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- Kannst du den Faktor \(\frac{1}{a}\) beim Integrieren wie eine normale Zahl behandeln? - Es hilft, den Ausdruck zuerst in der Form \(k \cdot x^n\) zu schreiben. - Wenn du eine Stammfunktion gegeben hast, wie kannst du prüfen, zu welcher Funktion sie gehört?

1. Umschreiben der Funktion zu \(h_a(x) = \frac{1}{a} \cdot x^{-2}\). Die Integration liefert \(H_a(x) = \frac{1}{a} \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{ax} + C\). 2. Vergleich von \(H(x) = -\frac{1}{5x}\) mit dem allgemeinen Term \(H_a(x) = -\frac{1}{ax} + C\). Damit die Terme identisch sind, muss \(a = 5\) gelten (bei \(C = 0\)). Alternativ führt die Ableitung von \(H(x)\) zu \(H'(x) = \frac{1}{5x^2}\). Ein Vergleich mit \(h_a(x) = \frac{1}{ax^2}\) liefert direkt \(a = 5\).

1. \(H_a(x) = -\frac{1}{ax} + C\) 2. \(a = 5\)

- Überlege, welche Funktion abgeleitet \(\frac{1}{x}\) ergibt, wenn der Definitionsbereich auf positive Zahlen eingeschränkt ist. - Wie unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion voneinander? - Nutze die Linearität des Integrals, um die Terme einzeln zu betrachten.

1. Anwendung der Summenregel und der Regel für die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\): Die allgemeine Stammfunktion lautet \(F(x) = 6 \cdot \ln(x) + 2x + C\), da für \(x > 0\) gilt: \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln(x) + C\). 2. Wahl zweier unterschiedlicher Integrationskonstanten \(C\), zum Beispiel \(C = 0\) und \(C = 5\). 3. Ergebnis: \(F_1(x) = 6 \ln(x) + 2x\) und \(F_2(x) = 6 \ln(x) + 2x + 5\).

Zwei mögliche Stammfunktionen sind \(F_1(x) = 6 \ln(x) + 2x\) und \(F_2(x) = 6 \ln(x) + 2x + 5\). (Hinweis: Jede Funktion der Form \(F(x) = 6 \ln(x) + 2x + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\) ist korrekt.)

- Überlege dir zuerst, wie du eine einzelne Potenzfunktion aufleitest. - Was passiert mit dem Exponenten und was mit dem Vorfaktor? - Erinnere dich daran, dass eine Funktion unendlich viele Stammfunktionen hat, die sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden. - Du kannst jede beliebige Zahl am Ende des Funktionsterms hinzufügen oder abziehen.

1. Anwendung der Potenzregel \(\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}\) und der Summenregel auf den Term \(8x^3 - 6x^2 + 5\). 2. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion: \(F(x) = \frac{8}{4}x^4 - \frac{6}{3}x^3 + 5x + C = 2x^4 - 2x^3 + 5x + C\). 3. Wahl von drei verschiedenen Werten für die Integrationskonstante \(C\), zum Beispiel \(C=0\), \(C=3\) und \(C=-1\). 4. Daraus ergeben sich beispielsweise: \(F_1(x) = 2x^4 - 2x^3 + 5x\), \(F_2(x) = 2x^4 - 2x^3 + 5x + 3\) und \(F_3(x) = 2x^4 - 2x^3 + 5x - 1\).

Mögliche Stammfunktionen sind (für \(C_1=0, C_2=3, C_3=-1\)): \(F_1(x) = 2x^4 - 2x^3 + 5x\) \(F_2(x) = 2x^4 - 2x^3 + 5x + 3\) \(F_3(x) = 2x^4 - 2x^3 + 5x - 1\)

- Kannst du den Funktionsterm zuerst vereinfachen, indem du die Klammern auflöst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um das Quadrat zu berechnen. - Wenn du eine Summe von Termen hast, kannst du jeden Teil einzeln integrieren. - Wie lautet die allgemeine Regel, um die Hochzahl beim Integrieren zu verändern?

