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- Der Startwert gehört zur waagerechten Koordinate des markierten Berührpunkts. - Suche für den nächsten Wert die Stelle, an der die Tangente die \(x\)-Achse trifft. - Unterscheide den Berührpunkt auf dem Funktionsgraphen vom Achsenschnittpunkt der Tangente.

1. Der markierte Berührpunkt P besitzt die \(x\)-Koordinate \(2{,}5\). Daher ist \(x_0=2{,}5\). 2. Die Tangente \(t\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2{,}25\). Somit ist \(x_1=2{,}25\). 3. Beim Newton-Verfahren wird die Funktion am aktuellen Näherungswert durch ihre Tangente ersetzt; deren \(x\)-Achsen-Schnittpunkt wird als nächster Näherungswert verwendet.

a) \(x_0=2{,}5\) b) \(x_1=2{,}25\) c) Der \(x\)-Achsen-Schnittpunkt der Tangente am aktuellen Näherungspunkt ist definitionsgemäß der nächste Newton-Wert.

- Das Newton-Verfahren nutzt die Formel \(x_{n+1} = x_n - \frac{h(x_n)}{h'(x_n)}\). - Leite die gegebene Gleichung \(h(x) = 0\) korrekt ab, um die Steigung für das Verfahren zu erhalten. - Achte darauf, die Zwischenergebnisse nicht zu früh zu runden, um die Genauigkeit am Ende zu gewährleisten.

1. Die Funktion für das Newton-Verfahren ist \(h(x) = 3x^5 + x - 5\) mit der Ableitung \(h'(x) = 15x^4 + 1\). 2. Erster Newton-Schritt mit \(x_0 = 1\): \(h(1) = 3(1)^5 + 1 - 5 = -1\) und \(h'(1) = 15(1)^4 + 1 = 16\). Es folgt \(x_1 = 1 - \frac{-1}{16} = 1{,}0625\). 3. Zweiter Newton-Schritt mit \(x_1 = 1{,}0625\): \(h(1{,}0625) \approx 3 \cdot 1{,}3541 + 1{,}0625 - 5 \approx 0{,}1248\) und \(h'(1{,}0625) \approx 15 \cdot 1{,}2744 + 1 \approx 20{,}116\). Es folgt \(x_2 = 1{,}0625 - \frac{0{,}1248}{20{,}116} \approx 1{,}05629\). 4. Auf drei Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(x \approx 1{,}056\).

Die gesuchte Stelle liegt bei etwa \(x \approx 1{,}056\).

- Wo berührt die Tangente den Funktionsgraphen? - Welcher Schnittpunkt der Tangente liefert im Newton-Verfahren den nächsten Wert? - Vergleiche anschließend die rechnerische Näherung mit deiner Ablesung.

1. Die Tangente berührt den Graphen bei \(x_0=4\). 2. Ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt ungefähr bei \(x_1\approx3{,}1\). 3. Es gilt \(f'(x)=x\), \(f(4)=3{,}5\) und \(f'(4)=4\). 4. Daher ist \(x_1=4-\frac{3{,}5}{4}=3{,}125\), was die grafische Schätzung bestätigt.

a) \(x_0=4\); grafisch \(x_1\approx3{,}1\) b) \(x_1=3{,}125\)

- Verfolge die rote Tangente bis zu ihrem Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. - Welche Steigung besitzt diese Tangente rechnerisch? - Nutze für die exakte Berechnung Funktionswert und Ableitungswert bei \(x_0=2{,}5\).

