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- Musst du die genaue Funktionsgleichung von \(g(x)\) kennen, um diese Aufgabe zu lösen? - Wie beeinflusst ein konstanter Faktor vor der Funktion den Wert des bestimmten Integrals? - Nutze die Eigenschaft, dass man konstante Faktoren aus dem Integral „herausziehen“ darf.

1. Anwendung der Faktorregel für Integrale: Der konstante Faktor \(\frac{2}{3}\) wird vor das Integral geschrieben: \(\frac{2}{3} \cdot \int_{2}^{6} g(x) \, dx\). 2. Einsetzen des gegebenen Integralwertes \(18\) in den Ausdruck: \(\frac{2}{3} \cdot 18\). 3. Durchführung der Multiplikation: \(\frac{2 \cdot 18}{3} = \frac{36}{3} = 12\).

\(12\)

- Welche Veränderung des Exponenten macht die Ableitung später wieder zu einer dritten Potenz? - Wie muss der Vorfaktor gewählt werden, damit beim Ableiten wieder der gegebene Koeffizient entsteht? - Denke daran, dass nach allen Stammfunktionen und nicht nur nach einer einzelnen gefragt ist.

1. Mit der Potenzregel wird der Exponent von \(3\) auf \(4\) erhöht und der Koeffizient durch den neuen Exponenten geteilt. 2. Dadurch ergibt sich als Stammfunktionsfamilie \(F(x)=3x^4+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\). 3. Zur Kontrolle gilt \(F'(x)=12x^3=f(x)\).

\(F(x)=3x^4+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\)

- Welche einfache Funktionsart besitzt überall dieselbe Steigung? - Die Ableitung der gesuchten Funktion soll an jeder Stelle den Wert \(5\) haben. - Wie erhältst du aus einer Stammfunktion alle weiteren Stammfunktionen derselben Funktion?

1. Eine Funktion mit der konstanten Ableitung \(5\) ist \(F(x)=5x\). 2. Alle weiteren Stammfunktionen entstehen durch Addition einer Konstante. Daher gilt \(F(x)=5x+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\). 3. Die Graphen sind parallele Geraden mit der Steigung \(5\); unterschiedliche Werte von \(C\) verändern nur den Achsenabschnitt.

\(F(x)=5x+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\). Die Graphen sind parallele Geraden mit Steigung \(5\).

- Der Funktionsterm von \(p\) ist nicht gegeben; nutze deshalb direkt die bekannte Beziehung \(P'=p\). - Wie verändert sich eine Ableitung, wenn die ganze Funktion mit einer festen Zahl multipliziert wird? - Suche einen Term, dessen Ableitung unmittelbar \(6p\) ergibt.

1. Weil \(P'=p\) gilt, ist nach der Faktorregel \((6P)'=6P'=6p=f\). 2. Daher kann man unmittelbar \(F(x)=6P(x)\) wählen. 3. Es folgt \(F(x)=6(x^4-3x+2)=6x^4-18x+12\).

Eine mögliche Stammfunktion ist \(F(x)=6x^4-18x+12\). Man multipliziert die gegebene Stammfunktion \(P\) vollständig mit dem konstanten Faktor \(6\).

- Welche Grundfunktion ergibt beim Ableiten den Kosinus? - Wie wird der lineare Potenzterm integriert? - Wodurch unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion?

1. Die Stammfunktionsfamilie lautet \(F(x)=6\sin(x)-2x^2+C\). 2. Für \(C=0\) erhält man beispielsweise \(F_1(x)=6\sin(x)-2x^2\). 3. Für \(C=5\) erhält man beispielsweise \(F_2(x)=6\sin(x)-2x^2+5\).

Zum Beispiel \(F_1(x)=6\sin(x)-2x^2\) und \(F_2(x)=6\sin(x)-2x^2+5\). Andere verschiedene Konstanten sind ebenfalls möglich.

- Behandle den Faktor \(\frac{1}{a}\) beim Integrieren nach \(x\) wie eine Konstante. - Schreibe den variablen Anteil als Potenz von \(x\). - Für Teil 2 kannst du die gegebene Funktion ableiten und mit dem Scharterm vergleichen.

1. Es ist \(h_a(x)=\frac{1}{a}x^{-2}\). Daher ist \(H_a(x)=-\frac{1}{ax}+C\) eine Stammfunktion. 2. Ableiten von \(H(x)=-\frac{1}{5x}\) liefert \(H'(x)=\frac{1}{5x^2}\). Der Vergleich mit \(h_a(x)=\frac{1}{ax^2}\) ergibt \(a=5\).

1. \(H_a(x)=-\frac{1}{ax}+C\) 2. \(a=5\)

- Für eine Stammfunktion muss jeweils \(F_i'=f_i\) gelten. - Achte beim Ableiten auf die Änderung von Exponent und Vorfaktor. - Bei Termen mit \(x+2\) kommt zusätzlich die innere Ableitung hinzu. - Vergleiche nach jeder Ableitung nur den noch unbekannten Vorfaktor.

