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- Welche Regel eignet sich besonders für Brüche, bei denen sowohl im Zähler als auch im Nenner die Variable \(x\) vorkommt? - Bestimme zuerst separat die Ableitungen des Zählers und des Nenners. - Achte beim Einsetzen in die Formel besonders auf die Klammern um den gesamten Zähler- und Nennerausdruck. - Kannst du den Zähler nach dem Ableiten noch weiter zusammenfassen?

1. Identifikation der Teilfunktionen für die Quotientenregel: \(u(x) = 4x - 1\) und \(v(x) = x^2 + 3\). 2. Berechnung der Ableitungen der Teilfunktionen: \(u'(x) = 4\) und \(v'(x) = 2x\). 3. Anwendung der Quotientenregel \(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}\): \(f'(x) = \frac{4 \cdot (x^2 + 3) - (4x - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2}\). 4. Ausmultiplizieren des Zählers: \(4x^2 + 12 - (8x^2 - 2x) = 4x^2 + 12 - 8x^2 + 2x\). 5. Zusammenfassen der Terme im Zähler: \(-4x^2 + 2x + 12\). 6. Ergebnis: \(f'(x) = \frac{-4x^2 + 2x + 12}{(x^2 + 3)^2}\).

\(f'(x) = \frac{-4x^2 + 2x + 12}{(x^2 + 3)^2}\)

- Wie kannst du einen Bruch mit einer Summe im Zähler in einzelne Brüche aufteilen? - Erinnere dich daran, dass \(\frac{1}{x^n}\) als \(x^{-n}\) geschrieben werden kann. - Welche Regel benötigst du, wenn im Zähler und im Nenner Terme mit \(x\) stehen? - Achte beim Ableiten mit der Quotientenregel besonders auf das Minuszeichen im Zähler und die korrekte Anwendung der Klammern. - Kannst du das Endergebnis durch Ausklammern und Kürzen im Bruch noch vereinfachen?

1. Anwendung der Quotientenregel: Setze \(u(x) = x+2\) und \(v(x) = x^2\). Die Ableitungen sind \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = 2x\). 2. Einsetzen in die Formel \(f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\): \(f'(x) = \frac{1 \cdot x^2 - (x+2) \cdot 2x}{(x^2)^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(x^2 - 2x^2 - 4x = -x^2 - 4x\). 4. Kürzen durch \(x\): \(f'(x) = \frac{-x^2 - 4x}{x^4} = \frac{-x-4}{x^3}\). 5. Alternativer Weg über negative Exponenten: \(f(x) = \frac{x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x^{-1} + 2x^{-2}\). 6. Anwendung der Potenzregel: \(f'(x) = -1 \cdot x^{-2} + 2 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = -x^{-2} - 4x^{-3}\). 7. Rückumwandlung und Vergleich: \(f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{4}{x^3} = \frac{-x-4}{x^3}\).

\(f'(x) = \frac{-x-4}{x^3}\) (bzw. \(f'(x) = -x^{-2} - 4x^{-3}\))

- Wie hängen die Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung mit dem Verlauf des Graphen zusammen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn man sich der Definitionslücke nähert? - Kannst du die Funktion umschreiben, um die Ableitungen leichter zu berechnen? - Wann genau hat ein Graph eine senkrechte Asymptote?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{-3}{(x+1)^2}\) und \(f''(x) = \frac{6}{(x+1)^3}\). Da \((x+1)^2 > 0\) für alle \(x \in D_f\), gilt \(f'(x) < 0\). Somit ist \(f\) in den Intervallen \(]-\infty; -1[\) und \(]-1; \infty[\) jeweils streng monoton fallend. Für das Krümmungsverhalten betrachte man das Vorzeichen von \(f''(x)\): Für \(x < -1\) ist \((x+1)^3 < 0\), also \(f''(x) < 0\) (Rechtskrümmung). Für \(x > -1\) ist \((x+1)^3 > 0\), also \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung). 2. Die Nullstelle des Nenners von \(f\) liegt bei \(x = -1\). Da der Zähler \(2(-1)+5 = 3 \neq 0\) ist, besitzt \(G_f\) die senkrechte Asymptote \(x = -1\). Die Ableitungen \(f'(x) = -3 \cdot (x+1)^{-2}\) und \(f''(x) = 6 \cdot (x+1)^{-3}\) haben ebenfalls ausschließlich bei \(x = -1\) eine Definitionslücke. Da die Zähler konstant ungleich Null sind, gilt \(\lim_{x \to -1} |f'(x)| = \infty\) und \(\lim_{x \to -1} |f''(x)| = \infty\). Somit haben auch \(G_{f'}\) und \(G_{f''}\) die senkrechte Asymptote \(x = -1\).

1. Monotonie: streng monoton fallend für \(x < -1\) und für \(x > -1\). Krümmung: rechtsgekrümmt für \(x < -1\), linksgekrümmt für \(x > -1\). 2. Senkrechte Asymptote von \(G_f\): \(x = -1\). Da auch bei \(f'\) und \(f''\) der Nenner für \(x \to -1\) gegen Null geht, während der Zähler konstant bleibt, ist \(x = -1\) die gemeinsame senkrechte Asymptote.

- Was passiert mit einer Konstanten, wenn man sie ableitet? - Erinnere dich an die Struktur der Quotientenregel: Was wird null, wenn der Zähler konstant ist? - Kannst du den Term im Zähler nach dem Einsetzen vereinfachen? - Übertrage die Schritte von der konkreten Funktion auf den allgemeinen Fall mit Buchstaben.

1. Identifikation der Teilfunktionen: \(u(x) = 12\) mit \(u'(x) = 0\) und \(v(x) = x^2 + 4\) mit \(v'(x) = 2x\). 2. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 4) - 12 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers zum Ergebnis: \(f'(x) = \frac{-24x}{(x^2 + 4)^2}\). 4. Verallgemeinerung für \(g(x) = \frac{c}{v(x)}\): Mit \(u(x) = c\) und \(u'(x) = 0\) folgt \(g'(x) = \frac{0 \cdot v(x) - c \cdot v'(x)}{(v(x))^2}\). 5. Endgültige Formel: \(g'(x) = -\frac{c \cdot v'(x)}{(v(x))^2}\).

1. \(f'(x) = \frac{-24x}{(x^2 + 4)^2}\) 2. \(g'(x) = -\frac{c \cdot v'(x)}{(v(x))^2}\)

- Kannst du den Bruch vereinfachen, indem du jedes Glied im Zähler einzeln durch den Nenner teilst? - Was ist der Vorteil, wenn man statt eines Bruchs nur eine Summe von Potenzen wie \(x^n\) vorliegen hat? - Vergiss beim Ableiten von \(x^{-2}\) nicht das Vorzeichen des Exponenten. - Wenn du die Quotientenregel nutzt, achte darauf, ob du am Ende den Bruchterm durch Ausklammern im Zähler noch kürzen kannst.

a) Termweise Division: \(g(x) = \frac{2x^3}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 2x + 1 + x^{-2}\). Ableiten mit der Potenzregel ergibt \(g'(x) = 2 + 0 - 2x^{-3} = 2 - \frac{2}{x^3}\). b) Quotientenregel: Mit \(u(x) = 2x^3 + x^2 + 1\) (\(u'(x) = 6x^2 + 2x\)) und \(v(x) = x^2\) (\(v'(x) = 2x\)) folgt: \(g'(x) = \frac{(6x^2 + 2x)x^2 - (2x^3 + x^2 + 1)2x}{(x^2)^2} = \frac{6x^4 + 2x^3 - (4x^4 + 2x^3 + 2x)}{x^4} = \frac{2x^4 - 2x}{x^4}\). Durch Kürzen mit \(x\) erhält man \(g'(x) = \frac{2x^3 - 2}{x^3} = \frac{2x^3}{x^3} - \frac{2}{x^3} = 2 - \frac{2}{x^3}\). Vergleich: Die termweise Division ist hier deutlich effizienter, da sie die Quotientenregel vermeidet und direkt auf einfache Potenzregeln führt.

Die Ableitung ist \(g'(x) = 2 - \frac{2}{x^3}\) (oder äquivalent \(g'(x) = \frac{2x^3 - 2}{x^3}\)). Die Methode der termweisen Division (a) ist hier effizienter.

- Erinnere dich an die Quotientenregel für Brüche der Form \(\frac{u(x)}{v(x)}\). - Was ist die Ableitung einer konstanten Zahl wie \(1\)? - Nutze die Potenzgesetze für Divisionen, um den Bruch am Ende zu vereinfachen. - Überlege, wie du die hergeleitete Regel direkt auf den Faktor \(3\) und den Exponenten \(-5\) anwenden kannst.

1. Identifikation der Funktionen für die Quotientenregel: \(u(x) = 1\) mit \(u'(x) = 0\) und \(v(x) = x^n\) mit \(v'(x) = n \cdot x^{n-1}\). 2. Anwendung der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{0 \cdot x^n - 1 \cdot n \cdot x^{n-1}}{(x^n)^2}\). 3. Vereinfachung des Terms: \(f'(x) = \frac{-n \cdot x^{n-1}}{x^{2n}} = -n \cdot x^{n-1-2n} = -n \cdot x^{-n-1}\). 4. Anwendung auf \(g(x) = 3 \cdot x^{-5}\): \(g'(x) = 3 \cdot (-5) \cdot x^{-5-1} = -15 \cdot x^{-6} = -\frac{15}{x^6}\).

Die Herleitung ergibt \(f'(x) = -n \cdot x^{-n-1}\). Für die Beispielfunktion gilt \(g'(x) = -\frac{15}{x^6}\).

- Welche Funktion steht im Zähler und welche im Nenner? - Erinnere dich an die Ableitungen der Sinusfunktion und von Potenzfunktionen. - Wie lautet die Formel für die Ableitung eines Bruchs? - Musst du den Nenner in der Ableitung unbedingt ausmultiplizieren? Meistens ist es übersichtlicher, ihn als Quadrat stehen zu lassen.

1. Identifikation der Teilfunktionen: \(u(x) = \sin(x)\) und \(v(x) = x^2 + 3\). 2. Berechnung der Ableitungen der Teilfunktionen: \(u'(x) = \cos(x)\) und \(v'(x) = 2x\). 3. Anwendung der Quotientenregel \(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}\). 4. Einsetzen der Terme: \(f'(x) = \frac{\cos(x) \cdot (x^2 + 3) - \sin(x) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2}\). 5. Zusammenfassen des Zählers: \(f'(x) = \frac{(x^2 + 3) \cdot \cos(x) - 2x \cdot \sin(x)}{(x^2 + 3)^2}\).

\(f'(x) = \frac{(x^2 + 3) \cos(x) - 2x \sin(x)}{(x^2 + 3)^2}\)

- Welche Formel nutzt du, wenn eine Funktion als Bruch dargestellt ist? - Bestimme zuerst separat die Ableitungen des Zählers und des Nenners. - Achte beim Einsetzen besonders auf das Minuszeichen im Zähler der Formel. - Kannst du den entstandenen Bruch am Ende noch durch Ausklammern oder Kürzen vereinfachen?

1. Identifikation der Zählerfunktion \(u(x) = 1\) und der Nennerfunktion \(v(x) = x^4\). 2. Bestimmung der Ableitungen: \(u'(x) = 0\) und \(v'(x) = 4x^3\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{0 \cdot x^4 - 1 \cdot 4x^3}{(x^4)^2}\). 4. Vereinfachung des Zählers zu \(-4x^3\) und des Nenners zu \(x^8\). 5. Kürzen des Bruchs durch \(x^3\) ergibt das Endergebnis \(f'(x) = -\frac{4}{x^5}\).

