, um die kritische Grenze zu finden.

1. Zur Bestimmung von \(r\) werden die gegebenen Werte \(B_0 = 800\), \(B_1 = 912\) und \(K = 5000\) in die Gleichung \(B_1 = B_0 + r \cdot B_0 \cdot \frac{K - B_0}{K}\) eingesetzt. Es ergibt sich \(112 = r \cdot 800 \cdot \frac{4200}{5000}\), woraus \(112 = r \cdot 672\) folgt. Die Division liefert \(r = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). 2. Damit die Population für jeden beliebigen Bestand \(B_n > 0\) schrumpft (\(B_{n+1} < B_n\)), muss die Differenz \(r \cdot B_n \cdot \frac{K - B_n}{K} - q \cdot B_n\) stets negativ sein. Dies ist der Fall, wenn \(q > r \cdot \frac{K - B_n}{K}\). Da der Faktor \(\frac{K - B_n}{K}\) für sehr kleine Bestände gegen \(1\) strebt und für größere Bestände kleiner als \(1\) ist, ist die Population sicher bedroht, wenn die Fangquote \(q\) die maximale natürliche Zuwachsrate \(r\) erreicht oder überschreitet. Somit ist die Population ab einer Fangquote von \(q = \frac{1}{6} \approx 16{,}67\,\%\) vom Aussterben bedroht.

1. \(r = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\) 2. Ab einer Fangquote von \(q = \frac{1}{6} \approx 16{,}67\,\%\).

- Überlege, was ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte für die Existenz einer Nullstelle bedeutet. - Isoliere bei der Umformung das \(x\) auf einer Seite, indem du zunächst \(x\) ausklammerst. - Setze den jeweils berechneten Wert wieder in die Formel ein, um den nächsten Wert zu erhalten. - Achte darauf, bei jedem Zwischenschritt die Rundungsvorgaben einzuhalten.

1. Sei \(f(x) = x^3 + 3x - 5\). Es gilt \(f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1 - 5 = -1\) und \(f(2) = 2^3 + 3 \cdot 2 - 5 = 9\). Da \(f\) stetig ist und ein Vorzeichenwechsel vorliegt, existiert nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Lösung im Intervall \([1; 2]\). 2. Umformung: \(x^3 + 3x = 5 \iff x \cdot (x^2 + 3) = 5 \iff x = \frac{5}{x^2 + 3}\). 3. Berechnung der Iterationsschritte: \(x_1 = \frac{5}{1^2 + 3} = 1{,}2500\) \(x_2 = \frac{5}{1{,}25^2 + 3} = \frac{5}{4{,}5625} \approx 1{,}0959\) \(x_3 = \frac{5}{1{,}0959^2 + 3} \approx \frac{5}{4{,}2010} \approx 1{,}1902\)

1. \(f(1) = -1 < 0\) und \(f(2) = 9 > 0\), daher liegt eine Lösung in \([1; 2]\). 2. \(x \cdot (x^2 + 3) = 5 \implies x = \frac{5}{x^2 + 3}\). 3. \(x_1 = 1{,}2500\); \(x_2 \approx 1{,}0959\); \(x_3 \approx 1{,}1902\).

- Bringe alle Terme außer dem \(x\)-Glied auf die rechte Seite und dividiere dann durch den Koeffizienten von \(x\). - Vergewissere dich, dass dein Taschenrechner auf „RAD“ (Bogenmaß) eingestellt ist, bevor du mit den trigonometrischen Funktionen rechnest. - Wende die Iterationsvorschrift \(x_{n+1} = g(x_n)\) wiederholt an.

1. Umformung der Gleichung: \(2x - \cos(x) - 1 = 0 \iff 2x = \cos(x) + 1 \iff x = \frac{1}{2}(\cos(x) + 1)\). 2. Iterationsschritte (im Bogenmaß): \(x_1 = \frac{1}{2}(\cos(0{,}8) + 1) \approx \frac{1}{2}(0{,}6967 + 1) = 0{,}8484\) \(x_2 = \frac{1}{2}(\cos(0{,}8484) + 1) \approx \frac{1}{2}(0{,}6612 + 1) = 0{,}8306\) \(x_3 = \frac{1}{2}(\cos(0{,}8306) + 1) \approx \frac{1}{2}(0{,}6743 + 1) = 0{,}8372\)

1. \(2x = \cos(x) + 1 \implies x = \frac{1}{2}(\cos(x) + 1)\). 2. \(x_1 \approx 0{,}8484\); \(x_2 \approx 0{,}8306\); \(x_3 \approx 0{,}8372\).

