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- Wie verhält sich die Exponentialfunktion \(e^x\) beim Ableiten und Integrieren? - Welche Regeln gelten für das Ableiten von Summen und Potenzen von \(x\)? - Was bedeutet die Bedingung \(F(0) = 5\) für die Integrationskonstante? - Erinnerst du dich, wie man den Exponenten und den Vorfaktor beim Integrieren einer Potenzfunktion anpasst?

1. Erste Ableitung: Anwendung der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktionen sowie der Eigenschaft \((e^x)' = e^x\). Ergebnis: \(f'(x) = 0{,}2e^x + 4x^3\). 2. Zweite Ableitung: Erneutes Ableiten von \(f'\). Ergebnis: \(f''(x) = 0{,}2e^x + 12x^2\). 3. Allgemeine Stammfunktion: Bildung der unbestimmten Integrale der Summanden. Ergebnis: \(F(x) = 0{,}2e^x + \frac{1}{5}x^5 - 7x + C\). 4. Bestimmung der Konstante \(C\): Einsetzen der Bedingung \(F(0) = 5\) ergibt \(0{,}2 \cdot e^0 + 0 - 0 + C = 5\), also \(0{,}2 + C = 5\), woraus \(C = 4{,}8\) folgt. 5. Spezielle Stammfunktion: \(F(x) = 0{,}2e^x + 0{,}2x^5 - 7x + 4{,}8\).

a) \(f'(x) = 0{,}2e^x + 4x^3\); \(f''(x) = 0{,}2e^x + 12x^2\) b) \(F(x) = 0{,}2e^x + 0{,}2x^5 - 7x + 4{,}8\)

- Überlege dir, welche Grundfunktionen in der Summe vorkommen und wie deren jeweilige Ableitungsregeln lauten. - Erinnere dich daran, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) beim Ableiten und Integrieren eine besondere Eigenschaft besitzt. - Achte beim Ableiten und Integrieren der trigonometrischen Funktionen auf die Vorzeichen. - Für die Stammfunktion suchst du eine Funktion, deren Ableitung genau den ursprünglichen Funktionsterm ergibt.

1. Erste Ableitung: Anwendung der Summen- und Faktorregel sowie der Ableitungsregeln für die Exponentialfunktion, Potenzfunktionen und die Sinusfunktion ergibt \(f'(x) = 4e^x - 2x^3 + \cos(x)\). 2. Zweite Ableitung: Erneutes Ableiten von \(f'\) unter Beachtung von \(\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)\) führt auf \(f''(x) = 4e^x - 6x^2 - \sin(x)\). 3. Stammfunktion: Integration der einzelnen Summanden ergibt \(F(x) = 4e^x - \frac{1}{10}x^5 - \cos(x) + C\). Eine mögliche Stammfunktion (mit \(C=0\)) ist \(F(x) = 4e^x - \frac{1}{10}x^5 - \cos(x)\).

\(f'(x) = 4e^x - 2x^3 + \cos(x)\) \(f''(x) = 4e^x - 6x^2 - \sin(x)\) \(F(x) = 4e^x - \frac{1}{10}x^5 - \cos(x)\) (oder jede andere Funktion \(F(x) = 4e^x - \frac{1}{10}x^5 - \cos(x) + C\))

- Wie hängen die erste Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente zusammen? - Welche allgemeine Formel für eine Geradengleichung kennst du, wenn ein Punkt und die Steigung gegeben sind? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Steigungsfaktor \(m\) einer Geraden und dem Tangens des Steigungswinkels. - Achte darauf, ob dein Taschenrechner auf Gradmaß (DEG) eingestellt ist.

1. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 0\) berechnen: \(f(0) = 2 \cdot e^0 - 5 \cdot 0 = 2\). Der Berührpunkt ist \(P(0 | 2)\). 2. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = 2e^x - 5\). 3. Steigung an der Stelle \(x_0 = 0\) berechnen: \(m = f'(0) = 2 \cdot e^0 - 5 = -3\). 4. Tangentengleichung aufstellen: \(t(x) = m \cdot (x - x_0) + f(x_0) = -3 \cdot (x - 0) + 2 = -3x + 2\). 5. Steigungswinkel \(\alpha\) berechnen: \(\tan(\alpha) = m = -3\). Der Hauptwert ist \(\arctan(-3) \approx -71{,}6^\circ\). Als Steigungswinkel zur positiven \(x\)-Achse im Bereich \([0^\circ; 180^\circ[\) gilt \(\alpha \approx 108{,}4^\circ\).

Tangentengleichung: \(t(x) = -3x + 2\) Steigungswinkel: \(\alpha \approx 108{,}4^\circ\)

- Überlege dir, wie sich die natürliche Exponentialfunktion beim Ableiten und Integrieren verhält. - Erinnere dich an die Potenzregel für ganzrationale Terme. - Was passiert mit additiven Konstanten beim Ableiten? - Wie bildest du die Umkehrung der Ableitung für den Potenzterm?

1. Anwendung der Summen- und Faktorregel: Die Ableitung von \(e^x\) ist \(e^x\), die von \(x^n\) ist \(n \cdot x^{n-1}\). Konstanten fallen beim Ableiten weg. 2. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 2{,}5 e^x - 1 \cdot x^3 = 2{,}5 e^x - x^3\). 3. Erneutes Ableiten für die zweite Ableitung: \(f''(x) = 2{,}5 e^x - 3x^2\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion unter Verwendung der Potenzregel für Integrale: \(F(x) = 2{,}5 e^x - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} x^5 + 7x = 2{,}5 e^x - 0{,}05 x^5 + 7x\).

\(f'(x) = 2{,}5 e^x - x^3\) \(f''(x) = 2{,}5 e^x - 3x^2\) \(F(x) = 2{,}5 e^x - 0{,}05 x^5 + 7x\)

- Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten von \(e^{u(x)}\). - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn im Exponenten ein Minus vor dem \(x\) steht? - Leite die Funktion schrittweise zweimal hintereinander ab. - Konstante Summanden fallen beim Ableiten weg.

1. Ableitungsregeln (Summenregel, Faktorregel und Kettenregel für die Exponentialfunktion) nacheinander anwenden. 2. Für a): Erste Ableitung \(f'(x) = 0{,}5 \cdot 4 \cdot e^{4x-2} + 3x^2 = 2 e^{4x-2} + 3x^2\). Zweite Ableitung \(f''(x) = 2 \cdot 4 \cdot e^{4x-2} + 6x = 8 e^{4x-2} + 6x\). 3. Für b): Erste Ableitung \(g'(x) = -e^{5-x} \cdot (-1) = e^{5-x}\). Zweite Ableitung \(g''(x) = e^{5-x} \cdot (-1) = -e^{5-x}\). 4. Für c): Erste Ableitung \(h'(x) = e^x + e^{-x} \cdot (-1) = e^x - e^{-x}\). Zweite Ableitung \(h''(x) = e^x - e^{-x} \cdot (-1) = e^x + e^{-x}\).

a) \(f''(x) = 8 e^{4x-2} + 6x\) b) \(g''(x) = -e^{5-x}\) c) \(h''(x) = e^x + e^{-x}\)

- Berechne zunächst die erste, zweite und vielleicht dritte Ableitung. - Fällt dir ein Muster bei den Faktoren auf, die durch die Kettenregel entstehen? - Überlege, wie oft die innere Ableitung als Faktor vor die Funktion tritt. - Achte darauf, wie sich das Vorzeichen bei den Ableitungen verhält.

1. Berechnung der ersten Ableitungen unter Verwendung der Kettenregel: \(f'(x) = -2 \cdot e^{5-2x}\) und \(f''(x) = (-2) \cdot (-2) \cdot e^{5-2x} = (-2)^2 \cdot e^{5-2x}\). 2. Identifikation des Musters: Bei jeder weiteren Ableitung wird die Funktion erneut mit der inneren Ableitung der Exponentenfunktion, also dem Faktor \(-2\), multipliziert. 3. Verallgemeinerung für die \(n\)-te Ableitung: Nach \(n\) Ableitungen ergibt sich der Faktor \((-2)^n\), während der Exponentialterm unverändert bleibt. Das Ergebnis ist \(f^{(n)}(x) = (-2)^n \cdot e^{5-2x}\).

