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- Welche Bedingung muss für das Argument eines Logarithmus erfüllt sein? - Gibt es ein Gesetz, mit dem man den Logarithmus eines Produkts in eine Summe umwandeln kann? - Was passiert mit Exponenten innerhalb eines Logarithmus? - Wie lautet die Grundableitung der natürlichen Logarithmusfunktion?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Da das Argument des Logarithmus positiv sein muss, gilt \(x^5 \cdot e^3 > 0\). Da \(e^3 > 0\), muss \(x^5 > 0\) gelten, woraus \(x > 0\) folgt. Somit ist \(D_f = \mathbb{R}^+ = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\). 2. Vereinfachung des Terms: Anwendung der Logarithmusgesetze für Produkte und Potenzen ergibt \(f(x) = \ln(x^5) + \ln(e^3) = 5 \ln(x) + 3\). 3. Berechnung der Ableitung: Die Ableitung der konstanten Zahl \(3\) ist \(0\). Die Ableitung von \(5 \ln(x)\) ist \(5 \cdot \frac{1}{x}\). Somit ergibt sich \(f'(x) = \frac{5}{x}\).

a) \(D_f = \mathbb{R}^+ = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\) b) \(f(x) = 5 \ln(x) + 3\) c) \(f'(x) = \frac{5}{x}\)

- Für welche Werte von \(x\) ist der Ausdruck in der Klammer größer als Null? - Welche Regel erlaubt es, einen Logarithmus eines Produkts in eine Summe von Logarithmen zu zerlegen? - Was passiert mit einem Exponenten innerhalb eines Logarithmus? - Wie lautet die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion \(\ln(x)\)?

1. Das Argument des Logarithmus muss positiv sein. Da \(x^4 > 0\) für alle \(x \neq 0\) gilt, ist die maximale Definitionsmenge \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Anwendung der Logarithmusgesetze für Produkte und Potenzen: \(f(x) = \ln(5) + \ln(x^4) = \ln(5) + 4 \cdot \ln(|x|)\). 3. Ableiten des vereinfachten Terms: Da \(\ln(5)\) eine Konstante ist, fällt sie beim Ableiten weg. Die Ableitung von \(4 \cdot \ln(|x|)\) ergibt \(4 \cdot \frac{1}{x}\). Somit ist \(f'(x) = \frac{4}{x}\).

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) 2. \(f(x) = \ln(5) + 4\ln(|x|)\) 3. \(f'(x) = \frac{4}{x}\)

- Welche Regel musst du anwenden, wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist? - Erinnere dich an die Ableitung der Funktion \(y = \ln(x)\). - Was ist die Ableitung des Ausdrucks in der Klammer? - Wie verbindet man die äußere und die innere Ableitung?

1. Anwendung der Kettenregel für die Funktion \(f(x) = \ln(v(x))\) mit der inneren Funktion \(v(x) = x^2 + 4x\). 2. Ableitung der inneren Funktion: \(v'(x) = 2x + 4\). 3. Ableitung der äußeren Logarithmusfunktion: \(u'(v) = \frac{1}{v}\). 4. Zusammensetzen gemäß der Kettenregel \(f'(x) = \frac{1}{v(x)} \cdot v'(x)\): \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 4x} \cdot (2x + 4) = \frac{2x + 4}{x^2 + 4x}\). 5. Für \(x > 0\) ist der Nenner \(x^2 + 4x\) stets positiv, sodass die Ableitungsfunktion im gesamten Bereich \(D_{f'} = ]0; \infty[\) definiert ist.

\(f'(x) = \frac{2x + 4}{x^2 + 4x}\) für \(x \in ]0; \infty[\)

- Welche Regel benötigst du, um eine verkettete Funktion der Form \(\ln(u(x))\) abzuleiten? - Wenn das Ergebnis der ersten Ableitung ein Bruch ist, welche Regel ist dann für die zweite Ableitung hilfreich? - Achte beim Zusammenfassen des Zählers besonders auf die Vorzeichen.

1. Berechnung der ersten Ableitung mit der Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 4}\). 2. Berechnung der zweiten Ableitung mit der Quotientenregel: \(u(x) = 2x \Rightarrow u'(x) = 2\) und \(v(x) = x^2 + 4 \Rightarrow v'(x) = 2x\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f''(x) = \frac{2 \cdot (x^2 + 4) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2}\). 4. Vereinfachen des Zählers: \(2x^2 + 8 - 4x^2 = 8 - 2x^2\). 5. Ergebnis: \(f''(x) = \frac{8 - 2x^2}{(x^2 + 4)^2}\).

\(f''(x) = \frac{8 - 2x^2}{(x^2 + 4)^2}\)

- Wann wird der natürliche Logarithmus eines Wertes genau Null? - Achte beim Ableiten darauf, ob die Funktion eine „innere“ und eine „äußere“ Komponente hat. - Überlege, wie du eine Gleichung der Form \(\ln(\dots) = 0\) nach \(x\) auflösen kannst.

1. Nullstelle bestimmen: Der Ansatz \(g(x) = 0\) führt auf \(\ln(2x + e) = 0\). Durch Anwendung der Umkehrfunktion erhält man \(2x + e = e^0 = 1\). Umstellen nach \(x\) ergibt \(2x = 1 - e\) und somit \(x = \frac{1 - e}{2}\). 2. Ableitung bestimmen: Die Funktion \(g\) ist eine verkettete Funktion mit der äußeren Funktion \(\ln(u)\) und der inneren Funktion \(u(x) = 2x + e\). Die Ableitung der äußeren Funktion ist \(\frac{1}{u}\) und die Ableitung der inneren Funktion ist \(2\). Nach der Kettenregel gilt \(g'(x) = \frac{1}{2x + e} \cdot 2 = \frac{2}{2x + e}\).

Nullstelle: \(x = \frac{1 - e}{2}\) Ableitungsfunktion: \(g'(x) = \frac{2}{2x + e}\)

- Welche Auswirkungen haben die Summanden innerhalb und außerhalb des Logarithmus auf die Lage des Graphen? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung vollständig aufzustellen? - Wie hängen die erste Ableitung einer Funktion und die Steigung ihrer Tangente zusammen? - Hast du den Punkt auf dem Graphen bereits berechnet?

1. Identifikation der Transformationen: Der Graph entsteht durch eine Verschiebung um 2 Einheiten in positive \( x \)-Richtung und eine Verschiebung um 3 Einheiten in positive \( y \)-Richtung. 2. Berechnung des Funktionswertes an der Berührstelle: \( f(3) = \ln(3 - 2) + 3 = \ln(1) + 3 = 0 + 3 = 3 \). Der Berührpunkt ist \( B(3 \mid 3) \). 3. Bildung der Ableitungsfunktion: \( f'(x) = \frac{1}{x - 2} \). 4. Berechnung der Tangentensteigung: \( m = f'(3) = \frac{1}{3 - 2} = 1 \). 5. Aufstellen der Tangentengleichung: \( y = m \cdot (x - x_0) + f(x_0) \implies y = 1 \cdot (x - 3) + 3 \). 6. Vereinfachung: \( y = x \).

a) Der Graph von \( f \) entsteht aus dem Graphen von \( y = \ln(x) \) durch eine Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und um 3 Einheiten nach oben. b) \( y = x \)

- Kannst du die allgemeine Regel für die Ableitung des natürlichen Logarithmus \(\ln(x)\) nennen? - Wie gehst du vor, wenn im Logarithmus ein ganzer Ausdruck wie \(5x-3\) steht? - Erinnerst du dich, wie man Logarithmen mit einer anderen Basis (wie \(\log_3\)) in den natürlichen Logarithmus umwandelt? - Bei Teilaufgabe c) behandelst du den Buchstaben \(a\) einfach wie eine feste Zahl.

