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Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Vierfeldertafeln

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Schwierigkeit: 1 – 5

41474611

In einem Sportverein mit \(100\) Mitgliedern spielen viele Basketball oder Tennis (teilweise auch beides). Es ist bekannt, dass \(60\) Mitglieder Basketball spielen und \(50\) Mitglieder Tennis spielen. Davon spielen \(30\) Mitglieder beide Sportarten. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel für diese Situation. b) Ein Mitglied wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person Tennis spielt, wenn bereits bekannt ist, dass sie Basketball spielt?

Denkanstöße

- Welche Informationen sind direkt aus dem Text ablesbar? - Wie kannst du die Summenzeilen und -spalten nutzen, um fehlende Felder zu berechnen? - Was bedeutet die Einschränkung „wenn bereits bekannt ist...“ für die Grundmenge deiner Berechnung?

Lösung

1. Definition der Ereignisse: \(B\): spielt Basketball, \(T\): spielt Tennis. Grundgesamtheit \(n = 100\). 2. Bekannte Werte eintragen: \(|B| = 60\), \(|T| = 50\), \(|B \cap T| = 30\). 3. Fehlende Werte der Vierfeldertafel berechnen: - \(|B \cap \bar{T}| = |B| - |B \cap T| = 60 - 30 = 30\) - \(|\bar{B} \cap T| = |T| - |B \cap T| = 50 - 30 = 20\) - \(|\bar{B}| = 100 - 60 = 40\) - \(|\bar{B} \cap \bar{T}| = |\bar{B}| - |\bar{B} \cap T| = 40 - 20 = 20\) 4. Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(T|B)\) berechnen: \(P(T|B) = \frac{|B \cap T|}{|B|} = \frac{30}{60} = 0{,}5\).

Antwort

a) Die Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(T\)</td><td>\(\bar{T}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(30\)</td><td>\(30\)</td><td>\(60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{B}\)</td><td>\(20\)</td><td>\(20\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(50\)</td><td>\(50\)</td><td>\(100\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}5\) (oder \(50\,\%\)).

42208711

In einem Lager befinden sich \(5\,000\) Leuchtmittel. Ein Leuchtmittel wird zufällig ausgewählt. Die Ereignisse \(A\) (LED-Leuchtmittel) und \(B\) (defekt) werden betrachtet. <table> <tr> <td></td> <td>\(B\)</td> <td>\(\overline{B}\)</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>\(A\)</td> <td>\(40\)</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(\overline{A}\)</td> <td></td> <td></td> <td>\(1\,500\)</td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td></td> <td>\(4\,850\)</td> <td>\(5\,000\)</td> </tr> </table> Vervollständige die Vierfeldertafel und berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_A(B)\), \(P_B(A)\), \(P_{\overline{A}}(B)\) und \(P_{\overline{B}}(\overline{A})\).

Denkanstöße

- Kannst du die fehlenden Summen am Rand zuerst berechnen? - Wie hängen die inneren Felder mit den Zeilen- und Spaltensummen zusammen? - Was ist der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit einer Schnittmenge und einer bedingten Wahrscheinlichkeit? - Welche Zahl bildet bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit wie \(P_A(B)\) die Grundmenge (den Nenner)?

Lösung

1. Bestimmung der fehlenden Randsummen: \(n(A) = 5\,000 - 1\,500 = 3\,500\) und \(n(B) = 5\,000 - 4\,850 = 150\). 2. Berechnung der inneren Felder durch Subtraktion: \(n(A \cap \overline{B}) = 3\,500 - 40 = 3\,460\), \(n(\overline{A} \cap B) = 150 - 40 = 110\) und \(n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1\,500 - 110 = 1\,390\). 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: \(P_A(B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{40}{3\,500} = \frac{2}{175} \approx 0{,}0114\) \(P_B(A) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{40}{150} = \frac{4}{15} \approx 0{,}2667\) \(P_{\overline{A}}(B) = \frac{n(\overline{A} \cap B)}{n(\overline{A})} = \frac{110}{1\,500} = \frac{11}{150} \approx 0{,}0733\) \(P_{\overline{B}}(\overline{A}) = \frac{n(\overline{A} \cap \overline{B})}{n(\overline{B})} = \frac{1\,390}{4\,850} = \frac{139}{485} \approx 0{,}2866\)

Antwort

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr> <td></td> <td>\(B\)</td> <td>\(\overline{B}\)</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>\(A\)</td> <td>\(40\)</td> <td>\(3\,460\)</td> <td>\(3\,500\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{A}\)</td> <td>\(110\)</td> <td>\(1\,390\)</td> <td>\(1\,500\)</td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td>\(150\)</td> <td>\(4\,850\)</td> <td>\(5\,000\)</td> </tr> </table> Die Wahrscheinlichkeiten sind: \(P_A(B) \approx 0{,}0114\); \(P_B(A) \approx 0{,}2667\); \(P_{\overline{A}}(B) \approx 0{,}0733\); \(P_{\overline{B}}(\overline{A}) \approx 0{,}2866\).

42289711

In einer Schulklasse mit \(30\) Personen spielen \(18\) ein Instrument und \(12\) sind im Chor aktiv. Fünf Personen der Klasse geben an, weder ein Instrument zu spielen noch im Chor zu sein. Es wird zufällig eine Person aus der Klasse ausgewählt. Die Ereignisse sind \(I\): „spielt ein Instrument“ und \(C\): „ist im Chor“. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten für diese Situation. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person sowohl ein Instrument spielt als auch im Chor ist. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person zwar im Chor ist, aber kein Instrument spielt.

Denkanstöße

- Kannst du die Informationen aus dem Text in die Randfelder oder die inneren Felder einer Tabelle eintragen? - Wie hängen die inneren Felder einer Zeile oder Spalte mit den Werten in den Randfeldern zusammen? - Überlege dir, wie viele Personen insgesamt mindestens eine der beiden Tätigkeiten ausüben müssen. - Was bedeutet „weder noch“ für die Position in der Tabelle?

Lösung

1. Bestimmung der Gesamtzahl: \(n = 30\). Gegeben sind \(|I| = 18\), \(|C| = 12\) und \(|\bar{I} \cap \bar{C}| = 5\). 2. Berechnung der Anzahl der Personen, die mindestens eines von beiden machen: \(|I \cup C| = 30 - 5 = 25\). 3. Berechnung der Schnittmenge mittels der Formel für die Vereinigung: \(|I \cap C| = |I| + |C| - |I \cup C| = 18 + 12 - 25 = 5\). 4. Vervollständigung der Vierfeldertafel: - \(|I \cap \bar{C}| = 18 - 5 = 13\) - \(|\bar{I} \cap C| = 12 - 5 = 7\) - Kontrolle: \(5 + 13 + 7 + 5 = 30\). 5. Wahrscheinlichkeit für \(I \cap C\): \(P(I \cap C) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \approx 16{,}67\,\%\). 6. Wahrscheinlichkeit für \(\bar{I} \cap C\): \(P(\bar{I} \cap C) = \frac{7}{30} \approx 23{,}33\,\%\).

Antwort

a) Vierfeldertafel: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(C\)</td><td>\(\bar{C}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(I\)</td><td>\(5\)</td><td>\(13\)</td><td>\(18\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{I}\)</td><td>\(7\)</td><td>\(5\)</td><td>\(12\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td><td>\(30\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{6} \approx 16{,}67\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{30} \approx 23{,}33\,\%\).

41010511

Für die Ereignisse \(A\) und \(B\) wurde eine Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten aufgestellt. Ergänze die Zahlen in den leeren Feldern. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{\bar{B}}(A)\) von dem Ereignis, dass \(A\) auftritt unter der Bedingung, dass \(B\) nicht auftritt? <table border="1"> <tr><td></td><td>\(A\)</td><td>\(\bar{A}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td></td><td>0,4</td><td></td></tr> <tr><td>\(\bar{B}\)</td><td></td><td></td><td>0,4</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>0,3</td><td></td><td>1</td></tr> </table>

Denkanstöße

- Kannst du die fehlenden Werte in der Tabelle durch einfache Addition oder Subtraktion finden? - Was bedeutet die Notation für die bedingte Wahrscheinlichkeit genau? - Welche Werte aus der Tabelle musst du ins Verhältnis setzen, um die gesuchte Bedingung zu berechnen?

