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- Überlege, welche Ableitungsregel speziell für ein Produkt zweier Funktionen gilt. - In der gesuchten Formel treten zwei Summanden auf.

1. Nach der Produktregel wird jeweils ein Faktor abgeleitet, während der andere unverändert bleibt. 2. Daher gilt \(h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\).

\(h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

- In wie vielen Summanden erscheint bei der Produktregel jeweils genau eine Ableitung? - Prüfe, ob in einem vorgeschlagenen Term beide ursprünglichen Faktoren noch berücksichtigt werden.

1. Bei einem Produkt werden beide Faktoren abwechselnd abgeleitet, während der jeweils andere Faktor stehen bleibt. 2. Daher gilt \(p'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\).

B; die Ableitung ist die Summe aus „erster Faktor abgeleitet · zweiter Faktor“ und „erster Faktor · zweiter Faktor abgeleitet“.

- Setze die vier gegebenen Werte direkt in die Produktregel an der Stelle \(x=1\) ein. - Welcher Faktor sorgt dafür, dass ein ganzer Summand null wird?

1. Mit der Produktregel gilt \(p'(1)=u'(1)v(1)+u(1)v'(1)\). 2. Einsetzen liefert \(p'(1)=3\cdot4+0\cdot(-2)=12\). 3. Der zweite Summand verschwindet, weil \(u(1)=0\) ist.

\(p'(1)=12\); der Summand \(u(1)v'(1)\) ist null, weil \(u(1)=0\).

- Was besagt die Produktregel für die Ableitung eines Produkts zweier Teilfunktionen? - Wie multipliziert man zwei Klammerausdrücke systematisch miteinander? - Welche Regeln gelten für das Ableiten von Potenzfunktionen in einer Summe? - Vergleiche am Ende beide Ergebnisse – sie müssen identisch sein.

1. Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = x^2 - 2x + 3\) und \(v(x) = 2x - 5\). Die Ableitungen sind \(u'(x) = 2x - 2\) und \(v'(x) = 2\). Einsetzen in die Formel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\) ergibt \(f'(x) = (2x - 2) \cdot (2x - 5) + (x^2 - 2x + 3) \cdot 2\). Zusammengefasst: \(f'(x) = (4x^2 - 10x - 4x + 10) + (2x^2 - 4x + 6) = 6x^2 - 18x + 16\). 2. Ausmultiplizieren des Funktionsterms: \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x^2 + 10x + 6x - 15 = 2x^3 - 9x^2 + 16x - 15\). Ableiten der Summenform ergibt \(f'(x) = 6x^2 - 18x + 16\).

\(f'(x) = 6x^2 - 18x + 16\)

- Kannst du die beiden Faktoren im Funktionsterm identifizieren und einzeln ableiten? - Erinnerst du dich an die Potenzregel für Ableitungen? - Achte beim Ausmultiplizieren besonders auf die Vorzeichen und die Exponenten. - Welchen Vorteil bietet die Produktregel, wenn die Terme in den Klammern komplizierter werden?

1. Weg (Produktregel): Setze \(u(x) = 2x^2 - 4x\) und \(v(x) = x^2 + 1\). Damit folgt \(u'(x) = 4x - 4\) und \(v'(x) = 2x\). Die Produktregel liefert \(g'(x) = (4x - 4) \cdot (x^2 + 1) + (2x^2 - 4x) \cdot (2x)\). Ausmultiplizieren der Teilterme ergibt \(g'(x) = (4x^3 + 4x - 4x^2 - 4) + (4x^3 - 8x^2) = 8x^3 - 12x^2 + 4x - 4\). 2. Weg (Ausmultiplizieren): \(g(x) = 2x^4 + 2x^2 - 4x^3 - 4x = 2x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 4x\). Die gliedweise Ableitung ergibt \(g'(x) = 8x^3 - 12x^2 + 4x - 4\). Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

\(g'(x) = 8x^3 - 12x^2 + 4x - 4\)

- Aus welchen zwei Grundfunktionen ist das Produkt aufgebaut? - Wie lautet die Ableitung der Kosinusfunktion? Achte dabei besonders auf das Vorzeichen. - Wende die Produktregel systematisch an, indem du zuerst die Ableitungen der einzelnen Faktoren bestimmst. - Setze Klammern um die Terme, um Rechenfehler bei der Verknüpfung zu vermeiden.

1. Identifikation der Teilfunktionen für die Produktregel: \(u(x) = x^2 - 5x + 3\) und \(v(x) = \cos(x)\). 2. Berechnung der Ableitungen der Teilfunktionen: \(u'(x) = 2x - 5\) und \(v'(x) = -\sin(x)\). 3. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\). 4. Einsetzen der Terme: \(f'(x) = (2x - 5) \cdot \cos(x) + (x^2 - 5x + 3) \cdot (-\sin(x))\). 5. Vereinfachung des Vorzeichens: \(f'(x) = (2x - 5) \cdot \cos(x) - (x^2 - 5x + 3) \cdot \sin(x)\).

\(f'(x) = (2x - 5) \cdot \cos(x) - (x^2 - 5x + 3) \cdot \sin(x)\)

- Welche zwei Funktionen werden hier multipliziert? - Kannst du die Ableitungen der beiden einzelnen Faktoren bestimmen? - Wie lautet die allgemeine Struktur der Regel für Produkte von Funktionen? - Gibt es einen Term, der in beiden Summanden vorkommt und ausgeklammert werden kann?

1. Identifikation der Teilfunktionen: Setze \(u(x) = x^2 - 5\) und \(v(x) = e^x\). 2. Bestimmung der Ableitungen der Teilfunktionen: \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = e^x\). 3. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\): Einsetzen ergibt \(f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 5) \cdot e^x\). 4. Vereinfachung durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(e^x\): \(f'(x) = (x^2 + 2x - 5) \cdot e^x\).

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = (x^2 + 2x - 5) \cdot e^x\).

- Welche Regel wendest du an, wenn eine Funktion aus dem Produkt zweier Terme besteht? - Notiere dir alle bekannten Funktionswerte und Ableitungen für die Stelle \(x = 0\). - Was ist die Ableitung der Exponentialfunktion \(e^x\)? - Wie hängen die Steigung der Tangente und der Wert der Ableitungsfunktion zusammen?

1. Identifikation der gegebenen Werte: \(g(0) = 4\) und \(g'(0) = -1\). 2. Ableitung der Funktion \(h(x) = u(x) \cdot g(x)\) mit \(u(x) = e^x + 2\) unter Verwendung der Produktregel: \(h'(x) = u'(x) \cdot g(x) + u(x) \cdot g'(x)\). Da \(u'(x) = e^x\) ist, folgt \(h'(x) = e^x \cdot g(x) + (e^x + 2) \cdot g'(x)\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 0\): \(h'(0) = e^0 \cdot g(0) + (e^0 + 2) \cdot g'(0) = 1 \cdot 4 + (1 + 2) \cdot (-1) = 4 - 3 = 1\).

Die Steigung der Tangente an den Graphen von \(h\) an der Stelle \(x = 0\) ist \(1\).

- In Teil a soll die Summe \(u'v+uv'\) sichtbar in deiner Rechnung vorkommen. - Führe in Teil b dieselbe korrekte Regel für das neue Funktionenpaar aus und vergleiche erst danach mit \(p'q'\). - Entscheidend ist, ob zwei Terme als Funktionen identisch sind, nicht ob sie bei einzelnen Stellen denselben Wert haben.

1. Es gilt \(u'(x)=1\) und \(v'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}\). 2. Mit der Produktregel erhält man \((u\cdot v)'(x)=\frac{1}{1-x}+\frac{x}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}\). Zugleich ist \(u'(x)v'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}\). Für dieses Paar stimmen beide Terme also überein. 3. Für \(p(x)=x\) und \(q(x)=x^2\) liefert die Produktregel \((p\cdot q)'(x)=1\cdot x^2+x\cdot2x=3x^2\). 4. Dagegen ist \(p'(x)q'(x)=1\cdot2x=2x\). Die Terme \(3x^2\) und \(2x\) sind nicht identisch. 5. Damit ist die Gleichheit aus Teil a ein Sonderfall. Sie liefert keinen Beweis für die falsche allgemeine Regel; allgemein gilt \((uv)'=u'v+uv'\).

a) \((u\cdot v)'(x)=\frac{1}{1-x}+\frac{x}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}=u'(x)v'(x)\) für \(x\neq1\). b) Produktregel: \((p\cdot q)'(x)=3x^2\); dagegen \(p'(x)q'(x)=2x\). Die beiden Terme sind nicht identisch. c) Die Gleichheit in a) ist ein zufälliger Sonderfall. Allgemein gilt die Produktregel \((uv)'=u'v+uv'\), nicht \((uv)'=u'v'\).

- Überlege, welche zwei Funktionen hier miteinander multipliziert werden. - Denke beim Ableiten des zweiten Faktors an die Kettenregel. - Kannst du am Ende einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Ausdruck zu vereinfachen?

1. Identifikation der Teilfunktionen: \(u(x) = 3x^2 - 5x\) und \(v(x) = e^{2x}\). 2. Ableitung der Teilfunktionen: \(u'(x) = 6x - 5\) und \(v'(x) = 2 \cdot e^{2x}\) (unter Verwendung der Kettenregel). 3. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\): \(f'(x) = (6x - 5) \cdot e^{2x} + (3x^2 - 5x) \cdot 2 \cdot e^{2x}\). 4. Ausklammern von \(e^{2x}\) und Zusammenfassen: \(f'(x) = (6x - 5 + 6x^2 - 10x) \cdot e^{2x} = (6x^2 - 4x - 5) \cdot e^{2x}\).

\(f'(x) = (6x^2 - 4x - 5) \cdot e^{2x}\)

- Leite die beiden vorgegebenen Faktoren zunächst getrennt ab. - Welche zwei Summanden entstehen aus der Produktregel? - Setze \(x=\pi\) erst in den fertigen Ableitungsterm ein.

1. Es gilt \(u'(x)=-\frac{2}{x^2}\) und \(v'(x)=\cos(x)\). 2. Mit der Produktregel ist \(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=-\frac{2}{x^2}\sin(x)+\frac{2}{x}\cos(x)\). 3. Bei \(x=\pi\) gilt \(\sin(\pi)=0\) und \(\cos(\pi)=-1\). Daher ist \(f'(\pi)=-\frac{2}{\pi}\).

Produktregelansatz: \(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\). Die Steigung bei \(x=\pi\) beträgt \(-\frac{2}{\pi}\).

