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- Was passiert mit den Rollen von \(x\) und \(y\), wenn man eine Funktion umkehrt? - Überlege dir, wie man eine Gleichung nach der anderen Variable auflöst. - Setze für gemeinsame Punkte von \(G_f\) und \(G_{f^{-1}}\) die beiden Funktionsterme gleich. - Wie verändern sich Definitions- und Wertemenge beim Bilden der Umkehrfunktion?

1. Bestimmung der Wertemenge und der Umkehrfunktion: Durch Auflösen von \(y = \frac{2x}{x-1}\) nach \(x\) erhält man \(y(x-1) = 2x \Leftrightarrow yx - y = 2x \Leftrightarrow x(y-2) = y \Leftrightarrow x = \frac{y}{y-2}\). Da der Nenner nicht null werden darf, ist \(y \neq 2\), woraus \(W_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) folgt. Die Umkehrfunktion lautet \(f^{-1}(x) = \frac{x}{x-2}\). 2. Interpretation der Asymptoten: Aufgrund der Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y = x\) werden \(x\)- und \(y\)-Werte vertauscht. Die senkrechte Asymptote von \(f\) (\(x = 1\)) wird zur waagerechten Asymptote von \(f^{-1}\) (\(y = 1\)), und die waagerechte Asymptote von \(f\) (\(y = 2\)) wird zur senkrechten Asymptote von \(f^{-1}\) (\(x = 2\)). 3. Schnittpunkte mit der Umkehrfunktion: Für gemeinsame Punkte von \(G_f\) und \(G_{f^{-1}}\) setzt man die beiden Funktionsterme gleich: \(\frac{2x}{x-1} = \frac{x}{x-2}\). Für \(x \neq 1\) und \(x \neq 2\) folgt \(2x(x-2) = x(x-1) \Leftrightarrow 2x^2 - 4x = x^2 - x \Leftrightarrow x^2 - 3x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Einsetzen liefert die Schnittpunkte \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(3 \mid 3)\).

1. \(W_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); \(f^{-1}(x) = \frac{x}{x-2}\) 2. Senkrechte Asymptote bei \(x = 2\), waagerechte Asymptote bei \(y = 1\). 3. \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(3 \mid 3)\)

- Wo müssen Schnittpunkte zwischen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion liegen, wenn die Funktion streng monoton steigend ist? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes und seines an \( y=x \) gespiegelten Bildpunktes zusammen? - Um den Definitionsbereich der Umkehrfunktion zu finden, musst du den Wertebereich der ursprünglichen Funktion bestimmen.

1. Da \( f \) für \( x > -1 \) streng monoton steigend ist (\( f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2} > 0 \)), liegen Schnittpunkte mit der Umkehrfunktion auf der Geraden \( y=x \). \( \frac{2x}{x+1} = x \Rightarrow 2x = x^2 + x \Rightarrow x^2 - x = 0 \). Lösungen sind \( x_1 = 0 \) und \( x_2 = 1 \). Die Punkte sind \( (0 \mid 0) \) und \( (1 \mid 1) \). 2. Vertauschung von \( x \) und \( y \): \( x = \frac{2y}{y+1} \Rightarrow x(y+1) = 2y \Rightarrow xy + x = 2y \Rightarrow x = y(2-x) \Rightarrow y = \frac{x}{2-x} \). Also \( f^{-1}(x) = \frac{x}{2-x} \). Da \( f(x) \) für \( x \to \infty \) gegen \( 2 \) strebt und für \( x \to -1 \) gegen \( -\infty \), ist \( W_f = ]-\infty; 2[ \), also \( D_{f^{-1}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\} \). 3. Punktprüfung: \( f(3) = \frac{2 \cdot 3}{3+1} = 1{,}5 \), somit \( P(3 \mid 1{,}5) \in G_f \). Der gespiegelte Punkt ist \( P'(1{,}5 \mid 3) \). Einsetzen in die Umkehrfunktion: \( f^{-1}(1{,}5) = \frac{1{,}5}{2 - 1{,}5} = \frac{1{,}5}{0{,}5} = 3 \). Dies bestätigt \( P' \in G_{f^{-1}} \).

1. Die gemeinsamen Punkte sind \( (0 \mid 0) \) und \( (1 \mid 1) \). 2. \( f^{-1}(x) = \frac{x}{2-x} \) mit \( D_{f^{-1}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\} \). 3. \( P(3 \mid 1{,}5) \) liegt auf \( G_f \). Der gespiegelte Punkt \( P'(1{,}5 \mid 3) \) liegt auf \( G_{f^{-1}} \), da \( f^{-1}(1{,}5) = 3 \).

- Welche Bedingung muss die erste Ableitung erfüllen, damit eine Funktion sicher umkehrbar ist? - Betrachte den Definitionsbereich der Funktion genau. Welche Werte kann \(x\) annehmen? - Untersuche, ob die Ableitung in diesem Bereich jemals Null oder negativ werden kann.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: Unter Verwendung der Ableitungsregeln für den Logarithmus und Summen ergibt sich \(f'(x) = \frac{1}{x} + 2\). 2. Analyse des Vorzeichens im Definitionsbereich \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\): Für alle \(x > 0\) ist der Term \(\frac{1}{x}\) stets positiv. 3. Da \(\frac{1}{x} > 0\) für alle \(x > 0\), folgt \(f'(x) = \frac{1}{x} + 2 > 2\). 4. Da die erste Ableitung im gesamten Definitionsbereich strikt positiv ist, ist die Funktion \(f\) dort streng monoton steigend. 5. Eine streng monotone Funktion ist stets injektiv und besitzt daher eine Umkehrfunktion.

Die Ableitung \(f'(x) = \frac{1}{x} + 2\) ist für alle \(x > 0\) stets positiv (\(f'(x) > 2\)). Aufgrund dieser strikten Monotonie ist die Funktion \(f\) in ihrem Definitionsbereich umkehrbar. Für die logarithmische Funktion gilt eindeutig \(x>0\).

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit? - Wie hilft dir das Vorzeichen der ersten Ableitung dabei, die Monotonie zu bestimmen? - Überlege dir, welchen Wertebereich die natürliche Exponentialfunktion hat.

1. Bestimmung der ersten Ableitung: \(f'(x) = e^x + 2\). 2. Analyse des Vorzeichens: Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positive Werte annimmt (\(e^x > 0\)), ist die Summe \(e^x + 2\) für alle \(x\) stets größer als 2. 3. Schlussfolgerung: Da \(f'(x) > 0\) für den gesamten Definitionsbereich gilt, ist die Funktion \(f\) auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend. 4. Daraus folgt, dass die Funktion \(f\) injektiv und somit umkehrbar ist.

Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = e^x + 2\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist \(f'(x) > 2\) und somit stets positiv. Da die Funktion somit auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend ist, ist sie umkehrbar.

- Wie hängen die Monotonie einer Funktion und ihre Umkehrbarkeit zusammen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, das Steigungsverhalten einer Funktion zu untersuchen? - Kannst du zeigen, dass die Ableitung für alle Werte von \(x\) entweder immer positiv oder immer negativ ist? - Überlege, welchen kleinstmöglichen oder größtmöglichen Wert der Term der Ableitungsfunktion annehmen kann.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = -3x^2 - 2\). 2. Untersuchung des Vorzeichens: Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), folgt \(-3x^2 \leq 0\) und damit \(f'(x) \leq -2\). 3. Schlussfolgerung zur Monotonie: Da \(f'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist die Funktion \(f\) im gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend. 4. Nachweis der Umkehrbarkeit: Aus der strengen Monotonie folgt die Injektivität der Funktion, woraus die Umkehrbarkeit von \(f\) in \(D\) resultiert.

Die Funktion \(f\) ist umkehrbar, da ihre Ableitung \(f'(x) = -3x^2 - 2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets kleiner als Null ist (\(f'(x) \leq -2\)). Damit ist \(f\) auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend und somit injektiv.

- Überlege dir, wie du die Umkehrfunktion durch die entsprechende Winkelfunktion „auflösen“ kannst. - Achte darauf, ob der gegebene Winkel im typischen Wertebereich der jeweiligen Arcus-Funktion liegt. - Isoliere bei Gleichung b) zuerst den Arcus-Ausdruck, bevor du die Umkehrung anwendest. - Erinnere dich an die exakten Werte der trigonometrischen Funktionen für bekannte Winkel wie \(\frac{\pi}{4}\) oder \(\frac{\pi}{2}\).

1. Zur Lösung von Gleichung a) wird die Umkehrfunktion angewendet: \(x = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)\). Da \(\frac{3\pi}{4}\) im Wertebereich \([0; \pi]\) der Arkuskosinusfunktion liegt, ergibt sich \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). 2. In Gleichung b) wird zunächst durch 2 dividiert: \(\arctan(x) = -\frac{\pi}{4}\). Durch Anwendung der Tangensfunktion folgt \(x = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)\). Da \(-\frac{\pi}{4}\) im Wertebereich \(]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[\) liegt, ist das Ergebnis \(x = -1\). 3. Für Gleichung c) wird die Sinusfunktion auf beide Seiten angewendet: \(2x - 1 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\). Mit \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) folgt die lineare Gleichung \(2x - 1 = 1\). Durch Umformen ergibt sich \(2x = 2\) und somit \(x = 1\). Da \(1\) im Definitionsbereich der Arkussinusfunktion liegt (\(2 \cdot 1 - 1 = 1 \in [-1; 1]\)), ist dies die gültige Lösung.

a) \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) b) \(x = -1\) c) \(x = 1\)

- Kannst du dir vorstellen, eine waagerechte Linie auf verschiedenen Höhen durch die Graphen zu ziehen? - Wie viele Schnittpunkte darf eine solche Linie höchstens mit dem Graphen haben, damit die Funktion umkehrbar ist? - Überlege, was die Monotonie (also ob der Graph nur steigt oder nur fällt) mit der Umkehrbarkeit zu tun hat. - Wo ändert die Funktion \(g\) ihr Steigungsverhalten? Welcher Punkt teilt den Graphen in einen fallenden und einen steigenden Teil?

1. **Grafisches Kriterium zur Umkehrbarkeit:** Eine Funktion ist auf einem Bereich umkehrbar, wenn jede waagerechte Gerade den Graphen in diesem Bereich in höchstens einem Punkt schneidet (Waagerechte-Linien-Test). Dies ist gleichbedeutend damit, dass die Funktion in diesem Bereich streng monoton ist. 2. **Überprüfung von \(f\) (Abbildung 1):** Jede waagerechte Gerade schneidet den Graphen von \(f\) höchstens einmal. Zudem ist die Funktion auf dem gesamten dargestellten Definitionsbereich streng monoton steigend. Daher ist \(f\) auf dem gesamten Bereich umkehrbar. 3. **Überprüfung von \(g\) (Abbildung 2):** Es gibt waagerechte Geraden (zum Beispiel die x-Achse bei \(y = 0\)), die den Graphen von \(g\) in mehr als einem Punkt (hier bei \(x = -2\) und \(x = 2\)) schneiden. Die Funktion ist nicht streng monoton (sie fällt für \(x < 0\) und steigt für \(x > 0\)). Daher ist \(g\) auf dem gesamten dargestellten Definitionsbereich nicht umkehrbar. 4. **Einschränkung des Definitionsbereichs für \(g\):** Um ein möglichst großes Intervall zu finden, auf dem \(g\) umkehrbar ist, wählen wir einen Bereich, in dem die Funktion streng monoton ist. Da der Scheitelpunkt (das Minimum) bei \(x = 0\) liegt, sind die beiden maximalen Intervalle \([-3; 0]\) (streng monoton fallend) und \([0; 3]\) (streng monoton steigend).

a) Die Funktion \(f\) ist auf dem gesamten dargestellten Definitionsbereich umkehrbar, da jede waagerechte Gerade den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet (bzw. da sie streng monoton steigend ist). Die Funktion \(g\) ist nicht umkehrbar, da beispielsweise die waagerechte Gerade \(y = 0\) den Graphen in zwei Punkten (bei \(x = -2\) und \(x = 2\)) schneidet (bzw. da sie nicht streng monoton ist). b) Ein möglichst großes Intervall, auf dem \(g\) umkehrbar ist, ist \([-3; 0]\) oder \([0; 3]\).

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine waagerechte Gerade von unten nach oben über das Koordinatensystem schiebst. - Wie viele Schnittpunkte darf diese Gerade mit dem Graphen haben, damit die Umkehrung eindeutig bleibt? - Erinnere dich an die Definition einer Funktion: Jedem Element der Ausgangsmenge darf nur genau ein Element der Zielmenge zugeordnet werden. Bei der Umkehrung werden \(x\) und \(y\) vertauscht.

1. Anwendung des Waagerechte-Linien-Tests auf \(f\): Eine waagerechte Gerade, zum Beispiel bei \(y = 1\), schneidet den Graphen von \(f\) an zwei Stellen (\(x = -3\) und \(x = 3\)). Da einem \(y\)-Wert somit zwei verschiedene \(x\)-Werte zugeordnet würden, ist die Umkehrzuordnung keine Funktion. Die Funktion \(f\) ist nicht umkehrbar. 2. Anwendung des Waagerechte-Linien-Tests auf \(g\): Jede waagerechte Gerade im Wertebereich schneidet den Graphen von \(g\) an genau einer Stelle. Da jedem \(y\)-Wert eindeutig ein \(x\)-Wert zugeordnet werden kann, ist die Umkehrzuordnung eine Funktion. Die Funktion \(g\) ist umkehrbar.

Die Funktion \(f\) ist nicht umkehrbar, da eine waagerechte Gerade den Graphen mehrfach schneiden kann (z. B. bei \(y = 1\)). Die Funktion \(g\) ist umkehrbar, da jede waagerechte Gerade den Graphen höchstens einmal schneidet.

- Überprüfe, ob es Funktionswerte gibt, die mehrfach angenommen werden. - Wo liegt die „Spitze“ oder der „Knick“ des Graphen? Dieser Punkt teilt den Definitionsbereich oft in Bereiche mit einheitlicher Monotonie. - Bestimme zunächst die Geradengleichungen für die beiden linearen Abschnitte des Graphen. - Denke daran, dass bei der Umkehrung einer linearen Funktion \(y = mx + b\) die Gleichung einfach nach \(x\) aufgelöst wird.

1. Nachweis der Nicht-Umkehrbarkeit: Eine horizontale Gerade bei \(y = 0\) schneidet den Graphen an zwei Stellen (\(x = -3\) und \(x = 1\)). Da verschiedenen Argumenten derselbe Funktionswert zugeordnet wird, ist \(g\) nicht umkehrbar. 2. Teilintervalle: Die Funktion ändert ihr Monotonieverhalten an der Knickstelle bei \(x = -1\). Die maximalen Teilintervalle sind \(I_1 = [-4; -1]\) (streng monoton fallend) und \(I_2 = [-1; 2]\) (streng monoton steigend). 3. Teilfunktionen: Auf \(I_1\): \(g_1(x) = -x - 3\) (lineare Funktion durch \((-4; 1)\) und \((-1; -2)\)). Auf \(I_2\): \(g_2(x) = x - 1\) (lineare Funktion durch \((-1; -2)\) und \((2; 1)\)). 4. Umkehrfunktionen: Für \(I_1\): \(y = -x - 3 \Rightarrow x = -y - 3\). Also \(g_1^{-1}(x) = -x - 3\) mit dem Definitionsbereich \(D_{g_1^{-1}} = [-2; 1]\). Für \(I_2\): \(y = x - 1 \Rightarrow x = y + 1\). Also \(g_2^{-1}(x) = x + 1\) mit dem Definitionsbereich \(D_{g_2^{-1}} = [-2; 1]\).

a) Nicht umkehrbar, da z. B. \(g(-3) = g(1) = 0\). b) Die Teilintervalle sind \(I_1 = [-4; -1]\) und \(I_2 = [-1; 2]\). c) Die Teilfunktionen lauten \(g_1(x) = -x - 3\) und \(g_2(x) = x - 1\); die Umkehrfunktionen sind \(g_1^{-1}(x) = -x - 3\) und \(g_2^{-1}(x) = x + 1\), jeweils mit dem Definitionsbereich \([-2; 1]\).

- Kannst du zwei Punkte auf der Geraden finden, deren Koordinaten ganzzahlig sind? - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden aus zwei gegebenen Punkten? - Was passiert mit den Rollen von \(x\) und \(y\), wenn man eine Funktion umkehrt? - Erinnere dich an die geometrische Eigenschaft von Graphen und ihren Umkehrfunktionen bezüglich der Spiegelung.

1. Vom Graphen lassen sich die Punkte \(P(0 \mid -3)\) und \(Q(2 \mid 0)\) ablesen. 2. Die Steigung \(m\) berechnet sich zu \(m = \frac{0 - (-3)}{2 - 0} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Der y-Achsenabschnitt ist \(b = -3\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x) = 1{,}5x - 3\). 3. Zur Bestimmung der Umkehrfunktion wird die Gleichung \(y = 1{,}5x - 3\) nach \(x\) aufgelöst: \(y + 3 = 1{,}5x \Rightarrow x = \frac{1}{1{,}5}y + \frac{3}{1{,}5} = \frac{2}{3}y + 2\). 4. Durch Vertauschen von \(x\) und \(y\) erhält man die Gleichung der Umkehrfunktion: \(f^{-1}(x) = \frac{2}{3}x + 2\). 5. Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden mit der Gleichung \(y = x\).

a) \(f(x) = 1{,}5x - 3\) b) \(f^{-1}(x) = \frac{2}{3}x + 2\) c) Spiegelung an der Geraden \(y = x\).

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem Kriterium für eine Funktion (Senkrechte-Linien-Test) und dem für eine umkehrbare Funktion. - Prüfe gedanklich, wie oft eine waagerechte Gerade den jeweiligen Graphen schneidet. - Überlege, ob es zu einem \(y\)-Wert mehrere \(x\)-Werte geben kann. - Achte auf die Monotonie der Graphen.

Zur Prüfung der Umkehrbarkeit eines Graphen wird der Waagerechte-Linien-Test verwendet. Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jede waagerechte Gerade den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet. 1. Graph a): Die Funktion ist umkehrbar. Sie ist im sichtbaren Bereich streng monoton steigend, sodass jede waagerechte Gerade den Graphen genau einmal schneidet. 2. Graph b): Die Funktion ist nicht umkehrbar. Eine waagerechte Gerade, zum Beispiel bei \(y = 1\), schneidet den Graphen an zwei Stellen (\(x = 1\) und \(x = 3\)). 3. Graph c): Die Funktion ist umkehrbar. Der Graph der Wurzelfunktion ist im Definitionsbereich streng monoton steigend; jede waagerechte Gerade hat maximal einen Schnittpunkt. 4. Graph d): Die Funktion ist nicht umkehrbar. Der Graph stellt eine Parabel dar. Eine waagerechte Gerade bei \(y = 2\) schneidet den Graphen in zwei Punkten (\(x \approx 0{,}78\) und \(x \approx 3{,}22\)).

Die Funktionen zu den Graphen a) und c) sind umkehrbar, da sie streng monoton steigend sind (Waagerechte-Linien-Test). Die Graphen b) und d) gehören zu Funktionen, die nicht umkehrbar sind, da waagerechte Geraden den Graphen in mehr als einem Punkt schneiden können.

- Wie hängen die \(x\)- und \(y\)-Werte einer Funktion mit denen ihrer Umkehrfunktion zusammen? - Wenn du \(f^{-1}(y)\) suchst, fragst du eigentlich: Welches \(x\) ergibt diesen \(y\)-Wert? - Überlege dir, an welcher Geraden man einen Graphen spiegeln muss, um den Graphen der Umkehrfunktion zu erhalten.

1. Umkehrbarkeit: Der Graph von \(f\) ist im Bereich \(x \ge 0\) streng monoton steigend. Jede waagerechte Gerade schneidet den Graphen in höchstens einem Punkt, daher ist die Funktion umkehrbar. 2. Ablesen der Werte: - Für \(f(2)\) sucht man auf der \(x\)-Achse den Wert 2 und liest den zugehörigen \(y\)-Wert ab: \(f(2) = 2\). - Für \(f^{-1}(2)\) sucht man auf der \(y\)-Achse den Wert 2 und liest den zugehörigen \(x\)-Wert ab: \(f^{-1}(2) = 2\). (In diesem Fall ist es ein Fixpunkt). 3. Koordinaten von \(P'\): Bei der Bildung der Umkehrfunktion werden \(x\)- und \(y\)-Koordinaten vertauscht. Wenn \(P(4\mid5)\) auf \(G_f\) liegt, dann liegt \(P'(5\mid4)\) auf \(G_{f^{-1}}\).

a) Die Funktion ist umkehrbar, da sie streng monoton steigend ist und somit das Kriterium mit waagerechten Geraden erfüllt. b) Aus dem Graphen liest man ab: \(f(2) = 2\) und \(f^{-1}(2) = 2\). c) Der entsprechende Punkt auf dem Graphen der Umkehrfunktion ist \(P'(5\mid4)\).

- In welchen Bereichen ist eine Funktion streng monoton? Was muss dafür für die Ableitung gelten? - Überprüfe für jedes Intervall, ob der Graph der Ableitungsfunktion die x-Achse innerhalb des Intervalls überquert. - Ein Vorzeichenwechsel der Ableitung bedeutet, dass die Funktion dort ihre Steigungsrichtung ändert (z. B. von steigend zu fallend).

