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- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Funktion die Stammfunktion einer anderen ist? - Erinnere dich an die Potenzregel beim Ableiten. - Welchen Einfluss haben additive Konstanten beim Ableiten einer Funktion? - Vergleiche die Koeffizienten und Exponenten nach dem Ableiten von \( F(x) \) mit der Funktion \( f(x) \).

1. Nach der Definition der Stammfunktion gilt \( F'(x) = f(x) \). 2. Für Teilaufgabe a) ergibt die Ableitung \( F'(x) = k \cdot x^{k-1} \). Der Vergleich mit \( 7x^6 \) liefert \( k = 7 \). 3. Für Teilaufgabe b) ergibt die Ableitung \( F'(x) = 8x^3 \). Der Vergleich mit \( k \cdot x^3 \) liefert \( k = 8 \). 4. Für Teilaufgabe c) ergibt die Ableitung \( F'(x) = \cos(x) \). Da die Ableitung einer Konstanten (\( k^2 \)) immer null ist, gilt \( F'(x) = f(x) \) für jeden beliebigen Wert von \( k \). Ein möglicher Wert ist beispielsweise \( k = 1 \) oder \( k = 0 \).

a) \( k = 7 \) b) \( k = 8 \) c) Jedes \( k \in \mathbb{R} \) ist möglich (z. B. \( k = 0 \)).

- Welche Grundfunktion ergibt beim Ableiten den Kosinus? - Erinnere dich an die Potenzregel für das Integrieren von Termen wie \(x^n\). - Was musst du am Ende eines Funktionsterms hinzufügen, um eine andere Stammfunktion derselben Funktion zu erhalten?

1. Anwendung der Summen- und Faktorregel zur Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion: \(\int (6 \cdot \cos(x) - 4x) \, dx = 6 \cdot \sin(x) - 2x^2 + C\). 2. Wahl einer ersten Integrationskonstanten, zum Beispiel \(C = 0\), ergibt die erste Stammfunktion: \(F_1(x) = 6 \cdot \sin(x) - 2x^2\). 3. Wahl einer zweiten, davon verschiedenen Integrationskonstanten, zum Beispiel \(C = 5\), ergibt die zweite Stammfunktion: \(F_2(x) = 6 \cdot \sin(x) - 2x^2 + 5\).

\(F_1(x) = 6 \cdot \sin(x) - 2x^2\) und \(F_2(x) = 6 \cdot \sin(x) - 2x^2 + 5\) (andere Konstanten sind ebenfalls möglich).

- Was muss gelten, damit eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Erinnerst du dich an die Ableitungsregel für verkettete Funktionen? - Identifiziere die „innere“ und die „äußere“ Funktion im Term von \(F\). - Was ist die Ableitung der Kosinusfunktion?

1. Bestimmung der Ableitung \(F'(x)\) unter Verwendung der Kettenregel. 2. Definition der äußeren Funktion \(g(u) = 2 \cdot \cos(u)\) mit der Ableitung \(g'(u) = -2 \cdot \sin(u)\). 3. Definition der inneren Funktion \(u(x) = x^3\) mit der Ableitung \(u'(x) = 3x^2\). 4. Multiplikation der äußeren und inneren Ableitung: \(F'(x) = -2 \cdot \sin(x^3) \cdot 3x^2\). 5. Zusammenfassen der Faktoren: \(F'(x) = -6x^2 \cdot \sin(x^3)\). 6. Abgleich mit dem Term von \(f(x)\) bestätigt \(F'(x) = f(x)\).

Die Behauptung ist wahr, da \(F'(x) = 2 \cdot (-\sin(x^3)) \cdot 3x^2 = -6x^2 \cdot \sin(x^3) = f(x)\) gilt.

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn ein Funktionsterm aus zwei Faktoren besteht? - Was passiert mit einer additiven Konstante beim Ableiten? - Vergleiche den Koeffizienten vor dem \(x\) und das absolute Glied nach dem Zusammenfassen der Ableitung mit der Ausgangsfunktion.

1. Anwendung der Produktregel auf die Kandidaten: \(F'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\) mit \(v(x) = e^x\) und \(v'(x) = e^x\). 2. Ableitung von \(F_A\): \(F_A'(x) = (2x + 5) \cdot e^x + (x^2 + 5x + 5) \cdot e^x = (x^2 + 7x + 10) \cdot e^x \neq f(x)\). 3. Ableitung von \(F_B\): \(F_B'(x) = (2x + 4) \cdot e^x + (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x = (x^2 + 6x + 5) \cdot e^x \neq f(x)\). 4. Ableitung von \(F_C\): \(F_C'(x) = (2x + 3) \cdot e^x + (x^2 + 3x + 2) \cdot e^x + 0 = (x^2 + 5x + 5) \cdot e^x = f(x)\). 5. Ableitung von \(F_D\): \(F_D'(x) = (2x + 7) \cdot e^x + (x^2 + 7x + 10) \cdot e^x = (x^2 + 9x + 17) \cdot e^x \neq f(x)\). 6. Ergebnis: \(F_C\) ist die korrekte Stammfunktion.

\(F_C(x) = (x^2 + 3x + 2) \cdot e^x + 4\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Was muss für die Ableitung von \(F\) gelten, damit \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist? - Kannst du den Bruch in \(F(x)\) in einzelne Potenzen zerlegen, bevor du ableitest? - Erinnere dich an die Potenzregel für die Ableitung, auch für negative Exponenten.

1. Den Funktionsterm von \(F\) durch Aufteilen des Bruchs vereinfachen: \(F(x) = \frac{2x^4}{x^2} - \frac{3}{x^2} = 2x^2 - 3x^{-2}\). 2. Die Ableitungsfunktion \(F'\) mithilfe der Potenzregel bestimmen: \(F'(x) = 2 \cdot 2x^1 - 3 \cdot (-2)x^{-3} = 4x + 6x^{-3}\). 3. Das Ergebnis der Ableitung mit der gegebenen Funktion \(f(x) = 4x + 6x^{-3}\) vergleichen. 4. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Versuche die Funktionsterme zunächst als Potenzen mit negativen Exponenten zu schreiben. - Welche Regel wendest du an, um eine Potenzfunktion zu integrieren? - Achte besonders auf das Vorzeichen und den neuen Exponenten im Nenner. - Wie verhält sich der konstante Faktor bei der Integration? - Du kannst deine Zuordnung prüfen, indem du die Stammfunktionen probeweise ableitest.

Die Zuordnung erfolgt durch Bildung der Stammfunktionen unter Anwendung der Potenzregel für Integration \(\int (ax+b)^n \, dx = \frac{1}{a} \cdot \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C\). 1. Für (A): \(f(x) = 12 \cdot (x + 2)^{-4}\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 12 \cdot \frac{(x + 2)^{-3}}{-3} = -4(x + 2)^{-3} = -\frac{4}{(x + 2)^3}\). Dies entspricht (1). 2. Für (B): \(f(x) = 12 \cdot x^{-4}\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 12 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} = -4x^{-3} = -\frac{4}{x^3}\). Dies entspricht (2). 3. Für (C): \(f(x) = -12 \cdot x^{-5}\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = -12 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} = 3x^{-4}\). Dies entspricht (3). 4. Für (D): \(f(x) = 12 \cdot (x + 2)^{-5}\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 12 \cdot \frac{(x + 2)^{-4}}{-4} = -3(x + 2)^{-4}\). Dies entspricht (4).

(A) gehört zu (1) (B) gehört zu (2) (C) gehört zu (3) (D) gehört zu (4)

- Wie weist man nach, dass eine gegebene Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für \(\ln(-x)\). - Nutze für den zweiten Teil die allgemeine Integrationsregel für Potenzfunktionen und den Kehrwert von \(x\). - Setze den gegebenen Funktionswert ein, um die Integrationskonstante zu berechnen.

1. Ableiten von \(G(x)\) nach der Summen- und Kettenregel: \(G'(x) = 5 \cdot \frac{1}{-x} \cdot (-1) + \frac{1}{4} \cdot 2x + 0 = \frac{5}{x} + \frac{1}{2}x\). Dies entspricht genau dem Funktionsterm \(g(x)\), womit \(G\) eine Stammfunktion ist. 2. Für \(x > 0\) lautet der allgemeine Ansatz für die Stammfunktion \(H(x) = 5 \ln(x) + \frac{1}{4}x^2 + C\). Einsetzen der Bedingung \(H(1) = 0{,}25\): \(5 \ln(1) + \frac{1}{4} \cdot 1^2 + C = 0{,}25\). Da \(\ln(1) = 0\) und \(\frac{1}{4} = 0{,}25\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(0{,}25 + C = 0{,}25\). Daraus folgt \(C = 0\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(H(x) = 5 \ln(x) + \frac{1}{4}x^2\).

1. Nachweis durch \(G'(x) = g(x)\). 2. \(H(x) = 5 \ln(x) + \frac{1}{4}x^2\)

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion hinsichtlich der Ableitung besteht. - Welche Ableitungsregeln benötigst du für eine Summe von Funktionen? - Wie lautet die Ableitung der Funktion \(g(x) = \ln|x|\)? - Was passiert mit dem konstanten Faktor vor einem Term beim Ableiten?

1. Zur Überprüfung, ob \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, wird die Ableitung \(F'(x)\) gebildet. 2. Anwendung der Summenregel auf \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2\ln|x|\). 3. Ableiten des ersten Terms mit der Potenzregel: \(\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2\). 4. Ableiten des zweiten Terms unter Verwendung der Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus: \(\frac{d}{dx}(2\ln|x|) = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}\). 5. Zusammenführen der Teilableitungen ergibt \(F'(x) = x^2 + \frac{2}{x}\). 6. Da \(F'(x) = f(x)\) für alle \(x \neq 0\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

Durch Ableiten von \(F\) erhält man \(F'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2 \cdot \frac{1}{x} = x^2 + \frac{2}{x}\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

- Überlege dir, welche Funktion beim Ableiten den gegebenen Term ergibt. - Wie verändert sich der Exponent einer Potenzfunktion beim Ableiten? Was bedeutet das für den umgekehrten Weg? - Welche Zahl muss vor der Potenz stehen, damit nach dem Multiplizieren mit dem Exponenten genau der gesuchte Koeffizient herauskommt? - Vergiss nicht, dass beim Ableiten eines konstanten Faktors die Faktorregel gilt.

