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- Welche Gleichung muss zwischen \(F'\) und \(f\) gelten, damit \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist? - Bestimme die Ableitung des gegebenen quadratischen Terms. - Vergleiche anschließend beide Funktionsterme vollständig.

1. Es gilt \(F'(x)=4x-3\). 2. Damit ist \(F'(x)=f(x)\). Also ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

Ja. Es gilt \(F'(x)=4x-3=f(x)\).

- Was darf sich bei zwei Stammfunktionen derselben Funktion verändern, ohne ihre Ableitung zu verändern? - Vergleiche jede vorgeschlagene Funktion mit \(F\), ohne zunächst vollständig abzuleiten. - Ist der Unterschied jeweils eine feste Zahl oder hängt er von \(x\) ab?

1. Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante. 2. \(G-F=4\) ist konstant, also ist \(G\) ebenfalls eine Stammfunktion von \(f\). 3. \(H-F=-7\) ist konstant, also ist \(H\) ebenfalls eine Stammfunktion von \(f\). 4. \(K-F=x\) ist nicht konstant. Daher ist \(K\) keine Stammfunktion von \(f\).

a) Ja. b) Ja. c) Nein.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Funktion die Stammfunktion einer anderen ist? - Erinnere dich an die Potenzregel beim Ableiten. - Welchen Einfluss haben additive Konstanten beim Ableiten einer Funktion? - Vergleiche die Koeffizienten und Exponenten nach dem Ableiten von \( F(x) \) mit der Funktion \( f(x) \).

1. Nach der Definition der Stammfunktion gilt \( F'(x) = f(x) \). 2. Für Teilaufgabe a) ergibt die Ableitung \( F'(x) = kx^{k-1} \). Der Vergleich mit \( 7x^6 \) liefert \( k = 7 \). 3. Für Teilaufgabe b) ergibt die Ableitung \( F'(x) = 8x^3 \). Der Vergleich mit \( kx^3 \) liefert \( k = 8 \). 4. Für Teilaufgabe c) ergibt die Ableitung \( F'(x) = \cos(x) \). Da die Ableitung einer Konstanten (\( k^2 \)) immer null ist, gilt \( F'(x) = f(x) \) für jeden beliebigen Wert von \( k \). Ein möglicher Wert ist beispielsweise \( k = 1 \) oder \( k = 0 \).

a) \( k = 7 \) b) \( k = 8 \) c) Jedes \( k \in \mathbb{R} \) ist möglich (z. B. \( k = 0 \)).

- Welche Gleichung muss zwischen \(F'\) und \(f\) gelten, damit \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist? - Beide Terme für \(F\) sind Verkettungen. Welche Ableitungsregel ist deshalb jeweils wichtig? - Vergleiche nach dem Ableiten den vollständigen Term von \(F'\) mit dem jeweils gegebenen Term von \(f\).

1. Für a) gilt mit der Kettenregel \(F'(x)=\frac{1}{x^2+5}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2+5}=f(x)\). Damit ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Für b) gilt mit der Kettenregel \(F'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x=2x\cos(x^2)=f(x)\). Damit ist auch hier \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

a) Ja. Es gilt \(F'(x)=\frac{2x}{x^2+5}=f(x)\). b) Ja. Es gilt \(F'(x)=2x\cos(x^2)=f(x)\).

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn im Argument der Funktion ein linearer Ausdruck wie \(0{,}5x + 1\) steht? - Achte beim Ableiten von Sinus- und Kosinusfunktionen besonders auf die Vorzeichen. - Was passiert mit konstanten Summanden beim Ableiten?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Ableitung \(F'(x)\) mit der Kettenregel berechnet: Die äußere Ableitung der Exponentialfunktion bleibt \(e^{0{,}5x + 1}\), die innere Ableitung des Exponenten ist \(0{,}5\). Es ergibt sich \(F'(x) = 4e^{0{,}5x + 1} \cdot 0{,}5 = 2e^{0{,}5x + 1}\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Für Teilaufgabe b) wird \(F'(x)\) berechnet: Die Ableitung von \(\cos(u)\) ist \(-\sin(u)\), die innere Ableitung von \(2x\) ist \(2\). Es folgt \(F'(x) = 0{,}5 \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = -\sin(2x)\). Da \(-\sin(2x) \neq \sin(2x)\) ist, ist \(F\) keine Stammfunktion von \(f\).

a) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). b) Nein, \(F\) ist keine Stammfunktion von \(f\).

- Was muss gelten, damit eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Erinnerst du dich an die Ableitungsregel für verkettete Funktionen? - Identifiziere die „innere“ und die „äußere“ Funktion im Term von \(F\). - Was ist die Ableitung der Kosinusfunktion?

1. Bestimmung der Ableitung \(F'(x)\) unter Verwendung der Kettenregel. 2. Definition der äußeren Funktion \(g(u) = 2\cos(u)\) mit der Ableitung \(g'(u) = -2\sin(u)\). 3. Definition der inneren Funktion \(u(x) = x^3\) mit der Ableitung \(u'(x) = 3x^2\). 4. Multiplikation der äußeren und inneren Ableitung: \(F'(x) = -2 \cdot \sin(x^3) \cdot 3x^2\). 5. Zusammenfassen der Faktoren: \(F'(x) = -6x^2 \cdot \sin(x^3)\). 6. Abgleich mit dem Term von \(f(x)\) bestätigt \(F'(x) = f(x)\).

Die Behauptung ist wahr, da \(F'(x) = 2 \cdot (-\sin(x^3)) \cdot 3x^2 = -6x^2 \cdot \sin(x^3) = f(x)\) gilt.

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn ein Funktionsterm aus zwei Faktoren besteht? - Was passiert mit einer additiven Konstante beim Ableiten? - Vergleiche den Koeffizienten vor dem \(x\) und das absolute Glied nach dem Zusammenfassen der Ableitung mit der Ausgangsfunktion.

1. Anwendung der Produktregel auf die Kandidaten: \(F'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\) mit \(v(x) = e^x\) und \(v'(x) = e^x\). 2. Ableitung von \(F_A\): \(F_A'(x) = (2x + 5) \cdot e^x + (x^2 + 5x + 5) \cdot e^x = (x^2 + 7x + 10) \cdot e^x \neq f(x)\). 3. Ableitung von \(F_B\): \(F_B'(x) = (2x + 4) \cdot e^x + (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x = (x^2 + 6x + 5) \cdot e^x \neq f(x)\). 4. Ableitung von \(F_C\): \(F_C'(x) = (2x + 3) \cdot e^x + (x^2 + 3x + 2) \cdot e^x + 0 = (x^2 + 5x + 5) \cdot e^x = f(x)\). 5. Ableitung von \(F_D\): \(F_D'(x) = (2x + 7) \cdot e^x + (x^2 + 7x + 10) \cdot e^x = (x^2 + 9x + 17) \cdot e^x \neq f(x)\). 6. Ergebnis: \(F_C\) ist die korrekte Stammfunktion.

\(F_C(x) = (x^2 + 3x + 2) \cdot e^x + 4\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Was muss für die Ableitung von \(F\) gelten, damit \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist? - Kannst du den Bruch in \(F(x)\) in einzelne Potenzen zerlegen, bevor du ableitest? - Erinnere dich an die Potenzregel für die Ableitung, auch für negative Exponenten.

1. Den Funktionsterm von \(F\) durch Aufteilen des Bruchs vereinfachen: \(F(x) = \frac{2x^4}{x^2} - \frac{3}{x^2} = 2x^2 - 3x^{-2}\). 2. Die Ableitungsfunktion \(F'\) mithilfe der Potenzregel bestimmen: \(F'(x) = 2 \cdot 2x^1 - 3 \cdot (-2)x^{-3} = 4x + 6x^{-3}\). 3. Das Ergebnis der Ableitung mit der gegebenen Funktion \(f(x) = 4x + 6x^{-3}\) vergleichen. 4. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Für eine Stammfunktion muss jeweils \(F_i'=f_i\) gelten. - Achte beim Ableiten auf die Änderung von Exponent und Vorfaktor. - Bei Termen mit \(x+2\) kommt zusätzlich die innere Ableitung hinzu. - Vergleiche nach jeder Ableitung nur den noch unbekannten Vorfaktor.

1. Es gilt \(F_1'(x)=12(x+2)^{-4}=\frac{12}{(x+2)^4}\). Daher ist \(a=12\). 2. Es gilt \(F_2'(x)=12x^{-4}=\frac{12}{x^4}\). Daher ist \(b=12\). 3. Es gilt \(F_3'(x)=-12x^{-5}\). Daher ist \(c=-12\). 4. Es gilt \(F_4'(x)=12(x+2)^{-5}\). Daher ist \(d=12\).

(1) \(a=12\), da \(F_1'(x)=\frac{12}{(x+2)^4}\). (2) \(b=12\), da \(F_2'(x)=\frac{12}{x^4}\). (3) \(c=-12\), da \(F_3'(x)=-12x^{-5}\). (4) \(d=12\), da \(F_4'(x)=12(x+2)^{-5}\).

- Wie weist du durch Ableiten nach, dass eine gegebene Funktion eine Stammfunktion ist? - Welche Ableitungsregel gilt für \(\ln(-x)\)? - Welche Stammfunktion gehört auf \(x>0\) zum Term \(1/x\)? - Nutze den gegebenen Funktionswert, um die Integrationskonstante zu bestimmen.

