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- Überlege dir, welche Grundfunktionen in der Summe vorkommen und wie deren jeweilige Ableitungsregeln lauten. - Erinnere dich daran, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) beim Ableiten und Integrieren eine besondere Eigenschaft besitzt. - Achte beim Ableiten und Integrieren der trigonometrischen Funktionen auf die Vorzeichen. - Für die Stammfunktion suchst du eine Funktion, deren Ableitung genau den ursprünglichen Funktionsterm ergibt.

1. Erste Ableitung: Anwendung der Summen- und Faktorregel sowie der Ableitungsregeln für die Exponentialfunktion, Potenzfunktionen und die Sinusfunktion ergibt \(f'(x) = 4e^x - 2x^3 + \cos(x)\). 2. Zweite Ableitung: Erneutes Ableiten von \(f'\) unter Beachtung von \(\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)\) führt auf \(f''(x) = 4e^x - 6x^2 - \sin(x)\). 3. Stammfunktion: Integration der einzelnen Summanden ergibt \(F(x) = 4e^x - \frac{1}{10}x^5 - \cos(x) + C\). Eine mögliche Stammfunktion (mit \(C=0\)) ist \(F(x) = 4e^x - \frac{1}{10}x^5 - \cos(x)\).

\(f'(x) = 4e^x - 2x^3 + \cos(x)\) \(f''(x) = 4e^x - 6x^2 - \sin(x)\) \(F(x) = 4e^x - \frac{1}{10}x^5 - \cos(x)\) (oder jede andere Funktion \(F(x) = 4e^x - \frac{1}{10}x^5 - \cos(x) + C\))

- Überlege dir zuerst, was die „innere Funktion“ im Exponenten ist. - Wie lautet die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion \( e^{u(x)} \)? - Konstante Faktoren vor der e-Funktion bleiben beim Ableiten erhalten und werden mit der inneren Ableitung multipliziert. - Brüche mit der e-Funktion im Nenner lassen sich oft leichter ableiten, wenn man sie mit einem negativen Exponenten schreibt.

1. Für \( f(x) = e^{4x - 2} \) ist die innere Funktion \( u(x) = 4x - 2 \) mit \( u'(x) = 4 \). Nach der Kettenregel gilt \( f'(x) = 4e^{4x - 2} \). 2. Bei \( g(x) = 5e^{-0{,}2x} \) lautet die innere Ableitung \( -0{,}2 \). Multiplikation mit dem Vorfaktor ergibt \( g'(x) = 5 \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2x} = -e^{-0{,}2x} \). 3. Für \( h(x) = e^{x^2 + 3} \) ist die innere Ableitung \( u'(x) = 2x \). Somit folgt \( h'(x) = 2x \cdot e^{x^2 + 3} \). 4. Die Funktion \( k(x) = \frac{1}{e^{2x}} \) wird als \( k(x) = e^{-2x} \) umgeschrieben. Mit der inneren Ableitung \( -2 \) ergibt sich \( k'(x) = -2e^{-2x} \) bzw. \( k'(x) = -\frac{2}{e^{2x}} \).

a) \( f'(x) = 4e^{4x-2} \) b) \( g'(x) = -e^{-0{,}2x} \) c) \( h'(x) = 2x e^{x^2+3} \) d) \( k'(x) = -2e^{-2x} = -\frac{2}{e^{2x}} \)

- Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten von \(e^{u(x)}\). - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn im Exponenten ein Minus vor dem \(x\) steht? - Leite die Funktion schrittweise zweimal hintereinander ab. - Konstante Summanden fallen beim Ableiten weg.

1. Ableitungsregeln (Summenregel, Faktorregel und Kettenregel für die Exponentialfunktion) nacheinander anwenden. 2. Für a): Erste Ableitung \(f'(x) = 0{,}5 \cdot 4 \cdot e^{4x-2} + 3x^2 = 2 e^{4x-2} + 3x^2\). Zweite Ableitung \(f''(x) = 2 \cdot 4 \cdot e^{4x-2} + 6x = 8 e^{4x-2} + 6x\). 3. Für b): Erste Ableitung \(g'(x) = -e^{5-x} \cdot (-1) = e^{5-x}\). Zweite Ableitung \(g''(x) = e^{5-x} \cdot (-1) = -e^{5-x}\). 4. Für c): Erste Ableitung \(h'(x) = e^x + e^{-x} \cdot (-1) = e^x - e^{-x}\). Zweite Ableitung \(h''(x) = e^x - e^{-x} \cdot (-1) = e^x + e^{-x}\).

a) \(f''(x) = 8 e^{4x-2} + 6x\) b) \(g''(x) = -e^{5-x}\) c) \(h''(x) = e^x + e^{-x}\)

- Berechne zunächst die erste, zweite und vielleicht dritte Ableitung. - Fällt dir ein Muster bei den Faktoren auf, die durch die Kettenregel entstehen? - Überlege, wie oft die innere Ableitung als Faktor vor die Funktion tritt. - Achte darauf, wie sich das Vorzeichen bei den Ableitungen verhält.

1. Berechnung der ersten Ableitungen unter Verwendung der Kettenregel: \(f'(x) = -2 \cdot e^{5-2x}\) und \(f''(x) = (-2) \cdot (-2) \cdot e^{5-2x} = (-2)^2 \cdot e^{5-2x}\). 2. Identifikation des Musters: Bei jeder weiteren Ableitung wird die Funktion erneut mit der inneren Ableitung der Exponentenfunktion, also dem Faktor \(-2\), multipliziert. 3. Verallgemeinerung für die \(n\)-te Ableitung: Nach \(n\) Ableitungen ergibt sich der Faktor \((-2)^n\), während der Exponentialterm unverändert bleibt. Das Ergebnis ist \(f^{(n)}(x) = (-2)^n \cdot e^{5-2x}\).

\(f^{(n)}(x) = (-2)^n e^{5-2x}\)

- Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden? - Was ist die Ableitung von \(3^x\)? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung (Tangente) aufzustellen? - Wie berechnest du die Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle? - Der Ursprung hat die Koordinaten \((0 \mid 0)\).

1. Zur Bestimmung der Ableitung von \(g(x) = x \cdot 3^x\) wird die Produktregel \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) mit \(u(x) = x\) und \(v(x) = 3^x\) verwendet. 2. Mit \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = \ln(3) \cdot 3^x\) ergibt sich: \(g'(x) = 1 \cdot 3^x + x \cdot \ln(3) \cdot 3^x = 3^x(1 + x \ln(3))\). 3. Für die Tangente im Ursprung \((0 \mid 0)\) wird die Steigung an der Stelle \(x = 0\) berechnet: \(g'(0) = 3^0(1 + 0 \cdot \ln(3)) = 1 \cdot 1 = 1\). 4. Da der Graph durch den Ursprung verläuft, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(n = 0\). Die Tangentengleichung lautet somit \(y = 1 \cdot x + 0\), also \(y = x\).

a) \(g'(x) = 3^x(1 + x \ln(3))\) b) \(y = x\)