\(f^{(n)}(x) = (-2)^n e^{5-2x}\)

- Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden? - Was ist die Ableitung von \(3^x\)? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung (Tangente) aufzustellen? - Wie berechnest du die Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle? - Der Ursprung hat die Koordinaten \((0 \mid 0)\).

1. Zur Bestimmung der Ableitung von \(g(x) = x \cdot 3^x\) wird die Produktregel \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) mit \(u(x) = x\) und \(v(x) = 3^x\) verwendet. 2. Mit \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = \ln(3) \cdot 3^x\) ergibt sich: \(g'(x) = 1 \cdot 3^x + x \cdot \ln(3) \cdot 3^x = 3^x(1 + x \ln(3))\). 3. Für die Tangente im Ursprung \((0 \mid 0)\) wird die Steigung an der Stelle \(x = 0\) berechnet: \(g'(0) = 3^0(1 + 0 \cdot \ln(3)) = 1 \cdot 1 = 1\). 4. Da der Graph durch den Ursprung verläuft, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(n = 0\). Die Tangentengleichung lautet somit \(y = 1 \cdot x + 0\), also \(y = x\).

a) \(g'(x) = 3^x(1 + x \ln(3))\) b) \(y = x\)

- Wie lautet die allgemeine Ableitungsregel für eine Exponentialfunktion zur Basis \(a\)? - Achte darauf, welche Teile der Funktion von der Variablen abhängen und welche konstant sind. - Überlege bei Teilaufgabe c), wie du Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen kannst. - Vergiss nicht, dass beim Ableiten von \(t^2\) die Potenzregel gilt, während bei \(4^t\) die Exponentialregel angewendet werden muss.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Regel \((a^x)' = \ln(a) \cdot a^x\) angewendet. Es ergibt sich \(f'(x) = 5 \cdot \ln(1{,}2) \cdot 1{,}2^x\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = 5 \cdot (\ln(1{,}2))^2 \cdot 1{,}2^x\). 2. In b) wird die Summenregel sowie die Ableitung für Potenz- und Exponentialfunktionen genutzt. Die erste Ableitung ist \(g'(t) = 0{,}5 \cdot \ln(4) \cdot 4^t - 2t\). Erneutes Ableiten führt zu \(g''(t) = 0{,}5 \cdot (\ln(4))^2 \cdot 4^t - 2\). 3. In c) wird \(k^2 \cdot k^x\) zu \(k^{x+2}\) zusammengefasst oder als Produkt mit einer Konstanten behandelt. Da \(k\) eine Konstante ist, fällt der hintere Term \(-k\) weg. Die erste Ableitung ist \(h'(x) = k^2 \cdot \ln(k) \cdot k^x = \ln(k) \cdot k^{x+2}\). Die zweite Ableitung ergibt sich zu \(h''(x) = (\ln(k))^2 \cdot k^{x+2}\).

a) \(f'(x) = 5 \ln(1{,}2) \cdot 1{,}2^x\); \(f''(x) = 5 (\ln(1{,}2))^2 \cdot 1{,}2^x\) b) \(g'(t) = 0{,}5 \ln(4) \cdot 4^t - 2t\); \(g''(t) = 0{,}5 (\ln(4))^2 \cdot 4^t - 2\) c) \(h'(x) = \ln(k) \cdot k^{x+2}\); \(h''(x) = (\ln(k))^2 \cdot k^{x+2}\)

- Kannst du den Bruch in zwei einzelne Brüche aufteilen, um die Ableitung zu erleichtern? - Überlege, wie man Terme der Form \(\frac{1}{e^x}\) als Potenz mit negativem Exponenten schreibt. - Welche Ableitungsregeln benötigst du für die einzelnen Summanden? - Denk beim Ableiten von \(e^{-x}\) an die Kettenregel für die innere Funktion \(-x\).

1. Umschreiben des Funktionsterms durch Division der Zählerglieder durch \(e^x\): \(f(x) = e^x - 4e^{-x} + x^2\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung unter Anwendung der Summenregel und der Kettenregel für den Term \(-4e^{-x}\): \(f'(x) = e^x + 4e^{-x} + 2x\). 3. Bestimmung der zweiten Ableitung durch erneutes Ableiten der Summenglieder: \(f''(x) = e^x - 4e^{-x} + 2\).

\(f'(x) = e^x + 4e^{-x} + 2x\) \(f''(x) = e^x - 4e^{-x} + 2\)

- Erinnere dich an die Bedeutung von „notwendig“: Was muss zwingend passieren, damit ein Punkt ein Extrempunkt sein kann? - Wie verhält sich die \(e\)-Funktion bezüglich ihrer Nullstellen? - Wenn eine Bedingung erfüllt ist, aber das Ereignis (die Extremstelle) trotzdem nicht eintritt, nennt man diese Bedingung dann „hinreichend“?

1. Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle an der Stelle \(x_0\) lautet \(f'(x_0) = 0\). 2. Ableitungen von \(f(x) = e^x\): Es gilt \(f'(x) = e^x\) und \(f''(x) = e^x\). Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für alle reellen Zahlen \(x\) stets positiv ist (\(e^x > 0\)), gilt insbesondere \(f''(x) \neq 0\) für alle \(x\). 3. Da \(f'(x) = e^x\) niemals Null wird, hat die Funktion keine Stellen mit waagerechter Tangente und somit keine Extremstellen. Da die Bedingung \(f''(x) \neq 0\) zwar überall erfüllt ist, aber keine einzige Extremstelle existiert, kann sie allein nicht ausreichen (nicht hinreichend sein), um die Existenz einer Extremstelle zu garantieren.

1. Notwendige Bedingung: \(f'(x_0) = 0\). 2. \(f'(x) = e^x\) und \(f''(x) = e^x\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist \(f''(x) \neq 0\). Da die Gleichung \(f'(x) = e^x = 0\) keine Lösung besitzt, gibt es keine Extremstellen. 3. Die Bedingung \(f''(x_0) \neq 0\) ist nicht hinreichend, da trotz ihrer Gültigkeit keine Extremstelle vorliegen muss (das Kriterium \(f'(x_0) = 0\) fehlt).

- Überlege dir die Ableitungs- und Stammfunktionsregeln für Sinus und Kosinus. - Was ist der Unterschied zwischen der Ableitung von \(\cos(x)\) und der Stammfunktion von \(\cos(x)\)? - Welchen Wert haben \(\sin(0)\) und \(e^0\)? - Welche Funktion gibt dir Auskunft über die Steigung an einer bestimmten Stelle?

1. Erste Ableitung: Ableiten der trigonometrischen Funktion (\(\cos(x) \rightarrow -\sin(x)\)) und der Exponentialfunktion. Ergebnis: \(g'(x) = -3 \sin(x) - 4e^x\). 2. Zweite Ableitung: Erneutes Ableiten (\(-\sin(x) \rightarrow -\cos(x)\)). Ergebnis: \(g''(x) = -3 \cos(x) - 4e^x\). 3. Stammfunktion: Integration der Summanden (\(\cos(x) \rightarrow \sin(x)\) und \(e^x \rightarrow e^x\)). Eine mögliche Stammfunktion ist \(G(x) = 3 \sin(x) - 4e^x\). 4. Steigung an der Stelle \(x = 0\): Einsetzen von \(x = 0\) in die erste Ableitung \(g'(0) = -3 \sin(0) - 4e^0\). Da \(\sin(0) = 0\) und \(e^0 = 1\), folgt \(g'(0) = 0 - 4 = -4\).

a) \(g'(x) = -3 \sin(x) - 4e^x\); \(g''(x) = -3 \cos(x) - 4e^x\) b) \(G(x) = 3 \sin(x) - 4e^x\) (oder jede Funktion mit einer zusätzlichen Konstante \(C\)) c) Die Steigung beträgt \(-4\).

