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- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Funktion die Stammfunktion einer anderen ist? - Erinnere dich an die Potenzregel beim Ableiten. - Welchen Einfluss haben additive Konstanten beim Ableiten einer Funktion? - Vergleiche die Koeffizienten und Exponenten nach dem Ableiten von \( F(x) \) mit der Funktion \( f(x) \).

1. Nach der Definition der Stammfunktion gilt \( F'(x) = f(x) \). 2. Für Teilaufgabe a) ergibt die Ableitung \( F'(x) = kx^{k-1} \). Der Vergleich mit \( 7x^6 \) liefert \( k = 7 \). 3. Für Teilaufgabe b) ergibt die Ableitung \( F'(x) = 8x^3 \). Der Vergleich mit \( kx^3 \) liefert \( k = 8 \). 4. Für Teilaufgabe c) ergibt die Ableitung \( F'(x) = \cos(x) \). Da die Ableitung einer Konstanten (\( k^2 \)) immer null ist, gilt \( F'(x) = f(x) \) für jeden beliebigen Wert von \( k \). Ein möglicher Wert ist beispielsweise \( k = 1 \) oder \( k = 0 \).

a) \( k = 7 \) b) \( k = 8 \) c) Jedes \( k \in \mathbb{R} \) ist möglich (z. B. \( k = 0 \)).

- Überlege dir den mathematischen Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion. - Wie gehst du vor, wenn du einen Term ableiten musst, der aus einem Produkt zweier Funktionen besteht? - Was passiert mit konstanten Summanden beim Ableiten? - Kannst du nach dem Ableiten einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Term zu vereinfachen?

1. Berechnung der Ableitung \(f'(x)\) unter Verwendung der Produktregel für den Term \(u(x) \cdot v(x)\) mit \(u(x) = x^3 - 4x\) und \(v(x) = e^x\). 2. Bestimmung der Teilableitungen: \(u'(x) = 3x^2 - 4\) und \(v'(x) = e^x\). 3. Anwendung der Produktregel: \(f'(x) = (3x^2 - 4) \cdot e^x + (x^3 - 4x) \cdot e^x\). Die Konstante \(+5\) fällt beim Differenzieren weg. 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(e^x\): \(f'(x) = (3x^2 - 4 + x^3 - 4x) \cdot e^x\). 5. Ordnen der Potenzen innerhalb der Klammer: \(f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 4x - 4) \cdot e^x\). 6. Vergleich des Ergebnisses mit der gegebenen Funktion \(g(x)\) bestätigt \(f'(x) = g(x)\).

Durch Anwendung der Produktregel erhält man \(f'(x) = (3x^2 - 4) \cdot e^x + (x^3 - 4x) \cdot e^x = (x^3 + 3x^2 - 4x - 4) \cdot e^x\). Da \(f'(x) = g(x)\) gilt, ist \(f\) eine Stammfunktion von \(g\).

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn im Argument der Funktion ein linearer Ausdruck wie \(0{,}5x + 1\) steht? - Achte beim Ableiten von Sinus- und Kosinusfunktionen besonders auf die Vorzeichen. - Was passiert mit konstanten Summanden beim Ableiten?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Ableitung \(F'(x)\) mit der Kettenregel berechnet: Die äußere Ableitung der Exponentialfunktion bleibt \(e^{0{,}5x + 1}\), die innere Ableitung des Exponenten ist \(0{,}5\). Es ergibt sich \(F'(x) = 4e^{0{,}5x + 1} \cdot 0{,}5 = 2e^{0{,}5x + 1}\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Für Teilaufgabe b) wird \(F'(x)\) berechnet: Die Ableitung von \(\cos(u)\) ist \(-\sin(u)\), die innere Ableitung von \(2x\) ist \(2\). Es folgt \(F'(x) = 0{,}5 \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = -\sin(2x)\). Da \(-\sin(2x) \neq \sin(2x)\) ist, ist \(F\) keine Stammfunktion von \(f\).

a) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). b) Nein, \(F\) ist keine Stammfunktion von \(f\).

- Was muss gelten, damit eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Erinnerst du dich an die Ableitungsregel für verkettete Funktionen? - Identifiziere die „innere“ und die „äußere“ Funktion im Term von \(F\). - Was ist die Ableitung der Kosinusfunktion?

1. Bestimmung der Ableitung \(F'(x)\) unter Verwendung der Kettenregel. 2. Definition der äußeren Funktion \(g(u) = 2\cos(u)\) mit der Ableitung \(g'(u) = -2\sin(u)\). 3. Definition der inneren Funktion \(u(x) = x^3\) mit der Ableitung \(u'(x) = 3x^2\). 4. Multiplikation der äußeren und inneren Ableitung: \(F'(x) = -2 \cdot \sin(x^3) \cdot 3x^2\). 5. Zusammenfassen der Faktoren: \(F'(x) = -6x^2 \cdot \sin(x^3)\). 6. Abgleich mit dem Term von \(f(x)\) bestätigt \(F'(x) = f(x)\).

Die Behauptung ist wahr, da \(F'(x) = 2 \cdot (-\sin(x^3)) \cdot 3x^2 = -6x^2 \cdot \sin(x^3) = f(x)\) gilt.

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn ein Funktionsterm aus zwei Faktoren besteht? - Was passiert mit einer additiven Konstante beim Ableiten? - Vergleiche den Koeffizienten vor dem \(x\) und das absolute Glied nach dem Zusammenfassen der Ableitung mit der Ausgangsfunktion.

1. Anwendung der Produktregel auf die Kandidaten: \(F'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\) mit \(v(x) = e^x\) und \(v'(x) = e^x\). 2. Ableitung von \(F_A\): \(F_A'(x) = (2x + 5) \cdot e^x + (x^2 + 5x + 5) \cdot e^x = (x^2 + 7x + 10) \cdot e^x \neq f(x)\). 3. Ableitung von \(F_B\): \(F_B'(x) = (2x + 4) \cdot e^x + (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x = (x^2 + 6x + 5) \cdot e^x \neq f(x)\). 4. Ableitung von \(F_C\): \(F_C'(x) = (2x + 3) \cdot e^x + (x^2 + 3x + 2) \cdot e^x + 0 = (x^2 + 5x + 5) \cdot e^x = f(x)\). 5. Ableitung von \(F_D\): \(F_D'(x) = (2x + 7) \cdot e^x + (x^2 + 7x + 10) \cdot e^x = (x^2 + 9x + 17) \cdot e^x \neq f(x)\). 6. Ergebnis: \(F_C\) ist die korrekte Stammfunktion.

\(F_C(x) = (x^2 + 3x + 2) \cdot e^x + 4\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Was muss für die Ableitung von \(F\) gelten, damit \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist? - Kannst du den Bruch in \(F(x)\) in einzelne Potenzen zerlegen, bevor du ableitest? - Erinnere dich an die Potenzregel für die Ableitung, auch für negative Exponenten.

1. Den Funktionsterm von \(F\) durch Aufteilen des Bruchs vereinfachen: \(F(x) = \frac{2x^4}{x^2} - \frac{3}{x^2} = 2x^2 - 3x^{-2}\). 2. Die Ableitungsfunktion \(F'\) mithilfe der Potenzregel bestimmen: \(F'(x) = 2 \cdot 2x^1 - 3 \cdot (-2)x^{-3} = 4x + 6x^{-3}\). 3. Das Ergebnis der Ableitung mit der gegebenen Funktion \(f(x) = 4x + 6x^{-3}\) vergleichen. 4. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Wie weist man nach, dass eine gegebene Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für \(\ln(-x)\). - Nutze für den zweiten Teil die allgemeine Integrationsregel für Potenzfunktionen und den Kehrwert von \(x\). - Setze den gegebenen Funktionswert ein, um die Integrationskonstante zu berechnen.

1. Ableiten von \(G(x)\) nach der Summen- und Kettenregel: \(G'(x) = 5 \cdot \frac{1}{-x} \cdot (-1) + \frac{1}{4} \cdot 2x + 0 = \frac{5}{x} + \frac{1}{2}x\). Dies entspricht genau dem Funktionsterm \(g(x)\), womit \(G\) eine Stammfunktion ist. 2. Für \(x > 0\) lautet der allgemeine Ansatz für die Stammfunktion \(H(x) = 5 \ln(x) + \frac{1}{4}x^2 + C\). Einsetzen der Bedingung \(H(1) = 0{,}25\): \(5 \ln(1) + \frac{1}{4} \cdot 1^2 + C = 0{,}25\). Da \(\ln(1) = 0\) und \(\frac{1}{4} = 0{,}25\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(0{,}25 + C = 0{,}25\). Daraus folgt \(C = 0\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(H(x) = 5 \ln(x) + \frac{1}{4}x^2\).

1. Nachweis durch \(G'(x) = g(x)\). 2. \(H(x) = 5 \ln(x) + \frac{1}{4}x^2\)

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion hinsichtlich der Ableitung besteht. - Welche Ableitungsregeln benötigst du für eine Summe von Funktionen? - Wie lautet die Ableitung der Funktion \(g(x) = \ln|x|\)? - Was passiert mit dem konstanten Faktor vor einem Term beim Ableiten?

