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- Erinnere dich an die Reihenfolge der beiden Produkte im Zähler der Quotientenregel. - Achte auf das Minuszeichen zwischen den beiden Termen.

1. Bei der Quotientenregel wird der Zähler zu \(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\). 2. Damit lautet die vollständige Ableitung \(h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\).

\(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\)

- Welche Rolle spielt das Minuszeichen in der Quotientenregel? - Was geschieht mit dem Nenner des ursprünglichen Quotienten?

1. Bei der Quotientenregel steht im Zähler „Ableitung des Zählers mal Nenner minus Zähler mal Ableitung des Nenners“. 2. Der Nenner wird quadriert. 3. Daher ist B korrekt.

B

- Welche Regel eignet sich besonders für Brüche, bei denen sowohl im Zähler als auch im Nenner die Variable \(x\) vorkommt? - Bestimme zuerst separat die Ableitungen des Zählers und des Nenners. - Achte beim Einsetzen in die Formel besonders auf die Klammern um den gesamten Zähler- und Nennerausdruck. - Kannst du den Zähler nach dem Ableiten noch weiter zusammenfassen?

1. Identifikation der Teilfunktionen für die Quotientenregel: \(u(x) = 4x - 1\) und \(v(x) = x^2 + 3\). 2. Berechnung der Ableitungen der Teilfunktionen: \(u'(x) = 4\) und \(v'(x) = 2x\). 3. Anwendung der Quotientenregel \(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}\): \(f'(x) = \frac{4 \cdot (x^2 + 3) - (4x - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2}\). 4. Ausmultiplizieren des Zählers: \(4x^2 + 12 - (8x^2 - 2x) = 4x^2 + 12 - 8x^2 + 2x\). 5. Zusammenfassen der Terme im Zähler: \(-4x^2 + 2x + 12\). 6. Ergebnis: \(f'(x) = \frac{-4x^2 + 2x + 12}{(x^2 + 3)^2}\).

\(f'(x) = \frac{-4x^2 + 2x + 12}{(x^2 + 3)^2}\)

- Identifiziere zuerst den Zähler \(u(x)\) und den Nenner \(v(x)\). - Bestimme die einzelnen Ableitungen \(u'(x)\) und \(v'(x)\) separat, bevor du sie in die Formel einsetzt. - Achte beim Zusammenfassen des Zählers besonders auf Minuszeichen vor Klammern. - Den Nenner lässt man in der Regel als Quadrat stehen, anstatt ihn auszumultiplizieren.

1. Anwendung der Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). 2. Für a): \(u=5, v=x^2+1 \implies f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2+1) - 5 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-10x}{(x^2+1)^2}\). 3. Für b): \(u=x, v=x-3 \implies f'(x) = \frac{1 \cdot (x-3) - x \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{-3}{(x-3)^2}\). 4. Für c): \(u=x^2+4, v=x \implies f'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2+4) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}\). 5. Für d): \(u=2x-1, v=x^2+2 \implies f'(x) = \frac{2(x^2+2) - (2x-1)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^2 + 4 - 4x^2 + 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 4}{(x^2+2)^2}\).

a) \(f'(x) = \frac{-10x}{(x^2 + 1)^2}\) b) \(f'(x) = \frac{-3}{(x - 3)^2}\) c) \(f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2}\) d) \(f'(x) = \frac{-2x^2 + 2x + 4}{(x^2 + 2)^2}\)

- Behandle den Parameter \(k\) beim Ableiten wie eine ganz normale Zahl. - Kannst du im Zähler einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Ausdruck übersichtlicher zu machen? - Überprüfe, ob du die Potenzregel und die Faktorregel korrekt auf den Zähler und Nenner angewendet hast.

1. Identifikation der Funktionen: Zähler \(u(x) = kx\), Nenner \(v(x) = x^2 + 1\). 2. Ableitungen bilden: \(u'(x) = k\), \(v'(x) = 2x\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f_k'(x) = \frac{k(x^2 + 1) - kx(2x)}{(x^2 + 1)^2}\). 4. Zähler vereinfachen: \(kx^2 + k - 2kx^2 = -kx^2 + k = k(1 - x^2)\). 5. Ergebnis: \(f_k'(x) = \frac{k(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}\).

\(f_k'(x) = \frac{k(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}\) oder \(f_k'(x) = \frac{k - kx^2}{(x^2 + 1)^2}\)

- Welche Ableitungen haben Zähler und Nenner? - Schreibe die Quotientenregel vollständig, bevor du gemeinsame Faktoren im Zähler zusammenfasst. - Welche Stelle ist bereits für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen?

1. Mit \(u(x)=e^x+1\) und \(v(x)=e^x-1\) gilt \(u'(x)=v'(x)=e^x\). 2. Die Quotientenregel liefert \(h'(x)=\frac{e^x(e^x-1)-(e^x+1)e^x}{(e^x-1)^2}\). 3. Der Zähler vereinfacht sich zu \(-2e^x\), also \(h'(x)=\frac{-2e^x}{(e^x-1)^2}\). 4. Wegen \(e^x-1\neq0\) gilt der Term für \(x\neq0\).

Quotientenregelansatz: \(h'(x)=\frac{e^x(e^x-1)-(e^x+1)e^x}{(e^x-1)^2}\). \(h'(x)=\frac{-2e^x}{(e^x-1)^2}\) für \(x\neq0\).

- Welche Funktionen kannst du beim Quotienten \(\frac{1}{x}\) als Zählerfunktion und Nennerfunktion wählen? - Vergleiche nach der Quotientenregel den erhaltenen Term mit der Potenzschreibweise \(x^{-1}\). - Achte darauf, dass der Definitionsbereich \(x\neq0\) bei beiden Darstellungen gleich bleibt.

1. Mit \(u(x)=1\) und \(v(x)=x\) gilt \(u'(x)=0\) und \(v'(x)=1\). Nach der Quotientenregel ist \(f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{0\cdot x-1\cdot1}{x^2}=-\frac{1}{x^2}\). 2. Mit der Potenzregel erhält man \(f'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\). 3. Beide Verfahren liefern für \(x\neq0\) dieselbe Ableitungsfunktion.

1. Mit der Quotientenregel: \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\). 2. Mit der Potenzregel für \(n=-1\): \(f'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\). 3. Beide Ergebnisse stimmen überein.

- Entscheide zuerst, bei welchen Teilaufgaben ein echter Quotient zweier Funktionen vorliegt. - Benenne bei einem Quotienten Zähler- und Nennerfunktion samt ihren Ableitungen, bevor du die Regel einsetzt. - Vereinfache den erhaltenen Bruch erst nach der Anwendung der Quotientenregel.

1. Für \(f(x)=x^{13}\) gilt mit der Potenzregel \(f'(x)=13x^{12}\). 2. Für \(g(x)=\frac{1}{x^5}\) wähle \(u(x)=1\) und \(v(x)=x^5\). Dann ist \(g'(x)=\frac{0\cdot x^5-1\cdot5x^4}{x^{10}}=-\frac{5}{x^6}\). 3. Für \(h(x)=\frac{3}{x^2}\) wähle \(u(x)=3\) und \(v(x)=x^2\). Damit ist \(h'(x)=\frac{0\cdot x^2-3\cdot2x}{x^4}=-\frac{6}{x^3}\). 4. Für \(s(t)=\frac{t^2+1}{t^3}\) gilt \(u(t)=t^2+1\), \(u'(t)=2t\), \(v(t)=t^3\) und \(v'(t)=3t^2\). Daher ist \(s'(t)=\frac{2t\cdot t^3-(t^2+1)\cdot3t^2}{t^6}=\frac{-t^4-3t^2}{t^6}=-\frac{t^2+3}{t^4}\).

a) \(f'(x)=13x^{12}\) b) \(g'(x)=-\frac{5}{x^6}\) für \(x\neq0\) c) \(h'(x)=-\frac{6}{x^3}\) für \(x\neq0\) d) \(s'(t)=-\frac{t^2+3}{t^4}\) für \(t\neq0\)

- Behandle den Polynomterm und den Bruchterm zunächst getrennt. - Welche Funktionen kannst du beim Term \(-\frac{1}{x^2}\) als Zähler und Nenner wählen? - Nachdem du \(f'\) bestimmt hast, erhältst du die gesuchten Steigungen durch Einsetzen der jeweiligen Stelle.

1. Für den Polynomterm gilt \((x^4)'=4x^3\). Beim Bruchterm \(-\frac{1}{x^2}\) liefert die Quotientenregel mit \(u(x)=-1\) und \(v(x)=x^2\) den Term \(\frac{0\cdot x^2-(-1)\cdot2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}\). Somit ist \(f'(x)=4x^3+\frac{2}{x^3}\). 2. Einsetzen von \(x=1\) ergibt \(f'(1)=4+2=6\). 3. Einsetzen von \(x=-1\) ergibt \(f'(-1)=-4-2=-6<0\). Daher ist die Steigung dort negativ.

a) \(f'(x)=4x^3+\frac{2}{x^3}\) b) Die Steigung bei \(x=1\) beträgt \(6\). c) \(f'(-1)=-6<0\); die Steigung ist negativ.

- Kannst du die Funktionen im Zähler und im Nenner separat benennen? - Welche Ableitungen haben diese Teilfunktionen einzeln? - Achte beim Zusammenfügen in die Formel besonders auf das Minuszeichen im Zähler. - Kannst du den resultierenden Bruch am Ende noch durch Ausklammern vereinfachen?

1. Für Teilaufgabe a) werden die Zählerfunktion \(u(x) = 2x^2 - 5\) mit \(u'(x) = 4x\) und die Nennerfunktion \(v(x) = 3x + 4\) mit \(v'(x) = 3\) definiert. 2. Anwendung der Quotientenregel \(\frac{u'v - uv'}{v^2}\): \(f'(x) = \frac{4x \cdot (3x + 4) - (2x^2 - 5) \cdot 3}{(3x + 4)^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(12x^2 + 16x - 6x^2 + 15 = 6x^2 + 16x + 15\). Das Ergebnis lautet \(f'(x) = \frac{6x^2 + 16x + 15}{(3x + 4)^2}\). 4. Für Teilaufgabe b) werden \(u(x) = \cos(x)\) mit \(u'(x) = -\sin(x)\) und \(v(x) = x^2\) mit \(v'(x) = 2x\) definiert. 5. Anwendung der Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{-\sin(x) \cdot x^2 - \cos(x) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-x^2 \sin(x) - 2x \cos(x)}{x^4}\). 6. Kürzen durch \(x\): \(g'(x) = \frac{-x \sin(x) - 2 \cos(x)}{x^3}\).

a) \(f'(x) = \frac{6x^2 + 16x + 15}{(3x + 4)^2}\) b) \(g'(x) = \frac{-x \sin(x) - 2 \cos(x)}{x^3}\) Die Quotientenableitungen gelten jeweils nur dort, wo der ursprüngliche Nenner ungleich null ist.

- Überlege dir zuerst, was die Ableitung einer konstanten Zahl im Nenner ist. - Wie lässt sich ein Bruch mit einer Zahl im Nenner als Multiplikation schreiben? - Welche Regel ist einfacher anzuwenden: Eine, die Brüche verrechnet, oder eine, die nur einen konstanten Faktor mitschreibt? - Schau dir an, welcher Teil des Zählers in der Quotientenregel wegfällt, wenn der Nenner konstant ist.