- Überlege dir, wie sich das Volumen von einer Stunde zur nächsten verändert. - Unterscheide bei der Formel, ob der Schwellenwert für die Pumpe bereits erreicht ist oder nicht. - Was bedeutet „\(75\,\%\) des Fassungsvermögens“ konkret als Zahlenwert? - Berechne die Werte Schritt für Schritt nacheinander.

1. Aufstellen der rekursiven Formel: Ohne Pumpe (\(V_n < 1\,200\)) gilt \(V_{n+1} = V_n + 350\). Mit Pumpe (\(V_n \ge 1\,200\)) gilt \(V_{n+1} = V_n + 350 - 120 = V_n + 230\). 2. Berechnung der Iterationsschritte: \(V_0 = 400\) \(V_1 = 400 + 350 = 750\) \(V_2 = 750 + 350 = 1\,100\) \(V_3 = 1\,100 + 350 = 1\,450\) \(V_4 = 1\,450 + 230 = 1\,680\) (da \(V_3 = 1\,450 \ge 1\,200\)) 3. Bestimmung des Zeitpunkts für die \(75\,\%\)-Füllung: Das Zielvolumen ist \(0{,}75 \cdot 2\,000\,\text{m}^3 = 1\,500\,\text{m}^3\). Da \(V_3 = 1\,450\) und \(V_4 = 1\,680\), wird dieser Wert nach \(4\) Stunden erstmals überschritten.

a) \(V_{n+1} = \begin{cases} V_n + 350 & \text{für } V_n < 1\,200 \\ V_n + 230 & \text{für } V_n \ge 1\,200 \end{cases}\) b) \(V_1 = 750\,\text{m}^3\); \(V_2 = 1\,100\,\text{m}^3\); \(V_3 = 1\,450\,\text{m}^3\); \(V_4 = 1\,680\,\text{m}^3\) c) Nach \(4\) Stunden.

- Überlege dir, welche Operation in der Formel zuerst ausgeführt wird: die Multiplikation oder die Addition? - Was passiert mit der Wirkstoffmenge, wenn sie sich nach langer Zeit kaum noch verändert? Setze in diesem Fall \(W_n = W_{n-1}\). - Du kannst die Werte für die ersten Tage schrittweise berechnen oder eine allgemeine Formel für die Glieder der Folge aufstellen. - Denk daran, dass \(W_1\) bereits als Startwert feststeht.

1. Modellvergleich: In Modell A wird zuerst der Abbau des vorhandenen Wirkstoffs berechnet (\(\cdot 0{,}75\)) und danach die neue Dosis addiert (\(+ 40\)). In Modell B wird die Dosis zuerst addiert und der Abbau findet anschließend auf die gesamte Menge statt. 2. Grenzwertberechnung: Für den Sättigungswert \(L\) gilt im Gleichgewicht \(L = f(L)\). Modell A: \(L = 0{,}75L + 40 \Rightarrow 0{,}25L = 40 \Rightarrow L_A = 160\,\text{mg}\). Modell B: \(L = 0{,}75(L + 40) \Rightarrow L = 0{,}75L + 30 \Rightarrow 0{,}25L = 30 \Rightarrow L_B = 120\,\text{mg}\). 3. Zeitpunkt für \(90\,\%\) in Modell A: Gesucht ist \(n\), sodass \(W_n \geq 0{,}9 \cdot 160 = 144\). Die explizite Formel für Modell A mit \(W_1 = 0\) lautet \(W_n = 160 \cdot (1 - 0{,}75^{n-1})\). \(144 = 160 \cdot (1 - 0{,}75^{n-1}) \Rightarrow 0{,}9 = 1 - 0{,}75^{n-1} \Rightarrow 0{,}1 = 0{,}75^{n-1}\). Logarithmieren: \(n-1 = \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}75)} \approx 8{,}004 \Rightarrow n \approx 9{,}004\). Somit ist ab Tag \(n = 10\) die \(90\,\%\)-Hürde überschritten.

a) Modell A: Erst Abbau, dann Einnahme. Modell B: Erst Einnahme, dann Abbau. b) Modell A: \(160\,\text{mg}\); Modell B: \(120\,\text{mg}\). c) Ab Tag \(n = 10\).

