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- Wie kannst du die Funktionsgleichung einer Geraden aus ihrem Graphen ablesen? Achte auf den y-Achsenabschnitt und die Steigung. - Sobald du die Gleichung der Ableitung \(f'(x)\) hast, wie findest du dann die allgemeine Stammfunktion \(f(x)\)? Denk an die Integrationskonstante \(C\). - Wie hilft dir der gegebene Punkt \(P(2 \mid 1)\), um den genauen Wert von \(C\) zu bestimmen?

1. Zuerst wird die Funktionsgleichung der Ableitung \(f'\) aus dem Graphen abgelesen. Da es sich um eine Gerade handelt, bestimmen wir den y-Achsenabschnitt \(n\) und die Steigung \(m\). Der y-Achsenabschnitt liegt bei \(n = 2\). Aus dem Punkt \((0 \mid 2)\) und der Nullstelle \((4 \mid 0)\) ergibt sich die Steigung: \(m = \frac{0 - 2}{4 - 0} = -0{,}5\) Somit lautet die Ableitungsfunktion: \(f'(x) = -0{,}5x + 2\) 2. Um die Ausgangsfunktion \(f\) zu bestimmen, bilden wir die Stammfunktion durch Integration: \(f(x) = \int (-0{,}5x + 2)\,\mathrm{d}x = -0{,}25x^2 + 2x + C\) 3. Die Integrationskonstante \(C\) wird mithilfe des Punktes \(P(2 \mid 1)\) ermittelt. Dazu setzen wir die Koordinaten in die Funktionsgleichung ein: \(f(2) = 1\) \(-0{,}25 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + C = 1\) \(-1 + 4 + C = 1\) \(3 + C = 1 \implies C = -2\) 4. Durch Einsetzen von \(C = -2\) erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}25x^2 + 2x - 2\)

\(f(x) = -0{,}25x^2 + 2x - 2\)

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Die Ableitung der Stammfunktion \(F\) ist genau die Funktion \(f\). - Wenn die Funktion \(f\) den Wert Null hat, welche Eigenschaft muss der Graph der Stammfunktion \(F\) an dieser Stelle haben? - Schau dir das Vorzeichen von \(f\) an: Wo \(f\) positiv ist, muss die Stammfunktion steigen. Wo \(f\) negativ ist, muss sie fallen.

Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(F'(x) = f(x)\). Wir analysieren die Eigenschaften von \(F\) anhand von \(f\): 1. Nullstellen von \(f\): Die Funktion \(f\) hat Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). An diesen Stellen muss die Stammfunktion \(F\) waagerechte Tangenten (Extremstellen) haben. Dies ist beim roten Graphen \(g\) und beim blauen Graphen \(h\) der Fall. 2. Vorzeichen von \(f\) und Monotonie von \(F\): Für \(x \in (-2; 2)\) verläuft der Graph von \(f\) unterhalb der x-Achse (\(f(x) < 0\)). Daher muss eine Stammfunktion \(F\) in diesem Intervall streng monoton fallend sein. 3. Auswahl des Graphen: Der rote Graph \(g\) fällt im Intervall \((-2; 2)\), während der blaue Graph \(h\) dort steigt. Der grüne Graph \(k\) ist eine Gerade und besitzt keine Extremstellen bei \(\pm 2\). 4. Ergebnis: Somit ist der rote Graph \(g\) die gesuchte Stammfunktion \(F\).

Der rote Graph \(g\) gehört zu einer Stammfunktion \(F\) von \(f\).

- Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie verändert sich die Steigung der ursprünglichen Funktion \(h\) an einem Hochpunkt bzw. an einem Tiefpunkt? - Beobachte den Graphen von \(h'\) an seinen Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse. Geht er von oben nach unten oder von unten nach oben?

1. Lokale Extremstellen der Funktion \(h\) befinden sich an den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(h'\), sofern dort ein Vorzeichenwechsel von \(h'\) stattfindet. 2. Dem Graphen entnimmt man die Nullstellen von \(h'\) bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 3. An der Stelle \(x_1 = -2\) wechselt \(h'\) das Vorzeichen von Plus nach Minus (der Graph kreuzt die \(x\)-Achse von oben nach unten). Ein Wechsel von einer positiven zu einer negativen Steigung bedeutet, dass \(h\) dort ein lokales Maximum hat. 4. An der Stelle \(x_2 = 2\) wechselt \(h'\) das Vorzeichen von Minus nach Plus (der Graph kreuzt die \(x\)-Achse von unten nach oben). Ein Wechsel von einer negativen zu einer positiven Steigung bedeutet, dass \(h\) dort ein lokales Minimum hat.

Die Funktion \(h\) hat bei \(x = -2\) ein lokales Maximum (Vorzeichenwechsel von \(h'\) von \(+\) nach \(-\)) und bei \(x = 2\) ein lokales Minimum (Vorzeichenwechsel von \(h'\) von \(-\) nach \(+\)).

- Wo die Ableitung den Wert Null hat, hat die Funktion eine waagerechte Tangente. - Ein positiver Wert von \(f'\) bedeutet, dass der Graph von \(f\) steigt. - Ein negativer Wert von \(f'\) bedeutet, dass der Graph von \(f\) fällt.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -2\) und \(x = 4\). Diese Stellen sind die Kandidaten für Extremstellen von \(f\). 2. Untersuchung der Vorzeichen von \(f'\): - Im Intervall \([-3; -2)\) ist \(f'(x) < 0\), daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. - Im Intervall \((-2; 4)\) ist \(f'(x) > 0\), daher ist \(f\) dort streng monoton steigend. - Im Intervall \((4; 5]\) ist \(f'(x) < 0\), daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. 3. Schlussfolgerung für die Skizze: \(f\) hat bei \(x = -2\) einen Tiefpunkt und bei \(x = 4\) einen Hochpunkt.

1. Der skizzierte Graph muss bei \(x = -2\) ein Minimum und bei \(x = 4\) ein Maximum aufweisen. 2. Die Funktion \(f\) ist im Intervall \([-3; -2]\) streng monoton fallend, im Intervall \([-2; 4]\) streng monoton steigend und im Intervall \([4; 5]\) wieder streng monoton fallend.

- Wo liegen die Hoch- und Tiefpunkte von Graph (2)? Schau dir den Wert von Graph (1) an diesen Stellen an. - Wenn eine Funktion positiv ist, muss ihre Stammfunktion steigen. Prüfe, ob dies für eine der Kombinationen zutrifft. - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen.

1. Kriterium für Extremstellen: Eine Stammfunktion \(F\) muss an den Stellen Extrempunkte haben, an denen die Funktion \(f\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. 2. Analyse von Graph (1): Dieser Graph hat Nullstellen bei \(x \approx 1{,}57\) (\(\frac{\pi}{2}\)) und \(x \approx 4{,}71\) (\(\frac{3\pi}{2}\)). 3. Analyse von Graph (2): An diesen Stellen \(x = \frac{\pi}{2}\) und \(x = \frac{3\pi}{2}\) besitzt Graph (2) ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum. 4. Vorzeichenbetrachtung: Da Graph (1) im Intervall \((0; \frac{\pi}{2})\) positiv ist, muss die zugehörige Stammfunktion dort steigen. Graph (2) steigt in diesem Intervall tatsächlich an. 5. Ergebnis: Graph (1) ist die Funktion \(f\) und Graph (2) ist die Stammfunktion \(F\).

Graph (1) stellt die Funktion \(f\) dar und Graph (2) die Stammfunktion \(F\). Die Nullstellen von (1) bei \(\frac{\pi}{2}\) und \(\frac{3\pi}{2}\) entsprechen den Extremstellen von (2). Da (1) zwischen \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\) positiv ist und (2) dort steigt, ist die Zuordnung konsistent.

- Überlege dir zuerst, welchen Funktionstyp die Stammfunktion einer linearen Funktion hat. - Die Nullstellen von \(f\) geben dir Hinweise auf die Extremstellen von \(F\). - Achte auf das Vorzeichen von \(f\): Wo \(f\) positiv ist, muss \(F\) steigen. - Nutze den gegebenen Punkt \(F(2) = 0\) als Startpunkt für deine Skizze.

1. Aus dem Graphen lässt sich \(f(x) = 0{,}5x - 1\) ablesen. 2. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x) = 0{,}25x^2 - x + C\). 3. Aus \(F(2) = 0\) folgt \(0{,}25 \cdot 2^2 - 2 + C = 0\), also \(C = 1\). 4. Damit ist \(F(x) = 0{,}25x^2 - x + 1\). Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((2 \mid 0)\), da \(f(2) = 0\) ist und \(f\) dort von Minus nach Plus wechselt.

Der Graph von \(F\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((2 \mid 0)\). Weitere Punkte sind zum Beispiel \((0 \mid 1)\) und \((4 \mid 1)\).

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Wie hängen Stammfunktion und Integral zusammen? - Du kannst den Wert direkt bestimmen, ohne die Funktionsgleichung aufzustellen, indem du geometrische Flächeninhalte berechnest. - Achte darauf, ob Flächen oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen.

1. Die Differenz \(F(4) - F(1)\) entspricht dem bestimmten Integral \(\int_{1}^{4} f(x) \,\mathrm{d}x\). 2. Zerlegung der Fläche in Teilflächen zwischen dem Graphen und der x-Achse: - Von \(x=1\) bis \(x=3\) liegt ein Dreieck oberhalb der x-Achse mit Grundseite \(g=2\) und Höhe \(h=2\). Inhalt: \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). - Von \(x=3\) bis \(x=4\) liegt ein Dreieck unterhalb der x-Achse mit Grundseite \(g=1\) und Höhe \(h=1\). Inhalt: \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\). 3. Berechnung der Flächenbilanz: Da die zweite Teilfläche unterhalb der x-Achse liegt, zählt sie negativ. 4. \(F(4) - F(1) = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\).

Der Wert der Differenz beträgt \(F(4) - F(1) = 1{,}5\).

- Erinnere dich daran, dass \(f\) die Ableitungsfunktion von \(F\) ist. - Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie hilft dir der Vorzeichenwechsel der Ableitung bei der Bestimmung der Art des Extremums?

1. Lokale Extremstellen einer Stammfunktion \(F\) liegen an den Nullstellen der Funktion \(f\), da \(F'(x) = f(x)\). 2. Ablesen der Nullstellen von \(f\): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 3. Klassifizierung der Extremstelle bei \(x_1 = 0\): Da \(f\) (die Ableitung von \(F\)) das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt, fällt \(F\) links von \(0\) und steigt rechts davon. Es liegt ein lokales Minimum vor. 4. Klassifizierung der Extremstelle bei \(x_2 = 4\): Da \(f\) das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt, steigt \(F\) links von \(4\) und fällt rechts davon. Es liegt ein lokales Maximum vor.

Die Stammfunktion \(F\) hat bei \(x = 0\) ein lokales Minimum und bei \(x = 4\) ein lokales Maximum. Die Begründung erfolgt über den Vorzeichenwechsel von \(f\) an diesen Stellen.

- Was weißt du über die Ableitungen einer Stammfunktion? - In welchem Zusammenhang stehen die Steigung von \(f\) und die Krümmung von \(F\)? - Suche im Graphen nach Punkten, an denen die Steigung von \(f\) null ist.

1. Eine Funktion \(F\) hat eine Wendestelle dort, wo ihre zweite Ableitung \(F''\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat. 2. Da \(F' = f\) gilt, ist \(F'' = f'\). Somit entsprechen die Wendestellen von \(F\) den Extremstellen von \(f\). 3. Ablesen der Extremstellen von \(f\): Das lokale Minimum liegt bei \(x \approx -2{,}3\), das lokale Maximum bei \(x \approx 2{,}3\). 4. An diesen Stellen hat der Graph der Stammfunktion \(F\) seine Wendestellen.

Die Stammfunktion \(F\) besitzt Wendestellen bei \(x \approx -2{,}3\) und \(x \approx 2{,}3\). Dies liegt daran, dass die Extremstellen von \(f\) den Nullstellen von \(f'\) (und somit \(F''\)) entsprechen, was die Bedingung für Wendestellen von \(F\) ist.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Nullstellen der Ableitung und den Extrempunkten einer Funktion? - Wie kannst du am Graphen der Ableitung erkennen, ob die Originalfunktion steigt oder fällt? - Achte darauf, in welche Richtung der Graph der Ableitungsfunktion die x-Achse schneidet.

1. Da \(F'(x) = g(x)\), liegen die Extremstellen von \(F\) an den Nullstellen von \(g\) mit Vorzeichenwechsel. 2. Ablesen der Nullstellen von \(g\) aus der Grafik: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 3\). 3. Untersuchung des Vorzeichenwechsels (VZW) von \(g\): - Bei \(x = -3\) wechselt \(g\) von negativ zu positiv. Dies entspricht einem VZW von \(-\) nach \(+\) bei \(F'\), also hat \(F\) dort ein lokales Minimum. - Bei \(x = 0\) wechselt \(g\) von positiv zu negativ. Dies entspricht einem VZW von \(+\) nach \(-\) bei \(F'\), also hat \(F\) dort ein lokales Maximum. - Bei \(x = 3\) wechselt \(g\) von negativ zu positiv. Dies entspricht einem VZW von \(-\) nach \(+\) bei \(F'\), also hat \(F\) dort ein lokales Minimum.

Lokale Minima bei \(x = -3\) und \(x = 3\); lokales Maximum bei \(x = 0\).

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\)? - Woran erkennt man im Graphen der Ableitungsfunktion die Extremstellen der ursprünglichen Funktion? - Achte besonders auf das Vorzeichen von \(f\) vor und hinter einer Nullstelle.

1. Eine Stammfunktion \(F\) besitzt lokale Extremstellen an den Stellen, an denen ihre Ableitung \(F'(x) = f(x)\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel aufweist. 2. Aus dem Graphen von \(f\) lassen sich die Nullstellen \(x = -1\) und \(x = 2\) ablesen. 3. An der Stelle \(x = -1\) wechselt der Graph von \(f\) von positiven zu negativen Werten (oberhalb nach unterhalb der \(x\)-Achse). Dies entspricht einem Vorzeichenwechsel der Ableitung von \(+\) nach \(-\), also liegt bei \(x = -1\) ein lokales Maximum von \(F\) vor. 4. An der Stelle \(x = 2\) wechselt der Graph von \(f\) von negativen zu positiven Werten. Dies entspricht einem Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\), also liegt bei \(x = 2\) ein lokales Minimum von \(F\) vor.

Lokales Maximum bei \(x = -1\), lokales Minimum bei \(x = 2\).

- Wie hängen die Fläche unter dem Graphen von \(f\) und die Änderung der Werte von \(F\) zusammen? - Überlege, ob die Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse im Intervall von \(0\) bis \(3\) positiv oder negativ gewertet wird. - Was bedeutet es für den Verlauf von \(F\), wenn \(f\) in einem Bereich nur positive Werte annimmt?

1. Es gilt \(F(3) = F(0) + \int_0^3 f(x) \,\mathrm{d}x\). 2. Im Intervall \([0; 3]\) gilt \(f(x) \geq 0\), und auf \([0; 3)\) ist \(f(x) > 0\). Daher ist das Integral \(\int_0^3 f(x) \,\mathrm{d}x\) positiv. 3. Mit \(F(0) = 1\) folgt \(F(3) = 1 + \int_0^3 f(x) \,\mathrm{d}x > 1\).

Der Wert \(F(3)\) ist größer als \(1\), da der Graph von \(f\) im Intervall \([0; 3]\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft und somit das Integral (die Flächenbilanz) positiv ist.

- Wie hängen die Krümmung einer Funktion \(F\) und das Steigungsverhalten ihrer Ableitung \(f\) zusammen? - In welchem Bereich des Graphen steigt die Kurve von links nach rechts an? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung von \(F\) und der ersten Ableitung von \(f\).

1. Eine Funktion \(F\) ist in einem Intervall linksgekrümmt, wenn ihre zweite Ableitung dort positiv ist: \(F''(x) > 0\). 2. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, folgt \(F''(x) = f'(x)\). Die Bedingung \(F''(x) > 0\) ist also gleichbedeutend mit \(f'(x) > 0\). 3. \(f'(x) > 0\) bedeutet grafisch, dass die Funktion \(f\) in diesem Intervall streng monoton steigt. 4. Dem Graphen entnimmt man, dass \(f\) im Intervall \((0; 2)\) streng monoton steigt (vom lokalen Minimum bei \(x=0\) zum lokalen Maximum bei \(x=2\)). 5. Daher ist jede Stammfunktion \(F\) im Intervall \((0; 2)\) linksgekrümmt.

Im Intervall \((0; 2)\) ist \(F\) linksgekrümmt, da die Funktion \(f\) dort streng monoton steigt und somit \(F''(x) = f'(x) > 0\) gilt.

- Welche Eigenschaft muss die Funktion \(f\) an einer Stelle haben, damit die Stammfunktion \(F\) dort ein Extremum besitzt? - Zähle die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse überquert. - Macht es für die Anzahl der Extremstellen einen Unterschied, ob der Graph die Achse von oben nach unten oder von unten nach oben schneidet?

1. Jede lokale Extremstelle einer Stammfunktion \(F\) entspricht einer Nullstelle der Ableitungsfunktion \(F'(x) = f(x)\) mit einem Vorzeichenwechsel. 2. Aus dem Graphen lassen sich die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse ablesen. Diese liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = -0{,}5\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2{,}5\). 3. An all diesen vier Stellen wechselt der Graph von \(f\) die Seite der \(x\)-Achse (von oberhalb nach unterhalb oder umgekehrt), was jeweils einen Vorzeichenwechsel bedeutet. 4. Da es genau vier solcher Nullstellen mit Vorzeichenwechsel gibt, besitzt jede Stammfunktion \(F\) genau vier lokale Extremstellen.

Jede Stammfunktion \(F\) besitzt 4 lokale Extremstellen, da die Funktion \(f\) im dargestellten Bereich 4 Nullstellen mit Vorzeichenwechsel aufweist.

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion im Hinblick auf das Integral? - Welche Werte musst du vom Graphen der Stammfunktion ablesen, um das bestimmte Integral zu berechnen? - Achte genau darauf, welchen der beiden Graphen du für die Bestimmung der Werte nutzen musst. - Überlege dir, was die untere und die obere Grenze des Integrals für die Berechnung bedeuten.

