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- Erinnere dich an das Verfahren zur Bestimmung von Wendepunkten. - Drücke die x-Koordinate des Wendepunkts in Abhängigkeit von \(t\) aus. - Wie kannst du \(t\) aus der Gleichung eliminieren, um eine Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) zu finden?

1. Ableitungen bestimmen: \(g_t'(x) = 3x^2 - 6tx\), \(g_t''(x) = 6x - 6t\) und \(g_t'''(x) = 6\). 2. Wendestellen berechnen: \(g_t''(x) = 0 \implies 6x - 6t = 0 \implies x = t\). 3. Da \(g_t'''(x) = 6 \neq 0\) für alle \(x\), besitzt jede Funktion der Schar genau einen Wendepunkt bei \(x = t\). 4. Zusammenhang zwischen \(x\) und \(t\) nutzen: \(t = x\). 5. \(t\) in die Funktionsgleichung einsetzen, um die y-Koordinate in Abhängigkeit von \(x\) zu erhalten: \(y = x^3 - 3(x)x^2 + 1\). 6. Vereinfachen: \(y = x^3 - 3x^3 + 1 = -2x^3 + 1\).

Die Ortslinie der Wendepunkte ist gegeben durch \(y = -2x^3 + 1\).

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass der Teil mit dem Parameter \(k\) isoliert ist? - Überlege dir, für welchen \(x\)-Wert der Ausdruck, der mit \(k\) multipliziert wird, null ergibt. - Wie berechnest du die Steigung einer Funktion an einer ganz bestimmten Stelle? - Was bedeutet es für das Ergebnis deiner Ableitung, wenn die Steigung für alle \(k\) gleich sein soll?

1. Zur Bestimmung des gemeinsamen Punktes wird der Funktionsterm nach dem Parameter \(k\) sortiert: \(f_k(x) = k(x^2 - 4x + 4) + 2x - 3\). 2. Durch Ausklammern erkennt man die binomische Formel: \(f_k(x) = k(x-2)^2 + 2x - 3\). Der Einfluss von \(k\) verschwindet genau dann, wenn \((x-2)^2 = 0\) gilt, also bei \(x = 2\). 3. Den zugehörigen \(y\)-Wert berechnet man durch Einsetzen von \(x = 2\): \(f_k(2) = k(0)^2 + 2 \cdot 2 - 3 = 1\). Der gemeinsame Punkt ist \(P(2 \mid 1)\). 4. Die erste Ableitung der Schar lautet \(f_k'(x) = 2kx + 2 - 4k\). 5. Die Steigung an der Stelle \(x = 2\) ergibt sich zu \(f_k'(2) = 2k \cdot 2 + 2 - 4k = 4k + 2 - 4k = 2\). 6. Da dieser Wert unabhängig von \(k\) ist, haben alle Graphen im Punkt \(P\) die Steigung \(2\).

Der gemeinsame Punkt aller Graphen ist \(P(2 \mid 1)\). Die Steigung an dieser Stelle ist für alle Funktionen der Schar identisch und beträgt \(f_k'(2) = 2\).

- Wie lautet die notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunkts? - Bestimme zunächst die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts in Abhängigkeit vom Parameter \(a\). - Berechne anschließend die zugehörige \(y\)-Koordinate. - Versuche, die Gleichung für \(x\) so umzustellen, dass du den Parameter \(a\) durch \(x\) ersetzen kannst. - Setze diesen Ausdruck für \(a\) in die Gleichung der \(y\)-Koordinate ein.

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 3x^2 - 12ax\) und \(f_a''(x) = 6x - 12a\). 2. Wendepunkte berechnen: \(f_a''(x) = 0 \implies 6x - 12a = 0 \implies x_W = 2a\). 3. Überprüfung der Wendepunktbedingung: Da \(f_a'''(x) = 6 \neq 0\), liegt an der Stelle \(x_W\) stets ein Wendepunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate bestimmen: \(y_W = f_a(2a) = (2a)^3 - 6a(2a)^2 + 2 = 8a^3 - 24a^3 + 2 = -16a^3 + 2\). 5. Parameter \(a\) eliminieren: Aus \(x = 2a\) folgt \(a = \frac{x}{2}\). 6. In \(y_W\) einsetzen: \(y = -16\left(\frac{x}{2}\right)^3 + 2 = -16 \cdot \frac{x^3}{8} + 2 = -2x^3 + 2\). Die Wendepunkte liegen auf der Kurve mit der Gleichung \(y = -2x^3 + 2\) (für \(x \neq 0\)).

Die Wendepunkte liegen auf der Kurve mit der Gleichung \(y = -2x^3 + 2\). Für die Ortskurve gilt wegen \(a\neq0\) zusätzlich \(x\neq0\).

- Welche Bedingung muss für eine Nullstelle erfüllt sein? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie berechnet man die Stellen mit waagerechter Tangente bei einer Funktionenschar? - Welche Rolle spielt ein konstanter Faktor beim Ableiten und beim Nullsetzen der Ableitung?

1. Nullstellenberechnung: Ansatz \(f_k(x) = 0\). Da \(k \neq 0\), muss \(x^3 - 6x^2 + 9x = 0\) gelten. Ausklammern ergibt \(x(x^2 - 6x + 9) = 0\), was zu \(x(x-3)^2 = 0\) führt. Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Da der Parameter \(k\) lediglich als gemeinsamer Faktor auftritt, beeinflusst er die Lösungen der Gleichung nicht. 2. Punktprobe für \(P(1 \mid 8)\): Einsetzen der Koordinaten in \(f_k(x)\) ergibt \(8 = k \cdot (1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1)\). Vereinfachung der Klammer liefert \(8 = k \cdot (1 - 6 + 9) = 4k\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = 2\). 3. Untersuchung der Extremstellen: Die erste Ableitung lautet \(f_k'(x) = k \cdot (3x^2 - 12x + 9)\). Die notwendige Bedingung für Extremstellen ist \(f_k'(x) = 0\). Da \(k \neq 0\), reduziert sich dies auf die quadratische Gleichung \(3x^2 - 12x + 9 = 0\) bzw. \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen dieser Gleichung sind \(x_E = 1\) und \(x_E = 3\). Da \(k\) in dieser Gleichung nicht mehr vorkommt (bzw. herausgekürzt werden kann), sind die Extremstellen für alle \(k\) identisch.

a) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Sie sind unabhängig von \(k\), da \(k\) als Faktor vor dem Funktionsterm steht und für \(k \neq 0\) keinen Einfluss auf die Nullstellen des Terms in der Klammer hat. b) Der gesuchte Wert ist \(k = 2\). c) Die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) führt auf die Gleichung \(3x^2 - 12x + 9 = 0\), deren Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) unabhängig von \(k\) sind.

- Wie gehst du vor, um die Nullstellen einer Funktion mit einem Parameter zu finden? - Welche Gleichung musst du lösen, um den Parameter für einen gegebenen Punkt zu finden? - Erinnere dich an das Kriterium für die Art eines Extrempunktes mithilfe der zweiten Ableitung. - Wie wirkt sich ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Form des Graphen aus?

1. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Ansatz \(g_a(x) = 0\). Dies führt auf \(a \cdot x^2(x^2 - 4) = 0\). Wegen \(a \neq 0\) ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\), welche unabhängig von \(a\) sind. Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 \mid 0)\), \(S_2(2 \mid 0)\) und \(S_3(-2 \mid 0)\). 2. Bestimmung von \(a\): Einsetzen von \(Q(1 \mid 6)\) in die Funktionsgleichung ergibt \(6 = a \cdot (1^4 - 4 \cdot 1^2) = a \cdot (1 - 4) = -3a\). Daraus folgt \(a = -2\). 3. Untersuchung der Extrempunkte: Die Ableitungen sind \(g_a'(x) = a(4x^3 - 8x)\) und \(g_a''(x) = a(12x^2 - 8)\). Die Bedingung \(g_a'(x) = 0\) liefert \(4ax(x^2 - 2) = 0\), also \(x_E \in \{0; \sqrt{2}; -\sqrt{2}\}\). Diese Stellen sind unabhängig von \(a\). 4. Art der Extrema: Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt \(g_a''(0) = -8a\) und \(g_a''(\pm\sqrt{2}) = 16a\). Ist \(a > 0\), so ist \(g_a''(0) < 0\) (Hochpunkt) und \(g_a''(\pm\sqrt{2}) > 0\) (Tiefpunkte). Ist \(a < 0\), so ist \(g_a''(0) > 0\) (Tiefpunkt) und \(g_a''(\pm\sqrt{2}) < 0\) (Hochpunkte). Die Art hängt somit vom Vorzeichen von \(a\) ab.

a) Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 \mid 0)\), \(S_2(2 \mid 0)\) und \(S_3(-2 \mid 0)\). Da der Faktor \(a \neq 0\) die Nullstellen des Terms \((x^4 - 4x^2)\) nicht verändert, sind sie für alle \(g_a\) gleich. b) Der Parameterwert ist \(a = -2\). c) Die Extremstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = \pm\sqrt{2}\). Für \(a > 0\) liegt bei \(x=0\) ein lokales Maximum und bei \(x=\pm\sqrt{2}\) lokale Minima vor; für \(a < 0\) ist es umgekehrt.

- Überlege dir, unter welcher Bedingung der Funktionswert an einer Stelle \(x\) völlig unabhängig vom Parameter \(a\) ist. - Denke daran, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^2 = c\) in Abhängigkeit von \(c\) haben? - Erinnere dich an die Symmetriebedingungen für ganzrationale Funktionen. - Wie verändert sich ein Funktionsterm, wenn der zugehörige Graph im Koordinatensystem verschoben wird?

1. Zur Bestimmung der gemeinsamen Punkte setzt man zwei Funktionsgleichungen mit unterschiedlichen Parametern \(a\) und \(b\) gleich: \(ax^4 - (a + 1)x^2 = bx^4 - (b + 1)x^2\). Dies führt auf \((a - b)x^4 - (a - b)x^2 = 0\), woraus \((a - b)x^2(x^2 - 1) = 0\) folgt. Da \(a \neq b\), ergeben sich die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). Die zugehörigen \(y\)-Koordinaten sind \(f_a(0) = 0\) und \(f_a(\pm 1) = -1\). Die gemeinsamen Punkte sind somit \(P_1(0 \mid 0)\), \(P_2(1 \mid -1)\) und \(P_3(-1 \mid -1)\). 2. Für die Nullstellen gilt \(x^2(ax^2 - (a + 1)) = 0\). Die erste Nullstelle ist \(x = 0\). Weitere Nullstellen existieren, falls \(x^2 = \frac{a + 1}{a} = 1 + \frac{1}{a}\) Lösungen hat. Genau eine Nullstelle liegt vor, wenn diese Gleichung keine weiteren Lösungen außer \(x = 0\) liefert. Dies ist der Fall, wenn \(1 + \frac{1}{a} < 0\) (keine weiteren reellen Lösungen) oder \(1 + \frac{1}{a} = 0\) (Lösung \(x = 0\)). Die Ungleichung \(1 + \frac{1}{a} \leq 0\) führt für \(a \neq 0\) auf das Intervall \(-1 \leq a < 0\). 3. Da in \(f_a(x)\) nur gerade Exponenten von \(x\) vorkommen, gilt \(f_a(-x) = f_a(x)\), was die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (Gerade \(x = 0\)) beweist. Um den Graphen symmetrisch zur Geraden \(x = 2\) zu machen, muss er um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung verschoben werden. Die neue Funktionsgleichung lautet \(g_a(x) = f_a(x - 2) = a(x - 2)^4 - (a + 1)(x - 2)^2\).

a) Gemeinsame Punkte: \(P_1(0 \mid 0)\), \(P_2(1 \mid -1)\) und \(P_3(-1 \mid -1)\). b) Genau eine Nullstelle für \(a \in [-1; 0[\). c) \(g_a(x) = a(x - 2)^4 - (a + 1)(x - 2)^2\).

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion zu finden, wenn ein Parameter enthalten ist? - Behandle den Parameter beim Ableiten nach \(x\) wie eine Konstante. - Sobald du die Koordinaten des Tiefpunkts in Abhängigkeit von \(k\) hast, betrachte den \(y\)-Wert als eine neue Funktion \(h(k)\). - Wie findet man den kleinstmöglichen Wert einer Funktion \(h(k)\)? - Achte am Ende auf die geforderte Rundung auf zwei Dezimalstellen.

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = k - \frac{1}{kx^2}\) und \(f_k''(x) = \frac{2}{kx^3}\). 2. Nullstelle der ersten Ableitung: \(k - \frac{1}{kx^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{k^2} \Rightarrow x = \frac{1}{k}\) (da \(x, k > 0\)). 3. Art des Extrempunkts prüfen: \(f_k''\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{2}{k \cdot (1/k)^3} = 2k^2 > 0\), somit liegt ein Tiefpunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts: \(f_k\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{110}{k} + k \cdot \frac{1}{k} + \frac{1}{k \cdot \frac{1}{k}} + k^2 = \frac{110}{k} + 1 + 1 + k^2 = k^2 + \frac{110}{k} + 2\). Die Koordinaten sind \(T_k\left(\frac{1}{k} \mid k^2 + \frac{110}{k} + 2\right)\). 5. Minimierung der \(y\)-Koordinate: \(h(k) = k^2 + \frac{110}{k} + 2 \Rightarrow h'(k) = 2k - \frac{110}{k^2}\). 6. Extremstelle von \(h(k)\): \(2k - \frac{110}{k^2} = 0 \Rightarrow 2k^3 = 110 \Rightarrow k = \sqrt[3]{55} \approx 3{,}80\). Wegen \(h''(k) = 2 + \frac{220}{k^3} > 0\) liegt ein Minimum vor.

Tiefpunkt: \(T_k\left(\frac{1}{k} \mid k^2 + \frac{110}{k} + 2\right)\); optimaler Parameterwert: \(k \approx 3{,}80\).

- Bestimme zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktion bezüglich \(x\). - Was bedeutet es für die Ableitung, wenn ein Punkt ein Tiefpunkt sein soll? - Setze die gefundene \(x\)-Stelle in die Funktionsgleichung ein, um den \(y\)-Wert zu erhalten. - Um den niedrigsten Tiefpunkt zu finden, musst du die Funktion untersuchen, die den \(y\)-Wert des Tiefpunkts in Abhängigkeit von \(a\) beschreibt. - Verwende für die Berechnung des finalen Parameterwerts \(a\) die dritte Wurzel.

1. Erste Ableitung nach \(x\) bestimmen: \(g_a'(x) = a - \frac{a^3}{x^2}\). 2. Notwendige Bedingung für Extremum: \(a - \frac{a^3}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = a^2 \Rightarrow x = a\) (wegen \(x, a > 0\)). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g_a''(x) = \frac{2a^3}{x^3} \Rightarrow g_a''(a) = \frac{2a^3}{a^3} = 2 > 0\), also liegt ein Tiefpunkt vor. 4. Funktionswert an der Stelle \(x = a\): \(g_a(a) = a \cdot a + \frac{a^3}{a} + \frac{5}{a} = a^2 + a^2 + \frac{5}{a} = 2a^2 + \frac{5}{a}\). Der Tiefpunkt ist \(P_a\left(a \mid 2a^2 + \frac{5}{a}\right)\). 5. Extremwert der \(y\)-Koordinate bestimmen: \(h(a) = 2a^2 + \frac{5}{a} \Rightarrow h'(a) = 4a - \frac{5}{a^2}\). 6. Nullstelle von \(h'(a)\): \(4a - \frac{5}{a^2} = 0 \Rightarrow 4a^3 = 5 \Rightarrow a = \sqrt[3]{1{,}25} \approx 1{,}08\). Da \(h''(a) = 4 + \frac{10}{a^3} > 0\), ist dies die Stelle des minimalen \(y\)-Werts.

Tiefpunkt: \(P_a\left(a \mid 2a^2 + \frac{5}{a}\right)\); optimaler Parameterwert: \(a \approx 1{,}08\).

- Welche Bedingungen müssen für die Existenz von Extremstellen erfüllt sein? - Beachte, dass das Vorzeichen des Parameters die Art des Extrempunktes beeinflussen kann. - Wie hängen die x- und y-Koordinaten des Wendepunkts zusammen, wenn man den Parameter eliminiert? - Setze die x-Koordinate des Wendepunkts nach dem Parameter um und substituiere diesen in der y-Koordinate.

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 6kx\) und \(f_k''(x) = 6x - 6k\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(3x(x - 2k) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\). 3. Art der Extrema prüfen: \(f_k''(0) = -6k\) und \(f_k''(2k) = 6k\). Für \(k > 0\): Hochpunkt \(H(0 \mid 2)\) und Tiefpunkt \(T(2k \mid -4k^3 + 2)\). Für \(k < 0\): Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\) und Hochpunkt \(H(2k \mid -4k^3 + 2)\). 4. Wendepunkt bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \implies x_W = k\). Funktionswert: \(f_k(k) = k^3 - 3k^3 + 2 = -2k^3 + 2\). 5. Ortskurve ermitteln: Aus \(x = k\) folgt durch Einsetzen in \(y = -2k^3 + 2\) die Gleichung \(y = -2x^3 + 2\).

a) Für \(k > 0\): Hochpunkt \(H(0 \mid 2)\), Tiefpunkt \(T(2k \mid -4k^3 + 2)\). Für \(k < 0\): Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\), Hochpunkt \(H(2k \mid -4k^3 + 2)\). b) Die Ortskurve der Wendepunkte hat die Gleichung \(y = -2x^3 + 2\).

- Wie lauten die Ableitungsregeln für Produkte und verkettete Funktionen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Graphen schneiden? - Überlege, welche Terme in der Gleichung für alle \(x\) ungleich Null sind, um die Gleichung zu vereinfachen. - Wann ist ein Ergebnis „unabhängig“ von einem Parameter?

1. Erste Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel berechnen: \(f'_k(x) = k \cdot (2x \cdot e^x + (x^2 - 1) \cdot e^x) = k \cdot (x^2 + 2x - 1) \cdot e^x\) 2. Zweite Ableitung berechnen: \(f''_k(x) = k \cdot ((2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - 1) \cdot e^x) = k \cdot (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x\) 3. Gleichung für den Schnittpunkt aufstellen: \(f_k(x) = f''_k(x) \iff k \cdot (x^2 - 1) \cdot e^x = k \cdot (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x\) 4. Da \(k \neq 0\) und \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), kann die Gleichung durch \(k \cdot e^x\) dividiert werden: \(x^2 - 1 = x^2 + 4x + 1\) 5. Nach \(x\) auflösen: \(-1 = 4x + 1 \implies 4x = -2 \implies x = -0{,}5\) 6. Da der resultierende Wert \(x = -0{,}5\) nicht von \(k\) abhängt, ist die Unabhängigkeit gezeigt.

Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunktes ist \(x = -0{,}5\). Da dieser Wert konstant ist und der Parameter \(k\) in der finalen Gleichung nicht mehr vorkommt, ist die \(x\)-Koordinate unabhängig von \(k\).

