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- Überlege dir, welche der Variablen als Veränderliche und welche als Konstante zu behandeln ist. - Welche Regeln wendest du an, wenn eine Funktion aus einer Summe von Termen besteht? - Was geschieht beim Ableiten mit Summanden, die gar kein \(x\) enthalten?

1. Anwendung der Potenzregel auf den ersten Term: \(4 \cdot \frac{1}{2k}x^3 = \frac{2}{k}x^3\). 2. Anwendung der Potenzregel auf den zweiten Term: \(-2 \cdot k^2x = -2k^2x\). 3. Ableitung des konstanten Parameters \(7k\) bezüglich \(x\): \(0\). 4. Zusammenfassen der Ergebnisse zur Ableitungsfunktion: \(f_k'(x) = \frac{2}{k}x^3 - 2k^2x\).

\(f_k'(x) = \frac{2}{k}x^3 - 2k^2x\)

- Untersuche, welche Bestandteile der Funktionsterme bei allen Beispielen gleich bleiben. - Gibt es Werte, die sich von Funktion zu Funktion ändern? Diese Stellen sind Kandidaten für den Parameter. - Kannst du in den Termen einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Achte auf das Verhältnis zwischen den einzelnen Summanden innerhalb eines Funktionsterms.

1. In Teilaufgabe a ist der Ausdruck \(x^2 \cdot e^x\) in allen Funktionen identisch, während der additive Term am Ende variiert (\(-1\); \(3\); \(-\pi\)). Ersetzt man diesen durch den Parameter \(a\), erhält man die Schar \(f_a(x) = x^2 \cdot e^x + a\). 2. In Teilaufgabe b lässt sich durch Ausklammern ein gemeinsamer Faktor erkennen: \(g_1(x) = 2 \cdot (\sin(x) + 2)\), \(g_2(x) = 3 \cdot (\sin(x) + 2)\) und \(g_3(x) = -0{,}5 \cdot (\sin(x) + 2)\). Der variierende Vorfaktor wird durch den Parameter \(a\) ersetzt, was zum Funktionsterm \(g_a(x) = a \cdot (\sin(x) + 2)\) führt.

a) \(f_a(x) = x^2 \cdot e^x + a\) b) \(g_a(x) = a \cdot (\sin(x) + 2)\) oder \(g_a(x) = a \cdot \sin(x) + 2a\)

- Wie findet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine quadratische Gleichung mit einem Parameter zu lösen? - Erinnerst du dich an die Regeln für das Ableiten von Potenzfunktionen, wenn ein Parameter als konstanter Faktor oder Summand auftritt?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f_k(0) = 0^2 - 4k \cdot 0 + 3k^2 = 3k^2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | 3k^2)\). 2. Berechnung der Nullstellen durch Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 4kx + 3k^2 = 0\). Mit der \(pq\)-Formel ergibt sich \(x_{1,2} = 2k \pm \sqrt{(2k)^2 - 3k^2} = 2k \pm \sqrt{k^2} = 2k \pm |k|\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 3k\) und \(x_2 = k\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \(N_1(3k | 0)\) und \(N_2(k | 0)\). 3. Bildung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = 2x - 4k\). 4. Bildung der zweiten Ableitung: \(f_k''(x) = 2\).

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 | 3k^2)\); Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(3k | 0)\) und \(N_2(k | 0)\). b) \(f_k''(x) = 2\).

- Wie verhalten sich Konstanten ohne \(x\) beim Ableiten? - Welchen Einfluss hat ein Summand am Ende eines Funktionsterms auf die Lage im Koordinatensystem? - Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn ein Graph die x-Achse an einer bestimmten Stelle schneidet? - Welchen Wert hat \(e^0\)?

1. Da \(2t\) ein additiver Parameter ist, fällt dieser beim Ableiten nach \(x\) weg. Es gilt: \(g_t'(x) = e^x\). 2. Der Graph von \(g_t\) entsteht durch eine vertikale Verschiebung (Verschiebung in y-Richtung) des Graphen von \(f(x) = e^x\). Die Verschiebung erfolgt um die Strecke \(2t\). Ist \(t > 0\), wird der Graph nach oben verschoben; ist \(t < 0\), erfolgt die Verschiebung nach unten. 3. Die Bedingung für einen Schnittpunkt mit der x-Achse an der Stelle \(x = 0\) (Nullstelle im Ursprung) lautet \(g_t(0) = 0\). Einsetzen ergibt \(e^0 + 2t = 0\). Da \(e^0 = 1\) ist, folgt \(1 + 2t = 0\). Das Lösen der Gleichung nach \(t\) liefert \(2t = -1\) und somit \(t = -0{,}5\).

1. \(g_t'(x) = e^x\) 2. Verschiebung des Graphen von \(f(x) = e^x\) in y-Richtung um den Wert \(2t\). 3. \(t = -0{,}5\)

- Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn Funktionen addiert oder multipliziert werden? - Denke bei der Exponentialfunktion an die innere und äußere Ableitung. - Es ist oft hilfreich, den Term \(e^x\) am Ende wieder auszuklammern, um die Übersicht für die nächste Ableitung zu behalten. - Behandle den Parameter beim Ableiten wie eine konstante Zahl.

1. Für \(f_k(x)\): Anwendung der Kettenregel auf beide Summanden ergibt \(f_k'(x) = 2k \cdot e^{2x} - k \cdot e^{-kx}\). Erneutes Ableiten liefert \(f_k''(x) = 4k \cdot e^{2x} + k^2 \cdot e^{-kx}\). 2. Für \(h_a(x)\): Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = x^2 - a\) und \(v(x) = e^x\) ergibt \(h_a'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - a) \cdot e^x = (x^2 + 2x - a) \cdot e^x\). Erneutes Ableiten mit der Produktregel führt zu \(h_a''(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - a) \cdot e^x = (x^2 + 4x + 2 - a) \cdot e^x\).

a) \(f_k'(x) = 2k e^{2x} - k e^{-kx}\) und \(f_k''(x) = 4k e^{2x} + k^2 e^{-kx}\) b) \(h_a'(x) = (x^2 + 2x - a) e^x\) und \(h_a''(x) = (x^2 + 4x + 2 - a) e^x\)

- Was bedeutet die geometrische Bedingung einer waagrechten Tangente für den Wert der Ableitungsfunktion? - Welche Ableitungsregel ist für eine Funktion der Form \(u(x) \cdot v(x)\) anzuwenden? - Kannst du den Term der Ableitung vereinfachen, indem du den gemeinsamen Faktor \(e^x\) ausklammerst? - Welche Eigenschaft der Exponentialfunktion hilft dir beim Lösen der Gleichung \((\dots) \cdot e^3 = 0\)?

1. Berechnung der ersten Ableitung \(f_k'\) unter Verwendung der Produktregel: \(f_k'(x) = k \cdot e^x + (kx - 1) \cdot e^x = (kx + k - 1) \cdot e^x\). 2. Ansatz für eine waagrechte Tangente an der Stelle \(x = 3\): \(f_k'(3) = 0\). 3. Einsetzen der Stelle in den Term der Ableitung: \((3k + k - 1) \cdot e^3 = (4k - 1) \cdot e^3 = 0\). 4. Da \(e^3 \neq 0\) gilt, muss die Klammer null ergeben: \(4k - 1 = 0\). Daraus folgt \(k = 0{,}25\).

\(k = 0{,}25\)

- Was sagt die Steigung einer waagerechten Tangente über den Wert der Ableitung an dieser Stelle aus? - Behandle den Parameter \(a\) beim Ableiten wie eine feste Zahl. - Wie gehst du vor, um eine Gleichung nach einer Unbekannten aufzulösen?

1. Bildung der ersten Ableitung unter Anwendung der Potenz- und Faktorregel: \(g_a'(x) = 3ax^2 - 8x + a\). 2. Ansatz für eine waagerechte Tangente an der Stelle \(x = 1\): \(g_a'(1) = 0\). 3. Einsetzen des \(x\)-Wertes in die Ableitungsfunktion: \(3a \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 + a = 0\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(a\): \(4a - 8 = 0\). 5. Lösen der linearen Gleichung nach \(a\): \(4a = 8 \implies a = 2\).

a) \(g_a'(x) = 3ax^2 - 8x + a\) b) \(a = 2\)

- Überlege dir, wie man ein Produkt gleich Null setzt. - Denke daran, dass das Vorzeichen des Parameters \(k\) die Krümmung und damit die Art der Extrema beeinflussen kann. - Wie viele Ableitungen benötigst du für die vollständige Untersuchung? - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Koordinaten zu erhalten.

1. Nullstellen bestimmen: Ansatz \(f_k(x) = 0 \implies x^2(x - 3k) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = 3k\). 2. Ableitungen berechnen: \(f_k'(x) = 3x^2 - 6kx\), \(f_k''(x) = 6x - 6k\), \(f_k'''(x) = 6\). 3. Extremstellen ermitteln: Ansatz \(f_k'(x) = 0 \implies 3x(x - 2k) = 0\). Mögliche Extremstellen sind \(x_3 = 0\) und \(x_4 = 2k\). 4. Art der Extrema prüfen: Untersuchung von \(f_k''(x)\). Fall \(k > 0\): \(f_k''(0) = -6k < 0 \implies H(0|0)\); \(f_k''(2k) = 6k > 0 \implies T(2k|-4k^3)\). Fall \(k < 0\): \(f_k''(0) = -6k > 0 \implies T(0|0)\); \(f_k''(2k) = 6k < 0 \implies H(2k|-4k^3)\). 5. Wendestellen bestimmen: Ansatz \(f_k''(x) = 0 \implies 6x - 6k = 0 \implies x_5 = k\). Da \(f_k'''(k) = 6 \neq 0\), liegt bei \(x=k\) eine Wendestelle vor. Koordinaten: \(W(k|-2k^3)\).

Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3k\) Extrema für \(k > 0\): Hochpunkt \(H(0|0)\), Tiefpunkt \(T(2k|-4k^3)\) Extrema für \(k < 0\): Tiefpunkt \(T(0|0)\), Hochpunkt \(H(2k|-4k^3)\) Wendepunkt: \(W(k|-2k^3)\)

- Vergleiche die Positionen der Zahlenwerte in den verschiedenen Funktionstermen. - Tritt derselbe Wert an mehreren Stellen innerhalb eines Terms auf? - Überlege, wie sich die Struktur des Terms verändert, wenn du die festen Zahlen durch einen Buchstaben ersetzt.

1. Bei den Funktionen in Teilaufgabe a fällt auf, dass der Zähler und die Konstante im Nenner stets denselben Wert besitzen (\(1\); \(4\) oder \(0{,}5\)). Setzt man an diesen Positionen den Parameter \(k\) ein, ergibt sich die Schar \(f_k(x) = \frac{k}{x^2 + k}\). 2. In Teilaufgabe b tritt derselbe Zahlenwert an zwei verschiedenen Stellen auf: als Subtrahend in der Klammer und als Faktor im Exponenten (\(1\); \(2\) oder \(0{,}5\)). Durch Ersetzen dieser Werte durch den Parameter \(k\) erhält man den allgemeinen Term \(f_k(x) = (x - k) \cdot e^{kx}\).

a) \(f_k(x) = \frac{k}{x^2 + k}\) b) \(f_k(x) = (x - k) \cdot e^{kx}\)

- Überlege dir, wie das Ausklammern von \(x^2\) bei der Nullstellenberechnung hilft. - Beachte, dass Wurzeln aus negativen Zahlen im reellen Bereich nicht definiert sind. Welche Fälle für den Parameter musst du also unterscheiden? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte. - Untersuche das Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen, um die Art der Extrema zu bestimmen.

1. Nullstellen bestimmen: \(x^2(x^2 - 2a) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\). Falls \(a > 0\), existieren zusätzlich \(x_{2,3} = \pm \sqrt{2a}\). Für \(a \leq 0\) ist \(x = 0\) die einzige Nullstelle. 2. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 4x^3 - 4ax\), \(f_a''(x) = 12x^2 - 4a\). 3. Extrempunkte untersuchen: \(4x(x^2 - a) = 0\) liefert \(x = 0\) sowie für \(a > 0\) zusätzlich \(x = \pm \sqrt{a}\). - Fall \(a > 0\): \(f_a''(0) = -4a < 0 \implies HP(0|0)\). \(f_a''(\pm \sqrt{a}) = 8a > 0 \implies TP(\pm \sqrt{a}|-a^2)\). - Fall \(a \leq 0\): Einzige Extremstelle bei \(x = 0\). Da \(f_a'(x) = 4x(x^2-a)\) und \((x^2-a) > 0\) (außer für \(x=a=0\)), findet ein Vorzeichenwechsel von minus nach plus statt \(\implies TP(0|0)\). 4. Wendestellen bestimmen: \(12x^2 - 4a = 0 \implies x^2 = \frac{a}{3}\). - Für \(a > 0\) ergeben sich zwei Wendestellen bei \(x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}\), da hier \(f_a''(x) = 0\) mit Vorzeichenwechsel gilt. - Für \(a \leq 0\) gibt es keine Wendestellen, da \(12x^2 - 4a \geq 0\) für alle \(x\) gilt.

Nullstellen: \(x_1 = 0\); falls \(a > 0\): zusätzlich \(x_{2,3} = \pm \sqrt{2a}\). Extrempunkte: - Für \(a > 0\): \(HP(0|0)\) und \(TP(\pm \sqrt{a}|-a^2)\). - Für \(a \leq 0\): \(TP(0|0)\). Wendestellen: - Für \(a > 0\): \(x_{W1,2} = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}\). - Für \(a \leq 0\): keine Wendestellen.

- Kannst du den Funktionsterm ausklammern, um die Nullstellen einfacher zu berechnen? - Was bedeutet es für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, wenn eine Nullstelle im Ursprung liegt? - Wie behandelst du den Parameter \(a\), wenn du nach der Variablen \(t\) ableitest?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g_a(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 - a^2 \cdot 0 = 0\). Der Punkt ist \(S_y(0 | 0)\). 2. Schnittpunkte mit der \(t\)-Achse (Nullstellen): Ansatz \(g_a(t) = 0 \Rightarrow t \cdot (\frac{1}{3}t^2 - a^2) = 0\). Eine Lösung ist \(t_1 = 0\). Für die Klammer gilt \(\frac{1}{3}t^2 = a^2 \Rightarrow t^2 = 3a^2 \Rightarrow t_{2,3} = \pm \sqrt{3}a\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(0 | 0)\), \(N_2(\sqrt{3}a | 0)\) und \(N_3(-\sqrt{3}a | 0)\). 3. Erste Ableitung bilden: \(g_a'(t) = t^2 - a^2\). 4. Zweite Ableitung bilden: \(g_a''(t) = 2t\).

a) Schnittpunkte mit den Achsen: \(S_y(0 | 0)\), \(N_1(0 | 0)\), \(N_2(\sqrt{3}a | 0)\) und \(N_3(-\sqrt{3}a | 0)\). b) \(g_a''(t) = 2t\).

- Wie lautet die \(x\)-Koordinate eines Punktes auf der \(y\)-Achse? - Welche Ableitungsregel benötigst du für diesen Funktionstyp? - Was ist die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes? - Überlege, wann ein quadratischer Ausdruck keine Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt.

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\). Einsetzen ergibt \(g_k(0) = (0^2 - k) \cdot e^0 = -k\). 2. Gleichsetzen mit dem gegebenen Wert: \(-k = -5 \implies k = 5\). 3. Zur Bestimmung der Extrempunkte wird die erste Ableitung mithilfe der Produktregel gebildet: \(g_k'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - k) \cdot e^x = (x^2 + 2x - k) \cdot e^x\). 4. Notwendige Bedingung für Extremstellen ist \(g_k'(x) = 0\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), muss der quadratische Term \(x^2 + 2x - k = 0\) sein. 5. Ein Graph besitzt keine Extrempunkte, wenn die Ableitung keinen Vorzeichenwechsel hat. Dies ist bei einer nach oben geöffneten Parabel der Fall, wenn die Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 4 + 4k\) kleiner oder gleich null ist. 6. Lösen der Ungleichung: \(4 + 4k \le 0 \implies 4k \le -4 \implies k \le -1\).

a) \(k = 5\) b) \(k \le -1\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie berechnet man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Potenzfunktionen. - Der Ursprung ist der Punkt \((0|0)\). Welche Information liefert dir das für \(x\)?

1. Punktprobe für \(P(2|8)\): Die Gleichung \(f_k(2) = 8\) aufstellen: \(2^3 - k \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 8\). 2. Vereinfachen: \(8 - 4k + 4 = 8 \implies 12 - 4k = 8\). 3. Nach \(k\) auflösen: \(4k = 4 \implies k = 1\). 4. Ableitungsfunktion bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 2kx + 2\). 5. Steigung im Ursprung (\(x = 0\)) berechnen: \(f_k'(0) = 3 \cdot 0^2 - 2k \cdot 0 + 2 = 2\). 6. Bedingung für Steigung \(11\) an der Stelle \(x = 3\): \(f_k'(3) = 11\) aufstellen. 7. Einsetzen: \(3 \cdot 3^2 - 2k \cdot 3 + 2 = 11 \implies 27 - 6k + 2 = 11\). 8. Nach \(k\) auflösen: \(29 - 6k = 11 \implies 6k = 18 \implies k = 3\).

a) \(k = 1\) b) Die Steigung im Ursprung beträgt \(2\). c) \(k = 3\)

- Überlege dir, welche Koordinaten der Ursprung hat und wie man die Steigung dort findet. - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung ein, um den Parameter zu bestimmen. - Die Steigung an einer Stelle \(x\) entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Achte darauf, ob das Ergebnis für die Steigung eine feste Zahl ist oder vom Parameter abhängt.

1. Punktprobe für \(P(1|2)\): Die Gleichung \(g_t(1) = 2\) aufstellen: \(1^3 - 3 \cdot 1^2 + t \cdot 1 = 2\). 2. Vereinfachen und lösen: \(1 - 3 + t = 2 \implies -2 + t = 2 \implies t = 4\). 3. Ableitungsfunktion bestimmen: \(g_t'(x) = 3x^2 - 6x + t\). 4. Steigung im Ursprung (\(x = 0\)) bestimmen: \(g_t'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + t = t\). 5. Bedingung für Steigung \(5\) an der Stelle \(x = 2\): \(g_t'(2) = 5\) aufstellen. 6. Einsetzen: \(3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + t = 5\). 7. Vereinfachen: \(12 - 12 + t = 5 \implies t = 5\).

a) \(t = 4\) b) Die Steigung im Ursprung ist \(t\). c) \(t = 5\)

- Welche Bedingungen müssen die erste und zweite Ableitung an einer Extremstelle erfüllen? - Überlege dir, welche Rolle die Steigung der Funktion im Ursprung für die Anzahl der Schnittpunkte spielt. - Skizziere grob den Verlauf einer Sinushalbwelle und verschiedener Ursprungsgeraden. - Beachte das Krümmungsverhalten des Graphen im gegebenen Intervall.