1. Eine Funktion ist in einem Intervall umkehrbar, wenn sie dort streng monoton steigend oder fallend ist. Das erfordert, dass die Ableitung \(h'\) im Inneren des Intervalls kein Vorzeichen wechselt. 2. Analyse des Intervalls \(I_1 = [-1; 1]\): Im Graphen von \(h'\) ist zu sehen, dass die Ableitung bei \(x = 0\) die \(x\)-Achse schneidet. Für \(x \in [-1; 0)\) ist \(h'(x) > 0\) und für \(x \in (0; 1]\) ist \(h'(x) < 0\). Wegen dieses Vorzeichenwechsels ist \(h\) in \(I_1\) nicht monoton und damit nicht umkehrbar. 3. Analyse des Intervalls \(I_2 = [0; 2]\): Im Bereich von \(x=0\) bis \(x=2\) verläuft der Graph von \(h'\) vollständig unterhalb oder auf der \(x\)-Achse (\(h'(x) \le 0\)). Die Funktion \(h\) ist in diesem Intervall also streng monoton fallend (da die Nullstellen bei \(0\) und \(2\) isoliert sind). Ergebnis: Die Funktion \(h\) ist im Intervall \(I_2 = [0; 2]\) umkehrbar.

Die Funktion \(h\) ist im Intervall \(I_2 = [0; 2]\) umkehrbar. In diesem Intervall sind alle Werte der Ableitungsfunktion \(h'\) kleiner oder gleich null, was bedeutet, dass \(h\) dort streng monoton fallend ist. Im Intervall \(I_1 = [-1; 1]\) findet bei \(x = 0\) ein Vorzeichenwechsel von \(h'\) statt, weshalb \(h\) dort nicht umkehrbar ist.

- Erinnere dich an die geometrische Beziehung zwischen dem Graphen einer Funktion und dem ihrer Umkehrfunktion. - Welche besondere Gerade dient als Spiegelachse für Umkehrfunktionen? - Du kannst prüfen, ob markante Punkte \((x \mid y)\) des einen Graphen als vertauschte Punkte \((y \mid x)\) auf dem anderen Graphen liegen.

1. In Abbildung a) sind die Graphen \(G_f\) und \(G_g\) spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten (Gerade \(y = x\)) angeordnet. Beispielsweise wird der Punkt \((0 \mid 1)\) auf \(G_f\) zum Punkt \((1 \mid 0)\) auf \(G_g\) gespiegelt. Somit können sie eine Funktion und ihre Umkehrfunktion darstellen. 2. In Abbildung b) sind die Graphen nicht symmetrisch zur Geraden \(y = x\). Während \(G_f\) durch den Punkt \((2 \mid 1)\) verläuft, müsste der Graph der Umkehrfunktion durch \((1 \mid 2)\) verlaufen. Der Graph \(G_g\) verläuft jedoch durch \((1 \mid 1)\). Daher stellen diese Graphen kein Paar aus Funktion und Umkehrfunktion dar.

Abbildung a) stellt eine Funktion und ihre Umkehrfunktion dar, da die Graphen achsensymmetrisch zur Geraden \(y = x\) liegen. Abbildung b) stellt keine Funktion und ihre Umkehrfunktion dar, da die erforderliche Symmetrie zur Geraden \(y = x\) fehlt (z. B. wird der Punkt \((2 \mid 1)\) von \(G_f\) nicht auf \((1 \mid 2)\) abgebildet).

- Wie findet man die Umkehrfunktion, wenn man die Funktionsgleichung nach der unabhängigen Variablen auflöst? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Wertebereich einer Funktion und dem Definitionsbereich ihrer Umkehrfunktion? - Was bedeutet es für die Graphen, wenn eine Gleichung der Form \( f(x) = x \) keine Lösung besitzt? - Erinnere dich an die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion: \( (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} \).

1. Auflösen von \( y = \frac{1}{2}x^2 + 1 \) nach \( x \) unter Beachtung von \( x \ge 0 \): \( x^2 = 2(y-1) \Rightarrow x = \sqrt{2y-2} \). Somit gilt \( f^{-1}(x) = \sqrt{2x-2} \). Da \( W_f = [1; \infty[ \), ist \( D_{f^{-1}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 1\} \). 2. Ansatz \( f(x) = x \): \( \frac{1}{2}x^2 + 1 = x \Leftrightarrow x^2 - 2x + 2 = 0 \). Die Diskriminante \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4 \) ist negativ, es existieren keine reellen Schnittpunkte. Da \( f(x) > x \) für alle \( x \), liegt der Graph von \( f \) stets oberhalb der Geraden \( y=x \). Aufgrund der Achsensymmetrie an \( y=x \) liegt der Graph von \( f^{-1} \) somit stets unterhalb dieser Geraden. 3. Ableitung \( f'(x) = x \), daraus folgt \( f'(2) = 2 \). Mit \( f(2) = 3 \) ergibt sich die Steigung der Umkehrfunktion an der Stelle \( x=3 \) als Kehrwert der Steigung der Originalfunktion an der Stelle \( x=2 \): \( (f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \).

1. \( f^{-1}(x) = \sqrt{2x-2} \) mit \( D_{f^{-1}} = [1; \infty[ \). 2. Kein Schnittpunkt, da \( x^2 - 2x + 2 = 0 \) keine reelle Lösung hat. Die Graphen liegen auf gegenüberliegenden Seiten der Geraden \( y=x \). 3. Die Steigung von \( f \) bei \( x=2 \) ist \( 2 \); die Steigung von \( f^{-1} \) bei \( x=3 \) ist \( 0{,}5 \).

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit besteht. - Wie hilft dir das Vorzeichen der ersten Ableitung dabei, die Monotonie zu bestimmen? - Erinnere dich daran, wie man das Vorzeichen eines quadratischen Terms für alle \(x\) bestimmt.

1. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^2 + 2x + 5\). 2. Untersuchung der Nullstellen von \(f'(x)\): Die quadratische Gleichung \(x^2 + 2x + 5 = 0\) hat die Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16\). 3. Da \(D < 0\) ist, besitzt \(f'(x)\) keine reellen Nullstellen. 4. Da der Leitkoeffizient von \(f'(x)\) positiv ist (\(1 > 0\)), ist die Parabel nach oben geöffnet und verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse. Es gilt also \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). 5. Daraus folgt, dass \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend und somit umkehrbar ist.

Die erste Ableitung \(f'(x) = x^2 + 2x + 5\) ist wegen der negativen Diskriminante (\(D = -16\)) und des positiven Leitkoeffizienten für alle \(x \in \mathbb{R}\) größer als Null. Da \(f'(x) > 0\) gilt, ist die Funktion \(f\) streng monoton steigend und folglich umkehrbar.

- Welche Bedingung muss das Steigungsverhalten einer Funktion erfüllen, damit sie in einem Bereich umkehrbar ist? - Wie kannst du das Vorzeichen der Ableitung nutzen, um die Monotonie der Funktion zu bestimmen? - Überlege dir, an welchen Stellen die Funktion ihr Steigungsverhalten ändert. - Denke daran, dass Intervalle der Umkehrbarkeit so groß wie möglich gewählt werden sollen.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^2 + x - 6\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung: Die Gleichung \(x^2 + x - 6 = 0\) liefert mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder durch Faktorisierung \((x+3)(x-2) = 0\) die Stellen \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 2\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f'\): Da der Graph von \(f'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, gilt \(f'(x) > 0\) für \(x < -3\) sowie für \(x > 2\). Im Intervall \(-3 < x < 2\) ist \(f'(x) < 0\). 4. Schlussfolgerung zur Monotonie: Die Funktion \(f\) ist im Intervall \(]-\infty; -3]\) streng monoton steigend, im Intervall \([-3; 2]\) streng monoton fallend und im Intervall \([2; \infty[\) wiederum streng monoton steigend. 5. Bezug zur Umkehrbarkeit: Da eine stetige Funktion genau dann in einem Intervall umkehrbar ist, wenn sie dort streng monoton ist, sind die gesuchten Intervalle \(I_1 = ]-\infty; -3]\), \(I_2 = [-3; 2]\) und \(I_3 = [2; \infty[\).

Die Funktion \(f\) ist in den maximalen Intervallen \(]-\infty; -3]\), \([-3; 2]\) und \([2; \infty[\) umkehrbar.

- Wann ist eine stetige Funktion in einem Intervall umkehrbar? Überlege dir den Zusammenhang mit der Monotonie. - Wie hilft dir die erste Ableitung dabei, Bereiche mit einheitlicher Monotonie zu finden? - Was passiert an den Stellen, an denen die Ableitung ihr Vorzeichen wechselt? - Ein Intervall ist nicht umkehrbar, wenn innerhalb des Intervalls mindestens ein lokaler Extrempunkt liegt.

1. Die Ableitung der Funktion wird mit der Produktregel bestimmt: \(f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x+3) \cdot (-e^{-x}) = (-x-2) \cdot e^{-x}\). Die Nullstelle der Ableitung liegt bei \(x = -2\). Für \(x < -2\) ist \(f'(x) > 0\) (streng monoton steigend), für \(x > -2\) ist \(f'(x) < 0\) (streng monoton fallend). Ein Intervall, in dem \(f\) umkehrbar ist, muss eine Teilmenge von \(]-\infty;-2]\) oder \([-2;\infty[\) sein, beispielsweise \(I_1 = [0; 5]\). 2. Ein Intervall, in dem \(f\) nicht umkehrbar ist, muss die Stelle \(x = -2\) im Inneren enthalten, sodass die Funktion dort ihr Monotonieverhalten ändert. Ein Beispiel hierfür ist das Intervall \(I_2 = [-3; 0]\).

1. Mögliches Intervall für Umkehrbarkeit: \([0; 5]\) (oder jedes andere Teilintervall von \(]-\infty;-2]\) oder \([-2;\infty[\)). 2. Mögliches Intervall ohne Umkehrbarkeit: \([-3; 0]\) (oder jedes andere Intervall, das \(x = -2\) im Inneren enthält).

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit besteht. - Wie kannst du mithilfe der ersten Ableitung herausfinden, in welchen Bereichen eine Funktion steigt oder fällt? - Erinnere dich daran, dass eine Funktion in einem Intervall umkehrbar ist, wenn sie dort streng monoton ist. - Was passiert mit dem Graphen an den Stellen, an denen die Ableitung Null ist?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^2 - 4\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung: \(x^2 - 4 = 0\) liefert \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 3. Analyse des Monotonieverhaltens: Die Ableitung \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Somit gilt \(f'(x) > 0\) für \(x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)\) (streng monoton steigend) und \(f'(x) < 0\) für \(x \in (-2; 2)\) (streng monoton fallend). 4. Da die Funktion auf \(\mathbb{R}\) kein einheitliches Monotonieverhalten aufweist, ist sie auf ihrem gesamten Definitionsbereich nicht umkehrbar. 5. Die Stelle \(x = 1\) liegt im Intervall \([-2; 2]\), in dem die Funktion streng monoton fallend und somit umkehrbar ist. Da an den Grenzen \(-2\) und \(2\) die Monotonie umschlägt, ist dies das größtmögliche Intervall.

Die Funktion \(f\) ist auf \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar, da sie kein einheitliches Monotonieverhalten besitzt. Ein größtmögliches Intervall, das \(x = 1\) enthält und in dem \(f\) umkehrbar ist, ist \(I = [-2; 2]\).

- Welche Eigenschaft muss eine Funktion haben, um umkehrbar zu sein? - Bestimme die Intervalle, in denen die Funktion entweder nur steigt oder nur fällt. - Nutze die erste Ableitung, um Extremstellen zu finden, an denen die Monotonie wechselt. - Vergleiche die Lage der gesuchten Stelle mit der Position der Extremstelle.

1. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = e^x - 2\). 2. Bestimmung der Nullstelle der Ableitung: \(e^x - 2 = 0 \iff e^x = 2 \iff x = \ln(2)\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f'\): Für \(x < \ln(2)\) ist \(e^x < 2\), also \(f'(x) < 0\) (streng monoton fallend). Für \(x > \ln(2)\) ist \(e^x > 2\), also \(f'(x) > 0\) (streng monoton steigend). 4. Da die Funktion bei \(x = \ln(2)\) ihr Monotonieverhalten ändert, ist sie auf \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar. 5. Da \(\ln(2) \approx 0{,}693\) ist, gilt \(0 < \ln(2)\). Somit liegt die Stelle \(x = 0\) im Bereich, in dem die Funktion streng monoton fallend ist. Das größtmögliche Intervall ist demnach \(]-\infty;\ln(2)]\).

Die Funktion \(f\) ist auf \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar. Das größtmögliche Intervall, das \(x = 0\) enthält und in dem die Funktion umkehrbar ist, ist \(I = ]-\infty;\ln(2)]\).

- Wie hängen Monotonie und Umkehrbarkeit zusammen? - Welches Werkzeug der Differentialrechnung hilft dir, die Monotonie zu untersuchen? - Achte beim Auflösen der Gleichung nach \(x\) besonders auf das Vorzeichen der Wurzel. Welchen Bereich deckt \(x\) ab? - Erinnere dich daran, wie Definitions- und Wertemenge von Funktion und Umkehrfunktion zusammenhängen.

1. Zur Prüfung der Umkehrbarkeit wird die erste Ableitung gebildet: \(f'(x) = x + 2\). Für alle \(x < -2\) gilt \(f'(x) < 0\). Da die Funktion stetig und im betrachteten Intervall streng monoton fallend ist, ist sie umkehrbar. 2. Zur Bestimmung der Umkehrfunktion wird die Gleichung \(y = \frac{1}{2}(x+2)^2 - 4\) nach \(x\) aufgelöst: \(y + 4 = \frac{1}{2}(x+2)^2\) \(2(y + 4) = (x+2)^2\) Da \(x \le -2\) gilt, muss beim Wurzelziehen die negative Lösung gewählt werden: \(-\sqrt{2y + 8} = x + 2\) \(x = -\sqrt{2y + 8} - 2\) Durch Vertauschen der Variablen erhält man \(f^{-1}(x) = -\sqrt{2x + 8} - 2\). 3. Die Wertemenge von \(f\) ergibt sich aus dem Scheitelpunkt \(S(-2 \mid -4)\) und dem Monotonieverhalten zu \(W_f = [-4; \infty[\). Daraus folgt für die Umkehrfunktion: \(D_{f^{-1}} = [-4; \infty[\) und \(W_{f^{-1}} = ]-\infty; -2]\).

1. \(f'(x) = x+2 \le 0\) für \(x \in D_f \implies f\) ist streng monoton fallend und damit umkehrbar. 2. \(f^{-1}(x) = -\sqrt{2x + 8} - 2\) 3. \(D_{f^{-1}} = [-4; \infty[\); \(W_{f^{-1}} = ]-\infty; -2]\)

- Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über die Monotonie aus? - Kannst du die Gleichung schrittweise umformen, sodass \(x\) alleine auf einer Seite steht? - Überlege dir das Grenzverhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs, um die Wertemenge zu bestimmen. - Vergiss nicht, am Ende die Variablen \(x\) und \(y\) zu vertauschen.

1. Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{2}{(x+3)^2}\). Da der Nenner für alle \(x \in D_f\) positiv ist, gilt \(f'(x) > 0\). Die Funktion ist somit im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend und folglich umkehrbar. 2. Auflösen von \(y = 5 - \frac{2}{x+3}\) nach \(x\): \(y - 5 = -\frac{2}{x+3}\) \(5 - y = \frac{2}{x+3}\) \(x + 3 = \frac{2}{5-y}\) \(x = \frac{2}{5-y} - 3\) Durch Vertauschen der Variablen ergibt sich \(f^{-1}(x) = \frac{2}{5-x} - 3\). 3. Für \(x \to -3^+\) geht \(f(x) \to -\infty\), und für \(x \to \infty\) nähert sich \(f(x)\) dem Wert \(5\). Wegen der strengen Monotonie ist \(W_f = ]-\infty; 5[\). Damit gilt: \(D_{f^{-1}} = ]-\infty; 5[\) und \(W_{f^{-1}} = ]-3; \infty[\).

1. \(f'(x) = \frac{2}{(x+3)^2} > 0 \implies f\) ist streng monoton steigend und damit umkehrbar. 2. \(f^{-1}(x) = \frac{2}{5-x} - 3\) 3. \(D_{f^{-1}} = ]-\infty; 5[\); \(W_{f^{-1}} = ]-3; \infty[\)

- Erinnere dich an die Quotientenregel für das Ableiten von Brüchen. - Was kannst du über das Vorzeichen eines quadrierten Ausdrucks wie \((x-1)^2\) sagen? - Wenn eine Funktion in ihrem gesamten Bereich nur fällt oder nur steigt, was bedeutet das für die Zuordnung der \(x\)-Werte zu den \(y\)-Werten?

1. Anwendung der Quotientenregel zur Bestimmung der Ableitung: \(f'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+3) \cdot 1}{(x-1)^2}\). 2. Vereinfachung des Zählers: \(x - 1 - x - 3 = -4\). Somit ergibt sich \(f'(x) = -\frac{4}{(x-1)^2}\). 3. Vorzeichenanalyse: Der Nenner \((x-1)^2\) ist für alle \(x > 1\) stets positiv. Da der Zähler \(-4\) konstant negativ ist, gilt \(f'(x) < 0\) für alle \(x \in D\). 4. Schlussfolgerung: Da die erste Ableitung im gesamten Definitionsbereich negativ ist, ist die Funktion \(f\) dort streng monoton fallend und folglich umkehrbar.

Die Ableitung der Funktion ist \(f'(x) = -\frac{4}{(x-1)^2}\). Da der Nenner für \(x > 1\) stets positiv und der Zähler negativ ist, gilt \(f'(x) < 0\). Die Funktion ist somit im gegebenen Bereich streng monoton fallend und daher umkehrbar.

- Wann ist eine Funktion mathematisch gesehen umkehrbar? Überlege dir den Zusammenhang zur Monotonie. - Wie hilft dir die erste Ableitung dabei, Bereiche zu finden, in denen die Funktion entweder nur steigt oder nur fällt? - Untersuche die Vorzeichen der Ableitungsfunktion. - „Maximal“ bedeutet hier, dass das Monotonieintervall nicht erweitert werden kann; bei c) soll zusätzlich seine Breite verglichen werden.

1. Berechnung der ersten Ableitungen: a) \(f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x+3)(x-1)\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\). Da die Ableitung das Vorzeichen wechselt, ist \(f\) auf \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar. Mögliche maximale Intervalle sind \(]-\infty;-3]\), \([-3; 1]\) oder \([1;\infty[\). Die Intervalle \(]-\infty;-3]\) und \([1;\infty[\) haben unendliche Breite. b) \(g'(x) = 2e^{2x} - 4e^x = 2e^x(e^x - 2)\). Die Nullstelle der Ableitung liegt bei \(e^x = 2\), also \(x = \ln(2)\). Die Funktion ist auf \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar. Maximale Intervalle sind \(]-\infty;\ln(2)]\) oder \([\ln(2);\infty[\). Beide haben unendliche Breite. c) \(h'(x) = \cos(x) - 0{,}5\). Im Bereich \([0; 2\pi]\) sind die Nullstellen \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{3}\). Die Funktion ist im Definitionsbereich nicht umkehrbar. Die Monotonieintervalle sind \([0; \frac{\pi}{3}]\) (steigend), \([\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]\) (fallend) und \([\frac{5\pi}{3}; 2\pi]\) (steigend). Das Intervall mit der größten Breite ist \([\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]\) mit der Breite \(\frac{4\pi}{3}\).

a) Nicht umkehrbar auf \(\mathbb{R}\); maximale Intervalle sind \(]-\infty;-3]\), \([-3;1]\) und \([1;\infty[\). b) Nicht umkehrbar auf \(\mathbb{R}\); maximale Intervalle sind \(]-\infty;\ln(2)]\) und \([\ln(2);\infty[\). c) Nicht umkehrbar auf \([0;2\pi]\); maximale Intervalle sind \([0;\frac{\pi}{3}]\), \([\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}]\) und \([\frac{5\pi}{3};2\pi]\). Das Intervall mit der größten Breite ist \([\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}]\).

- Erinnere dich an die Quotientenregel für die Ableitung von Brüchen. - Was muss für die Ableitung gelten, damit eine Funktion streng monoton steigt? - Wie hängen strenge Monotonie und Umkehrbarkeit zusammen?

1. Ableitung mit der Quotientenregel bilden: \(f'(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2}\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(2 - 2x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1\), also \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). 3. Vorzeichen von \(f'(x)\) prüfen: Für \(|x| < 1\) ist \(f'(x) > 0\), für \(|x| > 1\) ist \(f'(x) < 0\). Da die Ableitung das Vorzeichen wechselt, ist \(f\) nicht global umkehrbar. 4. Das Intervall, in dem \(f'(x) \geq 0\) gilt, ist \([-1; 1]\). Hier ist die Funktion streng monoton steigend. 5. Eine Funktion ist in einem Intervall umkehrbar, wenn sie dort streng monoton ist. Da \(f\) in \([-1; 1]\) streng monoton steigt (da \(f'(x) > 0\) für \(x \in (-1; 1)\)), ist sie dort umkehrbar.

a) \(f'(x) = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\). Da \(f'(x)\) bei \(x = \pm 1\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat, ist \(f\) nicht auf ganz \(\mathbb{R}\) umkehrbar. b) \(I = [-1; 1]\) c) Da \(f\) auf \([-1; 1]\) streng monoton steigt, existiert dort eine Umkehrfunktion.

