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- Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über den Verlauf der ersten Ableitung aus? - Wie viele Nullstellen kann eine stetige, streng monotone Funktion höchstens haben? - Überprüfe die Grenzwerte der ersten Ableitung für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte. - Denke an die Formel für das Newton-Verfahren, um Nullstellen einer Funktion zu finden. In diesem Fall suchen wir die Nullstellen von \(f'\).

1. Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{1}{2}x^3 + 3x + 5\), die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{3}{2}x^2 + 3\). Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(f''(x) \geq 3 > 0\). Somit ist \(f'\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend. Wegen \(\lim_{x \to -\infty} f'(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} f'(x) = \infty\) folgt aus dem Zwischenwertsatz und der strengen Monotonie, dass \(f'\) genau eine Nullstelle besitzt. Da \(f''(x) > 0\) für alle \(x\), handelt es sich bei dieser Nullstelle um eine lokale Minimalstelle von \(f\). 2. Das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle von \(f'\) nutzt die Iterationsvorschrift \(x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}\). Mit \(x_0 = -1\): \(x_1 = -1 - \frac{f'(-1)}{f''(-1)} = -1 - \frac{1{,}5}{4{,}5} \approx -1{,}3333\) \(x_2 \approx -1{,}3333 - \frac{f'(-1{,}3333)}{f''(-1{,}3333)} \approx -1{,}3333 - \frac{-0{,}1852}{5{,}6667} \approx -1{,}3006\) \(x_3 \approx -1{,}3006 - \frac{f'(-1{,}3006)}{f''(-1{,}3006)} \approx -1{,}3006 - \frac{-0{,}0019}{5{,}5374} \approx -1{,}3003\) Die Iteration stabilisiert sich bei \(-1{,}300\).

Die Funktion \(f\) besitzt genau eine Extremstelle, da \(f'\) aufgrund von \(f''(x) > 0\) streng monoton steigend ist und von \(-\infty\) nach \(\infty\) verläuft. Die Extremstelle liegt näherungsweise bei \(x \approx -1{,}300\).

- Welche mathematische Operation hilft dir, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle auszudrücken? - Kannst du aus der Bedingung für die Steigung eine Gleichung der Form \(g(x) = 0\) machen? - Welche Verfahren kennst du, um Nullstellen von Funktionen zu finden, die man nicht einfach nach \(x\) auflösen kann? - Probiere systematisch Werte im Intervall aus oder nutze ein Tangentenverfahren.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 5\). 2. Aufstellen der Gleichung für die gesuchte Steigung: \(f'(x) = 2\), woraus sich \(x^3 - 3x^2 + 3 = 0\) ergibt. 3. Anwendung eines Näherungsverfahrens (z. B. Newton-Verfahren oder Intervallschachtelung) im Intervall \([2; 3]\). 4. Startwert für Newton-Verfahren \(x_0 = 2{,}5\): \(x_1 = 2{,}5 - \frac{2{,}5^3 - 3 \cdot 2{,}5^2 + 3}{3 \cdot 2{,}5^2 - 6 \cdot 2{,}5} \approx 2{,}5333\). \(x_2 = 2{,}5333 - \frac{2{,}5333^3 - 3 \cdot 2{,}5333^2 + 3}{3 \cdot 2{,}5333^2 - 6 \cdot 2{,}5333} \approx 2{,}5321\). 5. Die gesuchte Stelle ist \(x^* \approx 2{,}53\).

\(x^* \approx 2{,}53\)

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Graphen, wenn diese parallel zueinander verlaufen? - Stelle zuerst die Ableitungsfunktion auf und setze sie mit der gegebenen Steigung gleich. - Wenn du die Gleichung nicht direkt lösen kannst, hilft eine Wertetabelle oder ein Näherungsschritt. - Achte darauf, dass dein Ergebnis im vorgegebenen Intervall liegt.

