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Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Schwierigkeit: 1 – 5

42207911

In einer Umfrage unter Kinobesuchern werden die Merkmale \(P\): „Die Person kauft Popcorn“ und \(G\): „Die Person kauft ein Getränk“ betrachtet. Eine Person wird zufällig aus allen Befragten ausgewählt. Ordne den folgenden Beschreibungen den jeweils passenden Ausdruck zu: \(P(P \cap G)\), \(P_P(G)\) oder \(P_G(P)\). 1. „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Besucher sowohl Popcorn als auch ein Getränk kauft?“ 2. „Unter den Besuchern, die ein Getränk kaufen, wird der Anteil derer ermittelt, die auch Popcorn wählen.“ 3. „Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Popcorn-Käufer zusätzlich ein Getränk erwirbt.“

Denkanstöße

- Achte darauf, ob sich die Aussage auf die gesamte Gruppe der Befragten bezieht oder nur auf eine Teilgruppe mit einer bestimmten Eigenschaft. - Wörter wie „und“ oder „beides“ deuten oft auf eine Schnittmenge hin. - Wörter wie „unter den...“ oder „wenn bekannt ist, dass...“ weisen auf eine Bedingung hin. - Überlege dir bei bedingten Wahrscheinlichkeiten genau, welche Information bereits gegeben ist (Bedingung) und was gesucht wird.

Lösung

1. Hier wird nach der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit für beide Merkmale gefragt: \(P(P \cap G)\). 2. Die Grundmenge ist auf die Getränkekäufer eingeschränkt, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für Popcorn unter dieser Bedingung: \(P_G(P)\). 3. Die Bedingung ist der Kauf von Popcorn, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für ein Getränk: \(P_P(G)\).

Antwort

1. \(P(P \cap G)\) 2. \(P_G(P)\) 3. \(P_P(G)\)

42208011

An einer Schule engagieren sich viele Jugendliche in Musikgruppen. Es seien die Ereignisse \(I\): „Die Person spielt ein Instrument“ und \(C\): „Die Person singt im Chor“ gegeben. Aus einer statistischen Erhebung sind folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: \(P(I) = 0{,}45\), \(P(C) = 0{,}30\) und \(P(I \cap C) = 0{,}18\). a) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_I(C)\). b) Formuliere die Bedeutung des Ergebnisses aus Teilaufgabe a) in einem Sachzusammenhang. c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied des Chors auch ein Instrument spielt?

Denkanstöße

- Nutze die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\). - Überlege dir für die Interpretation, welche Gruppe die Basis (die Bedingung) bildet und welcher Anteil davon betrachtet wird. - Achte in Teilaufgabe c) darauf, welches Ereignis die Bedingung ist und welches Merkmal zusätzlich untersucht wird.

Lösung

1. Berechnung von \(P_I(C)\) mit der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_I(C) = \frac{P(I \cap C)}{P(I)} = \frac{0{,}18}{0{,}45} = 0{,}4\). 2. Interpretation: Von allen Schülern, die ein Instrument spielen, sind \(40\,\%\) auch im Chor aktiv. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Chormitglied ein Instrument spielt: \(P_C(I) = \frac{P(I \cap C)}{P(C)} = \frac{0{,}18}{0{,}30} = 0{,}6\). Dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit von \(60\,\%\).

Antwort

a) \(P_I(C) = 0{,}4\) b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die ein Instrument spielt, im Chor singt, beträgt \(0{,}4\) (bzw. \(40\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}6\) (bzw. \(60\,\%\)).

41475811

In einer Schule wählen die Schüler der 9. Klasse ihre Fremdsprachen. Das Ereignis \(E\) steht für „lernt Englisch“, das Ereignis \(F\) für „lernt Französisch“. Es ist bekannt: \(P(E) = 0{,}8\); \(P(F|E) = 0{,}25\) und \(P(E|F) = 1\). a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P(E \cap F)\) und \(P(F)\). b) Interpretiere die Angabe \(P(E|F) = 1\) im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Was bedeutet eine bedingte Wahrscheinlichkeit von 1 für die Beziehung zwischen zwei Gruppen? - Wie hängen die Schnittwahrscheinlichkeit, die bedingte Wahrscheinlichkeit und die Einzelwahrscheinlichkeit zusammen? - Kannst du eine Formel finden, in der drei der gegebenen oder gesuchten Größen vorkommen?

Lösung

1. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P(E \cap F) = P(F|E) \cdot P(E) = 0{,}25 \cdot 0{,}8 = 0{,}2\). 2. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit von \(F\) unter Verwendung von \(P(E|F)\): Da \(P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}\), folgt \(1 = \frac{0{,}2}{P(F)}\), also \(P(F) = 0{,}2\). 3. Interpretation im Sachzusammenhang: Da die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(E|F) = 1\) ist, bedeutet dies, dass das Eintreten von \(F\) das Eintreten von \(E\) erzwingt. Folglich lernt jeder Schüler, der Französisch gewählt hat, auch Englisch.

Antwort

a) \(P(E \cap F) = 0{,}2\) und \(P(F) = 0{,}2\). b) Jeder Schüler, der Französisch lernt, lernt auch Englisch.

42208511

Ein fairer sechsseitiger Würfel wird zweimal geworfen. a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme \(10\) beträgt. b) Es ist bekannt, dass die Augensumme eine gerade Zahl ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme \(10\) beträgt. c) Angenommen, bei beiden Würfen wurde eine gerade Zahl erzielt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme \(10\) beträgt.

Denkanstöße

- Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es insgesamt, wenn man zwei Würfel wirft? - Überlege dir, welche Zahlenpaare die gewünschte Summe ergeben. - Bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit verkleinert sich der relevante Ergebnisraum auf die Ergebnisse, die die Bedingung erfüllen. - Untersuche systematisch, welche Kombinationen die Bedingung „Augensumme gerade“ oder „beide Zahlen gerade“ erfüllen.

Lösung

1. Der Ergebnisraum beim Wurf von zwei Würfeln umfasst \(6 \cdot 6 = 36\) gleichwahrscheinliche Ergebnisse. Die Augensumme \(10\) wird durch die Ergebnisse \((4,6)\), \((5,5)\) und \((6,4)\) realisiert. Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\). 2. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit bei gerader Augensumme: Es gibt \(18\) Ergebnisse mit gerader Augensumme (Kombinationen aus gerade/gerade oder ungerade/ungerade). Da die Augensumme \(10\) stets gerade ist, liegen alle \(3\) günstigen Ergebnisse aus Teil a) in der Bedingungsmenge. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\). 3. Für die Bedingung, dass beide Würfe gerade Augenzahlen zeigen, gibt es \(3 \cdot 3 = 9\) Ergebnisse: \(\{(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)\}\). Davon ergeben nur \((4,6)\) und \((6,4)\) die Summe \(10\). Das Ergebnis \((5,5)\) entfällt, da \(5\) ungerade ist. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{2}{9}\).

Antwort

a) \(P = \frac{1}{12}\) b) \(P = \frac{1}{6}\) c) \(P = \frac{2}{9}\)

42209111

In einem Sportverein mit 50 Mitgliedern wird die Vorbereitung auf einen Fitness-Wettbewerb untersucht. 35 Mitglieder nehmen regelmäßig am Training teil. Von den 30 Mitgliedern, die den Fitness-Test am Ende bestehen, haben 28 regelmäßig trainiert. Ein Mitglied des Vereins wird zufällig ausgewählt. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das ausgewählte Mitglied regelmäßig trainiert hat und den Test besteht. b) Das ausgewählte Mitglied hat den Test bestanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es regelmäßig am Training teilgenommen hat? c) Das ausgewählte Mitglied hat nicht regelmäßig trainiert. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es den Test dennoch bestanden hat.

Denkanstöße

- Kannst du die gegebenen Informationen in einer Vierfeldertafel übersichtlich darstellen? - Überlege dir genau, welche Gesamtzahl für die jeweilige Wahrscheinlichkeit relevant ist: Bezieht sie sich auf alle Mitglieder oder nur auf eine bestimmte Teilgruppe? - Was bedeutet die Formulierung „obwohl“ oder „unter der Bedingung, dass“ für die Berechnung? - Hilft es dir, die Ereignisse mit Buchstaben wie \(T\) für Training und \(B\) für Bestanden abzukürzen?

Lösung

1. Definition der Ereignisse: \(T\): „Regelmäßige Teilnahme am Training“, \(B\): „Test bestanden“. Gegeben sind \(n = 50\), \(|T| = 35\), \(|B| = 30\) und \(|T \cap B| = 28\). 2. Berechnung für a): Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten beider Ereignisse ist \(P(T \cap B) = \frac{|T \cap B|}{n} = \frac{28}{50} = 0{,}56\). 3. Berechnung für b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(T|B) = \frac{|T \cap B|}{|B|} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15} \approx 0{,}9333\). 4. Berechnung für c): Zuerst Bestimmung der Anzahl der Mitglieder, die nicht regelmäßig trainiert haben: \(|\bar{T}| = 50 - 35 = 15\). Die Anzahl derer, die ohne regelmäßiges Training bestanden haben, ist \(|B \cap \bar{T}| = |B| - |B \cap T| = 30 - 28 = 2\). Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist \(P(B|\bar{T}) = \frac{|B \cap \bar{T}|}{|\bar{T}|} = \frac{2}{15} \approx 0{,}1333\).

Antwort

a) \(P(T \cap B) = 0{,}56\) b) \(P(T|B) = \frac{14}{15} \approx 0{,}9333\) c) \(P(B|\bar{T}) = \frac{2}{15} \approx 0{,}1333\)

42209211

In einer Manufaktur werden 100 hochwertige Bauteile einer Qualitätsprüfung unterzogen. Bekannt ist, dass 8 dieser Bauteile defekt sind. Ein automatischer Schnelltest schlägt bei 7 der defekten Bauteile Alarm. Allerdings gibt der Test auch bei 5 der einwandfreien Bauteile eine Fehlermeldung aus. Ein Bauteil wird zufällig zur Prüfung ausgewählt. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt der Schnelltest bei dem ausgewählten Bauteil Alarm? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil tatsächlich defekt ist, wenn der Test Alarm gibt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil tatsächlich defekt ist, wenn bekannt ist, dass der Test keinen Alarm gegeben hat?