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen aus dem Integral: \(a = 0\) und \(b = 3\). 2. Ablesen der Funktionswerte der Stammfunktion \(F\) an diesen Stellen vom Graphen \(G_F\): \(F(3) = 4\) und \(F(0) = 1\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x = F(3) - F(0)\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(4 - 1 = 3\).

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- Wie hängen die Werte einer Stammfunktion mit dem Integral zusammen? - Betrachte die Funktionswerte von \(F\) an den Stellen \(-2\) und \(2\). - Was bedeutet es für das Integral, wenn die Stammfunktion an beiden Grenzen denselben Wert hat?

1. Integrationsgrenzen sind \(-2\) und \(2\). 2. Ablesen der Werte am Graphen \(G_F\): \(F(2) = 0\) und \(F(-2) = 0\). 3. Berechnung: \(F(2) - F(-2) = 0 - 0 = 0\).

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- Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion im Hinblick auf die Ableitung? - Wo liegen im Allgemeinen die Kandidaten für Extremstellen einer Funktion? - Wie erkennst du an der Ableitungsfunktion (hier der Graph von \(h\)), ob eine Extremstelle ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist? Schau dir den Vorzeichenwechsel an.

1. Da \(H\) eine Stammfunktion von \(h\) ist, gilt \(H'(x) = h(x)\). Lokale Extremstellen von \(H\) können also nur dort liegen, wo \(h(x) = 0\) gilt. 2. Aus dem Graphen lassen sich die Nullstellen von \(h\) bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\) ablesen. 3. Untersuchung von \(x_1 = 1\): Der Graph von \(h\) (und damit die Ableitung \(H'\)) wechselt an dieser Stelle das Vorzeichen von Plus nach Minus (VZW von \(+\) nach \(-\)). Daher besitzt \(H\) an der Stelle \(x = 1\) ein lokales Maximum. 4. Untersuchung von \(x_2 = 5\): Der Graph von \(h\) wechselt an dieser Stelle das Vorzeichen von Minus nach Plus (VZW von \(-\) nach \(+\)). Daher besitzt \(H\) an der Stelle \(x = 5\) ein lokales Minimum.

Die Funktion \(H\) besitzt zwei lokale Extremstellen: 1. Ein lokales Maximum bei \(x = 1\), da die Ableitungsfunktion \(h\) dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) hat. 2. Ein lokales Minimum bei \(x = 5\), da die Ableitungsfunktion \(h\) dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) hat.

- Überlege zuerst, ob der Wert von \(\ln(3)\) positiv oder negativ ist. - Was sagt der Funktionswert einer Funktion \(f\) über die Steigung ihrer Stammfunktion \(F\) aus? - Wenn eine Funktion einen konstanten Wert hat, welche Form muss dann ihre Stammfunktion haben? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Stammfunktion: \(F'(x) = f(x)\).

1. Bestimmung der Funktionseigenschaften von \(f\): Da \(3 > 1\) ist, gilt \(\ln(3) > 0\). Die Funktion \(f(x) = \ln(3) \approx 1{,}1\) ist also eine positive konstante Funktion. 2. Ableitung der Eigenschaften der Stammfunktion \(F\): Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, muss die Steigung von \(F\) an jeder Stelle gleich \(\ln(3)\) sein. 3. Geometrische Interpretation: Eine Funktion mit konstanter positiver Steigung ist eine Gerade, die von links unten nach rechts oben verläuft (positive Steigung). 4. Auswahl des Graphen: Graph a) zeigt eine Gerade mit positiver Steigung, Graph b) eine Gerade mit negativer Steigung, Graph c) eine Parabel und Graph d) eine Kurve, die einem Logarithmus ähnelt. Somit ist Graph a) die richtige Wahl.

Der Graph a) ist die richtige Lösung. Da \(f(x) = \ln(3)\) ein konstanter positiver Wert ist (\(\ln(3) \approx 1{,}1\)), muss die Stammfunktion \(F\) eine Gerade mit einer konstanten positiven Steigung sein. Nur Graph a) erfüllt diese Bedingung.

- Welchen Funktionstyp (Gerade, Parabel, etc.) erwartest du für die Stammfunktion einer linearen Funktion? - Was kannst du über die Steigung der Stammfunktion \(F\) an der Stelle aussagen, an der die ursprüngliche Funktion \(f\) den Wert Null annimmt? - Untersuche den Vorzeichenwechsel von \(f\) an der Nullstelle. Was verrät dir das über die Art des Extrempunkts (Hochpunkt oder Tiefpunkt) von \(F\)? - Vergleiche die Lage der Scheitelpunkte in den Abbildungen mit der berechneten Nullstelle der Funktion \(f\).

1. Berechnung der Nullstelle: Die Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}x - 1\) hat eine Nullstelle bei \(x = 2\). Da \(f\) die Ableitungsfunktion der Stammfunktion \(F\) ist (\(F' = f\)), muss \(F\) an der Stelle \(x = 2\) eine waagerechte Tangente und somit einen Extrempunkt besitzen. 2. Analyse der Monotonie: Für \(x < 2\) ist \(f(x) < 0\), was bedeutet, dass die Stammfunktion \(F\) in diesem Bereich fällt. Für \(x > 2\) ist \(f(x) > 0\), sodass \(F\) dort steigt. Dies impliziert, dass bei \(x = 2\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vorliegen muss. 3. Bestimmung des Funktionstyps: Die Stammfunktion einer linearen Funktion ist stets eine quadratische Funktion, deren Graph eine Parabel ist. 4. Auswahl des Graphen: Nur Graph a) zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Scheitelpunkt bei \(x = 2\).

Der richtige Graph ist a). Die Stammfunktion einer linearen Funktion ist eine Parabel. Da die Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}x - 1\) bei \(x = 2\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus aufweist, muss die Stammfunktion \(F\) an dieser Stelle ein lokales Minimum besitzen.

- Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\)? Überlege, welche Ableitung von \(F\) der Funktion \(f\) entspricht. - Wie hängen die Nullstellen und Vorzeichenwechsel einer Ableitungsfunktion mit den Extrempunkten der Originalfunktion zusammen? - Was bedeutet es für das Monotonieverhalten einer Funktion, wenn ihre Ableitung in einem bestimmten Bereich positiv oder negativ ist? - An welchen Stellen einer Ableitungsfunktion liegen die Wendestellen der Originalfunktion? Denke an die Steigung der Ableitung.

1. Zusammenhang zwischen der Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\): Es gilt \(F'(x) = f(x)\) und \(F''(x) = f'(x)\). 2. Untersuchung von Aussage a): Die Nullstellen von \(f\) liegen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Bei \(x = -2\) hat \(f\) einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus, was einem lokalen Minimum (Tiefpunkt) von \(F\) entspricht. Bei \(x = 2\) hat \(f\) einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus, was einem lokalen Maximum (Hochpunkt) von \(F\) entspricht. Aussage a) ist wahr. 3. Untersuchung von Aussage b): Im Intervall \([-2; 2]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb oder auf der \(x\)-Achse, es gilt also \(f(x) \ge 0\) und somit \(F'(x) \ge 0\). Daher ist \(F\) in diesem Intervall monoton steigend. Aussage b) ist falsch. 4. Untersuchung von Aussage c): Wendestellen von \(F\) entsprechen den Extremstellen von \(f\). Da \(f\) bei \(x = 0\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) hat, liegt dort eine Wendestelle von \(F\). Aussage c) ist wahr.

a) **Wahr**, da \(F'(x) = f(x)\) gilt und die Nullstellen von \(f\) mit entsprechendem Vorzeichenwechsel die Extremstellen von \(F\) angeben (Tiefpunkt bei \(x = -2\) durch Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\), Hochpunkt bei \(x = 2\) durch Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\)). b) **Falsch**, da \(f(x) \ge 0\) im Intervall \([-2; 2]\) gilt. Da \(F'(x) = f(x)\) ist, ist \(F\) in diesem Intervall monoton steigend. c) **Wahr**, da die Extremstellen von \(f\) den Wendestellen von \(F\) entsprechen. Da \(f\) bei \(x = 0\) einen Hochpunkt hat, liegt bei \(F\) an dieser Stelle eine Wendestelle vor.

- Überlege zuerst, in welcher mathematischen Beziehung die Stammfunktion \(F\) und die gegebene Ableitungsfunktion \(f\) zueinander stehen. - Welche Bedingungen müssen an die Ableitungsfunktion \(f\) erfüllt sein, damit die Stammfunktion \(F\) an einer Stelle eine Extremstelle besitzt? - Achte auf den Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von \(f\) an den Nullstellen, um zwischen einem lokalen Maximum und einem lokalen Minimum zu unterscheiden. - Welcher besondere Punkt auf dem Graphen der Ableitung \(f\) entspricht dem Wendepunkt der Stammfunktion \(F\)?

1. Zusammenhang zwischen \(F\) und \(f\): Die gegebene Funktion \(f\) ist die erste Ableitung der Stammfunktion \(F\), es gilt also \(F'(x) = f(x)\). Demnach ist die zweite Ableitung \(F''(x) = f'(x)\). 2. Bestimmung der Extremstellen (Teilaufgabe a): - Lokale Extremstellen von \(F\) liegen an den Nullstellen von \(F' = f\) mit Vorzeichenwechsel. - Bei \(x = -1\) wechselt der Graph von \(f\) von positiven zu negativen Werten (Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\)). Das bedeutet, dass \(F\) vor \(x = -1\) steigt und danach fällt. Somit hat \(F\) bei \(x = -1\) ein lokales Maximum. - Bei \(x = 3\) wechselt der Graph von \(f\) von negativen zu positiven Werten (Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\)). Das bedeutet, dass \(F\) vor \(x = 3\) fällt und danach steigt. Somit hat \(F\) bei \(x = 3\) ein lokales Minimum. 3. Bestimmung des Wendepunkts (Teilaufgabe b): - Ein Wendepunkt von \(F\) liegt an den Stellen vor, an denen die zweite Ableitung \(F'' = f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. Das entspricht genau den lokalen Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion \(f\). - Der Graph von \(f\) hat bei \(x = 1\) einen Tiefpunkt. Daher besitzt \(F\) bei \(x = 1\) einen Wendepunkt.

a) Lokales Maximum bei \(x = -1\) und lokales Minimum bei \(x = 3\). b) Wendepunkt bei \(x = 1\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\). Welche mathematische Beziehung gilt für die Ableitung von \(F\)? - Wenn \(F'(x) = f(x)\) gilt, was bedeuten dann die Nullstellen von \(f\) für den Graphen von \(F\)? - Achte auf das Vorzeichen von \(f\): Wann ist die Steigung der Stammfunktion positiv (steigend) und wann negativ (fallend)? - Überprüfe für jede der drei Kurven A, B und C, ob die Hoch- und Tiefpunkte zu den Nullstellen von \(f\) passen. - Nutze für den zweiten Aufgabenteil den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Wie berechnet man ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion?

1. **Verbindung zwischen Funktion und Stammfunktion**: Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt nach Definition \(F'(x) = f(x)\). Die Funktionswerte von \(f\) entsprechen also der Steigung von \(F\). 2. **Analyse des Graphen von \(f\)**: - Nullstellen von \(f\) liegen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Folglich muss \(F\) an diesen Stellen waagerechte Tangenten (Extremstellen) besitzen. - Für \(x < 0\) ist \(f(x) > 0\) (oberhalb der x-Achse), d. h. \(F\) muss in diesem Bereich streng monoton steigend sein. - Für \(0 < x < 2\) ist \(f(x) < 0\) (unterhalb der x-Achse), d. h. \(F\) muss streng monoton fallend sein. - Für \(x > 2\) ist \(f(x) > 0\), d. h. \(F\) muss wieder streng monoton steigend sein. - Daraus folgt: Bei \(x = 0\) hat \(F\) einen Hochpunkt (Vorzeichenwechsel der Steigung von plus nach minus) und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt (Vorzeichenwechsel von minus nach plus). 3. **Vergleich mit den Kurven**: - Kurve B (rot) hat ihre Extremstellen bei \(x = -1\) und \(x = 1\). Dies passt nicht zu den Nullstellen von \(f\). - Kurve C (grün) hat bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt und bei \(x = 2\) einen Hochpunkt. Das ist genau entgegengesetzt zum geforderten Verlauf. - Kurve A (blau) hat bei \(x = 0\) einen Hochpunkt und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt. Dies entspricht exakt allen Bedingungen. - **Ergebnis für a)**: Kurve A (blau) ist die gesuchte Stammfunktion \(F\). 4. **Berechnung des Integrals**: - Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt: \(\int_{0}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x = [F(x)]_{0}^{2} = F(2) - F(0)\) - Berechnen der Funktionswerte mit \(F(x) = 0{,}25x^3 - 0{,}75x^2 + 1\): - \(F(2) = 0{,}25 \cdot 2^3 - 0{,}75 \cdot 2^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0\) - \(F(0) = 0{,}25 \cdot 0^3 - 0{,}75 \cdot 0^2 + 1 = 1\) - Einsetzen liefert: \(F(2) - F(0) = 0 - 1 = -1\) - **Ergebnis für b)**: Der Wert des Integrals beträgt \(-1\).

a) **Kurve A** (blau) ist die Stammfunktion \(F\), da sie bei \(x = 0\) einen Hochpunkt und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt besitzt, was genau mit den Nullstellen und dem Vorzeichenwechsel von \(f\) übereinstimmt. b) Der Wert des bestimmten Integrals beträgt **\(-1\)**.

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\)? - Wie verhalten sich die Funktionswerte einer streng monoton steigenden Funktion auf einem Intervall? - Was passiert mit der Steigung der Funktion \(f\) an einer Stelle, an der die Ableitung \(f'\) die \(x\)-Achse schneidet und ihr Vorzeichen wechselt? - Wie hängen die Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit den Wendestellen der Originalfunktion \(f\) zusammen?

1. Untersuchung von Aussage a): Bei \(x = 0\) hat der Graph der Ableitungsfunktion \(G_{f'}\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus (da \(f'(x) < 0\) für \(x < 0\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > 0\)). Dies entspricht einem lokalen Tiefpunkt von \(G_f\). Die Aussage ist somit wahr. 2. Untersuchung von Aussage b): Im Intervall \([0; 4]\) gilt \(f'(x) \ge 0\). Daher ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton steigend (zunehmend), nicht fallend. Die Aussage ist somit falsch. 3. Untersuchung von Aussage c): Da \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in (0; 3]\) gilt, ist \(f\) auf \([0; 3]\) streng monoton steigend, was \(f(3) > f(0)\) bedeutet. Mit \(f(0) = 2\) folgt \(f(3) > 2\). Die Aussage ist somit wahr. 4. Untersuchung von Aussage d): Ein Wendepunkt von \(f\) liegt dort vor, wo die Ableitung \(f'\) eine lokale Extremstelle besitzt. Da \(G_{f'}\) bei \(x = 2\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) aufweist, hat \(G_f\) bei \(x = 2\) eine Wendestelle. Die Aussage ist somit wahr.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Wahr

- Überlege dir zuerst, welcher mathematische Zusammenhang zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\) besteht. - Erinnere dich daran, wie die Steigung des Graphen einer Funktion mit den Werten ihrer Ableitungsfunktion zusammenhängt. - Betrachte besondere Punkte der Graphen, wie zum Beispiel Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) oder Nullstellen. Was passiert mit der Steigung an einem Extrempunkt? - Untersuche das Monotonieverhalten (Steigen und Fallen) der Graphen. In welchen Bereichen steigt ein Graph, und welches Vorzeichen muss die zugehörige Ableitung dort haben?

1. Es gilt der Zusammenhang zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\): \(F'(x) = f(x)\). Die Steigung des Graphen von \(F\) an jeder Stelle \(x\) entspricht somit dem Funktionswert \(f(x)\). 2. Untersuchung markanter Punkte: Der Graph \(A\) besitzt bei \(x = -2\) einen lokalen Hochpunkt und bei \(x = 2\) einen lokalen Tiefpunkt. Da die Tangente an diesen Extrempunkten waagerecht ist, muss die Ableitung dort null sein: \(F'(-2) = 0\) und \(F'(2) = 0\). Der Graph \(B\) besitzt genau an diesen Stellen Nullstellen, das heißt \(B(-2) = 0\) und \(B(2) = 0\). 3. Untersuchung des Monotonieverhaltens: Für \(x \in (-2; 2)\) ist der Graph \(A\) streng monoton fallend. Daher muss die zugehörige Ableitungsfunktion in diesem Intervall negativ sein. Dies trifft auf den Graphen \(B\) zu, da dieser für \(-2 < x < 2\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. Für \(x < -2\) und \(x > 2\) steigt der Graph \(A\) streng monoton, und der Graph \(B\) ist dort positiv. 4. Ergebnis: Somit ist Graph \(A\) der Graph der Stammfunktion \(F\) und Graph \(B\) der Graph der Funktion \(f\).

Graph \(A\) gehört zur Stammfunktion \(F\) und Graph \(B\) gehört zur Funktion \(f\).

- Was sagt dir das Vorzeichen einer Funktion über das Monotonieverhalten ihrer Stammfunktion aus? - Welche Eigenschaft hat eine Stammfunktion an den Stellen, an denen die Ausgangsfunktion eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt? - Betrachte die Nullstellen von \(f\). Wo müssen demnach die Extrempunkte der Stammfunktion \(F\) liegen? Handelt es sich um Hoch- oder Tiefpunkte? - Betrachte die Nullstelle von \(g\). Welches Monotonieverhalten und welchen Extrempunkt muss die Stammfunktion \(G\) zeigen?

1. Zuordnung für die Funktion \(f\): Der Graph von \(f\) (blau) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). - Für \(x < 0\) und \(x > 2\) verläuft der Graph oberhalb der x-Achse (\(f(x) > 0\)), sodass eine Stammfunktion \(F\) in diesen Bereichen streng monoton steigen muss. - Für \(0 < x < 2\) verläuft der Graph unterhalb der x-Achse (\(f(x) < 0\)), sodass \(F\) dort streng monoton fallen muss. - Daraus folgt, dass die Stammfunktion bei \(x = 0\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) und bei \(x = 2\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt) besitzen muss. - Dies trifft exakt auf den roten Graphen \(A\) zu. (Der schwarze Graph \(D\) hat die entgegengesetzten Extremstellen und gehört zur Funktion \(-f\)). 2. Zuordnung für die Funktion \(g\): Der Graph von \(g\) (grün) ist eine fallende Gerade mit der Nullstelle bei \(x = 1\). - Für \(x < 1\) gilt \(g(x) > 0\), die Stammfunktion \(G\) muss also streng monoton steigen. - Für \(x > 1\) gilt \(g(x) < 0\), die Stammfunktion \(G\) muss also streng monoton fallen. - Daraus folgt, dass die Stammfunktion bei \(x = 1\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) besitzen muss. - Dies trifft exakt auf den orangefarbenen Graphen \(B\) zu. (Der violette Graph \(C\) hat bei \(x = 1\) einen Tiefpunkt und gehört zur Funktion \(-g\)).