- Wie lautet die allgemeine Ableitungsregel für eine Exponentialfunktion zur Basis \(a\)? - Achte darauf, welche Teile der Funktion von der Variablen abhängen und welche konstant sind. - Überlege bei Teilaufgabe c), wie du Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen kannst. - Vergiss nicht, dass beim Ableiten von \(t^2\) die Potenzregel gilt, während bei \(4^t\) die Exponentialregel angewendet werden muss.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Regel \((a^x)' = \ln(a) \cdot a^x\) angewendet. Es ergibt sich \(f'(x) = 5 \cdot \ln(1{,}2) \cdot 1{,}2^x\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = 5 \cdot (\ln(1{,}2))^2 \cdot 1{,}2^x\). 2. In b) wird die Summenregel sowie die Ableitung für Potenz- und Exponentialfunktionen genutzt. Die erste Ableitung ist \(g'(t) = 0{,}5 \cdot \ln(4) \cdot 4^t - 2t\). Erneutes Ableiten führt zu \(g''(t) = 0{,}5 \cdot (\ln(4))^2 \cdot 4^t - 2\). 3. In c) wird \(k^2 \cdot k^x\) zu \(k^{x+2}\) zusammengefasst oder als Produkt mit einer Konstanten behandelt. Da \(k\) eine Konstante ist, fällt der hintere Term \(-k\) weg. Die erste Ableitung ist \(h'(x) = k^2 \cdot \ln(k) \cdot k^x = \ln(k) \cdot k^{x+2}\). Die zweite Ableitung ergibt sich zu \(h''(x) = (\ln(k))^2 \cdot k^{x+2}\).

a) \(f'(x) = 5 \ln(1{,}2) \cdot 1{,}2^x\); \(f''(x) = 5 (\ln(1{,}2))^2 \cdot 1{,}2^x\) b) \(g'(t) = 0{,}5 \ln(4) \cdot 4^t - 2t\); \(g''(t) = 0{,}5 (\ln(4))^2 \cdot 4^t - 2\) c) \(h'(x) = \ln(k) \cdot k^{x+2}\); \(h''(x) = (\ln(k))^2 \cdot k^{x+2}\)

- Kannst du den Bruch in zwei einzelne Brüche aufteilen, um die Ableitung zu erleichtern? - Überlege, wie man Terme der Form \(\frac{1}{e^x}\) als Potenz mit negativem Exponenten schreibt. - Welche Ableitungsregeln benötigst du für die einzelnen Summanden? - Denk beim Ableiten von \(e^{-x}\) an die Kettenregel für die innere Funktion \(-x\).

1. Umschreiben des Funktionsterms durch Division der Zählerglieder durch \(e^x\): \(f(x) = e^x - 4e^{-x} + x^2\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung unter Anwendung der Summenregel und der Kettenregel für den Term \(-4e^{-x}\): \(f'(x) = e^x + 4e^{-x} + 2x\). 3. Bestimmung der zweiten Ableitung durch erneutes Ableiten der Summenglieder: \(f''(x) = e^x - 4e^{-x} + 2\).

\(f'(x) = e^x + 4e^{-x} + 2x\) \(f''(x) = e^x - 4e^{-x} + 2\)

- Überlege dir die Ableitungs- und Stammfunktionsregeln für Sinus und Kosinus. - Was ist der Unterschied zwischen der Ableitung von \(\cos(x)\) und der Stammfunktion von \(\cos(x)\)? - Welchen Wert haben \(\sin(0)\) und \(e^0\)? - Welche Funktion gibt dir Auskunft über die Steigung an einer bestimmten Stelle?

1. Erste Ableitung: Ableiten der trigonometrischen Funktion (\(\cos(x) \rightarrow -\sin(x)\)) und der Exponentialfunktion. Ergebnis: \(g'(x) = -3 \sin(x) - 4e^x\). 2. Zweite Ableitung: Erneutes Ableiten (\(-\sin(x) \rightarrow -\cos(x)\)). Ergebnis: \(g''(x) = -3 \cos(x) - 4e^x\). 3. Stammfunktion: Integration der Summanden (\(\cos(x) \rightarrow \sin(x)\) und \(e^x \rightarrow e^x\)). Eine mögliche Stammfunktion ist \(G(x) = 3 \sin(x) - 4e^x\). 4. Steigung an der Stelle \(x = 0\): Einsetzen von \(x = 0\) in die erste Ableitung \(g'(0) = -3 \sin(0) - 4e^0\). Da \(\sin(0) = 0\) und \(e^0 = 1\), folgt \(g'(0) = 0 - 4 = -4\).

a) \(g'(x) = -3 \sin(x) - 4e^x\); \(g''(x) = -3 \cos(x) - 4e^x\) b) \(G(x) = 3 \sin(x) - 4e^x\) (oder jede Funktion mit einer zusätzlichen Konstante \(C\)) c) Die Steigung beträgt \(-4\).

- Nutze für den ersten Teil die Potenzregel und die Regel für die natürliche Exponentialfunktion. - Wie lautet die allgemeine Form einer Stammfunktion für eine Summe von Funktionen? - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? Setze die Koordinaten in deine allgemeine Stammfunktion ein. - Denke daran, dass \(e^0\) einen ganz bestimmten Wert hat.

1. Ableitungen: Durch gliedweise Differentiation erhält man \(g'(x) = 4x - 3e^x\) und durch weiteres Ableiten \(g''(x) = 4 - 3e^x\). 2. Allgemeine Stammfunktion: Die Integration von \(g(x)\) liefert \(G(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3e^x + x + C\). 3. Bestimmung der Konstante \(C\): Aus der Bedingung \(G(0) = 2\) folgt \(\frac{2}{3} \cdot 0^3 - 3e^0 + 0 + C = 2\). Da \(e^0 = 1\), ergibt sich \(-3 + C = 2\), also \(C = 5\). 4. Spezielle Stammfunktion: Einsetzen von \(C\) ergibt \(G(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3e^x + x + 5\).

a) \(g'(x) = 4x - 3e^x\); \(g''(x) = 4 - 3e^x\) b) \(G(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3e^x + x + 5\)

- Bestimme zuerst den Funktionswert und den Wert der Ableitung an der gegebenen Stelle. - Setze die Werte in die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung ein. - Lasse die Eulersche Zahl \(e\) in der Tangentengleichung als Symbol stehen, um ein exaktes Ergebnis zu erhalten. - Nutze für den Winkel die Umkehrfunktion des Tangens.

1. Koordinaten des Berührpunkts bestimmen: \(f(-1) = 10e^{-1} + (-1)^2 = \frac{10}{e} + 1\). 2. Ableitungsfunktion bilden: \(f'(x) = 10e^x + 2x\). 3. Steigung \(m\) an der Stelle \(x_0 = -1\) berechnen: \(m = f'(-1) = 10e^{-1} + 2(-1) = \frac{10}{e} - 2\). 4. Tangentengleichung \(y = m(x - x_0) + y_0\) aufstellen: \(y = (\frac{10}{e} - 2)(x + 1) + \frac{10}{e} + 1 = (\frac{10}{e} - 2)x + \frac{10}{e} - 2 + \frac{10}{e} + 1 = (\frac{10}{e} - 2)x + \frac{20}{e} - 1\). 5. Numerischen Wert der Steigung für den Winkel bestimmen: \(m = \frac{10}{e} - 2 \approx 1{,}6788\). 6. Steigungswinkel berechnen: \(\alpha = \arctan(\frac{10}{e} - 2) \approx 59{,}2^\circ\).

Tangentengleichung: \(y = (\frac{10}{e} - 2)x + \frac{20}{e} - 1\) Steigungswinkel: \(\alpha \approx 59{,}2^\circ\)

- Wie findest du den y-Wert des Punktes, wenn nur der x-Wert gegeben ist? - Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, um die Steigung der Funktion zu bestimmen? - Wie hängen die Steigungen von Tangente und Normale in einem Punkt zusammen? - Kennst du die allgemeine Formel für eine Geradengleichung, in die du Punkt und Steigung einsetzen kannst?