1. Es gilt \(F_1'(x)=12(x+2)^{-4}=\frac{12}{(x+2)^4}\). Daher ist \(a=12\). 2. Es gilt \(F_2'(x)=12x^{-4}=\frac{12}{x^4}\). Daher ist \(b=12\). 3. Es gilt \(F_3'(x)=-12x^{-5}\). Daher ist \(c=-12\). 4. Es gilt \(F_4'(x)=12(x+2)^{-5}\). Daher ist \(d=12\).

(1) \(a=12\), da \(F_1'(x)=\frac{12}{(x+2)^4}\). (2) \(b=12\), da \(F_2'(x)=\frac{12}{x^4}\). (3) \(c=-12\), da \(F_3'(x)=-12x^{-5}\). (4) \(d=12\), da \(F_4'(x)=12(x+2)^{-5}\).

- Welche Stammfunktion gehört für \(x>0\) zu \(1/x\)? - Behandle die beiden Summanden getrennt und setze die Stammfunktionen anschließend zusammen. - Wodurch unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion?

1. Für \(x>0\) lautet die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=6\ln(x)+2x+C\). 2. Mit zwei verschiedenen Konstanten, beispielsweise \(C=0\) und \(C=5\), erhält man \(F_1(x)=6\ln(x)+2x\) und \(F_2(x)=6\ln(x)+2x+5\).

Zum Beispiel \(F_1(x)=6\ln(x)+2x\) und \(F_2(x)=6\ln(x)+2x+5\). Allgemein gilt \(F(x)=6\ln(x)+2x+C\).

- Überlege dir, welche Funktion beim Ableiten den gegebenen Term ergibt. - Wie verändert sich der Exponent einer Potenzfunktion beim Ableiten? Was bedeutet das für den umgekehrten Weg? - Welche Zahl muss vor der Potenz stehen, damit nach dem Multiplizieren mit dem Exponenten genau der gesuchte Koeffizient herauskommt? - Vergiss nicht, dass beim Ableiten eines konstanten Faktors die Faktorregel gilt.

1. Für \(f'(x) = 12x^2\): Erhöhung des Exponenten auf 3 und Division des Koeffizienten 12 durch 3 ergibt \(f(x) = 4x^3\). Probe: \(f'(x) = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2\). 2. Für \(f'(x) = 2x^4\): Erhöhung des Exponenten auf 5 und Division des Koeffizienten 2 durch 5 ergibt \(f(x) = \frac{2}{5}x^5\) bzw. \(f(x) = 0{,}4x^5\). Probe: \(f'(x) = 0{,}4 \cdot 5x^4 = 2x^4\). 3. Für \(f'(x) = 0{,}8x^3\): Erhöhung des Exponenten auf 4 und Division von \(0{,}8\) durch 4 ergibt \(f(x) = 0{,}2x^4\). Probe: \(f'(x) = 0{,}2 \cdot 4x^3 = 0{,}8x^3\). 4. Für \(f'(x) = 10\): Da die Ableitung konstant ist, muss die ursprüngliche Funktion linear sein, also \(f(x) = 10x\). Probe: \(f'(x) = 10\).

Mögliche Funktionen sind: a) \(f(x) = 4x^3\) b) \(f(x) = 0{,}4x^5\) c) \(f(x) = 0{,}2x^4\) d) \(f(x) = 10x\)

- Überlege dir, wie sich der Exponent beim Ableiten verändert und mache diesen Schritt rückgängig. - Was passiert mit dem Vorfaktor, wenn du eine Potenzfunktion ableitest? Wie musst du den Vorfaktor der Ausgangsfunktion wählen, damit er nach dem Ableiten passt? - Erinnere dich daran, welche Art von Term beim Ableiten zu einer konstanten Zahl wird. - Du kannst dein Ergebnis jederzeit testen, indem du deine gefundene Funktion einfach wieder ableitest.

1. Bestimmung der Stammfunktion durch termweise Anwendung der Potenzregel in umgekehrter Richtung: 2. Erster Term \(12x^3\): Der Exponent wird um \(1\) erhöht (\(x^4\)), der Koeffizient \(12\) wird durch den neuen Exponenten \(4\) dividiert, was \(3x^4\) ergibt. 3. Zweiter Term \(-5x^4\): Der Exponent wird auf \(5\) erhöht, Division des Koeffizienten \(-5\) durch \(5\) ergibt \(-x^5\). 4. Dritter Term \(2\): Eine Konstante entspricht \(2x^0\), woraus durch Erhöhung des Exponenten \(2x^1\), also \(2x\), wird. 5. Zusammensetzen der Terme zur Ausgangsfunktion: \(f(x) = 3x^4 - x^5 + 2x\). 6. Überprüfung durch Ableiten: \(f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 5x^4 + 2 = 12x^3 - 5x^4 + 2\).

\(f(x) = 3x^4 - x^5 + 2x\) (oder allgemein \(f(x) = 3x^4 - x^5 + 2x + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\))

- Schreibe den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten. - Welche trigonometrische Funktion hat den Kosinus als Ableitung? - Prüfe deinen Funktionsterm durch Ableiten.