1. Erste Ableitung: \(f'(x) = 6 \cdot \frac{\pi}{12} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12}x\right) = \frac{\pi}{2} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12}x\right)\). 2. Bedingung für Hochpunkt: \(f'(6) = \frac{\pi}{2} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = -\frac{\pi^2}{24} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12}x\right)\). Da \(f''(6) = -\frac{\pi^2}{24} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi^2}{24} < 0\), liegt bei \(x = 6\) ein Hochpunkt vor. 3. Schnittpunkte \(f(x) = m \cdot x\): Der Punkt \((0|0)\) ist für alle \(m\) eine Lösung. 4. Tangentensteigung im Ursprung: \(f'(0) = \frac{\pi}{2} \cdot \cos(0) = \frac{\pi}{2}\). 5. Aufgrund der strengen Konkavität von \(f\) auf \([0; 12]\) existiert für \(0 \le m < \frac{\pi}{2}\) genau ein weiterer Schnittpunkt im Intervall \(]0; 12]\). Für \(m = 0\) ist dies die Nullstelle \(x = 12\). 6. Für \(m \ge \frac{\pi}{2}\) oder \(m < 0\) verläuft die Gerade so, dass außer dem Ursprung kein weiterer Punkt im Definitionsbereich getroffen wird.

a) \(f'(6) = 0\) und \(f''(6) = -\frac{\pi^2}{24} < 0\), somit Hochpunkt bei \(x = 6\). b) Für \(m \in [0; \frac{\pi}{2}[\): 2 gemeinsame Punkte; für \(m \in ]-\infty; 0[ \cup [\frac{\pi}{2}; \infty[\): 1 gemeinsamer Punkt.

- Was passiert mit dem Parameter beim Ableiten nach \(x\)? - Welche Bedingung muss für die Existenz eines Extrempunktes erfüllt sein? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(e^x = c\) nach \(x\) auflösen? - Überlege dir, wie sich der Funktionswert des natürlichen Logarithmus verhält, wenn sein Argument größer wird.

1. Zur Bestimmung der ersten Ableitung wird die Summenregel und die Regel für die Ableitung der Exponentialfunktion angewendet. Da \(k\) ein konstanter Faktor ist, bleibt er erhalten: \(f_k'(x) = k \cdot e^x - 1\). 2. Für ein lokales Minimum muss die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) erfüllt sein. Aus \(k \cdot e^x - 1 = 0\) folgt \(e^x = \frac{1}{k}\). Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus ergibt sich die Stelle \(x_E = \ln\left(\frac{1}{k}\right)\), was umgeformt \(x_E = -\ln(k)\) entspricht. Da die zweite Ableitung \(f_k''(x) = k \cdot e^x\) für alle \(x\) und \(k > 0\) positiv ist (\(f_k''(x_E) = k \cdot \frac{1}{k} = 1 > 0\)), liegt an dieser Stelle tatsächlich ein lokales Minimum vor. 3. Betrachtet man \(x_E = -\ln(k)\), so führt eine Vergrößerung von \(k\) dazu, dass der Wert von \(\ln(k)\) steigt. Infolgedessen sinkt der Wert von \(-\ln(k)\). Die Minimalstelle \(x_E\) verschiebt sich also bei steigendem \(k\) auf der x-Achse nach links (in negative Richtung).

1. \(f_k'(x) = k \cdot e^x - 1\) 2. \(x_E = \ln\left(\frac{1}{k}\right) = -\ln(k)\) 3. Die Minimalstelle verschiebt sich nach links (in negative x-Richtung), da für \(k > 0\) die Funktion \(g(k) = -\ln(k)\) streng monoton fallend ist.

- Welche Information liefert dir ein gegebener Punkt für den Funktionswert an dieser Stelle? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Tangente und der Ableitung der Funktion. - Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander verlaufen? - Nutze die Produktregel, um die Ableitungsfunktion der Schar zu bestimmen.

1. Aufstellen der Bedingung für den Punkt \(P(0 | -3)\): Es muss \(f_{a,b}(0) = -3\) gelten. Einsetzen ergibt \((a \cdot 0 + b) \cdot e^0 = b = -3\). 2. Ableitung der Funktion bilden: Unter Verwendung der Produktregel ergibt sich \(f'_{a,b}(x) = a \cdot e^x + (ax + b) \cdot e^x = (ax + a + b) \cdot e^x\). 3. Aufstellen der Bedingung für die Steigung: Da die Tangente parallel zu \(y = 2x + 7\) sein soll, muss die Steigung \(f'_{a,b}(0) = 2\) betragen. 4. Einsetzen von \(x = 0\) und \(b = -3\) in die Ableitung: \((a \cdot 0 + a - 3) \cdot e^0 = a - 3 = 2\). 5. Lösen nach \(a\): Es folgt \(a = 5\).

\(a = 5\) und \(b = -3\)

- Welche zwei mathematischen Bedingungen kannst du aus den Angaben im Text aufstellen? - Wie leitest du Terme der Form \(e^{k \cdot x}\) ab? - Du erhältst ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Welches Verfahren eignet sich hier am besten zum Lösen?

1. Bedingung für den Punkt \(Q(0 | 1)\) nutzen: \(g_{r,s}(0) = 1\) führt zu \(r \cdot e^0 + s \cdot e^0 = r + s = 1\). 2. Ableitung der Funktion bestimmen: Mit der Kettenregel für den ersten Term ergibt sich \(g'_{r,s}(x) = 2r \cdot e^{2x} + s \cdot e^x\). 3. Bedingung für die Steigung an der Stelle \(x = 0\) nutzen: \(g'_{r,s}(0) = 5\) führt zu \(2r \cdot e^0 + s \cdot e^0 = 2r + s = 5\). 4. Lineares Gleichungssystem lösen: Aus \(r + s = 1\) (I) und \(2r + s = 5\) (II) folgt durch Subtraktion (II) - (I) direkt \(r = 4\). 5. Einsetzen von \(r = 4\) in Gleichung (I): \(4 + s = 1 \implies s = -3\).

\(r = 4\) und \(s = -3\)

- Wie lautet die allgemeine Gleichung einer Tangente an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Informationen über die Tangente kannst du direkt aus dem Funktionsterm und seiner Ableitung an der Stelle \(x = 0\) gewinnen? - Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Geradengleichung erfüllen. - Überlege dir zuerst, wie die Steigung und der y-Achsenabschnitt der Tangente von \(k\) abhängen.

1. Ableitung bestimmen: Unter Anwendung der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion und der Summenregel ergibt sich \(f_k'(x) = k \cdot e^x - 1\). 2. Punktkoordinaten und Steigung an der Stelle \(x = 0\) berechnen: Es gilt \(f_k(0) = k \cdot e^0 - 0 = k\) und \(f_k'(0) = k \cdot e^0 - 1 = k - 1\). 3. Tangentengleichung aufstellen: Mit der allgemeinen Form \(y = f_k'(x_0) \cdot (x - x_0) + f_k(x_0)\) folgt \(y = (k - 1) \cdot (x - 0) + k\), vereinfacht \(y = (k - 1)x + k\). 4. Parameter \(k\) bestimmen: Durch Einsetzen der Koordinaten von \(Q(2 | 5)\) in die Tangentengleichung erhält man \(5 = (k - 1) \cdot 2 + k\). Auflösen nach \(k\): \(5 = 2k - 2 + k \iff 5 = 3k - 2 \iff 7 = 3k \iff k = \frac{7}{3}\).

a) \(f_k'(x) = k \cdot e^x - 1\) b) \(k = \frac{7}{3}\)

- Denke beim Ableiten an die Kettenregel für den Term \(e^{ax}\). - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Bestimme zuerst die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von \(a\). - Setze die Bedingung für den \(x\)-Achsenabschnitt in deine Tangentengleichung ein, um eine Gleichung für \(a\) zu erhalten.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: Mithilfe der Kettenregel ergibt sich \(g_a'(x) = 2 \cdot a \cdot e^{ax}\). 2. Funktionswert und Steigung an der Berührstelle berechnen: Für \(x = 0\) ist \(g_a(0) = 2 \cdot e^0 + 1 = 3\) und \(g_a'(0) = 2a \cdot e^0 = 2a\). 3. Gleichung der Tangente aufstellen: \(y = g_a'(0) \cdot x + g_a(0) \implies y = 2ax + 3\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse nutzen: Die Tangente soll durch den Punkt \((-1 | 0)\) verlaufen. Einsetzen liefert \(0 = 2a \cdot (-1) + 3\). 5. Parameter berechnen: Aus \(0 = -2a + 3\) folgt \(2a = 3\) und somit \(a = 1{,}5\).

a) \(g_a'(x) = 2a \cdot e^{ax}\) b) \(a = 1{,}5\)

- Wie lautet die Kettenregel für Exponentialfunktionen mit einem Faktor im Exponenten? - Welche Formel hilft dir, die Gleichung einer Tangente an einer Stelle \(x_0\) aufzustellen? - Was bedeutet eine negative Steigung für das Vorzeichen des Parameters? - Achte beim Lösen von Ungleichungen darauf, was passiert, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst. - Wie findet man rechnerisch die Nullstelle einer linearen Funktion?

1. Ableitungen bilden: Die erste Ableitung ist \(f'_k(x) = 2k \cdot e^{2x}\), die zweite Ableitung \(f''_k(x) = 4k \cdot e^{2x}\). Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f''_k(0) = 4k \cdot e^0 = 4k\). 2. Tangentengleichung aufstellen: Der Berührpunkt ist \((0 | f_k(0)) = (0 | k - 4)\). Die Steigung ist \(m = f'_k(0) = 2k\). Die Tangente hat die Gleichung \(y = 2k \cdot x + k - 4\). 3. Bedingung negative Steigung: Es muss \(2k < 0\) gelten, woraus \(k < 0\) folgt. 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse berechnen: Aus \(0 = 2kx + k - 4\) folgt \(2kx = 4 - k\), also \(x_s = \frac{4 - k}{2k}\). 5. Ungleichung für die \(x\)-Koordinate lösen: Es soll \(\frac{4 - k}{2k} < -1\) gelten. Da \(k < 0\) ist, ist \(2k\) negativ. Multiplikation mit \(2k\) dreht das Ungleichheitszeichen um: \(4 - k > -2k\). Daraus folgt \(4 > -k\) bzw. \(k > -4\). 6. Zusammenführung: Unter Berücksichtigung von \(k < 0\) ergibt sich \(-4 < k < 0\).

\(-4 < k < 0\)

- Berechne zuerst den \(y\)-Wert und die Steigung an der gegebenen Stelle. - Vereinfache die Tangentengleichung so weit wie möglich, bevor du weiterrechnest. - Welche Bedingung muss für den Parameter gelten, damit die Steigung der Geraden positiv ist? - Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit der horizontalen Achse? - Kannst du die Bedingung für die \(x\)-Koordinate in eine Ungleichung für den Parameter umwandeln?

1. Funktionswert und Steigung berechnen: \(g_a(1) = a \cdot e^0 + 2 = a + 2\). Die Ableitung ist \(g'_a(x) = a \cdot e^{x-1}\), also ist die Steigung an der Stelle \(x = 1\) gerade \(m = g'_a(1) = a \cdot e^0 = a\). 2. Tangentengleichung ermitteln: \(y = a \cdot (x - 1) + a + 2\). Vereinfacht ergibt dies \(y = ax - a + a + 2\), also \(y = ax + 2\). 3. Bedingung positive Steigung: Es muss \(a > 0\) gelten. 4. Nullstelle der Tangente berechnen: \(0 = ax + 2 \implies ax = -2 \implies x_s = -\frac{2}{a}\). 5. Ungleichung für die Nullstelle lösen: Es soll \(x_s > -1\) gelten, also \(-\frac{2}{a} > -1\). Da \(a > 0\) vorausgesetzt ist, kann man mit \(a\) multiplizieren, ohne das Zeichen zu drehen: \(-2 > -a\). Durch Multiplikation mit \(-1\) folgt \(2 < a\) bzw. \(a > 2\).

\(a > 2\)

- Was bedeutet es für die Steigung einer Funktion, wenn die Tangente parallel zur \(x\)-Achse liegt? - Nutze die Produktregel und achte beim Ableiten von \(e^{tx}\) auf die Kettenregel. - Kann die Exponentialfunktion jemals den Wert Null annehmen? Was bedeutet das für das Lösen der Gleichung? - Versuche, den Faktor \(e^{tx}\) nach dem Ableiten direkt wieder auszuklammern.

1. Erste Ableitung: Anwendung der Produkt- und Kettenregel. Mit \(u = t - x\) (\(u' = -1\)) und \(v = e^{tx}\) (\(v' = t \cdot e^{tx}\)) folgt: \(g_t'(x) = -1 \cdot e^{tx} + (t - x) \cdot t \cdot e^{tx} = (t^2 - tx - 1) \cdot e^{tx}\). 2. Zweite Ableitung: Erneute Anwendung der Produktregel auf \(g_t'(x)\) mit \(u = t^2 - tx - 1\) (\(u' = -t\)) ergibt: \(g_t''(x) = -t \cdot e^{tx} + (t^2 - tx - 1) \cdot t \cdot e^{tx} = (t^3 - t^2x - 2t) \cdot e^{tx}\). 3. Tangente parallel zur \(x\)-Achse: Bedingung \(g_t'(x) = 0\). Da \(e^{tx} > 0\) für alle \(x\), muss \(t^2 - tx - 1 = 0\) gelten. Umstellen nach \(x\) liefert \(tx = t^2 - 1\), also \(x = \frac{t^2 - 1}{t} = t - \frac{1}{t}\).

a) \(g_t'(x) = (t^2 - tx - 1) e^{tx}\) und \(g_t''(x) = (t^3 - t^2x - 2t) e^{tx}\) b) \(x = t - \frac{1}{t}\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Welche Ableitungsregel ist bei einem Produkt aus einer linearen Funktion und der \(e\)-Funktion hilfreich? - Wie gehst du vor, wenn du einen Wert an einer bestimmten Stelle der zweiten Ableitung berechnen sollst?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(1 | 5e)\) in die Funktionsgleichung: \(f_k(1) = (k \cdot 1 + 4) \cdot e^1 = (k + 4)e\). Gleichsetzen mit dem Funktionswert: \((k + 4)e = 5e \implies k + 4 = 5 \implies k = 1\). 2. Bildung der Ableitungen mittels Produktregel: \(f_k'(x) = k \cdot e^x + (k \cdot x + 4) \cdot e^x = (k \cdot x + k + 4) \cdot e^x\). Die zweite Ableitung lautet \(f_k''(x) = k \cdot e^x + (k \cdot x + k + 4) \cdot e^x = (k \cdot x + 2k + 4) \cdot e^x\). Einsetzen von \(x = 0\): \(f_k''(0) = (0 + 2k + 4) \cdot e^0 = 2k + 4\). Gleichsetzen mit der Bedingung: \(2k + 4 = 2 \implies 2k = -2 \implies k = -1\).

1. \(k = 1\) 2. \(k = -1\)

- Kannst du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen, um eine Gleichung für den Parameter zu erhalten? - Denke beim Ableiten daran, die Produktregel anzuwenden und den Term danach zur Vereinfachung wieder auszuklammern. - Achte darauf, ob es bei Gleichungen wie \(a^2 = c\) mehr als eine Lösung gibt.

1. Einsetzen der Koordinaten von \(Q(0 | -9)\): \(g_a(0) = (0^2 - a^2) \cdot e^0 = -a^2\). Bedingung: \(-a^2 = -9 \implies a^2 = 9\). Daraus folgen die Lösungen \(a_1 = 3\) und \(a_2 = -3\). 2. Bestimmung der zweiten Ableitung mit der Produktregel: \(g_a'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - a^2) \cdot e^x = (x^2 + 2x - a^2) \cdot e^x\). Die zweite Ableitung ist \(g_a''(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - a^2) \cdot e^x = (x^2 + 4x + 2 - a^2) \cdot e^x\). Einsetzen von \(x = 0\): \(g_a''(0) = (0 + 0 + 2 - a^2) \cdot 1 = 2 - a^2\). Bedingung: \(2 - a^2 = -7 \implies -a^2 = -9 \implies a^2 = 9\). Dies liefert ebenfalls \(a_1 = 3\) und \(a_2 = -3\).

1. \(a = 3\) oder \(a = -3\) 2. \(a = 3\) oder \(a = -3\)

- Wie hängen die Steigung eines Graphen und die erste Ableitung zusammen? - Welche Regeln musst du kombinieren, um den Term \(x^2 \cdot e^{ax}\) abzuleiten? - Setze den gegebenen x-Wert in deine Ableitung ein und vergleiche das Ergebnis mit dem Zielwert. - Gibt es einen Faktor in deiner Gleichung, der niemals null wird und durch den du teilen kannst?

1. Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion \(g_a'\) mithilfe der Produkt- und Kettenregel: \(g_a'(x) = 2x \cdot e^{ax} + x^2 \cdot a \cdot e^{ax} = (ax^2 + 2x) \cdot e^{ax}\). 2. Aufstellen der Bedingungsgleichung für die Steigung an der Stelle \(x = 1\): \(g_a'(1) = e^a\). 3. Einsetzen von \(x = 1\) in den Ableitungsterm: \((a \cdot 1^2 + 2 \cdot 1) \cdot e^{a \cdot 1} = (a + 2) \cdot e^a\). 4. Lösen der Gleichung \((a + 2) \cdot e^a = e^a\): Da \(e^a\) für alle \(a\) ungleich null ist, kann durch \(e^a\) dividiert werden. Es ergibt sich \(a + 2 = 1\), woraus \(a = -1\) folgt.

\(a = -1\)

- Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Wie kannst du die Information, dass ein Punkt auf dem Graphen liegt, in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Du hast zwei Unbekannte. Wie viele Gleichungen benötigst du, um diese eindeutig zu bestimmen? - Versuche, einen Teil einer Gleichung durch den Wert aus der anderen Gleichung zu ersetzen, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Aufstellen der Punktbedingung: Aus \(f_{a,b}(1) = e^2\) folgt die Gleichung \(a \cdot e^{b \cdot 1^2} = a \cdot e^b = e^2\). 2. Bilden der ersten Ableitung mit der Kettenregel: \(f_{a,b}'(x) = a \cdot e^{bx^2} \cdot 2bx = 2abx \cdot e^{bx^2}\). 3. Aufstellen der Steigungsbedingung im Punkt \(P\): \(f_{a,b}'(1) = 2ab \cdot e^b = 4e^2\). 4. Substituieren der ersten Gleichung (\(a e^b = e^2\)) in die zweite Gleichung: \(2b \cdot (a e^b) = 2b \cdot e^2 = 4e^2\). 5. Lösen nach \(b\): Durch Division durch \(2e^2\) ergibt sich \(b = 2\). 6. Bestimmen von \(a\): Einsetzen von \(b=2\) in \(a e^b = e^2\) liefert \(a \cdot e^2 = e^2\), woraus \(a = 1\) folgt.

Die Parameterwerte lauten \(a = 1\) und \(b = 2\).

- Was ist die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt? - Wie prüfst du, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? - Welchen x-Wert hat jeder Punkt, der auf der y-Achse liegt? - Was gibt die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle über den Graphen aus?

