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- Wie lautet die allgemeine Iterationsformel für das Newton-Verfahren? - Welche Information liefert die erste Ableitung an der Stelle des aktuellen Näherungswertes? - Achte darauf, die Zwischenergebnisse nicht zu früh zu runden, um die Genauigkeit zu erhalten. - Was bedeutet es geometrisch, wenn wir vom Punkt \((x_n | f(x_n))\) aus der Tangente bis zur \(x\)-Achse folgen?

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = 3x^2 + 8x\). 2. Berechnung für \(x_1 = 1\): \(x_2 = 1 - \frac{f(1)}{f'(1)} = 1 - \frac{-5}{11} \approx 1{,}4545\) \(x_3 = 1{,}4545 - \frac{f(1{,}4545)}{f'(1{,}4545)} \approx 1{,}4545 - \frac{1{,}5402}{17{,}9835} \approx 1{,}3689\) 3. Berechnung für \(x_1 = 2\): \(x_2 = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} = 2 - \frac{14}{28} = 1{,}5\) \(x_3 = 1{,}5 - \frac{f(1{,}5)}{f'(1{,}5)} = 1{,}5 - \frac{2{,}375}{18{,}75} \approx 1{,}3733\) 4. Vergleich: Die tatsächliche Nullstelle liegt bei ca. \(1{,}365\). Der Startwert \(x_1 = 1\) liegt nach zwei Schritten näher am tatsächlichen Wert, obwohl beide Startwerte gut konvergieren.

a) \(x_2 \approx 1{,}4545\); \(x_3 \approx 1{,}3689\) b) \(x_2 = 1{,}5\); \(x_3 \approx 1{,}3733\) c) Der Startwert \(x_1 = 1\) führt hier etwas schneller in die Nähe der Nullstelle (\(\approx 1{,}365\)).

- Welche Bedingung muss für die Funktionswerte an den Intervallgrenzen gelten, damit dazwischen eine Nullstelle liegt? - Wie lautet die allgemeine Iterationsformel für das Newton-Verfahren? - Skizziere im Kopf oder auf Papier den Graphen und die Tangenten an den berechneten Stellen. - Was passiert, wenn eine Tangente die Achse genau an einer Stelle schneidet, die man zuvor schon berechnet hat?

1. Nachweis der Nullstelle: Es gilt \( f(-2) = (-2)^3 - 2 \cdot (-2) + 2 = -8 + 4 + 2 = -2 \) und \( f(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3 \). Da ein Vorzeichenwechsel im Intervall \( [-2; -1] \) vorliegt und die Funktion stetig ist, existiert dort mindestens eine Nullstelle. 2. Berechnung der Newton-Schritte mit \( f'(x) = 3x^2 - 2 \): \( x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0 - \frac{2}{-2} = 1 \). \( x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 1 - \frac{1^3 - 2 \cdot 1 + 2}{3 \cdot 1^2 - 2} = 1 - \frac{1}{1} = 0 \). \( x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} = 0 - \frac{2}{-2} = 1 \). 3. Beobachtung und Erklärung: Die Werte alternieren zwischen \( 0 \) und \( 1 \). Geometrisch bedeutet dies, dass die Tangente an den Graphen an der Stelle \( x=0 \) die \(x\)-Achse genau bei \( x=1 \) schneidet und die Tangente an der Stelle \( x=1 \) die \(x\)-Achse wiederum genau bei \( x=0 \) schneidet. Das Verfahren gerät in einen Zyklus und konvergiert nicht gegen die tatsächliche Nullstelle bei ca. \( -1{,}769 \).

a) \( f(-2) = -2 \) und \( f(-1) = 3 \). Aufgrund des Vorzeichenwechsels liegt im Intervall eine Nullstelle. b) \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 1 \). c) Die Werte bilden eine unendliche Schleife (Zyklus) zwischen \( 0 \) und \( 1 \), da die Tangenten sich gegenseitig auf die jeweils andere Stelle projizieren.

- Erinnere dich daran, wie die allgemeine Formel für einen Iterationsschritt im Newton-Verfahren lautet. - Welche Rolle spielt die Tangente an den Graphen im Newton-Verfahren? - Was bedeutet es geometrisch, wenn die Ableitung an einer Stelle null ist? - Stelle dir die Tangente an der Stelle \(x_0 = -1{,}5\) vor. Wo schneidet diese die \(x\)-Achse? - Überlege, wie sich die darauf folgenden Schritte verhalten, wenn du den ersten Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gefunden hast.

