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- Überlege dir zuerst, wie du die Zeilen- und Spaltensummen nutzt, um die leeren Felder in der Tabelle zu berechnen. - Die Wahrscheinlichkeiten an der ersten Stufe des Baumdiagramms entsprechen den Randwahrscheinlichkeiten aus der Tabelle (die Gesamtsummen der Merkmale). - Die Wahrscheinlichkeiten an der zweiten Stufe sind bedingte Wahrscheinlichkeiten. Sie beziehen sich immer auf die Teilmenge, die durch den ersten Ast festgelegt wurde. - Achte darauf, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten an jedem Verzweigungspunkt immer 1 ergeben muss.

1. Berechnung der fehlenden Tabellenwerte durch Differenzbildung und Summation: - \(n(A \cap S) = 1200 - 900 = 300\) - \(n(B \cap R) = 1300 - 900 = 400\) - \(n(B) = 2000 - 1200 = 800\) - \(n(B \cap S) = 800 - 400 = 400\) - \(n(S) = 300 + 400 = 700\) (oder \(2000 - 1300\)) 2. Baumdiagramm nach Altersgruppe (Stufe 1: \(A, B\); Stufe 2: \(R, S\)): - \(P(A) = \frac{1200}{2000} = 0{,}6\); \(P(B) = \frac{800}{2000} = 0{,}4\) - Bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_A(R) = \frac{900}{1200} = 0{,}75\); \(P_A(S) = \frac{300}{1200} = 0{,}25\); \(P_B(R) = \frac{400}{800} = 0{,}5\); \(P_B(S) = \frac{400}{800} = 0{,}5\) 3. Baumdiagramm nach Nutzung (Stufe 1: \(R, S\); Stufe 2: \(A, B\)): - \(P(R) = \frac{1300}{2000} = 0{,}65\); \(P(S) = \frac{700}{2000} = 0{,}35\) - Bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_R(A) = \frac{900}{1300} = \frac{9}{13}\); \(P_R(B) = \frac{400}{1300} = \frac{4}{13}\); \(P_S(A) = \frac{300}{700} = \frac{3}{7}\); \(P_S(B) = \frac{400}{700} = \frac{4}{7}\)

1. Fehlende Werte: \(n(A \cap S) = 300\), \(n(B \cap R) = 400\), \(n(B \cap S) = 400\), \(n(B) = 800\), \(n(S) = 700\). 2. Baum 1 (Altersgruppe): \(P(A) = 0{,}6\); \(P(B) = 0{,}4\); \(P_A(R) = 0{,}75\); \(P_A(S) = 0{,}25\); \(P_B(R) = 0{,}5\); \(P_B(S) = 0{,}5\). 3. Baum 2 (Nutzung): \(P(R) = 0{,}65\); \(P(S) = 0{,}35\); \(P_R(A) = \frac{9}{13}\); \(P_R(B) = \frac{4}{13}\); \(P_S(A) = \frac{3}{7}\); \(P_S(B) = \frac{4}{7}\).

- Stelle die ausgezeichneten Personen als neue Gesamtgruppe zusammen. - Welcher Teil davon gehört zum Musikprogramm?

1. Ausgezeichnet insgesamt: \(144+72=216\). 2. Musik und ausgezeichnet: \(144\). 3. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(144:216=\frac{2}{3}\).

\(\frac{2}{3}\approx 66{,}7\,\%\).

- Stelle die Situation in einem Baumdiagramm dar. - Welche Pfade führen dazu, dass ein Fehler auftritt? - Überlege, was im Zähler und was im Nenner des Bruchs steht, wenn man die Pfadregeln anwendet. - Wie hängen die Ereignisse „fehlerhaft“ und „korrekt gelesen“ zusammen?

1. Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit für einen Fehler: \(P(F) = P(A) \cdot P(F|A) + P(B) \cdot P(F|B) = 0{,}7 \cdot 0{,}02 + 0{,}3 \cdot 0{,}05 = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029\). 2. Anwendung des Satzes von Bayes für die bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P(A|F) = \frac{P(A \cap F)}{P(F)} = \frac{0{,}7 \cdot 0{,}02}{0{,}029} = \frac{0{,}014}{0{,}029} = \frac{14}{29} \approx 0{,}4828\). 3. Analyse des Terms: Der Zähler \(0{,}3 \cdot 0{,}95\) entspricht \(P(B) \cdot P(\bar{F}|B)\). Der Nenner \(0{,}7 \cdot 0{,}98 + 0{,}3 \cdot 0{,}95\) entspricht der totalen Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Lesung \(P(\bar{F})\). Der gesamte Term beschreibt somit die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(B|\bar{F})\), also die Wahrscheinlichkeit, dass ein korrekt gelesenes Paket von Scanner \(B\) stammt.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(2{,}9\,\%\) (\(0{,}029\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(48{,}28\,\%\) (\(\frac{14}{29}\)). c) Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Paket von Scanner \(B\) verarbeitet wurde, unter der Bedingung, dass es korrekt gelesen wurde.

