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Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

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42207911
In einer Umfrage unter Kinobesuchern werden die Merkmale \(P\): „Die Person kauft Popcorn“ und \(G\): „Die Person kauft ein Getränk“ betrachtet. Eine Person wird zufällig aus allen Befragten ausgewählt. Ordne den folgenden Beschreibungen den jeweils passenden Ausdruck zu: \(P(P \cap G)\), \(P_P(G)\) oder \(P_G(P)\). 1. „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Besucher sowohl Popcorn als auch ein Getränk kauft?“ 2. „Unter den Besuchern, die ein Getränk kaufen, wird der Anteil derer ermittelt, die auch Popcorn wählen.“ 3. „Ein Besucher wird ausgelost. Er hat Popcorn und ein Getränk gekauft.“ 4. „Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Popcorn-Käufer zusätzlich ein Getränk erwirbt.“

Denkanstöße

- Achte darauf, ob sich die Aussage auf die gesamte Gruppe der Befragten bezieht oder nur auf eine Teilgruppe mit einer bestimmten Eigenschaft. - Wörter wie „und“ oder „beides“ deuten oft auf eine Schnittmenge hin. - Wörter wie „unter den...“ oder „wenn bekannt ist, dass...“ weisen auf eine Bedingung hin. - Überlege dir bei bedingten Wahrscheinlichkeiten genau, welche Information bereits gegeben ist (Bedingung) und was gesucht wird.

Lösung

1. Hier wird nach der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit für beide Merkmale gefragt: \(P(P \cap G)\). 2. Die Grundmenge ist auf die Getränkekäufer eingeschränkt, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für Popcorn unter dieser Bedingung: \(P_G(P)\). 3. Es wird eine Person aus der Gesamtheit betrachtet, die beide Eigenschaften erfüllt (Schnittmenge): \(P(P \cap G)\). 4. Die Bedingung ist der Kauf von Popcorn, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für ein Getränk: \(P_P(G)\).

Antwort

1. \(P(P \cap G)\) 2. \(P_G(P)\) 3. \(P(P \cap G)\) 4. \(P_P(G)\)
41475811
In einer Schule wählen die Schüler der 9. Klasse ihre Fremdsprachen. Das Ereignis \(E\) steht für „lernt Englisch“, das Ereignis \(F\) für „lernt Französisch“. Es ist bekannt: \(P(E) = 0{,}8\); \(P(F|E) = 0{,}25\) und \(P(E|F) = 1\). a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P(E \cap F)\) und \(P(F)\). b) Interpretiere die Angabe \(P(E|F) = 1\) im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Was bedeutet eine bedingte Wahrscheinlichkeit von 1 für die Beziehung zwischen zwei Gruppen? - Wie hängen die Schnittwahrscheinlichkeit, die bedingte Wahrscheinlichkeit und die Einzelwahrscheinlichkeit zusammen? - Kannst du eine Formel finden, in der drei der gegebenen oder gesuchten Größen vorkommen?

Lösung

1. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P(E \cap F) = P(F|E) \cdot P(E) = 0{,}25 \cdot 0{,}8 = 0{,}2\). 2. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit von \(F\) unter Verwendung von \(P(E|F)\): Da \(P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}\), folgt \(1 = \frac{0{,}2}{P(F)}\), also \(P(F) = 0{,}2\). 3. Interpretation im Sachzusammenhang: Da die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(E|F) = 1\) ist, bedeutet dies, dass das Eintreten von \(F\) das Eintreten von \(E\) erzwingt. Folglich lernt jeder Schüler, der Französisch gewählt hat, auch Englisch.

Antwort

a) \(P(E \cap F) = 0{,}2\) und \(P(F) = 0{,}2\). b) Jeder Schüler, der Französisch lernt, lernt auch Englisch.
42208011
An einer Schule engagieren sich viele Jugendliche in Musikgruppen. Es seien die Ereignisse \(I\): „Die Person spielt ein Instrument“ und \(C\): „Die Person singt im Chor“ gegeben. Aus einer statistischen Erhebung sind folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: \(P(I) = 0{,}45\), \(P(C) = 0{,}30\) und \(P(I \cap C) = 0{,}18\). a) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_I(C)\). b) Formuliere die Bedeutung des Ergebnisses aus Teilaufgabe a) in einem Sachzusammenhang. c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied des Chors auch ein Instrument spielt?

Denkanstöße

- Nutze die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\). - Überlege dir für die Interpretation, welche Gruppe die Basis (die Bedingung) bildet und welcher Anteil davon betrachtet wird. - Achte in Teilaufgabe c) darauf, welches Ereignis die Bedingung ist und welches Merkmal zusätzlich untersucht wird.