Lösung

1. Fehlende Summen berechnen: \(P(B) = 1 - 0,4 = 0,6\). 2. Schnittwahrscheinlichkeit \(P(A \cap B)\) berechnen: \(P(B \cap \bar{A}) = 0,4\) ist gegeben, also \(P(B \cap A) = P(B) - P(B \cap \bar{A}) = 0,6 - 0,4 = 0,2\). 3. Schnittwahrscheinlichkeit \(P(A \cap \bar{B})\) berechnen: \(P(A) = 0,3\), also \(P(\bar{B} \cap A) = P(A) - P(B \cap A) = 0,3 - 0,2 = 0,1\). 4. Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P_{\bar{B}}(A) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{0,1}{0,4} = 0,25\).

Antwort

0,25

42206911

Eine Umfrage unter \(400\) Schülerinnen und Schülern einer Schule untersuchte den Zusammenhang zwischen der Jahrgangsstufe und der regelmäßigen Nutzung des Fahrrads für den Schulweg. Die Ergebnisse sind in der folgenden Vierfeldertafel dargestellt: <table> <tr> <td></td> <td>Fahrradnutzung</td> <td>Keine Fahrradnutzung</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>Mittelstufe</td> <td>144</td> <td>96</td> <td>240</td> </tr> <tr> <td>Oberstufe</td> <td>64</td> <td>96</td> <td>160</td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td>208</td> <td>192</td> <td>400</td> </tr> </table> a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Schüler bzw. eine zufällig ausgewählte Schülerin das Fahrrad regelmäßig nutzt. b) Betrachte nun nur die Gruppe der Oberstufenschüler. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig aus dieser Gruppe gewählte Person das Fahrrad nutzt, und vergleiche das Ergebnis mit dem Wert aus Teilaufgabe a).

Denkanstöße

- Welche Zahl in der Tabelle gibt die Gesamtzahl aller befragten Personen an? - Überlege für den zweiten Teil, wie groß die Gruppe ist, aus der nun ausgewählt wird. - Achte darauf, welche Merkmale kombiniert werden müssen, um die gesuchte Teilgruppe zu finden.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für die Fahrradnutzung: \(P(F) = \frac{208}{400} = 0{,}52\). 2. Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass die Person zur Oberstufe gehört: Hierfür wird die Anzahl der Fahrradnutzer in der Oberstufe (\(64\)) durch die Gesamtzahl der Oberstufenschüler (\(160\)) geteilt. 3. Berechnung: \(P_{\text{Oberstufe}}(F) = \frac{64}{160} = 0{,}4\). 4. Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit für die Fahrradnutzung ist in der Oberstufe mit \(40\,\%\) geringer als der Durchschnittswert aller befragten Schüler von \(52\,\%\).

Antwort

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}52\) (oder \(52\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}4\) (oder \(40\,\%\)). Dieser Wert ist kleiner als der Gesamtdurchschnitt aus Teilaufgabe a).

42207011

In einem Unternehmen wird die Fehleranfälligkeit von zwei verschiedenen Produktionsmaschinen, \(M_1\) und \(M_2\), untersucht. Von \(1\,000\) produzierten Bauteilen stammen \(600\) von Maschine \(M_1\) und \(400\) von Maschine \(M_2\). Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung der defekten und einwandfreien Bauteile: <table> <tr> <td></td> <td>Einwandfrei</td> <td>Defekt</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>Maschine \(M_1\)</td> <td>570</td> <td>30</td> <td>600</td> </tr> <tr> <td>Maschine \(M_2\)</td> <td>392</td> <td>8</td> <td>400</td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td>962</td> <td>38</td> <td>1000</td> </tr> </table> a) Ein Bauteil wird zufällig aus der Gesamtproduktion entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es defekt ist? b) Ein Bauteil von Maschine \(M_2\) wird geprüft. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Bauteil defekt ist, und beurteile, ob die Fehlerquote von \(M_2\) von der durchschnittlichen Fehlerquote der Gesamtproduktion abweicht.

Denkanstöße

- Was ist der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit für ein defektes Teil insgesamt und der Wahrscheinlichkeit für ein defektes Teil einer bestimmten Maschine? - Lies die benötigten Werte direkt aus den entsprechenden Zeilen und Spalten der Tabelle ab. - Wie verändert sich die Bezugsgröße (der Nenner des Bruchs), wenn man nur eine bestimmte Maschine betrachtet?

Lösung

1. Berechnung der allgemeinen Fehlerquote: Die Anzahl aller defekten Teile (\(38\)) wird durch die Gesamtzahl der Teile (\(1\,000\)) dividiert: \(P(D) = \frac{38}{1\,000} = 0{,}038\). 2. Berechnung der spezifischen Fehlerquote für Maschine \(M_2\): Hierbei bildet die Summe der von \(M_2\) produzierten Teile (\(400\)) die neue Grundgesamtheit. Die Anzahl der defekten Teile von \(M_2\) ist \(8\). 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P_{M_2}(D) = \frac{8}{400} = 0{,}02\). 4. Vergleich und Beurteilung: Die Fehlerquote von Maschine \(M_2\) (\(2\,\%\)) ist deutlich niedriger als die durchschnittliche Fehlerquote der Gesamtproduktion (\(3{,}8\,\%\)).

Antwort

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}038\) (oder \(3{,}8\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit für Maschine \(M_2\) beträgt \(0{,}02\) (oder \(2\,\%\)). Die Fehlerquote von \(M_2\) ist somit geringer als der Gesamtdurchschnitt.

42207311

Ein mittelständisches Unternehmen hat seine \(200\) Beschäftigten nach ihrem Arbeitsbereich und ihrem bevorzugten Verkehrsmittel für den Arbeitsweg befragt. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: <table> <tr> <td></td> <td>Öffentliche Verkehrsmittel (\(Ö\))</td> <td>Individualverkehr (\(I\))</td> </tr> <tr> <td>Produktion (\(P\))</td> <td>45</td> <td>75</td> </tr> <tr> <td>Verwaltung (\(V\))</td> <td>55</td> <td>25</td> </tr> </table> Eine Person aus der Belegschaft wird zufällig für eine Befragung ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: a) Die Person arbeitet in der Verwaltung und nutzt öffentliche Verkehrsmittel. b) Die Person nutzt öffentliche Verkehrsmittel, wenn bekannt ist, dass sie in der Verwaltung arbeitet. c) Die Person arbeitet in der Verwaltung, unter der Bedingung, dass sie den Individualverkehr nutzt.

Denkanstöße

- Was ist der Unterschied zwischen einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeit („und“) und einer bedingten Wahrscheinlichkeit („wenn bekannt ist“)? - Welche Gesamtzahl bildet jeweils die Basis für deine Rechnung? - Hilft es dir, die Summen für die Zeilen und Spalten am Rand der Tabelle zu notieren?

Lösung

1. Berechnung der Randsummen: Gesamtzahl der Personen \(n = 200\). Personen in der Verwaltung \(n(V) = 55 + 25 = 80\). Personen im Individualverkehr \(n(I) = 75 + 25 = 100\). 2. Zu a): Die Anzahl der Personen in der Verwaltung, die öffentliche Verkehrsmittel nutzen, beträgt \(55\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(V \cap Ö) = \frac{55}{200} = 0{,}275\). 3. Zu b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(Ö|V)\). Mit \(n(V) = 80\) ergibt sich \(P(Ö|V) = \frac{55}{80} = 0{,}6875\). 4. Zu c): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(V|I)\). Mit \(n(I) = 100\) ergibt sich \(P(V|I) = \frac{25}{100} = 0{,}25\).

