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- Achte darauf, ob aufeinanderfolgende Werte einander näher kommen oder sich exakt wiederholen. - Wie erkennst du an einer Folge von Iterationswerten einen Zyklus? - Welche Größe steht beim Newton-Verfahren im Nenner und wann ist der nächste Schritt nicht definiert?

1. Bei A werden die Änderungen immer kleiner und die letzten angegebenen Werte stimmen bereits überein. Das Protokoll zeigt eine Annäherung an einen Wert. 2. Bei B wiederholen sich abwechselnd die beiden Werte \(0\) und \(1\). Das ist ein Zweierzyklus. 3. Bei C müsste der Newton-Schritt durch \(f'(2)=0\) teilen. Deshalb ist bereits der nächste Schritt nicht definiert und die Iteration nicht fortsetzbar.

A: Annäherung an einen Wert, weil sich die Werte stabilisieren. B: Zweierzyklus, weil sich \(0\) und \(1\) abwechseln. C: nicht fortsetzbar, weil im Newton-Schritt durch \(f'(2)=0\) geteilt werden müsste.

- Lies zuerst die \(x\)-Koordinaten der beiden markierten Berührpunkte ab; sie sind die Startwerte. - Beim Newton-Verfahren ist der nächste Näherungswert der Schnittpunkt der zugehörigen Tangente mit der \(x\)-Achse. - Berechne für die Kontrolle jeweils Funktionswert und Ableitungswert am zugehörigen Startwert. - Ein kleinerer Betrag des Funktionswerts am neuen Näherungswert spricht hier für eine bessere erste Annäherung an die Nullstelle.

1. Aus der Abbildung liest man die Startwerte \(x_0=1\) und \(x_0=2\) ab. Die zugehörigen Tangenten schneiden die \(x\)-Achse bei \(x_1=2\) beziehungsweise \(x_1=1{,}75\). 2. Es gilt \(f'(x)=2x\). Für \(x_0=1\) erhält man \(x_1=1-\frac{-2}{2}=2\). 3. Für \(x_0=2\) erhält man \(x_1=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}=1{,}75\). 4. Für den ersten Wert ist \(|f(2)|=1\). Für den zweiten Wert ist \(\left|f\left(\frac{7}{4}\right)\right|=\frac{1}{16}=0{,}0625\). 5. Gemessen am Restbetrag \(|f(x_1)|\) liefert der Startwert \(x_0=2\) nach einem Newton-Schritt die bessere Näherung.

a) Linker Berührpunkt: \(x_0=1\), \(x_1=2\); rechter Berührpunkt: \(x_0=2\), \(x_1=1{,}75\) b) Die Rechnung bestätigt \(x_1=2\) beziehungsweise \(x_1=\frac{7}{4}=1{,}75\). c) \(|f(2)|=1\) und \(\left|f\left(\frac{7}{4}\right)\right|=0{,}0625\); gemessen an diesem Restbetrag ist \(x_0=2\) nach einem Schritt günstiger.

- Vergleiche immer zwei unmittelbar aufeinanderfolgende Iterationswerte. - Prüfe die Unterschiede in ihrer zeitlichen Reihenfolge und nicht nur den letzten. - Das Verfahren endet beim ersten Schritt, der die angegebene Ungleichung erfüllt.

1. Für den ersten Schritt ist \(|x_1-x_0|\approx|1{,}416667-1{,}5|=0{,}083333\). Das ist größer als \(0{,}001\). 2. Für den zweiten Schritt ist \(|x_2-x_1|\approx|1{,}414216-1{,}416667|=0{,}002451\). Auch das ist größer als \(0{,}001\). 3. Für den dritten Schritt ist \(|x_3-x_2|\approx|1{,}414214-1{,}414216|=0{,}000002\). Dieser Wert ist kleiner als \(0{,}001\). 4. Das Abbruchkriterium ist daher erstmals nach der Berechnung von \(x_3\) erfüllt.

a) \(|x_1-x_0|\approx0{,}083333\), \(|x_2-x_1|\approx0{,}002451\), \(|x_3-x_2|\approx0{,}000002\); erst der dritte Unterschied ist kleiner als \(0{,}001\). b) Erstmals wird bei \(x_3\approx1{,}414214\) abgebrochen.

- Welche der positiven Nullstellen ist laut Aufgabe das Ziel? - Achte bei den markierten Punkten sowohl auf ihre Lage zur Zielnullstelle als auch auf die Steigung des Graphen. - Bei welchem markierten Punkt würde im Newton-Schritt ein problematischer Ableitungswert auftreten? - Berechne nach der Auswahl nur für diesen Startwert Funktions- und Ableitungswert.