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 0\): \(f(0) = e^{2 \cdot 0} + e^0 = 1 + 1 = 2\). Der Berührpunkt ist \(P(0 | 2)\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung mit der Kettenregel: \(f'(x) = 2e^{2x} + e^x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung \(m_t\): \(m_t = f'(0) = 2e^0 + e^0 = 2 + 1 = 3\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = 3(x - 0) + 2 \Rightarrow y = 3x + 2\). 5. Berechnung der Normalensteigung \(m_n\): \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{3}\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(y = -\frac{1}{3}(x - 0) + 2 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + 2\).

\(t: y = 3x + 2\) \(n: y = -\frac{1}{3}x + 2\)

- Erinnere dich an die Produktregel für die Ableitung. - Was passiert mit der Steigung einer Normalen, wenn die Tangente die Steigung -1 hat? - Setze die bekannten Werte für Punkt und Steigung in die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden ein.

1. Bestimmung des y-Werts: \(f(0) = (0 - 2) \cdot e^0 = -2 \cdot 1 = -2\). Der Punkt ist \(P(0 | -2)\). 2. Ableitung der Funktion unter Verwendung der Produktregel: \(f'(x) = 1 \cdot e^x + (x - 2) \cdot e^x = (x - 1)e^x\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_0 = 0\): \(m_t = f'(0) = (0 - 1)e^0 = -1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = -1 \cdot (x - 0) - 2 \Rightarrow y = -x - 2\). 5. Bestimmung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(y = 1 \cdot (x - 0) - 2 \Rightarrow y = x - 2\).

Tangente: \(y = -x - 2\) Normale: \(y = x - 2\)

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn im Exponenten ein Minuszeichen steht. - Wenn die innere Funktion eine Summe oder Differenz ist (wie \( x-1 \)), setze diese beim Ableiten in Klammern. - Potenzgesetze wie \( \frac{1}{a^n} = a^{-n} \) helfen dir, Brüche in eine Form zu bringen, die du leichter ableiten kannst.

1. Bei \( f(x) = 0{,}2e^{5 - x^2} \) ist die innere Ableitung \( -2x \). Multipliziert mit dem Faktor \( 0{,}2 \) ergibt sich \( f'(x) = 0{,}2 \cdot (-2x) \cdot e^{5 - x^2} = -0{,}4x \cdot e^{5 - x^2} \). 2. Für \( f(x) = e^{\frac{1}{2}x^2 - x} \) ist die Ableitung des Exponenten \( x - 1 \). Die Kettenregel liefert \( f'(x) = (x - 1) \cdot e^{\frac{1}{2}x^2 - x} \). 3. Die Funktion \( f(x) = -\frac{3}{e^{4x+1}} \) entspricht \( -3 \cdot e^{-(4x+1)} = -3 \cdot e^{-4x-1} \). Die innere Ableitung ist \( -4 \). Daraus folgt \( f'(x) = -3 \cdot (-4) \cdot e^{-4x-1} = 12e^{-4x-1} \) bzw. \( \frac{12}{e^{4x+1}} \). 4. Bei \( f(x) = 4e^{1 - 2x^3} \) ist die innere Ableitung \( -6x^2 \). Multiplikation mit \( 4 \) ergibt \( f'(x) = 4 \cdot (-6x^2) \cdot e^{1 - 2x^3} = -24x^2 \cdot e^{1 - 2x^3} \).

a) \( f'(x) = -0{,}4x \cdot e^{5-x^2} \) b) \( f'(x) = (x-1) \cdot e^{\frac{1}{2}x^2-x} \) c) \( f'(x) = 12e^{-4x-1} = \frac{12}{e^{4x+1}} \) d) \( f'(x) = -24x^2 \cdot e^{1-2x^3} \)

- Welche Ableitungsregel ist bei einem Produkt aus einer ganzrationalen Funktion und einer Exponentialfunktion anzuwenden? - Beachte beim Ableiten des Exponenten der \(e\)-Funktion die Kettenregel. - Es ist oft hilfreich, den Term der Exponentialfunktion am Ende auszuklammern, um die Ableitung übersichtlicher zu schreiben.

1. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\) mit \(u(x) = 4 - x^2\) und \(v(x) = e^{-0{,}5x}\). 2. Berechnung der Teilableitungen: \(u'(x) = -2x\) und unter Verwendung der Kettenregel \(v'(x) = -0{,}5 \cdot e^{-0{,}5x}\). 3. Einsetzen in die Produktregel: \(f'(x) = -2x \cdot e^{-0{,}5x} + (4 - x^2) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5x}\). 4. Ausklammern von \(e^{-0{,}5x}\) und Vereinfachen des Klammerausdrucks: \(f'(x) = (-2x - 2 + 0{,}5x^2) \cdot e^{-0{,}5x}\). 5. Endergebnis: \(f'(x) = (0{,}5x^2 - 2x - 2) \cdot e^{-0{,}5x}\).

\(f'(x) = (0{,}5x^2 - 2x - 2) \cdot e^{-0{,}5x}\)

- Betrachte die Summanden der Funktion einzeln. - Wie wirkt sich die Kettenregel aus, wenn du eine Funktion der Form \(e^{ax}\) mehrfach ableitest? - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Ableiten von \(e^{-4x}\) und wie es sich bei einer ungeraden Anzahl an Ableitungen verhält. - Kannst du ein Muster für die \(n\)-te Ableitung erkennen?

1. Anwendung der Summenregel und der Kettenregel für die \(n\)-te Ableitung von \(e^{ax}\): \((e^{ax})^{(n)} = a^n e^{ax}\). 2. Bestimmung der allgemeinen \(n\)-ten Ableitung: \(f^{(n)}(x) = 4^n e^{4x} - (-4)^n e^{-4x}\). 3. Einsetzen von \(n = 21\): Da \(21\) eine ungerade Zahl ist, gilt \((-4)^{21} = -4^{21}\). 4. Zusammenfassen des Terms: \(f^{(21)}(x) = 4^{21}e^{4x} - (-4^{21}) \cdot e^{-4x} = 4^{21}e^{4x} + 4^{21}e^{-4x}\). 5. Ausklammern des konstanten Faktors: \(f^{(21)}(x) = 4^{21}(e^{4x} + e^{-4x})\).

\(f^{(21)}(x) = 4^{21}(e^{4x} + e^{-4x})\)

- Wie kannst du die Steigung einer Funktion bestimmen, die aus einem Produkt von zwei Teilfunktionen besteht? - Beachte das Vorzeichen des Ergebnisses, um auf das Wachstum zu schließen. - Gibt es einen Teil der Ableitung, dessen Vorzeichen für alle \(x\)-Werte immer gleich bleibt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung und der Monotonie.

1. Berechnung der ersten Ableitung unter Anwendung der Produktregel: \(g'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). 2. Untersuchung für \(x = -4\): \(g'(-4) = ((-4)^2 + 2 \cdot (-4) - 3) \cdot e^{-4} = (16 - 8 - 3) \cdot e^{-4} = 5 \cdot e^{-4} \approx 0{,}092\). Da \(g'(-4) > 0\), steigt der Graph von \(g\) an dieser Stelle. 3. Untersuchung für \(x = 0\): \(g'(0) = (0^2 + 2 \cdot 0 - 3) \cdot e^0 = -3 \cdot 1 = -3\). Da \(g'(0) < 0\), fällt der Graph von \(g\) an dieser Stelle. 4. Untersuchung für \(x = 2\): \(g'(2) = (2^2 + 2 \cdot 2 - 3) \cdot e^2 = 5 \cdot e^2 \approx 36{,}95\). Da \(g'(2) > 0\), steigt der Graph von \(g\) an dieser Stelle.