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion zu berechnen? - Was passiert mit dem Parameter, wenn du die erste Ableitung gleich null setzt? - Welchen Einfluss hat ein konstanter Faktor beim Ableiten und beim Lösen der Gleichung? - Überlege, welche Teile des Terms für die Nullstellen der Ableitung verantwortlich sind.

1. Erste Ableitung mit der Quotientenregel bestimmen: \(f_a'(x) = a \cdot \frac{1 \cdot (x^2+x+1) - x \cdot (2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = a \cdot \frac{1-x^2}{(x^2+x+1)^2}\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f_a'(x) = 0\) ansetzen: Da \(a \neq 0\) und der Nenner \(x^2+x+1\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) positiv ist (Diskriminante \(1^2 - 4 < 0\)), wird die Gleichung zu \(1-x^2 = 0\). 3. Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). 4. Da diese Werte unabhängig vom Parameter \(a\) sind und an diesen Stellen ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung vorliegt (da \(1-x^2\) eine Parabel mit Nullstellen bei \(\pm 1\) ist), sind die Extremstellen für alle \(a\) gleich.

Die notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) führt auf die Gleichung \(a \cdot (1-x^2) = 0\). Da \(a \neq 0\) vorausgesetzt ist, sind die Lösungen \(x = 1\) und \(x = -1\) für alle Funktionen der Schar identisch.

- Welche Ableitung benötigst du, um Wendestellen zu untersuchen? - Versuche den Parameter \(k\) beim Ableiten als konstanten Faktor zu behandeln. - Schau dir die Gleichung an, die entsteht, wenn du die Bedingung für Wendestellen prüfst – verschwindet der Parameter? - Was muss für die Unabhängigkeit von \(k\) bei den resultierenden \(x\)-Werten gelten?

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Kettenregel bilden: \(h_k'(x) = k \cdot \frac{2x}{x^2+1}\). 2. Zweite Ableitung mit der Quotientenregel bestimmen: \(h_k''(x) = 2k \cdot \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = 2k \cdot \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\). 3. Notwendige Bedingung für Wendestellen \(h_k''(x) = 0\) untersuchen: Da \(k \neq 0\) und der Nenner stets positiv ist, reduziert sich die Bedingung auf \(1-x^2 = 0\). 4. Die Lösungen \(x = 1\) und \(x = -1\) sind unabhängig von \(k\). 5. Da die zweite Ableitung an diesen Stellen ihr Vorzeichen wechselt (Zählerterm \(1-x^2\) ist eine nach unten geöffnete Parabel), liegen dort die Wendestellen der Schar.

Die zweite Ableitung lautet \(h_k''(x) = \frac{2k(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\). Die Bedingung \(h_k''(x) = 0\) liefert für \(k \neq 0\) die vom Parameter unabhängigen Wendestellen \(x = 1\) und \(x = -1\).

- Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn eine Stelle eine Nullstelle ist? - Wie hängen die Koordinaten eines Wendepunkts mit dem Parameter zusammen? Versuche, den Parameter aus der Gleichung für die x-Koordinate zu eliminieren. - Welche Ableitung nutzt man, um die Steigung an einer Extremstelle zu untersuchen? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung prüfen, um welche Art von Extrempunkt es sich handelt?

1. Zur Berechnung der Nullstellen wird \(f_a(x) = 0\) gesetzt: \(x^2(a - x) = 0\). Daraus folgen die Nullstellen \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = a\). 2. Die Ableitungen lauten \(f_a'(x) = 2ax - 3x^2\) und \(f_a''(x) = 2a - 6x\). Die Bedingung \(f_a''(x) = 0\) liefert die Wendestelle \(x_W = \frac{a}{3}\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt den \(y\)-Wert \(y_W = f_a(\frac{a}{3}) = a \cdot (\frac{a}{3})^2 - (\frac{a}{3})^3 = \frac{a^3}{9} - \frac{a^3}{27} = \frac{2a^3}{27}\). Um die Ortskurve zu finden, wird \(x = \frac{a}{3}\) nach \(a\) umgestellt (\(a = 3x\)) und in \(y_W\) eingesetzt: \(y = \frac{2 \cdot (3x)^3}{27} = \frac{2 \cdot 27x^3}{27} = 2x^3\). 3. Für eine Extremstelle bei \(x = 4\) muss \(f_a'(4) = 0\) gelten: \(2a \cdot 4 - 3 \cdot 4^2 = 8a - 48 = 0\). Dies ergibt \(a = 6\). Mit \(f_6''(4) = 2 \cdot 6 - 6 \cdot 4 = 12 - 24 = -12 < 0\) folgt, dass bei \(x = 4\) ein lokales Maximum vorliegt.

1. \(x_1=0\) ist eine doppelte Nullstelle; \(x_2=a\) ist eine weitere Nullstelle. 2. Nachweis über \(x_W = \frac{a}{3}\) und \(y_W = \frac{2a^3}{27}\) führt zu \(y = 2x^3\). 3. \(a = 6\); es handelt sich um ein lokales Maximum.

- Was passiert, wenn du für die Variable einen Wert einsetzt, der den Parameter verschwinden lässt? - Wie bestimmen wir die Extremstellen einer Funktion mithilfe der Ableitungen? - Achte bei der Begründung des Extremums auf das Vorzeichen der zweiten Ableitung. - Wie kannst du den Parameter aus den Koordinaten des Extrempunkts eliminieren, um einen Zusammenhang zwischen den Koordinaten zu finden?

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f_k(0) = 0 - k \cdot \sqrt{0} = 0\). Da dieser Wert unabhängig von \(k\) ist, ist \(P(0 \mid 0)\) der gemeinsame Punkt. 2. Die erste Ableitung lautet \(f_k'(x) = 1 - \frac{k}{2\sqrt{x}}\). Nullsetzen ergibt \(1 = \frac{k}{2\sqrt{x}} \iff \sqrt{x} = \frac{k}{2} \iff x = \frac{k^2}{4}\). 3. Die zweite Ableitung \(f_k''(x) = \frac{k}{4x\sqrt{x}}\) ist für \(x > 0\) und \(k > 0\) stets positiv, was die Existenz eines Minimums bestätigt. 4. Der \(y\)-Wert des Tiefpunkts ist \(f_k\left(\frac{k^2}{4}\right) = \frac{k^2}{4} - k \cdot \sqrt{\frac{k^2}{4}} = \frac{k^2}{4} - \frac{k^2}{2} = -\frac{k^2}{4}\). Der Tiefpunkt ist \(T\left(\frac{k^2}{4} \mid -\frac{k^2}{4}\right)\). 5. Aus \(x = \frac{k^2}{4}\) und \(y = -\frac{k^2}{4}\) folgt durch Einsetzen direkt \(y = -x\). Die Ortskurve ist die Gerade mit der Gleichung \(y = -x\).

a) Gemeinsamer Punkt: \(P(0 \mid 0)\) b) Tiefpunkt: \(T\left(\frac{k^2}{4} \mid -\frac{k^2}{4}\right)\) c) Gleichung der Geraden: \(y = -x\)

- Wie findet man generell die Extremstellen einer Funktion? - Wenn du die Koordinaten eines Punktes in Abhängigkeit von einem Parameter hast, wie kannst du den Parameter eliminieren? - Überlege dir, wie du den x-Wert des Punktes nutzen kannst, um den Parameter zu ersetzen. - Achte auf die Definitionsmenge des Parameters, um den Bereich der Ortslinie einzuschränken.

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 3x^2 - 6ax\) und \(f_a''(x) = 6x - 6a\). 2. Notwendige Bedingung für Extrempunkte: \(f_a'(x) = 0 \implies 3x(x - 2a) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2a\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: Da \(a > 0\), ist \(f_a''(0) = -6a < 0\) (Hochpunkt) und \(f_a''(2a) = 12a - 6a = 6a > 0\) (Tiefpunkt). 4. Koordinaten des Tiefpunkts berechnen: \(y_T = f_a(2a) = (2a)^3 - 3a(2a)^2 + 4 = 8a^3 - 12a^3 + 4 = -4a^3 + 4\). Der Tiefpunkt ist \(T(2a \mid -4a^3 + 4)\). 5. Ortslinie bestimmen: Die Gleichung \(x = 2a\) nach \(a\) auflösen ergibt \(a = \frac{x}{2}\). Diesen Ausdruck in die Gleichung für \(y\) einsetzen: \(y = -4 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^3 + 4 = -4 \cdot \frac{x^3}{8} + 4 = -\frac{1}{2}x^3 + 4\). Wegen \(a > 0\) gilt \(x > 0\).

a) Der Tiefpunkt liegt bei \(T(2a \mid -4a^3 + 4)\). b) Die Gleichung der Ortslinie lautet \(y = -\frac{1}{2}x^3 + 4\) für \(x > 0\).

- Wie findest du allgemein die Extremstellen einer Funktion, die einen Parameter enthält? - Wenn du die \(x\)-Koordinate eines Extrempunktes in Abhängigkeit vom Parameter gefunden hast, wie kannst du diese Gleichung nach dem Parameter umstellen? - Was passiert, wenn du den isolierten Parameter in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzt? - Überlege, ob alle gefundenen Extremstellen auf derselben Kurve liegen können.

1. Erste und zweite Ableitung der Schar bilden: \(f_a'(x) = 3x^2 - 6ax\) und \(f_a''(x) = 6x - 6a\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen \(f_a'(x) = 0\) anwenden: \(3x(x - 2a) = 0\) führt zu den Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2a\). Da \(a \neq 0\), gilt \(f_a''(0) = -6a \neq 0\) und \(f_a''(2a) = 6a \neq 0\), sodass an beiden Stellen Extrempunkte vorliegen. 3. Den Parameter \(a\) in Abhängigkeit von \(x\) ausdrücken: Für die bewegliche Stelle \(x = 2a\) ergibt sich \(a = \frac{x}{2}\). 4. Den Ausdruck für \(a\) in die Funktionsgleichung \(y = f_a(x)\) einsetzen: \(y = x^3 - 3 \cdot \left(\frac{x}{2}\right) \cdot x^2 + 2 = x^3 - 1{,}5x^3 + 2 = -0{,}5x^3 + 2\). 5. Die gesuchte Funktionsgleichung der Ortskurve lautet \(g(x) = -0{,}5x^3 + 2\). Auch der feste Extrempunkt \((0 \mid 2)\) liegt auf dieser Kurve.

\(g(x) = -0{,}5x^3 + 2\)

- Wie lautet die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunkts? - Erinnere dich daran, wie man die Koordinaten eines Punktes berechnet, wenn die Stelle \(x\) bekannt ist. - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du versuchen, den Parameter in den Gleichungen für \(x\) und \(y\) zu eliminieren. - Was muss für die \(y\)-Koordinate eines Punktes gelten, damit er über der \(x\)-Achse liegt?

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 2x - 2a\) und \(f_a''(x) = 2\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen: \(f_a'(x) = 0 \implies 2x - 2a = 0 \implies x = a\). Da \(f_a''(a) = 2 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. 3. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a(a) = a^2 - 2a^2 + 3a = -a^2 + 3a\). Der Extrempunkt ist \(E_a(a \mid -a^2 + 3a)\). 4. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = a\) folgt durch Einsetzen in die \(y\)-Gleichung direkt \(y = -x^2 + 3x\). 5. Bedingung oberhalb der \(x\)-Achse: \(y_E > 0 \implies -a^2 + 3a > 0\). 6. Nullstellen von \(-a^2 + 3a = a(3 - a)\) sind \(a_1 = 0\) und \(a_2 = 3\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(-a^2 + 3a > 0\) für \(0 < a < 3\).

a) \(E_a(a \mid -a^2 + 3a)\) b) \(y = -x^2 + 3x\) c) \(0 < a < 3\)

- Ein Scheitelpunkt einer Parabel ist gleichzeitig ihr lokaler Extrempunkt. - Wie hängen die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten des Scheitelpunkts mit dem Parameter \(k\) zusammen? - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer Kurve liegen, kannst du prüfen, ob ihre Koordinaten die Kurvengleichung erfüllen. - Stelle eine Ungleichung für die \(y\)-Koordinate auf und löse diese nach \(k\) auf.

1. Erste Ableitung: \(g_k'(x) = -2x + 2k\). 2. Extremstelle berechnen: \(g_k'(x) = 0 \implies -2x + 2k = 0 \implies x = k\). 3. \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(g_k(k) = -k^2 + 2k \cdot k - 4k = k^2 - 4k\). Somit ist \(S_k(k \mid k^2 - 4k)\). 4. Nachweis der Ortskurve: Mit \(x = k\) ergibt sich durch Ersetzen von \(k\) in der \(y\)-Koordinate \(y = x^2 - 4x\). Dies entspricht der vorgegebenen Parabelgleichung. 5. Bedingung \(y < -3\): \(k^2 - 4k < -3 \implies k^2 - 4k + 3 < 0\). 6. Quadratische Gleichung lösen: \(k^2 - 4k + 3 = 0\) liefert mit der \(p\)-\(q\)-Formel \(k_1 = 1\) und \(k_2 = 3\). 7. Da die Parabel \(p(k) = k^2 - 4k + 3\) nach oben geöffnet ist, liegen die Funktionswerte zwischen den Nullstellen unter Null. Es folgt \(1 < k < 3\).

a) \(S_k(k \mid k^2 - 4k)\) b) Nachweis über \(x=k\) und \(y=k^2-4k \implies y=x^2-4x\). c) \(1 < k < 3\)

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion zu finden? - Wie kannst du eine Gleichung nach dem Parameter auflösen, um ihn in einer anderen Gleichung zu ersetzen? - Was musst du tun, um zu zeigen, dass ein Wert nicht von einer Variablen abhängt? - Erinnere dich an die Bedingungen für Wendepunkte.

1. Die erste Ableitung lautet \(f_k'(x) = 2kx - 3x^2\). Die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) führt auf \(x(2k - 3x) = 0\), woraus die Extremstellen \(x_1 = 0\) und \(x_E = \frac{2}{3}k\) folgen. Der zugehörige Funktionswert ist \(f_k(\frac{2}{3}k) = k \cdot (\frac{2}{3}k)^2 - (\frac{2}{3}k)^3 = \frac{4}{9}k^3 - \frac{8}{27}k^3 = \frac{4}{27}k^3\). Somit ergibt sich der Punkt \(E(\frac{2}{3}k \mid \frac{4}{27}k^3)\). 2. Zur Bestimmung der Ortslinie wird die Gleichung der \(x\)-Koordinate \(x = \frac{2}{3}k\) nach dem Parameter \(k\) umgeformt: \(k = \frac{3}{2}x\). Durch Einsetzen in die \(y\)-Koordinate erhält man \(y = \frac{4}{27} \cdot (\frac{3}{2}x)^3 = \frac{4}{27} \cdot \frac{27}{8}x^3 = \frac{1}{2}x^3\). Die Gleichung der Ortslinie lautet somit \(y = \frac{1}{2}x^3\). 3. Die zweite Ableitung \(f_k''(x) = 2k - 6x\) hat die Nullstelle \(x_W = \frac{1}{3}k\). Wegen \(f_k'''(x) = -6 \neq 0\) liegt dort stets ein Wendepunkt vor. Das Verhältnis der \(x\)-Koordinaten berechnet sich zu \(\frac{x_E}{x_W} = \frac{\frac{2}{3}k}{\frac{1}{3}k} = 2\). Da dieser Wert unabhängig von \(k\) ist, ist die Behauptung bewiesen.

1. \(E(\frac{2}{3}k \mid \frac{4}{27}k^3)\) 2. \(y = \frac{1}{2}x^3\) 3. \(\frac{x_E}{x_W} = 2\)

- Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein Punkt unabhängig vom Parameter auf allen Graphen liegt? - Wann hat die Gleichung \(x^2 = k\) zwei von Null verschiedene Lösungen? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für lokale Extrema. - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du die \(x\)-Gleichung des Punktes nach dem Parameter auflösen und in die \(y\)-Gleichung einsetzen.

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f_k(0) = 0^3 - k \cdot 0 = 0\). Somit verlaufen alle Graphen durch den Ursprung \((0 \mid 0)\). Ein weiterer gemeinsamer Punkt müsste die Bedingung \(x^3 - kx = x^3 - mx\) für alle \(k, m\) erfüllen, was nur für \(x=0\) gilt. Es gibt also keine weiteren gemeinsamen Punkte. 2. Die Nullstellenformel \(x(x^2 - k) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{k}\). Damit drei verschiedene Nullstellen existieren, muss \(k > 0\) gelten (für \(k=0\) gibt es eine dreifache Nullstelle bei \(0\), für \(k < 0\) nur die einfache Nullstelle bei \(0\)). 3. Die erste Ableitung ist \(f_k'(x) = 3x^2 - k\). Nullsetzen ergibt \(x = \pm \sqrt{\frac{k}{3}}\). Die zweite Ableitung \(f_k''(x) = 6x\) ist an der Stelle \(x = \sqrt{\frac{k}{3}}\) positiv (da \(k > 0\)), dort liegt also der Tiefpunkt. Der \(y\)-Wert ist \(f_k(\sqrt{\frac{k}{3}}) = (\sqrt{\frac{k}{3}})^3 - k\sqrt{\frac{k}{3}} = \frac{k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}} - k\sqrt{\frac{k}{3}} = -\frac{2k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}}\). Somit ist \(T_k(\sqrt{\frac{k}{3}} \mid -\frac{2k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}})\). 4. Aus \(x = \sqrt{\frac{k}{3}}\) folgt durch Quadrieren \(x^2 = \frac{k}{3}\), also \(k = 3x^2\). Einsetzen von \(k\) in die \(y\)-Koordinate des Tiefpunktes: \(y = -\frac{2(3x^2)}{3} \cdot x = -2x^3\). Damit liegen alle Tiefpunkte auf dem Ast der Kurve \(y=-2x^3\) mit \(x>0\).

a) Alle Graphen gehen durch \((0 \mid 0)\); es gibt keine weiteren gemeinsamen Punkte. b) Genau drei verschiedene Nullstellen für \(k > 0\). c) \(T_k(\sqrt{\frac{k}{3}} \mid -\frac{2k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}})\) für \(k > 0\). d) Durch Einsetzen von \(k = 3x^2\) in den \(y\)-Wert erhält man die Ortskurve \(y=-2x^3\) mit \(x>0\).

- Wie findest du den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel mithilfe der Ableitung? - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du die \(x\)-Koordinate nach dem Parameter auflösen und in die \(y\)-Koordinate einsetzen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten \((x_1 \mid y_1)\) und \((x_2 \mid y_2)\) im Koordinatensystem? - Um den minimalen Abstand zu finden, kannst du die Abstandsfunktion (oder deren Quadrat) minimieren.

