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- Welche Rechenregeln für Ableitungen (Summenregel, Faktorregel) sind hier jeweils hilfreich? - Erinnere dich an die Grundableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion. - Überprüfe, ob bestimmte Ausdrücke wie \(\sin(\pi)\) oder \(\cos(\pi)\) einfach nur konstante Zahlen sind. - Wie gehst du mit einem konstanten Nenner um? Hilft es, den Bruch als Faktor zu schreiben?

1. Anwendung der Faktor- und Summenregel sowie der Ableitungen \((\sin(x))' = \cos(x)\) und \((\cos(x))' = -\sin(x)\). 2. Teilaufgabe a): \(f'(x) = \frac{1}{4}(3\cos(x) - (-\sin(x))) = \frac{3\cos(x) + \sin(x)}{4}\). 3. Teilaufgabe b): Ableiten des quadratischen Terms \(5x^2\) zu \(10x\) und des trigonometrischen Terms unter Beachtung des konstanten Faktors \(3\pi\) ergibt \(f'(x) = 10x + 3\pi \cos(x)\). 4. Teilaufgabe c): Ableiten innerhalb der Klammer ergibt \(3x^2 + \sin(x)\); Multiplikation mit dem Faktor 2 führt zu \(f'(x) = 6x^2 + 2\sin(x)\). 5. Teilaufgabe d): Da \(\sin(\pi) = 0\), vereinfacht sich die Funktion zu \(f(x) = -\cos(x)\). Die Ableitung ist somit \(f'(x) = -(-\sin(x)) = \sin(x)\).

a) \(f'(x) = \frac{3\cos(x) + \sin(x)}{4}\) b) \(f'(x) = 10x + 3\pi \cos(x)\) c) \(f'(x) = 6x^2 + 2\sin(x)\) d) \(f'(x) = \sin(x)\)

- Berechne zunächst die ersten Ableitungen nacheinander und achte darauf, wann du wieder beim Ausgangsterm landest. - Überlege dir, wie oft sich dieser Block aus Ableitungen wiederholt, wenn du immer weiter differenzierst. - Bei einer sehr hohen Anzahl an Ableitungen hilft es, die Zahl durch die Länge eines vollständigen Zyklus zu teilen und den Rest zu betrachten.

1. Durch schrittweises Differenzieren ergeben sich die Ableitungen: \(f'(x) = \cos(x)\) \(f''(x) = -\sin(x)\) \(f'''(x) = -\cos(x)\) \(f^{(4)}(x) = \sin(x)\) 2. Da die vierte Ableitung \(f^{(4)}(x) = \sin(x)\) wieder der Ausgangsfunktion \(f(x)\) entspricht, wiederholen sich alle weiteren Ableitungen in derselben Reihenfolge. Die Zykluslänge beträgt 4. 3. Zur Bestimmung der 102. Ableitung wird die Division mit Rest durch die Zykluslänge 4 durchgeführt: \(102 = 25 \cdot 4 + 2\). Der Rest 2 besagt, dass die 102. Ableitung mit der 2. Ableitung identisch ist. Es gilt somit \(f^{(102)}(x) = f''(x) = -\sin(x)\).

1. \(f'(x) = \cos(x)\), \(f''(x) = -\sin(x)\), \(f'''(x) = -\cos(x)\), \(f^{(4)}(x) = \sin(x)\) 2. Zykluslänge 4, da \(f^{(4)}(x) = f(x)\). 3. \(f^{(102)}(x) = -\sin(x)\)

- Überlege dir, wie sich die Vorzeichen beim Ableiten von Sinus und Kosinus verändern. - Welche Regel wendest du auf die ganzrationalen Anteile (wie \(2x^3\)) an? - Vergleiche deine berechneten Terme Schritt für Schritt mit der gegebenen Auswahl.

1. Berechnung der Ableitung von \(f(x) = 2x^3 - \sin(x)\): Unter Verwendung der Potenzregel und der Ableitung des Sinus ergibt sich \(f'(x) = 6x^2 - \cos(x)\). Dies entspricht der Funktion \(C(x)\). 2. Berechnung der Ableitung von \(g(x) = 6x^2 - \cos(x)\): Mit der Potenzregel und der Ableitung des Kosinus (\((-\cos(x))' = \sin(x)\)) folgt \(g'(x) = 12x + \sin(x)\). Dies entspricht der Funktion \(A(x)\). 3. Berechnung der Ableitung von \(h(x) = 12x + \sin(x)\): Die Ableitung von \(12x\) ist \(12\) und die von \(\sin(x)\) ist \(\cos(x)\), also \(h'(x) = 12 + \cos(x)\). Dies entspricht der Funktion \(B(x)\).

\(f \to C\), \(g \to A\), \(h \to B\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Beziehung besteht zwischen der Steigung der Tangente und der Steigung der Normalen im selben Punkt? - Vergiss nicht, zuerst die Ableitung der Funktion zu bilden, um die Steigung zu bestimmen. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die Funktion ein, um die \(y\)-Koordinate des Punktes zu erhalten.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = \pi\): \(f(\pi) = 2 \cdot \cos(\pi) + \pi = 2 \cdot (-1) + \pi = \pi - 2\). Der Berührpunkt ist \(P(\pi \mid \pi - 2)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = -2\sin(x) + 1\). 3. Berechnung der Tangentensteigung \(m_t\): \(m_t = f'(\pi) = -2 \cdot \sin(\pi) + 1 = -2 \cdot 0 + 1 = 1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit \(y = m_t(x - x_0) + y_0\): \(y = 1 \cdot (x - \pi) + \pi - 2 = x - 2\). 5. Berechnung der Normalensteigung \(m_n\): \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -1\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(y = -1 \cdot (x - \pi) + \pi - 2 = -x + 2\pi - 2\).

Tangente \(t: y = x - 2\) Normale \(n: y = -x + 2\pi - 2\)

- Welche Regel benötigst du, um ein Produkt aus zwei Teilfunktionen abzuleiten? - Was muss für die Steigung (also die Ableitung) an einer Stelle mit waagerechter Tangente gelten? - Ein Produkt wird null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. - Überprüfe, welche Lösungen der Gleichung im vorgegebenen Intervall liegen.

1. Anwendung der Produktregel auf den Term \(x \cdot \sin(x)\): \((x \cdot \sin(x))' = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x)\). 2. Ableitung des zweiten Terms: \((\cos(x))' = -\sin(x)\). 3. Zusammenfassen der Teilableitungen: \(f'(x) = \sin(x) + x \cdot \cos(x) - \sin(x) = x \cdot \cos(x)\). 4. Bedingung für eine waagerechte Tangente: \(f'(x) = 0\). 5. Lösen der Gleichung \(x \cdot \cos(x) = 0\) im Intervall \([0; 2\pi]\): - Faktor \(x = 0\). - Faktor \(\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}\) oder \(x = \frac{3\pi}{2}\). 6. Die gesuchten Stellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) und \(x_3 = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\).

Die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = x \cdot \cos(x)\). Die Stellen mit waagerechter Tangente im Intervall \([0; 2\pi]\) sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_3 = \frac{3\pi}{2}\).

- Was sagt die erste Ableitung einer Funktion über ihren Graphen aus? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? - Welche Werte nimmt die Kosinusfunktion an markanten Stellen im Einheitskreis an? - Denke daran, dass trigonometrische Gleichungen oft mehr als eine Lösung in einem vollen Umlauf haben.

1. Zuerst wird die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) bestimmt: \(f'(x) = 3\cos(x)\). Der Steigung der Tangente entspricht dem Wert der Ableitung an der Stelle \(x = \frac{\pi}{3}\). Es gilt \(f'(\frac{\pi}{3}) = 3\cos(\frac{\pi}{3}) = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\). 2. Damit die Tangente parallel zur Geraden \(y = 1{,}5x - 4\) ist, muss ihr Steigung gleich dem Steigung der Geraden sein, also \(f'(x) = 1{,}5\). Dies führt zur Gleichung \(3\cos(x) = 1{,}5\), woraus \(\cos(x) = 0{,}5\) folgt. Im Intervall \([0; 2\pi]\) sind die Lösungen \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{3}\).

1. Der Steigung der Tangente beträgt \(1{,}5\). 2. Die gesuchten Stellen im Intervall \([0; 2\pi]\) sind \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{3}\).

- Wie hängen die Steigung eines Graphen und die Ableitungsfunktion zusammen? - Welche Ableitungsregeln benötigst du für eine Differenz von Funktionen mit Vorfaktoren? - Erinnere dich an die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion für die Winkel \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\).

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion unter Verwendung der Summen- und Faktorregel sowie der Ableitungen von Sinus und Kosinus: \(f'(x) = 3\cos(x) - 2(-\sin(x)) = 3\cos(x) + 2\sin(x)\). 2. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_1 = 0\): \(f'(0) = 3 \cdot \cos(0) + 2 \cdot \sin(0) = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 3\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_2 = \frac{\pi}{2}\): \(f'(\frac{\pi}{2}) = 3 \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) + 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2\).

Die Steigung an der Stelle \(x_1 = 0\) beträgt \(3\). Die Steigung an der Stelle \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) beträgt \(2\).

- Überlege, wie sich ein konstanter Faktor beim Ableiten verhält. - Erstelle eine Liste der ersten Ableitungen der Kosinusfunktion, bis sich das Muster wiederholt. - Bestimme, welchem „Schritt“ im Muster die 51. Ableitung entspricht (Stichwort: Division mit Rest). - Welchen Wert nimmt die Sinusfunktion an der Stelle \(\pi\) an?

1. Bestimmung des Ableitungszyklus für \(\cos(x)\): Die Ableitungen lauten \(-\sin(x)\), \(-\cos(x)\), \(\sin(x)\) und schließlich wieder \(\cos(x)\). 2. Anwendung der Faktorregel: Der konstante Faktor 5 bleibt bei jedem Ableitungsschritt als Multiplikator erhalten. 3. Anwendung der Periodizität: Da \(51 = 12 \cdot 4 + 3\), entspricht die 51. Ableitung funktional der 3. Ableitung im Zyklus. Es gilt somit \(g^{(51)}(x) = 5\sin(x)\). 4. Berechnung des Funktionswerts durch Einsetzen von \(x = \pi\): \(g^{(51)}(\pi) = 5 \cdot \sin(\pi) = 5 \cdot 0 = 0\).

a) \(g^{(51)}(x) = 5\sin(x)\) b) \(g^{(51)}(\pi) = 0\)

- Wie lauten die Ableitungen der Grundfunktionen Sinus und Kosinus? - Was passiert mit einem konstanten Faktor beim Ableiten? - Achte bei b) besonders auf das Produkt der beiden Minuszeichen.

1. Für a): Die Ableitung von \(\sin(x)\) ist \(\cos(x)\). Mit dem Faktor 12 ergibt sich \(f'(x) = 12\cos(x)\). 2. Für b): Die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\). Multiplikation mit dem Faktor \(-\frac{3}{4}\) ergibt \(f'(x) = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot (-\sin(x)) = \frac{3}{4}\sin(x)\).

a) \(f'(x) = 12\cos(x)\) b) \(f'(x) = \frac{3}{4}\sin(x)\)

- Kannst du die Brüche und Wurzeln als Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten umschreiben? - Was passiert mit einem konstanten Summanden ohne \(x\) beim Ableiten? - Erinnere dich an die Ableitungen der trigonometrischen Grundfunktionen. - Wie gehst du vor, wenn mehrere Terme durch Plus oder Minus verbunden sind?

