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- Wie hängen die Steigung einer Funktion und das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung zusammen? - Können wir die Stellen finden, an denen die Steigung null ist? - Wie verhält sich der Sinuswert im Einheitskreis bei bestimmten Winkeln? - Was passiert zwischen den Nullstellen der Ableitung mit dem Vorzeichen?

1. Bestimmung der ersten Ableitung der Funktion \(f\): \(f'(x) = -\sin(x) + \frac{1}{2}\). 2. Ermittlung der Nullstellen der Ableitung im Intervall \([0; 2\pi]\): Aus \(-\sin(x) + \frac{1}{2} = 0\) folgt \(\sin(x) = \frac{1}{2}\). Dies ergibt die Lösungen \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f'(x)\) in den Teilintervallen: - Für \(0 \le x < \frac{\pi}{6}\) ist \(\sin(x) < \frac{1}{2}\), also \(f'(x) > 0\). - Für \(\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}\) ist \(\sin(x) > \frac{1}{2}\), also \(f'(x) < 0\). - Für \(\frac{5\pi}{6} < x \le 2\pi\) ist \(\sin(x) < \frac{1}{2}\), also \(f'(x) > 0\). 4. Schlussfolgerung: Die Funktion ist streng monoton steigend für \(x \in [0; \frac{\pi}{6}]\) und \(x \in [\frac{5\pi}{6}; 2\pi]\). Sie ist streng monoton fallend für \(x \in [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]\).

Streng monoton steigend auf \([0; \frac{\pi}{6}]\) und \([\frac{5\pi}{6}; 2\pi]\); streng monoton fallend auf \([\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]\).

- Was ist die notwendige Bedingung für eine Extremstelle? - Welche Ableitungsregeln musst du hier anwenden? - Wie kannst du die Gleichung nach \(x\) auflösen, wenn \(x\) im Exponenten steht? - Wie entscheidest du, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = 2e^{2x} - 6\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(2e^{2x} - 6 = 0 \iff e^{2x} = 3 \iff 2x = \ln(3) \iff x = \frac{1}{2}\ln(3)\). 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 4e^{2x}\). 4. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''\left(\frac{1}{2}\ln(3)\right) = 4e^{\ln(3)} = 4 \cdot 3 = 12\). Da \(12 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor.

Lokales Minimum bei \(x = \frac{1}{2}\ln(3) \approx 0{,}549\).

- Erinnere dich an die Bedeutung von „notwendig“: Was muss zwingend passieren, damit ein Punkt ein Extrempunkt sein kann? - Wie verhält sich die \(e\)-Funktion bezüglich ihrer Nullstellen? - Wenn eine Bedingung erfüllt ist, aber das Ereignis (die Extremstelle) trotzdem nicht eintritt, nennt man diese Bedingung dann „hinreichend“?

1. Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle an der inneren Stelle \(x_0\) lautet \(f'(x_0) = 0\). 2. Ableitungen von \(f(x) = e^x\): Es gilt \(f'(x) = e^x\) und \(f''(x) = e^x\). Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für alle reellen Zahlen \(x\) stets positiv ist (\(e^x > 0\)), gilt insbesondere \(f''(x) \neq 0\) für alle \(x\). 3. Da \(f'(x) = e^x\) niemals Null wird, hat die Funktion keine Stellen mit waagerechter Tangente und somit keine Extremstellen. Da die Bedingung \(f''(x) \neq 0\) zwar überall erfüllt ist, aber keine einzige Extremstelle existiert, kann sie allein nicht ausreichen (nicht hinreichend sein), um die Existenz einer Extremstelle zu garantieren.

1. Notwendige Bedingung an einer inneren Stelle: \(f'(x_0) = 0\). 2. \(f'(x) = e^x\) und \(f''(x) = e^x\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist \(f''(x) \neq 0\). Da die Gleichung \(f'(x) = e^x = 0\) keine Lösung besitzt, gibt es keine Extremstellen. 3. Die Bedingung \(f''(x_0) \neq 0\) ist nicht hinreichend, da trotz ihrer Gültigkeit keine Extremstelle vorliegen muss (das Kriterium \(f'(x_0) = 0\) fehlt).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du jedes \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Erinnerst du dich an die Symmetrieeigenschaften der Kosinusfunktion? - Überlege, wie sich das Vorzeichen bei Potenzen mit ungeradem Exponenten verhält. - Vergleiche dein Ergebnis für \(f(-x)\) bzw. \(g(-x)\) direkt mit dem ursprünglichen Funktionsterm.

1. Untersuchung von \(f\): Einsetzen von \(-x\) ergibt \(f(-x) = \frac{e^{-x} + e^x}{2}\). Da die Addition kommutativ ist, gilt \(f(-x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = f(x)\). Somit ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Untersuchung von \(g\): Einsetzen von \(-x\) ergibt \(g(-x) = (-x)^3 \cdot \cos(-x)\). Da \((-x)^3 = -x^3\) und \(\cos(-x) = \cos(x)\) (Achsensymmetrie des Kosinus), folgt \(g(-x) = -x^3 \cdot \cos(x) = -g(x)\). Somit ist der Graph von \(g\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

a) Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\) gilt. b) Der Graph der Funktion \(g\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da \(g(-x) = -g(x)\) gilt.

- Prüfe die Bedingungen \(f(-x) = f(x)\) und \(f(-x) = -f(x)\) nacheinander. - Achte beim Quadrieren von \(-x\) besonders auf das Vorzeichen. - Wie verhält sich die Sinusfunktion, wenn ihr Argument quadriert wird? - Wenn weder die Bedingung für Achsensymmetrie noch die für Punktsymmetrie erfüllt ist, besitzt der Graph keine dieser Symmetrien.

1. Untersuchung von \(h\): Berechnung von \(h(-x) = \frac{(-x)^2 - 4}{(-x)^3} = \frac{x^2 - 4}{-x^3} = -\frac{x^2 - 4}{x^3} = -h(x)\). Da \(h(-x) = -h(x)\), ist der Graph von \(h\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Untersuchung von \(k\): Berechnung von \(k(-x) = \sin((-x)^2) + (-x) = \sin(x^2) - x\). Ein Vergleich mit \(k(x) = \sin(x^2) + x\) zeigt \(k(-x) \neq k(x)\) (keine Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse). Ein Vergleich mit \(-k(x) = -\sin(x^2) - x\) zeigt \(k(-x) \neq -k(x)\) (keine Punktsymmetrie zum Ursprung). Somit weist der Graph keine der beiden Symmetrien auf.

a) Der Graph von \(h\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. b) Der Graph von \(k\) weist keine der untersuchten Symmetrien auf.

- Erinnere dich an die Ableitung des natürlichen Logarithmus. - Was musst du tun, wenn ein Funktionsausdruck aus zwei multiplizierten Teilen besteht? - Wie gehst du vor, um die Steigung an einem Extrempunkt zu untersuchen? - Wie löst man eine Gleichung nach \(x\) auf, in der ein Logarithmus vorkommt?

1. Bestimmung der ersten Ableitung mit der Produktregel: Setze \(u(x) = x\) und \(v(x) = \ln(x)\). Es gilt \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = \frac{1}{x}\). 2. Anwendung der Regel: \(g'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1\). 3. Notwendige Bedingung für Extrema setzen: \(g'(x) = 0 \Rightarrow \ln(x) + 1 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: \(\ln(x) = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e}\). 5. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g''(x) = \frac{1}{x}\). Da \(g''(\frac{1}{e}) = e > 0\), liegt an der Stelle \(x = \frac{1}{e}\) ein lokales Minimum vor.

Die Funktion besitzt an der Stelle \(x = \frac{1}{e}\) ein lokales Minimum. Die notwendige Bedingung \(g'(x) = \ln(x) + 1 = 0\) wurde unter Anwendung der Produktregel ermittelt.

- Nutze die Produktregel separat für beide Teile der Summe und fasse den Term anschließend zusammen. - Überlege, welche Faktoren der Ableitung im gegebenen Intervall Nullstellen besitzen. - Nicht jede Stelle mit waagerechter Tangente muss zwingend ein Extrempunkt sein; prüfe dies sorgfältig. - Achte darauf, ob die berechneten Stellen innerhalb des vorgegebenen Intervalls liegen.

1. Berechnung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Summenregel: \(f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + (x^2 - 2) \cdot \cos(x) + 2 \cdot \cos(x) - 2x \cdot \sin(x) = x^2 \cdot \cos(x)\). 2. Bestimmung der stationären Punkte durch \(f'(x) = 0\): \(x^2 \cdot \cos(x) = 0 \implies x_1 = 0\) oder \(\cos(x) = 0\). Im Intervall \([-\pi; \pi]\) ergeben sich die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_3 = -\frac{\pi}{2}\). 3. Untersuchung der Art mithilfe der zweiten Ableitung \(f''(x) = 2x \cdot \cos(x) - x^2 \cdot \sin(x)\): - Für \(x_2 = \frac{\pi}{2}\): \(f''(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 - (\frac{\pi}{2})^2 \cdot 1 = -\frac{\pi^2}{4} < 0 \implies\) Hochpunkt. - Für \(x_3 = -\frac{\pi}{2}\): \(f''(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \cdot 0 - (-\frac{\pi}{2})^2 \cdot (-1) = \frac{\pi^2}{4} > 0 \implies\) Tiefpunkt. - Für \(x_1 = 0\): \(f''(0) = 0\). Ein Vorzeichenwechseltest von \(f'(x) = x^2 \cos(x)\) zeigt, dass \(x^2 \ge 0\) und \(\cos(x) > 0\) für \(x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\) gilt. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, ist \(x_1 = 0\) ein Sattelpunkt und kein Extrempunkt. 4. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: \(f(\frac{\pi}{2}) = ((\frac{\pi}{2})^2 - 2) \cdot 1 + 0 = \frac{\pi^2}{4} - 2 \approx 0{,}47\). \(f(-\frac{\pi}{2}) = ((-\frac{\pi}{2})^2 - 2) \cdot (-1) + 0 = 2 - \frac{\pi^2}{4} \approx -0{,}47\).

Der Graph von \(f\) besitzt im Intervall \([-\pi; \pi]\) folgende Extrempunkte: Hochpunkt \(H\left(\frac{\pi}{2} \mid \frac{\pi^2}{4} - 2\right)\) Tiefpunkt \(T\left(-\frac{\pi}{2} \mid 2 - \frac{\pi^2}{4}\right)\) (An der Stelle \(x = 0\) liegt ein Sattelpunkt vor.)

- Wann wird die Sinusfunktion allgemein null? - Beachte bei der Ableitung die Kettenregel. - Überlege dir, welche Werte das Argument \(x^2\) annehmen kann, wenn \(x\) im Intervall \([-2; 2]\) liegt. - Prüfe neben den kritischen Stellen im Inneren auch das einseitige Verhalten an den beiden Randpunkten.

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird \(f(x) = 0\) gesetzt: \(\sin(x^2) = 0\). Dies ist erfüllt für \(x^2 = k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Im Intervall \([-2; 2]\) muss \(0 \leq x^2 \leq 4\) gelten. Da \(\pi \approx 3{,}14\) und \(2\pi \approx 6{,}28\), sind für \(x^2\) nur \(0\) und \(\pi\) möglich. Daraus folgen die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm\sqrt{\pi} \approx \pm 1{,}77\). 2. Für die inneren Extrempunkte wird die erste Ableitung gebildet: \(f'(x) = 2x \cdot \cos(x^2)\). Die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x = 0\) oder \(\cos(x^2) = 0\). Letzteres gilt für \(x^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Im Bereich \(x^2 \in [0; 4]\) ist nur \(x^2 = \frac{\pi}{2}\) möglich. Dies ergibt die inneren kritischen Stellen \(x = 0\) sowie \(x = \pm\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx \pm 1{,}25\). 3. Mit \(f''(x) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)\) folgt: \(f''(0)=2>0\), also liegt bei \(T(0 \mid 0)\) ein lokales Minimum. Außerdem ist \(f''(\pm\sqrt{\pi/2})=-2\pi<0\), also liegen bei \(H_1(-\sqrt{\pi/2} \mid 1)\) und \(H_2(\sqrt{\pi/2} \mid 1)\) lokale Maxima. 4. An den Randpunkten gilt \(f(-2)=f(2)=\sin(4)\approx-0{,}7568\). Für \(x\) unmittelbar rechts von \(-2\) beziehungsweise unmittelbar links von \(2\) sind die Funktionswerte größer. Daher sind \(R_1(-2 \mid \sin(4))\) und \(R_2(2 \mid \sin(4))\) einseitige lokale Minima.

a) Nullstellen: \(x_1 = 0\); \(x_{2,3} = \pm\sqrt{\pi} \approx \pm 1{,}77\). b) Lokales Minimum im Inneren: \(T(0 \mid 0)\); lokale Maxima: \(H_{1,2}(\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}} \mid 1) \approx (\pm 1{,}25 \mid 1)\); einseitige lokale Minima an den Randpunkten: \(R_1(-2 \mid \sin(4))\) und \(R_2(2 \mid \sin(4))\), jeweils mit \(\sin(4) \approx -0{,}7568\).

- Welche Bedingungen müssen die erste und zweite Ableitung an einer Extremstelle erfüllen? - Überlege dir, welche Rolle die Steigung der Funktion im Ursprung für die Anzahl der Schnittpunkte spielt. - Skizziere grob den Verlauf einer Sinushalbwelle und verschiedener Ursprungsgeraden. - Beachte das Krümmungsverhalten des Graphen im gegebenen Intervall.

1. Erste Ableitung: \(f'(x) = 6 \cdot \frac{\pi}{12} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12}x\right) = \frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{12}x\right)\). 2. Bedingung für Hochpunkt: \(f'(6) = \frac{\pi}{2} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = -\frac{\pi^2}{24}\sin\left(\frac{\pi}{12}x\right)\). Da \(f''(6) = -\frac{\pi^2}{24} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi^2}{24} < 0\), liegt bei \(x = 6\) ein Hochpunkt vor. 3. Schnittpunkte \(f(x) = mx\): Der Punkt \((0|0)\) ist für alle \(m\) eine Lösung. 4. Tangentensteigung im Ursprung: \(f'(0) = \frac{\pi}{2} \cdot \cos(0) = \frac{\pi}{2}\). 5. Aufgrund der strengen Konkavität von \(f\) auf \([0; 12]\) existiert für \(0 \le m < \frac{\pi}{2}\) genau ein weiterer Schnittpunkt im Intervall \(]0; 12]\). Für \(m = 0\) ist dies die Nullstelle \(x = 12\). 6. Für \(m \ge \frac{\pi}{2}\) oder \(m < 0\) verläuft die Gerade so, dass außer dem Ursprung kein weiterer Punkt im Definitionsbereich getroffen wird.

a) \(f'(6) = 0\) und \(f''(6) = -\frac{\pi^2}{24} < 0\), somit Hochpunkt bei \(x = 6\). b) Für \(m \in [0; \frac{\pi}{2}[\): 2 gemeinsame Punkte; für \(m \in ]-\infty; 0[ \cup [\frac{\pi}{2}; \infty[\): 1 gemeinsamer Punkt.

- Welche Werte muss das Argument einer Kosinusfunktion annehmen, damit der Funktionswert null ist? - Denke beim Ableiten an die Kettenregel. - Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. - Prüfe neben den kritischen Stellen im Inneren auch das einseitige Verhalten an den Randpunkten.

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird \(\cos(x^2) = 0\) gelöst. Dies gilt für \(x^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Wegen \(0 \leq x^2 \leq 4\) liefert nur \(k=0\) Lösungen. Die Nullstellen sind \(x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx \pm1{,}25\). 2. Die erste Ableitung lautet \(f'(x)=-2x\sin(x^2)\). Für innere Extremstellen gilt \(f'(x)=0\), also \(x=0\) oder \(x^2=k\pi\). Im Inneren des Intervalls ergeben sich \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{\pi} \approx \pm1{,}77\). 3. Bei \(x=0\) ist \(f(0)=1\); in der Umgebung sind die Funktionswerte kleiner. Daher liegt der lokale Hochpunkt \(H(0 \mid 1)\) vor. Bei \(x=\pm\sqrt{\pi}\) ist \(f(x)=-1\), also liegen die lokalen Tiefpunkte \(T_1(-\sqrt{\pi} \mid -1)\) und \(T_2(\sqrt{\pi} \mid -1)\) vor. 4. An den Randpunkten gilt \(f(-2)=f(2)=\cos(4)\approx-0{,}6536\). Unmittelbar rechts von \(-2\) beziehungsweise links von \(2\) sind die Funktionswerte kleiner. Deshalb sind \(R_1(-2 \mid \cos(4))\) und \(R_2(2 \mid \cos(4))\) einseitige lokale Maxima.

a) Nullstellen: \(x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx \pm1{,}25\). b) Lokales Maximum im Inneren: \(H(0 \mid 1)\); lokale Minima: \(T_{1,2}(\pm\sqrt{\pi} \mid -1) \approx (\pm1{,}77 \mid -1)\); einseitige lokale Maxima an den Randpunkten: \(R_{1,2}(\pm2 \mid \cos(4))\) mit \(\cos(4) \approx -0{,}6536\).

- Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Stelle mit waagrechter Tangente erfüllen? - Denk an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Kann eine Exponentialfunktion jemals den Wert Null annehmen? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten im Unendlichen, wenn ein Polynom und eine Exponentialfunktion multipliziert werden?

1. Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel bestimmen: \(f'(x) = -2 \cdot e^{0{,}5x} + (4 - 2x) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (-2 + 2 - x) = -x \cdot e^{0{,}5x}\). 2. Bedingung für eine waagrechte Tangente anwenden: \(f'(x) = 0 \Rightarrow -x \cdot e^{0{,}5x} = 0\). Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, folgt \(x = 0\). 3. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(0) = (4 - 2 \cdot 0) \cdot e^0 = 4\). Der gesuchte Punkt ist \(H(0 \mid 4)\). 4. Grenzwerte bestimmen: Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Faktor \(e^{0{,}5x}\) der Null an. Da das exponentielle Abfallen stärker ist als das lineare Wachstum von \((4-2x)\), gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\). Für \(x \to \infty\) strebt \(4-2x\) gegen \(-\infty\) und \(e^{0{,}5x}\) gegen \(\infty\), woraus \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\) folgt.

Punkt: \(H(0 \mid 4)\) Grenzwerte: \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\)

- Überlege, welche Ableitungsregeln für eine Funktion aus einem linearen Term und einer Exponentialfunktion kombiniert werden müssen. - Was weißt du über die Werte der natürlichen Exponentialfunktion \(e^{g(x)}\)? Kann dieser Teil jemals Null werden? - Wie gehst du vor, um zu entscheiden, ob ein Berg oder ein Tal im Graphen vorliegt?

1. Erste Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel bilden: \(f'(x) = 4 \cdot e^{-0{,}2x} + (4x + 2) \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2x} = (3{,}6 - 0{,}8x) \cdot e^{-0{,}2x}\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: Da der Exponentialterm \(e^{-0{,}2x}\) stets positiv ist, ergibt sich die Gleichung \(3{,}6 - 0{,}8x = 0\). 3. Nullstelle der ersten Ableitung berechnen: \(0{,}8x = 3{,}6 \implies x = 4{,}5\). 4. Zweite Ableitung zur Bestimmung der Art bilden: \(f''(x) = -0{,}2 \cdot e^{-0{,}2x} \cdot (3{,}6 - 0{,}8x) + e^{-0{,}2x} \cdot (-0{,}8) = (0{,}16x - 1{,}52) \cdot e^{-0{,}2x}\). 5. Hinreichende Bedingung an der Stelle \(x = 4{,}5\) prüfen: \(f''(4{,}5) = (0{,}16 \cdot 4{,}5 - 1{,}52) \cdot e^{-0{,}9} = -0{,}8 \cdot e^{-0{,}9} < 0\). Somit liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor.

An der Stelle \(x = 4{,}5\) befindet sich ein lokales Maximum (Hochpunkt).

- Kannst du die Gleichung \(f'(x) = 0\) vereinfachen, indem du einen gemeinsamen Faktor ausklammerst? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen \(e^x\) und dem natürlichen Logarithmus \(\ln(x)\). - Welche Bedingung muss die zweite Ableitung an einer Stelle erfüllen, damit dort ein Tiefpunkt vorliegt?

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Kettenregel berechnen: \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot e^{2x} - 4e^x = e^{2x} - 4e^x\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) aufstellen: \(e^{2x} - 4e^x = 0\). 3. Gleichung durch Ausklammern lösen: \(e^x \cdot (e^x - 4) = 0\). Da \(e^x > 0\), folgt \(e^x = 4\). 4. Logarithmieren ergibt die Extremstelle: \(x = \ln(4)\). 5. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 2e^{2x} - 4e^x\). 6. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''(\ln(4)) = 2 \cdot (e^{\ln(4)})^2 - 4 \cdot e^{\ln(4)} = 2 \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 = 32 - 16 = 16\). Da \(16 > 0\), liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor.

An der Stelle \(x = \ln(4)\) befindet sich ein lokales Minimum (Tiefpunkt).

- Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn zwei Funktionsterme multipliziert werden? - Wann kann ein Produkt den Wert Null annehmen? Beachte dabei die Besonderheit der Exponentialfunktion. - Wie kannst du sicherstellen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? - Vergiss nicht, am Ende auch die Funktionswerte (y-Werte) zu berechnen.

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Produktregel bestimmen: \(f'(x) = (2x - 5) \cdot e^x + (x^2 - 5x + 7) \cdot e^x = (x^2 - 3x + 2) \cdot e^x\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) prüfen: Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(x^2 - 3x + 2 = 0\) gelten. Dies liefert über die p-q-Formel oder Faktorisierung die Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 3. Zweite Ableitung zur Überprüfung der Hinreichenden Bedingung bilden: \(f''(x) = (2x - 3) \cdot e^x + (x^2 - 3x + 2) \cdot e^x = (x^2 - x - 1) \cdot e^x\). 4. Überprüfung der Stellen: \(f''(1) = (1^2 - 1 - 1) \cdot e^1 = -e < 0\), somit liegt bei \(x_1 = 1\) ein Hochpunkt vor. \(f''(2) = (2^2 - 2 - 1) \cdot e^2 = e^2 > 0\), somit liegt bei \(x_2 = 2\) ein Tiefpunkt vor. 5. Koordinaten durch Einsetzen in \(f(x)\) berechnen: \(f(1) = (1 - 5 + 7) \cdot e^1 = 3e\) und \(f(2) = (4 - 10 + 7) \cdot e^2 = e^2\).

Die Extrempunkte sind \(H(1 \mid 3e)\) und \(T(2 \mid e^2)\).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor in den Summanden finden? - Welche Eigenschaft der Exponentialfunktion ist hilfreich, wenn du ein Produkt gleich null setzt? - Wie hängen die notwendigen Bedingungen für Extrema und Wendepunkte mit den Ableitungen zusammen? - Denke daran, dass \(e^{2x} = (e^x)^2\) ist, wenn du ableitest oder faktorisierst.

1. Faktorisierung: \(f(x) = 2e^x \cdot (3 - e^x)\) 2. Nullstelle: \(2e^x \cdot (3 - e^x) = 0 \Rightarrow 3 - e^x = 0 \Rightarrow e^x = 3 \Rightarrow x = \ln(3)\) 3. Ableitungen: \(f'(x) = 6e^x - 4e^{2x}\); \(f''(x) = 6e^x - 8e^{2x}\); \(f'''(x) = 6e^x - 16e^{2x}\) 4. Extrempunkt: \(f'(x) = 2e^x \cdot (3 - 2e^x) = 0 \Rightarrow e^x = 1{,}5 \Rightarrow x = \ln(1{,}5)\). Überprüfung mit \(f''(\ln(1{,}5)) = 6 \cdot 1{,}5 - 8 \cdot 2{,}25 = -9 < 0\) ergibt ein lokales Maximum. Funktionswert: \(f(\ln(1{,}5)) = 6 \cdot 1{,}5 - 2 \cdot 2{,}25 = 4{,}5\). Hochpunkt \(H(\ln(1{,}5) \mid 4{,}5)\). 5. Wendepunkt: \(f''(x) = 2e^x \cdot (3 - 4e^x) = 0 \Rightarrow e^x = 0{,}75 \Rightarrow x = \ln(0{,}75)\). Überprüfung mit \(f'''(\ln(0{,}75)) = 6 \cdot 0{,}75 - 16 \cdot 0{,}5625 = -4{,}5 \neq 0\) bestätigt den Wendepunkt. Funktionswert: \(f(\ln(0{,}75)) = 6 \cdot 0{,}75 - 2 \cdot 0{,}5625 = 3{,}375\). Wendepunkt \(W(\ln(0{,}75) \mid 3{,}375)\).

a) Faktorisierte Form: \(f(x) = 2e^x(3 - e^x)\); Nullstelle bei \(x = \ln(3)\). b) Hochpunkt \(H(\ln(1{,}5) \mid 4{,}5)\); Wendepunkt \(W(\ln(0{,}75) \mid 3{,}375)\).

- Überlege dir zuerst, welche Ableitungsregeln du für den Term mit der e-Funktion benötigst. - Wann ist die Steigung eines Graphen null? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Berg- oder ein Talpunkt vorliegt? - Vergiss nicht, am Ende auch den y-Wert zu berechnen.

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Kettenregel bilden: \(f'(x) = 2 \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} - 1 = e^{0{,}5x} - 1\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(e^{0{,}5x} - 1 = 0 \Rightarrow e^{0{,}5x} = 1 \Rightarrow 0{,}5x = 0 \Rightarrow x = 0\). 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\). 4. Hinreichende Bedingung an der Stelle \(x = 0\) prüfen: \(f''(0) = 0{,}5 \cdot e^0 = 0{,}5 > 0\). Da die zweite Ableitung positiv ist, liegt ein lokales Minimum vor. 5. Funktionswert berechnen: \(f(0) = 2 \cdot e^0 - 0 = 2\). 6. Der lokale Extrempunkt ist ein Tiefpunkt mit den Koordinaten \(T(0 \mid 2)\).

Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\)

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor im Funktionsterm finden? - Was weißt du über die Werte, die eine Exponentialfunktion annehmen kann? - Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines Extrempunkts erfüllt sein? - Wie verhalten sich die einzelnen Terme für sehr große oder sehr kleine Werte von \(x\)?

1. Ausklammern von \(e^x\): \(f(x) = e^x \cdot (4 - e^x)\). 2. Nullstellenbestimmung: Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(4 - e^x = 0\) gelten. Dies führt zu \(e^x = 4\), also \(x = \ln(4)\). 3. Erste Ableitung: \(f'(x) = 4e^x - 2e^{2x} = 2e^x \cdot (2 - e^x)\). 4. Bedingung für Extrema: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 2 - e^x = 0 \Rightarrow e^x = 2 \Rightarrow x_E = \ln(2)\). 5. Zweite Ableitung: \(f''(x) = 4e^x - 4e^{2x}\). 6. Art des Extrempunkts: \(f''(\ln(2)) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 2^2 = 8 - 16 = -8 < 0\). Es liegt ein lokaler Hochpunkt vor. 7. Koordinaten: \(f(\ln(2)) = 4 \cdot 2 - 2^2 = 4\). Somit ist der Hochpunkt \(H(\ln(2) \mid 4)\). 8. Grenzwerte: Für \(x \to -\infty\) gilt \(e^x \to 0\) und \(e^{2x} \to 0\), also \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\). Für \(x \to \infty\) dominiert der Term \(-e^{2x}\), also \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\).

a) \(f(x) = e^x(4 - e^x)\); Nullstelle bei \(x = \ln(4)\). b) Hochpunkt \(H(\ln(2) \mid 4)\). c) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\).

- Was passiert, wenn du eine Zahl und ihren Kehrwert betrachtest, insbesondere im Hinblick auf das Vorzeichen? - Wie verhält sich eine Funktion, wenn man \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Nutze die Kettenregel beim Ableiten der Exponentialfunktionen. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Form der Kurve aus?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2\), also \(S_y(0 \mid 2)\). Da die Exponentialfunktion \(e^u\) für alle \(u \in \mathbb{R}\) stets positive Werte liefert, ist die Summe zweier positiver Terme \(e^{0{,}2x} + e^{-0{,}2x} > 0\), weshalb keine Nullstellen existieren. 2. Symmetrie: \(f(-x) = e^{-0{,}2x} + e^{0{,}2x} = f(x)\), somit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Grenzwerte: Für \(x \to +\infty\) gilt \(e^{0{,}2x} \to \infty\) und \(e^{-0{,}2x} \to 0\), also \(f(x) \to \infty\). Aufgrund der Achsensymmetrie gilt auch für \(x \to -\infty\) der Grenzwert \(f(x) \to \infty\). 3. Ableitungen: \(f'(x) = 0{,}2e^{0{,}2x} - 0{,}2e^{-0{,}2x}\) und \(f''(x) = 0{,}04e^{0{,}2x} + 0{,}04e^{-0{,}2x} = 0{,}04f(x)\). Da \(f(x) > 0\), ist auch \(f''(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Somit ist \(G_f\) überall linksgekrümmt. 4. Extrempunkt: \(f'(x) = 0 \iff 0{,}2e^{0{,}2x} = 0{,}2e^{-0{,}2x} \iff e^{0{,}2x} = e^{-0{,}2x} \iff 0{,}2x = -0{,}2x \iff x = 0\). Wegen der Linkskrümmung liegt an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Minimum vor. Mit \(f(0) = 2\) ergibt sich der Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\).

a) Schnittpunkt \(S_y(0 \mid 2)\); keine Nullstellen, da \(e^u > 0\) für alle \(u\). b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \infty\). c) \(f''(x) = 0{,}04(e^{0{,}2x} + e^{-0{,}2x}) = 0{,}04f(x)\); wegen \(f''(x) > 0\) ist der Graph linksgekrümmt. d) Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\).

- Erinnere dich an die Definition der Punktsymmetrie: \(f(-x) = -f(x)\). - Welcher Teil der Funktion bestimmt das Wachstum, wenn \(x\) sehr groß wird? - Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Monotonieverhalten zusammen? - Nutze die erste und zweite binomische Formel, um die Quadrate der Terme zu vereinfachen.

1. Symmetrie: \(g(-x) = \frac{1}{2}(e^{-x} - e^x) = -\frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) = -g(x)\), also punktsymmetrisch zum Ursprung. Schnittpunkt: \(g(0) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0\), also Ursprung \(O(0 \mid 0)\). Da \(e^x = e^{-x}\) nur für \(x=0\) gilt, ist dies die einzige Nullstelle. 2. Grenzwerte: Für \(x \to \infty\) dominiert \(e^x\), also \(g(x) \to \infty\). Wegen der Punktsymmetrie folgt für \(x \to -\infty\), dass \(g(x) \to -\infty\). 3. Monotonie: \(g'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), ist \(g'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Somit ist \(g\) streng monoton steigend. 4. Identität: \(g'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\) und \(g(x) = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\). Quadrieren liefert \([g'(x)]^2 = \frac{1}{4}(e^{2x} + 2 + e^{-2x})\) und \([g(x)]^2 = \frac{1}{4}(e^{2x} - 2 + e^{-2x})\). Die Differenz ergibt \([g'(x)]^2 - [g(x)]^2 = \frac{1}{4}(e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x}) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\).

a) Punktsymmetrie zum Ursprung; einziger Achsenschnittpunkt im Ursprung \(O(0 \mid 0)\). b) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\). c) \(g'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}) > 0\) für alle \(x\), daher streng monoton steigend. d) Nachweis durch Einsetzen und Anwenden der binomischen Formeln: \(\frac{1}{4}(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - \frac{1}{4}(e^{2x} - 2 + e^{-2x}) = 1\).

- Überprüfe, ob sich das Vorzeichen des Funktionswerts ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Was passiert mit dem Exponenten der e-Funktion, wenn \(x\) sehr groß wird? - Nutze die Produktregel und die Kettenregel für die Ableitungen. - Die zweite Ableitung gibt dir Auskunft über die Krümmung: Wo ist sie positiv, wo negativ?

1. Symmetrie: \(f(-x) = 4 \cdot e^{-\frac{1}{2}(-x)^2} = 4e^{-\frac{1}{2}x^2} = f(x)\). Somit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Grenzverhalten: Da \(-\frac{1}{2}x^2 \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\), gilt \(e^{-\frac{1}{2}x^2} \to 0\). Daraus folgt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). 3. Ableitungen: \(f'(x) = -4x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}\) und \(f''(x) = (4x^2 - 4) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}\). 4. Extrema: \(f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0\). Einsetzen in die zweite Ableitung: \(f''(0) = -4 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) bei \(H(0 \mid 4)\) vor. 5. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 4x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x_{W1} = -1\) und \(x_{W2} = 1\). 6. Krümmung: \(f''(x) > 0\) für \(x \in ]-\infty;-1[ \cup ]1;\infty[\), dort ist \(G_f\) linksgekrümmt. \(f''(x) < 0\) für \(x \in ]-1;1[\), dort ist \(G_f\) rechtsgekrümmt.

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). b) Hochpunkt \(H(0 \mid 4)\). c) Wendestellen bei \(x = -1\) und \(x = 1\). \(G_f\) ist linksgekrümmt für \(|x| > 1\) und rechtsgekrümmt für \(-1 < x < 1\).

- Welche Ableitungsregeln musst du kombinieren, um den Term \(\sin^2(x)\) abzuleiten? - Kannst du die Ableitung so umformen, dass sie als Produkt vorliegt? - Wann ist ein Produkt aus zwei Faktoren positiv oder negativ? - Beachte den eingeschränkten Definitionsbereich für die Untersuchung.

1. Bildung der ersten Ableitung unter Verwendung der Kettenregel: \(g'(x) = 2\sin(x)\cos(x) - \sin(x)\). 2. Faktorisieren der Ableitung: \(g'(x) = \sin(x) \cdot (2\cos(x) - 1)\). 3. Bestimmung der kritischen Punkte im Intervall \([0; \pi]\): - \(\sin(x) = 0\) liefert \(x = 0\) und \(x = \pi\). - \(2\cos(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = \frac{1}{2}\) liefert \(x = \frac{\pi}{3}\). 4. Vorzeichenanalyse von \(g'(x)\) im Intervall \((0; \pi)\): Da \(\sin(x) > 0\) für alle \(x \in (0; \pi)\), hängt das Vorzeichen nur von \((2\cos(x) - 1)\) ab. - Im Intervall \((0; \frac{\pi}{3})\) ist \(\cos(x) > \frac{1}{2}\), also \(g'(x) > 0\). - Im Intervall \((\frac{\pi}{3}; \pi)\) ist \(\cos(x) < \frac{1}{2}\), also \(g'(x) < 0\). 5. Ergebnis: \(g\) ist streng monoton steigend auf \([0; \frac{\pi}{3}]\) und streng monoton fallend auf \([\frac{\pi}{3}; \pi]\).

