Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege dir, welche der Variablen als Veränderliche und welche als Konstante zu behandeln ist. - Welche Regeln wendest du an, wenn eine Funktion aus einer Summe von Termen besteht? - Was geschieht beim Ableiten mit Summanden, die gar kein \(x\) enthalten?

1. Anwendung der Potenzregel auf den ersten Term: \(4 \cdot \frac{1}{2k}x^3 = \frac{2}{k}x^3\). 2. Anwendung der Potenzregel auf den zweiten Term: \(-2 \cdot k^2x = -2k^2x\). 3. Ableitung des konstanten Parameters \(7k\) bezüglich \(x\): \(0\). 4. Zusammenfassen der Ergebnisse zur Ableitungsfunktion: \(f_k'(x) = \frac{2}{k}x^3 - 2k^2x\).

\(f_k'(x) = \frac{2}{k}x^3 - 2k^2x\)

- Untersuche, welche Bestandteile der Funktionsterme bei allen Beispielen gleich bleiben. - Gibt es Werte, die sich von Funktion zu Funktion ändern? Diese Stellen sind Kandidaten für den Parameter. - Kannst du in den Termen einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Achte auf das Verhältnis zwischen den einzelnen Summanden innerhalb eines Funktionsterms.

1. In Teilaufgabe a ist der Ausdruck \(x^2 \cdot e^x\) in allen Funktionen identisch, während der additive Term am Ende variiert (\(-1\); \(3\); \(-\pi\)). Ersetzt man diesen durch den Parameter \(a\), erhält man die Schar \(f_a(x) = x^2 \cdot e^x + a\). 2. In Teilaufgabe b lässt sich durch Ausklammern ein gemeinsamer Faktor erkennen: \(g_1(x) = 2(\sin(x) + 2)\), \(g_2(x) = 3(\sin(x) + 2)\) und \(g_3(x) = -0{,}5(\sin(x) + 2)\). Der variierende Vorfaktor wird durch den Parameter \(a\) ersetzt, was zum Funktionsterm \(g_a(x) = a(\sin(x) + 2)\) führt.

a) \(f_a(x) = x^2 \cdot e^x + a\) b) \(g_a(x) = a(\sin(x) + 2)\) oder \(g_a(x) = a\sin(x) + 2a\)

- Wie findet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine quadratische Gleichung mit einem Parameter zu lösen? - Erinnerst du dich an die Regeln für das Ableiten von Potenzfunktionen, wenn ein Parameter als konstanter Faktor oder Summand auftritt?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f_k(0) = 0^2 - 4k \cdot 0 + 3k^2 = 3k^2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 3k^2)\). 2. Berechnung der Nullstellen durch Faktorisieren der quadratischen Gleichung: \(x^2 - 4kx + 3k^2 = (x-k)(x-3k)\). Daraus folgen die Nullstellen \(x_1 = k\) und \(x_2 = 3k\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \(N_1(k \mid 0)\) und \(N_2(3k \mid 0)\). Für \(k=0\) fallen beide Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse und auch der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse im Ursprung zusammen. 3. Bildung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = 2x - 4k\). 4. Bildung der zweiten Ableitung: \(f_k''(x) = 2\).

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 3k^2)\); Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(k \mid 0)\) und \(N_2(3k \mid 0)\). Für \(k=0\) fallen \(N_1\), \(N_2\) und \(S_y\) im Ursprung zusammen. b) \(f_k''(x) = 2\).

- Wie verhalten sich Konstanten ohne \(x\) beim Ableiten? - Welchen Einfluss hat ein Summand am Ende eines Funktionsterms auf die Lage im Koordinatensystem? - Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn ein Graph die x-Achse an einer bestimmten Stelle schneidet? - Welchen Wert hat \(e^0\)?

1. Da \(2t\) ein additiver Parameter ist, fällt dieser beim Ableiten nach \(x\) weg. Es gilt: \(g_t'(x) = e^x\). 2. Der Graph von \(g_t\) entsteht durch eine vertikale Verschiebung (Verschiebung in \(y\)-Richtung) des Graphen von \(f(x) = e^x\). Die Verschiebung erfolgt um die Strecke \(2t\). Ist \(t > 0\), wird der Graph nach oben verschoben; ist \(t < 0\), erfolgt die Verschiebung nach unten. 3. Die Bedingung für einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 0\) (Nullstelle im Ursprung) lautet \(g_t(0) = 0\). Einsetzen ergibt \(e^0 + 2t = 0\). Da \(e^0 = 1\) ist, folgt \(1 + 2t = 0\). Das Lösen der Gleichung nach \(t\) liefert \(2t = -1\) und somit \(t = -0{,}5\).

1. \(g_t'(x) = e^x\) 2. Verschiebung des Graphen von \(f(x) = e^x\) in \(y\)-Richtung um den Wert \(2t\). 3. \(t = -0{,}5\)

- Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn Funktionen addiert oder multipliziert werden? - Denke bei der Exponentialfunktion an die innere und äußere Ableitung. - Es ist oft hilfreich, den Term \(e^x\) am Ende wieder auszuklammern, um die Übersicht für die nächste Ableitung zu behalten. - Behandle den Parameter beim Ableiten wie eine konstante Zahl.

1. Für \(f_k(x)\): Anwendung der Kettenregel auf beide Summanden ergibt \(f_k'(x) = 2ke^{2x} - ke^{-kx}\). Erneutes Ableiten liefert \(f_k''(x) = 4ke^{2x} + k^2e^{-kx}\). 2. Für \(h_a(x)\): Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = x^2 - a\) und \(v(x) = e^x\) ergibt \(h_a'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - a) \cdot e^x = (x^2 + 2x - a) \cdot e^x\). Erneutes Ableiten mit der Produktregel führt zu \(h_a''(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - a) \cdot e^x = (x^2 + 4x + 2 - a) \cdot e^x\).

a) \(f_k'(x) = 2ke^{2x} - ke^{-kx}\) und \(f_k''(x) = 4ke^{2x} + k^2e^{-kx}\) b) \(h_a'(x) = (x^2 + 2x - a) e^x\) und \(h_a''(x) = (x^2 + 4x + 2 - a) e^x\)

- Was bedeutet die geometrische Bedingung einer waagrechten Tangente für den Wert der Ableitungsfunktion? - Welche Ableitungsregel ist für eine Funktion der Form \(u(x) \cdot v(x)\) anzuwenden? - Kannst du den Term der Ableitung vereinfachen, indem du den gemeinsamen Faktor \(e^x\) ausklammerst? - Welche Eigenschaft der Exponentialfunktion hilft dir beim Lösen der Gleichung \((\dots) \cdot e^3 = 0\)?

1. Berechnung der ersten Ableitung \(f_k'\) unter Verwendung der Produktregel: \(f_k'(x) = ke^x + (kx - 1) \cdot e^x = (kx + k - 1) \cdot e^x\). 2. Ansatz für eine waagrechte Tangente an der Stelle \(x = 3\): \(f_k'(3) = 0\). 3. Einsetzen der Stelle in den Term der Ableitung: \((3k + k - 1) \cdot e^3 = (4k - 1) \cdot e^3 = 0\). 4. Da \(e^3 \neq 0\) gilt, muss die Klammer null ergeben: \(4k - 1 = 0\). Daraus folgt \(k = 0{,}25\).

\(k = 0{,}25\)

- Wie kannst du die Nullstellen der Funktion \(f_a(x)\) in Abhängigkeit von \(a\) bestimmen? - Welche Rolle spielt der Faktor \(e^{-0{,}5 x}\) für das Vorzeichen und die Nullstellen der Funktion? - Kannst du den Schnittpunkt der Graphen mit der \(y\)-Achse berechnen, indem du \(x = 0\) in die Funktionsgleichung einsetzt? Wie hängt dieser Wert von \(a\) ab? - Vergleiche deine berechneten Nullstellen oder \(y\)-Achsenabschnitte mit den Schnittpunkten in der Abbildung.

1. Untersuchung der Nullstellen der Funktionenschar: Da der Faktor \(e^{-0{,}5 x}\) für alle reellen Zahlen \(x\) stets positiv ist, wird der Funktionswert genau dann null, wenn der lineare Faktor null wird: \(x - a = 0 \iff x = a\) Jede Funktion \(f_a\) besitzt also genau eine Nullstelle an der Stelle \(x = a\). 2. Alternativ kann der \(y\)-Achsenabschnitt zur Bestimmung herangezogen werden: \(f_a(0) = (0 - a) \cdot e^{0} = -a\) 3. Ablesen der charakteristischen Punkte aus der Abbildung und Zuordnung: - **Graph (1)** hat die Nullstelle bei \(x = -2\) (und schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 2\)). Daraus folgt \(a = -2\). - **Graph (2)** hat die Nullstelle bei \(x = -1\) (und schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 1\)). Daraus folgt \(a = -1\). - **Graph (3)** hat die Nullstelle bei \(x = 1\) (und schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = -1\)). Daraus folgt \(a = 1\). - **Graph (4)** hat die Nullstelle bei \(x = 2\) (und schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = -2\)). Daraus folgt \(a = 2\).

Graph (1) gehört zu \(a = -2\), Graph (2) zu \(a = -1\), Graph (3) zu \(a = 1\) und Graph (4) zu \(a = 2\).

- Welche besonderen Punkte eines Graphen lassen sich oft leicht ablesen, um Parameter zu bestimmen? - Untersuche die Nullstellen der Funktionsgleichung. Eine Nullstelle ist für alle \(k\) gleich. Wo liegt die andere? - Was passiert mit der Lage der Nullstelle, wenn sich \(k\) verändert?

1. Die Nullstellen der Funktion \(h_k(x) = x^2 \cdot (x - k)\) liegen bei \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = k\). 2. Der Parameter \(k\) lässt sich somit direkt als die Stelle des zweiten Schnittpunkts (oder Berührpunkts) mit der \(x\)-Achse ablesen. 3. Graph (1) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 2\), also ist \(k = 2\). 4. Graph (2) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = -3\), also ist \(k = -3\). 5. Graph (3) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 4\), also ist \(k = 4\).

Die gesuchten Parameterwerte sind: (1) \(k = 2\); (2) \(k = -3\); (3) \(k = 4\).

- Setze einen einfachen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein, dessen Funktionswert sich gut ablesen lässt. - Welcher Punkt auf der \(y\)-Achse ist für alle Graphen charakteristisch? - Berechne \(j_a(0)\) und vergleiche das Ergebnis mit den Extrempunkten der Kurven.

1. Für \(x = 0\) ergibt sich der Funktionswert \(j_a(0) = \frac{a}{0^2 + 1} = a\). 2. Der Parameter \(a\) entspricht also dem Funktionswert an der Stelle \(x = 0\), was dem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt des Graphen auf der \(y\)-Achse entspricht. 3. Graph (1) hat sein Maximum bei \(y = 2\), woraus \(a = 2\) folgt. 4. Graph (2) hat sein Maximum bei \(y = 4\), woraus \(a = 4\) folgt. 5. Graph (3) hat sein Minimum bei \(y = -1\), woraus \(a = -1\) folgt.

Die Parameterwerte sind: (1) \(a = 2\); (2) \(a = 4\); (3) \(a = -1\).

- Überlege dir, wie man prüft, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt. - Für den zweiten Aufgabenteil benötigst du die Ableitung der Funktion. Denke dabei an die Produktregel. - Beachte, dass beim Lösen von Gleichungen der Form \(k^2 = c\) oft zwei Lösungen existieren.

1. Einsetzen des Punktes \(P(-1 \mid 0)\) in die Funktionsgleichung: \(f_k(-1) = (k^2 \cdot (-1) + 1) \cdot e^{-1} = 0\). Da \(e^{-1} \neq 0\), muss \(-k^2 + 1 = 0\) gelten. Dies führt zu \(k^2 = 1\), also \(k = 1\) oder \(k = -1\). 2. Die Ableitung nach der Produktregel bestimmt sich zu \(f_k'(x) = k^2e^x + (k^2x + 1) \cdot e^x = (k^2x + k^2 + 1) \cdot e^x\). An der Stelle \(x = 0\) gilt: \(f_k'(0) = (k^2 \cdot 0 + k^2 + 1) \cdot e^0 = k^2 + 1\). Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(k^2 + 1 = 5 \Rightarrow k^2 = 4\). Somit ist \(k = 2\) oder \(k = -2\).

1. \(k = 1\) oder \(k = -1\) 2. \(k = 2\) oder \(k = -2\)

- Behandle den Parameter \(a\) beim Ableiten wie eine normale Zahl. - Erinnere dich an die Quotientenregel für Funktionen der Form \(\frac{u(x)}{v(x)}\). - Kannst du den Term für die Ableitung so weit wie möglich vereinfachen, bevor du den Wert für \(x\) einsetzt? - Was passiert mit Termen, die ein \(x\) enthalten, wenn du \(x = 0\) einsetzt?

1. Ableitung mit der Quotientenregel: \(u(x) = a - x \Rightarrow u'(x) = -1\) und \(v(x) = ax + 1 \Rightarrow v'(x) = a\). 2. Aufstellen von \(g_a'(x)\): \(g_a'(x) = \frac{-1 \cdot (ax + 1) - (a - x) \cdot a}{(ax + 1)^2}\). 3. Vereinfachen des Zählers: \(-ax - 1 - a^2 + ax = -1 - a^2 = -(1 + a^2)\). 4. Einsetzen von \(x_0 = 0\): Da der Zähler unabhängig von \(x\) ist und der Nenner für \(x=0\) den Wert \((a \cdot 0 + 1)^2 = 1\) annimmt, ergibt sich \(g_a'(0) = \frac{-(1 + a^2)}{1^2} = -(1 + a^2)\). Die Steigung an der Stelle \(x_0 = 0\) ist stets \(-(1 + a^2)\).

Die Steigung des Graphen an der Stelle \(x_0 = 0\) ist \(g_a'(0) = -(1 + a^2)\).

- Was sagt die Steigung einer waagerechten Tangente über den Wert der Ableitung an dieser Stelle aus? - Behandle den Parameter \(a\) beim Ableiten wie eine feste Zahl. - Wie gehst du vor, um eine Gleichung nach einer Unbekannten aufzulösen?

1. Bildung der ersten Ableitung unter Anwendung der Potenz- und Faktorregel: \(g_a'(x) = 3ax^2 - 8x + a\). 2. Ansatz für eine waagerechte Tangente an der Stelle \(x = 1\): \(g_a'(1) = 0\). 3. Einsetzen des \(x\)-Wertes in die Ableitungsfunktion: \(3a \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 + a = 0\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(a\): \(4a - 8 = 0\). 5. Lösen der linearen Gleichung nach \(a\): \(4a = 8 \implies a = 2\).

a) \(g_a'(x) = 3ax^2 - 8x + a\) b) \(a = 2\)

- Überlege dir, wie man ein Produkt gleich Null setzt. - Denke daran, dass das Vorzeichen des Parameters \(k\) die Krümmung und damit die Art der Extrema beeinflussen kann. - Wie viele Ableitungen benötigst du für die vollständige Untersuchung? - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Koordinaten zu erhalten.

1. Nullstellen bestimmen: Ansatz \(f_k(x) = 0 \implies x^2(x - 3k) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = 3k\). 2. Ableitungen berechnen: \(f_k'(x) = 3x^2 - 6kx\), \(f_k''(x) = 6x - 6k\), \(f_k'''(x) = 6\). 3. Extremstellen ermitteln: Ansatz \(f_k'(x) = 0 \implies 3x(x - 2k) = 0\). Mögliche Extremstellen sind \(x_3 = 0\) und \(x_4 = 2k\). 4. Art der Extrema prüfen: Untersuchung von \(f_k''(x)\). Fall \(k > 0\): \(f_k''(0) = -6k < 0 \implies H(0 \mid 0)\); \(f_k''(2k) = 6k > 0 \implies T(2k \mid -4k^3)\). Fall \(k < 0\): \(f_k''(0) = -6k > 0 \implies T(0 \mid 0)\); \(f_k''(2k) = 6k < 0 \implies H(2k \mid -4k^3)\). 5. Wendestellen bestimmen: Ansatz \(f_k''(x) = 0 \implies 6x - 6k = 0 \implies x_5 = k\). Da \(f_k'''(k) = 6 \neq 0\), liegt bei \(x=k\) eine Wendestelle vor. Koordinaten: \(W(k \mid -2k^3)\).

Nullstellen: \(x_1=0\) ist eine doppelte Nullstelle; \(x_2=3k\) ist eine weitere Nullstelle. Extrema für \(k > 0\): Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\), Tiefpunkt \(T(2k \mid -4k^3)\) Extrema für \(k < 0\): Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\), Hochpunkt \(H(2k \mid -4k^3)\) Wendepunkt: \(W(k \mid -2k^3)\)

- Vergleiche die Positionen der Zahlenwerte in den verschiedenen Funktionstermen. - Tritt derselbe Wert an mehreren Stellen innerhalb eines Terms auf? - Überlege, wie sich die Struktur des Terms verändert, wenn du die festen Zahlen durch einen Buchstaben ersetzt.

1. Bei den Funktionen in Teilaufgabe a fällt auf, dass der Zähler und die Konstante im Nenner stets denselben Wert besitzen (\(1\); \(4\) oder \(0{,}5\)). Setzt man an diesen Positionen den Parameter \(k\) ein, ergibt sich die Schar \(f_k(x) = \frac{k}{x^2 + k}\). 2. In Teilaufgabe b tritt derselbe Zahlenwert an zwei verschiedenen Stellen auf: als Subtrahend in der Klammer und als Faktor im Exponenten (\(1\); \(2\) oder \(0{,}5\)). Durch Ersetzen dieser Werte durch den Parameter \(k\) erhält man den allgemeinen Term \(f_k(x) = (x - k) \cdot e^{kx}\).

a) \(f_k(x) = \frac{k}{x^2 + k}\) b) \(f_k(x) = (x - k) \cdot e^{kx}\)

- Überlege dir, wie das Ausklammern von \(x^2\) bei der Nullstellenberechnung hilft. - Beachte, dass Wurzeln aus negativen Zahlen im reellen Bereich nicht definiert sind. Welche Fälle für den Parameter musst du also unterscheiden? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte. - Untersuche das Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen, um die Art der Extrema zu bestimmen.

1. Nullstellen bestimmen: \(x^2(x^2 - 2a) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\). Falls \(a > 0\), existieren zusätzlich \(x_{2,3} = \pm \sqrt{2a}\). Für \(a \leq 0\) ist \(x = 0\) die einzige Nullstelle. 2. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 4x^3 - 4ax\), \(f_a''(x) = 12x^2 - 4a\). 3. Extrempunkte untersuchen: \(4x(x^2 - a) = 0\) liefert \(x = 0\) sowie für \(a > 0\) zusätzlich \(x = \pm \sqrt{a}\). - Fall \(a > 0\): \(f_a''(0) = -4a < 0 \implies HP(0 \mid 0)\). \(f_a''(\pm \sqrt{a}) = 8a > 0 \implies TP(\pm \sqrt{a} \mid -a^2)\). - Fall \(a \leq 0\): Einzige Extremstelle bei \(x = 0\). Da \(f_a'(x) = 4x(x^2-a)\) und \((x^2-a) > 0\) (außer für \(x=a=0\)), findet ein Vorzeichenwechsel von minus nach plus statt \(\implies TP(0 \mid 0)\). 4. Wendestellen bestimmen: \(12x^2 - 4a = 0 \implies x^2 = \frac{a}{3}\). - Für \(a > 0\) ergeben sich zwei Wendestellen bei \(x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}\), da hier \(f_a''(x) = 0\) mit Vorzeichenwechsel gilt. - Für \(a \leq 0\) gibt es keine Wendestellen, da \(12x^2 - 4a \geq 0\) für alle \(x\) gilt.

Nullstellen: \(x_1 = 0\); falls \(a > 0\): zusätzlich \(x_{2,3} = \pm \sqrt{2a}\). Extrempunkte: - Für \(a > 0\): \(HP(0 \mid 0)\) und \(TP(\pm \sqrt{a} \mid -a^2)\). - Für \(a \leq 0\): \(TP(0 \mid 0)\). Wendestellen: - Für \(a > 0\): \(x_{W1,2} = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}\). - Für \(a \leq 0\): keine Wendestellen.

- Kannst du den Funktionsterm ausklammern, um die Nullstellen einfacher zu berechnen? - Was bedeutet es für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, wenn eine Nullstelle im Ursprung liegt? - Wie behandelst du den Parameter \(a\), wenn du nach der Variablen \(t\) ableitest?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g_a(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 - a^2 \cdot 0 = 0\). Der Punkt ist \(S_y(0 \mid 0)\). 2. Schnittpunkte mit der \(t\)-Achse (Nullstellen): Ansatz \(g_a(t) = 0 \Rightarrow t \cdot (\frac{1}{3}t^2 - a^2) = 0\). Eine Lösung ist \(t_1 = 0\). Für die Klammer gilt \(\frac{1}{3}t^2 = a^2 \Rightarrow t^2 = 3a^2 \Rightarrow t_{2,3} = \pm \sqrt{3}a\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{3}a \mid 0)\) und \(N_3(-\sqrt{3}a \mid 0)\). 3. Erste Ableitung bilden: \(g_a'(t) = t^2 - a^2\). 4. Zweite Ableitung bilden: \(g_a''(t) = 2t\).

a) Schnittpunkte mit den Achsen: \(S_y(0 \mid 0)\), \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{3}a \mid 0)\) und \(N_3(-\sqrt{3}a \mid 0)\). b) \(g_a''(t) = 2t\).

- Wie lautet die \(x\)-Koordinate eines Punktes auf der \(y\)-Achse? - Welche Ableitungsregel benötigst du für diesen Funktionstyp? - Was ist die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes? - Überlege, wann ein quadratischer Ausdruck keine Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt.

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\). Einsetzen ergibt \(g_k(0) = (0^2 - k) \cdot e^0 = -k\). 2. Gleichsetzen mit dem gegebenen Wert: \(-k = -5 \implies k = 5\). 3. Zur Bestimmung der Extrempunkte wird die erste Ableitung mithilfe der Produktregel gebildet: \(g_k'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - k) \cdot e^x = (x^2 + 2x - k) \cdot e^x\). 4. Notwendige Bedingung für Extremstellen ist \(g_k'(x) = 0\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), muss der quadratische Term \(x^2 + 2x - k = 0\) sein. 5. Ein Graph besitzt keine Extrempunkte, wenn die Ableitung keinen Vorzeichenwechsel hat. Dies ist bei einer nach oben geöffneten Parabel der Fall, wenn die Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 4 + 4k\) kleiner oder gleich null ist. 6. Lösen der Ungleichung: \(4 + 4k \le 0 \implies 4k \le -4 \implies k \le -1\).

a) \(k = 5\) b) \(k \le -1\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie berechnet man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Potenzfunktionen. - Der Ursprung ist der Punkt \((0 \mid 0)\). Welche Information liefert dir das für \(x\)?

1. Punktprobe für \(P(2 \mid 8)\): Die Gleichung \(f_k(2) = 8\) aufstellen: \(2^3 - k \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 8\). 2. Vereinfachen: \(8 - 4k + 4 = 8 \implies 12 - 4k = 8\). 3. Nach \(k\) auflösen: \(4k = 4 \implies k = 1\). 4. Ableitungsfunktion bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 2kx + 2\). 5. Steigung im Ursprung (\(x = 0\)) berechnen: \(f_k'(0) = 3 \cdot 0^2 - 2k \cdot 0 + 2 = 2\). 6. Bedingung für Steigung \(11\) an der Stelle \(x = 3\): \(f_k'(3) = 11\) aufstellen. 7. Einsetzen: \(3 \cdot 3^2 - 2k \cdot 3 + 2 = 11 \implies 27 - 6k + 2 = 11\). 8. Nach \(k\) auflösen: \(29 - 6k = 11 \implies 6k = 18 \implies k = 3\).

a) \(k = 1\) b) Die Steigung im Ursprung beträgt \(2\). c) \(k = 3\)

- Überlege dir, welche Koordinaten der Ursprung hat und wie man die Steigung dort findet. - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung ein, um den Parameter zu bestimmen. - Die Steigung an einer Stelle \(x\) entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Achte darauf, ob das Ergebnis für die Steigung eine feste Zahl ist oder vom Parameter abhängt.

1. Punktprobe für \(P(1 \mid 2)\): Die Gleichung \(g_t(1) = 2\) aufstellen: \(1^3 - 3 \cdot 1^2 + t \cdot 1 = 2\). 2. Vereinfachen und lösen: \(1 - 3 + t = 2 \implies -2 + t = 2 \implies t = 4\). 3. Ableitungsfunktion bestimmen: \(g_t'(x) = 3x^2 - 6x + t\). 4. Steigung im Ursprung (\(x = 0\)) bestimmen: \(g_t'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + t = t\). 5. Bedingung für Steigung \(5\) an der Stelle \(x = 2\): \(g_t'(2) = 5\) aufstellen. 6. Einsetzen: \(3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + t = 5\). 7. Vereinfachen: \(12 - 12 + t = 5 \implies t = 5\).

a) \(t = 4\) b) Die Steigung im Ursprung ist \(t\). c) \(t = 5\)

- Was passiert mit dem Parameter beim Ableiten nach \(x\)? - Welche Bedingung muss für die Existenz eines Extrempunktes erfüllt sein? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(e^x = c\) nach \(x\) auflösen? - Überlege dir, wie sich der Funktionswert des natürlichen Logarithmus verhält, wenn sein Argument größer wird.

1. Zur Bestimmung der ersten Ableitung wird die Summenregel und die Regel für die Ableitung der Exponentialfunktion angewendet. Da \(k\) ein konstanter Faktor ist, bleibt er erhalten: \(f_k'(x) = ke^x - 1\). 2. Für ein lokales Minimum muss die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) erfüllt sein. Aus \(ke^x - 1 = 0\) folgt \(e^x = \frac{1}{k}\). Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus ergibt sich die Stelle \(x_E = \ln\left(\frac{1}{k}\right)\), was umgeformt \(x_E = -\ln(k)\) entspricht. Da die zweite Ableitung \(f_k''(x) = ke^x\) für alle \(x\) und \(k > 0\) positiv ist (\(f_k''(x_E) = k \cdot \frac{1}{k} = 1 > 0\)), liegt an dieser Stelle tatsächlich ein lokales Minimum vor. 3. Betrachtet man \(x_E = -\ln(k)\), so führt eine Vergrößerung von \(k\) dazu, dass der Wert von \(\ln(k)\) steigt. Infolgedessen sinkt der Wert von \(-\ln(k)\). Die Minimalstelle \(x_E\) verschiebt sich also bei steigendem \(k\) auf der \(x\)-Achse nach links (in negative Richtung).

