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- Überlege dir, welche Funktion „innen“ in der Klammer steht und welche „außen“ auf die Klammer wirkt. - Wie lautet die Regel für das Ableiten von verketteten Funktionen? - Vergiss nicht, den Faktor vor der Klammer beim Ableiten der äußeren Funktion zu berücksichtigen.

1. Identifikation der inneren Funktion \(u(z) = 2z^3 + 5\) und Berechnung ihrer Ableitung \(u'(z) = 6z^2\). 2. Identifikation der äußeren Funktion \(v(u) = \frac{1}{4}u^4\) und Berechnung ihrer Ableitung \(v'(u) = u^3\). 3. Anwendung der Kettenregel \(h'(z) = v'(u(z)) \cdot u'(z)\). 4. Einsetzen der Terme: \(h'(z) = (2z^3 + 5)^3 \cdot 6z^2\). 5. Vereinfachung des Terms zu \(h'(z) = 6z^2 \cdot (2z^3 + 5)^3\).

\(h'(z) = 6z^2 \cdot (2z^3 + 5)^3\)

- Behandle die beiden Teile der Summe getrennt voneinander. - Beim ersten Teil handelt es sich um eine Sinusfunktion, in deren Argument wieder eine Funktion steht. - Was passiert mit Konstanten wie \(\pi\) beim Ableiten? - Achte darauf, die innere Ableitung als Faktor mit dem Rest der Ableitung zu multiplizieren.

1. Aufteilung der Funktion in zwei Summanden: \(k_1(t) = 2\sin(4t^2 - \pi)\) und \(k_2(t) = t^2\). 2. Ableitung des ersten Summanden mittels Kettenregel: Innere Funktion \(u(t) = 4t^2 - \pi\) mit \(u'(t) = 8t\); äußere Funktion \(v(u) = 2\sin(u)\) mit \(v'(u) = 2 \cos(u)\). 3. Berechnung von \(k_1'(t) = 2 \cos(4t^2 - \pi) \cdot 8t = 16t \cdot \cos(4t^2 - \pi)\). 4. Ableitung des zweiten Summanden: \(k_2'(t) = 2t\). 5. Addition der Teilableitungen gemäß der Summenregel: \(k'(t) = 16t \cdot \cos(4t^2 - \pi) + 2t\).

\(k'(t) = 16t \cdot \cos(4t^2 - \pi) + 2t\)

- Wie viele Funktionen sind hier ineinander verschachtelt? Zähle von außen nach innen. - Hast du für jede Ebene der Verschachtelung einen Faktor in deiner Ableitung? - Überlege, was die „innerste“ Funktion ist und wie deren Ableitung lautet. - Manchmal hilft es, die Funktion mit Klammern umzuschreiben, um die Prioritäten der Operationen klarer zu sehen.

1. Identifikation der Verschachtelung: Die Funktion ist zweifach verschachtelt. Die äußere Funktion ist die Potenzierung \(u^2\), die erste innere Funktion ist der Sinus \(\sin(v)\) und die innerste Funktion ist die lineare Funktion \(5x\). 2. Fehleranalyse: Der Schüler hat zwar die äußere Ableitung \(2 \cdot \dots\) und die Ableitung der Sinusfunktion \(\cos(\dots)\) berücksichtigt, jedoch die Kettenregel nicht zu Ende geführt. Die innerste Ableitung von \(5x\), also der Faktor \(5\), wurde vergessen. 3. Berechnung der korrekten Ableitung: Nach der Kettenregel ergibt sich \(f'(x) = 2 \cdot \sin(5x) \cdot \cos(5x) \cdot 5\). 4. Vereinfachung: Zusammengefasst ergibt dies \(f'(x) = 10 \cdot \sin(5x) \cdot \cos(5x)\).

Der Fehler liegt im Vergessen der innersten Ableitung des Arguments \(5x\). Die korrekte Ableitung lautet \(f'(x) = 10 \cdot \sin(5x) \cdot \cos(5x)\).

- Überlege, welche Funktion die „äußere“ und welche die „innere“ Funktion ist. - Wie lautet die Regel für das Ableiten von verketteten Funktionen? - Denke daran, mit der Ableitung der inneren Funktion zu multiplizieren. - Berechne zuerst die allgemeine Ableitungsfunktion, bevor du den konkreten Wert einsetzt.

1. Ableitung von \(f(x)\) mit der Kettenregel: \(f'(x) = 4(2x - 5)^3 \cdot 2 = 8(2x - 5)^3\). Einsetzen von \(x_0 = 3\) ergibt \(f'(3) = 8(2 \cdot 3 - 5)^3 = 8 \cdot 1^3 = 8\). 2. Ableitung von \(g(t)\) mit der Kettenregel: \(g'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t^2 + 7}} \cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 7}}\). Einsetzen von \(t_0 = 3\) ergibt \(g'(3) = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} = 0{,}75\).

a) \(f'(3) = 8\) b) \(g'(3) = 0{,}75\)

- Kannst du die innere und die äußere Funktion benennen? - Überlege, wie du beim Ableiten mit dem Vorfaktor und der inneren Ableitung umgehst. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Nachdifferenzieren. - Was passiert mit dem Exponenten bei jeder Ableitung?

1. Identifikation der äußeren Funktion \(u^6\) und der inneren Funktion \(4 - 5x\). 2. Anwendung der Kettenregel für die erste Ableitung: \(f'(x) = 6 \cdot (4 - 5x)^5 \cdot (-5) = -30(4 - 5x)^5\). 3. Erneute Anwendung der Kettenregel für die zweite Ableitung: \(f''(x) = -30 \cdot 5 \cdot (4 - 5x)^4 \cdot (-5) = 750(4 - 5x)^4\).

\(f'(x) = -30(4 - 5x)^5\) \(f''(x) = 750(4 - 5x)^4\)

- Welche Operation wird als Letztes ausgeführt, wenn du einen Wert für \(x\) einsetzt? Das ist oft die äußere Funktion. - Stell dir die Funktion wie eine Zwiebel vor: Was ist die äußere Schale und was liegt im Kern? - Achte beim Ableiten der äußeren Funktion darauf, den inneren Teil zunächst unverändert zu lassen.

1. Identifikation der Teilfunktionen: Die innere Funktion ist \(v(x) = 2x^3 + 7\), die äußere Funktion ist \(u(x) = x^5\). 2. Berechnung der Ableitungen: Für die äußere Funktion gilt \(u'(x) = 5x^4\), für die innere Funktion \(v'(x) = 6x^2\). 3. Verkettung der Ableitungen: Einsetzen von \(v(x)\) in \(u'(x)\) ergibt \(u'(v(x)) = 5(2x^3 + 7)^4\). 4. Anwendung der Kettenregel: \(f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = 5 \cdot (2x^3 + 7)^4 \cdot 6x^2 = 30x^2(2x^3 + 7)^4\).

a) \(u(x) = x^5\); \(v(x) = 2x^3 + 7\) b) \(u'(x) = 5x^4\); \(v'(x) = 6x^2\) c) \(u'(v(x)) = 5(2x^3 + 7)^4\); \(f'(x) = 30x^2(2x^3 + 7)^4\)

- Welche Funktion wird hier zuerst auf \(x\) angewendet und welche danach? - Erinnerst du dich an die Regel „äußere Ableitung mal innere Ableitung“? - Wie leitest du eine Klammer mit einem Exponenten ab? - Was ist die Ableitung des Ausdrucks, der innerhalb der Klammer steht?

1. Identifikation der äußeren Funktion \(u(v) = \frac{1}{2}v^5\) und der inneren Funktion \(v(x) = 2x^3 - 4\). 2. Berechnung der äußeren Ableitung: \(u'(v) = \frac{5}{2}v^4\). 3. Berechnung der inneren Ableitung: \(v'(x) = 6x^2\). 4. Anwendung der Kettenregel durch Multiplikation der Ableitungen: \(f'(x) = \frac{5}{2}(2x^3 - 4)^4 \cdot 6x^2\). 5. Vereinfachung des Terms: \(f'(x) = 15x^2(2x^3 - 4)^4\).

\(f'(x) = 15x^2(2x^3 - 4)^4\)

- Welche Funktion wird zuerst auf \( x \) angewendet und welche danach? - Erinnerst du dich an die Regel für das Ableiten von verketteten Funktionen? - Bestimme zuerst die Ableitungen der einzelnen Teilfunktionen. - Wie werden die Ableitung der äußeren und der inneren Funktion miteinander verknüpft?

1. Identifikation der äußeren Funktion \( u(v) = e^v \) und der inneren Funktion \( v(x) = \sin(x) \). 2. Bestimmung der Ableitungen: \( u'(v) = e^v \) und \( v'(x) = \cos(x) \). 3. Anwendung der Kettenregel \( f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \). 4. Verknüpfung der Terme ergibt \( f'(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \), was dem gesuchten Term \( \cos(x) \cdot e^{\sin(x)} \) entspricht.

Durch Anwendung der Kettenregel mit der äußeren Funktion \( u(v) = e^v \) und der inneren Funktion \( v(x) = \sin(x) \) ergibt sich \( f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \).

- Was bedeutet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse für den Funktionsterm? - Wie lautet die Definition der Punktsymmetrie zum Ursprung? - Welche Regel nutzt du, um eine verkettete Funktion der Form \(f(u(x))\) abzuleiten? - Betrachte beim Einsetzen von \(-x\) in \(g'(x)\) sorgfältig das Vorzeichen, das durch die lineare Komponente entsteht.

1. Nachweis der Achsensymmetrie von \(g\): Einsetzen von \(-x\) in den Funktionsterm ergibt \(g(-x) = f((-x)^2) = f(x^2) = g(x)\). Aus der Gleichheit \(g(-x) = g(x)\) folgt die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. 2. Ableitung von \(g\): Die Anwendung der Kettenregel auf \(g(x) = f(x^2)\) mit der äußeren Funktion \(f\) und der inneren Funktion \(u(x) = x^2\) (mit \(u'(x) = 2x\)) liefert \(g'(x) = f'(x^2) \cdot 2x\). 3. Nachweis der Punktsymmetrie von \(g'\): Einsetzen von \(-x\) in die Ableitungsfunktion ergibt \(g'(-x) = f'((-x)^2) \cdot 2 \cdot (-x) = f'(x^2) \cdot (-2x) = - (f'(x^2) \cdot 2x) = -g'(x)\). Da \(g'(-x) = -g'(x)\) gilt, ist der Graph von \(g'\) punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Wegen \(g(-x) = f((-x)^2) = f(x^2) = g(x)\) ist \(g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) \(g'(x) = 2x \cdot f'(x^2)\) c) Wegen \(g'(-x) = 2(-x) \cdot f'((-x)^2) = -2x \cdot f'(x^2) = -g'(x)\) ist \(g'\) punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Überlege dir, welche Rechenoperation als Letztes ausgeführt wird – das ist oft die äußere Funktion. - Was steht „in“ der Klammer oder „unter“ der Wurzel? Das könnte deine innere Funktion sein. - Erinnere dich an die Formel für die Kettenregel: Äußere Ableitung mal innere Ableitung. - Kannst du die Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben?

1. Teilaufgabe a: Identifikation der inneren Funktion \(v(x) = 2x^2 - 1\) und der äußeren Funktion \(u(x) = x^6\). Berechnung der Ableitungen \(v'(x) = 4x\) und \(u'(x) = 6x^5\). Anwendung der Kettenregel ergibt \(f'(x) = 6(2x^2 - 1)^5 \cdot 4x = 24x(2x^2 - 1)^5\). 2. Teilaufgabe b: Identifikation der inneren Funktion \(v(x) = x^3 + 2\) und der äußeren Funktion \(u(x) = 4\sqrt{x}\). Berechnung der Ableitungen \(v'(x) = 3x^2\) und \(u'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}}\). Anwendung der Kettenregel ergibt \(f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x^3 + 2}} \cdot 3x^2 = \frac{6x^2}{\sqrt{x^3 + 2}}\).

a) \(u(x) = x^6\), \(v(x) = 2x^2 - 1\); \(f'(x) = 24x(2x^2 - 1)^5\) b) \(u(x) = 4\sqrt{x}\), \(v(x) = x^3 + 2\); \(f'(x) = \frac{6x^2}{\sqrt{x^3 + 2}}\) Für Teilaufgabe b) gilt für die Ableitung \(x>-\sqrt[3]{2}\).