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit besteht. - Wie hilft dir die erste Ableitung dabei, Bereiche zu finden, in denen die Funktion nur steigt oder nur fällt? - Was passiert mit der Umkehrbarkeit an Stellen, an denen die Funktion einen Hoch- oder Tiefpunkt hat? - Wähle für den zweiten Teil der Aufgabe ein Intervall, in dem die Funktion sowohl fällt als auch steigt.

1. Berechnung der ersten Ableitung mit der Produktregel: \(f'(x) = 1 \cdot e^x + (x - 4) \cdot e^x = (x - 3) \cdot e^x\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung: \(f'(x) = 0\) für \(x = 3\). 3. Analyse des Monotonieverhaltens: Für \(x < 3\) ist \(f'(x) < 0\) (streng monoton fallend), für \(x > 3\) ist \(f'(x) > 0\) (streng monoton steigend). 4. Da eine stetige Funktion in jedem Intervall mit strenger Monotonie umkehrbar ist, ist das größtmögliche Intervall der Form \([a; \infty)\) gerade \([3; \infty)\). 5. Ein Intervall ist nicht umkehrbar, wenn es die Stelle \(x = 3\) als inneren Punkt enthält, da sich dort das Monotonieverhalten ändert (z. B. \([2; 4]\)).

Die Funktion ist im Intervall \([3; \infty)\) umkehrbar. Ein Intervall, in dem sie nicht umkehrbar ist, ist beispielsweise \([2; 4]\).

- Wann ist eine Funktion auf einem Intervall eindeutig umkehrbar? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und dem Steigungsverhalten der Funktion? - Untersuche, an welchen Stellen die Ableitung ihr Vorzeichen wechselt. - Was bedeutet es für die Monotonie, wenn die Ableitung an einer Stelle Null ist, aber davor und danach dasselbe Vorzeichen hat?

1. Die Umkehrbarkeit einer stetigen Funktion auf einem Intervall ist gegeben, wenn die Funktion dort streng monoton ist. Dies ist der Fall, wenn die Ableitungsfunktion \(f'\) in diesem Intervall (bis auf isolierte Punkte) entweder nur positive oder nur negative Werte annimmt. 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'\): \(x \cdot (x-3)^2 = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f'(x)\): - Für \(x < 0\) ist \(f'(x) < 0\) (negativer Faktor mal quadratischer Term), somit ist \(f\) streng monoton fallend. - Für \(0 < x < 3\) ist \(f'(x) > 0\) (positiver Faktor mal quadratischer Term), somit ist \(f\) streng monoton steigend. - Für \(x > 3\) ist \(f'(x) > 0\), somit ist \(f\) auch hier streng monoton steigend. 4. Da bei \(x = 3\) zwar eine Nullstelle von \(f'\) vorliegt, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet (Sattelpunkt von \(f\)), ist die Funktion im gesamten Bereich \([0; \infty)\) streng monoton steigend. 5. Ergebnis: Die Funktion \(f\) ist in den maximalen Intervallen \((-\infty; 0]\) und \([0; \infty)\) umkehrbar.

Die Funktion \(f\) ist in den Intervallen \((-\infty; 0]\) und \([0; \infty)\) umkehrbar. Begründung: Auf \((-\infty; 0]\) gilt \(f'(x) \leq 0\) und auf \([0; \infty)\) gilt \(f'(x) \geq 0\), wobei die Nullstellen isoliert sind. Somit ist \(f\) in diesen Intervallen jeweils streng monoton.

- Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit den Grenzen von Monotonieintervallen zusammen? - Was passiert mit dem Funktionsgraphen an einer Stelle, an der die Ableitung von positiven zu negativen Werten wechselt? - Überlege dir, ob man jedem Funktionswert im Intervall genau einen \(x\)-Wert zuordnen kann, wenn die Funktion zwischenzeitlich die Richtung ändert.

1. Teilaufgabe a): Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(g'(x) = x^2 - 1\) liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). Da der Graph von \(g'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, gilt: - \(g'(x) > 0\) für \(x \in [-2; -1)\) und \(x \in (1; 2]\). In diesen Intervallen ist \(g\) streng monoton steigend. - \(g'(x) < 0\) für \(x \in [-1; 1]\). In diesem Intervall ist \(g\) streng monoton fallend. 2. Teilaufgabe b): Damit eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall umkehrbar ist, muss sie dort streng monoton sein. Dies erfordert, dass die Ableitung im gesamten Intervall kein Vorzeichen wechselt. 3. Da \(g'\) im Intervall \([-2; 2]\) an den Stellen \(x = -1\) und \(x = 1\) Vorzeichenwechsel aufweist, ändert sich das Monotonieverhalten von \(g\) (von steigend zu fallend und wieder zu steigend). 4. Somit ist \(g\) auf \([-2; 2]\) nicht injektiv und folglich nicht umkehrbar.

a) Streng monoton steigend in \([-2; -1]\) und \([1; 2]\); streng monoton fallend in \([-1; 1]\). b) \(g\) ist auf \(D\) nicht umkehrbar, da \(g'\) in diesem Intervall Vorzeichenwechsel besitzt (bei \(x = -1\) und \(x = 1\)). Dadurch ist \(g\) auf \(D\) nicht streng monoton und somit nicht injektiv.

- Wie gehst du vor, wenn du eine Gleichung nach einer Variablen auflösen möchtest, die im Logarithmus steht? - Was passiert mit dem Definitions- und Wertebereich, wenn man eine Funktion umkehrt? - Erinnere dich an die Spiegelung von Punkten an der Geraden \(y = x\). Was passiert mit den Koordinaten \((x \mid y)\)? - Überlege dir, was passiert, wenn man eine Spiegelung zweimal hintereinander ausführt.

1. Bestimmung der Umkehrfunktion \(f^{-1}\): Ansatz \(y = \ln(x + 3)\). Auflösen nach \(x\): \(e^y = x + 3 \Rightarrow x = e^y - 3\). Durch Vertauschen der Variablen folgt \(f^{-1}(x) = e^x - 3\). Der Definitionsbereich von \(f^{-1}\) entspricht dem Wertebereich von \(f\), also \(D_{f^{-1}} = \mathbb{R}\). 2. Bildung von \((f^{-1})^{-1}\): Ansatz \(y = e^x - 3\). Auflösen nach \(x\): \(y + 3 = e^x \Rightarrow x = \ln(y + 3)\). Durch Vertauschen folgt \((f^{-1})^{-1}(x) = \ln(x + 3)\), was exakt \(f(x)\) entspricht. 3. Geometrische Beziehung: Der Graph \(G_{f^{-1}}\) entsteht durch Spiegelung von \(G_f\) an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (\(y = x\)). Da eine zweimalige Spiegelung an derselben Geraden die ursprüngliche Lage wiederherstellt (Identität), muss die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion die ursprüngliche Funktion sein.

a) \(f^{-1}(x) = e^x - 3\) mit \(D_{f^{-1}} = \mathbb{R}\). b) Die Rechnung zeigt \((f^{-1})^{-1}(x) = \ln(x + 3) = f(x)\). c) Die Graphen sind symmetrisch bezüglich der Geraden \(y = x\). Die zweifache Spiegelung an dieser Geraden ist die identische Abbildung.

- Wie kannst du mithilfe der ersten Ableitung zeigen, dass eine Funktion eindeutig umkehrbar ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge einer Funktion und der Wertemenge ihrer Umkehrfunktion. - Um den Funktionsterm der Umkehrfunktion zu finden, kannst du die Funktionsgleichung nach der unabhängigen Variablen auflösen. - Betrachte das Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs, um die Wertemenge zu bestimmen.

1. Nachweis der Umkehrbarkeit: Die Ableitung \(f'(x) = -\frac{2}{(x-3)^2}\) ist für alle \(x \in D_f\) negativ. Da \(f'(x) < 0\), ist die Funktion \(f\) im gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend und somit umkehrbar. 2. Bestimmung des Terms der Umkehrfunktion: Auflösen der Gleichung \(y = \frac{2}{x-3} + 1\) nach \(x\): \(y - 1 = \frac{2}{x-3} \Rightarrow x - 3 = \frac{2}{y - 1} \Rightarrow x = \frac{2}{y - 1} + 3\). Durch Vertauschen der Variablen ergibt sich \(f^{-1}(x) = \frac{2}{x-1} + 3\). 3. Definitions- und Wertemenge: Die Wertemenge von \(f\) ergibt sich aus den Grenzwerten \(\lim_{x\to 3^+} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x\to \infty} f(x) = 1\) zu \(W_f = ]1; \infty[\). Damit gilt \(D_{f^{-1}} = W_f = ]1; \infty[\) und \(W_{f^{-1}} = D_f = ]3; \infty[\).

Umkehrbarkeit: \(f'(x) = -\frac{2}{(x-3)^2} < 0\) für \(x > 3\), daher streng monoton fallend. Umkehrfunktion: \(f^{-1}(x) = \frac{2}{x-1} + 3\) Definitionsmenge: \(D_{f^{-1}} = ]1; \infty[\) Wertemenge: \(W_{f^{-1}} = ]3; \infty[\)

- Überlege dir, welche Bedingung die Monotonie einer Funktion an ihre Ableitung stellt. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Symmetrieeigenschaften und der Eindeutigkeit von Funktionswerten. - Was passiert mit den Funktionswerten einer Parabel oder einer Funktion vierten Grades, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Ein Gegenbeispiel muss alle Voraussetzungen der Aussage erfüllen, aber die Folgerung widerlegen.

1. Aussage a) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion \(f(x) = x^3 - x\). Diese ist punktsymmetrisch zum Ursprung, besitzt jedoch lokale Extremstellen (Nullstellen der Ableitung \(f'(x) = 3x^2 - 1\) bei \(x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}\)) und ist daher nicht streng monoton bzw. nicht injektiv. 2. Aussage b) ist wahr. Ganzrationale Funktionen geraden Grades verhalten sich für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) gleich (beide Grenzwerte sind \(+\infty\) oder beide \(-\infty\)). Nach dem Zwischenwertsatz müssen Werte im Bildbereich mehrfach angenommen werden, was die Injektivität und damit die Umkehrbarkeit auf \(\mathbb{R}\) ausschließt. 3. Aussage c) ist wahr. Wenn \(f'\) nur eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat, bedeutet dies, dass \(f'\) entweder überall \(\ge 0\) oder überall \(\le 0\) ist. Da die Nullstelle isoliert ist, ist die Funktion \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend oder fallend und somit umkehrbar.

a) Falsch (Gegenbeispiel: \(f(x) = x^3 - x\)) b) Wahr (wegen des Verhaltens im Unendlichen bei geradem Grad) c) Wahr (wegen strenger Monotonie bei isolierter Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel)

- Wie differenziert man eine verkettete Funktion? - Was ergibt die Ableitung der Funktion \(h(x) = x\)? - Überlege, welche Funktion die Ableitung von \(e^x\) ist. - Wie hängen die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus zusammen, wenn man sie nacheinander anwendet?

1. Anwendung der Kettenregel auf die Gleichung \(f(g(x)) = x\): Die Ableitung der linken Seite ergibt \(f'(g(x)) \cdot g'(x)\), die Ableitung der rechten Seite ist \(1\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1\). 3. Umstellen nach der gesuchten Ableitung: \(g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}\). 4. Anwendung auf \(g(x) = \ln(x)\): Hier ist \(f(x) = e^x\) und somit \(f'(x) = e^x\). 5. Einsetzen in die Formel: \(g'(x) = \frac{1}{e^{g(x)}} = \frac{1}{e^{\ln(x)}}\). 6. Vereinfachen des Ausdrucks: Da \(e^{\ln(x)} = x\), folgt \(g'(x) = \frac{1}{x}\).

a) \(g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}\) b) \(g'(x) = \frac{1}{x}\) Für die Ableitung der Umkehrfunktion ist zusätzlich \(f'(g(x))\neq0\) erforderlich; bei \(\ln(x)\) gilt \(x>0\).

- Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen aus? - Wie hängen Monotonie und Umkehrbarkeit zusammen? - Um den Term der Umkehrfunktion zu finden, kannst du \(x\) und \(y\) in der Funktionsgleichung vertauschen und nach der neuen Zielvariablen auflösen. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Definitions- und Wertemengen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion?

1. Berechnung der ersten Ableitung mittels Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{2 \cdot (x-4) - 2x \cdot 1}{(x-4)^2} = -\frac{8}{(x-4)^2}\). 2. Da \((x-4)^2 > 0\) für alle \(x \in D_f\), gilt \(f'(x) < 0\). Die Funktion ist somit im gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend und folglich umkehrbar. 3. Ermittlung der Wertemenge \(W_f\): Da \(f\) stetig und streng monoton fallend ist, ergibt sich aus \(\lim_{x \to 4^+} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\) die Wertemenge \(W_f = ]2; +\infty[\). 4. Auflösen der Gleichung \(x = \frac{2y}{y-4}\) nach \(y\): \(x(y-4) = 2y \iff xy - 4x = 2y \iff y(x-2) = 4x \iff y = \frac{4x}{x-2}\). 5. Festlegen der Mengen für die Umkehrfunktion: \(D_{f^{-1}} = W_f = ]2; +\infty[\) und \(W_{f^{-1}} = D_f = ]4; +\infty[\).

a) Nachweis über \(f'(x) = -\frac{8}{(x-4)^2} < 0\). b) \(f^{-1}(x) = \frac{4x}{x-2}\) mit \(D_{f^{-1}} = ]2; +\infty[\) und \(W_{f^{-1}} = ]4; +\infty[\).

- Welche Eigenschaft muss eine Funktion haben, damit sie umkehrbar ist? Überprüfe dies mit der Ableitung. - Wie verhält sich die e-Funktion für sehr kleine und sehr große x-Werte? - Nutze den natürlichen Logarithmus, um eine Gleichung nach einer Variablen im Exponenten aufzulösen. - Überlege dir, wie Definitions- und Wertemenge beim Bilden der Umkehrfunktion vertauscht werden.

1. Ableitung bestimmen: \(g'(x) = 0{,}5e^{0{,}5x}\). Da die Exponentialfunktion stets positive Werte liefert, ist \(g'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). 2. Aus der strengen Monotonie im gesamten Definitionsbereich folgt die Umkehrbarkeit der Funktion. 3. Bestimmung der Wertemenge \(W_g\): Da \(\lim_{x \to -\infty} (e^{0{,}5x} - 3) = -3\) und \(\lim_{x \to +\infty} (e^{0{,}5x} - 3) = +\infty\), ist \(W_g = ]-3; +\infty[\). 4. Auflösen von \(x = e^{0{,}5y} - 3\) nach \(y\): \(x+3 = e^{0{,}5y} \iff \ln(x+3) = 0{,}5y \iff y = 2\ln(x+3)\). 5. Es gilt \(D_{g^{-1}} = W_g = ]-3; +\infty[\) und \(W_{g^{-1}} = D_g = \mathbb{R}\).

a) Nachweis über \(g'(x) = 0{,}5e^{0{,}5x} > 0\). b) \(g^{-1}(x) = 2\ln(x+3)\) mit \(D_{g^{-1}} = ]-3; +\infty[\) und \(W_{g^{-1}} = \mathbb{R}\).

- Überlege dir, wie der Graph einer Funktion und der Graph ihrer Umkehrfunktion geometrisch zusammenhängen. - Welche besondere Gerade dient hierbei als Spiegelachse? - Wenn sich zwei Graphen, die an einer Achse gespiegelt wurden, nicht schneiden dürfen, was bedeutet das für ihre Lage bezüglich dieser Achse? - Denke an eine einfache Geradengleichung, die niemals die Gerade \(y = x\) schneidet.

1. Wahl einer linearen Funktion der Form \(f(x) = x + c\) mit \(c \neq 0\), zum Beispiel \(f(x) = x + 1\). 2. Nachweis der Umkehrbarkeit: Da die Steigung \(m = 1 \neq 0\) ist, ist die Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) umkehrbar. 3. Zusammenhang mit der Symmetrieachse: Die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion liegen achsensymmetrisch zur Geraden \(y = x\). Ein gemeinsamer Punkt von \(f\) und \(f^{-1}\) müsste daher (bei einer streng monoton wachsenden Funktion wie dieser) auf der Geraden \(y = x\) liegen. 4. Prüfung auf Schnittpunkte mit \(y = x\): Die Gleichung \(f(x) = x\) führt auf \(x + 1 = x\), was zu dem Widerspruch \(1 = 0\) führt. Somit existiert kein Schnittpunkt mit der Geraden \(y = x\) und folglich kein gemeinsamer Punkt der Graphen von \(f\) und \(f^{-1}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = x + 1\). Da der Graph von \(f\) parallel zur Geraden \(y = x\) verläuft (gleiche Steigung, anderer \(y\)-Achsenabschnitt), gibt es keinen Schnittpunkt mit dieser Symmetrieachse und somit keinen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen der Umkehrfunktion.

- Überlege, welche Werte unter einer Quadratwurzel stehen dürfen. - Untersuche den Verlauf der Funktionswerte für den kleinsten \(x\)-Wert und für sehr große \(x\)-Werte. - Wie hängen die Monotonie einer Funktion und ihre Umkehrbarkeit zusammen? - Um den Term der Umkehrfunktion zu finden, kannst du die Gleichung \(y = f(x)\) nach \(x\) auflösen und am Ende die Variablen vertauschen. - Denk an den Zusammenhang zwischen \(D_f\), \(W_f\), \(D_{f^{-1}}\) und \(W_{f^{-1}}\).

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Radikand muss nichtnegativ sein, also \(4x - 8 \ge 0 \implies x \ge 2\). Somit ist \(D_h = [2; \infty[\). 2. Bestimmung der Wertemenge: Der kleinste Funktionswert liegt bei \(x = 2\) mit \(h(2) = -2\). Da die Wurzelfunktion für \(x \to \infty\) unbeschränkt wächst, gilt \(W_h = [-2; \infty[\). 3. Nachweis der Umkehrbarkeit: Die erste Ableitung lautet \(h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4x - 8}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x - 8}}\). Da \(h'(x) > 0\) für alle \(x \in ]2; \infty[\) gilt und \(h\) auf \(D_h\) stetig ist, ist die Funktion dort streng monoton steigend und folglich umkehrbar. 4. Bestimmung der Umkehrfunktion: Auflösen der Gleichung \(y = \sqrt{4x - 8} - 2\) nach \(x\): \(y + 2 = \sqrt{4x - 8}\) \((y + 2)^2 = 4x - 8\) \(4x = (y + 2)^2 + 8\) \(x = \frac{1}{4}(y + 2)^2 + 2\) 5. Funktionsterm und Definitionsmenge: \(h^{-1}(x) = 0{,}25(x + 2)^2 + 2\). Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion entspricht der Wertemenge der Ausgangsfunktion, also \(D_{h^{-1}} = [-2; \infty[\).

a) \(D_h = [2; \infty[\); \(W_h = [-2; \infty[\) b) \(h'(x) = \frac{2}{\sqrt{4x - 8}} > 0\) für \(x > 2\), daher streng monoton steigend und umkehrbar. c) \(h^{-1}(x) = 0{,}25(x + 2)^2 + 2\) mit \(D_{h^{-1}} = [-2; \infty[\)

- Beachte das Minuszeichen vor der Wurzel beim Bestimmen der Wertemenge und der Ableitung. - Was bedeutet eine dauerhaft negative Steigung für den Verlauf des Graphen? - Achte beim Quadrieren darauf, dass der Term auf der anderen Seite der Gleichung (hier \(3-y\)) für den Definitionsbereich der Umkehrfunktion nicht negativ sein darf. - Welche Mengen der ursprünglichen Funktion werden zur Definitionsmenge und zur Wertemenge der Umkehrfunktion?

1. Definitionsmenge bestimmen: \(x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5\). Also \(D_k = [-5; \infty[\). 2. Wertemenge bestimmen: Für \(x = -5\) ist \(k(-5) = 3\). Da die abgezogene Wurzel für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) strebt, fallen die Funktionswerte unbeschränkt. Somit ist \(W_k = ]-\infty; 3]\). 3. Monotonie und Umkehrbarkeit: Die Ableitung ist \(k'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x + 5}}\). Da \(k'(x) < 0\) für alle \(x \in ]-5; \infty[\) gilt, ist \(k\) auf \(D_k\) streng monoton fallend. Eine streng monotone Funktion ist stets umkehrbar. 4. Umkehrfunktion ermitteln: Auflösen von \(y = 3 - \sqrt{x + 5}\) nach \(x\): \(\sqrt{x + 5} = 3 - y\) \(x + 5 = (3 - y)^2\) \(x = (3 - y)^2 - 5\) 5. Durch Vertauschen der Variablen erhält man \(k^{-1}(x) = (3 - x)^2 - 5\). Da \(D_{k^{-1}} = W_k\) und \(W_{k^{-1}} = D_k\) gilt, folgt \(D_{k^{-1}} = ]-\infty; 3]\) und \(W_{k^{-1}} = [-5; \infty[\).

a) \(D_k = [-5; \infty[\); \(W_k = ]-\infty; 3]\) b) \(k'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x + 5}} < 0\) für \(x > -5\), daher streng monoton fallend und umkehrbar. c) \(k^{-1}(x) = (x - 3)^2 - 5\) mit \(D_{k^{-1}} = ]-\infty; 3]\) und \(W_{k^{-1}} = [-5; \infty[\)

- Was bedeutet der Zeitpunkt der Pflanzung für den Wert der Zeitvariablen? - Wie zeigt man mathematisch, dass ein Graph immer nur in eine Richtung (nach oben oder unten) verläuft? - Wie geht man vor, wenn man eine Gleichung nach einer Variablen auflösen möchte, die unter einer Wurzel steht? - Überlege dir, was die Eingangs- und Ausgangsgrößen der ursprünglichen Funktion sind und wie sich diese bei einer Umkehrung verändern.