1. Die größte positive Nullstelle liegt im Graphen zwischen \(1{,}5\) und \(2\). Der Punkt A liegt zwar näher an dieser Nullstelle als B, ist aber als Startpunkt ungeeignet. 2. A hat die \(x\)-Koordinate \(1\). Dort ist \(f'(1)=3\cdot1^2-3=0\), also wäre der Newton-Schritt nicht definiert. 3. C hat die \(x\)-Koordinate \(0{,}5\) und liegt im Bereich der kleineren positiven Nullstelle; dieser Start führt nicht gezielt zur verlangten größten positiven Nullstelle. 4. Damit ist B mit \(x_0=2{,}25\) die zweckmäßige Wahl. Es gilt \(f\left(\frac{9}{4}\right)=\frac{361}{64}\) und \(f'\left(\frac{9}{4}\right)=\frac{195}{16}\). Daher ist \(x_1=\frac{9}{4}-\frac{361/64}{195/16}=\frac{697}{390}\approx1{,}7872\).

a) B mit \(x_0=2{,}25\). A ist trotz seiner größeren Nähe wegen \(f'(1)=0\) ungeeignet; C liegt im Bereich der kleineren positiven Nullstelle. b) \(x_1=\frac{697}{390}\approx1{,}7872\)

- Nutze algebraische Umformungen, um den Bruchterm zu vereinfachen, indem du durch \( 0{,}5 \) dividierst. - Wann hat der Wert von \( n \) keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis der Formel? - Überlege, was mit einer Potenz passiert, deren Basis größer als \( 1 \) ist, wenn der Exponent immer größer wird. - Achte auf das Vorzeichen des Faktors vor der Potenz.

1. Einsetzen in die Formel: \( a_n = 1{,}5^{n-1} \cdot a_1 - 100 \cdot \frac{1{,}5^{n-1} - 1}{1{,}5 - 1} \). 2. Vereinfachung des Bruchs: \( \frac{1{,}5^{n-1} - 1}{0{,}5} = 2 \cdot (1{,}5^{n-1} - 1) \). 3. Zusammenfassen: \( a_n = a_1 \cdot 1{,}5^{n-1} - 200 \cdot 1{,}5^{n-1} + 200 = 200 + (a_1 - 200) \cdot 1{,}5^{n-1} \). 4. Stationäre Folge: Die Folge ist konstant, wenn der Term mit der Potenz verschwindet, also \( a_1 - 200 = 0 \), woraus \( a_1 = 200 \) folgt. 5. Grenzverhalten: Für \( a_1 > 200 \) ist die Klammer positiv. Da \( 1{,}5^{n-1} \) für \( n \to \infty \) unendlich groß wird, divergiert die Folge gegen \( +\infty \). Für \( a_1 < 200 \) ist die Klammer negativ, die Folge divergiert gegen \( -\infty \).

a) Nachweis durch Einsetzen: \( a_n = a_1 \cdot 1{,}5^{n-1} - 100 \cdot \frac{1{,}5^{n-1} - 1}{0{,}5} = 200 + (a_1 - 200) \cdot 1{,}5^{n-1} \) b) \( a_1 = 200 \) c) Für \( a_1 > 200 \) gilt \( a_n \to \infty \); für \( a_1 < 200 \) gilt \( a_n \to -\infty \).

- Verwende in beiden Rechnungen dieselbe Ableitungsfunktion und dieselbe Anzahl von Newton-Schritten. - Runde die Zwischenwerte nicht früher als nötig. - Wie kannst du ohne Kenntnis der exakten Nullstelle prüfen, welcher Näherungswert die Gleichung besser erfüllt? - Vergleiche dafür dieselbe Fehlergröße bei beiden zweiten Iterierten.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=3x^2+8x\). 2. Für \(x_0=1\) ist \(x_1=1-\frac{-5}{11}=\frac{16}{11}\approx1{,}4545\) und \(x_2\approx1{,}3689\). 3. Für diesen zweiten Näherungswert gilt \(|f(x_2)|\approx0{,}0607\). 4. Für \(x_0=2\) ist \(x_1=2-\frac{14}{28}=1{,}5\) und \(x_2=1{,}5-\frac{2{,}375}{18{,}75}\approx1{,}3733\). 5. Hier gilt \(|f(x_2)|\approx0{,}1343\). 6. Gemessen am vorgegebenen Restbetrag \(|f(x_2)|\) ist die Rechnung mit \(x_0=1\) nach zwei Schritten günstiger, weil dieser Restbetrag kleiner ist.

a) \(x_1\approx1{,}4545\); \(x_2\approx1{,}3689\) b) \(x_1=1{,}5000\); \(x_2\approx1{,}3733\) c) \(|f(1{,}3689)|\approx0{,}0607\), \(|f(1{,}3733)|\approx0{,}1343\); gemessen am Restbetrag \(|f(x_2)|\) liefert \(x_0=1\) nach zwei Schritten den besseren Wert.

