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- Wie lautet die allgemeine Iterationsformel für das Newton-Verfahren? - Welche Information liefert die erste Ableitung an der Stelle des aktuellen Näherungswertes? - Achte darauf, die Zwischenergebnisse nicht zu früh zu runden, um die Genauigkeit zu erhalten. - Was bedeutet es geometrisch, wenn wir vom Punkt \((x_n | f(x_n))\) aus der Tangente bis zur x-Achse folgen?

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = 3x^2 + 8x\). 2. Berechnung für \(x_1 = 1\): \(x_2 = 1 - \frac{f(1)}{f'(1)} = 1 - \frac{-5}{11} \approx 1{,}4545\) \(x_3 = 1{,}4545 - \frac{f(1{,}4545)}{f'(1{,}4545)} \approx 1{,}4545 - \frac{1{,}5402}{17{,}9835} \approx 1{,}3689\) 3. Berechnung für \(x_1 = 2\): \(x_2 = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} = 2 - \frac{14}{28} = 1{,}5\) \(x_3 = 1{,}5 - \frac{f(1{,}5)}{f'(1{,}5)} = 1{,}5 - \frac{2{,}375}{18{,}75} \approx 1{,}3733\) 4. Vergleich: Die tatsächliche Nullstelle liegt bei ca. \(1{,}365\). Der Startwert \(x_1 = 1\) liegt nach zwei Schritten näher am tatsächlichen Wert, obwohl beide Startwerte gut konvergieren.

a) \(x_2 \approx 1{,}4545\); \(x_3 \approx 1{,}3689\) b) \(x_2 = 1{,}5\); \(x_3 \approx 1{,}3733\) c) Der Startwert \(x_1 = 1\) führt hier etwas schneller in die Nähe der Nullstelle (\(\approx 1{,}365\)).

- Welche Bedingung muss für die Funktionswerte an den Intervallgrenzen gelten, damit dazwischen eine Nullstelle liegt? - Wie lautet die allgemeine Iterationsformel für das Newton-Verfahren? - Skizziere im Kopf oder auf Papier den Graphen und die Tangenten an den berechneten Stellen. - Was passiert, wenn eine Tangente die Achse genau an einer Stelle schneidet, die man zuvor schon berechnet hat?

1. Nachweis der Nullstelle: Es gilt \( f(-2) = (-2)^3 - 2 \cdot (-2) + 2 = -8 + 4 + 2 = -2 \) und \( f(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3 \). Da ein Vorzeichenwechsel im Intervall \( [-2; -1] \) vorliegt und die Funktion stetig ist, existiert dort mindestens eine Nullstelle. 2. Berechnung der Newton-Schritte mit \( f'(x) = 3x^2 - 2 \): \( x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0 - \frac{2}{-2} = 1 \). \( x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 1 - \frac{1^3 - 2 \cdot 1 + 2}{3 \cdot 1^2 - 2} = 1 - \frac{1}{1} = 0 \). \( x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} = 0 - \frac{2}{-2} = 1 \). 3. Beobachtung und Erklärung: Die Werte alternieren zwischen \( 0 \) und \( 1 \). Geometrisch bedeutet dies, dass die Tangente an den Graphen an der Stelle \( x=0 \) die \( x \)-Achse genau bei \( x=1 \) schneidet und die Tangente an der Stelle \( x=1 \) die \( x \)-Achse wiederum genau bei \( x=0 \) schneidet. Das Verfahren gerät in einen Zyklus und konvergiert nicht gegen die tatsächliche Nullstelle bei ca. \( -1{,}769 \).

a) \( f(-2) = -2 \) und \( f(-1) = 3 \). Aufgrund des Vorzeichenwechsels liegt im Intervall eine Nullstelle. b) \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 1 \). c) Die Werte bilden eine unendliche Schleife (Zyklus) zwischen \( 0 \) und \( 1 \), da die Tangenten sich gegenseitig auf die jeweils andere Stelle projizieren.

- Skizziere dir im Kopf oder grob auf Papier den Verlauf einer kubischen Funktion mit einem lokalen Minimum. - Was passiert mit der Tangente, wenn du dich dem tiefsten Punkt einer Kurve näherst? - In welche Richtung zeigt eine Tangente links vom Minimum, in welche rechts davon? - Schau dir die Newton-Formel genau an – gibt es mathematische Operationen, die nicht erlaubt sind?