1. Es ist \(\frac{4}{x^5}=4x^{-5}\). 2. Eine Stammfunktion von \(\cos(x)\) ist \(\sin(x)\). 3. Die Potenzregel liefert für \(4x^{-5}\) den Term \(-x^{-4}=-\frac{1}{x^4}\). 4. Somit ist \(g(x)=\sin(x)-\frac{1}{x^4}\) eine mögliche Funktion.

\(g(x)=\sin(x)-\frac{1}{x^4}\) für \(x\ne0\)

- Überlege dir zuerst, wie du eine einzelne Potenzfunktion aufleitest. - Was passiert mit dem Exponenten und was mit dem Vorfaktor? - Erinnere dich daran, dass eine Funktion unendlich viele Stammfunktionen hat, die sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden. - Du kannst jede beliebige Zahl am Ende des Funktionsterms hinzufügen oder abziehen.

1. Anwendung der Potenzregel \(\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}\) und der Summenregel auf den Term \(8x^3 - 6x^2 + 5\). 2. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion: \(F(x) = \frac{8}{4}x^4 - \frac{6}{3}x^3 + 5x + C = 2x^4 - 2x^3 + 5x + C\). 3. Wahl von drei verschiedenen Werten für die Integrationskonstante \(C\), zum Beispiel \(C=0\), \(C=3\) und \(C=-1\). 4. Daraus ergeben sich beispielsweise: \(F_1(x) = 2x^4 - 2x^3 + 5x\), \(F_2(x) = 2x^4 - 2x^3 + 5x + 3\) und \(F_3(x) = 2x^4 - 2x^3 + 5x - 1\).

Mögliche Stammfunktionen sind (für \(C_1=0, C_2=3, C_3=-1\)): \(F_1(x) = 2x^4 - 2x^3 + 5x\) \(F_2(x) = 2x^4 - 2x^3 + 5x + 3\) \(F_3(x) = 2x^4 - 2x^3 + 5x - 1\)

- Kannst du den Funktionsterm zuerst vereinfachen, indem du die Klammern auflöst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um das Quadrat zu berechnen. - Wenn du eine Summe von Termen hast, kannst du jeden Teil einzeln integrieren. - Wie lautet die allgemeine Regel, um die Hochzahl beim Integrieren zu verändern?

1. Den Funktionsterm mithilfe der zweiten binomischen Formel auflösen: \(f(x) = \frac{1}{2}(x^4 - 6x^2 + 9) = \frac{1}{2}x^4 - 3x^2 + \frac{9}{2}\). 2. Die Potenzregel \(\int x^n \, \text{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1}\) gliedweise auf das Polynom anwenden. 3. Für den ersten Term ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}x^5 = \frac{1}{10}x^5\). 4. Für den zweiten Term ergibt sich \(-3 \cdot \frac{1}{3}x^3 = -x^3\). 5. Für den konstanten Term ergibt sich \(\frac{9}{2}x = 4{,}5x\). 6. Eine mögliche Stammfunktion ist somit \(F(x) = \frac{1}{10}x^5 - x^3 + 4{,}5x\).

\(F(x) = \frac{1}{10}x^5 - x^3 + 4{,}5x\) (oder eine andere Funktion mit dieser Struktur und einer additiven Konstante \(C\)).

- Überlege, welcher Teil der Funktion ein fester Zahlenwert ist und welcher Teil von \(x\) abhängt. - Erinnere dich daran, wie man Faktoren beim Ableiten behandelt – beim Integrieren funktioniert das ganz ähnlich. - Es ist oft einfacher, zuerst das Integral der Basisfunktion zu berechnen und das Ergebnis danach mit dem Faktor zu multiplizieren.

1. Anwendung der Faktorregel durch Herausziehen der Konstanten \(5\): \(5 \cdot \int_{1}^{2} x^4 \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(x^4\): \(\frac{1}{5}x^5\). 3. Verrechnung des Faktors mit der Stammfunktion: \(5 \cdot \frac{1}{5}x^5 = x^5\). 4. Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion: \(2^5 - 1^5\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(32 - 1 = 31\).

\(31\)

- Wie kannst du die Funktion mit Summen- und Faktorregel in einfacher integrierbare Teile zerlegen? - Welche Potenzschreibweise ist für \(\frac{1}{x^2}\) hilfreich? - Wie verwendest du die beiden Grenzen, nachdem du eine Stammfunktion gefunden hast?

1. Mit Summen- und Faktorregel wird der Integrand als \(6x^2-4x^{-2}\) termweise integriert. 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=2x^3+\frac{4}{x}\). 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(F(2)=18\) und \(F(1)=6\). 4. Damit beträgt der Integralwert \(18-6=12\).

\(12\)

- Wie lässt sich das Integral einer Summe aufteilen? - Welche Stammfunktionen gehören zu \(e^x\) und \(3x^2\)? - Setze anschließend die Integrationsgrenzen ein.

1. Mit der Summenregel gilt \(\int_0^1(e^x+3x^2)\,\mathrm{d}x=\int_0^1e^x\,\mathrm{d}x+\int_0^1 3x^2\,\mathrm{d}x\). 2. Stammfunktionen sind \(e^x\) beziehungsweise \(x^3\). Daher ist \(\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x=[e^x+x^3]_0^1\). 3. Einsetzen der Grenzen ergibt \((e+1)-(1+0)=e\).