1. Zur Überprüfung, ob \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, wird die Ableitung \(F'(x)\) gebildet. 2. Anwendung der Summenregel auf \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2\ln|x|\). 3. Ableiten des ersten Terms mit der Potenzregel: \(\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2\). 4. Ableiten des zweiten Terms unter Verwendung der Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus: \(\frac{d}{dx}(2\ln|x|) = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}\). 5. Zusammenführen der Teilableitungen ergibt \(F'(x) = x^2 + \frac{2}{x}\). 6. Da \(F'(x) = f(x)\) für alle \(x \neq 0\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

Durch Ableiten von \(F\) erhält man \(F'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2 \cdot \frac{1}{x} = x^2 + \frac{2}{x}\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

- Wie lautet die allgemeine Regel, um eine Stammfunktion einer Potenzfunktion zu bilden? - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Welche Rolle spielt die Integrationskonstante \(C\) beim Einsetzen der Punktkoordinaten?

1. Die Menge aller Stammfunktionen von \(f(x) = 6x^2 - 4x + 1\) wird durch \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + C\) beschrieben. 2. Für Punkt \(P(0 \mid 7)\): Einsetzen ergibt \(F(0) = 2 \cdot 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 0 + C = 7\), woraus \(C = 7\) folgt. Die Stammfunktion ist \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 7\). 3. Für Punkt \(Q(1 \mid 2)\): Einsetzen ergibt \(F(1) = 2 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + C = 2\). Dies führt zu \(1 + C = 2\), also \(C = 1\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 1\). 4. Für Punkt \(R(-1 \mid 0)\): Einsetzen ergibt \(F(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + (-1) + C = 0\). Dies führt zu \(-2 - 2 - 1 + C = 0\), also \(C = 5\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 5\).

a) \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 7\) b) \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 1\) c) \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 5\)

- Welche Integrationsregel kannst du auf die einzelnen Glieder der Summe anwenden? - Was bedeutet die Information über die Nullstelle für den Funktionswert an dieser Stelle? - Vergiss nicht die Integrationskonstante \(C\) beim Bilden der allgemeinen Stammfunktion. - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, um die Unbekannte \(C\) zu berechnen?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion mithilfe der Potenzregel: \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^3 + 5x + C\). 2. Aufstellen der Bedingung für die Nullstelle \(F(2) = 0\): \(\frac{1}{8} \cdot 2^4 - 2^3 + 5 \cdot 2 + C = 0\). 3. Vereinfachen der Terme: \(2 - 8 + 10 + C = 0\), woraus \(4 + C = 0\) folgt. 4. Ermittlung der Integrationskonstante: \(C = -4\). 5. Angabe der gesuchten Stammfunktion durch Einsetzen von \(C\): \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^3 + 5x - 4\).

\(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^3 + 5x - 4\)

- Welche Operation ist die Umkehrung des Bildens einer Stammfunktion? - Was muss passieren, wenn du eine Stammfunktion ableitest? - Überlege, wie sich die Ableitung einer konstanten Zahl auf das Gesamtergebnis auswirkt.

1. Berechnung der Ableitung von \(F\): \(F'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 3x^2 + 5) = 4x^3 - 6x\). 2. Abgleich mit \(f(x)\): Da \(F'(x) = 4x^3 - 6x = f(x)\) gilt, ist \(F\) nach Definition eine Stammfunktion von \(f\). 3. Definition: Eine Funktion \(F\) heißt Stammfunktion von \(f\) auf einem Intervall \(I\), wenn für alle \(x \in I\) gilt: \(F'(x) = f(x)\). 4. Überprüfung von \(H\): Die Ableitung \(H'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 3x^2 - 12) = 4x^3 - 6x\) ergibt ebenfalls \(f(x)\). Da sich \(F\) und \(H\) nur durch eine additive Konstante unterscheiden, ist ihre Ableitung identisch.

a) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion, da \(F'(x) = 4x^3 - 6x = f(x)\) gilt. b) Eine Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\), wenn \(F'(x) = f(x)\) erfüllt ist. \(H\) ist ebenfalls eine Stammfunktion, da \(H'(x) = 4x^3 - 6x = f(x)\) gilt (die Konstante \(-12\) fällt beim Ableiten weg).

- Wie hängen zwei verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion mathematisch zusammen? - Wenn du eine Stammfunktion kennst, wie kommst du dann zur ursprünglichen Funktion zurück? - Wie kannst du eine unbekannte Konstante berechnen, wenn du einen Punkt auf dem Graphen kennst?

1. Bestimmung von \(f(x)\): Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(f(x) = F'(x)\). Ableitung von \(F(x) = x^{-1} + x^2\) ergibt \(f(x) = -x^{-2} + 2x = -\frac{1}{x^2} + 2x\). 2. Ansatz für \(G(x)\): Da alle Stammfunktionen einer Funktion \(f\) sich nur durch eine additive Konstante \(C\) unterscheiden, gilt \(G(x) = F(x) + C = \frac{1}{x} + x^2 + C\). 3. Bestimmung von \(C\): Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid 5)\) in \(G(x)\) ergibt \(G(1) = \frac{1}{1} + 1^2 + C = 5\). 4. Berechnung: \(1 + 1 + C = 5 \Rightarrow 2 + C = 5 \Rightarrow C = 3\). 5. Resultat: \(G(x) = \frac{1}{x} + x^2 + 3\).

\(f(x) = -\frac{1}{x^2} + 2x\) \(G(x) = \frac{1}{x} + x^2 + 3\)

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktionen über die Ableitung zusammen? - Was passiert mit einer Konstanten beim Ableiten? - Wie kannst du die Potenzregel für die Integration anwenden? - Was bedeutet es geometrisch für die Funktionsgleichung, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion: Da \(f(x) = x^{-2} + 1\), lautet die Menge aller Stammfunktionen \(F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + x + C = -\frac{1}{x} + x + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\). 2. Angabe von vier Beispielen durch Wahl verschiedener Werte für \(C\), zum Beispiel: \(F_1(x) = -\frac{1}{x} + x\) (für \(C=0\)) \(F_2(x) = -\frac{1}{x} + x + 1\) (für \(C=1\)) \(F_3(x) = -\frac{1}{x} + x - 5\) (für \(C=-5\)) \(F_4(x) = -\frac{1}{x} + x + 10\) (für \(C=10\)) 3. Berechnung der spezifischen Stammfunktion für \(P(1 \mid 0)\): Einsetzen der Koordinaten in die allgemeine Form \(0 = -\frac{1}{1} + 1 + C\). Dies vereinfacht sich zu \(0 = -1 + 1 + C\), woraus \(C = 0\) folgt. Die gesuchte Stammfunktion ist somit \(F(x) = -\frac{1}{x} + x\).

a) Mögliche Stammfunktionen sind z. B. \(F_1(x) = -\frac{1}{x} + x\), \(F_2(x) = -\frac{1}{x} + x + 1\), \(F_3(x) = -\frac{1}{x} + x - 5\) und \(F_4(x) = -\frac{1}{x} + x + 10\). b) Die gesuchte Stammfunktion ist \(F(x) = -\frac{1}{x} + x\).

- Welche Regeln benötigst du, um die einzelnen Summanden der Funktion zu integrieren? - Was bedeutet die Angabe eines Punktes für den Funktionswert an einer bestimmten Stelle? - Wie kannst du die Integrationskonstante \(C\) bestimmen, nachdem du die allgemeine Stammfunktion gefunden hast? - Denke bei der Logarithmusfunktion an den Definitionsbereich.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion unter Verwendung der linearen Substitution: \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \ln(x+2) + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(F(0) = 1{,}5\): \(\frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} + \ln(0+2) + C = 1{,}5\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(0{,}5 + \ln(2) + C = 1{,}5\). 4. Berechnen der Integrationskonstante: \(C = 1 - \ln(2)\). 5. Aufstellen der spezifischen Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \ln(x+2) + 1 - \ln(2)\).

\(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \ln(x+2) + 1 - \ln(2)\)

- Wie integriert man eine verkettete Funktion mit einer linearen inneren Funktion? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Stammfunktion, um dein Ergebnis durch Ableiten zu prüfen. - Setze den bekannten Punkt in deine allgemeine Stammfunktion ein, um die Unbekannte zu finden.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion mittels linearer Substitution: \(F(t) = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{-2} (1-2t)^4 + C\). 2. Vereinfachen des Terms: \(F(t) = -0{,}5(1-2t)^4 + C\). 3. Einsetzen des gegebenen Wertes \(F(1) = 5\): \(-0{,}5(1-2 \cdot 1)^4 + C = 5\). 4. Berechnen des Klammerausdrucks: \(-0{,}5(-1)^4 + C = 5\), also \(-0{,}5 + C = 5\). 5. Bestimmung der Konstante: \(C = 5{,}5\). 6. Resultierende Stammfunktion: \(F(t) = -0{,}5(1-2t)^4 + 5{,}5\).

\(F(t) = -0{,}5(1-2t)^4 + 5{,}5\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion im Hinblick auf Ableitungen? - Wie findet man die Stellen, an denen eine Funktion ihre Extremwerte annimmt? - Wie lässt sich die Art eines Extrempunktes (Maximum oder Minimum) mithilfe der Ableitung bestimmen? - Was bedeutet die Information über den Wert des Minimums für die Funktionsgleichung?

1. Allgemeine Stammfunktion bilden: \(F(x) = \int (x^3 - 4x) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + C\). 2. Extremstellen von \(F\) bestimmen: Die Ableitung von \(F\) ist \(f\). Nullstellen von \(f(x) = x(x^2 - 4) = 0\) liefern \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Art der Extrema prüfen: \(F''(x) = f'(x) = 3x^2 - 4\). Es gilt \(f'(0) = -4 < 0\) (lokales Maximum) sowie \(f'(2) = 8 > 0\) und \(f'(-2) = 8 > 0\). Somit liegen an den Stellen \(x = \pm 2\) lokale Minima vor. 4. Integrationskonstante \(C\) berechnen: Da der Wert der Minima \(5\) sein soll, gilt \(F(2) = 5\). Einsetzen ergibt \(\frac{1}{4} \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^2 + C = 5 \implies 4 - 8 + C = 5 \implies -4 + C = 5 \implies C = 9\). 5. Funktion angeben: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 9\).