1. Zur Bestimmung des Scheitelpunktes wird die erste Ableitung \(f_k'(x) = 2kx - 1\) nullgesetzt: \(2kx - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2k}\). Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(f_k\left(\frac{1}{2k}\right) = k \cdot \left(\frac{1}{2k}\right)^2 - \frac{1}{2k} = \frac{1}{4k} - \frac{1}{2k} = -\frac{1}{4k}\). Somit ist \(S_k\left(\frac{1}{2k} \mid -\frac{1}{4k}\right)\). 2. Um die Ortskurve zu finden, wird \(x = \frac{1}{2k}\) nach \(k\) umgeformt: \(k = \frac{1}{2x}\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y = -\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2x}} = -\frac{x}{2}\). Dies entspricht der Geradengleichung \(y = -\frac{1}{2}x\). 3. Das Quadrat des Abstands eines Punktes \((x \mid -0{,}5x)\) auf der Geraden zum Punkt \(P(5 \mid 0)\) ist \(d^2(x) = (x - 5)^2 + (-0{,}5x - 0)^2 = x^2 - 10x + 25 + 0{,}25x^2 = 1{,}25x^2 - 10x + 25\). Das Minimum dieser quadratischen Funktion liegt beim Scheitelpunkt bei \(x = \frac{-(-10)}{2 \cdot 1{,}25} = 4\). 4. Mit \(x = 4\) ergibt sich \(y = -0{,}5 \cdot 4 = -2\). Der gesuchte Scheitelpunkt ist \(S(4 \mid -2)\). Der zugehörige Parameter ist \(k = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}\).

a) \(S_k\left(\frac{1}{2k} \mid -\frac{1}{4k}\right)\) b) Einsetzen von \(k = \frac{1}{2x}\) in \(y = -\frac{1}{4k}\) ergibt \(y = -\frac{1}{2}x\). c) Der Scheitelpunkt mit minimalem Abstand ist \(S(4 \mid -2)\) für \(k = \frac{1}{8}\).

- Was ist die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines lokalen Extrempunktes? - Wie kannst du die Koordinaten eines Extrempunktes in Abhängigkeit vom Parameter ausdrücken? - Versuche, die Gleichung der ersten Ableitung so umzustellen, dass du den Parameter durch die Variable \(x\) ersetzen kannst. - Was passiert, wenn du diesen Ausdruck für den Parameter in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzt?

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = x^3 - 2kx\) und \(f_k''(x) = 3x^2 - 2k\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_k'(x) = 0 \Rightarrow x(x^2 - 2k) = 0\). 3. Für \(k > 0\) ergeben sich die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{2k}\). 4. Überprüfung der Art der Extrema: Für \(k>0\) und \(x_{2,3}=\pm\sqrt{2k}\) gilt \(f_k''(\pm \sqrt{2k}) = 3(2k) - 2k = 4k > 0\). Es handelt sich also um Tiefpunkte. Für \(k<0\) gilt \(f_k(x)=\frac14x^4+|k|x^2\ge0\), also ist \(x=0\) der einzige Tiefpunkt. Für \(k=0\) ist der Test mit der zweiten Ableitung zwar nicht entscheidend, aber \(f_0(x)=\frac14x^4\ge0\); daher ist auch dann \(T(0\mid0)\) ein Tiefpunkt. 5. Parameter \(k\) nach \(x\) auflösen: Aus \(x^2 = 2k\) folgt \(k = \frac{1}{2}x^2\). 6. Einsetzen von \(k\) in die Funktionsgleichung: \(y = \frac{1}{4}x^4 - (\frac{1}{2}x^2) \cdot x^2 = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^4 = -\frac{1}{4}x^4\). Für \(k>0\) entstehen alle Punkte dieser Kurve mit \(x\ne0\); für \(k\le0\) kommt der Punkt \((0\mid0)\) hinzu. Insgesamt lautet die Ortslinie \(y=-\frac14x^4\).

\(y = -\frac{1}{4}x^4\)

- Wann genau berührt ein Funktionsgraph die \(x\)-Achse? Überlege, welche Bedingungen für den Funktionswert und die Steigung an dieser Stelle gelten müssen. - Wie gehst du vor, um die Extrema einer Funktion mit einem Parameter zu bestimmen? Behandle den Parameter dabei wie eine feste Zahl. - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du die \(x\)-Koordinate des Punktes nach dem Parameter umstellen und diesen Ausdruck in die Gleichung für die \(y\)-Koordinate einsetzen.

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 3x^2 - 3a^2\) und \(f_a''(x) = 6x\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_a'(x) = 0 \Rightarrow 3(x^2 - a^2) = 0 \Rightarrow x_1 = a, x_2 = -a\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f_a''(a) = 6a \neq 0\) und \(f_a''(-a) = -6a \neq 0\) (da \(a \neq 0\)). Es liegen zwei lokale Extrema vor. 4. Funktionswert an \(x_1 = a\): \(f_a(a) = a^3 - 3a^2 \cdot a + 2a^3 = a^3 - 3a^3 + 2a^3 = 0\). Da \(f_a(a) = 0\) und \(f_a'(a) = 0\), berührt der Graph die \(x\)-Achse im Punkt \(E_1(a \mid 0)\). 5. Koordinaten des zweiten Extrempunkts \(E_2\) bei \(x_2 = -a\): \(y_2 = f_a(-a) = (-a)^3 - 3a^2(-a) + 2a^3 = -a^3 + 3a^3 + 2a^3 = 4a^3\). Der Punkt ist \(E_2(-a \mid 4a^3)\). 6. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = -a\) folgt \(a = -x\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y = 4(-x)^3 = -4x^3\).

a) Die Extrema liegen bei \(x = \pm a\). Da \(f_a(a) = 0\) und \(f_a'(a) = 0\), berührt der Graph die \(x\)-Achse im Punkt \((a \mid 0)\). b) Die Ortskurve der anderen Extrempunkte \(E_2(-a \mid 4a^3)\) ist \(y = -4x^3\).

- Wie kannst du rechnerisch zeigen, dass ein Punkt unabhängig vom Parameter auf allen Graphen liegt? - Welche Ableitungen benötigst du, um die Art eines Extrempunktes zu bestimmen? - Was ist das besondere Merkmal eines Sattelpunktes im Vergleich zu anderen Extrempunkten oder Wendepunkten? - Welche Bedingung muss für die Existenz eines Wendepunkts erfüllt sein?

1. Berechnung der gemeinsamen Punkte durch Gleichsetzen zweier Scharfunktionen \(f_a(x) = f_b(x)\) für \(a \neq b\): \(\frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 + ax - x = \frac{1}{3}x^3 - \frac{b}{2}x^2 + bx - x \implies \frac{b-a}{2}x^2 + (a-b)x = 0 \implies \frac{b-a}{2}(x^2 - 2x) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Einsetzen in \(f_a(x)\) ergibt \(f_a(0) = 0\) und \(f_a(2) = \frac{8}{3} - 2a + 2a - 2 = \frac{2}{3}\). Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(2 \mid \frac{2}{3})\). 2. Bestimmung von \(a\) für einen Extrempunkt bei \(x=4\): Die notwendige Bedingung \(f_a'(4) = 0\) mit \(f_a'(x) = x^2 - ax + a - 1\) führt zu \(16 - 4a + a - 1 = 0 \implies 15 - 3a = 0 \implies a = 5\). Prüfung der hinreichenden Bedingung mit \(f_5''(x) = 2x - 5\): \(f_5''(4) = 2 \cdot 4 - 5 = 3 > 0\). Es liegt ein lokales Minimum vor. 3. Untersuchung auf einen Sattelpunkt: Ein Sattelpunkt erfordert \(f_a'(x) = 0\) und \(f_a''(x) = 0\) bei gleichzeitigem \(f_a'''(x) \neq 0\). Aus \(f_a''(x) = 2x - a = 0\) folgt \(x = \frac{a}{2}\). Einsetzen in \(f_a'(x)\) ergibt \((\frac{a}{2})^2 - a(\frac{a}{2}) + a - 1 = -\frac{a^2}{4} + a - 1 = 0 \implies a^2 - 4a + 4 = 0 \implies (a-2)^2 = 0\), also \(a = 2\). Da \(f_2'''(1) = 2 \neq 0\), hat der Graph für \(a=2\) an der Stelle \(x=1\) einen Sattelpunkt. 4. Nachweis des Wendepunkts: Die zweite Ableitung \(f_a''(x) = 2x - a\) ist eine lineare Funktion mit der einzigen Nullstelle \(x = \frac{a}{2}\). Da die dritte Ableitung \(f_a'''(x) = 2\) für alle \(x\) ungleich Null ist, existiert für jedes \(a\) genau ein Wendepunkt.

a) Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(2 \mid \frac{2}{3})\). b) Für \(a = 5\) liegt an der Stelle \(x = 4\) ein lokales Minimum vor. c) Der Graph besitzt für \(a = 2\) einen Sattelpunkt (an der Stelle \(x = 1\)). d) Da \(f_a''(x) = 2x - a\) für jedes \(a\) genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt (wegen \(f_a'''(x) = 2 \neq 0\)), hat jeder Graph genau einen Wendepunkt.

- Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle \(x = 0\)? - Denk beim Ableiten an die Verknüpfung der Terme und die innere Ableitung des Exponenten. - Wie hängen die \(x\)-Koordinate und die \(y\)-Koordinate des Hochpunkts zusammen?

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt für alle \(t\): \(f_t(0) = 0 \cdot e^1 = 0\). Da die Gleichung \(x \cdot e^{1 - \frac{x}{t}} = x \cdot e^{1 - \frac{x}{s}}\) für \(t \neq s\) nur die Lösung \(x = 0\) besitzt, ist \(P(0 \mid 0)\) der einzige gemeinsame Punkt. 2. Erste Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel bilden: \(f_t'(x) = 1 \cdot e^{1 - \frac{x}{t}} + x \cdot e^{1 - \frac{x}{t}} \cdot \left(-\frac{1}{t}\right) = e^{1 - \frac{x}{t}} \cdot \left(1 - \frac{x}{t}\right)\). 3. Notwendige Bedingung \(f_t'(x) = 0\) führt zu \(1 - \frac{x}{t} = 0\), also \(x = t\). 4. Zweite Ableitung prüfen: \(f_t''(x) = -\frac{1}{t} \cdot e^{1 - \frac{x}{t}} \cdot \left(2 - \frac{x}{t}\right)\). Einsetzen ergibt \(f_t''(t) = -\frac{1}{t} \cdot e^0 \cdot (2 - 1) = -\frac{1}{t}\). Wegen \(t > 0\) ist \(f_t''(t) < 0\), somit liegt ein Hochpunkt vor. 5. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_t(t) = t \cdot e^{1 - \frac{t}{t}} = t \cdot e^0 = t\). Der Hochpunkt ist \(H_t(t \mid t)\). 6. Aus \(x = t\) und \(y = t\) folgt durch Gleichsetzen der Zusammenhang \(y = x\). Da \(t>0\) gilt, ist die Ortskurve der Teil der Geraden \(y=x\) mit \(x>0\).

a) Gemeinsamer Punkt: \(P(0 \mid 0)\) b) Hochpunkt: \(H_t(t \mid t)\) c) Ortskurve: \(y=x\) mit \(x>0\)

- Setze zwei Funktionen mit unterschiedlichen Parametern gleich, um gemeinsame Punkte zu finden. - Nutze die Produkt- und Kettenregel für die Ableitungen. - Beachte, dass der Parameter \(k\) als konstant betrachtet wird, wenn du nach \(x\) ableitest. - Für die Ortskurve musst du die \(x\)-Gleichung des Hochpunkts nach dem Parameter auflösen und in die \(y\)-Gleichung einsetzen.

1. Gemeinsame Punkte: Ansatz \(f_{k_1}(x) = f_{k_2}(x)\) für \(k_1 \neq k_2\). \(x^2 \cdot e^{-k_1 x} = x^2 \cdot e^{-k_2 x} \Rightarrow x^2 (e^{-k_1 x} - e^{-k_2 x}) = 0\). Die Lösung \(x=0\) führt zum Punkt \(P(0 \mid 0)\). Für \(x \neq 0\) müsste \(e^{-k_1 x} = e^{-k_2 x}\) gelten, was nur für \(k_1 = k_2\) möglich ist. Einziger gemeinsamer Punkt ist der Ursprung. 2. Extrempunkte: Ableitungen bilden. \(f_k'(x) = 2x e^{-kx} - kx^2 e^{-kx} = x(2 - kx)e^{-kx}\). Nullstellen der ersten Ableitung: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{2}{k}\). Zweite Ableitung: \(f_k''(x) = (k^2x^2 - 4kx + 2)e^{-kx}\). \(f_k''(0) = 2 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\). \(f_k''(\frac{2}{k}) = (4 - 8 + 2)e^{-2} = -2e^{-2} < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt \(H\left(\frac{2}{k} \mid \frac{4}{k^2 e^2}\right)\). 3. Ortskurve der Hochpunkte: Aus \(x = \frac{2}{k}\) folgt \(k = \frac{2}{x}\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate: \(y = \frac{4}{(\frac{2}{x})^2 e^2} = \frac{4}{\frac{4}{x^2} e^2} = \frac{x^2}{e^2}\). Die Ortskurve ist die Parabel mit der Gleichung \(y = \frac{1}{e^2} x^2\) für \(x > 0\).

a) Einziger gemeinsamer Punkt ist \(P(0 \mid 0)\). b) Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\); Hochpunkt \(H\left(\frac{2}{k} \mid \frac{4}{k^2 e^2}\right)\). c) Die Ortskurve der Hochpunkte ist \(y = \frac{1}{e^2} x^2\) für \(x > 0\).

- Erinnere dich daran, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) für \(x \to -\infty\) schneller gegen Null geht als jede Potenz von \(x\) gegen Unendlich. - Verwende die Produktregel: \((u \cdot v)' = u'v + uv'\). - Um eine Ortskurve zu finden, eliminiere den Parameter \(a\) aus dem Gleichungssystem für \(x\) und \(y\).

1. Grenzwerte: Für \(x \to \infty\) dominiert die Exponentialfunktion, während \((a-x) \to -\infty\), also \(g_a(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(e^x \to 0\) stärker als \((a-x) \to \infty\), also \(g_a(x) \to 0\). 2. Ableitungen: \(g_a'(x) = -1 \cdot e^x + (a-x) \cdot e^x = (a - 1 - x)e^x\). \(g_a''(x) = -1 \cdot e^x + (a - 1 - x)e^x = (a - 2 - x)e^x\). Extrempunkt: \(g_a'(x) = 0 \Rightarrow x_H = a - 1\). Da \(g_a''(a-1) = -e^{a-1} < 0\), liegt ein Hochpunkt vor: \(H(a-1 \mid e^{a-1})\). Wendepunkt: \(g_a''(x) = 0 \Rightarrow x_W = a - 2\). Da die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor: \(W(a-2 \mid 2e^{a-2})\). 3. Ortskurven: Hochpunkte: \(x = a-1 \Rightarrow a = x+1\). Einsetzen in \(y = e^{a-1} \Rightarrow y = e^x\). Wendepunkte: \(x = a-2 \Rightarrow a = x+2\). Einsetzen in \(y = 2e^{a-2} \Rightarrow y = 2e^x\).

a) \(\lim_{x \to \infty} g_a(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} g_a(x) = 0\). b) Hochpunkt \(H(a-1 \mid e^{a-1})\); Wendepunkt \(W(a-2 \mid 2e^{a-2})\). c) Ortskurve der Hochpunkte: \(y = e^x\); Ortskurve der Wendepunkte: \(y = 2e^x\).

- Welche Bedingung muss für eine Nullstelle erfüllt sein? - Denk beim Ableiten an die Produktregel und die Ableitung der Logarithmusfunktion. - Wie hängen die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten der Hochpunkte zusammen, wenn du den Parameter \(k\) eliminierst? - Setze zwei Funktionsgleichungen mit unterschiedlichen Parametern gleich, um nach gemeinsamen Schnittpunkten zu suchen.

1. Nullstellenberechnung: Ansatz \(f_k(x) = 0\). Da \(x > 0\), folgt \(k - \ln(x) = 0\), also \(\ln(x) = k\). Die Nullstelle liegt bei \(x = e^k\). 2. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 2x(k - \ln(x)) + x^2(-\frac{1}{x}) = 2kx - 2x\ln(x) - x = x(2k - 1 - 2\ln(x))\). 3. Extrempunkt bestimmen: \(f_k'(x) = 0\) liefert für \(x > 0\) die Bedingung \(2k - 1 - 2\ln(x) = 0\), woraus \(\ln(x) = k - 0{,}5\) und somit \(x = e^{k-0{,}5}\) folgt. Die zweite Ableitung \(f_k''(x) = 2k - 3 - 2\ln(x)\) ergibt an dieser Stelle \(f_k''(e^{k-0{,}5}) = -2 < 0\), was den Hochpunkt bestätigt. 4. Koordinaten des Hochpunkts: \(y = (e^{k-0{,}5})^2 \cdot (k - (k - 0{,}5)) = 0{,}5 e^{2k-1}\). Somit ist \(H_k(e^{k-0{,}5} \mid 0{,}5 e^{2k-1})\). 5. Ortskurve: Aus \(x = e^{k-0{,}5}\) folgt \(x^2 = e^{2k-1}\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y=0{,}5x^2\). Wegen \(x=e^{k-0{,}5}>0\) gehört nur der Ast mit \(x>0\) zur Ortskurve. 6. Gemeinsame Punkte: Der Ansatz \(f_{k_1}(x) = f_{k_2}(x)\) führt auf \(x^2 k_1 = x^2 k_2\), was für \(k_1 \neq k_2\) nur die Lösung \(x = 0\) besitzt. Da \(x = 0\) nicht im Definitionsbereich liegt, gibt es keine gemeinsamen Punkte.

a) Nullstelle bei \(x = e^k\). b) Hochpunkt \(H_k(e^{k-0{,}5} \mid 0{,}5 e^{2k-1})\); Ortskurve \(y=0{,}5x^2\) mit \(x>0\). c) Es gibt keine gemeinsamen Punkte für \(x > 0\).

- Wie bestimmst du die erste Ableitung einer Funktion mit einem Parameter? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extrempunkts aus? - Um die Ortskurve zu finden, kannst du die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts nach dem Parameter auflösen und in die \(y\)-Koordinate einsetzen. - Wenn ein Punkt auf allen Graphen liegt, muss sein Funktionswert unabhängig vom gewählten Parameter \(a\) sein.

1. Ableitung berechnen: \(f_a'(x) = \frac{a}{x} - 1\). 2. Extremstelle bestimmen: \(f_a'(x) = 0 \implies \frac{a}{x} = 1 \implies x = a\). Da \(f_a''(x) = -\frac{a}{x^2} < 0\) für alle \(x > 0\) und \(a > 0\), liegt ein Maximum vor. 3. Koordinaten des Hochpunkts: Einsetzen von \(x = a\) in \(f_a(x)\) ergibt \(y = a \ln(a) - a\). Also \(H_a(a \mid a \ln(a) - a)\). 4. Ortskurve nachweisen: Da für den Hochpunkt \(x = a\) gilt, ersetzt man in der \(y\)-Koordinate \(a\) durch \(x\). Dies ergibt \(y = x \ln(x) - x\), was der Funktionsgleichung von \(g(x)\) entspricht. 5. Gemeinsamer Punkt: Der Ansatz \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x)\) führt zu \(a_1 \ln(x) - x = a_2 \ln(x) - x\), also \((a_1 - a_2) \ln(x) = 0\). Für \(a_1 \neq a_2\) folgt \(\ln(x) = 0\), also \(x = 1\). 6. \(y\)-Koordinate des Schnittpunkts: \(f_a(1) = a \ln(1) - 1 = -1\). Der gemeinsame Punkt ist \(S(1 \mid -1)\).

a) \(H_a(a \mid a \ln(a) - a)\). b) Nachweis durch Einsetzen von \(x = a\) in die \(y\)-Koordinate des Hochpunkts. c) Gemeinsamer Punkt \(S(1 \mid -1)\).

