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- Was besagt die Produktregel für die Ableitung eines Produkts zweier Teilfunktionen? - Wie multipliziert man zwei Klammerausdrücke systematisch miteinander? - Welche Regeln gelten für das Ableiten von Potenzfunktionen in einer Summe? - Vergleiche am Ende beide Ergebnisse – sie müssen identisch sein.

1. Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = x^2 - 2x + 3\) und \(v(x) = 2x - 5\). Die Ableitungen sind \(u'(x) = 2x - 2\) und \(v'(x) = 2\). Einsetzen in die Formel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\) ergibt \(f'(x) = (2x - 2)(2x - 5) + (x^2 - 2x + 3) \cdot 2\). Zusammengefasst: \(f'(x) = (4x^2 - 10x - 4x + 10) + (2x^2 - 4x + 6) = 6x^2 - 18x + 16\). 2. Ausmultiplizieren des Funktionsterms: \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x^2 + 10x + 6x - 15 = 2x^3 - 9x^2 + 16x - 15\). Ableiten der Summenform ergibt \(f'(x) = 6x^2 - 18x + 16\).

\(f'(x) = 6x^2 - 18x + 16\)

- Aus welchen zwei Grundfunktionen ist das Produkt aufgebaut? - Wie lautet die Ableitung der Kosinusfunktion? Achte dabei besonders auf das Vorzeichen. - Wende die Produktregel systematisch an, indem du zuerst die Ableitungen der einzelnen Faktoren bestimmst. - Setze Klammern um die Terme, um Rechenfehler bei der Verknüpfung zu vermeiden.

1. Identifikation der Teilfunktionen für die Produktregel: \(u(x) = x^2 - 5x + 3\) und \(v(x) = \cos(x)\). 2. Berechnung der Ableitungen der Teilfunktionen: \(u'(x) = 2x - 5\) und \(v'(x) = -\sin(x)\). 3. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\). 4. Einsetzen der Terme: \(f'(x) = (2x - 5) \cdot \cos(x) + (x^2 - 5x + 3) \cdot (-\sin(x))\). 5. Vereinfachung des Vorzeichens: \(f'(x) = (2x - 5) \cdot \cos(x) - (x^2 - 5x + 3) \cdot \sin(x)\).

\(f'(x) = (2x - 5) \cdot \cos(x) - (x^2 - 5x + 3) \cdot \sin(x)\)

- Welche zwei Funktionen werden hier multipliziert? - Kannst du die Ableitungen der beiden einzelnen Faktoren bestimmen? - Wie lautet die allgemeine Struktur der Regel für Produkte von Funktionen? - Gibt es einen Term, der in beiden Summanden vorkommt und ausgeklammert werden kann?

1. Identifikation der Teilfunktionen: Setze \(u(x) = x^2 - 5\) und \(v(x) = e^x\). 2. Bestimmung der Ableitungen der Teilfunktionen: \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = e^x\). 3. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\): Einsetzen ergibt \(f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 5) \cdot e^x\). 4. Vereinfachung durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(e^x\): \(f'(x) = (x^2 + 2x - 5) \cdot e^x\).

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = (x^2 + 2x - 5) \cdot e^x\).

- Erkennst du eine Verknüpfung von zwei Teilfunktionen? - Welche Regel hilft dir, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden? - Überlege dir zuerst die Ableitungen der einzelnen Faktoren. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Ableiten der trigonometrischen Funktion.

1. Identifikation der Teilfunktionen für die Produktregel: \(u(x) = 2x^2 - 5\) und \(v(x) = \cos(x)\). 2. Bestimmung der Ableitungen der Teilfunktionen: \(u'(x) = 4x\) und \(v'(x) = -\sin(x)\). 3. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\): \(f'(x) = 4x \cdot \cos(x) + (2x^2 - 5) \cdot (-\sin(x))\). 4. Zusammenfassen des Terms: \(f'(x) = 4x \cdot \cos(x) - (2x^2 - 5) \cdot \sin(x)\).

\(f'(x) = 4x \cdot \cos(x) - (2x^2 - 5) \cdot \sin(x)\)

- Überlege dir den mathematischen Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion. - Wie gehst du vor, wenn du einen Term ableiten musst, der aus einem Produkt zweier Funktionen besteht? - Was passiert mit konstanten Summanden beim Ableiten? - Kannst du nach dem Ableiten einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Term zu vereinfachen?

1. Berechnung der Ableitung \(f'(x)\) unter Verwendung der Produktregel für den Term \(u(x) \cdot v(x)\) mit \(u(x) = x^3 - 4x\) und \(v(x) = e^x\). 2. Bestimmung der Teilableitungen: \(u'(x) = 3x^2 - 4\) und \(v'(x) = e^x\). 3. Anwendung der Produktregel: \(f'(x) = (3x^2 - 4) \cdot e^x + (x^3 - 4x) \cdot e^x\). Die Konstante \(+5\) fällt beim Differenzieren weg. 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(e^x\): \(f'(x) = (3x^2 - 4 + x^3 - 4x) \cdot e^x\). 5. Ordnen der Potenzen innerhalb der Klammer: \(f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 4x - 4) \cdot e^x\). 6. Vergleich des Ergebnisses mit der gegebenen Funktion \(g(x)\) bestätigt \(f'(x) = g(x)\).

Durch Anwendung der Produktregel erhält man \(f'(x) = (3x^2 - 4) \cdot e^x + (x^3 - 4x) \cdot e^x = (x^3 + 3x^2 - 4x - 4) \cdot e^x\). Da \(f'(x) = g(x)\) gilt, ist \(f\) eine Stammfunktion von \(g\).

- Berechne zuerst den Funktionsterm des Produkts und leite diesen dann mit der Quotientenregel ab. - Leite die beiden Funktionen einzeln ab. Nutze für die zweite Funktion entweder die Quotientenregel oder die Kettenregel. - Multipliziere die beiden berechneten Ableitungen miteinander. - Untersuche, ob die Terme auf beiden Seiten für alle zulässigen Werte identisch sind.

1. Berechnung der linken Seite \((u \cdot v)'(x)\): Das Produkt ist \( (u \cdot v)(x) = \frac{x}{1-x} \). Anwendung der Quotientenregel ergibt \( \frac{1 \cdot (1-x) - x \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} \). 2. Berechnung der rechten Seite \(u'(x) \cdot v'(x)\): Die Ableitung von \( u(x) = x \) ist \( u'(x) = 1 \). Die Ableitung von \( v(x) = (1-x)^{-1} \) ist nach der Kettenregel \( v'(x) = -1 \cdot (1-x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{1}{(1-x)^2} \). 3. Bildung des Produkts: \( u'(x) \cdot v'(x) = 1 \cdot \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} \). 4. Vergleich: Da beide Seiten den Term \( \frac{1}{(1-x)^2} \) ergeben, ist die Behauptung für alle \( x \neq 1 \) wahr.

Die Behauptung ist wahr, da beide Seiten der Gleichung den Term \( \frac{1}{(1-x)^2} \) ergeben.

- Nutze die Produktregel, um die erste Ableitung zu bilden, und klammere \(e^x\) direkt aus. - Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist – was weißt du über die Exponentialfunktion? - Vergiss nicht, sowohl die \(x\)- als auch die \(y\)-Koordinaten für die Punkte anzugeben. - Überlege dir, wie du die Art der Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt) nachweisen kannst.

1. Ableitung mit der Produktregel bestimmen: \(f'(x) = (2x - 3) \cdot e^x + (x^2 - 3x + 1) \cdot e^x = (x^2 - x - 2) \cdot e^x\) 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), muss \(x^2 - x - 2 = 0\) gelten. Lösungen über die p-q-Formel: \(x_{1,2} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 2} = 0{,}5 \pm 1{,}5\), also \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). 3. Art der Extrema mit der zweiten Ableitung prüfen: \(f''(x) = (2x - 1) \cdot e^x + (x^2 - x - 2) \cdot e^x = (x^2 + x - 3) \cdot e^x\) \(f''(2) = (4 + 2 - 3) \cdot e^2 = 3e^2 > 0 \implies\) lokaler Tiefpunkt. \(f''(-1) = (1 - 1 - 3) \cdot e^{-1} = -3e^{-1} < 0 \implies\) lokaler Hochpunkt. 4. Funktionswerte berechnen: \(f(2) = (2^2 - 3 \cdot 2 + 1) \cdot e^2 = (4 - 6 + 1) \cdot e^2 = -e^2\) \(f(-1) = ((-1)^2 - 3(-1) + 1) \cdot e^{-1} = (1 + 3 + 1) \cdot e^{-1} = 5e^{-1}\)

Der Graph der Funktion \(f\) hat folgende lokale Extrempunkte: Hochpunkt: \(H\left(-1 \mid \frac{5}{e}\right)\) Tiefpunkt: \(T(2 \mid -e^2)\)

- Überlege, welche zwei Funktionen hier miteinander multipliziert werden. - Denke beim Ableiten des zweiten Faktors an die Kettenregel. - Kannst du am Ende einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Ausdruck zu vereinfachen?

1. Identifikation der Teilfunktionen: \(u(x) = 3x^2 - 5x\) und \(v(x) = e^{2x}\). 2. Ableitung der Teilfunktionen: \(u'(x) = 6x - 5\) und \(v'(x) = 2e^{2x}\) (unter Verwendung der Kettenregel). 3. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\): \(f'(x) = (6x - 5) \cdot e^{2x} + (3x^2 - 5x) \cdot 2e^{2x}\). 4. Ausklammern von \(e^{2x}\) und Zusammenfassen: \(f'(x) = (6x - 5 + 6x^2 - 10x) \cdot e^{2x} = (6x^2 - 4x - 5)e^{2x}\).

\(f'(x) = (6x^2 - 4x - 5) \cdot e^{2x}\)

- Was besagt die Produktregel für eine Funktion der Form \(u(x) \cdot v(x)\)? - Bestimme zuerst separat die Ableitungen der beiden Faktoren in der Klammer und der Kosinusfunktion. - Achte beim Ableiten der Kosinusfunktion besonders auf das Vorzeichen. - Setze die vier Bausteine anschließend in die Struktur der Produktregel ein.

1. Identifikation der Teilfunktionen: \(u(x) = x^2 - 3x\) und \(v(x) = \cos(x)\). 2. Ableiten der Teilfunktionen: \(u'(x) = 2x - 3\) und \(v'(x) = -\sin(x)\). 3. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\). 4. Einsetzen der Ergebnisse: \(f'(x) = (2x - 3) \cdot \cos(x) + (x^2 - 3x) \cdot (-\sin(x))\). 5. Zusammenfassen des Terms: \(f'(x) = (2x - 3) \cos(x) - (x^2 - 3x) \sin(x)\).

\(f'(x) = (2x - 3) \cos(x) - (x^2 - 3x) \sin(x)\)

- Was weißt du über die Ableitung einer konstanten Zahl? - Schreibe dir die Formel der Produktregel auf und setze die entsprechenden Teilfunktionen ein. - Betrachte die zwei Summanden der Produktregel — was passiert mit dem ersten Summanden, wenn ein Faktor konstant ist? - Überlege, welcher Rechenweg weniger Schreibarbeit erfordert.

1. Anwendung der Faktorregel: Da \(8\) ein konstanter Faktor ist, bleibt er erhalten und die Sinusfunktion wird abgeleitet, woraus \(f'(x) = 8 \cdot \cos(x)\) folgt. 2. Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = 8\) und \(v(x) = \sin(x)\): Es gilt \(u'(x) = 0\) und \(v'(x) = \cos(x)\). Die Formel \(u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\) ergibt \(0 \cdot \sin(x) + 8 \cdot \cos(x)\). 3. Vereinfachung: Da der erste Summand aufgrund der Ableitung der Konstanten (\(0\)) verschwindet, reduziert sich das Ergebnis auf \(8 \cdot \cos(x)\). 4. Vergleich: Die Ergebnisse sind identisch, da die Ableitung einer konstanten Funktion stets Null ist. Die Faktorregel ist effizienter, da sie diesen Null-Summanden von vornherein auslässt und somit Rechenschritte spart.

Die Ableitung lautet \(f'(x) = 8 \cdot \cos(x)\). Die Produktregel liefert dasselbe Ergebnis, da die Ableitung des konstanten Faktors \(8\) gleich \(0\) ist, wodurch der Term \(u'(x) \cdot v(x)\) wegfällt. Die Faktorregel ist effizienter, da sie diesen überflüssigen Rechenschritt (die Addition von Null) vermeidet.

- Welche Regel nutzt du, wenn eine Funktion aus dem Produkt zweier Terme besteht? - Leite die beiden Faktoren in den Klammern einzeln ab, bevor du sie in die Formel einsetzt. - Für die zweite Ableitung musst du das Ergebnis der ersten Ableitung erneut differenzieren. - Achte beim Zusammenfassen der Terme auf die Vorzeichen und die Exponenten.

1. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) mit \(u(x) = x^3 - 2x\) und \(v(x) = x^2 + 4\). 2. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = (3x^2 - 2) \cdot (x^2 + 4) + (x^3 - 2x) \cdot 2x\). 3. Vereinfachung des Terms: \(f'(x) = 3x^4 + 12x^2 - 2x^2 - 8 + 2x^4 - 4x^2 = 5x^4 + 6x^2 - 8\). 4. Bildung der zweiten Ableitung durch erneutes Ableiten (Potenzregel): \(f''(x) = 20x^3 + 12x\).

