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Stochastische Unabhängigkeit rechnerisch prüfen

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Schwierigkeit: 1 – 5

41010911

Maia macht an 80 % der Schultage ihre Hausaufgaben. An 70 % der Tage trägt sie einen Zopf. Diese beiden Ereignisse sind stochastisch unabhängig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ohne Zopf und ohne gemachte Hausaufgaben zur Schule kommt?

Denkanstöße

- Wenn zwei Ereignisse unabhängig voneinander eintreten, wie berechnet man dann die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig passieren? - Was ist die Wahrscheinlichkeit für das Gegenteil der genannten Prozentsätze? - Kannst du ein Baumdiagramm skizzieren, um die Pfade zu visualisieren?

Lösung

1. Wahrscheinlichkeit für "keine Hausaufgaben" (\(\bar{H}\)): \(1 - 0,8 = 0,2\). 2. Wahrscheinlichkeit für "kein Zopf" (\(\bar{Z}\)): \(1 - 0,7 = 0,3\). 3. Da die Ereignisse unabhängig sind, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: \(P(\bar{H} \cap \bar{Z}) = 0,2 \cdot 0,3 = 0,06\). 4. Resultat: 6 %.

Antwort

6 %

42212011

In einer Marktforschungsumfrage unter \(200\) Personen (\(120\) Jugendliche und \(80\) Erwachsene) wird das Kaufinteresse an einem neuen Erfrischungsgetränk ermittelt. Insgesamt geben \(60\) der befragten Personen an, dass sie das Getränk kaufen würden (Ereignis \(K\)). a) Bestimme, wie viele Jugendliche und wie viele Erwachsene kaufinteressiert sein müssten, damit das Ereignis „Kaufinteresse“ stochastisch unabhängig von der Altersgruppe (Ereignis \(J\): „Person ist jugendlich“) ist. b) Tatsächlich stellt sich heraus, dass \(40\) der Jugendlichen kaufinteressiert sind. Weise rechnerisch nach, dass in diesem Fall eine stochastische Abhängigkeit zwischen dem Alter und dem Kaufinteresse vorliegt. c) Beurteile ohne weitere Rechnung, ob unter der Bedingung aus b) die Ereignisse \(\overline{J}\) (Erwachsene) und \(\overline{K}\) (kein Kaufinteresse) stochastisch unabhängig oder abhängig sind. Begründe deine Entscheidung kurz.

Denkanstöße

- Nutze eine Vierfeldertafel, um die absoluten Häufigkeiten übersichtlich darzustellen. - Die Unabhängigkeit ist gegeben, wenn das Verhältnis der Kaufinteressenten in beiden Gruppen gleich dem Verhältnis in der Gesamtgruppe ist. - Überlege dir den Zusammenhang zwischen der Unabhängigkeit von Ereignissen und der Unabhängigkeit ihrer Gegenereignisse. Wenn eine Information den Ausgang eines Ereignisses beeinflusst, beeinflusst sie dann auch das Gegenereignis?

Lösung

1. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für a): \(P(K) = \frac{60}{200} = 0{,}3\). Für Unabhängigkeit muss gelten: \(P(K|J) = P(K) = 0{,}3\) und \(P(K|\overline{J}) = 0{,}3\). 2. Anzahl berechnen: Jugendliche: \(120 \cdot 0{,}3 = 36\); Erwachsene: \(80 \cdot 0{,}3 = 24\). 3. Prüfung für b): \(P(K|J) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\). Die Anzahl der kaufinteressierten Erwachsenen ist \(60 - 40 = 20\), also \(P(K|\overline{J}) = \frac{20}{80} = 0{,}25\). Da \(P(K|J) \neq P(K|\overline{J})\), liegt stochastische Abhängigkeit vor. 4. Begründung für c): Wenn zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig sind, dann sind auch ihre Komplemente \(\overline{A}\) und \(\overline{B}\) (sowie alle anderen Kombinationen wie \(A\) und \(\overline{B}\)) stochastisch abhängig. Somit sind \(\overline{J}\) und \(\overline{K}\) abhängig.

Antwort

a) \(36\) Jugendliche und \(24\) Erwachsene. b) \(P(K|J) = \frac{1}{3} \neq P(K|\overline{J}) = 0{,}25\), daher abhängig. c) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da die Abhängigkeit zweier Ereignisse immer auch die Abhängigkeit ihrer Gegenereignisse impliziert.

41474811

In der Qualitätskontrolle eines Smartphone-Herstellers werden zwei Arten von Fehlern untersucht: Displayfehler (\(D\)) und Akkufehler (\(A\)). Es ist bekannt, dass \(5\,\%\) aller Geräte einen Displayfehler aufweisen und \(3\,\%\) einen Akkufehler haben. Nur \(1\,\%\) der Geräte weist beide Fehler gleichzeitig auf. a) Erstelle eine Vierfeldertafel mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (in Prozent oder als Dezimalbruch). b) Ein Gerät wird aus der Produktion entnommen und es wird ein Akkufehler festgestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Gerät zusätzlich auch einen Displayfehler hat? c) Vergleiche das Ergebnis aus b) mit der allgemeinen Wahrscheinlichkeit für einen Displayfehler. Was lässt sich über den Zusammenhang der Fehler vermuten?

Denkanstöße

- Du kannst die Tabelle entweder mit Dezimalzahlen (wie \(0{,}05\)) oder direkt mit Prozentangaben füllen. - Was ändert sich an der Grundgesamtheit, wenn wir bereits wissen, dass ein Akkufehler vorliegt? - Vergleiche die Anteile: Ist ein Displayfehler bei defektem Akku häufiger oder seltener als im Durchschnitt aller Geräte?

Lösung

1. Ereignisse: \(D\) (Displayfehler), \(A\) (Akkufehler). 2. Gegebene Wahrscheinlichkeiten: \(P(D) = 0{,}05\), \(P(A) = 0{,}03\), \(P(D \cap A) = 0{,}01\). 3. Vierfeldertafel vervollständigen: - \(P(D \cap \bar{A}) = 0{,}05 - 0{,}01 = 0{,}04\) - \(P(\bar{D} \cap A) = 0{,}03 - 0{,}01 = 0{,}02\) - \(P(\bar{D}) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\) - \(P(\bar{A}) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97\) - \(P(\bar{D} \cap \bar{A}) = 0{,}95 - 0{,}02 = 0{,}93\) 4. Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(D|A) = \frac{P(D \cap A)}{P(A)} = \frac{0{,}01}{0{,}03} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\). 5. Vergleich: \(P(D|A) = 33{,}3\,\%\) ist deutlich höher als \(P(D) = 5\,\%\). 6. Interpretation: Da die Wahrscheinlichkeit für einen Displayfehler stark ansteigt, wenn ein Akkufehler vorliegt, sind die Ereignisse abhängig.

Antwort

a) Vierfeldertafel (in \(\%\)): <table> <tr><td></td><td>\(A\)</td><td>\(\bar{A}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(D\)</td><td>\(1\,\%\)</td><td>\(4\,\%\)</td><td>\(5\,\%\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{D}\)</td><td>\(2\,\%\)</td><td>\(93\,\%\)</td><td>\(95\,\%\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(3\,\%\)</td><td>\(97\,\%\)</td><td>\(100\,\%\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%\). c) Da \(33{,}3\,\% > 5\,\%\), tritt ein Displayfehler bei Geräten mit Akkufehler viel häufiger auf als im Durchschnitt. Es liegt eine Abhängigkeit nahe (z. B. ein gemeinsames Problem in der Produktion).

41476611

Eine Untersuchung unter \(200\) Haushalten ergab Daten über den Besitz eines Hundes (\(H\)) und den Besitz eines Gartens (\(G\)): <table> <tr><td></td><td>\(G\)</td><td>\(\bar{G}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(H\)</td><td>\(48\)</td><td>\(12\)</td><td>\(60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{H}\)</td><td>\(56\)</td><td>\(84\)</td><td>\(140\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(104\)</td><td>\(96\)</td><td>\(200\)</td></tr> </table> a) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(G|H)\) dafür, dass ein Haushalt einen Garten besitzt, wenn bekannt ist, dass er einen Hund hat. b) Berechne \(P(G|\bar{H})\) und vergleiche das Ergebnis mit \(P(G|H)\). Was lässt sich über den Zusammenhang von Hundehaltung und Gartenbesitz in dieser Stichprobe sagen?

Denkanstöße

- Was bedeutet die Schreibweise \(P(A|B)\) genau? Welche Gruppe bildet hier die Grundgesamtheit? - Wenn du weißt, dass jemand einen Hund hat, welche Zeile der Tabelle ist dann nur noch relevant? - Wie würdest du das Verhältnis der beiden berechneten Wahrscheinlichkeiten in einem Satz beschreiben?

Lösung

1. Berechnung von \(P(G|H)\): - Formel: \(P(G|H) = \frac{|H \cap G|}{|H|}\) - Werte aus Tabelle: \(|H \cap G| = 48\), \(|H| = 60\) - \(P(G|H) = \frac{48}{60} = 0{,}8\) (bzw. \(80\,\%\)) 2. Berechnung von \(P(G|\bar{H})\): - Formel: \(P(G|\bar{H}) = \frac{|\bar{H} \cap G|}{|\bar{H}|}\) - Werte aus Tabelle: \(|\bar{H} \cap G| = 56\), \(|\bar{H}| = 140\) - \(P(G|\bar{H}) = \frac{56}{140} = 0{,}4\) (bzw. \(40\,\%\)) 3. Vergleich und Interpretation: - \(P(G|H) = 0{,}8 > P(G|\bar{H}) = 0{,}4\) - Haushalte mit Hund haben in dieser Stichprobe doppelt so häufig einen Garten wie Haushalte ohne Hund. Es besteht eine Abhängigkeit.