1. \(f_k'(x) = ke^x - 1\) 2. \(x_E = \ln\left(\frac{1}{k}\right) = -\ln(k)\) 3. Die Minimalstelle verschiebt sich nach links (in negative \(x\)-Richtung), da für \(k > 0\) die Funktion \(g(k) = -\ln(k)\) streng monoton fallend ist.

- Welche Information liefert dir ein gegebener Punkt für den Funktionswert an dieser Stelle? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Tangente und der Ableitung der Funktion. - Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander verlaufen? - Nutze die Produktregel, um die Ableitungsfunktion der Schar zu bestimmen.

1. Aufstellen der Bedingung für den Punkt \(P(0 \mid -3)\): Es muss \(f_{a,b}(0) = -3\) gelten. Einsetzen ergibt \((a \cdot 0 + b) \cdot e^0 = b = -3\). 2. Ableitung der Funktion bilden: Unter Verwendung der Produktregel ergibt sich \(f'_{a,b}(x) = a \cdot e^x + (ax + b) \cdot e^x = (ax + a + b) \cdot e^x\). 3. Aufstellen der Bedingung für die Steigung: Da die Tangente parallel zu \(y = 2x + 7\) sein soll, muss die Steigung \(f'_{a,b}(0) = 2\) betragen. 4. Einsetzen von \(x = 0\) und \(b = -3\) in die Ableitung: \((a \cdot 0 + a - 3) \cdot e^0 = a - 3 = 2\). 5. Lösen nach \(a\): Es folgt \(a = 5\).

\(a = 5\) und \(b = -3\)

- Welche zwei mathematischen Bedingungen kannst du aus den Angaben im Text aufstellen? - Wie leitest du Terme der Form \(e^{kx}\) ab? - Du erhältst ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Welches Verfahren eignet sich hier am besten zum Lösen?

1. Bedingung für den Punkt \(Q(0 \mid 1)\) nutzen: \(g_{r,s}(0) = 1\) führt zu \(re^0 + se^0 = r + s = 1\). 2. Ableitung der Funktion bestimmen: Mit der Kettenregel für den ersten Term ergibt sich \(g'_{r,s}(x) = 2re^{2x} + se^x\). 3. Bedingung für die Steigung an der Stelle \(x = 0\) nutzen: \(g'_{r,s}(0) = 5\) führt zu \(2re^0 + se^0 = 2r + s = 5\). 4. Lineares Gleichungssystem lösen: Aus \(r + s = 1\) (I) und \(2r + s = 5\) (II) folgt durch Subtraktion (II) - (I) direkt \(r = 4\). 5. Einsetzen von \(r = 4\) in Gleichung (I): \(4 + s = 1 \implies s = -3\).

\(r = 4\) und \(s = -3\)

- Wie lautet die allgemeine Gleichung einer Tangente an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Informationen über die Tangente kannst du direkt aus dem Funktionsterm und seiner Ableitung an der Stelle \(x = 0\) gewinnen? - Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Geradengleichung erfüllen. - Überlege dir zuerst, wie die Steigung und der y-Achsenabschnitt der Tangente von \(k\) abhängen.

1. Ableitung bestimmen: Unter Anwendung der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion und der Summenregel ergibt sich \(f_k'(x) = ke^x - 1\). 2. Punktkoordinaten und Steigung an der Stelle \(x = 0\) berechnen: Es gilt \(f_k(0) = k \cdot e^0 - 0 = k\) und \(f_k'(0) = k \cdot e^0 - 1 = k - 1\). 3. Tangentengleichung aufstellen: Mit der allgemeinen Form \(y = f_k'(x_0)(x - x_0) + f_k(x_0)\) folgt \(y = (k - 1)(x - 0) + k\), vereinfacht \(y = (k - 1)x + k\). 4. Parameter \(k\) bestimmen: Durch Einsetzen der Koordinaten von \(Q(2 \mid 5)\) in die Tangentengleichung erhält man \(5 = (k - 1) \cdot 2 + k\). Auflösen nach \(k\): \(5 = 2k - 2 + k \iff 5 = 3k - 2 \iff 7 = 3k \iff k = \frac{7}{3}\).

a) \(f_k'(x) = ke^x - 1\) b) \(k = \frac{7}{3}\)

- Denke beim Ableiten an die Kettenregel für den Term \(e^{ax}\). - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Bestimme zuerst die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von \(a\). - Setze die Bedingung für den \(x\)-Achsenabschnitt in deine Tangentengleichung ein, um eine Gleichung für \(a\) zu erhalten.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: Mithilfe der Kettenregel ergibt sich \(g_a'(x) = 2ae^{ax}\). 2. Funktionswert und Steigung an der Berührstelle berechnen: Für \(x = 0\) ist \(g_a(0) = 2 \cdot e^0 + 1 = 3\) und \(g_a'(0) = 2a \cdot e^0 = 2a\). 3. Gleichung der Tangente aufstellen: \(y = g_a'(0)x + g_a(0) \implies y = 2ax + 3\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse nutzen: Die Tangente soll durch den Punkt \((-1 \mid 0)\) verlaufen. Einsetzen liefert \(0 = 2a \cdot (-1) + 3\). 5. Parameter berechnen: Aus \(0 = -2a + 3\) folgt \(2a = 3\) und somit \(a = 1{,}5\).

a) \(g_a'(x) = 2ae^{ax}\) b) \(a = 1{,}5\)

- Wie lautet die Kettenregel für Exponentialfunktionen mit einem Faktor im Exponenten? - Welche Formel hilft dir, die Gleichung einer Tangente an einer Stelle \(x_0\) aufzustellen? - Was bedeutet eine negative Steigung für das Vorzeichen des Parameters? - Achte beim Lösen von Ungleichungen darauf, was passiert, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst. - Wie findet man rechnerisch die Nullstelle einer linearen Funktion?

1. Ableitungen bilden: Die erste Ableitung ist \(f'_k(x) = 2ke^{2x}\), die zweite Ableitung \(f''_k(x) = 4ke^{2x}\). Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f''_k(0) = 4k \cdot e^0 = 4k\). 2. Tangentengleichung aufstellen: Der Berührpunkt ist \((0 \mid f_k(0)) = (0 \mid k - 4)\). Die Steigung ist \(m = f'_k(0) = 2k\). Die Tangente hat die Gleichung \(y = 2kx + k - 4\). 3. Bedingung negative Steigung: Es muss \(2k < 0\) gelten, woraus \(k < 0\) folgt. 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse berechnen: Aus \(0 = 2kx + k - 4\) folgt \(2kx = 4 - k\), also \(x_s = \frac{4 - k}{2k}\). 5. Ungleichung für die \(x\)-Koordinate lösen: Es soll \(\frac{4 - k}{2k} < -1\) gelten. Da \(k < 0\) ist, ist \(2k\) negativ. Multiplikation mit \(2k\) dreht das Ungleichheitszeichen um: \(4 - k > -2k\). Daraus folgt \(4 > -k\) bzw. \(k > -4\). 6. Zusammenführung: Unter Berücksichtigung von \(k < 0\) ergibt sich \(-4 < k < 0\).

a) \(f_k''(0)=4k\) b) \(-4<k<0\)

- Berechne zuerst den \(y\)-Wert und die Steigung an der gegebenen Stelle. - Vereinfache die Tangentengleichung so weit wie möglich, bevor du weiterrechnest. - Welche Bedingung muss für den Parameter gelten, damit die Steigung der Geraden positiv ist? - Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit der horizontalen Achse? - Kannst du die Bedingung für die \(x\)-Koordinate in eine Ungleichung für den Parameter umwandeln?

1. Funktionswert und Steigung berechnen: \(g_a(1) = a \cdot e^0 + 2 = a + 2\). Die Ableitung ist \(g'_a(x) = ae^{x-1}\), also ist die Steigung an der Stelle \(x = 1\) gerade \(m = g'_a(1) = a \cdot e^0 = a\). 2. Tangentengleichung ermitteln: \(y = a(x - 1) + a + 2\). Vereinfacht ergibt dies \(y = ax - a + a + 2\), also \(y = ax + 2\). 3. Bedingung positive Steigung: Es muss \(a > 0\) gelten. 4. Nullstelle der Tangente berechnen: \(0 = ax + 2 \implies ax = -2 \implies x_s = -\frac{2}{a}\). 5. Ungleichung für die Nullstelle lösen: Es soll \(x_s > -1\) gelten, also \(-\frac{2}{a} > -1\). Da \(a > 0\) vorausgesetzt ist, kann man mit \(a\) multiplizieren, ohne das Zeichen zu drehen: \(-2 > -a\). Durch Multiplikation mit \(-1\) folgt \(2 < a\) bzw. \(a > 2\).

a) Die Tangente hat die Gleichung \(y=ax+2\). b) \(a>2\)

- Was bedeutet es für die Steigung einer Funktion, wenn die Tangente parallel zur \(x\)-Achse liegt? - Nutze die Produktregel und achte beim Ableiten von \(e^{tx}\) auf die Kettenregel. - Kann die Exponentialfunktion jemals den Wert Null annehmen? Was bedeutet das für das Lösen der Gleichung? - Versuche, den Faktor \(e^{tx}\) nach dem Ableiten direkt wieder auszuklammern.

1. Erste Ableitung: Anwendung der Produkt- und Kettenregel. Mit \(u = t - x\) (\(u' = -1\)) und \(v = e^{tx}\) (\(v' = t \cdot e^{tx}\)) folgt: \(g_t'(x) = -1 \cdot e^{tx} + (t - x) \cdot t \cdot e^{tx} = (t^2 - tx - 1) \cdot e^{tx}\). 2. Zweite Ableitung: Erneute Anwendung der Produktregel auf \(g_t'(x)\) mit \(u = t^2 - tx - 1\) (\(u' = -t\)) ergibt: \(g_t''(x) = -t \cdot e^{tx} + (t^2 - tx - 1) \cdot t \cdot e^{tx} = (t^3 - t^2x - 2t) \cdot e^{tx}\). 3. Tangente parallel zur \(x\)-Achse: Bedingung \(g_t'(x) = 0\). Da \(e^{tx} > 0\) für alle \(x\), muss \(t^2 - tx - 1 = 0\) gelten. Umstellen nach \(x\) liefert \(tx = t^2 - 1\), also \(x = \frac{t^2 - 1}{t} = t - \frac{1}{t}\).

a) \(g_t'(x) = (t^2 - tx - 1) e^{tx}\) und \(g_t''(x) = (t^3 - t^2x - 2t) e^{tx}\) b) \(x = t - \frac{1}{t}\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Welche Ableitungsregel ist bei einem Produkt aus einer linearen Funktion und der \(e\)-Funktion hilfreich? - Wie gehst du vor, wenn du einen Wert an einer bestimmten Stelle der zweiten Ableitung berechnen sollst?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(1 \mid 5e)\) in die Funktionsgleichung: \(f_k(1) = (k \cdot 1 + 4) \cdot e^1 = (k + 4)e\). Gleichsetzen mit dem Funktionswert: \((k + 4)e = 5e \implies k + 4 = 5 \implies k = 1\). 2. Bildung der Ableitungen mittels Produktregel: \(f_k'(x) = ke^x + (kx + 4) \cdot e^x = (kx + k + 4) \cdot e^x\). Die zweite Ableitung lautet \(f_k''(x) = ke^x + (kx + k + 4) \cdot e^x = (kx + 2k + 4) \cdot e^x\). Einsetzen von \(x = 0\): \(f_k''(0) = (0 + 2k + 4) \cdot e^0 = 2k + 4\). Gleichsetzen mit der Bedingung: \(2k + 4 = 2 \implies 2k = -2 \implies k = -1\).

1. \(k = 1\) 2. \(k = -1\)

- Kannst du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen, um eine Gleichung für den Parameter zu erhalten? - Denke beim Ableiten daran, die Produktregel anzuwenden und den Term danach zur Vereinfachung wieder auszuklammern. - Achte darauf, ob es bei Gleichungen wie \(a^2 = c\) mehr als eine Lösung gibt.

1. Einsetzen der Koordinaten von \(Q(0 \mid -9)\): \(g_a(0) = (0^2 - a^2) \cdot e^0 = -a^2\). Bedingung: \(-a^2 = -9 \implies a^2 = 9\). Daraus folgen die Lösungen \(a_1 = 3\) und \(a_2 = -3\). 2. Bestimmung der zweiten Ableitung mit der Produktregel: \(g_a'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - a^2) \cdot e^x = (x^2 + 2x - a^2) \cdot e^x\). Die zweite Ableitung ist \(g_a''(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - a^2) \cdot e^x = (x^2 + 4x + 2 - a^2) \cdot e^x\). Einsetzen von \(x = 0\): \(g_a''(0) = (0 + 0 + 2 - a^2) \cdot 1 = 2 - a^2\). Bedingung: \(2 - a^2 = -7 \implies -a^2 = -9 \implies a^2 = 9\). Dies liefert ebenfalls \(a_1 = 3\) und \(a_2 = -3\).

1. \(a = 3\) oder \(a = -3\) 2. \(a = 3\) oder \(a = -3\)

- Wie hängen die Steigung eines Graphen und die erste Ableitung zusammen? - Welche Regeln musst du kombinieren, um den Term \(x^2 \cdot e^{ax}\) abzuleiten? - Setze den gegebenen x-Wert in deine Ableitung ein und vergleiche das Ergebnis mit dem Zielwert. - Gibt es einen Faktor in deiner Gleichung, der niemals null wird und durch den du teilen kannst?

1. Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion \(g_a'\) mithilfe der Produkt- und Kettenregel: \(g_a'(x) = 2x \cdot e^{ax} + x^2 \cdot a \cdot e^{ax} = (ax^2 + 2x) \cdot e^{ax}\). 2. Aufstellen der Bedingungsgleichung für die Steigung an der Stelle \(x = 1\): \(g_a'(1) = e^a\). 3. Einsetzen von \(x = 1\) in den Ableitungsterm: \((a \cdot 1^2 + 2 \cdot 1) \cdot e^{a \cdot 1} = (a + 2) \cdot e^a\). 4. Lösen der Gleichung \((a + 2) \cdot e^a = e^a\): Da \(e^a\) für alle \(a\) ungleich null ist, kann durch \(e^a\) dividiert werden. Es ergibt sich \(a + 2 = 1\), woraus \(a = -1\) folgt.

\(a = -1\)

- Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Wie kannst du die Information, dass ein Punkt auf dem Graphen liegt, in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Du hast zwei Unbekannte. Wie viele Gleichungen benötigst du, um diese eindeutig zu bestimmen? - Versuche, einen Teil einer Gleichung durch den Wert aus der anderen Gleichung zu ersetzen, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Aufstellen der Punktbedingung: Aus \(f_{a,b}(1) = e^2\) folgt die Gleichung \(a \cdot e^{b \cdot 1^2} = ae^b = e^2\). 2. Bilden der ersten Ableitung mit der Kettenregel: \(f_{a,b}'(x) = a \cdot e^{bx^2} \cdot 2bx = 2abx \cdot e^{bx^2}\). 3. Aufstellen der Steigungsbedingung im Punkt \(P\): \(f_{a,b}'(1) = 2ab \cdot e^b = 4e^2\). 4. Substituieren der ersten Gleichung (\(a e^b = e^2\)) in die zweite Gleichung: \(2b \cdot (a e^b) = 2b \cdot e^2 = 4e^2\). 5. Lösen nach \(b\): Durch Division durch \(2e^2\) ergibt sich \(b = 2\). 6. Bestimmen von \(a\): Einsetzen von \(b=2\) in \(a e^b = e^2\) liefert \(ae^2 = e^2\), woraus \(a = 1\) folgt.

Die Parameterwerte lauten \(a = 1\) und \(b = 2\).

- Was ist die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt? - Wie prüfst du, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? - Welchen x-Wert hat jeder Punkt, der auf der y-Achse liegt? - Was gibt die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle über den Graphen aus?

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = -e^{a-x} + 1\) und \(f_a''(x) = e^{a-x}\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_a'(x) = 0 \Rightarrow e^{a-x} = 1 \Rightarrow a-x = 0 \Rightarrow x = a\). 3. Art des Extrempunktes prüfen: \(f_a''(a) = e^0 = 1 > 0\), somit liegt ein Tiefpunkt vor. 4. Koordinaten berechnen: \(f_a(a) = e^{a-a} + a = 1+a\). Der Tiefpunkt ist \(T(a \mid 1+a)\). 5. Bedingung für Teilaufgabe b): Der \(y\)-Wert des Tiefpunktes muss \(5\) sein: \(1+a = 5 \Rightarrow a = 4\). 6. Bedingung für Teilaufgabe c): Die Steigung im Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)) muss \(1-e\) sein. \(f_a'(0) = -e^a + 1\). Gleichsetzen: \(-e^a + 1 = 1-e \Rightarrow e^a = e \Rightarrow a = 1\).

a) Tiefpunkt \(T(a \mid 1+a)\) b) \(a = 4\) c) \(a = 1\)

- Wie hängen die Steigungen zweier paralleler Geraden zusammen? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der x-Achse liegt? - Beachte beim Lösen der Gleichungen, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) niemals null wird.

1. Ableitungen bestimmen: \(g_k'(x) = ke^x - e^{2x}\) und \(g_k''(x) = ke^x - 2 e^{2x}\). 2. Extremstellen berechnen: \(g_k'(x)=e^x \cdot (k-e^x)=0\). Da \(e^x > 0\), folgt \(e^x = k\), also \(x = \ln(k)\). 3. Art des Extrempunktes: \(g_k''(\ln(k)) = k \cdot k - 2 \cdot k^2 = -k^2\). Da \(k > 0\), ist \(-k^2 < 0\), also liegt ein Hochpunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate: \(g_k(\ln(k)) = k \cdot k - 0{,}5 k^2 - 2 = 0{,}5 k^2 - 2\). Der Hochpunkt ist \(H(\ln(k) \mid 0{,}5 k^2 - 2)\). 5. Extrempunkt auf der \(x\)-Achse: \(0{,}5 k^2 - 2 = 0 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = 2\) (da \(k > 0\)). 6. Tangente parallel zu \(y = 3x - 5\): Die Steigung an der Stelle \(x=0\) muss \(3\) sein. \(g_k'(0) = ke^0 - e^0 = k - 1\). Gleichsetzen: \(k - 1 = 3 \Rightarrow k = 4\).

a) Hochpunkt \(H(\ln(k) \mid 0{,}5 k^2 - 2)\) b) \(k = 2\) c) \(k = 4\)

- Kannst du die Produktregel und die Kettenregel auf den Funktionsterm anwenden? - Welche Eigenschaft der Exponentialfunktion hilft dir beim Lösen der Gleichungen \(f'(x) = 0\) und \(f''(x) = 0\)? - Erinnerst du dich an die Lösungsformel für quadratische Gleichungen? - Warum ist es für die Existenz der Stellen wichtig, dass \(k > 0\) gilt?

1. Erste und zweite Ableitung mit Produkt- und Kettenregel bestimmen: \(f_k'(x) = (-x^2 + 2x + k) \cdot e^{-x}\) und \(f_k''(x) = (x^2 - 4x + 2 - k) \cdot e^{-x}\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen \(f_k'(x) = 0\) liefert die quadratische Gleichung \(x^2 - 2x - k = 0\). 3. Lösung mittels p-q-Formel ergibt die Extremstellen \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + k}\). Da \(k > 0\), ist der Radikand stets positiv und es existieren zwei verschiedene Stellen. 4. Notwendige Bedingung für Wendestellen \(f_k''(x) = 0\) liefert die Gleichung \(x^2 - 4x + 2 - k = 0\). 5. Lösung mittels p-q-Formel ergibt die Wendestellen \(x_{3,4} = 2 \pm \sqrt{4 - (2 - k)} = 2 \pm \sqrt{2 + k}\). Da \(k > 0\), existieren stets zwei verschiedene Wendestellen.

Extremstellen: \(x_1 = 1 - \sqrt{1 + k}\) und \(x_2 = 1 + \sqrt{1 + k}\) Wendestellen: \(x_3 = 2 - \sqrt{2 + k}\) und \(x_4 = 2 + \sqrt{2 + k}\)

- Was passiert mit dem Parameter \(a\), wenn du die Gleichung \(g_a'(x) = 0\) löst? - Wie gehst du vor, um eine Gleichung der Form \(x^3 - 3x = 0\) nach \(x\) aufzulösen? - Welche Bedingungen müssen für eine Extremstelle bzw. eine Wendestelle erfüllt sein? - Hängen die gesuchten Stellen in diesem Fall vom Parameter \(a\) ab?

1. Ableitungen bilden: \(g_a'(x) = a \cdot (1 - x^2) \cdot e^{-0{,}5x^2}\) und \(g_a''(x) = a \cdot (x^3 - 3x) \cdot e^{-0{,}5x^2}\). 2. Extremstellen: \(g_a'(x) = 0 \iff 1 - x^2 = 0\). Dies ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Da \(a \neq 0\), ist \(g_a''(\pm 1) \neq 0\), womit lokale Extrema vorliegen. 3. Wendestellen: \(g_a''(x) = 0 \iff x^3 - 3x = 0 \iff x \cdot (x^2 - 3) = 0\). 4. Die Lösungen sind \(x_3 = 0\), \(x_4 = \sqrt{3}\) und \(x_5 = -\sqrt{3}\). Eine Überprüfung (z. B. mit der dritten Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium) bestätigt, dass an allen drei Stellen Wendepunkte vorliegen.

Extremstellen: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\) Wendestellen: \(x_3 = 0\), \(x_4 = -\sqrt{3}\) und \(x_5 = \sqrt{3}\)

- Wie lautet die mathematische Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Setze den gegebenen Punkt in die Funktionsgleichung ein, um eine Gleichung für \(t\) zu erhalten. - Betrachte die Struktur der Gleichung — erkennst du eine Symmetrie in den Exponenten? - Gibt es mehr als eine Lösung für die Gleichung?

1. Nachweis der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse durch Prüfung der Bedingung \(f_t(-x) = f_t(x)\): \(f_t(-x) = e^{t \cdot (-x)} + e^{-t \cdot (-x)} = e^{-tx} + e^{tx} = f_t(x)\). 2. Einsetzen der Koordinaten von \(P(2 \mid e^4 + e^{-4})\) in die Funktionsgleichung: \(f_t(2) = e^{2t} + e^{-2t} = e^4 + e^{-4}\). 3. Vergleich der Exponenten oder Nutzung der Substitution \(u = e^{2t}\): Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(2t = 4\) oder \(2t = -4\) gilt. 4. Bestimmung der Parameterwerte: \(t = 2\) oder \(t = -2\).

a) Der Nachweis erfolgt über \(f_t(-x) = e^{-tx} + e^{tx} = f_t(x)\). b) Die möglichen Werte für den Parameter sind \(t = 2\) und \(t = -2\).

- Was muss für den Funktionswert an der Stelle \(-x\) gelten, damit Symmetrie zur \(y\)-Achse vorliegt? - An welcher Stelle \(x\) vermutest du aufgrund der Symmetrie den Tiefpunkt? - Verwende die Ableitung, um die Lage des Extrempunkts exakt zu bestimmen. - Welche Bedingung muss die \(y\)-Koordinate eines Punktes erfüllen, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt?

1. Überprüfung der Symmetrie: \(g_k(-x) = k \cdot (e^{-x} + e^{-(-x)}) - k^2 = k \cdot (e^{-x} + e^x) - k^2 = g_k(x)\). Somit liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Bestimmung der Extremstelle: Die notwendige Bedingung \(g_k'(x) = 0\) führt auf \(k \cdot (e^x - e^{-x}) = 0\). Da \(k > 0\), muss \(e^x = e^{-x}\) gelten, woraus \(x = 0\) folgt. 3. Überprüfung der Art des Extrempunkts: Wegen \(g_k''(x) = k \cdot (e^x + e^{-x})\) ist \(g_k''(0) = 2k > 0\). Somit liegt bei \(x = 0\) ein Tiefpunkt vor. 4. Bedingung für die Lage auf der \(x\)-Achse: Die \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts muss Null sein: \(g_k(0) = k \cdot (e^0 + e^0) - k^2 = 2k - k^2 = 0\). 5. Lösen der Gleichung: \(k \cdot (2 - k) = 0\) ergibt \(k = 2\) (da \(k \in \mathbb{R}^+\)).

a) Es gilt \(g_k(-x) = g_k(x)\), daher sind die Graphen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Der Tiefpunkt liegt für \(k = 2\) auf der \(x\)-Achse.

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer Stelle \(x\) grafisch an? - Welche Werte kann eine Kosinusfunktion maximal annehmen? - Stelle eine allgemeine Formel für die maximale Steigung in Abhängigkeit von \(k\) auf.

1. Bildung der ersten Ableitung von \(f_k(x) = \sin(kx)\) nach der Kettenregel: \(f_k'(x) = \cos(kx) \cdot k = k\cos(kx)\). 2. Bestimmung der maximalen Steigung: Die Steigung wird durch die Funktionswerte von \(f_k'(x)\) beschrieben. Da die Kosinusfunktion \(\cos(kx)\) maximal den Wert \(1\) annimmt, beträgt der maximale Wert der Steigungsfunktion \(k \cdot 1 = k\). 3. Analyse der Parameteränderung: Sei \(m_{max} = k\) die maximale Steigung für einen Parameter \(k\). Bei Verdopplung des Parameters auf \(2k\) ergibt sich die neue maximale Steigung zu \(m_{neu} = 2k\). 4. Schlussfolgerung: Eine Verdopplung von \(k\) führt zu einer Verdopplung der maximalen Steigung des Graphen.

Die maximale Steigung des Graphen von \(f_k(x) = \sin(kx)\) ist durch den Wert \(k\) gegeben. Verdoppelt man den Parameter \(k\), so verdoppelt sich auch die maximale Steigung des Graphen.

- Behandle den Parameter \(k\) beim Ableiten wie eine ganz normale Zahl. - Wann genau hat ein Graph eine waagerechte Tangente? Was bedeutet das für den Wert der Ableitung? - Setze nach dem Ableiten den gegebenen \(x\)-Wert ein, um eine Gleichung für \(k\) zu erhalten. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion \(e^{\dots}\) niemals null wird.