\(f'(x) = -\frac{4}{x^5}\)

- Identifiziere zuerst den Zähler \(u(x)\) und den Nenner \(v(x)\). - Bestimme die einzelnen Ableitungen \(u'(x)\) und \(v'(x)\) separat, bevor du sie in die Formel einsetzt. - Achte beim Zusammenfassen des Zählers besonders auf Minuszeichen vor Klammern. - Den Nenner lässt man in der Regel als Quadrat stehen, anstatt ihn auszumultiplizieren.

1. Anwendung der Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). 2. Für a): \(u=5, v=x^2+1 \implies f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2+1) - 5 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-10x}{(x^2+1)^2}\). 3. Für b): \(u=x, v=x-3 \implies f'(x) = \frac{1 \cdot (x-3) - x \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{-3}{(x-3)^2}\). 4. Für c): \(u=x^2+4, v=x \implies f'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2+4) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}\). 5. Für d): \(u=2x-1, v=x^2+2 \implies f'(x) = \frac{2(x^2+2) - (2x-1)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^2 + 4 - 4x^2 + 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 4}{(x^2+2)^2}\).

a) \(f'(x) = \frac{-10x}{(x^2 + 1)^2}\) b) \(f'(x) = \frac{-3}{(x - 3)^2}\) c) \(f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2}\) d) \(f'(x) = \frac{-2x^2 + 2x + 4}{(x^2 + 2)^2}\)

- Behandle den Parameter \(k\) beim Ableiten wie eine ganz normale Zahl. - Kannst du im Zähler einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Ausdruck übersichtlicher zu machen? - Überprüfe, ob du die Potenzregel und die Faktorregel korrekt auf den Zähler und Nenner angewendet hast.

1. Identifikation der Funktionen: Zähler \(u(x) = kx\), Nenner \(v(x) = x^2 + 1\). 2. Ableitungen bilden: \(u'(x) = k\), \(v'(x) = 2x\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f_k'(x) = \frac{k(x^2 + 1) - kx(2x)}{(x^2 + 1)^2}\). 4. Zähler vereinfachen: \(k \cdot x^2 + k - 2k \cdot x^2 = -k \cdot x^2 + k = k(1 - x^2)\). 5. Ergebnis: \(f_k'(x) = \frac{k(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}\).

\(f_k'(x) = \frac{k(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}\) oder \(f_k'(x) = \frac{k - kx^2}{(x^2 + 1)^2}\)

- Kannst du die Ableitung für jeden Teil der Summe separat bestimmen? - Überlege dir für den ersten Teil, wie du den Nenner mithilfe eines negativen Exponenten eliminieren kannst. - Welche Formel hilft dir beim zweiten Teil, in dem ein Quotient aus zwei Funktionen vorliegt? - Achte beim Vereinfachen des Zählers darauf, die Klammern korrekt aufzulösen.

1. Umschreiben des ersten Summanden: \(\frac{3}{x^4} = 3x^{-4}\). 2. Ableiten des ersten Summanden mit der Potenzregel: \((3x^{-4})' = 3 \cdot (-4) \cdot x^{-5} = -12x^{-5} = -\frac{12}{x^5}\). 3. Ableiten des zweiten Summanden mit der Quotientenregel: Setze \(u(x) = x^2\) und \(v(x) = 2x-1\). Damit gilt \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = 2\). 4. Einsetzen in die Quotientenregel: \(\frac{2x \cdot (2x-1) - x^2 \cdot 2}{(2x-1)^2}\). 5. Vereinfachung des Zählers im zweiten Summanden: \(4x^2 - 2x - 2x^2 = 2x^2 - 2x\). 6. Zusammenfügen der Teilergebnisse zur gesamten Ableitungsfunktion: \(f'(x) = -\frac{12}{x^5} + \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2}\).

\(f'(x) = -\frac{12}{x^5} + \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2}\)

- Vergleiche die gegebenen Rechnungen Schritt für Schritt mit der Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). - Achte besonders auf die Struktur des Nenners. - Prüfe das Rechenzeichen zwischen den beiden Termen im Zähler. - Achte beim Vereinfachen des Zählers auf das Auflösen von Klammern, insbesondere wenn ein Minuszeichen davor steht.

1. Fehler bei \(f'(x)\): Im Nenner wurde das Quadrat vergessen. Nach der Quotientenregel gilt \(v^2 = (2x - 3)^2\). Korrektur: \(f'(x) = \frac{2x(2x - 3) - x^2 \cdot 2}{(2x - 3)^2} = \frac{4x^2 - 6x - 2x^2}{(2x - 3)^2} = \frac{2x^2 - 6x}{(2x - 3)^2}\). 2. Fehler bei \(g'(x)\): In der Zählerformel wurde ein Pluszeichen statt eines Minuszeichens verwendet. Die Quotientenregel verlangt \(u'v - uv'\). Korrektur: \(g'(x) = \frac{3(x^2 + 5) - (3x - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{3x^2 + 15 - (6x^2 - 2x)}{(x^2 + 5)^2} = \frac{-3x^2 + 2x + 15}{(x^2 + 5)^2}\).

1. Fehler: Nenner nicht quadriert. Korrekte Ableitung: \(f'(x) = \frac{2x^2 - 6x}{(2x - 3)^2}\). 2. Fehler: Addiert statt subtrahiert im Zähler. Korrekte Ableitung: \(g'(x) = \frac{-3x^2 + 2x + 15}{(x^2 + 5)^2}\).

- Was muss für die Steigung gelten, wenn eine Tangente waagerecht verläuft? - Ein Bruch wird genau dann null, wenn ein bestimmter Teil des Bruches null wird. Welcher ist das? - Überprüfe nach dem Lösen der Gleichung im Zähler, ob die gefundenen Werte im Definitionsbereich der Funktion liegen.

1. Ableitung mit der Quotientenregel berechnen: Setze \(u(x) = x^2 - 8\) und \(v(x) = x - 3\). Dann ist \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = 1\). 2. Einsetzen in die Formel: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x - 3) - (x^2 - 8) \cdot 1}{(x - 3)^2}\). 3. Zähler vereinfachen: \(2x^2 - 6x - x^2 + 8 = x^2 - 6x + 8\). Somit ist \(f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}\). 4. Waagerechte Tangenten bestimmen: Setze \(f'(x) = 0\). Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null ist (und der Nenner ungleich null): \(x^2 - 6x + 8 = 0\). 5. Quadratische Gleichung lösen: \((x - 2)(x - 4) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\). Da beide Werte nicht die Definitionslücke \(x = 3\) betreffen, sind dies die gesuchten Stellen.

a) \(f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}\) b) Die Stellen mit waagerechter Tangente liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\).

- Überlege dir zuerst, welche mathematische Größe die Steigung eines Funktionsgraphen beschreibt. - Welche Ableitungsregel ist bei einem Bruchterm wie diesem besonders hilfreich? - Nachdem du die Ableitung berechnet hast, kannst du sie mit dem gesuchten Wert gleichsetzen. - Vergiss am Ende nicht, dass nach Punkten gefragt ist, also sowohl die \(x\)- als auch die \(y\)-Koordinaten benötigt werden.

1. Ableitung der Funktion \(f\) mit der Quotientenregel bilden: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x+2) - x^2 \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x^2+4x}{(x+2)^2}\). 2. Die Ableitung mit der gegebenen Steigung gleichsetzen: \(\frac{x^2+4x}{(x+2)^2} = \frac{3}{4}\). 3. Gleichung nach \(x\) auflösen: \(4(x^2+4x) = 3(x^2+4x+4)\) führt zu \(x^2+4x-12 = 0\). 4. Bestimmung der \(x\)-Werte mittels Mitternachtsformel oder Faktorisierung: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -6\). 5. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten: \(f(2) = \frac{2^2}{2+2} = 1\) und \(f(-6) = \frac{(-6)^2}{-6+2} = -9\). Die gesuchten Punkte sind \(P_1(2|1)\) und \(P_2(-6|-9)\).

Die Punkte sind \(P_1(2|1)\) und \(P_2(-6|-9)\).

- Wie hängt die Steigung einer Funktion mit ihrer Ableitung zusammen? - Wende die Quotientenregel an, um den Term für die Steigung zu finden. - Welche Bedingungen müssen für die \(x\)-Werte gelten, damit der Nenner nicht null wird? - Achte darauf, die gefundenen Stellen wieder in die ursprüngliche Funktion einzusetzen, um die Punkte zu vervollständigen.

1. Ableitung von \(f(x)\) unter Verwendung der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{2 \cdot (x-2) - (2x+2) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-6}{(x-2)^2}\). 2. Ansatz \(f'(x) = m\): \(\frac{-6}{(x-2)^2} = -1{,}5\). 3. Umstellen der Gleichung: \((x-2)^2 = \frac{-6}{-1{,}5} = 4\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x-2 = 2 \Rightarrow x_1 = 4\) oder \(x-2 = -2 \Rightarrow x_2 = 0\). 5. Einsetzen der \(x\)-Werte in die Ausgangsfunktion: \(f(4) = \frac{2 \cdot 4+2}{4-2} = 5\) und \(f(0) = \frac{2 \cdot 0+2}{0-2} = -1\). Die Koordinaten der Punkte lauten \(P_1(4|5)\) und \(P_2(0|-1)\).

Die Punkte sind \(P_1(4|5)\) und \(P_2(0|-1)\).

- Welche Informationen benötigst du generell, um die Gleichung einer Geraden (Tangente) aufzustellen? - Wie hängen der Funktionswert und die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle mit der Tangente zusammen? - Welche Ableitungsregel ist bei einem Bruch von Funktionen besonders hilfreich? - Erinnerst du dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = \frac{1 + 2}{1^2 + 1} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f'\) mithilfe der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - (x + 2) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 - 4x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 - 4x + 1}{(x^2 + 1)^2}\). 3. Berechnung der Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = 1\): \(m = f'(1) = \frac{-1^2 - 4 \cdot 1 + 1}{(1^2 + 1)^2} = \frac{-4}{4} = -1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form \(y = m \cdot (x - x_0) + f(x_0)\): \(y = -1 \cdot (x - 1) + 1{,}5 = -x + 1 + 1{,}5 = -x + 2{,}5\).

Die Gleichung der Tangente lautet \(y = -x + 2{,}5\).

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Berechne zuerst den Punkt auf dem Graphen, durch den die Tangente verlaufen muss. - Nutze eine geeignete Regel, um die Ableitung des Bruchs zu bestimmen, und vereinfache den Zähler so weit wie möglich. - Setze die gefundenen Werte für die Steigung und den Punkt in die allgemeine Geradengleichung ein.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 3\): \(f(3) = \frac{2 \cdot 3^2}{3 - 1} = \frac{18}{2} = 9\). 2. Ableiten der Funktion unter Verwendung der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{4x \cdot (x - 1) - 2x^2 \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{4x^2 - 4x - 2x^2}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 4x}{(x - 1)^2}\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 3\): \(m = f'(3) = \frac{2 \cdot 3^2 - 4 \cdot 3}{(3 - 1)^2} = \frac{18 - 12}{4} = \frac{6}{4} = 1{,}5\). 4. Einsetzen der Werte \(m = 1{,}5\), \(x_0 = 3\) und \(y_0 = 9\) in die Geradengleichung \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\): \(y = 1{,}5 \cdot (x - 3) + 9 = 1{,}5x - 4{,}5 + 9 = 1{,}5x + 4{,}5\).

Die Tangentengleichung lautet \(y = 1{,}5x + 4{,}5\).