1. Anwendung der Potenzregel (\(x^n \to nx^{n-1}\)) sowie der Summen- und Faktorregel auf Teil a): Die Terme werden einzeln abgeleitet, wobei \(\frac{6}{x} = 6x^{-1}\) zu \(-6x^{-2}\) wird und \(-3\sin(x)\) zu \(-3\cos(x)\). Ergebnis: \(f'(x) = -\frac{6}{x^2} + 20x^4 - 3\cos(x)\). 2. Ableitung von Teil b): Der Wurzelterm \(10\sqrt{x} = 10x^{\frac{1}{2}}\) ergibt abgeleitet \(5x^{-\frac{1}{2}} = \frac{5}{\sqrt{x}}\). Der Kosinusterm \(-\frac{1}{2}\cos(x)\) wird zu \(\frac{1}{2}\sin(x)\). Die Konstante \(12\) fällt weg. Ergebnis: \(f'(x) = \frac{5}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2}\sin(x)\). 3. Ableitung von Teil c): Der Parameter \(k\) bleibt als Faktor erhalten, \(\sin(x)\) wird zu \(\cos(x)\). Der Term \(\frac{2}{x} = 2x^{-1}\) wird zu \(-2x^{-2}\). Ergebnis: \(f'(x) = k\cos(x) - \frac{2}{x^2}\). Die Ableitungen in a) und c) sind für \(x \ne 0\) definiert; in b) gilt wegen des Wurzelterms im Nenner \(x>0\).

a) \(f'(x) = -\frac{6}{x^2} + 20x^4 - 3\cos(x)\) für \(x \ne 0\) b) \(f'(x) = \frac{5}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2}\sin(x)\) für \(x>0\) c) \(f'(x) = k\cos(x) - \frac{2}{x^2}\) für \(x \ne 0\)

- Welche Ableitungsregeln kannst du auf die einzelnen Summanden anwenden? - Erinnere dich an die Ableitungen der trigonometrischen Grundfunktionen. - Welchen Wert hat die Sinusfunktion bei \(\pi\)? - Achte darauf, den Term so weit wie möglich zu vereinfachen, aber ein exaktes Ergebnis beizubehalten.

1. Anwendung der Summen- und Faktorregel auf die einzelnen Terme der Funktion: \(\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x\), \(\frac{d}{dx}(-4\cos(x)) = 4\sin(x)\) und \(\frac{d}{dx}(\frac{2}{\pi}x) = \frac{2}{\pi}\). 2. Bildung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 4x + 4\sin(x) + \frac{2}{\pi}\). 3. Einsetzen von \(x = \pi\): \(f'(\pi) = 4\pi + 4\sin(\pi) + \frac{2}{\pi}\). 4. Nutzung der trigonometrischen Werte: Da \(\sin(\pi) = 0\), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(f'(\pi) = 4\pi + 4 \cdot 0 + \frac{2}{\pi}\). 5. Ergebnis: \(f'(\pi) = 4\pi + \frac{2}{\pi}\).

\(f'(x) = 4x + 4\sin(x) + \frac{2}{\pi}\); \(f'(\pi) = 4\pi + \frac{2}{\pi}\)

- Wie verändern sich Sinus und Kosinus beim Ableiten? - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Ableiten der Kosinusfunktion. - Überlege dir die Werte von Sinus und Kosinus im Einheitskreis für den Winkel \(\frac{\pi}{2}\). - Kannst du den letzten Summanden nach dem Einsetzen von \(x\) kürzen?

1. Ableiten der einzelnen Summanden unter Beachtung der Vorzeichen: \(\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}\sin(x)) = \frac{1}{2}\cos(x)\), \(\frac{d}{dx}(-2\cos(x)) = 2\sin(x)\) und \(\frac{d}{dx}(\frac{1}{\pi}x^2) = \frac{2}{\pi}x\). 2. Aufstellen der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = \frac{1}{2}\cos(x) + 2\sin(x) + \frac{2}{\pi}x\). 3. Einsetzen des Wertes \(x = \frac{\pi}{2}\): \(f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2}\). 4. Auswerten der Terme: Mit \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\), \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) und \(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1\) ergibt sich: \(f'(\frac{\pi}{2}) = 0 + 2 \cdot 1 + 1\). 5. Endergebnis: \(f'(\frac{\pi}{2}) = 3\).

\(f'(x) = \frac{1}{2}\cos(x) + 2\sin(x) + \frac{2}{\pi}x\); \(f'(\frac{\pi}{2}) = 3\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du die Kosinusfunktion ableitest. - Konstante Zahlen, die ohne Variable im Term stehen (Summanden), fallen beim Ableiten weg. - Konstante Zahlen, die als Faktor vor einer Funktion stehen, bleiben erhalten. - Kannst du den Wert von \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\) bestimmen, bevor du mit dem Ableiten beginnst?

1. Teilaufgabe a): Ableitung der Potenzfunktion \(\frac{1}{4}x^4\) ergibt \(x^3\). Der Term \(-\sqrt{2}\cos(x)\) wird zu \(+\sqrt{2}\sin(x)\) abgeleitet. Ergebnis: \(f'(x) = x^3 + \sqrt{2}\sin(x)\). 2. Teilaufgabe b): Ableitung des Klammerinhalts ergibt \(\cos(x) - 4\). Durch Multiplikation mit dem Faktor 3 erhält man \(f'(x) = 3\cos(x) - 12\). 3. Teilaufgabe c): Der Term lässt sich als \(\frac{1}{3}\sin(x) + 4\) schreiben. Die Ableitung der Konstanten 4 fällt weg, sodass \(f'(x) = \frac{1}{3}\cos(x)\) resultiert. 4. Teilaufgabe d): Der Wert \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\) ist die Konstante \(0{,}5\). Die Ableitung von \(0{,}5x^2\) ist \(x\). Zusammen mit der Ableitung von \(\sin(x)\) ergibt sich \(f'(x) = x + \cos(x)\).

a) \(f'(x) = x^3 + \sqrt{2}\sin(x)\) b) \(f'(x) = 3\cos(x) - 12\) c) \(f'(x) = \frac{1}{3}\cos(x)\) d) \(f'(x) = x + \cos(x)\)

- Was sagt die erste Ableitung einer Funktion über ihren Graphen aus? - Wann sind zwei Geraden parallel und welche Bedingung gilt für die Steigungen senkrechter Geraden? - Denke daran, dass Sinus- und Kosinusfunktionen periodisch sind. Wie drückt man alle möglichen Lösungen aus? - Wie berechnet man die fehlende Koordinate eines Punktes, wenn die Stelle bekannt ist?

1. Die Ableitungsfunktion von \(f(x) = \cos(x)\) ist \(f'(x) = -\sin(x)\). 2. Für Aufgabenteil a) muss die Steigung \(f'(x) = -0{,}5\) gelten. Aus \(-\sin(x) = -0{,}5\) folgt \(\sin(x) = 0{,}5\). Die Lösungen im Intervall \([0; 2\pi[\) sind \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\). Mit der Periodizität ergeben sich \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) und \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 3. Die zugehörigen \(y\)-Koordinaten sind \(y_1 = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(y_2 = \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Die Punkte sind \(P_k(\frac{\pi}{6} + 2k\pi \mid \frac{\sqrt{3}}{2})\) und \(Q_k(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \mid -\frac{\sqrt{3}}{2})\). 4. Für Aufgabenteil b) muss die Tangentensteigung \(m = -1\) betragen (wegen der Bedingung für Orthogonalität \(m_1 \cdot m_2 = -1\)). Aus \(-\sin(x) = -1\) folgt \(\sin(x) = 1\). 5. Die Lösungen sind \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). Die \(y\)-Koordinate ist stets \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\). Die Punkte sind \(R_k(\frac{\pi}{2} + 2k\pi \mid 0)\).

a) \(P_k\left(\frac{\pi}{6} + 2k\pi \mid \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) und \(Q_k\left(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \mid -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) für \(k \in \mathbb{Z}\) b) \(R_k\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi \mid 0\right)\) für \(k \in \mathbb{Z}\)

- Welche Regel benötigst du, um eine Funktion mit einem konstanten Vorfaktor abzuleiten? - Setze die Ableitung mit dem gegebenen Wert gleich und löse nach der Variable auf. - Welche Winkel haben einen Kosinuswert von \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)? Nutze die Symmetrie am Einheitskreis. - Vergiss nicht, die \(y\)-Werte durch Einsetzen in die Originalfunktion \(g(x)\) zu bestimmen.

1. Die Ableitungsfunktion bestimmt man mithilfe der Faktorregel: \(g'(x) = 2\cos(x)\). 2. Die Bedingung für die gesuchten Stellen lautet \(g'(x) = \sqrt{2}\), also \(2\cos(x) = \sqrt{2}\). 3. Umstellen ergibt \(\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Innerhalb einer Periode \([0; 2\pi[\) liegen die Lösungen bei \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(x_2 = \frac{7\pi}{4}\) (bzw. \(-\frac{\pi}{4}\)). 4. Die allgemeinen Lösungen lauten \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) und \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: \(g(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\) sowie \(g(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \sin(-\frac{\pi}{4}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}\). 6. Die Punkte sind \(S_k(\frac{\pi}{4} + 2k\pi \mid \sqrt{2})\) und \(T_k(-\frac{\pi}{4} + 2k\pi \mid -\sqrt{2})\) für \(k \in \mathbb{Z}\).

\(S_k\left(\frac{\pi}{4} + 2k\pi \mid \sqrt{2}\right)\) und \(T_k\left(-\frac{\pi}{4} + 2k\pi \mid -\sqrt{2}\right)\) mit \(k \in \mathbb{Z}\)

- Welche Information liefert die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle für den Graphen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Geradengleichung oder die Punkt-Steigungs-Form. - Welche exakten Werte nehmen die trigonometrischen Funktionen an den Standardstellen im Einheitskreis an? - Stelle sicher, dass du im Bogenmaß rechnest.

1. Ableitung der Funktion bilden: \( f'(x) = \cos(x) \). 2. Steigung der Tangente an der Stelle \( x_0 = \frac{2}{3}\pi \) berechnen: \( m = f'(\frac{2}{3}\pi) = \cos(\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2} \). 3. Den Punkt \( P(\frac{2}{3}\pi \mid \frac{\sqrt{3}}{2}) \) und die Steigung \( m = -\frac{1}{2} \) in die allgemeine Tangentengleichung \( y = m \cdot (x - x_0) + y_0 \) einsetzen: \( y = -\frac{1}{2} \cdot (x - \frac{2}{3}\pi) + \frac{\sqrt{3}}{2} \). 4. Vereinfachen der Gleichung: \( y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \)

- Wie findet man die \( y \)-Koordinate des Berührpunktes, wenn nur die \( x \)-Stelle gegeben ist? - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn ein konstanter Faktor vor der Funktion steht? - Wie lautet die Ableitung der Kosinusfunktion? - Setze die berechneten Werte für den Punkt und die Steigung in die Geradengleichung ein.

1. Funktionswert an der Stelle \( x_0 = \frac{\pi}{6} \) berechnen: \( g(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \cos(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \). Der Berührpunkt ist \( B(\frac{\pi}{6} \mid \sqrt{3}) \). 2. Ableitungsfunktion bestimmen: \( g'(x) = -2\sin(x) \). 3. Steigung an der Stelle \( x_0 \) berechnen: \( m = g'(\frac{\pi}{6}) = -2 \cdot \sin(\frac{\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 \). 4. Tangentengleichung aufstellen: \( y = -1 \cdot (x - \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} \). 5. Ausmultiplizieren ergibt: \( y = -x + \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} \).

\( y = -x + \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} \)

- Womit bestimmt man üblicherweise mögliche Kandidaten für Extremstellen? - Wie kannst du sicherstellen, ob ein Kandidat wirklich ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist? - Erinnere dich an die Werte der Kosinusfunktion im Einheitskreis. - Beachte den vorgegebenen Bereich für die Lösung.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = \cos(x) + \frac{1}{2}\). 2. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung im Intervall \([0; 2\pi]\): \(\cos(x) + \frac{1}{2} = 0 \implies \cos(x) = -\frac{1}{2}\). Dies liefert die Lösungen \(x_1 = \frac{2}{3}\pi\) und \(x_2 = \frac{4}{3}\pi\). 3. Berechnung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = -\sin(x)\). 4. Überprüfung der Art der Extremstellen: - Für \(x_1 = \frac{2}{3}\pi\): \(f''(\frac{2}{3}\pi) = -\sin(\frac{2}{3}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\). Es liegt ein lokales Maximum vor. - Für \(x_2 = \frac{4}{3}\pi\): \(f''(\frac{4}{3}\pi) = -\sin(\frac{4}{3}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0\). Es liegt ein lokales Minimum vor.

Lokales Maximum bei \(x = \frac{2}{3}\pi\); lokales Minimum bei \(x = \frac{4}{3}\pi\).

- Welche Bedingungen müssen für eine Extremstelle erfüllt sein? - Welche besonderen Werte der Kosinusfunktion kennst du? - Wie verhält sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung an einem Hoch- bzw. Tiefpunkt? - Achte darauf, dass nur Extremstellen im Inneren des Intervalls, also für \(0 < x < 2\pi\), gesucht sind.