- Nutze für den ersten Teil die Potenzregel und die Regel für die natürliche Exponentialfunktion. - Wie lautet die allgemeine Form einer Stammfunktion für eine Summe von Funktionen? - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? Setze die Koordinaten in deine allgemeine Stammfunktion ein. - Denke daran, dass \(e^0\) einen ganz bestimmten Wert hat.

1. Ableitungen: Durch gliedweise Differentiation erhält man \(g'(x) = 4x - 3e^x\) und durch weiteres Ableiten \(g''(x) = 4 - 3e^x\). 2. Allgemeine Stammfunktion: Die Integration von \(g(x)\) liefert \(G(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3e^x + x + C\). 3. Bestimmung der Konstante \(C\): Aus der Bedingung \(G(0) = 2\) folgt \(\frac{2}{3} \cdot 0^3 - 3e^0 + 0 + C = 2\). Da \(e^0 = 1\), ergibt sich \(-3 + C = 2\), also \(C = 5\). 4. Spezielle Stammfunktion: Einsetzen von \(C\) ergibt \(G(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3e^x + x + 5\).

a) \(g'(x) = 4x - 3e^x\); \(g''(x) = 4 - 3e^x\) b) \(G(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3e^x + x + 5\)

- Bestimme zuerst den Funktionswert und den Wert der Ableitung an der gegebenen Stelle. - Setze die Werte in die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung ein. - Lasse die Eulersche Zahl \(e\) in der Tangentengleichung als Symbol stehen, um ein exaktes Ergebnis zu erhalten. - Nutze für den Winkel die Umkehrfunktion des Tangens.

1. Koordinaten des Berührpunkts bestimmen: \(f(-1) = 10e^{-1} + (-1)^2 = \frac{10}{e} + 1\). 2. Ableitungsfunktion bilden: \(f'(x) = 10e^x + 2x\). 3. Steigung \(m\) an der Stelle \(x_0 = -1\) berechnen: \(m = f'(-1) = 10e^{-1} + 2(-1) = \frac{10}{e} - 2\). 4. Tangentengleichung \(y = m(x - x_0) + y_0\) aufstellen: \(y = (\frac{10}{e} - 2)(x + 1) + \frac{10}{e} + 1 = (\frac{10}{e} - 2)x + \frac{10}{e} - 2 + \frac{10}{e} + 1 = (\frac{10}{e} - 2)x + \frac{20}{e} - 1\). 5. Numerischen Wert der Steigung für den Winkel bestimmen: \(m = \frac{10}{e} - 2 \approx 1{,}6788\). 6. Steigungswinkel berechnen: \(\alpha = \arctan(\frac{10}{e} - 2) \approx 59{,}2^\circ\).

Tangentengleichung: \(y = (\frac{10}{e} - 2)x + \frac{20}{e} - 1\) Steigungswinkel: \(\alpha \approx 59{,}2^\circ\)

- Wie findest du den y-Wert des Punktes, wenn nur der x-Wert gegeben ist? - Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, um die Steigung der Funktion zu bestimmen? - Wie hängen die Steigungen von Tangente und Normale in einem Punkt zusammen? - Kennst du die allgemeine Formel für eine Geradengleichung, in die du Punkt und Steigung einsetzen kannst?

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 0\): \(f(0) = e^{2 \cdot 0} + e^0 = 1 + 1 = 2\). Der Berührpunkt ist \(P(0 | 2)\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung mit der Kettenregel: \(f'(x) = 2e^{2x} + e^x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung \(m_t\): \(m_t = f'(0) = 2e^0 + e^0 = 2 + 1 = 3\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = 3(x - 0) + 2 \Rightarrow y = 3x + 2\). 5. Berechnung der Normalensteigung \(m_n\): \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{3}\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(y = -\frac{1}{3}(x - 0) + 2 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + 2\).

\(t: y = 3x + 2\) \(n: y = -\frac{1}{3}x + 2\)

- Welche Ableitungsregel ist bei einem Produkt aus einer ganzrationalen Funktion und einer Exponentialfunktion anzuwenden? - Beachte beim Ableiten des Exponenten der \(e\)-Funktion die Kettenregel. - Es ist oft hilfreich, den Term der Exponentialfunktion am Ende auszuklammern, um die Ableitung übersichtlicher zu schreiben.

1. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\) mit \(u(x) = 4 - x^2\) und \(v(x) = e^{-0{,}5x}\). 2. Berechnung der Teilableitungen: \(u'(x) = -2x\) und unter Verwendung der Kettenregel \(v'(x) = -0{,}5 \cdot e^{-0{,}5x}\). 3. Einsetzen in die Produktregel: \(f'(x) = -2x \cdot e^{-0{,}5x} + (4 - x^2) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5x}\). 4. Ausklammern von \(e^{-0{,}5x}\) und Vereinfachen des Klammerausdrucks: \(f'(x) = (-2x - 2 + 0{,}5x^2) \cdot e^{-0{,}5x}\). 5. Endergebnis: \(f'(x) = (0{,}5x^2 - 2x - 2) \cdot e^{-0{,}5x}\).

\(f'(x) = (0{,}5x^2 - 2x - 2) \cdot e^{-0{,}5x}\)

- Hier liegt eine Verkettung von Funktionen vor. Welche Regel nutzt du für \(e^{h(x)}\)? - Achte darauf, dass der Exponent selbst wieder eine verkettete Funktion ist. Wie oft musst du hier die Kettenregel anwenden? - Was ist die Ableitung von \(\cos(ax)\)?

1. Anwendung der Kettenregel für die Funktion \(g(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{u(x)}\) mit \(u(x) = \cos(2x)\). 2. Berechnung der Ableitung der inneren Funktion \(u(x)\) unter erneuter Anwendung der Kettenregel: \(u'(x) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)\). 3. Verknüpfung nach der Regel für Exponentialfunktionen: \(g'(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{\cos(2x)} \cdot u'(x)\). 4. Einsetzen von \(u'(x)\): \(g'(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{\cos(2x)} \cdot (-2\sin(2x))\). 5. Vereinfachen des Vorfaktors: \(g'(x) = -\sin(2x) \cdot e^{\cos(2x)}\).

\(g'(x) = -\sin(2x) \cdot e^{\cos(2x)}\)

- Betrachte die Summanden der Funktion einzeln. - Wie wirkt sich die Kettenregel aus, wenn du eine Funktion der Form \(e^{ax}\) mehrfach ableitest? - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Ableiten von \(e^{-4x}\) und wie es sich bei einer ungeraden Anzahl an Ableitungen verhält. - Kannst du ein Muster für die \(n\)-te Ableitung erkennen?

1. Anwendung der Summenregel und der Kettenregel für die \(n\)-te Ableitung von \(e^{ax}\): \((e^{ax})^{(n)} = a^n \cdot e^{ax}\). 2. Bestimmung der allgemeinen \(n\)-ten Ableitung: \(f^{(n)}(x) = 4^n \cdot e^{4x} - (-4)^n \cdot e^{-4x}\). 3. Einsetzen von \(n = 21\): Da \(21\) eine ungerade Zahl ist, gilt \((-4)^{21} = -4^{21}\). 4. Zusammenfassen des Terms: \(f^{(21)}(x) = 4^{21} \cdot e^{4x} - (-4^{21}) \cdot e^{-4x} = 4^{21} \cdot e^{4x} + 4^{21} \cdot e^{-4x}\). 5. Ausklammern des konstanten Faktors: \(f^{(21)}(x) = 4^{21} \cdot (e^{4x} + e^{-4x})\).

