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- Wie gehst du vor, wenn eine Funktion in einer anderen steht? - Welchen Teil des Ausdrucks berechnest du zuerst? - Kannst du das Ergebnis des inneren Teils als neuen Startwert für den äußeren Teil nutzen? - Was bedeutet die Schreibweise mit dem Kringel-Symbol \(\circ\)?

1. Berechnung von \(f(g(3))\): Der innere Funktionswert ist \(g(3) = 2 - 3 = -1\). Einsetzen in \(f\) ergibt \(f(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 4 = 3 - 4 = -1\). 2. Berechnung von \(g(f(-2))\): Der innere Funktionswert ist \(f(-2) = 3 \cdot (-2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8\). Einsetzen in \(g\) ergibt \(g(8) = 2 - 8 = -6\). 3. Berechnung von \((f \circ g)(1)\): Dies entspricht \(f(g(1))\). Der innere Wert ist \(g(1) = 2 - 1 = 1\). Einsetzen in \(f\) ergibt \(f(1) = 3 \cdot 1^2 - 4 = -1\). 4. Berechnung von \((g \circ g)(5)\): Dies entspricht \(g(g(5))\). Der innere Wert ist \(g(5) = 2 - 5 = -3\). Einsetzen in \(g\) ergibt \(g(-3) = 2 - (-3) = 5\).

a) \(-1\) b) \(-6\) c) \(-1\) d) \(5\)

- Überlege dir zuerst, welche Funktion die „innere“ und welche die „äußere“ Funktion bei der jeweiligen Verkettung ist. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Operation nicht kommutativ ist? Denke an die Reihenfolge. - Ein einziger Punkt, an dem sich die Funktionswerte unterscheiden, reicht aus, um zu zeigen, dass zwei Funktionen nicht identisch sind.

1. Bestimmung der Funktionsterme: Für \(u(x) = f(g(x))\) wird \(g(x)\) in \(f\) eingesetzt: \(u(x) = e^{x^2 + 2}\). Für \(v(x) = g(f(x))\) wird \(f(x)\) in \(g\) eingesetzt: \(v(x) = (e^x)^2 + 2 = e^{2x} + 2\). 2. Berechnung der Funktionswerte an der Stelle \(x = 0\): \(u(0) = e^{0^2 + 2} = e^2 \approx 7{,}389\) \(v(0) = e^{2 \cdot 0} + 2 = e^0 + 2 = 1 + 2 = 3\) 3. Da \(u(0) \neq v(0)\) gilt, sind die Funktionen \(u\) und \(v\) verschieden. Damit ist gezeigt, dass die Verkettung \(f \circ g\) nicht dasselbe Ergebnis liefert wie \(g \circ f\).

a) \(u(x) = e^{x^2 + 2}\) und \(v(x) = e^{2x} + 2\) b) \(u(0) = e^2\) und \(v(0) = 3\). Da \(e^2 \neq 3\), ist \(f \circ g \neq g \circ f\).

- Überlege dir bei einer Verkettung wie \(f = u \circ v \circ w\), welche Funktion als Erstes auf das \(x\) angewendet wird. Man arbeitet sich von rechts nach links bzw. von innen nach außen vor. - Ersetze Schritt für Schritt die Funktionsargumente durch die jeweiligen Terme der inneren Funktionen. - Achte beim Berechnen von Funktionswerten mit trigonometrischen Funktionen darauf, ob das Argument im Bogenmaß vorliegt.

1. Bestimmung von \(f(x) = u(v(w(x)))\): Zuerst wird \(w(x) = \cos(x)\) in \(v\) eingesetzt, was \(v(w(x)) = \cos^2(x)\) ergibt. Die Anwendung von \(u\) auf dieses Ergebnis liefert den Term \(f(x) = 3\cos^2(x) - 2\). 2. Bestimmung von \(g(x) = w(v(u(x)))\): Zuerst wird \(u(x) = 3x - 2\) in \(v\) eingesetzt, was \(v(u(x)) = (3x - 2)^2\) ergibt. Die Anwendung von \(w\) liefert den Term \(g(x) = \cos((3x - 2)^2)\). 3. Berechnung von \(f(\pi)\): Einsetzen von \(\pi\) in den Term von \(f\) ergibt \(3 \cdot \cos^2(\pi) - 2\). Mit \(\cos(\pi) = -1\) folgt \(3 \cdot (-1)^2 - 2 = 3 \cdot 1 - 2 = 1\).

a) \(f(x) = 3\cos^2(x) - 2\) und \(g(x) = \cos((3x - 2)^2)\) b) \(f(\pi) = 1\)

- Überlege dir, welchen Rechenschritt du als Erstes ausführen würdest, wenn du eine Zahl für \(x\) einsetzt. Dieser Schritt gehört zur inneren Funktion. - Stell dir vor, das Ergebnis der ersten Rechnung wäre ein einzelner Platzhalter (z. B. \(z\)). Wie sieht die restliche Formel aus, wenn du diesen Platzhalter verwendest? - Oft gibt es Klammern, Exponenten oder Argumente von Funktionen (wie bei \(\sin\) oder \(\ln\)), die den inneren Teil markieren. - Es gibt oft mehrere richtige Möglichkeiten, eine Funktion zu zerlegen. Wähle die einfachste Struktur.

Zur Bestimmung der Teilfunktionen identifiziert man den Teilterm, der zuerst berechnet wird (innere Funktion \(v\)), und die Operation, die darauf angewendet wird (äußere Funktion \(u\)). 1. Bei \(f(x) = e^{3x^2 - 5}\) wird zuerst der Exponent berechnet: \(v(x) = 3x^2 - 5\). Die äußere Operation ist die Exponentialfunktion: \(u(x) = e^x\). 2. Bei \(f(x) = \frac{2}{\sin(x) - 4}\) wird zuerst der Nenner (oder Teile davon) berechnet: \(v(x) = \sin(x) - 4\). Die äußere Struktur ist ein Bruch: \(u(x) = \frac{2}{x}\). 3. Bei \(f(x) = \ln\left(\frac{2x + 1}{x^2}\right)\) steht der rationale Term im Argument: \(v(x) = \frac{2x + 1}{x^2}\). Die äußere Funktion ist der natürliche Logarithmus: \(u(x) = \ln(x)\). 4. Bei \(f(x) = 4 \cdot (\sqrt{x} + 1)^5\) wird zuerst die Summe in der Klammer berechnet: \(v(x) = \sqrt{x} + 1\). Die äußere Funktion potenziert und multipliziert: \(u(x) = 4x^5\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(v(x) = 3x^2 - 5\) und \(u(x) = e^x\) b) \(v(x) = \sin(x) - 4\) und \(u(x) = \frac{2}{x}\) c) \(v(x) = \frac{2x + 1}{x^2}\) und \(u(x) = \ln(x)\) d) \(v(x) = \sqrt{x} + 1\) und \(u(x) = 4x^5\)

- Stelle dir vor, du müsstest den Funktionswert für eine bestimmte Zahl berechnen. Welchen Teil des Terms würdest du zuerst ausrechnen? Das ist deine innere Funktion. - Welche Rechenoperation wird ganz am Ende auf das Zwischenergebnis angewendet? Das ist die äußere Funktion. - Achte darauf, dass die äußere Funktion \(u\) als Variable das Ergebnis der inneren Funktion \(v\) erhält.

