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- Überlege, was bei der Kettenregel die „äußere“ und was die „innere“ Funktion ist. - Wie lautet die erste binomische Formel? - Was musst du beim Ableiten einer Konstanten beachten? - Vergleiche am Ende die beiden Terme, indem du Klammern auflöst.

1. Bei der Anwendung der Kettenregel identifiziert man die äußere Funktion \(u(v) = v^2\) mit der Ableitung \(u'(v) = 2v\) und die innere Funktion \(v(x) = 3x + 2\) mit der Ableitung \(v'(x) = 3\). Die Ableitung ergibt sich nach der Formel \(f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)\) zu \(f'(x) = 2(3x + 2) \cdot 3 = 6(3x + 2) = 18x + 12\). 2. Durch Ausmultiplizieren der binomischen Formel erhält man \(f(x) = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4\). Die gliedweise Ableitung nach der Potenz- und Summenregel führt auf \(f'(x) = 18x + 12\). Beide Rechenwege liefern somit denselben Ableitungsterm.

Beide Wege führen zum Ergebnis \(f'(x) = 18x + 12\).

- Überlege dir, welche Funktion „innen“ in der Klammer steht und welche „außen“ auf die Klammer wirkt. - Wie lautet die Regel für das Ableiten von verketteten Funktionen? - Vergiss nicht, den Faktor vor der Klammer beim Ableiten der äußeren Funktion zu berücksichtigen.

1. Identifikation der inneren Funktion \(u(z) = 2z^3 + 5\) und Berechnung ihrer Ableitung \(u'(z) = 6z^2\). 2. Identifikation der äußeren Funktion \(v(u) = \frac{1}{4}u^4\) und Berechnung ihrer Ableitung \(v'(u) = u^3\). 3. Anwendung der Kettenregel \(h'(z) = v'(u(z)) \cdot u'(z)\). 4. Einsetzen der Terme: \(h'(z) = (2z^3 + 5)^3 \cdot 6z^2\). 5. Vereinfachung des Terms zu \(h'(z) = 6z^2(2z^3 + 5)^3\).

\(h'(z) = 6z^2(2z^3 + 5)^3\)

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn im Argument der Funktion ein linearer Ausdruck wie \(0{,}5x + 1\) steht? - Achte beim Ableiten von Sinus- und Kosinusfunktionen besonders auf die Vorzeichen. - Was passiert mit konstanten Summanden beim Ableiten?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Ableitung \(F'(x)\) mit der Kettenregel berechnet: Die äußere Ableitung der Exponentialfunktion bleibt \(e^{0{,}5x + 1}\), die innere Ableitung des Exponenten ist \(0{,}5\). Es ergibt sich \(F'(x) = 4 \cdot e^{0{,}5x + 1} \cdot 0{,}5 = 2 \cdot e^{0{,}5x + 1}\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Für Teilaufgabe b) wird \(F'(x)\) berechnet: Die Ableitung von \(\cos(u)\) ist \(-\sin(u)\), die innere Ableitung von \(2x\) ist \(2\). Es folgt \(F'(x) = 0{,}5 \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = -\sin(2x)\). Da \(-\sin(2x) \neq \sin(2x)\) ist, ist \(F\) keine Stammfunktion von \(f\).

a) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). b) Nein, \(F\) ist keine Stammfunktion von \(f\).

- Überlege, welche Funktion die „äußere“ und welche die „innere“ Funktion ist. - Wie lautet die Regel für das Ableiten von verketteten Funktionen? - Denke daran, mit der Ableitung der inneren Funktion zu multiplizieren. - Berechne zuerst die allgemeine Ableitungsfunktion, bevor du den konkreten Wert einsetzt.

1. Ableitung von \(f(x)\) mit der Kettenregel: \(f'(x) = 4(2x - 5)^3 \cdot 2 = 8(2x - 5)^3\). Einsetzen von \(x_0 = 3\) ergibt \(f'(3) = 8(2 \cdot 3 - 5)^3 = 8 \cdot 1^3 = 8\). 2. Ableitung von \(g(t)\) mit der Kettenregel: \(g'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t^2 + 7}} \cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 7}}\). Einsetzen von \(t_0 = 3\) ergibt \(g'(3) = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} = 0{,}75\).

a) \(f'(3) = 8\) b) \(g'(3) = 0{,}75\)

- Kannst du die innere und die äußere Funktion benennen? - Überlege, wie du beim Ableiten mit dem Vorfaktor und der inneren Ableitung umgehst. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Nachdifferenzieren. - Was passiert mit dem Exponenten bei jeder Ableitung?

1. Identifikation der äußeren Funktion \(u^6\) und der inneren Funktion \(4 - 5x\). 2. Anwendung der Kettenregel für die erste Ableitung: \(f'(x) = 6 \cdot (4 - 5x)^5 \cdot (-5) = -30(4 - 5x)^5\). 3. Erneute Anwendung der Kettenregel für die zweite Ableitung: \(f''(x) = -30 \cdot 5 \cdot (4 - 5x)^4 \cdot (-5) = 750(4 - 5x)^4\).

\(f'(x) = -30(4 - 5x)^5\) \(f''(x) = 750(4 - 5x)^4\)

- Welche Operation wird als Letztes ausgeführt, wenn du einen Wert für \(x\) einsetzt? Das ist oft die äußere Funktion. - Stell dir die Funktion wie eine Zwiebel vor: Was ist die äußere Schale und was liegt im Kern? - Achte beim Ableiten der äußeren Funktion darauf, den inneren Teil zunächst unverändert zu lassen.

1. Identifikation der Teilfunktionen: Die innere Funktion ist \(v(x) = 2x^3 + 7\), die äußere Funktion ist \(u(x) = x^5\). 2. Berechnung der Ableitungen: Für die äußere Funktion gilt \(u'(x) = 5x^4\), für die innere Funktion \(v'(x) = 6x^2\). 3. Verkettung der Ableitungen: Einsetzen von \(v(x)\) in \(u'(x)\) ergibt \(u'(v(x)) = 5(2x^3 + 7)^4\). 4. Anwendung der Kettenregel: \(f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = 5(2x^3 + 7)^4 \cdot 6x^2 = 30x^2(2x^3 + 7)^4\).

a) \(u(x) = x^5\); \(v(x) = 2x^3 + 7\) b) \(u'(x) = 5x^4\); \(v'(x) = 6x^2\) c) \(u'(v(x)) = 5(2x^3 + 7)^4\); \(f'(x) = 30x^2(2x^3 + 7)^4\)

- Welche Funktion wird hier zuerst auf \(x\) angewendet und welche danach? - Erinnerst du dich an die Regel „äußere Ableitung mal innere Ableitung“? - Wie leitest du eine Klammer mit einem Exponenten ab? - Was ist die Ableitung des Ausdrucks, der innerhalb der Klammer steht?

1. Identifikation der äußeren Funktion \(u(v) = \frac{1}{2}v^5\) und der inneren Funktion \(v(x) = 2x^3 - 4\). 2. Berechnung der äußeren Ableitung: \(u'(v) = \frac{5}{2}v^4\). 3. Berechnung der inneren Ableitung: \(v'(x) = 6x^2\). 4. Anwendung der Kettenregel durch Multiplikation der Ableitungen: \(f'(x) = \frac{5}{2}(2x^3 - 4)^4 \cdot 6x^2\). 5. Vereinfachung des Terms: \(f'(x) = 15x^2(2x^3 - 4)^4\).

\(f'(x) = 15x^2(2x^3 - 4)^4\)

- Was bedeutet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse für den Funktionsterm? - Wie lautet die Definition der Punktsymmetrie zum Ursprung? - Welche Regel nutzt du, um eine verkettete Funktion der Form \(f(u(x))\) abzuleiten? - Betrachte beim Einsetzen von \(-x\) in \(g'(x)\) sorgfältig das Vorzeichen, das durch die lineare Komponente entsteht.

1. Nachweis der Achsensymmetrie von \(g\): Einsetzen von \(-x\) in den Funktionsterm ergibt \(g(-x) = f((-x)^2) = f(x^2) = g(x)\). Aus der Gleichheit \(g(-x) = g(x)\) folgt die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. 2. Ableitung von \(g\): Die Anwendung der Kettenregel auf \(g(x) = f(x^2)\) mit der äußeren Funktion \(f\) und der inneren Funktion \(u(x) = x^2\) (mit \(u'(x) = 2x\)) liefert \(g'(x) = f'(x^2) \cdot 2x\). 3. Nachweis der Punktsymmetrie von \(g'\): Einsetzen von \(-x\) in die Ableitungsfunktion ergibt \(g'(-x) = f'((-x)^2) \cdot 2 \cdot (-x) = f'(x^2) \cdot (-2x) = - (f'(x^2) \cdot 2x) = -g'(x)\). Da \(g'(-x) = -g'(x)\) gilt, ist der Graph von \(g'\) punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Wegen \(g(-x) = f((-x)^2) = f(x^2) = g(x)\) ist \(g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) \(g'(x) = 2x \cdot f'(x^2)\) c) Wegen \(g'(-x) = 2(-x) \cdot f'((-x)^2) = -2x \cdot f'(x^2) = -g'(x)\) ist \(g'\) punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Überlege dir, welche Rechenoperation als Letztes ausgeführt wird – das ist oft die äußere Funktion. - Was steht „in“ der Klammer oder „unter“ der Wurzel? Das könnte deine innere Funktion sein. - Erinnere dich an die Formel für die Kettenregel: Äußere Ableitung mal innere Ableitung. - Kannst du die Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben?

1. Teilaufgabe a: Identifikation der inneren Funktion \(v(x) = 2x^2 - 1\) und der äußeren Funktion \(u(x) = x^6\). Berechnung der Ableitungen \(v'(x) = 4x\) und \(u'(x) = 6x^5\). Anwendung der Kettenregel ergibt \(f'(x) = 6(2x^2 - 1)^5 \cdot 4x = 24x(2x^2 - 1)^5\). 2. Teilaufgabe b: Identifikation der inneren Funktion \(v(x) = x^3 + 2\) und der äußeren Funktion \(u(x) = 4\sqrt{x}\). Berechnung der Ableitungen \(v'(x) = 3x^2\) und \(u'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}}\). Anwendung der Kettenregel ergibt \(f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x^3 + 2}} \cdot 3x^2 = \frac{6x^2}{\sqrt{x^3 + 2}}\).

a) \(u(x) = x^6\), \(v(x) = 2x^2 - 1\); \(f'(x) = 24x(2x^2 - 1)^5\) b) \(u(x) = 4\sqrt{x}\), \(v(x) = x^3 + 2\); \(f'(x) = \frac{6x^2}{\sqrt{x^3 + 2}}\)

- Überlege dir zuerst, was die „innere Funktion“ im Exponenten ist. - Wie lautet die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion \( e^{u(x)} \)? - Konstante Faktoren vor der e-Funktion bleiben beim Ableiten erhalten und werden mit der inneren Ableitung multipliziert. - Brüche mit der e-Funktion im Nenner lassen sich oft leichter ableiten, wenn man sie mit einem negativen Exponenten schreibt.

1. Für \( f(x) = e^{4x - 2} \) ist die innere Funktion \( u(x) = 4x - 2 \) mit \( u'(x) = 4 \). Nach der Kettenregel gilt \( f'(x) = 4 \cdot e^{4x - 2} \). 2. Bei \( g(x) = 5 \cdot e^{-0{,}2x} \) lautet die innere Ableitung \( -0{,}2 \). Multiplikation mit dem Vorfaktor ergibt \( g'(x) = 5 \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2x} = -e^{-0{,}2x} \). 3. Für \( h(x) = e^{x^2 + 3} \) ist die innere Ableitung \( u'(x) = 2x \). Somit folgt \( h'(x) = 2x \cdot e^{x^2 + 3} \). 4. Die Funktion \( k(x) = \frac{1}{e^{2x}} \) wird als \( k(x) = e^{-2x} \) umgeschrieben. Mit der inneren Ableitung \( -2 \) ergibt sich \( k'(x) = -2 \cdot e^{-2x} \) bzw. \( k'(x) = -\frac{2}{e^{2x}} \).

a) \( f'(x) = 4e^{4x-2} \) b) \( g'(x) = -e^{-0{,}2x} \) c) \( h'(x) = 2x e^{x^2+3} \) d) \( k'(x) = -2e^{-2x} = -\frac{2}{e^{2x}} \)

- Identifiziere bei jedem Term die „innere“ und die „äußere“ Funktion. - Denke daran, dass beim Ableiten nach der Kettenregel mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert werden muss. - Achte bei der Kosinusfunktion auf das Vorzeichen der Ableitung.

1. Anwendung der Kettenregel auf \(f(x) = \sin(4x)\): Die äußere Ableitung ist \(\cos(4x)\), die innere Ableitung von \(4x\) ist \(4\). Ergebnis: \(f'(x) = 4 \cos(4x)\). 2. Anwendung der Kettenregel auf \(f(x) = 5 \cdot \cos(2x - 1)\): Die äußere Ableitung ist \(5 \cdot (-\sin(2x - 1))\), die innere Ableitung von \(2x - 1\) ist \(2\). Multiplikation ergibt: \(f'(x) = -10 \sin(2x - 1)\). 3. Anwendung der Summen- und Kettenregel auf \(f(x) = \sin(0{,}5x) + \cos(x^2)\): Der erste Summand ergibt abgeleitet \(\cos(0{,}5x) \cdot 0{,}5\). Der zweite Summand ergibt abgeleitet \(-\sin(x^2) \cdot 2x\). Zusammengefasst: \(f'(x) = 0{,}5 \cos(0{,}5x) - 2x \sin(x^2)\).

1) \(f'(x) = 4 \cos(4x)\) 2) \(f'(x) = -10 \sin(2x - 1)\) 3) \(f'(x) = 0{,}5 \cos(0{,}5x) - 2x \sin(x^2)\)

- Bestimme zuerst die Ableitungen mit der Kettenregel. - Erinnerst du dich an die Ableitung von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\)? Achte auf die Vorzeichen. - Stelle den trigonometrischen Pythagoras einmal nach \(\sin^2(x)\) um. - Welchen Einfluss hat eine additive Konstante (wie \(+1\) oder \(-5\)) auf die Ableitung einer Funktion?