Denkanstöße

- Welche Kombinationen aus „defekt/einwandfrei“ und „Alarm/kein Alarm“ gibt es? - Wie viele Bauteile lösen insgesamt einen Alarm aus? - Achte bei der bedingten Wahrscheinlichkeit darauf, welche Information bereits bekannt ist – das ist deine neue Grundmenge. - Könnte ein Baumdiagramm helfen, die Pfade für „defekt“ und „nicht defekt“ sowie die darauf folgenden Testreaktionen zu visualisieren?

Lösung

1. Definition der Ereignisse: \(D\): „Bauteil ist defekt“, \(A\): „Test gibt Alarm“. Gegeben sind \(n = 100\), \(|D| = 8\), \(|A \cap D| = 7\) und \(|A \cap \bar{D}| = 5\). 2. Berechnung für a): Die Gesamtzahl der Alarme setzt sich aus den Alarmen bei defekten und einwandfreien Bauteilen zusammen: \(|A| = |A \cap D| + |A \cap \bar{D}| = 7 + 5 = 12\). Somit ist \(P(A) = \frac{12}{100} = 0{,}12\). 3. Berechnung für b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(D|A) = \frac{|D \cap A|}{|A|} = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\). 4. Berechnung für c): Die Anzahl der Fälle ohne Alarm ist \(|\bar{A}| = 100 - 12 = 88\). Die Anzahl der defekten Bauteile, bei denen kein Alarm ausgelöst wurde, ist \(|D \cap \bar{A}| = |D| - |D \cap A| = 8 - 7 = 1\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(P(D|\bar{A}) = \frac{|D \cap \bar{A}|}{|\bar{A}|} = \frac{1}{88} \approx 0{,}0114\).

Antwort

a) \(P(A) = 0{,}12\) b) \(P(D|A) = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\) c) \(P(D|\bar{A}) = \frac{1}{88} \approx 0{,}0114\)

42211511

Ein Pharmaunternehmen entwickelt einen neuen Schnelltest für eine bestimmte Allergie. In einer klinischen Studie werden die Ergebnisse des Schnelltests mit einer gesicherten Labordiagnose verglichen. Dabei bezeichne \(A\) das Ereignis „Allergie vorhanden“ und \(T\) das Ereignis „Schnelltest zeigt Allergie an“ (positives Testergebnis). a) Beschreibe die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten im Sachkontext: (1) \(P_A(T)\) (2) \(P_A(\bar{T})\) (3) \(P_{\bar{A}}(\bar{T})\) (4) \(P_T(A)\) (5) \(P_T(\bar{A})\) (6) \(P_{\bar{T}}(\bar{A})\) b) Ein Patient hat gerade sein Testergebnis erhalten. Erläutere, welche der Wahrscheinlichkeiten aus Teil a) für ihn besonders groß sein sollten, damit er dem Ergebnis vertrauen kann – unterscheide dabei zwischen einem positiven und einem negativen Testergebnis.

Denkanstöße

- Überlege dir bei \(P_X(Y)\) immer zuerst: Was ist die Voraussetzung (was wissen wir schon) und was ist das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir suchen? - Wer ist die Zielperson der Untersuchung und was ist ihr größtes Interesse (Sicherheit der Diagnose vs. Fehlervermeidung)? - Was bedeutet das Symbol mit dem Querstrich über dem Buchstaben in der Wahrscheinlichkeitsrechnung? - Stell dir vor, du bist selbst der Patient: Welches Wissen hättest du nach dem Test gern über deinen tatsächlichen Gesundheitszustand?

Lösung

1. Beschreibung der Wahrscheinlichkeiten: (1) Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, wenn die Allergie tatsächlich vorliegt (Sensitivität). (2) Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl eine Allergie vorliegt (Falsch-negativ-Rate). (3) Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, wenn keine Allergie vorliegt (Spezifität). (4) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem positiven Testergebnis tatsächlich eine Allergie vorliegt (positiver Prädiktionswert). (5) Wahrscheinlichkeit, dass der Test fälschlicherweise eine Allergie anzeigt, obwohl keine vorliegt (Irrtumswahrscheinlichkeit bei positivem Befund). (6) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem negativen Testergebnis tatsächlich keine Allergie vorliegt (negativer Prädiktionswert). 2. Bewertung aus Patientensicht: Hat der Patient ein positives Ergebnis (\(T\)), ist für sein Vertrauen in die Diagnose \(P_T(A)\) entscheidend; diese sollte möglichst groß sein. Hat der Patient ein negatives Ergebnis (\(\bar{T}\)), möchte er sicher sein, gesund zu sein; daher sollte \(P_{\bar{T}}(\bar{A})\) möglichst groß sein.

Antwort

a) (1) Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test bei vorliegender Allergie. (2) Wahrscheinlichkeit für einen negativen Test trotz Allergie. (3) Wahrscheinlichkeit für einen negativen Test, wenn keine Allergie vorliegt. (4) Wahrscheinlichkeit, dass man bei positivem Test wirklich allergisch ist. (5) Wahrscheinlichkeit, dass man trotz positivem Test nicht allergisch ist. (6) Wahrscheinlichkeit, dass man bei negativem Test wirklich nicht allergisch ist. b) Bei einem positiven Test sollte \(P_T(A)\) möglichst groß sein, damit die Diagnose zuverlässig ist. Bei einem negativen Test sollte \(P_{\bar{T}}(\bar{A})\) möglichst groß sein, damit eine Allergie sicher ausgeschlossen werden kann.

42211611

In der Endkontrolle einer Glasfabrik werden Flaschen automatisch auf Risse untersucht. Das Ereignis \(R\) beschreibt, dass eine Flasche einen Riss hat, und das Ereignis \(S\) beschreibt, dass der Sensor einen Defekt meldet. a) Gib für die folgenden Beschreibungen die zugehörige bedingte Wahrscheinlichkeit in der Notation \(P_X(Y)\) an: (1) Eine defekte Flasche wird vom Sensor fälschlicherweise nicht als solche erkannt. (2) Eine einwandfreie Flasche wird vom Sensor fälschlicherweise als defekt gemeldet. (3) Eine Flasche, bei der der Sensor einen Defekt meldet, ist tatsächlich beschädigt. (4) Eine Flasche, die der Sensor als „einwandfrei“ eingestuft hat, ist in Wahrheit fehlerfrei. (5) Eine tatsächlich beschädigte Flasche wird vom Sensor korrekt erkannt. (6) Eine Flasche, bei der der Sensor Alarm schlägt, ist eigentlich ohne Riss. b) Der Fabrikleiter möchte zwei Ziele erreichen: Erstens sollen keine defekten Flaschen an Kunden ausgeliefert werden. Zweitens soll der Ausschuss von eigentlich guten Flaschen minimiert werden. Erläutere, welche Wahrscheinlichkeiten aus Teil a) für das jeweilige Ziel möglichst groß bzw. klein sein sollten.

Denkanstöße

- Achte genau darauf, welche Bedingung im Text zuerst genannt wird – das ist die Gruppe, auf die wir uns beziehen (der Index an der Wahrscheinlichkeit \(P\)). - Überlege, was „Ausschuss“ in diesem Kontext bedeutet: Welche Kombination aus tatsächlichem Zustand und Sensormeldung führt dazu, dass eine gute Flasche weggeworfen wird? - Wie gelangen Flaschen zum Kunden? Nur wenn der Sensor „kein Defekt“ meldet. Was darf in diesem Fall nicht vorliegen?

Lösung

1. Zuordnung der Notationen: (1) \(P_R(\bar{S})\), (2) \(P_{\bar{R}}(S)\), (3) \(P_S(R)\), (4) \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\), (5) \(P_R(S)\), (6) \(P_S(\bar{R})\). 2. Analyse Ziel 1 (keine defekten Flaschen beim Kunden): Kunden erhalten Flaschen, die als einwandfrei eingestuft wurden (\(\bar{S}\)). Damit diese nicht defekt sind, muss \(P_{\bar{S}}(R)\) minimal (nahe \(0\)) oder die Sicherheit \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\) maximal (nahe \(1\)) sein. Alternativ muss die Erkennungsrate \(P_R(S)\) möglichst groß sein. 3. Analyse Ziel 2 (Ausschuss minimieren): Ausschuss entsteht, wenn gute Flaschen (\(\bar{R}\)) als defekt gemeldet werden (\(S\)). Daher muss \(P_{\bar{R}}(S)\) möglichst klein sein.

Antwort

a) (1) \(P_R(\bar{S})\); (2) \(P_{\bar{R}}(S)\); (3) \(P_S(R)\); (4) \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\); (5) \(P_R(S)\); (6) \(P_S(\bar{R})\). b) Damit möglichst keine defekten Flaschen ausgeliefert werden, sollte vor allem \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\) (4) möglichst groß sein. Entsprechend sollten \(P_R(\bar{S})\) (1) möglichst klein und \(P_R(S)\) (5) möglichst groß sein. Um den unnötigen Ausschuss zu minimieren, sollte die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm \(P_{\bar{R}}(S)\) (2) möglichst klein sein.

42213311

Ein Unternehmen führt für seine \(20\,000\) Mitarbeitenden einen Schnelltest auf eine seltene allergische Reaktion (\(A\)) durch. Es ist bekannt, dass etwa \(1\,\%\) der Belegschaft diese Reaktion zeigt. Der Test identifiziert Personen mit der Reaktion in \(98\,\%\) der Fälle korrekt mit einem positiven Ergebnis (\(pos\)). Bei Personen ohne diese Reaktion gibt der Test jedoch in \(3\,\%\) der Fälle fälschlicherweise ebenfalls ein positives Ergebnis aus. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Mitarbeitender ein positives Testergebnis erhält. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P(A|pos)\) und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang. c) Untersuche die Ereignisse \(A\) und \(pos\) auf stochastische Unabhängigkeit. d) Erläutere, warum der Anteil der Personen, die positiv getestet wurden, aber keine Reaktion \(A\) haben, an allen positiven Testergebnissen in diesem Fall so hoch ist.