- Kannst du die Quotientenregel für Funktionen der Form \(\frac{u(x)}{v(x)}\) benennen? - Hilft es dir, die Summanden in Teilaufgabe b) zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen? - Achte beim Vereinfachen des Zählers besonders auf das Minuszeichen vor dem Term \(u \cdot v'\). - Überlege, ob du Potenzen mit negativen Exponenten in Brüche umschreiben kannst, um den Vergleich zu erleichtern.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Quotientenregel angewendet. Mit \(u(x) = x^2 + 2\) und \(v(x) = 0{,}4x^2 - 1\) ergeben sich die Ableitungen \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = 0{,}8x\). 2. Einsetzen in die Formel \(f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) liefert \(f'(x) = \frac{2x(0{,}4x^2 - 1) - (x^2 + 2)(0{,}8x)}{(0{,}4x^2 - 1)^2}\). 3. Ausmultiplizieren des Zählers ergibt \(0{,}8x^3 - 2x - (0{,}8x^3 + 1{,}6x) = -3{,}6x\). Somit ist \(f'(x) = \frac{-3{,}6x}{(0{,}4x^2 - 1)^2}\). Dies entspricht \(g(x)\). 4. Für Teilaufgabe b) wird \(f(x)\) als \(4x^{-2} + x^{-1}\) geschrieben oder auf den Hauptnenner gebracht: \(f(x) = \frac{x + 4}{x^2}\). 5. Die Ableitung mit der Potenzregel lautet \(f'(x) = -8x^{-3} - 1x^{-2} = \frac{-8}{x^3} - \frac{x}{x^3} = \frac{-x - 8}{x^3}\). 6. Ein Vergleich zeigt, dass \(g(x) = \frac{x + 8}{x^3}\) nicht mit \(f'(x) = \frac{-x - 8}{x^3}\) übereinstimmt, da die Vorzeichen im Zähler nicht passen.

a) Ja, \(g(x)\) ist ein Term der Ableitungsfunktion \(f'\). b) Nein, \(g(x)\) ist kein Term der Ableitungsfunktion \(f'\) (das Vorzeichen im Zähler ist falsch; korrekt wäre \(f'(x) = \frac{-x - 8}{x^3}\)).

- Identifiziere zuerst Zähler und Nenner der Funktion \(f\) und leite diese einzeln ab. - Denke daran, dass beim Ableiten von \(x^{-n}\) der Exponent um eins verringert wird. - Kannst du den Term von \(g\) so umformen, dass er die gleiche Struktur wie deine berechnete Ableitung hat? - Prüfe sorgfältig, ob beim Zusammenfassen im Zähler Terme wegfallen oder sich addieren.

1. In Teilaufgabe a) setzen wir \(u(x) = 1 - 2x^2\) und \(v(x) = x^2 + 3\). Die Ableitungen sind \(u'(x) = -4x\) und \(v'(x) = 2x\). 2. Anwendung der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{-4x(x^2 + 3) - (1 - 2x^2)(2x)}{(x^2 + 3)^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(-4x^3 - 12x - (2x - 4x^3) = -4x^3 - 12x - 2x + 4x^3 = -14x\). 4. Es folgt \(f'(x) = \frac{-14x}{(x^2 + 3)^2}\), was identisch mit \(g(x)\) ist. 5. In Teilaufgabe b) schreiben wir \(f(x) = 2x^{-3} - x^{-1}\). Die Ableitung nach der Potenzregel ist \(f'(x) = -6x^{-4} + 1x^{-2}\). 6. Umformung auf einen gemeinsamen Nenner: \(f'(x) = \frac{-6}{x^4} + \frac{x^2}{x^4} = \frac{x^2 - 6}{x^4}\). 7. Ein Vergleich zeigt, dass \(g(x)\) exakt der berechneten Ableitung \(f'(x)\) entspricht.

a) Ja, \(g\) ist die Ableitung von \(f\). b) Ja, \(g\) ist die Ableitung von \(f\).

- Überlege zuerst, welche Werte für \(x\) im Nenner zu einer Division durch Null führen würden. - Die Art einer Polstelle lässt sich am Exponenten des Nenners in der vollständig gekürzten Form ablesen. - Wie findet man die Nullstelle einer rationalen Funktion? Betrachte dazu nur den Zähler. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\).

1. Bestimmung der Definitionsmenge von \(f\): Der Nenner darf nicht null werden: \(4x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -0{,}5\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\}\). Da Ableitungen rationaler Funktionen an denselben Stellen undefiniert sind wie die Ausgangsfunktion, gilt \(D_{f''} = \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\}\). 2. Berechnung der Ableitungen: Unter Verwendung der Quotientenregel ergibt sich \(f'(x) = \frac{-3 \cdot (4x + 2) - 4 \cdot (6 - 3x)}{(4x + 2)^2} = \frac{-12x - 6 - 24 + 12x}{(4x + 2)^2} = \frac{-30}{(4x + 2)^2}\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = -30 \cdot (-2) \cdot (4x + 2)^{-3} \cdot 4 = \frac{240}{(4x + 2)^3}\). 3. Analyse der Polstelle von \(f''\): Die Polstelle liegt bei \(x = -0{,}5\). Da der Exponent des Linearfaktors im Nenner ungerade ist (3), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(6 - 3x = 0 \Rightarrow x = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|0)\). 5. Tangentengleichung: Die Steigung an der Stelle \(x = 2\) ist \(f'(2) = \frac{-30}{(4 \cdot 2 + 2)^2} = \frac{-30}{100} = -0{,}3\). Mit dem Punkt \((2|0)\) folgt \(y = -0{,}3 \cdot (x - 2) + 0\), also \(y = -0{,}3x + 0{,}6\).

a) \(D_{f''} = \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\}\); Polstelle bei \(x = -0{,}5\) mit Vorzeichenwechsel, da die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner von \(f''\) ungerade ist. b) \(y = -0{,}3x + 0{,}6\)

- Wie hängen die Definitionsmengen einer Funktion und ihrer Ableitungen bei rationalen Funktionen zusammen? - Nutze die Quotientenregel oder die Kettenregel für die Ableitungen. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn eine Polstelle eine ungerade Ordnung hat? - Welche Information benötigst du alles, um eine Geradengleichung aufzustellen?

1. Definitionsmenge: \(0{,}5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -2\). Daher ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Da bei der Ableitung rationaler Funktionen keine neuen Definitionslücken entstehen, ist \(D_{h''} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). 2. Erste Ableitung: \(h'(x) = \frac{2 \cdot (0{,}5x + 1) - 0{,}5 \cdot (2x - 1)}{(0{,}5x + 1)^2} = \frac{x + 2 - x + 0{,}5}{(0{,}5x + 1)^2} = \frac{2{,}5}{(0{,}5x + 1)^2}\). 3. Zweite Ableitung: \(h''(x) = 2{,}5 \cdot (-2) \cdot (0{,}5x + 1)^{-3} \cdot 0{,}5 = \frac{-2{,}5}{(0{,}5x + 1)^3}\). 4. Polstelle: Die Polstelle von \(h''\) liegt bei \(x = -2\). Da die Potenz im Nenner ungerade ist, liegt ein Vorzeichenwechsel vor. 5. Tangente: Nullstelle bei \(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0{,}5\). Steigung \(h'(0{,}5) = \frac{2{,}5}{(0{,}5 \cdot 0{,}5 + 1)^2} = \frac{2{,}5}{1{,}25^2} = 1{,}6\). Die Tangente lautet \(y = 1{,}6 \cdot (x - 0{,}5) + 0\), vereinfacht \(y = 1{,}6x - 0{,}8\).

a) \(D_{h''} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\); Polstelle bei \(x = -2\) mit Vorzeichenwechsel, da die Ordnung der Polstelle ungerade ist. b) \(y = 1{,}6x - 0{,}8\)

- Kannst du die Quotientenregel für Brüche nennen? - Achte darauf, den Zähler der ersten Ableitung so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du die zweite Ableitung bildest. - Beim Ableiten des Nenners der ersten Ableitung ist die Kettenregel hilfreich. - Gibt es im Zähler der zweiten Ableitung einen gemeinsamen Faktor, den du mit dem Nenner kürzen kannst?

1. Anwendung der Quotientenregel auf \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) mit \(u(x) = 4x\) und \(v(x) = x^2 + 1\): \(f'(x) = \frac{4 \cdot (x^2 + 1) - 4x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}\). Vereinfachung des Zählers ergibt \(f'(x) = \frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2}\). 2. Anwendung der Quotientenregel auf \(f'(x)\) unter Verwendung der Kettenregel für den Nenner: \(f''(x) = \frac{-8x \cdot (x^2 + 1)^2 - (4 - 4x^2) \cdot 2 \cdot (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4}\). 3. Ausklammern und Kürzen des Faktors \((x^2 + 1)\) führt zu \(f''(x) = \frac{-8x(x^2 + 1) - 4x(4 - 4x^2)}{(x^2 + 1)^3}\). Ausmultiplizieren und Zusammenfassen des Zählers ergibt \(f''(x) = \frac{8x^3 - 24x}{(x^2 + 1)^3}\).

\(f'(x) = \frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2}\) \(f''(x) = \frac{8x^3 - 24x}{(x^2 + 1)^3}\)

- Wie lautet die Regel für das Ableiten von Funktionen der Form \(\frac{u(x)}{v(x)}\)? - Vereinfache den Zähler der ersten Ableitung vollständig, bevor du den nächsten Ableitungsschritt machst. - Haben der Zähler und der Nenner nach dem Anwenden der Quotientenregel bei der zweiten Ableitung vielleicht einen gemeinsamen Faktor? - Vergiss bei der Ableitung des Quadrats im Nenner nicht die Kettenregel.

1. Erste Ableitung mit der Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x) \cdot 1}{(x - 1)^2}\). Ausmultiplizieren des Zählers ergibt \(2x^2 - 2 - x^2 - 2x\), zusammengefasst \(g'(x) = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x - 1)^2}\). 2. Zweite Ableitung unter Verwendung der Quotientenregel und Kettenregel: \(g''(x) = \frac{(2x - 2)(x - 1)^2 - (x^2 - 2x - 2) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4}\). 3. Kürzen durch \((x - 1)\) ergibt \(g''(x) = \frac{(2x - 2)(x - 1) - 2(x^2 - 2x - 2)}{(x - 1)^3}\). 4. Vereinfachung des Zählers: \(2x^2 - 4x + 2 - 2x^2 + 4x + 4 = 6\). Somit ist \(g''(x) = \frac{6}{(x - 1)^3}\).

\(g'(x) = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x - 1)^2}\) \(g''(x) = \frac{6}{(x - 1)^3}\)

- Überprüfe die Anwendung der Quotientenregel im ersten Schritt. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer im Zähler beim Vereinfachen. - Wann ist ein Bruch gleich null? - Wie löst man eine quadratische Gleichung, wenn die Diskriminante positiv ist?

1. Fehleridentifikation: In Schritt 2 liegt ein Vorzeichenfehler beim Auflösen der Klammer im Zähler vor; korrekt ist \(-(x^2 - 3) = -x^2 + 3\). 2. Korrekte Ableitungsfunktion: \(f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 3}{e^x}\) 3. Nullstellenansatz: \(-x^2 + 2x + 3 = 0\) 4. Lösung der quadratischen Gleichung: \(x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0\) 5. Ergebnis: Die Stellen mit waagrechter Tangente liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\).

Der Fehler liegt in Schritt 2 beim Auflösen der Klammer (\(-(x^2 - 3)\) ergibt \( -x^2 + 3\) und nicht \(-x^2 - 3\)). Die korrekte Gleichung für die Nullstellen der Ableitung lautet \(-x^2 + 2x + 3 = 0\). Die Stellen mit waagrechter Tangente sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\).

- Erinnere dich an die Quotientenregel: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). - Beim Umschreiben in ein Produkt musst du den Exponenten anpassen. - Was musst du beim Ableiten von \(e^{ax}\) beachten? - Welche Bedingung muss für eine waagrechte Tangente erfüllt sein?

