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- Kannst du die Wurzeln und Brüche zuerst in die Form \(x^n\) umschreiben? - Welche Regel für das Ableiten von Potenzen kennst du? - Was passiert mit dem Exponenten, wenn du eine Potenz ableitest? - Wie vereinfacht sich der Ausdruck, wenn du für \(x\) die Zahl \(1\) einsetzt?

1. Für \(f(x) = 1{,}2 x^{0{,}5}\) ergibt die Potenzregel \(f'(x) = 1{,}2 \cdot 0{,}5 x^{-0{,}5} = 0{,}6 x^{-0{,}5}\). Einsetzen von \(x = 1\) liefert \(f'(1) = 0{,}6 \cdot 1^{-0{,}5} = 0{,}6\). 2. Die Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt[3]{x^7}\) wird als Potenz \(x^{\frac{7}{3}}\) geschrieben. Die Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}}\). Der Wert an der Stelle \(1\) ist \(f'(1) = \frac{7}{3} \cdot 1^{\frac{4}{3}} = \frac{7}{3} \approx 2{,}333\). 3. Der Term \(f(x) = \frac{6}{\sqrt{x^3}}\) wird zu \(6 x^{-1{,}5}\) umgeformt. Ableiten führt zu \(f'(x) = 6 \cdot (-1{,}5) x^{-2{,}5} = -9 x^{-2{,}5}\). Damit gilt \(f'(1) = -9 \cdot 1^{-2{,}5} = -9\).

a) \(f'(x) = 0{,}6 x^{-0{,}5}\); \(f'(1) = 0{,}6\) b) \(f'(x) = \frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}}\); \(f'(1) = \frac{7}{3} \approx 2{,}333\) c) \(f'(x) = -9 x^{-2{,}5}\); \(f'(1) = -9\)

- Überlege dir, welche Werte unter einer Quadratwurzel stehen dürfen. - Wie hängen die Wachstums- und Falleigenschaften einer Funktion \(f\) mit denen von \(\sqrt{f}\) zusammen? - Erinnere dich an die Kettenregel: Die Ableitung von \(\sqrt{u(x)}\) ist \(\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\).

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Radikand muss nicht-negativ sein, also \(-x^2 + 6x + 7 \ge 0\). Die Nullstellen der quadratischen Funktion liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 7\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(D_g = [-1; 7]\). 2. Scheitelpunkt von \(f\): Die \(x\)-Koordinate liegt mittig zwischen den Nullstellen bei \(x_S = 3\). Der Funktionswert ist \(f(3) = -3^2 + 6 \cdot 3 + 7 = 16\). Der Scheitelpunkt ist \(S(3|16)\). Da die Wurzelfunktion für \(y \ge 0\) streng monoton wachsend ist, erreicht \(g(x) = \sqrt{f(x)}\) genau dann ihren größten Wert, wenn \(f(x)\) maximal ist. 3. Ableitung von \(g\): Mit der Kettenregel ergibt sich \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2+6x+7}} \cdot (-2x+6) = \frac{-x+3}{\sqrt{-x^2+6x+7}}\). 4. Nullstelle der Ableitung: \(g'(x) = 0\) führt auf \(-x+3 = 0\), also \(x = 3\). Dies bestätigt die Lage der Maximumstelle.

a) \(D_g = [-1; 7]\) b) Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \(S(3|16)\). Da die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist, bleibt die Stelle des Maximums erhalten. c) \(g'(x) = \frac{-x+3}{\sqrt{-x^2+6x+7}}\); die Extremstelle liegt bei \(x = 3\).

- Erinnere dich an die Produktregel: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\). - Nutze beim Vereinfachen die Potenzgesetze, insbesondere \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\) und \(\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\). - Achte beim Vergleichen darauf, ob der Koeffizient vor dem \(x\) dem ursprünglichen Exponenten entspricht. - Überprüfe, ob der neue Exponent genau um 1 kleiner ist als der ursprüngliche.

1. Anwendung der Produktregel auf \(g(x) = x \cdot x^{\frac{1}{4}}\): \(g'(x) = 1 \cdot x^{\frac{1}{4}} + x \cdot \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}}\). Vereinfachung des zweiten Terms: \(x \cdot x^{-\frac{3}{4}} = x^{1 - \frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{4}}\). Zusammenfassen ergibt \(g'(x) = x^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4}} = \frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}}\). 2. Anwendung der Quotientenregel auf \(k(x) = \frac{1}{f(x)}\): \(k'(x) = \frac{0 \cdot f(x) - 1 \cdot f'(x)}{(f(x))^2} = \frac{-\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}}}{(x^{\frac{1}{4}})^2} = \frac{-\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}}\). Potenzgesetze anwenden: \(x^{-\frac{3}{4} - \frac{1}{2}} = x^{-\frac{3}{4} - \frac{2}{4}} = x^{-\frac{5}{4}}\). Das Ergebnis ist \(k'(x) = -\frac{1}{4} x^{-\frac{5}{4}}\). 3. Vergleich: Für \(g(x) = x^{\frac{5}{4}}\) ist \(n = \frac{5}{4}\), das Ergebnis \(\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4}-1}\) passt. Für \(k(x) = x^{-\frac{1}{4}}\) ist \(n = -\frac{1}{4}\), das Ergebnis \(-\frac{1}{4} x^{-\frac{1}{4}-1}\) passt ebenfalls. Vermutung: Die Potenzregel \((x^r)' = r \cdot x^{r-1}\) gilt für alle rationalen Exponenten \(r \in \mathbb{Q}\).

1. \(g'(x) = \frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}}\) 2. \(k'(x) = -\frac{1}{4} x^{-\frac{5}{4}}\) 3. Vermutung: \((x^r)' = r \cdot x^{r-1}\) für \(r \in \mathbb{Q}\).

- Wandle zuerst alle Wurzeln und Brüche in Potenzen mit rationalen Exponenten um. - Welche Regel hilft dir, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Was passiert mit der Basis 1, wenn man sie mit einem beliebigen Exponenten potenziert? - Achte auf die Vorzeichen beim Ableiten von negativen Exponenten.

1. Umschreiben der Funktionsterme in Potenzschreibweise: \(x \sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}\) und \(\frac{2}{\sqrt[4]{x}} = 2 \cdot x^{-\frac{1}{4}}\). Somit gilt \(f(x) = \frac{3}{4} x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{-\frac{1}{4}}\). 2. Bilden der Ableitungsfunktion mit der Potenzregel für rationale Exponenten: \(f'(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1} - 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) x^{-\frac{1}{4}-1}\). 3. Vereinfachen der Koeffizienten und Exponenten: \(f'(x) = \frac{9}{8} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{-\frac{5}{4}}\). 4. Berechnen der Steigung an der Stelle \(x = 1\): \(f'(1) = \frac{9}{8} \cdot 1^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{-\frac{5}{4}} = \frac{9}{8} + \frac{1}{2}\). 5. Ergebnis bestimmen: \(\frac{9}{8} + \frac{4}{8} = \frac{13}{8} = 1{,}625\).

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x = 1\) beträgt \(1{,}625\) (oder \(\frac{13}{8}\)).

- Versuche, die Terme mit den Potenzgesetzen so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du ableitest. - Erinnere dich daran, dass \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) gilt. - Was musst du tun, wenn eine Potenz im Nenner steht? - Denke daran, dass beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis die Exponenten addiert werden.

1. Zuerst wird \(g(x) = x^{1{,}4} \cdot x^{0{,}8} = x^{2{,}2}\) zusammengefasst. Die Ableitung ist \(g'(x) = 2{,}2 x^{1{,}2}\). An der Stelle \(x = 1\) ergibt sich \(g'(1) = 2{,}2 \cdot 1^{1{,}2} = 2{,}2\). 2. Der Term \(g(x) = 2{,}5 \cdot (x^{\frac{1}{4}})^{-3}\) wird zu \(2{,}5 x^{-0{,}75}\). Ableiten ergibt \(g'(x) = 2{,}5 \cdot (-0{,}75) x^{-1{,}75} = -1{,}875 x^{-1{,}75}\). Die Steigung bei \(x = 1\) ist \(g'(1) = -1{,}875\). 3. Umformen von \(g(x) = \frac{x^{2/3}}{x^2}\) ergibt \(x^{\frac{2}{3} - 2} = x^{-\frac{4}{3}}\). Die Ableitungsfunktion ist \(g'(x) = -\frac{4}{3} x^{-\frac{7}{3}}\). Einsetzen von \(1\) liefert \(g'(1) = -\frac{4}{3} \approx -1{,}333\).

a) \(g'(x) = 2{,}2 x^{1{,}2}\); \(g'(1) = 2{,}2\) b) \(g'(x) = -1{,}875 x^{-1{,}75}\); \(g'(1) = -1{,}875\) c) \(g'(x) = -\frac{4}{3} x^{-\frac{7}{3}}\); \(g'(1) = -\frac{4}{3} \approx -1{,}333\)

- Überprüfe, ob die Potenz im Nenner oder Zähler steht und welches Vorzeichen der Exponent dann haben muss. - Erinnere dich an die Regel für das Ableiten von Potenzen: Was passiert mit dem Exponenten? - Wie hängen der Nenner eines Bruchexponenten und die Ordnung der Wurzel zusammen? - Achte auf das Vorzeichen beim Ableiten negativer Exponenten.

1. Fehleranalyse: In Schritt 1 wurde die Potenzregel für Brüche falsch angewendet; da die Wurzel im Nenner steht, muss der Exponent negativ sein (\(x^{-\frac{1}{4}}\)). In Schritt 2 wurde die Ableitungsregel zwar formal richtig auf den (falschen) Term angewendet, aber das Ergebnis basiert auf dem Startfehler. In Schritt 3 ist die Rückführung der Potenzschreibweise in die Wurzelschreibweise fehlerhaft: \(x^{-\frac{7}{4}}\) entspricht \(\frac{1}{\sqrt[4]{x^7}}\) und nicht \(\sqrt[7]{x^4}\). 2. Korrekte Berechnung: \(f(x) = 2 \cdot x^{-\frac{1}{4}}\) \(f'(x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)x^{-\frac{5}{4}} = -0{,}5x^{-\frac{5}{4}}\) \(f''(x) = -0{,}5 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right)x^{-\frac{9}{4}} = \frac{5}{8}x^{-\frac{9}{4}} = \frac{5}{8\sqrt[4]{x^9}}\)

Fehler: 1. Falsches Vorzeichen des Exponenten beim Umschreiben (\(x^{\frac{1}{4}}\) statt \(x^{-\frac{1}{4}}\)). 2. Falsche Umformung der Potenz in eine Wurzel im letzten Schritt (\(x^{-\frac{7}{4}}\) ist nicht \(\sqrt[7]{x^4}\)). Korrekte Lösung: \(f''(x) = \frac{5}{8}x^{-\frac{9}{4}} = \frac{5}{8\sqrt[4]{x^9}}\) (oder \(0{,}625x^{-2{,}25}\)).

- Schreibe die Wurzelterme und Brüche zuerst in die Form \(x^n\) um. - Wende die Potenzregel \(n \cdot x^{n-1}\) nacheinander für beide Ableitungen an. - Achte beim Subtrahieren von \(1\) bei den Exponenten besonders auf die Brüche und negativen Zahlen. - Überlege am Ende, wie du einen negativen gebrochenen Exponenten wieder als Wurzel im Nenner schreiben kannst.

1. Umschreiben der Funktion in Potenzschreibweise: \(f(x) = 6x^{\frac{2}{3}} - 4x^{-1}\). 2. Bildung der ersten Ableitung mit der Potenzregel: \(f'(x) = 6 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} - 4 \cdot (-1)x^{-1-1} = 4x^{-\frac{1}{3}} + 4x^{-2}\). 3. Bildung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{1}{3}-1} + 4 \cdot (-2)x^{-2-1} = -\frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}} - 8x^{-3}\). 4. Umformung in Wurzelschreibweise und Brüche: \(f''(x) = -\frac{4}{3\sqrt[3]{x^4}} - \frac{8}{x^3}\).

\(f''(x) = -\frac{4}{3\sqrt[3]{x^4}} - \frac{8}{x^3}\)

- Kannst du die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten schreiben? - Erinnere dich an die allgemeine Potenzregel für das Ableiten und Integrieren. - Es hilft oft, alle Summanden zuerst in die Form \(a \cdot x^n\) zu bringen.

1. Umschreiben der Funktion in Potenzschreibweise: \(f(x) = 4x^{0{,}6} - 1{,}2x^{-0{,}4}\). 2. Ableiten mit der Potenzregel \(n \cdot x^{n-1}\): \(f'(x) = 4 \cdot 0{,}6 \cdot x^{0{,}6-1} - 1{,}2 \cdot (-0{,}4) \cdot x^{-0{,}4-1} = 2{,}4x^{-0{,}4} + 0{,}48x^{-1{,}4}\). 3. Bestimmen einer Stammfunktion mit der Regel \(\frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1}\): \(F(x) = \frac{4}{1{,}6}x^{1{,}6} - \frac{1{,}2}{0{,}6}x^{0{,}6} = 2{,}5x^{1{,}6} - 2x^{0{,}6}\).

\(f'(x) = 2{,}4 x^{-0{,}4} + 0{,}48 x^{-1{,}4}\) \(F(x) = 2{,}5 x^{1{,}6} - 2 x^{0{,}6}\)

- Kannst du den Bruch vereinfachen, indem du die Potenzgesetze für Division anwendest? - Wie lässt sich ein Ausdruck der Form \(\frac{x^a}{x^b}\) als eine einzige Potenz schreiben? - Wende nach der Vereinfachung die Regeln für Potenzen mit rationalen Exponenten an.

1. Vereinfachen des Funktionsterms durch Anwendung der Potenzgesetze: \(f(x) = \frac{6x^1}{x^{2/3}} = 6x^{1 - 2/3} = 6x^{1/3}\). 2. Berechnung der Ableitung: \(f'(x) = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3-1} = 2x^{-2/3}\). 3. Berechnung einer Stammfunktion: \(F(x) = \frac{6}{1/3+1}x^{1/3+1} = \frac{6}{4/3}x^{4/3} = \frac{18}{4}x^{4/3} = 4{,}5x^{4/3}\).

\(f'(x) = 2 x^{-2/3}\) (oder \(f'(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}\)) \(F(x) = 4{,}5 x^{4/3}\) (oder \(F(x) = 4{,}5 x \cdot \sqrt[3]{x}\))

- Überlege dir vor dem Ableiten, welche Rechenregel (Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel) die äußere Struktur der Funktion bestimmt. - Es hilft oft, Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten zu schreiben, zum Beispiel \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). - Achte bei der Kettenregel darauf, die innere Ableitung korrekt zu bestimmen und mit der äußeren Ableitung zu multiplizieren. - Kannst du den Funktionsterm vor dem Ableiten durch Potenzgesetze vereinfachen?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Produktregel und die Kettenregel angewendet: \(f'(x) = 2x \cdot e^{\sqrt{x}} + x^2 \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x e^{\sqrt{x}} + \frac{1}{2} x\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} = x e^{\sqrt{x}} \cdot (2 + \frac{1}{2}\sqrt{x})\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Quotientenregel (oder Produkt- und Kettenregel) genutzt: \(f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^{x^2} - \sqrt{x} \cdot e^{x^2} \cdot 2x}{(e^{x^2})^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} - 2x\sqrt{x}}{e^{x^2}} = \frac{1 - 4x^2}{2\sqrt{x} \cdot e^{x^2}}\). 3. Für Teilaufgabe c) wird die Kettenregel auf die äußere Wurzelfunktion und die innere Exponentialfunktion angewendet: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{e^{3x} + 1}} \cdot 3e^{3x} = \frac{3e^{3x}}{2\sqrt{e^{3x} + 1}}\).

a) \(f'(x) = x e^{\sqrt{x}} \cdot (2 + \frac{1}{2}\sqrt{x})\) b) \(f'(x) = \frac{1 - 4x^2}{2\sqrt{x} \cdot e^{x^2}}\) c) \(f'(x) = \frac{3e^{3x}}{2\sqrt{e^{3x} + 1}}\)

- Wie hängen die Steigung eines Graphen und die Ableitungsfunktion zusammen? - Versuche, die Funktion \(g\) vor dem Ableiten mithilfe der Potenzgesetze umzuformen, um die Rechnung zu vereinfachen. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Graph „steiler“ verläuft als ein anderer? - Setze die gegebene Stelle in deine berechneten Ableitungsfunktionen ein und vergleiche die Ergebnisse.