1. Teilaufgabe a): Ableitung mittels Produktregel. Setze \(u(x) = kx + 2\) mit \(u'(x) = k\) und \(v(x) = e^{-2x}\) mit \(v'(x) = -2e^{-2x}\) (Kettenregel). Die Ableitung lautet \(f_k'(x) = k \cdot e^{-2x} + (kx + 2) \cdot (-2e^{-2x})\). Ausklammern von \(e^{-2x}\) ergibt \(f_k'(x) = (k - 2kx - 4) \cdot e^{-2x} = (-2kx + k - 4) \cdot e^{-2x}\). 2. Teilaufgabe b): Eine waagerechte Tangente bei \(x = 0\) bedeutet \(f_k'(0) = 0\). Einsetzen von \(x = 0\) in die Ableitung: \(f_k'(0) = (-2k \cdot 0 + k - 4) \cdot e^{0} = (k - 4) \cdot 1 = k - 4\). Die Bedingung \(k - 4 = 0\) führt auf \(k = 4\).

a) \(f_k'(x) = (-2kx + k - 4) \cdot e^{-2x}\) b) \(k = 4\)

- Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn ein Produkt aus einer ganzrationalen Funktion und einer Exponentialfunktion vorliegt? - Was weißt du über die Nullstellen der natürlichen Exponentialfunktion? - Von welchem Teil der Ableitungsfunktion hängt die Anzahl der Nullstellen ab? - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung höchstens haben?

1. Bildung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \( f'(x) = (2ax + b) \cdot e^{-x} + (ax^2 + bx + c) \cdot e^{-x} \cdot (-1) \). 2. Ausklammern des Exponentialterms: \( f'(x) = e^{-x} \cdot (2ax + b - ax^2 - bx - c) = e^{-x} \cdot (-ax^2 + (2a-b)x + b-c) \). 3. Notwendige Bedingung für Extremstellen: \( f'(x) = 0 \). Da \( e^{-x} > 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), muss der quadratische Faktor null sein: \( -ax^2 + (2a-b)x + b-c = 0 \). 4. Da \( a \neq 0 \), handelt es sich um eine quadratische Gleichung. Eine quadratische Gleichung hat im Reellen maximal zwei Lösungen. 5. Da die Ableitung höchstens zwei Nullstellen besitzen kann, kann die Funktion \( f \) höchstens zwei Stellen mit waagerechter Tangente und damit maximal zwei Extremstellen haben.

Die Ableitung hat die Form \( f'(x) = e^{-x} \cdot Q(x) \), wobei \( Q(x) \) ein Polynom zweiten Grades ist. Da \( e^{-x} \) nie null wird, wird die Anzahl der Nullstellen der Ableitung durch \( Q(x) \) begrenzt. Da ein Polynom zweiten Grades maximal zwei Nullstellen besitzt, kann die Funktion \( f \) maximal zwei Extremstellen haben.

- Wann ist eine Funktion auf einem Intervall umkehrbar? Denke an die erste Ableitung. - Untersuche die Anzahl der Nullstellen der Ableitungsfunktion in Abhängigkeit von \(k\). - Nutze die Definition der Injektivität: Darf ein Funktionswert mehrmals angenommen werden? - Prüfe, ob die Funktion \(g\) eine besondere Symmetrie aufweist.

1. Für die Umkehrbarkeit auf \(\mathbb{R}\) muss \(f_k\) streng monoton sein. Die Ableitung lautet \(f_k'(x) = x^2 + k\). 2. Damit \(f_k\) streng monoton steigend ist, muss \(f_k'(x) \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gelten, wobei die Nullstellen isoliert sein müssen. Da \(x^2 \ge 0\) für alle \(x\), ist die Bedingung \(x^2 + k \ge 0\) für alle \(k \ge 0\) erfüllt. Für \(k < 0\) hätte \(f_k'\) zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, was die Monotonie aufhebt. Ergebnis: \(k \ge 0\). 3. Für Teilaufgabe b) wird die Symmetrie betrachtet. Es gilt \(g(-x) = a(-x)^4 + b(-x)^2 + c = ax^4 + bx^2 + c = g(x)\). 4. Da \(g(x) = g(-x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Für jedes \(x \neq 0\) gibt es also mindestens zwei verschiedene Stellen (\(x\) und \(-x\)) mit demselben Funktionswert. Die Funktion ist somit nicht injektiv und daher auf \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar.

a) \(k \in [0; \infty[\) (oder \(k \ge 0\)) b) Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(g(x) = g(-x)\)), weshalb sie nicht injektiv und somit nicht umkehrbar ist.

- Wende für die erste Ableitung die Kettenregel an, wobei die Wurzel die äußere Funktion ist. - Nutze für die zweite Ableitung die Quotientenregel und vereinfache den Zähler durch Erweitern. - Setze den gegebenen x-Wert in deine Formel für die zweite Ableitung ein und löse die Gleichung nach dem Parameter auf. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\).

1. Erste Ableitung mit der Kettenregel: \(f_k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + k}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + k}}\). 2. Zweite Ableitung mit der Quotientenregel: \(f_k''(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + k} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + k}}}{x^2 + k} = \frac{x^2 + k - x^2}{(x^2 + k)^{1{,}5}} = \frac{k}{(x^2 + k)^{3/2}}\). 3. Bedingung \(f_k''(0) = 0{,}25\) führt auf \(\frac{k}{k^{1{,}5}} = 0{,}25\), also \(\frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{1}{4}\). Daraus folgt \(\sqrt{k} = 4\) und somit \(k = 16\). 4. Für \(k = 12\) und \(x = 2\) ist \(f_{12}(2) = \sqrt{4 + 12} = 4\). Die Steigung ist \(f_{12}'(2) = \frac{2}{\sqrt{4 + 12}} = 0{,}5\). 5. Tangentengleichung \(y = f_{12}'(2) \cdot (x - 2) + f_{12}(2)\) ergibt \(y = 0{,}5(x - 2) + 4 = 0{,}5x + 3\).

a) \(f_k'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + k}}\); \(f_k''(x) = \frac{k}{(x^2 + k)^{3/2}}\) b) \(k = 16\) c) \(y = 0{,}5x + 3\)

- Überlege dir, warum der Ausdruck unter der Wurzel niemals null oder negativ werden kann. - Erinnere dich an die Definition von Achsen- und Punktsymmetrie. - Nutze die Quotientenregel und beachte beim Ableiten der Wurzel die Kettenregel. - Beachte beim Grenzwert im Unendlichen den Zusammenhang zwischen \(\sqrt{x^2}\) und \(|x|\).

1. Definitionsbereich: Da \(k \neq 0\), ist \(k^2 > 0\). Da zudem \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt stets \(x^2 + k^2 > 0\). Die Wurzel im Nenner ist somit für alle reellen Zahlen definiert und ungleich Null, woraus \(D = \mathbb{R}\) folgt. 2. Symmetrie: Es gilt \(f_k(-x) = \frac{k \cdot (-x)}{\sqrt{(-x)^2 + k^2}} = \frac{-kx}{\sqrt{x^2 + k^2}} = -f_k(x)\). Die Graphen sind somit punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. 3. Ableitung: Unter Verwendung der Quotienten- und Kettenregel ergibt sich \(f_k'(x) = \frac{k \cdot \sqrt{x^2+k^2} - kx \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+k^2}}}{x^2+k^2} = \frac{k(x^2+k^2) - kx^2}{(x^2+k^2)^{3/2}} = \frac{k^3}{(x^2+k^2)^{3/2}}\). 4. Monotonie: Der Nenner \((x^2+k^2)^{3/2}\) ist stets positiv. Das Vorzeichen von \(f_k'(x)\) hängt somit nur von \(k^3\) ab. Für \(k > 0\) ist \(f_k'(x) > 0\), die Funktion ist streng monoton steigend. Für \(k < 0\) ist \(f_k'(x) < 0\), die Funktion ist streng monoton fallend. 5. Grenzwerte: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{kx}{\sqrt{x^2(1 + k^2/x^2)}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{kx}{|x|\sqrt{1 + k^2/x^2}}\). Für \(x \to +\infty\) ist \(|x|=x\), der Grenzwert ist \(k\). Für \(x \to -\infty\) ist \(|x|=-x\), der Grenzwert ist \(-k\). Geometrisch bedeutet dies, dass die Graphen waagerechte Asymptoten mit den Gleichungen \(y = k\) und \(y = -k\) besitzen.

a) \(D = \mathbb{R}\); Punktsymmetrie zum Ursprung. b) \(f_k'(x) = \frac{k^3}{(x^2+k^2)^{3/2}}\); für \(k > 0\) streng monoton steigend, für \(k < 0\) streng monoton fallend. c) \(\lim_{x \to +\infty} f_k(x) = k\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -k\). Die Graphen besitzen waagerechte Asymptoten \(y = k\) und \(y = -k\).

- Welche Bedingung muss für den Ausdruck unter einer Quadratwurzel gelten? - Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird. - Erinnere dich an die Produkt- und Kettenregel für Ableitungen. - Welche notwendige und welche hinreichende Bedingung muss für einen Tiefpunkt erfüllt sein? - Wie hängen das Vorzeichen der zweiten Ableitung und das Krümmungsverhalten eines Graphen zusammen?

1. Für die Definitionsmenge muss der Radikand nichtnegativ sein: \(x + k \geq 0 \Rightarrow x \geq -k\), also \(D_k = [-k; \infty[\). 2. Die Nullstellen ergeben sich aus \(2x - k = 0\) oder \(\sqrt{x + k} = 0\), woraus \(x_1 = \frac{k}{2}\) und \(x_2 = -k\) folgen. 3. Die erste Ableitung lautet \(f_k'(x) = 2\sqrt{x+k} + \frac{2x-k}{2\sqrt{x+k}} = \frac{4(x+k) + 2x-k}{2\sqrt{x+k}} = \frac{6x + 3k}{2\sqrt{x+k}}\). 4. Ein Extrempunkt bei \(x = -2\) erfordert \(f_k'(-2) = 0\): \(6(-2) + 3k = 0 \Rightarrow -12 + 3k = 0 \Rightarrow k = 4\). 5. Die zweite Ableitung ist \(f_k''(x) = \frac{6 \cdot 2\sqrt{x+k} - (6x+3k) \cdot \frac{1}{\sqrt{x+k}}}{4(x+k)} = \frac{12(x+k) - (6x+3k)}{4(x+k)^{3/2}} = \frac{6x + 9k}{4(x+k)^{3/2}}\). 6. Überprüfung für \(k = 4\) bei \(x = -2\): \(f_4''(-2) = \frac{6(-2) + 36}{4(-2+4)^{3/2}} = \frac{24}{4\sqrt{8}} > 0\), somit liegt ein Tiefpunkt vor. 7. Für die Krümmung betrachte \(f_k''(x)\): Da der Nenner für \(x > -k\) stets positiv ist, hängt das Vorzeichen vom Zähler \(6x + 9k\) ab. Wegen \(x > -k\) gilt \(6x + 9k > 6(-k) + 9k = 3k\). Da \(k > 0\), ist \(3k > 0\). Somit ist \(f_k''(x) > 0\) für alle \(x > -k\), was eine Linkskrümmung beweist.

a) \(D_k = [-k; \infty[\); Nullstellen bei \(x = -k\) und \(x = 0{,}5k\). b) \(k = 4\). c) Der Nachweis erfolgt über \(f_k''(x) = \frac{6x + 9k}{4(x+k)^{\frac{3}{2}}}\), wobei \(f_k''(x) > 0\) für \(x > -k\) gilt.

- Überlege, für welche Werte von \(x\) der Ausdruck \(\sqrt{x}\) definiert ist. - Nutze den Satz vom Nullprodukt für die Berechnung der Nullstellen. - Verwende die Produktregel für die erste Ableitung und vereinfache den entstehenden Bruch. - Denke daran, dass für einen Hochpunkt die erste Ableitung null sein muss. - Um eine Gleichung der Form \(x\sqrt{x} = c\) zu lösen, kannst du beide Seiten quadrieren oder die Potenzschreibweise verwenden.

1. Da die Wurzel nur für nicht-negative Werte definiert ist, gilt \(D_a = [0; \infty[\). 2. Die Nullstellen liegen bei \(a - x = 0 \Rightarrow x_1 = a\) und \(\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x_2 = 0\). 3. Ableitung mit der Produktregel: \(h_a'(x) = -1 \cdot \sqrt{x} + (a - x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{-2x + a - x}{2\sqrt{x}} = \frac{a - 3x}{2\sqrt{x}}\). 4. Die Bedingung \(h_a'(x) = 0\) liefert \(a - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{3}\). 5. Die zweite Ableitung \(h_a''(x) = \frac{-3 \cdot 2\sqrt{x} - (a-3x) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}}{4x} = \frac{-6x - a + 3x}{4x\sqrt{x}} = \frac{-3x - a}{4x\sqrt{x}}\) ist für \(x > 0\) und \(a > 0\) stets negativ, was den Hochpunkt bestätigt. 6. \(y\)-Koordinate: \(h_a(\frac{a}{3}) = (a - \frac{a}{3}) \cdot \sqrt{\frac{a}{3}} = \frac{2a}{3} \cdot \sqrt{\frac{a}{3}} = \frac{2a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}\). Die Koordinaten sind \(H_a(\frac{a}{3} \mid \frac{2a\sqrt{3a}}{9})\). 7. Für \(y = 2\) gilt: \(\frac{2a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}} = 2 \Rightarrow a\sqrt{a} = 3\sqrt{3} \Rightarrow a^{3/2} = 3^{3/2} \Rightarrow a = 3\).

a) \(D_a = [0; \infty[\); Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = a\). b) \(H_a(\frac{a}{3} \mid \frac{2a\sqrt{3a}}{9})\). c) \(a = 3\).

- Überlege, welche Bedingung für den Term unter einer Quadratwurzel gelten muss. - Nutze die Kettenregel, um die Ableitung der Wurzelfunktion zu bestimmen. - Die Steigung an einer Stelle entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Um eine Gleichung mit einer Wurzel nach der Unbekannten aufzulösen, ist es oft hilfreich, die Wurzel zu isolieren und dann zu quadrieren.

1. Für die Definitionsmenge muss der Radikand nichtnegativ sein: \(2ax - a^2 \ge 0\). Da \(a > 0\), folgt \(2x \ge a\) und somit \(x \ge \frac{a}{2}\). Die maximale Definitionsmenge ist \(D_a = [\frac{a}{2}; \infty[\). 2. Anwendung der Kettenregel für die Ableitung: \(f_a'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2ax - a^2}} \cdot 2a = \frac{a}{\sqrt{2ax - a^2}}\). 3. Bedingung für die Steigung aufstellen: \(f_a'(2) = 0{,}5\). Einsetzen ergibt \(\frac{a}{\sqrt{4a - a^2}} = 0{,}5\). 4. Lösen der Gleichung: Multiplikation mit der Wurzel und Quadrieren führt zu \(a^2 = 0{,}25 \cdot (4a - a^2)\), was \(a^2 = a - 0{,}25a^2\) bzw. \(1{,}25a^2 - a = 0\) ergibt. Da \(a > 0\), folgt \(1{,}25a = 1\) und somit \(a = 0{,}8\). 5. Prüfung der Definitionsmenge: Für \(a = 0{,}8\) ist \(D_{0{,}8} = [0{,}4; \infty[\). Da \(2 \in D_{0{,}8}\), ist die Lösung gültig.

a) \(D_a = [\frac{a}{2}; \infty[\) b) \(f_a'(x) = \frac{a}{\sqrt{2ax - a^2}}\) c) \(a = 0{,}8\)

- Wie gehst du vor, um die Funktionsgleichung einer Umkehrfunktion rechnerisch zu bestimmen? - Was bedeutet es für die Koeffizienten zweier Funktionsterme, wenn die Funktionen für alle \(x\) den gleichen Wert liefern sollen? - Welche geometrische Operation bildet den Graphen einer Funktion auf den Graphen ihrer Umkehrfunktion ab? - Wie hängen die Asymptoten einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Parametern ihrer Funktionsgleichung zusammen?

1. Zur Bestimmung der Umkehrfunktion wird die Gleichung \(y = \frac{ax + 5}{x - 3}\) nach \(x\) aufgelöst: \(y(x - 3) = ax + 5 \iff xy - 3y = ax + 5 \iff x(y - a) = 3y + 5 \iff x = \frac{3y + 5}{y - a}\). Somit gilt \(f_a^{-1}(x) = \frac{3x + 5}{x - a}\). Der Vergleich der Funktionsterme \(f_a(x) = \frac{ax + 5}{x - 3}\) und \(f_a^{-1}(x) = \frac{3x + 5}{x - a}\) zeigt, dass die Funktionen genau dann identisch sind, wenn \(a = 3\) gilt. 2. Graphen von Funktionen, die mit ihrer Umkehrfunktion identisch sind, sind achsensymmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden mit der Gleichung \(y = x\). Die senkrechte Asymptote von \(f_3\) liegt bei \(x = 3\) (Nullstelle des Nenners). Die waagerechte Asymptote ergibt sich aus dem Grenzwert für \(x \to \infty\) zu \(y = 3\). Der Schnittpunkt der Asymptoten ist somit \(S(3 \mid 3)\). Da die Koordinaten die Bedingung \(y = x\) erfüllen, liegt der Punkt auf der Symmetrieachse.

1. \(a = 3\) 2. Symmetrieachse: \(y = x\). Der Schnittpunkt der Asymptoten ist \(S(3 \mid 3)\), welcher die Geradengleichung \(y = x\) erfüllt.

- Untersuche das Verhalten der Funktion, wenn \(x\) gegen den Rand des Definitionsbereichs strebt. - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Setze die gefundene Stelle in die Funktionsgleichung ein, um den zugehörigen Wert zu erhalten. - Betrachte die Terme der Koordinaten einzeln und überlege, wie sie sich verhalten, wenn der Parameter wächst.

1. Bestimmung der senkrechten Asymptote: Für \(x \to 0^+\) gilt \(\frac{x}{k} \to 0\) und \(\ln(x) \to -\infty\), woraus \(f_k(x) \to \infty\) folgt. Es existiert eine senkrechte Asymptote bei \(x = 0\). 2. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = \frac{1}{k} - \frac{1}{x}\). 3. Bestimmung der Extremstelle: \(f_k'(x) = 0 \implies \frac{1}{x} = \frac{1}{k} \implies x = k\). 4. Überprüfung der Art des Extrempunkts: \(f_k''(x) = \frac{1}{x^2}\). Da \(f_k''(k) = \frac{1}{k^2} > 0\), liegt ein Tiefpunkt vor. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f_k(k) = \frac{k}{k} - \ln(k) = 1 - \ln(k)\). Der Tiefpunkt ist \(T(k \mid 1 - \ln(k))\). 6. Analyse der Parameterabhängigkeit: Mit steigendem \(k\) nimmt die \(x\)-Koordinate \(k\) zu und die \(y\)-Koordinate \(1 - \ln(k)\) ab. Der Tiefpunkt wandert also nach rechts unten.

a) Senkrechte Asymptote bei \(x = 0\). b) Der Tiefpunkt liegt bei \(T(k \mid 1 - \ln(k))\). c) Wenn \(k\) vergrößert wird, wandert der Tiefpunkt nach rechts (größere \(x\)-Werte) und nach unten (kleinere \(y\)-Werte).

- Was bedeutet eine waagerechte Tangente für die Steigung der Funktion an dieser Stelle? - Welche Bedingung muss für das Argument einer Logarithmusfunktion erfüllt sein? - Wie verhält sich der Logarithmus, wenn sein Argument gegen null geht? - Welche Kriterien kennst du, um die Art eines Extrempunktes nachzuweisen?

1. Ableitung bilden: Unter Verwendung der Kettenregel ergibt sich \(f_k'(x) = \frac{k - 2x}{kx - x^2}\). 2. Bedingung für waagerechte Tangente anwenden: \(f_k'(2) = 0\) führt auf die Gleichung \(k - 2 \cdot 2 = 0\), woraus \(k = 4\) folgt. 3. Definitionsmenge bestimmen: Für \(k = 4\) muss das Argument des Logarithmus positiv sein, also \(4x - x^2 > 0\). Die Nullstellen von \(x(4 - x)\) liegen bei \(0\) und \(4\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(D_f = ]0; 4[\). 4. Asymptoten bestimmen: An den Rändern des Definitionsbereichs strebt das Argument gegen \(0\). Da \(\lim_{u \to 0^+} \ln(u) = -\infty\), gilt \(\lim_{x \to 0^+} f_4(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 4^-} f_4(x) = -\infty\). Die senkrechten Asymptoten sind \(x = 0\) und \(x = 4\). 5. Art des Extremums bestimmen: Die zweite Ableitung lautet \(f_4''(x) = \frac{-2(4x - x^2) - (4 - 2x)^2}{(4x - x^2)^2}\). Einsetzen von \(x = 2\) ergibt \(f_4''(2) = \frac{-2(8 - 4) - 0}{4^2} = \frac{-8}{16} = -0{,}5\). Da \(f_4''(2) < 0\), handelt es sich um einen lokalen Hochpunkt.

a) \(k = 4\) b) \(D_f = ]0; 4[\); senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = 4\) c) Wegen \(f_4'(2) = 0\) und \(f_4''(2) = -0{,}5 < 0\) ist der Punkt ein Hochpunkt.

- Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung ein, um den Parameter zu finden. - Welche Ableitungsregel musst du anwenden, um eine Wurzelfunktion mit innerem Term zu differenzieren? - Die Steigung der Tangente an einer Stelle entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Nutze die Punkt-Steigungs-Form, um die gesuchte Geradengleichung aufzustellen.

1. Bestimmung von \(k\) durch Punktprobe mit \(A(2 \mid 4)\): \(4 = \sqrt{k - 2^2} \implies 16 = k - 4 \implies k = 20\). 2. Ableitung der Funktion \(f_{20}(x) = \sqrt{20 - x^2}\) mit der Kettenregel: \(f_{20}'(x) = \frac{1}{2\sqrt{20 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{20 - x^2}}\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 2\): \(m = f_{20}'(2) = -\frac{2}{\sqrt{20 - 4}} = -\frac{2}{\sqrt{16}} = -\frac{2}{4} = -0{,}5\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit dem Punkt \(A(2 \mid 4)\): \(y = -0{,}5 \cdot (x - 2) + 4 = -0{,}5x + 1 + 4 = -0{,}5x + 5\).

a) \(k = 20\) b) \(y = -0{,}5x + 5\)

- Kannst du den Funktionsterm durch teilweises Ausklammern faktorisieren, um die Nullstellen leichter zu finden? - Erinnere dich an die Symmetriebedingung: Zwei Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der eine durch Spiegelung aller Punkte \((x \mid y)\) an \((0 \mid 0)\) in den anderen übergeht. Wie lautet die zugehörige Formel für die Funktionswerte? - Ersetze beim Aufstellen von \(g_{-k}\) jedes \(k\) im ursprünglichen Term konsequent durch \((-k)\) und achte auf die Vorzeichen bei den Potenzen.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g_k(0) = 0^3 + k \cdot 0^2 - k^2 \cdot 0 - k^3 = -k^3\). Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -k^3)\). 2. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(x^3 + kx^2 - k^2x - k^3 = 0\). Durch Ausklammern: \(x^2(x+k) - k^2(x+k) = (x^2-k^2)(x+k) = (x-k)(x+k)^2 = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = k\) und \(x_2 = -k\) (doppelt). Schnittpunkte sind \(N_1(k \mid 0)\) und \(N_2(-k \mid 0)\). 3. Term für \(g_{-k}(x)\) aufstellen: \(g_{-k}(x) = x^3 + (-k)x^2 - (-k)^2x - (-k)^3 = x^3 - kx^2 - k^2x + k^3\). 4. Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung zwischen zwei Graphen prüfen: \(g_{-k}(x) = -g_k(-x)\). 5. Rechter Teil der Gleichung: \(-g_k(-x) = -[(-x)^3 + k(-x)^2 - k^2(-x) - k^3] = -[-x^3 + kx^2 + k^2x - k^3] = x^3 - kx^2 - k^2x + k^3\). 6. Vergleich: Da \(g_{-k}(x) = -g_k(-x)\) gilt, sind die Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -k^3)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(k \mid 0)\) und \(N_2(-k \mid 0)\). b) Es gilt \(g_{-k}(x) = x^3 - kx^2 - k^2x + k^3\) und \(-g_k(-x) = x^3 - kx^2 - k^2x + k^3\). Da \(g_{-k}(x) = -g_k(-x)\), sind die Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an der Stelle eines Sattelpunktes gelten? - Stelle ein lineares Gleichungssystem für die Unbekannten auf. - Denk daran, dass ein Sattelpunkt ein spezieller Wendepunkt mit einer waagerechten Tangente ist. - Wie kannst du prüfen, ob es sich wirklich um einen Sattelpunkt und nicht etwa um ein Extremum handelt?

1. Ein Sattelpunkt an der Stelle \(x = 1\) erfordert die notwendigen Bedingungen \(f'(1) = 0\) und \(f''(1) = 0\). 2. Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx\) und \(f''(x) = 12x^2 + 6ax + 2b\). 3. Durch Einsetzen von \(x = 1\) erhält man das lineare Gleichungssystem: I) \(4 + 3a + 2b = 0 \iff 3a + 2b = -4\) II) \(12 + 6a + 2b = 0 \iff 6a + 2b = -12\) 4. Subtraktion von (I) von (II) liefert \(3a = -8\), also \(a = -\frac{8}{3}\). 5. Einsetzen in (I) ergibt \(3(-\frac{8}{3}) + 2b = -4 \iff -8 + 2b = -4 \iff 2b = 4 \iff b = 2\). 6. Die hinreichende Bedingung \(f'''(1) \neq 0\) ist mit \(f'''(x) = 24x + 6a\) erfüllt, da \(f'''(1) = 24 + 6(-\frac{8}{3}) = 24 - 16 = 8 \neq 0\).

\(a = -\frac{8}{3}\) und \(b = 2\)

- Welche Funktionen sind hier miteinander multipliziert? - Erinnerst du dich an die Ableitung der e-Funktion mit einem Faktor im Exponenten? - Was muss für die Steigung an einem Extrempunkt gelten? - Wann genau hat ein Punkt im Koordinatensystem die Eigenschaft, auf der \(y\)-Achse zu liegen?

1. Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = 2x - t\) (\(u'(x) = 2\)) und \(v(x) = e^{0{,}5x}\) (\(v'(x) = 0{,}5 e^{0{,}5x}\) nach der Kettenregel): \(f_t'(x) = 2 \cdot e^{0{,}5x} + (2x - t) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (2 + x - 0{,}5t)\). 2. Notwendige Bedingung für ein Extremum: \(f_t'(x) = 0\). Da \(e^{0{,}5x} > 0\) für alle \(x\), muss gelten: \(2 + x - 0{,}5t = 0\). Dies führt zu \(x_E = 0{,}5t - 2\). Es gilt \(f_t''(x_E)=e^{0{,}5x_E}>0\); daher liegt dort ein lokales Minimum vor. 3. Ein Punkt liegt auf der \(y\)-Achse, wenn seine \(x\)-Koordinate null ist. Setze \(x_E = 0\): \(0{,}5t - 2 = 0 \implies 0{,}5t = 2 \implies t = 4\).

1. \(f_t'(x) = (x + 2 - 0{,}5t) \cdot e^{0{,}5x}\) 2. \(x_E = 0{,}5t - 2\) 3. \(t = 4\)

- Was bedeutet es für die Parameter, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Wie berechnet man die Steigung an einer bestimmten Stelle? - Erinnerst du dich an die Kettenregel für Exponentialfunktionen? - Kannst du die Terme der Ableitungen so umformen, dass der ursprüngliche Funktionsterm wieder erkennbar wird?

1. Aus dem Punkt \(P(0 \mid 5)\) folgt \(f(0) = 5\). Einsetzen in \(f(x) = ae^{kx}\) ergibt \(a \cdot e^0 = 5\), also \(a = 5\). Die Ableitung lautet \(f'(x) = ake^{kx}\). Mit der Steigung \(-10\) bei \(x=0\) folgt \(f'(0) = 5 \cdot k \cdot e^0 = -10\), woraus sich \(k = -2\) ergibt. Die Funktion ist \(f(x) = 5e^{-2x}\). 2. Die erste Ableitung ist \(f'(x) = -10e^{-2x}\). Erneutes Ableiten unter Verwendung der Kettenregel ergibt \(f''(x) = -10 \cdot (-2) \cdot e^{-2x} = 20e^{-2x}\). 3. Ein Vergleich von \(f''(x) = 20e^{-2x}\) mit \(4f(x) = 4 \cdot (5e^{-2x}) = 20e^{-2x}\) bestätigt die Gleichheit \(f''(x) = 4f(x)\).

1. \(a = 5\); \(k = -2\) 2. \(f''(x) = 20e^{-2x}\) 3. Nachweis durch Einsetzen: \(20e^{-2x} = 4 \cdot (5e^{-2x})\)

- Bilde zuerst die allgemeine zweite Ableitungsfunktion \(f''(x)\). - Setze dann den gegebenen \(x\)-Wert in deine Ableitungsfunktion ein. - Stelle eine Gleichung auf, indem du dein Ergebnis mit dem Zielwert gleichsetzt. - Welche Zahl musst du für \(c\) einsetzen, damit die Gleichung stimmt?

1. Erste Ableitung mit der Kettenregel bilden: \(f'(x) = c \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = 0{,}5ce^{0{,}5x}\). 2. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 0{,}5c \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = 0{,}25ce^{0{,}5x}\). 3. Den Wert \(x = 2\) in \(f''(x)\) einsetzen: \(f''(2) = 0{,}25c \cdot e^{0{,}5 \cdot 2} = 0{,}25c \cdot e^1 = 0{,}25ce\). 4. Die Bedingung \(f''(2) = e\) gleichsetzen: \(0{,}25ce = e\). 5. Nach \(c\) auflösen: Da \(e \neq 0\), folgt \(0{,}25c = 1\), woraus sich \(c = 4\) ergibt.

\(c = 4\)

- Wann hat die Gleichung \(e^x = c\) eine Lösung für \(x\)? - Denk bei der Gleichung \(u^2 = v^2\) daran, dass es zwei Fälle für die Basis geben kann. - Was muss für die Steigung an einer Stelle gelten, wenn dort eine waagerechte Tangente vorliegt?

1. Die Ableitung lautet \(f_a'(x) = 2(a - e^x) \cdot (-e^x) = -2e^x(a - e^x)\). Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) führt auf \(e^x = a\). Da \(e^x > 0\), existiert eine Lösung nur für \(a > 0\). Diese lautet \(x = \ln(a)\). Die zweite Ableitung \(f_a''(x) = 4e^{2x} - 2ae^x\) ergibt an der Stelle \(x = \ln(a)\) den Wert \(f_a''(\ln(a)) = 4a^2 - 2a^2 = 2a^2 > 0\), was einen Tiefpunkt bestätigt. Der Funktionswert ist \(f_a(\ln(a)) = (a - a)^2 = 0\). Somit existiert für \(a > 0\) der Tiefpunkt \(T(\ln(a) \mid 0)\). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme: \((a_1 - e^x)^2 = (a_2 - e^x)^2\). Dies führt auf \(|a_1 - e^x| = |a_2 - e^x|\). Da \(a_1 \neq a_2\), muss \(a_1 - e^x = -(a_2 - e^x) = e^x - a_2\) gelten. Daraus folgt \(2e^x = a_1 + a_2\) bzw. \(e^x = \frac{a_1 + a_2}{2}\). Ein Schnittpunkt existiert also genau dann, wenn \(a_1 + a_2 > 0\) gilt. Die \(x\)-Koordinate ist \(x = \ln\left(\frac{a_1 + a_2}{2}\right)\). 3. Waagerechte Tangente bei \(x = 0\) bedeutet \(f_a'(0) = 0\). Einsetzen ergibt \(-2e^0(a - e^0) = -2(a - 1) = 0\), woraus \(a = 1\) folgt.

1. Ein Tiefpunkt existiert nur für \(a > 0\) bei \(T(\ln(a) \mid 0)\). 2. Bedingung: \(a_1 + a_2 > 0\); \(x\)-Koordinate: \(x = \ln\left(\frac{a_1 + a_2}{2}\right)\). 3. \(a = 1\).

- Welche Ableitung benötigst du, um Wendestellen zu untersuchen? - Denk daran, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) niemals null oder negativ wird. - Unter welcher Bedingung ist die Gleichung \(e^x = c\) für eine Konstante \(c\) lösbar? - Wie kannst du die Rechenregeln für Logarithmen nutzen, um den \(y\)-Wert zu vereinfachen?

1. Zur Bestimmung der Wendestellen wird die zweite Ableitung benötigt: \(f_a'(x) = e^x - 2ae^{2x}\) \(f_a''(x) = e^x - 4ae^{2x}\) Die notwendige Bedingung \(f_a''(x) = 0\) führt auf: \(e^x - 4ae^{2x} = 0 \iff e^x \cdot (1 - 4a \cdot e^x) = 0\) Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), muss \(1 - 4a \cdot e^x = 0\) gelten, woraus \(e^x = \frac{1}{4a}\) folgt. Diese Gleichung ist nur lösbar, wenn \(\frac{1}{4a} > 0\), also \(a > 0\). Da \(f_a''(x)\) an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel aufweist (da es sich um eine einfache Nullstelle der Form \(c \cdot (k - e^x)\) handelt), existiert für \(a > 0\) genau eine Wendestelle. 2. Berechnung der Koordinaten des Wendepunkts für \(a > 0\): Die \(x\)-Koordinate ist \(x_W = \ln\left(\frac{1}{4a}\right) = -\ln(4a)\). Einsetzen in \(f_a(x)\): \(y_W = f_a(x_W) = e^{\ln\left(\frac{1}{4a}\right)} - a \cdot \left(e^{\ln\left(\frac{1}{4a}\right)}\right)^2 = \frac{1}{4a} - a \cdot \left(\frac{1}{4a}\right)^2 = \frac{1}{4a} - \frac{a}{16a^2} = \frac{4}{16a} - \frac{1}{16a} = \frac{3}{16a}\). Der Wendepunkt ist somit \(W\left(-\ln(4a) \mid \frac{3}{16a}\right)\).

1. Die Bedingung \(f_a''(x) = 0\) führt zu \(e^x = \frac{1}{4a}\), was nur für \(a > 0\) eine Lösung besitzt. Ein Vorzeichenwechsel liegt vor. 2. Der Wendepunkt liegt bei \(W\left(-\ln(4a) \mid \frac{3}{16a}\right)\).

- Welche Gleichung musst du lösen, um mögliche Extremstellen zu finden? - Überlege dir, für welche Werte von \(a\) die Gleichung \(e^{2x} = a\) eine Lösung besitzt. - Wie hängen die Ableitungen \(f_a'(x)\) und \(f_a''(x)\) bei dieser speziellen Funktion zusammen? - Was sagt das Vorzeichen von \(a\) über die Existenz von Nullstellen der zweiten Ableitung aus?

1. Ableitungen bestimmen: \(f_a'(x) = e^x - ae^{-x}\) und \(f_a''(x) = e^x + ae^{-x}\). Die notwendige Bedingung für Extrema \(f_a'(x) = 0\) führt auf \(e^{2x} = a\). Diese Gleichung hat für \(a > 0\) genau eine Lösung \(x_E = \frac{1}{2} \ln(a)\) und für \(a < 0\) keine Lösung, da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt. Somit gibt es für \(a > 0\) genau eine Extremstelle und für \(a < 0\) keine. 2. Für \(a > 0\) gilt \(f_a''(x_E) = e^{\frac{1}{2}\ln(a)} + a \cdot e^{-\frac{1}{2}\ln(a)} = \sqrt{a} + \frac{a}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a} > 0\). Es liegt somit ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. Die y-Koordinate ist \(f_a(x_E) = \sqrt{a} + \frac{a}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a}\). Der Tiefpunkt ist \(T\left(\frac{1}{2}\ln(a) \mid 2\sqrt{a}\right)\). 3. Die notwendige Bedingung für Wendepunkte \(f_a''(x) = 0\) führt auf \(e^x + ae^{-x} = 0\), also \(e^{2x} = -a\). Da für \(a < 0\) der Ausdruck \(-a\) positiv ist, existiert genau eine Lösung \(x_W = \frac{1}{2} \ln(-a)\). Da die dritte Ableitung \(f_a'''(x) = e^x - ae^{-x}\) an dieser Stelle den Wert \(f_a'''(x_W) = \sqrt{-a} - \frac{a}{\sqrt{-a}} = 2\sqrt{-a} \neq 0\) annimmt, ist ein Wendepunkt nachgewiesen.

1. Für \(a > 0\) gibt es genau eine Extremstelle, für \(a < 0\) keine. 2. Tiefpunkt bei \(T\left(\frac{1}{2}\ln(a) \mid 2\sqrt{a}\right)\). 3. Die Bedingung \(f_a''(x) = 0\) ergibt für \(a < 0\) die einzige Lösung \(x_W = \frac{1}{2}\ln(-a)\), wobei \(f_a'''(x_W) \neq 0\) gilt.

- Überlege dir, welche Eigenschaft des Quadrats \(x^2\) für die Symmetrie verantwortlich ist. - Wann nimmt die natürliche Logarithmusfunktion den Wert Null an? - Denk bei der zweiten Ableitung an die Quotientenregel. - Ein Berühren der x-Achse bedeutet, dass an dieser Stelle sowohl der Funktionswert als auch die Steigung Null sein müssen.

1. Da \(f_k(-x) = \ln((-x)^2 + k) = \ln(x^2 + k) = f_k(x)\) gilt, sind alle Graphen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Für \(x \to \pm \infty\) strebt das Argument \(x^2 + k \to \infty\), woraus \(f_k(x) \to \infty\) folgt. 2. Nullstellenbedingung: \(\ln(x^2 + k) = 0 \iff x^2 + k = 1 \iff x^2 = 1 - k\). - Für \(0 < k < 1\) gibt es zwei Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{1 - k}\). - Für \(k = 1\) gibt es genau eine Nullstelle bei \(x = 0\). - Für \(k > 1\) gibt es keine Nullstellen, da \(x^2 = 1 - k < 0\) nicht lösbar ist. 3. Ableitungen: \(f_k'(x) = \frac{2x}{x^2 + k}\) und \(f_k''(x) = \frac{2(x^2 + k) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + k)^2} = \frac{2k - 2x^2}{(x^2 + k)^2}\). Bedingung für Wendepunkte: \(f_k''(x) = 0 \iff 2k - 2x^2 = 0 \iff x^2 = k \iff x = \pm \sqrt{k}\). Da der Zähler ein nach unten geöffneter Term zweiten Grades mit zwei einfachen Nullstellen ist, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel von \(f_k''(x)\) statt. Es existieren somit genau zwei Wendepunkte bei \(x_1 = \sqrt{k}\) und \(x_2 = -\sqrt{k}\). 4. Ein Berühren im Ursprung erfordert \(f_k(0) = 0\) und \(f_k'(0) = 0\). \(f_k(0) = \ln(k) = 0 \implies k = 1\). Überprüfung der Steigung: \(f_1'(0) = \frac{2 \cdot 0}{0^2 + 1} = 0\). Somit berührt der Graph für \(k = 1\) die \(x\)-Achse im Ursprung.

1. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(f_k(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\). 2. Zwei Nullstellen für \(0 < k < 1\); eine Nullstelle für \(k = 1\); keine Nullstellen für \(k > 1\). 3. Wendestellen bei \(x = \pm \sqrt{k}\). 4. \(k = 1\).

- Was muss für das Argument einer Logarithmusfunktion immer gelten? - Untersuche, was passiert, wenn sich \(x^2\) dem Wert \(a\) annähert. - Nutze die Kettenregel für die erste und die Quotientenregel für die zweite Ableitung. - Schau dir das Vorzeichen des Zählers der zweiten Ableitung genau an – kann dieser jemals Null werden?

1. Definitionsbereich: \(a - x^2 > 0 \iff x^2 < a \iff |x| < \sqrt{a}\). Damit ist \(D = ]-\sqrt{a}; \sqrt{a}[\). An den Rändern \(x \to \pm \sqrt{a}\) nähert sich das Argument \(a - x^2\) dem Wert \(0\) von oben an, daher gilt \(\lim_{x \to -\sqrt{a}^{+}} g_a(x)=-\infty\) und \(\lim_{x \to \sqrt{a}^{-}} g_a(x)=-\infty\). Es liegen senkrechte Asymptoten bei \(x=-\sqrt{a}\) und \(x=\sqrt{a}\) vor. 2. Erste Ableitung: \(g_a'(x) = \frac{-2x}{a - x^2}\). Extrempunktbedingung: \(g_a'(x) = 0 \iff -2x = 0 \iff x = 0\). Zweite Ableitung: \(g_a''(x) = \frac{-2(a - x^2) - (-2x)(-2x)}{(a - x^2)^2} = \frac{-2a + 2x^2 - 4x^2}{(a - x^2)^2} = \frac{-2a - 2x^2}{(a - x^2)^2}\). Einsetzen: \(g_a''(0) = \frac{-2a}{a^2} = -\frac{2}{a} < 0\) (da \(a > 0\)). Es liegt ein lokales (und globales) Maximum im Punkt \(H(0 \mid \ln a)\) vor. 3. Wendepunkte erfordern \(g_a''(x) = 0\). \(\frac{-2a - 2x^2}{(a - x^2)^2} = 0 \iff -2(a + x^2) = 0 \iff x^2 = -a\). Da \(a > 0\), ist \(-a\) negativ. Die Gleichung \(x^2 = -a\) besitzt im Reellen keine Lösung. Folglich gibt es keine Stellen mit \(g_a''(x) = 0\) und somit keine Wendepunkte.

1. \(D=]-\sqrt{a};\sqrt{a}[\); an beiden Randstellen streben die Funktionswerte innerhalb des Definitionsbereichs gegen \(-\infty\). 2. Hochpunkt bei \(H(0 \mid \ln a)\). 3. Die Bedingung \(g_a''(x)=0\) führt auf \(x^2=-a\), was für \(a>0\) keine reelle Lösung hat.

- Verwende die Produktregel für die Ableitungen. - Um eine Stammfunktion nachzuweisen, musst du diese einfach ableiten. - Überlege dir die Integrationsgrenzen anhand der Schnittpunkte mit den Achsen. - Die Steigung an einer Stelle entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle.

1. Ableitungen: \(g_a'(x) = 1 \cdot e^{0{,}5x} + (x-a) \cdot 0{,}5 e^{0{,}5x} = (0{,}5x - 0{,}5a + 1) e^{0{,}5x}\). \(g_a''(x) = 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} + (0{,}5x - 0{,}5a + 1) \cdot 0{,}5 e^{0{,}5x} = (0{,}25x - 0{,}25a + 1) e^{0{,}5x}\). 2. Extrempunkt: \(g_a'(x) = 0 \implies 0{,}5x = 0{,}5a - 1 \implies x_E = a - 2\). Da \(g_a''(a-2) = 0{,}5 e^{0{,}5 \cdot (a-2)} > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. Punkt: \(T(a-2 \mid -2e^{0{,}5a-1})\). 3. Wendepunkt: \(g_a''(x) = 0 \implies 0{,}25x = 0{,}25a - 1 \implies x_W = a - 4\). Punkt: \(W(a-4 \mid -4e^{0{,}5a-2})\). 4. Stammfunktion: \(G_a'(x) = 2 \cdot e^{0{,}5x} + (2x - 2a - 4) \cdot 0{,}5 e^{0{,}5x} = (2 + x - a - 2) e^{0{,}5x} = (x-a)e^{0{,}5x} = g_a(x)\). 5. Flächeninhalt: Die Nullstelle ist \(x=a\). Die Fläche erstreckt sich von \(x=0\) bis \(x=a\). Da der Graph dort unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt \(A = \int_0^a -g_a(x) dx = G_a(0) - G_a(a)\). \(G_a(0) = (0 - 2a - 4)e^0 = -2a - 4\). \(G_a(a) = (2a - 2a - 4)e^{0{,}5a} = -4e^{0{,}5a}\). \(A = -2a - 4 - (-4e^{0{,}5a}) = 4e^{0{,}5a} - 2a - 4\). 6. Tangentensteigung: Nullstelle bei \(x=a\). Steigung ist \(g_a'(a) = (0{,}5a - 0{,}5a + 1)e^{0{,}5a} = e^{0{,}5a}\). Bedingung \(e^{0{,}5a} = e^1 \implies 0{,}5a = 1 \implies a = 2\).

a) Tiefpunkt \(T(a-2 \mid -2e^{0{,}5a-1})\); Wendepunkt \(W(a-4 \mid -4e^{0{,}5a-2})\). b) Nachweis durch Ableiten von \(G_a(x)\). c) \(A = 4e^{0{,}5a} - 2a - 4\). d) \(a = 2\).

- Erinnere dich an das Additionstheorem für die Sinusfunktion: \(\sin(x + \beta) = \sin(x)\cos(\beta) + \cos(x)\sin(\beta)\). - Wie hängen die Koeffizienten vor \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) mit der Amplitude eines zusammengesetzten harmonischen Signals zusammen? - Für den Phasenwinkel \(\phi\) ist es hilfreich, das Vorzeichen der Koeffizienten zu beachten, um den richtigen Quadranten zu bestimmen. - Überlege, wie du eine Gleichung mit einer Wurzel am besten nach der gesuchten Variablen auflöst.

1. Mithilfe der Additionstheoreme gilt \(A \cdot \sin(x + \phi) = A \cos(\phi) \cdot \sin(x) + A \sin(\phi) \cdot \cos(x)\). Durch Koeffizientenvergleich mit \(f_k(x)\) folgt \(A \cos(\phi) = k+2\) und \(A \sin(\phi) = k\). 2. Die Amplitude berechnet sich durch \(A(k) = \sqrt{(k+2)^2 + k^2}\). Vereinfacht ergibt dies \(A(k) = \sqrt{2k^2 + 4k + 4}\). Da der Radikand für alle \(k\) positiv ist (\(2(k+1)^2 + 2 > 0\)), existiert stets eine solche Darstellung. 3. Für \(k = 1\) ergibt sich \(A = \sqrt{2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 4} = \sqrt{10}\). 4. Bestimmung von \(\phi\) für \(k=1\): \(\cos(\phi) = \frac{3}{\sqrt{10}}\) und \(\sin(\phi) = \frac{1}{\sqrt{10}}\). Da beide Werte positiv sind, liegt \(\phi\) im ersten Quadranten: \(\phi = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \approx 0{,}32\). 5. Ansatz für die Amplitude \(\sqrt{20}\): \(\sqrt{2k^2 + 4k + 4} = \sqrt{20}\). Quadrieren führt auf \(2k^2 + 4k + 4 = 20\), also \(k^2 + 2k - 8 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt \(k_1 = 2\) und \(k_2 = -4\).

a) \(A(k) = \sqrt{2k^2 + 4k + 4}\) b) \(A = \sqrt{10} \approx 3{,}16\); \(\phi \approx 0{,}32\) c) \(k_1 = 2\); \(k_2 = -4\)

- Überlege dir, wie sich eine Änderung von \(k\) auf die Lage des Graphen im Koordinatensystem auswirkt. - Was bedeutet es für den Funktionswert an einer Stelle, wenn der Graph dort die \(x\)-Achse berührt? - Skizziere grob den Verlauf einer Funktion 4. Grades mit zwei Tiefpunkten und einem Hochpunkt. Wie viele Nullstellen sind jeweils möglich, wenn du den Graphen nach oben oder unten verschiebst? - Wann liegt ein Punkt unterhalb, wann oberhalb und wann genau auf der \(x\)-Achse?

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 4x^3 - 20x\) und \(f_k''(x) = 12x^2 - 20\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f_k'(x) = 0\) liefert \(4x(x^2 - 5) = 0\), also \(x_1 = 0\), \(x_2 = \sqrt{5}\) und \(x_3 = -\sqrt{5}\). 3. Art der Extrema prüfen: \(f_k''(0) = -20 < 0 \Rightarrow H(0 \mid k)\) ist ein Hochpunkt. \(f_k''(\pm \sqrt{5}) = 40 > 0 \Rightarrow T_1(-\sqrt{5} \mid k-25)\) und \(T_2(\sqrt{5} \mid k-25)\) sind Tiefpunkte. 4. Bedingung für Berühren der \(x\)-Achse in den Tiefpunkten: Der Funktionswert an den Tiefpunkten muss Null sein. \(k - 25 = 0 \Rightarrow k = 25\). 5. Drei verschiedene Nullstellen treten auf, wenn der Hochpunkt genau auf der \(x\)-Achse liegt und die Tiefpunkte darunter. Dies ist für \(k = 0\) der Fall (Nullstellen bei \(0\) und \(\pm \sqrt{10}\)). 6. Keine Lösung der Gleichung \(f_k(x) = 0\) bedeutet, dass der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse verlaufen muss. Da die Tiefpunkte die absolut kleinsten Werte annehmen, muss gelten: \(k - 25 > 0\), also \(k > 25\).

a) Hochpunkt \(H(0 \mid k)\), Tiefpunkte \(T_1(-\sqrt{5} \mid k-25)\) und \(T_2(\sqrt{5} \mid k-25)\). b) \(k = 25\). c) Für \(k = 0\). d) Für \(k > 25\).

- Überlege dir zuerst, an welcher Stelle das Tragseil seinen tiefsten Punkt hat. Welche mathematische Eigenschaft hat dieser Punkt? - Wie kannst du die Bedingung „nicht unter die Fahrbahn sinken“ mathematisch als Ungleichung für den Funktionswert am Tiefpunkt formulieren? - Welche Funktion beschreibt die Steigung des Seils an jeder Stelle des Definitionsbereichs? - Wie hängt der Neigungswinkel einer Kurve an einer bestimmten Stelle mit der Steigung der Tangente an dieser Stelle zusammen?

1. Der tiefste Punkt des Tragseils liegt aufgrund der Achsensymmetrie der Parabel in der Mitte zwischen den Pfeilern, also bei \(x = 50\). Alternativ folgt dies aus \(f'_a(x) = 2ax - 100a = 0\). Die Höhe an dieser Stelle beträgt: \(f_a(50) = a \cdot 50 \cdot (50 - 100) + 30 = -2500a + 30\). Damit das Seil die Fahrbahn nicht unterschreitet, muss diese minimale Höhe mindestens \(0\) sein: \(-2500a + 30 \ge 0 \implies a \le 0{,}012\). Da \(a > 0\) vorgegeben ist, gilt \(a\in]0;0{,}012]\). 2. Für eine minimale Höhe von \(5\,\text{m}\) gilt: \(f_a(50) = 5 \implies -2500a + 30 = 5 \implies a = 0{,}01\). 3. Für \(a = 0{,}01\) ist \(f'_{0{,}01}(x) = 0{,}02x - 1\). An der linken Aufhängung gilt: \(m = f'_{0{,}01}(0) = -1\). Der Betrag des Neigungswinkels gegenüber der Waagerechten ist daher: \(\alpha = \arctan(|m|) = 45^\circ\).

a) \(a\in]0;0{,}012]\) b) \(a = 0{,}01\) c) \(\alpha = 45^\circ\)

- Wie hängen die Nullstellen einer Funktion \(f_a(x) = x^3 - ax\) vom Parameter \(a\) ab? Setze den Funktionsterm gleich Null und löse nach \(x\) auf. - Welche Symmetrie weisen Graphen auf, wenn im Funktionsterm ausschließlich ungerade Exponenten vorkommen? Wie lässt sich diese Eigenschaft formal überprüfen? - Welche Ableitungsregeln benötigst du, um die Extremstellen zu bestimmen? Behandle den Parameter \(a\) beim Ableiten wie eine konstante Zahl. - Überlege dir für Teilaufgabe d), unter welcher Bedingung die Gleichung \(x^2 = a\) zwei voneinander verschiedene, von Null verschiedene reelle Lösungen liefert.

