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- Welche Informationen sind direkt gegeben und welche musst du durch Subtraktion bestimmen? - Überlege dir, welche Ereignisse in die Zeilen und welche in die Spalten der Tabelle gehören. - Achte bei der Wahrscheinlichkeit darauf, welche Gruppe die „Basis“ bildet (alle Lampen oder nur die aussortierten?). - Was bedeutet es für eine Firma, wenn funktionierende Produkte im Müll landen?

1. Bestimmung der Grundgesamtheit und der Teilmengen: Gesamtzahl \(N = 5\,000\). Anzahl defekt \(D = 150\), Anzahl intakt \(\bar{D} = 4\,850\). 2. Zuordnung der Testwerte: Richtig positiv (defekt und aussortiert) \(N(D \cap A) = 140\). Falsch positiv (intakt und aussortiert) \(N(\bar{D} \cap A) = 200\). 3. Berechnung der restlichen Werte für die Vierfeldertafel: Falsch negativ (defekt, nicht aussortiert) \(N(D \cap \bar{A}) = 150 - 140 = 10\). Richtig negativ (intakt, nicht aussortiert) \(N(\bar{D} \cap \bar{A}) = 4\,850 - 200 = 4\,650\). 4. Summenbildung für die Testausgänge: Gesamtzahl aussortiert \(N(A) = 140 + 200 = 340\). Gesamtzahl nicht aussortiert \(N(\bar{A}) = 10 + 4\,650 = 4\,660\). 5. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit für b): \(P(\bar{D}|A) = \frac{N(\bar{D} \cap A)}{N(A)} = \frac{200}{340} = \frac{10}{17} \approx 0{,}5882\). 6. Interpretation für c): Da ca. \(58{,}8\,\%\) der aussortierten Lampen eigentlich funktionieren, entstehen dem Betrieb unnötige Kosten durch Materialverlust oder zusätzlichen Prüfaufwand.

a) Die Vierfeldertafel sieht wie folgt aus: <table> <tr><th></th><th>Aussortiert (A)</th><th>Nicht aussortiert (\(\bar{A}\))</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>Defekt (D)</th><td>140</td><td>10</td><td>150</td></tr> <tr><th>Intakt (\(\bar{D}\))</th><td>200</td><td>4650</td><td>4850</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>340</td><td>4660</td><td>5000</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\bar{D}|A) = \frac{200}{340} \approx 58{,}82\,\%\). c) Die hohe Fehlerquote bei der Aussortierung führt dazu, dass mehr als die Hälfte der weggeworfenen oder nachzubearbeitenden Lampen eigentlich gut waren, was die Effizienz senkt und Kosten verursacht.

- Trage zuerst die absoluten Häufigkeiten in die Tabelle ein. - Was ist die Grundgesamtheit bei der Frage nach den Kindern, die den Test nicht bestanden haben? - Vergleiche für die Zuverlässigkeit zwei verschiedene bedingte Wahrscheinlichkeiten. - Überlege, was „sicher ausschließen“ im Kontext der Tabelle bedeutet.

1. Grundwerte: \(N = 200\). Talentierte Kinder \(T = 40\), nicht talentiert \(\bar{T} = 160\). 2. Testergebnisse: Richtig positiv \(N(T \cap +) = 36\). Falsch positiv \(N(\bar{T} \cap +) = 10\). 3. Fehlende Werte: Falsch negativ \(N(T \cap -) = 40 - 36 = 4\). Richtig negativ \(N(\bar{T} \cap -) = 160 - 10 = 150\). 4. Spaltensummen: Test positiv \(N(+) = 36 + 10 = 46\). Test negativ \(N(-) = 4 + 150 = 154\). 5. Wahrscheinlichkeit für b): \(P(\bar{T}|-) = \frac{N(\bar{T} \cap -)}{N(-)} = \frac{150}{154} \approx 0{,}9740\). 6. Vergleich für c): Wahrscheinlichkeit für Talent bei positivem Test: \(P(T|+) = \frac{36}{46} \approx 0{,}7826\). Da \(P(\bar{T}|-) \approx 97{,}4\,\%\) deutlich höher ist als \(P(T|+) \approx 78{,}3\,\%\), ist der Test zuverlässiger darin, ungeeignete Kinder auszuschließen.

