Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche Informationen sind direkt aus dem Text ablesbar? - Wie kannst du die Summenzeilen und -spalten nutzen, um fehlende Felder zu berechnen? - Was bedeutet die Einschränkung „wenn bereits bekannt ist...“ für die Grundmenge deiner Berechnung?

1. Definition der Ereignisse: \(B\): spielt Basketball, \(T\): spielt Tennis. Grundgesamtheit \(n = 100\). 2. Bekannte Werte eintragen: \(|B| = 60\), \(|T| = 50\), \(|B \cap T| = 30\). 3. Fehlende Werte der Vierfeldertafel berechnen: - \(|B \cap \bar{T}| = |B| - |B \cap T| = 60 - 30 = 30\) - \(|\bar{B} \cap T| = |T| - |B \cap T| = 50 - 30 = 20\) - \(|\bar{B}| = 100 - 60 = 40\) - \(|\bar{B} \cap \bar{T}| = |\bar{B}| - |\bar{B} \cap T| = 40 - 20 = 20\) 4. Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(T \mid B)\) berechnen: \(P(T \mid B) = \frac{|B \cap T|}{|B|} = \frac{30}{60} = 0{,}5\).

a) Die Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(T\)</td><td>\(\bar{T}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(30\)</td><td>\(30\)</td><td>\(60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{B}\)</td><td>\(20\)</td><td>\(20\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(50\)</td><td>\(50\)</td><td>\(100\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}5\) (oder \(50\,\%\)).

- Welche Informationen sind direkt gegeben und welche musst du durch Subtraktion bestimmen? - Überlege dir, welche Ereignisse in die Zeilen und welche in die Spalten der Tabelle gehören. - Achte bei der Wahrscheinlichkeit darauf, welche Gruppe die „Basis“ bildet (alle Lampen oder nur die aussortierten?). - Was bedeutet es für eine Firma, wenn funktionierende Produkte im Müll landen?

1. Bestimmung der Grundgesamtheit und der Teilmengen: Gesamtzahl \(N = 5000\). Anzahl defekt \(D = 150\), Anzahl intakt \(\bar{D} = 4850\). 2. Zuordnung der Testwerte: Richtig positiv (defekt und aussortiert) \(N(D \cap A) = 140\). Falsch positiv (intakt und aussortiert) \(N(\bar{D} \cap A) = 200\). 3. Berechnung der restlichen Werte für die Vierfeldertafel: Falsch negativ (defekt, nicht aussortiert) \(N(D \cap \bar{A}) = 150 - 140 = 10\). Richtig negativ (intakt, nicht aussortiert) \(N(\bar{D} \cap \bar{A}) = 4850 - 200 = 4650\). 4. Summenbildung für die Testausgänge: Gesamtzahl aussortiert \(N(A) = 140 + 200 = 340\). Gesamtzahl nicht aussortiert \(N(\bar{A}) = 10 + 4650 = 4660\). 5. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit für b): \(P(\bar{D}|A) = \frac{N(\bar{D} \cap A)}{N(A)} = \frac{200}{340} = \frac{10}{17} \approx 0{,}5882\). 6. Interpretation für c): Da ca. \(58{,}8\,\%\) der aussortierten Lampen eigentlich funktionieren, entstehen dem Betrieb unnötige Kosten durch Materialverlust oder zusätzlichen Prüfaufwand.

a) Die Vierfeldertafel sieht wie folgt aus: <table> <tr><th></th><th>Aussortiert (A)</th><th>Nicht aussortiert (\(\bar{A}\))</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>Defekt (D)</th><td>140</td><td>10</td><td>150</td></tr> <tr><th>Intakt (\(\bar{D}\))</th><td>200</td><td>4650</td><td>4850</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>340</td><td>4660</td><td>5000</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\bar{D}|A) = \frac{200}{340} \approx 58{,}82\,\%\). c) Die hohe Fehlerquote bei der Aussortierung führt dazu, dass mehr als die Hälfte der weggeworfenen oder nachzubearbeitenden Lampen eigentlich gut waren, was die Effizienz senkt und Kosten verursacht.

- Kannst du die Informationen aus dem Text in die Randfelder oder die inneren Felder einer Tabelle eintragen? - Wie hängen die inneren Felder einer Zeile oder Spalte mit den Werten in den Randfeldern zusammen? - Überlege dir, wie viele Personen insgesamt mindestens eine der beiden Tätigkeiten ausüben müssen. - Was bedeutet „weder noch“ für die Position in der Tabelle?

1. Bestimmung der Gesamtzahl: \(n = 30\). Gegeben sind \(|I| = 18\), \(|C| = 12\) und \(|\bar{I} \cap \bar{C}| = 5\). 2. Berechnung der Anzahl der Personen, die mindestens eines von beiden machen: \(|I \cup C| = 30 - 5 = 25\). 3. Berechnung der Schnittmenge mittels der Formel für die Vereinigung: \(|I \cap C| = |I| + |C| - |I \cup C| = 18 + 12 - 25 = 5\). 4. Vervollständigung der Vierfeldertafel: - \(|I \cap \bar{C}| = 18 - 5 = 13\) - \(|\bar{I} \cap C| = 12 - 5 = 7\) - Kontrolle: \(5 + 13 + 7 + 5 = 30\). 5. Wahrscheinlichkeit für \(I \cap C\): \(P(I \cap C) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \approx 16{,}67\,\%\). 6. Wahrscheinlichkeit für \(\bar{I} \cap C\): \(P(\bar{I} \cap C) = \frac{7}{30} \approx 23{,}33\,\%\).

a) Vierfeldertafel: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(C\)</td><td>\(\bar{C}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(I\)</td><td>\(5\)</td><td>\(13\)</td><td>\(18\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{I}\)</td><td>\(7\)</td><td>\(5\)</td><td>\(12\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td><td>\(30\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{6} \approx 16{,}67\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{30} \approx 23{,}33\,\%\).

- Kannst du die fehlenden Werte in der Tabelle durch einfache Addition oder Subtraktion finden? - Was bedeutet die Notation für die bedingte Wahrscheinlichkeit genau? - Welche Werte aus der Tabelle musst du ins Verhältnis setzen, um die gesuchte Bedingung zu berechnen?

1. Fehlende Zeilensumme berechnen: \(P(B) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\). 2. Schnittwahrscheinlichkeit \(P(A \cap B)\) berechnen: \(P(B \cap \bar{A}) = 0{,}4\) ist gegeben, also \(P(B \cap A) = 0{,}6 - 0{,}4 = 0{,}2\). 3. Schnittwahrscheinlichkeit \(P(A \cap \bar{B})\) berechnen: \(P(A) = 0{,}3\), also \(P(\bar{B} \cap A) = 0{,}3 - 0{,}2 = 0{,}1\). 4. Die noch fehlenden Werte sind \(P(\bar{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\) und \(P(\bar{B} \cap \bar{A}) = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3\). 5. Damit lautet die vollständig ergänzte Vierfeldertafel: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(A\)</td><td>\(\bar{A}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(0{,}6\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{B}\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}4\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}7\)</td><td>1</td></tr> </table> 6. Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P_{\bar{B}}(A) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25\).

<table border="1"> <tr><td></td><td>\(A\)</td><td>\(\bar{A}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(0{,}6\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{B}\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}4\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}7\)</td><td>1</td></tr> </table> \(P_{\bar{B}}(A) = 0{,}25\)

- Trage zuerst die absoluten Häufigkeiten in die Tabelle ein. - Was ist die Grundgesamtheit bei der Frage nach den Kindern, die den Test nicht bestanden haben? - Vergleiche für die Zuverlässigkeit zwei verschiedene bedingte Wahrscheinlichkeiten. - Überlege, was „sicher ausschließen“ im Kontext der Tabelle bedeutet.

