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- Stelle dir den Ablauf als mehrstufiges Zufallsexperiment vor. - Ein Baumdiagramm kann dir helfen, die verschiedenen Pfade und deren Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. - Achte darauf, wann Ereignisse nacheinander eintreten müssen (Multiplikationsregel) und wann es verschiedene Wege zum Ziel gibt (Additionsregel). - Was bedeutet „genau einer der beiden Tests“ für die Pfade im Baumdiagramm? - Überlege für die letzte Teilaufgabe, welche der vorherigen Ergebnisse kombiniert werden müssen.

Die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis bei einem Defekt beträgt \(p = 0{,}92\), für ein negatives Ergebnis \(q = 1 - 0{,}92 = 0{,}08\). Die Wahrscheinlichkeit der manuellen Erkennung ist \(p_m = 0{,}96\). 1. Sofortiger Ausschuss tritt ein, wenn beide Tests positiv sind: \(P(\text{pos, pos}) = 0{,}92 \cdot 0{,}92 = 0{,}8464\). 2. Keine Erkennung durch beide Tests bedeutet zwei negative Ergebnisse: \(P(\text{neg, neg}) = 0{,}08 \cdot 0{,}08 = 0{,}0064\). 3. Eine Nachprüfung erfolgt bei genau einem positiven Ergebnis: \(P(\text{pos, neg}) + P(\text{neg, pos}) = 2 \cdot 0{,}92 \cdot 0{,}08 = 0{,}1472\). 4. Entdeckung in der Nachprüfung setzt voraus, dass diese stattfindet und dort positiv verläuft: \(0{,}1472 \cdot 0{,}96 = 0{,}141312\). 5. Die Gesamtwahrscheinlichkeit der Erkennung ist die Summe aus sofortigem Ausschuss und Entdeckung in der Nachprüfung: \(0{,}8464 + 0{,}141312 = 0{,}987712\).

(1) \(0{,}8464\) (oder \(84{,}64\,\%\)) (2) \(0{,}0064\) (oder \(0{,}64\,\%\)) (3) \(0{,}1472\) (oder \(14{,}72\,\%\)) (4) \(0{,}141312\) (oder ca. \(14{,}13\,\%\)) (5) \(0{,}987712\) (oder ca. \(98{,}77\,\%\))

- Überlege dir, welche Stufe des Baumdiagramms für welche Information steht. - Erinnere dich an die Pfadregeln: Multipliziere entlang eines Pfades und addiere die Ergebnisse verschiedener Pfade, die zum gleichen Zielereignis führen. - Achte auf den Unterschied zwischen einer bedingten Wahrscheinlichkeit (an einem einzelnen Ast) und einer Schnittwahrscheinlichkeit (für einen ganzen Pfad). - Was bedeutet die Notation \(P_A(B)\) im Vergleich zu \(P(A \cap B)\)?

1. Interpretation des Wertes \(0{,}2\): Es handelt sich um die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(F|M)\). Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass \(20\,\%\) der Schüler, die am Mittagessen teilnehmen, mit dem Fahrrad zur Schule kommen. 2. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeiten mit der 1. Pfadregel: \(P(M \cap F) = P(M) \cdot P(F|M) = 0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}06\) \(P(\bar{M} \cap F) = P(\bar{M}) \cdot P(F|\bar{M}) = 0{,}7 \cdot 0{,}4 = 0{,}28\) 3. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeiten mit der 2. Pfadregel: \(P(F) = P(M \cap F) + P(\bar{M} \cap F) = 0{,}06 + 0{,}28 = 0{,}34\) \(P(\bar{F}) = 1 - P(F) = 1 - 0{,}34 = 0{,}66\) 4. Ermittlung der Werte aus dem Baumdiagramm: \(P_{M}(\bar{F}) = 0{,}8\) (direkt am Ast ablesbar) \(P(M \cap \bar{F}) = 0{,}3 \cdot 0{,}8 = 0{,}24\) 5. Symbolschreibweise und Wert für die bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P_{\bar{M}}(F) = 0{,}4\) (oder \(P(F|\bar{M}) = 0{,}4\))

a) Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler mit dem Fahrrad kommt, unter der Bedingung, dass er am Mittagessen teilnimmt. b) \(P(M \cap F) = 0{,}06\); \(P(\bar{M} \cap F) = 0{,}28\) c) \(P(F) = 0{,}34\); \(P(\bar{F}) = 0{,}66\) d) \(P_{M}(\bar{F}) = 0{,}8\); \(P(M \cap \bar{F}) = 0{,}24\) e) \(P_{\bar{M}}(F) = 0{,}4\)