1. Für \(x<0\) gilt \(G'(x)=5\cdot\frac{1}{-x}\cdot(-1)+\frac{1}{2}x=\frac{5}{x}+\frac{1}{2}x=g(x)\). Damit ist \(G\) dort eine Stammfunktion von \(g\). 2. Für \(x>0\) hat eine Stammfunktion die Form \(H(x)=5\ln(x)+\frac{1}{4}x^2+C\). 3. Aus \(H(1)=0{,}25\) folgt \(5\ln(1)+\frac{1}{4}+C=0{,}25\). Daher ist \(C=0\). 4. Somit ist \(H(x)=5\ln(x)+\frac{1}{4}x^2\).

1. \(G'(x)=g(x)\), also ist \(G\) für \(x<0\) eine Stammfunktion von \(g\). 2. \(H(x)=5\ln(x)+\frac{1}{4}x^2\)

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion hinsichtlich der Ableitung besteht. - Welche Ableitungsregeln benötigst du für eine Summe von Funktionen? - Wie lautet die Ableitung der Funktion \(g(x) = \ln|x|\)? - Was passiert mit dem konstanten Faktor vor einem Term beim Ableiten?

1. Zur Überprüfung, ob \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, wird die Ableitung \(F'(x)\) gebildet. 2. Anwendung der Summenregel auf \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2\ln|x|\). 3. Ableiten des ersten Terms mit der Potenzregel: \(\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2\). 4. Ableiten des zweiten Terms unter Verwendung der Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus: \(\frac{d}{dx}(2\ln|x|) = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}\). 5. Zusammenführen der Teilableitungen ergibt \(F'(x) = x^2 + \frac{2}{x}\). 6. Da \(F'(x) = f(x)\) für alle \(x \neq 0\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

Durch Ableiten von \(F\) erhält man \(F'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2 \cdot \frac{1}{x} = x^2 + \frac{2}{x}\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

- Wie lautet die allgemeine Regel, um eine Stammfunktion einer Potenzfunktion zu bilden? - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Welche Rolle spielt die Integrationskonstante \(C\) beim Einsetzen der Punktkoordinaten?

1. Die Menge aller Stammfunktionen von \(f(x) = 6x^2 - 4x + 1\) wird durch \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + C\) beschrieben. 2. Für Punkt \(P(0 \mid 7)\): Einsetzen ergibt \(F(0) = 2 \cdot 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 0 + C = 7\), woraus \(C = 7\) folgt. Die Stammfunktion ist \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 7\). 3. Für Punkt \(Q(1 \mid 2)\): Einsetzen ergibt \(F(1) = 2 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + C = 2\). Dies führt zu \(1 + C = 2\), also \(C = 1\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 1\). 4. Für Punkt \(R(-1 \mid 0)\): Einsetzen ergibt \(F(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + (-1) + C = 0\). Dies führt zu \(-2 - 2 - 1 + C = 0\), also \(C = 5\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 5\).

a) \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 7\) b) \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 1\) c) \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 5\)

- Welche Integrationsregel kannst du auf die einzelnen Glieder der Summe anwenden? - Was bedeutet die Information über die Nullstelle für den Funktionswert an dieser Stelle? - Vergiss nicht die Integrationskonstante \(C\) beim Bilden der allgemeinen Stammfunktion. - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, um die Unbekannte \(C\) zu berechnen?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion mithilfe der Potenzregel: \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^3 + 5x + C\). 2. Aufstellen der Bedingung für die Nullstelle \(F(2) = 0\): \(\frac{1}{8} \cdot 2^4 - 2^3 + 5 \cdot 2 + C = 0\). 3. Vereinfachen der Terme: \(2 - 8 + 10 + C = 0\), woraus \(4 + C = 0\) folgt. 4. Ermittlung der Integrationskonstante: \(C = -4\). 5. Angabe der gesuchten Stammfunktion durch Einsetzen von \(C\): \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^3 + 5x - 4\).

\(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^3 + 5x - 4\)

- Welche Operation ist die Umkehrung des Bildens einer Stammfunktion? - Was muss passieren, wenn du eine Stammfunktion ableitest? - Überlege, wie sich die Ableitung einer konstanten Zahl auf das Gesamtergebnis auswirkt.

1. Berechnung der Ableitung von \(F\): \(F'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 3x^2 + 5) = 4x^3 - 6x\). 2. Abgleich mit \(f(x)\): Da \(F'(x) = 4x^3 - 6x = f(x)\) gilt, ist \(F\) nach Definition eine Stammfunktion von \(f\). 3. Definition: Eine Funktion \(F\) heißt Stammfunktion von \(f\) auf einem Intervall \(I\), wenn für alle \(x \in I\) gilt: \(F'(x) = f(x)\). 4. Überprüfung von \(H\): Die Ableitung \(H'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 3x^2 - 12) = 4x^3 - 6x\) ergibt ebenfalls \(f(x)\). Da sich \(F\) und \(H\) nur durch eine additive Konstante unterscheiden, ist ihre Ableitung identisch.

a) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion, da \(F'(x) = 4x^3 - 6x = f(x)\) gilt. b) Eine Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\), wenn \(F'(x) = f(x)\) erfüllt ist. \(H\) ist ebenfalls eine Stammfunktion, da \(H'(x) = 4x^3 - 6x = f(x)\) gilt (die Konstante \(-12\) fällt beim Ableiten weg).

- Wie hängen zwei verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion mathematisch zusammen? - Wenn du eine Stammfunktion kennst, wie kommst du dann zur ursprünglichen Funktion zurück? - Wie kannst du eine unbekannte Konstante berechnen, wenn du einen Punkt auf dem Graphen kennst?

1. Bestimmung von \(f(x)\): Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(f(x) = F'(x)\). Ableitung von \(F(x) = x^{-1} + x^2\) ergibt \(f(x) = -x^{-2} + 2x = -\frac{1}{x^2} + 2x\). 2. Ansatz für \(G(x)\): Da alle Stammfunktionen einer Funktion \(f\) sich nur durch eine additive Konstante \(C\) unterscheiden, gilt \(G(x) = F(x) + C = \frac{1}{x} + x^2 + C\). 3. Bestimmung von \(C\): Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid 5)\) in \(G(x)\) ergibt \(G(1) = \frac{1}{1} + 1^2 + C = 5\). 4. Berechnung: \(1 + 1 + C = 5 \Rightarrow 2 + C = 5 \Rightarrow C = 3\). 5. Resultat: \(G(x) = \frac{1}{x} + x^2 + 3\).

\(f(x) = -\frac{1}{x^2} + 2x\) \(G(x) = \frac{1}{x} + x^2 + 3\)

- Welche Potenz von \(x\) steckt im Term \(\frac{1}{x^2}\)? - Wie entstehen aus einer Stammfunktion weitere Stammfunktionen derselben Funktion? - Nutze den gegebenen Punkt, um die Integrationskonstante der gesuchten Stammfunktion zu bestimmen.

1. Wegen \(f(x)=x^{-2}+1\) lautet die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=-\frac{1}{x}+x+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\). 2. Vier mögliche Beispiele sind \(F_1(x)=-\frac{1}{x}+x\), \(F_2(x)=-\frac{1}{x}+x+1\), \(F_3(x)=-\frac{1}{x}+x-5\) und \(F_4(x)=-\frac{1}{x}+x+10\). 3. Für den Punkt \(P(1\mid0)\) gilt \(0=-1+1+C\). Damit ist \(C=0\). 4. Die gesuchte Stammfunktion ist also \(F(x)=-\frac{1}{x}+x\).

a) Zum Beispiel \(F_1(x)=-\frac{1}{x}+x\), \(F_2(x)=-\frac{1}{x}+x+1\), \(F_3(x)=-\frac{1}{x}+x-5\) und \(F_4(x)=-\frac{1}{x}+x+10\) b) \(F(x)=-\frac{1}{x}+x\)

- Wie kannst du überprüfen, ob eine gegebene Funktion wirklich eine Stammfunktion ist? - Überlege, ob ein einzelner Funktionsterm oder die ganze Familie der Stammfunktionen gefragt ist. - Welche Veränderung eines Funktionsterms verschwindet beim Ableiten wieder vollständig?

1. Ableiten von \(F\) ergibt \(F'(x)=6x^2=f(x)\). Damit ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Alle Stammfunktionen von \(f\) unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante. Deshalb gilt \(\int 6x^2\,dx=2x^3+C\). 3. Die Konstante \(C\in\mathbb{R}\) steht für die freie vertikale Verschiebung und beschreibt damit die ganze Menge der Stammfunktionen.

a) Ja, denn \(F'(x)=6x^2=f(x)\). b) \(\int 6x^2\,dx=2x^3+C\) c) \(C\in\mathbb{R}\) kann beliebig gewählt werden; unterschiedliche Werte von \(C\) liefern unterschiedliche Stammfunktionen derselben Funktion \(f\).

- Prüfe zuerst durch Ableiten, ob der angegebene Funktionsterm grundsätzlich passt. - Welche Menge von Funktionen wird mit einem unbestimmten Integral beschrieben? - Überlege, wodurch sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion voneinander unterscheiden können.