- Stelle die Gleichung so um, dass das \(x\) auf einer Seite isoliert ist. - Nutze die „Ans“-Taste deines Taschenrechners, um die Iteration effizient durchzuführen. - Beobachte, ob die Werte der Folge sich einem festen Wert annähern oder sich davon entfernen bzw. zu einer anderen Lösung springen. - Für die Konvergenz gegen eine bestimmte Lösung muss der Startwert nah genug an dieser Lösung liegen und die Steigung der Funktion \(g\) dort betragsmäßig kleiner als 1 sein.

1. Nachweis der Umformungen: (1) \(x^3 - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow 5x = x^3 + 1 \Leftrightarrow x = \frac{x^3 + 1}{5}\). (2) \(x^3 - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x^3 = 5x - 1 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5x - 1}\). (3) \(x^3 - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 5) = -1 \Leftrightarrow x = \frac{-1}{x^2 - 5} = \frac{1}{5 - x^2}\). 2. Iteration mit \(x_0 = 0\): (1) \(x_1 = 0{,}2\); \(x_2 \approx 0{,}2016\); \(x_3 \approx 0{,}20164\); \(x_4 \approx 0{,}20164\). Die Folge konvergiert gegen \(x \approx 0{,}2016\). (2) \(x_1 = -1\); \(x_2 \approx -1{,}817\); \(x_3 \approx -2{,}160\); \(x_4 \approx -2{,}276\). Die Folge konvergiert nicht gegen den Wert im Intervall \([0; 1]\), sondern gegen die negative Lösung \(x \approx -2{,}33\). (3) \(x_1 = 0{,}2\); \(x_2 \approx 0{,}20161\); \(x_3 \approx 0{,}20164\); \(x_4 \approx 0{,}20164\). Die Folge konvergiert gegen \(x \approx 0{,}2016\). 3. Iteration mit \(x_0 = 2\) für das Intervall \([2; 3]\): (1) \(x_1 = 1{,}8\); \(x_2 \approx 1{,}366\); \(x_3 \approx 0{,}710\). Die Folge entfernt sich von der Lösung im Intervall \([2; 3]\) und strebt gegen \(0{,}2016\). (2) \(x_1 = \sqrt[3]{9} \approx 2{,}080\); \(x_2 \approx 2{,}110\); \(x_3 \approx 2{,}122\); \(x_4 \approx 2{,}126\). Diese Folge konvergiert gegen die Lösung \(x \approx 2{,}128\). (3) \(x_1 = 1\); \(x_2 = 0{,}25\); \(x_3 \approx 0{,}2026\). Die Folge strebt gegen \(0{,}2016\). Somit ist nur Form (2) für das Intervall \([2; 3]\) geeignet.

a) Alle Umformungen sind durch einfache Äquivalenzumformungen der Ausgangsgleichung verifizierbar. b) (1) \(x_1 = 0{,}2\), \(x_2 \approx 0{,}2016\), \(x_3 \approx 0{,}20164\), \(x_4 \approx 0{,}20164\): konvergiert gegen \(x \approx 0{,}2016\). (2) \(x_1 = -1\), \(x_2 \approx -1{,}817\), \(x_3 \approx -2{,}160\), \(x_4 \approx -2{,}277\): konvergiert nicht gegen den Wert im Intervall \([0; 1]\). (3) \(x_1 = 0{,}2\), \(x_2 \approx 0{,}20161\), \(x_3 \approx 0{,}20164\), \(x_4 \approx 0{,}20164\): konvergiert gegen \(x \approx 0{,}2016\). c) Nur die Iterationsvorschrift (2) \(x = \sqrt[3]{5x - 1}\) ist geeignet, da sie gegen die Lösung \(x \approx 2{,}128\) konvergiert.