\(f'(x) = 5x^4 + 6x^2 - 8\) \(f''(x) = 20x^3 + 12x\)

- Kannst du die beiden Faktoren im Funktionsterm identifizieren und einzeln ableiten? - Erinnerst du dich an die Potenzregel für Ableitungen? - Achte beim Ausmultiplizieren besonders auf die Vorzeichen und die Exponenten. - Welchen Vorteil bietet die Produktregel, wenn die Terme in den Klammern komplizierter werden?

1. Weg (Produktregel): Setze \(u(x) = 2x^2 - 4x\) und \(v(x) = x^2 + 1\). Damit folgt \(u'(x) = 4x - 4\) und \(v'(x) = 2x\). Die Produktregel liefert \(g'(x) = (4x - 4)(x^2 + 1) + (2x^2 - 4x)(2x)\). Ausmultiplizieren der Teilterme ergibt \(g'(x) = (4x^3 + 4x - 4x^2 - 4) + (4x^3 - 8x^2) = 8x^3 - 12x^2 + 4x - 4\). 2. Weg (Ausmultiplizieren): \(g(x) = 2x^4 + 2x^2 - 4x^3 - 4x = 2x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 4x\). Die gliedweise Ableitung ergibt \(g'(x) = 8x^3 - 12x^2 + 4x - 4\). Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

\(g'(x) = 8x^3 - 12x^2 + 4x - 4\)

- Hier ist eine der Teilfunktionen selbst eine Summe. Wie leitest du diese ab? - Nutze die Produktregel als Grundstruktur für deine Rechnung. - Nach dem Ableiten kann es hilfreich sein, den Term auszumultiplizieren und nach \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) zu sortieren. - Achte auf die Vorzeichen beim Ableiten von Sinus und Kosinus.

1. Festlegen der Teilfunktionen: \(u(x) = x^2\) und \(v(x) = \sin(x) + \cos(x)\). 2. Ableiten der Teilfunktionen: \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = \cos(x) - \sin(x)\) (unter Verwendung der Summenregel). 3. Einsetzen in die Produktregel \(g'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\): \(g'(x) = 2x \cdot (\sin(x) + \cos(x)) + x^2 \cdot (\cos(x) - \sin(x))\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen nach Trigonometrie-Anteilen: \(g'(x) = 2x \sin(x) + 2x \cos(x) + x^2 \cos(x) - x^2 \sin(x)\) \(g'(x) = (2x - x^2) \cdot \sin(x) + (2x + x^2) \cdot \cos(x)\).

\(g'(x) = (2x - x^2) \cdot \sin(x) + (2x + x^2) \cdot \cos(x)\)

- Erinnere dich an die Formel der Produktregel für Funktionen der Form \(u(x) \cdot v(x)\). - Überprüfe bei trigonometrischen Funktionen genau das Vorzeichen der Ableitung. - Achte darauf, ob die Struktur der Ableitung eher zur Produkt- oder zur Quotientenregel passt. - Wurde die Ableitung eines Produkts vielleicht einfach als Produkt der einzelnen Ableitungen berechnet?

1. Fall A: Die Ableitungen der Faktoren \(u(x) = x^2\) und \(v(x) = \sin(x)\) wurden lediglich multipliziert, anstatt die Produktregel anzuwenden. Korrekt: \(f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)\). 2. Fall B: Es wurde fälschlicherweise ein Minuszeichen in der Produktregel verwendet (Struktur der Quotientenregel). Korrekt: \(g'(x) = e^x \cdot (x^3 - 2) + e^x \cdot 3x^2 = e^x(x^3 + 3x^2 - 2)\). 3. Fall C: Die Ableitungsregel für \(\cos(x)\) wurde falsch angewendet; die Ableitung ist \(-\sin(x)\), nicht \(\sin(x)\). Korrekt: \(h'(x) = -\sin(x) \cdot (5x^2 + 2) + \cos(x) \cdot 10x\).

A) Fehler: Produktregel nicht angewendet (Faktoren einzeln abgeleitet). Korrekt: \(f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\). B) Fehler: Minus- statt Pluszeichen verwendet. Korrekt: \(g'(x) = e^x(x^3 + 3x^2 - 2)\). C) Fehler: Vorzeichenfehler bei der Ableitung von \(\cos(x)\). Korrekt: \(h'(x) = - \sin(x)(5x^2 + 2) + 10x \cos(x)\).

- Nutze die Produktregel und klammere am Ende den Faktor \(e^x\) aus, um den Ausdruck zu vereinfachen. - Was muss für die Steigung gelten, damit eine Tangente waagerecht verläuft? - Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Kann die Exponentialfunktion \(e^x\) jemals Null werden? - Vergiss nicht, die berechneten Stellen wieder in die Ausgangsfunktion einzusetzen, um die vollständigen Koordinaten zu erhalten.

1. Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = x^2 - 8\) und \(v(x) = e^x\): Ableitungen sind \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = e^x\). 2. Einsetzen in \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) ergibt \(f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 8) \cdot e^x\). Durch Ausklammern von \(e^x\) erhält man \(f'(x) = (x^2 + 2x - 8) \cdot e^x\). 3. Bedingung für waagerechte Tangenten: \(f'(x) = 0\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(x^2 + 2x - 8 = 0\) gelten. 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der p-q-Formel): \(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 + 8}\), woraus \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\) folgen. 5. Berechnung der y-Koordinaten: \(f(2) = (2^2 - 8) \cdot e^2 = -4e^2\) und \(f(-4) = ((-4)^2 - 8) \cdot e^{-4} = 8e^{-4}\). 6. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(2 \mid -4e^2)\) und \(P_2(-4 \mid 8e^{-4})\).

a) \(f'(x) = (x^2 + 2x - 8) \cdot e^x\) b) Die Punkte sind \(P_1(2 \mid -4e^2)\) und \(P_2(-4 \mid 8e^{-4})\).

- Erinnere dich an die Ableitung des natürlichen Logarithmus. - Was musst du tun, wenn ein Funktionsausdruck aus zwei multiplizierten Teilen besteht? - Wie gehst du vor, um die Steigung an einem Extrempunkt zu untersuchen? - Wie löst man eine Gleichung nach \(x\) auf, in der ein Logarithmus vorkommt?

1. Bestimmung der ersten Ableitung mit der Produktregel: Setze \(u(x) = x\) und \(v(x) = \ln(x)\). Es gilt \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = \frac{1}{x}\). 2. Anwendung der Regel: \(g'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1\). 3. Notwendige Bedingung für Extrema setzen: \(g'(x) = 0 \Rightarrow \ln(x) + 1 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: \(\ln(x) = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e}\). 5. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g''(x) = \frac{1}{x}\). Da \(g''(\frac{1}{e}) = e > 0\), liegt an der Stelle \(x = \frac{1}{e}\) ein lokales Minimum vor.

Die Funktion besitzt an der Stelle \(x = \frac{1}{e}\) ein lokales Minimum. Die notwendige Bedingung \(g'(x) = \ln(x) + 1 = 0\) wurde unter Anwendung der Produktregel ermittelt.

- Hier ist die Funktion eine Summe aus einem Polynom und einem Produkt. - Bearbeite die Summanden einzeln nacheinander. - Für den Teil mit der Sinus-Funktion benötigst du die Produktregel. - Vergiss nicht, am Ende alle abgeleiteten Teile wieder korrekt zusammenzusetzen.

1. Aufteilen der Funktion in einen Summand-Teil \(3x^2 - 7x\) und einen Produkt-Teil \((5x - x^3) \cdot \sin(x)\). 2. Ableiten des ersten Teils mit der Summen- und Potenzregel: \(6x - 7\). 3. Ableiten des Produkts mit der Produktregel: Setze \(u(x) = 5x - x^3\) und \(v(x) = \sin(x)\). 4. Berechnung der Ableitungen: \(u'(x) = 5 - 3x^2\) und \(v'(x) = \cos(x)\). 5. Einsetzen in die Produktregel: \((5 - 3x^2) \cdot \sin(x) + (5x - x^3) \cdot \cos(x)\). 6. Zusammenfügen aller Teile zur Gesamtableitung: \(g'(x) = 6x - 7 + (5 - 3x^2) \cdot \sin(x) + (5x - x^3) \cdot \cos(x)\).

\(g'(x) = 6x - 7 + (5 - 3x^2) \cdot \sin(x) + (5x - x^3) \cdot \cos(x)\)

- Betrachte die Funktion als ein Produkt zweier Teilfunktionen. - Wie gehst du vor, wenn du ein Produkt aus zwei Funktionen ableiten möchtest? - Behandle den Parameter \(k\) beim Ableiten wie eine konstante Zahl. - Denk daran, dass du für die zweite Ableitung die Ableitungsregel erneut auf das Ergebnis der ersten Ableitung anwenden musst. - Versuche am Ende, die Terme nach den trigonometrischen Funktionen zu sortieren, um den Ausdruck übersichtlicher zu machen.

1. Identifikation der Teilfunktionen \(u(x) = k \cdot x^2 - 1\) und \(v(x) = \sin(x)\) sowie deren Ableitungen \(u'(x) = 2kx\) und \(v'(x) = \cos(x)\). 2. Anwendung der Produktregel zur Bestimmung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = 2kx \cdot \sin(x) + (k \cdot x^2 - 1) \cdot \cos(x)\). 3. Erneute Anwendung der Produktregel auf beide Summanden von \(f_k'(x)\) zur Bestimmung der zweiten Ableitung: \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}(2kx \cdot \sin(x)) = 2k \cdot \sin(x) + 2kx \cdot \cos(x)\) und \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}((k \cdot x^2 - 1) \cdot \cos(x)) = 2kx \cdot \cos(x) - (k \cdot x^2 - 1) \cdot \sin(x)\). 4. Zusammenfassen der Terme durch Ausklammern von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\): \(f_k''(x) = (2k - k \cdot x^2 + 1) \cdot \sin(x) + 4kx \cdot \cos(x)\).

\(f_k'(x) = 2kx \cdot \sin(x) + (k \cdot x^2 - 1) \cdot \cos(x)\) \(f_k''(x) = (2k - k \cdot x^2 + 1) \cdot \sin(x) + 4kx \cdot \cos(x)\)

- Prüfe zuerst, ob du den Funktionsterm durch Subtraktion vereinfachen kannst. - Welche Regel ist anzuwenden, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden? - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Ableiten der Kosinus- und Sinusfunktion. - Für die zweite Ableitung musst du die Regel auf jeden der entstandenen Summanden einzeln anwenden.

1. Vereinfachung des Funktionsterms durch Zusammenfassen der gleichartigen Glieder zu \(g_a(t) = 3a \cdot t^2 \cdot \cos(t)\). 2. Anwendung der Produktregel mit \(u(t) = 3a \cdot t^2\) und \(v(t) = \cos(t)\) sowie deren Ableitungen \(u'(t) = 6at\) und \(v'(t) = -\sin(t)\). 3. Bestimmung der ersten Ableitung: \(g_a'(t) = 6at \cdot \cos(t) - 3a \cdot t^2 \cdot \sin(t)\). 4. Anwendung der Produktregel auf beide Summanden der ersten Ableitung für die zweite Ableitung. 5. Zusammenfassen und Ausklammern der trigonometrischen Funktionen ergibt \(g_a''(t) = (6a - 3a \cdot t^2) \cdot \cos(t) - 12at \cdot \sin(t)\).

\(g_a'(t) = 6at \cdot \cos(t) - 3a \cdot t^2 \cdot \sin(t)\) \(g_a''(t) = (6a - 3a \cdot t^2) \cdot \cos(t) - 12at \cdot \sin(t)\)

- Welche Eigenschaft muss erfüllt sein, damit eine Funktion die Stammfunktion einer anderen ist? - Betrachte die beiden Hauptteile der Funktion getrennt und wende jeweils die passende Ableitungsregel für Produkte an. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Ableiten der trigonometrischen Funktionen. - Prüfe nach dem Ableiten, welche Terme sich gegenseitig aufheben oder zusammenfassen lassen.

1. Ableiten der Funktion \(f(x)\) durch gliedweise Anwendung der Produktregel auf beide Summanden. 2. Ableitung des ersten Summanden \((x^2 - 2) \cdot \cos(x)\): \(2x \cdot \cos(x) + (x^2 - 2) \cdot (-\sin(x))\). 3. Ableitung des zweiten Summanden \(-2x \cdot \sin(x)\): \(-(2 \cdot \sin(x) + 2x \cdot \cos(x))\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(f'(x) = 2x \cos(x) - x^2 \sin(x) + 2 \sin(x) - 2 \sin(x) - 2x \cos(x)\). 5. Vereinfachen des Ausdrucks: Die Terme \(2x \cos(x)\) und \(-2x \cos(x)\) sowie \(2 \sin(x)\) und \(-2 \sin(x)\) heben sich jeweils auf. 6. Ergebnis: \(f'(x) = -x^2 \sin(x)\). Dies entspricht exakt \(g(x)\).

Die Ableitung von \(f\) ergibt \(f'(x) = 2x \cos(x) - (x^2 - 2) \sin(x) - 2 \sin(x) - 2x \cos(x) = -x^2 \sin(x)\). Somit ist \(f'(x) = g(x)\), was beweist, dass \(f\) eine Stammfunktion von \(g\) ist.