An der Stelle \(x = -4\) steigt der Graph von \(g\) (\(g'(-4) > 0\)). An der Stelle \(x = 0\) fällt der Graph von \(g\) (\(g'(0) < 0\)). An der Stelle \(x = 2\) steigt der Graph von \(g\) (\(g'(2) > 0\)).

- Kannst du den Term in Teilaufgabe a) so umschreiben, dass kein Bruch mehr vorkommt? - Lassen sich Wurzeln als Potenzen schreiben, um die Rechnung in b) zu vereinfachen? - Welche Regel benötigst du, wenn im Exponenten der e-Funktion ein komplizierterer Ausdruck als nur \(x\) steht? - Behandle den Buchstaben \(k\) in Teilaufgabe c) wie eine ganz normale Zahl.

1. Für \(f(x) = e^{4x} - 3e^{-x}\) ergibt sich die Ableitung durch Anwendung der Kettenregel auf beide Summanden. Die innere Ableitung von \(e^{4x}\) ist \(4\), die von \(e^{-x}\) ist \(-1\). Es folgt: \(f'(x) = 4e^{4x} - 3 \cdot (-1) \cdot e^{-x} = 4e^{4x} + 3e^{-x}\). 2. Der Term \(f(x) = \sqrt{e^{6x}}\) lässt sich zu \(f(x) = (e^{6x})^{0{,}5} = e^{3x}\) vereinfachen. Die Ableitung mittels Kettenregel (innere Ableitung \(3\)) ergibt \(f'(x) = 3e^{3x}\). 3. Bei \(f(x) = e^{kx^2}\) ist die äußere Funktion die Exponentialfunktion und die innere Funktion \(g(x) = kx^2\). Die innere Ableitung ist \(g'(x) = 2kx\). Somit gilt \(f'(x) = 2kx \cdot e^{kx^2}\).

a) \(f'(x) = 4e^{4x} + \frac{3}{e^x}\) oder \(f'(x) = 4e^{4x} + 3e^{-x}\) b) \(f'(x) = 3e^{3x}\) c) \(f'(x) = 2kx \cdot e^{kx^2}\)

- Welche Regel ist anzuwenden, wenn zwei Funktionsterme miteinander multipliziert werden? - Achte beim Ableiten der Exponentialfunktion darauf, ob eine Kettenregel für den Exponenten nötig ist. - Wie lässt sich der resultierende Term zusammenfassen, um die Weiterarbeit zu erleichtern? - Was gibt der Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle geometrisch an?

1. Zur Bestimmung von \(g'(x)\) wird die Produktregel \(u' \cdot v + u \cdot v'\) angewendet. Setze \(u(x) = 4x - 2\) und \(v(x) = e^{0{,}5x}\). 2. Die Teilableitungen lauten \(u'(x) = 4\) und \(v'(x) = 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\) (nach der Kettenregel). 3. Einsetzen in die Produktregel: \(g'(x) = 4 \cdot e^{0{,}5x} + (4x - 2) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\). 4. Vereinfachen durch Ausklammern von \(e^{0{,}5x}\): \(g'(x) = (4 + 0{,}5(4x - 2)) \cdot e^{0{,}5x} = (4 + 2x - 1) \cdot e^{0{,}5x} = (2x + 3) \cdot e^{0{,}5x}\). 5. Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) entspricht \(g'(0)\). Einsetzen ergibt \(g'(0) = (2 \cdot 0 + 3) \cdot e^{0{,}5 \cdot 0} = 3 \cdot e^0 = 3 \cdot 1 = 3\).

a) \(g'(x) = (2x + 3) \cdot e^{0{,}5x}\) b) Die Steigung beträgt \(3\).

- Überlege dir bei jedem Summanden einzeln, welche Ableitungsregel (Potenz-, Ketten- oder Produktregel) angewendet werden muss. - Achte beim Ableiten von \(e^{g(x)}\) darauf, den gesamten Exponenten \(g(x)\) nachzudifferenzieren. - Wenn ein Produkt aus einem Term mit \(x\) und einer Exponentialfunktion vorliegt, ist die Produktregel oft der richtige Weg. - Vergiss nicht, am Ende Terme mit dem gleichen Faktor \(e^{\dots}\) auszuklammern, um das Ergebnis zu vereinfachen.

1. Teilaufgabe a): Anwendung der Kettenregel auf den Exponentialterm und der Potenzregel. Innere Ableitung von \(-0{,}5x\) ist \(-0{,}5\). Es ergibt sich \(f'(x) = 8 \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5x} + 10x^4 = -4 e^{-0{,}5x} + 10x^4\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Kettenregel auf beide Terme. Erster Term: Innere Ableitung ist \(5\), also \(\frac{1}{5} \cdot 5 \cdot e^{5x+2} = e^{5x+2}\). Zweiter Term: Innere Ableitung von \(-4x\) ist \(-4\), Ableitung von \(\sin\) ist \(\cos\). Es folgt \(-\cos(-4x) \cdot (-4) = 4 \cos(-4x)\). Gesamtergebnis: \(g'(x) = e^{5x+2} + 4 \cos(-4x)\). 3. Teilaufgabe c): Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = 3x - 4\) (\(u'(x) = 3\)) und \(v(x) = e^{x^3}\) (\(v'(x) = 3x^2 \cdot e^{x^3}\) nach Kettenregel). Zusammenfügen: \(h'(x) = 3 \cdot e^{x^3} + (3x - 4) \cdot 3x^2 \cdot e^{x^3} = (3 + 9x^3 - 12x^2) \cdot e^{x^3} = (9x^3 - 12x^2 + 3) \cdot e^{x^3}\).

a) \(f'(x) = -4 e^{-0{,}5x} + 10x^4\) b) \(g'(x) = e^{5x+2} + 4 \cos(-4x)\) c) \(h'(x) = (9x^3 - 12x^2 + 3) \cdot e^{x^3}\)

- Die Ableitung von \(e^u\) ist \(e^u \cdot u'\). - Für die Tangentengleichung benötigst du den Punkt \((x_0 \mid f(x_0))\) und die Steigung \(f'(x_0)\). - Um den Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen zu finden, kannst du die Exponenten gleichsetzen, wenn die Basis gleich ist. - Vergleiche die berechneten Ableitungswerte an der Stelle des Schnittpunktes direkt miteinander.

1. Ableitung von \(f\) mit der Kettenregel: \(f'(x) = e^{2x-4} \cdot 2 = 2e^{2x-4}\). 2. Tangente bei \(x=2\): Funktionswert \(f(2) = e^{2\cdot 2 - 4} = e^0 = 1\). Steigung \(f'(2) = 2e^0 = 2\). Tangentengleichung: \(y = 2(x - 2) + 1 = 2x - 3\). 3. Schnittpunkt berechnen: \(e^{2x-4} = e^x \Rightarrow 2x - 4 = x \Rightarrow x = 4\). Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunktes \(S\) ist \(4\). 4. Steigungsvergleich bei \(x=4\): \(g'(x) = e^x\), also \(g'(4) = e^4\). Für \(f\) gilt \(f'(4) = 2e^{2\cdot 4 - 4} = 2e^4\). 5. Vergleich: \(f'(4) = 2 \cdot g'(4)\). Das Verhältnis der Steigungen ist somit \(2:1\).

a) \(f'(x) = 2e^{2x-4}\); Tangentengleichung: \(y = 2x - 3\). b) Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunktes ist \(x = 4\). c) Im Schnittpunkt gilt \(f'(4) = 2e^4\) und \(g'(4) = e^4\). Damit ist \(f'(4) = 2 \cdot g'(4)\).

