Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche Beziehung besteht zwischen der Ableitung \(F'\) und der gegebenen Funktion \(f\)? - Betrachte das Vorzeichen von \(f\) im Intervall von \(0\) bis \(3\). - Was folgt aus diesem Vorzeichen für die Monotonie von \(F\)?

1. Im Intervall \([0;3]\) ist \(f(x)\geq0\) und im Inneren des Intervalls positiv. 2. Wegen \(F'=f\) ist \(F\) auf \([0;3]\) streng monoton steigend. 3. Aus \(F(0)=1\) folgt deshalb \(F(3)>1\).

Der Wert \(F(3)\) ist größer als \(1\), weil \(f\) auf \([0;3]\) nichtnegativ und im Inneren positiv ist und daher \(F\) dort streng steigt.

- Überlege zuerst, ob der Wert von \(\ln(3)\) positiv oder negativ ist. - Was sagt der Funktionswert einer Funktion \(f\) über die Steigung ihrer Stammfunktion \(F\) aus? - Wenn eine Funktion einen konstanten Wert hat, welche Form muss dann ihre Stammfunktion haben? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Stammfunktion: \(F'(x) = f(x)\).

1. Bestimmung der Funktionseigenschaften von \(f\): Da \(3 > 1\) ist, gilt \(\ln(3) > 0\). Die Funktion \(f(x) = \ln(3) \approx 1{,}1\) ist also eine positive konstante Funktion. 2. Ableitung der Eigenschaften der Stammfunktion \(F\): Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, muss die Steigung von \(F\) an jeder Stelle gleich \(\ln(3)\) sein. 3. Geometrische Interpretation: Eine Funktion mit konstanter positiver Steigung ist eine Gerade, die von links unten nach rechts oben verläuft (positive Steigung). 4. Auswahl des Graphen: Graph a) zeigt eine Gerade mit positiver Steigung, Graph b) eine Gerade mit negativer Steigung, Graph c) eine Parabel und Graph d) eine Kurve, die einem Logarithmus ähnelt. Somit ist Graph a) die richtige Wahl.

Graph a) ist richtig, da \(f(x) = \ln(3)\) konstant und positiv ist und eine Stammfunktion daher eine Gerade mit der konstanten positiven Steigung \(\ln(3)\) sein muss.

- Welchen Funktionstyp (Gerade, Parabel, etc.) erwartest du für die Stammfunktion einer linearen Funktion? - Was kannst du über die Steigung der Stammfunktion \(F\) an der Stelle aussagen, an der die ursprüngliche Funktion \(f\) den Wert Null annimmt? - Untersuche den Vorzeichenwechsel von \(f\) an der Nullstelle. Was verrät dir das über die Art des Extrempunkts (Hochpunkt oder Tiefpunkt) von \(F\)? - Vergleiche die Lage der Scheitelpunkte in den Abbildungen mit der berechneten Nullstelle der Funktion \(f\).

1. Berechnung der Nullstelle: Die Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}x - 1\) hat eine Nullstelle bei \(x = 2\). Da \(f\) die Ableitungsfunktion der Stammfunktion \(F\) ist (\(F' = f\)), muss \(F\) an der Stelle \(x = 2\) eine waagerechte Tangente und somit einen Extrempunkt besitzen. 2. Analyse der Monotonie: Für \(x < 2\) ist \(f(x) < 0\), was bedeutet, dass die Stammfunktion \(F\) in diesem Bereich fällt. Für \(x > 2\) ist \(f(x) > 0\), sodass \(F\) dort steigt. Dies impliziert, dass bei \(x = 2\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vorliegen muss. 3. Bestimmung des Funktionstyps: Die Stammfunktion einer linearen Funktion ist stets eine quadratische Funktion, deren Graph eine Parabel ist. 4. Auswahl des Graphen: Nur Graph a) zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Scheitelpunkt bei \(x = 2\).

Der richtige Graph ist a). Die Stammfunktion einer linearen Funktion ist eine Parabel. Da die Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}x - 1\) bei \(x = 2\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus aufweist, muss die Stammfunktion \(F\) an dieser Stelle ein lokales Minimum besitzen.

- Betrachte zuerst die Stelle, an der einer der beiden Graphen die x-Achse schneidet. Was müsste der andere Graph dort besitzen, wenn er eine Stammfunktion ist? - Prüfe danach unabhängig davon die Vorzeichenbereiche des möglichen \(f\)-Graphen. - Eine vollständige Begründung braucht sowohl die Nullstellen-Extremstellen-Beziehung als auch die Vorzeichen-Monotonie-Beziehung.

1. Graph a besitzt bei \(x=0\) ein lokales Minimum. Graph b besitzt genau dort eine Nullstelle und wechselt von negativen zu positiven Werten. 2. Für \(x<0\) ist Graph b negativ und Graph a fällt; für \(x>0\) ist Graph b positiv und Graph a steigt. 3. Damit stimmen sowohl die Nullstellen-Extremstellen-Beziehung als auch die Vorzeichen-Monotonie-Beziehung mit \(F'=f\) überein. 4. Folglich ist Graph a der Graph einer Stammfunktion \(F\), und Graph b gehört zu \(f\).

Graph a gehört zu \(F\), Graph b zu \(f\). Bei \(x=0\) besitzt a ein lokales Minimum, während b dort von negativ zu positiv wechselt; außerdem fällt a links von \(0\) und steigt rechts davon genau entsprechend dem Vorzeichen von b.

- Nullstellen von \(f\) sind Stellen, an denen eine Stammfunktion waagerechte Tangenten haben kann. - Vergleiche das Vorzeichen von \(f\) mit dem Steigen oder Fallen jedes Kandidaten. - Ein Kandidat muss beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

1. Die Funktion \(f\) hat Nullstellen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Dort müssen mögliche Extremstellen einer Stammfunktion liegen. 2. Für \(-2<x<2\) gilt \(f(x)<0\). Daher muss eine Stammfunktion in diesem Intervall streng fallen. 3. Der rote Graph \(g\) besitzt bei \(x=-2\) und \(x=2\) passende waagerechte Tangenten und fällt zwischen diesen Stellen. Der blaue Graph \(h\) steigt dort, der grüne Graph \(k\) besitzt die erforderlichen Extremstellen nicht. 4. Somit ist \(g\) der Graph einer Stammfunktion von \(f\).

Der rote Graph \(g\) ist der Graph einer Stammfunktion \(F\) von \(f\).

- Der Graph zeigt die Änderungsrate \(f'\), nicht die Funktion \(f\) selbst. - Die Flächenbilanz unter \(f'\) auf \([0;4]\) ist die Änderung von \(f\) auf diesem Intervall. - Addiere diese Änderung zum gegebenen Anfangswert \(f(0)\).

1. Nach dem Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Gesamtänderung gilt \(f(4)-f(0)=\int_0^4 f'(x)\,\mathrm{d}x\). 2. Zwischen \(x=0\) und \(x=4\) besteht die Fläche aus zwei Dreiecken mit jeweils Grundseite \(2\) und Höhe \(2\). Die Flächenbilanz beträgt daher \(2+2=4\). 3. Mit \(f(0)=2\) folgt \(f(4)=2+4=6\).

\(f(4)=6\)

- Die Fläche unter dem Graphen von \(f'\) beschreibt die Änderung von \(f\). - Welche geometrische Form liegt zwischen \(x=0\) und \(x=2\) vor? - Addiere die gefundene Änderung zum Anfangswert \(f(0)\).

1. Es gilt \(f(2)-f(0)=\int_0^2 f'(x)\,\mathrm{d}x\). 2. Zwischen \(x=0\) und \(x=2\) liegt ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(1\) und \(2\) und der Breite \(2\). Seine Fläche ist \(\frac{1+2}{2}\cdot2=3\). 3. Mit \(f(0)=1\) folgt \(f(2)=1+3=4\).

\(f(2)=4\)

- Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie verändert sich die Steigung der ursprünglichen Funktion \(h\) an einem Hochpunkt bzw. an einem Tiefpunkt? - Beobachte den Graphen von \(h'\) an seinen Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse. Geht er von oben nach unten oder von unten nach oben?

1. Lokale Extremstellen der Funktion \(h\) befinden sich an den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(h'\), sofern dort ein Vorzeichenwechsel von \(h'\) stattfindet. 2. Dem Graphen entnimmt man die Nullstellen von \(h'\) bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 3. An der Stelle \(x_1 = -2\) wechselt \(h'\) das Vorzeichen von Plus nach Minus (der Graph kreuzt die \(x\)-Achse von oben nach unten). Ein Wechsel von einer positiven zu einer negativen Steigung bedeutet, dass \(h\) dort ein lokales Maximum hat. 4. An der Stelle \(x_2 = 2\) wechselt \(h'\) das Vorzeichen von Minus nach Plus (der Graph kreuzt die \(x\)-Achse von unten nach oben). Ein Wechsel von einer negativen zu einer positiven Steigung bedeutet, dass \(h\) dort ein lokales Minimum hat.

Die Funktion \(h\) hat bei \(x = -2\) ein lokales Maximum (Vorzeichenwechsel von \(h'\) von \(+\) nach \(-\)) und bei \(x = 2\) ein lokales Minimum (Vorzeichenwechsel von \(h'\) von \(-\) nach \(+\)).

- Wo die Ableitung den Wert Null hat, hat die Funktion eine waagerechte Tangente. - Ein positiver Wert von \(f'\) bedeutet, dass der Graph von \(f\) steigt. - Ein negativer Wert von \(f'\) bedeutet, dass der Graph von \(f\) fällt.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -2\) und \(x = 4\). Diese Stellen sind die Kandidaten für Extremstellen von \(f\). 2. Untersuchung der Vorzeichen von \(f'\): - Im Intervall \([-3; -2)\) ist \(f'(x) < 0\), daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. - Im Intervall \((-2; 4)\) ist \(f'(x) > 0\), daher ist \(f\) dort streng monoton steigend. - Im Intervall \((4; 5]\) ist \(f'(x) < 0\), daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. 3. Schlussfolgerung für den Verlauf: \(f\) hat bei \(x = -2\) einen Tiefpunkt und bei \(x = 4\) einen Hochpunkt.

1. Ein möglicher Graph hat bei \(x = -2\) einen Tiefpunkt und bei \(x = 4\) einen Hochpunkt. 2. Die Funktion \(f\) ist im Intervall \([-3; -2]\) streng monoton fallend, im Intervall \([-2; 4]\) streng monoton steigend und im Intervall \([4; 5]\) wieder streng monoton fallend.

- Vergleiche Nullstellen eines Graphen mit Extremstellen des anderen. - Prüfe zusätzlich, ob das Vorzeichen des möglichen \(f\)-Graphen zum Steigen und Fallen des möglichen \(F\)-Graphen passt. - Eine korrekte Zuordnung muss beide Kriterien erfüllen.

1. Graph a hat Nullstellen bei \(x=\frac{\pi}{2}\) und \(x=\frac{3\pi}{2}\). 2. Graph b besitzt an diesen Stellen ein lokales Maximum beziehungsweise Minimum. Das passt zu \(F'=f\). 3. Zusätzlich ist Graph a für \(0<x<\frac{\pi}{2}\) positiv, während Graph b dort steigt. Auch dies bestätigt die Zuordnung. 4. Daher gehört Graph a zu \(f\) und Graph b zu \(F\).

Graph a: \(f\) Graph b: \(F\)

- Überlege dir zuerst, welchen Funktionstyp die Stammfunktion einer linearen Funktion hat. - Die Nullstellen von \(f\) geben dir Hinweise auf die Extremstellen von \(F\). - Achte auf das Vorzeichen von \(f\): Wo \(f\) positiv ist, muss \(F\) steigen. - Nutze die Bedingung \(F(2) = 0\), um die Lage des Graphen festzulegen.

1. Aus dem Graphen lässt sich \(f(x) = 0{,}5x - 1\) ablesen. 2. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x) = 0{,}25x^2 - x + C\). 3. Aus \(F(2) = 0\) folgt \(0{,}25 \cdot 2^2 - 2 + C = 0\), also \(C = 1\). 4. Damit ist \(F(x) = 0{,}25x^2 - x + 1\). Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((2 \mid 0)\), da \(f(2) = 0\) ist und \(f\) dort von Minus nach Plus wechselt.

Der Graph von \(F\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((2 \mid 0)\). Weitere Punkte sind zum Beispiel \((0 \mid 1)\) und \((4 \mid 1)\).

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Wie hängen Stammfunktion und Integral zusammen? - Du kannst den Wert direkt bestimmen, ohne die Funktionsgleichung aufzustellen, indem du geometrische Flächeninhalte berechnest. - Achte darauf, ob Flächen oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen.

1. Die Differenz \(F(4) - F(1)\) entspricht dem bestimmten Integral \(\int_{1}^{4} f(x) \,\mathrm{d}x\). 2. Zerlegung der Fläche in Teilflächen zwischen dem Graphen und der x-Achse: - Von \(x=1\) bis \(x=3\) liegt ein Dreieck oberhalb der x-Achse mit Grundseite \(g=2\) und Höhe \(h=2\). Inhalt: \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). - Von \(x=3\) bis \(x=4\) liegt ein Dreieck unterhalb der x-Achse mit Grundseite \(g=1\) und Höhe \(h=1\). Inhalt: \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\). 3. Berechnung der Flächenbilanz: Da die zweite Teilfläche unterhalb der x-Achse liegt, zählt sie negativ. 4. \(F(4) - F(1) = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\).

Der Wert der Differenz beträgt \(F(4) - F(1) = 1{,}5\).

- Erinnere dich daran, dass \(f\) die Ableitungsfunktion von \(F\) ist. - Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie hilft dir der Vorzeichenwechsel der Ableitung bei der Bestimmung der Art des Extremums?

1. Lokale Extremstellen einer Stammfunktion \(F\) liegen an den Nullstellen der Funktion \(f\), da \(F'(x) = f(x)\). 2. Ablesen der Nullstellen von \(f\): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 3. Klassifizierung der Extremstelle bei \(x_1 = 0\): Da \(f\) (die Ableitung von \(F\)) das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt, fällt \(F\) links von \(0\) und steigt rechts davon. Es liegt ein lokales Minimum vor. 4. Klassifizierung der Extremstelle bei \(x_2 = 4\): Da \(f\) das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt, steigt \(F\) links von \(4\) und fällt rechts davon. Es liegt ein lokales Maximum vor.

Die Stammfunktion \(F\) hat bei \(x = 0\) ein lokales Minimum und bei \(x = 4\) ein lokales Maximum. Die Begründung erfolgt über den Vorzeichenwechsel von \(f\) an diesen Stellen.

- Was weißt du über die Ableitungen einer Stammfunktion? - In welchem Zusammenhang stehen die Steigung von \(f\) und die Krümmung von \(F\)? - Suche im Graphen nach Punkten, an denen die Steigung von \(f\) null ist.