1. Ableitung von \(u(x) = (\sin(x))^2\): Kettenregel liefert \(u'(x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)\). 2. Ableitung von \(v(x) = -(\cos(x))^2\): Kettenregel liefert \(v'(x) = -2 \cdot \cos(x) \cdot (-\sin(x)) = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)\). 3. Vergleich: Die Ableitungen sind identisch: \(u'(x) = v'(x)\). 4. Erklärung: Aus \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) folgt \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\). Somit gilt \(u(x) = 1 + v(x)\). Da sich die Funktionen nur um eine additive Konstante unterscheiden, müssen ihre Ableitungen gleich sein.

a) \(u'(x) = \sin(2x)\) und \(v'(x) = \sin(2x)\) b) Die Ableitungen sind identisch, da sich die Funktionen wegen \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\) nur um die Konstante \(1\) unterscheiden (\(u(x) = v(x) + 1\)).

- Stelle dir vor, du müsstest einen Wert für \(x\) einsetzen. Welche Rechnung führst du zuerst aus? - Die letzte Operation, die du beim Berechnen des Funktionsterms ausführst, entspricht meist der äußeren Funktion. - Gibt es einen Ausdruck, der im Term mehrfach oder in einer Klammer vorkommt?

1. Identifikation der inneren Operation: Zuerst wird die Summe innerhalb der Klammer gebildet. Daher setzen wir die innere Funktion als \(v(x) = x + \frac{1}{x}\) fest. 2. Bestimmung der äußeren Operation: Das Ergebnis der inneren Funktion wird mit der dritten Potenz potenziert. Somit ist die äußere Funktion \(u(x) = x^3\). 3. Überprüfung durch Verkettung: \(u(v(x)) = u\left(x + \frac{1}{x}\right) = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 = f(x)\).

Eine mögliche Zerlegung ist \(v(x) = x + \frac{1}{x}\) und \(u(x) = x^3\).

- Überlege dir bei der Kettenregel genau, was die „innere“ und was die „äußere“ Funktion ist. - Denk beim Ausmultiplizieren an die zweite binomische Formel. - Versuche das Ergebnis der Kettenregel durch Ausmultiplizieren zu vereinfachen, um den Vergleich zu erleichtern.

1. Anwendung der Kettenregel: Die äußere Funktion ist \(u^2\) mit der Ableitung \(2u\), die innere Funktion ist \(v(x) = 2x^3 - 5\) mit \(v'(x) = 6x^2\). Es ergibt sich \(f'(x) = 2 \cdot (2x^3 - 5) \cdot 6x^2 = 12x^2(2x^3 - 5) = 24x^5 - 60x^2\). 2. Ausmultiplizieren: Mithilfe der binomischen Formel gilt \(f(x) = 4x^6 - 20x^3 + 25\). Die gliedweise Ableitung ergibt \(f'(x) = 24x^5 - 60x^2\). Vergleich: Beide Methoden führen nach Vereinfachung zum identischen Ergebnis \(24x^5 - 60x^2\).

\(f'(x) = 24x^5 - 60x^2\)

- Denke daran, dass eine Funktion linear ist, wenn sie in der Form \(y = k \cdot x + d\) geschrieben werden kann. - Bei der Verkettung \(g(k(x))\) setzt du den gesamten Term von \(k\) für jedes \(x\) in die Funktion \(g\) ein. - Die Kettenregel lautet: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Überlege dir, welchen Funktionstyp man erhält, wenn man eine lineare Funktion mit einer Konstanten multipliziert.

1. Einsetzen von \(k(x)\) in \(g(x)\): \(L(x) = m \cdot (a \cdot x + b) + c = (m \cdot a) \cdot x + (m \cdot b + c)\). Da dies die Form \(y = M \cdot x + B\) hat, ist \(L\) linear mit der Steigung \(M = m \cdot a\). 2. Anwendung der Kettenregel auf \(h(x) = (m \cdot x + c)^2\): Die äußere Ableitung ist \(f'(u) = 2u\) und die innere Ableitung ist \(g'(x) = m\). Es folgt \(h'(x) = 2 \cdot (m \cdot x + c) \cdot m = 2m^2 \cdot x + 2mc\). 3. Die Kettenregel besagt \(h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Da \(f'(x) = 2x\) linear ist und \(g(x)\) linear ist, ist die Verkettung \(f' \circ g\) nach Teilaufgabe a) wieder eine lineare Funktion. Da \(g'(x) = m\) ein konstanter Faktor ist, bleibt das Produkt \(h'(x)\) eine lineare Funktion.

a) \(L(x) = (ma)x + (mb + c)\); die Steigung ist \(m \cdot a\). b) \(h'(x) = 2m(mx + c)\) bzw. \(h'(x) = 2m^2x + 2mc\). c) Die Ableitung \(h'\) ist das Produkt aus der verketteten Funktion \(f' \circ g\) und der Konstanten \(g'\). Da die Ableitung der Quadratfunktion (\(2x\)) linear ist und die Verkettung zweier linearer Funktionen wieder linear ist, muss auch \(h'\) linear sein.

- Zerlege die Funktion in eine äußere und eine innere Funktion. - Wende die Regel „äußere Ableitung mal innere Ableitung“ an. - Achte beim Ableiten von Verkettungen auf die Vorzeichen, besonders bei Kosinus- und Wurzelfunktionen.

1. Für \(f(x) = \sin(x^2 + 3)\): Äußere Funktion \(u(v) = \sin(v)\) mit \(u'(v) = \cos(v)\), innere Funktion \(v(x) = x^2 + 3\) mit \(v'(x) = 2x\). Ergebnis: \(f'(x) = 2x \cdot \cos(x^2 + 3)\). 2. Für \(f(x) = \sqrt{10 - 2x}\): Äußere Funktion \(u(v) = \sqrt{v}\) mit \(u'(v) = \frac{1}{2\sqrt{v}}\), innere Funktion \(v(x) = 10 - 2x\) mit \(v'(x) = -2\). Ergebnis: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{10 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}\). 3. Für \(f(x) = 0{,}5 \cdot \cos(4x)\): Äußere Funktion \(u(v) = 0{,}5 \cdot \cos(v)\) mit \(u'(v) = -0{,}5 \cdot \sin(v)\), innere Funktion \(v(x) = 4x\) mit \(v'(x) = 4\). Ergebnis: \(f'(x) = -0{,}5 \cdot \sin(4x) \cdot 4 = -2 \cdot \sin(4x)\).

a) \(f'(x) = 2x \cos(x^2 + 3)\) b) \(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}\) c) \(f'(x) = -2 \sin(4x)\)

- Was besagt die Kettenregel über das „Nachdifferenzieren“? - Bestimme separat die Ableitung des Ausdrucks innerhalb der Klammer. - Wie berechnet man die Steigung an einer bestimmten Stelle, wenn die Ableitungsfunktion bekannt ist? - Achte beim Einsetzen der Zahl auf die Vorzeichenregeln bei Potenzen.

1. Der Fehler liegt in der Nichtbeachtung der Kettenregel; es wurde lediglich die äußere Funktion abgeleitet, während die Multiplikation mit der inneren Ableitung (Nachdifferenzieren) vergessen wurde. 2. Die innere Funktion ist \(v(x) = 2x^3 - 5\). Ihre Ableitung lautet \(v'(x) = 6x^2\). 3. Unter Anwendung der Kettenregel ergibt sich der korrekte Ableitungsterm: \(g'(x) = 4(2x^3 - 5)^3 \cdot 6x^2 = 24x^2(2x^3 - 5)^3\). 4. Zur Bestimmung der Steigung an der Stelle \(x = 1\) wird der Wert in die Ableitungsfunktion eingesetzt: \(g'(1) = 24 \cdot 1^2 \cdot (2 \cdot 1^3 - 5)^3 = 24 \cdot (2 - 5)^3 = 24 \cdot (-3)^3 = 24 \cdot (-27) = -648\).

Der Fehler ist die fehlende innere Ableitung. Der korrekte Ableitungsterm ist \(g'(x) = 24x^2(2x^3 - 5)^3\). Die Steigung an der Stelle \(x = 1\) beträgt \(-648\).

- Behandle die beiden Teile der Summe getrennt voneinander. - Beim ersten Teil handelt es sich um eine Sinusfunktion, in deren Argument wieder eine Funktion steht. - Was passiert mit Konstanten wie \(\pi\) beim Ableiten? - Achte darauf, die innere Ableitung als Faktor mit dem Rest der Ableitung zu multiplizieren.

1. Aufteilung der Funktion in zwei Summanden: \(k_1(t) = 2 \sin(4t^2 - \pi)\) und \(k_2(t) = t^2\). 2. Ableitung des ersten Summanden mittels Kettenregel: Innere Funktion \(u(t) = 4t^2 - \pi\) mit \(u'(t) = 8t\); äußere Funktion \(v(u) = 2 \sin(u)\) mit \(v'(u) = 2 \cos(u)\). 3. Berechnung von \(k_1'(t) = 2 \cos(4t^2 - \pi) \cdot 8t = 16t \cos(4t^2 - \pi)\). 4. Ableitung des zweiten Summanden: \(k_2'(t) = 2t\). 5. Addition der Teilableitungen gemäß der Summenregel: \(k'(t) = 16t \cos(4t^2 - \pi) + 2t\).

\(k'(t) = 16t \cos(4t^2 - \pi) + 2t\)

- Erinnere dich an die Struktur der Kettenregel: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Was passiert mit dem Argument der äußeren Funktion, während du die äußere Ableitung bildest? - Überprüfe bei Exponentialfunktionen genau, ob sich der Exponent im Vergleich zur Ausgangsfunktion verändert hat. - Suche gezielt nach Faktoren, die durch das Nachdifferenzieren entstanden sein müssten.

1. Fall A: Die Kettenregel wurde nicht vollständig angewendet; die Multiplikation mit der inneren Ableitung \(u'(x) = 5x^4\) fehlt. Die korrekte Ableitung lautet \(f'(x) = 4(x^5 - 2)^3 \cdot 5x^4 = 20x^4(x^5 - 2)^3\). 2. Fall B: Das Argument der Sinusfunktion wurde fälschlicherweise verändert (die Ableitung der inneren Funktion wurde als neues Argument eingesetzt). Das Argument der äußeren Ableitung muss jedoch der ursprünglichen inneren Funktion \(3x^2\) entsprechen. Die korrekte Ableitung lautet \(g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x = -6x \sin(3x^2)\). 3. Fall C: Der Exponent der natürlichen Exponentialfunktion wurde beim Ableiten verändert. Bei der Ableitung von \(e^{u(x)}\) bleibt der Exponent \(u(x)\) unverändert erhalten. Die korrekte Ableitung lautet \(h'(x) = e^{4x+1} \cdot 4 = 4e^{4x+1}\).

A: Innere Ableitung fehlt; \(f'(x) = 20x^4(x^5 - 2)^3\). B: Argument der Winkelfunktion falsch verändert; \(g'(x) = -6x \sin(3x^2)\). C: Exponent der \(e\)-Funktion falsch verändert; \(h'(x) = 4e^{4x+1}\).

- Erinnerst du dich an die Kettenregel? Man berechnet sie als „äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Wie kann man eine Wurzelfunktion als Potenzschreibweise darstellen, um sie leichter abzuleiten? - Überlege dir, welche Funktion in den Klammern bzw. unter der Wurzel steht – das ist deine „innere Funktion“. - Vergleiche dein Ergebnis der Ableitung Term für Term mit der vorgegebenen Funktion \(f\).

1. Ableitung von \(F\) in a): Anwendung der Kettenregel auf \((x^2 - 4x)^5\). Äußere Ableitung: \(5 \cdot (x^2 - 4x)^4\), innere Ableitung: \((2x - 4)\). Die Konstante \(12\) fällt weg. Ergebnis: \(F'(x) = 5 \cdot (x^2 - 4x)^4 \cdot (2x - 4)\). Dies entspricht exakt \(f(x)\). Somit ist \(F\) eine Stammfunktion. 2. Ableitung von \(F\) in b): Umschreiben als \(F(x) = (x^2 + 1)^{0{,}5} + 4\). Anwendung der Kettenregel: Äußere Ableitung ist \(0{,}5 \cdot (x^2 + 1)^{-0{,}5}\), innere Ableitung ist \(2x\). Es folgt \(F'(x) = 0{,}5 \cdot (x^2 + 1)^{-0{,}5} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\). Dies entspricht \(f(x)\). Somit ist \(F\) eine Stammfunktion.

a) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). b) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

- Erinnere dich an die Ableitung der Exponentialfunktion und der trigonometrischen Grundfunktionen. - Bei Potenzen von Funktionen wie \(\sin^2(x)\) hilft es, die Funktion als \((\sin(x))^2\) zu schreiben, um die Verkettung deutlicher zu sehen. - Kannst du den Ausdruck \(2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)\) mithilfe eines Additionstheorems vereinfachen?

1. Ableitung von \(f(x)\) unter Anwendung der Kettenregel: \(f'(x) = e^{x^2 - 1} \cdot 2x\). Für \(x_0 = 1\) ergibt sich \(f'(1) = e^{1^2 - 1} \cdot 2 \cdot 1 = e^0 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2\). 2. Ableitung von \(g(x) = (\sin(x))^2\) unter Anwendung der Kettenregel (äußere Funktion \(u^2\), innere Funktion \(\sin(x)\)): \(g'(x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)\). Mithilfe der Doppelwinkelformel oder durch direktes Einsetzen von \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) erhält man \(g'(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1\).

a) \(f'(1) = 2\) b) \(g'(\frac{\pi}{4}) = 1\)

- Erinnerst du dich an die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du die Kosinusfunktion ableitest? - Für die Steigung an einer bestimmten Stelle musst du den \(x\)-Wert in die erste Ableitung einsetzen. - Überlege dir die Werte von \(\sin(\frac{\pi}{2})\) und \(\cos(\frac{\pi}{2})\) am Einheitskreis.