- Stelle die Situation in einem Baumdiagramm dar. - Welche Pfade führen zu einem positiven Testergebnis? - Überlege, was genau gesucht ist: Die Wahrscheinlichkeit der Krankheit unter der Bedingung, dass der Test positiv war. - Wie verändern sich die Anteile im Baumdiagramm, wenn die Grundhäufigkeit der Krankheit steigt?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis bei einer Prävalenz von \(P(S) = 0{,}005\): \(P(P) = P(P|S) \cdot P(S) + P(P|\bar{S}) \cdot P(\bar{S}) = 0{,}98 \cdot 0{,}005 + 0{,}04 \cdot 0{,}995 = 0{,}0447\). 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(S|P) = \frac{P(P|S) \cdot P(S)}{P(P)} = \frac{0{,}0049}{0{,}0447} \approx 0{,}1096\). 3. Berechnung für eine Prävalenz von \(P(S) = 0{,}05\): \(P(P) = 0{,}98 \cdot 0{,}05 + 0{,}04 \cdot 0{,}95 = 0{,}087\). 4. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(S|P) = \frac{0{,}049}{0{,}087} \approx 0{,}5632\). 5. Vergleich und Interpretation: Der positive Vorhersagewert steigt mit zunehmender Prävalenz massiv an (von ca. \(11\,\%\) auf ca. \(56\,\%\)). Bei einer sehr geringen Prävalenz ist die Wahrscheinlichkeit für ein falsch-positives Ergebnis im Vergleich zu den echt-positiven Fällen sehr hoch, was die Aussagekraft eines positiven Tests mindert.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(11{,}0\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(56{,}3\,\%\). c) Mit steigender Prävalenz nimmt die Zuverlässigkeit eines positiven Testergebnisses deutlich zu, da das Verhältnis von richtig-positiven zu falsch-positiven Ergebnissen günstiger wird.

- Überlege dir zuerst, auf welchen zwei Wegen ein Alarm ausgelöst werden kann (echter Schaden oder Fehlalarm). - Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(A|B)\) ist nicht dasselbe wie \(P(B|A)\). Nutze die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit oder ein Baumdiagramm. - Für die letzte Teilaufgabe musst du wissen, welcher Anteil der „Alarme“ auf unbeschädigte Pakete entfällt.

1. Gegebene Werte: \(P(B) = 0{,}02\), \(P(\bar{B}) = 0{,}98\), \(P(S|B) = 0{,}94\), \(P(S|\bar{B}) = 0{,}04\). 2. Berechnung von \(P(S)\) (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit): \(P(S) = P(B) \cdot P(S|B) + P(\bar{B}) \cdot P(S|\bar{B}) = 0{,}02 \cdot 0{,}94 + 0{,}98 \cdot 0{,}04 = 0{,}0188 + 0{,}0392 = 0{,}058\). 3. Berechnung von \(P(B|S)\) (Bayes): \(P(B|S) = \frac{P(B \cap S)}{P(S)} = \frac{0{,}0188}{0{,}058} \approx 0{,}3241\). 4. Berechnung von \(P(B|\bar{S})\): \(P(\bar{S}) = 1 - 0{,}058 = 0{,}942\). \(P(B \cap \bar{S}) = P(B) \cdot P(\bar{S}|B) = 0{,}02 \cdot 0{,}06 = 0{,}0012\). \(P(B|\bar{S}) = \frac{0{,}0012}{0{,}942} \approx 0{,}00127\). 5. Anzahl der unbeschädigten Pakete unter den markierten (\(n = 200\)): \(P(\bar{B}|S) = 1 - P(B|S) = \frac{0{,}0392}{0{,}058} \approx 0{,}6759\). Erwartete Anzahl: \(200 \cdot 0{,}6759 \approx 135{,}18\).

a) \(P(S) = 0{,}058\) (oder \(5{,}8\,\%\)) b) \(P(B|S) \approx 0{,}3241\) (oder \(32{,}41\,\%\)) c) \(P(B|\bar{S}) \approx 0{,}00127\) (oder \(0{,}127\,\%\)) d) Etwa \(135\) Pakete.

- Überlege dir zuerst, welche Informationen im Text als Anteile an einer Teilgruppe (bedingte Wahrscheinlichkeiten) gegeben sind. - Ein Baumdiagramm kann helfen, die Pfadwahrscheinlichkeiten für die Kombinationen der Merkmale übersichtlich darzustellen. - Für die erste Teilfrage musst du die Richtung der Bedingung umkehren. Welches Werkzeug der Stochastik hilft dabei? - Achte genau darauf, welche Gruppe bei der jeweiligen Frage als bekannt vorausgesetzt wird (die Bedingung).