- Achte bei Teilaufgabe a) darauf, dass eine ganz bestimmte Reihenfolge verlangt ist. - Denke bei „mindestens eine“ wieder an das Gegenereignis. - Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit in Teil c) hat das erste Ereignis bereits stattgefunden. Wie viele Äpfel und wie viele Früchte sind dann noch im Korb?

1. Die Wahrscheinlichkeit für die feste Reihenfolge \((\text{B}, \text{A}, \text{B})\) wird mit der Pfadmultiplikationsregel berechnet: \(P(\text{B}, \text{A}, \text{B}) = \frac{6}{15} \cdot \frac{9}{14} \cdot \frac{5}{13} = \frac{270}{2730} = \frac{9}{91} \approx 0{,}0989\). 2. Das Ereignis „mindestens eine Birne“ ist das Gegenereignis zu „nur Äpfel“: \(P(\text{A}, \text{A}, \text{A}) = \frac{9}{15} \cdot \frac{8}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{504}{2730} = \frac{12}{65}\). Damit ist \(P(\text{mind. 1 B}) = 1 - \frac{12}{65} = \frac{53}{65} \approx 0{,}8154\). 3. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(\text{2. A und 3. A}|\text{1. A})\) betrachtet man den Zustand nach dem ersten Apfel: Es verbleiben \(14\) Früchte, davon \(8\) Äpfel und \(6\) Birnen. Die Wahrscheinlichkeit, daraus zwei weitere Äpfel zu ziehen, ist \(\frac{8}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{56}{182} = \frac{4}{13} \approx 0{,}3077\).

a) \(P(\text{B, A, B}) = \frac{9}{91} \approx 9{,}89\,\%\) b) \(P(\text{mindestens eine Birne}) = \frac{53}{65} \approx 81{,}54\,\%\) c) \(P(\text{2. A, 3. A}|\text{1. A}) = \frac{4}{13} \approx 30{,}77\,\%\)

- Überlege dir für Teilaufgabe a), welche Wahrscheinlichkeiten direkt im Baum stehen und welche durch Multiplikation oder Addition berechnet werden müssen. - Erinnere dich an die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\). - Für die Begründung in b) hilft es, sich die Mengen in einem Venn-Diagramm oder die entsprechenden Pfadenden im Baumdiagramm anzuschauen.

1. Berechnung von \(P(M_2 \cap A)\): Nach der ersten Pfadregel multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades: \(P(M_2 \cap A) = 0{,}25 \cdot 0{,}1 = 0{,}025\). 2. Berechnung von \(P(A)\): Nach der zweiten Pfadregel addiert man die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu \(A\) führen: \(P(A) = P(M_1 \cap A) + P(M_2 \cap A) = 0{,}75 \cdot 0{,}05 + 0{,}025 = 0{,}0375 + 0{,}025 = 0{,}0625\). 3. Bestimmung von \(P_{M_2}(S)\): Dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil die Stufe \(S\) hat, wenn es von Maschine \(M_2\) kommt. Dieser Wert steht direkt am entsprechenden Ast im Baumdiagramm: \(P_{M_2}(S) = 0{,}3\). 4. Berechnung von \(P_A(M_1)\): Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt \(P_A(M_1) = \frac{P(M_1 \cap A)}{P(A)} = \frac{0{,}0375}{0{,}0625} = 0{,}6\). 5. Begründung für \(P(M_1 \cup E)\): Das Ereignis \(M_1 \cup E\) umfasst alle Teile von Maschine \(M_1\) sowie alle exzellenten Teile. Da die exzellenten Teile von Maschine \(M_1\) bereits in \(P(M_1)\) enthalten sind, müssen nur noch die exzellenten Teile von Maschine \(M_2\) addiert werden. 6. Wert von \(P(M_1 \cup E)\): \(P(M_1 \cup E) = 0{,}75 + 0{,}25 \cdot 0{,}6 = 0{,}75 + 0{,}15 = 0{,}9\).

