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- Suche nach einer \(x\)-Koordinate, bei der der Faktor vor dem Parameter verschwindet. - Welche Koordinate bleibt dann unabhängig von \(a\) übrig?

1. Setzt man \(x=2\), verschwindet der parameterabhängige Term \(a(x-2)\). 2. Es gilt für jedes \(a\): \(f_a(2)=3\). 3. Daher verlaufen alle Scharmitglieder durch den festen Punkt \(P(2\mid3)\).

\(P(2\mid3)\)

- Vergleiche die Änderung der y-Koordinate mit der Änderung der x-Koordinate zwischen benachbarten Punkten. - Welcher markierte Punkt liefert den y-Achsenabschnitt direkt?

1. Die markierten Punkte sind \((-2\mid-3)\), \((-1\mid-1)\), \((0\mid1)\), \((1\mid3)\) und \((2\mid5)\). 2. Erhöht sich \(x\) jeweils um \(1\), so erhöht sich \(y\) jeweils um \(2\). Daher ist \(m=2\). 3. Für \(x=0\) gilt \(y=1\), also ist \(b=1\). 4. Die Ortskurve lautet \(y=2x+1\).

\(y=2x+1\)

- Welchen Wert muss die x-Koordinate eines Punktes auf der y-Achse haben? - Wie hilft dir die erste Ableitung dabei, die Steigung einer Funktion zu beurteilen? - Berücksichtige bei der Ableitung die Kettenregel für die Exponentialfunktion. - Welche Vorzeichen haben die einzelnen Terme in deiner Ableitungsfunktion? - Überlege dir getrennt, gegen welche Werte die einzelnen Bestandteile des Funktionsterms streben, wenn x immer größer wird.

1. Zur Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(f_a(0) = 8 \cdot e^0 - a \cdot 0 + 3 = 8 + 3 = 11\). Da das Ergebnis unabhängig vom Parameter \(a\) ist, schneiden alle Graphen die \(y\)-Achse im Punkt \(S(0|11)\). 2. Die erste Ableitungsfunktion lautet \(f_a'(x) = -4 \cdot e^{-0{,}5x} - a\). Da \(e^{-0{,}5x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) und \(a > 0\) gilt, sind beide Summanden der Ableitung negativ. Somit ist \(f_a'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), woraus die strenge Monotonie folgt. 3. Für den Grenzwert gilt \(\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = \lim_{x \to +\infty} (8 \cdot e^{-0{,}5x} - ax + 3)\). Da \(\lim_{x \to +\infty} e^{-0{,}5x} = 0\) und \(\lim_{x \to +\infty} (-ax) = -\infty\) für \(a > 0\), folgt insgesamt \(\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = -\infty\).

a) Der gemeinsame Schnittpunkt ist \(S(0|11)\). b) Die Ableitung \(f_a'(x) = -4e^{-0{,}5x} - a\) ist aufgrund von \(a > 0\) und \(e^{-0{,}5x} > 0\) stets negativ, daher ist \(f_a\) streng monoton fallend. c) \(\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = -\infty\)

- Wie lautet die allgemeine Scheitelpunktform einer Normalparabel? - Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts mit dem Parameter \(k\) zusammen, wenn der Scheitelpunkt auf einer bestimmten Kurve liegen muss? - Welche Eigenschaft muss der Scheitelpunkt einer Parabel haben, damit sie die \(x\)-Achse genau einmal berührt?

1. Der Scheitelpunkt \(S\) einer Normalparabel in der Schar hat die Koordinaten \((k \mid g(k))\). Da er auf dem Graphen von \(g(x) = x^2 - 6\) liegt, gilt \(S(k \mid k^2 - 6)\). 2. Die Scheitelpunktform einer Normalparabel lautet allgemein \(f(x) = (x - x_S)^2 + y_S\). Durch Einsetzen der Koordinaten ergibt sich die Schargleichung \(f_k(x) = (x - k)^2 + k^2 - 6\). 3. Eine Parabel besitzt genau dann eine einzige Nullstelle, wenn ihr Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, also wenn die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts null ist. 4. Die Bedingung \(k^2 - 6 = 0\) führt zu \(k^2 = 6\). 5. Die Lösungen für den Parameter sind somit \(k_1 = \sqrt{6}\) und \(k_2 = -\sqrt{6}\).

a) \(f_k(x) = (x - k)^2 + k^2 - 6\) b) \(k = \sqrt{6}\) oder \(k = -\sqrt{6}\)

- Welche Faktoren des Funktionsterms liefern direkt die Nullstellen? - Nutze die Symmetrie einer Parabel zwischen ihren beiden Nullstellen, um die Scheitelstelle zu finden. - Eliminiere anschließend den Parameter aus den beiden Scheitelkoordinaten.

1. Aus \(h_k(x)=x\left(-\frac{x}{k}+1\right)=0\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=k\). Wegen der Symmetrie liegt der Scheitel bei \(x=\frac{k}{2}\). Einsetzen liefert \(h_k\left(\frac{k}{2}\right)=\frac{k}{4}\), also \(S_k\left(\frac{k}{2}\mid\frac{k}{4}\right)\). 2. Für einen Scheitelpunkt gilt \(x=\frac{k}{2}\), also \(k=2x\). Damit wird \(y=\frac{k}{4}=\frac{x}{2}\). Die Ortskurve ist die Gerade \(y=0{,}5x\).

1. Nullstellen \(x=0\) und \(x=k\); Scheitelpunkt \(S_k\left(\frac{k}{2}\mid\frac{k}{4}\right)\). 2. Ortskurve \(y=0{,}5x\).

- Erinnere dich an das Verfahren zur Bestimmung von Wendepunkten. - Drücke die x-Koordinate des Wendepunkts in Abhängigkeit von \(t\) aus. - Wie kannst du \(t\) aus der Gleichung eliminieren, um eine Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) zu finden?

1. Ableitungen bestimmen: \(g_t'(x) = 3x^2 - 6tx\), \(g_t''(x) = 6x - 6t\) und \(g_t'''(x) = 6\). 2. Wendestellen berechnen: \(g_t''(x) = 0 \implies 6x - 6t = 0 \implies x = t\). 3. Da \(g_t'''(x) = 6 \neq 0\) für alle \(x\), besitzt jede Funktion der Schar genau einen Wendepunkt bei \(x = t\). 4. Zusammenhang zwischen \(x\) und \(t\) nutzen: \(t = x\). 5. \(t\) in die Funktionsgleichung einsetzen, um die y-Koordinate in Abhängigkeit von \(x\) zu erhalten: \(y = x^3 - 3(x)x^2 + 1\). 6. Vereinfachen: \(y = x^3 - 3x^3 + 1 = -2x^3 + 1\).

Die Ortslinie der Wendepunkte ist gegeben durch \(y = -2x^3 + 1\).

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass der Teil mit dem Parameter \(k\) isoliert ist? - Überlege dir, für welchen \(x\)-Wert der Ausdruck, der mit \(k\) multipliziert wird, null ergibt. - Wie berechnest du die Steigung einer Funktion an einer ganz bestimmten Stelle? - Was bedeutet es für das Ergebnis deiner Ableitung, wenn die Steigung für alle \(k\) gleich sein soll?

1. Zur Bestimmung des gemeinsamen Punktes wird der Funktionsterm nach dem Parameter \(k\) sortiert: \(f_k(x) = k(x^2 - 4x + 4) + 2x - 3\). 2. Durch Ausklammern erkennt man die binomische Formel: \(f_k(x) = k(x-2)^2 + 2x - 3\). Der Einfluss von \(k\) verschwindet genau dann, wenn \((x-2)^2 = 0\) gilt, also bei \(x = 2\). 3. Den zugehörigen \(y\)-Wert berechnet man durch Einsetzen von \(x = 2\): \(f_k(2) = k(0)^2 + 2 \cdot 2 - 3 = 1\). Der gemeinsame Punkt ist \(P(2 \mid 1)\). 4. Die erste Ableitung der Schar lautet \(f_k'(x) = 2kx + 2 - 4k\). 5. Die Steigung an der Stelle \(x = 2\) ergibt sich zu \(f_k'(2) = 2k \cdot 2 + 2 - 4k = 4k + 2 - 4k = 2\). 6. Da dieser Wert unabhängig von \(k\) ist, haben alle Graphen im Punkt \(P\) die Steigung \(2\).

Der gemeinsame Punkt aller Graphen ist \(P(2 \mid 1)\). Die Steigung an dieser Stelle ist für alle Funktionen der Schar identisch und beträgt \(f_k'(2) = 2\).

- Wie lautet die notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunkts? - Bestimme zunächst die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts in Abhängigkeit vom Parameter \(a\). - Berechne anschließend die zugehörige \(y\)-Koordinate. - Versuche, die Gleichung für \(x\) so umzustellen, dass du den Parameter \(a\) durch \(x\) ersetzen kannst. - Setze diesen Ausdruck für \(a\) in die Gleichung der \(y\)-Koordinate ein.

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 3x^2 - 12ax\) und \(f_a''(x) = 6x - 12a\). 2. Wendepunkte berechnen: \(f_a''(x) = 0 \implies 6x - 12a = 0 \implies x_W = 2a\). 3. Überprüfung der Wendepunktbedingung: Da \(f_a'''(x) = 6 \neq 0\), liegt an der Stelle \(x_W\) stets ein Wendepunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate bestimmen: \(y_W = f_a(2a) = (2a)^3 - 6a(2a)^2 + 2 = 8a^3 - 24a^3 + 2 = -16a^3 + 2\). 5. Parameter \(a\) eliminieren: Aus \(x = 2a\) folgt \(a = \frac{x}{2}\). 6. In \(y_W\) einsetzen: \(y = -16\left(\frac{x}{2}\right)^3 + 2 = -16 \cdot \frac{x^3}{8} + 2 = -2x^3 + 2\). Die Wendepunkte liegen auf der Kurve mit der Gleichung \(y = -2x^3 + 2\) (für \(x \neq 0\)).

Die Wendepunkte liegen auf der Kurve mit der Gleichung \(y = -2x^3 + 2\). Für die Ortskurve gilt wegen \(a\neq0\) zusätzlich \(x\neq0\).

- Vergleiche zwei beliebige verschiedene Parameterwerte, statt einen speziellen Parameter einzusetzen. - Welcher Faktor des Funktionsterms ist niemals null? - Welche Bedingung bleibt nach dem Kürzen für einen gemeinsamen \(x\)-Wert übrig?

1. Vergleiche zwei verschiedene Parameter \(a\ne b\). Aus \(f_a(x)=f_b(x)\) folgt wegen \(e^x\ne0\) die Gleichung \(x^2-ax=x^2-bx\). 2. Damit ist \((b-a)x=0\). Da \(a\ne b\) gilt, muss \(x=0\) sein. Für alle Parameter ist \(f_a(0)=0\). Somit ist \(P(0\mid0)\) der einzige gemeinsame Punkt aller Graphen.

Der einzige gemeinsame Punkt aller Graphen ist \(P(0\mid0)\).

- Nutze zunächst eine der beiden Koordinatengleichungen, um den Parameter auszudrücken. - Setze diesen Ausdruck anschließend in die andere Koordinate ein. - Die endgültige Ortskurvengleichung darf den Parameter \(a\) nicht mehr enthalten.

1. Aus der \(x\)-Koordinate \(x=2a\) folgt \(a=\frac{x}{2}\). 2. Einsetzen in \(y=a+1\) ergibt \(y=\frac{x}{2}+1\). 3. Die Ortskurve ist daher die Gerade mit der Gleichung \(y=\frac12x+1\).

\(y=\frac12x+1\)

- Was bedeutet es bei einem einzelnen Scharmitglied, den Parameter festzuhalten? - Welche Kurvenart entsteht dann aus \(f_a(x)=ax+a^2\)? - Eine Ortskurve beschreibt nicht einen ganzen Schargraphen, sondern die Lage bestimmter Punkte, wenn der Parameter variiert.

1. Aus \(P_a(a\mid2a^2)\) folgt durch \(x=a\) direkt \(y=2x^2\). Diese Parabel ist die Ortskurve der ausgezeichneten Punkte \(P_a\). 2. Für ein einzelnes Scharmitglied wird \(a\) auf einen festen Zahlenwert gesetzt. Dann ist \(f_a(x)=ax+a^2\) eine Gerade in \(x\). 3. Die Parabel \(y=2x^2\) ist daher kein Scharmitglied dieser Geradenschar, sondern beschreibt die Gesamtheit der Punkte \(P_a\) aller Scharmitglieder. Eriks Aussage ist falsch.

Eriks Aussage ist falsch. \(y=2x^2\) ist die Ortskurve der Punkte \(P_a\); jedes einzelne Scharmitglied \(f_a\) ist dagegen eine Gerade mit festem Parameter \(a\).

- Verbinde die Koordinaten des gegebenen Ortskurvenpunkts mit der allgemeinen Tiefpunktdarstellung \(T_a\). - Eine der beiden Koordinaten liefert den Parameter unmittelbar; die andere dient als Kontrolle. - Setze den gefundenen Parameter erst danach in den Funktionsterm der Schar ein.

1. Für einen Tiefpunkt der Schar gilt \(x_T=2a\). Aus \(x_T=6\) folgt \(a=3\). 2. Die zugehörige \(y\)-Koordinate ist \(a^2-1=9-1=8\) und stimmt mit \(Q\) überein. 3. Das gesuchte Scharmitglied ist daher \(f_3(x)=(x-6)^2+8\).

\(a=3\); \(f_3(x)=(x-6)^2+8\)

- Welche Koordinate von \(H_a\) liefert den Parameter unmittelbar? - Übertrage die Bedingung \(a>0\) nach der Parameterelimination auf die x-Koordinate. - „Auf der Kurve liegen“ und „von der Schar erreicht werden“ sind hier nicht dasselbe.

1. Aus der x-Koordinate folgt \(a=x\). Einsetzen in die y-Koordinate ergibt \(y=x^2+1\). 2. Wegen der Parameterbedingung \(a>0\) gilt zugleich \(x>0\). Erreicht wird daher nur der Teil der Parabel \(y=x^2+1\) mit \(x>0\). 3. Der Punkt \((-2\mid5)\) liegt zwar auf der vollständigen Parabel, hat aber \(x=-2<0\). Er kann deshalb für keinen zulässigen Parameterwert ein Hochpunkt der Schar sein.

a) \(y=x^2+1\) b) Nur der Teil mit \(x>0\) c) Nein; \((-2\mid5)\) liegt auf der Parabel, ist wegen \(a>0\) aber nicht erreichbar.

- Welche Faktoren erkennst du beim Bestimmen der Nullstellen? - Wie erhältst du die Extrempunkte der Schar in Abhängigkeit vom Parameter? - Wie kannst du den Parameter zwischen der \(x\)- und der \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts eliminieren? - Welche Ungleichung beschreibt die geforderte Höhe des Hochpunkts?

1. Aus \(f_t(x)=x\left(\frac{1}{3}x^2-t^2\right)=0\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm t\sqrt{3}\). 2. Es gilt \(f_t'(x)=x^2-t^2\). Damit liegen die stationären Stellen bei \(x=\pm t\). 3. Mit \(f_t''(x)=2x\) folgt \(f_t''(t)=2t>0\) und \(f_t''(-t)=-2t<0\). Also liegen \(T\left(t\mid-\frac{2}{3}t^3\right)\) und \(H\left(-t\mid\frac{2}{3}t^3\right)\) vor. 4. Für die Tiefpunkte gilt \(x=t\). Durch Eliminieren des Parameters erhält man \(y=-\frac{2}{3}x^3\) für \(x>0\). 5. Aus \(\frac{2}{3}t^3>18\) folgt \(t^3>27\) und damit \(t>3\).

a) \(x=0\) und \(x=\pm t\sqrt{3}\) b) \(H\left(-t \mid \frac{2}{3}t^3\right)\) und \(T\left(t \mid -\frac{2}{3}t^3\right)\) c) \(y=-\frac{2}{3}x^3\) für \(x>0\) d) \(t>3\)

- Welche stationäre Stelle hängt tatsächlich vom Parameter ab? - Welche \(y\)-Koordinate gehört zu dieser Stelle? - Wie kannst du den Parameter mit der \(x\)-Koordinate ausdrücken und anschließend eliminieren? - Welche Einschränkung folgt aus \(k\neq0\)?

1. Es gilt \(f_k'(x)=x^2-2kx=x(x-2k)\). Die stationären Stellen sind daher \(x=0\) und \(x=2k\). 2. Gesucht ist die parameterabhängige Stelle \(x=2k\). Ihr Funktionswert ist \(f_k(2k)=-\frac{4}{3}k^3+4\). 3. Aus \(x=2k\) folgt \(k=\frac{x}{2}\). Einsetzen ergibt \(y=-\frac{4}{3}\left(\frac{x}{2}\right)^3+4=-\frac{1}{6}x^3+4\). 4. Wegen \(k\neq0\) gehört \(x=0\) nicht zu dieser Ortskurve.

\(y=-\frac{1}{6}x^3+4\) für \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

- Bestimme zunächst die Wendepunktkoordinaten eines beliebigen Scharmitglieds in Abhängigkeit vom Parameter. - Welche Beziehung zwischen der Wendestellenkoordinate und dem Parameter kannst du anschließend nach dem Parameter auflösen? - Eliminiere den Parameter aus der Ordinate und beachte am Ende seinen zulässigen Wertebereich.

1. Es gilt \(g_a'(x)=3x^2+6ax\) und \(g_a''(x)=6x+6a\). 2. Aus \(g_a''(x)=0\) folgt \(x=-a\). Da \(g_a'''(x)=6\neq0\) ist, liegt dort tatsächlich eine Wendestelle. 3. Für die Ordinate gilt \(g_a(-a)=-a^3+3a^3-2a=2a^3-2a\). 4. Aus \(x=-a\) folgt \(a=-x\). Eingesetzt in die Ordinate ergibt sich \(y=2(-x)^3-2(-x)=-2x^3+2x\). 5. Wegen \(a>0\) gilt für die Wendepunkte \(x<0\).

Die Ortskurve der Wendepunkte hat die Gleichung \(y=-2x^3+2x\) für \(x<0\).

- Wie bestimmst du den Tiefpunkt der Parabel in Abhängigkeit vom Parameter? - Wie kannst du den Parameter zwischen den Koordinaten des Tiefpunkts eliminieren? - Welche Information liefert die Diskriminante über die Anzahl der Nullstellen? - Für welchen \(x\)-Wert verschwindet der gesamte Parameteranteil des Funktionsterms?

1. Es gilt \(f_a'(x)=2x-2a\). Daraus folgt die Extremstelle \(x=a\). Wegen \(f_a''(x)=2>0\) liegt ein Tiefpunkt vor. Mit \(f_a(a)=-a^2+3a\) erhält man \(T_a(a\mid-a^2+3a)\). 2. Da für die Tiefpunkte \(x=a\) gilt, ergibt sich durch Eliminieren des Parameters die Ortskurve \(y=-x^2+3x\). 3. Die Diskriminante der Gleichung \(x^2-2ax+3a=0\) ist \(D=4a(a-3)\). Daher gibt es zwei Nullstellen für \(a<0\) oder \(a>3\), eine Nullstelle für \(a=0\) oder \(a=3\) und keine Nullstelle für \(0<a<3\). 4. Es ist \(f_a(x)=x^2+a(3-2x)\). Für \(x=1{,}5\) verschwindet der Parameterterm, und es gilt für alle \(a\): \(f_a(1{,}5)=2{,}25\). Also ist \(P(1{,}5\mid2{,}25)\) gemeinsamer Punkt aller Graphen.

a) \(T_a(a \mid -a^2+3a)\) b) \(y=-x^2+3x\) c) Zwei Nullstellen für \(a<0\) oder \(a>3\); eine Nullstelle für \(a=0\) oder \(a=3\); keine Nullstelle für \(0<a<3\). d) \(P(1{,}5 \mid 2{,}25)\)

- Wie erhältst du den Hochpunkt der Parabel in Abhängigkeit vom Parameter? - Wie kannst du den Parameter aus den Koordinaten des Hochpunkts eliminieren? - Welche Bedingung erfüllt der Scheitelpunkt, wenn die Parabel die \(x\)-Achse berührt? - Für welchen \(x\)-Wert verschwindet der Parameteranteil des Funktionsterms?

1. Es gilt \(h_t'(x)=-2x+t\). Daraus folgt \(x=\frac{t}{2}\). Wegen \(h_t''(x)=-2<0\) liegt ein Hochpunkt vor. Mit \(h_t\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{t^2}{4}-2t+4\) erhält man \(H_t\left(\frac{t}{2}\mid\frac{t^2}{4}-2t+4\right)\). 2. Aus \(x=\frac{t}{2}\) folgt \(t=2x\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate liefert \(y=x^2-4x+4=(x-2)^2\). 3. Für eine Berührung mit der \(x\)-Achse muss der Hochpunkt auf der \(x\)-Achse liegen. Aus \(\frac{t^2}{4}-2t+4=0\) folgt \((t-4)^2=0\), also \(t=4\). 4. Es ist \(h_t(x)=-x^2+4+t(x-2)\). Für \(x=2\) verschwindet der Parameterterm und \(h_t(2)=0\). Daher verlaufen alle Graphen durch \(P(2\mid0)\).

a) \(H_t\left(\frac{t}{2} \mid \frac{t^2}{4}-2t+4\right)\) b) \(y=(x-2)^2\) c) \(t=4\) d) Gemeinsamer Punkt \(P(2 \mid 0)\)

- Wie bestimmst du den Scheitelpunkt jeder Parabel mithilfe der Ableitung? - Welche Koordinaten des Scheitelpunkts hängen vom Parameter ab? - Wie kannst du den Parameter aus den beiden Koordinatengleichungen eliminieren? - Welche Einschränkung folgt aus \(k>0\)?

1. Es gilt \(f_k'(x)=-\frac{4}{k}x+8\). Aus \(f_k'(x)=0\) folgt \(x=2k\). 2. Der zugehörige Funktionswert ist \(f_k(2k)=8k+1\). Somit gilt für die Scheitelpunkte \(x=2k\) und \(y=8k+1\). 3. Aus \(x=2k\) folgt \(k=\frac{x}{2}\). Einsetzen liefert \(y=4x+1\). 4. Wegen \(k>0\) gilt für die Ortskurve \(x>0\).

\(y=4x+1\) für \(x>0\)

- Welche Bedingung muss für eine Nullstelle erfüllt sein? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie berechnet man die Stellen mit waagerechter Tangente bei einer Funktionenschar? - Welche Rolle spielt ein konstanter Faktor beim Ableiten und beim Nullsetzen der Ableitung?

1. Nullstellenberechnung: Ansatz \(f_k(x) = 0\). Da \(k \neq 0\), muss \(x^3 - 6x^2 + 9x = 0\) gelten. Ausklammern ergibt \(x(x^2 - 6x + 9) = 0\), was zu \(x(x-3)^2 = 0\) führt. Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Da der Parameter \(k\) lediglich als gemeinsamer Faktor auftritt, beeinflusst er die Lösungen der Gleichung nicht. 2. Punktprobe für \(P(1 \mid 8)\): Einsetzen der Koordinaten in \(f_k(x)\) ergibt \(8 = k \cdot (1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1)\). Vereinfachung der Klammer liefert \(8 = k \cdot (1 - 6 + 9) = 4k\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = 2\). 3. Untersuchung der Extremstellen: Die erste Ableitung lautet \(f_k'(x) = k \cdot (3x^2 - 12x + 9)\). Die notwendige Bedingung für Extremstellen ist \(f_k'(x) = 0\). Da \(k \neq 0\), reduziert sich dies auf die quadratische Gleichung \(3x^2 - 12x + 9 = 0\) bzw. \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen dieser Gleichung sind \(x_E = 1\) und \(x_E = 3\). Da \(k\) in dieser Gleichung nicht mehr vorkommt (bzw. herausgekürzt werden kann), sind die Extremstellen für alle \(k\) identisch.

a) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Sie sind unabhängig von \(k\), da \(k\) als Faktor vor dem Funktionsterm steht und für \(k \neq 0\) keinen Einfluss auf die Nullstellen des Terms in der Klammer hat. b) Der gesuchte Wert ist \(k = 2\). c) Die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) führt auf die Gleichung \(3x^2 - 12x + 9 = 0\), deren Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) unabhängig von \(k\) sind.

- Wie gehst du vor, um die Nullstellen einer Funktion mit einem Parameter zu finden? - Welche Gleichung musst du lösen, um den Parameter für einen gegebenen Punkt zu finden? - Erinnere dich an das Kriterium für die Art eines Extrempunktes mithilfe der zweiten Ableitung. - Wie wirkt sich ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Form des Graphen aus?

1. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Ansatz \(g_a(x) = 0\). Dies führt auf \(a \cdot x^2(x^2 - 4) = 0\). Wegen \(a \neq 0\) ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\), welche unabhängig von \(a\) sind. Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 \mid 0)\), \(S_2(2 \mid 0)\) und \(S_3(-2 \mid 0)\). 2. Bestimmung von \(a\): Einsetzen von \(Q(1 \mid 6)\) in die Funktionsgleichung ergibt \(6 = a \cdot (1^4 - 4 \cdot 1^2) = a \cdot (1 - 4) = -3a\). Daraus folgt \(a = -2\). 3. Untersuchung der Extrempunkte: Die Ableitungen sind \(g_a'(x) = a(4x^3 - 8x)\) und \(g_a''(x) = a(12x^2 - 8)\). Die Bedingung \(g_a'(x) = 0\) liefert \(4ax(x^2 - 2) = 0\), also \(x_E \in \{0; \sqrt{2}; -\sqrt{2}\}\). Diese Stellen sind unabhängig von \(a\). 4. Art der Extrema: Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt \(g_a''(0) = -8a\) und \(g_a''(\pm\sqrt{2}) = 16a\). Ist \(a > 0\), so ist \(g_a''(0) < 0\) (Hochpunkt) und \(g_a''(\pm\sqrt{2}) > 0\) (Tiefpunkte). Ist \(a < 0\), so ist \(g_a''(0) > 0\) (Tiefpunkt) und \(g_a''(\pm\sqrt{2}) < 0\) (Hochpunkte). Die Art hängt somit vom Vorzeichen von \(a\) ab.

a) Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 \mid 0)\), \(S_2(2 \mid 0)\) und \(S_3(-2 \mid 0)\). Da der Faktor \(a \neq 0\) die Nullstellen des Terms \((x^4 - 4x^2)\) nicht verändert, sind sie für alle \(g_a\) gleich. b) Der Parameterwert ist \(a = -2\). c) Die Extremstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = \pm\sqrt{2}\). Für \(a > 0\) liegt bei \(x=0\) ein lokales Maximum und bei \(x=\pm\sqrt{2}\) lokale Minima vor; für \(a < 0\) ist es umgekehrt.

- Überlege dir, unter welcher Bedingung der Funktionswert an einer Stelle \(x\) völlig unabhängig vom Parameter \(a\) ist. - Denke daran, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^2 = c\) in Abhängigkeit von \(c\) haben? - Erinnere dich an die Symmetriebedingungen für ganzrationale Funktionen. - Wie verändert sich ein Funktionsterm, wenn der zugehörige Graph im Koordinatensystem verschoben wird?

1. Zur Bestimmung der gemeinsamen Punkte setzt man zwei Funktionsgleichungen mit unterschiedlichen Parametern \(a\) und \(b\) gleich: \(ax^4 - (a + 1)x^2 = bx^4 - (b + 1)x^2\). Dies führt auf \((a - b)x^4 - (a - b)x^2 = 0\), woraus \((a - b)x^2(x^2 - 1) = 0\) folgt. Da \(a \neq b\), ergeben sich die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). Die zugehörigen \(y\)-Koordinaten sind \(f_a(0) = 0\) und \(f_a(\pm 1) = -1\). Die gemeinsamen Punkte sind somit \(P_1(0 \mid 0)\), \(P_2(1 \mid -1)\) und \(P_3(-1 \mid -1)\). 2. Für die Nullstellen gilt \(x^2(ax^2 - (a + 1)) = 0\). Die erste Nullstelle ist \(x = 0\). Weitere Nullstellen existieren, falls \(x^2 = \frac{a + 1}{a} = 1 + \frac{1}{a}\) Lösungen hat. Genau eine Nullstelle liegt vor, wenn diese Gleichung keine weiteren Lösungen außer \(x = 0\) liefert. Dies ist der Fall, wenn \(1 + \frac{1}{a} < 0\) (keine weiteren reellen Lösungen) oder \(1 + \frac{1}{a} = 0\) (Lösung \(x = 0\)). Die Ungleichung \(1 + \frac{1}{a} \leq 0\) führt für \(a \neq 0\) auf das Intervall \(-1 \leq a < 0\). 3. Da in \(f_a(x)\) nur gerade Exponenten von \(x\) vorkommen, gilt \(f_a(-x) = f_a(x)\), was die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (Gerade \(x = 0\)) beweist. Um den Graphen symmetrisch zur Geraden \(x = 2\) zu machen, muss er um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung verschoben werden. Die neue Funktionsgleichung lautet \(g_a(x) = f_a(x - 2) = a(x - 2)^4 - (a + 1)(x - 2)^2\).

a) Gemeinsame Punkte: \(P_1(0 \mid 0)\), \(P_2(1 \mid -1)\) und \(P_3(-1 \mid -1)\). b) Genau eine Nullstelle für \(a \in [-1; 0[\). c) \(g_a(x) = a(x - 2)^4 - (a + 1)(x - 2)^2\).

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion zu finden, wenn ein Parameter enthalten ist? - Behandle den Parameter beim Ableiten nach \(x\) wie eine Konstante. - Sobald du die Koordinaten des Tiefpunkts in Abhängigkeit von \(k\) hast, betrachte den \(y\)-Wert als eine neue Funktion \(h(k)\). - Wie findet man den kleinstmöglichen Wert einer Funktion \(h(k)\)? - Achte am Ende auf die geforderte Rundung auf zwei Dezimalstellen.

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = k - \frac{1}{kx^2}\) und \(f_k''(x) = \frac{2}{kx^3}\). 2. Nullstelle der ersten Ableitung: \(k - \frac{1}{kx^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{k^2} \Rightarrow x = \frac{1}{k}\) (da \(x, k > 0\)). 3. Art des Extrempunkts prüfen: \(f_k''\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{2}{k \cdot (1/k)^3} = 2k^2 > 0\), somit liegt ein Tiefpunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts: \(f_k\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{110}{k} + k \cdot \frac{1}{k} + \frac{1}{k \cdot \frac{1}{k}} + k^2 = \frac{110}{k} + 1 + 1 + k^2 = k^2 + \frac{110}{k} + 2\). Die Koordinaten sind \(T_k\left(\frac{1}{k} \mid k^2 + \frac{110}{k} + 2\right)\). 5. Minimierung der \(y\)-Koordinate: \(h(k) = k^2 + \frac{110}{k} + 2 \Rightarrow h'(k) = 2k - \frac{110}{k^2}\). 6. Extremstelle von \(h(k)\): \(2k - \frac{110}{k^2} = 0 \Rightarrow 2k^3 = 110 \Rightarrow k = \sqrt[3]{55} \approx 3{,}80\). Wegen \(h''(k) = 2 + \frac{220}{k^3} > 0\) liegt ein Minimum vor.

Tiefpunkt: \(T_k\left(\frac{1}{k} \mid k^2 + \frac{110}{k} + 2\right)\); optimaler Parameterwert: \(k \approx 3{,}80\).

- Bestimme zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktion bezüglich \(x\). - Was bedeutet es für die Ableitung, wenn ein Punkt ein Tiefpunkt sein soll? - Setze die gefundene \(x\)-Stelle in die Funktionsgleichung ein, um den \(y\)-Wert zu erhalten. - Um den niedrigsten Tiefpunkt zu finden, musst du die Funktion untersuchen, die den \(y\)-Wert des Tiefpunkts in Abhängigkeit von \(a\) beschreibt. - Verwende für die Berechnung des finalen Parameterwerts \(a\) die dritte Wurzel.

1. Erste Ableitung nach \(x\) bestimmen: \(g_a'(x) = a - \frac{a^3}{x^2}\). 2. Notwendige Bedingung für Extremum: \(a - \frac{a^3}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = a^2 \Rightarrow x = a\) (wegen \(x, a > 0\)). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g_a''(x) = \frac{2a^3}{x^3} \Rightarrow g_a''(a) = \frac{2a^3}{a^3} = 2 > 0\), also liegt ein Tiefpunkt vor. 4. Funktionswert an der Stelle \(x = a\): \(g_a(a) = a \cdot a + \frac{a^3}{a} + \frac{5}{a} = a^2 + a^2 + \frac{5}{a} = 2a^2 + \frac{5}{a}\). Der Tiefpunkt ist \(P_a\left(a \mid 2a^2 + \frac{5}{a}\right)\). 5. Extremwert der \(y\)-Koordinate bestimmen: \(h(a) = 2a^2 + \frac{5}{a} \Rightarrow h'(a) = 4a - \frac{5}{a^2}\). 6. Nullstelle von \(h'(a)\): \(4a - \frac{5}{a^2} = 0 \Rightarrow 4a^3 = 5 \Rightarrow a = \sqrt[3]{1{,}25} \approx 1{,}08\). Da \(h''(a) = 4 + \frac{10}{a^3} > 0\), ist dies die Stelle des minimalen \(y\)-Werts.

Tiefpunkt: \(P_a\left(a \mid 2a^2 + \frac{5}{a}\right)\); optimaler Parameterwert: \(a \approx 1{,}08\).

- Welche Bedingungen müssen für die Existenz von Extremstellen erfüllt sein? - Beachte, dass das Vorzeichen des Parameters die Art des Extrempunktes beeinflussen kann. - Wie hängen die x- und y-Koordinaten des Wendepunkts zusammen, wenn man den Parameter eliminiert? - Setze die x-Koordinate des Wendepunkts nach dem Parameter um und substituiere diesen in der y-Koordinate.

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 6kx\) und \(f_k''(x) = 6x - 6k\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(3x(x - 2k) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\). 3. Art der Extrema prüfen: \(f_k''(0) = -6k\) und \(f_k''(2k) = 6k\). Für \(k > 0\): Hochpunkt \(H(0 \mid 2)\) und Tiefpunkt \(T(2k \mid -4k^3 + 2)\). Für \(k < 0\): Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\) und Hochpunkt \(H(2k \mid -4k^3 + 2)\). 4. Wendepunkt bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \implies x_W = k\). Funktionswert: \(f_k(k) = k^3 - 3k^3 + 2 = -2k^3 + 2\). 5. Ortskurve ermitteln: Aus \(x = k\) folgt durch Einsetzen in \(y = -2k^3 + 2\) die Gleichung \(y = -2x^3 + 2\).

a) Für \(k > 0\): Hochpunkt \(H(0 \mid 2)\), Tiefpunkt \(T(2k \mid -4k^3 + 2)\). Für \(k < 0\): Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\), Hochpunkt \(H(2k \mid -4k^3 + 2)\). b) Die Ortskurve der Wendepunkte hat die Gleichung \(y = -2x^3 + 2\).

- Überlege dir, für welche Werte von \(a\) die Gleichung für die Nullstellen der ersten Ableitung überhaupt eine Lösung hat. - Erinnere dich daran, dass bei der Bestimmung einer Ortskurve der Parameter \(a\) aus der Gleichung eliminiert werden muss. - Eine Tangente, die durch den Ursprung geht, hat die Form \(y = mx\). Welche Bedingung muss also für die Steigung im Berührpunkt gelten? - Setze die allgemeine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\) auf und fordere, dass der Ursprung auf der Tangente liegt.

a) Es gilt \(f_a'(x) = 3 - ae^x\) und \(f_a''(x) = -ae^x\). Aus \(f_a'(x)=0\) folgt \(e^x=\frac{3}{a}\). Eine Lösung existiert nur für \(a>0\) und lautet \(x_E=\ln(\frac{3}{a})\). Dort ist \(f_a''(x_E)=-3<0\), also liegt ein Hochpunkt vor. Seine Koordinaten sind \(H\left(\ln\left(\frac{3}{a}\right) \mid 3\ln\left(\frac{3}{a}\right)-3\right)\). Für \(a<0\) gibt es keine Extrempunkte. b) Setzt man \(x=\ln(\frac{3}{a})\) in die \(y\)-Koordinate ein, erhält man unmittelbar \(y=3x-3\). Die gemeinsame Ortsgerade lautet daher \(y=3x-3\). c) Für einen Berührpunkt bei \(x_0\) muss die Tangente durch den Ursprung gehen. Dafür gilt ohne Division durch \(x_0\) die Bedingung \(f_a(x_0)=x_0f_a'(x_0)\). Einsetzen liefert \(3x_0-ae^{x_0}=x_0(3-ae^{x_0})\). Nach Kürzen von \(3x_0\) folgt \(ae^{x_0}(x_0-1)=0\). Wegen \(a\neq0\) und \(e^{x_0}>0\) ist genau \(x_0=1\) möglich. Somit existiert genau eine solche Tangente. Der Berührpunkt ist \(P_a(1 \mid 3-ae)\).

a) Für \(a > 0\) existiert ein Hochpunkt \(H\left(\ln\left(\frac{3}{a}\right) \mid 3 \ln\left(\frac{3}{a}\right) - 3\right)\). Für \(a < 0\) gibt es keine Extrempunkte. b) Die Gerade hat die Gleichung \(y = 3x - 3\). c) Der Berührpunkt der eindeutig bestimmten Ursprungstangente ist \(P_a(1 \mid 3 - ae)\).

- Wie findet man den Schnittwinkel eines Graphen mit der \(x\)-Achse? Denke an den Zusammenhang zwischen der Steigung und dem Tangens des Winkels. - Überlege dir, welche Ableitungsregeln (Produktregel, Kettenregel) du für die Untersuchung der Funktion benötigst. - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du die \(x\)-Koordinate des Extrempunkts nach dem Parameter auflösen und in die Gleichung der \(y\)-Koordinate einsetzen. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion niemals null wird.

1. Nullstelle: \(f_k(x) = 0 \Rightarrow x-k = 0 \Rightarrow x_N = k\). 2. Erste Ableitung: \(f_k'(x) = 1 \cdot e^{1-\frac{x}{k}} + (x-k) \cdot \left(-\frac{1}{k}\right) e^{1-\frac{x}{k}} = e^{1-\frac{x}{k}} \left(1 - \frac{x}{k} + 1\right) = \left(2 - \frac{x}{k}\right) e^{1-\frac{x}{k}}\). 3. Steigung an der Nullstelle: \(f_k'(k) = \left(2 - \frac{k}{k}\right) e^{1-1} = 1 \cdot e^0 = 1\). Da die Steigung \(m = 1\) unabhängig von \(k\) ist, ist der Schnittwinkel \(\alpha = \arctan(1) = 45^\circ\). 4. Extrempunkt bestimmen: \(f_k'(x) = 0 \Rightarrow 2 - \frac{x}{k} = 0 \Rightarrow x_E = 2k\). 5. Art des Extrempunkts: \(f_k''(x) = -\frac{1}{k} e^{1-\frac{x}{k}} + \left(2 - \frac{x}{k}\right) \left(-\frac{1}{k}\right) e^{1-\frac{x}{k}} = \frac{1}{k} e^{1-\frac{x}{k}} \left(\frac{x}{k} - 3\right)\). Einsetzen ergibt \(f_k''(2k) = \frac{1}{k} e^{-1} (2-3) = -\frac{1}{ke} < 0\). Es handelt sich um ein Maximum. 6. Koordinaten: \(y_E = f_k(2k) = (2k-k) e^{1-2} = k \cdot e^{-1} = \frac{k}{e}\). Somit \(E_k\left(2k \mid \frac{k}{e}\right)\). 7. Ortskurve: Aus \(x = 2k\) folgt \(k = \frac{x}{2}\). Einsetzen in \(y = \frac{k}{e}\) ergibt \(y = \frac{x}{2e}\). Dies ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung \(\frac{1}{2e}\).

a) Nullstelle bei \(x_N = k\). Da \(f_k'(k) = 1\) für alle \(k\), ist der Schnittwinkel stets \(\alpha = 45^\circ\). b) Hochpunkt bei \(E_k\left(2k \mid \frac{k}{e}\right)\). c) Die Extrempunkte liegen auf der Geraden \(y = \frac{1}{2e}x\).

- Was unterscheidet die Funktionsgleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel von einer nach oben geöffneten? - Wie führst du eine Punktprobe durch, um einen unbekannten Parameter zu bestimmen? - Wenn du eine Gleichung mit einem Bruch erhältst, wie kannst du sie vereinfachen? - Gibt es einen einfachen ganzzahligen Wert, der die Gleichung im letzten Schritt lösen könnte?

1. Der Scheitelpunkt \(S\) der nach unten geöffneten Normalparabel liegt auf dem Graphen von \(h(x) = \frac{1}{x}\), woraus sich die Koordinaten \(S(a \mid \frac{1}{a})\) ergeben. 2. Die allgemeine Form einer nach unten geöffneten Normalparabel ist \(g(x) = -(x - x_S)^2 + y_S\). Eingesetzt ergibt dies die Schar \(g_a(x) = -(x - a)^2 + \frac{1}{a}\). 3. Um den Parameter \(a\) zu finden, für den die Parabel durch \(P(1 \mid 1)\) verläuft, wird die Punktprobe durchgeführt: \(1 = -(1 - a)^2 + \frac{1}{a}\). 4. Auflösen der Gleichung: \(1 = -(1 - 2a + a^2) + \frac{1}{a} \Rightarrow 1 = -1 + 2a - a^2 + \frac{1}{a} \Rightarrow 2 - 2a + a^2 - \frac{1}{a} = 0\). 5. Multiplikation mit \(a\) führt auf die kubische Gleichung \(a^3 - 2a^2 + 2a - 1 = 0\). 6. Durch systematisches Probieren oder Erkennen der Koeffizientensumme findet man die Lösung \(a = 1\). Eine Überprüfung (Polynomdivision) zeigt, dass \(a^3 - 2a^2 + 2a - 1 = (a - 1)(a^2 - a + 1)\) ist, wobei der quadratische Term keine weiteren reellen Nullstellen besitzt.

a) \(g_a(x) = -(x - a)^2 + \frac{1}{a}\) b) \(a = 1\)

- Welche Faktoren des Funktionsterms bestimmen die parameterunabhängigen Nullstellen? - Vergleiche zwei verschiedene Parameterwerte, um weitere gemeinsame Punkte auszuschließen. - Achte bei den Nullstellen der Ableitung darauf, ob wirklich ein Vorzeichenwechsel vorliegt. - Welche Koordinate des Extrempunkts ist unabhängig von \(k\)?

1. Aus \(f_k(x)=kx^3(x-4)\) folgen für alle \(k\ne0\) die Achsenschnittpunkte \((0\mid0)\) und \((4\mid0)\). 2. Für zwei Parameter \(k\ne m\) führt \(f_k(x)=f_m(x)\) auf \((k-m)(x^4-4x^3)=0\). Daher sind \(x=0\) und \(x=4\) die einzigen gemeinsamen Stellen verschiedener Graphen. 3. Es ist \(f_k'(x)=4kx^2(x-3)\). Die doppelte Nullstelle \(x=0\) erzeugt keinen Vorzeichenwechsel; bei \(x=3\) liegt der einzige lokale Extrempunkt. Mit \(f_k(3)=-27k\) erhält man \(E_k(3\mid-27k)\). Für \(k>0\) ist dies ein Tiefpunkt, für \(k<0\) ein Hochpunkt. 4. Da alle Extrempunkte die feste \(x\)-Koordinate \(3\) besitzen, liegen sie auf der Geraden \(x=3\).

a) Gemeinsame Punkte \((0\mid0)\) und \((4\mid0)\); weitere gemeinsame Punkte gibt es nicht. b) \(E_k(3\mid-27k)\); für \(k>0\) Tiefpunkt, für \(k<0\) Hochpunkt. c) Ortsgerade \(x=3\).

- Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts vom Parameter ab? Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken? - Stell dir vor, du hättest einen festen Punkt gegeben. Unter welcher Bedingung findet man einen passenden Parameterwert? - Was muss für die Diskriminante einer quadratischen Gleichung gelten, damit es keine Lösung gibt?

1. Zur Bestimmung der Scheitelpunkte wird die erste Ableitung \(f_a'(x) = 2(x-a)\) gleich null gesetzt, woraus \(x = a\) folgt. 2. Der zugehörige Funktionswert ist \(f_a(a) = (a-a)^2 + 2a = 2a\). Die Scheitelpunkte haben somit die Koordinaten \(S(a|2a)\). 3. Aus \(x = a\) und \(y = 2a\) ergibt sich durch Einsetzen die Gleichung der Ortskurve \(y = 2x\). 4. Ein Punkt \(P(x|y)\) liegt auf einem Graphen der Schar, wenn die Gleichung \(y = (x-a)^2 + 2a\) eine reelle Lösung für \(a\) besitzt. Umgestellt nach \(a\) ergibt sich die quadratische Gleichung \(a^2 + (2-2x)a + (x^2-y) = 0\). 5. Die Diskriminante dieser Gleichung lautet \(D = (2-2x)^2 - 4(x^2-y) = 4 - 8x + 4x^2 - 4x^2 + 4y = 4(1 - 2x + y)\). 6. Eine Lösung für \(a\) existiert genau dann, wenn \(D \ge 0\), also \(1 - 2x + y \ge 0 \iff y \ge 2x - 1\). 7. Die Menge der Punkte, durch die kein Graph verläuft, ist somit durch die Bedingung \(y < 2x - 1\) definiert.

a) Die Ortskurve der Scheitelpunkte ist die Gerade mit der Gleichung \(y = 2x\). b) Die Menge aller Punkte \(P(x|y)\) mit \(y < 2x - 1\) liegt auf keinem Graphen der Schar.

- Überlege dir, für welchen x-Wert der Funktionsterm unabhängig vom Parameter k immer denselben Wert annimmt. - Nutze die Produkt- und Kettenregel, um die notwendigen Ableitungen der Funktionenschar zu bilden. - Um die Ortskurve zu finden, kannst du die x-Koordinate des Punktes nach dem Parameter k auflösen und diesen Ausdruck in die y-Koordinate einsetzen.

1. Den gemeinsamen Punkt ermitteln: Ansatz \(f_k(x) = f_m(x)\) führt auf \(x \cdot e^{1-kx} = x \cdot e^{1-mx}\). Für \(x \neq 0\) müsste \(1-kx = 1-mx\) gelten, was nur für \(k=m\) möglich ist. Einziger gemeinsamer Punkt ist somit \(O(0|0)\). 2. Ableitungen berechnen: \(f_k'(x) = (1-kx) \cdot e^{1-kx}\) und \(f_k''(x) = (k^2x - 2k) \cdot e^{1-kx}\). 3. Extrempunkte bestimmen: \(f_k'(x) = 0 \Rightarrow 1-kx = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{k}\). Wegen \(f_k''(\frac{1}{k}) = -k < 0\) liegt ein Hochpunkt vor. Funktionswert: \(f_k(\frac{1}{k}) = \frac{1}{k} \cdot e^0 = \frac{1}{k}\). Somit \(H(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{k})\). 4. Wendepunkte bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \Rightarrow k^2x - 2k = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{k}\). Da die zweite Ableitung an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel aufweist, liegt ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(f_k(\frac{2}{k}) = \frac{2}{k} \cdot e^{-1} = \frac{2}{ke}\). Somit \(W(\frac{2}{k} \mid \frac{2}{ke})\). 5. Ortskurve der Hochpunkte: Aus \(x = \frac{1}{k}\) folgt \(k = \frac{1}{x}\). Einsetzen in \(y = \frac{1}{k}\) ergibt \(y = x\).

a) \(O(0|0)\) b) \(H\left(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{k}\right)\) und \(W\left(\frac{2}{k} \mid \frac{2}{ke}\right)\) c) \(y = x\)

- Wie lauten die Ableitungsregeln für Produkte und verkettete Funktionen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Graphen schneiden? - Überlege, welche Terme in der Gleichung für alle \(x\) ungleich Null sind, um die Gleichung zu vereinfachen. - Wann ist ein Ergebnis „unabhängig“ von einem Parameter?

1. Erste Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel berechnen: \(f'_k(x) = k \cdot (2x \cdot e^x + (x^2 - 1) \cdot e^x) = k \cdot (x^2 + 2x - 1) \cdot e^x\) 2. Zweite Ableitung berechnen: \(f''_k(x) = k \cdot ((2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - 1) \cdot e^x) = k \cdot (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x\) 3. Gleichung für den Schnittpunkt aufstellen: \(f_k(x) = f''_k(x) \iff k \cdot (x^2 - 1) \cdot e^x = k \cdot (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x\) 4. Da \(k \neq 0\) und \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), kann die Gleichung durch \(k \cdot e^x\) dividiert werden: \(x^2 - 1 = x^2 + 4x + 1\) 5. Nach \(x\) auflösen: \(-1 = 4x + 1 \implies 4x = -2 \implies x = -0{,}5\) 6. Da der resultierende Wert \(x = -0{,}5\) nicht von \(k\) abhängt, ist die Unabhängigkeit gezeigt.

Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunktes ist \(x = -0{,}5\). Da dieser Wert konstant ist und der Parameter \(k\) in der finalen Gleichung nicht mehr vorkommt, ist die \(x\)-Koordinate unabhängig von \(k\).