1. Definition der Ereignisse: \(M\) (Master), \(B\) (Bachelor), \(L\) (tägliche Bibliotheksnutzung). Gegeben sind \(P(M) = 0{,}42\), \(P(B) = 0{,}58\), \(P(L|M) = 0{,}15\) und \(P(L|B) = 0{,}25\). 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeiten für die Nicht-Nutzung: \(P(\bar{L}|M) = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\) und \(P(\bar{L}|B) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\). 3. Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit für keine tägliche Nutzung: \(P(\bar{L}) = P(\bar{L}|M) \cdot P(M) + P(\bar{L}|B) \cdot P(B) = 0{,}85 \cdot 0{,}42 + 0{,}75 \cdot 0{,}58 = 0{,}357 + 0{,}435 = 0{,}792\). 4. Anwendung des Satzes von Bayes für die erste Teilfrage: \(P(B|\bar{L}) = \frac{P(\bar{L}|B) \cdot P(B)}{P(\bar{L})} = \frac{0{,}435}{0{,}792} \approx 0{,}5492\). 5. Die zweite Teilfrage entspricht der direkt berechneten bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{L}|B) = 0{,}75\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(54{,}92\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(75\,\%\).

- In der Sechsfeldertafel stehen in den inneren Feldern die Wahrscheinlichkeiten für das gleichzeitige Auftreten zweier Merkmale (z. B. Bahn UND zufrieden). - Die Randsummen der Tabelle entsprechen den Gesamtwahrscheinlichkeiten der einzelnen Merkmale (z. B. Summe aller Zufriedenen). - Achte bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten genau darauf, welche Gruppe die Grundmenge bildet (das „Gegebene“).

1. Berechnung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten für die Sechsfeldertafel: - \(P(B \cap Z) = 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}30\) - \(P(B \cap N) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}18\) - \(P(B \cap U) = 0{,}6 \cdot 0{,}2 = 0{,}12\) - \(P(A \cap Z) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\) - \(P(A \cap N) = 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16\) - \(P(A \cap U) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\) 2. Berechnung der Randsummen: - \(P(Z) = 0{,}30 + 0{,}12 = 0{,}42\) - \(P(N) = 0{,}18 + 0{,}16 = 0{,}34\) - \(P(U) = 0{,}12 + 0{,}12 = 0{,}24\) 3. Berechnung von \(P_Z(B)\): \(P_Z(B) = \frac{P(B \cap Z)}{P(Z)} = \frac{0{,}30}{0{,}42} = \frac{30}{42} = \frac{5}{7} \approx 0{,}714\). Dies bedeutet, dass etwa \(71{,}4\,\%\) der zufriedenen Pendler die Bahn nutzen. 4. Berechnung für Teilaufgabe c): Gesucht ist \(P_U(A) = \frac{P(A \cap U)}{P(U)} = \frac{0{,}12}{0{,}24} = 0{,}5\). Somit nutzen \(50\,\%\) der unzufriedenen Pendler das Auto.

a) Sechsfeldertafel (Werte in Wahrscheinlichkeiten): <table> <tr><td></td><td>\(Z\)</td><td>\(N\)</td><td>\(U\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}30\)</td><td>\(0{,}18\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}16\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}42\)</td><td>\(0{,}34\)</td><td>\(0{,}24\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table> b) \(P_Z(B) = \frac{5}{7} \approx 71{,}4\,\%\). Von allen Personen, die mit ihrer Fahrtdauer zufrieden sind, nutzen etwa \(71{,}4\,\%\) die Bahn. c) \(50\,\%\) der unzufriedenen Pendler nutzen das Auto.

- Überlege zuerst, welche Wahrscheinlichkeiten direkt aus dem Text abgelesen werden können. - Denke daran, dass sich die Wahrscheinlichkeiten der Äste, die von einem gemeinsamen Knoten ausgehen, immer zu 1 addieren müssen. - Ein Baumdiagramm hilft dir, die Pfadwahrscheinlichkeiten durch Multiplikation entlang der Äste zu berechnen. - Für die bedingte Wahrscheinlichkeit im zweiten Schritt musst du den Anteil des Pfades, der dich interessiert, an der Gesamtwahrscheinlichkeit des Ergebnisses berechnen.

1. Ergänzung der Wahrscheinlichkeiten der ersten Stufe: Da \(10\,\%\) der Bevölkerung erkrankt sind, gilt \(P(K) = 0{,}1\). Die Gegenwahrscheinlichkeit für Personen ohne diese Krankheit ist \(P(\bar{K}) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9\). 2. Ergänzung der bedingten Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe: Die Sensitivität ist \(P(+\mid K) = 0{,}9\), folglich ist die Wahrscheinlichkeit für ein negatives Ergebnis bei Erkrankten \(P(-\mid K) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1\). Die Spezifität ist \(P(-\mid \bar{K}) = 0{,}8\), folglich ist die Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis bei Personen ohne diese Krankheit \(P(+\mid \bar{K}) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\). 3. Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeiten für ein positives Testergebnis: \(P(K \cap +) = 0{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}09\) \(P(\bar{K} \cap +) = 0{,}9 \cdot 0{,}2 = 0{,}18\) 4. Bestimmung der Gesamtwahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis durch Summation der entsprechenden Pfade: \(P(+) = 0{,}09 + 0{,}18 = 0{,}27\). 5. Berechnung der gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeit (Umkehrung des Baumdiagramms): \(P_+(K) = \frac{P(K \cap +)}{P(+)} = \frac{0{,}09}{0{,}27} = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%\).

a) Die fehlenden Werte an den Ästen sind: \(P(\bar{K}) = 0{,}9\); \(P(-\mid K) = 0{,}1\); \(P(+\mid \bar{K}) = 0{,}2\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P_+(K) = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%\).