1. Zerlegung: Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion \(u(x) = e^x\), die innere Funktion ist die Kosinusfunktion \(v(x) = \cos(x)\). 2. Ableitungen der Komponenten: Es gilt \(u'(x) = e^x\) und \(v'(x) = -\sin(x)\). 3. Verkettung der Ableitung: \(u'(v(x)) = e^{\cos(x)}\). 4. Kettenregel: \(f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = -\sin(x) \cdot e^{\cos(x)}\). 5. Punktuelle Steigung: Einsetzen von \(x = \frac{\pi}{2}\) ergibt \(f'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) \cdot e^{\cos(\frac{\pi}{2})} = -1 \cdot e^0 = -1\).

a) \(u(x) = e^x\); \(v(x) = \cos(x)\) b) \(u'(x) = e^x\); \(v'(x) = -\sin(x)\); \(u'(v(x)) = e^{\cos(x)}\) c) \(f'(x) = -\sin(x) \cdot e^{\cos(x)}\) d) \(f'(\frac{\pi}{2}) = -1\)

- Welche der vorkommenden Buchstaben sind Variablen und welche sind feste Werte (Parameter)? - Identifiziere bei jeder Teilaufgabe die äußere und die innere Funktion. - Achte bei trigonometrischen Funktionen besonders auf das Vorzeichen der Ableitung. - Manche Ausdrücke lassen sich einfacher ableiten, wenn man die Potenzschreibweise wie \((\dots)^n\) verdeutlicht.

1. Für \(f_k(x) = (kx^2 - 5)^4\): Anwendung der Kettenregel mit der äußeren Funktion \(u^4\) und der inneren Funktion \(v(x) = kx^2 - 5\). Die Ableitung ist \(f_k'(x) = 4(kx^2 - 5)^3 \cdot 2kx = 8kx(kx^2 - 5)^3\). 2. Für \(g_a(t) = \sin(at - a)\): Anwendung der Kettenregel mit der äußeren Funktion \(\sin(u)\) und der inneren Funktion \(v(t) = at - a\). Die Ableitung ist \(g_a'(t) = \cos(at - a) \cdot a = a \cos(at - a)\). 3. Für \(h_b(x) = (\cos(bx))^2\): Zweifache Anwendung der Kettenregel. Äußere Ableitung der Quadratfunktion ist \(2 \cos(bx)\), multipliziert mit der inneren Ableitung von \(\cos(bx)\), welche \(-b \sin(bx)\) lautet. Ergebnis: \(h_b'(x) = -2b \cos(bx) \sin(bx)\).

a) \(f_k'(x) = 8kx(kx^2 - 5)^3\) b) \(g_a'(t) = a \cos(at - a)\) c) \(h_b'(x) = -2b \sin(bx) \cos(bx)\) (oder \(h_b'(x) = -b \sin(2bx)\))

- Überprüfe genau, nach welcher Variable abgeleitet wird – diese steht meist in der Klammer hinter dem Funktionsnamen. - Wenn ein Teil des Terms die Variable gar nicht enthält, verhält er sich beim Ableiten wie eine normale Zahl. - Bei verschachtelten Funktionen hilft es, die innere Funktion zuerst separat abzuleiten. - Überlege dir, ob du einen Term vor dem Ableiten vereinfachen oder umschreiben kannst.

1. Für \(f_c(z) = \sin(cz^3)\): Kettenregel mit innerer Funktion \(v(z) = cz^3\) (\(v' = 3cz^2\)) und äußerer Funktion \(\sin(u)\). Es ergibt sich \(f_c'(z) = 3cz^2 \cos(cz^3)\). 2. Für \(g_a(x) = \cos((ax)^2)\): Kettenregel mit innerer Funktion \(v(x) = a^2 x^2\) (\(v' = 2a^2 x\)) und äußerer Funktion \(\cos(u)\). Es ergibt sich \(g_a'(x) = -\sin(a^2 x^2) \cdot 2a^2 x = -2a^2 x \sin(a^2 x^2)\). 3. Für \(h_{a,k}(t) = t \cdot \sin(ak^2)\): Hier ist \(t\) die Variable. Der gesamte Ausdruck \(\sin(ak^2)\) enthält keine Variable \(t\) und ist somit ein konstanter Faktor. Die Ableitung einer linearen Funktion \(c \cdot t\) nach \(t\) ist die Konstante \(c\). Somit gilt \(h_{a,k}'(t) = \sin(ak^2)\).

a) \(f_c'(z) = 3cz^2 \cos(cz^3)\) b) \(g_a'(x) = -2a^2 x \sin(a^2 x^2)\) c) \(h_{a,k}'(t) = \sin(ak^2)\)

- Wende die Kettenregel schrittweise an. - Berechne die ersten vier Ableitungen und achte auf das Vorzeichen und die Funktion (Sinus oder Kosinus). - Überlege, wie oft sich das Muster der Ableitungen bei Sinusfunktionen wiederholt. - Untersuche, ob die gesuchte Ordnung der Ableitung ein Vielfaches dieser Periodenlänge ist.

1. Erste Ableitung mit der Kettenregel berechnen: \(f_a'(x) = a \cdot \cos(ax + 1)\). 2. Zweite Ableitung durch erneutes Ableiten bestimmen: \(f_a''(x) = a \cdot (-a \cdot \sin(ax + 1)) = -a^2 \sin(ax + 1)\). 3. Höhere Ableitungen untersuchen: \(f_a^{(3)}(x) = -a^3 \cos(ax + 1)\) und \(f_a^{(4)}(x) = a^4 \sin(ax + 1)\). 4. Muster erkennen: Nach jeweils vier Ableitungen kehrt die trigonometrische Funktion zum Sinus mit positivem Vorzeichen zurück, wobei die Potenz von \(a\) der Ordnung der Ableitung entspricht. Da 40 ein Vielfaches von 4 ist, gilt \(f_a^{(40)}(x) = a^{40} \sin(ax + 1)\).

\(f_a''(x) = -a^2 \sin(ax + 1)\) \(f_a^{(40)}(x) = a^{40} \sin(ax + 1)\)

- Welche Funktion wird zuerst auf \( x \) angewendet und welche danach? - Erinnerst du dich an die Regel für das Ableiten von verketteten Funktionen? - Bestimme zuerst die Ableitungen der einzelnen Teilfunktionen. - Wie werden die Ableitung der äußeren und der inneren Funktion miteinander verknüpft?

1. Identifikation der äußeren Funktion \( u(v) = e^v \) und der inneren Funktion \( v(x) = \sin(x) \). 2. Bestimmung der Ableitungen: \( u'(v) = e^v \) und \( v'(x) = \cos(x) \). 3. Anwendung der Kettenregel \( f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \). 4. Verknüpfung der Terme ergibt \( f'(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \), was dem gesuchten Term \( \cos(x) \cdot e^{\sin(x)} \) entspricht.

Durch Anwendung der Kettenregel mit der äußeren Funktion \( u(v) = e^v \) und der inneren Funktion \( v(x) = \sin(x) \) ergibt sich \( f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \).

- Identifiziere die innere und die äußere Funktion. - Welche Ableitungsregeln für den natürlichen Logarithmus und die Kosinusfunktion kennst du? - Achte beim Ableiten der inneren Funktion besonders auf das Vorzeichen. - Gibt es eine bekannte Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Tangens, die den Bruch vereinfachen könnte?

1. Identifikation der äußeren Funktion \( u(v) = \ln(v) \) und der inneren Funktion \( v(x) = \cos(x) \). 2. Berechnung der jeweiligen Ableitungen: \( u'(v) = \frac{1}{v} \) und \( v'(x) = -\sin(x) \). 3. Verknüpfung nach der Kettenregel: \( g'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \). 4. Vereinfachung des Bruches: \( g'(x) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). 5. Anwendung der trigonometrischen Beziehung \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) führt zum Endergebnis \( g'(x) = -\tan(x) \).

Die Anwendung der Kettenregel liefert \( g'(x) = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \). Mithilfe der Definition \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) vereinfacht sich dies zu \( g'(x) = -\tan(x) \).

- Überlege dir bei jeder Teilaufgabe, welche Funktion „außen“ und welche „innen“ steht. - Erinnere dich an die Regel: Äußere Ableitung mal innere Ableitung. - Beachte bei b), wie sich Konstanten beim Ableiten verhalten. - Schreibe Brüche oder Wurzeln bei Bedarf als Potenzen um, um die Ableitungsregeln leichter anzuwenden.

1. Anwendung der Kettenregel auf \(g(x) = f(e^x)\): Die äußere Funktion ist \(f(u)\) mit \(u = e^x\). Die innere Ableitung ist \(e^x\). Ergebnis: \(g'(x) = e^x \cdot f'(e^x)\). 2. Ableitung von \(g(x) = (f(x) + k)^3\): Hier ist die äußere Funktion \(u^3\) und die innere Funktion \(f(x) + k\). Die äußere Ableitung ist \(3u^2\), die innere Ableitung ist \(f'(x)\). Ergebnis: \(g'(x) = 3 \cdot (f(x) + k)^2 \cdot f'(x)\). 3. Ableitung von \(g(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)\): Die innere Funktion ist \(x^{-1}\) mit der Ableitung \(-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). Ergebnis: \(g'(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot f'\left(\frac{1}{x}\right)\). 4. Ableitung von \(g(x) = \sqrt{f(x)}\): Die äußere Funktion ist die Wurzelfunktion mit der Ableitung \(\frac{1}{2\sqrt{u}}\). Mit der inneren Ableitung \(f'(x)\) ergibt sich: \(g'(x) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\).

a) \(g'(x) = e^x \cdot f'(e^x)\) b) \(g'(x) = 3 \cdot (f(x) + k)^2 \cdot f'(x)\) c) \(g'(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot f'\left(\frac{1}{x}\right)\) d) \(g'(x) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\)

- Welcher Teil des Terms wird in die Sinus- oder Kosinusfunktion eingesetzt? - Achte beim Ableiten der inneren Funktion in Teilaufgabe a darauf, die gesamte Ableitung in Klammern zu setzen. - Was passiert zuerst mit \(x\), und was passiert danach mit dem Ergebnis? - Vergiss das Minuszeichen bei der Ableitung der Kosinusfunktion nicht.

1. Teilaufgabe a: Identifikation der inneren Funktion \(v(x) = 2x^4 - x\) und der äußeren Funktion \(u(x) = \cos(x)\). Berechnung der Ableitungen \(v'(x) = 8x^3 - 1\) und \(u'(x) = -\sin(x)\). Anwendung der Kettenregel ergibt \(f'(x) = -\sin(2x^4 - x) \cdot (8x^3 - 1) = (1 - 8x^3) \sin(2x^4 - x)\). 2. Teilaufgabe b: Identifikation der inneren Funktion \(v(x) = \sin(x) - 5\) und der äußeren Funktion \(u(x) = x^2\). Berechnung der Ableitungen \(v'(x) = \cos(x)\) und \(u'(x) = 2x\). Anwendung der Kettenregel ergibt \(f'(x) = 2(\sin(x) - 5) \cdot \cos(x)\).

a) \(u(x) = \cos(x)\), \(v(x) = 2x^4 - x\); \(f'(x) = (1 - 8x^3) \sin(2x^4 - x)\) b) \(u(x) = x^2\), \(v(x) = \sin(x) - 5\); \(f'(x) = 2\cos(x)(\sin(x) - 5)\)

- Welche Operation wird als letzte ausgeführt, wenn du einen Wert für \(x\) einsetzt? Das ist deine äußere Funktion. - Arbeite dich von außen nach innen vor, um die Schichten der Funktion zu identifizieren. - Erinnere dich daran, dass bei der Kettenregel die Ableitung der äußeren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird. - Wenn eine Funktion selbst wieder eine Verkettung ist, musst du die Regel erneut anwenden.

1. Identifikation der Teilfunktionen: \(u(x) = e^x\), \(v(x) = \cos(x)\) und \(w(x) = 2x+1\). 2. Bestimmung der Ableitungen der Teilfunktionen: \(u'(x) = e^x\), \(v'(x) = -\sin(x)\) und \(w'(x) = 2\). 3. Anwendung der Kettenregel für dreifache Verkettungen: \(f'(x) = u'(v(w(x))) \cdot v'(w(x)) \cdot w'(x)\). 4. Einsetzen der Terme: \(f'(x) = e^{\cos(2x+1)} \cdot (-\sin(2x+1)) \cdot 2\). 5. Zusammenfassen des Ergebnisses: \(f'(x) = -2 \sin(2x+1) e^{\cos(2x+1)}\).

a) \(u(x) = e^x\), \(v(x) = \cos(x)\), \(w(x) = 2x+1\) (oder äquivalente Darstellung) b) \(f'(x) = -2 \sin(2x+1) e^{\cos(2x+1)}\)

- Welche Werte muss das Argument einer Kosinusfunktion annehmen, damit das Ergebnis null ist? - Denke beim Ableiten an die Kettenregel: Äußere Ableitung mal innere Ableitung. - Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. - Überprüfe am Ende, welche deiner berechneten Stellen tatsächlich im Intervall \([-2; 2]\) liegen. - Wie verhält sich die Funktion in der Nähe der kritischen Stellen? Ein Vorzeichenwechsel der Steigung hilft bei der Bestimmung der Art.

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird die Gleichung \(\cos(x^2) = 0\) gelöst. Dies ist der Fall, wenn das Argument \(x^2\) ein ungerades Vielfaches von \(\frac{\pi}{2}\) ist: \(x^2 = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\). Da \(x \in [-2; 2]\) gilt, muss \(0 \le x^2 \le 4\) erfüllt sein. Nur \(k=0\) liefert mit \(x^2 = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) Lösungen im Intervall. Die Nullstellen liegen somit bei \(x_1 = -\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx -1{,}25\) und \(x_2 = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1{,}25\). 2. Für die Extremstellen wird die erste Ableitung gebildet: \(f'(x) = -2x \cdot \sin(x^2)\). Die Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x = 0\) oder \(\sin(x^2) = 0\). 3. \(\sin(x^2) = 0\) gilt für \(x^2 = k \cdot \pi\). Im Bereich \(0 \le x^2 \le 4\) sind dies \(x^2 = 0\) (bereits gefunden) und \(x^2 = \pi \approx 3{,}14\). Dies ergibt die Stellen \(x_3 = -\sqrt{\pi} \approx -1{,}77\) und \(x_4 = \sqrt{\pi} \approx 1{,}77\). 4. Überprüfung der Art (z. B. mit \(f''(x) = -2\sin(x^2) - 4x^2\cos(x^2)\) oder dem Monotonieverhalten): - Bei \(x = 0\) ist \(f(0) = 1\). Da \(\cos(x^2)\) für kleine \(x \neq 0\) kleiner als \(1\) ist, liegt ein lokales Maximum bei \(H(0 | 1)\) vor. - Bei \(x = \pm \sqrt{\pi}\) ist \(f(\pm \sqrt{\pi}) = \cos(\pi) = -1\). Da dies der minimale Wert des Kosinus ist, liegen lokale Minima bei \(T_1(-\sqrt{\pi} | -1)\) und \(T_2(\sqrt{\pi} | -1)\) vor.

a) Nullstellen: \(x_1 = -\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx -1{,}25\); \(x_2 = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1{,}25\) b) Lokales Maximum: \(H(0 | 1)\); Lokale Minima: \(T_1(-\sqrt{\pi} | -1) \approx T_1(-1{,}77 | -1)\) und \(T_2(\sqrt{\pi} | -1) \approx T_2(1{,}77 | -1)\)

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn im Exponenten ein Minuszeichen steht. - Wenn die innere Funktion eine Summe oder Differenz ist (wie \( x-1 \)), setze diese beim Ableiten in Klammern. - Potenzgesetze wie \( \frac{1}{a^n} = a^{-n} \) helfen dir, Brüche in eine Form zu bringen, die du leichter ableiten kannst.

