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- Wo berührt die eingezeichnete Gerade (die Tangente) die blaue Kurve? Das ist dein Startpunkt. - Wo schneidet diese Tangente die horizontale Achse? Das ist die neue Näherung. - Erinnere dich, dass die Steigung der Tangente genau dem Wert der Ableitung an der Berührstelle entspricht.

1. Identifikation des Startwerts aus der Grafik: Die Tangente berührt den Graphen bei \(x_0 = 4\). 2. Ablesen des Schnittpunkts der Tangente mit der \(x\)-Achse: \(x_1\) liegt zwischen \(3\) und \(3{,}5\), etwa bei \(3{,}1\). 3. Rechnerische Überprüfung: \(f(x) = 0{,}5x^2 - 4{,}5 \Rightarrow f'(x) = x\) \(f(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 - 4{,}5 = 8 - 4{,}5 = 3{,}5\) \(f'(4) = 4\) \(x_1 = 4 - \frac{3{,}5}{4} = 4 - 0{,}875 = 3{,}125\) 4. Der berechnete Wert \(3{,}125\) bestätigt das grafische Ergebnis.

a) Der Startwert ist \(x_0 = 4\). Grafisch liest man \(x_1 \approx 3{,}1\) ab. b) Die Rechnung ergibt \(x_1 = 4 - \frac{3{,}5}{4} = 3{,}125\).

- Stelle dir eine Linie vor, die den Graphen bei \(x = 2{,}5\) gerade so berührt. - Diese Linie ist die Tangente. Verfolge sie gedanklich bis zur \(x\)-Achse. - Benutze für die Rechnung die Funktionswerte und die Steigung (Ableitung) an der Stelle \(2{,}5\).

1. Bei \(x_0 = 2{,}5\) gilt \(f(2{,}5) = 6{,}625\). Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse grafisch etwas rechts von \(x = 2\). 2. \(f'(x) = 3x^2 - 4\), also \(f'(2{,}5) = 14{,}75\). 3. Damit ist \(x_1 = 2{,}5 - \frac{6{,}625}{14{,}75} = \frac{5}{2} - \frac{53}{118} = \frac{121}{59} \approx 2{,}0508\). Das stimmt mit der grafischen Schätzung überein.

a) Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei etwa \(2{,}05\). b) Exakt gilt \(x_1 = \frac{121}{59}\); näherungsweise ist \(x_1 \approx 2{,}051\).

- Welche mathematische Operation hilft dir, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle auszudrücken? - Kannst du aus der Bedingung für die Steigung eine Gleichung der Form \(g(x) = 0\) machen? - Welche Verfahren kennst du, um Nullstellen von Funktionen zu finden, die man nicht einfach nach \(x\) auflösen kann? - Probiere systematisch Werte im Intervall aus oder nutze ein Tangentenverfahren.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 5\). 2. Aufstellen der Gleichung für die gesuchte Steigung: \(f'(x) = 2\), woraus sich \(x^3 - 3x^2 + 3 = 0\) ergibt. 3. Anwendung eines Näherungsverfahrens (z. B. Newton-Verfahren oder Intervallschachtelung) im Intervall \([2; 3]\). 4. Startwert für Newton-Verfahren \(x_0 = 2{,}5\): \(x_1 = 2{,}5 - \frac{2{,}5^3 - 3 \cdot 2{,}5^2 + 3}{3 \cdot 2{,}5^2 - 6 \cdot 2{,}5} \approx 2{,}5333\). \(x_2 = 2{,}5333 - \frac{2{,}5333^3 - 3 \cdot 2{,}5333^2 + 3}{3 \cdot 2{,}5333^2 - 6 \cdot 2{,}5333} \approx 2{,}5321\). 5. Die gesuchte Stelle ist \(x^* \approx 2{,}53\).

\(x^* \approx 2{,}53\)

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Graphen, wenn diese parallel zueinander verlaufen? - Stelle zuerst die Ableitungsfunktion auf und setze sie mit der gegebenen Steigung gleich. - Wenn du die Gleichung nicht direkt lösen kannst, hilft eine Wertetabelle oder ein Näherungsschritt. - Achte darauf, dass dein Ergebnis im vorgegebenen Intervall liegt.