- Wie kannst du die Gesamtwahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnen, wenn du die Pfade kennst, die zu ihm führen? - Erinnere dich an die erste Pfadregel: Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades? - Überlege, wie die Schnittwahrscheinlichkeiten \(P(A \cap B)\) in beiden Diagrammen zusammenhängen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit am zweiten Ast, wenn man die Wahrscheinlichkeit des gesamten Pfades und des ersten Astes kennt?

1. Berechnung von \(P(B)\) mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: \(P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A})\) \(P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 + 0{,}7 \cdot 0{,}1 = 0{,}18 + 0{,}07 = 0{,}25\) 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: \(P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\) 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für das rechte Baumdiagramm (Bayes-Regel): \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}18}{0{,}25} = 0{,}72\) \(P(\bar{A}|B) = 1 - P(A|B) = 1 - 0{,}72 = 0{,}28\) \(P(A|\bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{0{,}3 \cdot 0{,}4}{0{,}75} = \frac{0{,}12}{0{,}75} = 0{,}16\) \(P(\bar{A}|\bar{B}) = 1 - P(A|\bar{B}) = 1 - 0{,}16 = 0{,}84\)

a) \(P(B) = 0{,}25\) b) Wahrscheinlichkeiten im rechten Baumdiagramm: 1. Stufe: \(P(B) = 0{,}25\); \(P(\bar{B}) = 0{,}75\) 2. Stufe nach \(B\): \(P(A|B) = 0{,}72\); \(P(\bar{A}|B) = 0{,}28\) 2. Stufe nach \(\bar{B}\): \(P(A|\bar{B}) = 0{,}16\); \(P(\bar{A}|\bar{B}) = 0{,}84\)

- Überlege zuerst, welche Wahrscheinlichkeiten an den Ästen der ersten und zweiten Stufe stehen müssen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das Ende eines Pfades (z. B. \(D \cap T\))? - Für die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_T(D)\) benötigst du die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test überhaupt einen Defekt anzeigt. Welche Pfade führen zu diesem Ereignis? - Setze den Anteil der „echten“ Defekte ins Verhältnis zu allen vom Test gemeldeten Defekten.

1. Ergänzung des Baumdiagramms: Die erste Stufe trennt in \(D\) (\(2\,\%\) bzw. \(0{,}02\)) und \(\bar{D}\) (\(98\,\%\) bzw. \(0{,}98\)). Die zweite Stufe verzweigt von \(D\) in \(T\) (\(95\,\%\) bzw. \(0{,}95\)) und \(\bar{T}\) (\(5\,\%\) bzw. \(0{,}05\)). Von \(\bar{D}\) wird in \(T\) (\(2\,\%\) bzw. \(0{,}02\)) und \(\bar{T}\) (\(98\,\%\) bzw. \(0{,}98\)) verzweigt. 2. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für einen positiven Test \(P(T)\): \(P(T) = P(D \cap T) + P(\bar{D} \cap T) = 0{,}02 \cdot 0{,}95 + 0{,}98 \cdot 0{,}02 = 0{,}019 + 0{,}0196 = 0{,}0386\). 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_T(D)\): \(P_T(D) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}019}{0{,}0386} \approx 0{,}4922\) (entspricht etwa \(49{,}2\,\%\)). 4. Beurteilung: Obwohl der Test eine hohe Sensitivität (\(95\,\%\)) hat, ist bei einem positiven Testergebnis nur jeder zweite Chip (\(49{,}2\,\%\)) wirklich defekt. Dies liegt an der geringen Grundquote defekter Chips. Das Gerät produziert viele „falsche Alarme“, was zur Verschwendung einwandfreier Chips führt.

a) Ergänzte Wahrscheinlichkeiten: \(P(D)=0{,}02\), \(P(\bar{D})=0{,}98\); für \(D\): \(P(T|D)=0{,}95\), \(P(\bar{T}|D)=0{,}05\); für \(\bar{D}\): \(P(T|\bar{D})=0{,}02\), \(P(\bar{T}|\bar{D})=0{,}98\). b) \(P_T(D) \approx 49{,}2\,\%\). c) Das Testgerät ist nur bedingt geeignet, da bei einem angezeigten Defekt die Wahrscheinlichkeit für einen tatsächlichen Defekt unter \(50\,\%\) liegt; es werden also viele funktionierende Chips fälschlicherweise aussortiert.

- Überlege dir, wie groß die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen ist, die von einem gemeinsamen Knoten ausgehen. - Nutze die Pfadmultiplikationsregel, um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse (Pfadenden) zu berechnen. - Für die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses musst du alle Pfade addieren, in denen dieses Ereignis vorkommt. - Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(A \mid B)\) berechnet sich aus dem Anteil der Schnittmenge \(A \cap B\) an der Wahrscheinlichkeit der Bedingung \(B\). - Beim Umkehren des Baumdiagramms vertauschst du die Merkmale auf der ersten und zweiten Stufe.