- Welche Informationen über die Funktion \(v\) kannst du aus der Geradengleichung der Tangente ableiten? - Welche Ableitungsregel eignet sich für Funktionen, die als Produkt zweier Teilfunktionen dargestellt sind? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Tangente und der Ableitung der Funktion an diesem Punkt. - Überlege dir zuerst, wie die Ableitungsfunktion von \(f\) allgemein aussieht, bevor du die Werte einsetzt.

1. Bestimmung der Funktionswerte von \(v\) an der Stelle \(x = 2\): Da die Tangente \(t\) den Graphen von \(v\) an dieser Stelle berührt, gilt \(v(2) = t(2) = 3 \cdot 2 + 1 = 7\). Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung, also \(v'(2) = 3\). 2. Anwendung der Produktregel auf \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\) mit \(u(x) = x^2 + 4\): Die Ableitung lautet \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 2x \cdot v(x) + (x^2 + 4) \cdot v'(x)\). 3. Einsetzen der Werte an der Stelle \(x = 2\): \(f'(2) = 2 \cdot 2 \cdot v(2) + (2^2 + 4) \cdot v'(2) = 4 \cdot 7 + 8 \cdot 3 = 28 + 24 = 52\).

Die Steigung des Graphen von \(f\) an der Stelle \(x = 2\) beträgt \(52\).

- Welche Regel wendest du an, wenn eine Funktion aus dem Produkt zweier Terme besteht? - Notiere dir alle bekannten Funktionswerte und Ableitungen für die Stelle \(x = 0\). - Was ist die Ableitung der Exponentialfunktion \(e^x\)? - Wie hängen die Steigung der Tangente und der Wert der Ableitungsfunktion zusammen?

1. Identifikation der gegebenen Werte: \(g(0) = 4\) und \(g'(0) = -1\). 2. Ableitung der Funktion \(h(x) = u(x) \cdot g(x)\) mit \(u(x) = e^x + 2\) unter Verwendung der Produktregel: \(h'(x) = u'(x) \cdot g(x) + u(x) \cdot g'(x)\). Da \(u'(x) = e^x\) ist, folgt \(h'(x) = e^x \cdot g(x) + (e^x + 2) \cdot g'(x)\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 0\): \(h'(0) = e^0 \cdot g(0) + (e^0 + 2) \cdot g'(0) = 1 \cdot 4 + (1 + 2) \cdot (-1) = 4 - 3 = 1\).

Die Steigung der Tangente an den Graphen von \(h\) an der Stelle \(x = 0\) ist \(1\).

- Kannst du den Funktionsterm als Ergebnis einer bekannten Ableitungsregel erkennen? - Untersuche, ob der Term aus zwei Teilen besteht, die wie die Ableitung eines Produkts aussehen. - Versuche, zwei Funktionen \(u\) und \(v\) zu finden, sodass deren Produkt abgeleitet genau \(f(x)\) ergibt. - Was passiert, wenn du deine vermutete Stammfunktion probehalber ableitest?

1. Vergleich des Terms \(f(x) = 3x^2 \cdot \sin(x) + x^3 \cdot \cos(x)\) mit der Struktur der Produktregel \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\) 2. Identifikation der Teilfunktionen \(u(x) = x^3\) und \(v(x) = \sin(x)\) 3. Überprüfung der Ableitungen: \(u'(x) = 3x^2\) und \(v'(x) = \cos(x)\) 4. Da der Term exakt der Form \(u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\) entspricht, folgt für die Stammfunktion \(F(x) = u(x) \cdot v(x)\) 5. Ergebnis: \(F(x) = x^3 \cdot \sin(x)\)

\(F(x) = x^3 \cdot \sin(x)\)

- Überlege, welche Ableitungsregel bei einem Produkt zweier Funktionen angewendet werden muss. - Beachte, dass die Ableitung von \(e^x\) wieder \(e^x\) ist. - Denke daran, beim Ableiten der zweiten Ableitung die Produktregel erneut auf alle Summanden anzuwenden. - Wie verändert sich die Ordnung der Ableitung von \(g\), wenn du den Term noch einmal ableitest?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Produktregel \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \) angewendet. Mit \(u(x) = e^x\) und \(v(x) = g(x)\) folgt wegen \(u'(x) = e^x\): \(f'(x) = e^x \cdot g(x) + e^x \cdot g'(x) = e^x \cdot (g(x) + g'(x))\). 2. Die zweite Ableitung ergibt sich durch erneute Anwendung der Produktregel auf den vereinfachten Term: \(f''(x) = e^x \cdot (g(x) + g'(x)) + e^x \cdot (g'(x) + g''(x)) = e^x \cdot (g(x) + 2g'(x) + g''(x))\). 3. Für Teilaufgabe b) wird die Produktregel auf \(u(x) = x^2 + 1\) und \(v(x) = g'(x)\) angewendet: \(f'(x) = 2x \cdot g'(x) + (x^2 + 1) \cdot g''(x)\). 4. Die zweite Ableitung erfordert die Produktregel für beide Summanden: \((2x \cdot g'(x))' = 2 \cdot g'(x) + 2x \cdot g''(x)\) und \(((x^2 + 1) \cdot g''(x))' = 2x \cdot g''(x) + (x^2 + 1) \cdot g'''(x)\). Zusammengefasst ergibt sich: \(f''(x) = 2g'(x) + 4x \cdot g''(x) + (x^2 + 1) \cdot g'''(x)\).

a) \(f'(x) = e^x(g(x) + g'(x))\) und \(f''(x) = e^x(g(x) + 2g'(x) + g''(x))\) b) \(f'(x) = 2xg'(x) + (x^2+1)g''(x)\) und \(f''(x) = 2g'(x) + 4xg''(x) + (x^2+1)g'''(x)\)

- Welche mathematischen Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Graph die \(x\)-Achse an einer bestimmten Stelle berührt? - Notiere dir, was die Information über die Funktion \(f\) für ihren Funktionswert und ihre Ableitung an der Stelle \(x = 3\) bedeutet. - Welche Ableitungsregel ist hilfreich, wenn eine Funktion als Produkt zweier Teilfunktionen dargestellt wird? - Untersuche sowohl den Funktionswert als auch den Wert der Ableitung der neuen Funktion an der gegebenen Stelle.

1. Aus der Bedingung, dass \(f\) die \(x\)-Achse bei \(x = 3\) berührt, folgen die Bedingungen \(f(3) = 0\) und \(f'(3) = 0\). 2. Berechnung des Funktionswertes von \(h\) an der Stelle \(x = 3\): \(h(3) = (3^2 - 5) \cdot f(3) = 4 \cdot 0 = 0\). Somit liegt der Punkt \((3|0)\) auf dem Graphen von \(h\). 3. Bildung der ersten Ableitung von \(h\) mithilfe der Produktregel: \(h'(x) = 2x \cdot f(x) + (x^2 - 5) \cdot f'(x)\). 4. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 3\): \(h'(3) = 2 \cdot 3 \cdot f(3) + (3^2 - 5) \cdot f'(3) = 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0\). 5. Da sowohl \(h(3) = 0\) als auch \(h'(3) = 0\) gilt, berührt der Graph von \(h\) die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 3\).

Da \(f(3) = 0\) und \(f'(3) = 0\) gilt, ergibt sich für \(h(3) = (3^2 - 5) \cdot f(3) = 0\). Mit der Produktregel folgt \(h'(x) = 2x \cdot f(x) + (x^2 - 5) \cdot f'(x)\), woraus \(h'(3) = 6 \cdot f(3) + 4 \cdot f'(3) = 0\) resultiert. Da Funktionswert und Ableitung an der Stelle \(x = 3\) null sind, berührt der Graph von \(h\) dort die \(x\)-Achse.

- Was bedeutet es für den Funktionswert und die Steigung, wenn ein lokaler Extrempunkt direkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie lautet die Ableitung der Exponentialfunktion \(e^x\)? - Wende die Produktregel konsequent auf den gesamten Ausdruck der Funktion \(g\) an. - Überlege, welche Werte die Terme an der Stelle \(x = 0\) annehmen.

1. Da \(f\) im Ursprung einen Extrempunkt hat, liegt der Punkt auf der \(x\)-Achse (\(f(0) = 0\)) und die Tangente ist dort waagerecht (\(f'(0) = 0\)). 2. Prüfung des Punktes für \(g\): \(g(0) = e^0 \cdot f(0) = 1 \cdot 0 = 0\). Der Ursprung liegt also auf dem Graphen von \(g\). 3. Ableitung von \(g\) unter Verwendung der Produktregel: \(g'(x) = e^x \cdot f(x) + e^x \cdot f'(x)\). 4. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 0\): \(g'(0) = e^0 \cdot f(0) + e^0 \cdot f'(0) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0\). 5. Da \(g(0) = 0\) und \(g'(0) = 0\), hat der Graph von \(g\) im Ursprung eine Nullstelle mit waagerechter Tangente und berührt somit dort die \(x\)-Achse.

Ein Extrempunkt im Ursprung bedeutet \(f(0) = 0\) und \(f'(0) = 0\). Für \(g\) gilt \(g(0) = e^0 \cdot f(0) = 0\). Die Ableitung \(g'(x) = e^x \cdot f(x) + e^x \cdot f'(x)\) liefert an der Stelle \(0\) den Wert \(g'(0) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0\). Somit berührt auch der Graph von \(g\) die \(x\)-Achse im Punkt \(P(0|0)\).

- Wende die Produktregel auf jeden der beiden Terme einzeln an und fasse das Ergebnis zusammen. - Überlege, welcher Teil der Ableitungsfunktion niemals null werden kann, um die Suche nach Nullstellen zu vereinfachen. - Nutze die zweite Ableitung oder das Vorzeichenwechselkriterium, um zwischen Maximum und Minimum zu unterscheiden. - Vergiss nicht, die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu berechnen.

1. Berechnung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produktregel für beide Summanden: \(f'(x) = (2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)) + (2 \cdot \cos(x) - 2x \cdot \sin(x))\). 2. Vereinfachung der Ableitung: \(f'(x) = (x^2 + 2) \cdot \cos(x)\). 3. Bestimmung der Nullstellen von \(f'(x)\): Da \(x^2 + 2 > 0\) für alle \(x\) gilt, müssen die Nullstellen von \(\cos(x)\) im Intervall \([-\pi; \pi]\) gefunden werden. Dies ergibt \(x_1 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_2 = -\frac{\pi}{2}\). 4. Berechnung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = 2x \cdot \cos(x) - (x^2 + 2) \cdot \sin(x)\). 5. Überprüfung von \(x_1 = \frac{\pi}{2}\): \(f''(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 - (\frac{\pi^2}{4} + 2) \cdot 1 = -(\frac{\pi^2}{4} + 2) < 0\). Es liegt ein Hochpunkt vor. Funktionswert: \(f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{4} \cdot 1 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 = \frac{\pi^2}{4}\). 6. Überprüfung von \(x_2 = -\frac{\pi}{2}\): \(f''(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \cdot 0 - (\frac{\pi^2}{4} + 2) \cdot (-1) = \frac{\pi^2}{4} + 2 > 0\). Es liegt ein Tiefpunkt vor. Funktionswert: \(f(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{4} \cdot (-1) + 2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \cdot 0 = -\frac{\pi^2}{4}\).

Tiefpunkt \(T\left(-\frac{\pi}{2} \mid -\frac{\pi^2}{4}\right)\), Hochpunkt \(H\left(\frac{\pi}{2} \mid \frac{\pi^2}{4}\right)\)

- Fasse das Produkt der beiden Funktionen mithilfe der Potenzgesetze zusammen, bevor du ableitest. - Berechne die Ableitung der linken Seite der Gleichung mit einer bekannten Ableitungsregel. - Berechne für die rechte Seite die Ableitungen der beiden Funktionen einzeln und multipliziere sie danach. - Vergleiche die Koeffizienten vor der Exponentialfunktion, um den gesuchten Parameter zu finden.

1. Bestimmung der Ableitung der Produktfunktion: \( (f \cdot g)(x) = e^{2x} \cdot e^{kx} = e^{(2+k)x} \). Die Ableitung lautet \( (f \cdot g)'(x) = (2+k) \cdot e^{(2+k)x} \). 2. Bestimmung der einzelnen Ableitungen: \( f'(x) = 2e^{2x} \) und \( g'(x) = k e^{kx} \). 3. Bildung des Produkts der Ableitungen: \( f'(x) \cdot g'(x) = 2e^{2x} \cdot k e^{kx} = 2k e^{(2+k)x} \). 4. Gleichsetzen der Ausdrücke: \( (2+k) \cdot e^{(2+k)x} = 2k \cdot e^{(2+k)x} \). Da die Exponentialfunktion nie null wird, folgt die lineare Gleichung \( 2+k = 2k \). 5. Lösung der Gleichung: Die Subtraktion von \( k \) auf beiden Seiten ergibt \( k = 2 \).

\(k = 2\)

- Welche Informationen über den Funktionswert und die Steigung kannst du aus der Angabe der waagerechten Tangente in einem Punkt direkt ablesen? - Wie lässt sich die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen allgemein bestimmen? - Was muss für die Steigung an einer Stelle gelten, damit dort eine waagerechte Tangente vorliegt?