1. Für \(f(x) = \ln(5x - 3)\) ergibt sich mit der Kettenregel \(f'(x) = \frac{5}{5x - 3}\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = 5 \cdot (-1) \cdot (5x - 3)^{-2} \cdot 5 = -\frac{25}{(5x - 3)^2}\). 2. Da \(g(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(3)} - 4x\), ist die erste Ableitung \(g'(x) = \frac{1}{x \ln(3)} - 4\). Erneutes Ableiten führt zu \(g''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln(3)}\). 3. Für \(h(t) = \ln(at + 1)\) liefert die Kettenregel \(h'(t) = \frac{a}{at + 1}\). Die zweite Ableitung ist \(h''(t) = a \cdot (-1) \cdot (at + 1)^{-2} \cdot a = -\frac{a^2}{(at + 1)^2}\).

a) \(f'(x) = \frac{5}{5x - 3}\); \(f''(x) = -\frac{25}{(5x - 3)^2}\) b) \(g'(x) = \frac{1}{x \ln(3)} - 4\); \(g''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln(3)}\) c) \(h'(t) = \frac{a}{at + 1}\); \(h''(t) = -\frac{a^2}{(at + 1)^2}\)

- Welche Steigung hat der Graph an einer bestimmten Stelle und wie hängt diese mit der Tangente zusammen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangente an der Stelle \(x_0\). - Überlege, was „lineare Näherung“ im Zusammenhang mit der Tangente bedeutet. - Wie berechnet man den Unterschied zwischen einem Schätzwert und dem tatsächlichen Ergebnis?

1. Die Ableitung von \(f(x) = \ln(x)\) ist \(f'(x) = \frac{1}{x}\). An der Stelle \(x_0 = 1\) gilt \(f(1) = \ln(1) = 0\) und \(f'(1) = \frac{1}{1} = 1\). Die Tangentengleichung lautet somit \(t(x) = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1) = 1 \cdot (x - 1) + 0\), also \(t(x) = x - 1\). 2. Mit der Näherung \(\ln(x) \approx x - 1\) ergibt sich für \(x = 1{,}08\): \(\ln(1{,}08) \approx 1{,}08 - 1 = 0{,}08\). Für \(x = 0{,}95\) ergibt sich: \(\ln(0{,}95) \approx 0{,}95 - 1 = -0{,}05\). 3. Der exakte Wert von \(\ln(1{,}08)\) beträgt ca. \(0{,}0770\). Die Abweichung berechnet sich als \(|0{,}0770 - 0{,}08| = 0{,}0030\).

1. \(t(x) = x - 1\) 2. \(\ln(1{,}08) \approx 0{,}08\); \(\ln(0{,}95) \approx -0{,}05\) 3. Abweichung \(\approx 0{,}0030\)

- Wann ist der Ausdruck in der Klammer größer als Null? - Denke bei der Ableitung an die Funktion im Inneren des Logarithmus. - Wie berechnet man die Steigung an einer ganz bestimmten Stelle, wenn die Ableitungsfunktion bekannt ist?

1. Definitionsmenge: Die Bedingung \(12 - 4x > 0\) führt zu \(12 > 4x\) bzw. \(3 > x\). Somit ist \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 3\}\) oder als Intervall \(D_g = ]-\infty; 3[\). 2. Ableitungsfunktion: Mit der Kettenregel (äußere Funktion \(u \mapsto \ln(u)\), innere Funktion \(v(x) = 12 - 4x\)) folgt \(g'(x) = \frac{1}{12 - 4x} \cdot (-4) = \frac{-4}{12 - 4x}\). Durch Kürzen mit \(4\) erhält man \(g'(x) = \frac{-1}{3 - x} = \frac{1}{x - 3}\). 3. Steigung an der Stelle \(x = 2\): Einsetzen in die Ableitung ergibt \(g'(2) = \frac{1}{2 - 3} = -1\).

a) \(D_g = ]-\infty; 3[\) b) \(g'(x) = \frac{-4}{12 - 4x} = \frac{1}{x - 3}\) c) \(g'(2) = -1\)

- Denk daran, dass unter einer Wurzel keine negativen Zahlen stehen dürfen und der Logarithmus nur für positive Werte definiert ist. - Wie kann man eine Wurzel als Potenz umschreiben? - Welche Regel hilft dir, einen Bruch innerhalb des Logarithmus aufzulösen? - Was ist der natürliche Logarithmus der Eulerschen Zahl \(e\)?

1. Die Quadratwurzel ist für \(x \geq 0\) definiert, das Argument des Logarithmus muss jedoch strikt positiv sein. Daher muss \(\sqrt{x} > 0\) gelten, woraus \(x > 0\) folgt. Somit ist \(D_g = \mathbb{R}^+ = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\). 2. Anwendung des Logarithmusgesetzes für Quotienten: \(g(x) = \ln(\sqrt{x}) - \ln(e^2)\). Da \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) und \(\ln(e^k) = k\), vereinfacht sich der Term zu \(g(x) = \frac{1}{2}\ln(x) - 2\). 3. Ableiten des Terms: Der konstante Teil \(-2\) fällt weg. Die Ableitung von \(\frac{1}{2}\ln(x)\) ist \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x}\). Es ergibt sich \(g'(x) = \frac{1}{2x}\).

1. \(D_g = \mathbb{R}^+\) (bzw. \(x > 0\)) 2. \(g(x) = \frac{1}{2}\ln(x) - 2\) 3. \(g'(x) = \frac{1}{2x}\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(u\)? - Was bedeutet es geometrisch für die Gleichung, wenn eine Gerade durch den Ursprung verläuft? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion an der Berührstelle zusammen? - Erinnere dich an die Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus, insbesondere für Potenzen von \(e\).

1. Ableitung bestimmen: \(f'(x) = \frac{1}{x}\). 2. Für \(x_0 = e^2\) gilt \(f(e^2) = 2\) und \(f'(e^2) = \frac{1}{e^2}\). Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form: \(y = \frac{1}{e^2}(x - e^2) + 2 = \frac{1}{e^2}x + 1\). 3. Ansatz für Tangente durch den Ursprung: Die allgemeine Tangente an der Stelle \(u\) lautet \(y = \frac{1}{u}x + \ln(u) - 1\). Da sie durch \((0|0)\) geht, muss der \(y\)-Achsenabschnitt \(\ln(u) - 1 = 0\) sein. Daraus folgt \(\ln(u) = 1\), also \(u = e\). Der Berührpunkt ist \(B(e | 1)\) und die Gleichung lautet \(y = \frac{1}{e}x\). 4. Für \(x_1 = \sqrt{e} = e^{0{,}5}\) ist \(f(x_1) = 0{,}5\) und \(f'(x_1) = \frac{1}{\sqrt{e}}\). Die Tangente lautet \(y = \frac{1}{\sqrt{e}}x + 0{,}5 - 1 = \frac{1}{\sqrt{e}}x - 0{,}5\). Nullstelle berechnen: \(0 = \frac{1}{\sqrt{e}}x - 0{,}5 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{e}}x = 0{,}5 \Rightarrow x = 0{,}5\sqrt{e}\).

a) \(y = \frac{1}{e^2}x + 1\) b) \(B(e | 1)\); \(y = \frac{1}{e}x\) c) \(x = \frac{1}{2}\sqrt{e}\)

- Für welche Werte von \(x\) ist der Ausdruck im Logarithmus größer als Null? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für verkettete Funktionen: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Überlege dir, für welche Zahlenbereiche die Rechenregeln für Logarithmen uneingeschränkt gelten. - Was passiert, wenn du eine negative Zahl in den Ausdruck \(\ln(x)\) einsetzt?