Antwort

a) \(P(G|H) = 0{,}8\) b) \(P(G|\bar{H}) = 0{,}4\). Da \(P(G|H) > P(G|\bar{H})\), ist der Gartenbesitz bei Hundebesitzern in dieser Stichprobe deutlich wahrscheinlicher (doppelt so hoch).

41535711

Ein Streaming-Dienst wertet das Nutzungsverhalten von \(500\) Kunden aus. Dabei wird unterschieden zwischen Kunden unter 25 Jahren (\(U\)) und Kunden ab 25 Jahren (\(A\)), sowie ob sie ein Premium-Abo (\(P\)) besitzen. <table> <tr> <td></td> <td>\(U\)</td> <td>\(A\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(P\)</td> <td>\(120\)</td> <td>\(80\)</td> <td>\(200\)</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{P}\)</td> <td>\(180\)</td> <td>\(120\)</td> <td>\(300\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(300\)</td> <td>\(200\)</td> <td>\(500\)</td> </tr> </table> Untersuche, ob der Besitz eines Premium-Abos statistisch abhängig vom Alter ist. Vergleiche dazu die Wahrscheinlichkeit für ein Premium-Abo innerhalb der Gruppe der unter 25-Jährigen (\(P(P|U)\)) mit der Wahrscheinlichkeit für ein Premium-Abo in der gesamten Kundengruppe (\(P(P)\)).

Denkanstöße

- Um eine Abhängigkeit zu prüfen, schaust du dir an, ob ein Merkmal die Wahrscheinlichkeit des anderen verändert. - Berechne zuerst den Anteil der Premium-Kunden an allen Kunden. - Berechne dann den Anteil der Premium-Kunden nur innerhalb der Gruppe der unter 25-Jährigen (\(U\)). - Wenn beide Prozentwerte gleich sind, spricht man von Unabhängigkeit.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für ein Premium-Abo: \(P(P) = \frac{n(P)}{N} = \frac{200}{500} = 0{,}4\). 2. Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit für Premium-Abo unter der Bedingung „unter 25“: Die Grundmenge reduziert sich auf \(n(U) = 300\). 3. Berechnung von \(P(P|U) = \frac{n(P \cap U)}{n(U)} = \frac{120}{300}\). 4. Vereinfachung des Wertes: \(\frac{120}{300} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(P(P|U) = 0{,}4\) und \(P(P) = 0{,}4\) identisch sind, beeinflusst die Eigenschaft „unter 25 Jahre alt zu sein“ die Wahrscheinlichkeit für ein Premium-Abo nicht. 6. Schlussfolgerung: Die Merkmale sind statistisch unabhängig.

Antwort

Es gilt \(P(P) = 0{,}4\) und \(P(P|U) = 0{,}4\). Da die Wahrscheinlichkeiten gleich sind, ist der Besitz eines Premium-Abos in diesem Datensatz statistisch unabhängig vom Alter.

42209311

Ein Sportverein untersuchte im Rahmen einer Studie, ob die regelmäßige Teilnahme an einem speziellen Mentaltraining Auswirkungen auf den Erfolg bei der Abschlussprüfung der Trainerlizenz hat. Von den insgesamt \(500\) Teilnehmenden besuchten \(200\) das Mentaltraining. Die Ergebnisse der Untersuchung sind in der folgenden Vierfeldertafel zusammengefasst: <table> <tr> <td></td> <td>\(M\) (Mentaltraining)</td> <td>\(\overline{M}\) (kein Mentaltraining)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(E\) (Erfolg)</td> <td>\(150\)</td> <td>\(200\)</td> <td>\(350\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{E}\) (kein Erfolg)</td> <td>\(50\)</td> <td>\(100\)</td> <td>\(150\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(200\)</td> <td>\(300\)</td> <td>\(500\)</td> </tr> </table> Prüfe rechnerisch, ob die Ereignisse \(M\) und \(E\) stochastisch unabhängig sind, und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Welche mathematische Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Ereignisse als stochastisch unabhängig gelten? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse und deren Schnittmenge aus einer Tabelle mit absoluten Häufigkeiten? - Vergleiche das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens. - Was bedeutet es für die Interpretation, wenn eine statistische Abhängigkeit zwischen Training und Erfolg besteht?

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle: \(P(M) = \frac{200}{500} = 0{,}4\), \(P(E) = \frac{350}{500} = 0{,}7\) und \(P(M \cap E) = \frac{150}{500} = 0{,}3\). 2. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung: \(P(M) \cdot P(E) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28\). 3. Vergleich der Werte: Da \(P(M \cap E) = 0{,}3 \neq 0{,}28\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 4. Interpretation: Es besteht ein statistischer Zusammenhang zwischen Mentaltraining und Erfolg. Da \(P(M \cap E) > P(M) \cdot P(E)\) bzw. \(P_M(E) = \frac{150}{200} = 0{,}75 > 0{,}7\) ist, ist die Erfolgsquote unter den Teilnehmenden des Trainings höher.

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(M \cap E) = 0{,}3\) ungleich \(P(M) \cdot P(E) = 0{,}28\) ist. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass in den Daten ein positiver statistischer Zusammenhang zwischen Mentaltraining und Erfolg besteht.

42209411

Ein Streaming-Anbieter analysiert das Nutzerverhalten bezüglich des Genres „Science-Fiction“. Aus der Nutzerdatenbank ist bekannt, dass \(60\,\%\) der Abonnenten jünger als 30 Jahre sind (Ereignis \(J\)). Insgesamt bevorzugen \(30\,\%\) aller Abonnenten Science-Fiction-Filme (Ereignis \(S\)). Der Anteil der Abonnenten, die 30 Jahre oder älter sind und Science-Fiction bevorzugen, liegt bei \(12\,\%\). Untersuche rechnerisch, ob die Vorliebe für Science-Fiction stochastisch unabhängig vom Alter (unter 30 Jahre bzw. 30 Jahre und älter) ist.

Denkanstöße

- Kannst du die gegebenen Prozentangaben als Wahrscheinlichkeiten ausdrücken? - Welche Information fehlt dir noch, um die Unabhängigkeitsformel direkt anzuwenden? - Erinnere dich daran, dass die Unabhängigkeit zwischen zwei Ereignissen auch die Unabhängigkeit ihrer Gegenereignisse impliziert. - Hilft es dir, die Informationen in einer kleinen Tabelle oder einem Baumdiagramm zu ordnen?

Lösung

1. Gegebene Wahrscheinlichkeiten: \(P(J) = 0{,}6\), \(P(S) = 0{,}3\) und \(P(\overline{J} \cap S) = 0{,}12\). 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit: \(P(\overline{J}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\). 3. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung für \(\overline{J}\) und \(S\): \(P(\overline{J}) \cdot P(S) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\). 4. Vergleich: Da \(P(\overline{J} \cap S) = 0{,}12 = P(\overline{J}) \cdot P(S)\) gilt, sind die Ereignisse \(\overline{J}\) und \(S\) stochastisch unabhängig. 5. Schlussfolgerung: Wenn ein Ereignis von einem anderen unabhängig ist, ist es auch von dessen Gegenereignis unabhängig. Somit sind \(J\) und \(S\) stochastisch unabhängig.

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig. Die Rechnung \(P(\overline{J}) \cdot P(S) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\) ergibt exakt den Wert für \(P(\overline{J} \cap S)\). Das Alter hat somit keinen statistischen Einfluss auf die Vorliebe für Science-Fiction.

42210311

Ein Zufallsexperiment hat die Ergebnismenge \(\Omega = \{s_1; s_2; s_3; s_4; s_5; s_6\}\) mit der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr> <td>\(\omega_i\)</td> <td>\(s_1\)</td> <td>\(s_2\)</td> <td>\(s_3\)</td> <td>\(s_4\)</td> <td>\(s_5\)</td> <td>\(s_6\)</td> </tr> <tr> <td>\(P(\omega_i)\)</td> <td>\(\frac{2}{15}\)</td> <td>\(\frac{3}{15}\)</td> <td>\(\frac{1}{15}\)</td> <td>\(\frac{4}{15}\)</td> <td>\(\frac{2}{15}\)</td> <td>\(\frac{3}{15}\)</td> </tr> </table> Untersuche die Ereignisse \(A = \{s_1; s_2; s_3\}\) und \(B = \{s_2; s_4\}\) auf stochastische Unabhängigkeit.

Denkanstöße

- Welche Bedingung muss für die Wahrscheinlichkeiten erfüllt sein, damit zwei Ereignisse als stochastisch unabhängig gelten? - Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse durch Summieren der Elementarereignisse. - Überlege dir, welche Ergebnisse in beiden Ereignissen gleichzeitig vorkommen. - Vergleiche das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge.