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion zu berechnen? - Was passiert mit dem Parameter, wenn du die erste Ableitung gleich null setzt? - Welchen Einfluss hat ein konstanter Faktor beim Ableiten und beim Lösen der Gleichung? - Überlege, welche Teile des Terms für die Nullstellen der Ableitung verantwortlich sind.

1. Erste Ableitung mit der Quotientenregel bestimmen: \(f_a'(x) = a \cdot \frac{1 \cdot (x^2+x+1) - x \cdot (2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = a \cdot \frac{1-x^2}{(x^2+x+1)^2}\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f_a'(x) = 0\) ansetzen: Da \(a \neq 0\) und der Nenner \(x^2+x+1\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) positiv ist (Diskriminante \(1^2 - 4 < 0\)), wird die Gleichung zu \(1-x^2 = 0\). 3. Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). 4. Da diese Werte unabhängig vom Parameter \(a\) sind und an diesen Stellen ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung vorliegt (da \(1-x^2\) eine Parabel mit Nullstellen bei \(\pm 1\) ist), sind die Extremstellen für alle \(a\) gleich.

Die notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) führt auf die Gleichung \(a \cdot (1-x^2) = 0\). Da \(a \neq 0\) vorausgesetzt ist, sind die Lösungen \(x = 1\) und \(x = -1\) für alle Funktionen der Schar identisch.

- Welche Ableitung benötigst du, um Wendestellen zu untersuchen? - Versuche den Parameter \(k\) beim Ableiten als konstanten Faktor zu behandeln. - Schau dir die Gleichung an, die entsteht, wenn du die Bedingung für Wendestellen prüfst – verschwindet der Parameter? - Was muss für die Unabhängigkeit von \(k\) bei den resultierenden \(x\)-Werten gelten?

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Kettenregel bilden: \(h_k'(x) = k \cdot \frac{2x}{x^2+1}\). 2. Zweite Ableitung mit der Quotientenregel bestimmen: \(h_k''(x) = 2k \cdot \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = 2k \cdot \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\). 3. Notwendige Bedingung für Wendestellen \(h_k''(x) = 0\) untersuchen: Da \(k \neq 0\) und der Nenner stets positiv ist, reduziert sich die Bedingung auf \(1-x^2 = 0\). 4. Die Lösungen \(x = 1\) und \(x = -1\) sind unabhängig von \(k\). 5. Da die zweite Ableitung an diesen Stellen ihr Vorzeichen wechselt (Zählerterm \(1-x^2\) ist eine nach unten geöffnete Parabel), liegen dort die Wendestellen der Schar.

Die zweite Ableitung lautet \(h_k''(x) = \frac{2k(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\). Die Bedingung \(h_k''(x) = 0\) liefert für \(k \neq 0\) die vom Parameter unabhängigen Wendestellen \(x = 1\) und \(x = -1\).

- Faktorisiere den Funktionsterm, um die Nullstellen zu erkennen. - Für einen Wendepunkt musst du außer \(f_a''=0\) auch prüfen, ob sich die Krümmung tatsächlich ändert. - Eliminiere für Teil 2 den Parameter mithilfe der \(x\)-Koordinate des Wendepunkts. - Für Teil 3 liefert die erste Ableitung den Parameter; die zweite Ableitung entscheidet über die Art des Extremums.

1. Aus \(f_a(x)=x^2(a-x)=0\) folgen die Nullstellen \(x_1=0\) (doppelt) und \(x_2=a\). 2. Es gilt \(f_a'(x)=2ax-3x^2\) und \(f_a''(x)=2a-6x\). Aus \(f_a''(x)=0\) folgt \(x_W=\frac{a}{3}\). Da der lineare Term \(2a-6x\) dort von positiv zu negativ wechselt, liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor. 3. Der zugehörige Funktionswert ist \(y_W=f_a\left(\frac{a}{3}\right)=\frac{2a^3}{27}\). Mit \(a=3x_W\) folgt \(y_W=2x_W^3\). Damit liegen alle Wendepunkte auf \(y=2x^3\). 4. Für eine Extremstelle bei \(x=4\) muss \(f_a'(4)=0\) gelten. Daraus folgt \(8a-48=0\) und somit \(a=6\). Da \(f_6''(4)=12-24=-12<0\), liegt dort ein lokales Maximum vor.

1. \(x_1=0\) (doppelt), \(x_2=a\) 2. \(W_a\left(\frac{a}{3}\mid\frac{2a^3}{27}\right)\) liegt auf \(y=2x^3\). 3. \(a=6\); lokales Maximum.

- Was passiert, wenn du für die Variable einen Wert einsetzt, der den Parameter verschwinden lässt? - Wie bestimmen wir die Extremstellen einer Funktion mithilfe der Ableitungen? - Achte bei der Begründung des Extremums auf das Vorzeichen der zweiten Ableitung. - Wie kannst du den Parameter aus den Koordinaten des Extrempunkts eliminieren, um einen Zusammenhang zwischen den Koordinaten zu finden?

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f_k(0) = 0 - k \cdot \sqrt{0} = 0\). Da dieser Wert unabhängig von \(k\) ist, ist \(P(0 \mid 0)\) der gemeinsame Punkt. 2. Die erste Ableitung lautet \(f_k'(x) = 1 - \frac{k}{2\sqrt{x}}\). Nullsetzen ergibt \(1 = \frac{k}{2\sqrt{x}} \iff \sqrt{x} = \frac{k}{2} \iff x = \frac{k^2}{4}\). 3. Die zweite Ableitung \(f_k''(x) = \frac{k}{4x\sqrt{x}}\) ist für \(x > 0\) und \(k > 0\) stets positiv, was die Existenz eines Minimums bestätigt. 4. Der \(y\)-Wert des Tiefpunkts ist \(f_k\left(\frac{k^2}{4}\right) = \frac{k^2}{4} - k \cdot \sqrt{\frac{k^2}{4}} = \frac{k^2}{4} - \frac{k^2}{2} = -\frac{k^2}{4}\). Der Tiefpunkt ist \(T\left(\frac{k^2}{4} \mid -\frac{k^2}{4}\right)\). 5. Aus \(x = \frac{k^2}{4}\) und \(y = -\frac{k^2}{4}\) folgt durch Einsetzen direkt \(y = -x\). Die Ortskurve ist die Gerade mit der Gleichung \(y = -x\).

a) Gemeinsamer Punkt: \(P(0 \mid 0)\) b) Tiefpunkt: \(T\left(\frac{k^2}{4} \mid -\frac{k^2}{4}\right)\) c) Gleichung der Geraden: \(y = -x\)

- Wie findet man generell die Extremstellen einer Funktion? - Wenn du die Koordinaten eines Punktes in Abhängigkeit von einem Parameter hast, wie kannst du den Parameter eliminieren? - Überlege dir, wie du den x-Wert des Punktes nutzen kannst, um den Parameter zu ersetzen. - Achte auf die Definitionsmenge des Parameters, um den Bereich der Ortslinie einzuschränken.

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 3x^2 - 6ax\) und \(f_a''(x) = 6x - 6a\). 2. Notwendige Bedingung für Extrempunkte: \(f_a'(x) = 0 \implies 3x(x - 2a) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2a\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: Da \(a > 0\), ist \(f_a''(0) = -6a < 0\) (Hochpunkt) und \(f_a''(2a) = 12a - 6a = 6a > 0\) (Tiefpunkt). 4. Koordinaten des Tiefpunkts berechnen: \(y_T = f_a(2a) = (2a)^3 - 3a(2a)^2 + 4 = 8a^3 - 12a^3 + 4 = -4a^3 + 4\). Der Tiefpunkt ist \(T(2a \mid -4a^3 + 4)\). 5. Ortslinie bestimmen: Die Gleichung \(x = 2a\) nach \(a\) auflösen ergibt \(a = \frac{x}{2}\). Diesen Ausdruck in die Gleichung für \(y\) einsetzen: \(y = -4 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^3 + 4 = -4 \cdot \frac{x^3}{8} + 4 = -\frac{1}{2}x^3 + 4\). Wegen \(a > 0\) gilt \(x > 0\).

a) Der Tiefpunkt liegt bei \(T(2a \mid -4a^3 + 4)\). b) Die Gleichung der Ortslinie lautet \(y = -\frac{1}{2}x^3 + 4\) für \(x > 0\).

- Was ist die notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunkts? - Du suchst eine Kurve, die alle Wendepunkte verbindet. Das Ziel ist eine Gleichung, in der nur noch \(x\) und \(y\) vorkommen, aber kein \(k\) mehr. - Drücke zuerst \(x\) durch \(k\) aus und stelle diese Gleichung nach \(k\) um. - Was passiert mit der y-Koordinate, wenn du dort das \(k\) durch deinen Term mit \(x\) ersetzt?

1. Ableitungen berechnen: \(g_k'(x) = x^2 + 2kx + k^2 - 1\), \(g_k''(x) = 2x + 2k\) und \(g_k'''(x) = 2\). 2. Wendestelle bestimmen: \(g_k''(x) = 0 \implies 2x + 2k = 0 \implies x_W = -k\). Da \(g_k'''(-k) = 2 \neq 0\), liegt dort ein Wendepunkt vor. 3. y-Koordinate berechnen: \(y_W = g_k(-k) = \frac{1}{3}(-k)^3 + k(-k)^2 + (k^2 - 1)(-k) = -\frac{1}{3}k^3 + k^3 - k^3 + k = -\frac{1}{3}k^3 + k\). Der Wendepunkt ist \(W(-k \mid -\frac{1}{3}k^3 + k)\). 4. Parameter eliminieren: Aus \(x = -k\) folgt \(k = -x\). Einsetzen in die Gleichung für \(y\): \(y = -\frac{1}{3}(-x)^3 + (-x) = \frac{1}{3}x^3 - x\).

a) Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W(-k \mid -\frac{1}{3}k^3 + k)\). b) Die Gleichung der Ortslinie ist \(y = \frac{1}{3}x^3 - x\).

- Wie findest du allgemein die Extremstellen einer Funktion, die einen Parameter enthält? - Wenn du die \(x\)-Koordinate eines Extrempunktes in Abhängigkeit vom Parameter gefunden hast, wie kannst du diese Gleichung nach dem Parameter umstellen? - Was passiert, wenn du den isolierten Parameter in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzt? - Überlege, ob alle gefundenen Extremstellen auf derselben Kurve liegen können.

1. Erste und zweite Ableitung der Schar bilden: \(f_a'(x) = 3x^2 - 6ax\) und \(f_a''(x) = 6x - 6a\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen \(f_a'(x) = 0\) anwenden: \(3x(x - 2a) = 0\) führt zu den Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2a\). Da \(a \neq 0\), gilt \(f_a''(0) = -6a \neq 0\) und \(f_a''(2a) = 6a \neq 0\), sodass an beiden Stellen Extrempunkte vorliegen. 3. Den Parameter \(a\) in Abhängigkeit von \(x\) ausdrücken: Für die bewegliche Stelle \(x = 2a\) ergibt sich \(a = \frac{x}{2}\). 4. Den Ausdruck für \(a\) in die Funktionsgleichung \(y = f_a(x)\) einsetzen: \(y = x^3 - 3 \cdot \left(\frac{x}{2}\right) \cdot x^2 + 2 = x^3 - 1{,}5x^3 + 2 = -0{,}5x^3 + 2\). 5. Die gesuchte Funktionsgleichung der Ortskurve lautet \(g(x) = -0{,}5x^3 + 2\). Auch der feste Extrempunkt \((0 \mid 2)\) liegt auf dieser Kurve.

\(g(x) = -0{,}5x^3 + 2\)

- Nutze die Produktregel und achte beim Ableiten der \(e\)-Funktion auf die Kettenregel. - Erinnere dich daran, dass ein Produkt nur dann null wird, wenn einer der Faktoren null ist. Kann \(e^{0{,}5x}\) null werden? - Das Ziel ist es, eine Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) zu finden, in der der Parameter \(k\) nicht mehr vorkommt. - Hast du schon probiert, die Bedingung für die Extremstelle nach \(k\) umzustellen?

1. Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel berechnen: \(f_k'(x) = -1 \cdot e^{0{,}5x} + (k - x) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (0{,}5k - 0{,}5x - 1)\). 2. Notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) setzen: Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, muss \(0{,}5k - 0{,}5x - 1 = 0\) gelten. 3. Die Gleichung nach dem Parameter \(k\) auflösen: \(0{,}5k = 0{,}5x + 1 \implies k = x + 2\). 4. Den Parameter \(k\) in der Funktionsgleichung \(y = f_k(x)\) durch den gefundenen Term ersetzen: \(y = (x + 2 - x) \cdot e^{0{,}5x} = 2e^{0{,}5x}\). 5. Die Gleichung der Ortskurve ist somit \(g(x) = 2e^{0{,}5x}\). Eine Überprüfung der zweiten Ableitung zeigt, dass es sich bei den Extrempunkten stets um Hochpunkte handelt.

\(g(x) = 2e^{0{,}5x}\)

- Wie lautet die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunkts? - Erinnere dich daran, wie man die Koordinaten eines Punktes berechnet, wenn die Stelle \(x\) bekannt ist. - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du versuchen, den Parameter in den Gleichungen für \(x\) und \(y\) zu eliminieren. - Was muss für die \(y\)-Koordinate eines Punktes gelten, damit er über der \(x\)-Achse liegt?

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 2x - 2a\) und \(f_a''(x) = 2\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen: \(f_a'(x) = 0 \implies 2x - 2a = 0 \implies x = a\). Da \(f_a''(a) = 2 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. 3. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a(a) = a^2 - 2a^2 + 3a = -a^2 + 3a\). Der Extrempunkt ist \(E_a(a \mid -a^2 + 3a)\). 4. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = a\) folgt durch Einsetzen in die \(y\)-Gleichung direkt \(y = -x^2 + 3x\). 5. Bedingung oberhalb der \(x\)-Achse: \(y_E > 0 \implies -a^2 + 3a > 0\). 6. Nullstellen von \(-a^2 + 3a = a(3 - a)\) sind \(a_1 = 0\) und \(a_2 = 3\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(-a^2 + 3a > 0\) für \(0 < a < 3\).

a) \(E_a(a \mid -a^2 + 3a)\) b) \(y = -x^2 + 3x\) c) \(0 < a < 3\)

- Ein Scheitelpunkt einer Parabel ist gleichzeitig ihr lokaler Extrempunkt. - Wie hängen die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten des Scheitelpunkts mit dem Parameter \(k\) zusammen? - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer Kurve liegen, kannst du prüfen, ob ihre Koordinaten die Kurvengleichung erfüllen. - Stelle eine Ungleichung für die \(y\)-Koordinate auf und löse diese nach \(k\) auf.

1. Erste Ableitung: \(g_k'(x) = -2x + 2k\). 2. Extremstelle berechnen: \(g_k'(x) = 0 \implies -2x + 2k = 0 \implies x = k\). 3. \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(g_k(k) = -k^2 + 2k \cdot k - 4k = k^2 - 4k\). Somit ist \(S_k(k \mid k^2 - 4k)\). 4. Nachweis der Ortskurve: Mit \(x = k\) ergibt sich durch Ersetzen von \(k\) in der \(y\)-Koordinate \(y = x^2 - 4x\). Dies entspricht der vorgegebenen Parabelgleichung. 5. Bedingung \(y < -3\): \(k^2 - 4k < -3 \implies k^2 - 4k + 3 < 0\). 6. Quadratische Gleichung lösen: \(k^2 - 4k + 3 = 0\) liefert mit der \(p\)-\(q\)-Formel \(k_1 = 1\) und \(k_2 = 3\). 7. Da die Parabel \(p(k) = k^2 - 4k + 3\) nach oben geöffnet ist, liegen die Funktionswerte zwischen den Nullstellen unter Null. Es folgt \(1 < k < 3\).

a) \(S_k(k \mid k^2 - 4k)\) b) Nachweis über \(x=k\) und \(y=k^2-4k \implies y=x^2-4x\). c) \(1 < k < 3\)

- Welche stationäre Stelle liegt außer dem Ursprung vor, und wie kannst du prüfen, dass sie wirklich ein Extremum ist? - Beim Eliminieren des Parameters musst du auch beachten, welche \(x\)-Werte wegen \(k\neq0\) überhaupt erreichbar sind. - Welche Ableitung liefert die Wendestelle, und wie kannst du sie hinreichend bestätigen?

1. Es gilt \(f_k'(x)=2kx-3x^2=x(2k-3x)\). Neben \(x=0\) liegt die stationäre Stelle \(x_E=\frac{2}{3}k\). Da \(f_k''(x)=2k-6x\) und \(f_k''\left(\frac{2}{3}k\right)=-2k\neq0\), liegt dort tatsächlich ein lokaler Extrempunkt. Sein Funktionswert ist \(f_k\left(\frac{2}{3}k\right)=\frac{4}{27}k^3\). 2. Aus \(x_E=\frac{2}{3}k\) folgt \(k=\frac{3}{2}x_E\). Damit ist \(y_E=\frac{4}{27}\left(\frac{3}{2}x_E\right)^3=\frac12x_E^3\). Wegen \(k\neq0\) gilt \(x_E\neq0\). Umgekehrt gehört zu jedem \(x\neq0\) der zulässige Parameter \(k=\frac32x\). Die genaue Ortskurve ist daher \(y=\frac12x^3\) mit \(x\neq0\). 3. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt \(x_W=\frac13k\). Wegen \(f_k'''(x)=-6\neq0\) liegt dort ein Wendepunkt. Somit \(\frac{x_E}{x_W}=\frac{\frac23k}{\frac13k}=2\).

1. \(E\left(\frac23k\mid\frac{4}{27}k^3\right)\) 2. \(y=\frac12x^3\) für \(x\neq0\) 3. \(x_W=\frac13k\) und \(\frac{x_E}{x_W}=2\)

- Wann hat der Parameter \(t\) keinen Einfluss auf das Ergebnis des Funktionsterms? - Welche Ableitungsregeln musst du kombinieren, um \(g_t'(x)\) zu bestimmen? - Denke daran, dass eine Tangente durch einen Punkt und eine Steigung eindeutig festgelegt ist. - Was musst du über die Steigung an der Stelle \(x=1\) zeigen, damit die Tangente für alle \(t\) gleich ist?

1. Ein Punkt ist für alle \(t\) identisch, wenn der Koeffizient von \(t\) null ist. Dies ist für \((x-1)^2 = 0\) der Fall, woraus \(x = 1\) folgt. 2. Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(g_t(1) = (t \cdot 0 + 1) \cdot e^1 = e\). Somit ist \(Q(1 \mid e)\) der gemeinsame Punkt. 3. Die Ableitung erfolgt mittels Produkt- und Kettenregel: \(g_t'(x) = 2t(x-1) \cdot e^x + (t(x-1)^2 + 1) \cdot e^x\). Vereinfacht ergibt dies \(g_t'(x) = e^x \cdot (2t(x-1) + t(x-1)^2 + 1)\). 4. Die Steigung im Punkt \(Q\) berechnet man durch \(g_t'(1) = e^1 \cdot (2t \cdot 0 + t \cdot 0 + 1) = e\). 5. Da alle Graphen durch den Punkt \(Q(1 \mid e)\) gehen und dort die Steigung \(m = e\) haben, ist die Tangente \(y = e(x-1) + e = ex\) für alle Graphen identisch.

Alle Graphen der Schar schneiden sich im Punkt \(Q(1 \mid e)\). Da die Steigung an dieser Stelle für jeden Parameter \(t\) den Wert \(e\) annimmt, haben sie dort die gemeinsame Tangente mit der Gleichung \(y = ex\).

- Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein Punkt unabhängig vom Parameter auf allen Graphen liegt? - Wann hat die Gleichung \(x^2 = k\) zwei von Null verschiedene Lösungen? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für lokale Extrema. - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du die \(x\)-Gleichung des Punktes nach dem Parameter auflösen und in die \(y\)-Gleichung einsetzen.

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f_k(0) = 0^3 - k \cdot 0 = 0\). Somit verlaufen alle Graphen durch den Ursprung \((0 \mid 0)\). Ein weiterer gemeinsamer Punkt müsste die Bedingung \(x^3 - kx = x^3 - mx\) für alle \(k, m\) erfüllen, was nur für \(x=0\) gilt. Es gibt also keine weiteren gemeinsamen Punkte. 2. Die Nullstellenformel \(x(x^2 - k) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{k}\). Damit drei verschiedene Nullstellen existieren, muss \(k > 0\) gelten (für \(k=0\) gibt es eine dreifache Nullstelle bei \(0\), für \(k < 0\) nur die einfache Nullstelle bei \(0\)). 3. Die erste Ableitung ist \(f_k'(x) = 3x^2 - k\). Nullsetzen ergibt \(x = \pm \sqrt{\frac{k}{3}}\). Die zweite Ableitung \(f_k''(x) = 6x\) ist an der Stelle \(x = \sqrt{\frac{k}{3}}\) positiv (da \(k > 0\)), dort liegt also der Tiefpunkt. Der \(y\)-Wert ist \(f_k(\sqrt{\frac{k}{3}}) = (\sqrt{\frac{k}{3}})^3 - k\sqrt{\frac{k}{3}} = \frac{k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}} - k\sqrt{\frac{k}{3}} = -\frac{2k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}}\). Somit ist \(T_k(\sqrt{\frac{k}{3}} \mid -\frac{2k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}})\). 4. Aus \(x = \sqrt{\frac{k}{3}}\) folgt durch Quadrieren \(x^2 = \frac{k}{3}\), also \(k = 3x^2\). Einsetzen von \(k\) in die \(y\)-Koordinate des Tiefpunktes: \(y = -\frac{2(3x^2)}{3} \cdot x = -2x^3\). Damit liegen alle Tiefpunkte auf dem Ast der Kurve \(y=-2x^3\) mit \(x>0\).

a) Alle Graphen gehen durch \((0 \mid 0)\); es gibt keine weiteren gemeinsamen Punkte. b) Genau drei verschiedene Nullstellen für \(k > 0\). c) \(T_k(\sqrt{\frac{k}{3}} \mid -\frac{2k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}})\) für \(k > 0\). d) Durch Einsetzen von \(k = 3x^2\) in den \(y\)-Wert erhält man die Ortskurve \(y=-2x^3\) mit \(x>0\).

- Wie findest du den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel mithilfe der Ableitung? - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du die \(x\)-Koordinate nach dem Parameter auflösen und in die \(y\)-Koordinate einsetzen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten \((x_1 \mid y_1)\) und \((x_2 \mid y_2)\) im Koordinatensystem? - Um den minimalen Abstand zu finden, kannst du die Abstandsfunktion (oder deren Quadrat) minimieren.

1. Zur Bestimmung des Scheitelpunktes wird die erste Ableitung \(f_k'(x) = 2kx - 1\) nullgesetzt: \(2kx - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2k}\). Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(f_k\left(\frac{1}{2k}\right) = k \cdot \left(\frac{1}{2k}\right)^2 - \frac{1}{2k} = \frac{1}{4k} - \frac{1}{2k} = -\frac{1}{4k}\). Somit ist \(S_k\left(\frac{1}{2k} \mid -\frac{1}{4k}\right)\). 2. Um die Ortskurve zu finden, wird \(x = \frac{1}{2k}\) nach \(k\) umgeformt: \(k = \frac{1}{2x}\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y = -\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2x}} = -\frac{x}{2}\). Dies entspricht der Geradengleichung \(y = -\frac{1}{2}x\). 3. Das Quadrat des Abstands eines Punktes \((x \mid -0{,}5x)\) auf der Geraden zum Punkt \(P(5 \mid 0)\) ist \(d^2(x) = (x - 5)^2 + (-0{,}5x - 0)^2 = x^2 - 10x + 25 + 0{,}25x^2 = 1{,}25x^2 - 10x + 25\). Das Minimum dieser quadratischen Funktion liegt beim Scheitelpunkt bei \(x = \frac{-(-10)}{2 \cdot 1{,}25} = 4\). 4. Mit \(x = 4\) ergibt sich \(y = -0{,}5 \cdot 4 = -2\). Der gesuchte Scheitelpunkt ist \(S(4 \mid -2)\). Der zugehörige Parameter ist \(k = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}\).

a) \(S_k\left(\frac{1}{2k} \mid -\frac{1}{4k}\right)\) b) Einsetzen von \(k = \frac{1}{2x}\) in \(y = -\frac{1}{4k}\) ergibt \(y = -\frac{1}{2}x\). c) Der Scheitelpunkt mit minimalem Abstand ist \(S(4 \mid -2)\) für \(k = \frac{1}{8}\).

- Was ist die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines lokalen Extrempunktes? - Wie kannst du die Koordinaten eines Extrempunktes in Abhängigkeit vom Parameter ausdrücken? - Versuche, die Gleichung der ersten Ableitung so umzustellen, dass du den Parameter durch die Variable \(x\) ersetzen kannst. - Was passiert, wenn du diesen Ausdruck für den Parameter in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzt?