1. Bei \( f(x) = 0{,}2 \cdot e^{5 - x^2} \) ist die innere Ableitung \( -2x \). Multipliziert mit dem Faktor \( 0{,}2 \) ergibt sich \( f'(x) = 0{,}2 \cdot (-2x) \cdot e^{5 - x^2} = -0{,}4x \cdot e^{5 - x^2} \). 2. Für \( f(x) = e^{\frac{1}{2}x^2 - x} \) ist die Ableitung des Exponenten \( x - 1 \). Die Kettenregel liefert \( f'(x) = (x - 1) \cdot e^{\frac{1}{2}x^2 - x} \). 3. Die Funktion \( f(x) = -\frac{3}{e^{4x+1}} \) entspricht \( -3 \cdot e^{-(4x+1)} = -3 \cdot e^{-4x-1} \). Die innere Ableitung ist \( -4 \). Daraus folgt \( f'(x) = -3 \cdot (-4) \cdot e^{-4x-1} = 12 \cdot e^{-4x-1} \) bzw. \( \frac{12}{e^{4x+1}} \). 4. Bei \( f(x) = 4 \cdot e^{1 - 2x^3} \) ist die innere Ableitung \( -6x^2 \). Multiplikation mit \( 4 \) ergibt \( f'(x) = 4 \cdot (-6x^2) \cdot e^{1 - 2x^3} = -24x^2 \cdot e^{1 - 2x^3} \).

a) \( f'(x) = -0{,}4x e^{5-x^2} \) b) \( f'(x) = (x-1) e^{0{,}5x^2 - x} \) c) \( f'(x) = 12 e^{-4x-1} = \frac{12}{e^{4x+1}} \) d) \( f'(x) = -24x^2 e^{1-2x^3} \)

- Welche Ableitungsregel ist für ein Produkt zweier Funktionen am besten geeignet? - Wie gehst du vor, wenn eine Funktion im Nenner einer anderen steht? - Was musst du beachten, wenn eine Funktion das Argument einer anderen Funktion bildet? - Kannst du die Terme vor dem Ableiten vereinfachen oder umstellen?

1. Für \(h(x) = (x^2 - 3x) \cdot e^{2x}\) Anwendung der Produktregel: \(h'(x) = (2x - 3) \cdot e^{2x} + (x^2 - 3x) \cdot 2e^{2x} = (2x^2 - 4x - 3) \cdot e^{2x}\). 2. Für \(k(x) = \frac{x^2 - 3x}{e^{2x}}\) Anwendung der Quotientenregel: \(k'(x) = \frac{(2x - 3) \cdot e^{2x} - (x^2 - 3x) \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x})^2} = \frac{-2x^2 + 8x - 3}{e^{2x}}\). 3. Für \(m(x) = f(g(x)) = e^{2(x^2 - 3x)} = e^{2x^2 - 6x}\) Anwendung der Kettenregel: \(m'(x) = e^{2x^2 - 6x} \cdot (4x - 6)\).

a) \(h(x) = (x^2 - 3x)e^{2x}\); \(h'(x) = (2x^2 - 4x - 3)e^{2x}\) b) \(k(x) = \frac{x^2 - 3x}{e^{2x}}\); \(k'(x) = \frac{-2x^2 + 8x - 3}{e^{2x}}\) c) \(m(x) = e^{2x^2 - 6x}\); \(m'(x) = (4x - 6)e^{2x^2 - 6x}\)

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer Stelle \(x\) grafisch an? - Welche Werte kann eine Kosinusfunktion maximal annehmen? - Stelle eine allgemeine Formel für die maximale Steigung in Abhängigkeit von \(k\) auf.

1. Bildung der ersten Ableitung von \(f_k(x) = \sin(k \cdot x)\) nach der Kettenregel: \(f_k'(x) = \cos(k \cdot x) \cdot k = k \cdot \cos(k \cdot x)\). 2. Bestimmung der maximalen Steigung: Die Steigung wird durch die Funktionswerte von \(f_k'(x)\) beschrieben. Da die Kosinusfunktion \(\cos(k \cdot x)\) maximal den Wert \(1\) annimmt, beträgt der maximale Wert der Steigungsfunktion \(k \cdot 1 = k\). 3. Analyse der Parameteränderung: Sei \(m_{max} = k\) die maximale Steigung für einen Parameter \(k\). Bei Verdopplung des Parameters auf \(2k\) ergibt sich die neue maximale Steigung zu \(m_{neu} = 2k\). 4. Schlussfolgerung: Eine Verdopplung von \(k\) führt zu einer Verdopplung der maximalen Steigung des Graphen.

Die maximale Steigung des Graphen von \(f_k(x) = \sin(kx)\) ist durch den Wert \(k\) gegeben. Verdoppelt man den Parameter \(k\), so verdoppelt sich auch die maximale Steigung des Graphen.

- Betrachte die Funktionen als verkettete Funktionen der Form \(u(v(x))\). - Was passiert beim Ableiten mit dem Exponenten bei Ausdrücken wie \((\dots)^2\)? - Vergiss nicht, beim Ableiten der inneren Funktionen (wie \(3x\) oder \(2x\)) nachzudifferenzieren. - Schau dir die Verdopplungsformel genau an – kannst du sie in deinen Zwischenergebnissen wiedererkennen?

1. Ableitung von \(f(x) = (\sin(3x))^2\): Anwendung der Kettenregel (äußere Funktion: Quadrat, innere Funktion: Sinus, innerste Funktion: \(3x\)). Resultat: \(f'(x) = 2 \cdot \sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3\). Anwendung der Verdopplungsformel \(2 \cdot \sin(3x) \cdot \cos(3x) = \sin(6x)\). Endergebnis: \(f'(x) = 3\sin(6x)\). 2. Ableitung von \(g(x) = \frac{3}{2}(\cos(x))^2 - \frac{3}{4}\cos(2x)\): Erster Summand mittels Kettenregel ableiten: \(\frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \cos(x) \cdot (-\sin(x)) = -3\sin(x)\cos(x)\). Zweiter Summand mittels Kettenregel ableiten: \(-\frac{3}{4} \cdot (-\sin(2x) \cdot 2) = \frac{3}{2}\sin(2x)\). Zusammenführen: \(g'(x) = -3\sin(x)\cos(x) + \frac{3}{2}\sin(2x)\). Ersetzen von \(3\sin(x)\cos(x)\) durch \(\frac{3}{2}\sin(2x)\) mittels Verdopplungsformel ergibt \(g'(x) = -\frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{3}{2}\sin(2x) = 0\).

1) \(f'(x) = 3\sin(6x)\) 2) \(g'(x) = 0\)

- Überlege dir zuerst genau, welche Funktion beim Einsetzen „innen“ steht und welche „außen“. - Wie lautet die allgemeine Formel für die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion \(u(v(x))\)? - Denk daran, dass beim Ableiten von Logarithmusfunktionen und Potenzfunktionen unterschiedliche Regeln gelten. - Achte bei Teilaufgabe 2 darauf, dass die Potenz sich auf den gesamten Logarithmusterm bezieht.

1. Die Verkettung \(h(x) = f(g(x))\) ergibt \(h(x) = \ln(2x^2 + 5)\). Anwendung der Kettenregel mit der äußeren Ableitung \(\frac{1}{2x^2+5}\) und der inneren Ableitung \(4x\) führt auf \(h'(x) = \frac{4x}{2x^2 + 5}\). 2. Die Verkettung \(k(x) = g(f(x))\) ergibt \(k(x) = 2 \cdot (\ln(x))^2 + 5\). Die äußere Funktion ist \(u(v) = 2v^2 + 5\) mit \(u'(v) = 4v\) und die innere Funktion ist \(v(x) = \ln(x)\) mit \(v'(x) = \frac{1}{x}\). Die Kettenregel liefert \(k'(x) = 4 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{4 \cdot \ln(x)}{x}\).

1. \(h(x) = \ln(2x^2 + 5)\); \(h'(x) = \frac{4x}{2x^2 + 5}\) 2. \(k(x) = 2(\ln(x))^2 + 5\); \(k'(x) = \frac{4 \cdot \ln(x)}{x}\)

- Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn eine Funktion in eine andere eingesetzt wird? - Welche Eigenschaft muss die Ableitung an einer Stelle mit waagerechter Tangente haben? - Kannst du den Term so umformen, dass er wie eine Potenzfunktion mit einer Basis aussieht, die selbst eine Funktion ist? - Wann wird ein Bruch gleich null?

1. Eine mögliche Zerlegung ist die äußere Funktion \(u(x) = x^{-2}\) und die innere Funktion \(v(x) = x^3 - 4\). 2. Nach der Kettenregel gilt \(p'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)\). Mit \(u'(x) = -2x^{-3}\) und \(v'(x) = 3x^2\) ergibt sich \(p'(x) = -2(x^3 - 4)^{-3} \cdot 3x^2 = \frac{-6x^2}{(x^3 - 4)^3}\). 3. Eine waagerechte Tangente liegt vor, wenn die Steigung der Funktion null ist, also \(p'(x) = 0\) gilt. Aus \(\frac{-6x^2}{(x^3 - 4)^3} = 0\) folgt durch Nullsetzen des Zählers \(-6x^2 = 0\), woraus \(x = 0\) resultiert. Da der Nenner für \(x=0\) den Wert \(-64\) annimmt, ist die Stelle im Definitionsbereich der Ableitung enthalten.

1. \(u(x) = x^{-2}\); \(v(x) = x^3 - 4\) (oder eine vergleichbare Zerlegung) 2. \(p'(x) = \frac{-6x^2}{(x^3 - 4)^3}\) 3. \(x = 0\)

- Überlege zuerst, welche Verknüpfung (Summe, Produkt oder Verkettung) die äußere Struktur der Funktion bestimmt. - Wenn du einen Term der Form \((...)^n\) ableitest, denke an die äußere und die innere Ableitung. - Wie lautet die Ableitung von \(\cos(k \cdot x)\)? - Achte beim Zusammenfügen der Teilableitungen besonders auf die Vorzeichen.

1. Identifikation der Produktregel \(u \cdot v\) mit \(u(x) = (x^3 - 2)^5\) und \(v(x) = \cos(4x)\). 2. Berechnung der Ableitung \(u'(x)\) unter Verwendung der Kettenregel: \(u'(x) = 5(x^3 - 2)^4 \cdot 3x^2 = 15x^2(x^3 - 2)^4\). 3. Berechnung der Ableitung \(v'(x)\) unter Verwendung der Kettenregel: \(v'(x) = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x)\). 4. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\): \(f'(x) = 15x^2(x^3 - 2)^4 \cdot \cos(4x) + (x^3 - 2)^5 \cdot (-4\sin(4x))\). 5. Zusammenfassen des Terms: \(f'(x) = 15x^2(x^3 - 2)^4 \cos(4x) - 4(x^3 - 2)^5 \sin(4x)\).

\(f'(x) = 15x^2(x^3 - 2)^4 \cos(4x) - 4(x^3 - 2)^5 \sin(4x)\)

- Wie gehst du vor, wenn eine ganze Klammer quadriert wird? Stichwort: Äußere mal innere Ableitung. - Kannst du die erste Ableitung als ein Produkt von zwei Funktionen ansehen, um die zweite Ableitung zu finden? - Achte darauf, den Faktor 2 beim Ableiten der äußeren Funktion konsequent mitzuführen. - Beim Vereinfachen der zweiten Ableitung hilft es, zuerst die binomische Formel in der Klammer aufzulösen.

1. Anwendung der Kettenregel \(g'(x) = n \cdot [h(x)]^{n-1} \cdot h'(x)\) mit der inneren Funktion \(h(x) = x^2 - 3x + 5\) und der äußeren Potenzfunktion. 2. Berechnung der ersten Ableitung: \(g'(x) = 2 \cdot (x^2 - 3x + 5) \cdot (2x - 3)\). 3. Zur Bestimmung der zweiten Ableitung wird die Produktregel auf \(g'(x)\) angewendet: \(u(x) = 2(x^2 - 3x + 5)\) und \(v(x) = 2x - 3\). 4. Berechnung der zweiten Ableitung: \(g''(x) = 2(2x - 3) \cdot (2x - 3) + 2(x^2 - 3x + 5) \cdot 2\). 5. Vereinfachung des Ergebnisses: \(g''(x) = 2(4x^2 - 12x + 9) + 4x^2 - 12x + 20 = 8x^2 - 24x + 18 + 4x^2 - 12x + 20 = 12x^2 - 36x + 38\).

\(g'(x) = 2(x^2 - 3x + 5)(2x - 3) = 4x^3 - 18x^2 + 38x - 30\) \(g''(x) = 12x^2 - 36x + 38\)

- Erinnere dich daran, wie man eine Funktion ableitet, die aus einer „äußeren“ und einer „inneren“ Funktion besteht. - Überlege dir zuerst, was hier die innere Funktion ist und was die äußere. - Für den zweiten Aufgabenteil hilft es, die exakten Werte der Sinusfunktion für bekannte Winkel im Kopf zu haben oder nachzuschlagen.