1. Identifikation der inneren Funktion \(v(x)\) als die Operation, die zuerst auf \(x\) angewendet wird, und der äußeren Funktion \(u(x)\) als die darauf folgende Operation. 2. Ergebnisse für die Teilaufgaben: a) \(v(x) = 3x - 4\) und \(u(x) = \ln(x)\). b) \(v(x) = \cos(x)\) und \(u(x) = \sqrt{x}\). c) \(v(x) = e^x + 2\) und \(u(x) = x^5\). d) \(v(x) = \frac{1}{x}\) und \(u(x) = e^x\).

a) \(v(x) = 3x - 4\), \(u(x) = \ln(x)\) b) \(v(x) = \cos(x)\), \(u(x) = \sqrt{x}\) c) \(v(x) = e^x + 2\), \(u(x) = x^5\) d) \(v(x) = \frac{1}{x}\), \(u(x) = e^x\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte man überhaupt in die einzelnen Funktionen einsetzen darf. - Bei einer Summe oder einem Produkt müssen die Werte in beide Funktionen gleichzeitig eingesetzt werden können. - Was passiert bei einer Verkettung? Welcher Wert wird zuerst berechnet und wo muss das Ergebnis dann „hineinpassen“? - Kannst du eine Bedingung formulieren, damit der Nenner eines Bruchs nicht Null wird?

1. Bestimmung der Definitionsmengen der Ausgangsfunktionen: \(D_f = \mathbb{R}\) und \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). 2. Für die Summe \(f + g\): Der Funktionsterm lautet \((f+g)(x) = x^2 - 1 + \frac{2}{x+3}\). Die Definitionsmenge ist die Schnittmenge \(D_f \cap D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). 3. Für die Verkettung \(g \circ f\): Der Funktionsterm ist \((g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{2}{(x^2 - 1) + 3} = \frac{2}{x^2 + 2}\). Die Definitionsmenge umfasst alle \(x \in D_f\), für die \(f(x) \in D_g\) gilt. Da \(x^2 - 1 = -3 \iff x^2 = -2\) keine reelle Lösung besitzt, ist \(D_{g \circ f} = \mathbb{R}\). 4. Für die Verkettung \(f \circ g\): Der Funktionsterm ist \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = \left(\frac{2}{x+3}\right)^2 - 1 = \frac{4}{(x+3)^2} - 1\). Die Definitionsmenge umfasst alle \(x \in D_g\), für die \(g(x) \in D_f\) gilt. Da \(D_f = \mathbb{R}\), ist die einzige Einschränkung \(x \neq -3\), also \(D_{f \circ g} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\).

a) \((f+g)(x) = x^2 - 1 + \frac{2}{x+3}\) mit \(D_{f+g} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\) b) \((g \circ f)(x) = \frac{2}{x^2 + 2}\) mit \(D_{g \circ f} = \mathbb{R}\) c) \((f \circ g)(x) = \frac{4}{(x+3)^2} - 1\) mit \(D_{f \circ g} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\)

- Was ist die Voraussetzung dafür, dass man eine Zahl in den natürlichen Logarithmus einsetzen darf? - Achte bei der Verkettung genau auf die Reihenfolge: Welche Funktion bildet die „innere“ Funktion? - Wie löst man eine Ungleichung der Form \(x^2 - c > 0\)? Skizziere dir eventuell den Verlauf einer Parabel. - Gibt es Einschränkungen für das Ergebnis des Logarithmus, wenn man es danach quadriert?

1. Bestimmung der Definitionsmengen der Ausgangsfunktionen: \(D_u = (0; \infty)\) und \(D_v = \mathbb{R}\). 2. Für das Produkt \(u \cdot v\): Der Funktionsterm ist \((u \cdot v)(x) = (x^2 - 4) \cdot \ln(x)\). Die Definitionsmenge ist \(D_u \cap D_v = (0; \infty)\). 3. Für die Verkettung \(u \circ v\): Der Funktionsterm ist \((u \circ v)(x) = \ln(x^2 - 4)\). Die Definitionsmenge erfordert \(x \in D_v\) und \(v(x) \in D_u\), also \(x^2 - 4 > 0\). Dies führt zu \(x^2 > 4\), woraus \(D_{u \circ v} = (-\infty; -2) \cup (2; \infty)\) folgt. 4. Für die Verkettung \(v \circ u\): Der Funktionsterm ist \((v \circ u)(x) = (\ln(x))^2 - 4\). Die Definitionsmenge erfordert \(x \in D_u\) und \(u(x) \in D_v\). Da \(D_v = \mathbb{R}\), ist die einzige Bedingung \(x > 0\), also \(D_{v \circ u} = (0; \infty)\).

a) \((u \cdot v)(x) = (x^2 - 4) \cdot \ln(x)\) mit \(D_{u \cdot v} = (0; \infty)\) b) \((u \circ v)(x) = \ln(x^2 - 4)\) mit \(D_{u \circ v} = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| > 2\} = (-\infty; -2) \cup (2; \infty)\) c) \((v \circ u)(x) = (\ln(x))^2 - 4\) mit \(D_{v \circ u} = (0; \infty)\)

- Überlege dir, wie du den Ausgangswert einer Funktion als Eingangswert für die nächste Funktion nutzen kannst. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Term zu vereinfachen. - Was bedeutet der Begriff „momentane Änderungsrate“ mathematisch für eine Funktion?

1. Zur Bestimmung der zusammengesetzten Funktion \(A(t)\) wird der Term für \(T(t)\) in die Funktion \(A(T)\) eingesetzt: \(A(t) = A(T(t)) = -0{,}01 \cdot ((15 + 2t) - 25)^2 + 10\). 2. Vereinfachung des inneren Terms: \(15 + 2t - 25 = 2t - 10\). 3. Einsetzen und Ausmultiplizieren: \(A(t) = -0{,}01 \cdot (2t - 10)^2 + 10 = -0{,}01 \cdot (4t^2 - 40t + 100) + 10 = -0{,}04t^2 + 0{,}4t - 1 + 10 = -0{,}04t^2 + 0{,}4t + 9\). 4. Die momentane Änderungsrate entspricht der ersten Ableitung: \(A'(t) = -0{,}08t + 0{,}4\). 5. Berechnung für \(t = 2\): \(A'(2) = -0{,}08 \cdot 2 + 0{,}4 = -0{,}16 + 0{,}4 = 0{,}24\).

a) \(A(t) = -0{,}04t^2 + 0{,}4t + 9\) b) Die momentane Änderungsrate beträgt \(0{,}24\,\frac{\text{Einheiten}}{\text{Stunde}}\).

- Überlege dir zuerst, welche Werte du überhaupt in die innere Funktion einsetzen darfst. - Achte darauf, dass die Ergebnisse der inneren Funktion im Definitionsbereich der äußeren Funktion liegen müssen. - Bei Bruchtermen darf der Nenner niemals Null werden. - Bei Wurzelfunktionen mit reellen Werten darf der Ausdruck unter der Wurzel (der Radikand) nicht negativ sein.