- Welche beiden Faktoren sollen in der verlangten Produktdarstellung als \(u\) und \(v\) dienen? - Leite zunächst jeden Faktor einzeln ab. - Wie werden die vier Größen \(u\), \(u'\), \(v\) und \(v'\) in der Produktregel kombiniert?

1. Setze \(u(x)=ax^{-2}\) und \(v(x)=\cos(x)\). Dann gilt \(u'(x)=-2ax^{-3}=-\frac{2a}{x^3}\) und \(v'(x)=-\sin(x)\). 2. Der Produktregelansatz lautet \(f_a'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\). 3. Einsetzen ergibt \(f_a'(x)=-\frac{2a}{x^3}\cos(x)-\frac{a}{x^2}\sin(x)\). 4. Zusammengefasst ist \(f_a'(x)=-\frac{a(2\cos(x)+x\sin(x))}{x^3}\) für \(x\neq0\).

Produktregelansatz: \(f_a'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\) mit \(u(x)=ax^{-2}\) und \(v(x)=\cos(x)\). \(f_a'(x)=-\frac{2a}{x^3}\cos(x)-\frac{a}{x^2}\sin(x)=-\frac{a(2\cos(x)+x\sin(x))}{x^3}\) für \(x\neq0\).

- Erinnerst du dich, wie man eine Wurzelfunktion als Potenz schreibt, um sie leichter abzuleiten? - Teile den Funktionsterm in zwei Faktoren auf und leite jeden einzeln ab. - Was ist die Ableitung der Sinusfunktion? - Verknüpfe die Teilergebnisse nach dem bekannten Schema der Produktregel.

1. Festlegen der Faktoren: \(u(x) = \sqrt{x} + 2\) und \(v(x) = \sin(x)\). 2. Bestimmen der Einzelableitungen: \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(v'(x) = \cos(x)\). 3. Einsetzen in die Formel der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\). 4. Ergebnis: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + (\sqrt{x} + 2) \cdot \cos(x)\). 5. Optionales Zusammenfassen: \(f'(x) = \frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}} + (\sqrt{x} + 2) \cos(x)\).

Für \(x > 0\) gilt \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin(x) + (\sqrt{x} + 2) \cos(x)\).

- Was weißt du über die Ableitung einer konstanten Zahl? - Schreibe dir die Formel der Produktregel auf und setze die entsprechenden Teilfunktionen ein. - Betrachte die zwei Summanden der Produktregel — was passiert mit dem ersten Summanden, wenn ein Faktor konstant ist? - Überlege, welcher Rechenweg weniger Schreibarbeit erfordert.

1. Anwendung der Faktorregel: Da \(8\) ein konstanter Faktor ist, bleibt er erhalten und die Sinusfunktion wird abgeleitet, woraus \(f'(x) = 8 \cdot \cos(x)\) folgt. 2. Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = 8\) und \(v(x) = \sin(x)\): Es gilt \(u'(x) = 0\) und \(v'(x) = \cos(x)\). Die Formel \(u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\) ergibt \(0 \cdot \sin(x) + 8 \cdot \cos(x)\). 3. Vereinfachung: Da der erste Summand aufgrund der Ableitung der Konstanten (\(0\)) verschwindet, reduziert sich das Ergebnis auf \(8 \cdot \cos(x)\). 4. Vergleich: Die Ergebnisse sind identisch, da die Ableitung einer konstanten Funktion stets Null ist. Die Faktorregel ist effizienter, da sie diesen Null-Summanden von vornherein auslässt und somit Rechenschritte spart.

Die Ableitung lautet \(f'(x) = 8 \cdot \cos(x)\). Die Produktregel liefert dasselbe Ergebnis, da die Ableitung des konstanten Faktors \(8\) gleich \(0\) ist, wodurch der Term \(u'(x) \cdot v(x)\) wegfällt. Die Faktorregel ist effizienter, da sie diesen überflüssigen Rechenschritt (die Addition von Null) vermeidet.

- Überlege dir, aus welchen zwei Teilfunktionen das Produkt besteht und bestimme deren einzelne Ableitungen. - Erinnere dich an die Formel für die Ableitung eines Produkts \(u \cdot v\). - Achte beim Ableiten von trigonometrischen Funktionen wie \(\cos(x)\) besonders auf das Vorzeichen. - Es hilft oft, Wurzeln wie \(\sqrt{x}\) vor dem Ableiten in die Potenzschreibweise \(x^n\) umzuschreiben.

1. Für \(f(x)\): Identifikation der Teilfunktionen \(u(x) = x^2 - 4\) mit \(u'(x) = 2x\) und \(v(x) = \cos(x)\) mit \(v'(x) = -\sin(x)\). Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) ergibt \(f'(x) = 2x \cdot \cos(x) + (x^2 - 4) \cdot (-\sin(x)) = 2x \cdot \cos(x) - (x^2 - 4) \sin(x)\). 2. Für \(g(x)\): Identifikation der Teilfunktionen \(u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) mit \(u'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(v(x) = e^x\) mit \(v'(x) = e^x\). Anwendung der Produktregel ergibt \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^x + \sqrt{x} \cdot e^x\). Zusammengefasst auf einen Nenner folgt \(g'(x) = \frac{e^x \cdot (1 + 2x)}{2\sqrt{x}}\).

a) \(f'(x) = 2x \cdot \cos(x) - (x^2 - 4) \sin(x)\) b) Für \(x > 0\) gilt \(g'(x) = \frac{e^x \cdot (1 + 2x)}{2\sqrt{x}}\).

- Kannst du die Funktion in zwei Faktoren zerlegen, die du einzeln ableiten kannst? - Denke daran, dass beim Ableiten von \(e^x\) die Funktion unverändert bleibt. - Gibt es in deinem Ergebnis einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Prüfe, ob du alle Teilableitungen korrekt nach der Regel \(u'v + uv'\) zusammengesetzt hast.

1. Ableitung von \(h(x)\): Setze \(u(x) = x^3 + 2x\) (\(u'(x) = 3x^2 + 2\)) und \(v(x) = \sin(x)\) (\(v'(x) = \cos(x)\)). Einsetzen in die Produktregel ergibt \(h'(x) = (3x^2 + 2) \cdot \sin(x) + (x^3 + 2x) \cdot \cos(x)\). 2. Ableitung von \(k(x)\): Setze \(u(x) = e^x\) (\(u'(x) = e^x\)) und \(v(x) = \cos(x)\) (\(v'(x) = -\sin(x)\)). Einsetzen in die Produktregel ergibt \(k'(x) = e^x \cdot \cos(x) + e^x \cdot (-\sin(x))\). Durch Ausklammern von \(e^x\) erhält man \(k'(x) = e^x(\cos(x) - \sin(x))\).

a) \(h'(x) = (3x^2 + 2) \sin(x) + (x^3 + 2x) \cos(x)\) b) \(k'(x) = e^x(\cos(x) - \sin(x))\)

- Kannst du die Funktionen in zwei Faktoren zerlegen, die jeweils von \(x\) abhängen? - Wie behandelst du Parameter, die als Faktoren oder Summanden im Funktionsterm vorkommen? - Erinnere dich an die Ableitungen der trigonometrischen Grundfunktionen. - Achte beim Zusammensetzen der Ableitung auf die Klammersetzung und die Vorzeichen.

1. Für \(f(x)\): Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = x^2 + k\) und \(v(x) = \cos(x)\). Die Ableitungen sind \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = -\sin(x)\). Einsetzen liefert \(f'(x) = 2x \cdot \cos(x) + (x^2 + k) \cdot (-\sin(x)) = 2x \cdot \cos(x) - (x^2 + k) \cdot \sin(x)\). 2. Für \(g(x)\): Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = a \cdot \sqrt{x}\) und \(v(x) = \sin(x)\). Die Ableitungen sind \(u'(x) = \frac{a}{2\sqrt{x}}\) und \(v'(x) = \cos(x)\). Einsetzen liefert \(g'(x) = \frac{a}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + a \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(x)\). 3. Für \(h(x)\): Der Parameter \(t\) wird als konstanter Faktor \(\frac{1}{t}\) behandelt. Anwendung der Produktregel auf \(x \cdot \cos(x)\) mit \(u(x) = x\) und \(v(x) = \cos(x)\) ergibt \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = -\sin(x)\). Das Resultat ist \(h'(x) = \frac{1}{t} \cdot (1 \cdot \cos(x) - x \cdot \sin(x)) = \frac{\cos(x) - x \cdot \sin(x)}{t}\).

a) \(f'(x) = 2x \cdot \cos(x) - (x^2 + k) \cdot \sin(x)\) b) Für \(x > 0\) gilt \(g'(x) = \frac{a \cdot \sin(x)}{2\sqrt{x}} + a \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(x)\). c) \(h'(x) = \frac{\cos(x) - x \cdot \sin(x)}{t}\)

- Überlege dir zuerst, welche Teile des Terms konstant sind und welche von \(x\) abhängen. - Kannst du einen Term durch Ausmultiplizieren vereinfachen, bevor du die Produktregel anwendest? - Denke an die Potenzschreibweise für Wurzeln, um die Ableitung leichter zu berechnen. - Bei Brüchen mit einer Konstante im Nenner kannst du den Kehrwert als Faktor vor die Ableitung ziehen.

1. Für \(f(x)\): Produktregel mit \(u(x) = c - x^3\) (\(u'(x) = -3x^2\)) und \(v(x) = \sin(x)\) (\(v'(x) = \cos(x)\)). Ergebnis: \(f'(x) = -3x^2 \cdot \sin(x) + (c - x^3) \cdot \cos(x)\). 2. Für \(g(x)\): Produktregel mit \(u(x) = \sqrt{x}\) (\(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)) und \(v(x) = 2x + c\) (\(v'(x) = 2\)). Zusammenfassen der Terme: \(g'(x) = \frac{2x + c}{2\sqrt{x}} + 2\sqrt{x} = \frac{2x + c + 4x}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + c}{2\sqrt{x}}\) (alternativ: \(3\sqrt{x} + \frac{c}{2\sqrt{x}}\)). 3. Für \(h(x)\): Konstanter Faktor \(\frac{1}{2c}\) bleibt erhalten. Produktregel für \(\sin(x) \cdot \cos(x)\) mit \(u(x) = \sin(x)\) (\(u'(x) = \cos(x)\)) und \(v(x) = \cos(x)\) (\(v'(x) = -\sin(x)\)). Ergebnis: \(h'(x) = \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{2c}\). Unter Verwendung trigonometrischer Identitäten kann dies auch als \(h'(x) = \frac{\cos(2x)}{2c}\) geschrieben werden.

a) \(f'(x) = -3x^2 \cdot \sin(x) + (c - x^3) \cdot \cos(x)\) b) Für \(x > 0\) gilt \(g'(x) = \frac{6x + c}{2\sqrt{x}}\) oder \(g'(x) = 3\sqrt{x} + \frac{c}{2\sqrt{x}}\). c) \(h'(x) = \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{2c}\) oder \(h'(x) = \frac{\cos(2x)}{2c}\)

- Lies getrennt Funktionswerte und Steigungen an der markierten Stelle ab. - Welche vier lokalen Größen benötigt die Produktregel an genau einer Stelle? - Prüfe nach dem Einsetzen, ob sich die beiden Beiträge verstärken oder aufheben.