1. Quotientenregel: \(u = x+2, v = e^{0,5x} \Rightarrow u' = 1, v' = 0,5e^{0,5x}\). 2. Einsetzen: \(f'(x) = \frac{1 \cdot e^{0,5x} - (x+2) \cdot 0,5e^{0,5x}}{(e^{0,5x})^2} = \frac{e^{0,5x}(1 - 0,5x - 1)}{e^x} = \frac{-0,5x}{e^{0,5x}}\). 3. Produktregel: \(u = x+2, v = e^{-0,5x} \Rightarrow u' = 1, v' = -0,5e^{-0,5x}\). 4. Einsetzen: \(f'(x) = 1 \cdot e^{-0,5x} + (x+2) \cdot (-0,5e^{-0,5x}) = e^{-0,5x}(1 - 0,5x - 1) = -0,5x \cdot e^{-0,5x}\). 5. Vergleich: Beides führt auf \(f'(x) = -0,5x \cdot e^{-0,5x}\). 6. Nullstelle: \(f'(x) = 0 \Rightarrow -0,5x = 0\) (da \(e^{-0,5x} \neq 0\)), resultiert in \(x = 0\).

a) \(f'(x) = \frac{-0,5x}{e^{0,5x}}\) b) \(f'(x) = (1 - 0,5x - 1) \cdot e^{-0,5x} = -0,5x \cdot e^{-0,5x}\). Beide Terme sind äquivalent. c) Die waagrechte Tangente liegt an der Stelle \(x = 0\) vor.

- Betrachte die Funktion als Summe zweier Teile und leite diese getrennt ab. - Erinnerst du dich an die Regel für Brüche, bei denen sowohl im Zähler als auch im Nenner die Variable steht? - Gibt es im Zähler des Bruchs nach dem Ableiten einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst?

1. Anwendung der Summenregel: Die Ableitung von \(4x^2\) ergibt \(8x\). 2. Für den zweiten Summanden \(\frac{e^x}{x+3}\) wird die Quotientenregel mit \(u(x) = e^x\) und \(v(x) = x+3\) angewendet. 3. Bildung der Ableitungen: \(u'(x) = e^x\) und \(v'(x) = 1\). 4. Einsetzen in die Quotientenregel: \(\frac{e^x \cdot (x+3) - e^x \cdot 1}{(x+3)^2}\). 5. Ausklammern von \(e^x\) im Zähler: \(e^x \cdot (x + 3 - 1) = (x+2)e^x\). 6. Kombination der Teile ergibt \(f'(x) = 8x + \frac{(x+2)e^x}{(x+3)^2}\).

\(f'(x) = 8x + \frac{(x+2)e^x}{(x+3)^2}\)

- Welche Regel ist die Hauptstruktur für das Ableiten dieses Bruchs? - Untersuche den Zähler genau – benötigst du dort eine weitere Ableitungsregel? - Achte beim Ausmultiplizieren im Zähler besonders auf die Vorzeichen. - Kannst du Terme im Zähler finden, die sich gegenseitig aufheben?

1. Identifikation der Quotientenregel für den Bruch \(\frac{u(t)}{v(t)}\) mit \(u(t) = t \cdot \sin(t)\) und \(v(t) = t - 1\). 2. Ableitung des Zählers \(u(t)\) mittels Produktregel: \(u'(t) = 1 \cdot \sin(t) + t \cdot \cos(t) = \sin(t) + t \cos(t)\). 3. Ableitung des Nenners: \(v'(t) = 1\). 4. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(t) = \frac{(\sin(t) + t \cos(t)) \cdot (t - 1) - (t \sin(t)) \cdot 1}{(t - 1)^2}\). 5. Ausmultiplizieren des Zählers: \(t \sin(t) - \sin(t) + t^2 \cos(t) - t \cos(t) - t \sin(t)\). 6. Vereinfachen durch Zusammenfassen: \(t^2 \cos(t) - t \cos(t) - \sin(t)\). 7. Das Endergebnis lautet \(f'(t) = \frac{(t^2 - t) \cos(t) - \sin(t)}{(t - 1)^2}\).

\(f'(t) = \frac{(t^2 - t) \cos(t) - \sin(t)}{(t - 1)^2}\)

- Welche Regeln benötigst du, um einen Bruch zu differenzieren, dessen Zähler eine Potenzfunktion ist? - Kannst du den Zähler faktorisieren, anstatt ihn komplett auszumultiplizieren? - Was muss für die Steigung an einer Stelle mit waagerechter Tangente gelten? - Wann wird ein Bruch gleich Null?

1. Anwendung der Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) mit \(u(x) = (x^2 - 1)^2\) und \(v(x) = x^2 + 3\). 2. Kettenregel für \(u'(x)\): \(u'(x) = 2 \cdot (x^2 - 1) \cdot 2x = 4x(x^2 - 1)\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{4x(x^2 - 1)(x^2 + 3) - (x^2 - 1)^2 \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2}\). 4. Ausklammern von \(2x(x^2 - 1)\) im Zähler: \(f'(x) = \frac{2x(x^2 - 1) \cdot [2(x^2 + 3) - (x^2 - 1)]}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x(x^2 - 1)(2x^2 + 6 - x^2 + 1)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x(x^2 - 1)(x^2 + 7)}{(x^2 + 3)^2}\). 5. Nullstellen der Ableitung finden: \(2x(x^2 - 1)(x^2 + 7) = 0\). 6. Da \(x^2 + 7 > 0\) für alle \(x\), ergeben sich die Lösungen aus \(x = 0\) und \(x^2 - 1 = 0\), also \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\).

a) \(f'(x) = \frac{2x(x^2 - 1)(x^2 + 7)}{(x^2 + 3)^2}\) b) Die Stellen mit waagerechter Tangente sind \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 1\).

- Erinnere dich an die Quotientenregel: Wie leitet man einen Bruch ab? - Achte bei der Exponentialfunktion auf die Kettenregel. - Klammere im Zähler gemeinsame Faktoren aus, um den Term zu vereinfachen. - Multipliziere die Klammern im Zähler sorgfältig aus und fasse gleichartige Glieder zusammen.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Quotientenregel mit \(u(x) = x^2 - 9\) und \(v(x) = 3x + 2\) angewendet. Die Ableitungen sind \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = 3\). Einsetzen in die Formel ergibt: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (3x + 2) - (x^2 - 9) \cdot 3}{(3x + 2)^2} = \frac{6x^2 + 4x - 3x^2 + 27}{(3x + 2)^2} = \frac{3x^2 + 4x + 27}{(3x + 2)^2}\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Quotientenregel mit \(u(t) = e^{3t}\) und \(v(t) = t^2 + 1\) angewendet. Unter Beachtung der Kettenregel ist \(u'(t) = 3e^{3t}\) und \(v'(t) = 2t\). Einsetzen ergibt: \(f'(t) = \frac{3e^{3t} \cdot (t^2 + 1) - e^{3t} \cdot 2t}{(t^2 + 1)^2} = \frac{e^{3t} \cdot (3t^2 + 3 - 2t)}{(t^2 + 1)^2} = \frac{e^{3t}(3t^2 - 2t + 3)}{(t^2 + 1)^2}\).

a) \(f'(x) = \frac{3x^2 + 4x + 27}{(3x + 2)^2}\) b) \(f'(t) = \frac{e^{3t}(3t^2 - 2t + 3)}{(t^2 + 1)^2}\)

- Überlege dir, ob du die Funktion vor dem Ableiten vereinfachen kannst, um die Rechnung zu erleichtern. - Wie hängen die Steigung der Tangente und der Wert der Ableitungsfunktion an einer bestimmten Stelle zusammen? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung. - Was sagt der Exponent eines Linearfaktors im Nenner über das Verhalten an der Polstelle aus?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f'\): Durch Anwendung der Quotientenregel oder vorheriges Ausmultiplizieren und Aufteilen des Bruchs ergibt sich \(f(x) = \frac{9x^2 - 12x + 4}{2x} = 4{,}5x - 6 + \frac{2}{x}\). Die Ableitung lautet \(f'(x) = 4{,}5 - \frac{2}{x^2}\) bzw. \(f'(x) = \frac{9x^2 - 4}{2x^2}\). 2. Berechnung der Steigung im Punkt \(P\): Einsetzen von \(x = 1\) in \(f'(x)\) ergibt \(f'(1) = 4{,}5 - \frac{2}{1^2} = 2{,}5\). 3. Aufstellen der Tangentengleichung: Mit der Punkt-Steigungs-Form \(y = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1)\) folgt \(y = 2{,}5 \cdot (x - 1) + 0{,}5 = 2{,}5x - 2{,}5 + 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(y = 2{,}5x - 2\). 4. Bestimmung der Polstelle von \(f'\): Der Nenner von \(f'(x) = \frac{9x^2 - 4}{2x^2}\) wird bei \(x = 0\) null. Da der Zähler \(9 \cdot 0^2 - 4 = -4 \neq 0\) ist, liegt bei \(x = 0\) eine Polstelle vor. Da die Variable im Nenner im Quadrat steht (\(x^2\)), handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

a) Die Tangentengleichung lautet \(y = 2{,}5x - 2\). b) Die Ableitungsfunktion \(f'\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Bestimme zuerst den \(y\)-Wert des Punktes, an dem die Tangente anliegt. - Nutze die Quotientenregel, um die Ableitungsfunktion zu finden. - Was bedeutet es für die Lage der Tangente, wenn die Ableitung an einer Stelle null ist? - Woran erkennst du im Funktionsterm einer rationalen Funktion, ob an einer Polstelle ein Vorzeichenwechsel stattfindet?

1. Funktionswert an der Stelle \(x = 3\): \(g(3) = \frac{3^2 - 4 \cdot 3 + 5}{3 - 2} = \frac{9 - 12 + 5}{1} = 2\). Der Berührpunkt ist \(P(3 \mid 2)\). 2. Ableitung berechnen: Mit der Quotientenregel folgt \(g'(x) = \frac{(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x + 5) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{2(x - 2)^2 - (x^2 - 4x + 5)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 8x + 8 - x^2 + 4x - 5}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}\). 3. Tangentensteigung bestimmen: \(g'(3) = \frac{3^2 - 4 \cdot 3 + 3}{(3 - 2)^2} = \frac{9 - 12 + 3}{1^2} = 0\). 4. Tangentengleichung aufstellen: Da die Steigung \(0\) ist, handelt es sich um eine waagerechte Tangente. Die Gleichung lautet \(y = 2\). 5. Polstelle von \(g'\): Der Nenner \((x - 2)^2\) wird bei \(x = 2\) null. Da der Zähler dort \(2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1 \neq 0\) ist, ist \(x = 2\) eine Polstelle. Aufgrund des geraden Exponenten im Nenner liegt kein Vorzeichenwechsel vor.

a) Die Gleichung der Tangente lautet \(y = 2\). b) Die Ableitung \(g'\) hat bei \(x = 2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Wie lässt sich ein Bruch als Produkt mit einer negativen Potenz schreiben? - Denk beim Ableiten der Potenz mit negativem Exponenten an die Kettenregel für die innere Funktion. - Um zwei Brüche zu vergleichen, ist es oft hilfreich, sie auf denselben Nenner zu bringen. - Was sind die Ableitungen der Zähler- und Nennerfunktionen im Fall der Quotientenregel?

1. Anwendung der Quotientenregel mit \(u(x) = x^2\) und \(v(x) = x + 1\): \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x + 1) - x^2 \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}\). 2. Anwendung der Produktregel durch Umschreiben zu \(f(x) = x^2 \cdot (x + 1)^{-1}\): \(f'(x) = 2x \cdot (x + 1)^{-1} + x^2 \cdot (-1) \cdot (x + 1)^{-2} \cdot 1 = \frac{2x}{x + 1} - \frac{x^2}{(x + 1)^2}\). 3. Nachweis der Äquivalenz durch Erweitern des ersten Summanden auf den Nenner \((x + 1)^2\): \(\frac{2x(x + 1) - x^2}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}\).