1. Für \(f'(x) = 12x^2\): Erhöhung des Exponenten auf 3 und Division des Koeffizienten 12 durch 3 ergibt \(f(x) = 4x^3\). Probe: \(f'(x) = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2\). 2. Für \(f'(x) = 2x^4\): Erhöhung des Exponenten auf 5 und Division des Koeffizienten 2 durch 5 ergibt \(f(x) = \frac{2}{5}x^5\) bzw. \(f(x) = 0{,}4x^5\). Probe: \(f'(x) = 0{,}4 \cdot 5x^4 = 2x^4\). 3. Für \(f'(x) = 0{,}8x^3\): Erhöhung des Exponenten auf 4 und Division von \(0{,}8\) durch 4 ergibt \(f(x) = 0{,}2x^4\). Probe: \(f'(x) = 0{,}2 \cdot 4x^3 = 0{,}8x^3\). 4. Für \(f'(x) = 10\): Da die Ableitung konstant ist, muss die ursprüngliche Funktion linear sein, also \(f(x) = 10x\). Probe: \(f'(x) = 10\).

Mögliche Funktionen sind: a) \(f(x) = 4x^3\) b) \(f(x) = 0{,}4x^5\) c) \(f(x) = 0{,}2x^4\) d) \(f(x) = 10x\)

- Überlege dir, wie sich der Exponent beim Ableiten verändert und mache diesen Schritt rückgängig. - Was passiert mit dem Vorfaktor, wenn du eine Potenzfunktion ableitest? Wie musst du den Vorfaktor der Ausgangsfunktion wählen, damit er nach dem Ableiten passt? - Erinnere dich daran, welche Art von Term beim Ableiten zu einer konstanten Zahl wird. - Du kannst dein Ergebnis jederzeit testen, indem du deine gefundene Funktion einfach wieder ableitest.

1. Bestimmung der Stammfunktion durch termweise Anwendung der Potenzregel in umgekehrter Richtung: 2. Erster Term \(12x^3\): Der Exponent wird um \(1\) erhöht (\(x^4\)), der Koeffizient \(12\) wird durch den neuen Exponenten \(4\) dividiert, was \(3x^4\) ergibt. 3. Zweiter Term \(-5x^4\): Der Exponent wird auf \(5\) erhöht, Division des Koeffizienten \(-5\) durch \(5\) ergibt \(-x^5\). 4. Dritter Term \(2\): Eine Konstante entspricht \(2x^0\), woraus durch Erhöhung des Exponenten \(2x^1\), also \(2x\), wird. 5. Zusammensetzen der Terme zur Ausgangsfunktion: \(f(x) = 3x^4 - x^5 + 2x\). 6. Überprüfung durch Ableiten: \(f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 5x^4 + 2 = 12x^3 - 5x^4 + 2\).

\(f(x) = 3x^4 - x^5 + 2x\) (oder allgemein \(f(x) = 3x^4 - x^5 + 2x + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\))

- Überlege dir, welche Funktion beim Ableiten genau diesen Ausdruck ergibt. - Du kannst die Summanden der Funktion einzeln untersuchen. - Wie verändert sich der Exponent einer Potenzfunktion beim Ableiten? Kehre diesen Vorgang um. - Vergiss nicht, dass eine Konstante beim Ableiten wegfällt – du kannst also eine beliebige Zahl addieren oder weglassen.

1. Anwendung der Potenzregel in umgekehrter Richtung auf jeden Summanden der Summe. 2. Für den Term \(6x^2\): Erhöhung des Exponenten auf \(3\) und Division des Koeffizienten durch \(3\) ergibt \(2x^3\). 3. Für den Term \(8x\): Erhöhung des Exponenten auf \(2\) und Division des Koeffizienten durch \(2\) ergibt \(4x^2\). 4. Für den konstanten Term \(-3\): Integration ergibt \(-3x\). 5. Zusammenführung der Terme zur Stammfunktion \(f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x\).

\(f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x\) (oder \(f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x + c\) mit \(c \in \mathbb{R}\))

- Wie lautet die allgemeine Regel, um eine Stammfunktion einer Potenzfunktion zu bilden? - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Welche Rolle spielt die Integrationskonstante \(C\) beim Einsetzen der Punktkoordinaten?

1. Die Menge aller Stammfunktionen von \(f(x) = 6x^2 - 4x + 1\) wird durch \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + C\) beschrieben. 2. Für Punkt \(P(0 \mid 7)\): Einsetzen ergibt \(F(0) = 2 \cdot 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 0 + C = 7\), woraus \(C = 7\) folgt. Die Stammfunktion ist \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 7\). 3. Für Punkt \(Q(1 \mid 2)\): Einsetzen ergibt \(F(1) = 2 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + C = 2\). Dies führt zu \(1 + C = 2\), also \(C = 1\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 1\). 4. Für Punkt \(R(-1 \mid 0)\): Einsetzen ergibt \(F(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + (-1) + C = 0\). Dies führt zu \(-2 - 2 - 1 + C = 0\), also \(C = 5\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 5\).

a) \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 7\) b) \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 1\) c) \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 5\)

- Wie findet man die allgemeine Stammfunktion für eine Summe von Potenzfunktionen? - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Vergiss beim Integrieren nicht die Integrationskonstante \(C\). - Wie kannst du die gefundene Konstante berechnen, wenn du einen \(x\)-Wert und den zugehörigen \(y\)-Wert kennst?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion durch gliedweise Integration: \(F(x) = \int (x^2 - 4x + 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x + C\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(3 \mid 2)\) in den Term von \(F(x)\): \(F(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 + C = 9 - 18 + 3 + C = -6 + C\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Bedingung \(F(3) = 2\): \(-6 + C = 2\). 4. Ermittlung der Integrationskonstante: \(C = 8\). 5. Einsetzen von \(C\) in die allgemeine Stammfunktion ergibt das Endergebnis: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x + 8\).

\(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x + 8\)

- Welche Integrationsregel kannst du auf die einzelnen Glieder der Summe anwenden? - Was bedeutet die Information über die Nullstelle für den Funktionswert an dieser Stelle? - Vergiss nicht die Integrationskonstante \(C\) beim Bilden der allgemeinen Stammfunktion. - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, um die Unbekannte \(C\) zu berechnen?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion mithilfe der Potenzregel: \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^3 + 5x + C\). 2. Aufstellen der Bedingung für die Nullstelle \(F(2) = 0\): \(\frac{1}{8} \cdot 2^4 - 2^3 + 5 \cdot 2 + C = 0\). 3. Vereinfachen der Terme: \(2 - 8 + 10 + C = 0\), woraus \(4 + C = 0\) folgt. 4. Ermittlung der Integrationskonstante: \(C = -4\). 5. Angabe der gesuchten Stammfunktion durch Einsetzen von \(C\): \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^3 + 5x - 4\).

\(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^3 + 5x - 4\)

- Welche Operation ist die Umkehrung des Bildens einer Stammfunktion? - Was muss passieren, wenn du eine Stammfunktion ableitest? - Überlege, wie sich die Ableitung einer konstanten Zahl auf das Gesamtergebnis auswirkt.

1. Berechnung der Ableitung von \(F\): \(F'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 3x^2 + 5) = 4x^3 - 6x\). 2. Abgleich mit \(f(x)\): Da \(F'(x) = 4x^3 - 6x = f(x)\) gilt, ist \(F\) nach Definition eine Stammfunktion von \(f\). 3. Definition: Eine Funktion \(F\) heißt Stammfunktion von \(f\) auf einem Intervall \(I\), wenn für alle \(x \in I\) gilt: \(F'(x) = f(x)\). 4. Überprüfung von \(H\): Die Ableitung \(H'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 3x^2 - 12) = 4x^3 - 6x\) ergibt ebenfalls \(f(x)\). Da sich \(F\) und \(H\) nur durch eine additive Konstante unterscheiden, ist ihre Ableitung identisch.

a) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion, da \(F'(x) = 4x^3 - 6x = f(x)\) gilt. b) Eine Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\), wenn \(F'(x) = f(x)\) erfüllt ist. \(H\) ist ebenfalls eine Stammfunktion, da \(H'(x) = 4x^3 - 6x = f(x)\) gilt (die Konstante \(-12\) fällt beim Ableiten weg).

- Überlege zuerst, wie die allgemeine Form aller Stammfunktionen für ein Polynom aussieht. - Welche Information liefert dir der Punkt \( P \) für die Funktion \( F \)? - Wie kannst du die unbekannte Konstante berechnen, wenn du einen Punkt der Funktion kennst?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion: Durch gliedweise Integration von \( f(x) = 6x^2 - 10x - 4 \) erhält man \( F(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + C \). 2. Einsetzen des Punktes \( P(1 \mid -2) \): Es gilt die Bedingung \( F(1) = -2 \). 3. Berechnung der Integrationskonstante \( C \): \( 2 \cdot 1^3 - 5 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + C = -2 \), woraus \( 2 - 5 - 4 + C = -2 \) und somit \( -7 + C = -2 \) folgt. Dies ergibt \( C = 5 \). 4. Aufstellen der gesuchten Funktionsgleichung: \( F(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 5 \).

\( F(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 5 \)

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktionen über die Ableitung zusammen? - Was passiert mit einer Konstanten beim Ableiten? - Wie kannst du die Potenzregel für die Integration anwenden? - Was bedeutet es geometrisch für die Funktionsgleichung, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion: Da \(f(x) = x^{-2} + 1\), lautet die Menge aller Stammfunktionen \(F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + x + C = -\frac{1}{x} + x + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\). 2. Angabe von vier Beispielen durch Wahl verschiedener Werte für \(C\), zum Beispiel: \(F_1(x) = -\frac{1}{x} + x\) (für \(C=0\)) \(F_2(x) = -\frac{1}{x} + x + 1\) (für \(C=1\)) \(F_3(x) = -\frac{1}{x} + x - 5\) (für \(C=-5\)) \(F_4(x) = -\frac{1}{x} + x + 10\) (für \(C=10\)) 3. Berechnung der spezifischen Stammfunktion für \(P(1 \mid 0)\): Einsetzen der Koordinaten in die allgemeine Form \(0 = -\frac{1}{1} + 1 + C\). Dies vereinfacht sich zu \(0 = -1 + 1 + C\), woraus \(C = 0\) folgt. Die gesuchte Stammfunktion ist somit \(F(x) = -\frac{1}{x} + x\).

a) Mögliche Stammfunktionen sind z. B. \(F_1(x) = -\frac{1}{x} + x\), \(F_2(x) = -\frac{1}{x} + x + 1\), \(F_3(x) = -\frac{1}{x} + x - 5\) und \(F_4(x) = -\frac{1}{x} + x + 10\). b) Die gesuchte Stammfunktion ist \(F(x) = -\frac{1}{x} + x\).

- Nutze die Bedingung \( F'(x) = f(x) \). - Achte bei Teilaufgabe c) besonders auf die Kettenregel. - Kannst du durch Vergleichen der Exponenten direkt auf einen Wert für den Parameter schließen? - Vergiss nicht, auch die Vorfaktoren (Koeffizienten) abzugleichen.