1. Aus der Abbildung liest man \(u(2)=2\), \(v(2)=2\), \(u'(2)=1\) und \(v'(2)=-1\) ab. 2. Punktweise lautet die Produktregel \(f'(2)=u'(2)v(2)+u(2)v'(2)\). 3. Damit ist \(f'(2)=1\cdot2+2\cdot(-1)=0\). 4. Daher besitzt der Graph von \(f\) bei \(x=2\) eine waagrechte Tangente.

\(u(2)=2\), \(v(2)=2\), \(u'(2)=1\), \(v'(2)=-1\) Produktregelansatz: \(f'(2)=u'(2)v(2)+u(2)v'(2)\) \(f'(2)=0\); der Graph von \(f\) besitzt dort eine waagrechte Tangente.

- Bei Geraden kannst du die Steigung aus dem Anstieg pro Schritt in \(x\)-Richtung ablesen. - Welche vier Größen braucht die Produktregel an der Stelle \(x=1\)? - Vergleiche erst am Ende mit dem bloßen Produkt der beiden Steigungen.

1. Aus der Abbildung liest man \(u(1)=2\), \(u'(1)=1\), \(v(1)=1\) und \(v'(1)=-2\) ab. 2. Mit der Produktregel folgt \(p'(1)=1\cdot1+2\cdot(-2)=-3\). 3. Das Produkt der beiden Steigungen ist dagegen \(u'(1)v'(1)=1\cdot(-2)=-2\). 4. Nikas Behauptung ist daher falsch.

\(p'(1)=-3\), aber \(u'(1)v'(1)=-2\). Nikas Behauptung ist falsch.

- Hier ist eine der Teilfunktionen selbst eine Summe. Wie leitest du diese ab? - Nutze die Produktregel als Grundstruktur für deine Rechnung. - Nach dem Ableiten kann es hilfreich sein, den Term auszumultiplizieren und nach \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) zu sortieren. - Achte auf die Vorzeichen beim Ableiten von Sinus und Kosinus.

1. Festlegen der Teilfunktionen: \(u(x) = x^2\) und \(v(x) = \sin(x) + \cos(x)\). 2. Ableiten der Teilfunktionen: \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = \cos(x) - \sin(x)\) (unter Verwendung der Summenregel). 3. Einsetzen in die Produktregel \(g'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\): \(g'(x) = 2x \cdot (\sin(x) + \cos(x)) + x^2 \cdot (\cos(x) - \sin(x))\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen nach Trigonometrie-Anteilen: \(g'(x) = 2x \cdot \sin(x) + 2x \cdot \cos(x) + x^2 \cdot \cos(x) - x^2 \cdot \sin(x)\) \(g'(x) = (2x - x^2) \cdot \sin(x) + (2x + x^2) \cdot \cos(x)\).

\(g'(x) = (2x - x^2) \cdot \sin(x) + (2x + x^2) \cdot \cos(x)\)

- Bilde für jeden Fall zunächst unabhängig von der vorgeschlagenen Zeile eine eigene Ableitung. - Vergleiche danach die Struktur der beiden Terme, die Vorzeichen und die unveränderten Funktionsargumente. - Entscheide erst nach diesem Vergleich, an welcher Stelle der vorgegebenen Rechnung der erste Fehler entsteht.

1. Fall A: Die Ableitungen der Faktoren wurden lediglich multipliziert. Korrekt ist nach der Produktregel \(f'(x)=2x\sin(x)+x^2\cos(x)\). 2. Fall B: In der Produktregel wurde fälschlich ein Minuszeichen verwendet. Korrekt ist \(g'(x)=e^x(x^3-2)+e^x\cdot3x^2=e^x(x^3+3x^2-2)\). 3. Fall C: Die Ableitung von \(\cos(x)\) hat das falsche Vorzeichen. Korrekt ist \(h'(x)=-\sin(x)(5x^2+2)+10x\cos(x)\).

A) Produktregel nicht angewendet; \(f'(x)=2x\sin(x)+x^2\cos(x)\). B) Falsches Vorzeichen zwischen den beiden Produktregeltermen; \(g'(x)=e^x(x^3+3x^2-2)\). C) Vorzeichenfehler bei \((\cos x)'\); \(h'(x)=-\sin(x)(5x^2+2)+10x\cos(x)\).

- Nutze die Produktregel und klammere am Ende den Faktor \(e^x\) aus, um den Ausdruck zu vereinfachen. - Was muss für die Steigung gelten, damit eine Tangente waagerecht verläuft? - Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Kann die Exponentialfunktion \(e^x\) jemals Null werden? - Vergiss nicht, die berechneten Stellen wieder in die Ausgangsfunktion einzusetzen, um die vollständigen Koordinaten zu erhalten.

1. Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = x^2 - 8\) und \(v(x) = e^x\): Ableitungen sind \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = e^x\). 2. Einsetzen in \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) ergibt \(f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 8) \cdot e^x\). Durch Ausklammern von \(e^x\) erhält man \(f'(x) = (x^2 + 2x - 8) \cdot e^x\). 3. Bedingung für waagerechte Tangenten: \(f'(x) = 0\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(x^2 + 2x - 8 = 0\) gelten. 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der p-q-Formel): \(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 + 8}\), woraus \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\) folgen. 5. Berechnung der y-Koordinaten: \(f(2) = (2^2 - 8) \cdot e^2 = -4e^2\) und \(f(-4) = ((-4)^2 - 8) \cdot e^{-4} = 8e^{-4}\). 6. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(2 \mid -4e^2)\) und \(P_2(-4 \mid 8e^{-4})\).

a) \(f'(x) = (x^2 + 2x - 8) \cdot e^x\) b) Die Punkte sind \(P_1(2 \mid -4e^2)\) und \(P_2(-4 \mid 8e^{-4})\).

- Erinnere dich an die Ableitung des natürlichen Logarithmus. - Was musst du tun, wenn ein Funktionsausdruck aus zwei multiplizierten Teilen besteht? - Wie gehst du vor, um die Steigung an einem Extrempunkt zu untersuchen? - Wie löst man eine Gleichung nach \(x\) auf, in der ein Logarithmus vorkommt?

1. Bestimmung der ersten Ableitung mit der Produktregel: Setze \(u(x) = x\) und \(v(x) = \ln(x)\). Es gilt \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = \frac{1}{x}\). 2. Anwendung der Regel: \(g'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1\). 3. Notwendige Bedingung für Extrema setzen: \(g'(x) = 0 \Rightarrow \ln(x) + 1 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: \(\ln(x) = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e}\). 5. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g''(x) = \frac{1}{x}\). Da \(g''(\frac{1}{e}) = e > 0\), liegt an der Stelle \(x = \frac{1}{e}\) ein lokales Minimum vor.

Die Funktion besitzt an der Stelle \(x = \frac{1}{e}\) ein lokales Minimum. Die notwendige Bedingung \(g'(x) = \ln(x) + 1 = 0\) wurde unter Anwendung der Produktregel ermittelt.

- Hier ist die Funktion eine Summe aus einem Polynom und einem Produkt. - Bearbeite die Summanden einzeln nacheinander. - Für den Teil mit der Sinus-Funktion benötigst du die Produktregel. - Vergiss nicht, am Ende alle abgeleiteten Teile wieder korrekt zusammenzusetzen.

1. Aufteilen der Funktion in einen Polynomteil \(3x^2 - 7x\) und einen Produkt-Teil \((5x - x^3) \cdot \sin(x)\). 2. Ableiten des ersten Teils mit der Summen- und Potenzregel: \(6x - 7\). 3. Ableiten des Produkts mit der Produktregel: Setze \(u(x) = 5x - x^3\) und \(v(x) = \sin(x)\). 4. Berechnung der Ableitungen: \(u'(x) = 5 - 3x^2\) und \(v'(x) = \cos(x)\). 5. Einsetzen in die Produktregel: \((5 - 3x^2) \cdot \sin(x) + (5x - x^3) \cdot \cos(x)\). 6. Zusammenfügen aller Teile zur Gesamtableitung: \(g'(x) = 6x - 7 + (5 - 3x^2) \cdot \sin(x) + (5x - x^3) \cdot \cos(x)\).

\(g'(x) = 6x - 7 + (5 - 3x^2) \cdot \sin(x) + (5x - x^3) \cdot \cos(x)\)

- Betrachte die Funktion als ein Produkt zweier Teilfunktionen. - Wie gehst du vor, wenn du ein Produkt aus zwei Funktionen ableiten möchtest? - Behandle den Parameter \(k\) beim Ableiten wie eine konstante Zahl. - Denk daran, dass du für die zweite Ableitung die Ableitungsregel erneut auf das Ergebnis der ersten Ableitung anwenden musst. - Versuche am Ende, die Terme nach den trigonometrischen Funktionen zu sortieren, um den Ausdruck übersichtlicher zu machen.

1. Identifikation der Teilfunktionen \(u(x) = kx^2 - 1\) und \(v(x) = \sin(x)\) sowie deren Ableitungen \(u'(x) = 2kx\) und \(v'(x) = \cos(x)\). 2. Anwendung der Produktregel zur Bestimmung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = 2kx \cdot \sin(x) + (kx^2 - 1) \cdot \cos(x)\). 3. Erneute Anwendung der Produktregel auf beide Summanden von \(f_k'(x)\) zur Bestimmung der zweiten Ableitung: \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}(2kx \cdot \sin(x)) = 2k \cdot \sin(x) + 2kx \cdot \cos(x)\) und \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}((kx^2 - 1) \cdot \cos(x)) = 2kx \cdot \cos(x) - (kx^2 - 1) \cdot \sin(x)\). 4. Zusammenfassen der Terme durch Ausklammern von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\): \(f_k''(x) = (2k - kx^2 + 1) \cdot \sin(x) + 4kx \cdot \cos(x)\).