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = -e^{a-x} + 1\) und \(f_a''(x) = e^{a-x}\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_a'(x) = 0 \Rightarrow e^{a-x} = 1 \Rightarrow a-x = 0 \Rightarrow x = a\). 3. Art des Extrempunktes prüfen: \(f_a''(a) = e^0 = 1 > 0\), somit liegt ein Tiefpunkt vor. 4. Koordinaten berechnen: \(f_a(a) = e^{a-a} + a = 1+a\). Der Tiefpunkt ist \(T(a \mid 1+a)\). 5. Bedingung für Teilaufgabe b): Der \(y\)-Wert des Tiefpunktes muss \(5\) sein: \(1+a = 5 \Rightarrow a = 4\). 6. Bedingung für Teilaufgabe c): Die Steigung im Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)) muss \(1-e\) sein. \(f_a'(0) = -e^a + 1\). Gleichsetzen: \(-e^a + 1 = 1-e \Rightarrow e^a = e \Rightarrow a = 1\).

a) Tiefpunkt \(T(a \mid 1+a)\) b) \(a = 4\) c) \(a = 1\)

- Wie hängen die Steigungen zweier paralleler Geraden zusammen? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der x-Achse liegt? - Beachte beim Lösen der Gleichungen, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) niemals null wird.

1. Ableitungen bestimmen: \(g_k'(x) = k e^x - e^{2x}\) und \(g_k''(x) = k e^x - 2 e^{2x}\). 2. Extremstellen berechnen: \(g_k'(x) = 0 \Rightarrow e^x(k - e^x) = 0\). Da \(e^x > 0\), folgt \(e^x = k\), also \(x = \ln(k)\). 3. Art des Extrempunktes: \(g_k''(\ln(k)) = k \cdot k - 2 \cdot k^2 = -k^2\). Da \(k > 0\), ist \(-k^2 < 0\), also liegt ein Hochpunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate: \(g_k(\ln(k)) = k \cdot k - 0{,}5 k^2 - 2 = 0{,}5 k^2 - 2\). Der Hochpunkt ist \(H(\ln(k) \mid 0{,}5 k^2 - 2)\). 5. Extrempunkt auf der \(x\)-Achse: \(0{,}5 k^2 - 2 = 0 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = 2\) (da \(k > 0\)). 6. Tangente parallel zu \(y = 3x - 5\): Die Steigung an der Stelle \(x=0\) muss \(3\) sein. \(g_k'(0) = k \cdot e^0 - e^0 = k - 1\). Gleichsetzen: \(k - 1 = 3 \Rightarrow k = 4\).

a) Hochpunkt \(H(\ln(k) \mid 0{,}5 k^2 - 2)\) b) \(k = 2\) c) \(k = 4\)

- Kannst du die Produktregel und die Kettenregel auf den Funktionsterm anwenden? - Welche Eigenschaft der Exponentialfunktion hilft dir beim Lösen der Gleichungen \(f'(x) = 0\) und \(f''(x) = 0\)? - Erinnerst du dich an die Lösungsformel für quadratische Gleichungen? - Warum ist es für die Existenz der Stellen wichtig, dass \(k > 0\) gilt?

1. Erste und zweite Ableitung mit Produkt- und Kettenregel bestimmen: \(f_k'(x) = (-x^2 + 2x + k) \cdot e^{-x}\) und \(f_k''(x) = (x^2 - 4x + 2 - k) \cdot e^{-x}\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen \(f_k'(x) = 0\) liefert die quadratische Gleichung \(x^2 - 2x - k = 0\). 3. Lösung mittels pq-Formel ergibt die Extremstellen \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + k}\). Da \(k > 0\), ist der Radikand stets positiv und es existieren zwei verschiedene Stellen. 4. Notwendige Bedingung für Wendestellen \(f_k''(x) = 0\) liefert die Gleichung \(x^2 - 4x + 2 - k = 0\). 5. Lösung mittels pq-Formel ergibt die Wendestellen \(x_{3,4} = 2 \pm \sqrt{4 - (2 - k)} = 2 \pm \sqrt{2 + k}\). Da \(k > 0\), existieren stets zwei verschiedene Wendestellen.

Extremstellen: \(x_1 = 1 - \sqrt{1 + k}\) und \(x_2 = 1 + \sqrt{1 + k}\) Wendestellen: \(x_3 = 2 - \sqrt{2 + k}\) und \(x_4 = 2 + \sqrt{2 + k}\)

- Was passiert mit dem Parameter \(a\), wenn du die Gleichung \(g_a'(x) = 0\) löst? - Wie gehst du vor, um eine Gleichung der Form \(x^3 - 3x = 0\) nach \(x\) aufzulösen? - Welche Bedingungen müssen für eine Extremstelle bzw. eine Wendestelle erfüllt sein? - Hängen die gesuchten Stellen in diesem Fall vom Parameter \(a\) ab?

1. Ableitungen bilden: \(g_a'(x) = a \cdot (1 - x^2) \cdot e^{-0{,}5x^2}\) und \(g_a''(x) = a \cdot (x^3 - 3x) \cdot e^{-0{,}5x^2}\). 2. Extremstellen: \(g_a'(x) = 0 \iff 1 - x^2 = 0\). Dies ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Da \(a \neq 0\), ist \(g_a''(\pm 1) \neq 0\), womit lokale Extrema vorliegen. 3. Wendestellen: \(g_a''(x) = 0 \iff x^3 - 3x = 0 \iff x \cdot (x^2 - 3) = 0\). 4. Die Lösungen sind \(x_3 = 0\), \(x_4 = \sqrt{3}\) und \(x_5 = -\sqrt{3}\). Eine Überprüfung (z. B. mit der dritten Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium) bestätigt, dass an allen drei Stellen Wendepunkte vorliegen.

Extremstellen: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\) Wendestellen: \(x_3 = 0\), \(x_4 = -\sqrt{3}\) und \(x_5 = \sqrt{3}\)

- Wie lautet die mathematische Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Setze den gegebenen Punkt in die Funktionsgleichung ein, um eine Gleichung für \(t\) zu erhalten. - Betrachte die Struktur der Gleichung — erkennst du eine Symmetrie in den Exponenten? - Gibt es mehr als eine Lösung für die Gleichung?

1. Nachweis der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse durch Prüfung der Bedingung \(f_t(-x) = f_t(x)\): \(f_t(-x) = e^{t \cdot (-x)} + e^{-t \cdot (-x)} = e^{-tx} + e^{tx} = f_t(x)\). 2. Einsetzen der Koordinaten von \(P(2 \mid e^4 + e^{-4})\) in die Funktionsgleichung: \(f_t(2) = e^{2t} + e^{-2t} = e^4 + e^{-4}\). 3. Vergleich der Exponenten oder Nutzung der Substitution \(u = e^{2t}\): Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(2t = 4\) oder \(2t = -4\) gilt. 4. Bestimmung der Parameterwerte: \(t = 2\) oder \(t = -2\).

a) Der Nachweis erfolgt über \(f_t(-x) = e^{-tx} + e^{tx} = f_t(x)\). b) Die möglichen Werte für den Parameter sind \(t = 2\) und \(t = -2\).

- Was muss für den Funktionswert an der Stelle \(-x\) gelten, damit Symmetrie zur \(y\)-Achse vorliegt? - An welcher Stelle \(x\) vermutest du aufgrund der Symmetrie den Tiefpunkt? - Verwende die Ableitung, um die Lage des Extrempunkts exakt zu bestimmen. - Welche Bedingung muss die \(y\)-Koordinate eines Punktes erfüllen, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt?

1. Überprüfung der Symmetrie: \(g_k(-x) = k \cdot (e^{-x} + e^{-(-x)}) - k^2 = k \cdot (e^{-x} + e^x) - k^2 = g_k(x)\). Somit liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Bestimmung der Extremstelle: Die notwendige Bedingung \(g_k'(x) = 0\) führt auf \(k \cdot (e^x - e^{-x}) = 0\). Da \(k > 0\), muss \(e^x = e^{-x}\) gelten, woraus \(x = 0\) folgt. 3. Überprüfung der Art des Extrempunkts: Wegen \(g_k''(x) = k \cdot (e^x + e^{-x})\) ist \(g_k''(0) = 2k > 0\). Somit liegt bei \(x = 0\) ein Tiefpunkt vor. 4. Bedingung für die Lage auf der \(x\)-Achse: Die \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts muss Null sein: \(g_k(0) = k \cdot (e^0 + e^0) - k^2 = 2k - k^2 = 0\). 5. Lösen der Gleichung: \(k \cdot (2 - k) = 0\) ergibt \(k = 2\) (da \(k \in \mathbb{R}^+\)).

a) Es gilt \(g_k(-x) = g_k(x)\), daher sind die Graphen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Der Tiefpunkt liegt für \(k = 2\) auf der \(x\)-Achse.

- Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn ein Produkt aus einer ganzrationalen Funktion und einer Exponentialfunktion vorliegt? - Was weißt du über die Nullstellen der natürlichen Exponentialfunktion? - Von welchem Teil der Ableitungsfunktion hängt die Anzahl der Nullstellen ab? - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung höchstens haben?

1. Bildung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \( f'(x) = (2ax + b) \cdot e^{-x} + (ax^2 + bx + c) \cdot e^{-x} \cdot (-1) \). 2. Ausklammern des Exponentialterms: \( f'(x) = e^{-x} \cdot (2ax + b - ax^2 - bx - c) = e^{-x} \cdot (-ax^2 + (2a-b)x + b-c) \). 3. Notwendige Bedingung für Extremstellen: \( f'(x) = 0 \). Da \( e^{-x} > 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), muss der quadratische Faktor null sein: \( -ax^2 + (2a-b)x + b-c = 0 \). 4. Da \( a \neq 0 \), handelt es sich um eine quadratische Gleichung. Eine quadratische Gleichung hat im Reellen maximal zwei Lösungen. 5. Da die Ableitung höchstens zwei Nullstellen besitzen kann, kann die Funktion \( f \) höchstens zwei Stellen mit waagerechter Tangente und damit maximal zwei Extremstellen haben.

Die Ableitung hat die Form \( f'(x) = e^{-x} \cdot Q(x) \), wobei \( Q(x) \) ein Polynom zweiten Grades ist. Da \( e^{-x} \) nie null wird, wird die Anzahl der Nullstellen der Ableitung durch \( Q(x) \) begrenzt. Da ein Polynom zweiten Grades maximal zwei Nullstellen besitzt, kann die Funktion \( f \) maximal zwei Extremstellen haben.

- Wende für die erste Ableitung die Kettenregel an, wobei die Wurzel die äußere Funktion ist. - Nutze für die zweite Ableitung die Quotientenregel und vereinfache den Zähler durch Erweitern. - Setze den gegebenen x-Wert in deine Formel für die zweite Ableitung ein und löse die Gleichung nach dem Parameter auf. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\).

1. Erste Ableitung mit der Kettenregel: \(f_k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + k}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + k}}\). 2. Zweite Ableitung mit der Quotientenregel: \(f_k''(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + k} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + k}}}{x^2 + k} = \frac{x^2 + k - x^2}{(x^2 + k)^{1{,}5}} = \frac{k}{(x^2 + k)^{3/2}}\). 3. Bedingung \(f_k''(0) = 0{,}25\) führt auf \(\frac{k}{k^{1{,}5}} = 0{,}25\), also \(\frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{1}{4}\). Daraus folgt \(\sqrt{k} = 4\) und somit \(k = 16\). 4. Für \(k = 12\) und \(x = 2\) ist \(f_{12}(2) = \sqrt{4 + 12} = 4\). Die Steigung ist \(f_{12}'(2) = \frac{2}{\sqrt{4 + 12}} = 0{,}5\). 5. Tangentengleichung \(y = f_{12}'(2) \cdot (x - 2) + f_{12}(2)\) ergibt \(y = 0{,}5(x - 2) + 4 = 0{,}5x + 3\).

a) \(f_k'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + k}}\); \(f_k''(x) = \frac{k}{(x^2 + k)^{3/2}}\) b) \(k = 16\) c) \(y = 0{,}5x + 3\)

- Überlege dir, warum der Ausdruck unter der Wurzel niemals null oder negativ werden kann. - Erinnere dich an die Definition von Achsen- und Punktsymmetrie. - Nutze die Quotientenregel und beachte beim Ableiten der Wurzel die Kettenregel. - Beachte beim Grenzwert im Unendlichen den Zusammenhang zwischen \(\sqrt{x^2}\) und \(|x|\).

1. Definitionsbereich: Da \(k \neq 0\), ist \(k^2 > 0\). Da zudem \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt stets \(x^2 + k^2 > 0\). Die Wurzel im Nenner ist somit für alle reellen Zahlen definiert und ungleich Null, woraus \(D = \mathbb{R}\) folgt. 2. Symmetrie: Es gilt \(f_k(-x) = \frac{k \cdot (-x)}{\sqrt{(-x)^2 + k^2}} = \frac{-k \cdot x}{\sqrt{x^2 + k^2}} = -f_k(x)\). Die Graphen sind somit punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. 3. Ableitung: Unter Verwendung der Quotienten- und Kettenregel ergibt sich \(f_k'(x) = \frac{k \cdot \sqrt{x^2+k^2} - kx \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+k^2}}}{x^2+k^2} = \frac{k(x^2+k^2) - kx^2}{(x^2+k^2)^{3/2}} = \frac{k^3}{(x^2+k^2)^{3/2}}\). 4. Monotonie: Der Nenner \((x^2+k^2)^{3/2}\) ist stets positiv. Das Vorzeichen von \(f_k'(x)\) hängt somit nur von \(k^3\) ab. Für \(k > 0\) ist \(f_k'(x) > 0\), die Funktion ist streng monoton steigend. Für \(k < 0\) ist \(f_k'(x) < 0\), die Funktion ist streng monoton fallend. 5. Grenzwerte: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{kx}{\sqrt{x^2(1 + k^2/x^2)}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{kx}{|x|\sqrt{1 + k^2/x^2}}\). Für \(x \to +\infty\) ist \(|x|=x\), der Grenzwert ist \(k\). Für \(x \to -\infty\) ist \(|x|=-x\), der Grenzwert ist \(-k\). Geometrisch bedeutet dies, dass die Graphen waagerechte Asymptoten mit den Gleichungen \(y = k\) und \(y = -k\) besitzen.

a) \(D = \mathbb{R}\); Punktsymmetrie zum Ursprung. b) \(f_k'(x) = \frac{k^3}{(x^2+k^2)^{3/2}}\); für \(k > 0\) streng monoton steigend, für \(k < 0\) streng monoton fallend. c) \(\lim_{x \to +\infty} f_k(x) = k\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -k\). Die Graphen besitzen waagerechte Asymptoten \(y = k\) und \(y = -k\).

- Welche Bedingung muss für den Ausdruck unter einer Quadratwurzel gelten? - Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird. - Erinnere dich an die Produkt- und Kettenregel für Ableitungen. - Welche notwendige und welche hinreichende Bedingung muss für einen Tiefpunkt erfüllt sein? - Wie hängen das Vorzeichen der zweiten Ableitung und das Krümmungsverhalten eines Graphen zusammen?

1. Für die Definitionsmenge muss der Radikand nicht-negativ sein: \(x + k \geq 0 \Rightarrow x \geq -k\), also \(D_k = [-k; \infty[\). 2. Die Nullstellen ergeben sich aus \(2x - k = 0\) oder \(\sqrt{x + k} = 0\), woraus \(x_1 = \frac{k}{2}\) und \(x_2 = -k\) folgen. 3. Die erste Ableitung lautet \(f_k'(x) = 2\sqrt{x+k} + \frac{2x-k}{2\sqrt{x+k}} = \frac{4(x+k) + 2x-k}{2\sqrt{x+k}} = \frac{6x + 3k}{2\sqrt{x+k}}\). 4. Ein Extrempunkt bei \(x = -2\) erfordert \(f_k'(-2) = 0\): \(6(-2) + 3k = 0 \Rightarrow -12 + 3k = 0 \Rightarrow k = 4\). 5. Die zweite Ableitung ist \(f_k''(x) = \frac{6 \cdot 2\sqrt{x+k} - (6x+3k) \cdot \frac{1}{\sqrt{x+k}}}{4(x+k)} = \frac{12(x+k) - (6x+3k)}{4(x+k)^{3/2}} = \frac{6x + 9k}{4(x+k)^{3/2}}\). 6. Überprüfung für \(k = 4\) bei \(x = -2\): \(f_4''(-2) = \frac{6(-2) + 36}{4(-2+4)^{3/2}} = \frac{24}{4\sqrt{8}} > 0\), somit liegt ein Tiefpunkt vor. 7. Für die Krümmung betrachte \(f_k''(x)\): Da der Nenner für \(x > -k\) stets positiv ist, hängt das Vorzeichen vom Zähler \(6x + 9k\) ab. Wegen \(x > -k\) gilt \(6x + 9k > 6(-k) + 9k = 3k\). Da \(k > 0\), ist \(3k > 0\). Somit ist \(f_k''(x) > 0\) für alle \(x > -k\), was eine Linkskrümmung beweist.

a) \(D_k = [-k; \infty[\); Nullstellen bei \(x = -k\) und \(x = 0{,}5k\). b) \(k = 4\). c) Der Nachweis erfolgt über \(f_k''(x) = \frac{6x + 9k}{4(x+k)^{1{,}5}}\), wobei \(f_k''(x) > 0\) für \(x > -k\) gilt.

- Überlege, für welche Werte von \(x\) der Ausdruck \(\sqrt{x}\) definiert ist. - Nutze den Satz vom Nullprodukt für die Berechnung der Nullstellen. - Verwende die Produktregel für die erste Ableitung und vereinfache den entstehenden Bruch. - Denke daran, dass für einen Hochpunkt die erste Ableitung null sein muss. - Um eine Gleichung der Form \(x\sqrt{x} = c\) zu lösen, kannst du beide Seiten quadrieren oder die Potenzschreibweise verwenden.

1. Da die Wurzel nur für nicht-negative Werte definiert ist, gilt \(D_a = [0; \infty[\). 2. Die Nullstellen liegen bei \(a - x = 0 \Rightarrow x_1 = a\) und \(\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x_2 = 0\). 3. Ableitung mit der Produktregel: \(h_a'(x) = -1 \cdot \sqrt{x} + (a - x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{-2x + a - x}{2\sqrt{x}} = \frac{a - 3x}{2\sqrt{x}}\). 4. Die Bedingung \(h_a'(x) = 0\) liefert \(a - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{3}\). 5. Die zweite Ableitung \(h_a''(x) = \frac{-3 \cdot 2\sqrt{x} - (a-3x) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}}{4x} = \frac{-6x - a + 3x}{4x\sqrt{x}} = \frac{-3x - a}{4x\sqrt{x}}\) ist für \(x > 0\) und \(a > 0\) stets negativ, was den Hochpunkt bestätigt. 6. \(y\)-Koordinate: \(h_a(\frac{a}{3}) = (a - \frac{a}{3}) \cdot \sqrt{\frac{a}{3}} = \frac{2a}{3} \cdot \sqrt{\frac{a}{3}} = \frac{2a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}\). Die Koordinaten sind \(H_a(\frac{a}{3} \mid \frac{2a\sqrt{3a}}{9})\). 7. Für \(y = 2\) gilt: \(\frac{2a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}} = 2 \Rightarrow a\sqrt{a} = 3\sqrt{3} \Rightarrow a^{3/2} = 3^{3/2} \Rightarrow a = 3\).

a) \(D_a = [0; \infty[\); Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = a\). b) \(H_a(\frac{a}{3} \mid \frac{2a\sqrt{3a}}{9})\). c) \(a = 3\).