Lösung

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit von \(A\): \(P(A) = P(s_1) + P(s_2) + P(s_3) = \frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\) 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit von \(B\): \(P(B) = P(s_2) + P(s_4) = \frac{3}{15} + \frac{4}{15} = \frac{7}{15}\) 3. Bestimmung der Schnittmenge und deren Wahrscheinlichkeit: \(A \cap B = \{s_2\}\), also \(P(A \cap B) = P(s_2) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\) 4. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung: \(P(A) \cdot P(B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{15} = \frac{14}{75}\) 5. Vergleich: Da \(P(A \cap B) = \frac{1}{5} = \frac{15}{75}\) und \(P(A) \cdot P(B) = \frac{14}{75}\), gilt \(P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)\). 6. Ergebnis: Die Ereignisse sind stochastisch abhängig.

Antwort

Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch abhängig, da \(P(A \cap B) = \frac{1}{5}\) ungleich \(P(A) \cdot P(B) = \frac{14}{75}\) ist.

42210411

Gegeben ist ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge \(\Omega = \{z_1; z_2; z_3; z_4; z_5\}\) und der im Folgenden tabellierten Verteilung: <table> <tr> <td>\(\omega_i\)</td> <td>\(z_1\)</td> <td>\(z_2\)</td> <td>\(z_3\)</td> <td>\(z_4\)</td> <td>\(z_5\)</td> </tr> <tr> <td>\(P(\omega_i)\)</td> <td>\(0{,}12\)</td> <td>\(0{,}28\)</td> <td>\(0{,}18\)</td> <td>\(0{,}22\)</td> <td>\(0{,}20\)</td> </tr> </table> Prüfe rechnerisch, ob die Ereignisse \(E = \{z_1; z_2\}\) und \(F = \{z_1; z_3\}\) stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Definition der stochastischen Unabhängigkeit über das Produkt von Wahrscheinlichkeiten. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse bekannt sind? - Identifiziere genau, welche Elemente zur Schnittmenge beider Ereignisse gehören. - Führe die Multiplikation sorgfältig durch und vergleiche das Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge.

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(E\): \(P(E) = P(z_1) + P(z_2) = 0{,}12 + 0{,}28 = 0{,}40\) 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(F\): \(P(F) = P(z_1) + P(z_3) = 0{,}12 + 0{,}18 = 0{,}30\) 3. Identifikation der Schnittmenge: \(E \cap F = \{z_1\}\) 4. Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge: \(P(E \cap F) = P(z_1) = 0{,}12\) 5. Prüfung der Unabhängigkeitsformel: \(P(E) \cdot P(F) = 0{,}40 \cdot 0{,}30 = 0{,}12\) 6. Schlussfolgerung: Da \(P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.

Antwort

Die Ereignisse \(E\) und \(F\) sind stochastisch unabhängig, da \(P(E \cap F) = 0{,}12\) genau dem Produkt \(P(E) \cdot P(F) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\) entspricht.

42210511

In einer Umfrage wurden 200 Personen nach ihrem bevorzugten Urlaubsziel und ihrer Altersgruppe befragt. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: <table> <tr> <th></th> <th>Ziel: Meer</th> <th>Ziel: Berge</th> </tr> <tr> <td><b>unter 40 Jahre</b></td> <td>72</td> <td>48</td> </tr> <tr> <td><b>ab 40 Jahre</b></td> <td>48</td> <td>32</td> </tr> </table> Aus der Gruppe der Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersuche die Ereignisse \(A\): „Die Person ist unter 40 Jahre alt“ und \(M\): „Die Person bevorzugt das Meer“ auf stochastische Unabhängigkeit.

Denkanstöße

- Wie viele Personen wurden insgesamt befragt? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Merkmal aus der Tabelle? - Welches Feld in der Tabelle entspricht dem gleichzeitigen Eintreten beider Merkmale? - Welche mathematische Bedingung muss für die Unabhängigkeit zweier Ereignisse erfüllt sein? - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit des Schnitts mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten.

Lösung

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Befragten: \(n = 72 + 48 + 48 + 32 = 200\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die Einzelereignisse: \(P(A) = \frac{72 + 48}{200} = \frac{120}{200} = 0{,}6\) und \(P(M) = \frac{72 + 48}{200} = \frac{120}{200} = 0{,}6\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens: \(P(A \cap M) = \frac{72}{200} = 0{,}36\). 4. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung: Das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist \(P(A) \cdot P(M) = 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36\). 5. Vergleich: Da \(P(A \cap M) = P(A) \cdot P(M)\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.

Antwort

Die Ereignisse \(A\) und \(M\) sind stochastisch unabhängig.

42210611

In einem Fitnessstudio sind \(1500\) Mitglieder angemeldet. Eine Auswertung der Mitgliederkartei ergab, dass \(900\) Personen regelmäßig den Saunabereich nutzen. Insgesamt nehmen \(600\) Mitglieder regelmäßig an Gruppenkursen teil. Von diesen Kursteilnehmern besuchen \(400\) auch regelmäßig die Sauna. Es wird ein Mitglied zufällig ausgewählt. Prüfe rechnerisch, ob die Ereignisse \(G\): „Das Mitglied nimmt an Gruppenkursen teil“ und \(S\): „Das Mitglied nutzt die Sauna“ stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Notiere dir zuerst alle gegebenen Anzahlen und die Gesamtzahl der Mitglieder. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Mitglied in die Sauna geht? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied sowohl an Kursen teilnimmt als auch die Sauna nutzt? - Welche Formel nutzt man, um die Unabhängigkeit zu überprüfen? - Ist das Ergebnis der Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten identisch mit der Wahrscheinlichkeit für beides zusammen?

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse: \(P(G) = \frac{600}{1500} = 0{,}4\) und \(P(S) = \frac{900}{1500} = 0{,}6\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge aus den gegebenen Daten: \(P(G \cap S) = \frac{400}{1500} = \frac{4}{15} \approx 0{,}267\). 3. Berechnung des Produkts der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(G) \cdot P(S) = 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(P(G \cap S) = \frac{4}{15} \neq 0{,}24 = \frac{6}{25}\) gilt, ist die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit nicht erfüllt.

Antwort

Die Ereignisse \(G\) und \(S\) sind stochastisch abhängig.

42210711

Gegeben ist eine unvollständige Vierfeldertafel für zwei stochastisch unabhängige Ereignisse \(E\) und \(F\). <table> <tr> <td></td> <td>\(F\)</td> <td>\(\overline{F}\)</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>\(E\)</td> <td></td> <td>\(0{,}12\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(\overline{E}\)</td> <td></td> <td>\(0{,}18\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td></td> <td></td> <td>\(1\)</td> </tr> </table> Berechne alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten und vervollständige die Tabelle.

Denkanstöße

- Was lässt sich direkt aus den gegebenen Werten in der Spalte für \(\overline{F}\) berechnen? - Welche mathematische Bedingung gilt für die Wahrscheinlichkeiten im Inneren einer Vierfeldertafel, wenn die Ereignisse unabhängig sind? - Wie hängen die Randwahrscheinlichkeiten mit der Summe 1 zusammen?

Lösung

1. Berechnung der Randwahrscheinlichkeit \(P(\overline{F})\) durch Summation der Spalte: \(P(\overline{F}) = 0{,}12 + 0{,}18 = 0{,}30\). 2. Berechnung von \(P(F)\) über das Gegenereignis: \(P(F) = 1 - 0{,}30 = 0{,}70\). 3. Nutzung der Unabhängigkeit \(P(E \cap \overline{F}) = P(E) \cdot P(\overline{F})\): \(0{,}12 = P(E) \cdot 0{,}30 \implies P(E) = \frac{0{,}12}{0{,}30} = 0{,}40\). 4. Berechnung der restlichen Randwahrscheinlichkeiten: \(P(\overline{E}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60\). 5. Berechnung der Verbundwahrscheinlichkeiten im Inneren: \(P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) = 0{,}40 \cdot 0{,}70 = 0{,}28\) und \(P(\overline{E} \cap F) = P(\overline{E}) \cdot P(F) = 0{,}60 \cdot 0{,}70 = 0{,}42\).

Antwort

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr> <td></td> <td>\(F\)</td> <td>\(\overline{F}\)</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>\(E\)</td> <td>\(0{,}28\)</td> <td>\(0{,}12\)</td> <td>\(0{,}40\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{E}\)</td> <td>\(0{,}42\)</td> <td>\(0{,}18\)</td> <td>\(0{,}60\)</td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td>\(0{,}70\)</td> <td>\(0{,}30\)</td> <td>\(1\)</td> </tr> </table>

42211311

In einer medizinischen Studie zur Wirksamkeit eines neuen Medikaments werden zwei Gruppen untersucht: Die Behandlungsgruppe (\(T\)) erhielt das Medikament, während die Kontrollgruppe (\(\overline{T}\)) ein Placebo erhielt. Der Heilungserfolg (\(H\)) wurde nach zwei Wochen dokumentiert. Die folgende Vierfeldertafel zeigt die absoluten Häufigkeiten der Probanden: | | \(H\) | \(\overline{H}\) | | :--- | :---: | :---: | | \(T\) | \(120\) | \(80\) | | \(\overline{T}\) | \(45\) | \(y\) | 1. Bestimme den Wert von \(y\), für den der Heilungserfolg stochastisch unabhängig von der Gruppenzugehörigkeit ist. 2. Interpretiere das Ergebnis im Sachkontext der medizinischen Studie.

Denkanstöße

- Welche mathematische Bedingung muss für die Werte in den vier Feldern gelten, damit Unabhängigkeit vorliegt? - Überlege, wie sich das Produkt der Werte auf den Diagonalen der Tabelle zueinander verhält. - Was bedeutet es für die Wirksamkeit eines Medikaments, wenn der Heilungserfolg nicht von der Behandlung abhängt?