1. Bestimmung der Ableitung von \(g\): \(g'(x) = x^4 - 4x\). 2. Bestimmung der Steigung der Geraden \(h\): \(m = 3\). 3. Gleichsetzen der Steigungen für parallele Tangenten: \(x^4 - 4x = 3\) bzw. \(x^4 - 4x - 3 = 0\). 4. Durchführung eines Näherungsverfahrens im Intervall \([1{,}5; 2{,}5]\). 5. Beispiel Bisection (Intervallhalbierung): \(f(1{,}5) \approx -0{,}94 < 0\); \(f(2{,}5) \approx 26{,}06 > 0\). Mitte \(2{,}0\): \(f(2{,}0) = 5 > 0 \Rightarrow\) Intervall \([1{,}5; 2{,}0]\). Mitte \(1{,}75\): \(f(1{,}75) \approx -0{,}62 < 0 \Rightarrow\) Intervall \([1{,}75; 2{,}0]\). Mitte \(1{,}875\): \(f(1{,}875) \approx 1{,}89 > 0 \Rightarrow\) Intervall \([1{,}75; 1{,}875]\). Fortführung liefert die Annäherung an \(1{,}784\). 6. Ergebnis auf zwei Nachkommastellen: \(x^* \approx 1{,}78\).

\(x^* \approx 1{,}78\)

- Bestimme zuerst eine Funktion \(f\), deren Nullstelle die gesuchte \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts ist. - Was muss für die Funktionswerte von \(g\) und \(h\) an der Stelle \(x^*\) gelten? - Erinnere dich an die Iterationsformel des Newton-Verfahrens. - Du benötigst die Ableitungsfunktion von \(f\).

1. Definition der Differenzfunktion: \(f(x) = g(x) - h(x) = (x^3 + x) - (6 - x) = x^3 + 2x - 6\). 2. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 + 2\). 3. Erster Iterationsschritt: \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 1{,}5 - \frac{1{,}5^3 + 2 \cdot 1{,}5 - 6}{3 \cdot 1{,}5^2 + 2} = 1{,}5 - \frac{0{,}375}{8{,}75} \approx 1{,}4571\). 4. Zweiter Iterationsschritt: \(x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx 1{,}4571 - \frac{0{,}00818\ldots}{8{,}369\ldots} \approx 1{,}4562\).

Nach zwei Iterationsschritten ergibt sich der Näherungswert \(x_2 \approx 1{,}4562\).

- Wie hängen die Schnittpunkte zweier Graphen mit den Nullstellen ihrer Differenzfunktion zusammen? - Stelle die Iterationsvorschrift für das Newton-Verfahren auf. - Achte bei den Zwischenschritten auf eine ausreichende Anzahl an Nachkommastellen.

1. Aufstellen der Gleichung für die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts: \(2x^3 = 5 - x \Rightarrow 2x^3 + x - 5 = 0\). 2. Definition der Hilfsfunktion \(f(x) = 2x^3 + x - 5\) und deren Ableitung \(f'(x) = 6x^2 + 1\). 3. Erster Iterationsschritt: \(x_1 = 1{,}2 - \frac{f(1{,}2)}{f'(1{,}2)} = 1{,}2 - \frac{2 \cdot 1{,}2^3 + 1{,}2 - 5}{6 \cdot 1{,}2^2 + 1} = 1{,}2 - \frac{-0{,}344}{9{,}64} \approx 1{,}2357\). 4. Zweiter Iterationsschritt: \(x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx 1{,}2357 - \frac{0{,}0087\ldots}{10{,}141\ldots} \approx 1{,}2348\).

Der Näherungswert nach zwei Iterationsschritten lautet \(x_2 \approx 1{,}2348\).