1. Die eingezeichnete Tangente schneidet die \(x\)-Achse etwas rechts von \(2\), ungefähr bei \(x_1\approx2{,}05\). 2. Es gilt \(f(2{,}5)=6{,}625\) und \(f'(x)=3x^2-4\), also \(f'(2{,}5)=14{,}75\). 3. Damit ist \(x_1=2{,}5-\frac{6{,}625}{14{,}75}=\frac{121}{59}\approx2{,}0508\). 4. Der rechnerische Wert stimmt mit der grafischen Schätzung überein.

a) \(x_1\approx2{,}05\) b) \(x_1=\frac{121}{59}\approx2{,}0508\)

- Welcher Punkt der roten Geraden auf der horizontalen Achse ist für Teil a entscheidend? - Welche Steigung hat die Tangente an der Stelle \(x_0=-3\)? - Vergleiche die rechnerisch erhaltene Zahl mit dem in der Abbildung abgelesenen Schnittpunkt.

1. Aus der Abbildung lässt sich für den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse ungefähr \(x_1 \approx -2{,}5\) ablesen. 2. Es gilt \(f(-3) = -2{,}75\) und \(f'(x) = 0{,}75x^2 - 1\), also \(f'(-3) = 5{,}75\). 3. Mit der Newton-Formel folgt \(x_1 = -3 - \frac{-2{,}75}{5{,}75} = -3 + \frac{11}{23} = -\frac{58}{23} \approx -2{,}52\). 4. Dieser Wert ist genau die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts der Tangente im Punkt \((-3\mid f(-3))\) mit der \(x\)-Achse. Deshalb entspricht er geometrisch dem ersten Newton-Schritt.

a) \(x_1 \approx -2{,}5\) b) \(x_1 = -\frac{58}{23} \approx -2{,}52\); der Wert ist die \(x\)-Koordinate des Tangentenschnittpunkts mit der \(x\)-Achse.

- Welche Bedingung erfüllt jeder Punkt auf der \(x\)-Achse? - Löse die Tangentengleichung zunächst allgemein nach der gesuchten \(x\)-Koordinate auf. - Setze die Zahlenwerte erst ein, nachdem der allgemeine Zusammenhang feststeht. - Prüfe das Rechenergebnis am eingezeichneten Tangentenschnittpunkt.

1. Für den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse gilt \(0 = f(x_0) + f'(x_0)(x_1-x_0)\). 2. Daraus folgt \(f'(x_0)(x_1-x_0) = -f(x_0)\). Für \(f'(x_0) \neq 0\) erhält man \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\). 3. Für \(f(x)=x^2-2\) gilt \(f(2)=2\) und \(f'(2)=4\). 4. Daher ist \(x_1 = 2 - \frac{2}{4} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Dies stimmt mit dem Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse in der Abbildung überein.

a) \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\) b) \(x_1 = \frac{3}{2} = 1{,}5\); dies stimmt mit der Abbildung überein.

- Nutze zwei gut ablesbare Punkte der vorgeschlagenen Geraden, um ihre Steigung zu bestimmen. - Für eine Tangente muss ihre Steigung mit dem Ableitungswert an der Berührstelle übereinstimmen. - Der nächste Newton-Wert ist die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts der richtigen Tangente mit der \(x\)-Achse.

1. Die vorgeschlagene Gerade \(q\) verläuft durch \((1{,}5\mid0)\) und \(P(2\mid2)\). Daher hat sie die Steigung \(m_q=\frac{2-0}{2-1{,}5}=4\). 2. Es gilt \(f'(x)=3x^2-2\), also \(f'(2)=10\). Da \(4\neq10\) ist, kann \(q\) nicht die Tangente an den Graphen von \(f\) in \(P\) sein. 3. Mit \(f(2)=2\) und \(f'(2)=10\) lautet die richtige Tangente \(t(x)=2+10(x-2)=10x-18\). 4. Ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse erfüllt \(10x-18=0\). Somit ist der nächste Newton-Wert \(x_1=1{,}8\).

a) \(m_q=4\), aber \(f'(2)=10\); daher ist \(q\) keine Tangente in \(P\). b) \(t(x)=10x-18\) c) \(x_1=1{,}8\)

- Die \(x\)-Koordinate des markierten Berührpunkts im ersten Teilbild ist der Startwert. - In jedem Teilbild ist der nächste Newton-Wert der \(x\)-Achsen-Schnittpunkt der dargestellten Tangente. - Für die rechnerische Kontrolle brauchst du bei jedem Schritt den Funktions- und Ableitungswert am aktuellen Näherungswert. - Welche Rolle spielt das Ergebnis eines Iterationsschritts beim darauffolgenden Schritt?