1. Ableitung: \(g'(x)=x^4-4x\). 2. Die Gerade \(h(x)=3x-1\) hat die Steigung \(3\). 3. Für eine parallele Tangente gilt \(g'(x)=3\), also \(x^4-4x-3=0\). 4. Intervallhalbierung: \(F(1{,}5)=1{,}5^4-4\cdot1{,}5-3=-3{,}9375<0\) und \(F(2{,}5)=26{,}0625>0\). Für die Mitte \(2{,}0\) gilt \(F(2{,}0)=5>0\), also wird mit \([1{,}5;2{,}0]\) fortgesetzt. Für \(1{,}75\) gilt \(F(1{,}75)\approx-0{,}6211<0\), also wird mit \([1{,}75;2{,}0]\) fortgesetzt. Für \(1{,}875\) gilt \(F(1{,}875)\approx1{,}8596>0\), also wird mit \([1{,}75;1{,}875]\) fortgesetzt. Weitere Halbierungen liefern \(x^*\approx1{,}7844\). 5. Auf zwei Dezimalstellen gerundet ist \(x^*\approx1{,}78\).

\(x^* \approx 1{,}78\)

- Bestimme zuerst eine Funktion \(f\), deren Nullstelle die gesuchte \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts ist. - Was muss für die Funktionswerte von \(g\) und \(h\) an der Stelle \(x^*\) gelten? - Erinnere dich an die Iterationsformel des Newton-Verfahrens. - Du benötigst die Ableitungsfunktion von \(f\).

1. Definition der Differenzfunktion: \(f(x) = g(x) - h(x) = (x^3 + x) - (6 - x) = x^3 + 2x - 6\). 2. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 + 2\). 3. Erster Iterationsschritt: \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 1{,}5 - \frac{1{,}5^3 + 2 \cdot 1{,}5 - 6}{3 \cdot 1{,}5^2 + 2} = 1{,}5 - \frac{0{,}375}{8{,}75} \approx 1{,}4571\). 4. Zweiter Iterationsschritt: \(x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx 1{,}4571 - \frac{0{,}00818\ldots}{8{,}369\ldots} \approx 1{,}4562\).

Nach zwei Iterationsschritten ergibt sich der Näherungswert \(x_2 \approx 1{,}4562\).

- Erinnere dich daran, dass Extremstellen dort liegen, wo die Steigung der Funktion null ist. - Das Newton-Verfahren hilft dir, Nullstellen einer Funktion zu finden. Welche Funktion ist hier gemeint? - Stelle die Iterationsvorschrift für die Suche nach der Nullstelle der Ableitung auf. - Achte beim Einsetzen von Dezimalzahlen auf die Genauigkeit oder rechne mit Brüchen.

1. Bildung der notwendigen Ableitungen für das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle von \(g'(x)\): \(g'(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\) und \(g''(x) = 6x^2 - 6x + 4\). 2. Anwendung der Newton-Formel \(x_{n+1} = x_n - \frac{g'(x_n)}{g''(x_n)}\). 3. Erster Iterationsschritt (\(n=0\)): Mit \(g'(0) = -1\) und \(g''(0) = 4\) ergibt sich \(x_1 = 0 - \frac{-1}{4} = 0{,}25\). 4. Zweiter Iterationsschritt (\(n=1\)): Berechnung der Werte an der Stelle \(x_1 = 0{,}25\): \(g'(0{,}25) = 2 \cdot 0{,}25^3 - 3 \cdot 0{,}25^2 + 4 \cdot 0{,}25 - 1 = -0{,}15625 = -\frac{5}{32}\). 5. Berechnung des zweiten Ableitungswertes: \(g''(0{,}25) = 6 \cdot 0{,}25^2 - 6 \cdot 0{,}25 + 4 = 2{,}875 = \frac{23}{8}\). 6. Berechnung von \(x_2\): \(x_2 = 0{,}25 - \frac{-5/32}{23/8} = 0{,}25 + \frac{5}{92} = \frac{28}{92} = \frac{7}{23} \approx 0{,}3043\).

Nach zwei Iterationsschritten ergibt sich für die Minimalstelle der Näherungswert \(x_2 \approx 0{,}304\).

- Wann schneiden sich zwei Graphen? Überlege, welche Gleichung du lösen musst. - Wie lautet die allgemeine Formel für das Newton-Verfahren? - Denke daran, die Ableitung der Funktion zu bilden, deren Nullstelle du suchst. - Wiederhole die Berechnung so lange, bis die geforderte Anzahl an Dezimalstellen stabil bleibt.