- Identifiziere bei jedem Term die „innere“ und die „äußere“ Funktion. - Denke daran, dass beim Ableiten nach der Kettenregel mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert werden muss. - Achte bei der Kosinusfunktion auf das Vorzeichen der Ableitung.

1. Anwendung der Kettenregel auf \(f(x) = \sin(4x)\): Die äußere Ableitung ist \(\cos(4x)\), die innere Ableitung von \(4x\) ist \(4\). Ergebnis: \(f'(x) = 4 \cos(4x)\). 2. Anwendung der Kettenregel auf \(f(x) = 5\cos(2x - 1)\): Die äußere Ableitung ist \(5 \cdot (-\sin(2x - 1))\), die innere Ableitung von \(2x - 1\) ist \(2\). Multiplikation ergibt: \(f'(x) = -10 \sin(2x - 1)\). 3. Anwendung der Summen- und Kettenregel auf \(f(x) = \sin(0{,}5x) + \cos(x^2)\): Der erste Summand ergibt abgeleitet \(\cos(0{,}5x) \cdot 0{,}5\). Der zweite Summand ergibt abgeleitet \(-\sin(x^2) \cdot 2x\). Zusammengefasst: \(f'(x) = 0{,}5 \cos(0{,}5x) - 2x \sin(x^2)\).

1) \(f'(x) = 4 \cos(4x)\) 2) \(f'(x) = -10 \sin(2x - 1)\) 3) \(f'(x) = 0{,}5 \cos(0{,}5x) - 2x \sin(x^2)\)

- Bestimme zuerst die Ableitungen mit der Kettenregel. - Erinnerst du dich an die Ableitung von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\)? Achte auf die Vorzeichen. - Stelle den trigonometrischen Pythagoras einmal nach \(\sin^2(x)\) um. - Welchen Einfluss hat eine additive Konstante (wie \(+1\) oder \(-5\)) auf die Ableitung einer Funktion?

1. Ableitung von \(u(x) = (\sin(x))^2\): Kettenregel liefert \(u'(x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)\). 2. Ableitung von \(v(x) = -(\cos(x))^2\): Kettenregel liefert \(v'(x) = -2 \cdot \cos(x) \cdot (-\sin(x)) = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)\). 3. Vergleich: Die Ableitungen sind identisch: \(u'(x) = v'(x)\). 4. Erklärung: Aus \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) folgt \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\). Somit gilt \(u(x) = 1 + v(x)\). Da sich die Funktionen nur um eine additive Konstante unterscheiden, müssen ihre Ableitungen gleich sein.

a) \(u'(x) = \sin(2x)\) und \(v'(x) = \sin(2x)\) b) Die Ableitungen sind identisch, da sich die Funktionen wegen \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\) nur um die Konstante \(1\) unterscheiden (\(u(x) = v(x) + 1\)).

- Überlege dir bei der Kettenregel genau, was die „innere“ und was die „äußere“ Funktion ist. - Denk beim Ausmultiplizieren an die zweite binomische Formel. - Versuche das Ergebnis der Kettenregel durch Ausmultiplizieren zu vereinfachen, um den Vergleich zu erleichtern.

1. Anwendung der Kettenregel: Die äußere Funktion ist \(u^2\) mit der Ableitung \(2u\), die innere Funktion ist \(v(x) = 2x^3 - 5\) mit \(v'(x) = 6x^2\). Es ergibt sich \(f'(x) = 2 \cdot (2x^3 - 5) \cdot 6x^2 = 12x^2(2x^3 - 5) = 24x^5 - 60x^2\). 2. Ausmultiplizieren: Mithilfe der binomischen Formel gilt \(f(x) = 4x^6 - 20x^3 + 25\). Die gliedweise Ableitung ergibt \(f'(x) = 24x^5 - 60x^2\). Vergleich: Beide Methoden führen nach Vereinfachung zum identischen Ergebnis \(24x^5 - 60x^2\).

\(f'(x) = 24x^5 - 60x^2\)

- Denke daran, dass eine Funktion linear ist, wenn sie in der Form \(y = kx + d\) geschrieben werden kann. - Bei der Verkettung \(g(k(x))\) setzt du den gesamten Term von \(k\) für jedes \(x\) in die Funktion \(g\) ein. - Die Kettenregel lautet: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Überlege dir, welchen Funktionstyp man erhält, wenn man eine lineare Funktion mit einer Konstanten multipliziert.

1. Einsetzen von \(k(x)\) in \(g(x)\): \(L(x) = m(ax + b) + c = (ma)x + (mb + c)\). Da dies die Form \(y = Mx + B\) hat, ist \(L\) linear mit der Steigung \(M = ma\). 2. Anwendung der Kettenregel auf \(h(x) = (mx + c)^2\): Die äußere Ableitung ist \(f'(u) = 2u\) und die innere Ableitung ist \(g'(x) = m\). Es folgt \(h'(x) = 2 \cdot (m \cdot x + c) \cdot m = 2m^2x + 2mc\). 3. Die Kettenregel besagt \(h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Da \(f'(x) = 2x\) linear ist und \(g(x)\) linear ist, ist die Verkettung \(f' \circ g\) nach Teilaufgabe a) wieder eine lineare Funktion. Da \(g'(x) = m\) ein konstanter Faktor ist, bleibt das Produkt \(h'(x)\) eine lineare Funktion.

a) \(L(x) = (ma)x + (mb + c)\); die Steigung ist \(ma\). b) \(h'(x) = 2m(mx + c)\) bzw. \(h'(x) = 2m^2x + 2mc\). c) Die Ableitung \(h'\) ist das Produkt aus der verketteten Funktion \(f' \circ g\) und der Konstanten \(g'\). Da die Ableitung der Quadratfunktion (\(2x\)) linear ist und die Verkettung zweier linearer Funktionen wieder linear ist, muss auch \(h'\) linear sein.

- Zerlege die Funktion in eine äußere und eine innere Funktion. - Wende die Regel „äußere Ableitung mal innere Ableitung“ an. - Achte beim Ableiten von Verkettungen auf die Vorzeichen, besonders bei Kosinus- und Wurzelfunktionen.

1. Für \(f(x) = \sin(x^2 + 3)\): Äußere Funktion \(u(v) = \sin(v)\) mit \(u'(v) = \cos(v)\), innere Funktion \(v(x) = x^2 + 3\) mit \(v'(x) = 2x\). Ergebnis: \(f'(x) = 2x \cdot \cos(x^2 + 3)\). 2. Für \(f(x) = \sqrt{10 - 2x}\): Äußere Funktion \(u(v) = \sqrt{v}\) mit \(u'(v) = \frac{1}{2\sqrt{v}}\), innere Funktion \(v(x) = 10 - 2x\) mit \(v'(x) = -2\). Ergebnis: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{10 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}\). 3. Für \(f(x) = 0{,}5\cos(4x)\): Äußere Funktion \(u(v) = 0{,}5\cos(v)\) mit \(u'(v) = -0{,}5\sin(v)\), innere Funktion \(v(x) = 4x\) mit \(v'(x) = 4\). Ergebnis: \(f'(x) = -0{,}5 \cdot \sin(4x) \cdot 4 = -2\sin(4x)\). Die Ableitungen in a) und c) sind für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert; in b) gilt wegen des Wurzelausdrucks im Nenner \(x<5\).

a) \(f'(x) = 2x \cos(x^2 + 3)\) für \(x \in \mathbb{R}\) b) \(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}\) für \(x<5\) c) \(f'(x) = -2 \sin(4x)\) für \(x \in \mathbb{R}\)

- Was besagt die Kettenregel über das „Nachdifferenzieren“? - Bestimme separat die Ableitung des Ausdrucks innerhalb der Klammer. - Wie berechnet man die Steigung an einer bestimmten Stelle, wenn die Ableitungsfunktion bekannt ist? - Achte beim Einsetzen der Zahl auf die Vorzeichenregeln bei Potenzen.

1. Der Fehler liegt in der Nichtbeachtung der Kettenregel; es wurde lediglich die äußere Funktion abgeleitet, während die Multiplikation mit der inneren Ableitung (Nachdifferenzieren) vergessen wurde. 2. Die innere Funktion ist \(v(x) = 2x^3 - 5\). Ihre Ableitung lautet \(v'(x) = 6x^2\). 3. Unter Anwendung der Kettenregel ergibt sich der korrekte Ableitungsterm: \(g'(x) = 4 \cdot (2x^3 - 5)^3 \cdot 6x^2 = 24x^2 \cdot (2x^3 - 5)^3\). 4. Zur Bestimmung der Steigung an der Stelle \(x = 1\) wird der Wert in die Ableitungsfunktion eingesetzt: \(g'(1) = 24 \cdot 1^2 \cdot (2 \cdot 1^3 - 5)^3 = 24 \cdot (2 - 5)^3 = 24 \cdot (-3)^3 = 24 \cdot (-27) = -648\).

Der Fehler ist die fehlende innere Ableitung. Der korrekte Ableitungsterm ist \(g'(x) = 24x^2 \cdot (2x^3 - 5)^3\). Die Steigung an der Stelle \(x = 1\) beträgt \(-648\).

- Erinnere dich an die Struktur der Kettenregel: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Was passiert mit dem Argument der äußeren Funktion, während du die äußere Ableitung bildest? - Überprüfe bei Exponentialfunktionen genau, ob sich der Exponent im Vergleich zur Ausgangsfunktion verändert hat. - Suche gezielt nach Faktoren, die durch das Nachdifferenzieren entstanden sein müssten.

1. Fall A: Die Kettenregel wurde nicht vollständig angewendet; die Multiplikation mit der inneren Ableitung \(u'(x) = 5x^4\) fehlt. Die korrekte Ableitung lautet \(f'(x) = 4(x^5 - 2)^3 \cdot 5x^4 = 20x^4(x^5 - 2)^3\). 2. Fall B: Das Argument der Sinusfunktion wurde fälschlicherweise verändert; die Ableitung der inneren Funktion wurde als neues Argument eingesetzt. Das Argument der äußeren Ableitung muss jedoch der ursprünglichen inneren Funktion \(3x^2\) entsprechen. Die korrekte Ableitung lautet \(g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x = -6x \cdot \sin(3x^2)\). 3. Fall C: Der Exponent der natürlichen Exponentialfunktion wurde beim Ableiten verändert. Bei der Ableitung von \(e^{u(x)}\) bleibt der Exponent \(u(x)\) unverändert erhalten. Die korrekte Ableitung lautet \(h'(x) = e^{4x+1} \cdot 4 = 4e^{4x+1}\).

A: Innere Ableitung fehlt; \(f'(x) = 20x^4(x^5 - 2)^3\). B: Argument der Winkelfunktion falsch verändert; \(g'(x) = -6x \cdot \sin(3x^2)\). C: Exponent der \(e\)-Funktion falsch verändert; \(h'(x) = 4e^{4x+1}\).

- Erinnere dich an die Ableitung der Exponentialfunktion und der trigonometrischen Grundfunktionen. - Bei Potenzen von Funktionen wie \(\sin^2(x)\) hilft es, die Funktion als \((\sin(x))^2\) zu schreiben, um die Verkettung deutlicher zu sehen. - Kannst du den Ausdruck \(2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)\) mithilfe eines Additionstheorems vereinfachen?

1. Ableitung von \(f(x)\) unter Anwendung der Kettenregel: \(f'(x) = e^{x^2 - 1} \cdot 2x\). Für \(x_0 = 1\) ergibt sich \(f'(1) = e^{1^2 - 1} \cdot 2 \cdot 1 = e^0 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2\). 2. Ableitung von \(g(x) = (\sin(x))^2\) unter Anwendung der Kettenregel (äußere Funktion \(u^2\), innere Funktion \(\sin(x)\)): \(g'(x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)\). Mithilfe der Doppelwinkelformel oder durch direktes Einsetzen von \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) erhält man \(g'(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1\).

a) \(f'(1) = 2\) b) \(g'(\frac{\pi}{4}) = 1\)

- Welche Ableitungsregel benötigst du für eine verkettete Funktion? - Untersuche den Term der ersten Ableitung: Handelt es sich um ein Produkt von zwei Funktionen, die beide von \(x\) abhängen? - Welche Regel musst du anwenden, wenn du ein Produkt ableitest, bei dem ein Faktor selbst wieder eine verkettete Funktion ist? - Achte auf die korrekte Anwendung der Ableitung von Sinus und Kosinus.