- Welche Bedingung muss für die Funktionswerte an den Intervallgrenzen gelten, damit dazwischen eine Nullstelle liegt? - Wie lautet die allgemeine Iterationsformel für das Newton-Verfahren? - Skizziere im Kopf oder auf Papier den Graphen und die Tangenten an den berechneten Stellen. - Was passiert, wenn eine Tangente die Achse genau an einer Stelle schneidet, die man zuvor schon berechnet hat?

1. Nachweis der Nullstelle: Es gilt \( f(-2) = (-2)^3 - 2 \cdot (-2) + 2 = -8 + 4 + 2 = -2 \) und \( f(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3 \). Da ein Vorzeichenwechsel im Intervall \( [-2; -1] \) vorliegt und die Funktion stetig ist, existiert dort mindestens eine Nullstelle. 2. Berechnung der Newton-Schritte mit \( f'(x) = 3x^2 - 2 \): \( x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0 - \frac{2}{-2} = 1 \). \( x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 1 - \frac{1^3 - 2 \cdot 1 + 2}{3 \cdot 1^2 - 2} = 1 - \frac{1}{1} = 0 \). \( x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} = 0 - \frac{2}{-2} = 1 \). 3. Beobachtung und Erklärung: Die Werte alternieren zwischen \( 0 \) und \( 1 \). Geometrisch bedeutet dies, dass die Tangente an den Graphen an der Stelle \( x=0 \) die \(x\)-Achse genau bei \( x=1 \) schneidet und die Tangente an der Stelle \( x=1 \) die \(x\)-Achse wiederum genau bei \( x=0 \) schneidet. Das Verfahren gerät in einen Zyklus und konvergiert nicht gegen die tatsächliche Nullstelle bei ca. \( -1{,}769 \).

a) \( f(-2) = -2 \) und \( f(-1) = 3 \). Aufgrund des Vorzeichenwechsels liegt im Intervall eine Nullstelle. b) \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 1 \). c) Die Werte bilden eine unendliche Schleife (Zyklus) zwischen \( 0 \) und \( 1 \), da die Tangenten sich gegenseitig auf die jeweils andere Stelle projizieren.

- Was passiert in der Newton-Formel, wenn die Steigung an einer Stelle null ist? - Erinnere dich an die geometrische Interpretation: Was ist eine Tangente an einem Extrempunkt? - Berechne \( x_1 \) Schritt für Schritt mit der Formel \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \). - Überlege, was mit dem Schnittpunkt der Tangente passiert, wenn die Steigung der Tangente fast null ist.

1. Ableitung bilden: \( f'(x) = 3x^2 - 6x \). 2. Überprüfung für \( x_0 = 2 \): Es gilt \( f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 = 12 - 12 = 0 \). Da die Ableitung im Nenner der Newton-Formel steht, ist die Division durch Null nicht definiert. Geometrisch verläuft die Tangente an dieser Stelle (einem lokalen Minimum) parallel zur \(x\)-Achse und hat keinen Schnittpunkt mit ihr. 3. Berechnung für \( x_0 = 2{,}1 \): \( f(2{,}1) = 2{,}1^3 - 3 \cdot 2{,}1^2 + 1 = 9{,}261 - 13{,}23 + 1 = -2{,}969 \). \( f'(2{,}1) = 3 \cdot 2{,}1^2 - 6 \cdot 2{,}1 = 13{,}23 - 12{,}6 = 0{,}63 \). \( x_1 = 2{,}1 - \frac{-2{,}969}{0{,}63} \approx 2{,}1 + 4{,}7127 = 6{,}8127 \approx 6{,}81 \). 4. Vergleich und Problematik: Der Wert \( x_1 \approx 6{,}81 \) liegt sehr weit entfernt von allen drei Nullstellen. Da die Steigung nahe der Extremstelle (\( x=2 \)) sehr klein ist (\( 0{,}63 \)), steigt die Tangente nur sehr flach an und der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse wird weit nach außen projiziert („Überschießen“).

a) \( f'(2) = 0 \). Da die Division durch Null nicht möglich ist (waagerechte Tangente), bricht das Verfahren ab. b) \( x_1 \approx 6{,}81 \). c) Der Wert \( x_1 \) liegt weit außerhalb des Bereichs der Nullstellen. Dies liegt an der geringen Steigung nahe des Extrempunktes, wodurch das Verfahren weit über das Ziel hinausschießt.