1. Der Term \(x^4\) ist für alle \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) positiv. Da die natürliche Logarithmusfunktion nur für positive Argumente definiert ist, gilt \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Anwendung der Kettenregel auf \(f(x) = \ln(g(x))\) mit \(g(x) = x^4\): \(f'(x) = \frac{1}{x^4} \cdot 4x^3 = \frac{4}{x}\) für alle \(x \in D_f\). 3. Die Aussage des Schülers ist mathematisch unpräzise. Die Identität \(\ln(x^4) = 4 \cdot \ln(x)\) ist nur für \(x > 0\) gültig, da \(\ln(x)\) für negative Werte nicht definiert ist. Die Funktion \(f\) ist jedoch auch für negative \(x\) definiert. Eine korrekte allgemeine Umformung wäre \(\ln(x^4) = 4 \cdot \ln(|x|)\). Das Ergebnis \(f'(x) = \frac{4}{x}\) ist zwar für alle \(x \neq 0\) formal korrekt, der Rechenweg über \(4 \cdot \ln(x)\) ist aber für \(x < 0\) nicht zulässig.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) b) \(f'(x) = \frac{4}{x}\) c) Die Aussage ist problematisch, da die Umformung \(\ln(x^4) = 4 \cdot \ln(x)\) nur für \(x > 0\) definiert ist, die ursprüngliche Funktion \(f\) aber auch für negative \(x\) existiert.

- Wann wird ein quadratischer Term genau Null? - Nutze die Kettenregel für die Ableitung. Achte dabei besonders auf die innere Ableitung der linearen Funktion. - Die Tangente ist eine Gerade. Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Denke daran, sowohl den Funktionswert als auch den Wert der Ableitung an der gegebenen Stelle zu berechnen.

1. Der Ausdruck \((2x-4)^2\) ist als Quadrat immer größer oder gleich Null. Er ist genau dann Null, wenn \(2x-4=0\), also \(x=2\). Da der Logarithmus nur für positive Werte definiert ist, folgt \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Ableitung von \(k\) mit der Kettenregel: \(k'(x) = \frac{1}{(2x-4)^2} \cdot 2 \cdot (2x-4) \cdot 2 = \frac{4(2x-4)}{(2x-4)^2} = \frac{4}{2x-4} = \frac{2}{x-2}\). 3. Funktionswert an der Stelle \(x=1\): \(k(1) = \ln((2 \cdot 1 - 4)^2) = \ln((-2)^2) = \ln(4)\). Der Berührpunkt ist \(P(1 | \ln(4))\). 4. Steigung an der Stelle \(x=1\): \(m = k'(1) = \frac{2}{1-2} = -2\). 5. Aufstellen der Tangentengleichung \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\): \(y = -2 \cdot (x - 1) + \ln(4) = -2x + 2 + \ln(4)\).

a) \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) b) \(t: y = -2x + 2 + \ln(4)\)

- Kannst du den Term im Logarithmus mit Hilfe von Logarithmengesetzen in eine Summe zerlegen? - Wie vereinfacht sich der Ausdruck \(\ln(e^{3x})\)? - Überlege, welche Ableitungsregeln für Summen und für den natürlichen Logarithmus gelten.

1. Anwendung der Logarithmengesetze zur Vereinfachung des Funktionsterms: \(f(x) = \ln(x^2) + \ln(e^{3x}) = 2\ln(x) + 3x\) 2. Ableiten der einzelnen Summanden: \(\frac{d}{dx}(2\ln(x)) = \frac{2}{x}\) und \(\frac{d}{dx}(3x) = 3\) 3. Bildung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = \frac{2}{x} + 3\)

\(f'(x) = \frac{2}{x} + 3\)

- Wie hängen die Steigung an einer Stelle und die Ableitungsfunktion zusammen? - Hilft es dir, den Bruch im Logarithmus vor dem Ableiten mit Rechenregeln aufzulösen? - Vergiss beim Ableiten von \(\ln(2x+1)\) nicht die Kettenregel.

1. Umformung des Funktionsterms mittels Logarithmengesetz für Quotienten: \(g(x) = \ln(4) - \ln(2x+1)\) 2. Ableiten unter Verwendung der Kettenregel: \(g'(x) = 0 - \frac{1}{2x+1} \cdot 2 = -\frac{2}{2x+1}\) 3. Berechnung des Funktionswerts der Ableitung an der Stelle \(x = 1{,}5\): \(g'(1{,}5) = -\frac{2}{2 \cdot 1{,}5 + 1} = -\frac{2}{4} = -0{,}5\)

\(-0{,}5\)

- Überlege, für welche Werte der natürliche Logarithmus positive Ergebnisse liefert. - Hier liegt eine doppelte Anwendung des Logarithmus vor. Wer ist die „innere“ Funktion? - Verwende die Kettenregel Schritt für Schritt. - Was passiert mit der inneren Ableitung beim Einsetzen in die Formel?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs \(D_g\): Der äußere Logarithmus erfordert ein positives Argument, also \(\ln(x) > 0\). Dies ist für \(x > e^0 = 1\) erfüllt. Da der innere Logarithmus \(x > 0\) erfordert, ergibt sich insgesamt \(D_g = ]1; \infty[\). 2. Anwendung der Kettenregel: Die äußere Funktion ist \(u(v) = \ln(v)\) und die innere Funktion ist \(v(x) = \ln(x)\). 3. Ableitung der äußeren Funktion: \(u'(v) = \frac{1}{v}\). 4. Ableitung der inneren Funktion: \(v'(x) = \frac{1}{x}\). 5. Zusammensetzen der Ableitungen: \(g'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \cdot \ln(x)}\).

\(g'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(x)}\) mit \(D_g = ]1; \infty[\)

- Welche Bedingung muss für das Argument einer Logarithmusfunktion erfüllt sein? - Welche Ableitungsregel ist bei einem Produkt aus einer Potenzfunktion und einer Logarithmusfunktion anzuwenden? - Denk beim Ableiten des Logarithmusteils an die innere Ableitung.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, also \(3 - x > 0\). Daraus folgt \(x < 3\). Somit ist \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 3\} = ]-\infty; 3[\). 2. Ableitung mit der Produktregel: Mit \(u(x) = x^2\) und \(v(x) = \ln(3 - x)\) ergibt sich \(u'(x) = 2x\) und \(v'(x) = \frac{1}{3 - x} \cdot (-1) = \frac{1}{x - 3}\) unter Anwendung der Kettenregel. 3. Zusammensetzen: \(f'(x) = 2x \cdot \ln(3 - x) + x^2 \cdot \frac{1}{x - 3} = 2x \cdot \ln(3 - x) + \frac{x^2}{x - 3}\).