1. Bestimmung der ersten Ableitung mittels Kettenregel: Die äußere Ableitung von \(2 \sin(u)\) ist \(2 \cos(u)\), die innere Ableitung von \(x^2 + 1\) ist \(2x\). Somit gilt \(f'(x) = 2 \cos(x^2 + 1) \cdot 2x = 4x \cdot \cos(x^2 + 1)\). 2. Bestimmung der zweiten Ableitung mittels Produktregel (\(u \cdot v\)) mit \(u = 4x\) und \(v = \cos(x^2 + 1)\). 3. Ableiten der Faktoren: \(u' = 4\) und \(v' = -\sin(x^2 + 1) \cdot 2x = -2x \cdot \sin(x^2 + 1)\) (Kettenregel). 4. Zusammensetzen nach der Produktregel: \(f''(x) = 4 \cdot \cos(x^2 + 1) + 4x \cdot (-2x \cdot \sin(x^2 + 1)) = 4 \cos(x^2 + 1) - 8x^2 \cdot \sin(x^2 + 1)\).

\(f'(x) = 4x \cdot \cos(x^2 + 1)\) \(f''(x) = 4 \cos(x^2 + 1) - 8x^2 \cdot \sin(x^2 + 1)\)

- Erinnerst du dich an die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du die Kosinusfunktion ableitest? - Für die Steigung an einer bestimmten Stelle musst du den \(x\)-Wert in die erste Ableitung einsetzen. - Überlege dir die Werte von \(\sin(\frac{\pi}{2})\) und \(\cos(\frac{\pi}{2})\) am Einheitskreis.

1. Zerlegung: Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion \(u(x) = e^x\), die innere Funktion ist die Kosinusfunktion \(v(x) = \cos(x)\). 2. Ableitungen der Komponenten: Es gilt \(u'(x) = e^x\) und \(v'(x) = -\sin(x)\). 3. Verkettung der Ableitung: \(u'(v(x)) = e^{\cos(x)}\). 4. Kettenregel: \(f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = -\sin(x) \cdot e^{\cos(x)}\). 5. Punktuelle Steigung: Einsetzen von \(x = \frac{\pi}{2}\) ergibt \(f'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) \cdot e^{\cos(\frac{\pi}{2})} = -1 \cdot e^0 = -1\).

a) \(u(x) = e^x\); \(v(x) = \cos(x)\) b) \(u'(x) = e^x\); \(v'(x) = -\sin(x)\); \(u'(v(x)) = e^{\cos(x)}\) c) \(f'(x) = -\sin(x) \cdot e^{\cos(x)}\) d) \(f'(\frac{\pi}{2}) = -1\)

- Du kannst die beiden Teile der Funktion getrennt voneinander ableiten. - Hilft es dir, den Bruchterm als Potenz mit einem negativen Exponenten zu schreiben? - Welche Funktion bildet beim ersten Teil den „Kern“, der zuerst berechnet wird? - Achte beim Ableiten der trigonometrischen Funktion besonders auf das Vorzeichen. - Denk daran, dass bei jedem Teil die Kettenregel angewendet werden muss.

1. Ableiten des ersten Summanden \(3 \cos(2t^2 + 5)\) mittels Kettenregel: Die äußere Ableitung ist \(-3 \sin(2t^2 + 5)\), die innere Ableitung ist \(4t\). Das Produkt ergibt \(-12t \sin(2t^2 + 5)\). 2. Ableiten des zweiten Summanden \(-\frac{4}{3t - 2}\): Umschreiben als \(-4(3t - 2)^{-1}\). Die äußere Ableitung ist \(4(3t - 2)^{-2}\), die innere Ableitung ist \(3\). Das Produkt ergibt \(12(3t - 2)^{-2}\) bzw. \(\frac{12}{(3t - 2)^2}\). 3. Zusammenführen der Teilableitungen gemäß der Summenregel: \(g'(t) = -12t \sin(2t^2 + 5) + \frac{12}{(3t - 2)^2}\). 4. Wegen des ursprünglichen Nenners \(3t-2\) gilt die Definitionsbedingung \(t \neq \frac{2}{3}\).

\(g'(t) = -12t \sin(2t^2 + 5) + \frac{12}{(3t - 2)^2}\) für \(t \neq \frac{2}{3}\)

- Welche der vorkommenden Buchstaben sind Variablen und welche sind feste Werte (Parameter)? - Identifiziere bei jeder Teilaufgabe die äußere und die innere Funktion. - Achte bei trigonometrischen Funktionen besonders auf das Vorzeichen der Ableitung. - Manche Ausdrücke lassen sich einfacher ableiten, wenn man die Potenzschreibweise wie \((\dots)^n\) verdeutlicht.

1. Für \(f_k(x) = (kx^2 - 5)^4\): Anwendung der Kettenregel mit der äußeren Funktion \(u^4\) und der inneren Funktion \(v(x) = kx^2 - 5\). Die Ableitung ist \(f_k'(x) = 4(kx^2 - 5)^3 \cdot 2kx = 8kx(kx^2 - 5)^3\). 2. Für \(g_a(t) = \sin(at - a)\): Anwendung der Kettenregel mit der äußeren Funktion \(\sin(u)\) und der inneren Funktion \(v(t) = at - a\). Die Ableitung ist \(g_a'(t) = \cos(at - a) \cdot a = a \cos(at - a)\). 3. Für \(h_b(x) = (\cos(bx))^2\): Zweifache Anwendung der Kettenregel. Äußere Ableitung der Quadratfunktion ist \(2 \cos(bx)\), multipliziert mit der inneren Ableitung von \(\cos(bx)\), welche \(-b \sin(bx)\) lautet. Ergebnis: \(h_b'(x) = -2b \cos(bx) \sin(bx)\).

a) \(f_k'(x) = 8kx(kx^2 - 5)^3\) b) \(g_a'(t) = a \cos(at - a)\) c) \(h_b'(x) = -2b \sin(bx) \cos(bx)\) (oder \(h_b'(x) = -b \sin(2bx)\))

- Überprüfe genau, nach welcher Variable abgeleitet wird – diese steht meist in der Klammer hinter dem Funktionsnamen. - Wenn ein Teil des Terms die Variable gar nicht enthält, verhält er sich beim Ableiten wie eine normale Zahl. - Bei verschachtelten Funktionen hilft es, die innere Funktion zuerst separat abzuleiten. - Überlege dir, ob du einen Term vor dem Ableiten vereinfachen oder umschreiben kannst.

1. Für \(f_c(z) = \sin(cz^3)\): Kettenregel mit innerer Funktion \(v(z) = cz^3\) (\(v' = 3cz^2\)) und äußerer Funktion \(\sin(u)\). Es ergibt sich \(f_c'(z) = 3cz^2 \cos(cz^3)\). 2. Für \(g_a(x) = \cos((ax)^2)\): Kettenregel mit innerer Funktion \(v(x) = a^2 x^2\) (\(v' = 2a^2 x\)) und äußerer Funktion \(\cos(u)\). Es ergibt sich \(g_a'(x) = -\sin(a^2 x^2) \cdot 2a^2 x = -2a^2 x \sin(a^2 x^2)\). 3. Für \(h_{a,k}(t) = t \cdot \sin(ak^2)\): Hier ist \(t\) die Variable. Der gesamte Ausdruck \(\sin(ak^2)\) enthält keine Variable \(t\) und ist somit ein konstanter Faktor. Die Ableitung einer linearen Funktion \(c \cdot t\) nach \(t\) ist die Konstante \(c\). Somit gilt \(h_{a,k}'(t) = \sin(ak^2)\).

a) \(f_c'(z) = 3cz^2 \cos(cz^3)\) b) \(g_a'(x) = -2a^2 x \sin(a^2 x^2)\) c) \(h_{a,k}'(t) = \sin(ak^2)\)

- Wende die Kettenregel schrittweise an. - Berechne die ersten vier Ableitungen und achte auf das Vorzeichen und die Funktion (Sinus oder Kosinus). - Überlege, wie oft sich das Muster der Ableitungen bei Sinusfunktionen wiederholt. - Untersuche, ob die gesuchte Ordnung der Ableitung ein Vielfaches dieser Periodenlänge ist.

1. Erste Ableitung mit der Kettenregel berechnen: \(f_a'(x) = a \cdot \cos(ax + 1)\). 2. Zweite Ableitung durch erneutes Ableiten bestimmen: \(f_a''(x) = a \cdot (-a \cdot \sin(ax + 1)) = -a^2 \sin(ax + 1)\). 3. Höhere Ableitungen untersuchen: \(f_a^{(3)}(x) = -a^3 \cos(ax + 1)\) und \(f_a^{(4)}(x) = a^4 \sin(ax + 1)\). 4. Muster erkennen: Nach jeweils vier Ableitungen kehrt die trigonometrische Funktion zum Sinus mit positivem Vorzeichen zurück, wobei die Potenz von \(a\) der Ordnung der Ableitung entspricht. Da 40 ein Vielfaches von 4 ist, gilt \(f_a^{(40)}(x) = a^{40} \sin(ax + 1)\).

\(f_a''(x) = -a^2 \sin(ax + 1)\) \(f_a^{(40)}(x) = a^{40} \sin(ax + 1)\)

- Identifiziere die innere und die äußere Funktion. - Welche Ableitungsregeln für den natürlichen Logarithmus und die Kosinusfunktion kennst du? - Achte beim Ableiten der inneren Funktion besonders auf das Vorzeichen. - Gibt es eine bekannte Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Tangens, die den Bruch vereinfachen könnte?

1. Identifikation der äußeren Funktion \( u(v) = \ln(v) \) und der inneren Funktion \( v(x) = \cos(x) \). 2. Berechnung der jeweiligen Ableitungen: \( u'(v) = \frac{1}{v} \) und \( v'(x) = -\sin(x) \). 3. Verknüpfung nach der Kettenregel: \( g'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \). 4. Vereinfachung des Bruches: \( g'(x) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). 5. Anwendung der trigonometrischen Beziehung \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) führt zum Endergebnis \( g'(x) = -\tan(x) \).

Die Anwendung der Kettenregel liefert \( g'(x) = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \). Mithilfe der Definition \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) vereinfacht sich dies zu \( g'(x) = -\tan(x) \).

- Überlege dir bei jeder Teilaufgabe, welche Funktion „außen“ und welche „innen“ steht. - Erinnere dich an die Regel: Äußere Ableitung mal innere Ableitung. - Beachte bei b), wie sich Konstanten beim Ableiten verhalten. - Schreibe Brüche oder Wurzeln bei Bedarf als Potenzen um, um die Ableitungsregeln leichter anzuwenden.

1. Anwendung der Kettenregel auf \(g(x) = f(e^x)\): Die äußere Funktion ist \(f(u)\) mit \(u = e^x\). Die innere Ableitung ist \(e^x\). Ergebnis: \(g'(x) = e^x \cdot f'(e^x)\). 2. Ableitung von \(g(x) = (f(x) + k)^3\): Hier ist die äußere Funktion \(u^3\) und die innere Funktion \(f(x) + k\). Die äußere Ableitung ist \(3u^2\), die innere Ableitung ist \(f'(x)\). Ergebnis: \(g'(x) = 3 \cdot (f(x) + k)^2 \cdot f'(x)\). 3. Ableitung von \(g(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)\): Die innere Funktion ist \(x^{-1}\) mit der Ableitung \(-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). Ergebnis: \(g'(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot f'\left(\frac{1}{x}\right)\). 4. Ableitung von \(g(x) = \sqrt{f(x)}\): Die äußere Funktion ist die Wurzelfunktion mit der Ableitung \(\frac{1}{2\sqrt{u}}\). Mit der inneren Ableitung \(f'(x)\) ergibt sich: \(g'(x) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\).

a) \(g'(x) = e^x \cdot f'(e^x)\) b) \(g'(x) = 3 \cdot (f(x) + k)^2 \cdot f'(x)\) c) \(g'(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot f'\left(\frac{1}{x}\right)\) d) \(g'(x) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\)

- Welcher Teil des Terms wird in die Sinus- oder Kosinusfunktion eingesetzt? - Achte beim Ableiten der inneren Funktion in Teilaufgabe a darauf, die gesamte Ableitung in Klammern zu setzen. - Was passiert zuerst mit \(x\), und was passiert danach mit dem Ergebnis? - Vergiss das Minuszeichen bei der Ableitung der Kosinusfunktion nicht.

