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Korrelation und Kausalität unterscheiden

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42210111
In einer sozialwissenschaftlichen Studie wurde untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen dem regelmäßigen Sporttreiben der Eltern (\(E\)) und dem Sportverhalten ihrer Kinder (\(K\)) besteht. Dazu wurden \(500\) Familien befragt. Die Ergebnisse sind in der folgenden Vierfeldertafel dargestellt: <table> <tr> <td></td> <td>\(K\)</td> <td>\(\overline{K}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(E\)</td> <td>\(120\)</td> <td>\(80\)</td> <td>\(200\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{E}\)</td> <td>\(60\)</td> <td>\(240\)</td> <td>\(300\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(180\)</td> <td>\(320\)</td> <td>\(500\)</td> </tr> </table> a) Untersuche mithilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten, ob das Sportverhalten der Kinder stochastisch unabhängig von dem der Eltern ist. b) Das Ergebnis zeigt eine statistische Abhängigkeit. Erläutere kurz, warum man hieraus nicht zwingend schließen kann, dass das Vorbild der Eltern die alleinige Ursache für das Sportverhalten der Kinder ist.

Denkanstöße

- Überlege, wie sich die Wahrscheinlichkeit für das Verhalten des Kindes ändert, wenn man Informationen über die Eltern hat. - Was bedeutet es für die Unabhängigkeit, wenn zwei Anteile in der Tabelle unterschiedlich groß sind? - Gibt es andere Gründe außer dem direkten Einfluss der Eltern, warum beide sportlich sein könnten? - Bedenke den Unterschied zwischen einer statistischen Beobachtung und einem Wirkungszusammenhang.

Lösung

1. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_E(K)\): \(\frac{120}{200} = 0{,}6\). 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{E}}(K)\): \(\frac{60}{300} = 0{,}2\). 3. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: Da \(P_E(K) = 0{,}6 \neq P_{\overline{E}}(K) = 0{,}2\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig. Alternativ zeigt der Vergleich mit der Gesamtwahrscheinlichkeit \(P(K) = \frac{180}{500} = 0{,}36\), dass Vorwissen über die Eltern die Erwartung für das Kind verändert. 4. Interpretation der Kausalität: Die stochastische Abhängigkeit belegt lediglich eine Korrelation. Die Ursache könnte das elterliche Vorbild sein (Kausalität), aber auch andere Faktoren wie genetische Veranlagung, ein gemeinsames soziales Umfeld oder finanzielle Möglichkeiten der Familie könnten beide Merkmale gleichzeitig beeinflussen (Scheinkorrelation).

Antwort

a) Wegen \(P_E(K) = 0{,}6\) und \(P_{\overline{E}}(K) = 0{,}2\) (bzw. \(P(K) = 0{,}36\)) sind die Ereignisse stochastisch abhängig. b) Eine statistische Abhängigkeit (Korrelation) bedeutet nicht automatisch Kausalität. Es könnten Drittvariablen wie Genetik oder das soziale Umfeld vorliegen, die sowohl das Verhalten der Eltern als auch das der Kinder beeinflussen.
42210211
Ein Marktforschungsinstitut untersucht den Zusammenhang zwischen der Nutzung einer speziellen Vokabel-App (\(A\)) und dem Bestehen einer Sprachprüfung (\(B\)). Die Daten von \(800\) Teilnehmenden sind in der Tabelle zusammengefasst: <table> <tr> <td></td> <td>\(B\)</td> <td>\(\overline{B}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(A\)</td> <td>\(240\)</td> <td>\(80\)</td> <td>\(320\)</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{A}\)</td> <td>\(120\)</td> <td>\(360\)</td> <td>\(480\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(360\)</td> <td>\(440\)</td> <td>\(800\)</td> </tr> </table> a) Prüfe mithilfe der Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse, ob die Nutzung der App und das Bestehen der Prüfung stochastisch unabhängig sind. b) Diskutiere die Aussage: „Die App führt dazu, dass man die Prüfung besteht.“ Gehe dabei auf den Unterschied zwischen Korrelation und Kausalität ein.