1. Bildung der Ableitungsfunktionen: \(g'(x) = \sqrt{2} \cos(x) - 1\) und \(g''(x) = -\sqrt{2} \sin(x)\). 2. Bestimmung der kritischen Stellen durch \(g'(x) = 0\): \(\sqrt{2} \cos(x) = 1 \implies \cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 3. Im Intervall \([0; 2\pi]\) ergeben sich die Lösungen \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(x_2 = \frac{7\pi}{4}\). 4. Klassifizierung mittels der zweiten Ableitung: - \(g''(\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -1 < 0 \implies\) Lokales Maximum bei \(x = \frac{\pi}{4}\). - \(g''(\frac{7\pi}{4}) = -\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 > 0 \implies\) Lokales Minimum bei \(x = \frac{7\pi}{4}\).

Lokales Maximum bei \(x = \frac{\pi}{4}\); lokales Minimum bei \(x = \frac{7\pi}{4}\).

- Leite die Funktion mehrmals ab und vergleiche das Ergebnis mit dem negativen Funktionsterm der Ausgangsfunktion. - Untersuche, ob die Ableitungen von \(\cos(x)\) ebenfalls einem periodischen Muster folgen. - Setze die Zahl Null in die verschiedenen Ableitungsfunktionen ein. Welche trigonometrische Funktion ergibt an dieser Stelle Null? - Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Ableitungsordnungen.

1. Die Ableitungen von \(g(x) = \cos(x)\) lauten: \(g'(x) = -\sin(x)\) und \(g''(x) = -\cos(x)\). Damit ist \(g''(x) = -g(x)\), woraus \(n = 2\) folgt. 2. Die Ableitungen der Kosinusfunktion haben die Periode 4 (\(g^{(4)}(x) = \cos(x)\)). Die Division \(55 : 4\) ergibt \(13\) Rest \(3\). Folglich ist \(g^{(55)}(x) = g'''(x)\). Da \(g'''(x) = (g''(x))' = (-\cos(x))' = \sin(x)\) ist, gilt \(g^{(55)}(x) = \sin(x)\). 3. Die Ableitungen lauten im Wechsel \(\pm \sin(x)\) (für ungerade \(n\)) und \(\pm \cos(x)\) (für gerade \(n\)). Da \(\sin(0) = 0\) und \(\cos(0) = 1\) (bzw. \(-1\)) gilt, ist \(g^{(n)}(0) = 0\) genau dann erfüllt, wenn \(n\) ungerade ist. Im Bereich \(1 \le n \le 10\) sind dies die Werte \(n \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\).

1. \(n = 2\) 2. \(g^{(55)}(x) = \sin(x)\) 3. \(n \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\)

- Was bedeutet die Bedingung „waagerechte Tangente“ für den Wert der Ableitung an dieser Stelle? - Leite den Funktionsterm allgemein in Abhängigkeit von \(k\) ab. - Erinnere dich an die Funktionswerte von Sinus und Kosinus für markante Winkel im Bogenmaß.

1. Aufstellen der Ableitungsfunktion: Unter Anwendung der Summen- und Faktorregel ergibt sich \(f_k'(x) = 4\cos(x) - k\). 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente: An der Stelle \(x = \frac{\pi}{3}\) muss die erste Ableitung null sein, also \(f_k'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0\). 3. Einsetzen und Lösen der Gleichung: \(4\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - k = 0\). Da \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0{,}5\), folgt \(4 \cdot 0{,}5 - k = 0\). 4. Ergebnis: \(2 - k = 0 \implies k = 2\).

\(k = 2\)

- Was sagt die erste Ableitung über die Steigung und die Monotonie einer Funktion aus? - Welche Werte kann die Kosinusfunktion maximal und minimal annehmen? - Wie hängen waagerechte Tangenten mit dem Wert der Ableitung zusammen? - Kannst du den Wertebereich der Ableitungsfunktion bestimmen?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 1{,}5 + \cos(x)\). 2. Da die Kosinusfunktion Werte im Intervall \([-1; 1]\) annimmt, gilt für die Ableitung: \(1{,}5 + (-1) \le f'(x) \le 1{,}5 + 1\), also \(0{,}5 \le f'(x) \le 2{,}5\). 3. Da \(f'(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) im Bereich \([0{,}5; 2{,}5]\) liegt, ist \(f'(x) > 0\). Daraus folgt, dass \(f'(x)\) niemals null wird, weshalb keine waagerechten Tangenten existieren. 4. Da die Ableitung überall positiv ist (\(f'(x) \ge 0{,}5 > 0\)), ist die Funktion \(f\) auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. 5. Der minimale Wert der Steigung ist \(0{,}5\) und der maximale Wert der Steigung ist \(2{,}5\).

a) \(f'(x) = 1{,}5 + \cos(x)\). Da \(\cos(x) \ge -1\), ist \(f'(x) \ge 0{,}5\). Somit ist \(f'(x) \neq 0\). b) Da \(f'(x) \ge 0{,}5 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist \(f\) streng monoton steigend. c) Die minimale Steigung ist \(0{,}5\), die maximale Steigung ist \(2{,}5\).

- Wie hängen die erste Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente zusammen? - Welche Formel für eine Geradengleichung kennst du, wenn ein Punkt und die Steigung gegeben sind? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung \(m\) einer Geraden und ihrem Steigungswinkel \(\alpha\). - Achte darauf, ob dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) oder das Gradmaß (DEG) eingestellt ist, wenn du Sinus- und Kosinuswerte berechnest.

1. Bestimmung der \(y\)-Koordinate des Berührpunktes: \(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 - 2 \cdot 1 = -2\). Der Punkt ist \(P\left(\frac{\pi}{2} \mid -2\right)\). 2. Ableitung der Funktion: \(f'(x) = -\sin(x) - 2\cos(x)\). 3. Berechnung der Steigung \(m\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\): \(m = f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 - 2 \cdot 0 = -1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit \(y = m(x - x_0) + y_0\): \(y = -1 \cdot \left(x - \frac{\pi}{2}\right) - 2 = -x + \frac{\pi}{2} - 2\). 5. Berechnung des Steigungswinkels \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = m = -1\). Daraus folgt \(\alpha = 135^\circ\) (oder \(-45^\circ\)).

Tangentengleichung: \(t(x) = -x + \frac{\pi}{2} - 2\) Steigungswinkel: \(\alpha = 135^\circ\)

- Wie findest du die Stelle, an der zwei Funktionswerte gleich sind? - Welche trigonometrische Beziehung hilft dir, eine Gleichung mit Sinus und Kosinus nach \(x\) aufzulösen? - In welcher Verbindung stehen die erste Ableitung an einer Stelle und der Steigungswinkel der Tangente? - Wie hängen die Steigungen zweier Geraden mit dem Winkel zusammen, den sie einschließen?

1. Zur Bestimmung des Schnittpunktes wird \(f(x) = g(x)\) gesetzt: \(2\sin(x) = 2\cos(x) \implies \tan(x) = 1\). Im Intervall \([0; \pi]\) ergibt sich \(x_S = \frac{\pi}{4}\). 2. Der \(y\)-Wert ist \(y_S = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). Somit ist \(S\left(\frac{\pi}{4} \mid \sqrt{2}\right)\). 3. Die Ableitungsfunktionen lauten \(f'(x) = 2\cos(x)\) und \(g'(x) = -2\sin(x)\). 4. Die Steigungen im Schnittpunkt sind \(m_f = f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\) und \(m_g = g'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\). 5. Für die Steigungswinkel im Bereich \(0^\circ \leq \alpha, \beta < 180^\circ\) gilt \(\tan(\alpha) = \sqrt{2}\), also \(\alpha \approx 54{,}74^\circ\). Aus \(\tan(\beta) = -\sqrt{2}\) folgt wegen der negativen Steigung \(\beta \approx 125{,}26^\circ\). 6. Der Schnittwinkel \(\gamma\) zwischen den Tangenten wird über \(\tan(\gamma) = \left| \frac{m_f - m_g}{1 + m_f \cdot m_g} \right|\) berechnet: \(\tan(\gamma) = \left| \frac{\sqrt{2} - (-\sqrt{2})}{1 + \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})} \right| = \left| \frac{2\sqrt{2}}{1 - 2} \right| = 2\sqrt{2}\). 7. Daraus folgt \(\gamma = \arctan(2\sqrt{2}) \approx 70{,}53^\circ\).

a) \(S\left(\frac{\pi}{4} \mid \sqrt{2}\right)\) b) \(\alpha \approx 54{,}74^\circ\); \(\beta \approx 125{,}26^\circ\) c) \(\gamma \approx 70{,}53^\circ\)

- Wie hängen die erste Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente zusammen? - Welche Form hat eine Geradengleichung allgemein? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Steigungsmaß \(m\) und dem Tangens des Steigungswinkels. - Achte bei der Winkelberechnung darauf, ob dein Taschenrechner auf Gradmaß (DEG) oder Bogenmaß (RAD) eingestellt ist.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = \frac{\pi}{2}\): \(f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1\). Der Berührpunkt ist \(P(\frac{\pi}{2} \mid 1)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = \cos(x) - \sin(x)\). 3. Berechnung der Steigung \(m\) an der Stelle \(x_0\): \(m = f'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}) = 0 - 1 = -1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form: \(y = -1 \cdot (x - \frac{\pi}{2}) + 1\). Vereinfacht ergibt sich \(t(x) = -x + \frac{\pi}{2} + 1\). 5. Bestimmung des Steigungswinkels \(\alpha\): Es gilt \(\tan(\alpha) = m = -1\). Der Hauptwert ist \(-45^\circ\). Da Steigungswinkel üblicherweise im Intervall \([0^\circ; 180^\circ)\) angegeben werden, ist der zugehörige Steigungswinkel \(\alpha = 135^\circ\).

Tangentengleichung: \(t(x) = -x + \frac{\pi}{2} + 1\) Steigungswinkel: \(\alpha = 135^\circ\)

- Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein, um den vollständigen Punkt zu erhalten. - Wie lautet die Ableitung der Kosinusfunktion? Vergiss den Vorfaktor nicht. - Der Steigungswinkel ist der Winkel zwischen der positiven \(x\)-Achse und der Geraden. - Überlege dir, welchen Wert der Tangens für bekannte Winkel wie \(30^\circ, 45^\circ\) oder \(60^\circ\) annimmt.

1. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Punktes \(P\): \(g(\frac{2}{3}\pi) = 2 \cdot \cos(\frac{2}{3}\pi) + 1 = 2 \cdot (-0{,}5) + 1 = 0\). Der Punkt ist \(P(\frac{2}{3}\pi \mid 0)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(g'(x) = -2 \sin(x)\). 3. Berechnung der Steigung \(m\) im Punkt \(P\): \(m = g'(\frac{2}{3}\pi) = -2 \cdot \sin(\frac{2}{3}\pi) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = -\sqrt{3} \cdot (x - \frac{2}{3}\pi) + 0\), also \(t(x) = -\sqrt{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}\pi\). 5. Für den Steigungswinkel im Bereich \(0^\circ \leq \alpha < 180^\circ\) gilt \(\tan(\alpha) = -\sqrt{3}\). Wegen der negativen Steigung ist \(\alpha = 120^\circ\).

Tangentengleichung: \(t(x) = -\sqrt{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}\pi\) Steigungswinkel: \(\alpha = 120^\circ\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Sinus- und Kosinusfunktionen. - Was musst du tun, um die Steigung einer Geraden zu finden, die senkrecht auf einer anderen Geraden steht? - Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (Radiant) eingestellt ist, wenn du Sinus- oder Kosinuswerte berechnest. - Nutze die Punkt-Steigungs-Form, um die Geradengleichungen aufzustellen.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = \frac{1}{2}\pi\): \(f(\frac{1}{2}\pi) = \sin(\frac{1}{2}\pi) - \cos(\frac{1}{2}\pi) = 1 - 0 = 1\). Der Punkt ist \(P(\frac{1}{2}\pi \mid 1)\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung: \(f'(x) = \cos(x) - (-\sin(x)) = \cos(x) + \sin(x)\). 3. Bestimmung der Tangentensteigung: \(m_t = f'(\frac{1}{2}\pi) = \cos(\frac{1}{2}\pi) + \sin(\frac{1}{2}\pi) = 0 + 1 = 1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = 1 \cdot (x - \frac{1}{2}\pi) + 1 = x - \frac{1}{2}\pi + 1\). 5. Bestimmung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -1\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(y = -1 \cdot (x - \frac{1}{2}\pi) + 1 = -x + \frac{1}{2}\pi + 1\).