1. Eine Funktion \(F\) hat eine Wendestelle dort, wo ihre zweite Ableitung \(F''\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat. 2. Da \(F' = f\) gilt, ist \(F'' = f'\). Somit entsprechen die Wendestellen von \(F\) den Extremstellen von \(f\). 3. Ablesen der Extremstellen von \(f\): Das lokale Minimum liegt bei \(x \approx -2{,}3\), das lokale Maximum bei \(x \approx 2{,}3\). 4. An diesen Stellen hat der Graph der Stammfunktion \(F\) seine Wendestellen.

Die Stammfunktion \(F\) besitzt Wendestellen bei \(x \approx -2{,}3\) und \(x \approx 2{,}3\). Dies liegt daran, dass die Extremstellen von \(f\) den Nullstellen von \(f'\) (und somit \(F''\)) entsprechen, was die Bedingung für Wendestellen von \(F\) ist.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Nullstellen der Ableitung und den Extrempunkten einer Funktion? - Wie kannst du am Graphen der Ableitung erkennen, ob die Originalfunktion steigt oder fällt? - Achte darauf, in welche Richtung der Graph der Ableitungsfunktion die x-Achse schneidet.

1. Da \(F'(x) = g(x)\), liegen die Extremstellen von \(F\) an den Nullstellen von \(g\) mit Vorzeichenwechsel. 2. Ablesen der Nullstellen von \(g\) aus der Grafik: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 3\). 3. Untersuchung des Vorzeichenwechsels (VZW) von \(g\): - Bei \(x = -3\) wechselt \(g\) von negativ zu positiv. Dies entspricht einem VZW von \(-\) nach \(+\) bei \(F'\), also hat \(F\) dort ein lokales Minimum. - Bei \(x = 0\) wechselt \(g\) von positiv zu negativ. Dies entspricht einem VZW von \(+\) nach \(-\) bei \(F'\), also hat \(F\) dort ein lokales Maximum. - Bei \(x = 3\) wechselt \(g\) von negativ zu positiv. Dies entspricht einem VZW von \(-\) nach \(+\) bei \(F'\), also hat \(F\) dort ein lokales Minimum.

Lokale Minima bei \(x = -3\) und \(x = 3\); lokales Maximum bei \(x = 0\).

- Wie hängen die Krümmung einer Funktion \(F\) und das Steigungsverhalten ihrer Ableitung \(f\) zusammen? - In welchem Bereich des Graphen steigt die Kurve von links nach rechts an? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung von \(F\) und der ersten Ableitung von \(f\).

1. Eine Funktion \(F\) ist in einem Intervall linksgekrümmt, wenn ihre zweite Ableitung dort positiv ist: \(F''(x) > 0\). 2. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, folgt \(F''(x) = f'(x)\). Die Bedingung \(F''(x) > 0\) ist also gleichbedeutend mit \(f'(x) > 0\). 3. \(f'(x) > 0\) bedeutet grafisch, dass die Funktion \(f\) in diesem Intervall streng monoton steigt. 4. Dem Graphen entnimmt man, dass \(f\) im Intervall \((0; 2)\) streng monoton steigt (vom lokalen Minimum bei \(x=0\) zum lokalen Maximum bei \(x=2\)). 5. Daher ist jede Stammfunktion \(F\) im Intervall \((0; 2)\) linksgekrümmt.

Im Intervall \((0; 2)\) ist \(F\) linksgekrümmt, da die Funktion \(f\) dort streng monoton steigt und somit \(F''(x) = f'(x) > 0\) gilt.

- Welche Eigenschaft muss die Funktion \(f\) an einer Stelle haben, damit die Stammfunktion \(F\) dort ein Extremum besitzt? - Zähle die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse überquert. - Macht es für die Anzahl der Extremstellen einen Unterschied, ob der Graph die Achse von oben nach unten oder von unten nach oben schneidet?

1. Jede lokale Extremstelle einer Stammfunktion \(F\) entspricht einer Nullstelle der Ableitungsfunktion \(F'(x) = f(x)\) mit einem Vorzeichenwechsel. 2. Aus dem Graphen lassen sich die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse ablesen. Diese liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = -0{,}5\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2{,}5\). 3. An all diesen vier Stellen wechselt der Graph von \(f\) die Seite der \(x\)-Achse (von oberhalb nach unterhalb oder umgekehrt), was jeweils einen Vorzeichenwechsel bedeutet. 4. Da es genau vier solcher Nullstellen mit Vorzeichenwechsel gibt, besitzt jede Stammfunktion \(F\) genau vier lokale Extremstellen.

Jede Stammfunktion \(F\) besitzt 4 lokale Extremstellen, da die Funktion \(f\) im dargestellten Bereich 4 Nullstellen mit Vorzeichenwechsel aufweist.

- Welchen Funktionswert muss \(I_1\) bei \(x=1\) besitzen? - Welches Vorzeichen hat \(f\) zwischen \(1\) und \(3\) laut Graph? - Was folgt daraus für das Monotonieverhalten der Integralfunktion?

1. Wegen der unteren Grenze gilt \(I_1(1)=0\). Damit scheidet \(G_1\) aus, denn dieser Graph hat bei \(x=1\) nicht den Wert \(0\). 2. Aus dem Graphen von \(f\) liest man ab, dass \(f(x)>0\) für \(1<x<3\) gilt. Wegen \(I_1'(x)=f(x)\) muss die Integralfunktion dort streng steigen. 3. Von den verbleibenden Kandidaten steigt nur \(G_2\) auf \((1;3)\). Daher ist \(G_2\) der Graph der Integralfunktion.

Der richtige Graph ist \(G_2\).

- Welche Beziehung stellt der Hauptsatz zwischen \(f\) und einer Stammfunktion \(F\) her? - Welche beiden Werte musst du am beschrifteten Graphen von \(F\) ablesen? - In welcher Reihenfolge werden diese beiden Werte subtrahiert?

1. Aus dem Graphen von \(F\) liest man \(F(3)=4\) und \(F(0)=1\) ab. 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_{0}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x=F(3)-F(0)=4-1=3\).

\(3\)

- Welche Werte von \(F\) gehören zu den beiden Integrationsgrenzen? - Wie wird aus diesen Werten der bestimmte Integralwert gebildet? - Was bedeutet es für das Integral, wenn beide Stammfunktionswerte gleich sind?

1. Am Graphen von \(F\) liest man \(F(2)=0\) und \(F(-2)=0\) ab. 2. Damit gilt nach dem Hauptsatz \(\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(-2)=0\).

\(0\)

- Welche Beziehung gilt zwischen \(H'\) und dem dargestellten \(h\)? - Welche Stellen des Graphen von \(h\) kommen für Extremstellen von \(H\) infrage? - Entscheide anhand des Vorzeichenwechsels von \(h\), ob \(H\) von Steigen zu Fallen oder von Fallen zu Steigen wechselt.

1. Da \(H\) eine Stammfunktion von \(h\) ist, gilt \(H'=h\). Lokale Extremstellen von \(H\) können daher an Nullstellen von \(h\) mit Vorzeichenwechsel liegen. 2. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(x=1\) und \(x=5\) ab. 3. Bei \(x=1\) wechselt \(h\) von positiv zu negativ. Somit besitzt \(H\) dort ein lokales Maximum. 4. Bei \(x=5\) wechselt \(h\) von negativ zu positiv. Somit besitzt \(H\) dort ein lokales Minimum.

Bei \(x=1\) besitzt \(H\) ein lokales Maximum; bei \(x=5\) besitzt \(H\) ein lokales Minimum.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung einer Stammfunktion und den Werten der ursprünglichen Funktion? - Erinnere dich an die Kriterien für Monotonie und lokale Extrema einer Funktion unter Verwendung ihrer Ableitung. - Achte besonders auf die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f\).

1. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, bestimmt das Vorzeichen von \(f\) das Monotonieverhalten jeder Stammfunktion \(F\). 2. \(F\) ist streng monoton fallend, wenn \(f(x)<0\). Dies ist im dargestellten Bereich auf \([-3;-2]\) und \([1;3]\) der Fall, wobei die Randpunkte Nullstellen sein können. 3. An der Stelle \(x=1\) hat \(f\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus. Daher wechselt \(F'=f\) von positiv zu negativ und jede Stammfunktion besitzt dort ein lokales Maximum.

a) \([-3; -2]\) und \([1; 3]\) b) Es gilt \(F'(x) = f(x)\). Da \(f(1) = 0\) ist und der Graph von \(f\) bei \(x=1\) von positiven zu negativen Werten wechselt, liegt ein lokales Maximum von \(F\) vor.

- Lies zuerst nur aus dem ersten Panel ab, wo \(f\) positiv, negativ und null ist. - Übersetze diese Vorzeichenbereiche mit \(F'=f\) in Monotonieabschnitte von \(F\). - Prüfe anschließend die Arten der Extremstellen an den beiden inneren Nullstellen. - Nutze keine bekannte Stammfunktionsformel; die graphischen Beziehungen reichen vollständig aus.

1. Der dargestellte Graph von \(f\) ist zunächst positiv, danach negativ und zum Ende wieder positiv. Seine beiden inneren Nullstellen trennen diese drei Vorzeichenbereiche. 2. Eine Stammfunktion \(F\) muss deshalb zunächst steigen, dann fallen und anschließend wieder steigen. An der ersten inneren Nullstelle von \(f\) besitzt \(F\) ein lokales Maximum, an der zweiten ein lokales Minimum. 3. Nur Kandidat a) zeigt genau diesen Verlauf. 4. Kandidat b) hat die vertauschten Extremtypen; c) und d) besitzen ihre Extremstellen an anderen Stellen und passen daher nicht zu den Nullstellen und Vorzeichenbereichen von \(f\).

Kandidat a) ist passend. Er steigt im ersten positiven Bereich von \(f\), fällt im negativen Bereich und steigt im letzten positiven Bereich wieder; an den beiden inneren Nullstellen von \(f\) liegen entsprechend ein lokales Maximum und ein lokales Minimum.

- Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\)? Überlege, welche Ableitung von \(F\) der Funktion \(f\) entspricht. - Wie hängen die Nullstellen und Vorzeichenwechsel einer Ableitungsfunktion mit den Extrempunkten der Originalfunktion zusammen? - Was bedeutet es für das Monotonieverhalten einer Funktion, wenn ihre Ableitung in einem bestimmten Bereich positiv oder negativ ist? - An welchen Stellen einer Ableitungsfunktion liegen die Wendestellen der Originalfunktion? Denke an die Steigung der Ableitung.

1. Zusammenhang zwischen der Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\): Es gilt \(F'(x) = f(x)\) und \(F''(x) = f'(x)\). 2. Untersuchung von Aussage a): Die Nullstellen von \(f\) liegen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Bei \(x = -2\) hat \(f\) einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus, was einem lokalen Minimum (Tiefpunkt) von \(F\) entspricht. Bei \(x = 2\) hat \(f\) einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus, was einem lokalen Maximum (Hochpunkt) von \(F\) entspricht. Aussage a) ist wahr. 3. Untersuchung von Aussage b): Im Intervall \([-2; 2]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb oder auf der \(x\)-Achse, es gilt also \(f(x) \ge 0\) und somit \(F'(x) \ge 0\). Daher ist \(F\) in diesem Intervall streng monoton steigend. Aussage b) ist falsch. 4. Untersuchung von Aussage c): Wendestellen von \(F\) entsprechen den Extremstellen von \(f\). Da \(f\) bei \(x = 0\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) hat, liegt dort eine Wendestelle von \(F\). Aussage c) ist wahr.

a) Wahr, da die Nullstellen von \(f\) mit den entsprechenden Vorzeichenwechseln die Extremstellen von \(F\) angeben: Tiefpunkt bei \(x = -2\), Hochpunkt bei \(x = 2\). b) Falsch, da \(f(x) \ge 0\) im Intervall \([-2; 2]\) gilt. Somit ist \(F\) in diesem Intervall streng monoton steigend. c) Wahr, da die Extremstellen von \(f\) den Wendestellen von \(F\) entsprechen. Da \(f\) bei \(x = 0\) einen Hochpunkt hat, liegt bei \(F\) an dieser Stelle eine Wendestelle vor.

- Wie kannst du die Funktionsgleichung einer Geraden aus ihrem Graphen ablesen? Achte auf den y-Achsenabschnitt und die Steigung. - Sobald du die Gleichung der Ableitung \(f'(x)\) hast, wie findest du dann die allgemeine Stammfunktion \(f(x)\)? Denk an die Integrationskonstante \(C\). - Wie hilft dir der gegebene Punkt \(P(2 \mid 1)\), um den genauen Wert von \(C\) zu bestimmen?

1. Zuerst wird die Funktionsgleichung der Ableitung \(f'\) aus dem Graphen abgelesen. Da es sich um eine Gerade handelt, bestimmen wir den y-Achsenabschnitt \(n\) und die Steigung \(m\). Der y-Achsenabschnitt liegt bei \(n = 2\). Aus dem Punkt \((0 \mid 2)\) und der Nullstelle \((4 \mid 0)\) ergibt sich die Steigung: \(m = \frac{0 - 2}{4 - 0} = -0{,}5\) Somit lautet die Ableitungsfunktion: \(f'(x) = -0{,}5x + 2\) 2. Um die Ausgangsfunktion \(f\) zu bestimmen, bilden wir die Stammfunktion durch Integration: \(f(x) = \int (-0{,}5x + 2)\,\mathrm{d}x = -0{,}25x^2 + 2x + C\) 3. Die Integrationskonstante \(C\) wird mithilfe des Punktes \(P(2 \mid 1)\) ermittelt. Dazu setzen wir die Koordinaten in die Funktionsgleichung ein: \(f(2) = 1\) \(-0{,}25 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + C = 1\) \(-1 + 4 + C = 1\) \(3 + C = 1 \implies C = -2\) 4. Durch Einsetzen von \(C = -2\) erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}25x^2 + 2x - 2\)

\(f(x) = -0{,}25x^2 + 2x - 2\)

- Überlege zuerst, in welcher mathematischen Beziehung die Stammfunktion \(F\) und die gegebene Ableitungsfunktion \(f\) zueinander stehen. - Welche Bedingungen müssen an die Ableitungsfunktion \(f\) erfüllt sein, damit die Stammfunktion \(F\) an einer Stelle eine Extremstelle besitzt? - Achte auf den Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von \(f\) an den Nullstellen, um zwischen einem lokalen Maximum und einem lokalen Minimum zu unterscheiden. - Welcher besondere Punkt auf dem Graphen der Ableitung \(f\) entspricht dem Wendepunkt der Stammfunktion \(F\)?

