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Stellen Sie aus rund 22.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Stochastische Unabhängigkeit prüfen

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41010911
Maia erledigt an \(80\,\%\) der Schultage ihre Hausaufgaben. An \(70\,\%\) der Tage trägt sie einen Zopf. Diese beiden Ereignisse sind stochastisch unabhängig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ohne Zopf und ohne erledigte Hausaufgaben zur Schule kommt?

Denkanstöße

- Wenn zwei Ereignisse unabhängig voneinander eintreten, wie berechnet man dann die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig passieren? - Was ist die Wahrscheinlichkeit für das Gegenteil der genannten Prozentsätze? - Kannst du ein Baumdiagramm skizzieren, um die Pfade zu visualisieren?

Lösung

1. Wahrscheinlichkeit für „Hausaufgaben nicht erledigt“ (\(\bar{H}\)): \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\). 2. Wahrscheinlichkeit für „kein Zopf“ (\(\bar{Z}\)): \(1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 3. Da die Ereignisse unabhängig sind, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: \(P(\bar{H} \cap \bar{Z}) = 0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}06\). 4. Ergebnis: \(6\,\%\).

Antwort

\(6\,\%\)
41535711
Ein Streaming-Dienst wertet das Nutzungsverhalten von \(500\) Kunden aus. Dabei wird unterschieden zwischen Kunden unter 25 Jahren (\(U\)) und Kunden ab 25 Jahren (\(A\)), sowie ob sie ein Premium-Abo (\(P\)) besitzen. <table> <tr> <td></td> <td>\(U\)</td> <td>\(A\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(P\)</td> <td>\(120\)</td> <td>\(80\)</td> <td>\(200\)</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{P}\)</td> <td>\(180\)</td> <td>\(120\)</td> <td>\(300\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(300\)</td> <td>\(200\)</td> <td>\(500\)</td> </tr> </table> Untersuche, ob der Besitz eines Premium-Abos statistisch abhängig vom Alter ist. Vergleiche dazu die Wahrscheinlichkeit für ein Premium-Abo innerhalb der Gruppe der unter 25-Jährigen (\(P(P \mid U)\)) mit der Wahrscheinlichkeit für ein Premium-Abo in der gesamten Kundengruppe (\(P(P)\)).

Denkanstöße

- Um eine Abhängigkeit zu prüfen, schaust du dir an, ob ein Merkmal die Wahrscheinlichkeit des anderen verändert. - Berechne zuerst den Anteil der Premium-Kunden an allen Kunden. - Berechne dann den Anteil der Premium-Kunden nur innerhalb der Gruppe der unter 25-Jährigen (\(U\)). - Wenn beide Prozentwerte gleich sind, spricht man von Unabhängigkeit.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für ein Premium-Abo: \(P(P) = \frac{n(P)}{N} = \frac{200}{500} = 0{,}4\). 2. Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit für Premium-Abo unter der Bedingung „unter 25“: Die Grundmenge reduziert sich auf \(n(U) = 300\). 3. Berechnung von \(P(P \mid U) = \frac{n(P \cap U)}{n(U)} = \frac{120}{300}\). 4. Vereinfachung des Wertes: \(\frac{120}{300} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(P(P \mid U) = 0{,}4\) und \(P(P) = 0{,}4\) identisch sind, beeinflusst die Eigenschaft „unter 25 Jahre alt zu sein“ die Wahrscheinlichkeit für ein Premium-Abo nicht. 6. Schlussfolgerung: Die Merkmale sind statistisch unabhängig.

Antwort

Es gilt \(P(P) = 0{,}4\) und \(P(P \mid U) = 0{,}4\). Da die Wahrscheinlichkeiten gleich sind, ist der Besitz eines Premium-Abos in diesem Datensatz statistisch unabhängig vom Alter.
42209411
Ein Streaming-Anbieter analysiert das Nutzerverhalten bezüglich des Genres „Science-Fiction“. Aus der Nutzerdatenbank ist bekannt, dass \(60\,\%\) der Abonnenten jünger als 30 Jahre sind (Ereignis \(J\)). Insgesamt bevorzugen \(30\,\%\) aller Abonnenten Science-Fiction-Filme (Ereignis \(S\)). Der Anteil der Abonnenten, die 30 Jahre oder älter sind und Science-Fiction bevorzugen, liegt bei \(12\,\%\). Untersuche rechnerisch, ob die Vorliebe für Science-Fiction stochastisch unabhängig vom Alter (unter 30 Jahre bzw. 30 Jahre und älter) ist.

Denkanstöße

- Kannst du die gegebenen Prozentangaben als Wahrscheinlichkeiten ausdrücken? - Welche Information fehlt dir noch, um die Unabhängigkeitsformel direkt anzuwenden? - Erinnere dich daran, dass die Unabhängigkeit zwischen zwei Ereignissen auch die Unabhängigkeit ihrer Gegenereignisse impliziert. - Hilft es dir, die Informationen in einer kleinen Tabelle oder einem Baumdiagramm zu ordnen?

Lösung

1. Gegebene Wahrscheinlichkeiten: \(P(J) = 0{,}6\), \(P(S) = 0{,}3\) und \(P(\overline{J} \cap S) = 0{,}12\). 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit: \(P(\overline{J}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\). 3. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung für \(\overline{J}\) und \(S\): \(P(\overline{J}) \cdot P(S) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\). 4. Vergleich: Da \(P(\overline{J} \cap S) = 0{,}12 = P(\overline{J}) \cdot P(S)\) gilt, sind die Ereignisse \(\overline{J}\) und \(S\) stochastisch unabhängig. 5. Schlussfolgerung: Wenn ein Ereignis von einem anderen unabhängig ist, ist es auch von dessen Gegenereignis unabhängig. Somit sind \(J\) und \(S\) stochastisch unabhängig.

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig. Die Rechnung \(P(\overline{J}) \cdot P(S) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\) ergibt exakt den Wert für \(P(\overline{J} \cap S)\). In diesem Modell besteht somit kein statistischer Zusammenhang zwischen der Altersgruppe und der Vorliebe für Science-Fiction.
43207511
In einer Urne befinden sich zwölf Kugeln, die sich in ihrer Farbe (blau oder rot) und ihrer Beschriftung unterscheiden (siehe Abbildung). Es wird einmal zufällig eine Kugel aus der Urne gezogen. Wir betrachten die folgenden Ereignisse: - \(A\): „Die gezogene Kugel ist blau.“ - \(B\): „Die gezogene Kugel hat eine gerade Zahl.“ Untersuche rechnerisch, ob die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig voneinander sind.
Abbildung zur Aufgabe 432075

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl aller Kugeln in der Urne. - Zähle, wie viele Kugeln blau sind und wie viele Kugeln eine gerade Zahl tragen. - Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die beiden einzelnen Ereignisse sowie für ihr gemeinsames Auftreten. - Welche mathematische Beziehung muss zwischen den Einzelwahrscheinlichkeiten und der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit gelten, damit Unabhängigkeit vorliegt?

Lösung

1. Bestimme die Gesamtzahl der Kugeln in der Urne: Es befinden sich insgesamt \(12\) Kugeln in der Urne. 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(A\) (Kugel ist blau): Es gibt \(4\) blaue Kugeln (beschriftet mit \(1\), \(2\), \(3\), \(5\)). Damit gilt: \(P(A) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). 3. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(B\) (Kugel hat eine gerade Zahl): Die Kugeln mit geraden Zahlen sind \(2\), \(4\) und \(6\). Es gibt somit \(3\) gerade Kugeln. Damit gilt: \(P(B) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\). 4. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Ereignis \(A \cap B\) (Kugel ist blau und gerade): Nur die Kugel mit der blauen \(2\) erfüllt beide Bedingungen. Es gibt also genau \(1\) solche Kugel. Damit gilt: \(P(A \cap B) = \frac{1}{12}\). 5. Überprüfe die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit: \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}\). Da \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) gilt, sind die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig.

Antwort

Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig, da \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{12}\) gilt.
43748811
An einer Fertigungsstraße werden Bauteile an zwei Stationen \(A\) und \(B\) geprüft. Das Baumdiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten von Fehlern an den jeweiligen Stationen. Woran lässt sich an der Struktur und den Werten des Baumdiagramms unmittelbar erkennen, dass die Fehler an den beiden Stationen stochastisch unabhängig voneinander auftreten?
Abbildung zur Aufgabe 437488

Denkanstöße

- Schau dir die Verzweigungen in der zweiten Stufe genau an. - Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die zum Ereignis \(B\) führen. - Was bedeutet es für die Unabhängigkeit, wenn die bedingten Wahrscheinlichkeiten für das zweite Ereignis überall gleich sind?

Lösung

1. Betrachten der bedingten Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe des Baumdiagramms. 2. Feststellen, dass die Wahrscheinlichkeiten für einen Fehler an Station \(B\) (Ereignis \(B\)) nach Station \(A\) (Ereignis \(A\)) identisch sind mit den Wahrscheinlichkeiten für einen Fehler an Station \(B\) nach dem Ereignis \(\bar{A}\) (kein Fehler an Station \(A\)): \(P(B|A) = 0{,}25\) und \(P(B|\bar{A}) = 0{,}25\). 3. Da die Wahrscheinlichkeit für \(B\) nicht davon abhängt, ob bei \(A\) ein Fehler aufgetreten ist, sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.