1. Zur Ableitung von \(f(x) = \cos(x^2)\) wird die Kettenregel angewendet. Die äußere Funktion ist \(u(v) = \cos(v)\) mit der Ableitung \(u'(v) = -\sin(v)\). Die innere Funktion ist \(v(x) = x^2\) mit der Ableitung \(v'(x) = 2x\). Damit ergibt sich \(f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x \cdot \sin(x^2)\). 2. Einsetzen von \(x = \sqrt{\frac{\pi}{3}}\) in die Ableitungsfunktion: \(f'\left(\sqrt{\frac{\pi}{3}}\right) = -2 \cdot \sqrt{\frac{\pi}{3}} \cdot \sin\left(\left(\sqrt{\frac{\pi}{3}}\right)^2\right) = -2 \cdot \sqrt{\frac{\pi}{3}} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\). Da \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ist, folgt: \(f'\left(\sqrt{\frac{\pi}{3}}\right) = -2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{\pi}\).

1. \(f'(x) = -2x \cdot \sin(x^2)\) 2. Die Steigung an der Stelle \(x = \sqrt{\frac{\pi}{3}}\) beträgt \(-\sqrt{\pi}\).

- Was bedeutet es für die Ableitung einer Funktion, wenn die Tangente an einer Stelle waagerecht verläuft? - Achte beim Ableiten darauf, welche Funktion zuerst auf das \(x\) wirkt und welche danach auf das Ergebnis angewendet wird. - Denke an den Einheitskreis oder den Verlauf der Sinus- und Kosinusfunktion, um die Nullstellen zu finden.

1. Die Funktion lässt sich zerlegen in die innere Funktion \(v(x) = \cos(x)\) und die äußere Funktion \(u(v) = v^2\). 2. Mit der Kettenregel \(g'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)\) ergibt sich: \(g'(x) = 2 \cdot \cos(x) \cdot (-\sin(x)) = -2 \sin(x) \cos(x)\). (Alternativ unter Verwendung der Doppelwinkelformel: \(g'(x) = -\sin(2x)\)). 3. Eine waagerechte Tangente liegt vor, wenn \(g'(x) = 0\) gilt. Aus \(-2 \sin(x) \cos(x) = 0\) folgt entweder \(\sin(x) = 0\) oder \(\cos(x) = 0\). Im Intervall \([0; \pi]\) liefert \(\sin(x) = 0\) die Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \pi\). Die Gleichung \(\cos(x) = 0\) liefert die Stelle \(x_3 = \frac{\pi}{2}\).

1. Innere Funktion: \(v(x) = \cos(x)\); Äußere Funktion: \(u(v) = v^2\) 2. \(g'(x) = -2 \sin(x) \cos(x)\) (oder \(g'(x) = -\sin(2x)\)) 3. Die Stellen mit waagerechter Tangente sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_3 = \pi\).

- Gehe beim Einsetzen von innen nach außen vor: Bestimme zuerst \(v(w(x))\) und setze das Ergebnis dann in \(u\) ein. - Erinnere dich an die Kettenregel: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist das Produkt aus der äußeren Ableitung und der inneren Ableitung. - Bei drei Funktionen musst du die Regel zweimal anwenden: \(f'(x) = u'(v(w(x))) \cdot v'(w(x)) \cdot w'(x)\). - Logarithmengesetze wie \(\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)\) können die Ableitung erheblich vereinfachen.

1. Zur Bestimmung von \(f(x)\) werden die Funktionen nacheinander eingesetzt: \(v(w(x)) = \sqrt{x^2 + 5}\) \(f(x) = u(v(w(x))) = \ln\left(\sqrt{x^2 + 5}\right)\) Optional kann dies mithilfe von Logarithmengesetzen zu \(f(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\) vereinfacht werden. 2. Die Ableitung erfolgt über die Kettenregel für mehrfache Verkettungen: Äußere Ableitung \(u'(z) = \frac{1}{z}\), mittlere Ableitung \(v'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\), innere Ableitung \(w'(x) = 2x\). \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 5}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 5}} \cdot 2x\) Durch Zusammenfassen erhält man: \(f'(x) = \frac{2x}{2(x^2 + 5)} = \frac{x}{x^2 + 5}\)

1. \(f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2 + 5}\right)\) (oder \(f(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\)) 2. \(f'(x) = \frac{x}{x^2 + 5}\)

- Überlege dir, in welcher Reihenfolge du einen Wert für \(x\) berechnen würdest (Rechenschritte). Das hilft bei der Zerlegung. - Achte auf die Notation: \(\cos^4(z)\) bedeutet dasselbe wie \((\cos(z))^4\). - Vergiss beim Differenzieren der Kosinusfunktion das negative Vorzeichen nicht. - Multipliziere am Ende alle Konstanten (Zahlenfaktoren) zu einem einzigen Koeffizienten zusammen.

1. Die Funktion lässt sich von innen nach außen zerlegen: Die innerste Operation ist die lineare Funktion \(w(x) = 3x - 1\). Darauf wird die Kosinusfunktion angewendet: \(v(x) = \cos(x)\). Zuletzt wird das Ergebnis mit der vierten Potenz potenziert: \(u(x) = x^4\). Somit ist \(h(x) = u(v(w(x))) = (\cos(3x - 1))^4\). 2. Zur Ableitung verwenden wir die Kettenregel: Äußere Ableitung: \(u'(v(w(x))) = 4(\cos(3x - 1))^3\) Mittlere Ableitung: \(v'(w(x)) = -\sin(3x - 1)\) Innere Ableitung: \(w'(x) = 3\) Multiplikation der Terme: \(h'(x) = 4\cos^3(3x - 1) \cdot (-\sin(3x - 1)) \cdot 3\) \(h'(x) = -12 \cdot \cos^3(3x - 1) \cdot \sin(3x - 1)\)

1. \(w(x) = 3x - 1\), \(v(x) = \cos(x)\), \(u(x) = x^4\) 2. \(h'(x) = -12 \cos^3(3x - 1) \sin(3x - 1)\)

- Überlege dir, in welcher Reihenfolge du einen konkreten Wert für \(x\) berechnen würdest. - Die Funktion, die du als Letztes anwendest, ist die äußere Funktion \(u\). - Die Funktion, die direkt auf \(x\) wirkt, ist die innerste Funktion \(w\). - Achte bei Potenzen wie \(\sin^4(x)\) darauf, dass dies eine abkürzende Schreibweise für \((\sin(x))^4\) ist.

Die Zerlegung erfolgt schrittweise von innen nach außen: 1. Für Teilaufgabe a): Die innerste Operation ist der lineare Term \(w(x) = 5x + 2\). Dieser wird potenziert mit \(3\), also \(v(x) = x^3\). Die äußere Funktion bildet den Kehrwert, somit \(u(x) = \frac{1}{x}\). 2. Für Teilaufgabe b): Der innerste Teil ist das Quadrat \(w(x) = x^2\). Darauf wird der Kosinus angewendet, also \(v(x) = \cos x\). Die äußerste Operation ist die Wurzel, folglich \(u(x) = \sqrt{x}\). 3. Für Teilaufgabe c): Zuerst wird die Verschiebung \(w(x) = x - \pi\) berechnet. Darauf wirkt die Sinusfunktion \(v(x) = \sin x\). Die vierte Potenz bildet den Abschluss mit \(u(x) = x^4\).

a) \(w(x) = 5x + 2\); \(v(x) = x^3\); \(u(x) = \frac{1}{x}\) b) \(w(x) = x^2\); \(v(x) = \cos x\); \(u(x) = \sqrt{x}\) c) \(w(x) = x - \pi\); \(v(x) = \sin x\); \(u(x) = x^4\)

- Was ist die „Hauptstruktur“ der Funktion (z. B. eine Wurzel oder ein Bruch)? Das ist oft die äußere Funktion \(u\). - Versuche, den Funktionsterm wie eine Zwiebel von außen nach innen zu schälen. - Gibt es einen Ausdruck, der in einer Klammer steht? Das ist oft ein guter Kandidat für eine innere Funktion.

Die Funktionen werden durch Analyse der Rechenhierarchie zerlegt: 1. Bei a) ist die innerste Funktion die lineare Multiplikation \(w(x) = 2x\). Die mittlere Ebene ist die Sinusfunktion \(v(x) = \sin x\). Die äußere Hülle bildet die dritte Wurzel \(u(x) = \sqrt[3]{x}\). 2. Bei b) stellt das Polynom unter der Wurzel die innerste Funktion dar: \(w(x) = x^2 + 4x\). Die mittlere Funktion ist die Wurzel \(v(x) = \sqrt{x}\) und die äußere Funktion der Kehrwert \(u(x) = \frac{1}{x}\). 3. Bei c) startet man mit der Kosinusfunktion \(w(x) = \cos x\). Die mittlere Operation ist die Addition von \(1\), also \(v(x) = x + 1\). Die äußere Funktion ist die Potenzierung \(u(x) = x^5\).

a) \(w(x) = 2x\); \(v(x) = \sin x\); \(u(x) = \sqrt[3]{x}\) b) \(w(x) = x^2 + 4x\); \(v(x) = \sqrt{x}\); \(u(x) = \frac{1}{x}\) c) \(w(x) = \cos x\); \(v(x) = x + 1\); \(u(x) = x^5\)

- Überlege dir Schritt für Schritt, welche Funktion in welche eingesetzt wird, beginnend bei der innersten Klammer. - Ersetze das Argument der äußeren Funktion durch den gesamten Term der inneren Funktion. - Denke beim Ableiten daran, dass du bei mehrfach verketteten Funktionen die Kettenregel eventuell mehrmals anwenden musst (äußere Ableitung mal innere Ableitung). - Erinnere dich an die Ableitung von trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion.

1. Einsetzen der innersten Funktion \(r(x)\) in \(q(x)\): \(q(r(x)) = (\cos(x))^2 - 4 = \cos^2(x) - 4\). 2. Einsetzen dieses Ergebnisses in die äußere Funktion \(p(x)\): \(f(x) = p(q(r(x))) = e^{\cos^2(x) - 4}\). 3. Ableiten mit der Kettenregel: Die äußere Ableitung von \(e^u\) ist \(e^u\). Die innere Ableitung von \(u(x) = \cos^2(x) - 4\) bestimmt man mit der Kettenregel für Potenzen: \(u'(x) = 2 \cdot \cos(x) \cdot (-\sin(x)) = -2\sin(x)\cos(x)\). 4. Zusammenfügen zur Gesamtableitung: \(f'(x) = e^{\cos^2(x) - 4} \cdot (-2\sin(x)\cos(x))\). Unter Verwendung der Doppelwinkelformel \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) ergibt sich \(f'(x) = -\sin(2x) \cdot e^{\cos^2(x) - 4}\).

a) \(f(x) = e^{\cos^2(x) - 4}\) b) \(f'(x) = -2\sin(x)\cos(x) \cdot e^{\cos^2(x) - 4}\) bzw. \(f'(x) = -\sin(2x) \cdot e^{\cos^2(x) - 4}\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte die Funktion \(v(x)\) annehmen darf, damit man daraus die Wurzel ziehen kann. - Stelle für jede Teilaufgabe eine passende Ungleichung auf. - Bei Brüchen solltest du untersuchen, in welchen Intervallen Zähler und Nenner das gleiche Vorzeichen haben. - Vergiss nicht, Definitionslücken der ursprünglichen Funktion \(v\) zu berücksichtigen.

Damit die Verkettung \(u(v(x))\) definiert ist, muss der Funktionswert der inneren Funktion im Definitionsbereich der äußeren Funktion liegen, also \(v(x) \in D_u = [0; \infty)\). Dies entspricht der Bedingung \(v(x) \ge 0\). 1. Für Teilaufgabe a): \(5 - 2x \ge 0 \Rightarrow 5 \ge 2x \Rightarrow x \le 2{,}5\). Somit ist \(D_{v, \text{neu}} = (-\infty; 2{,}5]\). 2. Für Teilaufgabe b): \(x^2 - 16 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 16\). Dies ist erfüllt für \(x \ge 4\) oder \(x \le -4\). Somit ist \(D_{v, \text{neu}} = (-\infty; -4] \cup [4; \infty)\). 3. Für Teilaufgabe c): \(\frac{x+4}{x-2} \ge 0\). Eine Untersuchung der Vorzeichen liefert: Der Bruch ist positiv, wenn Zähler und Nenner gleiches Vorzeichen haben. Dies ist der Fall für \(x \le -4\) (beide negativ oder Zähler Null) oder \(x > 2\) (beide positiv). Der Wert \(x = 2\) muss ausgeschlossen bleiben. Somit ist \(D_{v, \text{neu}} = (-\infty; -4] \cup (2; \infty)\).

a) \(D_{v, \text{neu}} = (-\infty; 2{,}5]\) b) \(D_{v, \text{neu}} = (-\infty; -4] \cup [4; \infty)\) c) \(D_{v, \text{neu}} = (-\infty; -4] \cup (2; \infty)\)

- Oft gibt es nicht nur eine richtige Lösung. Überlege dir, welche Teile des Terms du als zusammengehörig betrachten kannst. - Kannst du den Term unter der Wurzel als eine eigene Funktion auffassen? - Was passiert, wenn du nur die Sinusfunktion als inneren Kern wählst? Wie müsste die äußere Funktion dann aussehen, um den Rest des Terms abzubilden?

Für diese Funktion gibt es mehrere korrekte Zerlegungen: Weg A: 1. Innere Funktion \(v(x) = \sin(x)\). 2. Äußere Funktion \(u\), die das Quadrat bildet, 1 addiert und die Wurzel zieht: \(u(x) = \sqrt{1 + x^2}\). 3. Prüfung: \(u(v(x)) = \sqrt{1 + (\sin(x))^2} = \sqrt{1 + \sin^2(x)}\). Weg B: 1. Innere Funktion \(v(x) = \sin^2(x)\). 2. Äußere Funktion \(u(x) = \sqrt{1 + x}\). 3. Prüfung: \(u(v(x)) = \sqrt{1 + \sin^2(x)}\). Weg C: 1. Innere Funktion \(v(x) = 1 + \sin^2(x)\). 2. Äußere Funktion \(u(x) = \sqrt{x}\). 3. Prüfung: \(u(v(x)) = \sqrt{1 + \sin^2(x)}\).