1. Teilaufgabe a): - Bildung von \(f(x) = u(v(x)) = \frac{2}{x^2-4}\). Die innere Funktion \(v\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert. Für die äußere Funktion \(u\) muss das Argument \(x^2 \neq 4\) sein, woraus \(x \neq 2\) und \(x \neq -2\) folgt. Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). - Bildung von \(g(x) = v(u(x)) = \left(\frac{2}{x-4}\right)^2 = \frac{4}{(x-4)^2}\). Die innere Funktion \(u\) verlangt \(x \neq 4\). Die äußere Funktion \(v\) ist für alle reellen Werte definiert. Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\}\). 2. Teilaufgabe b): - Bildung von \(f(x) = u(v(x)) = \sqrt{x} - 5\). Die innere Funktion \(v\) verlangt \(x \geq 0\). Die äußere Funktion \(u\) ist für alle reellen Werte definiert. Somit ist \(D_f = [0; \infty[\). - Bildung von \(g(x) = v(u(x)) = \sqrt{x-5}\). Die innere Funktion \(u\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert. Damit der Radikand der äußeren Funktion \(v\) nicht negativ wird, muss \(x-5 \geq 0\) gelten, also \(x \geq 5\). Somit ist \(D_g = [5; \infty[\).

a) \(f(x) = \frac{2}{x^2-4}\) mit \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); \(g(x) = \frac{4}{(x-4)^2}\) mit \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\}\) b) \(f(x) = \sqrt{x} - 5\) mit \(D_f = [0; \infty[\); \(g(x) = \sqrt{x-5}\) mit \(D_g = [5; \infty[\)

- Erinnere dich an die Bedeutung der Schreibweise \((p \circ q)(x)\). - Was passiert mit der eulerschen Zahl, wenn der Exponent Null ist? - Achte darauf, in welcher Reihenfolge die Funktionen angewendet werden. - Kannst du den Term \(e^1\) noch einfacher schreiben?

1. Berechnung von \(p(q(0))\): Zuerst wird der innere Wert \(q(0) = 4 \cdot 0 + 1 = 1\) bestimmt. Dieser wird in \(p\) eingesetzt: \(p(1) = e^{1-1} = e^0 = 1\). 2. Berechnung von \(q(p(1))\): Zuerst wird der innere Wert \(p(1) = e^{1-1} = 1\) bestimmt. Dieser wird in \(q\) eingesetzt: \(q(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 5\). 3. Berechnung von \((p \circ q)(0{,}25)\): Dies entspricht \(p(q(0{,}25))\). Der innere Wert ist \(q(0{,}25) = 4 \cdot 0{,}25 + 1 = 2\). Einsetzen in \(p\) ergibt \(p(2) = e^{2-1} = e^1 = e\). 4. Berechnung von \(q(q(-1))\): Der innere Wert ist \(q(-1) = 4 \cdot (-1) + 1 = -3\). Einsetzen in die äußere Funktion ergibt \(q(-3) = 4 \cdot (-3) + 1 = -11\).

a) \(1\) b) \(5\) c) \(e\) d) \(-11\)

- Setze den gesamten Funktionsterm der einen Funktion für jedes \(x\) in den Term der anderen Funktion ein. Achte dabei auf die Klammersetzung. - Zwei lineare Funktionen sind genau dann identisch, wenn sowohl ihre Steigungen als auch ihre y-Achsenabschnitte übereinstimmen. - Wähle für den Nachweis der Nicht-Kommutativität einen möglichst einfachen Wert für den Parameter, um die Rechnung kurzzuhalten.

1. Aufstellen der verketteten Terme: \(h(x) = f(g(x)) = 2(3x + c) + 5 = 6x + 2c + 5\) \(k(x) = g(f(x)) = 3(2x + 5) + c = 6x + 15 + c\) 2. Bedingung für Kommutativität (\(h(x) = k(x)\)): Die Steigungen \(6x\) sind identisch. Ein Vergleich der y-Achsenabschnitte liefert: \(2c + 5 = 15 + c\) \(c = 10\) 3. Nachweis der Nicht-Kommutativität für \(c \neq 10\): Wählt man zum Beispiel \(c = 0\), so ergibt sich: \(h(x) = 6x + 5\) und \(k(x) = 6x + 15\). Da \(6x + 5 \neq 6x + 15\) für alle \(x\), ist die Verkettung für \(c = 0\) nicht kommutativ.

a) \(h(x) = 6x + 2c + 5\) und \(k(x) = 6x + 15 + c\) b) \(c = 10\) c) Beispiel \(c = 0\): \(h(x) = 6x + 5\) und \(k(x) = 6x + 15\). Da \(h(x) \neq k(x)\), ist die Verkettung nicht kommutativ.

- Überlege dir zuerst, welche Werte du überhaupt in die innere Funktion einsetzen darfst. - Welche Einschränkungen ergeben sich durch die äußere Funktion für die Ergebnisse der inneren Funktion? - Erinnere dich daran, für welche Werte die Logarithmusfunktion definiert ist. - Wann wird ein Bruch undefiniert?

1. Für \(f(x) = u(v(x))\) wird \(v(x)\) in \(u\) eingesetzt: \(f(x) = \ln\left(\frac{1}{x^2 - 4}\right)\). 2. Die Definitionsmenge \(D_f\) erfordert, dass \(v(x)\) definiert ist (\(x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2\)) und das Argument des Logarithmus positiv ist (\(\frac{1}{x^2 - 4} > 0\)). Dies ist der Fall, wenn \(x^2 - 4 > 0\), also für \(|x| > 2\). Somit gilt \(D_f = ]-\infty; -2[ \cup ]2; \infty[\). 3. Für \(g(x) = v(u(x))\) wird \(u(x)\) in \(v\) eingesetzt: \(g(x) = \frac{1}{(\ln(x))^2 - 4}\). 4. Die Definitionsmenge \(D_g\) erfordert, dass \(u(x)\) definiert ist (\(x > 0\)) und der Nenner von \(v(u(x))\) ungleich Null ist (\((\ln(x))^2 - 4 \neq 0\)). 5. Aus \((\ln(x))^2 = 4\) folgt \(\ln(x) = 2\) oder \(\ln(x) = -2\), was zu \(x = e^2\) oder \(x = e^{-2}\) führt. 6. Unter Berücksichtigung von \(x > 0\) ergibt sich \(D_g = ]0; e^{-2}[ \cup ]e^{-2}; e^2[ \cup ]e^2; \infty[\).

\(f(x) = \ln\left(\frac{1}{x^2 - 4}\right)\) mit \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| > 2\}\) \(g(x) = \frac{1}{(\ln(x))^2 - 4}\) mit \(D_g = \mathbb{R}^+ \setminus \{e^{-2}; e^2\}\)

- Was muss für den Ausdruck unter einer Quadratwurzel immer gelten? - Achte bei einem Bruch darauf, dass der Nenner niemals den Wert Null annimmt. - Untersuche bei Ungleichungen mit Brüchen die Vorzeichen von Zähler und Nenner in verschiedenen Intervallen. - Die Definitionsmenge der inneren Funktion ist immer die Basis für die Definitionsmenge der gesamten Kette.

1. Der Funktionsterm für \(f(x) = u(v(x))\) lautet \(f(x) = \sqrt{\frac{x+3}{x-1}}\). 2. Für \(D_f\) muss \(v(x)\) definiert sein (\(x \neq 1\)) und der Radikand nichtnegativ sein (\(\frac{x+3}{x-1} \geq 0\)). Eine Vorzeichenbetrachtung der Linearfaktoren ergibt, dass der Bruch für \(x \leq -3\) oder \(x > 1\) positiv oder Null ist. Somit ist \(D_f = ]-\infty; -3] \cup ]1; \infty[\). 3. Der Funktionsterm für \(g(x) = v(u(x))\) lautet \(g(x) = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\). 4. Für \(D_g\) muss \(u(x)\) definiert sein (\(x \geq 0\)) und der Nenner von \(g(x)\) darf nicht Null werden (\(\sqrt{x}-1 \neq 0 \implies \sqrt{x} \neq 1 \implies x \neq 1\)). 5. Damit ergibt sich für die Definitionsmenge \(D_g = [0; 1[ \cup ]1; \infty[\).