1. Teilaufgabe a): \(f(1) = -0{,}1\) und \(f'(x) = 0{,}3x^2 - 1{,}2\), also \(f'(1) = -0{,}9\). Damit ist \(x_1 = 1 - \frac{-0{,}1}{-0{,}9} = \frac{8}{9} \approx 0{,}89\). 2. Teilaufgabe b): \(f'(2) = 0{,}3 \cdot 2^2 - 1{,}2 = 0\). Daher ist der Newton-Schritt nicht definiert. Bei \(x = 2\) liegt ein lokales Minimum mit waagerechter Tangente vor. 3. Teilaufgabe c): \(f(-1{,}5) = 2{,}4625\) und \(f'(-1{,}5) = -0{,}525\). Somit ist \(x_1 = -1{,}5 - \frac{2{,}4625}{-0{,}525} = \frac{67}{21} \approx 3{,}19\). Dieser Wert liegt rechts von der rechten Nullstelle bei \(x \approx 2{,}93\). Dort ist \(f\) streng monoton steigend und linksgekrümmt; die weiteren Newton-Schritte führen von rechts zur rechten Nullstelle.

a) \(x_1 = \frac{8}{9} \approx 0{,}89\) b) Für \(x_0 = 2\) gilt \(f'(2) = 0\); der Newton-Schritt ist nicht definiert und die Tangente ist waagerecht. c) \(x_1 = \frac{67}{21} \approx 3{,}19\). Das Verfahren konvergiert gegen die rechte Nullstelle bei \(x \approx 2{,}93\).

- Denke an die Division in der Newton-Formel. Was darf im Nenner nicht stehen? - Wo genau im Graphen landet das Verfahren nach dem ersten Schritt? - Was bedeutet eine Steigung von null für den Verlauf der Tangente?

1. Ableitung: \(h'(x) = 2x - 4\). 2. Berechnung von \(x_1\): \(x_1 = 3 - \frac{h(3)}{h'(3)} = 3 - \frac{3^2 - 4 \cdot 3 + 5}{2 \cdot 3 - 4} = 3 - \frac{2}{2} = 2\) 3. Für den nächsten Schritt wird \(h'(2)\) benötigt. Es gilt \(h'(2) = 0\). Daher ist der Schritt wegen einer Division durch null nicht ausführbar. 4. Geometrisch liegt bei \(x = 2\) das Minimum der Parabel. Die Tangente ist dort parallel zur \(x\)-Achse und schneidet sie nicht. Außerdem besitzt \(h\) keine reelle Nullstelle.

a) \(x_1 = 2\) b) Da \(h'(2) = 0\) ist, ist die Division in der Formel für \(x_2\) nicht definiert. c) Die Tangente an der Stelle \(x = 2\) verläuft horizontal und schneidet die \(x\)-Achse nicht; die Parabel besitzt keine reelle Nullstelle.

- Schau dir im Graphen an, wie die Tangente aussieht, wenn die Kurve dort fast flach verläuft. - Wo würde eine fast waagerechte Tangente die \(x\)-Achse schneiden? - Setze den Startwert in die Newton-Formel ein. Du benötigst dafür sowohl den Funktionswert als auch den Wert der Ableitung an dieser Stelle.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x) = x^2 - 3\). Lokale Extremstellen liegen bei \(x = \pm \sqrt{3} \approx \pm 1{,}732\). Bei \(x \approx 1{,}732\) befindet sich ein lokales Minimum. 2. In der Nähe von \(x = 1{,}7\) ist die Steigung \(f'(x)\) sehr klein. Die Tangente verläuft fast waagerecht, sodass ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse weit vom Startwert entfernt liegen kann. Dadurch kann das Verfahren zu einer anderen Nullstelle springen. 3. Für \(x_0 = 2{,}5\): \(f(2{,}5) = \frac{1}{3} \cdot 2{,}5^3 - 3 \cdot 2{,}5 + 1 \approx -1{,}2917\) \(f'(2{,}5) = 2{,}5^2 - 3 = 3{,}25\) \(x_1 = 2{,}5 - \frac{-1{,}2917}{3{,}25} \approx 2{,}897\)

a) In der Nähe von \(x = 1{,}7\) liegt ein lokales Minimum. Die Tangente ist dort fast waagerecht; ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse kann deshalb sehr weit entfernt liegen und die gesuchte Nullstelle „überspringen“. b) \(x_1 \approx 2{,}897\)