1. Grundwerte: \(N = 200\). Kinder, die die hohen Töne singen können: \(T = 40\); Kinder, die sie nicht singen können: \(\bar{T} = 160\). 2. Testergebnisse: Richtig positiv \(N(T \cap +) = 36\). Falsch positiv \(N(\bar{T} \cap +) = 10\). 3. Fehlende Werte: Falsch negativ \(N(T \cap -) = 40 - 36 = 4\). Richtig negativ \(N(\bar{T} \cap -) = 160 - 10 = 150\). 4. Spaltensummen: Test positiv \(N(+) = 36 + 10 = 46\). Test negativ \(N(-) = 4 + 150 = 154\). 5. Wahrscheinlichkeit für b): \(P(\bar{T}|-) = \frac{N(\bar{T} \cap -)}{N(-)} = \frac{150}{154} \approx 0{,}9740\). 6. Vergleich für c): Wahrscheinlichkeit für die Fähigkeit bei positivem Test: \(P(T|+) = \frac{36}{46} \approx 0{,}7826\). Da \(P(\bar{T}|-) \approx 97{,}4\,\%\) deutlich höher ist als \(P(T|+) \approx 78{,}3\,\%\), liefert ein negatives Testergebnis hier den zuverlässigeren Schluss.

a) Vierfeldertafel: <table> <tr><th></th><th>Test positiv (+)</th><th>Test negativ (-)</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>Kann hohe Töne singen (\(T\))</th><td>36</td><td>4</td><td>40</td></tr> <tr><th>Kann hohe Töne nicht singen (\(\bar{T}\))</th><td>10</td><td>150</td><td>160</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>46</td><td>154</td><td>200</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\bar{T}|-) = \frac{150}{154} \approx 97{,}40\,\%\). c) Ein negatives Testergebnis ist zuverlässiger: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein negativ getestetes Kind die hohen Töne tatsächlich nicht singen kann, beträgt etwa \(97{,}4\,\%\). Bei einem positiven Test beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Fähigkeit etwa \(78{,}3\,\%\).

- Wie viele Tage gab es insgesamt ohne Alarm und ohne Brand? - Was bedeutet „jeden Brand erkannt“ für die Zahl der verpassten Brände in deiner Tabelle? - Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen echten Brand, wenn die Sirene schrillt. - Überlege, warum viele Fehlalarme die Sicherheit gefährden könnten, auch wenn kein Brand verpasst wird.

1. Analyse der Daten: Gesamttage \(N = 365\). Tage mit Brand \(B = 5\), Tage ohne Brand \(\bar{B} = 360\). 2. Alarme: Richtig positiv (Alarm bei Brand) \(N(B \cap A) = 5\). Falsch positiv (Alarm ohne Brand) \(N(\bar{B} \cap A) = 10\). 3. Restliche Felder: Falsch negativ (kein Alarm bei Brand) \(N(B \cap \bar{A}) = 5 - 5 = 0\). Richtig negativ (kein Alarm ohne Brand) \(N(\bar{B} \cap \bar{A}) = 360 - 10 = 350\). 4. Summe Alarme: \(N(A) = 5 + 10 = 15\). 5. Wahrscheinlichkeit für b): \(P(B|A) = \frac{N(B \cap A)}{N(A)} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\). 6. Diskussion für c): Die Aussage ist technisch korrekt bezüglich der Sensitivität (alle Brände erkannt), aber im Alltag problematisch, da bei einem Alarm nur mit einer Wahrscheinlichkeit von \(33{,}3\,\%\) wirklich ein Feuer vorliegt. Zwei von drei Alarmen sind Fehlalarme.

a) Vierfeldertafel: <table> <tr><th></th><th>Alarm (A)</th><th>Kein Alarm (\(\bar{A}\))</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>Brand (B)</th><td>5</td><td>0</td><td>5</td></tr> <tr><th>Kein Brand (\(\bar{B}\))</th><td>10</td><td>350</td><td>360</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>15</td><td>350</td><td>365</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(B|A) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 33{,}33\,\%\). c) Die Aussage ist einseitig. Zwar ist die Trefferquote bei Bränden \(100\,\%\) (kein Brand wurde übersehen), aber die Vorhersagekraft eines Alarms ist gering. Da nur jeder dritte Alarm echt ist, besteht die Gefahr, dass Mitarbeiter Alarme irgendwann ignorieren (Gewöhnungseffekt).

- Welche Zahl in der Tabelle gibt die Gesamtzahl aller befragten Personen an? - Überlege für den zweiten Teil, wie groß die Gruppe ist, aus der nun ausgewählt wird. - Achte darauf, welche Merkmale kombiniert werden müssen, um die gesuchte Teilgruppe zu finden.

1. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für die Fahrradnutzung: \(P(F) = \frac{208}{400} = 0{,}52\). 2. Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass die Person zur Oberstufe gehört: Hierfür wird die Anzahl der Fahrradnutzer in der Oberstufe (\(64\)) durch die Gesamtzahl der Oberstufenschüler (\(160\)) geteilt. 3. Berechnung: \(P_{\text{Oberstufe}}(F) = \frac{64}{160} = 0{,}4\). 4. Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit für die Fahrradnutzung ist in der Oberstufe mit \(40\,\%\) geringer als der Durchschnittswert aller befragten Schüler von \(52\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}52\) (oder \(52\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}4\) (oder \(40\,\%\)). Dieser Wert ist kleiner als der Gesamtdurchschnitt aus Teilaufgabe a).

- Was ist der Unterschied zwischen einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeit („und“) und einer bedingten Wahrscheinlichkeit („wenn bekannt ist“)? - Welche Gesamtzahl bildet jeweils die Basis für deine Rechnung? - Hilft es dir, die Summen für die Zeilen und Spalten am Rand der Tabelle zu notieren?

1. Berechnung der Randsummen: Gesamtzahl der Personen \(n = 200\). Personen in der Verwaltung \(n(V) = 55 + 25 = 80\). Personen im Individualverkehr \(n(I) = 75 + 25 = 100\). 2. Zu a): Die Anzahl der Personen in der Verwaltung, die öffentliche Verkehrsmittel nutzen, beträgt \(55\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(V \cap Ö) = \frac{55}{200} = 0{,}275\). 3. Zu b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(Ö|V)\). Mit \(n(V) = 80\) ergibt sich \(P(Ö|V) = \frac{55}{80} = 0{,}6875\). 4. Zu c): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(V|I)\). Mit \(n(I) = 100\) ergibt sich \(P(V|I) = \frac{25}{100} = 0{,}25\).

a) \(P(V \cap Ö) = 0{,}275\) b) \(P(Ö|V) = 0{,}6875\) c) \(P(V|I) = 0{,}25\)

- Kannst du die Informationen aus dem Text in einer Tabelle übersichtlich anordnen? - Achte genau darauf, welche Gruppe die Bedingung darstellt – das ist die neue Grundmenge für den Nenner. - Überlege dir für jede Teilaufgabe: Geht es um alle Personen oder nur um eine bestimmte Untergruppe?

1. Erstellung der Vierfeldertafel mit den Merkmalen Stammkunde (\(S\)), Gelegenheitskunde (\(G\)), Kauf (\(K\)) und kein Kauf (\(\bar{K}\)). 2. Eintragung der Werte: \(n(S) = 60\), \(n(G) = 90\), \(n(S \cap K) = 48\), \(n(G \cap K) = 30\). Daraus folgen \(n(S \cap \bar{K}) = 12\) und \(n(G \cap \bar{K}) = 60\). 3. Zu a): Gesamtzahl der Käufe \(n(K) = 48 + 30 = 78\). Wahrscheinlichkeit \(P(K) = \frac{78}{150} = 0{,}52\). 4. Zu b): Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(S|K) = \frac{n(S \cap K)}{n(K)} = \frac{48}{78} = \frac{8}{13} \approx 0{,}6154\). 5. Zu c): Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{K}|G) = \frac{n(G \cap \bar{K})}{n(G)} = \frac{60}{90} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\).

a) \(P(K) = 0{,}52\) b) \(P(S|K) = \frac{8}{13} \approx 0{,}6154\) c) \(P(\bar{K}|G) = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\)

- Überlege zuerst, welche Werte direkt aus dem Text in die Tabelle eingetragen werden können. - Denke daran, dass die Summe der Zeilen und Spalten jeweils den Wert am Rand ergeben muss. - Wie hängen die Begriffe „oder“ und „und“ mit den mathematischen Symbolen für Vereinigung und Schnitt zusammen? - Was bedeutet der senkrechte Strich oder der Index bei der bedingten Wahrscheinlichkeit für die Berechnung?