1. Aus dem markierten Berührpunkt im ersten Teilbild liest man \(x_0=2\) ab. Die erste Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1=1{,}5\). Im zweiten Teilbild liegt der Schnittpunkt bei ungefähr \(x_2\approx1{,}42\). 2. Es gilt \(f'(x)=2x\). Mit \(x_0=2\) folgt \(x_1=2-\frac{2}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5\). 3. Für den zweiten Schritt ist \(f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{4}\) und \(f'\left(\frac{3}{2}\right)=3\). Daher ist \(x_2=\frac{3}{2}-\frac{1/4}{3}=\frac{17}{12}\approx1{,}4167\). 4. Eine Iteration verwendet den jeweils neu erhaltenen Näherungswert als Startwert des nächsten Schritts. Deshalb wird die zweite Tangente am Punkt mit der \(x\)-Koordinate \(x_1\) angelegt.

a) \(x_0=2\), \(x_1=1{,}5\), graphisch \(x_2\approx1{,}42\) b) \(x_1=\frac{3}{2}=1{,}5\), \(x_2=\frac{17}{12}\approx1{,}4167\) c) Das Ergebnis \(x_1\) des ersten Newton-Schritts ist der Startwert des zweiten Schritts.

- Welche Funktion beschreibt die Steigung des gegebenen Graphen? - Forme die Bedingung „Steigung gleich 2“ in eine Nullstellengleichung um. - Welche Ableitung gehört zu dieser neuen Nullstellenfunktion? - Verwende den vorgegebenen Startwert und runde erst am Ende auf zwei Dezimalstellen.

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-3x^2+5\). 2. Die Bedingung \(f'(x)=2\) ist äquivalent zu \(g(x)=x^3-3x^2+3=0\). 3. Für Newton wird außerdem \(g'(x)=3x^2-6x\) benötigt. 4. Mit \(x_0=2{,}5\) folgt \(x_1=2{,}5-\frac{-0{,}125}{3{,}75}=2{,}5333\dots\). 5. Der nächste Schritt liefert \(x_2\approx2{,}53209\); weitere Schritte ändern die ersten zwei Dezimalstellen nicht mehr. 6. Daher ist \(x^*\approx2{,}53\).

\(x^*\approx2{,}53\)

- Welche Steigung hat die vorgegebene Gerade? - Welche Ableitung der Funktion \(g\) beschreibt die Tangentensteigung? - Forme die Parallelitätsbedingung in eine Nullstellengleichung für eine neue Funktion um. - Wende Newton auf diese neue Funktion an und prüfe, wann die verlangten Dezimalstellen stabil bleiben.

1. Die Ableitung lautet \(g'(x)=x^4-4x\). Die Gerade \(h\) hat die Steigung \(3\). 2. Für eine parallele Tangente muss \(g'(x)=3\) gelten. Gesucht ist daher eine Nullstelle von \(F(x)=x^4-4x-3\). 3. Die Ableitung dieser Hilfsfunktion ist \(F'(x)=4x^3-4\). 4. Mit \(x_0=1{,}8\) liefert Newton \(x_1\approx1{,}784603\). 5. Der zweite Schritt ergibt \(x_2\approx1{,}784358\); ein weiterer Schritt ändert die ersten zwei Dezimalstellen nicht mehr. 6. Damit ist \(x^*\approx1{,}78\).