Antwort

a) \(P(V \cap Ö) = 0{,}275\) b) \(P(Ö|V) = 0{,}6875\) c) \(P(V|I) = 0{,}25\)

42207411

In einer Buchhandlung wurden an einem Vormittag \(150\) Personen beobachtet. Davon waren \(60\) Stammkunden und \(90\) Gelegenheitskunden. Von den Stammkunden tätigten \(48\) einen Kauf, während von den Gelegenheitskunden nur \(30\) etwas kauften. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für folgende Szenarien: a) Eine zufällig ausgewählte Person hat etwas gekauft. b) Eine Person, die etwas gekauft hat, ist ein Stammkunde. c) Eine Person hat nichts gekauft, unter der Voraussetzung, dass sie ein Gelegenheitskunde ist.

Denkanstöße

- Kannst du die Informationen aus dem Text in einer Tabelle übersichtlich anordnen? - Achte genau darauf, welche Gruppe die Bedingung darstellt – das ist die neue Grundmenge für den Nenner. - Überlege dir für jede Teilaufgabe: Geht es um alle Personen oder nur um eine bestimmte Untergruppe?

Lösung

1. Erstellung der Vierfeldertafel mit den Merkmalen Stammkunde (\(S\)), Gelegenheitskunde (\(G\)), Kauf (\(K\)) und kein Kauf (\(\bar{K}\)). 2. Eintragung der Werte: \(n(S) = 60\), \(n(G) = 90\), \(n(S \cap K) = 48\), \(n(G \cap K) = 30\). Daraus folgen \(n(S \cap \bar{K}) = 12\) und \(n(G \cap \bar{K}) = 60\). 3. Zu a): Gesamtzahl der Käufe \(n(K) = 48 + 30 = 78\). Wahrscheinlichkeit \(P(K) = \frac{78}{150} = 0{,}52\). 4. Zu b): Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(S|K) = \frac{n(S \cap K)}{n(K)} = \frac{48}{78} = \frac{8}{13} \approx 0{,}6154\). 5. Zu c): Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{K}|G) = \frac{n(G \cap \bar{K})}{n(G)} = \frac{60}{90} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\).

Antwort

a) \(P(K) = 0{,}52\) b) \(P(S|K) = \frac{8}{13} \approx 0{,}6154\) c) \(P(\bar{K}|G) = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\)

42207511

In einer Schule werden die Schülerinnen und Schüler nach ihren Freizeitinteressen befragt. Dabei stehen die Sportarten Volleyball (\(V\)) und Basketball (\(B\)) im Fokus. Es sind folgende Anteile bekannt: - \(30\,\%\) der Befragten interessieren sich für Volleyball. - \(20\,\%\) der Befragten interessieren sich für beide Sportarten. - \(60\,\%\) der Befragten geben an, sich nicht für Basketball zu interessieren. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel mit den relativen Häufigkeiten. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person sich für Basketball oder Volleyball interessiert. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person sich für Basketball interessiert, unter der Bedingung, dass sie sich bereits für Volleyball interessiert. d) Berechne \(P_{\bar{V}}(B)\) und interpretiere diesen Wert im Sachkontext.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, welche Werte direkt aus dem Text in die Tabelle eingetragen werden können. - Denke daran, dass die Summe der Zeilen und Spalten jeweils den Wert am Rand ergeben muss. - Wie hängen die Begriffe „oder“ und „und“ mit den mathematischen Symbolen für Vereinigung und Schnitt zusammen? - Was bedeutet der senkrechte Strich oder der Index bei der bedingten Wahrscheinlichkeit für die Berechnung?

Lösung

1. Aufstellen der Vierfeldertafel: Gegeben sind \(P(V) = 0{,}3\), \(P(B \cap V) = 0{,}2\) und \(P(\bar{B}) = 0{,}6\). Daraus folgt \(P(B) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\). Die weiteren Felder ergeben sich durch Differenzen: \(P(V \cap \bar{B}) = 0{,}3 - 0{,}2 = 0{,}1\); \(P(\bar{V} \cap B) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2\); \(P(\bar{V} \cap \bar{B}) = 0{,}6 - 0{,}1 = 0{,}5\). Randsumme \(P(\bar{V}) = 0{,}7\). 2. Berechnung der Vereinigungswahrscheinlichkeit: \(P(B \cup V) = P(B) + P(V) - P(B \cap V) = 0{,}4 + 0{,}3 - 0{,}2 = 0{,}5\). 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_V(B)\): \(P_V(B) = \frac{P(B \cap V)}{P(V)} = \frac{0{,}2}{0{,}3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\). 4. Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\bar{V}}(B)\): \(P_{\bar{V}}(B) = \frac{P(B \cap \bar{V})}{P(\bar{V})} = \frac{0{,}2}{0{,}7} = \frac{2}{7} \approx 0{,}2857\). Interpretation: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Person für Basketball interessiert, wenn bekannt ist, dass sie sich nicht für Volleyball interessiert.

Antwort

a) Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(V\)</td><td>\(\bar{V}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}4\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{B}\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}6\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}7\)</td><td>\(1{,}0\)</td></tr> </table> b) \(P(B \cup V) = 0{,}5\) c) \(P_V(B) = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\) d) \(P_{\bar{V}}(B) = \frac{2}{7} \approx 0{,}2857\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit für Basketball-Interesse unter denjenigen, die kein Volleyball-Interesse haben.

42207611

Gegeben ist die folgende unvollständige Vierfeldertafel für die Ereignisse \(A\) und \(B\): <table> <tr> <td></td> <td>\(B\)</td> <td>\(\bar{B}\)</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>\(A\)</td> <td></td> <td>\(0{,}12\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(\bar{A}\)</td> <td>\(0{,}18\)</td> <td></td> <td>\(0{,}45\)</td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td></td> <td></td> <td>\(1{,}0\)</td> </tr> </table> a) Vervollständige die Vierfeldertafel. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit \(P(A \cup B)\). c) Berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_B(\bar{A})\) und \(P_{\bar{A}}(B)\). d) Überprüfe rechnerisch, ob die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Fülle die Tabelle schrittweise aus, indem du nutzt, dass Zeilen- und Spaltensummen addiert die Randwerte ergeben müssen. - Für die Vereinigung zweier Ereignisse darfst du das Schnittereignis nicht doppelt zählen. - Achte bei der bedingten Wahrscheinlichkeit genau darauf, welcher Wert im Nenner stehen muss – das ist immer die Bedingung. - Wie lautet die mathematische Bedingung, damit zwei Ereignisse als unabhängig gelten?

Lösung

1. Vervollständigung: Aus \(P(\bar{A}) = 0{,}45\) folgt \(P(A) = 0{,}55\). Aus \(P(A \cap \bar{B}) = 0{,}12\) folgt \(P(A \cap B) = 0{,}55 - 0{,}12 = 0{,}43\). Aus \(P(\bar{A} \cap B) = 0{,}18\) folgt \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}45 - 0{,}18 = 0{,}27\). Spaltensummen: \(P(B) = 0{,}43 + 0{,}18 = 0{,}61\) und \(P(\bar{B}) = 0{,}12 + 0{,}27 = 0{,}39\). 2. Vereinigungswahrscheinlichkeit: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}55 + 0{,}61 - 0{,}43 = 0{,}73\). 3. Bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_B(\bar{A}) = \frac{P(\bar{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}18}{0{,}61} \approx 0{,}2951\). \(P_{\bar{A}}(B) = \frac{P(\bar{A} \cap B)}{P(\bar{A})} = \frac{0{,}18}{0{,}45} = 0{,}4\). 4. Stochastische Unabhängigkeit: Prüfung von \(P(A) \cdot P(B) = 0{,}55 \cdot 0{,}61 = 0{,}3355\). Da \(P(A \cap B) = 0{,}43 \neq 0{,}3355\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig.