1. Der Term \(x^4-x^2\) ist tatsächlich eine Stammfunktion, denn seine Ableitung ist \(4x^3-2x\). 2. Das unbestimmte Integral bezeichnet jedoch die ganze Familie aller Stammfunktionen. 3. Deshalb fehlt in der notierten Gleichung die additive Konstante. Vollständig lautet sie \(\int (4x^3-2x)\,dx=x^4-x^2+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\).

Die Aussage ist unvollständig. \(x^4-x^2\) ist eine einzelne Stammfunktion, aber das unbestimmte Integral umfasst alle Stammfunktionen: \(\int (4x^3-2x)\,dx=x^4-x^2+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\).

- In der Integralschreibweise haben der zu integrierende Funktionsterm und die freie Konstante unterschiedliche Fachbezeichnungen. - Überlege, warum sich die Ableitung nicht ändert, wenn zu einer Stammfunktion eine feste Zahl addiert wird. - Das Wort „unbestimmt“ weist darauf hin, dass nicht nur eine einzelne Stammfunktion gemeint ist.

1. Der Funktionsterm \(6x^2-4\), der integriert wird, heißt Integrand. 2. \(C\) heißt Integrationskonstante. Verschiedene Werte von \(C\) verschieben die Stammfunktion nur vertikal und liefern alle Stammfunktionen von \(f\). 3. Das unbestimmte Integral beschreibt daher die gesamte Stammfunktionsfamilie \(2x^3-4x+C\).

a) Integrand b) \(C\) ist die Integrationskonstante; unterschiedliche Werte liefern verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion. c) Das unbestimmte Integral beschreibt die Familie aller Stammfunktionen von \(f\).

- Prüfe zunächst die Ableitung der beiden Zweige; danach ist die Stelle \(x=0\) der entscheidende Unterschied. - Gehört \(0\) im jeweiligen Fall überhaupt zum Definitionsbereich? - Eine Stammfunktion muss an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar sein. Welche Eigenschaft folgt daraus insbesondere? - Vergleiche im zweiten Fall den Funktionswert bei \(0\) mit dem Verhalten des rechten Zweigs in der Nähe von \(0\).

1. Für \(x<0\) und \(x>0\) gilt jeweils \((x^2+C)'=2x=f(x)\). Da \(0\) nicht zu \(D_A\) gehört, muss zwischen den beiden getrennten Intervallen kein gemeinsamer Funktionswert hergestellt werden. Daher ist \(F_A\) auf \(D_A\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Für \(F_B\) gilt zwar auf beiden Seiten von \(0\) dieselbe Ableitungsformel. An der Nahtstelle ist jedoch \(F_B(0)=3\), während die Funktionswerte von rechts gegen \(-2\) gehen. \(F_B\) ist bei \(0\) nicht stetig und damit dort nicht differenzierbar. 3. Deshalb ist \(F_B\) keine Stammfunktion von \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\). 4. Der Unterschied liegt im Definitionsbereich: In a) sind die beiden Intervalle durch eine ausgeschlossene Stelle getrennt; in b) gehört die Nahtstelle zum zusammenhängenden Definitionsbereich und eine Stammfunktion muss dort differenzierbar sein.

a) Ja. Auf beiden Teilen von \(D_A\) gilt \(F_A'(x)=2x=f(x)\); an der ausgeschlossenen Stelle \(0\) ist keine Verbindung der Konstanten erforderlich. b) Nein. \(F_B\) ist bei \(x=0\) unstetig und deshalb dort nicht differenzierbar. c) Auf den getrennten Intervallen in a) dürfen die additiven Konstanten unabhängig sein. Auf dem zusammenhängenden Definitionsbereich in b) muss die Stammfunktion auch an \(0\) differenzierbar sein.

- Welche Stammfunktionen passen zu den beiden Summanden, wenn du die linearen inneren Funktionen beachtest? - Wie kannst du die erhaltene allgemeine Stammfunktion durch Ableiten kontrollieren? - Wie nutzt du den Punkt \(P(0\mid1{,}5)\), um die additive Konstante festzulegen? - Welche Bedeutung hat die Bedingung \(x>-2\) für den Logarithmusterm?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\ln(x+2)+C\). 2. Aus \(F(0)=1{,}5\) folgt \(\frac{1}{2}+\ln(2)+C=1{,}5\). 3. Damit ist \(C=1-\ln(2)\). 4. Somit lautet die gesuchte Stammfunktion \(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\ln(x+2)+1-\ln(2)\).

\(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\ln(x+2)+1-\ln(2)\)

- Kannst du den gegebenen Funktionsterm zunächst in eine Polynomform umschreiben? - Welche elementaren Regeln für Stammfunktionen kannst du danach auf die einzelnen Summanden anwenden? - Wie nutzt du die Bedingung \(F(1)=5\), sobald die allgemeine Stammfunktion feststeht?

1. Zuerst wird der Funktionsterm ausmultipliziert: \(f(t)=4-24t+48t^2-32t^3\). 2. Mit Summen-, Faktor- und Potenzregel erhält man \(F(t)=4t-12t^2+16t^3-8t^4+C\). 3. Die Bedingung \(F(1)=5\) liefert \(4-12+16-8+C=5\). 4. Damit ist \(C=5\). 5. Eine passende Stammfunktion ist \(F(t)=-8t^4+16t^3-12t^2+4t+5\).

\(F(t)=-8t^4+16t^3-12t^2+4t+5\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion im Hinblick auf Ableitungen? - Wie findet man die Stellen, an denen eine Funktion ihre Extremwerte annimmt? - Wie lässt sich die Art eines Extrempunktes (Maximum oder Minimum) mithilfe der Ableitung bestimmen? - Was bedeutet die Information über den Wert des Minimums für die Funktionsgleichung?

1. Allgemeine Stammfunktion bilden: \(F(x) = \int (x^3 - 4x) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + C\). 2. Extremstellen von \(F\) bestimmen: Die Ableitung von \(F\) ist \(f\). Nullstellen von \(f(x) = x(x^2 - 4) = 0\) liefern \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Art der Extrema prüfen: \(F''(x) = f'(x) = 3x^2 - 4\). Es gilt \(f'(0) = -4 < 0\) (lokales Maximum) sowie \(f'(2) = 8 > 0\) und \(f'(-2) = 8 > 0\). Somit liegen an den Stellen \(x = \pm 2\) lokale Minima vor. 4. Integrationskonstante \(C\) berechnen: Da der Wert der Minima \(5\) sein soll, gilt \(F(2) = 5\). Einsetzen ergibt \(\frac{1}{4} \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^2 + C = 5 \implies 4 - 8 + C = 5 \implies -4 + C = 5 \implies C = 9\). 5. Funktion angeben: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 9\).

\(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 9\)

- Welche Stammfunktionen passen zu den beiden Summanden, wenn du beim Exponentialterm die lineare innere Funktion berücksichtigst? - Wie kannst du insbesondere das Vorzeichen des Exponentialterms durch Ableiten überprüfen? - Wie bestimmt die Bedingung \(F(2)=10\) anschließend die additive Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=0{,}125x^4+e^{2-x}+C\). 2. Aus \(F(2)=10\) folgt \(0{,}125\cdot2^4+e^0+C=10\). 3. Damit ist \(2+1+C=10\) und somit \(C=7\). 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=0{,}125x^4+e^{2-x}+7\).

\(F(x)=0{,}125x^4+e^{2-x}+7\)

- Welche Stammfunktion passt zum Bruchterm auf dem angegebenen Definitionsbereich? - Wie wirkt sich die lineare innere Funktion im Kosinusterm auf die Stammfunktion aus? - Wie kannst du die gefundenen Terme durch Ableiten kontrollieren? - Welche Gleichung liefert die Bedingung \(F(0)=0\) für die Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=2\ln(x+3)-2\sin(0{,}5x)+C\). 2. Mit \(F(0)=0\) folgt \(2\ln(3)+C=0\). 3. Damit ist \(C=-2\ln(3)\). 4. Somit lautet die gesuchte Stammfunktion \(F(x)=2\ln(x+3)-2\sin(0{,}5x)-2\ln(3)\).

\(F(x)=2\ln(x+3)-2\sin(0{,}5x)-2\ln(3)\)

- Welche Stammfunktion besitzt der Exponentialterm, wenn du die lineare innere Funktion berücksichtigst? - Wie kannst du den Faktor vor dem Exponentialterm durch Ableiten überprüfen? - Welche Gleichung entsteht aus der Bedingung \(F(-1)=5\)?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{2}{3}e^{3x+3}-2x^2+C\). 2. Mit \(F(-1)=5\) folgt \(\frac{2}{3}e^0-2+C=5\). 3. Daher gilt \(-\frac{4}{3}+C=5\) und damit \(C=\frac{19}{3}\). 4. Somit ist \(F(x)=\frac{2}{3}e^{3x+3}-2x^2+\frac{19}{3}\).

\(F(x)=\frac{2}{3}e^{3x+3}-2x^2+\frac{19}{3}\)

- Welche Potenzschreibweise passt zum Wurzelausdruck im Nenner? - Wie wirkt sich die lineare innere Funktion auf die Stammfunktion dieser Potenz aus? - Wie kannst du den erhaltenen Wurzelterm durch Ableiten überprüfen? - Welche Information liefert der Punkt \(P(0\mid10)\) für die Konstante?