- Überprüfe jede Umformung Schritt für Schritt durch Auflösen nach \(x\). - Achte bei Wurzeltermen darauf, ob der Wert unter der Wurzel negativ werden kann. - Wenn die Werte einer Folge zwischen zwei Bereichen hin- und herspringen, liegt keine Konvergenz vor. - Verwende die Tabellen- oder Iterationsfunktion deines Taschenrechners für die Berechnungen.

1. Nachweis der Umformungen: (1) \(x^4 + 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x = 2 - x^4 \Leftrightarrow x = 1 - \frac{1}{2}x^4\). Korrekt. (2) \(x^4 + 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x^4 = 2 - 2x \Leftrightarrow x = \sqrt[4]{2 - 2x}\). Korrekt. (3) \(x^4 + 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x(x^3 + 2) = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{x^3 + 2}\). Korrekt. 2. Iterationsschritte mit \(x_0 = 1\): (1) \(x_1 = 0{,}5\); \(x_2 \approx 0{,}9688\); \(x_3 \approx 0{,}5596\); \(x_4 \approx 0{,}9510\). Die Folge oszilliert stark und scheint nicht zur positiven Lösung zu konvergieren. (2) \(x_1 = 0\); \(x_2 \approx 1{,}1892\); \(x_3\) ist nicht definiert, da der Radikand \(2 - 2 \cdot 1{,}1892 < 0\) negativ wird. (3) \(x_1 \approx 0{,}6667\); \(x_2 \approx 0{,}8710\); \(x_3 \approx 0{,}7517\); \(x_4 \approx 0{,}8248\). Diese Folge erscheint geeignet und konvergiert nach weiteren Schritten gegen die positive Lösung \(x \approx 0{,}7976\). Fazit: Nur die Vorschrift (3) führt zur positiven Lösung.

a) Alle drei Umformungen sind korrekt. b) (1) \(x_1 = 0{,}5\), \(x_2 \approx 0{,}9688\), \(x_3 \approx 0{,}5596\), \(x_4 \approx 0{,}9510\): oszilliert stark. (2) \(x_1 = 0\), \(x_2 \approx 1{,}1892\); \(x_3\) ist nicht definiert, da der Radikand negativ wird. (3) \(x_1 \approx 0{,}6667\), \(x_2 \approx 0{,}8710\), \(x_3 \approx 0{,}7517\), \(x_4 \approx 0{,}8248\): erscheint geeignet und konvergiert gegen die positive Lösung \(x \approx 0{,}798\).

- Stelle dir vor, wie viel vom alten Wirkstoff übrig bleibt, bevor die neue Dosis hinzugefügt wird. - Welche Sättigungsgrenze ergibt sich, wenn man das Medikament unendlich lange einnimmt? - Beachte, dass der Index \( n \) hier die Anzahl der *zusätzlichen* Gaben nach der ersten beschreibt. - Löse die Ungleichung mithilfe des Logarithmus nach \( n \) auf.

1. Rekursive Vorschrift: Die Menge nach einer weiteren Gabe setzt sich zusammen aus dem Restbestand (\(25\,\%\) von \(a_n\)) und der Neugabe von \(100\,\text{mg}\). Es gilt: \(a_{n+1} = 0{,}25 \cdot a_n + 100\). 2. Explizite Formel: Bestimmung des stationären Zustands (Grenzwert \(S\)) über \(S = 0{,}25S + 100\), woraus \(0{,}75S = 100\) und \(S = \frac{400}{3} \approx 133{,}33\) folgt. Die explizite Formel für dieses begrenzte Wachstum lautet \(a_n = S - (S - a_0) \cdot 0{,}25^n\). Einsetzen ergibt \(a_n = \frac{400}{3} - (\frac{400}{3} - 100) \cdot 0{,}25^n = \frac{400}{3} - \frac{100}{3} \cdot 0{,}25^n\). 3. Zeitpunkt der Überschreitung: Ansatz \(\frac{400}{3} - \frac{100}{3} \cdot 0{,}25^n > 133\). Umformung: \(\frac{400}{3} - 133 > \frac{100}{3} \cdot 0{,}25^n\), also \(\frac{1}{3} > \frac{100}{3} \cdot 0{,}25^n\). Dies führt zu \(0{,}01 > 0{,}25^n\). 4. Logarithmieren: \(n > \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}25)} \approx 3{,}32\). Da \(a_0\) der ersten Gabe entspricht, ist \(n=4\) die fünfte Gabe.