\(f^{(21)}(x) = 4^{21} \cdot (e^{4x} + e^{-4x})\)

- Wie kannst du die Steigung einer Funktion bestimmen, die aus einem Produkt von zwei Teilfunktionen besteht? - Beachte das Vorzeichen des Ergebnisses, um auf das Wachstum zu schließen. - Gibt es einen Teil der Ableitung, dessen Vorzeichen für alle \(x\)-Werte immer gleich bleibt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung und der Monotonie.

1. Berechnung der ersten Ableitung unter Anwendung der Produktregel: \(g'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). 2. Untersuchung für \(x = -4\): \(g'(-4) = ((-4)^2 + 2 \cdot (-4) - 3) \cdot e^{-4} = (16 - 8 - 3) \cdot e^{-4} = 5 \cdot e^{-4} \approx 0{,}092\). Da \(g'(-4) > 0\), steigt der Graph von \(g\) an dieser Stelle. 3. Untersuchung für \(x = 0\): \(g'(0) = (0^2 + 2 \cdot 0 - 3) \cdot e^0 = -3 \cdot 1 = -3\). Da \(g'(0) < 0\), fällt der Graph von \(g\) an dieser Stelle. 4. Untersuchung für \(x = 2\): \(g'(2) = (2^2 + 2 \cdot 2 - 3) \cdot e^2 = 5 \cdot e^2 \approx 36{,}95\). Da \(g'(2) > 0\), steigt der Graph von \(g\) an dieser Stelle.

An der Stelle \(x = -4\) steigt der Graph von \(g\) (\(g'(-4) > 0\)). An der Stelle \(x = 0\) fällt der Graph von \(g\) (\(g'(0) < 0\)). An der Stelle \(x = 2\) steigt der Graph von \(g\) (\(g'(2) > 0\)).

- Kannst du den Term in Teilaufgabe a) so umschreiben, dass kein Bruch mehr vorkommt? - Lassen sich Wurzeln als Potenzen schreiben, um die Rechnung in b) zu vereinfachen? - Welche Regel benötigst du, wenn im Exponenten der e-Funktion ein komplizierterer Ausdruck als nur \(x\) steht? - Behandle den Buchstaben \(k\) in Teilaufgabe c) wie eine ganz normale Zahl.

1. Für \(f(x) = e^{4x} - 3 \cdot e^{-x}\) ergibt sich die Ableitung durch Anwendung der Kettenregel auf beide Summanden. Die innere Ableitung von \(e^{4x}\) ist \(4\), die von \(e^{-x}\) ist \(-1\). Es folgt: \(f'(x) = 4 \cdot e^{4x} - 3 \cdot (-1) \cdot e^{-x} = 4e^{4x} + 3e^{-x}\). 2. Der Term \(f(x) = \sqrt{e^{6x}}\) lässt sich zu \(f(x) = (e^{6x})^{0{,}5} = e^{3x}\) vereinfachen. Die Ableitung mittels Kettenregel (innere Ableitung \(3\)) ergibt \(f'(x) = 3e^{3x}\). 3. Bei \(f(x) = e^{k \cdot x^2}\) ist die äußere Funktion die Exponentialfunktion und die innere Funktion \(g(x) = k \cdot x^2\). Die innere Ableitung ist \(g'(x) = 2kx\). Somit gilt \(f'(x) = 2kx \cdot e^{k \cdot x^2}\).

a) \(f'(x) = 4e^{4x} + \frac{3}{e^x}\) oder \(f'(x) = 4e^{4x} + 3e^{-x}\) b) \(f'(x) = 3e^{3x}\) c) \(f'(x) = 2kx \cdot e^{k \cdot x^2}\)

- Überlege dir bei jedem Summanden einzeln, welche Ableitungsregel (Potenz-, Ketten- oder Produktregel) angewendet werden muss. - Achte beim Ableiten von \(e^{g(x)}\) darauf, den gesamten Exponenten \(g(x)\) nachzudifferenzieren. - Wenn ein Produkt aus einem Term mit \(x\) und einer Exponentialfunktion vorliegt, ist die Produktregel oft der richtige Weg. - Vergiss nicht, am Ende Terme mit dem gleichen Faktor \(e^{\dots}\) auszuklammern, um das Ergebnis zu vereinfachen.

1. Teilaufgabe a): Anwendung der Kettenregel auf den Exponentialterm und der Potenzregel. Innere Ableitung von \(-0{,}5x\) ist \(-0{,}5\). Es ergibt sich \(f'(x) = 8 \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5x} + 10x^4 = -4 e^{-0{,}5x} + 10x^4\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Kettenregel auf beide Terme. Erster Term: Innere Ableitung ist \(5\), also \(\frac{1}{5} \cdot 5 \cdot e^{5x+2} = e^{5x+2}\). Zweiter Term: Innere Ableitung von \(-4x\) ist \(-4\), Ableitung von \(\sin\) ist \(\cos\). Es folgt \(-\cos(-4x) \cdot (-4) = 4 \cos(-4x)\). Gesamtergebnis: \(g'(x) = e^{5x+2} + 4 \cos(-4x)\). 3. Teilaufgabe c): Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = 3x - 4\) (\(u'(x) = 3\)) und \(v(x) = e^{x^3}\) (\(v'(x) = 3x^2 \cdot e^{x^3}\) nach Kettenregel). Zusammenfügen: \(h'(x) = 3 \cdot e^{x^3} + (3x - 4) \cdot 3x^2 \cdot e^{x^3} = (3 + 9x^3 - 12x^2) \cdot e^{x^3} = (9x^3 - 12x^2 + 3) \cdot e^{x^3}\).

a) \(f'(x) = -4 e^{-0{,}5x} + 10x^4\) b) \(g'(x) = e^{5x+2} + 4 \cos(-4x)\) c) \(h'(x) = (9x^3 - 12x^2 + 3) \cdot e^{x^3}\)

- Was bedeutet es für die Parameter, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Wie berechnet man die Steigung an einer bestimmten Stelle? - Erinnerst du dich an die Kettenregel für Exponentialfunktionen? - Kannst du die Terme der Ableitungen so umformen, dass der ursprüngliche Funktionsterm wieder erkennbar wird?

1. Aus dem Punkt \(P(0|5)\) folgt \(f(0) = 5\). Einsetzen in \(f(x) = a \cdot e^{k \cdot x}\) ergibt \(a \cdot e^0 = 5\), also \(a = 5\). Die Ableitung lautet \(f'(x) = a \cdot k \cdot e^{k \cdot x}\). Mit der Steigung \(-10\) bei \(x=0\) folgt \(f'(0) = 5 \cdot k \cdot e^0 = -10\), woraus sich \(k = -2\) ergibt. Die Funktion ist \(f(x) = 5 \cdot e^{-2x}\). 2. Die erste Ableitung ist \(f'(x) = -10 \cdot e^{-2x}\). Erneutes Ableiten unter Verwendung der Kettenregel ergibt \(f''(x) = -10 \cdot (-2) \cdot e^{-2x} = 20 \cdot e^{-2x}\). 3. Ein Vergleich von \(f''(x) = 20 \cdot e^{-2x}\) mit \(4 \cdot f(x) = 4 \cdot (5 \cdot e^{-2x}) = 20 \cdot e^{-2x}\) bestätigt die Gleichheit \(f''(x) = 4 \cdot f(x)\).

1. \(a = 5\); \(k = -2\) 2. \(f''(x) = 20 \cdot e^{-2x}\) 3. Nachweis durch Einsetzen: \(20 \cdot e^{-2x} = 4 \cdot (5 \cdot e^{-2x})\)

- Wie leitest du eine Summe von Funktionen ab? - Achte beim Ableiten von \(e^{-3x}\) besonders auf das Vorzeichen des inneren Faktors. - Kannst du in deinem Ergebnis für die zweite Ableitung einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Welches Muster erkennst du, wenn du die Ableitungen nacheinander betrachtest?