\(f(x) = \sqrt{\frac{x+3}{x-1}}\) mit \(D_f = ]-\infty; -3] \cup ]1; \infty[\) \(g(x) = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\) mit \(D_g = [0; 1[ \cup ]1; \infty[\)

- Um eine Funktion zu zerlegen, hilft es, sich vorzustellen, in welcher Reihenfolge man einen Wert für \(x\) berechnen würde. - Was passiert zuerst mit dem \(x\), was danach und was ganz am Ende? - Für den Wertebereich solltest du dir überlegen, welche Werte der Ausdruck im Nenner annehmen kann. Was ist der kleinste mögliche Wert für \(x^2 + e\)? - Wie verhält sich der Bruch, wenn der Nenner immer größer wird?

1. Zerlegung der Funktion: Die innerste Operation ist \(x^2 + e\), also \(h(x) = x^2 + e\). Darauf wird der Logarithmus angewendet, also \(g(x) = \ln(x)\). Die äußere Funktion bildet den Kehrwert und multipliziert mit 4, also \(f(x) = \frac{4}{x}\). 2. Untersuchung des Wertebereichs: Da \(x^2 \geq 0\), gilt für das Argument des Logarithmus \(x^2 + e \geq e\). 3. Da die Logarithmusfunktion für \(x \geq e\) streng monoton steigt, folgt \(\ln(x^2 + e) \geq \ln(e) = 1\). 4. Für den Funktionsterm \(k(x) = \frac{4}{\ln(x^2 + e)}\) bedeutet dies, dass der Nenner Werte im Intervall \([1; \infty[\) annimmt. 5. Der größte Funktionswert ergibt sich beim kleinsten Nenner: \(k_{\text{max}} = \frac{4}{1} = 4\). Wenn der Nenner gegen unendlich strebt, nähert sich der Funktionswert von oben der Null an. Da der Nenner stets positiv ist, gilt \(k(x) > 0\). Somit ist \(W = ]0; 4]\).

a) Mögliche Lösung: \(h(x) = x^2 + e\), \(g(x) = \ln(x)\) und \(f(x) = \frac{4}{x}\) b) \(W = ]0; 4]\)

- Bei einer dreifachen Verkettung gehst du schrittweise vor: Was passiert ganz innen, was in der Mitte und was ganz außen? - Achte bei b) genau auf die Vorgabe für die äußere Funktion \(u\). Wenn \(u\) die Wurzel ist, muss \(v\) der gesamte Radikand (der Term unter der Wurzel) sein. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Funktionen nacheinander wieder ineinander einsetzt.

1. Für die dreifache Verkettung in Aufgabenteil a) analysiert man die Hierarchie der Operationen von innen nach außen: Zuerst wird das Quadrat gebildet (\(k(x) = x^2\)), dann der Kosinuswert genommen und um 2 erhöht (\(g(x) = \cos(x) + 2\)), und zuletzt die Wurzel gezogen (\(f(x) = \sqrt{x}\)). Alternativ ist auch \(k(x) = x^2\), \(g(x) = \cos(x)\) und \(f(x) = \sqrt{x + 2}\) möglich. 2. Für Aufgabenteil b) soll \(u\) eine Wurzelfunktion sein, also \(u(x) = \sqrt{x}\). Damit die gesamte Funktion \(h(x)\) entsteht, muss die innere Funktion \(v\) alles enthalten, was unter der Wurzel steht: \(v(x) = \cos(x^2) + 2\).

a) Eine mögliche Lösung ist: \(k(x) = x^2\), \(g(x) = \cos(x) + 2\) und \(f(x) = \sqrt{x}\). (Ebenfalls korrekt: \(k(x) = x^2\), \(g(x) = \cos(x)\) und \(f(x) = \sqrt{x + 2}\)). b) \(v(x) = \cos(x^2) + 2\) und \(u(x) = \sqrt{x}\).

- Was bedeutet die Schreibweise \((a \circ b)(x)\) für die Reihenfolge der Berechnung? - Kannst du den Funktionswert der inneren Funktion zuerst in der Tabelle nachschlagen? - Was passiert mit dem Ergebnis der ersten Funktion, wenn du es als Eingabe für die zweite Funktion nutzt?

1. Berechnung der Funktionswerte für \(f(x) = a(b(x))\): \(x = -3: a(b(-3)) = a(-1) = 1\) \(x = -2: a(b(-2)) = a(1) = -2\) \(x = -1: a(b(-1)) = a(0) = -3\) \(x = 0: a(b(0)) = a(-3) = 0\) \(x = 1: a(b(1)) = a(-2) = -1\) 2. Berechnung der Funktionswerte für \(g(x) = b(a(x))\): \(x = -3: b(a(-3)) = b(0) = -3\) \(x = -2: b(a(-2)) = b(-1) = 0\) \(x = -1: b(a(-1)) = b(1) = -2\) \(x = 0: b(a(0)) = b(-3) = -1\) \(x = 1: b(a(1)) = b(-2) = 1\)

<table> <tr> <td>\(x\)</td> <td>-3</td> <td>-2</td> <td>-1</td> <td>0</td> <td>1</td> </tr> <tr> <td>\(f(x)\)</td> <td>1</td> <td>-2</td> <td>-3</td> <td>0</td> <td>-1</td> </tr> <tr> <td>\(g(x)\)</td> <td>-3</td> <td>0</td> <td>-2</td> <td>-1</td> <td>1</td> </tr> </table>

- Beginne bei Teilaufgabe a) mit der Bestimmung des Wertes in der inneren Klammer. - Für Teilaufgabe b) solltest du für jedes \(x\) nacheinander beide Seiten der Gleichung getrennt berechnen und vergleichen. - Denk daran, dass das Ergebnis der ersten Funktion die Eingabe für die zweite Funktion ist.

1. Berechnung von \(u(v(4))\): Zuerst wird der innere Wert \(v(4) = 3\) aus der Tabelle abgelesen. Danach wird \(u(3) = 4\) bestimmt. 2. Überprüfung der Gleichung \((u \circ v)(x) = (v \circ u)(x)\) für alle \(x\): \(x = 1: u(v(1)) = u(2) = 1\) und \(v(u(1)) = v(3) = 1\). Da \(1 = 1\), ist \(x = 1\) eine Lösung. \(x = 2: u(v(2)) = u(4) = 5\) und \(v(u(2)) = v(1) = 2\). Da \(5 \neq 2\), keine Lösung. \(x = 3: u(v(3)) = u(1) = 3\) und \(v(u(3)) = v(4) = 3\). Da \(3 = 3\), ist \(x = 3\) eine Lösung. \(x = 4: u(v(4)) = 4\) (aus Teil a) und \(v(u(4)) = v(5) = 5\). Da \(4 \neq 5\), keine Lösung. \(x = 5: u(v(5)) = u(5) = 2\) und \(v(u(5)) = v(2) = 4\). Da \(2 \neq 4\), keine Lösung.

a) \(u(v(4)) = 4\) b) \(x \in \{1, 3\}\)

- Kannst du den Term unter der Wurzel noch weiter in kleinere Schritte zerlegen? - Schau dir die Struktur von \(g(x)\) genau an. Wie unterscheidet sie sich von \(f(x)\)? - Wenn du die innere Funktion \(v\) bereits kennst, ersetze den gesamten Term \(v(x)\) in \(g(x)\) durch ein einfaches \(x\), um \(w(x)\) zu finden.