1. Berechnung der Anfangshöhe: \(f(0) = 5 \cdot \sqrt{0{,}2 \cdot 0 + 1} = 5 \cdot 1 = 5\). Der Baum ist bei der Pflanzung \(5\,\text{dm}\) hoch. 2. Berechnung des Zeitpunkts für \(25\,\text{dm}\): \(25 = 5 \cdot \sqrt{0{,}2t + 1} \implies 5 = \sqrt{0{,}2t + 1} \implies 25 = 0{,}2t + 1 \implies 24 = 0{,}2t \implies t = 120\). Nach 120 Monaten ist der Baum \(25\,\text{dm}\) hoch. 3. Nachweis der Umkehrbarkeit: \(f'(t) = 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{0{,}2t + 1}} \cdot 0{,}2 = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}2t + 1}}\). Da \(t \ge 0\), ist der Nenner stets positiv, also \(f'(t) > 0\). Die Funktion ist streng monoton steigend und damit umkehrbar. 4. Bestimmung der Umkehrfunktion: \(y = 5 \cdot \sqrt{0{,}2t + 1} \implies \frac{y}{5} = \sqrt{0{,}2t + 1} \implies \frac{y^2}{25} = 0{,}2t + 1 \implies 0{,}2t = \frac{y^2}{25} - 1 \implies t = 5 \cdot (\frac{y^2}{25} - 1) = \frac{1}{5}y^2 - 5\). Somit gilt \(f^{-1}(y) = 0{,}2y^2 - 5\). 5. Definitionsbereich von \(f^{-1}\): Da \(f(0) = 5\) und \(f(120) = 25\), ist der Wertebereich von \(f\) das Intervall \([5; 25]\). Dies ist der Definitionsbereich von \(f^{-1}\). 6. Interpretation: Die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) gibt an, nach welcher Zeit \(t\) in Monaten ein Baum dieser Art eine vorgegebene Höhe \(y\) in Dezimetern erreicht hat.

a) Die Anfangshöhe beträgt \(5\,\text{dm}\). Nach \(120\) Monaten erreicht der Baum eine Höhe von \(25\,\text{dm}\). b) Da \(f'(t) = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}2t+1}} > 0\) für alle \(t \in [0; 120]\), ist \(f\) streng monoton steigend und somit umkehrbar. Die Umkehrfunktion lautet \(f^{-1}(y) = 0{,}2y^2 - 5\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f^{-1}} = [5; 25]\). c) Die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ordnet jeder Baumhöhe \(y\) (in \(\text{dm}\)) die seit der Pflanzung vergangene Zeit \(t\) (in Monaten) zu, nach der der Baum diese Höhe erreicht.

- Kannst du die Gleichung so umstellen, dass die gesuchte Größe alleine auf einer Seite steht? - Denk an die Quotientenregel, um die Steigung der Funktion zu untersuchen. - Was passiert mit den Einheiten der Achsen, wenn man eine Funktion umkehrt? - Überlege dir, welche Menge an Dünger man für einen ganz bestimmten zusätzlichen Ertrag berechnen möchte.

1. Mehrertrag ohne Dünger: \(g(0) = \frac{12 \cdot 0}{0 + 4} = 0\). Ohne Dünger beträgt der zusätzliche Ertrag \(0\,\text{t/ha}\). 2. Berechnung der Düngermenge für einen Mehrertrag von \(10\,\text{t/ha}\): \(10 = \frac{12x}{x+4} \implies 10(x+4) = 12x \implies 10x + 40 = 12x \implies 40 = 2x \implies x = 20\). Es werden \(20\,\text{dt/ha}\) Dünger benötigt. 3. Nachweis der Umkehrbarkeit: \(g'(x) = \frac{12(x+4) - 12x \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{48}{(x+4)^2}\). Da der Zähler \(48\) und der Nenner für \(x \ge 0\) positiv sind, gilt \(g'(x) > 0\). Die Funktion ist streng monoton steigend und daher umkehrbar. 4. Bestimmung der Umkehrfunktion: \(y = \frac{12x}{x+4} \implies y(x+4) = 12x \implies yx + 4y = 12x \implies 4y = 12x - yx \implies 4y = x(12-y) \implies x = \frac{4y}{12-y}\). Durch Variablentausch erhält man \(g^{-1}(x) = \frac{4x}{12-x}\). 5. Definitionsbereich der Umkehrfunktion: Im betrachteten Intervall gilt \(g(0)=0\) und \(g(20)=10\). Wegen der strengen Monotonie ist \(W_g = [0; 10]\), also \(D_{g^{-1}} = [0; 10]\). 6. Bedeutung von \(g^{-1}(8)\): Der Wert gibt die Düngermenge in \(\text{dt/ha}\) an, die notwendig ist, um einen Mehrertrag von \(8\,\text{t/ha}\) zu erzielen.

a) Der Mehrertrag ohne Dünger ist \(0\,\text{t/ha}\). Für einen Mehrertrag von \(10\,\text{t/ha}\) sind \(20\,\text{dt/ha}\) Dünger erforderlich. b) Wegen \(g'(x) = \frac{48}{(x+4)^2} > 0\) ist \(g\) streng monoton steigend und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist \(g^{-1}(x) = \frac{4x}{12-x}\) mit \(D_{g^{-1}} = [0; 10]\). c) Der Wert \(g^{-1}(8)\) gibt die Düngermenge an, die für einen Mehrertrag von \(8\,\text{t/ha}\) benötigt wird.

- Überlege dir, welche Werte unter einer Quadratwurzel stehen dürfen und welche Werte eine Quadratwurzel liefern kann. - Wie hängen die Monotonie einer Funktion und ihre Umkehrbarkeit zusammen? - Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über den Verlauf des Graphen aus? - Denke daran, dass beim Finden der Umkehrfunktion die Rollen von \(x\) und \(y\) vertauscht werden. - Wie hängen die Definitions- und Wertemengen von Funktion und Umkehrfunktion zusammen?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Radikand muss nicht-negativ sein: \(12 - 4x \geq 0 \iff 12 \geq 4x \iff x \leq 3\). Somit ist \(D_f = ]-\infty; 3]\). 2. Bestimmung der Wertemenge: Da die Quadratwurzel alle Werte im Intervall \([0; \infty[\) annimmt, gilt für die Funktionswerte \(f(x) \geq 2 \cdot 0 - 1 = -1\). Somit ist \(W_f = [-1; \infty[\). 3. Nachweis der Umkehrbarkeit: Die Ableitung lautet \(f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{12 - 4x}} \cdot (-4) = -\frac{4}{\sqrt{12 - 4x}}\). Für alle \(x < 3\) ist \(f'(x) < 0\). Da \(f\) zudem stetig ist, folgt, dass \(f\) auf \(D_f\) streng monoton fallend und damit umkehrbar ist. 4. Ermittlung der Umkehrfunktion: Auflösen von \(y = 2\sqrt{12 - 4x} - 1\) nach \(x\): \(y + 1 = 2\sqrt{12 - 4x}\) \(\frac{y + 1}{2} = \sqrt{12 - 4x}\) \(\frac{(y + 1)^2}{4} = 12 - 4x\) \(4x = 12 - \frac{1}{4}(y + 1)^2\) \(x = 3 - \frac{1}{16}(y + 1)^2\) Daraus ergibt sich \(f^{-1}(x) = 3 - \frac{1}{16}(x + 1)^2\). 5. Mengen der Umkehrfunktion: Es gilt \(D_{f^{-1}} = W_f = [-1; \infty[\) und \(W_{f^{-1}} = D_f = ]-\infty; 3]\).

a) \(D_f = ]-\infty; 3]\); \(W_f = [-1; \infty[\) b) \(f'(x) = -\frac{4}{\sqrt{12 - 4x}} < 0\) für \(x < 3\); \(f\) ist streng monoton fallend und somit umkehrbar. c) \(f^{-1}(x) = 3 - \frac{1}{16}(x + 1)^2\); \(D_{f^{-1}} = [-1; \infty[\); \(W_{f^{-1}} = ]-\infty; 3]\)

- Untersuche das Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs, um die Wertemenge zu finden. - Eine Funktion ist umkehrbar, wenn sie in ihrem Definitionsbereich streng monoton steigend oder fallend ist. - Nutze die Quotientenregel oder die Kettenregel, um die Ableitung der gebrochen-rationalen Funktion zu bilden. - Um den Term der Umkehrfunktion zu finden, stelle die Gleichung \(y = g(x)\) nach \(x\) um.

1. Bestimmung der Wertemenge: Für \(x \to -2^+\) gilt \(g(x) \to \infty\). Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to -1\). Da die Funktion stetig und (wie in b gezeigt) streng monoton ist, ergibt sich \(W_g = ]-1; \infty[\). 2. Nachweis der Umkehrbarkeit: Die Ableitung ist \(g'(x) = 5 \cdot (-1) \cdot (x + 2)^{-2} = -\frac{5}{(x + 2)^2}\). Da der Nenner für alle \(x \in D_g\) positiv ist, gilt \(g'(x) < 0\) für alle \(x \in D_g\). Die Funktion ist somit streng monoton fallend und damit umkehrbar. 3. Ermittlung der Umkehrfunktion: Auflösen von \(y = \frac{5}{x + 2} - 1\) nach \(x\): \(y + 1 = \frac{5}{x + 2}\) \(x + 2 = \frac{5}{y + 1}\) \(x = \frac{5}{y + 1} - 2\) Daraus ergibt sich \(g^{-1}(x) = \frac{5}{x + 1} - 2\). 4. Mengen der Umkehrfunktion: \(D_{g^{-1}} = W_g = ]-1; \infty[\) und \(W_{g^{-1}} = D_g = ]-2; \infty[\).

a) \(W_g = ]-1; \infty[\) b) \(g'(x) = -\frac{5}{(x + 2)^2} < 0\) für alle \(x \in D_g\); \(g\) ist streng monoton fallend und somit umkehrbar. c) \(g^{-1}(x) = \frac{5}{x + 1} - 2\); \(D_{g^{-1}} = ]-1; \infty[\); \(W_{g^{-1}} = ]-2; \infty[\)

- Überlege dir, wie die Steigungen von \(f\) und ihrer Umkehrfunktion an einem Punkt auf der Spiegelachse \(y = x\) zusammenhängen. - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einem gegebenen Punkt? - Erinnere dich an die Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden mit den Steigungen \(m_1\) und \(m_2\). - Was weißt du über die Symmetrie der Graphen von \(f\) und \(f^{-1}\) bezüglich der Winkelhalbierenden?

1. Ableitung der Funktion \(f\): \(f'(x) = \frac{2}{3}x\). 2. Steigung der Tangente \(t_f\) an \(G_f\) im Punkt \(S(1 \mid 1)\): \(m_1 = f'(1) = \frac{2}{3}\). 3. Gleichung der Tangente \(t_f\): \(y = \frac{2}{3}(x - 1) + 1 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\). 4. Steigung der Tangente \(t_{f^{-1}}\) an \(G_{f^{-1}}\) im Punkt \(S(1 \mid 1)\) mithilfe der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion: \(m_2 = \frac{1}{f'(1)} = \frac{3}{2}\). 5. Gleichung der Tangente \(t_{f^{-1}}\): \(y = \frac{3}{2}(x - 1) + 1 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\). 6. Berechnung des Schnittwinkels \(\alpha\) über die Formel \(\tan(\alpha) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|\): \(\tan(\alpha) = \left| \frac{1{,}5 - \frac{2}{3}}{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} \right| = \frac{5/6}{2} = \frac{5}{12}\). 7. Ergebnis: \(\alpha = \arctan\left(\frac{5}{12}\right) \approx 22{,}62^\circ\).

Tangente an \(G_f\): \(y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\) Tangente an \(G_{f^{-1}}\): \(y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\) Schnittwinkel: \(\alpha \approx 22{,}62^\circ\)

- Nutze den Zusammenhang \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}\) für die Steigung der Umkehrfunktion. - Die Tangentensteigungen an einem Punkt \((a \mid a)\) für eine Funktion und ihre Umkehrfunktion sind immer Kehrwerte voneinander. - Achte beim Berechnen des Winkels darauf, ob dein Taschenrechner auf Gradmaß (DEG) eingestellt ist.

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = 3x^2 + 1\). 2. Steigung von \(G_f\) in \(S(1 \mid 1)\): \(m_1 = f'(1) = 3(1)^2 + 1 = 4\). 3. Tangentengleichung für \(G_f\): \(y = 4(x - 1) + 1 \Rightarrow y = 4x - 3\). 4. Steigung von \(G_{f^{-1}}\) in \(S(1 \mid 1)\) durch Invertierung der Steigung von \(f\): \(m_2 = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 5. Tangentengleichung für \(G_{f^{-1}}\): \(y = 0{,}25(x - 1) + 1 \Rightarrow y = 0{,}25x + 0{,}75\). 6. Berechnung des Schnittwinkels \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = \left| \frac{4 - 0{,}25}{1 + 4 \cdot 0{,}25} \right| = \frac{3{,}75}{2} = 1{,}875\). 7. Ergebnis: \(\alpha = \arctan(1{,}875) \approx 61{,}93^\circ\).

Tangente an \(G_f\): \(y = 4x - 3\) Tangente an \(G_{f^{-1}}\): \(y = 0{,}25x + 0{,}75\) Schnittwinkel: \(\alpha \approx 61{,}93^\circ\)

- Überlege dir zuerst, warum ein Punkt auf der ersten Winkelhalbierenden automatisch auch auf dem Graphen der Umkehrfunktion liegen muss, wenn er auf dem Graphen der Funktion liegt. - Wie hängen die Steigungen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion an entsprechenden Stellen zusammen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\). - Welche Formel erlaubt es dir, den Winkel zwischen zwei Geraden zu berechnen, wenn deren Steigungen bekannt sind?

1. Nachweis des Punktes auf \(G_f\): \(f(1) = 2\text{e}^{1-1} - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1\). Da \(S(1 \mid 1)\) auf der Winkelhalbierenden \(y=x\) liegt, ist er auch ein Punkt von \(G_{f^{-1}}\). 2. Ableitung von \(f\): \(f'(x) = 2\text{e}^{x-1}\). Steigung in \(S\): \(m_1 = f'(1) = 2\). 3. Tangente \(t_1\) an \(G_f\): \(y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1\). 4. Steigung der Umkehrfunktion in \(S\): \(m_2 = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 5. Tangente \(t_2\) an \(G_{f^{-1}}\): \(y = 0{,}5(x-1) + 1 = 0{,}5x + 0{,}5\). 6. Schnittwinkel \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| = \left| \frac{2 - 0{,}5}{1 + 2 \cdot 0{,}5} \right| = \frac{1{,}5}{2} = 0{,}75\). 7. Ergebnis: \(\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87^\circ\).

Tangente an \(G_f\): \(y = 2x - 1\) Tangente an \(G_{f^{-1}}\): \(y = 0{,}5x + 0{,}5\) Schnittwinkel: \(\alpha \approx 36{,}87^\circ\)

- Schnittpunkte zwischen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion lassen sich oft einfacher finden, indem man den Schnittpunkt mit einer ganz bestimmten Geraden sucht. - Nutze den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und der Ableitung ihrer Umkehrfunktion, um die zweite Steigung ohne langes Ableiten zu finden. - Was musst du beim Berechnen des Schnittwinkels beachten, damit du den spitzen Winkel erhältst?

1. Schnittpunkt bestimmen: Schnittpunkte von \(G_f\) und \(G_{f^{-1}}\) liegen für wachsende Funktionen auf \(y=x\). \(x^3 = x \Rightarrow x(x^2 - 1) = 0\). Für \(x > 0\) folgt \(x = 1\), also \(S(1 \mid 1)\). 2. Steigung von \(f\): \(f'(x) = 3x^2\), also \(m_1 = f'(1) = 3\). 3. Tangente \(t_f\): \(y = 3(x-1) + 1 = 3x - 2\). 4. Steigung von \(f^{-1}\): \(m_2 = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{3}\). 5. Tangente \(t_{f^{-1}}\): \(y = \frac{1}{3}(x-1) + 1 = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\). 6. Schnittwinkel \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = \left| \frac{3 - \frac{1}{3}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{3}} \right| = \frac{\frac{8}{3}}{2} = \frac{4}{3}\). 7. Ergebnis: \(\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}13^\circ\).

a) \(S(1 \mid 1)\) b) \(t_f: y = 3x - 2\); \(t_{f^{-1}}: y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\) c) \(\alpha \approx 53{,}13^\circ\)

- Überlege dir, an welcher Stelle der Graph einer Parabel seine Monotonie ändert. - Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie in ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. - Zum Finden der Umkehrfunktion löst du die Funktionsgleichung nach der unabhängigen Variable auf und vertauschst am Ende die Namen der Variablen. - Denke daran, dass sich Definitions- und Wertemenge beim Bilden der Umkehrfunktion gegenseitig ersetzen.

1. Bestimmung der Intervalle: Die Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei \(S(-3 \mid -1)\). Da eine quadratische Funktion jeweils links und rechts vom Scheitelpunkt streng monoton ist, sind die maximalen Intervalle \(D_1 = ]-\infty;-3]\) und \(D_2 = [-3;\infty[\). 2. Herleitung der Umkehrfunktion für \(D = [-3;\infty[\): \(y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 - 1\) \(y + 1 = \frac{1}{3}(x + 3)^2\) \(3(y + 1) = (x + 3)^2\) Da \(x \geq -3\), gilt beim Wurzelziehen das positive Vorzeichen: \(x + 3 = \sqrt{3y + 3}\) \(x = -3 + \sqrt{3y + 3}\) Durch Vertauschen der Variablen ergibt sich \(f^{-1}(x) = -3 + \sqrt{3x + 3}\). 3. Definitions- und Wertemenge: Da \(W_f = [-1;\infty[\) und \(D_f = [-3;\infty[\), folgt \(D_{f^{-1}} = [-1;\infty[\) und \(W_{f^{-1}} = [-3;\infty[\).

a) Die maximalen Intervalle sind \(D_1 = ]-\infty;-3]\) und \(D_2 = [-3;\infty[\). b) Umkehrfunktion: \(f^{-1}(x) = -3 + \sqrt{3x + 3}\) Definitionsmenge: \(D_{f^{-1}} = [-1;\infty[\) Wertemenge: \(W_{f^{-1}} = [-3;\infty[\)

- Welche Bedingungen müssen für die Steigung \(m\) und den Achsenabschnitt \(t\) gelten, damit eine Gerade beim Spiegeln an \(y = x\) auf sich selbst abgebildet wird? - Führe einen Koeffizientenvergleich zwischen \(g(x)\) und \(g^{-1}(x)\) durch. - Wann ist eine lineare Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse? Welche Steigung hat sie dann? - Überlege, ob eine Funktion mit dieser Steigung überhaupt eine Umkehrfunktion besitzen kann, die denselben Definitionsbereich hat.

1. Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion \(y = mx + t\) (mit \(m \neq 0\)) lautet \(x = \frac{y - t}{m} \implies g^{-1}(x) = \frac{1}{m}x - \frac{t}{m}\). Die Bedingung \(g(x) = g^{-1}(x)\) führt zum Koeffizientenvergleich: \(m = \frac{1}{m}\) und \(t = -\frac{t}{m}\). Aus \(m = \frac{1}{m}\) folgt \(m^2 = 1\), also \(m = 1\) oder \(m = -1\). Für \(m = 1\) müsste \(t = -t\) gelten, also \(t = 0\), was im Widerspruch zu \(t = 6\) steht. Für \(m = -1\) gilt \(t = -\frac{t}{-1} = t\), was für jedes \(t\) erfüllt ist. Somit muss \(m = -1\) sein. 2. Eine lineare Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn sie eine konstante Funktion der Form \(g(x) = t\) ist (Steigung \(m = 0\)). Eine solche Funktion ist jedoch nicht umkehrbar, da sie nicht bijektiv ist (bzw. die Bedingung für Selbstinversität \(m = \pm 1\) nicht erfüllt werden kann). Daher existiert keine solche Funktion.

1. \(m = -1\) 2. Es gibt keine solche Funktion, da Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse \(m = 0\) erfordert, eine Übereinstimmung mit der Umkehrfunktion jedoch \(m = 1\) oder \(m = -1\) voraussetzt.