1. Aufstellen der Vierfeldertafel: Gegeben sind \(P(V) = 0{,}3\), \(P(B \cap V) = 0{,}2\) und \(P(\bar{B}) = 0{,}6\). Daraus folgt \(P(B) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\). Die weiteren Felder ergeben sich durch Differenzen: \(P(V \cap \bar{B}) = 0{,}3 - 0{,}2 = 0{,}1\); \(P(\bar{V} \cap B) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2\); \(P(\bar{V} \cap \bar{B}) = 0{,}6 - 0{,}1 = 0{,}5\). Randsumme \(P(\bar{V}) = 0{,}7\). 2. Berechnung der Vereinigungswahrscheinlichkeit: \(P(B \cup V) = P(B) + P(V) - P(B \cap V) = 0{,}4 + 0{,}3 - 0{,}2 = 0{,}5\). 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_V(B)\): \(P_V(B) = \frac{P(B \cap V)}{P(V)} = \frac{0{,}2}{0{,}3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\). 4. Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\bar{V}}(B)\): \(P_{\bar{V}}(B) = \frac{P(B \cap \bar{V})}{P(\bar{V})} = \frac{0{,}2}{0{,}7} = \frac{2}{7} \approx 0{,}2857\). Interpretation: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Person für Basketball interessiert, wenn bekannt ist, dass sie sich nicht für Volleyball interessiert.

a) Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(V\)</td><td>\(\bar{V}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}4\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{B}\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}6\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}7\)</td><td>\(1{,}0\)</td></tr> </table> b) \(P(B \cup V) = 0{,}5\) c) \(P_V(B) = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\) d) \(P_{\bar{V}}(B) = \frac{2}{7} \approx 0{,}2857\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit für Basketball-Interesse unter denjenigen, die kein Volleyball-Interesse haben.

- Fülle die Tabelle schrittweise aus, indem du nutzt, dass Zeilen- und Spaltensummen addiert die Randwerte ergeben müssen. - Für die Vereinigung zweier Ereignisse darfst du das Schnittereignis nicht doppelt zählen. - Achte bei der bedingten Wahrscheinlichkeit genau darauf, welcher Wert im Nenner stehen muss – das ist immer die Bedingung. - Wie lautet die mathematische Bedingung, damit zwei Ereignisse als unabhängig gelten?

1. Vervollständigung: Aus \(P(\bar{A}) = 0{,}45\) folgt \(P(A) = 0{,}55\). Aus \(P(A \cap \bar{B}) = 0{,}12\) folgt \(P(A \cap B) = 0{,}55 - 0{,}12 = 0{,}43\). Aus \(P(\bar{A} \cap B) = 0{,}18\) folgt \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}45 - 0{,}18 = 0{,}27\). Spaltensummen: \(P(B) = 0{,}43 + 0{,}18 = 0{,}61\) und \(P(\bar{B}) = 0{,}12 + 0{,}27 = 0{,}39\). 2. Vereinigungswahrscheinlichkeit: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}55 + 0{,}61 - 0{,}43 = 0{,}73\). 3. Bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_B(\bar{A}) = \frac{P(\bar{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}18}{0{,}61} \approx 0{,}2951\). \(P_{\bar{A}}(B) = \frac{P(\bar{A} \cap B)}{P(\bar{A})} = \frac{0{,}18}{0{,}45} = 0{,}4\). 4. Stochastische Unabhängigkeit: Prüfung von \(P(A) \cdot P(B) = 0{,}55 \cdot 0{,}61 = 0{,}3355\). Da \(P(A \cap B) = 0{,}43 \neq 0{,}3355\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig.

a) Fehlende Werte: \(P(A) = 0{,}55\); \(P(A \cap B) = 0{,}43\); \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}27\); \(P(B) = 0{,}61\); \(P(\bar{B}) = 0{,}39\). b) \(P(A \cup B) = 0{,}73\) c) \(P_B(\bar{A}) \approx 0{,}2951\) und \(P_{\bar{A}}(B) = 0{,}4\) d) \(P(A) \cdot P(B) = 0{,}3355 \neq P(A \cap B) = 0{,}43\). Die Ereignisse sind stochastisch abhängig.

- Achte darauf, auf welche Grundmenge sich die jeweilige Wahrscheinlichkeit bezieht. - Wird eine Person aus der gesamten Gruppe oder nur aus einer bestimmten Untergruppe (z. B. nur Musiker) ausgewählt? - Die Symbolschreibweise für bedingte Wahrscheinlichkeiten nutzt oft einen Index für die Bedingung. - Überlege dir, welche Information im Text als „gegeben“ vorausgesetzt wird.

1. Unterscheidung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(M \cap S)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus der gesamten Gruppe gewählte Person sowohl ein Instrument spielt als auch im Sportverein ist (Bezugsgröße \(200\)). \(P_M(S)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person im Sportverein ist, unter der Bedingung, dass sie bereits zur Gruppe der Instrumentenspieler gehört (Bezugsgröße \(80\)). 2. Berechnung: \(P(M \cap S) = \frac{40}{200} = 0{,}2\). 3. Berechnung: \(P_M(S) = \frac{40}{80} = 0{,}5\). 4. Symbolschreibweise für Aufgabenteil b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{M}}(S)\). 5. Berechnung: \(P_{\overline{M}}(S) = \frac{n(S \cap \overline{M})}{n(\overline{M})} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\).

a) \(P(M \cap S)\) bezieht sich auf die Gesamtzahl (\(200\)), während \(P_M(S)\) nur die Gruppe der Personen betrachtet, die ein Musikinstrument spielen (\(80\)). \(P(M \cap S) = 0{,}2\); \(P_M(S) = 0{,}5\). b) \(P_{\overline{M}}(S) = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\).

- Überlege bei bedingten Wahrscheinlichkeiten immer: „Von welcher Gruppe gehe ich aus?“ - Die Bedingung steht im Text oft nach Wörtern wie „wenn“, „unter der Bedingung“ oder „von den...“. - Das Symbol \(P_A(B)\) liest man als „Wahrscheinlichkeit von \(B\) unter der Bedingung \(A\)“. - Die Summen am Rand der Tabelle helfen dir, die Nenner für die Brüche zu finden.

1. Berechnung \(P_R(H)\): Anteil der Personen mit Bluthochdruck unter den Rauchern: \(P_R(H) = \frac{60}{150} = 0{,}4\). Das bedeutet, \(40\,\%\) der Raucher haben Bluthochdruck. 2. Berechnung \(P_H(R)\): Anteil der Raucher unter den Personen mit Bluthochdruck: \(P_H(R) = \frac{60}{100} = 0{,}6\). Das bedeutet, \(60\,\%\) der Personen mit Bluthochdruck sind Raucher. 3. Symbolschreibweise für Aufgabenteil b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{H}}(R)\). 4. Berechnung: Die Anzahl der Personen ohne Bluthochdruck ist \(400\), davon rauchen \(90\). Somit gilt \(P_{\overline{H}}(R) = \frac{90}{400} = 0{,}225\).

a) \(P_R(H) = 0{,}4\) (\(40\,\%\) der Raucher haben Bluthochdruck); \(P_H(R) = 0{,}6\) (\(60\,\%\) der Personen mit Bluthochdruck rauchen). b) \(P_{\overline{H}}(R) = \frac{90}{400} = 0{,}225\).

- Welcher Anteil der Geräte hat überhaupt einen Fehler? - Wie hängen die Einzelwahrscheinlichkeiten der Fehler mit der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten beider Fehler zusammen? - Was ist die Bedingung im zweiten Teil der Aufgabe und wie verändert sie die Basis deiner Berechnung?

1. Festlegen der Wahrscheinlichkeiten: \(P(D) = 0{,}12\), \(P(G) = 0{,}08\) und \(P(\bar{D} \cap \bar{G}) = 0{,}85\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Fehler vorliegt: \(P(D \cup G) = 1 - P(\bar{D} \cap \bar{G}) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15\). 3. Berechnung der Schnittmenge (beide Mängel) über die Formel \(P(D \cap G) = P(D) + P(G) - P(D \cup G)\): \(P(D \cap G) = 0{,}12 + 0{,}08 - 0{,}15 = 0{,}05\). Dies löst Teilaufgabe a). 4. Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit für Teilaufgabe b): \(P(D|G) = \frac{P(D \cap G)}{P(G)} = \frac{0{,}05}{0{,}08} = 0{,}625\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}05\) (oder \(5\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}625\) (oder \(62{,}5\,\%\)).

- Kannst du die fehlenden Summen am Rand zuerst berechnen? - Wie hängen die inneren Felder mit den Zeilen- und Spaltensummen zusammen? - Was ist der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit einer Schnittmenge und einer bedingten Wahrscheinlichkeit? - Welche Zahl bildet bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit wie \(P_A(B)\) die Grundmenge (den Nenner)?