Tangente \(t: y = x - \frac{1}{2}\pi + 1\) Normale \(n: y = -x + \frac{1}{2}\pi + 1\)

- Welche zwei Bedingungen müssen an einer Stelle \(x\) erfüllt sein, damit sich zwei Graphen dort berühren? - Wie leitest du eine Funktion der Form \((\sin(x))^2\) ab? - Wenn ein Produkt gleich Null ist, was weißt du dann über die einzelnen Faktoren? - Nutze den Zusammenhang \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), um die Gleichungen zu vereinfachen.

1. Berührbedingung an der Stelle \(x\): \(f(x) = h_k(x)\) und \(f'(x) = h_k'(x)\). 2. Berechnung der Ableitungen: \(f'(x) = 2\sin(x)\cos(x)\) (Kettenregel) und \(h_k'(x) = \sin(x)\). 3. Gleichsetzen der Ableitungen: \(2\sin(x)\cos(x) = \sin(x) \iff \sin(x) \cdot (2\cos(x) - 1) = 0\). 4. Bestimmung der Lösungen für \(x\): \(\sin(x) = 0\) oder \(\cos(x) = 0{,}5\). 5. Fall \(\sin(x) = 0\): Dann ist \(x = n\pi\). Für \(x = 0\) gilt \(\sin^2(0) = k - \cos(0) \implies 0 = k - 1 \implies k = 1\). Für \(x = \pi\) gilt \(\sin^2(\pi) = k - \cos(\pi) \implies 0 = k - (-1) \implies k = -1\). 6. Fall \(\cos(x) = 0{,}5\): Dann ist \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\). Einsetzen in \(f(x) = h_k(x)\) ergibt \(0{,}75 = k - 0{,}5 \implies k = 1{,}25\).

\(k \in \{-1; 1; 1{,}25\}\)

- Bestimme zuerst die Koordinaten des Punktes auf dem Graphen. - Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, um die Steigungsfunktion zu erhalten? - Wie hängen die Steigungen von Tangente und Normale im selben Punkt zusammen? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form für die Geradengleichungen.

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = \frac{\pi}{2}\): \(f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) \cdot (1 + \cos(\frac{\pi}{2})) = 1 \cdot (1 + 0) = 1\). Der Berührpunkt ist \(P(\frac{\pi}{2} \mid 1)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion unter Verwendung der Produktregel: \(f'(x) = \cos(x) \cdot (1 + \cos(x)) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) = \cos(x) + \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(x) + \cos(2x)\). 3. Berechnung der Tangentensteigung \(m_t\): \(m_t = f'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 0 + (-1) = -1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = -1 \cdot (x - \frac{\pi}{2}) + 1 = -x + \frac{\pi}{2} + 1\). 5. Berechnung der Normalensteigung \(m_n\): \(m_n = -\frac{1}{m_t} = 1\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(y = 1 \cdot (x - \frac{\pi}{2}) + 1 = x - \frac{\pi}{2} + 1\).

Tangente: \(y = -x + \frac{\pi}{2} + 1\) Normale: \(y = x - \frac{\pi}{2} + 1\)

- Berechne zunächst den fehlenden Funktionswert für den Punkt \(P\). - Denk beim Ableiten von \(\cos^2(x)\) an die Kettenregel. - Erinnere dich an die Bedingung für senkrecht aufeinander stehende Geraden, um die Steigung der Normalen zu finden. - Setze die bekannten Werte in die allgemeine Geradengleichung ein.

1. Berechnung des Funktionswerts: \(f(\pi) = (\cos(\pi))^2 - \sin(\pi) = (-1)^2 - 0 = 1\). Der Punkt ist \(P(\pi \mid 1)\). 2. Ableitung der Funktion bilden (Kettenregel für \(\cos^2(x)\)): \(f'(x) = 2 \cdot \cos(x) \cdot (-\sin(x)) - \cos(x) = -\sin(2x) - \cos(x)\). 3. Berechnung der Steigung in \(P\): \(m_t = f'(\pi) = -\sin(2\pi) - \cos(\pi) = 0 - (-1) = 1\). 4. Bestimmung der Tangentengleichung: \(y = 1 \cdot (x - \pi) + 1 = x - \pi + 1\). 5. Bestimmung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{1} = -1\). 6. Bestimmung der Normalengleichung: \(y = -1 \cdot (x - \pi) + 1 = -x + \pi + 1\).

Tangente: \(y = x - \pi + 1\) Normale: \(y = -x + \pi + 1\)

- Welche mathematische Bedingung muss für die Funktionswerte gelten, damit ein Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Erinnere dich an die Quotientenregel für das Ableiten von Bruchtermen. - Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Monotonieverhalten der Funktion zusammen? - Versuche im Zähler der Ableitung die Kosinusfunktion auszuklammern, um den Tangens zu erhalten.

1. Prüfung der Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x}\). Da die Sinusfunktion ungerade ist (\(\sin(-x) = -\sin(x)\)), ergibt sich \(f(-x) = \frac{-\sin(x)}{-x} = \frac{\sin(x)}{x} = f(x)\). Somit ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Anwendung der Quotientenregel mit \(u(x) = \sin(x)\) und \(v(x) = x\): Mit \(u'(x) = \cos(x)\) und \(v'(x) = 1\) folgt \(f'(x) = \frac{\cos(x) \cdot x - \sin(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cdot \cos(x) - \sin(x)}{x^2}\). 3. Der Nenner \(x^2\) ist im betrachteten Bereich stets positiv. Zur Untersuchung des Zählers \(N(x) = x \cdot \cos(x) - \sin(x)\): Für \(x \in (0 ; \frac{\pi}{2})\) ist \(\cos(x) > 0\), daher lässt sich der Zähler als \(N(x) = \cos(x) \cdot (x - \tan(x))\) schreiben. Da \(\tan(x) > x\) für \(x \in (0 ; \frac{\pi}{2})\) gilt, ist \(x - \tan(x) < 0\) und somit \(N(x) < 0\). Für \(x \in [\frac{\pi}{2} ; \pi)\) ist \(\cos(x) \leq 0\), woraus \(x \cdot \cos(x) \leq 0\) folgt. Da \(\sin(x) > 0\) in diesem Intervall ist, gilt \(N(x) = x \cdot \cos(x) - \sin(x) < 0\). Da die Ableitung überall negativ ist, fällt die Funktion streng monoton.

1. \(f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin(x)}{-x} = f(x)\), was die Achsensymmetrie beweist. 2. \(f'(x) = \frac{x \cdot \cos(x) - \sin(x)}{x^2}\) 3. Da \(f'(x) < 0\) für alle \(x \in (0 ; \pi)\) gilt, ist die Funktion dort streng monoton fallend.

- Nutze die Summenregel und die Standardableitungen von Sinus und Kosinus. - Überlege, was die Monotonie für die Funktionswerte aussagt, wenn du den kleinstmöglichen Wert des Intervalls kennst. - Welche Rolle spielt die Symmetrie einer Funktion, wenn man eine Aussage für alle reellen Zahlen treffen möchte? - Wie lässt sich die zu zeigende Ungleichung in die Form \(g(x) \geq \dots\) bringen?

1. Die Ableitung berechnet sich zu \(g'(x) = -\sin(x) + x\). Da nach Voraussetzung \(x \geq \sin(x)\) für alle \(x \geq 0\) gilt, folgt \(g'(x) = x - \sin(x) \geq 0\). Eine nicht-negative Ableitungsfunktion impliziert, dass \(g\) für \(x \geq 0\) monoton steigend ist. 2. Eine Funktion ist gerade, wenn \(g(-x) = g(x)\). Es gilt \(g(-x) = \cos(-x) + \frac{1}{2} \cdot (-x)^2 - 1\). Da \(\cos(-x) = \cos(x)\) und \((-x)^2 = x^2\), folgt \(g(-x) = \cos(x) + \frac{1}{2} \cdot x^2 - 1 = g(x)\). 3. Der Funktionswert an der Stelle \(x=0\) ist \(g(0) = \cos(0) + \frac{1}{2} \cdot 0^2 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0\). Da \(g\) für \(x \geq 0\) monoton steigt, gilt \(g(x) \geq g(0) = 0\) für alle \(x \geq 0\). Aufgrund der Achsensymmetrie (gerade Funktion) muss die Eigenschaft \(g(x) \geq 0\) auch für alle \(x < 0\) gelten. Aus \(\cos(x) + \frac{1}{2} \cdot x^2 - 1 \geq 0\) folgt durch Umformen direkt \(\cos(x) \geq 1 - \frac{1}{2} \cdot x^2\).

1. \(g'(x) = x - \sin(x) \geq 0\) für \(x \geq 0\), daher ist \(g\) auf \([0; \infty[\) monoton steigend. 2. \(g(-x) = \cos(-x) + \frac{1}{2} \cdot (-x)^2 - 1 = g(x)\) 3. Da \(g(0) = 0\), \(g\) für \(x \geq 0\) monoton steigt und \(g\) gerade ist, gilt \(g(x) \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Umgeformt ergibt dies \(\cos(x) \geq 1 - \frac{1}{2} \cdot x^2\).

- Erinnere dich an die Ableitungen der Grundfunktionen Sinus und Kosinus. - Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Ableitung zusammen? - Welchen größten Wert kann eine einfache Kosinusfunktion (unabhängig vom Argument) erreichen?

1. Anwendung der Produktregel auf \(f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)\): \(f'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x))\). 2. Vereinfachung des Terms: \(f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\). 3. Anwendung des Additionstheorems: \(f'(x) = \cos(2x)\). 4. Die Steigung des Graphen entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion. Gesucht ist das Maximum von \(f'(x) = \cos(2x)\). 5. Da die Kosinusfunktion Werte im Intervall \([-1; 1]\) annimmt, ist der maximale Wert von \(\cos(2x)\) gleich \(1\).

a) \(f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\) b) \(f'(x) = \cos(2x)\) c) Die maximale Steigung beträgt \(1\).

- Wie hängen die Ableitung und die Steigung einer Tangente zusammen? - Welche Werte kann die Sinusfunktion maximal und minimal annehmen? - Wie ist die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Überlege, was es für den Term \(1 - \sin(x)\) bedeutet, wenn \(\sin(x)\) höchstens \(1\) sein kann.

1. Die Ableitung von \(g(x)\) lautet \(g'(x) = 1 - \sin(x)\). Die Steigung an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) ist \(g'(\frac{\pi}{2}) = 1 - \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 - 1 = 0\). 2. Die Steigung der Tangente wird durch \(g'(x) = 1 - \sin(x)\) beschrieben. Da der Wertebereich der Sinusfunktion \([-1; 1]\) ist, gilt für alle \(x\): \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\). Daraus folgt \(1 - \sin(x) \geq 0\). Da die Ableitung niemals kleiner als \(0\) ist, gibt es keine negativen Steigungen. 3. Für die Tangentengleichung an \(x = \pi\) benötigt man den Funktionswert \(g(\pi) = \pi + \cos(\pi) = \pi - 1\) und die Steigung \(g'(\pi) = 1 - \sin(\pi) = 1 - 0 = 1\). Mit der Punkt-Steigungs-Form \(y = m(x - x_0) + y_0\) ergibt sich: \(y = 1 \cdot (x - \pi) + (\pi - 1)\), vereinfacht \(y = x - 1\).

1. Die Steigung an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) ist \(0\). 2. Da \(\sin(x) \leq 1\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), folgt \(g'(x) = 1 - \sin(x) \geq 0\). Somit ist die Steigung nie negativ. 3. Die Tangentengleichung lautet \(y = x - 1\).

- Was gibt der Wert der Ableitung an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Leite die Funktion zuerst allgemein nach \(x\) ab. - Setze nacheinander alle vorgeschlagenen Werte in deine Ableitungsfunktion ein. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Sinus und Kosinus an den Stellen \(\pi\) und \(\frac{3\pi}{2}\).