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für einen Schritt des Näherungsverfahrens. Welche Funktionswerte benötigst du dafür? - Was bedeutet es geometrisch, wenn wir eine Tangente an den Graphen legen? Wie hängt die Steigung dieser Tangente mit der Ableitung zusammen? - Betrachte den Graphen an der Stelle \(x = 1\). Welche besondere Eigenschaft hat die Kurve dort und was bedeutet das für die Tangente? - Stelle dir die Tangente an der Stelle \(x = 1{,}1\) vor. Wo schneidet diese Tangente die \(x\)-Achse?

1. Ableitung der Funktion bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 3\) 2. Ersten Schritt für \(x_0 = 2\) berechnen: \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 1 = 3\) \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 3 = 9\) \(x_1 = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} = 2 - \frac{3}{9} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\) 3. Zweiten Schritt für \(x_1 = \frac{5}{3}\) berechnen: \(f\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right)^3 - 3 \cdot \frac{5}{3} + 1 = \frac{125}{27} - 4 = \frac{17}{27}\) \(f'\left(\frac{5}{3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 3 = \frac{25}{3} - 3 = \frac{16}{3}\) \(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{f\left(\frac{5}{3}\right)}{f'\left(\frac{5}{3}\right)} = \frac{5}{3} - \frac{\frac{17}{27}}{\frac{16}{3}} = \frac{5}{3} - \frac{17}{144} = \frac{223}{144} \approx 1{,}549\) 4. Begründung für \(x_0 = 1\): Rechnerisch gilt \(f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 0\). Da die Newton-Formel eine Division durch \(f'(x_n)\) verlangt, ist der Schritt für \(f'(x_0) = 0\) nicht definiert. Anschaulich besitzt die Funktion bei \(x = 1\) ein lokales Minimum. Die Tangente an dieser Stelle verläuft waagerecht und schneidet die \(x\)-Achse nicht. 5. Erklärung für \(x_0 = 1{,}1\): Da \(x_0 = 1{,}1\) sehr nahe am Tiefpunkt bei \(x = 1\) liegt, ist die Steigung der Tangente dort sehr klein (\(f'(1{,}1) = 0{,}63\)). Da der Funktionswert negativ ist (\(f(1{,}1) = -0{,}969\)), führt die flache Tangente dazu, dass man entlang dieser Linie sehr weit nach rechts gehen muss, um die \(x\)-Achse zu schneiden (\(x_1 \approx 2{,}64\)).

a) \(x_1 = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\) und \(x_2 = \frac{223}{144} \approx 1{,}549\) b) Rechnerisch ist \(f'(1) = 0\), weshalb eine Division durch null entstehen würde. Anschaulich verläuft die Tangente am Tiefpunkt waagerecht und hat keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. c) Da die Steigung der Tangente nahe am Tiefpunkt sehr klein ist, verläuft sie fast waagerecht. Von einem Punkt unterhalb der \(x\)-Achse aus liegt ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse deshalb weit rechts von der tatsächlichen Nullstelle.

- Welche Größen brauchst du an jedem Start- oder Näherungswert für einen Newton-Schritt? - Was bedeutet es für die Newton-Formel und geometrisch für die Tangente, wenn die Ableitung null ist? - Verwende in Teil c jeden neu berechneten Wert als Startwert des nächsten Schritts. - Vergleiche die drei Näherungswerte anschließend mit der Lage der im Graphen sichtbaren Nullstellen, ohne aus nur einem Schritt auf das Langzeitverhalten zu schließen.

1. Für Teil a gilt \(f(1)=-0{,}1\) und \(f'(x)=0{,}3x^2-1{,}2\), also \(f'(1)=-0{,}9\). Damit ist \(x_1=1-\frac{-0{,}1}{-0{,}9}=\frac{8}{9}\approx0{,}89\). 2. Für Teil b gilt \(f'(2)=0{,}3\cdot2^2-1{,}2=0\). Daher ist der Newton-Schritt nicht definiert. Bei \(x=2\) liegt ein lokales Minimum mit waagerechter Tangente vor. 3. Für Teil c gilt \(f(-1{,}5)=2{,}4625\) und \(f'(-1{,}5)=-0{,}525\). Somit ist \(x_1=-1{,}5-\frac{2{,}4625}{-0{,}525}=\frac{67}{21}\approx3{,}19\). 4. Mit \(x_1=\frac{67}{21}\) ergibt der nächste Newton-Schritt \(x_2\approx2{,}9644\approx2{,}96\). 5. Ein weiterer Schritt liefert \(x_3\approx2{,}9312\approx2{,}93\). 6. Die Werte \(3{,}19\), \(2{,}96\) und \(2{,}93\) nähern sich von rechts der im Graphen erkennbaren rechten Nullstelle bei etwa \(x=2{,}93\). Die Rechnung legt daher diese Nullstelle als Grenzwert nahe.

a) \(x_1=\frac{8}{9}\approx0{,}89\) b) Für \(x_0=2\) gilt \(f'(2)=0\); der Newton-Schritt ist nicht definiert und die Tangente ist waagerecht. c) \(x_1=\frac{67}{21}\approx3{,}19\), \(x_2\approx2{,}96\), \(x_3\approx2{,}93\). Die Werte nähern sich von rechts der rechten Nullstelle bei etwa \(x=2{,}93\); diese wird als Grenzwert nahegelegt.