1. Schreibe \(f(x)=6(2x+9)^{-\frac{1}{2}}\). 2. Unter Berücksichtigung der linearen inneren Funktion ist eine allgemeine Stammfunktion \(F(x)=6\sqrt{2x+9}+C\). 3. Aus \(F(0)=10\) folgt \(6\sqrt{9}+C=10\), also \(18+C=10\). 4. Damit ist \(C=-8\). 5. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=6\sqrt{2x+9}-8\).

\(F(x)=6\sqrt{2x+9}-8\)

- Wie bildet man die Ableitung einer verketteten Funktion? - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Setze zuerst die Funktionsterme ineinander ein, um die Funktionsvorschrift für die verkettete Funktion zu erhalten. - Wie geht man vor, wenn eine Stammfunktion durch einen bestimmten Punkt verlaufen soll?

1. Nachweis der Stammfunktion: Zunächst wird der Funktionsterm von \(h\) durch Einsetzen gebildet: \(h(x) = f(g(x)) = (\frac{1}{3}x + 2)^2 - 5\). Die Ableitung von \(H\) erfolgt mit der Ketten- und Summenregel: \(H'(x) = 3 \cdot (\frac{1}{3}x + 2)^2 \cdot \frac{1}{3} - 5 = (\frac{1}{3}x + 2)^2 - 5\). Da \(H'(x) = h(x)\) gilt, ist \(H\) eine Stammfunktion von \(h\). 2. Bestimmung von \(K\): Der Term von \(k\) wird bestimmt durch \(k(x) = 6(\frac{1}{3}(x^2 - 5) + 2) = 2(x^2 - 5) + 12 = 2x^2 + 2\). Die allgemeine Stammfunktion lautet \(K(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x + C\). Einsetzen der Bedingung \(K(3) = 20\) liefert \(\frac{2}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 3 + C = 18 + 6 + C = 24 + C = 20\). Daraus folgt \(C = -4\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(K(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x - 4\).

a) Der Nachweis erfolgt durch Ableiten von \(H(x)\) unter Verwendung der Kettenregel, was \(H'(x) = (\frac{1}{3}x + 2)^2 - 5 = f(g(x))\) ergibt. b) \(K(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x - 4\)

- Nutze die Bedingung \( F'(x) = f(x) \). - Achte bei Teilaufgabe c) besonders auf die Kettenregel. - Kannst du durch Vergleichen der Exponenten direkt auf einen Wert für den Parameter schließen? - Vergiss nicht, auch die Vorfaktoren (Koeffizienten) abzugleichen.

1. Es muss gelten \( F'(x) = f(x) \). 2. In Teilaufgabe a) ist \( F'(x) = 3ax^2 \). Gleichsetzen mit \( \frac{1}{3}x^2 \) führt zu \( 3a = \frac{1}{3} \), also \( a = \frac{1}{9} \). 3. In Teilaufgabe b) ist \( F'(x) = 4x^3 \). Durch Vergleich der Exponenten folgt \( a-2 = 3 \), also \( a = 5 \). Die Probe für den Koeffizienten ergibt \( a-1 = 5-1 = 4 \), was korrekt ist. 4. In Teilaufgabe c) ist \( F'(x) = 3ae^{3x} \) (Kettenregel). Gleichsetzen mit \( 1 \cdot e^{3x} \) führt zu \( 3a = 1 \), also \( a = \frac{1}{3} \).

a) \( a = \frac{1}{9} \) b) \( a = 5 \) c) \( a = \frac{1}{3} \)

- Welche Rechenoperation verknüpft die beiden Teile der Funktion in Aufgabenteil a)? - Erinnerst du dich an die Regel für das Ableiten von Produkten? - Wie kann man einen Bruch mit einer Konstanten im Zähler umschreiben, um die Potenzregel anzuwenden? - Achte beim Ableiten in Teil b) besonders auf die Vorzeichen und die innere Ableitung.

1. Ableitung von \( F \) in Teilaufgabe a) mit der Produktregel: \( F'(x) = 1 \cdot e^x + (x - 1) \cdot e^x = e^x + x \cdot e^x - e^x = x \cdot e^x \). Ergebnis: \( F'(x) = f(x) \), die Aussage ist wahr. 2. Ableitung von \( F \) in Teilaufgabe b) mit der Kettenregel (oder Quotientenregel): \( F(x) = (x^2 + 1)^{-1} \Rightarrow F'(x) = -1 \cdot (x^2 + 1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \). Vergleich: \( F'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \neq \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \), die Aussage ist falsch.

a) Wahr, da \( F'(x) = x \cdot e^x = f(x) \). b) Falsch, da \( F'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \neq f(x) \).

- Berechne zuerst die Ableitung jeder der vier gegebenen Stammfunktionen vollständig. - Alle vier Kandidaten haben denselben Grad und denselben führenden Term; weder Grad noch führender Koeffizient reichen für die Zuordnung aus. - Vergleiche deshalb nach dem Ableiten auch die linearen und konstanten Anteile. - Für die beiden übrig bleibenden Funktionen musst du die Potenz- beziehungsweise Konstantenregel rückwärts anwenden.

1. Die Ableitungen der vier gegebenen Stammfunktionen lauten: \(F_1'(x)=4x^3-4x+3\), also gehört 1 zu C. \(F_2'(x)=4x^3+2x-5\), also gehört 2 zu D. \(F_3'(x)=4x^3+8x+1\), also gehört 3 zu B. \(F_4'(x)=4x^3-2x+2\), also gehört 4 zu A. 2. Damit bleiben E und F ohne Entsprechung. 3. Für \(f_E(x)=4x^3+1\) ist zum Beispiel \(F_E(x)=x^4+x\) eine Stammfunktion. 4. Für \(f_F(x)=3\) ist zum Beispiel \(F_F(x)=3x\) eine Stammfunktion.

Zuordnungen: A-4, B-3, C-1, D-2. Dabei gilt \(F_4'=f_A\), \(F_3'=f_B\), \(F_1'=f_C\) und \(F_2'=f_D\). Für E zum Beispiel: \(F_E(x)=x^4+x\). Für F zum Beispiel: \(F_F(x)=3x\).

- Wie hängen die Begriffe Ableitung und Stammfunktion zusammen? - Um eine spezifische Stammfunktion zu finden, die durch einen Punkt verläuft, musst du zuerst die allgemeine Stammfunktion mit einer Konstante \( C \) aufstellen. - Setze die Koordinaten des Punktes in deine Funktionsgleichung ein, um den Wert der Konstante zu berechnen.

1. Teilaufgabe a): Ableiten der Funktionen \( G_A \) und \( G_B \). \( G_A'(x) = 4x - 1 \), was \( g_1(x) \) entspricht. \( G_B'(x) = 4 \cdot 0{,}5x^3 - 3 \cdot \frac{1}{6}x^2 = 2x^3 - 0{,}5x^2 \), was \( g_4(x) \) entspricht. 2. Teilaufgabe b): Integration der verbleibenden Funktionen \( g_2 \) und \( g_3 \). Für \( g_2(x) = 3x^2 - 4x \) ist die allgemeine Stammfunktion \( G_2(x) = x^3 - 2x^2 + C \). Einsetzen von \( P(1 \mid 2) \): \( 1^3 - 2\cdot 1^2 + C = 2 \implies -1 + C = 2 \implies C = 3 \). Somit \( G_2(x) = x^3 - 2x^2 + 3 \). Für \( g_3(x) = x^3 \) ist die allgemeine Stammfunktion \( G_3(x) = \frac{1}{4}x^4 + C \). Einsetzen von \( P(1 \mid 2) \): \( 0{,}25 \cdot 1^4 + C = 2 \implies 0{,}25 + C = 2 \implies C = 1{,}75 \). Somit \( G_3(x) = 0{,}25x^4 + 1{,}75 \).

a) Zuordnung: \( G_A \) gehört zu \( g_1 \), da \( G_A'(x) = g_1(x) \). \( G_B \) gehört zu \( g_4 \), da \( G_B'(x) = g_4(x) \). b) \( G_2(x) = x^3 - 2x^2 + 3 \) und \( G_3(x) = 0{,}25x^4 + 1{,}75 \) (oder \( G_3(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{7}{4} \)).

- Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Ableitung zusammen? - Wann verlaufen zwei Tangenten parallel zueinander? - Welche Gleichung musst du lösen, um Stellen mit gleicher Steigung zu finden? - Wie bestimmt man die Konstante \(C\), wenn ein Punkt des Graphen bekannt ist?

1. Die Steigung von \(F\) an der Stelle \(x=1\) ist \(f(1)\): \(f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 5 = 2\). 2. Parallele Tangenten bedeuten gleiche Steigung, also \(f(x) = 2\). Lösen der Gleichung \(x^2 - 4x + 5 = 2 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0\). 3. Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x-1)(x-3) = 0\) liefert die Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Der weitere Punkt \(S\) liegt also bei \(x_S = 3\). 4. Allgemeine Stammfunktion: \(G(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + C\). 5. Einsetzen von \(Q(3 \mid 8)\): \(\frac{1}{3} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + C = 8 \Rightarrow 9 - 18 + 15 + C = 8 \Rightarrow 6 + C = 8 \Rightarrow C = 2\). 6. Ergebnis: \(G(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + 2\).

a) Die Steigung beträgt \(2\). b) Ja, an der Stelle \(x_S = 3\) ist die Steigung ebenfalls \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 5 = 2\). c) \(G(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + 2\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Stammfunktion. - Welche spezielle Ableitungsregel musst du verwenden, wenn die Funktion aus einem Produkt zweier Ausdrücke besteht? - Überprüfe nach dem Ableiten sorgfältig, ob alle Terme mit der Funktion \( g \) übereinstimmen.