Lösung

1. Für stochastische Unabhängigkeit in einer Vierfeldertafel mit den Einträgen \(a, b, c, d\) muss die Beziehung \(ad = bc\) gelten. Mit \(a = 120\), \(b = 80\), \(c = 45\) und \(d = y\) ergibt sich die Gleichung \(120 \cdot y = 80 \cdot 45\). 2. Durch Auflösen der Gleichung \(120y = 3\,600\) erhält man \(y = 30\). 3. Im Sachkontext bedeutet Unabhängigkeit, dass die Heilungschance in beiden Gruppen gleich groß ist. Bei \(y = 30\) beträgt die Heilungsquote in der Behandlungsgruppe \(\frac{120}{200} = 0{,}6\) (\(60\,\%\)) und in der Kontrollgruppe \(\frac{45}{75} = 0{,}6\) (\(60\,\%\)). Das Medikament hat somit keinen statistisch nachweisbaren Einfluss auf die Heilung.

Antwort

1. \(y = 30\) 2. In diesen Daten ist kein statistischer Zusammenhang zwischen Medikamentengabe und Heilungserfolg nachweisbar, da die Heilungswahrscheinlichkeit in der Behandlungsgruppe genauso groß ist wie in der Kontrollgruppe (\(60\,\%\)).

42211711

In einem Beutel befinden sich \(20\) Murmeln: \(5\) sind gelb und \(15\) sind grün. Es werden nacheinander zwei Murmeln zufällig entnommen. Betrachtet werden die Ereignisse: \(A\): „Die erste Murmel ist gelb.“ \(B\): „Die zweite Murmel ist gelb.“ Untersuche die stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(B\) für die folgenden Fälle: a) Die erste Murmel wird nach der Entnahme wieder zurückgelegt. b) Die erste Murmel wird nicht zurückgelegt. Berechne für beide Fälle jeweils die Wahrscheinlichkeiten \(P(B)\) und \(P_A(B)\).

Denkanstöße

- Überlege dir, wie viele Murmeln jeweils vor dem zweiten Zug im Beutel sind. - Welchen Einfluss hat das Zurücklegen auf die Wahrscheinlichkeit des zweiten Zuges? - Wie berechnet man die Gesamtwahrscheinlichkeit für das zweite Ereignis, wenn man das Ergebnis des ersten Zuges nicht kennt? - Wann nennt man zwei Ereignisse mathematisch „unabhängig“?

Lösung

1. Fall a) Ziehen mit Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeit für Gelb im zweiten Zug ist unabhängig vom ersten Zug, da die Zusammensetzung gleich bleibt: \(P(B) = \frac{5}{20} = 0{,}25\). Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist ebenfalls \(P_A(B) = \frac{5}{20} = 0{,}25\). Da \(P_A(B) = P(B)\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch unabhängig. 2. Fall b) Ziehen ohne Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) berechnet sich über die Pfadregeln: \(P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = \frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} + \frac{15}{20} \cdot \frac{5}{19} = \frac{20}{380} + \frac{75}{380} = \frac{95}{380} = 0{,}25\). Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_A(B)\) ist die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug eine gelbe Murmel zu ziehen, wenn bereits eine gelbe entnommen wurde: \(P_A(B) = \frac{4}{19} \approx 0{,}2105\). Da \(P_A(B) \neq P(B)\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig.

Antwort

a) \(P(B) = 0{,}25\); \(P_A(B) = 0{,}25\); die Ereignisse sind stochastisch unabhängig. b) \(P(B) = 0{,}25\); \(P_A(B) = \frac{4}{19} \approx 0{,}2105\); die Ereignisse sind stochastisch abhängig.

42211811

In einem Behälter befinden sich \(10\) Kugeln: \(2\) blaue, \(3\) rote und \(5\) gelbe. Es werden nacheinander zwei Kugeln zufällig gezogen. Wir betrachten die Ereignisse: \(B\): „Die erste Kugel ist blau.“ \(R\): „Die zweite Kugel ist rot.“ a) Berechne \(P(R)\) und \(P_B(R)\) unter der Bedingung, dass die erste Kugel nicht zurückgelegt wird. Sind die Ereignisse \(B\) und \(R\) in diesem Fall stochastisch unabhängig? b) Prüfe die Unabhängigkeit der Ereignisse \(B\) und \(R\), wenn die erste Kugel vor dem zweiten Zug wieder zurückgelegt wird.

Denkanstöße

- Wie verändert sich die Anzahl der roten Kugeln und die Gesamtzahl der Kugeln, wenn zuerst eine blaue Kugel entnommen wurde? - Verwende ein Baumdiagramm, um alle Pfade zu finden, die zum Ereignis „die zweite Kugel ist rot“ führen. - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für Rot im zweiten Zug mit der bedingten Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass die erste Kugel blau war.

Lösung

1. Teil a) Ohne Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeit für Rot im zweiten Zug berechnet sich mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit über alle Möglichkeiten des ersten Zuges (Blau, Rot, Gelb): \(P(R) = P(B \cap R) + P(R_1 \cap R) + P(G_1 \cap R) = \frac{2}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} + \frac{5}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{6 + 6 + 15}{90} = \frac{27}{90} = 0{,}3\), wobei \(R_1\) bzw. \(G_1\) für „erste Kugel rot“ bzw. „erste Kugel gelb“ steht. Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_B(R)\) ist die Wahrscheinlichkeit für Rot im zweiten Zug, wenn die erste blau war: \(P_B(R) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\). Da \(P_B(R) \neq P(R)\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 2. Teil b) Mit Zurücklegen: Hier bleibt die Wahrscheinlichkeit für den zweiten Zug immer gleich, egal was zuerst gezogen wurde: \(P(R) = \frac{3}{10} = 0{,}3\) und \(P_B(R) = \frac{3}{10} = 0{,}3\). Da \(P_B(R) = P(R)\) gilt, sind die Ereignisse in diesem Fall stochastisch unabhängig.

Antwort

a) \(P(R) = 0{,}3\); \(P_B(R) = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\); die Ereignisse sind stochastisch abhängig. b) \(P(R) = 0{,}3\); \(P_B(R) = 0{,}3\); die Ereignisse sind stochastisch unabhängig.

42211911

Zwei Behälter enthalten farbige Chips. In Behälter \(A\) befinden sich \(5\) rote und \(15\) blaue Chips. In Behälter \(B\) liegen \(10\) rote und \(30\) blaue Chips. Es wird zufällig einer der beiden Behälter mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt und daraus ein Chip gezogen. Betrachtet werden die Ereignisse \(E_A\): „Behälter \(A\) wird gewählt“ und \(E_R\): „Ein roter Chip wird gezogen“. a) Weise rechnerisch nach, dass die Ereignisse \(E_A\) und \(E_R\) stochastisch unabhängig sind. b) Es sollen insgesamt \(15\) weitere rote Chips auf die beiden Behälter verteilt werden. Ermittle, wie viele dieser Chips in Behälter \(A\) und wie viele in Behälter \(B\) gelegt werden müssen, damit die Ereignisse \(E_A\) und \(E_R\) stochastisch unabhängig bleiben. c) Entscheide, ob die Ereignisse \(E_A\) und \(E_R\) stochastisch unabhängig oder abhängig sind, wenn man in Behälter \(B\) statt der roten Chips aus Aufgabenteil b) zusätzlich \(10\) blaue Chips zu den ursprünglichen \(10\) roten und \(30\) blauen Chips hinzufügt (Behälter \(A\) bleibt wie in b) verändert).

Denkanstöße

- Wann sind zwei Ereignisse in einem Baumdiagramm oder bei einer Urnenwahl unabhängig? Vergleiche die Anteile in den einzelnen Behältern. - Wenn die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis in beiden Behältern gleich ist, spielt die Wahl des Behälters keine Rolle für das Ergebnis. - Setze für die unbekannte Anzahl an Chips eine Variable an und stelle eine Gleichung auf, die die Gleichheit der Wahrscheinlichkeiten ausdrückt. - Überprüfe am Ende, ob die berechneten Wahrscheinlichkeiten für beide Pfade tatsächlich identisch sind.

Lösung

1. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für a): \(P(E_R|E_A) = \frac{5}{20} = 0{,}25\) und \(P(E_R|\overline{E_A}) = \frac{10}{40} = 0{,}25\). Da \(P(E_R|E_A) = P(E_R|\overline{E_A})\), sind die Ereignisse unabhängig. 2. Ansatz für b): Sei \(x\) die Anzahl der roten Chips für Behälter \(A\) und \(15-x\) für Behälter \(B\). Die neuen Wahrscheinlichkeiten müssen gleich sein: \(\frac{5+x}{20+x} = \frac{10+(15-x)}{40+(15-x)}\). 3. Lösen der Gleichung: \(\frac{5+x}{20+x} = \frac{25-x}{55-x} \implies (5+x)(55-x) = (25-x)(20+x) \implies 275 + 50x - x^2 = 500 + 5x - x^2 \implies 45x = 225 \implies x = 5\). Es müssen \(5\) Chips in Behälter \(A\) und \(10\) Chips in Behälter \(B\) gelegt werden. 4. Prüfung für c): In Behälter \(A\) sind nun \(10\) rote und \(15\) blaue Chips (\(P(E_R|E_A) = \frac{10}{25} = 0{,}4\)). In Behälter \(B\) sind \(10\) rote und \(40\) blaue Chips (\(P(E_R|\overline{E_A}) = \frac{10}{50} = 0{,}2\)). Da \(0{,}4 \neq 0{,}2\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig.