Antwort

Man erkennt die stochastische Unabhängigkeit daran, dass die bedingten Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe des Baumdiagramms identisch sind. Unabhängig davon, ob an Station \(A\) ein Fehler auftritt (\(A\)) oder nicht (\(\bar{A}\)), beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler an Station \(B\) jeweils \(0{,}25\) (und für keinen Fehler jeweils \(0{,}75\)).
43748911
Bei einer Marktumfrage wurde das Kaufinteresse an einem neuen Produkt (\(K\)) in Abhängigkeit vom Alter (\(J\): unter 30 Jahre, \(\bar{J}\): 30 Jahre und älter) untersucht. Die relativen Häufigkeiten sind in der folgenden Vierfeldertafel dargestellt. Das ergänzende Baumdiagramm ordnet die gegebenen Rand- und Schnittwahrscheinlichkeiten. <table> <tr> <td></td> <td>\(K\)</td> <td>\(\bar{K}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(J\)</td> <td>\(0{,}06\)</td> <td>\(0{,}14\)</td> <td>\(0{,}20\)</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{J}\)</td> <td>\(0{,}24\)</td> <td>\(0{,}56\)</td> <td>\(0{,}80\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(0{,}30\)</td> <td>\(0{,}70\)</td> <td>\(1{,}00\)</td> </tr> </table> Nenne eine Eigenschaft der Tabellenwerte, an der man die stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse \(J\) und \(K\) schnell ablesen kann.
Abbildung zur Aufgabe 437489

Denkanstöße

- Schau dir die äußeren Summen (Ränder) der Tabelle an. - Gibt es eine Rechenoperation mit den Randwerten, die genau einen Wert im Inneren der Tabelle ergibt? - Du kannst auch untersuchen, ob die Werte in den Zeilen im gleichen Verhältnis zueinander stehen.

Lösung

1. Überprüfen der Unabhängigkeitsbedingung \(P(J \cap K) = P(J) \cdot P(K)\). 2. Einsetzen der Randwahrscheinlichkeiten: \(0{,}20 \cdot 0{,}30 = 0{,}06\). 3. Da dieser Wert exakt der Wahrscheinlichkeit im Feld \(J \cap K\) entspricht, sind die Ereignisse unabhängig. 4. Alternativ: Vergleich der Verhältnisse der Zeilen oder Spalten, z. B. \(\frac{0{,}06}{0{,}20} = 0{,}3\) und \(\frac{0{,}24}{0{,}80} = 0{,}3\).

Antwort

Man kann die Unabhängigkeit daran erkennen, dass das Produkt der Randwahrscheinlichkeiten genau den Wert im Schnittfeld ergibt, zum Beispiel \(P(J) \cdot P(K) = 0{,}20 \cdot 0{,}30 = 0{,}06\). Ebenso stehen die Werte in den Zeilen (oder Spalten) im gleichen Verhältnis zueinander, z. B. \(0{,}06 : 0{,}14 = 0{,}24 : 0{,}56 = 3 : 7\).
43756611
Es gilt \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) und \(P(A\cap B)=0{,}2\). Prüfe, ob \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.
Abbildung zur Aufgabe 437566

Denkanstöße

- Vergleiche die gegebene Schnittmenge mit dem Wert, der sich aus den Einzelanteilen ergeben würde. - Eine exakte Übereinstimmung ist entscheidend.

Lösung

1. Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(A)\cdot P(B)=0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2\). 2. Vergleich: \(P(A\cap B)=0{,}2\). 3. Gleichheit erfüllt; \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig.

Antwort

\(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig.
41474811
In der Qualitätskontrolle eines Smartphone-Herstellers werden zwei Arten von Fehlern untersucht: Displayfehler (\(D\)) und Akkufehler (\(A\)). Es ist bekannt, dass \(5\,\%\) aller Geräte einen Displayfehler aufweisen und \(3\,\%\) einen Akkufehler haben. Nur \(1\,\%\) der Geräte weist beide Fehler gleichzeitig auf. a) Erstelle eine Vierfeldertafel mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (in Prozent oder als Dezimalbruch). b) Ein Gerät wird aus der Produktion entnommen und es wird ein Akkufehler festgestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Gerät zusätzlich auch einen Displayfehler hat? c) Vergleiche das Ergebnis aus b) mit der allgemeinen Wahrscheinlichkeit für einen Displayfehler. Was folgt daraus für den statistischen Zusammenhang der Fehler?

Denkanstöße

- Du kannst die Tabelle entweder mit Dezimalzahlen (wie \(0{,}05\)) oder direkt mit Prozentangaben füllen. - Was ändert sich an der Grundgesamtheit, wenn wir bereits wissen, dass ein Akkufehler vorliegt? - Vergleiche die Anteile: Ist ein Displayfehler bei defektem Akku häufiger oder seltener als im Durchschnitt aller Geräte?

Lösung

1. Ereignisse: \(D\) (Displayfehler), \(A\) (Akkufehler). 2. Gegebene Wahrscheinlichkeiten: \(P(D) = 0{,}05\), \(P(A) = 0{,}03\), \(P(D \cap A) = 0{,}01\). 3. Vierfeldertafel vervollständigen: - \(P(D \cap \bar{A}) = 0{,}05 - 0{,}01 = 0{,}04\) - \(P(\bar{D} \cap A) = 0{,}03 - 0{,}01 = 0{,}02\) - \(P(\bar{D}) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\) - \(P(\bar{A}) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97\) - \(P(\bar{D} \cap \bar{A}) = 0{,}95 - 0{,}02 = 0{,}93\) 4. Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(D \mid A) = \frac{P(D \cap A)}{P(A)} = \frac{0{,}01}{0{,}03} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\). 5. Vergleich: \(P(D \mid A) = 33{,}3\,\%\) ist deutlich höher als \(P(D) = 5\,\%\). 6. Interpretation: Da die Wahrscheinlichkeit für einen Displayfehler stark ansteigt, wenn ein Akkufehler vorliegt, sind die Ereignisse abhängig.

Antwort

a) Vierfeldertafel (in \(\,\%\)): <table> <tr><td></td><td>\(A\)</td><td>\(\bar{A}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(D\)</td><td>\(1\,\%\)</td><td>\(4\,\%\)</td><td>\(5\,\%\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{D}\)</td><td>\(2\,\%\)</td><td>\(93\,\%\)</td><td>\(95\,\%\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(3\,\%\)</td><td>\(97\,\%\)</td><td>\(100\,\%\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%\). c) Da \(33{,}3\,\% > 5\,\%\), sind Display- und Akkufehler stochastisch abhängig. Ein Akkufehler geht in diesen Daten mit einer deutlich höheren Wahrscheinlichkeit für einen Displayfehler einher.
41476611
Eine Untersuchung unter \(200\) Haushalten ergab Daten über den Besitz eines Hundes (\(H\)) und den Besitz eines Gartens (\(G\)): <table> <tr><td></td><td>\(G\)</td><td>\(\bar{G}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(H\)</td><td>\(48\)</td><td>\(12\)</td><td>\(60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{H}\)</td><td>\(56\)</td><td>\(84\)</td><td>\(140\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(104\)</td><td>\(96\)</td><td>\(200\)</td></tr> </table> a) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(G|H)\) dafür, dass ein Haushalt einen Garten besitzt, wenn bekannt ist, dass er einen Hund hat. b) Berechne \(P(G|\bar{H})\) und vergleiche das Ergebnis mit \(P(G|H)\). Was lässt sich über den Zusammenhang von Hundehaltung und Gartenbesitz in dieser Stichprobe sagen?

Denkanstöße

- Was bedeutet die Schreibweise \(P(A|B)\) genau? Welche Gruppe bildet hier die Grundgesamtheit? - Wenn du weißt, dass jemand einen Hund hat, welche Zeile der Tabelle ist dann nur noch relevant? - Wie würdest du das Verhältnis der beiden berechneten Wahrscheinlichkeiten in einem Satz beschreiben?

Lösung

1. Berechnung von \(P(G|H)\): - Formel: \(P(G|H) = \frac{|H \cap G|}{|H|}\) - Werte aus Tabelle: \(|H \cap G| = 48\), \(|H| = 60\) - \(P(G|H) = \frac{48}{60} = 0{,}8\) (bzw. \(80\,\%\)) 2. Berechnung von \(P(G|\bar{H})\): - Formel: \(P(G|\bar{H}) = \frac{|\bar{H} \cap G|}{|\bar{H}|}\) - Werte aus Tabelle: \(|\bar{H} \cap G| = 56\), \(|\bar{H}| = 140\) - \(P(G|\bar{H}) = \frac{56}{140} = 0{,}4\) (bzw. \(40\,\%\)) 3. Vergleich und Interpretation: - \(P(G|H) = 0{,}8 > P(G|\bar{H}) = 0{,}4\) - Haushalte mit Hund haben in dieser Stichprobe doppelt so häufig einen Garten wie Haushalte ohne Hund. Es besteht eine Abhängigkeit.

Antwort

a) \(P(G|H) = 0{,}8\) b) \(P(G|\bar{H}) = 0{,}4\). Da \(P(G|H) > P(G|\bar{H})\), ist der Gartenbesitz bei Hundebesitzern in dieser Stichprobe deutlich wahrscheinlicher (doppelt so hoch).
42209311
Ein Sportverein untersuchte im Rahmen einer Studie, ob zwischen der regelmäßigen Teilnahme an einem speziellen Mentaltraining und dem Erfolg bei der Abschlussprüfung der Trainerlizenz hat. Von den insgesamt \(500\) Teilnehmenden besuchten \(200\) das Mentaltraining. Die Ergebnisse der Untersuchung sind in der folgenden Vierfeldertafel zusammengefasst: <table> <tr> <td></td> <td>\(M\) (Mentaltraining)</td> <td>\(\overline{M}\) (kein Mentaltraining)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(E\) (Erfolg)</td> <td>\(150\)</td> <td>\(200\)</td> <td>\(350\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{E}\) (kein Erfolg)</td> <td>\(50\)</td> <td>\(100\)</td> <td>\(150\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(200\)</td> <td>\(300\)</td> <td>\(500\)</td> </tr> </table> Prüfe rechnerisch, ob die Ereignisse \(M\) und \(E\) stochastisch unabhängig sind, und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Welche mathematische Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Ereignisse als stochastisch unabhängig gelten? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse und deren Schnittmenge aus einer Tabelle mit absoluten Häufigkeiten? - Vergleiche das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens. - Was bedeutet es für die Interpretation, wenn eine statistische Abhängigkeit zwischen Training und Erfolg besteht?