Mögliche Zerlegungen sind: 1. \(v(x) = \sin(x)\) und \(u(x) = \sqrt{1 + x^2}\) 2. \(v(x) = \sin^2(x)\) und \(u(x) = \sqrt{1 + x}\) 3. \(v(x) = 1 + \sin^2(x)\) und \(u(x) = \sqrt{x}\)

- Überlege dir, in welcher Reihenfolge du die Rechenoperationen ausführst, wenn du einen Wert für \(x\) einsetzt. Die letzte Operation entspricht der äußeren Funktion. - Achte beim Ableiten der trigonometrischen Funktion auf das Vorzeichen. - Denke daran, jede „Schale“ der Funktion einzeln abzuleiten und die Ergebnisse zu multiplizieren.

1. Identifikation der Teilfunktionen für die dreifache Verkettung \(u(v(w(x)))\): Die äußere Funktion ist \(u(v) = v^4\), die mittlere Funktion ist \(v(w) = \cos(w)\) und die innere Funktion ist \(w(x) = 3x - 1\). 2. Berechnung der jeweiligen Ableitungen: \(u'(v) = 4v^3\), \(v'(w) = -\sin(w)\) und \(w'(x) = 3\). 3. Anwendung der erweiterten Kettenregel \(f'(x) = u'(v(w(x))) \cdot v'(w(x)) \cdot w'(x)\): Einsetzen der Terme ergibt \(f'(x) = 4 \cdot (\cos(3x - 1))^3 \cdot (-\sin(3x - 1)) \cdot 3\). 4. Zusammenfassen der Faktoren: \(f'(x) = -12 \cdot \cos^3(3x - 1) \cdot \sin(3x - 1)\).

\(f'(x) = -12 \sin(3x - 1) \cos^3(3x - 1)\)

- Was passiert bei der Quotientenregel im Zähler, wenn die Funktion im Zähler eine Konstante ist? - Erinnere dich an die Regel \(\frac{1}{z} = z^{-1}\), um den Term für die Kettenregel vorzubereiten. - Achte beim Ableiten der Potenz mit negativem Exponenten besonders auf das Vorzeichen und den neuen Exponenten.

1. Quotientenregel: Mit \(u(x) = 5\) (\(u'(x) = 0\)) und \(v(x) = x^2 + 3\) (\(v'(x) = 2x\)) folgt \(f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 3) - 5 \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-10x}{(x^2 + 3)^2}\). 2. Kettenregel: Umschreiben zu \(f(x) = 5 \cdot (x^2 + 3)^{-1}\). Die äußere Ableitung ist \(-5 \cdot (\dots)^{-2}\), die innere Ableitung ist \(2x\). Somit gilt \(f'(x) = -5 \cdot (x^2 + 3)^{-2} \cdot 2x = \frac{-10x}{(x^2 + 3)^2}\). Beide Wege sind konsistent und führen zur selben Ableitung.

\(f'(x) = -\frac{10x}{(x^2 + 3)^2}\)

- Was passiert mit dem höchsten Exponenten einer Funktion, wenn du für \(x\) eine andere Potenzfunktion einsetzt? - Wie ändert sich der Grad eines Polynoms, wenn du es differenzierst? - Welche Regel kennst du für den Grad eines Produkts zweier Polynome? - Versuche, die Bedingung für Teilaufgabe 3 als Gleichung aufzuschreiben und nach Lösungen für natürliche Zahlen zu suchen.

1. Der Grad einer verketteten ganzrationalen Funktion ergibt sich aus dem Produkt der Grade der Einzelfunktionen. Da \(u(x)\) den Grad \(n\) und \(v(x)\) den Grad \(m\) hat, besitzt \(f(x) = u(v(x))\) den Grad \(n \cdot m\). 2. Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion vom Grad \(k\) (mit \(k \geq 1\)) besitzt stets den Grad \(k - 1\). Da \(f\) den Grad \(n \cdot m\) hat, ist der Grad der Ableitungsfunktion \(f'\) gleich \(n \cdot m - 1\). Dies lässt sich auch über die Kettenregel \(f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)\) herleiten: \(\text{grad}(u') = n-1\), \(\text{grad}(u'(v(x))) = (n-1) \cdot m\), \(\text{grad}(v') = m-1\). Die Summe der Grade bei der Multiplikation ergibt \((n-1)m + m-1 = nm - m + m - 1 = nm - 1\). 3. Die Produktfunktion \(h(x) = u(x) \cdot v(x)\) hat den Grad \(n + m\). Gleichsetzen der Grade führt auf die Gleichung \(n \cdot m = n + m\). Umstellen ergibt \(nm - n - m = 0\), was zu \((n-1)(m-1) = 1\) faktorisiert werden kann. Da \(n, m\) natürliche Zahlen sind, ist die einzige Lösung \(n-1 = 1\) und \(m-1 = 1\), also \(n = 2\) und \(m = 2\).

1. \(\text{grad}(f) = n \cdot m\) 2. \(\text{grad}(f') = n \cdot m - 1\) 3. Die Grade sind nur für \(n = 2\) und \(m = 2\) identisch.

- Welchen Grad muss eine Funktion haben, damit ihre Ableitung ein Polynom 11. Grades ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Grad einer Verkettung und den Graden der inneren und äußeren Funktion. - Welche Zahlenpaare ergeben multipliziert das gewünschte Ergebnis? Berücksichtige dabei die Einschränkungen für \(n\) und \(m\).

1. Bestimmung des Grades von \(f\): Wenn die Ableitung \(f'\) einer ganzrationalen Funktion den Grad 11 hat, muss die ursprüngliche Funktion \(f\) den Grad \(11 + 1 = 12\) besitzen. 2. Zusammenhang der Grade bei Verkettung: Der Grad einer verketteten Funktion \(f(x) = p(q(x))\) ist das Produkt der Grade der beteiligten Funktionen, also \(n \cdot m = 12\). 3. Ermittlung der Paare \((n, m)\): Gesucht sind alle Paare natürlicher Zahlen, deren Produkt 12 ergibt, wobei \(n \geq 2\) und \(m \geq 2\) gelten muss. Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Unter Ausschluss der 1 ergeben sich die Paare: \((2, 6)\), \((3, 4)\), \((4, 3)\) und \((6, 2)\).

Die möglichen Paare \((n, m)\) sind \((2, 6)\), \((3, 4)\), \((4, 3)\) und \((6, 2)\).

- Die Ableitung von \(e^u\) ist \(e^u \cdot u'\). - Für die Tangentengleichung benötigst du den Punkt \((x_0 | f(x_0))\) und die Steigung \(f'(x_0)\). - Um den Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen zu finden, kannst du die Exponenten gleichsetzen, wenn die Basis gleich ist. - Vergleiche die berechneten Ableitungswerte an der Stelle des Schnittpunktes direkt miteinander.

1. Ableitung von \(f\) mit der Kettenregel: \(f'(x) = e^{2x-4} \cdot 2 = 2e^{2x-4}\). 2. Tangente bei \(x=2\): Funktionswert \(f(2) = e^{2\cdot 2 - 4} = e^0 = 1\). Steigung \(f'(2) = 2e^0 = 2\). Tangentengleichung: \(y = 2(x - 2) + 1 = 2x - 3\). 3. Schnittpunkt berechnen: \(e^{2x-4} = e^x \Rightarrow 2x - 4 = x \Rightarrow x = 4\). Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunktes \(S\) ist \(4\). 4. Steigungsvergleich bei \(x=4\): \(g'(x) = e^x\), also \(g'(4) = e^4\). Für \(f\) gilt \(f'(4) = 2e^{2\cdot 4 - 4} = 2e^4\). 5. Vergleich: \(f'(4) = 2 \cdot g'(4)\). Das Verhältnis der Steigungen ist somit \(2:1\).

a) \(f'(x) = 2e^{2x-4}\); Tangentengleichung: \(y = 2x - 3\). b) Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunktes ist \(x = 4\). c) Im Schnittpunkt gilt \(f'(4) = 2e^4\) und \(g'(4) = e^4\). Damit ist \(f'(4) = 2 \cdot g'(4)\).

- Bestimme zuerst die allgemeine Ableitungsfunktion mithilfe der Kettenregel. - Erinnere dich daran, dass die Steigung an einer Stelle dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle entspricht. - Achte bei den trigonometrischen Funktionen darauf, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Überlege dir, wie man eine Potenzfunktion mit einer trigonometrischen Funktion im Inneren ableitet.

1. Für \(f(x) = \sqrt{x^2 + 9}\): Ableitung \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+9}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\). Einsetzen von \(x_0 = 4\) ergibt \(f'(4) = \frac{4}{\sqrt{16+9}} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). 2. Für \(f(x) = \sin(2x)\): Ableitung \(f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)\). Einsetzen von \(x_0 = \frac{\pi}{6}\) ergibt \(f'(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot 0{,}5 = 1\). 3. Für \(f(x) = (\cos(x) + 1)^3\): Ableitung \(f'(x) = 3(\cos(x) + 1)^2 \cdot (-\sin(x))\). Einsetzen von \(x_0 = \frac{\pi}{2}\) ergibt \(f'(\frac{\pi}{2}) = 3(\cos(\frac{\pi}{2}) + 1)^2 \cdot (-\sin(\frac{\pi}{2})) = 3(0+1)^2 \cdot (-1) = -3\).

a) \(f'(4) = 0{,}8\) b) \(f'(\frac{\pi}{6}) = 1\) c) \(f'(\frac{\pi}{2}) = -3\)

- Was ist die „innere“ und was die „äußere“ Funktion bei diesem Term? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln für höhere Potenzen oder wie man Klammern schrittweise multipliziert? - Wie kann man zeigen, dass zwei unterschiedlich aussehende Terme eigentlich gleich sind?

1. Anwendung der Kettenregel: Äußere Funktion \(u^3\) mit Ableitung \(3u^2\), innere Funktion \(0{,}5x^2 - 2\) mit Ableitung \(x\). Es folgt \(f'(x) = 3 \cdot (0{,}5x^2 - 2)^2 \cdot x = 3x(0{,}5x^2 - 2)^2\). 2. Umformung durch Ausmultiplizieren: \(f(x) = (0{,}5x^2)^3 - 3(0{,}5x^2)^2 \cdot 2 + 3(0{,}5x^2) \cdot 2^2 - 2^3 = 0{,}125x^6 - 1{,}5x^4 + 6x^2 - 8\). Gliedweises Ableiten ergibt \(f'(x) = 0{,}75x^5 - 6x^3 + 12x\). 3. Vergleich: Ausklammern von \(3x\) im zweiten Ergebnis führt auf \(f'(x) = 3x(0{,}25x^4 - 2x^2 + 4)\). Das erste Ergebnis expandiert zu \(3x((0{,}5x^2)^2 - 2 \cdot 0{,}5x^2 \cdot 2 + 2^2) = 3x(0{,}25x^4 - 2x^2 + 4)\). Beide Terme sind identisch.

1. \(f'(x) = 3x(0{,}5x^2 - 2)^2\) 2. \(f'(x) = 0{,}75x^5 - 6x^3 + 12x\) 3. Durch Ausmultiplizieren von \(3x(0{,}25x^4 - 2x^2 + 4)\) erhält man in beiden Fällen \(0{,}75x^5 - 6x^3 + 12x\).

- Welche Hauptregel der Differentiation musst du bei einem Produkt zweier Terme anwenden? - Beachte, dass beide Faktoren des Produkts jeweils verkettete Funktionen sind. - Wie leitest du eine Potenz einer trigonometrischen Funktion ab? Erinnere dich an die Struktur \((g(x))^n\). - Achte beim Ableiten von Kosinus- und Sinusfunktionen auf die Vorzeichen und die inneren Ableitungen.

1. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) mit \(u(x) = \cos(x^2)\) und \(v(x) = \sin^3(2x)\). 2. Ableitung von \(u(x)\) mittels Kettenregel: \(u'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x \sin(x^2)\). 3. Ableitung von \(v(x)\) mittels Kettenregel (zweifach): Die äußere Funktion ist die Potenz \((\dots)^3\), die innere der Sinus \(\sin(\dots)\), und dessen Argument ist \(2x\). Somit gilt \(v'(x) = 3 \sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 6 \sin^2(2x) \cos(2x)\). 4. Zusammenfügen der Teile: \(f'(x) = -2x \sin(x^2) \sin^3(2x) + \cos(x^2) \cdot 6 \sin^2(2x) \cos(2x)\). 5. Ausklammern gemeinsamer Faktoren (optional): \(f'(x) = 2 \sin^2(2x) \cdot [3 \cos(x^2) \cos(2x) - x \sin(x^2) \sin(2x)]\).

\(f'(x) = -2x \sin(x^2) \sin^3(2x) + 6 \cos(x^2) \sin^2(2x) \cos(2x)\)

- Kannst du die Funktion als Potenz mit negativem Exponenten schreiben, um die Quotientenregel zu vermeiden? - Denk an die Kettenregel: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung". - Welche Regel benötigst du für die zweite Ableitung, wenn im Zähler und Nenner (oder in beiden Faktoren) die Variable \(x\) vorkommt? - Versuche bei der zweiten Ableitung am Ende alles auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und den Zähler zu vereinfachen.

1. Umschreiben der Funktion in eine Potenzform: \(f(x) = 2 \cdot (x^2 + 4)^{-1}\). 2. Berechnung der ersten Ableitung mit der Kettenregel: Die äußere Ableitung ist \(-2 \cdot (x^2 + 4)^{-2}\), die innere Ableitung ist \(2x\). Multiplikation ergibt \(f'(x) = -4x \cdot (x^2 + 4)^{-2}\) bzw. \(f'(x) = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^2}\). 3. Berechnung der zweiten Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel: Setze \(u(x) = -4x\) und \(v(x) = (x^2 + 4)^{-2}\). Es gilt \(u'(x) = -4\) und \(v'(x) = -2(x^2 + 4)^{-3} \cdot 2x = -4x(x^2 + 4)^{-3}\). 4. Einsetzen in die Produktregel \(u'v + uv'\): \(f''(x) = -4(x^2 + 4)^{-2} + (-4x) \cdot (-4x(x^2 + 4)^{-3}) = -4(x^2 + 4)^{-2} + 16x^2(x^2 + 4)^{-3}\). 5. Zusammenfassen auf einen Nenner: \(f''(x) = \frac{-4(x^2 + 4) + 16x^2}{(x^2 + 4)^3} = \frac{-4x^2 - 16 + 16x^2}{(x^2 + 4)^3} = \frac{12x^2 - 16}{(x^2 + 4)^3}\).