Antwort

a) \(P(E_R|E_A) = 0{,}25 = P(E_R|\overline{E_A})\), daher unabhängig. b) \(5\) Chips in Behälter \(A\) und \(10\) Chips in Behälter \(B\). c) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(E_R|E_A) = 0{,}4\) und \(P(E_R|\overline{E_A}) = 0{,}2\).

42212111

Ein fairer sechsseitiger Würfel wird zweimal geworfen. Es werden die folgenden Ereignisse betrachtet: \(A\): „Der erste Wurf zeigt eine Primzahl.“ \(B\): „Der zweite Wurf zeigt eine Augenzahl größer als 4.“ \(C\): „Die Summe der Augenzahlen beider Würfe ist genau 6.“ a) Weise nach, dass die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind. b) Untersuche, ob die Ereignisse \(A\) und \(C\) stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Welche Bedingung muss für die Wahrscheinlichkeiten erfüllt sein, damit zwei Ereignisse als stochastisch unabhängig gelten? - Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es insgesamt bei einem zweifachen Würfelwurf? - Kannst du alle Zahlenpaare aufschreiben, die zu einem bestimmten Ereignis gehören? - Berechne zuerst die Einzelwahrscheinlichkeiten und dann die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten beider Ereignisse.

Lösung

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für \(A\) und \(B\): Die Primzahlen auf einem Würfel sind 2, 3 und 5, also \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Die Zahlen größer als 4 sind 5 und 6, also \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit \(P(A \cap B)\): Da die Würfe unabhängig sind, gilt für das gleichzeitige Eintreten (Primzahl im 1. Wurf und Zahl \(>4\) im 2. Wurf) \(P(A \cap B) = \frac{3 \cdot 2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). 3. Prüfung der Unabhängigkeit für \(A\) und \(B\): Da \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} = P(A \cap B)\), sind \(A\) und \(B\) unabhängig. 4. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für \(C\): Die günstigen Ergebnisse für die Summe 6 sind \((1|5), (2|4), (3|3), (4|2), (5|1)\). Somit ist \(P(C) = \frac{5}{36}\). 5. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit \(P(A \cap C)\): Die Ergebnisse in \(C\), bei denen der erste Würfel eine Primzahl (2, 3 oder 5) zeigt, sind \((2|4), (3|3)\) und \((5|1)\). Es gibt 3 solche Ergebnisse, also \(P(A \cap C) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\). 6. Prüfung der Unabhängigkeit für \(A\) und \(C\): Es gilt \(P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{36} = \frac{5}{72}\). Da \(\frac{1}{12} = \frac{6}{72} \neq \frac{5}{72}\), sind \(A\) und \(C\) stochastisch abhängig.

Antwort

a) \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig, da \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) und \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\) gilt. b) \(A\) und \(C\) sind stochastisch abhängig, da \(P(A \cap C) = \frac{1}{12}\), aber \(P(A) \cdot P(C) = \frac{5}{72}\) ist.

42212311

Eine Marktforschungsumfrage unter Smartphone-Nutzern ergab, dass \(40\,\%\) der Befragten auch einen Laptop derselben Marke besitzen (Ereignis \(L\)). Insgesamt gaben \(55\,\%\) der Nutzer an, mit dem Kundenservice des Herstellers sehr zufrieden zu sein (Ereignis \(Z\)). Bei \(25\,\%\) der Befragten trafen beide Merkmale zu. a) Übertrage die Vierfeldertafel und vervollständige diese. <table> <tr> <td></td> <td>\(L\)</td> <td>\(\bar{L}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(Z\)</td> <td>\(25\,\%\)</td> <td></td> <td>\(55\,\%\)</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{Z}\)</td> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(40\,\%\)</td> <td></td> <td>\(100\,\%\)</td> </tr> </table> b) Prüfe die Ereignisse \(L\) und \(Z\) rechnerisch auf stochastische Unabhängigkeit. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten \(P_L(Z)\) und \(P_{\bar{L}}(Z)\). Beschreibe deren Bedeutung im Sachzusammenhang. d) Interpretiere deine Ergebnisse aus b) und c). Was lässt sich über den Zusammenhang zwischen dem Besitz eines Laptops der Marke und der Zufriedenheit mit dem Service sagen?

Denkanstöße

- Wie hängen die inneren Felder einer Vierfeldertafel mit den Randsummen zusammen? - Welche Bedingung muss für die Wahrscheinlichkeiten gelten, damit zwei Ereignisse als unabhängig bezeichnet werden? - Achte bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten darauf, welche Teilgruppe die Grundmenge bildet. - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für Zufriedenheit innerhalb der Gruppe der Laptop-Besitzer mit der in der Gruppe der Nicht-Besitzer.

Lösung

1. Vervollständigung der Vierfeldertafel durch Zeilen- und Spaltensummen: \(P(L \cap \bar{Z}) = 15\,\%\), \(P(\bar{L} \cap Z) = 30\,\%\), \(P(\bar{L} \cap \bar{Z}) = 30\,\%\), \(P(\bar{L}) = 60\,\%\), \(P(\bar{Z}) = 45\,\%\). 2. Prüfung auf stochastische Unabhängigkeit: \(P(L) \cdot P(Z) = 0{,}40 \cdot 0{,}55 = 0{,}22\). Da \(P(L \cap Z) = 0{,}25 \neq 0{,}22\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: \(P_L(Z) = \frac{0{,}25}{0{,}40} = 0{,}625 = 62{,}5\,\%\) (Wahrscheinlichkeit, dass ein Laptop-Besitzer zufrieden ist) und \(P_{\bar{L}}(Z) = \frac{0{,}30}{0{,}60} = 0{,}5 = 50\,\%\) (Wahrscheinlichkeit, dass ein Nicht-Besitzer eines Laptops zufrieden ist). 4. Interpretation: Da \(P_L(Z) > P_{\bar{L}}(Z)\), besteht eine positive Abhängigkeit. Kunden, die auch einen Laptop der Marke besitzen, sind tendenziell zufriedener mit dem Kundenservice als Kunden ohne Laptop der Marke.

Antwort

a) Fehlende Werte: \(P(L \cap \bar{Z}) = 15\,\%\), \(P(\bar{L} \cap Z) = 30\,\%\), \(P(\bar{L} \cap \bar{Z}) = 30\,\%\), \(P(\bar{L}) = 60\,\%\), \(P(\bar{Z}) = 45\,\%\). b) \(P(L \cap Z) = 0{,}25\); \(P(L) \cdot P(Z) = 0{,}22\). Wegen \(0{,}25 \neq 0{,}22\) sind die Ereignisse stochastisch abhängig. c) \(P_L(Z) = 62{,}5\,\%\); \(P_{\bar{L}}(Z) = 50\,\%\). \(P_L(Z)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit dem Service zufrieden ist, unter der Bedingung, dass er einen Laptop der Marke besitzt. \(P_{\bar{L}}(Z)\) ist die entsprechende Wahrscheinlichkeit unter den Personen ohne Laptop dieser Marke. d) Es liegt eine positive Abhängigkeit vor; der Besitz eines markengleichen Laptops geht mit einer höheren Servicezufriedenheit einher.

42212411

In einem Logistikzentrum werden Pakete von zwei verschiedenen Anbietern auf Beschädigungen geprüft. \(60\,\%\) der Pakete stammen von Anbieter A (Ereignis \(A\)), die übrigen von Anbieter B. Insgesamt sind \(5\,\%\) aller eintreffenden Pakete beschädigt (Ereignis \(D\)). Statistiken zeigen, dass \(3\,\%\) aller Pakete sowohl von Anbieter A stammen als auch beschädigt sind. a) Stelle diesen Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. b) Untersuche, ob die Beschädigung eines Pakets stochastisch unabhängig von der Wahl des Anbieters ist. c) Berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_A(D)\) und \(P_B(D)\) und formuliere deren Bedeutung im Sachzusammenhang. d) Bewerte die Qualität der beiden Anbieter im Hinblick auf die Transportsicherheit. Nutze hierzu deine Ergebnisse aus b) und c).

Denkanstöße

- Kannst du aus den Prozentangaben im Text direkt die Randsummen und ein inneres Feld der Tabelle bestimmen? - Was bedeutet es für die Anteile in den Untergruppen, wenn Unabhängigkeit vorliegt? - Wie berechnet man den Anteil der beschädigten Pakete, wenn man nur die Pakete eines bestimmten Anbieters betrachtet? - Überlege, ob ein Anbieter statistisch gesehen „sicherer“ liefert als der andere.

Lösung

1. Erstellung der Vierfeldertafel: \(P(A) = 0{,}60\), \(P(B) = P(\bar{A}) = 0{,}40\), \(P(D) = 0{,}05\), \(P(\bar{D}) = 0{,}95\). Gegeben ist \(P(A \cap D) = 0{,}03\). Daraus folgen: \(P(A \cap \bar{D}) = 0{,}57\), \(P(B \cap D) = 0{,}02\), \(P(B \cap \bar{D}) = 0{,}38\). 2. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(P(A) \cdot P(D) = 0{,}60 \cdot 0{,}05 = 0{,}03\). Da \(P(A \cap D) = 0{,}03\), sind die Ereignisse stochastisch unabhängig. 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: \(P_A(D) = \frac{0{,}03}{0{,}60} = 0{,}05 = 5\,\%\) und \(P_B(D) = \frac{0{,}02}{0{,}40} = 0{,}05 = 5\,\%\). Diese geben den Anteil beschädigter Pakete pro Anbieter an. 4. Bewertung: Da die Beschädigungsrate bei beiden Anbietern identisch ist (\(5\,\%\)), liefert kein Anbieter eine bessere Qualität in Bezug auf die Transportsicherheit als der andere. Die Beschädigung ist unabhängig vom Anbieter.