1. Ableitung von \( G(x) = x \cdot \sin(x) \) unter Anwendung der Produktregel \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \) mit den Teilfunktionen \( u(x) = x \) und \( v(x) = \sin(x) \). 2. Bestimmung der Ableitungen der Teilfunktionen: \( u'(x) = 1 \) und \( v'(x) = \cos(x) \). 3. Zusammensetzen der Ableitung nach der Produktregel: \( G'(x) = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) \). 4. Vereinfachter Ausdruck: \( G'(x) = \sin(x) + x \cdot \cos(x) \). 5. Vergleich mit der Zielfunktion: Da \( \sin(x) + x \cdot \cos(x) \neq \cos(x) \), ist \( G \) keine Stammfunktion von \( g \).

Nein, \( G \) ist keine Stammfunktion von \( g \), da die Ableitung \( G'(x) = \sin(x) + x \cdot \cos(x) \) nicht mit der Funktionsvorschrift von \( g \) übereinstimmt.

- Überlege dir den mathematischen Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion. - Wie gehst du vor, wenn du einen Term ableiten musst, der aus einem Produkt zweier Funktionen besteht? - Was passiert mit konstanten Summanden beim Ableiten? - Kannst du nach dem Ableiten einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Term zu vereinfachen?

1. Berechnung der Ableitung \(f'(x)\) unter Verwendung der Produktregel für den Term \(u(x) \cdot v(x)\) mit \(u(x) = x^3 - 4x\) und \(v(x) = e^x\). 2. Bestimmung der Teilableitungen: \(u'(x) = 3x^2 - 4\) und \(v'(x) = e^x\). 3. Anwendung der Produktregel: \(f'(x) = (3x^2 - 4) \cdot e^x + (x^3 - 4x) \cdot e^x\). Die Konstante \(+5\) fällt beim Differenzieren weg. 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(e^x\): \(f'(x) = (3x^2 - 4 + x^3 - 4x) \cdot e^x\). 5. Ordnen der Potenzen innerhalb der Klammer: \(f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 4x - 4) \cdot e^x\). 6. Vergleich des Ergebnisses mit der gegebenen Funktion \(g(x)\) bestätigt \(f'(x) = g(x)\).

Durch Anwendung der Produktregel erhält man \(f'(x) = (3x^2 - 4) \cdot e^x + (x^3 - 4x) \cdot e^x = (x^3 + 3x^2 - 4x - 4) \cdot e^x\). Da \(f'(x) = g(x)\) gilt, ist \(f\) eine Stammfunktion von \(g\).

- Welche Eigenschaft muss erfüllt sein, damit eine Funktion die Stammfunktion einer anderen ist? - Betrachte die beiden Hauptteile der Funktion getrennt und wende jeweils die passende Ableitungsregel für Produkte an. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Ableiten der trigonometrischen Funktionen. - Prüfe nach dem Ableiten, welche Terme sich gegenseitig aufheben oder zusammenfassen lassen.

1. Ableiten der Funktion \(f(x)\) durch gliedweise Anwendung der Produktregel auf beide Summanden. 2. Ableitung des ersten Summanden \((x^2 - 2) \cdot \cos(x)\): \(2x \cdot \cos(x) + (x^2 - 2) \cdot (-\sin(x))\). 3. Ableitung des zweiten Summanden \(-2x \cdot \sin(x)\): \(-(2 \cdot \sin(x) + 2x \cdot \cos(x))\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(f'(x) = 2x \cos(x) - x^2 \sin(x) + 2 \sin(x) - 2 \sin(x) - 2x \cos(x)\). 5. Vereinfachen des Ausdrucks: Die Terme \(2x \cos(x)\) und \(-2x \cos(x)\) sowie \(2 \sin(x)\) und \(-2 \sin(x)\) heben sich jeweils auf. 6. Ergebnis: \(f'(x) = -x^2 \sin(x)\). Dies entspricht exakt \(g(x)\).

Die Ableitung von \(f\) ergibt \(f'(x) = 2x \cos(x) - (x^2 - 2) \sin(x) - 2 \sin(x) - 2x \cos(x) = -x^2 \sin(x)\). Somit ist \(f'(x) = g(x)\), was beweist, dass \(f\) eine Stammfunktion von \(g\) ist.

- Kannst du den Funktionsterm als Ergebnis einer bekannten Ableitungsregel erkennen? - Untersuche, ob die beiden Summanden gemeinsam aus der Ableitung eines Produkts entstanden sein können. - Überprüfe einen vermuteten Produktterm durch Ableiten.

1. Der Funktionsterm hat die Struktur einer Produktableitung \((uv)'=u'v+uv'\). 2. Mit \(u(x)=x^3\) und \(v(x)=\sin(x)\) gilt \(u'(x)=3x^2\) und \(v'(x)=\cos(x)\). 3. Daher ist \((x^3\sin(x))'=3x^2\sin(x)+x^3\cos(x)=f(x)\). 4. Somit ist \(F(x)=x^3\sin(x)\) eine Stammfunktion von \(f\).

\(F(x)=x^3\sin(x)\)

- Erinnerst du dich an die Kettenregel? Man berechnet sie als „äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Wie kann man eine Wurzelfunktion als Potenzschreibweise darstellen, um sie leichter abzuleiten? - Überlege dir, welche Funktion in den Klammern bzw. unter der Wurzel steht – das ist deine „innere Funktion“. - Vergleiche dein Ergebnis der Ableitung Term für Term mit der vorgegebenen Funktion \(f\).

1. Ableitung von \(F\) in a): Anwendung der Kettenregel auf \((x^2 - 4x)^5\). Äußere Ableitung: \(5 \cdot (x^2 - 4x)^4\), innere Ableitung: \(2x - 4\). Die Konstante \(12\) fällt weg. Ergebnis: \(F'(x) = 5 \cdot (x^2 - 4x)^4 \cdot (2x - 4)\). Dies entspricht exakt \(f(x)\). Somit ist \(F\) eine Stammfunktion. 2. Ableitung von \(F\) in b): Umschreiben als \(F(x) = (x^2 + 1)^{0{,}5} + 4\). Anwendung der Kettenregel: Äußere Ableitung ist \(0{,}5 \cdot (x^2 + 1)^{-0{,}5}\), innere Ableitung ist \(2x\). Es folgt \(F'(x) = 0{,}5 \cdot (x^2 + 1)^{-0{,}5} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\). Dies entspricht \(f(x)\). Somit ist \(F\) eine Stammfunktion.

a) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). b) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Wie hängen die Begriffe Stammfunktion und Ableitung mathematisch zusammen? - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn zwei Teilfunktionen miteinander multipliziert werden? - Denk beim Ableiten der Exponentialfunktion an die Kettenregel. - Es hilft oft, am Ende einen gemeinsamen Faktor auszuklammern, um den Term besser vergleichen zu können.

1. Anwendung der Produktregel \(u'v + uv'\) auf \(F(x)\) mit \(u(x) = x^2 - 3x\) und \(v(x) = e^{2x}\). 2. Berechnung der Teilableitungen: \(u'(x) = 2x - 3\) und \(v'(x) = 2 \cdot e^{2x}\) unter Verwendung der Kettenregel. 3. Zusammensetzen der Ableitung: \(F'(x) = (2x - 3) \cdot e^{2x} + (x^2 - 3x) \cdot 2 \cdot e^{2x}\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(e^{2x}\): \(F'(x) = e^{2x} \cdot (2x - 3 + 2x^2 - 6x)\). 5. Vereinfachen des Klammerausdrucks: \(F'(x) = (2x^2 - 4x - 3) \cdot e^{2x}\). 6. Vergleich mit der gegebenen Funktion \(f(x)\) zeigt die Identität \(F'(x) = f(x)\).

Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\), da die Ableitung \(F'(x) = (2x^2 - 4x - 3) \cdot e^{2x}\) mit der Funktionsvorschrift von \(f\) übereinstimmt.

- Wie kannst du die Stammfunktionseigenschaft direkt über \(F'\) überprüfen? - Welche Ableitungsregel brauchst du für den Term \((x^2+2x)e^x\)? - Wenn eine Stammfunktion bereits bekannt ist, wie sehen alle weiteren Stammfunktionen derselben Funktion aus? - Nutze den vorgeschriebenen Funktionswert erst, nachdem du die allgemeine Form \(F(x)+C\) aufgestellt hast.

1. Mit der Produktregel gilt \(F'(x)=(2x+2)e^x+(x^2+2x)e^x=(x^2+4x+2)e^x=f(x)\). Damit ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Jede weitere Stammfunktion hat die Form \(G(x)=F(x)+C\). Aus \(G(-2)=1\) folgt \((4-4)e^{-2}+C=1\), also \(C=1\). Damit ist \(G(x)=(x^2+2x)e^x+1\).