1. Es muss gelten \( F'(x) = f(x) \). 2. In Teilaufgabe a) ist \( F'(x) = 3a \cdot x^2 \). Gleichsetzen mit \( \frac{1}{3}x^2 \) führt zu \( 3a = \frac{1}{3} \), also \( a = \frac{1}{9} \). 3. In Teilaufgabe b) ist \( F'(x) = 4x^3 \). Durch Vergleich der Exponenten folgt \( a-2 = 3 \), also \( a = 5 \). Die Probe für den Koeffizienten ergibt \( a-1 = 5-1 = 4 \), was korrekt ist. 4. In Teilaufgabe c) ist \( F'(x) = 3a \cdot e^{3x} \) (Kettenregel). Gleichsetzen mit \( 1 \cdot e^{3x} \) führt zu \( 3a = 1 \), also \( a = \frac{1}{3} \).

a) \( a = \frac{1}{9} \) b) \( a = 5 \) c) \( a = \frac{1}{3} \)

- Wie ist der mathematische Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion definiert? - Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn eine Funktion aus einer äußeren und einer inneren Funktion besteht? - Was passiert mit dem Argument einer Sinus- oder Logarithmusfunktion beim Ableiten? - Reicht es aus, die Funktionen nur optisch zu vergleichen, oder musst du eine Rechnung durchführen?

1. Ableitung von \( F \) in Teilaufgabe a) unter Verwendung der Kettenregel: \( F'(x) = \frac{1}{x^2 + 5} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 5} \). Vergleich mit \( f(x) \) ergibt \( F'(x) = f(x) \). 2. Ableitung von \( F \) in Teilaufgabe b) unter Verwendung der Kettenregel: \( F'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cdot \cos(x^2) \). Vergleich mit \( f(x) \) ergibt \( F'(x) = f(x) \).

a) Ja, \( F \) ist eine Stammfunktion von \( f \). b) Ja, \( F \) ist eine Stammfunktion von \( f \).

- Welche Rechenoperation verknüpft die beiden Teile der Funktion in Aufgabenteil a)? - Erinnerst du dich an die Regel für das Ableiten von Produkten? - Wie kann man einen Bruch mit einer Konstanten im Zähler umschreiben, um die Potenzregel anzuwenden? - Achte beim Ableiten in Teil b) besonders auf die Vorzeichen und die innere Ableitung.

1. Ableitung von \( F \) in Teilaufgabe a) mit der Produktregel: \( F'(x) = 1 \cdot e^x + (x - 1) \cdot e^x = e^x + x \cdot e^x - e^x = x \cdot e^x \). Ergebnis: \( F'(x) = f(x) \), die Aussage ist wahr. 2. Ableitung von \( F \) in Teilaufgabe b) mit der Kettenregel (oder Quotientenregel): \( F(x) = (x^2 + 1)^{-1} \Rightarrow F'(x) = -1 \cdot (x^2 + 1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \). Vergleich: \( F'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \neq \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \), die Aussage ist falsch.

a) Wahr, da \( F'(x) = x \cdot e^x = f(x) \). b) Falsch, da \( F'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \neq f(x) \).

- Überlege dir, wie man rechnerisch prüft, ob eine Funktion die Stammfunktion einer anderen ist. - Welche Rechenregel für das Ableiten von Potenzen kennst du? Kannst du diese umkehren? - Eine Stammfunktion \( F \) ist dadurch definiert, dass ihre Ableitung \( F' \) genau die Funktion \( f \) ergibt. - Beim Bilden einer Stammfunktion darfst du eine beliebige additive Konstante \( C \) wählen, falls nichts anderes vorgegeben ist.

1. Überprüfung der Ableitungen der gegebenen Stammfunktionen: \( F_1'(x) = 2x + 3 \), dies entspricht Funktion B. \( F_2'(x) = 6x^2 \), dies entspricht Funktion A. \( F_3'(x) = 4x^3 - x \), dies entspricht Funktion D. \( F_4'(x) = 5x^4 \), dies entspricht Funktion E. 2. Zuordnung der Paare: A-2, B-1, D-3, E-4. 3. Bestimmung von Stammfunktionen für die verbleibenden Funktionen C und F mittels Potenzregel \( \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} \): Für \( f(x) = 0{,}5x^3 \) ergibt sich \( F(x) = \frac{0{,}5}{4}x^4 = \frac{1}{8}x^4 \). Für \( f(x) = 3 \) ergibt sich \( F(x) = 3x \).

Zuordnungen: A-2, B-1, D-3, E-4. Beispiele für Stammfunktionen der übrigen Funktionen: Für C: \( F(x) = \frac{1}{8}x^4 \) (oder \( F(x) = 0{,}125x^4 \)) Für F: \( F(x) = 3x \)

- Was sagt der Wert der Ableitungsfunktion über die Stammfunktion aus? - Welche Symmetrieeigenschaften besitzt die Funktion \(f\)? - Wie hängen die Steigungen an verschiedenen Stellen bei einer Parabel zusammen? - Wie lautet die allgemeine Form aller Stammfunktionen einer Potenzfunktion? - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um die Integrationskonstante zu bestimmen?

1. Die Steigung einer Stammfunktion \(F\) an der Stelle \(x\) entspricht dem Funktionswert \(f(x)\). Berechnung für \(x = 2\): \(f(2) = 0{,}75 \cdot 2^2 + 1 = 3 + 1 = 4\). 2. Da \(f\) eine achsensymmetrische Parabel zur \(y\)-Achse ist (\(f(x) = f(-x)\)), muss an der Stelle \(x_S = -2\) der gleiche Funktionswert vorliegen: \(f(-2) = 0{,}75 \cdot (-2)^2 + 1 = 4\). Da eine Parabel jeden Wert außer dem Scheitelpunktwert genau zweimal annimmt, ist dies die einzige weitere Stelle. 3. Allgemeine Stammfunktion: \(K(x) = \frac{0{,}75}{3}x^3 + x + C = 0{,}25x^3 + x + C\). 4. Einsetzen der Bedingung \(K(2) = 10\): \(0{,}25 \cdot 2^3 + 2 + C = 10 \Rightarrow 2 + 2 + C = 10 \Rightarrow C = 6\). 5. Ergebnis: \(K(x) = 0{,}25x^3 + x + 6\).

a) Die Steigung beträgt \(4\). b) Aufgrund der Achsensymmetrie von \(f\) zur \(y\)-Achse gilt \(f(2) = f(-2)\). Die weitere Stelle ist \(x_S = -2\). c) \(K(x) = 0{,}25x^3 + x + 6\)

- Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Ableitung zusammen? - Wann verlaufen zwei Tangenten parallel zueinander? - Welche Gleichung musst du lösen, um Stellen mit gleicher Steigung zu finden? - Wie bestimmt man die Konstante \(C\), wenn ein Punkt des Graphen bekannt ist?

1. Die Steigung von \(F\) an der Stelle \(x=1\) ist \(f(1)\): \(f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 5 = 2\). 2. Parallele Tangenten bedeuten gleiche Steigung, also \(f(x) = 2\). Lösen der Gleichung \(x^2 - 4x + 5 = 2 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0\). 3. Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x-1)(x-3) = 0\) liefert die Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Der weitere Punkt \(S\) liegt also bei \(x_S = 3\). 4. Allgemeine Stammfunktion: \(G(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + C\). 5. Einsetzen von \(Q(3 \mid 8)\): \(\frac{1}{3} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + C = 8 \Rightarrow 9 - 18 + 15 + C = 8 \Rightarrow 6 + C = 8 \Rightarrow C = 2\). 6. Ergebnis: \(G(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + 2\).

a) Die Steigung beträgt \(2\). b) Ja, an der Stelle \(x_S = 3\) ist die Steigung ebenfalls \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 5 = 2\). c) \(G(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + 2\)

- Wie ist eine Stammfunktion mathematisch definiert? - Welche Operation musst du auf \( F \) anwenden, um zu prüfen, ob sie zu \( f \) führt? - Welche Ableitungsregel ist hilfreich, wenn eine Funktion (wie \( 2x^2 + 3 \)) innerhalb einer anderen Funktion (der Wurzel) steht?

1. Ableitung von \( F(x) = (2x^2 + 3)^{\frac{1}{2}} \) unter Anwendung der Kettenregel: Die äußere Ableitung ist \( \frac{1}{2} \cdot (2x^2 + 3)^{-\frac{1}{2}} \), die innere Ableitung ist \( 4x \). 2. Berechnung des Produkts der Ableitungen: \( F'(x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2x^2 + 3}} \cdot 4x \). 3. Vereinfachung des Terms durch Kürzen: \( F'(x) = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 3}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 3}} \). 4. Vergleich mit der gegebenen Funktion: Da \( F'(x) = f(x) \) gilt, ist \( F \) eine Stammfunktion von \( f \).

Ja, \( F \) ist eine Stammfunktion von \( f \), da die Ableitung \( F'(x) = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 3}} \) exakt der Funktion \( f(x) \) entspricht.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Stammfunktion. - Welche spezielle Ableitungsregel musst du verwenden, wenn die Funktion aus einem Produkt zweier Ausdrücke besteht? - Überprüfe nach dem Ableiten sorgfältig, ob alle Terme mit der Funktion \( g \) übereinstimmen.

1. Ableitung von \( G(x) = x \cdot \sin(x) \) unter Anwendung der Produktregel \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \) mit den Teilfunktionen \( u(x) = x \) und \( v(x) = \sin(x) \). 2. Bestimmung der Ableitungen der Teilfunktionen: \( u'(x) = 1 \) und \( v'(x) = \cos(x) \). 3. Zusammensetzen der Ableitung nach der Produktregel: \( G'(x) = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) \). 4. Vereinfachter Ausdruck: \( G'(x) = \sin(x) + x \cdot \cos(x) \). 5. Vergleich mit der Zielfunktion: Da \( \sin(x) + x \cdot \cos(x) \neq \cos(x) \), ist \( G \) keine Stammfunktion von \( g \).

Nein, \( G \) ist keine Stammfunktion von \( g \), da die Ableitung \( G'(x) = \sin(x) + x \cdot \cos(x) \) nicht mit der Funktionsvorschrift von \( g \) übereinstimmt.

- Versuche zuerst, den Bruch in zwei einzelne Brüche zu zerlegen. - Überlege, welche Funktion abgeleitet den Sinus ergibt – achte dabei besonders auf das Vorzeichen. - Wie gehst du vor, wenn eine Stammfunktion durch einen ganz bestimmten Punkt verlaufen soll? - Was ist der Wert von \(\cos(0)\)?