Antwort

a) Vierfeldertafel: \(P(A \cap D)=3\,\%\), \(P(A \cap \bar{D})=57\,\%\), \(P(B \cap D)=2\,\%\), \(P(B \cap \bar{D})=38\,\%\). Ränder: \(P(A)=60\,\%\), \(P(B)=40\,\%\), \(P(D)=5\,\%\), \(P(\bar{D})=95\,\%\). b) \(P(A) \cdot P(D) = 0{,}6 \cdot 0{,}05 = 0{,}03 = P(A \cap D)\). Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig. c) \(P_A(D) = 5\,\%\) und \(P_B(D) = 5\,\%\). Dies ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paket des entsprechenden Anbieters beschädigt ist. d) Beide Anbieter sind qualitativ gleichwertig, da die Wahrscheinlichkeit für eine Beschädigung bei beiden exakt \(5\,\%\) beträgt.

42213111

In einem Rechenzentrum wird über einen Zeitraum von 20 Tagen protokolliert, ob die Server \(S_1\) und \(S_2\) Ausfallzeiten aufweisen. Das Ereignis \(U_1\) beschreibt einen Ausfall von Server \(S_1\), das Ereignis \(U_2\) einen Ausfall von Server \(S_2\). Ein „X“ in der folgenden Übersicht bedeutet, dass der jeweilige Server am entsprechenden Tag mindestens eine Ausfallzeit hatte. <table> <tr><td>Tag</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr> <tr><td>\(U_1\)</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td>X</td></tr> <tr><td>\(U_2\)</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td></td></tr> </table> <br> <table> <tr><td>Tag</td><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td><td>16</td><td>17</td><td>18</td><td>19</td><td>20</td></tr> <tr><td>\(U_1\)</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td>X</td></tr> <tr><td>\(U_2\)</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>X</td><td>X</td><td>X</td><td></td></tr> </table> Zusätzlich ist bekannt, dass an den Tagen 2, 3, 7, 8 und 12 Wartungsarbeiten am Netzwerk (Ereignis \(W\)) durchgeführt wurden. a) Weise mithilfe der relativen Häufigkeiten nach, dass die Ereignisse \(U_1\) und \(U_2\) stochastisch abhängig sind. b) Untersuche, ob das Auftreten von Ausfällen bei Server \(S_1\) stochastisch abhängig von den Wartungsarbeiten \(W\) ist. Interpretiere dein Ergebnis im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn man eine Liste von Beobachtungen hat? - Erinnere dich an die Formel für die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse \(A\) und \(B\). - Was bedeutet es für die Beziehung zweier Ereignisse, wenn das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten nicht der Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Auftretens entspricht? - Betrachte bei Teilaufgabe b), ob die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall steigt oder sinkt, wenn gerade Wartungsarbeiten stattfinden.

Lösung

1. Bestimmung der relativen Häufigkeiten für \(U_1\) und \(U_2\) aus der Tabelle: \(P(U_1) = \frac{8}{20} = 0{,}4\) und \(P(U_2) = \frac{6}{20} = 0{,}3\). Die gemeinsame Häufigkeit an den Tagen 2, 7, 12 und 17 beträgt \(P(U_1 \cap U_2) = \frac{4}{20} = 0{,}2\). 2. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(P(U_1) \cdot P(U_2) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\). Da \(0{,}2 \neq 0{,}12\), sind \(U_1\) und \(U_2\) stochastisch abhängig. 3. Untersuchung von \(U_1\) und \(W\): Die Häufigkeit der Wartungsarbeiten ist \(P(W) = \frac{5}{20} = 0{,}25\). Gemeinsame Ausfälle an Wartungstagen (Tage 2, 7, 12) ergeben \(P(U_1 \cap W) = \frac{3}{20} = 0{,}15\). 4. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(P(U_1) \cdot P(W) = 0{,}4 \cdot 0{,}25 = 0{,}1\). Da \(0{,}15 \neq 0{,}1\), besteht eine stochastische Abhängigkeit. 5. Interpretation: Da \(P(U_1 \cap W) > P(U_1) \cdot P(W)\) bzw. \(P(U_1|W) = 0{,}6\) größer ist als \(P(U_1) = 0{,}4\), war die Ausfallwahrscheinlichkeit an Wartungstagen erhöht. Ein kausaler Zusammenhang wird dadurch allein nicht bewiesen.

Antwort

a) \(P(U_1) = 0{,}4\); \(P(U_2) = 0{,}3\); \(P(U_1 \cap U_2) = 0{,}2\). Da \(0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12 \neq 0{,}2\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig. b) \(P(W) = 0{,}25\); \(P(U_1 \cap W) = 0{,}15\). Da \(0{,}4 \cdot 0{,}25 = 0{,}1 \neq 0{,}15\), sind \(U_1\) und \(W\) stochastisch abhängig. Interpretation: Während der Wartungsarbeiten war die Ausfallwahrscheinlichkeit von Server \(S_1\) höher als im Durchschnitt; eine Ursache ist damit allein nicht nachgewiesen.

42213211

In einem Sportverein mit 120 Mitgliedern werden die Sportarten Tennis (Ereignis \(T\)) und Squash (Ereignis \(S\)) angeboten. Es ist bekannt, dass 60 Mitglieder Tennis spielen und 40 Mitglieder Squash spielen. 20 Mitglieder sind in beiden Abteilungen aktiv. a) Prüfe rechnerisch, ob die Mitgliedschaft in der Tennisabteilung und die Mitgliedschaft in der Squashabteilung stochastisch unabhängig sind. b) Von den 120 Mitgliedern sind 40 bereits seit über 10 Jahren im Verein (Ereignis \(L\)). Von diesen langjährigen Mitgliedern spielen 15 Tennis. Untersuche, ob die Ereignisse \(L\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Nutze die Gesamtzahl der Mitglieder, um die Wahrscheinlichkeiten als Brüche darzustellen. - Die Bedingung für Unabhängigkeit lautet \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). - Achte bei Teilaufgabe b) genau darauf, welche Gruppe die Grundgesamtheit für die 15 Tennisspieler bildet, um \(P(L \cap T)\) korrekt zu berechnen. - Überlege dir, ob das Ergebnis der Multiplikation exakt dem Wert der Schnittmenge entspricht.

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für Teilaufgabe a): \(P(T) = \frac{60}{120} = 0{,}5\), \(P(S) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}\). Die Wahrscheinlichkeit für beide Sportarten ist \(P(T \cap S) = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}\). 2. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung: \(P(T) \cdot P(S) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\). Da \(P(T \cap S) = P(T) \cdot P(S)\), sind die Ereignisse \(T\) und \(S\) stochastisch unabhängig. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für Teilaufgabe b): \(P(L) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}\). Die Wahrscheinlichkeit für ein langjähriges Mitglied, das Tennis spielt, ist \(P(L \cap T) = \frac{15}{120} = 0{,}125\). 4. Prüfung der Unabhängigkeitsbedingung: \(P(L) \cdot P(T) = \frac{1}{3} \cdot 0{,}5 = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\). 5. Vergleich: Da \(0{,}125 \neq 0{,}167\), sind die Ereignisse \(L\) und \(T\) stochastisch abhängig.

Antwort

a) \(P(T) = 0{,}5\); \(P(S) = \frac{1}{3}\); \(P(T \cap S) = \frac{1}{6}\). Da \(0{,}5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\), sind \(T\) und \(S\) stochastisch unabhängig. b) \(P(L) = \frac{1}{3}\); \(P(T) = 0{,}5\); \(P(L \cap T) = 0{,}125\). Da \(\frac{1}{3} \cdot 0{,}5 = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 \neq 0{,}125\), sind \(L\) und \(T\) stochastisch abhängig.

42213411

In einem Rechenzentrum stehen \(5000\) Server. Um sie vor Cyberangriffen (\(C\)) zu schützen, sind \(85\,\%\) der Server mit einem speziellen Sicherheitssystem (\(S\)) ausgestattet. Nach einer Angriffswelle wird festgestellt, dass insgesamt \(350\) Server erfolgreich angegriffen wurden. Davon verfügten \(150\) Server über das Sicherheitssystem \(S\). a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P(C|S)\) und \(P(C|\bar{S})\). b) Zeige rechnerisch, dass die Ereignisse \(C\) und \(S\) stochastisch abhängig sind. c) Ein Techniker behauptet: „Das Sicherheitssystem ist nicht sehr effektiv, da fast die Hälfte der gehackten Server (\(150\) von \(350\)) das System installiert hatten.“ Nimm zu dieser Aussage Stellung, indem du die Wirksamkeit des Systems anhand der Ergebnisse aus Teilaufgabe a) beurteilst.

Denkanstöße

- Erstelle zur Übersicht eine Vierfeldertafel mit absoluten Zahlen. - Achte darauf, worauf sich die Prozentangaben in der Behauptung des Technikers beziehen (Teilmenge der Gehackten vs. Teilmenge der Geschützten). - Wie hoch ist das Risiko für einen Server in der Gruppe \(S\) im Vergleich zur Gruppe ohne \(S\)? - Was sagt die stochastische Abhängigkeit über den Einfluss des Schutzes auf den Angriffserfolg aus?