- Nutze algebraische Umformungen, um den Bruchterm zu vereinfachen, indem du durch \( 0{,}5 \) dividierst. - Wann hat der Wert von \( n \) keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis der Formel? - Überlege, was mit einer Potenz passiert, deren Basis größer als \( 1 \) ist, wenn der Exponent immer größer wird. - Achte auf das Vorzeichen des Faktors vor der Potenz.

1. Einsetzen in die Formel: \( a_n = 1{,}5^{n-1} \cdot a_1 - 100 \cdot \frac{1{,}5^{n-1} - 1}{1{,}5 - 1} \). 2. Vereinfachung des Bruchs: \( \frac{1{,}5^{n-1} - 1}{0{,}5} = 2 \cdot (1{,}5^{n-1} - 1) \). 3. Zusammenfassen: \( a_n = a_1 \cdot 1{,}5^{n-1} - 200 \cdot 1{,}5^{n-1} + 200 = 200 + (a_1 - 200) \cdot 1{,}5^{n-1} \). 4. Stationäre Folge: Die Folge ist konstant, wenn der Term mit der Potenz verschwindet, also \( a_1 - 200 = 0 \), woraus \( a_1 = 200 \) folgt. 5. Grenzverhalten: Für \( a_1 > 200 \) ist die Klammer positiv. Da \( 1{,}5^{n-1} \) für \( n \to \infty \) unendlich groß wird, divergiert die Folge gegen \( +\infty \). Für \( a_1 < 200 \) ist die Klammer negativ, die Folge divergiert gegen \( -\infty \).

a) Nachweis durch Einsetzen: \( a_n = a_1 \cdot 1{,}5^{n-1} - 100 \cdot \frac{1{,}5^{n-1} - 1}{0{,}5} = 200 + (a_1 - 200) \cdot 1{,}5^{n-1} \) b) \( a_1 = 200 \) c) Für \( a_1 > 200 \) gilt \( a_n \to \infty \); für \( a_1 < 200 \) gilt \( a_n \to -\infty \).

- Skizziere dir im Kopf oder grob auf Papier den Verlauf einer kubischen Funktion mit einem lokalen Minimum. - Was passiert mit der Tangente, wenn du dich dem tiefsten Punkt einer Kurve näherst? - In welche Richtung zeigt eine Tangente links vom Minimum, in welche rechts davon? - Schau dir die Newton-Formel genau an – gibt es mathematische Operationen, die nicht erlaubt sind?

1. Funktion und Ableitung: \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) und \(f'(x) = 3x^2 - 3\). 2. Berechnung für \(x_1 = 0{,}9\): \(f(0{,}9) = -0{,}971\); \(f'(0{,}9) = -0{,}57\) \(x_2 = 0{,}9 - \frac{-0{,}971}{-0{,}57} \approx -0{,}8035\) 3. Berechnung für \(x_1 = 1{,}1\): \(f(1{,}1) = -0{,}969\); \(f'(1{,}1) = 0{,}63\) \(x_2 = 1{,}1 - \frac{-0{,}969}{0{,}63} \approx 2{,}6381\) 4. Geometrische Erklärung: Bei \(x = 1\) besitzt die Funktion ein lokales Minimum. Für \(x_1 = 0{,}9\) ist die Steigung der Tangente negativ; die Tangente schneidet die \(x\)-Achse links vom Startwert. Für \(x_1 = 1{,}1\) ist die Steigung positiv; die Tangente schneidet die \(x\)-Achse rechts vom Startwert. Daher „springen“ die Werte in entgegengesetzte Richtungen. 5. Ungeeigneter Startwert: An der Stelle \(x = 1\) ist \(f'(1) = 0\). Die Tangente ist waagerecht und schneidet die \(x\)-Achse nicht; die Division durch Null in der Newton-Formel ist nicht definiert.

a) Für \(x_1 = 0{,}9\) ist \(x_2 \approx -0{,}8035\); für \(x_1 = 1{,}1\) ist \(x_2 \approx 2{,}6381\). b) Zwischen den Werten liegt ein lokales Minimum bei \(x = 1\). Die Tangenten haben Steigungen mit unterschiedlichen Vorzeichen und schneiden die \(x\)-Achse daher auf unterschiedlichen Seiten des Extrempunkts. c) Bei \(x = 1\) ist die Ableitung null (\(f'(1) = 0\)). Die Tangente ist waagerecht und hat keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse; das Verfahren bricht ab.