1. Bestimmung der Ableitungen: \(u(x) = x^3 - 5x + 2 \Rightarrow u'(x) = 3x^2 - 5\) und \(v(x) = 8 \Rightarrow v'(x) = 0\). 2. Einsetzen in die Quotientenregel: \(h'(x) = \frac{(3x^2 - 5) \cdot 8 - (x^3 - 5x + 2) \cdot 0}{8^2}\). 3. Vereinfachung durch Kürzen: \(h'(x) = \frac{8(3x^2 - 5)}{64} = \frac{3x^2 - 5}{8}\). 4. Umformung für Faktorregel: \(h(x) = \frac{1}{8} \cdot (x^3 - 5x + 2)\). 5. Ableitung mit Faktorregel: \(h'(x) = \frac{1}{8} \cdot (3x^2 - 5)\). 6. Vergleich: Die Faktorregel ist effizienter, da der konstante Nenner als Faktor erhalten bleibt, keine Differenz im Zähler berechnet werden muss und keine Quadrierung des Nenners mit anschließendem Kürzen nötig ist.

1. \(h'(x) = \frac{3x^2 - 5}{8}\) 2. \(h(x) = \frac{1}{8}(x^3 - 5x + 2) \Rightarrow h'(x) = \frac{1}{8}(3x^2 - 5)\) 3. Die Faktorregel vermeidet aufwendige Zählerberechnungen und das Quadrieren sowie Kürzen des Nenners.

- Kannst du den Bruch vereinfachen, indem du jedes Glied im Zähler einzeln durch den Nenner teilst? - Was ist der Vorteil, wenn man statt eines Bruchs nur eine Summe von Potenzen wie \(x^n\) vorliegen hat? - Vergiss beim Ableiten von \(x^{-2}\) nicht das Vorzeichen des Exponenten. - Wenn du die Quotientenregel nutzt, achte darauf, ob du am Ende den Bruchterm durch Ausklammern im Zähler noch kürzen kannst.

a) Termweise Division: \(g(x) = \frac{2x^3}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 2x + 1 + x^{-2}\). Ableiten mit der Potenzregel ergibt \(g'(x) = 2 + 0 - 2x^{-3} = 2 - \frac{2}{x^3}\). b) Quotientenregel: Mit \(u(x) = 2x^3 + x^2 + 1\) (\(u'(x) = 6x^2 + 2x\)) und \(v(x) = x^2\) (\(v'(x) = 2x\)) folgt: \(g'(x) = \frac{(6x^2 + 2x)x^2 - (2x^3 + x^2 + 1)2x}{(x^2)^2} = \frac{6x^4 + 2x^3 - (4x^4 + 2x^3 + 2x)}{x^4} = \frac{2x^4 - 2x}{x^4}\). Durch Kürzen mit \(x\) erhält man \(g'(x) = \frac{2x^3 - 2}{x^3} = \frac{2x^3}{x^3} - \frac{2}{x^3} = 2 - \frac{2}{x^3}\). Vergleich: Die termweise Division ist hier deutlich effizienter, da sie die Quotientenregel vermeidet und direkt auf einfache Potenzregeln führt.

Die Ableitung ist \(g'(x) = 2 - \frac{2}{x^3}\) (oder äquivalent \(g'(x) = \frac{2x^3 - 2}{x^3}\)). Die Methode der termweisen Division (a) ist hier effizienter.

- Kannst du den Bruch so aufteilen, dass jedes Glied des Zählers einzeln durch den Nenner geteilt wird? - Achte beim Ableiten mit der Quotientenregel besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer im Zähler. - Wie hängen \(x^{-3}\) und \(x^{-5}\) mit einem Bruch zusammen, der \(x^5\) im Nenner hat? - Überprüfe, ob du am Ende im ersten Weg den Bruch noch durch Ausklammern und Kürzen vereinfachen kannst.

1. Weg (Quotientenregel): Setze \(u(x) = x^2 - 5\) (\(u'(x) = 2x\)) und \(v(x) = x^4\) (\(v'(x) = 4x^3\)). Es folgt \(h'(x) = \frac{2x \cdot x^4 - (x^2 - 5) \cdot 4x^3}{(x^4)^2} = \frac{2x^5 - 4x^5 + 20x^3}{x^8} = \frac{-2x^5 + 20x^3}{x^8} = \frac{-2x^2 + 20}{x^5}\). 2. Weg (Potenzregel): Umschreiben des Terms zu \(h(x) = \frac{x^2}{x^4} - \frac{5}{x^4} = x^{-2} - 5x^{-4}\). Ableiten ergibt \(h'(x) = -2x^{-3} - 5 \cdot (-4)x^{-5} = -2x^{-3} + 20x^{-5}\). 3. Vergleich: Durch Erweitern des ersten Terms mit \(x^2\) im zweiten Weg erhält man \(\frac{-2x^2}{x^5} + \frac{20}{x^5} = \frac{-2x^2 + 20}{x^5}\), was mit dem Ergebnis aus Schritt 1 übereinstimmt.

Beide Wege führen zur Ableitungsfunktion \(h'(x) = \frac{-2x^2 + 20}{x^5}\) (bzw. \(h'(x) = -2x^{-3} + 20x^{-5}\)).

- Welche Funktion steht im Zähler und welche im Nenner? - Erinnere dich an die Ableitungen der Sinusfunktion und von Potenzfunktionen. - Wie lautet die Formel für die Ableitung eines Bruchs? - Musst du den Nenner in der Ableitung unbedingt ausmultiplizieren? Meistens ist es übersichtlicher, ihn als Quadrat stehen zu lassen.

1. Identifikation der Teilfunktionen: \(u(x) = \sin(x)\) und \(v(x) = x^2 + 3\). 2. Berechnung der Ableitungen der Teilfunktionen: \(u'(x) = \cos(x)\) und \(v'(x) = 2x\). 3. Anwendung der Quotientenregel \(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}\). 4. Einsetzen der Terme: \(f'(x) = \frac{\cos(x) \cdot (x^2 + 3) - \sin(x) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2}\). 5. Zusammenfassen des Zählers: \(f'(x) = \frac{(x^2 + 3) \cdot \cos(x) - 2x \cdot \sin(x)}{(x^2 + 3)^2}\).

\(f'(x) = \frac{(x^2 + 3) \cos(x) - 2x \sin(x)}{(x^2 + 3)^2}\)

- Welche Regel wendest du an, wenn eine Funktion als Bruch zweier anderer Funktionen dargestellt ist? - Bestimme zuerst separat die Ableitungen des Zählers und des Nenners. - Achte beim Einsetzen in die Formel besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Teil des Zählers – hier ist eine Klammer wichtig. - Den Nenner lässt man in der Regel als Quadrat stehen, anstatt ihn auszumultiplizieren.

1. Identifikation der Teilfunktionen: \(u(x) = 0{,}5x^2 + 4x - 1\) und \(v(x) = 2x + 3\). 2. Berechnung der Ableitungen: \(u'(x) = x + 4\) und \(v'(x) = 2\). 3. Anwendung der Quotientenregel \(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}\). 4. Einsetzen und Ausmultiplizieren des Zählers: \((x + 4) \cdot (2x + 3) - 2 \cdot (0{,}5x^2 + 4x - 1) = (2x^2 + 11x + 12) - (x^2 + 8x - 2)\). 5. Zusammenfassen der Terme im Zähler: \(x^2 + 3x + 14\). 6. Resultat: \(f'(x) = \frac{x^2 + 3x + 14}{(2x + 3)^2}\).

\(f'(x) = \frac{x^2 + 3x + 14}{(2x + 3)^2}\)

- Überlege dir, welche Ableitungsregel für Brüche gilt. - Notiere dir \(u, u', v\) und \(v'\) übersichtlich am Rand, bevor du alles in die Formel einsetzt. - Multipliziere die Klammern im Zähler sorgfältig aus und achte auf die Vorzeichenverteilung nach dem Minus. - Gibt es im Zähler Potenzen von \(x\), die du zusammenfassen kannst?

1. Festlegen der Funktionen: \(u(x) = x^4 - 2\) und \(v(x) = x^2 + x\). 2. Ableiten der Funktionen: \(u'(x) = 4x^3\) und \(v'(x) = 2x + 1\). 3. Quotientenregel aufstellen: \(h'(x) = \frac{4x^3 \cdot (x^2 + x) - (x^4 - 2) \cdot (2x + 1)}{(x^2 + x)^2}\). 4. Zähler ausmultiplizieren: \((4x^5 + 4x^4) - (2x^5 + x^4 - 4x - 2)\). 5. Zähler vereinfachen durch Subtraktion: \(2x^5 + 3x^4 + 4x + 2\). 6. Endergebnis bilden: \(h'(x) = \frac{2x^5 + 3x^4 + 4x + 2}{(x^2 + x)^2}\).

\(h'(x) = \frac{2x^5 + 3x^4 + 4x + 2}{(x^2 + x)^2}\) Der Ableitungsterm gilt nur im Definitionsbereich der Ausgangsfunktion.

- Wie lautet die Regel für das Ableiten von Brüchen? - Notiere dir \(u, u', v\) und \(v'\) übersichtlich am Rand. - Denk beim Vereinfachen des Zählers daran, die Klammern korrekt aufzulösen. - Schau im letzten Schritt, ob Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren (wie Potenzen von \(x\)) haben, die du kürzen kannst.

1. Festlegen der Teilfunktionen: \(u(x) = x+5\) und \(v(x) = x^3\). 2. Berechnung der jeweiligen Ableitungen: \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = 3x^2\). 3. Anwendung der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{1 \cdot x^3 - (x+5) \cdot 3x^2}{(x^3)^2}\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen im Zähler: \(x^3 - (3x^3 + 15x^2) = -2x^3 - 15x^2\). 5. Der Nenner ergibt sich zu \(x^6\). 6. Kürzen des gesamten Bruchs durch \(x^2\) führt auf \(f'(x) = \frac{-2x - 15}{x^4}\).

\(f'(x) = \frac{-2x - 15}{x^4}\)

- Welche Ableitung haben sowohl Zähler als auch der nichtkonstante Teil des Nenners? - Schreibe zuerst die Quotientenregel vollständig auf. - Suche danach im Zähler nach einem gemeinsamen Faktor.

1. Setze \(u(x)=\tan x\) und \(v(x)=1+\tan x\). Dann ist \(u'(x)=v'(x)=1+\tan^2 x\). 2. Mit der Quotientenregel gilt \(f'(x)=\frac{(1+\tan^2x)(1+\tan x)-\tan x(1+\tan^2x)}{(1+\tan x)^2}\). 3. Im Zähler lässt sich \(1+\tan^2x\) ausklammern. Die verbleibende Klammer ist \((1+\tan x)-\tan x=1\). 4. Daher ist \(f'(x)=\frac{1+\tan^2x}{(1+\tan x)^2}\) auf dem Definitionsbereich von \(f\).