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle: \(P(M) = \frac{200}{500} = 0{,}4\), \(P(E) = \frac{350}{500} = 0{,}7\) und \(P(M \cap E) = \frac{150}{500} = 0{,}3\). 2. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung: \(P(M) \cdot P(E) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28\). 3. Vergleich der Werte: Da \(P(M \cap E) = 0{,}3 \neq 0{,}28\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 4. Interpretation: Es besteht ein statistischer Zusammenhang zwischen Mentaltraining und Erfolg. Da \(P(M \cap E) > P(M) \cdot P(E)\) bzw. \(P_M(E) = \frac{150}{200} = 0{,}75 > 0{,}7\) ist, ist die Erfolgsquote unter den Teilnehmenden des Trainings höher.

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(M \cap E) = 0{,}3\) ungleich \(P(M) \cdot P(E) = 0{,}28\) ist. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass in den Daten ein positiver statistischer Zusammenhang zwischen Mentaltraining und Erfolg besteht.
42210411
Gegeben ist ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge \(\Omega = \{z_1; z_2; z_3; z_4; z_5\}\) und der im Folgenden tabellierten Verteilung: <table> <tr> <td>\(z_i\)</td> <td>\(z_1\)</td> <td>\(z_2\)</td> <td>\(z_3\)</td> <td>\(z_4\)</td> <td>\(z_5\)</td> </tr> <tr> <td>\(P(z_i)\)</td> <td>\(0{,}12\)</td> <td>\(0{,}28\)</td> <td>\(0{,}18\)</td> <td>\(0{,}22\)</td> <td>\(0{,}20\)</td> </tr> </table> Prüfe rechnerisch, ob die Ereignisse \(E = \{z_1; z_2\}\) und \(F = \{z_1; z_3\}\) stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Definition der stochastischen Unabhängigkeit über das Produkt von Wahrscheinlichkeiten. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse bekannt sind? - Identifiziere genau, welche Elemente zur Schnittmenge beider Ereignisse gehören. - Führe die Multiplikation sorgfältig durch und vergleiche das Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge.

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(E\): \(P(E) = P(z_1) + P(z_2) = 0{,}12 + 0{,}28 = 0{,}40\) 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(F\): \(P(F) = P(z_1) + P(z_3) = 0{,}12 + 0{,}18 = 0{,}30\) 3. Identifikation der Schnittmenge: \(E \cap F = \{z_1\}\) 4. Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge: \(P(E \cap F) = P(z_1) = 0{,}12\) 5. Prüfung der Unabhängigkeitsformel: \(P(E) \cdot P(F) = 0{,}40 \cdot 0{,}30 = 0{,}12\) 6. Schlussfolgerung: Da \(P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.

Antwort

Die Ereignisse \(E\) und \(F\) sind stochastisch unabhängig, da \(P(E \cap F) = 0{,}12\) genau dem Produkt \(P(E) \cdot P(F) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\) entspricht.
42210511
In einer Umfrage wurden 200 Personen nach ihrem bevorzugten Urlaubsziel und ihrer Altersgruppe befragt. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: <table> <tr> <th></th> <th>Ziel: Meer</th> <th>Ziel: Berge</th> </tr> <tr> <td><b>unter 40 Jahre</b></td> <td>72</td> <td>48</td> </tr> <tr> <td><b>ab 40 Jahre</b></td> <td>48</td> <td>32</td> </tr> </table> Aus der Gruppe der Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersuche die Ereignisse \(A\): „Die Person ist unter 40 Jahre alt“ und \(M\): „Die Person bevorzugt das Meer“ auf stochastische Unabhängigkeit.

Denkanstöße

- Wie viele Personen wurden insgesamt befragt? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Merkmal aus der Tabelle? - Welches Feld in der Tabelle entspricht dem gleichzeitigen Eintreten beider Merkmale? - Welche mathematische Bedingung muss für die Unabhängigkeit zweier Ereignisse erfüllt sein? - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit des Schnitts mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten.

Lösung

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Befragten: \(n = 72 + 48 + 48 + 32 = 200\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die Einzelereignisse: \(P(A) = \frac{72 + 48}{200} = \frac{120}{200} = 0{,}6\) und \(P(M) = \frac{72 + 48}{200} = \frac{120}{200} = 0{,}6\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens: \(P(A \cap M) = \frac{72}{200} = 0{,}36\). 4. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung: Das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist \(P(A) \cdot P(M) = 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36\). 5. Vergleich: Da \(P(A \cap M) = P(A) \cdot P(M)\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.

Antwort

Die Ereignisse \(A\) und \(M\) sind stochastisch unabhängig.
42210611
In einem Fitnessstudio sind \(1500\) Mitglieder angemeldet. Eine Auswertung der Mitgliederkartei ergab, dass \(900\) Personen regelmäßig den Saunabereich nutzen. Insgesamt nehmen \(600\) Mitglieder regelmäßig an Gruppenkursen teil. Von diesen Kursteilnehmern besuchen \(400\) auch regelmäßig die Sauna. Es wird ein Mitglied zufällig ausgewählt. Prüfe rechnerisch, ob die Ereignisse \(G\): „Das Mitglied nimmt an Gruppenkursen teil“ und \(S\): „Das Mitglied nutzt die Sauna“ stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Notiere dir zuerst alle gegebenen Anzahlen und die Gesamtzahl der Mitglieder. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Mitglied in die Sauna geht? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied sowohl an Kursen teilnimmt als auch die Sauna nutzt? - Welche Formel nutzt man, um die Unabhängigkeit zu überprüfen? - Ist das Ergebnis der Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten identisch mit der Wahrscheinlichkeit für beides zusammen?

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse: \(P(G) = \frac{600}{1500} = 0{,}4\) und \(P(S) = \frac{900}{1500} = 0{,}6\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge aus den gegebenen Daten: \(P(G \cap S) = \frac{400}{1500} = \frac{4}{15} \approx 0{,}267\). 3. Berechnung des Produkts der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(G) \cdot P(S) = 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(P(G \cap S) = \frac{4}{15} \neq 0{,}24 = \frac{6}{25}\) gilt, ist die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit nicht erfüllt.

Antwort

Die Ereignisse \(G\) und \(S\) sind stochastisch abhängig.
42211311
In einer medizinischen Studie zur Wirksamkeit eines neuen Medikaments werden zwei Gruppen untersucht: Die Behandlungsgruppe (\(T\)) erhielt das Medikament, während die Kontrollgruppe (\(\overline{T}\)) ein Placebo erhielt. Der Heilungserfolg (\(H\)) wurde nach zwei Wochen dokumentiert. Die folgende Vierfeldertafel zeigt die absoluten Häufigkeiten der Probanden: | | \(H\) | \(\overline{H}\) | | :--- | :---: | :---: | | \(T\) | \(120\) | \(80\) | | \(\overline{T}\) | \(45\) | \(y\) | 1. Bestimme den Wert von \(y\), für den der Heilungserfolg stochastisch unabhängig von der Gruppenzugehörigkeit ist. 2. Interpretiere das Ergebnis im Sachkontext der medizinischen Studie.

Denkanstöße

- Welche mathematische Bedingung muss für die Werte in den vier Feldern gelten, damit Unabhängigkeit vorliegt? - Überlege, wie sich das Produkt der Werte auf den Diagonalen der Tabelle zueinander verhält. - Welche Aussage lässt die Gleichheit der Heilungsquoten über den statistischen Zusammenhang zu, und welche kausale Aussage folgt daraus nicht?

Lösung

1. Für stochastische Unabhängigkeit in einer Vierfeldertafel mit den Einträgen \(a, b, c, d\) muss die Beziehung \(ad = bc\) gelten. Mit \(a = 120\), \(b = 80\), \(c = 45\) und \(d = y\) ergibt sich die Gleichung \(120y = 80 \cdot 45\). 2. Durch Auflösen der Gleichung \(120y = 3600\) erhält man \(y = 30\). 3. Bei \(y = 30\) beträgt die Heilungsquote in der Behandlungsgruppe \(\frac{120}{200} = 0{,}6\) (\(60\,\%\)) und in der Kontrollgruppe \(\frac{45}{75} = 0{,}6\) (\(60\,\%\)). In dieser Vierfeldertafel besteht daher kein statistischer Zusammenhang zwischen Gruppenzugehörigkeit und Heilungserfolg. Eine Aussage über statistische Signifikanz oder eine kausale Wirksamkeit des Medikaments lässt sich daraus allein nicht ableiten.

Antwort

1. \(y = 30\) 2. Bei diesem Wert beträgt die Heilungsquote in beiden Gruppen \(60\,\%\); Gruppenzugehörigkeit und Heilungserfolg sind in der Tabelle stochastisch unabhängig. Daraus allein folgt weder ein Signifikanztest noch eine kausale Aussage über die Wirksamkeit des Medikaments.
42211811
In einem Behälter befinden sich \(10\) Kugeln: \(2\) blaue, \(3\) rote und \(5\) gelbe. Es werden nacheinander zwei Kugeln zufällig gezogen. Wir betrachten die Ereignisse: \(B\): „Die erste Kugel ist blau.“ \(R\): „Die zweite Kugel ist rot.“ a) Berechne \(P(R)\) und \(P_B(R)\) unter der Bedingung, dass die erste Kugel nicht zurückgelegt wird. Sind die Ereignisse \(B\) und \(R\) in diesem Fall stochastisch unabhängig? b) Prüfe die Unabhängigkeit der Ereignisse \(B\) und \(R\), wenn die erste Kugel vor dem zweiten Zug wieder zurückgelegt wird.

Denkanstöße

- Wie verändert sich die Anzahl der roten Kugeln und die Gesamtzahl der Kugeln, wenn zuerst eine blaue Kugel entnommen wurde? - Verwende ein Baumdiagramm, um alle Pfade zu finden, die zum Ereignis „die zweite Kugel ist rot“ führen. - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für Rot im zweiten Zug mit der bedingten Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass die erste Kugel blau war.