\(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 9\)

- Überlege zuerst, wie die allgemeine Stammfunktion der einzelnen Summanden aussieht. - Achte beim Exponentialterm besonders auf das Vorzeichen, das durch die innere Ableitung beim Integrieren entsteht. - Wie kannst du die gegebene Bedingung nutzen, um die unbekannte Integrationskonstante zu berechnen? - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Stammfunktion ableitest; es muss wieder die ursprüngliche Funktion \(f\) herauskommen.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion \(F_C(x)\) durch Anwendung der Potenzregel und der Integrationsregel für Exponentialfunktionen mit linearer innerer Funktion: \(\int 0{,}5x^3 \, dx = \frac{0{,}5}{4}x^4 = 0{,}125x^4\) und \(\int -e^{2-x} \, dx = - \frac{1}{-1} e^{2-x} = e^{2-x}\). Somit ist \(F_C(x) = 0{,}125x^4 + e^{2-x} + C\). 2. Einsetzen des gegebenen Wertes \(F(2) = 10\) in den Term: \(0{,}125 \cdot 2^4 + e^{2-2} + C = 10\). 3. Vereinfachen und Berechnen von \(C\): \(0{,}125 \cdot 16 + e^0 + C = 10 \implies 2 + 1 + C = 10 \implies 3 + C = 10 \implies C = 7\). 4. Aufstellen des gesuchten Funktionsterms: \(F(x) = 0{,}125x^4 + e^{2-x} + 7\).

\(F(x) = 0{,}125x^4 + e^{2-x} + 7\)

- Überlege zuerst, wie die allgemeine Menge aller Stammfunktionen aussieht. Denke dabei an die Integrationsregeln für Exponential- und Potenzfunktionen. - Was passiert mit der inneren Funktion \(3x+3\) beim Integrieren? - Wie kannst du die Integrationskonstante \(C\) mithilfe des gegebenen Punktes bestimmen? - Setze den bekannten \(x\)-Wert in deine Stammfunktion ein und löse die Gleichung nach der Unbekannten auf.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion durch gliedweise Integration unter Beachtung der linearen Substitution bei der Exponentialfunktion: \(\int (2e^{3x+3} - 4x) \, dx = \frac{2}{3} e^{3x+3} - 2x^2 + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(F(-1) = 5\) in den allgemeinen Term: \(\frac{2}{3} e^{3(-1)+3} - 2(-1)^2 + C = 5\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(\frac{2}{3} e^0 - 2 + C = 5 \implies \frac{2}{3} - 2 + C = 5\). 4. Zusammenfassen und Auflösen nach \(C\): \(-\frac{4}{3} + C = 5 \implies C = 5 + \frac{4}{3} = \frac{19}{3}\). 5. Aufstellen des gesuchten Funktionsterms: \(F(x) = \frac{2}{3} e^{3x+3} - 2x^2 + \frac{19}{3}\).

\(F(x) = \frac{2}{3} e^{3x+3} - 2x^2 + \frac{19}{3}\)

- Es ist oft hilfreich, Brüche mit Wurzeln im Nenner zuerst in die Potenzschreibweise \(x^n\) umzuwandeln. - Erinnere dich an die Regel für die Integration von Funktionen der Form \((ax+b)^n\). - Der Punkt \(P(x \mid y)\) gibt dir einen konkreten Wert für die Stammfunktion an einer bestimmten Stelle vor. - Vergiss nicht, am Ende die Konstante \(C\) in den Funktionsterm einzusetzen.

1. Umschreiben der Funktion in Potenzschreibweise: \(f(x) = 6(2x+9)^{-\frac{1}{2}}\). 2. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion unter Verwendung der Regel für lineare Substitution: \(\int 6(2x+9)^{-\frac{1}{2}} \, dx = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+9)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 6 \sqrt{2x+9} + C\). 3. Nutzen der Punktbedingung \(F(0) = 10\): \(6 \sqrt{2 \cdot 0 + 9} + C = 10\). 4. Berechnung des Wurzelwertes und Auflösen nach \(C\): \(6 \cdot 3 + C = 10 \implies 18 + C = 10 \implies C = -8\). 5. Angabe des spezifischen Funktionsterms: \(F(x) = 6 \sqrt{2x+9} - 8\).

\(F(x) = 6 \sqrt{2x+9} - 8\)

- Wie bildet man die Ableitung einer verketteten Funktion? - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Setze zuerst die Funktionsterme ineinander ein, um die Funktionsvorschrift für die verkettete Funktion zu erhalten. - Wie geht man vor, wenn eine Stammfunktion durch einen bestimmten Punkt verlaufen soll?

1. Nachweis der Stammfunktion: Zunächst wird der Funktionsterm von \(h\) durch Einsetzen gebildet: \(h(x) = f(g(x)) = (\frac{1}{3}x + 2)^2 - 5\). Die Ableitung von \(H\) erfolgt mit der Ketten- und Summenregel: \(H'(x) = 3 \cdot (\frac{1}{3}x + 2)^2 \cdot \frac{1}{3} - 5 = (\frac{1}{3}x + 2)^2 - 5\). Da \(H'(x) = h(x)\) gilt, ist \(H\) eine Stammfunktion von \(h\). 2. Bestimmung von \(K\): Der Term von \(k\) wird bestimmt durch \(k(x) = 6(\frac{1}{3}(x^2 - 5) + 2) = 2(x^2 - 5) + 12 = 2x^2 + 2\). Die allgemeine Stammfunktion lautet \(K(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x + C\). Einsetzen der Bedingung \(K(3) = 20\) liefert \(\frac{2}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 3 + C = 18 + 6 + C = 24 + C = 20\). Daraus folgt \(C = -4\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(K(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x - 4\).

a) Der Nachweis erfolgt durch Ableiten von \(H(x)\) unter Verwendung der Kettenregel, was \(H'(x) = (\frac{1}{3}x + 2)^2 - 5 = f(g(x))\) ergibt. b) \(K(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x - 4\)

- Nutze die Bedingung \( F'(x) = f(x) \). - Achte bei Teilaufgabe c) besonders auf die Kettenregel. - Kannst du durch Vergleichen der Exponenten direkt auf einen Wert für den Parameter schließen? - Vergiss nicht, auch die Vorfaktoren (Koeffizienten) abzugleichen.

1. Es muss gelten \( F'(x) = f(x) \). 2. In Teilaufgabe a) ist \( F'(x) = 3ax^2 \). Gleichsetzen mit \( \frac{1}{3}x^2 \) führt zu \( 3a = \frac{1}{3} \), also \( a = \frac{1}{9} \). 3. In Teilaufgabe b) ist \( F'(x) = 4x^3 \). Durch Vergleich der Exponenten folgt \( a-2 = 3 \), also \( a = 5 \). Die Probe für den Koeffizienten ergibt \( a-1 = 5-1 = 4 \), was korrekt ist. 4. In Teilaufgabe c) ist \( F'(x) = 3ae^{3x} \) (Kettenregel). Gleichsetzen mit \( 1 \cdot e^{3x} \) führt zu \( 3a = 1 \), also \( a = \frac{1}{3} \).

a) \( a = \frac{1}{9} \) b) \( a = 5 \) c) \( a = \frac{1}{3} \)

- Wie ist der mathematische Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion definiert? - Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn eine Funktion aus einer äußeren und einer inneren Funktion besteht? - Was passiert mit dem Argument einer Sinus- oder Logarithmusfunktion beim Ableiten? - Reicht es aus, die Funktionen nur optisch zu vergleichen, oder musst du eine Rechnung durchführen?

1. Ableitung von \( F \) in Teilaufgabe a) unter Verwendung der Kettenregel: \( F'(x) = \frac{1}{x^2 + 5} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 5} \). Vergleich mit \( f(x) \) ergibt \( F'(x) = f(x) \). 2. Ableitung von \( F \) in Teilaufgabe b) unter Verwendung der Kettenregel: \( F'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cdot \cos(x^2) \). Vergleich mit \( f(x) \) ergibt \( F'(x) = f(x) \).

a) Ja, \( F \) ist eine Stammfunktion von \( f \). b) Ja, \( F \) ist eine Stammfunktion von \( f \).

- Welche Rechenoperation verknüpft die beiden Teile der Funktion in Aufgabenteil a)? - Erinnerst du dich an die Regel für das Ableiten von Produkten? - Wie kann man einen Bruch mit einer Konstanten im Zähler umschreiben, um die Potenzregel anzuwenden? - Achte beim Ableiten in Teil b) besonders auf die Vorzeichen und die innere Ableitung.

1. Ableitung von \( F \) in Teilaufgabe a) mit der Produktregel: \( F'(x) = 1 \cdot e^x + (x - 1) \cdot e^x = e^x + x \cdot e^x - e^x = x \cdot e^x \). Ergebnis: \( F'(x) = f(x) \), die Aussage ist wahr. 2. Ableitung von \( F \) in Teilaufgabe b) mit der Kettenregel (oder Quotientenregel): \( F(x) = (x^2 + 1)^{-1} \Rightarrow F'(x) = -1 \cdot (x^2 + 1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \). Vergleich: \( F'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \neq \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \), die Aussage ist falsch.

a) Wahr, da \( F'(x) = x \cdot e^x = f(x) \). b) Falsch, da \( F'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \neq f(x) \).