Quotientenregelansatz: \(f'(x)=\frac{(1+\tan^2x)(1+\tan x)-\tan x(1+\tan^2x)}{(1+\tan x)^2}\). \(f'(x)=\frac{1+\tan^2x}{(1+\tan x)^2}\).

- Was passiert bei der Quotientenregel im Zähler, wenn die Funktion im Zähler eine Konstante ist? - Erinnere dich an die Regel \(\frac{1}{z} = z^{-1}\), um den Term für die Kettenregel vorzubereiten. - Achte beim Ableiten der Potenz mit negativem Exponenten besonders auf das Vorzeichen und den neuen Exponenten.

1. Quotientenregel: Mit \(u(x) = 5\) (\(u'(x) = 0\)) und \(v(x) = x^2 + 3\) (\(v'(x) = 2x\)) folgt \(f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 3) - 5 \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = -\frac{10x}{(x^2 + 3)^2}\). 2. Kettenregel: Umschreiben zu \(f(x) = 5 \cdot (x^2 + 3)^{-1}\). Die äußere Ableitung ist \(-5 \cdot (\dots)^{-2}\), die innere Ableitung ist \(2x\). Somit gilt \(f'(x) = -5 \cdot (x^2 + 3)^{-2} \cdot 2x = -\frac{10x}{(x^2 + 3)^2}\). Beide Wege sind konsistent und führen zur selben Ableitung.

\(f'(x) = -\frac{10x}{(x^2 + 3)^2}\)

- Welche Regel ist bei einem Bruch am sinnvollsten anzuwenden? - Erinnere dich daran, Buchstaben wie \(t\), die nicht die Variable \(x\) sind, wie feste Zahlen zu behandeln. - Was passiert mit einem Parameter, wenn er als konstanter Faktor vor einem Term steht oder wenn er alleinstehend addiert wird? - Achte darauf, den Zähler nach der Ableitung so weit wie möglich zusammenzufassen.

1. Identifikation der Quotientenregel mit \(u(x) = tx^2\) und \(v(x) = x + t\) 2. Bestimmung der Teilableitungen: \(u'(x) = 2tx\) und \(v'(x) = 1\) (da \(t\) als Parameter wie eine Konstante behandelt wird) 3. Einsetzen in die Quotientenregel \(f_t'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}\): \(f_t'(x) = \frac{2tx(x + t) - tx^2 \cdot 1}{(x + t)^2}\) 4. Vereinfachung des Zählers: \(2tx^2 + 2t^2x - tx^2 = tx^2 + 2t^2x\) 5. Faktorisieren des Zählers: \(tx(x + 2t)\). Da der Nenner nicht null sein darf, gilt \(x \ne -t\).

\(f_t'(x) = \frac{tx^2 + 2t^2x}{(x + t)^2} = \frac{tx(x + 2t)}{(x + t)^2}\) Der Ableitungsterm gilt für \(x \ne -t\).

- Benenne zuerst Zähler- und Nennerfunktion samt ihren Ableitungen. - Achte bei der Quotientenregel besonders auf die Reihenfolge der beiden Produkte im Zähler. - Setze \(x_0=1\) erst nach dem Vereinfachen der Ableitungsfunktion ein.

1. Setze \(u(x)=x^2-3x\) und \(v(x)=x+2\). Dann gilt \(u'(x)=2x-3\) und \(v'(x)=1\). 2. Nach der Quotientenregel ist \(g'(x)=\frac{(2x-3)(x+2)-(x^2-3x)}{(x+2)^2}\). 3. Vereinfachen des Zählers ergibt \(g'(x)=\frac{x^2+4x-6}{(x+2)^2}\). 4. Einsetzen von \(x_0=1\) liefert \(g'(1)=\frac{1+4-6}{9}=-\frac{1}{9}\).

Die Steigung des Graphen an der Stelle \(x_0=1\) beträgt \(g'(1)=-\frac{1}{9}\).

- Lies an \(x=1\) für beide dargestellten Funktionen jeweils Funktionswert und Steigung ab. - Beim Quotienten entscheidet die Differenz zweier Produkte im Zähler über das Vorzeichen der Ableitung. - Welche Tangentenlage gehört zur Steigung \(0\)?

1. Aus der Abbildung erhält man bei \(x=1\): \(p(1)=1\), \(p'(1)=1\), \(q(1)=2\) und \(q'(1)=2\). 2. Mit der Quotientenregel folgt \(h'(1)=\frac{p'(1)q(1)-p(1)q'(1)}{q(1)^2}=\frac{1\cdot2-1\cdot2}{4}=0\). 3. Damit hat der Graph von \(h\) bei \(x=1\) eine waagerechte Tangente.

\(h'(1)=0\); der Graph von \(h\) hat bei \(x=1\) eine waagerechte Tangente.

- Vergleiche Ardas Vorgehen mit der Struktur der Quotientenregel. - Behalte beim Einsetzen zunächst den vollständigen Zähler der Regel bei. - Vereinfache den Zähler erst nach dem korrekten Ansatz.

1. Bei einem Quotienten darf man nicht Zähler und Nenner getrennt ableiten und anschließend dividieren. 2. Mit der Quotientenregel folgt \(f'(x)=\frac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot1}{(x-1)^2}\). 3. Im Zähler ergibt sich \(x-1-x-1=-2\). Daher ist \(f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^2}\).

Ardas Regel ist falsch. Es gilt \(f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^2}\) für \(x\neq1\).

- Erinnere dich an die Quotientenregel für Funktionen der Form \(\frac{u}{v}\). - Für die Ableitung des Nenners musst du zusätzlich die Kettenregel beachten. - Bevor du den Zähler komplett ausmultiplizierst, prüfe, ob du einen gemeinsamen Faktor im Zähler ausklammern und gegen den Nenner kürzen kannst. - Ein fertig vereinfachter Term sollte keine unnötigen Klammern oder gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner mehr enthalten.

1. Bestimmung der Zählerfunktion \(u(x) = x^2 + 1\) mit \(u'(x) = 2x\) und der Nennerfunktion \(v(x) = (2x - 1)^2\). 2. Ableitung des Nenners mittels Kettenregel: \(v'(x) = 2 \cdot (2x - 1) \cdot 2 = 4(2x - 1)\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (2x - 1)^2 - (x^2 + 1) \cdot 4(2x - 1)}{(2x - 1)^4}\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((2x - 1)\) im Zähler: \(f'(x) = \frac{(2x - 1) \cdot [2x(2x - 1) - 4(x^2 + 1)]}{(2x - 1)^4}\). 5. Kürzen des Faktors \((2x - 1)\) gegen den Nenner: \(f'(x) = \frac{2x(2x - 1) - 4(x^2 + 1)}{(2x - 1)^3}\). 6. Vereinfachung des Zählers: \(4x^2 - 2x - 4x^2 - 4 = -2x - 4\). 7. Endergebnis durch Ausklammern von \(-2\): \(f'(x) = \frac{-2(x + 2)}{(2x - 1)^3}\).

\(f'(x) = \frac{-2(x + 2)}{(2x - 1)^3}\)

- Kannst du die Ableitung für jeden Teil der Summe separat bestimmen? - Überlege dir für den ersten Teil, wie du den Nenner mithilfe eines negativen Exponenten eliminieren kannst. - Welche Formel hilft dir beim zweiten Teil, in dem ein Quotient aus zwei Funktionen vorliegt? - Achte beim Vereinfachen des Zählers darauf, die Klammern korrekt aufzulösen.

1. Umschreiben des ersten Summanden: \(\frac{3}{x^4} = 3x^{-4}\). 2. Ableiten des ersten Summanden mit der Potenzregel: \((3x^{-4})' = 3 \cdot (-4) \cdot x^{-5} = -12x^{-5} = -\frac{12}{x^5}\). 3. Ableiten des zweiten Summanden mit der Quotientenregel: Setze \(u(x) = x^2\) und \(v(x) = 2x-1\). Damit gilt \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = 2\). 4. Einsetzen in die Quotientenregel: \(\frac{2x \cdot (2x-1) - x^2 \cdot 2}{(2x-1)^2}\). 5. Vereinfachung des Zählers im zweiten Summanden: \(4x^2 - 2x - 2x^2 = 2x^2 - 2x\). 6. Zusammenfügen der Teilergebnisse zur gesamten Ableitungsfunktion: \(f'(x) = -\frac{12}{x^5} + \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2}\).

\(f'(x) = -\frac{12}{x^5} + \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2}\)

- Schreibe die Quotientenregel zunächst in allgemeiner Form auf und vergleiche dann jede der beiden Rechnungen damit. - Prüfe Zähler und Nenner der vorgeschlagenen Ableitung getrennt auf ihre Struktur. - Vereinfache erst, nachdem du entschieden hast, ob die Regel korrekt eingesetzt wurde.

1. Bei \(f'\) fehlt im Nenner das Quadrat. Nach der Quotientenregel gilt \(f'(x)=\frac{2x(2x-3)-2x^2}{(2x-3)^2}=\frac{2x^2-6x}{(2x-3)^2}\). 2. Bei \(g'\) wurde im Zähler addiert statt subtrahiert. Korrekt ist \(g'(x)=\frac{3(x^2+5)-(3x-1)2x}{(x^2+5)^2}=\frac{-3x^2+2x+15}{(x^2+5)^2}\).

1. Fehler: Der Nenner der Quotientenregel wurde nicht quadriert. \(f'(x)=\frac{2x^2-6x}{(2x-3)^2}\). 2. Fehler: Zwischen den beiden Zählertermen muss subtrahiert werden. \(g'(x)=\frac{-3x^2+2x+15}{(x^2+5)^2}\).

- Was muss für die Steigung gelten, wenn eine Tangente waagerecht verläuft? - Ein Bruch wird genau dann null, wenn ein bestimmter Teil des Bruches null wird. Welcher ist das? - Überprüfe nach dem Lösen der Gleichung im Zähler, ob die gefundenen Werte im Definitionsbereich der Funktion liegen.

1. Ableitung mit der Quotientenregel berechnen: Setze \(u(x) = x^2 - 8\) und \(v(x) = x - 3\). Dann ist \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = 1\). 2. Einsetzen in die Formel: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x - 3) - (x^2 - 8) \cdot 1}{(x - 3)^2}\). 3. Zähler vereinfachen: \(2x^2 - 6x - x^2 + 8 = x^2 - 6x + 8\). Somit ist \(f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}\). 4. Waagerechte Tangenten bestimmen: Setze \(f'(x) = 0\). Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null ist (und der Nenner ungleich null): \(x^2 - 6x + 8 = 0\). 5. Quadratische Gleichung lösen: \((x - 2)(x - 4) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\). Da beide Werte nicht die Definitionslücke \(x = 3\) betreffen, sind dies die gesuchten Stellen.

a) \(f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}\) b) Die Stellen mit waagerechter Tangente liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\).

- Setze für die Quotientenregel Zähler und Nenner als zwei eigene Funktionen an. - Löse erst nach dem vollständigen Ableitungsterm die Gleichung \(f'(x)=0{,}75\). - Nach den Stellen werden noch die zugehörigen Funktionswerte benötigt.