Denkanstöße

- Wann gilt ein Ereignispaar als stochastisch unabhängig? Erinnere dich an die Formel mit dem Produkt. - Berechne zuerst alle benötigten Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle. - Nur weil zwei Dinge oft gemeinsam auftreten, muss das eine nicht die Ursache für das andere sein. - Könnte es eine dritte Eigenschaft geben, die beides erklärt?

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus den Randsummen: \(P(A) = \frac{320}{800} = 0{,}4\) und \(P(B) = \frac{360}{800} = 0{,}45\). 2. Berechnung des Produkts der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(A) \cdot P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}45 = 0{,}18\). 3. Bestimmung der tatsächlichen Schnittwahrscheinlichkeit: \(P(A \cap B) = \frac{240}{800} = 0{,}3\). 4. Vergleich: Da \(P(A \cap B) = 0{,}3 \neq 0{,}18\) ist, liegt eine stochastische Abhängigkeit vor. 5. Kausale Analyse: Die Daten belegen eine positive Korrelation (App-Nutzer bestehen häufiger). Dies beweist jedoch keine direkte Kausalität. Es ist möglich, dass besonders motivierte Lernende eher zur App greifen und gleichzeitig wegen ihrer Motivation (und nicht nur wegen der App) die Prüfung bestehen. Die Motivation wäre hier die gemeinsame Ursache.

Antwort

a) Wegen \(P(A \cap B) = 0{,}3\) und \(P(A) \cdot P(B) = 0{,}18\) sind die Ereignisse stochastisch abhängig. b) Die statistische Abhängigkeit zeigt nur eine Korrelation. Eine Kausalität ist zwar möglich, aber nicht bewiesen, da auch Drittvariablen (wie z. B. die allgemeine Lernmotivation) sowohl die App-Nutzung als auch den Prüfungserfolg beeinflussen könnten.
42210911
In einer Untersuchung an einer Schule mit \(200\) Jugendlichen wurde der Zusammenhang zwischen regelmäßigem Frühstück und der Konzentrationsfähigkeit in der ersten Unterrichtsstunde untersucht. Die Ergebnisse sind in der folgenden Vierfeldertafel dargestellt: <table> <tr> <td></td> <td>\(K\) (hohe Konzentration)</td> <td>\(\overline{K}\) (niedrige Konzentration)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(F\) (frühstückt)</td> <td>72</td> <td>48</td> <td>120</td> </tr> <tr> <td>\(\overline{F}\) (frühstückt nicht)</td> <td>18</td> <td>62</td> <td>80</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>90</td> <td>110</td> <td>200</td> </tr> </table> Eine Person wird zufällig ausgewählt. a) Weise rechnerisch nach, dass die Ereignisse \(F\) und \(K\) stochastisch abhängig sind. b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P(F \cap K)\) und \(P_F(K)\). Beschreibe die Korrelation der Merkmale im Sachzusammenhang und nenne eine plausible Erklärung oder mögliche Drittvariable. Stelle klar, dass die Daten keine Kausalität nachweisen.

Denkanstöße

- Woran erkennt man mathematisch, ob zwei Ereignisse stochastisch abhängig oder unabhängig sind? - Überlege, was die Schnittmenge \(F \cap K\) im Vergleich zur bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_F(K)\) aussagt. - Unterscheide zwischen einer rein statistischen Beobachtung und dem tatsächlichen biologischen oder psychologischen Grund dafür.