- Welche Bedingung muss für eine Extremstelle an der Stelle \(x\) erfüllt sein? - Auf welche Funktion musst du das Newton-Verfahren anwenden, um eine Extremstelle zu finden? - Wie lautet die allgemeine Rekursionsformel des Newton-Verfahrens für eine Funktion \(g(x)\)? - Berechne zuerst die erste und die zweite Ableitung der gegebenen Funktion. - Setze die Werte sorgfältig in die Formel ein und achte auf die Vorzeichen.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktionen: \(f'(x) = x^3 + 3x^2 + 6x + 1\) und \(f''(x) = 3x^2 + 6x + 6\). 2. Da Extremstellen Nullstellen der ersten Ableitung sind, wird das Newton-Verfahren auf \(f'(x) = 0\) angewendet. Die Iterationsformel lautet: \(x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}\). 3. Erster Schritt mit \(x_0 = 0\): \(f'(0) = 1\), \(f''(0) = 6\). Daraus folgt \(x_1 = 0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \approx -0{,}1667\). 4. Zweiter Schritt mit \(x_1 = -\frac{1}{6}\): \(f'(-\frac{1}{6}) = \frac{17}{216} \approx 0{,}0787\) und \(f''(-\frac{1}{6}) = \frac{61}{12} \approx 5{,}0833\). 5. Berechnung von \(x_2\): \(x_2 = -\frac{1}{6} - \frac{17/216}{61/12} = -\frac{1}{6} - \frac{17}{1098} = -\frac{200}{1098} = -\frac{100}{549} \approx -0{,}1821\).

Die Extremstelle liegt nach zwei Schritten näherungsweise bei \(x_2 \approx -0{,}182\).

- Erinnere dich daran, dass Extremstellen dort liegen, wo die Steigung der Funktion null ist. - Das Newton-Verfahren hilft dir, Nullstellen einer Funktion zu finden. Welche Funktion ist hier gemeint? - Stelle die Iterationsvorschrift für die Suche nach der Nullstelle der Ableitung auf. - Achte beim Einsetzen von Dezimalzahlen auf die Genauigkeit oder rechne mit Brüchen.

1. Bildung der notwendigen Ableitungen für das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle von \(g'(x)\): \(g'(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\) und \(g''(x) = 6x^2 - 6x + 4\). 2. Anwendung der Newton-Formel \(x_{n+1} = x_n - \frac{g'(x_n)}{g''(x_n)}\). 3. Erster Iterationsschritt (\(n=0\)): Mit \(g'(0) = -1\) und \(g''(0) = 4\) ergibt sich \(x_1 = 0 - \frac{-1}{4} = 0{,}25\). 4. Zweiter Iterationsschritt (\(n=1\)): Berechnung der Werte an der Stelle \(x_1 = 0{,}25\): \(g'(0{,}25) = 2 \cdot 0{,}25^3 - 3 \cdot 0{,}25^2 + 4 \cdot 0{,}25 - 1 = -0{,}15625 = -\frac{5}{32}\). 5. Berechnung des zweiten Ableitungswertes: \(g''(0{,}25) = 6 \cdot 0{,}25^2 - 6 \cdot 0{,}25 + 4 = 2{,}875 = \frac{23}{8}\). 6. Berechnung von \(x_2\): \(x_2 = 0{,}25 - \frac{-5/32}{23/8} = 0{,}25 + \frac{5}{92} = \frac{28}{92} = \frac{7}{23} \approx 0{,}3043\).

Nach zwei Iterationsschritten ergibt sich für die Minimalstelle der Näherungswert \(x_2 \approx 0{,}304\).

- Wann schneiden sich zwei Graphen? Überlege, welche Gleichung du lösen musst. - Wie lautet die allgemeine Formel für das Newton-Verfahren? - Denke daran, die Ableitung der Funktion zu bilden, deren Nullstelle du suchst. - Wiederhole die Berechnung so lange, bis die geforderte Anzahl an Dezimalstellen stabil bleibt.

1. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - x^2 + 2x + 5\). Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn \(h(x) = 0\) gilt. 2. Ableitung der Differenzfunktion bilden: \(h'(x) = 3x^2 - 2x + 2\). 3. Anwendung der Newton-Iterationsformel \(x_{n+1} = x_n - \frac{h(x_n)}{h'(x_n)}\) mit dem Startwert \(x_0 = -1\). 4. Erster Iterationsschritt: \(x_1 = -1 - \frac{h(-1)}{h'(-1)} = -1 - \frac{1}{7} \approx -1{,}142857\). 5. Zweiter Iterationsschritt: \(x_2 \approx -1{,}142857 - \frac{h(-1{,}142857)}{h'(-1{,}142857)} \approx -1{,}142857 - \frac{-0{,}081633}{8{,}204082} \approx -1{,}132907\). 6. Dritter Iterationsschritt: \(x_3 \approx -1{,}132907 - \frac{h(-1{,}132907)}{h'(-1{,}132907)} \approx -1{,}132907 - \frac{-0{,}000570}{8{,}116742} \approx -1{,}132837\). 7. Da sich die ersten drei Dezimalstellen nicht mehr ändern, ist der gesuchte Wert \(x \approx -1{,}133\).

Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunktes ist \(x \approx -1{,}133\).

- Was ist die allgemeine Formel für das Newton-Verfahren? - Wie gehst du vor, wenn du die Nullstelle einer Ableitungsfunktion suchst? - Achte darauf, für jeden Teilaufgabe die korrekte Funktion und deren jeweilige Ableitung in die Formel einzusetzen. - Welche Werte erhältst du, wenn du deine Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung einsetzt?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 4\). Newton-Formel: \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\). Erster Schritt: \(x_1 = 0 - \frac{0^3 - 4 \cdot 0 + 2}{3 \cdot 0^2 - 4} = 0 - \frac{2}{-4} = 0{,}5\). Zweiter Schritt: \(x_2 = 0{,}5 - \frac{0{,}5^3 - 4 \cdot 0{,}5 + 2}{3 \cdot 0{,}5^2 - 4} = 0{,}5 - \frac{0{,}125}{-3{,}25} \approx 0{,}5385\). 2. Erste Ableitung als Funktion betrachten: \(g(x) = f'(x) = 3x^2 - 4\). Ableitung hiervon: \(g'(x) = 6x\). Erster Schritt: \(x_1 = 2 - \frac{3 \cdot 2^2 - 4}{6 \cdot 2} = 2 - \frac{8}{12} \approx 1{,}3333\). Zweiter Schritt: \(x_2 = 1{,}3333 - \frac{3 \cdot 1{,}3333^2 - 4}{6 \cdot 1{,}3333} \approx 1{,}3333 - \frac{1{,}3333}{8} \approx 1{,}1667\).

1. Nach zwei Schritten ergibt sich für die Nullstelle von \(f\) der Näherungswert \(x_2 \approx 0{,}5385\). 2. Für die Nullstelle von \(f'\) ergibt sich nach zwei Schritten der Näherungswert \(x_2 \approx 1{,}1667\).

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Was bedeutet „das Dreifache des ursprünglichen Volumens“ mathematisch für deine Gleichung? - Erinnere dich an das Newton-Verfahren oder das Intervallhalbierungsverfahren, um Nullstellen zu finden. - Ein guter Startwert für das Näherungsverfahren lässt sich durch systematisches Probieren ganzzahliger Werte finden.

1. Das ursprüngliche Volumen beträgt \(V_{alt} = 4 \cdot 5 \cdot 10 = 200\,\text{dm}^3\). Das Zielvolumen ist \(V_{neu} = 3 \cdot 200 = 600\,\text{dm}^3\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(x) = (4+x)(5+x)(10+x)\). 2. Durch Ausmultiplizieren erhält man \(V(x) = (x^2 + 9x + 20)(x + 10) = x^3 + 10x^2 + 9x^2 + 90x + 20x + 200\). Gleichsetzen mit dem Zielvolumen: \(x^3 + 19x^2 + 110x + 200 = 600\). Subtraktion von 600 ergibt die Gleichung \(x^3 + 19x^2 + 110x - 400 = 0\). 3. Anwendung eines Näherungsverfahrens, z. B. des Newton-Verfahrens mit \(f(x) = x^3 + 19x^2 + 110x - 400\) und \(f'(x) = 3x^2 + 38x + 110\). Mit dem Startwert \(x_0 = 2\) ergibt sich \(x_1 \approx 2{,}485\) und \(x_2 \approx 2{,}458\). Auf zwei Dezimalstellen gerundet ist \(x \approx 2{,}46\,\text{dm}\).