1. Mit der Quotientenregel gilt \(f'(x)=\frac{2x(x+2)-x^2\cdot1}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}\). 2. Setze \(f'(x)=\frac34\): \(4(x^2+4x)=3(x^2+4x+4)\), also \(x^2+4x-12=0\). 3. Daraus folgen \(x=2\) und \(x=-6\). 4. \(f(2)=1\) und \(f(-6)=-9\). Die Punkte sind \((2\mid1)\) und \((-6\mid-9)\).

Quotientenregelansatz: \(f'(x)=\frac{2x(x+2)-x^2\cdot1}{(x+2)^2}\). Die gesuchten Punkte sind \((2\mid1)\) und \((-6\mid-9)\).

- Welche Funktionen bilden Zähler und Nenner des Quotienten? - Stelle die Quotientenregel vollständig auf, bevor du vereinfachst. - Löse danach die Steigungsgleichung und setze beide Stellen in \(f\) ein.

1. Mit der Quotientenregel ist \(f'(x)=\frac{2(x-2)-(2x+2)\cdot1}{(x-2)^2}=\frac{-6}{(x-2)^2}\). 2. Aus \(\frac{-6}{(x-2)^2}=-1{,}5\) folgt \((x-2)^2=4\), also \(x=4\) oder \(x=0\). 3. Es gilt \(f(4)=5\) und \(f(0)=-1\).

Quotientenregelansatz: \(f'(x)=\frac{2(x-2)-(2x+2)\cdot1}{(x-2)^2}\). Die gesuchten Punkte sind \((4\mid5)\) und \((0\mid-1)\).

- Welche Informationen benötigst du generell, um die Gleichung einer Geraden (Tangente) aufzustellen? - Wie hängen der Funktionswert und die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle mit der Tangente zusammen? - Welche Ableitungsregel ist bei einem Bruch von Funktionen besonders hilfreich? - Erinnerst du dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = \frac{1 + 2}{1^2 + 1} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f'\) mithilfe der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - (x + 2) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 - 4x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 - 4x + 1}{(x^2 + 1)^2}\). 3. Berechnung der Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = 1\): \(m = f'(1) = \frac{-1^2 - 4 \cdot 1 + 1}{(1^2 + 1)^2} = \frac{-4}{4} = -1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form \(y = m \cdot (x - x_0) + f(x_0)\): \(y = -1 \cdot (x - 1) + 1{,}5 = -x + 1 + 1{,}5 = -x + 2{,}5\).

Die Gleichung der Tangente lautet \(y = -x + 2{,}5\).

- Kannst du die Quotientenregel für Funktionen der Form \(\frac{u(x)}{v(x)}\) benennen? - Hilft es dir, die Summanden in Teilaufgabe b) zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen? - Achte beim Vereinfachen des Zählers besonders auf das Minuszeichen vor dem Term \(u \cdot v'\). - Überlege, ob du Potenzen mit negativen Exponenten in Brüche umschreiben kannst, um den Vergleich zu erleichtern.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Quotientenregel angewendet. Mit \(u(x) = x^2 + 2\) und \(v(x) = 0{,}4x^2 - 1\) ergeben sich die Ableitungen \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = 0{,}8x\). 2. Einsetzen in die Formel \(f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) liefert \(f'(x) = \frac{2x(0{,}4x^2 - 1) - (x^2 + 2)(0{,}8x)}{(0{,}4x^2 - 1)^2}\). 3. Ausmultiplizieren des Zählers ergibt \(0{,}8x^3 - 2x - (0{,}8x^3 + 1{,}6x) = -3{,}6x\). Somit ist \(f'(x) = \frac{-3{,}6x}{(0{,}4x^2 - 1)^2}\). Dies entspricht \(g(x)\). 4. Für Teilaufgabe b) wird \(f(x)\) als \(4x^{-2} + x^{-1}\) geschrieben oder auf den Hauptnenner gebracht: \(f(x) = \frac{x + 4}{x^2}\). 5. Die Ableitung mit der Potenzregel lautet \(f'(x) = -8x^{-3} - 1x^{-2} = \frac{-8}{x^3} - \frac{x}{x^3} = \frac{-x - 8}{x^3}\). 6. Ein Vergleich zeigt, dass \(g(x) = \frac{x + 8}{x^3}\) nicht mit \(f'(x) = \frac{-x - 8}{x^3}\) übereinstimmt, da die Vorzeichen im Zähler nicht passen.

a) Ja, \(g(x)\) ist ein Term der Ableitungsfunktion \(f'\). b) Nein, \(g(x)\) ist kein Term der Ableitungsfunktion \(f'\) (das Vorzeichen im Zähler ist falsch; korrekt wäre \(f'(x) = \frac{-x - 8}{x^3}\)).

- Schreibe die Quotientenregel unabhängig von beiden Vorschlägen auf. - Vergleiche danach insbesondere die Struktur des Nenners. - Für stationäre Stellen genügt nach der Vereinfachung die Nullstellenanalyse des Zählers unter Beachtung des Definitionsbereichs.

1. Jonas' Ansatz ist korrekt. Bei der Quotientenregel wird der Nenner quadriert. Sarah hat diesen Nennerfaktor nicht quadriert. 2. Vereinfachen ergibt \(f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\). 3. Da \(x=1\) nicht zum Definitionsbereich gehört und der Nenner sonst positiv ist, gilt \(f'(x)=0\) für \(x=0\) und \(x=2\). 4. Die stationären Stellen liegen bei \(x=0\) und \(x=2\).

a) Jonas' Ansatz ist korrekt; Sarah vergisst das Quadrat des Nenners in der Quotientenregel. b) \(f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\); stationäre Stellen bei \(x=0\) und \(x=2\).

- Welche Bedingung beschreibt eine waagerechte Tangente? - Unterscheide die Nullstellen von \(g\) von den Nullstellen von \(g'\). - Welche Ableitungsregel passt zur Struktur des gegebenen Funktionsterms?

1. Mit der Quotientenregel gilt \(g'(x)=\frac{2x(x^2+1)-(x^2-4)2x}{(x^2+1)^2}\). 2. Der Zähler vereinfacht sich zu \(10x\), also \(g'(x)=\frac{10x}{(x^2+1)^2}\). 3. Eine waagerechte Tangente erfordert \(g'(x)=0\). Da der Nenner stets positiv ist, folgt \(10x=0\), also \(x=0\). 4. Die Behauptung ist falsch: \(x=\pm2\) sind Nullstellen von \(g\), nicht von \(g'\). Nur bei \(x=0\) liegt eine waagerechte Tangente vor.

Die Behauptung ist falsch. Die einzige Stelle mit waagerechter Tangente ist \(x=0\).

- Kannst du die Quotientenregel für Brüche nennen? - Achte darauf, den Zähler der ersten Ableitung so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du die zweite Ableitung bildest. - Beim Ableiten des Nenners der ersten Ableitung ist die Kettenregel hilfreich. - Gibt es im Zähler der zweiten Ableitung einen gemeinsamen Faktor, den du mit dem Nenner kürzen kannst?

1. Anwendung der Quotientenregel auf \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) mit \(u(x) = 4x\) und \(v(x) = x^2 + 1\): \(f'(x) = \frac{4 \cdot (x^2 + 1) - 4x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}\). Vereinfachung des Zählers ergibt \(f'(x) = \frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2}\). 2. Anwendung der Quotientenregel auf \(f'(x)\) unter Verwendung der Kettenregel für den Nenner: \(f''(x) = \frac{-8x \cdot (x^2 + 1)^2 - (4 - 4x^2) \cdot 2 \cdot (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4}\). 3. Ausklammern und Kürzen des Faktors \((x^2 + 1)\) führt zu \(f''(x) = \frac{-8x(x^2 + 1) - 4x(4 - 4x^2)}{(x^2 + 1)^3}\). Ausmultiplizieren und Zusammenfassen des Zählers ergibt \(f''(x) = \frac{8x^3 - 24x}{(x^2 + 1)^3}\).

\(f'(x) = \frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2}\) \(f''(x) = \frac{8x^3 - 24x}{(x^2 + 1)^3}\)

- Leite Zähler und Nenner zunächst getrennt ab. - Für die zweite Ableitung ist der Nenner selbst eine verkettete Potenz. - Suche erst nach dem vollständigen zweiten Quotientenregelansatz nach gemeinsamen Faktoren.

1. Für die erste Ableitung gilt \(g'(x)=\frac{(2x+2)(x-1)-(x^2+2x)\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-2}{(x-1)^2}\). 2. Für die zweite Ableitung wird dieser Quotient erneut abgeleitet: \(g''(x)=\frac{(2x-2)(x-1)^2-(x^2-2x-2)\cdot2(x-1)}{(x-1)^4}\). 3. Kürzen eines Faktors \((x-1)\) und Vereinfachen ergibt \(g''(x)=\frac{6}{(x-1)^3}\).

Erster Ansatz: \(g'(x)=\frac{(2x+2)(x-1)-(x^2+2x)}{(x-1)^2}\), also \(g'(x)=\frac{x^2-2x-2}{(x-1)^2}\). Zweiter Ansatz: \(g''(x)=\frac{(2x-2)(x-1)^2-(x^2-2x-2)\cdot2(x-1)}{(x-1)^4}\), also \(g''(x)=\frac{6}{(x-1)^3}\).

- Schreibe die Quotientenregel zunächst unabhängig von Harutos Rechnung mit \(u\) und \(v\) auf. - Vergleiche danach nur die Struktur des Zählers mit Schritt 1. - Erst nach der Korrektur solltest du die Nullstellen der Ableitung bestimmen.

1. In Schritt 1 ist die Quotientenregel falsch angesetzt. Für \(u(x)=x^2-3\) und \(v(x)=e^x\) gilt \(f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\); zwischen den beiden Zählertermen steht also ein Minuszeichen. 2. Damit ist \(f'(x)=\frac{2x e^x-(x^2-3)e^x}{e^{2x}}=\frac{-x^2+2x+3}{e^x}\). 3. Da \(e^x>0\), gilt \(f'(x)=0\) genau dann, wenn \(-x^2+2x+3=0\). 4. Faktorisieren liefert \(-(x-3)(x+1)=0\). Die tatsächlichen Stellen mit waagrechter Tangente sind daher \(x=-1\) und \(x=3\).

Der Quotientenregelansatz ist falsch, weil im Zähler ein Minuszeichen stehen muss. Korrekt ist \(f'(x)=\frac{-x^2+2x+3}{e^x}\). Die waagrechten Tangenten liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\).

- Erinnere dich an die Quotientenregel: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). - Beim Umschreiben in ein Produkt musst du den Exponenten anpassen. - Was musst du beim Ableiten von \(e^{ax}\) beachten? - Welche Bedingung muss für eine waagrechte Tangente erfüllt sein?