1. Für \(f = u \circ v\) wird der Term unter der Wurzel als innere Funktion gewählt: \(v(x) = e^{2x} + 1\). Die äußere Funktion ist die Wurzel: \(u(x) = \sqrt{x}\). 2. Für die dreifache Verkettung wird \(v(x)\) weiter zerlegt. Eine Möglichkeit ist \(r(x) = 2x\) (innerste), \(q(x) = e^x + 1\) (mittlere) und \(p(x) = \sqrt{x}\) (äußere). 3. Da \(g(x) = \frac{1}{e^{2x} + 1}\) und \(v(x) = e^{2x} + 1\), muss die Funktion \(w\) das Argument in den Nenner eines Bruchs setzen: \(w(x) = \frac{1}{x}\).

a) \(v(x) = e^{2x} + 1\), \(u(x) = \sqrt{x}\) b) Beispielhafte Lösung: \(r(x) = 2x\), \(q(x) = e^x + 1\), \(p(x) = \sqrt{x}\) c) \(w(x) = \frac{1}{x}\)

- Was passiert mit der höchsten Potenz einer Funktion, wenn man für die Variable \(x\) einen anderen Term einsetzt? - Erinnere dich an die Definition des Grades einer ganzrationalen Funktion. - Überlege dir, welche Potenzgesetze beim Rechnen mit Ausdrücken wie \((x^m)^n\) gelten.

1. Seien \(p(x) = a_n x^n + \dots\) und \(q(x) = b_m x^m + \dots\) mit \(a_n, b_m \neq 0\). Der Leitterm der Verkettung ergibt sich durch Einsetzen des Leitterms von \(q\) in den Leitterm von \(p\): \(a_n (b_m x^m)^n = a_n b_m^n x^{n \cdot m}\). Da \(a_n b_m^n \neq 0\), ist der Grad der verketteten Funktion das Produkt der Einzelgrade, also \(n \cdot m\). 2. Die Aussage ist falsch. Quadratische Funktionen haben den Grad 2. Die Verkettung zweier solcher Funktionen hat nach Teil 1 den Grad \(2 \cdot 2 = 4\). Eine Funktion vierten Grades ist keine quadratische Funktion. 3. Einsetzen von \(p(x)\) in sich selbst: \(h(x) = (x^2 - 2)^2 - 2 = (x^4 - 4x^2 + 4) - 2 = x^4 - 4x^2 + 2\). Der Grad der Funktion \(h\) ist 4.

1. Der Grad ist \(n \cdot m\). 2. Die Aussage ist falsch, da die Verkettung den Grad 4 besitzt. 3. \(h(x) = x^4 - 4x^2 + 2\); der Grad ist 4.

- Erinnere dich an die formalen Bedingungen für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (\(f(-x) = f(x)\)) und Punktsymmetrie zum Ursprung (\(f(-x) = -f(x)\)). - Setze bei Verkettungen systematisch \(-x\) in die innere Funktion ein und arbeite dich nach außen vor. - Überlege dir für das Beispiel in c), wie eine Verschiebung durch die äußere Funktion wieder rückgängig gemacht oder symmetrisiert werden könnte. - Ein einfacher quadratischer Term eignet sich oft gut, um Symmetrie zu erzeugen.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Definition der Geradheit geprüft: \(f(-x) = u(v(-x))\). Da \(v\) ungerade ist, gilt \(v(-x) = -v(x)\). Da \(u\) gerade ist, folgt \(u(-v(x)) = u(v(x))\). Somit ist \(f(-x) = f(x)\), was die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse beweist. 2. In Teilaufgabe b) ergibt sich \(f(-x) = u(v(-x)) = u(-v(x))\). Da \(u\) ungerade ist, gilt \(u(-v(x)) = -u(v(x)) = -f(x)\). Die Funktion \(f\) ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade). 3. Für Teilaufgabe c) wählt man zum Beispiel \(v(x) = x + 1\). Diese Funktion ist weder gerade noch ungerade. Um \(f(x) = u(x+1)\) achsensymmetrisch zu machen, muss \(u\) so gewählt werden, dass \(u(-(x)+1) = u(x+1)\) gilt. Mit \(u(x) = (x-1)^2\) ergibt sich \(f(x) = ((x+1)-1)^2 = x^2\), was achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist.

a) Der Nachweis erfolgt über \(f(-x) = u(v(-x)) = u(-v(x)) = u(v(x)) = f(x)\). b) \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion), da \(f(-x) = -f(x)\) gilt. c) Ein mögliches Beispiel ist \(v(x) = x+1\) und \(u(x) = (x-1)^2\), woraus \(f(x) = x^2\) resultiert.

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine Zahl mit einer geraden Hochzahl potenziert wird? - Untersuche, wie sich das Quadrieren auf ein negatives Vorzeichen auswirkt, das eventuell aus der Funktion \(g\) kommt. - Nutze die Definition der Symmetrie und ersetze jedes \(x\) durch \(-x\), um die resultierende Gleichung zu vereinfachen. - Denk an Rechengesetze wie das Kommutativgesetz, um Terme zu vergleichen.

1. Bei Teilaufgabe a) ist die innere Funktion \(v(x) = x^4 + 1\) gerade, da \((-x)^4 + 1 = x^4 + 1\). Da \(h(x) = f(v(x))\) gilt, folgt \(h(-x) = f(v(-x)) = f(v(x)) = h(x)\). Die Symmetrie der inneren Funktion vererbt sich hier auf die Gesamtfunktion. 2. In Teilaufgabe b) wird \(k(-x) = (g(-x))^2\) betrachtet. Ist \(g\) gerade, gilt \(g(-x) = g(x)\), also \((g(x))^2 = k(x)\). Ist \(g\) ungerade, gilt \(g(-x) = -g(x)\), woraus durch das Quadrieren \((-g(x))^2 = (g(x))^2 = k(x)\) folgt. In beiden Fällen ist \(k\) achsensymmetrisch. 3. Für Teilaufgabe c) prüft man \(s(-x) = g(-x) \cdot g(-(-x)) = g(-x) \cdot g(x)\). Aufgrund des Kommutativgesetzes der Multiplikation ist dies identisch zu \(g(x) \cdot g(-x) = s(x)\). Damit ist \(s\) eine gerade Funktion.

a) Da die innere Funktion \(v(x) = x^4 + 1\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, gilt \(v(-x) = v(x)\) und damit \(h(-x) = f(v(-x)) = f(v(x)) = h(x)\). b) Da \((-1)^2 = 1\) gilt, wird ein eventuelles Minuszeichen der Funktion \(g\) beim Quadrieren eliminiert, sodass in beiden Fällen \(k(-x) = k(x)\) resultiert. c) Durch Einsetzen von \(-x\) erhält man \(s(-x) = g(-x) \cdot g(x)\), was aufgrund der Kommutativität der Multiplikation gleich \(s(x)\) ist.

- Wie lautet die Kettenregel für eine zusammengesetzte Funktion? - Welche Information über das Vorzeichen von \(g'\) ist gegeben? - Wann genau hat eine Funktion eine waagerechte Tangente? - Wie hilft dir der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung bei der Bestimmung der Art eines Extremums? - Kann ein Produkt null werden, wenn beide Faktoren niemals null sind?