1. Aus den Eigenschaften des Punktes \(S(1|-2)\) und der waagerechten Tangente folgt: \(f(1) = -2\) und \(f'(1) = 0\). 2. Untersuchung von \(k\): Die Ableitungsfunktion lautet nach der Produktregel \(k'(x) = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x)\). An der Stelle \(x = 1\) ergibt sich \(k'(1) = 2 \cdot 1 \cdot (-2) + 1^2 \cdot 0 = -4\). Da \(k'(1) \neq 0\), hat der Graph von \(k\) dort keine waagerechte Tangente. 3. Untersuchung von \(m\): Die Ableitungsfunktion lautet nach der Produktregel \(m'(x) = f'(x) \cdot e^{x-1} + (f(x) + 2) \cdot e^{x-1}\). An der Stelle \(x = 1\) ergibt sich \(m'(1) = 0 \cdot e^0 + (-2 + 2) \cdot e^0 = 0 + 0 = 0\). Der Graph von \(m\) besitzt somit an der Stelle \(x = 1\) eine waagerechte Tangente.

Der Graph von \(k\) hat an der Stelle \(x = 1\) keine waagerechte Tangente, da \(k'(1) = -4\) gilt. Der Graph von \(m\) hat an der Stelle \(x = 1\) eine waagerechte Tangente, da \(m'(1) = 0\) gilt.

- Notiere dir zuerst alle bekannten Funktionswerte und Ableitungswerte an der Stelle \(x = 0\). - Welche Bedingung muss die erste Ableitung einer Funktion erfüllen, wenn ihr Graph eine waagerechte Tangente hat? - Stelle eine Gleichung mithilfe der Produktregel auf und setze die bekannten Größen ein.

1. Identifikation der gegebenen Werte: \(u(0) = 2\), \(u'(0) = -4\) und \(v(0) = 1\). 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente bei \(h\) an der Stelle \(x = 0\) ist \(h'(0) = 0\). 3. Anwendung der Produktregel für die Ableitung von \(h\): \(h'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\). 4. Aufstellen der Gleichung für \(x = 0\): \(u'(0) \cdot v(0) + u(0) \cdot v'(0) = 0\). 5. Einsetzen der bekannten Werte: \(-4 \cdot 1 + 2 \cdot v'(0) = 0\). 6. Auflösen der Gleichung: \(2 \cdot v'(0) = 4\) führt zu \(v'(0) = 2\).

Damit der Graph von \(h\) an der Stelle \(x = 0\) eine waagerechte Tangente besitzt, muss \(v'(0) = 2\) gelten.

- Wie lautet die Produktregel für zwei Funktionen? Kannst du sie auf drei Funktionen erweitern, indem du zwei davon zusammenfasst? - Was passiert mit den Summanden in der Ableitung, wenn du eine Nullstelle eines Faktors einsetzt? - Schau dir die Struktur der Ableitung genau an, bevor du alles ausmultiplizierst.

1. Anwendung der Produktregel für drei Faktoren \(u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)\): \(p'(x) = 1 \cdot (x - 4)(x - 6) + (x - 2) \cdot 1 \cdot (x - 6) + (x - 2)(x - 4) \cdot 1\). Ausmultipliziert ergibt dies \(p'(x) = (x^2 - 10x + 24) + (x^2 - 8x + 12) + (x^2 - 6x + 8) = 3x^2 - 24x + 44\). 2. Einsetzen der Stellen in \(p'(x)\): \(p'(2) = 3(4) - 24(2) + 44 = 12 - 48 + 44 = 8\). \(p'(4) = 3(16) - 24(4) + 44 = 48 - 96 + 44 = -4\). \(p'(6) = 3(36) - 24(6) + 44 = 108 - 144 + 44 = 8\). 3. Vergleich: Für \(x = 2\) ergibt \((2 - 4)(2 - 6) = (-2)(-4) = 8\). Für \(x = 4\) ergibt \((4 - 2)(4 - 6) = 2(-2) = -4\). Für \(x = 6\) ergibt \((6 - 2)(6 - 4) = 4 \cdot 2 = 8\). Die Werte stimmen exakt überein. Es lässt sich vermuten, dass an einer Nullstelle eines Produkts von Linearfaktoren die Ableitung gleich dem Produkt aller anderen Linearfaktoren an dieser Stelle ist, da die Terme, die den nullwerdenden Faktor enthalten, in der Summe der Produktregel wegfallen.

1. \(p'(x) = (x - 4)(x - 6) + (x - 2)(x - 6) + (x - 2)(x - 4) = 3x^2 - 24x + 44\) 2. \(p'(2) = 8\), \(p'(4) = -4\), \(p'(6) = 8\) 3. Die Steigung an einer Nullstelle entspricht dem Produkt der Werte der übrigen Linearfaktoren an dieser Stelle.

- Berechne zuerst alle benötigten Ableitungen der einzelnen Funktionen \(u\) und \(v\). - Achte beim Ableiten von \(f'(x)\) in Teilaufgabe b) auf das Minuszeichen und die Klammersetzung. - In Teilaufgabe c) musst du lediglich die Ergebnisse aus a) in die vorgegebene Struktur einsetzen und mit deinem Ergebnis aus b) vergleichen.

1. Ableitungen berechnen: \(u'(x) = 3x^2, u''(x) = 6x, v'(x) = -\sin(x), v''(x) = -\cos(x)\). 2. Erste Ableitung von \(f\): \(f'(x) = 3x^2 \cdot \cos(x) + x^3 \cdot (-\sin(x)) = 3x^2\cos(x) - x^3\sin(x)\). 3. Zweite Ableitung von \(f\) durch erneutes Ableiten: \((3x^2\cos(x))' = 6x\cos(x) - 3x^2\sin(x)\) \((x^3\sin(x))' = 3x^2\sin(x) + x^3\cos(x)\) \(f''(x) = (6x\cos(x) - 3x^2\sin(x)) - (3x^2\sin(x) + x^3\cos(x)) = 6x\cos(x) - 6x^2\sin(x) - x^3\cos(x)\). 4. Überprüfung mit der Formel: \(u''v + 2u'v' + uv'' = (6x)(\cos(x)) + 2(3x^2)(-\sin(x)) + (x^3)(-\cos(x))\) \(= 6x\cos(x) - 6x^2\sin(x) - x^3\cos(x)\). 5. Vergleich: Beide Wege führen zum identischen Term.

a) \(u'(x) = 3x^2, u''(x) = 6x, v'(x) = -\sin(x), v''(x) = -\cos(x)\) b) \(f''(x) = 6x\cos(x) - 6x^2\sin(x) - x^3\cos(x)\) c) Einsetzen ergibt \(6x \cdot \cos(x) + 2 \cdot 3x^2 \cdot (-\sin(x)) + x^3 \cdot (-\cos(x))\), was vereinfacht dem Ergebnis aus b) entspricht.

- Nutze die Produktregel separat für beide Teile der Summe und fasse den Term anschließend zusammen. - Überlege, welche Faktoren der Ableitung im gegebenen Intervall Nullstellen besitzen. - Nicht jede Stelle mit waagerechter Tangente muss zwingend ein Extrempunkt sein; prüfe dies sorgfältig. - Achte darauf, ob die berechneten Stellen innerhalb des vorgegebenen Intervalls liegen.

1. Berechnung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Summenregel: \(f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + (x^2 - 2) \cdot \cos(x) + 2 \cdot \cos(x) - 2x \cdot \sin(x) = x^2 \cdot \cos(x)\). 2. Bestimmung der stationären Punkte durch \(f'(x) = 0\): \(x^2 \cdot \cos(x) = 0 \implies x_1 = 0\) oder \(\cos(x) = 0\). Im Intervall \([-\pi; \pi]\) ergeben sich die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_3 = -\frac{\pi}{2}\). 3. Untersuchung der Art mithilfe der zweiten Ableitung \(f''(x) = 2x \cdot \cos(x) - x^2 \cdot \sin(x)\): - Für \(x_2 = \frac{\pi}{2}\): \(f''(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 - (\frac{\pi}{2})^2 \cdot 1 = -\frac{\pi^2}{4} < 0 \implies\) Hochpunkt. - Für \(x_3 = -\frac{\pi}{2}\): \(f''(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \cdot 0 - (-\frac{\pi}{2})^2 \cdot (-1) = \frac{\pi^2}{4} > 0 \implies\) Tiefpunkt. - Für \(x_1 = 0\): \(f''(0) = 0\). Ein Vorzeichenwechseltest von \(f'(x) = x^2 \cos(x)\) zeigt, dass \(x^2 \ge 0\) und \(\cos(x) > 0\) für \(x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\) gilt. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, ist \(x_1 = 0\) ein Sattelpunkt und kein Extrempunkt. 4. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: \(f(\frac{\pi}{2}) = ((\frac{\pi}{2})^2 - 2) \cdot 1 + 0 = \frac{\pi^2}{4} - 2 \approx 0{,}47\). \(f(-\frac{\pi}{2}) = ((-\frac{\pi}{2})^2 - 2) \cdot (-1) + 0 = 2 - \frac{\pi^2}{4} \approx -0{,}47\).

Der Graph von \(f\) besitzt im Intervall \([-\pi; \pi]\) folgende Extrempunkte: Hochpunkt \(H\left(\frac{\pi}{2} \mid \frac{\pi^2}{4} - 2\right)\) Tiefpunkt \(T\left(-\frac{\pi}{2} \mid 2 - \frac{\pi^2}{4}\right)\) (An der Stelle \(x = 0\) liegt ein Sattelpunkt vor.)

- Beim Ableiten mit der Produktregel kannst du \(e^x\) am Ende bequem ausklammern. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion niemals den Wert Null annimmt. - Benutze für die Art der Extrempunkte entweder das Vorzeichenwechselkriterium oder die zweite Ableitung. - Vergiss nicht, die \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktion einzusetzen, um die \(y\)-Koordinaten zu erhalten.

1. Berechnung der ersten Ableitung mit der Produktregel: \(g'(x) = (2x - 2) \cdot e^x + (x^2 - 2x - 1) \cdot e^x = (x^2 - 3) \cdot e^x\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(g'(x) = 0\): Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), muss \(x^2 - 3 = 0\) gelten. Dies liefert \(x_1 = -\sqrt{3}\) und \(x_2 = \sqrt{3}\). Beide Werte liegen im Intervall \([-3; 3]\). 3. Hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung \(g''(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\): - \(g''(-\sqrt{3}) = (3 - 2\sqrt{3} - 3) \cdot e^{-\sqrt{3}} = -2\sqrt{3} \cdot e^{-\sqrt{3}} < 0 \implies\) Hochpunkt. - \(g''(\sqrt{3}) = (3 + 2\sqrt{3} - 3) \cdot e^{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \cdot e^{\sqrt{3}} > 0 \implies\) Tiefpunkt. 4. Berechnung der Funktionswerte: \(g(-\sqrt{3}) = (3 + 2\sqrt{3} - 1) \cdot e^{-\sqrt{3}} = (2 + 2\sqrt{3}) \cdot e^{-\sqrt{3}} \approx 0{,}96\). \(g(\sqrt{3}) = (3 - 2\sqrt{3} - 1) \cdot e^{\sqrt{3}} = (2 - 2\sqrt{3}) \cdot e^{\sqrt{3}} \approx -8{,}31\).

Die relativen Extrempunkte von \(g\) im Intervall \([-3; 3]\) sind: Hochpunkt \(H(-\sqrt{3} \mid (2 + 2\sqrt{3})e^{-\sqrt{3}})\) Tiefpunkt \(T(\sqrt{3} \mid (2 - 2\sqrt{3})e^{\sqrt{3}})\)

- Wende für die ersten Ableitungen die Produktregel an und fasse die Terme zusammen. - Untersuche, nach wie vielen Ableitungen die Kosinusfunktion wieder bei ihrem Ausgangsterm ankommt. - Betrachte die Koeffizienten vor den Winkelfunktionen in den ersten Ableitungen. Fällt dir ein Zusammenhang mit der Ordnung der Ableitung auf? - Wie verhält sich der Teil mit dem Faktor \(x\) im Vergleich zu den Ableitungen der reinen Kosinusfunktion?

1. Erste Ableitung mit Produktregel: \(f'(x) = 1 \cdot \cos(x) + x \cdot (-\sin(x)) = \cos(x) - x \sin(x)\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = -\sin(x) - (\sin(x) + x \cos(x)) = -2 \sin(x) - x \cos(x)\). Dritte Ableitung: \(f'''(x) = -2 \cos(x) - (\cos(x) - x \sin(x)) = -3 \cos(x) + x \sin(x)\). 2. Die Ableitungen von \(\cos(x)\) haben die Periode 4 (\(\cos \to -\sin \to -\cos \to \sin \to \cos\)). Da \(40\) ein Vielfaches von \(4\) ist, gilt \(c^{(40)}(x) = \cos(x)\). 3. Aus dem Muster der Ableitungen folgt für die \(n\)-te Ableitung \(f^{(n)}(x) = x \cdot \cos^{(n)}(x) + n \cdot \cos^{(n-1)}(x)\). Für \(n=40\) ergibt sich mit \(\cos^{(40)}(x) = \cos(x)\) und \(\cos^{(39)}(x) = \sin(x)\) der Term \(f^{(40)}(x) = x \cos(x) + 40 \sin(x)\).