Denkanstöße

- Stelle die Situation in einem Baumdiagramm dar, um die Pfade zu visualisieren. - Überlege, welche Pfade zu einem positiven Testergebnis führen. - Was bedeutet es für die Abhängigkeit, wenn das Eintreten eines Tests die Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen der Allergie verändert? - Vergleiche die absoluten Anteile der „richtig positiven“ und „falsch positiven“ Pfade im Baumdiagramm.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis mittels des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit: \(P(pos) = P(A) \cdot P(pos|A) + P(\bar{A}) \cdot P(pos|\bar{A}) = 0{,}01 \cdot 0{,}98 + 0{,}99 \cdot 0{,}03 = 0{,}0098 + 0{,}0297 = 0{,}0395\). 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(A|pos)\) mit der Bayes-Formel: \(P(A|pos) = \frac{P(A \cap pos)}{P(pos)} = \frac{0{,}0098}{0{,}0395} \approx 0{,}2481\). Interpretation: Von allen Personen mit positivem Testergebnis weisen tatsächlich nur etwa \(24{,}8\,\%\) die allergische Reaktion auf. 3. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(P(A) \cdot P(pos) = 0{,}01 \cdot 0{,}0395 = 0{,}000395\). Da \(P(A \cap pos) = 0{,}0098 \neq 0{,}000395\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 4. Erläuterung: Da die Reaktion in der Bevölkerung sehr selten ist (\(1\,\%\)), ist die Gruppe der Personen ohne Reaktion (\(99\,\%\)) sehr groß. Selbst eine kleine Fehlerquote von \(3\,\%\) führt in dieser großen Gruppe zu einer absolut höheren Anzahl an (falsch-)positiven Ergebnissen (\(0{,}0297\)) als die korrekten positiven Ergebnisse in der kleinen Gruppe der Allergiker (\(0{,}0098\)).

Antwort

a) \(P(pos) = 0{,}0395\) (oder \(3{,}95\,\%\)). b) \(P(A|pos) \approx 0{,}2481\); nur etwa jede vierte positiv getestete Person hat die Reaktion tatsächlich. c) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(A \cap pos) \neq P(A) \cdot P(pos)\). d) Die geringe Basisrate der Allergie (\(1\,\%\)) führt dazu, dass die \(3\,\%\) Fehlerrate bei den \(99\,\%\) Nicht-Allergikern schwerer ins Gewicht fällt als die hohe Trefferquote bei den wenigen Allergikern.

43083911

In der Demografie werden Sterbetafeln genutzt, um die Überlebenswahrscheinlichkeiten verschiedener Bevölkerungsgruppen zu vergleichen. Die folgende Tabelle zeigt für zwei verschiedene Jahre, wie viele von ursprünglich \(100\,000\) lebend geborenen Männern ein bestimmtes Alter erreichen (vereinfachte Daten): <table> <tr> <th>Alter (in Jahren)</th> <th>Jahr 1960</th> <th>Jahr 2020</th> </tr> <tr> <td>0</td> <td>\(100\,000\)</td> <td>\(100\,000\)</td> </tr> <tr> <td>40</td> <td>\(92\,400\)</td> <td>\(98\,800\)</td> </tr> <tr> <td>70</td> <td>\(52\,100\)</td> <td>\(84\,500\)</td> </tr> <tr> <td>85</td> <td>\(12\,300\)</td> <td>\(42\,600\)</td> </tr> </table> a) Berechne für beide Jahre die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mann, der bereits \(40\) Jahre alt ist, \(70\) Jahre alt wird. b) Bestimme für beide Jahre die Wahrscheinlichkeit, dass ein \(40\)-Jähriger mindestens \(85\) Jahre alt wird. c) Erläutere kurz, warum es sich bei den berechneten Werten um empirische Wahrscheinlichkeiten handelt und nicht um Laplace-Wahrscheinlichkeiten.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie man den Anteil der Personen berechnet, die von einer bestimmten Altersgruppe ausgehend eine höhere Altersgruppe erreichen. - Was bedeutet es für die Berechnung, wenn wir bereits wissen, dass eine Person ein bestimmtes Alter erreicht hat? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen theoretisch hergeleiteten Modellen (wie beim Würfeln) und Modellen, die auf Beobachtungen beruhen. - Welche Informationen liefert uns die Tabelle über die Grundgesamtheit?

Lösung

1. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für Teilaufgabe a) mit der Formel \(P(70|40) = \frac{\text{Überlebende mit 70}}{\text{Überlebende mit 40}}\): - Für 1960: \(P_{1960}(70|40) = \frac{52100}{92400} \approx 0{,}5639\) - Für 2020: \(P_{2020}(70|40) = \frac{84500}{98800} \approx 0{,}8553\) 2. Berechnung für Teilaufgabe b) mit der Formel \(P(85|40) = \frac{\text{Überlebende mit 85}}{\text{Überlebende mit 40}}\): - Für 1960: \(P_{1960}(85|40) = \frac{12300}{92400} \approx 0{,}1331\) - Für 2020: \(P_{2020}(85|40) = \frac{42600}{98800} \approx 0{,}4312\) 3. Begründung für Teilaufgabe c): Es handelt sich um empirische Wahrscheinlichkeiten, da sie auf der Auswertung statistischer Daten (relativen Häufigkeiten) basieren. Eine Laplace-Wahrscheinlichkeit würde voraussetzen, dass alle Elementarereignisse (hier: Sterbealter) gleich wahrscheinlich sind, was biologisch und statistisch nicht der Fall ist.

Antwort

a) \(1960 \approx 0{,}5639\) (\(56{,}39\,\%\)); \(2020 \approx 0{,}8553\) (\(85{,}53\,\%\)) b) \(1960 \approx 0{,}1331\) (\(13{,}31\,\%\)); \(2020 \approx 0{,}4312\) (\(43{,}12\,\%\)) c) Es sind empirische Wahrscheinlichkeiten, da sie auf beobachteten relativen Häufigkeiten basieren und nicht auf der Annahme gleichwahrscheinlicher Elementarereignisse (Laplace).

43084011

Ein Elektronikhersteller führt eine Langzeitstudie zur Zuverlässigkeit eines neuen Smartphone-Modells durch. Von \(50\,000\) getesteten Geräten wird dokumentiert, wie viele nach einer bestimmten Anzahl von Monaten noch voll funktionsfähig sind: <table> <tr> <th>Betriebsdauer (Monate)</th> <th>Funktionsfähige Geräte</th> </tr> <tr> <td>0</td> <td>\(50\,000\)</td> </tr> <tr> <td>12</td> <td>\(48\,500\)</td> </tr> <tr> <td>24</td> <td>\(42\,000\)</td> </tr> <tr> <td>36</td> <td>\(25\,000\)</td> </tr> <tr> <td>48</td> <td>\(8000\)</td> </tr> </table> a) Schätze die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät, das nach \(12\) Monaten noch funktioniert, auch nach \(36\) Monaten noch einsatzbereit ist. b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät, das das zweite Jahr (\(24\) Monate) überstanden hat, im Laufe des dritten Jahres (also zwischen Monat \(24\) und \(36\)) ausfällt? c) Warum lässt sich die Ausfallwahrscheinlichkeit in diesem Fall nicht mit einem Laplace-Experiment modellieren?

Denkanstöße

- Konzentriere dich bei bedingten Wahrscheinlichkeiten nur auf die Gruppe von Geräten, die die Bedingung (z. B. „funktioniert noch nach 12 Monaten“) erfüllt. - Wie berechnet man die Anzahl der Geräte, die in einem bestimmten Zeitraum kaputtgegangen sind? - Überlege, was die Voraussetzung für ein Laplace-Experiment ist und ob diese hier bei der Lebensdauer von Technik erfüllt sein kann.

Lösung

1. Zu a): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(\text{funktioniert bei 36} | \text{funktioniert bei 12})\). Berechnung: \(\frac{25000}{48500} \approx 0{,}5155\). 2. Zu b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall im Intervall \([24; 36]\), gegeben das Gerät funktioniert bei \(24\). Anzahl der Ausfälle zwischen 24 und 36 Monaten: \(42\,000 - 25\,000 = 17\,000\). Berechnung: \(P(\text{Ausfall } 24 \to 36 | \text{funktioniert bei 24}) = \frac{17000}{42000} \approx 0{,}4048\). 3. Zu c): Ein Laplace-Modell setzt voraus, dass alle möglichen Ergebnisse (z. B. „Ausfall in Monat 1, 2, 3, …“) gleich wahrscheinlich sind. Die Daten zeigen jedoch, dass die Ausfallhäufigkeit mit der Zeit stark variiert (Verschleiß), weshalb die Elementarereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind.

Antwort

a) \(\approx 0{,}5155\) (\(51{,}55\,\%\)) b) \(\approx 0{,}4048\) (\(40{,}48\,\%\)) c) Da die Ausfallwahrscheinlichkeit zeitabhängig ist (Verschleiß), sind die Ergebnisse „Ausfall zum Zeitpunkt \(t\)“ nicht gleichwahrscheinlich, was die Bedingung für ein Laplace-Modell verletzt.

43093911

In einer Marktstudie zur Verbreitung eines neuen Smartphone-Modells der Marke „TechX“ unter jungen Erwachsenen wurden zwei verschiedene Kurzmeldungen veröffentlicht. Meldung A: „Das Smartphone TechX erreicht einen Marktanteil von \(35\,\%\). Besonders beliebt ist es bei der jüngeren Generation (unter 30 Jahre): \(70\,\%\) aller TechX-Nutzer gehören dieser Altersgruppe an. Bei den Nutzern anderer Marken liegt der Anteil der unter 30-Jährigen hingegen nur bei \(40\,\%\).“ Meldung B: „Würden bei einer Umfrage zur Beliebtheit nur die 30-Jährigen und Älteren befragt, käme das TechX-Modell lediglich auf einen Anteil von etwa \(21{,}2\,\%\). In der Gruppe der unter 30-Jährigen, die \(50{,}5\,\%\) der Befragten ausmachen, erreicht TechX dagegen einen Wert von \(48{,}5\,\%\).“ Untersuche rechnerisch, ob die Angaben in Meldung B mit den Daten aus Meldung A konsistent sind.

Denkanstöße

- Welche Wahrscheinlichkeiten sind in Meldung A direkt gegeben und welche sind bedingt? - Wie kannst du aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten in Meldung A die totale Wahrscheinlichkeit für die Altersgruppe berechnen? - Welche Formel hilft dir dabei, die Bedingung umzukehren, um die Aussagen in Meldung B zu prüfen? - Es ist hilfreich, ein Baumdiagramm zu skizzieren und die Pfadregeln anzuwenden.