1. Bestimmung der fehlenden Randsummen: \(n(A) = 5000 - 1500 = 3500\) und \(n(B) = 5000 - 4850 = 150\). 2. Berechnung der inneren Felder durch Subtraktion: \(n(A \cap \overline{B}) = 3500 - 40 = 3460\), \(n(\overline{A} \cap B) = 150 - 40 = 110\) und \(n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1500 - 110 = 1390\). 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: \(P_A(B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{40}{3500} = \frac{2}{175} \approx 0{,}0114\) \(P_B(A) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{40}{150} = \frac{4}{15} \approx 0{,}2667\) \(P_{\overline{A}}(B) = \frac{n(\overline{A} \cap B)}{n(\overline{A})} = \frac{110}{1500} = \frac{11}{150} \approx 0{,}0733\) \(P_{\overline{B}}(\overline{A}) = \frac{n(\overline{A} \cap \overline{B})}{n(\overline{B})} = \frac{1390}{4850} = \frac{139}{485} \approx 0{,}2866\)

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr> <td></td> <td>\(B\)</td> <td>\(\overline{B}\)</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>\(A\)</td> <td>\(40\)</td> <td>\(3460\)</td> <td>\(3500\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{A}\)</td> <td>\(110\)</td> <td>\(1390\)</td> <td>\(1500\)</td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td>\(150\)</td> <td>\(4850\)</td> <td>\(5000\)</td> </tr> </table> Die Wahrscheinlichkeiten sind: \(P_A(B) \approx 0{,}0114\); \(P_B(A) \approx 0{,}2667\); \(P_{\overline{A}}(B) \approx 0{,}0733\); \(P_{\overline{B}}(\overline{A}) \approx 0{,}2866\).

- Bestimme zuerst alle fehlenden Werte in der Vierfeldertafel, indem du die Eigenschaft nutzt, dass die Summen der Zeilen und Spalten die Randwahrscheinlichkeiten ergeben. - Überlege dir, welche Wahrscheinlichkeit im Nenner stehen muss, wenn eine Bedingung wie „unter der Bedingung A“ gegeben ist. - Die Summe der bedingten Wahrscheinlichkeiten für ein festes Bedingungsereignis (z. B. \(P_A(B) + P_A(\overline{B})\)) muss immer 1 ergeben.

1. Vervollständigung der Tafel: \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60\) \(P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}60 - 0{,}20 = 0{,}40\) \(P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}50 - 0{,}20 = 0{,}30\) \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) - P(\overline{A} \cap B) = 0{,}40 - 0{,}30 = 0{,}10\) \(P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}50 = 0{,}50\) 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: \(P_A(B) = \frac{0{,}20}{0{,}60} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\) \(P_A(\overline{B}) = \frac{0{,}40}{0{,}60} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\) \(P_{\overline{A}}(B) = \frac{0{,}30}{0{,}40} = 0{,}75\) \(P_{\overline{A}}(\overline{B}) = \frac{0{,}10}{0{,}40} = 0{,}25\) \(P_B(A) = \frac{0{,}20}{0{,}50} = 0{,}40\) \(P_B(\overline{A}) = \frac{0{,}30}{0{,}50} = 0{,}60\) \(P_{\overline{B}}(A) = \frac{0{,}40}{0{,}50} = 0{,}80\) \(P_{\overline{B}}(\overline{A}) = \frac{0{,}10}{0{,}50} = 0{,}20\)

Die vervollständigte Tafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}40\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}30\)</td><td>\(0{,}10\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table> Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind: \(P_A(B) = \frac{1}{3}\); \(P_A(\overline{B}) = \frac{2}{3}\); \(P_{\overline{A}}(B) = 0{,}75\); \(P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}25\); \(P_B(A) = 0{,}4\); \(P_B(\overline{A}) = 0{,}6\); \(P_{\overline{B}}(A) = 0{,}8\); \(P_{\overline{B}}(\overline{A}) = 0{,}2\).

- Übersetze die Prozentangaben zuerst in Wahrscheinlichkeiten (Dezimalzahlen). - Achte bei den Formulierungen genau darauf, welches Ereignis die Bedingung ist und welches Ereignis untersucht wird. - Erstelle eine Tabelle mit den Kategorien „nutzt App“ und „nutzt App nicht“ für beide Medientypen.

1. Erstellung der Vierfeldertafel aus den Angaben: \(P(G) = 0{,}7\), \(P(M) = 0{,}6\), \(P(G \cap M) = 0{,}5\). Daraus folgt: \(P(G \cap \overline{M}) = P(G) - P(G \cap M) = 0{,}7 - 0{,}5 = 0{,}2\) \(P(\overline{G} \cap M) = P(M) - P(G \cap M) = 0{,}6 - 0{,}5 = 0{,}1\) \(P(\overline{G} \cap \overline{M}) = 1 - (0{,}5 + 0{,}2 + 0{,}1) = 0{,}2\) \(P(\overline{G}) = 0{,}3\); \(P(\overline{M}) = 0{,}4\). 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: a) \(P_G(M) = \frac{P(G \cap M)}{P(G)} = \frac{0{,}5}{0{,}7} = \frac{5}{7} \approx 0{,}714\) b) \(P_{\overline{M}}(G) = \frac{P(G \cap \overline{M})}{P(\overline{M})} = \frac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5\)

Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\overline{M}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(G\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(\overline{G}\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}3\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}6\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(1{,}0\)</td></tr> </table> a) \(P_G(M) = \frac{5}{7} \approx 71{,}4\,\%\) b) \(P_{\overline{M}}(G) = 0{,}5 = 50\,\%\)

- Was lässt sich direkt aus den gegebenen Werten in der Spalte für \(\overline{F}\) berechnen? - Welche mathematische Bedingung gilt für die Wahrscheinlichkeiten im Inneren einer Vierfeldertafel, wenn die Ereignisse unabhängig sind? - Wie hängen die Randwahrscheinlichkeiten mit der Summe 1 zusammen?

1. Berechnung der Randwahrscheinlichkeit \(P(\overline{F})\) durch Summation der Spalte: \(P(\overline{F}) = 0{,}12 + 0{,}18 = 0{,}30\). 2. Berechnung von \(P(F)\) über das Gegenereignis: \(P(F) = 1 - 0{,}30 = 0{,}70\). 3. Nutzung der Unabhängigkeit \(P(E \cap \overline{F}) = P(E) \cdot P(\overline{F})\): \(0{,}12 = P(E) \cdot 0{,}30 \implies P(E) = \frac{0{,}12}{0{,}30} = 0{,}40\). 4. Berechnung der restlichen Randwahrscheinlichkeiten: \(P(\overline{E}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60\). 5. Berechnung der Verbundwahrscheinlichkeiten im Inneren: \(P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) = 0{,}40 \cdot 0{,}70 = 0{,}28\) und \(P(\overline{E} \cap F) = P(\overline{E}) \cdot P(F) = 0{,}60 \cdot 0{,}70 = 0{,}42\).

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr> <td></td> <td>\(F\)</td> <td>\(\overline{F}\)</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>\(E\)</td> <td>\(0{,}28\)</td> <td>\(0{,}12\)</td> <td>\(0{,}40\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{E}\)</td> <td>\(0{,}42\)</td> <td>\(0{,}18\)</td> <td>\(0{,}60\)</td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td>\(0{,}70\)</td> <td>\(0{,}30\)</td> <td>\(1\)</td> </tr> </table>

- Beginne damit, die Gesamtzahl der Personen auf die Kategorien „Allergie“ und „keine Allergie“ aufzuteilen. - Nutze die Prozentangaben des Tests, um die vier inneren Felder der Tabelle mit absoluten Zahlen zu füllen. - Achte bei den Fragen b) und c) genau darauf, auf welche Teilgruppe (die positiv Getesteten oder die negativ Getesteten) sich die Wahrscheinlichkeit bezieht.