Lösung

1. Berechnung von \(P_I(C)\) mit der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_I(C) = \frac{P(I \cap C)}{P(I)} = \frac{0{,}18}{0{,}45} = 0{,}4\). 2. Interpretation: Von allen Schülern, die ein Instrument spielen, sind \(40\,\%\) auch im Chor aktiv. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Chormitglied ein Instrument spielt: \(P_C(I) = \frac{P(I \cap C)}{P(C)} = \frac{0{,}18}{0{,}30} = 0{,}6\). Dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit von \(60\,\%\).

Antwort

a) \(P_I(C) = 0{,}4\) b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die ein Instrument spielt, im Chor singt, beträgt \(0{,}4\) (bzw. \(40\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}6\) (bzw. \(60\,\%\)).
42208511
Ein fairer sechsseitiger Würfel wird zweimal geworfen. a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme \(10\) beträgt. b) Es ist bekannt, dass die Augensumme eine gerade Zahl ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme \(10\) beträgt. c) Angenommen, bei beiden Würfen wurde eine gerade Zahl erzielt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme \(10\) beträgt.

Denkanstöße

- Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es insgesamt, wenn man zwei Würfel wirft? - Überlege dir, welche Zahlenpaare die gewünschte Summe ergeben. - Bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit verkleinert sich der relevante Ergebnisraum auf die Ergebnisse, die die Bedingung erfüllen. - Untersuche systematisch, welche Kombinationen die Bedingung „Augensumme gerade“ oder „beide Zahlen gerade“ erfüllen.

Lösung

1. Der Ergebnisraum beim Wurf von zwei Würfeln umfasst \(6 \cdot 6 = 36\) gleichwahrscheinliche Ergebnisse. Die Augensumme \(10\) wird durch die Ergebnisse \((4,6)\), \((5,5)\) und \((6,4)\) realisiert. Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\). 2. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit bei gerader Augensumme: Es gibt \(18\) Ergebnisse mit gerader Augensumme (Kombinationen aus gerade/gerade oder ungerade/ungerade). Da die Augensumme \(10\) stets gerade ist, liegen alle \(3\) günstigen Ergebnisse aus Teil a) in der Bedingungsmenge. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\). 3. Für die Bedingung, dass beide Würfel gerade Zahlen zeigen: Es gibt \(3 \cdot 3 = 9\) solcher Ergebnisse: \(\{(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)\}\). Davon ergeben nur \((4,6)\) und \((6,4)\) die Summe \(10\). Das Ergebnis \((5,5)\) entfällt, da \(5\) ungerade ist. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{2}{9}\).

Antwort

a) \(P = \frac{1}{12}\) b) \(P = \frac{1}{6}\) c) \(P = \frac{2}{9}\)
42209111
In einem Sportverein mit 50 Mitgliedern wird die Vorbereitung auf einen Fitness-Wettbewerb untersucht. 35 Mitglieder nehmen regelmäßig am Training teil. Von den 30 Mitgliedern, die den Fitness-Test am Ende bestehen, haben 28 regelmäßig trainiert. Ein Mitglied des Vereins wird zufällig ausgewählt. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das ausgewählte Mitglied regelmäßig trainiert hat und den Test besteht. b) Das ausgewählte Mitglied hat den Test bestanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es regelmäßig am Training teilgenommen hat? c) Das ausgewählte Mitglied hat nicht regelmäßig trainiert. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es den Test dennoch bestanden hat.

Denkanstöße

- Kannst du die gegebenen Informationen in einer Vierfeldertafel übersichtlich darstellen? - Überlege dir genau, welche Gesamtzahl für die jeweilige Wahrscheinlichkeit relevant ist: Bezieht sie sich auf alle Mitglieder oder nur auf eine bestimmte Teilgruppe? - Was bedeutet die Formulierung „obwohl“ oder „unter der Bedingung, dass“ für die Berechnung? - Hilft es dir, die Ereignisse mit Buchstaben wie \(T\) für Training und \(B\) für Bestanden abzukürzen?

Lösung

1. Definition der Ereignisse: \(T\): „Regelmäßige Teilnahme am Training“, \(B\): „Test bestanden“. Gegeben sind \(n = 50\), \(|T| = 35\), \(|B| = 30\) und \(|T \cap B| = 28\). 2. Berechnung für a): Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten beider Ereignisse ist \(P(T \cap B) = \frac{|T \cap B|}{n} = \frac{28}{50} = 0{,}56\). 3. Berechnung für b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(T|B) = \frac{|T \cap B|}{|B|} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15} \approx 0{,}9333\). 4. Berechnung für c): Zuerst Bestimmung der Anzahl der Mitglieder, die nicht regelmäßig trainiert haben: \(|\bar{T}| = 50 - 35 = 15\). Die Anzahl derer, die ohne regelmäßiges Training bestanden haben, ist \(|B \cap \bar{T}| = |B| - |B \cap T| = 30 - 28 = 2\). Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist \(P(B|\bar{T}) = \frac{|B \cap \bar{T}|}{|\bar{T}|} = \frac{2}{15} \approx 0{,}1333\).