1. Ableitung von \(f(x) = e^{\sqrt{x}}\) mit der Kettenregel: \(f'(x) = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\). 2. Ableitung von \(g(x) = \sqrt{e^x} = (e^x)^{0{,}5} = e^{0{,}5x}\) mit der Kettenregel: \(g'(x) = e^{0{,}5x} \cdot 0{,}5 = \frac{1}{2} e^{0{,}5x} = \frac{\sqrt{e^x}}{2}\). 3. Berechnung der Steigungen an der Stelle \(x = 1\): \(f'(1) = \frac{e^{\sqrt{1}}}{2\sqrt{1}} = \frac{e}{2} \approx 1{,}359\). \(g'(1) = \frac{\sqrt{e^1}}{2} = \frac{\sqrt{e}}{2} \approx 0{,}824\). 4. Vergleich der Werte: Da \(e > \sqrt{e}\) gilt, ist \(f'(1) > g'(1)\). Somit verläuft der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 1\) steiler.

Die Ableitungen lauten \(f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\) und \(g'(x) = \frac{1}{2} e^{0{,}5x}\). Da \(f'(1) = \frac{e}{2}\) größer ist als \(g'(1) = \frac{\sqrt{e}}{2}\), weist der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 1\) die größere Steigung auf.

- Kannst du die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten schreiben? - Hier liegt eine mehrfache Verkettung vor. Identifiziere die „ganz äußere“, die mittlere und die „ganz innere“ Funktion. - Denk an die Ableitung der Sinusfunktion und beachte den Faktor im Argument des Sinus. - Wie geht man mit negativen Exponenten in einem Bruch um?

1. Umschreiben der Wurzelfunktion in eine Potenzschreibweise: \(f(x) = (\sin(2x) + 2)^{\frac{1}{3}}\). 2. Anwendung der Kettenregel: Die äußere Funktion ist \(g(u) = u^{\frac{1}{3}}\), die innere Funktion ist \(h(x) = \sin(2x) + 2\). 3. Ableitung der äußeren Funktion: \(g'(u) = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}\). 4. Ableitung der inneren Funktion unter erneuter Anwendung der Kettenregel für \(\sin(2x)\): \(h'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)\). 5. Zusammensetzen nach der Kettenregel \(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\): \(f'(x) = \frac{1}{3}(\sin(2x) + 2)^{-\frac{2}{3}} \cdot 2\cos(2x)\). 6. Umformung in die Wurzelschreibweise: \(f'(x) = \frac{2\cos(2x)}{3\sqrt[3]{(\sin(2x) + 2)^2}}\).

\(f'(x) = \frac{2\cos(2x)}{3\sqrt[3]{(\sin(2x) + 2)^2}}\)

- Welche Ableitungsregel ist bei einem Produkt zweier Funktionen anzuwenden? - Wie leitest du eine Wurzelfunktion ab, in deren Inneren ein weiterer Term steht? - Versuche am Ende, die Brüche durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner zusammenzufassen.

1. Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = 2x - 3\) und \(v(x) = \sqrt{x^2 + 5}\). 2. Ableitungen der Teilfunktionen bilden: \(u'(x) = 2\) und \(v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 5}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}\) (unter Verwendung der Kettenregel). 3. Zusammensetzen nach der Produktregel: \(f'(x) = 2 \cdot \sqrt{x^2 + 5} + (2x - 3) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}\). 4. Auf einen gemeinsamen Nenner bringen: \(f'(x) = \frac{2(x^2 + 5) + x(2x - 3)}{\sqrt{x^2 + 5}}\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen im Zähler: \(2x^2 + 10 + 2x^2 - 3x = 4x^2 - 3x + 10\). 6. Endergebnis: \(f'(x) = \frac{4x^2 - 3x + 10}{\sqrt{x^2 + 5}}\).

\(f'(x) = \frac{4x^2 - 3x + 10}{\sqrt{x^2 + 5}}\)

- Überlege dir zuerst, wie das Volumen des Wassers in der Rinne von der Füllhöhe abhängt. Eine Skizze des Querschnitts und der Strahlensatz können dabei helfen. - Wie hängen das zugeflossene Gesamtvolumen und die Zeit bei einer konstanten Zuflussrate zusammen? - Setze die beiden Ausdrücke für das Volumen gleich, um die Höhe nach der Zeit aufzulösen. - Erinnere dich daran, welche mathematische Operation die „momentane Änderungsrate“ einer Funktion beschreibt. - Nutze die Ableitungsregeln für Wurzelfunktionen oder schreibe die Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten um.

1. Das Volumen \(V\) einer Rinne mit dreieckigem Querschnitt berechnet sich durch \(V = \frac{1}{2} \cdot w \cdot h \cdot L\), wobei \(w\) die Breite des Wasserspiegels, \(h\) die Höhe und \(L = 100\,\text{cm}\) die Länge ist. 2. Aus dem Strahlensatz folgt für den Querschnitt: \(\frac{w}{h} = \frac{40}{40} = 1\), also \(w = h\). 3. Einsetzen in die Volumenformel ergibt \(V(h) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot h \cdot 100 = 50 \cdot h^2\). 4. Da die Zuflussrate \(200\,\text{cm}^3/\text{s}\) beträgt, gilt \(V(t) = 200 \cdot t\). 5. Gleichsetzen führt zu \(50 \cdot h^2 = 200 \cdot t\), woraus durch Umformen \(h^2 = 4 \cdot t\) und somit \(h(t) = 2 \cdot \sqrt{t}\) folgt. 6. Die momentane Änderungsrate ist die Ableitung \(h'(t) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{\sqrt{t}}\). 7. Für \(t = 9\,\text{s}\) ergibt sich \(h'(9) = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33\).

a) \(h(t) = 2 \cdot \sqrt{t}\) b) Die momentane Änderungsrate beträgt \(\frac{1}{3}\,\text{cm}/\text{s}\) (ca. \(0{,}33\,\text{cm}/\text{s}\)).

- Überlege dir zuerst, wie sich die einzelnen geometrischen Operationen auf die Parameter in der Funktionsgleichung auswirken. - Was bedeutet eine Verschiebung nach links für das Vorzeichen innerhalb der Wurzel? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für Wurzelfunktionen und die Kettenregel. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung an einer bestimmten Stelle zusammen?

1. Aus den Transformationen ergeben sich die Parameter \(a = 3\), \(b = 4\) (Verschiebung nach links) und \(c = -2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 3\sqrt{x+4} - 2\). 2. Zur Bestimmung der Tangentengleichung wird zunächst die Ableitung berechnet: \(f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+4}} = \frac{3}{2\sqrt{x+4}}\). 3. Die Steigung an der Stelle \(x = 5\) ist \(m = f'(5) = \frac{3}{2\sqrt{5+4}} = \frac{3}{2 \cdot 3} = 0{,}5\). 4. Der zugehörige \(y\)-Wert ist \(f(5) = 3\sqrt{5+4} - 2 = 3 \cdot 3 - 2 = 7\). 5. Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form \(y = m(x - x_0) + y_0\) ergibt: \(y = 0{,}5(x - 5) + 7 = 0{,}5x - 2{,}5 + 7 = 0{,}5x + 4{,}5\).

1. \(f(x) = 3\sqrt{x+4} - 2\) 2. \(y = 0{,}5x + 4{,}5\)

- Nutze Wurzelgesetze, um den Term zu vereinfachen, bevor du die Transformationen beschreibst. - Achte beim Ausklammern darauf, dass der Faktor unter der gesamten Wurzel bleibt oder korrekt nach draußen gezogen wird. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an einem Punkt zu berechnen? - Setze die berechnete Ableitungsfunktion mit dem Zielwert gleich und löse die Gleichung nach \(x\) auf.

1. Durch Ausklammern erhält man \(f(x) = \sqrt{4(x + 3)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x + 3} = 2\sqrt{x + 3}\). 2. Der Graph von \(f\) entsteht aus \(g(x) = \sqrt{x}\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) und einer anschließenden Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links. 3. Die Ableitung der Funktion lautet \(f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} = \frac{1}{\sqrt{x+3}}\). 4. Um die Stelle mit der Steigung \(1\) zu finden, setzt man \(f'(x) = 1\): \(\frac{1}{\sqrt{x+3}} = 1\). 5. Quadrieren beider Seiten führt zu \(\frac{1}{x+3} = 1\), woraus \(x+3 = 1\) und somit \(x_0 = -2\) folgt.

1. \(f(x) = 2\sqrt{x+3}\). Der Graph ist gegenüber \(g(x) = \sqrt{x}\) um den Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung gestreckt und um \(3\) Einheiten nach links verschoben. 2. \(x_0 = -2\)

- Welche Bedingung muss für den Wert unter einer Quadratwurzel gelten? - Wie verhält sich eine nach unten geöffnete Parabel bezüglich ihrer Nullstellen? - Überlege, was beim Ableiten einer Wurzelfunktion mit dem Radikanden im Nenner passiert. - Darf man durch null teilen?

1. Für die Definitionsmenge muss der Radikand nicht-negativ sein: \(12 - x - x^2 \ge 0\). 2. Die Nullstellen des quadratischen Terms \(-x^2 - x + 12\) werden berechnet: \(x^2 + x - 12 = 0 \Rightarrow (x+4)(x-3) = 0\), also \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 3\). 3. Da der Graph des Radikanden eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist der Term zwischen den Nullstellen positiv. Somit ist \(D_f = [-4; 3]\). 4. Die Ableitung lautet nach der Kettenregel \(f'(x) = \frac{-1 - 2x}{2\sqrt{12 - x - x^2}}\). 5. Damit die Ableitung definiert ist, darf der Nenner nicht null sein. Der Radikand im Nenner muss also echt größer als null sein: \(12 - x - x^2 > 0\). 6. Dies ist für alle \(x \in ]-4; 3[\) erfüllt. An den Rändern \(x = -4\) und \(x = 3\) ist die Funktion zwar definiert, aber nicht differenzierbar, da die Tangente dort vertikal verläuft.

a) \(D_f = [-4; 3]\) b) \(D_{f'} = ]-4; 3[\). Die Funktion ist an den Stellen \(x = -4\) und \(x = 3\) nicht differenzierbar, da dort der Radikand im Nenner der Ableitungsfunktion null wird.

- Beachte, dass die Wurzel hier im Nenner eines Bruchs steht. Welche zwei Bedingungen ergeben sich daraus? - Untersuche das Vorzeichen des quadratischen Terms. Hilft dir eine Skizze oder eine Testeinsetzung? - Wie notiert man Mengen, die aus zwei getrennten Bereichen bestehen?

1. Die Funktion ist definiert, wenn der Radikand der Quadratwurzel im Nenner echt positiv ist, da die Wurzel selbst nicht null werden darf: \(2x^2 - 8x > 0\). 2. Zur Lösung der Ungleichung werden die Nullstellen von \(2x^2 - 8x\) bestimmt: \(2x(x - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = 0; x_2 = 4\). 3. Der Term \(2x^2 - 8x\) beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel. Der Funktionswert ist somit außerhalb des Bereichs zwischen den Nullstellen positiv. 4. Die Bedingung \(2x^2 - 8x > 0\) ist für \(x < 0\) oder \(x > 4\) erfüllt. 5. Die maximale Definitionsmenge lautet somit \(D_h = ]-\infty; 0[ \cup ]4; \infty[\) bzw. \(D_h = \mathbb{R} \setminus [0; 4]\).

\(D_h = ]-\infty; 0[ \cup ]4; \infty[\) (oder alternativ \(D_h = \mathbb{R} \setminus [0; 4]\))

- Überlege, für welche Werte der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ wird. - Wie gehst du vor, um den gemeinsamen Punkt zweier Funktionsgraphen zu finden? - Erinnere dich an die Regel für das Quadrieren von Summen oder Differenzen (binomische Formeln). - Welche mathematische Größe gibt die Steigung einer Tangente an einem bestimmten Punkt an? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Geradengleichung?

1. Bestimmung der Definitionsmengen: Für \(f\) muss \(x+4 \geq 0\) gelten, also \(D_f = [-4; \infty[\). Für \(g\) muss \(x \geq 0\) gelten, also \(D_g = [0; \infty[\). 2. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen \(\sqrt{x+4} = 4 - \sqrt{x}\). Quadrieren beider Seiten liefert \(x+4 = 16 - 8\sqrt{x} + x\). Vereinfachen führt zu \(8\sqrt{x} = 12\), also \(\sqrt{x} = 1{,}5\). Daraus folgt \(x = 2{,}25\). Einsetzen ergibt den Funktionswert \(f(2{,}25) = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S(2{,}25|2{,}5)\). 3. Ableitung von \(f\): \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+4}}\). 4. Steigung der Tangente in \(S\): \(m = f'(2{,}25) = \frac{1}{2\sqrt{6{,}25}} = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 5. Tangentengleichung: Ansatz \(y = 0{,}2x + t\). Einsetzen von \(S(2{,}25|2{,}5)\) ergibt \(2{,}5 = 0{,}2 \cdot 2{,}25 + t \Rightarrow 2{,}5 = 0{,}45 + t \Rightarrow t = 2{,}05\). Die Gleichung lautet \(t: y = 0{,}2x + 2{,}05\).

a) \(D_f = [-4; \infty[\); \(D_g = [0; \infty[\) b) \(S(2{,}25|2{,}5)\) c) \(t: y = 0{,}2x + 2{,}05\)

- Wie findet man die Schnittpunkte eines Graphen mit der x-Achse bzw. der y-Achse? - Setze die Funktionsterme gleich, um die x-Koordinate des Schnittpunkts zu bestimmen. - Denk an die Kettenregel beim Ableiten der Wurzelfunktionen. - Welche Bedingung muss für die Steigungen zweier Geraden gelten, damit diese senkrecht aufeinander stehen?

1. Achsenschnittpunkte: Für \(f\): \(f(0)=0 \Rightarrow (0|0)\). Für \(g\): \(g(0)=\sqrt{6} \Rightarrow (0|\sqrt{6})\); Nullstelle \(g(x)=0 \Rightarrow 6-x=0 \Rightarrow x=6 \Rightarrow (6|0)\). 2. Schnittpunktberechnung: \(\sqrt{2x} = \sqrt{6-x} \Rightarrow 2x = 6-x \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). Funktionswert \(f(2) = \sqrt{4} = 2\). Da die lineare Gleichung \(3x=6\) genau eine Lösung besitzt, ist \(S(2|2)\) der einzige Schnittpunkt. 3. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}\) und \(g'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{6-x}}\) (unter Verwendung der Kettenregel). 4. Steigungen im Punkt \(S\): \(m_f = f'(2) = \frac{1}{\sqrt{4}} = 0{,}5\) und \(m_g = g'(2) = \frac{-1}{2\sqrt{4}} = -0{,}25\). 5. Orthogonalitätsprüfung: Das Produkt der Steigungen ist \(m_f \cdot m_g = 0{,}5 \cdot (-0{,}25) = -0{,}125\). Da \(-0{,}125 \neq -1\), schneiden sich die Tangenten nicht rechtwinklig.

a) \(G_f\): \((0|0)\); \(G_g\): \((0|\sqrt{6})\) und \((6|0)\) b) Gleichsetzen führt auf die einzige Lösung \(x=2\) mit \(y=2\). c) Nein, die Tangenten schneiden sich nicht rechtwinklig, da das Produkt ihrer Steigungen \(m_f \cdot m_g = -0{,}125 \neq -1\) ist.

- Wann ist der Ausdruck unter einer Quadratwurzel definiert? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer bestimmten Stelle? - Denke beim Ableiten der Funktion an die Kettenregel für die äußere und innere Funktion. - Was kennzeichnet mathematisch einen Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Radikand muss nicht-negativ sein, also \(6 - 3x \ge 0\). Daraus folgt \(3x \le 6\) bzw. \(x \le 2\). Somit ist \(D_f = ]-\infty; 2]\). 2. Berechnung der Tangentengleichung: Zuerst wird der Funktionswert an der Stelle \(x_0 = -1\) berechnet: \(f(-1) = \sqrt{6 - 3 \cdot (-1)} + 2 = \sqrt{9} + 2 = 5\). Der Berührpunkt ist \(P(-1 | 5)\). 3. Ableitung bilden: Unter Verwendung der Kettenregel ergibt sich \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{6 - 3x}} \cdot (-3) = -\frac{3}{2\sqrt{6 - 3x}}\). 4. Steigung berechnen: \(m = f'(-1) = -\frac{3}{2\sqrt{9}} = -\frac{3}{6} = -0{,}5\). 5. Tangentengleichung aufstellen: \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0 \Rightarrow y = -0{,}5(x + 1) + 5 = -0{,}5x + 4{,}5\). 6. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in die Tangentengleichung ein: \(y = -0{,}5 \cdot 0 + 4{,}5 = 4{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | 4{,}5)\).

a) \(D_f = ]-\infty; 2]\) b) \(t: y = -0{,}5x + 4{,}5\) c) \(S_y(0 | 4{,}5)\)

- Was muss für den Ausdruck unter einer Quadratwurzel gelten, damit er definiert ist? - Welche Ableitungsregel ist anzuwenden, wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist? - Aus welchen zwei Werten setzt sich eine lineare Tangentengleichung zusammen? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung an einer Stelle zusammen?