Der Funktion \(f\) ist der rote Graph \(A\) zugeordnet. Der Funktion \(g\) ist der orangefarbene Graph \(B\) zugeordnet.

- Denke an den grundlegenden Zusammenhang zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\): Es gilt \(F'(x) = f(x)\). - Wie hängt das Monotonieverhalten von \(F\) mit dem Vorzeichen von \(f\) zusammen? - Welche Bedingung bezüglich des Vorzeichenwechsels der Ableitung muss für ein lokales Minimum oder Maximum erfüllt sein? - Wo liegen die Wendestellen einer Stammfunktion \(F\), wenn man den Graphen ihrer Ableitung \(f\) betrachtet? - Wie lässt sich die Differenz zweier Stammfunktionswerte \(F(b) - F(a)\) mithilfe eines bestimmten Integrals über \(f\) interpretieren?

1. Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(F'(x) = f(x)\). Die Eigenschaften von \(F\) lassen sich somit direkt aus dem Graphen von \(f\) ableiten. 2. Aussage (1) ist **wahr**: Im Intervall \([-2; 1]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb bzw. auf der \(x\)-Achse, es gilt also \(f(x) \geq 0\). Da die Ableitung \(F'(x) = f(x)\) in diesem Intervall fast überall positiv ist (und nur an den Randpunkten gleich Null ist), ist \(F\) im Intervall \([-2; 1]\) streng monoton steigend. 3. Aussage (2) ist **falsch**: Für ein lokales Minimum von \(F\) müsste die Ableitung \(F'(x) = f(x)\) bei \(x = 1\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von minus nach plus aufweisen. Da \(f(x)\) bei \(x = 1\) jedoch von plus nach minus wechselt, liegt bei \(x = 1\) ein lokales Maximum von \(F\) vor. 4. Aussage (3) ist **wahr**: Die Wendestellen von \(F\) entsprechen den lokalen Extremstellen von \(F' = f\). Da der Graph von \(f\) bei \(x \approx 2{,}1\) ein lokales Minimum besitzt, hat \(F\) dort eine Wendestelle. 5. Aussage (4) ist **falsch**: Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(F(3) - F(1) = \int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x\). Da der Graph von \(f\) im Intervall \([1; 3]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft (\(f(x) < 0\)), ist dieses Integral negativ. Daraus folgt \(F(3) - F(1) < 0\), also \(F(3) < F(1)\).

(1) **Wahr**, da \(f(x) \geq 0\) auf \([-2; 1]\) gilt. (2) **Falsch**, da \(f\) bei \(x = 1\) einen Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) hat (lokales Maximum). (3) **Wahr**, da \(f\) bei \(x \approx 2{,}1\) eine lokale Extremstelle hat. (4) **Falsch**, da \(f(x) < 0\) auf \([1; 3]\) gilt und somit \(F(3) < F(1)\) ist.

- Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit den Extremstellen ihrer Stammfunktion zusammen? - Welche Bedeutung hat das Vorzeichen einer Funktion für das Steigungsverhalten ihrer Stammfunktion? - Wenn eine Funktion in einem Bereich positiv ist, muss die Stammfunktion dort steigen oder fallen? - Vergleiche die Lage der Hoch- und Tiefpunkte in den Graphen I, II und III mit den Stellen, an denen der Graph von \(f\) die x-Achse schneidet.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f\): Aus dem Graphen \(G_f\) lässt sich ablesen, dass die Funktion \(f\) bei \(x = 1\) und \(x = 3\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, müssen die Extremstellen der Stammfunktion \(F\) bei den Nullstellen von \(f\) liegen. Somit muss \(F\) bei \(x = 1\) und \(x = 3\) lokale Extrema aufweisen. 2. Ausschluss von Graph II: Graph II besitzt lokale Extrema bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Da dies nicht mit den Nullstellen von \(f\) übereinstimmt, ist Graph II keine Stammfunktion von \(f\). 3. Untersuchung des Monotonieverhaltens für Graphen I und III: - Für \(x < 1\) verläuft der Graph \(G_f\) oberhalb der x-Achse (\(f(x) > 0\)). Daher muss die Stammfunktion \(F\) in diesem Intervall streng monoton steigend sein. - Graph I ist für \(x < 1\) streng monoton steigend (er besitzt bei \(x = 1\) einen Hochpunkt). - Graph III ist für \(x < 1\) streng monoton fallend (er besitzt bei \(x = 1\) einen Tiefpunkt). Dies widerspricht der Bedingung \(f(x) > 0\). 4. Ergebnis: Graph I stellt die korrekte Stammfunktion \(F\) dar.

a) Graph I stellt eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) dar. b) Graph II kommt nicht infrage, da seine lokalen Extrema bei \(x = 0\) und \(x = 2\) liegen, während die Nullstellen von \(f\) bei \(x = 1\) und \(x = 3\) liegen. Graph III kommt nicht infrage, da er für \(x < 1\) streng monoton fallend ist (Tiefpunkt bei \(x = 1\)), obwohl \(f(x) > 0\) in diesem Intervall gilt und die Stammfunktion daher dort streng monoton steigen müsste.

- Welche Beziehung besteht zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\)? Überlege, welche Rolle \(f\) für die Steigung von \(F\) spielt. - Wo befinden sich die Extremstellen einer Funktion? Wie kannst du diese mithilfe ihrer Ableitungsfunktion finden? - Wie bestimmt man die allgemeine Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion? Denke an die Umkehrung der Ableitungsregeln. - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt \(P(x_0 \mid y_0)\), um die Integrationskonstante \(C\) zu bestimmen? - Setze die gefundenen Extremstellen in deine Stammfunktion ein, um die zugehörigen Funktionswerte (die \(y\)-Koordinaten) zu berechnen.

1. **Teilaufgabe a):** Die lokalen Extremstellen einer Stammfunktion \(F\) liegen an den Nullstellen ihrer Ableitung \(F' = f\). Aus der Abbildung lässt sich ablesen, dass \(f\) bei \(x = -3\) und \(x = 3\) Nullstellen hat. An der Stelle \(x = -3\) wechselt das Vorzeichen von \(f\) von Minus nach Plus (der Graph verläuft von unterhalb nach oberhalb der \(x\)-Achse). Daher liegt bei \(x = -3\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt) von \(F\) vor. An der Stelle \(x = 3\) wechselt das Vorzeichen von \(f\) von Plus nach Minus (der Graph verläuft von oberhalb nach unterhalb der \(x\)-Achse). Daher liegt bei \(x = 3\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) von \(F\) vor. 2. **Teilaufgabe b):** Die allgemeine Stammfunktion von \(f(x) = -\frac{1}{6}x^2 + 1{,}5\) lautet: \(F(x) = -\frac{1}{18}x^3 + 1{,}5x + C\) Da der Graph von \(F\) durch den Punkt \(P(0 \mid 1)\) verläuft, muss gelten: \(F(0) = 1 \implies -\frac{1}{18} \cdot 0^3 + 1{,}5 \cdot 0 + C = 1 \implies C = 1\) Somit lautet der gesuchte Funktionsterm: \(F(x) = -\frac{1}{18}x^3 + 1{,}5x + 1\) 3. **Teilaufgabe c):** Um die Koordinaten des Tiefpunkts und des Hochpunkts von \(F\) zu berechnen, setzen wir die Extremstellen in den Funktionsterm ein: - Tiefpunkt bei \(x = -3\): \(F(-3) = -\frac{1}{18} \cdot (-3)^3 + 1{,}5 \cdot (-3) + 1 = 1{,}5 - 4{,}5 + 1 = -2\) Der Tiefpunkt ist somit \(T(-3 \mid -2)\). - Hochpunkt bei \(x = 3\): \(F(3) = -\frac{1}{18} \cdot 3^3 + 1{,}5 \cdot 3 + 1 = -1{,}5 + 4{,}5 + 1 = 4\) Der Hochpunkt ist somit \(H(3 \mid 4)\). Die berechneten Koordinaten stimmen mit den in Teilaufgabe a) bestimmten Extremstellen und Extremtypen überein.

a) \(F\) hat bei \(x = -3\) einen Tiefpunkt (Vorzeichenwechsel von \(f\) von Minus nach Plus) und bei \(x = 3\) einen Hochpunkt (Vorzeichenwechsel von \(f\) von Plus nach Minus). b) \(F(x) = -\frac{1}{18}x^3 + 1{,}5x + 1\) c) \(T(-3 \mid -2)\) und \(H(3 \mid 4)\). Dies bestätigt die Begründung aus a).

- Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den Extremstellen einer Funktion und den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion? - Wie spiegelt sich der Monotonieverlauf einer Funktion (steigend oder fallend) im Vorzeichen ihrer Ableitung wider? - Untersuche systematisch Paare von Graphen: Könnte ein Graph die Ableitung eines anderen Graphen sein? - Nutze markante Punkte wie Hoch-, Tief- und Nullstellen, um Vermutungen zu überprüfen.

1. **Zusammenhang zwischen \(f'\) und \(f\)**: An den lokalen Extremstellen einer Funktion besitzt ihre Ableitungsfunktion Nullstellen. - Graph B besitzt ein lokales Maximum bei \(x = -1\) und ein lokales Minimum bei \(x = 1\). - Graph A hat genau bei \(x = -1\) und \(x = 1\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. - Zudem ist Graph B in den Bereichen, in denen Graph A oberhalb der x-Achse verläuft (\(x < -1\) und \(x > 1\)), streng monoton steigend. Im Bereich \(-1 < x < 1\), in dem Graph A unterhalb der x-Achse verläuft, ist Graph B streng monoton fallend. - Daraus folgt: Graph A ist die Ableitung von Graph B. 2. **Zusammenhang zwischen \(f\) und \(F\)**: Ebenso müssen die Extremstellen der Stammfunktion \(F\) mit den Nullstellen der Funktion \(f\) übereinstimmen. - Graph B hat Nullstellen bei \(x \approx -1{,}73\), \(x = 0\) und \(x \approx 1{,}73\). - Graph C besitzt genau an diesen Stellen Extremstellen: lokale Minima bei \(x \approx \pm 1{,}73\) und ein lokales Maximum bei \(x = 0\). - Der Monotonieverlauf von Graph C passt perfekt zum Vorzeichen von Graph B (z. B. ist Graph C für \(-1{,}73 < x < 0\) streng monoton steigend, während Graph B in diesem Intervall positiv ist). - Daraus folgt: Graph B ist die Ableitung von Graph C. 3. **Ausschluss von Graph D**: - Graph D hat Extremstellen bei \(x = -1\) und \(x = 1\). Da Graph D für \(x < -1\) fällt, müsste seine Ableitung dort negativ sein. Graph A ist dort jedoch positiv, sodass Graph A nicht die Ableitung von Graph D sein kann. - Wäre Graph D die Funktion \(f\), müsste seine Stammfunktion im Intervall \((-1{,}73; 0)\) streng monoton fallend sein, da Graph D dort negativ ist. Graph C steigt in diesem Intervall jedoch streng monoton. Somit kann auch Graph C nicht die Stammfunktion von Graph D sein.

Die korrekte Zuordnung lautet: - Graph C gehört zur Stammfunktion \(F\). - Graph B gehört zur Funktion \(f\). - Graph A gehört zur Ableitungsfunktion \(f'\). Graph D ist der verbleibende Graph und gehört nicht zum Trio, da sein Monotonieverlauf und seine Extremstellen nicht zu den Nullstellen und Vorzeichen der anderen Graphen passen.

- Überlege dir zuerst, in welcher Beziehung die Stammfunktion \(F\) und die Funktion \(f\) zueinander stehen. Was bedeutet das für die Ableitung von \(F\)? - Welche Eigenschaft muss die Ableitung an einer Stelle haben, an der die Funktion einen lokalen Hochpunkt besitzt? Wie spiegelt sich das im Graphen der Ableitungsfunktion wider? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Wie hängen das bestimmte Integral einer Funktion und die Werte ihrer Stammfunktion an den Intervallgrenzen zusammen? - Wie lässt sich das bestimmte Integral geometrisch interpretieren? Zähle die Kästchen unter dem Graphen im angegebenen Intervall ab. Gibt es vielleicht Teilstücke, die sich gegenseitig ausgleichen, um das Abzählen zu erleichtern?

1. Beziehung zwischen \(F\) und \(f\): Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(F'(x) = f(x)\). Die lokalen Extrema von \(F\) liegen an den Nullstellen von \(f\). 2. Bestimmung des Hochpunkts: Ein lokaler Hochpunkt von \(F\) erfordert einen Vorzeichenwechsel der Ableitung \(F' = f\) von positiv zu negativ. Aus dem Graphen \(G_f\) ist ersichtlich, dass \(f(x)\) bei \(x = 1\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus hat. Somit liegt der lokale Hochpunkt an der Stelle \(x = 1\). 3. Bestimmung des Funktionswerts mittels Integral: Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_{-2}^{0} f(x) \,\mathrm{d}x = F_1(0) - F_1(-2)\). 4. Berechnung der Fläche: Das bestimmte Integral \(\int_{-2}^{0} f(x) \,\mathrm{d}x\) entspricht der Fläche unter dem Graphen \(G_f\) im Intervall \([-2; 0]\). Durch Ausgleichen der Flächenstücke oberhalb und unterhalb der Linie \(y = 2\) im Intervall \([-2; 0]\) entspricht diese Fläche genau der eines Rechtecks der Breite \(2\) und der Höhe \(2\), also \(4\). 5. Berechnung von \(F_1(-2)\): Einsetzen der Werte ergibt \(4 = 3 - F_1(-2) \implies F_1(-2) = -1\).

a) Stelle des Hochpunkts: \(x = 1\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, hat \(F\) dort einen Hochpunkt, wo \(f(x)\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus aufweist. Dies ist bei \(x = 1\) der Fall. b) Funktionswert: \(F_1(-2) = -1\). Das Integral \(\int_{-2}^{0} f(x) \,\mathrm{d}x = 4\) entspricht der Fläche unter dem Graphen von \(f\). Mit \(F_1(0) - F_1(-2) = 4\) und \(F_1(0) = 3\) folgt \(F_1(-2) = -1\).

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Funktionswerten von \(f\) und dem Monotonieverhalten ihrer Stammfunktion \(F\)? - Wie lauten die Regeln zur Bildung einer Stammfunktion (Aufleiten) bei einer ganzrationalen Funktion? - Welchen Wert hat das Integral oder die Stammfunktion an einem gegebenen Punkt, und wie kannst du diesen nutzen, um die Integrationskonstante zu berechnen? - Was sagt das Krümmungsverhalten einer Funktion über die Ableitungen dieser Funktion aus, und wie hängt dies mit Extremstellen der Ableitungsfunktion zusammen?

1. Monotonie bestimmen: Die Ableitung einer Stammfunktion \(F\) ist \(F' = f\). Aus dem Graphen ist ablesbar: \(f(x) \ge 0\) für \(x \in [-2; 2]\) und \(f(x) < 0\) für \(x \in (-\infty; -2)\) sowie \(x \in (2; \infty)\). Daher ist jede Stammfunktion \(F\) im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton steigend und in den Intervallen \((-\infty; -2]\) sowie \([2; \infty)\) streng monoton fallend. 2. Funktionsterm der Stammfunktion bestimmen: Die allgemeine Stammfunktion von \(f(x) = 4 - x^2\) lautet \(F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x + C\). Einsetzen des Punktes \(P(3 \mid 2)\) liefert \(F_1(3) = -\frac{1}{3} \cdot 3^3 + 4 \cdot 3 + C = 2 \implies -9 + 12 + C = 2 \implies C = -1\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(F_1(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x - 1\). 3. Wendestelle untersuchen: Für eine Wendestelle von \(F\) an der Stelle \(x = 0\) ist die Bedingung \(F''(0) = f'(0) = 0\) notwendig. Da \(f\) bei \(x = 0\) einen lokalen Hochpunkt besitzt, ist \(f'(0) = 0\). Da die Steigung von \(f\) (und somit die zweite Ableitung \(F''\)) bei \(x = 0\) ihr Vorzeichen von positiv zu negativ wechselt, liegt bei \(x = 0\) eine Wendestelle von \(F\) vor.

a) Jede Stammfunktion \(F\) ist streng monoton steigend für \(x \in [-2; 2]\) und streng monoton fallend für \(x \le -2\) sowie für \(x \ge 2\). b) Der Funktionsterm lautet \(F_1(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x - 1\). c) Ja, da \(f\) (die erste Ableitung von \(F\)) bei \(x = 0\) ein lokales Extremum (Hochpunkt) hat, besitzt \(F\) dort eine Wendestelle mit Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.

- Überlege dir, wie die Graphen einer Funktion, ihrer Ableitung und einer Stammfunktion zusammenhängen. Welche Eigenschaften (wie Nullstellen, Extremstellen, Monotonie) übertragen sich? - Achte auf die Nullstellen der Funktion \(f\). Was bedeutet eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(f\) für den Graphen der Stammfunktion \(F\)? - Wie hängen die Extremstellen einer Funktion mit den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion zusammen? - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen der Steigung einer Stammfunktion \(F\) an einer Stelle \(x\) und dem Funktionswert von \(f\) an dieser Stelle? - Wie bestimmt man den Grenzwert einer gebrochen-rationalen Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte, wenn man die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner vergleicht?