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(F)=\frac{120}{200}=0{,}6\), \(P(K)=\frac{90}{200}=0{,}45\) und \(P(F\cap K)=\frac{72}{200}=0{,}36\). 2. Es gilt \(P(F)\cdot P(K)=0{,}6\cdot0{,}45=0{,}27\). Da \(0{,}36\neq0{,}27\), sind \(F\) und \(K\) stochastisch abhängig. 3. Die geforderten Wahrscheinlichkeiten sind \(P(F\cap K)=0{,}36\) und \(P(K\mid F)=\frac{72}{120}=0{,}6\). 4. In den Daten besteht eine positive statistische Beziehung: Unter den Jugendlichen, die frühstücken, liegt der Anteil mit hoher Konzentration bei \(60\,\%\), insgesamt jedoch bei \(45\,\%\). Die Untersuchung zeigt keine Ursache-Wirkungs-Beziehung. Als plausible Erklärung kommen etwa Schlafdauer, allgemeine Gesundheitsgewohnheiten oder familiäre Rahmenbedingungen als Drittvariablen infrage; auch ein direkter Einfluss des Frühstücks wäre nur eine Hypothese, die mit einem geeigneten Studiendesign geprüft werden müsste.

Antwort

a) \(P(F\cap K)=0{,}36\neq P(F)\cdot P(K)=0{,}27\). Die Ereignisse sind stochastisch abhängig. b) \(P(F\cap K)=0{,}36\); \(P(K\mid F)=0{,}6\). Es liegt eine positive statistische Beziehung vor. Die Daten belegen keine Kausalität; mögliche Erklärungen sind unter anderem Schlafdauer oder andere Gesundheitsgewohnheiten.
42211111
In einer Untersuchung an verschiedenen Gymnasien wird festgestellt, dass Schülerinnen und Schüler, die ein Musikinstrument spielen, im Durchschnitt signifikant bessere Noten im Fach Mathematik erzielen. Ein Musiklehrer fordert daraufhin in der Schulkonferenz: „Jeder Schüler muss verpflichtend ein Instrument erlernen, damit das allgemeine mathematische Leistungsniveau unserer Schule steigt.“ Nimm zu der Forderung des Musiklehrers Stellung. Unterscheide dabei zwischen den Begriffen Korrelation und Kausalität und identifiziere eine mögliche Drittvariable, die den beobachteten statistischen Zusammenhang erklären könnte.

Denkanstöße

- Bedeutet ein gemeinsames Auftreten zweier Merkmale immer, dass das eine das andere verursacht? - Überlege, welche anderen Faktoren sowohl das Interesse an Musik als auch den schulischen Erfolg beeinflussen könnten. - Was versteht man unter einer Scheinkorrelation? - Könnte es eine gemeinsame Ursache im Hintergrund geben?

Lösung

1. Identifikation des statistischen Zusammenhangs: Es liegt eine positive Korrelation zwischen dem Spielen eines Instruments und den Mathematikleistungen vor, was bedeutet, dass beide Merkmale gemeinsam auftreten. 2. Analyse der Kausalität: Der Musiklehrer nimmt fälschlicherweise eine Kausalität an, also eine direkte Ursache-Wirkungs-Beziehung (\(\text{Instrument} \rightarrow \text{Mathematiknote}\)). Ein statistischer Zusammenhang beweist jedoch keine solche Wirkung. 3. Identifikation einer Drittvariable: Eine mögliche Störvariable ist das häusliche Umfeld oder der sozioökonomische Status der Eltern. Eltern, die Bildung stark fördern, ermöglichen ihren Kindern oft sowohl Musikunterricht als auch zusätzliche Unterstützung in der Schule. 4. Bewertung: Die Forderung ist mathematisch nicht fundiert, da das Erlernen eines Instruments ohne die zugrunde liegenden Förderfaktoren nicht zwangsläufig zu besseren Noten führt.