Die notwendige Verlängerung beträgt etwa \(x \approx 2{,}46\,\text{dm}\).

- Erinnere dich daran, dass Extremstellen dort liegen, wo die erste Ableitung Null ist. - Welche Eigenschaft muss die zweite Ableitung haben, damit es sich sicher um einen Tiefpunkt handelt? - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn \(x\) sehr klein (negativ) oder sehr groß wird? - Achte beim Newton-Verfahren darauf, dass du die Ableitung der Funktion einsetzt, deren Nullstelle du suchst.

1. Die Ableitungen sind \(g'(x) = e^x + x - 5\) und \(g''(x) = e^x + 1\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), ist \(g''(x) > 1 > 0\). Die Funktion \(g\) ist also überall linksgekrümmt und \(g'\) ist streng monoton steigend. Grenzverhalten von \(g'\): \(\lim_{x \to -\infty} (e^x + x - 5) = -\infty\) (da \(e^x \to 0\) und \(x \to -\infty\)) und \(\lim_{x \to \infty} (e^x + x - 5) = \infty\). Aufgrund der Stetigkeit und strengen Monotonie hat \(g'\) genau eine Nullstelle. Da \(g''(x) > 0\), ist dies die Stelle eines lokalen Minimums. 2. Newton-Verfahren für \(g'(x) = 0\) mit \(x_{n+1} = x_n - \frac{e^{x_n} + x_n - 5}{e^{x_n} + 1}\): \(x_0 = 1\) \(x_1 = 1 - \frac{e^1 + 1 - 5}{e^1 + 1} = 1 - \frac{2{,}718 - 4}{2{,}718 + 1} \approx 1{,}3446\) \(x_2 \approx 1{,}3446 - \frac{e^{1{,}3446} + 1{,}3446 - 5}{e^{1{,}3446} + 1} \approx 1{,}3446 - \frac{0{,}1814}{4{,}8368} \approx 1{,}3071\) \(x_3 \approx 1{,}3071 - \frac{e^{1{,}3071} + 1{,}3071 - 5}{e^{1{,}3071} + 1} \approx 1{,}3071 - \frac{0{,}0026}{4{,}6955} \approx 1{,}3065\) Auf zwei Dezimalen gerundet ergibt sich \(x \approx 1{,}31\).

Der Graph hat genau einen Tiefpunkt, da \(g''(x) > 0\) (strenge Monotonie von \(g'\)) und \(g'\) den gesamten Wertebereich \(\mathbb{R}\) abdeckt. Die \(x\)-Koordinate des Tiefpunkts ist \(x \approx 1{,}31\).

- Wie hängen die Schnittpunkte zweier Graphen mit den Nullstellen einer neuen Funktion zusammen? - Findest du durch Probieren ganzzahliger Werte ein Intervall, in dem ein Vorzeichenwechsel stattfindet? - Setze deine Ergebnisse immer wieder in die Iterationsformel ein, bis sich die gewünschten Dezimalstellen nicht mehr ändern. - Achte darauf, dass du im Bereich \(x > 0\) bleibst, wie in der Aufgabe gefordert.

1. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^4 - 2x - 5\). Für einen Schnittpunkt muss \(h(x) = 0\) gelten. 2. Ableitung der Funktion bilden: \(h'(x) = 4x^3 - 2\). 3. Suche nach einem geeigneten Startwert durch Testen von Werten: \(h(1) = -6\) und \(h(2) = 7\). Da ein Vorzeichenwechsel vorliegt, liegt die Nullstelle im Intervall \([1; 2]\). Gewählter Startwert \(x_0 = 1{,}5\). 4. Erste Iteration: \(x_1 = 1{,}5 - \frac{h(1{,}5)}{h'(1{,}5)} = 1{,}5 - \frac{-2{,}9375}{11{,}5} \approx 1{,}7554\). 5. Zweite Iteration: \(x_2 \approx 1{,}7554 - \frac{0{,}9851}{19{,}6378} \approx 1{,}7053\). 6. Dritte Iteration: \(x_3 \approx 1{,}7053 - \frac{0{,}0456}{17{,}8354} \approx 1{,}7027\). 7. Vierte Iteration: \(x_4 \approx 1{,}7027\). Der auf zwei Dezimalstellen genaue Wert ist \(1{,}70\).