1. Differenzfunktion: \(h(x)=f(x)-g(x)=x^3-x^2+2x+5\). Ein Schnittpunkt liegt genau dann vor, wenn \(h(x)=0\). 2. Ableitung: \(h'(x)=3x^2-2x+2\). 3. Newton-Verfahren mit \(x_0=-1\): \(x_1=-1-\frac{h(-1)}{h'(-1)}=-1-\frac{1}{7}\approx-1{,}142857\) \(x_2\approx-1{,}132552\) \(x_3\approx-1{,}132494\) \(x_4\approx-1{,}132494\) 4. Die letzten beiden Werte stimmen auf drei Dezimalstellen überein. Daher ist \(x\approx-1{,}132\).

Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunktes ist \(x \approx -1{,}132\).

- Wie hängen die Schnittpunkte zweier Graphen mit den Nullstellen einer neuen Funktion zusammen? - Findest du durch Probieren ganzzahliger Werte ein Intervall, in dem ein Vorzeichenwechsel stattfindet? - Setze deine Ergebnisse immer wieder in die Iterationsformel ein, bis sich die gewünschten Dezimalstellen nicht mehr ändern. - Achte darauf, dass du im Bereich \(x > 0\) bleibst, wie in der Aufgabe gefordert.

1. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^4 - 2x - 5\). Für einen Schnittpunkt muss \(h(x) = 0\) gelten. 2. Ableitung der Funktion bilden: \(h'(x) = 4x^3 - 2\). 3. Suche nach einem geeigneten Startwert durch Testen von Werten: \(h(1) = -6\) und \(h(2) = 7\). Da ein Vorzeichenwechsel vorliegt, liegt die Nullstelle im Intervall \([1; 2]\). Gewählter Startwert \(x_0 = 1{,}5\). 4. Erste Iteration: \(x_1 = 1{,}5 - \frac{h(1{,}5)}{h'(1{,}5)} = 1{,}5 - \frac{-2{,}9375}{11{,}5} \approx 1{,}7554\). 5. Zweite Iteration: \(x_2 \approx 1{,}7554 - \frac{0{,}9851}{19{,}6378} \approx 1{,}7053\). 6. Dritte Iteration: \(x_3 \approx 1{,}7053 - \frac{0{,}0456}{17{,}8354} \approx 1{,}7027\). 7. Vierte Iteration: \(x_4 \approx 1{,}7027\). Der auf zwei Dezimalstellen genaue Wert ist \(1{,}70\).

\(x \approx 1{,}70\)

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Was bedeutet „das Dreifache des ursprünglichen Volumens“ mathematisch für deine Gleichung? - Erinnere dich an das Newton-Verfahren oder das Intervallhalbierungsverfahren, um Nullstellen zu finden. - Ein guter Startwert für das Näherungsverfahren lässt sich durch systematisches Probieren ganzzahliger Werte finden.

1. Das ursprüngliche Volumen beträgt \(V_{\text{alt}} = 4 \cdot 5 \cdot 10 = 200\,\text{dm}^3\). Das Zielvolumen ist \(V_{\text{neu}} = 3 \cdot 200 = 600\,\text{dm}^3\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(x) = (4+x)(5+x)(10+x)\). 2. Durch Ausmultiplizieren erhält man \(V(x) = (x^2 + 9x + 20)(x + 10) = x^3 + 10x^2 + 9x^2 + 90x + 20x + 200\). Gleichsetzen mit dem Zielvolumen: \(x^3 + 19x^2 + 110x + 200 = 600\). Subtraktion von 600 ergibt die Gleichung \(x^3 + 19x^2 + 110x - 400 = 0\). 3. Anwendung eines Näherungsverfahrens, z. B. des Newton-Verfahrens mit \(f(x) = x^3 + 19x^2 + 110x - 400\) und \(f'(x) = 3x^2 + 38x + 110\). Mit dem Startwert \(x_0 = 2\) ergibt sich \(x_1 \approx 2{,}485\) und \(x_2 \approx 2{,}458\). Auf zwei Dezimalstellen gerundet ist \(x \approx 2{,}46\,\text{dm}\).

Die notwendige Verlängerung beträgt etwa \(x \approx 2{,}46\,\text{dm}\).

- Das Newton-Verfahren nutzt die Formel \(x_{n+1} = x_n - \frac{h(x_n)}{h'(x_n)}\). - Leite die gegebene Gleichung \(h(x) = 0\) korrekt ab, um die Steigung für das Verfahren zu erhalten. - Achte darauf, die Zwischenergebnisse nicht zu früh zu runden, um die Genauigkeit am Ende zu gewährleisten.