1. Den Funktionsterm mithilfe der zweiten binomischen Formel auflösen: \(f(x) = \frac{1}{2}(x^4 - 6x^2 + 9) = \frac{1}{2}x^4 - 3x^2 + \frac{9}{2}\). 2. Die Potenzregel \(\int x^n \, \text{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1}\) gliedweise auf das Polynom anwenden. 3. Für den ersten Term ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}x^5 = \frac{1}{10}x^5\). 4. Für den zweiten Term ergibt sich \(-3 \cdot \frac{1}{3}x^3 = -x^3\). 5. Für den konstanten Term ergibt sich \(\frac{9}{2}x = 4{,}5x\). 6. Eine mögliche Stammfunktion ist somit \(F(x) = \frac{1}{10}x^5 - x^3 + 4{,}5x\).

\(F(x) = \frac{1}{10}x^5 - x^3 + 4{,}5x\) (oder eine andere Funktion mit dieser Struktur und einer additiven Konstante \(C\)).

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass er nur noch aus einer Summe von Potenzen besteht? - Welche binomischen Formeln könnten dir beim Auflösen der Klammern helfen? - Wie gehst du vor, wenn im Nenner nur eine einzelne Potenz von \(x\) steht? - Denk daran, dass Parameter wie \(p\) beim Integrieren nach \(x\) wie normale Zahlen behandelt werden.

1. Für a): Den Term mittels der zweiten binomischen Formel zu \(9x^2 - 6x + 1\) ausmultiplizieren. Die Stammfunktion ergibt sich gliedweise zu \(F(x) = 3x^3 - 3x^2 + x\). 2. Für b): Den Faktor \(\frac{1}{2}x^2\) in die Klammer multiplizieren, was \(f(x) = \frac{1}{2}x^3 + 2x^2\) ergibt. Die Stammfunktion lautet \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 + \frac{2}{3}x^3\). 3. Für c): Den Bruch aufteilen in \(x^2 - 2 + 6x^{-2}\). Die Anwendung der Potenzregel liefert \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x - 6x^{-1} = \frac{1}{3}x^3 - 2x - \frac{6}{x}\). 4. Für d): Den Term zu \(p(x^2 - 2px + p^2) = px^2 - 2p^2x + p^3\) ausmultiplizieren. Die Stammfunktion bezüglich \(x\) ist \(F(x) = \frac{p}{3}x^3 - p^2x^2 + p^3x\).

a) \(F(x) = 3x^3 - 3x^2 + x\) b) \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 + \frac{2}{3}x^3\) c) \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x - \frac{6}{x}\) d) \(F(x) = \frac{p}{3}x^3 - p^2x^2 + p^3x\)

- Überlege, welcher Teil der Funktion ein fester Zahlenwert ist und welcher Teil von \(x\) abhängt. - Erinnere dich daran, wie man Faktoren beim Ableiten behandelt – beim Integrieren funktioniert das ganz ähnlich. - Es ist oft einfacher, zuerst das Integral der Basisfunktion zu berechnen und das Ergebnis danach mit dem Faktor zu multiplizieren.

1. Anwendung der Faktorregel durch Herausziehen der Konstanten \(5\): \(5 \cdot \int_{1}^{2} x^4 \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(x^4\): \(\frac{1}{5}x^5\). 3. Verrechnung des Faktors mit der Stammfunktion: \(5 \cdot \frac{1}{5}x^5 = x^5\). 4. Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion: \(2^5 - 1^5\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(32 - 1 = 31\).

\(31\)

- Kannst du die Funktion in zwei einfachere Teile zerlegen? - Welche Regeln kennst du, um Ausdrücke der Form \(x^n\) zu integrieren? - Wie gehst du vor, wenn du die Stammfunktion gefunden hast und die Grenzen einsetzen musst? - Denke daran, dass \(\frac{1}{x^2}\) auch als Potenz mit negativem Exponenten geschrieben werden kann.

1. Anwendung der Summenregel: Das Integral wird in zwei Teilintegrale zerlegt: \(\int_{1}^{2} 6x^2 \, dx + \int_{1}^{2} -4x^{-2} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktionen unter Verwendung der Potenz- und Faktorregel: Für \(6x^2\) ergibt sich \(2x^3\), für \(-4x^{-2}\) ergibt sich \(4x^{-1} = \frac{4}{x}\). 3. Bildung der Gesamtstammfunktion: \(F(x) = 2x^3 + \frac{4}{x}\). 4. Einsetzen der Grenzen gemäß dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: \(F(2) = 2 \cdot 2^3 + \frac{4}{2} = 16 + 2 = 18\) und \(F(1) = 2 \cdot 1^3 + \frac{4}{1} = 2 + 4 = 6\). 5. Berechnung der Differenz: \(18 - 6 = 12\).