1. Unter Anwendung der Kettenregel für beide Summanden ergibt sich \(g'(x) = 3 \cdot e^{3x} + (-3) \cdot e^{-3x} = 3e^{3x} - 3e^{-3x}\). Die zweite Ableitung lautet \(g''(x) = 3 \cdot 3 \cdot e^{3x} - 3 \cdot (-3) \cdot e^{-3x} = 9e^{3x} + 9e^{-3x}\). 2. Durch Ausklammern von \(9\) in der zweiten Ableitung erhält man \(g''(x) = 9 \cdot (e^{3x} + e^{-3x})\). Da der Klammerausdruck genau der Funktion \(g(x)\) entspricht, gilt \(g''(x) = 9 \cdot g(x)\). 3. Da jede zweite Ableitung den Faktor \(3^2 = 9\) vor die Funktion setzt, wird die vierte Ableitung den Faktor \(9 \cdot 9 = 81\) besitzen. Es gilt \(g^{(4)}(x) = 81 \cdot g(x) = 81e^{3x} + 81e^{-3x}\). Dies folgt aus der wiederholten Anwendung der Ableitungsregel.

1. \(g'(x) = 3e^{3x} - 3e^{-3x}\); \(g''(x) = 9e^{3x} + 9e^{-3x}\) 2. Ja, die Gleichung ist erfüllt, da \(9(e^{3x} + e^{-3x}) = 9 \cdot g(x)\). 3. \(g^{(4)}(x) = 81 \cdot g(x)\), da jede zweifache Ableitung eine Multiplikation mit \(9\) bewirkt.

- Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten zur Bestimmung der momentanen Änderungsrate. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(b^x = y\) nach \(b\) auflösen, wenn \(x\) bekannt ist? - Achte beim Taschenrechner auf eine ausreichende Anzahl an Nachkommastellen.

1. Berechnung der Steigung für \(b = 2\): Mit \(h = 0{,}0001\) ergibt sich \(\frac{2^{0{,}0001} - 1}{0{,}0001} \approx 0{,}6932\). 2. Berechnung der Steigung für \(b = 4\): Mit \(h = 0{,}0001\) ergibt sich \(\frac{4^{0{,}0001} - 1}{0{,}0001} \approx 1{,}3864\). 3. Umstellen der Gleichung nach \(b\): Aus \(\frac{b^h - 1}{h} = 1\) folgt \(b^h - 1 = h\), also \(b^h = 1 + h\) und schließlich \(b = (1 + h)^{\frac{1}{h}}\). 4. Numerische Berechnung der Basis: Mit \(h = 0{,}0001\) ergibt sich \(b = (1{,}0001)^{10\,000} \approx 2{,}7181\).

a) Für \(b = 2\) ist \(f'(0) \approx 0{,}6932\); für \(b = 4\) ist \(f'(0) \approx 1{,}3864\). b) Die gesuchte Basis ist \(b \approx 2{,}7181\).

- Was sagt die Steigung einer Tangente über die Ableitung der Funktion an diesem Punkt aus? - Überlege dir, wie sich der Graph einer Funktion verhält, wenn die Steigung negativ ist. - Nutze die Struktur der Geradengleichung \(y = mx + c\), um die Steigung abzulesen.

1. Berechnung von \(k\) für \(b = 0{,}5\): Mit \(h = 0{,}001\) ergibt sich \(k \approx \frac{0{,}5^{0{,}001} - 1}{0{,}001} \approx -0{,}6929\). 2. Interpretation: Da \(k < 0\), ist die Steigung überall negativ. Der Graph der Funktion ist somit streng monoton fallend, was typisch für einen exponentiellen Zerfallsprozess (\(b < 1\)) ist. 3. Bestimmung von \(g'(0)\): Die Tangente \(y = 1x + 1\) hat die Steigung \(m = 1\). Da die Tangentensteigung an einer Stelle der Ableitung entspricht, gilt \(g'(0) = 1\). 4. Berechnung der Basis \(a\): Analog zum Differenzenquotienten gilt \(\frac{a^h - 1}{h} \approx 1\). Umgeformt ergibt dies \(a \approx (1 + h)^{\frac{1}{h}}\). Mit \(h = 0{,}0001\) folgt \(a = (1{,}0001)^{10\,000} \approx 2{,}7181\).

a) \(k \approx -0{,}6929\). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass der Graph streng monoton fallend ist (exponentieller Zerfall). b) Aus der Tangentengleichung folgt \(g'(0) = 1\). Die Basis ist \(a \approx 2{,}7181\).

- Bilde zuerst die allgemeine zweite Ableitungsfunktion \(f''(x)\). - Setze dann den gegebenen \(x\)-Wert in deine Ableitungsfunktion ein. - Stelle eine Gleichung auf, indem du dein Ergebnis mit dem Zielwert gleichsetzt. - Welche Zahl musst du für \(c\) einsetzen, damit die Gleichung stimmt?

1. Erste Ableitung mit der Kettenregel bilden: \(f'(x) = c \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = 0{,}5c \cdot e^{0{,}5x}\). 2. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 0{,}5c \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = 0{,}25c \cdot e^{0{,}5x}\). 3. Den Wert \(x = 2\) in \(f''(x)\) einsetzen: \(f''(2) = 0{,}25c \cdot e^{0{,}5 \cdot 2} = 0{,}25c \cdot e^1 = 0{,}25ce\). 4. Die Bedingung \(f''(2) = e\) gleichsetzen: \(0{,}25ce = e\). 5. Nach \(c\) auflösen: Da \(e \neq 0\), folgt \(0{,}25c = 1\), woraus sich \(c = 4\) ergibt.

\(c = 4\)

- Leite die beiden Summanden der Funktion getrennt voneinander ab. - Was passiert mit einer Potenz \(t^n\), wenn du sie genau \(n\)-mal hintereinander ableitest? Probiere es zur Not mit einem kleinen Beispiel wie \(t^2\) oder \(t^3\) aus. - Welcher Faktor tritt beim Ableiten von \(e^{kt}\) aufgrund der Kettenregel immer wieder nach vorne? - Erinnerst du dich an die Kurzschreibweise für das Produkt \(n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1\)?

1. Ableitung des ersten Summanden \(e^{kt}\): Durch wiederholte Anwendung der Kettenregel wird bei jedem Ableitungsschritt der Faktor \(k\) multipliziert. Nach \(n\) Schritten erhält man \(k^n e^{kt}\). 2. Ableitung des zweiten Summanden \(t^n\): Die erste Ableitung ist \(n \cdot t^{n-1}\), die zweite \(n \cdot (n-1) \cdot t^{n-2}\). Nach \(n\) Ableitungen reduziert sich die Potenz von \(t\) auf \(t^0 = 1\), und der Koeffizient ist das Produkt aller Ganzzahlen von \(n\) bis \(1\), also \(n!\) (n-Fakultät). 3. Kombination der Ergebnisse: Da die Ableitung einer Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, ergibt sich \(g^{(n)}(t) = k^n e^{kt} + n!\).

\(g^{(n)}(t) = k^n e^{kt} + n!\)

- Wie lautet die allgemeine Ableitungsregel für Funktionen der Form \(b^x\)? - Kannst du die Basis \(4\) als Potenz der Basis \(2\) umschreiben, um den Ausdruck zu vereinfachen? - Erinnere dich an die Logarithmengesetze, insbesondere für \(\ln(b^k)\). - Wie findet man generell Extremstellen einer Funktion? - Denke daran, dass Exponentialfunktionen der Form \(b^x\) niemals Null werden.