1. Den Funktionsterm zur leichteren Integration umschreiben: \(g(x) = \frac{3}{5} \sin(x) - \frac{2}{5} = 0{,}6 \cdot \sin(x) - 0{,}4\). 2. Die allgemeine Stammfunktion bilden: \(G(x) = -0{,}6 \cdot \cos(x) - 0{,}4x + C\). 3. Für Aufgabenteil a) eine beliebige Konstante wählen, zum Beispiel \(C = 0\): \(G_1(x) = -0{,}6 \cdot \cos(x) - 0{,}4x\). 4. Für Aufgabenteil b) die Bedingung \(G_2(0) = 1\) nutzen: \(-0{,}6 \cdot \cos(0) - 0{,}4 \cdot 0 + C = 1\). 5. Da \(\cos(0) = 1\), folgt: \(-0{,}6 + C = 1\), woraus sich \(C = 1{,}6\) ergibt. 6. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(G_2(x) = -0{,}6 \cdot \cos(x) - 0{,}4x + 1{,}6\).

a) \(G_1(x) = -0{,}6 \cdot \cos(x) - 0{,}4x\) (oder mit beliebiger Konstante \(C\)) b) \(G_2(x) = -0{,}6 \cdot \cos(x) - 0{,}4x + 1{,}6\)

- Wie hängen die Begriffe Stammfunktion und Ableitung mathematisch zusammen? - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn zwei Teilfunktionen miteinander multipliziert werden? - Denk beim Ableiten der Exponentialfunktion an die Kettenregel. - Es hilft oft, am Ende einen gemeinsamen Faktor auszuklammern, um den Term besser vergleichen zu können.

1. Anwendung der Produktregel \(u'v + uv'\) auf \(F(x)\) mit \(u(x) = x^2 - 3x\) und \(v(x) = e^{2x}\). 2. Berechnung der Teilableitungen: \(u'(x) = 2x - 3\) und \(v'(x) = 2 \cdot e^{2x}\) unter Verwendung der Kettenregel. 3. Zusammensetzen der Ableitung: \(F'(x) = (2x - 3) \cdot e^{2x} + (x^2 - 3x) \cdot 2 \cdot e^{2x}\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(e^{2x}\): \(F'(x) = e^{2x} \cdot (2x - 3 + 2x^2 - 6x)\). 5. Vereinfachen des Klammerausdrucks: \(F'(x) = (2x^2 - 4x - 3) \cdot e^{2x}\). 6. Vergleich mit der gegebenen Funktion \(f(x)\) zeigt die Identität \(F'(x) = f(x)\).

Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\), da die Ableitung \(F'(x) = (2x^2 - 4x - 3) \cdot e^{2x}\) mit der Funktionsvorschrift von \(f\) übereinstimmt.

- Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren Null? - Welche Eigenschaft hat die Exponentialfunktion \(e^x\) bezüglich ihres Vorzeichens? - Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Regel musst du anwenden, um einen Ausdruck der Form \(u(x) \cdot v(x)\) abzuleiten? - Wie unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion voneinander?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Ansatz \(f(x) = 0\) verwendet. Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) positiv ist, muss der quadratische Term \(x^2 - 3 = 0\) gelten. Daraus ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = \sqrt{3}\) und \(x_2 = -\sqrt{3}\). 2. Um zu zeigen, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, wird \(F\) mithilfe der Produktregel differenziert: \(F'(x) = (2x - 2) \cdot e^x + (x^2 - 2x - 1) \cdot e^x = (2x - 2 + x^2 - 2x - 1) \cdot e^x = (x^2 - 3) \cdot e^x\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 3. Jede Stammfunktion \(G\) von \(f\) hat die Form \(G(x) = F(x) + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\). Aus der Bedingung \(G(0) = 2\) folgt: \(F(0) + C = 2 \implies (0^2 - 2 \cdot 0 - 1) \cdot e^0 + C = 2 \implies -1 + C = 2 \implies C = 3\). Somit lautet die Funktionsgleichung \(G(x) = (x^2 - 2x - 1) \cdot e^x + 3\).

a) \(x_1 = \sqrt{3}\); \(x_2 = -\sqrt{3}\) b) Nachweis durch Ableiten: \(F'(x) = f(x)\); Gleichung der weiteren Stammfunktion: \(G(x) = (x^2 - 2x - 1) \cdot e^x + 3\)

- Nutze den Satz vom Nullprodukt für den ersten Aufgabenteil. - Erinnere dich an die Lösungsformel für quadratische Gleichungen. - Was musst du tun, um zu zeigen, dass eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante. Wie kannst du diese mithilfe eines gegebenen Punktes bestimmen?

1. Für die Nullstellen gilt \(f(x) = 0\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(x^2 + 4x + 2 = 0\) gelten. Mit der Mitternachtsformel oder quadratischer Ergänzung ergeben sich die Nullstellen \(x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}\). 2. Der Nachweis erfolgt durch Ableiten von \(F\) unter Verwendung der Produktregel: \(F'(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x) \cdot e^x = (2x + 2 + x^2 + 2x) \cdot e^x = (x^2 + 4x + 2) \cdot e^x = f(x)\). Damit ist \(F\) eine Stammfunktion. 3. Der Ansatz für eine allgemeine Stammfunktion ist \(G(x) = F(x) + C\). Einsetzen der Bedingung \(G(-2) = 1\): \(F(-2) + C = 1 \implies ((-2)^2 + 2 \cdot (-2)) \cdot e^{-2} + C = 1 \implies (4 - 4) \cdot e^{-2} + C = 1 \implies 0 + C = 1 \implies C = 1\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(G(x) = (x^2 + 2x) \cdot e^x + 1\).

a) \(x_1 = -2 + \sqrt{2}\); \(x_2 = -2 - \sqrt{2}\) b) Nachweis durch \(F'(x) = f(x)\); Stammfunktion: \(G(x) = (x^2 + 2x) \cdot e^x + 1\)

- Nutze die Eigenschaft \(F'(x) = f(x)\). - Leite den allgemeinen Ausdruck für \(F(x)\) mit der Produktregel ab und klammere \(e^x\) aus. - Zwei Polynome sind gleich, wenn ihre Koeffizienten bei den jeweiligen \(x\)-Potenzen übereinstimmen. - Stelle ein System aus drei einfachen Gleichungen auf, um die Unbekannten nacheinander zu berechnen.

1. Ableiten von \(F(x)\) mithilfe der Produktregel: \(F'(x) = (2ax + b) \cdot e^x + (ax^2 + bx + c) \cdot e^x\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(F'(x) = (ax^2 + (2a + b)x + (b + c)) \cdot e^x\). 3. Koeffizientenvergleich mit \(f(x) = (1x^2 - 1x - 2) \cdot e^x\): - \(a = 1\) - \(2a + b = -1 \implies 2(1) + b = -1 \implies b = -3\) - \(b + c = -2 \implies -3 + c = -2 \implies c = 1\) 4. Die Werte sind \(a = 1\), \(b = -3\) und \(c = 1\).

\(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 1\)

- Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, um den Term zu faktorisieren? - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit den Extrempunkten zusammen? - Was passiert mit der Exponentialfunktion, wenn der Exponent sehr klein (stark negativ) wird? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Nullstellen einer Funktion und den Extremstellen ihrer Stammfunktion? - Wo liegen die Wendestellen einer Funktion im Vergleich zu den Extremstellen ihrer Ableitungsfunktion?

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = 4e^x - 2e^{2x} = 2e^x(2 - e^x)\). 2. Extrempunkt bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies 2 - e^x = 0 \implies x = \ln 2\). Die Art ergibt sich über \(f''(x) = 4e^x - 4e^{2x}\); \(f''(\ln 2) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 4 = -8 < 0\), also ein lokales Maximum. Funktionswert: \(f(\ln 2) = 4 \cdot 2 - 2^2 = 4\). Hochpunkt \(H(\ln 2 | 4)\). 3. Grenzwert untersuchen: Für \(x \to -\infty\) gehen sowohl \(e^x\) als auch \(e^{2x}\) gegen \(0\). Damit gilt \(\lim_{x \to -\infty} (4e^x - 0{,}5e^{2x}) = 0 - 0 = 0\). 4. Eigenschaften von \(F\): Da \(F'(x) = f(x)\), liegen die Extremstellen von \(F\) bei den Nullstellen von \(f\). Da \(f\) bei \(x = \ln 4\) von positiv nach negativ wechselt, hat \(F\) dort ein Maximum. Wendestellen von \(F\) sind die Extremstellen von \(f\), also \(x = \ln 2\). Die \(y\)-Koordinate ist \(F(\ln 2) = 4 \cdot e^{\ln 2} - 0{,}5 \cdot e^{2 \ln 2} = 4 \cdot 2 - 0{,}5 \cdot 4 = 6\).

a) \(f'(x) = 4e^x - 2e^{2x} = 2e^x(2 - e^x)\) b) Hochpunkt \(H(\ln 2 | 4)\) c) \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\), da \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\) d) \(y_W = 6\)

- Denk an die Kettenregel beim Ableiten von \(e^{-2x}\). - Wie löst man Gleichungen der Form \(e^x = a\) nach \(x\) auf? - Betrachte das Vorzeichen der Funktion \(g\) vor und nach ihrer Nullstelle, um die Art des Extrempunkts der Stammfunktion zu bestimmen. - In welchem Punkt hat eine Stammfunktion ihre Wendestelle?

1. Ableitung bilden: \(g'(x) = -e^{-x} - (-2)e^{-2x} = -e^{-x} + 2e^{-2x} = e^{-x}(2e^{-x} - 1)\). 2. Hochpunkt: \(g'(x) = 0 \implies 2e^{-x} = 1 \implies e^{-x} = 0{,}5 \implies x = \ln 2\). Funktionswert: \(g(\ln 2) = 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25\). Art über \(g''(x) = e^{-x} - 4e^{-2x}\); \(g''(\ln 2) = 0{,}5 - 4 \cdot 0{,}25 = -0{,}5 < 0\). Hochpunkt \(H(\ln 2 | 0{,}25)\). 3. Grenzwert: Da \(\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} e^{-2x} = 0\), gilt \(\lim_{x \to \infty} G(x) = 0{,}5 \cdot 0 - 0 = 0\). 4. Extremum und Wendepunkt von \(G\): Wegen \(G' = g\) ist \(x=0\) eine Extremstelle von \(G\). Da \(g(x) < 0\) für \(x < 0\) und \(g(x) > 0\) für \(x > 0\) (in der Nähe der Nullstelle), liegt ein Minimum vor. Die Wendestelle von \(G\) ist die Extremstelle von \(g\), also \(x = \ln 2\). \(y\)-Koordinate: \(G(\ln 2) = 0{,}5 \cdot (e^{-\ln 2})^2 - e^{-\ln 2} = 0{,}5 \cdot 0{,}25 - 0{,}5 = 0{,}125 - 0{,}5 = -0{,}375\).

a) \(g'(x) = -e^{-x} + 2e^{-2x} = e^{-x}(2e^{-x} - 1)\) b) Hochpunkt \(H(\ln 2 | 0{,}25)\) c) \(\lim_{x \to +\infty} G(x) = 0\) d) \(y_W = -0{,}375\)

- Wie hängen die Begriffe Ableitung und Stammfunktion zusammen? - Versuche, den Term von \(F\) erst vollständig auszumultiplizieren und zu vereinfachen, bevor du die Ableitungsregeln anwendest. - Achte beim Ableiten besonders auf die Vorzeichen, wenn negative Exponenten vorkommen. - Vergleiche am Ende die Zähler der Brüche genau.