\(f'(x) = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^2}\) \(f''(x) = \frac{12x^2 - 16}{(x^2 + 4)^3}\)

- Wie viele Funktionen sind hier ineinander verschachtelt? Zähle von außen nach innen. - Hast du für jede Ebene der Verschachtelung einen Faktor in deiner Ableitung? - Überlege, was die „innerste“ Funktion ist und wie deren Ableitung lautet. - Manchmal hilft es, die Funktion mit Klammern umzuschreiben, um die Prioritäten der Operationen klarer zu sehen.

1. Identifikation der Verschachtelung: Die Funktion ist zweifach verschachtelt. Die äußere Funktion ist die Potenzierung \(u^2\), die erste innere Funktion ist der Sinus \(\sin(v)\) und die innerste Funktion ist die lineare Funktion \(5x\). 2. Fehleranalyse: Der Schüler hat zwar die äußere Ableitung (\(2 \cdot \dots\)) und die Ableitung der Sinusfunktion (\(\cos(\dots)\)) berücksichtigt, jedoch die Kettenregel nicht zu Ende geführt. Die innerste Ableitung von \(5x\), also der Faktor \(5\), wurde vergessen. 3. Berechnung der korrekten Ableitung: Nach der Kettenregel ergibt sich \(f'(x) = 2 \cdot \sin(5x) \cdot \cos(5x) \cdot 5\). 4. Vereinfachung: Zusammengefasst ergibt dies \(f'(x) = 10 \sin(5x) \cos(5x)\).

Der Fehler liegt im Vergessen der innersten Ableitung des Arguments \(5x\). Die korrekte Ableitung lautet \(f'(x) = 10 \sin(5x) \cos(5x)\).

- Welche Ableitungsregel benötigst du für eine verkettete Funktion? - Untersuche den Term der ersten Ableitung: Handelt es sich um ein Produkt von zwei Funktionen, die beide von \(x\) abhängen? - Welche Regel musst du anwenden, wenn du ein Produkt ableitest, bei dem ein Faktor selbst wieder eine verkettete Funktion ist? - Achte auf die korrekte Anwendung der Ableitung von Sinus und Kosinus.

1. Bestimmung der ersten Ableitung mittels Kettenregel: Die äußere Ableitung von \(2 \sin(u)\) ist \(2 \cos(u)\), die innere Ableitung von \(x^2 + 1\) ist \(2x\). Somit gilt \(f'(x) = 2 \cos(x^2 + 1) \cdot 2x = 4x \cos(x^2 + 1)\). 2. Bestimmung der zweiten Ableitung mittels Produktregel (\(u \cdot v\)) mit \(u = 4x\) und \(v = \cos(x^2 + 1)\). 3. Ableiten der Faktoren: \(u' = 4\) und \(v' = -\sin(x^2 + 1) \cdot 2x = -2x \sin(x^2 + 1)\) (Kettenregel). 4. Zusammensetzen nach der Produktregel: \(f''(x) = 4 \cdot \cos(x^2 + 1) + 4x \cdot (-2x \sin(x^2 + 1)) = 4 \cos(x^2 + 1) - 8x^2 \sin(x^2 + 1)\).

\(f'(x) = 4x \cos(x^2 + 1)\) \(f''(x) = 4 \cos(x^2 + 1) - 8x^2 \sin(x^2 + 1)\)

- Du kannst die beiden Teile der Funktion getrennt voneinander ableiten. - Hilft es dir, den Bruchterm als Potenz mit einem negativen Exponenten zu schreiben? - Welche Funktion bildet beim ersten Teil den „Kern“, der zuerst berechnet wird? - Achte beim Ableiten der trigonometrischen Funktion besonders auf das Vorzeichen. - Denk daran, dass bei jedem Teil die Kettenregel angewendet werden muss.

1. Ableiten des ersten Summanden \(3 \cos(2t^2 + 5)\) mittels Kettenregel: Die äußere Ableitung ist \(-3 \sin(2t^2 + 5)\), die innere Ableitung ist \(4t\). Das Produkt ergibt \(-12t \sin(2t^2 + 5)\). 2. Ableiten des zweiten Summanden \(-\frac{4}{3t - 2}\): Umschreiben als \(-4(3t - 2)^{-1}\). Die äußere Ableitung ist \(4(3t - 2)^{-2}\), die innere Ableitung ist \(3\). Das Produkt ergibt \(12(3t - 2)^{-2}\) bzw. \(\frac{12}{(3t - 2)^2}\). 3. Zusammenführen der Teilableitungen gemäß der Summenregel: \(g'(t) = -12t \sin(2t^2 + 5) + \frac{12}{(3t - 2)^2}\).

\(g'(t) = -12t \sin(2t^2 + 5) + \frac{12}{(3t - 2)^2}\)

- Verwende die Kettenregel, wobei du besonders auf die innere Ableitung der Klammer achtest. - Was passiert mit dem Exponenten bei jeder weiteren Ableitung? - Erinnerst du dich, was passiert, wenn man eine Potenzfunktion so oft ableitet, wie ihr Grad angibt? - Wie oft tritt der Faktor aus der inneren Ableitung bis zur 12. Ableitung auf?

1. Erste Ableitung mit Ketten- und Potenzregel: \(g_k'(x) = 12 \cdot (1 - kx)^{11} \cdot (-k) = -12k(1 - kx)^{11}\). 2. Zweite Ableitung: \(g_k''(x) = -12k \cdot 11 \cdot (1 - kx)^{10} \cdot (-k) = 132k^2(1 - kx)^{10}\). 3. Struktur der \(n\)-ten Ableitung für \(n \leq 12\): Jede Ableitung verringert den Exponenten um 1 und bringt einen Faktor aus dem Exponenten sowie den Faktor \((-k)\) aus der inneren Ableitung hervor. 4. Die 12. Ableitung eines Polynoms 12. Grades ist eine Konstante: \(g_k^{(12)}(x) = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot \dots \cdot 1 \cdot (-k)^{12}\). 5. Berechnung des Werts: \(12! = 479\,001\,600\). Da der Exponent 12 gerade ist, ist \((-k)^{12} = k^{12}\). Somit \(g_k^{(12)}(x) = 479\,001\,600 k^{12}\).

\(g_k''(x) = 132k^2(1 - kx)^{10}\) \(g_k^{(12)}(x) = 479\,001\,600 k^{12}\)

- Identifiziere alle Konstanten und Parameter. Welche davon fallen beim Ableiten weg und welche bleiben als Faktoren erhalten? - Achte bei verschachtelten Funktionen wie \(f(f(x))\) genau darauf, was die innere und was die äußere Funktion ist. - Wende die Potenzregel für die Ableitung von \(x^n\) kombiniert mit der Kettenregel an. - Lass dich von den vielen Buchstaben nicht verwirren; behandle \(a, b, c, d\) wie feste Zahlen.

1. Für \(g(x) = f(a \cdot x^n + b)\) lautet die innere Funktion \(u(x) = a \cdot x^n + b\). Deren Ableitung ist \(u'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}\). Nach der Kettenregel folgt: \(g'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1} \cdot f'(a \cdot x^n + b)\). 2. Bei \(g(x) = \frac{1}{n} \cdot (f(x))^n\) ist die äußere Funktion \(v(u) = \frac{1}{n} \cdot u^n\) mit \(v'(u) = u^{n-1}\). Die innere Funktion ist \(f(x)\). Es ergibt sich \(g'(x) = (f(x))^{n-1} \cdot f'(x)\). 3. Die Funktion \(g(x) = f(f(x))\) ist eine Verkettung von \(f\) mit sich selbst. Die äußere Ableitung an der Stelle \(f(x)\) ist \(f'(f(x))\), die innere Ableitung ist \(f'(x)\). Somit gilt \(g'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)\). 4. Für \(g(x) = a \cdot f(b \cdot x + c) + d\) werden die Faktorregel, die Summenregel und die Kettenregel kombiniert. Die Konstante \(d\) fällt weg, der Faktor \(a\) bleibt erhalten. Die innere Ableitung von \(b \cdot x + c\) ist \(b\). Ergebnis: \(g'(x) = a \cdot b \cdot f'(b \cdot x + c)\).

a) \(g'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1} \cdot f'(a \cdot x^n + b)\) b) \(g'(x) = (f(x))^{n-1} \cdot f'(x)\) c) \(g'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)\) d) \(g'(x) = a \cdot b \cdot f'(b \cdot x + c)\)

- Nutze die Eigenschaft \(\sin(-z) = -\sin(z)\) für die Punktsymmetrie der Sinusfunktion. - Vergiss beim Ableiten von \(f(-x)\) nicht das Nachdifferenzieren der inneren Funktion. - Welche Symmetrieeigenschaft besitzt die Kosinusfunktion? - Überlege dir, wie sich das Symmetrieverhalten eines Produkts aus den Symmetrien der einzelnen Faktoren ergibt.

1. Punktsymmetrie von \(h\): Da \(f\) punktsymmetrisch ist, gilt \(f(-x) = -f(x)\). Einsetzen in \(h\) liefert \(h(-x) = \sin(f(-x)) = \sin(-f(x))\). Da der Sinus ungerade ist (\(\sin(-z) = -\sin(z)\)), folgt \(h(-x) = -\sin(f(x)) = -h(x)\). 2. Ableitung von \(h\): Mit der Kettenregel folgt \(h'(x) = \cos(f(x)) \cdot f'(x)\). 3. Symmetrie von \(f'\): Differenzieren der Symmetriebedingung \(f(-x) = -f(x)\) nach \(x\) unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite ergibt \(f'(-x) \cdot (-1) = -f'(x)\). Multiplikation mit \(-1\) liefert \(f'(-x) = f'(x)\), womit \(f'\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist. 4. Symmetrie von \(h'\): Untersuchung von \(h'(-x) = \cos(f(-x)) \cdot f'(-x)\). Mit \(f(-x) = -f(x)\), der Achsensymmetrie des Kosinus (\(\cos(-z) = \cos(z)\)) und der Achsensymmetrie von \(f'\) ergibt sich \(h'(-x) = \cos(-f(x)) \cdot f'(x) = \cos(f(x)) \cdot f'(x) = h'(x)\). Somit ist \(h'\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

a) \(h(-x) = \sin(f(-x)) = \sin(-f(x)) = -\sin(f(x)) = -h(x)\). b) \(h'(x) = \cos(f(x)) \cdot f'(x)\) c) Ableiten von \(f(-x) = -f(x)\) liefert \(-f'(-x) = -f'(x)\), also \(f'(-x) = f'(x)\). Damit folgt \(h'(-x) = \cos(f(-x)) \cdot f'(-x) = \cos(-f(x)) \cdot f'(x) = \cos(f(x)) \cdot f'(x) = h'(x)\), was die Achsensymmetrie von \(h'\) zeigt.

- Betrachte \(g(h(x))\) zunächst als eine einzige innere Funktion, um die erste Ableitung zu bilden. - Was musst du tun, wenn die innere Ableitung selbst wieder eine Kettenregel erfordert? - Gehe bei der Tabellenauswertung schrittweise von innen nach außen vor: Bestimme zuerst \(h(0)\), dann \(g\) an dieser Stelle und schließlich \(f'\) an der resultierenden Stelle. - Achte genau darauf, ob in der Formel der Funktionswert oder der Ableitungswert an einer bestimmten Stelle benötigt wird.

1. Herleitung der Formel: Anwendung der Kettenregel auf \(f(V(x))\) ergibt \(f'(V(x)) \cdot V'(x)\). Da \(V(x) = g(h(x))\), ist \(V'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\). Einsetzen liefert \(k'(x) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\). 2. Bestimmung von \(k'(0)\): \(k'(0) = f'(g(h(0))) \cdot g'(h(0)) \cdot h'(0)\). 3. Ablesen der Werte aus der Tabelle: \(h(0) = 1\), \(h'(0) = 5\). 4. Bestimmung des nächsten Arguments: \(g(h(0)) = g(1) = 0\). 5. Ablesen der weiteren Werte: \(g'(h(0)) = g'(1) = 3\) und \(f'(g(h(0))) = f'(0) = 1\). 6. Berechnung des Produkts: \(1 \cdot 3 \cdot 5 = 15\).

a) \(k'(x) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\) b) \(k'(0) = 15\)

- Erinnere dich, bei welchen Werten die Sinusfunktion den Wert Null annimmt. - Nutze die Kettenregel für die Ableitung: Die innere Funktion ist hier \(\frac{\pi}{4}x^2\). - Wenn du die Extremstellen suchst, betrachte beide Faktoren der Ableitung getrennt. - Überlege dir, welche Werte der Sinus maximal und minimal annehmen kann, um die Art der Extrempunkte schnell zu bestimmen. - Achte darauf, dass \(\sqrt{6} \approx 2{,}45\) noch innerhalb der Grenzen \(\pm 2{,}5\) liegt.

1. Nullstellen: \(\sin\left(\frac{\pi}{4}x^2\right) = 0 \iff \frac{\pi}{4}x^2 = k \cdot \pi \iff x^2 = 4k\). Für \(x \in [-2{,}5; 2{,}5]\) muss \(0 \le x^2 \le 6{,}25\) gelten. Mögliche Werte für \(k\) sind \(0\) und \(1\). - \(k=0 \implies x = 0\) - \(k=1 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2\) Nullstellen: \(x \in \{-2; 0; 2\}\). 2. Ableitung: \(h'(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4}x^2\right) \cdot \frac{\pi}{2}x\). Notwendige Bedingung \(h'(x) = 0\): - \(x = 0\) - \(\cos\left(\frac{\pi}{4}x^2\right) = 0 \iff \frac{\pi}{4}x^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff x^2 = 2 + 4k\). Im Bereich \(0 \le x^2 \le 6{,}25\) ergeben sich für \(k=0\): \(x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}\) und für \(k=1\): \(x^2 = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}\). 3. Art der Extrema (z. B. Vorzeichenwechsel von \(h'(x)\)): - Bei \(x = 0\): \(h(0) = 0\). \(h'(x)\) wechselt von negativ nach positiv (da \(\cos \approx 1\) und \(x\) das Vorzeichen wechselt). Lokales Minimum \(T_1(0 | 0)\). - Bei \(x = \pm \sqrt{2}\): \(h(\pm \sqrt{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1\). Da dies der Maximalwert des Sinus ist: Lokale Maxima \(H_1(-\sqrt{2} | 1)\) und \(H_2(\sqrt{2} | 1)\). - Bei \(x = \pm \sqrt{6}\): \(h(\pm \sqrt{6}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1\). Da dies der Minimalwert des Sinus ist: Lokale Minima \(T_2(-\sqrt{6} | -1)\) und \(T_3(\sqrt{6} | -1)\).

a) Nullstellen: \(x_1 = -2\); \(x_2 = 0\); \(x_3 = 2\) b) Lokale Minima: \(T_1(0 | 0)\), \(T_{2,3}(\pm \sqrt{6} | -1)\); Lokale Maxima: \(H_{1,2}(\pm \sqrt{2} | 1)\)

- Überlege dir genau, welche Funktion die „äußere“ und welche die „innere“ ist. - Wie lautet die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion? - Achte bei der Verkettung darauf, an welcher Stelle die Variable \(x\) durch den gesamten Term der inneren Funktion ersetzt wird. - Gibt es einen Unterschied in der Ableitung, ob der Logarithmus quadriert wird oder ob das Argument des Logarithmus ein Quadrat enthält?