\(f_k'(x) = 2kx \cdot \sin(x) + (kx^2 - 1) \cdot \cos(x)\) \(f_k''(x) = (2k - kx^2 + 1) \cdot \sin(x) + 4kx \cdot \cos(x)\)

- Prüfe zuerst, ob du den Funktionsterm durch Subtraktion vereinfachen kannst. - Welche Regel ist anzuwenden, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden? - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Ableiten der Kosinus- und Sinusfunktion. - Für die zweite Ableitung musst du die Regel auf jeden der entstandenen Summanden einzeln anwenden.

1. Vereinfachung des Funktionsterms durch Zusammenfassen der gleichartigen Glieder zu \(g_a(t) = 3at^2 \cdot \cos(t)\). 2. Anwendung der Produktregel mit \(u(t) = 3at^2\) und \(v(t) = \cos(t)\) sowie deren Ableitungen \(u'(t) = 6at\) und \(v'(t) = -\sin(t)\). 3. Bestimmung der ersten Ableitung: \(g_a'(t) = 6at \cdot \cos(t) - 3at^2 \cdot \sin(t)\). 4. Anwendung der Produktregel auf beide Summanden der ersten Ableitung für die zweite Ableitung. 5. Zusammenfassen und Ausklammern der trigonometrischen Funktionen ergibt \(g_a''(t) = (6a - 3at^2) \cdot \cos(t) - 12at \cdot \sin(t)\).

\(g_a'(t) = 6at \cdot \cos(t) - 3at^2 \cdot \sin(t)\) \(g_a''(t) = (6a - 3at^2) \cdot \cos(t) - 12at \cdot \sin(t)\)

- Welche Informationen über die Funktion \(v\) kannst du aus der Geradengleichung der Tangente ableiten? - Welche Ableitungsregel eignet sich für Funktionen, die als Produkt zweier Teilfunktionen dargestellt sind? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Tangente und der Ableitung der Funktion an diesem Punkt. - Überlege dir zuerst, wie die Ableitungsfunktion von \(f\) allgemein aussieht, bevor du die Werte einsetzt.

1. Bestimmung der Funktionswerte von \(v\) an der Stelle \(x = 2\): Da die Tangente \(t\) den Graphen von \(v\) an dieser Stelle berührt, gilt \(v(2) = t(2) = 3 \cdot 2 + 1 = 7\). Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung, also \(v'(2) = 3\). 2. Anwendung der Produktregel auf \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\) mit \(u(x) = x^2 + 4\): Die Ableitung lautet \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 2x \cdot v(x) + (x^2 + 4) \cdot v'(x)\). 3. Einsetzen der Werte an der Stelle \(x = 2\): \(f'(2) = 2 \cdot 2 \cdot v(2) + (2^2 + 4) \cdot v'(2) = 4 \cdot 7 + 8 \cdot 3 = 28 + 24 = 52\).

Die Steigung des Graphen von \(f\) an der Stelle \(x = 2\) beträgt \(52\).

- Überlege, welche Ableitungsregel bei einem Produkt zweier Funktionen angewendet werden muss. - Beachte, dass die Ableitung von \(e^x\) wieder \(e^x\) ist. - Denke daran, beim Ableiten der zweiten Ableitung die Produktregel erneut auf alle Summanden anzuwenden. - Wie verändert sich die Ordnung der Ableitung von \(g\), wenn du den Term noch einmal ableitest?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Produktregel \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \) angewendet. Mit \(u(x) = e^x\) und \(v(x) = g(x)\) folgt wegen \(u'(x) = e^x\): \(f'(x) = e^x \cdot g(x) + e^x \cdot g'(x) = e^x \cdot (g(x) + g'(x))\). 2. Die zweite Ableitung ergibt sich durch erneute Anwendung der Produktregel auf den vereinfachten Term: \(f''(x) = e^x \cdot (g(x) + g'(x)) + e^x \cdot (g'(x) + g''(x)) = e^x \cdot (g(x) + 2g'(x) + g''(x))\). 3. Für Teilaufgabe b) wird die Produktregel auf \(u(x) = x^2 + 1\) und \(v(x) = g'(x)\) angewendet: \(f'(x) = 2x \cdot g'(x) + (x^2 + 1) \cdot g''(x)\). 4. Die zweite Ableitung erfordert die Produktregel für beide Summanden: \((2x \cdot g'(x))' = 2 \cdot g'(x) + 2x \cdot g''(x)\) und \(((x^2 + 1) \cdot g''(x))' = 2x \cdot g''(x) + (x^2 + 1) \cdot g'''(x)\). Zusammengefasst ergibt sich: \(f''(x) = 2g'(x) + 4x \cdot g''(x) + (x^2 + 1) \cdot g'''(x)\).

a) \(f'(x) = e^x(g(x) + g'(x))\) und \(f''(x) = e^x(g(x) + 2g'(x) + g''(x))\) b) \(f'(x) = 2xg'(x) + (x^2+1)g''(x)\) und \(f''(x) = 2g'(x) + 4xg''(x) + (x^2+1)g'''(x)\)

- Welche beiden Faktoren werden in Teil a abgeleitet? - Welche Werte von \(f\) und \(f'\) sind am gegebenen Extrempunkt bekannt? - Für „berühren“ genügt die waagrechte Tangente allein noch nicht: Was sagt der positive Faktor \(e^x\) über das Vorzeichen aus?

1. Da \(f\) im Ursprung einen lokalen Extrempunkt hat, gilt \(f(0)=0\) und \(f'(0)=0\). 2. Mit der Produktregel ist \(g'(x)=e^x f(x)+e^x f'(x)=e^x(f(x)+f'(x))\). 3. Es gilt \(g(0)=e^0f(0)=0\) und \(g'(0)=e^0(f(0)+f'(0))=0\). Die Tangente ist dort also waagrecht. 4. Weil \(e^x>0\) für alle \(x\), haben \(f\) und \(g\) in einer Umgebung von \(0\) dasselbe Vorzeichen. Da \(f\) am lokalen Extrempunkt auf der \(x\)-Achse das Vorzeichen nicht wechselt, gilt dies auch für \(g\). Somit berührt \(g\) die \(x\)-Achse im Ursprung.

a) \(g'(x)=e^x f(x)+e^x f'(x)\) b) \(g(0)=0\) und \(g'(0)=0\); außerdem hat \(g\) wegen \(e^x>0\) lokal dasselbe Vorzeichen wie \(f\). Daher berührt der Graph von \(g\) die \(x\)-Achse im Ursprung.

- Schreibe in Teil a zuerst die beiden Summanden der Produktregel hin, bevor du Exponentialterme zusammenfasst. - Vergleiche anschließend den korrekten Ableitungsterm mit dem Produkt der beiden Einzelableitungen. - Eine Übereinstimmung für ein spezielles Funktionenpaar ist keine allgemeine Herleitung einer Ableitungsregel.

1. Es gilt \(f'(x)=2e^{2x}\) und \(g_k'(x)=ke^{kx}\). 2. Mit der Produktregel folgt zunächst \((f\cdot g_k)'(x)=2e^{2x}e^{kx}+e^{2x}ke^{kx}\). Erst jetzt wird zusammengefasst: \((f\cdot g_k)'(x)=(2+k)e^{(2+k)x}\). 3. Die falsche Regel liefert \(f'(x)g_k'(x)=2ke^{(2+k)x}\). 4. Da \(e^{(2+k)x}>0\) für alle \(x\) gilt, stimmen beide Terme genau dann für alle \(x\) überein, wenn \(2+k=2k\). Daraus folgt \(k=2\). 5. Die Übereinstimmung entsteht nur bei diesem besonderen Funktionenpaar und Parameterwert. Die allgemeine Produktregel bleibt \((uv)'=u'v+uv'\); ein Sonderfall ersetzt diese Regel nicht.

a) Produktregelansatz: \((f\cdot g_k)'(x)=2e^{2x}e^{kx}+e^{2x}ke^{kx}=(2+k)e^{(2+k)x}\). b) Die falsche Regel liefert \(2ke^{(2+k)x}\). Gleichheit für alle \(x\) ergibt \(k=2\). c) \(k=2\) ist nur ein Sonderfall, in dem die falsche Regel zufällig denselben Term liefert. Allgemein gilt \((uv)'=u'v+uv'\).

- Welche Informationen über den Funktionswert und die Steigung kannst du aus der Angabe der waagerechten Tangente in einem Punkt direkt ablesen? - Wie lässt sich die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen allgemein bestimmen? - Was muss für die Steigung an einer Stelle gelten, damit dort eine waagerechte Tangente vorliegt?

1. Aus den Eigenschaften des Punktes \(S(1 \mid -2)\) und der waagerechten Tangente folgt: \(f(1) = -2\) und \(f'(1) = 0\). 2. Untersuchung von \(k\): Die Ableitungsfunktion lautet nach der Produktregel \(k'(x) = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x)\). An der Stelle \(x = 1\) ergibt sich \(k'(1) = 2 \cdot 1 \cdot (-2) + 1^2 \cdot 0 = -4\). Da \(k'(1) \neq 0\), hat der Graph von \(k\) dort keine waagerechte Tangente. 3. Untersuchung von \(m\): Die Ableitungsfunktion lautet nach der Produktregel \(m'(x) = f'(x) \cdot e^{x-1} + (f(x) + 2) \cdot e^{x-1}\). An der Stelle \(x = 1\) ergibt sich \(m'(1) = 0 \cdot e^0 + (-2 + 2) \cdot e^0 = 0 + 0 = 0\). Der Graph von \(m\) besitzt somit an der Stelle \(x = 1\) eine waagerechte Tangente.

Der Graph von \(k\) hat an der Stelle \(x = 1\) keine waagerechte Tangente, da \(k'(1) = -4\) gilt. Der Graph von \(m\) hat an der Stelle \(x = 1\) eine waagerechte Tangente, da \(m'(1) = 0\) gilt.

- Notiere dir zuerst alle bekannten Funktionswerte und Ableitungswerte an der Stelle \(x = 0\). - Welche Bedingung muss die erste Ableitung einer Funktion erfüllen, wenn ihr Graph eine waagerechte Tangente hat? - Stelle eine Gleichung mithilfe der Produktregel auf und setze die bekannten Größen ein.

