Kostenlose Arbeitsblätter

- Stelle dir den zweistufigen Zufallsprozess als Baumdiagramm vor. - Welche Pfade führen zum beobachteten Ergebnis (z. B. „rot“)? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ursprungs, wenn das Ergebnis bereits bekannt ist? - Beachte beim Ziehen von zwei LEDs, dass sich die Anzahl der LEDs in der Kiste verringert. - Überlege für den letzten Teil, ob das Vorwissen über die Kistenwahl das Endergebnis eher in Richtung Kiste 1 oder Kiste 2 verschiebt.

1. Definition der Ereignisse: \(K_1, K_2\) für die Wahl der Kiste (je \(P(K_i) = 0{,}5\)), \(R\) für „rot“, \(B_2\) für „zwei blaue LEDs“. 2. Zu a): Anwendung des Satzes von Bayes. \(P(R|K_1) = \frac{5}{20} = 0{,}25\) und \(P(R|K_2) = \frac{10}{20} = 0{,}5\). 3. Gesamtwahrscheinlichkeit für rot: \(P(R) = 0{,}5 \cdot 0{,}25 + 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}375\). 4. Bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P(K_2|R) = \frac{P(K_2 \cap R)}{P(R)} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}375} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\). 5. Zu b): Wahrscheinlichkeiten für zwei blaue LEDs ohne Zurücklegen: \(P(B_2|K_1) = \frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} = \frac{20}{380}\) und \(P(B_2|K_2) = \frac{2}{20} \cdot \frac{1}{19} = \frac{2}{380}\). 6. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(B_2) = 0{,}5 \cdot \frac{20}{380} + 0{,}5 \cdot \frac{2}{380} = \frac{11}{380}\). 7. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(P(K_1|B_2) = \frac{0{,}5 \cdot \frac{20}{380}}{\frac{11}{380}} = \frac{10}{11} \approx 90{,}9\,\%\). 8. Zu c): Wenn die Auswahlwahrscheinlichkeit für Kiste 1 steigt, sinkt die für Kiste 2. Da \(P(K_2|R)\) proportional zu \(P(K_2)\) ist, wird die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote LED aus Kiste 2 stammt, abnehmen.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{10}{11} \approx 90{,}9\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit würde sinken, da Kiste 2 seltener gewählt wird und somit der Anteil der Pfade, die über Kiste 2 zu einer roten LED führen, am Gesamtergebnis kleiner wird.

- Stelle die Situation in einem Baumdiagramm dar. - Welche Pfade führen dazu, dass ein Fehler auftritt? - Überlege, was im Zähler und was im Nenner des Bruchs steht, wenn man die Pfadregeln anwendet. - Wie hängen die Ereignisse „fehlerhaft“ und „korrekt gelesen“ zusammen?

1. Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit für einen Fehler: \(P(F) = P(A) \cdot P(F|A) + P(B) \cdot P(F|B) = 0{,}7 \cdot 0{,}02 + 0{,}3 \cdot 0{,}05 = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029\). 2. Anwendung des Satzes von Bayes für die bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P(A|F) = \frac{P(A \cap F)}{P(F)} = \frac{0{,}7 \cdot 0{,}02}{0{,}029} = \frac{0{,}014}{0{,}029} = \frac{14}{29} \approx 0{,}4828\). 3. Analyse des Terms: Der Zähler \(0{,}3 \cdot 0{,}95\) entspricht \(P(B) \cdot P(\bar{F}|B)\). Der Nenner \(0{,}7 \cdot 0{,}98 + 0{,}3 \cdot 0{,}95\) entspricht der totalen Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Lesung \(P(\bar{F})\). Der gesamte Term beschreibt somit die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(B|\bar{F})\), also die Wahrscheinlichkeit, dass ein korrekt gelesenes Paket von Scanner \(B\) stammt.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(2{,}9\,\%\) (\(0{,}029\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(48{,}28\,\%\) (\(\frac{14}{29}\)). c) Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Paket von Scanner \(B\) verarbeitet wurde, unter der Bedingung, dass es korrekt gelesen wurde.

- Überlege dir zuerst die Gegenwahrscheinlichkeiten für die sofortige Lösung bei beiden Kanälen. - Ein Baumdiagramm hilft dir, die Pfade für „nicht sofort gelöst“ zu identifizieren. - Bei Teilaufgabe b) ist bereits bekannt, dass die Lösung nicht sofort erfolgte – das schränkt deine Grundmenge ein. - Vergleiche die Werte im Term von Aufgabe c) mit den Wahrscheinlichkeiten für eine erfolgreiche Lösung.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für das Nicht-Lösen: \(P(\bar{S}|C) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\) und \(P(\bar{S}|E) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). 2. Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit für „nicht sofort gelöst“: \(P(\bar{S}) = P(C) \cdot P(\bar{S}|C) + P(E) \cdot P(\bar{S}|E) = 0{,}4 \cdot 0{,}2 + 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}08 + 0{,}3 = 0{,}38\). 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit mittels Bayes: \(P(E|\bar{S}) = \frac{P(E \cap \bar{S})}{P(\bar{S})} = \frac{0{,}6 \cdot 0{,}5}{0{,}38} = \frac{0{,}3}{0{,}38} = \frac{15}{19} \approx 0{,}7895\). 4. Interpretation des Terms: Der Zähler \(0{,}4 \cdot 0{,}8\) ist \(P(C \cap S)\). Der Nenner ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für eine sofortige Lösung über beide Kanäle, also \(P(S)\). Der Term berechnet somit \(P(C|S)\), die Wahrscheinlichkeit, dass eine sofort gelöste Anfrage über den Chat kam.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(38\,\%\) (\(0{,}38\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(78{,}95\,\%\) (\(\frac{15}{19}\)). c) Der Term berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Anfrage über den Chat gestellt wurde, wenn bekannt ist, dass sie sofort gelöst werden konnte (\(P(C|S)\)).