\(\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x=e\)

- Bearbeite Summanden getrennt. - Bei jedem Exponentialterm ist der Exponent linear. - Berücksichtige den konstanten Ableitungsfaktor der inneren Funktion.

1. Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist zu a) \(F(x)=2e^{2x}\) möglich. 2. In b) werden die Summanden einzeln integriert: \(-e^{5-x}\) und \(\frac13x^3\). Somit ist \(F(x)=-e^{5-x}+\frac13x^3\). 3. In c) ergibt der Exponentialterm \(\frac18e^{4x-2}\), der konstante Summand \(-3x\). Daher ist \(F(x)=\frac18e^{4x-2}-3x\).

a) \(F(x)=2e^{2x}\) b) \(F(x)=-e^{5-x}+\frac13x^3\) c) \(F(x)=\frac18e^{4x-2}-3x\)

- Prüfe den vorgeschlagenen Term zuerst durch Ableiten. - Welche zwei Veränderungen gehören beim umgekehrten Anwenden der Potenzregel zusammen? - Vergleiche nach der Korrektur die Ableitung wieder mit der gegebenen Funktion.

1. Beim Bilden einer Stammfunktion wird nicht nur der Exponent um \(1\) erhöht; der Koeffizient muss auch durch den neuen Exponenten geteilt werden. 2. Deshalb lautet die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=2x^4+C\). 3. Die Probe ergibt \(F'(x)=8x^3\). Die vorgeschlagene Funktion \(8x^4+C\) hätte dagegen die Ableitung \(32x^3\).

Der Fehler ist das fehlende Teilen durch den neuen Exponenten \(4\). Richtig ist \(F(x)=2x^4+C\), denn \(F'(x)=8x^3\).

- Leite den vorgeschlagenen Funktionsterm ab und vergleiche Summand für Summand mit \(f\). - Welche Art von Funktion hat eine konstante Ableitung? - Wird nach einer einzelnen Stammfunktion oder nach der vollständigen Familie gefragt?

1. Ableiten des Vorschlags ergibt \(F'(x)=3x^2\). Der konstante Summand \(-4\) der gegebenen Funktion fehlt also in der Ableitung. 2. Damit beim Ableiten \(-4\) entsteht, muss die Stammfunktion den linearen Term \(-4x\) enthalten. 3. Außerdem beschreibt eine einzelne Stammfunktion noch nicht die ganze Familie; dafür ist eine additive Konstante nötig. 4. Somit lautet die vollständige Stammfunktionsfamilie \(F(x)=x^3-4x+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\).

Der Term \(-4\) wurde fälschlich als Konstante in die Stammfunktion übernommen, und die freie Integrationskonstante fehlt. Richtig ist \(F(x)=x^3-4x+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\).

- Welche Rechenregel verbindet die Stammfunktion einer Summe mit den Stammfunktionen ihrer Summanden? - Bearbeite zunächst jeden der drei Summanden für sich und setze die Ergebnisse erst danach zusammen. - Vergiss nicht, dass nach allen Stammfunktionen gefragt ist und nicht nur nach einem einzelnen Vertreter.

1. Nach der Summenregel kann für jeden Summanden getrennt eine Stammfunktion bestimmt und anschließend addiert werden. 2. Eine Stammfunktion von \(9x^2\) ist \(3x^3\), eine Stammfunktion von \(-4x\) ist \(-2x^2\), und eine Stammfunktion von \(7\) ist \(7x\). 3. Damit lautet die gesamte Stammfunktionsfamilie \(F(x)=3x^3-2x^2+7x+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\). 4. Zur Kontrolle ist \(F'(x)=9x^2-4x+7=f(x)\).

\(F(x)=3x^3-2x^2+7x+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\). Die Summenregel erlaubt es, die Stammfunktionen der einzelnen Summanden zu addieren.

- Welche Variable steht jeweils links vom Zuordnungspfeil? Nach dieser Variablen wird die Stammfunktion gebildet. - Alle anderen Buchstaben behandelst du in der jeweiligen Teilaufgabe wie feste Zahlen. - Wende die Potenzregel nur auf Potenzen der jeweiligen Integrationsvariablen an. - Kontrolliere deine Ergebnisse, indem du jeweils nach der richtigen Variablen ableitest.

1. In a) ist \(x\) die Integrationsvariable. Die Parameter \(a\) und \(k\) werden wie Konstanten behandelt. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{k}x^4-ax^3\). 2. In b) ist \(t\) die Integrationsvariable. Daher ist eine Stammfunktion \(G(t)=\frac{k}{4}t^4+\frac{a}{2}t^2\). 3. In c) ist \(a\) die Integrationsvariable, während \(x\) als Parameter konstant ist. Daher ist eine Stammfunktion \(H(a)=\frac{a^2}{2x}+a\sqrt{x}\).

a) \(F(x)=\frac{1}{k}x^4-ax^3\) b) \(G(t)=\frac{k}{4}t^4+\frac{a}{2}t^2\) c) \(H(a)=\frac{a^2}{2x}+a\sqrt{x}\)

- Welche Funktionen ergeben beim Ableiten Sinus- beziehungsweise Exponentialterme? - Behandle Parameter, nach denen nicht integriert wird, wie Konstanten. - Die Potenzregel gilt auch für nicht ganzzahlige Exponenten, sofern der Definitionsbereich passt. - Kontrolliere jede gefundene Stammfunktion durch Ableiten nach der jeweils angegebenen Variablen.