1. \(f'(x) = \cos(x) - x \sin(x)\); \(f''(x) = -2 \sin(x) - x \cos(x)\); \(f'''(x) = -3 \cos(x) + x \sin(x)\) 2. \(c^{(40)}(x) = \cos(x)\), da die 4. Ableitung wieder \(\cos(x)\) ist und \(40\) durch \(4\) teilbar ist. 3. \(f^{(40)}(x) = x \cos(x) + 40 \sin(x)\)

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an einer Stelle \(x\), wenn sich zwei Graphen dort treffen? - Welche mathematische Operation ist erlaubt, wenn du weißt, dass ein Faktor niemals null wird? - Welche Ableitungsregel ist für Funktionen der Form \(u(x) \cdot v(x)\) anzuwenden? - Wodurch unterscheidet sich ein Berührpunkt von einem einfachen Schnittpunkt im Hinblick auf die Steigung?

1. Ansatz für die Schnittstellen: \(g(x) = f(x) \Leftrightarrow (x^2 - 8) \cdot f(x) = f(x)\). Da \(f(x) \neq 0\), kann durch \(f(x)\) dividiert werden: \(x^2 - 8 = 1 \Leftrightarrow x^2 = 9\). Dies ergibt die Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. Anwendung der Produktregel für die Ableitung von \(g\): \(g'(x) = 2x \cdot f(x) + (x^2 - 8) \cdot f'(x)\). An der Stelle \(x_1 = 3\): \(g'(3) = 2 \cdot 3 \cdot f(3) + (3^2 - 8) \cdot f'(3) = 6 \cdot f(3) + f'(3)\). Da \(f(3) \neq 0\), ist \(g'(3) \neq f'(3)\). An der Stelle \(x_2 = -3\): \(g'(-3) = 2 \cdot (-3) \cdot f(-3) + ((-3)^2 - 8) \cdot f'(-3) = -6 \cdot f(-3) + f'(-3)\). Da \(f(-3) \neq 0\), ist \(g'(-3) \neq f'(-3)\). Da die Funktionswerte gleich, aber die Ableitungen an den Stellen \(x = \pm 3\) verschieden sind, liegen Schnittpunkte, aber keine Berührpunkte vor.

1. Die \(x\)-Koordinaten der gemeinsamen Punkte sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. In beiden Punkten sind die Ableitungen \(g'(x)\) und \(f'(x)\) verschieden (\(g'(3) = 6f(3) + f'(3)\) und \(g'(-3) = -6f(-3) + f'(-3)\)), da \(f(x) \neq 0\) vorausgesetzt ist. Somit liegen keine Berührpunkte vor.

- Wende die Produktregel auf beide Summanden der Funktion einzeln an. - Achte beim Ableiten von \(\cos(x)\) auf das Vorzeichen. - Prüfe, welche Nullstellen der Ableitung tatsächlich innerhalb des vorgegebenen Intervalls liegen. - Verwende für die Klassifizierung der Extremstellen entweder die zweite Ableitung oder das Vorzeichenwechselkriterium.

1. Berechnung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Summenregel: \(f'(x) = [-2x \cdot \cos(x) - (2 - x^2) \cdot \sin(x)] + [2 \cdot \sin(x) + 2x \cdot \cos(x)]\) Vereinfachung: \(f'(x) = x^2 \cdot \sin(x)\) 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'(x)\) im Intervall \([-4; 4]\): \(x^2 \cdot \sin(x) = 0 \implies x_1 = 0\) oder \(\sin(x) = 0 \implies x_2 = -\pi \approx -3{,}14\), \(x_3 = \pi \approx 3{,}14\) 3. Untersuchung der Art der Extrema (z. B. mit der zweiten Ableitung): \(f''(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)\) \(f''(\pi) = \pi^2 \cdot \cos(\pi) = -\pi^2 < 0 \implies\) Hochpunkt bei \(x = \pi\) \(f''(-\pi) = (-\pi)^2 \cdot \cos(-\pi) = -\pi^2 < 0 \implies\) Hochpunkt bei \(x = -\pi\) \(f''(0) = 0\); Vorzeichenwechselkriterium für \(f'(x) = x^2 \cdot \sin(x)\) bei \(x = 0\): Da \(x^2 \ge 0\), bestimmt \(\sin(x)\) das Vorzeichen. \(\sin(x)\) wechselt bei \(0\) von minus nach plus \(\implies\) Tiefpunkt bei \(x = 0\) 4. Berechnung der Funktionswerte: \(f(0) = (2 - 0) \cdot \cos(0) + 0 = 2 \implies T(0 | 2)\) \(f(\pi) = (2 - \pi^2) \cdot \cos(\pi) + 2\pi \cdot \sin(\pi) = -(2 - \pi^2) = \pi^2 - 2 \approx 7{,}87 \implies H_1(\pi | \pi^2 - 2)\) \(f(-\pi) = (2 - (-\pi)^2) \cdot \cos(-\pi) + 2(-\pi) \cdot \sin(-\pi) = \pi^2 - 2 \implies H_2(-\pi | \pi^2 - 2)\)

Im Intervall \([-4; 4]\) besitzt der Graph von \(f\) folgende Extrempunkte: Tiefpunkt: \(T(0 | 2)\) Hochpunkte: \(H_1(\pi | \pi^2 - 2)\) und \(H_2(-\pi | \pi^2 - 2)\)

- Aus welchen zwei Teilfunktionen ist die Funktion zusammengesetzt? - Erinnere dich daran, wie man ein Produkt aus zwei Funktionen ableitet. - Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. - Kann die Exponentialfunktion \(e^x\) jemals den Wert Null annehmen? - Was muss für die Steigung der Tangente gelten, damit sie waagerecht verläuft?

1. Anwendung der Produktregel zur Bestimmung der Ableitung: \(f'(x) = (4x - 8) \cdot e^x + (2x^2 - 8x) \cdot e^x\). Zusammenfassen ergibt \(f'(x) = (2x^2 - 4x - 8) \cdot e^x\). 2. Berechnung der Nullstellen von \(f\): Da \(e^x\) stets größer als \(0\) ist, muss der quadratische Term \(2x^2 - 8x = 0\) gelöst werden. Ausklammern führt zu \(2x(x - 4) = 0\), woraus die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) folgen. 3. Bestimmung der waagerechten Tangenten durch \(f'(x) = 0\): Da \(e^x > 0\), muss \(2x^2 - 4x - 8 = 0\) bzw. \(x^2 - 2x - 4 = 0\) gelten. Mit der \(pq\)-Formel ergibt sich \(x = 1 \pm \sqrt{1 - (-4)}\), woraus die Stellen \(x_3 = 1 - \sqrt{5}\) und \(x_4 = 1 + \sqrt{5}\) resultieren.

Ableitung: \(f'(x) = (2x^2 - 4x - 8) \cdot e^x\) Nullstellen von \(f\): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) Stellen waagerechter Tangenten: \(x_3 = 1 - \sqrt{5}\) und \(x_4 = 1 + \sqrt{5}\)

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Berechne zuerst die allgemeine Ableitung unter Berücksichtigung des Parameters. - Welchen Wert hat der natürliche Logarithmus an der Stelle 1? - Stelle eine Gleichung auf, um die Unbekannte zu berechnen.

1. Aufstellen der Ableitungsfunktion mit der Produktregel: \(u(x) = x^2 + k \Rightarrow u'(x) = 2x\) \(v(x) = \ln(x) \Rightarrow v'(x) = \frac{1}{x}\) \(g'(x) = 2x \cdot \ln(x) + (x^2 + k) \cdot \frac{1}{x}\). 2. Einsetzen der Stelle \(x = 1\) in die Ableitungsfunktion: \(g'(1) = 2 \cdot 1 \cdot \ln(1) + (1^2 + k) \cdot \frac{1}{1}\). 3. Da \(\ln(1) = 0\), vereinfacht sich der Ausdruck zu: \(g'(1) = 0 + 1 + k = 1 + k\). 4. Gleichsetzen mit der gegebenen Steigung \(m = 4\): \(1 + k = 4 \Rightarrow k = 3\).

\(k = 3\)

- Welche Rechenregel musst du anwenden, wenn zwei Funktionsterme multipliziert werden? - Erkennst du bei den Termen eine „innere“ und eine „äußere“ Funktion? - Denk daran, beim Ableiten von \(e^{2x}\) die Nachdifferenzierung nicht zu vergessen. - Kannst du den Ableitungsterm durch Ausklammern vereinfachen?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Produktregel \(u'v + uv'\) angewendet, wobei \(u(x) = x^2 - 5\) und \(v(x) = e^{2x}\) (Kettenregel für \(v'\) beachten). 2. Berechnung: \(f'(x) = 2x \cdot e^{2x} + (x^2 - 5) \cdot 2e^{2x}\). Ausklammern von \(2e^{2x}\) ergibt \(f'(x) = 2(x^2 + x - 5)e^{2x} = (2x^2 + 2x - 10)e^{2x}\). 3. Für Teilaufgabe b) wird die Kettenregel angewendet mit der äußeren Funktion \(4 \sin(u)\) und der inneren Funktion \(u = 0{,}5x^2\). 4. Die innere Ableitung ist \(x\). Multiplikation mit der äußeren Ableitung ergibt \(g'(x) = 4 \cos(0{,}5x^2) \cdot x = 4x \cos(0{,}5x^2)\).

a) \(f'(x) = (2x^2 + 2x - 10)e^{2x}\) b) \(g'(x) = 4x \cos(0{,}5x^2)\)

- Was bedeutet die Steigung eines Graphen an einer bestimmten Stelle mathematisch? - Welche Regel musst du anwenden, wenn eine Funktion aus dem Produkt zweier Teilfunktionen besteht? - Erinnere dich an die Ableitung von Potenzfunktionen wie \(x^{-1}\). - Welche Werte nehmen Sinus und Kosinus an der Stelle \(\pi\) an?

1. Identifikation der Teilfunktionen für die Produktregel: \(u(x) = \frac{2}{x}\) und \(v(x) = \sin(x)\). 2. Bestimmung der Ableitungen der Teilfunktionen: \(u'(x) = -\frac{2}{x^2}\) und \(v'(x) = \cos(x)\). 3. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) ergibt \(f'(x) = -\frac{2}{x^2} \sin(x) + \frac{2}{x} \cos(x)\). 4. Einsetzen der Stelle \(x = \pi\): \(f'(\pi) = -\frac{2}{\pi^2} \sin(\pi) + \frac{2}{\pi} \cos(\pi)\). 5. Unter Verwendung von \(\sin(\pi) = 0\) und \(\cos(\pi) = -1\) folgt: \(f'(\pi) = 0 + \frac{2}{\pi} \cdot (-1) = -\frac{2}{\pi}\).

Die Steigung an der Stelle \(x = \pi\) beträgt \(-\frac{2}{\pi}\).

- Wie kannst du eine vierte Potenz als Produkt von zwei Quadraten schreiben? - Erinnere dich an die Produktregel für den Fall, dass beide Faktoren selbst Funktionen sind. - Was ist die Ableitung der Kosinusfunktion? - Versuche, die Terme nach dem Ableiten so weit wie möglich zusammenzufassen.

1. Anwendung der Produktregel auf \(h(x) = (u(x))^2 \cdot (u(x))^2\): \(h'(x) = ((u(x))^2)' \cdot (u(x))^2 + (u(x))^2 \cdot ((u(x))^2)'\). 2. Einsetzen von \(((u(x))^2)' = 2 \cdot u(x) \cdot u'(x)\) ergibt \(h'(x) = (2 \cdot u(x) \cdot u'(x)) \cdot (u(x))^2 + (u(x))^2 \cdot (2 \cdot u(x) \cdot u'(x))\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(h'(x) = 2 \cdot (u(x))^3 \cdot u'(x) + 2 \cdot (u(x))^3 \cdot u'(x) = 4 \cdot (u(x))^3 \cdot u'(x)\). 4. Für \(f(x) = (\cos(x))^4\) ist \(u(x) = \cos(x)\) und \(u'(x) = -\sin(x)\). 5. Einsetzen in die hergeleitete Formel: \(f'(x) = 4 \cdot (\cos(x))^3 \cdot (-\sin(x)) = -4 \cdot \sin(x) \cdot \cos^3(x)\).

1. Nachweis durch Produktregel: \(h'(x) = 2uu' \cdot u^2 + u^2 \cdot 2uu' = 4u^3u'\). 2. \(f'(x) = -4 \cdot \sin(x) \cdot \cos^3(x)\).

- Nutze für die Herleitung, dass du die Ableitung von \(u^2\) bereits kennst oder über \(u \cdot u\) bestimmen kannst. - Bei Methode a) musst du die innere Ableitung der Klammer berücksichtigen. - Für Methode b) hilft dir das Pascalsche Dreieck oder die binomische Formel für Potenzen von 3. - Vergiss beim gliedweisen Ableiten nicht, dass Konstanten beim Ableiten wegfallen.

1. Herleitung: Sei \(f = u^2 \cdot u\). Mit der Produktregel folgt \(f' = (u^2)' \cdot u + u^2 \cdot u'\). Da \((u^2)' = 2uu'\), ergibt sich \(f' = (2uu') \cdot u + u^2u' = 2u^2u' + u^2u' = 3u^2u'\). 2. Methode a): Mit \(u(x) = x^2 + 1\) und \(u'(x) = 2x\) folgt \(k'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2\). Ausmultipliziert ergibt dies \(6x(x^4 + 2x^2 + 1) = 6x^5 + 12x^3 + 6x\). 3. Methode b): Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel ergibt \(k(x) = (x^2)^3 + 3(x^2)^2 \cdot 1 + 3x^2 \cdot 1^2 + 1^3 = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1\). Die gliedweise Ableitung lautet \(k'(x) = 6x^5 + 12x^3 + 6x\). 4. Vergleich: Beide Methoden führen zum identischen Ergebnis.