- Was weißt du über das Argument (den Wert in der Klammer) der Arkuskosinus-Funktion? In welchem Bereich muss dieser liegen? - Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Denke daran, dass der Arkuskosinus genau dann Null wird, wenn sein Argument den Wert 1 annimmt. - Nutze die Eigenschaft, dass \(\cos(\arccos(z)) = z\) für zulässige Werte von \(z\) gilt.

1. Der Definitionsbereich des Arkuskosinus ist \([-1; 1]\). Für \( f(x) = \arccos(x + 1) \) muss also gelten: \(-1 \le x + 1 \le 1\). Subtraktion von 1 liefert \(-2 \le x \le 0\), also \( D_f = [-2; 0] \). 2. Der Schnittpunkt mit der \( y \)-Achse liegt bei \( x = 0 \). Da \( 0 \in D_f \), berechnet man \( f(0) = \arccos(0 + 1) = \arccos(1) \). Da \(\cos(0) = 1\), ist \( f(0) = 0 \). Der Schnittpunkt ist \( S_y(0 \mid 0) \). 3. Zur Bestimmung der Nullstelle setzt man \( f(x) = 0 \): \(\arccos(x + 1) = 0\). Anwendung des Kosinus ergibt \( x + 1 = \cos(0) = 1 \), woraus \( x = 0 \) folgt. Die Nullstelle liegt also bei \( x = 0 \). 4. Es soll gelten \(\arccos(x + 1) = \frac{\pi}{3}\). Anwendung des Kosinus liefert \( x + 1 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \). Mit \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0{,}5\) ergibt sich die Gleichung \( x + 1 = 0{,}5 \). Daraus folgt \( x = -0{,}5 \). Da \(-0{,}5 \in D_f\), ist dies die gesuchte Lösung.

1. \( D_f = [-2; 0] \) 2. \( S_y(0 \mid 0) \) 3. \( x = 0 \) 4. \( x = -0{,}5 \)

- Untersuche das Vorzeichen der ersten Ableitung im angegebenen Intervall. - Achte beim Auflösen der quadratischen Gleichung auf das Vorzeichen der Wurzel – welches Intervall ist für \(x\) vorgegeben? - Bestimme den höchsten oder niedrigsten Punkt der Funktion im Intervall, um die Wertemenge zu finden.

1. Umkehrbarkeit nachweisen: Die Ableitung \(f'(x) = -(x + 1)\) ist für \(x > -1\) stets negativ (\(f'(x) < 0\)). Damit ist \(f\) für \(D_f = [-1; +\infty[\) streng monoton fallend und folglich umkehrbar. 2. Term der Umkehrfunktion bestimmen: Auflösen von \(y = -0{,}5(x + 1)^2 + 4\) nach \(x\): \(y - 4 = -0{,}5(x + 1)^2 \Rightarrow -2(y - 4) = (x + 1)^2 \Rightarrow 8 - 2y = (x + 1)^2\). Wegen \(x \geq -1\) ist \(x + 1 \geq 0\), also gilt beim Wurzelziehen das positive Vorzeichen: \(x + 1 = \sqrt{8 - 2y} \Rightarrow x = \sqrt{8 - 2y} - 1\). Der Term lautet \(f^{-1}(x) = \sqrt{8 - 2x} - 1\). 3. Mengen angeben: Für den Randwert gilt \(f(-1) = 4\). Da die Funktion streng monoton fallend ist und für \(x \to +\infty\) gegen \(-\infty\) strebt, ist \(W_f = ]-\infty; 4]\). Es folgt \(D_{f^{-1}} = ]-\infty; 4]\) und \(W_{f^{-1}} = [-1; +\infty[\).

\(f\) ist umkehrbar, da \(f'(x) = -x - 1 < 0\) für \(x > -1\) (streng monoton fallend). Umkehrfunktion: \(f^{-1}(x) = \sqrt{8 - 2x} - 1\) Definitionsmenge: \(D_{f^{-1}} = ]-\infty; 4]\) Wertemenge: \(W_{f^{-1}} = [-1; +\infty[\)

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Wertemenge einer Funktion und dem Definitionsbereich ihrer Umkehrfunktion? - Überlege dir, wie sich die Rollen von Eingangs- und Ausgangswerten beim Bilden der Umkehrfunktion verändern. - Welche Rechenoperation macht das Wurzelziehen rückgängig? - Denke daran, dass bei der Umkehrung die \(y\)-Werte der Originalfunktion zu den \(x\)-Werten der Umkehrfunktion werden.

1. Bestimmung der Wertemenge: Da die Wurzelfunktion \(f\) im Bereich \([-4; 5]\) streng monoton steigt, berechnet man die Randwerte \(f(-4) = \sqrt{-4+4} = 0\) und \(f(5) = \sqrt{5+4} = 3\). Somit ist \(W_f = [0; 3]\). 2. Wertetabelle für \(f\): Durch Einsetzen der \(x\)-Werte ergeben sich die Funktionswerte \(f(-4) = 0\), \(f(-3) = 1\), \(f(0) = 2\) und \(f(5) = 3\). 3. Wertetabelle für \(f^{-1}\): Durch Vertauschen der Rollen von \(x\) und \(y\) aus der Tabelle von \(f\) erhält man für \(f^{-1}\) die Wertepaare \((0 \mid -4)\), \((1 \mid -3)\), \((2 \mid 0)\) und \((3 \mid 5)\). 4. Umkehrterm und Definitionsbereich: Die Gleichung \(y = \sqrt{x+4}\) wird durch Quadrieren und Subtraktion von 4 zu \(x = y^2 - 4\) aufgelöst. Der Term lautet \(f^{-1}(x) = x^2 - 4\). Der Definitionsbereich \(D_{f^{-1}}\) entspricht der Wertemenge \(W_f\), also \(D_{f^{-1}} = [0; 3]\).

a) \(W_f = [0; 3]\) b) Wertetabelle für \(f\): <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(-4\)</td><td>\(-3\)</td><td>\(0\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td></tr> </table> c) Wertetabelle für \(f^{-1}\): <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td></tr> <tr><td>\(f^{-1}(x)\)</td><td>\(-4\)</td><td>\(-3\)</td><td>\(0\)</td><td>\(5\)</td></tr> </table> Funktionsterm: \(f^{-1}(x) = x^2 - 4\) mit \(D_{f^{-1}} = [0; 3]\).

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit besteht. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Monotonie. - Was bedeutet „umkehrbar“ anschaulich für den Verlauf des Graphen? Denke an den waagerechten Linientest. - Betrachte spezielle Funktionen wie Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten als Testfälle.

1. Aussage a) ist wahr. Gilt \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in I\), so ist die Funktion \(f\) im Intervall \(I\) streng monoton steigend. Jede streng monotone Funktion ist injektiv und somit in ihrem Bildbereich umkehrbar. 2. Aussage b) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion \(f(x) = x^3\). Sie ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend und damit umkehrbar, obwohl ihre Ableitung \(f'(x) = 3x^2\) an der Stelle \(x = 0\) den Wert Null besitzt (Sattelpunkt). 3. Aussage c) ist wahr. Ein lokaler Extrempunkt im Inneren des Intervalls bedeutet, dass die Funktion in einer Umgebung dieses Punktes ihr Monotonieverhalten ändert (z. B. von steigend zu fallend). Damit existieren verschiedene \(x\)-Werte, die denselben Funktionswert besitzen, was der Injektivität widerspricht. 4. Aussage d) ist wahr. Sei \(y_1 < y_2\) aus dem Wertebereich von \(f\). Da \(f\) streng monoton fallend ist, gilt für \(x_1 = f^{-1}(y_1)\) und \(x_2 = f^{-1}(y_2)\) die Beziehung \(x_1 > x_2\), da ein kleinerer Funktionswert bei einer fallenden Funktion zu einem größeren Argument gehört. Somit folgt aus \(y_1 < y_2\), dass \(f^{-1}(y_1) > f^{-1}(y_2)\).

a) Wahr (da streng monoton steigend). b) Falsch (Gegenbeispiel \(f(x) = x^3\)). c) Wahr (Verletzung der Injektivität durch Vorzeichenwechsel der Steigung). d) Wahr (Monotonie überträgt sich auf die Umkehrfunktion).

- Wie hängen die Koordinaten von Punkten zusammen, die durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y = x\) auseinander hervorgehen? - Nutze für den Symmetrienachweis die Definition der Umkehrfunktion \(f(f^{-1}(x)) = x\) und die Eigenschaft ungerader Funktionen. - Erinnere dich an die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion und achte genau darauf, welcher \(x\)-Wert zu welchem \(y\)-Wert gehört.

1. Punktzuordnung: Liegt \(P(a \mid b)\) auf \(G_f\), so liegt \(P^*(b \mid a)\) auf \(G_{f^{-1}}\). Für \(P(3 \mid 8)\) ergibt sich somit \(P^*(8 \mid 3)\). 2. Symmetrienachweis: Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet \(f(-x) = -f(x)\). Sei \(f^{-1}(x) = y\), daraus folgt \(f(y) = x\). Wegen der Symmetrie von \(f\) gilt \(f(-y) = -f(y) = -x\). Wendet man die Umkehrfunktion auf \(f(-y) = -x\) an, erhält man \(-y = f^{-1}(-x)\). Ersetzt man \(y\) wieder durch \(f^{-1}(x)\), folgt \(-f^{-1}(x) = f^{-1}(-x)\). Dies entspricht der Definition der Punktsymmetrie zum Ursprung für \(f^{-1}\). 3. Ableitung der Umkehrfunktion: Nach der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt \((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\) mit \(y_0 = f(x_0)\). Hier ist \(x_0 = 1\) und \(y_0 = f(1) = 4\). Gegeben ist \(f'(1) = 5\). Einsetzen liefert \((f^{-1})'(4) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5} = 0{,}2\).

a) \(P^*(8 \mid 3)\) b) Nachweis über \(f^{-1}(-x) = -f^{-1}(x)\) unter Nutzung von \(f(-y) = -f(y)\). c) \((f^{-1})'(4) = 0{,}2\)

- Wie lässt sich mithilfe der Ableitungsfunktion die Monotonie einer Funktion untersuchen? - Welche Eigenschaft muss eine Funktion besitzen, damit sie über ihrem gesamten Definitionsbereich umkehrbar ist? - Um den Term der Umkehrfunktion zu finden, kannst du die Gleichung \(y = f(x)\) schrittweise nach \(x\) auflösen. - Erinnere dich an die Umkehroperation der Exponentialfunktion.

1. Nachweis der Umkehrbarkeit über die Ableitung: Die erste Ableitung der Funktion \(f\) lautet \(f'(x) = 4 \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x - 2} = 2e^{0{,}5x - 2}\). Da die Exponentialfunktion für alle reellen Exponenten stets positive Werte liefert, gilt \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Somit ist \(f\) im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend und folglich umkehrbar. 2. Ermittlung des Terms der Umkehrfunktion durch Auflösen von \(y = 4e^{0{,}5x - 2}\) nach \(x\): \(\frac{y}{4} = e^{0{,}5x - 2}\) \(\ln\left(\frac{y}{4}\right) = 0{,}5x - 2\) \(0{,}5x = \ln\left(\frac{y}{4}\right) + 2\) \(x = 2\ln\left(\frac{y}{4}\right) + 4\) 3. Durch Vertauschen der Variablen \(x\) und \(y\) ergibt sich der Term der Umkehrfunktion: \(f^{-1}(x) = 2\ln\left(\frac{x}{4}\right) + 4\).

Die Funktion \(f\) ist umkehrbar, da \(f'(x) = 2e^{0{,}5x - 2} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt (strenge Monotonie). Der Term der Umkehrfunktion lautet \(f^{-1}(x) = 2\ln\left(\frac{x}{4}\right) + 4\).

- Bestimme zunächst, für welche \(x\)-Werte der Term unter dem Logarithmus größer als Null ist. - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über die Umkehrbarkeit aus? - Wie kannst du eine Gleichung, in der ein Logarithmus vorkommt, nach der Variablen im Argument auflösen? - Denke daran, am Ende der Rechnung die Variablen \(x\) und \(y\) zu vertauschen.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Die Logarithmusfunktion ist für positive Argumente definiert, also \(3x + 6 > 0 \Rightarrow x > -2\). Somit ist \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x > -2\}\). 2. Nachweis der Umkehrbarkeit: Die Ableitung ist \(g'(x) = \frac{1}{3x+6} \cdot 3 = \frac{3}{3x+6} = \frac{1}{x+2}\). Für alle \(x \in D_g\) ist \(x+2 > 0\), woraus \(g'(x) > 0\) folgt. Die Funktion ist somit in \(D_g\) streng monoton steigend und daher umkehrbar. 3. Auflösen der Gleichung \(y = \ln(3x + 6) - 2\) nach \(x\): \(y + 2 = \ln(3x + 6)\) \(e^{y+2} = 3x + 6\) \(3x = e^{y+2} - 6\) \(x = \frac{1}{3} e^{y+2} - 2\) 4. Vertauschen der Variablen liefert den Term der Umkehrfunktion: \(g^{-1}(x) = \frac{1}{3} e^{x+2} - 2\).

Die Funktion \(g\) ist in \(D_g = ]-2; \infty[\) umkehrbar, da \(g'(x) = \frac{1}{x+2} > 0\) für alle \(x \in D_g\) gilt. Der Term der Umkehrfunktion lautet \(g^{-1}(x) = \frac{1}{3} e^{x+2} - 2\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit. - Wie kannst du das Vorzeichen der Ableitung nutzen, um die Monotonie zu begründen? - Um den Term der Umkehrfunktion zu finden, kannst du die Funktionsgleichung nach der unabhängigen Variable auflösen. - Achte beim Auflösen von Quadraten darauf, welche Lösung aufgrund des Definitionsbereichs sinnvoll ist.

1. Berechnung der ersten Ableitung mittels Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}\). 2. Analyse des Vorzeichens: Für alle \(x > 0\) ist \(2x > 0\) und \(x^2+1 > 0\), woraus \(f'(x) > 0\) folgt. Da die Funktion zudem an der Stelle \(x = 0\) stetig ist, ist \(f\) auf \(D_f\) streng monoton steigend und somit umkehrbar. 3. Auflösen der Gleichung \(y = \ln(x^2 + 1)\) nach \(x\): \(e^y = x^2 + 1\) \(x^2 = e^y - 1\) \(x = \sqrt{e^y - 1}\) (da \(x \ge 0\)) 4. Bildung des Terms der Umkehrfunktion durch Variablentausch: \(f^{-1}(x) = \sqrt{e^x - 1}\).

Die Funktion ist umkehrbar, da \(f'(x) > 0\) für \(x \in \mathbb{R}^+\) gilt, was eine strenge Monotonie impliziert. Der Term der Umkehrfunktion lautet \(f^{-1}(x) = \sqrt{e^x - 1}\).

- Welche Eigenschaft muss eine Funktion besitzen, damit man sie eindeutig umkehren kann? - Nutze die Kettenregel, um die Ableitung der Exponentialfunktion zu bestimmen. - Überlege dir, welche Rechenoperation die Umkehroperation zur Exponentialfunktion zur Basis \(e\) darstellt. - Denke daran, am Ende die Variablenbezeichnungen \(x\) und \(y\) anzupassen.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion mit der Kettenregel: \(g'(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x^2} \cdot 2x = x \cdot e^{x^2}\). 2. Untersuchung auf Monotonie: Da \(e^{x^2}\) stets positiv ist, gilt für alle \(x > 0\), dass \(g'(x) > 0\). Somit ist \(g\) in \(D_g\) streng monoton zunehmend und folglich injektiv (umkehrbar). 3. Umstellen der Gleichung \(y = \frac{1}{2} e^{x^2}\) nach \(x\): \(2y = e^{x^2}\) \(\ln(2y) = x^2\) \(x = \sqrt{\ln(2y)}\) (die negative Wurzel entfällt wegen \(x \in D_g\)) 4. Angabe der Umkehrfunktion: \(g^{-1}(x) = \sqrt{\ln(2x)}\).

Da \(g'(x) = x \cdot e^{x^2} > 0\) für alle \(x > 0\) gilt, ist \(g\) streng monoton steigend und somit umkehrbar. Die Umkehrfunktion hat die Gleichung \(g^{-1}(x) = \sqrt{\ln(2x)}\).

- Überlege dir, welche Werte eine einfache Exponentialfunktion annehmen kann und wie sich die Addition einer Konstanten darauf auswirkt. - Um eine Funktionsgleichung umzukehren, kannst du die Gleichung nach der unabhängigen Variable auflösen und am Ende die Variablennamen tauschen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge einer Funktion und der Wertemenge ihrer Umkehrfunktion. - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes und seines an der Geraden \(y=x\) gespiegelten Punktes zusammen?

1. Da die natürliche Exponentialfunktion \(e^{x-2}\) stets positive Werte annimmt und für \(x \to -\infty\) gegen \(0\) strebt, ist die Wertemenge von \(f\) durch \(W_f = ]1; \infty[\) gegeben. 2. Zur Bestimmung der Umkehrfunktion wird die Gleichung \(y = e^{x-2} + 1\) nach \(x\) aufgelöst: \(y - 1 = e^{x-2} \Rightarrow \ln(y-1) = x - 2 \Rightarrow x = \ln(y-1) + 2\). Durch Vertauschen der Variablen ergibt sich \(f^{-1}(x) = \ln(x-1) + 2\). 3. Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion entspricht der Wertemenge der Ausgangsfunktion: \(D_{f^{-1}} = W_f = ]1; \infty[\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch \(f(0) = e^{0-2} + 1 = e^{-2} + 1\) berechnet. Dies ergibt den Punkt \(S_y(0 \mid e^{-2} + 1)\). 5. Durch Spiegelung an der Geraden \(y = x\) werden die Koordinaten vertauscht, woraus der Punkt \(P(e^{-2} + 1 \mid 0)\) auf dem Graphen von \(f^{-1}\) resultiert.

a) \(W_f = ]1; \infty[\) b) \(f^{-1}(x) = \ln(x-1) + 2\) mit \(D_{f^{-1}} = ]1; \infty[\) c) Schnittpunkt \(S_y(0 \mid e^{-2} + 1)\); gespiegelter Punkt \(P(e^{-2} + 1 \mid 0)\)

- Überlege dir, welche geometrische Eigenschaft ein Funktionsgraph haben muss, damit jedem y-Wert eindeutig ein x-Wert zugeordnet werden kann (Stichwort: waagerechte Linien). - Wo ändert der Graph sein Monotonieverhalten? Dieser Punkt teilt den Definitionsbereich in Bereiche auf, in denen die Funktion entweder nur steigt oder nur fällt. - Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, kannst du die Funktionsgleichung nach der Variablen \(x\) auflösen und anschließend die Variablen \(x\) und \(y\) vertauschen. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Wertemenge einer Funktion und dem Definitionsbereich ihrer Umkehrfunktion?

1. Begründung der fehlenden Umkehrbarkeit (a): Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie auf ihrem gesamten Definitionsbereich injektiv (bzw. streng monoton) ist. Das bedeutet, dass jedem Funktionswert \(y\) genau ein Argument \(x\) zugeordnet sein darf. Im Graphen sieht man jedoch, dass beispielsweise der Funktionswert \(y = 1\) für zwei verschiedene Stellen angenommen wird: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). Somit ist die Funktion \(f\) auf \(D_f\) nicht umkehrbar. 2. Größtmögliche Intervalle (b): Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(S(2 \mid -1)\). Links von \(x = 2\) ist die Funktion streng monoton fallend, rechts davon streng monoton steigend. Die beiden größtmöglichen Intervalle für die Umkehrbarkeit sind daher: - Linkes Intervall: \([0; 2]\) - Rechtes Intervall: \([2; 5]\) 3. Funktionsgleichung und Definitionsbereich der Umkehrfunktion (c): Für das rechte Intervall \([2; 5]\) lösen wir die Gleichung \(y = 0{,}5 \cdot (x-2)^2 - 1\) nach \(x\) auf: \(y + 1 = 0{,}5 \cdot (x-2)^2\) \(2 \cdot (y+1) = (x-2)^2\) Da in diesem Intervall \(x \ge 2\) gilt, ist der Term \(x-2\) nichtnegativ, weshalb beim Radizieren die positive Wurzel gewählt wird: \(x - 2 = \sqrt{2 \cdot (y+1)}\) \(x = 2 + \sqrt{2 \cdot (y+1)}\) Durch Vertauschen der Variablen \(x\) und \(y\) erhalten wir die Umkehrfunktion: \(f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{2(x+1)}\) Der Definitionsbereich \(D_{f^{-1}}\) entspricht der Wertemenge der eingeschränkten Funktion auf dem Intervall \([2; 5]\). Da \(f(2) = -1\) und \(f(5) = 3{,}5\) ist, gilt: \(D_{f^{-1}} = [-1; 3{,}5]\)

a) Die Funktion ist nicht umkehrbar, da sie nicht injektiv ist (z. B. wird der Funktionswert \(1\) an zwei verschiedenen Stellen angenommen: \(x = 0\) und \(x = 4\)). b) Die beiden Intervalle lauten \([0; 2]\) und \([2; 5]\). c) Die Umkehrfunktion für das rechte Intervall lautet \(f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{2(x+1)}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f^{-1}} = [-1; 3{,}5]\).