Der Wert des Integrals ist \(12\).

- Überlege, wie sich die Vorzeichen beim Ableiten und Integrieren von Sinus und Kosinus verändern. - Beachte, dass \(\pi\) eine Konstante ist, genau wie eine gewöhnliche Zahl. - Verwende die Potenzregel für Ableitungen und Integrale gliedweise.

1. Zur Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f'\) wird die Summen- und Faktorregel angewendet: Die Ableitung von \(\frac{3}{4}x^4\) ist \(3x^3\), die Ableitung von \(-\cos(x)\) ist \(\sin(x)\) und die Konstante \(\pi\) fällt weg. Es ergibt sich \(f'(x) = 3x^3 + \sin(x)\). 2. Zur Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) wird gliedweise integriert: Die Stammfunktion von \(\frac{3}{4}x^4\) ist \(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5}x^5 = \frac{3}{20}x^5\), die Stammfunktion von \(-\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\) und die Stammfunktion der Konstante \(\pi\) ist \(\pi x\). Somit ist \(F(x) = \frac{3}{20}x^5 - \sin(x) + \pi x\).

\(f'(x) = 3x^3 + \sin(x)\) \(F(x) = \frac{3}{20}x^5 - \sin(x) + \pi x\)

- Ist es einfacher, den Term zuerst auszumultiplizieren, bevor du die Regeln anwendest? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um Klammern aufzulösen. - Beim Integrieren erhöht sich der Exponent um 1, und du teilst durch den neuen Exponenten.

1. Zunächst wird der Funktionsterm vereinfacht, indem die binomische Formel angewendet wird: \(f(x) = x^2 + 4x + 4 - 3x^3\). 2. Die Ableitung erfolgt gliedweise nach der Potenzregel: \(f'(x) = 2x + 4 - 9x^2\). 3. Die Stammfunktion wird ebenfalls gliedweise bestimmt: Aus \(x^2\) wird \(\frac{1}{3}x^3\), aus \(4x\) wird \(2x^2\), aus \(4\) wird \(4x\) und aus \(-3x^3\) wird \(-\frac{3}{4}x^4\). Es ergibt sich \(F(x) = -\frac{3}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x\).

\(f'(x) = -9x^2 + 2x + 4\) \(F(x) = -\frac{3}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x\)

- Wie kannst du den Bruch als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Welche Regel kennst du für das Integrieren von Potenzen der Form \(x^k\)? - Was passiert mit der Konstanten beim Ableiten? Was bedeutet das für die Anzahl der Stammfunktionen? - Wie nutzt man die Koordinaten eines Punktes, um eine Unbekannte in einer Funktionsgleichung zu bestimmen?

1. Die Funktion wird als Potenz mit negativem Exponenten geschrieben: \(f_n(x) = 3 \cdot x^{-n}\). Anwendung der Potenzregel für die Integration ergibt \(F_n(x) = \frac{3}{-n+1} \cdot x^{-n+1} + C\). Umgeformt ergibt dies \(F_n(x) = -\frac{3}{(n-1)x^{n-1}} + C\). 2. Zu jedem festen \(n\) gibt es unendlich viele Stammfunktionen, da die Integrationskonstante \(C \in \mathbb{R}\) frei gewählt werden kann. 3. Für \(n = 4\) lautet die allgemeine Stammfunktion \(F_4(x) = -\frac{3}{3x^3} + C = -\frac{1}{x^3} + C\). Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid 1)\): \(1 = -\frac{1}{1^3} + C \implies 1 = -1 + C \implies C = 2\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(F_4(x) = -\frac{1}{x^3} + 2\).

1. \(F_n(x) = -\frac{3}{(n-1)x^{n-1}} + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\) 2. Es gibt unendlich viele Lösungen, da die Integrationskonstante \(C\) jede reelle Zahl annehmen kann. 3. \(F_4(x) = -\frac{1}{x^3} + 2\)

- Schreibe Wurzeln und Brüche zuerst als Potenzen mit rationalen Exponenten um. - Erinnere dich an die Regel für das Bilden einer Stammfunktion bei Potenzfunktionen: Der Exponent wird um 1 erhöht und der Koeffizient durch den neuen Exponenten geteilt. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den gefundenen Term wieder ableitest.