Antwort

Die Forderung des Musiklehrers ist kritisch zu sehen, da er Korrelation (statistischer Zusammenhang) mit Kausalität (Ursache-Wirkungs-Prinzip) verwechselt. Nur weil beide Ereignisse oft zusammen auftreten, muss das Musizieren nicht die Ursache für die Mathematiknote sein. Eine mögliche Drittvariable ist das familiäre Umfeld oder der sozioökonomische Status der Eltern, welcher sowohl den Zugang zu Musikinstrumenten als auch die schulische Leistung positiv beeinflussen kann.
42213511
Im Rahmen einer Studie zum Thema „Gesundheit und Bewegung“ gaben \(40\,\%\) der Befragten an, regelmäßig Sport zu treiben (Ereignis \(S\)). Insgesamt äußerten \(55\,\%\) der Teilnehmenden, dass sie mit ihrer körperlichen Fitness zufrieden sind (Ereignis \(F\)). Der Anteil derer, die sowohl regelmäßig Sport treiben als auch mit ihrer Fitness zufrieden sind, liegt bei \(35\,\%\) aller Befragten. Eine befragte Person wird zufällig ausgewählt. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten \(P(F)\) und \(P_S(F)\). b) Prüfe die Ereignisse \(S\) und \(F\) auf stochastische Unabhängigkeit. c) Interpretiere den Zusammenhang zwischen \(S\) und \(F\) im Hinblick auf eine mögliche Kausalität.

Denkanstöße

- Was ist der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit für eine Eigenschaft in der gesamten Gruppe und der Wahrscheinlichkeit innerhalb einer Untergruppe? - Wie verhält sich die bedingte Wahrscheinlichkeit im Vergleich zur Gesamtwahrscheinlichkeit bei Unabhängigkeit? - Bedeutet ein statistischer Zusammenhang automatisch, dass das eine Ereignis die direkte Ursache für das andere ist? - Könnte es andere Faktoren geben, die beide Merkmale gleichzeitig beeinflussen?

Lösung

1. Gegebene Wahrscheinlichkeiten identifizieren: \(P(S) = 0{,}40\), \(P(F) = 0{,}55\) und \(P(S \cap F) = 0{,}35\). 2. Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P_S(F) = \frac{P(S \cap F)}{P(S)} = \frac{0{,}35}{0{,}40} = 0{,}875\). 3. Prüfung auf Unabhängigkeit: Da \(P_S(F) = 0{,}875 \neq P(F) = 0{,}55\) gilt (bzw. \(P(S) \cdot P(F) = 0{,}22 \neq 0{,}35\)), sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 4. Kausalitätsbetrachtung: Es besteht eine positive Korrelation, da Sporttreibende eine deutlich höhere Wahrscheinlichkeit für Fitnesszufriedenheit haben. Eine direkte kausale Wirkung des Sporttreibens auf die Zufriedenheit ist plausibel, aber aus diesen Daten nicht nachgewiesen. Ebenso sind eine umgekehrte Wirkungsrichtung oder Drittvariablen wie ein allgemeines Gesundheitsbewusstsein möglich.

Antwort

a) \(P(F) = 0{,}55\); \(P_S(F) = 0{,}875\) b) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P_S(F) \neq P(F)\). c) Es besteht eine positive Korrelation. Eine kausale Wirkung des Sporttreibens ist möglich, wird durch diese Daten allein aber nicht belegt; auch eine umgekehrte Wirkungsrichtung oder Drittvariablen kommen infrage.
42213611
Eine Analyse einer Online-Lernplattform ergab, dass \(60\,\%\) der Studierenden die optionalen Übungsmaterialien vollständig bearbeitet haben (Ereignis \(M\)). Es zeigte sich, dass \(10\,\%\) aller Studierenden die Materialien nicht vollständig bearbeitet, aber die Abschlussprüfung dennoch bestanden haben (Ereignis \(B\)). Insgesamt haben \(65\,\%\) aller Studierenden die Prüfung bestanden. Eine Person wird zufällig ausgewählt. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P_M(B)\). b) Untersuche, ob das Bestehen der Prüfung stochastisch unabhängig von der Bearbeitung der Materialien ist. c) Erläutere, warum man aus dem Ergebnis nicht zwingend schließen kann, dass die Materialien die alleinige Ursache für das Bestehen sind.