- Welche besondere Bedeutung hat der Anfangspunkt einer Wurzelfunktion für die Parameter im Funktionsterm? - Setze die abgelesenen Punkte in die allgemeine Form ein, um die Parameter zu berechnen oder zu überprüfen. - Wie hängen Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion mit denen ihrer Umkehrfunktion zusammen? - Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, löse die Gleichung \(y = f(x)\) nach \(x\) auf und vertausche anschließend die Variablen.

1. Ablesen der Punkte aus dem Graphen: - Anfangspunkt: \(P_1(-3 \mid -1)\) - Weitere ganzzahlige Punkte: \(P_2(-2 \mid 0)\) und \(P_3(1 \mid 1)\) (oder \(P_4(6 \mid 2)\)) 2. Bestimmung der Funktionsgleichung: - Da der Graph am Punkt \((-3 \mid -1)\) beginnt, gilt für den Term unter der Wurzel: \(-3 + a = 0 \implies a = 3\). - Der Funktionswert an der Stelle \(x = -3\) ist \(f(-3) = b = -1\). - Die Gleichung lautet: \(f(x) = \sqrt{x + 3} - 1\). 3. Bestimmung der Umkehrfunktion: - Auflösen der Gleichung \(y = \sqrt{x + 3} - 1\) nach \(x\) für \(y \ge -1\): \(y + 1 = \sqrt{x + 3}\) \((y + 1)^2 = x + 3\) \(x = (y + 1)^2 - 3\) - Vertauschen der Variablen liefert: \(f^{-1}(x) = (x + 1)^2 - 3\) - Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht der Wertemenge von \(f\): \(D_{f^{-1}} = [-1; \infty[\) bzw. \(x \ge -1\)

a) Anfangspunkt: \((-3 \mid -1)\). Weitere Punkte sind z. B. \((-2 \mid 0)\), \((1 \mid 1)\) und \((6 \mid 2)\). b) \(f(x) = \sqrt{x + 3} - 1\) c) \(f^{-1}(x) = (x + 1)^2 - 3\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f^{-1}} = [-1; \infty[\) (bzw. \(x \ge -1\)).

- Erinnere dich daran, was es für eine Funktion bedeutet, umkehrbar zu sein: Jedem Funktionswert \(y\) darf nur genau ein \(x\)-Wert zugeordnet sein. - Wie kannst du das grafisch überprüfen? Denke an Linien, die parallel zur x-Achse (waagerecht) verlaufen. - Wenn eine waagerechte Linie den Graphen an mehr als einer Stelle schneidet, was bedeutet das für die Umkehrbarkeit? - Für Aufgabenteil b): Suche nach den Bereichen, in denen der Graph entweder nur steigt oder nur fällt (Monotoniebereiche). Wo liegen die Grenzen dieses Bereichs um die Stelle \(x = 0\)?

1. Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn jede waagerechte Gerade den Graphen der Funktion höchstens einmal schneidet (Injektivität). 2. Für die Funktion \(f\) schneidet beispielsweise die waagerechte Gerade bei \(y = 0\) den Graphen an drei verschiedenen Stellen (bei \(x = 0\) sowie bei \(x \approx -1{,}73\) und \(x \approx 1{,}73\)). Folglich ist \(f\) auf \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar. 3. Für die Funktion \(g\) ist der Graph streng monoton steigend. Jede waagerechte Gerade schneidet den Graphen höchstens einmal. Somit ist \(g\) auf \(\mathbb{R}\) umkehrbar. 4. Um den Definitionsbereich von \(f\) so einzuschränken, dass die Funktion umkehrbar wird, muss ein Bereich gewählt werden, in dem die Funktion streng monoton verläuft. Die lokalen Extremstellen von \(f\) liegen bei \(x = -1\) (lokales Maximum) und \(x = 1\) (lokales Minimum). 5. Das größte zusammenhängende Intervall, das die Stelle \(x = 0\) enthält und in dem die Funktion streng monoton (hier fallend) ist, ist das Intervall \([-1; 1]\).

a) Die Funktion \(g\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) umkehrbar, da jede waagerechte Gerade den Graphen höchstens einmal schneidet. Die Funktion \(f\) ist nicht umkehrbar, da beispielsweise die Gerade \(y = 0\) den Graphen dreimal schneidet. b) Das größte zusammenhängende Intervall ist \([-1; 1]\).

- Erinnere dich daran, wie sich die Koordinaten eines Punktes verändern, wenn man ihn an der Geraden \(y = x\) spiegelt. - Schau dir den Anfangspunkt der blauen Kurve an. Wo müsste der entsprechende Anfangspunkt der Umkehrfunktion liegen? - Um die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion zu bestimmen, löse die Gleichung \(y = f(x)\) nach \(x\) auf und vertausche am Ende die Variablen. - Achte beim Radizieren (Wurzelziehen) darauf, dass wegen der Bedingung \(x \ge 1\) der Term \(x-1\) nicht negativ sein kann. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Wertebereich der ursprünglichen Funktion \(f\) und dem Definitionsbereich der Umkehrfunktion \(f^{-1}\)?

1. Spiegelung an der Geraden \(y = x\) vertauscht die Koordinaten aller Punkte: Der Startpunkt von \(f\), \(P(1 \mid -2)\), wird gespiegelt zu \(P'(-2 \mid 1)\). Weitere Punkte auf \(f\) wie \((2 \mid -1)\) und \((3 \mid 2)\) werden zu \((-1 \mid 2)\) und \((2 \mid 3)\). Dies entspricht exakt dem Verlauf der grünen Kurve \(g_1\). Somit ist \(g_1\) der Graph der Umkehrfunktion. 2. Auflösen von \(y = (x-1)^2 - 2\) nach \(x\): \(y + 2 = (x-1)^2\) Da \(x \ge 1\), gilt \(x - 1 \ge 0\). Ziehen der Quadratwurzel ergibt: \(\sqrt{y+2} = x - 1 \implies x = 1 + \sqrt{y+2}\) 3. Vertauschen der Variablen liefert die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion: \(f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x+2}\) 4. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht dem Wertebereich der Ausgangsfunktion: Da \(W_f = [-2; \infty[\), ist \(D_{f^{-1}} = [-2; \infty[\) (bzw. \(x \ge -2\)).

a) Die grüne Kurve \(g_1\) ist der Graph der Umkehrfunktion \(f^{-1}\), da sie durch die an \(y = x\) gespiegelten Punkte wie \((-2 \mid 1)\) (gespiegelt von \((1 \mid -2)\)) und \((-1 \mid 2)\) (gespiegelt von \((2 \mid -1)\)) verläuft. b) Die Funktionsgleichung lautet \(f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x+2}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f^{-1}} = [-2; \infty[\) (oder \(x \ge -2\)).

- Überlege dir, was es grafisch bedeutet, wenn eine Funktion umkehrbar ist. Prüfe gedanklich, wie oft eine waagerechte Gerade den Graphen schneidet. - Auf welchen Abschnitten steigt oder fällt der Graph durchgehend? - Wie bestimmt man die Gleichung einer linearen Funktion durch zwei Punkte? - Wie geht man vor, wenn man eine Gleichung der Form \(y = mx + b\) nach \(x\) auflösen möchte? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Wertemenge einer Funktion auf einem Intervall und dem Definitionsbereich ihrer Umkehrfunktion?

1. **Begründung der Nicht-Umkehrbarkeit auf dem gesamten Definitionsbereich:** Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie injektiv ist. Grafisch bedeutet dies, dass jede waagerechte Gerade den Graphen höchstens einmal schneiden darf. Im gegebenen Graphen gibt es jedoch waagerechte Geraden, die den Graphen mehrfach schneiden, zum Beispiel \(y = 2\). Daher ist die Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich nicht umkehrbar. 2. **Bestimmung der Intervalle:** Aus dem Graphen ergeben sich drei streng monotone Abschnitte: - \(I_1 = [-3; 1]\) - \(I_2 = [1; 3]\) - \(I_3 = [3; 5]\) 3. **Bestimmung der Umkehrfunktionen und ihrer Definitionsbereiche:** - **Auf \(I_1 = [-3; 1]\):** Die lineare Funktion lautet \(f_1(x) = x + 2\). Auflösen nach \(x\): \(y = x + 2 \implies x = y - 2\). Vertauschen der Variablen liefert die Umkehrfunktion: \(f_1^{-1}(x) = x - 2\). Die Wertemenge von \(f_1\) auf \(I_1\) ist \([-1; 3]\), was dem Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht: \(D_{f_1^{-1}} = [-1; 3]\). - **Auf \(I_2 = [1; 3]\):** Die lineare Funktion lautet \(f_2(x) = -x + 4\). Auflösen nach \(x\): \(y = -x + 4 \implies x = 4 - y\). Vertauschen der Variablen liefert die Umkehrfunktion: \(f_2^{-1}(x) = -x + 4\). Die Wertemenge von \(f_2\) auf \(I_2\) ist \([1; 3]\), also \(D_{f_2^{-1}} = [1; 3]\). - **Auf \(I_3 = [3; 5]\):** Die lineare Funktion lautet \(f_3(x) = 2x - 5\). Auflösen nach \(x\): \(y = 2x - 5 \implies 2x = y + 5 \implies x = 0{,}5y + 2{,}5\). Vertauschen der Variablen liefert die Umkehrfunktion: \(f_3^{-1}(x) = 0{,}5x + 2{,}5\). Die Wertemenge von \(f_3\) auf \(I_3\) ist \([1; 5]\), also \(D_{f_3^{-1}} = [1; 5]\).

a) Eine horizontale Gerade (z. B. bei \(y = 2\)) schneidet den Graphen an mehr als einer Stelle. Somit ist die Zuordnung nicht eindeutig umkehrbar. b) Die drei Intervalle sind: - \(I_1 = [-3; 1]\) - \(I_2 = [1; 3]\) - \(I_3 = [3; 5]\) c) Die Umkehrfunktionen und ihre Definitionsbereiche lauten: - Für \(I_1\): \(f_1^{-1}(x) = x - 2\) mit \(D_{f_1^{-1}} = [-1; 3]\) - Für \(I_2\): \(f_2^{-1}(x) = -x + 4\) mit \(D_{f_2^{-1}} = [1; 3]\) - Für \(I_3\): \(f_3^{-1}(x) = 0{,}5x + 2{,}5\) mit \(D_{f_3^{-1}} = [1; 5]\)

- Kannst du das Problem mit eigenen Worten beschreiben? - Was bedeutet es anschaulich, wenn eine Funktion umkehrbar ist? Hilft dir die Vorstellung von waagerechten Linien? - Wie hängt die Umkehrbarkeit mit der Monotonie (steigend oder fallend) der Funktion zusammen? - Welche Rolle spielen die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen bei der Einteilung in Bereiche, in denen die Funktion umkehrbar ist? - Weißt du noch, wie sich die Koordinaten eines Punktes verändern, wenn man den Punkt an der Winkelhalbierenden spiegelt, um zur Umkehrfunktion zu gelangen?

1. Eine Funktion ist auf ihrer Definitionsmenge umkehrbar, wenn sie injektiv ist. Im Graphen erkennt man, dass waagerechte Geraden (wie z. B. \(y = 1\)) den Graphen mehrfach schneiden. Da somit verschiedenen \(x\)-Werten derselbe \(y\)-Wert zugeordnet wird, ist \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar. Alternativ lässt sich mit der fehlenden strengen Monotonie argumentieren. 2. Für die Umkehrbarkeit auf einem Teilintervall muss die Funktion dort streng monoton sein. Die lokalen Extremstellen von \(f\) liegen bei \(x = -1\) (lokales Maximum) und \(x = 1\) (lokales Minimum). Im Intervall \([-1; 1]\) ist die Funktion streng monoton fallend. Da dieses Intervall die Stelle \(x = 0\) enthält und durch die Extremstellen maximal begrenzt ist, lautet das gesuchte Intervall \(I = [-1; 1]\). 3. Das lokale Maximum des Graphen von \(f\) liegt bei \(P(-1 \mid 2)\). Da bei der Umkehrfunktion die Rollen von \(x\) und \(y\) vertauscht werden, lauten die Koordinaten des entsprechenden Punktes auf dem Graphen von \(f^{-1}\) gerade \(P'(2 \mid -1)\).

a) Der Graph ist nicht streng monoton (bzw. waagerechte Geraden schneiden den Graphen mehrfach), weshalb verschiedenen \(x\)-Werten derselbe \(y\)-Wert zugeordnet wird. b) \(I = [-1; 1]\) c) \(P'(2 \mid -1)\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit? - Wie kannst du am Graphen einer Ableitungsfunktion erkennen, ob die zugehörige Funktion steigt oder fällt? - Achte darauf, in welchen Bereichen der Graph der Ableitungsfunktion oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. - Wann ändert eine Funktion ihr Monotonieverhalten, und was bedeutet das für die Umkehrbarkeit?

1. Für die Umkehrbarkeit einer differenzierbaren Funktion auf einem Intervall ist strenge Monotonie hinreichend, was durch ein konstantes Vorzeichen der Ableitungsfunktion ohne Vorzeichenwechsel im Inneren des Intervalls angezeigt wird. 2. Da \(f'(x) \ge 0{,}5 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, verläuft der Graph von \(f'\) vollständig oberhalb der x-Achse. Somit ist \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend und folglich umkehrbar. 3. Die Ableitung \(g'(x) = 4 - x^2\) nimmt im Intervall \([-2; 2]\) nur nicht-negative Werte an (\(g'(x) \ge 0\)). In diesem Bereich ist \(g\) streng monoton steigend. Da außerhalb dieses Intervalls (für \(x < -2\) und \(x > 2\)) die Ableitung negativ ist, ändert sich an den Stellen \(x = -2\) und \(x = 2\) das Monotonieverhalten. Das größte Intervall um den Ursprung, in dem \(g\) umkehrbar ist, lautet daher \([-2; 2]\).

a) Da der Graph von \(f'\) vollständig oberhalb der x-Achse verläuft (\(f'(x) > 0\)), ist die Funktion \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend und somit umkehrbar. b) Das größte Intervall um \(x = 0\), in dem \(g\) umkehrbar ist, ist \([-2; 2]\). In diesem Intervall gilt \(g'(x) \ge 0\), sodass \(g\) dort streng monoton steigend und somit umkehrbar ist. An den Grenzen dieses Intervalls ändert sich das Vorzeichen der Ableitung.

- Wie hängen die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion geometrisch zusammen? An welcher Linie werden sie gespiegelt? - Wie bestimmt man die Gleichung einer Umkehrfunktion rechnerisch? Nach welcher Variablen musst du die Gleichung auflösen? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Wertebereich der Ausgangsfunktion und dem Definitionsbereich ihrer Umkehrfunktion? - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes \((x \mid y)\) auf dem Graphen von \(f\), wenn man zur Umkehrfunktion übergeht? - Wähle einen gut ablesbaren Punkt auf dem blauen Graphen von \(f\), zum Beispiel für \(x = 2\). Welcher Punkt muss demnach auf dem Graphen der Umkehrfunktion liegen?

1. Nachweis der Umkehrbarkeit: Der Graph von \(f\) ist für \(x \ge 0\) streng monoton steigend, da die Ableitung \(f'(x) = x > 0\) für \(x > 0\) gilt. Jedes Element des Wertebereichs wird somit genau einmal angenommen, weshalb die Funktion umkehrbar ist. 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(f^{-1}\): Auflösen von \(y = 0{,}5x^2 + 1\) nach \(x\) liefert \(y - 1 = 0{,}5x^2 \iff 2(y - 1) = x^2\). Da \(x \ge 0\) gefordert ist, gilt \(x = \sqrt{2y - 2}\). Durch Vertauschen der Variablen ergibt sich \(f^{-1}(x) = \sqrt{2x - 2}\). 3. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Wertebereich von \(f\) ist \(\mathbb{W}_f = [1; \infty[\), da \(f(0) = 1\) der kleinste Funktionswert ist. Da der Definitionsbereich der Umkehrfunktion dem Wertebereich der Ausgangsfunktion entspricht, gilt \(\mathbb{D}_{f^{-1}} = [1; \infty[\). 4. Zuordnung des Graphen: Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der Geraden \(y = x\). Dies trifft auf den roten Graphen \(G_1\) zu. Alternativ zeigt ein Punktvergleich: Der Punkt \((2 \mid 3)\) liegt auf dem Graphen von \(f\), da \(f(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 + 1 = 3\). Folglich muss der Punkt \((3 \mid 2)\) auf dem Graphen der Umkehrfunktion liegen. Dies ist nur für \(G_1\) der Fall (für \(x = 3\) gilt bei \(G_1\) der Wert \(y = 2\), während bei \(G_2\) der Wert \(y = \sqrt{3-1} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) vorliegt). Somit ist \(G_1\) der Graph der Umkehrfunktion \(f^{-1}\).

a) Da der Graph von \(f\) für \(x \ge 0\) streng monoton steigend ist, ist die Funktion umkehrbar. b) Die Umkehrfunktion lautet \(f^{-1}(x) = \sqrt{2x - 2}\) mit dem Definitionsbereich \(\mathbb{D}_{f^{-1}} = [1; \infty[\). c) Der rote Graph \(G_1\) ist der Graph der Umkehrfunktion \(f^{-1}\). Dies lässt sich durch die Spiegelung an der Geraden \(y = x\) begründen. Alternativ zeigt der Punktvergleich, dass der gespiegelte Punkt \((3 \mid 2)\) auf \(G_1\) liegt, da \((2 \mid 3)\) auf dem Graphen von \(f\) liegt, während \(G_2\) durch den Punkt \((3 \mid \sqrt{2})\) verläuft.

- Wie hängen Definitionsbereich und Wertebereich einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion zusammen? - Welche Eigenschaft des Funktionsgraphen garantiert, dass eine Funktion umkehrbar ist? - Wie gehst du vor, um eine Funktionsgleichung nach der Variablen \(x\) aufzulösen und anschließend die Variablen zu vertauschen? - An welcher Geraden wird der Graph einer Funktion gespiegelt, um den Graphen der Umkehrfunktion zu erhalten? - Auf welcher besonderen Geraden müssen Schnittpunkte zwischen dem Graphen einer Funktion und dem Graphen ihrer Umkehrfunktion liegen?

1. Bestimmung von Definitions- und Wertemenge: Da der Radikand nicht negativ sein darf, gilt \(x+2 \ge 0 \implies x \ge -2\). Somit ist \(D_f = [-2; \infty[\). Da die Quadratwurzel nur nichtnegative Werte annimmt, ist \(W_f = [0; \infty[\). 2. Begründung der Umkehrbarkeit: Der Graph \(G_f\) ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. Jedem Wert aus der Wertemenge ist somit genau ein Argument aus der Definitionsmenge zugeordnet. 3. Ermittlung der Umkehrfunktion: Auflösen von \(y = \sqrt{x+2}\) nach \(x\) liefert \(y^2 = x+2 \implies x = y^2 - 2\). Durch Vertauschen der Variablen ergibt sich \(f^{-1}(x) = x^2 - 2\). Die Definitionsmenge entspricht der Wertemenge von \(f\), also \(D_{f^{-1}} = [0; \infty[\). 4. Schnittpunktberechnung: Die Spiegelachse ist die erste Winkelhalbierende mit der Gleichung \(y = x\). Der Schnittpunkt liegt auf dieser Geraden, woraus sich die Gleichung \(\sqrt{x+2} = x\) ergibt. Quadrieren liefert \(x+2 = x^2 \implies x^2 - x - 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). Da \(x \ge 0\) gelten muss, ist nur \(x = 2\) eine gültige Lösung. Der Schnittpunkt lautet somit \(S(2 \mid 2)\).

a) \(D_f = [-2; \infty[\) und \(W_f = [0; \infty[\) b) Der Graph \(G_f\) ist streng monoton steigend, weshalb jedem Funktionswert genau ein Argument zugeordnet ist. c) \(f^{-1}(x) = x^2 - 2\) mit \(D_{f^{-1}} = [0; \infty[\) d) Spiegelachse: \(y = x\); Schnittpunkt: \(S(2 \mid 2)\)

- Überlege dir, ob es für einen bestimmten Funktionswert \(y\) mehr als einen zugehörigen \(x\)-Wert geben kann. - Stell dir vor, du zeichnest waagerechte Linien durch das Koordinatensystem. Wie oft darf eine solche Linie den Graphen schneiden, damit die Funktion umkehrbar ist? - Hat der Verlauf des Graphen (steigend oder fallend) einen Einfluss auf die Umkehrbarkeit? - Was passiert an Stellen, an denen der Graph seine Richtung ändert (z. B. von steigend zu fallend)?

Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie injektiv ist, was grafisch mit dem Waagerechte-Linie-Test überprüft werden kann: Jede waagerechte Gerade darf den Graphen höchstens einmal schneiden. 1. Graph \(f\): Nicht umkehrbar. Eine waagerechte Gerade im Bereich zwischen den lokalen Extrema (ca. \(y \in (-0{,}1; 2{,}1)\)) schneidet den Graphen dreimal. 2. Graph \(g\): Umkehrbar. Die Exponentialfunktion ist streng monoton fallend; jede waagerechte Gerade schneidet den Graphen genau einmal. 3. Graph \(h\): Umkehrbar. Die gebrochen-rationale Funktion ist auf den Intervallen ihres Definitionsbereichs jeweils streng monoton fallend. Jeder Funktionswert \(y \neq 1\) wird genau einem \(x\)-Wert zugeordnet. 4. Graph \(k\): Nicht umkehrbar. Waagerechte Geraden oberhalb von \(y = -1\) (z. B. \(y = 1\)) schneiden den V-förmigen Graphen an zwei Stellen.