1. Zur Bestimmung der Definitionsmenge muss der Radikand nichtnegativ sein: \(12 - 3x^2 \ge 0 \Leftrightarrow 4 \ge x^2 \). Dies ergibt \(D_f = [-2; 2]\). 2. Die Ableitung erfolgt mit der Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{12 - 3x^2}} \cdot (-6x)\). Vereinfacht ergibt sich \(f'(x) = \frac{-3x}{\sqrt{12 - 3x^2}}\). 3. Für die Tangentengleichung an der Stelle \(x_0 = 1\) werden der Funktionswert \(f(1) = \sqrt{12 - 3 \cdot 1^2} = \sqrt{9} = 3\) und die Steigung \(f'(1) = \frac{-3 \cdot 1}{\sqrt{12 - 3 \cdot 1^2}} = \frac{-3}{3} = -1\) berechnet. 4. Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form \(y = m(x - x_0) + y_0\): \(y = -1 \cdot (x - 1) + 3 = -x + 4\). Die Tangentengleichung lautet \(y = -x + 4\).

a) \(D_f = [-2; 2]\) b) \(f'(x) = \frac{-3x}{\sqrt{12 - 3x^2}}\) c) \(y = -x + 4\)

- Welche Bedingung muss für den Ausdruck unter einer Quadratwurzel gelten? - Wie beeinflusst das Vorzeichen vor der Wurzel den Wertebereich der Funktion? - Nutze die Kettenregel, um die Ableitung der Wurzelfunktion zu bestimmen. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer bestimmten Stelle. - Was sagt ein unendlicher Grenzwert der Steigung über den Verlauf des Graphen aus?

1. Für die Definitionsmenge muss der Radikand nichtnegativ sein: \(2x + 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\), also \(D_f = [-3; \infty[\). Da die Wurzelfunktion nur nichtnegative Werte annimmt, gilt \(\sqrt{2x + 6} \geq 0\). Somit ist \(f(x) \leq 4\), woraus \(W_f = ]-\infty; 4]\) folgt. 2. Die Ableitungsfunktion lautet unter Verwendung der Kettenregel: \(f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{2x + 6}} \cdot 2 = -\frac{1}{\sqrt{2x + 6}}\). 3. An der Stelle \(x = 1{,}5\) ergibt sich der Funktionswert \(f(1{,}5) = 4 - \sqrt{2 \cdot 1{,}5 + 6} = 4 - 3 = 1\) und die Steigung \(f'(1{,}5) = -\frac{1}{\sqrt{3 + 6}} = -\frac{1}{3}\). 4. Die Tangentengleichung lautet \(y = -\frac{1}{3} \cdot (x - 1{,}5) + 1\), vereinfacht \(y = -\frac{1}{3}x + 1{,}5\). 5. Der Grenzwert der Ableitung für \(x \to -3\) von rechts ist \(\lim_{x \to -3^+} -\frac{1}{\sqrt{2x + 6}} = -\infty\). Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph \(G_f\) an seinem linken Randpunkt \((-3|4)\) eine senkrechte Tangente besitzt.

a) \(D_f = [-3; \infty[\); \(W_f = ]-\infty; 4]\) b) \(t: y = -\frac{1}{3}x + 1{,}5\) c) \(\lim_{x \to -3^+} f'(x) = -\infty\); der Graph besitzt an der Stelle \(x = -3\) eine senkrechte Tangente.

- Überlege, welche Rechenoperationen innerhalb und außerhalb der Wurzelfunktion durchgeführt werden und wie diese den Graphen verschieben oder verformen. - Wie berechnet man allgemein die Nullstellen einer Funktion? - Denke beim Lösen der Wurzelgleichung daran, die Wurzel zu isolieren, bevor du quadrierst. - Verwende die Ableitungsregeln für Wurzelfunktionen, um die Steigungsfunktion zu finden. - Setze die Ableitung mit dem gegebenen Wert gleich, um nach der gesuchten Stelle aufzulösen.

1. Definitionsmenge: \(x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\), also \(D_h = [-1; \infty[\). 2. Transformationen: Verschiebung um 1 Einheit nach links (in \(x\)-Richtung), Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2, Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um 3 Einheiten nach oben (in \(y\)-Richtung). 3. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: Ansatz \(h(x) = 0 \Rightarrow 3 - 2\sqrt{x + 1} = 0 \Rightarrow 1{,}5 = \sqrt{x + 1} \Rightarrow 2{,}25 = x + 1 \Rightarrow x = 1{,}25\). Der Schnittpunkt ist \(S(1{,}25|0)\). 4. Ableitung berechnen: \(h'(x) = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} = -\frac{1}{\sqrt{x + 1}}\). 5. Stelle mit Steigung \(-0{,}5\) finden: \(-\frac{1}{\sqrt{x_0 + 1}} = -0{,}5 \Rightarrow \sqrt{x_0 + 1} = 2 \Rightarrow x_0 + 1 = 4 \Rightarrow x_0 = 3\).

a) \(D_h = [-1; \infty[\); Transformationen: Verschiebung um 1 nach links, Streckung in \(y\)-Richtung (Faktor 2), Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um 3 nach oben. b) \(S(1{,}25|0)\) c) \(x_0 = 3\)

- Überlege dir, welche Parameter in der Funktionsgleichung für welche geometrische Veränderung (Verschiebung, Streckung) verantwortlich sind. - Denke beim Ableiten daran, die Wurzelfunktion als Potenz mit rationalem Exponenten zu schreiben. - Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden oder Kurven, wenn diese parallel zueinander verlaufen sollen? - Wie findet man den zugehörigen \(y\)-Wert, wenn man die \(x\)-Stelle eines Punktes auf einem Graphen bereits kennt?

1. Beschreibung der Transformationen: Der Graph entsteht durch eine Verschiebung um \(4\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links), eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) (Stauchung) und eine Verschiebung um \(3\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten). 2. Ableitung berechnen: Mit der Kettenregel oder der Potenzregel (\(f(x) = \frac{1}{2}(x+4)^{1/2} - 3\)) ergibt sich \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(x+4)^{-1/2} = \frac{1}{4\sqrt{x+4}}\). 3. Punkt bestimmen: Die Bedingung für Parallelität ist \(f'(x) = \frac{1}{8}\). Lösen der Gleichung \(\frac{1}{4\sqrt{x+4}} = \frac{1}{8}\) führt zu \(4\sqrt{x+4} = 8\), also \(\sqrt{x+4} = 2\). Quadrieren ergibt \(x+4 = 4\), woraus \(x = 0\) folgt. Einsetzen in \(f\) liefert \(f(0) = \frac{1}{2}\sqrt{4} - 3 = 1 - 3 = -2\). Der gesuchte Punkt ist \(P(0 | -2)\).

a) Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten. b) \(f'(x) = \frac{1}{4\sqrt{x+4}}\) c) \(P(0 | -2)\)

- Welche Bedingungen müssen für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllt sein? - Ersetze \(x\) durch \(-x\) und vergleiche den resultierenden Term mit der ursprünglichen Funktion. - Denke bei der Ableitung an die Quotientenregel oder schreibe die Wurzel als Potenz mit negativem Exponenten um. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine negative Zahl quadriert wird?

1. Symmetrieprüfung von \(f\): Berechnung von \(f(-x) = \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 + 4}} = \frac{-x}{\sqrt{x^2 + 4}} = -f(x)\). Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Ableitung berechnen: Anwendung der Quotientenregel und Kettenregel auf \(f(x) = x \cdot (x^2 + 4)^{-\frac{1}{2}}\). Es ergibt sich \(f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2+4} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}{x^2+4} = \frac{\frac{x^2+4-x^2}{\sqrt{x^2+4}}}{x^2+4} = \frac{4}{(x^2+4)^{1{,}5}}\). 3. Symmetrieprüfung von \(f'\): Berechnung von \(f'(-x) = \frac{4}{((-x)^2+4)^{1{,}5}} = \frac{4}{(x^2+4)^{1{,}5}} = f'(x)\). Der Graph von \(f'\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(f(-x) = -f(x)\) gilt. Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = \frac{4}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}\). Ihr Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f'(-x) = f'(x)\) gilt.

- Wie verhält sich eine Potenzfunktion mit geraden Exponenten bei negativen Vorzeichen? - Nutze die Kettenregel für die Ableitung der Wurzelfunktion: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Überlege dir, welche Steigung eine achsensymmetrische Kurve direkt auf der Symmetrieachse haben muss, wenn sie dort glatt verläuft. - Kannst du die Symmetrie der Ableitungsfunktion bestimmen, wenn die Originalfunktion achsensymmetrisch ist?

1. Nachweis der Achsensymmetrie: \(g(-x) = \sqrt{(-x)^4 + 2(-x)^2 + 5} = \sqrt{x^4 + 2x^2 + 5} = g(x)\). Da \(g(-x) = g(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Berechnung der Ableitung: Anwendung der Kettenregel auf \(g(x) = (x^4 + 2x^2 + 5)^{\frac{1}{2}}\). Die äußere Ableitung ist \(\frac{1}{2}(x^4 + 2x^2 + 5)^{-\frac{1}{2}}\), die innere Ableitung ist \(4x^3 + 4x\). Somit gilt \(g'(x) = \frac{4x^3 + 4x}{2\sqrt{x^4 + 2x^2 + 5}} = \frac{2x^3 + 2x}{\sqrt{x^4 + 2x^2 + 5}}\). 3. Begründung für \(g'(0)\): Da der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist und die Funktion an der Stelle \(x=0\) differenzierbar ist, muss die Tangente dort waagerecht verlaufen, damit die Symmetrie gewahrt bleibt (oder: \(g'(x)\) ist punktsymmetrisch, woraus \(g'(0) = -g'(0) \implies g'(0) = 0\) folgt). Einsetzen liefert ebenfalls \(g'(0) = \frac{0}{\sqrt{5}} = 0\).

a) Es gilt \(g(-x) = g(x)\), somit ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Die Ableitung ist \(g'(x) = \frac{2x^3 + 2x}{\sqrt{x^4 + 2x^2 + 5}}\). Da der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, muss die Ableitungsfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung sein (\(g'(-x) = -g'(x)\)). Für eine stetige, punktsymmetrische Funktion folgt daraus zwingend \(g'(0) = 0\).

- Welche Ableitungsregel ist bei einem Bruch am sinnvollsten? - Wie lautet die Ableitung einer Wurzelfunktion? - Versuche nach dem Ableiten, den Zähler durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, um Ausdrücke wie \( (x+1) \cdot \sqrt{x+1} \) zusammenzufassen.

1. Anwendung der Quotientenregel mit \( u(x) = x+3 \) und \( v(x) = \sqrt{x+1} \). 2. Berechnung der Teilableitungen: \( u'(x) = 1 \) und \( v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \( f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x+1} - (x+3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{(\sqrt{x+1})^2} \). 4. Erweitern des Zählers mit \( 2\sqrt{x+1} \), um den Doppelbruch aufzulösen: \( f'(x) = \frac{2(x+1) - (x+3)}{2\sqrt{x+1} \cdot (x+1)} \). 5. Vereinfachen des Zählers: \( 2x + 2 - x - 3 = x - 1 \). 6. Zusammenfassen des Nenners: \( 2(x+1)^1 \cdot (x+1)^{0{,}5} = 2(x+1)^{1{,}5} = 2\sqrt{(x+1)^3} \). 7. Ergebnis: \( f'(x) = \frac{x-1}{2\sqrt{(x+1)^3}} \).

Die Ableitung ergibt sich durch Anwendung der Quotientenregel und anschließendes Vereinfachen zu \( f'(x) = \frac{x-1}{2\sqrt{(x+1)^3}} \).

- Überlege dir, welche Werte unter einer Quadratwurzel stehen dürfen. - Wie findet man rechnerisch heraus, wo ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Erinnere dich an das Verfahren zum Finden von gemeinsamen Punkten zweier Funktionen. - Für die Tangente benötigst du die Steigung an einer bestimmten Stelle. Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei? - Die allgemeine Geradengleichung oder die Punkt-Steigungs-Form ist nützlich, um eine Tangentengleichung aufzustellen.

1. Definitionsmengen: Für \(f\) muss \(12 - x \ge 0\) gelten, also \(x \le 12\), woraus \(D_f = ]-\infty; 12]\) folgt. Für \(g\) muss \(x + 4 \ge 0\) gelten, also \(x \ge -4\), woraus \(D_g = [-4; \infty[\) folgt. 2. Nullstellen: \(f(x) = 0 \implies x = 12\), also \(N_f(12|0)\). \(g(x) = 0 \implies x = -4\), also \(N_g(-4|0)\). 3. Schnittpunkt \(S\): Gleichsetzen \(\sqrt{12 - x} = \sqrt{x + 4} \implies 12 - x = x + 4 \implies 2x = 8 \implies x = 4\). Funktionswert \(f(4) = \sqrt{12 - 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Somit ist \(S(4|2\sqrt{2})\). 4. Ableitungen: \(f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{12 - x}}\) und \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 4}}\). 5. Steigungen in \(S\): \(m_f = f'(4) = -\frac{1}{2\sqrt{8}} = -\frac{1}{4\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{8}\). \(m_g = g'(4) = \frac{1}{2\sqrt{8}} = \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}\). 6. Tangentengleichungen mit \(y = m(x - x_S) + y_S\): \(t_f: y = -\frac{\sqrt{2}}{8}(x - 4) + 2\sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{8}x + 2{,}5\sqrt{2}\). \(t_g: y = \frac{\sqrt{2}}{8}(x - 4) + 2\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{8}x + 1{,}5\sqrt{2}\).

a) \(D_f = ]-\infty; 12]\), \(D_g = [-4; \infty[\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_f(12|0)\) und \(N_g(-4|0)\). b) \(S(4|2\sqrt{2})\) oder ca. \(S(4|2{,}83)\). c) \(t_f: y = -\frac{\sqrt{2}}{8}x + 2{,}5\sqrt{2}\); \(t_g: y = \frac{\sqrt{2}}{8}x + 1{,}5\sqrt{2}\).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Das Vorzeichen der ersten Ableitung gibt Aufschluss über das Steigungsverhalten. - Denke bei der Ableitung an die Kettenregel: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Für die Tangentengleichung benötigst du den Punkt auf dem Graphen und die lokale Steigung.

1. Symmetrie: Prüfung auf Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse durch \(h(-x) = \sqrt{(-x)^2 + 9} = \sqrt{x^2 + 9} = h(x)\). Der Graph \(G_h\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Ableitung berechnen: Mit der Kettenregel ergibt sich \(h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}\). 3. Monotonie: Der Nenner \(\sqrt{x^2 + 9}\) ist stets positiv. Das Vorzeichen von \(h'(x)\) entspricht dem Vorzeichen von \(x\). Für \(x < 0\) ist \(h'(x) < 0\), also ist \(h\) streng monoton fallend in \(]-\infty; 0]\). Für \(x > 0\) ist \(h'(x) > 0\), also ist \(h\) streng monoton wachsend in \([0; \infty[\). 4. Tangente an \(x = 4\): Funktionswert \(h(4) = \sqrt{16 + 9} = 5\). Steigung \(h'(4) = \frac{4}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). 5. Tangentengleichung: \(y = 0{,}8 \cdot (x - 4) + 5 = 0{,}8x - 3{,}2 + 5 = 0{,}8x + 1{,}8\).

a) \(G_h\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Streng monoton fallend in \(]-\infty; 0]\), streng monoton wachsend in \([0; \infty[\). c) \(y = 0{,}8x + 1{,}8\).