1. Bestimmung der Parameterwerte durch Ablesen der Nullstellen der Graphen: - Graph A: Einzige Nullstelle bei \(x = 0 \implies a = 0\). - Graph B: Nullstellen bei \(x \in \{-1; 0; 1\} \implies \pm\sqrt{a} = \pm 1 \implies a = 1\). - Graph C: Nullstellen bei \(x \in \{-2; 0; 2\} \implies \pm\sqrt{a} = \pm 2 \implies a = 4\). 2. Rechnerischer Nachweis der Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f_a(-x) = (-x)^3 - a \cdot (-x) = -x^3 + ax = -(x^3 - ax) = -f_a(x)\). 3. Extrempunkte bestimmen durch Ableitungen \(f_a'(x) = 3x^2 - a\) und \(f_a''(x) = 6x\): - Extremstellen bei \(x = \pm\sqrt{\frac{a}{3}}\). - Da \(a > 0\), ist \(f_a''\left(-\sqrt{\frac{a}{3}}\right) < 0 \implies \text{HP}\left(-\sqrt{\frac{a}{3}} \;\middle|\; \frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}\right)\). - Da \(f_a''\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right) > 0 \implies \text{TP}\left(\sqrt{\frac{a}{3}} \;\middle|\; -\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}\right)\). 4. Anzahl der reellen Nullstellen aus der Gleichung \(x(x^2 - a) = 0\): - Für \(a = 0\) gibt es nur die reelle Lösung \(x = 0\) (eine Nullstelle). - Für \(a > 0\) gibt es die drei verschiedenen Lösungen \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = \pm\sqrt{a}\). Somit besitzt \(f_a\) genau für \(a > 0\) drei verschiedene reelle Nullstellen.

a) Graph A: \(a=0\) (Nullstelle bei \(x = 0\)); Graph B: \(a=1\) (Nullstellen bei \(x \in \{-1; 0; 1\}\)); Graph C: \(a=4\) (Nullstellen bei \(x \in \{-2; 0; 2\}\)). b) Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung \((0 \mid 0)\), da \(f_a(-x) = -f_a(x)\) für alle \(x\) gilt. c) Hochpunkt: \(\text{HP}\left(-\sqrt{\frac{a}{3}} \;\middle|\; \frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}\right)\), Tiefpunkt: \(\text{TP}\left(\sqrt{\frac{a}{3}} \;\middle|\; -\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}\right)\). d) Für \(a > 0\).

- Kannst du die Funktionsgleichung für eine bestimmte Stelle auswerten, die auf der \(y\)-Achse liegt? - Welcher Wert ergibt sich für \(e^0\)? - Betrachte die Schnittpunkte der Graphen mit der \(y\)-Achse. Wie hängen diese mit dem Parameter \(a\) zusammen? - Wie verändert sich die Steigung einer Exponentialfunktion, wenn der Vorfaktor vergrößert wird? - Welche Ableitungsregeln wendest du an, wenn du eine Funktion mit einem konstanten Faktor und einem konstanten Summanden ableitest?

1. Bestimmung des Parameters \(a\) für die einzelnen Graphen: Der Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\). Es gilt: \(f_a(0) = a \cdot e^0 - 2 = a - 2\) Durch Ablesen des \(y\)-Achsenabschnitts \(y_0\) lässt sich \(a\) über die Gleichung \(a = y_0 + 2\) bestimmen: - Graph A (blau): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y_0 = 1\). Damit gilt \(a = 1 + 2 = 3\). - Graph B (orange): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y_0 = 0\). Damit gilt \(a = 0 + 2 = 2\). - Graph C (grün): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y_0 = -1\). Damit gilt \(a = -1 + 2 = 1\). - Graph D (violett): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y_0 = -1{,}5\). Damit gilt \(a = -1{,}5 + 2 = 0{,}5\). 2. Auswirkung einer Vergrößerung von \(a\): - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Der Schnittpunkt liegt bei \((0 \mid a-2)\). Wird \(a\) größer, so verschiebt sich dieser Schnittpunkt nach oben. - Steigungsverhalten: Da die erste Ableitung \(f_a'(x) = ae^x\) für alle \(a > 0\) positiv ist, ist jede Funktion streng monoton steigend. Da die Ableitung an jeder Stelle proportional zu \(a\) ist, führt ein größeres \(a\) zu einer größeren Steigung an jeder Stelle \(x\), der Graph verläuft also steiler. 3. Ableitung der Scharfunktionen: Da \(a\) bezüglich \(x\) ein konstanter Faktor ist, bleibt er beim Ableiten erhalten. Der konstante Summand \(-2\) fällt weg: \(f_a'(x) = ae^x\)

a) A: \(a = 3\), B: \(a = 2\), C: \(a = 1\), D: \(a = 0{,}5\) b) Eine Vergrößerung von \(a\) verschiebt den \(y\)-Achsenabschnitt nach oben und lässt den Graphen steiler ansteigen. c) \(f_a'(x) = ae^x\)

- Wie verhält sich eine Exponentialfunktion mit negativem Exponenten für sehr große Werte von \(t\)? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle erfüllt sein? - Welche Rolle spielt der Parameter \(k\) beim Lösen der Gleichung für die Extremstelle? Lässt er sich vielleicht eliminieren? - Wie lässt sich die Stelle des steilsten Abfalls mathematisch charakterisieren? Denke an die Steigung der Funktion.

1. Grenzwert für \(t \to \infty\) bestimmen: Da \(\lim_{t \to \infty} t \cdot e^{-0{,}1t} = 0\) gilt, folgt für das langfristige Verhalten \(\lim_{t \to \infty} f_k(t) = 100\). Unabhängig von \(k\) stabilisiert sich die Rate bei \(100\) Neuanmeldungen pro Tag. 2. Erste Ableitung bilden: Mit der Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(f_k'(t) = k \cdot e^{-0{,}1t} \cdot (1 - 0{,}1t)\). 3. Extremstelle bestimmen: Die notwendige Bedingung \(f_k'(t) = 0\) liefert \(1 - 0{,}1t = 0\), da \(k > 0\) und \(e^{-0{,}1t} > 0\) gilt. Daraus folgt \(t = 10\). Da sich \(k\) aus der Gleichung herauskürzt, ist die Extremstelle unabhängig von \(k\). 4. Nachweis des Maximums: Die zweite Ableitung lautet \(f_k''(t) = k \cdot e^{-0{,}1t} \cdot (0{,}01t - 0{,}2)\). Einsetzen von \(t = 10\) liefert \(f_k''(10) = -0{,}1 \cdot k \cdot e^{-1} < 0\), womit ein lokales Maximum an der Stelle \(t = 10\) nachgewiesen ist. 5. Maximale Rate für \(k = 150\) berechnen: Einsetzen von \(k = 150\) und \(t = 10\) liefert \(f_{150}(10) = 150 \cdot 10 \cdot e^{-0{,}1 \cdot 10} + 100 = 1500 \cdot e^{-1} + 100 \approx 651{,}82\). Gerundet ergibt dies \(652\) Neuanmeldungen pro Tag. 6. Wendestelle für die stärkste Abnahme bestimmen: Das maximale Gefälle liegt an der Wendestelle mit negativer Steigung vor. Aus der notwendigen Bedingung \(f_k''(t) = 0\) folgt \(0{,}01t - 0{,}2 = 0 \implies t = 20\). Wegen \(f_k'''(20) = 0{,}01 \cdot k \cdot e^{-2} > 0\) liegt hier ein Minimum der Steigung (also die stärkste Abnahme) vor.

a) Langfristig nähert sich die Neuanmelderate dem Wert von \(100\) Neuanmeldungen pro Tag an. b) Der Zeitpunkt des Maximums liegt für alle \(k > 0\) am Tag \(t = 10\). c) Die maximale tägliche Neuanmelderate für \(k = 150\) beträgt \(652\) Neuanmeldungen pro Tag. d) Die Neuanmelderate nimmt am Tag \(t = 20\) am stärksten ab.

- Überlege zuerst, welche Information dir der Schnittpunkt des Graphen mit der \(y\)-Achse liefert. Wie kannst du diesen mathematisch ausdrücken? - Welche Eigenschaft hat die Steigung des Graphen an einem lokalen Extrempunkt (Hochpunkt)? - Nutze die Produktregel und die Kettenregel, um die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) zu bestimmen. - Setze die bekannten Werte in die Ableitungsfunktion ein, um eine Gleichung für den verbleibenden Parameter zu erhalten.

1. Bestimmung von \(b\): Da der Graph die \(y\)-Achse bei \(y = 2\) schneidet, gilt \(f(0) = 2\). Durch Einsetzen von \(x = 0\) in den Funktionsterm erhalten wir: \(f(0) = (a \cdot 0 + b) \cdot e^{0} = b = 2\). Somit ist \(b = 2\). 2. Bestimmung von \(a\): Da der Graph bei \(x = 1\) einen lokalen Hochpunkt besitzt, muss dort die Steigung null sein, also \(f'(1) = 0\). Mithilfe der Produkt- und Kettenregel bestimmen wir die Ableitung von \(f(x)\): \(f'(x) = a \cdot e^{-0{,}5 x} + (ax + b) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5 x} = (a - 0{,}5 ax - 0{,}5 b) \cdot e^{-0{,}5 x}\). Setzen wir den bereits bekannten Wert \(b = 2\) ein, vereinfacht sich die Ableitung zu: \(f'(x) = (a - 0{,}5 ax - 1) \cdot e^{-0{,}5 x}\). Nun setzen wir \(x = 1\) ein und verlangen \(f'(1) = 0\): \(f'(1) = (a - 0{,}5 a - 1) \cdot e^{-0{,}5} = (0{,}5 a - 1) \cdot e^{-0{,}5} = 0\). Da die Exponentialfunktion \(e^{-0{,}5}\) niemals null wird, muss die Klammer null sein: \(0{,}5 a - 1 = 0 \implies 0{,}5 a = 1 \implies a = 2\). Die gesuchten Parameterwerte sind somit \(a = 2\) und \(b = 2\).

Die Parameterwerte lauten \(a = 2\) und \(b = 2\).

- Welche besonderen Punkte (wie Nullstellen oder Extrempunkte) kannst du im Graphen genau erkennen? - Setze die Koordinaten eines bekannten Punktes in die Funktionsgleichung ein, um nach der Unbekannten aufzulösen. - Überlege, welche Bedingung die erste Ableitung erfüllen muss, damit Extremstellen vorliegen. - Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt von ihrer Diskriminante ab.

1. Ablesen markanter Punkte aus dem Graphen: Der Graph verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und hat bei \(x = 3\) eine Nullstelle, die gleichzeitig ein lokaler Tiefpunkt ist. 2. Bedingung für eine Nullstelle bei \(x = 3\) nutzen: \(f_k(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - k \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 = 9 - 9k + 9 = 18 - 9k = 0\). Daraus folgt \(9k = 18\), also \(k = 2\). 3. Überprüfung der Extremstelleneigenschaft: Die erste Ableitung ist \(f_k'(x) = x^2 - 2kx + 3\). Für \(k = 2\) gilt \(f_2'(3) = 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0\). Die zweite Ableitung \(f_2''(x) = 2x - 4\) ergibt \(f_2''(3) = 2 > 0\), was den Tiefpunkt bestätigt. 4. Bedingung für zwei lokale Extrempunkte: Die Gleichung \(f_k'(x) = x^2 - 2kx + 3 = 0\) muss zwei verschiedene reelle Lösungen haben. 5. Anwendung der Diskriminante: \(D = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4k^2 - 12\). Für zwei Lösungen muss \(D > 0\) gelten, also \(4k^2 > 12 \Rightarrow k^2 > 3\). 6. Ergebnis für \(k\): Die Funktion besitzt genau zwei lokale Extrempunkte für \(k > \sqrt{3}\) oder \(k < -\sqrt{3}\).

a) Der Parameter ist \(k = 2\). Dies lässt sich durch Einsetzen der Nullstelle \(x = 3\) in \(f_k(x) = 0\) oder durch die Bedingung für den Tiefpunkt \(f_k'(3) = 0\) ermitteln. b) Die Funktion \(f_k\) besitzt genau dann zwei lokale Extrempunkte, wenn \(k > \sqrt{3}\) oder \(k < -\sqrt{3}\) gilt.

- Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn der Strahl nach \(4\,\text{m}\) wieder auf Bodenhöhe ankommt? - Wo genau liegt der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel? Erinnere dich an die Scheitelpunktform oder die Ableitung. - Der Parameter \(c\) hat eine direkte geometrische Bedeutung für die Steigung am Startpunkt. - Wie rechnet man eine Steigung in einen Winkel um?

1. Die Auffangschale befindet sich bei \(x=4\) auf der Höhe \(h=0\). Durch Einsetzen in die Funktionsgleichung erhält man \(h_c(4) = -0{,}5 \cdot 4^2 + c \cdot 4 = 0\). Dies führt zu \(-8 + 4c = 0\), woraus \(c = 2\) folgt. 2. Für \(c = 2{,}5\) lautet die Funktion \(h_{2{,}5}(x) = -0{,}5x^2 + 2{,}5x\). Der höchste Punkt liegt am Scheitelpunkt. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist \(x_S = -\frac{2{,}5}{2 \cdot (-0{,}5)} = 2{,}5\). Die maximale Höhe ist \(h_{2{,}5}(2{,}5) = -0{,}5 \cdot 2{,}5^2 + 2{,}5 \cdot 2{,}5 = -3{,}125 + 6{,}25 = 3{,}125\,\text{m}\). 3. Die Steigung beim Austritt (\(x=0\)) entspricht dem Parameter \(c\), da \(h_c'(x) = -x + c\) und somit \(h_c'(0) = c\). Für \(c = 1{,}5\) ist die Steigung \(1{,}5\). Der Austrittswinkel berechnet sich über \(\alpha = \arctan(1{,}5) \approx 56{,}31^\circ\).

a) Der Parameter muss \(c = 2\) sein. b) Die maximale Höhe beträgt \(3{,}125\,\text{m}\). c) Der Austrittswinkel beträgt \(\alpha \approx 56{,}31^\circ\).

- Welcher Teil des Funktionsterms ist entscheidend für den Verlauf des Graphen „ganz weit außen“, also für sehr große Beträge von \(x\)? - Betrachte das Vorzeichen des Terms mit der höchsten Potenz. - Welche mathematische Bedingung muss die erste Ableitung an einer Stelle erfüllen, an der ein Maximum liegt? - Prüfe anschließend mit der zweiten Ableitung, ob tatsächlich ein Maximum vorliegt.

1. Analyse des Grenzverhaltens: Der Term mit der höchsten Potenz der ganzrationalen Funktion \(f_k(x)\) ist \(-\frac{1}{4}x^4\). Da der Leitkoeffizient negativ ist und der Exponent gerade, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f_k(x) = -\infty\). Der Graph muss also für betragsmäßig große \(x\)-Werte nach unten verlaufen. Dies trifft nur auf Abb. 1 zu (M-förmiger Verlauf). Der Graph in Abb. 2 verläuft dagegen für \(x \to \pm\infty\) gegen \(+\infty\). 2. Ableitung der Funktionenschar: \(f'_k(x) = 2kx - x^3\). 3. Bedingung für eine Extremstelle an der Stelle \(x = \sqrt{6}\) ansetzen: \(f'_k(\sqrt{6}) = 0\). 4. Berechnung von \(k\): \(2k \cdot \sqrt{6} - (\sqrt{6})^3 = 2k\sqrt{6} - 6\sqrt{6} = \sqrt{6}(2k - 6) = 0\). Daraus folgt \(2k = 6\), also \(k = 3\). 5. Überprüfung der Art des Extremums: \(f''_k(x) = 2k - 3x^2\). Für \(k=3\) und \(x=\sqrt{6}\) ergibt sich \(f''_3(\sqrt{6}) = 2 \cdot 3 - 3 \cdot (\sqrt{6})^2 = 6 - 18 = -12 < 0\). Da die zweite Ableitung negativ ist, liegt bei \(x = \sqrt{6}\) tatsächlich ein lokales Maximum vor.

a) Abb. 1 stellt den Graphen dar, da \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = -\infty\). b) \(k = 3\)

- Wähle einen Graphen aus, der durch den Ursprung geht, um den Basisterm ohne Verschiebung zu finden. - Nutze markante Punkte wie Hoch-, Tief- oder Nullstellen, um die Koeffizienten des Funktionsterms zu berechnen. - Überlege, wie sich der Funktionsterm ändert, wenn der Graph nur nach oben oder unten verschoben wird. - Welcher Wert im Funktionsterm bestimmt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse?

1. Bestimmung des Basisgraphen \(g(x)\) am Beispiel der Kurve durch den Ursprung (\(c=0\)): Die Nullstellen liegen bei \(x=0\) sowie \(x \approx \pm 1{,}73\) (was \(\pm \sqrt{3}\) entspricht). Ein lokales Extremum (Tiefpunkt) befindet sich bei \((1 \mid -1)\). 2. Einsetzen des Punktes \((1 \mid -1)\) in \(g(x) = ax^3 + bx\): \(a \cdot 1^3 + b \cdot 1 = -1 \Rightarrow a + b = -1\). 3. Ableitung bilden für die Extremstelle: \(g'(x) = 3ax^2 + b\). Mit \(g'(1) = 0\) folgt \(3a + b = 0\), also \(b = -3a\). 4. Einsetzen von \(b = -3a\) in \(a + b = -1\): \(a - 3a = -1 \Rightarrow -2a = -1 \Rightarrow a = 0{,}5\). Damit ist \(b = -1{,}5\). Der Basisgraph ist \(g(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x\). 5. Identifikation des Parameters \(c\): Die Graphen sind entlang der \(y\)-Achse verschoben. Der \(y\)-Achsenabschnitt entspricht direkt dem Parameter \(c\), da \(f_c(0) = c\). Sichtbar sind Graphen mit \(c \in \{-1; 0; 1; 2\}\). 6. Aufstellen der Schar-Gleichung: \(f_c(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x + c\).

Die Funktionsgleichung der Schar lautet \(f_c(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x + c\).

- Wo befinden sich die senkrechten Geraden, denen sich die Kurven annähern, ohne sie zu berühren? - Wie verschiebt man eine Hyperbel der Form \(\frac{1}{x}\) nach links oder rechts? - Wähle einen gut ablesbaren Punkt auf einer der Kurven, um die „Stärke“ der Krümmung (den Zähler im Bruch) zu bestimmen. - Haben alle Kurven denselben Zähler?

1. Grundform erkennen: Die Graphen sind Hyperbeln. Eine einfache Form für solche Funktionen ist \(f_k(x) = \frac{c}{x - k}\). 2. Senkrechte Asymptoten bestimmen: Die Graphen haben ihre Polstellen (Definitionslücken) bei \(x = -3\), \(x = 0\) und \(x = 3\). Dies entspricht dem Parameter \(k\), da der Nenner an der Stelle \(x=k\) null wird. Also ist \(k \in \{-3; 0; 3\}\). 3. Bestimmung des Zählers \(c\): Betrachte den Graphen mit der Asymptote bei \(x=0\). Ein Punkt auf dieser Kurve ist \((1 \mid 2)\). Einsetzen in \(y = \frac{c}{x}\) ergibt \(2 = \frac{c}{1}\), also \(c = 2\). 4. Überprüfung: Für \(k=3\) müsste die Kurve durch \((4 \mid 2)\) gehen. Einsetzen in \(f_3(x) = \frac{2}{x-3}\): \(f_3(4) = \frac{2}{4-3} = 2\). Dies passt zum Graphen. 5. Aufstellen der Schar-Gleichung: \(f_k(x) = \frac{2}{x - k}\).

Der Funktionsterm der Schar lautet \(f_k(x) = \frac{2}{x - k}\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Faktor im Argument des Sinus und der Periodenlänge. - Wie viele volle Schwingungen siehst du in einem bestimmten Bereich, zum Beispiel bis \(2\pi\)? - Betrachte die Stellen, an denen die Graphen zum ersten Mal wieder die \(x\)-Achse schneiden (nach dem Ursprung).

1. Die Periode \(p\) einer Sinusfunktion \(g(x) = \sin(kx)\) berechnet sich durch \(p = \frac{2\pi}{k}\). Umgestellt nach \(k\) ergibt dies \(k = \frac{2\pi}{p}\). 2. Graph (1) hat eine Nullstelle bei \(\pi \approx 3{,}14\) und beendet eine volle Schwingung bei \(2\pi \approx 6{,}28\). Somit ist \(p_1 = 2\pi\) und \(k = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\). 3. Graph (2) vollzieht eine Schwingung bereits bei \(p_2 = \pi \approx 3{,}14\). Damit folgt \(k = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). 4. Graph (3) hat seine erste Nullstelle erst bei \(2\pi \approx 6{,}28\). Eine volle Periode wäre erst bei \(p_3 = 4\pi\) abgeschlossen. Somit gilt \(k = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\).

Die Parameterwerte lauten: (1) \(k = 1\); (2) \(k = 2\); (3) \(k = 0{,}5\).

- Überlege dir, welchen Wert der natürliche Logarithmus an der Stelle \(x = 1\) annimmt. - Setze die Funktionsgleichung gleich Null und löse nach \(x\) auf, um die Position der Nullstelle in Abhängigkeit von \(c\) zu finden. - Erinnere dich an die Ableitungsregel für \(\ln(x)\). Was passiert mit einer Konstanten beim Ableiten? - Was bedeutet es geometrisch für die Graphen, wenn eine Konstante zum Funktionsterm addiert wird?

1. Bestimmung von \(c\): Da \(\ln(1) = 0\), gilt \(f_c(1) = 0 + c = c\). Der Wert des Parameters entspricht also dem Funktionswert an der Stelle \(x = 1\). Für Graph A gilt \(f_c(1) = 2\), also \(c = 2\). Für Graph B gilt \(f_c(1) = -1\), also \(c = -1\). 2. Nullstellenberechnung: \(f_c(x) = 0 \iff \ln(x) + c = 0 \iff \ln(x) = -c \iff x = e^{-c}\). Wird \(c\) vergrößert, so wird der Exponent \(-c\) kleiner. Da die Exponentialfunktion \(e^z\) streng monoton steigend ist, wird \(e^{-c}\) kleiner. Die Nullstelle wandert also nach links in Richtung der \(y\)-Achse. 3. Ableitung: Nach der Ableitungsregel für Logarithmusfunktionen gilt \(f_c'(x) = \frac{1}{x}\). Da der Parameter \(c\) als additiver Summand beim Ableiten wegfällt, ist die Ableitungsfunktion für alle Funktionen der Schar identisch. Somit ist auch der Anstieg an der Stelle \(x = 2\) für alle Graphen mit \(f_c'(2) = 0{,}5\) gleich.

a) Graph A: \(c=2\); Graph B: \(c=-1\). b) Die Nullstelle liegt bei \(x = e^{-c}\). Mit wachsendem \(c\) verringert sich der Wert der Nullstelle; sie verschiebt sich nach links. c) \(f_c'(x) = \frac{1}{x}\). Da die Ableitung nicht von \(c\) abhängt, haben alle Funktionen an jeder Stelle \(x\) denselben Anstieg, so auch \(f_c'(2) = 0{,}5\).

- Welche mathematische Bedingung muss für eine waagerechte Tangente erfüllt sein? - Denke an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten der Funktion. - Was passiert mit der Exponentialfunktion, wenn du nach Nullstellen suchst?

1. Bestimmung der ersten Ableitung der Funktionsschar \(f_k(x) = (x - k) \cdot e^{-0{,}5x}\) unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(f_k'(x) = e^{-0{,}5x} + (x - k) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5x} = e^{-0{,}5x} \cdot (1 - 0{,}5x + 0{,}5k)\) 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente an der Stelle \(x = 2\) ist \(f_k'(2) = 0\). 3. Einsetzen von \(x = 2\) in den Ableitungsterm: \(f_k'(2) = e^{-0{,}5 \cdot 2} \cdot (1 - 0{,}5 \cdot 2 + 0{,}5k) = e^{-1} \cdot (1 - 1 + 0{,}5k) = e^{-1} \cdot 0{,}5k\) 4. Lösen der Gleichung \(e^{-1} \cdot 0{,}5k = 0\): Da \(e^{-1} \neq 0\), muss gelten: \(0{,}5k = 0 \Rightarrow k = 0\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 0\).

- Erinnere dich an die notwendige Bedingung für die Existenz eines lokalen Extremums. - Nutze die Produktregel, um die Ableitung der Funktion zu bilden. - Kann eine Potenz von \(e\) jemals den Wert Null annehmen?

1. Mit der Produktregel gilt \(g_a'(x)=2x\cdot e^{ax}+x^2\cdot a e^{ax}=x e^{ax}(2+ax)\). 2. Aus \(g_a'(2)=0\) folgt wegen \(2e^{2a}>0\): \(2+2a=0\), also \(a=-1\). 3. Für \(a=-1\) lautet die Ableitung \(g_{-1}'(x)=x e^{-x}(2-x)\). Sie wechselt bei \(x=2\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort tatsächlich ein lokales Maximum vor.

Für \(a=-1\) besitzt \(g_a\) bei \(x=2\) ein lokales Maximum.

- Überprüfe markante Punkte wie Nullstellen oder Extrema, um den gegebenen Term einem Graphen zuzuordnen. - Wie hängen die Graphen geometrisch zusammen? Betrachte, wie man einen Graphen durch Verschiebung in einen anderen überführen kann. - Erinnere dich daran, wie sich eine Verschiebung in \(x\)-Richtung im Funktionsterm auswirkt. - Suche nach einem Parameter in deiner Schar, der genau diese Verschiebung beschreibt.

1. Zuordnung von \(g(x)\): Die Funktion \(g(x) = \frac{4x}{x^2+1}\) hat ihre einzige Nullstelle bei \(x = 0\), da der Zähler dort null wird. Zudem liegt ein Hochpunkt bei \(x = 1\) mit \(g(1) = \frac{4}{2} = 2\) vor. Dies entspricht dem blauen Graphen \(B\). 2. Bestimmung der anderen Terme: Die Graphen \(A\) und \(C\) sind entlang der \(x\)-Achse verschobene Varianten von \(B\). - Graph \(A\) (rot) hat seine Nullstelle bei \(x = -3\). Die Verschiebung beträgt \(3\) Einheiten nach links, also ist der Term \(f_A(x) = g(x+3) = \frac{4(x+3)}{(x+3)^2+1}\). - Graph \(C\) (grün) hat seine Nullstelle bei \(x = 2\). Die Verschiebung beträgt \(2\) Einheiten nach rechts, also ist der Term \(f_C(x) = g(x-2) = \frac{4(x-2)}{(x-2)^2+1}\). 3. Aufstellen der Schar: Da die Graphen durch Verschiebung um den Wert \(t\) entlang der \(x\)-Achse hervorgehen, lautet der Scharterm \(f_t(x) = \frac{4(x-t)}{(x-t)^2+1}\).

a) Die Funktion \(g\) gehört zum blauen Graphen \(B\). Begründung: Einzige Nullstelle bei \(x=0\) und Hochpunkt bei \((1 \mid 2)\). b) Roter Graph \(A\): \(f_A(x) = \frac{4(x+3)}{(x+3)^2+1}\); grüner Graph \(C\): \(f_C(x) = \frac{4(x-2)}{(x-2)^2+1}\). c) Möglicher Scharterm: \(f_t(x) = \frac{4(x-t)}{(x-t)^2+1}\).