- Überlege dir, wie man rechnerisch prüft, ob eine Funktion die Stammfunktion einer anderen ist. - Welche Rechenregel für das Ableiten von Potenzen kennst du? Kannst du diese umkehren? - Eine Stammfunktion \(F\) ist dadurch definiert, dass ihre Ableitung \(F'\) genau die Funktion \(f\) ergibt. - Beim Bilden einer Stammfunktion darfst du eine beliebige additive Konstante \(C\) wählen, falls nichts anderes vorgegeben ist.

1. Überprüfung der Ableitungen der gegebenen Stammfunktionen: \(F_1'(x) = 2x + 3\), dies entspricht Funktion B. \(F_2'(x) = 6x^2\), dies entspricht Funktion A. \(F_3'(x) = 4x^3 - x\), dies entspricht Funktion D. \(F_4'(x) = 5x^4\), dies entspricht Funktion E. 2. Zuordnung der Paare: A-2, B-1, D-3, E-4. 3. Bestimmung von Stammfunktionen für die verbleibenden Funktionen C und F mittels Potenzregel \(\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}\): Für \(f(x) = 0{,}5x^3\) ergibt sich \(F(x) = \frac{0{,}5}{4}x^4 = \frac{1}{8}x^4\). Für \(f(x) = 3\) ergibt sich \(F(x) = 3x\).

Zuordnungen: A-2, B-1, D-3, E-4. Beispiele für Stammfunktionen der übrigen Funktionen: Für C: \(F(x) = \frac{1}{8}x^4\) (oder \(F(x) = 0{,}125x^4\)) Für F: \(F(x) = 3x\)

- Wie hängen die Begriffe Ableitung und Stammfunktion zusammen? - Um eine spezifische Stammfunktion zu finden, die durch einen Punkt verläuft, musst du zuerst die allgemeine Stammfunktion mit einer Konstante \( C \) aufstellen. - Setze die Koordinaten des Punktes in deine Funktionsgleichung ein, um den Wert der Konstante zu berechnen.

1. Teilaufgabe a): Ableiten der Funktionen \( G_A \) und \( G_B \). \( G_A'(x) = 4x - 1 \), was \( g_1(x) \) entspricht. \( G_B'(x) = 4 \cdot 0{,}5x^3 - 3 \cdot \frac{1}{6}x^2 = 2x^3 - 0{,}5x^2 \), was \( g_4(x) \) entspricht. 2. Teilaufgabe b): Integration der verbleibenden Funktionen \( g_2 \) und \( g_3 \). Für \( g_2(x) = 3x^2 - 4x \) ist die allgemeine Stammfunktion \( G_2(x) = x^3 - 2x^2 + C \). Einsetzen von \( P(1 \mid 2) \): \( 1^3 - 2\cdot 1^2 + C = 2 \implies -1 + C = 2 \implies C = 3 \). Somit \( G_2(x) = x^3 - 2x^2 + 3 \). Für \( g_3(x) = x^3 \) ist die allgemeine Stammfunktion \( G_3(x) = \frac{1}{4}x^4 + C \). Einsetzen von \( P(1 \mid 2) \): \( 0{,}25 \cdot 1^4 + C = 2 \implies 0{,}25 + C = 2 \implies C = 1{,}75 \). Somit \( G_3(x) = 0{,}25x^4 + 1{,}75 \).

a) Zuordnung: \( G_A \) gehört zu \( g_1 \), da \( G_A'(x) = g_1(x) \). \( G_B \) gehört zu \( g_4 \), da \( G_B'(x) = g_4(x) \). b) \( G_2(x) = x^3 - 2x^2 + 3 \) und \( G_3(x) = 0{,}25x^4 + 1{,}75 \) (oder \( G_3(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{7}{4} \)).

- Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Ableitung zusammen? - Wann verlaufen zwei Tangenten parallel zueinander? - Welche Gleichung musst du lösen, um Stellen mit gleicher Steigung zu finden? - Wie bestimmt man die Konstante \(C\), wenn ein Punkt des Graphen bekannt ist?

1. Die Steigung von \(F\) an der Stelle \(x=1\) ist \(f(1)\): \(f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 5 = 2\). 2. Parallele Tangenten bedeuten gleiche Steigung, also \(f(x) = 2\). Lösen der Gleichung \(x^2 - 4x + 5 = 2 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0\). 3. Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x-1)(x-3) = 0\) liefert die Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Der weitere Punkt \(S\) liegt also bei \(x_S = 3\). 4. Allgemeine Stammfunktion: \(G(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + C\). 5. Einsetzen von \(Q(3 \mid 8)\): \(\frac{1}{3} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + C = 8 \Rightarrow 9 - 18 + 15 + C = 8 \Rightarrow 6 + C = 8 \Rightarrow C = 2\). 6. Ergebnis: \(G(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + 2\).

a) Die Steigung beträgt \(2\). b) Ja, an der Stelle \(x_S = 3\) ist die Steigung ebenfalls \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 5 = 2\). c) \(G(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + 2\)

- Wie ist eine Stammfunktion mathematisch definiert? - Welche Operation musst du auf \( F \) anwenden, um zu prüfen, ob sie zu \( f \) führt? - Welche Ableitungsregel ist hilfreich, wenn eine Funktion (wie \( 2x^2 + 3 \)) innerhalb einer anderen Funktion (der Wurzel) steht?

1. Ableitung von \( F(x) = (2x^2 + 3)^{\frac{1}{2}} \) unter Anwendung der Kettenregel: Die äußere Ableitung ist \( \frac{1}{2} \cdot (2x^2 + 3)^{-\frac{1}{2}} \), die innere Ableitung ist \( 4x \). 2. Berechnung des Produkts der Ableitungen: \( F'(x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2x^2 + 3}} \cdot 4x \). 3. Vereinfachung des Terms durch Kürzen: \( F'(x) = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 3}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 3}} \). 4. Vergleich mit der gegebenen Funktion: Da \( F'(x) = f(x) \) gilt, ist \( F \) eine Stammfunktion von \( f \).

Ja, \( F \) ist eine Stammfunktion von \( f \), da die Ableitung \( F'(x) = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 3}} \) exakt der Funktion \( f(x) \) entspricht.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Stammfunktion. - Welche spezielle Ableitungsregel musst du verwenden, wenn die Funktion aus einem Produkt zweier Ausdrücke besteht? - Überprüfe nach dem Ableiten sorgfältig, ob alle Terme mit der Funktion \( g \) übereinstimmen.

1. Ableitung von \( G(x) = x \cdot \sin(x) \) unter Anwendung der Produktregel \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \) mit den Teilfunktionen \( u(x) = x \) und \( v(x) = \sin(x) \). 2. Bestimmung der Ableitungen der Teilfunktionen: \( u'(x) = 1 \) und \( v'(x) = \cos(x) \). 3. Zusammensetzen der Ableitung nach der Produktregel: \( G'(x) = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) \). 4. Vereinfachter Ausdruck: \( G'(x) = \sin(x) + x \cdot \cos(x) \). 5. Vergleich mit der Zielfunktion: Da \( \sin(x) + x \cdot \cos(x) \neq \cos(x) \), ist \( G \) keine Stammfunktion von \( g \).

Nein, \( G \) ist keine Stammfunktion von \( g \), da die Ableitung \( G'(x) = \sin(x) + x \cdot \cos(x) \) nicht mit der Funktionsvorschrift von \( g \) übereinstimmt.

- Welche Eigenschaft muss erfüllt sein, damit eine Funktion die Stammfunktion einer anderen ist? - Betrachte die beiden Hauptteile der Funktion getrennt und wende jeweils die passende Ableitungsregel für Produkte an. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Ableiten der trigonometrischen Funktionen. - Prüfe nach dem Ableiten, welche Terme sich gegenseitig aufheben oder zusammenfassen lassen.

1. Ableiten der Funktion \(f(x)\) durch gliedweise Anwendung der Produktregel auf beide Summanden. 2. Ableitung des ersten Summanden \((x^2 - 2) \cdot \cos(x)\): \(2x \cdot \cos(x) + (x^2 - 2) \cdot (-\sin(x))\). 3. Ableitung des zweiten Summanden \(-2x \cdot \sin(x)\): \(-(2 \cdot \sin(x) + 2x \cdot \cos(x))\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(f'(x) = 2x \cos(x) - x^2 \sin(x) + 2 \sin(x) - 2 \sin(x) - 2x \cos(x)\). 5. Vereinfachen des Ausdrucks: Die Terme \(2x \cos(x)\) und \(-2x \cos(x)\) sowie \(2 \sin(x)\) und \(-2 \sin(x)\) heben sich jeweils auf. 6. Ergebnis: \(f'(x) = -x^2 \sin(x)\). Dies entspricht exakt \(g(x)\).

Die Ableitung von \(f\) ergibt \(f'(x) = 2x \cos(x) - (x^2 - 2) \sin(x) - 2 \sin(x) - 2x \cos(x) = -x^2 \sin(x)\). Somit ist \(f'(x) = g(x)\), was beweist, dass \(f\) eine Stammfunktion von \(g\) ist.