1. Quotientenregel: \(u = x+2, v = e^{0{,}5x} \Rightarrow u' = 1, v' = 0{,}5e^{0{,}5x}\). 2. Einsetzen: \(f'(x) = \frac{1 \cdot e^{0{,}5x} - (x+2) \cdot 0{,}5e^{0{,}5x}}{(e^{0{,}5x})^2} = \frac{e^{0{,}5x}(1 - 0{,}5x - 1)}{e^x} = \frac{-0{,}5x}{e^{0{,}5x}}\). 3. Produktregel: \(u = x+2, v = e^{-0{,}5x} \Rightarrow u' = 1, v' = -0{,}5e^{-0{,}5x}\). 4. Einsetzen: \(f'(x) = 1 \cdot e^{-0{,}5x} + (x+2) \cdot (-0{,}5e^{-0{,}5x}) = e^{-0{,}5x}(1 - 0{,}5x - 1) = -0{,}5x \cdot e^{-0{,}5x}\). 5. Vergleich: Beides führt auf \(f'(x) = -0{,}5x \cdot e^{-0{,}5x}\). 6. Waagrechte Tangente: \(f'(x) = 0 \Rightarrow -0{,}5x \cdot e^{-0{,}5x} = 0\). Da \(e^{-0{,}5x} \neq 0\), folgt \(x = 0\).

a) \(f'(x) = \frac{-0{,}5x}{e^{0{,}5x}}\) b) \(f'(x) = (1 - 0{,}5x - 1) \cdot e^{-0{,}5x} = -0{,}5x \cdot e^{-0{,}5x}\). Beide Terme sind äquivalent. c) Die waagrechte Tangente liegt an der Stelle \(x = 0\) vor.

- Betrachte die Funktion als Summe zweier Teile und leite diese getrennt ab. - Erinnerst du dich an die Regel für Brüche, bei denen sowohl im Zähler als auch im Nenner die Variable steht? - Gibt es im Zähler des Bruchs nach dem Ableiten einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst?

1. Anwendung der Summenregel: Die Ableitung von \(4x^2\) ergibt \(8x\). 2. Für den zweiten Summanden \(\frac{e^x}{x+3}\) wird die Quotientenregel mit \(u(x) = e^x\) und \(v(x) = x+3\) angewendet. 3. Bildung der Ableitungen: \(u'(x) = e^x\) und \(v'(x) = 1\). 4. Einsetzen in die Quotientenregel: \(\frac{e^x \cdot (x+3) - e^x \cdot 1}{(x+3)^2}\). 5. Ausklammern von \(e^x\) im Zähler: \(e^x \cdot (x + 3 - 1) = (x+2)e^x\). 6. Kombination der Teile ergibt \(f'(x) = 8x + \frac{(x+2)e^x}{(x+3)^2}\).

\(f'(x) = 8x + \frac{(x+2)e^x}{(x+3)^2}\)

- Welche Regel ist die Hauptstruktur für das Ableiten dieses Bruchs? - Untersuche den Zähler genau – benötigst du dort eine weitere Ableitungsregel? - Achte beim Ausmultiplizieren im Zähler besonders auf die Vorzeichen. - Kannst du Terme im Zähler finden, die sich gegenseitig aufheben?

1. Identifikation der Quotientenregel für den Bruch \(\frac{u(t)}{v(t)}\) mit \(u(t) = t \cdot \sin(t)\) und \(v(t) = t - 1\). 2. Ableitung des Zählers \(u(t)\) mittels Produktregel: \(u'(t) = 1 \cdot \sin(t) + t \cdot \cos(t) = \sin(t) + t \cos(t)\). 3. Ableitung des Nenners: \(v'(t) = 1\). 4. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(t) = \frac{(\sin(t) + t \cos(t)) \cdot (t - 1) - (t \sin(t)) \cdot 1}{(t - 1)^2}\). 5. Ausmultiplizieren des Zählers: \(t \sin(t) - \sin(t) + t^2 \cos(t) - t \cos(t) - t \sin(t)\). 6. Vereinfachen durch Zusammenfassen: \(t^2 \cos(t) - t \cos(t) - \sin(t)\). 7. Das Endergebnis lautet \(f'(t) = \frac{(t^2 - t) \cos(t) - \sin(t)}{(t - 1)^2}\).

\(f'(t) = \frac{(t^2 - t) \cos(t) - \sin(t)}{(t - 1)^2}\)

- Welche Regeln benötigst du, um einen Bruch zu differenzieren, dessen Zähler eine Potenzfunktion ist? - Kannst du den Zähler faktorisieren, anstatt ihn komplett auszumultiplizieren? - Was muss für die Steigung an einer Stelle mit waagerechter Tangente gelten? - Wann wird ein Bruch gleich Null?

1. Anwendung der Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) mit \(u(x) = (x^2 - 1)^2\) und \(v(x) = x^2 + 3\). 2. Kettenregel für \(u'(x)\): \(u'(x) = 2 \cdot (x^2 - 1) \cdot 2x = 4x(x^2 - 1)\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{4x(x^2 - 1)(x^2 + 3) - (x^2 - 1)^2 \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2}\). 4. Ausklammern von \(2x(x^2 - 1)\) im Zähler: \(f'(x) = \frac{2x(x^2 - 1) \cdot [2(x^2 + 3) - (x^2 - 1)]}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x(x^2 - 1)(2x^2 + 6 - x^2 + 1)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x(x^2 - 1)(x^2 + 7)}{(x^2 + 3)^2}\). 5. Nullstellen der Ableitung finden: \(2x(x^2 - 1)(x^2 + 7) = 0\). 6. Da \(x^2 + 7 > 0\) für alle \(x\), ergeben sich die Lösungen aus \(x = 0\) und \(x^2 - 1 = 0\), also \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 1\).

a) \(f'(x) = \frac{2x(x^2 - 1)(x^2 + 7)}{(x^2 + 3)^2}\) b) Die Stellen mit waagerechter Tangente sind \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 1\).

- Erinnere dich an die Quotientenregel: Wie leitet man einen Bruch ab? - Achte bei der Exponentialfunktion auf die Kettenregel. - Klammere im Zähler gemeinsame Faktoren aus, um den Term zu vereinfachen. - Multipliziere die Klammern im Zähler sorgfältig aus und fasse gleichartige Glieder zusammen.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Quotientenregel mit \(u(x) = x^2 - 9\) und \(v(x) = 3x + 2\) angewendet. Die Ableitungen sind \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = 3\). Einsetzen in die Formel ergibt: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (3x + 2) - (x^2 - 9) \cdot 3}{(3x + 2)^2} = \frac{6x^2 + 4x - 3x^2 + 27}{(3x + 2)^2} = \frac{3x^2 + 4x + 27}{(3x + 2)^2}\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Quotientenregel mit \(u(t) = e^{3t}\) und \(v(t) = t^2 + 1\) angewendet. Unter Beachtung der Kettenregel ist \(u'(t) = 3e^{3t}\) und \(v'(t) = 2t\). Einsetzen ergibt: \(f'(t) = \frac{3e^{3t} \cdot (t^2 + 1) - e^{3t} \cdot 2t}{(t^2 + 1)^2} = \frac{e^{3t} \cdot (3t^2 + 3 - 2t)}{(t^2 + 1)^2} = \frac{e^{3t}(3t^2 - 2t + 3)}{(t^2 + 1)^2}\).

a) \(f'(x) = \frac{3x^2 + 4x + 27}{(3x + 2)^2}\) b) \(f'(t) = \frac{e^{3t}(3t^2 - 2t + 3)}{(t^2 + 1)^2}\)

- Leite bei Summen jeden Teil einzeln ab. - Wenn im Nenner ein Produkt steht, musst du innerhalb der Quotientenregel die Produktregel anwenden. - Achte beim Vereinfachen darauf, ob du Faktoren im Zähler und Nenner kürzen kannst. - Vergiss beim Ableiten von Termen wie \(x \cdot e^x\) nicht die Produktregel.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Summenregel angewendet. Der erste Teil ergibt \((\frac{1}{2}x^2)' = x\). Für den zweiten Teil nutzt man die Quotientenregel oder die Potenzregel für Brüche: \((\frac{4}{x-5})' = \frac{0 \cdot (x-5) - 4 \cdot 1}{(x-5)^2} = -\frac{4}{(x-5)^2}\). Das Gesamtergebnis ist \(f'(x) = x - \frac{4}{(x-5)^2}\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Quotientenregel mit \(u(x) = 3x + 2\) und \(v(x) = x^2 e^x\) genutzt. Für \(v'(x)\) ist die Produktregel nötig: \(v'(x) = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x)\). Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{3(x^2e^x) - (3x+2)(xe^x(2+x))}{(x^2e^x)^2}\). Im Zähler wird \(xe^x\) ausgeklammert: \(f'(x) = \frac{xe^x [3x - (3x+2)(x+2)]}{x^4 e^{2x}}\). Vereinfachen des Zählerterms: \(3x - (3x^2 + 8x + 4) = -3x^2 - 5x - 4\). Kürzen durch \(xe^x\) führt zum Ergebnis: \(f'(x) = \frac{-3x^2 - 5x - 4}{x^3 e^x}\).

a) \(f'(x) = x - \frac{4}{(x - 5)^2}\) b) \(f'(x) = \frac{-3x^2 - 5x - 4}{x^3 e^x}\)

- Behandle den Parameter \(k\) beim Ableiten wie eine ganz normale Zahl. - Achte beim Umschreiben in ein Produkt auf das Vorzeichen des Exponenten. - Kannst du den Bruchterm nach der Quotientenregel noch durch Kürzen vereinfachen? - Wie gehst du vor, wenn du Terme mit unterschiedlichen Potenzen von \(x\) im Nenner addieren möchtest?

1. Quotientenregel mit \(u(x) = 1 - kx\) und \(v(x) = x^2\): \(f_k'(x) = \frac{-k \cdot x^2 - (1 - kx) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-kx^2 - 2x + 2kx^2}{x^4} = \frac{kx^2 - 2x}{x^4}\). Durch Kürzen mit \(x\) ergibt sich \(f_k'(x) = \frac{kx - 2}{x^3}\). 2. Produktregel durch Umschreiben zu \(f_k(x) = (1 - kx) \cdot x^{-2}\): \(f_k'(x) = -k \cdot x^{-2} + (1 - kx) \cdot (-2x^{-3}) = -kx^{-2} - 2x^{-3} + 2kx^{-2} = kx^{-2} - 2x^{-3}\). 3. Vergleich der Terme: Umschreiben des Ergebnisses der Produktregel in Bruchschreibweise liefert \(\frac{k}{x^2} - \frac{2}{x^3} = \frac{kx}{x^3} - \frac{2}{x^3} = \frac{kx - 2}{x^3}\), was dem Ergebnis der Quotientenregel entspricht.

\(f_k'(x) = \frac{kx - 2}{x^3}\) Der Ableitungsterm gilt auf dem Definitionsbereich der Ausgangsfunktion.

- Wähle für die Quotientenregel eine konstante Zählerfunktion und \(x^2\) als Nennerfunktion. - Das Vorzeichen von \(g'\) hängt nur vom Vorzeichen von \(x^3\) ab. - Überlege, welche Werte ein Bruch mit konstant von null verschiedenem Zähler niemals annehmen kann.

1. Mit \(u(x)=-1\) und \(v(x)=x^2\) gilt \(u'(x)=0\) und \(v'(x)=2x\). Die Quotientenregel liefert \(g'(x)=\frac{0\cdot x^2-(-1)\cdot2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}\). 2. Für \(x<0\) ist \(g'(x)<0\), für \(x>0\) ist \(g'(x)>0\). 3. Der Wert \(0\) kann von \(\frac{2}{x^3}\) nie angenommen werden. Für \(x\to0^\pm\) werden beliebig große positive bzw. negative Werte erreicht, und für \(|x|\to\infty\) nähert sich \(g'\) der \(0\) an. Damit ist genau die Steigung \(m=0\) ausgeschlossen. 4. Geometrisch fällt der linke Ast streng und der rechte Ast steigt streng; es gibt keine waagerechte Tangente.