1. Bildung der ersten Ableitung der Funktion \(h\): \(h'(x) = \cos(x) - \sin(x)\). 2. Einsetzen der gegebenen Stellen in die Ableitungsfunktion: - Für \(x = 0\): \(h'(0) = \cos(0) - \sin(0) = 1 - 0 = 1\). - Für \(x = \frac{\pi}{2}\): \(h'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}) = 0 - 1 = -1\). - Für \(x = \pi\): \(h'(\pi) = \cos(\pi) - \sin(\pi) = -1 - 0 = -1\). - Für \(x = \frac{3\pi}{2}\): \(h'(\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 - (-1) = 1\). 3. Identifikation der Stellen, an denen der Ableitungswert exakt \(1\) ist: Dies ist bei \(x = 0\) und \(x = \frac{3\pi}{2}\) der Fall.

Die Tangente hat an den Stellen \(x = 0\) und \(x = \frac{3\pi}{2}\) die Steigung \(1\).

- Bestimme zunächst die Ableitungsfunktion der gegebenen Funktion. - Welchen Wertebereich hat die Sinusfunktion standardmäßig? - Wie verändert ein Vorfaktor vor der Winkelfunktion diesen Wertebereich? - Gesucht sind die Werte, die außerhalb des möglichen Bereichs der Ableitung liegen.

1. Die Tangentensteigung entspricht der Ableitung \(g'(x)\). Mit der Ableitungsregel für die Kosinusfunktion und der Faktorregel folgt \(g'(x) = -4\sin(x)\). 2. Die Sinusfunktion \(\sin(x)\) nimmt ausschließlich Werte im Intervall \([-1; 1]\) an. 3. Durch Multiplikation mit dem Faktor \(-4\) ergibt sich für die Ableitungsfunktion \(g'(x)\) der Wertebereich \([-4; 4]\). 4. Alle Werte außerhalb dieses Intervalls sind als Steigung nicht möglich. Dies entspricht den Ungleichungen \(m > 4\) oder \(m < -4\).

Mögliche Werte für die Steigung \(m\) liegen im Bereich \(-4 \leq m \leq 4\). Nicht vorkommende Werte für die Tangentensteigung sind daher alle \(m\) mit \(m > 4\) oder \(m < -4\).

- Erinnerst du dich an die Ableitungen der trigonometrischen Grundfunktionen Sinus und Kosinus? - Achte bei verketteten Funktionen wie \(\cos(ax+b)\) darauf, mit der inneren Ableitung zu multiplizieren. - Was musst du beim Vorzeichen beachten, wenn du eine Kosinusfunktion ableitest? - Kannst du die Summenregel nutzen, um jeden Teil der Funktion nacheinander zu bearbeiten?

1. In Teilaufgabe a) wird die Kettenregel für eine lineare innere Funktion angewendet. Die äußere Ableitung von \(\cos(u)\) ist \(-\sin(u)\), die innere Ableitung von \(5x+2\) ist \(5\). Multiplikation liefert \(f'(x) = -5\sin(5x + 2)\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Faktorregel mit der Kettenregel kombiniert. Die Ableitung von \(\sin(0{,}4x)\) ist \(0{,}4\cos(0{,}4x)\). Mit dem Faktor \(-2\) ergibt sich \(f'(x) = -2 \cdot 0{,}4 \cdot \cos(0{,}4x) = -0{,}8\cos(0{,}4x)\). 3. In Teilaufgabe c) wird die Summenregel auf drei verschiedene Funktionstypen angewendet: Die Potenzregel für \(\frac{1}{2}x^4\) ergibt \(2x^3\), die Ableitung der Wurzelfunktion ist \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) und die Ableitung von \(\sin(x)\) ist \(\cos(x)\). Zusammengefasst: \(f'(x) = 2x^3 - \frac{1}{2\sqrt{x}} + \cos(x)\). Die Ableitungen in a) und b) sind für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert; in c) gilt \(x>0\).

a) \(f'(x) = -5\sin(5x + 2)\) für \(x \in \mathbb{R}\) b) \(f'(x) = -0{,}8\cos(0{,}4x)\) für \(x \in \mathbb{R}\) c) \(f'(x) = 2x^3 - \frac{1}{2\sqrt{x}} + \cos(x)\) für \(x>0\)

- Denke bei der Ableitung der Sinusfunktion an die Kettenregel. - Wo hat die Kosinusfunktion ihre Nullstellen? - Achte auf das vorgegebene Intervall für \(x\). - Vergiss bei der Rücksubstitution nicht, nach \(x\) aufzulösen.

1. Die Ableitung wird mit der Kettenregel gebildet: \(g'(x) = 3 \cdot \cos(2x - \pi) \cdot 2 = 6\cos(2x - \pi)\). 2. Die notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\) führt zu \(\cos(2x - \pi) = 0\). 3. Für \(z = 2x - \pi\) gilt wegen \(x \in [0; \pi]\) das Intervall \(z \in [-\pi; \pi]\). Die Nullstellen des Kosinus in diesem Intervall sind \(z = -\frac{\pi}{2}\) und \(z = \frac{\pi}{2}\). 4. Rücksubstitution ergibt \(2x - \pi = -\frac{\pi}{2} \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(2x - \pi = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x_2 = \frac{3\pi}{4}\).

\(x_1 = \frac{\pi}{4}\), \(x_2 = \frac{3\pi}{4}\)

- Erinnere dich an den Verlauf des Graphen der Sinusfunktion und deren Nullstellen. - Wenn eine (stetige) Funktion an einer Stelle keinen Nullwert hat, kann sie dort ihr Vorzeichen nicht ändern. - Wie verhält sich eine lineare Funktion an ihrer Nullstelle? - Du kannst Testwerte links und rechts der Stelle einsetzen, um das Vorzeichen zu prüfen.

1. Teilaufgabe a): Die zweite Ableitung von \(g(x) = \sin(x)\) ist \(g''(x) = -\sin(x)\). An der Stelle \(x = 0\) ist \(g''(0) = 0\). Da \(\sin(x)\) bei \(0\) das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt, wechselt \(-\sin(x)\) das Vorzeichen von Plus nach Minus. Es liegt ein Vorzeichenwechsel vor. An der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) ist \(g''(\frac{\pi}{2}) = -1\). Da der Wert ungleich Null ist, liegt kein Vorzeichenwechsel vor. 2. Teilaufgabe b): Die Ableitungen von \(h\) sind \(h'(x) = 3x^2 - 12x + 12\) und \(h''(x) = 6x - 12\). An der Stelle \(x = 2\) gilt \(h''(2) = 6(2) - 12 = 0\). Da \(h''(x) = 6(x - 2)\) eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei \(x = 2\) ist, findet ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus statt.

a) Bei \(x = 0\): Ja, ein Vorzeichenwechsel liegt vor. Bei \(x = \frac{\pi}{2}\): Nein, kein Vorzeichenwechsel. b) Bei \(x = 2\): Ja, ein Vorzeichenwechsel liegt vor.

- Welche Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung eines Graphen? - Überlege dir, für welche Werte der Sinusfunktion der Ausdruck der zweiten Ableitung Null wird. - Teile den Definitionsbereich an den gefundenen Stellen in Teilintervalle auf. - Untersuche das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem dieser Intervalle.

1. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 2x + 4\cos(x)\). 2. Bildung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = 2 - 4\sin(x)\). 3. Bestimmung der Nullstellen von \(f''(x)\) im Intervall \([0; 2\pi]\): \(2 - 4\sin(x) = 0 \iff \sin(x) = \frac{1}{2}\). Dies ergibt die Stellen \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\). 4. Prüfung des Krümmungsverhaltens durch Einsetzen von Testwerten oder Vorzeichenbetrachtung: - Im Intervall \([0; \frac{\pi}{6})\) ist \(f''(0) = 2 > 0\), daher liegt eine Linkskurve vor. - Im Intervall \((\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6})\) ist \(f''(\frac{\pi}{2}) = 2 - 4 = -2 < 0\), daher liegt eine Rechtskurve vor. - Im Intervall \((\frac{5\pi}{6}; 2\pi]\) ist \(f''(\pi) = 2 - 0 = 2 > 0\), daher liegt eine Linkskurve vor.

Linkskurve in den Intervallen \([0; \frac{\pi}{6})\) und \((\frac{5\pi}{6}; 2\pi]\). Rechtskurve im Intervall \((\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6})\).

- Welche Ableitungsregel ist hilfreich, wenn eine Funktion ein Produkt aus zwei Teilfunktionen ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und dem Tangens. - Wie kannst du nachweisen, dass eine Stelle tatsächlich ein Maximum und kein Minimum ist? - Wie rechnet man einen Winkel vom Bogenmaß in das Gradmaß um?

1. Ableitung der Funktion \(d(\alpha)\) unter Verwendung der Produktregel: \(d'(\alpha) = 120 \cdot (\cos(\alpha) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\alpha) \cdot (-\sin(\alpha))) = 120 \cdot (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))\). 2. Notwendige Bedingung für ein Extremum \(d'(\alpha) = 0\) setzen: \(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 0 \implies \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)\). 3. Da \(\cos(\alpha) \neq 0\) im gegebenen Intervall, Division durch \(\cos^2(\alpha)\): \(\tan^2(\alpha) = 1 \implies \tan(\alpha) = 1\) (da \(\alpha\) im ersten Quadranten liegt). 4. Lösung für \(\alpha\): \(\alpha = \frac{\pi}{4}\). 5. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(d''(\alpha) = -480 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)\). Für \(\alpha = \frac{\pi}{4}\) ist \(d''(\frac{\pi}{4}) = -240 < 0\), also liegt ein Maximum vor. 6. Umrechnung in Grad: \(\alpha = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 45^\circ\).

Der maximale Abwurfwinkel beträgt \(\alpha = \frac{\pi}{4}\) (entspricht \(45^\circ\)).

- Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn Variablen sowohl als Faktor als auch im Argument einer Sinusfunktion vorkommen? - Gibt es eine Identität, die den Ausdruck \(2 \sin(x) \cos(x)\) vereinfacht? - Achte beim Ableiten von verketteten Funktionen wie \(\cos(2x)\) oder \(\cos^2(x)\) auf die innere Ableitung.

1. Der Definitionsbereich ist \(D_f = \mathbb{R}\), da sowohl die trigonometrischen Anteile als auch der lineare Anteil für alle reellen Zahlen definiert sind. 2. Berechnung der ersten Ableitung \(f'(x)\): Anwendung der Produktregel auf den ersten Summanden und der Kettenregel auf den zweiten Summanden ergibt \(f'(x) = \sin(2x) + 2x \cos(2x) - 2 \cos(x) \sin(x)\). 3. Vereinfachung mit dem Doppelwinkeltheorem \(2 \sin(x) \cos(x) = \sin(2x)\): \(f'(x) = \sin(2x) + 2x \cos(2x) - \sin(2x) = 2x \cos(2x)\). 4. Berechnung der zweiten Ableitung \(f''(x)\): Anwendung der Produktregel auf \(f'(x) = 2x \cdot \cos(2x)\) ergibt \(f''(x) = 2 \cos(2x) + 2x \cdot (-\sin(2x) \cdot 2) = 2 \cos(2x) - 4x \sin(2x)\).

\(D_f = \mathbb{R}\) \(f'(x) = 2x \cos(2x)\) \(f''(x) = 2 \cos(2x) - 4x \sin(2x)\)

- Wie gehst du vor, wenn ein Produkt null ergeben soll? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass nur noch eine trigonometrische Funktion (z. B. der Tangens) vorkommt? - Erinnerst du dich an die notwendige Bedingung für Extrema? - Was passiert mit dem Parameter, wenn du die Ableitung gleich null setzt?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Ansatz \(f_a(x) = 0\) gewählt. Da \(a \neq 0\), folgt \(\sin x = \sqrt{3} \cos x\), was zu \(\tan x = \sqrt{3}\) führt. Im Intervall \([0; 2\pi]\) ergeben sich die Lösungen \(x_1 = \frac{1}{3}\pi\) und \(x_2 = \frac{4}{3}\pi\). 2. Für die Extremstellen wird die erste Ableitung \(f_a'(x) = a \cdot (\cos x + \sqrt{3} \sin x)\) gleich null gesetzt. Dies führt auf \(\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}\). Die Lösungen im Intervall sind \(x_{E1} = \frac{5}{6}\pi\) und \(x_{E2} = \frac{11}{6}\pi\). 3. Die Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(f_a''(x) = a \cdot (-\sin x + \sqrt{3} \cos x)\) zeigt für \(a > 0\) ein lokales Maximum bei \(x_{E1}\) und ein lokales Minimum bei \(x_{E2}\) (für \(a < 0\) umgekehrt). 4. Die Unabhängigkeit von \(a\) folgt daraus, dass in der Gleichung \(f_a'(x) = 0\) der Faktor \(a\) durch Division eliminiert werden kann, da \(a \neq 0\) vorausgesetzt ist. Die resultierende trigonometrische Gleichung für \(x\) enthält somit keinen Parameter mehr.

a) \(x_1 = \frac{1}{3}\pi\); \(x_2 = \frac{4}{3}\pi\) b) \(x_{E1} = \frac{5}{6}\pi\); \(x_{E2} = \frac{11}{6}\pi\) c) Bei der Lösung der Gleichung \(f_a'(x) = 0\) kann der Parameter \(a\) gekürzt werden, sodass die Stellen nur von der Struktur der trigonometrischen Terme abhängen.