\(D_f = ]-\infty; 3[\) \(f'(x) = 2x \cdot \ln(3 - x) + \frac{x^2}{x - 3}\)

- Überlege bei verketteten Funktionen, was die „innere“ und was die „äußere“ Funktion ist. - Erinnere dich an die Ableitungsregel für die natürliche Logarithmusfunktion \(\ln(x)\). - Wenn zwei Funktionsterme multipliziert werden, hilft die Produktregel weiter. - Achte beim Ableiten von Logarithmustermen mit Faktoren (wie \(5x\)) darauf, ob eine Kettenregel nötig ist oder ob Logarithmengesetze den Term vereinfachen können.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Kettenregel angewendet. Mit der inneren Funktion \(u(x) = 1 - 4x\) und ihrer Ableitung \(u'(x) = -4\) ergibt sich \(f'(x) = \frac{1}{1 - 4x} \cdot (-4) = \frac{-4}{1 - 4x}\). Umgeformt lautet das Ergebnis \(f'(x) = \frac{4}{4x - 1}\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Produktregel \(u'v + uv'\) verwendet. Mit \(u(x) = x^2\) und \(v(x) = \ln(5x)\) erhält man \(u'(x) = 2x\) und durch die Kettenregel \(v'(x) = \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac{1}{x}\). 3. Zusammengesetzt ergibt dies \(f'(x) = 2x \cdot \ln(5x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(5x) + x\).

a) \(f'(x) = \frac{4}{4x - 1}\) b) \(f'(x) = 2x \cdot \ln(5x) + x\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für die Ableitung von \(\ln(g(x))\)? - Kannst du den Funktionsterm in zwei Faktoren zerlegen, um eine bekannte Ableitungsregel anzuwenden? - Achte bei Brüchen im Logarithmus darauf, ob du den Bruch nach dem Anwenden der Kettenregel vereinfachen kannst.

1. In Teilaufgabe a) liegt eine Verkettung vor. Die äußere Funktion ist der Logarithmus, die innere Funktion ist \(g(x) = \frac{1}{4}x + 2\). Nach der Kettenregel berechnet sich die Ableitung zu \(f'(x) = \frac{1}{\frac{1}{4}x + 2} \cdot \frac{1}{4}\). 2. Durch Erweitern des Bruchs mit 4 vereinfacht sich der Term zu \(f'(x) = \frac{1}{x + 8}\). 3. In Teilaufgabe b) wird die Produktregel angewendet. Es gilt \(u(x) = 2x - 5\) mit \(u'(x) = 2\) und \(v(x) = \ln(x)\) mit \(v'(x) = \frac{1}{x}\). 4. Einsetzen in die Formel \(u'v + uv'\) liefert \(f'(x) = 2 \cdot \ln(x) + (2x - 5) \cdot \frac{1}{x}\). Dies kann zu \(f'(x) = 2 \ln(x) + 2 - \frac{5}{x}\) umgeformt werden.

a) \(f'(x) = \frac{1}{x + 8}\) b) \(f'(x) = 2 \ln(x) + 2 - \frac{5}{x}\)

- Wie lautet die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion? - Kannst du die erste Ableitung als Bruch darstellen? - Erinnere dich an die Quotientenregel: Wie wird ein Bruch differenziert? - Kannst du Terme im Zähler nach dem Ausmultiplizieren gegeneinander kürzen oder verrechnen?

1. Bildung der ersten Ableitung unter Verwendung der Kettenregel: \(h'(x) = \frac{1}{e^x + 1} \cdot e^x = \frac{e^x}{e^x + 1}\). 2. Anwendung der Quotientenregel für die zweite Ableitung mit \(u(x) = e^x\) und \(v(x) = e^x + 1\). 3. Es gilt \(u'(x) = e^x\) und \(v'(x) = e^x\). 4. Einsetzen in die Formel der Quotientenregel: \(h''(x) = \frac{e^x \cdot (e^x + 1) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 1)^2}\). 5. Ausmultiplizieren und Vereinfachen des Zählers: \(e^{2x} + e^x - e^{2x} = e^x\). 6. Ergebnis: \(h''(x) = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}\).

\(h''(x) = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}\)

- Welche Regel ist anzuwenden, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden? - Erinnerst du dich an die Kettenregel für die Ableitung von verketteten Funktionen wie dem natürlichen Logarithmus? - Was ist die Ableitung der Kosinusfunktion? - Überlege, welche Funktion hier die „innere“ und welche die „äußere“ Funktion beim Logarithmus ist.

1. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) mit \(u(x) = \cos(x)\) und \(v(x) = \ln(x^2 + 1)\) 2. Berechnung der Teilableitungen: \(u'(x) = -\sin(x)\) und \(v'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}\) unter Verwendung der Kettenregel 3. Einsetzen in die Produktregel: \(f'(x) = -\sin(x) \cdot \ln(x^2 + 1) + \cos(x) \cdot \frac{2x}{x^2 + 1}\) 4. Zusammenfassen des Terms: \(f'(x) = \frac{2x \cos(x)}{x^2 + 1} - \sin(x) \ln(x^2 + 1)\)

\(f'(x) = \frac{2x \cos(x)}{x^2 + 1} - \sin(x) \ln(x^2 + 1)\)

- Welche Ableitungsregel eignet sich am besten für Funktionen in Bruchform? - Wie leitest du den Zähler \(\ln(5x)\) ab? Hilft dir hier die Kettenregel oder ein Logarithmusgesetz? - Achte darauf, den Bruch nach dem Ableiten so weit wie möglich zu kürzen. - Was passiert mit den Exponenten von \(x\), wenn du den gesamten Bruch vereinfachst?

1. Anwendung der Quotientenregel \(f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}\) mit \(u(x) = \ln(5x)\) und \(v(x) = x^2\) 2. Bestimmung der Ableitungen von Zähler und Nenner: \(u'(x) = \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac{1}{x}\) und \(v'(x) = 2x\) 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln(5x) \cdot 2x}{(x^2)^2}\) 4. Vereinfachen des Zählers: \(\frac{1}{x} \cdot x^2 - 2x \ln(5x) = x - 2x \ln(5x)\) 5. Kürzen des Bruchs durch \(x\): \(f'(x) = \frac{x(1 - 2 \ln(5x))}{x^4} = \frac{1 - 2 \ln(5x)}{x^3}\)

\(f'(x) = \frac{1 - 2 \ln(5x)}{x^3}\)

- Wie hängen der natürliche Logarithmus und die Exponentialfunktion zusammen? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten von verketteten Funktionen. - Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer Geraden (Tangente) aufzustellen? - Ein Punkt auf dem Graphen und die Steigung an dieser Stelle genügen für die Tangentengleichung.

1. Nullstelle bestimmen: Den Funktionsterm gleich Null setzen: \(\ln(4 - x) = 0\). Anwendung der Exponentialfunktion liefert \(4 - x = e^0 = 1\), woraus \(x = 3\) folgt. Da \(3 \in D_f\), ist die Nullstelle bei \(x = 3\). 2. Ableitung bilden: Unter Verwendung der Kettenregel ergibt sich \(f'(x) = \frac{1}{4 - x} \cdot (-1) = \frac{-1}{4 - x} = \frac{1}{x - 4}\). 3. Tangentengleichung aufstellen: Die Steigung an der Stelle \(x = 3\) ist \(m = f'(3) = \frac{1}{3 - 4} = -1\). Mit dem Berührpunkt \(P(3|0)\) ergibt sich die Tangentengleichung \(y = -1 \cdot (x - 3) + 0\), also \(y = -x + 3\).

Nullstelle: \(x = 3\) Tangentengleichung: \(y = -x + 3\)

- Denke bei der ersten Ableitung an die Kettenregel: Ableitung der äußeren Funktion mal Ableitung der inneren Funktion. - Für die zweite Ableitung bietet sich die Quotientenregel an. - Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt dir Auskunft über die Krümmung. - Erinnere dich bei Teilaufgabe c), wie man die Tangensfunktion durch Sinus und Kosinus ausdrücken kann.