1. Zur Ableitung von \(f(x) = 4^x - 8 \cdot 2^x\) wird die Regel für Exponentialfunktionen \((b^x)' = \ln(b) \cdot b^x\) angewendet: \(f'(x) = \ln(4) \cdot 4^x - 8 \cdot \ln(2) \cdot 2^x\). 2. Unter Verwendung von \(\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)\) lässt sich die Ableitung vereinfachen zu \(f'(x) = 2\ln(2) \cdot (2^x)^2 - 8\ln(2) \cdot 2^x = 2\ln(2) \cdot 2^x \cdot (2^x - 4)\). 3. Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist \(f'(x) = 0\). Da \(2\ln(2) \cdot 2^x \neq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(2^x - 4 = 0\) gelten, woraus \(2^x = 4\) und somit \(x = 2\) folgt. 4. Die Überprüfung der Art des Extremums (z. B. über das Vorzeichen von \(f'(x)\) oder die zweite Ableitung) bestätigt einen Tiefpunkt bei \(x = 2\). 5. Der Funktionswert an der Stelle \(x = 2\) ist \(f(2) = 4^2 - 8 \cdot 2^2 = 16 - 32 = -16\). Der Tiefpunkt liegt somit bei \(T(2 \mid -16)\).

a) \(f'(x) = \ln(4) \cdot 4^x - 8\ln(2) \cdot 2^x\) oder vereinfacht \(f'(x) = 2\ln(2) \cdot (4^x - 4 \cdot 2^x)\) b) \(T(2 \mid -16)\)

- Unterscheide genau zwischen einer Exponentialfunktion (Variable im Exponenten) und einer Potenzfunktion (Variable in der Basis). - Was passiert mit konstanten Faktoren beim Ableiten? - Beachte bei Termen wie \(3^{-x}\) die Kettenregel für den Exponenten. - Welchen Wert hat die Ableitung einer Konstanten wie \(\frac{1}{\pi}\)?

1. Für \(u(x)\) wird der konstante Faktor \(\frac{1}{\ln 3}\) vor die Ableitung gezogen. Die Ableitung von \(3^x\) ist \(\ln 3 \cdot 3^x\). Für \(3^{-x}\) wird die Kettenregel mit der inneren Ableitung \(-1\) angewendet: \((3^{-x})' = -\ln 3 \cdot 3^{-x}\). Damit folgt \(u'(x) = \frac{1}{\ln 3}(\ln 3 \cdot 3^x - \ln 3 \cdot 3^{-x}) = 3^x - 3^{-x}\). 2. Die zweite Ableitung von \(u(x)\) ergibt sich analog: \(u''(x) = \ln 3 \cdot 3^x - \ln 3 \cdot 3^{-x} \cdot (-1) = \ln 3 \cdot 3^x + \ln 3 \cdot 3^{-x} = \ln 3(3^x + 3^{-x})\). 3. Für \(v(x)\) mit \(x > 0\) ist \(\pi\) eine Konstante. Der Term \(\pi^x\) ist eine Exponentialfunktion mit Ableitung \(\ln(\pi) \cdot \pi^x\). Der Term \(x^\pi\) ist eine Potenzfunktion mit Ableitung \(\pi \cdot x^{\pi-1}\). Der konstante Term \(\frac{1}{\pi}\) fällt weg. Es folgt \(v'(x) = \ln(\pi) \cdot \pi^x - \pi \cdot x^{\pi-1}\). 4. Die zweite Ableitung von \(v(x)\) lautet \(v''(x) = (\ln(\pi))^2 \cdot \pi^x - \pi(\pi-1) \cdot x^{\pi-2}\).

a) \(u'(x) = 3^x - 3^{-x}\); \(u''(x) = \ln(3)(3^x + 3^{-x})\) b) \(v'(x) = \ln(\pi) \cdot \pi^x - \pi \cdot x^{\pi-1}\); \(v''(x) = (\ln(\pi))^2 \cdot \pi^x - \pi(\pi-1) \cdot x^{\pi-2}\) für \(x > 0\)

- Wende die Kettenregel auf die Exponentialfunktion an. Was passiert mit dem Exponenten? - Betrachte die Faktoren, die bei jedem Ableitungsschritt hinzukommen. Siehst du ein Muster? - Wie oft muss der Faktor aus der inneren Ableitung und der natürliche Logarithmus der Basis multipliziert werden? - Setze den gefundenen Term für die \(n\)-te Ableitung in die Gleichung ein und vereinfache so weit wie möglich.

1. Erste Ableitung mit Kettenregel: \(f'(x) = 4 \cdot 3^{2x} \cdot \ln 3 \cdot 2 = 4 \cdot (2 \ln 3) \cdot 3^{2x}\). 2. Zweite Ableitung: \(f''(x) = 4 \cdot (2 \ln 3) \cdot 3^{2x} \cdot \ln 3 \cdot 2 = 4 \cdot (2 \ln 3)^2 \cdot 3^{2x}\). 3. Verallgemeinerung auf die \(n\)-te Ableitung: \(f^{(n)}(x) = 4 \cdot (2 \ln 3)^n \cdot 3^{2x}\). 4. Gleichung lösen: \(4 \cdot (2 \ln 3)^n \cdot 3^{2x} = 4 \cdot (2 \ln 3)^n \cdot 81 \implies 3^{2x} = 81 \implies 3^{2x} = 3^4 \implies 2x = 4 \implies x = 2\).

a) \(f'(x) = 8 \ln 3 \cdot 3^{2x}\) und \(f''(x) = 16 (\ln 3)^2 \cdot 3^{2x}\) b) \(f^{(n)}(x) = 4 \cdot (2 \ln 3)^n \cdot 3^{2x}\) c) \(x = 2\)

- Was bedeutet es für die Koeffizienten einer ganzrationalen Funktion, wenn man sie an der Stelle \(x=0\) ableitet? - Leite die gegebene Exponentialfunktion schrittweise ab und achte auf die Kettenregel. - Stelle ein Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten auf, indem du die berechneten Ableitungswerte gleichsetzt. - Überlege dir, wie die Ableitungen von \(x^n\) an der Stelle \(0\) aussehen.

1. Berechnung der Ableitungen von \(f(x) = e^{-2x}\) bis zur dritten Ordnung: \(f'(x) = -2e^{-2x}\) \(f''(x) = 4e^{-2x}\) \(f'''(x) = -8e^{-2x}\) 2. Bestimmung der Werte an der Stelle \(x = 0\): \(f(0) = e^0 = 1\) \(f'(0) = -2e^0 = -2\) \(f''(0) = 4e^0 = 4\) \(f'''(0) = -8e^0 = -8\) 3. Aufstellen der Bedingungen für \(p(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0\) und deren Ableitungen an der Stelle \(0\): \(p(0) = a_0 = 1\) \(p'(0) = a_1 = -2\) \(p''(0) = 2a_2 = 4 \implies a_2 = 2\) \(p'''(0) = 6a_3 = -8 \implies a_3 = -\frac{4}{3}\) 4. Zusammensetzen der Funktionsgleichung: \(p(x) = -\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 - 2x + 1\)

\(p(x) = -\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 - 2x + 1\)

- Identifiziere die innere Funktion im Exponenten, um die Kettenregel anzuwenden. - Was passiert mit dem Faktor vor der \(e\)-Funktion, wenn du zum zweiten Mal ableitest? - Welche Regel ist hilfreich, wenn ein Produkt aus einer linearen Funktion und einer \(e\)-Funktion vorliegt? - Kannst du am Ende einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Term übersichtlicher zu machen?

1. Bestimmung der ersten Ableitung mit der Kettenregel: Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion, die innere Funktion ist \(u(x) = 5 - 2x^2\) mit \(u'(x) = -4x\). Daraus folgt \(g'(x) = -4x \cdot e^{5 - 2x^2}\). 2. Bestimmung der zweiten Ableitung mit der Produktregel (\(u \cdot v\)) und der Kettenregel: Sei \(u = -4x\) und \(v = e^{5 - 2x^2}\). Dann ist \(u' = -4\) und \(v' = -4x \cdot e^{5 - 2x^2}\). 3. Einsetzen in die Produktregel: \(g''(x) = -4 \cdot e^{5 - 2x^2} + (-4x) \cdot (-4x \cdot e^{5 - 2x^2})\). 4. Zusammenfassen durch Ausklammern von \(e^{5 - 2x^2}\): \(g''(x) = (16x^2 - 4) \cdot e^{5 - 2x^2}\).