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus. - Für die Tangentengleichung benötigst du den Funktionswert und die Steigung an der gegebenen Stelle. - Achte beim wiederholten Ableiten auf die Vorzeichenregeln. - Was passiert mit der Sinusfunktion, wenn man sie viermal hintereinander ableitet?

1. Erste Ableitung bestimmen: \(f'(x) = \cos(x)\). 2. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = \frac{\pi}{3}\) berechnen: \(f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 3. Steigung an der Stelle \(x_0\) berechnen: \(f'(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\). 4. Tangentengleichung \(y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)\) aufstellen: \(t(x) = \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{\pi}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2}\). Ausmultipliziert ergibt dies \(t(x) = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\). 5. Höhere Ableitungen berechnen: \(f'(x) = \cos(x)\) \(f''(x) = -\sin(x)\) \(f'''(x) = -\cos(x)\) \(f^{(4)}(x) = \sin(x)\) 6. Vergleich: Die vierte Ableitung entspricht der ursprünglichen Funktion, es gilt \(f^{(4)}(x) = f(x)\).

a) \(t(x) = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\) (oder näherungsweise \(t(x) \approx 0{,}5x + 0{,}342\)) b) \(f'(x) = \cos(x)\), \(f''(x) = -\sin(x)\), \(f'''(x) = -\cos(x)\), \(f^{(4)}(x) = \sin(x)\). Es gilt \(f^{(4)}(x) = f(x)\).

- Klammere in der Funktionsgleichung einen gemeinsamen Faktor aus, um die Nullstellen leichter zu finden. - Überlege, welche Werte die Kosinusfunktion im gegebenen Intervall annehmen kann. - Nutze für die Ableitung die Quotientenregel oder die bekannte Ableitung des Tangens. - Die Monotonie lässt sich über das Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmen.

1. Nullstellen: \(g_k(x) = \sin(x) - k \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sin(x) \cdot (1 - \frac{k}{\cos(x)}) = 0\). Daraus folgt \(\sin(x) = 0 \Rightarrow x = 0\) oder \(\cos(x) = k\). Für \(0 < k < 1\) gibt es genau eine weitere Lösung \(x = \arccos(k)\) in \(I\), also insgesamt zwei Nullstellen. Für \(k \ge 1\) gibt es nur die Nullstelle \(x = 0\), da \(\cos(x) \le 1\) im Intervall \(I\) gilt und \(\cos(x) = 1\) nur für \(x=0\) erfüllt ist. 2. Monotonie für \(k=0{,}5\): \(g_{0{,}5}'(x) = \cos(x) - \frac{0{,}5}{\cos^2(x)} = \frac{2\cos^3(x) - 1}{2\cos^2(x)}\). Extremstelle: \(2\cos^3(x) = 1 \Rightarrow \cos(x) = \sqrt[3]{0{,}5}\), also \(x = \arccos(\sqrt[3]{0{,}5}) \approx 0{,}65\). Da \(g_{0{,}5}'(0) = 0{,}5 > 0\) und der Zähler \(2\cos^3(x)-1\) im Intervall \(I\) genau einmal das Vorzeichen wechselt, ist \(g_{0{,}5}\) für \(x \in [0; \arccos(\sqrt[3]{0{,}5})]\) streng monoton steigend und für \(x \in [\arccos(\sqrt[3]{0{,}5}); \frac{\pi}{2}[\) streng monoton fallend. Bei dieser Stelle liegt ein Hochpunkt vor.

a) Für \(0 < k < 1\) gibt es zwei Nullstellen; für \(k \ge 1\) gibt es eine Nullstelle \(x=0\). b) Streng monoton steigend für \(x \in [0; \arccos(\sqrt[3]{0{,}5})]\), danach streng monoton fallend; Hochpunkt bei \(x \approx 0{,}65\).

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Ableitung einer Funktion und ihren Extremstellen? - Wie lautet die Ableitung der Sinusfunktion? - Welches hinreichende Kriterium mit der zweiten Ableitung bestätigt an einer Nullstelle von \(f'\) ein Extremum? - In welchen Abständen wiederholen sich die Nullstellen beim Kosinus?

1. Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) ist \(f'(x_0) = 0\). 2. Da \(f'(x) = \cos(x)\) die Ableitung von \(f(x) = \sin(x)\) ist, müssen die Stellen der lokalen Extrema von \(\sin(x)\) Nullstellen von \(\cos(x)\) sein. 3. Für die Umkehrung wird die zweite Ableitung verwendet: \(f''(x) = -\sin(x)\). An den Nullstellen \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) der Kosinusfunktion gilt abwechselnd \(f''(x)=-1<0\) beziehungsweise \(f''(x)=1>0\). Damit liegt dort jeweils ein lokales Maximum beziehungsweise Minimum vor. 4. Die Nullstellen von \(\cos(x)\) im Intervall \([0; 2\pi]\) werden durch Lösen der Gleichung \(\cos(x) = 0\) ermittelt. 5. Die Lösungen sind \(x_1 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_2 = \frac{3\pi}{2}\).

Jede lokale Extremstelle von \(\sin(x)\) muss wegen \(f'(x)=\cos(x)=0\) eine Nullstelle der Kosinusfunktion sein. Umgekehrt zeigt \(f''(x)=-\sin(x)\), dass an jeder Kosinusnullstelle tatsächlich ein lokales Maximum oder Minimum vorliegt. Im Intervall \([0; 2\pi]\) sind dies \(x=\frac{\pi}{2}\) und \(x=\frac{3\pi}{2}\).

- Finde zuerst heraus, welche der ersten vier Ableitungen denselben Funktionsterm wie die 15. Ableitung besitzt. - Überlege dir, wie oft sich die Ableitungen des Kosinus wiederholen. - Nutze dein Wissen über spezielle Werte der Sinusfunktion oder den Einheitskreis, um die Winkel im gegebenen Intervall zu finden.

1. Bestimmung der Zyklizität für \(\cos(x)\): \(g'(x) = -\sin(x)\), \(g''(x) = -\cos(x)\), \(g'''(x) = \sin(x)\), \(g^{(4)}(x) = \cos(x)\). Der Zyklus hat die Länge 4. 2. Reduktion der Ableitungsordnung: Da \(15 = 3 \cdot 4 + 3\), entspricht die 15. Ableitung der 3. Ableitung. Es gilt \(g^{(15)}(x) = g'''(x) = \sin(x)\). 3. Lösen der trigonometrischen Gleichung: Zu lösen ist \(\sin(x) = 0{,}5\) im Intervall \([0; 2\pi]\). 4. Berechnung der Stellen: Die Lösungen sind \(x_1 = \arcsin(0{,}5) = \frac{\pi}{6}\) und \(x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\).

\(x_1 = \frac{\pi}{6}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\)

- Welche mathematischen Bedingungen lassen sich aus den Formulierungen „schneidet die y-Achse“, „geht durch den Punkt“ und „hat die Steigung“ ableiten? - Leite die allgemeine Funktionsgleichung einmal ab, um die Bedingung für die Steigung nutzen zu können. - Setze die bekannten Werte für Sinus und Kosinus an den Stellen \(0\), \(\frac{\pi}{2}\) und \(\pi\) ein. - Du erhältst ein System aus linearen Gleichungen für die Unbekannten \(a\), \(b\) und \(c\).

1. Aufstellen der Bedingungen aus den gegebenen Eigenschaften: \(f(0) = 4\), \(f'(0) = 2\) und \(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\). 2. Berechnung der Ableitung: \(f'(x) = a\cos x - 2b\sin(2x)\). 3. Einsetzen von \(x = 0\) in die Ableitung: \(f'(0) = a \cdot 1 - 2b \cdot 0 = 2\), woraus \(a = 2\) folgt. 4. Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung: \(f(0) = a \cdot 0 + b \cdot 1 + c = 4\), also \(b + c = 4\). 5. Einsetzen des Punktes \(P\) mit \(a = 2\): \(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + b \cdot \cos(\pi) + c = 1\). Mit \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) und \(\cos(\pi) = -1\) ergibt sich \(2 - b + c = 1\), also \(-b + c = -1\). 6. Lösen des linearen Gleichungssystems: Aus \(b + c = 4\) und \(-b + c = -1\) folgt durch Addition \(2c = 3\), also \(c = 1{,}5\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(b + 1{,}5 = 4\), also \(b = 2{,}5\). 7. Die gesuchten Parameter sind \(a = 2\), \(b = 2{,}5\) und \(c = 1{,}5\).

Die Parameter lauten \(a = 2\), \(b = 2{,}5\) und \(c = 1{,}5\). Die Funktion ist \(f(x) = 2 \sin x + 2{,}5 \cos(2x) + 1{,}5\).

- Beschreibe zunächst, welche Eigenschaften die Kosinusfunktion \(f(x) = \cos(x)\) an speziellen Stellen wie \(x = 0\) hat (z. B. Funktionswert oder Steigung). - Wie hängt das Steigungsverhalten einer Funktion (steigend oder fallend) mit dem Vorzeichen ihrer Ableitungsfunktion zusammen? - Erinnere dich an die Verschiebung von Funktionsgraphen: Was bewirkt ein positiver Wert \(c\) in der Formel \(g(x) = f(x + c)\)? - Welche trigonometrischen Beziehungen kennst du zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion?

1. Graph I verläuft durch \((0\mid1)\) und besitzt dort ein lokales Maximum. Das passt zu \(f(0)=\cos(0)=1\); daher zeigt I die Funktion \(f\). 2. Am Maximum von \(f\) gilt \(f'(0)=0\). Graph II verläuft durch den Ursprung und ist für \(0<x<\pi\) negativ, passend zum fallenden Verlauf von \(f\). Daher zeigt II die Ableitung \(f'\). 3. Es ist \(f'(x)=-\sin(x)=\cos(x+\frac{\pi}{2})\). Somit ist der kleinste positive Wert \(c=\frac{\pi}{2}\). Der Graph von \(f'\) entsteht durch Verschiebung des Kosinusgraphen um \(\frac{\pi}{2}\) nach links.

a) Graph I gehört zu \(f(x)=\cos(x)\), Graph II zu \(f'(x)=-\sin(x)\). b) \(c=\frac{\pi}{2}\). Der Graph wird um \(\frac{\pi}{2}\) nach links verschoben.

- Schaue dir die drei Funktionsgleichungen genau an. Wie hängen die Terme von \(f(x)\), \(g(x)\) und \(h(x)\) zusammen? - Für die Bestimmung einer Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\) benötigst du den Funktionswert \(f(x_0)\) und die Ableitung \(f'(x_0)\). Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente? - Erinnere dich daran, wie man Sinus- und Kosinusfunktionen ableitet. - Welche Bedingung muss für die Steigung einer waagerechten Tangente gelten? Löse die entsprechende Gleichung im angegebenen Intervall.