a) (1) \(P(M_2 \cap A) = 0{,}025\); (2) \(P(A) = 0{,}0625\); (3) \(P_{M_2}(S) = 0{,}3\); (4) \(P_A(M_1) = 0{,}6\). b) Das Ereignis \(M_1 \cup E\) setzt sich aus den disjunkten Teilereignissen \(M_1\) (alle Pfade durch den oberen Knoten) und \(M_2 \cap E\) (nur der exzellente Pfad durch den unteren Knoten) zusammen. Der Wert beträgt \(0{,}9\).

- Überlege dir zuerst, welche Information eine „bedingte Wahrscheinlichkeit“ wie \(P_E(T)\) genau ausdrückt: Werden alle Menschen betrachtet oder nur eine bestimmte Untergruppe? - Für die Berechnung von \(P(E \cap T)\) kannst du die erste Pfadregel (Produktregel) anwenden. - Um die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass jemand bei positivem Test wirklich krank ist, musst du das Verhältnis der „richtig-positiven“ zu allen „positiven“ Ergebnissen bilden. - Erinnere dich an die Definition der stochastischen Unabhängigkeit: Verändert das Eintreten von \(E\) die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von \(T\)?

1. Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P_E(T) = 0{,}98\). Dies bedeutet, dass \(98\,\%\) der tatsächlich Erkrankten ein positives Testergebnis erhalten (Sensitivität). 2. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit: \(P(E \cap T) = P(E) \cdot P_E(T) = 0{,}005 \cdot 0{,}98 = 0{,}0049\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}49\,\%\). 3. Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis: \(P(T) = P(E \cap T) + P(\bar{E} \cap T) = 0{,}0049 + (1 - 0{,}005) \cdot 0{,}03 = 0{,}0049 + 0{,}995 \cdot 0{,}03 = 0{,}0049 + 0{,}02985 = 0{,}03475\). 4. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_T(E)\) (Bayes): \(P_T(E) = \frac{P(E \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}0049}{0{,}03475} \approx 0{,}1410\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(14{,}1\,\%\). 5. Prüfung auf Unabhängigkeit: Da \(P_E(T) = 0{,}98\) ungleich \(P(T) = 0{,}03475\) ist, sind die Ereignisse stochastisch abhängig. Das Testergebnis liefert also eine Information über den Erkrankungsstatus.

a) \(P_E(T) = 0{,}98\). Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, wenn die Person sicher erkrankt ist. b) \(P(E \cap T) = 0{,}0049 = 0{,}49\,\%\). c) \(P_T(E) \approx 0{,}141 = 14{,}1\,\%\). d) Die Ereignisse sind abhängig, da \(P_E(T) = 0{,}98\) deutlich von der allgemeinen Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests \(P(T) \approx 0{,}035\) abweicht.

- Überlege dir, wie die Summe der Wahrscheinlichkeiten an einem Verzweigungspunkt lauten muss. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfadendes aus den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Äste? - Erinnere dich an die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_E(F) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}\).