1. Zuordnung der Graphen: - Graph \(B\) (rot) gehört zu \(f\), da \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1{,}5\) und \(f(-1) = -1{,}5\). - Graph \(A\) (blau) gehört zur Stammfunktion \(F\). Da \(f(x) < 0\) für \(x < 0\) und \(f(x) > 0\) für \(x > 0\), muss \(F\) für \(x < 0\) streng monoton fallend und für \(x > 0\) streng monoton steigend sein, mit einem lokalen Minimum bei \(x = 0\). - Graph \(C\) (grün) gehört zur Ableitungsfunktion \(f'\). Da \(f\) bei \(x = \pm 1\) Extremstellen besitzt, hat die Ableitung \(f'\) an diesen Stellen Nullstellen. 2. Steigung der Stammfunktion: - Die Steigung von \(F\) an der Stelle \(x = 2\) entspricht dem Funktionswert von \(f\) an dieser Stelle: \(F'(2) = f(2)\). - Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(f(2) = \frac{3 \cdot 2}{2^2 + 1} = \frac{6}{5} = 1{,}2\). - Die exakte Steigung beträgt \(\frac{6}{5}\). 3. Verhalten im Unendlichen und Asymptote: - Für die Ableitungsfunktion gilt \(f'(x) = \frac{3 - 3x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3 - 3x^2}{x^4 + 2x^2 + 1}\). - Da der Grad des Nenners größer ist als der Grad des Zählers, gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = 0\). - Die waagerechte Asymptote des Graphen von \(f'\) hat somit die Gleichung \(y = 0\).

a) Graph \(A\) ist die Stammfunktion \(F\), Graph \(B\) ist die Funktion \(f\) und Graph \(C\) ist die Ableitungsfunktion \(f'\). b) Die exakte Steigung beträgt \(\frac{6}{5}\). c) Der Grenzwert ist \(\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = 0\); die waagerechte Asymptote lautet \(y = 0\).

- Welche mathematische Beziehung besteht zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\)? Überlege, welche Ableitung von \(F\) der Funktion \(f\) entspricht. - Wie hängen die Monotonie einer Funktion und das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung zusammen? Betrachte dazu den Verlauf des Graphen im gesuchten Intervall. - Woran erkennt man Extremstellen einer Funktion, wenn man den Graphen ihrer Ableitung vor sich hat? Achte besonders auf Nullstellen und deren Verhalten. - Wie hängen die Krümmung einer Funktion und das Steigungsverhalten ihrer ersten Ableitung zusammen? - Welche besonderen Punkte im Graphen der Ableitung entsprechen den Wendepunkten der ursprünglichen Funktion?

1. Identifikation der grundlegenden Beziehung zwischen \(f\) und \(F\): Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(F' = f\) und \(F'' = f'\). 2. Überprüfung von Aussage (1): Im Intervall \([-2; 2]\) verläuft der Graph von \(f\) unterhalb oder auf der x-Achse, es gilt also \(f(x) \le 0\) und somit \(F'(x) \le 0\). Da die Nullstellen isoliert sind, ist \(F\) in \([-2; 2]\) streng monoton fallend. Die Aussage ist wahr. 3. Überprüfung von Aussage (2): Ein lokales Maximum von \(F\) erfordert eine Nullstelle von \(F' = f\) mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Bei \(x = 2\) wechselt \(f\) das Vorzeichen jedoch von Minus nach Plus, weshalb dort ein lokales Minimum von \(F\) vorliegt. Die Aussage ist falsch. 4. Überprüfung von Aussage (3): Das Krümmungsverhalten von \(F\) wird durch die zweite Ableitung \(F'' = f'\) beschrieben. Da \(f\) im Intervall \([0; 3]\) streng monoton steigt, gilt dort \(f'(x) > 0\). Somit ist \(F''(x) > 0\), was einer Linkskrümmung entspricht. Die Aussage ist wahr. 5. Überprüfung von Aussage (4): Die Wendepunkte von \(F\) entsprechen den lokalen Extremstellen von \(f\). Da die quadratische Funktion \(f\) nur eine Extremstelle (den Scheitelpunkt bei \(x = 0\)) besitzt, hat \(F\) genau einen Wendepunkt. Die Aussage ist falsch.

(1) Wahr (2) Falsch (3) Wahr (4) Falsch

- Überlege dir zuerst, welcher Zusammenhang zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\) besteht. - Wie hängen die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f\) mit den Extrempunkten von \(F\) zusammen? - Nutze die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion, um den Funktionsterm von \(f\) aufzustellen. - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um einen Funktionswert einer Stammfunktion über ein Integral zu bestimmen.

1. Lokale Extremstellen von \(F\) bestimmen über die Beziehung \(F'(x) = f(x)\): - Nullstellen von \(f\) liegen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). - Bei \(x = 0\) Vorzeichenwechsel von \(f\) von \(+\) nach \(-\) \(\implies\) lokaler Hochpunkt (Maximum) von \(F\) bei \(x = 0\). - Bei \(x = 2\) Vorzeichenwechsel von \(f\) von \(-\) nach \(+\) \(\implies\) lokaler Tiefpunkt (Minimum) von \(F\) bei \(x = 2\). 2. Funktionsterm von \(f\) über die Scheitelpunktform aufstellen: - \(f(x) = a(x - 1)^2 - 1{,}5\) mit dem Scheitelpunkt \(S(1 \mid -1{,}5)\). - Einsetzen von \((0 \mid 0)\) liefert \(a \cdot (-1)^2 - 1{,}5 = 0 \implies a = 1{,}5\). - Ausmultiplizieren ergibt \(f(x) = 1{,}5x^2 - 3x\). 3. Funktionswert \(F(3)\) berechnen: - Stammfunktion bestimmen: \(F(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x^2 + C\). - Mit \(F(0) = 2\) folgt \(C = 2\), also \(F(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x^2 + 2\). - Einsetzen von \(x = 3\) liefert \(F(3) = 0{,}5 \cdot 27 - 1{,}5 \cdot 9 + 2 = 2\). - Alternativ über das bestimmte Integral: \(F(3) - F(0) = \int_{0}^{3} (1{,}5x^2 - 3x)\,\mathrm{d}x = \left[ 0{,}5x^3 - 1{,}5x^2 \right]_{0}^{3} = 0 \implies F(3) = F(0) = 2\).

a) Hochpunkt bei \(x = 0\), Tiefpunkt bei \(x = 2\). b) Funktionsterm: \(f(x) = 1{,}5x^2 - 3x\); Funktionswert: \(F(3) = 2\).

- Wie hängen das Steigungsverhalten einer Stammfunktion \(F\) und das Vorzeichen der zugehörigen Funktion \(f\) zusammen? - Wie lässt sich der Wert einer Stammfunktion \(F(x)\) an einer bestimmten Stelle mithilfe des Flächeninhalts unter dem Graphen von \(f\) bestimmen? - Achte beim Berechnen von Integralen über Flächeninhalte darauf, ob die Flächen oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen. - Welcher Zusammenhang besteht ganz allgemein zwischen der Ableitung einer Stammfunktion \(F'(x)\) und der ursprünglichen Funktion \(f(x)\)?

1. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) dort streng monoton steigend, wo \(f(x) > 0\), und dort streng monoton fallend, wo \(f(x) < 0\). Im Intervall \([-2; 6]\) gilt \(f(x) > 0\) für \(x \in (-2; 2)\) und \(x \in (5{,}5; 6]\), während \(f(x) < 0\) für \(x \in (2; 5{,}5)\) gilt. Damit kommen für das absolute Maximum insbesondere \(x = 2\) und der rechte Rand \(x = 6\) infrage. 2. Es ist \(F(2) = \int_{-2}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x = 2 + 2 = 4\). Aus den orientierten Flächen von \(x = 2\) bis \(x = 6\) ergibt sich insgesamt \(-2{,}5\), also \(F(6) = 4 - 2{,}5 = 1{,}5\). Daher liegt das absolute Maximum bei \(x = 2\) und hat den Wert \(F(2) = 4\). 3. Zur Berechnung von \(\int_{0}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x\) werden die orientierten Flächen addiert: - Dreieck über \([0; 2]\): \(+2\) - Dreieck unter \([2; 3]\): \(-\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = -0{,}5\) - Rechteck unter \([3; 5]\): \(-2 \cdot 1 = -2\) Damit gilt \(\int_{0}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x = 2 - 0{,}5 - 2 = -0{,}5\). 4. Es gilt \(F'(4) = f(4)\). Aus dem Graphen liest man \(f(4) = -1\) ab, also ist \(F'(4) = -1\).

a) Stelle des absoluten Maximums: \(x = 2\), Wert des Maximums: \(F(2) = 4\) b) \(\int_{0}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x = -0{,}5\) c) \(F'(4) = -1\)

- Welche besondere Eigenschaft hat jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? Überprüfe, ob der gegebene Graph diese Eigenschaft erfüllt. - Wie hängen die Monotonie einer Funktion und das Vorzeichen ihrer Ableitungsfunktion zusammen? - Welcher grafische Zusammenhang besteht zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion? Denke an die Steigung. - Wie kannst du ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion berechnen, wenn du die Funktionswerte an den Grenzen kennst?

1. Untersuchung von Aussage a: Eine Integralfunktion \(I_a(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) hat stets die Eigenschaft \(I_a(a) = 0\), besitzt also mindestens eine Nullstelle. Da der Graph der Stammfunktion \(F\) überall oberhalb der x-Achse verläuft (die lokalen Minima liegen bei \(( \pm 2 \mid 2 )\)), hat \(F\) keine Nullstellen. Somit ist Aussage a falsch. 2. Untersuchung von Aussage b: Die Funktion \(H(x) = F(x) - 2\) hat dieselbe Ableitung wie \(F\), also \(H'(x) = F'(x) = f(x)\), und ist somit eine Stammfunktion von \(f\). Wegen \(H(2) = F(2) - 2 = 2 - 2 = 0\) hat \(H\) eine Nullstelle bei \(x = 2\). Folglich ist \(H(x) = \int_2^x f(t)\,\mathrm{d}t\) eine Integralfunktion von \(f\). Aussage b ist wahr. 3. Untersuchung von Aussage c: Es gilt \(f(1) = F'(1)\). Da der Graph von \(F\) im Intervall \([0; 2]\) streng monoton fallend ist, ist die Steigung an der Stelle \(x = 1\) negativ, also \(f(1) < 0\). Aussage c ist falsch. 4. Untersuchung von Aussage d: Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = F(2) - F(0)\). Aus dem Graphen liest man \(F(2) = 2\) und \(F(0) = 4\) ab. Damit ergibt sich \(\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 2 - 4 = -2\). Aussage d ist wahr.

a) **Falsch**, da eine Integralfunktion mindestens eine Nullstelle haben muss, \(F\) aber keine besitzt (der minimale Wert ist \(2\)). b) **Wahr**, da \(H\) eine Stammfunktion von \(f\) ist und wegen \(H(2) = 0\) als Integralfunktion \(\int_{2}^{x} f(t)\,\text{d}t\) dargestellt werden kann. c) **Falsch**, da \(F\) auf \([0; 2]\) streng monoton fällt und somit \(f(1) = F'(1) < 0\) ist. d) **Wahr**, da \(\int_{0}^{2} f(x)\,\text{d}x = F(2) - F(0) = 2 - 4 = -2\) gilt.

- Überlege dir zuerst, in welcher Beziehung eine Stammfunktion \(F\) und die Funktion \(f\) zueinander stehen. Welche Funktion ist die Ableitung der anderen? - Wann hat eine Funktion ein lokales Minimum? Welche Bedingung muss für ihre Ableitung gelten? - Was gibt eine Integralfunktion \(I_a(x)\) anschaulich an? Wie hängen Flächen ober- und unterhalb der \(x\)-Achse damit zusammen? - Wie hängt das Monotonieverhalten einer Funktion mit dem Vorzeichen ihrer Ableitungsfunktion zusammen?

1. **Teilaufgabe a)**: Eine Stammfunktion \(F\) hat ein lokales Minimum an einer Stelle \(x\), wenn dort \(F'(x) = f(x) = 0\) gilt und \(F'\) (also \(f\)) an dieser Stelle das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt (Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\)). Aus dem Graphen von \(f\) lesen wir die Nullstellen von \(f\) mit diesem Vorzeichenwechsel ab. Dies ist an den Stellen \(x = -1\) und \(x = 3\) der Fall. Somit besitzt jede Stammfunktion \(F\) an den Stellen \(x = -1\) und \(x = 3\) ein lokales Minimum. 2. **Teilaufgabe b)**: Die Integralfunktion \(I_{-1}(x) = \int_{-1}^x f(t)\,\mathrm{d}t\) gibt die orientierte Flächenbilanz zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([-1; x]\) an. Für \(x = 3\) betrachten wir das Intervall \([-1; 3]\). Das Flächenstück \(A_1\) oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([-1; 1]\) ist aufgrund der Symmetrie des Graphen genauso groß wie das Flächenstück \(A_2\) unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([1; 3]\). Da \(A_2\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, geht es negativ in die Bilanz ein. Es gilt daher \(I_{-1}(3) = A_1 - A_2 = 0\). 3. **Teilaufgabe c)**: Das Monotonieverhalten einer Stammfunktion \(F\) ergibt sich aus dem Vorzeichen ihrer Ableitung \(F'(x) = f(x)\): - Im Intervall \([-1; 1]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f(x) \geq 0\). Daher ist \(F\) in diesem Intervall streng monoton steigend. - Im Intervall \([1; 3]\) verläuft der Graph von \(f\) unterhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f(x) \leq 0\). Daher ist \(F\) in diesem Intervall streng monoton fallend.

a) Lokale Minima bei \(x = -1\) und \(x = 3\), da dort \(f(x) = 0\) mit einem Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) vorliegt. b) \(I_{-1}(3) = 0\). Geometrisch heben sich die beiden gleich großen Flächenstücke oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([-1; 1]\) und unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([1; 3]\) gegenseitig auf. c) Im Intervall \([-1; 1]\) ist \(F\) streng monoton steigend (da \(f(x) \geq 0\)), und im Intervall \([1; 3]\) ist \(F\) streng monoton fallend (da \(f(x) \leq 0\)).

- Welche besondere Eigenschaft bezüglich der Nullstellen hat jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Monotonieverhalten einer Stammfunktion und dem Vorzeichen ihrer Ableitungsfunktion? - Wie kannst du den Funktionswert und die Steigung an einer Extremstelle direkt aus dem Graphen ablesen? - Wie lässt sich ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion berechnen? Achte dabei besonders auf Symmetrien im Graphen.

1. Analyse von Aussage a): Eine Integralfunktion \(I(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\) besitzt stets mindestens eine Nullstelle bei \(x = a\). Da \(G_F\) für alle \(x\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft (\(F(x) > 1\)), hat \(F\) keine Nullstelle. Somit ist Aussage a) falsch. 2. Analyse von Aussage b): Es gilt \(F'(x) = f(x)\). Da der Graph \(G_F\) im Intervall \([-2; -1]\) streng monoton steigt, ist die Steigung \(F'(x)\) und damit \(f(x)\) dort positiv. Aussage b) ist wahr. 3. Analyse von Aussage c): Aus dem Graphen liest man den Hochpunkt \((0 \mid 3)\) ab, also \(F(0) = 3\) und \(F'(0) = f(0) = 0\). Damit ist \(F(0) + f(0) = 3 + 0 = 3\). Die Ungleichung \(3 > 3\) ist falsch, also ist Aussage c) falsch. 4. Analyse von Aussage d): Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_{-2}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x = F(2) - F(-2)\). Aufgrund der Achsensymmetrie von \(G_F\) zur \(y\)-Achse gilt \(F(2) = F(-2)\), woraus \(F(2) - F(-2) = 0\) folgt. Aussage d) ist wahr.

a) Falsch b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Welche Beziehung besteht zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\)? Überlege, was die Ableitung von \(F\) ist. - Wie hängen die Vorzeichen der Ableitungsfunktion mit dem Steigungsverhalten und den Extremstellen einer Funktion zusammen? - Wie kannst du das bestimmte Integral geometrisch deuten? Zerlege die Fläche unter dem Graphen in einfache geometrische Figuren wie Dreiecke und Trapeze. - Achte beim Berechnen von Integralen darauf, ob Flächenstücke oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegen. - Was bedeutet die Definition der Integralfunktion \(I_a(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\) für den Startwert \(x = a\)?

1. **Teilaufgabe a)**: Eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) erfüllt die Bedingung \(F'(x) = f(x)\). Ein lokales Minimum im Inneren des Intervalls liegt an einer Stelle vor, an der die Ableitung \(F'\) (also die Funktion \(f\)) einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus aufweist. Aus dem Graphen von \(f\) ist ersichtlich, dass dies im Intervall \([-4; 5]\) nur an der Stelle \(x = 4\) der Fall ist (für \(x < 4\) gilt \(f(x) < 0\) und für \(x > 4\) gilt \(f(x) > 0\)). Somit ist die einzige lokale Minimalstelle von \(F\) im Inneren des Intervalls bei \(x = 4\). 2. **Teilaufgabe b)**: Das Integral \(\int_{-3}^{1} f(x) \,\mathrm{d}x\) entspricht der orientierten Fläche unter dem Graphen von \(x = -3\) bis \(x = 1\). Wir zerlegen diesen Bereich in drei Abschnitte: - Von \(x = -3\) bis \(x = -2\): Ein Trapez oberhalb der \(x\)-Achse mit den parallelen Seitenlängen \(f(-3) = 1\) und \(f(-2) = 2\) sowie der Breite \(1\). Die Fläche beträgt \(\frac{1 + 2}{2} \cdot 1 = 1{,}5\). - Von \(x = -2\) bis \(x = 0\): Ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(2\). Die Fläche beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). - Von \(x = 0\) bis \(x = 1\): Ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit der Grundseite \(1\) und der Höhe \(1\). Die orientierte Fläche beträgt \(-\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = -0{,}5\). Die Summe der orientierten Flächen ergibt: \(\int_{-3}^{1} f(x) \,\mathrm{d}x = 1{,}5 + 2 - 0{,}5 = 3\) 3. **Teilaufgabe c)**: Der Wert \(I_{-4}(5) = \int_{-4}^{5} f(t) \,\mathrm{d}t\) ergibt sich aus der Summe aller orientierten Flächen von \(x = -4\) bis \(x = 5\): - Fläche von \(-4\) bis \(0\): Ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit der Grundseite \(4\) und der Höhe \(2\), Fläche \(= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\). - Fläche von \(0\) bis \(4\): Ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit der Grundseite \(4\) und der Höhe \(2\), orientierte Fläche \(= -\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = -4\). - Fläche von \(4\) bis \(5\): Ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit der Grundseite \(1\) und der Höhe \(1\), Fläche \(= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\). Somit gilt: \(I_{-4}(5) = 4 - 4 + 0{,}5 = 0{,}5\). Für die Nullstellen von \(I_{-4}\) im Intervall \([-4; 5]\) gilt: - Bei der unteren Grenze ist stets \(I_{-4}(-4) = \int_{-4}^{-4} f(t) \,\mathrm{d}t = 0\). Also ist \(x = -4\) eine Nullstelle. - Da \(f(x) > 0\) für \(x \in (-4; 0)\), steigt \(I_{-4}(x)\) streng monoton, sodass \(I_{-4}(x) > 0\) für alle \(x \in (-4; 0]\). - Da \(f(x) < 0\) für \(x \in (0; 4)\), fällt \(I_{-4}(x)\) streng monoton von ihrem Maximum \(I_{-4}(0) = 4\) bis auf \(I_{-4}(4) = 4 - 4 = 0\). Somit ist \(x = 4\) eine weitere Nullstelle. - Für \(x \in (4; 5]\) gilt \(f(x) > 0\), sodass \(I_{-4}(x)\) wieder streng monoton ansteigt. Die Nullstellen im Intervall \([-4; 5]\) sind somit genau \(x = -4\) und \(x = 4\).

a) Die einzige lokale Minimalstelle von \(F\) im Inneren des Intervalls ist \(x = 4\). b) \(\int_{-3}^{1} f(x) \,\mathrm{d}x = 3\) c) \(I_{-4}(5) = 0{,}5\) Die Nullstellen von \(I_{-4}\) im Intervall \([-4; 5]\) liegen bei \(x = -4\) und \(x = 4\).