1. Erklärung der punktweisen Addition: Für jede Stelle \(x\) gilt \(f(x) = h(x) + g(x)\). Für \(x = 0\) ergibt sich \(f(0) = 0 + \cos(0) = 1\). Im Graphen entspricht dies der vertikalen Addition der Funktionswerte (Abstände zur \(x\)-Achse). 2. Berechnung der Tangentengleichung an der Stelle \(x_0 = \pi\): Die Ableitung von \(f\) lautet \(f'(x) = 0{,}5 - \sin(x)\). Die Steigung an der Stelle \(x_0 = \pi\) ist \(f'(\pi) = 0{,}5 - \sin(\pi) = 0{,}5\). Der Funktionswert ist \(f(\pi) = 0{,}5\pi + \cos(\pi) = 0{,}5\pi - 1\). Aufstellen der Tangentengleichung: \(t(x) = f'(\pi) \cdot (x - \pi) + f(\pi) = 0{,}5 \cdot (x - \pi) + 0{,}5\pi - 1 = 0{,}5x - 1\). 3. Bestimmung der Stellen mit waagerechter Tangente im Intervall \([0; 2\pi]\): Ansatz \(f'(x) = 0 \implies 0{,}5 - \sin(x) = 0 \implies \sin(x) = 0{,}5\). Die Lösungen im Intervall sind \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\).

a) Der Graph von \(f\) entsteht durch punktweise Addition der Funktionswerte von \(g\) und \(h\). Beispiel für \(x = 0\): \(f(0) = h(0) + g(0) = 0 + 1 = 1\). b) \(t(x) = 0{,}5x - 1\) c) \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\)

- Überlege dir, wie man die \(y\)-Werte der beiden einfacheren Funktionen kombinieren muss, um auf den Wert der zusammengesetzten Funktion zu kommen. - Was bedeutet es für die Steigung einer Funktion, wenn ihre Tangente parallel zu einer Geraden wie \(y = x\) sein soll? - Schau dir die Stellen an, an denen die Sinuskurve ihre höchsten und tiefsten Punkte hat. Was fällt dir dort beim Graphen von \(f\) auf? - Erinnere dich an den Wertebereich der Sinusfunktion. Was ist der kleinste Wert, den der Sinus-Teil annehmen kann?

1. Der Graph \(G_f\) entsteht durch die punktweise Addition der Funktionswerte von \(g(x) = x\) und \(h(x) = 1{,}5\sin(x)\). Er schwankt daher um die Gerade \(y=x\). 2. Eine Parallele zu \(g(x)=x\) hat die Steigung \(1\). Mit \(f'(x)=1+1{,}5\cos(x)\) gilt \(f'(x)=1 \iff \cos(x)=0\). 3. Im Intervall \([0;2\pi]\) erhält man \(x_1=\frac{\pi}{2}\) und \(x_2=\frac{3\pi}{2}\). 4. Für \(0<x\le \pi\) gilt \(\sin(x)\ge 0\), also \(f(x)=x+1{,}5\sin(x)>0\). Für \(x>\pi\) gilt \(f(x)\ge x-1{,}5>\pi-1{,}5>0\). Damit nimmt \(f\) für \(x>0\) keine negativen Funktionswerte an.

a) Der Graph \(G_f\) entsteht durch punktweise Addition der \(y\)-Werte von \(g\) und \(h\) und schwankt um die Gerade \(y=x\). b) \(x_1=\frac{\pi}{2}\) und \(x_2=\frac{3\pi}{2}\). c) Für \(0<x\le\pi\) ist \(\sin(x)\ge0\); für \(x>\pi\) gilt \(f(x)\ge x-1{,}5>0\). Daher ist \(f(x)>0\) für alle \(x>0\).

- Wie lautet die Ableitung der Funktion in Abhängigkeit von \(a\)? - Was bedeutet „nicht-negative Steigung“ mathematisch für die Ableitungsfunktion? - Welchen Bereich deckt der Ausdruck \(a \cdot \cos(x)\) ab, wenn \(x\) alle reellen Zahlen durchläuft? - Wie muss \(a\) gewählt werden, damit der kleinstmögliche Wert der Ableitung nicht unter Null sinkt?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(g_a'(x) = 1 + a \cdot \cos(x)\). 2. Die Bedingung für eine nicht-negative Steigung lautet \(g_a'(x) \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). 3. Umformung der Bedingung: \(1 + a \cdot \cos(x) \ge 0 \iff a \cdot \cos(x) \ge -1\). 4. Betrachtung der Extrema von \(a \cdot \cos(x)\): Die Funktion \(h(x) = a \cdot \cos(x)\) schwankt zwischen \(-|a|\) und \(|a|\). 5. Damit die Bedingung \(a \cdot \cos(x) \ge -1\) für alle \(x\) erfüllt ist, muss der kleinste Wert von \(a \cdot \cos(x)\) größer oder gleich \(-1\) sein. 6. Dies führt zu der Ungleichung \(-|a| \ge -1\), was äquivalent zu \(|a| \le 1\) ist. 7. Die Lösungsmenge für den Parameter ist somit das Intervall \([-1; 1]\).

Die Funktion \(g_a\) besitzt für alle \(a \in [-1; 1]\) eine nicht-negative Steigung.

- Vergiss bei der Ableitung von \(\sin(2x)\) nicht die Kettenregel (innere Ableitung). - Um die Tangentengleichung aufzustellen, benötigst du zuerst den Funktionswert an der gegebenen Stelle. - Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Berührstelle. - Der Steigungswinkel wird über die Tangens-Funktion berechnet. Überlege dir, wie du mit negativen Steigungswerten umgehst.

1. Berechnung des Funktionswerts: \(f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \sqrt{3} + 0{,}5 \approx 2{,}232\). 2. Bildung der Ableitungsfunktion unter Verwendung der Kettenregel: \(f'(x) = 4\cos(2x) - \sin(x)\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m = f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \left(-0{,}5\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -2 - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -2{,}866\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = \left(-2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{3} + 0{,}5\). Ausmultipliziert ergibt dies etwa \(y \approx -2{,}87x + 5{,}23\). 5. Bestimmung des Steigungswinkels: Für den Steigungswinkel im Bereich \(0^\circ \leq \alpha < 180^\circ\) gilt \(\tan(\alpha) = -2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\). Der Taschenrechner liefert zunächst \(-70{,}77^\circ\); wegen der negativen Steigung wird \(180^\circ\) addiert. Daher ist \(\alpha \approx 109{,}23^\circ\).

Tangentengleichung: \(y = \left(-2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)x + \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6} + \sqrt{3} + 0{,}5\) (gerundet: \(y \approx -2{,}87x + 5{,}23\)) Steigungswinkel: \(\alpha \approx 109{,}23^\circ\)

- Wann haben zwei Geraden dieselbe Steigung? - Erinnere dich an die trigonometrischen Formeln für den doppelten Winkel. - Was muss für das Produkt der Steigungen gelten, wenn zwei Geraden orthogonal (senkrecht) zueinander sind? - Welchen maximalen und minimalen Wert können Sinus- und Kosinusfunktionen annehmen?

1. Ableitungen: \(f'(x) = \cos(x)\) und \(g'(x) = -\sin(x)\). 2. Für parallele Tangenten gilt \(f'(x) = g'(x) \implies \cos(x) = -\sin(x) \implies \tan(x) = -1\). Im Intervall \([0; \pi]\) ist dies für \(x_P = \frac{3\pi}{4}\) der Fall. 3. Produkt der Steigungen: \(f'(x) \cdot g'(x) = \cos(x) \cdot (-\sin(x)) = -\sin(x)\cos(x)\). Unter Verwendung der Doppelwinkelformel \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) folgt \(h(x) = -\frac{1}{2}\sin(2x)\). 4. Für Orthogonalität müsste gelten \(h(x) = -1\), also \(-\frac{1}{2}\sin(2x) = -1 \implies \sin(2x) = 2\). Da die Sinusfunktion nur Werte im Intervall \([-1; 1]\) annimmt, ist diese Gleichung unlösbar. Es gibt keine solche Stelle \(x\). 5. Für unterschiedliche Stellen \(x_1, x_2\) gilt die Bedingung \(f'(x_1) \cdot g'(x_2) = -1 \implies \cos(x_1) \cdot (-\sin(x_2)) = -1 \implies \cos(x_1) \cdot \sin(x_2) = 1\). 6. Da im Intervall \([0; \pi]\) gilt \(|\cos(x_1)| \le 1\) und \(0 \le \sin(x_2) \le 1\), kann das Produkt nur dann \(1\) sein, wenn \(\cos(x_1) = 1\) und \(\sin(x_2) = 1\). 7. Dies liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{\pi}{2}\).

a) \(x_P = \frac{3\pi}{4}\) b) Nachweis über \(f'(x) \cdot g'(x) = -\sin(x)\cos(x) = -\frac{1}{2}\sin(2x)\). c) Die Gleichung \(\sin(2x) = 2\) hat keine Lösung. d) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{\pi}{2}\)

- Was muss für die Funktionswerte und die Steigungen an einem Berührpunkt gelten? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für zusammengesetzte trigonometrische Funktionen. - Kannst du \(\sin(2x)\) so umformen, dass nur noch Terme mit \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) vorkommen? - Nutze das Nullproduktverfahren, um die Gleichung für die Steigungen zu lösen. - Vergiss nicht, die gefundenen Stellen in die ursprüngliche Bedingung für die Funktionswerte einzusetzen.

1. Aufstellen der Bedingungen für einen Berührpunkt an der Stelle \(x\): \(f(x) = g_c(x)\) und \(f'(x) = g_c'(x)\). 2. Bestimmung der Ableitungen: \(f'(x) = 2\cos(x)\) und \(g_c'(x) = -2\sin(2x)\). 3. Gleichsetzen der Ableitungen unter Verwendung der Doppelwinkelformel \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\): \(2\cos(x) = -4\sin(x)\cos(x) \iff 2\cos(x) \cdot (1 + 2\sin(x)) = 0\). 4. Lösung der Ableitungsgleichung: \(\cos(x) = 0\) oder \(\sin(x) = -0{,}5\). 5. Untersuchung des Falls \(\cos(x) = 0\): Dies führt zu \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Für \(x = \frac{\pi}{2}\) ergibt \(f(\frac{\pi}{2}) = g_c(\frac{\pi}{2})\) die Gleichung \(2 = -1 + c\), also \(c = 3\). Für \(x = \frac{3\pi}{2}\) ergibt \(f(\frac{3\pi}{2}) = g_c(\frac{3\pi}{2})\) die Gleichung \(-2 = -1 + c\), also \(c = -1\). 6. Untersuchung des Falls \(\sin(x) = -0{,}5\): Hier ist \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) = 1 - 2 \cdot (-0{,}5)^2 = 0{,}5\). Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert \(2 \cdot (-0{,}5) = 0{,}5 + c\), woraus \(c = -1{,}5\) folgt.

\(c \in \{-1{,}5; -1; 3\}\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen. - Für welche Winkel im Einheitskreis nimmt der Kosinus den Wert \(0{,}5\) an? - Nutze die zweite Ableitung an den inneren kritischen Stellen und prüfe bei einem abgeschlossenen Intervall zusätzlich beide Randpunkte.

1. Erste Ableitung berechnen: \(f'(x) = 1 - 2\cos(x)\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung im Intervall \([0; 2\pi]\) bestimmen: \(1 - 2\cos(x) = 0 \iff \cos(x) = 0{,}5\). Dies liefert \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{3}\). 3. Zweite Ableitung berechnen: \(f''(x) = 2\sin(x)\). 4. Klassifizierung der inneren kritischen Stellen: - \(f''(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} > 0 \implies\) Lokales Minimum bei \(x = \frac{\pi}{3}\). - \(f''(\frac{5\pi}{3}) = 2\sin(\frac{5\pi}{3}) = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3} < 0 \implies\) Lokales Maximum bei \(x = \frac{5\pi}{3}\). 5. Prüfung der Randstellen relativ zum abgeschlossenen Intervall: Da \(f'(0)=-1<0\), fällt \(f\) unmittelbar rechts von \(0\); somit liegt bei \(x=0\) ein Randmaximum vor. Da \(f'(2\pi)=-1<0\), fällt \(f\) bis zum rechten Rand; somit liegt bei \(x=2\pi\) ein Randminimum vor. Der Vergleich \(f(\frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}<f(0)=0<f(2\pi)=2\pi<f(\frac{5\pi}{3})=\frac{5\pi}{3}+\sqrt{3}\) zeigt außerdem: Das absolute Minimum liegt bei \(x=\frac{\pi}{3}\), das absolute Maximum bei \(x=\frac{5\pi}{3}\).