- Wie lautet die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt? - Denk an die Produkt- und Kettenregel beim Ableiten. - Um eine Ortslinie zu finden, kannst du die x-Gleichung nach dem Parameter auflösen und in die y-Gleichung einsetzen.

1. Ableitungen berechnen: \(f_t'(x) = (1+tx)e^{tx}\) und \(f_t''(x) = (2t+t^2x)e^{tx}\). 2. Wendestelle bestimmen: \(f_t''(x) = 0 \implies 2t+t^2x = 0 \implies x_W = -\frac{2}{t}\). 3. y-Koordinate des Wendepunkts berechnen: \(f_t(-\frac{2}{t}) = -\frac{2}{t} \cdot e^{t \cdot (-\frac{2}{t})} = -\frac{2}{t} \cdot e^{-2}\). Somit ist \(W_t\left(-\frac{2}{t} \mid -\frac{2}{te^2}\right)\). 4. Ortslinie der Wendepunkte: Aus \(x = -\frac{2}{t}\) folgt \(t = -\frac{2}{x}\). Einsetzen in die y-Koordinate ergibt \(y = xe^{-2}\). Die Gerade lautet \(y = \frac{1}{e^2}x\).

a) \(W_t\left(-\frac{2}{t} \mid -\frac{2}{te^2}\right)\) b) Die Wendepunkte liegen auf der Geraden \(y = \frac{1}{e^2}x\).

- Denk beim Ableiten an die Kettenregel für den Term mit \(e^{2x}\). - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(e^{2x} = c\) nach \(x\) auflösen? - Betrachte das Vorzeichen der zweiten Ableitung. Was bedeutet ein stets gleiches Vorzeichen für die Existenz von Wendepunkten? - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer Geraden liegen, kannst du versuchen, die \(y\)-Koordinate direkt durch die \(x\)-Koordinate auszudrücken.

1. Ableitungen berechnen: \(g_a'(x) = 1 - 2ae^{2x}\) und \(g_a''(x) = -4ae^{2x}\). 2. Extrema bestimmen: \(g_a'(x) = 0 \Rightarrow 2ae^{2x} = 1 \Rightarrow e^{2x} = \frac{1}{2a} \Rightarrow 2x = \ln\left(\frac{1}{2a}\right) \Rightarrow x_H = -\frac{1}{2}\ln(2a)\). 3. Art des Extremums: Da \(a > 0\) und \(e^{2x} > 0\), ist \(g_a''(x) = -4ae^{2x}\) für alle \(x\) stets negativ. Somit liegt überall eine Rechtskrümmung vor und bei \(x_H\) existiert ein lokales Maximum. 4. \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(g_a(x_H) = x_H - a \cdot e^{2x_H} = x_H - a \cdot \frac{1}{2a} = x_H - 0{,}5\). 5. Ortslinie: Da die \(y\)-Koordinate jedes Hochpunkts durch \(y = x_H - 0{,}5\) gegeben ist, liegen alle Hochpunkte auf der Geraden \(y = x - 0{,}5\). 6. Wendepunkte: Die notwendige Bedingung \(g_a''(x) = 0\) führt auf \(-4ae^{2x} = 0\). Da \(a > 0\) und die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, besitzt die Gleichung keine Lösung. Es existieren keine Wendepunkte.

a) Jede Funktion der Schar besitzt den Hochpunkt \(H_a\left(-\frac{1}{2}\ln(2a) \mid -\frac{1}{2}\ln(2a)-\frac{1}{2}\right)\). b) Alle Hochpunkte liegen auf der Geraden \(y=x-0{,}5\). c) Da \(g_a''(x)=-4ae^{2x}<0\) für alle \(x\) gilt, gibt es keine Wendepunkte.

- Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von Funktionen mit \(e\)-Termen. - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du die Art eines Extrempunkts (Hochpunkt oder Tiefpunkt) mathematisch nachweisen? - Um eine Kurvengleichung für Punkte zu finden, kannst du versuchen, den Parameter \(a\) aus den Koordinatengleichungen zu eliminieren.

1. Berechnung der ersten Ableitung mittels Produktregel: \(f_a'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x + a) \cdot (-e^{-x}) = (1 - a - x) \cdot e^{-x}\). 2. Bestimmung der Nullstelle der Ableitung: Da \(e^{-x} > 0\) für alle \(x\), folgt aus \(1 - a - x = 0\) die einzige Stelle \(x_E = 1 - a\). 3. Überprüfung der Art des Extrempunkts: Die zweite Ableitung \(f_a''(x) = (x + a - 2) \cdot e^{-x}\) ergibt an der Stelle \(x_E\) den Wert \(f_a''(1 - a) = (1 - a + a - 2) \cdot e^{-(1-a)} = -1 \cdot e^{a-1}\). Da dieser Wert stets negativ ist, liegt ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Maximums: \(y_E = f_a(1 - a) = (1 - a + a) \cdot e^{-(1-a)} = e^{a-1}\). 5. Bestimmung der Ortskurve: Aus \(x = 1 - a\) folgt \(a = 1 - x\). Einsetzen in die Gleichung für \(y_E\) liefert \(y = e^{(1-x)-1} = e^{-x}\).

a) Jede Funktion besitzt genau ein lokales Maximum bei \(H_a(1-a \mid e^{a-1})\). b) Die Maxima liegen auf der Kurve mit der Gleichung \(y = e^{-x}\).

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion zu berechnen, die einen Parameter enthält? - Nutze die Rechenregeln für Logarithmen, um Ausdrücke wie \(e^{-\ln(k)}\) zu vereinfachen. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extrempunkts aus? - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer Geraden liegen, kannst du prüfen, ob ihre Koordinaten die Geradengleichung erfüllen.

1. Erste Ableitung bilden: \(g_k'(x) = ke^x - 1\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(ke^x - 1 = 0 \iff e^x = \frac{1}{k} \iff x = \ln\left(\frac{1}{k}\right) = -\ln(k)\). Da \(k > 0\), ist der Logarithmus definiert und liefert genau eine Stelle \(x_E = -\ln(k)\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g_k''(x) = ke^x\). Da \(k > 0\) und \(e^x > 0\), ist \(g_k''(x) > 0\) für alle \(x\), woraus folgt, dass bei \(x_E\) immer ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vorliegt. 4. \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts berechnen: \(y_E = g_k(-\ln(k)) = k \cdot e^{-\ln(k)} - (-\ln(k)) = k \cdot \frac{1}{k} + \ln(k) = 1 + \ln(k)\). 5. Nachweis der Lage auf der Geraden: Da \(x = -\ln(k)\), gilt \(\ln(k) = -x\). Einsetzen in \(y_E = 1 + \ln(k)\) ergibt \(y = 1 - x\). Damit liegen alle Tiefpunkte auf der Geraden \(y = 1 - x\).

a) Jede Funktion hat die einzige Extremstelle \(x = -\ln(k)\), an der wegen \(g_k''(x) > 0\) ein Tiefpunkt liegt. b) Die Koordinaten der Tiefpunkte erfüllen die Gleichung \(y = 1 - x\), da \(y_E = 1 + \ln(k)\) und \(x_E = -\ln(k)\) zu \(y_E = 1 - x_E\) führt.

- Untersuche, ob die Funktion gerade oder ungerade ist. - Denk daran, beim Ableiten die Produkt- und Kettenregel anzuwenden. - Für die Ortskurve musst du den Parameter aus der Gleichung für die x-Koordinate eliminieren und in die y-Koordinate einsetzen. - Skizziere die Lage der Punkte im Koordinatensystem, um die Formel für die Dreiecksfläche anwenden zu können.

1. Symmetrie: Wegen \(f_k(-x) = (-x)^2 \cdot e^{-k(-x)^2} = x^2 \cdot e^{-kx^2} = f_k(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Schnittpunkte: Der einzige Schnittpunkt mit beiden Achsen liegt im Ursprung \(O(0 \mid 0)\), da \(x^2 \cdot e^{-kx^2} = 0\) nur für \(x=0\) gilt. 3. Extrempunkte: Die erste Ableitung lautet \(f_k'(x) = 2x \cdot e^{-kx^2} + x^2 \cdot (-2kx) \cdot e^{-kx^2} = 2x(1 - kx^2) \cdot e^{-kx^2}\). Nullstellen von \(f_k'\) sind \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}\). Da \(f_k(x) \ge 0\) und \(f_k(x) \to 0\) für \(x \to \pm \infty\), ist \(T(0 \mid 0)\) ein lokaler Tiefpunkt und \(H_1\left(-\frac{1}{\sqrt{k}} \mid \frac{1}{ek}\right)\) sowie \(H_2\left(\frac{1}{\sqrt{k}} \mid \frac{1}{ek}\right)\) sind lokale Hochpunkte. 4. Ortskurve: Aus \(x = \frac{1}{\sqrt{k}}\) folgt \(k = \frac{1}{x^2}\). Einsetzen in den \(y\)-Wert \(y = \frac{1}{ek}\) ergibt \(y = \frac{x^2}{e}\). Die Ortskurve ist die Parabel mit der Gleichung \(y = \frac{1}{e}x^2\) (für \(x \neq 0\)). 5. Dreiecksfläche: Das Dreieck hat die Grundseite \(g = x_{H2} - x_{H1} = \frac{2}{\sqrt{k}}\) und die Höhe \(h = y_H = \frac{1}{ek}\). Der Flächeninhalt ist \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{k}} \cdot \frac{1}{ek} = \frac{1}{ek\sqrt{k}} = \frac{1}{e \cdot k^{3/2}}\). 6. Bestimmung von \(k\): Die Bedingung \(A(k) = \frac{1}{e}\) führt auf \(\frac{1}{e \cdot k^{3/2}} = \frac{1}{e} \implies k^{3/2} = 1 \implies k = 1\).

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; Schnittpunkt \(O(0 \mid 0)\). b) Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\); Hochpunkte \(H_{1,2}\left(\pm \frac{1}{\sqrt{k}} \mid \frac{1}{ek}\right)\). c) Ortskurve: \(y = \frac{1}{e}x^2\) (für \(x \neq 0\)). d) \(A(k) = \frac{1}{e \cdot k\sqrt{k}}\); die Fläche beträgt \(\frac{1}{e}\) für \(k = 1\).

- Was sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für das Vorliegen eines Extrempunktes? - Wie kannst du den Funktionsterm vereinfachen, um die Ableitungen leichter zu berechnen? - Was bedeutet es rechnerisch, wenn Punkte auf einer „Ortslinie“ liegen? - Wie kannst du den Parameter \(a\) aus den Koordinatengleichungen eliminieren, um einen Zusammenhang zwischen \(x\) und \(y\) zu erhalten?

1. Ableitungen bilden: \(f_a(x) = x + 2a + 4a^2x^{-1}\), \(f_a'(x) = 1 - \frac{4a^2}{x^2}\) und \(f_a''(x) = \frac{8a^2}{x^3}\). 2. Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\): \(1 = \frac{4a^2}{x^2} \implies x^2 = 4a^2 \implies x_1 = 2a, x_2 = -2a\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: Da \(a > 0\), ist \(f_a''(2a) = \frac{8a^2}{8a^3} = \frac{1}{a} > 0\) (Tiefpunkt) und \(f_a''(-2a) = -\frac{1}{a} < 0\) (Hochpunkt). 4. Koordinaten berechnen: \(f_a(2a) = \frac{(2a)^2 + 2a(2a) + 4a^2}{2a} = \frac{12a^2}{2a} = 6a \implies T(2a \mid 6a)\). \(f_a(-2a) = \frac{(-2a)^2 + 2a(-2a) + 4a^2}{-2a} = \frac{4a^2 - 4a^2 + 4a^2}{-2a} = -2a \implies H(-2a \mid -2a)\). 5. Ortslinie der Tiefpunkte: Aus \(x = 2a\) folgt \(a = \frac{x}{2}\). Einsetzen in \(y = 6a\) ergibt \(y = 6 \cdot \frac{x}{2} = 3x\). Wegen \(a > 0\) gilt \(x > 0\). 6. Ortslinie der Hochpunkte: Aus \(x = -2a\) folgt \(a = -\frac{x}{2}\). Einsetzen in \(y = -2a\) ergibt \(y = -2 \cdot (-\frac{x}{2}) = x\). Wegen \(a > 0\) gilt \(x < 0\).

a) Tiefpunkt \(T(2a \mid 6a)\), Hochpunkt \(H(-2a \mid -2a)\). b) Die Ortslinie der Tiefpunkte ist die Gerade \(y = 3x\) für \(x > 0\). c) Die Ortslinie der Hochpunkte ist die Gerade \(y = x\) für \(x < 0\).

- Wie lautet die Quotientenregel für das Ableiten gebrochen-rationaler Funktionen? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Koordinaten zu erhalten. - Um zu zeigen, dass ein Punkt auf einer Geraden liegt, kannst du seine \(x\)-Koordinate in die Geradengleichung einsetzen und prüfen, ob die \(y\)-Koordinate herauskommt.

1. Erste Ableitung mit der Quotientenregel bestimmen: \(f_k'(x) = \frac{2x(x-k) - x^2 \cdot 1}{(x-k)^2} = \frac{x^2 - 2kx}{(x-k)^2}\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f_k'(x) = 0\) führt auf \(x(x-2k) = 0\), woraus die Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\) resultieren. 3. Zugehörige Funktionswerte berechnen: \(f_k(0) = \frac{0^2}{0-k} = 0\) und \(f_k(2k) = \frac{(2k)^2}{2k-k} = \frac{4k^2}{k} = 4k\). 4. Die Extrempunkte sind somit \(E_1(0 \mid 0)\) und \(E_2(2k \mid 4k)\). 5. Nachweis der Lage auf der Geraden \(y = 2x\): Für \(E_1\) gilt \(0 = 2 \cdot 0\) (wahr). Für \(E_2\) ergibt das Einsetzen der \(x\)-Koordinate \(2 \cdot (2k) = 4k\), was exakt der \(y\)-Koordinate entspricht. Damit liegen beide Punkte auf der Geraden.

a) Die Extrempunkte liegen bei \(E_1(0 \mid 0)\) und \(E_2(2k \mid 4k)\). b) Einsetzen der Koordinaten in \(y = 2x\) bestätigt die Lage: \(2 \cdot 0 = 0\) und \(2 \cdot 2k = 4k\).

- Wie lautet die notwendige Bedingung für eine Wendestelle? - Kannst du die Koordinaten der Wendepunkte in Abhängigkeit von \(k\) ausdrücken? - Welche mathematischen Werkzeuge kennst du, um zu prüfen, ob zwei Linien senkrecht aufeinanderstehen? - Nutze die Symmetrie des Graphen zur y-Achse aus.

1. Erste und zweite Ableitung der Funktion bilden: \(f_k'(x) = -2kx \cdot e^{-kx^2}\) und \(f_k''(x) = (4k^2x^2 - 2k) \cdot e^{-kx^2}\). 2. Wendestellen durch Nullsetzen der zweiten Ableitung bestimmen: \(4k^2x^2 - 2k = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2k} \implies x_{1,2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}\). 3. \(y\)-Koordinaten der Wendepunkte berechnen: \(f_k\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2k}}\right) = e^{-k \cdot \frac{1}{2k}} = e^{-0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{e}}\). Die Wendepunkte sind \(W_1\left(\frac{1}{\sqrt{2k}} \mid \frac{1}{\sqrt{e}}\right)\) und \(W_2\left(-\frac{1}{\sqrt{2k}} \mid \frac{1}{\sqrt{e}}\right)\). 4. Bedingung für den rechten Winkel im Ursprung aufstellen. Dies kann über das Skalarprodukt der Ortsvektoren \(\vec{OW_1} \cdot \vec{OW_2} = 0\) oder über das Produkt der Steigungen \(m_1 \cdot m_2 = -1\) erfolgen. 5. Gleichung aufstellen: \(\left(\frac{1}{\sqrt{2k}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2k}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = 0 \implies -\frac{1}{2k} + \frac{1}{e} = 0\). 6. Nach \(k\) auflösen: \(\frac{1}{2k} = \frac{1}{e} \implies 2k = e \implies k = \frac{e}{2}\).

\(k = \frac{e}{2}\)

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion zu finden? - Erinnere dich an die Quotientenregel für das Ableiten von Brüchen. - Wenn du die Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit von \(t\) hast, wie kannst du den Parameter \(t\) eliminieren, um einen Zusammenhang zwischen \(x\) und \(y\) zu finden? - Überprüfe, ob deine gefundenen Punkte die vorgegebene Gleichung \(y = x^2\) erfüllen.

1. Erste Ableitung \(f_t'(x)\) mit der Quotientenregel bestimmen: \(f_t'(x) = \frac{2tx(x-t) - tx^2 \cdot 1}{(x-t)^2} = \frac{2tx^2 - 2t^2x - tx^2}{(x-t)^2} = \frac{tx^2 - 2t^2x}{(x-t)^2} = \frac{tx(x - 2t)}{(x - t)^2}\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f_t'(x) = 0\) anwenden: Die Nullstellen des Zählers sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2t\). (Da \(t \neq 0\), ist \(x_2 \neq t\), die Definitionslücke wird also nicht getroffen). 3. \(y\)-Koordinaten der Extrempunkte berechnen: \(y_1 = f_t(0) = \frac{t \cdot 0^2}{0 - t} = 0\) und \(y_2 = f_t(2t) = \frac{t \cdot (2t)^2}{2t - t} = \frac{4t^3}{t} = 4t^2\). 4. Ortskurve bestimmen: Der Punkt \(E_1(0 \mid 0)\) erfüllt die Gleichung \(y = x^2\), da \(0 = 0^2\). Für den Punkt \(E_2(2t \mid 4t^2)\) setzt man \(x = 2t\) nach \(t\) um (\(t = \frac{x}{2}\)) und setzt dies in die \(y\)-Koordinate ein: \(y = 4 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{x^2}{4} = x^2\). Somit liegen alle Extrempunkte auf der Parabel \(y = x^2\).

Die Ableitung \(f_t'(x) = \frac{tx(x-2t)}{(x-t)^2}\) liefert die Extremstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2t\). Die zugehörigen Punkte sind \(E_1(0 \mid 0)\) und \(E_2(2t \mid 4t^2)\). Da für beide Punkte die Beziehung \(y = x^2\) gilt (wegen \(0 = 0^2\) und \(4t^2 = (2t)^2\)), liegen sie auf der genannten Parabel.