- Welche Punkte des Graphen liegen auf der \(x\)-Achse? - Welche Ableitung brauchst du für den ersten Newton-Schritt? - Welche geometrische Besonderheit haben Stellen, an denen die Ableitung null ist? - Löse die Gleichung für diese Stellen erst exakt und runde anschließend.

1. Aus dem Graphen liest man ungefähr die Nullstellen \(-2{,}5\), \(0{,}5\) und \(1{,}9\) ab. 2. Die Ableitung ist \(f'(x)=0{,}6x^2-1\). 3. Für \(x_0=2\) gilt \(f(2)=0{,}1\) und \(f'(2)=1{,}4\). Damit ist \(x_1=2-\frac{0{,}1}{1{,}4}=\frac{27}{14}\approx1{,}929\). 4. Ungeeignet sind Startwerte mit \(f'(x_0)=0\), weil die Newton-Formel dort durch null teilen würde; geometrisch ist die Tangente waagrecht. 5. Aus \(0{,}6x^2-1=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}\approx\pm1{,}29\).

a) Ungefähr \(-2{,}5\), \(0{,}5\), \(1{,}9\) b) \(x_1=\frac{27}{14}\approx1{,}929\) c) Ungeeignet sind \(x\approx-1{,}29\) und \(x\approx1{,}29\), weil dort \(f'(x)=0\).

- Rechne bei der Iteration intern genauer als die zwei Dezimalstellen des Endergebnisses. - Welche Steigung hat der Graph im Ursprung? - Vergleiche die rechnerische Ableitung dort mit der Form des Graphen in der Abbildung.

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-4x\). 2. Aus \(x_0=3\) folgen nacheinander \(x_1\approx2{,}7167\), \(x_2\approx2{,}6234\), \(x_3\approx2{,}6132\) und \(x_4\approx2{,}6131\). 3. Damit ist die größte positive Nullstelle auf zwei Dezimalstellen \(x\approx2{,}61\). 4. Für \(x_0=0\) gilt \(f'(0)=0\). Die Newton-Formel ist daher nicht definiert. 5. In der Abbildung erkennt man bei \(x=0\) eine waagrechte Tangente am lokalen Maximum; sie schneidet die \(x\)-Achse nicht.

a) \(x\approx2{,}61\) b) Bei \(x_0=0\) gilt \(f'(0)=0\); die Tangente ist waagrecht und der Newton-Schritt nicht definiert.

- Welche Ableitung steht im Nenner der Newton-Formel? - An welcher Stelle landet der erste Newton-Schritt? - Welche geometrische Eigenschaft hat der Graph genau an dieser Stelle?

1. Die Ableitung lautet \(h'(x)=2x-4\). 2. Für \(x_0=3\) gilt \(h(3)=2\) und \(h'(3)=2\). Daher ist \(x_1=3-\frac{2}{2}=2\). 3. Für den nächsten Schritt wäre \(h'(2)\) erforderlich; es gilt jedoch \(h'(2)=0\). Deshalb ist der Newton-Schritt nicht definiert. 4. Im Graphen liegt bei \(x=2\) das Minimum der Parabel. Die Tangente ist dort waagrecht und schneidet die \(x\)-Achse nicht. 5. Außerdem liegt das Minimum oberhalb der \(x\)-Achse, sodass \(h\) keine reelle Nullstelle besitzt.

a) \(x_1=2\) b) \(h'(2)=0\); die Formel für \(x_2\) würde durch null teilen. c) Bei \(x=2\) ist die Tangente am Minimum waagrecht; zudem besitzt die Parabel keine reelle Nullstelle.

- Vergleiche die eingezeichnete Tangente mit einer waagrechten Geraden. - Wo würde eine Gerade mit sehr kleiner Steigung die \(x\)-Achse erst schneiden? - Für Teil b brauchst du Funktionswert und Ableitungswert am Startwert.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=x^2-3\). Bei \(x=\sqrt{3}\approx1{,}732\) liegt ein lokales Minimum. 2. In der Nähe von \(x=1{,}7\) ist die Tangentensteigung sehr klein. Die eingezeichnete Tangente verläuft fast waagrecht; ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt deshalb sehr weit vom Startwert entfernt. Ein Newton-Schritt kann dadurch in einen ganz anderen Bereich springen. 3. Für \(x_0=2{,}5\) gilt \(f(2{,}5)=-\frac{31}{24}\approx-1{,}2917\) und \(f'(2{,}5)=3{,}25\). 4. Damit ist \(x_1=2{,}5-\frac{-31/24}{3{,}25}\approx2{,}897\).