- Überlege, welche Bedingung für den Term unter einer Quadratwurzel gelten muss. - Nutze die Kettenregel, um die Ableitung der Wurzelfunktion zu bestimmen. - Die Steigung an einer Stelle entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Um eine Gleichung mit einer Wurzel nach der Unbekannten aufzulösen, ist es oft hilfreich, die Wurzel zu isolieren und dann zu quadrieren.

1. Für die Definitionsmenge muss der Radikand nichtnegativ sein: \(2ax - a^2 \ge 0\). Da \(a > 0\), folgt \(2x \ge a\) und somit \(x \ge \frac{a}{2}\). Die maximale Definitionsmenge ist \(D_a = [\frac{a}{2}; \infty[\). 2. Anwendung der Kettenregel für die Ableitung: \(f_a'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2ax - a^2}} \cdot 2a = \frac{a}{\sqrt{2ax - a^2}}\). 3. Bedingung für die Steigung aufstellen: \(f_a'(2) = 0{,}5\). Einsetzen ergibt \(\frac{a}{\sqrt{4a - a^2}} = 0{,}5\). 4. Lösen der Gleichung: Multiplikation mit der Wurzel und Quadrieren führt zu \(a^2 = 0{,}25 \cdot (4a - a^2)\), was \(a^2 = a - 0{,}25a^2\) bzw. \(1{,}25a^2 - a = 0\) ergibt. Da \(a > 0\), folgt \(1{,}25a = 1\) und somit \(a = 0{,}8\). 5. Prüfung der Definitionsmenge: Für \(a = 0{,}8\) ist \(D_{0{,}8} = [0{,}4; \infty[\). Da \(2 \in D_{0{,}8}\), ist die Lösung gültig.

a) \(D_a = [\frac{a}{2}; \infty[\) b) \(f_a'(x) = \frac{a}{\sqrt{2ax - a^2}}\) c) \(a = 0{,}8\)

- Untersuche das Verhalten der Funktion, wenn \(x\) gegen den Rand des Definitionsbereichs strebt. - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Setze die gefundene Stelle in die Funktionsgleichung ein, um den zugehörigen Wert zu erhalten. - Betrachte die Terme der Koordinaten einzeln und überlege, wie sie sich verhalten, wenn der Parameter wächst.

1. Bestimmung der senkrechten Asymptote: Für \(x \to 0^+\) gilt \(\frac{x}{k} \to 0\) und \(\ln(x) \to -\infty\), woraus \(f_k(x) \to \infty\) folgt. Es existiert eine senkrechte Asymptote bei \(x = 0\). 2. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = \frac{1}{k} - \frac{1}{x}\). 3. Bestimmung der Extremstelle: \(f_k'(x) = 0 \implies \frac{1}{x} = \frac{1}{k} \implies x = k\). 4. Überprüfung der Art des Extrempunkts: \(f_k''(x) = \frac{1}{x^2}\). Da \(f_k''(k) = \frac{1}{k^2} > 0\), liegt ein Tiefpunkt vor. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f_k(k) = \frac{k}{k} - \ln(k) = 1 - \ln(k)\). Der Tiefpunkt ist \(T(k \mid 1 - \ln(k))\). 6. Analyse der Parameterabhängigkeit: Mit steigendem \(k\) nimmt die \(x\)-Koordinate \(k\) zu und die \(y\)-Koordinate \(1 - \ln(k)\) ab. Der Tiefpunkt wandert also nach rechts unten.

a) Senkrechte Asymptote bei \(x = 0\). b) Der Tiefpunkt liegt bei \(T(k \mid 1 - \ln(k))\). c) Wenn \(k\) vergrößert wird, wandert der Tiefpunkt nach rechts (größere \(x\)-Werte) und nach unten (kleinere \(y\)-Werte).

- Was bedeutet eine waagerechte Tangente für die Steigung der Funktion an dieser Stelle? - Welche Bedingung muss für das Argument einer Logarithmusfunktion erfüllt sein? - Wie verhält sich der Logarithmus, wenn sein Argument gegen null geht? - Welche Kriterien kennst du, um die Art eines Extrempunktes nachzuweisen?

1. Ableitung bilden: Unter Verwendung der Kettenregel ergibt sich \(f_k'(x) = \frac{k - 2x}{kx - x^2}\). 2. Bedingung für waagerechte Tangente anwenden: \(f_k'(2) = 0\) führt auf die Gleichung \(k - 2 \cdot 2 = 0\), woraus \(k = 4\) folgt. 3. Definitionsmenge bestimmen: Für \(k = 4\) muss das Argument des Logarithmus positiv sein, also \(4x - x^2 > 0\). Die Nullstellen von \(x(4 - x)\) liegen bei \(0\) und \(4\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(D_f = ]0; 4[\). 4. Asymptoten bestimmen: An den Rändern des Definitionsbereichs strebt das Argument gegen \(0\). Da \(\lim_{u \to 0^+} \ln(u) = -\infty\), gilt \(\lim_{x \to 0^+} f_4(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 4^-} f_4(x) = -\infty\). Die senkrechten Asymptoten sind \(x = 0\) und \(x = 4\). 5. Art des Extremums bestimmen: Die zweite Ableitung lautet \(f_4''(x) = \frac{-2(4x - x^2) - (4 - 2x)^2}{(4x - x^2)^2}\). Einsetzen von \(x = 2\) ergibt \(f_4''(2) = \frac{-2(8 - 4) - 0}{4^2} = \frac{-8}{16} = -0{,}5\). Da \(f_4''(2) < 0\), handelt es sich um einen lokalen Hochpunkt.

a) \(k = 4\) b) \(D_f = ]0; 4[\); senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = 4\) c) Wegen \(f_4'(2) = 0\) und \(f_4''(2) = -0{,}5 < 0\) ist der Punkt ein Hochpunkt.

- Kannst du den Funktionsterm durch teilweises Ausklammern faktorisieren, um die Nullstellen leichter zu finden? - Erinnere dich an die Symmetriebedingung: Zwei Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der eine durch Spiegelung aller Punkte \((x|y)\) an \((0|0)\) in den anderen übergeht. Wie lautet die zugehörige Formel für die Funktionswerte? - Ersetze beim Aufstellen von \(g_{-k}\) jedes \(k\) im ursprünglichen Term konsequent durch \((-k)\) und achte auf die Vorzeichen bei den Potenzen.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g_k(0) = 0^3 + k \cdot 0^2 - k^2 \cdot 0 - k^3 = -k^3\). Schnittpunkt ist \(S_y(0|-k^3)\). 2. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(x^3 + kx^2 - k^2x - k^3 = 0\). Durch Ausklammern: \(x^2(x+k) - k^2(x+k) = (x^2-k^2)(x+k) = (x-k)(x+k)^2 = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = k\) und \(x_2 = -k\) (doppelt). Schnittpunkte sind \(N_1(k|0)\) und \(N_2(-k|0)\). 3. Term für \(g_{-k}(x)\) aufstellen: \(g_{-k}(x) = x^3 + (-k)x^2 - (-k)^2x - (-k)^3 = x^3 - kx^2 - k^2x + k^3\). 4. Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung zwischen zwei Graphen prüfen: \(g_{-k}(x) = -g_k(-x)\). 5. Rechter Teil der Gleichung: \(-g_k(-x) = -[(-x)^3 + k(-x)^2 - k^2(-x) - k^3] = -[-x^3 + kx^2 + k^2x - k^3] = x^3 - kx^2 - k^2x + k^3\). 6. Vergleich: Da \(g_{-k}(x) = -g_k(-x)\) gilt, sind die Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0|-k^3)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(k|0)\) und \(N_2(-k|0)\). b) Es gilt \(g_{-k}(x) = x^3 - kx^2 - k^2x + k^3\) und \(-g_k(-x) = x^3 - kx^2 - k^2x + k^3\). Da \(g_{-k}(x) = -g_k(-x)\), sind die Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an der Stelle eines Sattelpunktes gelten? - Stelle ein lineares Gleichungssystem für die Unbekannten auf. - Denk daran, dass ein Sattelpunkt ein spezieller Wendepunkt mit einer waagerechten Tangente ist. - Wie kannst du prüfen, ob es sich wirklich um einen Sattelpunkt und nicht etwa um ein Extremum handelt?

1. Ein Sattelpunkt an der Stelle \(x = 1\) erfordert die notwendigen Bedingungen \(f'(1) = 0\) und \(f''(1) = 0\). 2. Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx\) und \(f''(x) = 12x^2 + 6ax + 2b\). 3. Durch Einsetzen von \(x = 1\) erhält man das lineare Gleichungssystem: I) \(4 + 3a + 2b = 0 \iff 3a + 2b = -4\) II) \(12 + 6a + 2b = 0 \iff 6a + 2b = -12\) 4. Subtraktion von (I) von (II) liefert \(3a = -8\), also \(a = -\frac{8}{3}\). 5. Einsetzen in (I) ergibt \(3(-\frac{8}{3}) + 2b = -4 \iff -8 + 2b = -4 \iff 2b = 4 \iff b = 2\). 6. Die hinreichende Bedingung \(f'''(1) \neq 0\) ist mit \(f'''(x) = 24x + 6a\) erfüllt, da \(f'''(1) = 24 + 6(-\frac{8}{3}) = 24 - 16 = 8 \neq 0\).

\(a = -\frac{8}{3}\) und \(b = 2\)

- Welche Funktionen sind hier miteinander multipliziert? - Erinnerst du dich an die Ableitung der e-Funktion mit einem Faktor im Exponenten? - Was muss für die Steigung an einem Extrempunkt gelten? - Wann genau hat ein Punkt im Koordinatensystem die Eigenschaft, auf der \(y\)-Achse zu liegen?

1. Anwendung der Produktregel mit \(u(x) = 2x - t\) (\(u'(x) = 2\)) und \(v(x) = e^{0{,}5x}\) (\(v'(x) = 0{,}5 e^{0{,}5x}\) nach der Kettenregel): \(f_t'(x) = 2 \cdot e^{0{,}5x} + (2x - t) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (2 + x - 0{,}5t)\). 2. Notwendige Bedingung für ein Extremum: \(f_t'(x) = 0\). Da \(e^{0{,}5x} > 0\) für alle \(x\), muss gelten: \(2 + x - 0{,}5t = 0\). Dies führt zu \(x_E = 0{,}5t - 2\). Die hinreichende Bedingung \(f_t''(x_E) \neq 0\) ist erfüllt, da die Ableitung an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel aufweist. 3. Ein Punkt liegt auf der \(y\)-Achse, wenn seine \(x\)-Koordinate null ist. Setze \(x_E = 0\): \(0{,}5t - 2 = 0 \implies 0{,}5t = 2 \implies t = 4\).

1. \(f_t'(x) = (x + 2 - 0{,}5t) \cdot e^{0{,}5x}\) 2. \(x_E = 0{,}5t - 2\) 3. \(t = 4\)

- Denke daran, dass ein Parameter wie eine konstante Zahl behandelt wird, wenn du ableitest. - Wie beeinflusst das Vorzeichen des Parameters das Ergebnis der zweiten Ableitung an einer Extremstelle? - Was passiert mit den Extremstellen, wenn der Parameter genau null ist? - Erinnere dich an die hinreichenden Kriterien für die Art eines Extrempunktes.

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 6kx\), \(f_k''(x) = 6x - 6k\), \(f_k'''(x) = 6\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(3x(x - 2k) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: Für \(x_1 = 0\): \(f_k''(0) = -6k\). Wenn \(k > 0\), dann \(f_k''(0) < 0\) (Hochpunkt bei \((0|0)\)). Wenn \(k < 0\), dann \(f_k''(0) > 0\) (Tiefpunkt bei \((0|0)\)). Für \(x_2 = 2k\): \(f_k''(2k) = 6k\). Wenn \(k > 0\), dann \(f_k''(2k) > 0\) (Tiefpunkt bei \((2k|-4k^3)\)). Wenn \(k < 0\), dann \(f_k''(2k) < 0\) (Hochpunkt bei \((2k|-4k^3)\)). Für \(k = 0\) ist \(f_0(x) = x^3\), es liegt ein Sattelpunkt bei \((0|0)\) vor. 4. Wendepunkt: \(f_k''(x) = 0 \implies x = k\). Da \(f_k'''(k) = 6 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt bei \(W(k|-2k^3)\) vor.

a) Extrempunkte: Für \(k \neq 0\) liegen sie bei \(P_1(0|0)\) und \(P_2(2k|-4k^3)\). Wendepunkt: \(W(k|-2k^3)\). b) Für \(k > 0\) liegt bei \(x = 0\) ein relativer Hochpunkt vor. Für \(k < 0\) liegt bei \(x = 0\) ein relativer Tiefpunkt vor. Für \(k = 0\) liegt kein Extremum vor.

- Wann hat die Gleichung \(e^x = c\) eine Lösung für \(x\)? - Denk bei der Gleichung \(u^2 = v^2\) daran, dass es zwei Fälle für die Basis geben kann. - Was muss für die Steigung an einer Stelle gelten, wenn dort eine waagerechte Tangente vorliegt?

1. Die Ableitung lautet \(f_a'(x) = 2(a - e^x) \cdot (-e^x) = -2e^x(a - e^x)\). Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) führt auf \(e^x = a\). Da \(e^x > 0\), existiert eine Lösung nur für \(a > 0\). Diese lautet \(x = \ln(a)\). Die zweite Ableitung \(f_a''(x) = 4e^{2x} - 2ae^x\) ergibt an der Stelle \(x = \ln(a)\) den Wert \(f_a''(\ln(a)) = 4a^2 - 2a^2 = 2a^2 > 0\), was einen Tiefpunkt bestätigt. Der Funktionswert ist \(f_a(\ln(a)) = (a - a)^2 = 0\). Somit existiert für \(a > 0\) der Tiefpunkt \(T(\ln(a) \mid 0)\). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme: \((a_1 - e^x)^2 = (a_2 - e^x)^2\). Dies führt auf \(|a_1 - e^x| = |a_2 - e^x|\). Da \(a_1 \neq a_2\), muss \(a_1 - e^x = -(a_2 - e^x) = e^x - a_2\) gelten. Daraus folgt \(2e^x = a_1 + a_2\) bzw. \(e^x = \frac{a_1 + a_2}{2}\). Ein Schnittpunkt existiert also genau dann, wenn \(a_1 + a_2 > 0\) gilt. Die \(x\)-Koordinate ist \(x = \ln\left(\frac{a_1 + a_2}{2}\right)\). 3. Waagerechte Tangente bei \(x = 0\) bedeutet \(f_a'(0) = 0\). Einsetzen ergibt \(-2e^0(a - e^0) = -2(a - 1) = 0\), woraus \(a = 1\) folgt.

1. Ein Tiefpunkt existiert nur für \(a > 0\) bei \(T(\ln(a) \mid 0)\). 2. Bedingung: \(a_1 + a_2 > 0\); \(x\)-Koordinate: \(x = \ln\left(\frac{a_1 + a_2}{2}\right)\). 3. \(a = 1\).

- Welche Ableitung benötigst du, um Wendestellen zu untersuchen? - Denk daran, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) niemals null oder negativ wird. - Unter welcher Bedingung ist die Gleichung \(e^x = c\) für eine Konstante \(c\) lösbar? - Wie kannst du die Rechenregeln für Logarithmen nutzen, um den \(y\)-Wert zu vereinfachen?

1. Zur Bestimmung der Wendestellen wird die zweite Ableitung benötigt: \(f_a'(x) = e^x - 2a e^{2x}\) \(f_a''(x) = e^x - 4a e^{2x}\) Die notwendige Bedingung \(f_a''(x) = 0\) führt auf: \(e^x - 4a e^{2x} = 0 \iff e^x(1 - 4a e^x) = 0\) Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), muss \(1 - 4a e^x = 0\) gelten, woraus \(e^x = \frac{1}{4a}\) folgt. Diese Gleichung ist nur lösbar, wenn \(\frac{1}{4a} > 0\), also \(a > 0\). Da \(f_a''(x)\) an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel aufweist (da es sich um eine einfache Nullstelle der Form \(c \cdot (k - e^x)\) handelt), existiert für \(a > 0\) genau eine Wendestelle. 2. Berechnung der Koordinaten des Wendepunkts für \(a > 0\): Die \(x\)-Koordinate ist \(x_W = \ln\left(\frac{1}{4a}\right) = -\ln(4a)\). Einsetzen in \(f_a(x)\): \(y_W = f_a(x_W) = e^{\ln\left(\frac{1}{4a}\right)} - a \cdot \left(e^{\ln\left(\frac{1}{4a}\right)}\right)^2 = \frac{1}{4a} - a \cdot \left(\frac{1}{4a}\right)^2 = \frac{1}{4a} - \frac{a}{16a^2} = \frac{4}{16a} - \frac{1}{16a} = \frac{3}{16a}\). Der Wendepunkt ist somit \(W\left(-\ln(4a) \mid \frac{3}{16a}\right)\).

1. Die Bedingung \(f_a''(x) = 0\) führt zu \(e^x = \frac{1}{4a}\), was nur für \(a > 0\) eine Lösung besitzt. Ein Vorzeichenwechsel liegt vor. 2. Der Wendepunkt liegt bei \(W\left(-\ln(4a) \mid \frac{3}{16a}\right)\).

- Welche Gleichung musst du lösen, um mögliche Extremstellen zu finden? - Überlege dir, für welche Werte von \(a\) die Gleichung \(e^{2x} = a\) eine Lösung besitzt. - Wie hängen die Ableitungen \(f_a'(x)\) und \(f_a''(x)\) bei dieser speziellen Funktion zusammen? - Was sagt das Vorzeichen von \(a\) über die Existenz von Nullstellen der zweiten Ableitung aus?