- Überlege, für welche Werte der Ausdruck unter der Wurzel definiert ist. - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer bestimmten Stelle? - Nutze die Kettenregel, um die Ableitung der Wurzelfunktion zu bilden. - Welche zwei Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung eindeutig aufzustellen?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Radikand muss nicht-negativ sein, also \(7 - x \geq 0\), woraus \(x \leq 7\) folgt. Somit ist \(D = ]-\infty; 7]\). 2. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 3\): \(f(3) = 2\sqrt{7-3} + 3 = 2\sqrt{4} + 3 = 4 + 3 = 7\). Der Berührpunkt ist \(P(3|7)\). 3. Bestimmung der Ableitungsfunktion unter Verwendung der Kettenregel: \(f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{7-x}} \cdot (-1) + 1 = 1 - \frac{1}{\sqrt{7-x}}\). 4. Berechnung der Tangentensteigung: \(m = f'(3) = 1 - \frac{1}{\sqrt{7-3}} = 1 - \frac{1}{2} = 0{,}5\). 5. Aufstellen der Tangentengleichung mit \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\): \(y = 0{,}5 \cdot (x - 3) + 7 = 0{,}5x - 1{,}5 + 7 = 0{,}5x + 5{,}5\).

a) \(D = ]-\infty; 7]\) b) \(y = 0{,}5x + 5{,}5\)

- Was muss für den Term unter der Wurzel gelten, damit die Funktion definiert ist? - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen der Steigung einer Tangente und der Ableitung der Funktion? - Setze die Ableitung gleich dem gegebenen Wert und löse die Gleichung nach der Unbekannten auf. - Vergiss nicht, am Ende auch die \(y\)-Koordinate des Punktes zu berechnen.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Die Bedingung \(2x + 2 \geq 0\) führt zu \(2x \geq -2\) und damit \(x \geq -1\). Der maximale Definitionsbereich ist \(D = [-1; \infty[\). 2. Ableitung der Funktion \(g\) mittels Kettenregel: \(g'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x+2}} \cdot 2 - 1 = \frac{3}{\sqrt{2x+2}} - 1\). 3. Ansatz für die gesuchte Stelle mit der Steigung \(0{,}5\): \(g'(x) = 0{,}5 \implies \frac{3}{\sqrt{2x+2}} - 1 = 0{,}5 \implies \frac{3}{\sqrt{2x+2}} = 1{,}5\). 4. Lösen der Gleichung nach \(x\): \(\sqrt{2x+2} = \frac{3}{1{,}5} = 2 \implies 2x + 2 = 4 \implies 2x = 2 \implies x = 1\). 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(g(1) = 3\sqrt{2 \cdot 1 + 2} - 1 = 3\sqrt{4} - 1 = 6 - 1 = 5\). 6. Die Koordinaten des Punktes sind \(P(1|5)\).

a) \(D = [-1; \infty[\) b) \(P(1|5)\)

- Worauf musst du bei einer Quadratwurzel achten, damit der Ausdruck definiert ist? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten von Wurzelfunktionen. - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer bestimmten Stelle? - Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über den Verlauf des Graphen und damit über die möglichen Funktionswerte aus?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Radikand muss nicht-negativ sein: \(4x + 8 \ge 0 \implies x \ge -2\). Somit ist \(D_f = [-2; \infty[\). 2. Berechnung der Ableitung mittels Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4x + 8}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x + 8}}\). 3. Tangentengleichung an der Stelle \(x_0 = 0{,}25\): - Funktionswert: \(f(0{,}25) = 1 + \sqrt{4 \cdot 0{,}25 + 8} = 1 + \sqrt{9} = 4\). - Steigung: \(f'(0{,}25) = \frac{2}{\sqrt{1 + 8}} = \frac{2}{3}\). - Tangente: \(y = \frac{2}{3} \cdot (x - 0{,}25) + 4 = \frac{2}{3}x - \frac{1}{6} + \frac{24}{6} = \frac{2}{3}x + \frac{23}{6}\). 4. Wertemenge: Da \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in ]-2; \infty[\) gilt, ist die Funktion \(f\) in ihrem Definitionsbereich streng monoton steigend. Der kleinste Funktionswert liegt am linken Rand bei \(f(-2) = 1 + 0 = 1\). Da \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\), ergibt sich \(W_f = [1; \infty[\).

a) \(D_f = [-2; \infty[\); \(f'(x) = \frac{2}{\sqrt{4x + 8}}\) b) \(y = \frac{2}{3}x + \frac{23}{6}\) c) \(W_f = [1; \infty[\)

- Überlege, für welche Werte der Ausdruck unter der Wurzel definiert ist. - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Nutze die Kettenregel für die Ableitung der Wurzelfunktion. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Zähler gegen eine feste Zahl strebt und der Nenner gegen Null geht? - Welche geometrische Bedeutung hat eine „unendliche Steigung“ für die Lage einer Tangente?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Radikand muss nichtnegativ sein: \(9 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 9 \Rightarrow D_f = [-3; 3]\). 2. Untersuchung auf Symmetrie: Da \(f(-x) = 2\sqrt{9 - (-x)^2} = 2\sqrt{9 - x^2} = f(x)\) gilt, ist der Graph \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Bildung der ersten Ableitung mittels Kettenregel: \(f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{9 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{\sqrt{9 - x^2}}\). 4. Untersuchung des Grenzverhaltens der Ableitung: Für \(x \to 3^-\) gilt \(f'(x) \to \frac{-6}{0^+} = -\infty\). Für \(x \to -3^+\) gilt \(f'(x) \to \frac{6}{0^+} = +\infty\). 5. Interpretation der Tangentenlage: Da die Beträge der Steigungen gegen Unendlich streben, besitzt der Graph \(G_f\) in den Randpunkten \((-3|0)\) und \((3|0)\) senkrechte Tangenten.

a) \(D_f = [-3; 3]\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) \(f'(x) = \frac{-2x}{\sqrt{9 - x^2}}\). Für \(x \to 3^-\) geht \(f'(x) \to -\infty\), für \(x \to -3^+\) geht \(f'(x) \to +\infty\). Die Tangenten in den Randpunkten liegen senkrecht (parallel zur \(y\)-Achse).

- Welche Bedingung muss für den Ausdruck unter einer Quadratwurzel gelten? - Nutze für die erste Ableitung die Kettenregel und für die zweite Ableitung die Quotientenregel. - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer bestimmten Stelle? - Skizziere dir die Tangente im Koordinatensystem, um die Eckpunkte des Dreiecks zu identifizieren. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Katheten auf den Achsen liegen?

1. Bestimmung der Definitionsbereiche: Aus \(100 - x^2 \ge 0\) folgt \(D_f = [-10; 10]\). Für die Ableitungen muss der Radikand im Nenner positiv sein, also \(D_{f'} = D_{f''} = ]-10; 10[\). 2. Erste Ableitung mit Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{100-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{100-x^2}}\). 3. Zweite Ableitung mit Quotientenregel: \(f''(x) = \frac{-1 \cdot \sqrt{100-x^2} - (-x) \cdot \frac{-x}{\sqrt{100-x^2}}}{100-x^2} = \frac{-(100-x^2) - x^2}{(100-x^2)^{3/2}} = -\frac{100}{(100-x^2)^{3/2}}\). 4. Tangentengleichung an \(x_0 = 6\): Funktionswert \(f(6) = \sqrt{100-36} = 8\). Steigung \(f'(6) = -\frac{6}{8} = -0{,}75\). Punkt-Steigungs-Form: \(y = -0{,}75(x - 6) + 8 \implies t: y = -0{,}75x + 12{,}5\). 5. Schnittpunkte der Tangente: \(S_y(0 | 12{,}5)\) und \(0 = -0{,}75x + 12{,}5 \implies x = \frac{12{,}5}{0{,}75} = \frac{50}{3}\), also \(S_x(\frac{50}{3} | 0)\). 6. Flächeninhalt des Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot |x_S| \cdot |y_S| = \frac{1}{2} \cdot \frac{50}{3} \cdot 12{,}5 = \frac{1}{2} \cdot \frac{50}{3} \cdot \frac{25}{2} = \frac{625}{6} \approx 104{,}17\,\text{FE}\).

a) \(f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{100-x^2}}\); \(f''(x) = -\frac{100}{(100-x^2)^{3/2}}\); \(D_f = [-10; 10]\); \(D_{f'} = D_{f''} = ]-10; 10[\) b) \(t: y = -0{,}75x + 12{,}5\) c) \(A = \frac{625}{6} \approx 104{,}17\,\text{FE}\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Ableitungsregeln benötigst du für die Wurzelfunktion? - Wie findet man bei einer Geradengleichung rechnerisch den Schnittpunkt mit der vertikalen Achse? - Überlege dir, welche zwei Punkte du benötigst, um eine Gerade eindeutig zu zeichnen.

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{8x}} \cdot 8 = \frac{4}{\sqrt{8x}}\). 2. Tangentengleichung an der Stelle \(x_0\) aufstellen: \(t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)\). Einsetzen der Terme ergibt \(t(x) = \frac{4}{\sqrt{8x_0}}(x - x_0) + \sqrt{8x_0}\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\) bestimmen: \(t(0) = \frac{4}{\sqrt{8x_0}}(-x_0) + \sqrt{8x_0} = -\frac{4x_0}{2\sqrt{2x_0}} + 2\sqrt{2x_0} = -\sqrt{2x_0} + 2\sqrt{2x_0} = \sqrt{2x_0}\). 4. Da \(f(x_0) = \sqrt{8x_0} = 2\sqrt{2x_0}\) gilt, ist \(t(0) = \frac{1}{2} f(x_0)\). Somit liegt der Schnittpunkt bei \(Q(0 \mid \frac{1}{2} f(x_0))\). 5. Konstruktionsbeschreibung: Man projiziert den Punkt \(P(x_0 \mid f(x_0)) \in G_f\) orthogonal auf die \(y\)-Achse, halbiert die Strecke zwischen dem Ursprung und diesem Projektionspunkt, um den Punkt \(Q\) zu erhalten, und zeichnet schließlich die Gerade durch \(Q\) und \(P\).

a) \(t(x) = \frac{4}{\sqrt{8x_0}} \cdot x + \frac{1}{2}\sqrt{8x_0}\) (bzw. \(t(x) = \frac{4}{\sqrt{8x_0}} \cdot x + \sqrt{2x_0}\)) b) Der Nachweis erfolgt über den \(y\)-Achsenabschnitt \(t(0) = \sqrt{2x_0}\), was genau \(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{8x_0}\) entspricht. c) Man markiert den halben Funktionswert auf der \(y\)-Achse und verbindet diesen Punkt mit dem Berührpunkt \(P\).

- Was ist der Zusammenhang zwischen der Steigung einer Tangente und der Steigung einer Normalen im selben Punkt? - Wie gehst du vor, um die Nullstelle einer linearen Funktion (der Normalen) zu berechnen? - Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Koordinate um eins größer ist als eine andere? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem?

1. Ableitung der Funktion bestimmen: \(g'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}\). 2. Steigung der Normalen \(m_n\) berechnen: \(m_n = -\frac{1}{g'(x_0)} = -\sqrt{2x_0}\). 3. Normalengleichung aufstellen: \(n(x) = -\sqrt{2x_0}(x - x_0) + \sqrt{2x_0}\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bestimmen (\(n(x) = 0\)): \(0 = -\sqrt{2x_0}(x_n - x_0) + \sqrt{2x_0}\). Division durch \(\sqrt{2x_0}\) führt zu \(0 = -(x_n - x_0) + 1\), woraus \(x_n - x_0 = 1\) bzw. \(x_n = x_0 + 1\) folgt. 5. Anwendung für \(x_0 = 4\): Gemäß der Eigenschaft ist \(x_n = 4 + 1 = 5\). Der Schnittpunkt ist \(S(5 \mid 0)\). 6. Die Länge der Strecke \(OS\) entspricht dem Betrag der \(x\)-Koordinate von \(S\), also \(d = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5\).

a) Der Nachweis erfolgt über die Normalengleichung \(n(x) = -\sqrt{2x_0}(x - x_0) + \sqrt{2x_0}\) und deren Nullstelle \(x_n = x_0 + 1\). b) Der Schnittpunkt ist \(S(5 \mid 0)\). Die Länge der Strecke vom Ursprung zu \(S\) beträgt \(5\) Längeneinheiten.

- Welchen Punkt auf dem Graphen betrachtest du? - Wie hängen die Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente dort zusammen? - Welche Regel hilft dir beim Ableiten einer verketteten Wurzelfunktion? - Wie verhalten sich die Steigungen von zwei Geraden, die senkrecht aufeinanderstehen?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 4\): \(f(4) = \sqrt{4^2 + 9} = \sqrt{25} = 5\). Der Berührpunkt ist \(P(4 | 5)\). 2. Ableitung der Funktion unter Verwendung der Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m_t = f'(4) = \frac{4}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = 0{,}8 \cdot (x - 4) + 5 \Rightarrow t: y = 0{,}8x + 1{,}8\). 5. Berechnung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{0{,}8} = -1{,}25\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(y = -1{,}25 \cdot (x - 4) + 5 \Rightarrow n: y = -1{,}25x + 10\).

Tangentengleichung: \(t: y = 0{,}8x + 1{,}8\) Normalengleichung: \(n: y = -1{,}25x + 10\)

- Was bedeutet der Funktionswert an einer bestimmten Stelle im Sachzusammenhang? - Wie hängen Grenzkosten mathematisch mit der Gesamtkostenfunktion zusammen? - Erinnere dich an die Potenzschreibweise von Wurzeln, um die Ableitung einfacher zu berechnen. - Wie kann man mithilfe der Ableitung zeigen, dass eine Funktion immer kleiner wird? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung der Durchschnittskostenfunktion.

1. Berechnung der Gesamtkosten für \(x = 64\): \(K(64) = 5 \cdot \sqrt{64} + 20 = 5 \cdot 8 + 20 = 60\). Die Gesamtkosten betragen \(60\,000\,\text{€}\). 2. Bestimmung der Produktionsmenge bei Grenzkosten von \(0{,}25\): Ableitung bilden: \(K'(x) = 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2{,}5}{\sqrt{x}}\). Gleichung lösen: \(\frac{2{,}5}{\sqrt{x}} = 0{,}25 \iff \sqrt{x} = 10 \iff x = 100\). Bei einer Menge von \(100\,\text{t}\) betragen die Grenzkosten \(250\,\text{€/t}\). 3. Nachweis des Monotonieverhaltens der Durchschnittskosten: Durchschnittskostenfunktion: \(k(x) = \frac{5\sqrt{x} + 20}{x} = 5x^{-0{,}5} + 20x^{-1}\). Erste Ableitung: \(k'(x) = -2{,}5x^{-1{,}5} - 20x^{-2} = -\frac{2{,}5}{x\sqrt{x}} - \frac{20}{x^2}\). Da \(x > 0\) ist, sind beide Summanden der Ableitung negativ, folglich gilt \(k'(x) < 0\) für alle \(x > 0\). Somit fallen die Durchschnittskosten im gesamten Bereich.

a) Die Gesamtkosten betragen \(60\,000\,\text{€}\). b) Bei einer Produktionsmenge von \(100\,\text{t}\) betragen die Grenzkosten \(0{,}25\) (in \(1\,000\,\text{€/t}\)). c) Wegen \(k'(x) = -\frac{2{,}5}{x\sqrt{x}} - \frac{20}{x^2} < 0\) für alle \(x > 0\) fallen die Durchschnittskosten streng monoton.

- Welche Bedingung muss für den Wert unter einer Quadratwurzel erfüllt sein? - Untersuche das Vorzeichen des quadratischen Terms, zum Beispiel mithilfe einer Skizze oder einer Vorzeichentabelle. - Welche Ableitungsregel ist bei einer „Funktion in einer Funktion“ anzuwenden? - Kannst du den Term am Ende noch vereinfachen?

1. Für die maximale Definitionsmenge muss der Radikand nicht-negativ sein: \(x^2 - 6x + 5 \ge 0\). 2. Die Nullstellen des quadratischen Terms \(x^2 - 6x + 5 = 0\) liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). Da der Graph eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist der Term für \(x \le 1\) und \(x \ge 5\) positiv oder Null. Somit ist \(D_f = ]-\infty; 1] \cup [5; \infty[\). 3. Die Ableitung erfolgt mithilfe der Kettenregel: Die äußere Funktion ist die Quadratwurzel, die innere Funktion ist \(u(x) = x^2 - 6x + 5\) mit \(u'(x) = 2x - 6\). 4. Es ergibt sich \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 6x + 5}} \cdot (2x - 6)\). Durch Kürzen mit \(2\) erhält man den Term \(f'(x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 5}}\).

\(D_f = ]-\infty; 1] \cup [5; \infty[\); \(f'(x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 5}}\)

- Beachte bei der Definitionsmenge sowohl die Wurzel als auch den Bruchstrich. - Welche Regel nutzt man für die Ableitung von Brüchen? - Für die Ableitung der Wurzel im Zähler benötigst du zusätzlich die Kettenregel. - Versuche, den resultierenden Doppelbruch durch Erweitern zu vereinfachen.

1. Die Definitionsmenge wird durch zwei Bedingungen eingeschränkt: Der Radikand muss nicht-negativ sein (\(4x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -\frac{1}{4}\)) und der Nenner darf nicht Null sein (\(x \neq 0\)). Daraus folgt \(D_f = [-\frac{1}{4}; 0[ \cup ]0; \infty[\). 2. Die Ableitung erfolgt mit der Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). 3. Mit \(u(x) = \sqrt{4x+1}\) folgt durch Kettenregel \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4x+1}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x+1}}\). Mit \(v(x) = x\) folgt \(v'(x) = 1\). 4. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{\frac{2}{\sqrt{4x+1}} \cdot x - \sqrt{4x+1} \cdot 1}{x^2}\). 5. Um den Doppelbruch aufzulösen, wird der Zähler auf den Hauptnenner \(\sqrt{4x+1}\) gebracht: \(f'(x) = \frac{2x - (4x + 1)}{x^2\sqrt{4x+1}} = \frac{-2x - 1}{x^2\sqrt{4x+1}}\).