1. Erstellung der Vierfeldertafel für \(10\,000\) Personen: Die Zahl der Allergiker (\(A\)) beträgt \(0{,}02 \cdot 10\,000 = 200\); die Zahl der Nicht-Allergiker (\(\bar{A}\)) beträgt \(10\,000 - 200 = 9800\). 2. Richtig-positiv (\(T \cap A\)): \(200 \cdot 0{,}90 = 180\). Falsch-negativ (\(\bar{T} \cap A\)): \(200 - 180 = 20\). 3. Richtig-negativ (\(\bar{T} \cap \bar{A}\)): \(9800 \cdot 0{,}95 = 9310\). Falsch-positiv (\(T \cap \bar{A}\)): \(9800 - 9310 = 490\). 4. Summen bilden: Test positiv (\(T\)): \(180 + 490 = 670\). Test negativ (\(\bar{T}\)): \(20 + 9310 = 9330\). 5. Wahrscheinlichkeit „keine Allergie“ bei positivem Test: \(P(\bar{A}|T) = \frac{490}{670} \approx 0{,}7313\). 6. Wahrscheinlichkeit allergisch bei negativem Test: \(P(A|\bar{T}) = \frac{20}{9330} \approx 0{,}0021\).

a) Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>Allergie (\(A\))</td><td>Keine Allergie (\(\bar{A}\))</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Test positiv (\(T\))</td><td>180</td><td>490</td><td>670</td></tr> <tr><td>Test negativ (\(\bar{T}\))</td><td>20</td><td>9310</td><td>9330</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>200</td><td>9800</td><td>\(10\,000\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person die Allergie nicht hat, beträgt ca. \(73{,}1\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person die Allergie hat, beträgt ca. \(0{,}2\,\%\).

- Kannst du die fehlenden Felder in der Tabelle durch Addition oder Subtraktion der Zeilen- und Spaltenwerte finden? - Was bedeutet das Wort „wenn“ in der Aufgabenstellung für die Wahl der Grundmenge? - Achte darauf, ob nach einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeit oder einer bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt ist.

1. Berechnung der fehlenden Werte in der Tabelle: \(n(F \cap B) = 120 - 80 = 40\); \(n(\bar{B}) = 200 - 120 = 80\); \(n(\bar{F} \cap \bar{B}) = 80 - 50 = 30\); \(n(F) = 40 + 50 = 90\); \(n(\bar{F}) = 80 + 30 = 110\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: (1) \(P(F) = \frac{n(F)}{N} = \frac{90}{200} = 0{,}45\). (2) \(P(\bar{B} \cap \bar{F}) = \frac{n(\bar{B} \cap \bar{F})}{N} = \frac{30}{200} = 0{,}15\). (3) Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(B|F) = \frac{n(B \cap F)}{n(F)} = \frac{40}{90} = \frac{4}{9} \approx 0{,}444\).

a) Vollständige Tabelle: \(n(F \cap B) = 40\), \(n(\bar{F} \cap \bar{B}) = 30\), \(n(F) = 90\), \(n(\bar{F}) = 110\), \(n(\bar{B}) = 80\). b) (1) \(P(F) = 0{,}45\); (2) \(P(\bar{B} \cap \bar{F}) = 0{,}15\); (3) \(P(B|F) = \frac{4}{9} \approx 0{,}444\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Personen insgesamt in die jeweiligen Kategorien (Smartphonetyp, Vertragstyp) fallen. - Eine Vierfeldertafel kann helfen, die absoluten Häufigkeiten übersichtlich darzustellen. - Achte darauf, ob eine Angabe eine absolute Zahl, einen Anteil an der Gesamtheit oder einen Anteil an einer Untergruppe beschreibt. - Wenn nach „Ereignis A oder Ereignis B“ gefragt ist, denke an die Formel für die Vereinigung von Ereignissen.

1. Berechnung der absoluten Häufigkeiten für die Smartphonetypen: \(n(\text{iPhone}) = 150 \cdot 0{,}4 = 60\), daraus folgt \(n(\text{Android}) = 90\). 2. Bestimmung der Vertragsanzahlen über ein Gleichungssystem: \(n(\text{geschäftlich}) + n(\text{privat}) = 150\) und \(n(\text{geschäftlich}) = 2n(\text{privat})\). Dies ergibt \(n(\text{privat}) = 50\) und \(n(\text{geschäftlich}) = 100\). 3. Ermittlung der Schnittmenge aus der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(n(\text{iPhone} \cap \text{geschäftlich}) = 100 \cdot 0{,}15 = 15\). 4. Berechnung der Schnittmenge für den privaten Vertrag: \(n(\text{iPhone} \cap \text{privat}) = n(\text{iPhone}) - n(\text{iPhone} \cap \text{geschäftlich}) = 60 - 15 = 45\). 5. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit mit dem Additionssatz: \(P(\text{privat} \cup \text{iPhone}) = P(\text{privat}) + P(\text{iPhone}) - P(\text{privat} \cap \text{iPhone}) = \frac{50}{150} + \frac{60}{150} - \frac{45}{150} = \frac{65}{150} = \frac{13}{30}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{13}{30} \approx 43{,}3\,\%\).

- Kannst du die Informationen in einer Vierfeldertafel übersichtlich darstellen? - Welche Gesamtzahl an Personen ergibt sich aus den Prozentangaben? - Was ist die Bedingung in dieser Aufgabe und wie schränkt sie die Grundmenge ein? - Wie hängen die Personen ohne Laptop mit der Gruppe zusammen, die weder Tablet noch Laptop hat?

1. Bestimmung der absoluten Häufigkeiten: Gesamtzahl \(n = 200\). 2. Anzahl der Tablet-Besitzer: \(n(T) = 0{,}6 \cdot 200 = 120\). 3. Anzahl der Personen ohne Laptop: \(n(L^c) = 60\). 4. Anzahl der Personen ohne beide Geräte: \(n(T^c \cap L^c) = 0{,}1 \cdot 200 = 20\). 5. Berechnung der Anzahl der Personen mit Tablet, aber ohne Laptop: \(n(T \cap L^c) = n(L^c) - n(T^c \cap L^c) = 60 - 20 = 40\). 6. Berechnung der Anzahl der Personen mit beiden Geräten: \(n(T \cap L) = n(T) - n(T \cap L^c) = 120 - 40 = 80\). 7. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P(L|T) = \frac{n(T \cap L)}{n(T)} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\).

- Überlege dir, wie viele Schüler den Kurs Musik nicht belegen. - Wie viele dieser Nicht-Musik-Schüler sind im Kunstkurs? - Wenn du die Gesamtzahl der Kunst-Schüler kennst, wie findest du dann heraus, wie viele davon auch Musik belegen? - Was genau ist die Bedingung, die hier gegeben ist?

1. Bestimmung der Grundwerte: Gesamtzahl \(n = 500\). 2. Anzahl der Musik-Schüler: \(n(M) = 0{,}4 \cdot 500 = 200\). 3. Anzahl der Schüler, die den Kurs Musik nicht belegen: \(n(M^c) = 500 - 200 = 300\). 4. Berechnung der Kunst-Schüler ohne Musik: \(n(K \cap M^c) = \frac{1}{4} \cdot 300 = 75\). 5. Gegebene Gesamtzahl der Kunst-Schüler: \(n(K) = 125\). 6. Berechnung der Schnittmenge (Musik und Kunst): \(n(K \cap M) = n(K) - n(K \cap M^c) = 125 - 75 = 50\). 7. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P(M|K) = \frac{n(K \cap M)}{n(K)} = \frac{50}{125} = 0{,}4\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}4\) bzw. \(40\,\%\).

- Wie viele Personen nutzen insgesamt das Studio oder das Schwimmbad? - „Genau eines“ bedeutet: Entweder Studio ohne Schwimmen oder Schwimmen ohne Studio. Wo findest du diese Werte in der Tabelle? - Bei der letzten Teilaufgabe ändert sich die Bezugsgruppe. Du betrachtest nicht mehr alle Mitglieder, sondern nur noch einen Teil.

1. Grundwerte: \(n = 120\), \(|F| = 80\), \(|S| = 50\), \(|\bar{F} \cap \bar{S}| = 30\). 2. Berechnung der Schnittmenge: \(|F \cup S| = 120 - 30 = 90\). Daraus folgt \(|F \cap S| = 80 + 50 - 90 = 40\). 3. Ausfüllen der Tabelle: - \(|F \cap \bar{S}| = 80 - 40 = 40\) - \(|\bar{F} \cap S| = 50 - 40 = 10\) 4. Genau ein Angebot nutzen: Summe aus „nur Fitness“ und „nur Schwimmen“: \(40 + 10 = 50\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{50}{120} = \frac{5}{12} \approx 41{,}67\,\%\). 5. Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(F|S)\): Gesucht ist der Anteil derer, die beides nutzen, an der Gesamtzahl der Schwimmbadnutzer. \(P(F|S) = \frac{|F \cap S|}{|S|} = \frac{40}{50} = 0{,}8 = 80\,\%\).

a) Vierfeldertafel: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(S\)</td><td>\(\bar{S}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(F\)</td><td>\(40\)</td><td>\(40\)</td><td>\(80\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{F}\)</td><td>\(10\)</td><td>\(30\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(50\)</td><td>\(70\)</td><td>\(120\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{12} \approx 41{,}67\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(80\,\%\).