1. Zusammenhang zwischen \(F\) und \(f\): Die gegebene Funktion \(f\) ist die erste Ableitung der Stammfunktion \(F\), es gilt also \(F'(x) = f(x)\). Demnach ist die zweite Ableitung \(F''(x) = f'(x)\). 2. Bestimmung der Extremstellen (Teilaufgabe a): - Lokale Extremstellen von \(F\) liegen an den Nullstellen von \(F' = f\) mit Vorzeichenwechsel. - Bei \(x = -1\) wechselt der Graph von \(f\) von positiven zu negativen Werten (Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\)). Das bedeutet, dass \(F\) vor \(x = -1\) steigt und danach fällt. Somit hat \(F\) bei \(x = -1\) ein lokales Maximum. - Bei \(x = 3\) wechselt der Graph von \(f\) von negativen zu positiven Werten (Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\)). Das bedeutet, dass \(F\) vor \(x = 3\) fällt und danach steigt. Somit hat \(F\) bei \(x = 3\) ein lokales Minimum. 3. Bestimmung des Wendepunkts (Teilaufgabe b): - Ein Wendepunkt von \(F\) liegt an den Stellen vor, an denen die zweite Ableitung \(F'' = f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. Das entspricht genau den lokalen Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion \(f\). - Der Graph von \(f\) hat bei \(x = 1\) einen Tiefpunkt. Daher besitzt \(F\) bei \(x = 1\) einen Wendepunkt.

a) Lokales Maximum bei \(x = -1\) und lokales Minimum bei \(x = 3\). b) Wendepunkt bei \(x = 1\).

- Welche Beziehung gilt zwischen der Steigung von \(F\) und den Werten von \(f\)? - An welchen Stellen muss \(F\) wegen der Nullstellen von \(f\) waagerechte Tangenten besitzen? - Wie bestimmt das Vorzeichen von \(f\) die steigenden und fallenden Abschnitte von \(F\)? - Vergleiche diese Anforderungen mit den drei Kandidatengraphen.

1. Für eine Stammfunktion gilt \(F'=f\). 2. Der Graph von \(f\) hat Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=2\). Daher muss \(F\) dort waagerechte Tangenten besitzen. 3. Für \(x<0\) ist \(f>0\), für \(0<x<2\) ist \(f<0\), und für \(x>2\) ist \(f>0\). Deshalb steigt \(F\), fällt anschließend und steigt danach wieder. 4. Somit besitzt \(F\) bei \(x=0\) ein lokales Maximum und bei \(x=2\) ein lokales Minimum. 5. Nur Graph a zeigt genau dieses Verhalten. Daher ist Graph a eine mögliche Stammfunktion von \(f\).

Graph a ist eine mögliche Stammfunktion von \(f\).

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\)? - Wie verhalten sich die Funktionswerte einer streng monoton steigenden Funktion auf einem Intervall? - Was passiert mit der Steigung der Funktion \(f\) an einer Stelle, an der die Ableitung \(f'\) die \(x\)-Achse schneidet und ihr Vorzeichen wechselt? - Wie hängen die Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit den Wendestellen der Originalfunktion \(f\) zusammen?

1. Untersuchung von Aussage a): Bei \(x = 0\) hat der Graph der Ableitungsfunktion \(G_{f'}\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus (da \(f'(x) < 0\) für \(x < 0\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > 0\)). Dies entspricht einem lokalen Tiefpunkt von \(G_f\). Die Aussage ist somit wahr. 2. Untersuchung von Aussage b): Im Intervall \([0; 4]\) gilt \(f'(x) \ge 0\). Daher ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton steigend (zunehmend), nicht fallend. Die Aussage ist somit falsch. 3. Untersuchung von Aussage c): Da \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in (0; 3]\) gilt, ist \(f\) auf \([0; 3]\) streng monoton steigend, was \(f(3) > f(0)\) bedeutet. Mit \(f(0) = 2\) folgt \(f(3) > 2\). Die Aussage ist somit wahr. 4. Untersuchung von Aussage d): Ein Wendepunkt von \(f\) liegt dort vor, wo die Ableitung \(f'\) eine lokale Extremstelle besitzt. Da \(G_{f'}\) bei \(x = 2\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) aufweist, hat \(G_f\) bei \(x = 2\) eine Wendestelle. Die Aussage ist somit wahr.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Wahr

- Wie bestimmt das Vorzeichen einer Funktion die Monotonie ihrer Stammfunktion? - Welche Extremstellen muss die Stammfunktion von \(f\) wegen der beiden Nullstellen besitzen? - Welche Art von Extremstelle muss die Stammfunktion von \(g\) bei \(x=1\) besitzen? - Vergleiche diese Bedingungen mit den vier Kandidatengraphen.

1. Die Funktion \(f\) hat Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=2\). Sie ist außerhalb dieses Intervalls positiv und dazwischen negativ. Eine Stammfunktion muss daher vor \(0\) steigen, zwischen \(0\) und \(2\) fallen und danach wieder steigen. Das trifft auf Graph a zu. 2. Die Funktion \(g\) ist eine fallende Gerade mit Nullstelle bei \(x=1\). Sie ist links von \(1\) positiv und rechts davon negativ. Eine Stammfunktion muss daher bis \(x=1\) steigen und danach fallen. Das trifft auf Graph b zu. 3. Somit gehört a zu \(f\) und b zu \(g\).

Zu \(f\) gehört Graph a; zu \(g\) gehört Graph b.

- Welche Beziehung gilt zwischen \(F'\) und \(f\)? - Wie bestimmt das Vorzeichen von \(f\) die Monotonie von \(F\)? - Was bedeutet ein Vorzeichenwechsel von \(f\) an einer Nullstelle für die Art eines Extremums von \(F\)? - Welche markante Stelle von \(f\) kann eine Wendestelle von \(F\) anzeigen? - Für Aussage (4): Reicht das Monotonieverhalten von \(F\) zum Vergleich der beiden Funktionswerte aus?

1. Es gilt \(F'=f\). 2. Auf \((-2;1)\) ist \(f>0\). Daher ist \(F\) auf \([-2;1]\) streng monoton steigend. Aussage (1) ist wahr. 3. Bei \(x=1\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(F\) dort ein lokales Maximum, kein Minimum. Aussage (2) ist falsch. 4. Bei \(x\approx2{,}1\) besitzt \(f\) ein lokales Minimum. Damit wechselt \(f'=F''\) dort das Vorzeichen; \(F\) hat eine Wendestelle. Aussage (3) ist wahr. 5. Auf \((1;3)\) gilt \(f<0\), also ist \(F\) dort streng monoton fallend. Deshalb gilt \(F(3)<F(1)\). Aussage (4) ist falsch.

(1) Wahr. (2) Falsch; bei \(x=1\) besitzt \(F\) ein lokales Maximum. (3) Wahr. (4) Falsch; es gilt \(F(3)<F(1)\).

- Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit den Extremstellen ihrer Stammfunktion zusammen? - Welche Bedeutung hat das Vorzeichen einer Funktion für das Steigungsverhalten ihrer Stammfunktion? - Wenn eine Funktion in einem Bereich positiv ist, muss die Stammfunktion dort steigen oder fallen? - Vergleiche die Lage der Hoch- und Tiefpunkte in den Graphen I, II und III mit den Stellen, an denen der Graph von \(f\) die x-Achse schneidet.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f\): Aus dem Graphen \(G_f\) lässt sich ablesen, dass die Funktion \(f\) bei \(x = 1\) und \(x = 3\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, müssen die Extremstellen der Stammfunktion \(F\) bei den Nullstellen von \(f\) liegen. Somit muss \(F\) bei \(x = 1\) und \(x = 3\) lokale Extrema aufweisen. 2. Ausschluss von Graph II: Graph II besitzt lokale Extrema bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Da dies nicht mit den Nullstellen von \(f\) übereinstimmt, ist Graph II keine Stammfunktion von \(f\). 3. Untersuchung des Monotonieverhaltens für Graphen I und III: - Für \(x < 1\) verläuft der Graph \(G_f\) oberhalb der x-Achse (\(f(x) > 0\)). Daher muss die Stammfunktion \(F\) in diesem Intervall streng monoton steigend sein. - Graph I ist für \(x < 1\) streng monoton steigend (er besitzt bei \(x = 1\) einen Hochpunkt). - Graph III ist für \(x < 1\) streng monoton fallend (er besitzt bei \(x = 1\) einen Tiefpunkt). Dies widerspricht der Bedingung \(f(x) > 0\). 4. Ergebnis: Graph I stellt die korrekte Stammfunktion \(F\) dar.

a) Graph I stellt eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) dar. b) Graph II kommt nicht infrage, da seine lokalen Extrema bei \(x = 0\) und \(x = 2\) liegen, während die Nullstellen von \(f\) bei \(x = 1\) und \(x = 3\) liegen. Graph III kommt nicht infrage, da er für \(x < 1\) streng monoton fallend ist (Tiefpunkt bei \(x = 1\)), obwohl \(f(x) > 0\) in diesem Intervall gilt und die Stammfunktion daher dort streng monoton steigen müsste.

- Welche Beziehung besteht zwischen \(F'\) und \(f\)? - Wie entscheidet der Vorzeichenwechsel von \(f\) über die Art eines Extremums von \(F\)? - Wie erhältst du die allgemeine Stammfunktion der gegebenen quadratischen Funktion? - Welche Information liefert \(P(0\mid1)\) für die additive Konstante?

1. Wegen \(F'=f\) liegen stationäre Stellen von \(F\) bei den Nullstellen von \(f\), also bei \(x=-3\) und \(x=3\). 2. Bei \(x=-3\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv; daher hat \(F\) dort einen Tiefpunkt. Bei \(x=3\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ; dort hat \(F\) einen Hochpunkt. 3. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=-\frac{1}{18}x^3+1{,}5x+C\). Aus \(F(0)=1\) folgt \(C=1\). 4. Damit ist \(F(x)=-\frac{1}{18}x^3+1{,}5x+1\). 5. Es ist \(F(-3)=-2\) und \(F(3)=4\). Somit lauten die Extrempunkte \(T(-3\mid-2)\) und \(H(3\mid4)\), im Einklang mit Teil a).

a) Tiefpunkt bei \(x=-3\), Hochpunkt bei \(x=3\). b) \(F(x)=-\frac{1}{18}x^3+1{,}5x+1\) c) \(T(-3\mid-2)\) und \(H(3\mid4)\).

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Vorzeichen von \(f\) und dem Monotonieverhalten einer Stammfunktion \(F\)? - An welcher Nullstelle von \(f\) wechselt das Vorzeichen von positiv zu negativ? - Wie lässt sich die Änderung von \(F_1\) zwischen zwei Stellen durch ein bestimmtes Integral ausdrücken?

1. Für jede Stammfunktion gilt \(F'=f\). Ein lokaler Hochpunkt von \(F\) liegt daher an einer Nullstelle von \(f\), an der \(f\) von positiv zu negativ wechselt. 2. Bei \(x=1\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ. Deshalb besitzt \(F\) dort einen lokalen Hochpunkt. 3. Für Teil b) gilt \(F_1(0)-F_1(-2)=\int_{-2}^{0}f(x)\,dx\). 4. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(A(x)=\frac{1}{16}x^4-\frac14x^3-\frac34x^2+2x\). Damit ist \(\int_{-2}^{0}f(x)\,dx=4\). 5. Also gilt \(3-F_1(-2)=4\), somit \(F_1(-2)=-1\).

a) \(x=1\) b) \(F_1(-2)=-1\)

- Verbinde das Vorzeichen von \(f\) mit dem Steigen oder Fallen einer Stammfunktion. - Bestimme in Teil b zunächst die ganze Stammfunktionsfamilie und nutze danach den gegebenen Punkt. - Für Teil c ist entscheidend, ob sich die Steigung von \(f\) links und rechts von \(x=0\) qualitativ ändert.

1. Für jede Stammfunktion gilt \(F'=f\). Der Graph von \(f\) liegt für \(-2<x<2\) oberhalb der x-Achse und für \(x<-2\) sowie \(x>2\) unterhalb der x-Achse. Daher steigt \(F\) auf \([-2;2]\) streng und fällt auf \(( -\infty;-2]\) sowie \([2;\infty)\) streng. 2. Zu \(f(x)=4-x^2\) gehört die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=4x-\frac{1}{3}x^3+C\). 3. Aus \(F_1(3)=2\) folgt \(12-9+C=2\), also \(C=-1\). Damit ist \(F_1(x)=4x-\frac{1}{3}x^3-1\). 4. Für die Krümmung von \(F\) gilt \(F''=f'\). Der Graph von \(f\) steigt für \(x<0\) und fällt für \(x>0\); daher wechselt \(f'\) bei \(x=0\) von positiv zu negativ. 5. Somit wechselt \(F''\) bei \(x=0\) das Vorzeichen. Jede Stammfunktion besitzt dort eine Wendestelle.

a) Steigend auf \([-2;2]\); fallend auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;\infty)\). b) \(F_1(x)=4x-\frac{1}{3}x^3-1\) c) Ja. Bei \(x=0\) wechselt \(F''=f'\) das Vorzeichen.

- Vergleiche das Vorzeichen von \(f\) mit dem Monotonieverhalten eines möglichen Stammfunktionsgraphen. - Welche Beziehung besteht zwischen den Extremstellen von \(f\) und den Nullstellen von \(f'\)? - Die Steigung von \(F\) an einer Stelle lässt sich unmittelbar über den Wert von \(f\) an derselben Stelle bestimmen.

1. Graph b gehört zu \(f\), da er bei \(x=0\) eine Nullstelle besitzt und sein Vorzeichen zum gegebenen Funktionsterm passt. 2. Weil \(f(x)<0\) für \(x<0\) und \(f(x)>0\) für \(x>0\) gilt, fällt jede Stammfunktion links von \(0\) und steigt rechts von \(0\). Daher gehört Graph a zu \(F\). 3. Damit gehört Graph c zu \(f'\). Dazu passt, dass die Extremstellen von \(f\) bei \(x=-1\) und \(x=1\) mit den Nullstellen von \(f'\) übereinstimmen. 4. Wegen \(F'=f\) ist die Steigung von \(F\) bei \(x=2\) gleich \(F'(2)=f(2)=\frac{6}{5}\).

a) a: \(F\), b: \(f\), c: \(f'\) b) \(F'(2)=\frac{6}{5}\)

- Beginne mit dem Graphen, der bei \(x=0\) eine deutliche Extremstelle besitzt, und suche einen möglichen Ableitungsgraphen mit einer Nullstelle dort. - Kontrolliere deine Vermutung zusätzlich über die Vorzeichen links und rechts von \(0\). - Für den zweiten Ableitungsschritt gibt es zwei weitere markante Extremstellen. Welche Graphen besitzen an denselben x-Stellen Nullstellen? - Eine Zuordnung ist erst vollständig begründet, wenn für beide Schritte auch Monotonie und Vorzeichen zusammenpassen.