\(f'(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}\)

- Überlege dir, was der Funktionswert an der Stelle Null physikalisch bedeutet. - Erinnere dich an die Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf eines Graphen aus? - Betrachte das Verhalten der Funktion, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt.

1. Berechnung der Intensität bei \(d = 0\): \(I(0) = \frac{800}{(0+2)^2} = \frac{800}{4} = 200\). Die Intensität direkt an der Quelle beträgt \(200\,\text{Lux}\). 2. Ableitung mit der Quotientenregel: Setze \(u(d) = 800\) und \(v(d) = (d+2)^2 = d^2 + 4d + 4\). Dann ist \(u'(d) = 0\) und \(v'(d) = 2d + 4\). 3. Berechnung von \(I'(d)\): \(I'(d) = \frac{0 \cdot (d+2)^2 - 800 \cdot (2d+4)}{(d+2)^4} = \frac{-1600(d+2)}{(d+2)^4} = \frac{-1600}{(d+2)^3}\). 4. Da \((d+2)^3 > 0\) für alle \(d \ge 0\) und der Zähler \(-1600\) negativ ist, gilt \(I'(d) < 0\) für alle \(d \ge 0\). Damit ist die Funktion \(I\) in diesem Bereich streng monoton fallend. 5. Grenzwertbestimmung: Da der Grad des Nennerpolynoms (2) größer ist als der des Zählerpolynoms (0), gilt \(\lim_{d \to \infty} \frac{800}{(d+2)^2} = 0\). In sehr großer Entfernung nähert sich die Lichtintensität dem Wert Null an, das Licht ist dort praktisch nicht mehr wahrnehmbar.

a) \(I(0) = 200\,\text{Lux}\). Dies ist die maximale Lichtintensität direkt an der Lichtquelle. b) Die Ableitung \(I'(d) = \frac{-1600}{(d+2)^3}\) ist für alle \(d \ge 0\) negativ, woraus die strenge Monotonie folgt. c) \(\lim_{d \to \infty} I(d) = 0\). Mit zunehmender Entfernung verschwindet die Lichtintensität nahezu vollständig.

- Was bedeutet eine Konzentration von Null zu Beginn der Beobachtung? - Achte beim Ableiten darauf, den Zählerterm \(10(t^2 + 4)\) korrekt auszumultiplizieren und mit dem Term \(-10t(2t)\) zu verrechnen. - Das Vorzeichen des Zählers der Ableitung bestimmt, ob die Konzentration steigt oder fällt, da der Nenner ein Quadrat und somit immer positiv ist. - Überlege dir, welcher Teil der Funktion bei sehr großen Werten von \(t\) schneller wächst: der Zähler oder der Nenner?

1. Konzentration bei \(t = 0\): \(c(0) = \frac{10 \cdot 0}{0^2 + 4} = 0\,\text{mg/l}\). 2. Ableitung mit Quotientenregel: \(u(t) = 10t \implies u'(t) = 10\); \(v(t) = t^2 + 4 \implies v'(t) = 2t\). 3. Berechnung von \(c'(t)\): \(c'(t) = \frac{10(t^2 + 4) - 10t(2t)}{(t^2 + 4)^2} = \frac{10t^2 + 40 - 20t^2}{(t^2 + 4)^2} = \frac{40 - 10t^2}{(t^2 + 4)^2}\). 4. Monotonieuntersuchung: \(c'(t) = 0 \iff 40 - 10t^2 = 0 \iff t^2 = 4 \iff t = 2\) (da \(t \ge 0\)). 5. Für \(0 \le t < 2\) ist \(c'(t) > 0\) (z. B. \(c'(1) = \frac{30}{25} > 0\)), also ist \(c\) dort streng monoton steigend (Wirkstoffaufnahme). Für \(t > 2\) ist \(c'(t) < 0\) (z. B. \(c'(3) = \frac{-50}{169} < 0\)), also ist \(c\) dort streng monoton fallend (Wirkstoffabbau). 6. Grenzwert: \(\lim_{t \to \infty} \frac{10t}{t^2 + 4} = \lim_{t \to \infty} \frac{\frac{10}{t}}{1 + \frac{4}{t^2}} = 0\). Langfristig wird der Wirkstoff vollständig aus dem Blut abgebaut.

a) \(c(0) = 0\,\text{mg/l}\). b) \(c'(t) = \frac{40 - 10t^2}{(t^2 + 4)^2}\). c) Im Intervall \([0; 2]\) ist die Funktion streng monoton steigend (Anstieg der Konzentration), für \(t > 2\) ist sie streng monoton fallend (Abbau des Wirkstoffs). d) Die Konzentration nähert sich dem Grenzwert \(0\,\text{mg/l}\) an.

- Überlege dir, für welche Werte der Nenner einer rationalen Funktion null wird. - Erinnere dich an die Definitionen von Achsen- und Punktsymmetrie. - Schau dir den Grad des Zählers und des Nenners an, um die waagrechte Asymptote zu finden. - Nutze die Quotientenregel für die Ableitung und achte beim Vereinfachen des Zählers auf die Vorzeichen. - Ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung gibt dir Auskunft über die Art eines Extrempunkts.

1. Definitionsmenge: Nennernullstellen bei \(x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1\), also \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). Nullstellen: Zählernullstellen bei \(x^2 - 2 = 0 \implies x_1 = -\sqrt{2}, x_2 = \sqrt{2}\). 2. Symmetrie: \(f(-x) = \frac{(-x)^2 - 2}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 - 2}{x^2 - 1} = f(x)\), somit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Asymptoten: Senkrechte Asymptoten (Polstellen) bei \(x = -1\) und \(x = 1\). Waagrechte Asymptote: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 2}{x^2 - 1} = 1\), also \(y = 1\). 4. Ableitung: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x^2 - 1) - (x^2 - 2) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 + 4x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x}{(x^2 - 1)^2}\). 5. Monotonie: Da der Nenner stets positiv ist, hängt das Vorzeichen von \(f'(x)\) nur von \(2x\) ab. \(f\) ist streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; -1[\) und \(x \in ]-1; 0]\); streng monoton steigend für \(x \in [0; 1[\) und \(x \in ]1; \infty[\). 6. Extrempunkt: Bei \(x = 0\) liegt eine Nullstelle der Ableitung mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus vor, daher ist \(S(0 \mid f(0)) = S(0 \mid 2)\) ein lokaler Tiefpunkt.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{2}\) b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; senkrechte Asymptoten \(x = 1, x = -1\); waagrechte Asymptote \(y = 1\) c) Streng monoton fallend in \(]-\infty; -1[\) und \(]-1; 0]\); streng monoton steigend in \([0; 1[\) und \(]1; \infty[\) d) \(f'(0) = 0\) und Vorzeichenwechsel von \(f'\) an der Stelle \(x = 0\) von negativ zu positiv belegt den lokalen Tiefpunkt.

- Wann kann ein Bruch den Wert null annehmen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen null geht, der Zähler aber nicht? - Für das Verhalten im Unendlichen kannst du die höchste Potenz von \(x\) ausklammern oder die Regel für den Vergleich der Grade von Zähler und Nenner nutzen. - Denke beim Ableiten an die Formel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

1. Definitionsmenge: Nennernullstellen \(x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3\), also \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). Schnittpunkt \(y\)-Achse: \(h(0) = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3} \implies S_y(0 \mid -\frac{1}{3})\). Nullstellen: \(x^2 + 3 = 0\) hat keine reellen Lösungen, da \(x^2 + 3 \geq 3\). 2. Grenzwerte: \(\lim_{x \to \pm \infty} h(x) = 1 \implies\) waagrechte Asymptote \(y = 1\). An den Polstellen: \(\lim_{x \to 3^+} h(x) = \infty\), \(\lim_{x \to 3^-} h(x) = -\infty\) (analog für \(x = -3\) aufgrund der Achsensymmetrie). Senkrechte Asymptoten bei \(x = 3\) und \(x = -3\). 3. Ableitung: \(h'(x) = \frac{2x(x^2 - 9) - (x^2 + 3)(2x)}{(x^2 - 9)^2} = \frac{2x^3 - 18x - 2x^3 - 6x}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-24x}{(x^2 - 9)^2}\). 4. Extrempunkt: \(h'(x) = 0 \implies -24x = 0 \implies x = 0\). Da \(h'(x) > 0\) für \(x < 0\) und \(h'(x) < 0\) für \(x > 0\) (VZW von \(+\) nach \(-\)), liegt ein lokaler Hochpunkt bei \(H(0 \mid -\frac{1}{3})\) vor.

a) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\); \(S_y(0 \mid -\frac{1}{3})\); keine Nullstellen, da \(x^2 + 3 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). b) Waagrechte Asymptote \(y = 1\); senkrechte Asymptoten \(x = 3\) und \(x = -3\). c) \(h'(x) = \frac{-24x}{(x^2 - 9)^2}\); lokaler Hochpunkt \(H(0 \mid -\frac{1}{3})\).

- Kannst du die Funktionen im Zähler und im Nenner separat benennen? - Welche Ableitungen haben diese Teilfunktionen einzeln? - Achte beim Zusammenfügen in die Formel besonders auf das Minuszeichen im Zähler. - Kannst du den resultierenden Bruch am Ende noch durch Ausklammern vereinfachen?

1. Für Teilaufgabe a) werden die Zählerfunktion \(u(x) = 2x^2 - 5\) mit \(u'(x) = 4x\) und die Nennerfunktion \(v(x) = 3x + 4\) mit \(v'(x) = 3\) definiert. 2. Anwendung der Quotientenregel \(\frac{u'v - uv'}{v^2}\): \(f'(x) = \frac{4x \cdot (3x + 4) - (2x^2 - 5) \cdot 3}{(3x + 4)^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(12x^2 + 16x - 6x^2 + 15 = 6x^2 + 16x + 15\). Das Ergebnis lautet \(f'(x) = \frac{6x^2 + 16x + 15}{(3x + 4)^2}\). 4. Für Teilaufgabe b) werden \(u(x) = \cos(x)\) mit \(u'(x) = -\sin(x)\) und \(v(x) = x^2\) mit \(v'(x) = 2x\) definiert. 5. Anwendung der Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{-\sin(x) \cdot x^2 - \cos(x) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-x^2 \sin(x) - 2x \cos(x)}{x^4}\). 6. Kürzen durch \(x\): \(g'(x) = \frac{-x \sin(x) - 2 \cos(x)}{x^3}\).

a) \(f'(x) = \frac{6x^2 + 16x + 15}{(3x + 4)^2}\) b) \(g'(x) = \frac{-x \sin(x) - 2 \cos(x)}{x^3}\)

- Was passiert in der Quotientenregel, wenn die Ableitung der Zählerfunktion Null ist? - Erinnere dich daran, dass konstante Faktoren beim Ableiten erhalten bleiben. - Welche Ableitung hat die Funktion im Nenner von Teilaufgabe b)?

1. Für Teil a) wird die Quotientenregel auf \(h(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) mit \(u(x) = 1\) angewendet. Da \(u'(x) = 0\) ist, ergibt sich \(h'(x) = \frac{0 \cdot v(x) - 1 \cdot v'(x)}{(v(x))^2} = -\frac{v'(x)}{(v(x))^2}\). 2. Für Teil b) identifizieren wir \(c = 5\) und \(v(x) = x^2 + \sin(x)\). Die Ableitung des Nenners ist \(v'(x) = 2x + \cos(x)\). 3. Unter Verwendung der Konstantenregel und der Reziprokenregel (oder direkt der Quotientenregel) folgt: \(f'(x) = 5 \cdot \left( -\frac{2x + \cos(x)}{(x^2 + \sin(x))^2} \right)\). 4. Zusammengefasst ergibt sich \(f'(x) = -\frac{10x + 5\cos(x)}{(x^2 + \sin(x))^2}\).

a) Nachweis durch Einsetzen von \(u(x)=1\) und \(u'(x)=0\) in die Quotientenregel. b) \(f'(x) = -\frac{10x + 5\cos(x)}{(x^2 + \sin(x))^2}\)

- Betrachte den Nenner zunächst als eine einzige zusammengefasste Funktion. - Welche Regel wendest du an, wenn du einen Bruch ableiten möchtest? - Achte beim Ableiten des Nenners darauf, dass dieser selbst aus einem Produkt besteht. - Vergiss beim Auflösen der Klammern im Zähler nicht das Minuszeichen vor der Klammer.