Lösung

1. Definition der Ereignisse: \(T\): Nutzer verwendet TechX, \(J\): Nutzer ist unter 30 Jahre alt; \(\bar{J}\) bedeutet entsprechend „30 Jahre oder älter“. 2. Gegebene Werte aus Meldung A: \(P(T) = 0{,}35\), \(P(J|T) = 0{,}70\), \(P(J|\bar{T}) = 0{,}40\). 3. Berechnung des Anteils der unter 30-Jährigen (\(P(J)\)) mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: \(P(J) = P(J|T) \cdot P(T) + P(J|\bar{T}) \cdot P(\bar{T}) = 0{,}70 \cdot 0{,}35 + 0{,}40 \cdot 0{,}65 = 0{,}245 + 0{,}26 = 0{,}505\). Dies entspricht den \(50{,}5\,\%\) aus Meldung B. 4. Berechnung des Marktanteils unter Jüngeren (\(P(T|J)\)) mit der Bayes-Formel: \(P(T|J) = \frac{P(J|T) \cdot P(T)}{P(J)} = \frac{0{,}245}{0{,}505} \approx 0{,}4851\). Dies entspricht den \(48{,}5\,\%\) aus Meldung B. 5. Berechnung des Marktanteils bei den 30-Jährigen und Älteren (\(P(T|\bar{J})\)): \(P(T|\bar{J}) = \frac{P(\bar{J}|T) \cdot P(T)}{P(\bar{J})} = \frac{(1 - 0{,}70) \cdot 0{,}35}{1 - 0{,}505} = \frac{0{,}105}{0{,}495} \approx 0{,}2121\). Dies entspricht den \(21{,}2\,\%\) aus Meldung B. 6. Ergebnis: Da alle berechneten Werte mit den Angaben in Meldung B übereinstimmen, sind die Meldungen konsistent.

Antwort

Ja, die Meldungen sind konsistent. Aus den Daten von Meldung A (\(P(T)=0{,}35\); \(P(J|T)=0{,}70\); \(P(J|\bar{T})=0{,}40\)) lassen sich die Werte für Meldung B bis auf die angegebene Rundung herleiten: Der Anteil der unter 30-Jährigen beträgt \(P(J) = 50{,}5\,\%\), der Anteil von TechX unter den Jüngeren liegt bei \(P(T|J) \approx 48{,}5\,\%\) und bei den 30-Jährigen und Älteren bei \(P(T|\bar{J}) \approx 21{,}2\,\%\).

43094011

Für ein zufällig ausgewähltes zugelassenes Fahrzeug in einer Region liefert eine Statistik zur Mobilitätswende folgende Daten: Der Anteil an Elektroautos (\(E\)) am gesamten Fahrzeugbestand beträgt \(15\,\%\). Bei \(80\,\%\) der Elektroautos wohnt der Fahrzeughalter in einer Großstadt (\(G\)). Bei den Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor wohnt der Halter lediglich in \(55\,\%\) der Fälle in einer Großstadt. Ein Mobilitätsforscher behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug eines Großstadthalters ein Elektroauto ist, ist mehr als doppelt so hoch wie bei einem zufällig ausgewählten Fahrzeug eines Halters von außerhalb der Großstadt.“ Prüfe diese Behauptung durch Berechnung der entsprechenden bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Denkanstöße

- Notiere dir zuerst alle gegebenen Anteile als Wahrscheinlichkeiten. Achte darauf, was die Bedingung ist. - Um die Wahrscheinlichkeit für ein E-Auto unter der Bedingung „Halter wohnt in der Großstadt“ zu finden, benötigst du zuerst den Gesamtanteil der Fahrzeuge mit einem Großstadthalter. - Nutze ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel, um die Schnittwahrscheinlichkeiten zu bestimmen. - Vergleiche am Ende die beiden gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeiten durch Division.

Lösung

1. Gegebene Wahrscheinlichkeiten: \(P(E) = 0{,}15\), \(P(G|E) = 0{,}80\), \(P(G|\bar{E}) = 0{,}55\). 2. Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit für den Wohnort Großstadt: \(P(G) = P(G|E) \cdot P(E) + P(G|\bar{E}) \cdot P(\bar{E}) = 0{,}80 \cdot 0{,}15 + 0{,}55 \cdot 0{,}85 = 0{,}12 + 0{,}4675 = 0{,}5875\). 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(E|G)\): \(P(E|G) = \frac{P(G \cap E)}{P(G)} = \frac{0{,}12}{0{,}5875} \approx 0{,}2043\) (ca. \(20{,}4\,\%\)). 4. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(E|\bar{G})\): \(P(E|\bar{G}) = \frac{P(\bar{G} \cap E)}{P(\bar{G})} = \frac{P(\bar{G}|E) \cdot P(E)}{1 - P(G)} = \frac{0{,}20 \cdot 0{,}15}{0{,}4125} = \frac{0{,}03}{0{,}4125} \approx 0{,}0727\) (ca. \(7{,}3\,\%\)). 5. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: \(\frac{P(E|G)}{P(E|\bar{G})} = \frac{0{,}2043}{0{,}0727} \approx 2{,}81\). 6. Da \(2{,}81 > 2\), ist die Behauptung des Forschers korrekt.

Antwort

Die Behauptung ist wahr. Bei einem zufällig ausgewählten Fahrzeug eines Großstadthalters beträgt die Wahrscheinlichkeit für ein Elektroauto \(P(E|G) \approx 20{,}4\,\%\). Bei einem Fahrzeug eines Halters von außerhalb der Großstadt beträgt sie \(P(E|\bar{G}) \approx 7{,}3\,\%\). Da \(20{,}4\,\%\) mehr als das Doppelte von \(7{,}3\,\%\) ist (Faktor ca. \(2{,}8\)), ist die Aussage korrekt.

43095111

In einer Sterbetafel sind statistische Daten über die Überlebenswahrscheinlichkeiten einer Bevölkerung zusammengefasst. Betrachte den folgenden Auszug: <table> <tr> <th>Alter \(x\)</th> <th>Anzahl der Personen \(l_x\), die das Alter \(x\) erreichen</th> </tr> <tr> <td>\(25\)</td> <td>\(98\,412\)</td> </tr> <tr> <td>\(45\)</td> <td>\(95\,120\)</td> </tr> <tr> <td>\(65\)</td> <td>\(80\,455\)</td> </tr> </table> Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: 1. Eine heute \(25\)-jährige Person erlebt ihren \(65\). Geburtstag. 2. Zwei heute \(45\)-jährige Personen erleben beide ihren \(65\). Geburtstag. Gehe davon aus, dass die Ereignisse unabhängig voneinander sind. 3. Eine heute \(25\)-jährige Person verstirbt nach ihrem \(45\). Geburtstag, aber noch vor ihrem \(65\). Geburtstag.

Denkanstöße

- Wie lässt sich eine Wahrscheinlichkeit aus einer Häufigkeitstabelle schätzen? - Welche Personen bilden die Grundgesamtheit für die jeweilige Fragestellung? - Denk an die Pfadregeln, wenn zwei unabhängige Ereignisse gleichzeitig eintreten sollen. - Was bedeutet es für die Anzahl der Personen, wenn jemand in einem bestimmten Zeitraum verstirbt?

Lösung

1. Die Wahrscheinlichkeit wird als relativer Anteil der Überlebenden berechnet: \(P = \frac{l_{65}}{l_{25}} = \frac{80455}{98412} \approx 0{,}8175\). 2. Zunächst wird die Wahrscheinlichkeit für eine Person berechnet, von \(45\) auf \(65\) Jahre zu kommen: \(p = \frac{l_{65}}{l_{45}} = \frac{80455}{95120} \approx 0{,}8458\). Da beide Personen unabhängig voneinander überleben sollen, gilt \(P = p^2 = \left(\frac{80455}{95120}\right)^2 \approx 0{,}7154\). 3. Das Ereignis tritt ein, wenn die Person das Alter \(45\) erreicht, aber das Alter \(65\) nicht mehr erreicht. Die Anzahl dieser Personen ist \(l_{45} - l_{65} = 95\,120 - 80\,455 = 14\,665\). Bezogen auf die \(25\)-Jährigen ergibt sich \(P = \frac{l_{45} - l_{65}}{l_{25}} = \frac{14665}{98412} \approx 0{,}1490\).

Antwort

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(81{,}75\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(71{,}54\,\%\). 3. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(14{,}90\,\%\).

43095811

In einem Unternehmen arbeiten \(35\,\%\) der Beschäftigten im Außendienst, die restlichen Angestellten arbeiten im Innendienst. Von den Personen im Außendienst nutzen \(80\,\%\) einen Firmenwagen für den Arbeitsweg. Im Innendienst nutzen lediglich \(10\,\%\) der Beschäftigten einen Firmenwagen. 1. Ein Mitarbeiter, der keinen Firmenwagen nutzt, wird zufällig für eine Befragung ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Mitarbeiter im Außendienst tätig ist. 2. Ein Mitarbeiter aus dem Außendienst wird zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit nutzt er keinen Firmenwagen?

Denkanstöße

- Welche Wahrscheinlichkeiten sind direkt im Text gegeben? Notiere sie in der Form \(P(A|B)\). - Was ist der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit „Außendienst und kein Wagen“ und der Wahrscheinlichkeit „Außendienst, wenn bekannt ist, dass kein Wagen genutzt wird“? - Kannst du eine Vierfeldertafel oder ein Baumdiagramm erstellen, um die absoluten Anteile an der Gesamtbelegschaft zu berechnen? - Für die zweite Frage musst du lediglich das Komplement einer im Text genannten Eigenschaft innerhalb einer bestimmten Gruppe finden.