1. Berechnung der Ableitung von \(f(x) = g(x^2 - 4)\) mittels Kettenregel: \(f'(x) = g'(x^2 - 4) \cdot 2x\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'\): Da laut Voraussetzung \(g'(x) < 0\) für alle \(x\) gilt, kann nur der Faktor \(2x\) null werden. Dies ist ausschließlich für \(x = 0\) der Fall. 3. Untersuchung des Vorzeichenwechsels von \(f'\) an der Stelle \(x = 0\): Da \(g'(x^2 - 4)\) stets negativ ist, wird das Vorzeichen von \(f'(x)\) nur durch \(2x\) bestimmt. Für \(x < 0\) ist \(2x < 0\), woraus \(f'(x) = (\text{negativ}) \cdot (\text{negativ}) > 0\) folgt. Für \(x > 0\) ist \(2x > 0\), woraus \(f'(x) = (\text{negativ}) \cdot (\text{positiv}) < 0\) folgt. 4. Da ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus vorliegt, hat \(f\) an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Maximum. 5. Untersuchung von \(h(x) = g(x^3 + x)\): Die Ableitung ist \(h'(x) = g'(x^3 + x) \cdot (3x^2 + 1)\). Da \(g'(u) < 0\) für alle \(u\) und \(3x^2 + 1 \ge 1 > 0\) für alle \(x\), ist das Produkt \(h'(x)\) stets negativ. Ohne Nullstellen der Ableitung können keine lokalen Extrema existieren.

a) \(f'(x) = 2x \cdot g'(x^2 - 4)\) b) Wegen \(g'(x^2 - 4) < 0\) ist \(f'(x) = 0\) nur für \(x = 0\) erfüllt. Da \(f'(x) > 0\) für \(x < 0\) und \(f'(x) < 0\) für \(x > 0\), liegt ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) und somit ein lokales Maximum vor. c) \(h'(x) = g'(x^3 + x) \cdot (3x^2 + 1)\). Da \(g'(x^3 + x) < 0\) und \(3x^2 + 1 > 0\), gilt \(h'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Da die Ableitung keine Nullstellen besitzt, existieren keine lokalen Extrema.

- Überlege, für welche Werte das Argument des Logarithmus gültig ist. - Welchen kleinsten und größten Wert kann der Ausdruck innerhalb der Klammer annehmen? - Wie verhält sich die Logarithmusfunktion gegenüber diesen minimalen und maximalen Eingabewerten?

1. Der natürliche Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert. Es muss also \(2 + \sin(x) > 0\) gelten. 2. Da der Wertebereich der Sinusfunktion \([-1; 1]\) ist, liegt der Ausdruck \(2 + \sin(x)\) im Bereich \([1; 3]\). Da alle diese Werte positiv sind, ist die Bedingung für alle \(x \in \mathbb{R}\) erfüllt. Somit ist \(D_f = \mathbb{R}\). 3. Um die Wertemenge \(W_f\) zu bestimmen, betrachtet man die Extrema des Arguments \(u(x) = 2 + \sin(x)\). Der kleinste Wert ist \(u_{\min} = 1\), der größte Wert ist \(u_{\max} = 3\). 4. Da die Logarithmusfunktion im Bereich \([1; 3]\) streng monoton steigend ist, ergibt sich der kleinste Funktionswert zu \(f_{\min} = \ln(1) = 0\) und der größte zu \(f_{\max} = \ln(3)\). 5. Die Wertemenge ist somit \(W_f = [0; \ln(3)]\).

\(D_f = \mathbb{R}\) \(W_f = [0; \ln(3)]\)

- Welche Werte darfst du in die innere Funktion überhaupt einsetzen? - Gibt es Werte, die die innere Funktion ausgibt, welche die äußere Funktion nicht verarbeiten kann? - Achte bei Brüchen besonders auf die Stellen, an denen der Nenner null wird. - Überlege dir zuerst die Definitionsmenge der inneren Funktion und prüfe dann die Bedingungen der äußeren Funktion.

1. Bildung von \(f(x)\): Einsetzen von \(v(x)\) in \(u(x)\) ergibt \(f(x) = \frac{3}{(x^2 + 1) - 4} = \frac{3}{x^2 - 3}\). 2. Bestimmung von \(D_f\): Da \(v(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert ist, muss lediglich der Nenner von \(u(v(x))\) ungleich null sein. Aus \(x^2 - 3 = 0\) folgt \(x = \pm\sqrt{3}\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}\). 3. Bildung von \(g(x)\): Einsetzen von \(u(x)\) in \(v(x)\) ergibt \(g(x) = \left(\frac{3}{x - 4}\right)^2 + 1 = \frac{9}{(x - 4)^2} + 1\). 4. Bestimmung von \(D_g\): Die innere Funktion \(u(x)\) ist für \(x = 4\) nicht definiert. Da die äußere Funktion \(v\) für alle reellen Zahlen definiert ist, ergeben sich keine weiteren Einschränkungen. Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\}\).

\(f(x) = \frac{3}{x^2 - 3}\) mit \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}\); \(g(x) = \frac{9}{(x - 4)^2} + 1\) mit \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\}\)

- Erinnere dich daran, welche Werte man in die Logarithmusfunktion einsetzen darf. - Bei einer Verkettung musst du sowohl die Definitionsmenge der inneren Funktion als auch die der resultierenden Gesamtfunktion beachten. - Was passiert mit dem Definitionsbereich, wenn eine Funktion wie \(4-x^2\) im Inneren eines Logarithmus steht? - Gibt es bei der Funktion \(g(x)\) Werte der inneren Funktion, die für die äußere Funktion problematisch sein könnten?

1. Bildung von \(f(x)\): Die Verkettung \(u(v(x))\) führt auf den Term \(f(x) = \ln(4 - x^2)\). 2. Bestimmung von \(D_f\): Der natürliche Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert. Es muss also gelten: \(4 - x^2 > 0\). Dies entspricht \(x^2 < 4\), woraus das offene Intervall \(-2 < x < 2\) folgt. Somit ist \(D_f = ]-2; 2[\). 3. Bildung von \(g(x)\): Die Verkettung \(v(u(x))\) führt auf den Term \(g(x) = 4 - (\ln(x))^2\). 4. Bestimmung von \(D_g\): Die innere Funktion \(u(x) = \ln(x)\) erfordert \(x > 0\). Da die äußere Funktion \(v\) eine ganzrationale Funktion ist und für alle reellen Eingabewerte definiert ist, bleibt die Einschränkung der inneren Funktion bestehen. Somit ist \(D_g = ]0; \infty[\).

\(f(x) = \ln(4 - x^2)\) mit \(D_f = ]-2; 2[\); \(g(x) = 4 - (\ln(x))^2\) mit \(D_g = ]0; \infty[\)

- Was bedeutet die Schreibweise \(u \circ v\) für die Reihenfolge der Einsetzung? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Quadratwurzel im reellen Bereich definiert ist? - Worauf musst du achten, wenn eine Variable oder ein ganzer Term im Nenner eines Bruchs steht? - Wie beeinflusst die Definitionsmenge der inneren Funktion die Definitionsmenge der gesamten Kette?