1. In a) ist \(x\) die Variable. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{k}\cos(x)+k^2x\). 2. In b) ist \(t\) die Variable. Eine Stammfunktion ist \(G(t)=e^t-\frac{1}{2}k^2t^2\). 3. In c) ist \(z\) die Variable. Die Potenzregel liefert für \(z^{1{,}5}\) den Term \(0{,}4z^{2{,}5}\). Daher ist \(H(z)=0{,}4z^{2{,}5}+2{,}5a^2z\) eine Stammfunktion.

a) \(F(x)=\frac{1}{k}\cos(x)+k^2x\) b) \(G(t)=e^t-\frac{1}{2}k^2t^2\) c) \(H(z)=0{,}4z^{2{,}5}+2{,}5a^2z\)

- Zerlege den Funktionsterm gedanklich in den Sinusanteil und den konstanten Anteil. - Welche Funktion ergibt beim Ableiten den Sinus? Achte auf das Vorzeichen. - Nutze den vorgegebenen Punkt erst nach dem Aufstellen der Stammfunktionsfamilie.

1. Es ist \(g(x)=0{,}6\sin(x)-0{,}4\). Damit lautet die Stammfunktionsfamilie \(G(x)=-0{,}6\cos(x)-0{,}4x+C\). 2. Für a) kann beispielsweise \(C=0\) gewählt werden. Dann ist \(G_1(x)=-0{,}6\cos(x)-0{,}4x\). 3. Für b) gilt \(G_2(0)=1\). Damit folgt \(-0{,}6\cos(0)+C=1\). 4. Wegen \(\cos(0)=1\) ist \(C=1{,}6\). Also ist \(G_2(x)=-0{,}6\cos(x)-0{,}4x+1{,}6\).

a) Zum Beispiel \(G_1(x)=-0{,}6\cos(x)-0{,}4x\) b) \(G_2(x)=-0{,}6\cos(x)-0{,}4x+1{,}6\)

- Bearbeite Ableitung und Stammfunktion getrennt und achte darauf, in welche Richtung sich die Exponenten jeweils verändern. - Was geschieht beim Ableiten mit dem konstanten Summanden \(\pi\)? - Welche Form muss dagegen eine Stammfunktion eines konstanten Summanden besitzen?

1. Beim Ableiten wird die Potenzregel gliedweise angewendet. Die Konstante \(\pi\) fällt weg. Damit ist \(f'(x)=3x^3-4x\). 2. Für eine Stammfunktion wird die Potenzregel in umgekehrter Richtung angewendet. Die Konstante \(\pi\) liefert den linearen Term \(\pi x\). Somit ist \(F(x)=\frac{3}{20}x^5-\frac{2}{3}x^3+\pi x\). 3. Zur Kontrolle gilt \(F'(x)=f(x)\).

\(f'(x)=3x^3-4x\) \(F(x)=\frac{3}{20}x^5-\frac{2}{3}x^3+\pi x\)

- Ist es einfacher, den Term zuerst auszumultiplizieren, bevor du die Regeln anwendest? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um Klammern aufzulösen. - Beim Integrieren erhöht sich der Exponent um 1, und du teilst durch den neuen Exponenten.

1. Zunächst wird der Funktionsterm vereinfacht, indem die binomische Formel angewendet wird: \(f(x) = x^2 + 4x + 4 - 3x^3\). 2. Die Ableitung erfolgt gliedweise nach der Potenzregel: \(f'(x) = 2x + 4 - 9x^2\). 3. Die Stammfunktion wird ebenfalls gliedweise bestimmt: Aus \(x^2\) wird \(\frac{1}{3}x^3\), aus \(4x\) wird \(2x^2\), aus \(4\) wird \(4x\) und aus \(-3x^3\) wird \(-\frac{3}{4}x^4\). Es ergibt sich \(F(x) = -\frac{3}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x\).

\(f'(x) = -9x^2 + 2x + 4\) \(F(x) = -\frac{3}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x\)

- Wie lässt sich der Bruch als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Welche Einschränkung an \(n\) sorgt dafür, dass die gewöhnliche Potenzregel hier anwendbar bleibt? - Was bedeutet die freie Integrationskonstante für die Anzahl der Stammfunktionen? - Nutze den Punkt im Spezialfall, um \(C\) zu bestimmen.