Lösung

1. Festlegung der Ereignisse: \(A\) (Außendienst), \(I\) (Innendienst), \(W\) (Firmenwagen). Gegeben sind \(P(A) = 0{,}35\), \(P(I) = 0{,}65\), \(P(W|A) = 0{,}80\) und \(P(W|I) = 0{,}10\). 2. Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für die Nicht-Nutzung: \(P(\bar{W}|A) = 1 - 0{,}80 = 0{,}20\) und \(P(\bar{W}|I) = 1 - 0{,}10 = 0{,}90\). 3. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für die Nicht-Nutzung eines Firmenwagens: \(P(\bar{W}) = P(\bar{W}|A) \cdot P(A) + P(\bar{W}|I) \cdot P(I) = 0{,}20 \cdot 0{,}35 + 0{,}90 \cdot 0{,}65 = 0{,}07 + 0{,}585 = 0{,}655\). 4. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit für die erste Teilfrage (Bayes): \(P(A|\bar{W}) = \frac{P(\bar{W} \cap A)}{P(\bar{W})} = \frac{0{,}07}{0{,}655} \approx 0{,}1069\). 5. Die Wahrscheinlichkeit für die zweite Teilfrage ist die bereits ermittelte bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{W}|A) = 0{,}20\).

Antwort

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(10{,}69\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(20\,\%\).

43746711

In einer Pralinenmanufaktur werden die Produkte entweder von Hand (\(H\)) oder maschinell (\(\bar{H}\)) verpackt. Ein Teil der Packungen weist Mängel (\(A\)) auf. Die Anteile sind im Baumdiagramm dargestellt. a) Berechne die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig gewählte Packung einen Mangel hat. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung von Hand verpackt wurde und fehlerfrei (\(\bar{A}\)) ist. c) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(H|A)\). Erläutere kurz, was dieser Wert im Sachkontext aussagt. d) Überprüfe rechnerisch, ob die Wahl der Verpackungsart und das Auftreten von Mängeln stochastisch unabhängig sind.

Abbildung zur Aufgabe 437467

Denkanstöße

- Für die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf der zweiten Stufe musst du alle Pfade addieren, die zu diesem Ereignis führen. - Eine bedingte Wahrscheinlichkeit „umgekehrt“ zur Baumrichtung berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Pfades durch die Gesamtwahrscheinlichkeit der Bedingung teilst. - Überlege dir bei der Unabhängigkeit, ob die Information über die Verpackungsart die Erwartung für einen Mangel verändert.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit \(P(A)\) mit der 2. Pfadregel: \(P(A) = P(H) \cdot P(A|H) + P(\bar{H}) \cdot P(A|\bar{H}) = 0{,}2 \cdot 0{,}05 + 0{,}8 \cdot 0{,}1 = 0{,}01 + 0{,}08 = 0{,}09\). 2. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit \(P(H \cap \bar{A})\): \(P(H \cap \bar{A}) = P(H) \cdot P(\bar{A}|H) = 0{,}2 \cdot 0{,}95 = 0{,}19\). 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(H|A)\) nach der Definition: \(P(H|A) = \frac{P(H \cap A)}{P(A)} = \frac{0{,}01}{0{,}09} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111\). Dies bedeutet, dass etwa \(11{,}1\,\%\) der mangelhaften Packungen aus der Handverpackung stammen. 4. Prüfung auf stochastische Unabhängigkeit: Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn \(P(A|H) = P(A)\). Hier gilt \(P(A|H) = 0{,}05\) und \(P(A) = 0{,}09\). Da \(0{,}05 \neq 0{,}09\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig.

Antwort

a) \(P(A) = 0{,}09\) b) \(P(H \cap \bar{A}) = 0{,}19\) c) \(P(H|A) = \frac{1}{9} \approx 0{,}111\). Der Wert gibt den Anteil der von Hand verpackten Packungen unter allen fehlerhaften Packungen an. d) Sie sind abhängig, da \(P(A|H) = 0{,}05\) ungleich \(P(A) = 0{,}09\) ist.

43749211

Ein Unternehmen stellt elektronische Chips an zwei verschiedenen Standorten her. Standort 1 (\(S_1\)) produziert \(60\,\%\) der Gesamtmenge, Standort 2 (\(S_2\)) den Rest. Die Qualitätskontrolle hat ergeben, dass an Standort 1 etwa \(4\,\%\) der Chips defekt (\(D\)) sind, während an Standort 2 die Defektrate bei \(7\,\%\) liegt. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Chip aus der Gesamtproduktion defekt ist. b) Ein Chip wird geprüft und als defekt erkannt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde dieser Chip an Standort 1 produziert?

Abbildung zur Aufgabe 437492

Denkanstöße

- Zeichne dir im Kopf die Pfade nach, die zu einem defekten Chip führen. - Für den ersten Teil musst du die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade addieren, die beim Ereignis „defekt“ enden. - Für den zweiten Teil betrachtest du nur noch die defekten Chips als deine neue Grundmenge. Welcher Anteil davon stammt vom ersten Standort?

Lösung

1. Identifikation der Wahrscheinlichkeiten: \(P(S_1) = 0{,}6\), \(P(S_2) = 0{,}4\). 2. Bedingte Defektwahrscheinlichkeiten: \(P(D|S_1) = 0{,}04\), \(P(D|S_2) = 0{,}07\). 3. Teilaufgabe a): Anwendung der Pfadadditionsregel für \(P(D)\): \(P(D) = P(S_1) \cdot P(D|S_1) + P(S_2) \cdot P(D|S_2) = 0{,}6 \cdot 0{,}04 + 0{,}4 \cdot 0{,}07 = 0{,}024 + 0{,}028 = 0{,}052\). Die Wahrscheinlichkeit für einen defekten Chip beträgt \(5{,}2\,\%\). 4. Teilaufgabe b): Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(S_1|D)\): \(P(S_1|D) = \frac{P(S_1 \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}024}{0{,}052} = \frac{24}{52} = \frac{6}{13} \approx 0{,}4615\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(46{,}2\,\%\).

Antwort

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(5{,}2\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(46{,}2\,\%\) (exakt \(\frac{6}{13}\)).

43756211

Im Baum gilt \(P(B)=0{,}3\), \(P(A\mid B)=0{,}8\) und \(P(A\mid\overline{B})=0{,}2\). Deute \(P(A\mid B)=0{,}8\) in Worten und bestimme \(P(B\mid A)\).

Abbildung zur Aufgabe 437562

Denkanstöße

- Welche Gruppe bildet bei der ersten Angabe die Bezugsmenge? - Berechne zunächst die beiden Wege, auf denen \(A\) eintreten kann.

Lösung

1. Bedeutung: Unter den Fällen mit \(B\) erfüllen \(80\,\%\) auch \(A\). 2. Schnittmengen: \(P(A\cap B)=0{,}3\cdot0{,}8=0{,}24\) und \(P(A\cap\overline{B})=0{,}7\cdot0{,}2=0{,}14\). 3. \(P(A)=0{,}24+0{,}14=0{,}38\). 4. Umgekehrte Wahrscheinlichkeit: \(P(B\mid A)=0{,}24:0{,}38=\frac{12}{19}\approx 0{,}6316\).

Antwort

\(P(A\mid B)=0{,}8\) bezieht sich auf die Gruppe \(B\); \(P(B\mid A)=\frac{12}{19}\approx 63{,}2\,\%\).

43757811

Im Baum gilt \(P(A)=0{,}6\), \(P(B\mid A)=0{,}3\) und \(P(B\mid\overline{A})=0{,}2\). Jona berechnet \(P(A\mid B)\) als \(P(A\cap B):P(A)\). Finde den Fehler und bestimme den richtigen Wert.

Abbildung zur Aufgabe 437578

Denkanstöße

- Welche Gruppe bleibt übrig, sobald die Bedingung feststeht? - Sammle alle Endpfade, die zu dieser Gruppe gehören.

Lösung

1. Schnittmengen: \(P(A\cap B)=0{,}6\cdot0{,}3=0{,}18\) und \(P(\overline{A}\cap B)=0{,}4\cdot0{,}2=0{,}08\). 2. Neue Bezugsmenge: \(P(B)=0{,}18+0{,}08=0{,}26\). 3. Richtiger Wert: \(P(A\mid B)=0{,}18:0{,}26=\frac{9}{13}\approx 0{,}6923\). 4. Fehler: Nenner muss die Bedingung \(B\) abbilden, nicht \(A\).

Antwort

Jona verwendet die falsche Bezugsmenge; \(P(A\mid B)=\frac{9}{13}\approx 69{,}2\,\%\).

43759511

Eine Krankheit betrifft \(5\,\%\) einer Bevölkerung. Ein Test ist bei Kranken mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}9\) positiv und bei Gesunden mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\) positiv. Eine Person erhält ein positives Ergebnis. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie krank ist?

Abbildung zur Aufgabe 437595

Denkanstöße

- Sammle alle Pfade, die zu einem positiven Ergebnis führen. - Welcher Anteil dieser positiven Pfade gehört zur gesuchten Ausgangsgruppe?

Lösung

1. Krank und positiv: \(0{,}05\cdot0{,}9=0{,}045\). 2. Gesund und positiv: \(0{,}95\cdot0{,}1=0{,}095\). 3. Positiv insgesamt: \(0{,}045+0{,}095=0{,}14\). 4. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(0{,}045:0{,}14=\frac{9}{28}\approx 0{,}3214\).

Antwort

\(P(\text{krank}\mid +)=\frac{9}{28}\approx 32{,}1\,\%\).

43760511

Eine Krankheit betrifft \(20\,\%\) einer Gruppe. Ein Test hat Sensitivität \(0{,}95\) und Spezifität \(0{,}9\). Nach einem negativen Ergebnis behauptet jemand: „Die Krankheit ist ausgeschlossen.“ Prüfe die Aussage und gib die tatsächliche Krankheitswahrscheinlichkeit an.

Abbildung zur Aufgabe 437605

Denkanstöße

- Ein negatives Ergebnis kann auch bei einer kranken Person auftreten. - Vergleiche diesen Pfad mit allen negativen Ergebnissen.

Lösung

1. Krank und negativ: \(0{,}2\cdot0{,}05=0{,}01\). 2. Gesund und negativ: \(0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72\). 3. Negativ insgesamt: \(0{,}73\). 4. Krankheitswahrscheinlichkeit nach negativem Ergebnis: \(0{,}01:0{,}73=\frac{1}{73}\approx 0{,}0137\); nicht ausgeschlossen.

Antwort

Die Aussage ist falsch; die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{73}\approx 1{,}37\,\%\).

41476011

Gegeben sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) eines Zufallsexperiments mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P(A|B) = \frac{3}{4}\) und \(P(B|A) = \frac{1}{2}\). Zudem ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(B\) mit \(P(B) = \frac{2}{5}\) bekannt. Beschreibe ein mögliches Urnenmodell für dieses Experiment. Bestimme dazu die kleinstmögliche Gesamtzahl an Kugeln sowie die Anzahl der Kugeln, die nur das Merkmal \(A\), nur das Merkmal \(B\), beide Merkmale oder keines der beiden Merkmale besitzen.