1. Ergänzung der fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm: - Aus \(P(A) = 0{,}4\) folgt \(P(\overline{A}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\). - Aus \(P(A \cap B) = 0{,}1\) und der Pfadregel \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\) folgt \(P(B|A) = \frac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25\). Damit ist \(P(\overline{B}|A) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\). - Gegeben ist \(P(\overline{B}|\overline{A}) = 0{,}3\), woraus \(P(B|\overline{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\) folgt. - Die weiteren Pfadwahrscheinlichkeiten sind: \(P(A \cap \overline{B}) = 0{,}4 \cdot 0{,}75 = 0{,}3\) \(P(\overline{A} \cap B) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42\) \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}18\) 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: - Zuerst wird die Gesamtwahrscheinlichkeit für \(B\) berechnet: \(P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0{,}1 + 0{,}42 = 0{,}52\). - Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist \(P(\overline{B}) = 1 - 0{,}52 = 0{,}48\). - \(P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}1}{0{,}52} = \frac{10}{52} = \frac{5}{26} \approx 0{,}1923\). - \(P_{\overline{B}}(A) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{0{,}3}{0{,}48} = \frac{30}{48} = 0{,}625\).

1. Fehlende Werte: \(P(\overline{A}) = 0{,}6\); \(P(B|A) = 0{,}25\); \(P(\overline{B}|A) = 0{,}75\); \(P(B|\overline{A}) = 0{,}7\). 2. \(P_B(A) = \frac{5}{26} \approx 0{,}1923\) und \(P_{\overline{B}}(A) = 0{,}625\).

- Überlege dir zuerst, welche Werte an den Verzweigungen stehen müssen, damit die Summe an jedem Knoten \(1\) (oder \(100\,\%\)) ergibt. - Nutze die Pfadmultiplikationsregel, um die Wahrscheinlichkeiten der kombinierten Ereignisse am Ende der Pfade zu berechnen. - Für die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ergebnisses musst du die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade addieren, die zu diesem Ergebnis führen. - Achte auf den Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit „A und +“ und der bedingten Wahrscheinlichkeit „+ unter der Bedingung A“. - Bei Teilaufgabe f) suchst du eine Wahrscheinlichkeit „rückwärts“ im Baum. Hier hilft die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.

1. Ergänzung des Baumdiagramms: \(P(\bar{A}) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98\). Für den Ast \(A\): \(P(-\mid A) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05\). Für den Ast \(\bar{A}\): \(P(-\mid \bar{A}) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96\). 2. Berechnung von \(P(-)\): Mithilfe der Pfadregeln ergibt sich \(P(-) = P(A) \cdot P(-\mid A) + P(\bar{A}) \cdot P(-\mid \bar{A}) = 0{,}02 \cdot 0{,}05 + 0{,}98 \cdot 0{,}96 = 0{,}001 + 0{,}9408 = 0{,}9418\). 3. Wahrscheinlichkeit für ein negatives Ergebnis bei vorliegender Allergie: Dies entspricht \(P(-\mid A) = 0{,}05 = 5\,\%\). 4. Berechnung von \(P(A \cap +)\): \(P(A \cap +) = P(A) \cdot P(+\mid A) = 0{,}02 \cdot 0{,}95 = 0{,}019\). 5. Beschreibung von \(P_A(+)\): Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass die Person die Allergie hat (Sensitivität). 6. Berechnung von \(P(A \mid +)\): \(P(+) = 1 - P(-) = 1 - 0{,}9418 = 0{,}0582\). Damit ist \(P(A \mid +) = \frac{P(A \cap +)}{P(+)} = \frac{0{,}019}{0{,}0582} \approx 0{,}3265\).

a) \(P(\bar{A}) = 0{,}98\); \(P(-\mid A) = 0{,}05\); \(P(-\mid \bar{A}) = 0{,}96\). b) \(P(-) = 0{,}9418\). c) \(P(-\mid A) = 0{,}05\) (bzw. \(5\,\%\)). d) \(P(A \cap +) = 0{,}019\). e) \(P_A(+)\) ist die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test bei einer Person, von der man bereits weiß, dass sie Allergiker ist. f) \(P(A \mid +) \approx 0{,}3265\) (bzw. ca. \(32{,}7\,\%\)).

- Ergänze zuerst die beiden Gruppen der ersten Stufe. - Vergleiche an jeder Verzweigung die Kindknoten mit ihrem Elternknoten.