1. Für \(f'(x) = 1{,}5x^{0{,}5}\) wird die Potenzregel der Integration angewendet: \(f(x) = \frac{1{,}5}{0{,}5+1}x^{0{,}5+1} = \frac{1{,}5}{1{,}5}x^{1{,}5} = x^{1{,}5}\). 2. Für \(g'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\) ergibt sich durch Bilden einer Stammfunktion: \(g(x) = \frac{2/3}{-1/3+1}x^{-1/3+1} = \frac{2/3}{2/3}x^{2/3} = x^{\frac{2}{3}}\) bzw. \(\sqrt[3]{x^2}\). 3. Den Term \(h'(x) = x^{-1{,}5}\) integriert man zu \(h(x) = \frac{1}{-1{,}5+1}x^{-1{,}5+1} = \frac{1}{-0{,}5}x^{-0{,}5} = -2x^{-0{,}5}\) bzw. \(-\frac{2}{\sqrt{x}}\).

a) \(f(x) = x^{1{,}5}\) (oder \(f(x) = \sqrt{x^3}\)) b) \(g(x) = x^{\frac{2}{3}}\) (oder \(g(x) = \sqrt[3]{x^2}\)) c) \(h(x) = -2x^{-0{,}5}\) (oder \(h(x) = -\frac{2}{\sqrt{x}}\))

- Achte besonders auf das Vorzeichen im Argument des Logarithmus, da \(x\) negativ ist. - Was passiert beim Ableiten von \(\ln(-x)\) mithilfe der Kettenregel? - Erinnere dich an die Potenzregel für den ersten Teil der Funktion.

1. Bestimmung der Stammfunktion der einzelnen Summanden: Die Stammfunktion von \(x\) ist \(\frac{1}{2}x^2\). 2. Für den Term \(-\frac{1}{4x}\) ist zu beachten, dass wegen \(x < 0\) die Stammfunktion \(\ln(-x)\) verwendet werden muss. Es ergibt sich \(-\frac{1}{4} \ln(-x)\). 3. Die allgemeine Stammfunktion ist somit \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4} \ln(-x) + C\). 4. Durch Wahl zweier verschiedener Werte für \(C\), etwa \(C = 0\) und \(C = -1\), erhält man zwei konkrete Stammfunktionen.

Zwei mögliche Stammfunktionen für \(x < 0\) sind \(F_1(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4} \ln(-x)\) und \(F_2(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4} \ln(-x) - 1\).

- Kannst du Brüche mit \(x\) im Nenner als Potenzen mit negativem Exponenten schreiben? - Versuche bei Brüchen mit einer Summe im Zähler, den Bruch in einzelne Terme aufzuteilen. - Erinnere dich an die Regel für das Integrieren von Potenzen: Der Exponent wird um 1 erhöht und man teilt durch den neuen Exponenten.

1. Umschreiben von Teil a) in Potenzschreibweise: \(f(x) = x^4 - 2x^{-3} + 1\). 2. Anwendung der Potenzregel \(\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}\) auf jeden Summanden: \(F(x) = \frac{1}{5}x^5 - 2 \cdot \frac{1}{-2}x^{-2} + x\). 3. Vereinfachen des Ergebnisses: \(F(x) = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{x^2} + x\). 4. Umschreiben von Teil b) durch termweises Dividieren: \(f(x) = \frac{x^3}{x^2} + \frac{5}{x^2} = x + 5x^{-2}\). 5. Anwendung der Potenzregel: \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 5 \cdot \frac{1}{-1}x^{-1} = \frac{1}{2}x^2 - 5x^{-1}\). 6. Vereinfachen des Ergebnisses: \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{x}\).

a) \(F(x) = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{x^2} + x\) b) \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{x}\)

- Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz schreiben? - Gibt es eine Möglichkeit, den Bruch in Teil b) zu vereinfachen, bevor du integrierst? - Achte beim Erhöhen der Exponenten besonders auf die Brüche.