\(x \approx 1{,}70\)

- Erinnere dich an den Zwischenwertsatz für den Nachweis von Nullstellen. - Wenn du das Newton-Verfahren auf \(g''\) anwendest, welche Funktion bildet dann die Grundlage für die Iterationsformel? - Überprüfe deine Ableitungen sorgfältig, bevor du mit den Berechnungen beginnst. - Runde deine Zwischenergebnisse sinnvoll, um die Genauigkeit zu wahren.

1. Die Funktion \(g\) ist als Polynomfunktion stetig. Es gilt \(g(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^3 - 2 = 16 - 16 - 2 = -2\) und \(g(3) = 3^4 - 2 \cdot 3^3 - 2 = 81 - 54 - 2 = 25\). Da ein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle im Intervall existieren. 2. Ableitung: \(g'(x) = 4x^3 - 6x^2\). Erster Schritt: \(x_1 = 2 - \frac{-2}{4 \cdot 8 - 6 \cdot 4} = 2 - \frac{-2}{8} = 2{,}25\). Zweiter Schritt: \(x_2 = 2{,}25 - \frac{2{,}25^4 - 2 \cdot 2{,}25^3 - 2}{4 \cdot 2{,}25^3 - 6 \cdot 2{,}25^2} \approx 2{,}25 - \frac{0{,}8477}{15{,}1875} \approx 2{,}1942\). 3. Zweite Ableitung: \(h(x) = g''(x) = 12x^2 - 12x\). Ableitung hiervon: \(h'(x) = 24x - 12\). Erster Schritt: \(x_1 = 2 - \frac{12 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2}{24 \cdot 2 - 12} = 2 - \frac{24}{36} \approx 1{,}3333\). Zweiter Schritt: \(x_2 = 1{,}3333 - \frac{12 \cdot 1{,}3333^2 - 12 \cdot 1{,}3333}{24 \cdot 1{,}3333 - 12} = 1{,}3333 - \frac{5{,}3333}{20} \approx 1{,}0667\).

1. Da \(g(2) < 0\) und \(g(3) > 0\) gilt und die Funktion stetig ist, existiert nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle im Intervall. 2. Die Näherung für die Nullstelle von \(g\) nach zwei Schritten ist \(x_2 \approx 2{,}1942\). 3. Die Näherung für die Nullstelle von \(g''\) nach zwei Schritten ist \(x_2 \approx 1{,}0667\).

- Das Newton-Verfahren nutzt die Formel \(x_{n+1} = x_n - \frac{h(x_n)}{h'(x_n)}\). - Leite die gegebene Gleichung \(h(x) = 0\) korrekt ab, um die Steigung für das Verfahren zu erhalten. - Achte darauf, die Zwischenergebnisse nicht zu früh zu runden, um die Genauigkeit am Ende zu gewährleisten.

1. Die Funktion für das Newton-Verfahren ist \(h(x) = 3x^5 + x - 5\) mit der Ableitung \(h'(x) = 15x^4 + 1\). 2. Erster Newton-Schritt mit \(x_0 = 1\): \(h(1) = 3(1)^5 + 1 - 5 = -1\) und \(h'(1) = 15(1)^4 + 1 = 16\). Es folgt \(x_1 = 1 - \frac{-1}{16} = 1{,}0625\). 3. Zweiter Newton-Schritt mit \(x_1 = 1{,}0625\): \(h(1{,}0625) \approx 3 \cdot 1{,}3541 + 1{,}0625 - 5 \approx 0{,}1248\) und \(h'(1{,}0625) \approx 15 \cdot 1{,}2744 + 1 \approx 20{,}116\). Es folgt \(x_2 = 1{,}0625 - \frac{0{,}1248}{20{,}116} \approx 1{,}05629\). 4. Auf drei Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(x \approx 1{,}056\).

Die gesuchte Stelle liegt bei etwa \(x \approx 1{,}056\).