1. Erste Ableitung mit der Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 5} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 5}\). 2. Zweite Ableitung mit der Quotientenregel: \(f''(x) = \frac{2(x^2 + 5) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{2x^2 + 10 - 4x^2}{(x^2 + 5)^2} = \frac{10 - 2x^2}{(x^2 + 5)^2}\). 3. Krümmungsverhalten: Der Graph ist linksgekrümmt für \(f''(x) > 0\). Da der Nenner stets positiv ist, gilt \(10 - 2x^2 > 0 \iff x^2 < 5 \iff x \in ]-\sqrt{5}; \sqrt{5}[\). Rechtsgekrümmt ist er für \(f''(x) < 0\), also für \(x \in ]-\infty; -\sqrt{5}[\) und \(x \in ]\sqrt{5}; \infty[\). 4. Bestimmung von \(g(x)\): Es gilt \(h'(x) = -\frac{g'(x)}{g(x)}\). Die Bedingung \(h'(x) = \tan(x)\) führt auf \(-\frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). Dies ist erfüllt für \(g'(x) = -\sin(x)\) und \(g(x) = \cos(x)\). Da \(\cos(x) > 0\) auf \(I\) gilt, ist dies ein gültiger Term.

a) \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5}\); \(f''(x) = \frac{10 - 2x^2}{(x^2 + 5)^2}\) b) Linksgekrümmt für \(x \in ]-\sqrt{5}; \sqrt{5}[\); rechtsgekrümmt für \(x \in ]-\infty; -\sqrt{5}[\) und \(x \in ]\sqrt{5}; \infty[\) c) \(g(x) = \cos(x)\)

- Für welche Werte von \(x\) liefert der Term im Logarithmus ein Ergebnis, das größer als Null ist? - Gibt es eine Regel, mit der man Produkte innerhalb eines Logarithmus aufteilen kann? - Wie kann man Exponenten innerhalb eines Logarithmus vor das Logarithmuszeichen ziehen? - Was passiert mit konstanten Summanden beim Ableiten?

1. Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Argumente definiert. Es muss gelten: \(8x^4 > 0\). Da \(x^4\) für alle \(x \neq 0\) positiv ist und \(8 > 0\), ergibt sich die maximale Definitionsmenge \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Anwendung der Logarithmengesetze: \(f(x) = \ln(8) + \ln(x^4)\). Unter Berücksichtigung des Betrags für gerade Potenzen gilt \(f(x) = \ln(8) + 4 \cdot \ln|x|\). 3. Ableiten: Da die Ableitung von \(\ln|x|\) gleich \(\frac{1}{x}\) ist und \(\ln(8)\) eine Konstante darstellt, folgt \(f'(x) = 0 + 4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}\).

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) 2. \(f'(x) = \frac{4}{x}\)

- Welche Einschränkungen ergeben sich für \(x\) durch die Wurzel im Nenner und die Logarithmusfunktion? - Kannst du den Bruch im Logarithmus in eine Differenz von zwei Logarithmen umschreiben? - Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Was ist der Wert von \(\ln(e^k)\)?

1. Für die vierte Wurzel muss \(x \geq 0\) gelten. Da der Logarithmus nur für positive Werte definiert ist und die Wurzel im Nenner steht, muss \(x > 0\) sein. Somit ist \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\) bzw. \(D_g = \mathbb{R}^+\). 2. Anwendung der Logarithmengesetze: \(g(x) = \ln(e^2) - \ln(\sqrt[4]{x})\). 3. Weitere Vereinfachung: Mit \(\ln(e^2) = 2\) und \(\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}\) ergibt sich \(g(x) = 2 - \frac{1}{4} \ln(x)\). 4. Ableiten: Die Konstante \(2\) fällt weg, die Ableitung von \(\ln(x)\) ist \(\frac{1}{x}\). Es folgt \(g'(x) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{4x}\).

1. \(D_g = \mathbb{R}^+\) (bzw. \(x > 0\)) 2. \(g'(x) = -\frac{1}{4x}\)

- Überlege zuerst, für welche Werte der natürliche Logarithmus definiert ist. - Achte darauf, ob der Nenner eines Bruchs null werden kann. - Welche Ableitungsregel eignet sich für einen Bruch aus zwei Funktionen? - Kannst du den Zähler nach dem Ableiten noch weiter vereinfachen?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Logarithmus \(\ln(x)\) ist nur für positive Argumente definiert, also \(x > 0\). Da \(x\) zudem im Nenner steht, darf der Nenner nicht null sein; dies ist durch \(x > 0\) bereits erfüllt. Somit ergibt sich \(D_f = \mathbb{R}^+ = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\). 2. Anwendung der Quotientenregel: Mit \(u(x) = \ln(x)\) (\(u'(x) = \frac{1}{x}\)) und \(v(x) = x\) (\(v'(x) = 1\)) folgt \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(\frac{1}{x} \cdot x = 1\), daraus folgt \(f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}\).

\(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\) \(f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}\)

- Wann ist das Argument innerhalb einer Logarithmusfunktion größer als Null? - Kannst du den Term im Logarithmus mithilfe einer binomischen Formel umschreiben? - Welche Regel nutzt du, um eine verkettete Funktion abzuleiten? - Prüfe, ob du im Ergebnisterm Faktoren kürzen kannst.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Das Argument des Logarithmus muss positiv sein: \(x^2 + 4x + 4 > 0\). Da \(x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2\) ein Quadrat ist, ist der Ausdruck für alle \(x \in \mathbb{R}\) größer oder gleich Null. Er wird genau dann Null, wenn \(x = -2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). 2. Ableitung mit der Kettenregel: Die äußere Funktion ist \(\ln(u)\) mit Ableitung \(\frac{1}{u}\), die innere Funktion ist \(g(x) = x^2 + 4x + 4\) mit \(g'(x) = 2x + 4\). Es folgt \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 4x + 4} \cdot (2x + 4)\). 3. Vereinfachung: Durch Faktorisieren erhält man \(f'(x) = \frac{2(x + 2)}{(x + 2)^2} = \frac{2}{x + 2}\). Alternativ kann die Logarithmusregel \(\ln(a^k) = k \cdot \ln(a)\) für Beträge genutzt werden: \(f(x) = \ln((x+2)^2) = 2 \ln|x+2|\), woraus direkt \(f'(x) = \frac{2}{x+2}\) folgt.

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\) \(f'(x) = \frac{2}{x + 2}\)

- Achte darauf, wie Faktoren und Summanden im Funktionsterm die Transformationen des Graphen bestimmen. - Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander liegen? - Wie kannst du mithilfe der Ableitung die Stelle finden, an der eine bestimmte Steigung vorliegt? - Vergiss nicht, am Ende sowohl den \( x \)- als auch den \( y \)-Wert für den gesuchten Punkt anzugeben.

1. Beschreibung der Transformationen: Zuerst erfolgt eine Streckung in \( y \)-Richtung mit dem Faktor 2, gefolgt von einer Spiegelung an der \( x \)-Achse. Abschließend wird der Graph um 1 Einheit in positive \( y \)-Richtung verschoben. 2. Bestimmung der Zielsteigung: Aus der Geradengleichung \( y = -x + 4 \) ergibt sich die Steigung \( m = -1 \). Da die Tangente parallel sein soll, muss \( g'(x) = -1 \) gelten. 3. Ableitung der Funktion: \( g'(x) = -2 \cdot \frac{1}{x} = -\frac{2}{x} \). 4. Berechnung der \( x \)-Koordinate von \( P \): \( -\frac{2}{x} = -1 \implies x = 2 \). 5. Berechnung der \( y \)-Koordinate: \( g(2) = 1 - 2 \cdot \ln(2) \). 6. Angabe der Koordinaten: \( P(2 \mid 1 - 2 \ln(2)) \).

a) Der Graph von \( g \) entsteht durch Streckung in \( y \)-Richtung mit Faktor 2, Spiegelung an der \( x \)-Achse und Verschiebung um 1 Einheit nach oben. b) \( P(2 \mid 1 - 2 \ln(2)) \)

- Was muss für das Argument einer Logarithmusfunktion gelten, damit sie definiert ist? - Welche Ableitungsregel ist anzuwenden, wenn der Logarithmus mit einem anderen Term multipliziert wird? - Wie leitet man eine verkettete Funktion ab, bei der die äußere Funktion der natürliche Logarithmus ist? - Kannst du den Definitionsbereich als Intervall angeben?