1. Umschreiben von Teil a) unter Verwendung von \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\): \(f(x) = 3x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}\). 2. Integration mittels Potenzregel: \(F(x) = 3 \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}}\). 3. Vereinfachen: \(F(x) = 2\sqrt{x^3} - 2\sqrt{x}\). 4. Umschreiben von Teil b) durch Division: \(f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}} = 1 + 2x^{-\frac{1}{2}}\). 5. Integration mittels Potenzregel: \(F(x) = x + 2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} = x + 4x^{\frac{1}{2}}\). 6. Vereinfachen: \(F(x) = x + 4\sqrt{x}\).

a) \(F(x) = 2\sqrt{x^3} - 2\sqrt{x}\) b) \(F(x) = x + 4\sqrt{x}\)

- Bilde zunächst die allgemeine Stammfunktion mit einer unbekannten Konstante \(C\). - Nutze die gegebenen Funktionswerte, um für jede der drei Funktionen den passenden Wert für \(C\) zu berechnen. - Setze dazu den gegebenen \(x\)-Wert in deine Stammfunktion ein und stelle die Gleichung nach \(C\) um.

1. Aufstellen der allgemeinen Stammfunktion mittels Potenzregel: \(F(x) = x^3 + 2x^2 + C\). 2. Bestimmung von \(F_1\): Einsetzen von \(x=0\) in \(0^3 + 2 \cdot 0^2 + C_1 = 0\) ergibt \(C_1 = 0\). Also \(F_1(x) = x^3 + 2x^2\). 3. Bestimmung von \(F_2\): Einsetzen von \(x=0\) in \(0^3 + 2 \cdot 0^2 + C_2 = 10\) ergibt \(C_2 = 10\). Also \(F_2(x) = x^3 + 2x^2 + 10\). 4. Bestimmung von \(F_3\): Einsetzen von \(x=1\) in \(1^3 + 2 \cdot 1^2 + C_3 = 5\). Dies führt zu \(1 + 2 + C_3 = 5\), also \(3 + C_3 = 5\), woraus \(C_3 = 2\) folgt. Also \(F_3(x) = x^3 + 2x^2 + 2\).

\(F_1(x) = x^3 + 2x^2\) \(F_2(x) = x^3 + 2x^2 + 10\) \(F_3(x) = x^3 + 2x^2 + 2\)

- Kannst du den Bruch in der Funktionsgleichung zuerst vereinfachen, indem du jeden Summanden im Zähler einzeln durch den Nenner teilst? - Schreibe Terme wie \(\frac{1}{x^n}\) als Potenz mit negativem Exponenten um, bevor du die Potenzregel anwendest. - Erinnere dich daran, wie sich Stammfunktionen derselben Funktion voneinander unterscheiden. - Welche Regel wendest du an, um eine Summe von Funktionen zu integrieren?

1. Vereinfachung des Funktionsterms durch gliedweise Division: \(f(x) = \frac{6x^4}{x^2} - \frac{3}{x^2} + 5x^4 = 6x^2 - 3x^{-2} + 5x^4\). 2. Anwendung der Potenzregel für die Stammfunktion (Erhöhung des Exponenten um 1 und Division durch den neuen Exponenten): - Stammfunktion von \(6x^2\) ist \(2x^3\). - Stammfunktion von \(-3x^{-2}\) ist \(\frac{-3}{-1}x^{-1} = 3x^{-1} = \frac{3}{x}\). - Stammfunktion von \(5x^4\) ist \(x^5\). 3. Aufstellen der allgemeinen Stammfunktion \(F(x) = x^5 + 2x^3 + \frac{3}{x} + C\). 4. Wahl zweier unterschiedlicher Werte für die Integrationskonstante \(C\), zum Beispiel \(C = 0\) und \(C = 5\). Dies führt zu \(F_1(x) = x^5 + 2x^3 + \frac{3}{x}\) und \(F_2(x) = x^5 + 2x^3 + \frac{3}{x} + 5\).

Mögliche Stammfunktionen sind: \(F_1(x) = x^5 + 2x^3 + \frac{3}{x}\) \(F_2(x) = x^5 + 2x^3 + \frac{3}{x} + 5\)

- Erinnere dich an die Potenzgesetze: \(\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\) und \(\sqrt{x} = x^{0{,}5}\). - Bei höheren Potenzen von Klammern hilft das Ausmultiplizieren oder das pascalsche Dreieck. - Kannst du den Bruch in mehrere Brüche aufteilen, um die Potenzregel einzeln anzuwenden? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Stammfunktion einmal im Kopf ableitest.