Lösung

1. Teil a) Ohne Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeit für Rot im zweiten Zug berechnet sich mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit über alle Möglichkeiten des ersten Zuges (Blau, Rot, Gelb): \(P(R) = P(B \cap R) + P(R_1 \cap R) + P(G_1 \cap R) = \frac{2}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} + \frac{5}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{6 + 6 + 15}{90} = \frac{27}{90} = 0{,}3\), wobei \(R_1\) bzw. \(G_1\) für „erste Kugel rot“ bzw. „erste Kugel gelb“ steht. Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_B(R)\) ist die Wahrscheinlichkeit für Rot im zweiten Zug, wenn die erste blau war: \(P_B(R) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\). Da \(P_B(R) \neq P(R)\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 2. Teil b) Mit Zurücklegen: Hier bleibt die Wahrscheinlichkeit für den zweiten Zug immer gleich, egal was zuerst gezogen wurde: \(P(R) = \frac{3}{10} = 0{,}3\) und \(P_B(R) = \frac{3}{10} = 0{,}3\). Da \(P_B(R) = P(R)\) gilt, sind die Ereignisse in diesem Fall stochastisch unabhängig.

Antwort

a) \(P(R) = 0{,}3\); \(P_B(R) = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\); die Ereignisse sind stochastisch abhängig. b) \(P(R) = 0{,}3\); \(P_B(R) = 0{,}3\); die Ereignisse sind stochastisch unabhängig.
42211911
Zwei Behälter enthalten farbige Chips. In Behälter \(A\) befinden sich \(5\) rote und \(15\) blaue Chips. In Behälter \(B\) liegen \(10\) rote und \(30\) blaue Chips. Es wird zufällig einer der beiden Behälter mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt und daraus ein Chip gezogen. Betrachtet werden die Ereignisse \(E_A\): „Behälter \(A\) wird gewählt“ und \(E_R\): „Ein roter Chip wird gezogen“. a) Weise rechnerisch nach, dass die Ereignisse \(E_A\) und \(E_R\) stochastisch unabhängig sind. b) Es sollen insgesamt \(15\) weitere rote Chips auf die beiden Behälter verteilt werden. Ermittle, wie viele dieser Chips in Behälter \(A\) und wie viele in Behälter \(B\) gelegt werden müssen, damit die Ereignisse \(E_A\) und \(E_R\) stochastisch unabhängig bleiben. c) Entscheide, ob die Ereignisse \(E_A\) und \(E_R\) stochastisch unabhängig oder abhängig sind, wenn man in Behälter \(B\) statt der roten Chips aus Aufgabenteil b) zusätzlich \(10\) blaue Chips zu den ursprünglichen \(10\) roten und \(30\) blauen Chips hinzufügt (Behälter \(A\) bleibt wie in b) verändert).

Denkanstöße

- Wann sind zwei Ereignisse in einem Baumdiagramm oder bei einer Urnenwahl unabhängig? Vergleiche die Anteile in den einzelnen Behältern. - Wenn die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis in beiden Behältern gleich ist, spielt die Wahl des Behälters keine Rolle für das Ergebnis. - Setze für die unbekannte Anzahl an Chips eine Variable an und stelle eine Gleichung auf, die die Gleichheit der Wahrscheinlichkeiten ausdrückt. - Überprüfe am Ende, ob die berechneten Wahrscheinlichkeiten für beide Pfade tatsächlich identisch sind.

Lösung

1. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für a): \(P(E_R|E_A) = \frac{5}{20} = 0{,}25\) und \(P(E_R|\overline{E_A}) = \frac{10}{40} = 0{,}25\). Da \(P(E_R|E_A) = P(E_R|\overline{E_A})\), sind die Ereignisse unabhängig. 2. Ansatz für b): Sei \(x\) die Anzahl der roten Chips für Behälter \(A\) und \(15-x\) für Behälter \(B\). Die neuen Wahrscheinlichkeiten müssen gleich sein: \(\frac{5+x}{20+x} = \frac{10+(15-x)}{40+(15-x)}\). 3. Lösen der Gleichung: \(\frac{5+x}{20+x} = \frac{25-x}{55-x} \implies (5+x)(55-x) = (25-x)(20+x) \implies 275 + 50x - x^2 = 500 + 5x - x^2 \implies 45x = 225 \implies x = 5\). Es müssen \(5\) Chips in Behälter \(A\) und \(10\) Chips in Behälter \(B\) gelegt werden. 4. Prüfung für c): In Behälter \(A\) sind nun \(10\) rote und \(15\) blaue Chips (\(P(E_R|E_A) = \frac{10}{25} = 0{,}4\)). In Behälter \(B\) sind \(10\) rote und \(40\) blaue Chips (\(P(E_R|\overline{E_A}) = \frac{10}{50} = 0{,}2\)). Da \(0{,}4 \neq 0{,}2\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig.

Antwort

a) \(P(E_R|E_A) = 0{,}25 = P(E_R|\overline{E_A})\), daher unabhängig. b) \(5\) Chips in Behälter \(A\) und \(10\) Chips in Behälter \(B\). c) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(E_R|E_A) = 0{,}4\) und \(P(E_R|\overline{E_A}) = 0{,}2\).
42212011
In einer Marktforschungsumfrage unter \(200\) Personen (\(120\) Jugendliche und \(80\) Erwachsene) wird das Kaufinteresse an einem neuen Erfrischungsgetränk ermittelt. Insgesamt geben \(60\) der befragten Personen an, dass sie das Getränk kaufen würden (Ereignis \(K\)). a) Bestimme, wie viele Jugendliche und wie viele Erwachsene kaufinteressiert sein müssten, damit das Ereignis „Kaufinteresse“ stochastisch unabhängig von der Altersgruppe (Ereignis \(J\): „Person ist jugendlich“) ist. b) Tatsächlich stellt sich heraus, dass \(40\) der Jugendlichen kaufinteressiert sind. Weise rechnerisch nach, dass in diesem Fall eine stochastische Abhängigkeit zwischen dem Alter und dem Kaufinteresse vorliegt. c) Beurteile ohne weitere Rechnung, ob unter der Bedingung aus b) die Ereignisse \(\overline{J}\) (Erwachsene) und \(\overline{K}\) (kein Kaufinteresse) stochastisch unabhängig oder abhängig sind. Begründe deine Entscheidung kurz.

Denkanstöße

- Nutze eine Vierfeldertafel, um die absoluten Häufigkeiten übersichtlich darzustellen. - Die Unabhängigkeit ist gegeben, wenn das Verhältnis der Kaufinteressenten in beiden Gruppen gleich dem Verhältnis in der Gesamtgruppe ist. - Überlege dir den Zusammenhang zwischen der Unabhängigkeit von Ereignissen und der Unabhängigkeit ihrer Gegenereignisse. Wenn eine Information den Ausgang eines Ereignisses beeinflusst, beeinflusst sie dann auch das Gegenereignis?

Lösung

1. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für a): \(P(K) = \frac{60}{200} = 0{,}3\). Für Unabhängigkeit muss gelten: \(P(K|J) = P(K) = 0{,}3\) und \(P(K|\overline{J}) = 0{,}3\). 2. Anzahl berechnen: Jugendliche: \(120 \cdot 0{,}3 = 36\); Erwachsene: \(80 \cdot 0{,}3 = 24\). 3. Prüfung für b): \(P(K|J) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\). Die Anzahl der kaufinteressierten Erwachsenen ist \(60 - 40 = 20\), also \(P(K|\overline{J}) = \frac{20}{80} = 0{,}25\). Da \(P(K|J) \neq P(K|\overline{J})\), liegt stochastische Abhängigkeit vor. 4. Begründung für c): Wenn zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig sind, dann sind auch ihre Komplemente \(\overline{A}\) und \(\overline{B}\) (sowie alle anderen Kombinationen wie \(A\) und \(\overline{B}\)) stochastisch abhängig. Somit sind \(\overline{J}\) und \(\overline{K}\) abhängig.

Antwort

a) \(36\) Jugendliche und \(24\) Erwachsene. b) \(P(K|J) = \frac{1}{3} \neq P(K|\overline{J}) = 0{,}25\), daher abhängig. c) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da die Abhängigkeit zweier Ereignisse immer auch die Abhängigkeit ihrer Gegenereignisse impliziert.
42212111
Ein fairer sechsseitiger Würfel wird zweimal geworfen. Es werden die folgenden Ereignisse betrachtet: \(A\): „Der erste Wurf zeigt eine Primzahl.“ \(B\): „Der zweite Wurf zeigt eine Augenzahl größer als 4.“ \(C\): „Die Summe der Augenzahlen beider Würfe ist genau 6.“ a) Weise nach, dass die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind. b) Untersuche, ob die Ereignisse \(A\) und \(C\) stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Welche Bedingung muss für die Wahrscheinlichkeiten erfüllt sein, damit zwei Ereignisse als stochastisch unabhängig gelten? - Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es insgesamt bei einem zweifachen Würfelwurf? - Kannst du alle Zahlenpaare aufschreiben, die zu einem bestimmten Ereignis gehören? - Berechne zuerst die Einzelwahrscheinlichkeiten und dann die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten beider Ereignisse.

Lösung

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für \(A\) und \(B\): Die Primzahlen auf einem Würfel sind 2, 3 und 5, also \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Die Zahlen größer als 4 sind 5 und 6, also \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit \(P(A \cap B)\): Da die Würfe unabhängig sind, gilt für das gleichzeitige Eintreten (Primzahl im 1. Wurf und Zahl \(>4\) im 2. Wurf) \(P(A \cap B) = \frac{3 \cdot 2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). 3. Prüfung der Unabhängigkeit für \(A\) und \(B\): Da \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} = P(A \cap B)\), sind \(A\) und \(B\) unabhängig. 4. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für \(C\): Die günstigen Ergebnisse für die Summe 6 sind \((1|5), (2|4), (3|3), (4|2), (5|1)\). Somit ist \(P(C) = \frac{5}{36}\). 5. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit \(P(A \cap C)\): Die Ergebnisse in \(C\), bei denen der erste Würfel eine Primzahl (2, 3 oder 5) zeigt, sind \((2|4), (3|3)\) und \((5|1)\). Es gibt 3 solche Ergebnisse, also \(P(A \cap C) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\). 6. Prüfung der Unabhängigkeit für \(A\) und \(C\): Es gilt \(P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{36} = \frac{5}{72}\). Da \(\frac{1}{12} = \frac{6}{72} \neq \frac{5}{72}\), sind \(A\) und \(C\) stochastisch abhängig.