a) Vierfeldertafel: <table> <tr><th></th><th>Test positiv (+)</th><th>Test negativ (-)</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>Kann hoch singen (T)</th><td>36</td><td>4</td><td>40</td></tr> <tr><th>Kann nicht hoch singen (\(\bar{T}\))</th><td>10</td><td>150</td><td>160</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>46</td><td>154</td><td>200</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\bar{T}|-) = \frac{150}{154} \approx 97{,}40\,\%\). c) Der Test ist besser darin, Nicht-Talente auszuschließen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein negativ getestetes Kind wirklich nicht singen kann, liegt bei ca. \(97{,}4\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getestetes Kind wirklich talentiert ist, liegt nur bei ca. \(78{,}3\,\%\).

- Wie viele Tage gab es insgesamt ohne Alarm und ohne Brand? - Was bedeutet „jeden Brand erkannt“ für die Zahl der verpassten Brände in deiner Tabelle? - Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen echten Brand, wenn die Sirene schrillt. - Überlege, warum viele Fehlalarme die Sicherheit gefährden könnten, auch wenn kein Brand verpasst wird.

1. Analyse der Daten: Gesamttage \(N = 365\). Tage mit Brand \(B = 5\), Tage ohne Brand \(\bar{B} = 360\). 2. Alarme: Richtig positiv (Alarm bei Brand) \(N(B \cap A) = 5\). Falsch positiv (Alarm ohne Brand) \(N(\bar{B} \cap A) = 10\). 3. Restliche Felder: Falsch negativ (kein Alarm bei Brand) \(N(B \cap \bar{A}) = 5 - 5 = 0\). Richtig negativ (kein Alarm ohne Brand) \(N(\bar{B} \cap \bar{A}) = 360 - 10 = 350\). 4. Summe Alarme: \(N(A) = 5 + 10 = 15\). 5. Wahrscheinlichkeit für b): \(P(B|A) = \frac{N(B \cap A)}{N(A)} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\). 6. Diskussion für c): Die Aussage ist technisch korrekt bezüglich der Sensitivität (alle Brände erkannt), aber im Alltag problematisch, da bei einem Alarm nur mit einer Wahrscheinlichkeit von \(33{,}3\,\%\) wirklich ein Feuer vorliegt. Zwei von drei Alarmen sind Fehlalarme.

a) Vierfeldertafel: <table> <tr><th></th><th>Alarm (A)</th><th>Kein Alarm (\(\bar{A}\))</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>Brand (B)</th><td>5</td><td>0</td><td>5</td></tr> <tr><th>Kein Brand (\(\bar{B}\))</th><td>10</td><td>350</td><td>360</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>15</td><td>350</td><td>365</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(B|A) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 33{,}33\,\%\). c) Die Aussage ist einseitig. Zwar ist die Trefferquote bei Bränden \(100\,\%\) (kein Brand wurde übersehen), aber die Vorhersagekraft eines Alarms ist gering. Da nur jeder dritte Alarm echt ist, besteht die Gefahr, dass Mitarbeiter Alarme irgendwann ignorieren (Gewöhnungseffekt).

- Welche Kombinationen aus „defekt/einwandfrei“ und „Alarm/kein Alarm“ gibt es? - Wie viele Bauteile lösen insgesamt einen Alarm aus? - Achte bei der bedingten Wahrscheinlichkeit darauf, welche Information bereits bekannt ist – das ist deine neue Grundmenge. - Könnte ein Baumdiagramm helfen, die Pfade für „defekt“ und „nicht defekt“ sowie die darauf folgenden Testreaktionen zu visualisieren?

1. Definition der Ereignisse: \(D\): „Bauteil ist defekt“, \(A\): „Test gibt Alarm“. Gegeben sind \(n = 100\), \(|D| = 8\), \(|A \cap D| = 7\) und \(|A \cap \bar{D}| = 5\). 2. Berechnung für a): Die Gesamtzahl der Alarme setzt sich aus den Alarmen bei defekten und einwandfreien Bauteilen zusammen: \(|A| = |A \cap D| + |A \cap \bar{D}| = 7 + 5 = 12\). Somit ist \(P(A) = \frac{12}{100} = 0{,}12\). 3. Berechnung für b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(D|A) = \frac{|D \cap A|}{|A|} = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\). 4. Berechnung für c): Die Anzahl der Fälle ohne Alarm ist \(|\bar{A}| = 100 - 12 = 88\). Die Anzahl der defekten Bauteile, bei denen kein Alarm ausgelöst wurde, ist \(|D \cap \bar{A}| = |D| - |D \cap A| = 8 - 7 = 1\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(P(D|\bar{A}) = \frac{|D \cap \bar{A}|}{|\bar{A}|} = \frac{1}{88} \approx 0{,}0114\).