1. Teilaufgabe a: Identifikation der inneren Funktion \(v(x) = 2x^4 - x\) und der äußeren Funktion \(u(x) = \cos(x)\). Berechnung der Ableitungen \(v'(x) = 8x^3 - 1\) und \(u'(x) = -\sin(x)\). Anwendung der Kettenregel ergibt \(f'(x) = -\sin(2x^4 - x) \cdot (8x^3 - 1) = (1 - 8x^3) \sin(2x^4 - x)\). 2. Teilaufgabe b: Identifikation der inneren Funktion \(v(x) = \sin(x) - 5\) und der äußeren Funktion \(u(x) = x^2\). Berechnung der Ableitungen \(v'(x) = \cos(x)\) und \(u'(x) = 2x\). Anwendung der Kettenregel ergibt \(f'(x) = 2(\sin(x) - 5) \cdot \cos(x)\).

a) \(u(x) = \cos(x)\), \(v(x) = 2x^4 - x\); \(f'(x) = (1 - 8x^3) \sin(2x^4 - x)\) b) \(u(x) = x^2\), \(v(x) = \sin(x) - 5\); \(f'(x) = 2\cos(x)(\sin(x) - 5)\)

- Welche Operation wird als letzte ausgeführt, wenn du einen Wert für \(x\) einsetzt? Das ist deine äußere Funktion. - Arbeite dich von außen nach innen vor, um die Schichten der Funktion zu identifizieren. - Erinnere dich daran, dass bei der Kettenregel die Ableitung der äußeren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird. - Wenn eine Funktion selbst wieder eine Verkettung ist, musst du die Regel erneut anwenden.

1. Identifikation der Teilfunktionen: \(u(x) = e^x\), \(v(x) = \cos(x)\) und \(w(x) = 2x+1\). 2. Bestimmung der Ableitungen der Teilfunktionen: \(u'(x) = e^x\), \(v'(x) = -\sin(x)\) und \(w'(x) = 2\). 3. Anwendung der Kettenregel für dreifache Verkettungen: \(f'(x) = u'(v(w(x))) \cdot v'(w(x)) \cdot w'(x)\). 4. Einsetzen der Terme: \(f'(x) = e^{\cos(2x+1)} \cdot (-\sin(2x+1)) \cdot 2\). 5. Zusammenfassen des Ergebnisses: \(f'(x) = -2 \cdot \sin(2x+1) \cdot e^{\cos(2x+1)}\).

a) \(u(x) = e^x\), \(v(x) = \cos(x)\), \(w(x) = 2x+1\) (oder äquivalente Darstellung) b) \(f'(x) = -2 \cdot \sin(2x+1) \cdot e^{\cos(2x+1)}\)

- Hier liegt eine Verkettung von Funktionen vor. Welche Regel nutzt du für \(e^{h(x)}\)? - Achte darauf, dass der Exponent selbst wieder eine verkettete Funktion ist. Wie oft musst du hier die Kettenregel anwenden? - Was ist die Ableitung von \(\cos(ax)\)?

1. Anwendung der Kettenregel für die Funktion \(g(x) = \frac{1}{2}e^{u(x)}\) mit \(u(x) = \cos(2x)\). 2. Berechnung der Ableitung der inneren Funktion \(u(x)\) unter erneuter Anwendung der Kettenregel: \(u'(x) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)\). 3. Verknüpfung nach der Regel für Exponentialfunktionen: \(g'(x) = \frac{1}{2}e^{\cos(2x)} \cdot u'(x)\). 4. Einsetzen von \(u'(x)\): \(g'(x) = \frac{1}{2}e^{\cos(2x)} \cdot (-2\sin(2x))\). 5. Vereinfachen des Vorfaktors: \(g'(x) = -\sin(2x) \cdot e^{\cos(2x)}\).

\(g'(x) = -\sin(2x) \cdot e^{\cos(2x)}\)

- Betrachte die Funktionen als verkettete Funktionen der Form \(u(v(x))\). - Was passiert beim Ableiten mit dem Exponenten bei Ausdrücken wie \((\dots)^2\)? - Vergiss nicht, beim Ableiten der inneren Funktionen (wie \(3x\) oder \(2x\)) nachzudifferenzieren. - Schau dir die Verdopplungsformel genau an – kannst du sie in deinen Zwischenergebnissen wiedererkennen?

1. Ableitung von \(f(x) = (\sin(3x))^2\): Anwendung der Kettenregel (äußere Funktion: Quadrat, innere Funktion: Sinus, innerste Funktion: \(3x\)). Resultat: \(f'(x) = 2 \cdot \sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3\). Anwendung der Verdopplungsformel \(2 \cdot \sin(3x) \cdot \cos(3x) = \sin(6x)\). Endergebnis: \(f'(x) = 3\sin(6x)\). 2. Ableitung von \(g(x) = \frac{3}{2}(\cos(x))^2 - \frac{3}{4}\cos(2x)\): Erster Summand mittels Kettenregel ableiten: \(\frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \cos(x) \cdot (-\sin(x)) = -3\sin(x)\cos(x)\). Zweiter Summand mittels Kettenregel ableiten: \(-\frac{3}{4} \cdot (-\sin(2x) \cdot 2) = \frac{3}{2}\sin(2x)\). Zusammenführen: \(g'(x) = -3\sin(x)\cos(x) + \frac{3}{2}\sin(2x)\). Ersetzen von \(3\sin(x)\cos(x)\) durch \(\frac{3}{2}\sin(2x)\) mittels Verdopplungsformel ergibt \(g'(x) = -\frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{3}{2}\sin(2x) = 0\).

1) \(f'(x) = 3\sin(6x)\) 2) \(g'(x) = 0\)

- Überlege dir zuerst genau, welche Funktion beim Einsetzen „innen“ steht und welche „außen“. - Wie lautet die allgemeine Formel für die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion \(u(v(x))\)? - Denk daran, dass beim Ableiten von Logarithmusfunktionen und Potenzfunktionen unterschiedliche Regeln gelten. - Achte bei Teilaufgabe 2 darauf, dass die Potenz sich auf den gesamten Logarithmusterm bezieht.

1. Die Verkettung \(h(x) = f(g(x))\) ergibt \(h(x) = \ln(2x^2 + 5)\). Anwendung der Kettenregel mit der äußeren Ableitung \(\frac{1}{2x^2+5}\) und der inneren Ableitung \(4x\) führt auf \(h'(x) = \frac{4x}{2x^2 + 5}\). 2. Die Verkettung \(k(x) = g(f(x))\) ergibt \(k(x) = 2(\ln(x))^2 + 5\). Die äußere Funktion ist \(u(v) = 2v^2 + 5\) mit \(u'(v) = 4v\) und die innere Funktion ist \(v(x) = \ln(x)\) mit \(v'(x) = \frac{1}{x}\). Die Kettenregel liefert \(k'(x) = 4 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{4\ln(x)}{x}\).

1. \(h(x) = \ln(2x^2 + 5)\); \(h'(x) = \frac{4x}{2x^2 + 5}\) 2. \(k(x) = 2(\ln(x))^2 + 5\); \(k'(x) = \frac{4\ln(x)}{x}\) Definitionsbereiche: \(D_h=\mathbb{R}\) und \(D_k=]0;\infty[\).

- Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn eine Funktion in eine andere eingesetzt wird? - Welche Eigenschaft muss die Ableitung an einer Stelle mit waagerechter Tangente haben? - Kannst du den Term so umformen, dass er wie eine Potenzfunktion mit einer Basis aussieht, die selbst eine Funktion ist? - Wann wird ein Bruch gleich null?

1. Eine mögliche Zerlegung ist die äußere Funktion \(u(x) = x^{-2}\) und die innere Funktion \(v(x) = x^3 - 4\). 2. Nach der Kettenregel gilt \(p'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)\). Mit \(u'(x) = -2x^{-3}\) und \(v'(x) = 3x^2\) ergibt sich \(p'(x) = -2(x^3 - 4)^{-3} \cdot 3x^2 = \frac{-6x^2}{(x^3 - 4)^3}\). 3. Eine waagerechte Tangente liegt vor, wenn die Steigung der Funktion null ist, also \(p'(x) = 0\) gilt. Aus \(\frac{-6x^2}{(x^3 - 4)^3} = 0\) folgt durch Nullsetzen des Zählers \(-6x^2 = 0\), woraus \(x = 0\) resultiert. Da der Nenner für \(x=0\) den Wert \(-64\) annimmt, ist die Stelle im Definitionsbereich der Ableitung enthalten.

1. \(u(x) = x^{-2}\); \(v(x) = x^3 - 4\) (oder eine vergleichbare Zerlegung) 2. \(p'(x) = \frac{-6x^2}{(x^3 - 4)^3}\) 3. \(x = 0\)

- Unterscheide genau, ob Funktionen hintereinander ausgeführt (komponiert) oder miteinander verrechnet werden. - Achte bei der Ableitung von zusammengesetzten Funktionen auf die Unterscheidung zwischen innerer und äußerer Funktion. - Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn Funktionen multipliziert oder addiert werden? - Überlege dir zuerst die Ableitungen der drei Grundbausteine.

1. Darstellung der Funktionen als Verknüpfungen: \(f_1(x) = u(w(x)) \cdot v(x)\) \(f_2(x) = v(w(x)) + u(x)\) \(f_3(x) = \frac{w(x)}{u(x)}\) 2. Ableitungen der Grundfunktionen: \(u'(x) = e^x\) \(v'(x) = -\sin(x)\) \(w'(x) = 2x\) 3. Ableitungen von \(f_1\) und \(f_2\) unter Verwendung von Ketten-, Produkt- und Summenregel: Für \(f_1'(x)\): Die Ableitung der Komposition \(u(w(x))\) ist \(e^{x^2+3} \cdot 2x\). Mit der Produktregel folgt: \(f_1'(x) = 2x \cdot e^{x^2+3} \cdot \cos(x) + e^{x^2+3} \cdot (-\sin(x)) = e^{x^2+3} \cdot (2x \cos(x) - \sin(x))\) Für \(f_2'(x)\): Die Ableitung der Komposition \(v(w(x))\) ist \(-\sin(x^2+3) \cdot 2x\). Mit der Summenregel folgt: \(f_2'(x) = -2x \sin(x^2+3) + e^x\)

Verknüpfungen: \(f_1(x) = (u \circ w)(x) \cdot v(x)\) \(f_2(x) = (v \circ w)(x) + u(x)\) \(f_3(x) = \frac{w(x)}{u(x)}\) Ableitungen: \(u'(x) = e^x\) \(v'(x) = -\sin(x)\) \(w'(x) = 2x\) \(f_1'(x) = e^{x^2+3} \cdot (2x \cos(x) - \sin(x))\) \(f_2'(x) = e^x - 2x \sin(x^2+3)\)

- Identifiziere, welche Funktion als „Argument“ in eine andere eingesetzt wurde. - Erinnere dich an die Kettenregel: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Was ist die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion und der Wurzelfunktion? - Bei \(g_3\) wird eine Quotientenstruktur sichtbar – welche Regel hilft hier beim Ableiten?

1. Verknüpfungen identifizieren: \(g_1(x) = a(c(x))\) \(g_2(x) = b(a(x))\) \(g_3(x) = \frac{b(x)}{c(x)}\) 2. Ableitungen der Basisfunktionen: \(a'(x) = \frac{1}{x}\) \(b'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) \(c'(x) = -2x\) 3. Ableitungen der verknüpften Funktionen: Für \(g_1'(x)\) (Kettenregel): Äußere Ableitung \(a'(c(x)) = \frac{1}{5-x^2}\), innere Ableitung \(c'(x) = -2x\). Ergebnis: \(g_1'(x) = \frac{-2x}{5-x^2} = \frac{2x}{x^2-5}\). Für \(g_2'(x)\) (Kettenregel): Äußere Ableitung \(b'(a(x)) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(x)}}\), innere Ableitung \(a'(x) = \frac{1}{x}\). Ergebnis: \(g_2'(x) = \frac{1}{2x\sqrt{\ln(x)}}\).