Die Funktionen \(g\) und \(h\) sind umkehrbar, da sie den Waagerechte-Linie-Test bestehen (jeder \(y\)-Wert wird höchstens einem \(x\)-Wert zugeordnet). Die Funktionen \(f\) und \(k\) sind nicht umkehrbar, da es waagerechte Geraden gibt, die den Graphen mehrfach schneiden.

- Schau dir den Scheitelpunkt der Parabel an. Was passiert mit der Steigung links und rechts davon? - Erinnere dich an den Waagerechte-Linie-Test: Wo schneidet eine waagerechte Linie den Graphen zweimal? - Umkehrbarkeit erfordert eine eindeutige Zuordnung in beide Richtungen. - Wenn du \(x\) und \(y\) in der Funktionsgleichung vertauschst, welcher geometrischen Operation entspricht das im Koordinatensystem?

1. Invertierbarkeit auf \(\mathbb{R}\): Die Funktion ist nicht umkehrbar, da sie nicht injektiv ist. Beispielsweise wird der Funktionswert \(y = -1\) an zwei Stellen (\(x = 0\) und \(x = 4\)) angenommen. Waagerechte Geraden oberhalb des Scheitelpunkts schneiden den Graphen doppelt. 2. Einschränkung des Definitionsbereichs: Damit die Funktion umkehrbar ist, muss sie in dem gewählten Intervall streng monoton sein. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2\mid-3)\). Das größtmögliche Intervall der Form \([a; \infty)\) beginnt am \(x\)-Wert des Scheitelpunkts, also \(a = 2\). Das gesuchte Intervall ist \(D_{restr} = [2; \infty)\). 3. Geometrische Erzeugung der Umkehrfunktion: Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung des (eingeschränkten) Graphen von \(f\) an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten (der Geraden mit der Gleichung \(y = x\)).

a) \(f\) ist nicht umkehrbar, da z. B. \(f(0) = f(4) = -1\) gilt (Verletzung der Injektivität). b) Das Intervall ist \([2; \infty)\). c) Durch Spiegelung des Graphen an der Geraden \(y = x\).

- Erinnere dich an den waagerechten Linientest: Wie oft darf eine Parallele zur \(x\)-Achse den Graphen schneiden, damit eine Funktion umkehrbar ist? - Suche nach dem Punkt, an dem sich das Monotonieverhalten der Funktion ändert (z. B. vom Fallen zum Steigen). - Um die Funktionsgleichung einer Umkehrfunktion zu finden, kannst du die ursprüngliche Gleichung nach \(x\) auflösen und dann die Variablen vertauschen. - Achte beim Auflösen von Quadraten darauf, welches Vorzeichen die Wurzel haben muss, damit der \(x\)-Wert im gewählten Intervall liegt.

1. Begründung der mangelnden Umkehrbarkeit: Es gibt unterschiedliche \(x\)-Werte, die denselben Funktionswert besitzen, zum Beispiel \(f(-2) = f(4) = 1{,}5\). Graphisch gesehen schneidet eine Parallele zur \(x\)-Achse oberhalb des Scheitelpunkts den Graphen zweimal. 2. Bestimmung der Intervalle: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(x = 1\). Somit ist die Funktion auf den Intervallen \(I_1 = [-2; 1]\) (monoton fallend) und \(I_2 = [1; 4]\) (monoton steigend) jeweils umkehrbar. 3. Funktionsgleichungen: Aus dem Graphen lässt sich die Scheitelpunktform \(f(x) = 0{,}5(x-1)^2 - 3\) ablesen. 4. Umkehrfunktionen: Für \(I_1\): Aus \(y = 0{,}5(x-1)^2 - 3\) folgt durch Auflösen nach \(x\) (unter Beachtung von \(x \le 1\)) der Term \(x = 1 - \sqrt{2y + 6}\). Somit ist \(f_1^{-1}(x) = 1 - \sqrt{2x + 6}\) mit \(D_{f_1^{-1}} = [-3; 1{,}5]\). Für \(I_2\): Aus \(y = 0{,}5(x-1)^2 - 3\) folgt durch Auflösen nach \(x\) (unter Beachtung von \(x \ge 1\)) der Term \(x = 1 + \sqrt{2y + 6}\). Somit ist \(f_2^{-1}(x) = 1 + \sqrt{2x + 6}\) mit \(D_{f_2^{-1}} = [-3; 1{,}5]\).

a) Die Funktion ist nicht umkehrbar, da sie nicht injektiv ist (z. B. \(f(-2) = f(4) = 1{,}5\)). b) Die maximalen Intervalle sind \(I_1 = [-2; 1]\) und \(I_2 = [1; 4]\). c) Für beide Teilintervalle gilt \(f(x) = 0{,}5(x-1)^2 - 3\); die Umkehrfunktionen lauten \(f_1^{-1}(x) = 1 - \sqrt{2x + 6}\) und \(f_2^{-1}(x) = 1 + \sqrt{2x + 6}\), jeweils mit dem Definitionsbereich \([-3; 1{,}5]\).

- Erinnere dich an den Verlauf der Kosinuswelle. Wo beginnt eine neue Phase? - Suche nach den Abschnitten, in denen die Kurve nur nach unten oder nur nach oben geht. - Wie heißt die Taste auf deinem Taschenrechner, mit der du aus einem Kosinuswert den Winkel berechnest?

1. Begründung: Die Kosinusfunktion ist periodisch. Im Intervall \([0; 2\pi]\) werden fast alle Funktionswerte zweimal angenommen (z. B. \(\cos(0{,}5\pi) = 0\) und \(\cos(1{,}5\pi) = 0\)). Damit ist sie nicht umkehrbar. 2. Teilintervalle: Die Funktion ist im Intervall \(I_1 = [0; \pi]\) streng monoton fallend und im Intervall \(I_2 = [\pi; 2\pi]\) streng monoton steigend. Dies sind die beiden größten Teilbereiche für die Umkehrbarkeit. 3. Name der Umkehrfunktion: Die Umkehrfunktion des Kosinus auf dem Standardintervall \([0; \pi]\) heißt Arkuskosinus (geschrieben \(\arccos\) oder \(\cos^{-1}\)).

a) \(f\) ist nicht umkehrbar, da sie nicht injektiv ist; zum Beispiel ist \(f(\frac{\pi}{2}) = f(\frac{3\pi}{2}) = 0\). b) Die zwei größten Teilintervalle sind \([0; \pi]\) und \([\pi; 2\pi]\). c) Die Umkehrfunktion heißt Arkuskosinus (\(\arccos\)).

- Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie auf ihrem Definitionsbereich injektiv ist. - Was passiert bei einer Umkehrung mit einem Bereich, in dem der Graph waagerecht verläuft? - Kann eine Funktion, die periodisch schwankt, über mehrere Perioden hinweg umkehrbar sein? - Stell dir vor, du spiegelst den Graphen an der Winkelhalbierenden \(y = x\). Entsteht dabei wieder ein Funktionsgraph?

1. Funktion \(f\) (Graph a): Die Funktion ist streng monoton fallend (eine Hyperbel für \(x > 0\)). Jede waagerechte Gerade schneidet den Graphen höchstens einmal. Somit ist \(f\) umkehrbar. 2. Funktion \(g\) (Graph b): Die Funktion ist periodisch und nimmt viele Werte mehrfach an (z. B. \(y = 1\)). Da die Zuordnung von \(y\) zu \(x\) nicht eindeutig ist, existiert keine Umkehrfunktion auf diesem Bereich. 3. Funktion \(h\) (Graph c): Im Bereich \(1 \le x \le 3\) ist die Funktion konstant (\(y = 2\)). Allen \(x\)-Werten in diesem Intervall wird derselbe Funktionswert zugeordnet. Eine Umkehrung ist daher nicht möglich, da dem Wert \(y = 2\) kein eindeutiger \(x\)-Wert zugeordnet werden kann.

Nur die Funktion \(f\) (Graph a) besitzt eine Umkehrfunktion, da sie streng monoton fallend ist. Die Funktion \(g\) (Graph b) ist aufgrund ihres wellenförmigen Verlaufs nicht umkehrbar. Die Funktion \(h\) (Graph c) ist nicht umkehrbar, da sie in einem Teilbereich konstant verläuft und somit für den Wert \(y = 2\) keine eindeutige Rückzuordnung auf ein \(x\) existiert.

- Überlege dir, ob es y-Werte gibt, die von mehr als einem x-Wert erreicht werden. Was bedeutet das für die Umkehrfunktion? - Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. - Wo ändert die Funktion \(a\) ihre Richtung?

1. Prüfung der Umkehrbarkeit: - Eine Funktion ist über einem Intervall umkehrbar, wenn sie dort streng monoton ist (also entweder nur steigt oder nur fällt). - Graph \(G_a\) (lila) stellt eine Parabel dar. Die Funktion fällt für \(x < 1\) und steigt für \(x > 1\). Da sie nicht streng monoton auf dem gesamten Bereich \([-1; 3]\) ist, ist sie dort nicht umkehrbar. - Graph \(G_b\) (schwarz) ist im gesamten Bereich \([-1; 5]\) streng monoton steigend. Daher ist die Funktion \(b\) umkehrbar. - Graph \(G_c\) (orange) ist im Bereich \([0{,}5; 5]\) streng monoton fallend. Daher ist die Funktion \(c\) umkehrbar. 2. Einschränkung für \(G_a\): - Um Umkehrbarkeit zu erreichen, muss man ein Intervall wählen, in dem die Funktion streng monoton ist. - Der Scheitelpunkt liegt bei \(x = 1\). Mögliche Intervalle sind daher \(I_1 = [-1; 1]\) (streng monoton fallend) oder \(I_2 = [1; 3]\) (streng monoton steigend).

a) Die Funktionen \(b\) und \(c\) sind umkehrbar, da sie in den dargestellten Bereichen streng monoton steigend (\(b\)) bzw. streng monoton fallend (\(c\)) sind. Funktion \(a\) ist nicht umkehrbar, da sie sowohl fallende als auch steigende Abschnitte besitzt. b) Die Funktion \(a\) wäre umkehrbar, wenn man ihren Definitionsbereich auf ein Intervall einschränkt, in dem sie streng monoton verläuft, zum Beispiel auf das Intervall \([1; 3]\).

- Überlege dir, welche \(y\)-Werte die Funktion annimmt, wenn du nur den rechten Teil der Parabel betrachtest. - Eine Funktion ist umkehrbar, wenn sie in ihrem Bereich entweder überall steigt oder überall fällt. - Was passiert mit den Koordinaten \((x \mid y)\) eines Punktes, wenn man ihn an der Geraden \(y = x\) spiegelt? - Um die Umkehrfunktion zu finden, kannst du die Gleichung \(y = f(x)\) nach \(x\) auflösen und am Ende \(x\) und \(y\) vertauschen.

1. Da \(f(x) = \frac{1}{4}x^2 - 1\) für \(x \ge 0\) streng monoton steigend ist und der kleinste Funktionswert bei \(f(0) = -1\) liegt, ist die Wertemenge \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge -1\}\). 2. Der Graph \(G_f\) ist im Bereich \(x \ge 0\) streng monoton steigend. Jeder \(y\)-Wert aus der Wertemenge wird somit genau einem \(x\)-Wert zugeordnet, was die Bedingung für die Umkehrbarkeit ist. 3. Die Schnittpunkte mit den Achsen vertauschen bei der Spiegelung an \(y=x\) ihre Rollen. \(G_f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 \mid -1)\) und die \(x\)-Achse bei \((2 \mid 0)\). Folglich schneidet \(G_{f^{-1}}\) die \(x\)-Achse bei \((-1 \mid 0)\) und die \(y\)-Achse bei \((0 \mid 2)\). 4. Zur Berechnung von \(f^{-1}\) wird \(y = \frac{1}{4}x^2 - 1\) nach \(x\) aufgelöst: \(y + 1 = \frac{1}{4}x^2 \Rightarrow 4(y + 1) = x^2\). Wegen \(x \ge 0\) folgt \(x = \sqrt{4(y + 1)} = 2\sqrt{y + 1}\). Durch Vertauschen der Variablen erhält man \(f^{-1}(x) = 2\sqrt{x + 1}\).

1. \(W_f = [-1; \infty[\) 2. \(f\) ist im Bereich \(x \ge 0\) streng monoton steigend, daher ist die Zuordnung eindeutig umkehrbar. 3. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(-1 \mid 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 2)\). 4. \(f^{-1}(x) = 2\sqrt{x + 1}\)

- Erinnere dich an das Verhalten von Exponentialfunktionen für sehr kleine \(x\)-Werte. - Welche Eigenschaft des Graphen (Steigen oder Fallen) garantiert, dass es zu jedem \(y\)-Wert nur ein \(x\) gibt? - Der Logarithmus ist die Umkehroperation zur Exponentialfunktion. - Ein Punkt \((a \mid b)\) auf dem Graphen von \(g\) entspricht dem Punkt \((b \mid a)\) auf dem Graphen von \(g^{-1}\).

1. Die Exponentialfunktion ist für alle reellen Zahlen definiert, also \(D_g = \mathbb{R}\). Da \(e^{x-1} > 0\) für alle \(x\), nähert sich \(g(x)\) für \(x \to -\infty\) der Asymptote \(y = -2\) an. Die Wertemenge ist \(W_g = \{y \in \mathbb{R} \mid y > -2\}\). 2. Die Funktion \(g\) ist als verkettete Exponentialfunktion streng monoton steigend auf ganz \(\mathbb{R}\). Damit ist sie injektiv und besitzt eine Umkehrfunktion. 3. Auflösen von \(y = e^{x-1} - 2\) nach \(x\): \(y + 2 = e^{x-1} \Rightarrow \ln(y + 2) = x - 1 \Rightarrow x = \ln(y + 2) + 1\). Nach Variablentausch: \(g^{-1}(x) = \ln(x + 2) + 1\). Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht der Wertemenge der Ausgangsfunktion: \(D_{g^{-1}} = ]-2; \infty[\). 4. Berechnung: \(g^{-1}(-1) = \ln(-1 + 2) + 1 = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1\). Grafisch: Da \(g^{-1}\) die Spiegelung von \(g\) an \(y=x\) ist, entspricht der gesuchte Wert \(g^{-1}(-1) = y\) dem \(x\)-Wert, für den \(g(x) = -1\) gilt. Im Graphen von \(g\) sieht man, dass der Punkt \((1 \mid -1)\) auf dem Graphen liegt.

1. \(D_g = \mathbb{R}\); \(W_g = ]-2; \infty[\) 2. \(g\) ist streng monoton steigend und damit umkehrbar. 3. \(g^{-1}(x) = \ln(x + 2) + 1\) mit \(D_{g^{-1}} = ]-2; \infty[\). 4. \(g^{-1}(-1) = 1\). Im Graphen von \(g\) ist dies der \(x\)-Wert zum Funktionswert \(y = -1\).

- Um die Umkehrfunktion zu finden, löse die Funktionsgleichung nach \(x\) auf und vertausche anschließend die Variablen. - Da diese Funktion streng monoton steigt, kannst du ihre Schnittpunkte mit der Umkehrfunktion durch \(f(x)=x\) bestimmen. - Nutze die Potenzregel, um die Ableitungen der Wurzelfunktion und der quadratischen Funktion zu bestimmen. - Überprüfe die Kehrwertbeziehung, indem du die beiden Steigungen multiplizierst.

1. Umkehrfunktion bestimmen: \(y = 2\sqrt{x} \Rightarrow \frac{y}{2} = \sqrt{x} \Rightarrow x = \frac{1}{4}y^2\). Durch Vertauschen von \(x\) und \(y\) erhält man \(f^{-1}(x) = 0{,}25x^2\). Da der Wertebereich von \(f\) gleich \([0; \infty)\) ist, ist der Definitionsbereich von \(f^{-1}\) ebenfalls \(D_{f^{-1}} = [0; \infty)\). 2. Schnittpunkt berechnen: \(f(x) = f^{-1}(x) \Rightarrow 2\sqrt{x} = 0{,}25x^2\). Quadrieren: \(4x = \frac{1}{16}x^4 \Rightarrow x^4 - 64x = 0 \Rightarrow x(x^3 - 64) = 0\). Neben \(x = 0\) ergibt sich \(x^3 = 64\), also \(x = 4\). Der Schnittpunkt ist \(P(4 \mid 4)\). 3. Steigungen vergleichen: Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\) und \((f^{-1})'(x) = 0{,}5x\). An der Stelle \(x = 4\): \(f'(4) = \frac{1}{\sqrt{4}} = 0{,}5\). \((f^{-1})'(4) = 0{,}5 \cdot 4 = 2\). Es gilt \(0{,}5 \cdot 2 = 1\), somit sind die Steigungen Kehrwerte voneinander.

a) \(f^{-1}(x) = 0{,}25x^2\) mit \(D_{f^{-1}} = [0; \infty)\). b) Der Schnittpunkt ist \(P(4 \mid 4)\). c) Die Steigungen sind \(f'(4) = 0{,}5\) und \((f^{-1})'(4) = 2\). Da \(0{,}5 \cdot 2 = 1\), sind sie Kehrwerte voneinander.

- In welchen Bereichen steigt oder fällt der Graph ausschließlich? - Wo befinden sich die „Gipfel“ und „Täler“ der Funktion? - Die Umkehrbarkeit ist in Bereichen gegeben, in denen die Kurve ihre Richtung (von steigend zu fallend oder umgekehrt) nicht ändert.

1. Analyse des Graphen: Die Funktion weist ein lokales Minimum und ein lokales Maximum auf. 2. Eine Funktion ist in einem Intervall umkehrbar, wenn sie dort streng monoton ist. 3. Ablesen der Extremstellen: Das lokale Minimum liegt bei \(x \approx -2{,}2\), das lokale Maximum bei \(x \approx 2{,}2\). 4. Da das Intervall die Stelle \(x = 1\) enthalten soll und die Funktion zwischen den Extremstellen streng monoton steigt, ist das gesuchte Intervall der Bereich zwischen diesen Extrempunkten. 5. Berechnung der exakten Extremstellen von \(f(x) = -0{,}1x^3 + 1{,}5x + 2\): \(f'(x) = -0{,}3x^2 + 1{,}5\). Nullsetzen liefert \(x^2 = 5\), also \(x = \pm \sqrt{5} \approx \pm 2{,}236\). 6. Das gesuchte Intervall ist somit \([-\sqrt{5}; \sqrt{5}]\).

Das größtmögliche Intervall ist \([-\sqrt{5}; \sqrt{5}]\), was gerundet etwa \([-2{,}24; 2{,}24]\) entspricht.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Monotonie und Umkehrbarkeit. - Welche mathematische Operation ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? - Wie hängen die Steigungen zweier Graphen zusammen, die an der Geraden \(y=x\) gespiegelt sind? - Achte beim Logarithmieren darauf, welche Werte für das Argument zulässig sind.

1. Nachweis der Umkehrbarkeit: Die Ableitung \(g'(x) = \frac{1}{2} e^{x-3}\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positiv (\(g'(x) > 0\)). Daraus folgt, dass \(g\) streng monoton steigend und somit injektiv (umkehrbar) ist. 2. Bestimmung der Umkehrfunktion: Aus \(y = \frac{1}{2} e^{x-3} + 1\) folgt \(y - 1 = \frac{1}{2} e^{x-3} \Leftrightarrow 2(y-1) = e^{x-3} \Leftrightarrow \ln(2y-2) = x-3 \Leftrightarrow x = \ln(2y-2) + 3\). Somit ist \(g^{-1}(x) = \ln(2x-2) + 3\). Da das Argument des Logarithmus positiv sein muss (\(2x-2 > 0\)), gilt \(D_{g^{-1}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 1\}\). 3. Steigung der Umkehrfunktion: Es gilt \(g'(3) = \frac{1}{2} e^{3-3} = 0{,}5\). Die Steigung der Umkehrfunktion an der Stelle \(y = g(x)\) ist der Kehrwert der Steigung der Originalfunktion an der Stelle \(x\). Es folgt \((g^{-1})'(1{,}5) = \frac{1}{g'(3)} = \frac{1}{0{,}5} = 2\).

1. \(g'(x) = \frac{1}{2} e^{x-3} > 0\) für alle \(x\), daher streng monoton steigend und umkehrbar. 2. \(g^{-1}(x) = \ln(2x-2) + 3\) mit \(D_{g^{-1}} = ]1; \infty[\). 3. Die Steigung beträgt \(2\).

- Bestimme zuerst die Intervalle, in denen die Funktion streng monoton steigend oder fallend ist. - Denke daran, dass für die Umkehrbarkeit auf einem Intervall die Monotonie nicht wechseln darf. - Welche Rolle spielen die Extremstellen der Funktion bei der Einteilung in umkehrbare Bereiche? - Überprüfe, ob die angegebene Stelle \(x = -2\) innerhalb des Intervalls \([-3; -1]\) liegt.