\(D_f = [-\frac{1}{4}; 0[ \cup ]0; \infty[\); \(f'(x) = \frac{-2x - 1}{x^2\sqrt{4x+1}}\)

- Denke an die Kettenregel beim Ableiten der Wurzelfunktion: Die Ableitung von \(\sqrt{u(x)}\) ist \(\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\). - Ein Bruch ist genau dann Null, wenn sein Zähler Null ist. - Wenn du die zweite Ableitung an einer Stelle berechnest, an der die erste Ableitung Null ist, vereinfacht sich die Quotientenregel oft erheblich. - Überprüfe das Vorzeichen der zweiten Ableitung, um die Art des Extremums festzulegen.

1. Berechnung der ersten Ableitung mit der Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^4 - 2x^2 + 2}} \cdot (4x^3 - 4x) = \frac{2x^3 - 2x}{\sqrt{x^4 - 2x^2 + 2}}\). 2. Bestimmung der stationären Stellen (\(f'(x) = 0\)): \(2x(x^2 - 1) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 3. Berechnung der zweiten Ableitung mit der Quotientenregel: \(f''(x) = \frac{(6x^2 - 2)\sqrt{x^4 - 2x^2 + 2} - (2x^3 - 2x) \cdot \frac{2x^3 - 2x}{\sqrt{x^4 - 2x^2 + 2}}}{x^4 - 2x^2 + 2}\). 4. Überprüfung der Stellen: - Für \(x_1 = 0\): \(f''(0) = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} < 0 \implies\) lokales Maximum bei \(H(0 | \sqrt{2})\). - Für \(x_2 = 1\): \(f''(1) = \frac{4 \cdot 1 - 0}{1} = 4 > 0 \implies\) lokales Minimum bei \(T_1(1 | 1)\). - Für \(x_3 = -1\): \(f''(-1) = \frac{4 \cdot 1 - 0}{1} = 4 > 0 \implies\) lokales Minimum bei \(T_2(-1 | 1)\).

Die Funktion besitzt ein lokales Maximum bei \(H(0 | \sqrt{2})\) sowie zwei lokale Minima bei \(T_1(1 | 1)\) und \(T_2(-1 | 1)\).

- Wie leitest du eine Funktion der Form \(f(x) = c \cdot \sqrt{x}\) ab? Erinnere dich an die Potenzschreibweise von Wurzeln. - Was gibt der Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle über das Verhalten der Funktion an? - Achte beim Umstellen der Gleichung nach der gesuchten Variablen darauf, alle Konstanten korrekt zu behandeln. - Überlege dir, welche Einheiten die Steigung in diesem physikalischen Kontext haben muss.

1. Ableitung bestimmen: Die Funktion \(T(l) = \frac{2\pi}{\sqrt{g}} \cdot l^{1/2}\) wird nach der Potenzregel differenziert zu \(T'(l) = \frac{2\pi}{\sqrt{g}} \cdot \frac{1}{2} l^{-1/2} = \frac{\pi}{\sqrt{g \cdot l}}\). 2. Änderungsraten berechnen: Einsetzen der Werte ergibt \(T'(0{,}5) = \frac{\pi}{\sqrt{9{,}81 \cdot 0{,}5}} \approx 1{,}419\,\frac{\text{s}}{\text{m}}\) und \(T'(2{,}0) = \frac{\pi}{\sqrt{9{,}81 \cdot 2{,}0}} \approx 0{,}709\,\frac{\text{s}}{\text{m}}\). 3. Interpretation: Die positive Änderungsrate zeigt, dass die Schwingungsdauer mit zunehmender Länge steigt. Da \(T'(2{,}0) < T'(0{,}5)\), nimmt die Schwingungsdauer bei größeren Fadenlängen langsamer zu als bei kurzen. 4. Bestimmung der Länge für \(T'(l) = 0{,}5\): Die Gleichung \(\frac{\pi}{\sqrt{9{,}81 \cdot l}} = 0{,}5\) führt zu \(\sqrt{9{,}81 \cdot l} = 2\pi\). Quadrieren ergibt \(9{,}81 \cdot l = 4\pi^2\), woraus \(l = \frac{4\pi^2}{9{,}81} \approx 4{,}025\,\text{m}\) folgt.

a) \(T'(l) = \frac{\pi}{\sqrt{g \cdot l}}\) b) \(T'(0{,}5) \approx 1{,}419\,\frac{\text{s}}{\text{m}}\); \(T'(2{,}0) \approx 0{,}709\,\frac{\text{s}}{\text{m}}\). Die Zunahme der Schwingungsdauer pro Meter zusätzlicher Fadenlänge wird bei längerem Faden geringer. c) \(l \approx 4{,}025\,\text{m}\)

- Überlege dir, wie man eine Wurzelfunktion als Potenz mit rationalem Exponenten schreibt, um sie leichter ableiten zu können. - Was gibt die erste Ableitung einer Funktion physikalisch an, wenn die Funktion eine Abhängigkeit zwischen einer Geschwindigkeit und einer Strecke beschreibt? - Achte beim Lösen von Wurzelgleichungen darauf, die Variable isoliert auf einer Seite zu haben, bevor du quadrierst.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: Mit \(v(h) = \sqrt{19{,}62 \cdot h} = (19{,}62 \cdot h)^{\frac{1}{2}}\) ergibt sich durch Anwendung der Kettenregel (oder Potenzregel für Wurzelfunktionen) \(v'(h) = \frac{1}{2\sqrt{19{,}62 \cdot h}} \cdot 19{,}62 = \frac{9{,}81}{\sqrt{19{,}62 \cdot h}}\). 2. Berechnung der Funktionswerte: \(v'(0{,}5) = \frac{9{,}81}{\sqrt{19{,}62 \cdot 0{,}5}} = \frac{9{,}81}{\sqrt{9{,}81}} = \sqrt{9{,}81} \approx 3{,}13\,\frac{\text{m/s}}{\text{m}}\). Für \(v'(2{,}0) = \frac{9{,}81}{\sqrt{19{,}62 \cdot 2{,}0}} = \frac{9{,}81}{\sqrt{39{,}24}} \approx 1{,}57\,\frac{\text{m/s}}{\text{m}}\). Die Werte geben an, um wie viel sich die Ausflussgeschwindigkeit (in \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\)) pro Meter Änderung der Füllhöhe momentan ändert. Man erkennt, dass der Zuwachs der Geschwindigkeit mit steigender Füllhöhe abnimmt. 3. Berechnung der gesuchten Höhe: Ansatz \(v'(h) = 1\). Dies führt zu \(\frac{9{,}81}{\sqrt{19{,}62 \cdot h}} = 1 \implies \sqrt{19{,}62 \cdot h} = 9{,}81\). Quadrieren ergibt \(19{,}62 \cdot h = 9{,}81^2\). Da \(19{,}62 = 2 \cdot 9{,}81\), folgt \(2 \cdot 9{,}81 \cdot h = 9{,}81^2 \implies 2h = 9{,}81 \implies h = 4{,}905\,\text{m}\).

a) \(v'(h) = \frac{9{,}81}{\sqrt{19{,}62 \cdot h}}\) b) \(v'(0{,}5) \approx 3{,}13\,\frac{\text{m/s}}{\text{m}}\); \(v'(2{,}0) \approx 1{,}57\,\frac{\text{m/s}}{\text{m}}\). Die Werte beschreiben die momentane Änderung der Geschwindigkeit pro Meter Füllhöhenänderung. c) \(h = 4{,}905\,\text{m}\)

- Überlege zuerst, wie das Volumen einer Pyramide von ihrer Höhe abhängt, wenn sich die Grundseite proportional zur Höhe ändert. - Wie verändert sich eine Größe, die gleichmäßig pro Zeiteinheit anwächst? - Um die Höhe nach der Zeit aufzulösen, musst du die Volumenformel umkehren. - Was sagen die erste und die zweite Ableitung über den Verlauf einer Größe aus? - Denke daran, dass eine negative zweite Ableitung eine Abnahme der Steigungsgeschwindigkeit bedeutet.

1. Aufstellen der Volumenformel für die quadratische Pyramide: Mit der Grundseite \(a = h\) ergibt sich \(V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} h^3\). 2. Bestimmung von \(V(t)\): Da die Zuflussrate konstant \(9\,\text{dm}^3/\text{min}\) beträgt und das Gefäß leer startet, gilt \(V(t) = 9 \cdot t\). 3. Herleitung von \(h(t)\): Durch Gleichsetzen von \(\frac{1}{3} h^3 = 9t\) und Auflösen nach \(h\) erhält man \(h(t) = \sqrt[3]{27t} = 3 \cdot t^{1/3}\). 4. Berechnung der Ableitungen: Die erste Ableitung ist \(h'(t) = 3 \cdot \frac{1}{3} t^{-2/3} = t^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{t^2}}\). Die zweite Ableitung lautet \(h''(t) = -\frac{2}{3} t^{-5/3} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{t^5}}\). 5. Einsetzen von \(t = 8\): \(h(8) = 3 \cdot \sqrt[3]{8} = 6\); \(h''(8) = -\frac{2}{3} \cdot 8^{-5/3} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{32} = -\frac{1}{48} \approx -0{,}0208\). 6. Interpretation: Nach \(8\,\text{min}\) steht das Wasser \(6\,\text{dm}\) hoch. Der negative Wert von \(h''(8)\) bedeutet, dass die Geschwindigkeit, mit der der Wasserspiegel steigt, abnimmt (da das Gefäß nach oben hin weiter wird).

a) \(V(t) = 9 \cdot t\) b) \(h(t) = 3 \cdot \sqrt[3]{t}\) (oder \(h(t) = 3 \cdot t^{1/3}\)) c) \(h(8) = 6\) und \(h''(8) = -\frac{1}{48} \approx -0{,}021\). Nach \(8\,\text{min}\) beträgt die Füllhöhe \(6\,\text{dm}\). Da die zweite Ableitung negativ ist, verlangsamt sich der Anstieg des Wasserspiegels zu diesem Zeitpunkt.

- Wie berechnet man den Radius eines Kreises, wenn man den Flächeninhalt kennt? - Nutze die Kettenregel, um die Wurzelfunktion abzuleiten. - Die momentane Änderungsrate entspricht der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle. - Was bedeutet es für das Wachstum des Radius, wenn die Krümmung der Funktion (zweite Ableitung) negativ ist?

1. Zusammenhang zwischen Fläche und Radius: Es gilt \(A = \pi \cdot r^2\), woraus \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\) folgt. 2. Bestimmung von \(r(t)\): Durch Einsetzen von \(A(t)\) ergibt sich \(r(t) = \sqrt{\frac{\pi(4t + 9)}{\pi}} = \sqrt{4t + 9} = (4t + 9)^{1/2}\). 3. Erste Ableitung (Kettenregel): \(r'(t) = \frac{1}{2}(4t + 9)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4t + 9}}\). 4. Änderungsrate bei \(t = 4\): \(r'(4) = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 4 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{25}} = 0{,}4\). 5. Zweite Ableitung: \(r''(t) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(4t + 9)^{-3/2} \cdot 4 = -4(4t + 9)^{-3/2} = -\frac{4}{\sqrt{(4t + 9)^3}}\). 6. Wert der zweiten Ableitung bei \(t = 4\): \(r''(4) = -\frac{4}{\sqrt{25^3}} = -\frac{4}{125} = -0{,}032\). 7. Interpretation: Da \(r''(4) < 0\) ist, nimmt die Geschwindigkeit, mit der der Radius wächst, im Zeitverlauf ab.

a) \(r(t) = \sqrt{4t + 9}\) b) \(r'(4) = 0{,}4\,\text{m/h}\) c) \(r''(4) = -0{,}032\,\text{m/h}^2\). Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Radius abnimmt.

- Welche Parameter in der Funktionsgleichung bewirken eine Verschiebung, welche eine Streckung oder Spiegelung? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für Wurzelfunktionen und beachte die innere Funktion. - Was passiert mit der Steigung, wenn du einen konkreten \(x\)-Wert in die Ableitungsfunktion einsetzt? - Überlege dir, welchen kleinsten und größten Wert der Funktionsterm annehmen kann, indem du das Verhalten der Wurzel betrachtest.

1. Der Graph von \(f\) entsteht durch Verschiebung von \(g(x) = \sqrt{x}\) um \(4\) Einheiten nach links (wegen \(x+4\)), Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), Spiegelung an der \(x\)-Achse (wegen \(-2\)) und anschließende Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben. 2. Anwendung der Kettenregel: \(f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+4}} = -\frac{1}{\sqrt{x+4}}\). Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f'(0) = -\frac{1}{\sqrt{4}} = -0{,}5\). Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) beträgt somit \(-0{,}5\). 3. Der kleinste Wert der Wurzel ist \(0\) (für \(x = -4\)), woraus \(f(-4) = 3\) folgt. Da die Wurzelfunktion für wachsende \(x\) unbegrenzt wächst, nimmt der Term \(-2\sqrt{x+4}\) beliebig kleine (negative) Werte an. Die Wertemenge ist somit \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 3\} = ]-\infty; 3]\).

1. Verschiebung um \(4\) nach links, Streckung um Faktor \(2\), Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(3\) nach oben. 2. \(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{x+4}}\); Steigung bei \(x = 0\) ist \(-0{,}5\). 3. \(W_f = ]-\infty; 3]\).

- Welche Bedingung muss für den Ausdruck unter einer Quadratwurzel erfüllt sein? - Welche Ableitungsregeln sind für ein Produkt aus einer linearen Funktion und einer Wurzelfunktion hilfreich? - Wie lautet die Ableitung einer verketteten Funktion, wenn die innere Funktion linear ist? - Könntest du den Term nach dem Ableiten durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner vereinfachen?

1. Bestimmung der maximalen Definitionsmenge \(D\): Der Radikand unter der Quadratwurzel muss nicht-negativ sein. Es gilt \(6 - x \geq 0\), woraus \(x \leq 6\) folgt. Somit ist \(D = ]-\infty; 6]\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f'\) unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: Setze \(u(x) = x + 4\) mit \(u'(x) = 1\) und \(v(x) = \sqrt{6 - x}\) mit \(v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{6 - x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{6 - x}}\). 3. Anwendung der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\): \(f'(x) = 1 \cdot \sqrt{6 - x} + (x + 4) \cdot \left( -\frac{1}{2\sqrt{6 - x}} \right) = \sqrt{6 - x} - \frac{x + 4}{2\sqrt{6 - x}}\). 4. Zusammenfassen auf einen gemeinsamen Nenner: \(f'(x) = \frac{2(6 - x) - (x + 4)}{2\sqrt{6 - x}} = \frac{12 - 2x - x - 4}{2\sqrt{6 - x}} = \frac{8 - 3x}{2\sqrt{6 - x}}\).

\(D = ]-\infty; 6]\); \(f'(x) = \frac{8 - 3x}{2\sqrt{6 - x}}\)

- Überlege, ob der Ausdruck unter der Wurzel oder der Nenner jemals null oder negativ werden kann. - Es ist oft einfacher, Brüche mit Wurzeln im Nenner als Potenzen mit negativen, rationalen Exponenten zu schreiben. - Welche Regel benötigst du, um eine Funktion abzuleiten, bei der eine andere Funktion „im Inneren“ steht? - Vergiss beim Ableiten nicht, mit der Ableitung des Terms unter der Wurzel zu multiplizieren.

1. Bestimmung der maximalen Definitionsmenge \(D\): Da \(t^2 \geq 0\) für alle \(t \in \mathbb{R}\), ist \(t^2 + 4 \geq 4\). Der Radikand ist stets positiv, und der Nenner wird nie null. Somit ist \(D = \mathbb{R}\). 2. Umschreiben der Funktion zur Vorbereitung der Ableitung: \(g(t) = 10 \cdot (t^2 + 4)^{-\frac{1}{2}}\). 3. Anwendung der Kettenregel: Die äußere Ableitung von \(u^{-\frac{1}{2}}\) ist \(-\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}\), die innere Ableitung von \(t^2 + 4\) ist \(2t\). 4. Berechnung von \(g'(t)\): \(g'(t) = 10 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot (t^2 + 4)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2t = -10t \cdot (t^2 + 4)^{-\frac{3}{2}}\). 5. Umformung in die Wurzelschreibweise: \(g'(t) = -\frac{10t}{\sqrt{(t^2 + 4)^3}}\).