Antwort

a) Fehlende Werte: \(P(A) = 0{,}55\); \(P(A \cap B) = 0{,}43\); \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}27\); \(P(B) = 0{,}61\); \(P(\bar{B}) = 0{,}39\). b) \(P(A \cup B) = 0{,}73\) c) \(P_B(\bar{A}) \approx 0{,}2951\) und \(P_{\bar{A}}(B) = 0{,}4\) d) \(P(A) \cdot P(B) = 0{,}3355 \neq P(A \cap B) = 0{,}43\). Die Ereignisse sind stochastisch abhängig.

42208111

In einer Jahrgangsstufe mit \(200\) Jugendlichen wurden die Freizeitaktivitäten „Mitglied in einem Sportverein“ (\(S\)) und „Spielt ein Musikinstrument“ (\(M\)) untersucht. Die Ergebnisse sind in der folgenden Vierfeldertafel dargestellt: <table> <tr> <td></td> <td>\(M\)</td> <td>\(\overline{M}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(S\)</td> <td>\(40\)</td> <td>\(80\)</td> <td>\(120\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{S}\)</td> <td>\(40\)</td> <td>\(40\)</td> <td>\(80\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(80\)</td> <td>\(120\)</td> <td>\(200\)</td> </tr> </table> a) Erläutere den inhaltlichen Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit \(P(M \cap S)\) und der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_M(S)\). Berechne beide Werte. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher, der kein Musikinstrument spielt, im Sportverein ist. Gib diese Wahrscheinlichkeit in Symbolschreibweise an.

Denkanstöße

- Achte darauf, auf welche Grundmenge sich die jeweilige Wahrscheinlichkeit bezieht. - Wird eine Person aus der gesamten Gruppe oder nur aus einer bestimmten Untergruppe (z. B. nur Musiker) ausgewählt? - Die Symbolschreibweise für bedingte Wahrscheinlichkeiten nutzt oft einen Index für die Bedingung. - Überlege dir, welche Information im Text als „gegeben“ vorausgesetzt wird.

Lösung

1. Unterscheidung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(M \cap S)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus der gesamten Gruppe gewählte Person sowohl ein Instrument spielt als auch im Sportverein ist (Bezugsgröße \(200\)). \(P_M(S)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person im Sportverein ist, unter der Bedingung, dass sie bereits zur Gruppe der Instrumentenspieler gehört (Bezugsgröße \(80\)). 2. Berechnung: \(P(M \cap S) = \frac{40}{200} = 0{,}2\). 3. Berechnung: \(P_M(S) = \frac{40}{80} = 0{,}5\). 4. Symbolschreibweise für Aufgabenteil b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{M}}(S)\). 5. Berechnung: \(P_{\overline{M}}(S) = \frac{n(S \cap \overline{M})}{n(\overline{M})} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\).

Antwort

a) \(P(M \cap S)\) bezieht sich auf die Gesamtzahl (\(200\)), während \(P_M(S)\) nur die Gruppe der Personen betrachtet, die ein Musikinstrument spielen (\(80\)). \(P(M \cap S) = 0{,}2\); \(P_M(S) = 0{,}5\). b) \(P_{\overline{M}}(S) = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\).

42208211

Im Rahmen einer Gesundheitsstudie an \(500\) Personen wurde der Zusammenhang zwischen dem Merkmal „Raucher“ (\(R\)) und dem Auftreten von „Bluthochdruck“ (\(H\)) erfasst. <table> <tr> <td></td> <td>\(H\)</td> <td>\(\overline{H}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(R\)</td> <td>\(60\)</td> <td>\(90\)</td> <td>\(150\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{R}\)</td> <td>\(40\)</td> <td>\(310\)</td> <td>\(350\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(100\)</td> <td>\(400\)</td> <td>\(500\)</td> </tr> </table> a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P_R(H)\) sowie \(P_H(R)\) und interpretiere beide Ergebnisse im Sachzusammenhang. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person mit normalem Blutdruck (nicht \(H\)) raucht? Gib die Wahrscheinlichkeit in Symbolschreibweise an und berechne den Wert.

Denkanstöße

- Überlege bei bedingten Wahrscheinlichkeiten immer: „Von welcher Gruppe gehe ich aus?“ - Die Bedingung steht im Text oft nach Wörtern wie „wenn“, „unter der Bedingung“ oder „von den...“. - Das Symbol \(P_A(B)\) liest man als „Wahrscheinlichkeit von \(B\) unter der Bedingung \(A\)“. - Die Summen am Rand der Tabelle helfen dir, die Nenner für die Brüche zu finden.

Lösung

1. Berechnung \(P_R(H)\): Anteil der Personen mit Bluthochdruck unter den Rauchern: \(P_R(H) = \frac{60}{150} = 0{,}4\). Das bedeutet, \(40\,\%\) der Raucher haben Bluthochdruck. 2. Berechnung \(P_H(R)\): Anteil der Raucher unter den Personen mit Bluthochdruck: \(P_H(R) = \frac{60}{100} = 0{,}6\). Das bedeutet, \(60\,\%\) der Personen mit Bluthochdruck sind Raucher. 3. Symbolschreibweise für Aufgabenteil b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{H}}(R)\). 4. Berechnung: Die Anzahl der Personen ohne Bluthochdruck ist \(400\), davon rauchen \(90\). Somit gilt \(P_{\overline{H}}(R) = \frac{90}{400} = 0{,}225\).

Antwort

a) \(P_R(H) = 0{,}4\) (\(40\,\%\) der Raucher haben Bluthochdruck); \(P_H(R) = 0{,}6\) (\(60\,\%\) der Personen mit Bluthochdruck rauchen). b) \(P_{\overline{H}}(R) = \frac{90}{400} = 0{,}225\).

42208311

In einem Sportverein mit \(200\) Mitgliedern wird das Kursangebot analysiert. Dabei stellt sich heraus, dass \(80\) Mitglieder regelmäßig den Yoga-Kurs besuchen und \(130\) Mitglieder am Krafttraining teilnehmen. \(30\) Mitglieder nutzen keines der beiden Angebote. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Mitglied sowohl am Yoga-Kurs als auch am Krafttraining teilnimmt. b) Ein Mitglied wird zufällig aus der Gruppe derjenigen ausgewählt, die Yoga besuchen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person kein Krafttraining betreibt.

Denkanstöße

- Kannst du die gegebenen Zahlen in einer Vierfeldertafel anordnen? - Wie viele Personen nutzen insgesamt mindestens eines der beiden Angebote? - Überlege für den ersten Teil, wie groß die Überschneidung der beiden Gruppen sein muss, damit die Gesamtzahl stimmt. - Achte bei der bedingten Wahrscheinlichkeit darauf, welche Personengruppe die neue Grundmenge bildet.

Lösung

1. Identifikation der Gesamtzahl \(n = 200\) sowie der Ereignisse \(Y\) (Yoga) mit \(|Y| = 80\) und \(K\) (Krafttraining) mit \(|K| = 130\). 2. Bestimmung der Anzahl der Mitglieder, die mindestens eines der Angebote nutzen: \(|Y \cup K| = 200 - 30 = 170\). 3. Berechnung der Schnittmenge mittels der Additionsregel: \(|Y \cap K| = |Y| + |K| - |Y \cup K| = 80 + 130 - 170 = 40\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Teilaufgabe a): \(P(Y \cap K) = \frac{40}{200} = 0{,}2\). 5. Bestimmung der Anzahl der Yoga-Teilnehmer ohne Krafttraining: \(|Y \cap \bar{K}| = |Y| - |Y \cap K| = 80 - 40 = 40\). 6. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit für Teilaufgabe b): \(P(\bar{K}|Y) = \frac{|Y \cap \bar{K}|}{|Y|} = \frac{40}{80} = 0{,}5\).

Antwort

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}2\) (oder \(20\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}5\) (oder \(50\,\%\)).