1. Ableitungen bestimmen: \(f_a'(x) = e^x - a e^{-x}\) und \(f_a''(x) = e^x + a e^{-x}\). Die notwendige Bedingung für Extrema \(f_a'(x) = 0\) führt auf \(e^{2x} = a\). Diese Gleichung hat für \(a > 0\) genau eine Lösung \(x_E = \frac{1}{2} \ln(a)\) und für \(a < 0\) keine Lösung, da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt. Somit gibt es für \(a > 0\) genau eine Extremstelle und für \(a < 0\) keine. 2. Für \(a > 0\) gilt \(f_a''(x_E) = e^{\frac{1}{2}\ln(a)} + a e^{-\frac{1}{2}\ln(a)} = \sqrt{a} + \frac{a}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a} > 0\). Es liegt somit ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. Die y-Koordinate ist \(f_a(x_E) = \sqrt{a} + \frac{a}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a}\). Der Tiefpunkt ist \(T\left(\frac{1}{2}\ln(a) \mid 2\sqrt{a}\right)\). 3. Die notwendige Bedingung für Wendepunkte \(f_a''(x) = 0\) führt auf \(e^x + a e^{-x} = 0\), also \(e^{2x} = -a\). Da für \(a < 0\) der Ausdruck \(-a\) positiv ist, existiert genau eine Lösung \(x_W = \frac{1}{2} \ln(-a)\). Da die dritte Ableitung \(f_a'''(x) = e^x - a e^{-x}\) an dieser Stelle den Wert \(f_a'''(x_W) = \sqrt{-a} - \frac{a}{\sqrt{-a}} = 2\sqrt{-a} \neq 0\) annimmt, ist ein Wendepunkt nachgewiesen.

1. Für \(a > 0\) gibt es genau eine Extremstelle, für \(a < 0\) keine. 2. Tiefpunkt bei \(T\left(\frac{1}{2}\ln(a) \mid 2\sqrt{a}\right)\). 3. Die Bedingung \(f_a''(x) = 0\) ergibt für \(a < 0\) die einzige Lösung \(x_W = \frac{1}{2}\ln(-a)\), wobei \(f_a'''(x_W) \neq 0\) gilt.

- Überlege dir, welche Eigenschaft des Quadrats \(x^2\) für die Symmetrie verantwortlich ist. - Wann nimmt die natürliche Logarithmusfunktion den Wert Null an? - Denk bei der zweiten Ableitung an die Quotientenregel. - Ein Berühren der x-Achse bedeutet, dass an dieser Stelle sowohl der Funktionswert als auch die Steigung Null sein müssen.

1. Da \(f_k(-x) = \ln((-x)^2 + k) = \ln(x^2 + k) = f_k(x)\) gilt, sind alle Graphen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Für \(x \to \pm \infty\) strebt das Argument \(x^2 + k \to \infty\), woraus \(f_k(x) \to \infty\) folgt. 2. Nullstellenbedingung: \(\ln(x^2 + k) = 0 \iff x^2 + k = 1 \iff x^2 = 1 - k\). - Für \(0 < k < 1\) gibt es zwei Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{1 - k}\). - Für \(k = 1\) gibt es genau eine Nullstelle bei \(x = 0\). - Für \(k > 1\) gibt es keine Nullstellen, da \(x^2 = 1 - k < 0\) nicht lösbar ist. 3. Ableitungen: \(f_k'(x) = \frac{2x}{x^2 + k}\) und \(f_k''(x) = \frac{2(x^2 + k) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + k)^2} = \frac{2k - 2x^2}{(x^2 + k)^2}\). Bedingung für Wendepunkte: \(f_k''(x) = 0 \iff 2k - 2x^2 = 0 \iff x^2 = k \iff x = \pm \sqrt{k}\). Da der Zähler ein nach unten geöffneter Term zweiten Grades mit zwei einfachen Nullstellen ist, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel von \(f_k''(x)\) statt. Es existieren somit genau zwei Wendepunkte bei \(x_1 = \sqrt{k}\) und \(x_2 = -\sqrt{k}\). 4. Ein Berühren im Ursprung erfordert \(f_k(0) = 0\) und \(f_k'(0) = 0\). \(f_k(0) = \ln(k) = 0 \implies k = 1\). Überprüfung der Steigung: \(f_1'(0) = \frac{2 \cdot 0}{0^2 + 1} = 0\). Somit berührt der Graph für \(k = 1\) die \(x\)-Achse im Ursprung.

1. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(f_k(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\). 2. Zwei Nullstellen für \(0 < k < 1\); eine Nullstelle für \(k = 1\); keine Nullstellen für \(k > 1\). 3. Wendestellen bei \(x = \pm \sqrt{k}\). 4. \(k = 1\).

- Was muss für das Argument einer Logarithmusfunktion immer gelten? - Untersuche, was passiert, wenn sich \(x^2\) dem Wert \(a\) annähert. - Nutze die Kettenregel für die erste und die Quotientenregel für die zweite Ableitung. - Schau dir das Vorzeichen des Zählers der zweiten Ableitung genau an – kann dieser jemals Null werden?

1. Definitionsbereich: \(a - x^2 > 0 \iff x^2 < a \iff |x| < \sqrt{a}\). Damit ist \(D = ]-\sqrt{a}; \sqrt{a}[\). An den Rändern \(x \to \pm \sqrt{a}\) nähert sich das Argument \(a - x^2\) dem Wert \(0\) von oben an, daher gilt \(\lim_{x \to \pm \sqrt{a}} g_a(x) = -\infty\). Es liegen vertikale Asymptoten vor. 2. Erste Ableitung: \(g_a'(x) = \frac{-2x}{a - x^2}\). Extrempunktbedingung: \(g_a'(x) = 0 \iff -2x = 0 \iff x = 0\). Zweite Ableitung: \(g_a''(x) = \frac{-2(a - x^2) - (-2x)(-2x)}{(a - x^2)^2} = \frac{-2a + 2x^2 - 4x^2}{(a - x^2)^2} = \frac{-2a - 2x^2}{(a - x^2)^2}\). Einsetzen: \(g_a''(0) = \frac{-2a}{a^2} = -\frac{2}{a} < 0\) (da \(a > 0\)). Es liegt ein lokales (und globales) Maximum im Punkt \(H(0 \mid \ln a)\) vor. 3. Wendepunkte erfordern \(g_a''(x) = 0\). \(\frac{-2a - 2x^2}{(a - x^2)^2} = 0 \iff -2(a + x^2) = 0 \iff x^2 = -a\). Da \(a > 0\), ist \(-a\) negativ. Die Gleichung \(x^2 = -a\) besitzt im Reellen keine Lösung. Folglich gibt es keine Stellen mit \(g_a''(x) = 0\) und somit keine Wendepunkte.

1. \(D = ]-\sqrt{a}; \sqrt{a}[\); Funktionswerte streben gegen \(-\infty\). 2. Hochpunkt bei \(H(0 \mid \ln a)\). 3. Die Bedingung \(g_a''(x) = 0\) führt auf \(x^2 = -a\), was für \(a > 0\) keine reelle Lösung hat.

- Wie gehst du vor, wenn ein Produkt null ergeben soll? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass nur noch eine trigonometrische Funktion (z. B. der Tangens) vorkommt? - Erinnerst du dich an die notwendige Bedingung für Extrema? - Was passiert mit dem Parameter, wenn du die Ableitung gleich null setzt?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Ansatz \(f_a(x) = 0\) gewählt. Da \(a \neq 0\), folgt \(\sin x = \sqrt{3} \cos x\), was zu \(\tan x = \sqrt{3}\) führt. Im Intervall \([0; 2\pi]\) ergeben sich die Lösungen \(x_1 = \frac{1}{3}\pi\) und \(x_2 = \frac{4}{3}\pi\). 2. Für die Extremstellen wird die erste Ableitung \(f_a'(x) = a \cdot (\cos x + \sqrt{3} \sin x)\) gleich null gesetzt. Dies führt auf \(\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}\). Die Lösungen im Intervall sind \(x_{E1} = \frac{5}{6}\pi\) und \(x_{E2} = \frac{11}{6}\pi\). 3. Die Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(f_a''(x) = a \cdot (-\sin x + \sqrt{3} \cos x)\) zeigt für \(a > 0\) ein lokales Maximum bei \(x_{E1}\) und ein lokales Minimum bei \(x_{E2}\) (für \(a < 0\) umgekehrt). 4. Die Unabhängigkeit von \(a\) folgt daraus, dass in der Gleichung \(f_a'(x) = 0\) der Faktor \(a\) durch Division eliminiert werden kann, da \(a \neq 0\) vorausgesetzt ist. Die resultierende trigonometrische Gleichung für \(x\) enthält somit keinen Parameter mehr.

a) \(x_1 = \frac{1}{3}\pi\); \(x_2 = \frac{4}{3}\pi\) b) \(x_{E1} = \frac{5}{6}\pi\); \(x_{E2} = \frac{11}{6}\pi\) c) Bei der Lösung der Gleichung \(f_a'(x) = 0\) kann der Parameter \(a\) gekürzt werden, sodass die Stellen nur von der Struktur der trigonometrischen Terme abhängen.

- Erinnere dich an das Additionstheorem für die Sinusfunktion: \(\sin(x + \beta) = \sin(x)\cos(\beta) + \cos(x)\sin(\beta)\). - Wie hängen die Koeffizienten vor \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) mit der Amplitude eines zusammengesetzten harmonischen Signals zusammen? - Für den Phasenwinkel \(\phi\) ist es hilfreich, das Vorzeichen der Koeffizienten zu beachten, um den richtigen Quadranten zu bestimmen. - Überlege, wie du eine Gleichung mit einer Wurzel am besten nach der gesuchten Variablen auflöst.

1. Mithilfe der Additionstheoreme gilt \(A \cdot \sin(x + \phi) = A \cos(\phi) \cdot \sin(x) + A \sin(\phi) \cdot \cos(x)\). Durch Koeffizientenvergleich mit \(f_k(x)\) folgt \(A \cos(\phi) = k+2\) und \(A \sin(\phi) = k\). 2. Die Amplitude berechnet sich durch \(A(k) = \sqrt{(k+2)^2 + k^2}\). Vereinfacht ergibt dies \(A(k) = \sqrt{2k^2 + 4k + 4}\). Da der Radikand für alle \(k\) positiv ist (\(2(k+1)^2 + 2 > 0\)), existiert stets eine solche Darstellung. 3. Für \(k = 1\) ergibt sich \(A = \sqrt{2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 4} = \sqrt{10}\). 4. Bestimmung von \(\phi\) für \(k=1\): \(\cos(\phi) = \frac{3}{\sqrt{10}}\) und \(\sin(\phi) = \frac{1}{\sqrt{10}}\). Da beide Werte positiv sind, liegt \(\phi\) im ersten Quadranten: \(\phi = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \approx 0{,}32\). 5. Ansatz für die Amplitude \(\sqrt{20}\): \(\sqrt{2k^2 + 4k + 4} = \sqrt{20}\). Quadrieren führt auf \(2k^2 + 4k + 4 = 20\), also \(k^2 + 2k - 8 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt \(k_1 = 2\) und \(k_2 = -4\).

a) \(A(k) = \sqrt{2k^2 + 4k + 4}\) b) \(A = \sqrt{10} \approx 3{,}16\); \(\phi \approx 0{,}32\) c) \(k_1 = 2\); \(k_2 = -4\)

- Klammere in der Funktionsgleichung einen gemeinsamen Faktor aus, um die Nullstellen leichter zu finden. - Überlege, welche Werte die Kosinusfunktion im gegebenen Intervall annehmen kann. - Nutze für die Ableitung die Quotientenregel oder die bekannte Ableitung des Tangens. - Die Monotonie lässt sich über das Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmen. - Achte beim Integrieren auf die Stammfunktion des Tangens, die den natürlichen Logarithmus enthält.

1. Nullstellen: \(g_k(x) = \sin(x) - k \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sin(x) \cdot (1 - \frac{k}{\cos(x)}) = 0\). Daraus folgt \(\sin(x) = 0 \Rightarrow x = 0\) oder \(\cos(x) = k\). Für \(0 < k < 1\) gibt es genau eine weitere Lösung \(x = \arccos(k)\) in \(I\), also insgesamt zwei Nullstellen. Für \(k \ge 1\) gibt es nur die Nullstelle \(x = 0\), da \(\cos(x) \le 1\) und \(\cos(x) = 1\) nur für \(x=0\) gilt. 2. Monotonie (\(k=0{,}5\)): \(g_{0{,}5}'(x) = \cos(x) - \frac{0{,}5}{\cos^2(x)} = \frac{2\cos^3(x) - 1}{2\cos^2(x)}\). Extremstelle: \(2\cos^3(x) = 1 \Rightarrow \cos(x) = \sqrt[3]{0{,}5} \Rightarrow x \approx 0{,}654\). Da \(g_{0{,}5}'(0) = 0{,}5 > 0\) und der Graph stetig ist, ist \(g_{0{,}5}\) für \(x \in [0; 0{,}654]\) streng monoton steigend und für \(x \in [0{,}654; \frac{\pi}{2}[\) streng monoton fallend. Bei \(x \approx 0{,}654\) liegt ein Hochpunkt vor. 3. Flächeninhalt: Die Nullstellen für \(k=0{,}5\) sind \(x=0\) und \(x = \arccos(0{,}5) = \frac{\pi}{3}\). \(A = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin(x) - 0{,}5\tan(x)) \, dx = \left[ -\cos(x) + 0{,}5\ln(\cos(x)) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}\). \(A = (-\cos(\frac{\pi}{3}) + 0{,}5\ln(\cos(\frac{\pi}{3}))) - (-\cos(0) + 0{,}5\ln(\cos(0)))\). \(A = (-0{,}5 + 0{,}5\ln(0{,}5)) - (-1 + 0) = 0{,}5 + 0{,}5\ln(2^{-1}) = 0{,}5 - 0{,}5\ln(2)\).

a) Für \(0 < k < 1\) gibt es zwei Nullstellen; für \(k \ge 1\) gibt es eine Nullstelle (\(x=0\)). b) Streng monoton steigend für \(x \in [0; \arccos(\sqrt[3]{0{,}5})]\), danach streng monoton fallend; Hochpunkt bei \(x \approx 0{,}654\). c) \(A = 0{,}5 - 0{,}5\ln(2) \approx 0{,}153\).

- Welche mathematischen Bedingungen lassen sich aus den Formulierungen „schneidet die y-Achse“, „geht durch den Punkt“ und „hat die Steigung“ ableiten? - Leite die allgemeine Funktionsgleichung einmal ab, um die Bedingung für die Steigung nutzen zu können. - Setze die bekannten Werte für Sinus und Kosinus an den Stellen \(0\), \(\frac{\pi}{2}\) und \(\pi\) ein. - Du erhältst ein System aus linearen Gleichungen für die Unbekannten \(a\), \(b\) und \(c\).

1. Aufstellen der Bedingungen aus den gegebenen Eigenschaften: \(f(0) = 4\), \(f'(0) = 2\) und \(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\). 2. Berechnung der Ableitung: \(f'(x) = a \cdot \cos x - 2b \cdot \sin(2x)\). 3. Einsetzen von \(x = 0\) in die Ableitung: \(f'(0) = a \cdot 1 - 2b \cdot 0 = 2\), woraus \(a = 2\) folgt. 4. Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung: \(f(0) = a \cdot 0 + b \cdot 1 + c = 4\), also \(b + c = 4\). 5. Einsetzen des Punktes \(P\) mit \(a = 2\): \(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + b \cdot \cos(\pi) + c = 1\). Mit \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) und \(\cos(\pi) = -1\) ergibt sich \(2 - b + c = 1\), also \(-b + c = -1\). 6. Lösen des linearen Gleichungssystems: Aus \(b + c = 4\) und \(-b + c = -1\) folgt durch Addition \(2c = 3\), also \(c = 1{,}5\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(b + 1{,}5 = 4\), also \(b = 2{,}5\). 7. Die gesuchten Parameter sind \(a = 2\), \(b = 2{,}5\) und \(c = 1{,}5\).

Die Parameter lauten \(a = 2\), \(b = 2{,}5\) und \(c = 1{,}5\). Die Funktion ist \(f(x) = 2 \sin x + 2{,}5 \cos(2x) + 1{,}5\).

- Überlege dir, wie sich eine Änderung von \(k\) auf die Lage des Graphen im Koordinatensystem auswirkt. - Was bedeutet es für den Funktionswert an einer Stelle, wenn der Graph dort die \(x\)-Achse berührt? - Skizziere grob den Verlauf einer Funktion 4. Grades mit zwei Tiefpunkten und einem Hochpunkt. Wie viele Nullstellen sind jeweils möglich, wenn du den Graphen nach oben oder unten verschiebst? - Wann liegt ein Punkt unterhalb, wann oberhalb und wann genau auf der \(x\)-Achse?

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 4x^3 - 20x\) und \(f_k''(x) = 12x^2 - 20\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f_k'(x) = 0\) liefert \(4x(x^2 - 5) = 0\), also \(x_1 = 0\), \(x_2 = \sqrt{5}\) und \(x_3 = -\sqrt{5}\). 3. Art der Extrema prüfen: \(f_k''(0) = -20 < 0 \Rightarrow H(0|k)\) ist ein Hochpunkt. \(f_k''(\pm \sqrt{5}) = 40 > 0 \Rightarrow T_1(-\sqrt{5}|k-25)\) und \(T_2(\sqrt{5}|k-25)\) sind Tiefpunkte. 4. Bedingung für Berühren der \(x\)-Achse in den Tiefpunkten: Der Funktionswert an den Tiefpunkten muss Null sein. \(k - 25 = 0 \Rightarrow k = 25\). 5. Drei verschiedene Nullstellen treten auf, wenn der Hochpunkt genau auf der \(x\)-Achse liegt und die Tiefpunkte darunter. Dies ist für \(k = 0\) der Fall (Nullstellen bei \(0\) und \(\pm \sqrt{10}\)). 6. Keine Lösung der Gleichung \(f_k(x) = 0\) bedeutet, dass der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse verlaufen muss. Da die Tiefpunkte die absolut kleinsten Werte annehmen, muss gelten: \(k - 25 > 0\), also \(k > 25\).

a) Hochpunkt \(H(0|k)\), Tiefpunkte \(T_1(-\sqrt{5}|k-25)\) und \(T_2(\sqrt{5}|k-25)\). b) \(k = 25\). c) Für \(k = 0\). d) Für \(k > 25\).

- Kannst du aus einem Term wie \(x^2 - 2a = 0\) immer die Wurzel ziehen? Was muss für \(a\) gelten? - Nutze die Symmetrie des Funktionsterms (nur gerade Exponenten), um dir die Arbeit zu erleichtern. - Unterscheide systematisch die Fälle \(a > 0\) und \(a < 0\). - Was bedeutet es für die Existenz von Punkten, wenn unter einer Quadratwurzel ein negativer Wert steht?

1. Nullstellen: \(x^2(x^2 - 2a) = 0\). Für alle \(a \neq 0\) ist \(x=0\) eine Nullstelle. Weitere Nullstellen \(x = \pm \sqrt{2a}\) existieren nur, falls \(a > 0\). 2. Ableitungen: \(h_a'(x) = 4x^3 - 4ax\) und \(h_a''(x) = 12x^2 - 4a\). 3. Extrempunkte: Notwendige Bedingung \(h_a'(x) = 0 \implies 4x(x^2 - a) = 0\). Kandidat \(x=0\) existiert immer. Die Stellen \(x = \pm \sqrt{a}\) existieren nur für \(a > 0\). 4. Art der Extrema: \(h_a''(0) = -4a\). Fall \(a < 0\): \(h_a''(0) > 0 \implies T(0|0)\). Fall \(a > 0\): \(h_a''(0) < 0 \implies H(0|0)\) und \(h_a''(\pm \sqrt{a}) = 12a - 4a = 8a > 0 \implies T(\pm \sqrt{a}|-a^2)\). 5. Wendepunkte: Notwendige Bedingung \(h_a''(x) = 0 \implies x^2 = \frac{a}{3}\). Reelle Lösungen \(x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}\) existieren nur für \(a > 0\). Da \(h_a'''(x) = 24x\) an diesen Stellen ungleich Null ist, liegen Wendepunkte vor. Koordinaten für \(a > 0\): \(W\left(\pm \sqrt{\frac{a}{3}} \big| -\frac{5}{9}a^2\right)\). Für \(a < 0\) gibt es keine Wendepunkte.