\(g'(x) = -4x \cdot e^{5 - 2x^2}\) \(g''(x) = (16x^2 - 4) \cdot e^{5 - 2x^2}\)

- Erinnere dich an die allgemeine Ableitungsregel für Exponentialfunktionen zur Basis \(a\). - Überlege, welche Regel du anwenden musst, wenn im Exponenten mehr als nur ein einfaches \(x\) steht. - Wie gehst du mit konstanten Faktoren vor der Funktion um? - Beachte das Vorzeichen, wenn die Basis der Exponentialfunktion kleiner als 1 ist.

1. Anwendung der Ableitungsregel für Exponentialfunktionen \(a^x\) sowie der Kettenregel auf den ersten Term \(4 \cdot 3^{2x}\): Die äußere Ableitung ist \(4 \cdot \ln(3) \cdot 3^{2x}\), die innere Ableitung des Exponenten \(2x\) ist \(2\). Dies ergibt \(f'_1(x) = 8 \ln(3) \cdot 3^{2x}\). 2. Ableitung des zweiten Terms \(-0{,}5^x\): Unter Verwendung von \((a^x)' = \ln(a) \cdot a^x\) ergibt sich \(f'_2(x) = -\ln(0{,}5) \cdot 0{,}5^x\). Da \(\ln(0{,}5) = \ln(2^{-1}) = -\ln(2)\), ist dies gleich \(\ln(2) \cdot 0{,}5^x\). 3. Zusammenführung zur ersten Ableitung: \(f'(x) = 8 \ln(3) \cdot 3^{2x} + \ln(2) \cdot 0{,}5^x\). 4. Erneutes Ableiten für die zweite Ableitung: Der erste Term ergibt \(8 \ln(3) \cdot \ln(3) \cdot 3^{2x} \cdot 2 = 16 (\ln(3))^2 \cdot 3^{2x}\). Der zweite Term ergibt \(\ln(2) \cdot \ln(0{,}5) \cdot 0{,}5^x = \ln(2) \cdot (-\ln(2)) \cdot 0{,}5^x = -(\ln(2))^2 \cdot 0{,}5^x\). 5. Ergebnis für die zweite Ableitung: \(f''(x) = 16 (\ln(3))^2 \cdot 3^{2x} - (\ln(2))^2 \cdot 0{,}5^x\).

\(f'(x) = 8 \ln(3) \cdot 3^{2x} + \ln(2) \cdot 0{,}5^x\) \(f''(x) = 16 (\ln(3))^2 \cdot 3^{2x} - (\ln(2))^2 \cdot 0{,}5^x\)

- Erinnere dich an die Produktregel für die Ableitung. - Was passiert mit der Steigung einer Normalen, wenn die Tangente die Steigung -1 hat? - Setze die bekannten Werte für Punkt und Steigung in die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden ein.

1. Bestimmung des y-Werts: \(f(0) = (0 - 2) \cdot e^0 = -2 \cdot 1 = -2\). Der Punkt ist \(P(0 | -2)\). 2. Ableitung der Funktion unter Verwendung der Produktregel: \(f'(x) = 1 \cdot e^x + (x - 2) \cdot e^x = (x - 1)e^x\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_0 = 0\): \(m_t = f'(0) = (0 - 1)e^0 = -1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = -1 \cdot (x - 0) - 2 \Rightarrow y = -x - 2\). 5. Bestimmung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(y = 1 \cdot (x - 0) - 2 \Rightarrow y = x - 2\).

Tangente: \(y = -x - 2\) Normale: \(y = x - 2\)

- Nutze die Produktregel für die ersten drei Ableitungen und fasse die Terme jeweils so weit wie möglich zusammen. - Vergleiche die Klammerausdrücke der Ableitungen \(g'(x)\), \(g''(x)\) und \(g'''(x)\) miteinander. - Welcher Teil des Terms bleibt immer gleich und welcher Teil ändert sich systematisch mit der Ordnung der Ableitung? - Wie oft wurde der Wert \(2\) zum ursprünglichen Wert \(-1\) addiert, wenn du bei der 100. Ableitung bist?

1. Berechnung der ersten Ableitungen mit der Produktregel: \(g'(x) = 2 \cdot e^x + (2x - 1) \cdot e^x = (2x + 1) \cdot e^x\) \(g''(x) = 2 \cdot e^x + (2x + 1) \cdot e^x = (2x + 3) \cdot e^x\) \(g'''(x) = 2 \cdot e^x + (2x + 3) \cdot e^x = (2x + 5) \cdot e^x\) 2. Erkennen des Musters: Bei jedem Ableitungsschritt vergrößert sich der Summand in der Klammer um \(2\), während der Faktor \(2x\) und der Teil \(e^x\) gleich bleiben. 3. Aufstellen der allgemeinen Formel für die \(n\)-te Ableitung: \(g^{(n)}(x) = (2x + (2n - 1)) \cdot e^x\). 4. Einsetzen von \(n = 100\): \(g^{(100)}(x) = (2x + 2 \cdot 100 - 1) \cdot e^x = (2x + 199) \cdot e^x\).

\(g^{(100)}(x) = (2x + 199) \cdot e^x\)

- Welche Regel ist anzuwenden, wenn zwei Funktionsterme miteinander multipliziert werden? - Achte beim Ableiten der Exponentialfunktion darauf, ob eine Kettenregel für den Exponenten nötig ist. - Wie lässt sich der resultierende Term zusammenfassen, um die Weiterarbeit zu erleichtern? - Was gibt der Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle geometrisch an?

1. Zur Bestimmung von \(g'(x)\) wird die Produktregel \(u' \cdot v + u \cdot v'\) angewendet. Setze \(u(x) = 4x - 2\) und \(v(x) = e^{0{,}5x}\). 2. Die Teilableitungen lauten \(u'(x) = 4\) und \(v'(x) = 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\) (nach der Kettenregel). 3. Einsetzen in die Produktregel: \(g'(x) = 4 \cdot e^{0{,}5x} + (4x - 2) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\). 4. Vereinfachen durch Ausklammern von \(e^{0{,}5x}\): \(g'(x) = (4 + 0{,}5(4x - 2)) \cdot e^{0{,}5x} = (4 + 2x - 1) \cdot e^{0{,}5x} = (2x + 3) \cdot e^{0{,}5x}\). 5. Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) entspricht \(g'(0)\). Einsetzen ergibt \(g'(0) = (2 \cdot 0 + 3) \cdot e^{0{,}5 \cdot 0} = 3 \cdot e^0 = 3 \cdot 1 = 3\).

a) \(g'(x) = (2x + 3) \cdot e^{0{,}5x}\) b) Die Steigung beträgt \(3\).

- Behandle den Parameter \(k\) beim Ableiten wie eine ganz normale Zahl. - Wann genau hat ein Graph eine waagerechte Tangente? Was bedeutet das für den Wert der Ableitung? - Setze nach dem Ableiten den gegebenen \(x\)-Wert ein, um eine Gleichung für \(k\) zu erhalten. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion \(e^{\dots}\) niemals null wird.

1. Teilaufgabe a): Ableitung mittels Produktregel. Setze \(u(x) = kx + 2\) mit \(u'(x) = k\) und \(v(x) = e^{-2x}\) mit \(v'(x) = -2e^{-2x}\) (Kettenregel). Die Ableitung lautet \(f_k'(x) = k \cdot e^{-2x} + (kx + 2) \cdot (-2e^{-2x})\). Ausklammern von \(e^{-2x}\) ergibt \(f_k'(x) = (k - 2kx - 4) \cdot e^{-2x} = (-2kx + k - 4) \cdot e^{-2x}\). 2. Teilaufgabe b): Eine waagerechte Tangente bei \(x = 0\) bedeutet \(f_k'(0) = 0\). Einsetzen von \(x = 0\) in die Ableitung: \(f_k'(0) = (-2k \cdot 0 + k - 4) \cdot e^{0} = (k - 4) \cdot 1 = k - 4\). Die Bedingung \(k - 4 = 0\) führt auf \(k = 4\).

a) \(f_k'(x) = (-2kx + k - 4) \cdot e^{-2x}\) b) \(k = 4\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen beim Ableiten und Integrieren der trigonometrischen Funktionen. - Beachte die Kettenregel bei dem Term mit dem negativen Exponenten \(e^{-x}\). - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du \(e^{-x}\) ableitest? Und wenn du es integrierst? - Kannst du die Stammfunktion durch Ableiten kontrollieren?