a) \(P(A) = 0{,}12\) b) \(P(D|A) = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\) c) \(P(D|\bar{A}) = \frac{1}{88} \approx 0{,}0114\)

- Überlege dir bei \(P_X(Y)\) immer zuerst: Was ist die Voraussetzung (was wissen wir schon) und was ist das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir suchen? - Wer ist die Zielperson der Untersuchung und was ist ihr größtes Interesse (Sicherheit der Diagnose vs. Fehlervermeidung)? - Was bedeutet das Symbol mit dem Querstrich über dem Buchstaben in der Wahrscheinlichkeitsrechnung? - Stell dir vor, du bist selbst der Patient: Welches Wissen hättest du nach dem Test gern über deinen tatsächlichen Gesundheitszustand?

1. Beschreibung der Wahrscheinlichkeiten: (1) Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, wenn die Allergie tatsächlich vorliegt (Sensitivität). (2) Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl eine Allergie vorliegt (Falsch-negativ-Rate). (3) Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, wenn keine Allergie vorliegt (Spezifität). (4) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem positiven Testergebnis tatsächlich eine Allergie vorliegt (positiver Prädiktionswert). (5) Wahrscheinlichkeit, dass der Test fälschlicherweise eine Allergie anzeigt, obwohl keine vorliegt (Irrtumswahrscheinlichkeit bei positivem Befund). (6) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem negativen Testergebnis tatsächlich keine Allergie vorliegt (negativer Prädiktionswert). 2. Bewertung aus Patientensicht: Hat der Patient ein positives Ergebnis (\(T\)), ist für sein Vertrauen in die Diagnose \(P_T(A)\) entscheidend; diese sollte möglichst groß sein. Hat der Patient ein negatives Ergebnis (\(\bar{T}\)), möchte er sicher sein, gesund zu sein; daher sollte \(P_{\bar{T}}(\bar{A})\) möglichst groß sein.

a) (1) Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test bei vorliegender Allergie. (2) Wahrscheinlichkeit für einen negativen Test trotz Allergie. (3) Wahrscheinlichkeit für einen negativen Test, wenn keine Allergie vorliegt. (4) Wahrscheinlichkeit, dass man bei positivem Test wirklich allergisch ist. (5) Wahrscheinlichkeit, dass man trotz positivem Test nicht allergisch ist. (6) Wahrscheinlichkeit, dass man bei negativem Test wirklich nicht allergisch ist. b) Bei einem positiven Test sollte \(P_T(A)\) möglichst groß sein, damit die Diagnose zuverlässig ist. Bei einem negativen Test sollte \(P_{\bar{T}}(\bar{A})\) möglichst groß sein, damit eine Allergie sicher ausgeschlossen werden kann.

- Achte genau darauf, welche Bedingung im Text zuerst genannt wird – das ist die Gruppe, auf die wir uns beziehen (der Index an der Wahrscheinlichkeit \(P\)). - Überlege, was „Ausschuss“ in diesem Kontext bedeutet: Welche Kombination aus tatsächlichem Zustand und Sensormeldung führt dazu, dass eine gute Flasche weggeworfen wird? - Wie gelangen Flaschen zum Kunden? Nur wenn der Sensor „kein Defekt“ meldet. Was darf in diesem Fall nicht vorliegen?