1. Graph b besitzt bei \(x=0\) ein lokales Minimum. Graph c hat dort eine Nullstelle, ist links davon negativ und rechts davon positiv. Entsprechend fällt b für \(x<0\) und steigt für \(x>0\). Daher gilt \(b'=c\). 2. Graph c besitzt bei \(x=-1\) ein lokales Minimum und bei \(x=1\) ein lokales Maximum. Graph a hat bei \(x=-1\) und \(x=1\) Nullstellen. Außerdem ist a zwischen diesen Nullstellen positiv und außerhalb negativ; passend dazu steigt c zwischen \(-1\) und \(1\) und fällt außerhalb. Daher gilt \(c'=a\). 3. Somit gehört b zu \(F\), c zu \(f\) und a zu \(f'\).

a) gehört zu \(f'\), b) zu \(F\), c) zu \(f\). Für beide Ableitungsschritte stimmen Extremstellen mit Nullstellen und Monotonie mit dem Vorzeichen des jeweiligen Ableitungsgraphen überein.

- Welche mathematische Beziehung besteht zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\)? Überlege, welche Ableitung von \(F\) der Funktion \(f\) entspricht. - Wie hängen die Monotonie einer Funktion und das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung zusammen? Betrachte dazu den Verlauf des Graphen im gesuchten Intervall. - Woran erkennt man Extremstellen einer Funktion, wenn man den Graphen ihrer Ableitung vor sich hat? Achte besonders auf Nullstellen und deren Verhalten. - Wie hängen die Krümmung einer Funktion und das Steigungsverhalten ihrer ersten Ableitung zusammen? - Welche besonderen Punkte im Graphen der Ableitung entsprechen den Wendepunkten der ursprünglichen Funktion?

1. Identifikation der grundlegenden Beziehung zwischen \(f\) und \(F\): Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(F' = f\) und \(F'' = f'\). 2. Überprüfung von Aussage (1): Im Intervall \([-2; 2]\) verläuft der Graph von \(f\) unterhalb oder auf der x-Achse, es gilt also \(f(x) \le 0\) und somit \(F'(x) \le 0\). Da die Nullstellen isoliert sind, ist \(F\) in \([-2; 2]\) streng monoton fallend. Die Aussage ist wahr. 3. Überprüfung von Aussage (2): Ein lokales Maximum von \(F\) erfordert eine Nullstelle von \(F' = f\) mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Bei \(x = 2\) wechselt \(f\) das Vorzeichen jedoch von Minus nach Plus, weshalb dort ein lokales Minimum von \(F\) vorliegt. Die Aussage ist falsch. 4. Überprüfung von Aussage (3): Das Krümmungsverhalten von \(F\) wird durch die zweite Ableitung \(F'' = f'\) beschrieben. Da \(f\) im Intervall \([0; 3]\) streng monoton steigt, gilt dort \(f'(x) > 0\). Somit ist \(F''(x) > 0\), was einer Linkskrümmung entspricht. Die Aussage ist wahr. 5. Überprüfung von Aussage (4): Die Wendepunkte von \(F\) entsprechen den lokalen Extremstellen von \(f\). Da die quadratische Funktion \(f\) nur eine Extremstelle (den Scheitelpunkt bei \(x = 0\)) besitzt, hat \(F\) genau einen Wendepunkt. Die Aussage ist falsch.

(1) Wahr (2) Falsch (3) Wahr (4) Falsch

- Für die Extremstellen von \(F\) sind die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f\) entscheidend. - Welche Parabelform nutzt den im Bild markierten Scheitelpunkt besonders direkt? - Nachdem du \(f\) bestimmt hast, bilde eine Stammfunktionsfamilie und verwende erst dann die Bedingung \(F(0)=2\).

1. Wegen \(F'=f\) können Extremstellen von \(F\) an den Nullstellen von \(f\) liegen. Bei \(x=0\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, also besitzt \(F\) dort einen Hochpunkt. Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv, also besitzt \(F\) dort einen Tiefpunkt. 2. Aus dem markierten Scheitelpunkt folgt \(f(x)=a(x-1)^2-1{,}5\). Mit der markierten Nullstelle \(x=0\) ergibt sich \(0=a-1{,}5\), also \(a=1{,}5\). Damit ist \(f(x)=1{,}5x^2-3x\). 3. Eine Stammfunktion hat die Form \(F(x)=0{,}5x^3-1{,}5x^2+C\). Aus \(F(0)=2\) folgt \(C=2\). 4. Somit ist \(F(3)=0{,}5\cdot 27-1{,}5\cdot 9+2=2\).

a) Hochpunkt bei \(x=0\); Tiefpunkt bei \(x=2\) b) \(f(x)=1{,}5x^2-3x\) und \(F(3)=2\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen \(F'\) und \(f\)? - Nutze das Vorzeichen von \(f\), um zu entscheiden, wo \(F\) steigt oder fällt. - Für den Wert von \(F\) kannst du die Flächenbilanz zwischen zwei Stellen verwenden. - Was bedeutet die Steigung des Graphen von \(f\) an \(x=4\) für \(F''(4)\)?

1. Weil \(F'=f\) gilt, steigt \(F\) dort, wo \(f>0\), und fällt dort, wo \(f<0\). Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ; zusätzlich sind für das absolute Maximum die Randwerte zu vergleichen. 2. Von \(x=-2\) bis \(x=2\) beträgt die Flächenbilanz \(2+2=4\). Mit \(F(-2)=0\) folgt \(F(2)=4\). 3. Von \(x=2\) bis \(x=6\) beträgt die Flächenbilanz \(-0{,}5-2-0{,}25+0{,}25=-2{,}5\). Daher ist \(F(6)=1{,}5\). Somit liegt das absolute Maximum bei \(x=2\) und hat den Wert \(4\). 4. Auf \([0;5]\) ergeben die geometrischen Flächenbeiträge \(2-0{,}5-2=-0{,}5\). Also ist \(\int_0^5 f(x)\,\mathrm{d}x=-0{,}5\). 5. Aus \(F'=f\) folgt \(F''=f'\). Im Intervall von \(x=3\) bis \(x=5\) ist der dargestellte Graph von \(f\) waagerecht, daher ist \(f'(4)=0\). Somit gilt \(F''(4)=0\).

a) Absolutes Maximum bei \(x=2\) mit \(F(2)=4\). b) \(\int_0^5 f(x)\,\mathrm{d}x=-0{,}5\) c) \(F''(4)=0\)

- Überlege, welchen Funktionswert jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze besitzt. - Eine Verschiebung einer Stammfunktion in y-Richtung verändert ihre Ableitung nicht. - Das Vorzeichen von \(f\) lässt sich aus der Steigung des Graphen von \(F\) ablesen. - Für ein bestimmtes Integral kannst du die Werte einer Stammfunktion an den Grenzen vergleichen.

1. Eine Integralfunktion \(I_a(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) hat bei \(x=a\) den Wert \(0\). Der dargestellte Graph von \(F\) besitzt keine Nullstelle; daher ist a) falsch. 2. Für \(H(x)=F(x)-2\) gilt \(H'=F'=f\). Außerdem ist \(H(2)=F(2)-2=0\). Damit ist \(H(x)=\int_2^x f(t)\,\mathrm{d}t\); b) ist wahr. 3. Es gilt \(f(1)=F'(1)\). Der Graph von \(F\) fällt bei \(x=1\), also ist \(F'(1)<0\). Daher ist c) falsch. 4. Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(0)=2-4=-2\). Daher ist d) wahr.

a) Falsch b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Welcher Vorzeichenwechsel von \(f\) kennzeichnet ein lokales Minimum einer Stammfunktion? - Vergleiche für die Integralfunktion die Flächenbeiträge oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse. - Was sagt das Vorzeichen von \(f\) über das Monotonieverhalten jeder Stammfunktion aus?

1. Für jede Stammfunktion gilt \(F'=f\). Ein lokales Minimum von \(F\) liegt an einer Nullstelle von \(f\), an der \(f\) von negativ zu positiv wechselt. Das geschieht bei \(x=-1\) und \(x=3\). 2. Von \(-1\) bis \(1\) entsteht ein positiver Flächenbeitrag von \(2\), von \(1\) bis \(3\) ein negativer Flächenbeitrag von \(-2\). Die Flächenbilanz ist daher \(I_{-1}(3)=0\). 3. Auf \([-1;1]\) ist \(f\) im Inneren positiv, also steigt jede Stammfunktion dort streng. Auf \([1;3]\) ist \(f\) im Inneren negativ, also fällt jede Stammfunktion dort streng.

a) Lokale Minima liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\). b) \(I_{-1}(3)=0\); der positive und der negative Flächenbeitrag heben sich in der Flächenbilanz auf. c) Streng steigend auf \([-1;1]\), streng fallend auf \([1;3]\).

- Welchen Wert besitzt eine Integralfunktion \(I_a\) an ihrer unteren Grenze \(a\)? - Lies das Vorzeichen von \(f=F'\) aus dem Steigen oder Fallen des dargestellten Graphen ab. - An einer lokalen Extremstelle von \(F\) ist die Steigung besonders einfach. - Nutze für das bestimmte Integral die Stammfunktionswerte an den beiden Grenzen und beachte die Symmetrie des Graphen.

1. Für die Integralfunktion \(I_0(x)=\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\) gilt stets \(I_0(0)=0\). Aus dem Graphen liest man dagegen \(F(0)=3\). Daher ist a) falsch. 2. Wegen \(F'=f\) ist \(f\) dort positiv, wo \(F\) steigt. Im Intervall \([-2;-1]\) steigt der Graph von \(F\), also ist b) wahr. 3. Aus dem Graphen liest man \(F(0)=3\). Bei \(x=0\) besitzt \(F\) einen Hochpunkt, daher ist \(f(0)=F'(0)=0\). Somit ist \(F(0)+f(0)=3\); c) ist falsch. 4. Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_{-2}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(-2)\). Der Graph von \(F\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, also ist \(F(2)=F(-2)\). Damit ist das Integral \(0\); d) ist wahr.

a) Falsch b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Welcher Vorzeichenwechsel von \(f\) kennzeichnet ein lokales Minimum einer Stammfunktion? - Zerlege die polygonalen Flächen in einfache Formen und beachte die Vorzeichen ihrer Flächenbeiträge. - Verfolge für Teil c die Flächenbilanz von der unteren Grenze \(-4\) aus.

1. Wegen \(F'=f\) besitzt \(F\) dort ein lokales Minimum, wo \(f\) von negativ zu positiv wechselt. Das geschieht im Inneren des Intervalls nur bei \(x=4\). 2. Auf \([-3;1]\) ergeben sich die vorzeichenbehafteten Flächenbeiträge \(1{,}5+2-0{,}5=3\). Daher ist \(\int_{-3}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=3\). 3. Von \(-4\) bis \(0\) beträgt der positive Flächenbeitrag \(4\), von \(0\) bis \(4\) der negative Flächenbeitrag \(-4\) und von \(4\) bis \(5\) der positive Flächenbeitrag \(0{,}5\). Somit ist \(I_{-4}(5)=0{,}5\). 4. Es gilt \(I_{-4}(-4)=0\). Bis \(x=0\) steigt die Flächenbilanz auf \(4\), anschließend fällt sie bis \(I_{-4}(4)=0\) und steigt danach wieder. Daher sind \(x=-4\) und \(x=4\) die einzigen Nullstellen.

a) \(x=4\) b) \(\int_{-3}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=3\) c) \(I_{-4}(5)=0{,}5\); Nullstellen: \(x=-4\) und \(x=4\)

- Lies zuerst die beiden Nullstellen und die drei Vorzeichenbereiche von \(f\) ab. - Übertrage die Vorzeichen von \(f=F'\) in steigende beziehungsweise fallende Abschnitte eines möglichen Stammfunktionsgraphen. - Prüfe danach, ob an beiden Nullstellen auch die richtigen Arten von Extremstellen entstehen. - Alle drei Kandidaten sind kubisch; der Polynomgrad unterscheidet sie daher nicht.

1. Der Graph von \(f\) besitzt Nullstellen bei \(x=-1\) und \(x=1\). Für \(x<-1\) und \(x>1\) ist \(f\) positiv; für \(-1<x<1\) ist \(f\) negativ. 2. Eine Stammfunktion muss deshalb zunächst steigen, dann zwischen \(-1\) und \(1\) fallen und anschließend wieder steigen. Bei \(x=-1\) liegt folglich ein lokales Maximum und bei \(x=1\) ein lokales Minimum. 3. Nur Kandidat a) besitzt genau diesen Monotonieverlauf und diese beiden Extremstellen. 4. Kandidat b) zeigt den entgegengesetzten Verlauf, während c) im gesamten dargestellten Bereich steigt. Daher können b) und c) keine Stammfunktionen des dargestellten \(f\) sein.

Kandidat a) kann eine Stammfunktion sein. Er steigt für \(x<-1\), fällt für \(-1<x<1\) und steigt für \(x>1\); entsprechend besitzt er bei \(x=-1\) ein lokales Maximum und bei \(x=1\) ein lokales Minimum.

- Lokale Extremstellen von \(f\) hängen mit Nullstellen und Vorzeichenwechseln von \(f'\) zusammen. - Für das Monotonieverhalten von \(f\) ist nur das Vorzeichen von \(f'\) wichtig. - Wendestellen von \(f\) lassen sich über lokale Extremstellen des Graphen von \(f'\) erkennen. - Beachte die vorgegebene Ablesegenauigkeit; der Graph rechtfertigt keine Hundertstelwerte.

1. Nullstellen von \(f'\) sind aus dem Graphen ungefähr bei \(x=-2{,}5\), \(x=0\) und \(x=2{,}5\) abzulesen. Bei \(x\approx-2{,}5\) und \(x\approx2{,}5\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; dort liegen lokale Minima von \(f\). Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ; dort liegt ein lokales Maximum. 2. Die Funktion \(f\) fällt streng, wo \(f'<0\). Im dargestellten Bereich ist das für \(-4\le x<-2{,}5\) sowie für \(0<x<2{,}5\) der Fall. 3. Wendestellen von \(f\) liegen dort, wo \(f'\) lokale Extremstellen besitzt. Diese sind aus dem Graphen auf \(0{,}5\) genau bei \(x\approx-1{,}5\) und \(x\approx1{,}5\) abzulesen.

1. Lokale Minima bei \(x\approx-2{,}5\) und \(x\approx2{,}5\); lokales Maximum bei \(x=0\). 2. Streng fallend für \(-4\le x<-2{,}5\) und für \(0<x<2{,}5\). 3. Wendestellen bei \(x\approx-1{,}5\) und \(x\approx1{,}5\).

- Was passiert mit der Steigung der Funktion \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) zwar Null wird, aber ihr Vorzeichen nicht ändert? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einem Extrempunkt und einem Sattelpunkt. - Nutze die Information über das Vorzeichen von \(f'\), um zu entscheiden, ob der Graph steigt oder fällt.