- Wie leitest du eine Summe von Funktionen ab? - Achte beim Ableiten von \(e^{-3x}\) besonders auf das Vorzeichen des inneren Faktors. - Kannst du in deinem Ergebnis für die zweite Ableitung einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Welches Muster erkennst du, wenn du die Ableitungen nacheinander betrachtest?

1. Unter Anwendung der Kettenregel für beide Summanden ergibt sich \(g'(x) = 3 \cdot e^{3x} + (-3) \cdot e^{-3x} = 3e^{3x} - 3e^{-3x}\). Die zweite Ableitung lautet \(g''(x) = 3 \cdot 3 \cdot e^{3x} - 3 \cdot (-3) \cdot e^{-3x} = 9e^{3x} + 9e^{-3x}\). 2. Durch Ausklammern von \(9\) in der zweiten Ableitung erhält man \(g''(x) = 9(e^{3x} + e^{-3x})\). Da der Klammerausdruck genau der Funktion \(g(x)\) entspricht, gilt \(g''(x) = 9g(x)\). 3. Da jede zweite Ableitung den Faktor \(3^2 = 9\) vor die Funktion setzt, wird die vierte Ableitung den Faktor \(9 \cdot 9 = 81\) besitzen. Es gilt \(g^{(4)}(x) = 81g(x) = 81e^{3x} + 81e^{-3x}\). Dies folgt aus der wiederholten Anwendung der Ableitungsregel.

1. \(g'(x) = 3e^{3x} - 3e^{-3x}\); \(g''(x) = 9e^{3x} + 9e^{-3x}\) 2. Ja, die Gleichung ist erfüllt, da \(9(e^{3x} + e^{-3x}) = 9g(x)\). 3. \(g^{(4)}(x) = 81g(x)\), da jede zweifache Ableitung eine Multiplikation mit \(9\) bewirkt.

- Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten zur Bestimmung der momentanen Änderungsrate. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(b^x = y\) nach \(b\) auflösen, wenn \(x\) bekannt ist? - Achte beim Taschenrechner auf eine ausreichende Anzahl an Nachkommastellen.

1. Berechnung der Steigung für \(b = 2\): Mit \(h = 0{,}0001\) ergibt sich \(\frac{2^{0{,}0001} - 1}{0{,}0001} \approx 0{,}6932\). 2. Berechnung der Steigung für \(b = 4\): Mit \(h = 0{,}0001\) ergibt sich \(\frac{4^{0{,}0001} - 1}{0{,}0001} \approx 1{,}3864\). 3. Umstellen der Gleichung nach \(b\): Aus \(\frac{b^h - 1}{h} = 1\) folgt \(b^h - 1 = h\), also \(b^h = 1 + h\) und schließlich \(b = (1 + h)^{\frac{1}{h}}\). 4. Numerische Berechnung der Basis: Mit \(h = 0{,}0001\) ergibt sich \(b = (1{,}0001)^{10000} \approx 2{,}7181\).

a) Für \(b = 2\) ist \(f'(0) \approx 0{,}6932\); für \(b = 4\) ist \(f'(0) \approx 1{,}3864\). b) Die gesuchte Basis ist \(b \approx 2{,}7181\).

- Wie lautet die allgemeine Ableitungsregel für Funktionen der Form \(b^x\)? - Kannst du die Basis \(4\) als Potenz der Basis \(2\) umschreiben, um den Ausdruck zu vereinfachen? - Erinnere dich an die Logarithmengesetze, insbesondere für \(\ln(b^k)\). - Wie findet man generell Extremstellen einer Funktion? - Denke daran, dass Exponentialfunktionen der Form \(b^x\) niemals Null werden.

1. Zur Ableitung von \(f(x) = 4^x - 8 \cdot 2^x\) wird die Regel für Exponentialfunktionen \((b^x)' = \ln(b) \cdot b^x\) angewendet: \(f'(x) = \ln(4) \cdot 4^x - 8 \cdot \ln(2) \cdot 2^x\). 2. Unter Verwendung von \(\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)\) lässt sich die Ableitung vereinfachen zu \(f'(x) = 2\ln(2) \cdot (2^x)^2 - 8\ln(2) \cdot 2^x = 2\ln(2) \cdot 2^x \cdot (2^x - 4)\). 3. Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist \(f'(x) = 0\). Da \(2\ln(2) \cdot 2^x \neq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(2^x - 4 = 0\) gelten, woraus \(2^x = 4\) und somit \(x = 2\) folgt. 4. Die Überprüfung der Art des Extremums (z. B. über das Vorzeichen von \(f'(x)\) oder die zweite Ableitung) bestätigt einen Tiefpunkt bei \(x = 2\). 5. Der Funktionswert an der Stelle \(x = 2\) ist \(f(2) = 4^2 - 8 \cdot 2^2 = 16 - 32 = -16\). Der Tiefpunkt liegt somit bei \(T(2 \mid -16)\).

a) \(f'(x) = \ln(4) \cdot 4^x - 8\ln(2) \cdot 2^x\) oder vereinfacht \(f'(x) = 2\ln(2) \cdot (4^x - 4 \cdot 2^x)\) b) \(T(2 \mid -16)\)

- Unterscheide genau zwischen einer Exponentialfunktion (Variable im Exponenten) und einer Potenzfunktion (Variable in der Basis). - Was passiert mit konstanten Faktoren beim Ableiten? - Beachte bei Termen wie \(3^{-x}\) die Kettenregel für den Exponenten. - Welchen Wert hat die Ableitung einer Konstanten wie \(\frac{1}{\pi}\)?

1. Für \(u(x)\) wird der konstante Faktor \(\frac{1}{\ln 3}\) vor die Ableitung gezogen. Die Ableitung von \(3^x\) ist \(\ln 3 \cdot 3^x\). Für \(3^{-x}\) wird die Kettenregel mit der inneren Ableitung \(-1\) angewendet: \((3^{-x})' = -\ln 3 \cdot 3^{-x}\). Damit folgt \(u'(x) = \frac{1}{\ln 3}(\ln 3 \cdot 3^x - \ln 3 \cdot 3^{-x}) = 3^x - 3^{-x}\). 2. Die zweite Ableitung von \(u(x)\) ergibt sich analog: \(u''(x) = \ln 3 \cdot 3^x - \ln 3 \cdot 3^{-x} \cdot (-1) = \ln 3 \cdot 3^x + \ln 3 \cdot 3^{-x} = \ln 3(3^x + 3^{-x})\). 3. Für \(v(x)\) mit \(x > 0\) ist \(\pi\) eine Konstante. Der Term \(\pi^x\) ist eine Exponentialfunktion mit Ableitung \(\ln(\pi) \cdot \pi^x\). Der Term \(x^\pi\) ist eine Potenzfunktion mit Ableitung \(\pi \cdot x^{\pi-1}\). Der konstante Term \(\frac{1}{\pi}\) fällt weg. Es folgt \(v'(x) = \ln(\pi) \cdot \pi^x - \pi \cdot x^{\pi-1}\). 4. Die zweite Ableitung von \(v(x)\) lautet \(v''(x) = (\ln(\pi))^2 \cdot \pi^x - \pi(\pi-1) \cdot x^{\pi-2}\).

a) \(u'(x) = 3^x - 3^{-x}\); \(u''(x) = \ln(3)(3^x + 3^{-x})\) b) \(v'(x) = \ln(\pi) \cdot \pi^x - \pi \cdot x^{\pi-1}\); \(v''(x) = (\ln(\pi))^2 \cdot \pi^x - \pi(\pi-1) \cdot x^{\pi-2}\) für \(x > 0\)

- Wende die Kettenregel auf die Exponentialfunktion an. Was passiert mit dem Exponenten? - Betrachte die Faktoren, die bei jedem Ableitungsschritt hinzukommen. Siehst du ein Muster? - Wie oft muss der Faktor aus der inneren Ableitung und der natürliche Logarithmus der Basis multipliziert werden? - Setze den gefundenen Term für die \(n\)-te Ableitung in die Gleichung ein und vereinfache so weit wie möglich.