1. Zuordnung der Notationen: (1) \(P_R(\bar{S})\), (2) \(P_{\bar{R}}(S)\), (3) \(P_S(R)\), (4) \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\), (5) \(P_R(S)\), (6) \(P_S(\bar{R})\). 2. Analyse Ziel 1 (keine defekten Flaschen beim Kunden): Kunden erhalten Flaschen, die als einwandfrei eingestuft wurden (\(\bar{S}\)). Damit diese nicht defekt sind, muss \(P_{\bar{S}}(R)\) minimal (nahe \(0\)) oder die Sicherheit \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\) maximal (nahe \(1\)) sein. Alternativ muss die Erkennungsrate \(P_R(S)\) möglichst groß sein. 3. Analyse Ziel 2 (Ausschuss minimieren): Ausschuss entsteht, wenn gute Flaschen (\(\bar{R}\)) als defekt gemeldet werden (\(S\)). Daher muss \(P_{\bar{R}}(S)\) möglichst klein sein.

a) (1) \(P_R(\bar{S})\); (2) \(P_{\bar{R}}(S)\); (3) \(P_S(R)\); (4) \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\); (5) \(P_R(S)\); (6) \(P_S(\bar{R})\). b) Um keine defekten Flaschen auszuliefern, sollte die Erkennungsrate \(P_R(S)\) (5) möglichst groß bzw. die Fehlerrate \(P_R(\bar{S})\) (1) möglichst klein sein. Um den unnötigen Ausschuss zu minimieren, sollte die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm \(P_{\bar{R}}(S)\) (2) möglichst klein sein.

- Stelle die Situation in einem Baumdiagramm dar. - Welche Pfade führen zu einem positiven Testergebnis? - Überlege, was genau gesucht ist: Die Wahrscheinlichkeit der Krankheit unter der Bedingung, dass der Test positiv war. - Wie verändern sich die Anteile im Baumdiagramm, wenn die Grundhäufigkeit der Krankheit steigt?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis bei einer Prävalenz von \(P(S) = 0{,}005\): \(P(P) = P(P|S) \cdot P(S) + P(P|\bar{S}) \cdot P(\bar{S}) = 0{,}98 \cdot 0{,}005 + 0{,}04 \cdot 0{,}995 = 0{,}0447\). 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(S|P) = \frac{P(P|S) \cdot P(S)}{P(P)} = \frac{0{,}0049}{0{,}0447} \approx 0{,}1096\). 3. Berechnung für eine Prävalenz von \(P(S) = 0{,}05\): \(P(P) = 0{,}98 \cdot 0{,}05 + 0{,}04 \cdot 0{,}95 = 0{,}087\). 4. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(S|P) = \frac{0{,}049}{0{,}087} \approx 0{,}5632\). 5. Vergleich und Interpretation: Der positive Vorhersagewert steigt mit zunehmender Prävalenz massiv an (von ca. \(11\,\%\) auf ca. \(56\,\%\)). Bei einer sehr geringen Prävalenz ist die Wahrscheinlichkeit für ein falsch-positives Ergebnis im Vergleich zu den echt-positiven Fällen sehr hoch, was die Aussagekraft eines positiven Tests mindert.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(11{,}0\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(56{,}3\,\%\). c) Mit steigender Prävalenz nimmt die Zuverlässigkeit eines positiven Testergebnisses deutlich zu, da das Verhältnis von richtig-positiven zu falsch-positiven Ergebnissen günstiger wird.

- Beginne damit, die Gesamtzahl der Personen auf die Kategorien „Allergie“ und „keine Allergie“ aufzuteilen. - Nutze die Prozentangaben des Tests, um die vier inneren Felder der Tabelle mit absoluten Zahlen zu füllen. - Achte bei den Fragen b) und c) genau darauf, auf welche Teilgruppe (die positiv Getesteten oder die negativ Getesteten) sich die Wahrscheinlichkeit bezieht.

1. Erstellung der Vierfeldertafel für \(10\,000\) Personen: Allergiker (\(A\)) sind \(2\,\%\) von \(10\,000 = 200\), Nicht-Allergiker (\(\bar{A}\)) sind \(9800\). 2. Richtig-positiv (\(T \cap A\)): \(200 \cdot 0{,}90 = 180\). Falsch-negativ (\(\bar{T} \cap A\)): \(200 - 180 = 20\). 3. Richtig-negativ (\(\bar{T} \cap \bar{A}\)): \(9800 \cdot 0{,}95 = 9310\). Falsch-positiv (\(T \cap \bar{A}\)): \(9800 - 9310 = 490\). 4. Summen bilden: Test positiv (\(T\)): \(180 + 490 = 670\). Test negativ (\(\bar{T}\)): \(20 + 9310 = 9330\). 5. Wahrscheinlichkeit gesund bei positivem Test: \(P(\bar{A}|T) = \frac{490}{670} \approx 0{,}7313\). 6. Wahrscheinlichkeit allergisch bei negativem Test: \(P(A|\bar{T}) = \frac{20}{9330} \approx 0{,}0021\).

a) Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>Allergie (\(A\))</td><td>Keine Allergie (\(\bar{A}\))</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Test positiv (\(T\))</td><td>180</td><td>490</td><td>670</td></tr> <tr><td>Test negativ (\(\bar{T}\))</td><td>20</td><td>9310</td><td>9330</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>200</td><td>9800</td><td>\(10\,000\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(73{,}1\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}2\,\%\).

- Stelle die Situation in einem Baumdiagramm dar, um die Pfade zu visualisieren. - Überlege, welche Pfade zu einem positiven Testergebnis führen. - Was bedeutet es für die Abhängigkeit, wenn das Eintreten eines Tests die Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen der Allergie verändert? - Vergleiche die absoluten Anteile der „richtig positiven“ und „falsch positiven“ Pfade im Baumdiagramm.

1. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis mittels des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit: \(P(pos) = P(A) \cdot P(pos|A) + P(\bar{A}) \cdot P(pos|\bar{A}) = 0{,}01 \cdot 0{,}98 + 0{,}99 \cdot 0{,}03 = 0{,}0098 + 0{,}0297 = 0{,}0395\). 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(A|pos)\) mit der Bayes-Formel: \(P(A|pos) = \frac{P(A \cap pos)}{P(pos)} = \frac{0{,}0098}{0{,}0395} \approx 0{,}2481\). Interpretation: Von allen Personen mit positivem Testergebnis weisen tatsächlich nur etwa \(24{,}8\,\%\) die allergische Reaktion auf. 3. Prüfung auf Unabhängigkeit: \(P(A) \cdot P(pos) = 0{,}01 \cdot 0{,}0395 = 0{,}000395\). Da \(P(A \cap pos) = 0{,}0098 \neq 0{,}000395\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 4. Erläuterung: Da die Reaktion in der Bevölkerung sehr selten ist (\(1\,\%\)), ist die Gruppe der Personen ohne Reaktion (\(99\,\%\)) sehr groß. Selbst eine kleine Fehlerquote von \(3\,\%\) führt in dieser großen Gruppe zu einer absolut höheren Anzahl an (falsch-)positiven Ergebnissen (\(0{,}0297\)) als die korrekten positiven Ergebnisse in der kleinen Gruppe der Allergiker (\(0{,}0098\)).

a) \(P(pos) = 0{,}0395\) (oder \(3{,}95\,\%\)). b) \(P(A|pos) \approx 0{,}2481\); nur etwa jede vierte positiv getestete Person hat die Reaktion tatsächlich. c) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(A \cap pos) \neq P(A) \cdot P(pos)\). d) Die geringe Basisrate der Allergie (\(1\,\%\)) führt dazu, dass die \(3\,\%\) Fehlerrate bei den \(99\,\%\) Nicht-Allergikern schwerer ins Gewicht fällt als die hohe Trefferquote bei den wenigen Allergikern.

- Stelle die gegebenen Anteile und bedingten Wahrscheinlichkeiten zunächst übersichtlich dar. - Überlege dir für die Vierfeldertafel, wie viele Personen insgesamt infiziert sind und wie viele davon positiv getestet werden. - Achte bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten genau darauf, welche Information bereits bekannt ist (die Bedingung) und was gesucht wird. - Nutze für die Berechnung der Teilgruppe in d) die entsprechende bedingte Wahrscheinlichkeit aus den vorherigen Schritten.