1. Identifikation der gegebenen Werte: \(u(0) = 2\), \(u'(0) = -4\) und \(v(0) = 1\). 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente bei \(h\) an der Stelle \(x = 0\) ist \(h'(0) = 0\). 3. Anwendung der Produktregel für die Ableitung von \(h\): \(h'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\). 4. Aufstellen der Gleichung für \(x = 0\): \(u'(0) \cdot v(0) + u(0) \cdot v'(0) = 0\). 5. Einsetzen der bekannten Werte: \(-4 \cdot 1 + 2 \cdot v'(0) = 0\). 6. Auflösen der Gleichung: \(2 \cdot v'(0) = 4\) führt zu \(v'(0) = 2\).

Damit der Graph von \(h\) an der Stelle \(x = 0\) eine waagerechte Tangente besitzt, muss \(v'(0) = 2\) gelten.

- Wie lautet die Produktregel für zwei Funktionen? Kannst du sie auf drei Funktionen erweitern, indem du zwei davon zusammenfasst? - Was passiert mit den Summanden in der Ableitung, wenn du eine Nullstelle eines Faktors einsetzt? - Schau dir die Struktur der Ableitung genau an, bevor du alles ausmultiplizierst.

1. Anwendung der Produktregel für drei Faktoren \(u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)\): \(p'(x) = 1 \cdot (x - 4) \cdot (x - 6) + (x - 2) \cdot 1 \cdot (x - 6) + (x - 2) \cdot (x - 4) \cdot 1\). Ausmultipliziert ergibt dies \(p'(x) = (x^2 - 10x + 24) + (x^2 - 8x + 12) + (x^2 - 6x + 8) = 3x^2 - 24x + 44\). 2. Einsetzen der Stellen in \(p'(x)\): \(p'(2) = 3(4) - 24(2) + 44 = 12 - 48 + 44 = 8\). \(p'(4) = 3(16) - 24(4) + 44 = 48 - 96 + 44 = -4\). \(p'(6) = 3(36) - 24(6) + 44 = 108 - 144 + 44 = 8\). 3. Vergleich: Für \(x = 2\) ergibt \((2 - 4) \cdot (2 - 6) = (-2) \cdot (-4) = 8\). Für \(x = 4\) ergibt \((4 - 2) \cdot (4 - 6) = 2(-2) = -4\). Für \(x = 6\) ergibt \((6 - 2) \cdot (6 - 4) = 4 \cdot 2 = 8\). Die Werte stimmen exakt überein. Es lässt sich vermuten, dass an einer Nullstelle eines Produkts von Linearfaktoren die Ableitung gleich dem Produkt aller anderen Linearfaktoren an dieser Stelle ist, da die Terme, die den nullwerdenden Faktor enthalten, in der Summe der Produktregel wegfallen.

1. \(p'(x) = (x - 4) \cdot (x - 6) + (x - 2) \cdot (x - 6) + (x - 2) \cdot (x - 4) = 3x^2 - 24x + 44\) 2. \(p'(2) = 8\), \(p'(4) = -4\), \(p'(6) = 8\) 3. Die Steigung an einer Nullstelle entspricht dem Produkt der Werte der übrigen Linearfaktoren an dieser Stelle.

- Berechne zuerst alle benötigten Ableitungen der einzelnen Funktionen \(u\) und \(v\). - Achte beim Ableiten von \(f'(x)\) in Teilaufgabe b) auf das Minuszeichen und die Klammersetzung. - In Teilaufgabe c) musst du lediglich die Ergebnisse aus a) in die vorgegebene Struktur einsetzen und mit deinem Ergebnis aus b) vergleichen.

1. Ableitungen berechnen: \(u'(x) = 3x^2, u''(x) = 6x, v'(x) = -\sin(x), v''(x) = -\cos(x)\). 2. Erste Ableitung von \(f\): \(f'(x) = 3x^2 \cdot \cos(x) + x^3 \cdot (-\sin(x)) = 3x^2\cos(x) - x^3\sin(x)\). 3. Zweite Ableitung von \(f\) durch erneutes Ableiten: \((3x^2\cos(x))' = 6x\cos(x) - 3x^2\sin(x)\) \((x^3\sin(x))' = 3x^2\sin(x) + x^3\cos(x)\) \(f''(x) = (6x\cos(x) - 3x^2\sin(x)) - (3x^2\sin(x) + x^3\cos(x)) = 6x\cos(x) - 6x^2\sin(x) - x^3\cos(x)\). 4. Überprüfung mit der Formel: \(u''v + 2u'v' + uv'' = (6x) \cdot (\cos(x)) + 2(3x^2) \cdot (-\sin(x)) + (x^3) \cdot (-\cos(x))\) \(= 6x\cos(x) - 6x^2\sin(x) - x^3\cos(x)\). 5. Vergleich: Beide Wege führen zum identischen Term.

a) \(u'(x) = 3x^2, u''(x) = 6x, v'(x) = -\sin(x), v''(x) = -\cos(x)\) b) \(f''(x) = 6x\cos(x) - 6x^2\sin(x) - x^3\cos(x)\) c) Einsetzen ergibt \(6x \cdot \cos(x) + 2 \cdot 3x^2 \cdot (-\sin(x)) + x^3 \cdot (-\cos(x))\), was vereinfacht dem Ergebnis aus b) entspricht.

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an einer Stelle \(x\), wenn sich zwei Graphen dort treffen? - Welche mathematische Operation ist erlaubt, wenn du weißt, dass ein Faktor niemals null wird? - Welche Ableitungsregel ist für Funktionen der Form \(u(x) \cdot v(x)\) anzuwenden? - Wodurch unterscheidet sich ein Berührpunkt von einem einfachen Schnittpunkt im Hinblick auf die Steigung?

1. Ansatz für die Schnittstellen: \(g(x) = f(x) \Leftrightarrow (x^2 - 8) \cdot f(x) = f(x)\). Da \(f(x) \neq 0\), kann durch \(f(x)\) dividiert werden: \(x^2 - 8 = 1 \Leftrightarrow x^2 = 9\). Dies ergibt die Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. Anwendung der Produktregel für die Ableitung von \(g\): \(g'(x) = 2x \cdot f(x) + (x^2 - 8) \cdot f'(x)\). An der Stelle \(x_1 = 3\): \(g'(3) = 2 \cdot 3 \cdot f(3) + (3^2 - 8) \cdot f'(3) = 6 \cdot f(3) + f'(3)\). Da \(f(3) \neq 0\), ist \(g'(3) \neq f'(3)\). An der Stelle \(x_2 = -3\): \(g'(-3) = 2 \cdot (-3) \cdot f(-3) + ((-3)^2 - 8) \cdot f'(-3) = -6 \cdot f(-3) + f'(-3)\). Da \(f(-3) \neq 0\), ist \(g'(-3) \neq f'(-3)\). Da die Funktionswerte gleich, aber die Ableitungen an den Stellen \(x = \pm 3\) verschieden sind, liegen Schnittpunkte, aber keine Berührpunkte vor.

1. Die \(x\)-Koordinaten der gemeinsamen Punkte sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. In beiden Punkten sind die Ableitungen \(g'(x)\) und \(f'(x)\) verschieden (\(g'(3) = 6 \cdot f(3) + f'(3)\) und \(g'(-3) = -6 \cdot f(-3) + f'(-3)\)), da \(f(x) \neq 0\) vorausgesetzt ist. Somit liegen keine Berührpunkte vor.

- Aus welchen zwei Teilfunktionen ist die Funktion zusammengesetzt? - Erinnere dich daran, wie man ein Produkt aus zwei Funktionen ableitet. - Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. - Kann die Exponentialfunktion \(e^x\) jemals den Wert Null annehmen? - Was muss für die Steigung der Tangente gelten, damit sie waagerecht verläuft?

1. Anwendung der Produktregel zur Bestimmung der Ableitung: \(f'(x) = (4x - 8) \cdot e^x + (2x^2 - 8x) \cdot e^x\). Zusammenfassen ergibt \(f'(x) = (2x^2 - 4x - 8) \cdot e^x\). 2. Berechnung der Nullstellen von \(f\): Da \(e^x\) stets größer als \(0\) ist, muss der quadratische Term \(2x^2 - 8x = 0\) gelöst werden. Ausklammern führt zu \(2x(x - 4) = 0\), woraus die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) folgen. 3. Bestimmung der waagerechten Tangenten durch \(f'(x) = 0\): Da \(e^x > 0\), muss \(2x^2 - 4x - 8 = 0\) bzw. \(x^2 - 2x - 4 = 0\) gelten. Mit der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt sich \(x = 1 \pm \sqrt{1 - (-4)}\), woraus die Stellen \(x_3 = 1 - \sqrt{5}\) und \(x_4 = 1 + \sqrt{5}\) resultieren.

Ableitung: \(f'(x) = (2x^2 - 4x - 8) \cdot e^x\) Nullstellen von \(f\): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) Stellen waagerechter Tangenten: \(x_3 = 1 - \sqrt{5}\) und \(x_4 = 1 + \sqrt{5}\)

- Welche Regel benötigst du, um ein Produkt aus einer Potenzfunktion und einer Exponentialfunktion abzuleiten? - Nutze beim Ableiten und beim Suchen von Nullstellen das Ausklammern gemeinsamer Faktoren, um die Terme zu vereinfachen. - Überlege dir, welche Teilausdrücke des Produkts überhaupt null werden können. - Wenn du ein \(x\) aus einem Term dritten Grades ausklammerst, welcher Funktionstyp bleibt übrig?

1. Erste Ableitung mit der Produktregel: \(f'(x) = (3x^2 - 2x) \cdot e^x + (x^3 - x^2) \cdot e^x\). Durch Ausklammern von \(e^x\) und Sortieren der Potenzen erhält man \(f'(x) = (x^3 + 2x^2 - 2x) \cdot e^x\). 2. Nullstellen von \(f\): Die Bedingung \(f(x) = 0\) führt wegen \(e^x \neq 0\) auf \(x^3 - x^2 = 0\). Ausklammern ergibt \(x^2(x - 1) = 0\), also sind die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\). 3. Nullstellen von \(f'\): Die Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x^3 + 2x^2 - 2x = 0\). Durch Ausklammern von \(x\) erhält man \(x(x^2 + 2x - 2) = 0\). Somit ist \(x_3 = 0\) eine Nullstelle. Die weiteren Nullstellen ergeben sich aus \(x^2 + 2x - 2 = 0\) mit der \(p\)-\(q\)-Formel zu \(x = -1 \pm \sqrt{1 - (-2)}\), also \(x_4 = -1 - \sqrt{3}\) und \(x_5 = -1 + \sqrt{3}\).