Antwort

a) \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig, da \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) und \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\) gilt. b) \(A\) und \(C\) sind stochastisch abhängig, da \(P(A \cap C) = \frac{1}{12}\), aber \(P(A) \cdot P(C) = \frac{5}{72}\) ist.
42212311
Eine Marktforschungsumfrage unter Smartphone-Nutzern ergab, dass \(40\,\%\) der Befragten auch einen Laptop derselben Marke besitzen (Ereignis \(L\)). Insgesamt gaben \(55\,\%\) der Nutzer an, mit dem Kundenservice des Herstellers sehr zufrieden zu sein (Ereignis \(Z\)). Bei \(25\,\%\) der Befragten trafen beide Merkmale zu. a) Vervollständige die Vierfeldertafel. <table> <tr> <td></td> <td>\(L\)</td> <td>\(\bar{L}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(Z\)</td> <td>\(25\,\%\)</td> <td></td> <td>\(55\,\%\)</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{Z}\)</td> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(40\,\%\)</td> <td></td> <td>\(100\,\%\)</td> </tr> </table> b) Prüfe die Ereignisse \(L\) und \(Z\) rechnerisch auf stochastische Unabhängigkeit. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten \(P(Z\mid L)\) und \(P(Z\mid \bar{L})\). Beschreibe deren Bedeutung im Sachzusammenhang. d) Interpretiere deine Ergebnisse aus b) und c). Was lässt sich über den Zusammenhang zwischen dem Besitz eines Laptops der Marke und der Zufriedenheit mit dem Service sagen?

Denkanstöße

- Wie hängen die inneren Felder einer Vierfeldertafel mit den Randsummen zusammen? - Welche Bedingung muss für die Wahrscheinlichkeiten gelten, damit zwei Ereignisse als unabhängig bezeichnet werden? - Achte bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten darauf, welche Teilgruppe die Grundmenge bildet. - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für Zufriedenheit innerhalb der Gruppe der Laptop-Besitzer mit der in der Gruppe der Nicht-Besitzer.

Lösung

1. Vervollständigung der Vierfeldertafel durch Zeilen- und Spaltensummen: \(P(L \cap \bar{Z}) = 15\,\%\), \(P(\bar{L} \cap Z) = 30\,\%\), \(P(\bar{L} \cap \bar{Z}) = 30\,\%\), \(P(\bar{L}) = 60\,\%\), \(P(\bar{Z}) = 45\,\%\). 2. Prüfung auf stochastische Unabhängigkeit: \(P(L) \cdot P(Z) = 0{,}40 \cdot 0{,}55 = 0{,}22\). Da \(P(L \cap Z) = 0{,}25 \neq 0{,}22\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: \(P(Z\mid L) = \frac{0{,}25}{0{,}40} = 0{,}625 = 62{,}5\,\%\) (Wahrscheinlichkeit, dass ein Laptop-Besitzer zufrieden ist) und \(P(Z\mid \bar{L}) = \frac{0{,}30}{0{,}60} = 0{,}5 = 50\,\%\) (Wahrscheinlichkeit, dass ein Nicht-Besitzer eines Laptops zufrieden ist). 4. Interpretation: Da \(P_L(Z) > P_{\bar{L}}(Z)\), besteht eine positive Abhängigkeit. Kunden, die auch einen Laptop der Marke besitzen, sind tendenziell zufriedener mit dem Kundenservice als Kunden ohne Laptop der Marke.

Antwort

a) Fehlende Werte: \(P(L \cap \bar{Z}) = 15\,\%\), \(P(\bar{L} \cap Z) = 30\,\%\), \(P(\bar{L} \cap \bar{Z}) = 30\,\%\), \(P(\bar{L}) = 60\,\%\), \(P(\bar{Z}) = 45\,\%\). b) \(P(L \cap Z) = 0{,}25\); \(P(L) \cdot P(Z) = 0{,}22\). Wegen \(0{,}25 \neq 0{,}22\) sind die Ereignisse stochastisch abhängig. c) \(P(Z\mid L) = 62{,}5\,\%\); \(P(Z\mid \bar{L}) = 50\,\%\). \(P(Z\mid L)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit dem Service zufrieden ist, unter der Bedingung, dass er einen Laptop der Marke besitzt. \(P(Z\mid \bar{L})\) ist die entsprechende Wahrscheinlichkeit unter den Personen ohne Laptop dieser Marke. d) Es liegt eine positive Abhängigkeit vor; der Besitz eines markengleichen Laptops geht mit einer höheren Servicezufriedenheit einher.
42212411
In einem Logistikzentrum werden Pakete von zwei verschiedenen Anbietern auf Beschädigungen geprüft. \(60\,\%\) der Pakete stammen von Anbieter A (Ereignis \(A\)), die übrigen von Anbieter B. Insgesamt sind \(5\,\%\) aller eintreffenden Pakete beschädigt (Ereignis \(D\)). Statistiken zeigen, dass \(3\,\%\) aller Pakete sowohl von Anbieter A stammen als auch beschädigt sind. a) Stelle diesen Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. b) Untersuche, ob die Beschädigung eines Pakets stochastisch unabhängig von der Wahl des Anbieters ist. c) Berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_A(D)\) und \(P_B(D)\) und formuliere deren Bedeutung im Sachzusammenhang. d) Bewerte die Qualität der beiden Anbieter im Hinblick auf die Transportsicherheit. Nutze hierzu deine Ergebnisse aus b) und c).

Denkanstöße

- Kannst du aus den Prozentangaben im Text direkt die Randsummen und ein inneres Feld der Tabelle bestimmen? - Was bedeutet es für die Anteile in den Untergruppen, wenn Unabhängigkeit vorliegt? - Wie berechnet man den Anteil der beschädigten Pakete, wenn man nur die Pakete eines bestimmten Anbieters betrachtet? - Überlege, ob ein Anbieter statistisch gesehen „sicherer“ liefert als der andere.

Lösung

1. Erstellung der Vierfeldertafel: \(P(A) = 0{,}60\), \(P(B) = P(\bar{A}) = 0{,}40\), \(P(D) = 0{,}05\), \(P(\bar{D}) = 0{,}95\). Gegeben ist \(P(A \cap D) = 0{,}03\). Daraus folgen: \(P(A \cap \bar{D}) = 0{,}57\), \(P(B \cap D) = 0{,}02\), \(P(B \cap \bar{D}) = 0{,}38\). 2. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(P(A) \cdot P(D) = 0{,}60 \cdot 0{,}05 = 0{,}03\). Da \(P(A \cap D) = 0{,}03\), sind die Ereignisse stochastisch unabhängig. 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: \(P_A(D) = \frac{0{,}03}{0{,}60} = 0{,}05 = 5\,\%\) und \(P_B(D) = \frac{0{,}02}{0{,}40} = 0{,}05 = 5\,\%\). Diese geben den Anteil beschädigter Pakete pro Anbieter an. 4. Bewertung: Die beobachtete Beschädigungsrate beträgt bei beiden Anbietern \(5\,\%\). Hinsichtlich dieses Merkmals ist daher kein Unterschied in der Transportsicherheit erkennbar; andere Qualitätsmerkmale werden durch die Daten nicht erfasst.

Antwort

a) Vierfeldertafel: \(P(A \cap D)=3\,\%\), \(P(A \cap \bar{D})=57\,\%\), \(P(B \cap D)=2\,\%\), \(P(B \cap \bar{D})=38\,\%\). Ränder: \(P(A)=60\,\%\), \(P(B)=40\,\%\), \(P(D)=5\,\%\), \(P(\bar{D})=95\,\%\). b) \(P(A) \cdot P(D) = 0{,}6 \cdot 0{,}05 = 0{,}03 = P(A \cap D)\). Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig. c) \(P_A(D) = 5\,\%\) und \(P_B(D) = 5\,\%\). Dies ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paket des entsprechenden Anbieters beschädigt ist. d) Bei der beobachteten Beschädigungsrate ist keiner der beiden Anbieter im Vorteil. Eine allgemeine qualitative Gleichwertigkeit lässt sich daraus nicht ableiten.
42213111
In einem Rechenzentrum wird über einen Zeitraum von 20 Tagen protokolliert, ob die Server \(S_1\) und \(S_2\) Ausfallzeiten aufweisen. Das Ereignis \(U_1\) beschreibt einen Ausfall von Server \(S_1\), das Ereignis \(U_2\) einen Ausfall von Server \(S_2\). Ein „X“ in der folgenden Übersicht bedeutet, dass der jeweilige Server am entsprechenden Tag mindestens eine Ausfallzeit hatte. <table> <tr><td>Tag</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr> <tr><td>\(U_1\)</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td>X</td></tr> <tr><td>\(U_2\)</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td></td></tr> </table> <br> <table> <tr><td>Tag</td><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td><td>16</td><td>17</td><td>18</td><td>19</td><td>20</td></tr> <tr><td>\(U_1\)</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td>X</td></tr> <tr><td>\(U_2\)</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>X</td><td>X</td><td>X</td><td></td></tr> </table> Zusätzlich ist bekannt, dass an den Tagen 2, 3, 7, 8 und 12 Wartungsarbeiten am Netzwerk (Ereignis \(W\)) durchgeführt wurden. a) Weise mithilfe der relativen Häufigkeiten nach, dass die Ereignisse \(U_1\) und \(U_2\) stochastisch abhängig sind. b) Untersuche, ob das Auftreten von Ausfällen bei Server \(S_1\) stochastisch abhängig von den Wartungsarbeiten \(W\) ist. Interpretiere dein Ergebnis im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn man eine Liste von Beobachtungen hat? - Erinnere dich an die Formel für die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse \(A\) und \(B\). - Was bedeutet es für die Beziehung zweier Ereignisse, wenn das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten nicht der Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Auftretens entspricht? - Betrachte bei Teilaufgabe b), ob die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall steigt oder sinkt, wenn gerade Wartungsarbeiten stattfinden.