1. Den Term von \(F\) durch Ausmultiplizieren der binomischen Formel und anschließendes Kürzen vereinfachen: \(F(x) = \frac{1}{x}(x^4 - 8x^2 + 16) = x^3 - 8x + 16x^{-1}\). 2. Die Funktion \(F\) gliedweise ableiten: \(F'(x) = 3x^2 - 8 - 16x^{-2} = 3x^2 - 8 - \frac{16}{x^2}\). 3. Die Ableitung auf einen gemeinsamen Nenner bringen: \(F'(x) = \frac{3x^4 - 8x^2 - 16}{x^2}\). 4. Vergleich mit \(f(x) = \frac{3x^4 - 8x^2 + 16}{x^2}\) zeigt eine Abweichung im Vorzeichen des konstanten Gliedes (\(-16\) statt \(+16\)). 5. Da \(F'(x) \neq f(x)\), ist \(F\) keine Stammfunktion von \(f\).

Nein, \(F\) ist keine Stammfunktion von \(f\).

- Wie hängen die Ableitung einer Funktion und ihre Stammfunktion zusammen? - Welche Ableitung gibt Auskunft über die Extremstellen, und welche über die Wendestellen? - Überlege dir, wie du die Monotonie einer Funktion mithilfe ihrer Ableitung bestimmen kannst. - Achte beim Bereich \(x < 0\) besonders auf die Vorzeichen von ungeraden Potenzen.

1. Ableitung von \(F\): \(F'(x) = \left(0{,}5x + 4 + 2x^{-1}\right)' = 0{,}5 - 2x^{-2} = \frac{0{,}5x^2 - 2}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{2x^2}\). Da \(F'(x) = f(x)\), ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Extrempunkte von \(F\): Bedingung \(f(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2\). Zweite Ableitung \(F''(x) = f'(x) = 4x^{-3}\). Prüfung: \(F''(2) = 0{,}5 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt bei \(T(2|6)\); \(F''(-2) = -0{,}5 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt bei \(H(-2|2)\). 3. Wendepunkte: Notwendige Bedingung für \(F\) ist \(F''(x) = 0\), jedoch ist \(4x^{-3} \neq 0\) für alle \(x\). Für \(f\) ist \(f''(x) = -12x^{-4} \neq 0\) für alle \(x\). Somit haben beide Graphen keine Wendepunkte. 4. Monotonie für \(x < 0\): \(f'(x) = 4x^{-3} < 0 \Rightarrow f\) ist streng monoton fallend. \(f''(x) = -12x^{-4} < 0 \Rightarrow f'\) ist streng monoton fallend. \(f'''(x) = 48x^{-5} < 0 \Rightarrow f''\) ist streng monoton fallend. Alle drei Funktionen weisen im Bereich \(x < 0\) das gleiche Monotonieverhalten auf.

a) Nachweis über \(F'(x) = f(x)\). b) \(H(-2|2)\) (Hochpunkt) und \(T(2|6)\) (Tiefpunkt). c) Die Gleichungen \(F''(x) = 0\) und \(f''(x) = 0\) besitzen keine Lösungen. d) Alle drei Funktionen \(f, f'\) und \(f''\) sind im Bereich \(x < 0\) streng monoton fallend.

- Erinnere dich daran, dass die Ableitung einer Stammfunktion wieder die ursprüngliche Funktion ergeben muss. - Für Brüche, bei denen im Zähler und Nenner die Variable \(x\) vorkommt, bietet sich die Quotientenregel an. - Schreibe Terme wie \(\frac{1}{x^n}\) als \(x^{-n}\) um, um die Potenzregel leichter anwenden zu können. - Überprüfe bei der Quotientenregel sorgfältig die Vereinfachung des Zählers.

Zur Verifizierung werden die Funktionen \(F_1\) bis \(F_4\) abgeleitet: 1. Ableitung von \(F_1(x) = \frac{2x}{x+5}\) mit der Quotientenregel: \(F_1'(x) = \frac{2(x+5) - 2x \cdot 1}{(x+5)^2} = \frac{2x+10-2x}{(x+5)^2} = \frac{10}{(x+5)^2} = f_A(x)\). 2. Ableitung von \(F_2(x) = \frac{x^2}{x-1}\) mit der Quotientenregel: \(F_2'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2 \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2} = f_B(x)\). 3. Ableitung von \(F_3(x) = 4x^{-3}\) mit der Potenzregel: \(F_3'(x) = 4 \cdot (-3)x^{-4} = -12x^{-4} = f_C(x)\). 4. Ableitung von \(F_4(x) = -x^{-4}\) mit der Potenzregel: \(F_4'(x) = -1 \cdot (-4)x^{-5} = 4x^{-5} = \frac{4}{x^5} = f_D(x)\).

(A) gehört zu (1) (B) gehört zu (2) (C) gehört zu (3) (D) gehört zu (4)

- Wie lautet die Grundregel für das Integrieren von \(x^{-1}\)? - Beachte beim Logarithmus das Vorzeichen des Arguments, wenn \(x\) negativ ist. - Um eine spezielle Stammfunktion zu finden, musst du den gegebenen Punkt oder Wert in die allgemeine Stammfunktion einsetzen und nach der Konstanten auflösen. - Was ist der natürliche Logarithmus von \(1\) und von \(e\)?

1. Die allgemeine Stammfunktion von \(f(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} - 4\) für \(x < 0\) lautet \(F(x) = \frac{2}{3} \ln(-x) - 4x + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(-1 \mid 0)\) in die allgemeine Form: \(F_1(-1) = \frac{2}{3} \ln(1) - 4 \cdot (-1) + C = 0\). Da \(\ln(1) = 0\), folgt \(4 + C = 0\), also \(C = -4\). Somit ist \(F_1(x) = \frac{2}{3} \ln(-x) - 4x - 4\). 3. Einsetzen der Bedingung \(F_2(-e) = 1\): \(F_2(-e) = \frac{2}{3} \ln(e) - 4 \cdot (-e) + C = 1\). Mit \(\ln(e) = 1\) ergibt sich \(\frac{2}{3} + 4e + C = 1\). Umstellen nach \(C\) liefert \(C = 1 - \frac{2}{3} - 4e = \frac{1}{3} - 4e\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(F_2(x) = \frac{2}{3} \ln(-x) - 4x + \frac{1}{3} - 4e\).

1. \(F(x) = \frac{2}{3} \ln(-x) - 4x + C\) 2. \(F_1(x) = \frac{2}{3} \ln(-x) - 4x - 4\) 3. \(F_2(x) = \frac{2}{3} \ln(-x) - 4x + \frac{1}{3} - 4e\)

- Erinnere dich an die Definition einer Stammfunktion über die Ableitung. - Welche Regel musst du anwenden, wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist? - Bestimme separat die Ableitung des Ausdrucks, der innerhalb des Logarithmus steht. - Wie lautet die allgemeine Ableitungsregel für Funktionen der Form \(h(x) = \ln(g(x))\)?

1. Es ist zu zeigen, dass \(F'(x) = f(x)\) gilt. 2. Anwendung der Kettenregel auf \(F(x) = \ln(u(x))\) mit der inneren Funktion \(u(x) = x^2 + e^x\). 3. Bestimmung der inneren Ableitung: \(u'(x) = 2x + e^x\). 4. Bestimmung der äußeren Ableitung: Da die äußere Funktion der natürliche Logarithmus ist, gilt für die Ableitung \(\frac{1}{u(x)}\). 5. Zusammensetzen nach der Kettenregel (\(\text{äußere Ableitung} \cdot \text{innere Ableitung}\)): \(F'(x) = \frac{1}{x^2 + e^x} \cdot (2x + e^x)\). 6. Umformen des Ergebnisses zu \(F'(x) = \frac{2x + e^x}{x^2 + e^x}\). 7. Vergleich mit der gegebenen Funktion zeigt \(F'(x) = f(x)\), womit die Behauptung bewiesen ist.

Die Ableitung der Funktion \(F(x) = \ln(x^2 + e^x)\) erfolgt mit der Kettenregel. Mit der inneren Funktion \(u(x) = x^2 + e^x\) und deren Ableitung \(u'(x) = 2x + e^x\) ergibt sich \(F'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \frac{2x + e^x}{x^2 + e^x}\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

- Wie lautet die formale Bedingung dafür, dass eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Überprüfe die Ableitung von \(F(x)\) getrennt für die beiden Intervalle des Definitionsbereichs. - Achte beim Ableiten im Bereich \(x < -4\) besonders auf die Kettenregel. - Überlege dir, ob eine Stammfunktion auf einem Definitionsbereich, der aus zwei getrennten Teilen besteht, zwangsläufig überall dieselbe Integrationskonstante haben muss.

1. Ableitung von \(F\) für den Bereich \(x > -4\): Es gilt \(F'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(x+4) - 2) = \frac{1}{x+4}\). 2. Ableitung von \(F\) für den Bereich \(x < -4\): Mit der Kettenregel ergibt sich \(F'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(-(x+4)) + 5) = \frac{1}{-(x+4)} \cdot (-1) = \frac{1}{x+4}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(F'(x) = \frac{1}{x+4}\) für alle \(x\) im Definitionsbereich von \(f\) gilt, ist die Bedingung \(F'(x) = f(x)\) erfüllt. 4. Schlussfolgerung: \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Dass die additiven Konstanten (\(-2\) und \(5\)) auf den beiden getrennten Intervallen des Definitionsbereichs unterschiedlich sind, ist zulässig.

Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\), da für alle \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-4\}\) gilt: \(F'(x) = f(x)\).

- Wie ist der mathematische Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion definiert? - Welche Rechenregel für das Ableiten musst du anwenden, wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist? - Leite die gegebenen Antwortmöglichkeiten nacheinander ab.

1. Zur Überprüfung wird die Ableitung \(F'(x)\) der Funktion in (2) gebildet. 2. Anwendung der Kettenregel auf \(F(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2 + 5\): Die äußere Funktion ist \(u^2\) mit der Ableitung \(2u\), die innere Funktion ist \(\ln(x)\) mit der Ableitung \(\frac{1}{x}\). 3. Berechnung: \(F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} + 0 = \frac{\ln(x)}{x}\). 4. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 5. Die Ableitungen der anderen Funktionen lauten: (1) \(F'(x) = \frac{2}{x}\), (3) \(F'(x) = -\frac{1}{x^2}\), (4) \(F'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(x)}\) für \(x > 1\); außerdem ist (4) nicht auf ganz \(\mathbb{R}^+\) definiert. Keine dieser Funktionen ist eine Stammfunktion von \(f\) auf \(\mathbb{R}^+\).