Nullstellen: \(x=0\); zusätzlich \(x = \pm \sqrt{2a}\) falls \(a > 0\). Extrempunkte für \(a < 0\): Tiefpunkt \(T(0|0)\). Extrempunkte für \(a > 0\): Hochpunkt \(H(0|0)\), Tiefpunkte \(T_1(\sqrt{a}|-a^2)\) und \(T_2(-\sqrt{a}|-a^2)\). Wendepunkte: Nur für \(a > 0\) bei \(W_{1,2}\left(\pm \sqrt{\frac{a}{3}} \big| -\frac{5}{9}a^2\right)\); für \(a < 0\) keine Wendepunkte.

- Nutze die Produktregel für die Ableitungen und klammere \(e^x\) sowie gemeinsame Faktoren so oft wie möglich aus. - Die Nullstellen eines Produkts findest du, indem du jeden Faktor einzeln gleich Null setzt. - Überlege dir, ob \(e^x\) jemals Null werden kann. - Für die Wendestellen musst du eine quadratische Gleichung lösen, die den Parameter \(k\) enthält.

1. Nullstellen: Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), folgt aus \((x-k)^2 \cdot e^x = 0\) direkt \(x = k\). 2. Ableitungen mit Produktregel: \(g_k'(x) = 2(x-k)e^x + (x-k)^2e^x = (x-k)(2 + x - k)e^x = (x-k)(x-k+2)e^x\). Zweite Ableitung: \(g_k''(x) = (x-k+2)e^x + (x-k)e^x + (x-k)(x-k+2)e^x = (x^2 + (4-2k)x + k^2-4k+2)e^x\). 3. Extrempunkte: \(g_k'(x) = 0 \implies x_1 = k, x_2 = k-2\). - \(g_k''(k) = (k^2 + 4k - 2k^2 + k^2 - 4k + 2)e^k = 2e^k > 0 \implies TP(k|0)\). - \(g_k''(k-2) = ((k-2)^2 + (4-2k)(k-2) + k^2 - 4k + 2)e^{k-2} = (k^2-4k+4 + 4k-8-2k^2+4k + k^2-4k+2)e^{k-2} = -2e^{k-2} < 0 \implies HP(k-2|4e^{k-2})\). 4. Wendestellen: \(x^2 + (4-2k)x + k^2-4k+2 = 0\) mit der p-q-Formel lösen: \(x = \frac{-(4-2k) \pm \sqrt{(4-2k)^2 - 4(k^2-4k+2)}}{2} = \frac{2k-4 \pm \sqrt{16-16k+4k^2-4k^2+16k-8}}{2} = \frac{2k-4 \pm \sqrt{8}}{2} = k - 2 \pm \sqrt{2}\). Da \(g_k'''(x) \neq 0\) an diesen Stellen, liegen Wendestellen vor.

Nullstellen: \(x = k\). Extrempunkte: \(TP(k|0)\) und \(HP(k-2|4e^{k-2})\). Wendestellen: \(x_{W1,2} = k - 2 \pm \sqrt{2}\).

- Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Nutze eine geeignete Substitution, um die Gleichung in eine bekannte Form zu bringen. - Welchen Wertebereich hat die Exponentialfunktion? - Wann hat eine quadratische Gleichung keine positiven Lösungen?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(0 | 1)\) in die Funktionsgleichung: \(e^{2 \cdot 0} - t \cdot e^0 + 4 = 1\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(1 - t + 4 = 1\), woraus \(5 - t = 1\) und somit \(t = 4\) folgt. 3. Untersuchung der Nullstellen: Die Gleichung \(e^{2x} - t \cdot e^x + 4 = 0\) wird mit \(u = e^x\) (\(u > 0\)) substituiert zu \(u^2 - t \cdot u + 4 = 0\). 4. Die quadratische Gleichung hat keine reellen Lösungen für \(u\), wenn die Diskriminante \(D = t^2 - 16 < 0\) ist, also für \(-4 < t < 4\). 5. Falls \(D \ge 0\), existieren Lösungen für \(u\). Damit \(f_t\) keine Nullstellen hat, dürfen diese Lösungen nicht positiv sein. Die Lösungen sind \(u_{1,2} = \frac{t \pm \sqrt{t^2-16}}{2}\). Da das Produkt der Lösungen \(u_1 \cdot u_2 = 4\) positiv ist, haben beide dasselbe Vorzeichen. Sie sind beide nicht positiv, wenn ihre Summe \(u_1 + u_2 = t \le 0\) ist. 6. Kombination der Bedingungen: Für \(t < 4\) hat die Gleichung entweder keine reellen Lösungen für \(u\) oder nur Lösungen mit \(u \le 0\). Da \(u = e^x\) stets positiv ist, besitzt \(f_t\) für alle \(t < 4\) keine Nullstellen.

a) \(t = 4\) b) \(t < 4\)

- Wenn du eine Funktion in eine andere einsetzt, ersetzt du jedes \(x\) der äußeren Funktion durch den gesamten Term der inneren Funktion. - Nutze die Kettenregel für die Ableitung der Exponentialfunktion. - Denke daran, dass eine Potenz mit der Basis \(e\) niemals null wird. - Wie hängen der \(y\)-Wert eines Punktes und eine Geradengleichung der Form \(y = c\) zusammen?

1. Bildung der zusammengesetzten Funktion: \(h_k(x) = f(g_k(x)) = e^{-x^2 + k}\). 2. Berechnung der ersten Ableitung mittels Kettenregel: \(h_k'(x) = e^{-x^2 + k} \cdot (-2x) = -2x \cdot e^{-x^2 + k}\). 3. Bestimmung der Extremstellen durch \(h_k'(x) = 0\): Da \(e^{-x^2 + k} > 0\) für alle \(x\), folgt \(-2x = 0\), also \(x_E = 0\). 4. Prüfung der Art des Extremums: \(h_k''(x) = -2 \cdot e^{-x^2 + k} + (-2x) \cdot (-2x \cdot e^{-x^2 + k}) = e^{-x^2 + k} \cdot (4x^2 - 2)\). Für \(x = 0\) ergibt sich \(h_k''(0) = -2e^k < 0\), somit liegt ein Hochpunkt vor. 5. \(y\)-Koordinate des Hochpunktes: \(h_k(0) = e^{-0^2 + k} = e^k\). Der Hochpunkt ist \(H(0 | e^k)\). 6. Bedingung für \(k\): Der Hochpunkt liegt auf \(y = 4\), wenn \(e^k = 4\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = \ln(4)\).

a) \(h_k(x) = e^{-x^2 + k}\) b) \(H(0 | e^k)\) c) \(k = \ln(4) \approx 1{,}386\)

- Nutze die Produktregel und die Kettenregel zur Bestimmung der Ableitungen. - Forme die Gleichung für die Schnittpunkte so um, dass du ein Produkt erhältst, bei dem ein Faktor \(x\) ist. - Untersuche die Hilfsfunktion \(w(x) = \frac{h(x)}{x}\) auf ihre Extremwerte, um die Anzahl der Lösungen für den zweiten Faktor zu bestimmen. - Achte darauf, ob der Ursprung als Lösung in den verschiedenen Fällen mehrfach oder einfach gezählt wird.

1. Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: \(h'(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x} + x^2 \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5x} = e^{-0{,}5x} \cdot (2x - 0{,}5x^2)\). 2. Nullstellen der Ableitung: \(h'(x) = 0 \iff x(2 - 0{,}5x) = 0\). Da \(x > 0\) für einen Hochpunkt im Inneren gesucht ist: \(x = 4\). 3. Funktionswert: \(h(4) = 4^2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 4} = 16 \cdot e^{-2}\). Der Hochpunkt liegt bei \((4 | 16 e^{-2})\). 4. Schnittpunkte \(x^2 e^{-0{,}5x} = kx \iff x(x e^{-0{,}5x} - k) = 0\). Eine Lösung ist stets \(x = 0\). 5. Untersuchung von \(w(x) = x e^{-0{,}5x}\): \(w'(x) = (1 - 0{,}5x) e^{-0{,}5x}\). Maximum bei \(x = 2\) mit \(w(2) = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}\). 6. Für \(k \in ]0; \frac{2}{e}[\) hat \(w(x) = k\) zwei positive Lösungen, insgesamt also 3 Schnittpunkte. Für \(k = \frac{2}{e}\) gibt es zwei Lösungen (\(x=0\) und \(x=2\)). In allen anderen Fällen (einschließlich \(k=0\), da dort nur \(x=0\) doppelte Nullstelle ist) gibt es nur den Schnittpunkt im Ursprung.

a) Hochpunkt \(H(4 | 16 e^{-2})\). b) Für \(k \in ]0; \frac{2}{e}[\): 3 Schnittpunkte; für \(k = \frac{2}{e}\): 2 Schnittpunkte; für \(k \le 0\) oder \(k > \frac{2}{e}\): 1 Schnittpunkt.

- Wo genau auf der \(x\)-Achse befindet sich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Wenn eine Gerade mit der \(y\)-Achse einen Winkel von \(45^\circ\) einschließt, welchen Winkel bildet sie dann mit der \(x\)-Achse? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Neigungswinkel einer Tangente und ihrer Steigung. - Achte auf die Einschränkungen für die Parameter in der Aufgabenstellung.

1. Bestimmung von \(a\) über den \(y\)-Achsenabschnitt: \(f_{a,k}(0) = (0 + a) \cdot e^0 = a\). Da der Schnittpunkt bei \(y=3\) liegt, folgt \(a = 3\). 2. Ableitung der Funktion mit der Produkt- und Kettenregel: \(f_{a,k}'(x) = 1 \cdot e^{kx} + (x + a) \cdot k \cdot e^{kx} = (1 + kx + ak) \cdot e^{kx}\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x=0\): \(f_{a,k}'(0) = (1 + 0 + 3k) \cdot e^0 = 1 + 3k\). 4. Auswertung der Winkelbedingung: Ein Winkel von \(45^\circ\) zur \(y\)-Achse bedeutet, dass die Tangente auch einen Winkel von \(45^\circ\) (oder \(-45^\circ\)) zur \(x\)-Achse hat. Daraus folgt für die Steigung \(m = \tan(45^\circ) = 1\) oder \(m = \tan(-45^\circ) = -1\). 5. Fallunterscheidung für \(k\): Fall 1: \(1 + 3k = 1 \Rightarrow 3k = 0 \Rightarrow k = 0\). Dieser Wert ist laut Aufgabenstellung ausgeschlossen. Fall 2: \(1 + 3k = -1 \Rightarrow 3k = -2 \Rightarrow k = -\frac{2}{3}\). 6. Ergebnis: Der Parameter \(a\) ist \(3\) und der Parameter \(k\) ist \(-\frac{2}{3}\).

Die gesuchten Werte sind \(a = 3\) und \(k = -\frac{2}{3}\).

- Behandle \(k\) beim Ableiten wie eine ganz normale positive Zahl. - Vergiss beim Lösen der Gleichung für die Wendestellen nicht, dass es zwei Lösungen für \(x^2 = a\) geben kann. - Die Steigung einer Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Setze den Term für die Steigung mit dem geforderten Wert gleich und löse nach \(k\) auf.

1. Ableitungen: \(f_k'(x) = 2kx \cdot e^{1-x^2}\) und \(f_k''(x) = 2k \cdot e^{1-x^2} \cdot (1 - 2x^2)\). 2. Extrempunkt: \(f_k'(x) = 0 \Rightarrow x = 0\). Da \(k > 0\) und \(e^{1-0^2} = e\), ist \(f_k''(0) = 2ke > 0\). Es liegt ein Tiefpunkt bei \(T(0|-ke)\) vor. 3. Wendepunkte: \(f_k''(x) = 0 \Rightarrow 1 - 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x_W = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\). Funktionswerte: \(f_k(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}) = -k \cdot e^{1 - \frac{1}{2}} = -k\sqrt{e}\). Die Wendepunkte sind \(W_{1,2}(\pm \frac{1}{\sqrt{2}} | -k\sqrt{e})\). 4. Tangentensteigung: Die Steigung an der Stelle \(x_W = \frac{1}{\sqrt{2}}\) ist \(m = f_k'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2k \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{2} \cdot k \cdot \sqrt{e} = k\sqrt{2e}\). 5. Bedingung \(m = 1\): \(k\sqrt{2e} = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{2e}}\).

a) Tiefpunkt \(T(0|-ke)\). b) Wendepunkte \(W_{1,2}(\pm \frac{1}{\sqrt{2}} | -k\sqrt{e})\). c) \(k = \frac{1}{\sqrt{2e}}\).

- Denke an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von Funktionen mit \(e\)-Termen. - Wann hat eine quadratische Gleichung zwei, eine oder gar keine Lösung? - Ein lokaler Extrempunkt setzt voraus, dass die erste Ableitung an dieser Stelle ihr Vorzeichen wechselt. - Wie hängen das Vorzeichen der Ableitung und das Steigungsverhalten des Graphen zusammen?

1. Ableitung von \(f_a\) bestimmen: Unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(f_a'(x) = 2x \cdot e^{-x} + (x^2 + a) \cdot (-e^{-x}) = (-x^2 + 2x - a) \cdot e^{-x}\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen \(f_a'(x) = 0\): Da \(e^{-x} > 0\), muss die quadratische Gleichung \(-x^2 + 2x - a = 0\) bzw. \(x^2 - 2x + a = 0\) gelöst werden. 3. Diskriminante untersuchen: \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 4 - 4a\). - Für \(a < 1\) ist \(D > 0\): Es existieren zwei verschiedene reelle Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, also zwei lokale Extremstellen. - Für \(a = 1\) ist \(D = 0\): Es gibt eine doppelte Nullstelle bei \(x = 1\). Da die Parabel \(-x^2 + 2x - 1 = -(x-1)^2\) ihren Scheitelpunkt auf der x-Achse hat, findet kein Vorzeichenwechsel statt (Sattelpunkt); somit keine Extremstelle. - Für \(a > 1\) ist \(D < 0\): Es gibt keine reellen Nullstellen und somit keine Extremstellen. 4. Analyse für \(a = -3\): Die Ableitung ist \(f_{-3}'(x) = (-x^2 + 2x + 3) \cdot e^{-x}\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 5. Monotonie von \(f_{-3}\): Da der quadratische Term eine nach unten geöffnete Parabel beschreibt, ist \(f_{-3}'(x) < 0\) für \(x \in (-\infty; -1)\) und \(x \in (3; \infty)\) (streng monoton fallend) sowie \(f_{-3}'(x) > 0\) für \(x \in (-1; 3)\) (streng monoton steigend). 6. Extrempunkte berechnen: - Tiefpunkt bei \(x = -1\): \(f_{-3}(-1) = ((-1)^2 - 3) \cdot e^1 = -2e\). Punkt: \(T(-1 \mid -2e)\). - Hochpunkt bei \(x = 3\): \(f_{-3}(3) = (3^2 - 3) \cdot e^{-3} = 6e^{-3}\). Punkt: \(H(3 \mid 6e^{-3})\).

a) Für \(a < 1\) besitzt die Funktion zwei lokale Extremstellen. Für \(a \ge 1\) besitzt sie keine lokalen Extremstellen. b) Die Funktion \(f_{-3}\) ist im Intervall \([-1; 3]\) streng monoton steigend und in den Intervallen \((-\infty; -1]\) sowie \([3; \infty)\) streng monoton fallend. Die Extrempunkte sind \(T(-1 \mid -2e)\) und \(H(3 \mid 6e^{-3})\).

- Leite die Funktion schrittweise ab und achte beim Vereinfachen der zweiten Ableitung darauf, den Zähler auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Beim Lösen nach \(a\) kann es hilfreich sein, die Gleichung durch Quadrieren von der Wurzel zu befreien. - Für die Tangentengleichung benötigst du sowohl den Funktionswert als auch den Wert der ersten Ableitung an der betrachteten Stelle.

1. Ableitungen: \(g_a'(x) = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + a}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + a}}\). Die zweite Ableitung ergibt sich über die Quotientenregel zu \(g_a''(x) = \frac{2\sqrt{2x^2+a} - 2x \cdot \frac{2x}{\sqrt{2x^2+a}}}{2x^2+a} = \frac{2(2x^2+a) - 4x^2}{(2x^2+a)^{3/2}} = \frac{2a}{(2x^2+a)^{3/2}}\). 2. Bedingung \(g_a''(1) = 0{,}5\): \(\frac{2a}{(2 + a)^{3/2}} = 0{,}5 \Leftrightarrow 4a = (2 + a)^{3/2}\). Quadrieren führt zu \(16a^2 = (2 + a)^3\). Durch systematisches Probieren oder Lösen erkennt man \(a = 2\), da \(16 \cdot 4 = 64\) und \((2 + 2)^3 = 64\). 3. Für \(a = 1\) ist \(g_1(2) = \sqrt{2 \cdot 2^2 + 1} = 3\). Die Steigung ist \(g_1'(2) = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2 \cdot 4 + 1}} = \frac{4}{3}\). 4. Die Tangentengleichung lautet \(y = \frac{4}{3}(x - 2) + 3\), was zu \(y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\) vereinfacht wird.

a) Nachweis über Quotientenregel: \(g_a''(x) = \frac{2a}{(2x^2 + a)^{3/2}}\) b) \(a = 2\) c) \(y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\)

- Wann ist ein Ausdruck unter einer Wurzel im Nenner mathematisch zulässig? - Betrachte für den Definitionsbereich die Ungleichung \(1 - ax^2 > 0\). - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Zähler konstant ist und der Nenner gegen Null geht? - Nutze für die Ableitung entweder die Quotientenregel oder schreibe die Funktion als Potenz mit negativem Exponenten um. - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung links und rechts der Nullstelle.