Lösung

1. Bestimmung der relativen Häufigkeiten für \(U_1\) und \(U_2\) aus der Tabelle: \(P(U_1) = \frac{8}{20} = 0{,}4\) und \(P(U_2) = \frac{6}{20} = 0{,}3\). Die gemeinsame Häufigkeit an den Tagen 2, 7, 12 und 17 beträgt \(P(U_1 \cap U_2) = \frac{4}{20} = 0{,}2\). 2. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(P(U_1) \cdot P(U_2) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\). Da \(0{,}2 \neq 0{,}12\), sind \(U_1\) und \(U_2\) stochastisch abhängig. 3. Untersuchung von \(U_1\) und \(W\): Die Häufigkeit der Wartungsarbeiten ist \(P(W) = \frac{5}{20} = 0{,}25\). Gemeinsame Ausfälle an Wartungstagen (Tage 2, 7, 12) ergeben \(P(U_1 \cap W) = \frac{3}{20} = 0{,}15\). 4. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(P(U_1) \cdot P(W) = 0{,}4 \cdot 0{,}25 = 0{,}1\). Da \(0{,}15 \neq 0{,}1\), besteht eine stochastische Abhängigkeit. 5. Interpretation: Da \(P(U_1 \cap W) > P(U_1) \cdot P(W)\) bzw. \(P(U_1|W) = 0{,}6\) größer ist als \(P(U_1) = 0{,}4\), war die Ausfallwahrscheinlichkeit an Wartungstagen erhöht. Ein kausaler Zusammenhang wird dadurch allein nicht bewiesen.

Antwort

a) \(P(U_1) = 0{,}4\); \(P(U_2) = 0{,}3\); \(P(U_1 \cap U_2) = 0{,}2\). Da \(0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12 \neq 0{,}2\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig. b) \(P(W) = 0{,}25\); \(P(U_1 \cap W) = 0{,}15\). Da \(0{,}4 \cdot 0{,}25 = 0{,}1 \neq 0{,}15\), sind \(U_1\) und \(W\) stochastisch abhängig. Interpretation: Während der Wartungsarbeiten war die Ausfallwahrscheinlichkeit von Server \(S_1\) höher als im Durchschnitt; eine Ursache ist damit allein nicht nachgewiesen.
42213211
In einem Sportverein mit 120 Mitgliedern werden die Sportarten Tennis (Ereignis \(T\)) und Squash (Ereignis \(S\)) angeboten. Es ist bekannt, dass 60 Mitglieder Tennis spielen und 40 Mitglieder Squash spielen. 20 Mitglieder sind in beiden Abteilungen aktiv. a) Prüfe rechnerisch, ob die Mitgliedschaft in der Tennisabteilung und die Mitgliedschaft in der Squashabteilung stochastisch unabhängig sind. b) Von den 120 Mitgliedern sind 40 bereits seit über 10 Jahren im Verein (Ereignis \(L\)). Von diesen langjährigen Mitgliedern spielen 15 Tennis. Untersuche, ob die Ereignisse \(L\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Nutze die Gesamtzahl der Mitglieder, um die Wahrscheinlichkeiten als Brüche darzustellen. - Die Bedingung für Unabhängigkeit lautet \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). - Achte bei Teilaufgabe b) genau darauf, welche Gruppe die Grundgesamtheit für die 15 Tennisspieler bildet, um \(P(L \cap T)\) korrekt zu berechnen. - Überlege dir, ob das Ergebnis der Multiplikation exakt dem Wert der Schnittmenge entspricht.

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für Teilaufgabe a): \(P(T) = \frac{60}{120} = 0{,}5\), \(P(S) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}\). Die Wahrscheinlichkeit für beide Sportarten ist \(P(T \cap S) = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}\). 2. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung: \(P(T) \cdot P(S) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\). Da \(P(T \cap S) = P(T) \cdot P(S)\), sind die Ereignisse \(T\) und \(S\) stochastisch unabhängig. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für Teilaufgabe b): \(P(L) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}\). Die Wahrscheinlichkeit für ein langjähriges Mitglied, das Tennis spielt, ist \(P(L \cap T) = \frac{15}{120} = 0{,}125\). 4. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung: \(P(L) \cdot P(T) = \frac{1}{3} \cdot 0{,}5 = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\). 5. Vergleich: Da \(0{,}125 \neq 0{,}167\), sind die Ereignisse \(L\) und \(T\) stochastisch abhängig.

Antwort

a) \(P(T) = 0{,}5\); \(P(S) = \frac{1}{3}\); \(P(T \cap S) = \frac{1}{6}\). Da \(0{,}5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\), sind \(T\) und \(S\) stochastisch unabhängig. b) \(P(L) = \frac{1}{3}\); \(P(T) = 0{,}5\); \(P(L \cap T) = 0{,}125\). Da \(\frac{1}{3} \cdot 0{,}5 = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 \neq 0{,}125\), sind \(L\) und \(T\) stochastisch abhängig.
42213411
In einem Rechenzentrum stehen \(5000\) Server. Um sie vor Cyberangriffen (\(C\)) zu schützen, sind \(85\,\%\) der Server mit einem speziellen Sicherheitssystem (\(S\)) ausgestattet. Nach einer Angriffswelle wird festgestellt, dass insgesamt \(350\) Server erfolgreich angegriffen wurden. Davon verfügten \(150\) Server über das Sicherheitssystem \(S\). a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P(C|S)\) und \(P(C|\bar{S})\). b) Zeige rechnerisch, dass die Ereignisse \(C\) und \(S\) stochastisch abhängig sind. c) Ein Techniker behauptet: „Das Sicherheitssystem ist nicht sehr effektiv, da fast die Hälfte der erfolgreich angegriffenen Server (\(150\) von \(350\)) das System installiert hatte.“ Ordne diese Aussage anhand der Ergebnisse aus Teilaufgabe a) ein und erläutere, welche Grenze die Daten für eine kausale Schlussfolgerung haben.

Denkanstöße

- Erstelle zur Übersicht eine Vierfeldertafel mit absoluten Zahlen. - Achte darauf, worauf sich die Prozentangaben in der Behauptung des Technikers beziehen (Teilmenge der angegriffenen Server oder Teilmenge der geschützten Server). - Wie hoch ist die Quote erfolgreicher Angriffe in der Gruppe \(S\) im Vergleich zur Gruppe ohne \(S\)? - Welche Aussage erlaubt ein statistischer Zusammenhang, und welche zusätzliche Untersuchung wäre für eine kausale Schlussfolgerung nötig?

Lösung

1. Bestimmung der absoluten Häufigkeiten: \(n(S) = 0{,}85 \cdot 5000 = 4250\); \(n(\bar{S}) = 5000 - 4250 = 750\). Gegeben sind \(n(C \cap S) = 150\) und \(n(C) = 350\), woraus \(n(C \cap \bar{S}) = 350 - 150 = 200\) folgt. 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: \(P(C|S) = \frac{150}{4250} = \frac{3}{85} \approx 0{,}0353\) (\(3{,}53\,\%\)) und \(P(C|\bar{S}) = \frac{200}{750} = \frac{4}{15} \approx 0{,}2667\) (\(26{,}67\,\%\)). 3. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(P(C) = \frac{350}{5000} = 0{,}07\). Da \(P(C|S) \approx 0{,}0353 \neq P(C) = 0{,}07\), besteht eine stochastische Abhängigkeit. 4. Beurteilung: Die Aussage des Technikers ist irreführend, weil sie die stark unterschiedlichen Gruppengrößen ignoriert. In den Daten beträgt die Quote erfolgreicher Angriffe ohne System etwa \(26{,}7\,\%\), mit System dagegen etwa \(3{,}5\,\%\). Das ist ein deutlicher statistischer Zusammenhang, der mit einer Schutzwirkung vereinbar ist. Ohne kontrollierte Untersuchung ist damit jedoch nicht bewiesen, dass allein das Sicherheitssystem den Unterschied verursacht.

Antwort

a) \(P(C|S) \approx 3{,}53\,\%\) und \(P(C|\bar{S}) \approx 26{,}67\,\%\). b) Abhängig, da \(P(C|S) \neq P(C)\) (bzw. \(0{,}0353 \neq 0{,}07\)). c) Die Aussage des Technikers ist irreführend: Die beobachtete Quote erfolgreicher Angriffe ist bei Servern mit System wesentlich niedriger. Die Daten sprechen für einen Schutzeffekt, beweisen aber ohne kontrollierte Untersuchung keine alleinige Kausalwirkung des Systems.
42214111
In einem Monat mit 30 Tagen regnete es an insgesamt 12 Tagen. Ein Sportler ging in diesem Monat an 15 Tagen joggen. Dabei stellte er fest, dass er nur an 3 der Regentage joggen war. Ein Tag aus diesem Monat wird zufällig ausgewählt. Es werden die Ereignisse \(R\): „Es regnet“ und \(J\): „Der Sportler geht joggen“ betrachtet. Untersuche rechnerisch, ob die Ereignisse \(R\) und \(J\) stochastisch unabhängig sind. Interpretiere dein Ergebnis im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Kannst du die gegebenen Anzahlen in Wahrscheinlichkeiten für einen zufällig gewählten Tag umrechnen? - Welche Bedingung muss für die Wahrscheinlichkeiten gelten, damit zwei Ereignisse als stochastisch unabhängig bezeichnet werden? - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten beider Ereignisse mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. - Was sagt das Ergebnis darüber aus, wie wahrscheinlich das Joggen bei Regen im Vergleich zu einem beliebigen Tag ist?