- Bestimme zuerst die Wendestellen der Funktion in Abhängigkeit von \(k\). - Wie hängen die Basis und die Höhe eines Dreiecks mit seinen Eckpunkten zusammen, wenn eine Ecke im Ursprung liegt und zwei Punkte dieselbe \(y\)-Koordinate haben? - Kannst du den Term für den Flächeninhalt vereinfachen, bevor du ihn mit dem Zielwert gleichsetzt?

1. Ableitungen bestimmen: Mithilfe der Ketten- und Produktregel ergeben sich \(f_k'(x) = -2kxe^{-kx^2}\) und \(f_k''(x) = (4k^2x^2 - 2k)e^{-kx^2}\). 2. Wendestellen berechnen: Aus \(f_k''(x) = 0\) folgt \(4k^2x^2 = 2k\), woraus sich die Stellen \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}\) ergeben. 3. Zugehörige \(y\)-Koordinate ermitteln: \(f_k\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2k}}\right) = e^{-k \cdot \frac{1}{2k}} = e^{-0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{e}}\). Die Wendepunkte liegen somit auf der Geraden \(y = \frac{1}{\sqrt{e}}\). 4. Flächeninhalt des Dreiecks aufstellen: Die Basis ist die Differenz der \(x\)-Werte, \(b = \frac{2}{\sqrt{2k}}\), und die Höhe ist der \(y\)-Wert, \(h = \frac{1}{\sqrt{e}}\). Es folgt \(A = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2k}} \cdot \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{2ke}}\). 5. Wert für \(k\) berechnen: Die Bedingung \(\frac{1}{\sqrt{2ke}} = \frac{1}{\sqrt{2e}}\) führt direkt auf \(2ke = 2e\) und somit auf \(k = 1\).

\(k = 1\)

- Betrachte die Exponenten von \(x\), um auf die Symmetrie zu schließen. - Unterscheide bei der Suche nach Nullstellen der Ableitung, ob der Parameter \(a\) positiv, null oder negativ ist. - Wie viele Lösungen hat die Gleichung \(ax^2 - 1 = 0\) in den verschiedenen Fällen? - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du die Extremstelle nach dem Parameter auflösen und diesen in den Funktionsterm einsetzen.

1. Symmetrie: Da im Funktionsterm nur gerade Exponenten von \(x\) vorkommen, gilt \(f_a(-x) = a(-x)^4 - 2(-x)^2 = ax^4 - 2x^2 = f_a(x)\). Der Graph ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Ableitungen: \(f'_a(x) = 4ax^3 - 4x = 4x(ax^2 - 1)\) und \(f''_a(x) = 12ax^2 - 4\). 3. Extremstellen für \(a \le 0\): Die Gleichung \(4x(ax^2 - 1) = 0\) hat nur die Lösung \(x = 0\), da für \(a \le 0\) der Ausdruck \(ax^2 - 1\) stets negativ ist. Wegen \(f''_a(0) = -4 < 0\) liegt an der Stelle \(x = 0\) ein Hochpunkt vor. Es gibt also genau einen Extrempunkt. 4. Extremstellen für \(a > 0\): Die notwendige Bedingung \(f'_a(x) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm \sqrt{\frac{1}{a}}\). Mit \(f''_a(0) = -4\) ist \((0|0)\) ein Hochpunkt. Für die weiteren Stellen gilt \(f''_a(\pm \sqrt{\frac{1}{a}}) = 12a(\frac{1}{a}) - 4 = 8 > 0\). Es gibt somit drei Extrempunkte (einen Hochpunkt und zwei Tiefpunkte). 5. Ortskurve der Tiefpunkte: Aus \(x^2 = \frac{1}{a}\) folgt \(a = \frac{1}{x^2}\) (für \(x \neq 0\)). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(y = \frac{1}{x^2} \cdot x^4 - 2x^2 = x^2 - 2x^2 = -x^2\). Damit liegen alle Tiefpunkte auf der Parabel \(y = -x^2\).

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Für \(a \le 0\) gibt es genau einen Extrempunkt (einen Hochpunkt bei \(x=0\)). Für \(a > 0\) gibt es drei Extrempunkte (einen Hochpunkt bei \(x=0\) und zwei Tiefpunkte bei \(x = \pm \sqrt{\frac{1}{a}}\)). c) Die Tiefpunkte liegen für \(a > 0\) auf der Kurve \(y = -x^2\), da die Koordinate \(y = a \cdot (\frac{1}{a})^2 - 2 \cdot \frac{1}{a} = -\frac{1}{a}\) mit \(x^2 = \frac{1}{a}\) die Beziehung \(y = -x^2\) erfüllt.

- Welche Komponente der Funktion bestimmt das Verhalten für sehr kleine bzw. sehr große Werte? - Wie gehst du vor, um die Extrempunkte einer Funktionenschar zu berechnen? - Beachte bei der Bestimmung der Extremstelle die Einschränkung des Definitionsbereichs. - Um eine Ortskurve zu finden, musst du die Parameterabhängigkeit der \(x\)-Koordinate nach dem Parameter auflösen und in die \(y\)-Koordinate einsetzen.

1. Grenzwertbetrachtung: Für \(x \to 0\) gilt \(\ln(x) \to -\infty\) und \(-\frac{1}{2}x^2 \to 0\), daher \(f_a(x) \to -\infty\). Für \(x \to \infty\) dominiert das quadratische Glied das logarithmische Glied, also \(f_a(x) = x^2 \cdot (\frac{a \cdot \ln(x)}{x^2} - \frac{1}{2}) \to \infty \cdot (0 - \frac{1}{2}) = -\infty\). 2. Bestimmung der Extremstellen: Die erste Ableitung lautet \(f_a'(x) = \frac{a}{x} - x\). Nullsetzen liefert \(\frac{a}{x} - x = 0 \implies x^2 = a\). Da \(x \in \mathbb{R}^+\), ist die einzige Extremstelle \(x_H = \sqrt{a}\). 3. Überprüfung der Art des Extremums: \(f_a''(x) = -\frac{a}{x^2} - 1\). Da \(f_a''(\sqrt{a}) = -\frac{a}{a} - 1 = -2 < 0\), liegt ein Maximum vor. 4. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(y_H = f_a(\sqrt{a}) = a \cdot \ln(\sqrt{a}) - \frac{1}{2}(\sqrt{a})^2 = \frac{1}{2}a \ln(a) - \frac{1}{2}a\). Der Hochpunkt ist \(H(\sqrt{a} \mid \frac{1}{2}a (\ln(a) - 1))\). 5. Bestimmung der Ortskurve: Aus \(x = \sqrt{a}\) folgt \(a = x^2\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y = \frac{x^2}{2} (\ln(x^2) - 1) = x^2 \ln(x) - \frac{1}{2}x^2\).

a) \(\lim_{x \to 0} f_a(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} f_a(x) = -\infty\) b) \(H(\sqrt{a} \mid \frac{1}{2}a (\ln(a) - 1))\) c) \(y = x^2 \ln(x) - \frac{1}{2}x^2\)

- Wie hängen die Graphen einer Funktionenschar zusammen? Überlege, was es bedeutet, wenn alle Graphen durch dieselben Punkte verlaufen. - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du den Parameter ausklammerst? - Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, welche Gleichung muss dann erfüllt sein? - Erinnere dich daran, wie man die Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel bestimmt. Wie hängt die Lage des Scheitelpunkts vom Parameter ab? - Schau dir die Formen und die Öffnungsrichtungen der Graphen im Koordinatensystem an. Welche Eigenschaften verrät das Vorzeichen des Parameters über den Graphen?

1. Gemeinsame Punkte: \(f_k(x)=k(x^2-4x+3)-x+3\). Der Funktionswert ist genau dann unabhängig von \(k\), wenn \(x^2-4x+3=0\). Daraus folgen \(x_1=1\) und \(x_2=3\). Mit \(f_k(1)=2\) und \(f_k(3)=0\) erhält man \(A(1 \mid 2)\) und \(B(3 \mid 0)\). 2. Punkt \(C\): \(f_k(2)=4k-2(4k+1)+3k+3=-k+1\). Aus \(-k+1=-2\) folgt \(k=3\). 3. Scheitelstelle: \(x_S=-\frac{b}{2a}=\frac{4k+1}{2k}=2+\frac{1}{2k}\). Aus \(2+\frac{1}{2k}=2{,}5\) folgt \(k=1\). Im Diagramm ist dies Graph B.

a) \(A(1 \mid 2)\) und \(B(3 \mid 0)\). b) \(k=3\). c) \(k=1\); Graph B.

- Welche besonderen Punkte haben alle Scharkurven gemeinsam? Betrachte insbesondere den Koordinatenursprung. - Schau dir die Schnittpunkte der Parabeln mit der x-Achse an. In welchem Zusammenhang stehen die zweiten Nullstellen mit dem Parameter \(k\)? - Bestimme den Scheitelpunkt entweder über die Symmetrie der Nullstellen, durch quadratische Ergänzung oder mithilfe der ersten Ableitung. - Um die Ortskurve zu finden, eliminiere den Parameter \(k\), indem du die Gleichung der x-Koordinate des Scheitelpunkts nach \(k\) auflöst und in die Gleichung der y-Koordinate einsetzt.

1. **Funktionsgleichung bestimmen:** Alle Scharkurven sind nach unten geöffnete Parabeln, die durch den Ursprung \(O(0 \mid 0)\) verlaufen. Aus dem Graphen lässt sich ablesen, dass die zweite Nullstelle jeder Parabel \(f_k\) genau bei \(x = k\) liegt (zum Beispiel hat die violette Kurve \(f_2\) ihre zweite Nullstelle bei \(x = 2\), die rote Kurve \(f_{-4}\) bei \(x = -4\)). Mit dem Produktansatz (Satz vom Nullprodukt) ergibt sich: \(f_k(x) = ax(x - k)\) Für die Kurve \(f_2\) mit dem Scheitelpunkt \(S_2(1 \mid 1)\) gilt: \(1 = a \cdot (1 - 2) \implies a = -1\). Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit: \(f_k(x) = -x(x - k) = -x^2 + kx\). 2. **Scheitelpunkt bestimmen:** Die x-Koordinate des Scheitelpunkts liegt aufgrund der Symmetrie der Parabel genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\): \(x_S = \frac{k}{2}\). Einsetzen von \(x_S\) in die Funktionsgleichung liefert die y-Koordinate: \(y_S = f_k\left(\frac{k}{2}\right) = -\left(\frac{k}{2}\right)^2 + k \cdot \left(\frac{k}{2}\right) = -\frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{2} = \frac{k^2}{4}\). Die Koordinaten des Scheitelpunkts lauten: \(S_k\left(\frac{k}{2} \;\middle|\; \frac{k^2}{4}\right)\). 3. **Ortskurve ermitteln:** Um die Gleichung der Ortskurve der Scheitelpunkte zu bestimmen, stellt man die Gleichung für die x-Koordinate nach \(k\) um und setzt sie in die y-Koordinate ein: \(x = \frac{k}{2} \implies k = 2x\) \(y = \frac{k^2}{4} = \frac{(2x)^2}{4} = \frac{4x^2}{4} = x^2\). Die Gleichung der Ortskurve lautet somit \(y=x^2\). Da \(k\ne0\), gilt für die Scheitelpunkte zusätzlich \(x\ne0\).

a) \(f_k(x) = -x^2 + kx\) b) \(S_k\left(\frac{k}{2} \;\middle|\; \frac{k^2}{4}\right)\) c) \(y=x^2\) mit \(x\ne0\)

- Bestimme zuerst die erste Ableitung der Funktionenschar unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel. - Überlege, welche Bedingung an der Stelle eines Hochpunkts für die erste Ableitung gelten muss. - Nutze die gegebene x-Koordinate des Hochpunkts, um den zugehörigen Parameter \(k\) zu berechnen, und bestimme anschließend den Funktionswert. - Um die Ortskurve der Hochpunkte zu finden, drücke den Parameter \(k\) durch die x-Koordinate des Hochpunkts aus und setze diesen in die Funktionsgleichung ein. - Vergleiche die Lage der Hochpunkte in der Abbildung mit den berechneten Extremstellen für die verschiedenen Werte von \(k\).

1. Ableitung von \(f_k(x)\) mit der Produkt- und Kettenregel bestimmen: \(f_k'(x) = x(2 - kx) \cdot e^{-kx}\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f_k'(x) = 0\) liefert für \(x > 0\) die einzige Extremstelle \(x_H = \frac{2}{k}\). 3. Für Teilaufgabe a) die x-Koordinate \(x_H = 1\) setzen: \(\frac{2}{k} = 1 \implies k = 2\). Den y-Wert durch Einsetzen berechnen: \(f_2(1) = e^{-2} \approx 0{,}14\), somit \(H(1 \mid e^{-2})\). 4. Für Teilaufgabe b) die x-Koordinate nach \(k\) umstellen: \(k = \frac{2}{x}\). Diesen Ausdruck in \(f_k(x)\) einsetzen, um die Ortskurve zu erhalten: \(y = x^2 \cdot e^{-\frac{2}{x} \cdot x} = e^{-2}x^2\). 5. Für Teilaufgabe c) die Lage der Hochpunkte für die gegebenen Parameter bestimmen: Für \(k = 0{,}5\) liegt der Hochpunkt bei \(x = 4\), für \(k = 1{,}0\) bei \(x = 2\). Durch Ablesen der Hochpunkte der Graphen folgt: \(G_1\) gehört zu \(k = 0{,}5\) und \(G_2\) gehört zu \(k = 1{,}0\).

a) \(k = 2\), Hochpunkt \(H(1 \mid e^{-2})\), näherungsweise \(H(1 \mid 0{,}14)\) b) Ortskurve: \(y = e^{-2}x^2\) c) \(G_1\) gehört zu \(k = 0{,}5\) (Hochpunkt bei \(x = 4\)), \(G_2\) gehört zu \(k = 1{,}0\) (Hochpunkt bei \(x = 2\)).

- Denke daran, dass für die Berechnung von Extrem- und Wendepunkten die ersten beiden Ableitungen notwendig sind. - Der Parameter \(k\) wird beim Ableiten wie eine Zahl behandelt. - Um eine Ortskurve zu finden, musst du die \(x\)-Koordinate des Punktes nach dem Parameter umstellen und in die \(y\)-Koordinate einsetzen. - Achte auf die Bedingung \(k > 0\), wenn du die Art der Extrema mit der zweiten Ableitung überprüfst.

1. \(f_k'(x)=3x^2-6kx\) und \(f_k''(x)=6x-6k\). 2. Aus \(f_k'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=2k\). Wegen \(k>0\) ist \(H(0\mid0)\) ein Hochpunkt und \(T(2k\mid-4k^3)\) ein Tiefpunkt. 3. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt der Wendepunkt \(W(k\mid-2k^3)\). 4. Die Hochpunkte bilden nur den Punkt \((0\mid0)\). Für die Tiefpunkte gilt aus \(x=2k\): \(y=-\frac12x^3\) mit \(x>0\). Für die Wendepunkte gilt \(y=-2x^3\) mit \(x>0\). 5. Für \(k=0{,}5\) ergeben sich \(H(0\mid0)\), \(T(1\mid-0{,}5)\) und \(W(0{,}5\mid-0{,}25)\); für \(k=1\) ergeben sich \(H(0\mid0)\), \(T(2\mid-4)\) und \(W(1\mid-2)\). Diese Punktlagen stimmen mit den beiden dargestellten Schargraphen überein.

a) Hochpunkt \(H(0\mid0)\), Tiefpunkt \(T(2k\mid-4k^3)\) und Wendepunkt \(W(k\mid-2k^3)\). b) Ortsmenge der Hochpunkte: \(\{(0\mid0)\}\); Ortskurve der Tiefpunkte: \(y=-\frac12x^3\) für \(x>0\); Ortskurve der Wendepunkte: \(y=-2x^3\) für \(x>0\). c) Für \(k=0{,}5\) und \(k=1\) stimmen die berechneten Hoch-, Tief- und Wendepunkte mit den dargestellten Schargraphen überein.

- Nutze die Information über die Lage der Scheitelpunkte, um \(y_s\) durch den Parameter \(a\) auszudrücken. - Um einen bestimmten Parameterwert zu finden, kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen. - Achte beim Auflösen der Gleichung auf die binomischen Formeln.

1. Da der Scheitelpunkt \(S(a\mid y_s)\) auf der Kurve \(y = 0{,}25x^2\) liegt, gilt \(y_s = 0{,}25a^2\). 2. Einsetzen in den Funktionsterm ergibt: \(f_a(x) = -0{,}5(x - a)^2 + 0{,}25a^2\). 3. Punktprobe mit \(P(2\mid2)\): \(2 = -0{,}5(2 - a)^2 + 0{,}25a^2\). 4. Gleichung lösen: \(2 = -0{,}5(4 - 4a + a^2) + 0{,}25a^2\). 5. \(2 = -2 + 2a - 0{,}5a^2 + 0{,}25a^2\). 6. \(4 = 2a - 0{,}25a^2 \Rightarrow 0{,}25a^2 - 2a + 4 = 0\). 7. Multiplikation mit 4: \(a^2 - 8a + 16 = 0 \Rightarrow (a - 4)^2 = 0\). 8. Daraus folgt \(a = 4\).

a) \(f_a(x) = -0{,}5(x - a)^2 + 0{,}25a^2\) b) Für \(a = 4\) verläuft der Graph durch den Punkt \(P(2 \mid 2)\).

- Überlege, wie du den Funktionsterm so umformen kannst, dass der Parameter \(k\) ausgeklammert wird. - Erinnere dich an die Formel für die x-Koordinate des Scheitelpunkts einer Parabel in Normalform. - Um die Ortskurve zu finden, kannst du die Koordinaten des Scheitelpunkts nutzen, um \(k\) zu eliminieren. - Die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion hängt vom Vorzeichen der Diskriminante ab.

1. Nachweis des gemeinsamen Punktes: Der Funktionsterm lässt sich zu \(f_k(x) = x^2 + 3 - 2k(x - 1)\) umformen. Setzt man \(x = 1\) ein, wird der Term mit \(k\) null: \(f_k(1) = 1^2 + 3 - 0 = 4\). Somit liegt \(P(1 \mid 4)\) auf allen Graphen. 2. Scheitelpunkt bestimmen: Mit \(x_S = -\frac{-2k}{2} = k\) ergibt sich der y-Wert durch Einsetzen: \(y_S = f_k(k) = k^2 - 2k^2 + 2k + 3 = -k^2 + 2k + 3\). Also \(S_k(k \mid -k^2 + 2k + 3)\). 3. Ortskurve ermitteln: Aus der Beziehung \(x = k\) für die x-Koordinate des Scheitelpunkts folgt durch Einsetzen in den y-Wert die Gleichung \(y = -x^2 + 2x + 3\). 4. Nullstellen untersuchen: Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 - 2kx + 2k + 3 = 0\) ist \(D = (-2k)^2 - 4(2k + 3) = 4k^2 - 8k - 12 = 4(k - 3)(k + 1)\). Keine Nullstellen existieren für \(D < 0\), also im Intervall \(-1 < k < 3\). 5. Berührpunkt mit der x-Achse: Die Parabel berührt die x-Achse genau dann, wenn die Diskriminante Null ist. Dies ist für \(k = -1\) oder \(k = 3\) der Fall.

a) Nachweis durch Einsetzen von \(x=1\) in \(f_k(x)\). b) \(S_k(k \mid -k^2 + 2k + 3)\) c) \(y = -x^2 + 2x + 3\) d) \(-1 < k < 3\) e) \(k = -1\) oder \(k = 3\)

- Nutze das Ausklammern, um die Nullstellen zu berechnen. - Die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum ist, dass die erste Ableitung null wird. - Um die Ortskurve zu finden, stelle die Gleichung für die \(x\)-Koordinate des Maximums nach \(a\) um und setze das Ergebnis in die Gleichung für die \(y\)-Koordinate ein. - Überlege dir, wie sich eine Änderung von \(a\) auf die Position der Nullstellen und des Hochpunkts auswirkt.