Ableitung: \(f'(x) = (x^3 + 2x^2 - 2x) \cdot e^x\) Nullstellen von \(f\): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\) Nullstellen von \(f'\): \(x_3 = 0\), \(x_4 = -1 - \sqrt{3}\) und \(x_5 = -1 + \sqrt{3}\)

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Berechne zuerst die allgemeine Ableitung unter Berücksichtigung des Parameters. - Welchen Wert hat der natürliche Logarithmus an der Stelle 1? - Stelle eine Gleichung auf, um die Unbekannte zu berechnen.

1. Aufstellen der Ableitungsfunktion mit der Produktregel: \(u(x) = x^2 + k \Rightarrow u'(x) = 2x\) \(v(x) = \ln(x) \Rightarrow v'(x) = \frac{1}{x}\) \(g'(x) = 2x \cdot \ln(x) + (x^2 + k) \cdot \frac{1}{x}\). 2. Einsetzen der Stelle \(x = 1\) in die Ableitungsfunktion: \(g'(1) = 2 \cdot 1 \cdot \ln(1) + (1^2 + k) \cdot \frac{1}{1}\). 3. Da \(\ln(1) = 0\), vereinfacht sich der Ausdruck zu: \(g'(1) = 0 + 1 + k = 1 + k\). 4. Gleichsetzen mit der gegebenen Steigung \(m = 4\): \(1 + k = 4 \Rightarrow k = 3\).

\(k = 3\)

- Überlege zuerst, welche Verknüpfung (Summe, Produkt oder Verkettung) die äußere Struktur der Funktion bestimmt. - Wenn du einen Term der Form \((...)^n\) ableitest, denke an die äußere und die innere Ableitung. - Wie lautet die Ableitung von \(\cos(kx)\)? - Achte beim Zusammenfügen der Teilableitungen besonders auf die Vorzeichen.

1. Identifikation der Produktregel \(u \cdot v\) mit \(u(x) = (x^3 - 2)^5\) und \(v(x) = \cos(4x)\). 2. Berechnung der Ableitung \(u'(x)\) unter Verwendung der Kettenregel: \(u'(x) = 5(x^3 - 2)^4 \cdot 3x^2 = 15x^2(x^3 - 2)^4\). 3. Berechnung der Ableitung \(v'(x)\) unter Verwendung der Kettenregel: \(v'(x) = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x)\). 4. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\): \(f'(x) = 15x^2(x^3 - 2)^4 \cdot \cos(4x) + (x^3 - 2)^5 \cdot (-4\sin(4x))\). 5. Zusammenfassen des Terms: \(f'(x) = 15x^2(x^3 - 2)^4 \cos(4x) - 4(x^3 - 2)^5 \sin(4x)\).

\(f'(x) = 15x^2(x^3 - 2)^4 \cos(4x) - 4(x^3 - 2)^5 \sin(4x)\)

- Kannst du die Funktion in zwei separate Teile zerlegen und diese einzeln ableiten? - Für den ersten Teil benötigst du eine Kombination aus Produkt- und Kettenregel. - Was ist die innere Funktion bei \(\sin(x^2 + 1)\)? - Vergiss beim zweiten Teil nicht den konstanten Faktor und die innere Ableitung der Klammer.

1. Anwendung der Summenregel auf die Terme \(g(x) = 3x^2 \cdot \sin(x^2 + 1)\) und \(h(x) = \frac{1}{4}(2x - 5)^8\). 2. Ableitung von \(g(x)\) mittels Produktregel: Die Ableitung von \(3x^2\) ist \(6x\). Die Ableitung von \(\sin(x^2 + 1)\) ergibt per Kettenregel \(\cos(x^2 + 1) \cdot 2x\). 3. Zusammensetzen von \(g'(x)\): \(g'(x) = 6x \cdot \sin(x^2 + 1) + 3x^2 \cdot \cos(x^2 + 1) \cdot 2x = 6x \cdot \sin(x^2 + 1) + 6x^3 \cdot \cos(x^2 + 1)\). 4. Ableitung von \(h(x)\) mittels Kettenregel: \(h'(x) = \frac{1}{4} \cdot 8(2x - 5)^7 \cdot 2 = 4(2x - 5)^7\). 5. Kombination der Ergebnisse: \(f'(x) = 6x \cdot \sin(x^2 + 1) + 6x^3 \cdot \cos(x^2 + 1) - 4(2x - 5)^7\).

\(f'(x) = 6x \cdot \sin(x^2 + 1) + 6x^3 \cdot \cos(x^2 + 1) - 4(2x - 5)^7\)

- Nutze für die Herleitung, dass du die Ableitung von \(u^2\) bereits kennst oder über \(u \cdot u\) bestimmen kannst. - Bei Methode a) musst du die innere Ableitung der Klammer berücksichtigen. - Für Methode b) hilft dir das Pascalsche Dreieck oder die binomische Formel für Potenzen von 3. - Vergiss beim gliedweisen Ableiten nicht, dass Konstanten beim Ableiten wegfallen.

1. Herleitung: Sei \(f = u^2 \cdot u\). Mit der Produktregel folgt \(f' = (u^2)' \cdot u + u^2 \cdot u'\). Da \((u^2)' = 2uu'\), ergibt sich \(f' = (2uu') \cdot u + u^2u' = 2u^2u' + u^2u' = 3u^2u'\). 2. Methode a): Mit \(u(x) = x^2 + 1\) und \(u'(x) = 2x\) folgt \(k'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2\). Ausmultipliziert ergibt dies \(6x(x^4 + 2x^2 + 1) = 6x^5 + 12x^3 + 6x\). 3. Methode b): Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel ergibt \(k(x) = (x^2)^3 + 3(x^2)^2 \cdot 1 + 3x^2 \cdot 1^2 + 1^3 = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1\). Die gliedweise Ableitung lautet \(k'(x) = 6x^5 + 12x^3 + 6x\). 4. Vergleich: Beide Methoden führen zum identischen Ergebnis.

1. Herleitung: \((u^2 \cdot u)' = 2uu' \cdot u + u^2 \cdot u' = 3u^2u'\). 2. Ableitung: \(k'(x) = 6x(x^2 + 1)^2\) bzw. \(k'(x) = 6x^5 + 12x^3 + 6x\). Beide Wege sind konsistent.

- Bestimme zuerst die Ableitungen der einzelnen Faktoren. - Wie sieht die Struktur der Regel für drei Faktoren aus? - Kannst du zwei der Faktoren zu einer neuen Funktion zusammenfassen, um eine bekannte Regel zu nutzen? - Was passiert, wenn du Klammern in dem Produkt setzt?

1. Identifikation der Teilfunktionen und ihrer Ableitungen: \(u(x) = x^2\) mit \(u'(x) = 2x\); \(v(x) = e^x\) mit \(v'(x) = e^x\); \(w(x) = \ln(x)\) mit \(w'(x) = \frac{1}{x}\). 2. Anwendung der Produktregel für drei Faktoren: \(f'(x) = 2x \cdot e^x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot e^x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot e^x \cdot \frac{1}{x}\). 3. Vereinfachung des Terms: \(f'(x) = 2x \cdot e^x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot e^x \cdot \ln(x) + x \cdot e^x = x \cdot e^x \cdot (2 \ln(x) + x \cdot \ln(x) + 1)\). 4. Herleitung der allgemeinen Regel: Betrachtung von \(f = (u \cdot v) \cdot w\). Erste Anwendung der Produktregel liefert \(f' = (u \cdot v)' \cdot w + (u \cdot v) \cdot w'\). Zweite Anwendung für \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) ergibt durch Einsetzen \(f' = (u'v + uv')w + uvw' = u'vw + uv'w + uvw'\).

a) \(f'(x) = x \cdot e^x \cdot (2 \ln(x) + x \cdot \ln(x) + 1)\) b) Durch die Gruppierung \(((u \cdot v) \cdot w)'\) und zweifache Anwendung der Standard-Produktregel erhält man \((u'v + uv')w + uvw'\), was ausmultipliziert \(u'vw + uv'w + uvw'\) ergibt.

- Notiere dir die allgemeine Struktur der Produktregel für drei Faktoren. - Setze die gegebenen Werte systematisch in die Formel ein. - Betrachte das Muster, das sich bei der Erweiterung von zwei auf drei Faktoren ergibt. Wie viele Summanden erwartest du bei vier Faktoren?

1. Anwendung der Produktregel für drei Faktoren auf \(p(x)\): \(p'(x) = g'(x) \cdot h(x) \cdot k(x) + g(x) \cdot h'(x) \cdot k(x) + g(x) \cdot h(x) \cdot k'(x)\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte für \(x = 5\): \(p'(5) = 0{,}5 \cdot (-2) \cdot 10 + 4 \cdot 3 \cdot 10 + 4 \cdot (-2) \cdot (-1)\). 3. Berechnung der Teilterme: \(-10 + 120 + 8 = 118\). 4. Verallgemeinerung auf vier Faktoren: Bei der Produktregel für mehrere Faktoren besteht die Ableitung aus einer Summe von Termen. In jedem Term wird genau ein Faktor abgeleitet, während die anderen Faktoren unverändert bleiben. 5. Aufstellen der Formel: \((f_1 \cdot f_2 \cdot f_3 \cdot f_4)' = f_1' f_2 f_3 f_4 + f_1 f_2' f_3 f_4 + f_1 f_2 f_3' f_4 + f_1 f_2 f_3 f_4'\).

a) \(p'(5) = 118\) b) \((f_1 f_2 f_3 f_4)' = f_1' f_2 f_3 f_4 + f_1 f_2' f_3 f_4 + f_1 f_2 f_3' f_4 + f_1 f_2 f_3 f_4'\)

- Aus wie vielen Teilfunktionen ist das Produkt aufgebaut? - Gibt es eine Regel, die man anwenden kann, wenn mehr als zwei Funktionen multipliziert werden? - Berechne am besten zuerst die Ableitungen der einzelnen Faktoren. - Kannst du am Ende einen gemeinsamen Term ausklammern, um das Ergebnis übersichtlicher zu machen?