1. Nullstellen von \(f'\): \(x = 0\) mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus und \(x = 3\) ohne Vorzeichenwechsel. 2. Analyse von \(f\): - Bei \(x = 0\) liegt ein lokales Minimum vor, da die Steigung von negativ zu positiv wechselt. - Bei \(x = 3\) gilt \(f'(3) = 0\), also besitzt der Graph von \(f\) dort eine waagerechte Tangente. Da \(f'\) kein Vorzeichen wechselt und \(f\) vor wie nach \(x = 3\) steigt, liegt ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt) vor. 3. Ein möglicher Verlauf zeigt ein Minimum bei \(x = 0\) und einen Terrassenpunkt mit waagerechter Tangente bei \(x = 3\).

1. Ein möglicher Graph hat bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt und bei \(x = 3\) einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt). 2. Bei \(x = 3\) liegt ein Sattelpunkt vor. Da \(f'(3) = 0\) ist, hat der Graph dort eine waagerechte Tangente, aber da die Ableitung kein Vorzeichen wechselt, liegt kein Extrempunkt vor.

- Der gegebene Punkt \((0 \mid 0)\) muss auf dem beschriebenen Graphen liegen. - Überlege dir, ob die Funktion in einem bestimmten Bereich nur steigt oder nur fällt, um den größten Wert zu finden. - Ein Berührpunkt auf der x-Achse in der Ableitung deutet oft auf eine besondere Stelle im Originalgraphen hin, die kein Extremum ist.

1. Analyse der Nullstellen von \(f'\): \(x = -2\) ist eine Berührstelle ohne Vorzeichenwechsel; bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus. 2. Charakteristika von \(f\): - \(f\) steigt für \(x < 0\), da \(f'(x) \geq 0\). - Bei \(x = -2\) liegt ein Sattelpunkt vor. - Bei \(x = 0\) liegt ein lokales Maximum vor. 3. Da \(f\) bis \(x = 0\) streng monoton steigt, abgesehen von der waagerechten Tangente bei \(x = -2\), und danach fällt, wird das Maximum im Intervall \([-3; 1]\) bei \(x = 0\) erreicht. 4. Ein möglicher Graph verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und besitzt dort einen Hochpunkt.

1. Ein möglicher Graph verläuft durch \((0 \mid 0)\), hat dort einen Hochpunkt und weist bei \(x = -2\) einen Sattelpunkt auf. 2. Den größten Wert im Intervall \([-3; 1]\) nimmt die Funktion an der Stelle \(x = 0\) an.

- Jedes Mal, wenn der Graph der Ableitung die x-Achse kreuzt, ändert sich die Richtung der Steigung der Originalfunktion. - Erstelle eine kleine Tabelle mit den Vorzeichen von \(f'\), um den Überblick über das Steigungsverhalten zu behalten. - Achte darauf, dass die Extrempunkte im beschriebenen Verlauf genau an den x-Werten der Nullstellen der Ableitung liegen.

1. Nullstellen von \(f'\) ablesen: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 2\). Dies sind die Stellen mit waagerechter Tangente für \(f\). 2. Untersuchung der Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von \(f'\): - Bei \(x = -3\): Wechsel von negativ zu positiv \(\Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt. - Bei \(x = -1\): Wechsel von positiv zu negativ \(\Rightarrow\) lokaler Hochpunkt. - Bei \(x = 2\): Wechsel von negativ zu positiv \(\Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt. 3. Sattelpunkte treten hier nicht auf, da an jeder Nullstelle ein Vorzeichenwechsel stattfindet. 4. Ein möglicher Verlauf ist W-förmig mit Tiefpunkten bei \(x = -3\) und \(x = 2\) sowie einem Hochpunkt bei \(x = -1\).

1. Ein möglicher Graph hat Tiefpunkte bei \(x = -3\) und \(x = 2\) und einen Hochpunkt bei \(x = -1\). 2. Waagerechte Tangenten liegen bei \(x = -3\) (Tiefpunkt), \(x = -1\) (Hochpunkt) und \(x = 2\) (Tiefpunkt) vor, da \(f'\) an diesen Stellen jeweils das Vorzeichen wechselt; Sattelpunkte gibt es keine.

- Das Vorzeichen von \(f'\) entscheidet über Steigen und Fallen von \(f\). - Ob \(f'\) selbst steigt oder fällt, liefert Information über das Vorzeichen von \(f''\). - Suche für die Wendestelle nach einem Wechsel im Monotonieverhalten von \(f'\).

1. Der Graph von \(f'\) steigt auf \((0;2)\) und fällt auf \((2;6)\). Daher ist \(f''\) zunächst positiv und danach negativ. Bei \(x=2\) wechselt die Krümmung; dort besitzt \(f\) eine Wendestelle. 2. Für \(0<x<4\) ist \(f'(x)>0\), also steigt \(f\). Für \(4<x<6\) ist \(f'(x)<0\), also fällt \(f\). Daher besitzt \(f\) bei \(x=4\) einen Hochpunkt. Bis \(x=2\) gilt \(f''>0\), danach \(f''<0\); entsprechend wechselt die Krümmung bei \(x=2\).

a) Wendestelle bei \(x=2\). b) \(f\) steigt auf \([0;4]\), fällt auf \([4;6]\) und besitzt bei \(x=4\) einen Hochpunkt. Die Krümmung wechselt bei \(x=2\).

- Verwende konsequent \(F'=f\). - Für Extremstellen von \(F\) brauchst du Nullstellen von \(f\) mit Vorzeichenwechsel. - Für den Vergleich zweier Werte von \(F\) genügt das Monotonieverhalten zwischen den beiden Stellen.

1. Wegen \(F'=f\) und \(f(x)>0\) für \(-3<x<-1\) ist \(F\) auf \([-3;-1]\) streng steigend. Aussage (1) ist wahr. 2. Bei \(x\approx0{,}8\) hat \(f\) zwar eine Extremstelle, aber \(f\) ist dort nicht \(0\). Somit ist \(F'(x)\ne0\); Aussage (2) ist falsch. 3. Bei \(x=-3\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv. Daher wechselt \(F'=f\) ebenfalls von negativ zu positiv; \(F\) hat dort ein lokales Minimum. Aussage (3) ist wahr. 4. Im Intervall \((-1;2)\) ist \(f<0\). Deshalb fällt \(F\) dort streng und es gilt \(F(2)<F(-1)\). Aussage (4) ist falsch.

(1) Wahr (2) Falsch (3) Wahr (4) Falsch

- Nutze die Beziehung \(F'(x) = f(x)\), um Informationen über die Steigung von \(F\) zu erhalten. - Überlege dir, wie man die Krümmung einer Funktion anhand ihrer zweiten Ableitung (hier also der ersten Ableitung von \(f\)) bestimmt. - Wo findet man die Steigung einer Stammfunktion im Graphen der ursprünglichen Funktion wieder? - Achte auf Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von \(f\).

1. Wahr. Im Intervall \([1; 4]\) gilt \(f(x) > 0\). Da \(F'(x) = f(x)\), ist \(F\) dort streng monoton steigend. 2. Wahr. Bei \(x = 5\) hat \(f\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Daher besitzt \(F\) dort ein lokales Maximum. 3. Falsch. Auf dem offenen Intervall \((0; 2)\) steigt \(f\) streng, also gilt dort \(F''(x) = f'(x) > 0\). Somit ist \(F\) dort linksgekrümmt. An der Ecke bei \(x = 2\) ist \(f'\) nicht definiert. 4. Wahr. Die Tangentensteigung von \(F\) bei \(x = 3\) ist \(F'(3) = f(3) = 2\).

(1) Wahr, da \(f(x) > 0\) in \([1; 4]\). (2) Wahr, da \(f\) bei \(x = 5\) einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus hat. (3) Falsch, da \(f\) auf \((0; 2)\) steigt und \(F\) dort linksgekrümmt ist. (4) Wahr, da \(F'(3) = f(3) = 2\).

- Nutze den Zusammenhang \(F'=f\). - Vergleiche an einer gut ablesbaren Stelle den Wert eines Graphen mit der Steigung des anderen. - Prüfe auch, ob das Vorzeichen des möglichen \(f\)-Graphen zum Monotonieverhalten des möglichen \(F\)-Graphen passt.

1. Für eine Stammfunktion gilt \(F'=f\). Der Funktionswert von \(f\) muss also der Steigung von \(F\) entsprechen. 2. Bei \(x=0\) hat Graph b den Wert \(0{,}5\). Graph a besitzt dort eine positive Steigung von etwa \(0{,}5\). Das passt zu a als Stammfunktion und b als zugehöriger Funktion. 3. Umgekehrt wäre Graph b als Stammfunktion nicht passend: Seine Steigung bei \(x=0\) ist deutlich kleiner als der Wert \(1\) von Graph a. 4. Somit ist Graph a die Stammfunktion \(F\) und Graph b die Funktion \(f\).

Graph a ist \(F\), Graph b ist \(f\).

- Ist \(f\) positiv, muss jede Stammfunktion steigen. - Vergleiche, wie sich die Größe der Werte eines möglichen \(f\)-Graphen mit der Steilheit des möglichen \(F\)-Graphen verändert. - Prüfe die umgekehrte Zuordnung auf einen Widerspruch beim Vorzeichen der Steigung.

1. Graph a ist im gesamten dargestellten Bereich positiv. Wäre a die Funktion \(f\), müsste eine zugehörige Stammfunktion wegen \(F'=f>0\) streng steigen. Genau dieses Verhalten zeigt Graph b. 2. Außerdem werden die Werte von Graph a nach rechts kleiner. Entsprechend wird die positive Steigung von Graph b nach rechts geringer; Graph b wird sichtbar flacher. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist ausgeschlossen: Graph a fällt, seine Ableitung wäre also negativ, während Graph b positiv ist. 4. Daher gehört Graph a zu \(f\) und Graph b zu \(F\).

Graph a ist \(f\), Graph b ist \(F\).

- Für Extremstellen und Monotonie von \(F\) ist wegen \(F'=f\) das Vorzeichen von \(f\) entscheidend. - Nutze \(F(-2)=0\) als Ausgangswert für Teil c. - Schätze die Flächenbilanz zwischen \(x=-2\) und \(x=2\) anhand des Rasters und beachte die geforderte Rundung.

1. Es gilt \(F'=f\). Bei \(x=-2\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv, daher besitzt \(F\) dort einen Tiefpunkt. Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, daher besitzt \(F\) dort einen Hochpunkt. 2. Für \(-2<x<2\) ist \(f>0\), also ist \(F\) dort streng monoton steigend. 3. Es gilt \(F(2)-F(-2)=\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x\). Wegen \(F(-2)=0\) ist \(F(2)\) gleich der positiven Flächenbilanz. Aus dem Raster ergibt sich gerundet auf halbe Einheiten \(F(2)\approx2{,}5\).

a) Tiefpunkt bei \(x=-2\), Hochpunkt bei \(x=2\). b) Streng steigend für \(-2<x<2\). c) \(F(2)\approx2{,}5\).

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Extremstellen einer Ableitungsfunktion und den Wendepunkten der Originalfunktion? - Wie berechnet man die Steigung einer Tangente an einen Funktionsgraphen, wenn man die Ableitung kennt? - Schau dir an, wo der Graph von \(g\) die x-Achse schneidet. Was bedeutet das für die Steigung von \(G\)? - Wie ändert sich die Steigung von \(G\), wenn die Werte von \(g\) von positiv nach negativ wechseln?

1. Wendepunkte von \(G\): Diese liegen an den Extremstellen der Ableitungsfunktion \(g\). Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass \(g\) lokale Extrema bei \(x \approx -1{,}15\) und \(x \approx 1{,}15\) besitzt. Dort liegen die Wendepunkte von \(G\). 2. Tangentengleichung: Die Tangente hat die Form \(t(x) = G'(0)x + G(0)\). Da \(G'(0) = g(0) = 0\) und \(G(0) = 1\) gegeben ist, lautet die Gleichung \(t(x) = 0 \cdot x + 1\), also \(y = 1\). 3. Verlauf: \(G\) hat bei \(x = 0\) ein lokales Maximum (da \(g\) dort von \(+\) nach \(-\) wechselt) mit dem Wert \(1\). Bei \(x = -2\) und \(x = 2\) hat \(G\) lokale Minima (Nullstellen von \(g\) mit Vorzeichenwechsel). Der Graph verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse, da \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

a) Wendepunkte bei \(x \approx -1{,}2\) und \(x \approx 1{,}2\). b) \(y = 1\). c) Der Graph von \(G\) hat ein Maximum bei \((0 \mid 1)\) und Minima bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Er ist W-förmig und achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Welche Nullstellen und welchen Scheitelpunkt kannst du aus dem Graphen von \(f\) ablesen? - Wie kannst du aus diesen Punkten zunächst einen Term für die quadratische Funktion bestimmen? - Wie nutzt du den Punkt \(A(3\mid5)\), um die additive Konstante der Stammfunktion zu bestimmen? - Was sagt das Vorzeichen von \(f=F'\) über das Monotonieverhalten von \(F\) aus?

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(-1\) und \(3\) sowie den Scheitel \(S(1\mid4)\) ab. Mit \(f(x)=a(x+1)(x-3)\) folgt aus \(f(1)=4\) der Wert \(a=-1\). Somit ist \(f(x)=-x^2+2x+3\). 2. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x+C\). 3. Aus \(F(3)=5\) folgt \(-9+9+9+C=5\), also \(C=-4\). Damit ist \(F(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x-4\). 4. Wegen \(F'=f\) liegen stationäre Stellen von \(F\) bei den Nullstellen \(x=-1\) und \(x=3\) von \(f\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv, also besitzt \(F\) dort ein lokales Minimum. Bei \(x=3\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, also besitzt \(F\) dort ein lokales Maximum. 5. Es ist \(F(-1)=-\frac{17}{3}\) und \(F(3)=5\). Daher steigt \(F\) auf \([-1;3]\) und fällt auf \([3;4]\).

a) \(f(x)=-x^2+2x+3\) b) \(F(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x-4\) c) \(F\) steigt auf \([-1;3]\) vom lokalen Minimum \(\left(-1\mid-\frac{17}{3}\right)\) bis zum lokalen Maximum \((3\mid5)\) und fällt anschließend auf \([3;4]\).

- Welchen Grad hat die Stammfunktion einer quadratischen Funktion? - Bestimme zuerst die Stellen, an denen \(F\) waagerechte Tangenten haben muss. - Überlege dir, ob \(F\) an diesen Stellen ein Maximum oder ein Minimum hat, indem du das Vorzeichen von \(f\) betrachtest. - Wo hat \(f\) eine waagerechte Tangente? Was bedeutet das für die Krümmung von \(F\)?