1. Bestimmung von \(f(x) = u(v(x))\): Einsetzen von \(v(x)\) in \(u\) ergibt \(f(x) = \sqrt{\frac{2}{x-1} + 2}\). Durch Gleichnamigmachen unter der Wurzel erhält man \(f(x) = \sqrt{\frac{2 + 2x - 2}{x-1}} = \sqrt{\frac{2x}{x-1}}\). 2. Definitionsmenge \(D_f\): Der Radikand \(\frac{2x}{x-1}\) muss \(\ge 0\) sein und der Nenner \(x-1 \neq 0\). Eine Vorzeichenanalyse ergibt: Für \(x \le 0\) sind Zähler und Nenner negativ (Quotient positiv), für \(0 < x < 1\) ist der Zähler positiv und der Nenner negativ (Quotient negativ), für \(x > 1\) sind beide positiv. Somit ist \(D_f = ]-\infty; 0] \cup ]1; \infty[\). 3. Bestimmung von \(g(x) = v(u(x))\): Einsetzen von \(u(x)\) in \(v\) ergibt \(g(x) = \frac{2}{\sqrt{x+2} - 1}\). 4. Definitionsmenge \(D_g\): Die Wurzel erfordert \(x+2 \ge 0 \implies x \ge -2\). Zusätzlich darf der Nenner nicht Null werden: \(\sqrt{x+2} - 1 \neq 0 \implies \sqrt{x+2} \neq 1 \implies x+2 \neq 1 \implies x \neq -1\). Somit ist \(D_g = [-2; -1[ \cup ]-1; \infty[\).

\(f(x) = \sqrt{\frac{2x}{x-1}}\) mit \(D_f = ]-\infty; 0] \cup ]1; \infty[\) \(g(x) = \frac{2}{\sqrt{x+2} - 1}\) mit \(D_g = [-2; -1[ \cup ]-1; \infty[\)

- Unterscheide genau, ob Funktionen hintereinander ausgeführt (komponiert) oder miteinander verrechnet werden. - Achte bei der Ableitung von zusammengesetzten Funktionen auf die Unterscheidung zwischen innerer und äußerer Funktion. - Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn Funktionen multipliziert oder addiert werden? - Überlege dir zuerst die Ableitungen der drei Grundbausteine.

1. Darstellung der Funktionen als Verknüpfungen: \(f_1(x) = u(w(x)) \cdot v(x)\) \(f_2(x) = v(w(x)) + u(x)\) \(f_3(x) = \frac{w(x)}{u(x)}\) 2. Ableitungen der Grundfunktionen: \(u'(x) = e^x\) \(v'(x) = -\sin(x)\) \(w'(x) = 2x\) 3. Ableitungen von \(f_1\) und \(f_2\) unter Verwendung von Ketten-, Produkt- und Summenregel: Für \(f_1'(x)\): Die Ableitung der Komposition \(u(w(x))\) ist \(e^{x^2+3} \cdot 2x\). Mit der Produktregel folgt: \(f_1'(x) = 2x \cdot e^{x^2+3} \cdot \cos(x) + e^{x^2+3} \cdot (-\sin(x)) = e^{x^2+3} \cdot (2x \cos(x) - \sin(x))\) Für \(f_2'(x)\): Die Ableitung der Komposition \(v(w(x))\) ist \(-\sin(x^2+3) \cdot 2x\). Mit der Summenregel folgt: \(f_2'(x) = -2x \sin(x^2+3) + e^x\)

Verknüpfungen: \(f_1(x) = (u \circ w)(x) \cdot v(x)\) \(f_2(x) = (v \circ w)(x) + u(x)\) \(f_3(x) = \frac{w(x)}{u(x)}\) Ableitungen: \(u'(x) = e^x\) \(v'(x) = -\sin(x)\) \(w'(x) = 2x\) \(f_1'(x) = e^{x^2+3} \cdot (2x \cos(x) - \sin(x))\) \(f_2'(x) = e^x - 2x \sin(x^2+3)\)

- Identifiziere, welche Funktion als „Argument“ in eine andere eingesetzt wurde. - Erinnere dich an die Kettenregel: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung“. - Was ist die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion und der Wurzelfunktion? - Bei \(g_3\) wird eine Quotientenstruktur sichtbar – welche Regel hilft hier beim Ableiten?

1. Verknüpfungen identifizieren: \(g_1(x) = a(c(x))\) \(g_2(x) = b(a(x))\) \(g_3(x) = \frac{b(x)}{c(x)}\) 2. Ableitungen der Basisfunktionen: \(a'(x) = \frac{1}{x}\) \(b'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) \(c'(x) = -2x\) 3. Ableitungen der verknüpften Funktionen: Für \(g_1'(x)\) (Kettenregel): Äußere Ableitung \(a'(c(x)) = \frac{1}{5-x^2}\), innere Ableitung \(c'(x) = -2x\). Ergebnis: \(g_1'(x) = \frac{-2x}{5-x^2} = \frac{2x}{x^2-5}\). Für \(g_2'(x)\) (Kettenregel): Äußere Ableitung \(b'(a(x)) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(x)}}\), innere Ableitung \(a'(x) = \frac{1}{x}\). Ergebnis: \(g_2'(x) = \frac{1}{2x\sqrt{\ln(x)}}\).

Verknüpfungen: \(g_1(x) = a(c(x))\) \(g_2(x) = b(a(x))\) \(g_3(x) = \frac{b(x)}{c(x)}\) Ableitungen: \(a'(x) = \frac{1}{x}\) \(b'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) \(c'(x) = -2x\) \(g_1'(x) = \frac{2x}{x^2-5}\) \(g_2'(x) = \frac{1}{2x\sqrt{\ln(x)}}\)

- Was passiert, wenn du eine Funktion in eine andere einsetzt? Ersetze das \(x\) der äußeren Funktion durch den gesamten Term der inneren Funktion. - Die Definitionsmenge einer verketteten Funktion wird sowohl durch die innere Funktion als auch durch die Anforderungen der äußeren Funktion eingeschränkt. - Erinnere dich an die Definitionsbereiche der natürlichen Exponentialfunktion und der Quadratwurzelfunktion.

1. Untersuchung von \(f = u \circ v\): - Funktionsterm: \(f(x) = u(v(x)) = \sqrt{e^x + 2}\). - Definitionsmenge: Die innere Funktion \(v(x) = e^x\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert und nimmt stets positive Werte an (\(e^x > 0\)). Die äußere Funktion \(u(z) = \sqrt{z+2}\) erfordert \(z \geq -2\). Da \(e^x + 2 > 2\) für alle \(x\) gilt, ist die Bedingung immer erfüllt. Somit ist \(D_f = \mathbb{R}\). 2. Untersuchung von \(g = v \circ u\): - Funktionsterm: \(g(x) = v(u(x)) = e^{\sqrt{x+2}}\). - Definitionsmenge: Die innere Funktion \(u(x) = \sqrt{x+2}\) ist nur für \(x+2 \geq 0\), also \(x \geq -2\), definiert. Die äußere Funktion \(v(z) = e^z\) ist für alle reellen Argumente definiert. Daher wird die Definitionsmenge allein durch die innere Funktion eingeschränkt. Somit ist \(D_g = [-2; \infty[\).

\(f(x) = \sqrt{e^x + 2}\) mit \(D_f = \mathbb{R}\) \(g(x) = e^{\sqrt{x+2}}\) mit \(D_g = [-2; \infty[\)

- Achte bei der Verkettung genau darauf, welche Funktion die „innere“ und welche die „äußere“ ist. - Denk an die Kettenregel: Ableitung der äußeren Funktion mal Ableitung der inneren Funktion. - Wie hängen die Koeffizienten in \(a \cdot \sin(bx+c)+d\) mit Amplitude, Periode und Verschiebung zusammen? - Welche Werte kann die Sinusfunktion maximal und minimal annehmen?