1. Herleitung: \((u^2 \cdot u)' = 2uu' \cdot u + u^2 \cdot u' = 3u^2u'\). 2. Ableitung: \(k'(x) = 6x(x^2 + 1)^2\) bzw. \(k'(x) = 6x^5 + 12x^3 + 6x\). Beide Wege sind konsistent.

- Bestimme zuerst die Ableitungen der einzelnen Faktoren. - Wie sieht die Struktur der Regel für drei Faktoren aus? - Kannst du zwei der Faktoren zu einer neuen Funktion zusammenfassen, um eine bekannte Regel zu nutzen? - Was passiert, wenn du Klammern in dem Produkt setzt?

1. Identifikation der Teilfunktionen und ihrer Ableitungen: \(u(x) = x^2\) mit \(u'(x) = 2x\); \(v(x) = e^x\) mit \(v'(x) = e^x\); \(w(x) = \ln(x)\) mit \(w'(x) = \frac{1}{x}\). 2. Anwendung der Produktregel für drei Faktoren: \(f'(x) = 2x \cdot e^x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot e^x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot e^x \cdot \frac{1}{x}\). 3. Vereinfachung des Terms: \(f'(x) = 2x e^x \ln(x) + x^2 e^x \ln(x) + x e^x = x e^x (2 \ln(x) + x \ln(x) + 1)\). 4. Herleitung der allgemeinen Regel: Betrachtung von \(f = (u \cdot v) \cdot w\). Erste Anwendung der Produktregel liefert \(f' = (u \cdot v)' \cdot w + (u \cdot v) \cdot w'\). Zweite Anwendung für \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) ergibt durch Einsetzen \(f' = (u'v + uv')w + uvw' = u'vw + uv'w + uvw'\).

a) \(f'(x) = x e^x (2 \ln(x) + x \ln(x) + 1)\) b) Durch die Gruppierung \(((u \cdot v) \cdot w)'\) und zweifache Anwendung der Standard-Produktregel erhält man \((u'v + uv')w + uvw'\), was ausmultipliziert \(u'vw + uv'w + uvw'\) ergibt.

- Notiere dir die allgemeine Struktur der Produktregel für drei Faktoren. - Setze die gegebenen Werte systematisch in die Formel ein. - Betrachte das Muster, das sich bei der Erweiterung von zwei auf drei Faktoren ergibt. Wie viele Summanden erwartest du bei vier Faktoren?

1. Anwendung der Produktregel für drei Faktoren auf \(p(x)\): \(p'(x) = g'(x) \cdot h(x) \cdot k(x) + g(x) \cdot h'(x) \cdot k(x) + g(x) \cdot h(x) \cdot k'(x)\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte für \(x = 5\): \(p'(5) = 0{,}5 \cdot (-2) \cdot 10 + 4 \cdot 3 \cdot 10 + 4 \cdot (-2) \cdot (-1)\). 3. Berechnung der Teilterme: \(-10 + 120 + 8 = 118\). 4. Verallgemeinerung auf vier Faktoren: Bei der Produktregel für mehrere Faktoren besteht die Ableitung aus einer Summe von Termen. In jedem Term wird genau ein Faktor abgeleitet, während die anderen Faktoren unverändert bleiben. 5. Aufstellen der Formel: \((f_1 \cdot f_2 \cdot f_3 \cdot f_4)' = f_1' f_2 f_3 f_4 + f_1 f_2' f_3 f_4 + f_1 f_2 f_3' f_4 + f_1 f_2 f_3 f_4'\).

a) \(p'(5) = 118\) b) \((f_1 f_2 f_3 f_4)' = f_1' f_2 f_3 f_4 + f_1 f_2' f_3 f_4 + f_1 f_2 f_3' f_4 + f_1 f_2 f_3 f_4'\)

- Erinnerst du dich, wie man eine Wurzelfunktion als Potenz schreibt, um sie leichter abzuleiten? - Teile den Funktionsterm in zwei Faktoren auf und leite jeden einzeln ab. - Was ist die Ableitung der Sinusfunktion? - Verknüpfe die Teilergebnisse nach dem bekannten Schema der Produktregel.

1. Festlegen der Faktoren: \(u(x) = \sqrt{x} + 2\) und \(v(x) = \sin(x)\). 2. Bestimmen der Einzelableitungen: \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(v'(x) = \cos(x)\). 3. Einsetzen in die Formel der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\). 4. Ergebnis: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + (\sqrt{x} + 2) \cdot \cos(x)\). 5. Optionales Zusammenfassen: \(f'(x) = \frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}} + (\sqrt{x} + 2) \cos(x)\).

\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin(x) + (\sqrt{x} + 2) \cos(x)\)

- Wie kannst du einen Bruch mit einer Konstanten im Nenner in eine Multiplikation umwandeln? - Welche Ableitung hat der Faktor \(\frac{1}{k}\), wenn \(k\) eine feste Zahl ist? - Nutze die allgemeine Struktur der Produktregel \((u \cdot v)' = u'v + uv'\).

1. Umschreiben der Funktion: Die Division durch \(k\) wird als Multiplikation mit dem konstanten Kehrwert ausgedrückt: \(f(x) = \frac{1}{k} \cdot g(x)\). 2. Identifikation der Faktoren: Setze \(u(x) = \frac{1}{k}\) als konstante Funktion und \(v(x) = g(x)\). 3. Ableitungen bilden: Da \(k\) eine Konstante ist, ist auch \(\frac{1}{k}\) konstant, woraus \(u'(x) = 0\) folgt. Für den zweiten Faktor gilt \(v'(x) = g'(x)\). 4. Einsetzen in die Produktregel: \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 0 \cdot g(x) + \frac{1}{k} \cdot g'(x)\). 5. Finales Vereinfachen: Der Term \(0 \cdot g(x)\) entfällt, sodass \(f'(x) = \frac{1}{k} \cdot g'(x) = \frac{g'(x)}{k}\) übrig bleibt.

Durch das Umschreiben zu \(f(x) = \frac{1}{k} \cdot g(x)\) und Anwendung der Produktregel ergibt sich \(f'(x) = 0 \cdot g(x) + \frac{1}{k} \cdot g'(x)\). Da der erste Summand Null ist, folgt direkt \(f'(x) = \frac{g'(x)}{k}\).

- Überlege dir, aus welchen zwei Teilfunktionen das Produkt besteht und bestimme deren einzelne Ableitungen. - Erinnere dich an die Formel für die Ableitung eines Produkts \(u \cdot v\). - Achte beim Ableiten von trigonometrischen Funktionen wie \(\cos(x)\) besonders auf das Vorzeichen. - Es hilft oft, Wurzeln wie \(\sqrt{x}\) vor dem Ableiten in die Potenzschreibweise \(x^n\) umzuschreiben.

1. Für \(f(x)\): Identifikation der Teilfunktionen \(u(x) = x^2 - 4\) mit \(u'(x) = 2x\) und \(v(x) = \cos(x)\) mit \(v'(x) = -\sin(x)\). Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) ergibt \(f'(x) = 2x \cdot \cos(x) + (x^2 - 4) \cdot (-\sin(x)) = 2x \cos(x) - (x^2 - 4) \sin(x)\). 2. Für \(g(x)\): Identifikation der Teilfunktionen \(u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) mit \(u'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(v(x) = e^x\) mit \(v'(x) = e^x\). Anwendung der Produktregel ergibt \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^x + \sqrt{x} \cdot e^x\). Zusammengefasst auf einen Nenner folgt \(g'(x) = \frac{e^x(1 + 2x)}{2\sqrt{x}}\).

a) \(f'(x) = 2x \cos(x) - (x^2 - 4) \sin(x)\) b) \(g'(x) = \frac{e^x(1 + 2x)}{2\sqrt{x}}\)

- Kannst du die Funktion in zwei Faktoren zerlegen, die du einzeln ableiten kannst? - Denke daran, dass beim Ableiten von \(e^x\) die Funktion unverändert bleibt. - Gibt es in deinem Ergebnis einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Prüfe, ob du alle Teilableitungen korrekt nach der Regel \(u'v + uv'\) zusammengesetzt hast.

1. Ableitung von \(h(x)\): Setze \(u(x) = x^3 + 2x\) (\(u'(x) = 3x^2 + 2\)) und \(v(x) = \sin(x)\) (\(v'(x) = \cos(x)\)). Einsetzen in die Produktregel ergibt \(h'(x) = (3x^2 + 2) \cdot \sin(x) + (x^3 + 2x) \cdot \cos(x)\). 2. Ableitung von \(k(x)\): Setze \(u(x) = e^x\) (\(u'(x) = e^x\)) und \(v(x) = \cos(x)\) (\(v'(x) = -\sin(x)\)). Einsetzen in die Produktregel ergibt \(k'(x) = e^x \cdot \cos(x) + e^x \cdot (-\sin(x))\). Durch Ausklammern von \(e^x\) erhält man \(k'(x) = e^x(\cos(x) - \sin(x))\).

a) \(h'(x) = (3x^2 + 2) \sin(x) + (x^3 + 2x) \cos(x)\) b) \(k'(x) = e^x(\cos(x) - \sin(x))\)

- Kannst du die Funktionen in zwei Faktoren zerlegen, die jeweils von \(x\) abhängen? - Wie behandelst du Parameter, die als Faktoren oder Summanden im Funktionsterm vorkommen? - Erinnere dich an die Ableitungen der trigonometrischen Grundfunktionen. - Achte beim Zusammensetzen der Ableitung auf die Klammersetzung und die Vorzeichen.

1. Für \(f(x)\): Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = x^2 + k\) und \(v(x) = \cos(x)\). Die Ableitungen sind \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = -\sin(x)\). Einsetzen liefert \(f'(x) = 2x \cdot \cos(x) + (x^2 + k) \cdot (-\sin(x)) = 2x \cdot \cos(x) - (x^2 + k) \cdot \sin(x)\). 2. Für \(g(x)\): Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = a \cdot \sqrt{x}\) und \(v(x) = \sin(x)\). Die Ableitungen sind \(u'(x) = \frac{a}{2\sqrt{x}}\) und \(v'(x) = \cos(x)\). Einsetzen liefert \(g'(x) = \frac{a}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + a\sqrt{x} \cdot \cos(x)\). 3. Für \(h(x)\): Der Parameter \(t\) wird als konstanter Faktor \(\frac{1}{t}\) behandelt. Anwendung der Produktregel auf \(x \cdot \cos(x)\) mit \(u(x) = x\) und \(v(x) = \cos(x)\) ergibt \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = -\sin(x)\). Das Resultat ist \(h'(x) = \frac{1}{t} \cdot (1 \cdot \cos(x) - x \cdot \sin(x)) = \frac{\cos(x) - x \cdot \sin(x)}{t}\).

a) \(f'(x) = 2x \cdot \cos(x) - (x^2 + k) \cdot \sin(x)\) b) \(g'(x) = \frac{a \cdot \sin(x)}{2\sqrt{x}} + a\sqrt{x} \cdot \cos(x)\) c) \(h'(x) = \frac{\cos(x) - x \cdot \sin(x)}{t}\)

- Überlege dir zuerst, welche Teile des Terms konstant sind und welche von \(x\) abhängen. - Kannst du einen Term durch Ausmultiplizieren vereinfachen, bevor du die Produktregel anwendest? - Denke an die Potenzschreibweise für Wurzeln, um die Ableitung leichter zu berechnen. - Bei Brüchen mit einer Konstante im Nenner kannst du den Kehrwert als Faktor vor die Ableitung ziehen.

1. Für \(f(x)\): Produktregel mit \(u(x) = c - x^3\) (\(u'(x) = -3x^2\)) und \(v(x) = \sin(x)\) (\(v'(x) = \cos(x)\)). Ergebnis: \(f'(x) = -3x^2 \cdot \sin(x) + (c - x^3) \cdot \cos(x)\). 2. Für \(g(x)\): Produktregel mit \(u(x) = \sqrt{x}\) (\(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)) und \(v(x) = 2x + c\) (\(v'(x) = 2\)). Zusammenfassen der Terme: \(g'(x) = \frac{2x + c}{2\sqrt{x}} + 2\sqrt{x} = \frac{2x + c + 4x}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + c}{2\sqrt{x}}\) (alternativ: \(3\sqrt{x} + \frac{c}{2\sqrt{x}}\)). 3. Für \(h(x)\): Konstanter Faktor \(\frac{1}{2c}\) bleibt erhalten. Produktregel für \(\sin(x) \cdot \cos(x)\) mit \(u(x) = \sin(x)\) (\(u'(x) = \cos(x)\)) und \(v(x) = \cos(x)\) (\(v'(x) = -\sin(x)\)). Ergebnis: \(h'(x) = \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{2c}\). Unter Verwendung trigonometrischer Identitäten kann dies auch als \(h'(x) = \frac{\cos(2x)}{2c}\) geschrieben werden.

a) \(f'(x) = -3x^2 \cdot \sin(x) + (c - x^3) \cdot \cos(x)\) b) \(g'(x) = \frac{6x + c}{2\sqrt{x}}\) oder \(g'(x) = 3\sqrt{x} + \frac{c}{2\sqrt{x}}\) c) \(h'(x) = \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{2c}\) oder \(h'(x) = \frac{\cos(2x)}{2c}\)

- Aus wie vielen Teilfunktionen ist das Produkt aufgebaut? - Gibt es eine Regel, die man anwenden kann, wenn mehr als zwei Funktionen multipliziert werden? - Berechne am besten zuerst die Ableitungen der einzelnen Faktoren. - Kannst du am Ende einen gemeinsamen Term ausklammern, um das Ergebnis übersichtlicher zu machen?