- Erinnere dich an den grundlegenden Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung: Welche Eigenschaften des Funktionsgraphen (wie Hochpunkte, Tiefpunkte oder Monotonie) spiegeln sich in den Nullstellen und dem Vorzeichen der Ableitung wider? - Betrachte die Extrempunkte der Graphen. Wenn ein Graph bei einem bestimmten \(x\)-Wert einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, welchen Wert muss die Ableitung an dieser Stelle haben? - Untersuche das Monotonieverhalten eines Graphen: In welchen Bereichen steigt oder fällt der Graph, und welches Vorzeichen muss die Ableitung in diesen Bereichen haben? - Versuche, Paare von Graphen zu finden, bei denen ein Graph die Ableitung des anderen sein könnte, und setze diese zu einer logischen Kette zusammen.

1. Zusammenhang zwischen den Funktionen: Es gilt \(F'(x) = f(x)\) und die Ableitung von \(f\) ist \(f'\). Der Graph einer Ableitungsfunktion beschreibt jeweils die Steigung des zugehörigen Ausgangsgraphen. 2. Beziehung zwischen Graph \(B\) und Graph \(C\): - Graph \(B\) hat einen lokalen Hochpunkt bei \(x = 0\). - Die zugehörige Ableitungsfunktion muss daher bei \(x = 0\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus besitzen. - Graph \(C\) hat bei \(x = 0\) eine Nullstelle und wechselt dort von positiven zu negativen Werten. Somit ist Graph \(C\) die Ableitung von Graph \(B\). 3. Beziehung zwischen Graph \(C\) und Graph \(A\): - Graph \(C\) hat einen lokalen Tiefpunkt bei \(x = 1\) und einen lokalen Hochpunkt bei \(x = 3\). - Die Ableitung von Graph \(C\) muss demnach bei \(x = 1\) und \(x = 3\) Nullstellen haben. - Graph \(A\) hat genau dort Nullstellen. Zudem steigt Graph \(C\) im Intervall \([1; 3]\), und Graph \(A\) ist dort positiv. Somit ist Graph \(A\) die Ableitung von Graph \(C\). 4. Aus der Ableitungskette \(B' = C\) und \(C' = A\) folgt: Graph \(B\) gehört zur Stammfunktion \(F\), Graph \(C\) zur Funktion \(f\) und Graph \(A\) zur Ableitungsfunktion \(f'\).

Der Graph B gehört zur Stammfunktion \(F\), der Graph C gehört zur Funktion \(f\) und der Graph A gehört zur Ableitungsfunktion \(f'\).

- Überlege zuerst, welche Art von Funktion im Graphen dargestellt ist und wie ihre Gleichung lautet. Nutze markante Punkte wie Nullstellen oder den Schnittpunkt mit der y-Achse. - Wie kommst du von einer Ableitungsfunktion zurück zur ursprünglichen Funktion? - Denke an die Integrationskonstante, die beim Aufleiten entsteht. - Wie kannst du die Koordinaten des gegebenen Punktes nutzen, um den noch unbekannten Teil der Funktionsgleichung zu berechnen?

1. Aus dem Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) lassen sich die Nullstellen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\) sowie der \(y\)-Achsenabschnitt bei \(4\) ablesen. Die Funktionsgleichung von \(f'\) lautet somit \(f'(x) = -(x - 2)(x + 2) = 4 - x^2\). 2. Die allgemeine Stammfunktion (Ausgangsfunktion) \(f\) wird durch Integration bestimmt: \(f(x) = \int (4 - x^2) \,\mathrm{d}x = 4x - \frac{1}{3}x^3 + C\). 3. Um die Integrationskonstante \(C\) zu bestimmen, wird der Punkt \(P(3 \mid 2)\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(f(3) = 4 \cdot 3 - \frac{1}{3} \cdot 3^3 + C = 12 - 9 + C = 3 + C\). 4. Da \(f(3) = 2\) gelten muss, ergibt sich \(3 + C = 2\), woraus \(C = -1\) folgt. 5. Die gesuchte Funktionsgleichung ist \(f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x - 1\).

\(f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x - 1\)

- Überlege dir, was der Wert der Ableitung an einer Stelle über die Steigung der ursprünglichen Funktion aussagt. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Nullstellen der Ableitung und den Extrempunkten der Funktion. - Wie hängen die Krümmung einer Funktion und die Steigung ihrer Ableitungsfunktion zusammen? - Ein Vorzeichenwechsel in der Ableitung ist ein wichtiger Hinweis auf die Art eines Extrempunkts.

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Aus dem Graphen lassen sich die Nullstellen bei \(x \approx -2{,}45\), \(x = 0\) und \(x \approx 2{,}45\) ablesen. - Bei \(x \approx -2{,}45\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt ein lokales Minimum vor. - Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt ein lokales Maximum vor. - Bei \(x \approx 2{,}45\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt ein lokales Minimum vor. 2. Die Funktion \(f\) ist streng monoton fallend, wenn \(f'(x) < 0\) gilt. Dies ist in den Intervallen \((-\infty; -2{,}45)\) und \((0; 2{,}45)\) der Fall. 3. Wendestellen von \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Der Graph von \(f'\) hat lokale Minima/Maxima bei \(x \approx -1{,}41\) und \(x \approx 1{,}41\). Dort besitzt \(f\) also Wendestellen.

1. Lokale Minima bei \(x \approx -2{,}45\) und \(x \approx 2{,}45\); lokales Maximum bei \(x = 0\). 2. Streng monoton fallend für \(x < -2{,}45\) und für \(0 < x < 2{,}45\). 3. Wendestellen bei \(x \approx -1{,}41\) und \(x \approx 1{,}41\), da \(f'\) dort lokale Extremstellen besitzt.

- Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Ableitung und der x-Achse gibt dir die Änderung des ursprünglichen Funktionswerts an. - Wo die Ableitung positiv ist, „geht es bergauf“; wo sie negativ ist, „geht es bergab“. - Schau dir den höchsten Punkt des gezeigten Graphen an – was bedeutet dieser Punkt für die ursprüngliche Funktion? - Überlege dir, wie du den Flächeninhalt einfacher geometrischer Formen wie Dreiecke berechnen kannst.

1. Die Funktion \(f\) steigt, solange \(f'(x) > 0\) ist, und fällt, wenn \(f'(x) < 0\) ist. Im Intervall \([0; 4]\) ist \(f'(x) \ge 0\), danach wird die Ableitung negativ. Das absolute Maximum liegt somit bei \(x = 4\). 2. Die Steigung von \(f\) entspricht dem Funktionswert von \(f'\). Das Maximum von \(f'\) liegt laut Graph bei \(x = 2\) mit dem Wert \(f'(2) = 2\). Die maximale Steigung ist also \(2\). 3. Die Änderung des Funktionswerts \(\Delta f = f(4) - f(0)\) entspricht dem orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen von \(f'\) im Intervall \([0; 4]\). Die Fläche besteht aus einem Dreieck von \(0\) bis \(2\) mit Fläche \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\) und einem Dreieck von \(2\) bis \(4\) mit Fläche \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). Somit ist \(f(4) - f(0) = 4\). Mit \(f(0) = 2\) folgt \(f(4) = 6\).

1. Das absolute Maximum liegt bei \(x = 4\). 2. Die Steigung ist bei \(x = 2\) am größten und beträgt dort \(2\). 3. \(f(4) = 6\).

- Wie hängt die Fläche zwischen dem Graphen der Ableitung und der \(x\)-Achse mit der Funktion \(f\) zusammen? - Bestimme die Fläche unter dem Graphen im Intervall von \(0\) bis \(2\). Welche geometrische Form erkennst du? - Wenn du die Änderung des Funktionswerts kennst, wie kommst du dann vom Startwert \(f(0)\) zum Zielwert \(f(2)\)?

1. Die Änderung des Funktionswerts einer Funktion \(f\) in einem Intervall \([0; 2]\) entspricht dem orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) in diesem Intervall: \(f(2) - f(0) = \int_0^2 f'(x) \,\mathrm{d}x\). 2. Der Graph von \(f'\) begrenzt zwischen \(x = 0\) und \(x = 2\) eine Trapezfläche mit der \(x\)-Achse. 3. Die parallelen Seiten des Trapezes haben die Längen \(f'(0) = 1\) und \(f'(2) = 2\). Die Breite auf der \(x\)-Achse beträgt \(2\). 4. Der Flächeninhalt des Trapezes berechnet sich zu \(A = \frac{1 + 2}{2} \cdot 2 = 3\). 5. Daraus folgt die Gleichung \(f(2) - f(0) = 3\). 6. Mit dem gegebenen Wert \(f(0) = 1\) ergibt sich: \(f(2) = 1 + 3 = 4\).

Der Funktionswert beträgt \(f(2) = 4\). Die Änderung des Funktionswerts im Intervall \([0; 2]\) entspricht der Trapezfläche unter dem Graphen von \(f'\), welche den Wert \(3\) hat. Mit dem Startwert \(f(0) = 1\) ergibt sich \(1 + 3 = 4\).

- Was passiert mit der Steigung der Funktion \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) zwar Null wird, aber ihr Vorzeichen nicht ändert? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einem Extrempunkt und einem Sattelpunkt. - Nutze die Information über das Vorzeichen von \(f'\), um zu entscheiden, ob der Graph steigt oder fällt.

1. Nullstellen von \(f'\): \(x = 0\) mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus und \(x = 3\) ohne Vorzeichenwechsel. 2. Analyse von \(f\): - Bei \(x = 0\) liegt ein lokales Minimum vor, da die Steigung von negativ zu positiv wechselt. - Bei \(x = 3\) gilt \(f'(3) = 0\), also besitzt der Graph von \(f\) dort eine waagerechte Tangente. Da \(f'\) kein Vorzeichen wechselt und \(f\) vor wie nach \(x = 3\) steigt, liegt ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt) vor. 3. Die Skizze muss ein Minimum bei \(x = 0\) und einen Terrassenpunkt mit waagerechter Tangente bei \(x = 3\) zeigen.

1. Die Skizze muss bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt zeigen und bei \(x = 3\) einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt). 2. Bei \(x = 3\) liegt ein Sattelpunkt vor. Da \(f'(3) = 0\) ist, hat der Graph dort eine waagerechte Tangente, aber da die Ableitung kein Vorzeichen wechselt, liegt kein Extrempunkt vor.

- Wenn du einen speziellen Punkt wie \((0 \mid 0)\) gegeben hast, muss deine Kurve genau dort durchlaufen. - Überlege dir, ob die Funktion in einem bestimmten Bereich nur steigt oder nur fällt, um den größten Wert zu finden. - Ein Berührpunkt auf der x-Achse in der Ableitung deutet oft auf eine besondere Stelle im Originalgraphen hin, die kein Extremum ist.

1. Analyse der Nullstellen von \(f'\): \(x = -2\) ist eine Berührstelle ohne Vorzeichenwechsel; bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus. 2. Charakteristika von \(f\): - \(f\) steigt für \(x < 0\), da \(f'(x) \geq 0\). - Bei \(x = -2\) liegt ein Sattelpunkt vor. - Bei \(x = 0\) liegt ein lokales Maximum vor. 3. Da \(f\) bis \(x = 0\) streng monoton steigt, abgesehen von der waagerechten Tangente bei \(x = -2\), und danach fällt, wird das Maximum im Intervall \([-3; 1]\) bei \(x = 0\) erreicht. 4. Die Skizze muss durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) verlaufen und dort einen Hochpunkt besitzen.

1. Der Graph verläuft durch \((0 \mid 0)\) und hat dort einen Hochpunkt. Bei \(x = -2\) weist er einen Sattelpunkt auf. 2. Den größten Wert im Intervall \([-3; 1]\) nimmt die Funktion an der Stelle \(x = 0\) an.

- Jedes Mal, wenn der Graph der Ableitung die x-Achse kreuzt, ändert sich die Richtung der Steigung der Originalfunktion. - Erstelle eine kleine Tabelle mit den Vorzeichen von \(f'\), um den Überblick über das Steigungsverhalten zu behalten. - Achte darauf, dass deine Extrempunkte in der Skizze genau an den x-Werten der Nullstellen der Ableitung liegen.

1. Nullstellen von \(f'\) ablesen: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 2\). Dies sind die Stellen mit waagerechter Tangente für \(f\). 2. Untersuchung der Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von \(f'\): - Bei \(x = -3\): Wechsel von negativ zu positiv \(\Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt. - Bei \(x = -1\): Wechsel von positiv zu negativ \(\Rightarrow\) lokaler Hochpunkt. - Bei \(x = 2\): Wechsel von negativ zu positiv \(\Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt. 3. Sattelpunkte treten hier nicht auf, da an jeder Nullstelle ein Vorzeichenwechsel stattfindet. 4. Skizze: Eine W-förmige Kurve mit Tiefpunkten bei \(-3\) und \(2\) sowie einem Hochpunkt bei \(-1\).

1. Die Skizze zeigt eine Funktion mit Tiefpunkten bei \(x = -3\) und \(x = 2\) und einem Hochpunkt bei \(x = -1\). 2. Es liegen lokale Extrempunkte bei \(x = -3\) (Tiefpunkt), \(x = -1\) (Hochpunkt) und \(x = 2\) (Tiefpunkt) vor, da \(f'\) an diesen Stellen jeweils das Vorzeichen wechselt. Sattelpunkte gibt es keine.

- Welche Eigenschaft hat die Ableitung an einer Wendestelle der Originalfunktion? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Integral einer Ableitung und der Änderung des Funktionswertes. - Kannst du die Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse als einfache geometrische Form erkennen? - Überlege dir, wie die Krümmung der Funktion mit dem Steigungsverhalten der Ableitung zusammenhängt.

1. Wendepunktstelle bestimmen: Wendepunkte der Funktion \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Im Intervall \([0; 6]\) besitzt der Graph von \(f'\) bei \(x = 2\) ein lokales Maximum. Daher hat \(f\) an der Stelle \(x = 2\) einen Wendepunkt. 2. Funktionswert \(f(4)\) berechnen: Der Zuwachs der Funktion \(f\) in einem Intervall entspricht dem orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\). Im Intervall \([0; 4]\) bildet der Graph von \(f'\) mit der \(x\)-Achse ein Dreieck mit der Grundseite \(g = 4\) und der Höhe \(h = 2\). 3. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\). 4. Ergebnis für \(f(4)\): Da \(f(0) = 0\) ist, gilt \(f(4) = f(0) + A = 0 + 4 = 4\). 5. Krümmungsverhalten analysieren: Da \(f'\) im Intervall \([0; 2]\) steigt, ist \(f\) dort linksgekrümmt. Da \(f'\) im Intervall \([2; 6]\) fällt, ist \(f\) dort rechtsgekrümmt.

a) Der Wendepunkt liegt bei \(x = 2\), da \(f'\) dort ein lokales Maximum hat. b) Der Funktionswert beträgt \(f(4) = 4\). c) Der Graph von \(f\) steigt von \((0 \mid 0)\) über den Wendepunkt \((2 \mid 2)\) bis zum Hochpunkt \((4 \mid 4)\) an und fällt danach rechtsgekrümmt wieder ab.

- Denke an den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung: Es gilt \(F'(x) = f(x)\). - Wie hängen die Nullstellen von \(f\) mit den Extremstellen von \(F\) zusammen? - Was sagt das Vorzeichen von \(f\) über das Monotonieverhalten von \(F\) aus? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Funktionswerte von \(F\) zu vergleichen.

1. Wahr. Da \(f(x) \geq 0\) für \(x \in [-3; -1]\) gilt, ist die erste Ableitung der Stammfunktion \(F'(x) = f(x)\) in diesem Intervall nicht negativ. Somit ist \(F\) dort streng monoton steigend (da \(f\) nur an den Rändern Nullstellen hat). 2. Falsch. Bei \(x \approx 0{,}8\) hat \(f\) einen Tiefpunkt. Für eine Extremstelle von \(F\) müsste jedoch \(F'(x) = f(x) = 0\) gelten. Da \(f(0{,}8) \neq 0\), liegt dort keine Extremstelle von \(F\), sondern ein Wendepunkt. 3. Wahr. Bei \(x = -3\) hat \(f\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Da \(F'(x) = f(x)\) ist, wechselt die Steigung von \(F\) von negativ zu positiv, was einem lokalen Minimum entspricht. 4. Falsch. Die Differenz \(F(2) - F(-1)\) entspricht dem orientierten Flächeninhalt unter \(f\) von \(-1\) bis \(2\). Da der Graph von \(f\) in diesem Intervall unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist das Integral negativ, also \(F(2) - F(-1) < 0\). Daraus folgt \(F(2) < F(-1)\).