a) \(a_{n+1} = 0{,}25 \cdot a_n + 100\) mit \(a_0 = 100\) b) \(a_n = \frac{400}{3} - \frac{100}{3} \cdot 0{,}25^n\) c) Nach der \(5.\) Gabe (entspricht \(n=4\)).

- Nutze algebraische Umformungen, um den Bruchterm zu vereinfachen, indem du durch \( 0{,}5 \) dividierst. - Wann hat der Wert von \( n \) keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis der Formel? - Überlege, was mit einer Potenz passiert, deren Basis größer als \( 1 \) ist, wenn der Exponent immer größer wird. - Achte auf das Vorzeichen des Faktors vor der Potenz.

1. Einsetzen in die Formel: \( a_n = 1{,}5^{n-1} \cdot a_1 - 100 \cdot \frac{1{,}5^{n-1} - 1}{1{,}5 - 1} \). 2. Vereinfachung des Bruchs: \( \frac{1{,}5^{n-1} - 1}{0{,}5} = 2 \cdot (1{,}5^{n-1} - 1) \). 3. Zusammenfassen: \( a_n = a_1 \cdot 1{,}5^{n-1} - 200 \cdot 1{,}5^{n-1} + 200 = 200 + (a_1 - 200) \cdot 1{,}5^{n-1} \). 4. Stationäre Folge: Die Folge ist konstant, wenn der Term mit der Potenz verschwindet, also \( a_1 - 200 = 0 \), woraus \( a_1 = 200 \) folgt. 5. Grenzverhalten: Für \( a_1 > 200 \) ist die Klammer positiv. Da \( 1{,}5^{n-1} \) für \( n \to \infty \) unendlich groß wird, divergiert die Folge gegen \( +\infty \). Für \( a_1 < 200 \) ist die Klammer negativ, die Folge divergiert gegen \( -\infty \).

a) Nachweis durch Einsetzen: \( a_n = a_1 \cdot 1{,}5^{n-1} - 100 \cdot \frac{1{,}5^{n-1} - 1}{0{,}5} = 200 + (a_1 - 200) \cdot 1{,}5^{n-1} \) b) \( a_1 = 200 \) c) Für \( a_1 > 200 \) gilt \( a_n \to \infty \); für \( a_1 < 200 \) gilt \( a_n \to -\infty \).

- Setze die bekannten Werte für \(B_0, B_1\) und \(G\) in die Formel ein, um die Unbekannte zu finden. - Achte darauf, für die Berechnung der nächsten Woche immer den ungerundeten Wert der Vorwoche zu nutzen, um Rundungsfehler zu vermeiden. - Schau dir die Struktur der Formel an: Was passiert mathematisch in der Klammer, wenn die beiden Zahlen darin fast gleich groß sind?

1. Einsetzen der Werte in die Gleichung: \(528 = 400 + k \cdot 400 \cdot (2000 - 400)\). Umstellen nach \(k\): \(128 = k \cdot 400 \cdot 1600 \Rightarrow 128 = k \cdot 640\,000 \Rightarrow k = 0{,}0002\). 2. Berechnung für Woche 2: \(B_2 = 528 + 0{,}0002 \cdot 528 \cdot (2000 - 528) = 528 + 155{,}4432 = 683{,}4432 \approx 683\). Berechnung für Woche 3: \(B_3 = 683{,}4432 + 0{,}0002 \cdot 683{,}4432 \cdot (2000 - 683{,}4432) \approx 683{,}4432 + 179{,}95 \approx 863{,}39 \approx 863\). 3. Wenn \(B_n\) gegen \(G\) geht, geht der Term \((G - B_n)\) gegen \(0\). Da dieser Term ein Faktor in der Berechnung des Zuwachses ist, wird der Zuwachs \(B_{n+1} - B_n\) ebenfalls immer kleiner und nähert sich Null an. Das Wachstum stagniert.