1. Ergänzung des Baumdiagramms: \(P(\bar{F}) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97\) \(P(\bar{T} \mid F) = 1 - 0{,}96 = 0{,}04\) \(P(\bar{T} \mid \bar{F}) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98\) 2. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit \(P(T)\) mit der Pfadadditionsregel: \(P(T) = P(F) \cdot P(T \mid F) + P(\bar{F}) \cdot P(T \mid \bar{F}) = 0{,}03 \cdot 0{,}96 + 0{,}97 \cdot 0{,}02 = 0{,}0288 + 0{,}0194 = 0{,}0482\) 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(F \mid T)\) (Bayes-Theorem): \(P(F \mid T) = \frac{P(F \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}0288}{0{,}0482} \approx 0{,}5975\) (bzw. \(59{,}75\,\%\)) 4. Umgekehrtes Baumdiagramm: Erste Stufe: \(P(T) = 0{,}0482\) und \(P(\bar{T}) = 1 - 0{,}0482 = 0{,}9518\). Zweite Stufe nach \(T\): \(P(F \mid T) \approx 0{,}5975\) und \(P(\bar{F} \mid T) \approx 0{,}4025\). Zweite Stufe nach \(\bar{T}\): \(P(F \mid \bar{T}) = \frac{0{,}0012}{0{,}9518} \approx 0{,}0013\) und \(P(\bar{F} \mid \bar{T}) = \frac{0{,}9506}{0{,}9518} \approx 0{,}9987\).

a) Ergänzte Werte: \(P(\bar{F}) = 0{,}97\); \(P(\bar{T} \mid F) = 0{,}04\); \(P(\bar{T} \mid \bar{F}) = 0{,}98\). b) \(P(T) = 0{,}0482\) (oder \(4{,}82\,\%\)). c) \(P(F \mid T) \approx 0{,}5975\) (oder \(59{,}75\,\%\)). d) Wahrscheinlichkeiten 1. Stufe: \(P(T) = 0{,}0482\), \(P(\bar{T}) = 0{,}9518\). 2. Stufe nach \(T\): \(P(F \mid T) \approx 0{,}5975\), \(P(\bar{F} \mid T) \approx 0{,}4025\). 2. Stufe nach \(\bar{T}\): \(P(F \mid \bar{T}) \approx 0{,}0013\), \(P(\bar{F} \mid \bar{T}) \approx 0{,}9987\).

- Überlege zuerst, welche Pfade im Baumdiagramm zu einem positiven Testergebnis führen. - Wie berechnet man die Gesamtwahrscheinlichkeit für ein Ereignis, das auf mehreren Pfaden eintreten kann? - Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Ursache (Allergie), wenn die Wirkung (positives Ergebnis) bereits bekannt ist. - Erinnere dich an die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: Der Anteil des gewünschten Pfades an der Gesamtwahrscheinlichkeit des Ergebnisses.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die erste Stufe: \(P(A) = 0{,}02\) und \(P(\bar{A}) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98\). 2. Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für die zweite Stufe: \(P(+|A) = 0{,}95\) und \(P(+|\bar{A}) = 0{,}03\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis (\(+\)) über beide Pfade (Pfadadditionsregel): \(P(+) = P(A \cap +) + P(\bar{A} \cap +) = 0{,}02 \cdot 0{,}95 + 0{,}98 \cdot 0{,}03 = 0{,}019 + 0{,}0294 = 0{,}0484\). 4. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(A|+)\) (Umkehrung des Baumdiagramms): \(P(A|+) = \frac{P(A \cap +)}{P(+)} = \frac{0{,}019}{0{,}0484} = \frac{190}{484} \approx 0{,}3926\). 5. Umrechnung in Prozent: \(0{,}3926 \approx 39{,}3\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(39{,}3\,\%\).

- Berechne zunächst die vier Endpfade. - Gruppiere die Endpfade anschließend nach dem Ereignis der zweiten Stufe.

1. Schnittmengen: \(P(A\cap B)=0{,}3\), \(P(A\cap\overline{B})=0{,}1\), \(P(\overline{A}\cap B)=0{,}15\), \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}45\). 2. \(P(B)=0{,}3+0{,}15=0{,}45\); \(P(A\mid B)=0{,}3:0{,}45=\frac{2}{3}\). 3. \(P(\overline{B})=0{,}1+0{,}45=0{,}55\); \(P(A\mid\overline{B})=0{,}1:0{,}55=\frac{2}{11}\).

\(P(A\mid B)=\frac{2}{3}\); \(P(A\mid\overline{B})=\frac{2}{11}\).

- Bestimme den Fehlerbeitrag jedes Lieferanten zur Gesamtproduktion. - Vergleiche den Beitrag von C mit allen fehlerhaften Teilen.

1. Fehleranteile: A \(0{,}5\cdot0{,}01=0{,}005\), B \(0{,}3\cdot0{,}03=0{,}009\), C \(0{,}2\cdot0{,}05=0{,}01\). 2. Fehlerhaft insgesamt: \(0{,}005+0{,}009+0{,}01=0{,}024\). 3. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(0{,}01:0{,}024=\frac{5}{12}\approx 0{,}4167\).