- Kannst du den Funktionsterm als Ergebnis einer bekannten Ableitungsregel erkennen? - Untersuche, ob der Term aus zwei Teilen besteht, die wie die Ableitung eines Produkts aussehen. - Versuche, zwei Funktionen \(u\) und \(v\) zu finden, sodass deren Produkt abgeleitet genau \(f(x)\) ergibt. - Was passiert, wenn du deine vermutete Stammfunktion probehalber ableitest?

1. Vergleich des Terms \(f(x) = 3x^2 \cdot \sin(x) + x^3 \cdot \cos(x)\) mit der Struktur der Produktregel \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\) 2. Identifikation der Teilfunktionen \(u(x) = x^3\) und \(v(x) = \sin(x)\) 3. Überprüfung der Ableitungen: \(u'(x) = 3x^2\) und \(v'(x) = \cos(x)\) 4. Da der Term exakt der Form \(u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\) entspricht, folgt für die Stammfunktion \(F(x) = u(x) \cdot v(x)\) 5. Ergebnis: \(F(x) = x^3 \cdot \sin(x)\)

\(F(x) = x^3 \cdot \sin(x)\)

- Erinnerst du dich an die Kettenregel? Man berechnet sie als „äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Wie kann man eine Wurzelfunktion als Potenzschreibweise darstellen, um sie leichter abzuleiten? - Überlege dir, welche Funktion in den Klammern bzw. unter der Wurzel steht – das ist deine „innere Funktion“. - Vergleiche dein Ergebnis der Ableitung Term für Term mit der vorgegebenen Funktion \(f\).

1. Ableitung von \(F\) in a): Anwendung der Kettenregel auf \((x^2 - 4x)^5\). Äußere Ableitung: \(5 \cdot (x^2 - 4x)^4\), innere Ableitung: \(2x - 4\). Die Konstante \(12\) fällt weg. Ergebnis: \(F'(x) = 5 \cdot (x^2 - 4x)^4 \cdot (2x - 4)\). Dies entspricht exakt \(f(x)\). Somit ist \(F\) eine Stammfunktion. 2. Ableitung von \(F\) in b): Umschreiben als \(F(x) = (x^2 + 1)^{0{,}5} + 4\). Anwendung der Kettenregel: Äußere Ableitung ist \(0{,}5 \cdot (x^2 + 1)^{-0{,}5}\), innere Ableitung ist \(2x\). Es folgt \(F'(x) = 0{,}5 \cdot (x^2 + 1)^{-0{,}5} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\). Dies entspricht \(f(x)\). Somit ist \(F\) eine Stammfunktion.

a) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). b) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Wie hängen die Begriffe Stammfunktion und Ableitung mathematisch zusammen? - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn zwei Teilfunktionen miteinander multipliziert werden? - Denk beim Ableiten der Exponentialfunktion an die Kettenregel. - Es hilft oft, am Ende einen gemeinsamen Faktor auszuklammern, um den Term besser vergleichen zu können.

1. Anwendung der Produktregel \(u'v + uv'\) auf \(F(x)\) mit \(u(x) = x^2 - 3x\) und \(v(x) = e^{2x}\). 2. Berechnung der Teilableitungen: \(u'(x) = 2x - 3\) und \(v'(x) = 2 \cdot e^{2x}\) unter Verwendung der Kettenregel. 3. Zusammensetzen der Ableitung: \(F'(x) = (2x - 3) \cdot e^{2x} + (x^2 - 3x) \cdot 2 \cdot e^{2x}\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(e^{2x}\): \(F'(x) = e^{2x} \cdot (2x - 3 + 2x^2 - 6x)\). 5. Vereinfachen des Klammerausdrucks: \(F'(x) = (2x^2 - 4x - 3) \cdot e^{2x}\). 6. Vergleich mit der gegebenen Funktion \(f(x)\) zeigt die Identität \(F'(x) = f(x)\).

Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\), da die Ableitung \(F'(x) = (2x^2 - 4x - 3) \cdot e^{2x}\) mit der Funktionsvorschrift von \(f\) übereinstimmt.

- Nutze den Satz vom Nullprodukt für den ersten Aufgabenteil. - Erinnere dich an die Lösungsformel für quadratische Gleichungen. - Was musst du tun, um zu zeigen, dass eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante. Wie kannst du diese mithilfe eines gegebenen Punktes bestimmen?

1. Für die Nullstellen gilt \(f(x) = 0\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(x^2 + 4x + 2 = 0\) gelten. Mit der Mitternachtsformel oder quadratischer Ergänzung ergeben sich die Nullstellen \(x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}\). 2. Der Nachweis erfolgt durch Ableiten von \(F\) unter Verwendung der Produktregel: \(F'(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x) \cdot e^x = (2x + 2 + x^2 + 2x) \cdot e^x = (x^2 + 4x + 2) \cdot e^x = f(x)\). Damit ist \(F\) eine Stammfunktion. 3. Der Ansatz für eine allgemeine Stammfunktion ist \(G(x) = F(x) + C\). Einsetzen der Bedingung \(G(-2) = 1\): \(F(-2) + C = 1 \implies ((-2)^2 + 2 \cdot (-2)) \cdot e^{-2} + C = 1 \implies (4 - 4) \cdot e^{-2} + C = 1 \implies 0 + C = 1 \implies C = 1\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(G(x) = (x^2 + 2x) \cdot e^x + 1\).

a) \(x_1 = -2 + \sqrt{2}\); \(x_2 = -2 - \sqrt{2}\) b) Nachweis durch \(F'(x) = f(x)\); Stammfunktion: \(G(x) = (x^2 + 2x) \cdot e^x + 1\)

- Nutze die Eigenschaft \(F'(x) = f(x)\). - Leite den allgemeinen Ausdruck für \(F(x)\) mit der Produktregel ab und klammere \(e^x\) aus. - Zwei Polynome sind gleich, wenn ihre Koeffizienten bei den jeweiligen \(x\)-Potenzen übereinstimmen. - Stelle ein System aus drei einfachen Gleichungen auf, um die Unbekannten nacheinander zu berechnen.

1. Ableiten von \(F(x)\) mithilfe der Produktregel: \(F'(x) = (2ax + b) \cdot e^x + (ax^2 + bx + c) \cdot e^x\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(F'(x) = (ax^2 + (2a + b)x + (b + c)) \cdot e^x\). 3. Koeffizientenvergleich mit \(f(x) = (1x^2 - 1x - 2) \cdot e^x\): - \(a = 1\) - \(2a + b = -1 \implies 2(1) + b = -1 \implies b = -3\) - \(b + c = -2 \implies -3 + c = -2 \implies c = 1\) 4. Die Werte sind \(a = 1\), \(b = -3\) und \(c = 1\).

\(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 1\)

- Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, um den Term zu faktorisieren? - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit den Extrempunkten zusammen? - Was passiert mit der Exponentialfunktion, wenn der Exponent sehr klein (stark negativ) wird? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Nullstellen einer Funktion und den Extremstellen ihrer Stammfunktion? - Wo liegen die Wendestellen einer Funktion im Vergleich zu den Extremstellen ihrer Ableitungsfunktion?

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = 4e^x - 2e^{2x} = 2e^x(2 - e^x)\). 2. Extrempunkt bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies 2 - e^x = 0 \implies x = \ln 2\). Die Art ergibt sich über \(f''(x) = 4e^x - 4e^{2x}\); \(f''(\ln 2) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 4 = -8 < 0\), also ein lokales Maximum. Funktionswert: \(f(\ln 2) = 4 \cdot 2 - 2^2 = 4\). Hochpunkt \(H(\ln 2 \mid 4)\). 3. Grenzwert untersuchen: Für \(x \to -\infty\) gehen sowohl \(e^x\) als auch \(e^{2x}\) gegen \(0\). Damit gilt \(\lim_{x \to -\infty} (4e^x - 0{,}5e^{2x}) = 0 - 0 = 0\). 4. Eigenschaften von \(F\): Da \(F'(x) = f(x)\), liegen die Extremstellen von \(F\) bei den Nullstellen von \(f\). Da \(f\) bei \(x = \ln 4\) von positiv nach negativ wechselt, hat \(F\) dort ein Maximum. Wendestellen von \(F\) sind die Extremstellen von \(f\), also \(x = \ln 2\). Die \(y\)-Koordinate ist \(F(\ln 2) = 4 \cdot e^{\ln 2} - 0{,}5 \cdot e^{2 \ln 2} = 4 \cdot 2 - 0{,}5 \cdot 4 = 6\).

a) \(f'(x) = 4e^x - 2e^{2x} = 2e^x(2 - e^x)\) b) Hochpunkt \(H(\ln 2 \mid 4)\) c) \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\), da \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\) d) \(y_W = 6\)

- Überlege zuerst, welche Grundregeln des Integrierens (Potenzregel, Exponentialregel, Sinusregel) du hier anwenden musst. - Wie wirkt sich der Faktor im Exponenten der e-Funktion auf die Stammfunktion aus? - Was bedeutet es für die Stammfunktion, wenn ihr Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Wie kannst du die Integrationskonstante bestimmen?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion unter Verwendung der Summenregel und der linearen Substitution bei der Exponentialfunktion: \(F(x) = 2e^{2x} - \frac{1}{6}x^3 - \cos(x) + C\) 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(0 \mid 3)\) in den Term der Stammfunktion: \(F(0) = 2e^{0} - \frac{1}{6} \cdot 0^3 - \cos(0) + C = 3\) 3. Vereinfachung der Gleichung zur Bestimmung der Integrationskonstante \(C\): \(2 \cdot 1 - 0 - 1 + C = 3 \implies 1 + C = 3\) 4. Ermittlung der Konstante: \(C = 2\) 5. Angabe des gesuchten Funktionsterms: \(F(x) = 2e^{2x} - \frac{1}{6}x^3 - \cos(x) + 2\)

\(F(x) = 2e^{2x} - \frac{1}{6}x^3 - \cos(x) + 2\)

- Wie hängen die Begriffe Ableitung und Stammfunktion zusammen? - Versuche, den Term von \(F\) erst vollständig auszumultiplizieren und zu vereinfachen, bevor du die Ableitungsregeln anwendest. - Achte beim Ableiten besonders auf die Vorzeichen, wenn negative Exponenten vorkommen. - Vergleiche am Ende die Zähler der Brüche genau.