1. Es ist \(f_n(x)=3x^{-n}\). Die Potenzregel liefert \(F_n(x)=\frac{3}{1-n}x^{1-n}+C=-\frac{3}{(n-1)x^{n-1}}+C\). 2. Zu jedem festen \(n\) gibt es unendlich viele Stammfunktionen, weil \(C\in\mathbb{R}\) frei gewählt werden kann. 3. Für \(n=4\) gilt \(F_4(x)=-\frac{1}{x^3}+C\). Aus \(F_4(1)=1\) folgt \(-1+C=1\), also \(C=2\). Damit ist \(F_4(x)=-\frac{1}{x^3}+2\).

1. \(F_n(x)=-\frac{3}{(n-1)x^{n-1}}+C\) für \(x>0\) mit \(C\in\mathbb{R}\) 2. Für jedes feste \(n\) gibt es unendlich viele Stammfunktionen. 3. \(F_4(x)=-\frac{1}{x^3}+2\)

- Schreibe Wurzeln und Brüche als Potenzen mit rationalen Exponenten um. - Wie verändert sich der Exponent beim Bilden einer Stammfunktion einer Potenzfunktion? - Kontrolliere jeden gefundenen Term durch Ableiten.

1. Für a) ist \(f'(x)=1{,}5x^{0{,}5}\). Die Potenzregel liefert \(f(x)=x^{1{,}5}\). 2. Für b) ist \(g'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\). Damit ist \(g(x)=x^{\frac{2}{3}}\). 3. Für c) ist \(h'(x)=x^{-1{,}5}\). Daher ist \(h(x)=-2x^{-0{,}5}=-\frac{2}{\sqrt{x}}\).

a) \(f(x)=x^{1{,}5}\) b) \(g(x)=x^{\frac{2}{3}}\) c) \(h(x)=-\frac{2}{\sqrt{x}}\)

- Schreibe Wurzelterme im Nenner als Potenzen mit negativen rationalen Exponenten. - Behandle bei einer Summe jeden Summanden getrennt. - Kontrolliere die Ergebnisse durch Ableiten auf dem angegebenen Definitionsbereich.

1. In a) liefert die Potenzregel \(f(x)=\frac{0{,}8}{0{,}4}x^{0{,}4}=2x^{0{,}4}\). 2. In b) ist \(\frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}=\frac{3}{4}x^{-0{,}75}\). Eine Stammfunktion dieses Summanden ist \(3x^{0{,}25}\); der Summand \(-1\) liefert \(-x\). 3. Daher kann \(g(x)=3x^{0{,}25}-x\) gewählt werden.

a) \(f(x)=2x^{0{,}4}\) b) \(g(x)=3x^{0{,}25}-x\)

- Welche Logarithmusform ist auf dem Bereich \(x<0\) geeignet? - Was ergibt die Ableitung von \(\ln(-x)\)? - Wie erzeugst du aus einer Stammfunktion eine zweite, verschiedene Stammfunktion derselben Funktion?

1. Eine Stammfunktion des Summanden \(x\) ist \(\frac{1}{2}x^2\). 2. Für \(x<0\) ist eine Stammfunktion von \(-\frac{1}{4x}\) der Term \(-\frac{1}{4}\ln(-x)\). 3. Damit lautet die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\ln(-x)+C\). 4. Mit verschiedenen Konstanten, zum Beispiel \(C=0\) und \(C=-1\), erhält man zwei verschiedene Stammfunktionen.

Zum Beispiel \(F_1(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\ln(-x)\) und \(F_2(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\ln(-x)-1\)

- Welche Grundfunktionen ergeben beim Ableiten Sinus beziehungsweise Kosinus? - Schreibe den Bruchterm in Teil c) als Potenz mit negativem Exponenten. - Bei einer Summe kannst du die einzelnen Summanden getrennt behandeln.

1. In a) ist \(f(x)=5\sin(x)\) eine passende Funktion. 2. In b) ist \(f(x)=\cos(x)\) eine passende Funktion. 3. In c) gilt \(f'(x)=2x^{-2}\). Eine passende Funktion ist \(f(x)=-\frac{2}{x}\). 4. In d) liefert die Potenzregel \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\).

a) \(f(x)=5\sin(x)\) b) \(f(x)=\cos(x)\) c) \(f(x)=-\frac{2}{x}\) d) \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\)

- Betrachte die beiden Summanden getrennt. - Welche trigonometrische Funktion ergibt beim Ableiten den Sinus? Achte auf das Vorzeichen. - Kontrolliere den gefundenen Funktionsterm durch Ableiten.

1. Zum Summanden \(8\sin(x)\) gehört als Stammfunktion \(-8\cos(x)\). 2. Zum Summanden \(4x^7\) gehört als Stammfunktion \(0{,}5x^8\). 3. Daher ist \(g(x)=-8\cos(x)+0{,}5x^8\) eine mögliche Ausgangsfunktion. 4. Zur Kontrolle gilt \(g'(x)=8\sin(x)+4x^7\).

\(g(x)=-8\cos(x)+0{,}5x^8\)

- Schreibe Brüche mit \(x\) im Nenner als Potenzen mit negativen Exponenten. - Teile in Teil b) den Zähler termweise durch den Nenner, bevor du integrierst. - Kontrolliere die Exponenten nach Anwendung der Potenzregel.