\(g'(x)=\frac{2}{x^3}\). Für \(x<0\) ist die Steigung negativ, für \(x>0\) positiv. Genau der Steigungswert \(m=0\) ist ausgeschlossen; der Graph besitzt keine waagerechte Tangente.

- Was passiert in der Quotientenregel, wenn die Ableitung der Zählerfunktion Null ist? - Erinnere dich daran, dass konstante Faktoren beim Ableiten erhalten bleiben. - Welche Ableitung hat die Funktion im Nenner von Teilaufgabe b)?

1. Für Teil a) wird die Quotientenregel auf \(h(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) mit \(u(x) = 1\) angewendet. Da \(u'(x) = 0\) ist, ergibt sich \(h'(x) = \frac{0 \cdot v(x) - 1 \cdot v'(x)}{(v(x))^2} = -\frac{v'(x)}{(v(x))^2}\). 2. Für Teil b) identifizieren wir \(c = 5\) und \(v(x) = x^2 + \sin(x)\). Die Ableitung des Nenners ist \(v'(x) = 2x + \cos(x)\). 3. Unter Verwendung der Konstantenregel und der Reziprokenregel (oder direkt der Quotientenregel) folgt: \(f'(x) = 5 \cdot \left( -\frac{2x + \cos(x)}{(x^2 + \sin(x))^2} \right)\). 4. Zusammengefasst ergibt sich \(f'(x) = -\frac{10x + 5\cos(x)}{(x^2 + \sin(x))^2}\).

a) Nachweis durch Einsetzen von \(u(x)=1\) und \(u'(x)=0\) in die Quotientenregel. b) \(f'(x) = -\frac{10x + 5\cos(x)}{(x^2 + \sin(x))^2}\) Voraussetzung der Quotientenregel ist \(v(x)\neq0\).

- Betrachte den Nenner zunächst als eine einzige zusammengefasste Funktion. - Welche Regel wendest du an, wenn du einen Bruch ableiten möchtest? - Achte beim Ableiten des Nenners darauf, dass dieser selbst aus einem Produkt besteht. - Vergiss beim Auflösen der Klammern im Zähler nicht das Minuszeichen vor der Klammer.

1. Anwendung der Quotientenregel auf \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x) \cdot w(x)}\): \(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot (v(x) \cdot w(x)) - u(x) \cdot (v(x) \cdot w(x))'}{(v(x) \cdot w(x))^2}\) 2. Anwendung der Produktregel auf den Term im Zähler: \((v(x) \cdot w(x))' = v'(x)w(x) + v(x)w'(x)\) 3. Einsetzen der Produktregel in den Zähler: \(f'(x) = \frac{u'(x)v(x)w(x) - u(x)(v'(x)w(x) + v(x)w'(x))}{v(x)^2 w(x)^2}\) 4. Auflösen der Klammer im Zähler durch Distributivgesetz: \(f'(x) = \frac{u'(x)v(x)w(x) - u(x)v'(x)w(x) - u(x)v(x)w'(x)}{v(x)^2 w(x)^2}\)

\(f'(x) = \frac{u'(x)v(x)w(x) - u(x)v'(x)w(x) - u(x)v(x)w'(x)}{v(x)^2 w(x)^2}\)

- Bestimme zuerst die Ableitung des Zählers; dort steckt selbst ein Produkt. - Halte Zähler und Nenner des äußeren Quotienten getrennt fest, bevor du die Quotientenregel einsetzt. - Vereinfache erst, nachdem der vollständige Ausdruck \(u'v-uv'\) im Zähler steht.

1. Für den Zähler gilt \(u(x)=x\sin(x)\). Mit der Produktregel folgt \(u'(x)=\sin(x)+x\cos(x)\). 2. Für den Nenner gilt \(v(x)=e^x\) und damit \(v'(x)=e^x\). 3. Die Quotientenregel liefert \(h'(x)=\frac{(\sin(x)+x\cos(x))e^x-x\sin(x)e^x}{(e^x)^2}\). 4. Nach Ausklammern und Kürzen von \(e^x\) ergibt sich \(h'(x)=\frac{(1-x)\sin(x)+x\cos(x)}{e^x}\).

Quotientenregelansatz: \(h'(x)=\frac{(\sin(x)+x\cos(x))e^x-x\sin(x)e^x}{(e^x)^2}\). Vereinfacht: \(h'(x)=\frac{(1-x)\sin(x)+x\cos(x)}{e^x}\).

- Wie kannst du einen Bruch mit einer Summe im Zähler in einzelne Brüche zerlegen? - Erinnere dich an das Verfahren der schriftlichen Division bei Polynomen. - Welche Regeln benötigst du, um einen Term der Form \(x + c + \frac{a}{x+b}\) abzuleiten? - Achte beim Anwenden der Quotientenregel besonders auf das Minuszeichen im Zähler und setze Klammern um die Terme. - Wie addiert man eine ganze Zahl und einen Bruch?

1. Weg (Polynomdivision): Die Division \((x^2 - 4x + 5) : (x - 2)\) ergibt \(x - 2 + \frac{1}{x - 2}\). Ableiten dieses Terms: Die Ableitung von \(x - 2\) ist \(1\). Für den Bruch \(\frac{1}{x - 2} = (x - 2)^{-1}\) ergibt die Kettenregel (oder die einfache Quotientenregel) \(-\frac{1}{(x - 2)^2}\). Somit ist \(f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 2)^2}\). 2. Weg (Direkte Quotientenregel): Mit \(u(x) = x^2 - 4x + 5\) (\(u'(x) = 2x - 4\)) und \(v(x) = x - 2\) (\(v'(x) = 1\)) folgt: \(f'(x) = \frac{(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x + 5) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - 4x + 8 - x^2 + 4x - 5}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}\). Vergleich: Bringt man das Ergebnis des ersten Weges auf den Hauptnenner, erhält man \(f'(x) = \frac{(x - 2)^2 - 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 4 - 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}\). Beide Ergebnisse sind identisch.

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}\) bzw. in der zerlegten Form \(f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 2)^2}\).

- Erinnere dich an die Quotientenregel für Brüche der Form \(\frac{u(x)}{v(x)}\). - Was ist die Ableitung einer konstanten Zahl wie \(1\)? - Nutze die Potenzgesetze für Divisionen, um den Bruch am Ende zu vereinfachen. - Überlege, wie du die hergeleitete Regel direkt auf den Faktor \(3\) und den Exponenten \(-5\) anwenden kannst.

1. Identifikation der Funktionen für die Quotientenregel: \(u(x) = 1\) mit \(u'(x) = 0\) und \(v(x) = x^n\) mit \(v'(x) = n \cdot x^{n-1}\). 2. Anwendung der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{0 \cdot x^n - 1 \cdot n \cdot x^{n-1}}{(x^n)^2}\). 3. Vereinfachung des Terms: \(f'(x) = \frac{-n \cdot x^{n-1}}{x^{2n}} = -n \cdot x^{n-1-2n} = -n \cdot x^{-n-1}\). 4. Anwendung auf \(g(x) = 3 \cdot x^{-5}\): \(g'(x) = 3 \cdot (-5) \cdot x^{-5-1} = -15 \cdot x^{-6} = -\frac{15}{x^6}\).

Die Herleitung ergibt \(f'(x) = -n \cdot x^{-n-1}\). Für die Beispielfunktion gilt \(g'(x) = -\frac{15}{x^6}\).

- Schreibe die Wurzelfunktion als Potenz mit rationalem Exponenten um, um sie leichter abzuleiten. - Achte beim Ableiten des Nenners auf die Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen. - Setze Klammern um die Terme von \(u'\), \(v\), \(u\) und \(v'\), bevor du sie in die Regel einsetzt. - Versuche am Ende, den Doppelbruch im Zähler zu beseitigen, indem du den gesamten Bruch geeignet erweiterst.

1. Festlegen der Teilfunktionen: \(u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) und \(v(x) = \cos(x) - x\). 2. Ableiten der Teilfunktionen: \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(v'(x) = -\sin(x) - 1\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (\cos(x) - x) - \sqrt{x} \cdot (-\sin(x) - 1)}{(\cos(x) - x)^2}\). 4. Erweitern des Zählers mit \(2\sqrt{x}\), um den Doppelbruch aufzulösen: \(\frac{\cos(x) - x + 2x \cdot (\sin(x) + 1)}{2\sqrt{x} \cdot (\cos(x) - x)^2}\). 5. Vereinfachen des Zählers: \(\cos(x) - x + 2x \sin(x) + 2x = \cos(x) + x + 2x \sin(x)\). 6. Endergebnis: \(f'(x) = \frac{\cos(x) + x + 2x \sin(x)}{2\sqrt{x}(\cos(x) - x)^2}\). 7. Die Ausgangsfunktion ist für \(x \ge 0\) mit \(\cos(x) \ne x\) definiert. Wegen der Ableitung von \(\sqrt{x}\) gilt für die Ableitungsfunktion \(D_{f'} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \text{ und } \cos(x) \ne x\}\).

\(f'(x) = \frac{\cos(x) + x + 2x \sin(x)}{2\sqrt{x}(\cos(x) - x)^2}\) mit \(D_{f'} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \text{ und } \cos(x) \ne x\}\).

- Welche Funktionen stehen im Zähler und im Nenner? - Kannst du den Zähler nach dem Ableiten vereinfachen, bevor du die zweite Ableitung bildest? - Denk beim Ableiten des Quadrats im Nenner für die zweite Ableitung an die Kettenregel. - Gibt es im Zähler der zweiten Ableitung einen gemeinsamen Faktor, den du mit dem Nenner kürzen kannst?

1. Identifikation der Teilfunktionen für die 1. Ableitung: \(u(x) = x^2 - 4\) mit \(u'(x) = 2x\) und \(v(x) = x^2 + 4\) mit \(v'(x) = 2x\). 2. Anwendung der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{2x(x^2 + 4) - (x^2 - 4)2x}{(x^2 + 4)^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(2x^3 + 8x - (2x^3 - 8x) = 16x\). Daraus folgt \(f'(x) = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}\). 4. Identifikation für die 2. Ableitung: \(u_1(x) = 16x\) mit \(u_1'(x) = 16\) und \(v_1(x) = (x^2 + 4)^2\) mit \(v_1'(x) = 4x(x^2 + 4)\) (Kettenregel). 5. Anwendung der Quotientenregel: \(f''(x) = \frac{16(x^2 + 4)^2 - 16x \cdot 4x(x^2 + 4)}{(x^2 + 4)^4}\). 6. Kürzen durch \((x^2 + 4)\) und Vereinfachen: \(f''(x) = \frac{16(x^2 + 4) - 64x^2}{(x^2 + 4)^3} = \frac{64 - 48x^2}{(x^2 + 4)^3}\).