1. \(k = 0{,}0002\) 2. \(B_2 \approx 683\); \(B_3 \approx 863\) 3. Der Zuwachs nähert sich Null an, da der Faktor \((G - B_n)\) gegen Null strebt.

- Wann bleibt ein Bestand über die Jahre hinweg konstant? - Die Zuwachsrate ist vom aktuellen Bestand abhängig. Bei welcher Bestandsgröße ist der Zuwachs am größten? - Überlege dir, wie der Graph der Zuwachsfunktion aussieht. Wo liegt der Scheitelpunkt? - Wenn die Entnahme größer ist als der Scheitelpunkt der Zuwachskurve, gibt es dann noch ein Gleichgewicht?

1. Ein stabiler Bestand (Gleichgewichtszustand) liegt vor, wenn \(B_{n+1} = B_n\) gilt, also der Zuwachs genau der Entnahme entspricht: \(0{,}12 \cdot B \cdot \left(1 - \frac{B}{12\,500}\right) = A\). 2. Die Funktion \(f(B) = 0{,}12 \cdot B \cdot \left(1 - \frac{B}{12\,500}\right)\) beschreibt den jährlichen Zuwachs in Abhängigkeit vom Bestand. Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel. 3. Das Maximum des Zuwachses liegt bei der Hälfte der Kapazität, also bei \(B = \frac{12\,500}{2} = 6250\). 4. Die Berechnung des maximalen Zuwachses ergibt \(A_{\text{max}} = 0{,}12 \cdot 6250 \cdot (1 - 0{,}5) = 750 \cdot 0{,}5 = 375\). Wenn mehr als \(375\) Bäume pro Jahr entnommen werden, übersteigt die Entnahme den maximal möglichen Zuwachs, und der Bestand bricht langfristig zusammen.

Die maximale jährliche Entnahmemenge beträgt \(A = 375\) Bäume.

- Stelle dir den Ablauf eines Tages vor: Was passiert zuerst, was danach? - Ein stabiler Zustand bedeutet, dass nach einem Tag genau so viel Algenmasse verschwindet, wie neu hinzukommt. - Für die Berechnung des Zeitpunkts hilft die Differenz zum Grenzwert. Diese Differenz verringert sich jeden Tag um einen festen Prozentsatz. - Nutze den Logarithmus, um eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht.

1. Rekursive Vorschrift: Zuerst wird der Zuwachs addiert, dann erfolgt die Reduktion um \(15\,\%\) (Faktor \(0{,}85\)). \(A_n = 0{,}85 \cdot (A_{n-1} + 3)\) mit \(A_0 = 10\). Dies lässt sich umschreiben zu \(A_n = 0{,}85 A_{n-1} + 2{,}55\). 2. Langfristiger Bestand (Fixpunkt): \(L = 0{,}85L + 2{,}55 \Rightarrow 0{,}15L = 2{,}55 \Rightarrow L = 17\,\text{kg}\). 3. Abweichung berechnen: \(1\,\%\) von \(17\,\text{kg}\) sind \(0{,}17\,\text{kg}\). Gesucht ist \(n\), sodass \(|A_n - 17| < 0{,}17\). Da \(A_0 < 17\), nähert sich die Folge von unten an: \(A_n > 16{,}83\). Explizite Form: \(A_n = L + (A_0 - L) \cdot 0{,}85^n = 17 + (10 - 17) \cdot 0{,}85^n = 17 - 7 \cdot 0{,}85^n\). \(16{,}83 = 17 - 7 \cdot 0{,}85^n \Rightarrow 0{,}17 = 7 \cdot 0{,}85^n \Rightarrow \frac{0{,}17}{7} = 0{,}85^n\). \(n = \frac{\ln(0{,}17/7)}{\ln(0{,}85)} \approx 22{,}89\). Nach \(n = 23\) Tagen ist die Abweichung geringer als \(1\,\%\).

a) \(A_n = 0{,}85 \cdot (A_{n-1} + 3)\) mit \(A_0 = 10\). b) \(17\,\text{kg}\). c) Nach \(23\) Tagen.