Streng monoton steigend auf \([0; \frac{\pi}{3}]\); streng monoton fallend auf \([\frac{\pi}{3}; \pi]\).

- Nutze trigonometrische Identitäten wie die Doppelwinkelformeln, um die Ableitung in ein Produkt zu verwandeln. - Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. - Überprüfe das Vorzeichen der Ableitung in den Zwischenbereichen, um die Monotonie festzulegen. - Achte darauf, dass nur Lösungen innerhalb des Intervalls \([0; \pi]\) gesucht sind.

1. Ableitung bilden: \(g'(x) = 2 \cos(x) - 2 \sin(2x)\). 2. Vereinfachung der Ableitung: Mit der Doppelwinkelformel \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\) folgt \(g'(x) = 2 \cos(x) - 4 \sin(x) \cos(x) = 2 \cos(x)(1 - 2 \sin(x))\). 3. Nullstellen von \(g'\) in \([0; \pi]\) bestimmen: - \(2 \cos(x) = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{2}\). - \(1 - 2 \sin(x) = 0 \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x_2 = \frac{\pi}{6}, x_3 = \frac{5\pi}{6}\). 4. Vorzeichen von \(g'(x)\) untersuchen: - Auf \([0; \frac{\pi}{6})\): \(g' > 0\) (streng monoton steigend). - Auf \((\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})\): \(g' < 0\) (streng monoton fallend). - Auf \((\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6})\): \(g' > 0\) (streng monoton steigend). - Auf \((\frac{5\pi}{6}; \pi]\): \(g' < 0\) (streng monoton fallend). 5. Art der Extrempunkte (über Vorzeichenwechsel oder zweite Ableitung): - VZW von \(+\) nach \(-\) bei \(x = \frac{\pi}{6}\): Hochpunkt. \(g(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot 0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}5\). - VZW von \(-\) nach \(+\) bei \(x = \frac{\pi}{2}\): Tiefpunkt. \(g(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 - 1 = 1\). - VZW von \(+\) nach \(-\) bei \(x = \frac{5\pi}{6}\): Hochpunkt. \(g(\frac{5\pi}{6}) = 2 \cdot 0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}5\).

Die Funktion \(g\) ist streng monoton steigend auf \([0; \frac{\pi}{6}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6}]\) sowie streng monoton fallend auf \([\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{5\pi}{6}; \pi]\). Die lokalen Extrempunkte sind: \(H_1(\frac{\pi}{6} \mid 1{,}5)\), \(T(\frac{\pi}{2} \mid 1)\) und \(H_2(\frac{5\pi}{6} \mid 1{,}5)\).

- Überprüfe, ob \(f(-x) = f(x)\) oder \(f(-x) = -f(x)\) gilt, um die Symmetrie zu bestimmen. - Überlege dir, wie sich der Exponent der \(e\)-Funktion verhält, wenn \(x\) sehr groß wird. - Erinnere dich an die Monotonie der \(e\)-Funktion: Wann ist eine Potenz mit Basis \(e\) am größten? - Für die Wendepunkte musst du die Stellen finden, an denen die Krümmung des Graphen das Vorzeichen wechselt. - Die Tangentengleichung lässt sich allgemein durch \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\) bestimmen.

1. Symmetrie: \(f(-x) = 2e^{1 - 0{,}5(-x)^2} = 2e^{1 - 0{,}5x^2} = f(x)\). Somit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Grenzwerte: Für \(x \to \pm \infty\) geht der Exponent \(1 - 0{,}5x^2 \to -\infty\). Da \(\lim_{u \to -\infty} e^u = 0\), gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). 3. Extrempunkt: Der Exponent \(h(x) = 1 - 0{,}5x^2\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Maximum \(1\) bei \(x = 0\). Da die Exponentialfunktion \(u \mapsto e^u\) streng monoton steigend ist, liegt bei \(x = 0\) ein Maximum von \(f\) vor. Mit \(f(0) = 2e^1 = 2e\) ergibt sich der Hochpunkt \(H(0 \mid 2e)\). 4. Wendepunkte: Ableitungen bilden: \(f'(x) = -2x \cdot e^{1 - 0{,}5x^2}\) und \(f''(x) = (2x^2 - 2) \cdot e^{1 - 0{,}5x^2}\). Nullstellen der zweiten Ableitung: \(2x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm 1\). Funktionswerte \(f(1) = f(-1) = 2 \cdot e^{0{,}5} = 2\sqrt{e}\). Wendepunkte sind \(W_1(-1 \mid 2\sqrt{e})\) und \(W_2(1 \mid 2\sqrt{e})\). 5. Tangente an \(x = 1\): Steigung \(f'(1) = -2 \cdot 1 \cdot e^{0{,}5} = -2\sqrt{e}\). Punkt \((1 \mid 2\sqrt{e})\). Tangentengleichung: \(y = -2\sqrt{e}(x - 1) + 2\sqrt{e} = -2\sqrt{e}x + 4\sqrt{e}\).

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\) b) Hochpunkt \(H(0 \mid 2e)\); Begründung über das Maximum des quadratischen Exponenten und die Monotonie der Exponentialfunktion. c) \(W_1(-1 \mid 2\sqrt{e})\) und \(W_2(1 \mid 2\sqrt{e})\) d) \(y = -2\sqrt{e}x + 4\sqrt{e}\)

- Wie bestimmt man den Wert einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von Funktionen der Form \(u(t) \cdot v(t)\). - Was muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Überlege dir, welcher Teil des Funktionsterms für sehr große Werte von \(t\) gegen null geht.

1. Berechnung der Anfangskonzentration durch Einsetzen von \(t = 0\) in \(k(t)\): \(k(0) = 0{,}8 + 12 \cdot 0 \cdot e^0 = 0{,}8\,\text{mg/l}\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(k'(t) = 12 \cdot e^{-0{,}5t} + 12t \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t} = (12 - 6t) \cdot e^{-0{,}5t}\). 3. Nullstelle der Ableitung: \(12 - 6t = 0 \implies t = 2\). Da \(e^{-0{,}5t} > 0\) gilt, ist \(k'(t)\) für \(0 \le t < 2\) positiv und für \(t > 2\) negativ. Daher liegt bei \(t = 2\) das Maximum. 4. Maximalwert: \(k(2) = 0{,}8 + 24 \cdot e^{-1} \approx 9{,}63\,\text{mg/l}\). 5. Wert nach \(12\,\text{Stunden}\): \(k(12) = 0{,}8 + 144 \cdot e^{-6} \approx 1{,}16\,\text{mg/l}\). 6. Grenzwert für \(t \to \infty\): Da der Term \(12t \cdot e^{-0{,}5t}\) gegen \(0\) strebt, nähert sich die Konzentration langfristig dem Wert \(0{,}8\,\text{mg/l}\) an.

a) \(0{,}8\,\text{mg/l}\) b) Nach \(2\,\text{Stunden}\); ca. \(9{,}63\,\text{mg/l}\) c) ca. \(1{,}16\,\text{mg/l}\) d) Der Grenzwert beträgt \(0{,}8\,\text{mg/l}\).

- Welche mathematische Bedingung hilft dir, Hochpunkte einer Funktion zu finden? - Nutze das Ausklammern, um die Nullstellen der Ableitungsfunktion einfacher zu finden. - Achte beim Ableiten darauf, dass der Faktor \(0{,}2\) vor der Klammer stehen bleiben kann oder direkt mit einbezogen wird. - Was passiert mit dem Exponentialterm für sehr große Werte von \(t\)?

1. Anfangstemperatur: \(f(0) = 15 + 0{,}2 \cdot 0^2 \cdot e^0 = 15\,^\circ\text{C}\). 2. Erste Ableitung: \(f'(t) = 0{,}4t \cdot e^{-0{,}1t} + 0{,}2t^2 \cdot (-0{,}1) \cdot e^{-0{,}1t} = (0{,}4t - 0{,}02t^2) \cdot e^{-0{,}1t}\). 3. Extremstellen: \(0{,}4t - 0{,}02t^2 = 0 \implies t \cdot (0{,}4 - 0{,}02t) = 0\). Dies liefert \(t = 0\) und \(t = 20\). Für \(0 < t < 20\) ist \(f'(t) > 0\), für \(t > 20\) ist \(f'(t) < 0\); daher liegt bei \(t = 20\) das Maximum. 4. Maximaltemperatur: \(f(20) = 15 + 0{,}2 \cdot 400 \cdot e^{-2} = 15 + 80 \cdot e^{-2} \approx 25{,}83\,^\circ\text{C}\). 5. Temperatur nach \(100\,\text{s}\): \(f(100) = 15 + 0{,}2 \cdot 10\,000 \cdot e^{-10} = 15 + 2000 \cdot e^{-10} \approx 15{,}09\,^\circ\text{C}\). 6. Grenzwert: Da \(\lim_{t \to \infty} t^2 \cdot e^{-0{,}1t} = 0\), gilt \(\lim_{t \to \infty} f(t) = 15\). Im Modell nähert sich die Bauteiltemperatur langfristig \(15\,^\circ\text{C}\) an.

a) \(15\,^\circ\text{C}\) b) Nach \(20\,\text{Sekunden}\); ca. \(25{,}83\,^\circ\text{C}\) c) ca. \(15{,}09\,^\circ\text{C}\) d) Der Grenzwert ist \(15\,^\circ\text{C}\); langfristig nähert sich die Temperatur diesem Wert an.

- Überlege, welcher Teil des Funktionsterms null werden kann. - Erinnere dich daran, welche Funktion für sehr große Werte von \(x\) schneller wächst: eine lineare Funktion oder eine Exponentialfunktion. - Nutze die Produktregel und die Kettenregel für die Ableitungen. - Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung weist auf einen Wendepunkt hin. - Für die Tangentengleichung benötigst du die Steigung an der entsprechenden Stelle und die Koordinaten des Berührpunktes.

1. Nullstelle: \(f(x) = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, ist \(x = 2\) die einzige Nullstelle. 2. Grenzverhalten: Für \(x \to +\infty\) dominiert der exponentielle Faktor \(e^{-0{,}5x}\), sodass \(f(x) \to 0\). Für \(x \to -\infty\) gehen beide Faktoren gegen \(-\infty\) bzw. \(+\infty\), somit gilt \(f(x) \to -\infty\). 3. Extrempunkt: Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = (2 - 0{,}5x) \cdot e^{-0{,}5x}\). Die Bedingung \(f'(x) = 0\) liefert \(x = 4\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = (0{,}25x - 1{,}5) \cdot e^{-0{,}5x}\). Wegen \(f''(4) = -0{,}5 \cdot e^{-2} < 0\) liegt ein Hochpunkt vor. Koordinaten: \(H(4 \mid 2e^{-2})\). 4. Wendepunkt: Die Bedingung \(f''(x) = 0\) liefert \(0{,}25x - 1{,}5 = 0 \Rightarrow x = 6\). Da \(f''(x)\) an der Stelle \(x = 6\) einen Vorzeichenwechsel besitzt (einfache Nullstelle eines linearen Faktors), liegt genau ein Wendepunkt bei \(W(6 \mid 4e^{-3})\) vor. 5. Wendetangente: Die Steigung im Wendepunkt ist \(m = f'(6) = (2 - 3) \cdot e^{-3} = -e^{-3}\). Mit dem Punkt \(W(6 \mid 4e^{-3})\) ergibt die Punkt-Steigungs-Form die Gleichung \(y = -e^{-3} \cdot (x - 6) + 4e^{-3}\), vereinfacht \(y = -e^{-3}x + 10e^{-3}\).

a) Nullstelle bei \(x = 2\). b) \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). c) Hochpunkt \(H(4 \mid 2e^{-2})\). d) Einziger Wendepunkt bei \(W(6 \mid 4e^{-3})\); Wendetangente \(y = -e^{-3}x + 10e^{-3}\).

- Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. - Achte beim Ableiten besonders auf die Kettenregel bei der e-Funktion. - Die Art eines Extrempunktes lässt sich über das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. - Für den Nachweis des Wendepunkts ist die Untersuchung der zweiten Ableitung auf Nullstellen und Vorzeichenwechsel entscheidend. - Überlege beim Grenzverhalten, welcher Faktor den Gesamtausdruck für sehr große oder sehr kleine \(x\) dominiert.

1. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(f(x) = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(0 \mid 0)\). 2. Extrempunkt: \(f'(x) = 2 \cdot e^{1-x} + 2x \cdot (-1) \cdot e^{1-x} = (2 - 2x) \cdot e^{1-x}\). Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) ergibt \(x = 1\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = (2x - 4) \cdot e^{1-x}\). Überprüfung: \(f''(1) = -2 \cdot e^0 = -2 < 0\), also liegt ein lokales Maximum vor. Funktionswert: \(f(1) = 2 \cdot 1 \cdot e^0 = 2\). Extrempunkt: \(H(1 \mid 2)\). 3. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\). Da \(f''(x)\) eine einfache Nullstelle bei \(x = 2\) hat, findet ein Vorzeichenwechsel statt, was die Existenz genau eines Wendepunkts bestätigt. Funktionswert: \(f(2) = 4 \cdot e^{-1} = \frac{4}{e}\). Wendepunkt: \(W(2 \mid 4e^{-1})\). 4. Grenzverhalten: Für \(x \to +\infty\) gilt \(2x \cdot e^{1-x} = 2e \cdot \frac{x}{e^x} \to 0\), da die Exponentialfunktion stärker wächst als die lineare Funktion. Für \(x \to -\infty\) gilt \(2x \to -\infty\) und \(e^{1-x} \to +\infty\), also \(f(x) \to -\infty\).

a) Schnittpunkt \(S_x(0 \mid 0)\). b) Hochpunkt \(H(1 \mid 2)\). c) Wendepunkt \(W(2 \mid 4e^{-1})\). d) \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

- Überlege zuerst, welche Werte für \(x\) im Nenner zu einer Division durch Null führen würden. - Die Art einer Polstelle lässt sich am Exponenten des Nenners in der vollständig gekürzten Form ablesen. - Wie findet man die Nullstelle einer rationalen Funktion? Betrachte dazu nur den Zähler. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\).

1. Bestimmung der Definitionsmenge von \(f\): Der Nenner darf nicht null werden: \(4x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -0{,}5\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\}\). Da Ableitungen rationaler Funktionen an denselben Stellen undefiniert sind wie die Ausgangsfunktion, gilt \(D_{f''} = \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\}\). 2. Berechnung der Ableitungen: Unter Verwendung der Quotientenregel ergibt sich \(f'(x) = \frac{-3 \cdot (4x + 2) - 4 \cdot (6 - 3x)}{(4x + 2)^2} = \frac{-12x - 6 - 24 + 12x}{(4x + 2)^2} = \frac{-30}{(4x + 2)^2}\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = -30 \cdot (-2) \cdot (4x + 2)^{-3} \cdot 4 = \frac{240}{(4x + 2)^3}\). 3. Analyse der Polstelle von \(f''\): Die Polstelle liegt bei \(x = -0{,}5\). Da der Exponent des Linearfaktors im Nenner ungerade ist (3), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(6 - 3x = 0 \Rightarrow x = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 0)\). 5. Tangentengleichung: Die Steigung an der Stelle \(x = 2\) ist \(f'(2) = \frac{-30}{(4 \cdot 2 + 2)^2} = \frac{-30}{100} = -0{,}3\). Mit dem Punkt \((2 \mid 0)\) folgt \(y = -0{,}3 \cdot (x - 2) + 0\), also \(y = -0{,}3x + 0{,}6\).

a) \(D_{f''} = \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\}\); Polstelle bei \(x = -0{,}5\) mit Vorzeichenwechsel, da die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner von \(f''\) ungerade ist. b) \(y = -0{,}3x + 0{,}6\)

- Welche Bedingungen müssen für das Vorhandensein von Extrem- oder Wendestellen erfüllt sein? - Erinnere dich an den Wertebereich der natürlichen Exponentialfunktion. Kann sie jemals den Wert Null oder negative Werte annehmen? - Nutze die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen, insbesondere die Kettenregel. - Überlege dir, was es für die Existenz von Punkten bedeutet, wenn eine Gleichung keine Lösung hat.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = e^{2x} + 4\). 2. Untersuchung auf Extremstellen: Die Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf die Gleichung \(e^{2x} + 4 = 0\), also \(e^{2x} = -4\). Da die Exponentialfunktion \(e^u\) für alle reellen Zahlen \(u\) stets positiv ist (\(e^u > 0\)), besitzt diese Gleichung keine Lösung. Somit existieren keine Extremstellen. 3. Berechnung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = 2e^{2x}\). 4. Untersuchung auf Wendestellen: Die Bedingung \(f''(x) = 0\) führt auf \(2e^{2x} = 0\), also \(e^{2x} = 0\). Da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, besitzt auch diese Gleichung keine Lösung. Somit existieren keine Wendestellen.

Durch die Ableitungen \(f'(x) = e^{2x} + 4\) und \(f''(x) = 2e^{2x}\) zeigt sich, dass weder die notwendige Bedingung für Extremstellen (\(f'(x) = 0\)) noch die für Wendestellen (\(f''(x) = 0\)) erfüllt werden kann, da \(e^{2x}\) stets positiv ist. Somit hat die Funktion keine Extrem- oder Wendestellen.

- Wie hängen die Ableitung einer Funktion und ihre Stammfunktion zusammen? - Welche Ableitung gibt Auskunft über die Extremstellen, und welche über die Wendestellen? - Überlege dir, wie du die Monotonie einer Funktion mithilfe ihrer Ableitung bestimmen kannst. - Achte beim Bereich \(x < 0\) besonders auf die Vorzeichen von ungeraden Potenzen.