42208411

Bei der Qualitätskontrolle von Smartphones werden zwei Arten von Mängeln untersucht: Displayfehler (\(D\)) und Gehäusekratzer (\(G\)). Statistiken zeigen, dass \(12\,\%\) der Geräte einen Displayfehler und \(8\,\%\) Gehäusekratzer aufweisen. \(85\,\%\) der produzierten Smartphones sind völlig einwandfrei, besitzen also keinen dieser Mängel. a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Smartphone beide Mängel aufweist. b) Ein Gerät weist einen Gehäusekratzer auf. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Gerät zusätzlich einen Displayfehler hat.

Denkanstöße

- Welcher Anteil der Geräte hat überhaupt einen Fehler? - Wie hängen die Einzelwahrscheinlichkeiten der Fehler mit der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten beider Fehler zusammen? - Was ist die Bedingung im zweiten Teil der Aufgabe und wie verändert sie die Basis deiner Berechnung?

Lösung

1. Festlegen der Wahrscheinlichkeiten: \(P(D) = 0{,}12\), \(P(G) = 0{,}08\) und \(P(\bar{D} \cap \bar{G}) = 0{,}85\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Fehler vorliegt: \(P(D \cup G) = 1 - P(\bar{D} \cap \bar{G}) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15\). 3. Berechnung der Schnittmenge (beide Mängel) über die Formel \(P(D \cap G) = P(D) + P(G) - P(D \cup G)\): \(P(D \cap G) = 0{,}12 + 0{,}08 - 0{,}15 = 0{,}05\). Dies löst Teilaufgabe a). 4. Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit für Teilaufgabe b): \(P(D|G) = \frac{P(D \cap G)}{P(G)} = \frac{0{,}05}{0{,}08} = 0{,}625\).

Antwort

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}05\) (oder \(5\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}625\) (oder \(62{,}5\,\%\)).

42208811

Bei einer Marktforschung werden Frühstücksgewohnheiten untersucht. Die Ereignisse \(A\) (Kaffee-Trinker) und \(B\) (Müsli-Esser) werden betrachtet. Die folgende Tabelle enthält die relativen Häufigkeiten: <table> <tr> <td></td> <td>\(B\)</td> <td>\(\overline{B}\)</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>\(A\)</td> <td></td> <td>\(0{,}35\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(\overline{A}\)</td> <td>\(0{,}15\)</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td>\(0{,}40\)</td> <td></td> <td>\(1{,}00\)</td> </tr> </table> Ergänze die fehlenden Werte und berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_A(B)\), \(P_{\overline{B}}(A)\), \(P_B(\overline{A})\) und \(P_{\overline{A}}(\overline{B})\).

Denkanstöße

- Überlege dir, wie du die Tabelle Zeile für Zeile oder Spalte für Spalte vervollständigen kannst. - Was bedeutet die Bedingung bei einer Wahrscheinlichkeit für die Auswahl der Grundgesamtheit? - Kannst du eine Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_X(Y)\) mit den Werten aus der Tabelle aufstellen? - Achte darauf, ob du die Werte aus den inneren Feldern oder von den Rändern der Tabelle dividieren musst.

Lösung

1. Berechnung der Randwahrscheinlichkeit für \(\overline{B}\): \(P(\overline{B}) = 1{,}00 - 0{,}40 = 0{,}60\). 2. Bestimmung der inneren Wahrscheinlichkeiten: \(P(A \cap B) = P(B) - P(\overline{A} \cap B) = 0{,}40 - 0{,}15 = 0{,}25\). 3. Bestimmung von \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0{,}60 - 0{,}35 = 0{,}25\). 4. Berechnung der restlichen Randwahrscheinlichkeiten: \(P(A) = 0{,}25 + 0{,}35 = 0{,}60\) und \(P(\overline{A}) = 0{,}15 + 0{,}25 = 0{,}40\). 5. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: \(P_A(B) = \frac{0{,}25}{0{,}60} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167\) \(P_{\overline{B}}(A) = \frac{0{,}35}{0{,}60} = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\) \(P_B(\overline{A}) = \frac{0{,}15}{0{,}40} = 0{,}375\) \(P_{\overline{A}}(\overline{B}) = \frac{0{,}25}{0{,}40} = 0{,}625\)

Antwort

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr> <td></td> <td>\(B\)</td> <td>\(\overline{B}\)</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>\(A\)</td> <td>\(0{,}25\)</td> <td>\(0{,}35\)</td> <td>\(0{,}60\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{A}\)</td> <td>\(0{,}15\)</td> <td>\(0{,}25\)</td> <td>\(0{,}40\)</td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td>\(0{,}40\)</td> <td>\(0{,}60\)</td> <td>\(1{,}00\)</td> </tr> </table> Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind: \(P_A(B) \approx 0{,}4167\); \(P_{\overline{B}}(A) \approx 0{,}5833\); \(P_B(\overline{A}) = 0{,}375\); \(P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}625\).

42208911

Gegeben ist die folgende unvollständige Vierfeldertafel für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\). <table> <tr> <td></td> <td>\(B\)</td> <td>\(\overline{B}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(A\)</td> <td>\(0{,}20\)</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(\overline{A}\)</td> <td></td> <td></td> <td>\(0{,}40\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(0{,}50\)</td> <td></td> <td>\(1{,}00\)</td> </tr> </table> Vervollständige die Tabelle und berechne anschließend die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_A(B)\), \(P_A(\overline{B})\), \(P_{\overline{A}}(B)\), \(P_{\overline{A}}(\overline{B})\), \(P_B(A)\), \(P_B(\overline{A})\), \(P_{\overline{B}}(A)\) und \(P_{\overline{B}}(\overline{A})\).

Denkanstöße

- Bestimme zuerst alle fehlenden Werte in der Vierfeldertafel, indem du die Eigenschaft nutzt, dass die Summen der Zeilen und Spalten die Randwahrscheinlichkeiten ergeben. - Überlege dir, welche Wahrscheinlichkeit im Nenner stehen muss, wenn eine Bedingung wie „unter der Bedingung A“ gegeben ist. - Die Summe der bedingten Wahrscheinlichkeiten für ein festes Bedingungsereignis (z. B. \(P_A(B) + P_A(\overline{B})\)) muss immer 1 ergeben.

Lösung

1. Vervollständigung der Tafel: \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60\) \(P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}60 - 0{,}20 = 0{,}40\) \(P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}50 - 0{,}20 = 0{,}30\) \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) - P(\overline{A} \cap B) = 0{,}40 - 0{,}30 = 0{,}10\) \(P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}50 = 0{,}50\) 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: \(P_A(B) = \frac{0{,}20}{0{,}60} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\) \(P_A(\overline{B}) = \frac{0{,}40}{0{,}60} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\) \(P_{\overline{A}}(B) = \frac{0{,}30}{0{,}40} = 0{,}75\) \(P_{\overline{A}}(\overline{B}) = \frac{0{,}10}{0{,}40} = 0{,}25\) \(P_B(A) = \frac{0{,}20}{0{,}50} = 0{,}40\) \(P_B(\overline{A}) = \frac{0{,}30}{0{,}50} = 0{,}60\) \(P_{\overline{B}}(A) = \frac{0{,}40}{0{,}50} = 0{,}80\) \(P_{\overline{B}}(\overline{A}) = \frac{0{,}10}{0{,}50} = 0{,}20\)

Antwort

Die vervollständigte Tafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}40\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}30\)</td><td>\(0{,}10\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table> Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind: \(P_A(B) = \frac{1}{3}\); \(P_A(\overline{B}) = \frac{2}{3}\); \(P_{\overline{A}}(B) = 0{,}75\); \(P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}25\); \(P_B(A) = 0{,}4\); \(P_B(\overline{A}) = 0{,}6\); \(P_{\overline{B}}(A) = 0{,}8\); \(P_{\overline{B}}(\overline{A}) = 0{,}2\).