Verknüpfungen: \(g_1(x) = a(c(x))\) \(g_2(x) = b(a(x))\) \(g_3(x) = \frac{b(x)}{c(x)}\) Ableitungen: \(a'(x) = \frac{1}{x}\) \(b'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) \(c'(x) = -2x\) \(g_1'(x) = \frac{2x}{x^2-5}\) \(g_2'(x) = \frac{1}{2x\sqrt{\ln(x)}}\) Definitionsbereiche: \(D_{g_1}=]-\sqrt{5};\sqrt{5}[\), \(D_{g_2}=[1;\infty[\) und \(D_{g_3}=[0;\sqrt{5}[\,\cup\,]\sqrt{5};\infty[\). Für die angegebenen Ableitungen gilt \(D_{g_1'}=]-\sqrt{5};\sqrt{5}[\) und \(D_{g_2'}=]1;\infty[\).

- Wie gehst du vor, wenn eine ganze Klammer quadriert wird? Stichwort: Äußere mal innere Ableitung. - Kannst du die erste Ableitung als ein Produkt von zwei Funktionen ansehen, um die zweite Ableitung zu finden? - Achte darauf, den Faktor 2 beim Ableiten der äußeren Funktion konsequent mitzuführen. - Beim Vereinfachen der zweiten Ableitung hilft es, zuerst die binomische Formel in der Klammer aufzulösen.

1. Anwendung der Kettenregel \(g'(x) = n \cdot [h(x)]^{n-1} \cdot h'(x)\) mit der inneren Funktion \(h(x) = x^2 - 3x + 5\) und der äußeren Potenzfunktion. 2. Berechnung der ersten Ableitung: \(g'(x) = 2 \cdot (x^2 - 3x + 5) \cdot (2x - 3)\). 3. Zur Bestimmung der zweiten Ableitung wird die Produktregel auf \(g'(x)\) angewendet: \(u(x) = 2(x^2 - 3x + 5)\) und \(v(x) = 2x - 3\). 4. Berechnung der zweiten Ableitung: \(g''(x) = 2(2x - 3) \cdot (2x - 3) + 2(x^2 - 3x + 5) \cdot 2\). 5. Vereinfachung des Ergebnisses: \(g''(x) = 2(4x^2 - 12x + 9) + 4x^2 - 12x + 20 = 8x^2 - 24x + 18 + 4x^2 - 12x + 20 = 12x^2 - 36x + 38\).

\(g'(x) = 2(x^2 - 3x + 5)(2x - 3) = 4x^3 - 18x^2 + 38x - 30\) \(g''(x) = 12x^2 - 36x + 38\)

- Erinnere dich daran, wie man eine Funktion ableitet, die aus einer „äußeren“ und einer „inneren“ Funktion besteht. - Überlege dir zuerst, was hier die innere Funktion ist und was die äußere. - Für den zweiten Aufgabenteil hilft es, die exakten Werte der Sinusfunktion für bekannte Winkel im Kopf zu haben oder nachzuschlagen.

1. Zur Ableitung von \(f(x) = \cos(x^2)\) wird die Kettenregel angewendet. Die äußere Funktion ist \(u(v) = \cos(v)\) mit der Ableitung \(u'(v) = -\sin(v)\). Die innere Funktion ist \(v(x) = x^2\) mit der Ableitung \(v'(x) = 2x\). Damit ergibt sich \(f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x \cdot \sin(x^2)\). 2. Einsetzen von \(x = \sqrt{\frac{\pi}{3}}\) in die Ableitungsfunktion: \(f'\left(\sqrt{\frac{\pi}{3}}\right) = -2 \cdot \sqrt{\frac{\pi}{3}} \cdot \sin\left(\left(\sqrt{\frac{\pi}{3}}\right)^2\right) = -2 \cdot \sqrt{\frac{\pi}{3}} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\). Da \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ist, folgt: \(f'\left(\sqrt{\frac{\pi}{3}}\right) = -2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{\pi}\).

1. \(f'(x) = -2x \cdot \sin(x^2)\) 2. Die Steigung an der Stelle \(x = \sqrt{\frac{\pi}{3}}\) beträgt \(-\sqrt{\pi}\). Die Ableitung gilt für alle \(x\in\mathbb{R}\).

- Was bedeutet es für die Ableitung einer Funktion, wenn die Tangente an einer Stelle waagerecht verläuft? - Achte beim Ableiten darauf, welche Funktion zuerst auf das \(x\) wirkt und welche danach auf das Ergebnis angewendet wird. - Denke an den Einheitskreis oder den Verlauf der Sinus- und Kosinusfunktion, um die Nullstellen zu finden.

1. Die Funktion lässt sich zerlegen in die innere Funktion \(v(x) = \cos(x)\) und die äußere Funktion \(u(v) = v^2\). 2. Mit der Kettenregel \(g'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)\) ergibt sich: \(g'(x) = 2 \cdot \cos(x) \cdot (-\sin(x)) = -2 \sin(x) \cos(x)\). (Alternativ unter Verwendung der Doppelwinkelformel: \(g'(x) = -\sin(2x)\)). 3. Eine waagerechte Tangente liegt vor, wenn \(g'(x) = 0\) gilt. Aus \(-2 \sin(x) \cos(x) = 0\) folgt entweder \(\sin(x) = 0\) oder \(\cos(x) = 0\). Im Intervall \([0; \pi]\) liefert \(\sin(x) = 0\) die Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \pi\). Die Gleichung \(\cos(x) = 0\) liefert die Stelle \(x_3 = \frac{\pi}{2}\).

1. Innere Funktion: \(v(x) = \cos(x)\); Äußere Funktion: \(u(v) = v^2\) 2. \(g'(x) = -2 \sin(x) \cos(x)\) (oder \(g'(x) = -\sin(2x)\)) 3. Die Stellen mit waagerechter Tangente sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_3 = \pi\).

- Gehe beim Einsetzen von innen nach außen vor: Bestimme zuerst \(v(w(x))\) und setze das Ergebnis dann in \(u\) ein. - Erinnere dich an die Kettenregel: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist das Produkt aus der äußeren Ableitung und der inneren Ableitung. - Bei drei Funktionen musst du die Regel zweimal anwenden: \(f'(x) = u'(v(w(x))) \cdot v'(w(x)) \cdot w'(x)\). - Logarithmengesetze wie \(\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)\) können die Ableitung erheblich vereinfachen.

1. Zur Bestimmung von \(f(x)\) werden die Funktionen nacheinander eingesetzt: \(v(w(x)) = \sqrt{x^2 + 5}\) \(f(x) = u(v(w(x))) = \ln\left(\sqrt{x^2 + 5}\right)\) Optional kann dies mithilfe von Logarithmengesetzen zu \(f(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\) vereinfacht werden. 2. Die Ableitung erfolgt über die Kettenregel für mehrfache Verkettungen: Äußere Ableitung \(u'(z) = \frac{1}{z}\), mittlere Ableitung \(v'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\), innere Ableitung \(w'(x) = 2x\). \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 5}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 5}} \cdot 2x\) Durch Zusammenfassen erhält man: \(f'(x) = \frac{2x}{2(x^2 + 5)} = \frac{x}{x^2 + 5}\)

1. \(f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2 + 5}\right)\) (oder \(f(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\)) 2. \(f'(x) = \frac{x}{x^2 + 5}\)

- Überlege dir, in welcher Reihenfolge du einen Wert für \(x\) berechnen würdest (Rechenschritte). Das hilft bei der Zerlegung. - Achte auf die Notation: \(\cos^4(z)\) bedeutet dasselbe wie \((\cos(z))^4\). - Vergiss beim Differenzieren der Kosinusfunktion das negative Vorzeichen nicht. - Multipliziere am Ende alle Konstanten (Zahlenfaktoren) zu einem einzigen Koeffizienten zusammen.

1. Die Funktion lässt sich von innen nach außen zerlegen: Die innerste Operation ist die lineare Funktion \(w(x) = 3x - 1\). Darauf wird die Kosinusfunktion angewendet: \(v(x) = \cos(x)\). Zuletzt wird das Ergebnis mit der vierten Potenz potenziert: \(u(x) = x^4\). Somit ist \(h(x) = u(v(w(x))) = (\cos(3x - 1))^4\). 2. Zur Ableitung verwenden wir die Kettenregel: Äußere Ableitung: \(u'(v(w(x))) = 4(\cos(3x - 1))^3\) Mittlere Ableitung: \(v'(w(x)) = -\sin(3x - 1)\) Innere Ableitung: \(w'(x) = 3\) Multiplikation der Terme: \(h'(x) = 4\cos^3(3x - 1) \cdot (-\sin(3x - 1)) \cdot 3\) \(h'(x) = -12 \cdot \cos^3(3x - 1) \cdot \sin(3x - 1)\)

1. \(w(x) = 3x - 1\), \(v(x) = \cos(x)\), \(u(x) = x^4\) 2. \(h'(x) = -12 \cos^3(3x - 1) \sin(3x - 1)\)

- Überlege dir Schritt für Schritt, welche Funktion in welche eingesetzt wird, beginnend bei der innersten Klammer. - Ersetze das Argument der äußeren Funktion durch den gesamten Term der inneren Funktion. - Denke beim Ableiten daran, dass du bei mehrfach verketteten Funktionen die Kettenregel eventuell mehrmals anwenden musst (äußere Ableitung mal innere Ableitung). - Erinnere dich an die Ableitung von trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion.

1. Einsetzen der innersten Funktion \(r(x)\) in \(q(x)\): \(q(r(x)) = (\cos(x))^2 - 4 = \cos^2(x) - 4\). 2. Einsetzen dieses Ergebnisses in die äußere Funktion \(p(x)\): \(f(x) = p(q(r(x))) = e^{\cos^2(x) - 4}\). 3. Ableiten mit der Kettenregel: Die äußere Ableitung von \(e^u\) ist \(e^u\). Die innere Ableitung von \(u(x) = \cos^2(x) - 4\) bestimmt man mit der Kettenregel für Potenzen: \(u'(x) = 2 \cdot \cos(x) \cdot (-\sin(x)) = -2\sin(x)\cos(x)\). 4. Zusammenfügen zur Gesamtableitung: \(f'(x) = e^{\cos^2(x) - 4} \cdot (-2\sin(x)\cos(x))\). Unter Verwendung der Doppelwinkelformel \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) ergibt sich \(f'(x) = -\sin(2x) \cdot e^{\cos^2(x) - 4}\).

a) \(f(x) = e^{\cos^2(x) - 4}\) b) \(f'(x) = -2\sin(x)\cos(x) \cdot e^{\cos^2(x) - 4}\) bzw. \(f'(x) = -\sin(2x) \cdot e^{\cos^2(x) - 4}\)

- Kannst du die Funktion als eine Folge von drei hintereinander ausgeführten Rechenschritten beschreiben? - Erinnere dich an die Ableitung der Wurzelfunktion und der \(e\)-Funktion. - Manchmal lassen sich Terme nach dem Ableiten noch deutlich vereinfachen, wenn die ursprüngliche Funktion im Ergebnis wieder auftaucht. - Überlege, ob du die Funktion mit Hilfe von Potenzgesetzen umschreiben kannst, um die Ableitung zu überprüfen.

1. Zerlegung der Funktion in drei Teilfunktionen: Die äußere Funktion ist die Quadratwurzel \(u(v) = \sqrt{v}\), die mittlere Funktion ist die Exponentialfunktion \(v(w) = e^w\) und die innerste Funktion ist die quadratische Funktion \(w(x) = x^2 + 4\). 2. Ableiten der Teilfunktionen: \(u'(v) = \frac{1}{2\sqrt{v}}\), \(v'(w) = e^w\) und \(w'(x) = 2x\). 3. Verknüpfung nach der Kettenregel: \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{e^{x^2 + 4}}} \cdot e^{x^2 + 4} \cdot 2x\). 4. Vereinfachung des Terms: Da \(\frac{e^{x^2 + 4}}{\sqrt{e^{x^2 + 4}}} = \sqrt{e^{x^2 + 4}}\) gilt, kürzt sich die \(2\) und es bleibt \(g'(x) = x \cdot \sqrt{e^{x^2 + 4}}\). 5. Alternativer Weg über Potenzgesetze: \(g(x) = (e^{x^2 + 4})^{1/2} = e^{0{,}5x^2 + 2}\). Die Ableitung mittels einfacher Kettenregel ergibt \(g'(x) = e^{0{,}5x^2 + 2} \cdot x\), was zum selben Ergebnis führt.