1. Den Term von \(F\) durch Ausmultiplizieren der binomischen Formel und anschließendes Kürzen vereinfachen: \(F(x) = \frac{1}{x}(x^4 - 8x^2 + 16) = x^3 - 8x + 16x^{-1}\). 2. Die Funktion \(F\) gliedweise ableiten: \(F'(x) = 3x^2 - 8 - 16x^{-2} = 3x^2 - 8 - \frac{16}{x^2}\). 3. Die Ableitung auf einen gemeinsamen Nenner bringen: \(F'(x) = \frac{3x^4 - 8x^2 - 16}{x^2}\). 4. Vergleich mit \(f(x) = \frac{3x^4 - 8x^2 + 16}{x^2}\) zeigt eine Abweichung im Vorzeichen des konstanten Gliedes (\(-16\) statt \(+16\)). 5. Da \(F'(x) \neq f(x)\), ist \(F\) keine Stammfunktion von \(f\).

Nein, \(F\) ist keine Stammfunktion von \(f\).

- Erinnere dich daran, dass die Ableitung einer Stammfunktion wieder die ursprüngliche Funktion ergeben muss. - Für Brüche, bei denen im Zähler und Nenner die Variable \(x\) vorkommt, bietet sich die Quotientenregel an. - Schreibe Terme wie \(\frac{1}{x^n}\) als \(x^{-n}\) um, um die Potenzregel leichter anwenden zu können. - Überprüfe bei der Quotientenregel sorgfältig die Vereinfachung des Zählers.

Zur Verifizierung werden die Funktionen \(F_1\) bis \(F_4\) abgeleitet: 1. Ableitung von \(F_1(x) = \frac{2x}{x+5}\) mit der Quotientenregel: \(F_1'(x) = \frac{2(x+5) - 2x \cdot 1}{(x+5)^2} = \frac{2x+10-2x}{(x+5)^2} = \frac{10}{(x+5)^2} = f_A(x)\). 2. Ableitung von \(F_2(x) = \frac{x^2}{x-1}\) mit der Quotientenregel: \(F_2'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2 \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2} = f_B(x)\). 3. Ableitung von \(F_3(x) = 4x^{-3}\) mit der Potenzregel: \(F_3'(x) = 4 \cdot (-3)x^{-4} = -12x^{-4} = f_C(x)\). 4. Ableitung von \(F_4(x) = -x^{-4}\) mit der Potenzregel: \(F_4'(x) = -1 \cdot (-4)x^{-5} = 4x^{-5} = \frac{4}{x^5} = f_D(x)\).

(A) gehört zu (1) (B) gehört zu (2) (C) gehört zu (3) (D) gehört zu (4)

- Wie lautet die Grundregel für das Integrieren von \(x^{-1}\)? - Beachte beim Logarithmus das Vorzeichen des Arguments, wenn \(x\) negativ ist. - Um eine spezielle Stammfunktion zu finden, musst du den gegebenen Punkt oder Wert in die allgemeine Stammfunktion einsetzen und nach der Konstanten auflösen. - Was ist der natürliche Logarithmus von \(1\) und von \(e\)?

1. Die allgemeine Stammfunktion von \(f(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} - 4\) für \(x < 0\) lautet \(F(x) = \frac{2}{3} \ln(-x) - 4x + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(-1 \mid 0)\) in die allgemeine Form: \(F_1(-1) = \frac{2}{3} \ln(1) - 4 \cdot (-1) + C = 0\). Da \(\ln(1) = 0\), folgt \(4 + C = 0\), also \(C = -4\). Somit ist \(F_1(x) = \frac{2}{3} \ln(-x) - 4x - 4\). 3. Einsetzen der Bedingung \(F_2(-e) = 1\): \(F_2(-e) = \frac{2}{3} \ln(e) - 4 \cdot (-e) + C = 1\). Mit \(\ln(e) = 1\) ergibt sich \(\frac{2}{3} + 4e + C = 1\). Umstellen nach \(C\) liefert \(C = 1 - \frac{2}{3} - 4e = \frac{1}{3} - 4e\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(F_2(x) = \frac{2}{3} \ln(-x) - 4x + \frac{1}{3} - 4e\).

1. \(F(x) = \frac{2}{3} \ln(-x) - 4x + C\) 2. \(F_1(x) = \frac{2}{3} \ln(-x) - 4x - 4\) 3. \(F_2(x) = \frac{2}{3} \ln(-x) - 4x + \frac{1}{3} - 4e\)

- Erinnere dich an die Definition einer Stammfunktion über die Ableitung. - Welche Regel musst du anwenden, wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist? - Bestimme separat die Ableitung des Ausdrucks, der innerhalb des Logarithmus steht. - Wie lautet die allgemeine Ableitungsregel für Funktionen der Form \(h(x) = \ln(g(x))\)?

1. Es ist zu zeigen, dass \(F'(x) = f(x)\) gilt. 2. Anwendung der Kettenregel auf \(F(x) = \ln(u(x))\) mit der inneren Funktion \(u(x) = x^2 + e^x\). 3. Bestimmung der inneren Ableitung: \(u'(x) = 2x + e^x\). 4. Bestimmung der äußeren Ableitung: Da die äußere Funktion der natürliche Logarithmus ist, gilt für die Ableitung \(\frac{1}{u(x)}\). 5. Zusammensetzen nach der Kettenregel (\(\text{äußere Ableitung} \cdot \text{innere Ableitung}\)): \(F'(x) = \frac{1}{x^2 + e^x} \cdot (2x + e^x)\). 6. Umformen des Ergebnisses zu \(F'(x) = \frac{2x + e^x}{x^2 + e^x}\). 7. Vergleich mit der gegebenen Funktion zeigt \(F'(x) = f(x)\), womit die Behauptung bewiesen ist.

Die Ableitung der Funktion \(F(x) = \ln(x^2 + e^x)\) erfolgt mit der Kettenregel. Mit der inneren Funktion \(u(x) = x^2 + e^x\) und deren Ableitung \(u'(x) = 2x + e^x\) ergibt sich \(F'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \frac{2x + e^x}{x^2 + e^x}\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

- Wie lautet die formale Bedingung dafür, dass eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Überprüfe die Ableitung von \(F(x)\) getrennt für die beiden Intervalle des Definitionsbereichs. - Achte beim Ableiten im Bereich \(x < -4\) besonders auf die Kettenregel. - Überlege dir, ob eine Stammfunktion auf einem Definitionsbereich, der aus zwei getrennten Teilen besteht, zwangsläufig überall dieselbe Integrationskonstante haben muss.

1. Ableitung von \(F\) für den Bereich \(x > -4\): Es gilt \(F'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(x+4) - 2) = \frac{1}{x+4}\). 2. Ableitung von \(F\) für den Bereich \(x < -4\): Mit der Kettenregel ergibt sich \(F'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(-(x+4)) + 5) = \frac{1}{-(x+4)} \cdot (-1) = \frac{1}{x+4}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(F'(x) = \frac{1}{x+4}\) für alle \(x\) im Definitionsbereich von \(f\) gilt, ist die Bedingung \(F'(x) = f(x)\) erfüllt. 4. Schlussfolgerung: \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Dass die additiven Konstanten (\(-2\) und \(5\)) auf den beiden getrennten Intervallen des Definitionsbereichs unterschiedlich sind, ist zulässig.

Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\), da für alle \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-4\}\) gilt: \(F'(x) = f(x)\).

- Erinnerst du dich an die Produktregel für Ableitungen? - Was passiert mit dem Exponenten der \(e\)-Funktion beim Ableiten? Stichwort: Nachdifferenzieren. - Du musst nicht integrieren; es reicht, die Kandidaten abzuleiten und mit der Ausgangsfunktion zu vergleichen.

1. Berechnung der Ableitung von \(F_1(x) = x \cdot e^{2x} + 7\) unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel. 2. Es gilt \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) mit \(u(x) = x\) und \(v(x) = e^{2x}\). Die Ableitungen sind \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = 2e^{2x}\). 3. Einsetzen liefert: \(F_1'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot (2e^{2x}) + 0 = e^{2x} \cdot (1 + 2x) = (2x+1) \cdot e^{2x}\). 4. Da \(F_1'(x) = f(x)\) ist, ist \(F_1\) eine Stammfunktion. 5. Die Überprüfung der anderen Funktionen zeigt: \(F_2'(x) = (2x+3)e^{2x}\), \(F_3'(x) = 2e^{2x}\) und \(F_4'(x) = (2x+2)e^x\). Keine dieser Ableitungen stimmt mit \(f(x)\) überein.

\(F_1\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Ableitungsregel ist bei einem Ausdruck der Form \((...)^2\) hilfreich? - Wie unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion voneinander? - Welchen Wert hat der natürliche Logarithmus der Eulerschen Zahl \(e\)?