- Überlege dir, welche Ableitungsregeln für das Differenzieren der Funktion nötig sind. - Wie hängen Extremstellen und die erste Ableitung zusammen? - Setze den berechneten Zeitpunkt in die Funktionsgleichung ein, um Bedingungen für den Parameter aufzustellen. - Betrachte für das langfristige Verhalten, welcher Teil des Funktionsterms das Gesamtergebnis dominiert. - Der stärkste Anstieg oder Rückgang einer Größe findet mathematisch an den Wendestellen statt.

1. Ableitungsfunktion bilden: \(c_k'(t) = k \cdot e^{-0{,}25t} + k \cdot t \cdot (-0{,}25) \cdot e^{-0{,}25t} = k \cdot (1 - 0{,}25t) \cdot e^{-0{,}25t}\). 2. Zeitpunkt des Maximums: \(c_k'(t) = 0 \implies 1 - 0{,}25t = 0 \implies t = 4\). Da \(k\) in der Gleichung gekürzt werden kann, ist der Zeitpunkt \(t = 4\,\text{h}\) unabhängig von \(k\). 3. Parameter \(k\) für Maximalkonzentration \(4\,\text{mg/L}\): \(c_k(4) = k \cdot 4 \cdot e^{-0{,}25 \cdot 4} = 4k \cdot e^{-1} = 4 \implies k = e \approx 2{,}718\). 4. Grenzwertuntersuchung: Da die Exponentialfunktion \(e^{-0{,}25t}\) für große \(t\) stärker gegen 0 strebt als die lineare Funktion \(k \cdot t\) wächst, gilt \(\lim_{t \to \infty} c_k(t) = 0\). 5. Stärkster Rückgang (Wendepunkt): \(c_k''(t) = k \cdot (-0{,}25) \cdot e^{-0{,}25t} \cdot (1 - 0{,}25t) + k \cdot e^{-0{,}25t} \cdot (-0{,}25) = k \cdot (0{,}0625t - 0{,}5) \cdot e^{-0{,}25t}\). \(c_k''(t) = 0 \implies 0{,}0625t = 0{,}5 \implies t = 8\,\text{h}\).

a) Die maximale Konzentration wird nach \(t = 4\,\text{h}\) erreicht. Da \(c_k'(t) = k \cdot (1 - 0{,}25t) \cdot e^{-0{,}25t}\) nur für \(t = 4\) den Wert Null annimmt und \(k\) dabei keine Rolle spielt, ist der Zeitpunkt unabhängig von \(k\). b) Der Parameter muss den Wert \(k = e \approx 2{,}718\) annehmen. c) Die Konzentration nähert sich langfristig dem Wert \(0\,\text{mg/L}\) an. d) Die Konzentration nimmt nach \(t = 8\,\text{h}\) am stärksten ab.

- Überlege dir, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt. - Wie bestimmt man üblicherweise Extremstellen einer Funktion? Erinnere dich an die notwendige Bedingung. - Wenn ein Ergebnis unabhängig von einem Parameter sein soll, darf dieser im finalen Ausdruck für die gesuchte Größe nicht mehr vorkommen. - Die Steigung einer Tangente an einer bestimmten Stelle entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle.

1. Einsetzen des Punktes \(P(e^2 \mid 2)\) in den Funktionsterm: \(f_a(e^2) = \frac{a \cdot \ln(e^2)}{e^2} = \frac{2a}{e^2}\). Aus der Gleichung \(\frac{2a}{e^2} = 2\) folgt durch Multiplikation mit \(e^2\) und Division durch 2 der Wert \(a = e^2\). 2. Berechnung der ersten Ableitung mittels Quotientenregel: \(f_a'(x) = a \cdot \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = a \cdot \frac{1 - \ln(x)}{x^2}\). Die notwendige Bedingung für Extremstellen \(f_a'(x) = 0\) liefert mit \(a \neq 0\) die Gleichung \(1 - \ln(x) = 0\), woraus \(x = e\) folgt. Da dieser Wert nicht von \(a\) abhängt, haben alle Funktionen der Schar ihre Extremstelle an derselben Stelle. 3. Da alle Extrempunkte die x-Koordinate \(x = e\) besitzen, liegen sie auf einer vertikalen Geraden mit der Gleichung \(x = e\). 4. Die Steigung der Tangente an der Nullstelle \(x=1\) entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle: \(f_a'(1) = a \cdot \frac{1 - \ln(1)}{1^2} = a \cdot \frac{1 - 0}{1} = a\).

a) \(a = e^2\) b) Die Extremstelle liegt bei \(x = e\) (unabhängig von \(a\)); die Gerade hat die Gleichung \(x = e\). c) Die Steigung beträgt \(m = a\).

- Nutze den Satz vom Nullprodukt, um die Nullstelle der Funktion zu finden. - Denke beim Ableiten an die Produktregel und vergiss das Nachdifferenzieren bei der Exponentialfunktion nicht. - Vergleiche die berechneten Terme für die Nullstelle und die Extremstelle miteinander. - Die Steigung an der Nullstelle erhältst du, indem du den x-Wert der Nullstelle in die Ableitungsfunktion einsetzt.

1. Bestimmung der Nullstelle: Da der Exponentialterm \(e^{1 - 0{,}5x}\) für alle \(x\) positiv ist, ergibt sich die Nullstelle aus der Bedingung \(x - k = 0\), woraus \(x_N = k\) folgt. 2. Berechnung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(f_k'(x) = e^{1 - 0{,}5x} + (x - k) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{1 - 0{,}5x} = (1 - 0{,}5x + 0{,}5k) \cdot e^{1 - 0{,}5x}\). 3. Bestimmung der Extremstelle: Die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) führt auf \(1 - 0{,}5x + 0{,}5k = 0\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(0{,}5x = 0{,}5k + 1\), also \(x_E = k + 2\). 4. Vergleich der Stellen: Der Abstand zwischen Extremstelle und Nullstelle beträgt \(x_E - x_N = (k + 2) - k = 2\). Damit liegt die Extremstelle stets genau 2 Einheiten rechts von der Nullstelle. 5. Berechnung der Steigung an der Nullstelle: \(f_k'(k) = (1 - 0{,}5k + 0{,}5k) \cdot e^{1 - 0{,}5k} = e^{1 - 0{,}5k}\). 6. Bestimmung von \(k\) für Steigung 1: \(e^{1 - 0{,}5k} = 1 \iff 1 - 0{,}5k = 0 \iff k = 2\).

a) \(x_N = k\) b) Die Extremstelle liegt bei \(x_E = k + 2\). Die Differenz \(x_E - x_N = 2\) ist konstant. c) Für \(k = 2\) beträgt die Steigung an der Nullstelle genau \(1\).

- Nutze die Produktregel und die Kettenregel für die Ableitungen. - Erinnere dich, dass für einen Tiefpunkt die erste Ableitung Null sein muss. - Um eine Ortskurve zu finden, stelle die \(x\)-Koordinate nach dem Parameter um und setze diesen in die \(y\)-Koordinate ein. - Achte beim Integrieren darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Mit der Produkt- und Kettenregel erhält man \(f_k'(x) = (0{,}5x - 0{,}5k + 1) \cdot e^{0{,}5x}\) und \(f_k''(x) = (0{,}25x - 0{,}25k + 1) \cdot e^{0{,}5x}\). 2. Aus \(f_k'(x) = 0\) folgt wegen \(e^{0{,}5x}>0\): \(0{,}5x - 0{,}5k + 1=0\), also \(x_T=k-2\). Damit ist \(y_T=f_k(k-2)=-2e^{0{,}5k-1}\). Außerdem gilt \(f_k''(k-2)=0{,}5e^{0{,}5k-1}>0\), also liegt ein Tiefpunkt vor. 3. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt eindeutig \(x_W=k-4\). Der lineare Klammerfaktor von \(f_k''\) wechselt dort sein Vorzeichen, während der Exponentialfaktor positiv bleibt. Daher besitzt jeder Graph genau einen Wendepunkt. 4. Für die Ortskurve gilt \(x=k-2\), also \(k=x+2\). Da \(k>0\), ist \(x>-2\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y=-2e^{0{,}5(x+2)-1}=-2e^{0{,}5x}\). Die Ortskurve lautet somit \(y=-2e^{0{,}5x}\) für \(x>-2\). 5. Für \(k=2\) gilt \(A=\left|\int_0^2 (x-2)e^{0{,}5x}\,dx\right|\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=(2x-8)e^{0{,}5x}\). Daher: \(A=|F(2)-F(0)|=|-4e+8|=4e-8\approx2{,}87\).

a) \(T(k - 2 \mid -2e^{0{,}5k-1})\) b) Es gibt genau einen Wendepunkt bei \(x_W=k-4\). c) \(y=-2e^{0{,}5x}\) für \(x>-2\) d) \(A=4e-8\approx2{,}87\,\text{FE}\)

- Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von Funktionen mit \(e\)-Termen. - Ein lokales Extremum liegt dort vor, wo die erste Ableitung den Wert null hat. - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du versuchen, den Parameter \(k\) aus der Gleichung für die \(x\)-Koordinate zu eliminieren und in die \(y\)-Koordinate einzusetzen. - Überlege dir für den Flächeninhalt, welche Form das Dreieck hat und welche Längen die Seiten besitzen.

1. Einsetzen des Punktes \(P(2 \mid 2e^{-1})\) in die Funktionsgleichung: \(2 \cdot e^{1 - 2k} = 2e^{-1}\). Durch Vergleich der Exponenten folgt \(1 - 2k = -1\), also \(2k = 2\) und somit \(k = 1\). 2. Berechnung der ersten Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel: \(f_k'(x) = 1 \cdot e^{1 - kx} + x \cdot (-k) \cdot e^{1 - kx} = e^{1 - kx} \cdot (1 - kx)\). 3. Nullstelle der Ableitung finden: \(1 - kx = 0 \implies x_H = \frac{1}{k}\). 4. Bestimmung der \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(y_H = f_k(\frac{1}{k}) = \frac{1}{k} \cdot e^{1 - k \cdot \frac{1}{k}} = \frac{1}{k} \cdot e^0 = \frac{1}{k}\). Damit ist \(H_k(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{k})\). 5. Da für jeden Hochpunkt gilt \(x = \frac{1}{k}\) und \(y = \frac{1}{k}\), folgt direkt \(y = x\). Alle Hochpunkte liegen somit auf der ersten Winkelhalbierenden. 6. Für \(k = 0{,}5\) ergibt sich der Hochpunkt \(H_{0{,}5}(2 \mid 2)\). Das rechtwinklige Dreieck hat die Eckpunkte \(O(0 \mid 0)\), \(H(2 \mid 2)\) und \(B(2 \mid 0)\). 7. Der Flächeninhalt berechnet sich zu \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\,\text{FE}\).

a) \(k = 1\) b) \(H_k(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{k})\) c) Da \(x_H = \frac{1}{k}\) und \(y_H = \frac{1}{k}\) für alle \(k > 0\) gilt, ist \(y_H = x_H\). d) \(A = 2\,\text{FE}\)

- Nutze die Produktregel für die Ableitungen und klammere \(e^x\) sowie gemeinsame Faktoren so oft wie möglich aus. - Die Nullstellen eines Produkts findest du, indem du jeden Faktor einzeln gleich Null setzt. - Überlege dir, ob \(e^x\) jemals Null werden kann. - Für die Wendestellen musst du eine quadratische Gleichung lösen, die den Parameter \(k\) enthält.

1. Nullstellen: Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), folgt aus \((x-k)^2 \cdot e^x = 0\) direkt \(x = k\). 2. Ableitungen mit Produktregel: \(g_k'(x) = 2(x-k)e^x + (x-k)^2e^x = (x-k)(2 + x - k)e^x = (x-k)(x-k+2)e^x\). Zweite Ableitung: \(g_k''(x) = (x-k+2)e^x + (x-k)e^x + (x-k)(x-k+2)e^x = (x^2 + (4-2k)x + k^2-4k+2)e^x\). 3. Extrempunkte: \(g_k'(x) = 0 \implies x_1 = k, x_2 = k-2\). - \(g_k''(k) = (k^2 + 4k - 2k^2 + k^2 - 4k + 2)e^k = 2e^k > 0 \implies TP(k \mid 0)\). - \(g_k''(k-2) = ((k-2)^2 + (4-2k)(k-2) + k^2 - 4k + 2)e^{k-2} = (k^2-4k+4 + 4k-8-2k^2+4k + k^2-4k+2)e^{k-2} = -2e^{k-2} < 0 \implies HP(k-2 \mid 4e^{k-2})\). 4. Wendestellen: \(x^2 + (4-2k)x + k^2-4k+2 = 0\) mit der p-q-Formel lösen: \(x = \frac{-(4-2k) \pm \sqrt{(4-2k)^2 - 4(k^2-4k+2)}}{2} = \frac{2k-4 \pm \sqrt{16-16k+4k^2-4k^2+16k-8}}{2} = \frac{2k-4 \pm \sqrt{8}}{2} = k - 2 \pm \sqrt{2}\). Da \(g_k'''(x) \neq 0\) an diesen Stellen, liegen Wendestellen vor.

Nullstellen: \(x = k\). Extrempunkte: \(TP(k \mid 0)\) und \(HP(k-2 \mid 4e^{k-2})\). Wendestellen: \(x_{W1,2} = k - 2 \pm \sqrt{2}\).

- Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Nutze eine geeignete Substitution, um die Gleichung in eine bekannte Form zu bringen. - Welchen Wertebereich hat die Exponentialfunktion? - Wann hat eine quadratische Gleichung keine positiven Lösungen?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(0 \mid 1)\) in die Funktionsgleichung: \(e^{2 \cdot 0} - t \cdot e^0 + 4 = 1\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(1 - t + 4 = 1\), woraus \(5 - t = 1\) und somit \(t = 4\) folgt. 3. Untersuchung der Nullstellen: Die Gleichung \(e^{2x} - te^x + 4 = 0\) wird mit \(u = e^x\) (\(u > 0\)) substituiert zu \(u^2 - tu + 4 = 0\). 4. Die quadratische Gleichung hat keine reellen Lösungen für \(u\), wenn die Diskriminante \(D = t^2 - 16 < 0\) ist, also für \(-4 < t < 4\). 5. Falls \(D \ge 0\), existieren Lösungen für \(u\). Damit \(f_t\) keine Nullstellen hat, dürfen diese Lösungen nicht positiv sein. Die Lösungen sind \(u_{1,2} = \frac{t \pm \sqrt{t^2-16}}{2}\). Da das Produkt der Lösungen \(u_1 \cdot u_2 = 4\) positiv ist, haben beide dasselbe Vorzeichen. Sie sind beide nicht positiv, wenn ihre Summe \(u_1 + u_2 = t \le 0\) ist. 6. Kombination der Bedingungen: Für \(t < 4\) hat die Gleichung entweder keine reellen Lösungen für \(u\) oder nur Lösungen mit \(u \le 0\). Da \(u = e^x\) stets positiv ist, besitzt \(f_t\) für alle \(t < 4\) keine Nullstellen.

a) \(t = 4\) b) \(t < 4\)

- Wo genau auf der \(x\)-Achse befindet sich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Wenn eine Gerade mit der \(y\)-Achse einen Winkel von \(45^\circ\) einschließt, welchen Winkel bildet sie dann mit der \(x\)-Achse? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Neigungswinkel einer Tangente und ihrer Steigung. - Achte auf die Einschränkungen für die Parameter in der Aufgabenstellung.

1. Bestimmung von \(a\) über den \(y\)-Achsenabschnitt: \(f_{a,k}(0) = (0 + a) \cdot e^0 = a\). Da der Schnittpunkt bei \(y=3\) liegt, folgt \(a = 3\). 2. Ableitung der Funktion mit der Produkt- und Kettenregel: \(f_{a,k}'(x) = 1 \cdot e^{kx} + (x + a) \cdot k \cdot e^{kx} = (1 + kx + ak) \cdot e^{kx}\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x=0\): \(f_{a,k}'(0) = (1 + 0 + 3k) \cdot e^0 = 1 + 3k\). 4. Auswertung der Winkelbedingung: Ein Winkel von \(45^\circ\) zur \(y\)-Achse bedeutet, dass die Tangente auch einen Winkel von \(45^\circ\) (oder \(-45^\circ\)) zur \(x\)-Achse hat. Daraus folgt für die Steigung \(m = \tan(45^\circ) = 1\) oder \(m = \tan(-45^\circ) = -1\). 5. Fallunterscheidung für \(k\): Fall 1: \(1 + 3k = 1 \Rightarrow 3k = 0 \Rightarrow k = 0\). Dieser Wert ist laut Aufgabenstellung ausgeschlossen. Fall 2: \(1 + 3k = -1 \Rightarrow 3k = -2 \Rightarrow k = -\frac{2}{3}\). 6. Ergebnis: Der Parameter \(a\) ist \(3\) und der Parameter \(k\) ist \(-\frac{2}{3}\).

Die gesuchten Werte sind \(a = 3\) und \(k = -\frac{2}{3}\).

- Behandle \(k\) beim Ableiten wie eine ganz normale positive Zahl. - Vergiss beim Lösen der Gleichung für die Wendestellen nicht, dass es zwei Lösungen für \(x^2 = a\) geben kann. - Die Steigung einer Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Setze den Term für die Steigung mit dem geforderten Wert gleich und löse nach \(k\) auf.

1. Ableitungen: \(f_k'(x) = 2kx \cdot e^{1-x^2}\) und \(f_k''(x) = 2k \cdot e^{1-x^2} \cdot (1 - 2x^2)\). 2. Extrempunkt: \(f_k'(x) = 0 \Rightarrow x = 0\). Da \(k > 0\) und \(e^{1-0^2} = e\), ist \(f_k''(0) = 2ke > 0\). Es liegt ein Tiefpunkt bei \(T(0 \mid -ke)\) vor. 3. Wendepunkte: \(f_k''(x) = 0 \Rightarrow 1 - 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x_W = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\). Funktionswerte: \(f_k(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}) = -ke^{1 - \frac{1}{2}} = -k\sqrt{e}\). Die Wendepunkte sind \(W_{1,2}(\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \mid -k\sqrt{e})\). 4. Tangentensteigung: Die Steigung an der Stelle \(x_W = \frac{1}{\sqrt{2}}\) ist \(m = f_k'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2k \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{2} \cdot k \cdot \sqrt{e} = k\sqrt{2e}\). 5. Bedingung \(m = 1\): \(k\sqrt{2e} = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{2e}}\).

a) Tiefpunkt \(T(0 \mid -ke)\). b) Wendepunkte \(W_{1,2}(\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \mid -k\sqrt{e})\). c) \(k = \frac{1}{\sqrt{2e}}\).

- Denke an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von Funktionen mit \(e\)-Termen. - Wann hat eine quadratische Gleichung zwei, eine oder gar keine Lösung? - Ein lokaler Extrempunkt setzt voraus, dass die erste Ableitung an dieser Stelle ihr Vorzeichen wechselt. - Wie hängen das Vorzeichen der Ableitung und das Steigungsverhalten des Graphen zusammen?

1. Ableitung von \(f_a\) bestimmen: Unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(f_a'(x) = 2x \cdot e^{-x} + (x^2 + a) \cdot (-e^{-x}) = (-x^2 + 2x - a) \cdot e^{-x}\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen \(f_a'(x) = 0\): Da \(e^{-x} > 0\), muss die quadratische Gleichung \(-x^2 + 2x - a = 0\) bzw. \(x^2 - 2x + a = 0\) gelöst werden. 3. Diskriminante untersuchen: \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 4 - 4a\). - Für \(a < 1\) ist \(D > 0\): Es existieren zwei verschiedene reelle Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, also zwei lokale Extremstellen. - Für \(a = 1\) ist \(D = 0\): Es gibt eine doppelte Nullstelle bei \(x = 1\). Da die Ableitung dort keinen Vorzeichenwechsel hat, liegt keine Extremstelle vor. - Für \(a > 1\) ist \(D < 0\): Es gibt keine reellen Nullstellen und somit keine Extremstellen. 4. Analyse für \(a = -3\): Die Ableitung ist \(f_{-3}'(x) = (-x^2 + 2x + 3) \cdot e^{-x}\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 5. Monotonie von \(f_{-3}\): Da der quadratische Term eine nach unten geöffnete Parabel beschreibt, ist \(f_{-3}'(x) < 0\) für \(x \in ]-\infty;-1[\) und \(x \in ]3;\infty[\) sowie \(f_{-3}'(x) > 0\) für \(x \in ]-1;3[\). 6. Extrempunkte berechnen: - Tiefpunkt bei \(x = -1\): \(f_{-3}(-1) = ((-1)^2 - 3) \cdot e^1 = -2e\). Punkt: \(T(-1 \mid -2e)\). - Hochpunkt bei \(x = 3\): \(f_{-3}(3) = (3^2 - 3) \cdot e^{-3} = 6e^{-3}\). Punkt: \(H(3 \mid 6e^{-3})\).

a) Für \(a < 1\) besitzt die Funktion zwei lokale Extremstellen. Für \(a \ge 1\) besitzt sie keine lokalen Extremstellen. b) Die Funktion \(f_{-3}\) ist im Intervall \([-1; 3]\) streng monoton steigend und in den Intervallen \(]-\infty;-1]\) sowie \([3;\infty[\) streng monoton fallend. Die Extrempunkte sind \(T(-1 \mid -2e)\) und \(H(3 \mid 6e^{-3})\).

- Wann ist eine Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich umkehrbar? - Was bedeutet dies für das Vorzeichen der ersten Ableitung an jeder Stelle \(x\)? - Da die Ableitung hier eine quadratische Funktion ist: Unter welcher Bedingung hat eine nach oben geöffnete Parabel keine Werte unterhalb der \(x\)-Achse? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion und ihrer Diskriminante.

1. Aufstellen der Ableitungsfunktion: \(g_k'(x) = 3x^2 + 2kx + 12\). 2. Bedingung für globale Umkehrbarkeit: Die Funktion \(g_k\) ist auf \(\mathbb{R}\) umkehrbar, wenn sie dort streng monoton ist. Da der Leitkoeffizient von \(g_k\) positiv ist, muss \(g_k'(x) \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gelten, wobei \(g_k'\) keine Nullstellen in einem echten Intervall besitzen darf. 3. Analyse der quadratischen Ableitungsfunktion: Da der Graph von \(g_k'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist die Bedingung \(g_k'(x) \geq 0\) erfüllt, wenn die Diskriminante \(D\) der zugehörigen quadratischen Gleichung \(3x^2 + 2kx + 12 = 0\) kleiner oder gleich null ist. 4. Berechnung der Diskriminante: \(D = (2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 4k^2 - 144\). 5. Lösen der Ungleichung: \(4k^2 - 144 \leq 0 \iff 4k^2 \leq 144 \iff k^2 \leq 36 \iff -6 \leq k \leq 6\). 6. Ergebnis: Für \(k \in [-6; 6]\) besitzt \(g_k'\) entweder keine oder nur eine isolierte Nullstelle (bei \(k=6\) oder \(k=-6\)), sodass \(g_k\) auf \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend und somit umkehrbar ist.

Die Funktion \(g_k\) ist für \(k \in [-6; 6]\) auf ihrem gesamten Definitionsbereich umkehrbar.

- Leite die Funktion schrittweise ab und achte beim Vereinfachen der zweiten Ableitung darauf, den Zähler auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Beim Lösen nach \(a\) kann es hilfreich sein, die Gleichung durch Quadrieren von der Wurzel zu befreien und danach alle positiven Lösungen zu prüfen. - Für die Tangentengleichung benötigst du sowohl den Funktionswert als auch den Wert der ersten Ableitung an der betrachteten Stelle.

1. Ableitungen: \(g_a'(x) = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + a}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + a}}\). Die zweite Ableitung ergibt sich über die Quotientenregel zu \(g_a''(x) = \frac{2\sqrt{2x^2+a} - 2x \cdot \frac{2x}{\sqrt{2x^2+a}}}{2x^2+a} = \frac{2(2x^2+a) - 4x^2}{(2x^2+a)^{3/2}} = \frac{2a}{(2x^2+a)^{3/2}}\). 2. Bedingung \(g_a''(1) = 0{,}5\): \(\frac{2a}{(2 + a)^{3/2}} = 0{,}5\). Da beide Seiten positiv sind, darf quadriert werden: \(4a = (a+2)^{3/2}\), also \(16a^2 = (a+2)^3\). Dies führt zu \(a^3 - 10a^2 + 12a + 8 = 0 = (a-2)(a^2-8a-4)\). Mit \(a > 0\) erhält man \(a = 2\) oder \(a = 4 + 2\sqrt{5}\). 3. Für \(a = 1\) ist \(g_1(2) = \sqrt{2 \cdot 2^2 + 1} = 3\). Die Steigung ist \(g_1'(2) = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2 \cdot 4 + 1}} = \frac{4}{3}\). 4. Die Tangentengleichung lautet \(y = \frac{4}{3}(x - 2) + 3\), was zu \(y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\) vereinfacht wird.

a) Nachweis über Quotientenregel: \(g_a''(x) = \frac{2a}{(2x^2 + a)^{3/2}}\) b) \(a = 2\) oder \(a = 4 + 2\sqrt{5}\) c) \(y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\)

- Wann ist ein Ausdruck unter einer Wurzel im Nenner mathematisch zulässig? - Betrachte für den Definitionsbereich die Ungleichung \(1 - ax^2 > 0\). - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Zähler konstant ist und der Nenner gegen Null geht? - Nutze für die Ableitung entweder die Quotientenregel oder schreibe die Funktion als Potenz mit negativem Exponenten um. - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung links und rechts der Nullstelle.