\(\frac{5}{12}\approx 41{,}7\,\%\).

- Stelle dir den zweistufigen Zufallsprozess als Baumdiagramm vor. - Welche Pfade führen zum beobachteten Ergebnis (z. B. „rot“)? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ursprungs, wenn das Ergebnis bereits bekannt ist? - Beachte beim Ziehen von zwei LEDs, dass sich die Anzahl der LEDs in der Kiste verringert. - Überlege für den letzten Teil, ob das Vorwissen über die Kistenwahl das Endergebnis eher in Richtung Kiste 1 oder Kiste 2 verschiebt.

1. Definition der Ereignisse: \(K_1, K_2\) für die Wahl der Kiste (je \(P(K_i) = 0{,}5\)), \(R\) für „rot“, \(B_2\) für „zwei blaue LEDs“. 2. Zu a): Anwendung des Satzes von Bayes. \(P(R|K_1) = \frac{5}{20} = 0{,}25\) und \(P(R|K_2) = \frac{10}{20} = 0{,}5\). 3. Gesamtwahrscheinlichkeit für rot: \(P(R) = 0{,}5 \cdot 0{,}25 + 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}375\). 4. Bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P(K_2|R) = \frac{P(K_2 \cap R)}{P(R)} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}375} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\). 5. Zu b): Wahrscheinlichkeiten für zwei blaue LEDs ohne Zurücklegen: \(P(B_2|K_1) = \frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} = \frac{20}{380}\) und \(P(B_2|K_2) = \frac{2}{20} \cdot \frac{1}{19} = \frac{2}{380}\). 6. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(B_2) = 0{,}5 \cdot \frac{20}{380} + 0{,}5 \cdot \frac{2}{380} = \frac{11}{380}\). 7. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(P(K_1|B_2) = \frac{0{,}5 \cdot \frac{20}{380}}{\frac{11}{380}} = \frac{10}{11} \approx 90{,}9\,\%\). 8. Zu c): Wenn die Auswahlwahrscheinlichkeit für Kiste 1 steigt, sinkt die vorherige Wahrscheinlichkeit für Kiste 2. Das beobachtete Ergebnis „rot“ begünstigt Kiste 2 zwar weiterhin, weil dort der Rotanteil größer ist; die geringere vorherige Chance für Kiste 2 verschiebt jedoch auch die bedingten Chancen zugunsten von Kiste 1. Deshalb sinkt \(P(K_2\mid R)\). Der Nenner der Bayes-Formel ändert sich dabei ebenfalls.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{10}{11} \approx 90{,}9\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit würde sinken, da Kiste 2 seltener gewählt wird und somit der Anteil der Pfade, die über Kiste 2 zu einer roten LED führen, am Gesamtergebnis kleiner wird.

- Zeichne zuerst die Äste für den Gesundheitszustand und danach die Äste für das Testergebnis. - Wie berechnet man die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, das auf verschiedenen Pfaden im Baumdiagramm vorkommt? - Welche Formel hilft dir, wenn du eine Wahrscheinlichkeit „unter der Bedingung, dass...“ suchst? - Überlege, ob man bei einer Krankheit davon ausgehen kann, dass „krank“ und „gesund“ gleich wahrscheinlich sind wie die Seiten einer Münze.

1. Definition der Ereignisse: \(K\): krank, \(G\): gesund, \(T^+\): Test positiv, \(T^-\): Test negativ. Gegeben: \(P(K) = 0{,}02\), \(P(G) = 0{,}98\), \(P(T^+|K) = 0{,}98\), \(P(T^-|G) = 0{,}95\) (daraus folgt \(P(T^+|G) = 0{,}05\)). 2. Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis (1. Pfadregel und Summenregel): \(P(T^+) = P(K) \cdot P(T^+|K) + P(G) \cdot P(T^+|G) = 0{,}02 \cdot 0{,}98 + 0{,}98 \cdot 0{,}05 = 0{,}0196 + 0{,}049 = 0{,}0686\). 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit (Satz von Bayes): \(P(K|T^+) = \frac{P(K \cap T^+)}{P(T^+)} = \frac{0{,}0196}{0{,}0686} \approx 0{,}2857\). 4. Begriffliche Einordnung: Der Laplace-Begriff setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind (Symmetrie). Hier basiert die Wahrscheinlichkeit jedoch auf dem empirischen Wahrscheinlichkeitsbegriff, da die Prävalenz von \(2\,\%\) aus statistischen Beobachtungen gewonnen wurde und keine Symmetrie vorliegt.

a) Die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis beträgt \(6{,}86\,\%\) (\(0{,}0686\)). b) Die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, beträgt ca. \(28{,}57\,\%\). c) Der Laplace-Begriff beruht auf Symmetrie und Gleichwahrscheinlichkeit, während hier empirische Daten (relative Häufigkeiten) die Grundlage bilden.

- Was passiert mit deiner Vermutung, wenn ein Ergebnis eintritt, das für eine der Münzen sehr unwahrscheinlich ist? - Kannst du eine Tabelle anlegen, um die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Wurf zu aktualisieren? - Wie stark gewichtet ein Kopf-Wurf die Meinung in Richtung der gezinkten Münze im Vergleich zu einem Zahl-Wurf?