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = x^3 - 2kx\) und \(f_k''(x) = 3x^2 - 2k\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_k'(x) = 0 \Rightarrow x(x^2 - 2k) = 0\). 3. Für \(k > 0\) ergeben sich die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{2k}\). 4. Überprüfung der Art der Extrema: Für \(k>0\) und \(x_{2,3}=\pm\sqrt{2k}\) gilt \(f_k''(\pm \sqrt{2k}) = 3(2k) - 2k = 4k > 0\). Es handelt sich also um Tiefpunkte. Für \(k<0\) gilt \(f_k(x)=\frac14x^4+|k|x^2\ge0\), also ist \(x=0\) der einzige Tiefpunkt. Für \(k=0\) ist der Test mit der zweiten Ableitung zwar nicht entscheidend, aber \(f_0(x)=\frac14x^4\ge0\); daher ist auch dann \(T(0\mid0)\) ein Tiefpunkt. 5. Parameter \(k\) nach \(x\) auflösen: Aus \(x^2 = 2k\) folgt \(k = \frac{1}{2}x^2\). 6. Einsetzen von \(k\) in die Funktionsgleichung: \(y = \frac{1}{4}x^4 - (\frac{1}{2}x^2) \cdot x^2 = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^4 = -\frac{1}{4}x^4\). Für \(k>0\) entstehen alle Punkte dieser Kurve mit \(x\ne0\); für \(k\le0\) kommt der Punkt \((0\mid0)\) hinzu. Insgesamt lautet die Ortslinie \(y=-\frac14x^4\).

\(y = -\frac{1}{4}x^4\)

- Wann genau berührt ein Funktionsgraph die \(x\)-Achse? Überlege, welche Bedingungen für den Funktionswert und die Steigung an dieser Stelle gelten müssen. - Wie gehst du vor, um die Extrema einer Funktion mit einem Parameter zu bestimmen? Behandle den Parameter dabei wie eine feste Zahl. - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du die \(x\)-Koordinate des Punktes nach dem Parameter umstellen und diesen Ausdruck in die Gleichung für die \(y\)-Koordinate einsetzen.

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 3x^2 - 3a^2\) und \(f_a''(x) = 6x\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_a'(x) = 0 \Rightarrow 3(x^2 - a^2) = 0 \Rightarrow x_1 = a, x_2 = -a\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f_a''(a) = 6a \neq 0\) und \(f_a''(-a) = -6a \neq 0\) (da \(a \neq 0\)). Es liegen zwei lokale Extrema vor. 4. Funktionswert an \(x_1 = a\): \(f_a(a) = a^3 - 3a^2 \cdot a + 2a^3 = a^3 - 3a^3 + 2a^3 = 0\). Da \(f_a(a) = 0\) und \(f_a'(a) = 0\), berührt der Graph die \(x\)-Achse im Punkt \(E_1(a \mid 0)\). 5. Koordinaten des zweiten Extrempunkts \(E_2\) bei \(x_2 = -a\): \(y_2 = f_a(-a) = (-a)^3 - 3a^2(-a) + 2a^3 = -a^3 + 3a^3 + 2a^3 = 4a^3\). Der Punkt ist \(E_2(-a \mid 4a^3)\). 6. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = -a\) folgt \(a = -x\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y = 4(-x)^3 = -4x^3\).

a) Die Extrema liegen bei \(x = \pm a\). Da \(f_a(a) = 0\) und \(f_a'(a) = 0\), berührt der Graph die \(x\)-Achse im Punkt \((a \mid 0)\). b) Die Ortskurve der anderen Extrempunkte \(E_2(-a \mid 4a^3)\) ist \(y = -4x^3\).

- Wie kannst du rechnerisch zeigen, dass ein Punkt unabhängig vom Parameter auf allen Graphen liegt? - Welche Ableitungen benötigst du, um die Art eines Extrempunktes zu bestimmen? - Was ist das besondere Merkmal eines Sattelpunktes im Vergleich zu anderen Extrempunkten oder Wendepunkten? - Welche Bedingung muss für die Existenz eines Wendepunkts erfüllt sein?

1. Berechnung der gemeinsamen Punkte durch Gleichsetzen zweier Scharfunktionen \(f_a(x) = f_b(x)\) für \(a \neq b\): \(\frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 + ax - x = \frac{1}{3}x^3 - \frac{b}{2}x^2 + bx - x \implies \frac{b-a}{2}x^2 + (a-b)x = 0 \implies \frac{b-a}{2}(x^2 - 2x) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Einsetzen in \(f_a(x)\) ergibt \(f_a(0) = 0\) und \(f_a(2) = \frac{8}{3} - 2a + 2a - 2 = \frac{2}{3}\). Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(2 \mid \frac{2}{3})\). 2. Bestimmung von \(a\) für einen Extrempunkt bei \(x=4\): Die notwendige Bedingung \(f_a'(4) = 0\) mit \(f_a'(x) = x^2 - ax + a - 1\) führt zu \(16 - 4a + a - 1 = 0 \implies 15 - 3a = 0 \implies a = 5\). Prüfung der hinreichenden Bedingung mit \(f_5''(x) = 2x - 5\): \(f_5''(4) = 2 \cdot 4 - 5 = 3 > 0\). Es liegt ein lokales Minimum vor. 3. Untersuchung auf einen Sattelpunkt: Ein Sattelpunkt erfordert \(f_a'(x) = 0\) und \(f_a''(x) = 0\) bei gleichzeitigem \(f_a'''(x) \neq 0\). Aus \(f_a''(x) = 2x - a = 0\) folgt \(x = \frac{a}{2}\). Einsetzen in \(f_a'(x)\) ergibt \((\frac{a}{2})^2 - a(\frac{a}{2}) + a - 1 = -\frac{a^2}{4} + a - 1 = 0 \implies a^2 - 4a + 4 = 0 \implies (a-2)^2 = 0\), also \(a = 2\). Da \(f_2'''(1) = 2 \neq 0\), hat der Graph für \(a=2\) an der Stelle \(x=1\) einen Sattelpunkt. 4. Nachweis des Wendepunkts: Die zweite Ableitung \(f_a''(x) = 2x - a\) ist eine lineare Funktion mit der einzigen Nullstelle \(x = \frac{a}{2}\). Da die dritte Ableitung \(f_a'''(x) = 2\) für alle \(x\) ungleich Null ist, existiert für jedes \(a\) genau ein Wendepunkt.

a) Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(2 \mid \frac{2}{3})\). b) Für \(a = 5\) liegt an der Stelle \(x = 4\) ein lokales Minimum vor. c) Der Graph besitzt für \(a = 2\) einen Sattelpunkt (an der Stelle \(x = 1\)). d) Da \(f_a''(x) = 2x - a\) für jedes \(a\) genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt (wegen \(f_a'''(x) = 2 \neq 0\)), hat jeder Graph genau einen Wendepunkt.

- Wie lautet die Formel für die Ableitung eines Bruchs? - Überlege dir, welcher der beiden kritischen Punkte ein Maximum und welcher ein Minimum ist. - Um eine Ortskurve zu finden, musst du den Parameter \(k\) aus den Koordinaten eliminieren. - Kannst du die Gleichung für \(x\) nach \(k\) auflösen und in die Gleichung für \(y\) einsetzen?

1. Anwendung der Quotientenregel mit \(u(x) = x\) (\(u' = 1\)) und \(v(x) = x^2 + k\) (\(v' = 2x\)): \(g_k'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + k) - x \cdot (2x)}{(x^2 + k)^2} = \frac{k - x^2}{(x^2 + k)^2}\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(k - x^2 = 0 \implies x^2 = k \implies x = \pm \sqrt{k}\). Da \(k > 0\), existieren zwei Stellen. Für den Hochpunkt betrachten wir den Vorzeichenwechsel von \(g_k'\). Bei \(x = \sqrt{k}\) wechselt \(g_k'\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein Hochpunkt. Einsetzen in \(g_k(x)\): \(y = \frac{\sqrt{k}}{(\sqrt{k})^2 + k} = \frac{\sqrt{k}}{2k} = \frac{1}{2\sqrt{k}}\). Der Hochpunkt ist \(H_k(\sqrt{k} \mid \frac{1}{2\sqrt{k}})\). 3. Zur Bestimmung der Ortskurve setze \(x = \sqrt{k}\). Daraus folgt \(k = x^2\) (für \(x > 0\)). Setze dies in die \(y\)-Koordinate ein: \(y = \frac{1}{2x}\). Die Gleichung der Ortskurve lautet \(y = \frac{1}{2x}\) für \(x > 0\).

1. \(g_k'(x) = \frac{k - x^2}{(x^2 + k)^2}\) 2. \(H_k(\sqrt{k} \mid \frac{1}{2\sqrt{k}})\) 3. \(y = \frac{1}{2x}\) (mit \(x > 0\))

- Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle \(x = 0\)? - Denk beim Ableiten an die Verknüpfung der Terme und die innere Ableitung des Exponenten. - Wie hängen die \(x\)-Koordinate und die \(y\)-Koordinate des Hochpunkts zusammen?

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt für alle \(t\): \(f_t(0) = 0 \cdot e^1 = 0\). Da die Gleichung \(x \cdot e^{1 - \frac{x}{t}} = x \cdot e^{1 - \frac{x}{s}}\) für \(t \neq s\) nur die Lösung \(x = 0\) besitzt, ist \(P(0 \mid 0)\) der einzige gemeinsame Punkt. 2. Erste Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel bilden: \(f_t'(x) = 1 \cdot e^{1 - \frac{x}{t}} + x \cdot e^{1 - \frac{x}{t}} \cdot \left(-\frac{1}{t}\right) = e^{1 - \frac{x}{t}} \cdot \left(1 - \frac{x}{t}\right)\). 3. Notwendige Bedingung \(f_t'(x) = 0\) führt zu \(1 - \frac{x}{t} = 0\), also \(x = t\). 4. Zweite Ableitung prüfen: \(f_t''(x) = -\frac{1}{t} \cdot e^{1 - \frac{x}{t}} \cdot \left(2 - \frac{x}{t}\right)\). Einsetzen ergibt \(f_t''(t) = -\frac{1}{t} \cdot e^0 \cdot (2 - 1) = -\frac{1}{t}\). Wegen \(t > 0\) ist \(f_t''(t) < 0\), somit liegt ein Hochpunkt vor. 5. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_t(t) = t \cdot e^{1 - \frac{t}{t}} = t \cdot e^0 = t\). Der Hochpunkt ist \(H_t(t \mid t)\). 6. Aus \(x = t\) und \(y = t\) folgt durch Gleichsetzen der Zusammenhang \(y = x\). Da \(t>0\) gilt, ist die Ortskurve der Teil der Geraden \(y=x\) mit \(x>0\).

a) Gemeinsamer Punkt: \(P(0 \mid 0)\) b) Hochpunkt: \(H_t(t \mid t)\) c) Ortskurve: \(y=x\) mit \(x>0\)

- Wann sind zwei Wurzelterme mit unterschiedlichen Parametern identisch? - Was muss für den Zähler der Ableitung gelten, damit die Steigung null ist? - Kannst du die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts nach \(k\) auflösen und in die \(y\)-Koordinate einsetzen?

1. Gemeinsame Punkte durch Gleichsetzen zweier Scharfunktionen \(f_k(x) = f_m(x)\) ermitteln: \(\sqrt{kx - \frac{1}{4}x^2} = \sqrt{mx - \frac{1}{4}x^2} \Rightarrow kx = mx\). Dies ist für \(k \neq m\) nur für \(x = 0\) erfüllt. Einsetzen ergibt \(f_k(0) = 0\), also ist der Ursprung \(O(0 \mid 0)\) der gemeinsame Punkt. 2. Erste Ableitung mit der Kettenregel berechnen: \(f_k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{kx - \frac{1}{4}x^2}} \cdot (k - \frac{1}{2}x)\). 3. Die Bedingung \(f_k'(x) = 0\) erfordert \(k - \frac{1}{2}x = 0\), woraus \(x = 2k\) folgt. 4. Da der Radikand eine nach unten geöffnete Parabel ist, liegt an der Stelle des lokalen Maximums des Radikands (\(x = 2k\)) auch das Maximum der Wurzelfunktion vor. 5. \(y\)-Koordinate bestimmen: \(f_k(2k) = \sqrt{k \cdot (2k) - \frac{1}{4}(2k)^2} = \sqrt{2k^2 - k^2} = \sqrt{k^2} = k\) (da \(k > 0\)). Der Hochpunkt ist \(H_k(2k \mid k)\). 6. Zusammenhang zwischen \(x = 2k\) und \(y = k\) herstellen: \(k = \frac{x}{2}\). Einsetzen in \(y = k\) ergibt die Geradengleichung \(y = \frac{1}{2}x\).

a) Gemeinsamer Punkt: \(O(0 \mid 0)\) b) Hochpunkt: \(H_k(2k \mid k)\) c) Geradengleichung: \(y = \frac{1}{2}x\)

- Setze zwei Funktionen mit unterschiedlichen Parametern gleich, um gemeinsame Punkte zu finden. - Nutze die Produkt- und Kettenregel für die Ableitungen. - Beachte, dass der Parameter \(k\) als konstant betrachtet wird, wenn du nach \(x\) ableitest. - Für die Ortskurve musst du die \(x\)-Gleichung des Hochpunkts nach dem Parameter auflösen und in die \(y\)-Gleichung einsetzen.

1. Gemeinsame Punkte: Ansatz \(f_{k_1}(x) = f_{k_2}(x)\) für \(k_1 \neq k_2\). \(x^2 \cdot e^{-k_1 x} = x^2 \cdot e^{-k_2 x} \Rightarrow x^2 (e^{-k_1 x} - e^{-k_2 x}) = 0\). Die Lösung \(x=0\) führt zum Punkt \(P(0 \mid 0)\). Für \(x \neq 0\) müsste \(e^{-k_1 x} = e^{-k_2 x}\) gelten, was nur für \(k_1 = k_2\) möglich ist. Einziger gemeinsamer Punkt ist der Ursprung. 2. Extrempunkte: Ableitungen bilden. \(f_k'(x) = 2x e^{-kx} - kx^2 e^{-kx} = x(2 - kx)e^{-kx}\). Nullstellen der ersten Ableitung: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{2}{k}\). Zweite Ableitung: \(f_k''(x) = (k^2x^2 - 4kx + 2)e^{-kx}\). \(f_k''(0) = 2 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\). \(f_k''(\frac{2}{k}) = (4 - 8 + 2)e^{-2} = -2e^{-2} < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt \(H\left(\frac{2}{k} \mid \frac{4}{k^2 e^2}\right)\). 3. Ortskurve der Hochpunkte: Aus \(x = \frac{2}{k}\) folgt \(k = \frac{2}{x}\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate: \(y = \frac{4}{(\frac{2}{x})^2 e^2} = \frac{4}{\frac{4}{x^2} e^2} = \frac{x^2}{e^2}\). Die Ortskurve ist die Parabel mit der Gleichung \(y = \frac{1}{e^2} x^2\) für \(x > 0\).

a) Einziger gemeinsamer Punkt ist \(P(0 \mid 0)\). b) Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\); Hochpunkt \(H\left(\frac{2}{k} \mid \frac{4}{k^2 e^2}\right)\). c) Die Ortskurve der Hochpunkte ist \(y = \frac{1}{e^2} x^2\) für \(x > 0\).

- Erinnere dich daran, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) für \(x \to -\infty\) schneller gegen Null geht als jede Potenz von \(x\) gegen Unendlich. - Verwende die Produktregel: \((u \cdot v)' = u'v + uv'\). - Um eine Ortskurve zu finden, eliminiere den Parameter \(a\) aus dem Gleichungssystem für \(x\) und \(y\).

1. Grenzwerte: Für \(x \to \infty\) dominiert die Exponentialfunktion, während \((a-x) \to -\infty\), also \(g_a(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(e^x \to 0\) stärker als \((a-x) \to \infty\), also \(g_a(x) \to 0\). 2. Ableitungen: \(g_a'(x) = -1 \cdot e^x + (a-x) \cdot e^x = (a - 1 - x)e^x\). \(g_a''(x) = -1 \cdot e^x + (a - 1 - x)e^x = (a - 2 - x)e^x\). Extrempunkt: \(g_a'(x) = 0 \Rightarrow x_H = a - 1\). Da \(g_a''(a-1) = -e^{a-1} < 0\), liegt ein Hochpunkt vor: \(H(a-1 \mid e^{a-1})\). Wendepunkt: \(g_a''(x) = 0 \Rightarrow x_W = a - 2\). Da die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor: \(W(a-2 \mid 2e^{a-2})\). 3. Ortskurven: Hochpunkte: \(x = a-1 \Rightarrow a = x+1\). Einsetzen in \(y = e^{a-1} \Rightarrow y = e^x\). Wendepunkte: \(x = a-2 \Rightarrow a = x+2\). Einsetzen in \(y = 2e^{a-2} \Rightarrow y = 2e^x\).

a) \(\lim_{x \to \infty} g_a(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} g_a(x) = 0\). b) Hochpunkt \(H(a-1 \mid e^{a-1})\); Wendepunkt \(W(a-2 \mid 2e^{a-2})\). c) Ortskurve der Hochpunkte: \(y = e^x\); Ortskurve der Wendepunkte: \(y = 2e^x\).

- Verwende die Produktregel für die erste und zweite Ableitung. - Wie hängen die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten des Tiefpunkts zusammen, wenn du den Parameter eliminierst? - Gibt es einen Wert für \(x\), bei dem der Ausdruck \((x-k)e^x\) für jedes beliebige \(k\) denselben Wert annimmt?

1. Nullstelle: \(x - k = 0 \Rightarrow x_N = k\). Ableitungen: \(f_k'(x) = 1 \cdot e^x + (x - k) e^x = e^x(x - k + 1)\) und \(f_k''(x) = e^x(x - k + 1) + e^x = e^x(x - k + 2)\). Extremstelle: \(x - k + 1 = 0 \Rightarrow x_E = k - 1\). Überprüfung: \(f_k''(k - 1) = e^{k-1}(k - 1 - k + 2) = e^{k-1} > 0\), also liegt ein Tiefpunkt vor. Funktionswert: \(f_k(k - 1) = (k - 1 - k) e^{k-1} = -e^{k-1}\). Tiefpunkt: \(T(k - 1 \mid -e^{k-1})\). 2. Es gilt \(x = k - 1\) und \(y = -e^{k-1}\). Aus der ersten Gleichung folgt \(k = x + 1\). Einsetzen in die zweite Gleichung liefert die Ortskurve \(y = -e^{(x+1)-1} = -e^x\). 3. Gemeinsame Punkte: \(f_k(x) = f_m(x) \Rightarrow (x - k) e^x = (x - m) e^x\). Division durch \(e^x \neq 0\) ergibt \(x - k = x - m\), was zu \(-k = -m\) bzw. \(k = m\) führt. Da \(k \neq m\) vorausgesetzt wird, gibt es keine gemeinsamen Punkte.

1. Nullstelle bei \(x = k\); Tiefpunkt bei \(T(k - 1 \mid -e^{k-1})\). 2. Ortskurve: \(y = -e^x\). 3. Es gibt keine gemeinsamen Punkte für verschiedene \(k\).

- Welche Bedingung muss für eine Nullstelle erfüllt sein? - Denk beim Ableiten an die Produktregel und die Ableitung der Logarithmusfunktion. - Wie hängen die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten der Hochpunkte zusammen, wenn du den Parameter \(k\) eliminierst? - Setze zwei Funktionsgleichungen mit unterschiedlichen Parametern gleich, um nach gemeinsamen Schnittpunkten zu suchen.

1. Nullstellenberechnung: Ansatz \(f_k(x) = 0\). Da \(x > 0\), folgt \(k - \ln(x) = 0\), also \(\ln(x) = k\). Die Nullstelle liegt bei \(x = e^k\). 2. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 2x(k - \ln(x)) + x^2(-\frac{1}{x}) = 2kx - 2x\ln(x) - x = x(2k - 1 - 2\ln(x))\). 3. Extrempunkt bestimmen: \(f_k'(x) = 0\) liefert für \(x > 0\) die Bedingung \(2k - 1 - 2\ln(x) = 0\), woraus \(\ln(x) = k - 0{,}5\) und somit \(x = e^{k-0{,}5}\) folgt. Die zweite Ableitung \(f_k''(x) = 2k - 3 - 2\ln(x)\) ergibt an dieser Stelle \(f_k''(e^{k-0{,}5}) = -2 < 0\), was den Hochpunkt bestätigt. 4. Koordinaten des Hochpunkts: \(y = (e^{k-0{,}5})^2 \cdot (k - (k - 0{,}5)) = 0{,}5 e^{2k-1}\). Somit ist \(H_k(e^{k-0{,}5} \mid 0{,}5 e^{2k-1})\). 5. Ortskurve: Aus \(x = e^{k-0{,}5}\) folgt \(x^2 = e^{2k-1}\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y=0{,}5x^2\). Wegen \(x=e^{k-0{,}5}>0\) gehört nur der Ast mit \(x>0\) zur Ortskurve. 6. Gemeinsame Punkte: Der Ansatz \(f_{k_1}(x) = f_{k_2}(x)\) führt auf \(x^2 k_1 = x^2 k_2\), was für \(k_1 \neq k_2\) nur die Lösung \(x = 0\) besitzt. Da \(x = 0\) nicht im Definitionsbereich liegt, gibt es keine gemeinsamen Punkte.

a) Nullstelle bei \(x = e^k\). b) Hochpunkt \(H_k(e^{k-0{,}5} \mid 0{,}5 e^{2k-1})\); Ortskurve \(y=0{,}5x^2\) mit \(x>0\). c) Es gibt keine gemeinsamen Punkte für \(x > 0\).

- Wie bestimmst du die erste Ableitung einer Funktion mit einem Parameter? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extrempunkts aus? - Um die Ortskurve zu finden, kannst du die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts nach dem Parameter auflösen und in die \(y\)-Koordinate einsetzen. - Wenn ein Punkt auf allen Graphen liegt, muss sein Funktionswert unabhängig vom gewählten Parameter \(a\) sein.

1. Ableitung berechnen: \(f_a'(x) = \frac{a}{x} - 1\). 2. Extremstelle bestimmen: \(f_a'(x) = 0 \implies \frac{a}{x} = 1 \implies x = a\). Da \(f_a''(x) = -\frac{a}{x^2} < 0\) für alle \(x > 0\) und \(a > 0\), liegt ein Maximum vor. 3. Koordinaten des Hochpunkts: Einsetzen von \(x = a\) in \(f_a(x)\) ergibt \(y = a \ln(a) - a\). Also \(H_a(a \mid a \ln(a) - a)\). 4. Ortskurve nachweisen: Da für den Hochpunkt \(x = a\) gilt, ersetzt man in der \(y\)-Koordinate \(a\) durch \(x\). Dies ergibt \(y = x \ln(x) - x\), was der Funktionsgleichung von \(g(x)\) entspricht. 5. Gemeinsamer Punkt: Der Ansatz \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x)\) führt zu \(a_1 \ln(x) - x = a_2 \ln(x) - x\), also \((a_1 - a_2) \ln(x) = 0\). Für \(a_1 \neq a_2\) folgt \(\ln(x) = 0\), also \(x = 1\). 6. \(y\)-Koordinate des Schnittpunkts: \(f_a(1) = a \ln(1) - 1 = -1\). Der gemeinsame Punkt ist \(S(1 \mid -1)\).

a) \(H_a(a \mid a \ln(a) - a)\). b) Nachweis durch Einsetzen von \(x = a\) in die \(y\)-Koordinate des Hochpunkts. c) Gemeinsamer Punkt \(S(1 \mid -1)\).

- Wie lautet die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt? - Denk an die Produkt- und Kettenregel beim Ableiten. - Um eine Ortslinie zu finden, kannst du die x-Gleichung nach dem Parameter auflösen und in die y-Gleichung einsetzen.

1. Es gilt \(f_t'(x)=(1+tx)e^{tx}\) und \(f_t''(x)=(2t+t^2x)e^{tx}\). 2. Aus \(f_t''(x)=0\) folgt \(x_W=-\frac{2}{t}\). Die dritte Ableitung lautet \(f_t'''(x)=(3t^2+t^3x)e^{tx}\), also \(f_t'''\left(-\frac{2}{t}\right)=t^2e^{-2}\neq0\). Damit liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor. 3. Es ist \(f_t\left(-\frac{2}{t}\right)=-\frac{2}{te^2}\). Somit gilt \(W_t\left(-\frac{2}{t}\mid-\frac{2}{te^2}\right)\). 4. Aus \(x=-\frac{2}{t}\) folgt \(t=-\frac{2}{x}\). In der \(y\)-Koordinate ergibt sich \(y=\frac{1}{e^2}x\).

a) \(W_t\left(-\frac{2}{t} \mid -\frac{2}{te^2}\right)\) b) Die Wendepunkte liegen auf der Geraden \(y = \frac{1}{e^2}x\).