\(g'(x) = x \cdot \sqrt{e^{x^2 + 4}}\) oder \(g'(x) = x \cdot e^{0{,}5x^2 + 2}\)

- Was passiert bei der Quotientenregel im Zähler, wenn die Funktion im Zähler eine Konstante ist? - Erinnere dich an die Regel \(\frac{1}{z} = z^{-1}\), um den Term für die Kettenregel vorzubereiten. - Achte beim Ableiten der Potenz mit negativem Exponenten besonders auf das Vorzeichen und den neuen Exponenten.

1. Quotientenregel: Mit \(u(x) = 5\) (\(u'(x) = 0\)) und \(v(x) = x^2 + 3\) (\(v'(x) = 2x\)) folgt \(f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 3) - 5 \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = -\frac{10x}{(x^2 + 3)^2}\). 2. Kettenregel: Umschreiben zu \(f(x) = 5 \cdot (x^2 + 3)^{-1}\). Die äußere Ableitung ist \(-5 \cdot (\dots)^{-2}\), die innere Ableitung ist \(2x\). Somit gilt \(f'(x) = -5 \cdot (x^2 + 3)^{-2} \cdot 2x = -\frac{10x}{(x^2 + 3)^2}\). Beide Wege sind konsistent und führen zur selben Ableitung.

\(f'(x) = -\frac{10x}{(x^2 + 3)^2}\)

- Bestimme zuerst die allgemeine Ableitungsfunktion mithilfe der Kettenregel. - Erinnere dich daran, dass die Steigung an einer Stelle dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle entspricht. - Achte bei den trigonometrischen Funktionen darauf, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Überlege dir, wie man eine Potenzfunktion mit einer trigonometrischen Funktion im Inneren ableitet.

1. Für \(f(x) = \sqrt{x^2 + 9}\): Ableitung \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+9}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\). Einsetzen von \(x_0 = 4\) ergibt \(f'(4) = \frac{4}{\sqrt{16+9}} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). 2. Für \(f(x) = \sin(2x)\): Ableitung \(f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)\). Einsetzen von \(x_0 = \frac{\pi}{6}\) ergibt \(f'(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot 0{,}5 = 1\). 3. Für \(f(x) = (\cos(x) + 1)^3\): Ableitung \(f'(x) = 3(\cos(x) + 1)^2 \cdot (-\sin(x))\). Einsetzen von \(x_0 = \frac{\pi}{2}\) ergibt \(f'(\frac{\pi}{2}) = 3(\cos(\frac{\pi}{2}) + 1)^2 \cdot (-\sin(\frac{\pi}{2})) = 3(0+1)^2 \cdot (-1) = -3\).

a) \(f'(4) = 0{,}8\) b) \(f'(\frac{\pi}{6}) = 1\) c) \(f'(\frac{\pi}{2}) = -3\)

- Was ist die „innere“ und was die „äußere“ Funktion bei diesem Term? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln für höhere Potenzen oder wie man Klammern schrittweise multipliziert? - Wie kann man zeigen, dass zwei unterschiedlich aussehende Terme eigentlich gleich sind?

1. Anwendung der Kettenregel: Äußere Funktion \(u^3\) mit Ableitung \(3u^2\), innere Funktion \(0{,}5x^2 - 2\) mit Ableitung \(x\). Es folgt \(f'(x) = 3 \cdot (0{,}5x^2 - 2)^2 \cdot x = 3x(0{,}5x^2 - 2)^2\). 2. Umformung durch Ausmultiplizieren: \(f(x) = (0{,}5x^2)^3 - 3(0{,}5x^2)^2 \cdot 2 + 3(0{,}5x^2) \cdot 2^2 - 2^3 = 0{,}125x^6 - 1{,}5x^4 + 6x^2 - 8\). Gliedweises Ableiten ergibt \(f'(x) = 0{,}75x^5 - 6x^3 + 12x\). 3. Vergleich: Ausklammern von \(3x\) im zweiten Ergebnis führt auf \(f'(x) = 3x(0{,}25x^4 - 2x^2 + 4)\). Das erste Ergebnis expandiert zu \(3x((0{,}5x^2)^2 - 2 \cdot 0{,}5x^2 \cdot 2 + 2^2) = 3x(0{,}25x^4 - 2x^2 + 4)\). Beide Terme sind identisch.

1. \(f'(x) = 3x(0{,}5x^2 - 2)^2\) 2. \(f'(x) = 0{,}75x^5 - 6x^3 + 12x\) 3. Durch Ausmultiplizieren von \(3x(0{,}25x^4 - 2x^2 + 4)\) erhält man in beiden Fällen \(0{,}75x^5 - 6x^3 + 12x\).

- Wurzeln lassen sich oft leichter ableiten, wenn man sie als Potenz mit rationalem Exponenten schreibt. - Brüche mit konstantem Zähler können mithilfe negativer Exponenten umgeformt werden. - Bei Summen von Funktionen darfst du jeden Summanden einzeln ableiten.

a) Anwendung der Kettenregel auf \((x^2 + 2x + 5)^{\frac{1}{2}}\): Äußere Ableitung \(\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 5)^{-\frac{1}{2}}\), innere Ableitung \(2x + 2\). Zusammengefasst: \(g'(x) = \frac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x + 5}} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}\). b) Umschreiben als Potenz: \(h(x) = 10 \cdot (3x - 1)^{-4}\). Kettenregel: Äußere Ableitung \(-40(3x - 1)^{-5}\), innere Ableitung \(3\). Ergebnis: \(h'(x) = -120(3x - 1)^{-5} = -\frac{120}{(3x - 1)^5}\). c) Ableitung der Summe: Für \(\sqrt{2x}\) ist die äußere Ableitung \(\frac{1}{2\sqrt{2x}}\) und die innere \(2\), also \(\frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}\). Für \((x^3 - 1)^2\) ist die äußere Ableitung \(2(x^3 - 1)\) und die innere \(3x^2\), also \(6x^2(x^3 - 1)\). Gesamt: \(k'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} + 6x^2(x^3 - 1)\). Die Ableitung in a) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert, in b) für \(x \ne \frac{1}{3}\) und in c) für \(x>0\).

a) \(g'(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}\) für \(x \in \mathbb{R}\) b) \(h'(x) = -\frac{120}{(3x - 1)^5}\) für \(x \ne \frac{1}{3}\) c) \(k'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} + 6x^5 - 6x^2\) (oder \(k'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} + 6x^2(x^3 - 1)\)) für \(x>0\)

- Kannst du die Funktion als Potenz mit negativem Exponenten schreiben, um die Quotientenregel zu vermeiden? - Denk an die Kettenregel: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Welche Regel benötigst du, wenn du für die zweite Ableitung ein Produkt ableitest?

1. Umschreiben der Funktion in eine Potenzform: \(f(x) = 2 \cdot (x^2 + 4)^{-1}\). 2. Berechnung der ersten Ableitung mit der Kettenregel: Die äußere Ableitung ist \(-2 \cdot (x^2 + 4)^{-2}\), die innere Ableitung ist \(2x\). Multiplikation ergibt \(f'(x) = -4x \cdot (x^2 + 4)^{-2}\) bzw. \(f'(x) = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^2}\). 3. Berechnung der zweiten Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel: Setze \(u(x) = -4x\) und \(v(x) = (x^2 + 4)^{-2}\). Es gilt \(u'(x) = -4\) und \(v'(x) = -2(x^2 + 4)^{-3} \cdot 2x = -4x(x^2 + 4)^{-3}\). 4. Einsetzen in die Produktregel \(u'v + uv'\): \(f''(x) = -4(x^2 + 4)^{-2} + (-4x) \cdot (-4x(x^2 + 4)^{-3}) = -4(x^2 + 4)^{-2} + 16x^2(x^2 + 4)^{-3}\). 5. Zusammenfassen auf einen Nenner: \(f''(x) = \frac{-4(x^2 + 4) + 16x^2}{(x^2 + 4)^3} = \frac{-4x^2 - 16 + 16x^2}{(x^2 + 4)^3} = \frac{12x^2 - 16}{(x^2 + 4)^3}\).

\(f'(x) = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^2}\) \(f''(x) = \frac{12x^2 - 16}{(x^2 + 4)^3}\)

- Was ist die Ableitung der Kosinusfunktion? - Vergiss nicht, bei der Kettenregel mit der Ableitung der inneren Funktion nachzumultiplizieren. - Wenn das Ergebnis der ersten Ableitung ein Produkt aus zwei Termen mit \(x\) ist, welche Regel musst du dann für die zweite Ableitung anwenden? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du Sinus und Kosinus ableitest.

1. Berechnung der ersten Ableitung mit der Kettenregel: Die äußere Ableitung ist \(-\sin(3x^2 + 1)\), die innere Ableitung der Klammer ist \(6x\). Es folgt \(f'(x) = -6x \cdot \sin(3x^2 + 1)\). 2. Berechnung der zweiten Ableitung mit der Produktregel: Setze \(u(x) = -6x\) und \(v(x) = \sin(3x^2 + 1)\). 3. Bestimmung der Teilableitungen: \(u'(x) = -6\). Für \(v'(x)\) wird erneut die Kettenregel benötigt: \(v'(x) = \cos(3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x \cos(3x^2 + 1)\). 4. Anwendung der Produktregel \(f''(x) = u'v + uv'\): \(f''(x) = -6 \cdot \sin(3x^2 + 1) + (-6x) \cdot (6x \cos(3x^2 + 1))\). 5. Vereinfachung des Ausdrucks: \(f''(x) = -6 \sin(3x^2 + 1) - 36x^2 \cos(3x^2 + 1)\).

\(f'(x) = -6x \cdot \sin(3x^2 + 1)\) \(f''(x) = -6 \sin(3x^2 + 1) - 36x^2 \cos(3x^2 + 1)\)

- Wie bestimmt man den Funktionswert einer zusammengesetzten Funktion Schritt für Schritt? - Welche Regel wendest du an, um eine Funktion der Form \(f(g(x))\) abzuleiten? - Welche geometrische Eigenschaft hat der Graph einer Funktion an den Stellen, an denen die Ableitung null ist? - Wann ist das Produkt aus der inneren und der äußeren Ableitung gleich null?

1. Aus der Abbildung lässt sich direkt ablesen: \(f(2) = 3\) und \(f(4) = 4\). Damit berechnet sich der Funktionswert \(h(1)\) durch Einsetzen von \(x = 1\) in den Funktionsterm: \(h(1) = f(1^2 + 3) = f(4) = 4\). 2. Nach der Kettenregel (äußere Ableitung mal innere Ableitung) lautet die Ableitungsfunktion von \(h(x) = f(x^2 + 3)\): \(h'(x) = f'(x^2 + 3) \cdot 2x\). 3. Eine waagrechte Tangente liegt an den Stellen vor, an denen die Ableitung null ist: \(h'(x) = 0 \iff f'(x^2 + 3) \cdot 2x = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ist dies erfüllt für: - \(2x = 0 \implies x = 0\) - \(f'(x^2 + 3) = 0\) Da der Graph \(G_f\) nur an der Stelle \(x = 4\) eine waagrechte Tangente besitzt, gilt \(f'(u) = 0 \iff u = 4\). Daraus folgt: \(x^2 + 3 = 4 \implies x^2 = 1 \implies x = 1\) oder \(x = -1\). Der Graph von \(h\) besitzt somit an den Stellen \(x = -1\), \(x = 0\) und \(x = 1\) eine waagrechte Tangente.

a) \(f(2) = 3\), \(f(4) = 4\) und \(h(1) = 4\). b) Die Ableitung lautet \(h'(x) = f'(x^2 + 3) \cdot 2x\). Die Stellen mit waagrechter Tangente sind \(x = -1\), \(x = 0\) und \(x = 1\).

- Nutze die Kettenregel \(f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)\) für die Ableitung von Verkettungen. - Überlege dir, dass der Funktionswert der inneren Funktion zum Argument der äußeren Funktion wird. - Die Steigung an einem Punkt kannst du an der dargestellten Tangente mithilfe eines Steigungsdreiecks ablesen. - Erinnere dich an die Punkt-Steigungs-Form für die Aufstellung einer Geradengleichung.