1. Definitionsbereich: Es muss \(1 - ax^2 > 0\) gelten. Fall \(a < 0\): Da \(-ax^2 \geq 0\), ist \(1 - ax^2 \geq 1 > 0\) für alle \(x\), also \(D_a = \mathbb{R}\). Fall \(a > 0\): \(ax^2 < 1 \iff x^2 < \frac{1}{a} \iff |x| < \frac{1}{\sqrt{a}}\), also \(D_a = ]-\frac{1}{\sqrt{a}}; \frac{1}{\sqrt{a}}[\). 2. Symmetrie: \(g_a(-x) = \frac{a}{\sqrt{1 - a(-x)^2}} = \frac{a}{\sqrt{1 - ax^2}} = g_a(x)\). Somit liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor. 3. Ränder (\(a > 0\)): Für \(x \to \pm \frac{1}{\sqrt{a}}\) nähert sich der Radikand \(1 - ax^2\) von oben der Null an. Da \(a > 0\), gilt \(\lim_{x \to \pm \frac{1}{\sqrt{a}}} g_a(x) = +\infty\). 4. Ableitung: Mit \(g_a(x) = a \cdot (1 - ax^2)^{-1/2}\) folgt über die Kettenregel \(g_a'(x) = a \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (1 - ax^2)^{-3/2} \cdot (-2ax) = \frac{a^2 x}{(1 - ax^2)^{3/2}}\). 5. Minimum: Es gilt \(g_a'(0) = 0\). Da der Nenner \((1-ax^2)^{3/2}\) und der Faktor \(a^2\) im Definitionsbereich stets positiv sind, wird das Vorzeichen der Ableitung nur durch \(x\) bestimmt. Für \(x < 0\) ist \(g_a'(x) < 0\) (streng monoton fallend) und für \(x > 0\) ist \(g_a'(x) > 0\) (streng monoton steigend). Somit liegt bei \(x=0\) ein lokales Minimum vor.

a) Für \(a < 0\): \(D_a = \mathbb{R}\); für \(a > 0\): \(D_a = ]-\frac{1}{\sqrt{a}}; \frac{1}{\sqrt{a}}[\). b) Nachweis über \(g_a(-x) = g_a(x)\). c) \(\lim_{x \to \pm \frac{1}{\sqrt{a}}} g_a(x) = +\infty\). d) \(g_a'(x) = \frac{a^2 x}{(1 - ax^2)^{3/2}}\); Minimum bei \(x=0\), da \(g_a'(0)=0\) und Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\).

- Kann der Ausdruck unter der Wurzel für irgendein \(x\) negativ werden? - Erinnere dich daran, dass die zweite Ableitung die Ableitung der ersten Ableitung ist. - Verwende die Quotientenregel oder schreibe den Term in eine Potenzform um, um die Ableitungen zu berechnen. - Vereinfache den Term der zweiten Ableitung so weit wie möglich, bevor du den Wert für \(x\) einsetzt.

1. Da \(x^2 \ge 0\) und \(k^2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist der Radikand \(x^2 + k^2\) stets positiv. Somit ist \(D_k = \mathbb{R}\). 2. Erste Ableitung mit Kettenregel: \(g_k'(x) = \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + k^2}} \cdot 2x = \frac{x}{k\sqrt{x^2 + k^2}}\). 3. Zweite Ableitung mit Quotientenregel oder Produktregel: \(g_k''(x) = \frac{1}{k} \cdot \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + k^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + k^2}}}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k} \cdot \frac{x^2 + k^2 - x^2}{(x^2 + k^2)^{1{,}5}} = \frac{k}{(x^2 + k^2)^{1{,}5}}\). 4. Bedingung einsetzen: \(g_k''(0) = \frac{k}{(0^2 + k^2)^{1{,}5}} = \frac{k}{k^3} = \frac{1}{k^2}\). 5. Gleichung lösen: \(\frac{1}{k^2} = 4 \implies k^2 = 0{,}25\). Da \(k > 0\), ergibt sich \(k = 0{,}5\).

a) \(D_k = \mathbb{R}\) b) \(g_k''(x) = \frac{k}{(x^2 + k^2)^{1{,}5}}\) oder \(g_k''(x) = \frac{k}{\sqrt{(x^2 + k^2)^3}}\) c) \(k = 0{,}5\)

- Erinnere dich an die Wachstumsgeschwindigkeiten von Logarithmus- und Potenzfunktionen für sehr große \(x\). - Wende die Quotientenregel sorgfältig an, um die Ableitung zu bestimmen. - Um die Ortskurve zu finden, kannst du versuchen, den Parameter \(t\) aus den Koordinatengleichungen zu eliminieren. - Gibt es eine einfache Beziehung zwischen der \(x\)- und der \(y\)-Koordinate des Hochpunkts?

1. Grenzwerte bestimmen: Für \(x \to 0^+\) strebt der Zähler gegen \(-\infty\) und der Nenner gegen \(0^+\), also \(h_t(x) \to -\infty\). Senkrechte Asymptote: \(x = 0\). Für \(x \to \infty\) dominiert die lineare Funktion im Nenner den Logarithmus im Zähler, es gilt \(h_t(x) \to 0\). Waagerechte Asymptote: \(y = 0\). 2. Ableitung bilden: Mit der Quotientenregel ergibt sich \(h_t'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (\ln(x) + t) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x) - t}{x^2}\). 3. Extremstelle berechnen: \(h_t'(x) = 0 \implies \ln(x) = 1 - t \implies x = e^{1-t}\). Ein Vorzeichenwechselkriterium oder die zweite Ableitung bestätigt den Hochpunkt. 4. \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(h_t(e^{1-t}) = \frac{\ln(e^{1-t}) + t}{e^{1-t}} = \frac{1 - t + t}{e^{1-t}} = \frac{1}{e^{1-t}}\). Der Hochpunkt ist \(H_t(e^{1-t} \mid e^{t-1})\). 5. Ortskurve bestimmen: Mit \(x = e^{1-t}\) und \(y = \frac{1}{e^{1-t}}\) folgt durch Substitution direkt \(y = \frac{1}{x}\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); waagerechte Asymptote: \(y = 0\). b) Hochpunkt \(H_t(e^{1-t} \mid e^{t-1})\). c) Die Gleichung der Ortskurve lautet \(y = \frac{1}{x}\).

- Nutze die Koordinaten des Punktes \(P\) und die Information über die Tangente, um zwei Gleichungen für \(a\) und \(b\) aufzustellen. - Erinnere dich daran, dass \(\ln(e) = 1\) ist. - Welcher Teilterm der Funktion „wächst“ schneller, wenn \(x\) sehr groß wird: ein Logarithmus oder eine Potenz? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung die Art eines Extrempunktes überprüfen?

1. Gleichungssystem aufstellen: Aus \(P(e | 1) \in G_g\) folgt \(g(e) = a \cdot \ln(e) + b \cdot e^2 = a + b e^2 = 1\). Die Ableitung ist \(g'(x) = \frac{a}{x} + 2bx\). Aus der waagerechten Tangente folgt \(g'(e) = \frac{a}{e} + 2be = 0\), was äquivalent zu \(a + 2be^2 = 0\) ist. 2. Parameter berechnen: Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung liefert \(be^2 = -1\), also \(b = -e^{-2} = -\frac{1}{e^2}\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(a - 1 = 1\), also \(a = 2\). 3. Grenzwerte untersuchen: Für \(x \to 0^+\) gilt \(2 \ln(x) \to -\infty\) und \(-\frac{1}{e^2}x^2 \to 0\), also \(g(x) \to -\infty\). Für \(x \to \infty\) dominiert das quadratische Glied mit negativem Koeffizienten das logarithmische Glied, also \(\lim_{x \to \infty} x^2 \left( \frac{2 \ln(x)}{x^2} - \frac{1}{e^2} \right) = -\infty\). 4. Nachweis des Hochpunkts: Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = -2x^{-2} - 2e^{-2}\). Einsetzen von \(x = e\) ergibt \(g''(e) = -\frac{2}{e^2} - \frac{2}{e^2} = -\frac{4}{e^2}\). Da \(g''(e) < 0\), liegt ein lokaler Hochpunkt vor.

a) \(a = 2\); \(b = -\frac{1}{e^2}\) b) \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty\) c) Da \(g'(e) = 0\) und \(g''(e) = -\frac{4}{e^2} < 0\), ist \(P\) ein lokaler Hochpunkt.

- Was muss mit dem Exponenten einer Exponentialfunktion passieren, damit der gesamte Ausdruck für sehr große \(x\)-Werte gegen Null geht? - Welche Art von ganzrationalen Funktionen (Polynomen) sorgt dafür, dass ein Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse verläuft? - Wie hängen der Parameter \(c\) und die waagerechte Asymptote zusammen? - Nutze die Bedingungen für den Tiefpunkt, um die verbleibenden Unbekannten zu berechnen und überprüfe dein Ergebnis mithilfe der Ableitungen.

1. Für die waagerechte Asymptote \(y = 1\) muss der Term \(a \cdot e^{g(x)}\) für \(x \to \infty\) gegen Null streben. Dies wird erreicht, wenn \(c = 1\) gewählt wird und \(g(x)\) für große \(x\) gegen \(-\infty\) strebt. 2. Die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse erfordert \(h(x) = h(-x)\). Dies ist erfüllt, wenn \(g(x)\) eine gerade Funktion ist, zum Beispiel \(g(x) = -x^2\). 3. Der Tiefpunkt bei \(x = 0\) mit \(h(0) = -1\) führt zur Gleichung \(a \cdot e^{g(0)} + 1 = -1\). Mit \(g(0) = 0\) ergibt sich \(a \cdot 1 + 1 = -1\), also \(a = -2\). 4. Überprüfung der Extremstelle: \(h(x) = -2e^{-x^2} + 1\). Die Ableitung \(h'(x) = -2e^{-x^2} \cdot (-2x) = 4xe^{-x^2}\) hat bei \(x = 0\) eine Nullstelle. Die zweite Ableitung \(h''(x) = 4e^{-x^2} + 4x(-2xe^{-x^2})\) ergibt \(h''(0) = 4 > 0\), was die Tiefpunkteigenschaft bestätigt.

Eine mögliche Funktion ist \(h(x) = -2e^{-x^2} + 1\). Dabei ist \(a = -2\), \(c = 1\) und \(g(x) = -x^2\).

- Wann hat ein Produkt aus zwei Termen den Wert Null? - Was sagt die erste Ableitung über die Steigung des Graphen aus? - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung in Abhängigkeit von ihrer Diskriminante haben? - Ein Wendepunkt setzt voraus, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle ihr Vorzeichen ändert. Was bedeutet das für den Term in der Klammer?

1. Nullstellenbestimmung: Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), müssen die Nullstellen von \(x^2 - k = 0\) gefunden werden. Für \(k < 0\) gibt es keine Nullstellen. Für \(k = 0\) gibt es die doppelte Nullstelle \(x = 0\). Für \(k > 0\) gibt es zwei Nullstellen bei \(x_1 = -\sqrt{k}\) und \(x_2 = \sqrt{k}\). 2. Waagerechte Tangente bei \(x=1\): Die erste Ableitung ist \(g_k'(x) = 2x e^x + (x^2 - k) e^x = (x^2 + 2x - k) e^x\). Die Bedingung \(g_k'(1) = 0\) führt zu \((1^2 + 2 \cdot 1 - k) e^1 = (3 - k) e = 0\), woraus \(k = 3\) folgt. 3. Anzahl der Extrempunkte: Die Anzahl der Extrempunkte entspricht der Anzahl der Vorzeichenwechsel von \(g_k'(x)\). Die quadratische Gleichung \(x^2 + 2x - k = 0\) hat zwei verschiedene reelle Lösungen, wenn die Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 4 + 4k > 0\) ist. Dies ist für \(k > -1\) der Fall. Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt. 4. Wendepunkte: Die zweite Ableitung ist \(g_k''(x) = (2x + 2) e^x + (x^2 + 2x - k) e^x = (x^2 + 4x + 2 - k) e^x\). Ein Wendepunkt existiert nur, wenn \(g_k''(x)\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat. Die Diskriminante der quadratischen Klammer ist \(D_W = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - k) = 16 - 8 + 4k = 8 + 4k\). Wenn \(D_W < 0\) ist, hat \(g_k''(x)\) keine Nullstellen und somit keinen Wendepunkt; dies gilt für \(k < -2\). Wenn \(D_W = 0\) (also \(k = -2\)), hat \(g_k''(x) = (x+2)^2 e^x\) eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, also ebenfalls keinen Wendepunkt. Der Graph hat somit keinen Wendepunkt für \(k \le -2\).

a) Für \(k < 0\): keine Nullstellen; für \(k = 0\): \(x = 0\); für \(k > 0\): \(x = \pm \sqrt{k}\). b) \(k = 3\). c) Für \(k > -1\). d) Für \(k \le -2\).

- Was muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie hilft dir die zweite Ableitung bei der Bestimmung der Art eines Extremums? - Untersuche die Gleichung für die notwendige Bedingung von Wendepunkten auf die Anzahl ihrer Lösungen. - Beachte, dass eine Nullstelle der zweiten Ableitung nur dann ein Wendepunkt ist, wenn dort ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

1. Teil a): Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist \(f_k'(-1) = 0\). Mit \(f_k'(x) = x^3 + kx + 2\) folgt \((-1)^3 + k(-1) + 2 = 0\), woraus \(-1 - k + 2 = 0\) und somit \(k = 1\) resultiert. 2. Zur Bestimmung der Art prüft man \(f_1''(-1)\). Mit \(f_k''(x) = 3x^2 + k\) ergibt sich \(f_1''(-1) = 3(-1)^2 + 1 = 4 > 0\). Es liegt also ein lokales Minimum vor. 3. Teil b): Wendepunkte liegen an den Stellen vor, an denen \(f_k''(x) = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Die Bedingung \(3x^2 + k = 0\) führt auf \(x^2 = -\frac{k}{3}\). 4. Falls \(k > 0\), hat die Gleichung keine reelle Lösung, da \(x^2\) nicht negativ sein kann. Es gibt keine Wendepunkte. 5. Falls \(k = 0\), ist \(f_0''(x) = 3x^2\). Die einzige Nullstelle liegt bei \(x = 0\), jedoch ohne Vorzeichenwechsel. Es gibt keinen Wendepunkt. 6. Falls \(k < 0\), hat die Gleichung zwei Lösungen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{k}{3}}\). Da es sich um einfache Nullstellen einer nach oben geöffneten Parabel handelt, findet jeweils ein Vorzeichenwechsel statt. Es gibt genau zwei Wendepunkte.

a) \(k = 1\); es handelt sich um ein lokales Minimum. b) Für \(k \ge 0\) besitzt der Graph keine Wendepunkte; für \(k < 0\) besitzt er genau zwei Wendepunkte.

- Überlege dir, welche Bedingung die Diskriminante einer quadratischen Gleichung erfüllen muss, damit es zwei verschiedene Lösungen gibt. - Der Wendepunkt wird berechnet, indem du die zweite Ableitung gleich null setzt. - Vergiss nicht, den x-Wert in die ursprüngliche Funktionsgleichung einzusetzen, um den y-Wert des Punktes zu erhalten.

1. Ableitungen bestimmen: \(g_a'(x) = x^2 + 2ax + 4\), \(g_a''(x) = 2x + 2a\), \(g_a'''(x) = 2\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(x^2 + 2ax + 4 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel ergibt \(x = -a \pm \sqrt{a^2 - 4}\). 3. Existenz von zwei Extremstellen: Die Diskriminante \(D = a^2 - 4\) muss größer als null sein. Dies ist der Fall für \(a < -2\) oder \(a > 2\). In diesen Fällen ist \(g_a''(-a \pm \sqrt{a^2 - 4}) = \pm 2\sqrt{a^2 - 4} \neq 0\), sodass tatsächlich zwei Extrema vorliegen. 4. Wendepunkt: \(g_a''(x) = 0 \implies 2x + 2a = 0 \implies x = -a\). Da \(g_a'''(-a) = 2 \neq 0\), ist dies eine Wendestelle. 5. Funktionswert berechnen: \(g_a(-a) = \frac{1}{3}(-a)^3 + a(-a)^2 + 4(-a) = -\frac{1}{3}a^3 + a^3 - 4a = \frac{2}{3}a^3 - 4a\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(-a | \frac{2}{3}a^3 - 4a)\).

a) Die Graphen besitzen genau zwei relative Extrempunkte für \(|a| > 2\) (also \(a < -2\) oder \(a > 2\)). b) Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W(-a | \frac{2}{3}a^3 - 4a)\).

- Kannst du den Funktionsterm durch Ausklammern faktorisieren? - Behandle den Parameter \(a\) beim Ableiten wie eine gewöhnliche Zahl. - Welche Umkehroperation benötigst du, um eine Gleichung der Form \(e^x = c\) nach \(x\) aufzulösen? - Vergiss nicht, dass der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist. - Wie kannst du Logarithmengesetze nutzen, um den Ausdruck \(\ln(\frac{a}{2})\) anders zu schreiben?

1. Nullstellen berechnen: \(f_a(x) = 0 \iff e^x(e^x - a) = 0\). Da \(e^x \neq 0\), folgt \(e^x = a\) und damit \(x = \ln(a)\). Die Nullstelle liegt bei \(N(\ln(a) \mid 0)\). 2. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 2e^{2x} - a \cdot e^x = e^x(2e^x - a)\). Die zweite Ableitung ist \(f_a''(x) = 4e^{2x} - a \cdot e^x\). 3. Extremstellen bestimmen: \(f_a'(x) = 0 \iff 2e^x - a = 0 \iff e^x = \frac{a}{2}\), also \(x = \ln(\frac{a}{2})\). 4. Art des Extremums: Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt \(f_a''(\ln(\frac{a}{2})) = 4(\frac{a}{2})^2 - a(\frac{a}{2}) = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}\). Da \(a > 0\), ist \(\frac{a^2}{2} > 0\), es handelt sich um einen Tiefpunkt. 5. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a(\ln(\frac{a}{2})) = (\frac{a}{2})^2 - a(\frac{a}{2}) = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = -\frac{a^2}{4}\). Der Tiefpunkt ist \(T(\ln(\frac{a}{2}) \mid -\frac{a^2}{4})\).

Nullstelle: \(N(\ln(a) \mid 0)\) Extrempunkt: Tiefpunkt \(T(\ln(\frac{a}{2}) \mid -\frac{a^2}{4})\) oder \(T(\ln(a) - \ln(2) \mid -0{,}25a^2)\)

- Was muss für die erste und zweite Ableitung an einer Hochstelle gelten? - Wie kannst du den Logarithmus eines Bruchs mithilfe von Logarithmengesetzen umschreiben? - Welche Gleichung muss die \(y\)-Koordinate eines Punktes erfüllen, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie löst man eine Gleichung der Form \(\ln(x) = c\) nach \(x\) auf?

1. Erste Ableitung: \(f_a'(x) = \frac{1}{x} - a\). Nullsetzen ergibt \(\frac{1}{x} = a \Rightarrow x = \frac{1}{a}\). Da \(a > 0\), liegt die Stelle im Definitionsbereich. 2. Art des Extrempunkts: \(f_a''(x) = -\frac{1}{x^2}\). Da \(f_a''(\frac{1}{a}) = -a^2 < 0\) für alle \(a > 0\), handelt es sich stets um einen Hochpunkt. 3. Lage auf der \(x\)-Achse: Die Bedingung \(f_a(\frac{1}{a}) = 0\) führt zu \(\ln(\frac{1}{a}) - a \cdot \frac{1}{a} = 0\). Dies vereinfacht sich zu \(-\ln(a) - 1 = 0 \Rightarrow \ln(a) = -1\). 4. Auflösen nach \(a\): Es folgt \(a = e^{-1} = \frac{1}{e}\).

a) \(f_a'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{a}\); \(f_a''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0\), somit existiert für jedes \(a\) genau ein Hochpunkt an der Stelle \(x = \frac{1}{a}\). b) \(a = \frac{1}{e}\)

- Setze die zweite Ableitung gleich Null und versuche, die Terme mit \(x\) auf eine Seite zu bringen. - Was weißt du über das Vorzeichen von \(e^x\)? Was muss also für die andere Seite der Gleichung gelten? - Nutze die Potenzgesetze, um Ausdrücke wie \(e^{ax}\) in \(e^{(a-1)x} \cdot e^x\) oder ähnliches umzuformen. - Beachte, dass ein Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist.