1. Funktion und Ableitung: \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) und \(f'(x) = 3x^2 - 3\). 2. Berechnung für \(x_1 = 0{,}9\): \(f(0{,}9) = -0{,}971\); \(f'(0{,}9) = -0{,}57\) \(x_2 = 0{,}9 - \frac{-0{,}971}{-0{,}57} \approx -0{,}8035\) 3. Berechnung für \(x_1 = 1{,}1\): \(f(1{,}1) = -0{,}969\); \(f'(1{,}1) = 0{,}63\) \(x_2 = 1{,}1 - \frac{-0{,}969}{0{,}63} \approx 2{,}6381\) 4. Geometrische Erklärung: Bei \(x = 1\) besitzt die Funktion ein lokales Minimum. Für \(x_1 = 0{,}9\) ist die Steigung der Tangente negativ, sie fällt nach links zur x-Achse ab. Für \(x_1 = 1{,}1\) ist die Steigung positiv, die Tangente steigt nach rechts an. Daher „springen“ die Werte in entgegengesetzte Richtungen. 5. Ungeeigneter Startwert: An der Stelle \(x = 1\) ist \(f'(1) = 0\). Die Tangente ist waagerecht und schneidet die x-Achse nicht; die Division durch Null in der Newton-Formel ist nicht definiert.

a) Für \(x_1 = 0{,}9\) ist \(x_2 \approx -0{,}8035\); für \(x_1 = 1{,}1\) ist \(x_2 \approx 2{,}6381\). b) Zwischen den Werten liegt ein lokales Minimum bei \(x = 1\). Die Tangenten haben dort unterschiedliche Vorzeichen in der Steigung und führen daher zu unterschiedlichen Seiten der x-Achse. c) Bei \(x = 1\) ist die Ableitung null (\(f'(1) = 0\)). Die Tangente ist waagerecht und hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse; das Verfahren bricht ab.

- Was passiert in der Newton-Formel, wenn die Steigung an einer Stelle null ist? - Erinnere dich an die geometrische Interpretation: Was ist eine Tangente an einem Extrempunkt? - Berechne \( x_1 \) Schritt für Schritt mit der Formel \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \). - Überlege, was mit dem Schnittpunkt der Tangente passiert, wenn die Steigung der Tangente fast null ist.

1. Ableitung bilden: \( f'(x) = 3x^2 - 6x \). 2. Überprüfung für \( x_0 = 2 \): Es gilt \( f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 = 12 - 12 = 0 \). Da die Ableitung im Nenner der Newton-Formel steht, ist die Division durch Null nicht definiert. Geometrisch verläuft die Tangente an dieser Stelle (einem lokalen Minimum) parallel zur \( x \)-Achse und hat keinen Schnittpunkt mit ihr. 3. Berechnung für \( x_0 = 2{,}1 \): \( f(2{,}1) = 2{,}1^3 - 3 \cdot 2{,}1^2 + 1 = 9{,}261 - 13{,}23 + 1 = -2{,}969 \). \( f'(2{,}1) = 3 \cdot 2{,}1^2 - 6 \cdot 2{,}1 = 13{,}23 - 12{,}6 = 0{,}63 \). \( x_1 = 2{,}1 - \frac{-2{,}969}{0{,}63} \approx 2{,}1 + 4{,}7127 = 6{,}8127 \approx 6{,}81 \). 4. Vergleich und Problematik: Der Wert \( x_1 \approx 6{,}81 \) liegt sehr weit entfernt von allen drei Nullstellen. Da die Steigung nahe der Extremstelle (\( x=2 \)) sehr klein ist (\( 0{,}63 \)), fällt die Tangente sehr flach ab und der Schnittpunkt mit der \( x \)-Achse wird weit nach außen projiziert („Überschießen“).

a) \( f'(2) = 0 \). Da die Division durch Null nicht möglich ist (waagerechte Tangente), bricht das Verfahren ab. b) \( x_1 \approx 6{,}81 \). c) Der Wert \( x_1 \) liegt weit außerhalb des Bereichs der Nullstellen. Dies liegt an der geringen Steigung nahe des Extrempunktes, wodurch das Verfahren weit über das Ziel hinausschießt.