- Beginne damit, alle im Text genannten Zahlen in die entsprechenden Felder der Vierfeldertafel einzutragen (Zellen oder Summen). - Nutze die Eigenschaft, dass sich die Einzelzellen zu den Randsummen addieren müssen, um die restlichen Felder zu füllen. - Überlege dir bei der bedingten Wahrscheinlichkeit genau, welche Gruppe die Grundgesamtheit bildet (die „Bedingung“). - Für das Baumdiagramm teilst du die Häufigkeit eines Ereignisses durch die Summe der zugehörigen Stufe.

1. Erstellung der Vierfeldertafel durch Verrechnung der absoluten Häufigkeiten: - \(n(M_1) = 2500\), daraus folgt \(n(M_2) = 4000 - 2500 = 1500\). - \(n(D) = 110\), daraus folgt \(n(E) = 4000 - 110 = 3890\). - \(n(M_1 \cap D) = 50\), daraus folgt \(n(M_1 \cap E) = 2500 - 50 = 2450\). - \(n(M_2 \cap D) = 110 - 50 = 60\), daraus folgt \(n(M_2 \cap E) = 1500 - 60 = 1440\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für das Baumdiagramm (Stufe 1: \(M_1, M_2\); Stufe 2: \(D, E\)): - \(P(M_1) = \frac{2500}{4000} = 0{,}625\); \(P(M_2) = \frac{1500}{4000} = 0{,}375\) - Bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_{M_1}(D) = \frac{50}{2500} = 0{,}02\); \(P_{M_1}(E) = 0{,}98\); \(P_{M_2}(D) = \frac{60}{1500} = 0{,}04\); \(P_{M_2}(E) = 0{,}96\) 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_D(M_1)\): - \(P_D(M_1) = \frac{n(M_1 \cap D)}{n(D)} = \frac{50}{110} = \frac{5}{11} \approx 0{,}4545\)

1. Tabelle: \(M_1 \cap D = 50\), \(M_1 \cap E = 2450\), \(M_2 \cap D = 60\), \(M_2 \cap E = 1440\); Summen: \(M_1 = 2500\), \(M_2 = 1500\), \(D = 110\), \(E = 3890\), Gesamt = \(4000\). 2. Baumdiagramm: \(P(M_1) = 0{,}625\), \(P(M_2) = 0{,}375\); \(P_{M_1}(D) = 0{,}02\), \(P_{M_1}(E) = 0{,}98\); \(P_{M_2}(D) = 0{,}04\), \(P_{M_2}(E) = 0{,}96\). 3. Wahrscheinlichkeit: \(P_D(M_1) = \frac{5}{11} \approx 0{,}455\) (oder \(45{,}5\,\%\)).

- Überlege, wie du den Anteil der gewerblichen Elektroautos aus den gegebenen Prozentangaben berechnen kannst. - Denke daran, dass sich die Summen in der Vierfeldertafel immer zu 1 (oder \(100\,\%\)) ergänzen müssen. - Was bedeutet es für die Struktur eines Baumdiagramms, wenn eine Bedingung („unter den Elektrofahrzeugen“) vorgegeben ist? - Welche Information steht an den Ästen der zweiten Stufe eines Baumdiagramms?

1. Berechnung der Schnittmengenwahrscheinlichkeit: \(P(G \cap E) = P(G) \cdot P(E|G) = 0{,}60 \cdot 0{,}25 = 0{,}15\). Daraus ergeben sich die weiteren Werte der Vierfeldertafel durch Differenzbildung und Ergänzung zur Gesamtsumme \(1\): \(P(G \cap \bar{E}) = P(G) - P(G \cap E) = 0{,}60 - 0{,}15 = 0{,}45\) \(P(\bar{G} \cap E) = P(E) - P(G \cap E) = 0{,}20 - 0{,}15 = 0{,}05\) \(P(\bar{G} \cap \bar{E}) = P(\bar{G}) - P(\bar{G} \cap E) = (1 - 0{,}60) - 0{,}05 = 0{,}35\) Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(E\)</td><td>\(\bar{E}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(G\)</td><td>\(0{,}15\)</td><td>\(0{,}45\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{G}\)</td><td>\(0{,}05\)</td><td>\(0{,}35\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}80\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table> 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(E|\bar{G}) = \frac{P(E \cap \bar{G})}{P(\bar{G})} = \frac{0{,}05}{0{,}40} = 0{,}125\). Dies entspricht \(12{,}5\,\%\). 3. Das Baumdiagramm, das mit dem Merkmal \(E\) beginnt, ist besser geeignet. Die gesuchte Größe ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(G|E)\). Diese kann in einem Baumdiagramm, in dem auf der ersten Stufe nach dem Antriebstyp (\(E\) und \(\bar{E}\)) verzweigt wird, direkt an der entsprechenden Pfadabzweigung der zweiten Stufe abgelesen werden.

1. Die Tafel enthält die Werte: \(P(G \cap E) = 0{,}15\), \(P(G \cap \bar{E}) = 0{,}45\), \(P(\bar{G} \cap E) = 0{,}05\), \(P(\bar{G} \cap \bar{E}) = 0{,}35\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(12{,}5\,\%\). 3. Das Baumdiagramm mit dem Startmerkmal \(E\) ist geeignet, da \(P(G|E)\) dort ein direkter Parameter der zweiten Stufe ist.

- Beginne damit, die bedingten Wahrscheinlichkeiten aus dem Text in Schnittmengenwahrscheinlichkeiten für die inneren Felder der Tabelle umzurechnen. - Achte darauf, worauf sich die Prozentangaben beziehen – auf die Gesamtheit oder auf eine Teilgruppe? - Für die letzte Teilaufgabe musst du das Vorwissen über die schlechte Schlafqualität als Bedingung nutzen.

1. Gegeben sind \(P(S) = 0{,}40\), \(P(Q|S) = 0{,}70\) und \(P(Q|\bar{S}) = 0{,}20\). Berechnung der Schnittmengen: \(P(S \cap Q) = P(S) \cdot P(Q|S) = 0{,}40 \cdot 0{,}70 = 0{,}28\) \(P(\bar{S} \cap Q) = P(\bar{S}) \cdot P(Q|\bar{S}) = 0{,}60 \cdot 0{,}20 = 0{,}12\) Vervollständigung der Vierfeldertafel: \(P(S \cap \bar{Q}) = P(S) - P(S \cap Q) = 0{,}40 - 0{,}28 = 0{,}12\) \(P(\bar{S} \cap \bar{Q}) = P(\bar{S}) - P(\bar{S} \cap Q) = 0{,}60 - 0{,}12 = 0{,}48\) <table> <tr><td></td><td>\(Q\)</td><td>\(\bar{Q}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(S\)</td><td>\(0{,}28\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{S}\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}48\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}40\)</td><td>\(0{,}60\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table> 2. Die totale Wahrscheinlichkeit für schlechte Schlafqualität ist die Summe der Spalte \(Q\): \(P(Q) = 0{,}28 + 0{,}12 = 0{,}40\). Dies entspricht \(40\,\%\). 3. Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(S|Q)\). \(P(S|Q) = \frac{P(S \cap Q)}{P(Q)} = \frac{0{,}28}{0{,}40} = 0{,}7\). Dies entspricht \(70\,\%\).

1. Die inneren Werte der Tabelle sind \(0{,}28\), \(0{,}12\) (für \(S\)) und \(0{,}12\), \(0{,}48\) (für \(\bar{S}\)). 2. Insgesamt leiden \(40\,\%\) der Studierenden unter schlechter Schlafqualität. 3. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(70\,\%\).

- Überlege zuerst, wie viele Jugendliche insgesamt Sport treiben und wie viele nicht. - Nutze die bedingten Wahrscheinlichkeiten aus der zweiten Stufe des Baums, um die Personenzahlen für die Kombinationen zu berechnen. - Denke daran, dass die Summe aller Einzelfelder in der Tabelle die Gesamtzahl der befragten Jugendlichen ergeben muss. - Die Randsummen der Tabelle erhältst du durch Addieren der Zeilen bzw. Spalten.