1. Anwendung der Quotientenregel auf \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x) \cdot w(x)}\): \(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot (v(x) \cdot w(x)) - u(x) \cdot (v(x) \cdot w(x))'}{(v(x) \cdot w(x))^2}\) 2. Anwendung der Produktregel auf den Term im Zähler: \((v(x) \cdot w(x))' = v'(x)w(x) + v(x)w'(x)\) 3. Einsetzen der Produktregel in den Zähler: \(f'(x) = \frac{u'(x)v(x)w(x) - u(x)(v'(x)w(x) + v(x)w'(x))}{v(x)^2 w(x)^2}\) 4. Auflösen der Klammer im Zähler durch Distributivgesetz: \(f'(x) = \frac{u'(x)v(x)w(x) - u(x)v'(x)w(x) - u(x)v(x)w'(x)}{v(x)^2 w(x)^2}\)

\(f'(x) = \frac{u'(x)v(x)w(x) - u(x)v'(x)w(x) - u(x)v(x)w'(x)}{v(x)^2 w(x)^2}\)

- Überlege dir, welche Struktur die Funktion hat. Ist es ein Produkt, ein Quotient oder beides? - Es ist oft hilfreich, die Ableitungen von Zähler und Nenner separat zu berechnen, bevor du alles in die Hauptregel einsetzt. - Kannst du im Zähler des Ergebnisses einen gemeinsamen Faktor finden, der sich gegen den Nenner kürzen lässt?

1. Identifikation der Teilfunktionen: \(u(x) = x \cdot \sin(x)\) (Zähler) und \(v(x) = e^x\) (Nenner). 2. Ableitung des Zählers mit der Produktregel: \(u'(x) = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x) + x \cos(x)\). 3. Ableitung des Nenners: \(v'(x) = e^x\). 4. Anwendung der Quotientenregel: \(h'(x) = \frac{(\sin(x) + x \cos(x)) \cdot e^x - (x \sin(x)) \cdot e^x}{(e^x)^2}\). 5. Ausklammern von \(e^x\) im Zähler: \(h'(x) = \frac{e^x \cdot (\sin(x) + x \cos(x) - x \sin(x))}{e^{2x}}\). 6. Kürzen durch \(e^x\) und Zusammenfassen der Terme mit \(\sin(x)\): \(h'(x) = \frac{(1-x)\sin(x) + x \cos(x)}{e^x}\).

\(h'(x) = \frac{(1-x)\sin(x) + x \cos(x)}{e^x}\)

- Überlege dir zuerst, was die Ableitung einer konstanten Zahl im Nenner ist. - Wie lässt sich ein Bruch mit einer Zahl im Nenner als Multiplikation schreiben? - Welche Regel ist einfacher anzuwenden: Eine, die Brüche verrechnet, oder eine, die nur einen konstanten Faktor mitschreibt? - Schau dir an, welcher Teil des Zählers in der Quotientenregel wegfällt, wenn der Nenner konstant ist.

1. Bestimmung der Ableitungen: \(u(x) = x^3 - 5x + 2 \Rightarrow u'(x) = 3x^2 - 5\) und \(v(x) = 8 \Rightarrow v'(x) = 0\). 2. Einsetzen in die Quotientenregel: \(h'(x) = \frac{(3x^2 - 5) \cdot 8 - (x^3 - 5x + 2) \cdot 0}{8^2}\). 3. Vereinfachung durch Kürzen: \(h'(x) = \frac{8(3x^2 - 5)}{64} = \frac{3x^2 - 5}{8}\). 4. Umformung für Faktorregel: \(h(x) = \frac{1}{8} \cdot (x^3 - 5x + 2)\). 5. Ableitung mit Faktorregel: \(h'(x) = \frac{1}{8} \cdot (3x^2 - 5)\). 6. Vergleich: Die Faktorregel ist effizienter, da der konstante Nenner als Faktor erhalten bleibt, keine Differenz im Zähler berechnet werden muss und keine Quadrierung des Nenners mit anschließendem Kürzen nötig ist.

1. \(h'(x) = \frac{3x^2 - 5}{8}\) 2. \(h(x) = \frac{1}{8}(x^3 - 5x + 2) \Rightarrow h'(x) = \frac{1}{8}(3x^2 - 5)\) 3. Die Faktorregel vermeidet aufwendige Zählerberechnungen und das Quadrieren sowie Kürzen des Nenners.

- Wie kannst du einen Bruch mit einer Summe im Zähler in einzelne Brüche zerlegen? - Erinnere dich an das Verfahren der schriftlichen Division bei Polynomen. - Welche Regeln benötigst du, um einen Term der Form \(x + c + \frac{a}{x+b}\) abzuleiten? - Achte beim Anwenden der Quotientenregel besonders auf das Minuszeichen im Zähler und setze Klammern um die Terme. - Wie addiert man eine ganze Zahl und einen Bruch?

1. Weg (Polynomdivision): Die Division \((x^2 - 4x + 5) : (x - 2)\) ergibt \(x - 2 + \frac{1}{x - 2}\). Ableiten dieses Terms: Die Ableitung von \(x - 2\) ist \(1\). Für den Bruch \(\frac{1}{x - 2} = (x - 2)^{-1}\) ergibt die Kettenregel (oder die einfache Quotientenregel) \(-\frac{1}{(x - 2)^2}\). Somit ist \(f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 2)^2}\). 2. Weg (Direkte Quotientenregel): Mit \(u(x) = x^2 - 4x + 5\) (\(u'(x) = 2x - 4\)) und \(v(x) = x - 2\) (\(v'(x) = 1\)) folgt: \(f'(x) = \frac{(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x + 5) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - 4x + 8 - x^2 + 4x - 5}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}\). Vergleich: Bringt man das Ergebnis des ersten Weges auf den Hauptnenner, erhält man \(f'(x) = \frac{(x - 2)^2 - 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 4 - 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}\). Beide Ergebnisse sind identisch.

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}\) bzw. in der zerlegten Form \(f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 2)^2}\).

- Kannst du den Bruch so aufteilen, dass jedes Glied des Zählers einzeln durch den Nenner geteilt wird? - Achte beim Ableiten mit der Quotientenregel besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer im Zähler. - Wie hängen \(x^{-3}\) und \(x^{-5}\) mit einem Bruch zusammen, der \(x^5\) im Nenner hat? - Überprüfe, ob du am Ende im ersten Weg den Bruch noch durch Ausklammern und Kürzen vereinfachen kannst.

1. Weg (Quotientenregel): Setze \(u(x) = x^2 - 5\) (\(u'(x) = 2x\)) und \(v(x) = x^4\) (\(v'(x) = 4x^3\)). Es folgt \(h'(x) = \frac{2x \cdot x^4 - (x^2 - 5) \cdot 4x^3}{(x^4)^2} = \frac{2x^5 - 4x^5 + 20x^3}{x^8} = \frac{-2x^5 + 20x^3}{x^8} = \frac{-2x^2 + 20}{x^5}\). 2. Weg (Potenzregel): Umschreiben des Terms zu \(h(x) = \frac{x^2}{x^4} - \frac{5}{x^4} = x^{-2} - 5x^{-4}\). Ableiten ergibt \(h'(x) = -2x^{-3} - 5 \cdot (-4)x^{-5} = -2x^{-3} + 20x^{-5}\). 3. Vergleich: Durch Erweitern des ersten Terms mit \(x^2\) im zweiten Weg erhält man \(\frac{-2x^2}{x^5} + \frac{20}{x^5} = \frac{-2x^2 + 20}{x^5}\), was mit dem Ergebnis aus Schritt 1 übereinstimmt.

Beide Wege führen zur Ableitungsfunktion \(h'(x) = \frac{-2x^2 + 20}{x^5}\) (bzw. \(h'(x) = -2x^{-3} + 20x^{-5}\)).

- Welche Regel wendest du an, wenn eine Funktion als Bruch zweier anderer Funktionen dargestellt ist? - Bestimme zuerst separat die Ableitungen des Zählers und des Nenners. - Achte beim Einsetzen in die Formel besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Teil des Zählers – hier ist eine Klammer wichtig. - Den Nenner lässt man in der Regel als Quadrat stehen, anstatt ihn auszumultiplizieren.

1. Identifikation der Teilfunktionen: \(u(x) = 0{,}5x^2 + 4x - 1\) und \(v(x) = 2x + 3\). 2. Berechnung der Ableitungen: \(u'(x) = x + 4\) und \(v'(x) = 2\). 3. Anwendung der Quotientenregel \(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}\). 4. Einsetzen und Ausmultiplizieren des Zählers: \((x + 4) \cdot (2x + 3) - 2 \cdot (0{,}5x^2 + 4x - 1) = (2x^2 + 11x + 12) - (x^2 + 8x - 2)\). 5. Zusammenfassen der Terme im Zähler: \(x^2 + 3x + 14\). 6. Resultat: \(f'(x) = \frac{x^2 + 3x + 14}{(2x + 3)^2}\).

\(f'(x) = \frac{x^2 + 3x + 14}{(2x + 3)^2}\)

- Welche Funktionen stehen im Zähler und im Nenner? - Kannst du den Zähler nach dem Ableiten vereinfachen, bevor du die zweite Ableitung bildest? - Denk beim Ableiten des Quadrats im Nenner für die zweite Ableitung an die Kettenregel. - Gibt es im Zähler der zweiten Ableitung einen gemeinsamen Faktor, den du mit dem Nenner kürzen kannst?

1. Identifikation der Teilfunktionen für die 1. Ableitung: \(u(x) = x^2 - 4\) mit \(u'(x) = 2x\) und \(v(x) = x^2 + 4\) mit \(v'(x) = 2x\). 2. Anwendung der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{2x(x^2 + 4) - (x^2 - 4)2x}{(x^2 + 4)^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(2x^3 + 8x - (2x^3 - 8x) = 16x\). Daraus folgt \(f'(x) = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}\). 4. Identifikation für die 2. Ableitung: \(u_1(x) = 16x\) mit \(u_1'(x) = 16\) und \(v_1(x) = (x^2 + 4)^2\) mit \(v_1'(x) = 4x(x^2 + 4)\) (Kettenregel). 5. Anwendung der Quotientenregel: \(f''(x) = \frac{16(x^2 + 4)^2 - 16x \cdot 4x(x^2 + 4)}{(x^2 + 4)^4}\). 6. Kürzen durch \((x^2 + 4)\) und Vereinfachen: \(f''(x) = \frac{16(x^2 + 4) - 64x^2}{(x^2 + 4)^3} = \frac{64 - 48x^2}{(x^2 + 4)^3}\).

\(f'(x) = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}\) und \(f''(x) = \frac{64 - 48x^2}{(x^2 + 4)^3}\)

- Wie lautet die Regel für das Ableiten von Brüchen? - Notiere dir \(u, u', v\) und \(v'\) übersichtlich am Rand. - Denk beim Vereinfachen des Zählers daran, die Klammern korrekt aufzulösen. - Schau im letzten Schritt, ob Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren (wie Potenzen von \(x\)) haben, die du kürzen kannst.