1. Ableitung von \(F\): \(F'(x) = \left(0{,}5x + 4 + 2x^{-1}\right)' = 0{,}5 - 2x^{-2} = \frac{0{,}5x^2 - 2}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{2x^2}\). Da \(F'(x) = f(x)\), ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Extrempunkte von \(F\): Bedingung \(f(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2\). Zweite Ableitung \(F''(x) = f'(x) = 4x^{-3}\). Prüfung: \(F''(2) = 0{,}5 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt bei \(T(2 \mid 6)\); \(F''(-2) = -0{,}5 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt bei \(H(-2 \mid 2)\). 3. Wendepunkte: Notwendige Bedingung für \(F\) ist \(F''(x) = 0\), jedoch ist \(4x^{-3} \neq 0\) für alle \(x\). Für \(f\) ist \(f''(x) = -12x^{-4} \neq 0\) für alle \(x\). Somit haben beide Graphen keine Wendepunkte. 4. Monotonie für \(x < 0\): \(f'(x) = 4x^{-3} < 0 \Rightarrow f\) ist streng monoton fallend. \(f''(x) = -12x^{-4} < 0 \Rightarrow f'\) ist streng monoton fallend. \(f'''(x) = 48x^{-5} < 0 \Rightarrow f''\) ist streng monoton fallend. Alle drei Funktionen weisen im Bereich \(x < 0\) das gleiche Monotonieverhalten auf.

a) Nachweis über \(F'(x) = f(x)\). b) \(H(-2 \mid 2)\) (Hochpunkt) und \(T(2 \mid 6)\) (Tiefpunkt). c) Die Gleichungen \(F''(x) = 0\) und \(f''(x) = 0\) besitzen keine Lösungen. d) Alle drei Funktionen \(f, f'\) und \(f''\) sind im Bereich \(x < 0\) streng monoton fallend.

- Nutze die Produktregel für die Ableitung und achte beim \(e\)-Term auf die Kettenregel. - Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. - Du kannst die Art des Extrempunkts entweder über die zweite Ableitung oder über das Monotonieverhalten bestimmen. - Der Begriff „Lage“ fragt nach den vollständigen Koordinaten \((x \mid y)\).

1. Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel bestimmen: \(g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x + 2) \cdot e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x} \cdot (1 - (x + 2)) = e^{-x} \cdot (-x - 1)\). 2. Waagerechte Tangenten finden durch \(g'(x) = 0\): Da \(e^{-x} \neq 0\), muss \(-x - 1 = 0\) gelten, woraus \(x = -1\) folgt. 3. Art des Extrempunkts prüfen, zum Beispiel mit der zweiten Ableitung: \(g''(x) = -e^{-x} \cdot (-x - 1) + e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x} \cdot (x + 1 - 1) = x \cdot e^{-x}\). Einsetzen des kritischen Wertes liefert \(g''(-1) = -1 \cdot e^1 = -e < 0\). Somit liegt an der Stelle \(x = -1\) ein lokales Maximum vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(g(-1) = (-1 + 2) \cdot e^{-(-1)} = 1 \cdot e^1 = e\). Der Extrempunkt ist der Hochpunkt \(H(-1 \mid e)\).

Der Graph von \(g\) hat den Hochpunkt \(H(-1 \mid e)\).

- Die Nullstellen einer gebrochenrationalen oder kombinierten Funktion findest du, indem du den Zähler gleich null setzt. - Überlege dir beim Verhalten im Unendlichen, welcher Teil der Funktion (Polynom oder \(e\)-Funktion) dominiert. - Für die Ableitung kannst du entweder die Quotientenregel nutzen oder die Funktion als Produkt \((x^2 - 3x + 1) \cdot e^{-x}\) schreiben. - Achte auf das Vorzeichen der Ableitung zwischen den kritischen Stellen, um die Art der Extrema zu bestimmen.

1. Nullstellen: \(x^2 - 3x + 1 = 0 \implies x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 \approx 0{,}38\) und \(x_2 \approx 2{,}62\). 2. Verhalten für \(x \to +\infty\): Da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als das quadratische Polynom im Zähler, gilt \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x + 1}{e^x} = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Verhalten für \(x \to -\infty\): Für \(x \to -\infty\) strebt \(x^2 - 3x + 1 \to +\infty\) und \(e^x \to 0^+\). Damit gilt \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty\). 4. Extrempunkte: Mit der Quotientenregel gilt \(g'(x) = \frac{(2x - 3)e^x - (x^2 - 3x + 1)e^x}{(e^x)^2} = \frac{-x^2 + 5x - 4}{e^x}\). Nullstellen der Ableitung: \(-x^2 + 5x - 4 = 0 \implies x^2 - 5x + 4 = 0 \implies (x-1)(x-4) = 0\). 5. Art der Extrema: Die Parabel \(-x^2 + 5x - 4\) ist nach unten geöffnet. Vorzeichenwechsel von \(g'\) bei \(x = 1\) von \(-\) nach \(+\) (Tiefpunkt) und bei \(x = 4\) von \(+\) nach \(-\) (Hochpunkt). 6. Koordinaten: \(g(1) = \frac{1-3+1}{e^1} = -\frac{1}{e}\) und \(g(4) = \frac{16-12+1}{e^4} = \frac{5}{e^4}\). Tiefpunkt \(T(1 \mid -e^{-1})\), Hochpunkt \(H(4 \mid 5e^{-4})\).

a) \(x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\). b) \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\); waagrechte Asymptote \(y = 0\). c) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty\). d) Tiefpunkt \(T(1 \mid -e^{-1})\), Hochpunkt \(H(4 \mid 5e^{-4})\).

- Überlege dir, ob du die Funktion vor dem Ableiten vereinfachen kannst, um die Rechnung zu erleichtern. - Wie hängen die Steigung der Tangente und der Wert der Ableitungsfunktion an einer bestimmten Stelle zusammen? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung. - Was sagt der Exponent eines Linearfaktors im Nenner über das Verhalten an der Polstelle aus?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f'\): Durch Anwendung der Quotientenregel oder vorheriges Ausmultiplizieren und Aufteilen des Bruchs ergibt sich \(f(x) = \frac{9x^2 - 12x + 4}{2x} = 4{,}5x - 6 + \frac{2}{x}\). Die Ableitung lautet \(f'(x) = 4{,}5 - \frac{2}{x^2}\) bzw. \(f'(x) = \frac{9x^2 - 4}{2x^2}\). 2. Berechnung der Steigung im Punkt \(P\): Einsetzen von \(x = 1\) in \(f'(x)\) ergibt \(f'(1) = 4{,}5 - \frac{2}{1^2} = 2{,}5\). 3. Aufstellen der Tangentengleichung: Mit der Punkt-Steigungs-Form \(y = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1)\) folgt \(y = 2{,}5 \cdot (x - 1) + 0{,}5 = 2{,}5x - 2{,}5 + 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(y = 2{,}5x - 2\). 4. Bestimmung der Polstelle von \(f'\): Der Nenner von \(f'(x) = \frac{9x^2 - 4}{2x^2}\) wird bei \(x = 0\) null. Da der Zähler \(9 \cdot 0^2 - 4 = -4 \neq 0\) ist, liegt bei \(x = 0\) eine Polstelle vor. Da die Variable im Nenner im Quadrat steht (\(x^2\)), handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

a) Die Tangentengleichung lautet \(y = 2{,}5x - 2\). b) Die Ableitungsfunktion \(f'\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Überlege dir, was der Funktionswert an der Stelle Null im Modell bedeutet. - Erinnere dich an die Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf eines Graphen aus? - Betrachte das Verhalten der Funktion, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt.

1. Berechnung der Beleuchtungsstärke bei \(d = 0\): \(I(0) = \frac{800}{(0+2)^2} = \frac{800}{4} = 200\). Die Beleuchtungsstärke beträgt dort \(200\,\text{lx}\). 2. Ableitung mit der Quotientenregel: Setze \(u(d) = 800\) und \(v(d) = (d+2)^2 = d^2 + 4d + 4\). Dann ist \(u'(d) = 0\) und \(v'(d) = 2d + 4\). 3. Berechnung von \(I'(d)\): \(I'(d) = \frac{0 \cdot (d+2)^2 - 800 \cdot (2d+4)}{(d+2)^4} = \frac{-1600(d+2)}{(d+2)^4} = \frac{-1600}{(d+2)^3}\). 4. Da \((d+2)^3 > 0\) für alle \(d \ge 0\) und der Zähler \(-1600\) negativ ist, gilt \(I'(d) < 0\) für alle \(d \ge 0\). Damit ist die Funktion \(I\) in diesem Bereich streng monoton fallend. 5. Grenzwertbestimmung: Da der Grad des Nennerpolynoms größer ist als der des Zählerpolynoms, gilt \(\lim_{d \to \infty} \frac{800}{(d+2)^2} = 0\). Im Modell nähert sich die Beleuchtungsstärke mit wachsender Entfernung dem Wert \(0\,\text{lx}\) an.

a) \(I(0) = 200\,\text{lx}\). Dies ist die im Modell bei \(d=0\) vorliegende Beleuchtungsstärke. b) Die Ableitung \(I'(d) = \frac{-1600}{(d+2)^3}\) ist für alle \(d \ge 0\) negativ; daher nimmt \(I\) streng monoton ab. c) \(\lim_{d \to \infty} I(d) = 0\). Die Beleuchtungsstärke nähert sich im Modell mit wachsender Entfernung \(0\,\text{lx}\) an.

- Was bedeutet eine Konzentration von Null zu Beginn der Beobachtung? - Achte beim Ableiten darauf, den Zählerterm \(10(t^2 + 4)\) korrekt auszumultiplizieren und mit dem Term \(-10t(2t)\) zu verrechnen. - Das Vorzeichen des Zählers der Ableitung bestimmt, ob die Konzentration steigt oder fällt, da der Nenner ein Quadrat und somit immer positiv ist. - Überlege dir, welcher Teil der Funktion bei sehr großen Werten von \(t\) schneller wächst: der Zähler oder der Nenner?

1. Konzentration bei \(t = 0\): \(c(0) = \frac{10 \cdot 0}{0^2 + 4} = 0\,\text{mg}/\text{l}\). 2. Ableitung mit Quotientenregel: \(u(t) = 10t \implies u'(t) = 10\); \(v(t) = t^2 + 4 \implies v'(t) = 2t\). 3. Berechnung von \(c'(t)\): \(c'(t) = \frac{10(t^2 + 4) - 10t(2t)}{(t^2 + 4)^2} = \frac{10t^2 + 40 - 20t^2}{(t^2 + 4)^2} = \frac{40 - 10t^2}{(t^2 + 4)^2}\). 4. Monotonieuntersuchung: \(c'(t) = 0 \iff 40 - 10t^2 = 0 \iff t^2 = 4 \iff t = 2\) (da \(t \ge 0\)). 5. Für \(0 \le t < 2\) ist \(c'(t) > 0\) (z. B. \(c'(1) = \frac{30}{25} > 0\)), also ist \(c\) dort streng monoton steigend (Wirkstoffaufnahme). Für \(t > 2\) ist \(c'(t) < 0\) (z. B. \(c'(3) = \frac{-50}{169} < 0\)), also ist \(c\) dort streng monoton fallend (Wirkstoffabbau). 6. Grenzwert: \(\lim_{t \to \infty} \frac{10t}{t^2 + 4} = \lim_{t \to \infty} \frac{\frac{10}{t}}{1 + \frac{4}{t^2}} = 0\). Im Modell nähert sich die Wirkstoffkonzentration langfristig dem Wert Null an.

a) \(c(0) = 0\,\text{mg}/\text{l}\). b) \(c'(t) = \frac{40 - 10t^2}{(t^2 + 4)^2}\). c) Im Intervall \([0; 2]\) ist die Funktion streng monoton steigend (Anstieg der Konzentration), für \(t > 2\) ist sie streng monoton fallend (Abbau des Wirkstoffs). d) Die Konzentration nähert sich dem Grenzwert \(0\,\text{mg}/\text{l}\) an.

- Wie hängen die Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung mit dem Verlauf des Graphen zusammen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn man sich der Definitionslücke nähert? - Kannst du die Funktion umschreiben, um die Ableitungen leichter zu berechnen? - Wann genau hat ein Graph eine senkrechte Asymptote?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{-3}{(x+1)^2}\) und \(f''(x) = \frac{6}{(x+1)^3}\). Da \((x+1)^2 > 0\) für alle \(x \in D_f\), gilt \(f'(x) < 0\). Somit ist \(f\) in den Intervallen \(]-\infty; -1[\) und \(]-1; \infty[\) jeweils streng monoton fallend. Für das Krümmungsverhalten betrachte man das Vorzeichen von \(f''(x)\): Für \(x < -1\) ist \((x+1)^3 < 0\), also \(f''(x) < 0\) (Rechtskrümmung). Für \(x > -1\) ist \((x+1)^3 > 0\), also \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung). 2. Die Nullstelle des Nenners von \(f\) liegt bei \(x = -1\). Da der Zähler \(2(-1)+5 = 3 \neq 0\) ist, besitzt \(G_f\) die senkrechte Asymptote \(x = -1\). Die Ableitungen \(f'(x) = -3(x+1)^{-2}\) und \(f''(x) = 6(x+1)^{-3}\) haben ebenfalls ausschließlich bei \(x = -1\) eine Definitionslücke. Da die Zähler konstant ungleich Null sind, gilt \(\lim_{x \to -1} |f'(x)| = \infty\) und \(\lim_{x \to -1} |f''(x)| = \infty\). Somit haben auch \(G_{f'}\) und \(G_{f''}\) die senkrechte Asymptote \(x = -1\).

1. Monotonie: streng monoton fallend für \(x < -1\) und für \(x > -1\). Krümmung: rechtsgekrümmt für \(x < -1\), linksgekrümmt für \(x > -1\). 2. Senkrechte Asymptote von \(G_f\): \(x = -1\). Da auch bei \(f'\) und \(f''\) der Nenner für \(x \to -1\) gegen Null geht, während der Zähler konstant bleibt, ist \(x = -1\) die gemeinsame senkrechte Asymptote.

- Überlege dir, für welche Werte der Nenner einer rationalen Funktion null wird. - Erinnere dich an die Definitionen von Achsen- und Punktsymmetrie. - Schau dir den Grad des Zählers und des Nenners an, um die waagrechte Asymptote zu finden. - Nutze die Quotientenregel für die Ableitung und achte beim Vereinfachen des Zählers auf die Vorzeichen. - Ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung gibt dir Auskunft über die Art eines Extrempunkts.

1. Definitionsmenge: Nennernullstellen bei \(x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1\), also \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). Nullstellen: Zählernullstellen bei \(x^2 - 2 = 0 \implies x_1 = -\sqrt{2}, x_2 = \sqrt{2}\). 2. Symmetrie: \(f(-x) = \frac{(-x)^2 - 2}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 - 2}{x^2 - 1} = f(x)\), somit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Asymptoten: Senkrechte Asymptoten (Polstellen) bei \(x = -1\) und \(x = 1\). Waagrechte Asymptote: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 2}{x^2 - 1} = 1\), also \(y = 1\). 4. Ableitung: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x^2 - 1) - (x^2 - 2) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 + 4x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x}{(x^2 - 1)^2}\). 5. Monotonie: Da der Nenner stets positiv ist, hängt das Vorzeichen von \(f'(x)\) nur von \(2x\) ab. \(f\) ist streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; -1[\) und \(x \in ]-1; 0]\); streng monoton steigend für \(x \in [0; 1[\) und \(x \in ]1; \infty[\). 6. Extrempunkt: Bei \(x = 0\) liegt eine Nullstelle der Ableitung mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus vor, daher ist \(S(0 \mid f(0)) = S(0 \mid 2)\) ein lokaler Tiefpunkt.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{2}\) b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; senkrechte Asymptoten \(x = 1, x = -1\); waagrechte Asymptote \(y = 1\) c) Streng monoton fallend in \(]-\infty; -1[\) und \(]-1; 0]\); streng monoton steigend in \([0; 1[\) und \(]1; \infty[\) d) \(f'(0) = 0\) und Vorzeichenwechsel von \(f'\) an der Stelle \(x = 0\) von negativ zu positiv belegt den lokalen Tiefpunkt.

- Wann kann ein Bruch den Wert null annehmen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen null geht, der Zähler aber nicht? - Für das Verhalten im Unendlichen kannst du die höchste Potenz von \(x\) ausklammern oder die Regel für den Vergleich der Grade von Zähler und Nenner nutzen. - Denke beim Ableiten an die Formel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

1. Definitionsmenge: Nennernullstellen \(x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3\), also \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0) = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3} \implies S_y(0 \mid -\frac{1}{3})\). Nullstellen: \(x^2 + 3 = 0\) hat keine reellen Lösungen, da \(x^2 + 3 \geq 3\). 2. Grenzwerte im Unendlichen: \(\lim_{x \to \pm \infty} h(x) = 1\). Daher ist \(y = 1\) eine waagrechte Asymptote. 3. Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge: \(\lim_{x \to -3^-} h(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to -3^+} h(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to 3^-} h(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 3^+} h(x) = +\infty\). Somit sind \(x=-3\) und \(x=3\) senkrechte Asymptoten. 4. Ableitung: \(h'(x) = \frac{2x(x^2 - 9) - (x^2 + 3)(2x)}{(x^2 - 9)^2} = \frac{2x^3 - 18x - 2x^3 - 6x}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-24x}{(x^2 - 9)^2}\). 5. Extrempunkt: \(h'(x) = 0 \implies -24x = 0 \implies x = 0\). Da \(h'(x) > 0\) für \(x < 0\) und \(h'(x) < 0\) für \(x > 0\), liegt ein lokaler Hochpunkt bei \(H(0 \mid -\frac{1}{3})\) vor.

a) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\); \(S_y(0 \mid -\frac{1}{3})\); keine Nullstellen, da \(x^2 + 3 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). b) \(\lim_{x \to \pm \infty} h(x) = 1\); waagrechte Asymptote \(y = 1\). Außerdem gilt \(\lim_{x \to -3^-} h(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to -3^+} h(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to 3^-} h(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 3^+} h(x) = +\infty\); senkrechte Asymptoten \(x=-3\) und \(x=3\). c) \(h'(x) = \frac{-24x}{(x^2 - 9)^2}\); lokaler Hochpunkt \(H(0 \mid -\frac{1}{3})\).