- Was passiert in der Newton-Formel, wenn die Steigung an einer Stelle null ist? - Erinnere dich an die geometrische Interpretation: Was ist eine Tangente an einem Extrempunkt? - Berechne \( x_1 \) Schritt für Schritt mit der Formel \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \). - Überlege, was mit dem Schnittpunkt der Tangente passiert, wenn die Steigung der Tangente fast null ist.

1. Ableitung bilden: \( f'(x) = 3x^2 - 6x \). 2. Überprüfung für \( x_0 = 2 \): Es gilt \( f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 = 12 - 12 = 0 \). Da die Ableitung im Nenner der Newton-Formel steht, ist die Division durch Null nicht definiert. Geometrisch verläuft die Tangente an dieser Stelle (einem lokalen Minimum) parallel zur \(x\)-Achse und hat keinen Schnittpunkt mit ihr. 3. Berechnung für \( x_0 = 2{,}1 \): \( f(2{,}1) = 2{,}1^3 - 3 \cdot 2{,}1^2 + 1 = 9{,}261 - 13{,}23 + 1 = -2{,}969 \). \( f'(2{,}1) = 3 \cdot 2{,}1^2 - 6 \cdot 2{,}1 = 13{,}23 - 12{,}6 = 0{,}63 \). \( x_1 = 2{,}1 - \frac{-2{,}969}{0{,}63} \approx 2{,}1 + 4{,}7127 = 6{,}8127 \approx 6{,}81 \). 4. Vergleich und Problematik: Der Wert \( x_1 \approx 6{,}81 \) liegt sehr weit entfernt von allen drei Nullstellen. Da die Steigung nahe der Extremstelle (\( x=2 \)) sehr klein ist (\( 0{,}63 \)), steigt die Tangente nur sehr flach an und der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse wird weit nach außen projiziert („Überschießen“).

a) \( f'(2) = 0 \). Da die Division durch Null nicht möglich ist (waagerechte Tangente), bricht das Verfahren ab. b) \( x_1 \approx 6{,}81 \). c) Der Wert \( x_1 \) liegt weit außerhalb des Bereichs der Nullstellen. Dies liegt an der geringen Steigung nahe des Extrempunktes, wodurch das Verfahren weit über das Ziel hinausschießt.

- Was sagt die Ableitung einer Funktion über die Steigung ihrer Tangenten aus? - Welche geometrische Bedeutung hat das Newton-Verfahren? Wie wird der nächste Näherungswert mithilfe einer Tangente bestimmt? - Was passiert mit einer Tangente an einem lokalen Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt)? - Wenn ein berechneter Wert \(x_1\) nahe an einem Extrempunkt liegt, wie verhält sich dann die Steigung der Tangente und wohin führt der nächste Schritt auf der \(x\)-Achse?