1. Für \(p(x) = \ln(4 - x^2)\) Anwendung der Kettenregel mit der äußeren Ableitung \(\frac{1}{v(x)}\) und der inneren Ableitung \(-2x\): \(p'(x) = \frac{1}{4 - x^2} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{4 - x^2}\). 2. Für \(q(x) = 4 - (\ln(x))^2\) Anwendung der Kettenregel auf den Term \((\ln(x))^2\): \(q'(x) = 0 - 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{2\ln(x)}{x}\). 3. Für \(r(x) = \ln(x) \cdot (4 - x^2)\) Anwendung der Produktregel: \(r'(x) = \frac{1}{x} \cdot (4 - x^2) + \ln(x) \cdot (-2x) = \frac{4}{x} - x - 2x\ln(x)\).

a) \(p(x) = \ln(4 - x^2)\); \(p'(x) = \frac{-2x}{4 - x^2}\) b) \(q(x) = 4 - (\ln(x))^2\); \(q'(x) = -\frac{2\ln(x)}{x}\) c) \(r(x) = (4 - x^2)\ln(x)\); \(r'(x) = \frac{4}{x} - x - 2x\ln(x)\)

- Kannst du die Funktion in zwei separate Teile zerlegen und diese einzeln ableiten? - Für den ersten Teil benötigst du eine Kombination aus Produkt- und Kettenregel. - Was ist die innere Funktion bei \(\sin(x^2 + 1)\)? - Vergiss beim zweiten Teil nicht den konstanten Faktor und die innere Ableitung der Klammer.

1. Anwendung der Summenregel auf die Terme \(g(x) = 3x^2 \cdot \sin(x^2 + 1)\) und \(h(x) = \frac{1}{4}(2x - 5)^8\). 2. Ableitung von \(g(x)\) mittels Produktregel: Die Ableitung von \(3x^2\) ist \(6x\). Die Ableitung von \(\sin(x^2 + 1)\) ergibt per Kettenregel \(\cos(x^2 + 1) \cdot 2x\). 3. Zusammensetzen von \(g'(x)\): \(g'(x) = 6x \cdot \sin(x^2 + 1) + 3x^2 \cdot \cos(x^2 + 1) \cdot 2x = 6x \sin(x^2 + 1) + 6x^3 \cos(x^2 + 1)\). 4. Ableitung von \(h(x)\) mittels Kettenregel: \(h'(x) = \frac{1}{4} \cdot 8(2x - 5)^7 \cdot 2 = 4(2x - 5)^7\). 5. Kombination der Ergebnisse: \(f'(x) = 6x \sin(x^2 + 1) + 6x^3 \cos(x^2 + 1) - 4(2x - 5)^7\).

\(f'(x) = 6x \sin(x^2 + 1) + 6x^3 \cos(x^2 + 1) - 4(2x - 5)^7\)

- Gehe bei der Verkettung streng von innen nach außen vor. - Achte darauf, wie sich die Definitionsbereiche durch die Verkettung verändern könnten (z. B. bei der Wurzel oder dem Bruch). - Setze für den zweiten Aufgabenteil einfach den Wert \(x=1\) in deine gefundenen Terme ein. - Überlege dir für die Begründung, ob es mathematisch einen Unterschied macht, ob man erst quadriert oder erst die Wurzel zieht.

1. Bestimmung von \(g(x)\): Zuerst \(w(x) = \frac{1}{x}\) in \(v(x)\) einsetzen: \(v(w(x)) = (\frac{1}{x})^2 + 2 = \frac{1}{x^2} + 2\). Dann dieses Ergebnis in \(u(x)\) einsetzen: \(g(x) = \sqrt{\frac{1}{x^2} + 2}\). 2. Bestimmung von \(h(x)\): Zuerst \(u(x) = \sqrt{x}\) in \(v(x)\) einsetzen: \(v(u(x)) = (\sqrt{x})^2 + 2 = x + 2\) (für \(x \ge 0\)). Dann dieses Ergebnis in \(w(x)\) einsetzen: \(h(x) = \frac{1}{x+2}\). 3. Berechnung der Funktionswerte für \(x = 1\): \(g(1) = \sqrt{\frac{1}{1^2} + 2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}\). \(h(1) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}\). 4. Vergleich: Die Ergebnisse \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\) und \(\frac{1}{3} \approx 0{,}333\) sind verschieden. Die Reihenfolge der Verkettung beeinflusst das Endergebnis maßgeblich, da die Funktionen nicht kommutativ bezüglich der Komposition sind.

a) \(g(x) = \sqrt{\frac{1}{x^2} + 2}\) und \(h(x) = \frac{1}{x+2}\) (für \(x \ge 0\)) b) \(g(1) = \sqrt{3}\) und \(h(1) = \frac{1}{3}\). Die Werte sind unterschiedlich, da die Reihenfolge der Funktionsanwendung (Komposition) entscheidend ist.

- Welche Eigenschaft müssen Zahlen haben, damit ihr Logarithmus definiert ist? - Wie kannst du eine Ungleichung mit einer Exponentialfunktion nach \(x\) auflösen? - Wann ist ein Bruch mit einer positiven Zahl im Zähler insgesamt positiv? - Achte darauf, ob die Randpunkte der Intervalle zum Definitionsbereich gehören dürfen oder nicht.

Die Verkettung \(\ln(v(x))\) ist nur definiert, wenn \(v(x) \in D_u\), also \(v(x) > 0\) gilt. 1. Zu a): Die Bedingung \(e^x - 5 > 0\) führt auf \(e^x > 5\). Durch Anwenden des natürlichen Logarithmus erhält man \(x > \ln(5)\). Der eingeschränkte Definitionsbereich ist somit \(D_{v, \text{neu}} = (\ln(5); \infty)\). 2. Zu b): Die Bedingung \(\frac{1}{x^2-1} > 0\) ist erfüllt, wenn der Nenner positiv ist, da der Zähler konstant \(1 > 0\) ist. Also muss \(x^2 - 1 > 0\) gelten, woraus \(x^2 > 1\) folgt. Dies ist für \(x > 1\) oder \(x < -1\) der Fall. Der eingeschränkte Definitionsbereich ist somit \(D_{v, \text{neu}} = (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\).

a) \(D_{v, \text{neu}} = (\ln(5); \infty)\) b) \(D_{v, \text{neu}} = (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\)

- Kannst du die Funktion als eine Folge von drei hintereinander ausgeführten Rechenschritten beschreiben? - Erinnere dich an die Ableitung der Wurzelfunktion und der \(e\)-Funktion. - Manchmal lassen sich Terme nach dem Ableiten noch deutlich vereinfachen, wenn die ursprüngliche Funktion im Ergebnis wieder auftaucht. - Überlege, ob du die Funktion mit Hilfe von Potenzgesetzen umschreiben kannst, um die Ableitung zu überprüfen.

1. Zerlegung der Funktion in drei Teilfunktionen: Die äußere Funktion ist die Quadratwurzel \(u(v) = \sqrt{v}\), die mittlere Funktion ist die Exponentialfunktion \(v(w) = e^w\) und die innerste Funktion ist die quadratische Funktion \(w(x) = x^2 + 4\). 2. Ableiten der Teilfunktionen: \(u'(v) = \frac{1}{2\sqrt{v}}\), \(v'(w) = e^w\) und \(w'(x) = 2x\). 3. Verknüpfung nach der Kettenregel: \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{e^{x^2 + 4}}} \cdot e^{x^2 + 4} \cdot 2x\). 4. Vereinfachung des Terms: Da \(\frac{e^{x^2 + 4}}{\sqrt{e^{x^2 + 4}}} = \sqrt{e^{x^2 + 4}}\) gilt, kürzt sich die \(2\) und es bleibt \(g'(x) = x \cdot \sqrt{e^{x^2 + 4}}\). 5. Alternativer Weg über Potenzgesetze: \(g(x) = (e^{x^2 + 4})^{1/2} = e^{0{,}5x^2 + 2}\). Die Ableitung mittels einfacher Kettenregel ergibt \(g'(x) = e^{0{,}5x^2 + 2} \cdot x\), was zum selben Ergebnis führt.

\(g'(x) = x \cdot \sqrt{e^{x^2 + 4}}\) oder \(g'(x) = x \cdot e^{0{,}5x^2 + 2}\)

- Wurzeln lassen sich oft leichter ableiten, wenn man sie als Potenz mit rationalem Exponenten schreibt. - Brüche mit konstantem Zähler können mithilfe negativer Exponenten umgeformt werden. - Bei Summen von Funktionen darfst du jeden Summanden einzeln ableiten.

a) Anwendung der Kettenregel auf \((x^2 + 2x + 5)^{\frac{1}{2}}\): Äußere Ableitung \(\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 5)^{-\frac{1}{2}}\), innere Ableitung \(2x + 2\). Zusammengefasst: \(g'(x) = \frac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x + 5}} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}\). b) Umschreiben als Potenz: \(h(x) = 10 \cdot (3x - 1)^{-4}\). Kettenregel: Äußere Ableitung \(-40(3x - 1)^{-5}\), innere Ableitung \(3\). Ergebnis: \(h'(x) = -120(3x - 1)^{-5} = -\frac{120}{(3x - 1)^5}\). c) Ableitung der Summe: Für \(\sqrt{2x}\) ist die äußere Ableitung \(\frac{1}{2\sqrt{2x}}\) und die innere \(2\), also \(\frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}\). Für \((x^3 - 1)^2\) ist die äußere Ableitung \(2(x^3 - 1)\) und die innere \(3x^2\), also \(6x^2(x^3 - 1)\). Gesamt: \(k'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} + 6x^2(x^3 - 1)\).

a) \(g'(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}\) b) \(h'(x) = -\frac{120}{(3x - 1)^5}\) c) \(k'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} + 6x^5 - 6x^2\) (oder \(k'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} + 6x^2(x^3 - 1)\))

- Betrachte die Wurzel als äußere Funktion. Wie lautet die Ableitung von \(\sqrt{u}\)? - Der Term unter der Wurzel ist ein Bruch. Welche Regel benötigst du, um diesen abzuleiten? - Vergiss nicht, am Ende die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung zu multiplizieren. - Achte beim Vereinfachen des Zählers der inneren Ableitung besonders auf die Vorzeichen beim Auflösen der Klammern.

1. Identifikation der äußeren Funktion \(h(u) = \sqrt{u}\) und der inneren Funktion \(g(x) = \frac{3x + 2}{x^2 + 1}\). 2. Ableitung der äußeren Funktion: \(h'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}\). 3. Ableitung der inneren Funktion mittels Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{3(x^2 + 1) - (3x + 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 - 4x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-3x^2 - 4x + 3}{(x^2 + 1)^2}\). 4. Anwendung der Kettenregel \(f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)\): \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{3x + 2}{x^2 + 1}}} \cdot \frac{-3x^2 - 4x + 3}{(x^2 + 1)^2}\). 5. Vereinfachung (optional): \(f'(x) = \frac{-3x^2 - 4x + 3}{2(x^2 + 1)^2 \sqrt{\frac{3x + 2}{x^2 + 1}}} = \frac{-3x^2 - 4x + 3}{2(x^2 + 1) \sqrt{(x^2 + 1)(3x + 2)}}\).

\(f'(x) = \frac{-3x^2 - 4x + 3}{2(x^2 + 1)^2 \sqrt{\frac{3x + 2}{x^2 + 1}}}\) oder vereinfacht \(f'(x) = \frac{-3x^2 - 4x + 3}{2(x^2 + 1) \sqrt{(x^2 + 1)(3x + 2)}}\)

- Was ist die Ableitung der Kosinusfunktion? - Vergiss nicht, bei der Kettenregel mit der Ableitung der inneren Funktion nachzumultiplizieren. - Wenn das Ergebnis der ersten Ableitung ein Produkt aus zwei Termen mit \(x\) ist, welche Regel musst du dann für die zweite Ableitung anwenden? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du Sinus und Kosinus ableitest.

1. Berechnung der ersten Ableitung mit der Kettenregel: Die äußere Ableitung ist \(-\sin(3x^2 + 1)\), die innere Ableitung der Klammer ist \(6x\). Es folgt \(f'(x) = -6x \cdot \sin(3x^2 + 1)\). 2. Berechnung der zweiten Ableitung mit der Produktregel: Setze \(u(x) = -6x\) und \(v(x) = \sin(3x^2 + 1)\). 3. Bestimmung der Teilableitungen: \(u'(x) = -6\). Für \(v'(x)\) wird erneut die Kettenregel benötigt: \(v'(x) = \cos(3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x \cos(3x^2 + 1)\). 4. Anwendung der Produktregel \(f''(x) = u'v + uv'\): \(f''(x) = -6 \cdot \sin(3x^2 + 1) + (-6x) \cdot (6x \cos(3x^2 + 1))\). 5. Vereinfachung des Ausdrucks: \(f''(x) = -6 \sin(3x^2 + 1) - 36x^2 \cos(3x^2 + 1)\).

\(f'(x) = -6x \cdot \sin(3x^2 + 1)\) \(f''(x) = -6 \sin(3x^2 + 1) - 36x^2 \cos(3x^2 + 1)\)