Lösung

1. Bestimmung der absoluten Häufigkeiten: \(n(S) = 0{,}85 \cdot 5000 = 4250\); \(n(\bar{S}) = 5000 - 4250 = 750\). Gegeben sind \(n(C \cap S) = 150\) und \(n(C) = 350\), woraus \(n(C \cap \bar{S}) = 350 - 150 = 200\) folgt. 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: \(P(C|S) = \frac{150}{4250} = \frac{3}{85} \approx 0{,}0353\) (\(3{,}53\,\%\)) und \(P(C|\bar{S}) = \frac{200}{750} = \frac{4}{15} \approx 0{,}2667\) (\(26{,}67\,\%\)). 3. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(P(C) = \frac{350}{5000} = 0{,}07\). Da \(P(C|S) \approx 0{,}0353 \neq P(C) = 0{,}07\), besteht eine stochastische Abhängigkeit. 4. Beurteilung der Wirksamkeit: Die Aussage des Technikers ist irreführend, da sie die unterschiedlichen Gruppengrößen ignoriert. Während ohne System ca. \(26{,}7\,\%\) der Server gehackt wurden, sank das Risiko mit System auf ca. \(3{,}5\,\%\). Das System reduziert die Angriffswahrscheinlichkeit also massiv, auch wenn die absolute Zahl der betroffenen Server mit System aufgrund deren hoher Verbreitung (\(85\,\%\)) hoch erscheint.

Antwort

a) \(P(C|S) \approx 3{,}53\,\%\) und \(P(C|\bar{S}) \approx 26{,}67\,\%\). b) Abhängig, da \(P(C|S) \neq P(C)\) (bzw. \(0{,}0353 \neq 0{,}07\)). c) Die Aussage ist falsch; das System ist effektiv, da es die Einbruchswahrscheinlichkeit von \(26{,}67\,\%\) auf \(3{,}53\,\%\) senkt. Die absolute Zahl ist nur wegen der hohen Verbreitung des Systems so hoch.

42214111

In einem Monat mit 30 Tagen regnete es an insgesamt 12 Tagen. Ein Sportler ging in diesem Monat an 15 Tagen joggen. Dabei stellte er fest, dass er nur an 3 der Regentage joggen war. Ein Tag aus diesem Monat wird zufällig ausgewählt. Es werden die Ereignisse \(R\): „Es regnet“ und \(J\): „Der Sportler geht joggen“ betrachtet. Untersuche rechnerisch, ob die Ereignisse \(R\) und \(J\) stochastisch unabhängig sind. Interpretiere dein Ergebnis im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Kannst du die gegebenen Anzahlen in Wahrscheinlichkeiten für einen zufällig gewählten Tag umrechnen? - Welche Bedingung muss für die Wahrscheinlichkeiten gelten, damit zwei Ereignisse als stochastisch unabhängig bezeichnet werden? - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten beider Ereignisse mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. - Was sagt das Ergebnis darüber aus, wie wahrscheinlich das Joggen bei Regen im Vergleich zu einem beliebigen Tag ist?

Lösung

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten aus den gegebenen Häufigkeiten: \(P(R) = \frac{12}{30} = 0{,}4\), \(P(J) = \frac{15}{30} = 0{,}5\) und \(P(R \cap J) = \frac{3}{30} = 0{,}1\). 2. Berechnung des Produkts der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(R) \cdot P(J) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2\). 3. Vergleich der Werte: Da \(P(R \cap J) = 0{,}1 \neq 0{,}2 = P(R) \cdot P(J)\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 4. Interpretation: In den Daten besteht ein Zusammenhang zwischen Regen und Joggen. Da \(P(J|R) = \frac{3}{12} = 0{,}25\) kleiner ist als \(P(J) = 0{,}5\), ist die beobachtete Wahrscheinlichkeit zu joggen an Regentagen geringer als im Monatsdurchschnitt.

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(R \cap J) = 0{,}1\) ungleich \(P(R) \cdot P(J) = 0{,}2\) ist. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass in den Daten ein Zusammenhang zwischen Regen und Joggen besteht; an Regentagen ging der Sportler seltener joggen als im Monatsdurchschnitt.

42214211

Ein Industriebetrieb produziert 500 Bauteile pro Tag. Davon werden 200 in der Spätschicht gefertigt, die restlichen in der Frühschicht. Am Ende des Tages werden insgesamt 40 defekte Bauteile identifiziert, wovon 24 aus der Spätschicht stammen. Ein Bauteil wird zufällig zur Kontrolle entnommen. Betrachtet werden die Ereignisse \(S\): „Das Bauteil stammt aus der Spätschicht“ und \(D\): „Das Bauteil ist defekt“. Prüfe, ob das Ereignis, dass ein Teil defekt ist, stochastisch unabhängig von der Produktionsschicht ist. Begründe, welche Konsequenz sich daraus für die Qualitätssicherung ergibt.

Denkanstöße

- Wie hoch ist der Anteil der Spätschicht-Teile an der Gesamtproduktion? - Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Teil sowohl aus der Spätschicht stammt als auch defekt ist. - Welche mathematische Gleichung hilft dir zu entscheiden, ob die Schicht einen Einfluss auf die Fehleranfälligkeit hat? - Vergleiche die Fehlerquote der Spätschicht mit der durchschnittlichen Fehlerquote aller Teile.

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(S) = \frac{200}{500} = 0{,}4\), \(P(D) = \frac{40}{500} = 0{,}08\) und \(P(S \cap D) = \frac{24}{500} = 0{,}048\). 2. Überprüfung der Unabhängigkeitsbedingung: \(P(S) \cdot P(D) = 0{,}4 \cdot 0{,}08 = 0{,}032\). 3. Vergleich: Da \(P(S \cap D) = 0{,}048 \neq 0{,}032\) ist, liegt eine stochastische Abhängigkeit vor. 4. Analyse der Anteile: Die Fehlerquote in der Spätschicht beträgt \(P(D|S) = \frac{24}{200} = 0{,}12\) (\(12\,\%\)), während die allgemeine Fehlerquote nur bei \(8\,\%\) liegt. 5. Schlussfolgerung: Die Qualitätssicherung sollte die Abläufe in der Spätschicht genauer untersuchen, da dort überproportional viele Fehler auftreten.

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(S \cap D) = 0{,}048\) und \(P(S) \cdot P(D) = 0{,}032\) nicht übereinstimmen. Da die Fehlerquote in der Spätschicht (\(12\,\%\)) deutlich über dem Gesamtdurchschnitt (\(8\,\%\)) liegt, sollte die Qualitätssicherung die Ursachen für die höhere Fehleranfälligkeit speziell in der Spätschicht untersuchen.

42210811

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig. Es sind die Wahrscheinlichkeiten \(P(A \cap B) = 0{,}12\) und \(P(A \cup B) = 0{,}68\) bekannt. Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel für diese beiden Ereignisse. Hinweis: Es gibt zwei mathematisch mögliche Lösungen für die Randwahrscheinlichkeiten; gib eine davon an.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Additionsregel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse. - Was bedeutet die stochastische Unabhängigkeit für das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten? - Du erhältst ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten für die Randwahrscheinlichkeiten. - Überlege dir, wie man aus der Summe und dem Produkt zweier Zahlen diese Zahlen bestimmen kann.

Lösung

1. Aufstellen der Gleichung für die Vereinigung: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). 2. Einsetzen der Werte: \(0{,}68 = P(A) + P(B) - 0{,}12 \implies P(A) + P(B) = 0{,}80\). 3. Anwendung der Unabhängigkeitsbedingung: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}12\). 4. Lösung des Gleichungssystems \(x + y = 0{,}8\) und \(x \cdot y = 0{,}12\). Dies führt zur quadratischen Gleichung \(x^2 - 0{,}8x + 0{,}12 = 0\) mit den Lösungen \(x_1 = 0{,}6\) und \(x_2 = 0{,}2\). 5. Festlegen der Randwahrscheinlichkeiten (z. B. \(P(A) = 0{,}6\) und \(P(B) = 0{,}2\)) und Berechnung der inneren Felder: \(P(A \cap \overline{B}) = 0{,}6 - 0{,}12 = 0{,}48\); \(P(\overline{A} \cap B) = 0{,}2 - 0{,}12 = 0{,}08\); \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}4 \cdot 0{,}8 = 0{,}32\).

Antwort

Eine mögliche Vierfeldertafel ist: <table> <tr> <td></td> <td>\(B\)</td> <td>\(\overline{B}\)</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>\(A\)</td> <td>\(0{,}12\)</td> <td>\(0{,}48\)</td> <td>\(0{,}60\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{A}\)</td> <td>\(0{,}08\)</td> <td>\(0{,}32\)</td> <td>\(0{,}40\)</td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td>\(0{,}20\)</td> <td>\(0{,}80\)</td> <td>\(1\)</td> </tr> </table> (Alternativ können die Werte für \(A\) und \(B\) vertauscht sein.)

42211411

Gegeben ist eine Vierfeldertafel für zwei Merkmale \(E\) und \(F\) mit den absoluten Häufigkeiten \(a, b, c\) und \(d\). Es wird die Behauptung aufgestellt: „Wenn man alle Häufigkeiten in der ersten Zeile der Tabelle mit demselben Faktor \(k > 0\) multipliziert, bleibt die stochastische Unabhängigkeit der Merkmale erhalten, sofern sie vorher bestand.“ Prüfe diese Behauptung allgemein, indem du das Kriterium \(ad = bc\) verwendest.