Die Funktion in (2) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Erinnerst du dich an die Produktregel für Ableitungen? - Was passiert mit dem Exponenten der \(e\)-Funktion beim Ableiten? Stichwort: Nachdifferenzieren. - Du musst nicht integrieren; es reicht, die Kandidaten abzuleiten und mit der Ausgangsfunktion zu vergleichen.

1. Berechnung der Ableitung von \(F_1(x) = x \cdot e^{2x} + 7\) unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel. 2. Es gilt \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) mit \(u(x) = x\) und \(v(x) = e^{2x}\). Die Ableitungen sind \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = 2e^{2x}\). 3. Einsetzen liefert: \(F_1'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot (2e^{2x}) + 0 = e^{2x} \cdot (1 + 2x) = (2x+1) \cdot e^{2x}\). 4. Da \(F_1'(x) = f(x)\) ist, ist \(F_1\) eine Stammfunktion. 5. Die Überprüfung der anderen Funktionen zeigt: \(F_2'(x) = (2x+3)e^{2x}\), \(F_3'(x) = 2e^{2x}\) und \(F_4'(x) = (2x+2)e^x\). Keine dieser Ableitungen stimmt mit \(f(x)\) überein.

\(F_1\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Überlege dir, für welche Werte der Ausdruck in der Klammer des Logarithmus positiv ist. - Wie verhält sich die Logarithmusfunktion, wenn ihr Argument gegen Null oder gegen Unendlich geht? - Setze den Funktionsterm gleich Null und löse die Gleichung nach \(x\) auf. - Überlege dir, welche Auswirkungen Additionen innerhalb und außerhalb des Logarithmusterms auf den Graphen haben. - Nutze die Produktregel, um die vorgegebene Funktion abzuleiten. - Setze den gegebenen Punkt in die allgemeine Form der Stammfunktion ein, um die Integrationskonstante zu bestimmen.

1. Der Logarithmus ist für positive Argumente definiert: \(x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3\), also \(D_f = ]-3; +\infty[\). 2. Grenzwerte: Für \(x \to -3^+\) geht das Argument gegen \(0^+\), also \(\ln(x+3) \to -\infty\) und somit \(f(x) \to -\infty\). Für \(x \to +\infty\) geht \(\ln(x+3) \to +\infty\), also \(f(x) \to +\infty\). 3. Nullstelle berechnen: \(\ln(x + 3) - 1 = 0 \Rightarrow \ln(x + 3) = 1 \Rightarrow x + 3 = e^1 \Rightarrow x = e - 3\). Die Nullstelle liegt bei \((e - 3 | 0)\). 4. Transformation: Der Graph entsteht aus \(y = \ln x\) durch eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und anschließend um \(1\) Einheit nach unten. Da \(y = \ln x\) streng monoton steigend ist und Verschiebungen die Monotonie nicht ändern, ist \(f\) in \(D_f\) streng monoton steigend. 5. Ableitung der Stammfunktion prüfen: \(F'(x) = 1 \cdot \ln(x + 3) + (x + 3) \cdot \frac{1}{x + 3} - 2 = \ln(x + 3) + 1 - 2 = \ln(x + 3) - 1 = f(x)\). 6. Spezielle Stammfunktion \(F_c(x) = (x + 3) \cdot \ln(x + 3) - 2x + C\) mit \(F_c(-2) = 0\): \(1 \cdot \ln(1) - 2 \cdot (-2) + C = 0 + 4 + C = 0 \Rightarrow C = -4\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(F(x) = (x + 3) \cdot \ln(x + 3) - 2x - 4\).

a) \(D_f = ]-3; +\infty[\); \(\lim_{x \to -3^+} f(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) b) \(x = e - 3\) c) Verschiebung um 3 nach links und 1 nach unten; \(f\) ist streng monoton steigend. d) \(F(x) = (x + 3) \cdot \ln(x + 3) - 2x - 4\)

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Ableitungsregel ist bei einem Ausdruck der Form \((...)^2\) hilfreich? - Wie unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion voneinander? - Welchen Wert hat der natürliche Logarithmus der Eulerschen Zahl \(e\)?

1. Zur Überprüfung wird \(F(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2\) differenziert. Unter Anwendung der Kettenregel mit der äußeren Funktion \(u^2\) und der inneren Funktion \(u = \ln(x)\) ergibt sich: \(F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln(x)}{x}\). Da \(F'(x) = f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}^+\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Jede Stammfunktion von \(f\) hat die Form \(G(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2 + C\). Die Bedingung \(G(e) = 0\) führt auf die Gleichung \(\frac{1}{2}(\ln(e))^2 + C = 0\). Da \(\ln(e) = 1\), folgt \(\frac{1}{2} \cdot 1^2 + C = 0\), also \(C = -\frac{1}{2}\). Der gesuchte Funktionsterm lautet somit \(G(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2 - \frac{1}{2}\).

1. Nachweis durch \(F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = f(x)\). 2. \(G(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2 - \frac{1}{2}\)

- Überlege dir, wie du durch Ableiten zeigen kannst, dass eine gegebene Funktion eine Stammfunktion ist. - Welche Regel musst du anwenden, wenn du ein Produkt aus zwei Teilfunktionen ableitest? - Wie sieht die allgemeine Menge aller Stammfunktionen aus, wenn eine spezielle Stammfunktion bekannt ist? - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt?

1. Die Ableitung von \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 \ln(x) - \frac{1}{9}x^3\) erfolgt mit der Produktregel für den ersten Term: \(F'(x) = [x^2 \cdot \ln(x) + \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x}] - \frac{3}{9}x^2 = x^2 \ln(x) + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}x^2 = x^2 \ln(x)\). Somit ist \(F'(x) = f(x)\). 2. Der allgemeine Ansatz für die Stammfunktion ist \(H(x) = \frac{1}{9}x^3(3 \ln(x) - 1) + C\). Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid 1)\) ergibt \(1 = \frac{1}{9} \cdot 1^3 \cdot (3 \ln(1) - 1) + C\). Mit \(\ln(1) = 0\) folgt \(1 = \frac{1}{9}(-1) + C\), also \(C = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}\). Die Stammfunktion ist \(H(x) = \frac{1}{9}x^3(3 \ln(x) - 1) + \frac{10}{9}\).

1. Nachweis durch \(F'(x) = x^2 \ln(x) + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}x^2 = f(x)\). 2. \(H(x) = \frac{1}{9}x^3(3 \ln(x) - 1) + \frac{10}{9}\)

- Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Monotonieverhalten einer Funktion zusammen? - Was muss für die Funktionswerte an einer Schnittstelle zweier Graphen gelten? - Wenn eine Funktion überall steigt, wie viele Nullstellen kann sie dann höchstens haben? - Mit welcher Ableitungsregel lässt sich ein Produkt aus einer Variablen und einem Logarithmusterm ableiten?

1. Zur Untersuchung der Monotonie wird die erste Ableitung von \(h(x) = \ln(x) - 2e^2 \cdot x^{-1}\) gebildet: \(h'(x) = \frac{1}{x} + 2e^2 \cdot x^{-2} = \frac{x + 2e^2}{x^2}\). 2. Da laut Definitionsbereich \(x > 0\) gilt, sind sowohl der Zähler \(x + 2e^2\) als auch der Nenner \(x^2\) stets positiv. Somit ist \(h'(x) > 0\) für alle \(x > 0\), woraus die strenge monotone Zunahme von \(h\) folgt. 3. Für die Schnittstelle wird geprüft, ob \(f(e^2) = g(e^2)\) gilt: \(f(e^2) = \ln(e^2) = 2\) und \(g(e^2) = \frac{2e^2}{e^2} = 2\). Da \(h(e^2) = f(e^2) - g(e^2) = 0\) ist und \(h\) streng monoton zunehmend verläuft, kann die Funktion höchstens eine Nullstelle besitzen. Somit ist \(x_0 = e^2\) die einzige Schnittstelle. 4. Die Ableitung von \(F(x) = x \cdot (\ln(x) - 1)\) erfolgt mit der Produktregel: \(F'(x) = 1 \cdot (\ln(x) - 1) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) - 1 + 1 = \ln(x)\). Da \(F'(x) = f(x)\), ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

a) \(h'(x) = \frac{x + 2e^2}{x^2} > 0\) für \(x > 0\), daher streng monoton zunehmend. b) \(f(e^2) = 2 = g(e^2)\); die Einzigartigkeit folgt aus der strengen Monotonie von \(h\). c) Nachweis durch Ableiten: \(F'(x) = \ln(x) = f(x)\).

- Vereinfache zuerst den Term der Differenzfunktion \(h(x)\). - Denke beim Ableiten von \(e^{x-2}\) und \(\frac{1}{x-1}\) an die Kettenregel. - Eine Schnittstelle findest du, indem du einen Wert suchst, für den \(f(x) - g(x) = 0\) gilt. - Überlege dir, warum eine immerfort steigende Kurve die x-Achse nicht zweimal kreuzen kann.

1. Die Differenzfunktion lautet \(h(x) = (e^{x-2} + 1) - (\frac{1}{x-1} + 1) = e^{x-2} - \frac{1}{x-1}\). 2. Die erste Ableitung ist \(h'(x) = e^{x-2} - (-1) \cdot (x-1)^{-2} = e^{x-2} + \frac{1}{(x-1)^2}\). Da beide Summanden für \(x > 1\) stets positiv sind, gilt \(h'(x) > 0\), und \(h\) ist streng monoton steigend. 3. Durch Testen einfacher Werte oder Inspektion ergibt sich für \(x_0 = 2\): \(f(2) = e^{2-2} + 1 = 2\) und \(g(2) = \frac{1}{2-1} + 1 = 2\). Da \(h(2) = 0\) und \(h\) im gesamten Bereich \(x > 1\) streng monoton steigt, ist dies die einzige Nullstelle von \(h\) und somit die einzige Schnittstelle. 4. Ableiten von \(F(x) = e^{x-2} + x\) ergibt \(F'(x) = e^{x-2} \cdot 1 + 1 = e^{x-2} + 1\). Da \(F'(x) = f(x)\), ist die Behauptung bewiesen.

a) \(h'(x) = e^{x-2} + \frac{1}{(x-1)^2} > 0\), daher streng monoton steigend. b) Die Schnittstelle liegt bei \(x_0 = 2\); weitere existieren wegen der strengen Monotonie von \(h\) nicht. c) \(F'(x) = e^{x-2} + 1 = f(x)\).

- Erinnere dich an die Ableitungen der trigonometrischen Grundfunktionen Sinus und Kosinus. - Schreibe Brüche mit \(x\) im Nenner als Potenzen mit negativem Exponenten um, bevor du die Regel anwendest. - Bei Summen kannst du jeden Teil der Funktion einzeln betrachten. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du Sinus- oder Kosinusfunktionen ableitest?