1. Erste Ableitung mit Kettenregel: \(f'(x) = 4 \cdot 3^{2x} \cdot \ln 3 \cdot 2 = 4 \cdot (2 \ln 3) \cdot 3^{2x}\). 2. Zweite Ableitung: \(f''(x) = 4 \cdot (2 \ln 3) \cdot 3^{2x} \cdot \ln 3 \cdot 2 = 4 \cdot (2 \ln 3)^2 \cdot 3^{2x}\). 3. Verallgemeinerung auf die \(n\)-te Ableitung: \(f^{(n)}(x) = 4 \cdot (2 \ln 3)^n \cdot 3^{2x}\). 4. Gleichung lösen: \(4 \cdot (2 \ln 3)^n \cdot 3^{2x} = 4 \cdot (2 \ln 3)^n \cdot 81 \implies 3^{2x} = 81 \implies 3^{2x} = 3^4 \implies 2x = 4 \implies x = 2\).

a) \(f'(x) = 8 \ln 3 \cdot 3^{2x}\) und \(f''(x) = 16 (\ln 3)^2 \cdot 3^{2x}\) b) \(f^{(n)}(x) = 4 \cdot (2 \ln 3)^n \cdot 3^{2x}\) c) \(x = 2\)

- Was bedeutet es für die Koeffizienten einer ganzrationalen Funktion, wenn man sie an der Stelle \(x=0\) ableitet? - Leite die gegebene Exponentialfunktion schrittweise ab und achte auf die Kettenregel. - Stelle ein Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten auf, indem du die berechneten Ableitungswerte gleichsetzt. - Überlege dir, wie die Ableitungen von \(x^n\) an der Stelle \(0\) aussehen.

1. Berechnung der Ableitungen von \(f(x) = e^{-2x}\) bis zur dritten Ordnung: \(f'(x) = -2e^{-2x}\) \(f''(x) = 4e^{-2x}\) \(f'''(x) = -8e^{-2x}\) 2. Bestimmung der Werte an der Stelle \(x = 0\): \(f(0) = e^0 = 1\) \(f'(0) = -2e^0 = -2\) \(f''(0) = 4e^0 = 4\) \(f'''(0) = -8e^0 = -8\) 3. Aufstellen der Bedingungen für \(p(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0\) und deren Ableitungen an der Stelle \(0\): \(p(0) = a_0 = 1\) \(p'(0) = a_1 = -2\) \(p''(0) = 2a_2 = 4 \implies a_2 = 2\) \(p'''(0) = 6a_3 = -8 \implies a_3 = -\frac{4}{3}\) 4. Zusammensetzen der Funktionsgleichung: \(p(x) = -\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 - 2x + 1\)

\(p(x) = -\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 - 2x + 1\)

- Identifiziere die innere Funktion im Exponenten, um die Kettenregel anzuwenden. - Was passiert mit dem Faktor vor der \(e\)-Funktion, wenn du zum zweiten Mal ableitest? - Welche Regel ist hilfreich, wenn ein Produkt aus einer linearen Funktion und einer \(e\)-Funktion vorliegt? - Kannst du am Ende einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Term übersichtlicher zu machen?

1. Bestimmung der ersten Ableitung mit der Kettenregel: Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion, die innere Funktion ist \(u(x) = 5 - 2x^2\) mit \(u'(x) = -4x\). Daraus folgt \(g'(x) = -4x \cdot e^{5 - 2x^2}\). 2. Bestimmung der zweiten Ableitung mit der Produktregel (\(u \cdot v\)) und der Kettenregel: Sei \(u = -4x\) und \(v = e^{5 - 2x^2}\). Dann ist \(u' = -4\) und \(v' = -4x \cdot e^{5 - 2x^2}\). 3. Einsetzen in die Produktregel: \(g''(x) = -4 \cdot e^{5 - 2x^2} + (-4x) \cdot (-4x \cdot e^{5 - 2x^2})\). 4. Zusammenfassen durch Ausklammern von \(e^{5 - 2x^2}\): \(g''(x) = (16x^2 - 4) \cdot e^{5 - 2x^2}\).

\(g'(x) = -4x \cdot e^{5 - 2x^2}\) \(g''(x) = (16x^2 - 4) \cdot e^{5 - 2x^2}\)

- Erinnere dich an die allgemeine Ableitungsregel für Exponentialfunktionen zur Basis \(a\). - Überlege, welche Regel du anwenden musst, wenn im Exponenten mehr als nur ein einfaches \(x\) steht. - Wie gehst du mit konstanten Faktoren vor der Funktion um? - Beachte das Vorzeichen, wenn die Basis der Exponentialfunktion kleiner als 1 ist.

1. Anwendung der Ableitungsregel für Exponentialfunktionen \(a^x\) sowie der Kettenregel auf den ersten Term \(4 \cdot 3^{2x}\): Die äußere Ableitung ist \(4 \cdot \ln(3) \cdot 3^{2x}\), die innere Ableitung des Exponenten \(2x\) ist \(2\). Dies ergibt \(f'_1(x) = 8 \ln(3) \cdot 3^{2x}\). 2. Ableitung des zweiten Terms \(-0{,}5^x\): Unter Verwendung von \((a^x)' = \ln(a) \cdot a^x\) ergibt sich \(f'_2(x) = -\ln(0{,}5) \cdot 0{,}5^x\). Da \(\ln(0{,}5) = \ln(2^{-1}) = -\ln(2)\), ist dies gleich \(\ln(2) \cdot 0{,}5^x\). 3. Zusammenführung zur ersten Ableitung: \(f'(x) = 8 \ln(3) \cdot 3^{2x} + \ln(2) \cdot 0{,}5^x\). 4. Erneutes Ableiten für die zweite Ableitung: Der erste Term ergibt \(8 \ln(3) \cdot \ln(3) \cdot 3^{2x} \cdot 2 = 16 (\ln(3))^2 \cdot 3^{2x}\). Der zweite Term ergibt \(\ln(2) \cdot \ln(0{,}5) \cdot 0{,}5^x = \ln(2) \cdot (-\ln(2)) \cdot 0{,}5^x = -(\ln(2))^2 \cdot 0{,}5^x\). 5. Ergebnis für die zweite Ableitung: \(f''(x) = 16 (\ln(3))^2 \cdot 3^{2x} - (\ln(2))^2 \cdot 0{,}5^x\).