Lösung

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten aus den gegebenen Häufigkeiten: \(P(R) = \frac{12}{30} = 0{,}4\), \(P(J) = \frac{15}{30} = 0{,}5\) und \(P(R \cap J) = \frac{3}{30} = 0{,}1\). 2. Berechnung des Produkts der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(R) \cdot P(J) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2\). 3. Vergleich der Werte: Da \(P(R \cap J) = 0{,}1 \neq 0{,}2 = P(R) \cdot P(J)\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 4. Interpretation: In den Daten besteht ein Zusammenhang zwischen Regen und Joggen. Da \(P(J|R) = \frac{3}{12} = 0{,}25\) kleiner ist als \(P(J) = 0{,}5\), ist die beobachtete Wahrscheinlichkeit zu joggen an Regentagen geringer als im Monatsdurchschnitt.

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(R \cap J) = 0{,}1\) ungleich \(P(R) \cdot P(J) = 0{,}2\) ist. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass in den Daten ein Zusammenhang zwischen Regen und Joggen besteht; an Regentagen ging der Sportler seltener joggen als im Monatsdurchschnitt.
42214211
Ein Industriebetrieb produziert 500 Bauteile pro Tag. Davon werden 200 in der Spätschicht gefertigt, die restlichen in der Frühschicht. Am Ende des Tages werden insgesamt 40 defekte Bauteile identifiziert, wovon 24 aus der Spätschicht stammen. Ein Bauteil wird zufällig zur Kontrolle entnommen. Betrachtet werden die Ereignisse \(S\): „Das Bauteil stammt aus der Spätschicht“ und \(D\): „Das Bauteil ist defekt“. Prüfe, ob das Ereignis, dass ein Teil defekt ist, stochastisch unabhängig von der Produktionsschicht ist. Begründe, welche Konsequenz sich daraus für die Qualitätssicherung ergibt.

Denkanstöße

- Wie hoch ist der Anteil der Spätschicht-Teile an der Gesamtproduktion? - Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Teil sowohl aus der Spätschicht stammt als auch defekt ist. - Welche mathematische Gleichung hilft dir zu entscheiden, ob zwischen Produktionsschicht und Fehleranfälligkeit ein statistischer Zusammenhang besteht? - Vergleiche die Fehlerquote der Spätschicht mit der durchschnittlichen Fehlerquote aller Teile.

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(S) = \frac{200}{500} = 0{,}4\), \(P(D) = \frac{40}{500} = 0{,}08\) und \(P(S \cap D) = \frac{24}{500} = 0{,}048\). 2. Überprüfung der Unabhängigkeitsbedingung: \(P(S) \cdot P(D) = 0{,}4 \cdot 0{,}08 = 0{,}032\). 3. Vergleich: Da \(P(S \cap D) = 0{,}048 \neq 0{,}032\) ist, liegt eine stochastische Abhängigkeit vor. 4. Analyse der Anteile: Die Fehlerquote in der Spätschicht beträgt \(P(D|S) = \frac{24}{200} = 0{,}12\) (\(12\,\%\)), während die allgemeine Fehlerquote nur bei \(8\,\%\) liegt. 5. Schlussfolgerung: Die Qualitätssicherung sollte die Abläufe in der Spätschicht genauer untersuchen, da dort überproportional viele Fehler auftreten.

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(S \cap D) = 0{,}048\) und \(P(S) \cdot P(D) = 0{,}032\) nicht übereinstimmen. Da die Fehlerquote in der Spätschicht (\(12\,\%\)) deutlich über dem Gesamtdurchschnitt (\(8\,\%\)) liegt, sollte die Qualitätssicherung die Ursachen für die höhere Fehleranfälligkeit speziell in der Spätschicht untersuchen.
43616111
Eine Urne enthält zwei rote und zwei blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Untersuche, ob die Ereignisse \(A\): „Die erste Kugel ist rot“ und \(B\): „Die zweite Kugel ist rot“ stochastisch unabhängig sind.
Abbildung zur Aufgabe 436161

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie viele Kugeln insgesamt in der Urne sind und wie viele davon rot sind. - Zeichne ein Baumdiagramm für das zweimalige Ziehen ohne Zurücklegen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Ereignis eintritt, wenn man das Ergebnis des ersten Zugs bereits kennt? - Erinnere dich an die Formel für die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse.

Lösung

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit von \(A\): Da 2 von 4 Kugeln rot sind, gilt \(P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit von \(B\) über die Pfadregeln für das Ziehen ohne Zurücklegen: \(P(B) = P(\text{Rot, Rot}) + P(\text{Blau, Rot}) = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{12} + \frac{4}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). 3. Bestimmung der Schnittwahrscheinlichkeit \(P(A \cap B)\): Dies entspricht dem Pfad (Rot, Rot), also \(P(A \cap B) = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\). 4. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung: Es gilt \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). 5. Vergleich: Da \(P(A \cap B) = \frac{1}{6} \neq \frac{1}{4} = P(A) \cdot P(B)\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig. Alternativ zeigt \(P_A(B) = \frac{1}{3} \neq P(B) = \frac{1}{2}\) die Abhängigkeit.

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) ungleich \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4}\) ist (bzw. \(P_A(B) \neq P(B)\)).
43617711
Aus einer Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln **mit Zurücklegen** gezogen. Betrachte die folgenden Ereignisse: \(A\): „Die erste gezogene Kugel ist rot.“ \(B\): „Es wird genau eine rote Kugel gezogen.“ Prüfe rechnerisch, ob die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.
Abbildung zur Aufgabe 436177

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Formel für stochastische Unabhängigkeit: Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Eintretens gleich dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten ist. - Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeiten für \(A\), \(B\) und das gemeinsame Ereignis \(A \cap B\). - Beachte, dass beim Ziehen „mit Zurücklegen“ die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Zug gleich bleiben.

Lösung

1. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Bei insgesamt 5 Kugeln ist \(P(\text{rot}) = 0{,}4\) und \(P(\text{blau}) = 0{,}6\). Da mit Zurücklegen gezogen wird, bleiben diese Werte für beide Züge gleich. 2. Wahrscheinlichkeit von \(A\): Da die erste Kugel rot sein muss, gilt \(P(A) = 0{,}4\). 3. Wahrscheinlichkeit von \(B\): Das Ereignis tritt bei den Ergebnissen \((r, b)\) und \((b, r)\) ein. \(P(B) = (0{,}4 \cdot 0{,}6) + (0{,}6 \cdot 0{,}4) = 0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48\). 4. Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge \(A \cap B\): Dies entspricht dem Ergebnis, dass die erste Kugel rot und die zweite Kugel blau ist, also dem Pfad \((r, b)\). \(P(A \cap B) = 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24\). 5. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung: Das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist \(P(A) \cdot P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}48 = 0{,}192\). 6. Vergleich: Da \(P(A \cap B) = 0{,}24\) ungleich \(P(A) \cdot P(B) = 0{,}192\) ist, sind die Ereignisse stochastisch abhängig.

Antwort

Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch abhängig, da die Bedingung \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) nicht erfüllt ist (\(0{,}24 \neq 0{,}192\)).
43748211
In einer Untersuchung werden zwei Merkmale \(A\) und \(B\) betrachtet. Das abgebildete Baumdiagramm beschreibt ein Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). Bestimme die Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) des Ereignisses \(B\).
Abbildung zur Aufgabe 437482

Denkanstöße

- Welche Information liefert die Beschriftung an den Ästen der ersten Stufe für die restlichen Äste dieser Stufe? - Was bedeutet es für die Berechnung von Pfadwahrscheinlichkeiten, wenn zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades in einem Baumdiagramm allgemein? - Nutze die Beziehung zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und seinem Gegenereignis.

Lösung

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(\bar{A}\): Da \(P(A) = 0{,}8\) ist, gilt \(P(\bar{A}) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\). 2. Anwendung der Unabhängigkeitsbedingung: Da \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind, sind auch \(\bar{A}\) und \(B\) unabhängig. Es gilt somit \(P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \cdot P(B)\). 3. Ablesen der Pfadwahrscheinlichkeit aus dem Diagramm: \(P(\bar{A} \cap B) = 0{,}06\). 4. Berechnung von \(P(B)\): \(0{,}06 = 0{,}2 \cdot P(B)\) \(P(B) = \frac{0{,}06}{0{,}2} = 0{,}3\)

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(B\) beträgt \(P(B) = 0{,}3\).
43756711
Für zwei Ereignisse gilt \(P(A)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}4\) und \(P(A\cap B)=0{,}3\). Prüfe die stochastische Unabhängigkeit und bestimme \(P(B\mid A)\).
Abbildung zur Aufgabe 437567

Denkanstöße

- Passt die beobachtete Überschneidung zu dem, was die beiden Einzelanteile erwarten lassen? - Für die zweite Frage beschränkst du die Betrachtung auf \(A\).

Lösung

1. Produkt: \(P(A)\cdot P(B)=0{,}6\cdot0{,}4=0{,}24\). 2. Vergleich: \(0{,}3\ne0{,}24\); nicht unabhängig. 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P(B\mid A)=0{,}3:0{,}6=0{,}5\).

Antwort

Nicht unabhängig; \(P(B\mid A)=0{,}5\).
43756811
Im Baum gilt \(P(A)=0{,}4\), \(P(B\mid A)=x\) und \(P(B\mid\overline{A})=0{,}3\). Bestimme \(x\) so, dass \(A\) und \(B\) unabhängig sind.
Abbildung zur Aufgabe 437568

Denkanstöße

- Überlege, wie sich der Anteil von \(B\) innerhalb von \(A\) bei Unabhängigkeit zum Gesamtanteil verhält. - Drücke den Gesamtanteil von \(B\) über beide ersten Äste aus.

Lösung

1. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(B)=0{,}4x+0{,}6\cdot0{,}3=0{,}4x+0{,}18\). 2. Unabhängigkeit: \(P(B\mid A)=P(B)\), also \(x=0{,}4x+0{,}18\). 3. Lösung: \(0{,}6x=0{,}18\) und \(x=0{,}3\).

Antwort

\(x=0{,}3\).
43756911
Im Baumdiagramm gilt \(P(B\mid A)=P(B\mid\overline{A})=0{,}7\). Begründe ohne Kenntnis von \(P(A)\), dass \(A\) und \(B\) unabhängig sind.
Abbildung zur Aufgabe 437569

Denkanstöße

- Bezeichne den unbekannten ersten Anteil mit einer Variablen. - Berechne den Gesamtanteil des zweiten Ereignisses über beide Pfade.