(1) Wahr, da \(f(x) \geq 0\) in \([-3; -1]\). (2) Falsch, da \(f(0{,}8) \neq 0\). (3) Wahr, da \(f\) bei \(x = -3\) einen Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) hat. (4) Falsch, da das Integral von \(-1\) bis \(2\) negativ ist, gilt \(F(2) < F(-1)\).

- Nutze die Beziehung \(F'(x) = f(x)\), um Informationen über die Steigung von \(F\) zu erhalten. - Überlege dir, wie man die Krümmung einer Funktion anhand ihrer zweiten Ableitung (hier also der ersten Ableitung von \(f\)) bestimmt. - Wo findet man die Steigung einer Stammfunktion im Graphen der ursprünglichen Funktion wieder? - Achte auf Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von \(f\).

1. Wahr. Im Intervall \([1; 4]\) gilt \(f(x) > 0\). Da \(F'(x) = f(x)\), ist \(F\) dort streng monoton steigend. 2. Wahr. Bei \(x = 5\) hat \(f\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Daher besitzt \(F\) dort ein lokales Maximum. 3. Falsch. Auf dem offenen Intervall \((0; 2)\) steigt \(f\) streng, also gilt dort \(F''(x) = f'(x) > 0\). Somit ist \(F\) dort linksgekrümmt. An der Ecke bei \(x = 2\) ist \(f'\) nicht definiert. 4. Wahr. Die Tangentensteigung von \(F\) bei \(x = 3\) ist \(F'(3) = f(3) = 2\).

(1) Wahr, da \(f(x) > 0\) in \([1; 4]\). (2) Wahr, da \(f\) bei \(x = 5\) einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus hat. (3) Falsch, da \(f\) auf \((0; 2)\) steigt und \(F\) dort linksgekrümmt ist. (4) Wahr, da \(F'(3) = f(3) = 2\).

- Vergleiche den Wert eines Graphen an einer Stelle (z. B. bei \(x=0\)) mit der Steigung des anderen Graphen an derselben Stelle. - Sind beide Graphen immer positiv? Was bedeutet das für das Monotonieverhalten der Stammfunktion? - Einer der Graphen liegt immer oberhalb des anderen. Wie wirkt sich ein konstanter Faktor beim Ableiten aus?

1. Fundamentalzusammenhang: Es gilt \(F'(x) = f(x)\). Das bedeutet, der Funktionswert von \(f\) an einer Stelle \(x\) muss der Steigung von \(F\) an dieser Stelle entsprechen. 2. Vergleich bei \(x = 0\): Graph (1) hat bei \(x = 0\) den Wert \(1\). Die Steigung von Graph (1) scheint dort positiv zu sein (ca. \(0{,}5\)). Graph (2) hat bei \(x = 0\) den Wert \(0{,}5\). 3. Überprüfung der Steigung: Wenn (1) die Stammfunktion \(F\) ist, müsste ihre Steigung bei \(x = 0\) gleich dem Wert von (2) sein, also \(0{,}5\). Dies passt optisch sehr gut zusammen. 4. Umgekehrte Prüfung: Wäre (2) die Stammfunktion \(F\), müsste ihre Steigung bei \(x = 0\) gleich dem Wert von (1) sein, also \(1\). Graph (2) verläuft jedoch flacher als Graph (1), seine Steigung ist also kleiner als \(1\). 5. Ergebnis: Graph (1) ist die Stammfunktion \(F\) und Graph (2) ist die Funktion \(f\). Tatsächlich handelt es sich um \(F(x) = e^{0{,}5x}\) und \(f(x) = 0{,}5 e^{0{,}5x}\).

Graph (1) ist die Stammfunktion \(F\) und Graph (2) die Funktion \(f\). Man erkennt dies daran, dass der Funktionswert von (2) an jeder Stelle der Steigung von (1) entspricht. Beispielsweise ist der Wert von (2) bei \(x = 0\) genau \(0{,}5\), was der Steigung von (1) an dieser Stelle entspricht.

- Wenn eine Funktion immer positiv ist, wie muss sich dann der Graph ihrer Stammfunktion verhalten? - Betrachte das Ende der Graphen rechts: Ein Graph nähert sich der \(x\)-Achse an. Was sagt das über die Steigung des anderen Graphen aus? - Überprüfe den Zusammenhang an einer speziellen Stelle, zum Beispiel bei \(x = 0\).

1. Graph (1) ist im gesamten dargestellten Definitionsbereich positiv und fällt gegen \(0\). 2. Wäre Graph (1) die Funktion \(f\), dann müsste eine zugehörige Stammfunktion \(F\) wegen \(F'(x) = f(x) > 0\) streng monoton steigen. Genau dieses Verhalten zeigt Graph (2). 3. Da die Werte von Graph (1) für \(x \to \infty\) gegen \(0\) gehen, nähert sich die Steigung von Graph (2) dem Wert \(0\). Graph (2) muss daher für große \(x\) immer flacher werden, was ebenfalls zur Abbildung passt. 4. Somit stellt Graph (1) die Funktion \(f\) und Graph (2) eine Stammfunktion \(F\) dar.

Graph (1) ist die Funktion \(f\) und Graph (2) ist die Stammfunktion \(F\). Da Graph (1) überall positiv ist, muss die Stammfunktion \(F\) streng monoton steigen, was auf Graph (2) zutrifft. Zudem wird Graph (2) für große \(x\) immer flacher, was dazu passt, dass die Werte von Graph (1) (die Steigung von \(F\)) gegen Null gehen.

- Überlege dir den Zusammenhang zwischen den Funktionswerten von \(f\) und der Steigung von \(F\). - Wo muss eine Funktion ihre Nullstellen haben, damit ihre Stammfunktion eine waagerechte Tangente besitzt? - Achte auf den Vorzeichenwechsel der Funktionswerte im Graphen. Was bedeutet ein Wechsel von „unter der Achse“ nach „über der Achse“ für die Stammfunktion? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Funktionswerte einer Stammfunktion mit Flächeninhalten zu verknüpfen.

1. Die Extremstellen von \(F\) liegen an den Nullstellen von \(f\) mit Vorzeichenwechsel. Aus dem Graphen liest man \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\) ab. 2. Bei \(x = -2\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus, daher besitzt \(F\) dort einen Tiefpunkt. Bei \(x = 2\) wechselt \(f\) von Plus nach Minus, daher besitzt \(F\) dort einen Hochpunkt. 3. Da \(f(x) > 0\) für \(-2 < x < 2\) gilt, ist \(F\) auf dem gesamten Intervall \([-2; 2]\) streng monoton steigend. 4. Es gilt \(F(2) = F(-2) + \int_{-2}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x\). Wegen \(F(-2) = 0\) entspricht \(F(2)\) dem Flächeninhalt unter dem Graphen von \(f\) zwischen \(x = -2\) und \(x = 2\). Durch Kästchenzählen ergibt sich etwa \(2{,}7\); exakt beträgt der Wert \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\).

a) Tiefpunkt bei \(x = -2\); Hochpunkt bei \(x = 2\). b) \(F\) ist auf \([-2; 2]\) streng monoton steigend. c) \(F(2) \approx 2{,}7\).

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Extremstellen einer Ableitungsfunktion und den Wendepunkten der Originalfunktion? - Wie berechnet man die Steigung einer Tangente an einen Funktionsgraphen, wenn man die Ableitung kennt? - Schau dir an, wo der Graph von \(g\) die x-Achse schneidet. Was bedeutet das für die Steigung von \(G\)? - Wie ändert sich die Steigung von \(G\), wenn die Werte von \(g\) von positiv nach negativ wechseln?

1. Wendepunkte von \(G\): Diese liegen an den Extremstellen der Ableitungsfunktion \(g\). Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass \(g\) lokale Extrema bei \(x \approx -1{,}15\) und \(x \approx 1{,}15\) besitzt. Dort liegen die Wendepunkte von \(G\). 2. Tangentengleichung: Die Tangente hat die Form \(t(x) = G'(0)x + G(0)\). Da \(G'(0) = g(0) = 0\) und \(G(0) = 1\) gegeben ist, lautet die Gleichung \(t(x) = 0 \cdot x + 1\), also \(y = 1\). 3. Skizze: \(G\) hat bei \(x = 0\) ein lokales Maximum (da \(g\) dort von \(+\) nach \(-\) wechselt) mit dem Wert \(1\). Bei \(x = -2\) und \(x = 2\) hat \(G\) lokale Minima (Nullstellen von \(g\) mit Vorzeichenwechsel). Der Graph verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse, da \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

a) Wendepunkte bei \(x \approx -1{,}2\) und \(x \approx 1{,}2\). b) \(y = 1\). c) Der Graph von \(G\) hat ein Maximum bei \((0 \mid 1)\) und Minima bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Er ist W-förmig und achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Welchen Grad hat die Stammfunktion einer quadratischen Funktion? - Markiere zuerst die Stellen auf der x-Achse, an denen \(F\) waagerechte Tangenten haben muss. - Überlege dir, ob \(F\) an diesen Stellen ein Maximum oder ein Minimum hat, indem du das Vorzeichen von \(f\) betrachtest. - Wo hat \(f\) eine waagerechte Tangente? Was bedeutet das für die Krümmung von \(F\)?

1. Charakteristische Punkte von \(f\): Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\), Scheitelpunkt bei \((0 \mid -4)\). 2. Da \(f\) eine quadratische Funktion ist, ist jede Stammfunktion \(F\) eine Funktion dritten Grades. 3. An den Nullstellen von \(f\) liegen die Extremstellen von \(F\). Bei \(x = -2\) wechselt \(f\) von Plus nach Minus, daher besitzt \(F\) dort ein lokales Maximum. Bei \(x = 2\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus, daher besitzt \(F\) dort ein lokales Minimum. 4. Am Scheitelpunkt von \(f\) liegt eine Wendestelle von \(F\), also bei \(x = 0\). 5. Der Graph von \(F\) verläuft durch \((0 \mid 2)\) und besitzt dort seinen Wendepunkt.

Der Graph von \(F\) ist eine kubische Kurve mit einem lokalen Maximum bei \(x = -2\) und einem lokalen Minimum bei \(x = 2\). Der Punkt \((0 \mid 2)\) ist der Wendepunkt.

- Eine Integralfunktion \(I_a(x)\) hat immer die Eigenschaft \(I_a(a) = 0\). - Übertrage die Eigenschaften von \(f\) (Nullstellen, Extrema, Symmetrie) systematisch auf \(I_0\). - Wie verhalten sich die Flächenanteile links und rechts der y-Achse zueinander?

1. \(I_0\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), für die \(I_0(0) = 0\) gilt. 2. Die Nullstellen von \(f\) bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\) sind Extremstellen von \(I_0\). 3. Wegen der Vorzeichenwechsel von \(f\) hat \(I_0\) bei \(x = -2\) ein lokales Minimum, bei \(x = 0\) ein lokales Maximum und bei \(x = 2\) wieder ein lokales Minimum. 4. Die Extremstellen von \(f\) bei \(x \approx -1{,}15\) und \(x \approx 1{,}15\) sind Wendestellen von \(I_0\). 5. Da \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist \(I_0\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 6. Die Skizze ist W-förmig und verläuft durch den Hochpunkt \((0 \mid 0)\).

Der Graph von \(I_0\) verläuft W-förmig und ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Er hat ein lokales Maximum im Punkt \((0 \mid 0)\) und lokale Minima bei \(x = -2\) und \(x = 2\).

- Was sagt das Vorzeichen von \(f\) über die Monotonie von \(F\) aus? - Was sagt die Steigung von \(f\) über das Krümmungsverhalten von \(F\) aus? - Überlege dir, wie sich die Steigung von \(F\) verändert, wenn du den Graphen von \(f\) von links nach rechts betrachtest.

1. Da \(f(x) > 0\) für alle \(x > -1\) gilt, ist jede Stammfunktion \(F\) auf \((-1; \infty)\) streng monoton steigend. 2. Da \(f\) streng monoton fällt, nimmt die Steigung von \(F\) ab. Daher ist \(F\) auf dem gesamten Definitionsbereich rechtsgekrümmt. 3. Der Graph von \(F\) verläuft durch \((0 \mid 0)\) und besitzt dort die Steigung \(F'(0) = f(0) = 2\). 4. Für \(x \to -1^+\) wächst \(f(x)\) stark an; die zugehörige Stammfunktion fällt dabei ohne Grenze und besitzt bei \(x = -1\) eine senkrechte Asymptote. 5. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to 0\). Daher steigt \(F\) weiter, wird aber immer flacher.

Der Graph von \(F\) verläuft durch \((0 \mid 0)\), ist auf \((-1; \infty)\) streng monoton steigend und durchgehend rechtsgekrümmt. Für \(x \to -1^+\) gilt \(F(x) \to -\infty\); für große \(x\) steigt der Graph immer flacher.

- Wo startet die Stammfunktion laut Aufgabenstellung? - Welche Steigung hat der Graph von \(F\) im Ursprung? - Wird die Kurve von \(F\) mit zunehmendem \(x\) steiler oder flacher? Schau dir dazu den Verlauf von \(f\) an.

1. \(f(x) = \sqrt{x}\) ist für \(x \geq 0\) definiert und für \(x > 0\) positiv. Daher ist \(F\) für \(x > 0\) streng monoton steigend. 2. An der Stelle \(x = 0\) ist die Steigung \(F'(0) = f(0) = 0\). Der Graph von \(F\) besitzt im Startpunkt \((0 \mid -1)\) eine waagerechte Tangente. 3. Da \(f\) streng monoton steigt, nimmt die Steigung von \(F\) zu. Der Graph von \(F\) ist somit linksgekrümmt. 4. Beispielwerte: \(F(1) = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} \approx -0{,}33\) und \(F(4) = -1 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} = \frac{13}{3} \approx 4{,}33\).

Der Graph von \(F\) beginnt im Punkt \((0 \mid -1)\) mit einer waagerechten Tangente und verläuft für \(x > 0\) streng monoton steigend und linksgekrümmt.

- Überlege dir, welchen Wert die Funktion \(G\) an der Stelle \(x = 0\) annimmt und wie sie sich für sehr große x-Werte verhält. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung: Was sagen Extrema von \(G\) über die Werte von \(g\) aus? - Wenn eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, was bedeutet das für die Steigung an gespiegelten Stellen? - Betrachte die Monotonie von \(G\), um Aussagen über das Vorzeichen von \(g\) zu treffen.

1. Identifikation von \(G\): Durch Einsetzen von \(x = 0\) erhält man \(G(0) = \frac{4}{2} = 2\). Zudem gilt \(G(x) \to 0\) für \(x \to \pm\infty\). Nur Graph (1) besitzt den Hochpunkt \((0 \mid 2)\) und nähert sich der x-Achse als waagerechte Asymptote an. Mögliche Terme für die anderen Graphen: (2) \(y = \frac{4}{x^2+2} - 3\), (3) \(y = -\frac{4}{x^2+2}\), (4) \(y = \frac{3x}{x^2+1}\). 2. Nullstellen von \(g\): Da \(g(x) = G'(x)\) gilt, entsprechen die Nullstellen von \(g\) den Stellen mit waagerechter Tangente von \(G\). Graph (1) hat genau ein Extremum bei \(x = 0\), folglich hat \(g\) genau eine Nullstelle an der Stelle \(x = 0\). 3. Symmetrie: \(G(x) = G(-x)\), somit ist \(G\) achsensymmetrisch zur y-Achse (gerade Funktion). Die Ableitung einer geraden Funktion ist stets ungerade, daher ist der Graph von \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 4. Verlauf von \(g\): Aus \(g(x) = G'(x) = -\frac{8x}{(x^2 + 2)^2}\) folgt \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 0\); die waagerechte Asymptote von \(g\) ist daher \(y = 0\). Außerdem gilt \(g(x) > 0\) für \(x < 0\), \(g(0) = 0\) und \(g(x) < 0\) für \(x > 0\).

a) Graph (1) gehört zu \(G\), da \(G(0) = 2\) und \(\lim_{x\to\infty} G(x) = 0\) gilt. Mögliche andere Terme: (2) \(y = \frac{4}{x^2+2}-3\), (3) \(y = -\frac{4}{x^2+2}\), (4) \(y = \frac{3x}{x^2+1}\). b) \(g\) hat genau eine Nullstelle bei \(x = 0\), da \(G\) dort seine einzige Stelle mit waagerechter Tangente (Maximum) hat. c) \(G\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse (gerade). Daraus folgt, dass \(g = G'\) punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade) ist. d) \(g(x) = -\frac{8x}{(x^2 + 2)^2}\) hat die waagerechte Asymptote \(y = 0\). Für \(x < 0\) gilt \(g(x) > 0\), für \(x = 0\) gilt \(g(x) = 0\), und für \(x > 0\) gilt \(g(x) < 0\).

- Überlege dir, welche mathematische Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion besteht. - Wie hängen die Nullstellen einer Ableitungsfunktion mit den Extremstellen der ursprünglichen Funktion zusammen? - Erinnere dich daran, welche Information die Steigung einer Funktion über das Krümmungsverhalten ihrer Stammfunktion liefert. - Was bedeutet es für den Verlauf eines Graphen, wenn seine Steigung gegen Null strebt?

1. Eine lokale Extremstelle von \(F\) liegt an einer Nullstelle von \(F' = f\) mit Vorzeichenwechsel. Bei \(x = 1\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus, daher besitzt \(F\) dort einen lokalen Tiefpunkt. 2. Das Krümmungsverhalten von \(F\) wird durch \(F'' = f'\) bestimmt. \(F\) ist rechtsgekrümmt, wenn \(f\) fällt. Dies ist für \(x > 3\) der Fall. 3. Die Steigung von \(F\) ist \(F'(x) = f(x)\). Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to 0\), daher wird der Graph von \(F\) immer flacher. Bei der dargestellten exponentiell abklingenden Funktion ist die verbleibende Fläche endlich; deshalb nähert sich \(F\) einer waagerechten Asymptote.

a) Bei \(x = 1\) liegt ein lokaler Tiefpunkt von \(F\) vor. b) \(F\) ist für \(x > 3\) rechtsgekrümmt, weil \(f\) dort streng monoton fällt. c) Für \(x \to \infty\) nähert sich die Steigung von \(F\) dem Wert \(0\). Da \(f\) exponentiell abklingt, nähert sich \(F\) einer waagerechten Asymptote.