1. Für a): Den Term \((1-x)^3\) ausmultiplizieren zu \(1 - 3x + 3x^2 - x^3\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = x - \frac{3}{2}x^2 + x^3 - \frac{1}{4}x^4\). 2. Für b): Den Bruch mithilfe von Potenzgesetzen vereinfachen: \(\frac{4x^{3{,}5}}{x^{0{,}5}} - \frac{2}{x^{0{,}5}} = 4x^3 - 2x^{-0{,}5}\). Das Bilden einer Stammfunktion ergibt \(F(x) = x^4 - 4x^{0{,}5} = x^4 - 4\sqrt{x}\). 3. Für c): Den Term zu \(x^4 + 4x^2 + 4\) ausmultiplizieren. Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{5}x^5 + \frac{4}{3}x^3 + 4x\). 4. Für d): Den Bruch in Einzelbrüche zerlegen: \(x - 3x^{-2} + 2x^{-4}\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x^{-1} - \frac{2}{3}x^{-3} = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{3x^3}\).

a) \(F(x) = x - \frac{3}{2}x^2 + x^3 - \frac{1}{4}x^4\) b) \(F(x) = x^4 - 4\sqrt{x}\) c) \(F(x) = \frac{1}{5}x^5 + \frac{4}{3}x^3 + 4x\) d) \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{3x^3}\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus – wie lauten sie in der umgekehrten Richtung? - Kannst du Brüche mit \(x\) im Nenner oder Wurzeln als Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten umschreiben? - Nutze die Summenregel, um jeden Teil der Funktion einzeln zu betrachten. - Vergiss nicht, konstante Faktoren beim Integrieren einfach beizubehalten.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Summenregel angewendet. Die Stammfunktion von \(\sin(x)\) ist \(-\cos(x)\) und die von \(x^4\) ist \(\frac{1}{5}x^5\). Unter Berücksichtigung des Faktors ergibt sich \(F(x) = -5\cos(x) + \frac{1}{5}x^5\). 2. In b) wird der Term \(\frac{3}{x^2}\) als \(3x^{-2}\) geschrieben. Die Stammfunktion dazu ist \(3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -3x^{-1} = -\frac{3}{x}\). Zusammen mit der Stammfunktion von \(-2\cos(x)\), die \(-2\sin(x)\) lautet, ergibt sich \(F(x) = -\frac{3}{x} - 2\sin(x)\). 3. In c) wird die Klammer mithilfe der Faktorregel behandelt. Die Stammfunktion von \(\cos(x)\) ist \(\sin(x)\). Der Term \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) entspricht \(x^{-0{,}5}\), dessen Stammfunktion \(\frac{x^{0{,}5}}{0{,}5} = 2\sqrt{x}\) ist. Multipliziert mit dem Vorfaktor 4 erhält man \(F(x) = 4\sin(x) + 8\sqrt{x}\).

a) \(F(x) = -5\cos(x) + \frac{1}{5}x^5\) b) \(F(x) = -\frac{3}{x} - 2\sin(x)\) c) \(F(x) = 4\sin(x) + 8\sqrt{x}\)

- Bestimme zuerst die allgemeine Form aller möglichen Stammfunktionen, indem du eine Integrationskonstante ergänzt. - Welchen Wert hat der Kosinus an der Stelle null? - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um den exakten Wert der Konstanten zu berechnen?

1. Zuerst wird die allgemeine Stammfunktion durch Integration der einzelnen Summanden bestimmt: \(\int \sin(x) \, dx = -\cos(x)\) und \(\int -4x^3 \, dx = -x^4\). Die allgemeine Stammfunktion lautet somit \(F(x) = -\cos(x) - x^4 + C\). 2. Um die spezifische Konstante \(C\) zu finden, wird die Bedingung \(F(0) = 2\) genutzt. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(0 \mid 2)\) führt zu: \(-\cos(0) - 0^4 + C = 2\). 3. Da \(\cos(0) = 1\) ist, ergibt sich die Gleichung \(-1 + C = 2\), woraus \(C = 3\) folgt. 4. Die gesuchte Stammfunktion ist demnach \(F(x) = -\cos(x) - x^4 + 3\).

\(F(x) = -\cos(x) - x^4 + 3\)

- Musst du die genaue Funktionsgleichung von \(g(x)\) kennen, um diese Aufgabe zu lösen? - Wie beeinflusst ein konstanter Faktor vor der Funktion den gesamten Flächeninhalt unter dem Graphen? - Nutze die Eigenschaft, dass man konstante Faktoren aus dem Integral „herausziehen“ darf.