\(F'(x)=f(x)\), also ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). Gesucht ist \(G(x)=(x^2+2x)e^x+1\).

- Nutze die Eigenschaft \(F'(x) = f(x)\). - Leite den allgemeinen Ausdruck für \(F(x)\) mit der Produktregel ab und klammere \(e^x\) aus. - Zwei Polynome sind gleich, wenn ihre Koeffizienten bei den jeweiligen \(x\)-Potenzen übereinstimmen. - Stelle ein System aus drei einfachen Gleichungen auf, um die Unbekannten nacheinander zu berechnen.

1. Ableiten von \(F(x)\) mithilfe der Produktregel: \(F'(x) = (2ax + b) \cdot e^x + (ax^2 + bx + c) \cdot e^x\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(F'(x) = (ax^2 + (2a + b)x + (b + c)) \cdot e^x\). 3. Koeffizientenvergleich mit \(f(x) = (1x^2 - 1x - 2) \cdot e^x\): - \(a = 1\) - \(2a + b = -1 \implies 2(1) + b = -1 \implies b = -3\) - \(b + c = -2 \implies -3 + c = -2 \implies c = 1\) 4. Die Werte sind \(a = 1\), \(b = -3\) und \(c = 1\).

\(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 1\)

- Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, um den Term zu faktorisieren? - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit den Extrempunkten zusammen? - Was passiert mit der Exponentialfunktion, wenn der Exponent sehr klein (stark negativ) wird? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Nullstellen einer Funktion und den Extremstellen ihrer Stammfunktion? - Wo liegen die Wendestellen einer Funktion im Vergleich zu den Extremstellen ihrer Ableitungsfunktion?

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = 4e^x - 2e^{2x} = 2e^x(2 - e^x)\). 2. Extrempunkt bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies 2 - e^x = 0 \implies x = \ln 2\). Die Art ergibt sich über \(f''(x) = 4e^x - 4e^{2x}\); \(f''(\ln 2) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 4 = -8 < 0\), also ein lokales Maximum. Funktionswert: \(f(\ln 2) = 4 \cdot 2 - 2^2 = 4\). Hochpunkt \(H(\ln 2 \mid 4)\). 3. Grenzwert untersuchen: Für \(x \to -\infty\) gehen sowohl \(e^x\) als auch \(e^{2x}\) gegen \(0\). Damit gilt \(\lim_{x \to -\infty} (4e^x - 0{,}5e^{2x}) = 0 - 0 = 0\). 4. Eigenschaften von \(F\): Da \(F'(x) = f(x)\), liegen die Extremstellen von \(F\) bei den Nullstellen von \(f\). Da \(f\) bei \(x = \ln 4\) von positiv nach negativ wechselt, hat \(F\) dort ein Maximum. Wendestellen von \(F\) sind die Extremstellen von \(f\), also \(x = \ln 2\). Die \(y\)-Koordinate ist \(F(\ln 2) = 4 \cdot e^{\ln 2} - 0{,}5 \cdot e^{2 \ln 2} = 4 \cdot 2 - 0{,}5 \cdot 4 = 6\).

a) \(f'(x) = 4e^x - 2e^{2x} = 2e^x(2 - e^x)\) b) Hochpunkt \(H(\ln 2 \mid 4)\) c) \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\), da \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\) d) \(y_W = 6\)

- Welche Stammfunktionen gehören zu den drei Summanden? - Wie wirkt sich der Faktor im Exponenten der Exponentialfunktion auf ihre Stammfunktion aus? - Wie kannst du den Exponentialterm durch Ableiten kontrollieren? - Welche Gleichung liefert der Punkt \(P(0\mid3)\) für die Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=2e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\cos(x)+C\). 2. Aus \(F(0)=3\) folgt \(2-1+C=3\). 3. Damit ist \(C=2\). 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=2e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\cos(x)+2\).

\(F(x)=2e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\cos(x)+2\)

- Wie hängen die Begriffe Ableitung und Stammfunktion zusammen? - Versuche, den Term von \(F\) erst vollständig auszumultiplizieren und zu vereinfachen, bevor du die Ableitungsregeln anwendest. - Achte beim Ableiten besonders auf die Vorzeichen, wenn negative Exponenten vorkommen. - Vergleiche am Ende die Zähler der Brüche genau.

1. Den Term von \(F\) durch Ausmultiplizieren der binomischen Formel und anschließendes Kürzen vereinfachen: \(F(x) = \frac{1}{x}(x^4 - 8x^2 + 16) = x^3 - 8x + 16x^{-1}\). 2. Die Funktion \(F\) gliedweise ableiten: \(F'(x) = 3x^2 - 8 - 16x^{-2} = 3x^2 - 8 - \frac{16}{x^2}\). 3. Die Ableitung auf einen gemeinsamen Nenner bringen: \(F'(x) = \frac{3x^4 - 8x^2 - 16}{x^2}\). 4. Vergleich mit \(f(x) = \frac{3x^4 - 8x^2 + 16}{x^2}\) zeigt eine Abweichung im Vorzeichen des konstanten Gliedes (\(-16\) statt \(+16\)). 5. Da \(F'(x) \neq f(x)\), ist \(F\) keine Stammfunktion von \(f\).

Nein, \(F\) ist keine Stammfunktion von \(f\).

- Entscheide nicht nach der äußeren Form der Terme; berechne für jede Behauptung zuerst \(F_i'\). - Bei den ersten beiden Funktionen brauchst du eine Regel für Quotienten mit variablen Zählern und Nennern. - Bei den letzten beiden Funktionen hilft die Potenzschreibweise mit negativen Exponenten. - Vergleiche jeweils erst den vollständig vereinfachten Ableitungsterm mit dem angegebenen \(f_i\).

1. Mit der Quotientenregel gilt \(F_1'(x)=\frac{2(x+5)-2x}{(x+5)^2}=\frac{10}{(x+5)^2}\). Behauptung (1) ist richtig. 2. Mit der Quotientenregel gilt \(F_2'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\). Behauptung (2) ist falsch; im Zähler muss \(x^2-2x\) stehen. 3. Mit der Potenzregel gilt \(F_3'(x)=(4x^{-3})'=-12x^{-4}\). Behauptung (3) ist falsch; der korrekte Vorfaktor ist \(-12\). 4. Mit der Potenzregel gilt \(F_4'(x)=(-x^{-4})'=4x^{-5}=\frac{4}{x^5}\). Behauptung (4) ist richtig.

(1) Richtig: \(F_1'(x)=\frac{10}{(x+5)^2}\). (2) Falsch: \(F_2'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\). (3) Falsch: \(F_3'(x)=-12x^{-4}\). (4) Richtig: \(F_4'(x)=\frac{4}{x^5}\).

- Wie lautet die Grundregel für die Stammfunktion von \(x^{-1}\)? - Welche Form des Logarithmus ist auf dem Bereich \(x<0\) passend? - Setze für eine besondere Stammfunktion den vorgegebenen Punkt oder Funktionswert in die allgemeine Stammfunktionsfamilie ein. - Welche Werte haben \(\ln(1)\) und \(\ln(e)\)?

1. Für \(x<0\) lautet die allgemeine Stammfunktion \(F(x)=\frac{2}{3}\ln(-x)-4x+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\). 2. Aus \(F_1(-1)=0\) folgt \(\frac{2}{3}\ln(1)+4+C=0\). Damit ist \(C=-4\) und \(F_1(x)=\frac{2}{3}\ln(-x)-4x-4\). 3. Aus \(F_2(-e)=1\) folgt \(\frac{2}{3}\ln(e)+4e+C=1\). Somit ist \(C=\frac{1}{3}-4e\) und \(F_2(x)=\frac{2}{3}\ln(-x)-4x+\frac{1}{3}-4e\).

1. \(F(x)=\frac{2}{3}\ln(-x)-4x+C\) 2. \(F_1(x)=\frac{2}{3}\ln(-x)-4x-4\) 3. \(F_2(x)=\frac{2}{3}\ln(-x)-4x+\frac{1}{3}-4e\)

- Erinnere dich an die Definition einer Stammfunktion über die Ableitung. - Welche Regel musst du anwenden, wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist? - Bestimme separat die Ableitung des Ausdrucks, der innerhalb des Logarithmus steht. - Wie lautet die allgemeine Ableitungsregel für Funktionen der Form \(h(x) = \ln(g(x))\)?

1. Es ist zu zeigen, dass \(F'(x) = f(x)\) gilt. 2. Anwendung der Kettenregel auf \(F(x) = \ln(u(x))\) mit der inneren Funktion \(u(x) = x^2 + e^x\). 3. Bestimmung der inneren Ableitung: \(u'(x) = 2x + e^x\). 4. Bestimmung der äußeren Ableitung: Da die äußere Funktion der natürliche Logarithmus ist, gilt für die Ableitung \(\frac{1}{u(x)}\). 5. Zusammensetzen nach der Kettenregel (\(\text{äußere Ableitung} \cdot \text{innere Ableitung}\)): \(F'(x) = \frac{1}{x^2 + e^x} \cdot (2x + e^x)\). 6. Umformen des Ergebnisses zu \(F'(x) = \frac{2x + e^x}{x^2 + e^x}\). 7. Vergleich mit der gegebenen Funktion zeigt \(F'(x) = f(x)\), womit die Behauptung bewiesen ist.