Denkanstöße

- Stelle zuerst die Gleichung auf, die bei Unabhängigkeit für die ursprünglichen Werte \(a, b, c\) und \(d\) gilt. - Wie verändern sich die Platzhalter \(a\) und \(b\), wenn du sie mit einem Faktor \(k\) multiplizierst? - Setze die veränderten Ausdrücke in die Unabhängigkeitsbedingung ein und vergleiche das Ergebnis mit der ursprünglichen Formel.

Lösung

1. Die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit bei absoluten Häufigkeiten lautet \(ad = bc\). 2. Durch die Multiplikation der ersten Zeile mit \(k\) ergeben sich die neuen Häufigkeiten \(a' = k \cdot a\) und \(b' = k \cdot b\). Die Werte \(c\) und \(d\) der zweiten Zeile bleiben unverändert. 3. Für die neue Tabelle wird das Kriterium geprüft: \(a' \cdot d = b' \cdot c \iff (k \cdot a) \cdot d = (k \cdot b) \cdot c\). 4. Da \(k > 0\), kann die Gleichung durch \(k\) dividiert werden, was zur ursprünglichen Bedingung \(ad = bc\) führt. Wenn diese erfüllt war, ist auch die neue Bedingung erfüllt. Die Behauptung ist somit wahr.

Antwort

Die Behauptung ist wahr. Durch Einsetzen der neuen Werte \(k \cdot a\) und \(k \cdot b\) in die Bedingung \(ad = bc\) erhält man \(k \cdot ad = k \cdot bc\). Da \(k \neq 0\), ist dies äquivalent zur ursprünglichen Bedingung für Unabhängigkeit.

42212511

In Urne A befinden sich 6 rote und 4 blaue Kugeln. In Urne B liegen \(k\) rote und \(2k\) blaue Kugeln (\(k \in \mathbb{N}^+\)). Zuerst wird eine Kugel zufällig aus Urne A entnommen und in Urne B gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus Urne B gezogen und in Urne A zurückgelegt. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich nach diesem Vorgang wieder genau 6 rote Kugeln in Urne A befinden, in Abhängigkeit von \(k\). b) Für einen bestimmten Wert von \(k\) beträgt die Wahrscheinlichkeit aus Teilaufgabe a) genau \(P = \frac{19}{35}\). Berechne diesen Wert für \(k\). c) Untersuche rechnerisch, ob die Ereignisse \(R_1\): „Die erste aus Urne A gezogene Kugel ist rot“ und \(G\): „Die Zusammensetzung von Urne A ist nach dem Zurücklegen der zweiten Kugel identisch mit der Ausgangssituation“ stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Welche Kombinationen von Zügen führen dazu, dass die Anzahl der roten Kugeln am Ende gleich bleibt? - Wie viele Kugeln befinden sich in Urne B, nachdem eine Kugel aus Urne A hinzugefügt wurde? - Erinnere dich an die Definition: Wann nennt man zwei Ereignisse stochastisch unabhängig? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Wahrscheinlichkeit des Schnittereignisses mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten verglichen wird.

Lösung

1. Definition der Übergangswahrscheinlichkeiten: Aus Urne A wird mit \(P(R_1) = \frac{6}{10} = 0{,}6\) eine rote und mit \(P(B_1) = 0{,}4\) eine blaue Kugel gezogen. 2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten für die Rückgabe aus Urne B (insgesamt \(3k+1\) Kugeln): - Wenn \(R_1\) eintritt: Urne B hat \(k+1\) rote Kugeln; \(P(R_2|R_1) = \frac{k+1}{3k+1}\). - Wenn \(B_1\) eintritt: Urne B hat \(2k+1\) blaue Kugeln; \(P(B_2|B_1) = \frac{2k+1}{3k+1}\). 3. Berechnung von \(P(G)\): Die Anzahl der roten Kugeln bleibt 6, wenn entweder eine rote Kugel hin- und hergewechselt wird oder eine blaue Kugel hin- und hergewechselt wird. \(P(G) = P(R_1 \cap R_2) + P(B_1 \cap B_2) = 0{,}6 \cdot \frac{k+1}{3k+1} + 0{,}4 \cdot \frac{2k+1}{3k+1} = \frac{1{,}4k + 1}{3k+1} = \frac{7k+5}{15k+5}\). 4. Lösung der Gleichung für \(k\): \(\frac{7k+5}{15k+5} = \frac{19}{35} \iff 35(7k+5) = 19(15k+5) \iff 245k + 175 = 285k + 95 \iff 80 = 40k \iff k = 2\). 5. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(P(R_1) \cdot P(G) = 0{,}6 \cdot \frac{1{,}4k+1}{3k+1} = \frac{0{,}84k+0{,}6}{3k+1}\). \(P(R_1 \cap G) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1) = 0{,}6 \cdot \frac{k+1}{3k+1} = \frac{0{,}6k+0{,}6}{3k+1}\). Gleichsetzen: \(0{,}84k + 0{,}6 = 0{,}6k + 0{,}6 \iff 0{,}24k = 0 \iff k = 0\). Da \(k > 0\), sind die Ereignisse für alle zulässigen \(k\) stochastisch abhängig.

Antwort

a) \(P(G) = \frac{1{,}4k + 1}{3k+1} = \frac{7k+5}{15k+5}\) b) \(k = 2\) c) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(R_1 \cap G) \neq P(R_1) \cdot P(G)\) für alle \(k > 0\) gilt.

42212611

Ein Behälter 1 enthält 5 schwarze und 5 weiße Chips. Ein Behälter 2 enthält \(n\) schwarze und 10 weiße Chips (\(n \in \mathbb{N}^+\)). Es wird ein Chip aus Behälter 1 gezogen und in Behälter 2 gelegt. Danach wird ein Chip aus Behälter 2 gezogen. Betrachtet werden die Ereignisse \(S_1\): „Der erste Chip ist schwarz“ und \(S_2\): „Der zweite Chip ist schwarz“. a) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit für \(S_2\) durch \(P(S_2) = \frac{2n+1}{2n+22}\) gegeben ist. b) Bestimme den Wert von \(n\), für den die Wahrscheinlichkeit, dass beide Chips schwarz sind, genau \(\frac{3}{26}\) beträgt. c) Prüfe, ob es einen Wert für \(n\) gibt, sodass die Ereignisse \(S_1\) und \(S_2\) stochastisch unabhängig sind. Begründe dein Ergebnis.

Denkanstöße

- Verwende die Pfadregeln im Baumdiagramm, um die Wahrscheinlichkeiten zu verknüpfen. - Beachte, dass sich die Anzahl der Chips im zweiten Behälter nach dem ersten Zug ändert. - Wie wirkt sich die Farbe des ersten Chips auf die Zusammensetzung des zweiten Behälters aus? - Unabhängigkeit bedeutet, dass das Eintreten von \(S_1\) keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von \(S_2\) hat.

Lösung

1. Baumdiagramm erstellen: - Erster Zug aus Behälter 1: \(P(S_1) = \frac{5}{10} = 0{,}5\); \(P(W_1) = 0{,}5\). - Zweiter Zug aus Behälter 2 (enthält nun \(n+11\) Chips): - Falls \(S_1\): Behälter 2 hat \(n+1\) schwarze Chips; \(P(S_2|S_1) = \frac{n+1}{n+11}\). - Falls \(W_1\): Behälter 2 hat \(n\) schwarze Chips; \(P(S_2|W_1) = \frac{n}{n+11}\). 2. Totale Wahrscheinlichkeit \(P(S_2)\): \(P(S_2) = P(S_1) \cdot P(S_2|S_1) + P(W_1) \cdot P(S_2|W_1) = 0{,}5 \cdot \frac{n+1}{n+11} + 0{,}5 \cdot \frac{n}{n+11} = \frac{n+0{,}5}{n+11} = \frac{2n+1}{2n+22}\). 3. Berechnung von \(n\) für Teil b): \(P(S_1 \cap S_2) = P(S_1) \cdot P(S_2|S_1) = 0{,}5 \cdot \frac{n+1}{n+11} = \frac{n+1}{2n+22}\). Setze \(\frac{n+1}{2n+22} = \frac{3}{26} \implies 26(n+1) = 3(2n+22) \implies 26n + 26 = 6n + 66 \implies 20n = 40 \implies n = 2\). 4. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(S_1\) und \(S_2\) wären unabhängig, wenn \(P(S_2|S_1) = P(S_2)\) gilt. \(\frac{n+1}{n+11} = \frac{2n+1}{2n+22} \iff 2(n+1)(n+11) = (2n+1)(n+11)\). Da \(n+11 > 0\), folgt \(2n+2 = 2n+1\), also \(2 = 1\). Dies ist ein Widerspruch. Daher gibt es keinen Wert \(n \in \mathbb{N}^+\), für den die Ereignisse unabhängig sind.

Antwort

a) Nachweis durch totale Wahrscheinlichkeit: \(P(S_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+1}{n+11} + \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{n+11} = \frac{n+0{,}5}{n+11} = \frac{2n+1}{2n+22}\). b) \(n = 2\) c) Es gibt kein solches \(n\), da die Bedingung für Unabhängigkeit auf den Widerspruch \(2 = 1\) führt.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.