1. Charakteristische Punkte von \(f\): Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\), Scheitelpunkt bei \((0 \mid -4)\). 2. Da \(f\) eine quadratische Funktion ist, ist jede Stammfunktion \(F\) eine Funktion dritten Grades. 3. An den Nullstellen von \(f\) liegen die Extremstellen von \(F\). Bei \(x = -2\) wechselt \(f\) von Plus nach Minus, daher besitzt \(F\) dort ein lokales Maximum. Bei \(x = 2\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus, daher besitzt \(F\) dort ein lokales Minimum. 4. Am Scheitelpunkt von \(f\) liegt eine Wendestelle von \(F\), also bei \(x = 0\). 5. Der Graph von \(F\) verläuft durch \((0 \mid 2)\) und besitzt dort seinen Wendepunkt.

Der Graph von \(F\) ist eine kubische Kurve mit einem lokalen Maximum bei \(x = -2\) und einem lokalen Minimum bei \(x = 2\). Der Punkt \((0 \mid 2)\) ist der Wendepunkt.

- Eine Integralfunktion \(I_a(x)\) hat immer die Eigenschaft \(I_a(a) = 0\). - Übertrage die Eigenschaften von \(f\) (Nullstellen, Extrema, Symmetrie) systematisch auf \(I_0\). - Wie verhalten sich die Flächenanteile links und rechts der y-Achse zueinander?

1. \(I_0\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), für die \(I_0(0) = 0\) gilt. 2. Die Nullstellen von \(f\) bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\) sind Extremstellen von \(I_0\). 3. Wegen der Vorzeichenwechsel von \(f\) hat \(I_0\) bei \(x = -2\) ein lokales Minimum, bei \(x = 0\) ein lokales Maximum und bei \(x = 2\) wieder ein lokales Minimum. 4. Die Extremstellen von \(f\) liegen aus dem Graphen auf \(0{,}5\) genau bei \(x\approx-1{,}0\) und \(x\approx1{,}0\). Dort besitzt \(I_0\) Wendestellen. 5. Da \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist \(I_0\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 6. Der Verlauf ist W-förmig und geht durch den Hochpunkt \((0 \mid 0)\).

Der Graph von \(I_0\) verläuft W-förmig und ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Er hat ein lokales Maximum im Punkt \((0 \mid 0)\), lokale Minima bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie Wendestellen ungefähr bei \(x\approx-1{,}0\) und \(x\approx1{,}0\).

- Was sagt das Vorzeichen von \(f\) über die Monotonie von \(F\) aus? - Was sagt die Steigung von \(f\) über das Krümmungsverhalten von \(F\) aus? - Überlege dir, wie sich die Steigung von \(F\) verändert, wenn du den Graphen von \(f\) von links nach rechts betrachtest.

1. Da \(f(x) > 0\) im dargestellten Bereich gilt, ist jede Stammfunktion \(F\) dort streng monoton steigend. 2. Da \(f\) streng monoton fällt, nimmt die Steigung von \(F\) ab. Daher ist \(F\) im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt. 3. Der Graph von \(F\) verläuft durch \((0 \mid 0)\) und besitzt dort die Steigung \(F'(0) = f(0) = 2\). 4. Nach rechts werden die positiven Werte von \(f\) kleiner. Daher steigt \(F\) weiter, wird im dargestellten Bereich aber immer flacher.

Der Graph von \(F\) verläuft durch \((0 \mid 0)\), ist im dargestellten Bereich streng monoton steigend und rechtsgekrümmt. Bei \(x=0\) hat er die Steigung \(2\) und wird nach rechts immer flacher.

- Welche Information über die Monotonie von \(F\) liefert das Vorzeichen des dargestellten \(f\)? - Welche Steigung hat \(F\) an einer Stelle, an der der dargestellte Graph von \(f\) den Wert \(0\) besitzt? - Vergleiche die Werte von \(f\) für zunehmendes \(x\): Werden die Steigungen von \(F\) größer oder kleiner? - Nutze \(F(0)=-1\) nur für die vertikale Lage des Stammfunktionsgraphen.

1. Aus dem Graphen liest man \(f(x)>0\) für \(x>0\) ab. Wegen \(F'=f\) ist \(F\) dort streng monoton steigend. 2. Der Graph von \(f\) beginnt bei \((0\mid0)\). Daher gilt \(F'(0)=f(0)=0\), und \(G_F\) besitzt im Punkt \((0\mid-1)\) eine waagerechte Tangente. 3. Der dargestellte Graph von \(f\) steigt für \(x>0\). Deshalb werden die Werte von \(F'=f\) größer: Die Steigung von \(F\) nimmt mit wachsendem \(x\) zu. Der Graph von \(F\) ist daher linksgekrümmt.

\(G_F\) verläuft durch \((0\mid-1)\) und besitzt dort eine waagerechte Tangente. Für \(x>0\) ist \(F\) streng monoton steigend. Da der dargestellte Graph von \(f\) steigt, nimmt auch die Steigung von \(F\) zu; \(G_F\) ist im dargestellten Bereich für \(x>0\) linksgekrümmt.

- Nutze die Beziehung \(F'(x)=f(x)\): Das Vorzeichen von \(f\) entscheidet über die Monotonie von \(F\). - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit den Extremstellen ihrer Stammfunktion zusammen? - Wo liegen die Wendepunkte einer Funktion, wenn man nur den Graphen ihrer Ableitung kennt? - Betrachte für die letzte Aussage das Vorzeichen von \(f\) im angegebenen Intervall.

1. Eine lokale Extremstelle einer Stammfunktion \(F\) liegt an den Nullstellen von \(F' = f\) mit Vorzeichenwechsel vor. Bei \(x=0\) hat \(f\) eine Nullstelle und wechselt das Vorzeichen von Minus nach Plus. Somit hat \(F\) dort ein lokales Minimum. Aussage (1) ist wahr. 2. Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist. Hier gilt \(F'(x) = f(x)\). Im Intervall \([0; 3]\) ist \(f(x) \geq 0\), daher ist \(F\) dort streng monoton steigend. Aussage (2) ist falsch. 3. Ein Wendepunkt von \(F\) liegt vor, wenn \(F'' = f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat, also an den Extremstellen von \(f\). Da \(f\) bei \(x=0\) keine Extremstelle, sondern eine positive Steigung besitzt, liegt dort kein Wendepunkt von \(F\). Aussage (3) ist falsch. 4. Im Intervall \([3; 5]\) verläuft der Graph von \(f\) unterhalb der x-Achse. Somit gilt dort \(F'(x) = f(x) < 0\), also ist \(F\) in diesem Intervall streng monoton fallend. Aussage (4) ist wahr.

(1) Wahr (2) Falsch (3) Falsch (4) Wahr

- Welche Werte und welches Grenzverhalten kannst du direkt aus dem gegebenen Term von \(G\) ableiten, um den passenden Graphen zu erkennen? - Was bedeutet \(G'=g\) für Stellen, an denen der Graph von \(G\) eine waagerechte Tangente besitzt? - Vergleiche \(G(-x)\) mit \(G(x)\). Wie verhält sich die Ableitung einer geraden Funktion unter Spiegelung? - Für den Funktionsterm von \(g\) brauchst du den gegebenen Term von \(G\) nur einmal abzuleiten.

1. Es gilt \(G(0)=2\) und \(G(x)\to 0\) für \(x\to\pm\infty\). Nur Graph a besitzt den Punkt \((0\mid2)\), ist dort maximal und nähert sich beidseitig der \(x\)-Achse. Daher gehört Graph a zu \(G\). 2. Weil \(G'=g\) gilt, liegen Nullstellen von \(g\) an Stellen mit waagerechter Tangente von \(G\). Graph a besitzt genau eine solche Stelle bei \(x=0\). Also hat \(g\) genau eine Nullstelle bei \(x=0\). 3. Es gilt \(G(-x)=G(x)\), also ist \(G\) gerade. Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade. Somit ist \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 4. Ableiten liefert \(g(x)=G'(x)=-\frac{8x}{(x^2+2)^2}\). Daher gilt \(g(x)>0\) für \(x<0\), \(g(0)=0\) und \(g(x)<0\) für \(x>0\). Außerdem ist \(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\), sodass \(y=0\) eine waagerechte Asymptote ist.

a) Graph a b) Genau eine Nullstelle bei \(x=0\) c) \(G\) ist gerade; \(g\) ist ungerade und damit punktsymmetrisch zum Ursprung. d) \(g(x)=-\frac{8x}{(x^2+2)^2}\); waagerechte Asymptote: \(y=0\). Für \(x<0\) gilt \(g(x)>0\), für \(x>0\) gilt \(g(x)<0\), und \(g(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\).

- Überlege dir, welche mathematische Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion besteht. - Wie hängen die Nullstellen einer Ableitungsfunktion mit den Extremstellen der ursprünglichen Funktion zusammen? - Erinnere dich daran, welche Information die Steigung einer Funktion über das Krümmungsverhalten ihrer Stammfunktion liefert. - Vergleiche im rechten Teil des dargestellten Graphen die Werte von \(f\): Bleiben sie positiv, und werden sie größer oder kleiner?

1. Eine lokale Extremstelle von \(F\) liegt an einer Nullstelle von \(F' = f\) mit Vorzeichenwechsel. Bei \(x = 1\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus, daher besitzt \(F\) dort einen lokalen Tiefpunkt. 2. Das Krümmungsverhalten von \(F\) wird durch \(F'' = f'\) bestimmt. \(F\) ist rechtsgekrümmt, wenn \(f\) fällt. Im dargestellten Bereich ist das für \(3<x\le7\) der Fall. 3. Die Steigung von \(F\) ist \(F'(x)=f(x)\). Für \(x>3\) bleibt \(f\) im dargestellten Bereich positiv, wird aber kleiner. Daher steigt \(F\) weiter, jedoch mit abnehmender Steigung.

a) Bei \(x = 1\) liegt ein lokaler Tiefpunkt von \(F\) vor. b) Im dargestellten Bereich ist \(F\) für \(3<x\le7\) rechtsgekrümmt, weil \(f\) dort streng monoton fällt. c) Für \(3<x\le7\) bleibt die Steigung von \(F\) positiv, nimmt aber ab.

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung über den Anstieg oder Abfall der ursprünglichen Funktion aussagt. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit den Hügeln und Tälern der Funktion zusammen? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Steigung der Ableitungsfunktion und der Krümmung der ursprünglichen Funktion.

1. Monotonie: Eine Funktion \(f\) wächst streng monoton, wenn ihre Ableitung \(f'(x) > 0\) ist, und fällt streng monoton, wenn \(f'(x) < 0\) ist. Aus dem Graphen von \(f'\) ergibt sich: wachsend für \(x \in [-4; -2]\) und \(x \in [4; 6]\); fallend für \(x \in [-2; 4]\). 2. Extrema: Lokale Extremstellen liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, was einem lokalen Maximum von \(f\) entspricht. Bei \(x = 4\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, was einem lokalen Minimum von \(f\) entspricht. 3. Krümmung und Wendestelle: Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x) > 0\) gilt, also wenn die Ableitungsfunktion \(f'\) steigt. Dies ist im dargestellten Bereich für \(1 < x \le 6\) der Fall. Die Wendestelle von \(f\) entspricht dem Extrempunkt von \(f'\), liegt also bei \(x = 1\).

a) Streng monoton wachsend für \(x \in [-4; -2]\) und \(x \in [4; 6]\); streng monoton fallend für \(x \in [-2; 4]\). b) Lokales Maximum bei \(x = -2\); lokales Minimum bei \(x = 4\). c) Im dargestellten Bereich linksgekrümmt für \(1 < x \le 6\). Wendestelle bei \(x = 1\).

- Übersetze die Achsensymmetrie von \(f\) in eine Gleichung mit \(f(-x)\). - Kannst du aus \(F\) eine gespiegelte Funktion bilden und prüfen, ob sie dieselbe Ableitung besitzt? - Nutze zusätzlich die Bedingung \(F(0)=0\), um zwei mögliche Stammfunktionen miteinander zu vergleichen.

1. Da der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, gilt \(f(-x)=f(x)\); \(f\) ist gerade. 2. Betrachte die Funktion \(H(x)=-F(-x)\). Mit der Kettenregel gilt \(H'(x)=F'(-x)=f(-x)=f(x)\). Also ist auch \(H\) eine Stammfunktion von \(f\). 3. Außerdem gilt \(H(0)=-F(0)=0\). Damit erfüllen \(F\) und \(H\) dieselbe Anfangsbedingung und stimmen überein. 4. Aus \(F(x)=H(x)=-F(-x)\) folgt \(F(-x)=-F(x)\). Somit ist \(F\) ungerade und ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Der Graph der Stammfunktion \(F\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung \((0 \mid 0)\), also ist \(F\) eine ungerade Funktion.

- Nutze das Vorzeichen von \(g\), um das Monotonieverhalten von \(G\) zu beurteilen. - Wie hängen die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(g\) mit den Extrempunkten von \(G\) zusammen? - Was sagt die Steigung von \(g\) über die Krümmung von \(G\) aus?

1. Auf \((0;4)\) ist \(g>0\). Wegen \(G'=g\) ist \(G\) dort streng monoton steigend. Aus \(G(0)=0\) folgt \(G(4)>0\). Aussage a) ist wahr. 2. Eine Extremstelle von \(G\) liegt vor, wenn \(G'(x) = g(x) = 0\) gilt. Bei \(x = 4\) ist \(g(4) = 0\). Da \(g\) an dieser Stelle das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\) wechselt, hat \(G\) dort einen Hochpunkt, keinen Tiefpunkt. Aussage b) ist falsch. 3. Ein Wendepunkt von \(G\) liegt vor, wenn \(G''(x) = g'(x) = 0\) ist und ein Vorzeichenwechsel von \(g'\) stattfindet. Dies ist an den Extremstellen von \(g\) der Fall. Da \(g\) bei \(x = 2\) ein Maximum hat, besitzt \(G\) dort einen Wendepunkt. Aussage c) ist wahr.

a) Wahr: Wegen \(g>0\) auf \((0;4)\) steigt \(G\) von \(G(0)=0\) aus an. b) Falsch: Bei \(x=4\) liegt ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) vor, also ein Hochpunkt. c) Wahr: Da \(g\) bei \(x=2\) eine Extremstelle hat, hat \(G\) dort eine Wendestelle.

- Überlege dir, welche geometrische Bedeutung der Funktionswert der Ableitungsfunktion \(f\) für den Graphen der Stammfunktion \(F\) hat. - Wie hängen die Extrema einer Funktion mit den Nullstellen ihrer Ableitung zusammen? - Was sagt das Krümmungsverhalten eines Graphen über das Vorzeichen seiner zweiten Ableitung aus? - Die Steigung einer Kurve an einem Punkt lässt sich oft qualitativ durch Betrachten des Verlaufs (steigend oder fallend) beurteilen.