\(D = \mathbb{R}\); \(g'(t) = -\frac{10t}{\sqrt{(t^2 + 4)^3}}\)

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander verlaufen? - Wie berechnet man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten von Wurzelfunktionen. - Wenn du eine Gleichung durch Quadrieren löst, solltest du am Ende prüfen, ob die Lösung auch für die ursprüngliche Gleichung (vor dem Quadrieren) sinnvoll ist. - Kennst du eine Formel, mit der man aus einem Punkt und einer Steigung direkt eine Geradengleichung aufstellen kann?

1. Ableitung der Funktion \(f\) mithilfe der Kettenregel bestimmen: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{100 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}}\). 2. Da die Tangente parallel zur Geraden \(y = \frac{3}{4}x + 10\) sein soll, muss ihre Steigung \(m = \frac{3}{4}\) betragen. 3. Ansatz \(f'(x) = \frac{3}{4}\) zur Bestimmung der Berührstelle: \(\frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{3}{4}\). Durch Quadrieren und Auflösen ergibt sich \(16x^2 = 9(100 - x^2)\), woraus \(25x^2 = 900\) folgt. Dies liefert \(x^2 = 36\). Da die Steigung positiv ist, muss \(x = -6\) gelten (Prüfung in der ursprünglichen Ableitungsgleichung). 4. Berechnung des zugehörigen Funktionswertes: \(f(-6) = \sqrt{100 - (-6)^2} = \sqrt{64} = 8\). Der Berührpunkt ist \(B(-6|8)\). 5. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form: \(y = \frac{3}{4}(x - (-6)) + 8 = \frac{3}{4}x + \frac{18}{4} + 8 = \frac{3}{4}x + 4{,}5 + 8\). Die Gleichung lautet \(y = \frac{3}{4}x + 12{,}5\).

\(y = \frac{3}{4}x + 12{,}5\)

- Wann ist eine Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen definiert? - Erinnere dich an die Regel für das Ableiten verketteter Funktionen: Äußere Ableitung mal innere Ableitung. - Wie hängen die Steigung der Tangente und der Wert der Ableitungsfunktion zusammen?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Radikand muss nicht-negativ sein (\(25 - x^2 \geq 0\)). Dies führt zu \(x^2 \leq 25\), woraus sich \(D = [-5; 5]\) ergibt. 2. Ableitung mit der Kettenregel: Die äußere Funktion ist \(u(v) = 2\sqrt{v}\) mit \(u'(v) = \frac{1}{\sqrt{v}}\). Die innere Funktion ist \(v(x) = 25 - x^2\) mit \(v'(x) = -2x\). Die Verknüpfung ergibt \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{25 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{2x}{\sqrt{25 - x^2}}\). 3. Berechnung der Steigung: Einsetzen von \(x = 3\) in den Ableitungsterm ergibt \(f'(3) = -\frac{2 \cdot 3}{\sqrt{25 - 3^2}} = -\frac{6}{\sqrt{16}} = -\frac{6}{4} = -1{,}5\).

a) \(D = [-5; 5]\) b) Nachweis durch Kettenregel: \(f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{25 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{2x}{\sqrt{25 - x^2}}\) c) \(m = -1{,}5\)

- Nutze die Kettenregel, um die Wurzel zu differenzieren. Vergiss nicht, mit der Ableitung des Terms unter der Wurzel zu multiplizieren. - Für eine Tangentengleichung benötigst du sowohl den Punkt auf dem Graphen als auch die Steigung an dieser Stelle. - Die allgemeine Form einer Geradengleichung lautet \(y = mx + t\). Wie kannst du \(m\) und \(t\) bestimmen?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: Anwendung der Kettenregel auf \(g(x) = (2x^2 + 17)^{\frac{1}{2}}\) ergibt \(g'(x) = \frac{1}{2}(2x^2 + 17)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4x\). Vereinfacht folgt \(g'(x) = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 17}}\). 2. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 2\): \(g(2) = \sqrt{2 \cdot 2^2 + 17} = \sqrt{8 + 17} = \sqrt{25} = 5\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_0 = 2\): \(g'(2) = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2 \cdot 2^2 + 17}} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: Mit \(y = m(x - x_0) + y_0\) folgt \(y = 0{,}8(x - 2) + 5\). Ausmultipliziert ergibt dies \(y = 0{,}8x + 3{,}4\).

a) \(g'(x) = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 17}}\) b) \(y = 0{,}8x + 3{,}4\)

- Überlege dir, wie der Abstand zwischen den Punkten berechnet wird, an denen die Kurve den Boden berührt. - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für Extremstellen und wie man Funktionen mit Wurzeln ableitet. - Die Steigung an einer bestimmten Stelle entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Überprüfe, ob du die Kettenregel oder die Produktregel anwenden möchtest, um die Ableitung zu bilden.

1. Zur Berechnung der Breite werden die Nullstellen von \(f\) bestimmt: \((x+3)^2(6-x) = 0\) liefert \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 6\). Die Breite ergibt sich aus der Differenz: \(6 - (-3) = 9\,\text{m}\). 2. Für die maximale Höhe wird die Ableitung von \(u(x) = (x+3)^2(6-x) = -x^3 + 27x + 54\) gebildet: \(u'(x) = -3x^2 + 27\). Die Extremstelle liegt bei \(u'(x) = 0 \implies x^2 = 9\). Im Intervall ist \(x = 3\) das Maximum (da \(f(-3)=0\) und \(f(6)=0\)). Die maximale Höhe ist \(f(3) = \frac{1}{4} \sqrt{(3+3)^2(6-3)} = \frac{1}{4} \sqrt{36 \cdot 3} = \frac{6\sqrt{3}}{4} = 1{,}5\sqrt{3} \approx 2{,}60\,\text{m}\). 3. Die Ableitung der Funktion lautet \(f'(x) = \frac{u'(x)}{8\sqrt{u(x)}} = \frac{-3x^2 + 27}{8\sqrt{-x^3 + 27x + 54}}\). An der Stelle \(x = 0\) ergibt sich die Steigung \(f'(0) = \frac{27}{8\sqrt{54}} = \frac{27}{8 \cdot 3\sqrt{6}} = \frac{9}{8\sqrt{6}} \approx 0{,}46\).

a) Die Breite beträgt \(9\,\text{m}\). b) Die maximale Höhe beträgt ca. \(2{,}60\,\text{m}\). c) Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) beträgt ca. \(0{,}46\).

- Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung ein, um den Parameter zu finden. - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, um eine Wurzelfunktion mit innerem Term zu differenzieren? - Die Steigung der Tangente an einer Stelle entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Nutze die Punkt-Steigungs-Form, um die gesuchte Geradengleichung aufzustellen.

1. Bestimmung von \(k\) durch Punktprobe mit \(A(2|4)\): \(4 = \sqrt{k - 2^2} \implies 16 = k - 4 \implies k = 20\). 2. Ableitung der Funktion \(f_{20}(x) = \sqrt{20 - x^2}\) mit der Kettenregel: \(f_{20}'(x) = \frac{1}{2\sqrt{20 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{20 - x^2}}\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 2\): \(m = f_{20}'(2) = \frac{-2}{\sqrt{20 - 4}} = \frac{-2}{\sqrt{16}} = -\frac{2}{4} = -0{,}5\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit dem Punkt \(A(2|4)\): \(y = -0{,}5 \cdot (x - 2) + 4 = -0{,}5x + 1 + 4 = -0{,}5x + 5\).

a) \(k = 20\) b) \(y = -0{,}5x + 5\)

- Wie kannst du zeigen, dass ein Ausdruck mit einem Quadrat immer größer als Null ist? - Erinnere dich an die notwendige und hinreichende Bedingung für lokale Extrema. - Welchen Einfluss hat ein positiver Faktor auf das Vorzeichen einer Ableitungsfunktion? - Überlege, was die Kettenregel über den Zusammenhang der Ableitungen von \(f(x)\) und \((f(x))^2\) aussagt.

1. Der Radikand lässt sich durch quadratische Ergänzung als \(u(x) = (x^2 - 4)^2 + 9\) schreiben. Da Quadrate stets nicht-negativ sind, gilt \(u(x) \geq 9\), woraus \(f(x) = \sqrt{u(x)} \geq 3 > 0\) folgt. 2. Die Ableitungen von \(g\) sind \(g'(x) = 4x^3 - 16x\) und \(g''(x) = 12x^2 - 16\). Die Nullstellen von \(g'\) liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). Überprüfung mit \(g''\): \(g''(0) = -16 < 0\) führt zu einem lokalen Maximum bei \(x_1 = 0\). \(g''(2) = 32 > 0\) und \(g''(-2) = 32 > 0\) führen zu lokalen Minima bei \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Mit der Kettenregel gilt \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot g'(x)\). Da \(f(x) > 0\) ist, ist der Bruch \(\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\) stets definiert und positiv. Somit ist \(f'(x) = 0\) genau dann, wenn \(g'(x) = 0\). Da der Vorfaktor positiv ist, findet an den Nullstellen von \(g'\) derselbe Vorzeichenwechsel wie bei \(f'\) statt, wodurch Lage und Art der Extrema erhalten bleiben.

1. \(x^4 - 8x^2 + 25 = (x^2 - 4)^2 + 9 \geq 9 > 0\). 2. Lokales Maximum bei \(x = 0\); lokale Minima bei \(x = 2\) und \(x = -2\). 3. Wegen \(f'(x) = \frac{g'(x)}{2f(x)}\) und \(f(x) > 0\) hängen die Nullstellen und Vorzeichen von \(f'\) allein von \(g'\) ab.

- Was passiert, wenn du für die Variable einen Wert einsetzt, der den Parameter verschwinden lässt? - Wie bestimmen wir die Extremstellen einer Funktion mithilfe der Ableitungen? - Achte bei der Begründung des Extremums auf das Vorzeichen der zweiten Ableitung. - Wie kannst du den Parameter aus den Koordinaten des Extrempunkts eliminieren, um einen Zusammenhang zwischen den Koordinaten zu finden?

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f_k(0) = 0 - k \cdot \sqrt{0} = 0\). Da dieser Wert unabhängig von \(k\) ist, ist \(P(0|0)\) der gemeinsame Punkt. 2. Die erste Ableitung lautet \(f_k'(x) = 1 - \frac{k}{2\sqrt{x}}\). Nullsetzen ergibt \(1 = \frac{k}{2\sqrt{x}} \iff \sqrt{x} = \frac{k}{2} \iff x = \frac{k^2}{4}\). 3. Die zweite Ableitung \(f_k''(x) = \frac{k}{4x\sqrt{x}}\) ist für \(x > 0\) und \(k > 0\) stets positiv, was die Existenz eines Minimums bestätigt. 4. Der \(y\)-Wert des Tiefpunkts ist \(f_k\left(\frac{k^2}{4}\right) = \frac{k^2}{4} - k \cdot \sqrt{\frac{k^2}{4}} = \frac{k^2}{4} - \frac{k^2}{2} = -\frac{k^2}{4}\). Der Tiefpunkt ist \(T\left(\frac{k^2}{4} \mid -\frac{k^2}{4}\right)\). 5. Aus \(x = \frac{k^2}{4}\) und \(y = -\frac{k^2}{4}\) folgt durch Einsetzen direkt \(y = -x\). Die Ortskurve ist die Gerade mit der Gleichung \(y = -x\).

a) Gemeinsamer Punkt: \(P(0|0)\) b) Tiefpunkt: \(T\left(\frac{k^2}{4} \mid -\frac{k^2}{4}\right)\) c) Gleichung der Geraden: \(y = -x\)

- Überlege dir zuerst, welche übergeordnete Ableitungsregel hier angewendet werden muss. - Vergiss nicht, beim Ableiten der Wurzelfunktion die Kettenregel zu beachten (innere mal äußere Ableitung). - Um den Bruchterm zu vereinfachen, hilft es oft, den Zähler auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Potenzgesetze können dir helfen, den Ausdruck im Nenner am Ende kompakter zu schreiben.

1. Anwendung der Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) mit \(u(x) = k \cdot x\) und \(v(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). 2. Ableitungen der Teilfunktionen bestimmen: \(u'(x) = k\) und \(v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) (unter Verwendung der Kettenregel). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f_k'(x) = \frac{k \cdot \sqrt{x^2 + 1} - kx \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2}\). 4. Den Zähler durch Erweitern des ersten Terms mit \(\sqrt{x^2 + 1}\) auf einen gemeinsamen Nenner bringen: \(f_k'(x) = \frac{\frac{k(x^2 + 1) - kx^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}\). 5. Vereinfachen des Zählers zu \(k\) und Zusammenfassen der Nenner: \(f_k'(x) = \frac{k}{(x^2 + 1) \cdot \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{k}{(x^2 + 1)^{1{,}5}}\).

\(f_k'(x) = \frac{k}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}\) oder \(f_k'(x) = \frac{k}{(x^2 + 1)^{1{,}5}}\)

- Welche Ableitungsregel ist für Brüche grundsätzlich anzuwenden? - Achte darauf, dass die Wurzel im Zähler selbst eine verkettete Funktion ist. - Wie kannst du einen Doppelbruch vereinfachen, indem du den gesamten Zähler mit der Wurzel multiplizierst? - Vergiss nicht, beim Zusammenfassen im Zähler die Klammern richtig aufzulösen.

1. Anwendung der Quotientenregel mit \(u(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) und \(v(x) = 2x - 3\). 2. Berechnung der Zählerableitung mittels Kettenregel: \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\). 3. Ableitung des Nenners: \(v'(x) = 2\). 4. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (2x - 3) - \sqrt{x^2 + 1} \cdot 2}{(2x - 3)^2}\). 5. Erweitern des Zählers mit \(\sqrt{x^2 + 1}\), um den Doppelbruch aufzulösen: \(\frac{x(2x - 3) - 2(x^2 + 1)}{(2x - 3)^2 \cdot \sqrt{x^2 + 1}}\). 6. Vereinfachen des Zählerterms: \(2x^2 - 3x - 2x^2 - 2 = -3x - 2\). 7. Ergebnis: \(f'(x) = \frac{-3x - 2}{(2x - 3)^2 \cdot \sqrt{x^2 + 1}}\).

\(f'(x) = \frac{-3x - 2}{(2x - 3)^2 \cdot \sqrt{x^2 + 1}}\)

- Welche Regel nutzt du für die Ableitung eines Bruchs? - Beachte beim Ableiten von \(e^{1-x}\) und der Wurzel die Kettenregel. - Kannst du im Zähler des Bruchs einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Erinnere dich daran, dass \(\sqrt{a} = a^{0{,}5}\) gilt, um den Nenner am Ende kompakt zu schreiben.

1. Anwendung der Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) mit \(u(x) = e^{1-x}\) und \(v(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). 2. Ableiten des Zählers mittels Kettenregel: \(u'(x) = e^{1-x} \cdot (-1) = -e^{1-x}\). 3. Ableiten des Nenners mittels Kettenregel: \(v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\). 4. Einsetzen in die Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{-e^{1-x} \cdot \sqrt{x^2 + 1} - e^{1-x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2}\). 5. Vereinfachen des Zählers durch Ausklammern von \(-e^{1-x}\) und Erweitern des ersten Summanden im Zähler: \(g'(x) = \frac{-e^{1-x} \cdot \frac{(x^2 + 1) + x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}\). 6. Zusammenfassen der Nenner: \(g'(x) = \frac{-e^{1-x} \cdot (x^2 + x + 1)}{(x^2 + 1) \cdot \sqrt{x^2 + 1}} = -\frac{(x^2 + x + 1) \cdot e^{1-x}}{(x^2 + 1)^{1{,}5}}\).

\(g'(x) = -\frac{(x^2 + x + 1) \cdot e^{1-x}}{(x^2 + 1) \sqrt{x^2 + 1}}\) oder \(g'(x) = \frac{-e^{1-x} \cdot (x^2 + x + 1)}{(x^2 + 1)^{1{,}5}}\)

- Wie lautet die Formel für das Volumen einer Pyramide? - Nutze die Ähnlichkeit der geometrischen Formen (Strahlensatz), um die Seitenlänge der Wasseroberfläche durch die aktuelle Höhe auszudrücken. - Stelle eine Gleichung auf, die das Volumen zum Zeitpunkt \(t\) mit der geometrischen Volumenformel verknüpft. - Um die Steiggeschwindigkeit zu finden, musst du die Funktion der Füllhöhe nach der Zeit ableiten. - Denke daran, dass \(\sqrt[3]{t}\) das Gleiche ist wie \(t^{1/3}\), um die Potenzregel beim Ableiten anzuwenden.