1. Es gilt \(g_a(x)=x^2(a-x)\). Daher liegen die Nullstellen bei \(x=0\) (doppelt) und \(x=a\). 2. Die Ableitungen lauten \(g_a'(x)=2ax-3x^2=x(2a-3x)\) und \(g_a''(x)=2a-6x\). 3. Aus \(g_a'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=\frac23a\). Wegen \(g_a''(0)=2a>0\) liegt bei \(x=0\) ein lokales Minimum. Wegen \(g_a''(\frac23a)=-2a<0\) liegt bei \(x_M=\frac23a\) ein lokales Maximum. 4. Der Funktionswert ist \(y_M=g_a(\frac23a)=\frac4{27}a^3\). Damit ist \(M_a(\frac23a\mid\frac4{27}a^3)\). 5. Aus \(x=\frac23a\) folgt \(a=\frac32x\). Einsetzen liefert \(y=\frac4{27}(\frac32x)^3=\frac12x^3\). Da \(a>0\), gilt für die Ortskurve \(x>0\). 6. Aus \(\frac4{27}a^3=4\) folgt \(a^3=27\), also \(a=3\). 7. Der Graph mit der positiven Nullstelle bei \(x=3\) gehört zu \(a=3\); der Graph mit der positiven Nullstelle bei \(x=1{,}5\) gehört zu \(a=1{,}5\).

a) Nullstellen: \(x=0\) (doppelt) und \(x=a\); Maximum: \(M_a(\frac23a\mid\frac4{27}a^3)\) b) \(y=\frac12x^3\) für \(x>0\) c) \(a=3\) d) Graph A gehört zu \(a=1{,}5\), Graph B zu \(a=3\).

- Denke daran, beim Lösen der quadratischen Gleichung für die Ableitung den Parameter wie eine Zahl zu behandeln. - Unterscheide bei der Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten die Fälle für positive und negative Parameterwerte. - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer Kurve liegen, kannst du die x-Koordinate des Punktes in die Kurvengleichung einsetzen und prüfen, ob die y-Koordinate herauskommt.

1. Ableitungen bestimmen: \(f_a'(x) = 3x^2 - 12ax + 9a^2\) und \(f_a''(x) = 6x - 12a\). 2. Extremstellen berechnen: \(3(x^2 - 4ax + 3a^2) = 0 \implies 3(x - 3a)(x - a) = 0\). Die Stellen sind \(x_1 = a\) und \(x_2 = 3a\). 3. Klassifizierung: \(f_a''(a) = -6a\) und \(f_a''(3a) = 6a\). Falls \(a > 0\): Hochpunkt \(H(a \mid 4a^3)\) und Tiefpunkt \(T(3a \mid 0)\). Falls \(a < 0\): Tiefpunkt \(T(a \mid 4a^3)\) und Hochpunkt \(H(3a \mid 0)\). 4. Wendepunkt berechnen: \(f_a''(x) = 0 \implies x_W = 2a\). Der Funktionswert ist \(f_a(2a) = (2a)^3 - 6a(2a)^2 + 9a^2(2a) = 8a^3 - 24a^3 + 18a^3 = 2a^3\). 5. Nachweis der Ortskurve: Aus \(x = 2a\) folgt \(a = \frac{x}{2}\). Einsetzen in die y-Koordinate: \(y = 2 \cdot (\frac{x}{2})^3 = 2 \cdot \frac{x^3}{8} = \frac{1}{4}x^3\). Dies entspricht der Funktion \(g(x)\).

a) Für \(a > 0\): \(H(a \mid 4a^3)\), \(T(3a \mid 0)\). Für \(a < 0\): \(T(a \mid 4a^3)\), \(H(3a \mid 0)\). b) Der Wendepunkt liegt bei \(W(2a \mid 2a^3)\). Einsetzen von \(a = \frac{x}{2}\) in \(y = 2a^3\) ergibt \(y = \frac{1}{4}x^3\).

- Erinnere dich an die Quotientenregel für Ableitungen. - Wie gehst du vor, wenn in einer Gleichung Brüche mit unterschiedlichen Nennern vorkommen? - Kannst du die Gleichung durch geschicktes Ausklammern oder Dividieren vereinfachen, wenn ein Parameter in jedem Term als Faktor vorkommt? - Bei Gleichungen vierten Grades mit nur geraden Exponenten hilft oft ein bestimmtes Verfahren, um die Gleichung auf eine quadratische Form zurückzuführen.

1. Erste Ableitung mittels Quotientenregel oder Kettenregel bestimmen: \(g'_a(x) = a \cdot (-1) \cdot (x^2 + 1)^{-2} \cdot 2x = \frac{-2ax}{(x^2 + 1)^2}\) 2. Zweite Ableitung bestimmen: \(g''_a(x) = \frac{-2a \cdot (x^2 + 1)^2 - (-2ax) \cdot 2 \cdot (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4} = \frac{-2a(x^2 + 1) + 8ax^2}{(x^2 + 1)^3} = \frac{6ax^2 - 2a}{(x^2 + 1)^3}\) 3. Schnittbedingung ansetzen: \(g_a(x) = g''_a(x) \iff \frac{a}{x^2 + 1} = \frac{a(6x^2 - 2)}{(x^2 + 1)^3}\) 4. Division durch \(a\) (da \(a \neq 0\)) und Multiplikation mit \((x^2 + 1)^3\): \((x^2 + 1)^2 = 6x^2 - 2\) 5. Gleichung ausmultiplizieren und ordnen: \(x^4 + 2x^2 + 1 = 6x^2 - 2 \implies x^4 - 4x^2 + 3 = 0\) 6. Substitution \(u = x^2\) führt auf \(u^2 - 4u + 3 = 0\) mit den Lösungen \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 3\). 7. Rücksubstitution ergibt die \(x\)-Werte: \(x \in \{1; -1; \sqrt{3}; -\sqrt{3}\}\). Diese Werte sind alle unabhängig von \(a\).

Die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = \sqrt{3}\) und \(x_4 = -\sqrt{3}\). Da keine dieser Lösungen vom Parameter \(a\) abhängt, ist die Unabhängigkeit bewiesen.

- Erinnere dich an die Wachstumsgeschwindigkeiten von Logarithmus- und Potenzfunktionen für sehr große \(x\). - Wende die Quotientenregel sorgfältig an, um die Ableitung zu bestimmen. - Um die Ortskurve zu finden, kannst du versuchen, den Parameter \(t\) aus den Koordinatengleichungen zu eliminieren. - Gibt es eine einfache Beziehung zwischen der \(x\)- und der \(y\)-Koordinate des Hochpunkts?

1. Grenzwerte bestimmen: Für \(x \to 0^+\) strebt der Zähler gegen \(-\infty\) und der Nenner gegen \(0^+\), also \(h_t(x) \to -\infty\). Senkrechte Asymptote: \(x = 0\). Für \(x \to \infty\) dominiert die lineare Funktion im Nenner den Logarithmus im Zähler, es gilt \(h_t(x) \to 0\). Waagerechte Asymptote: \(y = 0\). 2. Ableitung bilden: Mit der Quotientenregel ergibt sich \(h_t'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (\ln(x) + t) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x) - t}{x^2}\). 3. Extremstelle berechnen: \(h_t'(x) = 0 \implies \ln(x) = 1 - t \implies x = e^{1-t}\). Ein Vorzeichenwechselkriterium oder die zweite Ableitung bestätigt den Hochpunkt. 4. \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(h_t(e^{1-t}) = \frac{\ln(e^{1-t}) + t}{e^{1-t}} = \frac{1 - t + t}{e^{1-t}} = \frac{1}{e^{1-t}}\). Der Hochpunkt ist \(H_t(e^{1-t} \mid e^{t-1})\). 5. Ortskurve bestimmen: Mit \(x = e^{1-t}\) und \(y = \frac{1}{e^{1-t}}\) folgt durch Substitution direkt \(y=\frac{1}{x}\). Da \(x=e^{1-t}>0\) gilt, gehört nur der Ast für \(x>0\) zur Ortskurve.

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); waagerechte Asymptote: \(y = 0\). b) Hochpunkt \(H_t(e^{1-t} \mid e^{t-1})\). c) Die Ortskurve ist \(y=\frac{1}{x}\) mit \(x>0\).

- Berechne zuerst allgemein die Stellen für die Extrema und die Wendepunkte in Abhängigkeit von \(a\). - Wie bildet man mathematisch ein Verhältnis zwischen zwei Werten? - Was muss am Ende einer Rechnung passieren, damit man sagen kann, ein Ergebnis sei „unabhängig von einem Parameter“?

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(g_a'(x) = 4ax^3 - 4x\) und \(g_a''(x) = 12ax^2 - 4\). 2. \(x\)-Koordinate des positiven Tiefpunkts bestimmen: \(g_a'(x) = 0 \implies 4x(ax^2 - 1) = 0\). Für \(x > 0\) folgt \(x^2 = \frac{1}{a}\), also \(x_T = \frac{1}{\sqrt{a}}\). 3. \(x\)-Koordinate der positiven Wendestelle bestimmen: \(g_a''(x) = 0 \implies 12ax^2 - 4 = 0 \implies x^2 = \frac{4}{12a} = \frac{1}{3a}\). Für \(x > 0\) folgt \(x_W = \frac{1}{\sqrt{3a}}\). 4. Verhältnis berechnen: \(\frac{x_T}{x_W} = \frac{\frac{1}{\sqrt{a}}}{\frac{1}{\sqrt{3a}}} = \frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{a}} = \sqrt{3}\). 5. Das Ergebnis \(\sqrt{3}\) ist eine Konstante und enthält den Parameter \(a\) nicht mehr, womit die Unabhängigkeit gezeigt ist.

Das Verhältnis beträgt \(\frac{x_T}{x_W} = \sqrt{3}\). Da dieser Wert konstant ist, hängt das Verhältnis nicht von \(a\) ab.

- Was ist die notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunkts? - Du suchst eine Kurve, die alle Wendepunkte verbindet. Das Ziel ist eine Gleichung, in der nur noch \(x\) und \(y\) vorkommen, aber kein \(k\) mehr. - Drücke zuerst \(x\) durch \(k\) aus und stelle diese Gleichung nach \(k\) um. - Was passiert mit der y-Koordinate, wenn du dort das \(k\) durch deinen Term mit \(x\) ersetzt?

1. Ableitungen berechnen: \(g_k'(x) = x^2 + 2kx + k^2 - 1\), \(g_k''(x) = 2x + 2k\) und \(g_k'''(x) = 2\). 2. Wendestelle bestimmen: \(g_k''(x) = 0 \implies 2x + 2k = 0 \implies x_W = -k\). Da \(g_k'''(-k) = 2 \neq 0\), liegt dort ein Wendepunkt vor. 3. y-Koordinate berechnen: \(y_W = g_k(-k) = \frac{1}{3}(-k)^3 + k(-k)^2 + (k^2 - 1)(-k) = -\frac{1}{3}k^3 + k^3 - k^3 + k = -\frac{1}{3}k^3 + k\). Der Wendepunkt ist \(W(-k \mid -\frac{1}{3}k^3 + k)\). 4. Parameter eliminieren: Aus \(x = -k\) folgt \(k = -x\). Einsetzen in die Gleichung für \(y\): \(y = -\frac{1}{3}(-x)^3 + (-x) = \frac{1}{3}x^3 - x\).

a) Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W(-k \mid -\frac{1}{3}k^3 + k)\). b) Die Gleichung der Ortslinie ist \(y = \frac{1}{3}x^3 - x\).

- Nutze die Produktregel und achte beim Ableiten der \(e\)-Funktion auf die Kettenregel. - Erinnere dich daran, dass ein Produkt nur dann null wird, wenn einer der Faktoren null ist. Kann \(e^{0{,}5x}\) null werden? - Das Ziel ist es, eine Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) zu finden, in der der Parameter \(k\) nicht mehr vorkommt. - Hast du schon probiert, die Bedingung für die Extremstelle nach \(k\) umzustellen?

1. Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel berechnen: \(f_k'(x) = -1 \cdot e^{0{,}5x} + (k - x) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (0{,}5k - 0{,}5x - 1)\). 2. Notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) setzen: Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, muss \(0{,}5k - 0{,}5x - 1 = 0\) gelten. 3. Die Gleichung nach dem Parameter \(k\) auflösen: \(0{,}5k = 0{,}5x + 1 \implies k = x + 2\). 4. Den Parameter \(k\) in der Funktionsgleichung \(y = f_k(x)\) durch den gefundenen Term ersetzen: \(y = (x + 2 - x) \cdot e^{0{,}5x} = 2e^{0{,}5x}\). 5. Die Gleichung der Ortskurve ist somit \(g(x) = 2e^{0{,}5x}\). Eine Überprüfung der zweiten Ableitung zeigt, dass es sich bei den Extrempunkten stets um Hochpunkte handelt.

\(g(x) = 2e^{0{,}5x}\)

- Achte bei der Bestimmung der Hochpunkte auf die Symmetrie der Funktion. - Wie hängen die Koordinaten der Punkte mit dem Parameter zusammen? - Kannst du eine Beziehung zwischen den \(x\)- und \(y\)-Werten herstellen, in der der Parameter nicht mehr vorkommt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Verhältnis unabhängig von einem Parameter ist?

1. Die Ableitung \(g_a'(x) = ax - \frac{1}{3}x^3 = x(a - \frac{1}{3}x^2)\) liefert die Extremstellen \(x = 0\) sowie \(x = \pm \sqrt{3a}\). Die Untersuchung der zweiten Ableitung \(g_a''(x) = a - x^2\) an den Stellen \(\pm \sqrt{3a}\) ergibt \(g_a''(\pm \sqrt{3a}) = a - 3a = -2a < 0\), was Hochpunkte bestätigt. Die \(y\)-Koordinate ist \(g_a(\sqrt{3a}) = \frac{1}{2}a(3a) - \frac{1}{12}(3a)^2 = \frac{3}{2}a^2 - \frac{9}{12}a^2 = \frac{3}{4}a^2\). Die Punkte sind \(H_{1,2}(\pm \sqrt{3a} \mid \frac{3}{4}a^2)\). 2. Aus der \(x\)-Koordinate \(x^2 = 3a\) folgt \(a = \frac{1}{3}x^2\). Einsetzen in die Gleichung der \(y\)-Koordinate \(y = \frac{3}{4}a^2\) liefert \(y = \frac{3}{4}(\frac{1}{3}x^2)^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{9}x^4 = \frac{1}{12}x^4\). Die Ortslinie ist somit \(y = \frac{1}{12}x^4\). 3. Die Wendestellen liegen bei \(g_a''(x) = a - x^2 = 0\), also \(x^2 = a\). Der Funktionswert an diesen Stellen ist \(y_W = g_a(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}a(a) - \frac{1}{12}a^2 = \frac{5}{12}a^2\). Das Verhältnis der \(y\)-Koordinaten berechnet sich zu \(\frac{y_H}{y_W} = \frac{\frac{3}{4}a^2}{\frac{5}{12}a^2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{5} = \frac{9}{5} = 1{,}8\). Da das Ergebnis eine konstante Zahl ist, ist das Verhältnis unabhängig von \(a\).

1. \(H_{1,2}(\pm \sqrt{3a} \mid \frac{3}{4}a^2)\) 2. \(y = \frac{1}{12}x^4\) 3. \(\frac{y_H}{y_W} = 1{,}8\)

- Wann hat der Parameter \(t\) keinen Einfluss auf das Ergebnis des Funktionsterms? - Welche Ableitungsregeln musst du kombinieren, um \(g_t'(x)\) zu bestimmen? - Denke daran, dass eine Tangente durch einen Punkt und eine Steigung eindeutig festgelegt ist. - Was musst du über die Steigung an der Stelle \(x=1\) zeigen, damit die Tangente für alle \(t\) gleich ist?

1. Ein Punkt ist für alle \(t\) identisch, wenn der Koeffizient von \(t\) null ist. Dies ist für \((x-1)^2 = 0\) der Fall, woraus \(x = 1\) folgt. 2. Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(g_t(1) = (t \cdot 0 + 1) \cdot e^1 = e\). Somit ist \(Q(1 \mid e)\) der gemeinsame Punkt. 3. Die Ableitung erfolgt mittels Produkt- und Kettenregel: \(g_t'(x) = 2t(x-1) \cdot e^x + (t(x-1)^2 + 1) \cdot e^x\). Vereinfacht ergibt dies \(g_t'(x) = e^x \cdot (2t(x-1) + t(x-1)^2 + 1)\). 4. Die Steigung im Punkt \(Q\) berechnet man durch \(g_t'(1) = e^1 \cdot (2t \cdot 0 + t \cdot 0 + 1) = e\). 5. Da alle Graphen durch den Punkt \(Q(1 \mid e)\) gehen und dort die Steigung \(m = e\) haben, ist die Tangente \(y = e(x-1) + e = ex\) für alle Graphen identisch.

Alle Graphen der Schar schneiden sich im Punkt \(Q(1 \mid e)\). Da die Steigung an dieser Stelle für jeden Parameter \(t\) den Wert \(e\) annimmt, haben sie dort die gemeinsame Tangente mit der Gleichung \(y = ex\).

- Was bedeutet die Vielfachheit einer Nullstelle für den Verlauf des Graphen? - Nutze die Produktregel oder multipliziere die Klammern zuerst aus, um die Ableitung zu bilden. - Wann ist die \(x\)-Koordinate eines Punktes gleich Null? - Beachte, dass sich die Art des Extrempunktes (Hoch- oder Tiefpunkt) abhängig vom Wert von \(a\) ändern kann.