Lösung

1. Mit \(P(A)=p\): \(P(B)=p\cdot0{,}7+(1-p)\cdot0{,}7=0{,}7\). 2. Damit \(P(B\mid A)=0{,}7=P(B)\). 3. Folgerung: \(A\) und \(B\) sind unabhängig.

Antwort

\(A\) und \(B\) sind unabhängig.
43757711
Ein Labor möchte für zwei Tests die Wahrscheinlichkeiten der positiven Ergebnisse einfach multiplizieren. Das Diagramm zeigt jedoch, dass bei Kranken \(P(B+\mid A+)=0{,}95\) und \(P(B+\mid A-)=0{,}6\) gilt. Erkläre, warum die Multiplikation mit einer einzigen festen Wahrscheinlichkeit für Test B nicht zulässig ist.
Abbildung zur Aufgabe 437577

Denkanstöße

- Vergleiche die beiden Äste für dasselbe zweite Testergebnis. - Würde das erste Testergebnis bei Unabhängigkeit den zweiten Anteil verändern?

Lösung

1. Wahrscheinlichkeit für \(B+\) hängt bei Kranken vom Ergebnis von Test A ab. 2. Unterschiedliche Äste: \(0{,}95\) nach \(A+\) und \(0{,}6\) nach \(A-\). 3. Bedingte Unabhängigkeit der Testergebnisse liegt nicht vor; jeder Pfad benötigt seinen eigenen zweiten Ast.

Antwort

Die Testergebnisse sind bedingt abhängig; für Test B gibt es keine einheitliche zweite Astwahrscheinlichkeit.
43757911
Ein Beutel enthält 2 rote und 3 blaue Kugeln. Vergleiche die Ereignisse \(R_1\): „erste Kugel rot“ und \(R_2\): „zweite Kugel rot“ bei zwei Ziehungen mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen. In welchem Modell sind \(R_1\) und \(R_2\) unabhängig? Das Baumdiagramm a) zeigt das Ziehen mit Zurücklegen, das Baumdiagramm b) das Ziehen ohne Zurücklegen.
Abbildung zur Aufgabe 437579

Denkanstöße

- Vergleiche den Anteil der zweiten roten Kugel vor und nach der Information über den ersten Zug. - In welchem Modell verändert der erste Zug die Ausgangslage für den zweiten?

Lösung

1. Mit Zurücklegen: \(P(R_2)=\frac{2}{5}\) und \(P(R_2\mid R_1)=\frac{2}{5}\); unabhängig. 2. Ohne Zurücklegen: \(P(R_2)=\frac{2}{5}\), aber \(P(R_2\mid R_1)=\frac{1}{4}\); abhängig. 3. Ursache der Abhängigkeit im zweiten Modell: erste Ziehung verändert den Bestand.

Antwort

Unabhängig nur beim Ziehen mit Zurücklegen.
42211411
Gegeben ist eine Vierfeldertafel für zwei Merkmale \(E\) und \(F\) mit den absoluten Häufigkeiten \(a, b, c\) und \(d\). Es wird die Behauptung aufgestellt: „Wenn man alle Häufigkeiten in der ersten Zeile der Tabelle mit demselben positiven ganzzahligen Faktor \(k\) multipliziert, bleibt die stochastische Unabhängigkeit der Merkmale erhalten, sofern sie vorher bestand.“ Prüfe diese Behauptung allgemein, indem du das Kriterium \(ad = bc\) verwendest.

Denkanstöße

- Stelle zuerst die Gleichung auf, die bei Unabhängigkeit für die ursprünglichen Werte \(a, b, c\) und \(d\) gilt. - Wie verändern sich die Platzhalter \(a\) und \(b\), wenn du sie mit einem Faktor \(k\) multiplizierst? - Setze die veränderten Ausdrücke in die Unabhängigkeitsbedingung ein und vergleiche das Ergebnis mit der ursprünglichen Formel.

Lösung

1. Die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit bei absoluten Häufigkeiten lautet \(ad = bc\). 2. Durch die Multiplikation der ersten Zeile mit \(k\) ergeben sich die neuen Häufigkeiten \(a_{\text{neu}} = ka\) und \(b_{\text{neu}} = kb\). Die Werte \(c\) und \(d\) der zweiten Zeile bleiben unverändert. 3. Für die neue Tabelle wird das Kriterium geprüft: \(a_{\text{neu}} \cdot d = b_{\text{neu}} \cdot c \iff (ka) \cdot d = (kb) \cdot c\). 4. Da \(k > 0\), kann die Gleichung durch \(k\) dividiert werden, was zur ursprünglichen Bedingung \(ad = bc\) führt. Wenn diese erfüllt war, ist auch die neue Bedingung erfüllt. Die Behauptung ist somit wahr.

Antwort

Die Behauptung ist wahr. Durch Einsetzen der neuen Werte \(ka\) und \(kb\) in die Bedingung \(ad = bc\) erhält man \(kad = kbc\). Da \(k > 0\), ist dies äquivalent zur ursprünglichen Bedingung für Unabhängigkeit.
42212511
In Urne A befinden sich 6 rote und 4 blaue Kugeln. In Urne B liegen \(k\) rote und \(2k\) blaue Kugeln (\(k \in \mathbb{N}^+\)). Zuerst wird eine Kugel zufällig aus Urne A entnommen und in Urne B gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus Urne B gezogen und in Urne A gelegt. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich nach diesem Vorgang wieder genau 6 rote Kugeln in Urne A befinden, in Abhängigkeit von \(k\). b) Für einen bestimmten Wert von \(k\) beträgt die Wahrscheinlichkeit aus Teilaufgabe a) genau \(P = \frac{19}{35}\). Berechne diesen Wert für \(k\). c) Untersuche rechnerisch, ob die Ereignisse \(R_1\): „Die erste aus Urne A gezogene Kugel ist rot“ und \(G\): „Die Zusammensetzung von Urne A ist identisch mit der Ausgangssituation, nachdem die zweite gezogene Kugel in Urne A gelegt wurde“ stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Welche Kombinationen von Zügen führen dazu, dass die Anzahl der roten Kugeln am Ende gleich bleibt? - Wie viele Kugeln befinden sich in Urne B, nachdem eine Kugel aus Urne A hinzugefügt wurde? - Erinnere dich an die Definition: Wann nennt man zwei Ereignisse stochastisch unabhängig? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Wahrscheinlichkeit des Schnittereignisses mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten verglichen wird.

Lösung

1. Definition der Übergangswahrscheinlichkeiten: Aus Urne A wird mit \(P(R_1) = \frac{6}{10} = 0{,}6\) eine rote und mit \(P(B_1) = 0{,}4\) eine blaue Kugel gezogen. 2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten für den Zug aus Urne B und das anschließende Hineinlegen in Urne A (insgesamt \(3k+1\) Kugeln in Urne B): - Wenn \(R_1\) eintritt: Urne B hat \(k+1\) rote Kugeln; \(P(R_2|R_1) = \frac{k+1}{3k+1}\). - Wenn \(B_1\) eintritt: Urne B hat \(2k+1\) blaue Kugeln; \(P(B_2|B_1) = \frac{2k+1}{3k+1}\). 3. Berechnung von \(P(G)\): Die Anzahl der roten Kugeln bleibt 6, wenn zunächst eine rote und anschließend eine rote Kugel oder zunächst eine blaue und anschließend eine blaue Kugel übertragen wird. \(P(G) = P(R_1 \cap R_2) + P(B_1 \cap B_2) = 0{,}6 \cdot \frac{k+1}{3k+1} + 0{,}4 \cdot \frac{2k+1}{3k+1} = \frac{1{,}4k + 1}{3k+1} = \frac{7k+5}{15k+5}\). 4. Lösung der Gleichung für \(k\): \(\frac{7k+5}{15k+5} = \frac{19}{35} \iff 35(7k+5) = 19(15k+5) \iff 245k + 175 = 285k + 95 \iff 80 = 40k \iff k = 2\). 5. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(P(R_1) \cdot P(G) = 0{,}6 \cdot \frac{1{,}4k+1}{3k+1} = \frac{0{,}84k+0{,}6}{3k+1}\). \(P(R_1 \cap G) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1) = 0{,}6 \cdot \frac{k+1}{3k+1} = \frac{0{,}6k+0{,}6}{3k+1}\). Gleichsetzen: \(0{,}84k + 0{,}6 = 0{,}6k + 0{,}6 \iff 0{,}24k = 0 \iff k = 0\). Da \(k > 0\), sind die Ereignisse für alle zulässigen \(k\) stochastisch abhängig.

Antwort

a) \(P(G) = \frac{1{,}4k + 1}{3k+1} = \frac{7k+5}{15k+5}\) b) \(k = 2\) c) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(R_1 \cap G) \neq P(R_1) \cdot P(G)\) für alle \(k > 0\) gilt.
43758011
Zwei faire Münzen werden geworfen. Es seien \(A\): „erste Münze Kopf“, \(B\): „zweite Münze Kopf“ und \(C\): „beide Münzen zeigen dieselbe Seite“. Zeige, dass die Ereignisse paarweise unabhängig, aber nicht gemeinsam unabhängig sind.
Abbildung zur Aufgabe 437580

Denkanstöße

- Ordne jedem Ereignis die passenden Endpunkte zu. - Vergleiche zuerst jede Zweierüberschneidung und danach die gemeinsame Überschneidung aller drei.

Lösung

1. Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}\). 2. Paarweise Schnittmengen: \(P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\). 3. Dreifache Schnittmenge: \(A\cap B\cap C=\{KK\}\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{4}\). 4. Produkt der drei Einzelwahrscheinlichkeiten: \(\frac{1}{8}\ne\frac{1}{4}\); nicht gemeinsam unabhängig.

Antwort

Paarweise unabhängig, aber nicht gemeinsam unabhängig.

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