1. Berechnung der absoluten Häufigkeiten für die erste Stufe (\(S\) und \(\bar{S}\)): \(n(S) = 500 \cdot 0{,}65 = 325\) \(n(\bar{S}) = 500 \cdot 0{,}35 = 175\) 2. Berechnung der gemeinsamen absoluten Häufigkeiten (Schnittmengen): \(n(S \cap M) = 325 \cdot 0{,}2 = 65\) \(n(S \cap \bar{M}) = 325 \cdot 0{,}8 = 260\) \(n(\bar{S} \cap M) = 175 \cdot 0{,}4 = 70\) \(n(\bar{S} \cap \bar{M}) = 175 \cdot 0{,}6 = 105\) 3. Berechnung der Randsummen für \(M\) und \(\bar{M}\): \(n(M) = 65 + 70 = 135\) \(n(\bar{M}) = 260 + 105 = 365\) 4. Zusammenfassung in der Vierfeldertafel: <table> <tr> <td></td> <td>\(M\)</td> <td>\(\bar{M}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(S\)</td> <td>65</td> <td>260</td> <td>325</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{S}\)</td> <td>70</td> <td>105</td> <td>175</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>135</td> <td>365</td> <td>500</td> </tr> </table>

Die Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten lautet: <table> <tr> <td></td> <td>\(M\)</td> <td>\(\bar{M}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(S\)</td> <td>65</td> <td>260</td> <td>325</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{S}\)</td> <td>70</td> <td>105</td> <td>175</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>135</td> <td>365</td> <td>500</td> </tr> </table>

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines ganzen Pfades von der Wurzel bis zum Blatt? - Welche Wahrscheinlichkeiten stehen in den inneren Feldern einer Vierfeldertafel? - Achte darauf, dass die Summe der Zeilen- und Spaltenwerte jeweils die Randwahrscheinlichkeiten ergeben muss.

1. Beispielbericht: Das Sortiment besteht zu \(45\,\%\) aus Akkus von Hersteller \(M_1\) und zu \(55\,\%\) aus Akkus von Hersteller \(M_2\). Bei \(M_1\) sind \(4\,\%\) der Akkus defekt, bei \(M_2\) sind es \(6\,\%\). 2. Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeiten (Schnittmengen): - \(P(M_1 \cap D) = 0{,}45 \cdot 0{,}04 = 0{,}018\) - \(P(M_1 \cap I) = 0{,}45 \cdot 0{,}96 = 0{,}432\) - \(P(M_2 \cap D) = 0{,}55 \cdot 0{,}06 = 0{,}033\) - \(P(M_2 \cap I) = 0{,}55 \cdot 0{,}94 = 0{,}517\) 3. Berechnung der Randwahrscheinlichkeiten für den Defektzustand: - \(P(D) = 0{,}018 + 0{,}033 = 0{,}051\) - \(P(I) = 0{,}432 + 0{,}517 = 0{,}949\) 4. Die Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><th></th><th>\(D\)</th><th>\(I\)</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>\(M_1\)</th><td>\(0{,}018\)</td><td>\(0{,}432\)</td><td>\(0{,}45\)</td></tr> <tr><th>\(M_2\)</th><td>\(0{,}033\)</td><td>\(0{,}517\)</td><td>\(0{,}55\)</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>\(0{,}051\)</td><td>\(0{,}949\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table>

a) Beispielbericht: „Das Sortiment besteht zu \(45\,\%\) aus Akkus von Hersteller \(M_1\) und zu \(55\,\%\) von Hersteller \(M_2\). Während bei \(M_1\) nur \(4\,\%\) der Akkus defekt sind, liegt die Defektrate bei \(M_2\) mit \(6\,\%\) etwas höher.“ b) Die Vierfeldertafel enthält die Werte \(P(M_1 \cap D) = 0{,}018\), \(P(M_1 \cap I) = 0{,}432\), \(P(M_2 \cap D) = 0{,}033\) und \(P(M_2 \cap I) = 0{,}517\). Die Randwahrscheinlichkeiten sind \(P(D) = 0{,}051\) und \(P(I) = 0{,}949\).

- Berechne zuerst die Pfadwahrscheinlichkeiten (Schnittmengen), um die Felder der Tafel zu füllen. - Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten mit der Gesamtzahl \(1000\), um auf die absoluten Häufigkeiten zu kommen. - Achte bei der bedingten Wahrscheinlichkeit darauf, was die Bedingung ist und was die gesuchte Eigenschaft. - Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten beider Ereignisse gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist.

1. Erstellung der Vierfeldertafel mit \(N = 1000\): - \(n(J) = 0{,}4 \cdot 1000 = 400\) - \(n(A) = 0{,}6 \cdot 1000 = 600\) - \(n(J \cap E) = 400 \cdot 0{,}75 = 300\) - \(n(J \cap \bar{E}) = 400 \cdot 0{,}25 = 100\) - \(n(A \cap E) = 600 \cdot 0{,}30 = 180\) - \(n(A \cap \bar{E}) = 600 \cdot 0{,}70 = 420\) - Summen: \(n(E) = 300 + 180 = 480\); \(n(\bar{E}) = 100 + 420 = 520\). 2. Berechnung von \(P_E(J)\): \(P_E(J) = \frac{n(J \cap E)}{n(E)} = \frac{300}{480} = 0{,}625\). Interpretation: Unter den E-Book-Nutzern beträgt der Anteil der jungen Personen \(62{,}5\,\%\). 3. Prüfung auf stochastische Unabhängigkeit: Es muss gelten: \(P(J \cap E) = P(J) \cdot P(E)\). - \(P(J \cap E) = 0{,}3\) (aus Baumdiagramm: \(0{,}4 \cdot 0{,}75\)) - \(P(J) \cdot P(E) = 0{,}4 \cdot 0{,}48 = 0{,}192\) Da \(0{,}3 \neq 0{,}192\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig.

a) Vierfeldertafel: <table> <tr><th></th><th>\(E\)</th><th>\(\bar{E}\)</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>\(J\)</th><td>300</td><td>100</td><td>400</td></tr> <tr><th>\(A\)</th><td>180</td><td>420</td><td>600</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>480</td><td>520</td><td>1000</td></tr> </table> b) \(P_E(J) = 0{,}625\). Dies bedeutet, dass \(62{,}5\,\%\) der E-Book-Nutzer zur Gruppe „Jung“ gehören. c) Die Merkmale sind stochastisch abhängig, da \(P(J \cap E) = 0{,}3\) ungleich \(P(J) \cdot P(E) = 0{,}192\) ist.

- Ergänze jede Gruppe so, dass ihre Endknoten wieder die Gruppengröße ergeben. - Fasse danach alle Personen mit Helm zu einer neuen Bezugsgruppe zusammen.

1. Kein Fahrrad: \(1200-450=750\). 2. Fahrrad ohne Helm: \(450-360=90\); kein Fahrrad ohne Helm: \(750-150=600\). 3. Helm insgesamt: \(360+150=510\). 4. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(360:510=\frac{12}{17}\approx 0{,}7059\).

Fehlende Häufigkeiten: 90 und 600; \(P(\text{Fahrrad}\mid\text{Helm})=\frac{12}{17}\approx 70{,}6\,\%\).

- Beginne damit, alle direkt gegebenen Wahrscheinlichkeiten in eine Tabelle einzutragen. - Wie kannst du die fehlenden Felder in der Tabelle durch Addition oder Subtraktion berechnen? - Was ist der Unterschied zwischen „ein schwarzer Stick ist fehlerhaft“ und „ein fehlerhafter Stick ist schwarz“?

1. Gegebene Werte: \(P(S) = 0{,}7\), \(P(D|S) = 0{,}05\), \(P(D) = 0{,}044\). 2. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit \(P(D \cap S) = P(D|S) \cdot P(S) = 0{,}05 \cdot 0{,}7 = 0{,}035\). 3. Ausfüllen der Vierfeldertafel: - \(P(B) = 1 - P(S) = 0{,}3\) - \(P(D \cap B) = P(D) - P(D \cap S) = 0{,}044 - 0{,}035 = 0{,}009\) - \(P(\bar{D} \cap S) = P(S) - P(D \cap S) = 0{,}7 - 0{,}035 = 0{,}665\) - \(P(\bar{D} \cap B) = P(B) - P(D \cap B) = 0{,}3 - 0{,}009 = 0{,}291\) - \(P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 0{,}956\) 4. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(B|D) = \frac{P(D \cap B)}{P(D)} = \frac{0{,}009}{0{,}044} = \frac{9}{44} \approx 0{,}2045\).

a) Die Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(D\)</td><td>\(\bar{D}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(S\)</td><td>\(0{,}035\)</td><td>\(0{,}665\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}009\)</td><td>\(0{,}291\)</td><td>\(0{,}3\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}044\)</td><td>\(0{,}956\)</td><td>\(1{,}0\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{9}{44} \approx 20{,}45\,\%\).