1. Bestimmung von \(f(1)\): Aus dem Graphen von \(v\) liest man den Funktionswert an der Stelle \(x = 1\) ab: \(v(1) = 2\). Dieser Wert dient als Eingabe für \(u\). Im Graphen von \(u\) findet man an der Stelle \(x = 2\) den Wert \(u(2) = -1\). Somit gilt \(f(1) = u(v(1)) = -1\). 2. Bestimmung von \(f'(1)\): Nach der Kettenregel gilt \(f'(1) = u'(v(1)) \cdot v'(1) = u'(2) \cdot v'(1)\). Die Steigung von \(v\) ist im gesamten Verlauf konstant \(v'(x) = 1\). Am Graphen von \(u\) liest man an der Stelle \(x = 2\) die Steigung der Tangente ab, welche \(u'(2) = 1\) beträgt. Es folgt \(f'(1) = 1\). 3. Tangentengleichung: Mit dem Berührpunkt \(P(1 \mid -1)\) und der Steigung \(m = f'(1) = 1\) ergibt sich die Gleichung \(y = (x - 1) - 1\), vereinfacht \(y = x - 2\). 4. Achsenschnittpunkte und Flächeninhalt: Die Tangente schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = -2\) und die \(x\)-Achse bei \(x = 2\). Das entstehende rechtwinklige Dreieck hat die Kathetenlängen \(2\) und \(2\). Der Flächeninhalt berechnet sich zu \(A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\).

a) \(f(1) = -1\) und \(f'(1) = 1\) b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(2\,\text{FE}\).

- Erinnere dich an die notwendige Bedingung für eine waagrechte Tangente einer Funktion. - Wie lässt sich die Ableitung einer verketteten Funktion allgemein bestimmen? - Welche besonderen Punkte des Graphen von \(f\) geben Auskunft über die Nullstellen der Funktion selbst bzw. ihrer Ableitung?

1. Anwendung der Kettenregel auf die Funktion \(g(x) = (f(x))^2\): Die Ableitungsfunktion lautet \(g'(x) = 2 \cdot f(x) \cdot f'(x)\). 2. Bedingung für waagrechte Tangenten: Eine waagrechte Tangente liegt vor, wenn \(g'(x) = 0\) gilt. Dies ist nach dem Satz vom Nullprodukt erfüllt, wenn \(f(x) = 0\) oder \(f'(x) = 0\) ist. 3. Identifikation der Nullstellen von \(f\) aus dem Graphen: Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 4. Identifikation der Stellen mit waagrechter Tangente von \(f\) (Extremstellen) aus dem Graphen: Der Graph von \(f\) besitzt ein lokales Maximum bei \(x_3 = 3\), also gilt \(f'(3) = 0\). 5. Zusammenfassung der gesuchten Stellen: Der Graph von \(g\) besitzt an den Stellen \(x \in \{1; 3; 5\}\) eine waagrechte Tangente.

Die Stellen mit waagrechter Tangente sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 5\).

- Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit den Extremstellen einer Funktion zusammen? - Nutze die Kettenregel, um einen Ausdruck für \(f'(x)\) zu finden. - Was weißt du über das Vorzeichen der \(e\)-Funktion? Wie beeinflusst das das Vorzeichen von \(f'\)? - Betrachte den Vorzeichenwechsel der Steigung \(h'\) an der Nullstelle.

1. Die Ableitung von \(f\) ist nach der Kettenregel \(f'(x) = h'(x) \cdot e^{h(x)}\). Da die Exponentialfunktion \(e^{h(x)}\) stets positiv ist, sind die Nullstellen von \(f'\) identisch mit den Nullstellen von \(h'\). Dem Graphen entnimmt man die Nullstelle von \(h'\) bei \(x = 1\). 2. Für \(x < 1\) ist \(h'(x) < 0\), also ist auch \(f'(x) < 0\) und \(f\) ist streng monoton fallend. Für \(x > 1\) ist \(h'(x) > 0\), also ist \(f'(x) > 0\) und \(f\) ist streng monoton steigend. Da die Ableitung \(f'\) an der Stelle \(x = 1\) ihr Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt, liegt bei \(x = 1\) ein lokales Minimum vor.

1. \(x = 1\) 2. Es handelt sich um ein lokales Minimum, da die Ableitung \(f'\) (genau wie \(h'\)) an der Stelle \(x = 1\) einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus aufweist.

- Achte bei der Verkettung genau darauf, welche Funktion die „innere“ und welche die „äußere“ ist. - Denk an die Kettenregel: Ableitung der äußeren Funktion mal Ableitung der inneren Funktion. - Wie hängen die Koeffizienten in \(a \cdot \sin(bx+c)+d\) mit Amplitude, Periode und Verschiebung zusammen? - Welche Werte kann die Sinusfunktion maximal und minimal annehmen?

1. \(h_1(x) = f(g(x)) = \sin(mx + c)\) und \(h_2(x) = g(f(x)) = m \cdot \sin(x) + c\). 2. Ableitungen: \(h_1'(x) = \cos(mx + c) \cdot m = m \cdot \cos(mx + c)\). Für \(h_2\) gilt \(h_2'(x) = m \cdot \cos(x)\). 3. Der Parameter \(m\) beeinflusst die Periode von \(h_1\): \(P = \frac{2\pi}{m}\). Da \(m\) ein Faktor im Argument ist, wird die Schwingung bei \(m > 1\) gestaucht und bei \(0 < m < 1\) gestreckt. Wegen \(mx+c=m\left(x+\frac{c}{m}\right)\) verschiebt \(c\) den Graphen horizontal um \(-\frac{c}{m}\) in \(x\)-Richtung: Für \(c>0\) erfolgt eine Verschiebung nach links um \(\frac{c}{m}\), für \(c<0\) nach rechts um \(\frac{|c|}{m}\). Die Amplitude bleibt 1. 4. Für \(h_2(x)=m\sin(x)+c\) ist die Wertemenge \(W_{h_2}=[c-m; c+m]\), da \(m>0\) gilt. Aus \(c-m=-2\) und \(c+m=4\) folgt durch Addieren \(2c=2\), also \(c=1\). Dann ergibt sich \(m=3\).

1. \(h_1(x) = \sin(mx + c)\); \(h_2(x) = m \cdot \sin(x) + c\) 2. \(h_1'(x) = m \cdot \cos(mx + c)\); \(h_2'(x) = m \cdot \cos(x)\) 3. \(m\) verändert die Periode (\(P = \frac{2\pi}{m}\)); \(c\) verschiebt den Graphen horizontal um \(-\frac{c}{m}\) in \(x\)-Richtung. 4. \(m = 3\) und \(c = 1\)

- Verwende die Kettenregel, wobei du besonders auf die innere Ableitung der Klammer achtest. - Was passiert mit dem Exponenten bei jeder weiteren Ableitung? - Erinnerst du dich, was passiert, wenn man eine Potenzfunktion so oft ableitet, wie ihr Grad angibt? - Wie oft tritt der Faktor aus der inneren Ableitung bis zur 12. Ableitung auf?

1. Erste Ableitung mit Ketten- und Potenzregel: \(g_k'(x) = 12 \cdot (1 - kx)^{11} \cdot (-k) = -12k(1 - kx)^{11}\). 2. Zweite Ableitung: \(g_k''(x) = -12k \cdot 11 \cdot (1 - kx)^{10} \cdot (-k) = 132k^2(1 - kx)^{10}\). 3. Struktur der \(n\)-ten Ableitung für \(n \leq 12\): Jede Ableitung verringert den Exponenten um 1 und bringt einen Faktor aus dem Exponenten sowie den Faktor \((-k)\) aus der inneren Ableitung hervor. 4. Die 12. Ableitung eines Polynoms 12. Grades ist eine Konstante: \(g_k^{(12)}(x) = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot \dots \cdot 1 \cdot (-k)^{12}\). 5. Berechnung des Werts: \(12! = 479\,001\,600\). Da der Exponent 12 gerade ist, ist \((-k)^{12} = k^{12}\). Somit \(g_k^{(12)}(x) = 479\,001\,600 k^{12}\).

\(g_k''(x) = 132k^2(1 - kx)^{10}\) \(g_k^{(12)}(x) = 479\,001\,600 k^{12}\)

- Wie lautet die Kettenregel für eine zusammengesetzte Funktion? - Welche Information über das Vorzeichen von \(g'\) ist gegeben? - Wann genau hat eine Funktion eine waagerechte Tangente? - Wie hilft dir der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung bei der Bestimmung der Art eines Extremums? - Kann ein Produkt null werden, wenn beide Faktoren niemals null sind?

1. Berechnung der Ableitung von \(f(x) = g(x^2 - 4)\) mittels Kettenregel: \(f'(x) = g'(x^2 - 4) \cdot 2x\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'\): Da laut Voraussetzung \(g'(x) < 0\) für alle \(x\) gilt, kann nur der Faktor \(2x\) null werden. Dies ist ausschließlich für \(x = 0\) der Fall. 3. Untersuchung des Vorzeichenwechsels von \(f'\) an der Stelle \(x = 0\): Da \(g'(x^2 - 4)\) stets negativ ist, wird das Vorzeichen von \(f'(x)\) nur durch \(2x\) bestimmt. Für \(x < 0\) ist \(2x < 0\), woraus \(f'(x) = (\text{negativ}) \cdot (\text{negativ}) > 0\) folgt. Für \(x > 0\) ist \(2x > 0\), woraus \(f'(x) = (\text{negativ}) \cdot (\text{positiv}) < 0\) folgt. 4. Da ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus vorliegt, hat \(f\) an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Maximum. 5. Untersuchung von \(h(x) = g(x^3 + x)\): Die Ableitung ist \(h'(x) = g'(x^3 + x) \cdot (3x^2 + 1)\). Da \(g'(u) < 0\) für alle \(u\) und \(3x^2 + 1 \ge 1 > 0\) für alle \(x\), ist das Produkt \(h'(x)\) stets negativ. Ohne Nullstellen der Ableitung können keine lokalen Extrema existieren.

a) \(f'(x) = 2x \cdot g'(x^2 - 4)\) b) Wegen \(g'(x^2 - 4) < 0\) ist \(f'(x) = 0\) nur für \(x = 0\) erfüllt. Da \(f'(x) > 0\) für \(x < 0\) und \(f'(x) < 0\) für \(x > 0\), liegt ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) und somit ein lokales Maximum vor. c) \(h'(x) = g'(x^3 + x) \cdot (3x^2 + 1)\). Da \(g'(x^3 + x) < 0\) und \(3x^2 + 1 > 0\), gilt \(h'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Da die Ableitung keine Nullstellen besitzt, existieren keine lokalen Extrema.

- Denk beim Ableiten von \((g(x))^2\) an die Kettenregel: Was ist hier die äußere und was die innere Funktion? - Für die zweite Ableitung musst du die Produktregel auf den Term der ersten Ableitung anwenden. - Welche Bedingung muss für die zweite Ableitung gelten, damit ein Graph linksgekrümmt ist? - Was passiert mit den Termen in \(f'(x)\) und \(f''(x)\), wenn du \(g(x_0) = 0\) einsetzt? - Erinnere dich an das hinreichende Kriterium für lokale Extrema unter Verwendung der zweiten Ableitung.

1. Erste Ableitung mit Kettenregel: \(f'(x) = 2 \cdot g(x) \cdot g'(x)\). 2. Zweite Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: \(f''(x) = 2 \cdot (g'(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot g''(x)) = 2 \cdot (g'(x))^2 + 2 \cdot g(x) \cdot g''(x)\). 3. Krümmungsverhalten: Eine Linkskrümmung liegt vor, wenn \(f''(x) > 0\). Da \((g'(x))^2 \ge 0\) und nach Voraussetzung \(g(x) > 0\) sowie \(g''(x) > 0\) gilt, ist die Summe \(2(g'(x))^2 + 2g(x)g''(x)\) stets positiv. 4. Untersuchung an der Nullstelle \(x_0\): Es gilt \(g(x_0) = 0\). Einsetzen in die Ableitungen ergibt \(f'(x_0) = 2 \cdot 0 \cdot g'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) = 2 \cdot (g'(x_0))^2 + 2 \cdot 0 \cdot g''(x_0) = 2(g'(x_0))^2\). 5. Da \(g'(x_0) \neq 0\), ist \((g'(x_0))^2 > 0\), also \(f''(x_0) > 0\). Somit liegt bei \(x_0\) ein lokales Minimum vor.

a) \(f'(x) = 2 \cdot g(x) \cdot g'(x)\) und \(f''(x) = 2 \cdot (g'(x))^2 + 2 \cdot g(x) \cdot g''(x)\) b) Da \((g'(x))^2 \ge 0\) und laut Voraussetzung \(g(x) \cdot g''(x) > 0\) gilt, ist \(f''(x) > 0\). Dies entspricht einer Linkskrümmung. c) Wegen \(g(x_0) = 0\) ist \(f'(x_0) = 0\). Da \(g'(x_0) \neq 0\), folgt \(f''(x_0) = 2(g'(x_0))^2 > 0\). Damit ist das Kriterium für ein lokales Minimum erfüllt.