- Denk beim Ableiten an die Kettenregel für den Term mit \(e^{2x}\). - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(e^{2x} = c\) nach \(x\) auflösen? - Betrachte das Vorzeichen der zweiten Ableitung. Was bedeutet ein stets gleiches Vorzeichen für die Existenz von Wendepunkten? - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer Geraden liegen, kannst du versuchen, die \(y\)-Koordinate direkt durch die \(x\)-Koordinate auszudrücken.

1. Ableitungen berechnen: \(g_a'(x) = 1 - 2ae^{2x}\) und \(g_a''(x) = -4ae^{2x}\). 2. Extrema bestimmen: \(g_a'(x) = 0 \Rightarrow 2ae^{2x} = 1 \Rightarrow e^{2x} = \frac{1}{2a} \Rightarrow 2x = \ln\left(\frac{1}{2a}\right) \Rightarrow x_H = -\frac{1}{2}\ln(2a)\). 3. Art des Extremums: Da \(a > 0\) und \(e^{2x} > 0\), ist \(g_a''(x) = -4ae^{2x}\) für alle \(x\) stets negativ. Somit liegt überall eine Rechtskrümmung vor und bei \(x_H\) existiert ein lokales Maximum. 4. \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(g_a(x_H) = x_H - a \cdot e^{2x_H} = x_H - a \cdot \frac{1}{2a} = x_H - 0{,}5\). 5. Ortslinie: Da die \(y\)-Koordinate jedes Hochpunkts durch \(y = x_H - 0{,}5\) gegeben ist, liegen alle Hochpunkte auf der Geraden \(y = x - 0{,}5\). 6. Wendepunkte: Die notwendige Bedingung \(g_a''(x) = 0\) führt auf \(-4ae^{2x} = 0\). Da \(a > 0\) und die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, besitzt die Gleichung keine Lösung. Es existieren keine Wendepunkte.

a) Jede Funktion der Schar besitzt den Hochpunkt \(H_a\left(-\frac{1}{2}\ln(2a) \mid -\frac{1}{2}\ln(2a)-\frac{1}{2}\right)\). b) Alle Hochpunkte liegen auf der Geraden \(y=x-0{,}5\). c) Da \(g_a''(x)=-4ae^{2x}<0\) für alle \(x\) gilt, gibt es keine Wendepunkte.

- Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von Funktionen mit \(e\)-Termen. - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du die Art eines Extrempunkts (Hochpunkt oder Tiefpunkt) mathematisch nachweisen? - Um eine Kurvengleichung für Punkte zu finden, kannst du versuchen, den Parameter \(a\) aus den Koordinatengleichungen zu eliminieren.

1. Berechnung der ersten Ableitung mittels Produktregel: \(f_a'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x + a) \cdot (-e^{-x}) = (1 - a - x) \cdot e^{-x}\). 2. Bestimmung der Nullstelle der Ableitung: Da \(e^{-x} > 0\) für alle \(x\), folgt aus \(1 - a - x = 0\) die einzige Stelle \(x_E = 1 - a\). 3. Überprüfung der Art des Extrempunkts: Die zweite Ableitung \(f_a''(x) = (x + a - 2) \cdot e^{-x}\) ergibt an der Stelle \(x_E\) den Wert \(f_a''(1 - a) = (1 - a + a - 2) \cdot e^{-(1-a)} = -1 \cdot e^{a-1}\). Da dieser Wert stets negativ ist, liegt ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Maximums: \(y_E = f_a(1 - a) = (1 - a + a) \cdot e^{-(1-a)} = e^{a-1}\). 5. Bestimmung der Ortskurve: Aus \(x = 1 - a\) folgt \(a = 1 - x\). Einsetzen in die Gleichung für \(y_E\) liefert \(y = e^{(1-x)-1} = e^{-x}\).

a) Jede Funktion besitzt genau ein lokales Maximum bei \(H_a(1-a \mid e^{a-1})\). b) Die Maxima liegen auf der Kurve mit der Gleichung \(y = e^{-x}\).

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion zu berechnen, die einen Parameter enthält? - Nutze die Rechenregeln für Logarithmen, um Ausdrücke wie \(e^{-\ln(k)}\) zu vereinfachen. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extrempunkts aus? - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer Geraden liegen, kannst du prüfen, ob ihre Koordinaten die Geradengleichung erfüllen.

1. Erste Ableitung bilden: \(g_k'(x) = ke^x - 1\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(ke^x - 1 = 0 \iff e^x = \frac{1}{k} \iff x = \ln\left(\frac{1}{k}\right) = -\ln(k)\). Da \(k > 0\), ist der Logarithmus definiert und liefert genau eine Stelle \(x_E = -\ln(k)\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g_k''(x) = ke^x\). Da \(k > 0\) und \(e^x > 0\), ist \(g_k''(x) > 0\) für alle \(x\), woraus folgt, dass bei \(x_E\) immer ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vorliegt. 4. \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts berechnen: \(y_E = g_k(-\ln(k)) = k \cdot e^{-\ln(k)} - (-\ln(k)) = k \cdot \frac{1}{k} + \ln(k) = 1 + \ln(k)\). 5. Nachweis der Lage auf der Geraden: Da \(x = -\ln(k)\), gilt \(\ln(k) = -x\). Einsetzen in \(y_E = 1 + \ln(k)\) ergibt \(y = 1 - x\). Damit liegen alle Tiefpunkte auf der Geraden \(y = 1 - x\).

a) Jede Funktion hat die einzige Extremstelle \(x = -\ln(k)\), an der wegen \(g_k''(x) > 0\) ein Tiefpunkt liegt. b) Die Koordinaten der Tiefpunkte erfüllen die Gleichung \(y = 1 - x\), da \(y_E = 1 + \ln(k)\) und \(x_E = -\ln(k)\) zu \(y_E = 1 - x_E\) führt.

- Untersuche, ob die Funktion gerade oder ungerade ist. - Denk daran, beim Ableiten die Produkt- und Kettenregel anzuwenden. - Für die Ortskurve musst du den Parameter aus der Gleichung für die x-Koordinate eliminieren und in die y-Koordinate einsetzen. - Skizziere die Lage der Punkte im Koordinatensystem, um die Formel für die Dreiecksfläche anwenden zu können.

1. Symmetrie: Wegen \(f_k(-x) = (-x)^2 \cdot e^{-k(-x)^2} = x^2 \cdot e^{-kx^2} = f_k(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Schnittpunkte: Der einzige Schnittpunkt mit beiden Achsen liegt im Ursprung \(O(0 \mid 0)\), da \(x^2 \cdot e^{-kx^2} = 0\) nur für \(x=0\) gilt. 3. Extrempunkte: Die erste Ableitung lautet \(f_k'(x) = 2x \cdot e^{-kx^2} + x^2 \cdot (-2kx) \cdot e^{-kx^2} = 2x(1 - kx^2) \cdot e^{-kx^2}\). Nullstellen von \(f_k'\) sind \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}\). Da \(f_k(x) \ge 0\) und \(f_k(x) \to 0\) für \(x \to \pm \infty\), ist \(T(0 \mid 0)\) ein lokaler Tiefpunkt und \(H_1\left(-\frac{1}{\sqrt{k}} \mid \frac{1}{ek}\right)\) sowie \(H_2\left(\frac{1}{\sqrt{k}} \mid \frac{1}{ek}\right)\) sind lokale Hochpunkte. 4. Ortskurve: Aus \(x = \frac{1}{\sqrt{k}}\) folgt \(k = \frac{1}{x^2}\). Einsetzen in den \(y\)-Wert \(y = \frac{1}{ek}\) ergibt \(y = \frac{x^2}{e}\). Die Ortskurve ist die Parabel mit der Gleichung \(y = \frac{1}{e}x^2\) (für \(x \neq 0\)). 5. Dreiecksfläche: Das Dreieck hat die Grundseite \(g = x_{H2} - x_{H1} = \frac{2}{\sqrt{k}}\) und die Höhe \(h = y_H = \frac{1}{ek}\). Der Flächeninhalt ist \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{k}} \cdot \frac{1}{ek} = \frac{1}{ek\sqrt{k}} = \frac{1}{e \cdot k^{3/2}}\). 6. Bestimmung von \(k\): Die Bedingung \(A(k) = \frac{1}{e}\) führt auf \(\frac{1}{e \cdot k^{3/2}} = \frac{1}{e} \implies k^{3/2} = 1 \implies k = 1\).

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; Schnittpunkt \(O(0 \mid 0)\). b) Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\); Hochpunkte \(H_{1,2}\left(\pm \frac{1}{\sqrt{k}} \mid \frac{1}{ek}\right)\). c) Ortskurve: \(y = \frac{1}{e}x^2\) (für \(x \neq 0\)). d) \(A(k) = \frac{1}{e \cdot k\sqrt{k}}\); die Fläche beträgt \(\frac{1}{e}\) für \(k = 1\).

- Was sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für das Vorliegen eines Extrempunktes? - Wie kannst du den Funktionsterm vereinfachen, um die Ableitungen leichter zu berechnen? - Was bedeutet es rechnerisch, wenn Punkte auf einer „Ortslinie“ liegen? - Wie kannst du den Parameter \(a\) aus den Koordinatengleichungen eliminieren, um einen Zusammenhang zwischen \(x\) und \(y\) zu erhalten?

1. Ableitungen bilden: \(f_a(x) = x + 2a + 4a^2x^{-1}\), \(f_a'(x) = 1 - \frac{4a^2}{x^2}\) und \(f_a''(x) = \frac{8a^2}{x^3}\). 2. Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\): \(1 = \frac{4a^2}{x^2} \implies x^2 = 4a^2 \implies x_1 = 2a, x_2 = -2a\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: Da \(a > 0\), ist \(f_a''(2a) = \frac{8a^2}{8a^3} = \frac{1}{a} > 0\) (Tiefpunkt) und \(f_a''(-2a) = -\frac{1}{a} < 0\) (Hochpunkt). 4. Koordinaten berechnen: \(f_a(2a) = \frac{(2a)^2 + 2a(2a) + 4a^2}{2a} = \frac{12a^2}{2a} = 6a \implies T(2a \mid 6a)\). \(f_a(-2a) = \frac{(-2a)^2 + 2a(-2a) + 4a^2}{-2a} = \frac{4a^2 - 4a^2 + 4a^2}{-2a} = -2a \implies H(-2a \mid -2a)\). 5. Ortslinie der Tiefpunkte: Aus \(x = 2a\) folgt \(a = \frac{x}{2}\). Einsetzen in \(y = 6a\) ergibt \(y = 6 \cdot \frac{x}{2} = 3x\). Wegen \(a > 0\) gilt \(x > 0\). 6. Ortslinie der Hochpunkte: Aus \(x = -2a\) folgt \(a = -\frac{x}{2}\). Einsetzen in \(y = -2a\) ergibt \(y = -2 \cdot (-\frac{x}{2}) = x\). Wegen \(a > 0\) gilt \(x < 0\).

a) Tiefpunkt \(T(2a \mid 6a)\), Hochpunkt \(H(-2a \mid -2a)\). b) Die Ortslinie der Tiefpunkte ist die Gerade \(y = 3x\) für \(x > 0\). c) Die Ortslinie der Hochpunkte ist die Gerade \(y = x\) für \(x < 0\).

- Welche Bedingungen müssen für einen Hochpunkt erfüllt sein? - Stelle die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts nach \(k\) um. - Setze diesen Ausdruck für \(k\) in die Gleichung der \(y\)-Koordinate ein. - Überlege dir, für welchen Bereich von \(x\) die Kurve existiert, basierend auf der Bedingung für \(k\).

1. Ableitungen bestimmen: \(f_k'(x) = x^2 - k^2\) und \(f_k''(x) = 2x\). 2. Extremstellen finden: \(f_k'(x) = 0 \implies x^2 = k^2 \implies x = \pm k\). 3. Art der Extrema prüfen: \(f_k''(k) = 2k > 0\) (Tiefpunkt bei \(x = k\)), \(f_k''(-k) = -2k < 0\) (Hochpunkt bei \(x = -k\)). Da \(k > 0\), existiert für jedes \(k\) genau ein Hochpunkt bei \(x_H = -k\). 4. Funktionswert am Hochpunkt: \(y_H = f_k(-k) = \frac{1}{3}(-k)^3 - k^2(-k) + k = -\frac{1}{3}k^3 + k^3 + k = \frac{2}{3}k^3 + k\). 5. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = -k\) folgt \(k = -x\). Dies in die Gleichung für \(y\) einsetzen: \(y = \frac{2}{3}(-x)^3 + (-x) = -\frac{2}{3}x^3 - x\). Da \(k > 0\), gilt \(x < 0\).

a) Der Hochpunkt liegt bei \(H\left(-k \mid \frac{2}{3}k^3 + k\right)\). b) Die Ortskurve der Hochpunkte ist \(y = -\frac{2}{3}x^3 - x\) für \(x < 0\).

- Wie lautet die Quotientenregel für das Ableiten gebrochen-rationaler Funktionen? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Koordinaten zu erhalten. - Um zu zeigen, dass ein Punkt auf einer Geraden liegt, kannst du seine \(x\)-Koordinate in die Geradengleichung einsetzen und prüfen, ob die \(y\)-Koordinate herauskommt.

1. Die Quotientenregel liefert \(f_k'(x)=\frac{x(x-2k)}{(x-k)^2}\). 2. Wegen des positiven Nennerquadrats bestimmen die Faktoren \(x\) und \(x-2k\) das Vorzeichen. Die Nullstellen von \(f_k'\) sind \(x=0\) und \(x=2k\); an beiden Stellen wechselt das Vorzeichen. Damit sind beide Stellen lokale Extrema. Für \(k>0\) ist \(x=0\) ein Maximum und \(x=2k\) ein Minimum; für \(k<0\) ist es umgekehrt. 3. Es gilt \(f_k(0)=0\) und \(f_k(2k)=4k\). Die Extrempunkte sind daher \((0\mid0)\) und \((2k\mid4k)\). 4. Beide erfüllen \(y=2x\), denn \(0=2\cdot0\) und \(4k=2\cdot2k\).

a) Die Extrempunkte liegen bei \(E_1(0 \mid 0)\) und \(E_2(2k \mid 4k)\). b) Einsetzen der Koordinaten in \(y = 2x\) bestätigt die Lage: \(2 \cdot 0 = 0\) und \(2 \cdot 2k = 4k\).

- Nutze die Potenzgesetze für den Logarithmus, um Terme wie \(\ln(\frac{1}{\sqrt{t}})\) zu vereinfachen. - Erinnere dich, dass man für die Ortskurve die \(x\)-Gleichung nach dem Parameter auflöst und diesen in die \(y\)-Gleichung einsetzt. - Achte auf die Definitionsbereiche (\(x>0\)). - Wie hängen \(x = t^{-1/2}\) und \(\ln(x)\) zusammen?

1. Erste Ableitung berechnen: \(f_t'(x) = tx - \frac{1}{x}\). 2. Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen: \(tx - \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 = \frac{1}{t}\). Da \(x, t > 0\), folgt \(x_T = \frac{1}{\sqrt{t}}\). 3. Zweite Ableitung prüfen: \(f_t''(x) = t + \frac{1}{x^2}\). Da \(t > 0\) und \(x^2 > 0\), ist \(f_t''(x) > 0\), was die Tiefpunkteigenschaft bestätigt. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_t\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right) = \frac{t}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right)^2 - \ln\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right) = \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{t} - \ln(t^{-1/2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln(t)\). Der Tiefpunkt ist \(T_t\left(\frac{1}{\sqrt{t}} \mid \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln(t)\right)\). 5. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = \frac{1}{\sqrt{t}}\) folgt \(x^2 = \frac{1}{t}\) bzw. \(t = \frac{1}{x^2}\). 6. \(t\) in die Gleichung für \(y\) einsetzen: \(y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{2} + \ln\left(\left(x^{-2}\right)^{1/2}\right) = \frac{1}{2} + \ln(x^{-1}) = \frac{1}{2} - \ln(x)\).

a) Tiefpunkt \(T_t\left(\frac{1}{\sqrt{t}} \mid \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(t)\right)\). b) Ortskurve \(y=\frac{1}{2}-\ln(x)\) für \(x>0\).

- Wie lautet die notwendige Bedingung für eine Wendestelle? - Kannst du die Koordinaten der Wendepunkte in Abhängigkeit von \(k\) ausdrücken? - Welche mathematischen Werkzeuge kennst du, um zu prüfen, ob zwei Linien senkrecht aufeinanderstehen? - Nutze die Symmetrie des Graphen zur y-Achse aus.

1. Es gilt \(f_k'(x)=-2kxe^{-kx^2}\) und \(f_k''(x)=2k(2kx^2-1)e^{-kx^2}\). 2. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{2k}}\). Da der Exponentialfaktor positiv ist und \(2kx^2-1\) beim Durchgang durch jede dieser Stellen sein Vorzeichen wechselt, sind beide Stellen echte Wendestellen. 3. Die Wendepunkte sind \(W_1\left(\frac{1}{\sqrt{2k}}\mid\frac{1}{\sqrt e}\right)\) und \(W_2\left(-\frac{1}{\sqrt{2k}}\mid\frac{1}{\sqrt e}\right)\). 4. Für einen rechten Winkel im Ursprung muss das Skalarprodukt der Ortsvektoren null sein. Daher gilt \(-\frac{1}{2k}+\frac{1}{e}=0\). 5. Daraus folgt \(k=\frac e2\).

\(k = \frac{e}{2}\)

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion zu finden? - Erinnere dich an die Quotientenregel für das Ableiten von Brüchen. - Wenn du die Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit von \(t\) hast, wie kannst du den Parameter \(t\) eliminieren, um einen Zusammenhang zwischen \(x\) und \(y\) zu finden? - Überprüfe, ob deine gefundenen Punkte die vorgegebene Gleichung \(y = x^2\) erfüllen.

1. Die Quotientenregel ergibt \(f_t'(x)=\frac{tx(x-2t)}{(x-t)^2}\). 2. Die stationären Stellen sind \(x=0\) und \(x=2t\). Wegen des positiven Nennerquadrats zeigt die Vorzeichenuntersuchung des Zählers, dass \(f_t'\) an beiden Stellen das Vorzeichen wechselt; daher sind beide tatsächlich lokale Extrema. Die Polstelle \(x=t\) liegt zwischen ihnen, wird aber nicht als Extremstelle betrachtet. 3. Die zugehörigen Punkte sind \((0\mid0)\) und \((2t\mid4t^2)\). 4. Für den zweiten Punkt gilt \(4t^2=(2t)^2\), für den ersten \(0=0^2\). Somit liegen sämtliche Extrempunkte auf \(y=x^2\).

Die Ableitung \(f_t'(x) = \frac{tx(x-2t)}{(x-t)^2}\) liefert die Extremstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2t\). Die zugehörigen Punkte sind \(E_1(0 \mid 0)\) und \(E_2(2t \mid 4t^2)\). Da für beide Punkte die Beziehung \(y = x^2\) gilt (wegen \(0 = 0^2\) und \(4t^2 = (2t)^2\)), liegen sie auf der genannten Parabel.

- Bestimme zuerst die Wendestellen der Funktion in Abhängigkeit von \(k\). - Wie hängen die Basis und die Höhe eines Dreiecks mit seinen Eckpunkten zusammen, wenn eine Ecke im Ursprung liegt und zwei Punkte dieselbe \(y\)-Koordinate haben? - Kannst du den Term für den Flächeninhalt vereinfachen, bevor du ihn mit dem Zielwert gleichsetzt?

1. Es gilt \(f_k'(x)=-2kxe^{-kx^2}\) und \(f_k''(x)=2k(2kx^2-1)e^{-kx^2}\). 2. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{2k}}\). Da \(2kx^2-1\) an beiden Stellen sein Vorzeichen wechselt und der übrige Faktor positiv ist, sind beide Stellen echte Wendestellen. 3. Die gemeinsame \(y\)-Koordinate ist \(e^{-1/2}=\frac1{\sqrt e}\). 4. Daher ist \(A=\frac12\cdot\frac{2}{\sqrt{2k}}\cdot\frac1{\sqrt e}=\frac1{\sqrt{2ke}}\). 5. Aus \(\frac1{\sqrt{2ke}}=\frac1{\sqrt{2e}}\) folgt \(k=1\).

\(k = 1\)

- Betrachte die Exponenten von \(x\), um auf die Symmetrie zu schließen. - Unterscheide bei der Suche nach Nullstellen der Ableitung, ob der Parameter \(a\) positiv, null oder negativ ist. - Wie viele Lösungen hat die Gleichung \(ax^2 - 1 = 0\) in den verschiedenen Fällen? - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du die Extremstelle nach dem Parameter auflösen und diesen in den Funktionsterm einsetzen.

1. Symmetrie: Da im Funktionsterm nur gerade Exponenten von \(x\) vorkommen, gilt \(f_a(-x) = a(-x)^4 - 2(-x)^2 = ax^4 - 2x^2 = f_a(x)\). Der Graph ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Ableitungen: \(f'_a(x) = 4ax^3 - 4x = 4x(ax^2 - 1)\) und \(f''_a(x) = 12ax^2 - 4\). 3. Extremstellen für \(a \le 0\): Die Gleichung \(4x(ax^2 - 1) = 0\) hat nur die Lösung \(x = 0\), da für \(a \le 0\) der Ausdruck \(ax^2 - 1\) stets negativ ist. Wegen \(f''_a(0) = -4 < 0\) liegt an der Stelle \(x = 0\) ein Hochpunkt vor. Es gibt also genau einen Extrempunkt. 4. Extremstellen für \(a > 0\): Die notwendige Bedingung \(f'_a(x) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm \sqrt{\frac{1}{a}}\). Mit \(f''_a(0) = -4\) ist \((0|0)\) ein Hochpunkt. Für die weiteren Stellen gilt \(f''_a(\pm \sqrt{\frac{1}{a}}) = 12a(\frac{1}{a}) - 4 = 8 > 0\). Es gibt somit drei Extrempunkte (einen Hochpunkt und zwei Tiefpunkte). 5. Ortskurve der Tiefpunkte: Aus \(x^2 = \frac{1}{a}\) folgt \(a = \frac{1}{x^2}\) (für \(x \neq 0\)). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(y = \frac{1}{x^2} \cdot x^4 - 2x^2 = x^2 - 2x^2 = -x^2\). Damit liegen alle Tiefpunkte auf der Parabel \(y = -x^2\).

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Für \(a \le 0\) gibt es genau einen Extrempunkt (einen Hochpunkt bei \(x=0\)). Für \(a > 0\) gibt es drei Extrempunkte (einen Hochpunkt bei \(x=0\) und zwei Tiefpunkte bei \(x = \pm \sqrt{\frac{1}{a}}\)). c) Die Tiefpunkte liegen für \(a > 0\) auf der Kurve \(y = -x^2\), da die Koordinate \(y = a \cdot (\frac{1}{a})^2 - 2 \cdot \frac{1}{a} = -\frac{1}{a}\) mit \(x^2 = \frac{1}{a}\) die Beziehung \(y = -x^2\) erfüllt.

- Welche Komponente der Funktion bestimmt das Verhalten für sehr kleine bzw. sehr große Werte? - Wie gehst du vor, um die Extrempunkte einer Funktionenschar zu berechnen? - Beachte bei der Bestimmung der Extremstelle die Einschränkung des Definitionsbereichs. - Um eine Ortskurve zu finden, musst du die Parameterabhängigkeit der \(x\)-Koordinate nach dem Parameter auflösen und in die \(y\)-Koordinate einsetzen.

1. Für \(x\to0^+\) gilt \(\ln(x)\to-\infty\) und \(-\frac12x^2\to0\), also \(f_a(x)\to-\infty\). Für \(x\to\infty\) dominiert der negative quadratische Term gegenüber dem Logarithmus, also gilt ebenfalls \(f_a(x)\to-\infty\). 2. Es ist \(f_a'(x)=\frac{a}{x}-x\). Aus \(f_a'(x)=0\) folgt wegen \(x>0\) die Stelle \(x_H=\sqrt a\). 3. Mit \(f_a''(x)=-\frac{a}{x^2}-1\) gilt \(f_a''(\sqrt a)=-2<0\); damit liegt ein Hochpunkt vor. 4. Seine \(y\)-Koordinate ist \(\frac12a(\ln a-1)\). 5. Aus \(x=\sqrt a\) folgt \(a=x^2\). Damit lautet die Ortskurve \(y=x^2\ln(x)-\frac12x^2\) für \(x>0\).

a) \(\lim_{x\to0^+}f_a(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to\infty}f_a(x)=-\infty\) b) \(H\left(\sqrt a\mid\frac12a(\ln a-1)\right)\) c) \(y=x^2\ln(x)-\frac12x^2\) für \(x>0\)

- Wie hängen die Graphen einer Funktionenschar zusammen? Überlege, was es bedeutet, wenn alle Graphen durch dieselben Punkte verlaufen. - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du den Parameter ausklammerst? - Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, welche Gleichung muss dann erfüllt sein? - Erinnere dich daran, wie man die Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel bestimmt. Wie hängt die Lage des Scheitelpunkts vom Parameter ab? - Schau dir die Formen und die Öffnungsrichtungen der Graphen im Koordinatensystem an. Welche Eigenschaften verrät das Vorzeichen des Parameters über den Graphen?