1. Initialisierung: Hypothese \(F\) (fair) mit \(P(K|F) = 0{,}5\), \(P(Z|F) = 0{,}5\). Hypothese \(G\) (gezinkt) mit \(P(K|G) = 0{,}8\), \(P(Z|G) = 0{,}2\). Startwerte: \(P(F) = 0{,}5\), \(P(G) = 0{,}5\). 2. Erster Wurf (Kopf): \(P(G|K) = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}8}{0{,}5 \cdot 0{,}8 + 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \frac{0{,}4}{0{,}65} = \frac{8}{13} \approx 0{,}6154\). 3. Zweiter Wurf (Kopf): \(P(G|KK) = \frac{\frac{8}{13} \cdot 0{,}8}{\frac{8}{13} \cdot 0{,}8 + \frac{5}{13} \cdot 0{,}5} = \frac{6{,}4}{6{,}4 + 2{,}5} = \frac{6{,}4}{8{,}9} = \frac{64}{89} \approx 0{,}7191\). 4. Dritter Wurf (Zahl): \(P(G|KKZ) = \frac{\frac{64}{89} \cdot 0{,}2}{\frac{64}{89} \cdot 0{,}2 + \frac{25}{89} \cdot 0{,}5} = \frac{12{,}8}{12{,}8 + 12{,}5} = \frac{12{,}8}{25{,}3} = \frac{128}{253} \approx 0{,}5059\). 5. Analyse der Änderung: Durch die Beobachtung „Zahl“, die bei einer fairen Münze deutlich wahrscheinlicher ist als bei der gezinkten, sinkt die Wahrscheinlichkeit für die Hypothese „gezinkt“ wieder stark ab (von ca. \(71{,}9\,\%\) auf ca. \(50{,}6\,\%\)), sodass beide Hypothesen nun fast wieder als gleich wahrscheinlich gelten.

Wahrscheinlichkeit für „gezinkt“: Nach dem 1. Wurf: ca. \(61{,}54\,\%\) (\(\frac{8}{13}\)) Nach dem 2. Wurf: ca. \(71{,}91\,\%\) (\(\frac{64}{89}\)) Nach dem 3. Wurf: ca. \(50{,}59\,\%\) (\(\frac{128}{253}\)) Durch den dritten Wurf (Zahl) sinkt die Wahrscheinlichkeit für die gezinkte Münze deutlich, da dieses Ergebnis bei der gezinkten Münze viel seltener zu erwarten ist als bei einer fairen Münze.

- Ergänze zuerst die Gegenwahrscheinlichkeiten an den Verzweigungen, sodass sich die Werte an einem Knoten zu 1 addieren. - Überlege dir, welche Pfade zu einem positiven Testergebnis führen. - Die Wahrscheinlichkeit für „Besonderheit bei positivem Test“ ist der Anteil des Pfades \(B \cap +\) an der Gesamtwahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis.

1. Vervollständigung der Wahrscheinlichkeiten am Baum: - \(P(B) = 0{,}05\), \(P(\bar{B}) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\) - \(P(+|B) = 0{,}95\), \(P(-|B) = 0{,}05\) - \(P(+|\bar{B}) = 0{,}10\), \(P(-|\bar{B}) = 0{,}90\) 2. Berechnung der vier Pfadwahrscheinlichkeiten: - \(P(B \cap +) = 0{,}05 \cdot 0{,}95 = 0{,}0475\) - \(P(B \cap -) = 0{,}05 \cdot 0{,}05 = 0{,}0025\) - \(P(\bar{B} \cap +) = 0{,}95 \cdot 0{,}10 = 0{,}095\) - \(P(\bar{B} \cap -) = 0{,}95 \cdot 0{,}90 = 0{,}855\) 3. Gesamtwahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis: \(P(+) = P(B \cap +) + P(\bar{B} \cap +) = 0{,}0475 + 0{,}095 = 0{,}1425\) 4. Berechnung der gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeit (Satz von Bayes): \(P(B|+) = \frac{P(B \cap +)}{P(+)} = \frac{0{,}0475}{0{,}1425} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\)

a) Die Pfadwahrscheinlichkeiten sind \(P(B \cap +) = 0{,}0475\), \(P(B \cap -) = 0{,}0025\), \(P(\bar{B} \cap +) = 0{,}095\) und \(P(\bar{B} \cap -) = 0{,}855\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%\).

- Nutze die Pfadregeln, um die Wahrscheinlichkeiten der vier kombinierten Ergebnisse (Schnittmengen) zu berechnen. - Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, muss immer 1 ergeben. - Überlege dir, welche Wahrscheinlichkeit im umgekehrten Baumdiagramm an der ersten Stufe stehen muss. - Für die zweite Stufe benötigst du die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.