Die Ableitung der Funktion \(F(x) = \ln(x^2 + e^x)\) erfolgt mit der Kettenregel. Mit der inneren Funktion \(u(x) = x^2 + e^x\) und deren Ableitung \(u'(x) = 2x + e^x\) ergibt sich \(F'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \frac{2x + e^x}{x^2 + e^x}\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

- Erinnerst du dich an die Produktregel für Ableitungen? - Was passiert mit dem Exponenten der \(e\)-Funktion beim Ableiten? Stichwort: Nachdifferenzieren. - Du musst nicht integrieren; es reicht, die Kandidaten abzuleiten und mit der Ausgangsfunktion zu vergleichen.

1. Berechnung der Ableitung von \(F_1(x) = x \cdot e^{2x} + 7\) unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel. 2. Es gilt \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) mit \(u(x) = x\) und \(v(x) = e^{2x}\). Die Ableitungen sind \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = 2e^{2x}\). 3. Einsetzen liefert: \(F_1'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot (2e^{2x}) + 0 = e^{2x} \cdot (1 + 2x) = (2x+1) \cdot e^{2x}\). 4. Da \(F_1'(x) = f(x)\) ist, ist \(F_1\) eine Stammfunktion. 5. Die Überprüfung der anderen Funktionen zeigt: \(F_2'(x) = (2x+3)e^{2x}\), \(F_3'(x) = 2e^{2x}\) und \(F_4'(x) = (2x+2)e^x\). Keine dieser Ableitungen stimmt mit \(f(x)\) überein.

\(F_1\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Ableitungsregel ist bei einem Ausdruck der Form \((...)^2\) hilfreich? - Wie unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion voneinander? - Welchen Wert hat der natürliche Logarithmus der Eulerschen Zahl \(e\)?

1. Zur Überprüfung wird \(F(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2\) differenziert. Unter Anwendung der Kettenregel mit der äußeren Funktion \(u^2\) und der inneren Funktion \(u = \ln(x)\) ergibt sich: \(F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln(x)}{x}\). Da \(F'(x) = f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}^+\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Jede Stammfunktion von \(f\) hat die Form \(G(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2 + C\). Die Bedingung \(G(e) = 0\) führt auf die Gleichung \(\frac{1}{2}(\ln(e))^2 + C = 0\). Da \(\ln(e) = 1\), folgt \(\frac{1}{2} \cdot 1^2 + C = 0\), also \(C = -\frac{1}{2}\). Der gesuchte Funktionsterm lautet somit \(G(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2 - \frac{1}{2}\).

1. Nachweis durch \(F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = f(x)\). 2. \(G(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2 - \frac{1}{2}\)

- Überlege dir, wie du durch Ableiten zeigen kannst, dass eine gegebene Funktion eine Stammfunktion ist. - Welche Regel musst du anwenden, wenn du ein Produkt aus zwei Teilfunktionen ableitest? - Wie sieht die allgemeine Menge aller Stammfunktionen aus, wenn eine spezielle Stammfunktion bekannt ist? - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt?

1. Die Ableitung von \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 \ln(x) - \frac{1}{9}x^3\) erfolgt mit der Produktregel für den ersten Term: \(F'(x) = [x^2 \cdot \ln(x) + \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x}] - \frac{3}{9}x^2 = x^2 \ln(x) + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}x^2 = x^2 \ln(x)\). Somit ist \(F'(x) = f(x)\). 2. Der allgemeine Ansatz für die Stammfunktion ist \(H(x) = \frac{1}{9}x^3(3 \ln(x) - 1) + C\). Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid 1)\) ergibt \(1 = \frac{1}{9} \cdot 1^3 \cdot (3 \ln(1) - 1) + C\). Mit \(\ln(1) = 0\) folgt \(1 = \frac{1}{9}(-1) + C\), also \(C = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}\). Die Stammfunktion ist \(H(x) = \frac{1}{9}x^3(3 \ln(x) - 1) + \frac{10}{9}\).

1. Nachweis durch \(F'(x) = x^2 \ln(x) + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}x^2 = f(x)\). 2. \(H(x) = \frac{1}{9}x^3(3 \ln(x) - 1) + \frac{10}{9}\)

- Welche mathematische Beziehung besteht zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion? - Wie unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion voneinander? - Was passiert, wenn du die Differenz zweier Stammfunktionen ableitest?

1. Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(f(x) = F'(x)\). Ableiten von \(F(x) = 0{,}5x^4 - x^2 + 3\) ergibt \(f(x) = 2x^3 - 2x\). 2. Da \(G\) ebenfalls eine Stammfunktion von \(f\) ist, muss sie die Form \(G(x) = 0{,}5x^4 - x^2 + C\) haben. 3. Einsetzen des Punktes \(S(2 \mid 10)\) in \(G(x)\): \(0{,}5 \cdot 2^4 - 2^2 + C = 10\). Berechnung: \(8 - 4 + C = 10 \implies 4 + C = 10 \implies C = 6\). Somit ist \(G(x) = 0{,}5x^4 - x^2 + 6\). 4. Zur Begründung: Seien \(F\) und \(G\) Stammfunktionen von \(f\). Dann gilt \(F'(x) = f(x)\) und \(G'(x) = f(x)\). Die Ableitung der Differenzfunktion \(D(x) = G(x) - F(x)\) ist \(D'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0\). Da eine Funktion, deren Ableitung überall null ist, konstant sein muss, folgt \(G(x) - F(x) = C\).

a) \(f(x) = 2x^3 - 2x\) b) \(G(x) = 0{,}5x^4 - x^2 + 6\) c) Da die Ableitungen beider Funktionen identisch sind (\(F'(x) = G'(x) = f(x)\)), ist die Ableitung ihrer Differenz \(D(x) = G(x) - F(x)\) gleich null. Eine Funktion mit der Ableitung null ist eine konstante Funktion.

- Welche Stammfunktionen passen zu den beiden Summanden? - Wie wirkt sich der Faktor im Exponenten von \(e^{2x}\) auf die Stammfunktion aus? - Wie kannst du den Exponentialterm durch Ableiten überprüfen? - Wie bestimmt die Bedingung \(F(0)=5\) die Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=2e^{2x}-2x^3+C\). 2. Aus \(F(0)=5\) folgt \(2+C=5\). 3. Damit ist \(C=3\). 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=2e^{2x}-2x^3+3\).

\(F(x)=2e^{2x}-2x^3+3\)

- Hilft es, den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten zu schreiben? - Wie verändert sich bei der Potenzregel der Exponent beim Bilden einer Stammfunktion? - Nutze die vorgegebene Funktionsbedingung erst nach dem Aufstellen der Stammfunktionsfamilie.

1. Es ist \(f(x)=4x^{-3}+\frac{1}{2}\). 2. Eine allgemeine Stammfunktion lautet \(F(x)=-2x^{-2}+\frac{1}{2}x+C=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{2}x+C\). 3. Aus \(F(2)=0\) folgt \(-\frac{2}{4}+1+C=0\), also \(C=-0{,}5\). 4. Damit ist \(F(x)=-\frac{2}{x^2}+0{,}5x-0{,}5\).

\(F(x)=-\frac{2}{x^2}+0{,}5x-0{,}5\)

- Welche bekannten Ableitungen helfen dir, Stammfunktionen zu \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(e^x\) zu erkennen? - Stelle zunächst die Stammfunktionsfamilie mit einer freien Konstante auf. - Nutze anschließend den vorgegebenen Funktionswert, um diese Konstante zu bestimmen.

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=\sqrt{x}+e^x+C\). 2. Aus \(F(1)=e+4\) folgt \(1+e+C=e+4\). 3. Daher ist \(C=3\). 4. Somit lautet die gesuchte Stammfunktion \(F(x)=\sqrt{x}+e^x+3\).

\(F(x)=\sqrt{x}+e^x+3\)

- Welche Stammfunktion gehört auf einem negativen Definitionsbereich zu \(1/x\)? - Was ändert eine additive Konstante an der Ableitung einer Funktion? - Wie hängt die Steigung einer Stammfunktion an einer Stelle mit dem Wert von \(f\) an derselben Stelle zusammen?

1. Für \(x<0\) lautet die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=\ln(-x)+C\). 2. Drei Beispiele sind \(F_1(x)=\ln(-x)\), \(F_2(x)=\ln(-x)+2\) und \(F_3(x)=\ln(-x)-1\). 3. Jede Stammfunktion erfüllt \(F'(x)=f(x)\). Deshalb ist ihre Steigung bei \(x=-2\) gleich \(f(-2)\). 4. Es gilt \(f(-2)=-0{,}5\).

a) Zum Beispiel \(F_1(x)=\ln(-x)\), \(F_2(x)=\ln(-x)+2\) und \(F_3(x)=\ln(-x)-1\) b) Alle Stammfunktionen haben bei \(x=-2\) die Steigung \(-0{,}5\), weil \(F'(-2)=f(-2)=-0{,}5\) gilt.

- Welche Geradengleichung kannst du aus Steigung und Achsenabschnitt des dargestellten Geschwindigkeitsgraphen ablesen? - Welche Beziehung besteht zwischen Wegfunktion und Geschwindigkeit? - Wie nutzt du die bekannte Position bei \(t=6\,\text{s}\), um die additive Konstante festzulegen?