a) Nahe \(x=1{,}7\) ist die Tangente fast waagrecht; ihr \(x\)-Achsen-Schnittpunkt liegt daher sehr weit entfernt und kann die Iteration in einen anderen Nullstellenbereich führen. b) \(x_1\approx2{,}897\)

- Runde für Teil a erst die ausgegebenen Iterierten, nicht die internen Zwischenwerte. - Suche im Graphen nach einer Stelle, an der die Kurve fast horizontal verläuft. - Welche Auswirkung hat eine sehr kleine Tangentensteigung auf den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse?

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=x^3-4x+0{,}5\). 2. Für \(x_0=3\) gilt \(f(3)=4{,}75\) und \(f'(3)=15{,}5\). Damit ist \(x_1=3-\frac{4{,}75}{15{,}5}\approx2{,}694\). 3. Mit dem ungerundeten ersten Wert ergibt sich \(x_2\approx2{,}586\). 4. Ein problematischer Bereich liegt beim lokalen Minimum nahe \(x\approx1{,}93\). Beispielsweise ist \(x_0\approx1{,}9\) ungünstig, weil die Tangente dort fast waagrecht verläuft und ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse weit entfernt liegen kann.

a) \(x_1\approx2{,}694\); \(x_2\approx2{,}586\) b) Zum Beispiel \(x_0\approx1{,}9\); dort ist die Tangente nahe dem lokalen Minimum fast waagrecht.

- Welche der beiden dargestellten Funktionen steht im Nenner des Newton-Schritts für \(g\)? - Lies im Graphen von \(d\) den Wert bei \(x=2\) ab. - Welche geometrische Bedeutung hat ein Ableitungswert von null für den Graphen von \(g\)?

1. Für Newton auf \(g\) wird \(g'(x)=d(x)=3x^2-6x\) benötigt. 2. Für \(x_0=3\) gilt \(g(3)=1\) und \(g'(3)=9\). Daher ist \(x_1=3-\frac{1}{9}\approx2{,}889\). 3. Mit dem ungerundeten ersten Wert folgt \(x_2\approx2{,}879\). 4. Bei \(x=2\) gilt \(d(2)=g'(2)=0\). Der Nenner der Newton-Formel wäre daher null. 5. Geometrisch bedeutet \(g'(2)=0\), dass der Graph von \(g\) dort eine waagrechte Tangente besitzt; ein Newton-Schritt ist nicht definiert.

a) \(x_1\approx2{,}889\); \(x_2\approx2{,}879\) b) Bei \(x_0=2\) gilt \(d(2)=g'(2)=0\); der Newton-Schritt ist wegen Division durch null nicht definiert.

- Prüfe jede vorgeschlagene Fixpunktgleichung durch algebraisches Rückumformen. - Bei einer Iteration ist nicht nur wichtig, ob eine Gleichung äquivalent ist, sondern wohin ihre wiederholte Anwendung führt. - Vergleiche mehrere aufeinanderfolgende Werte und beobachte, ob sie sich stabilisieren oder in einen anderen Lösungsbereich wandern. - Untersuche die drei Vorschriften für die beiden Startwerte getrennt.

1. Aus \(x^3-5x+1=0\) folgt durch Umstellen jeweils \(x=\frac{x^3+1}{5}\), \(x=\sqrt[3]{5x-1}\) und \(x=\frac{1}{5-x^2}\); alle drei Gleichungen sind daher äquivalent zur Ausgangsgleichung. 2. Für \(x_0=0\) liefert (1) die Werte \(0{,}2\), \(0{,}2016\), \(0{,}20164\), \(0{,}20164\); die Folge nähert sich der Lösung im Intervall \([0;1]\). 3. Für \(x_0=0\) liefert (2) ungefähr \(-1\), \(-1{,}8171\), \(-2{,}1606\), \(-2{,}2768\); diese Iteration führt nicht zur Lösung in \([0;1]\), sondern in Richtung der negativen Lösung. 4. Für \(x_0=0\) liefert (3) ungefähr \(0{,}2\), \(0{,}20161\), \(0{,}20164\), \(0{,}20164\); auch diese Folge nähert sich der Lösung in \([0;1]\). 5. Für \(x_0=2\) führt (1) über \(1{,}8\), \(1{,}3664\), \(0{,}7102\) zur kleinen positiven Lösung; (3) führt über \(1\), \(0{,}25\), \(0{,}2025\) ebenfalls dorthin. 6. Vorschrift (2) liefert für \(x_0=2\) ungefähr \(2{,}0801\), \(2{,}1105\), \(2{,}1218\), \(2{,}1260\) und führt damit zur Lösung im Intervall \([2;3]\), die ungefähr \(2{,}1284\) beträgt.