- Identifiziere alle Konstanten und Parameter. Welche davon fallen beim Ableiten weg und welche bleiben als Faktoren erhalten? - Achte bei verschachtelten Funktionen wie \(f(f(x))\) genau darauf, was die innere und was die äußere Funktion ist. - Wende die Potenzregel für die Ableitung von \(x^n\) kombiniert mit der Kettenregel an. - Lass dich von den vielen Buchstaben nicht verwirren; behandle \(a, b, c, d\) wie feste Zahlen.

1. Für \(g(x) = f(ax^n + b)\) lautet die innere Funktion \(u(x) = ax^n + b\). Deren Ableitung ist \(u'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}\). Nach der Kettenregel folgt: \(g'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1} \cdot f'(ax^n + b)\). 2. Bei \(g(x) = \frac{1}{n}(f(x))^n\) ist die äußere Funktion \(v(u) = \frac{1}{n} \cdot u^n\) mit \(v'(u) = u^{n-1}\). Die innere Funktion ist \(f(x)\). Es ergibt sich \(g'(x) = (f(x))^{n-1} \cdot f'(x)\). 3. Die Funktion \(g(x) = f(f(x))\) ist eine Verkettung von \(f\) mit sich selbst. Die äußere Ableitung an der Stelle \(f(x)\) ist \(f'(f(x))\), die innere Ableitung ist \(f'(x)\). Somit gilt \(g'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)\). 4. Für \(g(x) = af(bx + c) + d\) werden die Faktorregel, die Summenregel und die Kettenregel kombiniert. Die Konstante \(d\) fällt weg, der Faktor \(a\) bleibt erhalten. Die innere Ableitung von \(bx + c\) ist \(b\). Ergebnis: \(g'(x) = a \cdot b \cdot f'(bx + c)\).

a) \(g'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1} \cdot f'(ax^n + b)\) b) \(g'(x) = (f(x))^{n-1} \cdot f'(x)\) c) \(g'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)\) d) \(g'(x) = a \cdot b \cdot f'(bx + c)\)

- Nutze die Eigenschaft \(\sin(-z) = -\sin(z)\) für die Punktsymmetrie der Sinusfunktion. - Vergiss beim Ableiten von \(f(-x)\) nicht das Nachdifferenzieren der inneren Funktion. - Welche Symmetrieeigenschaft besitzt die Kosinusfunktion? - Überlege dir, wie sich das Symmetrieverhalten eines Produkts aus den Symmetrien der einzelnen Faktoren ergibt.

1. Punktsymmetrie von \(h\): Da \(f\) punktsymmetrisch ist, gilt \(f(-x) = -f(x)\). Einsetzen in \(h\) liefert \(h(-x) = \sin(f(-x)) = \sin(-f(x))\). Da der Sinus ungerade ist (\(\sin(-z) = -\sin(z)\)), folgt \(h(-x) = -\sin(f(x)) = -h(x)\). 2. Ableitung von \(h\): Mit der Kettenregel folgt \(h'(x) = \cos(f(x)) \cdot f'(x)\). 3. Symmetrie von \(f'\): Differenzieren der Symmetriebedingung \(f(-x) = -f(x)\) nach \(x\) unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite ergibt \(f'(-x) \cdot (-1) = -f'(x)\). Multiplikation mit \(-1\) liefert \(f'(-x) = f'(x)\), womit \(f'\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist. 4. Symmetrie von \(h'\): Untersuchung von \(h'(-x) = \cos(f(-x)) \cdot f'(-x)\). Mit \(f(-x) = -f(x)\), der Achsensymmetrie des Kosinus (\(\cos(-z) = \cos(z)\)) und der Achsensymmetrie von \(f'\) ergibt sich \(h'(-x) = \cos(-f(x)) \cdot f'(x) = \cos(f(x)) \cdot f'(x) = h'(x)\). Somit ist \(h'\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

a) \(h(-x) = \sin(f(-x)) = \sin(-f(x)) = -\sin(f(x)) = -h(x)\). b) \(h'(x) = \cos(f(x)) \cdot f'(x)\) c) Ableiten von \(f(-x) = -f(x)\) liefert \(-f'(-x) = -f'(x)\), also \(f'(-x) = f'(x)\). Damit folgt \(h'(-x) = \cos(f(-x)) \cdot f'(-x) = \cos(-f(x)) \cdot f'(x) = \cos(f(x)) \cdot f'(x) = h'(x)\), was die Achsensymmetrie von \(h'\) zeigt.

- Betrachte \(g(h(x))\) zunächst als eine einzige innere Funktion, um die erste Ableitung zu bilden. - Was musst du tun, wenn die innere Ableitung selbst wieder eine Kettenregel erfordert? - Gehe bei der Tabellenauswertung schrittweise von innen nach außen vor: Bestimme zuerst \(h(0)\), dann \(g\) an dieser Stelle und schließlich \(f'\) an der resultierenden Stelle. - Achte genau darauf, ob in der Formel der Funktionswert oder der Ableitungswert an einer bestimmten Stelle benötigt wird.

1. Herleitung der Formel: Anwendung der Kettenregel auf \(f(V(x))\) ergibt \(f'(V(x)) \cdot V'(x)\). Da \(V(x) = g(h(x))\), ist \(V'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\). Einsetzen liefert \(k'(x) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\). 2. Bestimmung von \(k'(0)\): \(k'(0) = f'(g(h(0))) \cdot g'(h(0)) \cdot h'(0)\). 3. Ablesen der Werte aus der Tabelle: \(h(0) = 1\), \(h'(0) = 5\). 4. Bestimmung des nächsten Arguments: \(g(h(0)) = g(1) = 0\). 5. Ablesen der weiteren Werte: \(g'(h(0)) = g'(1) = 3\) und \(f'(g(h(0))) = f'(0) = 1\). 6. Berechnung des Produkts: \(1 \cdot 3 \cdot 5 = 15\).

a) \(k'(x) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\) b) \(k'(0) = 15\)

- Erinnere dich an die Kettenregel für die Ableitung zusammengesetzter Funktionen. - Was bedeutet „streng monoton wachsend“ für die Ordnung von Funktionswerten? - Untersuche, ob die äußere Funktion die „Richtung“ der Ungleichung zwischen zwei Funktionswerten verändert. - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der Ableitung der äußeren Funktion auf die Ableitung der gesamten Funktion?

1. Die Ableitung von \(h(x) = \ln(f(x))\) lautet nach der Kettenregel \(h'(x) = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)\). Ist \(f'(x_0) = 0\), so folgt \(h'(x_0) = \frac{1}{f(x_0)} \cdot 0 = 0\), da \(f(x) > 0\) vorausgesetzt ist. Somit ist \(x_0\) eine stationäre Stelle von \(h\). 2. Damit die Extremstellen und deren Art (Maximum/Minimum) erhalten bleiben, muss die äußere Funktion \(T\) im Wertebereich von \(f\) streng monoton wachsend sein. Ist \(T\) streng monoton wachsend, gilt: \(f(x_1) < f(x_2) \iff T(f(x_1)) < T(f(x_2))\). Da die Quadrierfunktion für \(y > 0\) und der natürliche Logarithmus für alle \(y\) in ihrem Definitionsbereich streng monoton steigend sind, bleiben die Stellen der Extrema bei diesen Transformationen identisch.

1. Nach der Kettenregel ist \(h'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}\). Da \(f(x) > 0\), führt \(f'(x) = 0\) direkt zu \(h'(x) = 0\). 2. Die äußere Funktion \(T\) muss im relevanten Bereich streng monoton wachsend sein. Dies ist für \(T(y) = y^2\) (für \(y > 0\)) und \(T(y) = \ln(y)\) gegeben, weshalb beide Transformationen die Lage und Art der Extrema erhalten.

- Betrachte die Wurzel als äußere Funktion. Wie lautet die Ableitung von \(\sqrt{u}\)? - Der Term unter der Wurzel ist ein Bruch. Welche Regel benötigst du, um diesen abzuleiten? - Vergiss nicht, am Ende die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung zu multiplizieren. - Achte beim Vereinfachen des Zählers der inneren Ableitung besonders auf die Vorzeichen beim Auflösen der Klammern.

1. Identifikation der äußeren Funktion \(h(u) = \sqrt{u}\) und der inneren Funktion \(g(x) = \frac{3x + 2}{x^2 + 1}\). 2. Ableitung der äußeren Funktion: \(h'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}\). 3. Ableitung der inneren Funktion mittels Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{3(x^2 + 1) - (3x + 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 - 4x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-3x^2 - 4x + 3}{(x^2 + 1)^2}\). 4. Anwendung der Kettenregel \(f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)\): \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{3x + 2}{x^2 + 1}}} \cdot \frac{-3x^2 - 4x + 3}{(x^2 + 1)^2}\). 5. Vereinfachung (optional): \(f'(x) = \frac{-3x^2 - 4x + 3}{2(x^2 + 1)^2 \sqrt{\frac{3x + 2}{x^2 + 1}}} = \frac{-3x^2 - 4x + 3}{2(x^2 + 1) \sqrt{(x^2 + 1)(3x + 2)}}\).

\(f'(x) = \frac{-3x^2 - 4x + 3}{2(x^2 + 1)^2 \sqrt{\frac{3x + 2}{x^2 + 1}}}\) oder vereinfacht \(f'(x) = \frac{-3x^2 - 4x + 3}{2(x^2 + 1) \sqrt{(x^2 + 1)(3x + 2)}}\) Der angegebene Ableitungsterm gilt für alle \(x\), für die der Radikand positiv ist.

- Überlege dir zuerst, in welcher Reihenfolge die Funktionen bei \(u(v(x))\) angewendet werden. - Den Funktionswert einer Verkettung findest du, indem du den \(y\)-Wert der inneren Funktion als neuen \(x\)-Wert für die äußere Funktion verwendest. - Denke an die Kettenregel, um die Steigung der Tangente zu berechnen. - Überprüfe die Schnittpunkte der berechneten Tangente mit den Koordinatenachsen rechnerisch.

1. Aus dem Graphen von \(v\) liest man \(v(1)=1\) ab. Daher gilt \(f(1)=u(v(1))=u(1)=1\). 2. Für einen weiteren gleichen Funktionswert muss \(v(x)=1\) gelten. Der Graph von \(v\) nimmt den Wert \(1\) außer bei \(x=1\) auch bei \(x=3\) an. Somit ist \(f(3)=1\). 3. Nach der Kettenregel gilt \(f'(1)=u'(v(1))\cdot v'(1)=u'(1)\cdot v'(1)\). Aus der Tangente an \(u\) liest man mit einem Steigungsdreieck \(u'(1)=\frac12\) ab. Die Tangente an \(v\) hat die Steigung \(v'(1)=-1\). Somit ist \(f'(1)=\frac12\cdot(-1)=-0{,}5\). 4. Mit \(P(1\mid1)\) und \(m=-0{,}5\) ergibt sich \(y=-0{,}5(x-1)+1=-0{,}5x+1{,}5\). 5. Die Achsenschnittpunkte sind \(S_y(0\mid1{,}5)\) und \(S_x(3\mid0)\). Daher ist \(A=\frac12\cdot3\cdot1{,}5=2{,}25\,\text{FE}\).

a) \(f(1) = 1\); eine weitere Stelle ist \(x = 3\). b) Die Tangentengleichung lautet \(y = -0{,}5x + 1{,}5\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(2{,}25\,\text{FE}\).