Denkanstöße

- Verwende die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, um zuerst die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten beider Ereignisse zu finden. - Wie kannst du aus der Schnittwahrscheinlichkeit und der anderen bedingten Wahrscheinlichkeit auf die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses schließen? - Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Nenner aller beteiligten Wahrscheinlichkeiten, um die Anzahl der Kugeln zu bestimmen.

Lösung

1. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit: \(P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(A\): \(P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B|A)} = \frac{3/10}{1/2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). 3. Bestimmung der Gesamtzahl \(N\): Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(A) = \frac{6}{10}\), \(P(B) = \frac{4}{10}\) und \(P(A \cap B) = \frac{3}{10}\). Der kleinste gemeinsame Nenner ist \(10\). 4. Berechnung der absoluten Häufigkeiten für \(N = 10\): - Anzahl der Kugeln mit Merkmal \(A\): \(|A| = 10 \cdot \frac{6}{10} = 6\). - Anzahl der Kugeln mit Merkmal \(B\): \(|B| = 10 \cdot \frac{4}{10} = 4\). - Anzahl der Kugeln mit beiden Merkmalen: \(|A \cap B| = 10 \cdot \frac{3}{10} = 3\). 5. Ein mögliches Modell ist eine Urne mit 10 Kugeln, von denen 3 beide Merkmale, 3 nur Merkmal \(A\), 1 nur Merkmal \(B\) und 3 keines der Merkmale besitzen.

Antwort

Ein mögliches Urnenmodell besteht aus insgesamt \(10\) Kugeln: \(3\) Kugeln besitzen beide Merkmale, \(3\) nur das Merkmal \(A\), \(1\) nur das Merkmal \(B\) und \(3\) keines der beiden Merkmale.

42208611

Eine Urne enthält acht Kugeln mit den Aufschriften \(1\) bis \(8\). Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln \(9\) ergibt. b) Es wird mitgeteilt, dass die Summe der beiden Zahlen ungerade ist. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe \(9\) beträgt. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe \(9\) beträgt, wenn bekannt ist, dass die erste gezogene Kugel eine Primzahl zeigt?

Denkanstöße

- Beachte, dass „ohne Zurücklegen“ bedeutet, dass eine Zahl nicht zweimal vorkommen kann. - Wie viele Paare gibt es insgesamt, wenn die Reihenfolge beachtet wird? - Wann ist die Summe von zwei Zahlen ungerade? Welche Kombinationen von „gerade“ und „ungerade“ sind dafür nötig? - Welche Zahlen zwischen 1 und 8 sind Primzahlen? Denke daran, dass die 1 per Definition keine Primzahl ist. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die zweite Kugel, wenn die erste bereits feststeht?

Lösung

1. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, gibt es \(8 \cdot 7 = 56\) mögliche Ergebnisse. Die Paare mit der Summe \(9\) sind \((1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1)\). Es gibt \(8\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}\). 2. Eine ungerade Summe entsteht genau dann, wenn eine Kugel gerade und eine ungerade ist. Es gibt \(4\) gerade \(\{2, 4, 6, 8\}\) und \(4\) ungerade Zahlen \(\{1, 3, 5, 7\}\). Die Anzahl der Ergebnisse mit ungerader Summe ist \(4 \cdot 4\) (gerade-ungerade) \(+ 4 \cdot 4\) (ungerade-gerade) \(= 32\). Alle \(8\) Ergebnisse mit der Summe \(9\) haben eine ungerade Summe. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\). 3. Die Primzahlen in der Urne sind \(\{2, 3, 5, 7\}\). Die Anzahl der Ergebnisse, bei denen die erste Kugel eine Primzahl ist, beträgt \(4 \cdot 7 = 28\). Von den Paaren mit der Summe \(9\) beginnt die erste Kugel bei \((2,7), (3,6), (5,4)\) und \((7,2)\) mit einer Primzahl. Das sind \(4\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}\).

Antwort

a) \(P = \frac{1}{7}\) b) \(P = \frac{1}{4}\) c) \(P = \frac{1}{7}\)

42213011

Ein Unternehmen betreibt zwei IT-Support-Zentren, \(\alpha\) und \(\beta\), die Anfragen zu Hardware (\(H\)) und Software (\(S\)) bearbeiten. Eine Anfrage gilt als gelöst (\(L\)), wenn das Problem behoben wurde. Die Daten des letzten Quartals sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: <table> <tr><td>Zentrum</td><td>Typ</td><td>Anfragen gesamt</td><td>Anfragen gelöst</td></tr> <tr><td>\(\alpha\)</td><td>Hardware (\(H\))</td><td>200</td><td>40</td></tr> <tr><td>\(\alpha\)</td><td>Software (\(S\))</td><td>800</td><td>720</td></tr> <tr><td>\(\beta\)</td><td>Hardware (\(H\))</td><td>800</td><td>200</td></tr> <tr><td>\(\beta\)</td><td>Software (\(S\))</td><td>200</td><td>190</td></tr> </table> a) Berechne für jedes Zentrum die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P(L|H)\) und \(P(L|S)\). b) Ein Manager behauptet, Zentrum \(\alpha\) sei deutlich effizienter, da dort insgesamt \(76\,\%\) aller Anfragen gelöst wurden, während Zentrum \(\beta\) nur eine Gesamtlösungsquote von \(39\,\%\) aufweist. Verifiziere diese Gesamtzahlen rechnerisch. c) Nimm Stellung zur Behauptung des Managers. Welches Zentrum erbringt die bessere Leistung in den jeweiligen Fachgebieten? Begründe den Unterschied zwischen den fachspezifischen Quoten und der Gesamtlösungsquote.

Denkanstöße

- Was bedeutet die Schreibweise \(P(L|H)\) im Kontext dieser Daten? - Berechne die Summe aller Anfragen und aller gelösten Fälle für jedes Zentrum einzeln. - Vergleiche die Lösungsraten für Hardware-Anfragen zwischen den Zentren und mache dasselbe für Software-Anfragen. - Überlege, welcher Typ von Anfrage (Hardware oder Software) schwieriger zu lösen scheint und wie oft dieser Typ in jedem Zentrum vorkommt.

Lösung

1. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für Zentrum \(\alpha\): \(P(L|H)_{\alpha} = \frac{40}{200} = 0{,}20\) (\(20\,\%\)). \(P(L|S)_{\alpha} = \frac{720}{800} = 0{,}90\) (\(90\,\%\)). 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für Zentrum \(\beta\): \(P(L|H)_{\beta} = \frac{200}{800} = 0{,}25\) (\(25\,\%\)). \(P(L|S)_{\beta} = \frac{190}{200} = 0{,}95\) (\(95\,\%\)). 3. Verifikation der Gesamtlösungsquoten: Zentrum \(\alpha\): \(\frac{40 + 720}{200 + 800} = \frac{760}{1000} = 0{,}76\) (\(76\,\%\)). Zentrum \(\beta\): \(\frac{200 + 190}{800 + 200} = \frac{390}{1000} = 0{,}39\) (\(39\,\%\)). Die Behauptung ist rechnerisch korrekt. 4. Bewertung: Obwohl Zentrum \(\beta\) eine niedrigere Gesamtlösungsquote hat, arbeitet es in beiden Einzelbereichen (Hardware und Software) effizienter als Zentrum \(\alpha\). Der Grund für die scheinbare Unterlegenheit von \(\beta\) im Gesamtergebnis liegt darin, dass \(\beta\) überwiegend Hardware-Anfragen bearbeitet (\(80\,\%\)), die generell eine deutlich geringere Lösungsrate aufweisen als Software-Anfragen.

Antwort

a) Zentrum \(\alpha\): \(P(L|H) = 20\,\%\), \(P(L|S) = 90\,\%\); Zentrum \(\beta\): \(P(L|H) = 25\,\%\), \(P(L|S) = 95\,\%\). b) Gesamtrate \(\alpha\): \(\frac{760}{1000} = 76\,\%\); Gesamtrate \(\beta\): \(\frac{390}{1000} = 39\,\%\). c) Zentrum \(\beta\) ist in beiden Fachgebieten leistungsstärker. Die niedrigere Gesamtrate liegt an der hohen Anzahl schwieriger Hardware-Anfragen bei Zentrum \(\beta\) (\(800\) vs. \(200\) bei \(\alpha\)).

42708911

Ein Sportartikelhersteller produziert Laufschuhe in zwei Werken. Werk I stellt \(60\,\%\) der Schuhe her, Werk II den Rest. Die Fehlerquote in Werk I liegt bei \(2\,\%\), in Werk II bei \(4\,\%\). a) Ein Schuh wird zufällig aus der Gesamtproduktion ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schuh fehlerhaft ist. b) Ein ausgewählter Schuh erweist sich als fehlerhaft. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er aus Werk I stammt. c) In einer Stichprobe von \(150\) Schuhen aus Werk II wird die Anzahl der fehlerhaften Schuhe untersucht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: \(E\): „Genau \(5\) Schuhe sind fehlerhaft.“ \(F\): „Mindestens \(4\) und weniger als \(10\) Schuhe sind fehlerhaft.“

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welche Stufen das Baumdiagramm haben muss. Welche Entscheidung wird zuerst getroffen? - Für die bedingte Wahrscheinlichkeit hilft dir die Formel von Bayes. Was ist die Schnittmenge der Ereignisse? - Achte bei der Binomialverteilung genau auf die Formulierungen wie „weniger als“ oder „mindestens“. - Wie hängen die kumulative Verteilungsfunktion und die Intervallwahrscheinlichkeit zusammen?