1. Identifikation der drei Faktoren: \(u(x) = x^2 + 2\), \(v(x) = e^x\) und \(w(x) = \cos(x)\). 2. Berechnung der Einzelableitungen: \(u'(x) = 2x\), \(v'(x) = e^x\) und \(w'(x) = -\sin(x)\). 3. Anwendung der erweiterten Produktregel \((u \cdot v \cdot w)' = u'vw + uv'w + uvw'\). 4. Einsetzen der Terme: \(f'(x) = 2x \cdot e^x \cdot \cos(x) + (x^2 + 2) \cdot e^x \cdot \cos(x) + (x^2 + 2) \cdot e^x \cdot (-\sin(x))\). 5. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(e^x\) und Zusammenfassen der Terme: \(f'(x) = e^x \cdot \left[ (x^2 + 2x + 2) \cdot \cos(x) - (x^2 + 2) \cdot \sin(x) \right]\).

\(f'(x) = e^x \cdot \left[ (x^2 + 2x + 2) \cdot \cos(x) - (x^2 + 2) \cdot \sin(x) \right]\)

- Notiere dir die Ableitung jedes Faktors einzeln, bevor du sie kombinierst. - Denk daran, dass \(\sqrt{x}\) auch als Potenz geschrieben werden kann. - Versuche beim Vereinfachen, Terme mit gleichen trigonometrischen Funktionen zusammenzufassen. - Ein gemeinsamer Nenner hilft oft dabei, Brüche innerhalb der Ableitung zu verschmelzen.

1. Definition der Faktoren: \(u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\), \(v(x) = \sin(x)\) und \(w(x) = x^2 - 4\). 2. Einzelableitungen: \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), \(v'(x) = \cos(x)\) und \(w'(x) = 2x\). 3. Anwendung der erweiterten Produktregel: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) \cdot (x^2 - 4) + \sqrt{x} \cdot \cos(x) \cdot (x^2 - 4) + \sqrt{x} \cdot \sin(x) \cdot 2x\). 4. Zusammenfassen der \(\sin(x)\)-Terme durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner: \(\frac{x^2 - 4}{2\sqrt{x}} \sin(x) + \frac{4x^2}{2\sqrt{x}} \sin(x) = \frac{5x^2 - 4}{2\sqrt{x}} \sin(x)\). 5. Endgültige Form: \(f'(x) = \frac{5x^2 - 4}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + (x^2 - 4) \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(x)\).

Für \(x > 0\) gilt \(f'(x) = \frac{5x^2 - 4}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + (x^2 - 4) \cdot \sqrt{x} \cdot \cos(x)\).

- Welche Regel nutzt du, wenn eine Funktion aus dem Produkt zweier Terme besteht? - Leite die beiden Faktoren in den Klammern einzeln ab, bevor du sie in die Formel einsetzt. - Für die zweite Ableitung musst du das Ergebnis der ersten Ableitung erneut differenzieren. - Achte beim Zusammenfassen der Terme auf die Vorzeichen und die Exponenten.

1. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) mit \(u(x) = x^3 - 2x\) und \(v(x) = x^2 + 4\). 2. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = (3x^2 - 2) \cdot (x^2 + 4) + (x^3 - 2x) \cdot 2x\). 3. Vereinfachung des Terms: \(f'(x) = 3x^4 + 12x^2 - 2x^2 - 8 + 2x^4 - 4x^2 = 5x^4 + 6x^2 - 8\). 4. Bildung der zweiten Ableitung durch erneutes Ableiten (Potenzregel): \(f''(x) = 20x^3 + 12x\).

\(f'(x) = 5x^4 + 6x^2 - 8\) \(f''(x) = 20x^3 + 12x\)

- Welche Hauptregel der Differentiation musst du bei einem Produkt zweier Terme anwenden? - Beachte, dass beide Faktoren des Produkts jeweils verkettete Funktionen sind. - Wie leitest du eine Potenz einer trigonometrischen Funktion ab? Erinnere dich an die Struktur \((g(x))^n\). - Achte beim Ableiten von Kosinus- und Sinusfunktionen auf die Vorzeichen und die inneren Ableitungen.

1. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) mit \(u(x) = \cos(x^2)\) und \(v(x) = \sin^3(2x)\). 2. Ableitung von \(u(x)\) mittels Kettenregel: \(u'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x \cdot \sin(x^2)\). 3. Ableitung von \(v(x)\) mittels Kettenregel (zweifach): Die äußere Funktion ist die Potenz \((\dots)^3\), die innere der Sinus \(\sin(\dots)\), und dessen Argument ist \(2x\). Somit gilt \(v'(x) = 3 \sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 6 \sin^2(2x) \cos(2x)\). 4. Zusammenfügen der Teile: \(f'(x) = -2x \cdot \sin(x^2) \sin^3(2x) + \cos(x^2) \cdot 6 \sin^2(2x) \cos(2x)\). 5. Ausklammern gemeinsamer Faktoren (optional): \(f'(x) = 2 \sin^2(2x) \cdot [3 \cos(x^2) \cos(2x) - x \cdot \sin(x^2) \sin(2x)]\).

\(f'(x) = -2x \cdot \sin(x^2) \sin^3(2x) + 6 \cos(x^2) \sin^2(2x) \cos(2x)\)

- Welche Regel nutzt du, wenn zwei Funktionsterme miteinander multipliziert werden? - Achte bei der Potenzfunktion auf die Kettenregel (die „3“ im Inneren der Klammer ist wichtig). - Statt alles mühsam auszumultiplizieren, schaue nach gemeinsamen Faktoren, die du ausklammern kannst. - Das Ziel ist eine Darstellung als Produkt, also klammere so viel wie möglich aus.

1. Anwendung der Produktregel \(g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) mit \(u(x) = x^2 - 4\) und \(v(x) = (3x + 1)^3\). 2. Bestimmung der Ableitungen: \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = 3 \cdot (3x + 1)^2 \cdot 3 = 9(3x + 1)^2\) (Kettenregel). 3. Zusammensetzen: \(g'(x) = 2x \cdot (3x + 1)^3 + (x^2 - 4) \cdot 9(3x + 1)^2\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((3x + 1)^2\): \(g'(x) = (3x + 1)^2 \cdot [2x(3x + 1) + 9(x^2 - 4)]\). 5. Vereinfachen des Terms in der Klammer: \(2x(3x + 1) + 9(x^2 - 4) = 6x^2 + 2x + 9x^2 - 36 = 15x^2 + 2x - 36\). 6. Endergebnis: \(g'(x) = (3x + 1)^2(15x^2 + 2x - 36)\).

\(g'(x) = (3x + 1)^2(15x^2 + 2x - 36)\)

- Kannst du die Hauptstruktur der Funktion erkennen? Handelt es sich um ein Produkt, einen Quotienten oder eine Verkettung? - Wie gehst du vor, wenn eine Teilfunktion in einer anderen „eingeschlossen“ ist? - Könntest du den Ausdruck in zwei Teile zerlegen und zuerst deren einzelne Ableitungen bestimmen? - Gibt es eine Möglichkeit, den Term nach der Anwendung der Regeln noch durch Ausklammern zu vereinfachen?

1. Identifikation der Produktregel mit den Teilfunktionen \(u(x) = (x^2 + 1)^4\) und \(v(x) = \sin(5x)\) 2. Ableitung von \(u(x)\) mittels Kettenregel: \(u'(x) = 4(x^2 + 1)^3 \cdot 2x = 8x(x^2 + 1)^3\) 3. Ableitung von \(v(x)\) mittels Kettenregel: \(v'(x) = 5 \cos(5x)\) 4. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\): \(f'(x) = 8x(x^2 + 1)^3 \sin(5x) + (x^2 + 1)^4 \cdot 5 \cos(5x)\) 5. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((x^2 + 1)^3\): \(f'(x) = (x^2 + 1)^3 \cdot (8x \cdot \sin(5x) + 5(x^2 + 1) \cos(5x))\)

\(f'(x) = (x^2 + 1)^3 \cdot (8x \cdot \sin(5x) + (5x^2 + 5) \cos(5x))\)

- Denke an die Produktregel: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\). - Achte beim Ableiten der Exponentialfunktionen auf die Kettenregel für den Exponenten. - Es ist oft hilfreich, den Term \(e^{kx}\) am Ende jeder Ableitung auszuklammern, um die Struktur für die nächste Ableitung zu vereinfachen. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn im Exponenten ein Minuszeichen steht.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Produktregel mit \(u(x) = 5 - 2x\) und \(v(x) = e^{2x}\) angewendet. Mit \(u'(x) = -2\) und \(v'(x) = 2e^{2x}\) ergibt sich \(f'(x) = -2 \cdot e^{2x} + (5 - 2x) \cdot 2e^{2x} = (8 - 4x) \cdot e^{2x}\). 2. Die zweite Ableitung von a) erfolgt analog mit \(u_1(x) = 8 - 4x\) und \(v_1(x) = e^{2x}\). Es folgt \(f''(x) = -4 \cdot e^{2x} + (8 - 4x) \cdot 2e^{2x} = (12 - 8x) \cdot e^{2x}\). 3. Für Teilaufgabe b) wird die Produktregel mit \(u(x) = x^2 + 4x - 1\) und \(v(x) = e^{-x}\) angewendet. Mit \(u'(x) = 2x + 4\) und \(v'(x) = -e^{-x}\) ergibt sich \(f'(x) = (2x + 4) \cdot e^{-x} + (x^2 + 4x - 1) \cdot (-e^{-x}) = (-x^2 - 2x + 5) \cdot e^{-x}\). 4. Die zweite Ableitung von b) berechnet man mit \(u_1(x) = -x^2 - 2x + 5\) und \(v_1(x) = e^{-x}\). Man erhält \(f''(x) = (-2x - 2) \cdot e^{-x} + (-x^2 - 2x + 5) \cdot (-e^{-x}) = (x^2 - 7) \cdot e^{-x}\).

a) \(f'(x) = (8 - 4x) \cdot e^{2x}\) und \(f''(x) = (12 - 8x) \cdot e^{2x}\) b) \(f'(x) = (-x^2 - 2x + 5) \cdot e^{-x}\) und \(f''(x) = (x^2 - 7) \cdot e^{-x}\)

- Welche Regel benötigst du für das Produkt aus einer trigonometrischen Funktion und einer allgemeinen Funktion \(g(x)\)? - Erinnere dich an die Ableitungen von Sinus- und Kosinusfunktionen. - Wenn ein Faktor selbst eine Ableitung ist, wie zum Beispiel \(g'(x)\), was ist dann dessen Ableitung? - Achte bei der zweiten Ableitung von \(g(x) \cdot g'(x)\) besonders auf die korrekte Anwendung der Kettenregel beim Term \((g'(x))^2\).

