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- Bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei jedem Schuss gleich? - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei drei Schüssen genau zwei Treffer zu erzielen? - Welches Ereignis tritt ein, wenn „mindestens ein Treffer“ nicht erfüllt ist? - Nutze die Pfadregeln für ein Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten \(0{,}6\) und \(0{,}4\).

1. Da die Schüsse unabhängig sind, bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}6\) und die Fehlwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}4\) konstant. 2. Für Fall (1) müssen drei Fehlwürfe (NNN) nacheinander eintreten: \(P(\text{kein Treffer}) = 0{,}4 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}064\). 3. Für Fall (2) gibt es drei Pfade (TTN, TNT, NTT). Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist \(0{,}6^2 \cdot 0{,}4 = 0{,}144\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt \(3 \cdot 0{,}144 = 0{,}432\). 4. Fall (3) berechnet sich über das Gegenereignis zu (1): \(P(\text{mind. ein Treffer}) = 1 - P(\text{kein Treffer}) = 1 - 0{,}064 = 0{,}936\).

(1) \(P = 0{,}064\) (2) \(P = 0{,}432\) (3) \(P = 0{,}936\)

- Überlege dir, wie viele verschiedene Reihenfolgen es für das Ereignis „genau zwei Nieten“ gibt. - Beim Ziehen ohne Zurücklegen verringert sich bei jedem Schritt sowohl die Anzahl der passenden Lose als auch die Gesamtzahl im Beutel. - Kann man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens ein Gewinnlos“ einfacher berechnen, indem man das Gegenteil betrachtet?

1. Für genau zwei Nieten gibt es die Pfade \((\text{N}, \text{N}, \text{G})\), \((\text{N}, \text{G}, \text{N})\) und \((\text{G}, \text{N}, \text{N})\). Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades (z. B. \(P(\text{N}, \text{N}, \text{G})\)) berechnet sich zu \(\frac{8}{12} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{4}{10} = \frac{224}{1320}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(3 \cdot \frac{224}{1320} = \frac{672}{1320} = \frac{28}{55} \approx 0{,}5091\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Gewinnlos lässt sich über das Gegenereignis „kein Gewinnlos“ (nur Nieten) bestimmen: \(P(\text{mind. 1 G}) = 1 - P(\text{N}, \text{N}, \text{N})\). Mit \(P(\text{N}, \text{N}, \text{N}) = \frac{8}{12} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{6}{10} = \frac{336}{1320} = \frac{14}{55}\) ergibt sich \(1 - \frac{14}{55} = \frac{41}{55} \approx 0{,}7455\).

a) \(P(\text{genau zwei Nieten}) = \frac{28}{55} \approx 50{,}9\,\%\) b) \(P(\text{mindestens ein Gewinnlos}) = \frac{41}{55} \approx 74{,}5\,\%\)

- Überlege dir, wie sich die Anzahl der verfügbaren Personen nach jeder Auswahl verändert. - Ein Baumdiagramm kann helfen, die verschiedenen Pfade für genau zwei Frauen zu finden. - Bei „mindestens“-Aufgaben ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils zu berechnen. - Achte darauf, ob die Reihenfolge der Auswahl für das Endergebnis eine Rolle spielt oder ob verschiedene Reihenfolgen zum selben Ereignis führen.

1. Es handelt sich um ein Experiment ohne Zurücklegen mit insgesamt 10 Personen (6 Frauen, 4 Männer). 2. Für Ereignis (1) (MMM) ergibt sich nach der ersten Pfadregel: \(P(\text{nur Männer}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}\). 3. Für Ereignis (2) gibt es drei mögliche Pfade (FFM, FMF, MFF). Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. Für Ereignis (3) nutzt man das Gegenereignis zu (1): \(P(\text{mind. eine Frau}) = 1 - P(\text{nur Männer}) = 1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30}\).

(1) \(P = \frac{1}{30} \approx 0{,}033\) (2) \(P = \frac{1}{2} = 0{,}5\) (3) \(P = \frac{29}{30} \approx 0{,}967\)

- Achte bei Teilaufgabe a) darauf, dass eine ganz bestimmte Reihenfolge verlangt ist. - Denke bei „mindestens eine“ wieder an das Gegenereignis. - Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit in Teil c) hat das erste Ereignis bereits stattgefunden. Wie viele Äpfel und wie viele Früchte sind dann noch im Korb?

1. Die Wahrscheinlichkeit für die feste Reihenfolge \((\text{B}, \text{A}, \text{B})\) wird mit der Pfadmultiplikationsregel berechnet: \(P(\text{B}, \text{A}, \text{B}) = \frac{6}{15} \cdot \frac{9}{14} \cdot \frac{5}{13} = \frac{270}{2730} = \frac{9}{91} \approx 0{,}0989\). 2. Das Ereignis „mindestens eine Birne“ ist das Gegenereignis zu „nur Äpfel“: \(P(\text{A}, \text{A}, \text{A}) = \frac{9}{15} \cdot \frac{8}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{504}{2730} = \frac{12}{65}\). Damit ist \(P(\text{mind. 1 B}) = 1 - \frac{12}{65} = \frac{53}{65} \approx 0{,}8154\). 3. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(\text{2. A und 3. A}|\text{1. A})\) betrachtet man den Zustand nach dem ersten Apfel: Es verbleiben \(14\) Früchte, davon \(8\) Äpfel und \(6\) Birnen. Die Wahrscheinlichkeit, daraus zwei weitere Äpfel zu ziehen, ist \(\frac{8}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{56}{182} = \frac{4}{13} \approx 0{,}3077\).

a) \(P(\text{B, A, B}) = \frac{9}{91} \approx 9{,}89\,\%\) b) \(P(\text{mindestens eine Birne}) = \frac{53}{65} \approx 81{,}54\,\%\) c) \(P(\text{2. A, 3. A}|\text{1. A}) = \frac{4}{13} \approx 30{,}77\,\%\)