42209011

In einer Umfrage unter Jugendlichen gaben \(70\,\%\) an, regelmäßig eine Gaming-App (\(G\)) zu nutzen. \(60\,\%\) nutzen regelmäßig eine Musik-App (\(M\)). Die Hälfte aller Befragten nutzt beide App-Typen regelmäßig. Stelle die Situation in einer Vierfeldertafel dar und berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: a) Ein Jugendlicher nutzt eine Musik-App, unter der Bedingung, dass er bereits eine Gaming-App nutzt. b) Ein Jugendlicher nutzt eine Gaming-App, obwohl er keine Musik-App nutzt.

Denkanstöße

- Übersetze die Prozentangaben zuerst in Wahrscheinlichkeiten (Dezimalzahlen). - Achte bei den Formulierungen genau darauf, welches Ereignis die Bedingung ist (nach „unter der Bedingung“ oder „obwohl“) und welches Ereignis untersucht wird. - Erstelle eine Tabelle mit den Kategorien „nutzt App“ und „nutzt App nicht“ für beide Medientypen.

Lösung

1. Erstellung der Vierfeldertafel aus den Angaben: \(P(G) = 0{,}7\), \(P(M) = 0{,}6\), \(P(G \cap M) = 0{,}5\). Daraus folgt: \(P(G \cap \overline{M}) = P(G) - P(G \cap M) = 0{,}7 - 0{,}5 = 0{,}2\) \(P(\overline{G} \cap M) = P(M) - P(G \cap M) = 0{,}6 - 0{,}5 = 0{,}1\) \(P(\overline{G} \cap \overline{M}) = 1 - (0{,}5 + 0{,}2 + 0{,}1) = 0{,}2\) \(P(\overline{G}) = 0{,}3\); \(P(\overline{M}) = 0{,}4\). 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: a) \(P_G(M) = \frac{P(G \cap M)}{P(G)} = \frac{0{,}5}{0{,}7} = \frac{5}{7} \approx 0{,}714\) b) \(P_{\overline{M}}(G) = \frac{P(G \cap \overline{M})}{P(\overline{M})} = \frac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5\)

Antwort

Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\overline{M}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(G\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(\overline{G}\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}3\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}6\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(1{,}0\)</td></tr> </table> a) \(P_G(M) = \frac{5}{7} \approx 71{,}4\,\%\) b) \(P_{\overline{M}}(G) = 0{,}5 = 50\,\%\)

42209711

In einem Chor singen \(40\) Personen. Es wird zwischen hohen Stimmen (\(H\): Sopran und Alt) und tiefen Stimmen (\(T\): Tenor und Bass) unterschieden. Zudem gibt es Profis (\(P\)) und Amateure (\(A\)). Drei Chormitglieder machen folgende Beobachtungen: Lukas: „Die meisten Profis singen in den tiefen Stimmen.“ Julia: „Die Mehrheit der Sänger in den hohen Stimmen sind Amateure.“ Moritz: „Unter den Sängern in den tiefen Stimmen sind die meisten Profis.“ a) Drücke die Beobachtungen von Lukas, Julia und Moritz mithilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten in Form von Ungleichungen aus. b) Erstelle eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten für die \(40\) Personen, die zeigt, dass alle drei Aussagen gleichzeitig wahr sein können. Überprüfe deine Werte anhand der Ungleichungen aus Teilaufgabe a). c) Berechne für deine gewählten Werte die Wahrscheinlichkeit, dass (1) ein zufällig ausgewählter Profi in einer hohen Stimme singt, (2) ein zufällig ausgewählter Sänger der tiefen Stimmen ein Amateur ist.

Denkanstöße

- Was bedeutet „die meisten“ mathematisch im Hinblick auf den Anteil an einer Teilgruppe? - Achte darauf, welche Gruppe jeweils die Grundgesamtheit für die Bedingung bildet. - Probiere für die Tabelle zuerst kleine Werte für die Schnittmengen aus und prüfe, ob die Summen die Bedingungen erfüllen. - Die Summe aller vier inneren Felder muss genau der Gesamtzahl der Personen entsprechen.

Lösung

1. Übersetzung der Aussagen in bedingte Wahrscheinlichkeiten: Lukas fordert \(P(T|P) > 0{,}5\), Julia fordert \(P(A|H) > 0{,}5\) und Moritz fordert \(P(P|T) > 0{,}5\). 2. Konstruktion der Vierfeldertafel: Mit den Werten \(n(H \cap P) = 5\), \(n(H \cap A) = 15\), \(n(T \cap P) = 12\) und \(n(T \cap A) = 8\) ergibt sich eine Gesamtzahl von \(40\). 3. Überprüfung der Bedingungen: Lukas: \(P(T|P) = \frac{12}{17} \approx 0{,}706 > 0{,}5\) (erfüllt). Julia: \(P(A|H) = \frac{15}{20} = 0{,}75 > 0{,}5\) (erfüllt). Moritz: \(P(P|T) = \frac{12}{20} = 0{,}6 > 0{,}5\) (erfüllt). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten in c): (1) \(P(H|P) = \frac{n(H \cap P)}{n(P)} = \frac{5}{17} \approx 0{,}294\). (2) \(P(A|T) = \frac{n(T \cap A)}{n(T)} = \frac{8}{20} = 0{,}4\).

Antwort

a) Lukas: \(P(T|P) > 0{,}5\); Julia: \(P(A|H) > 0{,}5\); Moritz: \(P(P|T) > 0{,}5\). b) Eine mögliche Vierfeldertafel ist: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(P\)</td><td>\(A\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(H\)</td><td>5</td><td>15</td><td>20</td></tr> <tr><td>\(T\)</td><td>12</td><td>8</td><td>20</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>17</td><td>23</td><td>40</td></tr> </table> c) (1) \(P(H|P) = \frac{5}{17} \approx 0{,}294\); (2) \(P(A|T) = \frac{8}{20} = 0{,}4\).

42213911

In einem mittelständischen Unternehmen mit 200 Mitarbeitern wurde eine Umfrage zur Nutzung von Verkehrsmitteln für den Arbeitsweg durchgeführt. Dabei wurden die Merkmale \(F\): „Nutzt das Fahrrad“ und \(B\): „Nutzt die Bahn“ erfasst. Ein Mitarbeiter wird zufällig für ein Interview ausgewählt. <table> <tr> <td></td> <td>\(F\)</td> <td>\(\bar{F}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(B\)</td> <td></td> <td>80</td> <td>120</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{B}\)</td> <td>50</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td></td> <td></td> <td>200</td> </tr> </table> a) Vervollständige die Vierfeldertafel. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person (1) das Fahrrad nutzt, (2) weder die Bahn noch das Fahrrad nutzt, (3) die Bahn nutzt, wenn bekannt ist, dass sie das Fahrrad nutzt.

Denkanstöße

- Kannst du die fehlenden Felder in der Tabelle durch Addition oder Subtraktion der Zeilen- und Spaltenwerte finden? - Was bedeutet das Wort „wenn“ in der Aufgabenstellung für die Wahl der Grundmenge? - Achte darauf, ob nach einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeit oder einer bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt ist.

Lösung

1. Berechnung der fehlenden Werte in der Tabelle: \(n(F \cap B) = 120 - 80 = 40\); \(n(\bar{B}) = 200 - 120 = 80\); \(n(\bar{F} \cap \bar{B}) = 80 - 50 = 30\); \(n(F) = 40 + 50 = 90\); \(n(\bar{F}) = 80 + 30 = 110\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: (1) \(P(F) = \frac{n(F)}{N} = \frac{90}{200} = 0{,}45\). (2) \(P(\bar{B} \cap \bar{F}) = \frac{n(\bar{B} \cap \bar{F})}{N} = \frac{30}{200} = 0{,}15\). (3) Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(B|F) = \frac{n(B \cap F)}{n(F)} = \frac{40}{90} = \frac{4}{9} \approx 0{,}444\).