Im Intervall \([0; 2\pi]\) liegen folgende Extremstellen vor: - Randmaximum bei \(x=0\) - lokales und absolutes Minimum bei \(x=\frac{\pi}{3}\) - lokales und absolutes Maximum bei \(x=\frac{5\pi}{3}\) - Randminimum bei \(x=2\pi\)

- Denk daran, dass du dich nur im Bereich von \(0\) bis \(2\pi\) bewegst. - Wie kannst du die Steigung an einer bestimmten Stelle berechnen, um sie mit Null zu vergleichen? - Welche Eigenschaft der Sinus- und Kosinuswerte an den Stellen \(\frac{\pi}{2}\) und \(\frac{3\pi}{2}\) hilft dir hier weiter? - Überlege dir, wie das Vorzeichen der dritten Ableitung die Art des Extremums der ersten Ableitung festlegt.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = -\sin(x) - 1\), \(f''(x) = -\cos(x)\), \(f'''(x) = \sin(x)\). 2. Nullstellen der zweiten Ableitung im Intervall \([0; 2\pi]\) finden: \(-\cos(x) = 0\) führt zu \(x_1 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_2 = \frac{3\pi}{2}\). 3. Art des Steigungsextrems mittels \(f'''(x)\) bestimmen: - \(f'''(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 > 0 \implies\) Lokales Minimum der Steigung. - \(f'''(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 < 0 \implies\) Lokales Maximum der Steigung. 4. Sattelpunktprüfung (\(f'(x) = 0\)) und Koordinaten berechnen: - \(f'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) - 1 = -1 - 1 = -2 \neq 0\). Punkt: \(W(\frac{\pi}{2} \mid -\frac{\pi}{2})\). Kein Sattelpunkt. - \(f'(\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) - 1 = -(-1) - 1 = 0\). Punkt: \(S(\frac{3\pi}{2} \mid -\frac{3\pi}{2})\). Da \(f' = 0\), handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Im Intervall \([0; 2\pi]\) liegen folgende Punkte vor: Wendepunkt \(W(\frac{\pi}{2} \mid -\frac{\pi}{2})\) mit einem lokalen Minimum der Steigung. Sattelpunkt \(S(\frac{3\pi}{2} \mid -\frac{3\pi}{2})\) mit einem lokalen Maximum der Steigung.

- Nutze die Produktregel und ersetze \(\cos^2 x\) durch einen Ausdruck mit \(\sin^2 x\). - Welche Gleichung musst du lösen, um Stellen mit waagerechter Tangente zu finden? - Bei Teilaufgabe c) hilft eine Substitution, um die trigonometrische Gleichung in eine quadratische Gleichung zu überführen. - Beachte bei der Rücksubstitution den Wertebereich der Sinusfunktion. - Denk daran, dass die Sinusfunktion in einem Intervall von \(2\pi\) zwei Stellen mit demselben positiven Wert haben kann.

1. Ableitung: Anwendung der Produktregel auf \(f_k(x) = \cos x \cdot (k + \sin x)\) ergibt \(f_k'(x) = -\sin x(k + \sin x) + \cos x \cdot \cos x = -k \sin x - \sin^2 x + \cos^2 x\). Mit \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) folgt \(f_k'(x) = -k \sin x - \sin^2 x + 1 - \sin^2 x = 1 - k \sin x - 2 \sin^2 x\). 2. Waagerechte Tangenten (\(k=0\)): \(f_0'(x) = 1 - 2\sin^2 x = \cos(2x)\). Der Ansatz \(\cos(2x) = 0\) im Intervall \([0; 4\pi[\) für das Argument \(2x\) liefert \(2x \in \{\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\}\). Somit sind die Stellen \(x \in \{\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\}\). 3. Extremstellen (\(k=\frac{7}{3}\)): Der Ansatz \(f_{7/3}'(x) = 0\) führt auf \(1 - \frac{7}{3} \sin x - 2 \sin^2 x = 0\), was äquivalent zu \(6 \sin^2 x + 7 \sin x - 3 = 0\) ist. 4. Quadratische Gleichung: Mit \(u = \sin x\) ergibt die Mitternachtsformel \(u = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 6 \cdot (-3)}}{12} = \frac{-7 \pm 11}{12}\). 5. Rücksubstitution: \(u_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) und \(u_2 = -\frac{18}{12} = -1{,}5\). Da \(-1{,}5\) außerhalb des Wertebereichs des Sinus liegt, bleibt nur \(\sin x = \frac{1}{3}\). 6. Ergebnisse: \(x_1 = \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 0{,}34\) und \(x_2 = \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 2{,}80\). Beide Stellen sind Extremstellen, da \(f_{7/3}''(x) = -k \cos x - 4 \sin x \cos x\) dort ungleich Null ist (da \(\sin x = \frac{1}{3} \implies \cos x \neq 0\)).

a) Nachweis durch Produktregel und Anwendung des trigonometrischen Pythagoras \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). b) \(x \in \{\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\}\). c) \(x_1 \approx 0{,}34\) und \(x_2 \approx 2{,}80\).

- Denk beim Ableiten an die Kettenregel. - Was fällt dir auf, wenn du die zweite und vierte Ableitung mit der Ausgangsfunktion vergleichst? - Setze die berechneten Ableitungen in die gegebene Gleichung ein und versuche, die Gleichung zu vereinfachen. - Ein bekanntes Verfahren für Gleichungen vierten Grades, die nur gerade Potenzen enthalten, könnte hier hilfreich sein.

1. Bildung der Ableitungen unter Verwendung der Kettenregel: \(f_k'(x) = -k\sin(kx)\) \(f_k''(x) = -k^2\cos(kx)\) \(f_k'''(x) = k^3\sin(kx)\) \(f_k''''(x) = k^4\cos(kx)\) 2. Einsetzen der Ableitungen in die Gleichung: \(k^4\cos(kx) + 20 \cdot (-k^2\cos(kx)) = -64 \cdot \cos(kx)\). Nach dem Zusammenfassen ergibt sich \((k^4 - 20k^2 + 64)\cos(kx)=0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Da \(\cos(kx)\) nicht für alle \(x\) gleich \(0\) ist, muss \(k^4 - 20k^2 + 64 = 0\) gelten. Substitution \(u = k^2\): \(u^2 - 20u + 64 = 0 \Rightarrow (u - 16)(u - 4) = 0\) Rücksubstitution: \(k^2 = 16 \Rightarrow k_1 = 4, k_2 = -4\) \(k^2 = 4 \Rightarrow k_3 = 2, k_4 = -2\)

1. \(f_k''''(x) = k^4\cos(kx)\) 2. Die Gleichung ist für \(k \in \{-4; -2; 2; 4\}\) erfüllt.

- Eine waagerechte Tangente bedeutet, dass die Steigung (erste Ableitung) an dieser Stelle null ist. - Überlege dir am Einheitskreis oder am Graphen der Tangensfunktion, für welche Winkel der Sinus- und Kosinuswert gleich sind. - Nutze das Vorzeichen der zweiten Ableitung als Kriterium für die Art des Extrempunktes.

1. Erste Ableitung bilden: \(h'(x) = \cos(x) - \sin(x)\). 2. Zweite Ableitung bilden: \(h''(x) = -\sin(x) - \cos(x)\). 3. Bedingung für waagerechte Tangenten (\(h'(x) = 0\)): \(\cos(x) - \sin(x) = 0 \Rightarrow \sin(x) = \cos(x)\). 4. Da \(\cos(x) = 0\) keine Lösung für diese Gleichung liefert, kann man durch \(\cos(x)\) dividieren: \(\tan(x) = 1\). 5. Lösungen für \(\tan(x) = 1\) im Intervall \([0; 2\pi]\) bestimmen: \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{4}\). 6. Art der Extrema mit \(h''(x)\) prüfen: Für \(x_1 = \frac{\pi}{4}\): \(h''(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} < 0 \Rightarrow\) Lokales Maximum. Für \(x_2 = \frac{5\pi}{4}\): \(h''(\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\frac{5\pi}{4}) - \cos(\frac{5\pi}{4}) = -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} > 0 \Rightarrow\) Lokales Minimum.

Waagerechte Tangenten bei \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{4}\). An der Stelle \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) liegt ein lokales Maximum vor, an der Stelle \(x_2 = \frac{5\pi}{4}\) ein lokales Minimum.

- Wann haben Sinus und Kosinus den gleichen Wert? Denke an den Einheitskreis oder die Tangensfunktion. - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen. - Die Steigungen an der Schnittstelle sind betragsmäßig gleich, haben aber unterschiedliche Vorzeichen. - Nutze die Formel für den Winkel zwischen zwei Geraden, um das exakte Ergebnis oder einen Näherungswert zu finden.

1. Schnittstelle bestimmen: \(\sin(x) = \cos(x) \Rightarrow \tan(x) = 1\). Im Intervall \([0; \pi]\) ist die Lösung \(x = \frac{\pi}{4}\). 2. \(y\)-Koordinate: \(f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\). Der Schnittpunkt ist \(P(\frac{\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})\). 3. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \cos(x)\) und \(g'(x) = -\sin(x)\). 4. Steigungen an der Stelle \(x = \frac{\pi}{4}\): \(m_f = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(m_g = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). 5. Schnittwinkel \(\alpha\) berechnen: \(\tan(\alpha) = \left| \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})} \right| = \left| \frac{\sqrt{2}}{1 - \frac{1}{2}} \right| = \frac{\sqrt{2}}{0{,}5} = 2\sqrt{2}\). 6. Winkelwert: \(\alpha = \arctan(2\sqrt{2}) \approx 70{,}5^\circ\).

Der Schnittpunkt im Intervall \([0; \pi]\) ist \(P(\frac{\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})\). Der Schnittwinkel der Graphen an dieser Stelle beträgt etwa \(70{,}5^\circ\).

- Wie hängen die Steigungen der einzelnen Funktionen \(g\) und \(h\) mit der Steigung der Gesamtsumme \(f\) zusammen? - Wo hat die Funktion \(h(x) = -\cos(x)\) die Steigung Null? Was bedeutet das für die Steigung von \(f\) an diesen Stellen? - Erinnere dich: Eine waagerechte Tangente bedeutet, dass die erste Ableitung an dieser Stelle den Wert Null hat. - Welche Werte kann die Sinusfunktion annehmen? Kann der Ausdruck für die Ableitung überhaupt Null werden?

1. \(g(x)=0{,}5x\) ist die grüne Ursprungsgerade, \(h(x)=-\cos(x)\) die rote, an der \(x\)-Achse gespiegelte Kosinuskurve und \(f(x)=0{,}5x-\cos(x)\) der blaue Summengraph. 2. Es gilt \(f'(x)=0{,}5+\sin(x)\). Für die Steigung \(0{,}5\) folgt \(\sin(x)=0\). Im Intervall \([0;2\pi]\) sind dies \(x=0,\pi,2\pi\). 3. Die zugehörigen Punkte sind \(P_1(0\mid-1)\), \(P_2(\pi\mid0{,}5\pi+1)\) und \(P_3(2\pi\mid\pi-1)\). 4. Waagerechte Tangenten erfüllen \(f'(x)=0\), also \(\sin(x)=-0{,}5\). Damit gilt allgemein \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n\) oder \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n\) mit \(n\in\mathbb{Z}\).

a) Blau: \(f\), Grün: \(g\), Rot: \(h\). b) \(P_1(0\mid-1)\), \(P_2(\pi\mid0{,}5\pi+1)\) und \(P_3(2\pi\mid\pi-1)\). c) Waagerechte Tangenten liegen bei \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n\) oder \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n\) mit \(n\in\mathbb{Z}\).

- Nutze die Kettenregel, um die Ableitung von Funktionen der Form \(\sin(kx)\) zu bestimmen. - Die Amplitude ist der maximale Ausschlag eines Graphen in \(y\)-Richtung. - Wo nimmt die Ableitungsfunktion ihren größten Wert an? Das ist die Stelle der steilsten Zunahme der Originalfunktion.

1. Mit der Kettenregel ergibt sich \(h'(x)=2\cos(2x)\). 2. \(h(x)=\sin(2x)\) hat die Amplitude \(1\); \(h'(x)=2\cos(2x)\) hat die Amplitude \(2\). Daher zeigt Graph I die Funktion \(h\) und Graph II die Ableitung \(h'\). 3. Die maximale Steigung ist das Maximum von \(h'(x)=2\cos(2x)\), also \(2\). Im Intervall \([0;\pi]\) wird dieser Wert bei \(x=0\) und \(x=\pi\) erreicht.

a) \(h'(x)=2\cos(2x)\). b) Graph I gehört zu \(h\), Graph II zu \(h'\). c) Die maximale Steigung \(2\) wird bei \(x=0\) und \(x=\pi\) erreicht.