1. Es gilt \(f_k(x)=k(x^2-4x+3)-x+3\). Parameterunabhängigkeit tritt für \(x^2-4x+3=0\) auf, also bei \(x=1\) und \(x=3\). Damit sind \(A(1\mid2)\) und \(B(3\mid0)\) die Fixpunkte. 2. Es ist \(f_k(2)=-k+1\). Aus \(-k+1=-2\) folgt \(k=3\). 3. Die Scheitelstelle ist \(x_S=\frac{4k+1}{2k}=2+\frac{1}{2k}\). Aus \(x_S=2{,}5\) folgt \(k=1\). In der Abbildung ist dies Kurve \(q\).

a) \(A(1\mid2)\), \(B(3\mid0)\) b) \(k=3\) c) \(k=1\); Kurve \(q\)

- Wie hängen die Funktionsgleichungen zweier Graphen zusammen, wenn sie sich in einem Punkt schneiden? Setze zwei Funktionen mit unterschiedlichen Parametern gleich. - Welche Eigenschaft hat die Steigung einer Funktion an einem Tiefpunkt? Nutze die erste Ableitung, um die x-Koordinate des Tiefpunkts zu finden. - Wie kannst du die Abhängigkeit vom Parameter \(a\) eliminieren, um eine Gleichung zu erhalten, die nur noch \(x\) und \(y\) enthält? - Was bedeutet es geometrisch für den Tiefpunkt eines Graphen, wenn dieser die x-Achse berührt? Welche y-Koordinate muss der Tiefpunkt dann haben?

1. Für zwei verschiedene Parameter \(a\neq b\) liefert das Gleichsetzen \((a-b)(1-2x)=0\), also \(x=0{,}5\). Einsetzen ergibt \(y=0{,}25\). Daher ist \(P(0{,}5\mid0{,}25)\) der gemeinsame Punkt. 2. Es gilt \(f_a'(x)=2x-2a\) und \(f_a''(x)=2>0\). Somit ist \(T_a(a\mid-a^2+a)\) der Tiefpunkt. 3. Wegen \(x=a\) ergibt sich als Ortskurve \(y=-x^2+x\). 4. Ein Graph berührt die \(x\)-Achse, wenn sein Tiefpunkt den \(y\)-Wert \(0\) hat. Aus \(-a^2+a=0\) folgt \(a=0\) oder \(a=1\). In der Abbildung sind dies \(q\) bzw. \(r\).

a) \(P(0{,}5\mid0{,}25)\) b) \(T_a(a\mid-a^2+a)\) c) \(y=-x^2+x\) d) \(q\): \(a=0\); \(r\): \(a=1\)

- Welche besonderen Punkte haben alle Scharkurven gemeinsam? Betrachte insbesondere den Koordinatenursprung. - Schau dir die Schnittpunkte der Parabeln mit der x-Achse an. In welchem Zusammenhang stehen die zweiten Nullstellen mit dem Parameter \(k\)? - Bestimme den Scheitelpunkt entweder über die Symmetrie der Nullstellen, durch quadratische Ergänzung oder mithilfe der ersten Ableitung. - Um die Ortskurve zu finden, eliminiere den Parameter \(k\), indem du die Gleichung der x-Koordinate des Scheitelpunkts nach \(k\) auflöst und in die Gleichung der y-Koordinate einsetzt.

1. **Funktionsgleichung bestimmen:** Alle Scharkurven sind nach unten geöffnete Parabeln, die durch den Ursprung \(O(0 \mid 0)\) verlaufen. Aus dem Graphen lässt sich ablesen, dass die zweite Nullstelle jeder Parabel \(f_k\) genau bei \(x = k\) liegt (zum Beispiel hat die violette Kurve \(f_2\) ihre zweite Nullstelle bei \(x = 2\), die rote Kurve \(f_{-4}\) bei \(x = -4\)). Mit dem Produktansatz (Satz vom Nullprodukt) ergibt sich: \(f_k(x) = ax(x - k)\) Für die Kurve \(f_2\) mit dem Scheitelpunkt \(S_2(1 \mid 1)\) gilt: \(1 = a \cdot (1 - 2) \implies a = -1\). Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit: \(f_k(x) = -x(x - k) = -x^2 + kx\). 2. **Scheitelpunkt bestimmen:** Die x-Koordinate des Scheitelpunkts liegt aufgrund der Symmetrie der Parabel genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\): \(x_S = \frac{k}{2}\). Einsetzen von \(x_S\) in die Funktionsgleichung liefert die y-Koordinate: \(y_S = f_k\left(\frac{k}{2}\right) = -\left(\frac{k}{2}\right)^2 + k \cdot \left(\frac{k}{2}\right) = -\frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{2} = \frac{k^2}{4}\). Die Koordinaten des Scheitelpunkts lauten: \(S_k\left(\frac{k}{2} \;\middle|\; \frac{k^2}{4}\right)\). 3. **Ortskurve ermitteln:** Um die Gleichung der Ortskurve der Scheitelpunkte zu bestimmen, stellt man die Gleichung für die x-Koordinate nach \(k\) um und setzt sie in die y-Koordinate ein: \(x = \frac{k}{2} \implies k = 2x\) \(y = \frac{k^2}{4} = \frac{(2x)^2}{4} = \frac{4x^2}{4} = x^2\). Die Gleichung der Ortskurve lautet somit \(y=x^2\). Da \(k\ne0\), gilt für die Scheitelpunkte zusätzlich \(x\ne0\).

a) \(f_k(x) = -x^2 + kx\) b) \(S_k\left(\frac{k}{2} \;\middle|\; \frac{k^2}{4}\right)\) c) \(y=x^2\) mit \(x\ne0\)

- Bestimme zuerst die erste Ableitung der Funktionenschar unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel. - Überlege, welche Bedingung an der Stelle eines Hochpunkts für die erste Ableitung gelten muss. - Nutze die gegebene x-Koordinate des Hochpunkts, um den zugehörigen Parameter \(k\) zu berechnen, und bestimme anschließend den Funktionswert. - Um die Ortskurve der Hochpunkte zu finden, drücke den Parameter \(k\) durch die x-Koordinate des Hochpunkts aus und setze diesen in die Funktionsgleichung ein. - Vergleiche die Lage der Hochpunkte in der Abbildung mit den berechneten Extremstellen für die verschiedenen Werte von \(k\).

1. Es gilt \(f_k'(x)=x(2-kx)e^{-kx}\). Für \(x>0\) sind \(x\) und der Exponentialfaktor positiv; daher wechselt \(f_k'\) bei \(x=\frac{2}{k}\) von positiv zu negativ. Somit liegt dort tatsächlich ein Hochpunkt. 2. Aus \(x_H=1\) folgt \(\frac{2}{k}=1\), also \(k=2\). Der Funktionswert ist \(f_2(1)=e^{-2}\), also \(H(1\mid e^{-2})\). 3. Allgemein gilt \(x_H=\frac{2}{k}\), also \(k=\frac{2}{x}\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y=e^{-2}x^2\). Wegen \(k>0\) gilt \(x>0\). 4. Für \(k=0{,}5\) liegt die Hochpunktstelle bei \(x=4\), für \(k=1\) bei \(x=2\). Daher gehört \(p\) zu \(k=0{,}5\) und \(q\) zu \(k=1\).

a) \(k=2\), \(H(1\mid e^{-2})\) b) \(y=e^{-2}x^2\) für \(x>0\) c) \(p\): \(k=0{,}5\); \(q\): \(k=1\)

- Denke daran, dass für die Berechnung von Extrem- und Wendepunkten die ersten beiden Ableitungen notwendig sind. - Der Parameter \(k\) wird beim Ableiten wie eine Zahl behandelt. - Um eine Ortskurve zu finden, musst du die \(x\)-Koordinate des Punktes nach dem Parameter umstellen und in die \(y\)-Koordinate einsetzen. - Achte auf die Bedingung \(k > 0\), wenn du die Art der Extrema mit der zweiten Ableitung überprüfst.

1. Es gilt \(f_k'(x)=3x^2-6kx\), \(f_k''(x)=6x-6k\) und \(f_k'''(x)=6\). 2. Aus \(f_k'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=2k\). Wegen \(f_k''(0)=-6k<0\) ist \(H(0\mid0)\) ein Hochpunkt; wegen \(f_k''(2k)=6k>0\) ist \(T(2k\mid-4k^3)\) ein Tiefpunkt. 3. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt \(x=k\). Da \(f_k'''(k)=6\neq0\), liegt dort tatsächlich ein Wendepunkt. Sein Funktionswert ist \(-2k^3\), also \(W(k\mid-2k^3)\). 4. Die Hochpunkte bilden nur \((0\mid0)\). Für die Tiefpunkte gilt aus \(x=2k\) die Ortskurve \(y=-\frac12x^3\) mit \(x>0\). Für die Wendepunkte gilt \(k=x\), also \(y=-2x^3\) mit \(x>0\). 5. Für \(k=0{,}5\) und \(k=1\) stimmen die berechneten Punktlagen mit den beiden dargestellten Graphen überein.

a) Hochpunkt \(H(0\mid0)\), Tiefpunkt \(T(2k\mid-4k^3)\) und Wendepunkt \(W(k\mid-2k^3)\). b) Ortsmenge der Hochpunkte: \(\{(0\mid0)\}\); Ortskurve der Tiefpunkte: \(y=-\frac12x^3\) für \(x>0\); Ortskurve der Wendepunkte: \(y=-2x^3\) für \(x>0\). c) Für \(k=0{,}5\) und \(k=1\) stimmen die berechneten Hoch-, Tief- und Wendepunkte mit den dargestellten Schargraphen überein.

- Welche Gleichung liefert die stationäre Stelle, und wie löst du sie nach \(x\) auf? - Wie kannst du sicherstellen, dass die stationäre Stelle tatsächlich ein Tiefpunkt ist? - Eliminiere für die Ortskurve den Parameter über die Beziehung zwischen \(x_T\) und \(a\).

1. Es gilt \(g_a'(x)=e^x-a\). Aus \(g_a'(x)=0\) folgt \(e^x=a\) und damit \(x_T=\ln a\). 2. Wegen \(g_a''(x)=e^x>0\) liegt dort tatsächlich ein Tiefpunkt. Seine Ordinate ist \(g_a(\ln a)=a-a\ln a\). Somit \(T_a(\ln a\mid a-a\ln a)\). 3. Aus \(x_T=\ln a\) folgt \(a=e^{x_T}\). Einsetzen in die Ordinate ergibt \(y_T=e^{x_T}(1-x_T)\). Da \(a>0\) jeden reellen Wert von \(x_T=\ln a\) ermöglicht, lautet die Ortskurve \(y=e^x(1-x)\) für \(x\in\mathbb{R}\).

a) \(T_a(\ln a\mid a-a\ln a)\) b) \(y=e^x(1-x)\)

- Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts mit dem Parameter \(a\) zusammen? - Nutze die vorgegebene Ortskurve, um \(y_s\) durch \(a\) auszudrücken. - Setze anschließend die Koordinaten von \(P\) in den erhaltenen Scharterm ein.

1. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten \(S(a\mid y_s)\). Da er auf \(y=0{,}25x^2\) liegt, gilt \(y_s=0{,}25a^2\). 2. Damit lautet die Schar \(f_a(x)=-0{,}5(x-a)^2+0{,}25a^2\). 3. Für \(P(2\mid2)\) gilt \(2=-0{,}5(2-a)^2+0{,}25a^2\). Ausmultiplizieren liefert \(a^2-8a+16=0\), also \((a-4)^2=0\). 4. Somit ist \(a=4\).

a) \(f_a(x)=-0{,}5(x-a)^2+0{,}25a^2\) b) \(a=4\)

- Überlege, wie du den Funktionsterm so umformen kannst, dass der Parameter \(k\) ausgeklammert wird. - Erinnere dich an die Formel für die x-Koordinate des Scheitelpunkts einer Parabel in Normalform. - Um die Ortskurve zu finden, kannst du die Koordinaten des Scheitelpunkts nutzen, um \(k\) zu eliminieren. - Die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion hängt vom Vorzeichen der Diskriminante ab.

1. Nachweis des gemeinsamen Punktes: Der Funktionsterm lässt sich zu \(f_k(x) = x^2 + 3 - 2k(x - 1)\) umformen. Setzt man \(x = 1\) ein, wird der Term mit \(k\) null: \(f_k(1) = 1^2 + 3 - 0 = 4\). Somit liegt \(P(1 \mid 4)\) auf allen Graphen. 2. Scheitelpunkt bestimmen: Mit \(x_S = -\frac{-2k}{2} = k\) ergibt sich der y-Wert durch Einsetzen: \(y_S = f_k(k) = k^2 - 2k^2 + 2k + 3 = -k^2 + 2k + 3\). Also \(S_k(k \mid -k^2 + 2k + 3)\). 3. Ortskurve ermitteln: Aus der Beziehung \(x = k\) für die x-Koordinate des Scheitelpunkts folgt durch Einsetzen in den y-Wert die Gleichung \(y = -x^2 + 2x + 3\). 4. Nullstellen untersuchen: Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 - 2kx + 2k + 3 = 0\) ist \(D = (-2k)^2 - 4(2k + 3) = 4k^2 - 8k - 12 = 4(k - 3)(k + 1)\). Keine Nullstellen existieren für \(D < 0\), also im Intervall \(-1 < k < 3\). 5. Berührpunkt mit der x-Achse: Die Parabel berührt die x-Achse genau dann, wenn die Diskriminante Null ist. Dies ist für \(k = -1\) oder \(k = 3\) der Fall.

a) Nachweis durch Einsetzen von \(x=1\) in \(f_k(x)\). b) \(S_k(k \mid -k^2 + 2k + 3)\) c) \(y = -x^2 + 2x + 3\) d) \(-1 < k < 3\) e) \(k = -1\) oder \(k = 3\)

- Welche Gleichung liefert die stationären Stellen, und wie entscheidet die zweite Ableitung über ihre Art? - Eliminiere \(k\) getrennt für Hoch- und Tiefpunkte und vergleiche die beiden Beziehungen. - Welche \(x\)-Koordinate kann wegen \(k>0\) niemals zu einem Extrempunkt gehören? - Faktorisiere den Funktionsterm, um die Nullstellen zu bestimmen.

1. Es gilt \(g_k'(x)=x^2-k^2\) und \(g_k''(x)=2x\). Aus \(g_k'(x)=0\) folgen \(x=-k\) und \(x=k\). 2. Wegen \(g_k''(-k)=-2k<0\) liegt bei \(H_k\left(-k\mid\frac23k^3\right)\) ein Hochpunkt. Wegen \(g_k''(k)=2k>0\) liegt bei \(T_k\left(k\mid-\frac23k^3\right)\) ein Tiefpunkt. 3. Für den Hochpunkt gilt \(k=-x_H\), für den Tiefpunkt \(k=x_T\). In beiden Fällen folgt \(y=-\frac23x^3\). Wegen \(k>0\) können Extrempunkte jedoch nie \(x=0\) besitzen. Umgekehrt entsteht für jedes \(x\neq0\) mit \(k=|x|>0\) der entsprechende Extrempunkt. Die genaue Ortskurve ist daher \(y=-\frac23x^3\) für \(x\neq0\). 4. Aus \(g_k(x)=x\left(\frac13x^2-k^2\right)=0\) folgen die drei verschiedenen Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt3k\). 5. Wegen \(g_k(0)=0\) für jedes \(k>0\) verlaufen alle Graphen durch den Ursprung.

a) \(H_k\left(-k\mid\frac23k^3\right)\), \(T_k\left(k\mid-\frac23k^3\right)\) b) \(y=-\frac23x^3\) für \(x\neq0\) c) Drei Nullstellen: \(0\), \(\sqrt3k\), \(-\sqrt3k\) d) \((0\mid0)\)

- Nutze das Ausklammern, um die Nullstellen zu berechnen. - Die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum ist, dass die erste Ableitung null wird. - Um die Ortskurve zu finden, stelle die Gleichung für die \(x\)-Koordinate des Maximums nach \(a\) um und setze das Ergebnis in die Gleichung für die \(y\)-Koordinate ein. - Überlege dir, wie sich eine Änderung von \(a\) auf die Position der Nullstellen und des Hochpunkts auswirkt.

1. Es gilt \(g_a(x)=x^2(a-x)\). Daher liegen die Nullstellen bei \(x=0\) doppelt und bei \(x=a\). 2. Mit \(g_a'(x)=x(2a-3x)\) und \(g_a''(x)=2a-6x\) folgt: bei \(x=0\) liegt wegen \(g_a''(0)>0\) ein lokales Minimum; bei \(x=\frac23a\) wegen \(g_a''(\frac23a)=-2a<0\) das lokale Maximum. 3. Es ist \(M_a\left(\frac23a\mid\frac4{27}a^3\right)\). 4. Aus \(a=\frac32x\) ergibt sich als Ortskurve \(y=\frac12x^3\) für \(x>0\). 5. Aus \(\frac4{27}a^3=4\) folgt \(a=3\). 6. Die positive Nullstelle liegt bei \(x=a\). Daher gehört \(p\) zu \(a=1{,}5\) und \(q\) zu \(a=3\).

a) Nullstellen \(x=0\) doppelt und \(x=a\); \(M_a\left(\frac23a\mid\frac4{27}a^3\right)\) b) \(y=\frac12x^3\) für \(x>0\) c) \(a=3\) d) \(p\): \(a=1{,}5\); \(q\): \(a=3\)

- Welche Faktorisierungen machen die Nullstellen beider Funktionsterme sichtbar? - Welche stationäre Stelle von \(q_a\) liefert den Tiefpunkt? - Wie kannst du den Parameter zwischen der \(x\)- und der \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts eliminieren? - Beachte beim Lösen der Ungleichung, dass \(a>0\) gilt.

1. Es ist \(p_a(x)=x(x-2a)\), also sind die Nullstellen \(x=0\) und \(x=2a\). Außerdem gilt \(q_a(x)=x^2\left(\frac{x}{a}-2\right)\), sodass dieselben Nullstellen auftreten. 2. Mit \(q_a'(x)=\frac{3}{a}x^2-4x=x\left(\frac{3}{a}x-4\right)\) erhält man die stationären Stellen \(x=0\) und \(x=\frac{4}{3}a\). 3. Es gilt \(q_a''(x)=\frac{6}{a}x-4\). Damit ist \(q_a''\left(\frac{4}{3}a\right)=4>0\), also liegt der Tiefpunkt bei \(T\left(\frac{4}{3}a\mid-\frac{32}{27}a^2\right)\). 4. Aus \(x=\frac{4}{3}a\) folgt \(a=\frac{3}{4}x\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt die Ortskurve \(y=-\frac{2}{3}x^2\) für \(x>0\). 5. Die Bedingung \(-\frac{32}{27}a^2<-32\) ist äquivalent zu \(a^2>27\). Wegen \(a>0\) folgt \(a>3\sqrt{3}\).

a) Beide Scharen besitzen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=2a\). b) \(T\left(\frac{4}{3}a \mid -\frac{32}{27}a^2\right)\) c) \(y=-\frac{2}{3}x^2\) für \(x>0\) d) \(a>3\sqrt{3}\)

- Welche beiden Extremstellen hängen vom Parameter ab? - Welche Funktionswerte gehören zu diesen Stellen? - Wie kannst du den Parameter in beiden Fällen durch \(x\) ersetzen? - Welche Einschränkung folgt aus \(a\neq0\)?

1. Es gilt \(g_a'(x)=3x^2-3a^2\) und \(g_a''(x)=6x\). Aus \(g_a'(x)=0\) folgt \(x=\pm a\). Wegen \(a\neq0\) ist \(g_a''(\pm a)\neq0\), also liegen dort lokale Extrema vor. 2. Für \(x=a\) ist \(y=-2a^3+2\). Für \(x=-a\) ist \(y=2a^3+2\). 3. Im ersten Fall gilt \(a=x\), im zweiten \(a=-x\). Beide Fälle führen zu derselben Ortskurve \(y=-2x^3+2\). 4. Wegen \(a\neq0\) ist \(x=0\) ausgeschlossen.

\(y=-2x^3+2\) für \(x\neq0\)

- Denke daran, beim Lösen der quadratischen Gleichung für die Ableitung den Parameter wie eine Zahl zu behandeln. - Unterscheide bei der Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten die Fälle für positive und negative Parameterwerte. - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer Kurve liegen, kannst du die x-Koordinate des Punktes in die Kurvengleichung einsetzen und prüfen, ob die y-Koordinate herauskommt.

1. Ableitungen bestimmen: \(f_a'(x) = 3x^2 - 12ax + 9a^2\) und \(f_a''(x) = 6x - 12a\). 2. Extremstellen berechnen: \(3(x^2 - 4ax + 3a^2) = 0 \implies 3(x - 3a)(x - a) = 0\). Die Stellen sind \(x_1 = a\) und \(x_2 = 3a\). 3. Klassifizierung: \(f_a''(a) = -6a\) und \(f_a''(3a) = 6a\). Falls \(a > 0\): Hochpunkt \(H(a \mid 4a^3)\) und Tiefpunkt \(T(3a \mid 0)\). Falls \(a < 0\): Tiefpunkt \(T(a \mid 4a^3)\) und Hochpunkt \(H(3a \mid 0)\). 4. Wendepunkt berechnen: \(f_a''(x) = 0 \implies x_W = 2a\). Der Funktionswert ist \(f_a(2a) = (2a)^3 - 6a(2a)^2 + 9a^2(2a) = 8a^3 - 24a^3 + 18a^3 = 2a^3\). 5. Nachweis der Ortskurve: Aus \(x = 2a\) folgt \(a = \frac{x}{2}\). Einsetzen in die y-Koordinate: \(y = 2 \cdot (\frac{x}{2})^3 = 2 \cdot \frac{x^3}{8} = \frac{1}{4}x^3\). Dies entspricht der Funktion \(g(x)\).

a) Für \(a > 0\): \(H(a \mid 4a^3)\), \(T(3a \mid 0)\). Für \(a < 0\): \(T(a \mid 4a^3)\), \(H(3a \mid 0)\). b) Der Wendepunkt liegt bei \(W(2a \mid 2a^3)\). Einsetzen von \(a = \frac{x}{2}\) in \(y = 2a^3\) ergibt \(y = \frac{1}{4}x^3\).

- Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem Parameter auf. - Überlege dir bei der Untersuchung von Schnittpunkten, was es bedeutet, wenn eine Gleichung nur für einen bestimmten x-Wert erfüllt ist. - Eine Streckung in x-Richtung um den Faktor c ersetzt jedes x durch x/c. Eine Streckung in y-Richtung multipliziert den gesamten Funktionsterm mit c. - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer Geraden liegen, kannst du die y-Koordinate der Punkte in Abhängigkeit von ihrer x-Koordinate ausdrücken, indem du die Bedingung für Extremstellen nutzt.

a) Einsetzen von \(P(2 \mid 2)\) in \(f_k(x)\) ergibt \(2 = 2e^{1-4k}\). Somit ist \(1=e^{1-4k}\), also \(1-4k=0\) und \(k=0{,}25\). Die Gleichung besitzt genau diese eine Lösung. b) Für \(k=0\) gilt \(f_0(x)=ex\). Die Steigung ist daher \(m=e\). c) Aus \(f_k(0)=0\) folgt, dass alle Graphen durch den Ursprung verlaufen. Die Äquivalenz \(f_{k_1}(x)=f_{k_2}(x) \iff x=0\) besagt, dass zwei verschiedene Schargraphen außer dem Ursprung keinen weiteren gemeinsamen Punkt besitzen. d) Bei einer Streckung in beiden Richtungen um \(c\) gilt \(y=c\,f_k(\frac{x}{c}) = x e^{1-\frac{k}{c^2}x^2}\). Mit \(k^*=\frac{k}{c^2}\) ist dies die Funktionsgleichung von \(f_{k^*}\), also wieder ein Schargraph. e) Es gilt \(f_k'(x)=(1-2kx^2)e^{1-kx^2}\). Für \(k>0\) ist \(e^{1-kx^2}>0\), sodass \(f_k'(x)=0\) genau für \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{2k}}\) gilt. Außerhalb des Intervalls zwischen diesen beiden Stellen ist \(1-2kx^2<0\), innerhalb ist der Ausdruck positiv. Daher liegt an der negativen Stelle ein Tiefpunkt und an der positiven Stelle ein Hochpunkt; es gibt genau zwei Extrempunkte. An beiden Stellen gilt \(kx^2=\frac12\). Einsetzen in \(f_k(x)\) liefert \(y=xe^{1-\frac12}=\sqrt{e}x\). Damit liegen alle Extrempunkte auf der Geraden \(y=\sqrt{e}x\).

a) \(k = 0{,}25\). b) Die Steigung ist \(e\). c) Alle Graphen der Schar schneiden sich ausschließlich im Ursprung \((0 \mid 0)\). d) Der gestreckte Graph entspricht der Funktion \(f_{k^*}\) mit \(k^* = \frac{k}{c^2}\). e) Für \(k>0\) liegen die beiden Extremstellen bei \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{2k}}\); für beide gilt \(y=\sqrt{e}x\).

- Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse ist eine Nullstelle, die gleichzeitig ein Extrempunkt ist. - Nutze die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. Klammere Faktoren aus, um die Nullstellen der Ableitung leichter zu finden. - Für die Ortskurve: Schau dir das Verhältnis zwischen der \(x\)- und \(y\)-Koordinate des Punktes \(H_a\) an. - Bei Teilaufgabe d) musst du den gegebenen \(x\)-Wert einfach in deine zuvor berechnete Ableitungsfunktion einsetzen.

a) Aus \(f_a(x)=0\) folgt \((\ln(x)-a)^2=0\), also \(x_B=e^a\). Da \(x>0\) und der Quadratterm nicht negativ ist, gilt \(f_a(x)\ge0\). Somit ist \(B_a(e^a \mid 0)\) ein Tief- und Berührpunkt. b) Die Ableitung lautet \(f_a'(x)=(\ln(x)-a)(\ln(x)-a+2)\). Neben \(x=e^a\) ergibt sich die weitere kritische Stelle aus \(\ln(x)-a+2=0\), also \(x_H=e^{a-2}\). Mit \(z=\ln(x)-a\) hat \(f_a'\) das Vorzeichen des Produkts \(z(z+2)\): vor \(z=-2\) ist es positiv und danach bis \(z=0\) negativ. Daher liegt bei \(x_H\) tatsächlich ein Hochpunkt. Es gilt \(f_a(e^{a-2})=4e^{a-2}\), also \(H_a(e^{a-2} \mid 4e^{a-2})\). c) Aus \(x=e^{a-2}\) und \(y=4e^{a-2}\) folgt unmittelbar \(y=4x\). d) Einsetzen in die Ableitung ergibt \(f_a'(e^{a-1})=(a-1-a)(a-1-a+2)=(-1)(1)=-1\). Die Steigung ist unabhängig von \(a\).

a) Berührpunkt \(B_a(e^a \mid 0)\). b) Hochpunkt \(H_a(e^{a-2} \mid 4e^{a-2})\). c) Die Ortskurve ist die Gerade \(y = 4x\). d) Die Steigung an der Stelle \(x = e^{a-1}\) beträgt für alle \(a\) den Wert \(-1\).

- Welche Folge hat \(a>0\) für den Nenner und damit für die Definitionsmenge? - Wie kannst du die Symmetrie durch Einsetzen von \(-x\) prüfen? - Bestimme die stationären Stellen und eliminiere anschließend den Parameter aus den Hochpunktkoordinaten. - Vergleiche für das Grenzverhalten die Wachstumsgrade von Zähler und Nenner.

1. Da \(a>0\) gilt, ist \(x^2+a>0\) für alle \(x\), also ist die Definitionsmenge \(\mathbb{R}\). Die einzige Nullstelle ist \(x=0\). Wegen \(f_a(-x)=-f_a(x)\) ist \(G_a\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Es ist \(f_a'(x)=\frac{a^2(a-x^2)}{(x^2+a)^2}\). Stationäre Stellen liegen bei \(x=\pm\sqrt{a}\). Daraus folgen der Hochpunkt \(H\left(\sqrt{a}\mid\frac{1}{2}a\sqrt{a}\right)\) und der Tiefpunkt \(T\left(-\sqrt{a}\mid-\frac{1}{2}a\sqrt{a}\right)\). 3. Für die Hochpunkte gilt \(x=\sqrt{a}\), also \(a=x^2\). Damit wird die Hochpunktordinate zu \(y=\frac{1}{2}x^3\); alle Hochpunkte liegen auf \(h(x)=0{,}5x^3\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f_a(x)\to0\), weil der Nennergrad größer als der Zählergrad ist. Die waagerechte Asymptote lautet \(y=0\).

a) Definitionsmenge \(\mathbb{R}\); Nullstelle \(x=0\); punktsymmetrisch zum Ursprung. b) \(H\left(\sqrt{a}\mid\frac{1}{2}a\sqrt{a}\right)\), \(T\left(-\sqrt{a}\mid-\frac{1}{2}a\sqrt{a}\right)\); Hochpunkt-Ortskurve \(h(x)=0{,}5x^3\). c) \(\lim_{x\to\pm\infty}f_a(x)=0\); waagerechte Asymptote \(y=0\).

- Bestimme zuerst die Extrempunkte in Abhängigkeit von \(k\). Wie hängen \(x\) und \(y\) dort zusammen? - Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, kannst du \(x\) als festen Wert betrachten und untersuchen, welche \(y\)-Werte durch Variation von \(k\) erreicht werden können. - Welchen maximalen Wert kann die Funktion \(g_k(x)\) für ein festes \(x\) annehmen, wenn man \(k\) verändert?

1. Die Ableitung \(g_k'(x) = 1 \cdot e^{k-x} + (x-k) \cdot e^{k-x} \cdot (-1) = e^{k-x} \cdot (1 - x + k)\) hat die Nullstelle \(x = k + 1\). Da \(g_k''(k+1) = -e^{-1} < 0\), liegt dort ein Hochpunkt vor. 2. Der Funktionswert an der Stelle \(x = k+1\) ist \(g_k(k+1) = 1 \cdot e^{-1} + k = k + \frac{1}{e}\). Die Hochpunkte sind \(H(k+1 | k + \frac{1}{e})\). 3. Mit \(x = k+1 \implies k = x-1\) folgt für die \(y\)-Koordinate: \(y = (x-1) + \frac{1}{e}\). Die Ortskurve ist die Gerade \(y = x + \frac{1}{e} - 1\). 4. Für einen festen Wert \(x\) wird die Funktion \(h(k) = (x-k) e^{k-x} + k\) untersucht. Es soll geprüft werden, welche Werte \(y\) diese Funktion annehmen kann. 5. Die Ableitung nach \(k\) ist \(h'(k) = -e^{k-x} + (x-k) e^{k-x} + 1 = e^{k-x}(x-k-1) + 1\). Die Bedingung \(h'(k) = 0\) wird für \(k = x\) erfüllt (\(e^0 \cdot (-1) + 1 = 0\)). 6. Da \(h''(x) = -2 < 0\), besitzt \(h(k)\) bei \(k=x\) ein absolutes Maximum mit dem Wert \(h(x) = (x-x)e^0 + x = x\). 7. Wegen \(\lim_{k \to \pm \infty} h(k) = -\infty\) ist der Wertebereich von \(h(k)\) das Intervall \((-\infty; x]\). 8. Ein Punkt \((x|y)\) liegt genau dann auf einem Graphen, wenn \(y \le x\). Folglich liegen alle Punkte mit \(y > x\) auf keinem Graphen. 9. Mit \(t=k-x\) lautet \(h'(k)=0\) äquivalent \((t+1)e^t=1\). Für \(t<-1\) ist die linke Seite negativ, und für \(t>-1\) ist sie streng wachsend; daher ist \(t=0\), also \(k=x\), die einzige Lösung. Zusammen mit dem bereits bestimmten Randverhalten ist das Maximum absolut.

a) Die Hochpunkte liegen auf der Geraden \(y = x + \frac{1}{e} - 1\). b) Alle Punkte \(P(x|y)\) mit \(y > x\) liegen auf keinem Graphen der Schar.

- Erinnere dich an die Quotientenregel für Ableitungen. - Wie gehst du vor, wenn in einer Gleichung Brüche mit unterschiedlichen Nennern vorkommen? - Kannst du die Gleichung durch geschicktes Ausklammern oder Dividieren vereinfachen, wenn ein Parameter in jedem Term als Faktor vorkommt? - Bei Gleichungen vierten Grades mit nur geraden Exponenten hilft oft ein bestimmtes Verfahren, um die Gleichung auf eine quadratische Form zurückzuführen.

1. Erste Ableitung mittels Quotientenregel oder Kettenregel bestimmen: \(g'_a(x) = a \cdot (-1) \cdot (x^2 + 1)^{-2} \cdot 2x = \frac{-2ax}{(x^2 + 1)^2}\) 2. Zweite Ableitung bestimmen: \(g''_a(x) = \frac{-2a \cdot (x^2 + 1)^2 - (-2ax) \cdot 2 \cdot (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4} = \frac{-2a(x^2 + 1) + 8ax^2}{(x^2 + 1)^3} = \frac{6ax^2 - 2a}{(x^2 + 1)^3}\) 3. Schnittbedingung ansetzen: \(g_a(x) = g''_a(x) \iff \frac{a}{x^2 + 1} = \frac{a(6x^2 - 2)}{(x^2 + 1)^3}\) 4. Division durch \(a\) (da \(a \neq 0\)) und Multiplikation mit \((x^2 + 1)^3\): \((x^2 + 1)^2 = 6x^2 - 2\) 5. Gleichung ausmultiplizieren und ordnen: \(x^4 + 2x^2 + 1 = 6x^2 - 2 \implies x^4 - 4x^2 + 3 = 0\) 6. Substitution \(u = x^2\) führt auf \(u^2 - 4u + 3 = 0\) mit den Lösungen \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 3\). 7. Rücksubstitution ergibt die \(x\)-Werte: \(x \in \{1; -1; \sqrt{3}; -\sqrt{3}\}\). Diese Werte sind alle unabhängig von \(a\).

Die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = \sqrt{3}\) und \(x_4 = -\sqrt{3}\). Da keine dieser Lösungen vom Parameter \(a\) abhängt, ist die Unabhängigkeit bewiesen.

- Erinnere dich an die Wachstumsgeschwindigkeiten von Logarithmus- und Potenzfunktionen für sehr große \(x\). - Wende die Quotientenregel sorgfältig an, um die Ableitung zu bestimmen. - Um die Ortskurve zu finden, kannst du versuchen, den Parameter \(t\) aus den Koordinatengleichungen zu eliminieren. - Gibt es eine einfache Beziehung zwischen der \(x\)- und der \(y\)-Koordinate des Hochpunkts?

1. Grenzwerte bestimmen: Für \(x \to 0^+\) strebt der Zähler gegen \(-\infty\) und der Nenner gegen \(0^+\), also \(h_t(x) \to -\infty\). Senkrechte Asymptote: \(x = 0\). Für \(x \to \infty\) dominiert die lineare Funktion im Nenner den Logarithmus im Zähler, es gilt \(h_t(x) \to 0\). Waagerechte Asymptote: \(y = 0\). 2. Ableitung bilden: Mit der Quotientenregel ergibt sich \(h_t'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (\ln(x) + t) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x) - t}{x^2}\). 3. Extremstelle berechnen: \(h_t'(x) = 0 \implies \ln(x) = 1 - t \implies x = e^{1-t}\). Ein Vorzeichenwechselkriterium oder die zweite Ableitung bestätigt den Hochpunkt. 4. \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(h_t(e^{1-t}) = \frac{\ln(e^{1-t}) + t}{e^{1-t}} = \frac{1 - t + t}{e^{1-t}} = \frac{1}{e^{1-t}}\). Der Hochpunkt ist \(H_t(e^{1-t} \mid e^{t-1})\). 5. Ortskurve bestimmen: Mit \(x = e^{1-t}\) und \(y = \frac{1}{e^{1-t}}\) folgt durch Substitution direkt \(y=\frac{1}{x}\). Da \(x=e^{1-t}>0\) gilt, gehört nur der Ast für \(x>0\) zur Ortskurve.

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); waagerechte Asymptote: \(y = 0\). b) Hochpunkt \(H_t(e^{1-t} \mid e^{t-1})\). c) Die Ortskurve ist \(y=\frac{1}{x}\) mit \(x>0\).

- Welche Koordinaten hat der Extrempunkt in Abhängigkeit vom Parameter? - Wie kannst du den Parameter zwischen \(x\)- und \(y\)-Koordinate eliminieren? - Welches Vorzeichen von \(a\) liefert bei der Parabel ein Maximum? - Was passiert mit dem Relationszeichen, wenn du eine Ungleichung mit einem negativen Parameter multiplizierst?

1. Aus \(f_a'(x)=2ax-4=0\) folgt \(x=\frac{2}{a}\). Der zugehörige Funktionswert ist \(y=a-\frac{4}{a}\). 2. Aus \(x=\frac{2}{a}\) folgt \(a=\frac{2}{x}\). Einsetzen ergibt \(y=\frac{2}{x}-2x\); wegen \(a\neq0\) gilt \(x\neq0\). 3. Es ist \(f_a''(x)=2a\). Daher liegt genau für \(a<0\) ein Maximum vor. 4. Zusätzlich soll \(a-\frac{4}{a}<0\) gelten. Unter \(a<0\) kehrt sich beim Multiplizieren mit \(a\) das Relationszeichen um, sodass \(a^2-4>0\) folgt. Zusammen mit \(a<0\) ergibt sich \(a<-2\).

a) \(y=\frac{2}{x}-2x\) für \(x\neq0\) b) \(a<-2\)

- Berechne zuerst allgemein die Stellen für die Extrema und die Wendepunkte in Abhängigkeit von \(a\). - Wie bildet man mathematisch ein Verhältnis zwischen zwei Werten? - Was muss am Ende einer Rechnung passieren, damit man sagen kann, ein Ergebnis sei „unabhängig von einem Parameter“?

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(g_a'(x) = 4ax^3 - 4x\) und \(g_a''(x) = 12ax^2 - 4\). 2. \(x\)-Koordinate des positiven Tiefpunkts bestimmen: \(g_a'(x) = 0 \implies 4x(ax^2 - 1) = 0\). Für \(x > 0\) folgt \(x^2 = \frac{1}{a}\), also \(x_T = \frac{1}{\sqrt{a}}\). 3. \(x\)-Koordinate der positiven Wendestelle bestimmen: \(g_a''(x) = 0 \implies 12ax^2 - 4 = 0 \implies x^2 = \frac{4}{12a} = \frac{1}{3a}\). Für \(x > 0\) folgt \(x_W = \frac{1}{\sqrt{3a}}\). 4. Verhältnis berechnen: \(\frac{x_T}{x_W} = \frac{\frac{1}{\sqrt{a}}}{\frac{1}{\sqrt{3a}}} = \frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{a}} = \sqrt{3}\). 5. Das Ergebnis \(\sqrt{3}\) ist eine Konstante und enthält den Parameter \(a\) nicht mehr, womit die Unabhängigkeit gezeigt ist.

Das Verhältnis beträgt \(\frac{x_T}{x_W} = \sqrt{3}\). Da dieser Wert konstant ist, hängt das Verhältnis nicht von \(a\) ab.

- Nutze die Symmetrie und die ersten beiden Ableitungen, um die beiden Hochpunkte zu bestimmen. - Welche Einschränkung für die \(x\)-Koordinate der Hochpunkte folgt aus \(a>0\)? - Eliminiere den Parameter über die Beziehung zwischen \(x^2\) und \(a\). - Vergleiche die Ordinaten erst, nachdem du die Wendestellen hinreichend bestätigt hast.

1. Es gilt \(g_a'(x)=ax-\frac13x^3=x\left(a-\frac13x^2\right)\). Die stationären Stellen sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{3a}\). Mit \(g_a''(x)=a-x^2\) folgt \(g_a''(\pm\sqrt{3a})=-2a<0\); dort liegen die beiden Hochpunkte. Ihre Ordinate ist \(\frac34a^2\). Also \(H_{1,2}\left(\pm\sqrt{3a}\mid\frac34a^2\right)\). 2. Aus \(x^2=3a\) folgt \(a=\frac13x^2\). Damit ist \(y=\frac34\left(\frac13x^2\right)^2=\frac{1}{12}x^4\). Da \(a>0\), gilt für Hochpunkte stets \(x\neq0\). Umgekehrt liefert jedes \(x\neq0\) den zulässigen Parameter \(a=\frac13x^2\). Die genaue Ortskurve ist daher \(y=\frac{1}{12}x^4\) mit \(x\neq0\). 3. Die Wendestellen erfüllen \(g_a''(x)=0\), also \(x=\pm\sqrt a\). Wegen \(g_a'''(x)=-2x\neq0\) an diesen Stellen sind es Wendepunkte. Dort gilt \(y_W=\frac12a^2-\frac{1}{12}a^2=\frac{5}{12}a^2\). Daher \(\frac{y_H}{y_W}=\frac{\frac34a^2}{\frac{5}{12}a^2}=\frac95\).

1. \(H_{1,2}\left(\pm\sqrt{3a}\mid\frac34a^2\right)\) 2. \(y=\frac{1}{12}x^4\) für \(x\neq0\) 3. \(y_W=\frac{5}{12}a^2\) und \(\frac{y_H}{y_W}=\frac95=1{,}8\)

- Was bedeutet die Vielfachheit einer Nullstelle für den Verlauf des Graphen? - Nutze die Produktregel oder multipliziere die Klammern zuerst aus, um die Ableitung zu bilden. - Wann ist die \(x\)-Koordinate eines Punktes gleich Null? - Beachte, dass sich die Art des Extrempunktes (Hoch- oder Tiefpunkt) abhängig vom Wert von \(a\) ändern kann.

1. Da der Term \((x-a)^2\) ein quadratischer Faktor in der Nullstellenform der ganzrationalen Funktion ist und \(a \neq -1\) gilt, liegt bei \(x=a\) eine doppelte Nullstelle vor. An solchen Stellen berührt der Graph die \(x\)-Achse, ohne sie zu schneiden. 2. Die Ableitung mit der Produktregel (oder nach Ausmultiplizieren) lautet \(g_a'(x) = 2(x-a)(x+1) + (x-a)^2 = (x-a)(3x + 2 - a)\). Die Extremstellen liegen bei \(x_1 = a\) und \(x_2 = \frac{a-2}{3}\). Die zweite Ableitung \(g_a''(x) = 6x + 2 - 4a\) ergibt für \(x_1 = a\) den Wert \(2a+2\) und für \(x_2 = \frac{a-2}{3}\) den Wert \(-2a-2\). Für \(a > -1\) ist bei \(x_2\) ein Maximum und bei \(x_1\) ein Minimum. Für \(a < -1\) ist es umgekehrt. Die Punkte sind \(P_1(a \mid 0)\) und \(P_2(\frac{a-2}{3} \mid \frac{4}{27}(a+1)^3)\). 3. Ein Punkt liegt auf der \(y\)-Achse, wenn seine \(x\)-Koordinate Null ist. Für den Hochpunkt bei \(a > -1\) muss gelten: \(\frac{a-2}{3} = 0 \Rightarrow a = 2\). Für \(a < -1\) wäre der Hochpunkt bei \(x = a\), was \(a=0\) entspräche, im Widerspruch zu \(a < -1\). Für \(a = 2\) liegt das Maximum bei \((0 \mid 4)\).

a) \(x=a\) ist für \(a \neq -1\) eine doppelte Nullstelle, daher ein Berührpunkt. b) Extrempunkte bei \(x = a\) und \(x = \frac{a-2}{3}\). Die Punkte sind \((a \mid 0)\) und \((\frac{a-2}{3} \mid \frac{4}{27}(a+1)^3)\). c) Der Hochpunkt liegt für \(a = 2\) auf der \(y\)-Achse.

- Welche Bedingung liefert die Minimumstelle, und warum ist die zweite Ableitung dort positiv? - Drücke für die Ortskurve den Parameter mithilfe der \(x\)-Koordinate des Tiefpunkts aus. - Welche Einschränkung für die Ortskurve folgt aus \(k>0\) und \(x>0\)? - Nutze für den Abstand die Beziehung zwischen \(x_T\) und \(y_T\), bevor du den Parameter zurückgewinnst.

1. Es gilt \(f_k'(x)=2x-\frac{k}{x^2}\) und \(f_k''(x)=2+\frac{2k}{x^3}>0\) für \(x>0\). Aus \(f_k'(x)=0\) folgt \(2x^3=k\), also \(x_T=\sqrt[3]{\frac{k}{2}}\). Damit liegt dort ein lokales Minimum. 2. Aus \(k=2x_T^3\) folgt \(y_T=x_T^2+\frac{2x_T^3}{x_T}=3x_T^2\). Wegen \(k>0\) gilt \(x_T>0\). Umgekehrt gehört zu jedem \(x>0\) der zulässige Parameter \(k=2x^3\). Die genaue Ortskurve ist daher \(y=3x^2\) für \(x>0\). 3. Für den Abstand \(\sqrt{10}\) gilt \(x_T^2+y_T^2=10\). Mit \(y_T=3x_T^2\) erhält man \(9x_T^4+x_T^2-10=0\). Setze \(u=x_T^2>0\). Dann \(9u^2+u-10=0\), also \(u=1\). Wegen \(x_T>0\) folgt \(x_T=1\). 4. Aus \(k=2x_T^3\) ergibt sich \(k=2\).

a) \(T_k\left(\sqrt[3]{\frac{k}{2}}\mid3\left(\frac{k}{2}\right)^{2/3}\right)\) b) \(y=3x^2\) für \(x>0\) c) \(k=2\)

- Bestimme zuerst die Koordinaten der Wendepunkte in Abhängigkeit von \(a\). - Skizziere die Lage der Punkte im Koordinatensystem. Welche Seite des Dreiecks eignet sich am besten als Grundseite? - Beachte, dass die Höhe eines Dreiecks immer ein positiver Wert ist, auch wenn die Punkte unterhalb der x-Achse liegen. - Versuche am Ende, die Zahlen als Potenzen der gleichen Basis zu schreiben, um die Gleichung einfacher zu lösen.

1. Es gilt \(f_a'(x)=4x^3-2ax\) und \(f_a''(x)=12x^2-2a\). 2. Aus \(f_a''(x)=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{\frac a6}\). Da \(f_a''\) außerhalb dieser beiden Stellen positiv und dazwischen negativ ist, wechselt die Krümmung an beiden Stellen; es sind echte Wendepunkte. 3. Ihre gemeinsame \(y\)-Koordinate ist \(-\frac{5a^2}{36}\). 4. Die Grundseite des Dreiecks hat die Länge \(2\sqrt{\frac a6}\), die Höhe \(\frac{5a^2}{36}\). Daher ist \(A=\frac{5a^{5/2}}{36\sqrt6}\). 5. Aus \(A=5\) folgt \(a^{5/2}=36\sqrt6=6^{5/2}\), also \(a=6\).

\(a = 6\)

- Wie lautet die notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Wendestelle? - Nutze die Symmetrie der Funktion aus, um die Koordinaten der Wendepunkte einfacher zu bestimmen. - Skizziere die Lage der Punkte im Koordinatensystem, um die Formel für den Flächeninhalt aufzustellen. - Überlege dir, wie du die Basis und die Höhe des Dreiecks aus den Koordinaten der Wendepunkte ablesen kannst.

1. Es gilt \(f_k'(x)=-\frac{2k^2x}{(x^2+k)^2}\) und \(f_k''(x)=\frac{2k^2(3x^2-k)}{(x^2+k)^3}\). 2. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{\frac{k}{3}}\). Da der Nenner positiv ist und \(3x^2-k\) an beiden Stellen das Vorzeichen wechselt, handelt es sich tatsächlich um Wendestellen. 3. Die Wendepunkte sind \(W_{1,2}\left(\pm\sqrt{\frac{k}{3}}\mid\frac{3k}{4}\right)\). 4. Das Dreieck hat Basis \(2\sqrt{\frac{k}{3}}\) und Höhe \(\frac{3k}{4}\). Damit ist \(A=\frac{\sqrt3}{4}k^{3/2}\). 5. Aus \(\frac{\sqrt3}{4}k^{3/2}=2\sqrt3\) folgt \(k^{3/2}=8\) und damit \(k=4\).