Antwort

a) \(P(T \cap B) = 0{,}56\) b) \(P(T|B) = \frac{14}{15} \approx 0{,}9333\) c) \(P(B|\bar{T}) = \frac{2}{15} \approx 0{,}1333\)
42208611
Eine Urne enthält acht Kugeln mit den Aufschriften \(1\) bis \(8\). Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln \(9\) ergibt. b) Es wird mitgeteilt, dass die Summe der beiden Zahlen ungerade ist. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe \(9\) beträgt. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe \(9\) beträgt, wenn bekannt ist, dass die erste gezogene Kugel eine Primzahl zeigt?

Denkanstöße

- Beachte, dass „ohne Zurücklegen“ bedeutet, dass eine Zahl nicht zweimal vorkommen kann. - Wie viele Paare gibt es insgesamt, wenn die Reihenfolge beachtet wird? - Wann ist die Summe von zwei Zahlen ungerade? Welche Kombinationen von „gerade“ und „ungerade“ sind dafür nötig? - Welche Zahlen zwischen 1 und 8 sind Primzahlen? Denke daran, dass die 1 per Definition keine Primzahl ist. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die zweite Kugel, wenn die erste bereits feststeht?

Lösung

1. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, gibt es \(8 \cdot 7 = 56\) mögliche Ergebnisse. Die Paare mit der Summe \(9\) sind \((1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1)\). Es gibt \(8\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}\). 2. Eine ungerade Summe entsteht genau dann, wenn eine Kugel gerade und eine ungerade ist. Es gibt \(4\) gerade \(\{2, 4, 6, 8\}\) und \(4\) ungerade Zahlen \(\{1, 3, 5, 7\}\). Die Anzahl der Ergebnisse mit ungerader Summe ist \(4 \cdot 4\) (gerade-ungerade) \(+ 4 \cdot 4\) (ungerade-gerade) \(= 32\). Alle \(8\) Ergebnisse mit der Summe \(9\) haben eine ungerade Summe. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\). 3. Die Primzahlen in der Urne sind \(\{2, 3, 5, 7\}\). Die Anzahl der Ergebnisse, bei denen die erste Kugel eine Primzahl ist, beträgt \(4 \cdot 7 = 28\). Von den Paaren mit der Summe \(9\) beginnt die erste Kugel bei \((2,7), (3,6), (5,4)\) und \((7,2)\) mit einer Primzahl. Das sind \(4\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}\).

Antwort

a) \(P = \frac{1}{7}\) b) \(P = \frac{1}{4}\) c) \(P = \frac{1}{7}\)
42213011
Ein Unternehmen betreibt zwei IT-Support-Zentren, \(\alpha\) und \(\beta\), die Anfragen zu Hardware (\(H\)) und Software (\(S\)) bearbeiten. Eine Anfrage gilt als gelöst (\(L\)), wenn das Problem behoben wurde. Die Daten des letzten Quartals sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: <table> <tr><td>Zentrum</td><td>Typ</td><td>Anfragen gesamt</td><td>Anfragen gelöst</td></tr> <tr><td>\(\alpha\)</td><td>Hardware (\(H\))</td><td>200</td><td>40</td></tr> <tr><td>\(\alpha\)</td><td>Software (\(S\))</td><td>800</td><td>720</td></tr> <tr><td>\(\beta\)</td><td>Hardware (\(H\))</td><td>800</td><td>200</td></tr> <tr><td>\(\beta\)</td><td>Software (\(S\))</td><td>200</td><td>190</td></tr> </table> a) Berechne für jedes Zentrum die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P(L|H)\) und \(P(L|S)\). b) Ein Manager behauptet, Zentrum \(\alpha\) sei deutlich effizienter, da dort insgesamt \(76\,\%\) aller Anfragen gelöst wurden, während Zentrum \(\beta\) nur eine Gesamtlösungsquote von \(39\,\%\) aufweist. Verifiziere diese Gesamtzahlen rechnerisch. c) Nimm Stellung zur Behauptung des Managers. Welches Zentrum erbringt die bessere Leistung in den jeweiligen Fachgebieten? Begründe den Unterschied zwischen den fachspezifischen Quoten und der Gesamtlösungsquote.

Denkanstöße

- Was bedeutet die Schreibweise \(P(L|H)\) im Kontext dieser Daten? - Berechne die Summe aller Anfragen und aller gelösten Fälle für jedes Zentrum einzeln. - Vergleiche die Lösungsraten für Hardware-Anfragen zwischen den Zentren und mache dasselbe für Software-Anfragen. - Überlege, welcher Typ von Anfrage (Hardware oder Software) schwieriger zu lösen scheint und wie oft dieser Typ in jedem Zentrum vorkommt.