1. Da der Term \((x-a)^2\) ein quadratischer Faktor in der Nullstellenform der ganzrationalen Funktion ist und \(a \neq -1\) gilt, liegt bei \(x=a\) eine doppelte Nullstelle vor. An solchen Stellen berührt der Graph die \(x\)-Achse, ohne sie zu schneiden. 2. Die Ableitung mit der Produktregel (oder nach Ausmultiplizieren) lautet \(g_a'(x) = 2(x-a)(x+1) + (x-a)^2 = (x-a)(3x + 2 - a)\). Die Extremstellen liegen bei \(x_1 = a\) und \(x_2 = \frac{a-2}{3}\). Die zweite Ableitung \(g_a''(x) = 6x + 2 - 4a\) ergibt für \(x_1 = a\) den Wert \(2a+2\) und für \(x_2 = \frac{a-2}{3}\) den Wert \(-2a-2\). Für \(a > -1\) ist bei \(x_2\) ein Maximum und bei \(x_1\) ein Minimum. Für \(a < -1\) ist es umgekehrt. Die Punkte sind \(P_1(a \mid 0)\) und \(P_2(\frac{a-2}{3} \mid \frac{4}{27}(a+1)^3)\). 3. Ein Punkt liegt auf der \(y\)-Achse, wenn seine \(x\)-Koordinate Null ist. Für den Hochpunkt bei \(a > -1\) muss gelten: \(\frac{a-2}{3} = 0 \Rightarrow a = 2\). Für \(a < -1\) wäre der Hochpunkt bei \(x = a\), was \(a=0\) entspräche, im Widerspruch zu \(a < -1\). Für \(a = 2\) liegt das Maximum bei \((0 \mid 4)\).

a) \(x=a\) ist für \(a \neq -1\) eine doppelte Nullstelle, daher ein Berührpunkt. b) Extrempunkte bei \(x = a\) und \(x = \frac{a-2}{3}\). Die Punkte sind \((a \mid 0)\) und \((\frac{a-2}{3} \mid \frac{4}{27}(a+1)^3)\). c) Der Hochpunkt liegt für \(a = 2\) auf der \(y\)-Achse.

- Denke daran, dass \( \frac{k}{x} \) als \( kx^{-1} \) geschrieben werden kann, um die Ableitung leichter zu berechnen. - Für die Ortskurve: Kannst du die \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts direkt durch die \(x\)-Koordinate ausdrücken? - Der Abstand zum Ursprung berechnet sich mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{x^2 + y^2}\). - Bei Gleichungen der Form \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) hilft oft eine Substitution.

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 2x - \frac{k}{x^2}\) und \(f_k''(x) = 2 + \frac{2k}{x^3}\). Bedingung für Extremum: \(f_k'(x) = 0 \implies 2x^3 = k \implies x = \sqrt[3]{\frac{k}{2}}\). Da \(f_k''(x) > 0\) für alle \(x, k > 0\), liegt ein Minimum vor. 2. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_k\left(\sqrt[3]{\frac{k}{2}}\right) = \left(\sqrt[3]{\frac{k}{2}}\right)^2 + \frac{k}{\sqrt[3]{\frac{k}{2}}} = \left(\frac{k}{2}\right)^{2/3} + 2 \cdot \frac{k/2}{(k/2)^{1/3}} = \left(\frac{k}{2}\right)^{2/3} + 2 \cdot \left(\frac{k}{2}\right)^{2/3} = 3 \cdot \left(\frac{k}{2}\right)^{2/3}\). Der Tiefpunkt ist \(T_k\left(\sqrt[3]{\frac{k}{2}} \mid 3 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{k}{2}}\right)^2\right)\). 3. Ortskurve bestimmen: Mit \(x = \sqrt[3]{\frac{k}{2}}\) gilt \(x^2 = \left(\sqrt[3]{\frac{k}{2}}\right)^2\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y = 3x^2\). 4. Abstand zum Ursprung: \(d^2 = x^2 + y^2 = x^2 + (3x^2)^2 = x^2 + 9x^4\). Wir setzen \(d^2 = 10\): \(9x^4 + x^2 - 10 = 0\). 5. Substitution \(u = x^2\): \(9u^2 + u - 10 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = -\frac{10}{9}\). Da \(u = x^2 > 0\), ist \(x^2 = 1\), also \(x = 1\) (da \(x > 0\)). 6. Parameter \(k\) berechnen: \(1 = \sqrt[3]{\frac{k}{2}} \implies 1 = \frac{k}{2} \implies k = 2\).

a) \(T_k\left(\sqrt[3]{\frac{k}{2}} \mid 3\sqrt[3]{\left(\frac{k}{2}\right)^2}\right)\) b) Die Tiefpunkte liegen auf der Parabel \(y = 3x^2\). c) Der Abstand ist für \(k = 2\) genau \(\sqrt{10}\).

- Wie lautet die Formel für die Ableitung eines Bruchs? - Überlege dir, welcher der beiden kritischen Punkte ein Maximum und welcher ein Minimum ist. - Um eine Ortskurve zu finden, musst du den Parameter \(k\) aus den Koordinaten eliminieren. - Kannst du die Gleichung für \(x\) nach \(k\) auflösen und in die Gleichung für \(y\) einsetzen?

1. Anwendung der Quotientenregel mit \(u(x) = x\) (\(u' = 1\)) und \(v(x) = x^2 + k\) (\(v' = 2x\)): \(g_k'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + k) - x \cdot (2x)}{(x^2 + k)^2} = \frac{k - x^2}{(x^2 + k)^2}\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(k - x^2 = 0 \implies x^2 = k \implies x = \pm \sqrt{k}\). Da \(k > 0\), existieren zwei Stellen. Für den Hochpunkt betrachten wir den Vorzeichenwechsel von \(g_k'\). Bei \(x = \sqrt{k}\) wechselt \(g_k'\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein Hochpunkt. Einsetzen in \(g_k(x)\): \(y = \frac{\sqrt{k}}{(\sqrt{k})^2 + k} = \frac{\sqrt{k}}{2k} = \frac{1}{2\sqrt{k}}\). Der Hochpunkt ist \(H_k(\sqrt{k} \mid \frac{1}{2\sqrt{k}})\). 3. Zur Bestimmung der Ortskurve setze \(x = \sqrt{k}\). Daraus folgt \(k = x^2\) (für \(x > 0\)). Setze dies in die \(y\)-Koordinate ein: \(y = \frac{1}{2x}\). Die Gleichung der Ortskurve lautet \(y = \frac{1}{2x}\) für \(x > 0\).

1. \(g_k'(x) = \frac{k - x^2}{(x^2 + k)^2}\) 2. \(H_k(\sqrt{k} \mid \frac{1}{2\sqrt{k}})\) 3. \(y = \frac{1}{2x}\) (mit \(x > 0\))

- Wann sind zwei Wurzelterme mit unterschiedlichen Parametern identisch? - Was muss für den Zähler der Ableitung gelten, damit die Steigung null ist? - Kannst du die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts nach \(k\) auflösen und in die \(y\)-Koordinate einsetzen?

1. Gemeinsame Punkte durch Gleichsetzen zweier Scharfunktionen \(f_k(x) = f_m(x)\) ermitteln: \(\sqrt{kx - \frac{1}{4}x^2} = \sqrt{mx - \frac{1}{4}x^2} \Rightarrow kx = mx\). Dies ist für \(k \neq m\) nur für \(x = 0\) erfüllt. Einsetzen ergibt \(f_k(0) = 0\), also ist der Ursprung \(O(0 \mid 0)\) der gemeinsame Punkt. 2. Erste Ableitung mit der Kettenregel berechnen: \(f_k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{kx - \frac{1}{4}x^2}} \cdot (k - \frac{1}{2}x)\). 3. Die Bedingung \(f_k'(x) = 0\) erfordert \(k - \frac{1}{2}x = 0\), woraus \(x = 2k\) folgt. 4. Da der Radikand eine nach unten geöffnete Parabel ist, liegt an der Stelle des lokalen Maximums des Radikands (\(x = 2k\)) auch das Maximum der Wurzelfunktion vor. 5. \(y\)-Koordinate bestimmen: \(f_k(2k) = \sqrt{k \cdot (2k) - \frac{1}{4}(2k)^2} = \sqrt{2k^2 - k^2} = \sqrt{k^2} = k\) (da \(k > 0\)). Der Hochpunkt ist \(H_k(2k \mid k)\). 6. Zusammenhang zwischen \(x = 2k\) und \(y = k\) herstellen: \(k = \frac{x}{2}\). Einsetzen in \(y = k\) ergibt die Geradengleichung \(y = \frac{1}{2}x\).

a) Gemeinsamer Punkt: \(O(0 \mid 0)\) b) Hochpunkt: \(H_k(2k \mid k)\) c) Geradengleichung: \(y = \frac{1}{2}x\)

- Verwende die Produktregel für die erste und zweite Ableitung. - Wie hängen die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten des Tiefpunkts zusammen, wenn du den Parameter eliminierst? - Gibt es einen Wert für \(x\), bei dem der Ausdruck \((x-k)e^x\) für jedes beliebige \(k\) denselben Wert annimmt?

1. Nullstelle: \(x - k = 0 \Rightarrow x_N = k\). Ableitungen: \(f_k'(x) = 1 \cdot e^x + (x - k) e^x = e^x(x - k + 1)\) und \(f_k''(x) = e^x(x - k + 1) + e^x = e^x(x - k + 2)\). Extremstelle: \(x - k + 1 = 0 \Rightarrow x_E = k - 1\). Überprüfung: \(f_k''(k - 1) = e^{k-1}(k - 1 - k + 2) = e^{k-1} > 0\), also liegt ein Tiefpunkt vor. Funktionswert: \(f_k(k - 1) = (k - 1 - k) e^{k-1} = -e^{k-1}\). Tiefpunkt: \(T(k - 1 \mid -e^{k-1})\). 2. Es gilt \(x = k - 1\) und \(y = -e^{k-1}\). Aus der ersten Gleichung folgt \(k = x + 1\). Einsetzen in die zweite Gleichung liefert die Ortskurve \(y = -e^{(x+1)-1} = -e^x\). 3. Gemeinsame Punkte: \(f_k(x) = f_m(x) \Rightarrow (x - k) e^x = (x - m) e^x\). Division durch \(e^x \neq 0\) ergibt \(x - k = x - m\), was zu \(-k = -m\) bzw. \(k = m\) führt. Da \(k \neq m\) vorausgesetzt wird, gibt es keine gemeinsamen Punkte.

1. Nullstelle bei \(x = k\); Tiefpunkt bei \(T(k - 1 \mid -e^{k-1})\). 2. Ortskurve: \(y = -e^x\). 3. Es gibt keine gemeinsamen Punkte für verschiedene \(k\).

- Welche Bedingungen müssen für einen Hochpunkt erfüllt sein? - Stelle die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts nach \(k\) um. - Setze diesen Ausdruck für \(k\) in die Gleichung der \(y\)-Koordinate ein. - Überlege dir, für welchen Bereich von \(x\) die Kurve existiert, basierend auf der Bedingung für \(k\).

1. Ableitungen bestimmen: \(f_k'(x) = x^2 - k^2\) und \(f_k''(x) = 2x\). 2. Extremstellen finden: \(f_k'(x) = 0 \implies x^2 = k^2 \implies x = \pm k\). 3. Art der Extrema prüfen: \(f_k''(k) = 2k > 0\) (Tiefpunkt bei \(x = k\)), \(f_k''(-k) = -2k < 0\) (Hochpunkt bei \(x = -k\)). Da \(k > 0\), existiert für jedes \(k\) genau ein Hochpunkt bei \(x_H = -k\). 4. Funktionswert am Hochpunkt: \(y_H = f_k(-k) = \frac{1}{3}(-k)^3 - k^2(-k) + k = -\frac{1}{3}k^3 + k^3 + k = \frac{2}{3}k^3 + k\). 5. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = -k\) folgt \(k = -x\). Dies in die Gleichung für \(y\) einsetzen: \(y = \frac{2}{3}(-x)^3 + (-x) = -\frac{2}{3}x^3 - x\). Da \(k > 0\), gilt \(x < 0\).

a) Der Hochpunkt liegt bei \(H\left(-k \mid \frac{2}{3}k^3 + k\right)\). b) Die Ortskurve der Hochpunkte ist \(y = -\frac{2}{3}x^3 - x\) für \(x < 0\).

- Nutze die Potenzgesetze für den Logarithmus, um Terme wie \(\ln(\frac{1}{\sqrt{t}})\) zu vereinfachen. - Erinnere dich, dass man für die Ortskurve die \(x\)-Gleichung nach dem Parameter auflöst und diesen in die \(y\)-Gleichung einsetzt. - Achte auf die Definitionsbereiche (\(x>0\)). - Wie hängen \(x = t^{-1/2}\) und \(\ln(x)\) zusammen?

1. Erste Ableitung berechnen: \(f_t'(x) = tx - \frac{1}{x}\). 2. Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen: \(tx - \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 = \frac{1}{t}\). Da \(x, t > 0\), folgt \(x_T = \frac{1}{\sqrt{t}}\). 3. Zweite Ableitung prüfen: \(f_t''(x) = t + \frac{1}{x^2}\). Da \(t > 0\) und \(x^2 > 0\), ist \(f_t''(x) > 0\), was die Tiefpunkteigenschaft bestätigt. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_t\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right) = \frac{t}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right)^2 - \ln\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right) = \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{t} - \ln(t^{-1/2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln(t)\). Der Tiefpunkt ist \(T_t\left(\frac{1}{\sqrt{t}} \mid \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln(t)\right)\). 5. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = \frac{1}{\sqrt{t}}\) folgt \(x^2 = \frac{1}{t}\) bzw. \(t = \frac{1}{x^2}\). 6. \(t\) in die Gleichung für \(y\) einsetzen: \(y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{2} + \ln\left(\left(x^{-2}\right)^{1/2}\right) = \frac{1}{2} + \ln(x^{-1}) = \frac{1}{2} - \ln(x)\).

a) Tiefpunkt \(T_t\left(\frac{1}{\sqrt{t}} \mid \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(t)\right)\). b) Ortskurve \(y=\frac{1}{2}-\ln(x)\) für \(x>0\).

- Bestimme zuerst die Koordinaten der Wendepunkte in Abhängigkeit von \(a\). - Skizziere die Lage der Punkte im Koordinatensystem. Welche Seite des Dreiecks eignet sich am besten als Grundseite? - Beachte, dass die Höhe eines Dreiecks immer ein positiver Wert ist, auch wenn die Punkte unterhalb der x-Achse liegen. - Versuche am Ende, die Zahlen als Potenzen der gleichen Basis zu schreiben, um die Gleichung einfacher zu lösen.

1. Ableitungen bestimmen: \(f_a'(x) = 4x^3 - 2ax\) und \(f_a''(x) = 12x^2 - 2a\). 2. Wendestellen berechnen: \(12x^2 - 2a = 0 \implies x^2 = \frac{a}{6} \implies x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{a}{6}}\). 3. Zugehörige \(y\)-Koordinaten bestimmen: \(f_a\left(\pm \sqrt{\frac{a}{6}}\right) = \left(\frac{a}{6}\right)^2 - a \cdot \frac{a}{6} = \frac{a^2}{36} - \frac{6a^2}{36} = -\frac{5a^2}{36}\). Die Wendepunkte sind \(W_1\left(\sqrt{\frac{a}{6}} \mid -\frac{5a^2}{36}\right)\) und \(W_2\left(-\sqrt{\frac{a}{6}} \mid -\frac{5a^2}{36}\right)\). 4. Flächeninhalt des Dreiecks \(OW_1W_2\) berechnen: Die Grundseite \(g\) liegt parallel zur x-Achse mit der Länge \(g = 2 \cdot \sqrt{\frac{a}{6}}\). Die Höhe \(h\) entspricht dem Betrag der \(y\)-Koordinate: \(h = \frac{5a^2}{36}\). 5. Formel für den Flächeninhalt anwenden: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{\frac{a}{6}} \cdot \frac{5a^2}{36} = \frac{5 a^{5/2}}{36\sqrt{6}}\). 6. Gleichung \(A = 5\) lösen: \(\frac{5 a^{5/2}}{36\sqrt{6}} = 5 \implies a^{5/2} = 36\sqrt{6}\). Da \(36\sqrt{6} = 6^2 \cdot 6^{0{,}5} = 6^{5/2}\), folgt durch Exponentenvergleich \(a = 6\).

\(a = 6\)

- Wie lautet die notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Wendestelle? - Nutze die Symmetrie der Funktion aus, um die Koordinaten der Wendepunkte einfacher zu bestimmen. - Skizziere die Lage der Punkte im Koordinatensystem, um die Formel für den Flächeninhalt aufzustellen. - Überlege dir, wie du die Basis und die Höhe des Dreiecks aus den Koordinaten der Wendepunkte ablesen kannst.

1. Erste und zweite Ableitung der Funktion bilden: \(f_k'(x) = -\frac{2k^2x}{(x^2+k)^2}\) und \(f_k''(x) = \frac{6k^2x^2 - 2k^3}{(x^2+k)^3}\). 2. Wendestellen durch Nullsetzen der zweiten Ableitung ermitteln: \(6k^2x^2 - 2k^3 = 0 \implies x^2 = \frac{k}{3}\). Dies liefert die Stellen \(x_1 = -\sqrt{\frac{k}{3}}\) und \(x_2 = \sqrt{\frac{k}{3}}\). 3. \(y\)-Koordinate der Wendepunkte berechnen: \(f_k\left(\pm \sqrt{\frac{k}{3}}\right) = \frac{k^2}{\frac{k}{3} + k} = \frac{3k}{4}\). Die Wendepunkte sind somit \(W_1\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}\mid \frac{3k}{4}\right)\) und \(W_2\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\mid \frac{3k}{4}\right)\). 4. Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen: Das Dreieck hat die Basisbreite \(b = 2\sqrt{\frac{k}{3}}\) und die Höhe \(h = \frac{3k}{4}\). Es ergibt sich \(A = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{\frac{k}{3}} \cdot \frac{3k}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}k^{3/2}\). 5. Gleichung zur Bestimmung von \(k\) lösen: \(\frac{\sqrt{3}}{4}k^{3/2} = 2\sqrt{3} \implies k^{3/2} = 8 \implies k = 4\).

\(k = 4\)

- Nutze die Produktregel, um die ersten beiden Ableitungen der Funktionenschar zu bilden. - Setze die zweite Ableitung gleich Null, um eine Beziehung zwischen der Stelle \(x\) und dem Parameter \(k\) zu finden. - Es ist oft einfacher, den Parameter direkt durch \(x\) auszudrücken, anstatt die Gleichung nach \(x\) aufzulösen. - Ersetze den Parameter in der ursprünglichen Funktionsgleichung durch den gefundenen Term in \(x\). - Überlege dir, ob für alle \(k > -2\) tatsächlich Wendepunkte existieren.

1. Ableitungen mit der Produktregel bestimmen: \(f_k'(x) = (x^2 + 2x - k) \cdot e^x\) und \(f_k''(x) = (x^2 + 4x + 2 - k) \cdot e^x\). 2. Wendestellen bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \implies x^2 + 4x + 2 - k = 0\), da \(e^x > 0\). 3. Parameter \(k\) ausdrücken: Aus der Bedingung für Wendestellen folgt \(k = x^2 + 4x + 2\). 4. Ortskurvengleichung aufstellen: Den Ausdruck für \(k\) in die Funktionsgleichung \(y = (x^2 - k) \cdot e^x\) einsetzen. 5. Vereinfachen: \(y = (x^2 - (x^2 + 4x + 2)) \cdot e^x = (-4x - 2) \cdot e^x\). Die Wendepunkte liegen auf der Kurve \(y=(-4x-2)e^x\). Aus \(k=(x+2)^2-2>-2\) folgt zusätzlich \(x\ne-2\). Da \(k>-2\), ist die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(D = 16 - 4(2-k) = 8 + 4k > 0\), sodass für jedes \(k\) zwei Wendepunkte existieren.