1. In a) ist \(f(x)=x^4-2x^{-3}+1\). Die Potenzregel liefert \(F(x)=\frac{1}{5}x^5+x^{-2}+x=\frac{1}{5}x^5+\frac{1}{x^2}+x\). 2. In b) gilt \(f(x)=x+5x^{-2}\). Damit ist \(F(x)=\frac{1}{2}x^2-5x^{-1}=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{x}\) eine Stammfunktion.

a) \(F(x)=\frac{1}{5}x^5+\frac{1}{x^2}+x\) b) \(F(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{x}\)

- Schreibe Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten. - Vereinfache den Quotienten in Teil b), bevor du die Potenzregel anwendest. - Prüfe durch Ableiten, ob du wieder die Ausgangsfunktion erhältst.

1. In a) gilt \(f(x)=3x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=2x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}\). 2. In b) vereinfacht sich der Term zu \(f(x)=1+2x^{-\frac{1}{2}}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=x+4x^{\frac{1}{2}}\).

a) \(F(x)=2x^{\frac{3}{2}}-2\sqrt{x}\) b) \(F(x)=x+4\sqrt{x}\)

- Vereinfache den Quotienten, indem du jeden Summanden im Zähler durch \(x^2\) teilst. - Schreibe den entstehenden Bruchterm als negative Potenz. - Wodurch unterscheiden sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion?

1. Durch termweises Dividieren gilt \(f(x)=6x^2-3x^{-2}+5x^4\). 2. Eine Stammfunktionsfamilie ist \(F(x)=x^5+2x^3+\frac{3}{x}+C\). 3. Mit \(C=0\) und \(C=5\) erhält man beispielsweise \(F_1(x)=x^5+2x^3+\frac{3}{x}\) und \(F_2(x)=x^5+2x^3+\frac{3}{x}+5\).

Zum Beispiel \(F_1(x)=x^5+2x^3+\frac{3}{x}\) und \(F_2(x)=x^5+2x^3+\frac{3}{x}+5\)

- Löse zuerst die binomische Klammer auf. - Schreibe den Wurzelterm im Nenner als negative rationale Potenz. - Nutze unterschiedliche Integrationskonstanten, um zwei verschiedene Stammfunktionen zu erhalten.

1. Es ist \((2x^2+1)^2=4x^4+4x^2+1\) und \(\frac{4}{\sqrt{x}}=4x^{-\frac{1}{2}}\). 2. Damit ist \(g(x)=4x^4+4x^2+1-4x^{-\frac{1}{2}}\). 3. Eine Stammfunktionsfamilie lautet \(G(x)=\frac{4}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+x-8\sqrt{x}+C\). 4. Beispielsweise ergeben \(C=0\) und \(C=1\) zwei verschiedene Stammfunktionen.

Zum Beispiel \(G_1(x)=\frac{4}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+x-8\sqrt{x}\) und \(G_2(x)=\frac{4}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+x-8\sqrt{x}+1\)

- Behandle den Parameter \(k\) beim Integrieren wie eine ganz normale Zahl. - Erinnere dich an die Regel: Wenn man \(x^n\) integriert, wird die neue Hochzahl \(n+1\). Durch was muss man den Term dann teilen? - Was passiert mit dem Vorfaktor \(k\), wenn du den Term \(x^{k-1}\) integrierst? - Überprüfe dein Ergebnis durch Ableiten: Kommst du wieder zur ursprünglichen Funktion zurück?

1. Die Funktion \(h\) besteht aus zwei Potenztermen mit dem Parameter \(k\). Die Integrationsregeln werden unter der Annahme angewendet, dass \(k\) eine Konstante ist. 2. Anwendung der Potenzregel auf den ersten Term: \(\frac{1}{k+1} \cdot \frac{1}{k+1}x^{k+1} = \frac{1}{(k+1)^2}x^{k+1}\). 3. Anwendung der Potenzregel auf den zweiten Term: \(-k \cdot \frac{1}{k}x^k = -x^k\). 4. Zusammenfügen der Ergebnisse zu einer Stammfunktion: \(H(x) = \frac{1}{(k+1)^2}x^{k+1} - x^k\).

\(H(x) = \frac{1}{(k+1)^2}x^{k+1} - x^k\)

- Bringe jeden Funktionsterm zuerst in eine Summe einfacher Potenzen von \(x\). - Bei Klammertermen kann Ausmultiplizieren die spätere Anwendung der Potenzregel erleichtern. - Prüfe bei einem Quotienten, ob sich jeder Summand im Zähler durch die Nennerpotenz vereinfachen lässt. - Behandle den Parameter \(p\) beim Integrieren nach \(x\) wie eine Konstante.