Lösung

1. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für Zentrum \(\alpha\): \(P(L|H)_{\alpha} = \frac{40}{200} = 0{,}20\) (\(20\,\%\)). \(P(L|S)_{\alpha} = \frac{720}{800} = 0{,}90\) (\(90\,\%\)). 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für Zentrum \(\beta\): \(P(L|H)_{\beta} = \frac{200}{800} = 0{,}25\) (\(25\,\%\)). \(P(L|S)_{\beta} = \frac{190}{200} = 0{,}95\) (\(95\,\%\)). 3. Verifikation der Gesamtlösungsquoten: Zentrum \(\alpha\): \(\frac{40 + 720}{200 + 800} = \frac{760}{1000} = 0{,}76\) (\(76\,\%\)). Zentrum \(\beta\): \(\frac{200 + 190}{800 + 200} = \frac{390}{1000} = 0{,}39\) (\(39\,\%\)). Die Behauptung ist rechnerisch korrekt. 4. Bewertung: Obwohl Zentrum \(\beta\) eine niedrigere Gesamtlösungsquote hat, arbeitet es in beiden Einzelbereichen (Hardware und Software) effizienter als Zentrum \(\alpha\). Der Grund für die scheinbare Unterlegenheit von \(\beta\) im Gesamtergebnis liegt darin, dass \(\beta\) überwiegend Hardware-Anfragen bearbeitet (\(80\,\%\)), die generell eine deutlich geringere Lösungsrate aufweisen als Software-Anfragen.

Antwort

a) Zentrum \(\alpha\): \(P(L|H) = 20\,\%\), \(P(L|S) = 90\,\%\); Zentrum \(\beta\): \(P(L|H) = 25\,\%\), \(P(L|S) = 95\,\%\). b) Gesamtrate \(\alpha\): \(\frac{760}{1000} = 76\,\%\); Gesamtrate \(\beta\): \(\frac{390}{1000} = 39\,\%\). c) Zentrum \(\beta\) ist in beiden Fachgebieten leistungsstärker. Die niedrigere Gesamtrate liegt an der hohen Anzahl schwieriger Hardware-Anfragen bei Zentrum \(\beta\) (\(800\) vs. \(200\) bei \(\alpha\)).
41476011
Gegeben sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) eines Zufallsexperiments mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P(A|B) = \frac{3}{4}\) und \(P(B|A) = \frac{1}{2}\). Zudem ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(B\) mit \(P(B) = \frac{2}{5}\) bekannt. Beschreibe ein mögliches Urnenmodell für dieses Experiment. Bestimme dazu die kleinstmögliche Gesamtzahl an Kugeln in der Urne sowie die Anzahl der Kugeln, die das Merkmal \(A\), das Merkmal \(B\) oder beide Merkmale besitzen.

Denkanstöße

- Verwende die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, um zuerst die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten beider Ereignisse zu finden. - Wie kannst du aus der Schnittwahrscheinlichkeit und der anderen bedingten Wahrscheinlichkeit auf die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses schließen? - Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Nenner aller beteiligten Wahrscheinlichkeiten, um die Anzahl der Kugeln zu bestimmen.

Lösung

1. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit: \(P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(A\): \(P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B|A)} = \frac{3/10}{1/2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). 3. Bestimmung der Gesamtzahl \(N\): Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(A) = \frac{6}{10}\), \(P(B) = \frac{4}{10}\) und \(P(A \cap B) = \frac{3}{10}\). Der kleinste gemeinsame Nenner ist \(10\). 4. Berechnung der absoluten Häufigkeiten für \(N = 10\): - Anzahl der Kugeln mit Merkmal \(A\): \(|A| = 10 \cdot \frac{6}{10} = 6\). - Anzahl der Kugeln mit Merkmal \(B\): \(|B| = 10 \cdot \frac{4}{10} = 4\). - Anzahl der Kugeln mit beiden Merkmalen: \(|A \cap B| = 10 \cdot \frac{3}{10} = 3\). 5. Ein mögliches Modell ist eine Urne mit 10 Kugeln, von denen 3 beide Merkmale, 3 nur Merkmal \(A\), 1 nur Merkmal \(B\) und 3 keines der Merkmale besitzen.

Antwort

Ein mögliches Urnenmodell besteht aus insgesamt \(10\) Kugeln. Dabei besitzen \(6\) Kugeln das Merkmal \(A\), \(4\) Kugeln das Merkmal \(B\) und genau \(3\) Kugeln besitzen beide Merkmale (\(A \cap B\)).

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