1. Identifikation der drei Faktoren: \(u(x) = x^2 + 2\), \(v(x) = e^x\) und \(w(x) = \cos(x)\). 2. Berechnung der Einzelableitungen: \(u'(x) = 2x\), \(v'(x) = e^x\) und \(w'(x) = -\sin(x)\). 3. Anwendung der erweiterten Produktregel \((u \cdot v \cdot w)' = u'vw + uv'w + uvw'\). 4. Einsetzen der Terme: \(f'(x) = 2x \cdot e^x \cdot \cos(x) + (x^2 + 2) \cdot e^x \cdot \cos(x) + (x^2 + 2) \cdot e^x \cdot (-\sin(x))\). 5. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(e^x\) und Zusammenfassen der Terme: \(f'(x) = e^x \cdot \left[ (x^2 + 2x + 2) \cdot \cos(x) - (x^2 + 2) \cdot \sin(x) \right]\).

\(f'(x) = e^x \cdot \left[ (x^2 + 2x + 2) \cdot \cos(x) - (x^2 + 2) \cdot \sin(x) \right]\)

- Welche Regel nutzt du, wenn zwei Funktionsterme miteinander multipliziert werden? - Achte bei der Potenzfunktion auf die Kettenregel (die „3“ im Inneren der Klammer ist wichtig). - Statt alles mühsam auszumultiplizieren, schaue nach gemeinsamen Faktoren, die du ausklammern kannst. - Das Ziel ist eine Darstellung als Produkt, also klammere so viel wie möglich aus.

1. Anwendung der Produktregel \(g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) mit \(u(x) = x^2 - 4\) und \(v(x) = (3x + 1)^3\). 2. Bestimmung der Ableitungen: \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = 3 \cdot (3x + 1)^2 \cdot 3 = 9(3x + 1)^2\) (Kettenregel). 3. Zusammensetzen: \(g'(x) = 2x \cdot (3x + 1)^3 + (x^2 - 4) \cdot 9(3x + 1)^2\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((3x + 1)^2\): \(g'(x) = (3x + 1)^2 \cdot [2x(3x + 1) + 9(x^2 - 4)]\). 5. Vereinfachen des Terms in der Klammer: \(2x(3x + 1) + 9(x^2 - 4) = 6x^2 + 2x + 9x^2 - 36 = 15x^2 + 2x - 36\). 6. Endergebnis: \(g'(x) = (3x + 1)^2(15x^2 + 2x - 36)\).

\(g'(x) = (3x + 1)^2(15x^2 + 2x - 36)\)

- Kannst du die Hauptstruktur der Funktion erkennen? Handelt es sich um ein Produkt, einen Quotienten oder eine Verkettung? - Wie gehst du vor, wenn eine Teilfunktion in einer anderen „eingeschlossen“ ist? - Könntest du den Ausdruck in zwei Teile zerlegen und zuerst deren einzelne Ableitungen bestimmen? - Gibt es eine Möglichkeit, den Term nach der Anwendung der Regeln noch durch Ausklammern zu vereinfachen?

1. Identifikation der Produktregel mit den Teilfunktionen \(u(x) = (x^2 + 1)^4\) und \(v(x) = \sin(5x)\) 2. Ableitung von \(u(x)\) mittels Kettenregel: \(u'(x) = 4(x^2 + 1)^3 \cdot 2x = 8x(x^2 + 1)^3\) 3. Ableitung von \(v(x)\) mittels Kettenregel: \(v'(x) = 5 \cos(5x)\) 4. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\): \(f'(x) = 8x(x^2 + 1)^3 \sin(5x) + (x^2 + 1)^4 \cdot 5 \cos(5x)\) 5. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((x^2 + 1)^3\): \(f'(x) = (x^2 + 1)^3 \cdot (8x \sin(5x) + 5(x^2 + 1) \cos(5x))\)

\(f'(x) = (x^2 + 1)^3 \cdot (8x \sin(5x) + (5x^2 + 5) \cos(5x))\)

- Denke an die Produktregel: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\). - Achte beim Ableiten der Exponentialfunktionen auf die Kettenregel für den Exponenten. - Es ist oft hilfreich, den Term \(e^{kx}\) am Ende jeder Ableitung auszuklammern, um die Struktur für die nächste Ableitung zu vereinfachen. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn im Exponenten ein Minuszeichen steht.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Produktregel mit \(u(x) = 5 - 2x\) und \(v(x) = e^{2x}\) angewendet. Mit \(u'(x) = -2\) und \(v'(x) = 2e^{2x}\) ergibt sich \(f'(x) = -2 \cdot e^{2x} + (5 - 2x) \cdot 2e^{2x} = (8 - 4x) \cdot e^{2x}\). 2. Die zweite Ableitung von a) erfolgt analog mit \(u_1(x) = 8 - 4x\) und \(v_1(x) = e^{2x}\). Es folgt \(f''(x) = -4 \cdot e^{2x} + (8 - 4x) \cdot 2e^{2x} = (12 - 8x) \cdot e^{2x}\). 3. Für Teilaufgabe b) wird die Produktregel mit \(u(x) = x^2 + 4x - 1\) und \(v(x) = e^{-x}\) angewendet. Mit \(u'(x) = 2x + 4\) und \(v'(x) = -e^{-x}\) ergibt sich \(f'(x) = (2x + 4) \cdot e^{-x} + (x^2 + 4x - 1) \cdot (-e^{-x}) = (-x^2 - 2x + 5) \cdot e^{-x}\). 4. Die zweite Ableitung von b) berechnet man mit \(u_1(x) = -x^2 - 2x + 5\) und \(v_1(x) = e^{-x}\). Man erhält \(f''(x) = (-2x - 2) \cdot e^{-x} + (-x^2 - 2x + 5) \cdot (-e^{-x}) = (x^2 - 7) \cdot e^{-x}\).

a) \(f'(x) = (8 - 4x) \cdot e^{2x}\) und \(f''(x) = (12 - 8x) \cdot e^{2x}\) b) \(f'(x) = (-x^2 - 2x + 5) \cdot e^{-x}\) und \(f''(x) = (x^2 - 7) \cdot e^{-x}\)

- Erkennst du in den Summanden Bestandteile, die Ableitungen voneinander sind? - Achte besonders auf den Zusammenhang zwischen \(\sqrt{x}\) und \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\). - Überlege, wie das Minuszeichen vor dem zweiten Summanden mit der Ableitung der Kosinusfunktion zusammenhängen könnte. - Welche Produktfunktion \(u \cdot v\) könnte beim Ableiten genau diesen Term erzeugen?

1. Analyse der Struktur von \(f(x)\) im Hinblick auf die Produktregel \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) 2. Wahl der Basisfunktionen \(u(x) = \sqrt{x}\) und \(v(x) = \cos(x)\) 3. Berechnung der zugehörigen Ableitungen: \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(v'(x) = -\sin(x)\) 4. Einsetzen in die Produktregel: \(u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \cos(x) + \sqrt{x} \cdot (-\sin(x))\) 5. Feststellung der Übereinstimmung mit \(f(x)\) 6. Resultat: \(F(x) = \sqrt{x} \cdot \cos(x)\)

\(F(x) = \sqrt{x} \cdot \cos(x)\)

- Welche Regel benötigst du für das Produkt aus einer trigonometrischen Funktion und einer allgemeinen Funktion \(g(x)\)? - Erinnere dich an die Ableitungen von Sinus- und Kosinusfunktionen. - Wenn ein Faktor selbst eine Ableitung ist, wie zum Beispiel \(g'(x)\), was ist dann dessen Ableitung? - Achte bei der zweiten Ableitung von \(g(x) \cdot g'(x)\) besonders auf die korrekte Anwendung der Kettenregel beim Term \((g'(x))^2\).

1. Für Teilaufgabe a) liefert die Produktregel mit \((\sin(x))' = \cos(x)\): \(f'(x) = \cos(x) \cdot g(x) + \sin(x) \cdot g'(x)\). 2. Die zweite Ableitung wird durch gliedweises Ableiten bestimmt: \((\cos(x)g(x))' = -\sin(x)g(x) + \cos(x)g'(x)\) \((\sin(x)g'(x))' = \cos(x)g'(x) + \sin(x)g''(x)\) Addition der Terme ergibt: \(f''(x) = -\sin(x)g(x) + 2\cos(x)g'(x) + \sin(x)g''(x)\). 3. Für Teilaufgabe b) wird die Produktregel auf das Produkt der Funktion mit ihrer eigenen Ableitung angewendet: \(f'(x) = g'(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot g''(x) = (g'(x))^2 + g(x) \cdot g''(x)\). 4. Zur Bestimmung von \(f''(x)\) wird die Kettenregel für \((g'(x))^2\) und die Produktregel für \(g(x) \cdot g''(x)\) genutzt: \(((g'(x))^2)' = 2 \cdot g'(x) \cdot g''(x)\) \((g(x) \cdot g''(x))' = g'(x) \cdot g''(x) + g(x) \cdot g'''(x)\) Zusammengefasst: \(f''(x) = 3g'(x)g''(x) + g(x)g'''(x)\).

a) \(f'(x) = \cos(x)g(x) + \sin(x)g'(x)\) und \(f''(x) = -\sin(x)g(x) + 2\cos(x)g'(x) + \sin(x)g''(x)\) b) \(f'(x) = (g'(x))^2 + g(x)g''(x)\) und \(f''(x) = 3g'(x)g''(x) + g(x)g'''(x)\)

- Klammere den gemeinsamen Faktor \(e^x\) aus, bevor du mit dem Ableiten beginnst. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) niemals den Wert Null annimmt. - Die Art eines Extrempunktes lässt sich gut über das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der betreffenden Stelle bestimmen. - Achte darauf, ob die gefundenen Stellen im vorgegebenen Intervall liegen.

1. Zusammenfassen der Funktion: \(f(x) = (x^2 + 2x - 1) \cdot e^x\). 2. Ableiten mit der Produktregel: \(f'(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - 1) \cdot e^x = (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x\). 3. Nullstellen der ersten Ableitung: Da \(e^x > 0\), gilt \(x^2 + 4x + 1 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel liefert \(x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{3}\). Beide Werte (\(x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -3{,}73\) und \(x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -0{,}27\)) liegen im Intervall \([-5; 0]\). 4. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = (2x + 4) \cdot e^x + (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x = (x^2 + 6x + 5) \cdot e^x\). 5. Art bestimmen: \(f''(-2 - \sqrt{3}) = -2\sqrt{3} \cdot e^{-2-\sqrt{3}} < 0 \implies\) Hochpunkt. \(f''(-2 + \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \cdot e^{-2+\sqrt{3}} > 0 \implies\) Tiefpunkt. 6. Koordinaten berechnen: \(f(-2 - \sqrt{3}) = (2 + 2\sqrt{3}) \cdot e^{-2-\sqrt{3}}\) und \(f(-2 + \sqrt{3}) = (2 - 2\sqrt{3}) \cdot e^{-2+\sqrt{3}}\).

Hochpunkt \(H\left(-2 - \sqrt{3} \mid (2 + 2\sqrt{3}) \cdot e^{-2-\sqrt{3}}\right) \approx H(-3{,}73 \mid 0{,}13)\) Tiefpunkt \(T\left(-2 + \sqrt{3} \mid (2 - 2\sqrt{3}) \cdot e^{-2+\sqrt{3}}\right) \approx T(-0{,}27 \mid -1{,}12)\)

- Nutze die Definition \(f_n(x) = f_{n-1}(x) \cdot (x - (n + 1))\) als Produkt zweier Funktionen, um die Produktregel anzuwenden. - Schau dir an, wie sich die Anzahl der Summanden erhöht, wenn ein weiterer Faktor im Produkt hinzukommt. - Was passiert mit dem Grad der Funktion bei jeder Ableitung?

1. \(f_1(x) = x^2 - 3x + 2 \implies f_1'(x) = 2x - 3\). Für \(f_2(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)\) gilt mit der Produktregel: \(f_2'(x) = (x - 2)(x - 3) + (x - 1)(x - 3) + (x - 1)(x - 2) = 3x^2 - 12x + 11\). 2. Da \(f_n(x) = f_{n-1}(x) \cdot v(x)\) mit \(v(x) = x - (n + 1)\) und \(v'(x) = 1\), liefert die Produktregel \(f_n'(x) = f_{n-1}'(x) \cdot v(x) + f_{n-1}(x) \cdot v'(x)\). Einsetzen ergibt \(f_n'(x) = f_{n-1}'(x) \cdot (x - (n + 1)) + f_{n-1}(x) \cdot 1\). 3. Durch wiederholte Anwendung oder Induktion erkennt man, dass die Ableitung eines Produkts aus \(k\) Linearfaktoren eine Summe aus \(k\) Summanden ist. Jeder Summand besteht aus dem Produkt von \(k-1\) Linearfaktoren, wobei jeweils ein anderer Faktor der ursprünglichen Funktion weggelassen (bzw. durch seine Ableitung \(1\) ersetzt) wird: \(g'(x) = \sum_{i=1}^{k} \left( \prod_{j=1, j \neq i}^{k} (x - a_j) \right)\).