1. Für \(f(x) = \ln(25 - x^2)\) muss das Argument des Logarithmus positiv sein: \(25 - x^2 > 0 \iff x^2 < 25 \iff |x| < 5\). Damit ist \(D_f = ]-5; 5[\). 2. Die Ableitung von \(f\) erfolgt mit der Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{25 - x^2} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{25 - x^2}\). 3. Für \(g(x) = (x^2 + 1) \cdot \ln(x)\) muss das Argument des Logarithmus positiv sein: \(x > 0\). Damit ist \(D_g = \mathbb{R}^+ = ]0; \infty[\). 4. Die Ableitung von \(g\) erfolgt mit der Produktregel: \(u(x) = x^2 + 1 \implies u'(x) = 2x\) und \(v(x) = \ln(x) \implies v'(x) = \frac{1}{x}\). 5. Es ergibt sich \(g'(x) = 2x \cdot \ln(x) + (x^2 + 1) \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x + \frac{1}{x}\).

a) \(D_f = ]-5; 5[\); \(f'(x) = \frac{-2x}{25 - x^2}\) b) \(D_g = ]0; \infty[\); \(g'(x) = 2x \ln(x) + x + \frac{1}{x}\)

- Erinnere dich an die allgemeine Ableitungsregel für Logarithmen mit einer beliebigen Basis \(b\). - Welche Informationen benötigst du grundsätzlich, um eine Tangentengleichung aufzustellen? - Wie hängen der Logarithmus zur Basis 3 und der natürliche Logarithmus zusammen? - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die Funktion und in die Ableitung ein, um Punkt und Steigung zu erhalten.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 3\): \(f(3) = \log_3(3) = 1\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion von \(f(x) = \log_3(x)\): \(f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(3)}\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_0 = 3\): \(m = f'(3) = \frac{1}{3 \cdot \ln(3)}\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form \(y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)\): \(y = \frac{1}{3 \ln(3)} \cdot (x - 3) + 1\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(y = \frac{1}{3 \ln(3)} \cdot x - \frac{1}{\ln(3)} + 1\).

Die Gleichung der Tangente lautet \(t: y = \frac{1}{3 \ln(3)} \cdot x + 1 - \frac{1}{\ln(3)}\).

- Nutze die Formel für die Ableitung einer Logarithmusfunktion zur Basis \(b\). - Stelle eine Gleichung auf, in der die Basis \(b\) die einzige Unbekannte ist. - Welche Zahl musst du für \(b\) wählen, damit der natürliche Logarithmus von \(b\) genau 1 ergibt? - Überlege, wie du eine Gleichung der Form \(\ln(b) = c\) nach \(b\) auflösen kannst.

1. Ansatz über die Ableitungsfunktion: \(h'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(b)}\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte \(x = 2\) und \(h'(2) = 0{,}5\): \(\frac{1}{2 \cdot \ln(b)} = 0{,}5\). 3. Umstellen der Gleichung nach \(\ln(b)\): \(\frac{1}{2 \cdot \ln(b)} = \frac{1}{2} \implies 2 = 2 \cdot \ln(b) \implies 1 = \ln(b)\). 4. Auflösen nach \(b\) durch Anwenden der Exponentialfunktion: \(b = e^1 = e\).

Die gesuchte Basis ist \(b = e\).

- Wie findet man die Steigung einer Funktion an einer Stelle? - Was passiert mit dem Funktionswert von \(\ln(1+x)\), wenn \(x\) null ist? - Achte bei der Bestimmung von \(x\) darauf, wie der Wert im Logarithmus aus der Form \((1+x)\) zusammengesetzt ist. - Was bedeutet es für einen Bruch, wenn der Nenner immer größer wird?

1. Die Funktion \(g(x) = \ln(1+x)\) hat die Ableitung \(g'(x) = \frac{1}{1+x}\) (Kettenregel). An der Stelle \(x=0\) gilt \(g(0) = \ln(1) = 0\) und \(g'(0) = \frac{1}{1+0} = 1\). Die Tangente im Ursprung hat die Gleichung \(y = g'(0) \cdot x + g(0) = 1 \cdot x + 0\), also \(y = x\). In der Nähe von \(x=0\) verläuft der Graph fast wie die Tangente, woraus \(\ln(1+x) \approx x\) folgt. 2. Für \(\ln(1{,}003)\) ist \(x = 0{,}003\), also \(\ln(1{,}003) \approx 0{,}003\). Für \(\ln(0{,}998)\) schreiben wir \(\ln(1 + (-0{,}002))\), also ist \(x = -0{,}002\) und \(\ln(0{,}998) \approx -0{,}002\). 3. Für große \(n\) ist der Term \(\frac{1}{n}\) sehr klein. Setzt man \(x = \frac{1}{n}\) in die Näherungsformel ein, erhält man \(\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \approx \frac{1}{n}\).

1. Herleitung über Tangente \(y=x\) an der Stelle \(x=0\). 2. \(\ln(1{,}003) \approx 0{,}003\); \(\ln(0{,}998) \approx -0{,}002\) 3. \(\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \approx \frac{1}{n}\)

- Welche Koordinaten hat der Punkt auf dem Graphen? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung? - Welche Ableitungsregel musst du bei einem Produkt zweier Funktionen anwenden? - Was gibt die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle geometrisch an?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 1\): \(f(1) = 1^2 \cdot \ln(1) = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(1|0)\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung mit der Produktregel: \(f'(x) = 2x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 1\): \(m = f'(1) = 2 \cdot 1 \cdot \ln(1) + 1 = 1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\): \(y = 1 \cdot (x - 1) + 0 = x - 1\).

\(y = x - 1\)

- Kannst du die Terme mithilfe von Logarithmengesetzen vereinfachen, bevor du ableitest? - Welche Regel ist hilfreich, wenn eine Funktion im Zähler und eine im Nenner steht? - Wie lautet die Ableitung von \(\ln(u(x))\)? - Erinnerst du dich an die Regel für den Logarithmus eines Quotienten oder einer Potenz?

a) Anwendung der Logarithmengesetze zur Vereinfachung: \(g(x) = \ln(x) - \ln(x+1)\). Ableitung der einzelnen Terme: \(g'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\). Bringen auf einen gemeinsamen Nenner: \(g'(x) = \frac{x+1-x}{x(x+1)} = \frac{1}{x^2+x}\). b) Vereinfachung des Zählers: \(h(x) = \frac{2\ln(x)}{x}\). Anwendung der Quotientenregel: \(h'(x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x - 2\ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{2 - 2\ln(x)}{x^2}\).

a) \(g'(x) = \frac{1}{x^2 + x}\) b) \(h'(x) = \frac{2 - 2\ln(x)}{x^2}\)