1. Definitionsbereich: Es muss \(1 - ax^2 > 0\) gelten. Fall \(a < 0\): Da \(-ax^2 \geq 0\), ist \(1 - ax^2 \geq 1 > 0\) für alle \(x\), also \(D_a = \mathbb{R}\). Fall \(a > 0\): \(ax^2 < 1 \iff x^2 < \frac{1}{a} \iff |x| < \frac{1}{\sqrt{a}}\), also \(D_a = ]-\frac{1}{\sqrt{a}}; \frac{1}{\sqrt{a}}[\). 2. Symmetrie: \(g_a(-x) = \frac{a}{\sqrt{1 - a(-x)^2}} = \frac{a}{\sqrt{1 - ax^2}} = g_a(x)\). Somit liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 3. Ränder (\(a > 0\)): Für \(x \to \pm \frac{1}{\sqrt{a}}\) nähert sich der Radikand \(1 - ax^2\) von oben der Null an. Da \(a > 0\), gilt \(\lim_{x \to \pm \frac{1}{\sqrt{a}}} g_a(x) = +\infty\). 4. Ableitung: Mit \(g_a(x) = a \cdot (1 - ax^2)^{-1/2}\) folgt über die Kettenregel \(g_a'(x) = a \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (1 - ax^2)^{-3/2} \cdot (-2ax) = \frac{a^2 x}{(1 - ax^2)^{3/2}}\). 5. Minimum: Es gilt \(g_a'(0) = 0\). Da der Nenner \((1-ax^2)^{3/2}\) und der Faktor \(a^2\) im Definitionsbereich stets positiv sind, wird das Vorzeichen der Ableitung nur durch \(x\) bestimmt. Für \(x < 0\) ist \(g_a'(x) < 0\) (streng monoton fallend) und für \(x > 0\) ist \(g_a'(x) > 0\) (streng monoton steigend). Somit liegt bei \(x=0\) ein lokales Minimum vor.

a) Für \(a < 0\): \(D_a = \mathbb{R}\); für \(a > 0\): \(D_a = ]-\frac{1}{\sqrt{a}}; \frac{1}{\sqrt{a}}[\). b) Nachweis über \(g_a(-x) = g_a(x)\). c) \(\lim_{x \to \pm \frac{1}{\sqrt{a}}} g_a(x) = +\infty\). d) \(g_a'(x) = \frac{a^2 x}{(1 - ax^2)^{3/2}}\); Minimum bei \(x=0\), da \(g_a'(0)=0\) und Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\).

- Kann der Ausdruck unter der Wurzel für irgendein \(x\) negativ werden? - Erinnere dich daran, dass die zweite Ableitung die Ableitung der ersten Ableitung ist. - Verwende die Quotientenregel oder schreibe den Term in eine Potenzform um, um die Ableitungen zu berechnen. - Vereinfache den Term der zweiten Ableitung so weit wie möglich, bevor du den Wert für \(x\) einsetzt.

1. Da \(x^2 \ge 0\) und \(k^2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist der Radikand \(x^2 + k^2\) stets positiv. Somit ist \(D_k = \mathbb{R}\). 2. Erste Ableitung mit Kettenregel: \(g_k'(x) = \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + k^2}} \cdot 2x = \frac{x}{k\sqrt{x^2 + k^2}}\). 3. Zweite Ableitung mit Quotientenregel oder Produktregel: \(g_k''(x) = \frac{1}{k} \cdot \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + k^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + k^2}}}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k} \cdot \frac{x^2 + k^2 - x^2}{(x^2 + k^2)^{1{,}5}} = \frac{k}{(x^2 + k^2)^{1{,}5}}\). 4. Bedingung einsetzen: \(g_k''(0) = \frac{k}{(0^2 + k^2)^{1{,}5}} = \frac{k}{k^3} = \frac{1}{k^2}\). 5. Gleichung lösen: \(\frac{1}{k^2} = 4 \implies k^2 = 0{,}25\). Da \(k > 0\), ergibt sich \(k = 0{,}5\).

a) \(D_k = \mathbb{R}\) b) \(g_k''(x) = \frac{k}{(x^2 + k^2)^{1{,}5}}\) oder \(g_k''(x) = \frac{k}{\sqrt{(x^2 + k^2)^3}}\) c) \(k = 0{,}5\)

- Nutze die Koordinaten des Punktes \(P\) und die Information über die Tangente, um zwei Gleichungen für \(a\) und \(b\) aufzustellen. - Erinnere dich daran, dass \(\ln(e) = 1\) ist. - Welcher Teilterm der Funktion „wächst“ schneller, wenn \(x\) sehr groß wird: ein Logarithmus oder eine Potenz? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung die Art eines Extrempunktes überprüfen?

1. Gleichungssystem aufstellen: Aus \(P(e | 1) \in G_g\) folgt \(g(e) = a\ln(e) + be^2 = a + b e^2 = 1\). Die Ableitung ist \(g'(x) = \frac{a}{x} + 2bx\). Aus der waagerechten Tangente folgt \(g'(e) = \frac{a}{e} + 2be = 0\), was äquivalent zu \(a + 2be^2 = 0\) ist. 2. Parameter berechnen: Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung liefert \(be^2 = -1\), also \(b = -e^{-2} = -\frac{1}{e^2}\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(a - 1 = 1\), also \(a = 2\). 3. Grenzwerte untersuchen: Für \(x \to 0^+\) gilt \(2 \ln(x) \to -\infty\) und \(-\frac{1}{e^2}x^2 \to 0\), also \(g(x) \to -\infty\). Für \(x \to \infty\) dominiert das quadratische Glied mit negativem Koeffizienten das logarithmische Glied, also \(\lim_{x \to \infty} x^2 \left( \frac{2 \ln(x)}{x^2} - \frac{1}{e^2} \right) = -\infty\). 4. Nachweis des Hochpunkts: Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = -2x^{-2} - 2e^{-2}\). Einsetzen von \(x = e\) ergibt \(g''(e) = -\frac{2}{e^2} - \frac{2}{e^2} = -\frac{4}{e^2}\). Da \(g''(e) < 0\), liegt ein lokaler Hochpunkt vor.

a) \(a = 2\); \(b = -\frac{1}{e^2}\) b) \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty\) c) Da \(g'(e) = 0\) und \(g''(e) = -\frac{4}{e^2} < 0\), ist \(P\) ein lokaler Hochpunkt.

- Wann hat ein Produkt aus zwei Termen den Wert Null? - Was sagt die erste Ableitung über die Steigung des Graphen aus? - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung in Abhängigkeit von ihrer Diskriminante haben? - Ein Wendepunkt setzt voraus, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle ihr Vorzeichen ändert. Was bedeutet das für den Term in der Klammer?

1. Nullstellenbestimmung: Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), müssen die Nullstellen von \(x^2 - k = 0\) gefunden werden. Für \(k < 0\) gibt es keine Nullstellen. Für \(k = 0\) gibt es die doppelte Nullstelle \(x = 0\). Für \(k > 0\) gibt es zwei Nullstellen bei \(x_1 = -\sqrt{k}\) und \(x_2 = \sqrt{k}\). 2. Waagerechte Tangente bei \(x=1\): Die erste Ableitung ist \(g_k'(x) = 2x e^x + (x^2 - k) e^x = (x^2 + 2x - k) e^x\). Die Bedingung \(g_k'(1) = 0\) führt zu \((1^2 + 2 \cdot 1 - k) e^1 = (3 - k) e = 0\), woraus \(k = 3\) folgt. 3. Anzahl der Extrempunkte: Die Anzahl der Extrempunkte entspricht der Anzahl der Vorzeichenwechsel von \(g_k'(x)\). Die quadratische Gleichung \(x^2 + 2x - k = 0\) hat zwei verschiedene reelle Lösungen, wenn die Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 4 + 4k > 0\) ist. Dies ist für \(k > -1\) der Fall. Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt. 4. Wendepunkte: Die zweite Ableitung ist \(g_k''(x) = (2x + 2) e^x + (x^2 + 2x - k) e^x = (x^2 + 4x + 2 - k) e^x\). Ein Wendepunkt existiert nur, wenn \(g_k''(x)\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat. Die Diskriminante der quadratischen Klammer ist \(D_W = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - k) = 16 - 8 + 4k = 8 + 4k\). Wenn \(D_W < 0\) ist, hat \(g_k''(x)\) keine Nullstellen und somit keinen Wendepunkt; dies gilt für \(k < -2\). Wenn \(D_W = 0\) (also \(k = -2\)), hat \(g_k''(x) = (x+2)^2 e^x\) eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, also ebenfalls keinen Wendepunkt. Der Graph hat somit keinen Wendepunkt für \(k \le -2\).

a) Für \(k < 0\): keine Nullstellen; für \(k=0\): \(x=0\) als doppelte Nullstelle; für \(k > 0\): \(x = \pm \sqrt{k}\). b) \(k = 3\). c) Für \(k > -1\). d) Für \(k \le -2\).

- Was muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie hilft dir die zweite Ableitung bei der Bestimmung der Art eines Extremums? - Untersuche die Gleichung für die notwendige Bedingung von Wendepunkten auf die Anzahl ihrer Lösungen. - Beachte, dass eine Nullstelle der zweiten Ableitung nur dann ein Wendepunkt ist, wenn dort ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

1. Teil a): Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist \(f_k'(-1) = 0\). Mit \(f_k'(x) = x^3 + kx + 2\) folgt \((-1)^3 + k(-1) + 2 = 0\), woraus \(-1 - k + 2 = 0\) und somit \(k = 1\) resultiert. 2. Zur Bestimmung der Art prüft man \(f_1''(-1)\). Mit \(f_k''(x) = 3x^2 + k\) ergibt sich \(f_1''(-1) = 3(-1)^2 + 1 = 4 > 0\). Es liegt also ein lokales Minimum vor. 3. Teil b): Wendepunkte liegen an den Stellen vor, an denen \(f_k''(x) = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Die Bedingung \(3x^2 + k = 0\) führt auf \(x^2 = -\frac{k}{3}\). 4. Falls \(k > 0\), hat die Gleichung keine reelle Lösung, da \(x^2\) nicht negativ sein kann. Es gibt keine Wendepunkte. 5. Falls \(k = 0\), ist \(f_0''(x) = 3x^2\). Die einzige Nullstelle liegt bei \(x = 0\), jedoch ohne Vorzeichenwechsel. Es gibt keinen Wendepunkt. 6. Falls \(k < 0\), hat die Gleichung zwei Lösungen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{k}{3}}\). Da es sich um einfache Nullstellen einer nach oben geöffneten Parabel handelt, findet jeweils ein Vorzeichenwechsel statt. Es gibt genau zwei Wendepunkte.

a) \(k = 1\); es handelt sich um ein lokales Minimum. b) Für \(k \ge 0\) besitzt der Graph keine Wendepunkte; für \(k < 0\) besitzt er genau zwei Wendepunkte.

- Überlege dir, welche Bedingung die Diskriminante einer quadratischen Gleichung erfüllen muss, damit es zwei verschiedene Lösungen gibt. - Der Wendepunkt wird berechnet, indem du die zweite Ableitung gleich null setzt. - Vergiss nicht, den x-Wert in die ursprüngliche Funktionsgleichung einzusetzen, um den y-Wert des Punktes zu erhalten.

1. Ableitungen bestimmen: \(g_a'(x) = x^2 + 2ax + 4\), \(g_a''(x) = 2x + 2a\), \(g_a'''(x) = 2\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(x^2 + 2ax + 4 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel ergibt \(x = -a \pm \sqrt{a^2 - 4}\). 3. Existenz von zwei Extremstellen: Die Diskriminante \(D = a^2 - 4\) muss größer als null sein. Dies ist der Fall für \(a < -2\) oder \(a > 2\). In diesen Fällen ist \(g_a''(-a \pm \sqrt{a^2 - 4}) = \pm 2\sqrt{a^2 - 4} \neq 0\), sodass tatsächlich zwei Extrema vorliegen. 4. Wendepunkt: \(g_a''(x) = 0 \implies 2x + 2a = 0 \implies x = -a\). Da \(g_a'''(-a) = 2 \neq 0\), ist dies eine Wendestelle. 5. Funktionswert berechnen: \(g_a(-a) = \frac{1}{3}(-a)^3 + a(-a)^2 + 4(-a) = -\frac{1}{3}a^3 + a^3 - 4a = \frac{2}{3}a^3 - 4a\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(-a \mid \frac{2}{3}a^3 - 4a)\).

a) Die Graphen besitzen genau zwei relative Extrempunkte für \(|a| > 2\) (also \(a < -2\) oder \(a > 2\)). b) Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W(-a \mid \frac{2}{3}a^3 - 4a)\).

- Kannst du den Funktionsterm durch Ausklammern faktorisieren? - Behandle den Parameter \(a\) beim Ableiten wie eine gewöhnliche Zahl. - Welche Umkehroperation benötigst du, um eine Gleichung der Form \(e^x = c\) nach \(x\) aufzulösen? - Vergiss nicht, dass der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist. - Wie kannst du Logarithmengesetze nutzen, um den Ausdruck \(\ln(\frac{a}{2})\) anders zu schreiben?

1. Nullstellen berechnen: \(f_a(x) = 0 \iff e^x(e^x - a) = 0\). Da \(e^x \neq 0\), folgt \(e^x = a\) und damit \(x = \ln(a)\). Die Nullstelle liegt bei \(N(\ln(a) \mid 0)\). 2. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 2e^{2x} - ae^x = e^x(2e^x - a)\). Die zweite Ableitung ist \(f_a''(x) = 4e^{2x} - ae^x\). 3. Extremstellen bestimmen: \(f_a'(x) = 0 \iff 2e^x - a = 0 \iff e^x = \frac{a}{2}\), also \(x = \ln(\frac{a}{2})\). 4. Art des Extremums: Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt \(f_a''(\ln(\frac{a}{2})) = 4(\frac{a}{2})^2 - a(\frac{a}{2}) = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}\). Da \(a > 0\), ist \(\frac{a^2}{2} > 0\), es handelt sich um einen Tiefpunkt. 5. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a(\ln(\frac{a}{2})) = (\frac{a}{2})^2 - a(\frac{a}{2}) = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = -\frac{a^2}{4}\). Der Tiefpunkt ist \(T(\ln(\frac{a}{2}) \mid -\frac{a^2}{4})\).

Nullstelle: \(N(\ln(a) \mid 0)\) Extrempunkt: Tiefpunkt \(T(\ln(\frac{a}{2}) \mid -\frac{a^2}{4})\) oder \(T(\ln(a) - \ln(2) \mid -0{,}25a^2)\)

- Was muss für die erste und zweite Ableitung an einer Hochstelle gelten? - Wie kannst du den Logarithmus eines Bruchs mithilfe von Logarithmengesetzen umschreiben? - Welche Gleichung muss die \(y\)-Koordinate eines Punktes erfüllen, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie löst man eine Gleichung der Form \(\ln(x) = c\) nach \(x\) auf?

1. Erste Ableitung: \(f_a'(x) = \frac{1}{x} - a\). Nullsetzen ergibt \(\frac{1}{x} = a \Rightarrow x = \frac{1}{a}\). Da \(a > 0\), liegt die Stelle im Definitionsbereich. 2. Art des Extrempunkts: \(f_a''(x) = -\frac{1}{x^2}\). Da \(f_a''(\frac{1}{a}) = -a^2 < 0\) für alle \(a > 0\), handelt es sich stets um einen Hochpunkt. 3. Lage auf der \(x\)-Achse: Die Bedingung \(f_a(\frac{1}{a}) = 0\) führt zu \(\ln(\frac{1}{a}) - a \cdot \frac{1}{a} = 0\). Dies vereinfacht sich zu \(-\ln(a) - 1 = 0 \Rightarrow \ln(a) = -1\). 4. Auflösen nach \(a\): Es folgt \(a = e^{-1} = \frac{1}{e}\).

a) \(f_a'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{a}\); \(f_a''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0\), somit existiert für jedes \(a\) genau ein Hochpunkt an der Stelle \(x = \frac{1}{a}\). b) \(a = \frac{1}{e}\)

- Setze die zweite Ableitung gleich Null und versuche, die Terme mit \(x\) auf eine Seite zu bringen. - Was weißt du über das Vorzeichen von \(e^x\)? Was muss also für die andere Seite der Gleichung gelten? - Nutze die Potenzgesetze, um Ausdrücke wie \(e^{ax}\) in \(e^{(a-1)x} \cdot e^x\) oder ähnliches umzuformen. - Beachte, dass ein Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist.

Zuerst werden die Ableitungen gebildet: \(f_a'(x) = ae^x + ae^{ax}\) \(f_a''(x) = ae^x + a^2e^{ax}\) Für eine Wendestelle muss \(f_a''(x) = 0\) gelten: \(ae^x + a^2e^{ax} = 0 \iff a(e^x + ae^{ax}) = 0\) Da \(a \neq 0\), muss \(e^x + ae^{ax} = 0\) gelten, also \(e^x = -ae^{ax}\). Division durch \(e^{ax}\) ergibt \(e^{(1-a)x} = -a\). Damit diese Gleichung eine Lösung für \(x\) besitzt, muss die rechte Seite positiv sein: \(-a > 0 \implies a < 0\). Zudem muss die Basis im Exponenten ungleich Null sein: \(1-a \neq 0 \implies a \neq 1\). Da \(a < 0\) vorausgesetzt ist, ist dies erfüllt. Die \(x\)-Koordinate der Wendestelle ist \(x_W = \frac{\ln(-a)}{1-a}\). Da \(f_a'''(x) = ae^x + a^3e^{ax}\) an der Stelle \(x_W\) den Wert \(a \cdot e^{x_W} + a^2(a \cdot e^{ax_W}) = a \cdot e^{x_W} + a^2(-e^{x_W}) = (a-a^2)e^{x_W}\) annimmt, was für \(a < 0\) ungleich Null ist (\(a(1-a) \neq 0\)), liegt ein Vorzeichenwechsel vor. Berechnung des \(y\)-Werts: \(y_W = a \cdot e^{x_W} + e^{ax_W} = a \cdot e^{x_W} + e^{(a-1)x_W} \cdot e^{x_W}\) Mit \(e^{(1-a)x_W} = -a\) folgt \(e^{(a-1)x_W} = (-a)^{-1} = -\frac{1}{a}\). Einsetzen ergibt \(y_W = a \cdot e^{x_W} - \frac{1}{a} e^{x_W} = (a - \frac{1}{a}) e^{x_W} = \frac{a^2-1}{a}(-a)^{\frac{1}{1-a}}\).

Die Wendestelle existiert genau dann, wenn \(a < 0\) ist, da nur dann die Gleichung \(e^{(1-a)x} = -a\) lösbar ist. Die Koordinaten der Wendestelle sind: \(x_W = \frac{\ln(-a)}{1-a}\) \(y_W = \frac{a^2-1}{a}(-a)^{\frac{1}{1-a}}\)

- Nutze für die Ableitungen die Produktregel und achte beim \(e\)-Term auf die Kettenregel. - Der horizontale Abstand zweier Punkte ist die Differenz ihrer x-Werte. - Wann nimmt eine Exponentialfunktion der Form \(e^u\) den Wert \(1\) an? - Beachte die Einschränkung für den Parameter \(a\).

1. Ableitungen bilden: \(g_a'(x) = 1 \cdot e^{-ax} + (x+a) \cdot (-a) \cdot e^{-ax} = (1 - a^2 - ax)e^{-ax}\). Zweite Ableitung: \(g_a''(x) = -a \cdot e^{-ax} + (1 - a^2 - ax) \cdot (-a) \cdot e^{-ax} = (a^2x + a^3 - 2a)e^{-ax}\). 2. Maximum bestimmen: \(g_a'(x) = 0 \implies 1 - a^2 - ax = 0 \implies x_H = \frac{1-a^2}{a} = \frac{1}{a} - a\). 3. Wendepunkt bestimmen: \(g_a''(x) = 0 \implies a^2x + a^3 - 2a = 0 \implies x_W = \frac{2a-a^3}{a^2} = \frac{2}{a} - a\). 4. Abstand berechnen: \(d = x_W - x_H = (\frac{2}{a} - a) - (\frac{1}{a} - a) = \frac{1}{a}\). 5. Tangentensteigung im Wendepunkt: \(m_W = g_a'(x_W) = (1 - a^2 - a(\frac{2}{a} - a))e^{-a(\frac{2}{a} - a)} = (1 - a^2 - 2 + a^2)e^{-2+a^2} = -e^{a^2-2}\). 6. Parameter \(a\) bestimmen: \(-e^{a^2-2} = -1 \implies e^{a^2-2} = 1 \implies a^2-2 = 0 \implies a = \sqrt{2}\) (da \(a > 0\)).

a) \(x_H = \frac{1}{a} - a\) und \(x_W = \frac{2}{a} - a\) b) Der Abstand ist \(x_W - x_H = \frac{2}{a} - a - (\frac{1}{a} - a) = \frac{1}{a}\). c) Der gesuchte Parameterwert ist \(a = \sqrt{2}\).

- Bestimme zuerst die ersten drei Ableitungen der Funktion. - Untersuche die Gleichungen \(g_k'(x) = 0\) und \(g_k''(x) = 0\) getrennt voneinander. - Beachte dabei, dass im Definitionsbereich \(x\) immer positiv sein muss. - Wie beeinflusst das Vorzeichen von \(k\), ob die Gleichungen eine Lösung im Bereich \(x > 0\) haben? - Nutze die Logarithmusgesetze, um den y-Wert des Wendepunkts zu vereinfachen.

1. Ableitungen berechnen: \(g_k'(x) = \frac{k}{x} + 2x\), \(g_k''(x) = -\frac{k}{x^2} + 2\) und \(g_k'''(x) = \frac{2k}{x^3}\). Notwendige Bedingung für Extremum: \(g_k'(x) = 0 \iff \frac{k+2x^2}{x} = 0 \iff 2x^2 = -k\). Da \(x^2 > 0\), gibt es nur für \(k < 0\) eine Lösung \(x_E = \sqrt{-\frac{k}{2}}\). Wegen \(g_k''(x_E) = -\frac{k}{-k/2} + 2 = 4 > 0\) ist dies ein Minimum. Notwendige Bedingung für Wendepunkt: \(g_k''(x) = 0 \iff \frac{2x^2-k}{x^2} = 0 \iff 2x^2 = k\). Da \(x^2 > 0\), gibt es nur für \(k > 0\) eine Lösung \(x_W = \sqrt{\frac{k}{2}}\). Wegen \(g_k'''(x_W) = \frac{2k}{(k/2)^{1{,}5}} \neq 0\) liegt ein Wendepunkt vor. Da \(k\) entweder positiv oder negativ ist, tritt genau einer der Fälle ein. 2. Der Wendepunkt existiert für \(k > 0\). Die x-Koordinate ist \(x_W = \sqrt{\frac{k}{2}}\). Einsetzen in \(g_k\): \(y_W = k \cdot \ln\left(\sqrt{\frac{k}{2}}\right) + \left(\sqrt{\frac{k}{2}}\right)^2 = k \cdot \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k}{2}\right) + \frac{k}{2} = \frac{k}{2} \left(\ln\left(\frac{k}{2}\right) + 1\right)\). Koordinaten: \(W\left(\sqrt{\frac{k}{2}} \mid \frac{k}{2} \left(\ln\left(\frac{k}{2}\right) + 1\right)\right)\).

1. Für \(k < 0\) existiert ein lokales Minimum bei \(x = \sqrt{-k/2}\), für \(k > 0\) existiert ein Wendepunkt bei \(x = \sqrt{k/2}\). 2. Wendepunkt \(W\left(\sqrt{\frac{k}{2}} \mid \frac{k}{2} \left(\ln\left(\frac{k}{2}\right) + 1\right)\right)\) für \(k > 0\).

- Der maximale Wert einer Funktion \(a \sin(x) + b \cos(x)\) entspricht der Amplitude der kombinierten Schwingung. - Nutze die Darstellung \(A \sin(x + \alpha)\), um die Lage der Maxima einfacher zu bestimmen. - Wann erreicht die Standard-Sinusfunktion \(\sin(u)\) ihren ersten Höchstpunkt? - Verwende die Beziehung zwischen den Koeffizienten und dem Tangens des Phasenwinkels.

1. Eine Linearkombination der Form \(a \sin(x) + b \cos(x)\) hat die Amplitude \(A = \sqrt{a^2 + b^2}\). Hier ist \(a = t\) und \(b = \sqrt{11}\). Die Extrema liegen somit bei \(y_{max} = \sqrt{t^2 + 11}\) und \(y_{min} = -\sqrt{t^2 + 11}\). 2. Für \(t = \sqrt{5}\) ist \(A = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{11})^2} = \sqrt{5 + 11} = 4\). 3. Zur Bestimmung von \(\alpha\) gilt \(\cos(\alpha) = \frac{t}{A} = \frac{\sqrt{5}}{4}\) und \(\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{11}}{A} = \frac{\sqrt{11}}{4}\). Da beide positiv sind, folgt \(\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{11}}{4}\right) \approx 0{,}98\). 4. Eine Funktion der Form \(A \sin(x + \alpha)\) hat ihr erstes Maximum dort, wo das Argument \(x + \alpha = \frac{\pi}{2}\) ist. 5. Gegeben ist \(x = \frac{\pi}{3}\), woraus folgt: \(\frac{\pi}{3} + \alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{6}\). 6. Es gilt \(\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{11}}{t}\). Mit \(\alpha = \frac{\pi}{6}\) ergibt sich \(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11}}{t}\). 7. Auflösen nach \(t\) liefert \(t = \sqrt{33}\).

a) Maxima: \(\sqrt{t^2 + 11}\); Minima: \(-\sqrt{t^2 + 11}\) b) \(A = 4\); \(\alpha \approx 0{,}98\) c) \(t = \sqrt{33} \approx 5{,}74\)

- Untersuche das Vorzeichen der ersten Ableitung für verschiedene Werte des Parameters. - Wann ist eine Funktion über ihrem gesamten Definitionsbereich umkehrbar? - Nutze Logarithmengesetze, um Differenzen von Logarithmen zusammenzufassen. - Verwende bei der Bestimmung der Umkehrfunktion eine Substitution wie \(u = e^x\) oder die quadratische Ergänzung. - Du kannst die Ableitung der Umkehrfunktion entweder direkt bestimmen oder die Formel \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}\) nutzen.