\(x^*\approx1{,}78\)

- Welche Bedingung muss \(x^*\) für die beiden Funktionswerte erfüllen? - Wie kannst du diese Bedingung so umformen, dass das Newton-Verfahren anwendbar wird? - Welche Funktion und welche Ableitung brauchst du anschließend für einen Newton-Schritt? - Verwende jeden neuen Näherungswert als Startwert des nächsten Schritts.

1. Definition der Differenzfunktion: \(f(x) = g(x) - h(x) = (x^3 + x) - (6 - x) = x^3 + 2x - 6\). 2. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 + 2\). 3. Erster Iterationsschritt: \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 1{,}5 - \frac{1{,}5^3 + 2 \cdot 1{,}5 - 6}{3 \cdot 1{,}5^2 + 2} = 1{,}5 - \frac{0{,}375}{8{,}75} = \frac{51}{35} \approx 1{,}457142857\dots\). 4. Mit dem ungerundeten Wert von \(x_1\) gilt \(f(x_1)\approx0{,}008186589\) und \(f'(x_1)\approx8{,}369795918\). Damit folgt \(x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\approx1{,}456164746\), also \(x_2\approx1{,}4562\).

Nach zwei Iterationsschritten ergibt sich der Näherungswert \(x_2 \approx 1{,}4562\).

- Welche Gleichung erfüllt die \(x\)-Koordinate einer Extremstelle? - Welche Funktion wird deshalb mit Newton auf eine Nullstelle untersucht? - Welche Ableitung dieser Hilfsfunktion brauchst du im Nenner? - Rechne für den zweiten Schritt möglichst mit dem exakten ersten Wert.

1. Extremstellen von \(g\) sind Nullstellen von \(g'(x)=2x^3-3x^2+4x-1\). 2. Für Newton auf \(g'\) wird \(g''(x)=6x^2-6x+4\) benötigt. 3. Für \(x_0=0\) gilt \(g'(0)=-1\) und \(g''(0)=4\). Daher ist \(x_1=0-\frac{-1}{4}=\frac{1}{4}=0{,}2500\). 4. Für \(x_1=\frac{1}{4}\) gilt \(g'\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{5}{32}\) und \(g''\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{23}{8}\). 5. Damit ist \(x_2=\frac{1}{4}-\frac{-5/32}{23/8}=\frac{7}{23}\approx0{,}3043\).

\(x_1=0{,}2500\); \(x_2\approx0{,}3043\)

- Wann schneiden sich zwei Graphen? Überlege, welche Gleichung du lösen musst. - Wie lautet die allgemeine Formel für das Newton-Verfahren? - Denke daran, die Ableitung der Funktion zu bilden, deren Nullstelle du suchst. - Wiederhole die Berechnung so lange, bis die geforderte Anzahl an Dezimalstellen stabil bleibt.

1. Differenzfunktion: \(h(x)=f(x)-g(x)=x^3-x^2+2x+5\). Ein Schnittpunkt liegt genau dann vor, wenn \(h(x)=0\). 2. Ableitung: \(h'(x)=3x^2-2x+2\). 3. Newton-Verfahren mit \(x_0=-1\): \(x_1=-1-\frac{h(-1)}{h'(-1)}=-1-\frac{1}{7}\approx-1{,}142857\) \(x_2\approx-1{,}132552\) \(x_3\approx-1{,}132494\) \(x_4\approx-1{,}132494\) 4. Die letzten beiden Werte stimmen auf drei Dezimalstellen überein. Daher ist \(x\approx-1{,}132\).

Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunktes ist \(x \approx -1{,}132\).

- Wie hängen die Schnittpunkte zweier Graphen mit den Nullstellen einer neuen Funktion zusammen? - Findest du durch Probieren ganzzahliger Werte ein Intervall, in dem ein Vorzeichenwechsel stattfindet? - Setze deine Ergebnisse immer wieder in die Iterationsformel ein, bis sich die gewünschten Dezimalstellen nicht mehr ändern. - Achte darauf, dass du im Bereich \(x > 0\) bleibst, wie in der Aufgabe gefordert.

1. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^4 - 2x - 5\). Für einen Schnittpunkt muss \(h(x) = 0\) gelten. 2. Ableitung der Funktion bilden: \(h'(x) = 4x^3 - 2\). 3. Suche nach einem geeigneten Startwert durch Testen von Werten: \(h(1) = -6\) und \(h(2) = 7\). Da ein Vorzeichenwechsel vorliegt, liegt die Nullstelle im Intervall \([1; 2]\). Gewählter Startwert \(x_0 = 1{,}5\). 4. Erste Iteration: \(x_1 = 1{,}5 - \frac{h(1{,}5)}{h'(1{,}5)} = 1{,}5 - \frac{-2{,}9375}{11{,}5} \approx 1{,}7554\). 5. Zweite Iteration: \(x_2 \approx 1{,}7554 - \frac{0{,}9851}{19{,}6378} \approx 1{,}7053\). 6. Dritte Iteration: \(x_3 \approx 1{,}7053 - \frac{0{,}0456}{17{,}8354} \approx 1{,}7027\). 7. Vierte Iteration: \(x_4 \approx 1{,}7027\). Der auf zwei Dezimalstellen genaue Wert ist \(1{,}70\).

\(x \approx 1{,}70\)

- Welche Eigenschaft einer Polynomfunktion und welche Funktionswerte an den Intervallgrenzen helfen beim Existenznachweis? - Welche Ableitung brauchst du für das Newton-Verfahren auf \(g\)? - Verwende das Ergebnis des ersten Newton-Schritts als Ausgangswert des zweiten. - Runde Zwischenergebnisse nicht unnötig früh.

1. Die Funktion \(g\) ist als Polynomfunktion stetig. Es gilt \(g(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^3 - 2 = -2\) und \(g(3) = 3^4 - 2 \cdot 3^3 - 2 = 25\). Wegen des Vorzeichenwechsels besitzt \(g\) nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle in \([2;3]\). 2. Die Ableitung lautet \(g'(x) = 4x^3 - 6x^2\). 3. Mit \(x_0=2\) ergibt sich \(x_1 = 2 - \frac{-2}{8} = 2{,}25\). 4. Für den zweiten Schritt gilt \(x_2 = 2{,}25 - \frac{2{,}25^4 - 2 \cdot 2{,}25^3 - 2}{4 \cdot 2{,}25^3 - 6 \cdot 2{,}25^2} \approx 2{,}1942\).

1. Da \(g(2)<0\), \(g(3)>0\) und \(g\) stetig ist, besitzt \(g\) nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle in \([2;3]\). 2. Nach zwei Newton-Schritten ist \(x_2 \approx 2{,}1942\).

- Wie verändert sich jede der drei Kantenlängen durch die gemeinsame Verlängerung \(x\)? - Welches Zielvolumen entspricht dem Dreifachen des ursprünglichen Volumens? - Forme die Volumenbedingung in eine Nullstellengleichung um. - Wende Newton auf genau diese Hilfsfunktion an und runde erst das Endergebnis auf zwei Dezimalstellen.

1. Das ursprüngliche Volumen beträgt \(4\cdot5\cdot10=200\,\text{dm}^3\); das Zielvolumen ist \(600\,\text{dm}^3\). Daher ist \(V(x)=(4+x)(5+x)(10+x)\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(V(x)=x^3+19x^2+110x+200\). Mit \(V(x)=600\) folgt \(x^3+19x^2+110x-400=0\). 3. Setze \(F(x)=x^3+19x^2+110x-400\). Dann ist \(F'(x)=3x^2+38x+110\). 4. Für \(x_0=2\) ergibt sich \(x_1\approx2{,}485\) und anschließend \(x_2\approx2{,}458\). 5. Weitere Iteration stabilisiert die ersten zwei Dezimalstellen bei \(x\approx2{,}46\,\text{dm}\).