Antwort

a) Vollständige Tabelle: \(n(F \cap B) = 40\), \(n(\bar{F} \cap \bar{B}) = 30\), \(n(F) = 90\), \(n(\bar{F}) = 110\), \(n(\bar{B}) = 80\). b) (1) \(P(F) = 0{,}45\); (2) \(P(\bar{B} \cap \bar{F}) = 0{,}15\); (3) \(P(B|F) = \frac{4}{9} \approx 0{,}444\).

42287311

Ein Unternehmen hat \(150\) Angestellte, die alle ein Diensthandy besitzen. Davon nutzen \(40\,\%\) ein iPhone, während die übrigen ein Android-Gerät verwenden. Es gibt im Unternehmen doppelt so viele geschäftliche Mobilfunkverträge wie private Verträge. Von den Personen mit einem geschäftlichen Vertrag nutzen \(15\,\%\) ein iPhone. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person einen privaten Vertrag besitzt oder ein iPhone nutzt.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie viele Personen insgesamt in die jeweiligen Kategorien (Handytyp, Vertragstyp) fallen. - Eine Vierfeldertafel kann helfen, die absoluten Häufigkeiten übersichtlich darzustellen. - Achte darauf, ob eine Angabe eine absolute Zahl, einen Anteil an der Gesamtheit oder einen Anteil an einer Untergruppe beschreibt. - Wenn nach „Ereignis A oder Ereignis B“ gefragt ist, denke an die Formel für die Vereinigung von Ereignissen.

Lösung

1. Berechnung der absoluten Häufigkeiten für die Handytypen: \(n(\text{iPhone}) = 150 \cdot 0{,}4 = 60\), daraus folgt \(n(\text{Android}) = 90\). 2. Bestimmung der Vertragsanzahlen über ein Gleichungssystem: \(n(\text{geschäftlich}) + n(\text{privat}) = 150\) und \(n(\text{geschäftlich}) = 2 \cdot n(\text{privat})\). Dies ergibt \(n(\text{privat}) = 50\) und \(n(\text{geschäftlich}) = 100\). 3. Ermittlung der Schnittmenge aus der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(n(\text{iPhone} \cap \text{geschäftlich}) = 100 \cdot 0{,}15 = 15\). 4. Berechnung der Schnittmenge für den privaten Vertrag: \(n(\text{iPhone} \cap \text{privat}) = n(\text{iPhone}) - n(\text{iPhone} \cap \text{geschäftlich}) = 60 - 15 = 45\). 5. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit mit dem Additionssatz: \(P(\text{privat} \cup \text{iPhone}) = P(\text{privat}) + P(\text{iPhone}) - P(\text{privat} \cap \text{iPhone}) = \frac{50}{150} + \frac{60}{150} - \frac{45}{150} = \frac{65}{150} = \frac{13}{30}\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{13}{30} \approx 43{,}3\,\%\).

42287911

In einer Jahrgangsstufe von 200 Jugendlichen besitzen \(60\,\%\) ein Tablet. 60 Jugendliche besitzen keinen Laptop. Zehn Prozent aller Jugendlichen dieser Stufe besitzen weder ein Tablet noch einen Laptop. Aus der Stufe wird eine Person zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person einen Laptop besitzt, wenn bekannt ist, dass sie ein Tablet besitzt.

Denkanstöße

- Kannst du die Informationen in einer Vierfeldertafel übersichtlich darstellen? - Welche Gesamtzahl an Personen ergibt sich aus den Prozentangaben? - Was ist die Bedingung in dieser Aufgabe und wie schränkt sie die Grundmenge ein? - Wie hängen die Personen ohne Laptop mit der Gruppe zusammen, die weder Tablet noch Laptop hat?

Lösung

1. Bestimmung der absoluten Häufigkeiten: Gesamtzahl \(n = 200\). 2. Anzahl der Tablet-Besitzer: \(n(T) = 0{,}6 \cdot 200 = 120\). 3. Anzahl der Personen ohne Laptop: \(n(L^c) = 60\). 4. Anzahl der Personen ohne beide Geräte: \(n(T^c \cap L^c) = 0{,}1 \cdot 200 = 20\). 5. Berechnung der Anzahl der Personen mit Tablet, aber ohne Laptop: \(n(T \cap L^c) = n(L^c) - n(T^c \cap L^c) = 60 - 20 = 40\). 6. Berechnung der Anzahl der Personen mit beiden Geräten: \(n(T \cap L) = n(T) - n(T \cap L^c) = 120 - 40 = 80\). 7. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P(L|T) = \frac{n(T \cap L)}{n(T)} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\).

42288011

An einer Schule mit 500 Schülern belegen \(40\,\%\) den Kurs Musik. Von den Schülern, die den Kurs Musik nicht belegen, hat ein Viertel den Kurs Kunst gewählt. Insgesamt belegen 125 Schüler den Kurs Kunst. Eine Person wird zufällig ausgewählt. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person den Kurs Musik belegt, unter der Bedingung, dass sie den Kurs Kunst belegt.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie viele Schüler den Kurs Musik nicht belegen. - Wie viele dieser Nicht-Musik-Schüler sind im Kunstkurs? - Wenn du die Gesamtzahl der Kunst-Schüler kennst, wie findest du dann heraus, wie viele davon auch Musik belegen? - Was genau ist die Bedingung, die hier gegeben ist?

Lösung

1. Bestimmung der Grundwerte: Gesamtzahl \(n = 500\). 2. Anzahl der Musik-Schüler: \(n(M) = 0{,}4 \cdot 500 = 200\). 3. Anzahl der Schüler, die den Kurs Musik nicht belegen: \(n(M^c) = 500 - 200 = 300\). 4. Berechnung der Kunst-Schüler ohne Musik: \(n(K \cap M^c) = \frac{1}{4} \cdot 300 = 75\). 5. Gegebene Gesamtzahl der Kunst-Schüler: \(n(K) = 125\). 6. Berechnung der Schnittmenge (Musik und Kunst): \(n(K \cap M) = n(K) - n(K \cap M^c) = 125 - 75 = 50\). 7. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P(M|K) = \frac{n(K \cap M)}{n(K)} = \frac{50}{125} = 0{,}4\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}4\) bzw. \(40\,\%\).

42289811

In einem Sportverein mit \(120\) Mitgliedern nutzen \(80\) Personen das Fitnessstudio (\(F\)) und \(50\) Personen das Schwimmbad (\(S\)). Es ist bekannt, dass \(30\) Mitglieder keines der beiden Angebote nutzen. a) Erstelle eine Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Mitglied genau eines der beiden Angebote nutzt. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied, von dem man weiß, dass es das Schwimmbad nutzt, auch im Fitnessstudio angemeldet ist?

Denkanstöße

- Wie viele Personen nutzen insgesamt das Studio oder das Schwimmbad? - „Genau eines“ bedeutet: Entweder Studio ohne Schwimmen oder Schwimmen ohne Studio. Wo findest du diese Werte in der Tabelle? - Bei der letzten Teilaufgabe ändert sich die Bezugsgruppe. Du betrachtest nicht mehr alle Mitglieder, sondern nur noch einen Teil.

Lösung

1. Grundwerte: \(n = 120\), \(|F| = 80\), \(|S| = 50\), \(|\bar{F} \cap \bar{S}| = 30\). 2. Berechnung der Schnittmenge: \(|F \cup S| = 120 - 30 = 90\). Daraus folgt \(|F \cap S| = 80 + 50 - 90 = 40\). 3. Ausfüllen der Tabelle: - \(|F \cap \bar{S}| = 80 - 40 = 40\) - \(|\bar{F} \cap S| = 50 - 40 = 10\) 4. Genau ein Angebot nutzen: Summe aus „nur Fitness“ und „nur Schwimmen“: \(40 + 10 = 50\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{50}{120} = \frac{5}{12} \approx 41{,}67\,\%\). 5. Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(F|S)\): Gesucht ist der Anteil derer, die beides nutzen, an der Gesamtzahl der Schwimmbadnutzer. \(P(F|S) = \frac{|F \cap S|}{|S|} = \frac{40}{50} = 0{,}8 = 80\,\%\).