\(k = 4\)

- Nutze die Produktregel, um die ersten beiden Ableitungen der Funktionenschar zu bilden. - Setze die zweite Ableitung gleich Null, um eine Beziehung zwischen der Stelle \(x\) und dem Parameter \(k\) zu finden. - Es ist oft einfacher, den Parameter direkt durch \(x\) auszudrücken, anstatt die Gleichung nach \(x\) aufzulösen. - Ersetze den Parameter in der ursprünglichen Funktionsgleichung durch den gefundenen Term in \(x\). - Überlege dir, ob für alle \(k > -2\) tatsächlich Wendepunkte existieren.

1. Mit der Produktregel erhält man \(f_k'(x)=(x^2+2x-k)e^x\) und \(f_k''(x)=(x^2+4x+2-k)e^x\). 2. Die notwendige Wendepunktbedingung liefert \(k=x^2+4x+2\). 3. Einsetzen in den Funktionsterm ergibt \(y=(-4x-2)e^x\). 4. Die dritte Ableitung lautet \(f_k'''(x)=(x^2+6x+6-k)e^x\). An einer Kandidatenstelle mit \(k=x^2+4x+2\) gilt \(f_k'''(x)=2(x+2)e^x\). Wegen \(k>-2\) kann \(x=-2\) nicht auftreten; somit ist die dritte Ableitung ungleich null und jede Kandidatenstelle tatsächlich eine Wendestelle. 5. Aus \(k=(x+2)^2-2>-2\) folgt zugleich \(x\neq-2\). Die Ortskurve ist daher \(y=(-4x-2)e^x\) mit \(x\neq-2\).

Die Ortskurve der Wendepunkte ist \(y=(-4x-2)e^x\) mit \(x\ne-2\).

- Welche Bedingungen müssen die Ableitungen an einer Stelle erfüllen, damit dort ein Sattelpunkt vorliegt? - Setze die allgemeinen Bedingungen in die Funktionsgleichung ein, um Koeffizienten zu eliminieren. - Berechne die Nullstellen und Extremstellen allgemein mit den Parametern \(a\) und \(b\). - Überlege dir für den Beweis, welchen Grad die erste Ableitung einer Funktion 4. Grades hat und wie viele (mehrfache) Nullstellen diese maximal haben kann.

1. Sattelpunkt in \(O(0 \mid 0)\) bedeutet \(p(0)=0\), \(p'(0)=0\) und \(p''(0)=0\). Daraus folgt direkt \(e=0, d=0, c=0\). Die Funktion lautet \(p(x) = ax^4 + bx^3\) mit \(b \neq 0\) (damit \(p'''(0) \neq 0\)). 2. Nullstellen: \(ax^4 + bx^3 = x^3(ax + b) = 0\). Neben der dreifachen Nullstelle \(x=0\) gibt es genau eine weitere Nullstelle bei \(x_N = -\frac{b}{a}\). 3. Extremstellen: \(p'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 = x^2(4ax + 3b) = 0\). \(x=0\) ist ein Sattelpunkt, die einzige lokale Extremstelle ist \(x_E = -\frac{3b}{4a}\). 4. Verhältnis: \(\frac{x_N}{x_E} = \frac{-b/a}{-3b/4a} = \frac{b}{a} \cdot \frac{4a}{3b} = \frac{4}{3}\). 5. Beweis gegen zwei Sattelpunkte: Ein Sattelpunkt \(x_0\) erfordert \(p'(x_0) = 0\) und \(p''(x_0) = 0\). Das bedeutet, \(x_0\) ist eine mindestens zweifache Nullstelle von \(p'(x)\). Da \(p'(x)\) vom Grad 3 ist, kann sie höchstens eine solche zweifache Nullstelle besitzen, wenn noch eine andere Nullstelle existiert, oder eine dreifache Nullstelle. Zwei verschiedene Sattelpunkte würden zwei verschiedene zweifache Nullstellen in \(p'(x)\) erfordern, was einen Grad von mindestens 4 für \(p'(x)\) voraussetzt. Dies widerspricht dem Grad 3 von \(p'(x)\).

a) \(c=d=e=0\), also \(p(x) = ax^4 + bx^3\) mit \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\). b) \(x_N = -\frac{b}{a}\) und \(x_E = -\frac{3b}{4a}\). c) Das Verhältnis ist \(\frac{-b/a}{-3b/4a} = \frac{4}{3}\). d) Die erste Ableitung \(p'\) hat Grad 3. Ein Sattelpunkt ist eine zweifache Nullstelle von \(p'\). Zwei Sattelpunkte würden zwei zweifache Nullstellen erfordern (Grad 4), was für ein Polynom 3. Grades unmöglich ist.

- Untersuche die Nullstellen der zweiten Ableitung und achte darauf, wann die Gleichung \(10kx^2 - 3 = 0\) lösbar ist. - Für die Ortskurve kannst du den Parameter \(k\) aus der Bedingung \(g''_k(x) = 0\) eliminieren. - Überlege dir bei der qualitativen Betrachtung, welche Potenz von \(x\) den Verlauf des Graphen in der direkten Nähe des Nullpunkts dominiert. - Erinnere dich an die Krümmungseigenschaften einer einfachen kubischen Funktion wie \(y = x^3\) oder \(y = -x^3\).

1. Wendepunkte berechnen: Die zweiten und dritten Ableitungen sind \(g''_k(x) = 20kx^3 - 6x = 2x(10kx^2 - 3)\) und \(g'''_k(x) = 60kx^2 - 6\). 2. Fallunterscheidung für \(k\): Die notwendige Bedingung \(g''_k(x) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) sowie \(10kx^2 = 3\). 3. Anzahl der Wendepunkte: Ist \(k \le 0\), hat \(10kx^2 = 3\) keine Lösung (bzw. für \(k=0\) ist \(g_0(x) = -x^3\) mit genau einem Wendepunkt). Es gibt nur die Stelle \(x = 0\) mit \(g'''_k(0) = -6 \neq 0\). Somit existiert genau ein Wendepunkt. Ist \(k > 0\), ergeben sich drei Stellen: \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{\frac{3}{10k}}\). Da \(g'''_k(\pm \sqrt{\frac{3}{10k}}) = 60k(\frac{3}{10k}) - 6 = 12 \neq 0\) gilt, liegen drei Wendepunkte vor. 4. Ortskurve: Für \(x \neq 0\) gilt \(k = \frac{3}{10x^2} = \frac{0{,}3}{x^2}\). Einsetzen in \(g_k(x)\) liefert \(y = \frac{0{,}3}{x^2} \cdot x^5 - x^3 = 0{,}3x^3 - x^3 = -0{,}7x^3\). 5. Begründung für \(x=0\): (1) Da \(g''_k(0) = 0\) und \(g'''_k(0) = -6 \neq 0\) für alle \(k\) gilt, ist an der Stelle \(x=0\) stets ein Wendepunkt vorhanden. (2) Für sehr kleine \(x\)-Werte (\(|x| \to 0\)) wird der Term \(kx^5\) gegenüber \(x^3\) vernachlässigbar klein. Die Funktion verhält sich nahe dem Ursprung wie \(y = -x^3\). Da die kubische Grundfunktion \(y = -x^3\) im Ursprung einen Wendepunkt besitzt, muss dies auch für \(g_k\) gelten.

a) Für \(k \le 0\) besitzt die Funktion genau einen Wendepunkt (bei \(x=0\)). Für \(k > 0\) besitzt sie genau drei Wendepunkte. b) Für \(x \neq 0\) folgt aus \(20kx^3 - 6x = 0\) der Zusammenhang \(k = \frac{3}{10x^2}\). Einsetzen in \(g_k(x)\) ergibt \(y = \frac{3}{10}x^3 - x^3 = -0{,}7x^3\). c) Unabhängig von \(k\) ist \(g''_k(0) = 0\) und \(g'''_k(0) = -6 \neq 0\), was die Existenz eines Wendepunkts sichert. Qualitativ dominiert nahe Null der Term \(-x^3\), der einen charakteristischen Krümmungswechsel im Ursprung aufweist.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt für alle Werte von \(k\) auf dem Graphen liegt? - Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Stelle mit waagerechter Tangente erfüllen? - Wie unterscheidet man zwischen Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt? - Wie findet man die Gleichung einer Kurve, auf der bestimmte Punkte einer Schar liegen, wenn man deren Koordinaten in Abhängigkeit vom Parameter kennt?

1. Gemeinsame Punkte: \(f_k(0) = 0\) ist offensichtlich. Für \(x=4\): \(f_k(4) = \frac{64}{6} - \frac{16}{4}(k+2) + 4k = \frac{32}{3} - 4k - 8 + 4k = \frac{32}{3} - \frac{24}{3} = \frac{8}{3}\). Da das Ergebnis unabhängig von \(k\) ist, liegen beide Punkte auf allen Graphen. 2. Waagerechte Tangente bei \(x=2\): Ableitung \(f_k'(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}(k+2)x + k\). Es gilt \(f_k'(2) = \frac{1}{2}(4) - \frac{1}{2}(k+2)(2) + k = 2 - (k+2) + k = 0\). 3. Art des Extrempunktes: \(f_k''(x) = x - \frac{1}{2}(k+2)\). Für \(x=2\) ist \(f_k''(2) = 2 - \frac{1}{2}k - 1 = 1 - \frac{1}{2}k\). Ein Extrempunkt liegt vor, wenn \(f_k''(2) \neq 0\), also \(k \neq 2\). Für \(k > 2\) ist \(f_k''(2) < 0\), es handelt sich um einen Hochpunkt. Für \(k=2\) liegt ein Sattelpunkt vor. 4. Weiterer Extrempunkt: Nullstellen von \(f_k'(x)\) bestimmen: \(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}(k+2)x + k = 0 \Leftrightarrow x^2 - (k+2)x + 2k = 0\). Mit der \(pq\)-Formel oder durch Faktorisieren erhält man \((x-2)(x-k)=0\). Die zweite Stelle ist somit \(x=k\). Für \(k \neq 2\) ist dies eine einfache Nullstelle von \(f_k'\) mit Vorzeichenwechsel, also ein Extrempunkt. 5. Ortskurve: \(y = f_k(k) = \frac{1}{6}k^3 - \frac{1}{4}(k+2)k^2 + k^2 = \frac{1}{6}k^3 - \frac{1}{4}k^3 - \frac{1}{2}k^2 + k^2 = -\frac{1}{12}k^3 + \frac{1}{2}k^2\). Da \(x=k\), ist die Gleichung der Ortskurve \(h(x) = -\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x^2\) für \(x \neq 2\).

a) Nachweis durch Einsetzen von \(x=0\) und \(x=4\) in \(f_k(x)\). b) Waagerechte Tangente, da \(f_k'(2)=0\). Extrempunkt für \(k \neq 2\). Für \(k > 2\) ist es ein Hochpunkt. c) Die Nullstellen der Ableitung sind \(x=2\) und \(x=k\). d) \(h(x) = -\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x^2\) für \(x \neq 2\)

- Nach dem Lösen von \(g_k'(x)=0\) musst du noch begründen, dass die stationäre Stelle tatsächlich ein Extremum ist. - Eliminiere den Parameter mithilfe der \(x\)-Koordinate von \(E_k\) und beachte dabei ausgeschlossene Werte. - Berechne einige aufeinanderfolgende Ableitungen und formuliere erst dann ein allgemeines Muster. - Wie verändert sich der lineare Faktor bei genau einem weiteren Ableitungsschritt?

1. Es gilt \(g_k'(x)=(kx+k+1)e^x\). Daher ist die einzige stationäre Stelle \(x_E=-1-\frac1k\). 2. Weiter gilt \(g_k''(x)=(kx+2k+1)e^x\). An der stationären Stelle ist \(g_k''(x_E)=ke^{x_E}\neq0\). Somit liegt für \(k>0\) ein lokales Minimum und für \(k<0\) ein lokales Maximum vor. 3. Der Funktionswert ist \(g_k(x_E)=-ke^{x_E}\). Damit \(E_k\left(-1-\frac1k\mid-ke^{-1-\frac1k}\right)\). 4. Aus \(x_E+1=-\frac1k\) folgt \(k=-\frac1{x_E+1}\). Einsetzen in \(y_E=-ke^{x_E}\) ergibt \(y_E=\frac{e^{x_E}}{x_E+1}\). Wegen \(k\neq0\) ist \(x_E\neq-1\); umgekehrt entsteht für jedes \(x\neq-1\) ein zulässiger Parameter. Die genaue Ortskurve ist also \(y=\frac{e^x}{x+1}\) mit \(x\neq-1\). 5. Die ersten Ableitungen zeigen das Muster \(g_k'(x)=(kx+k+1)e^x\), \(g_k''(x)=(kx+2k+1)e^x\). Für \(n\ge1\) lautet die Vermutung \(g_k^{(n)}(x)=(kx+nk+1)e^x\). 6. Ist die Formel für ein \(n\ge1\) richtig, so folgt durch erneute Produktregel \(g_k^{(n+1)}(x)=\bigl(k+kx+nk+1\bigr)e^x=(kx+(n+1)k+1)e^x\). Damit gilt die Formel für alle \(n\ge1\).

a) \(E_k\left(-1-\frac1k\mid-ke^{-1-\frac1k}\right)\); Minimum für \(k>0\), Maximum für \(k<0\) b) \(y=\frac{e^x}{x+1}\) für \(x\neq-1\) c) \(g_k^{(n)}(x)=(kx+nk+1)e^x\) für \(n\ge1\)

- Faktorisiere die Ableitung so, dass die stationären Stellen in Abhängigkeit von \(a\) sichtbar werden. - Prüfe den Sonderfall, in dem beide stationären Stellen zusammenfallen. - Für die Ortslinie musst du den Parameter aus den Koordinaten des nicht auf der \(y\)-Achse liegenden Extrempunkts eliminieren. - Achte darauf, welcher \(x\)-Wert wegen des Sonderfalls ausgeschlossen bleibt.

1. Es gilt \(f_a'(x)=x(x-(a-2))e^x\). Für \(a=2\) fällt die doppelte Nullstelle der Ableitung bei \(x=0\) zusammen; dort liegt ein Sattelpunkt und damit kein Extrempunkt vor. 2. Für \(a\ne2\) gibt es die beiden Extremstellen \(x=0\) und \(x=a-2\). Die zugehörigen Punkte sind \(E_1(0\mid a)\) und \(E_2(a-2\mid(4-a)e^{a-2})\). Für \(a>2\) ist \(E_1\) ein Hochpunkt und \(E_2\) ein Tiefpunkt; für \(a<2\) ist die Zuordnung umgekehrt. 3. Für \(E_2\) gilt \(x=a-2\), also \(a=x+2\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y=(2-x)e^x\). Da \(a\ne2\), gilt für diese Ortslinie \(x\ne0\).

a) Für \(a=2\) gibt es keinen Extrempunkt; bei \((0\mid2)\) liegt ein Sattelpunkt. Für \(a\ne2\) gibt es \(E_1(0\mid a)\) und \(E_2(a-2\mid(4-a)e^{a-2})\); Hoch- und Tiefpunktart vertauschen sich beim Übergang durch \(a=2\). b) Ortslinie \(y=(2-x)e^x\) für \(x\ne0\).

- Was haben alle Funktionen der Schar gemeinsam, wenn du \(x = 0\) einsetzt? Überprüfe damit die Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse in den Abbildungen. - Berechne die erste Ableitung der Scharfunktion, um die Lage der Extremstellen in Abhängigkeit von \(k\) zu bestimmen. - Beachte bei der Bestimmung der Art der Extrempunkte, dass der Parameter \(k\) sowohl positiv als auch negativ sein kann. Wie beeinflusst das Vorzeichen von \(k\) das Krümmungsverhalten an den Extremstellen? - Bestimme für den Nachweis der Ortskurve zuerst die Koordinaten des Wendepunkts \(W(x_W \mid y_W)\) in Abhängigkeit von \(k\). Wie hängen \(x_W\) und \(k\) zusammen?

1. Teilaufgabe a: Jede Funktion der Schar \(f_k(x) = x^3 - 3kx^2 + 4\) besitzt für \(x = 0\) den Funktionswert \(f_k(0) = 4\). Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt somit bei \(S_y(0 \mid 4)\). Bei den Graphen (2) und (3) liegt der \(y\)-Achsenabschnitt bei \(y = 2\), weshalb diese nicht zur Schar gehören können. Die erste Ableitung der Schar lautet \(f_k'(x) = 3x^2 - 6kx = 3x(x - 2k)\). Die Extremstellen liegen somit bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\). Bei Graph (4) liegt der Hochpunkt bei \(x = 0\) und der Tiefpunkt bei \(x = 1\). Damit müsste \(2k = 1 \implies k = 0{,}5\) sein. Der zugehörige Funktionswert des Tiefpunkts wäre dann \(f_{0{,}5}(1) = 1^3 - 3 \cdot 0{,}5 \cdot 1^2 + 4 = 3{,}5\). Im Graphen (4) liegt der Tiefpunkt jedoch bei \((1 \mid 2)\). Da \(2 \neq 3{,}5\), scheidet Graph (4) ebenfalls aus. Bei Graph (1) liegt der Tiefpunkt bei \(x = 2\). Damit ist \(2k = 2 \implies k = 1\). Der Funktionswert des Tiefpunkts lautet \(f_1(2) = 2^3 - 3 \cdot 1 \cdot 2^2 + 4 = 0\), was exakt mit dem Tiefpunkt \((2 \mid 0)\) in Graph (1) übereinstimmt. Somit gehört Graph (1) zur Schar mit \(k = 1\). 2. Teilaufgabe b: Die Ableitungen lauten \(f_k'(x) = 3x^2 - 6kx\) und \(f_k''(x) = 6x - 6k\). Die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) liefert die Extremstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2k\). Fall 1: \(k > 0\) Wegen \(f_k''(0) = -6k < 0\) liegt ein Hochpunkt bei \(HP(0 \mid 4)\) vor. Wegen \(f_k''(2k) = 6k > 0\) liegt ein Tiefpunkt bei \(TP(2k \mid 4 - 4k^3)\) vor, da \(f_k(2k) = 8k^3 - 12k^3 + 4 = 4 - 4k^3\). Fall 2: \(k < 0\) Wegen \(f_k''(0) = -6k > 0\) liegt ein Tiefpunkt bei \(TP(0 \mid 4)\) vor. Wegen \(f_k''(2k) = 6k < 0\) liegt ein Hochpunkt bei \(HP(2k \mid 4 - 4k^3)\) vor. 3. Teilaufgabe c: Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle lautet \(f_k''(x) = 0 \implies 6x - 6k = 0 \implies x_W = k\). Wegen \(f_k'''(x) = 6 \neq 0\) liegt an dieser Stelle stets ein Wendepunkt vor. Der zugehörige \(y\)-Wert ist \(y_W = f_k(k) = k^3 - 3k^3 + 4 = -2k^3 + 4\). Der Wendepunkt lautet somit \(W(k \mid -2k^3 + 4)\). Um die Ortskurve zu bestimmen, setzt man \(x = k\) in die Gleichung für \(y_W\) ein: \(y = -2x^3 + 4\). Dies entspricht genau der Funktion \(g(x) = -2x^3 + 4\).

a) Nur Graph (1) gehört zur Schar; der zugehörige Parameterwert ist \(k = 1\). Die Graphen (2) und (3) scheiden aus, da ihr \(y\)-Achsenabschnitt bei \(2\) statt bei \(4\) liegt. Graph (4) scheidet aus, da sein Tiefpunkt bei \((1 \mid 2)\) statt bei \((1 \mid 3{,}5)\) liegt. b) Für \(k > 0\): Hochpunkt \(HP(0 \mid 4)\) und Tiefpunkt \(TP(2k \mid 4 - 4k^3)\). Für \(k < 0\): Tiefpunkt \(TP(0 \mid 4)\) und Hochpunkt \(HP(2k \mid 4 - 4k^3)\). c) Die Wendestelle liegt bei \(x_W = k\) mit dem Funktionswert \(y_W = -2k^3 + 4\). Durch Einsetzen von \(k = x\) ergibt sich die Ortskurvengleichung \(g(x) = -2x^3 + 4\).

- Für einen gemeinsamen Punkt muss der parameterabhängige Anteil des Funktionsterms verschwinden. - Bestimme den Tiefpunkt zunächst für ein allgemeines \(a\), bevor du den Parameter eliminierst. - Bei der Rückwärtsfrage liefert die x-Koordinate des Tiefpunkts den Parameter. - Unterscheide sorgfältig zwischen „liegt auf jedem Graphen“ und „ist für ein bestimmtes Scharmitglied ein Tiefpunkt“.

1. Schreibe \(f_a(x)=x^2+a(1-2x)\). Ein gemeinsamer Punkt entsteht dort, wo der Parameterfaktor verschwindet: \(1-2x=0\), also \(x=\frac12\). Dann ist \(y=\frac14\). Somit ist \(P\left(\frac12\mid\frac14\right)\). 2. Es gilt \(f_a'(x)=2x-2a\). Daher liegt die stationäre Stelle bei \(x=a\). Wegen \(f_a''(x)=2>0\) ist sie ein Tiefpunkt. Seine y-Koordinate ist \(f_a(a)=a-a^2\). Also \(T_a(a\mid a-a^2)\). 3. Mit \(x=a\) ergibt sich die Ortskurve \(y=x-x^2\). 4. Für \(Q(2\mid-2)\) ist wegen der x-Koordinate \(a=2\); tatsächlich gilt \(2-2^2=-2\). 5. Ein gemeinsamer Punkt liegt auf jedem Graphen, eine Ortskurve beschreibt dagegen die Lage der Tiefpunkte verschiedener Scharmitglieder. Damit \(P\) selbst Tiefpunkt ist, muss seine x-Koordinate gleich \(a\) sein. Das geschieht nur für \(a=\frac12\).

a) \(P\left(\frac12\mid\frac14\right)\) b) \(T_a(a\mid a-a^2)\), Ortskurve \(y=x-x^2\) c) \(a=2\) d) Ein gemeinsamer Punkt und eine Tiefpunkt-Ortskurve beschreiben verschiedene Invarianten. \(P=T_a\) gilt nur für \(a=\frac12\).

- Bestimme zunächst die stationäre Stelle und prüfe ihre Art über das Vorzeichen der ersten Ableitung. - Für die exakte Ortskurve musst du nicht nur eine Gleichung finden, sondern auch klären, welche \(x\)-Werte durch \(a>0\) tatsächlich erreicht werden. - Bei zwei verschiedenen Parametern kann es hilfreich sein, die beiden Funktionsterme direkt gleichzusetzen und die Parameterdifferenz auszuklammern. - Vergleiche für die Tangentialitätsfrage die beiden Ableitungswerte am bereits gefundenen Schnittpunkt.

1. Es gilt \(f_a'(x)=a-\frac{1}{ax^2}\). Die Gleichung \(f_a'(x)=0\) liefert wegen \(x>0\) eindeutig \(x=\frac{1}{a}\). Links davon ist \(f_a'<0\), rechts davon \(f_a'>0\); daher liegt ein Tiefpunkt vor. Seine Ordinate ist \(f_a(1/a)=2\). Somit ist \(T_a\left(\frac{1}{a}\mid2\right)\). 2. Da \(a>0\), durchläuft \(\frac{1}{a}\) alle positiven reellen Zahlen. Die Ortskurve ist daher die Halbgerade \(y=2\) mit \(x>0\). Zu einem Punkt \((t\mid2)\) mit \(t>0\) gehört eindeutig der Parameter \(a=\frac{1}{t}\). 3. Für einen Schnittpunkt gilt \(ax+\frac{1}{ax}=bx+\frac{1}{bx}\). Nach Zusammenfassen folgt \((a-b)\left(x-\frac{1}{abx}\right)=0\). Wegen \(a\neq b\) und \(x>0\) ergibt sich eindeutig \(x=\frac{1}{\sqrt{ab}}\). Einsetzen liefert \(y=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\). Also ist \(S_{a,b}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}\mid\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\right)\). 4. Am Schnittpunkt gilt \(f_a'(S_x)=a-b\) und \(f_b'(S_x)=b-a\). Bei \(a\neq b\) sind diese Steigungen verschieden. Die Graphen schneiden sich daher nicht tangential. 5. Ein gemeinsamer Punkt aller Scharmitglieder existiert nicht. Für ein beliebiges \(x>0\) liefert beispielsweise \(a=\frac{1}{x}\) den Wert \(2\), während \(a=\frac{2}{x}\) den Wert \(\frac{5}{2}\) ergibt. Somit hängt der Funktionswert an jeder festen Stelle vom Parameter ab.

a) \(T_a\left(\frac{1}{a}\mid2\right)\). b) Ortskurve: \(y=2\) mit \(x>0\). Zu \((t\mid2)\) gehört eindeutig \(a=\frac{1}{t}\). c) \(S_{a,b}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}\mid\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\right)\) für \(a\neq b\). d) Die Steigungen sind \(a-b\) und \(b-a\) und daher für \(a\neq b\) verschieden; der Schnitt ist nicht tangential. e) Es gibt keinen Punkt, der auf allen Graphen liegt.