Lösung

1. Baumdiagramm mit den Pfaden für Werk I (\(W_1\)) und Werk II (\(W_2\)) sowie defekt (\(D\)) und fehlerfrei (\(\bar{D}\)) erstellen: \(P(W_1) = 0{,}6\), \(P(W_2) = 0{,}4\), \(P(D|W_1) = 0{,}02\), \(P(D|W_2) = 0{,}04\). 2. Totale Wahrscheinlichkeit für einen fehlerhaften Schuh: \(P(D) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}04 = 0{,}012 + 0{,}016 = 0{,}028\). 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit (Bayes): \(P(W_1|D) = \frac{P(W_1 \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}012}{0{,}028} = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286\). 4. Binomialverteilung für Werk II (\(n = 150\), \(p = 0{,}04\)): \(P(E) = P(X = 5) = \binom{150}{5} \cdot 0{,}04^5 \cdot 0{,}96^{145} \approx 0{,}1628\). 5. Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(F\): \(P(4 \le X < 10) = P(X \le 9) - P(X \le 3) \approx 0{,}9203 - 0{,}1458 = 0{,}7745\).

Antwort

a) \(P(D) = 2{,}8\,\%\) b) \(P(W_1|D) = \frac{3}{7} \approx 42{,}86\,\%\) c) \(P(E) \approx 16{,}28\,\%\); \(P(F) \approx 77{,}45\,\%\)

43087011

Ein Qualitätskontrolleur stellt fest, dass bei der Produktion elektronischer Bauteile zwei verschiedene Mängel \(M_1\) und \(M_2\) auftreten können. Er ermittelt auf Basis einer großen Stichprobe folgende Daten: - \(8\,\%\) der Bauteile weisen den Mangel \(M_1\) auf. - Bei einem Viertel der Bauteile, die den Mangel \(M_1\) haben, tritt zusätzlich der Mangel \(M_2\) auf. - \(90\,\%\) der Bauteile sind vollkommen fehlerfrei. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig entnommenes Bauteil ausschließlich den Mangel \(M_2\) aufweist.

Denkanstöße

- Notiere dir zuerst alle gegebenen Informationen als mathematische Wahrscheinlichkeiten. Achte besonders auf Formulierungen wie „unter den Bauteilen mit Mangel 1“. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung beider Ereignisse, wenn \(90\,\%\) der Teile fehlerfrei sind? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Auftreten beider Mängel aus den Angaben berechnen? - Eine Vierfeldertafel könnte dir helfen, die Zusammenhänge zwischen den Mängeln übersichtlich darzustellen.

Lösung

1. Identifikation der gegebenen Wahrscheinlichkeiten: \(P(M_1) = 0{,}08\), \(P(M_2 | M_1) = 0{,}25\) und \(P(\overline{M_1} \cap \overline{M_2}) = 0{,}90\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Auftreten beider Mängel: \(P(M_1 \cap M_2) = P(M_1) \cdot P(M_2 | M_1) = 0{,}08 \cdot 0{,}25 = 0{,}02\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Mangel vorliegt: \(P(M_1 \cup M_2) = 1 - P(\overline{M_1} \cap \overline{M_2}) = 1 - 0{,}90 = 0{,}10\). 4. Nutzung der Zerlegung der Vereinigungsmenge: \(P(M_1 \cup M_2) = P(M_1) + P(M_2 \cap \overline{M_1})\). 5. Berechnung des gesuchten Anteils (nur Mangel \(M_2\)): \(P(M_2 \cap \overline{M_1}) = P(M_1 \cup M_2) - P(M_1) = 0{,}10 - 0{,}08 = 0{,}02\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}02\) (oder \(2\,\%\)).

43747611

Ein Pharmaunternehmen hat einen Schnelltest auf eine seltene Nahrungsmittelunverträglichkeit entwickelt. Der Test hat eine Sensitivität von \(98\,\%\) (Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis bei Vorliegen der Unverträglichkeit) und eine Spezifität von \(96\,\%\) (Wahrscheinlichkeit für ein negatives Ergebnis, wenn keine Unverträglichkeit vorliegt). Es werden zwei Personengruppen untersucht: <b>Gruppe A:</b> Personen ohne Symptome. Hier liegt die Prävalenz (Anteil der Betroffenen) bei \(1\,\%\). <b>Gruppe B:</b> Personen mit Verdachtssymptomen. Hier liegt die Prävalenz bei \(15\,\%\). a) Berechne für beide Gruppen die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_T(K)\), dass eine Person mit positivem Testergebnis (\(T\)) tatsächlich die Unverträglichkeit (\(K\)) hat. b) Vergleiche die Ergebnisse und erläutere kurz, welchen Einfluss die Grundhäufigkeit einer Krankheit auf die Zuverlässigkeit eines positiven Testergebnisses hat.

Abbildung zur Aufgabe 437476

Denkanstöße

- Erstelle für jede Gruppe ein eigenes Baumdiagramm mit den Pfaden „Unverträglichkeit → Test“ und „keine Unverträglichkeit → Test“. - Achte darauf, dass die Spezifität angibt, wie oft Gesunde ein negatives Ergebnis erhalten. Wie hoch ist dann die Rate der falsch-positiven Ergebnisse? - Die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P_T(K)\) ist der Anteil der „richtig Positiven“ an allen „Positiven“. - Überlege, wie sich die Anzahl der Gesunden (die falsch positiv getestet werden können) in den beiden Gruppen unterscheidet.

Lösung

1. Modellierung der Gruppe A (\(P(K) = 0{,}01\)): Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test: \(P(T) = 0{,}01 \cdot 0{,}98 + 0{,}99 \cdot 0{,}04 = 0{,}0098 + 0{,}0396 = 0{,}0494\). Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_T(K) = \frac{0{,}0098}{0{,}0494} \approx 0{,}1984\) (\(19{,}8\,\%\)). 2. Modellierung der Gruppe B (\(P(K) = 0{,}15\)): Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test: \(P(T) = 0{,}15 \cdot 0{,}98 + 0{,}85 \cdot 0{,}04 = 0{,}147 + 0{,}034 = 0{,}181\). Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_T(K) = \frac{0{,}147}{0{,}181} \approx 0{,}8122\) (\(81{,}2\,\%\)). 3. Vergleich und Erläuterung: In Gruppe A ist ein positives Ergebnis sehr unzuverlässig (nur ca. \(20\,\%\) sind wirklich betroffen), während es in Gruppe B mit über \(80\,\%\) deutlich aussagekräftiger ist. Je seltener eine Eigenschaft in der untersuchten Population ist, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positives Testergebnis korrekt ist (Einfluss der Falsch-Positiven).

Antwort

a) Gruppe A: \(P_T(K) \approx 19{,}8\,\%\); Gruppe B: \(P_T(K) \approx 81{,}2\,\%\). b) Bei einer geringen Grundhäufigkeit (Gruppe A) führt die Anzahl der falsch-positiven Ergebnisse dazu, dass ein positiver Test oft eine Fehlmeldung ist. Bei höherer Grundhäufigkeit (Gruppe B) steigt die Verlässlichkeit eines positiven Ergebnisses deutlich an.

43748511

Ein Online-Händler analysiert seine eingehenden Bestellungen. \(60\,\%\) der Bestellungen stammen von registrierten Stammkunden (\(S\)). Von diesen Bestellungen nutzen \(80\,\%\) den Express-Versand (\(E\)). Von den Bestellungen der Gelegenheitskunden (\(\bar{S}\)) nutzen lediglich \(15\,\%\) den Express-Versand. a) Vervollständige das Baumdiagramm für diesen Sachverhalt. b) Wie viel Prozent aller eingehenden Bestellungen wählen insgesamt den Express-Versand? c) Eine Bestellung geht ein, bei der kein Express-Versand (\(\bar{E}\)) gewählt wurde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Bestellung von einem Stammkunden stammt? d) Erkläre kurz den Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit \(P(S \cap E)\) und der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_S(E)\) in diesem Kontext. e) Interpretiere den folgenden Term im Sachzusammenhang: \(\frac{0{,}4 \cdot 0{,}15}{0{,}6 \cdot 0{,}8 + 0{,}4 \cdot 0{,}15}\)

Abbildung zur Aufgabe 437485

Denkanstöße

- Erstelle zuerst eine Übersicht der gegebenen Werte. Was ist eine Grundwahrscheinlichkeit, was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit? - Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der von einem Knoten ausgehenden Äste muss immer \(1\) ergeben. - Überlege dir bei Teilaufgabe c), welche Teilmenge der Bestellungen die neue Grundgesamtheit bildet. - Der Term in Teilaufgabe e) folgt der Struktur der Formel von Bayes. Was bedeuten die einzelnen Produkte im Zähler und Nenner?

Lösung

1. Baumdiagramm vervollständigen: \(P(S) = 0{,}6\); \(P(\bar{S}) = 0{,}4\). Für Stammkunden: \(P(E\mid S) = 0{,}8\); \(P(\bar{E}\mid S) = 0{,}2\). Für Gelegenheitskunden: \(P(E\mid \bar{S}) = 0{,}15\); \(P(\bar{E}\mid \bar{S}) = 0{,}85\). 2. Gesamtwahrscheinlichkeit Express-Versand: \(P(E) = P(S) \cdot P(E\mid S) + P(\bar{S}) \cdot P(E\mid \bar{S}) = 0{,}6 \cdot 0{,}8 + 0{,}4 \cdot 0{,}15 = 0{,}48 + 0{,}06 = 0{,}54\). Das entspricht \(54\,\%\). 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(S \mid \bar{E})\): \(P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 0{,}46\). \(P(S \cap \bar{E}) = 0{,}6 \cdot 0{,}2 = 0{,}12\). Somit \(P(S \mid \bar{E}) = \frac{0{,}12}{0{,}46} = \frac{6}{23} \approx 0{,}2609\). 4. Unterschied \(P(S \cap E)\) vs. \(P_S(E)\): \(P(S \cap E)\) ist der Anteil aller Bestellungen, die sowohl von Stammkunden sind als auch Express nutzen. \(P_S(E)\) ist der Anteil der Express-Bestellungen innerhalb der Gruppe der Stammkunden. 5. Interpretation des Terms: Der Zähler \(0{,}4 \cdot 0{,}15\) ist \(P(\bar{S} \cap E)\), der Nenner ist die Gesamtwahrscheinlichkeit \(P(E)\). Der Term berechnet also die Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{S} \mid E)\), dass eine Express-Bestellung von einem Gelegenheitskunden stammt.