1. Anwendung der Faktorregel für Integrale: Der konstante Faktor \(\frac{2}{3}\) wird vor das Integral geschrieben: \(\frac{2}{3} \cdot \int_{2}^{6} g(x) \, dx\). 2. Einsetzen des gegebenen Integralwertes \(18\) in den Ausdruck: \(\frac{2}{3} \cdot 18\). 3. Durchführung der Multiplikation: \(\frac{2 \cdot 18}{3} = \frac{36}{3} = 12\).

\(12\)

- Wie hängen der Flächeninhalt unter einem Graphen und das bestimmte Integral zusammen? - Kannst du die Stammfunktion für jeden Teil der Summe einzeln bestimmen? - Was ist die besondere Eigenschaft der Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion? - Welchen Wert hat jede Basis hoch Null?

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: Da \(f(x) > 0\) für alle \(x \in [0; 1]\), entspricht die Fläche dem Integral \(A = \int_{0}^{1} (e^x + 3x^2) \, dx\). 2. Anwendung der Summenregel zur Bestimmung der Stammfunktion: Die Stammfunktion von \(e^x\) ist \(e^x\), die Stammfunktion von \(3x^2\) ist \(x^3\). Die Gesamtstammfunktion lautet somit \(F(x) = e^x + x^3\). 3. Anwendung des Hauptsatzes: Berechnung der Werte an den Grenzen: \(F(1) = e^1 + 1^3 = e + 1\) und \(F(0) = e^0 + 0^3 = 1 + 0 = 1\). 4. Berechnung der Differenz: \((e + 1) - 1 = e\).

Der Flächeninhalt beträgt \(e\) (ca. \(2{,}718\) Flächeneinheiten).

- Welche Regel kennst du für das Integrieren von Funktionen der Form \(e^{ax+b}\)? - Wie gehst du vor, wenn eine Funktion aus mehreren Summanden besteht? - Was passiert mit der inneren Ableitung des Exponenten beim Bilden der Stammfunktion? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Stammfunktion zur Probe ableitest.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Regel für die Integration von \(e^{ax}\) angewendet: \(F(x) = 4 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} = 2e^{2x}\). 2. In Teilaufgabe b) werden die Summanden einzeln integriert. Die lineare Verkettung \(e^{5-x}\) ergibt mit dem Faktor \(\frac{1}{-1}\) den Term \(-e^{5-x}\). Die Potenzregel liefert für \(x^2\) den Term \(\frac{1}{3}x^3\). Somit gilt \(F(x) = -e^{5-x} + \frac{1}{3}x^3\). 3. Für Teilaufgabe c) wird die lineare Substitution auf den Exponentialterm angewendet: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} e^{4x-2} = \frac{1}{8} e^{4x-2}\). Der konstante Term \(-3\) wird zu \(-3x\). Daraus folgt \(F(x) = \frac{1}{8} e^{4x-2} - 3x\).

a) \(F(x) = 2e^{2x}\) b) \(F(x) = -e^{5-x} + \frac{1}{3}x^3\) c) \(F(x) = \frac{1}{8} e^{4x-2} - 3x\)

- Bestimme zunächst die Menge aller möglichen Stammfunktionen mit einer Konstante \(C\). - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um den Wert von \(C\) zu berechnen? - Erinnere dich daran, welchen Wert eine Potenz mit dem Exponenten \(0\) hat.

1. Zuerst wird die allgemeine Stammfunktion von \(f(x) = 3e^{-x} + 2\) gebildet. Unter Beachtung der linearen Substitution für \(e^{-x}\) (Faktor \(\frac{1}{-1}\)) ergibt sich \(F(x) = -3e^{-x} + 2x + C\). 2. Zur Bestimmung der Integrationskonstanten \(C\) wird die Bedingung \(F(0) = 1\) genutzt. Einsetzen in die Stammfunktion liefert: \(-3e^{0} + 2 \cdot 0 + C = 1\). 3. Da \(e^0 = 1\) ist, folgt die Gleichung \(-3 + C = 1\), woraus \(C = 4\) resultiert. 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet somit \(F(x) = -3e^{-x} + 2x + 4\).