1. Das Volumen einer quadratischen Pyramide ist \(V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h\). 2. Durch den Strahlensatz gilt für die Seitenlänge \(a\) des Flüssigkeitsspiegels bei der Höhe \(h\): \(\frac{a}{h} = \frac{6}{6} = 1\), also \(a = h\). 3. Das Volumen in Abhängigkeit von der Höhe ist somit \(V(h) = \frac{1}{3} \cdot h^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot h^3\). 4. Bei einer Füllrate von \(9\,\text{dm}^3/\text{min}\) gilt \(V(t) = 9 \cdot t\). 5. Gleichsetzen: \(\frac{1}{3} \cdot h^3 = 9 \cdot t \Rightarrow h^3 = 27 \cdot t\). 6. Auflösen nach \(h\) ergibt die Wurzelfunktion \(h(t) = \sqrt[3]{27 \cdot t} = 3 \cdot \sqrt[3]{t}\) bzw. \(h(t) = 3 \cdot t^{1/3}\). 7. Die Steiggeschwindigkeit ist die Ableitung \(h'(t) = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot t^{-2/3} = t^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{t^2}}\). 8. Einsetzen von \(t = 8\): \(h'(8) = \frac{1}{\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

a) \(h(t) = 3 \cdot \sqrt[3]{t}\) b) Die Steiggeschwindigkeit beträgt \(0{,}25\,\text{dm}/\text{min}\).

- Welche Bedingung muss für den Term unter der Wurzel gelten? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitungsfunktion zusammen? - Um eine Gleichung der Form \(\frac{1}{\sqrt{A}} = B\) zu lösen, kannst du zuerst den Kehrwert bilden. - Welche Informationen benötigst du neben der Steigung noch, um eine vollständige Geradengleichung aufzustellen?

1. Definitionsmenge: Die Bedingung \(2x + 1 \ge 0\) führt zu \(x \ge -0{,}5\). Also \(D_k = [-0{,}5; \infty[\). 2. Ableitung berechnen: Mit der Kettenregel folgt \(k'(x) = - \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2 = - \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}\). 3. Stelle \(x_0\) bestimmen: Setze die Ableitung gleich der gegebenen Steigung: \(- \frac{1}{\sqrt{2x_0 + 1}} = -0{,}2\). Dies entspricht \(\frac{1}{\sqrt{2x_0 + 1}} = \frac{1}{5}\), woraus \(\sqrt{2x_0 + 1} = 5\) folgt. Quadrieren liefert \(2x_0 + 1 = 25\), also \(2x_0 = 24\) und somit \(x_0 = 12\). Da \(12 \in D_k\), ist dies die gesuchte Stelle. 4. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 12\): \(k(12) = 4 - \sqrt{2 \cdot 12 + 1} = 4 - 5 = -1\). 5. Tangentengleichung: Mit \(m = -0{,}2\) und dem Punkt \((12 | -1)\) ergibt sich \(y = -0{,}2(x - 12) - 1 = -0{,}2x + 2{,}4 - 1 = -0{,}2x + 1{,}4\).

a) \(D_k = [-0{,}5; \infty[\) b) \(x_0 = 12\) c) \(y = -0{,}2x + 1{,}4\)

- Wie findet man die Bereiche, in denen ein quadratischer Term positiv oder Null ist? - Beachte, dass eine Funktion an Stellen, an denen die Tangente senkrecht verliefe, nicht differenzierbar ist. Was bedeutet das für den Nenner der Ableitung? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der ersten Ableitung und dem Steigungsverhalten des Graphen? - Sind die Randpunkte des Definitionsbereichs bei der Angabe der Monotonieintervalle einzuschließen?

1. Bedingung für \(D_f\): \(x^2 + 6x \ge 0 \Leftrightarrow x(x + 6) \ge 0\). Die Nullstellen der zugehörigen Parabel liegen bei \(x = 0\) und \(x = -6\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, ist der Ausdruck für \(x \le -6\) oder \(x \ge 0\) nichtnegativ. Somit ist \(D_f = ]-\infty; -6] \cup [0; \infty[\). 2. Ableitung mit der Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 6x}} \cdot (2x + 6) = \frac{2(x + 3)}{2\sqrt{x^2 + 6x}} = \frac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 6x}}\). 3. Die Ableitung ist überall dort definiert, wo der Radikand im Nenner echt positiv ist: \(x^2 + 6x > 0\). Somit ist \(D_{f'} = ]-\infty; -6[ \cup ]0; \infty[\). 4. Monotonieprüfung über das Vorzeichen von \(f'(x)\): Für \(x \in ]0; \infty[\) ist der Zähler \(x + 3 > 0\) und der Nenner positiv, also \(f'(x) > 0\). Damit ist \(f\) in \([0; \infty[\) streng monoton steigend. Für \(x \in ]-\infty; -6[\) ist der Zähler \(x + 3 < 0\) (da \(x < -6\)) und der Nenner positiv, also \(f'(x) < 0\). Damit ist \(f\) in \(]-\infty; -6]\) streng monoton fallend.

a) \(D_f = ]-\infty; -6] \cup [0; \infty[\) b) \(f'(x) = \frac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 6x}}\) mit \(D_{f'} = ]-\infty; -6[ \cup ]0; \infty[\) c) \(f\) ist streng monoton fallend in \(]-\infty; -6]\) und streng monoton steigend in \([0; \infty[\).

- Nutze die Koordinaten des gegebenen Punktes, um eine erste Gleichung mit den Unbekannten aufzustellen. - Wie hängt die Steigung in einem Punkt mit der Ableitungsfunktion zusammen? - Du hast zwei Unbekannte (\(a\) und \(c\)). Welche Informationen aus dem Text kannst du nutzen, um ein System aus zwei Gleichungen zu erhalten? - Erinnere dich daran, welche Auswirkungen die Subtraktion eines Wertes direkt beim \(x\) und die Multiplikation der gesamten Funktion mit einem Faktor auf den Graphen haben.

1. Gleichungssystem aufstellen: Punktprobe mit \(Q(5 | 4)\) ergibt \(a\sqrt{5-c} = 4\) (I). Die Ableitung ist \(h'(x) = \frac{a}{2\sqrt{x-c}}\). Die Steigungsbedingung \(h'(5) = 1\) ergibt \(\frac{a}{2\sqrt{5-c}} = 1\) (II). 2. Parameter berechnen: Aus (II) folgt \(a = 2\sqrt{5-c}\). Einsetzen in (I) ergibt \((2\sqrt{5-c}) \cdot \sqrt{5-c} = 4\), also \(2(5-c) = 4\). Dies führt zu \(5-c = 2\) und somit \(c = 3\). Einsetzen von \(c=3\) in den Ausdruck für \(a\) liefert \(a = 2\sqrt{5-3} = 2\sqrt{2}\). 3. Transformationen beschreiben: Der Graph von \(h(x) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{x-3}\) entsteht aus \(f(x) = \sqrt{x}\) durch eine Verschiebung um \(3\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) und eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\sqrt{2}\).

a) \(a = 2\sqrt{2}\); \(c = 3\) b) Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts, Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\sqrt{2}\).

- Denke bei der Ableitung der Wurzel im Nenner an die Kettenregel (innere Ableitung). - Wie kannst du einen Doppelbruch vereinfachen? - Gibt es im Zähler Glieder, die sich gegenseitig aufheben? - Kannst du die Potenzen im Nenner mit gleicher Basis zusammenfassen?

1. Identifikation der Komponenten für die Quotientenregel: \( u(x) = 4x \) und \( v(x) = (x^2+3)^{\frac{1}{2}} \). 2. Ableiten der Komponenten: \( u'(x) = 4 \) und \( v'(x) = \frac{1}{2}(x^2+3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}} \) (unter Verwendung der Kettenregel). 3. Aufstellen der Ableitungsfunktion: \( g'(x) = \frac{4 \cdot \sqrt{x^2+3} - 4x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}}{x^2+3} \). 4. Den Zähler durch Erweitern von \( 4\sqrt{x^2+3} \) mit \( \sqrt{x^2+3} \) auf einen Nenner bringen: \( \frac{\frac{4(x^2+3) - 4x^2}{\sqrt{x^2+3}}}{x^2+3} \). 5. Vereinfachen des Zählers: \( 4x^2 + 12 - 4x^2 = 12 \). 6. Den Ausdruck im Nenner zusammenfassen: \( \frac{12}{\sqrt{x^2+3} \cdot (x^2+3)} = \frac{12}{(x^2+3)^{1{,}5}} \). 7. Endergebnis: \( g'(x) = \frac{12}{\sqrt{(x^2+3)^3}} \).

\( g'(x) = \frac{12}{\sqrt{(x^2+3)^3}} \)

- Wie berechnet man die Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse? - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen der Ableitung an einer Stelle und dem Neigungswinkel der Tangente? - Überlege dir, welche Parameter in der Funktionsgleichung für Verschiebungen, Streckungen oder Spiegelungen verantwortlich sind. - Gehe bei der Beschreibung der Transformationen am besten in der Reihenfolge vor, wie sie auf die Variable \(x\) wirken.

1. Schnittpunkt mit der y-Achse: \(g(0) = 4 - 2\sqrt{0 + 1} = 2\). Schnittpunkt ist \(S_y(0|2)\). 2. Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen): \(4 - 2\sqrt{x + 1} = 0 \implies \sqrt{x + 1} = 2 \implies x + 1 = 4 \implies x = 3\). Schnittpunkt ist \(S_x(3|0)\). 3. Neigungswinkel im Punkt \(S_y(0|2)\): - Ableitung: \(g'(x) = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} = -\frac{1}{\sqrt{x + 1}}\). - Steigung an der Stelle \(x = 0\): \(m = g'(0) = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1\). - Winkel: \(\tan(\alpha) = -1 \implies \alpha = 135^\circ\). 4. Transformationen aus \(w(x) = \sqrt{x}\): - Verschiebung um 1 Einheit nach links: \(\sqrt{x+1}\) - Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 2: \(2\sqrt{x+1}\) - Spiegelung an der x-Achse: \(-2\sqrt{x+1}\) - Verschiebung um 4 Einheiten nach oben: \(4 - 2\sqrt{x+1}\)

a) \(S_y(0|2)\) und \(S_x(3|0)\) b) \(g'(0) = -1\); wegen \(\tan(135^\circ) = -1\) beträgt der Neigungswinkel \(135^\circ\). c) Verschiebung um 1 nach links, Streckung in y-Richtung (Faktor 2), Spiegelung an der x-Achse, Verschiebung um 4 nach oben.

- Wie findest du die Stellen, an denen der Funktionswert Null ist? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\). - Was sagt ein unendlicher Grenzwert der Ableitung über die Differenzierbarkeit an einer Stelle aus? - Untersuche den Nenner der Ableitungsfunktion an den Stellen \(5\) und \(-5\).

1. Definitionsmenge und Nullstellen: \(100 - 4x^2 \geq 0 \Rightarrow 4x^2 \leq 100 \Rightarrow x^2 \leq 25 \Rightarrow D_g = [-5; 5]\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \(N_1(-5|0)\) und \(N_2(5|0)\). 2. Ableitung berechnen: \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{100 - 4x^2}} \cdot (-8x) = \frac{-4x}{\sqrt{100 - 4x^2}}\). 3. Tangentengleichung bei \(x_0 = 3\): Funktionswert \(g(3) = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\). Steigung \(g'(3) = \frac{-4 \cdot 3}{\sqrt{64}} = \frac{-12}{8} = -1{,}5\). Tangente: \(y = -1{,}5 \cdot (x - 3) + 8 = -1{,}5x + 4{,}5 + 8 = -1{,}5x + 12{,}5\). 4. Verhalten an den Rändern: Für \(x \to 5^-\) gilt \(g'(x) = \frac{-20}{\sqrt{100 - 4x^2}} \to -\infty\). Für \(x \to -5^+\) gilt \(g'(x) = \frac{20}{\sqrt{100 - 4x^2}} \to +\infty\). 5. Differenzierbarkeit: Da die Grenzwerte der Differenzenquotienten (bzw. der Ableitungsfunktion) an den Rändern nicht gegen einen reellen Wert konvergieren, sondern gegen Unendlich streben, ist die Funktion an diesen Stellen nicht differenzierbar.

a) \(D_g = [-5; 5]\); Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(-5|0)\) und \(N_2(5|0)\). b) Tangentengleichung: \(y = -1{,}5x + 12{,}5\). c) Die Steigung geht an den Rändern gegen \(\pm \infty\). Da kein endlicher Grenzwert existiert, ist die Funktion dort nicht differenzierbar.

- Wie hängen die Steigungen einer Tangente und einer Normalen im selben Punkt zusammen? - Für den Nachweis in b) kannst du die allgemeine Geradengleichung der Normalen an einer Stelle \(x_0\) aufstellen und prüfen, ob der Punkt \(M\) die Gleichung erfüllt. - Was bedeutet es für die Steigung der Funktion, wenn die Tangente parallel zu einer Geraden wie \(y = x\) sein soll? - Achte beim Lösen der Wurzelgleichung in c) darauf, ob beide rechnerischen Lösungen im gesuchten Bereich liegen.

1. Definitionsmenge: \(12x - x^2 \ge 0 \implies x(12-x) \ge 0 \implies D_g = [0; 12]\). 2. Ableitung: \(g'(x) = \frac{12-2x}{2\sqrt{12x-x^2}} = \frac{6-x}{\sqrt{12x-x^2}}\). 3. Normale an \(x_1 = 2\): \(g(2) = \sqrt{24-4} = \sqrt{20}\). Steigung \(g'(2) = \frac{4}{\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\). Normale Steigung \(m_n = -\frac{1}{g'(2)} = -\frac{\sqrt{5}}{2}\). Gleichung: \(y = -\frac{\sqrt{5}}{2}(x - 2) + \sqrt{20} = -1{,}118x + 4{,}472\). 4. Allgemeiner Nachweis für die Normale an \(x_0\) mit \(0 < x_0 < 12\) und \(x_0 \ne 6\): \(m_n = -\frac{1}{g'(x_0)} = \frac{\sqrt{12x_0-x_0^2}}{x_0-6}\). Normalengleichung: \(n(x) = \frac{\sqrt{12x_0-x_0^2}}{x_0-6}(x - x_0) + \sqrt{12x_0-x_0^2}\). Einsetzen von \(x=6\): \(y = \frac{\sqrt{\dots}}{x_0-6}(6 - x_0) + \sqrt{\dots} = -\sqrt{\dots} + \sqrt{\dots} = 0\). Für \(x_0 = 6\) ist die Tangente waagerecht und die Normale die Gerade \(x = 6\), die ebenfalls durch \(M(6|0)\) verläuft. Somit liegt \(M(6|0)\) auf jeder Normalen. 5. Tangente parallel zu \(y=x\): Bedingung \(g'(x) = 1 \implies \frac{6-x}{\sqrt{12x-x^2}} = 1 \implies 6-x = \sqrt{12x-x^2}\). Quadrieren: \(36 - 12x + x^2 = 12x - x^2 \implies 2x^2 - 24x + 36 = 0 \implies x^2 - 12x + 18 = 0\). 6. Lösungen: \(x = 6 \pm \sqrt{18} = 6 \pm 3\sqrt{2}\). Da \(x < 6\) gefordert ist, gilt \(x = 6 - 3\sqrt{2} \approx 1{,}76\). Der Funktionswert ist \(g(6-3\sqrt{2}) = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Punkt \(P(6-3\sqrt{2} | 3\sqrt{2})\).

a) \(D_g = [0; 12]\); \(n: y = -\frac{\sqrt{5}}{2}x + 2\sqrt{5}\) (bzw. \(y \approx -1{,}12x + 4{,}47\)) b) Nachweis durch Einsetzen von \(M(6|0)\) in die allgemeine Normalengleichung \(y = \frac{g(x_0)}{x_0-6}(x-x_0) + g(x_0)\) für \(x_0 \ne 6\); für \(x_0 = 6\) ist die Normale \(x = 6\) und enthält \(M\) ebenfalls. c) \(P(6 - 3\sqrt{2} | 3\sqrt{2}) \approx P(1{,}76 | 4{,}24)\)

- Wie findest du die Koordinaten eines Punktes auf der \(y\)-Achse? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Geraden und dem Tangens ihres Neigungswinkels. - Wie berechnet man die Steigung einer Normalen, wenn die Tangentensteigung bekannt ist?

1. Bestimmung des Schnittpunktes mit der \(y\)-Achse (\(x = 0\)): \(h(0) = 3 \cdot \sqrt{4} = 6\). Der Punkt ist \(P(0 | 6)\). 2. Ableitung der Funktion \(h\) mit der Kettenregel: \(h'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4 - x}} \cdot (-1) = -\frac{3}{2\sqrt{4 - x}}\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(0\): \(m_t = h'(0) = -\frac{3}{2\sqrt{4}} = -\frac{3}{4} = -0{,}75\). 4. Bestimmung des Neigungswinkels \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = -0{,}75 \Rightarrow \alpha = \arctan(-0{,}75) \approx -36{,}87^\circ\). Dies entspricht einem Winkel von ca. \(143{,}13^\circ\) zur positiven \(x\)-Achse. 5. Berechnung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{-0{,}75} = \frac{4}{3}\). 6. Da der Punkt \(P(0 | 6)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist der \(y\)-Achsenabschnitt der Normalen direkt \(6\). Die Gleichung lautet \(n: y = \frac{4}{3}x + 6\).