\(f'(x) = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}\) und \(f''(x) = \frac{64 - 48x^2}{(x^2 + 4)^3}\)

- Halte Zähler und Nenner in jedem Ableitungsschritt als eigene Funktionen fest. - Vereinfache die erste Ableitung erst nach dem vollständigen Quotientenregelansatz. - Suche im zweiten Zähler nach einem Faktor \((x-1)\), bevor du alles ausmultiplizierst.

1. Mit der Quotientenregel gilt \(f'(x)=\frac{3x^2(x-1)-x^3}{(x-1)^2}=\frac{2x^3-3x^2}{(x-1)^2}\). 2. Für die zweite Ableitung ist \(u_1(x)=2x^3-3x^2\) und \(v_1(x)=(x-1)^2\). Daher \(f''(x)=\frac{(6x^2-6x)(x-1)^2-(2x^3-3x^2)\cdot2(x-1)}{(x-1)^4}\). 3. Nach Kürzen und Vereinfachen folgt \(f''(x)=\frac{2x^3-6x^2+6x}{(x-1)^3}\).

Erster Ansatz: \(f'(x)=\frac{3x^2(x-1)-x^3}{(x-1)^2}\), also \(f'(x)=\frac{2x^3-3x^2}{(x-1)^2}\). Zweiter Ansatz: \(f''(x)=\frac{(6x^2-6x)(x-1)^2-(2x^3-3x^2)\cdot2(x-1)}{(x-1)^4}\), also \(f''(x)=\frac{2x^3-6x^2+6x}{(x-1)^3}\).

- Erinnere dich an die Formel der Quotientenregel für \(\left(\frac{u}{v}\right)'\). - Wie verändert sich der Grad eines Polynoms, wenn man es ableitet? - Was passiert mit dem Grad, wenn man zwei Polynome miteinander multipliziert? - Betrachte die höchsten Potenzen im Zähler der Ableitung nach dem Ausmultiplizieren.

1. Anwendung der Quotientenregel mit \(u(x) = 2x^3 - 5\) und \(v(x) = x^2 + 4\): \(u'(x) = 6x^2\) und \(v'(x) = 2x\). \(f'(x) = \frac{6x^2 \cdot (x^2 + 4) - (2x^3 - 5) \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2}\) \(f'(x) = \frac{6x^4 + 24x^2 - (4x^4 - 10x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x^4 + 24x^2 + 10x}{(x^2 + 4)^2}\). 2. Der Grad des Zählers von \(f\) ist \(n = 3\). Der Grad des Zählers von \(f'\) ist \(k = 4\). 3. Der Grad hat sich um 1 erhöht (\(k = n + 1\)). Dies liegt daran, dass in der Quotientenregel \(u' \cdot v\) und \(u \cdot v'\) gebildet werden. Da der Nennergrad \(m = 2\) ist, ergibt sich für beide Terme ein Grad von \((n-1) + m = 3-1+2 = 4\) bzw. \(n + (m-1) = 3+2-1 = 4\). Da die führenden Koeffizienten (\(6x^4\) und \(4x^4\)) sich nicht aufheben, bleibt der Grad des neuen Zählers bei 4.

1. \(f'(x) = \frac{2x^4 + 24x^2 + 10x}{(x^2 + 4)^2}\) 2. Grad des ursprünglichen Zählers: 3; Grad des Zählers der Ableitung: 4. 3. Der Grad hat sich erhöht, da durch die Multiplikation mit dem Nenner (Grad 2) in der Quotientenregel die Potenz des Zählers stärker steigt als sie durch die Ableitung sinkt.

- Welche Regel nutzt du, wenn eine Funktion als Bruch zweier anderer Funktionen dargestellt ist? - Erinnere dich an die Ableitungen der Grundfunktionen Sinus und Kosinus. - Achte beim Zusammenfassen im Zähler besonders auf die Vorzeichen. - Gibt es eine bekannte Identität, mit der du die Summe von Quadraten der Winkelfunktionen vereinfachen kannst? - Kannst du am Ende einen Faktor kürzen?

1. Identifikation der Zählerfunktion \(u(x) = \sin x\) und der Nennerfunktion \(v(x) = 1 + \cos x\). 2. Bestimmung der zugehörigen Ableitungen: \(u'(x) = \cos x\) und \(v'(x) = -\sin x\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{\cos x \cdot (1 + \cos x) - \sin x \cdot (-\sin x)}{(1 + \cos x)^2}\). 4. Vereinfachung des Zählers durch Ausmultiplizieren: \(f'(x) = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}\). 5. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), woraus \(f'(x) = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2}\) folgt. 6. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((1 + \cos x)\) im Zähler und Nenner führt zum Ergebnis \(f'(x) = \frac{1}{1 + \cos x}\).

\(f'(x) = \frac{1}{1 + \cos x}\)

- Wann wird ein Bruch gleich null? - An welchen Stellen ist die Sinusfunktion null? - Erinnere dich an die Quotientenregel für Ableitungen. - Gibt es eine Identität, mit der man \(\sin^2 x + \cos^2 x\) vereinfachen kann? - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen aus?

1. Eine Nullstelle liegt vor, wenn der Zähler \(\cos x = 0\) ist. Im Intervall \(]0;\pi[\) ist dies für \(x = \frac{\pi}{2}\) der Fall. Senkrechte Asymptoten liegen an den Stellen vor, an denen der Nenner \(\sin x = 0\) ist. Dies gilt für \(x = 0\) und \(x = \pi\). 2. Anwendung der Quotientenregel mit \(u(x) = \cos x\) (\(u'(x) = -\sin x\)) und \(v(x) = \sin x\) (\(v'(x) = \cos x\)): \(f'(x) = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}\). Unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) ergibt sich: \(f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}\). 3. Da der Term \(\sin^2 x\) für alle \(x \in ]0;\pi[\) positiv ist, ist der Bruch \(\frac{1}{\sin^2 x}\) stets positiv. Durch das negative Vorzeichen gilt \(f'(x) < 0\) für alle \(x \in D\). Da die Ableitung im gesamten Intervall negativ ist, ist die Funktion dort streng monoton fallend.

1. Nullstelle bei \(x = \frac{\pi}{2}\); senkrechte Asymptoten bei \(x = 0\) und \(x = \pi\). 2. \(f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}\). 3. Wegen \(\sin^2 x > 0\) ist \(f'(x) < 0\), daher ist \(f\) streng monoton fallend.

- Ordne Zähler und Nenner der Quotientenregel klar zu, bevor du einsetzt. - Für die Steigung an \(x_0\) brauchst du den Wert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle. - Bei waagrechten Tangenten ist der Zähler der Ableitung entscheidend, weil der Nenner hier stets positiv ist.

1. Mit \(u(x)=4x-4\), \(v(x)=x^2+3\), \(u'(x)=4\) und \(v'(x)=2x\) folgt \(f'(x)=\frac{4(x^2+3)-(4x-4)2x}{(x^2+3)^2}=\frac{-4x^2+8x+12}{(x^2+3)^2}\). 2. \(f'(1)=\frac{-4+8+12}{16}=1\). 3. Für waagrechte Tangenten muss \(-4x^2+8x+12=0\) gelten. Daraus folgen \(x=-1\) und \(x=3\). 4. \(f(-1)=-2\) und \(f(3)=\frac{2}{3}\). Aus dem Vorzeichenwechsel von \(f'\) folgt \(T(-1\mid-2)\) und \(H\left(3\mid\frac{2}{3}\right)\).

a) \(f'(x)=\frac{-4x^2+8x+12}{(x^2+3)^2}\) b) \(f'(1)=1\) c) \(T(-1\mid-2)\), \(H\left(3\mid\frac{2}{3}\right)\)

- Trenne bei der Quotientenregel Zähler- und Nennerfunktion sauber voneinander. - Nach dem Vereinfachen von \(f'\) ist der Nenner für die Vorzeichenanalyse unproblematisch. - Die Vorzeichenwechsel von \(f'\) liefern sowohl die Monotonieintervalle als auch die Extremtypen.

1. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=\frac{4(x^2+4)-4x\cdot2x}{(x^2+4)^2}=\frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}\). 2. Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x=-2\) und \(x=2\). Da der Nenner stets positiv ist, entscheidet der Zähler über das Vorzeichen. 3. Für \(x<-2\) und \(x>2\) gilt \(f'(x)<0\), für \(-2<x<2\) gilt \(f'(x)>0\). 4. Daher ist \(f\) auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;\infty)\) streng monoton fallend und auf \([-2;2]\) streng monoton steigend. 5. Es ist \(f(-2)=-1\) und \(f(2)=1\). Somit liegen die Extrempunkte bei \(T(-2\mid-1)\) und \(H(2\mid1)\).

\(f'(x)=\frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}\). Streng monoton steigend auf \([-2;2]\); streng monoton fallend auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;\infty)\). Tiefpunkt: \(T(-2\mid-1)\); Hochpunkt: \(H(2\mid1)\).

- Bestimme die Ableitung als Quotient zweier Funktionen. - Vereinfache den Zähler der Ableitung vollständig, bevor du sein Vorzeichen untersuchst. - Prüfe, ob der Nenner das Vorzeichen der Ableitung verändern kann.

1. Die Quotientenregel liefert \(g'(x)=\frac{2x(x^2+3)-(x^2-9)2x}{(x^2+3)^2}=\frac{24x}{(x^2+3)^2}\). 2. Der Nenner \((x^2+3)^2\) ist für alle \(x\in\mathbb{R}\) positiv. Daher bestimmt allein \(24x\) das Vorzeichen von \(g'\). 3. Für \(x<0\) gilt \(g'(x)<0\), für \(x>0\) gilt \(g'(x)>0\), und \(g'(0)=0\). 4. Somit ist \(g\) auf \(( -\infty;0]\) streng monoton fallend und auf \([0;\infty)\) streng monoton steigend.

\(g'(x)=\frac{24x}{(x^2+3)^2}\). Streng monoton fallend auf \(( -\infty;0]\); streng monoton steigend auf \([0;\infty)\).

- Welche Parameterbedingung folgt aus der senkrechten Asymptote? - Welche zweite Beziehung zwischen \(a\) und \(b\) liefert die Nullstelle \(x=2\)? - Wende die Quotientenregel auf Zähler- und Nennerfunktion an und setze erst danach die bekannte Stelle für die Steigung ein.

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x=-2\) folgt \(-2+c=0\), also \(c=2\). 2. Weil \(x=2\) eine Nullstelle ist, gilt \(4a+2b=0\). Daher ist \(b=-2a\) und damit \(f(x)=\frac{ax^2-2ax}{x+2}\). 3. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=\frac{(2ax-2a)(x+2)-(ax^2-2ax)}{(x+2)^2}=\frac{ax^2+4ax-4a}{(x+2)^2}\). 4. Einsetzen von \(x=2\) ergibt \(f'(2)=\frac{8a}{16}=\frac{a}{2}\). Aus \(\frac{a}{2}=0{,}5\) folgt \(a=1\). 5. Somit ist \(b=-2\), \(c=2\) und \(f(x)=\frac{x^2-2x}{x+2}\).