1. Die Nullstellen von \(f\) entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente von \(F\). Aus dem Graphen von \(F\) liest man die Extrema bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\) ab. Also gilt \(f(-2) = 0\) und \(f(2) = 0\). 2. \(f(x) < 0\) gilt dort, wo die Stammfunktion \(F\) streng monoton fallend ist. Dies ist im Intervall \((-2; 2)\) der Fall. 3. \(f'(x) > 0\) entspricht einer Linkskrümmung von \(F\). Der Wendepunkt von \(F\) liegt bei \(x = 0\). Für \(x > 0\) ist der Graph von \(F\) linksgekrümmt, somit verläuft \(G_{f'}\) für \(x \in (0; \infty)\) oberhalb der \(x\)-Achse. 4. \(f(x)\) gibt die Steigung von \(F\) an. Bei \(x = -3\) steigt der Graph von \(F\) an (\(f(-3) > 0\)), während er bei \(x = 0\) fällt (\(f(0) < 0\)). Daher ist \(f(-3) > f(0)\) wahr.

a) \(x_1 = -2\); \(x_2 = 2\) b) \(I = (-2; 2)\) c) \(x > 0\) bzw. \(I = (0; \infty)\) d) Wahr, da \(F\) bei \(x = -3\) steigt (\(f(-3) > 0\)) und bei \(x = 0\) fällt (\(f(0) < 0\)).

- Nutze die Eigenschaft, dass \(f(x)\) die Steigung von \(F\) an der Stelle \(x\) angibt. - Wo sind die Steigungen einer Funktion gleich null? Suche diese Stellen im Graphen. - Überlege dir, wie Wendepunkte einer Funktion mit den Extrema ihrer Ableitung zusammenhängen. - Steigt oder fällt der Graph an den gesuchten Stellen? Das verrät dir das Vorzeichen der Ableitung.

1. Die Nullstellen von \(f\) liegen an den lokalen Extremstellen von \(F\). Aus dem Graphen liest man ein lokales Maximum von \(F\) bei \(x = 1\) und ein lokales Minimum bei \(x = 3\) ab. Somit sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) die Nullstellen von \(f\). 2. \(f(x) \geq 0\) gilt genau dort, wo \(F\) steigt. Daher ist \(f(x) \geq 0\) für \(x \leq 1\) und \(x \geq 3\). 3. Da \(f\) eine quadratische Funktion mit den Nullstellen \(1\) und \(3\) ist und außerhalb dieser Nullstellen positiv sowie dazwischen negativ ist, ist ihr Graph nach oben geöffnet. Der Scheitel liegt in der Mitte der Nullstellen bei \(x = 2\). Dies ist zugleich die Wendestelle von \(F\), an der die Steigung von \(F\) minimal ist. 4. Da \(F\) bei \(x = 0\) steigt, ist \(f(0) > 0\). Da \(F\) bei \(x = 2\) fällt, ist \(f(2) < 0\).

a) \(x_1 = 1\); \(x_2 = 3\) b) \(I = (-\infty; 1] \cup [3; \infty)\) c) \(x = 2\), da dort der Wendepunkt von \(F\) liegt und die Steigung dort minimal ist. d) \(f(0) > 0\) (positiv); \(f(2) < 0\) (negativ).

- Welche Information über \(f\) liefert die Steigung des Graphen von \(F\)? - Wie hängt ein bestimmtes Integral von den Werten einer Stammfunktion an den Grenzen ab? - Welchen Wert muss eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze haben?

1. Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(F'=f\). Bei \(x=0\) hat \(F\) einen lokalen Hochpunkt, also \(F'(0)=0\) und damit \(f(0)=0\). Aussage a) ist wahr. 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_{-2}^{2} f(x)\,\text{d}x=F(2)-F(-2)\). Wegen der Achsensymmetrie des Graphen ist \(F(2)=F(-2)\). Aussage b) ist wahr. 3. Für \(I_0\) muss \(I_0(0)=0\) gelten. Der Graph zeigt jedoch \(F(0)\neq0\). Aussage c) ist falsch. 4. Bei \(x=1\) fällt der Graph von \(F\), also ist \(F'(1)<0\). Damit gilt \(f(1)<0\). Aussage d) ist wahr.

a) Wahr, da \(F'(0)=f(0)=0\). b) Wahr, da \(F(2)=F(-2)\). c) Falsch, da \(F(0)\neq0\), aber \(I_0(0)=0\) gelten müsste. d) Wahr, da \(F'(1)=f(1)<0\).

- Welche Bedingung muss eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze erfüllen? - Welche Information über \(f\) erhältst du aus der Steigung von \(F\)? - Welche Werte von \(F\) bestimmen das Integral in Teil c)?

1. Eine Integralfunktion muss an ihrer unteren Grenze den Wert \(0\) haben. Da \(F(-1)=0\) gilt, ist \(F\) die Integralfunktion mit unterer Grenze \(-1\). Aussage a) ist wahr. 2. Es gilt \(f(4)=F'(4)\). Der Graph von \(F\) fällt dort, also ist \(f(4)<0\). Aussage b) ist falsch. 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_{-1}^3 f(x)\,\text{d}x=F(3)-F(-1)=8-0=8\). Aussage c) ist wahr. 4. Nullstellen von \(f\) liegen dort, wo \(F\) eine waagerechte Tangente hat. Im Intervall \([-2;4]\) besitzt \(F\) zwei Extremstellen bei \(x=-1\) und \(x=3\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr, da \(F(-1)=0\). b) Falsch, da \(F'(4)=f(4)<0\). c) Wahr, da \(F(3)-F(-1)=8\). d) Falsch, da \(f\) im angegebenen Intervall zwei Nullstellen besitzt.

- Welche Beziehung gilt zwischen \(F'\) und dem dargestellten \(f\)? - Welche Vorzeichenwechsel von \(f\) kennzeichnen lokale Minima von \(F\)? - Wie hängen lokale Extremstellen von \(f\) mit der Krümmung einer Stammfunktion \(F\) zusammen? - Für die Monotonie in Teil c) genügt das Vorzeichen von \(f\) im betreffenden Bereich.

1. Weil \(F'=f\) gilt, liegen lokale Minima von \(F\) an Nullstellen von \(f\) mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Das ist bei \(x=-4\) und \(x=3\) der Fall. 2. Wendestellen von \(F\) liegen dort, wo \(F''=f'\) das Vorzeichen wechselt. Das entspricht lokalen Extremstellen von \(f\). Aus dem Graphen liest man diese ungefähr bei \(x\approx-2{,}7\) und \(x\approx1{,}4\) ab. 3. Die Aussage ist wahr. Im dargestellten Bereich gilt für \(x>3\) stets \(f(x)>0\). Wegen \(F'=f\) ist \(F\) dort streng monoton steigend.

a) Lokale Minima von \(F\) bei \(x=-4\) und \(x=3\) b) Wendestellen von \(F\) bei etwa \(x\approx-2{,}7\) und \(x\approx1{,}4\) c) Wahr, da im dargestellten Bereich für \(x>3\) gilt: \(f(x)>0\), also \(F'(x)>0\).

- Schaue dir zuerst einen Graphen an und finde seine Hoch- und Tiefpunkte. - Suche dann einen anderen Graphen, der genau an diesen x-Stellen die x-Achse schneidet. - Überprüfe auch das Vorzeichen: Wenn eine Funktion fällt, muss ihre Ableitung negativ sein. - Erinnere dich an die Merkregel: Nullstellen der Ableitung sind die Kandidaten für Extremstellen der Ausgangsfunktion.

1. Untersuchung von Graph \(g_1\): Dieser Graph hat eine Nullstelle bei \(x = 0\) und Extrema bei \(x = -1\) (Minimum) und \(x = 1\) (Maximum). 2. Untersuchung von Graph \(g_2\): Dieser Graph hat Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 1\) sowie ein Maximum bei \(x = 0\). Da die Nullstellen von \(g_2\) an den Extremstellen von \(g_1\) liegen, ist \(g_2\) die Ableitung von \(g_1\). Also \(g_1 = f\) und \(g_2 = f'\). 3. Untersuchung von Graph \(g_3\): Dieser Graph hat ein Minimum bei \(x = 0\). Da die Nullstelle von \(g_1\) bei \(x = 0\) liegt, ist \(g_1\) die Ableitung von \(g_3\). Damit ist \(g_3\) eine Stammfunktion von \(g_1\). Also \(g_3 = F\). 4. Ergebnis: \(g_1 = f\), \(g_2 = f'\), \(g_3 = F\).

Der Graph \(g_1\) gehört zur Funktion \(f\), \(g_2\) gehört zur Ableitung \(f'\) und \(g_3\) stellt eine Stammfunktion \(F\) dar.

- Welche Information über die Steigung einer Stammfunktion liefert das Vorzeichen von \(f\)? - Was geschieht mit einer Stammfunktion an einer Nullstelle von \(f\), wenn sich dort das Vorzeichen ändert? - Vergleiche die beiden vorgeschriebenen Funktionswerte bei \(x=0\): Was kann sich zwischen zwei Stammfunktionen derselben Funktion überhaupt unterscheiden?

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen von \(f\) bei \(x=-1\) und \(x=1\) ab. Im dargestellten Bereich ist \(f>0\) für \(-2<x<-1\) und \(1<x<2\); für \(-1<x<1\) ist \(f<0\). 2. Daher steigen beide Stammfunktionen im dargestellten Bereich bis \(x=-1\), fallen auf \((-1;1)\) und steigen danach wieder. Somit liegt bei \(x=-1\) jeweils eine Hochstelle und bei \(x=1\) jeweils eine Tiefstelle. 3. Der Graph von \(f\) fällt bis \(x=0\) und steigt danach. Deshalb wechselt bei \(x=0\) die Krümmung der Stammfunktionen; dort liegt jeweils eine Wendestelle. 4. Da beide Funktionen Stammfunktionen derselben Funktion \(f\) sind, unterscheiden sie sich nur durch eine Konstante. Aus \(G(0)-F(0)=2\) folgt \(G(x)=F(x)+2\). Der Graph von \(G\) ist also der Graph von \(F\), um \(2\) Einheiten nach oben verschoben.

a) Im dargestellten Bereich steigen beide Funktionen für \(-2<x<-1\), fallen für \(-1<x<1\) und steigen für \(1<x<2\); dabei gilt \(F(0)=0\) und \(G(0)=2\). b) Hochstelle bei \(x=-1\), Tiefstelle bei \(x=1\), Wendestelle bei \(x=0\) c) \(G(x)=F(x)+2\); der Graph von \(G\) ist gegenüber dem Graphen von \(F\) um \(2\) Einheiten nach oben verschoben.

- Wo besitzt der gezeigte Graph waagerechte Tangenten, und was bedeutet das für seine Ableitung? - Übersetze steigende und fallende Abschnitte des gezeigten Graphen in Vorzeichen der gesuchten Funktion. - Vergleiche an jeder Nullstelle die Vorzeichen unmittelbar links und rechts davon.

1. Nullstellen von \(f=F'\) liegen dort, wo der Graph von \(F\) eine waagerechte Tangente besitzt. Das ist bei \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\) der Fall. 2. Im dargestellten Bereich fällt \(F\) auf \((-2;-1)\), also ist dort \(f<0\). Auf \((-1;0)\) steigt \(F\), also ist \(f>0\). Auf \((0;1)\) fällt \(F\), also ist \(f<0\). Auf \((1;2)\) steigt \(F\), also ist \(f>0\). 3. Bei \(x=-1\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv, bei \(x=0\) von positiv zu negativ und bei \(x=1\) wieder von negativ zu positiv. Entsprechend schneidet \(G_f\) die \(x\)-Achse an allen drei Nullstellen mit diesen Vorzeichenwechseln.

a) \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\) b) Im dargestellten Bereich gilt \(f(x)<0\) für \(-2<x<-1\) und \(0<x<1\); \(f(x)>0\) für \(-1<x<0\) und \(1<x<2\). c) Bei \(x=-1\): negativ → positiv; bei \(x=0\): positiv → negativ; bei \(x=1\): negativ → positiv.

- Das Vorzeichen des dargestellten \(f\) entscheidet darüber, ob \(F\) steigt oder fällt. - Achte auf Nullstellen von \(f\), an denen das Vorzeichen wechselt. - Für die Form einer qualitativen Skizze reicht Monotonie allein nicht: Beobachte auch, wo der Graph von \(f\) steigt oder fällt. - Die Bedingung \(F(0)=1\) legt einen Punkt des Stammfunktionsgraphen fest.

1. Wegen \(F'=f\) fällt \(F\) dort, wo \(f<0\), und steigt dort, wo \(f>0\). 2. Aus dem Graphen liest man \(f<0\) für \(-2\le x<-1\), \(f>0\) für \(-1<x<2\) und \(f<0\) für \(2<x\le3\) ab. Daher fällt \(F\) auf \([-2;-1]\), steigt auf \([-1;2]\) und fällt auf \([2;3]\). 3. Bei \(x=-1\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv; dort besitzt \(F\) ein lokales Minimum. Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ; dort besitzt \(F\) ein lokales Maximum. 4. Der Graph von \(f\) steigt bis \(x=0{,}5\) und fällt danach. Deshalb nimmt die Steigung \(F'=f\) auf \([-2;0{,}5]\) zu und auf \([0{,}5;3]\) ab. Bei \(x=0{,}5\) wechselt damit die Krümmung von \(G_F\). 5. Aus \(F(0)=1\) folgt, dass \(G_F\) durch \((0\mid1)\) verläuft.

\(F\) fällt auf \([-2;-1]\), steigt auf \([-1;2]\) und fällt auf \([2;3]\). Bei \(x=-1\) liegt ein lokales Minimum, bei \(x=2\) ein lokales Maximum. Die Steigung von \(F\) nimmt bis \(x=0{,}5\) zu und danach ab; bei \(x=0{,}5\) wechselt die Krümmung von \(G_F\). Außerdem verläuft \(G_F\) durch \((0\mid1)\).

- Vergleiche nicht zuerst die Funktionswerte, sondern Form und Steigungen der beiden Graphen. - Eine additive Konstante verändert nur die vertikale Lage eines Graphen. - Wo besitzt eine Stammfunktion eine waagerechte Tangente, und was bedeutet das für ihre Ableitung? - Das Vorzeichen der Ableitung kannst du am Steigen oder Fallen der Stammfunktionsgraphen erkennen.