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung über den Anstieg oder Abfall der ursprünglichen Funktion aussagt. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit den Hügeln und Tälern der Funktion zusammen? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Steigung der Ableitungsfunktion und der Krümmung der ursprünglichen Funktion. - Was bedeutet eine Fläche zwischen dem Graphen und der Achse für die Veränderung des Bestandes?

1. Monotonie: Eine Funktion \(f\) wächst streng monoton, wenn ihre Ableitung \(f'(x) \ge 0\) ist, und fällt streng monoton, wenn \(f'(x) \le 0\) ist. Aus dem Graphen von \(f'\) ergibt sich: wachsend für \(x \in [-4; -2]\) und \(x \in [4; 6]\); fallend für \(x \in [-2; 4]\). 2. Extrema: Lokale Extremstellen liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, was einem lokalen Maximum von \(f\) entspricht. Bei \(x = 4\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, was einem lokalen Minimum von \(f\) entspricht. 3. Krümmung und Wendestelle: Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x) > 0\) gilt, also wenn die Ableitungsfunktion \(f'\) steigt. Dies ist im dargestellten Bereich für \(1 < x \le 6\) der Fall. Die Wendestelle von \(f\) entspricht dem Extrempunkt von \(f'\), liegt also bei \(x = 1\). 4. Vergleich von Funktionswerten: Die Änderung \(f(5) - f(0)\) entspricht dem Integral \(\int_{0}^{5} f'(x) \, dx\). Da die Fläche unter der \(x\)-Achse im Intervall \([0; 4]\) (Verlust) deutlich größer ist als die Fläche über der \(x\)-Achse im Intervall \([4; 5]\) (Zuwachs), ist die Gesamtänderung negativ. Somit gilt \(f(5) < f(0) = 4\).

a) Streng monoton wachsend für \(x \in [-4; -2]\) und \(x \in [4; 6]\); streng monoton fallend für \(x \in [-2; 4]\). b) Lokales Maximum bei \(x = -2\); lokales Minimum bei \(x = 4\). c) Im dargestellten Bereich linksgekrümmt für \(1 < x \le 6\). Wendestelle bei \(x = 1\). d) \(f(5) < 4\), da die Abnahme im Intervall \([0; 4]\) (negative Fläche) den Zuwachs im Intervall \([4; 5]\) (positive Fläche) überwiegt.

- Wenn eine Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, was bedeutet das für die Flächeninhalte links und rechts der Achse? - Überlege dir, wie sich der Wert der Stammfunktion \(F(x)\) ändert, wenn man von \(0\) aus nach rechts geht, im Vergleich dazu, wenn man nach links geht. - Welchen Symmetrietyp haben Funktionen wie \(x^2\) (Ableitung) im Vergleich zu \(x^3\) (Stammfunktion)?

1. Da der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, handelt es sich bei \(f\) um eine gerade Funktion (\(f(-x) = f(x)\)). 2. Eine Stammfunktion \(F\) berechnet sich durch Integration. Für die spezielle Stammfunktion mit \(F(0) = 0\) gilt \(F(x) = \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t\). 3. Integriert man eine gerade Funktion von \(0\) aus, so erhält man immer eine ungerade Funktion (\(F(-x) = -F(x)\)). 4. Anschaulich: Da der Graph von \(f\) links und rechts der \(y\)-Achse gleich verläuft, ist die Flächenbilanz von \(0\) bis \(x\) genau entgegengesetzt zur Flächenbilanz von \(0\) bis \(-x\). 5. Somit ist der Graph von \(F\) punktsymmetrisch zum Ursprung \((0 \mid 0)\).

Der Graph der Stammfunktion \(F\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung \((0 \mid 0)\). Dies liegt daran, dass die Stammfunktion einer geraden Funktion (achsensymmetrisch), die durch den Ursprung geht, immer eine ungerade Funktion (punktsymmetrisch) ist.

- Welchen Wert muss eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze immer haben? - Wie hängen die Nullstellen der Ausgangsfunktion mit den Extremstellen der Integralfunktion zusammen? - Was sagt das Vorzeichen der Funktion \(f\) über die Steigung der Integralfunktion aus? - Vergleiche den Verlauf von \(f\) im Intervall zwischen \(1\) und \(3\) mit dem Anstieg oder Abfall der Kandidaten.

1. Überprüfung der Bedingung \(I_1(1) = 0\): Da die untere Integralgrenze \(1\) ist, muss die Integralfunktion an der Stelle \(x=1\) den Wert \(0\) annehmen. Dies trifft auf die Graphen \(G_1\) und \(G_3\) zu, während \(G_2\) durch den Ursprung verläuft (\(I_2(0)=0\)) und somit ausgeschlossen werden kann. 2. Analyse der Monotonie: Im Intervall \([1; 3]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \ge 0\)). Folglich muss die Integralfunktion \(I_1\) in diesem Bereich monoton steigen. 3. Untersuchung des Graphen \(G_1\): Dieser steigt im Intervall \([1; 3]\) an und erreicht bei \(x=3\) einen Hochpunkt, da \(f\) dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) besitzt. Dies passt perfekt zur Theorie. 4. Untersuchung des Graphen \(G_3\): Dieser fällt im Intervall \([1; 3]\) ab, was im Widerspruch zum positiven Vorzeichen von \(f\) steht. 5. Ergebnis: Der Graph \(G_1\) stellt die Integralfunktion \(I_1\) dar.

Der richtige Graph ist \(G_1\). Begründung: 1. \(I_1(1) = \int_1^1 f(t) \,\mathrm{d}t = 0\). Nur \(G_1\) und \(G_3\) erfüllen diese Bedingung. 2. Da \(f(x) > 0\) für \(1 < x < 3\), muss \(I_1\) in diesem Intervall streng monoton steigen. Dies trifft nur auf \(G_1\) zu. 3. An der Nullstelle \(x=3\) von \(f\) mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) besitzt \(I_1\) einen lokalen Hochpunkt, was ebenfalls nur bei \(G_1\) der Fall ist.

- Überlege dir, welche geometrische Bedeutung der Funktionswert der Ableitungsfunktion \(f\) für den Graphen der Stammfunktion \(F\) hat. - Wie hängen die Extrema einer Funktion mit den Nullstellen ihrer Ableitung zusammen? - Was sagt das Krümmungsverhalten eines Graphen über das Vorzeichen seiner zweiten Ableitung aus? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Integrale über Funktionswerte der Stammfunktion zu bestimmen. - Die Steigung einer Kurve an einem Punkt lässt sich oft qualitativ durch Betrachten des Verlaufs (steigend oder fallend) beurteilen.

1. Die Nullstellen von \(f\) entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente von \(F\). Aus dem Graphen von \(F\) liest man die Extrema bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\) ab. Also gilt \(f(-2) = 0\) und \(f(2) = 0\). 2. \(f(x) < 0\) gilt dort, wo die Stammfunktion \(F\) streng monoton fallend ist. Dies ist im Intervall \((-2; 2)\) der Fall. 3. \(f'(x) > 0\) entspricht einer Linkskrümmung von \(F\). Der Wendepunkt von \(F\) liegt bei \(x = 0\). Für \(x > 0\) ist der Graph von \(F\) linksgekrümmt, somit verläuft \(G_{f'}\) für \(x \in (0; \infty)\) oberhalb der \(x\)-Achse. 4. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(\int_{-2}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x = F(2) - F(-2)\). Aus dem Graphen liest man \(F(2) = -4\) und \(F(-2) = 4\) ab. Es folgt \(-4 - 4 = -8\). 5. \(f(x)\) gibt die Steigung von \(F\) an. Bei \(x = -3\) steigt der Graph von \(F\) an (\(f(-3) > 0\)), während er bei \(x = 0\) fällt (\(f(0) < 0\)). Daher ist \(f(-3) > f(0)\) wahr.

a) \(x_1 = -2\); \(x_2 = 2\) b) \(I = (-2; 2)\) c) \(x > 0\) bzw. \(I = (0; \infty)\) d) \(\int_{-2}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x = -8\) e) Wahr, da \(F\) bei \(x = -3\) steigt (\(f(-3) > 0\)) und bei \(x = 0\) fällt (\(f(0) < 0\)).

- Nutze die Eigenschaft, dass \(f(x)\) die Steigung von \(F\) an der Stelle \(x\) angibt. - Wo sind die Steigungen einer Funktion gleich null? Suche diese Stellen im Graphen. - Das Integral einer Funktion über ein Intervall lässt sich als Differenz der Stammfunktionswerte an den Intervallgrenzen berechnen. - Überlege dir, wie Wendepunkte einer Funktion mit den Extrema ihrer Ableitung zusammenhängen. - Steigt oder fällt der Graph an den gesuchten Stellen? Das verrät dir das Vorzeichen der Ableitung.

1. Die Nullstellen von \(f\) liegen an den lokalen Extremstellen von \(F\). Aus dem Graphen liest man ein lokales Maximum von \(F\) bei \(x = 1\) und ein lokales Minimum bei \(x = 3\) ab. Somit sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) die Nullstellen von \(f\). 2. \(f(x) \geq 0\) gilt genau dort, wo \(F\) steigt. Daher ist \(f(x) \geq 0\) für \(x \leq 1\) und \(x \geq 3\). 3. Es gilt \(\int_{1}^{4} f(x) \,\mathrm{d}x = F(4) - F(1)\). Aus dem Graphen liest man \(F(4) = 4\) und \(F(1) = 4\), also ist das Integral gleich \(0\). 4. Da \(f\) eine quadratische Funktion mit den Nullstellen \(1\) und \(3\) ist und außerhalb dieser Nullstellen positiv sowie dazwischen negativ ist, ist ihr Graph nach oben geöffnet. Der Scheitel liegt in der Mitte der Nullstellen bei \(x = 2\). Dies ist zugleich die Wendestelle von \(F\), an der die Steigung von \(F\) minimal ist. 5. Da \(F\) bei \(x = 0\) steigt, ist \(f(0) > 0\). Da \(F\) bei \(x = 2\) fällt, ist \(f(2) < 0\).

a) \(x_1 = 1\); \(x_2 = 3\) b) \(I = (-\infty; 1] \cup [3; \infty)\) c) \(\int_{1}^{4} f(x) \,\mathrm{d}x = 0\) d) \(x = 2\), da dort der Wendepunkt von \(F\) liegt und die Steigung dort minimal ist. e) \(f(0) > 0\) (positiv); \(f(2) < 0\) (negativ).

- Was sagt die Steigung des Graphen der Stammfunktion über die Funktionswerte der ursprünglichen Funktion aus? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einem Integral und den Werten der Stammfunktion an den Grenzen. - Welche spezielle Eigenschaft haben Nullstellen eines Graphen für die Definition einer Integralfunktion? - Betrachte den Verlauf des Graphen: Steigt oder fällt er an der betrachteten Stelle?

1. Da \(f\) die Ableitungsfunktion von \(F\) ist, gilt \(f(0) = F'(0)\). Der Graph von \(F\) hat bei \(x=0\) einen lokalen Hochpunkt, die Steigung ist dort \(0\). Also ist \(f(0) = 0\). Die Aussage ist wahr. 2. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(\int_{-2}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x = F(2) - F(-2)\). Aus dem Graphen liest man \(F(2) \approx 0{,}9\) und \(F(-2) \approx 0{,}9\) ab. Die Differenz ist \(0\). Die Aussage ist wahr. 3. Eine Integralfunktion \(J_a(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\) muss an der Stelle ihrer unteren Grenze den Wert \(0\) annehmen (\(J_a(a) = 0\)). Der Graph von \(F\) verläuft jedoch vollständig oberhalb der \(x\)-Achse und hat keine Nullstellen. Somit kann \(F\) keine Integralfunktion sein. Die Aussage ist falsch. 4. Es gilt \(f(1) = F'(1)\). An der Stelle \(x = 1\) fällt der Graph von \(F\), was bedeutet, dass die Steigung \(F'(1)\) und damit der Funktionswert \(f(1)\) negativ ist. Die Aussage ist wahr.

a) Wahr (da \(F'(0) = 0\)) b) Wahr (da \(F(2) - F(-2) = 0{,}9 - 0{,}9 = 0\)) c) Falsch (da \(F\) keine Nullstellen besitzt) d) Wahr (da \(F\) bei \(x=1\) fällt)

- Überlege dir, welche besondere Eigenschaft eine Integralfunktion im Vergleich zu einer allgemeinen Stammfunktion hat. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung des Graphen von \(F\) und den Funktionswerten von \(f\)? - Wie hängen die Extremstellen einer Stammfunktion mit den Nullstellen der zugehörigen Ausgangsfunktion zusammen? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Integrale mithilfe von Stammfunktionen zu berechnen.

1. Eine Integralfunktion \(I_a(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\) muss mindestens eine Nullstelle besitzen (da \(I_a(a) = 0\)). Da der Graph \(G_F\) die x-Achse bei \(x = -1\) und \(x = 5\) schneidet, ist die Aussage wahr. 2. Der Wert \(f(4)\) entspricht der Steigung der Stammfunktion \(F\) an der Stelle \(x = 4\). Da der Graph von \(F\) dort fällt, ist die Steigung negativ, also \(f(4) < 0\). Die Aussage ist falsch. 3. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(\int_0^3 f(x) \,\mathrm{d}x = F(3) - F(0)\). Aus dem Graphen liest man \(F(3) = 8\) und \(F(0) = 1{,}25\) ab. Die Differenz ist \(8 - 1{,}25 = 6{,}75\). Die Aussage ist wahr. 4. Nullstellen von \(f\) entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente (Extremstellen) von \(F\). Im Intervall \([-2; 4]\) hat \(F\) einen Tiefpunkt bei \(x = -1\) und einen Hochpunkt bei \(x = 3\). Somit hat \(f\) dort zwei Nullstellen. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr, da der Graph Nullstellen besitzt (z. B. bei \(x = -1\)). b) Falsch, da \(F\) an der Stelle \(x = 4\) eine negative Steigung hat. c) Wahr, da \(F(3) - F(0) = 8 - 1{,}25 = 6{,}75\). d) Falsch, da \(F\) im angegebenen Intervall zwei Extremstellen (\(x = -1\) und \(x = 3\)) besitzt.

- Überlege dir, in welcher Beziehung eine Funktion \(F\) zu ihrer Ableitung \(f\) steht. - Wo liegen die Extrema einer Funktion, wenn du ihre Ableitungsfunktion kennst? - Was sagt die Steigung der Funktion \(f\) über die Krümmung der Stammfunktion \(F\) aus? - Erinnere dich an das Monotoniekriterium: Welches Vorzeichen muss die Ableitung für streng monotones Wachstum haben?

1. Ein lokales Minimum von \(F\) liegt vor, wenn die Ableitung \(F'(x) = f(x)\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus hat. Im Graphen von \(f\) ist dies an den Stellen \(x = -4\) und \(x = 3\) der Fall. 2. Ein Wendepunkt von \(F\) liegt an den Stellen vor, an denen die zweite Ableitung \(F''(x) = f'(x)\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Dies entspricht den lokalen Extremstellen der Funktion \(f\). Aus dem Graphen lassen sich diese bei etwa \(x \approx -2{,}7\) (lokales Maximum von \(f\)) und \(x \approx 1{,}4\) (lokales Minimum von \(f\)) ablesen. 3. Die Aussage ist wahr. Die Monotonie von \(F\) wird durch das Vorzeichen von \(F'(x) = f(x)\) bestimmt. Im dargestellten Bereich verläuft der Graph von \(f\) für \(x > 3\) oberhalb der \(x\)-Achse, es gilt dort also \(f(x) > 0\). Somit ist \(F\) im dargestellten Bereich für \(x > 3\) streng monoton steigend, unabhängig vom Wert von \(F(0)\).

a) Lokale Minima von \(F\) liegen bei \(x = -4\) und \(x = 3\). b) Wendepunkte von \(F\) liegen bei etwa \(x \approx -2{,}7\) und \(x \approx 1{,}4\). c) Die Aussage ist wahr, da im dargestellten Bereich \(f(x) > 0\) für alle \(x > 3\) gilt.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung einer Stammfunktion und den Werten der ursprünglichen Funktion? - Erinnere dich an die Kriterien für Monotonie und lokale Extrema einer Funktion unter Verwendung ihrer Ableitung. - Wie hängen bestimmte Integrale mit den Flächeninhalten zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse zusammen? - Achte beim Vergleich von Flächen auf deren Lage oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse.

1. Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion nutzen: Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, bestimmt das Vorzeichen von \(f\) das Monotonieverhalten von \(F\). 2. Monotonie bestimmen: \(F\) ist streng monoton fallend, wenn \(f(x) \le 0\). Dies ist im Intervall \([-3; -2]\) und im Intervall \([1; 3]\) der Fall. 3. Lokale Extrema begründen: An der Stelle \(x=1\) hat \(f\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus. Da \(F'(1) = f(1) = 0\) und ein Vorzeichenwechsel von \(F'\) von positiv zu negativ vorliegt, hat jede Stammfunktion dort ein lokales Maximum. 4. Vorzeichen von \(F(3)\) ermitteln: Es gilt \(F(3) = \int_{-2}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{-2}^{1} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{1}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x\). Der Flächeninhalt oberhalb der \(x\)-Achse zwischen \(-2\) und \(1\) ist im Graphen deutlich erkennbar größer als der Betrag des Flächeninhalts unterhalb der \(x\)-Achse zwischen \(1\) und \(3\). Die Bilanz der orientierten Flächen ist somit positiv, also \(F(3) > 0\).

a) \([-3; -2]\) und \([1; 3]\) b) Es gilt \(F'(x) = f(x)\). Da \(f(1) = 0\) ist und der Graph von \(f\) bei \(x=1\) von positiven zu negativen Werten wechselt, liegt ein lokales Maximum von \(F\) vor. c) Der Wert \(F(3)\) ist positiv, da die eingeschlossene Fläche oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([-2; 1]\) größer ist als die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([1; 3]\).

- Schaue dir zuerst einen Graphen an und finde seine Hoch- und Tiefpunkte. - Suche dann einen anderen Graphen, der genau an diesen x-Stellen die x-Achse schneidet. - Überprüfe auch das Vorzeichen: Wenn eine Funktion fällt, muss ihre Ableitung negativ sein. - Erinnere dich an die Merkregel: Nullstellen der Ableitung sind die Kandidaten für Extremstellen der Ausgangsfunktion.