Antwort

a) Vierfeldertafel: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(S\)</td><td>\(\bar{S}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(F\)</td><td>\(40\)</td><td>\(40\)</td><td>\(80\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{F}\)</td><td>\(10\)</td><td>\(30\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(50\)</td><td>\(70\)</td><td>\(120\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{12} \approx 41{,}67\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(80\,\%\).

41475911

Ein Unternehmen stellt USB-Sticks in zwei Farben her: Silber (\(S\)) und Schwarz (\(B\)). Ein Teil der Sticks ist fehlerhaft (\(D\)). \(70\,\%\) der Sticks sind silber. Von den silbernen Sticks sind \(5\,\%\) fehlerhaft. Insgesamt sind \(4{,}4\,\%\) aller produzierten Sticks fehlerhaft. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten für die Merkmale Farbe (\(S\)/\(B\)) und Zustand (\(D\)/\(\bar{D}\)). b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhafter Stick schwarz ist?

Denkanstöße

- Beginne damit, alle direkt gegebenen Wahrscheinlichkeiten in eine Tabelle einzutragen. - Wie kannst du die fehlenden Felder in der Tabelle durch Addition oder Subtraktion berechnen? - Was ist der Unterschied zwischen „ein schwarzer Stick ist fehlerhaft“ und „ein fehlerhafter Stick ist schwarz“?

Lösung

1. Gegebene Werte: \(P(S) = 0{,}7\), \(P(D|S) = 0{,}05\), \(P(D) = 0{,}044\). 2. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit \(P(D \cap S) = P(D|S) \cdot P(S) = 0{,}05 \cdot 0{,}7 = 0{,}035\). 3. Ausfüllen der Vierfeldertafel: - \(P(B) = 1 - P(S) = 0{,}3\) - \(P(D \cap B) = P(D) - P(D \cap S) = 0{,}044 - 0{,}035 = 0{,}009\) - \(P(\bar{D} \cap S) = P(S) - P(D \cap S) = 0{,}7 - 0{,}035 = 0{,}665\) - \(P(\bar{D} \cap B) = P(B) - P(D \cap B) = 0{,}3 - 0{,}009 = 0{,}291\) - \(P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 0{,}956\) 4. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(B|D) = \frac{P(D \cap B)}{P(D)} = \frac{0{,}009}{0{,}044} = \frac{9}{44} \approx 0{,}2045\).

Antwort

a) Die Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(D\)</td><td>\(\bar{D}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(S\)</td><td>\(0{,}035\)</td><td>\(0{,}665\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}009\)</td><td>\(0{,}291\)</td><td>\(0{,}3\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}044\)</td><td>\(0{,}956\)</td><td>\(1{,}0\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{9}{44} \approx 20{,}45\,\%\).

42214011

An einer Schule mit 250 Schülern wurde eine Umfrage zum Thema Ernährung durchgeführt. \(40\,\%\) der Schüler gaben an, sich vegetarisch (\(V\)) zu ernähren. Von diesen vegetarisch lebenden Schülern trinken \(60\,\%\) regelmäßig Milch (\(M\)). Insgesamt gibt es an der Schule 160 Schüler, die regelmäßig Milch trinken. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Schüler (1) kein Vegetarier ist und keine Milch trinkt, (2) Vegetarier ist, unter der Bedingung, dass er Milch trinkt, (3) keine Milch trinkt, wenn bekannt ist, dass er kein Vegetarier ist.

Denkanstöße

- Beginne damit, die Prozentangaben in absolute Schülerzahlen umzurechnen. - Wie viele Schüler sind insgesamt Vegetarier und wie viele davon trinken Milch? Nutze dies als Startpunkt für deine Tabelle. - Überlege bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten genau, welche Teilgruppe die neue Grundgesamtheit bildet. - „Kein Vegetarier“ entspricht dem Ereignis \(\bar{V}\).

Lösung

1. Bestimmung der absoluten Häufigkeiten: \(n(V) = 0{,}4 \cdot 250 = 100\); daraus folgt \(n(\bar{V}) = 150\). 2. Bestimmung der Schnittmengen: \(n(V \cap M) = 0{,}6 \cdot 100 = 60\). Mit \(n(M) = 160\) ergibt sich \(n(\bar{V} \cap M) = 160 - 60 = 100\). 3. Restliche Felder: \(n(V \cap \bar{M}) = 100 - 60 = 40\); \(n(\bar{V} \cap \bar{M}) = 150 - 100 = 50\); \(n(\bar{M}) = 40 + 50 = 90\). 4. Wahrscheinlichkeiten: (1) \(P(\bar{V} \cap \bar{M}) = \frac{50}{250} = 0{,}2\). (2) \(P(V|M) = \frac{n(V \cap M)}{n(M)} = \frac{60}{160} = 0{,}375\). (3) \(P(\bar{M}|\bar{V}) = \frac{n(\bar{M} \cap \bar{V})}{n(\bar{V})} = \frac{50}{150} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\).

Antwort

a) Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\bar{M}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(V\)</td><td>\(60\)</td><td>\(40\)</td><td>\(100\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{V}\)</td><td>\(100\)</td><td>\(50\)</td><td>\(150\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(160\)</td><td>\(90\)</td><td>\(250\)</td></tr> </table> b) (1) \(P(\bar{V} \cap \bar{M}) = 0{,}2\); (2) \(P(V|M) = 0{,}375\); (3) \(P(\bar{M}|\bar{V}) = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\).

42287411

In einem Sportverein mit \(120\) Mitgliedern sind \(60\,\%\) Jugendliche und der Rest Erwachsene. Im Verein spielen insgesamt \(20\) Personen mehr Tennis als Hockey. Jedes Mitglied entscheidet sich für genau eine dieser beiden Sportarten. Bekannt ist zudem, dass genau ein Viertel der Jugendlichen Hockey spielt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Mitglied ein Erwachsener ist, unter der Bedingung, dass es Tennis spielt.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl der Personen in den vier Kategorien der Felder. - Formuliere für die Information über die Sportarten eine kleine Gleichung, um die Summenwerte zu erhalten. - Erstelle eine Vierfeldertafel, um die fehlenden Werte schrittweise zu berechnen. - Achte bei der finalen Frage genau darauf, welche Gruppe die Grundmenge für die Wahrscheinlichkeit bildet (die Bedingung).

Lösung

1. Berechnung der Altersgruppen: \(n(\text{Jugendliche}) = 120 \cdot 0{,}6 = 72\), folglich \(n(\text{Erwachsene}) = 120 - 72 = 48\). 2. Berechnung der Sportartenverteilung: Sei \(x\) die Anzahl der Hockeyspieler, dann gilt \(x + (x + 20) = 120 \implies 2x = 100 \implies x = 50\). Es gibt also \(n(\text{Hockey}) = 50\) und \(n(\text{Tennis}) = 70\). 3. Bestimmung der Hockeyspieler unter den Jugendlichen: \(n(\text{Hockey} \cap \text{Jugendliche}) = 72 \cdot 0{,}25 = 18\). 4. Bestimmung der Tennisspieler unter den Jugendlichen: \(n(\text{Tennis} \cap \text{Jugendliche}) = 72 - 18 = 54\). 5. Berechnung der Tennis spielenden Erwachsenen: \(n(\text{Tennis} \cap \text{Erwachsene}) = n(\text{Tennis}) - n(\text{Tennis} \cap \text{Jugendliche}) = 70 - 54 = 16\). 6. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Erwachsener}|\text{Tennis}) = \frac{n(\text{Erwachsene} \cap \text{Tennis})}{n(\text{Tennis})} = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{8}{35} \approx 22{,}9\,\%\).

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.