1. Zur Überprüfung wird \(F(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2\) differenziert. Unter Anwendung der Kettenregel mit der äußeren Funktion \(u^2\) und der inneren Funktion \(u = \ln(x)\) ergibt sich: \(F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln(x)}{x}\). Da \(F'(x) = f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}^+\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Jede Stammfunktion von \(f\) hat die Form \(G(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2 + C\). Die Bedingung \(G(e) = 0\) führt auf die Gleichung \(\frac{1}{2}(\ln(e))^2 + C = 0\). Da \(\ln(e) = 1\), folgt \(\frac{1}{2} \cdot 1^2 + C = 0\), also \(C = -\frac{1}{2}\). Der gesuchte Funktionsterm lautet somit \(G(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2 - \frac{1}{2}\).

1. Nachweis durch \(F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = f(x)\). 2. \(G(x) = \frac{1}{2}(\ln(x))^2 - \frac{1}{2}\)

- Überlege dir, wie du durch Ableiten zeigen kannst, dass eine gegebene Funktion eine Stammfunktion ist. - Welche Regel musst du anwenden, wenn du ein Produkt aus zwei Teilfunktionen ableitest? - Wie sieht die allgemeine Menge aller Stammfunktionen aus, wenn eine spezielle Stammfunktion bekannt ist? - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt?

1. Die Ableitung von \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 \ln(x) - \frac{1}{9}x^3\) erfolgt mit der Produktregel für den ersten Term: \(F'(x) = [x^2 \cdot \ln(x) + \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x}] - \frac{3}{9}x^2 = x^2 \ln(x) + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}x^2 = x^2 \ln(x)\). Somit ist \(F'(x) = f(x)\). 2. Der allgemeine Ansatz für die Stammfunktion ist \(H(x) = \frac{1}{9}x^3(3 \ln(x) - 1) + C\). Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid 1)\) ergibt \(1 = \frac{1}{9} \cdot 1^3 \cdot (3 \ln(1) - 1) + C\). Mit \(\ln(1) = 0\) folgt \(1 = \frac{1}{9}(-1) + C\), also \(C = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}\). Die Stammfunktion ist \(H(x) = \frac{1}{9}x^3(3 \ln(x) - 1) + \frac{10}{9}\).

1. Nachweis durch \(F'(x) = x^2 \ln(x) + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}x^2 = f(x)\). 2. \(H(x) = \frac{1}{9}x^3(3 \ln(x) - 1) + \frac{10}{9}\)

- Welche mathematische Beziehung besteht zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion? - Wie unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion voneinander? - Was passiert, wenn du die Differenz zweier Stammfunktionen ableitest?

1. Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(f(x) = F'(x)\). Ableiten von \(F(x) = 0{,}5x^4 - x^2 + 3\) ergibt \(f(x) = 2x^3 - 2x\). 2. Da \(G\) ebenfalls eine Stammfunktion von \(f\) ist, muss sie die Form \(G(x) = 0{,}5x^4 - x^2 + C\) haben. 3. Einsetzen des Punktes \(S(2 \mid 10)\) in \(G(x)\): \(0{,}5 \cdot 2^4 - 2^2 + C = 10\). Berechnung: \(8 - 4 + C = 10 \implies 4 + C = 10 \implies C = 6\). Somit ist \(G(x) = 0{,}5x^4 - x^2 + 6\). 4. Zur Begründung: Seien \(F\) und \(G\) Stammfunktionen von \(f\). Dann gilt \(F'(x) = f(x)\) und \(G'(x) = f(x)\). Die Ableitung der Differenzfunktion \(D(x) = G(x) - F(x)\) ist \(D'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0\). Da eine Funktion, deren Ableitung überall null ist, konstant sein muss, folgt \(G(x) - F(x) = C\).

a) \(f(x) = 2x^3 - 2x\) b) \(G(x) = 0{,}5x^4 - x^2 + 6\) c) Da die Ableitungen beider Funktionen identisch sind (\(F'(x) = G'(x) = f(x)\)), ist die Ableitung ihrer Differenz \(D(x) = G(x) - F(x)\) gleich null. Eine Funktion mit der Ableitung null ist eine konstante Funktion.

- Welche Regel musst du beim Integrieren einer verketteten Funktion wie \(e^{ax}\) beachten? - Denk daran, dass \(e^0 = 1\) gilt. - Was passiert mit der Integrationskonstante \(C\), wenn du die Bedingung für den Funktionswert anwendest? - Kannst du dein Ergebnis durch Ableiten der Stammfunktion überprüfen?

1. Bildung der allgemeinen Stammfunktion unter Anwendung der linearen Substitutionsregel für den Exponentialterm: \(F(x) = \int (4e^{2x} - 6x^2) \, dx = 2e^{2x} - 2x^3 + C\). 2. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 0\): \(F(0) = 2e^{2 \cdot 0} - 2 \cdot 0^3 + C = 2 \cdot 1 - 0 + C = 2 + C\). 3. Nutzen der Bedingung \(F(0) = 5\), um die Gleichung \(2 + C = 5\) aufzustellen. 4. Bestimmung der Integrationskonstante: \(C = 3\). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zur gesuchten Funktion: \(F(x) = 2e^{2x} - 2x^3 + 3\).

\(F(x) = 2e^{2x} - 2x^3 + 3\)

- Hilft es dir, den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten zu schreiben? - Achte beim Integrieren von \(x^n\) besonders auf die Vorzeichen im Nenner und im neuen Exponenten. - Welchen Wert muss die Stammfunktion an der Stelle \(a = 2\) laut Aufgabenstellung annehmen? - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in deine Stammfunktion ein und löse die Gleichung nach der verbleibenden Unbekannten auf.

1. Umschreiben der Funktion in die Potenzschreibweise: \(f(x) = 4x^{-3} + \frac{1}{2}\). 2. Bildung der allgemeinen Stammfunktion: \(F(x) = 4 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + \frac{1}{2}x + C = -2x^{-2} + \frac{1}{2}x + C = -\frac{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + C\). 3. Einsetzen der Bedingung \(F(2) = 0\) in die Stammfunktion: \(-\frac{2}{2^2} + \frac{1}{2} \cdot 2 + C = 0\). 4. Berechnung der Konstante \(C\): \(-0{,}5 + 1 + C = 0 \implies 0{,}5 + C = 0 \implies C = -0{,}5\). 5. Aufstellen der spezifischen Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{2}{x^2} + 0{,}5x - 0{,}5\).

\(F(x) = -\frac{2}{x^2} + 0{,}5x - 0{,}5\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Wurzel- und Exponentialfunktionen, um die Stammfunktion zu finden. - Was passiert mit der Konstante \( C \), wenn du den Funktionswert an einer bestimmten Stelle vorgibst? - Setze den gegebenen \( x \)-Wert in deine allgemeine Stammfunktion ein und löse die Gleichung nach der Konstante auf.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion: Unter Verwendung der Grundintegrale für \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) und \( e^x \) ergibt sich \( F(x) = \sqrt{x} + e^x + C \). 2. Nutzen der Anfangsbedingung: Einsetzen von \( x = 1 \) in den Ansatz liefert \( F(1) = \sqrt{1} + e^1 + C = 1 + e + C \). 3. Bestimmung von \( C \): Gleichsetzen mit dem gegebenen Wert ergibt \( 1 + e + C = e + 4 \). Durch Subtraktion von \( e \) und \( 1 \) erhält man \( C = 3 \). 4. Angabe der speziellen Stammfunktion: \( F(x) = \sqrt{x} + e^x + 3 \).

\( F(x) = \sqrt{x} + e^x + 3 \)

- Welche Funktion ergibt beim Ableiten \(\frac{1}{x}\)? Beachte dabei den Definitionsbereich. - Was muss man beim Logarithmus beachten, wenn das Argument negativ ist? - Was ist die mathematische Definition einer Stammfunktion? - In welcher Beziehung stehen der Funktionswert von \(f\) und die Steigung von \(F\)?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion für negative \(x\): Da \(x < 0\), ist \(|x| = -x\). Die allgemeine Stammfunktion lautet \(F(x) = \ln(-x) + C\). 2. Beispiele für drei Stammfunktionen durch Variation von \(C\): \(F_1(x) = \ln(-x)\) \(F_2(x) = \ln(-x) + 2\) \(F_3(x) = \ln(-x) - 1\) 3. Begründung der Steigung: Nach der Definition der Stammfunktion gilt \(F'(x) = f(x)\) für jede Stammfunktion \(F\). Da die Steigung einer Funktion an einer Stelle durch ihren Ableitungswert gegeben ist, ist die Steigung jeder Stammfunktion an der Stelle \(x = -2\) identisch mit dem Funktionswert \(f(-2)\). 4. Berechnung des Werts: \(f(-2) = \frac{1}{-2} = -0{,}5\).

a) Drei mögliche Stammfunktionen sind \(F_1(x) = \ln(-x)\), \(F_2(x) = \ln(-x) + 2\) und \(F_3(x) = \ln(-x) - 1\). b) Jede Stammfunktion \(F\) erfüllt per Definition \(F'(x) = f(x)\). Daher haben alle Stammfunktionen an der Stelle \(x = -2\) die Steigung \(f(-2) = -0{,}5\).

- Bestimme zunächst die Gleichung der Geraden im Diagramm. Achte dabei auf die Steigung und den Achsenabschnitt. - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen der Geschwindigkeit und dem zurückgelegten Weg? - Nutze den bekannten Wert für die Position zu einem bestimmten Zeitpunkt, um die Konstante in deiner Stammfunktion zu ermitteln.