1. Untersuchung von Graph \(g_1\): Dieser Graph hat eine Nullstelle bei \(x = 0\) und Extrema bei \(x = -1\) (Minimum) und \(x = 1\) (Maximum). 2. Untersuchung von Graph \(g_2\): Dieser Graph hat Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 1\) sowie ein Maximum bei \(x = 0\). Da die Nullstellen von \(g_2\) an den Extremstellen von \(g_1\) liegen, ist \(g_2\) die Ableitung von \(g_1\). Also \(g_1 = f\) und \(g_2 = f'\). 3. Untersuchung von Graph \(g_3\): Dieser Graph hat ein Minimum bei \(x = 0\). Da die Nullstelle von \(g_1\) bei \(x = 0\) liegt, ist \(g_1\) die Ableitung von \(g_3\). Damit ist \(g_3\) eine Stammfunktion von \(g_1\). Also \(g_3 = F\). 4. Ergebnis: \(g_1 = f\), \(g_2 = f'\), \(g_3 = F\).

Der Graph \(g_1\) gehört zur Funktion \(f\), \(g_2\) gehört zur Ableitung \(f'\) und \(g_3\) stellt eine Stammfunktion \(F\) dar.

- Erinnere dich: Die Stammfunktion \(F\) hat dort ein Extremum, wo die Funktion \(f\) eine Nullstelle hat. - Schau dir den Wert von \(f(0)\) an. Was bedeutet dieser Wert für die Steigung des Graphen von \(F\) an der Stelle \(x=0\)? - In welchen Bereichen ist die Kosinusfunktion positiv, und was bedeutet das für den Verlauf der Stammfunktion? - Welche bekannte Funktion ergibt abgeleitet die Kosinusfunktion?

1. Zusammenhang zwischen \(f\) und \(F\): Es gilt \(F'(x) = f(x)\). Die Funktionswerte von \(f(x) = \cos(x)\) geben also die Steigung von \(F\) an. 2. Analyse markanter Punkte: - Bei \(x = 0\) ist \(f(0) = \cos(0) = 1\), d. h. \(F\) muss dort die Steigung \(1\) haben. - Bei \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) ist \(f(x) = 0\), d. h. \(F\) muss dort eine waagerechte Tangente (ein Extremum) haben. Da \(f\) von positiv nach negativ wechselt, ist dies ein lokales Maximum. - Bei \(x = \pi \approx 3{,}14\) ist \(f(\pi) = -1\), d. h. \(F\) muss dort die Steigung \(-1\) haben. 3. Abgleich mit den Graphen: - Graph a) startet im Ursprung mit positiver Steigung, hat bei \(x \approx 1{,}57\) ein Maximum und bei \(x \approx 3{,}14\) eine Nullstelle mit negativer Steigung. Dies entspricht der Funktion \(F(x) = \sin(x)\). - Graph b) startet bei \(y=1\) mit waagerechter Tangente (\(\cos(x)\)). - Graph c) startet im Ursprung mit negativer Steigung (\(-\sin(x)\)). - Graph d) startet bei \(y=-1\) mit waagerechter Tangente (\(-\cos(x)\)). 4. Ergebnis: Da \(\int \cos(x) \,\mathrm{d}x = \sin(x) + C\), ist Graph a) eine mögliche Stammfunktion (für \(C=0\)).

Der richtige Graph ist a). Da die Ableitung der Stammfunktion \(F\) die Funktion \(f(x) = \cos(x)\) ergeben muss, suchen wir eine Kurve, deren Steigung dem Verlauf der Kosinuswelle entspricht. Die Funktion \(F(x) = \sin(x)\) erfüllt dies: Sie hat bei \(x=0\) die Steigung \(\cos(0)=1\) und bei \(x=\frac{\pi}{2}\) eine waagerechte Tangente, da \(\cos(\frac{\pi}{2})=0\) ist. Dies ist exakt in Graph a) dargestellt.

- Achte beim Ablesen der Nullstellen darauf, ob der Graph die Achse schneidet oder nur berührt. - Wie berechnet man den Vorfaktor \(a\), wenn man die Nullstellen und einen weiteren Punkt (z. B. den y-Achsenabschnitt) kennt? - Eine Stammfunktion erhältst du durch gliedweise Integration des Polynoms. - Überlege dir, was ein fehlender Vorzeichenwechsel an einer Nullstelle von \(f\) für die Form des Graphen von \(F\) bedeutet.

1. Bestimmung von \(f(x)\): Der Graph zeigt eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) bei \(x_1 = 2\) und eine einfache Nullstelle bei \(x_2 = -1\). Der y-Achsenabschnitt liegt bei \(-2\). Einsetzen in den Ansatz: \(f(0) = a \cdot (0 - 2)^2 \cdot (0 + 1) = 4a = -2 \Rightarrow a = -0{,}5\). Somit ist \(f(x) = -0{,}5(x - 2)^2(x + 1) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 - 2\). 2. Bestimmung der Stammfunktion \(F\): Die allgemeine Stammfunktion ist \(F(x) = -0{,}125x^4 + 0{,}5x^3 - 2x + C\). 3. Berechnung von \(C\): Mit \(F(2) = 0\) folgt \(-0{,}125 \cdot 16 + 0{,}5 \cdot 8 - 2 \cdot 2 + C = 0 \Rightarrow -2 + 4 - 4 + C = 0 \Rightarrow -2 + C = 0 \Rightarrow C = 2\). Also \(F(x) = -0{,}125x^4 + 0{,}5x^3 - 2x + 2\). 4. Untersuchung der Stelle \(x = 2\): Da \(f(2) = 0\) und \(f\) an dieser Stelle keinen Vorzeichenwechsel hat (Berührpunkt), besitzt \(F\) dort zwar eine waagerechte Tangente (\(F'(2) = 0\)), aber kein Extremum. Es handelt sich um einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt).

a) \(a = -0{,}5\), \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\); also \(f(x) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 - 2\). b) \(F(x) = -0{,}125x^4 + 0{,}5x^3 - 2x + 2\). c) An der Stelle \(x = 2\) hat \(G_F\) einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt), da \(f(2) = 0\) gilt, aber an dieser Stelle kein Vorzeichenwechsel von \(f\) vorliegt.

- Überlege dir, welche Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion bezüglich der Ableitung besteht. - Was sagt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion über das Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion aus? - Erinnere dich an die Kriterien für Extrem- und Wendepunkte. - Nutze die Nullstellenform für ganzrationale Funktionen, um die Funktionsgleichung aufzustellen.

1. Eine Stammfunktion \(F\) ist streng monoton fallend, wenn \(F'(x) = f(x) < 0\) gilt. Aus dem Graphen liest man \(f(x) < 0\) für \(x \in (-\infty; -4)\) und \(x \in (1; 5)\) ab. 2. Lokale Extremstellen von \(F\) liegen an Nullstellen von \(f\) mit Vorzeichenwechsel: - Bei \(x = -4\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus: lokaler Tiefpunkt von \(F\). - Bei \(x = 1\) wechselt \(f\) von Plus nach Minus: lokaler Hochpunkt von \(F\). - Bei \(x = 5\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus: lokaler Tiefpunkt von \(F\). 3. Wendestellen von \(F\) liegen an den lokalen Extremstellen von \(f\). Diese befinden sich bei \(x \approx -1{,}93\) und \(x \approx 3{,}27\). 4. Mit den Nullstellen \(-4\), \(1\) und \(5\) hat \(f\) die Form \(f(x) = a(x + 4)(x - 1)(x - 5)\). Aus dem Punkt \(P(0 \mid 2)\) folgt \(2 = 20a\), also \(a = 0{,}1\). Damit ist \(f(x) = 0{,}1(x + 4)(x - 1)(x - 5)\).

a) \(F\) fällt streng monoton für \(x < -4\) und für \(1 < x < 5\), da dort \(f(x) < 0\) gilt. b) Tiefpunkte bei \(x = -4\) und \(x = 5\); Hochpunkt bei \(x = 1\). c) Wendestellen von \(F\) liegen an den Stellen, an denen \(f\) Extremstellen hat (ca. \(x \approx -1{,}9\) und \(x \approx 3{,}3\)). d) \(f(x) = 0{,}1(x + 4)(x - 1)(x - 5)\)

- Welche Eigenschaft des Graphen von \(f\) korrespondiert mit der Krümmung oder den Wendepunkten von \(F\)? - Beachte beim Skizzieren die Nullstellen von \(f\), da diese die Steigung von \(F\) bestimmen. - Überlege dir für die Flächenberechnung zuerst, wie du den Streckfaktor \(a\) der Parabel aus dem Scheitelpunkt bestimmen kannst. - Denke daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte haben.

1. Eine Wendestelle von \(F\) liegt vor, wenn \(F'' = f' = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel vorliegt. Das entspricht einer Extremstelle von \(f\). Der Graph von \(f\) hat im Intervall \([-2; 2]\) genau ein lokales Minimum bei \(x = 0\). Daher hat \(F\) dort eine Wendestelle. 2. Für die Skizze von \(F_1\): Da \(f(x) > 0\) für \(x < -2\), steigt \(F_1\). Für \(-2 < x < 2\) ist \(f(x) < 0\), also fällt \(F_1\). Ab \(x = 2\) steigt \(F_1\) wieder. Bei \(x = 2\) muss der Graph die \(x\)-Achse berühren oder schneiden (hier Berührpunkt als lokales Minimum, da \(F_1(2)=0\) und dort ein Vorzeichenwechsel von \(f\) von Minus nach Plus stattfindet). Markante Punkte: \(F_1(2) = 0\), Hochpunkt bei \(x = -2\), Wendepunkt bei \(x = 0\). 3. Nullstellen bei \(x = \pm 2\) führen zu \(f(x) = a \cdot (x - 2) \cdot (x + 2)\). Mit \(f(0) = -2\) folgt \(-2 = a \cdot (-4)\), also \(a = 0{,}5\). Somit \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\). 4. Der Flächeninhalt ist \(A = \left| \int_{-2}^{2} (0{,}5x^2 - 2) \,\mathrm{d}x \right|\). Eine Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x\). Das Integral ergibt \(F(2) - F(-2) = (\frac{8}{6} - 4) - (-\frac{8}{6} + 4) = (\frac{4}{3} - \frac{12}{3}) - (-\frac{4}{3} + \frac{12}{3}) = -\frac{8}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}\). Der Flächeninhalt beträgt somit \(\frac{16}{3} \approx 5{,}33\,\text{FE}\).

a) \(F\) hat eine Wendestelle, wo \(f\) eine Extremstelle besitzt. Das ist hier bei \(x = 0\) der Fall. b) Der Graph von \(F_1\) hat bei \(x = -2\) einen Hochpunkt, bei \(x = 0\) einen Wendepunkt und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt auf der \(x\)-Achse. c) Funktionsgleichung: \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\); Flächeninhalt: \(A = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\,\text{FE}\).

- Erinnere dich an die Kriterien für Monotonie und Extrema unter Verwendung der ersten Ableitung. - Was sagt ein Hoch- oder Tiefpunkt im Graphen der Ableitung über die Krümmung oder Wendestellen der ursprünglichen Funktion aus? - Nutze die Periodenlänge und die maximale Auslenkung des Graphen, um die Parameter der Kosinusfunktion zu bestimmen.

1. Lokale Extremstellen: Diese liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Im Intervall \([0; 6]\) sind dies \(x = 1{,}5\) und \(x = 4{,}5\). 2. Monotonie: Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist (\(f'(x) < 0\)). Aus dem Graphen ergibt sich dieser Zustand für das Intervall \((1{,}5; 4{,}5)\). 3. Wendestellen: Die Extremstellen der Ableitungsfunktion sind die Wendestellen der Stammfunktion. Im Intervall \([0; 6]\) sind dies das lokale Maximum bei \(x = 0\), das lokale Minimum bei \(x = 3\) und das lokale Maximum bei \(x = 6\). 4. Funktionsgleichung: Die Amplitude beträgt \(a = 2\). Eine volle Periode ist bei \(T = 6\) abgeschlossen. Für den Parameter \(b\) gilt \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). Somit lautet die Gleichung \(f'(x) = 2\cos(\frac{\pi}{3} x)\).

a) Lokale Extremstellen bei \(x = 1{,}5\) und \(x = 4{,}5\). b) Im Bereich \(1{,}5 \le x \le 4{,}5\) (bzw. \([1{,}5; 4{,}5]\)). c) Wendestellen bei \(x = 0\), \(x = 3\) und \(x = 6\). d) \(f'(x) = 2\cos(\frac{\pi}{3} x)\).

- Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \(F'(x) = f(x)\). - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit den Extremstellen ihrer Stammfunktion zusammen? - Woran erkennt man am Graphen der Ableitungsfunktion, ob die ursprüngliche Funktion steigt oder fällt? - Wo liegen die Wendepunkte einer Funktion, wenn man nur den Graphen ihrer Ableitung kennt? - Betrachte die Flächenbilanz zwischen dem Graphen und der x-Achse für sehr große x-Werte.

1. Eine lokale Extremstelle einer Stammfunktion \(F\) liegt an den Nullstellen von \(F' = f\) mit Vorzeichenwechsel vor. Bei \(x=0\) hat \(f\) eine Nullstelle und wechselt das Vorzeichen von Minus nach Plus. Somit hat \(F\) dort ein lokales Minimum. Aussage (1) ist wahr. 2. Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist. Hier gilt \(F'(x) = f(x)\). Im Intervall \([0; 3]\) ist \(f(x) \geq 0\), daher ist \(F\) dort streng monoton steigend. Aussage (2) ist falsch. 3. Ein Wendepunkt von \(F\) liegt vor, wenn \(F'' = f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat, also an den Extremstellen von \(f\). Da \(f\) bei \(x=0\) keine Extremstelle, sondern eine positive Steigung besitzt, liegt dort kein Wendepunkt von \(F\). Aussage (3) ist falsch. 4. Für \(x > 3\) verläuft der Graph von \(f\) unterhalb der x-Achse und strebt gegen \(-\infty\). Die Bilanz der orientierten Fläche wird daher für wachsende \(x\) immer negativer und sinkt unbegrenzt. Somit gilt \(\lim_{x \to \infty} F(x) = -\infty\). Aussage (4) ist wahr.

(1) Wahr (2) Falsch (3) Falsch (4) Wahr

- Zähle die Anzahl der Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkte) in jedem Graphen. Die Ableitung hat in der Regel weniger Extremstellen als die ursprüngliche Funktion. - Achte auf das Verhalten für sehr große und sehr kleine x-Werte. Gehen alle Graphen gegen Null? - Ein Vorzeichenwechsel an einer Nullstelle der Ableitung deutet auf ein Extremum der Originalfunktion hin. - Nutze den Zusammenhang: Die Steigung der Tangente an einer Stelle \(x\) eines Graphen entspricht dem Funktionswert des Ableitungsgraphen an dieser Stelle.

Die Analyse der Zusammenhänge zwischen Funktionswerten und Steigungen führt zur Lösung: 1. Graph (4) hat ein lokales Minimum bei \(x = 0\). Graph (3) hat dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Dies passt zur Bedingung \(F'(x) = f(x)\). Also ist (4) die Stammfunktion \(F\) und (3) die Funktion \(f\). 2. Graph (3) hat Maxima/Minima bei \(x \approx \pm 1{,}6\). Graph (1) hat genau an diesen Stellen Nullstellen. Damit ist (1) die Ableitung von (3), also \(f'\). 3. Graph (1) hat Extremstellen bei \(x = 0\) und \(x \approx \pm 2{,}7\). Dies sind genau die Nullstellen von Graph (2). Somit ist (2) die Ableitung von (1), also \(f''\). Ergebnis: \(F \to (4)\), \(f \to (3)\), \(f' \to (1)\), \(f'' \to (2)\).

Die Zuordnung ist: (1) ist der Graph der ersten Ableitung \(f'\). (2) ist der Graph der zweiten Ableitung \(f''\). (3) ist der Graph der Funktion \(f\). (4) ist der Graph der Stammfunktion \(F\).

- Denke daran, dass \(G(x)\) als Flächenbilanz zwischen dem Graphen von \(g\) und der x-Achse interpretiert werden kann. - Wie hängen die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(g\) mit den Extrempunkten von \(G\) zusammen? - Was sagt die Steigung (Ableitung) von \(g\) über die Krümmung von \(G\) aus? - Nutze Symmetrieeigenschaften des Graphen, um Aussagen über das gesamte Integral zu treffen.

1. Da \(G(0) = 0\) ist, gilt \(G(4) = \int_{0}^{4} g(t) \,\mathrm{d}t\). Da der Graph von \(g\) im Intervall \((0; 4)\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegt, ist das Integral und somit \(G(4)\) positiv. Die Aussage a) ist wahr. 2. Eine Extremstelle von \(G\) liegt vor, wenn \(G'(x) = g(x) = 0\) gilt. Bei \(x = 4\) ist \(g(4) = 0\). Da \(g\) an dieser Stelle das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\) wechselt, hat \(G\) dort einen Hochpunkt, keinen Tiefpunkt. Die Aussage b) ist falsch. 3. Ein Wendepunkt von \(G\) liegt vor, wenn \(G''(x) = g'(x) = 0\) ist und ein Vorzeichenwechsel von \(g'\) stattfindet. Dies ist an den Extremstellen von \(g\) der Fall. Da \(g\) bei \(x = 2\) ein Maximum hat, besitzt \(G\) dort einen Wendepunkt. Die Aussage c) ist wahr. 4. Der Flächeninhalt zwischen Graph und \(x\)-Achse im Intervall \([0; 4]\) (oberhalb) ist aufgrund der Symmetrie der Sinusfunktion genau so groß wie der im Intervall \([4; 8]\) (unterhalb). Die Bilanz \(G(8) = \int_{0}^{8} g(t) \,\mathrm{d}t\) ist daher null. Die Aussage d) ist wahr.

a) Wahr: Die Fläche unter dem Graphen von \(0\) bis \(4\) liegt über der \(x\)-Achse. b) Falsch: Bei \(x=4\) liegt ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) vor, also ein Hochpunkt. c) Wahr: Da \(g\) bei \(x=2\) eine Extremstelle hat, hat \(G\) dort eine Wendestelle. d) Wahr: Die positiven und negativen Flächenanteile heben sich exakt auf.