\(f'(x) = 8 \ln(3) \cdot 3^{2x} + \ln(2) \cdot 0{,}5^x\) \(f''(x) = 16 (\ln(3))^2 \cdot 3^{2x} - (\ln(2))^2 \cdot 0{,}5^x\)

- Wie hängen die Steigung einer Tangente an einer Stelle und die Ableitung der Funktion an dieser Stelle zusammen? - Welche Ableitungsregeln benötigst du, um die Ableitungsfunktion einer Funktion zu bestimmen, die ein Produkt enthält? - Mit welcher trigonometrischen Funktion kannst du den Steigungswinkel einer Geraden berechnen, wenn du ihre Steigung kennst? - Wie hilft dir das Vorzeichen der ersten Ableitung dabei, das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen? - An welchen Stellen kann ein Graph einen Hochpunkt besitzen, und wie verhält sich die Steigung kurz vor und kurz nach diesem Punkt?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: Unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel ergibt sich für \(f(x) = (x + 1) \cdot e^{-0{,}5x}\): \(f'(x) = e^{-0{,}5x} + (x + 1) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5x} = (0{,}5 - 0{,}5x) \cdot e^{-0{,}5x}\). 2. Gleichung der Tangente \(t\) im Punkt \(P(0 \mid 1)\) aufstellen: Die Steigung \(m\) der Tangente entspricht dem Wert der Ableitung an der Stelle \(x = 0\): \(m = f'(0) = (0{,}5 - 0) \cdot e^0 = 0{,}5\). Mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(c = 1\) (da \(P(0 \mid 1)\) auf der \(y\)-Achse liegt) lautet die Gleichung der Tangente: \(t(x) = 0{,}5x + 1\). 3. Schnittwinkel \(\alpha\) mit der \(x\)-Achse berechnen: Für den Steigungswinkel \(\alpha\) gilt: \(\tan(\alpha) = m = 0{,}5\). Daraus ergibt sich \(\alpha = \arctan(0{,}5) \approx 26{,}6^\circ\). 4. Hochpunkt und Monotonieverhalten bestimmen: Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist \(f'(x) = 0\). \((0{,}5 - 0{,}5x) \cdot e^{-0{,}5x} = 0\). Da \(e^{-0{,}5x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), folgt: \(0{,}5 - 0{,}5x = 0 \implies x = 1\). Da \(f'(x) > 0\) für \(x < 1\), ist die Funktion \(f\) im Intervall \(]-\infty; 1]\) streng monoton steigend. Da \(f'(x) < 0\) für \(x > 1\), ist die Funktion \(f\) im Intervall \([1; +\infty[\) streng monoton fallend. Bei \(x = 1\) liegt somit die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts vor.

a) \(t(x) = 0{,}5x + 1\) b) \(\alpha \approx 26{,}6^\circ\) c) Die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts ist \(x = 1\). Die Funktion \(f\) ist für \(x \le 1\) streng monoton steigend und für \(x \ge 1\) streng monoton fallend.

- Welche Werte kann ein Quadrat und welche Werte kann die Exponentialfunktion \(e^x\) annehmen? - Nutze die Produktregel, um die erste Ableitung der Funktion zu bilden. - Klammere in der Ableitung den Term \(e^x\) aus, um die Nullstellen leichter zu finden. - Erinnere dich: Eine Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\), wenn \(F'(x) = f(x)\) gilt.

1. Begründung des Minimums: Da für alle \(x \in \mathbb{R}\) die Terme \((x - 2)^2 \ge 0\) und \(e^x > 0\) sind, gilt \(f(x) \ge 0\). Da \(f(2) = 0\) ist, nimmt die Funktion dort ihren kleinstmöglichen Wert an. 2. Berechnung des Hochpunkts: Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: \(f'(x) = 2(x - 2) \cdot e^x + (x - 2)^2 \cdot e^x = e^x \cdot (x - 2) \cdot [2 + (x - 2)] = e^x \cdot (x - 2) \cdot x\). Nullstellen der Ableitung: \(x_1 = 2\) (Minimum) und \(x_2 = 0\). Funktionswert bei \(x_2 = 0\): \(f(0) = (0 - 2)^2 \cdot e^0 = 4\). Der Hochpunkt liegt bei \(H(0 \mid 4)\). 3. Nachweis der Stammfunktion: Ableiten von \(F(x) = (x^2 - 6x + 10) \cdot e^x\) mit der Produktregel: \(F'(x) = (2x - 6) \cdot e^x + (x^2 - 6x + 10) \cdot e^x = e^x \cdot (x^2 - 4x + 4) = e^x \cdot (x - 2)^2 = f(x)\).

a) Da \(f(x) \ge 0\) für alle \(x\) gilt und \(f(2) = 0\) ist, ist dies der kleinste Wert der Funktion, also ein Minimum. b) Der lokale Hochpunkt liegt bei \(H(0 \mid 4)\). c) Die Ableitung von \(F(x)\) ergibt nach der Produktregel \(F'(x) = (x^2 - 4x + 4)e^x = (x - 2)^2 e^x = f(x)\).

- Nutze die Produktregel \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) für die Berechnung der Ableitungen. - Wo hat der Graph der Funktion \(f\) eine waagerechte Tangente? Was sagt das über den Wert von \(f'\) an dieser Stelle aus? - Berechne den Funktionswert der Ableitung an der Stelle \(x = 0\), um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu finden. - Wie verhält sich die Steigung von \(f\), wenn der Graph nach dem Hochpunkt immer flacher wird?

1. Erste Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: \(u(x) = 5x, v(x) = e^{-0{,}5x} \Rightarrow u'(x) = 5, v'(x) = -0{,}5 e^{-0{,}5x}\). \(f'(x) = 5 \cdot e^{-0{,}5x} + 5x \cdot (-0{,}5 e^{-0{,}5x}) = (5 - 2{,}5x) \cdot e^{-0{,}5x}\). 2. Zweite Ableitung: \(u(x) = 5 - 2{,}5x, v(x) = e^{-0{,}5x} \Rightarrow u'(x) = -2{,}5, v'(x) = -0{,}5 e^{-0{,}5x}\). \(f''(x) = -2{,}5 \cdot e^{-0{,}5x} + (5 - 2{,}5x) \cdot (-0{,}5 e^{-0{,}5x}) = (1{,}25x - 5) \cdot e^{-0{,}5x}\). 3. Charakteristische Punkte für \(f'\): Nullstelle bei \(5 - 2{,}5x = 0 \Rightarrow x = 2\). Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(f'(0) = (5 - 0) \cdot e^0 = 5\). 4. Zusammenhang: Am Hochpunkt von \(G_f\) (bei \(x = 2\)) ist die Tangente waagerecht, also ist die Steigung Null. Daher hat die Ableitungsfunktion \(f'\) an dieser Stelle eine Nullstelle.

a) \(f'(x) = (5 - 2{,}5x) \cdot e^{-0{,}5x}\) und \(f''(x) = (1{,}25x - 5) \cdot e^{-0{,}5x}\). b) Der Graph von \(f'\) schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 \mid 5)\), schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 2\) und nähert sich für große \(x\) von unten der \(x\)-Achse an. c) Da \(f\) bei \(x = 2\) einen Hochpunkt besitzt, ist dort die Steigung null. Folglich hat die Ableitungsfunktion \(f'\) an dieser Stelle eine Nullstelle.