1. Aus dem Graphen liest man eine Gerade mit Steigung \(0{,}5\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) ab. Daher gilt \(v(t)=0{,}5t+1\). 2. Da \(s'=v\), hat die Wegfunktion die Form \(s(t)=0{,}25t^2+t+C\). 3. Aus \(s(6)=30\) folgt \(0{,}25\cdot36+6+C=30\), also \(15+C=30\). 4. Damit ist \(C=15\) und somit \(s(t)=0{,}25t^2+t+15\).

\(s(t)=0{,}25t^2+t+15\)

- Welche Nullstellen und welchen Scheitelpunkt kannst du aus dem Graphen von \(f\) ablesen? - Wie kannst du aus diesen Punkten zunächst einen Term für die quadratische Funktion bestimmen? - Wie nutzt du den Punkt \(A(3\mid5)\), um die additive Konstante der Stammfunktion zu bestimmen? - Was sagt das Vorzeichen von \(f=F'\) über das Monotonieverhalten von \(F\) aus?

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(-1\) und \(3\) sowie den Scheitel \(S(1\mid4)\) ab. Mit \(f(x)=a(x+1)(x-3)\) folgt aus \(f(1)=4\) der Wert \(a=-1\). Somit ist \(f(x)=-x^2+2x+3\). 2. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x+C\). 3. Aus \(F(3)=5\) folgt \(-9+9+9+C=5\), also \(C=-4\). Damit ist \(F(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x-4\). 4. Wegen \(F'=f\) liegen stationäre Stellen von \(F\) bei den Nullstellen \(x=-1\) und \(x=3\) von \(f\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv, also besitzt \(F\) dort ein lokales Minimum. Bei \(x=3\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, also besitzt \(F\) dort ein lokales Maximum. 5. Es ist \(F(-1)=-\frac{17}{3}\) und \(F(3)=5\). Daher steigt \(F\) auf \([-1;3]\) und fällt auf \([3;4]\).

a) \(f(x)=-x^2+2x+3\) b) \(F(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x-4\) c) \(F\) steigt auf \([-1;3]\) vom lokalen Minimum \(\left(-1\mid-\frac{17}{3}\right)\) bis zum lokalen Maximum \((3\mid5)\) und fällt anschließend auf \([3;4]\).

- Welche Operation führt von einer Stammfunktion zurück zur zugehörigen Funktion? - Vergleiche die beiden gegebenen Funktionsterme, ohne sie getrennt neu zu bestimmen. - Wie wird aus zwei konkreten Beispielen die vollständige Familie aller Stammfunktionen beschrieben?

1. Ableiten von \(F\) ergibt \(F'(x)=x^2+2\). Daher ist \(f(x)=x^2+2\). 2. Für \(G\) gilt ebenfalls \(G'(x)=x^2+2\), also ist auch \(G\) eine Stammfunktion von \(f\). 3. Die Differenz ist \(G(x)-F(x)=11\); beide Funktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstante. 4. Die gesamte Stammfunktionsfamilie wird daher durch \(\int (x^2+2)\,dx=\frac{1}{3}x^3+2x+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\) beschrieben.

a) \(f(x)=x^2+2\) b) \(G(x)-F(x)=11\); die beiden Stammfunktionen unterscheiden sich nur um die Konstante \(11\). c) \(\int (x^2+2)\,dx=\frac{1}{3}x^3+2x+C\), \(C\in\mathbb{R}\)

- Welche Funktion ergibt beim Ableiten \(\frac{1}{x}\)? - Wie kannst du eine stationäre Stelle der gesuchten Stammfunktion mithilfe von \(F'=f\) finden? - Welche Information liefert die zweite Ableitung über die Art des Extremums? - Nutze die Bedingung zum Minimalwert erst, nachdem die zugehörige Stelle feststeht.

1. Unter Beachtung von \(x>0\) ergibt sich \(F(x)=\frac{1}{4}x^2-2\ln(x)+C\). 2. Wegen \(F'(x)=f(x)\) gilt an einer stationären Stelle \(\frac{1}{2}x-\frac{2}{x}=0\). Daraus folgt \(x^2=4\), also wegen \(x>0\) die Stelle \(x=2\). 3. Es ist \(F''(x)=f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^2}\) und damit \(F''(2)=1>0\). Also liegt bei \(x=2\) ein lokales Minimum vor. 4. Aus \(F(2)=5-\ln(4)\) folgt \(1-2\ln(2)+C=5-\ln(4)\). Mit \(2\ln(2)=\ln(4)\) ergibt sich \(C=4\). 5. Somit ist \(F(x)=\frac{1}{4}x^2-2\ln(x)+4\).

\(F(x)=\frac{1}{4}x^2-2\ln(x)+4\)

- Prüfe, ob die beiden Summanden gemeinsam als Ableitung eines Produkts entstanden sein könnten. - Bei einer Produktableitung entstehen zwei Summanden, in denen jeweils nur einer der beiden Faktoren abgeleitet wird. - Suche eine Produktstruktur und überprüfe deinen Kandidaten anschließend durch Ableiten.

1. Die Struktur von \(f\) lässt sich als Ableitung eines Produkts erkennen. 2. Für \(u(x)=\sqrt{x}\) und \(v(x)=\cos(x)\) gilt \(u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(v'(x)=-\sin(x)\). 3. Mit der Produktregel folgt \((u(x)v(x))'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos(x)-\sqrt{x}\sin(x)=f(x)\). 4. Daher ist \(F(x)=\sqrt{x}\cos(x)\) eine Stammfunktion von \(f\).

\(F(x)=\sqrt{x}\cos(x)\)

- Prüfe die Ableitung von \(F\) getrennt für \(x>-4\) und \(x<-4\). - Achte im linken Zweig auf die innere Ableitung des Logarithmusarguments. - Welche besondere Rolle spielt die ausgeschlossene Stelle \(x=-4\) für den Definitionsbereich? - Überlege, ob eine Konstante durch eine Stelle gekoppelt werden kann, an der die Funktion gar nicht definiert ist.

1. Für \(x>-4\) gilt \(F'(x)=\frac{1}{x+4}=f(x)\). 2. Für \(x<-4\) ergibt die Kettenregel \(F'(x)=\frac{1}{-x-4}\cdot(-1)=\frac{1}{x+4}=f(x)\). 3. Somit gilt \(F'(x)=f(x)\) auf beiden Teilen des Definitionsbereichs; \(F\) ist daher eine Stammfunktion von \(f\). 4. Der Definitionsbereich \(\mathbb{R}\setminus\{-4\}\) besteht aus den getrennten Intervallen \((-\infty;-4)\) und \((-4;\infty)\). Innerhalb jedes dieser Intervalle unterscheiden sich Stammfunktionen nur um eine Konstante. Über die nicht zum Definitionsbereich gehörende Stelle \(x=-4\) hinweg gibt es jedoch keine Bedingung, die diese beiden Konstanten miteinander verknüpft. Deshalb dürfen hier \(-2\) und \(5\) verschieden sein.

a) Ja. Auf beiden Intervallen des Definitionsbereichs gilt \(F'(x)=f(x)\). b) Der Definitionsbereich besteht aus zwei getrennten Intervallen. Die additive Konstante muss nur innerhalb eines zusammenhängenden Intervalls einheitlich sein; deshalb dürfen links und rechts von \(x=-4\) verschiedene Konstanten auftreten.

- Welche Eigenschaften muss eine Funktion auf einem Intervall besitzen, um dort als Stammfunktion zu gelten? Denke an Differenzierbarkeit. - Erinnere dich an den notwendigen Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit. - Untersuche das Verhalten der Funktion \(G\) an der Stelle \(x = 0\). Sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert identisch mit dem Funktionswert? - Genügt es für eine Stammfunktion auf \(\mathbb{R}\), wenn die Ableitungsbedingung nur fast überall erfüllt ist?

1. Überprüfung der Stetigkeit von \(G\) an der Nahtstelle \(x = 0\): Der Funktionswert ist \(G(0) = 0^2 + 0 + 2 = 2\). Der linksseitige Grenzwert berechnet sich zu \(\lim_{x \to 0^-} G(x) = \lim_{x \to 0^-} e^x = e^0 = 1\). 2. Feststellung der Unstetigkeit: Da der linksseitige Grenzwert (\(1\)) ungleich dem Funktionswert (\(2\)) ist, weist \(G\) an der Stelle \(x = 0\) eine Sprungstelle auf und ist somit dort nicht stetig. 3. Folgerung für die Stammfunktion: Eine Stammfunktion auf einem Intervall muss nach Definition dort differenzierbar sein. Da Differenzierbarkeit Stetigkeit voraussetzt, kann \(G\) an der Stelle \(x = 0\) nicht differenzierbar sein. 4. Ergebnis: Obwohl \(G'(x) = g(x)\) für alle \(x \neq 0\) gilt, ist \(G\) aufgrund der fehlenden Differenzierbarkeit an der Stelle \(x = 0\) keine Stammfunktion von \(g\) auf ganz \(\mathbb{R}\).

Nein, \(G\) ist keine Stammfunktion von \(g\) auf \(\mathbb{R}\), da \(G\) an der Stelle \(x = 0\) nicht stetig und folglich dort auch nicht differenzierbar ist.