\(a=1\), \(b=-2\), \(c=2\); \(f(x)=\frac{x^2-2x}{x+2}\)

- Teil a verlangt nicht nur Zahlenwerte, sondern eine reproduzierbare Beschreibung deiner dynamischen Softwarekonfiguration. - Suche in den beobachteten Koordinaten nach einer Beziehung, die bei allen drei Parameterwerten gleich bleibt. - Welche Gleichung müssen stationäre Stellen nach dem analytischen Ableiten erfüllen? - Trenne in deiner Begründung klar zwischen Beobachtung und allgemeinem Beweis.

1. Eine mögliche reproduzierbare Konfiguration verwendet einen Schieberegler \(a\) von \(-2\) bis \(2\) mit Schrittweite \(1\), den dynamischen Graphen \(G_a\) von \(f_a\) sowie die Extrempunkt-Funktion der Software; die \(x\)-Koordinaten der beiden dynamischen Extrempunkte werden eingeblendet. 2. Für \(a=-2\) erhält man näherungsweise \(x_1\approx-0{,}24\) und \(x_2\approx4{,}24\), für \(a=0\) die Werte \(-1\) und \(1\), für \(a=2\) näherungsweise \(-4{,}24\) und \(0{,}24\). Diese Daten führen zur Vermutung \(x_1x_2=-1\). 3. Mit der Quotientenregel gilt \(f_a'(x)=\frac{x^2+1-2x(x+a)}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2-2ax+1}{(x^2+1)^2}\). 4. Da der Nenner positiv ist, erfüllen stationäre Stellen \(x^2+2ax-1=0\). Nach den Beziehungen von Vieta ist das Produkt der beiden Lösungen \(-1\). Die Diskriminante \(4a^2+4\) ist stets positiv, also existieren für jedes \(a\) zwei reelle stationäre Stellen. 5. Die Software macht das mögliche Invariant anhand dynamisch veränderter Beispiele sichtbar und unterstützt die Vermutungsbildung. Erst die allgemeine Ableitung und die quadratische Gleichung beweisen die Aussage für alle Parameterwerte.

a) Eine mögliche Konfiguration: Schieberegler \(a\in[-2;2]\) mit Schrittweite \(1\); dynamischer Graph \(G_a\); softwareeigene Extrempunkt-Bestimmung; Anzeige der beiden \(x\)-Koordinaten. Protokoll: \(a=-2\): \(-0{,}24\) und \(4{,}24\); \(a=0\): \(-1\) und \(1\); \(a=2\): \(-4{,}24\) und \(0{,}24\). b) Vermutung: \(x_1x_2=-1\). c) \(f_a'(x)=\frac{-x^2-2ax+1}{(x^2+1)^2}\). Die stationären Stellen lösen \(x^2+2ax-1=0\), daher gilt für alle \(a\) nach Vieta \(x_1x_2=-1\). d) Die dynamische Untersuchung liefert gezielte numerische Evidenz und eine Vermutung; der Beweis folgt erst aus der allgemeinen Ableitung.

- Woran erkennst du bei einem vollständig gekürzten Bruch die Ordnung einer Polstelle? - Vereinfache die Ableitung so, dass die Potenz von \(x-a\) im Nenner sichtbar wird. - Welche Bedingung muss der neue Zähler an \(x=a\) erfüllen, damit keine weitere Kürzung möglich ist?

1. Bei \(x=2\) verschwindet der Nenner in dritter Ordnung, während der Zähler den Wert \(5\neq0\) hat. Daher besitzt \(f\) dort eine Polstelle 3. Ordnung. 2. Mit der Quotientenregel folgt \(f'(x)=\frac{2x(x-2)^3-(x^2+1)3(x-2)^2}{(x-2)^6}=\frac{-x^2-4x-3}{(x-2)^4}\). Der neue Zähler hat bei \(x=2\) den Wert \(-15\neq0\), also liegt eine Polstelle 4. Ordnung vor. 3. Für \(g\) gilt \(g'(x)=\frac{u'(x)(x-a)^n-u(x)n(x-a)^{n-1}}{(x-a)^{2n}}=\frac{u'(x)(x-a)-nu(x)}{(x-a)^{n+1}}\). Der Zähler nimmt bei \(x=a\) den Wert \(-nu(a)\neq0\) an. Damit hat \(g'\) bei \(x=a\) eine Polstelle der Ordnung \(n+1\).

1. Polstelle \(x=2\) der Ordnung 3. 2. \(f'(x)=\frac{-x^2-4x-3}{(x-2)^4}\); bei \(x=2\) ist der Zähler \(-15\neq0\), also hat \(f'\) dort eine Polstelle 4. Ordnung. 3. \(g'(x)=\frac{u'(x)(x-a)-nu(x)}{(x-a)^{n+1}}\) und der Zählerwert bei \(x=a\) ist \(-nu(a)\neq0\); daher steigt die Polordnung von \(n\) auf \(n+1\).

- Erinnere dich an die Quotientenregel und die Kettenregel für Ausdrücke der Form \([f(x)]^n\). - Was passiert mit dem gesamten Zähler der Ableitung, wenn jeder seiner Summanden den Faktor \(u(x)\) enthält? - Welchen Wert hat die Ableitung an einer Stelle mit waagerechter Tangente? - Nutze die gegebene Information \(u(x_0) = 0\) gezielt nach dem Ableiten.

1. Aufstellen der Ableitungsfunktion \(h'(x)\) mit der Quotientenregel: \(h'(x) = \frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}([u(x)]^2) \cdot v(x) - [u(x)]^2 \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\). 2. Anwendung der Kettenregel auf den Zählerterm: \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}([u(x)]^2) = 2 \cdot u(x) \cdot u'(x)\). 3. Einsetzen ergibt: \(h'(x) = \frac{2 \cdot u(x) \cdot u'(x) \cdot v(x) - [u(x)]^2 \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\). 4. Ausklammern von \(u(x)\) im Zähler: \(h'(x) = \frac{u(x) \cdot [2 \cdot u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)]}{[v(x)]^2}\). 5. Auswerten der Ableitung an der Stelle \(x_0\) unter der Bedingung \(u(x_0) = 0\): \(h'(x_0) = \frac{0 \cdot [2 \cdot u'(x_0) \cdot v(x_0) - 0 \cdot v'(x_0)]}{[v(x_0)]^2}\). 6. Da \(v(x_0) \neq 0\), ist der Nenner definiert und ungleich Null. Der Zähler wird durch den Faktor \(0\) zu Null, woraus \(h'(x_0) = 0\) folgt. Dies entspricht der Bedingung für eine waagerechte Tangente.

Durch Anwendung der Quotienten- und Kettenregel erhält man \(h'(x) = \frac{2u(x)u'(x)v(x) - [u(x)]^2v'(x)}{[v(x)]^2}\). Da jeder Summand im Zähler den Faktor \(u(x)\) enthält, folgt aus \(u(x_0) = 0\) direkt \(h'(x_0) = 0\), was die Existenz einer waagerechten Tangente an der Stelle \(x_0\) beweist.

- Wie verändert sich der Grad eines Polynoms beim Ableiten? - Welche Grade entstehen beim Multiplizieren von Polynomen? - Entscheidend ist, ob sich die führenden Terme von \(u'v\) und \(uv'\) aufheben. Untersuche deren führende Koeffizienten.

1. Es gilt \(\deg(u')=n-1\) und \(\deg(v')=m-1\). Daher haben sowohl \(u'v\) als auch \(uv'\) den Grad \(n+m-1\). 2. Sind \(a\) und \(b\) die führenden Koeffizienten von \(u\) und \(v\), dann ist der führende Koeffizient von \(u'v-uv'\) gleich \((n-m)ab\). Wegen \(n\neq m\) ist er nicht null. Somit gilt vor möglichen Kürzungen mit \(v^2\): \(k=n+m-1\). 3. \(k-n=m-1\ge0\). Also ist \(k\ge n\).

1. Beide Terme haben den Grad \(n+m-1\). 2. Für den zusammengefassten Quotientenregel-Zähler vor möglichen Kürzungen gilt \(k=n+m-1\). 3. Wegen \(k-n=m-1\ge0\) gilt \(k\ge n\).

- Beginne mit den Nullstellen des Nenners. - Für Teil b sollen Zähler und Nenner direkt in die Quotientenregel eingesetzt werden. - Welche beiden Quadrate entstehen nach dem korrekten Ausmultiplizieren des Zählers? - Für Teil c ist die Potenzform des vereinfachten Bruchs hilfreich.

1. Der Nenner ist null für \(x=\frac{3\pi}{4}\) und \(x=\frac{7\pi}{4}\). Daher ist \(D_f=[0;2\pi]\setminus\left\{\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right\}\). 2. Mit der Quotientenregel gilt \(f'(x)=\frac{(\cos x+\sin x)(\sin x+\cos x)-(\sin x-\cos x)(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)^2}\). 3. Der Zähler ist \((\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2=2\). Der Nenner ist \((\sin x+\cos x)^2=1+\sin(2x)\). Somit \(f'(x)=\frac{2}{1+\sin(2x)}\). 4. Aus \(2(1+\sin(2x))^{-1}\) folgt mit der Kettenregel \(f''(x)=\frac{-4\cos(2x)}{(1+\sin(2x))^2}\).

a) \(D_f=[0;2\pi]\setminus\left\{\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right\}\) b) Quotientenregelansatz: \(f'(x)=\frac{(\cos x+\sin x)(\sin x+\cos x)-(\sin x-\cos x)(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)^2}\), also \(f'(x)=\frac{2}{1+\sin(2x)}\) c) \(f''(x)=\frac{-4\cos(2x)}{(1+\sin(2x))^2}\)

- Nutze die Quotientenregel und versuche dann, den Bruchterm in zwei Teile zu zerlegen. - Überlege, welchen kleinstmöglichen Wert ein Quadrat annehmen kann. - Für die zweite Ableitung kannst du das Ergebnis aus Aufgabenteil 1 nutzen und die Kettenregel anwenden. - Wo hat die Tangensfunktion ihren Nulldurchgang?

1. Ableitung mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}\). Durch Aufteilen des Bruchs erhält man: \(f'(x) = \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = 1 + \tan^2 x\). 2. Da Quadratzahlen im Reellen stets nicht-negativ sind (\(\tan^2 x \ge 0\)), gilt \(f'(x) = 1 + \tan^2 x \ge 1\). Da die erste Ableitung somit überall echt größer als null ist, ist die Funktion streng monoton steigend. 3. Für den Wendepunkt muss \(f''(x) = 0\) gelten. Ableiten von \(f'(x) = 1 + (\tan x)^2\) mit der Kettenregel ergibt \(f''(x) = 2 \cdot \tan x \cdot f'(x) = 2 \cdot \tan x \cdot (1 + \tan^2 x)\). Die Bedingung \(f''(x) = 0\) führt auf \(\tan x = 0\) (da \(1 + \tan^2 x \ge 1\)), also \(x = 0\). Der Funktionswert ist \(f(0) = \tan(0) = 0\). Ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) bei \(x=0\) liegt vor (da \(\tan x\) dort das Vorzeichen wechselt), somit ist \(W(0 \mid 0)\) der Wendepunkt.

1. Nachweis über Quotientenregel und Termumformung \(\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\). 2. \(f'(x) \ge 1 > 0\) für alle \(x\), daher streng monoton steigend. 3. Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\).