1. Erste Ableitung: Ableitung von \(\sin(x)\) ist \(\cos(x)\). Die Ableitung von \(e^x\) bleibt \(2e^x\). Für \(-e^{-x}\) gilt die Kettenregel (innere Ableitung \(-1\)), woraus \(+e^{-x}\) wird. Ergebnis: \(f'(x) = 3 \cos(x) + 2 e^x + e^{-x}\). 2. Zweite Ableitung: Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\). Erneute Anwendung der Kettenregel auf \(e^{-x}\) ergibt \(-e^{-x}\). Ergebnis: \(f''(x) = -3 \sin(x) + 2 e^x - e^{-x}\). 3. Stammfunktion: Das Integral von \(\sin(x)\) ist \(-\cos(x)\). Das Integral von \(2e^x\) ist \(2e^x\). Das Integral von \(-e^{-x}\) ist \(+e^{-x}\) (wegen der inneren Ableitung \(-1\) bei der Substitution/Kettenregel-Umkehrung). Ergebnis: \(F(x) = -3 \cos(x) + 2 e^x + e^{-x}\).

\(f'(x) = 3 \cos(x) + 2 e^x + e^{-x}\) \(f''(x) = -3 \sin(x) + 2 e^x - e^{-x}\) \(F(x) = -3 \cos(x) + 2 e^x + e^{-x}\)

- Überlege dir, wie sich die Ableitung einer Potenzfunktion \(x^n\) verhält, wenn du sie genau \(n\)-mal ableitest. - Was passiert mit dem Vorzeichen bei der Funktion \(e^{-x}\), wenn du sie mehrmals ableitest? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für die allgemeine Exponentialfunktion \(a^x\). - Konstante Nenner bleiben beim Ableiten als Faktoren erhalten.

1. Für \(g(x)\): Jede Ableitung von \(5^x\) erzeugt einen Faktor \(\ln 5\). Nach \(n\) Ableitungen ergibt sich \(g^{(n)}(x) = \frac{5^x \cdot (\ln 5)^n}{(\ln 5)^n} = 5^x\). 2. Für \(h(x)\): Die \(n\)-te Ableitung von \(e^{4x}\) liefert durch die Kettenregel den Faktor \(4^n\). Die \(n\)-te Ableitung von \(x^n\) ist die Konstante \(n!\). Ergebnis: \(h^{(n)}(x) = 4^n e^{4x} + n!\). 3. Für \(k(x)\): Die \(n\)-te Ableitung von \(\frac{1}{n!} x^n\) ist \(\frac{1}{n!} \cdot n! = 1\). Bei \(e^{-x}\) wechselt mit jeder Ableitung das Vorzeichen, sodass die \(n\)-te Ableitung \((-1)^n e^{-x}\) lautet. Ergebnis: \(k^{(n)}(x) = 1 + (-1)^n e^{-x}\).

a) \(g^{(n)}(x) = 5^x\) b) \(h^{(n)}(x) = 4^n e^{4x} + n!\) c) \(k^{(n)}(x) = 1 + (-1)^n e^{-x}\)

- Nutze die Produktregel, um die Ableitungen der Funktion \(f\) zu bestimmen. Fällt dir ein Muster bei den Ableitungen auf? - Setze für die ganzrationale Funktion einen allgemeinen Ansatz \(g(x) = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0\) voraus. - Wie hängen die Ableitungen einer ganzrationalen Funktion an der Stelle \(0\) mit ihren Koeffizienten zusammen? - Berechne alle benötigten Ableitungen von \(f\) und \(g\) und vergleiche die Ergebnisse systematisch.

1. Bestimmung der Ableitungen von \(f(x) = (1 - x)e^x\) mittels Produktregel: \(f'(x) = -1 \cdot e^x + (1 - x)e^x = -xe^x\) \(f''(x) = -1 \cdot e^x - xe^x = -(1 + x)e^x\) \(f'''(x) = -1 \cdot e^x - (1 + x)e^x = -(2 + x)e^x\) \(f^{(4)}(x) = -1 \cdot e^x - (2 + x)e^x = -(3 + x)e^x\) 2. Auswertung der Ableitungen an der Stelle \(x = 0\): \(f(0) = 1\), \(f'(0) = 0\), \(f''(0) = -1\), \(f'''(0) = -2\), \(f^{(4)}(0) = -3\) 3. Bestimmung der Koeffizienten von \(g(x) = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0\): \(a_0 = g(0) = f(0) = 1\) \(a_1 = g'(0) = f'(0) = 0\) \(2a_2 = g''(0) = f''(0) = -1 \implies a_2 = -\frac{1}{2}\) \(6a_3 = g'''(0) = f'''(0) = -2 \implies a_3 = -\frac{1}{3}\) \(24a_4 = g^{(4)}(0) = f^{(4)}(0) = -3 \implies a_4 = -\frac{1}{8}\) 4. Aufstellen des Funktionsterms: \(g(x) = -\frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 1\)

\(g(x) = -\frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 1\)

- Nutze die Summenregel, um jeden Teil der Funktion einzeln abzuleiten. - Vergiss nicht, die Kettenregel anzuwenden, wenn der Exponent eine Funktion von \(x\) ist. - Was passiert mit einer additiven Konstanten beim Ableiten? - Achte beim zweiten Term genau auf die Faktoren, die durch die Kettenregel hinzukommen.

1. Ableitung des ersten Terms \(5^{x-1}\): Mit der Kettenregel (innere Ableitung von \(x-1\) ist 1) folgt \(f'_1(x) = \ln(5) \cdot 5^{x-1}\). 2. Ableitung des zweiten Terms \(2 \cdot 0{,}1^{3x}\): Mit der Kettenregel (innere Ableitung von \(3x\) ist 3) folgt \(f'_2(x) = 2 \cdot \ln(0{,}1) \cdot 0{,}1^{3x} \cdot 3 = 6 \ln(0{,}1) \cdot 0{,}1^{3x}\). 3. Ableitung der restlichen Terme: Der Term \(-\frac{2}{3}x^3\) ergibt \(-2x^2\), die Konstante 7 fällt weg. 4. Zusammenführung zur ersten Ableitung: \(f'(x) = \ln(5) \cdot 5^{x-1} + 6 \ln(0{,}1) \cdot 0{,}1^{3x} - 2x^2\). 5. Bildung der zweiten Ableitung durch erneutes Differenzieren: Der erste Term wird zu \((\ln(5))^2 \cdot 5^{x-1}\). Der zweite Term wird zu \(6 \ln(0{,}1) \cdot \ln(0{,}1) \cdot 0{,}1^{3x} \cdot 3 = 18 (\ln(0{,}1))^2 \cdot 0{,}1^{3x}\). Der letzte Term \(-2x^2\) wird zu \(-4x\). 6. Ergebnis für die zweite Ableitung: \(f''(x) = (\ln(5))^2 \cdot 5^{x-1} + 18 (\ln(0{,}1))^2 \cdot 0{,}1^{3x} - 4x\).

\(f'(x) = \ln(5) \cdot 5^{x-1} + 6 \ln(0{,}1) \cdot 0{,}1^{3x} - 2x^2\) \(f''(x) = (\ln(5))^2 \cdot 5^{x-1} + 18 (\ln(0{,}1))^2 \cdot 0{,}1^{3x} - 4x\)