1. Die Graphen besitzen überall dieselbe Form und dieselben Steigungen; \(G\) ist gegenüber \(F\) lediglich vertikal verschoben. Deshalb können beide dieselbe Ableitung \(f\) besitzen. 2. Bei \(x=0\) liest man \(F(0)=0\) und \(G(0)=2\) ab. Damit ist \(C=2\). 3. Waagerechte Tangenten besitzen beide Graphen bei \(x=-1\) und \(x=1\). Daher hat \(f\) dort seine Nullstellen. 4. Beide Graphen steigen für \(x<-1\), fallen für \(-1<x<1\) und steigen für \(x>1\). Somit gilt im dargestellten Bereich \(f(x)>0\) für \(x<-1\) und \(x>1\) sowie \(f(x)<0\) für \(-1<x<1\).

a) Ja. \(G\) ist eine reine vertikale Verschiebung von \(F\); beide Graphen haben daher dieselben Steigungen. b) \(C=2\) c) Nullstellen von \(f\): \(x=-1\) und \(x=1\). Im dargestellten Bereich gilt \(f>0\) für \(x<-1\) und \(x>1\), sowie \(f<0\) für \(-1<x<1\).

- Suche nicht nach einem „höheren“ oder „niedrigeren“ Polynomgrad; alle Graphen sind nichtpolynomial dargestellt. - Prüfe zuerst, welcher Graph an den Extremstellen eines anderen Nullstellen besitzt. - Kontrolliere jede Vermutung zusätzlich über ein Intervall: Steigt der mögliche Ausgangsgraph genau dort, wo sein möglicher Ableitungsgraph positiv ist? - Erst wenn zwei solche Beziehungen hintereinander passen, hast du die Kette \(F\to f\to f'\).

1. Graph c steigt zunächst, fällt im mittleren Bereich und steigt anschließend wieder. Genau an seinen beiden Extremstellen besitzt Graph b Nullstellen; außerdem ist b in den steigenden Bereichen von c positiv und im fallenden Bereich negativ. Daher ist \(c'=b\). 2. Graph b fällt von seinem Maximum zu seinem Minimum und steigt danach wieder. Graph a ist in diesem fallenden Abschnitt negativ und im steigenden Abschnitt positiv; an der inneren Extremstelle von b besitzt a eine Nullstelle. Daher ist \(b'=a\). 3. Damit bildet c → b → a die Ableitungskette. Also gehört c zu \(F\), b zu \(f\) und a zu \(f'\). 4. Graph d besitzt an den für diese Kette erforderlichen Stellen weder die passenden Vorzeichen noch die passenden Nullstellen und kann deshalb nicht Teil der Kette sein.

c) gehört zu \(F\), b) zu \(f\), a) zu \(f'\); d) ist der Ausschlussgraph. Entscheidend sind für beide Ableitungsschritte die übereinstimmenden Extremstellen/Nullstellen und die passenden Monotonie-/Vorzeichenbereiche.

- Achte beim Ablesen der Nullstellen darauf, ob der Graph die Achse schneidet oder nur berührt. - Wie berechnet man den Vorfaktor \(a\), wenn man die Nullstellen und einen weiteren Punkt (z. B. den y-Achsenabschnitt) kennt? - Eine Stammfunktion erhältst du durch gliedweise Integration des Polynoms. - Überlege dir, was ein fehlender Vorzeichenwechsel an einer Nullstelle von \(f\) für die Form des Graphen von \(F\) bedeutet.

1. Bestimmung von \(f(x)\): Der Graph zeigt eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) bei \(x_1 = 2\) und eine einfache Nullstelle bei \(x_2 = -1\). Der y-Achsenabschnitt liegt bei \(-2\). Einsetzen in den Ansatz: \(f(0) = a \cdot (0 - 2)^2 \cdot (0 + 1) = 4a = -2 \Rightarrow a = -0{,}5\). Somit ist \(f(x) = -0{,}5(x - 2)^2(x + 1) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 - 2\). 2. Bestimmung der Stammfunktion \(F\): Die allgemeine Stammfunktion ist \(F(x) = -0{,}125x^4 + 0{,}5x^3 - 2x + C\). 3. Berechnung von \(C\): Mit \(F(2) = 0\) folgt \(-0{,}125 \cdot 16 + 0{,}5 \cdot 8 - 2 \cdot 2 + C = 0 \Rightarrow -2 + 4 - 4 + C = 0 \Rightarrow -2 + C = 0 \Rightarrow C = 2\). Also \(F(x) = -0{,}125x^4 + 0{,}5x^3 - 2x + 2\). 4. Untersuchung der Stelle \(x = 2\): Da \(f(2) = 0\) und \(f\) an dieser Stelle keinen Vorzeichenwechsel hat (Berührpunkt), besitzt \(F\) dort zwar eine waagerechte Tangente (\(F'(2) = 0\)), aber kein Extremum. Es handelt sich um einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt).

a) \(a = -0{,}5\), \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\); also \(f(x) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 - 2\). b) \(F(x) = -0{,}125x^4 + 0{,}5x^3 - 2x + 2\). c) An der Stelle \(x = 2\) hat \(G_F\) einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt), da \(f(2) = 0\) gilt, aber an dieser Stelle kein Vorzeichenwechsel von \(f\) vorliegt.

- Überlege dir, welche Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion bezüglich der Ableitung besteht. - Was sagt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion über das Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion aus? - Erinnere dich an die Kriterien für Extrem- und Wendepunkte. - Nutze die Nullstellenform für ganzrationale Funktionen, um die Funktionsgleichung aufzustellen.

1. Eine Stammfunktion \(F\) ist streng monoton fallend, wenn \(F'(x) = f(x) < 0\) gilt. Aus dem Graphen liest man \(f(x) < 0\) für \(x \in (-\infty; -4)\) und \(x \in (1; 5)\) ab. 2. Lokale Extremstellen von \(F\) liegen an Nullstellen von \(f\) mit Vorzeichenwechsel: - Bei \(x = -4\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus: lokaler Tiefpunkt von \(F\). - Bei \(x = 1\) wechselt \(f\) von Plus nach Minus: lokaler Hochpunkt von \(F\). - Bei \(x = 5\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus: lokaler Tiefpunkt von \(F\). 3. Wendestellen von \(F\) liegen an den lokalen Extremstellen von \(f\). Diese befinden sich bei \(x \approx -1{,}93\) und \(x \approx 3{,}27\). 4. Mit den Nullstellen \(-4\), \(1\) und \(5\) hat \(f\) die Form \(f(x) = a(x + 4)(x - 1)(x - 5)\). Aus dem Punkt \(P(0 \mid 2)\) folgt \(2 = 20a\), also \(a = 0{,}1\). Damit ist \(f(x) = 0{,}1(x + 4)(x - 1)(x - 5)\).

a) \(F\) fällt streng monoton für \(x < -4\) und für \(1 < x < 5\), da dort \(f(x) < 0\) gilt. b) Tiefpunkte bei \(x = -4\) und \(x = 5\); Hochpunkt bei \(x = 1\). c) Wendestellen von \(F\) liegen an den Stellen, an denen \(f\) Extremstellen hat (ca. \(x \approx -1{,}9\) und \(x \approx 3{,}3\)). d) \(f(x) = 0{,}1(x + 4)(x - 1)(x - 5)\)

- Welche Eigenschaft des Graphen von \(f\) korrespondiert mit der Krümmung oder den Wendepunkten von \(F\)? - Beachte bei der Beschreibung die Nullstellen von \(f\), da diese die Steigung von \(F\) bestimmen. - Überlege dir für den Funktionsterm zuerst, wie du den Streckfaktor \(a\) der Parabel aus dem Scheitelpunkt bestimmen kannst.

1. Eine Wendestelle von \(F\) liegt vor, wenn \(F'' = f' = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel vorliegt. Das entspricht einer Extremstelle von \(f\). Der Graph von \(f\) hat im Intervall \([-2; 2]\) genau ein lokales Minimum bei \(x = 0\). Daher hat \(F\) dort eine Wendestelle. 2. Verlauf von \(F_1\): Da \(f(x) > 0\) für \(x < -2\), steigt \(F_1\). Für \(-2 < x < 2\) ist \(f(x) < 0\), also fällt \(F_1\). Ab \(x = 2\) steigt \(F_1\) wieder. Bei \(x = 2\) berührt der Graph die \(x\)-Achse in einem lokalen Minimum, da \(F_1(2) = 0\) gilt und \(f\) dort von Minus nach Plus wechselt. Markante Punkte: \(F_1(2) = 0\), Hochpunkt bei \(x = -2\), Wendepunkt bei \(x = 0\). 3. Nullstellen bei \(x = \pm 2\) führen zu \(f(x) = a(x - 2)(x + 2)\). Mit \(f(0) = -2\) folgt \(-2 = a(-4)\), also \(a = 0{,}5\). Somit \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\).

a) \(F\) hat eine Wendestelle, wo \(f\) eine Extremstelle besitzt. Das ist hier bei \(x = 0\) der Fall. b) Der Graph von \(F_1\) hat bei \(x = -2\) einen Hochpunkt, bei \(x = 0\) einen Wendepunkt und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt auf der \(x\)-Achse. c) \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\)

- Erinnere dich an die Kriterien für Monotonie und Extrema unter Verwendung der ersten Ableitung. - Was sagt ein Hoch- oder Tiefpunkt im Graphen der Ableitung über die Krümmung oder Wendestellen der ursprünglichen Funktion aus? - Nutze die Periodenlänge und die maximale Auslenkung des Graphen, um die Parameter der Kosinusfunktion zu bestimmen.

1. Lokale Extremstellen: Diese liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Im Intervall \([0; 6]\) sind dies \(x = 1{,}5\) und \(x = 4{,}5\). 2. Monotonie: Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist (\(f'(x) < 0\)). Aus dem Graphen ergibt sich dieser Zustand für das Intervall \((1{,}5; 4{,}5)\). 3. Wendestellen: Die Extremstellen der Ableitungsfunktion sind die Wendestellen der Stammfunktion. Im Intervall \([0; 6]\) sind dies das lokale Maximum bei \(x = 0\), das lokale Minimum bei \(x = 3\) und das lokale Maximum bei \(x = 6\). 4. Funktionsgleichung: Die Amplitude beträgt \(a = 2\). Eine volle Periode ist bei \(T = 6\) abgeschlossen. Für den Parameter \(b\) gilt \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). Somit lautet die Gleichung \(f'(x) = 2\cos(\frac{\pi}{3} x)\).

a) Lokale Extremstellen bei \(x = 1{,}5\) und \(x = 4{,}5\). b) Im Bereich \(1{,}5 \le x \le 4{,}5\) (bzw. \([1{,}5; 4{,}5]\)). c) Wendestellen bei \(x = 0\), \(x = 3\) und \(x = 6\). d) \(f'(x) = 2\cos(\frac{\pi}{3} x)\).

- Vergleiche die Nullstellen eines möglichen Ableitungsgraphen mit den waagerechten Tangenten des zugehörigen Funktionsgraphen. - Achte auf das Verhalten für sehr große und sehr kleine x-Werte. Gehen alle Graphen gegen Null? - Ein Vorzeichenwechsel an einer Nullstelle der Ableitung deutet auf ein Extremum der Originalfunktion hin. - Nutze den Zusammenhang: Die Steigung der Tangente an einer Stelle \(x\) eines Graphen entspricht dem Funktionswert des Ableitungsgraphen an dieser Stelle.

Die Analyse der Zusammenhänge zwischen Funktionswerten und Steigungen führt zur Lösung: 1. Graph (4) hat ein lokales Minimum bei \(x = 0\). Graph (3) hat dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Dies passt zur Bedingung \(F'(x) = f(x)\). Also ist (4) die Stammfunktion \(F\) und (3) die Funktion \(f\). 2. Graph (3) hat Maxima/Minima bei \(x \approx \pm 1{,}6\). Graph (1) hat genau an diesen Stellen Nullstellen. Damit ist (1) die Ableitung von (3), also \(f'\). 3. Graph (1) hat Extremstellen bei \(x = 0\) und \(x \approx \pm 2{,}7\). Dies sind genau die Nullstellen von Graph (2). Somit ist (2) die Ableitung von (1), also \(f''\). Ergebnis: \(F \to (4)\), \(f \to (3)\), \(f' \to (1)\), \(f'' \to (2)\).

Die Zuordnung ist: (1) ist der Graph der ersten Ableitung \(f'\), (2) ist der Graph der zweiten Ableitung \(f''\), (3) ist der Graph der Funktion \(f\) und (4) ist der Graph der Stammfunktion \(F\).

- Welche Produktform ergibt sich aus drei bekannten Nullstellen einer kubischen Funktion, und wie lässt sich der noch freie Faktor bestimmen? - Nutze die Bedingung an \(F\) erst, nachdem du die allgemeine Stammfunktionsfamilie gebildet hast. - Für Extremstellen von \(F\) sind Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f\) entscheidend; für Wendestellen von \(F\) brauchst du eine weitere Ableitungsbeziehung. - Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich um eine Konstante. Bestimme diese Konstante aus dem vorgegebenen Wert von \(G\).

1. Aus den markierten Nullstellen folgt \(f(x)=a(x+2)(x-1)(x-3)\). Der Punkt \(P(0\mid3)\) liefert \(3=a\cdot2\cdot(-1)\cdot(-3)=6a\), also \(a=\frac{1}{2}\). Damit ist \(f(x)=\frac{1}{2}x^3-x^2-\frac{5}{2}x+3\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{4}x^2+3x+C\). Aus \(F(0)=2\) folgt \(C=2\). 3. Wegen \(F'=f\) liegen stationäre Stellen von \(F\) bei \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=3\). Der Vorzeichenwechsel von \(f\) ist bei \(x=-2\) von negativ zu positiv, bei \(x=1\) von positiv zu negativ und bei \(x=3\) von negativ zu positiv. Daher hat \(F\) bei \(x=-2\) und \(x=3\) lokale Minima und bei \(x=1\) ein lokales Maximum. 4. Wendestellen von \(F\) erfüllen \(F''(x)=f'(x)=0\). Es ist \(f'(x)=\frac{3}{2}x^2-2x-\frac{5}{2}\). Daraus folgt \(3x^2-4x-5=0\) und damit \(x=\frac{2-\sqrt{19}}{3}\) oder \(x=\frac{2+\sqrt{19}}{3}\). Da \(f'\) an beiden Stellen das Vorzeichen wechselt, sind dies Wendestellen von \(F\). 5. Es ist \(F(2)=\frac{7}{3}\). Da sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion nur um eine Konstante unterscheiden, gilt \(G(x)=F(x)-\frac{7}{3}\). Somit ist \(G(x)-F(x)=-\frac{7}{3}\).

a) \(f(x)=\frac{1}{2}x^3-x^2-\frac{5}{2}x+3\) b) \(F(x)=\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{4}x^2+3x+2\) c) Lokale Minima bei \(x=-2\) und \(x=3\); lokales Maximum bei \(x=1\). Wendestellen bei \(x=\frac{2-\sqrt{19}}{3}\) und \(x=\frac{2+\sqrt{19}}{3}\). d) \(G(x)-F(x)=-\frac{7}{3}\) und \(G(x)=\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{4}x^2+3x-\frac{1}{3}\).