1. Für Teilaufgabe a) liefert die Produktregel mit \((\sin(x))' = \cos(x)\): \(f'(x) = \cos(x) \cdot g(x) + \sin(x) \cdot g'(x)\). 2. Die zweite Ableitung wird durch gliedweises Ableiten bestimmt: \((\cos(x)g(x))' = -\sin(x) \cdot g(x) + \cos(x) \cdot g'(x)\) \((\sin(x)g'(x))' = \cos(x) \cdot g'(x) + \sin(x)g''(x)\) Addition der Terme ergibt: \(f''(x) = -\sin(x) \cdot g(x) + 2\cos(x) \cdot g'(x) + \sin(x)g''(x)\). 3. Für Teilaufgabe b) wird die Produktregel auf das Produkt der Funktion mit ihrer eigenen Ableitung angewendet: \(f'(x) = g'(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot g''(x) = (g'(x))^2 + g(x) \cdot g''(x)\). 4. Zur Bestimmung von \(f''(x)\) wird die Kettenregel für \((g'(x))^2\) und die Produktregel für \(g(x) \cdot g''(x)\) genutzt: \(((g'(x))^2)' = 2 \cdot g'(x) \cdot g''(x)\) \((g(x) \cdot g''(x))' = g'(x) \cdot g''(x) + g(x) \cdot g'''(x)\) Zusammengefasst: \(f''(x) = 3 \cdot g'(x) \cdot g''(x) + g(x) \cdot g'''(x)\).

a) \(f'(x) = \cos(x)g(x) + \sin(x)g'(x)\) und \(f''(x) = -\sin(x) \cdot g(x) + 2\cos(x) \cdot g'(x) + \sin(x)g''(x)\) b) \(f'(x) = (g'(x))^2 + g(x)g''(x)\) und \(f''(x) = 3 \cdot g'(x) \cdot g''(x) + g(x) \cdot g'''(x)\)

- Nutze die Definition \(f_n(x) = f_{n-1}(x) \cdot (x - (n + 1))\) als Produkt zweier Funktionen, um die Produktregel anzuwenden. - Schau dir an, wie sich die Anzahl der Summanden erhöht, wenn ein weiterer Faktor im Produkt hinzukommt. - Was passiert mit dem Grad der Funktion bei jeder Ableitung?

1. \(f_1(x) = x^2 - 3x + 2 \implies f_1'(x) = 2x - 3\). Für \(f_2(x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)\) gilt mit der Produktregel: \(f_2'(x) = (x - 2) \cdot (x - 3) + (x - 1) \cdot (x - 3) + (x - 1) \cdot (x - 2) = 3x^2 - 12x + 11\). 2. Da \(f_n(x) = f_{n-1}(x) \cdot v(x)\) mit \(v(x) = x - (n + 1)\) und \(v'(x) = 1\), liefert die Produktregel \(f_n'(x) = f_{n-1}'(x) \cdot v(x) + f_{n-1}(x) \cdot v'(x)\). Einsetzen ergibt \(f_n'(x) = f_{n-1}'(x) \cdot (x - (n + 1)) + f_{n-1}(x) \cdot 1\). 3. Durch wiederholte Anwendung oder Induktion erkennt man, dass die Ableitung eines Produkts aus \(k\) Linearfaktoren eine Summe aus \(k\) Summanden ist. Jeder Summand besteht aus dem Produkt von \(k-1\) Linearfaktoren, wobei jeweils ein anderer Faktor der ursprünglichen Funktion weggelassen (bzw. durch seine Ableitung \(1\) ersetzt) wird: \(g'(x) = \sum_{i=1}^{k} \left( \prod_{j=1, j \neq i}^{k} (x - a_j) \right)\).

1. \(f_1'(x) = 2x - 3\); \(f_2'(x) = 3x^2 - 12x + 11\) 2. Nachweis über Produktregel: \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) mit \(u = f_{n-1}(x)\) und \(v = x - (n + 1)\). 3. \(g'(x) = (x-a_2) \cdot (x-a_3)\dots(x-a_k) + (x-a_1) \cdot (x-a_3)\dots(x-a_k) + \dots + (x-a_1) \cdot (x-a_2)\dots(x-a_{k-1})\).

- Überlege dir, wie du die Produktregel auf drei Faktoren anwendest, indem du zwei Faktoren zu einem Paket zusammenfasst. - Gehe bei der zweiten Ableitung systematisch vor und leite jeden Summanden der ersten Ableitung einzeln ab. - Achte beim Zusammenfassen der Terme in Teilaufgabe b) darauf, gemeinsame Faktoren wie \(e^x\) auszuklammern, um den Ausdruck übersichtlicher zu machen.

1. Erste Ableitung von \(f = u \cdot v \cdot w\) bestimmen: \(f' = (u \cdot v)' \cdot w + (u \cdot v) \cdot w' = (u'v + uv')w + uvw' = u'vw + uv'w + uvw'\). 2. Zweite Ableitung durch Differenzieren von \(f'\) bilden: \(f'' = (u'vw)' + (uv'w)' + (uvw')'\). 3. Einzelne Terme ableiten: \((u'vw)' = u''vw + u'v'w + u'vw'\) \((uv'w)' = u'v'w + uv''w + uv'w'\) \((uvw')' = u'vw' + uv'w' + uvw''\) 4. Zusammenfassen der Terme zur allgemeinen Formel: \(f''(x) = u''vw + uv''w + uvw'' + 2(u'v'w + u'vw' + uv'w')\). 5. Anwendung auf \(f(x) = x^2 \cdot e^x \cdot \sin(x)\) mit \(u(x)=x^2, v(x)=e^x, w(x)=\sin(x)\): Ableitungen: \(u'=2x, u''=2\); \(v'=e^x, v''=e^x\); \(w'=\cos(x), w''=-\sin(x)\). 6. Einsetzen: \(f''(x) = 2 \cdot e^x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot e^x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot e^x \cdot (-\sin(x)) + 2(2x \cdot e^x \cdot \sin(x) + 2x \cdot e^x \cdot \cos(x) + x^2 \cdot e^x \cdot \cos(x))\). 7. Vereinfachen: \(f''(x) = e^x \cdot [2\sin(x) + 4x\sin(x) + (4x + 2x^2)\cos(x)]\).

a) \(f''(x) = u''(x)v(x)w(x) + u(x)v''(x)w(x) + u(x)v(x)w''(x) + 2[u'(x)v'(x)w(x) + u'(x)v(x)w'(x) + u(x)v'(x)w'(x)]\) b) \(f''(x) = e^x \cdot [(2 + 4x) \cdot \sin(x) + (4x + 2x^2) \cdot \cos(x)]\)

- Wende für die ersten Ableitungen die Produktregel an und fasse die Terme zusammen. - Untersuche, nach wie vielen Ableitungen die Kosinusfunktion wieder bei ihrem Ausgangsterm ankommt. - Betrachte die Koeffizienten vor den Winkelfunktionen in den ersten Ableitungen. Fällt dir ein Zusammenhang mit der Ordnung der Ableitung auf? - Wie verhält sich der Teil mit dem Faktor \(x\) im Vergleich zu den Ableitungen der reinen Kosinusfunktion?

1. Erste Ableitung mit Produktregel: \(f'(x) = 1 \cdot \cos(x) + x \cdot (-\sin(x)) = \cos(x) - x \cdot \sin(x)\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = -\sin(x) - (\sin(x) + x \cdot \cos(x)) = -2 \sin(x) - x \cdot \cos(x)\). Dritte Ableitung: \(f'''(x) = -2 \cos(x) - (\cos(x) - x \cdot \sin(x)) = -3 \cos(x) + x \cdot \sin(x)\). 2. Die Ableitungen von \(\cos(x)\) haben die Periode 4 (\(\cos \to -\sin \to -\cos \to \sin \to \cos\)). Da \(40\) ein Vielfaches von \(4\) ist, gilt \(c^{(40)}(x) = \cos(x)\). 3. Aus dem Muster der Ableitungen folgt für die \(n\)-te Ableitung \(f^{(n)}(x) = x \cdot \cos^{(n)}(x) + n \cdot \cos^{(n-1)}(x)\). Für \(n=40\) ergibt sich mit \(\cos^{(40)}(x) = \cos(x)\) und \(\cos^{(39)}(x) = \sin(x)\) der Term \(f^{(40)}(x) = x \cdot \cos(x) + 40 \sin(x)\).

1. \(f'(x) = \cos(x) - x \cdot \sin(x)\); \(f''(x) = -2 \sin(x) - x \cdot \cos(x)\); \(f'''(x) = -3 \cos(x) + x \cdot \sin(x)\) 2. \(c^{(40)}(x) = \cos(x)\), da die 4. Ableitung wieder \(\cos(x)\) ist und \(40\) durch \(4\) teilbar ist. 3. \(f^{(40)}(x) = x \cdot \cos(x) + 40 \sin(x)\)

- Wie hängen Gesamtwert, Anzahl und Durchschnittswert zusammen? - Welche Ableitungsregel brauchst du für das Produkt \(x\cdot k(x)\)? - Welche Auswirkung hat das Vorzeichen von \(k'(x)\) auf den Zusatzterm in \(K'(x)\)? - Übertrage die Aussage anschließend auf einen vertrauten Durchschnittswert.

1. Aus \(K(x)=x\cdot k(x)\) folgt mit der Produktregel \(K'(x)=1\cdot k(x)+x\cdot k'(x)\). 2. Für sinkende Durchschnittskosten gilt \(k'(x)<0\). Da \(x>0\), ist \(x\cdot k'(x)<0\). 3. Aus \(K'(x)=k(x)+x\cdot k'(x)\) folgt deshalb \(K'(x)<k(x)\). 4. Anschaulich sinkt ein Durchschnitt, wenn der neu hinzukommende Wert unter dem bisherigen Durchschnitt liegt. Bei Leas Notendurchschnitt bedeutet eine kleinere und damit bessere neue Note, dass der Durchschnitt sinkt.

a) \(K'(x)=k(x)+x\cdot k'(x)\) b) Da \(x>0\) und \(k'(x)<0\), ist \(x\cdot k'(x)<0\). Daher gilt \(K'(x)<k(x)\). c) Zum Beispiel sinkt Leas Notendurchschnitt, wenn die neu hinzukommende Note als Zahl kleiner als der bisherige Durchschnitt ist.