1. \(h_1(x) = \sin(mx + c)\) und \(h_2(x) = m \cdot \sin(x) + c\). 2. Ableitungen: \(h_1'(x) = \cos(mx + c) \cdot m = m \cos(mx + c)\). Für \(h_2\) gilt \(h_2'(x) = m \cos(x)\). 3. Der Parameter \(m\) beeinflusst die Periode \(P = \frac{2\pi}{m}\). Da \(m\) ein Faktor im Argument ist, wird die Schwingung bei \(m > 1\) gestaucht und bei \(0 < m < 1\) gestreckt. Der Parameter \(c\) bewirkt eine horizontale Verschiebung des Graphen um \(\frac{c}{m}\) Einheiten nach links. Die Amplitude bleibt 1. 4. Die Sinusfunktion schwankt zwischen \(-1\) und \(1\). Somit schwankt \(h_2(x) = m \sin(x) + c\) zwischen \(-m + c\) und \(m + c\). Es ergibt sich das Gleichungssystem: (I) \(-m + c = -2\) und (II) \(m + c = 4\). Addition von (I) und (II) liefert \(2c = 2 \implies c = 1\). Einsetzen in (II) liefert \(m + 1 = 4 \implies m = 3\).

1. \(h_1(x) = \sin(mx + c)\); \(h_2(x) = m \sin(x) + c\) 2. \(h_1'(x) = m \cos(mx + c)\); \(h_2'(x) = m \cos(x)\) 3. \(m\) verändert die Periode (\(P = \frac{2\pi}{m}\)); \(c\) verschiebt den Graphen horizontal. 4. \(m = 3\) und \(c = 1\)

- Denk beim Ableiten von \((g(x))^2\) an die Kettenregel: Was ist hier die äußere und was die innere Funktion? - Für die zweite Ableitung musst du die Produktregel auf den Term der ersten Ableitung anwenden. - Welche Bedingung muss für die zweite Ableitung gelten, damit ein Graph linksgekrümmt ist? - Was passiert mit den Termen in \(f'(x)\) und \(f''(x)\), wenn du \(g(x_0) = 0\) einsetzt? - Erinnere dich an das hinreichende Kriterium für lokale Extrema unter Verwendung der zweiten Ableitung.

1. Erste Ableitung mit Kettenregel: \(f'(x) = 2 \cdot g(x) \cdot g'(x)\). 2. Zweite Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: \(f''(x) = 2 \cdot (g'(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot g''(x)) = 2 \cdot (g'(x))^2 + 2 \cdot g(x) \cdot g''(x)\). 3. Krümmungsverhalten: Eine Linkskrümmung liegt vor, wenn \(f''(x) > 0\). Da \((g'(x))^2 \ge 0\) und nach Voraussetzung \(g(x) > 0\) sowie \(g''(x) > 0\) gilt, ist die Summe \(2(g'(x))^2 + 2g(x)g''(x)\) stets positiv. 4. Untersuchung an der Nullstelle \(x_0\): Es gilt \(g(x_0) = 0\). Einsetzen in die Ableitungen ergibt \(f'(x_0) = 2 \cdot 0 \cdot g'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) = 2 \cdot (g'(x_0))^2 + 2 \cdot 0 \cdot g''(x_0) = 2(g'(x_0))^2\). 5. Da \(g'(x_0) \neq 0\), ist \((g'(x_0))^2 > 0\), also \(f''(x_0) > 0\). Somit liegt bei \(x_0\) ein lokales Minimum vor.

a) \(f'(x) = 2 \cdot g(x) \cdot g'(x)\) und \(f''(x) = 2 \cdot (g'(x))^2 + 2 \cdot g(x) \cdot g''(x)\) b) Da \((g'(x))^2 \ge 0\) und laut Voraussetzung \(g(x) \cdot g''(x) > 0\) gilt, ist \(f''(x) > 0\). Dies entspricht einer Linkskrümmung. c) Wegen \(g(x_0) = 0\) ist \(f'(x_0) = 0\). Da \(g'(x_0) \neq 0\), folgt \(f''(x_0) = 2(g'(x_0))^2 > 0\). Damit ist das Kriterium für ein lokales Minimum erfüllt.

- Welche Werte für \(x\) führen dazu, dass der Nenner des Bruchs Null wird? Erinnere dich an die Symmetrie und Periodizität der Kosinusfunktion. - Untersuche, welche Werte der gesamte Nennerterm annehmen kann. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner gegen Null geht oder seinen maximalen/minimalen Wert erreicht? - Skizziere dir gedanklich den Verlauf der Funktion in der Nähe der Definitionslücken.

1. Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht Null werden. \(2\cos(x) - 1 = 0 \iff \cos(x) = 0{,}5\). Dies ist der Fall für \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) und \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{x \mid x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\). 2. Wertemenge: Der Ausdruck im Nenner \(u(x) = 2\cos(x) - 1\) nimmt Werte im Intervall \([-3; 1]\) an. Da der Wert \(0\) aus der Definitionsmenge ausgeschlossen ist, betrachten wir die Teilintervalle \([-3; 0[\) und \(]0; 1]\). 3. Für \(u \in [-3; 0[\) liefert der Kehrwert \(1/u\) Werte im Bereich \(]-\infty; -\frac{1}{3}]\). Multiplikation mit \(2\) ergibt das Intervall \(]-\infty; -\frac{2}{3}]\). 4. Für \(u \in ]0; 1]\) liefert der Kehrwert \(1/u\) Werte im Bereich \([1; \infty[\). Multiplikation mit \(2\) ergibt das Intervall \([2; \infty[\). 5. Die Wertemenge ist die Vereinigung dieser Intervalle: \(W_g = ]-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [2; \infty[\).

\(D_g = \mathbb{R} \setminus \{x \mid x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\) \(W_g = ]-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [2; \infty[\)

- Überlege zuerst, welche Werte in die innere Funktion überhaupt eingesetzt werden dürfen. - Welche Einschränkungen gelten für das Argument eines natürlichen Logarithmus? - Kannst du die Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktionen nutzen, um die Terme zu vereinfachen? - Bleibt eine Definitionslücke bestehen, auch wenn sich ein Term beim Vereinfachen „wegkürzt“?

1. Bestimmung von \(f(x) = u(v(x))\): Einsetzen von \(v(x)\) in \(u\) ergibt \(f(x) = \ln((e^{x+1})^2 - 1) = \ln(e^{2x+2} - 1)\). 2. Definitionsmenge \(D_f\): Das Argument des Logarithmus muss positiv sein: \(e^{2x+2} - 1 > 0 \implies e^{2x+2} > 1\). Da \(e^0 = 1\) und die Exponentialfunktion streng monoton steigt, folgt \(2x + 2 > 0 \implies x > -1\). Somit ist \(D_f = ]-1; \infty[\). 3. Bestimmung von \(g(x) = v(u(x))\): Einsetzen von \(u(x)\) in \(v\) ergibt \(g(x) = e^{\ln(x^2 - 1) + 1}\). Unter Verwendung von Potenzgesetzen und der Eigenschaft \(e^{\ln(a)} = a\) folgt \(g(x) = e^{\ln(x^2 - 1)} \cdot e^1 = e \cdot (x^2 - 1)\). 4. Definitionsmenge \(D_g\): Obwohl der vereinfachte Term für alle \(x\) definiert wäre, muss die innere Funktion \(u(x) = \ln(x^2 - 1)\) definiert sein. Dies erfordert \(x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1\). Daraus folgt \(x < -1\) oder \(x > 1\). Somit ist \(D_g = ]-\infty; -1[ \cup ]1; \infty[\).

\(f(x) = \ln(e^{2x+2} - 1)\) mit \(D_f = ]-1; \infty[\) \(g(x) = e \cdot (x^2 - 1)\) mit \(D_g = ]-\infty; -1[ \cup ]1; \infty[\)