1. Die Ableitung lautet \(g'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = (x^2+2x) \cdot e^x\). Die Nullstellen von \(g'\) sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -2\). Das Vorzeichen von \(g'\) ist positiv für \(x \in (-\infty; -2)\), negativ für \(x \in (-2; 0)\) und positiv für \(x \in (0; \infty)\). Damit \(g\) auf \([a; \infty)\) umkehrbar (also streng monoton) ist, darf kein Vorzeichenwechsel der Ableitung im Inneren des Intervalls vorliegen. Das größtmögliche Intervall dieser Form ist somit \([0; \infty)\), da für alle \(x > 0\) gilt \(g'(x) > 0\). 2. Im Intervall \([-3; -1]\) liegt die Stelle \(x = -2\). Da \(g'(-3) = 3 \cdot e^{-3} > 0\) und \(g'(-1{,}5) = -0{,}75 \cdot e^{-1{,}5} < 0\), ändert die Funktion bei \(x = -2\) ihr Monotonieverhalten von streng monoton steigend zu streng monoton fallend. Da die Funktion im betrachteten Intervall nicht streng monoton ist, ist sie dort nicht umkehrbar.

1. Das größtmögliche Intervall ist \([0; \infty)\). 2. Im Intervall \([-3; -1]\) liegt die Extremstelle \(x = -2\). Da die Funktion dort ihr Monotonieverhalten ändert (von steigend zu fallend), ist sie in diesem Intervall nicht umkehrbar.

- Erinnere dich daran, dass strenge Monotonie eine hinreichende Bedingung für die Umkehrbarkeit ist. - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung innerhalb des vorgegebenen Intervalls. - Gibt es im Intervall \([1; 3]\) eine Stelle, an der die Steigung Null wird? Was bedeutet das für den Graphen? - Wie kannst du die Grenzen eines Intervalls wählen, damit die Ableitung darin ihr Vorzeichen nicht wechselt?

1. Bildung der Ableitung mittels Produkt- und Kettenregel: \(f'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = (2x - x^2) \cdot e^{-x} = x \cdot (2 - x) \cdot e^{-x}\). 2. Ermittlung der stationären Punkte: \(f'(x) = 0\) liefert im betrachteten Bereich \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Überprüfung der Monotonie im Intervall \([1; 3]\): Da \(f'(1) = 1 \cdot e^{-1} > 0\) und \(f'(3) = 3 \cdot (-1) \cdot e^{-3} < 0\), findet bei \(x = 2\) ein Vorzeichenwechsel der Ableitung statt. Die Funktion ist in \([1; 3]\) nicht streng monoton und daher dort nicht umkehrbar. 4. Identifikation von Monotonieintervallen: Die Funktion ist streng monoton steigend für \(x \in [0; 2]\) und streng monoton fallend für \(x \in [2; \infty)\). In jedem dieser Teilintervalle ist sie umkehrbar.

Die Funktion ist in \([1; 3]\) nicht umkehrbar, da sie bei \(x = 2\) ein lokales Maximum besitzt und somit in diesem Intervall nicht streng monoton ist. Sie ist jedoch z. B. im Intervall \([0; 2]\) oder im Intervall \([2; \infty)\) umkehrbar.

- Was bedeutet die Bedingung \(f^{-1}(x) = f(x)\) für die Auflösung der Funktionsgleichung nach \(x\)? - Welche Steigung muss eine Gerade haben, damit sie bei einer Spiegelung an \(y = x\) auf sich selbst abgebildet wird? - Betrachte die Spiegelung an der Geraden \(y = x\). Wann bleibt eine Menge von Punkten (ein Graph) bei dieser Operation unverändert?

1. Prüfung von \(f(x) = \frac{2}{x}\): Ansatz \(y = \frac{2}{x}\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(x \cdot y = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{y}\). Vertauschen liefert \(f^{-1}(x) = \frac{2}{x}\). Da \(f^{-1}(x) = f(x)\), ist die Funktion selbstinvers. 2. Lineare Funktion \(g\): Eine Gerade ist selbstinvers, wenn sie senkrecht auf der Spiegelachse \(y = x\) steht oder auf ihr liegt. Für \(m = -1\) ist \(g(x) = -x + c\) selbstinvers. Beweis: \(y = -x + c \Rightarrow x = -y + c\). Vertauschen liefert \(g^{-1}(x) = -x + c = g(x)\). (Beispiel: \(g(x) = -x + 5\)). 3. Geometrische Eigenschaft: Der Graph der Funktion muss achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden \(y = x\) sein. Jeder Punkt \((x \mid y)\) des Graphen muss gespiegelt an \(y=x\) wieder auf dem Graphen liegen, also muss auch \((y \mid x)\) ein Punkt des Graphen sein.

a) Ja, \(f(x) = \frac{2}{x}\) ist selbstinvers, da die Auflösung nach \(x\) wieder dieselbe Struktur liefert. b) Beispiel: \(g(x) = -x + c\) (z. B. \(g(x) = -x + 1\)). Der Beweis zeigt \(g^{-1}(x) = -x + c\). c) Der Graph muss achsensymmetrisch zur Geraden \(y = x\) sein.

- Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über den Verlauf des Graphen aus? - Wann besitzt eine Funktion eine Umkehrfunktion? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung von \(f\) an einer Stelle \(a\) und der Steigung von \(f^{-1}\) an der Stelle \(f(a)\)? - Suche eine einfache ganze Zahl, die beim Einsetzen in \(f(x)\) das Ergebnis \(2\) liefert.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 + 2\). 2. Nachweis der Umkehrbarkeit: Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(f'(x) \geq 2 > 0\). Die Funktion ist somit streng monoton steigend und folglich umkehrbar. 3. Bestimmung des Urbilds von \(2\): Durch Probieren findet man \(f(1) = 1^3 + 2 \cdot 1 - 1 = 2\). Es gilt also \(f^{-1}(2) = 1\). 4. Anwendung der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion: \((f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))} = \frac{1}{f'(1)}\). 5. Berechnung des Wertes: \(f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2 = 5\). 6. Endergebnis: \((f^{-1})'(2) = \frac{1}{5} = 0{,}2\).

a) Da \(f'(x) = 3x^2 + 2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist \(f\) streng monoton steigend und damit umkehrbar. b) \((f^{-1})'(2) = 0{,}2\)

- Wie hängen Monotonie und Umkehrbarkeit zusammen? - Erinnere dich daran, dass die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion spiegelbildlich zur Geraden \(y = x\) liegen. - Wann genau schneidet eine streng monoton steigende Funktion ihre eigene Umkehrfunktion? - Untersuche die Gleichung \(g(x) = x\) auf Lösungen.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(g'(x) = e^x + 1\). 2. Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist \(g'(x) > 1 > 0\). Daraus folgt, dass \(g\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigt und somit umkehrbar ist. 3. Ein gemeinsamer Punkt von \(g\) und \(g^{-1}\) existiert genau dann, wenn der Graph von \(g\) die Symmetrieachse \(y = x\) schneidet (da \(g\) streng monoton steigend ist). 4. Ansatz für Schnittpunkte mit \(y = x\): \(g(x) = x \iff e^x + x + 2 = x \iff e^x + 2 = 0\). 5. Da \(e^x\) stets positiv ist, ist \(e^x + 2 > 2\). Die Gleichung \(e^x = -2\) hat keine reelle Lösung. 6. Somit haben die Graphen von \(g\) und \(g^{-1}\) keinen gemeinsamen Punkt.

1. \(g'(x) = e^x + 1 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), daher ist \(g\) streng monoton steigend und umkehrbar. 2. Die Bedingung \(g(x) = x\) führt auf \(e^x = -2\), was unlösbar ist; somit gibt es keine gemeinsamen Punkte.

- Beachte beim Auflösen nach \(x\) das Vorzeichen der Wurzel, da der Definitionsbereich von \(g\) nur negative Zahlen und die Null umfasst. - Für die Steigung der Umkehrfunktion an einer Stelle \(x\) benötigst du den entsprechenden \(x\)-Wert der Originalfunktion (den \(y\)-Wert der Umkehrfunktion). - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Steigungen zueinander symmetrischer Punkte an der Winkelhalbierenden \(y = x\).

1. Bestimmung der Umkehrfunktion: \(y = 2x^2 + 4\) \(y - 4 = 2x^2\) \(x^2 = \frac{y - 4}{2} = 0{,}5y - 2\) Wegen \(D_g = ]-\infty;0]\) muss beim Wurzelziehen das negative Vorzeichen gewählt werden: \(x = -\sqrt{0{,}5y - 2}\) Somit ist \(g^{-1}(x) = -\sqrt{0{,}5x - 2}\). 2. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 12\): Zuerst wird der zugehörige Funktionswert der Umkehrfunktion berechnet: \(g^{-1}(12) = -\sqrt{0{,}5 \cdot 12 - 2} = -\sqrt{4} = -2\). Die Ableitung der Ausgangsfunktion lautet \(g'(x) = 4x\). Anwenden der Formel: \((g^{-1})'(12) = \frac{1}{g'(g^{-1}(12))} = \frac{1}{g'(-2)} = \frac{1}{4 \cdot (-2)} = -\frac{1}{8} = -0{,}125\).

a) \(g^{-1}(x) = -\sqrt{0{,}5x - 2}\) b) Die Steigung der Tangente beträgt \(-0{,}125\).

- Welches Kriterium für die erste Ableitung garantiert die Existenz einer Umkehrfunktion? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen, insbesondere die Kettenregel. - Welche Funktion ist die Umkehrung der natürlichen Exponentialfunktion? - Was muss das Ergebnis sein, wenn man einen Funktionswert \(y = g(x)\) direkt in die Umkehrfunktion \(g^{-1}\) einsetzt?

1. Ableitung und Monotonie: Die erste Ableitung wird mit der Kettenregel bestimmt: \(g'(x) = 0{,}5e^{0{,}5x}\). Da die Exponentialfunktion für alle reellen Zahlen positive Werte liefert, ist \(g'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Damit ist \(g\) streng monoton steigend und somit umkehrbar. 2. Bestimmung des Umkehrterms: Um die Gleichung \(y = e^{0{,}5x} + 1\) nach \(x\) aufzulösen, subtrahiert man 1 und wendet den natürlichen Logarithmus an: \(\ln(y - 1) = 0{,}5x\). Multiplikation mit 2 ergibt \(x = 2\ln(y - 1)\). Der Term der Umkehrfunktion ist somit \(g^{-1}(x) = 2\ln(x - 1)\). 3. Verifikation: Der Funktionswert an der Stelle \(2\) ist \(g(2) = e^{0{,}5 \cdot 2} + 1 = e^1 + 1 = e + 1\). Setzt man diesen Wert \(y = e + 1\) in den Umkehrterm ein, erhält man \(g^{-1}(e + 1) = 2\ln(e + 1 - 1) = 2\ln(e) = 2 \cdot 1 = 2\). Die Bedingung \(g^{-1}(g(x)) = x\) ist für \(x = 2\) erfüllt.

a) \(g'(x) = 0{,}5e^{0{,}5x}\). Da \(g'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist \(g\) streng monoton steigend und damit umkehrbar. b) \(g^{-1}(x) = 2\ln(x - 1)\) c) \(g(2) = e + 1\). Einsetzen ergibt \(g^{-1}(e + 1) = 2\ln(e + 1 - 1) = 2\ln(e) = 2\).

- Welche Eigenschaft muss eine Funktion besitzen, damit sie über ihrem gesamten Definitionsbereich umkehrbar ist? - Achte beim Auflösen von Quadraten auf das Vorzeichen und die Einschränkung des Definitionsbereichs. - Es gibt einen direkten Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und der Ableitung ihrer Umkehrfunktion an entsprechenden Stellen. - Du kannst die Steigung entweder über die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion oder durch direktes Ableiten der gefundenen Umkehrfunktion berechnen.

1. Die erste Ableitung ist \(g'(x) = x - 3\). Für alle \(x > 3\) gilt \(g'(x) > 0\), womit die Funktion im Definitionsbereich streng monoton steigend und somit umkehrbar ist. 2. Da \(g(3) = 0\) der tiefste Punkt des Graphen in \(D_g\) ist und die Funktion streng monoton steigt, gilt \(W_g = [0; \infty[\). 3. Auflösen von \(y = \frac{1}{2}(x-3)^2\) nach \(x\): \(2y = (x-3)^2 \Rightarrow \sqrt{2y} = |x-3|\). Da \(x \geq 3\), gilt \(|x-3| = x-3\), also \(x = \sqrt{2y} + 3\). Die Umkehrfunktion lautet \(g^{-1}(x) = \sqrt{2x} + 3\). 4. Für die Steigung an der Stelle \(x=2\) wird der zugehörige Funktionswert der Umkehrfunktion benötigt: \(g^{-1}(2) = \sqrt{2 \cdot 2} + 3 = 5\). 5. Die Steigung der Umkehrfunktion kann über die Formel \((g^{-1})'(2) = \frac{1}{g'(g^{-1}(2))}\) bestimmt werden. Mit \(g'(5) = 5 - 3 = 2\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Alternativ führt die direkte Ableitung von \(g^{-1}(x)\) zum selben Ergebnis.

a) \(g'(x) = x-3 > 0\) für \(x > 3\), daher streng monoton steigend; \(W_g = [0; \infty[\) b) \(g^{-1}(x) = \sqrt{2x} + 3\) c) Die Steigung beträgt \(0{,}5\).

- Wie viele \(x\)-Werte findest du im Graphen für den Funktionswert \(0\)? - Achte auf die „Ecken“ im Graphen, dort ändert sich oft die Steigung oder das Monotonieverhalten. - Bestimme zuerst die Geradengleichung für den gesuchten Abschnitt, bevor du sie umkehrst.

1. Begründung: Es gibt Funktionswerte, die mehrfach angenommen werden. Beispielsweise schneidet die Gerade \(y = 0\) den Graphen an drei verschiedenen Stellen. Eine eindeutige Umkehrung ist daher nicht möglich. 2. Teilintervalle: Die Funktion ändert ihr Monotonieverhalten an den Stellen \(x = -1\) und \(x = 1\). Die Intervalle sind somit \(I_1 = [-3; -1]\) (streng monoton steigend), \(I_2 = [-1; 1]\) (streng monoton fallend) und \(I_3 = [1; 3]\) (streng monoton steigend). 3. Umkehrfunktion für \(I_3 = [1; 3]\): Der Graph verläuft hier linear durch die Punkte \((1 \mid -1)\) und \((3 \mid 1)\). Die Steigung ist \(m = \frac{1 - (-1)}{3 - 1} = 1\). Die Gleichung ist \(y = 1 \cdot (x - 3) + 1 = x - 2\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(x = y + 2\). Die Umkehrfunktion ist \(f^{-1}(x) = x + 2\) mit \(D_{f^{-1}} = [-1; 1]\).

a) \(f\) ist nicht umkehrbar, da z. B. der Wert \(y = 0\) an drei verschiedenen Stellen angenommen wird. b) Die Intervalle sind \([-3; -1]\), \([-1; 1]\) und \([1; 3]\). c) Für den Bereich \([1; 3]\) ist \(f^{-1}(x) = x + 2\) mit \(D_{f^{-1}} = [-1; 1]\).

- Was fällt dir an der Symmetrie des Graphen auf? - Wo „trennt“ die \(y\)-Achse den Graphen in zwei Äste? - Denke beim Auflösen der Gleichung daran, dass im gewählten Bereich \(x\) positiv ist.

1. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; es gilt \(f(x)=f(-x)\). Beispielsweise ist \(f(1)=f(-1)=4\). Daher ist sie auf dem gesamten Definitionsbereich nicht umkehrbar. 2. Für \(x<0\) ist die Funktion streng monoton steigend, für \(x>0\) streng monoton fallend. Die größten geeigneten Teilintervalle sind \(I_1=[-3;0[\) und \(I_2=]0;3]\). 3. Auf \(I_2\) gilt \(y=\frac{4}{x^2}\iff x^2=\frac{4}{y}\iff x=\frac{2}{\sqrt{y}}\), da \(x>0\). Somit lautet die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}\) mit \(D_{f^{-1}}=[\frac{4}{9};\infty[\).

a) Wegen \(f(x)=f(-x)\), zum Beispiel \(f(1)=f(-1)=4\), ist \(f\) nicht umkehrbar. b) \([-3;0[\) und \(]0;3]\). c) \(f^{-1}(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}\) mit \(D_{f^{-1}}=[\frac{4}{9};\infty[\).

- Wo liegen die Berge und Täler der Funktion? - Wie verhält sich die Monotonie zwischen den Extrempunkten? - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes, wenn man ihn an der Geraden \(y = x\) spiegelt?

1. Überprüfung: Der Graph hat einen Hochpunkt bei \(x = -1\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 1\). Zwischen diesen Extremstellen sowie außerhalb davon werden Funktionswerte mehrfach angenommen (z. B. \(f(0) = 0\) und \(f(\sqrt{3}) = 0\)). \(f\) ist also nicht umkehrbar. 2. Teilbereiche: Die Funktion ist umkehrbar, wo sie streng monoton ist. Die Grenzen sind die Extremstellen \(x = -1\) und \(x = 1\). Die Intervalle sind \(I_1 = [-2{,}2; -1]\), \(I_2 = [-1; 1]\) und \(I_3 = [1; 2{,}2]\). 3. Spiegelung: Bei der Bildung der Umkehrfunktion werden \(x\)- und \(y\)-Werte vertauscht. Der Punkt \(P(1 \mid -2)\) wird durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y = x\) zum Punkt \(P'(-2 \mid 1)\).

a) \(f\) ist nicht umkehrbar, da sie nicht injektiv ist (z. B. \(f(0) = f(\sqrt{3}) = f(-\sqrt{3}) = 0\)). b) Die Teilbereiche sind \([-2{,}2; -1]\), \([-1; 1]\) und \([1; 2{,}2]\). c) Der gespiegelte Punkt hat die Koordinaten \(P'(-2 \mid 1)\).

- Wenn ein Punkt auf der Geraden \(y = x\) liegt, ist er ein Fixpunkt der Spiegelung. - Überprüfe, ob die Umkehrfunktion denselben Funktionstyp wie die ursprüngliche Funktion hat.

1. Aus dem Graphen liest man den Startpunkt \((1\mid1)\) sowie die Punkte \((2\mid2)\) und \((5\mid3)\) ab. Daher ist \(f(x)=\sqrt{x-1}+1\). 2. Beim Spiegeln an \(y=x\) bleiben die Punkte \((1\mid1)\) und \((2\mid2)\) fest; \((5\mid3)\) wird zu \((3\mid5)\). 3. Aus \(y=\sqrt{x-1}+1\) folgt \(y-1=\sqrt{x-1}\), also \((y-1)^2=x-1\) und \(x=(y-1)^2+1\). Damit ist \(f^{-1}(x)=(x-1)^2+1\) für \(x\ge1\). 4. Beide Graphen haben den gemeinsamen Endpunkt \((1\mid1)\) und schneiden sich außerdem in \((2\mid2)\).

a) Der Graph von \(f^{-1}\) beginnt ebenfalls bei \((1\mid1)\) und verläuft durch \((3\mid5)\). Beide Graphen haben den gemeinsamen Endpunkt \((1\mid1)\) und schneiden sich in \((2\mid2)\). b) \(f(x)=\sqrt{x-1}+1\); \(f^{-1}(x)=(x-1)^2+1\) für \(x\ge1\).

- Schau dir bei Sprungstellen genau an, welche \(y\)-Werte in den einzelnen Abschnitten „getroffen“ werden. - Wenn sich die Bereiche der \(y\)-Werte überschneiden, könnte die Funktion nicht mehr umkehrbar sein. - Was passiert bei einem waagerechten Linienstück im Graphen?

1. Eine abschnittsweise definierte Funktion ist umkehrbar, wenn sie insgesamt injektiv ist. Das bedeutet, die Bildmengen der einzelnen Abschnitte dürfen sich nicht überschneiden, falls die Funktion dort nicht streng monoton in dieselbe Richtung verläuft. 2. Graph \(a\): Die Funktion besteht aus zwei streng monoton steigenden Geradenstücken. Der erste Abschnitt deckt die \(y\)-Werte von \(-2\) bis \(-1\) ab, der zweite von \(1\) bis \(2\). Da es keine Überschneidungen in den \(y\)-Werten gibt, ist die Funktion umkehrbar. 3. Graph \(b\): Beide Abschnitte sind streng monoton fallend. Die \(y\)-Werte des ersten Teils liegen zwischen \(1\) und \(2\), die des zweiten zwischen \(-1\) und \(0\). Auch hier gibt es keine Überschneidungen. Die Funktion ist umkehrbar. 4. Graph \(c\): Die Funktion fällt erst und steigt dann wieder an (V-Form). Waagerechte Linien schneiden den Graphen zweimal. Nicht umkehrbar. 5. Graph \(d\): Die Funktion enthält ein waagerechtes Teilstück bei \(y = 1\). Hier werden unendlich viele \(x\)-Werte demselben \(y\)-Wert zugeordnet. Nicht umkehrbar.

Die Funktionen \(a\) und \(b\) sind umkehrbar; die Funktionen \(c\) und \(d\) sind nicht umkehrbar.