Antwort

a) \(P(\bar{S}) = 0{,}4\); \(P(\bar{E}\mid S) = 0{,}2\); \(P(E\mid \bar{S}) = 0{,}15\); \(P(\bar{E}\mid \bar{S}) = 0{,}85\). b) \(54\,\%\). c) \(P(S \mid \bar{E}) \approx 0{,}2609\) (bzw. ca. \(26{,}1\,\%\)). d) \(P(S \cap E)\) bezieht sich auf alle Bestellungen; \(P_S(E)\) bezieht sich nur auf die Untergruppe der Stammkunden. e) Der Term berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass eine vorliegende Express-Bestellung von einem Gelegenheitskunden aufgegeben wurde (\(P(\bar{S} \mid E)\)).

43757511

Eine Krankheit betrifft \(2\,\%\) der Bevölkerung. Ein Test ist bei Kranken mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}95\) positiv und bei nicht Erkrankten mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}02\) positiv. Die beiden Testergebnisse seien bei gegebenem Gesundheitszustand unabhängig. Eine Person erhält zuerst ein positives und danach ein negatives Ergebnis. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie krank ist?

Abbildung zur Aufgabe 437575

Denkanstöße

- Nimm in beiden Ausgangsgruppen genau dieselbe Ergebnisfolge. - Vergleiche anschließend die beiden Pfadanteile innerhalb dieser Folge.

Lösung

1. Krank und Folge \(+-\): \(0{,}02\cdot0{,}95\cdot0{,}05=0{,}00095\). 2. Nicht krank und Folge \(+-\): \(0{,}98\cdot0{,}02\cdot0{,}98=0{,}019208\). 3. Folge \(+-\) insgesamt: \(0{,}020158\). 4. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(0{,}00095:0{,}020158\approx 0{,}0471\).

Antwort

\(\approx 4{,}71\,\%\).

43759711

Bei \(10\,\%\) der getesteten Personen liegt eine Infektion vor. Der Test erkennt \(80\,\%\) der Infizierten; bei \(10\,\%\) der Nichtinfizierten ist er fälschlich positiv. Bestimme \(P(\text{Infektion}\mid +)\) und \(P(\text{keine Infektion}\mid -)\).

Abbildung zur Aufgabe 437597

Denkanstöße

- Berechne die Gesamtanteile der positiven und der negativen Ergebnisse getrennt. - Betrachte danach jeweils nur die passende Ergebnisgruppe.

Lösung

1. Positiv: \(0{,}1\cdot0{,}8+0{,}9\cdot0{,}1=0{,}17\). 2. \(P(\text{Infektion}\mid +)=0{,}08:0{,}17=\frac{8}{17}\approx 0{,}4706\). 3. Negativ: \(0{,}1\cdot0{,}2+0{,}9\cdot0{,}9=0{,}83\). 4. \(P(\text{keine Infektion}\mid -)=0{,}81:0{,}83=\frac{81}{83}\approx 0{,}9759\).

Antwort

\(P(\text{Infektion}\mid +)\approx 47{,}1\,\%\); \(P(\text{keine Infektion}\mid -)\approx 97{,}6\,\%\).

43760111

Eine Krankheit betrifft \(2\,\%\) der Personen. Ein Test hat Sensitivität \(0{,}95\) und Spezifität \(0{,}98\). Derselbe Test wird zweimal unabhängig unter der Bedingung des Krankheitszustands durchgeführt. Wie groß ist die Krankheitswahrscheinlichkeit nach zwei positiven Ergebnissen?

Abbildung zur Aufgabe 437601

Denkanstöße

- Verfolge in beiden Ausgangsgruppen den Pfad mit zwei positiven Ergebnissen. - Vergleiche den kranken Pfad mit der Summe beider passenden Pfade.

Lösung

1. Krank und zweimal positiv: \(0{,}02\cdot0{,}95^2=0{,}01805\). 2. Nicht krank und zweimal positiv: \(0{,}98\cdot0{,}02^2=0{,}000392\). 3. Zweimal positiv insgesamt: \(0{,}018442\). 4. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(0{,}01805:0{,}018442\approx 0{,}9787\).

Antwort

\(\approx 97{,}9\,\%\).

43760211

Eine Krankheit betrifft \(10\,\%\) einer Gruppe. Test A hat Sensitivität \(0{,}9\) und Falsch-Positiv-Rate \(0{,}05\); Test B hat Sensitivität \(0{,}8\) und Falsch-Positiv-Rate \(0{,}1\). Die Tests seien unter der Bedingung des Krankheitszustands unabhängig. Bestimme die Krankheitswahrscheinlichkeit nach zwei positiven Tests.

Abbildung zur Aufgabe 437602

Denkanstöße

- Verfolge für beide Ausgangsgruppen den Pfad mit zwei positiven Tests. - Die beiden Teststufen haben unterschiedliche Astwahrscheinlichkeiten.

Lösung

1. Krank und beide positiv: \(0{,}1\cdot0{,}9\cdot0{,}8=0{,}072\). 2. Gesund und beide positiv: \(0{,}9\cdot0{,}05\cdot0{,}1=0{,}0045\). 3. Beide positiv insgesamt: \(0{,}0765\). 4. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(0{,}072:0{,}0765=\frac{16}{17}\approx 0{,}9412\).

Antwort

\(\frac{16}{17}\approx 94{,}1\,\%\).

43760311

In einer Sportgruppe verwenden \(2\,\%\) ein verbotenes Mittel. Ein Test erkennt \(99\,\%\) dieser Fälle und ist bei \(3\,\%\) der übrigen Personen positiv. Eine Person wird positiv getestet. Bewerte die Aussage „Mit \(99\,\%\) Wahrscheinlichkeit wurde gedopt.“

Abbildung zur Aufgabe 437603

Denkanstöße

- Verwechsle die Trefferquote bei Betroffenen nicht mit dem Anteil Betroffener unter allen Positiven. - Berücksichtige auch positive Ergebnisse aus der großen übrigen Gruppe.

Lösung

1. Doping und positiv: \(0{,}02\cdot0{,}99=0{,}0198\). 2. Kein Doping und positiv: \(0{,}98\cdot0{,}03=0{,}0294\). 3. Positiv insgesamt: \(0{,}0492\). 4. Tatsächliche Wahrscheinlichkeit: \(0{,}0198:0{,}0492=\frac{33}{82}\approx 0{,}4024\); Aussage falsch.

Antwort

Die Aussage ist falsch; die Dopingwahrscheinlichkeit beträgt nur etwa \(40{,}2\,\%\).

43760411

Zwei Screeningprogramme werden bei einer Krankheitshäufigkeit von \(1\,\%\) verglichen. Programm A: Sensitivität \(0{,}95\), Falsch-Positiv-Rate \(0{,}01\). Programm B: Sensitivität \(0{,}99\), Falsch-Positiv-Rate \(0{,}03\). Bei welchem Programm ist ein positives Ergebnis verlässlicher?

Abbildung zur Aufgabe 437604

Denkanstöße

- Berechne für jedes Programm echte und falsche positive Anteile. - Vergleiche den gesuchten Anteil innerhalb aller positiven Ergebnisse.

Lösung

1. Programm A: krank und positiv \(0{,}0095\), gesund und positiv \(0{,}0099\); \(P(\text{krank}\mid +)=0{,}0095:0{,}0194\approx 0{,}4897\). 2. Programm B: krank und positiv \(0{,}0099\), gesund und positiv \(0{,}0297\); \(P(\text{krank}\mid +)=0{,}0099:0{,}0396=0{,}25\). 3. Positives Ergebnis bei Programm A verlässlicher; Programm B erkennt etwas mehr Kranke, erzeugt aber deutlich mehr falsche Positive.

Antwort

Programm A; etwa \(49{,}0\,\%\) gegenüber \(25\,\%\) bei Programm B.

43759811

Eine Krankheit tritt mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\) auf. Ein Test hat eine Falsch-Positiv-Rate von \(0{,}05\). Unter den positiven Ergebnissen sind genau \(50\,\%\) tatsächlich krank. Bestimme die Sensitivität des Tests.

Abbildung zur Aufgabe 437598

Denkanstöße

- Bezeichne die unbekannte Testquote mit einer Variablen. - Drücke den Anteil der tatsächlich Kranken unter allen Positiven damit aus.

Lösung

1. Mit Sensitivität \(s\): krank und positiv \(=0{,}1s\). 2. Gesund und positiv: \(0{,}9\cdot0{,}05=0{,}045\). 3. Bedingung: \(0{,}1s:(0{,}1s+0{,}045)=0{,}5\). 4. Lösung: \(0{,}1s=0{,}045\) und \(s=0{,}45\).

Antwort

Sensitivität \(0{,}45=45\,\%\).

43759911

Ein Test besitzt Sensitivität \(0{,}9\) und eine Falsch-Positiv-Rate von \(0{,}05\). Bei einem positiven Ergebnis beträgt die Krankheitswahrscheinlichkeit \(0{,}75\). Bestimme die Krankheitshäufigkeit \(p\) in der untersuchten Gruppe.

Abbildung zur Aufgabe 437599

Denkanstöße

- Setze für den unbekannten Ausgangsanteil eine Variable ein. - Stelle den gesuchten Anteil innerhalb aller positiven Ergebnisse dar.

Lösung

1. Krank und positiv: \(0{,}9p\). 2. Gesund und positiv: \(0{,}05(1-p)\). 3. Gleichung: \(\frac{0{,}9p}{0{,}9p+0{,}05(1-p)}=0{,}75\). 4. Lösung: \(p=\frac{1}{7}\approx 0{,}1429\).

Antwort

\(p=\frac{1}{7}\approx 14{,}3\,\%\).

43760011

In einer Gruppe sind \(20\,\%\) krank. Ein Test erkennt \(85\,\%\) der Kranken. Unter den positiven Ergebnissen sind \(68\,\%\) tatsächlich krank. Bestimme die Falsch-Positiv-Rate.

Abbildung zur Aufgabe 437600

Denkanstöße

- Berechne den positiven Anteil aus der kranken Gruppe zuerst. - Beschreibe den unbekannten positiven Anteil aus der gesunden Gruppe mit einer Variablen.

Lösung

1. Krank und positiv: \(0{,}2\cdot0{,}85=0{,}17\). 2. Mit Falsch-Positiv-Rate \(f\): gesund und positiv \(=0{,}8f\). 3. Gleichung: \(0{,}17:(0{,}17+0{,}8f)=0{,}68\). 4. Lösung: \(f=0{,}1\).

Antwort

Falsch-Positiv-Rate \(0{,}1=10\,\%\).

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.