1. Berechnung der absoluten Häufigkeiten für \(N = 10\,000\): - Infizierte (\(K\)): \(0{,}08 \cdot 10\,000 = 800\) - Gesunde (\(\bar{K}\)): \(10\,000 - 800 = 9\,200\) - Richtig positiv (\(K \cap T\)): \(0{,}95 \cdot 800 = 760\) - Falsch negativ (\(K \cap \bar{T}\)): \(800 - 760 = 40\) - Falsch positiv (\(\bar{K} \cap T\)): \(0{,}03 \cdot 9\,200 = 276\) - Richtig negativ (\(\bar{K} \cap \bar{T}\)): \(9\,200 - 276 = 8\,924\) - Gesamt positiv (\(T\)): \(760 + 276 = 1\,036\) - Gesamt negativ (\(\bar{T}\)): \(40 + 8\,924 = 8\,964\) 2. Berechnung von \(P_T(K)\): \(P_T(K) = \frac{n(K \cap T)}{n(T)} = \frac{760}{1\,036} \approx 0{,}7336\) (oder \(73{,}36\,\%\)). 3. Wahrscheinlichkeiten für Teil c: - (1) \(P(K \cap \bar{T}) = \frac{40}{10\,000} = 0{,}004\) (oder \(0{,}4\,\%\)). - (2) \(P_{\bar{T}}(\bar{K}) = \frac{n(\bar{K} \cap \bar{T})}{n(\bar{T})} = \frac{8\,924}{8\,964} \approx 0{,}9955\) (oder \(99{,}55\,\%\)). 4. Anzahl der gesunden Personen unter \(500\) positiv Getesteten: - Wahrscheinlichkeit, gesund zu sein trotz positivem Test: \(P_T(\bar{K}) = 1 - P_T(K) = \frac{276}{1\,036} \approx 0{,}2664\). - Erwartete Anzahl: \(500 \cdot 0{,}2664 \approx 133{,}2\), also etwa \(133\) Personen.

a) <table border="1"> <tr><td></td><td>\(T\)</td><td>\(\bar{T}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(K\)</td><td>\(760\)</td><td>\(40\)</td><td>\(800\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{K}\)</td><td>\(276\)</td><td>\(8\,924\)</td><td>\(9\,200\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(1\,036\)</td><td>\(8\,964\)</td><td>\(10\,000\)</td></tr> </table> b) \(P_T(K) \approx 0{,}7336\) c) (1) \(P(K \cap \bar{T}) = 0{,}004\); (2) \(P_{\bar{T}}(\bar{K}) \approx 0{,}9955\) d) Etwa \(133\) Personen.

- Überlege dir zuerst, auf welchen zwei Wegen ein Alarm ausgelöst werden kann (echter Schaden oder Fehlalarm). - Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(A|B)\) ist nicht dasselbe wie \(P(B|A)\). Nutze die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit oder ein Baumdiagramm. - Für die letzte Teilaufgabe musst du wissen, welcher Anteil der „Alarme“ auf unbeschädigte Pakete entfällt.

1. Gegebene Werte: \(P(B) = 0{,}02\), \(P(\bar{B}) = 0{,}98\), \(P(S|B) = 0{,}94\), \(P(S|\bar{B}) = 0{,}04\). 2. Berechnung von \(P(S)\) (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit): \(P(S) = P(B) \cdot P(S|B) + P(\bar{B}) \cdot P(S|\bar{B}) = 0{,}02 \cdot 0{,}94 + 0{,}98 \cdot 0{,}04 = 0{,}0188 + 0{,}0392 = 0{,}058\). 3. Berechnung von \(P(B|S)\) (Bayes): \(P(B|S) = \frac{P(B \cap S)}{P(S)} = \frac{0{,}0188}{0{,}058} \approx 0{,}3241\). 4. Berechnung von \(P(B|\bar{S})\): \(P(\bar{S}) = 1 - 0{,}058 = 0{,}942\). \(P(B \cap \bar{S}) = P(B) \cdot P(\bar{S}|B) = 0{,}02 \cdot 0{,}06 = 0{,}0012\). \(P(B|\bar{S}) = \frac{0{,}0012}{0{,}942} \approx 0{,}00127\). 5. Anzahl der unbeschädigten Pakete unter den markierten (\(n = 200\)): \(P(\bar{B}|S) = 1 - P(B|S) = \frac{0{,}0392}{0{,}058} \approx 0{,}6759\). Erwartete Anzahl: \(200 \cdot 0{,}6759 \approx 135{,}18\).

a) \(P(S) = 0{,}058\) (oder \(5{,}8\,\%\)) b) \(P(B|S) \approx 0{,}3241\) (oder \(32{,}41\,\%\)) c) \(P(B|\bar{S}) \approx 0{,}00127\) (oder \(0{,}127\,\%\)) d) Etwa \(135\) Pakete.