Zuerst werden die Ableitungen gebildet: \(f_a'(x) = a e^x + a e^{ax}\) \(f_a''(x) = a e^x + a^2 e^{ax}\) Für eine Wendestelle muss \(f_a''(x) = 0\) gelten: \(a e^x + a^2 e^{ax} = 0 \iff a(e^x + a e^{ax}) = 0\) Da \(a \neq 0\), muss \(e^x + a e^{ax} = 0\) gelten, also \(e^x = -a e^{ax}\). Division durch \(e^{ax}\) ergibt \(e^{(1-a)x} = -a\). Damit diese Gleichung eine Lösung für \(x\) besitzt, muss die rechte Seite positiv sein: \(-a > 0 \implies a < 0\). Zudem muss die Basis im Exponenten ungleich Null sein: \(1-a \neq 0 \implies a \neq 1\). Da \(a < 0\) vorausgesetzt ist, ist dies erfüllt. Die \(x\)-Koordinate der Wendestelle ist \(x_W = \frac{\ln(-a)}{1-a}\). Da \(f_a'''(x) = a e^x + a^3 e^{ax}\) an der Stelle \(x_W\) den Wert \(a e^{x_W} + a^2(a e^{ax_W}) = a e^{x_W} + a^2(-e^{x_W}) = (a-a^2)e^{x_W}\) annimmt, was für \(a < 0\) ungleich Null ist (\(a(1-a) \neq 0\)), liegt ein Vorzeichenwechsel vor. Berechnung des \(y\)-Werts: \(y_W = a e^{x_W} + e^{ax_W} = a e^{x_W} + e^{(a-1)x_W} \cdot e^{x_W}\) Mit \(e^{(1-a)x_W} = -a\) folgt \(e^{(a-1)x_W} = (-a)^{-1} = -\frac{1}{a}\). Einsetzen ergibt \(y_W = a e^{x_W} - \frac{1}{a} e^{x_W} = (a - \frac{1}{a}) e^{x_W} = \frac{a^2-1}{a} \cdot (-a)^{\frac{1}{1-a}}\).

Die Wendestelle existiert genau dann, wenn \(a < 0\) ist, da nur dann die Gleichung \(e^{(1-a)x} = -a\) lösbar ist. Die Koordinaten der Wendestelle sind: \(x_W = \frac{\ln(-a)}{1-a}\) \(y_W = \frac{a^2-1}{a} \cdot (-a)^{\frac{1}{1-a}}\)

- Nutze für die Ableitungen die Produktregel und achte beim \(e\)-Term auf die Kettenregel. - Der horizontale Abstand zweier Punkte ist die Differenz ihrer x-Werte. - Wann nimmt eine Exponentialfunktion der Form \(e^u\) den Wert \(1\) an? - Beachte die Einschränkung für den Parameter \(a\).

1. Ableitungen bilden: \(g_a'(x) = 1 \cdot e^{-ax} + (x+a) \cdot (-a) \cdot e^{-ax} = (1 - a^2 - ax)e^{-ax}\). Zweite Ableitung: \(g_a''(x) = -a \cdot e^{-ax} + (1 - a^2 - ax) \cdot (-a) \cdot e^{-ax} = (a^2x + a^3 - 2a)e^{-ax}\). 2. Maximum bestimmen: \(g_a'(x) = 0 \implies 1 - a^2 - ax = 0 \implies x_H = \frac{1-a^2}{a} = \frac{1}{a} - a\). 3. Wendepunkt bestimmen: \(g_a''(x) = 0 \implies a^2x + a^3 - 2a = 0 \implies x_W = \frac{2a-a^3}{a^2} = \frac{2}{a} - a\). 4. Abstand berechnen: \(d = x_W - x_H = (\frac{2}{a} - a) - (\frac{1}{a} - a) = \frac{1}{a}\). 5. Tangentensteigung im Wendepunkt: \(m_W = g_a'(x_W) = (1 - a^2 - a(\frac{2}{a} - a))e^{-a(\frac{2}{a} - a)} = (1 - a^2 - 2 + a^2)e^{-2+a^2} = -e^{a^2-2}\). 6. Parameter \(a\) bestimmen: \(-e^{a^2-2} = -1 \implies e^{a^2-2} = 1 \implies a^2-2 = 0 \implies a = \sqrt{2}\) (da \(a > 0\)).

a) \(x_H = \frac{1}{a} - a\) und \(x_W = \frac{2}{a} - a\) b) Der Abstand ist \(x_W - x_H = \frac{2}{a} - a - (\frac{1}{a} - a) = \frac{1}{a}\). c) Der gesuchte Parameterwert ist \(a = \sqrt{2}\).

- Bestimme zuerst die ersten drei Ableitungen der Funktion. - Untersuche die Gleichungen \(g_k'(x) = 0\) und \(g_k''(x) = 0\) getrennt voneinander. - Beachte dabei, dass im Definitionsbereich \(x\) immer positiv sein muss. - Wie beeinflusst das Vorzeichen von \(k\), ob die Gleichungen eine Lösung im Bereich \(x > 0\) haben? - Nutze die Logarithmusgesetze, um den y-Wert des Wendepunkts zu vereinfachen.

1. Ableitungen berechnen: \(g_k'(x) = \frac{k}{x} + 2x\), \(g_k''(x) = -\frac{k}{x^2} + 2\) und \(g_k'''(x) = \frac{2k}{x^3}\). Notwendige Bedingung für Extremum: \(g_k'(x) = 0 \iff \frac{k+2x^2}{x} = 0 \iff 2x^2 = -k\). Da \(x^2 > 0\), gibt es nur für \(k < 0\) eine Lösung \(x_E = \sqrt{-\frac{k}{2}}\). Wegen \(g_k''(x_E) = -\frac{k}{-k/2} + 2 = 4 > 0\) ist dies ein Minimum. Notwendige Bedingung für Wendepunkt: \(g_k''(x) = 0 \iff \frac{2x^2-k}{x^2} = 0 \iff 2x^2 = k\). Da \(x^2 > 0\), gibt es nur für \(k > 0\) eine Lösung \(x_W = \sqrt{\frac{k}{2}}\). Wegen \(g_k'''(x_W) = \frac{2k}{(k/2)^{1{,}5}} \neq 0\) liegt ein Wendepunkt vor. Da \(k\) entweder positiv oder negativ ist, tritt genau einer der Fälle ein. 2. Der Wendepunkt existiert für \(k > 0\). Die x-Koordinate ist \(x_W = \sqrt{\frac{k}{2}}\). Einsetzen in \(g_k\): \(y_W = k \cdot \ln\left(\sqrt{\frac{k}{2}}\right) + \left(\sqrt{\frac{k}{2}}\right)^2 = k \cdot \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k}{2}\right) + \frac{k}{2} = \frac{k}{2} \left(\ln\left(\frac{k}{2}\right) + 1\right)\). Koordinaten: \(W\left(\sqrt{\frac{k}{2}} \mid \frac{k}{2} \left(\ln\left(\frac{k}{2}\right) + 1\right)\right)\).

1. Für \(k < 0\) existiert ein lokales Minimum bei \(x = \sqrt{-k/2}\), für \(k > 0\) existiert ein Wendepunkt bei \(x = \sqrt{k/2}\). 2. Wendepunkt \(W\left(\sqrt{\frac{k}{2}} \mid \frac{k}{2} \left(\ln\left(\frac{k}{2}\right) + 1\right)\right)\) für \(k > 0\).

- Nutze die Produktregel und ersetze \(\cos^2 x\) durch einen Ausdruck mit \(\sin^2 x\). - Welche Gleichung musst du lösen, um Stellen mit waagerechter Tangente zu finden? - Bei Teilaufgabe c) hilft eine Substitution, um die trigonometrische Gleichung in eine quadratische Gleichung zu überführen. - Beachte bei der Rücksubstitution den Wertebereich der Sinusfunktion. - Denk daran, dass die Sinusfunktion in einem Intervall von \(2\pi\) zwei Stellen mit demselben positiven Wert haben kann.

1. Ableitung: Anwendung der Produktregel auf \(f_k(x) = \cos x \cdot (k + \sin x)\) ergibt \(f_k'(x) = -\sin x(k + \sin x) + \cos x \cdot \cos x = -k \sin x - \sin^2 x + \cos^2 x\). Mit \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) folgt \(f_k'(x) = -k \sin x - \sin^2 x + 1 - \sin^2 x = 1 - k \sin x - 2 \sin^2 x\). 2. Waagerechte Tangenten (\(k=0\)): \(f_0'(x) = 1 - 2\sin^2 x = \cos(2x)\). Der Ansatz \(\cos(2x) = 0\) im Intervall \([0; 4\pi[\) für das Argument \(2x\) liefert \(2x \in \{\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\}\). Somit sind die Stellen \(x \in \{\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\}\). 3. Extremstellen (\(k=\frac{7}{3}\)): Der Ansatz \(f_{7/3}'(x) = 0\) führt auf \(1 - \frac{7}{3} \sin x - 2 \sin^2 x = 0\), was äquivalent zu \(6 \sin^2 x + 7 \sin x - 3 = 0\) ist. 4. Quadratische Gleichung: Mit \(u = \sin x\) ergibt die Mitternachtsformel \(u = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 6 \cdot (-3)}}{12} = \frac{-7 \pm 11}{12}\). 5. Rücksubstitution: \(u_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) und \(u_2 = -\frac{18}{12} = -1{,}5\). Da \(-1{,}5\) außerhalb des Wertebereichs des Sinus liegt, bleibt nur \(\sin x = \frac{1}{3}\). 6. Ergebnisse: \(x_1 = \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 0{,}34\) und \(x_2 = \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 2{,}80\). Beide Stellen sind Extremstellen, da \(f_{7/3}''(x) = -k \cos x - 4 \sin x \cos x\) dort ungleich Null ist (da \(\sin x = \frac{1}{3} \implies \cos x \neq 0\)).

a) Nachweis durch Produktregel und Anwendung des trigonometrischen Pythagoras \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). b) \(x \in \{\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\}\). c) \(x_1 \approx 0{,}34\) und \(x_2 \approx 2{,}80\).

- Denk beim Ableiten an die Kettenregel. - Was fällt dir auf, wenn du die zweite und vierte Ableitung mit der Ausgangsfunktion vergleichst? - Setze die berechneten Ableitungen in die gegebene Gleichung ein und versuche, die Gleichung zu vereinfachen. - Ein bekanntes Verfahren für Gleichungen vierten Grades, die nur gerade Potenzen enthalten, könnte hier hilfreich sein.

1. Bildung der Ableitungen unter Verwendung der Kettenregel: \(f_k'(x) = -k \cdot \sin(k \cdot x)\) \(f_k''(x) = -k^2 \cdot \cos(k \cdot x)\) \(f_k'''(x) = k^3 \cdot \sin(k \cdot x)\) \(f_k''''(x) = k^4 \cdot \cos(k \cdot x)\) 2. Einsetzen der Ableitungen in die Gleichung: \(k^4 \cdot \cos(kx) + 20 \cdot (-k^2 \cdot \cos(kx)) = -64 \cdot \cos(kx)\) Dividieren durch \(\cos(kx)\) (da die Gleichung für alle \(x\) gelten soll): \(k^4 - 20k^2 + 64 = 0\) Substitution \(u = k^2\): \(u^2 - 20u + 64 = 0 \Rightarrow (u - 16)(u - 4) = 0\) Rücksubstitution: \(k^2 = 16 \Rightarrow k_1 = 4, k_2 = -4\) \(k^2 = 4 \Rightarrow k_3 = 2, k_4 = -2\)

1. \(f_k''''(x) = k^4 \cdot \cos(k \cdot x)\) 2. Die Gleichung ist für \(k \in \{-4; -2; 2; 4\}\) erfüllt.

- Der maximale Wert einer Funktion \(a \sin(x) + b \cos(x)\) entspricht der Amplitude der kombinierten Schwingung. - Nutze die Darstellung \(A \sin(x + \alpha)\), um die Lage der Maxima einfacher zu bestimmen. - Wann erreicht die Standard-Sinusfunktion \(\sin(u)\) ihren ersten Höchstpunkt? - Verwende die Beziehung zwischen den Koeffizienten und dem Tangens des Phasenwinkels.

1. Eine Linearkombination der Form \(a \sin(x) + b \cos(x)\) hat die Amplitude \(A = \sqrt{a^2 + b^2}\). Hier ist \(a = t\) und \(b = \sqrt{11}\). Die Extrema liegen somit bei \(y_{max} = \sqrt{t^2 + 11}\) und \(y_{min} = -\sqrt{t^2 + 11}\). 2. Für \(t = \sqrt{5}\) ist \(A = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{11})^2} = \sqrt{5 + 11} = 4\). 3. Zur Bestimmung von \(\alpha\) gilt \(\cos(\alpha) = \frac{t}{A} = \frac{\sqrt{5}}{4}\) und \(\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{11}}{A} = \frac{\sqrt{11}}{4}\). Da beide positiv sind, folgt \(\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{11}}{4}\right) \approx 0{,}98\). 4. Eine Funktion der Form \(A \sin(x + \alpha)\) hat ihr erstes Maximum dort, wo das Argument \(x + \alpha = \frac{\pi}{2}\) ist. 5. Gegeben ist \(x = \frac{\pi}{3}\), woraus folgt: \(\frac{\pi}{3} + \alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{6}\). 6. Es gilt \(\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{11}}{t}\). Mit \(\alpha = \frac{\pi}{6}\) ergibt sich \(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11}}{t}\). 7. Auflösen nach \(t\) liefert \(t = \sqrt{33}\).

a) Maxima: \(\sqrt{t^2 + 11}\); Minima: \(-\sqrt{t^2 + 11}\) b) \(A = 4\); \(\alpha \approx 0{,}98\) c) \(t = \sqrt{33} \approx 5{,}74\)

- Welche Bedingungen müssen die Ableitungen an einer Stelle erfüllen, damit dort ein Sattelpunkt vorliegt? - Setze die allgemeinen Bedingungen in die Funktionsgleichung ein, um Koeffizienten zu eliminieren. - Berechne die Nullstellen und Extremstellen allgemein mit den Parametern \(a\) und \(b\). - Überlege dir für den Beweis, welchen Grad die erste Ableitung einer Funktion 4. Grades hat und wie viele (mehrfache) Nullstellen diese maximal haben kann.

1. Sattelpunkt in \(O(0|0)\) bedeutet \(p(0)=0\), \(p'(0)=0\) und \(p''(0)=0\). Daraus folgt direkt \(e=0, d=0, c=0\). Die Funktion lautet \(p(x) = ax^4 + bx^3\) mit \(b \neq 0\) (damit \(p'''(0) \neq 0\)). 2. Nullstellen: \(ax^4 + bx^3 = x^3(ax + b) = 0\). Neben der dreifachen Nullstelle \(x=0\) gibt es genau eine weitere Nullstelle bei \(x_N = -\frac{b}{a}\). 3. Extremstellen: \(p'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 = x^2(4ax + 3b) = 0\). \(x=0\) ist ein Sattelpunkt, die einzige lokale Extremstelle ist \(x_E = -\frac{3b}{4a}\). 4. Verhältnis: \(\frac{x_N}{x_E} = \frac{-b/a}{-3b/4a} = \frac{b}{a} \cdot \frac{4a}{3b} = \frac{4}{3}\). 5. Beweis gegen zwei Sattelpunkte: Ein Sattelpunkt \(x_0\) erfordert \(p'(x_0) = 0\) und \(p''(x_0) = 0\). Das bedeutet, \(x_0\) ist eine mindestens zweifache Nullstelle von \(p'(x)\). Da \(p'(x)\) vom Grad 3 ist, kann sie höchstens eine solche zweifache Nullstelle besitzen, wenn noch eine andere Nullstelle existiert, oder eine dreifache Nullstelle. Zwei verschiedene Sattelpunkte würden zwei verschiedene zweifache Nullstellen in \(p'(x)\) erfordern, was einen Grad von mindestens 4 für \(p'(x)\) voraussetzt. Dies widerspricht dem Grad 3 von \(p'(x)\).

a) \(c=d=e=0\), also \(p(x) = ax^4 + bx^3\) mit \(b \neq 0\). b) \(x_N = -\frac{b}{a}\) und \(x_E = -\frac{3b}{4a}\). c) Das Verhältnis ist \(\frac{-b/a}{-3b/4a} = \frac{4}{3}\). d) Die erste Ableitung \(p'\) hat Grad 3. Ein Sattelpunkt ist eine zweifache Nullstelle von \(p'\). Zwei Sattelpunkte würden zwei zweifache Nullstellen erfordern (Grad 4), was für ein Polynom 3. Grades unmöglich ist.

- Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren null? - Nutze die Produktregel für die Ableitung. - Unter welcher Bedingung hat eine quadratische Gleichung genau zwei Lösungen? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einem Punkt?

1. Nullstellenberechnung: Da \(e^x \neq 0\), müssen die Nullstellen von \(x^2 - k = 0\) betrachtet werden. Für \(k < 0\) gibt es keine Lösung (0 Nullstellen), für \(k = 0\) gibt es die Lösung \(x=0\) (1 Nullstelle), für \(k > 0\) gibt es zwei Lösungen \(x = \pm \sqrt{k}\) (2 Nullstellen). 2. Extremstellen untersuchen: Die erste Ableitung erfolgt mit der Produktregel: \(g_k'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - k) \cdot e^x = (x^2 + 2x - k) \cdot e^x\). Extremstellen liegen vor, wenn \(x^2 + 2x - k = 0\). 3. Diskriminantenanalyse: Die quadratische Gleichung hat genau dann zwei Lösungen, wenn die Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 4 + 4k\) größer als Null ist. \(4 + 4k > 0 \implies 4k > -4 \implies k > -1\). In diesem Fall sind auch die Vorzeichenwechselkriterien für Extremstellen erfüllt. 4. Tangentengleichung für \(k=1\): \(g_1(x) = (x^2 - 1) e^x\). Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(x=0\): \(g_1(0) = (0^2 - 1) e^0 = -1\). Steigung: \(g_1'(x) = (x^2 + 2x - 1) e^x\), also \(g_1'(0) = (0 + 0 - 1) e^0 = -1\). Die Tangente lautet \(y = -1 \cdot x - 1\).

a) Keine Nullstellen für \(k < 0\); eine Nullstelle für \(k = 0\); zwei Nullstellen für \(k > 0\). b) Nachweis über die Diskriminante \(D = 4 + 4k\) der Ableitungsfunktion; \(D > 0\) für \(k > -1\). c) \(y = -x - 1\)