1. Berechnung von \(P(T)\): \(P(T) = P(V) \cdot P(T|V) + P(\bar{V}) \cdot P(T|\bar{V})\) \(P(T) = 0{,}2 \cdot 0{,}8 + 0{,}8 \cdot 0{,}3 = 0{,}16 + 0{,}24 = 0{,}40\) 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit: \(P(\bar{T}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60\) 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für die zweite Stufe: \(P(V|T) = \frac{P(V \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}16}{0{,}40} = 0{,}4\) \(P(\bar{V}|T) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\) \(P(V|\bar{T}) = \frac{P(V \cap \bar{T})}{P(\bar{T})} = \frac{0{,}2 \cdot 0{,}2}{0{,}60} = \frac{0{,}04}{0{,}60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}\) \(P(\bar{V}|\bar{T}) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}\)

a) \(P(T) = 0{,}4\) b) Wahrscheinlichkeiten im rechten Baumdiagramm: 1. Stufe: \(P(T) = 0{,}4\); \(P(\bar{T}) = 0{,}6\) 2. Stufe nach \(T\): \(P(V|T) = 0{,}4\); \(P(\bar{V}|T) = 0{,}6\) 2. Stufe nach \(\bar{T}\): \(P(V|\bar{T}) = \frac{1}{15}\); \(P(\bar{V}|\bar{T}) = \frac{14}{15}\)

- Nutze die erste Pfadregel, um die Wahrscheinlichkeiten für die Kombinationen beider Merkmale zu berechnen. - Die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhältst du, indem du alle Pfade addierst, die zu diesem Ereignis führen. - Für das umgekehrte Baumdiagramm benötigst du die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\). - Überlege dir, welche Gruppe die Grundgesamtheit bildet, auf die sich die Prozentangabe bezieht.

1. Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeiten (Schnittmengen): \(P(P \cap S) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28\) \(P(P \cap \overline{S}) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\) \(P(\overline{P} \cap S) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}18\) \(P(\overline{P} \cap \overline{S}) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42\) 2. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit \(P(S)\) (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit): \(P(S) = P(P \cap S) + P(\overline{P} \cap S) = 0{,}28 + 0{,}18 = 0{,}46\) Daraus folgt \(P(\overline{S}) = 1 - 0{,}46 = 0{,}54\). 3. Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für das umgekehrte Baumdiagramm (Bayes-Theorem): \(P_S(P) = \frac{P(P \cap S)}{P(S)} = \frac{0{,}28}{0{,}46} = \frac{14}{23} \approx 0{,}609\) \(P_S(\overline{P}) = \frac{0{,}18}{0{,}46} = \frac{9}{23} \approx 0{,}391\) \(P_{\overline{S}}(P) = \frac{0{,}12}{0{,}54} = \frac{2}{9} \approx 0{,}222\) \(P_{\overline{S}}(\overline{P}) = \frac{0{,}42}{0{,}54} = \frac{7}{9} \approx 0{,}778\) 4. Vergleich und Interpretation: \(P_P(S) = 0{,}7\) ist der Anteil der Streaming-Nutzer unter den Podcast-Hörern. \(P_S(P) \approx 0{,}609\) ist der Anteil der Podcast-Hörer unter den Streaming-Nutzern.

a) \(P(S) = 46\,\%\). b) Die erste Stufe des umgekehrten Baums hat die Wahrscheinlichkeiten \(P(S) = 0{,}46\) und \(P(\overline{S}) = 0{,}54\). Die bedingten Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe sind \(P_S(P) = \frac{14}{23} \approx 0{,}609\), \(P_S(\overline{P}) = \frac{9}{23} \approx 0{,}391\), \(P_{\overline{S}}(P) = \frac{2}{9} \approx 0{,}222\) und \(P_{\overline{S}}(\overline{P}) = \frac{7}{9} \approx 0{,}778\). c) \(P_P(S) = 0{,}7\) gibt an, wie viele Podcast-Hörer auch Streaming nutzen. \(P_S(P) \approx 0{,}609\) gibt an, wie viele Streaming-Nutzer auch Podcasts hören.

- Berechne zuerst die vier Endanteile des gegebenen Baums. - Fasse die Endanteile anschließend nach dem neuen ersten Ereignis zusammen.

1. Schnittmengen: \(P(D\cap +)=0{,}2\cdot0{,}6=0{,}12\), \(P(\overline{D}\cap +)=0{,}2\cdot0{,}4=0{,}08\), \(P(D\cap -)=0{,}8\cdot0{,}1=0{,}08\) und \(P(\overline{D}\cap -)=0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72\). 2. \(P(D)=0{,}12+0{,}08=0{,}2\); \(P(\overline{D})=0{,}08+0{,}72=0{,}8\). 3. \(P(+\mid D)=0{,}12:0{,}2=0{,}6\) und \(P(-\mid D)=0{,}08:0{,}2=0{,}4\). 4. \(P(+\mid\overline{D})=0{,}08:0{,}8=0{,}1\) und \(P(-\mid\overline{D})=0{,}72:0{,}8=0{,}9\).

Rekonstruierter Baum: \(P(D)=0{,}2\), \(P(\overline{D})=0{,}8\), \(P(+\mid D)=0{,}6\), \(P(-\mid D)=0{,}4\), \(P(+\mid\overline{D})=0{,}1\) und \(P(-\mid\overline{D})=0{,}9\).