\(F(x) = -3e^{-x} + 2x + 4\)

- Nutze die Potenzschreibweise \(x^{\frac{m}{n}}\) für Wurzelterme im Nenner. - Achte bei Summen darauf, jeden Summanden einzeln zu integrieren. - Was passiert mit einer konstanten Zahl wie \(-1\), wenn man die zugehörige Funktion sucht, deren Ableitung diese Zahl ist?

1. Bei \(f'(x) = 0{,}8x^{-0{,}6}\) führt die Anwendung der Potenzregel zu \(f(x) = \frac{0{,}8}{-0{,}6+1}x^{-0{,}6+1} = \frac{0{,}8}{0{,}4}x^{0{,}4} = 2x^{0{,}4}\). 2. Der Term \(g'(x) = \frac{3}{4}x^{-0{,}75} - 1\) wird gliedweise integriert: Der erste Teil ergibt \(\frac{0{,}75}{-0{,}75+1}x^{-0{,}75+1} = \frac{0{,}75}{0{,}25}x^{0{,}25} = 3x^{0{,}25}\). Der zweite Teil \(-1\) ergibt integriert \(-x\). Somit ist \(g(x) = 3x^{0{,}25} - x\).

a) \(f(x) = 2x^{0{,}4}\) b) \(g(x) = 3\sqrt[4]{x} - x\) (oder \(g(x) = 3x^{0{,}25} - x\))

- Gibt es eine binomische Formel, mit der du die Klammer auflösen kannst? - Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz schreiben, um die Potenzregel anwenden zu können? - Denk daran, dass die Stammfunktion einer Summe die Summe der einzelnen Stammfunktionen ist. - Wie viele verschiedene Stammfunktionen existieren für eine Funktion und wodurch unterscheiden sie sich?

1. Auflösen des binomischen Terms: \((2x^2 + 1)^2 = 4x^4 + 4x^2 + 1\). 2. Umschreiben der Wurzel in eine Potenz mit negativem, rationalem Exponenten: \(\frac{4}{\sqrt{x}} = 4x^{-1/2}\). 3. Zusammenfassen zum Term \(g(x) = 4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^{-1/2}\). 4. Bildung der Stammfunktion mittels Potenzregel: - \(\int 4x^4 \, dx = \frac{4}{5}x^5 = 0{,}8x^5\) - \(\int 4x^2 \, dx = \frac{4}{3}x^3\) - \(\int 1 \, dx = x\) - \(\int -4x^{-1/2} \, dx = -4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = -8x^{1/2} = -8\sqrt{x}\) 5. Die allgemeine Stammfunktion lautet \(G(x) = 0{,}8x^5 + \frac{4}{3}x^3 + x - 8\sqrt{x} + C\). 6. Durch Wahl von \(C=0\) und \(C=1\) ergeben sich zwei konkrete Stammfunktionen.

Mögliche Stammfunktionen sind: \(G_1(x) = 0{,}8x^5 + \frac{4}{3}x^3 + x - 8\sqrt{x}\) \(G_2(x) = 0{,}8x^5 + \frac{4}{3}x^3 + x - 8\sqrt{x} + 1\)

- Behandle den Parameter \(k\) beim Integrieren wie eine ganz normale Zahl. - Erinnere dich an die Regel: Wenn man \(x^n\) integriert, wird die neue Hochzahl \(n+1\). Durch was muss man den Term dann teilen? - Was passiert mit dem Vorfaktor \(k\), wenn du den Term \(x^{k-1}\) integrierst? - Überprüfe dein Ergebnis durch Ableiten: Kommst du wieder zur ursprünglichen Funktion zurück?

1. Die Funktion \(h\) besteht aus zwei Potenztermen mit dem Parameter \(k\). Die Integrationsregeln werden unter der Annahme angewendet, dass \(k\) eine Konstante ist. 2. Anwendung der Potenzregel auf den ersten Term: \(\frac{1}{k+1} \cdot \frac{1}{k+1}x^{k+1} = \frac{1}{(k+1)^2}x^{k+1}\). 3. Anwendung der Potenzregel auf den zweiten Term: \(-k \cdot \frac{1}{k}x^k = -x^k\). 4. Zusammenfügen der Ergebnisse zu einer Stammfunktion: \(H(x) = \frac{1}{(k+1)^2}x^{k+1} - x^k\).

\(H(x) = \frac{1}{(k+1)^2}x^{k+1} - x^k\)