1. Zur Untersuchung der Extrema wird die erste Ableitung \(f_a'(x) = 2e^{2x} + a e^x = e^x(2e^x + a)\) gebildet. Für \(a \geq 0\) ist \(f_a'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), die Funktion ist streng monoton steigend und besitzt keine Extrema. Damit ist \(f_a\) für \(a \geq 0\) auf \(\mathbb{R}\) umkehrbar. Für \(a < 0\) liegt bei \(e^x = -\frac{a}{2}\), also \(x_T = \ln(-\frac{a}{2})\), ein lokales Minimum vor. In diesem Fall ist die Funktion auf \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar. 2. Die zweite Ableitung lautet \(f_a''(x) = 4e^{2x} + a e^x = e^x(4e^x + a)\). Ein Wendepunkt existiert für \(a < 0\) bei \(4e^x = -a\), woraus \(x_W = \ln(-\frac{a}{4})\) folgt. Die Differenz der x-Koordinaten ist \(x_T - x_W = \ln(-\frac{a}{2}) - \ln(-\frac{a}{4}) = \ln\left(\frac{-a/2}{-a/4}\right) = \ln(2)\). Dieser Wert ist unabhängig von \(a\). 3. Für \(a = 2\) ist \(y = e^{2x} + 2e^x\). Durch quadratische Ergänzung folgt \(y = (e^x + 1)^2 - 1\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(e^x = \sqrt{y+1} - 1\) (da \(e^x > 0\)), also \(f_2^{-1}(x) = \ln(\sqrt{x+1} - 1)\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), ist der Wertebereich von \(f_2\) das Intervall \(]0; \infty[\), was dem Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht. 4. Die Ableitung der Umkehrfunktion berechnet sich zu \((f_2^{-1})'(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}-1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{1}{2(x+1 - \sqrt{x+1})}\).

a) Für \(a \geq 0\) ist \(f_a\) streng monoton steigend und auf \(\mathbb{R}\) umkehrbar. Für \(a < 0\) besitzt der Graph einen Tiefpunkt bei \(x = \ln(-\frac{a}{2})\) und ist auf \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar. b) \(x_T - x_W = \ln(2)\). c) \(f_2^{-1}(x) = \ln(\sqrt{x+1} - 1)\) mit \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\). d) \((f_2^{-1})'(x) = \frac{1}{2(x+1 - \sqrt{x+1})}\).

- Untersuche für die Grenzwerte, wie sich der Term \(e^x\) verhält. - Faktoriere die zweite Ableitung so weit wie möglich, um die Nullstellen leicht zu finden. - Denk an das Kriterium der strengen Monotonie: Eine Funktion ist auch dann streng monoton, wenn die Ableitung nur an einzelnen, isolierten Stellen Null ist. - Nutze für die Ableitung der Umkehrfunktion an einer Stelle den Zusammenhang \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}\) mit \(y = f(x)\).

1. Nullstelle: \((e^x - k)^3 = 0 \implies e^x = k \implies x = \ln(k)\). Grenzwerte: Für \(x \to \infty\) gilt \(g_k(x) \to \infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(g_k(x) \to (0 - k)^3 = -k^3\). 2. Ableitungen: \(g_k'(x) = 3(e^x - k)^2 e^x\) und \(g_k''(x) = 6(e^x - k)e^{2x} + 3(e^x - k)^2 e^x = 3e^x(e^x - k)(2e^x + e^x - k) = 3e^x(e^x - k)(3e^x - k)\). Die Nullstellen der zweiten Ableitung liegen bei \(e^x = k\) (\(x_{W1} = \ln(k)\)) und \(e^x = \frac{k}{3}\) (\(x_{W2} = \ln(\frac{k}{3})\)). Da \(g_k''(x)\) an beiden Stellen das Vorzeichen wechselt, liegen zwei Wendepunkte vor. Abstand: \(\Delta x = \ln(k) - \ln(\frac{k}{3}) = \ln\left(\frac{k}{k/3}\right) = \ln(3)\). 3. Da \(3(e^x - k)^2 \geq 0\) und \(e^x > 0\), ist \(g_k'(x) \geq 0\) für alle \(x\). Da die einzige Nullstelle der Ableitung bei \(x = \ln(k)\) isoliert ist, ist \(g_k\) streng monoton steigend und somit auf \(\mathbb{R}\) umkehrbar. Umkehrfunktion: \(y = (e^x - k)^3 \implies \sqrt[3]{y} = e^x - k \implies e^x = \sqrt[3]{y} + k \implies g_k^{-1}(x) = \ln(\sqrt[3]{x} + k)\). 4. Gesucht ist \((g_k^{-1})'(k^3)\). Es gilt \(g_k(x) = k^3 \iff (e^x - k)^3 = k^3 \iff e^x - k = k \iff e^x = 2k \iff x = \ln(2k)\). Die Ableitung der Funktion an dieser Stelle ist \(g_k'(\ln(2k)) = 3(2k - k)^2 \cdot 2k = 3k^2 \cdot 2k = 6k^3\). Der Wert der Ableitung der Umkehrfunktion ist somit \(\frac{1}{g_k'(\ln(2k))} = \frac{1}{6k^3}\).

a) Nullstelle bei \(x = \ln(k)\). Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} g_k(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g_k(x) = -k^3\). b) Wendestellen bei \(x_1 = \ln(k)\) und \(x_2 = \ln(\frac{k}{3})\); Abstand \(\ln(3)\). c) \(g_k\) ist streng monoton steigend; \(g_k^{-1}(x) = \ln(\sqrt[3]{x} + k)\) mit \(D_{g_k^{-1}} = ]-k^3; \infty[\). d) \((g_k^{-1})'(k^3) = \frac{1}{6k^3}\).

- Bestimme zuerst die erste Ableitung der Funktion \(f_a(x)\) mithilfe der Produkt- und Kettenregel. - Setze die erste Ableitung gleich null, um die potenziellen Extremstellen zu finden. Was fällt dir bezüglich des Parameters \(a\) auf? - Nutze das Verhalten der Ableitung oder die zweite Ableitung, um zu zeigen, um welche Art von Extrempunkt es sich handelt. - Setze die x-Koordinate des Hochpunkts in die Funktionsgleichung ein, um die y-Koordinate in Abhängigkeit von \(a\) auszudrücken, und löse nach \(a\) auf. - Nutze die allgemeine Tangentenformel \(t(x) = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\) für die Stelle \(x_0 = 1\) und vereinfache den Term.

1. Erste Ableitung berechnen: Mit der Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(f_a'(x) = a \cdot 2x \cdot e^{-x} - a \cdot x^2 \cdot e^{-x} = a \cdot x \cdot (2 - x) \cdot e^{-x}\). 2. Extremstellen bestimmen: Die notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) liefert wegen \(a > 0\) und \(e^{-x} > 0\) die Gleichung \(x \cdot (2 - x) = 0\), woraus die Lösungen \(x = 0\) und \(x = 2\) folgen. Da der Parameter \(a\) in dieser Gleichung nicht mehr auftaucht, sind die Extremstellen unabhängig von \(a\). 3. Art der Extrempunkte prüfen: Die zweite Ableitung lautet \(f_a''(x) = a \cdot (x^2 - 4x + 2) \cdot e^{-x}\). Einsetzen liefert \(f_a''(0) = 2a > 0\) (lokales Minimum bzw. Tiefstelle bei \(x = 0\)) und \(f_a''(2) = -2a \cdot e^{-2} < 0\) (lokales Maximum bzw. Hochstelle bei \(x = 2\)). 4. Parameter \(a\) bestimmen: Die y-Koordinate des Hochpunkts ist \(f_a(2) = a \cdot 2^2 \cdot e^{-2} = 4a \cdot e^{-2}\). Gleichsetzen mit \(4\) ergibt \(4a \cdot e^{-2} = 4 \implies a = e^2\). 5. Tangentengleichung bestimmen: Für \(a = 10\) ist \(f_{10}(1) = 10 \cdot e^{-1}\) und \(f_{10}'(1) = 10 \cdot e^{-1}\). Die Tangente hat die Gleichung \(t(x) = f_{10}'(1) \cdot (x - 1) + f_{10}(1) = 10e^{-1}x\). Diese Tangente verläuft durch den Koordinatenursprung \((0 \mid 0)\).

a) Die Extremstellen sind \(x = 0\) (Tiefpunkt) und \(x = 2\) (Hochpunkt). Da die Gleichung für die Nullstellen der Ableitung unabhängig von \(a\) gelöst werden kann, hängen die Extremstellen nicht vom Scharparameter ab. b) Der gesuchte Wert ist \(a = e^2\). c) Die Tangentengleichung lautet \(t(x) = 10e^{-1}x\) (oder \(t(x) = \frac{10}{e}x\)). Diese Tangente verläuft durch den Koordinatenursprung \((0 \mid 0)\).

- Lies die Aufgabenstellung sorgfältig durch und überlege, welche Ableitungsregeln für die Scharfunktion \(f_a(x)\) nützlich sind. - Denke an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von Funktionen mit \(e\)-Termen. - Für welche Werte von \(x\) wird die erste Ableitung gleich null? Denke daran, dass die Exponentialfunktion niemals null wird. - Ein Wendepunkt liegt dort vor, wo die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt. Bestimme also die Nullstellen der zweiten Ableitung. - Um zu zeigen, dass \(F_a(x)\) eine Stammfunktion ist, kannst du \(F_a(x)\) ableiten und prüfen, ob du wieder \(f_a(x)\) erhältst. - Bei dem uneigentlichen Integral über dem unbegrenzten Intervall hilft dir der Grenzwert für \(x \to \infty\). Welcher Teil des Terms dominiert für sehr große \(x\)?

1. Ableitungen bestimmen: Mit der Produkt- und Kettenregel ergibt sich für die erste Ableitung von \(f_a\): \(f_a'(x) = a \cdot e^{-\frac{x}{a}} + a \cdot x \cdot \left(-\frac{1}{a}\right) e^{-\frac{x}{a}} = (a - x) e^{-\frac{x}{a}}\). Die zweite Ableitung lautet: \(f_a''(x) = -1 \cdot e^{-\frac{x}{a}} + (a - x) \cdot \left(-\frac{1}{a}\right) e^{-\frac{x}{a}} = \left(\frac{x}{a} - 2\right) e^{-\frac{x}{a}}\). 2. Hochpunkt berechnen: Aus \(f_a'(x) = 0\) folgt \(a - x = 0\), also \(x = a\). Da \(f_a''(a) = -\frac{1}{e} < 0\), liegt ein Hochpunkt vor. Der zugehörige Funktionswert ist \(f_a(a) = a \cdot a \cdot e^{-1} = \frac{a^2}{e}\). Somit ist der Hochpunkt \(H_a\left(a \;\middle|\; \frac{a^2}{e}\right)\). 3. Wendepunkt berechnen: Aus \(f_a''(x) = 0\) folgt \(\frac{x}{a} - 2 = 0\), also \(x = 2a\). Da die zweite Ableitung bei \(x = 2a\) ihr Vorzeichen wechselt, liegt ein Wendepunkt vor. Der zugehörige Funktionswert ist \(f_a(2a) = a \cdot (2a) \cdot e^{-2} = \frac{2a^2}{e^2}\). Somit ist der Wendepunkt \(W_a\left(2a \;\middle|\; \frac{2a^2}{e^2}\right)\). 4. Nachweis der Stammfunktion: Die Ableitung von \(F_a(x) = -a^2(x + a)e^{-\frac{x}{a}}\) nach der Produktregel ergibt: \(F_a'(x) = -a^2 \cdot e^{-\frac{x}{a}} + \left[-a^2(x + a)\right] \cdot \left(-\frac{1}{a}\right) e^{-\frac{x}{a}} = -a^2 \cdot e^{-\frac{x}{a}} + a(x + a) \cdot e^{-\frac{x}{a}} = a \cdot x \cdot e^{-\frac{x}{a}} = f_a(x)\). Damit ist \(F_a\) eine Stammfunktion von \(f_a\). 5. Flächeninhalt berechnen: Der Inhalt der nach rechts unbegrenzten Fläche ist gegeben durch das uneigentliche Integral: \(A(a) = \int_0^\infty f_a(x) \,\mathrm{d}x = \lim_{b \to \infty} [F_a(x)]_0^b = \lim_{b \to \infty} F_a(b) - F_a(0)\). Dabei gilt: \(F_a(0) = -a^2(0 + a)e^0 = -a^3\). Da die Exponentialfunktion für \(b \to \infty\) schneller gegen Null geht als jede lineare Funktion wächst, ist: \(\lim_{b \to \infty} F_a(b) = \lim_{b \to \infty} -a^2(b + a)e^{-\frac{b}{a}} = 0\). Daraus folgt: \(A(a) = 0 - (-a^3) = a^3\).

a) Der Hochpunkt ist \(H_a\left(a \;\middle|\; \frac{a^2}{e}\right)\). b) Der Wendepunkt ist \(W_a\left(2a \;\middle|\; \frac{2a^2}{e^2}\right)\). c) Wegen \(F_a'(x) = f_a(x)\) ist \(F_a\) eine Stammfunktion von \(f_a\); der Flächeninhalt beträgt \(A(a) = a^3\).

- Nutze den Schnittpunkt mit der x-Achse, um den Parameter zu bestimmen. - Erinnere dich an die Produktregel beim Ableiten von Funktionen der Form \(u(x) \cdot v(x)\). - Ein Extrempunkt liegt dort, wo die Steigung null ist. - Um die y-Koordinate eines Punktes zu finden, musst du seinen x-Wert in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen.

1. Bestimmung von \(a\) aus dem Graphen: Der Graph schneidet die x-Achse bei \(x = 2\). Die Bedingung \(g_a(2) = 0\) führt zu \((2 - a) \cdot e^2 = 0\). Da \(e^2 \neq 0\), folgt \(2 - a = 0\) und somit \(a = 2\). 2. Ableitung der Funktionenschar bestimmen: Mit der Produktregel ergibt sich \(g_a'(x) = 1 \cdot e^x + (x - a) \cdot e^x = (x - a + 1) \cdot e^x\). 3. Notwendige Bedingung für Extremstellen: \(g_a'(x) = 0 \Rightarrow x - a + 1 = 0\), da \(e^x\) nie null wird. Dies liefert die einzige Extremstelle \(x_E = a - 1\). 4. Art des Extrempunktes prüfen: Die zweite Ableitung ist \(g_a''(x) = 1 \cdot e^x + (x - a + 1) \cdot e^x = (x - a + 2) \cdot e^x\). Einsetzen von \(x_E\): \(g_a''(a - 1) = (a - 1 - a + 2) \cdot e^{a-1} = 1 \cdot e^{a-1} > 0\). Es handelt sich somit immer um einen Tiefpunkt. 5. y-Koordinate berechnen: \(g_a(a - 1) = (a - 1 - a) \cdot e^{a-1} = -1 \cdot e^{a-1} = -e^{a-1}\). 6. Ergebnis: Der Tiefpunkt hat die Koordinaten \(T(a - 1 \mid -e^{a-1})\).

a) Der Wert des Parameters ist \(a = 2\). b) Die Ableitung \(g_a'(x) = (x - a + 1) \cdot e^x\) hat nur die Nullstelle \(x = a - 1\). Wegen \(g_a''(a - 1) = e^{a-1} > 0\) liegt dort ein Tiefpunkt vor. Die Koordinaten des Tiefpunktes lauten \(T(a - 1 \mid -e^{a-1})\).

- Um zu zeigen, dass ein Punkt auf allen Graphen liegt, setze seine Koordinaten ein und prüfe, ob der Parameter \(k\) aus der Rechnung verschwindet. - Überlege dir für Teil b) markante Eigenschaften der Funktionen, zum Beispiel die Öffnungsrichtung (Vorzeichen von \(k\)) oder spezielle Symmetrien. - Ein Graph mit \(k > 0\) muss nach oben geöffnet sein, einer mit \(k < 0\) nach unten. - Für die Nullstelle bei \(x = 1\) musst du die Gleichung \(g_k(1) = 0\) nach \(k\) auflösen.

1. Einsetzen der Koordinaten: Für \(B(0 \mid 2)\) gilt \(g_k(0) = k \cdot 0^2 + (2k+1) \cdot 0 + 2 = 2\). Dies ist unabhängig von \(k\). Für \(A(-2 \mid 0)\) gilt \(g_k(-2) = k(-2)^2 + (2k+1)(-2) + 2 = 4k - 4k - 2 + 2 = 0\). Auch dies ist unabhängig von \(k\). Damit sind \(A\) und \(B\) Fixpunkte der Schar. 2. Analyse der Graphen: - Für \(k = -0{,}5\) wird der lineare Teil \((2 \cdot (-0{,}5) + 1)x = 0x\), die Funktion ist \(g_{-0{,}5}(x) = -0{,}5x^2 + 2\). Dies ist eine zur \(y\)-Achse symmetrische, nach unten geöffnete Parabel (Graph B). - Für \(k = 0{,}5\) ist \(g_{0{,}5}(x) = 0{,}5x^2 + 2x + 2 = 0{,}5(x+2)^2\). Dies ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse bei \(x = -2\) (Graph C). - Für \(k = -1\) ist \(g_{-1}(x) = -x^2 - x + 2\). Nullstellen bei \(-2\) und \(1\) (Graph A). - Für \(k = 1\) ist \(g_1(x) = x^2 + 3x + 2\). Nullstellen bei \(-2\) und \(-1\) (Graph D). 3. Nullstelle bei \(x = 1\): \(g_k(1) = k \cdot 1^2 + (2k+1) \cdot 1 + 2 = 3k + 3\). Die Bedingung \(3k + 3 = 0\) liefert \(k = -1\).

a) Nachweis durch Einsetzen: \(g_k(0) = 2\) und \(g_k(-2) = 0\) für alle \(k\). b) Zuordnung: Graph A: \(k=-1\); Graph B: \(k=-0{,}5\); Graph C: \(k=0{,}5\); Graph D: \(k=1\). c) \(k = -1\)

- Bestimme zuerst die Koordinaten der tiefsten Punkte (Scheitelpunkte) aller gezeichneten Parabeln. - Fällt dir ein Muster zwischen der \(x\)- und der \(y\)-Koordinate dieser Punkte auf? - Nutze die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion: \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\). - Prüfe an einer einfachen Parabel (z. B. der durch den Ursprung), ob sie gestreckt oder gestaucht ist.

1. Scheitelpunkte identifizieren: Die Scheitelpunkte der Parabeln liegen bei \((-2 \mid 2)\), \((0 \mid 0)\), \((2 \mid -2)\) und \((4 \mid -4)\). 2. Zusammenhang der Koordinaten: Die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist jeweils der negative Wert der \(x\)-Koordinate. Bezeichnet man die \(x\)-Koordinate mit \(t\), so ist der Scheitelpunkt \(S(t \mid -t)\). 3. Scheitelpunktform aufstellen: Eine Parabel mit Scheitelpunkt \(S(x_S \mid y_S)\) hat die Form \(f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\). Hier also \(f_t(x) = a(x - t)^2 - t\). 4. Öffnungsfaktor \(a\) bestimmen: Betrachte die Parabel mit Scheitelpunkt \((0 \mid 0)\). Sie geht durch den Punkt \((1 \mid 1)\). Einsetzen ergibt \(1 = a(1 - 0)^2 + 0 \Rightarrow a = 1\). 5. Funktionsgleichung formulieren: Mit \(a=1\) ergibt sich die Schar zu \(f_t(x) = (x - t)^2 - t\).

Die Funktionsgleichung der Schar lautet \(f_t(x) = (x - t)^2 - t\).

- Nutze für die Ableitung die Regel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). - Setze den Zähler der Ableitung gleich Null, um mögliche Extremstellen zu finden. - Vergleiche die Lage der Maxima in der Zeichnung mit deinen berechneten Koordinaten für \(H_k\). - Betrachte für das Globalverhalten den Grad des Zählerpolynoms im Vergleich zum Grad des Nennerpolynoms.

1. Ableitung bestimmen: Mit der Quotientenregel \(u(x)=4x\) und \(v(x)=x^2+k\) folgt \(f_k'(x) = \frac{4(x^2+k) - 4x \cdot 2x}{(x^2+k)^2} = \frac{4x^2 + 4k - 8x^2}{(x^2+k)^2} = \frac{4k - 4x^2}{(x^2+k)^2}\). 2. Hochpunkt berechnen: Die Bedingung \(f_k'(x) = 0\) führt auf \(4k - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = k\). Da \(x \geq 0\) und \(k > 0\), liegt die Extremstelle bei \(x_H = \sqrt{k}\). Der zugehörige Funktionswert ist \(f_k(\sqrt{k}) = \frac{4\sqrt{k}}{(\sqrt{k})^2 + k} = \frac{4\sqrt{k}}{2k} = \frac{2}{\sqrt{k}}\). Somit ist der Hochpunkt \(H_k(\sqrt{k} \mid \frac{2}{\sqrt{k}})\). 3. Zuordnung: Mit wachsendem \(k\) vergrößert sich die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts (\(\sqrt{k}\)), während sich die \(y\)-Koordinate (\(\frac{2}{\sqrt{k}}\)) verringert. Graph A hat den höchsten Hochpunkt am weitesten links und gehört zu \(k=1\). Graph C hat den niedrigsten Hochpunkt am weitesten rechts und gehört zu \(k=9\). Graph B liegt dazwischen und gehört zu \(k=4\). 4. Grenzwertverhalten: Für sehr große \(x\) dominiert im Nenner der Term \(x^2\). Es gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{x^2+k} = 0\). Der Grenzwert ist unabhängig vom Parameter \(k\) immer Null.

a) \(f_k'(x) = \frac{4k - 4x^2}{(x^2+k)^2}\) b) \(H_k(\sqrt{k} \mid \frac{2}{\sqrt{k}})\) c) Graph A: \(k=1\); Graph B: \(k=4\); Graph C: \(k=9\). Mit steigendem \(k\) wandert der Hochpunkt nach rechts unten. d) Der Grenzwert ist \(0\). Der Parameter \(k\) hat keinen Einfluss auf diesen Grenzwert.

- Welchen Wert hat \(e^{-x}\) für \(x = 0\)? Nutze dies, um \(k\) am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse abzulesen. - Überlege, wie sich die Funktionswerte an jeder Stelle \(x\) ändern, wenn du den Vorfaktor \(k\) änderst. - Bestimme zuerst die allgemeine Tangentengleichung \(y = mx + n\) an der Stelle \(x = 0\). - Setze die Tangentengleichung gleich null, um die Nullstelle der Tangente zu berechnen. Was stellst du fest?

1. Bestimmung von \(k\): Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(x = 0\). Es gilt \(g_k(0) = k \cdot e^0 = k\). Aus der Grafik liest man für \(G_1\) den Schnittpunkt \((0 \mid 2)\) ab, also \(k = 2\). Für \(G_2\) liest man \((0 \mid 4)\) ab, also \(k = 4\). 2. Geometrische Transformation: Eine Multiplikation des gesamten Funktionsterms mit einem Faktor (hier die Verdopplung von \(k\)) entspricht einer Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Streckfaktor 2. 3. Tangentengleichung: Die Ableitung ist \(g_k'(x) = -ke^{-x}\). An der Stelle \(x = 0\) ist die Steigung \(m = g_k'(0) = -k\) und der Berührpunkt ist \(P(0 \mid k)\). Die Tangentengleichung lautet \(t(x) = -k(x - 0) + k = -kx + k\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ergibt sich aus \(0 = -kx + k \iff kx = k\). Da \(k > 0\), kann man durch \(k\) dividieren und erhält \(x = 1\). Dieser Wert ist unabhängig von \(k\).

a) Für \(G_1\) ist \(k = 2\), für \(G_2\) ist \(k = 4\). b) Eine Verdopplung von \(k\) bewirkt eine Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2. c) Die Tangente hat die Gleichung \(t(x) = -kx + k\). Die Nullstelle der Tangente liegt bei \(x = 1\), da \(-k \cdot 1 + k = 0\) für alle \(k \neq 0\) gilt.

- Alle Graphen haben dieselbe Nullstelle. Welches Merkmal unterscheidet sie stattdessen? - Berechne die Lage und den Wert des Extrempunktes für den gegebenen Funktionsterm \(h(x)\). - Vergleiche die \(y\)-Werte der Hochpunkte an der Stelle \(x=2\) im Koordinatensystem. - Überlege, wie ein Parameter \(k\) den Term beeinflussen muss, damit sich nur die „Höhe“ der Kurven ändert.

1. Zuordnung von \(h(x)\): Wir bestimmen den Hochpunkt von \(h(x) = 2xe^{-0{,}5x}\). Die Ableitung ist \(h'(x) = 2 \cdot e^{-0{,}5x} + 2x \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5x} = (2 - x) \cdot e^{-0{,}5x}\). Die notwendige Bedingung \(h'(x) = 0\) liefert \(x = 2\). Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(h(2) = 2 \cdot 2 \cdot e^{-1} = 4 \cdot e^{-1} \approx 1{,}47\). Im Diagramm hat der blaue Graph \(B\) einen Hochpunkt bei \(x=2\) und \(y \approx 1{,}5\). Somit ist \(h\) der Graph \(B\). 2. Bestimmung der anderen Terme: Alle Graphen haben ihre Nullstelle bei \(x=0\) und ihren Hochpunkt bei \(x=2\). Sie unterscheiden sich nur durch einen Streckfaktor \(k\) in \(y\)-Richtung. - Graph \(A\) (orange) hat bei \(x=2\) den Wert \(y \approx 0{,}75\). Da \(f_k(2) = 2k/e\), gilt \(2k/e \approx 0{,}74 \Rightarrow k \approx 1\). Term: \(f_A(x) = x \cdot e^{-0{,}5x}\). - Graph \(C\) (violett) hat bei \(x=2\) den Wert \(y \approx 2{,}2\). Es gilt \(2k/e \approx 2{,}2 \Rightarrow k \approx 3\). Term: \(f_C(x) = 3x \cdot e^{-0{,}5x}\). 3. Scharterm: Der allgemeine Term lautet \(f_k(x) = k \cdot x \cdot e^{-0{,}5x}\).

a) Die Funktion \(h\) gehört zum blauen Graphen \(B\). Begründung: Der Hochpunkt von \(h\) liegt bei \(x=2\) mit \(h(2) = 4/e \approx 1{,}47\), was mit Graph \(B\) übereinstimmt. b) Oranger Graph \(A\): \(f_A(x) = x \cdot e^{-0{,}5x}\); violetter Graph \(C\): \(f_C(x) = 3x \cdot e^{-0{,}5x}\). c) Allgemeiner Scharterm: \(f_k(x) = k \cdot x \cdot e^{-0{,}5x}\) mit \(k > 0\).