1. Die Funktion für das Newton-Verfahren ist \(h(x) = 3x^5 + x - 5\) mit der Ableitung \(h'(x) = 15x^4 + 1\). 2. Erster Newton-Schritt mit \(x_0 = 1\): \(h(1) = 3(1)^5 + 1 - 5 = -1\) und \(h'(1) = 15(1)^4 + 1 = 16\). Es folgt \(x_1 = 1 - \frac{-1}{16} = 1{,}0625\). 3. Zweiter Newton-Schritt mit \(x_1 = 1{,}0625\): \(h(1{,}0625) \approx 3 \cdot 1{,}3541 + 1{,}0625 - 5 \approx 0{,}1248\) und \(h'(1{,}0625) \approx 15 \cdot 1{,}2744 + 1 \approx 20{,}116\). Es folgt \(x_2 = 1{,}0625 - \frac{0{,}1248}{20{,}116} \approx 1{,}05629\). 4. Auf drei Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(x \approx 1{,}056\).

Die gesuchte Stelle liegt bei etwa \(x \approx 1{,}056\).

- Wie hängen die Tangente an einer Stelle und der nächste Schritt des Newton-Verfahrens geometrisch zusammen? - Wo schneidet die rote Tangente die \(x\)-Achse? Das gibt dir direkt den Wert für \(x_1\). - Setze für den rechnerischen Teil die gefundene Stelle \(x_1\) sorgfältig in die Funktionsgleichung und die gebildete Ableitungsfunktion ein. - Verwende die Newton-Formel, um die Werte zu kombinieren und \(x_2\) zu bestimmen.

1. Grafische Bestimmung von \(x_1\): - Der Berührpunkt der Tangente mit dem Funktionsgraphen an der Stelle \(x_0 = 3\) ist der Punkt \(P(3 \mid 2)\). - Die Tangente \(t\) schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_1 = 2\). Dies ist der erste Näherungswert des Newton-Verfahrens. 2. Berechnung von \(f(2)\) und \(f'(2)\): - Durch Einsetzen von \(x_1 = 2\) in \(f(x) = \frac{1}{6}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + \frac{3}{2}x - 1\) erhält man: \(f(2) = \frac{1}{6} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 4 + \frac{3}{2} \cdot 2 - 1 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 3 - 1 = \frac{2}{3}\). - Die Ableitungsfunktion lautet: \(f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{3}{2}\). - Einsetzen von \(x_1 = 2\) liefert: \(f'(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{3}{2} = 2 - \frac{8}{3} + \frac{3}{2} = \frac{5}{6}\). 3. Berechnung von \(x_2\): - Einsetzen der Werte in die Newton-Formel: \(x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 2 - \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}} = 2 - \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = 2 - \frac{4}{5} = 1{,}2\).

a) \(x_1 = 2\). Der Schnittpunkt der Tangente an der Stelle \(x_0 = 3\) mit der \(x\)-Achse liefert die erste Näherung. b) \(f(2) = \frac{2}{3}\) und \(f'(2) = \frac{5}{6}\) c) \(x_2 = 1{,}2\)

- Setze die gegebenen Werte systematisch in die Newton-Formel ein. - Welche Bedeutung hat die Ableitung \(g'(x)\) für die Steigung der Tangente? - Stelle dir die Tangente an verschiedenen Punkten des Graphen vor und prüfe, wo sie die \(x\)-Achse trifft. - Was passiert mit einem Bruch, wenn sein Nenner sehr klein wird?

1. Ableitung: \(g'(x) = 1{,}5x^2 - 2\). 2. Für \(x_0 = 2\): \(g(2) = 1\), \(g'(2) = 4\) \(x_1 = 2 - \frac{1}{4} = 1{,}75\) 3. Für \(x_0 = 0\): \(g(0) = 1\), \(g'(0) = -2\) \(x_1 = 0 - \frac{1}{-2} = 0{,}5\) Die zugehörige Nullstelle liegt bei etwa \(0{,}54\); somit ist \(0{,}5\) eine gute Annäherung. 4. Die verwendete Gerade ist die Tangente im Punkt \((x_n \mid g(x_n))\). In der Nähe von Extremstellen ist ihre Steigung sehr klein. Eine fast waagerechte Tangente schneidet die \(x\)-Achse erst weit entfernt, wodurch große Sprünge entstehen.

a) Für \(x_0 = 2\) ergibt sich \(x_1 = 1{,}75\). b) Für \(x_0 = 0\) ergibt sich \(x_1 = 0{,}5\). Dieser Wert liegt sehr nah an der tatsächlichen Nullstelle bei etwa \(0{,}54\). c) Das Verfahren nutzt die Tangente am Graphen. Da die Tangente nahe einem Extremum fast waagerecht verläuft, liegt ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse sehr weit entfernt, was zu großen Sprüngen führt.

- Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über den Verlauf der ersten Ableitung aus? - Wie viele Nullstellen kann eine stetige, streng monotone Funktion höchstens haben? - Überprüfe die Grenzwerte der ersten Ableitung für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte. - Denke an die Formel für das Newton-Verfahren, um Nullstellen einer Funktion zu finden. In diesem Fall suchen wir die Nullstellen von \(f'\).

1. Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{1}{2}x^3 + 3x + 5\), die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{3}{2}x^2 + 3\). Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(f''(x) \geq 3 > 0\). Somit ist \(f'\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend. Wegen \(\lim_{x \to -\infty} f'(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} f'(x) = \infty\) folgt aus dem Zwischenwertsatz und der strengen Monotonie, dass \(f'\) genau eine Nullstelle besitzt. Da \(f''(x) > 0\) für alle \(x\), handelt es sich bei dieser Nullstelle um eine lokale Minimalstelle von \(f\). 2. Das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle von \(f'\) nutzt die Iterationsvorschrift \(x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}\). Mit \(x_0 = -1\): \(x_1 = -1 - \frac{f'(-1)}{f''(-1)} = -1 - \frac{1{,}5}{4{,}5} \approx -1{,}3333\) \(x_2 \approx -1{,}3333 - \frac{f'(-1{,}3333)}{f''(-1{,}3333)} \approx -1{,}3333 - \frac{-0{,}1852}{5{,}6667} \approx -1{,}3006\) \(x_3 \approx -1{,}3006 - \frac{f'(-1{,}3006)}{f''(-1{,}3006)} \approx -1{,}3006 - \frac{-0{,}0019}{5{,}5374} \approx -1{,}3003\) Die Iteration stabilisiert sich bei \(-1{,}300\).

Die Funktion \(f\) besitzt genau eine Extremstelle, da \(f'\) aufgrund von \(f''(x) > 0\) streng monoton steigend ist und von \(-\infty\) nach \(\infty\) verläuft. Die Extremstelle liegt näherungsweise bei \(x \approx -1{,}300\).

- Erinnere dich an den Zwischenwertsatz für den Nachweis von Nullstellen. - Wenn du das Newton-Verfahren auf \(g''\) anwendest, welche Funktion bildet dann die Grundlage für die Iterationsformel? - Überprüfe deine Ableitungen sorgfältig, bevor du mit den Berechnungen beginnst. - Runde deine Zwischenergebnisse sinnvoll, um die Genauigkeit zu wahren.

1. Die Funktion \(g\) ist als Polynomfunktion stetig. Es gilt \(g(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^3 - 2 = 16 - 16 - 2 = -2\) und \(g(3) = 3^4 - 2 \cdot 3^3 - 2 = 81 - 54 - 2 = 25\). Da ein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle im Intervall existieren. 2. Ableitung: \(g'(x) = 4x^3 - 6x^2\). Erster Schritt: \(x_1 = 2 - \frac{-2}{4 \cdot 8 - 6 \cdot 4} = 2 - \frac{-2}{8} = 2{,}25\). Zweiter Schritt: \(x_2 = 2{,}25 - \frac{2{,}25^4 - 2 \cdot 2{,}25^3 - 2}{4 \cdot 2{,}25^3 - 6 \cdot 2{,}25^2} \approx 2{,}25 - \frac{0{,}8477}{15{,}1875} \approx 2{,}1942\). 3. Zweite Ableitung: \(h(x) = g''(x) = 12x^2 - 12x\). Ableitung hiervon: \(h'(x) = 24x - 12\). Erster Schritt: \(x_1 = 2 - \frac{12 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2}{24 \cdot 2 - 12} = 2 - \frac{24}{36} \approx 1{,}3333\). Zweiter Schritt: \(x_2 = 1{,}3333 - \frac{12 \cdot 1{,}3333^2 - 12 \cdot 1{,}3333}{24 \cdot 1{,}3333 - 12} = 1{,}3333 - \frac{5{,}3333}{20} \approx 1{,}0667\).

1. Da \(g(2) < 0\) und \(g(3) > 0\) gilt und die Funktion stetig ist, existiert nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle im Intervall. 2. Die Näherung für die Nullstelle von \(g\) nach zwei Schritten ist \(x_2 \approx 2{,}1942\). 3. Die Näherung für die Nullstelle von \(g''\) nach zwei Schritten ist \(x_2 \approx 1{,}0667\).