1. Für \(f'(x) = 5 \cdot \cos(x)\): Da die Ableitung von \(\sin(x)\) gerade \(\cos(x)\) ist, liefert die Faktorregel \(f(x) = 5 \cdot \sin(x)\). 2. Für \(f'(x) = -\sin(x)\): Da die Ableitung von \(\cos(x)\) die Funktion \(-\sin(x)\) ist, folgt direkt \(f(x) = \cos(x)\). 3. Für \(f'(x) = \frac{2}{x^2} = 2x^{-2}\): Erhöhung des Exponenten auf \(-1\) und Division des Koeffizienten 2 durch \(-1\) ergibt \(f(x) = -2x^{-1} = -\frac{2}{x}\). 4. Für \(f'(x) = x^2 - x\): Anwendung der Summenregel und Umkehrung der Potenzregel für jeden Summanden einzeln ergibt \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2\).

Mögliche Funktionen sind: a) \(f(x) = 5 \cdot \sin(x)\) b) \(f(x) = \cos(x)\) c) \(f(x) = -\frac{2}{x}\) d) \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2\)

- Betrachte die Summanden der Funktion einzeln. - Welche trigonometrische Funktion ergibt beim Ableiten den Sinus? Achte dabei besonders auf das Vorzeichen. - Wende die Regel zum Bestimmen einer Stammfunktion von Potenzen an: Exponent um eins erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. - Kontrolliere dein Vorzeichen beim Sinus und Kosinus genau.

1. Termweise Bestimmung der Ausgangsfunktion: 2. Erster Term \(8 \cdot \sin(x)\): Da die Ableitung von \(\cos(x)\) gleich \(-\sin(x)\) ist, muss die Ausgangsfunktion \(-8 \cdot \cos(x)\) lauten, damit beim Ableiten \(-8 \cdot (-\sin(x)) = 8 \cdot \sin(x)\) entsteht. 3. Zweiter Term \(4x^7\): Erhöhung des Exponenten auf \(8\) und Division des Koeffizienten \(4\) durch den neuen Exponenten \(8\) ergibt \(\frac{4}{8}x^8 = 0{,}5x^8\). 4. Kombination der Ergebnisse zur Funktion \(g(x) = -8 \cdot \cos(x) + 0{,}5x^8\). 5. Überprüfung durch Ableiten: \(g'(x) = -8 \cdot (-\sin(x)) + 0{,}5 \cdot 8x^7 = 8 \cdot \sin(x) + 4x^7\).

\(g(x) = -8 \cdot \cos(x) + 0{,}5x^8\) (oder allgemein \(g(x) = -8 \cdot \cos(x) + 0{,}5x^8 + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\))

- Welche mathematische Beziehung besteht zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion? - Wie unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion voneinander? - Was passiert, wenn du die Differenz zweier Stammfunktionen ableitest?

1. Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(f(x) = F'(x)\). Ableiten von \(F(x) = 0{,}5x^4 - x^2 + 3\) ergibt \(f(x) = 2x^3 - 2x\). 2. Da \(G\) ebenfalls eine Stammfunktion von \(f\) ist, muss sie die Form \(G(x) = 0{,}5x^4 - x^2 + C\) haben. 3. Einsetzen des Punktes \(S(2 \mid 10)\) in \(G(x)\): \(0{,}5 \cdot 2^4 - 2^2 + C = 10\). Berechnung: \(8 - 4 + C = 10 \implies 4 + C = 10 \implies C = 6\). Somit ist \(G(x) = 0{,}5x^4 - x^2 + 6\). 4. Zur Begründung: Seien \(F\) und \(G\) Stammfunktionen von \(f\). Dann gilt \(F'(x) = f(x)\) und \(G'(x) = f(x)\). Die Ableitung der Differenzfunktion \(D(x) = G(x) - F(x)\) ist \(D'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0\). Da eine Funktion, deren Ableitung überall null ist, konstant sein muss, folgt \(G(x) - F(x) = C\).

a) \(f(x) = 2x^3 - 2x\) b) \(G(x) = 0{,}5x^4 - x^2 + 6\) c) Da die Ableitungen beider Funktionen identisch sind (\(F'(x) = G'(x) = f(x)\)), ist die Ableitung ihrer Differenz \(D(x) = G(x) - F(x)\) gleich null. Eine Funktion mit der Ableitung null ist eine konstante Funktion.

- Welche Regel musst du beim Integrieren einer verketteten Funktion wie \(e^{ax}\) beachten? - Denk daran, dass \(e^0 = 1\) gilt. - Was passiert mit der Integrationskonstante \(C\), wenn du die Bedingung für den Funktionswert anwendest? - Kannst du dein Ergebnis durch Ableiten der Stammfunktion überprüfen?

1. Bildung der allgemeinen Stammfunktion unter Anwendung der linearen Substitutionsregel für den Exponentialterm: \(F(x) = \int (4e^{2x} - 6x^2) \, dx = 2e^{2x} - 2x^3 + C\). 2. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 0\): \(F(0) = 2e^{2 \cdot 0} - 2 \cdot 0^3 + C = 2 \cdot 1 - 0 + C = 2 + C\). 3. Nutzen der Bedingung \(F(0) = 5\), um die Gleichung \(2 + C = 5\) aufzustellen. 4. Bestimmung der Integrationskonstante: \(C = 3\). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zur gesuchten Funktion: \(F(x) = 2e^{2x} - 2x^3 + 3\).

\(F(x) = 2e^{2x} - 2x^3 + 3\)

- Hilft es dir, den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten zu schreiben? - Achte beim Integrieren von \(x^n\) besonders auf die Vorzeichen im Nenner und im neuen Exponenten. - Welchen Wert muss die Stammfunktion an der Stelle \(a = 2\) laut Aufgabenstellung annehmen? - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in deine Stammfunktion ein und löse die Gleichung nach der verbleibenden Unbekannten auf.

1. Umschreiben der Funktion in die Potenzschreibweise: \(f(x) = 4x^{-3} + \frac{1}{2}\). 2. Bildung der allgemeinen Stammfunktion: \(F(x) = 4 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + \frac{1}{2}x + C = -2x^{-2} + \frac{1}{2}x + C = -\frac{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + C\). 3. Einsetzen der Bedingung \(F(2) = 0\) in die Stammfunktion: \(-\frac{2}{2^2} + \frac{1}{2} \cdot 2 + C = 0\). 4. Berechnung der Konstante \(C\): \(-0{,}5 + 1 + C = 0 \implies 0{,}5 + C = 0 \implies C = -0{,}5\). 5. Aufstellen der spezifischen Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{2}{x^2} + 0{,}5x - 0{,}5\).

\(F(x) = -\frac{2}{x^2} + 0{,}5x - 0{,}5\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Wurzel- und Exponentialfunktionen, um die Stammfunktion zu finden. - Was passiert mit der Konstante \( C \), wenn du den Funktionswert an einer bestimmten Stelle vorgibst? - Setze den gegebenen \( x \)-Wert in deine allgemeine Stammfunktion ein und löse die Gleichung nach der Konstante auf.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion: Unter Verwendung der Grundintegrale für \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) und \( e^x \) ergibt sich \( F(x) = \sqrt{x} + e^x + C \). 2. Nutzen der Anfangsbedingung: Einsetzen von \( x = 1 \) in den Ansatz liefert \( F(1) = \sqrt{1} + e^1 + C = 1 + e + C \). 3. Bestimmung von \( C \): Gleichsetzen mit dem gegebenen Wert ergibt \( 1 + e + C = e + 4 \). Durch Subtraktion von \( e \) und \( 1 \) erhält man \( C = 3 \). 4. Angabe der speziellen Stammfunktion: \( F(x) = \sqrt{x} + e^x + 3 \).

\( F(x) = \sqrt{x} + e^x + 3 \)

- Welche Funktion ergibt beim Ableiten \(\frac{1}{x}\)? Beachte dabei den Definitionsbereich. - Was muss man beim Logarithmus beachten, wenn das Argument negativ ist? - Was ist die mathematische Definition einer Stammfunktion? - In welcher Beziehung stehen der Funktionswert von \(f\) und die Steigung von \(F\)?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion für negative \(x\): Da \(x < 0\), ist \(|x| = -x\). Die allgemeine Stammfunktion lautet \(F(x) = \ln(-x) + C\). 2. Beispiele für drei Stammfunktionen durch Variation von \(C\): \(F_1(x) = \ln(-x)\) \(F_2(x) = \ln(-x) + 2\) \(F_3(x) = \ln(-x) - 1\) 3. Begründung der Steigung: Nach der Definition der Stammfunktion gilt \(F'(x) = f(x)\) für jede Stammfunktion \(F\). Da die Steigung einer Funktion an einer Stelle durch ihren Ableitungswert gegeben ist, ist die Steigung jeder Stammfunktion an der Stelle \(x = -2\) identisch mit dem Funktionswert \(f(-2)\). 4. Berechnung des Werts: \(f(-2) = \frac{1}{-2} = -0{,}5\).

a) Drei mögliche Stammfunktionen sind \(F_1(x) = \ln(-x)\), \(F_2(x) = \ln(-x) + 2\) und \(F_3(x) = \ln(-x) - 1\). b) Jede Stammfunktion \(F\) erfüllt per Definition \(F'(x) = f(x)\). Daher haben alle Stammfunktionen an der Stelle \(x = -2\) die Steigung \(f(-2) = -0{,}5\).

- Wie hängen die Begriffe Ableitung und Stammfunktion zusammen? - Um eine spezifische Stammfunktion zu finden, die durch einen Punkt verläuft, musst du zuerst die allgemeine Stammfunktion mit einer Konstante \( C \) aufstellen. - Setze die Koordinaten des Punktes in deine Funktionsgleichung ein, um den Wert der Konstante zu berechnen.

1. Teilaufgabe a): Ableiten der Funktionen \( G_A \) und \( G_B \). \( G_A'(x) = 4x - 1 \), was \( g_1(x) \) entspricht. \( G_B'(x) = 4 \cdot 0{,}5x^3 - 3 \cdot \frac{1}{6}x^2 = 2x^3 - 0{,}5x^2 \), was \( g_4(x) \) entspricht. 2. Teilaufgabe b): Integration der verbleibenden Funktionen \( g_2 \) und \( g_3 \). Für \( g_2(x) = 3x^2 - 4x \) ist die allgemeine Stammfunktion \( G_2(x) = x^3 - 2x^2 + C \). Einsetzen von \( P(1 \mid 2) \): \( 1^3 - 2\cdot 1^2 + C = 2 \implies -1 + C = 2 \implies C = 3 \). Somit \( G_2(x) = x^3 - 2x^2 + 3 \). Für \( g_3(x) = x^3 \) ist die allgemeine Stammfunktion \( G_3(x) = \frac{1}{4}x^4 + C \). Einsetzen von \( P(1 \mid 2) \): \( 0{,}25 \cdot 1^4 + C = 2 \implies 0{,}25 + C = 2 \implies C = 1{,}75 \). Somit \( G_3(x) = 0{,}25x^4 + 1{,}75 \).

a) Zuordnung: \( G_A \) gehört zu \( g_1 \), da \( G_A'(x) = g_1(x) \). \( G_B \) gehört zu \( g_4 \), da \( G_B'(x) = g_4(x) \). b) \( G_2(x) = x^3 - 2x^2 + 3 \) und \( G_3(x) = 0{,}25x^4 + 1{,}75 \) (oder \( G_3(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{7}{4} \)).