1. Der Graph der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) ist eine Gerade mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) und der Steigung \(m = \frac{2 - 1}{2 - 0} = 0{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet \(v(t) = 0{,}5t + 1\). 2. Die Wegfunktion \(s(t)\) ist eine Stammfunktion von \(v(t)\): \(s(t) = \int (0{,}5t + 1) \,\mathrm{d}t = 0{,}25t^2 + t + C\). 3. Durch Einsetzen der Bedingung \(s(6) = 30\) lässt sich \(C\) bestimmen: \(s(6) = 0{,}25 \cdot 6^2 + 6 + C = 0{,}25 \cdot 36 + 6 + C = 9 + 6 + C = 15 + C\). 4. Aus \(15 + C = 30\) folgt \(C = 15\). 5. Die Funktionsgleichung der Wegfunktion lautet \(s(t) = 0{,}25t^2 + t + 15\).

\(s(t) = 0{,}25t^2 + t + 15\)

- Überlege dir zuerst, welche Form eine quadratische Funktion hat und wie du die Nullstellen aus dem Graphen ablesen kannst. - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit den Extremstellen ihrer Stammfunktion zusammen? - Erinnere dich an die Integrationsregeln für Potenzen von \(x\). - Was bedeutet die Angabe \(A \in G_F\) für die Berechnung der Integrationskonstante?

1. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(f\): Aus dem Graphen lassen sich die Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) sowie der Scheitelpunkt \(S(1 \mid 4)\) ablesen. Mit dem Ansatz \(f(x) = a \cdot (x + 1)(x - 3)\) und dem Punkt \((1 \mid 4)\) ergibt sich \(4 = a \cdot (1 + 1)(1 - 3) = -4a\), also \(a = -1\). Somit ist \(f(x) = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3\). 2. Bestimmung der Stammfunktion \(F\): Die allgemeine Stammfunktion lautet \(F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x + C\). 3. Bestimmung der Konstanten \(C\): Mit der Bedingung \(F(3) = 5\) folgt \(-\frac{1}{3} \cdot 3^3 + 3^2 + 3 \cdot 3 + C = 5 \Rightarrow -9 + 9 + 9 + C = 5 \Rightarrow C = -4\). Der gesuchte Funktionsterm ist \(F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x - 4\). 4. Beschreibung des Verlaufs: \(F\) hat Extremstellen dort, wo \(f\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Bei \(x = -1\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus, daher besitzt \(F\) dort ein lokales Minimum mit \(F(-1) = -\frac{17}{3} \approx -5{,}67\). Bei \(x = 3\) wechselt \(f\) von Plus nach Minus, daher besitzt \(F\) dort ein lokales Maximum mit \(F(3) = 5\). Somit steigt \(F\) im Intervall \([-1; 3]\) und fällt im Intervall \([3; 4]\).

a) \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\) b) \(F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x - 4\) c) \(F\) steigt auf \([-1; 3]\) vom lokalen Minimum \(\left(-1 \mid -\frac{17}{3}\right)\) bis zum lokalen Maximum \((3 \mid 5)\) und fällt anschließend auf \([3; 4]\).

- Welche Funktion ergibt beim Ableiten \(\frac{1}{x}\)? - Wie gehst du vor, um die Nullstellen der Ableitungsfunktion zu finden? - Nutze die Logarithmengesetze, um Ausdrücke wie \(2\ln(2)\) zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, dass die Integrationskonstante \(C\) den Graphen entlang der \(y\)-Achse verschiebt.

1. Stammfunktion bestimmen: Unter Beachtung von \(x > 0\) ergibt sich \(F(x) = \int (\frac{1}{2}x - \frac{2}{x}) \, dx = \frac{1}{4}x^2 - 2\ln(x) + C\). 2. Extremstellen finden: \(F'(x) = f(x) = 0 \implies \frac{1}{2}x = \frac{2}{x} \implies x^2 = 4\). Da \(x > 0\), ist \(x = 2\) die einzige relevante Stelle. 3. Art des Extremums verifizieren: \(F''(x) = f'(x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{x^2}\). Da \(f'(2) = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = 1 > 0\), liegt bei \(x = 2\) ein lokales Minimum vor. 4. Konstante \(C\) ermitteln: Die Bedingung \(F(2) = 5 - \ln(4)\) führt zu \(\frac{1}{4} \cdot 2^2 - 2\ln(2) + C = 5 - \ln(4)\). Da \(2\ln(2) = \ln(2^2) = \ln(4)\), vereinfacht sich dies zu \(1 - \ln(4) + C = 5 - \ln(4)\), woraus \(C = 4\) folgt. 5. Ergebnis formulieren: \(F(x) = \frac{1}{4}x^2 - 2\ln(x) + 4\).

\(F(x) = \frac{1}{4}x^2 - 2\ln(x) + 4\)

- Welche Funktion ergibt abgeleitet einen Ausdruck der Form \(\frac{1}{x+a}\)? - Denke bei der trigonometrischen Teilfunktion an die lineare Kettenregel (Substitution) beim Integrieren. - Nutze die Bedingung für den Funktionswert an der Stelle \(x=0\), um die Konstante \(C\) zu isolieren. - Achte darauf, ob du Logarithmusgesetze anwenden kannst, um den Term am Ende eventuell zusammenzufassen.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion \(F_C(x)\) unter Verwendung der Regel für die Integration von Brüchen mit linearer Funktion im Nenner und der Sinus-Stammfunktion mit linearer Substitution: \(\int \frac{2}{x+3} \, dx = 2 \ln(x+3)\) (da \(x+3 > 0\)) und \(\int -\cos(0{,}5x) \, dx = -\frac{1}{0{,}5} \sin(0{,}5x) = -2 \sin(0{,}5x)\). Es ergibt sich \(F_C(x) = 2 \ln(x+3) - 2 \sin(0{,}5x) + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(F(0) = 0\): \(2 \ln(0+3) - 2 \sin(0{,}5 \cdot 0) + C = 0\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(2 \ln(3) - 2 \cdot 0 + C = 0 \implies 2 \ln(3) + C = 0 \implies C = -2 \ln(3)\). 4. Angabe des Funktionsterms: \(F(x) = 2 \ln(x+3) - 2 \sin(0{,}5x) - 2 \ln(3)\).

\(F(x) = 2 \ln(x+3) - 2 \sin(0{,}5x) - 2 \ln(3)\) (oder auch \(F(x) = 2 \ln(\frac{x+3}{3}) - 2 \sin(0{,}5x)\))

- Erkennst du in den Summanden Bestandteile, die Ableitungen voneinander sind? - Achte besonders auf den Zusammenhang zwischen \(\sqrt{x}\) und \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\). - Überlege, wie das Minuszeichen vor dem zweiten Summanden mit der Ableitung der Kosinusfunktion zusammenhängen könnte. - Welche Produktfunktion \(u \cdot v\) könnte beim Ableiten genau diesen Term erzeugen?

1. Analyse der Struktur von \(f(x)\) im Hinblick auf die Produktregel \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) 2. Wahl der Basisfunktionen \(u(x) = \sqrt{x}\) und \(v(x) = \cos(x)\) 3. Berechnung der zugehörigen Ableitungen: \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(v'(x) = -\sin(x)\) 4. Einsetzen in die Produktregel: \(u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \cos(x) + \sqrt{x} \cdot (-\sin(x))\) 5. Feststellung der Übereinstimmung mit \(f(x)\) 6. Resultat: \(F(x) = \sqrt{x} \cdot \cos(x)\)

\(F(x) = \sqrt{x} \cdot \cos(x)\)

- Welche Eigenschaften muss eine Funktion auf einem Intervall besitzen, um dort als Stammfunktion zu gelten? Denke an Differenzierbarkeit. - Erinnere dich an den notwendigen Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit. - Untersuche das Verhalten der Funktion \(G\) an der Stelle \(x = 0\). Sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert identisch mit dem Funktionswert? - Genügt es für eine Stammfunktion auf \(\mathbb{R}\), wenn die Ableitungsbedingung nur fast überall erfüllt ist?

1. Überprüfung der Stetigkeit von \(G\) an der Nahtstelle \(x = 0\): Der Funktionswert ist \(G(0) = 0^2 + 0 + 2 = 2\). Der linksseitige Grenzwert berechnet sich zu \(\lim_{x \to 0^-} G(x) = \lim_{x \to 0^-} e^x = e^0 = 1\). 2. Feststellung der Unstetigkeit: Da der linksseitige Grenzwert (\(1\)) ungleich dem Funktionswert (\(2\)) ist, weist \(G\) an der Stelle \(x = 0\) eine Sprungstelle auf und ist somit dort nicht stetig. 3. Folgerung für die Stammfunktion: Eine Stammfunktion auf einem Intervall muss nach Definition dort differenzierbar sein. Da Differenzierbarkeit Stetigkeit voraussetzt, kann \(G\) an der Stelle \(x = 0\) nicht differenzierbar sein. 4. Ergebnis: Obwohl \(G'(x) = g(x)\) für alle \(x \neq 0\) gilt, ist \(G\) aufgrund der fehlenden Differenzierbarkeit an der Stelle \(x = 0\) keine Stammfunktion von \(g\) auf ganz \(\mathbb{R}\).

Nein, \(G\) ist keine Stammfunktion von \(g\) auf \(\mathbb{R}\), da \(G\) an der Stelle \(x = 0\) nicht stetig und folglich dort auch nicht differenzierbar ist.