1. Erste Gruppen: \(A=240+60=300\) und \(\overline{A}=140+560=700\). 2. Erste Stufe: \(P(A)=0{,}3\) und \(P(\overline{A})=0{,}7\). 3. Nach \(A\): \(P(B\mid A)=240:300=0{,}8\) und \(P(\overline{B}\mid A)=0{,}2\). 4. Nach \(\overline{A}\): \(P(B\mid\overline{A})=140:700=0{,}2\) und \(P(\overline{B}\mid\overline{A})=0{,}8\).

Astwahrscheinlichkeiten: \(0{,}3\), \(0{,}7\); nach \(A\) \(0{,}8\), \(0{,}2\); nach \(\overline{A}\) \(0{,}2\), \(0{,}8\).

- Die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Defekt setzt sich aus den Defekten beider Hersteller zusammen. Addiere die entsprechenden Pfadwahrscheinlichkeiten. - Für Teilaufgabe b) suchst du eine bedingte Wahrscheinlichkeit „rückwärts“ im Baum. Überlege, welcher Anteil der gesamten Defekte auf Hersteller B entfällt. - Stochastische Unabhängigkeit bedeutet hier: Es spielt keine Rolle für die Fehlerwahrscheinlichkeit, von welchem Hersteller ein Teil kommt.

1. Berechnung der totalen Defektwahrscheinlichkeit \(P(D)\): \(P(D) = P(A) \cdot P_A(D) + P(B) \cdot P_B(D) = 0{,}70 \cdot 0{,}01 + 0{,}30 \cdot 0{,}04 = 0{,}007 + 0{,}012 = 0{,}019 = 1{,}9\,\%\). 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_D(B)\) mittels Bayes-Theorem: \(P_D(B) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}012}{0{,}019} \approx 0{,}6316\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(63{,}16\,\%\). 3. Untersuchung der stochastischen Unabhängigkeit: Damit \(D\) unabhängig von der Wahl des Herstellers ist, muss gelten: \(P_A(D) = P_B(D) = P(D)\). Da die Defektquote von Hersteller A fix bei \(1\,\%\) liegt, müsste auch Hersteller B seine Quote auf genau \(1\,\%\) senken. Nur dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt für jedes Teil gleich, egal von wem es geliefert wurde.

a) \(P(D) = 0{,}019 = 1{,}9\,\%\). b) \(P_D(B) \approx 0{,}6316 = 63{,}16\,\%\). c) Hersteller B müsste seine Defektquote auf \(1\,\%\) senken. Bei stochastischer Unabhängigkeit müssen die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_A(D)\) und \(P_B(D)\) identisch sein.

- Bestimme zunächst den bekannten zweiten Ast innerhalb von \(A\). - Welcher Rest von \(B\) müsste außerhalb von \(A\) liegen? - Prüfe, ob der daraus entstehende Anteil zulässig ist.

1. \(P(B\mid A)=0{,}4:0{,}8=0{,}5\). 2. Verbleibender Anteil \(P(\overline{A}\cap B)=0{,}7-0{,}4=0{,}3\). 3. Erforderlicher Ast: \(P(B\mid\overline{A})=0{,}3:0{,}2=1{,}5\). 4. Wert größer als \(1\); Angaben widersprüchlich.

Unmöglich, da sich \(P(B\mid\overline{A})=1{,}5\) ergeben würde.

- Wähle eine Bezugsgröße, bei der die kleinen Prozentanteile gut als Anzahlen sichtbar werden. - Welche Fälle gehören insgesamt zur Gruppe der Markierten?

1. Merkmalsträger: \(100\,000 \cdot 0{,}003 = 300\); davon markiert \(300 \cdot 0{,}9 = 270\). 2. Ohne Merkmal: \(99\,700\); davon markiert \(99\,700 \cdot 0{,}02 = 1994\). 3. Markiert insgesamt: \(270 + 1994 = 2264\). 4. Anteil: \(270 {:} 2264 = \frac{135}{1132} \approx 0{,}1193\).

270 echte und \(1994\) falsche Markierungen; Anteil der Merkmalsträger \(\approx 11{,}9\,\%\).