- Worauf musst du bei einem Bruch mit einer Wurzel im Nenner achten, wenn du die Definitionsmenge bestimmst? - Welche Ableitungsregeln sind hier kombiniert sinnvoll? Erinnere dich an die Quotientenregel und die Kettenregel. - Wie kannst du den Zähler eines Doppelbruchs vereinfachen, um auf die Zielform zu kommen? - Welche Bedingung muss für die Steigung einer waagerechten Tangente erfüllt sein? - Wann genau wird ein Bruch gleich null?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Radikand unter der Wurzel muss positiv sein, also \(x-2 > 0\), woraus \(x > 2\) folgt. Somit ist \(D = ]2; \infty[\). 2. Ableitung mit der Quotientenregel: Mit \(u(x) = x+2\) und \(v(x) = \sqrt{x-2}\) ergibt sich \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x-2} - (x+2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}}}{(\sqrt{x-2})^2}\). 4. Umformung des Zählers durch Erweitern mit \(2\sqrt{x-2}\): \(\frac{2(x-2) - (x+2)}{2\sqrt{x-2} \cdot (x-2)} = \frac{2x - 4 - x - 2}{2\sqrt{(x-2)^3}} = \frac{x-6}{2\sqrt{(x-2)^3}} = \frac{0{,}5x - 3}{\sqrt{(x-2)^3}}\). 5. Bedingung für waagerechte Tangente: \(f'(x) = 0\). Da der Nenner für \(x \in D\) stets positiv ist, muss der Zähler null sein: \(0{,}5x - 3 = 0 \implies x = 6\). 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(6) = \frac{6+2}{\sqrt{6-2}} = \frac{8}{\sqrt{4}} = 4\). Der gesuchte Punkt ist \(P(6 \mid 4)\).

a) \(D = ]2; \infty[\) b) Nachweis durch Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{\sqrt{x-2} - \frac{x+2}{2\sqrt{x-2}}}{x-2} = \dots = \frac{0{,}5x - 3}{\sqrt{(x-2)^3}}\) c) \(P(6 \mid 4)\)

- Verwende die Quotientenregel und achte beim Ableiten der Wurzel auf die Kettenregel (Nachdifferenzieren!). - Wie kannst du den Zähler des Bruchs so umformen, dass die Wurzel dort verschwindet? - Überlege dir, welche mathematische Bedingung für eine waagerechte Tangente gelten muss. - Schau dir den Zähler deines Ergebnisses aus Aufgabenteil a) genau an – kann dieser jemals den benötigten Wert annehmen?

1. Ableitung mit der Quotientenregel: Setze \(u(x) = \sqrt{x^2+12}\) und \(v(x) = x\). Es gilt \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+12}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+12}}\) und \(v'(x) = 1\). 2. Anwendung der Regel: \(g'(x) = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+12}} \cdot x - \sqrt{x^2+12} \cdot 1}{x^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers: Durch Gleichnamigmachen erhält man \(\frac{x^2 - (x^2+12)}{\sqrt{x^2+12}}\), was zu \(\frac{-12}{\sqrt{x^2+12}}\) führt. 4. Zusammenfassen zum Endergebnis: \(g'(x) = \frac{-12}{x^2\sqrt{x^2+12}}\). 5. Begründung zur waagerechten Tangente: Eine waagerechte Tangente erfordert \(g'(x) = 0\). Ein Bruch ist nur dann null, wenn sein Zähler null ist. Da der Zähler hier konstant \(-12\) ist, kann die Gleichung \(-12 = 0\) niemals erfüllt werden. Somit gibt es keine Stellen mit waagerechter Tangente.

a) Nachweis durch Ableiten: \(g'(x) = \frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+12}} - \sqrt{x^2+12}}{x^2} = \dots = -\frac{12}{x^2\sqrt{x^2+12}}\) b) Da der Zähler der Ableitungsfunktion konstant \(-12 \neq 0\) ist, besitzt \(g'(x)\) keine Nullstellen und der Graph somit keine waagerechten Tangenten.

- Wie findet man die Stellen, an denen ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Überlege dir, was mit dem Wert unter der Wurzel passiert, wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt. - Nutze die Kettenregel für die Ableitungen und achte auf die innere Ableitung. - Was sagt ein unendlicher Grenzwert der Ableitung über die Steigung des Graphen an dieser Stelle aus?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = \sqrt{10} - 2\), also \(S_y(0 \mid \sqrt{10} - 2)\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(\sqrt{10 - 2x} - 2 = 0 \Rightarrow 10 - 2x = 4 \Rightarrow x = 3\), also \(N(3 \mid 0)\). 2. Für \(x \to -\infty\) wird der Radikand \(10 - 2x\) beliebig groß, somit gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\). 3. Mit der Kettenregel ergibt sich \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{10 - 2x}} \cdot (-2) = -(10 - 2x)^{-\frac{1}{2}}\) bzw. \(-\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = -(-\frac{1}{2})(10 - 2x)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-2) = -(10 - 2x)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{(10 - 2x)^3}}\). Da der Nenner für \(x = 5\) null wird und der Radikand für \(x < 5\) positiv ist, gilt \(D_{f''} = ]-\infty; 5[\). 4. Es gilt \(\lim_{x \to 5^-} f'(x) = \lim_{x \to 5^-} -\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}} = -\infty\). Dies bedeutet, dass der Graph \(G_f\) am Randpunkt \(x = 5\) eine linksseitige senkrechte Tangente besitzt.

1. \(S_y(0 \mid \sqrt{10} - 2)\) und \(N(3 \mid 0)\) 2. \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\) 3. \(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}\), \(f''(x) = -\frac{1}{\sqrt{(10 - 2x)^3}}\), \(D_{f''} = ]-\infty; 5[\) 4. \(\lim_{x \to 5^-} f'(x) = -\infty\); \(G_f\) hat am Randpunkt \(x = 5\) eine linksseitige senkrechte Tangente.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und dem Monotonieverhalten. - Um die Wertemenge zu bestimmen, betrachte den Funktionswert am Rand des Definitionsbereichs und das Grenzverhalten. - Eine Funktion ist sicher umkehrbar, wenn sie in ihrem gesamten Bereich nur in eine Richtung (steigend oder fallend) verläuft. - Beim Auflösen nach \(x\) ist das Quadrieren ein wichtiger Schritt – achte darauf, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht.

1. Die Ableitung lautet \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{0{,}5x + 2}} \cdot 0{,}5 = \frac{1}{4\sqrt{0{,}5x + 2}}\). Da \(g'(x) > 0\) für alle \(x \in ]-4; \infty[\) gilt und die Funktion stetig ist, ist \(g\) in \(D_g\) streng monoton steigend. Der kleinste Funktionswert liegt bei \(g(-4) = 2 + \sqrt{0} = 2\). Wegen \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) ergibt sich \(W_g = [2; \infty[\). 2. Die Umkehrbarkeit folgt aus der strengen Monotonie in \(D_g\). Zur Bestimmung von \(g^{-1}\) löst man \(y = 2 + \sqrt{0{,}5x + 2}\) nach \(x\) auf: \(y - 2 = \sqrt{0{,}5x + 2} \Rightarrow (y - 2)^2 = 0{,}5x + 2 \Rightarrow 2(y - 2)^2 = x + 4 \Rightarrow x = 2(y - 2)^2 - 4\). Durch Variablentausch erhält man \(g^{-1}(x) = 2(x - 2)^2 - 4\) (oder ausmultipliziert \(2x^2 - 8x + 4\)). 3. Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion entspricht der Wertemenge der Ausgangsfunktion, also \(D_{g^{-1}} = W_g = [2; \infty[\).

1. \(g'(x) = \frac{1}{4\sqrt{0{,}5x + 2}} > 0\); \(W_g = [2; \infty[\) 2. \(g\) ist streng monoton steigend und damit umkehrbar; \(g^{-1}(x) = 2(x - 2)^2 - 4\) 3. \(D_{g^{-1}} = [2; \infty[\)

- Wann ist der natürliche Logarithmus definiert? - Wie hängen die Nullstellen einer Logarithmusfunktion mit dem Wert ihres Arguments zusammen? - Nutze die Kettenregel für die Ableitung. - Was passiert mit dem Logarithmus, wenn sich das Argument dem Wert Null nähert?

1. Definitionsbereich: Die Bedingung \(-x^2 + 6x - 8 > 0\) führt auf die Nullstellen der Parabel bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(D_f = ]2; 4[\). 2. Nullstellen: \(f(x) = 0 \iff 6x - x^2 - 8 = 1 \iff x^2 - 6x + 9 = 0 \iff (x-3)^2 = 0\). Es ergibt sich die einzige Nullstelle bei \(x = 3\). 3. Extrempunkt: Die Ableitung \(f'(x) = \frac{-2x + 6}{-x^2 + 6x - 8}\) hat die Nullstelle \(x = 3\). Da \(f(3) = \ln(1) = 0\) und der Wert des Arguments der Logarithmusfunktion dort sein Maximum annimmt, liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) bei \(H(3 \mid 0)\) vor. 4. Asymptoten: Für \(x \to 2^+\) und \(x \to 4^-\) strebt das Argument gegen \(0^+\), somit gilt \(f(x) \to -\infty\). Die senkrechten Asymptoten sind \(x = 2\) und \(x = 4\).

a) \(D_f = ]2; 4[\); Nullstelle bei \(x = 3\). b) Hochpunkt \(H(3 \mid 0)\). c) \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 4^-} f(x) = -\infty\); senkrechte Asymptoten: \(x = 2\) und \(x = 4\).

- Betrachte das Vorzeichen des Terms im Logarithmus, um den Definitionsbereich zu finden. - Setze das Argument des Logarithmus gleich 1, um die Nullstellen zu berechnen. - Untersuche das Vorzeichen der ersten Ableitung in den jeweiligen Intervallen des Definitionsbereichs. - Welche Stellen am Rand des Definitionsbereichs führen zu einer Polstelle?

1. Definitionsbereich: \(x^2 - 4x > 0 \iff x(x-4) > 0\). Dies ist erfüllt für \(x < 0\) oder \(x > 4\). Somit ist \(D_g = ]-\infty; 0[ \cup ]4; \infty[\). 2. Nullstellen: \(x^2 - 4x = 1 \iff x^2 - 4x - 1 = 0\). Mit der Mitternachtsformel ergibt sich \(x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}\). Beide Werte liegen im Definitionsbereich (\(x_1 \approx 4{,}24\) und \(x_2 \approx -0{,}24\)). 3. Monotonie: Die Ableitung ist \(g'(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x}\). Für \(x > 4\) ist der Zähler \(2x-4 > 4\) und der Nenner positiv, also \(g'(x) > 0\). Für \(x < 0\) ist der Zähler \(2x-4 < -4\) und der Nenner positiv, also \(g'(x) < 0\). Die Funktion ist somit in \(]-\infty; 0[\) streng monoton fallend und in \(]4; \infty[\) streng monoton steigend. 4. Asymptoten: An den Rändern \(x \to 0^-\) und \(x \to 4^+\) geht das Argument gegen \(0\), woraus \(\lim g(x) = -\infty\) folgt. Senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = 4\).

a) \(D_g = ]-\infty; 0[ \cup ]4; \infty[\); Nullstellen bei \(x = 2 - \sqrt{5}\) und \(x = 2 + \sqrt{5}\). b) Streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; 0[\) und streng monoton steigend für \(x \in ]4; \infty[\). c) Senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = 4\).

- Überlege, für welche Werte der natürliche Logarithmus definiert ist. - Welcher Teilterm der Funktion bestimmt das Wachstum, wenn \(x\) sehr groß wird? - Nutze die erste Ableitung, um mögliche Stellen für Extrema zu finden. - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung feststellen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt?

1. Der Definitionsbereich ist \(D = ]0; \infty[\), da die Logarithmusfunktion nur für positive Argumente definiert ist. 2. Grenzverhalten: Für \(x \to 0^+\) gilt \(\frac{1}{2}x^2 \to 0\) und \(-2\ln(x) \to \infty\), also \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to \infty\) dominiert das quadratische Glied den Logarithmus, daher gilt \(f(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{2\ln(x)}{x^2}) \to \infty\). 3. Ableitungen: \(f'(x) = x - \frac{2}{x}\) und \(f''(x) = 1 + \frac{2}{x^2}\). 4. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\): \(x - \frac{2}{x} = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}\) (da \(x > 0\)). 5. Art des Extrempunkts: \(f''(\sqrt{2}) = 1 + \frac{2}{2} = 2 > 0\), somit liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 6. \(y\)-Koordinate: \(f(\sqrt{2}) = \frac{1}{2}(\sqrt{2})^2 - 2\ln(\sqrt{2}) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2}\ln(2) = 1 - \ln(2)\). Ergebnis: Tiefpunkt \(TP(\sqrt{2} \mid 1 - \ln(2))\).

a) \(D = ]0; \infty[\); für \(x \to 0^+\) gilt \(f(x) \to \infty\); für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). b) Tiefpunkt \(TP(\sqrt{2} \mid 1 - \ln(2))\).

- Was passiert mit dem Graphen, wenn der höchste Punkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt? - Untersuche das Verhalten der Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte. - Wie viele Extremstellen hat die Funktion insgesamt?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 2 - e^{x+1}\). 2. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(2 - e^{x+1} = 0 \implies e^{x+1} = 2 \implies x+1 = \ln(2) \implies x = \ln(2) - 1 \approx -0{,}31\). 3. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(f''(x) = -e^{x+1}\). Da \(f''(\ln(2)-1) = -e^{\ln(2)} = -2 < 0\), liegt an der Stelle \(x = \ln(2) - 1\) ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des maximalen Funktionswertes: \(f(\ln(2)-1) = 2(\ln(2)-1) - e^{\ln(2)} = 2\ln(2) - 2 - 2 = 2\ln(2) - 4 \approx -2{,}61\). 5. Da die Funktion stetig ist und ihr globales Maximum einen negativen Wert besitzt (\(2\ln(2) - 4 < 0\)), liegen alle Funktionswerte unterhalb der \(x\)-Achse. Somit hat die Funktion keine Nullstellen.

Die Funktion hat ein globales Maximum an der Stelle \(x = \ln(2) - 1\). Der zugehörige Funktionswert ist \(f(\ln(2)-1) = 2\ln(2) - 4 \approx -2{,}61\). Da das Maximum negativ ist und die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, liegen alle Funktionswerte im negativen Bereich, weshalb keine Nullstellen existieren.

- Überlege dir, welche Bedeutung ein globales Minimum für die Lage des gesamten Graphen hat. - Bestimme den Definitionsbereich der Funktion genau. - Was sagt das Vorzeichen des niedrigsten Punktes über die Existenz von Nullstellen aus?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} = \frac{x-2}{x^2}\). 2. Extremstelle bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2\). 3. Art des Extremums prüfen: Da \(f'(x) < 0\) für \(0 < x < 2\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > 2\), liegt bei \(x = 2\) ein globales Minimum vor. Alternativ über \(f''(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^3} \implies f''(2) = \frac{1}{4} > 0\). 4. Funktionswert an der Minimumstelle berechnen: \(f(2) = \ln(2) + \frac{2}{2} = \ln(2) + 1 \approx 1{,}69\). 5. Da der kleinste Funktionswert \(1 + \ln(2)\) positiv ist, verlaufen alle Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \ge 1 + \ln(2) > 0\)). Daher hat \(f\) keine Nullstellen.

Die Funktion besitzt an der Stelle \(x = 2\) ein globales Minimum mit dem Funktionswert \(f(2) = \ln(2) + 1 \approx 1{,}69\). Da dieser Minimalwert positiv ist, sind alle Funktionswerte größer als Null, und der Graph kann die \(x\)-Achse nicht schneiden.

- Vereinfache zuerst den Term der Differenzfunktion \(h(x)\). - Denke beim Ableiten von \(e^{x-2}\) und \(\frac{1}{x-1}\) an die Kettenregel. - Eine Schnittstelle findest du, indem du einen Wert suchst, für den \(f(x) - g(x) = 0\) gilt. - Überlege dir, warum eine immerfort steigende Kurve die x-Achse nicht zweimal kreuzen kann.