1. Festlegen der Teilfunktionen: \(u(x) = x+5\) und \(v(x) = x^3\). 2. Berechnung der jeweiligen Ableitungen: \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = 3x^2\). 3. Anwendung der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{1 \cdot x^3 - (x+5) \cdot 3x^2}{(x^3)^2}\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen im Zähler: \(x^3 - (3x^3 + 15x^2) = -2x^3 - 15x^2\). 5. Der Nenner ergibt sich zu \(x^6\). 6. Kürzen des gesamten Bruchs durch \(x^2\) führt auf \(f'(x) = \frac{-2x - 15}{x^4}\).

\(f'(x) = \frac{-2x - 15}{x^4}\)

- Erinnere dich an die Formel der Quotientenregel für \(\left(\frac{u}{v}\right)'\). - Wie verändert sich der Grad eines Polynoms, wenn man es ableitet? - Was passiert mit dem Grad, wenn man zwei Polynome miteinander multipliziert? - Betrachte die höchsten Potenzen im Zähler der Ableitung nach dem Ausmultiplizieren.

1. Anwendung der Quotientenregel mit \(u(x) = 2x^3 - 5\) und \(v(x) = x^2 + 4\): \(u'(x) = 6x^2\) und \(v'(x) = 2x\). \(f'(x) = \frac{6x^2 \cdot (x^2 + 4) - (2x^3 - 5) \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2}\) \(f'(x) = \frac{6x^4 + 24x^2 - (4x^4 - 10x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x^4 + 24x^2 + 10x}{(x^2 + 4)^2}\). 2. Der Grad des Zählers von \(f\) ist \(n = 3\). Der Grad des Zählers von \(f'\) ist \(k = 4\). 3. Der Grad hat sich um 1 erhöht (\(k = n + 1\)). Dies liegt daran, dass in der Quotientenregel \(u' \cdot v\) und \(u \cdot v'\) gebildet werden. Da der Nennergrad \(m = 2\) ist, ergibt sich für beide Terme ein Grad von \((n-1) + m = 3-1+2 = 4\) bzw. \(n + (m-1) = 3+2-1 = 4\). Da die führenden Koeffizienten (\(6x^4\) und \(4x^4\)) sich nicht aufheben, bleibt der Grad des neuen Zählers bei 4.

1. \(f'(x) = \frac{2x^4 + 24x^2 + 10x}{(x^2 + 4)^2}\) 2. Grad des ursprünglichen Zählers: 3; Grad des Zählers der Ableitung: 4. 3. Der Grad hat sich erhöht, da durch die Multiplikation mit dem Nenner (Grad 2) in der Quotientenregel die Potenz des Zählers stärker steigt als sie durch die Ableitung sinkt.

- Welche Regel nutzt du, wenn eine Funktion als Bruch zweier anderer Funktionen dargestellt ist? - Erinnere dich an die Ableitungen der Grundfunktionen Sinus und Kosinus. - Achte beim Zusammenfassen im Zähler besonders auf die Vorzeichen. - Gibt es eine bekannte Identität, mit der du die Summe von Quadraten der Winkelfunktionen vereinfachen kannst? - Kannst du am Ende einen Faktor kürzen?

1. Identifikation der Zählerfunktion \(u(x) = \sin x\) und der Nennerfunktion \(v(x) = 1 + \cos x\). 2. Bestimmung der zugehörigen Ableitungen: \(u'(x) = \cos x\) und \(v'(x) = -\sin x\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{\cos x \cdot (1 + \cos x) - \sin x \cdot (-\sin x)}{(1 + \cos x)^2}\). 4. Vereinfachung des Zählers durch Ausmultiplizieren: \(f'(x) = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}\). 5. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), woraus \(f'(x) = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2}\) folgt. 6. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((1 + \cos x)\) im Zähler und Nenner führt zum Ergebnis \(f'(x) = \frac{1}{1 + \cos x}\).

\(f'(x) = \frac{1}{1 + \cos x}\)

- Welche Regel ist bei einem Bruch am sinnvollsten anzuwenden? - Erinnere dich daran, Buchstaben wie \(t\), die nicht die Variable \(x\) sind, wie feste Zahlen zu behandeln. - Was passiert mit einem Parameter, wenn er als konstanter Faktor vor einem Term steht oder wenn er alleinstehend addiert wird? - Achte darauf, den Zähler nach der Ableitung so weit wie möglich zusammenzufassen.

1. Identifikation der Quotientenregel mit \(u(x) = tx^2\) und \(v(x) = x + t\) 2. Bestimmung der Teilableitungen: \(u'(x) = 2tx\) und \(v'(x) = 1\) (da \(t\) als Parameter wie eine Konstante behandelt wird) 3. Einsetzen in die Quotientenregel \(f_t'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}\): \(f_t'(x) = \frac{2tx(x + t) - tx^2 \cdot 1}{(x + t)^2}\) 4. Vereinfachung des Zählers: \(2tx^2 + 2t^2x - tx^2 = tx^2 + 2t^2x\) 5. Faktorisieren des Zählers: \(tx(x + 2t)\)

\(f_t'(x) = \frac{tx^2 + 2t^2x}{(x + t)^2} = \frac{tx(x + 2t)}{(x + t)^2}\)

- Erinnere dich an die Quotientenregel für Funktionen der Form \(\frac{u}{v}\). - Für die Ableitung des Nenners musst du zusätzlich die Kettenregel beachten. - Bevor du den Zähler komplett ausmultiplizierst, prüfe, ob du einen gemeinsamen Faktor im Zähler ausklammern und gegen den Nenner kürzen kannst. - Ein fertig vereinfachter Term sollte keine unnötigen Klammern oder gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner mehr enthalten.

1. Bestimmung der Zählerfunktion \(u(x) = x^2 + 1\) mit \(u'(x) = 2x\) und der Nennerfunktion \(v(x) = (2x - 1)^2\). 2. Ableitung des Nenners mittels Kettenregel: \(v'(x) = 2 \cdot (2x - 1) \cdot 2 = 4(2x - 1)\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (2x - 1)^2 - (x^2 + 1) \cdot 4(2x - 1)}{(2x - 1)^4}\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((2x - 1)\) im Zähler: \(f'(x) = \frac{(2x - 1) \cdot [2x(2x - 1) - 4(x^2 + 1)]}{(2x - 1)^4}\). 5. Kürzen des Faktors \((2x - 1)\) gegen den Nenner: \(f'(x) = \frac{2x(2x - 1) - 4(x^2 + 1)}{(2x - 1)^3}\). 6. Vereinfachung des Zählers: \(4x^2 - 2x - 4x^2 - 4 = -2x - 4\). 7. Endergebnis durch Ausklammern von \(-2\): \(f'(x) = \frac{-2(x + 2)}{(2x - 1)^3}\).

\(f'(x) = \frac{-2(x + 2)}{(2x - 1)^3}\)

- Erinnere dich an die Quotientenregel und die Kettenregel für Ausdrücke der Form \([f(x)]^n\). - Was passiert mit dem gesamten Zähler der Ableitung, wenn jeder seiner Summanden den Faktor \(u(x)\) enthält? - Welchen Wert hat die Ableitung an einer Stelle mit waagerechter Tangente? - Nutze die gegebene Information \(u(x_0) = 0\) gezielt nach dem Ableiten.

1. Aufstellen der Ableitungsfunktion \(h'(x)\) mit der Quotientenregel: \(h'(x) = \frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}([u(x)]^2) \cdot v(x) - [u(x)]^2 \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\). 2. Anwendung der Kettenregel auf den Zählerterm: \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}([u(x)]^2) = 2 \cdot u(x) \cdot u'(x)\). 3. Einsetzen ergibt: \(h'(x) = \frac{2 \cdot u(x) \cdot u'(x) \cdot v(x) - [u(x)]^2 \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\). 4. Ausklammern von \(u(x)\) im Zähler: \(h'(x) = \frac{u(x) \cdot [2 \cdot u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)]}{[v(x)]^2}\). 5. Auswerten der Ableitung an der Stelle \(x_0\) unter der Bedingung \(u(x_0) = 0\): \(h'(x_0) = \frac{0 \cdot [2 \cdot u'(x_0) \cdot v(x_0) - 0 \cdot v'(x_0)]}{[v(x_0)]^2}\). 6. Da \(v(x_0) \neq 0\), ist der Nenner definiert und ungleich Null. Der Zähler wird durch den Faktor \(0\) zu Null, woraus \(h'(x_0) = 0\) folgt. Dies entspricht der Bedingung für eine waagerechte Tangente.

Durch Anwendung der Quotienten- und Kettenregel erhält man \(h'(x) = \frac{2u(x)u'(x)v(x) - [u(x)]^2v'(x)}{[v(x)]^2}\). Da jeder Summand im Zähler den Faktor \(u(x)\) enthält, folgt aus \(u(x_0) = 0\) direkt \(h'(x_0) = 0\), was die Existenz einer waagerechten Tangente an der Stelle \(x_0\) beweist.

- Leite bei Summen jeden Teil einzeln ab. - Wenn im Nenner ein Produkt steht, musst du innerhalb der Quotientenregel die Produktregel anwenden. - Achte beim Vereinfachen darauf, ob du Faktoren im Zähler und Nenner kürzen kannst. - Vergiss beim Ableiten von Termen wie \(x \cdot e^x\) nicht die Produktregel.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Summenregel angewendet. Der erste Teil ergibt \((\frac{1}{2}x^2)' = x\). Für den zweiten Teil nutzt man die Quotientenregel oder die Potenzregel für Brüche: \((\frac{4}{x-5})' = \frac{0 \cdot (x-5) - 4 \cdot 1}{(x-5)^2} = -\frac{4}{(x-5)^2}\). Das Gesamtergebnis ist \(f'(x) = x - \frac{4}{(x-5)^2}\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Quotientenregel mit \(u(x) = 3x + 2\) und \(v(x) = x^2 e^x\) genutzt. Für \(v'(x)\) ist die Produktregel nötig: \(v'(x) = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x)\). Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{3(x^2e^x) - (3x+2)(xe^x(2+x))}{(x^2e^x)^2}\). Im Zähler wird \(xe^x\) ausgeklammert: \(f'(x) = \frac{xe^x [3x - (3x+2)(x+2)]}{x^4 e^{2x}}\). Vereinfachen des Zählerterms: \(3x - (3x^2 + 8x + 4) = -3x^2 - 5x - 4\). Kürzen durch \(xe^x\) führt zum Ergebnis: \(f'(x) = \frac{-3x^2 - 5x - 4}{x^3 e^x}\).

a) \(f'(x) = x - \frac{4}{(x - 5)^2}\) b) \(f'(x) = \frac{-3x^2 - 5x - 4}{x^3 e^x}\)

- Behandle den Parameter \(k\) beim Ableiten wie eine ganz normale Zahl. - Achte beim Umschreiben in ein Produkt auf das Vorzeichen des Exponenten. - Kannst du den Bruchterm nach der Quotientenregel noch durch Kürzen vereinfachen? - Wie gehst du vor, wenn du Terme mit unterschiedlichen Potenzen von \(x\) im Nenner addieren möchtest?

1. Quotientenregel mit \(u(x) = 1 - kx\) und \(v(x) = x^2\): \(f_k'(x) = \frac{-k \cdot x^2 - (1 - kx) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-kx^2 - 2x + 2kx^2}{x^4} = \frac{kx^2 - 2x}{x^4}\). Durch Kürzen mit \(x\) ergibt sich \(f_k'(x) = \frac{kx - 2}{x^3}\). 2. Produktregel durch Umschreiben zu \(f_k(x) = (1 - kx) \cdot x^{-2}\): \(f_k'(x) = -k \cdot x^{-2} + (1 - kx) \cdot (-2x^{-3}) = -kx^{-2} - 2x^{-3} + 2kx^{-2} = kx^{-2} - 2x^{-3}\). 3. Vergleich der Terme: Umschreiben des Ergebnisses der Produktregel in Bruchschreibweise liefert \(\frac{k}{x^2} - \frac{2}{x^3} = \frac{kx}{x^3} - \frac{2}{x^3} = \frac{kx - 2}{x^3}\), was dem Ergebnis der Quotientenregel entspricht.