1. In a) wird zuerst ausmultipliziert: \(f(x)=9x^2-6x+1\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=3x^3-3x^2+x\). 2. In b) wird der Faktor in die Klammer multipliziert: \(f(x)=\frac{1}{2}x^3+2x^2\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{8}x^4+\frac{2}{3}x^3\). 3. In c) wird jeder Summand durch \(x^2\) geteilt. Für \(x\ne0\) gilt \(f(x)=x^2-2x+6\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+6x\). 4. In d) wird zunächst ausmultipliziert: \(f(x)=px^2-2p^2x+p^3\). Da \(p\) bezüglich \(x\) konstant ist, ist \(F(x)=\frac{p}{3}x^3-p^2x^2+p^3x\) eine Stammfunktion.

a) \(F(x)=3x^3-3x^2+x\) b) \(F(x)=\frac{1}{8}x^4+\frac{2}{3}x^3\) c) \(F(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+6x\) d) \(F(x)=\frac{p}{3}x^3-p^2x^2+p^3x\)

- Entscheide zuerst, welche algebraische Umformung den jeweiligen Term in eine Summe einfacher Potenzen überführt. - Wurzelterme lassen sich als rationale Potenzen schreiben. - Quotienten mit Potenzen von \(x\) im Nenner lassen sich häufig termweise vereinfachen. - Kontrolliere jede gefundene Stammfunktion durch Ableiten.

1. In a) gilt \((1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=x-\frac{3}{2}x^2+x^3-\frac{1}{4}x^4\). 2. In b) vereinfacht sich der Term zu \(4x^3-2x^{-\frac{1}{2}}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=x^4-4\sqrt{x}\). 3. In c) gilt \((x^2+2)^2=x^4+4x^2+4\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+4x\). 4. In d) vereinfacht sich der Quotient zu \(x-3x^{-2}+2x^{-4}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{x}-\frac{2}{3x^3}\).

a) \(F(x)=x-\frac{3}{2}x^2+x^3-\frac{1}{4}x^4\) b) \(F(x)=x^4-4\sqrt{x}\) c) \(F(x)=\frac{1}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+4x\) d) \(F(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{x}-\frac{2}{3x^3}\)

- Welche Stammfunktionen gehören zu Sinus und Kosinus? - Schreibe Brüche und Wurzeln als Potenzen, wenn dies die Potenzregel übersichtlicher macht. - Behandle konstante Faktoren und Summanden getrennt und kontrolliere anschließend durch Ableiten.

1. In a) ist \(F(x)=-5\cos(x)+\frac{1}{5}x^5\) eine Stammfunktion. 2. In b) ist \(\frac{3}{x^2}=3x^{-2}\). Daher ist \(F(x)=-\frac{3}{x}-2\sin(x)\) eine Stammfunktion. 3. In c) ist eine Stammfunktion von \(\cos(x)+x^{-\frac{1}{2}}\) der Term \(\sin(x)+2\sqrt{x}\). Mit dem Faktor \(4\) folgt \(F(x)=4\sin(x)+8\sqrt{x}\).

a) \(F(x)=-5\cos(x)+\frac{1}{5}x^5\) b) \(F(x)=-\frac{3}{x}-2\sin(x)\) c) \(F(x)=4\sin(x)+8\sqrt{x}\)

- Bestimme zuerst die Stammfunktionsfamilie der beiden Summanden. - Welche Funktion ergibt beim Ableiten den Sinus? - Nutze den gegebenen Punkt, um die Integrationskonstante festzulegen.

1. Die Stammfunktionsfamilie lautet \(F(x)=-\cos(x)-x^4+C\). 2. Aus \(F(0)=2\) folgt \(-\cos(0)+C=2\). 3. Wegen \(\cos(0)=1\) ist \(C=3\). 4. Damit ist \(F(x)=-\cos(x)-x^4+3\).

\(F(x)=-\cos(x)-x^4+3\)

- Bestimme zunächst eine allgemeine Stammfunktion mit Konstante \(C\). - Beim Exponentialterm ist die innere Funktion \(-x\) linear. - Nutze anschließend die Punktbedingung.

1. Nach der Regel für lineare innere Funktionen lautet die allgemeine Stammfunktion \(F(x)=-3e^{-x}+2x+C\). 2. Aus \(F(0)=1\) folgt \(-3+C=1\), also \(C=4\). 3. Damit ist \(F(x)=-3e^{-x}+2x+4\).

\(F(x)=-3e^{-x}+2x+4\)

- Prüfe bei jedem Exponenten, ob die Potenzregel überhaupt zulässig ist. - Was passiert mit dem Nenner der Potenzregel genau beim Exponenten \(-1\)? - Welche bekannte Grundfunktion gehört zur Kehrwertfunktion auf dem Bereich \(x>0\)?

1. Für den Summanden \(x^{-2}\) ist die Potenzregel anwendbar und liefert \(-x^{-1}\) als Stammfunktion. 2. Beim Summanden \(x^{-1}\) würde die Potenzregel durch den neuen Exponenten \(-1+1=0\) teilen. Deshalb ist der Exponent \(-1\) von dieser Regel ausgeschlossen. 3. Für \(x>0\) ist \(\ln(x)\) eine Stammfunktion von \(x^{-1}=\frac{1}{x}\). 4. Somit lautet die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=-\frac{1}{x}+\ln(x)+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\).

Die Potenzregel ist für den Exponenten \(-1\) nicht anwendbar, weil sonst durch \(0\) geteilt würde. Für \(x>0\) gilt \(F(x)=-\frac{1}{x}+\ln(x)+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\).