Die Ortskurve der Wendepunkte ist \(y=(-4x-2)e^x\) mit \(x\ne-2\).

- Welche Bedingungen müssen die Ableitungen an einer Stelle erfüllen, damit dort ein Sattelpunkt vorliegt? - Setze die allgemeinen Bedingungen in die Funktionsgleichung ein, um Koeffizienten zu eliminieren. - Berechne die Nullstellen und Extremstellen allgemein mit den Parametern \(a\) und \(b\). - Überlege dir für den Beweis, welchen Grad die erste Ableitung einer Funktion 4. Grades hat und wie viele (mehrfache) Nullstellen diese maximal haben kann.

1. Sattelpunkt in \(O(0 \mid 0)\) bedeutet \(p(0)=0\), \(p'(0)=0\) und \(p''(0)=0\). Daraus folgt direkt \(e=0, d=0, c=0\). Die Funktion lautet \(p(x) = ax^4 + bx^3\) mit \(b \neq 0\) (damit \(p'''(0) \neq 0\)). 2. Nullstellen: \(ax^4 + bx^3 = x^3(ax + b) = 0\). Neben der dreifachen Nullstelle \(x=0\) gibt es genau eine weitere Nullstelle bei \(x_N = -\frac{b}{a}\). 3. Extremstellen: \(p'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 = x^2(4ax + 3b) = 0\). \(x=0\) ist ein Sattelpunkt, die einzige lokale Extremstelle ist \(x_E = -\frac{3b}{4a}\). 4. Verhältnis: \(\frac{x_N}{x_E} = \frac{-b/a}{-3b/4a} = \frac{b}{a} \cdot \frac{4a}{3b} = \frac{4}{3}\). 5. Beweis gegen zwei Sattelpunkte: Ein Sattelpunkt \(x_0\) erfordert \(p'(x_0) = 0\) und \(p''(x_0) = 0\). Das bedeutet, \(x_0\) ist eine mindestens zweifache Nullstelle von \(p'(x)\). Da \(p'(x)\) vom Grad 3 ist, kann sie höchstens eine solche zweifache Nullstelle besitzen, wenn noch eine andere Nullstelle existiert, oder eine dreifache Nullstelle. Zwei verschiedene Sattelpunkte würden zwei verschiedene zweifache Nullstellen in \(p'(x)\) erfordern, was einen Grad von mindestens 4 für \(p'(x)\) voraussetzt. Dies widerspricht dem Grad 3 von \(p'(x)\).

a) \(c=d=e=0\), also \(p(x) = ax^4 + bx^3\) mit \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\). b) \(x_N = -\frac{b}{a}\) und \(x_E = -\frac{3b}{4a}\). c) Das Verhältnis ist \(\frac{-b/a}{-3b/4a} = \frac{4}{3}\). d) Die erste Ableitung \(p'\) hat Grad 3. Ein Sattelpunkt ist eine zweifache Nullstelle von \(p'\). Zwei Sattelpunkte würden zwei zweifache Nullstellen erfordern (Grad 4), was für ein Polynom 3. Grades unmöglich ist.

- Untersuche die Nullstellen der zweiten Ableitung und achte darauf, wann die Gleichung \(10kx^2 - 3 = 0\) lösbar ist. - Für die Ortskurve kannst du den Parameter \(k\) aus der Bedingung \(g''_k(x) = 0\) eliminieren. - Überlege dir bei der qualitativen Betrachtung, welche Potenz von \(x\) den Verlauf des Graphen in der direkten Nähe des Nullpunkts dominiert. - Erinnere dich an die Krümmungseigenschaften einer einfachen kubischen Funktion wie \(y = x^3\) oder \(y = -x^3\).

1. Wendepunkte berechnen: Die zweiten und dritten Ableitungen sind \(g''_k(x) = 20kx^3 - 6x = 2x(10kx^2 - 3)\) und \(g'''_k(x) = 60kx^2 - 6\). 2. Fallunterscheidung für \(k\): Die notwendige Bedingung \(g''_k(x) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) sowie \(10kx^2 = 3\). 3. Anzahl der Wendepunkte: Ist \(k \le 0\), hat \(10kx^2 = 3\) keine Lösung (bzw. für \(k=0\) ist \(g_0(x) = -x^3\) mit genau einem Wendepunkt). Es gibt nur die Stelle \(x = 0\) mit \(g'''_k(0) = -6 \neq 0\). Somit existiert genau ein Wendepunkt. Ist \(k > 0\), ergeben sich drei Stellen: \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{\frac{3}{10k}}\). Da \(g'''_k(\pm \sqrt{\frac{3}{10k}}) = 60k(\frac{3}{10k}) - 6 = 12 \neq 0\) gilt, liegen drei Wendepunkte vor. 4. Ortskurve: Für \(x \neq 0\) gilt \(k = \frac{3}{10x^2} = \frac{0{,}3}{x^2}\). Einsetzen in \(g_k(x)\) liefert \(y = \frac{0{,}3}{x^2} \cdot x^5 - x^3 = 0{,}3x^3 - x^3 = -0{,}7x^3\). 5. Begründung für \(x=0\): (1) Da \(g''_k(0) = 0\) und \(g'''_k(0) = -6 \neq 0\) für alle \(k\) gilt, ist an der Stelle \(x=0\) stets ein Wendepunkt vorhanden. (2) Für sehr kleine \(x\)-Werte (\(|x| \to 0\)) wird der Term \(kx^5\) gegenüber \(x^3\) vernachlässigbar klein. Die Funktion verhält sich nahe dem Ursprung wie \(y = -x^3\). Da die kubische Grundfunktion \(y = -x^3\) im Ursprung einen Wendepunkt besitzt, muss dies auch für \(g_k\) gelten.

a) Für \(k \le 0\) besitzt die Funktion genau einen Wendepunkt (bei \(x=0\)). Für \(k > 0\) besitzt sie genau drei Wendepunkte. b) Für \(x \neq 0\) folgt aus \(20kx^3 - 6x = 0\) der Zusammenhang \(k = \frac{3}{10x^2}\). Einsetzen in \(g_k(x)\) ergibt \(y = \frac{3}{10}x^3 - x^3 = -0{,}7x^3\). c) Unabhängig von \(k\) ist \(g''_k(0) = 0\) und \(g'''_k(0) = -6 \neq 0\), was die Existenz eines Wendepunkts sichert. Qualitativ dominiert nahe Null der Term \(-x^3\), der einen charakteristischen Krümmungswechsel im Ursprung aufweist.

- Wie hängen die Funktionsgleichungen zweier Graphen zusammen, wenn sie sich in einem Punkt schneiden? Setze zwei Funktionen mit unterschiedlichen Parametern gleich. - Welche Eigenschaft hat die Steigung einer Funktion an einem Tiefpunkt? Nutze die erste Ableitung, um die x-Koordinate des Tiefpunkts zu finden. - Wie kannst du die Abhängigkeit vom Parameter \(a\) eliminieren, um eine Gleichung zu erhalten, die nur noch \(x\) und \(y\) enthält? - Was bedeutet es geometrisch für den Tiefpunkt eines Graphen, wenn dieser die x-Achse berührt? Welche y-Koordinate muss der Tiefpunkt dann haben?

1. Gemeinsamen Punkt bestimmen: - Aus der Abbildung lässt sich vermuten, dass alle Graphen einen gemeinsamen Schnittpunkt in der Nähe von \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\) besitzen. - Rechnerischer Nachweis: Gleichsetzen zweier Scharfunktionen mit unterschiedlichen Parametern \(a \neq b\): \(x^2 - 2ax + a = x^2 - 2bx + b \iff a(1 - 2x) = b(1 - 2x) \iff (a - b)(1 - 2x) = 0\). Da \(a \neq b\) vorausgesetzt wird, folgt \(1 - 2x = 0 \iff x = 0{,}5\). Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert den y-Wert: \(y = (0{,}5)^2 - 2a \cdot 0{,}5 + a = 0{,}25\). Da dieser Wert unabhängig von \(a\) ist, verlaufen alle Graphen durch den Punkt \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\). 2. Tiefpunkt bestimmen: - Erste Ableitung bilden und nullsetzen: \(f'_a(x) = 2x - 2a = 0 \iff x = a\). - Zweite Ableitung prüfen: \(f''_a(x) = 2 > 0\), somit liegt ein relatives Minimum vor. - Funktionswert an der Stelle \(x = a\) berechnen: \(f_a(a) = a^2 - 2a^2 + a = -a^2 + a\). - Koordinaten des Tiefpunkts: \(T_a(a \mid -a^2 + a)\). 3. Ortskurve ermitteln: - Verwende die Koordinaten des Tiefpunkts: \(x = a\) und \(y = -a^2 + a\). - Ersetze den Parameter \(a\) durch \(x\) in der Gleichung für \(y\), um die Ortskurvengleichung zu erhalten: \(y = -x^2 + x\). 4. Berührung der x-Achse: - Ein Graph berührt die x-Achse genau dann, wenn die y-Koordinate seines Tiefpunkts gleich Null ist: \(-a^2 + a = 0 \iff a(1 - a) = 0 \iff a = 0\) oder \(a = 1\). - Zuordnung in der Abbildung: Graph B hat seinen Tiefpunkt bei \((0\mid0)\) und gehört zu \(a=0\). Graph C hat seinen Tiefpunkt bei \((1\mid0)\) und gehört zu \(a=1\). Beide berühren die \(x\)-Achse.

a) Gemeinsamer Schnittpunkt: \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\). Rechnerischer Nachweis durch Gleichsetzen zweier Funktionen mit unterschiedlichen Parametern \(a \neq b\): \((a - b)(1 - 2x) = 0 \implies x = 0{,}5\), Einsetzen ergibt \(y = 0{,}25\). b) Tiefpunkt: \(T_a(a \mid -a^2 + a)\). c) Ortskurve der Tiefpunkte: \(y = -x^2 + x\). d) Graph B berührt die \(x\)-Achse für \(a=0\), Graph C für \(a=1\).

- Was haben alle Funktionen der Schar gemeinsam, wenn du \(x = 0\) einsetzt? Überprüfe damit die Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse in den Abbildungen. - Berechne die erste Ableitung der Scharfunktion, um die Lage der Extremstellen in Abhängigkeit von \(k\) zu bestimmen. - Beachte bei der Bestimmung der Art der Extrempunkte, dass der Parameter \(k\) sowohl positiv als auch negativ sein kann. Wie beeinflusst das Vorzeichen von \(k\) das Krümmungsverhalten an den Extremstellen? - Bestimme für den Nachweis der Ortskurve zuerst die Koordinaten des Wendepunkts \(W(x_W \mid y_W)\) in Abhängigkeit von \(k\). Wie hängen \(x_W\) und \(k\) zusammen?

1. Teilaufgabe a: Jede Funktion der Schar \(f_k(x) = x^3 - 3kx^2 + 4\) besitzt für \(x = 0\) den Funktionswert \(f_k(0) = 4\). Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt somit bei \(S_y(0 \mid 4)\). Bei den Graphen (2) und (3) liegt der \(y\)-Achsenabschnitt bei \(y = 2\), weshalb diese nicht zur Schar gehören können. Die erste Ableitung der Schar lautet \(f_k'(x) = 3x^2 - 6kx = 3x(x - 2k)\). Die Extremstellen liegen somit bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\). Bei Graph (4) liegt der Hochpunkt bei \(x = 0\) und der Tiefpunkt bei \(x = 1\). Damit müsste \(2k = 1 \implies k = 0{,}5\) sein. Der zugehörige Funktionswert des Tiefpunkts wäre dann \(f_{0{,}5}(1) = 1^3 - 3 \cdot 0{,}5 \cdot 1^2 + 4 = 3{,}5\). Im Graphen (4) liegt der Tiefpunkt jedoch bei \((1 \mid 2)\). Da \(2 \neq 3{,}5\), scheidet Graph (4) ebenfalls aus. Bei Graph (1) liegt der Tiefpunkt bei \(x = 2\). Damit ist \(2k = 2 \implies k = 1\). Der Funktionswert des Tiefpunkts lautet \(f_1(2) = 2^3 - 3 \cdot 1 \cdot 2^2 + 4 = 0\), was exakt mit dem Tiefpunkt \((2 \mid 0)\) in Graph (1) übereinstimmt. Somit gehört Graph (1) zur Schar mit \(k = 1\). 2. Teilaufgabe b: Die Ableitungen lauten \(f_k'(x) = 3x^2 - 6kx\) und \(f_k''(x) = 6x - 6k\). Die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) liefert die Extremstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\). Fall 1: \(k > 0\) Wegen \(f_k''(0) = -6k < 0\) liegt ein Hochpunkt bei \(HP(0 \mid 4)\) vor. Wegen \(f_k''(2k) = 6k > 0\) liegt ein Tiefpunkt bei \(TP(2k \mid 4 - 4k^3)\) vor, da \(f_k(2k) = 8k^3 - 12k^3 + 4 = 4 - 4k^3\). Fall 2: \(k < 0\) Wegen \(f_k''(0) = -6k > 0\) liegt ein Tiefpunkt bei \(TP(0 \mid 4)\) vor. Wegen \(f_k''(2k) = 6k < 0\) liegt ein Hochpunkt bei \(HP(2k \mid 4 - 4k^3)\) vor. 3. Teilaufgabe c: Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle lautet \(f_k''(x) = 0 \implies 6x - 6k = 0 \implies x_W = k\). Wegen \(f_k'''(x) = 6 \neq 0\) liegt an dieser Stelle stets ein Wendepunkt vor. Der zugehörige \(y\)-Wert ist \(y_W = f_k(k) = k^3 - 3k^3 + 4 = -2k^3 + 4\). Der Wendepunkt lautet somit \(W(k \mid -2k^3 + 4)\). Um die Ortskurve zu bestimmen, setzt man \(x = k\) in die Gleichung für \(y_W\) ein: \(y = -2x^3 + 4\). Dies entspricht genau der Funktion \(g(x) = -2x^3 + 4\).

a) Nur Graph (1) gehört zur Schar; der zugehörige Parameterwert ist \(k = 1\). Die Graphen (2) und (3) scheiden aus, da ihr \(y\)-Achsenabschnitt bei \(2\) statt bei \(4\) liegt. Graph (4) scheidet aus, da sein Tiefpunkt bei \((1 \mid 2)\) statt bei \((1 \mid 3{,}5)\) liegt. b) Für \(k > 0\): Hochpunkt \(HP(0 \mid 4)\) und Tiefpunkt \(TP(2k \mid 4 - 4k^3)\). Für \(k < 0\): Tiefpunkt \(TP(0 \mid 4)\) und Hochpunkt \(HP(2k \mid 4 - 4k^3)\). c) Die Wendestelle liegt bei \(x_W = k\) mit dem Funktionswert \(y_W = -2k^3 + 4\). Durch Einsetzen von \(k = x\) ergibt sich die Ortskurvengleichung \(g(x) = -2x^3 + 4\).

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion mit Parameter zu finden? - Erinnere dich an die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, um nach \(x\) aufzulösen. - Für die Ortskurve musst du den Parameter \(a\) eliminieren, indem du einen Zusammenhang zwischen \(x\) und \(a\) nutzt.

1. Ableitung bilden: \(g_a'(x) = e^x - a\). 2. Notwendige Bedingung für Extremum: \(g_a'(x) = 0 \Rightarrow e^x = a \Rightarrow x = \ln(a)\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g_a''(x) = e^x\). Da \(g_a''(\ln(a)) = a > 0\) (wegen \(a > 0\)), liegt ein Tiefpunkt vor. 4. y-Koordinate berechnen: \(g_a(\ln(a)) = e^{\ln(a)} - a\ln(a) = a - a \ln(a)\). Der Tiefpunkt ist \(T(\ln(a) \mid a - a \ln(a))\). 5. Ortskurve bestimmen: Setze \(x = \ln(a)\). Daraus folgt durch Exponenzieren \(a = e^x\). 6. Einsetzen von \(a\) in die y-Gleichung: \(y = e^x - e^x \cdot x = e^x(1 - x)\).

a) Der Tiefpunkt liegt bei \(T(\ln(a) \mid a - a \ln(a))\). b) Die Gleichung der Ortskurve lautet \(y = e^x(1 - x)\).

- Nutze die notwendige Bedingung für Extremstellen, um die x-Werte in Abhängigkeit von \(k\) zu finden. - Um die Ortskurve zu finden, stelle die x-Koordinate eines Extrempunkts nach \(k\) um und setze dies in die y-Koordinate ein. - Faktorisiere den Funktionsterm, um die Nullstellen leichter bestimmen zu können. - Überlege, für welchen x-Wert der Einfluss des Parameters \(k\) verschwindet.

1. Extrempunkte berechnen: Die Ableitung ist \(g_k'(x) = x^2 - k^2\). Nullsetzen liefert die Stellen \(x_1 = k\) und \(x_2 = -k\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(g_k(k) = \frac{1}{3}k^3 - k^3 = -\frac{2}{3}k^3\) und \(g_k(-k) = -\frac{1}{3}k^3 + k^3 = \frac{2}{3}k^3\). Es ergeben sich der Tiefpunkt \(T(k \mid -\frac{2}{3}k^3)\) und der Hochpunkt \(H(-k \mid \frac{2}{3}k^3)\). 2. Ortskurve bestimmen: Für den Tiefpunkt gilt \(x = k\) und \(y = -\frac{2}{3}k^3\). Durch Einsetzen von \(k = x\) in die y-Gleichung erhält man \(y = -\frac{2}{3}x^3\). Für den Hochpunkt gilt \(x = -k \implies k = -x\). Einsetzen in \(y = \frac{2}{3}k^3\) ergibt \(y = \frac{2}{3}(-x)^3 = -\frac{2}{3}x^3\). Somit liegen alle Extrempunkte auf dieser Kurve. 3. Nullstellen: Die Gleichung \(\frac{1}{3}x^3 - k^2x = 0\) lässt sich zu \(x(\frac{1}{3}x^2 - k^2) = 0\) faktorisieren. Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm \sqrt{3k^2} = \pm \sqrt{3}k\). Da \(k > 0\), existieren stets drei verschiedene reelle Nullstellen. 4. Gemeinsamer Punkt: Da \(g_k(0) = 0\) unabhängig von \(k\) gilt, verlaufen alle Graphen durch den Ursprung \((0 \mid 0)\).

a) \(H(-k \mid \frac{2}{3}k^3)\) und \(T(k \mid -\frac{2}{3}k^3)\) b) Ortskurve: \(y = -\frac{2}{3}x^3\) c) Es gibt für alle \(k > 0\) genau drei Nullstellen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = \sqrt{3}k\) und \(x_3 = -\sqrt{3}k\). d) Der gemeinsame Punkt ist der Ursprung \((0 \mid 0)\).