a) Alle drei Umformungen sind äquivalent zur Ausgangsgleichung. b) (1) \(0{,}2;0{,}2016;0{,}20164;0{,}20164\): Konvergenz zur Lösung in \([0;1]\). (2) \(-1;-1{,}8171;-2{,}1606;-2{,}2768\): keine Konvergenz zur Lösung in \([0;1]\). (3) \(0{,}2;0{,}20161;0{,}20164;0{,}20164\): Konvergenz zur Lösung in \([0;1]\). c) Nur (2) führt von \(x_0=2\) zur Lösung in \([2;3]\), ungefähr \(2{,}1284\).

- Welche besondere Stelle der Funktion liegt zwischen den beiden Startwerten? - Wie unterscheiden sich die Tangentensteigungen links und rechts eines lokalen Minimums? - Der nächste Newton-Wert ist geometrisch an den Schnittpunkt der jeweiligen Tangente mit der \(x\)-Achse gebunden. - Prüfe für den mittleren Startwert den Nenner der Newton-Formel.

1. Setze \(f(x)=x^3-3x+1\). Dann ist \(f'(x)=3x^2-3\). 2. Für \(x_0=0{,}9\) gilt \(f(0{,}9)=-0{,}971\) und \(f'(0{,}9)=-0{,}57\). Damit ist \(x_1=0{,}9-\frac{-0{,}971}{-0{,}57}\approx-0{,}8035\). 3. Für \(x_0=1{,}1\) gilt \(f(1{,}1)=-0{,}969\) und \(f'(1{,}1)=0{,}63\). Damit ist \(x_1=1{,}1-\frac{-0{,}969}{0{,}63}\approx2{,}6381\). 4. Bei \(x=1\) liegt ein lokales Minimum. Links davon hat die Tangente negative, rechts davon positive Steigung; ihre Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen deshalb auf weit auseinanderliegenden Seiten. 5. Für \(x_0=1\) ist \(f'(1)=0\). Die Tangente ist waagrecht, und die Newton-Formel würde durch \(0\) teilen.

a) Für \(x_0=0{,}9\): \(x_1\approx-0{,}8035\); für \(x_0=1{,}1\): \(x_1\approx2{,}6381\) b) Die Startwerte liegen auf verschiedenen Seiten des lokalen Minimums bei \(x=1\); die Tangentensteigungen haben unterschiedliche Vorzeichen und führen zu weit getrennten \(x\)-Achsen-Schnittpunkten. c) Bei \(x_0=1\) gilt \(f'(1)=0\); der Newton-Schritt ist nicht definiert.

- Welche Stellen des Graphen haben eine waagerechte Tangente? - Welche Größe steht im Nenner der Newton-Formel? - Verfolge bei \(x_0=3\) mehrere aufeinanderfolgende Näherungswerte und vergleiche ihre Lage mit den drei Nullstellen im Graphen. - Wie kannst du „näher an \(x=1\)“ als Abstand ausdrücken und vor sowie nach dem Newton-Schritt vergleichen?

1. Es ist \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). Daher ist der erste Newton-Schritt bei \(x_0=0\) und \(x_0=2\) nicht definiert. Im Graphen sind dies die Extremstellen mit waagerechten Tangenten. 2. Für \(x_0=3\) gilt \(f(3)=2\) und \(f'(3)=9\). Somit ist \(x_1=3-\frac{2}{9}=\frac{25}{9}\approx2{,}7778\). 3. Weiter gilt \(f\left(\frac{25}{9}\right)=\frac{208}{729}\) und \(f'\left(\frac{25}{9}\right)=\frac{175}{27}\). Daher ist \(x_2=\frac{12917}{4725}\approx2{,}7338\). 4. Zwei weitere Newton-Schritte ergeben \(x_3\approx2{,}7321\) und \(x_4\approx2{,}7321\). Die Werte \(2{,}7778\), \(2{,}7338\), \(2{,}7321\), \(2{,}7321\) stabilisieren sich bei der rechten Nullstelle \(1+\sqrt{3}\approx2{,}7321\). Die Rechnung legt daher diese Nullstelle als Grenzwert nahe. 5. Für \(x_0=1{,}8\) ergibt sich \(x_1=\frac{7}{135}\approx0{,}0519\). Der Abstand zu \(x=1\) wächst dabei von \(0{,}8\) auf etwa \(0{,}9481\). 6. Für \(x_0=0{,}2\) ergibt sich \(x_1=\frac{263}{135}\approx1{,}9481\). Der Abstand zu \(x=1\) wächst ebenfalls von \(0{,}8\) auf etwa \(0{,}9481\). 7. Damit widerlegen beide Startwerte die Behauptung, dass bereits der erste Newton-Schritt stets näher an die mittlere Nullstelle führt.