- Was bedeutet „die meisten“ mathematisch im Hinblick auf den Anteil an einer Teilgruppe? - Achte darauf, welche Gruppe jeweils die Grundgesamtheit für die Bedingung bildet. - Probiere für die Tabelle zuerst kleine Werte für die Schnittmengen aus und prüfe, ob die Summen die Bedingungen erfüllen. - Die Summe aller vier inneren Felder muss genau der Gesamtzahl der Personen entsprechen.

1. Übersetzung der Aussagen in bedingte Wahrscheinlichkeiten: Lukas fordert \(P(T|P) > 0{,}5\), Julia fordert \(P(A|H) > 0{,}5\) und Moritz fordert \(P(P|T) > 0{,}5\). 2. Konstruktion der Vierfeldertafel: Mit den Werten \(n(H \cap P) = 5\), \(n(H \cap A) = 15\), \(n(T \cap P) = 12\) und \(n(T \cap A) = 8\) ergibt sich eine Gesamtzahl von \(40\). 3. Überprüfung der Bedingungen: Lukas: \(P(T|P) = \frac{12}{17} \approx 0{,}706 > 0{,}5\) (erfüllt). Julia: \(P(A|H) = \frac{15}{20} = 0{,}75 > 0{,}5\) (erfüllt). Moritz: \(P(P|T) = \frac{12}{20} = 0{,}6 > 0{,}5\) (erfüllt). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten in c): (1) \(P(H|P) = \frac{n(H \cap P)}{n(P)} = \frac{5}{17} \approx 0{,}294\). (2) \(P(A|T) = \frac{n(T \cap A)}{n(T)} = \frac{8}{20} = 0{,}4\).

a) Lukas: \(P(T|P) > 0{,}5\); Julia: \(P(A|H) > 0{,}5\); Moritz: \(P(P|T) > 0{,}5\). b) Eine mögliche Vierfeldertafel ist: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(P\)</td><td>\(A\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(H\)</td><td>5</td><td>15</td><td>20</td></tr> <tr><td>\(T\)</td><td>12</td><td>8</td><td>20</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>17</td><td>23</td><td>40</td></tr> </table> c) (1) \(P(H|P) = \frac{5}{17} \approx 0{,}294\); (2) \(P(A|T) = \frac{8}{20} = 0{,}4\).

- Erinnere dich an die Additionsregel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse. - Was bedeutet die stochastische Unabhängigkeit für das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten? - Du erhältst ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten für die Randwahrscheinlichkeiten. - Überlege dir, wie man aus der Summe und dem Produkt zweier Zahlen diese Zahlen bestimmen kann.

1. Aufstellen der Gleichung für die Vereinigung: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). 2. Einsetzen der Werte: \(0{,}68 = P(A) + P(B) - 0{,}12 \implies P(A) + P(B) = 0{,}80\). 3. Anwendung der Unabhängigkeitsbedingung: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}12\). 4. Lösung des Gleichungssystems \(x + y = 0{,}8\) und \(x \cdot y = 0{,}12\). Dies führt zur quadratischen Gleichung \(x^2 - 0{,}8x + 0{,}12 = 0\) mit den Lösungen \(x_1 = 0{,}6\) und \(x_2 = 0{,}2\). 5. Festlegen der Randwahrscheinlichkeiten (z. B. \(P(A) = 0{,}6\) und \(P(B) = 0{,}2\)) und Berechnung der inneren Felder: \(P(A \cap \overline{B}) = 0{,}6 - 0{,}12 = 0{,}48\); \(P(\overline{A} \cap B) = 0{,}2 - 0{,}12 = 0{,}08\); \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}4 \cdot 0{,}8 = 0{,}32\).

Eine mögliche Vierfeldertafel ist: <table> <tr> <td></td> <td>\(B\)</td> <td>\(\overline{B}\)</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>\(A\)</td> <td>\(0{,}12\)</td> <td>\(0{,}48\)</td> <td>\(0{,}60\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{A}\)</td> <td>\(0{,}08\)</td> <td>\(0{,}32\)</td> <td>\(0{,}40\)</td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td>\(0{,}20\)</td> <td>\(0{,}80\)</td> <td>\(1\)</td> </tr> </table> (Alternativ können die Werte für \(A\) und \(B\) vertauscht sein.)

- Beginne damit, die Prozentangaben in absolute Schülerzahlen umzurechnen. - Wie viele Schüler sind insgesamt Vegetarier und wie viele davon trinken Milch? Nutze dies als Startpunkt für deine Tabelle. - Überlege bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten genau, welche Teilgruppe die neue Grundgesamtheit bildet. - „Kein Vegetarier“ entspricht dem Ereignis \(\bar{V}\).

1. Bestimmung der absoluten Häufigkeiten: \(n(V) = 0{,}4 \cdot 250 = 100\); daraus folgt \(n(\bar{V}) = 150\). 2. Bestimmung der Schnittmengen: \(n(V \cap M) = 0{,}6 \cdot 100 = 60\). Mit \(n(M) = 160\) ergibt sich \(n(\bar{V} \cap M) = 160 - 60 = 100\). 3. Restliche Felder: \(n(V \cap \bar{M}) = 100 - 60 = 40\); \(n(\bar{V} \cap \bar{M}) = 150 - 100 = 50\); \(n(\bar{M}) = 40 + 50 = 90\). 4. Wahrscheinlichkeiten: (1) \(P(\bar{V} \cap \bar{M}) = \frac{50}{250} = 0{,}2\). (2) \(P(V|M) = \frac{n(V \cap M)}{n(M)} = \frac{60}{160} = 0{,}375\). (3) \(P(\bar{M}|\bar{V}) = \frac{n(\bar{M} \cap \bar{V})}{n(\bar{V})} = \frac{50}{150} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\).

a) Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\bar{M}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(V\)</td><td>\(60\)</td><td>\(40\)</td><td>\(100\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{V}\)</td><td>\(100\)</td><td>\(50\)</td><td>\(150\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(160\)</td><td>\(90\)</td><td>\(250\)</td></tr> </table> b) (1) \(P(\bar{V} \cap \bar{M}) = 0{,}2\); (2) \(P(V|M) = 0{,}375\); (3) \(P(\bar{M}|\bar{V}) = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\).

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl der Personen in den vier Kategorien der Felder. - Formuliere für die Information über die Sportarten eine kleine Gleichung, um die Summenwerte zu erhalten. - Erstelle eine Vierfeldertafel, um die fehlenden Werte schrittweise zu berechnen. - Achte bei der finalen Frage genau darauf, welche Gruppe die Grundmenge für die Wahrscheinlichkeit bildet (die Bedingung).

1. Berechnung der Altersgruppen: \(n(\text{Jugendliche}) = 120 \cdot 0{,}6 = 72\), folglich \(n(\text{Erwachsene}) = 120 - 72 = 48\). 2. Berechnung der Sportartenverteilung: Sei \(x\) die Anzahl der Hockeyspieler, dann gilt \(x + (x + 20) = 120 \implies 2x = 100 \implies x = 50\). Es gibt also \(n(\text{Hockey}) = 50\) und \(n(\text{Tennis}) = 70\). 3. Bestimmung der Hockeyspieler unter den Jugendlichen: \(n(\text{Hockey} \cap \text{Jugendliche}) = 72 \cdot 0{,}25 = 18\). 4. Bestimmung der Tennisspieler unter den Jugendlichen: \(n(\text{Tennis} \cap \text{Jugendliche}) = 72 - 18 = 54\). 5. Berechnung der Tennis spielenden Erwachsenen: \(n(\text{Tennis} \cap \text{Erwachsene}) = n(\text{Tennis}) - n(\text{Tennis} \cap \text{Jugendliche}) = 70 - 54 = 16\). 6. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Erwachsener}|\text{Tennis}) = \frac{n(\text{Erwachsene} \cap \text{Tennis})}{n(\text{Tennis})} = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{8}{35} \approx 22{,}9\,\%\).