1. Die Differenzfunktion lautet \(h(x) = (e^{x-2} + 1) - (\frac{1}{x-1} + 1) = e^{x-2} - \frac{1}{x-1}\). 2. Die erste Ableitung ist \(h'(x) = e^{x-2} - (-1) \cdot (x-1)^{-2} = e^{x-2} + \frac{1}{(x-1)^2}\). Da beide Summanden für \(x > 1\) stets positiv sind, gilt \(h'(x) > 0\), und \(h\) ist streng monoton steigend. 3. Durch Testen einfacher Werte oder Inspektion ergibt sich für \(x_0 = 2\): \(f(2) = e^{2-2} + 1 = 2\) und \(g(2) = \frac{1}{2-1} + 1 = 2\). Da \(h(2) = 0\) und \(h\) im gesamten Bereich \(x > 1\) streng monoton steigt, ist dies die einzige Nullstelle von \(h\) und somit die einzige Schnittstelle. 4. Ableiten von \(F(x) = e^{x-2} + x\) ergibt \(F'(x) = e^{x-2} \cdot 1 + 1 = e^{x-2} + 1\). Da \(F'(x) = f(x)\), ist die Behauptung bewiesen.

a) \(h'(x) = e^{x-2} + \frac{1}{(x-1)^2} > 0\), daher streng monoton steigend. b) Die Schnittstelle liegt bei \(x_0 = 2\); weitere existieren wegen der strengen Monotonie von \(h\) nicht. c) \(F'(x) = e^{x-2} + 1 = f(x)\).

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Krümmung eines Graphen und dem Vorzeichen seiner zweiten Ableitung? - Kannst du eine einfache Stelle innerhalb des angegebenen Intervalls finden, um die Werte der Terme zu testen? - Überlege, ob die Funktion an einer markanten Stelle wie \( x=0 \) einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt besitzt. - Wie verhält sich der Ausdruck \( x^2+1 \) in der Nähe von Null?

1. Da der Graph \( G_f \) im Intervall \( ]-1; 1[ \) linkskrümmt ist, muss die zweite Ableitung \( f'' \) in diesem Bereich ausschließlich positive Werte annehmen (\( f''(x) > 0 \)). 2. Zur Überprüfung wird eine Teststelle aus dem Intervall gewählt, beispielsweise \( x = 0 \). 3. Einsetzen in Term I: \( f''(0) = \frac{2-2 \cdot 0^2}{(0^2+1)^2} = \frac{2}{1} = 2 \). Da \( 2 > 0 \), ist diese Bedingung für Term I erfüllt. 4. Einsetzen in Term II: \( f''(0) = \frac{2 \cdot 0^2-2}{(0^2+1)^2} = \frac{-2}{1} = -2 \). Da \( -2 < 0 \), widerspricht Term II der Linkskrümmung.

Es handelt sich um Term I.

- Was sagt die Krümmung (links oder rechts) über das Vorzeichen der zweiten Ableitung aus? - Wähle einen Punkt im Intervall \( ]-1; 1[ \) und prüfe die Vorzeichen der Terme I und II. - Besitzt die Funktion \( f \) an der Stelle \( x=0 \) einen Extrempunkt? Wenn ja, welcher Art ist dieser? - Erinnere dich daran, dass die Exponentialfunktion \( e^u \) stets positive Werte liefert. Das Vorzeichen hängt also nur vom Faktor vor der e-Funktion ab.

1. Die Eigenschaft „rechtsgekrümmt“ im Intervall \( ]-1; 1[ \) impliziert, dass die zweite Ableitungsfunktion \( f'' \) in diesem Intervall negative Werte annimmt (\( f''(x) < 0 \)). 2. Zur Beurteilung wird eine geeignete Stelle im Intervall betrachtet, beispielsweise die Stelle \( x = 0 \). 3. Für Term I ergibt sich an dieser Stelle: \( f''(0) = (1-0^2) \cdot e^0 = 1 \cdot 1 = 1 \). Da \( 1 > 0 \), gehört dieser Term zu einem linkskrümmten Graphen bei \( x = 0 \). 4. Für Term II ergibt sich an dieser Stelle: \( f''(0) = (0^2-1) \cdot e^0 = -1 \cdot 1 = -1 \). Da \( -1 < 0 \), ist dies mit der Rechtskrümmung vereinbar.

Es handelt sich um Term II.

- Verwende die Kettenregel für die erste Ableitung und die Quotientenregel für die zweite Ableitung. - Überlege dir für den Nachweis der Wendepunkte, ob der Bruch der zweiten Ableitung jemals null werden kann. - Klammere bei den Grenzwerten unter der Wurzel \(x^2\) aus, um den Term zu vereinfachen. - Was sagt der Grenzwert der Ableitung über den Verlauf einer Funktion im Unendlichen aus?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}\) und \(f''(x) = \frac{5}{(x^2 + 5)^{\frac{3}{2}}}\). Notwendige Bedingung für Extrema: \(f'(x) = 0 \implies x = 0\). Wegen \(f''(0) = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} > 0\) liegt bei \(x = 0\) ein lokales Minimum vor. Da \(f(0) = \sqrt{5}\), ist der Tiefpunkt \(T(0 \mid \sqrt{5})\). 2. Wendepunkte: Notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\). Da der Zähler der zweiten Ableitung konstant \(5\) ist, hat die Gleichung \(\frac{5}{(x^2 + 5)^{\frac{3}{2}}} = 0\) keine Lösung. Somit existieren keine Wendepunkte. 3. Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{|x| \cdot \sqrt{1 + \frac{5}{x^2}}} = 1\). Analog gilt für \(x \to -\infty\): \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x| \cdot \sqrt{1 + \frac{5}{x^2}}} = -1\). 4. Geometrische Bedeutung: Die Grenzwerte geben die Steigungen der Asymptoten an. Der Graph nähert sich für \(x \to \infty\) einer Geraden mit der Steigung \(1\) und für \(x \to -\infty\) einer Geraden mit der Steigung \(-1\) an.

1. Tiefpunkt \(T(0 \mid \sqrt{5})\) 2. Da \(f''(x) = \frac{5}{(x^2 + 5)^{\frac{3}{2}}} \neq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gibt es keine Wendepunkte. 3. \(\lim_{x \to \infty} f'(x) = 1\) und \(\lim_{x \to -\infty} f'(x) = -1\) 4. Der Graph von \(f\) besitzt für \(x \to \pm \infty\) schräge Asymptoten mit den Steigungen \(1\) bzw. \(-1\). Die schrägen Asymptoten lauten \(y=x\) für \(x\to\infty\) und \(y=-x\) für \(x\to-\infty\).

- Kannst du \(4^x\) als Potenz zur Basis 2 umschreiben? - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir beim Ausklammern oder Substituieren? - Wie verhalten sich die einzelnen Summanden, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für allgemeine Exponentialfunktionen \(a^x\).

1. Nullstellen bestimmen: \(f(x) = 4^x - 2^x = 0 \iff (2^x)^2 - 2^x = 0\). Ausklammern von \(2^x\) liefert \(2^x(2^x - 1) = 0\). Da \(2^x > 0\), folgt \(2^x = 1\), also \(x = 0\). Die einzige Nullstelle liegt bei \(N(0 \mid 0)\). 2. Extrempunkte ermitteln: Die Ableitung lautet \(f'(x) = \ln(4) \cdot 4^x - \ln(2) \cdot 2^x = 2\ln(2) \cdot (2^x)^2 - \ln(2) \cdot 2^x\). Nullsetzen ergibt \(\ln(2) \cdot 2^x \cdot (2 \cdot 2^x - 1) = 0\). Dies führt zu \(2 \cdot 2^x = 1\), also \(2^x = 0{,}5\), woraus \(x = -1\) folgt. 3. Art des Extrempunktes: Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = (\ln(4))^2 \cdot 4^x - (\ln(2))^2 \cdot 2^x\). Einsetzen von \(x = -1\) ergibt \(f''(-1) = (2\ln(2))^2 \cdot \frac{1}{4} - (\ln(2))^2 \cdot \frac{1}{2} = (\ln(2))^2 - \frac{1}{2}(\ln(2))^2 = \frac{1}{2}(\ln(2))^2 > 0\). Es liegt ein Tiefpunkt vor. 4. Koordinaten des Tiefpunktes: \(f(-1) = 4^{-1} - 2^{-1} = 0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}25\). Der Tiefpunkt ist \(T(-1 \mid -0{,}25)\). 5. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) dominiert der Term \(4^x\), daher \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) gehen sowohl \(4^x\) als auch \(2^x\) gegen \(0\), daher \(f(x) \to 0\).

Nullstelle: \(x = 0\); Tiefpunkt: \(T(-1 \mid -0{,}25)\); Grenzverhalten: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\).

- Was weißt du über den Wertebereich von Exponentialfunktionen? - Kannst du die Gleichung \(2^x = 4 \cdot 2^{-x}\) so umformen, dass auf beiden Seiten die gleiche Basis steht? - Denk bei der Ableitung an die Kettenregel für den Term mit dem negativen Exponenten. - Was passiert mit einem Bruch, dessen Nenner gegen Unendlich oder gegen Null strebt?

1. Nullstellen: Da Exponentialfunktionen der Form \(a^x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positive Werte annehmen, ist die Summe zweier positiver Terme (\(2^x > 0\) und \(4 \cdot 2^{-x} > 0\)) immer größer als Null. Somit existieren keine Nullstellen. 2. Extrempunkt: Ableitung \(g'(x) = \ln(2) \cdot 2^x + 4 \cdot \ln(2) \cdot 2^{-x} \cdot (-1) = \ln(2) \cdot (2^x - 4 \cdot 2^{-x})\). Nullsetzen führt zu \(2^x = 4 \cdot 2^{-x}\). Multiplikation mit \(2^x\) ergibt \((2^x)^2 = 4\), also \(2^{2x} = 2^2\), woraus \(x = 1\) folgt. 3. Art und Koordinaten: Die zweite Ableitung \(g''(x) = (\ln(2))^2 \cdot 2^x + 4 \cdot (\ln(2))^2 \cdot 2^{-x}\) ist für alle \(x\) positiv, also liegt ein Tiefpunkt vor. Funktionswert \(g(1) = 2^1 + 4 \cdot 2^{-1} = 2 + 2 = 4\). Der Tiefpunkt liegt bei \(T(1 \mid 4)\). 4. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) geht \(2^x \to \infty\) und \(2^{-x} \to 0\), also \(g(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) geht \(2^x \to 0\) und \(2^{-x} \to \infty\), also \(g(x) \to \infty\).

a) Da \(2^x > 0\) für alle \(x\), ist die Summe zweier positiver Terme stets positiv. b) Tiefpunkt \(T(1 \mid 4)\). c) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\).

- Welchen Einfluss hat der Logarithmus auf das Verhalten nahe null? - Wie verhalten sich Potenzfunktionen im Vergleich zum Logarithmus für sehr große Werte? - Überlege dir, wie das Vorzeichen der ersten Ableitung mit dem Steigungsverhalten zusammenhängt. - An welchen Stellen könnte die Steigung null sein?

1. Grenzwerte: Für \(x \to 0^+\) gilt \(\frac{1}{2}x^2 \to 0\) und \(-\ln(x) \to \infty\), also \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to \infty\) dominiert das quadratische Glied, sodass \(f(x) \to \infty\) gilt. 2. Ableitungen: \(f'(x) = x - \frac{1}{x}\) und \(f''(x) = 1 + \frac{1}{x^2}\). Die Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow x^2 = 1\). Da \(x > 0\), ist die einzige Extremstelle \(x = 1\). Wegen \(f''(1) = 2 > 0\) liegt ein Tiefpunkt vor. Die \(y\)-Koordinate ist \(f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 - \ln(1) = 0{,}5\). Der Tiefpunkt ist \(T(1 \mid 0{,}5)\). 3. Monotonie: Da \(f'(x) < 0\) für \(0 < x < 1\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > 1\), ist die Funktion im Intervall \(]0; 1]\) streng monoton fallend und im Intervall \([1; \infty[\) streng monoton steigend.

1. \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \infty\); \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) 2. Tiefpunkt \(T(1 \mid 0{,}5)\) 3. Streng monoton fallend für \(x \in ]0; 1]\); streng monoton steigend für \(x \in [1; \infty[\)

- Welche Werte darf man für \(x\) in einen Logarithmus einsetzen? - Überlege dir, welche Bedingungen für die erste und zweite Ableitung an Extrem- und Wendestellen gelten müssen. - Schau dir das Vorzeichen der zweiten Ableitung genau an. Was bedeutet ein konstantes Vorzeichen für die Krümmung? - Was passiert mit dem Graphen, wenn man sich der Null nähert?

1. Definitionsbereich: Da das Argument des Logarithmus \(x^2 > 0\) sein muss, gilt \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Ableitungen berechnen: \(f'(x) = \frac{2}{x} - x + 2\) und \(f''(x) = -\frac{2}{x^2} - 1\). 3. Extremstellen bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies \frac{2-x^2+2x}{x} = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1 + \sqrt{3} \approx 2{,}732\) und \(x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx -0{,}732\). 4. Art der Extrema: Da \(f''(x) = -\frac{2}{x^2} - 1\) für alle \(x \in D_f\) negativ ist (\(f''(x) < 0\)), liegen an beiden Stellen lokale Maxima vor. Es gibt keine Tiefpunkte. 5. Wendepunkte: Die Bedingung \(f''(x) = 0\) führt auf \(-\frac{2}{x^2} = 1\), was keine reelle Lösung besitzt. Somit hat der Graph keine Wendepunkte. 6. Erklärung: Der Definitionsbereich ist an der Stelle \(x = 0\) unterbrochen. Dort befindet sich eine senkrechte Asymptote, wobei die Funktionswerte von beiden Seiten gegen \(-\infty\) streben. Die beiden Maxima liegen in getrennten Ästen des Graphen, die nicht durch einen Tiefpunkt oder Wendepunkt verbunden sein müssen.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) b) Zwei lokale Maxima bei \(x = 1 \pm \sqrt{3}\). c) Keine Wendepunkte vorhanden. d) Die Definitionslücke bei \(x = 0\) (senkrechte Asymptote) trennt den Graphen in zwei isolierte Kurvenstücke, weshalb zwischen den Maxima kein lokaler Tiefpunkt oder Wendepunkt existieren muss.

- Für die Nullstellen reicht es, den quadratischen Teil der Funktion zu betrachten. - Erinnere dich daran, welcher Teil der Funktion bei sehr großen oder sehr kleinen x-Werten „stärker“ ist. - Nutze die Produktregel für die Ableitungen und klammere den Exponentialterm immer direkt wieder aus. - Die Wertemenge hängt eng mit dem globalen Minimum und dem Verhalten im Unendlichen zusammen.

1. Schnittpunkte mit den Achsen: Die Nullstellen liegen bei \(x^2 - 4 = 0\), also \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(f(0) = -4 \cdot e^0 = -4\). Ergebnisse: \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid -4)\). 2. Symmetrie: Da im Funktionsterm sowohl \(x^2\) als auch \(e^{0{,}5x}\) vorkommen, liegt weder Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse noch Punktsymmetrie zum Ursprung vor (\(f(-x) \neq f(x)\) und \(f(-x) \neq -f(x)\)). 3. Grenzwerte: Für \(x \to \infty\) streben beide Faktoren gegen \(\infty\), also \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) dominiert die Exponentialfunktion, sodass \(f(x) \to 0\). 4. Extrema: Die erste Ableitung ist \(f'(x) = (0{,}5x^2 + 2x - 2) \cdot e^{0{,}5x}\). Nullsetzen der Klammer liefert \(x = -2 \pm 2\sqrt{2}\). Mit der zweiten Ableitung \(f''(x) = (0{,}25x^2 + 2x + 1) \cdot e^{0{,}5x}\) ergibt sich ein lokaler Hochpunkt bei \(H(-2-2\sqrt{2} \mid (8+8\sqrt{2})e^{-1-\sqrt{2}}) \approx (-4{,}83 \mid 1{,}73)\) und ein lokaler Tiefpunkt bei \(T(-2+2\sqrt{2} \mid (8-8\sqrt{2})e^{\sqrt{2}-1}) \approx (0{,}83 \mid -5{,}01)\). 5. Wendepunkte: \(f''(x) = 0\) führt auf \(x^2 + 8x + 4 = 0\) mit den Lösungen \(x = -4 \pm 2\sqrt{3}\). Die Wendepunkte liegen bei \(W_1 \approx (-7{,}46 \mid 1{,}24)\) und \(W_2 \approx (-0{,}54 \mid -2{,}84)\). 6. Wertemenge: Da der absolute Tiefpunkt bei \(y \approx -5{,}01\) liegt und die Funktion für \(x \to \infty\) unbeschränkt wächst, ist \(W = [(8-8\sqrt{2})e^{\sqrt{2}-1}; \infty[ \approx [-5{,}01; \infty[\).

Schnittpunkte: \(N_1(-2 \mid 0), N_2(2 \mid 0), S_y(0 \mid -4)\); keine Symmetrie; \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\); Extrema: \(H \approx (-4{,}83 \mid 1{,}73), T \approx (0{,}83 \mid -5{,}01)\); Wendepunkte: \(W_1 \approx (-7{,}46 \mid 1{,}24), W_2 \approx (-0{,}54 \mid -2{,}84)\); Wertemenge: \(W \approx [-5{,}01; \infty[\).

- Aus welchen Funktionstypen setzt sich die gegebene Funktion zusammen? - Erinnere dich an das Verhalten der natürlichen Exponentialfunktion für sehr große positive und sehr kleine negative Werte im Exponenten. - Wann kann man davon sprechen, dass sich zwei Graphen „beliebig nahe“ kommen? - Prüfe beide Grenzwerte separat: einmal für \(x \to \infty\) und einmal für \(x \to -\infty\).