- Wann ist eine Logarithmusfunktion definiert? Überlege, welche Werte das Argument annehmen darf. - Wie findet man heraus, wo eine Parabel oberhalb der x-Achse liegt? - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn im Logarithmus eine weitere Funktion steht? - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen aus?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, also \(x^2 + 2x - 3 > 0\). Die Nullstellen der quadratischen Funktion \(x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)\) liegen bei \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\). Da der Graph eine nach oben geöffnete Parabel ist, sind die Funktionswerte für \(x < -3\) oder \(x > 1\) positiv. Somit gilt \(D_f = ]-\infty; -3[ \cup ]1; \infty[\). 2. Berechnung der ersten Ableitung: Mit der Kettenregel ergibt sich \(f'(x) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x - 3}\). 3. Untersuchung der Monotonie: Im Definitionsbereich \(D_f\) ist der Nenner \(x^2 + 2x - 3\) immer positiv. Das Vorzeichen von \(f'(x)\) wird daher nur durch den Zähler \(2x + 2\) bestimmt. Die Nullstelle des Zählers liegt bei \(x = -1\), was nicht im Definitionsbereich liegt. - Für \(x < -3\) ist \(2x + 2 < -4 < 0\), daraus folgt \(f'(x) < 0\). Die Funktion ist in \(]-\infty; -3[\) streng monoton fallend. - Für \(x > 1\) ist \(2x + 2 > 4 > 0\), daraus folgt \(f'(x) > 0\). Die Funktion ist in \(]1; \infty[\) streng monoton steigend.

a) \(D_f = ]-\infty; -3[ \cup ]1; \infty[\) b) Streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; -3[\); streng monoton steigend für \(x \in ]1; \infty[\).

- Untersuche den Term in der Klammer auf seine Nullstellen. - Skizziere dir kurz den Verlauf der quadratischen Funktion im Inneren, um den Definitionsbereich zu finden. - Denk an die Kettenregel beim Ableiten: „Innere Ableitung mal äußere Ableitung“. - Wo wechselt der Zähler der Ableitung sein Vorzeichen?

1. Definitionsbereich bestimmen: Es muss gelten \(2x - x^2 > 0\). Ausklammern liefert \(x(2 - x) > 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Da der Graph eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist der Term zwischen den Nullstellen positiv. Es folgt \(D_g = ]0; 2[\). 2. Ableitung berechnen: Durch Anwendung der Kettenregel erhält man \(g'(x) = \frac{2 - 2x}{2x - x^2}\). 3. Monotonieanalyse: Der Nenner \(2x - x^2\) ist für alle \(x \in D_g\) positiv. Das Vorzeichen der Ableitung hängt also nur vom Zähler \(2 - 2x\) ab. - \(g'(x) = 0\) für \(2 - 2x = 0\), also \(x = 1\). - Für \(0 < x < 1\) ist \(2 - 2x > 0\), also ist \(g\) in \(]0; 1]\) streng monoton steigend. - Für \(1 < x < 2\) ist \(2 - 2x < 0\), also ist \(g\) in \([1; 2[\) streng monoton fallend.

a) \(D_g = ]0; 2[\) b) \(g'(x) = \frac{2 - 2x}{2x - x^2}\); \(g\) ist streng monoton steigend für \(x \in ]0; 1]\) und streng monoton fallend für \(x \in [1; 2[\).

- Welche Information liefert dir die Steigung einer parallelen Geraden für die Ableitung? - Überlege dir, wie du den \(y\)-Achsenabschnitt einer Tangente direkt aus ihrer allgemeinen Form ablesen kannst. - Wenn ein Punkt auf der y-Achse gegeben ist, entspricht dessen y-Koordinate genau dem Parameter \(b\) in der Geradengleichung \(y = mx + b\). - Setze die allgemeine Tangentenformel allgemein an, um den Schnittpunkt mit der y-Achse nachzuweisen.

1. Parallelität zu \(y = x\) bedeutet Steigung \(m = 1\). Aus \(f'(x) = \frac{1}{x} = 1\) folgt \(x = 1\). Mit \(f(1) = 0\) ergibt sich die Tangente \(y = 1 \cdot (x - 1) + 0 = x - 1\). 2. Die allgemeine Tangente an der Stelle \(u\) hat die Gleichung \(y = \frac{1}{u}x + \ln(u) - 1\). Für den Punkt \(A(0 | -2)\) muss der \(y\)-Achsenabschnitt \(\ln(u) - 1 = -2\) sein. Es folgt \(\ln(u) = -1\), also \(u = e^{-1} = \frac{1}{e}\). Die Steigung ist \(m = \frac{1}{1/e} = e\). Die Gleichung lautet \(y = ex - 2\). 3. Nachweis: \(y = f'(u)(x - u) + f(u) = \frac{1}{u}(x - u) + \ln(u) = \frac{1}{u}x - 1 + \ln(u)\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)) ist somit \(y_S = \ln(u) - 1\). Für \(y_S = 3\) gilt: \(\ln(u) - 1 = 3 \Rightarrow \ln(u) = 4 \Rightarrow u = e^4\).

a) \(y = x - 1\) b) \(y = ex - 2\) c) Nachweis siehe Lösung; \(u = e^4\)

- Untersuche, für welche \(x\) der Ausdruck im Logarithmus größer als Null ist. Beachte dabei die Definitionslücke des Bruchs. - Kannst du den Logarithmus eines Bruchs mithilfe von Rechenregeln in eine Differenz zerlegen? Das könnte das Ableiten vereinfachen. - Falls du direkt ableitest: Welche Regel benötigst du für die innere Funktion (den Bruch)?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Bruch \(\frac{x + 2}{x^2}\) muss positiv sein. Da \(x^2 > 0\) für alle \(x \neq 0\), muss der Zähler \(x + 2 > 0\) sein, also \(x > -2\). Somit gilt \(D_f = ]-2; 0[ \cup ]0; \infty[\). 2. Vereinfachung des Funktionsterms (optional): Mithilfe von Logarithmusgesetzen gilt \(f(x) = \ln(x + 2) - \ln(x^2) = \ln(x + 2) - 2\ln|x|\). 3. Ableiten: Die Ableitung ergibt \(f'(x) = \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x}\). 4. Zusammenfassen auf einen Hauptnenner: \(f'(x) = \frac{x - 2(x + 2)}{x(x + 2)} = \frac{x - 2x - 4}{x^2 + 2x} = \frac{-x - 4}{x^2 + 2x} = -\frac{x + 4}{x^2 + 2x}\). Alternativ führt die Kettenregel direkt auf \(f'(x) = \frac{x^2}{x + 2} \cdot \frac{1 \cdot x^2 - (x + 2) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^2}{x + 2} \cdot \frac{-x^2 - 4x}{x^4} = \frac{-x - 4}{x(x + 2)}\).

\(D_f = ]-2; 0[ \cup ]0; \infty[\) \(f'(x) = -\frac{x + 4}{x^2 + 2x}\)

- Wie kannst du eine Potenz mit variabler Basis und variablem Exponenten mithilfe der Exponentialfunktion ausdrücken? - Denke an die Regel für den Logarithmus einer Potenz. - Welche Ableitungsregeln benötigst du für ein Produkt, bei dem ein Teil eine verkettete Logarithmusfunktion ist?