1. \(V(x)=(4+x)(5+x)(10+x)\) 2. \(V(x)=600\iff x^3+19x^2+110x-400=0\) 3. \(x\approx2{,}46\,\text{dm}\)

- Welcher Punkt der roten Tangente auf der \(x\)-Achse bestimmt den nächsten Newton-Wert? - Verwende den graphisch gefundenen Wert anschließend als Eingabe in Funktion und Ableitung. - Welche beiden Größen werden im Newton-Schritt miteinander kombiniert?

1. Die Tangente an der Stelle \(x_0=3\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). Daher ist \(x_1=2\). 2. Es gilt \(f(2)=\frac{2}{3}\). 3. Die Ableitung lautet \(f'(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{3}{2}\), also \(f'(2)=\frac{5}{6}\). 4. Mit der Newton-Formel folgt \(x_2=2-\frac{2/3}{5/6}=2-\frac{4}{5}=1{,}2\).

a) \(x_1=2\); der \(x\)-Achsen-Schnittpunkt der Tangente liefert die erste Näherung. b) \(f(2)=\frac{2}{3}\), \(f'(2)=\frac{5}{6}\) c) \(x_2=1{,}2\)

- Berechne für jeden Newton-Schritt den Funktionswert und die Ableitung am aktuellen Startwert. - Vergleiche in Teil b den Startwert und den neuen Wert mit der im Graphen sichtbaren positiven Nullstelle. - Welche geometrische Bedeutung hat der \(x\)-Achsen-Schnittpunkt einer Newton-Tangente? - Vergleiche in Teil c die berechnete Tangentensteigung mit der Lage ihres \(x\)-Achsen-Schnittpunkts.

1. Die Ableitung lautet \(g'(x)=1{,}5x^2-2\). 2. Für \(x_0=2\) gilt \(g(2)=1\) und \(g'(2)=4\). Damit ist \(x_1=2-\frac{1}{4}=1{,}75\). 3. Für \(x_0=0\) gilt \(g(0)=1\) und \(g'(0)=-2\). Damit ist \(x_1=0-\frac{1}{-2}=0{,}5\). Die zugehörige positive Nullstelle liegt im Graphen bei etwa \(x=0{,}54\), sodass \(0{,}5\) näher an ihr liegt als der Startwert \(0\). 4. Für \(x_0=1{,}2\) gilt \(g'(1{,}2)=1{,}5\cdot1{,}2^2-2=0{,}16\). Die eingezeichnete Tangente hat daher nur eine kleine positive Steigung und schneidet die \(x\)-Achse im Graphen bei etwa \(x=4{,}6\). 5. Nahe einer Extremstelle ist \(|g'(x_0)|\) klein. Die Tangente verläuft dann fast waagerecht, sodass ihr \(x\)-Achsen-Schnittpunkt weit vom Berührpunkt entfernt liegen kann. Genau dieser Schnittpunkt ist der nächste Newton-Wert; deshalb können große Sprünge entstehen.

a) \(x_1=1{,}75\) b) \(x_1=0{,}5\); dieser Wert liegt näher an der zugehörigen positiven Nullstelle bei etwa \(x=0{,}54\). c) Der Tangentenschnittpunkt liegt graphisch bei etwa \(x=4{,}6\), und \(g'(1{,}2)=0{,}16\). Die kleine Tangentensteigung führt zu einem weit entfernten \(x\)-Achsen-Schnittpunkt und damit zu einem großen Newton-Schritt.

- Welche der beiden dargestellten Funktionen steht im Nenner des Newton-Schritts für \(g\)? - Lies im Graphen von \(d\) den Wert bei \(x=2\) ab. - Welche geometrische Bedeutung hat ein Ableitungswert von null für den Graphen von \(g\)?