Denkanstöße

- Kannst du die Informationen in einer Vierfeldertafel anordnen, um fehlende Werte zu finden? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen unter der Bedingung, dass die Materialien bearbeitet wurden? - Denke an Faktoren wie Vorwissen oder Motivation – könnten diese sowohl die Bearbeitung als auch den Erfolg beeinflussen? - Was müsste gelten, damit die Bearbeitung der Materialien und das Bestehen der Prüfung stochastisch unabhängig wären?

Lösung

1. Gegebene Werte: \(P(M) = 0{,}60\), \(P(\bar{M} \cap B) = 0{,}10\), \(P(B) = 0{,}65\). 2. Schnittmenge berechnen: \(P(M \cap B) = P(B) - P(\bar{M} \cap B) = 0{,}65 - 0{,}10 = 0{,}55\). 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P_M(B) = \frac{P(M \cap B)}{P(M)} = \frac{0{,}55}{0{,}60} = \frac{11}{12} \approx 0{,}917\). 4. Unabhängigkeit prüfen: \(P(M) \cdot P(B) = 0{,}60 \cdot 0{,}65 = 0{,}39\). Da \(0{,}39 \neq 0{,}55\), liegt stochastische Abhängigkeit vor. 5. Kausalität: Obwohl die Erfolgsquote bei Bearbeitung der Materialien (\(91{,}7\,\%\)) viel höher ist als ohne (\(P_{\bar{M}}(B) = \frac{0{,}10}{0{,}40} = 0{,}25\)), könnte eine Drittvariable wie „hohe Lernmotivation“ sowohl die Bearbeitung als auch den Prüfungserfolg bedingen (Scheinkorrelation).

Antwort

a) \(P_M(B) \approx 0{,}917\) (bzw. \(\frac{11}{12}\)) b) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(M \cap B) \neq P(M) \cdot P(B)\). c) Es besteht eine starke positive Abhängigkeit (Korrelation). Ein kausaler Effekt ist plausibel, aber nicht belegt; außerdem könnten motiviertere oder leistungsstärkere Studierende eher dazu neigen, die Materialien zu nutzen und gleichzeitig eher die Prüfung zu bestehen (Konfundierung).
43758311
In einer Bevölkerung unterstützen \(40\,\%\) einen Vorschlag. Von den Unterstützenden nehmen \(80\,\%\) an einer Onlineumfrage teil, von den übrigen nur \(30\,\%\). Wie groß ist der Unterstützeranteil unter den Teilnehmenden, und warum bildet er die Bevölkerung verzerrt ab?
Abbildung zur Aufgabe 437583

Denkanstöße

- Berechne für beide Meinungsgruppen den Anteil, der tatsächlich in der Umfrage erscheint. - Vergleiche die Zusammensetzung der Teilnehmenden mit der Zusammensetzung der Bevölkerung.

Lösung

1. Unterstützt und nimmt teil: \(0{,}4\cdot0{,}8=0{,}32\). 2. Unterstützt nicht und nimmt teil: \(0{,}6\cdot0{,}3=0{,}18\). 3. Teilnahme insgesamt: \(0{,}5\); Unterstützeranteil unter Teilnehmenden: \(0{,}32:0{,}5=0{,}64\). 4. Unterschiedliche Teilnahmequoten verändern die Zusammensetzung der Stichprobe.

Antwort

Unter den Teilnehmenden unterstützen \(64\,\%\) den Vorschlag; die freiwillige Teilnahme verzerrt das Ergebnis.
43758811
In einer Befragung trinken \(60\,\%\) regelmäßig Kaffee (Ereignis \(K\)), \(30\,\%\) kommen häufig zu spät (Ereignis \(Z\)), und \(18\,\%\) erfüllen beides. Prüfe die stochastische Unabhängigkeit und erkläre, ob daraus eine Aussage über Ursache und Wirkung folgt.
Abbildung zur Aufgabe 437588

Denkanstöße

- Vergleiche die beobachtete Schnittmenge mit dem Wert aus den beiden Einzelanteilen. - Trenne eine rechnerische Beziehung von einer Ursache-Wirkungs-Aussage.