Normalengleichung: \(n: y = \frac{4}{3}x + 6\) Neigungswinkel der Tangente: \(\alpha \approx 143{,}13^\circ\) (oder \(-36{,}87^\circ\))

- Welche Regel musst du anwenden, wenn eine Funktion „in einer anderen“ steht? - Wie hängen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung über Ableitungen zusammen? - Überlege dir beim Ableiten von Brüchen, welche Regel am sichersten zum Ziel führt. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Steigung der ersten Ableitung aus?

1. Anfangsentfernung berechnen: \(s(0) = \sqrt{4 \cdot 0^2 + 900} = \sqrt{900} = 30\). Die Entfernung beträgt zu Beginn \(30\,\text{m}\). 2. Momentangeschwindigkeit berechnen: Anwendung der Kettenregel: \(s'(t) = \frac{1}{2\sqrt{4t^2 + 900}} \cdot 8t = \frac{4t}{\sqrt{4t^2 + 900}}\). Einsetzen von \(t = 20\): \(s'(20) = \frac{4 \cdot 20}{\sqrt{4 \cdot 400 + 900}} = \frac{80}{\sqrt{2\,500}} = \frac{80}{50} = 1{,}6\). Die Geschwindigkeit beträgt \(1{,}6\,\text{m/s}\). 3. Zweite Ableitung und Interpretation: Anwendung der Quotientenregel auf \(s'(t) = \frac{4t}{\sqrt{4t^2 + 900}}\): \(s''(t) = \frac{4 \cdot \sqrt{4t^2 + 900} - 4t \cdot \frac{4t}{\sqrt{4t^2 + 900}}}{4t^2 + 900} = \frac{4(4t^2 + 900) - 16t^2}{(4t^2 + 900)^{1{,}5}} = \frac{3\,600}{(4t^2 + 900)^{1{,}5}}\). Da Zähler und Nenner für \(t \ge 0\) stets positiv sind, gilt \(s''(t) > 0\). Dies bedeutet, dass die Momentangeschwindigkeit \(v(t) = s'(t)\) des Fahrzeugs kontinuierlich zunimmt (positive Beschleunigung).

a) Die Anfangsentfernung beträgt \(30\,\text{m}\). b) Die Geschwindigkeit beträgt \(1{,}6\,\text{m/s}\). c) Da \(s''(t) > 0\) für alle \(t \ge 0\) gilt, nimmt die Geschwindigkeit des Fahrzeugs dauerhaft zu.

- Was weißt du über die erste und zweite Ableitung einer Funktion an einer Stelle, an der ein lokales Minimum vorliegt? - Nutze die Kettenregel für den Ausdruck unter der Wurzel und beachte, dass dort eine weitere Funktion im Quadrat steht. - Überlege dir, welcher Teil der Quotientenregel wegfällt, wenn du eine Stelle einsetzt, an der die Ableitung der inneren Funktion Null ist. - Argumentiere am Ende über die Vorzeichen der einzelnen Faktoren im Ergebnis für die zweite Ableitung.

1. Ableitung von \(h(x)\) mit der Kettenregel: \(h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)^2 + 1}} \cdot 2g(x)g'(x) = \frac{g(x)g'(x)}{\sqrt{g(x)^2 + 1}}\). 2. Da \(g\) bei \(x_0\) ein lokales Minimum hat, gilt \(g'(x_0) = 0\). Daraus folgt direkt \(h'(x_0) = 0\), womit \(x_0\) eine stationäre Stelle von \(h\) ist. 3. Zweite Ableitung von \(h(x)\) mit der Quotientenregel: \(h''(x) = \frac{(g'(x)^2 + g(x)g''(x))\sqrt{g(x)^2 + 1} - g(x)g'(x) \cdot \frac{g(x)g'(x)}{\sqrt{g(x)^2 + 1}}}{g(x)^2 + 1}\). 4. Einsetzen von \(g'(x_0) = 0\): \(h''(x_0) = \frac{g(x_0)g''(x_0)\sqrt{g(x_0)^2 + 1}}{g(x_0)^2 + 1} = \frac{g(x_0)g''(x_0)}{\sqrt{g(x_0)^2 + 1}}\). 5. Da laut Voraussetzung \(g(x_0) > 0\), \(g''(x_0) > 0\) und der Nenner positiv ist, gilt \(h''(x_0) > 0\). Somit liegt an der Stelle \(x_0\) ein lokales Minimum von \(h\) vor.

Es gilt \(h'(x_0) = 0\) und \(h''(x_0) = \frac{g(x_0) \cdot g''(x_0)}{\sqrt{(g(x_0))^2 + 1}}\). Da \(g(x_0) > 0\) und \(g''(x_0) > 0\), ist \(h''(x_0) > 0\), was ein lokales Minimum an der Stelle \(x_0\) bestätigt.

- Nutze die Potenzschreibweise für Wurzeln, um die Ableitung leichter zu berechnen. - Wann ist ein Bruch gleich Null? - Was bedeutet „streng monoton wachsend“ für die Reihenfolge der Funktionswerte? - Kannst du das Maximum des Exponenten bestimmen, um das Maximum der gesamten Funktion zu finden?

1. Ableitung herleiten: \(h(x) = (f(x))^{1/2}\). Anwendung der Kettenregel ergibt \(h'(x) = \frac{1}{2}(f(x))^{-1/2} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\). 2. Waagerechte Tangenten: Eine waagerechte Tangente liegt vor, wenn die Ableitung Null ist. Da \(f(x) > 0\) vorausgesetzt ist, ist der Nenner \(2\sqrt{f(x)}\) stets positiv und ungleich Null. Somit gilt \(h'(x) = 0 \iff f'(x) = 0\). 3. Maximumstelle berechnen: Für \(f(x) = e^{-x^2+4x}\) betrachten wir den Exponenten \(u(x) = -x^2+4x\). Da die Exponentialfunktion streng monoton wachsend ist, liegt das Maximum von \(f\) an der Scheitelstelle der Parabel \(u\), also bei \(x = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2\). Wegen des Zusammenhangs aus b) ist \(x = 2\) auch die Maximumstelle von \(h\). 4. Verallgemeinerung: Für \(k(x) = \varphi(f(x))\) bleibt die Lage der Extremstellen erhalten, weil eine streng monoton wachsende Funktion die Reihenfolge der Funktionswerte nicht ändert: Aus \(f(x_1) < f(x_2)\) folgt \(\varphi(f(x_1)) < \varphi(f(x_2))\). Daher liegen lokale Maxima und Minima von \(k\) an denselben Stellen wie die entsprechenden lokalen Maxima und Minima von \(f\).

a) Nachweis über Kettenregel: \(h'(x) = \frac{1}{2}(f(x))^{-1/2} \cdot f'(x)\). b) Da der Nenner der Ableitung nie Null wird, sind die Nullstellen der Ableitungen von \(h\) und \(f\) identisch. c) Die Maximumstelle ist \(x = 2\). d) Eine streng monoton wachsende Verknüpfung erhält die Reihenfolge der Funktionswerte, daher bleiben die Lagen lokaler Extremstellen erhalten.

- Schreibe die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten um, um die Ableitungsregeln leichter anwenden zu können. - Überlege dir, was eine „Änderungsrate der Geschwindigkeit bezogen auf den Weg“ bedeutet. - Um zu zeigen, dass eine Rate kleiner wird, kannst du das Vorzeichen der zweiten Ableitung untersuchen. - Achte auf die Einheiten: Wenn man eine Geschwindigkeit nach einem Weg ableitet, was bleibt übrig?

1. Ableitung berechnen: Mit der Kettenregel oder durch Umschreiben zu \(v(s) = \sqrt{2g} \cdot s^{1/2}\) ergibt sich \(v'(s) = \sqrt{2g} \cdot \frac{1}{2} s^{-1/2} = \frac{\sqrt{2g}}{2\sqrt{s}} = \sqrt{\frac{g}{2s}}\). 2. Funktionswerte der Ableitung: Einsetzen der Stellen liefert \(v'(2) = \sqrt{\frac{9{,}81}{4}} \approx 1{,}566\,\frac{1}{\text{s}}\) und \(v'(8) = \sqrt{\frac{9{,}81}{16}} \approx 0{,}783\,\frac{1}{\text{s}}\). 3. Bedeutung: Die Ableitung \(v'(s)\) gibt an, um wie viele Einheiten (\(\frac{\text{m}}{\text{s}}\)) die Geschwindigkeit pro zusätzlich gefallenem Meter (\(\text{m}\)) zunimmt. Die Einheit ist daher \(\frac{1}{\text{s}}\). 4. Nachweis der Abnahme: Die zweite Ableitung \(v''(s)\) wird bestimmt. Aus \(v'(s) = \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot s^{-1/2}\) folgt \(v''(s) = \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot s^{-3/2} = -\frac{1}{4} \sqrt{\frac{2g}{s^3}}\). Da \(g > 0\) und \(s > 0\), ist \(v''(s) < 0\) für alle \(s\). Somit ist \(v'(s)\) streng monoton fallend.

a) \(v'(s) = \sqrt{\frac{g}{2s}}\) b) \(v'(2) \approx 1{,}566\,\text{s}^{-1}\); \(v'(8) \approx 0{,}783\,\text{s}^{-1}\). Die Ableitung beschreibt den Zuwachs der Geschwindigkeit pro Wegstrecke. c) Da \(v''(s) = -\frac{\sqrt{2g}}{4 \cdot \sqrt{s^3}} < 0\) für alle \(s > 0\), nimmt die Änderungsrate \(v'(s)\) mit steigendem \(s\) ab.

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(x_0\). - Die lineare Näherung bedeutet, dass wir den Funktionswert durch den entsprechenden Wert auf der Tangente ersetzen. - Für die Berechnung der Abweichung ziehst du den Näherungswert vom exakten Wert ab (oder umgekehrt) und betrachtest den Betrag.

1. Berechnung des Berührungspunkts und der Steigung: \(v(20) = \sqrt{19{,}62 \cdot 20} = \sqrt{392{,}4} \approx 19{,}809\). Die Ableitung ist \(v'(h) = \frac{9{,}81}{\sqrt{19{,}62 \cdot h}}\). Die Steigung an der Stelle \(20\) beträgt \(v'(20) = \frac{9{,}81}{\sqrt{392{,}4}} \approx 0{,}495\). 2. Aufstellen der Tangentengleichung: Mit der Punkt-Steigungs-Form \(t(h) = v'(h_0) \cdot (h - h_0) + v(h_0)\) ergibt sich \(t(h) \approx 0{,}495 \cdot (h - 20) + 19{,}809\). 3. Lineare Näherung für \(h = 21\): \(t(21) = 0{,}495 \cdot (21 - 20) + 19{,}809 = 0{,}495 + 19{,}809 = 20{,}304\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 4. Vergleich mit dem exakten Wert: \(v(21) = \sqrt{19{,}62 \cdot 21} = \sqrt{412{,}02} \approx 20{,}298\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Die absolute Abweichung beträgt \(|20{,}304 - 20{,}298| = 0{,}006\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Die Näherung ist sehr präzise.

a) \(t(h) \approx 0{,}495 \cdot (h - 20) + 19{,}809\) b) \(t(21) \approx 20{,}304\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) c) \(v(21) \approx 20{,}298\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\); die Abweichung beträgt etwa \(0{,}006\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

- Was muss für den Term unter einer Quadratwurzel im reellen Bereich gelten? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Information liefert das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen? - Betrachte Zähler und Nenner der Ableitungsfunktion getrennt, um das Vorzeichen des Gesamtausdrucks zu bestimmen.

1. Die Bedingung \(4x - 8 \ge 0\) führt auf \(x \ge 2\), also \(D_h = [2; \infty[\). Die Ableitung erfolgt mit der Kettenregel: \(h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4x-8}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x-8}}\). 2. Funktionswert an der Stelle \(x = 3\): \(h(3) = \sqrt{4 \cdot 3 - 8} = \sqrt{4} = 2\). Steigung an der Stelle \(x = 3\): \(h'(3) = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 3 - 8}} = \frac{2}{2} = 1\). Tangentengleichung \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\): \(y = 1 \cdot (x - 3) + 2\), vereinfacht \(y = x - 1\). 3. Da für alle \(x > 2\) der Radikand \(4x - 8\) positiv ist, ist auch die Quadratwurzel \(\sqrt{4x-8}\) positiv. Der Zähler der Ableitung \(h'(x)\) ist mit \(2\) ebenfalls positiv. Da ein Quotient aus zwei positiven Zahlen stets positiv ist, gilt \(h'(x) > 0\) für alle \(x > 2\). Daraus folgt die strenge Monotonie.

1. \(D_h = [2; \infty[\); \(h'(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-8}}\). 2. Tangentengleichung: \(y = x - 1\). 3. Da \(h'(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-8}} > 0\) für alle \(x > 2\), ist die Funktion dort streng monoton steigend.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Steigungen zweier Geraden, die senkrecht (orthogonal) aufeinander stehen? - Nutze die Ableitung der Funktion, um die Steigung an einer beliebigen Stelle \(x\) auszudrücken. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, ob das Vorzeichen deines Ergebnisses zur gewünschten Steigung passt. - Sobald du die Berührstelle und die Steigung hast, kannst du die allgemeine Geradengleichung bestimmen.

1. Ableitung der Funktion \(g\) berechnen: \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 12}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 12}}\). 2. Die Bedingung für die Steigung \(m_T\) der Tangente bei Orthogonalität zur Geraden mit Steigung \(m_G = -2\) lautet: \(m_T \cdot m_G = -1\). Daraus folgt \(m_T = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\). 3. Berührstelle \(x\) bestimmen durch Gleichsetzen der Ableitung mit der Tangentensteigung: \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 12}} = \frac{1}{2}\). Quadrieren führt auf \(4x^2 = x^2 + 12\), also \(3x^2 = 12\) und somit \(x^2 = 4\). Da die Steigung \(\frac{1}{2}\) positiv sein muss, folgt aus der Ableitungsfunktion \(x = 2\). 4. Funktionswert an der Stelle \(x = 2\) berechnen: \(g(2) = \sqrt{2^2 + 12} = \sqrt{16} = 4\). Der Berührpunkt ist \(B(2|4)\). 5. Tangentengleichung aufstellen: \(y = \frac{1}{2}(x - 2) + 4 = \frac{1}{2}x - 1 + 4\). Die resultierende Gleichung ist \(y = 0{,}5x + 3\).

\(y = 0{,}5x + 3\)

- Für die Nullstellen kannst du eine Substitution verwenden, um die Gleichung vierten Grades wie eine quadratische Gleichung zu lösen. - Achte beim Ableiten der Wurzelfunktion auf die Kettenregel: Die Ableitung des Radikanden (das Innere der Wurzel) muss im Zähler stehen. - Was muss für die Steigung gelten, damit eine Tangente waagerecht verläuft? - Denke daran, dass für die Tangentengleichung sowohl die Steigung als auch der Funktionswert an der Stelle benötigt werden.

1. Nullstellenberechnung: \(-x^4 + 8x^2 + 9 = 0\). Mit Substitution \(z = x^2\) folgt \(-z^2 + 8z + 9 = 0\), woraus \(z_1 = 9\) und \(z_2 = -1\) resultieren. Da \(x^2 = 9\), sind die Nullstellen \(x = \pm 3\). Die Breite beträgt \(3 - (-3) = 6\,\text{LE}\). 2. Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{-4x^3 + 16x}{2\sqrt{-x^4 + 8x^2 + 9}} = \frac{-2x^3 + 8x}{\sqrt{-x^4 + 8x^2 + 9}}\). Nullsetzen des Zählers: \(-2x(x^2 - 4) = 0 \implies x = 0\) oder \(x = \pm 2\). Prüfung der Funktionswerte: \(f(0) = 3\), \(f(\pm 2) = \sqrt{-16 + 32 + 9} = \sqrt{25} = 5\). Die Maxima liegen bei \(P_1(-2|5)\) und \(P_2(2|5)\). 3. An der Stelle \(x = 0\) ist der Zähler der Ableitung \(-2(0)^3 + 8(0) = 0\), somit ist \(f'(0) = 0\). Eine Steigung von Null bedeutet eine waagerechte Tangente. Da \(f(0) = 3\), lautet die Tangentengleichung \(y = 3\).

a) Die Breite beträgt \(6\,\text{LE}\). b) Die Maxima liegen bei \((-2|5)\) und \((2|5)\). c) Wegen \(f'(0) = 0\) ist die Tangente waagerecht; die Gleichung lautet \(y = 3\).