1. Für Newton auf \(g\) wird \(g'(x)=d(x)=3x^2-6x\) benötigt. 2. Für \(x_0=3\) gilt \(g(3)=1\) und \(g'(3)=9\). Daher ist \(x_1=3-\frac{1}{9}\approx2{,}889\). 3. Mit dem ungerundeten ersten Wert folgt \(x_2\approx2{,}879\). 4. Bei \(x=2\) gilt \(d(2)=g'(2)=0\). Der Nenner der Newton-Formel wäre daher null. 5. Geometrisch bedeutet \(g'(2)=0\), dass der Graph von \(g\) dort eine waagrechte Tangente besitzt; ein Newton-Schritt ist nicht definiert.

a) \(x_1\approx2{,}889\); \(x_2\approx2{,}879\) b) Bei \(x_0=2\) gilt \(d(2)=g'(2)=0\); der Newton-Schritt ist wegen Division durch null nicht definiert.

- Suche im Bild die Stelle, an der beide Graphen denselben Funktionswert haben. - Welchen Wert muss die Differenz zweier gleicher Funktionswerte besitzen? - Stelle die Differenzfunktion vollständig auf, bevor du Newton anwendest. - Verwende im zweiten Schritt den ungerundeten ersten Näherungswert.

1. Aus der Abbildung lässt sich die positive Schnittstelle ungefähr bei \(x\approx1{,}7\) ablesen. 2. Die Differenzfunktion lautet \(h(x)=x^2-1-(0{,}5x+1)=x^2-0{,}5x-2\). An einem Schnittpunkt gilt \(f(x)=g(x)\), also \(h(x)=0\). 3. Es ist \(h'(x)=2x-0{,}5\). Für \(x_0=1{,}5\) gilt \(h(1{,}5)=-0{,}5\) und \(h'(1{,}5)=2{,}5\), daher \(x_1=1{,}7\). 4. Weiter gilt \(h(1{,}7)=0{,}04\) und \(h'(1{,}7)=2{,}9\). Somit ist \(x_2=1{,}7-\frac{0{,}04}{2{,}9}\approx1{,}6862\). 5. Gerundet erhält man \(x_1=1{,}700\) und \(x_2\approx1{,}686\).

a) \(x\approx1{,}7\) b) \(h(x)=x^2-0{,}5x-2\); Schnittpunkte erfüllen genau \(h(x)=0\). c) \(x_1=1{,}700\); \(x_2\approx1{,}686\)

- Welche Aussage über \(f'\) folgt daraus, dass \(f''\) überall positiv ist? - Wie helfen die Grenzwerte von \(f'\) zusammen mit strenger Monotonie bei der Anzahl seiner Nullstellen? - Für die Extremstelle suchst du eine Nullstelle welcher Funktion? - Welche Ableitung dieser Funktion steht dann im Nenner des Newton-Schritts?

1. Die erste Ableitung ist \(f'(x)=\frac{1}{2}x^3+3x+5\), die zweite Ableitung \(f''(x)=\frac{3}{2}x^2+3\). 2. Für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt \(f''(x)>0\). Daher ist \(f'\) streng monoton steigend. 3. Außerdem gilt \(\lim_{x\to-\infty}f'(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to\infty}f'(x)=\infty\). Somit besitzt \(f'\) genau eine Nullstelle und \(f\) genau eine Extremstelle; wegen \(f''>0\) ist sie ein Minimum. 4. Für die Nullstelle von \(f'\) wird Newton mit \(f''\) im Nenner angewendet. Aus \(x_0=-1\) folgen \(x_1\approx-1{,}3333\), \(x_2\approx-1{,}3006\) und \(x_3\approx-1{,}3003\). 5. Weiteres Iterieren stabilisiert die ersten drei Dezimalstellen bei \(x\approx-1{,}300\).

1. \(f'\) ist wegen \(f''(x)>0\) streng monoton steigend und nimmt Werte von \(-\infty\) bis \(+\infty\) an; daher besitzt \(f\) genau eine Extremstelle, ein Minimum. 2. Die Extremstelle liegt bei \(x\approx-1{,}300\).