a) \(x_0=0\) und \(x_0=2\); dort gilt \(f'(x_0)=0\), die Tangenten sind waagerecht. b) 1. \(x_1=\frac{25}{9}\approx2{,}7778\), \(x_2=\frac{12917}{4725}\approx2{,}7338\). 2. \(x_3\approx2{,}7321\), \(x_4\approx2{,}7321\); die Werte stabilisieren sich bei der rechten Nullstelle \(1+\sqrt{3}\approx2{,}7321\), die dadurch als Grenzwert nahegelegt wird. c) Für \(x_0=1{,}8\) gilt \(x_1=\frac{7}{135}\approx0{,}0519\), für \(x_0=0{,}2\) gilt \(x_1=\frac{263}{135}\approx1{,}9481\). In beiden Fällen wächst der Abstand zu \(x=1\) von \(0{,}8\) auf etwa \(0{,}9481\); die Behauptung ist widerlegt.

- Führe zwei Newton-Schritte aus, ohne das zweite Ergebnis vorweg zu interpretieren. - Vergleiche anschließend den zweiten Wert mit dem ursprünglichen Startwert. - Lies bei den gestrichelten Tangenten jeweils den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ab. - Für die exakte Nullstelle lässt sich im Funktionsterm ein gemeinsamer Faktor ausklammern.

1. Es gilt \(f'(x)=3x^2-5\). 2. Für \(x_0=1\) ist \(f(1)=-4\) und \(f'(1)=-2\). Daher folgt \(x_1=1-\frac{-4}{-2}=-1\). 3. Für \(x_1=-1\) ist \(f(-1)=4\) und \(f'(-1)=-2\). Daher folgt \(x_2=-1-\frac{4}{-2}=1\). 4. Die Iteration gerät also in den Zweierzyklus \(1\leftrightarrow-1\) und konvergiert nicht. 5. Im Graphen schneidet die Tangente bei \(x=1\) die \(x\)-Achse bei \(-1\); die Tangente bei \(x=-1\) führt wieder zu \(1\). 6. Aus \(x^3-5x=x(x^2-5)=0\) folgen die Nullstellen \(0\) und \(\pm\sqrt{5}\). Die positive Nullstelle ist \(\sqrt{5}\). 7. Ein geeigneter Startwert ist beispielsweise \(x_0=3\), da er rechts von der positiven Nullstelle und außerhalb des lokalen Minimums liegt.

a) \(x_1=-1\), \(x_2=1\); Zweierzyklus, keine Konvergenz. b) Die beiden eingezeichneten Tangenten führen abwechselnd von \(1\) nach \(-1\) und zurück. c) Positive Nullstelle \(\sqrt{5}\approx2{,}24\); beispielsweise \(x_0=3\).

- Stelle zuerst den Newton-Ausdruck für \(x_1\) in Abhängigkeit von \(x_0\) auf. - Beachte vor dem Beseitigen des Nenners, welche Startwerte für den Newton-Bruch überhaupt zulässig sind. - Setze anschließend den vorgegebenen Wert für \(x_1\) ein und löse die entstehende Gleichung. - Für die Deutung kannst du die Tangenten zu den gefundenen Startwerten vergleichen.

a) Für \(x_0>0\) gilt \(x_1 = x_0 - \frac{x_0^2-2}{2x_0} = \frac{x_0^2+2}{2x_0}\). Mit \(x_1=\frac{3}{2}\) folgt \(\frac{x_0^2+2}{2x_0}=\frac{3}{2}\), also \(x_0^2-3x_0+2=0\). Daraus ergibt sich \((x_0-1)(x_0-2)=0\), also \(x_0=1\) oder \(x_0=2\). b) Für \(x_0=1\) ist \(x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac{3}{2}\). Für \(x_0=2\) ist \(x_1 = 2 - \frac{2}{4} = \frac{3}{2}\). Beide Startwerte führen somit zum gleichen nächsten Näherungswert. c) Unterschiedliche Startwerte können denselben nächsten Newton-Wert erzeugen. Hier schneiden die Tangenten in den Punkten zu \(x_0=1\) und \(x_0=2\) die \(x\)-Achse an derselben Stelle. Der nächste Näherungswert hängt daher nicht allein davon ab, wie weit der Startwert von der Nullstelle entfernt ist.

a) \(x_0=1\) und \(x_0=2\). b) Für beide Startwerte ergibt die Newton-Formel \(x_1=\frac{3}{2}\). c) Verschiedene Startwerte können denselben nächsten Newton-Wert besitzen; die Entfernung des Startwerts von der Nullstelle bestimmt den nächsten Schritt nicht allein.