1. \(f_1'(x) = 2x - 3\); \(f_2'(x) = 3x^2 - 12x + 11\) 2. Nachweis über Produktregel: \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) mit \(u = f_{n-1}(x)\) und \(v = x - (n + 1)\). 3. \(g'(x) = (x-a_2)(x-a_3)\dots(x-a_k) + (x-a_1)(x-a_3)\dots(x-a_k) + \dots + (x-a_1)(x-a_2)\dots(x-a_{k-1})\).

- Überlege dir, wie du die Produktregel auf drei Faktoren anwendest, indem du zwei Faktoren zu einem Paket zusammenfasst. - Gehe bei der zweiten Ableitung systematisch vor und leite jeden Summanden der ersten Ableitung einzeln ab. - Achte beim Zusammenfassen der Terme in Teilaufgabe b) darauf, gemeinsame Faktoren wie \(e^x\) auszuklammern, um den Ausdruck übersichtlicher zu machen.

1. Erste Ableitung von \(f = u \cdot v \cdot w\) bestimmen: \(f' = (u \cdot v)' \cdot w + (u \cdot v) \cdot w' = (u'v + uv')w + uvw' = u'vw + uv'w + uvw'\). 2. Zweite Ableitung durch Differenzieren von \(f'\) bilden: \(f'' = (u'vw)' + (uv'w)' + (uvw')'\). 3. Einzelne Terme ableiten: \((u'vw)' = u''vw + u'v'w + u'vw'\) \((uv'w)' = u'v'w + uv''w + uv'w'\) \((uvw')' = u'vw' + uv'w' + uvw''\) 4. Zusammenfassen der Terme zur allgemeinen Formel: \(f''(x) = u''vw + uv''w + uvw'' + 2(u'v'w + u'vw' + uv'w')\). 5. Anwendung auf \(f(x) = x^2 \cdot e^x \cdot \sin(x)\) mit \(u(x)=x^2, v(x)=e^x, w(x)=\sin(x)\): Ableitungen: \(u'=2x, u''=2\); \(v'=e^x, v''=e^x\); \(w'=\cos(x), w''=-\sin(x)\). 6. Einsetzen: \(f''(x) = 2 \cdot e^x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot e^x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot e^x \cdot (-\sin(x)) + 2(2x \cdot e^x \cdot \sin(x) + 2x \cdot e^x \cdot \cos(x) + x^2 \cdot e^x \cdot \cos(x))\). 7. Vereinfachen: \(f''(x) = e^x \cdot [2\sin(x) + 4x\sin(x) + (4x + 2x^2)\cos(x)]\).

a) \(f''(x) = u''(x)v(x)w(x) + u(x)v''(x)w(x) + u(x)v(x)w''(x) + 2[u'(x)v'(x)w(x) + u'(x)v(x)w'(x) + u(x)v'(x)w'(x)]\) b) \(f''(x) = e^x \cdot [(2 + 4x) \cdot \sin(x) + (4x + 2x^2) \cdot \cos(x)]\)

- Leite die Sinusfunktion schrittweise ab, um das Muster der ersten vier Ableitungen zu finden. - Überlege dir, wie oft die Produktregel angewendet werden muss, wenn einer der Faktoren eine lineare Funktion wie \((3-x)\) ist. - Was passiert mit dem Term \((3-x)\) bei der zweiten und allen weiteren Ableitungen? - Nutze den Rest der Division \(25 : 4\), um die entsprechende Ableitung von \(\sin(x)\) direkt anzugeben.

1. Bestimmung der Ableitungsfolge: \(s^{(1)}(x) = \cos(x)\) (Rest 1), \(s^{(2)}(x) = -\sin(x)\) (Rest 2), \(s^{(3)}(x) = -\cos(x)\) (Rest 3). 2. Anwendung der Produktregel für höhere Ableitungen: \(g^{(n)}(x) = (3-x) \cdot s^{(n)}(x) + n \cdot (-1) \cdot s^{(n-1)}(x)\). 3. Für \(n=25\): Der Rest von \(25 : 4\) ist \(1\), also \(s^{(25)}(x) = \cos(x)\). Der Rest von \(24 : 4\) ist \(0\), also \(s^{(24)}(x) = \sin(x)\). 4. Einsetzen in die Formel: \(g^{(25)}(x) = (3-x) \cos(x) - 25 \sin(x)\).

1. Rest 1: \(\cos(x)\); Rest 2: \(-\sin(x)\); Rest 3: \(-\cos(x)\) 2. \(g^{(25)}(x) = (3 - x) \cos(x) - 25 \sin(x)\)

- Setze die Funktionsterme gleich, um die Stellen der gemeinsamen Punkte zu finden. - Welches Lösungsverfahren eignet sich für eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\)? - Wie hängen die Tangenten an einem gemeinsamen Punkt mit der Ableitung der Funktionen zusammen? - Nutze die Produktregel, um den allgemeinen Ausdruck für \(h'(x)\) zu bestimmen.

Schnittbedingung aufstellen: \(h(x) = f(x) \Rightarrow (x^2 + x - 1) \cdot f(x) = f(x)\). Division durch \(f(x) \neq 0\) führt auf die quadratische Gleichung \(x^2 + x - 1 = 1\), also \(x^2 + x - 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2\). Es existieren somit genau zwei Schnittpunkte. Ableitung von \(h\) mit der Produktregel: \(h'(x) = (2x + 1) \cdot f(x) + (x^2 + x - 1) \cdot f'(x)\). Vergleich der Steigungen an \(x_1 = 1\): \(h'(1) = (2 \cdot 1 + 1) \cdot f(1) + (1^2 + 1 - 1) \cdot f'(1) = 3 \cdot f(1) + f'(1)\). Da \(f(1) \neq 0\), folgt \(h'(1) \neq f'(1)\). Vergleich der Steigungen an \(x_2 = -2\): \(h'(-2) = (2 \cdot (-2) + 1) \cdot f(-2) + ((-2)^2 - 2 - 1) \cdot f'(-2) = -3 \cdot f(-2) + f'(-2)\). Da \(f(-2) \neq 0\), folgt \(h'(-2) \neq f'(-2)\). Da die Steigungen in den gemeinsamen Punkten nicht übereinstimmen, existieren dort keine gemeinsamen Tangenten (keine Berührung).

Die Graphen schneiden sich an den Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2\). Da an diesen Stellen \(h'(1) = 3f(1) + f'(1) \neq f'(1)\) und \(h'(-2) = -3f(-2) + f'(-2) \neq f'(-2)\) gilt (wegen \(f(x) \neq 0\)), liegen keine gemeinsamen Tangenten vor.

- Welche Regel benötigst du, um ein Produkt aus einer Potenzfunktion und einer Exponentialfunktion abzuleiten? - Nutze beim Ableiten und beim Suchen von Nullstellen das Ausklammern gemeinsamer Faktoren, um die Terme zu vereinfachen. - Überlege dir, welche Teilausdrücke des Produkts überhaupt null werden können. - Wenn du ein \(x\) aus einem Term dritten Grades ausklammerst, welcher Funktionstyp bleibt übrig?

1. Erste Ableitung mit der Produktregel: \(f'(x) = (3x^2 - 2x) \cdot e^x + (x^3 - x^2) \cdot e^x\). Durch Ausklammern von \(e^x\) und Sortieren der Potenzen erhält man \(f'(x) = (x^3 + 2x^2 - 2x) \cdot e^x\). 2. Nullstellen von \(f\): Die Bedingung \(f(x) = 0\) führt wegen \(e^x \neq 0\) auf \(x^3 - x^2 = 0\). Ausklammern ergibt \(x^2(x - 1) = 0\), also sind die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\). 3. Nullstellen von \(f'\): Die Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x^3 + 2x^2 - 2x = 0\). Durch Ausklammern von \(x\) erhält man \(x(x^2 + 2x - 2) = 0\). Somit ist \(x_3 = 0\) eine Nullstelle. Die weiteren Nullstellen ergeben sich aus \(x^2 + 2x - 2 = 0\) mit der \(pq\)-Formel zu \(x = -1 \pm \sqrt{1 - (-2)}\), also \(x_4 = -1 - \sqrt{3}\) und \(x_5 = -1 + \sqrt{3}\).

Ableitung: \(f'(x) = (x^3 + 2x^2 - 2x) \cdot e^x\) Nullstellen von \(f\): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\) Nullstellen von \(f'\): \(x_3 = 0\), \(x_4 = -1 - \sqrt{3}\) und \(x_5 = -1 + \sqrt{3}\)

- Kannst du den Bruch \(\frac{a}{x^2}\) als Potenz mit negativem Exponenten schreiben, um das Ableiten zu erleichtern? - Welche Regel ist für das Ableiten eines Produkts \(u(x) \cdot v(x)\) vorgesehen? - Achte beim Ableiten der trigonometrischen Funktion genau auf das Vorzeichen. - Versuche am Ende, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. Darstellung der Funktion als Produkt zweier Terme: \(u(x) = a \cdot x^{-2}\) und \(v(x) = \cos(x)\). 2. Ableiten der Faktoren: \(u'(x) = -2a \cdot x^{-3} = -\frac{2a}{x^3}\) und \(v'(x) = -\sin(x)\). 3. Verknüpfung der Ergebnisse mit der Produktregel \(f_a'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\). 4. Einsetzen und Vereinfachen des Terms: \(f_a'(x) = -\frac{2a}{x^3} \cos(x) + \frac{a}{x^2} (-\sin(x)) = -\frac{2a \cos(x) + ax \sin(x)}{x^3}\).

\(f_a'(x) = -\frac{2a}{x^3} \cos(x) - \frac{a}{x^2} \sin(x)\) (oder zusammengefasst: \(f_a'(x) = -\frac{a(2 \cos(x) + x \sin(x))}{x^3}\))

- Notiere dir die Ableitung jedes Faktors einzeln, bevor du sie kombinierst. - Denk daran, dass \(\sqrt{x}\) auch als Potenz geschrieben werden kann. - Versuche beim Vereinfachen, Terme mit gleichen trigonometrischen Funktionen zusammenzufassen. - Ein gemeinsamer Nenner hilft oft dabei, Brüche innerhalb der Ableitung zu verschmelzen.

1. Definition der Faktoren: \(u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\), \(v(x) = \sin(x)\) und \(w(x) = x^2 - 4\). 2. Einzelableitungen: \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), \(v'(x) = \cos(x)\) und \(w'(x) = 2x\). 3. Anwendung der erweiterten Produktregel: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) \cdot (x^2 - 4) + \sqrt{x} \cdot \cos(x) \cdot (x^2 - 4) + \sqrt{x} \cdot \sin(x) \cdot 2x\). 4. Zusammenfassen der \(\sin(x)\)-Terme durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner: \(\frac{x^2 - 4}{2\sqrt{x}} \sin(x) + \frac{4x^2}{2\sqrt{x}} \sin(x) = \frac{5x^2 - 4}{2\sqrt{x}} \sin(x)\). 5. Endgültige Form: \(f'(x) = \frac{5x^2 - 4}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + (x^2 - 4) \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(x)\).

\(f'(x) = \frac{5x^2 - 4}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + (x^2 - 4) \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(x)\)

- Identifiziere zuerst die beiden Teilfunktionen \(u(x)\) und \(v(x)\). - Vergiss nicht, beim Ableiten von \(e^{0{,}5x}\) den Faktor \(0{,}5\) nach vorne zu ziehen. - Klammere nach dem ersten Ableitungsschritt direkt wieder den Exponentialterm aus, bevor du das zweite Mal ableitest. - Gehe beim Zusammenfassen der Polynome in der Klammer schrittweise vor, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Anwendung der Produktregel auf \(f(x) = (x^2 - 3) \cdot e^{0{,}5x}\) mit \(u(x) = x^2 - 3\) und \(v(x) = e^{0{,}5x}\). 2. Berechnung der Teilableitungen: \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\). 3. Zusammensetzen und Ausklammern von \(e^{0{,}5x}\): \(f'(x) = 2x \cdot e^{0{,}5x} + (x^2 - 3) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = (0{,}5x^2 + 2x - 1{,}5) \cdot e^{0{,}5x}\). 4. Erneute Anwendung der Produktregel für \(f''(x)\) mit \(u_1(x) = 0{,}5x^2 + 2x - 1{,}5\) und \(v_1(x) = e^{0{,}5x}\). 5. Berechnung der Teilableitungen: \(u_1'(x) = x + 2\) und \(v_1'(x) = 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\). 6. Zusammensetzen und Ausklammern: \(f''(x) = (x + 2) \cdot e^{0{,}5x} + (0{,}5x^2 + 2x - 1{,}5) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = (x + 2 + 0{,}25x^2 + x - 0{,}75) \cdot e^{0{,}5x} = (0{,}25x^2 + 2x + 1{,}25) \cdot e^{0{,}5x}\).

\(f'(x) = (0{,}5x^2 + 2x - 1{,}5) \cdot e^{0{,}5x}\) \(f''(x) = (0{,}25x^2 + 2x + 1{,}25) \cdot e^{0{,}5x}\)