Lösung

1. Produkt der Randwahrscheinlichkeiten: \(0{,}6\cdot0{,}3=0{,}18\). 2. Gleichheit mit \(P(K\cap Z)=0{,}18\); Ereignisse im Modell unabhängig. 3. Unabhängigkeit ist eine statistische Eigenschaft; keine Aussage über eine kausale Wirkung.

Antwort

Im Datensatz unabhängig; daraus folgt keine Kausalaussage.
43759011
Eine Lernplattform wird von \(40\,\%\) der Schülerinnen und Schüler intensiv und von \(60\,\%\) selten genutzt. Intensive Nutzende bestehen eine Prüfung zu \(85\,\%\), selten Nutzende zu \(55\,\%\). Eine Schülerin hat bestanden. Bestimme \(P(\text{intensive Nutzung}\mid\text{bestanden})\) und bewerte die Aussage „Die Plattform verursacht den Prüfungserfolg.“
Abbildung zur Aufgabe 437590

Denkanstöße

- Berechne beide Wege zum bestandenen Ergebnis. - Überlege, ob beobachtete Gruppenunterschiede andere Ursachen haben könnten.

Lösung

1. Intensiv und bestanden: \(0{,}4\cdot0{,}85=0{,}34\). 2. Selten und bestanden: \(0{,}6\cdot0{,}55=0{,}33\). 3. Bestanden insgesamt: \(0{,}67\); \(P(\text{intensiv}\mid\text{bestanden})=0{,}34:0{,}67=\frac{34}{67}\approx 0{,}5075\). 4. Beobachteter Zusammenhang allein belegt keine Ursache; mögliche weitere Einflussgrößen bleiben unberücksichtigt.

Antwort

\(\frac{34}{67}\approx 50{,}7\,\%\); eine kausale Wirkung ist damit nicht bewiesen.
43758911
Bei einer Langzeitbeobachtung in einem Freibad ist jede Beobachtung der Besuch einer Person an einem bestimmten Tag. \(60\,\%\) der beobachteten Besuche finden an sonnigen Tagen statt. Bei Besuchen an sonnigen Tagen kaufen \(80\,\%\) der Personen Eis und \(50\,\%\) bekommen Sonnenbrand; bei Besuchen an bewölkten Tagen sind es \(20\,\%\) beziehungsweise \(5\,\%\). Unterstelle innerhalb jeder Wetterlage Unabhängigkeit zwischen Eiskauf und Sonnenbrand. Berechne \(P(\text{Sonnenbrand}\mid\text{Eiskauf})\) und erkläre, warum ein beobachteter Zusammenhang nicht belegt, dass der Eiskauf den Sonnenbrand verursacht.
Abbildung zur Aufgabe 437589

Denkanstöße

- Zerlege Eiskauf und Sonnenbrand nach den beiden Wetterlagen. - Suche nach einer dritten Größe, die beide beobachteten Merkmale beeinflusst.

Lösung

1. Eiskauf und Sonnenbrand bei einem beobachteten Besuch: \(0{,}6\cdot0{,}8\cdot0{,}5+0{,}4\cdot0{,}2\cdot0{,}05=0{,}244\). 2. Eiskauf insgesamt: \(0{,}6\cdot0{,}8+0{,}4\cdot0{,}2=0{,}56\). 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Sonnenbrand}\mid\text{Eiskauf})=0{,}244:0{,}56\approx0{,}4357\). 4. Die Wetterlage beeinflusst sowohl die Wahrscheinlichkeit eines Eiskaufs als auch die eines Sonnenbrands. Daher kann der Zusammenhang durch diese gemeinsame Einflussgröße entstehen und belegt keine Verursachung durch den Eiskauf.

Antwort

\(P(\text{Sonnenbrand}\mid\text{Eiskauf})\approx 43{,}6\,\%\); das Wetter ist eine gemeinsame Einflussgröße.

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