1. Für Teilaufgabe a) bestimmen wir die erste Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\) Der Newton-Schritt scheitert durch Division durch null, wenn \(f'(x_0) = 0\) ist. Dies ist für \(x_0 = 0\) und \(x_0 = 2\) der Fall. Anschaulich sind dies die Extremstellen: der Hochpunkt \((0 \mid 2)\) und der Tiefpunkt \((2 \mid -2)\). Die Tangenten sind dort waagerecht und schneiden die \(x\)-Achse nicht. 2. Für Teilaufgabe b) berechnen wir die ersten beiden Schritte mit \(x_0 = 3\): \(f(3) = 2\) und \(f'(3) = 9\). \(x_1 = 3 - \frac{2}{9} = \frac{25}{9} \approx 2{,}7778\) Für den zweiten Schritt gilt \(f\left(\frac{25}{9}\right) = \frac{208}{729}\) und \(f'\left(\frac{25}{9}\right) = \frac{175}{27}\): \(x_2 = \frac{25}{9} - \frac{\frac{208}{729}}{\frac{175}{27}} = \frac{12917}{4725} \approx 2{,}7338\) Für \(x > 2\) gilt \(f'(x) > 0\) und \(f''(x) > 0\). Daher nähert sich die Folge von rechts der rechten Nullstelle \(x = 1 + \sqrt{3} \approx 2{,}7321\). 3. Für Teilaufgabe c): Für \(x_0 = 1{,}8\) gilt \(f(1{,}8) = -1{,}888\) und \(f'(1{,}8) = -1{,}08\). \(x_1 = 1{,}8 - \frac{-1{,}888}{-1{,}08} = \frac{7}{135} \approx 0{,}0519\) Die weitere Folge konvergiert gegen die rechte Nullstelle \(1 + \sqrt{3}\). Für \(x_0 = 0{,}2\) gilt \(f(0{,}2) = 1{,}888\) und \(f'(0{,}2) = -1{,}08\). \(x_1 = 0{,}2 - \frac{1{,}888}{-1{,}08} = \frac{263}{135} \approx 1{,}9481\) Die weitere Folge konvergiert gegen die linke Nullstelle \(1 - \sqrt{3}\). Damit widerlegen beide Beispiele die behauptete globale Aussage.

a) Die ungeeigneten Startwerte sind \(x_0 = 0\) und \(x_0 = 2\). Dort gilt \(f'(x_0) = 0\); die Tangenten sind waagerecht. b) 1. \(x_1 = \frac{25}{9} \approx 2{,}7778\) und \(x_2 = \frac{12917}{4725} \approx 2{,}7338\). 2. Das Verfahren konvergiert gegen \(x = 1 + \sqrt{3} \approx 2{,}7321\). c) Für \(x_0 = 1{,}8\) ergibt sich \(x_1 = \frac{7}{135} \approx 0{,}0519\); die Folge konvergiert gegen die rechte Nullstelle. Für \(x_0 = 0{,}2\) ergibt sich \(x_1 = \frac{263}{135} \approx 1{,}9481\); die Folge konvergiert gegen die linke Nullstelle.

- Setze den Startwert schrittweise in die Newton-Formel \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) ein. - Achte darauf, was passiert, wenn ein berechneter Wert wieder als Eingabe für den nächsten Schritt dient. - Schau dir im Graphen an, wo die gestrichelten Tangenten die \(x\)-Achse treffen. - Für die Nullstellenbestimmung kannst du \(x\) ausklammern. - Überlege, in welchem Bereich der Graph ohne ein dazwischenliegendes Extremum auf die positive Nullstelle zuläuft.

1. Berechnung der Iterationsschritte: Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 - 5\). Erster Schritt mit \(x_1 = 1\): \(f(1) = -4\), \(f'(1) = -2\). \(x_2 = 1 - \frac{-4}{-2} = -1\) Zweiter Schritt mit \(x_2 = -1\): \(f(-1) = 4\), \(f'(-1) = -2\). \(x_3 = -1 - \frac{4}{-2} = 1\) Das Verfahren gerät in einen Zweierzyklus zwischen \(1\) und \(-1\) und nähert sich keiner Nullstelle an. 2. Grafische Erläuterung: Die Tangente im Punkt \((1 \mid -4)\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = -1\). Die Tangente im Punkt \((-1 \mid 4)\) schneidet die \(x\)-Achse wieder bei \(x = 1\). 3. Exakte Nullstellen: \(x^3 - 5x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 5) = 0\) Damit sind die Nullstellen \(0\) und \(\pm \sqrt{5}\). Die positive Nullstelle ist \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\). Ein geeigneter Startwert ist zum Beispiel \(x_1 = 3\), da er rechts von der positiven Nullstelle und rechts vom lokalen Minimum liegt.

a) Es gilt \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 1\). Das Verfahren gerät in einen Zweierzyklus und konvergiert nicht. b) Die Tangente bei \(x = 1\) führt zur Stelle \(x = -1\), und die Tangente bei \(x = -1\) führt wieder zurück zu \(x = 1\). c) Die positive Nullstelle ist \(x = \sqrt{5} \approx 2{,}24\). Ein Startwert wie \(x_1 = 3\) ist geeignet, da er rechts vom lokalen Minimum liegt und die Iteration zur positiven Nullstelle führt.