- Nutze die Produktregel für die ersten drei Ableitungen und fasse die Terme jeweils so weit wie möglich zusammen. - Vergleiche die Klammerausdrücke der Ableitungen \(g'(x)\), \(g''(x)\) und \(g'''(x)\) miteinander. - Welcher Teil des Terms bleibt immer gleich und welcher Teil ändert sich systematisch mit der Ordnung der Ableitung? - Wie oft wurde der Wert \(2\) zum ursprünglichen Wert \(-1\) addiert, wenn du bei der 100. Ableitung bist?

1. Berechnung der ersten Ableitungen mit der Produktregel: \(g'(x) = 2 \cdot e^x + (2x - 1) \cdot e^x = (2x + 1) \cdot e^x\) \(g''(x) = 2 \cdot e^x + (2x + 1) \cdot e^x = (2x + 3) \cdot e^x\) \(g'''(x) = 2 \cdot e^x + (2x + 3) \cdot e^x = (2x + 5) \cdot e^x\) 2. Erkennen des Musters: Bei jedem Ableitungsschritt vergrößert sich der Summand in der Klammer um \(2\), während der Faktor \(2x\) und der Teil \(e^x\) gleich bleiben. 3. Aufstellen der allgemeinen Formel für die \(n\)-te Ableitung: \(g^{(n)}(x) = (2x + (2n - 1)) \cdot e^x\). 4. Einsetzen von \(n = 100\): \(g^{(100)}(x) = (2x + 2 \cdot 100 - 1) \cdot e^x = (2x + 199) \cdot e^x\).

\(g^{(100)}(x) = (2x + 199) \cdot e^x\)

- Überlege dir, wie sich die Ableitung einer Potenzfunktion \(x^n\) verhält, wenn du sie genau \(n\)-mal ableitest. - Was passiert mit dem Vorzeichen bei der Funktion \(e^{-x}\), wenn du sie mehrmals ableitest? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für die allgemeine Exponentialfunktion \(a^x\). - Konstante Nenner bleiben beim Ableiten als Faktoren erhalten.

1. Für \(g(x)\): Jede Ableitung von \(5^x\) erzeugt einen Faktor \(\ln 5\). Nach \(n\) Ableitungen ergibt sich \(g^{(n)}(x) = \frac{5^x \cdot (\ln 5)^n}{(\ln 5)^n} = 5^x\). 2. Für \(h(x)\): Die \(n\)-te Ableitung von \(e^{4x}\) liefert durch die Kettenregel den Faktor \(4^n\). Die \(n\)-te Ableitung von \(x^n\) ist die Konstante \(n!\). Ergebnis: \(h^{(n)}(x) = 4^n e^{4x} + n!\). 3. Für \(k(x)\): Die \(n\)-te Ableitung von \(\frac{1}{n!} x^n\) ist \(\frac{1}{n!} \cdot n! = 1\). Bei \(e^{-x}\) wechselt mit jeder Ableitung das Vorzeichen, sodass die \(n\)-te Ableitung \((-1)^n e^{-x}\) lautet. Ergebnis: \(k^{(n)}(x) = 1 + (-1)^n e^{-x}\).

a) \(g^{(n)}(x) = 5^x\) b) \(h^{(n)}(x) = 4^n e^{4x} + n!\) c) \(k^{(n)}(x) = 1 + (-1)^n e^{-x}\)

- Nutze die Summenregel, um jeden Teil der Funktion einzeln abzuleiten. - Vergiss nicht, die Kettenregel anzuwenden, wenn der Exponent eine Funktion von \(x\) ist. - Was passiert mit einer additiven Konstanten beim Ableiten? - Achte beim zweiten Term genau auf die Faktoren, die durch die Kettenregel hinzukommen.

1. Ableitung des ersten Terms \(5^{x-1}\): Mit der Kettenregel (innere Ableitung von \(x-1\) ist 1) folgt \(f'_1(x) = \ln(5) \cdot 5^{x-1}\). 2. Ableitung des zweiten Terms \(2 \cdot 0{,}1^{3x}\): Mit der Kettenregel (innere Ableitung von \(3x\) ist 3) folgt \(f'_2(x) = 2 \cdot \ln(0{,}1) \cdot 0{,}1^{3x} \cdot 3 = 6 \ln(0{,}1) \cdot 0{,}1^{3x}\). 3. Ableitung der restlichen Terme: Der Term \(-\frac{2}{3}x^3\) ergibt \(-2x^2\), die Konstante 7 fällt weg. 4. Zusammenführung zur ersten Ableitung: \(f'(x) = \ln(5) \cdot 5^{x-1} + 6 \ln(0{,}1) \cdot 0{,}1^{3x} - 2x^2\). 5. Bildung der zweiten Ableitung durch erneutes Differenzieren: Der erste Term wird zu \((\ln(5))^2 \cdot 5^{x-1}\). Der zweite Term wird zu \(6 \ln(0{,}1) \cdot \ln(0{,}1) \cdot 0{,}1^{3x} \cdot 3 = 18 (\ln(0{,}1))^2 \cdot 0{,}1^{3x}\). Der letzte Term \(-2x^2\) wird zu \(-4x\). 6. Ergebnis für die zweite Ableitung: \(f''(x) = (\ln(5))^2 \cdot 5^{x-1} + 18 (\ln(0{,}1))^2 \cdot 0{,}1^{3x} - 4x\).

\(f'(x) = \ln(5) \cdot 5^{x-1} + 6 \ln(0{,}1) \cdot 0{,}1^{3x} - 2x^2\) \(f''(x) = (\ln(5))^2 \cdot 5^{x-1} + 18 (\ln(0{,}1))^2 \cdot 0{,}1^{3x} - 4x\)

- Wo schneidet die Funktion die \(x\)-Achse? Setze den Term gleich Null. - Was passiert mit dem Wert von \(e^x\), wenn \(x\) sehr klein (stark negativ) wird? - Erinnere dich an die Produktregel für die Ableitung von Funktionen der Form \(u(x) \cdot v(x)\). - Ein Tiefpunkt liegt dort, wo die Steigung Null ist und die Kurve eine Linkskrümmung hat.

a) Der rote Graph gehört zu \(p(x) = (x - 1) \cdot e^x\). Begründung: Die Nullstelle von \(p\) liegt bei \(x - 1 = 0\), also \(x = 1\). Der rote Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(1\), der blaue bei \(-1\). Zudem gilt für \(x \to -\infty\), dass \(e^x \to 0\) schneller als \((x-1) \to -\infty\), weshalb \(p(x) \to 0\) gilt. Der rote Graph nähert sich von unten der \(x\)-Achse an. b) Berechnung des Tiefpunkts: 1. Ableitung mit der Produktregel: \(p'(x) = 1 \cdot e^x + (x - 1) \cdot e^x = x \cdot e^x\). 2. Notwendige Bedingung \(p'(x) = 0\): \(x \cdot e^x = 0\). Da \(e^x > 0\), folgt \(x = 0\). 3. Art der Extremstelle: \(p''(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (x + 1) \cdot e^x\). \(p''(0) = (0 + 1) \cdot e^0 = 1 > 0\), also liegt ein Tiefpunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate: \(p(0) = (0 - 1) \cdot e^0 = -1\). Der Tiefpunkt liegt bei \(T(0 \mid -1)\).

a) Der rote Graph stellt die Funktion \(p\) dar. Die Nullstelle liegt bei \(x = 1\), was nur auf den roten Graphen zutrifft. Zudem nähert sich der Graph für \(x \to -\infty\) der \(x\)-Achse an. b) Der Tiefpunkt des Graphen von \(p\) liegt bei \(T(0 \mid -1)\).