1. Umformung mithilfe der Identität \(a^b = e^{b \cdot \ln(a)}\): \(f(x) = e^{x \cdot \ln(\ln(x))}\). Hierbei ist \(g(x) = x \cdot \ln(\ln(x))\). 2. Ableitung von \(g(x)\) mittels Produktregel und Kettenregel: \(g'(x) = 1 \cdot \ln(\ln(x)) + x \cdot \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} = \ln(\ln(x)) + \frac{1}{\ln(x)}\). 3. Anwendung der Kettenregel auf \(f(x) = e^{g(x)}\): \(f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x) = (\ln(x))^x \cdot \left(\ln(\ln(x)) + \frac{1}{\ln(x)}\right)\).

a) \(f(x) = e^{x \cdot \ln(\ln(x))}\) b) \(f'(x) = (\ln(x))^x \cdot \left(\ln(\ln(x)) + \frac{1}{\ln(x)}\right)\)

- Erinnere dich an die Darstellung von Potenzen zur Basis \(e\). - Welche Quotientenregel oder Produktregel hilft dir beim Ableiten des Exponenten? - Wann wird ein Bruch gleich null? - Wie findest du die \(y\)-Koordinate eines Punktes, wenn du den \(x\)-Wert kennst?

1. Umschreiben der Funktion: \(f(x) = e^{\frac{1}{x} \cdot \ln(x)}\). 2. Ableiten des Exponenten \(h(x) = \frac{\ln(x)}{x}\) mit der Quotientenregel: \(h'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}\). 3. Anwendung der Kettenregel: \(f'(x) = e^{\frac{\ln(x)}{x}} \cdot \frac{1 - \ln(x)}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln(x)}{x^2}\). 4. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\): Da \(x^{\frac{1}{x}} > 0\) und \(x^2 > 0\), muss \(1 - \ln(x) = 0\) gelten, woraus \(x = e\) folgt. 5. Bestimmung des \(y\)-Werts: \(f(e) = e^{\frac{1}{e}}\). Der Hochpunkt liegt bei \(H(e \mid e^{\frac{1}{e}})\).

a) \(f'(x) = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln(x)}{x^2}\) b) \(H(e \mid e^{\frac{1}{e}})\)

- Nutze für den Nachweis der Monotonie das Vorzeichen der ersten Ableitung. - Um die Umkehrfunktion zu finden, musst du die Gleichung \(y = f(x)\) nach \(x\) auflösen. - Überlege dir beim Definitionsbereich der Umkehrfunktion, für welche Werte der Logarithmus definiert ist. - Eine Funktion ist rechtsgekrümmt, wenn ihre zweite Ableitung überall negativ ist.

1. Monotonie: \(f'(x) = -\frac{g'(x)}{g(x)}\). Da \(g(x) > 0\) und nach Voraussetzung \(g'(x) > 0\), ist der Quotient \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) positiv. Damit ist \(f'(x) < 0\), woraus folgt, dass \(f\) streng monoton fallend ist. 2. Umkehrfunktion: Setze \(y = -\ln(e^{2x} + 1)\). Auflösen nach \(x\): \(-y = \ln(e^{2x} + 1) \implies e^{-y} = e^{2x} + 1 \implies e^{2x} = e^{-y} - 1 \implies 2x = \ln(e^{-y} - 1) \implies x = \frac{1}{2} \ln(e^{-y} - 1)\). Somit ist \(f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(e^{-x} - 1)\). 3. Definitionsbereich von \(f^{-1}\): Es muss gelten \(e^{-x} - 1 > 0 \iff e^{-x} > 1 \iff -x > 0 \iff x < 0\). Also \(D_{f^{-1}} = ]-\infty; 0[\). 4. Krümmung: \(f'(x) = -\frac{2e^{2x}}{e^{2x} + 1}\). Zweite Ableitung mit Quotientenregel: \(f''(x) = -\frac{4e^{2x}(e^{2x} + 1) - 2e^{2x} \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2} = -\frac{4e^{4x} + 4e^{2x} - 4e^{4x}}{(e^{2x} + 1)^2} = -\frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}\). Da \(e^{2x} > 0\), ist \(f''(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), was eine Rechtskrümmung bedeutet.

a) Nachweis über \(g'(x)>0\) und \(f'(x) = -\frac{g'(x)}{g(x)} < 0\) b) \(f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(e^{-x} - 1)\) mit \(D_{f^{-1}} = ]-\infty; 0[\) c) Nachweis über \(f''(x) = -\frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2} < 0\)

- Untersuche das Vorzeichen des quadratischen Terms im Logarithmus. Gibt es Nullstellen? - Denke bei der Definitionsmenge von Brüchen daran, dass der Nenner nicht null werden darf. - Welche Regel nutzt du, wenn im Zähler ein Logarithmus und im Nenner eine Potenz von \(x\) steht? - Vergiss bei der Ableitung von \(\ln(ax+b)\) nicht die innere Ableitung.

1. Für \(h(x) = \ln(x^2 + 2x + 2)\) muss \(x^2 + 2x + 2 > 0\) gelten. Da die Diskriminante des quadratischen Terms \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4\) negativ ist und die Parabel nach oben geöffnet ist, ist der Term für alle \(x \in \mathbb{R}\) positiv. Somit ist \(D_h = \mathbb{R}\). 2. Ableitung von \(h\) mit der Kettenregel: \(h'(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \cdot (2x + 2) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 2}\). 3. Für \(k(x) = \frac{\ln(4x + 1)}{x}\) muss \(4x + 1 > 0 \iff x > -0{,}25\) gelten. Zusätzlich darf der Nenner nicht null sein: \(x \neq 0\). Somit ist \(D_k = ]-0{,}25; \infty[ \setminus \{0\}\). 4. Ableitung von \(k\) mit der Quotientenregel: \(u(x) = \ln(4x + 1) \implies u'(x) = \frac{4}{4x + 1}\) und \(v(x) = x \implies v'(x) = 1\). 5. \(k'(x) = \frac{\frac{4}{4x + 1} \cdot x - \ln(4x + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{4x - (4x + 1)\ln(4x + 1)}{x^2(4x + 1)}\).

a) \(D_h = \mathbb{R}\); \(h'(x) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 2}\) b) \(D_k = ]-0{,}25; 0[ \cup ]0; \infty[\); \(k'(x) = \frac{4x - (4x + 1)\ln(4x + 1)}{x^2(4x + 1)}\)

- Welche Ableitungsregel benötigst du, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden? - Achte bei der zweiten Ableitung von Teil a) und c) besonders auf die Quotientenregel. - Vergiss bei verschachtelten Funktionen wie \(\ln(x^2+1)\) nicht das Nachdifferenzieren. - Kannst du den Term \(x^2 \cdot \frac{1}{x}\) vereinfachen, bevor du weiterrechnest?

1. Bei \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) ist die innere Funktion \(u(x) = x^2 + 1\). Damit ist \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). Für \(f''(x)\) nutzt man die Quotientenregel: \(\frac{2(x^2 + 1) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}\). 2. Für \(g(x) = x^2 \cdot \ln(x)\) liefert die Produktregel \(g'(x) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x\). Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = 2 \ln(x) + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2 \ln(x) + 3\). 3. Bei \(h(x) = \cos(\ln(x))\) ergibt die Kettenregel \(h'(x) = -\sin(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{\sin(\ln(x))}{x}\). Mit der Quotientenregel folgt \(h''(x) = -\frac{\cos(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} \cdot x - \sin(\ln(x)) \cdot 1}{x^2} = \frac{\sin(\ln(x)) - \cos(\ln(x))}{x^2}\).

a) \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\); \(f''(x) = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}\) b) \(g'(x) = 2x \ln(x) + x\); \(g''(x) = 2 \ln(x) + 3\) c) \(h'(x) = -\frac{\sin(\ln(x))}{x}\); \(h''(x) = \frac{\sin(\ln(x)) - \cos(\ln(x))}{x^2}\)