- Zerlege den Bruchterm von \(g\), um das Ableiten und das Bestimmen der Asymptoten zu vereinfachen. - Welches Vorzeichen muss die zweite Ableitung für eine Linkskrümmung haben? - Die Monotonie einer Funktion lässt sich direkt am Vorzeichen ihrer ersten Ableitung ablesen. - Überprüfe für den Bereich \(x < 0\) sorgfältig die Vorzeichen der Brüche, wenn die Variable im Nenner steht.

1. Ableitung von \(g\): Umschreiben zu \(g(x) = 2x - x^{-1}\). Dann ist \(g'(x) = 2 - (-1)x^{-2} = 2 + \frac{1}{x^2}\). Da \(g'(x) = h(x)\), ist \(g\) eine Stammfunktion von \(h\). 2. Asymptoten von \(g\): Die Definitionslücke bei \(x = 0\) ist ein Pol mit Vorzeichenwechsel, also ist \(x = 0\) eine senkrechte Asymptote. Für \(|x| \to \infty\) nähert sich der Term \(-\frac{1}{x}\) dem Wert \(0\) an, woraus die schräge Asymptote \(y = 2x\) folgt. 3. Krümmung: \(g''(x) = h'(x) = -2x^{-3}\). Für \(x < 0\) ist \(g''(x) > 0\) (linksgekrümmt), für \(x > 0\) ist \(g''(x) < 0\) (rechtsgekrümmt). Für \(h\) gilt \(h''(x) = 6x^{-4}\). Da \(6x^{-4} > 0\) für alle \(x \neq 0\), ist der Graph von \(h\) überall linksgekrümmt. 4. Monotonie für \(x < 0\): Es gilt \(g'(x) = 2 + \frac{1}{x^2} > 0 \Rightarrow g\) ist streng monoton steigend. \(h'(x) = -2x^{-3} > 0\) für \(x < 0 \Rightarrow h\) ist streng monoton steigend. \(h''(x) = 6x^{-4} > 0 \Rightarrow h'\) ist streng monoton steigend. Alle drei Funktionen sind für \(x < 0\) streng monoton steigend.

a) \(g'(x) = 2 + \frac{1}{x^2} = h(x)\). b) Senkrechte Asymptote \(x = 0\); schräge Asymptote \(y = 2x\). c) \(g\): linksgekrümmt für \(x \in ]-\infty; 0[\), rechtsgekrümmt für \(x \in ]0; \infty[\). \(h\): linksgekrümmt für alle \(x \neq 0\). d) Da \(g'(x) > 0\), \(h'(x) > 0\) und \(h''(x) > 0\) für alle \(x < 0\) gilt, sind \(g, h\) und \(h'\) in diesem Bereich streng monoton steigend.

- Welche Eigenschaften muss eine Funktion auf einem Intervall besitzen, um dort als Stammfunktion zu gelten? Denke an Differenzierbarkeit. - Erinnere dich an den notwendigen Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit. - Untersuche das Verhalten der Funktion \(G\) an der Stelle \(x = 0\). Sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert identisch mit dem Funktionswert? - Genügt es für eine Stammfunktion auf \(\mathbb{R}\), wenn die Ableitungsbedingung nur fast überall erfüllt ist?

1. Überprüfung der Stetigkeit von \(G\) an der Nahtstelle \(x = 0\): Der Funktionswert ist \(G(0) = 0^2 + 0 + 2 = 2\). Der linksseitige Grenzwert berechnet sich zu \(\lim_{x \to 0^-} G(x) = \lim_{x \to 0^-} e^x = e^0 = 1\). 2. Feststellung der Unstetigkeit: Da der linksseitige Grenzwert (\(1\)) ungleich dem Funktionswert (\(2\)) ist, weist \(G\) an der Stelle \(x = 0\) eine Sprungstelle auf und ist somit dort nicht stetig. 3. Folgerung für die Stammfunktion: Eine Stammfunktion auf einem Intervall muss nach Definition dort differenzierbar sein. Da Differenzierbarkeit Stetigkeit voraussetzt, kann \(G\) an der Stelle \(x = 0\) nicht differenzierbar sein. 4. Ergebnis: Obwohl \(G'(x) = g(x)\) für alle \(x \neq 0\) gilt, ist \(G\) aufgrund der fehlenden Differenzierbarkeit an der Stelle \(x = 0\) keine Stammfunktion von \(g\) auf ganz \(\mathbb{R}\).

Nein, \(G\) ist keine Stammfunktion von \(g\) auf \(\mathbb{R}\), da \(G\) an der Stelle \(x = 0\) nicht stetig und folglich dort auch nicht differenzierbar ist.

- Achte beim Definitionsbereich auf das Vorzeichen vor dem \(x\). - Überlege, was passiert, wenn \(x\) sehr kleine (negativ große) Werte annimmt. - Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse musst du \(x = 0\) einsetzen. - Gehe bei den Transformationen Schritt für Schritt vor (Spiegelungen und Verschiebungen). - Denk an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von \(G(x)\).

1. Definitionsbereich: \(5 - x > 0 \Rightarrow x < 5\), also \(D_g = ]-\infty; 5[\). 2. Grenzverhalten: Für \(x \to 5^-\) gilt \(\ln(5 - x) \to -\infty\), also \(g(x) \to 2 - (-\infty) = +\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(\ln(5 - x) \to +\infty\), also \(g(x) \to -\infty\). 3. Achsenschnittpunkte: \(g(0) = 2 - \ln 5\), also \(S_y(0 | 2 - \ln 5)\). Nullstelle: \(2 - \ln(5 - x) = 0 \Rightarrow \ln(5 - x) = 2 \Rightarrow 5 - x = e^2 \Rightarrow x = 5 - e^2\), also \(N(5 - e^2 | 0)\). 4. Transformationen: \(y_1 = \ln x \xrightarrow{\text{Spiegelung an } y\text{-Achse}} y_2 = \ln(-x) \xrightarrow{\text{Verschiebung um 5 nach rechts}} y_3 = \ln(-(x-5)) = \ln(5-x) \xrightarrow{\text{Spiegelung an } x\text{-Achse}} y_4 = -\ln(5-x) \xrightarrow{\text{Verschiebung um 2 nach oben}} y_5 = 2 - \ln(5-x)\). 5. Monotonie: \(\ln x\) ist steigend \(\xrightarrow{\text{Refl. } y}\) fallend \(\xrightarrow{\text{Refl. } x}\) steigend. Verschiebungen ändern die Monotonie nicht. 6. Ableitung prüfen: \(G'(x) = 3 + (-1) \cdot \ln(5 - x) + (5 - x) \cdot \frac{-1}{5 - x} = 3 - \ln(5 - x) - 1 = 2 - \ln(5 - x) = g(x)\). 7. Spezielle Stammfunktion mit \(G(4) = 0\): \(G(4) = 3 \cdot 4 + (5 - 4) \cdot \ln(5 - 4) + C = 12 + 1 \cdot \ln(1) + C = 12 + C = 0 \Rightarrow C = -12\). Ergebnis: \(G(x) = 3x + (5 - x) \cdot \ln(5 - x) - 12\).

a) \(D_g = ]-\infty; 5[\); \(\lim_{x \to 5^-} g(x) = +\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\) b) \(S_y(0 | 2 - \ln 5)\); \(N(5 - e^2 | 0)\) c) Spiegelung an \(y\)-Achse, Verschiebung um 5 nach rechts, Spiegelung an \(x\)-Achse, Verschiebung um 2 nach oben. \(g\) ist streng monoton steigend. d) \(G(x) = 3x + (5 - x) \cdot \ln(5 - x) - 12\)

- Es hilft oft, Brüche wie \(\frac{1}{x^n}\) zuerst in die Schreibweise mit negativen Exponenten umzuwandeln. - Welche trigonometrische Funktion hat den Kosinus als Ableitung? Achte dabei genau auf das Vorzeichen. - Erinnere dich an die Regel: Exponent um eins erhöhen und dann durch den neuen Exponenten teilen. - Du kannst dein Ergebnis jederzeit prüfen, indem du deine gefundene Funktion wieder ableitest.

1. Umschreiben des Bruchs in eine Potenzschreibweise: \(\frac{4}{x^5} = 4x^{-5}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion für den trigonometrischen Teil: Die Ableitung von \(\sin(x)\) ist \(\cos(x)\), also ist ein Teil der Funktion \(\sin(x)\). 3. Anwendung der Potenzregel auf \(4x^{-5}\): Erhöhung des Exponenten um \(1\) ergibt den neuen Exponenten \(-4\). Division des Koeffizienten \(4\) durch den neuen Exponenten \(-4\) ergibt \(-1\). Der Term lautet somit \(-1 \cdot x^{-4}\). 4. Rückführung der Potenzschreibweise in einen Bruch: \(-x^{-4} = -\frac{1}{x^4}\). 5. Kombination der Ergebnisse: \(g(x) = \sin(x) - \frac{1}{x^4}\).

\(g(x) = \sin(x) - \frac{1}{x^4}\) (oder \(g(x) = \sin(x) - \frac{1}{x^4} + c\) mit \(c \in \mathbb{R}\))

- Wie hängen zwei verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion mathematisch zusammen? - Wenn du eine Stammfunktion kennst, wie kommst du dann zur ursprünglichen Funktion zurück? - Wie kannst du eine unbekannte Konstante berechnen, wenn du einen Punkt auf dem Graphen kennst?

1. Bestimmung von \(f(x)\): Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(f(x) = F'(x)\). Ableitung von \(F(x) = x^{-1} + x^2\) ergibt \(f(x) = -x^{-2} + 2x = -\frac{1}{x^2} + 2x\). 2. Ansatz für \(G(x)\): Da alle Stammfunktionen einer Funktion \(f\) sich nur durch eine additive Konstante \(C\) unterscheiden, gilt \(G(x) = F(x) + C = \frac{1}{x} + x^2 + C\). 3. Bestimmung von \(C\): Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid 5)\) in \(G(x)\) ergibt \(G(1) = \frac{1}{1} + 1^2 + C = 5\). 4. Berechnung: \(1 + 1 + C = 5 \Rightarrow 2 + C = 5 \Rightarrow C = 3\). 5. Resultat: \(G(x) = \frac{1}{x} + x^2 + 3\).

\(f(x) = -\frac{1}{x^2} + 2x\) \(G(x) = \frac{1}{x} + x^2 + 3\)