\(f_k'(x) = \frac{kx - 2}{x^3}\)

- Welche Regel eignet sich am besten zum Ableiten von Brüchen mit konstantem Zähler? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitungen in den Bereichen links und rechts der Definitionslücke. - Wie verändert sich der Exponent im Nenner bei jeder weiteren Ableitung? - Was muss für den Grenzwert an einer Stelle gelten, damit dort eine senkrechte Asymptote vorliegt?

1. Erste Ableitung: \(g'(x) = 6(x-4)^{-3} = \frac{6}{(x-4)^3}\). Für \(x < 4\) ist \((x-4)^3 < 0\), also \(g'(x) < 0\) (streng monoton fallend). Für \(x > 4\) ist \((x-4)^3 > 0\), also \(g'(x) > 0\) (streng monoton steigend). 2. Zweite Ableitung: \(g''(x) = -18(x-4)^{-4} = \frac{-18}{(x-4)^4}\). Da \((x-4)^4 > 0\) für alle \(x \in D_g\), gilt \(g''(x) < 0\) für alle \(x \in D_g\). Der Graph \(G_g\) ist somit im gesamten Definitionsbereich rechtsgekrümmt. 3. Die \(n\)-te Ableitung von \(g(x) = 2 - 3(x-4)^{-2}\) hat die Form \(g^{(n)}(x) = a_n \cdot (x-4)^{-(n+2)}\), wobei \(a_n\) eine von Null verschiedene Konstante ist (Produkt aus \(-3\) und den Exponenten \(-2, -3, \dots, -(n+1)\)). Da der Nenner \((x-4)^{n+2}\) für \(x \to 4\) gegen Null geht und der Zähler \(a_n \neq 0\) bleibt, gilt \(\lim_{x \to 4} |g^{(n)}(x)| = \infty\). Folglich ist \(x = 4\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) eine senkrechte Asymptote.

1. Streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; 4[\), streng monoton steigend für \(x \in ]4; \infty[\). 2. Der Graph ist überall rechtsgekrümmt (konkav), da \(g''(x) < 0\). 3. Jede Ableitung \(g^{(n)}\) hat die Form \(\frac{a_n}{(x-4)^{n+2}}\) mit \(a_n \neq 0\). Da der Nenner bei \(x=4\) null wird, liegt dort eine senkrechte Asymptote vor.

- Welche Regel ist bei einem Bruch aus zwei Funktionen hilfreich? - Wie gehst du mit einem Parameter wie \(a\) um, wenn du nach \(x\) ableitest? - Achte beim Zähler der Quotientenregel besonders auf das Minuszeichen und mögliche Klammern. - Kannst du den Zähler im Ergebnis noch weiter zusammenfassen oder faktorisieren?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Quotientenregel \(\frac{u'v - uv'}{v^2}\) genutzt mit \(u(x) = e^x + 1\) und \(v(x) = e^x - 1\). 2. Einsetzen ergibt \(h'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 1)e^x}{(e^x - 1)^2}\). Vereinfachen des Zählers: \(e^{2x} - e^x - e^{2x} - e^x = -2e^x\). Somit gilt \(h'(x) = \frac{-2e^x}{(e^x - 1)^2}\). 3. Für Teilaufgabe b) wird ebenfalls die Quotientenregel angewendet, wobei \(a\) als konstanter Parameter behandelt wird. \(u(x) = ax\) führt zu \(u'(x) = a\); \(v(x) = x^2 + a\) führt zu \(v'(x) = 2x\). 4. Einsetzen ergibt \(k_a'(x) = \frac{a(x^2 + a) - ax \cdot 2x}{(x^2 + a)^2} = \frac{ax^2 + a^2 - 2ax^2}{(x^2 + a)^2}\). Zusammenfassen führt auf \(k_a'(x) = \frac{a^2 - ax^2}{(x^2 + a)^2} = \frac{a(a - x^2)}{(x^2 + a)^2}\).

a) \(h'(x) = \frac{-2e^x}{(e^x - 1)^2}\) b) \(k_a'(x) = \frac{a(a - x^2)}{(x^2 + a)^2}\)

- Schreibe die Wurzelfunktion als Potenz mit rationalem Exponenten um, um sie leichter abzuleiten. - Achte beim Ableiten des Nenners auf die Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen. - Setze Klammern um die Terme von \(u'\), \(v\), \(u\) und \(v'\), bevor du sie in die Regel einsetzt. - Versuche am Ende, den Doppelbruch im Zähler zu beseitigen, indem du den gesamten Bruch geeignet erweiterst.

1. Festlegen der Teilfunktionen: \(u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) und \(v(x) = \cos(x) - x\). 2. Ableiten der Teilfunktionen: \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(v'(x) = -\sin(x) - 1\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (\cos(x) - x) - \sqrt{x} \cdot (-\sin(x) - 1)}{(\cos(x) - x)^2}\). 4. Erweitern des Zählers mit \(2\sqrt{x}\), um den Doppelbruch aufzulösen: \(\frac{\cos(x) - x + 2x \cdot (\sin(x) + 1)}{2\sqrt{x} \cdot (\cos(x) - x)^2}\). 5. Vereinfachen des Zählers: \(\cos(x) - x + 2x \sin(x) + 2x = \cos(x) + x + 2x \sin(x)\). 6. Endergebnis: \(f'(x) = \frac{\cos(x) + x + 2x \sin(x)}{2\sqrt{x}(\cos(x) - x)^2}\).

\(f'(x) = \frac{\cos(x) + x + 2x \sin(x)}{2\sqrt{x}(\cos(x) - x)^2}\)

- Überlege dir, welche Ableitungsregel für Brüche gilt. - Notiere dir \(u, u', v\) und \(v'\) übersichtlich am Rand, bevor du alles in die Formel einsetzt. - Multipliziere die Klammern im Zähler sorgfältig aus und achte auf die Vorzeichenverteilung nach dem Minus. - Gibt es im Zähler Potenzen von \(x\), die du zusammenfassen kannst?

1. Festlegen der Funktionen: \(u(x) = x^4 - 2\) und \(v(x) = x^2 + x\). 2. Ableiten der Funktionen: \(u'(x) = 4x^3\) und \(v'(x) = 2x + 1\). 3. Quotientenregel aufstellen: \(h'(x) = \frac{4x^3 \cdot (x^2 + x) - (x^4 - 2) \cdot (2x + 1)}{(x^2 + x)^2}\). 4. Zähler ausmultiplizieren: \((4x^5 + 4x^4) - (2x^5 + x^4 - 4x - 2)\). 5. Zähler vereinfachen durch Subtraktion: \(2x^5 + 3x^4 + 4x + 2\). 6. Endergebnis bilden: \(h'(x) = \frac{2x^5 + 3x^4 + 4x + 2}{(x^2 + x)^2}\).

\(h'(x) = \frac{2x^5 + 3x^4 + 4x + 2}{(x^2 + x)^2}\)

- Hast du die Quotientenregel korrekt aufgeschrieben? - Achte beim Vereinfachen der ersten Ableitung darauf, alle Potenzen von \(x\) im Zähler zusammenzufassen. - Kannst du bei der zweiten Ableitung einen Faktor im Zähler ausklammern, der auch im Nenner vorkommt? - Überprüfe beim Ausmultiplizieren im Zähler der zweiten Ableitung sorgfältig die Vorzeichen.

1. Ableitung: Setze \(u(x) = x^3\) und \(v(x) = x - 1\). Dann ist \(u'(x) = 3x^2\) und \(v'(x) = 1\). 2. Anwendung der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{3x^2(x - 1) - x^3 \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{3x^3 - 3x^2 - x^3}{(x - 1)^2} = \frac{2x^3 - 3x^2}{(x - 1)^2}\). 3. 2. Ableitung: Setze \(u_1(x) = 2x^3 - 3x^2\) und \(v_1(x) = (x - 1)^2\). Dann ist \(u_1'(x) = 6x^2 - 6x\) und \(v_1'(x) = 2(x - 1)\). 4. Anwendung der Quotientenregel: \(f''(x) = \frac{(6x^2 - 6x)(x - 1)^2 - (2x^3 - 3x^2) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4}\). 5. Kürzen von \((x - 1)\): \(f''(x) = \frac{(6x^2 - 6x)(x - 1) - 2(2x^3 - 3x^2)}{(x - 1)^3}\). 6. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(f''(x) = \frac{6x^3 - 6x^2 - 6x^2 + 6x - 4x^3 + 6x^2}{(x - 1)^3} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 6x}{(x - 1)^3}\).

\(f'(x) = \frac{2x^3 - 3x^2}{(x - 1)^2}\) und \(f''(x) = \frac{2x^3 - 6x^2 + 6x}{(x - 1)^3}\)

- Wie lautet die Regel für den Grad eines Produkts zweier Polynome \(p \cdot q\)? - Welchen Grad hat die Ableitung \(p'\), wenn \(p\) den Grad \(d\) hat? - Untersuche den Ausdruck \(u'v - uv'\) auf seine höchste Potenz. - Setze die Bedingung \(m \ge 1\) in deine gefundene Beziehung ein.

1. Der Grad von \(u'\) ist \(n-1\). Damit hat \(u' \cdot v\) den Grad \((n-1) + m = n + m - 1\). Der Grad von \(v'\) ist \(m-1\). Damit hat \(u \cdot v'\) den Grad \(n + (m-1) = n + m - 1\). 2. Wenn die führenden Terme sich nicht aufheben, ist der Grad des neuen Zählers \(k = n + m - 1\). 3. Unter der Annahme, dass keine gegenseitige Auslöschung der höchsten Potenzen stattfindet, zeigt man, dass \(k \ge n\), betrachtet man die Differenz: \(k - n = (n + m - 1) - n = m - 1\). Da laut Voraussetzung \(m \ge 1\) gilt, folgt \(m - 1 \ge 0\), also \(k - n \ge 0\) bzw. \(k \ge n\). Der Grad des Zählers wird also bei \(m=1\) beibehalten und bei \(m>1\) sogar vergrößert.

1. Beide Terme haben den Grad \(n + m - 1\). 2. \(k = n + m - 1\) 3. Unter der Annahme ohne Auslöschung gilt: Da \(k = n + (m - 1)\) und \(m \ge 1\), ist der Summand \((m-1)\) mindestens 0. Somit gilt \(k \ge n\).

- Wende die Quotientenregel konsequent an und setze für die Ableitung von \(\tan x\) den vorgegebenen Term ein. - Versuche im Zähler nicht sofort alles auszumultiplizieren. Siehst du einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Was bleibt in der Klammer übrig, wenn du den gemeinsamen Teil herausziehst? - Das Ergebnis soll ein kompakter Bruch sein.

1. Anwendung der Quotientenregel mit \(u(x) = \tan x\) und \(v(x) = 1 + \tan x\). 2. Verwendung der gegebenen Ableitung \(\tan' x = 1 + \tan^2 x\) für beide Teilfunktionen: \(u'(x) = 1 + \tan^2 x\) und \(v'(x) = 1 + \tan^2 x\). 3. Aufstellen der Ableitungsformel: \(f'(x) = \frac{(1 + \tan^2 x) \cdot (1 + \tan x) - \tan x \cdot (1 + \tan^2 x)}{(1 + \tan x)^2}\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((1 + \tan^2 x)\) im Zähler: \(f'(x) = \frac{(1 + \tan^2 x) \cdot [ (1 + \tan x) - \tan x ]}{(1 + \tan x)^2}\). 5. Vereinfachen des Ausdrucks in der eckigen Klammer zu \(1\), woraus sich die finale Form \(f'(x) = \frac{1 + \tan^2 x}{(1 + \tan x)^2}\) ergibt.

\(f'(x) = \frac{1 + \tan^2 x}{(1 + \tan x)^2}\)