1. Die Funktion \(f\) ist die Summe aus einem quadratischen Teil \(q(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x\) und einem exponentiellen Teil \(g(x) = 4e^{-0{,}5x}\). Es gilt \(\lim_{x \to \infty} (f(x) - q(x)) = \lim_{x \to \infty} (4e^{-0{,}5x}) = 0\). Damit nähert sich der Graph von \(f\) für \(x \to \infty\) der Parabel \(q\) mit der Gleichung \(q(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x\) beliebig nahe an. 2. Für den Grenzwert gegen \(-\infty\) betrachtet man \(\lim_{x \to -\infty} (f(x) - q(x)) = \lim_{x \to -\infty} (4e^{-0{,}5x})\). Da der Exponent \(-0{,}5x\) für \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\) strebt, gilt \(\lim_{x \to -\infty} 4e^{-0{,}5x} = \infty\). Die Differenz zwischen den Funktionswerten wird also für kleiner werdende \(x\) unendlich groß. Der Graph nähert sich der Parabel \(q\) für \(x \to -\infty\) nicht an.

1. Die Näherungsparabel für \(x \to \infty\) hat die Gleichung \(q(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x\). Der Nachweis erfolgt über \(\lim_{x \to \infty} 4e^{-0{,}5x} = 0\). 2. Nein, für \(x \to -\infty\) nähert sich der Graph der Parabel nicht an, da die Differenz \(4e^{-0{,}5x}\) gegen \(\infty\) strebt.

- Überlege dir, welche Werte für \(x\) eingesetzt werden dürfen und wann das Produkt null wird. - Erinnere dich an das Wachstumsverhalten von Potenzfunktionen im Vergleich zu Exponentialfunktionen. - Nutze die Produktregel für die Ableitungen und klammere den Exponentialterm am Ende aus. - Wie hängen die Ableitungen mit den gesuchten Punkten zusammen?

1. Der Definitionsbereich ist \(D = \mathbb{R}\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(x^2 - 3 = 0 \implies x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3}\). Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = (0^2 - 3) \cdot e^0 = -3\), also \(S_y(0 \mid -3)\). 2. Für \(x \to \infty\) gilt \(x^2 - 3 \to \infty\) und \(e^x \to \infty\), also \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) dominiert die Exponentialfunktion, es gilt \(\lim_{x \to -\infty} (x^2 - 3) \cdot e^x = 0\). 3. Erste Ableitung: \(f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x^2 + 2x - 3 = 0\), also \(x_3 = -3\) und \(x_4 = 1\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x = (x^2 + 4x - 1) \cdot e^x\). Überprüfung: \(f''(-3) = -4 \cdot e^{-3} < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\). \(f''(1) = 4 \cdot e^1 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\). 4. Notwendige Bedingung für Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \implies x^2 + 4x - 1 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt \(x_{W1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(-1)}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}\).

1. \(D = \mathbb{R}\); Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{3}\); \(y\)-Achsenabschnitt bei \(-3\). 2. \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\). 3. Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\); Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\). 4. Wendestellen bei \(x_1 = -2 - \sqrt{5}\) und \(x_2 = -2 + \sqrt{5}\).

- Kannst du ein bekanntes Additionstheorem nutzen, um das Produkt aus Sinus und Kosinus zu vereinfachen? - Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren Null? - Nutze eine trigonometrische Identität, um die Ableitungsgleichung in eine quadratische Form zu bringen. - Vergiss nicht, auch die Art der Extrempunkte mithilfe der zweiten Ableitung zu prüfen.

1. Umformung: Ausmultiplizieren ergibt \(f(x) = \sin x + \sin x \cos x\). Mit dem Doppelwinkel-Theorem \(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\) folgt \(f(x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin(2x)\). 2. Nullstellen: Der Ansatz \(f(x) = 0\) führt auf \(\sin x = 0\) oder \(1 + \cos x = 0\). Aus \(\sin x = 0\) folgen \(x_1 = 0, x_2 = \pi, x_3 = 2\pi\). Aus \(\cos x = -1\) folgt ebenfalls \(x = \pi\). Die Nullstellen sind somit \(0, \pi\) und \(2\pi\). 3. Ableitungen: \(f'(x) = \cos x + \cos(2x)\) und \(f''(x) = -\sin x - 2 \sin(2x)\). 4. Extrema: \(f'(x) = 0\) führt unter Nutzung von \(\cos(2x) = 2 \cos^2 x - 1\) auf die quadratische Gleichung \(2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0\). Mit \(u = \cos x\) ergeben sich die Lösungen \(u_1 = 0{,}5\) und \(u_2 = -1\). - Für \(\cos x = 0{,}5\) erhält man \(x_4 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_5 = \frac{5\pi}{3}\). - Für \(\cos x = -1\) erhält man \(x_2 = \pi\). 5. Art der Extrema: - \(f''(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} < 0 \implies H(\frac{\pi}{3} \mid \frac{3\sqrt{3}}{4})\). - \(f''(\frac{5\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} > 0 \implies T(\frac{5\pi}{3} \mid -\frac{3\sqrt{3}}{4})\). - \(f''(\pi) = 0\) und \(f'''(\pi) = -3 \neq 0\), somit liegt bei \(x = \pi\) ein Sattelpunkt vor.

a) Nachweis durch Ausmultiplizieren und Anwendung von \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)\). b) Nullstellen bei \(x \in \{0; \pi; 2\pi\}\). c) Hochpunkt \(H(\frac{\pi}{3} \mid \frac{3\sqrt{3}}{4})\), Tiefpunkt \(T(\frac{5\pi}{3} \mid -\frac{3\sqrt{3}}{4})\). Bei \(x = \pi\) liegt ein Sattelpunkt vor.

- Wie verhält sich \(\sin(-x)\) im Vergleich zu \(\sin(x)\)? - Nutze die Produktregel für die Ableitung. - Was passiert mit dem Vorzeichen des Arguments, wenn du eine Funktion ableitest, die eine innere Funktion wie \(-x\) besitzt? - Betrachte den Zusammenhang zwischen der Symmetrie einer Funktion und der Symmetrie ihrer Ableitungsfunktionen schrittweise.

1. Überprüfung auf Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x) = ((-x)^2 - 4) \cdot \sin(-x) = (x^2 - 4) \cdot (-\sin(x)) = -(x^2 - 4) \cdot \sin(x) = -f(x)\). Der Graph von \(f\) ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Anwendung der Produktregel für \(f'(x)\): \(u(x) = x^2 - 4 \Rightarrow u'(x) = 2x\); \(v(x) = \sin(x) \Rightarrow v'(x) = \cos(x)\). Es folgt \(f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + (x^2 - 4) \cdot \cos(x)\). Nachweis der Achsensymmetrie: \(f'(-x) = 2(-x) \cdot \sin(-x) + ((-x)^2 - 4) \cdot \cos(-x) = -2x \cdot (-\sin(x)) + (x^2 - 4) \cdot \cos(x) = 2x \cdot \sin(x) + (x^2 - 4) \cdot \cos(x) = f'(x)\). 3. Ist \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung, gilt \(f(-x) = -f(x)\). Durch Ableiten beider Seiten nach der Kettenregel folgt \(f'(-x) \cdot (-1) = -f'(x)\), also \(f'(-x) = f'(x)\) (Achsensymmetrie von \(f'\)). Erneutes Ableiten liefert \(f''(-x) \cdot (-1) = f''(x)\), woraus \(f''(-x) = -f''(x)\) folgt. Damit ist \(f''\) wieder punktsymmetrisch zum Ursprung.

1. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(f(-x) = -f(x)\). 2. \(f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + (x^2 - 4) \cdot \cos(x)\). Da \(f'(-x) = f'(x)\), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Durch zweifache Anwendung der Kettenregel auf die Symmetriebedingung \(f(-x) = -f(x)\) zeigt man, dass \(f''(-x) = -f''(x)\) gilt.

- Für die Extrempunkte benötigst du die Nullstellen der ersten Ableitung. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Ein Wendepunkt liegt dort vor, wo die Krümmung der Funktion ihr Vorzeichen wechselt. - Die Tangente ist eine Gerade. Du benötigst die Steigung an der entsprechenden Stelle und den Funktionswert. - Überlege dir für die Fläche zuerst, welche Funktion im betrachteten Intervall oberhalb der anderen liegt. Eine Skizze (gedanklich oder auf Papier) kann helfen.

1. Zur Bestimmung der Extrempunkte wird die erste Ableitung \(f'(x) = \cos(x) - 0{,}5\) nullgesetzt. Im Intervall \([0; 2\pi]\) ergeben sich die Stellen \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{3}\). Die zweite Ableitung \(f''(x) = -\sin(x)\) liefert \(f''(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\) (Hochpunkt) und \(f''(\frac{5\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0\) (Tiefpunkt). Die Koordinaten sind \(H(\frac{\pi}{3} \mid \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} + 1) \approx H(1{,}05 \mid 1{,}34)\) und \(T(\frac{5\pi}{3} \mid -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6} + 1) \approx T(5{,}24 \mid -2{,}48)\). 2. Für den Wendepunkt gilt \(f''(x) = -\sin(x) = 0\). Im Inneren des Intervalls liegt die Lösung bei \(x = \pi\). Mit \(f'''(x) = -\cos(x)\) und \(f'''(\pi) = 1 \neq 0\) ist der Wendepunkt \(W(\pi \mid 1 - 0{,}5\pi) \approx W(3{,}14 \mid -0{,}57)\) bestätigt. 3. Die Tangentengleichung an der Stelle \(x_0 = \pi\) lautet \(t(x) = f'(\pi) \cdot (x - \pi) + f(\pi)\). Mit \(f'(\pi) = -1 - 0{,}5 = -1{,}5\) und \(f(\pi) = 1 - 0{,}5\pi\) ergibt sich \(t(x) = -1{,}5(x - \pi) + 1 - 0{,}5\pi = -1{,}5x + \pi + 1\). 4. Die Fläche wird durch das Integral der Differenzfunktion \(h(x) = t(x) - f(x)\) von \(0\) bis \(\pi\) berechnet. Es gilt \(h(x) = (-1{,}5x + \pi + 1) - (\sin(x) - 0{,}5x + 1) = \pi - x - \sin(x)\). Das Integral lautet \(\int_0^{\pi} (\pi - x - \sin(x)) \, dx = [\pi x - 0{,}5x^2 + \cos(x)]_0^{\pi} = (\pi^2 - 0{,}5\pi^2 + \cos(\pi)) - (0 - 0 + \cos(0)) = 0{,}5\pi^2 - 1 - 1 = \frac{\pi^2}{2} - 2 \approx 2{,}935\).

a) Hochpunkt \(H(\frac{\pi}{3} \mid \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} + 1)\), Tiefpunkt \(T(\frac{5\pi}{3} \mid -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6} + 1)\) b) \(W(\pi \mid 1 - 0{,}5\pi)\) c) \(t(x) = -1{,}5x + \pi + 1\) d) \(A = \frac{\pi^2}{2} - 2 \approx 2{,}935\)

- Welche trigonometrische Identität erlaubt es dir, \(\cos(2x)\) durch \(\cos x\) auszudrücken? - Erinnere dich an die Definition der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. Was muss für \(f(-x)\) gelten? - Die Struktur des Terms in a) ähnelt der Scheitelpunktform einer Parabel. Wie kannst du dies nutzen, wenn du den Wertebereich von \(\cos x\) berücksichtigst? - Überlege, welche Werte der Ausdruck \(\cos x\) maximal und minimal annehmen kann.

1. Nachweis der Termidentität: Verwendung der Identität \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\). Einsetzen ergibt \(f(x) = 2\cos^2 x - 1 + 2\cos x = 2(\cos^2 x + \cos x) - 1\). Durch quadratische Ergänzung im Klammerausdruck folgt \(2(\cos^2 x + \cos x + 0{,}25 - 0{,}25) - 1 = 2(\cos x + 0{,}5)^2 - 0{,}5 - 1 = 2(\cos x + 0{,}5)^2 - 1{,}5\). 2. Symmetrie: Prüfung der Bedingung \(f(-x) = f(x)\). Da \(\cos(-2x) = \cos(2x)\) und \(\cos(-x) = \cos x\), gilt \(f(-x) = \cos(-2x) + 2\cos(-x) = \cos(2x) + 2\cos x = f(x)\). Somit liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 3. Globale Extrema: Substitution \(u = \cos x\) mit dem eingeschränkten Definitionsbereich \(u \in [-1; 1]\). Die Funktion \(g(u) = 2(u + 0{,}5)^2 - 1{,}5\) beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt bei \(u = -0{,}5\). Da \(-0{,}5\) im Intervall \([-1; 1]\) liegt, ist der minimale Funktionswert \(y_{\text{min}} = -1{,}5\). Der maximale Wert muss an einem der Ränder des Intervalls \([-1; 1]\) liegen: \(g(-1) = 2(-0{,}5)^2 - 1{,}5 = -1\) und \(g(1) = 2(1{,}5)^2 - 1{,}5 = 3\). Der globale Maximalwert ist somit \(3\).

a) Nachweis erfolgt über \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\) und quadratische Ergänzung. b) Es liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor, da \(f(-x) = f(x)\). c) Der globale Minimalwert beträgt \(-1{,}5\), der globale Maximalwert beträgt \(3\).

- Zur Symmetrie: Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. - Für die Nullstellen kannst du eine Substitution verwenden, um die Gleichung auf eine quadratische Form zu bringen. - Wie findet man heraus, welcher Teil des Graphen oberhalb der \(x\)-Achse liegt? Teste Werte zwischen den Nullstellen. - Der Parameter \(c\) bewirkt eine Verschiebung des Graphen in vertikale Richtung.

1. Symmetrie: \(g(-x) = (-x)^4 - 6(-x)^2 + 5 = x^4 - 6x^2 + 5 = g(x)\). Da nur gerade Exponenten auftreten, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g(0) = 5 \Rightarrow S_y(0 \mid 5)\). 3. Nullstellen berechnen: \(x^4 - 6x^2 + 5 = 0\). Substitution \(u = x^2\) führt zu \(u^2 - 6u + 5 = 0\). Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 5\). Rücksubstitution ergibt die Nullstellen \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = -\sqrt{5}\) und \(x_4 = \sqrt{5}\). 4. Flächeninhalt oberhalb der \(x\)-Achse: Die inneren Nullstellen sind \(-1\) und \(1\). Da der Graph dazwischen oberhalb der Achse verläuft, berechnet man das Integral \(\int_{-1}^{1} (x^4 - 6x^2 + 5) \, dx\). 5. Stammfunktion: \(G(x) = \frac{1}{5}x^5 - 2x^3 + 5x\). Das bestimmte Integral ergibt \(G(1) - G(-1) = 3{,}2 - (-3{,}2) = 6{,}4\). 6. Lage der Tiefpunkte: \(g'(x) = 4x^3 - 12x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 3) = 0\). Tiefpunkte liegen bei \(x = \pm \sqrt{3}\). Funktionswert: \(g(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 - 6(\sqrt{3})^2 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\). 7. Bestimmung von \(c\): Damit die Tiefpunkte von \(h_c(x) = g(x) + c\) auf der \(x\)-Achse liegen, muss \(h_c(\pm \sqrt{3}) = 0\) gelten. Also \(-4 + c = 0 \Rightarrow c = 4\).

a) Symmetrie durch \(g(-x) = g(x)\) nachgewiesen. Schnittpunkte: \(S_y(0 \mid 5)\), \(N_1(-1 \mid 0)\), \(N_2(1 \mid 0)\), \(N_3(-\sqrt{5} \mid 0)\), \(N_4(\sqrt{5} \mid 0)\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(6{,}4\) Flächeneinheiten. c) \(c = 4\).

- Bestimme zuerst die notwendigen Ableitungen der Funktion unter Verwendung der Produktregel. - Vergiss nicht, die \(y\)-Koordinaten der besonderen Punkte zu berechnen. - Was bedeutet „im ersten Quadranten“ für die Integrationsgrenzen? - Die Nullstelle der Funktion gibt dir die obere Grenze für die Flächenberechnung an der \(x\)-Achse an.

1. Ableitungen: \(f'(x) = -1 \cdot e^x + (3-x) \cdot e^x = (2-x)e^x\). \(f''(x) = -1 \cdot e^x + (2-x) \cdot e^x = (1-x)e^x\). 2. Extrempunkt: \(f'(x) = 0 \implies x_E = 2\). Da \(f''(2) = -e^2 < 0\), ist es ein Hochpunkt. \(f(2) = (3-2)e^2 = e^2\). Punkt: \(H(2 \mid e^2)\). 3. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \implies x_W = 1\). Da \(f'''(x) = -e^x + (1-x)e^x = -x e^x\) und \(f'''(1) = -e \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. \(f(1) = 2e\). Punkt: \(W(1 \mid 2e)\). 4. Stammfunktion: \(F'(x) = -1 \cdot e^x + (4-x) \cdot e^x = (3-x)e^x = f(x)\). 5. Flächeninhalt: Im ersten Quadranten wird die Fläche durch die \(y\)-Achse (\(x=0\)), die \(x\)-Achse und den Graphen bis zur Nullstelle begrenzt. Nullstelle: \(3-x=0 \implies x=3\). 6. Integral: \(A = \int_{0}^{3} f(x) \, dx = [F(x)]_{0}^{3} = F(3) - F(0) = (4-3)e^3 - (4-0)e^0 = e^3 - 4 \approx 16{,}09\).

a) Hochpunkt \(H(2 \mid e^2)\); Wendepunkt \(W(1 \mid 2e)\). b) Nachweis durch \(F'(x) = f(x)\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(A = e^3 - 4 \approx 16{,}09\) Flächeneinheiten.

- Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Nutze beim Ableiten die Kettenregel für den Term \(e^{-x}\). - Setze die erste Ableitung gleich null, um mögliche Extremstellen zu finden. - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt?

1. Zur Überprüfung der Achsensymmetrie wird \(f(-x)\) berechnet: \(f(-x) = \frac{1}{2}(e^{-x} + e^{-(-x)}) = \frac{1}{2}(e^{-x} + e^x)\). Da dies mit \(f(x)\) identisch ist, liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\). Die zweite Ableitung ergibt sich zu \(f''(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\). Es ist erkennbar, dass \(f''(x) = f(x)\) gilt. 3. Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist \(f'(x) = 0\). Aus \(\frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) = 0\) folgt \(e^x = e^{-x}\), also \(e^{2x} = 1\), woraus \(x = 0\) resultiert. Der Funktionswert ist \(f(0) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1\). Da \(f''(0) = f(0) = 1 > 0\), handelt es sich um einen Tiefpunkt bei \(T(0 \mid 1)\).

1. \(f(-x) = f(x)\) (nachgewiesen) 2. \(f'(x) = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\); \(f''(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\); Zusammenhang: \(f''(x) = f(x)\) 3. Tiefpunkt \(T(0 \mid 1)\)

- Überprüfe für die Symmetrie, wie sich die Funktion bei der Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) verhält. - Erinnere dich daran, dass ein Produkt null ist, wenn einer der Faktoren null ist. - Eine Gerade durch den Ursprung hat immer die Form \(y = mx\). Was bedeutet es für die Steigung \(m\), wenn die Gerade den Graphen berührt? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, müssen ihre Funktionswerte an derselben Stelle gleich sein.

1. Symmetrie: Prüfung von \(f(-x) = (-x) \cdot \cos(-x) = -x \cdot \cos(x) = -f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Schnittpunkte: \(f(0) = 0 \Rightarrow S_y(0 \mid 0)\). Nullstellen: \(x \cdot \cos(x) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_3 = -\frac{\pi}{2}\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \((0 \mid 0)\), \((\frac{\pi}{2} \mid 0)\) und \((-\frac{\pi}{2} \mid 0)\). 3. Berührpunkt: Eine Gerade durch den Ursprung hat die Form \(h(x) = mx\). Die Bedingung für einen Berührpunkt bei \(x_0\) lautet \(f'(x_0) = \frac{f(x_0)}{x_0}\). Mit \(f'(x) = \cos(x) - x \sin(x)\) ergibt sich \(\cos(x_0) - x_0 \sin(x_0) = \cos(x_0)\). 4. Daraus folgt \(x_0 \sin(x_0) = 0\). Da \(x_0 > 0\) und \(x_0 \le \pi\), ist \(x_0 = \pi\). 5. Koordinaten: \(f(\pi) = \pi \cdot \cos(\pi) = -\pi\). Der Berührpunkt ist \(P(\pi \mid -\pi)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-\pi}{\pi} = -1\), also \(h(x) = -x\). 6. Schnittpunkte mit \(g\): \(x \cos(x) = 0{,}5x \Leftrightarrow x(\cos(x) - 0{,}5) = 0\). Lösungen: \(x = 0\) oder \(\cos(x) = 0{,}5\). In \([-\pi; \pi]\) sind dies \(x = 0\), \(x = \frac{\pi}{3}\) und \(x = -\frac{\pi}{3}\). 7. Funktionswerte: \(g(0) = 0\), \(g(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6}\), \(g(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6}\). Schnittpunkte: \(S_1(0 \mid 0)\), \(S_2(\frac{\pi}{3} \mid \frac{\pi}{6})\), \(S_3(-\frac{\pi}{3} \mid -\frac{\pi}{6})\).

a) Punktsymmetrie zum Ursprung; Schnittpunkte: \((0 \mid 0)\), \((\frac{\pi}{2} \mid 0)\), \((-\frac{\pi}{2} \mid 0)\). b) Berührpunkt \(P(\pi \mid -\pi)\), Gleichung der Geraden \(h(x) = -x\). c) Schnittpunkte: \(S_1(0 \mid 0)\), \(S_2(\frac{\pi}{3} \mid \frac{\pi}{6})\), \(S_3(-\frac{\pi}{3} \mid -\frac{\pi}{6})\).

- Wie verhält sich die gezeigte Kurve für sehr große x-Werte? Vergleiche dies mit dem Verhalten der e-Funktionen in den vorgeschlagenen Termen. - Wo schneidet der abgebildete Graph die x-Achse? Setze die Terme gleich null, um ihre Nullstellen zu ermitteln. - Welche geometrische Eigenschaft hat der Graph an einem Hochpunkt und was bedeutet das für den Wert der ersten Ableitung? - Wie hängen das Krümmungsverhalten eines Graphen (links- oder rechtsgekrümmt) und das Vorzeichen der zweiten Ableitung zusammen? - Versuche, die erste und zweite Ableitung des ermittelten Funktionsterms aufzustellen, um die Aussagen in Teil b) mathematisch zu prüfen.

a) Untersuchung des Graphen \(G_f\) zur Bestimmung des Funktionsterms: 1. **Verhalten für \(x \to \infty\)**: Der Graph nähert sich asymptotisch der x-Achse von oben an, der Grenzwert ist also \(0\). Für den Term (A) \(f_1(x) = (x + 2) \cdot e^x\) gilt jedoch \(\lim_{x \to \infty} f_1(x) = \infty\), da sowohl \((x+2) \to \infty\) als auch \(e^x \to \infty\). Somit scheidet (A) aus. 2. **Nullstellen**: Der Graph schneidet die x-Achse bei \(x = -2\). Für den Term (B) \(f_2(x) = (x - 2) \cdot e^{-x}\) liegt die Nullstelle bei \(x = 2\) (da \(x - 2 = 0 \implies x = 2\)). Somit scheidet auch (B) aus. 3. **Ergebnis**: Der einzig verbleibende und passende Term ist (C) \(f_3(x) = (x + 2) \cdot e^{-x}\). Bei diesem liegt die Nullstelle bei \(x = -2\) und der Grenzwert für \(x \to \infty\) ist \(0\), was perfekt zum Graphen passt. b) Untersuchung der Aussagen: 1. **Aussage (1) ist wahr**: Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x = -1\) einen lokalen Hochpunkt (lokales Maximum). An dieser Stelle verläuft die Tangente horizontal, was bedeutet, dass die Steigung dort gleich null ist. Folglich gilt \(f'(-1) = 0\), womit \(f'\) an der Stelle \(x = -1\) eine Nullstelle besitzt. 2. **Aussage (2) ist falsch**: Das Krümmungsverhalten wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''\) bestimmt. Wir bestimmen die Ableitungen von \(f(x) = (x + 2) \cdot e^{-x}\) mithilfe der Produktregel: \(f'(x) = e^{-x} + (x + 2) \cdot (-e^{-x}) = -(x + 1) \cdot e^{-x}\) \(f''(x) = -e^{-x} - (x + 1) \cdot (-e^{-x}) = x \cdot e^{-x}\) Für alle \(x < 0\) gilt \(x < 0\) und \(e^{-x} > 0\), woraus \(f''(x) < 0\) folgt. Ein negatives Vorzeichen der zweiten Ableitung bedeutet jedoch, dass der Graph für \(x < 0\) rechtsgekrümmt (konkav) ist.

a) Der passende Funktionsterm ist (C) \(f_3(x) = (x + 2) \cdot e^{-x}\). b) (1) ist wahr, da bei \(x = -1\) ein Hochpunkt liegt und somit die Tangente waagerecht ist (\(f'(-1) = 0\)). (2) ist falsch, da \(f''(x) = x \cdot e^{-x}\) für alle \(x < 0\) negativ ist (\(f''(x) < 0\)), was einer Rechtskrümmung entspricht.

- Wie kannst du das Verhalten für sehr große \(x\)-Werte untersuchen, indem du den Funktionsterm als Bruch umschreibst? - Welche Ableitungsregeln benötigst du, um die erste und zweite Ableitung einer solchen Funktion zu bestimmen? - Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines Hochpunkts erfüllt sein? - Wie lässt sich eine Wendestelle rechnerisch nachweisen? - Welcher Teil des Funktionsterms kann niemals null werden, wenn du nach Nullstellen suchst?

1. Grenzwertverhalten für \(x \to \infty\): Es gilt \(f(x) = (x + 1) \cdot e^{-x} = \frac{x + 1}{e^x}\). Für \(x \to \infty\) wächst die Exponentialfunktion im Nenner wesentlich schneller als die lineare Funktion im Zähler. Nach der Regel von de l'Hospital (oder durch den Vergleich der Wachstumsgeschwindigkeiten) gilt: \(\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0\). Daraus folgt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\). 2. Hochpunkt bestimmen: - Erste Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel bestimmen: \(f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x + 1) \cdot (-e^{-x}) = (1 - x - 1)e^{-x} = -x \cdot e^{-x}\). - Notwendige Bedingung für ein Extremum ist \(f'(x) = 0\): \(-x \cdot e^{-x} = 0 \iff x = 0\), da \(e^{-x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). - Zweite Ableitung bestimmen: \(f''(x) = -1 \cdot e^{-x} + (-x) \cdot (-e^{-x}) = (x - 1)e^{-x}\). - Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''(0) = (0 - 1)e^0 = -1 < 0\). Da die zweite Ableitung negativ ist, liegt bei \(x = 0\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. - Y-Koordinate berechnen: \(f(0) = (0 + 1)e^0 = 1\). - Somit lauten die Koordinaten des Hochpunkts \(H(0 \mid 1)\). 3. Wendepunkt bestimmen: - Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist \(f''(x) = 0\): \((x - 1)e^{-x} = 0 \iff x - 1 = 0 \iff x = 1\), da \(e^{-x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). - Dritte Ableitung bestimmen: \(f'''(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x - 1) \cdot (-e^{-x}) = (2 - x)e^{-x}\). - Hinreichende Bedingung prüfen: \(f'''(1) = (2 - 1)e^{-1} = e^{-1} \neq 0\). Da die dritte Ableitung ungleich Null ist, liegt bei \(x = 1\) eine Wendestelle vor. - Y-Koordinate berechnen: \(f(1) = (1 + 1)e^{-1} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}\). - Somit lauten die exakten Koordinaten des Wendepunkts \(W\left(1 \mid \frac{2}{e}\right)\). 4. Nullstelle berechnen: - Ansatz \(f(x) = 0\): \((x + 1)e^{-x} = 0\). - Da \(e^{-x} \neq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(x + 1 = 0\) gelten. - Dies ergibt die Nullstelle bei \(x = -1\).

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) b) \(H(0 \mid 1)\) c) \(W\left(1 \mid \frac{2}{e}\right)\) d) \(x = -1\)

- Überlege zuerst, wie sich die Extrempunkte einer Funktion mithilfe der ersten und zweiten Ableitung bestimmen lassen. - Welche physikalische Bedeutung hat die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit? - Die stärkste Abnahme (oder Zunahme) einer Funktion entspricht mathematisch der Bestimmung des Wendepunkts. - Wie hängt die zurückgelegte Strecke mit der Geschwindigkeit zusammen? Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Stammfunktion. - Achte beim Integrieren auf die korrekten Potenzregeln und das anschließende Einsetzen der Grenzen.

1. Bestimmung der maximalen Geschwindigkeit (Teilaufgabe a): - Erste Ableitung bilden: \(v'(t) = 0{,}03t^2 - 1{,}2t + 9\). - Notwendige Bedingung für Extrema: \(v'(t) = 0 \implies 0{,}03t^2 - 1{,}2t + 9 = 0\). Dies liefert die Lösungen \(t_1 = 10\) und \(t_2 = 30\). - Zweite Ableitung bilden: \(v''(t) = 0{,}06t - 1{,}2\). - Hinreichende Bedingung prüfen: \(v''(10) = -0{,}6 < 0\), also liegt bei \(t=10\) ein lokales Maximum vor. Die Stelle \(t=30\) ist ein Randpunkt des betrachteten Intervalls und wird deshalb durch einen Randwertvergleich berücksichtigt. - Funktionswerte an der inneren Extremstelle und an den Randpunkten vergleichen: \(v(0)=0\), \(v(10)=40\) und \(v(30)=0\). - Ergebnis: Die maximale Geschwindigkeit beträgt \(40\,\text{m/s}\) und wird zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{s}\) erreicht. 2. Bestimmung der maximalen Verzögerung (Teilaufgabe b): - Die Geschwindigkeit nimmt dort am stärksten ab, wo die Steigung der Geschwindigkeit (die Beschleunigung) am geringsten ist. Dies entspricht dem Wendepunkt von \(v\). - Notwendige Bedingung für Wendepunkte: \(v''(t) = 0 \implies 0{,}06t - 1{,}2 = 0 \implies t = 20\). - Hinreichende Bedingung prüfen: \(v'''(t) = 0{,}06 \neq 0\). Somit liegt bei \(t = 20\,\text{s}\) die stärkste Abnahme vor. - Wert der Verzögerung berechnen: \(v'(20) = 0{,}03 \cdot 20^2 - 1{,}2 \cdot 20 + 9 = -3\,\text{m/s}^2\). - Ergebnis: Zum Zeitpunkt \(t = 20\,\text{s}\) nimmt die Geschwindigkeit am stärksten ab; die maximale Verzögerung beträgt \(3\,\text{m/s}^2\). 3. Berechnung der zurückgelegten Strecke (Teilaufgabe c): - Die zurückgelegte Strecke entspricht dem bestimmten Integral der Geschwindigkeit über das Zeitintervall \([0; 30]\): \(s = \int_{0}^{30} v(t) \,\mathrm{d}t\). - Stammfunktion bestimmen: \(S(t) = 0{,}0025t^4 - 0{,}2t^3 + 4{,}5t^2\). - Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden: \(s = S(30) - S(0) = (0{,}0025 \cdot 30^4 - 0{,}2 \cdot 30^3 + 4{,}5 \cdot 30^2) - 0 = 2025 - 5400 + 4050 = 675\). - Ergebnis: Das Fahrzeug legt in den ersten 30 Sekunden eine Strecke von \(675\,\text{m}\) zurück.

a) Die maximale Geschwindigkeit von \(40\,\text{m/s}\) wird zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{s}\) erreicht. b) Die Geschwindigkeit nimmt zum Zeitpunkt \(t = 20\,\text{s}\) am stärksten ab; die maximale Verzögerung beträgt \(3\,\text{m/s}^2\). c) Das Fahrzeug legt in den ersten 30 Sekunden insgesamt eine Strecke von \(675\,\text{m}\) zurück.

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Überlege, welche Werte der Term \(e^{-0{,}25x^2}\) annehmen kann. Was ist der größtmögliche Wert? - Die Stellen mit der größten Steilheit (positiv oder negativ) entsprechen den Wendestellen der Funktion. - Nutze die Produkt- und Kettenregel für die Ableitungen.

a) Symmetrie: Es gilt \(g(-x) = 4e^{-0{,}25(-x)^2} = 4e^{-0{,}25x^2} = g(x)\). Da \(g(-x) = g(x)\) erfüllt ist, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Wertemenge: Da der Exponent \(-0{,}25x^2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) kleiner oder gleich null ist, nimmt die Exponentialfunktion Werte im Intervall \(]0; 1]\) an. Multipliziert mit 4 ergibt sich die Wertemenge \(W_g = ]0; 4]\). c) Wendestellen: Die Ableitungen sind \(g'(x) = -2x \cdot e^{-0{,}25x^2}\) und \(g''(x) = -2 \cdot e^{-0{,}25x^2} + (-2x) \cdot (-0{,}5x) \cdot e^{-0{,}25x^2} = (x^2 - 2) \cdot e^{-0{,}25x^2}\). Die Bedingung \(g''(x) = 0\) führt auf \(x^2 - 2 = 0\), also \(x_{1,2} = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1{,}41\).

a) Wegen \(g(-x) = g(x)\) liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. b) Die Wertemenge ist \(W_g = ]0; 4]\). c) Die Wendestellen liegen bei \(x_1 = -\sqrt{2} \approx -1{,}41\) und \(x_2 = \sqrt{2} \approx 1{,}41\).

- Überlege zuerst, welche Ableitung du benötigst, um Hochpunkte oder Wendepunkte zu finden. - Für die maximale Höhe suchst du den lokalen Hochpunkt der Funktion im gegebenen Bereich. - Die steilste Stelle einer Kurve entspricht mathematisch dem Extrempunkt der ersten Ableitung. - Achte beim Ableiten auf die Produkt- und Kettenregel.

1. Bestimmung der Ableitungen: \(f'(x) = 2(x+2)e^{-0{,}5x} - 0{,}5(x+2)^2 e^{-0{,}5x} = (-0{,}5x^2 + 2)e^{-0{,}5x}\) \(f''(x) = -x e^{-0{,}5x} - 0{,}5(-0{,}5x^2 + 2)e^{-0{,}5x} = (0{,}25x^2 - x - 1)e^{-0{,}5x}\) 2. Maximale Höhe: Notwendige Bedingung: \(f'(x) = 0 \implies -0{,}5x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2\). Das Maximum liegt bei \(x = 2\) (Gipfel). Höhe: \(f(2) = (2+2)^2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 2} = 16 \cdot e^{-1} \approx 5{,}89\,\text{m}\). 3. Steilste Stelle (Wendepunkt): Notwendige Bedingung: \(f''(x) = 0 \implies 0{,}25x^2 - x - 1 = 0 \implies x^2 - 4x - 4 = 0\). Lösungen: \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = 2 \pm \sqrt{8}\). Relevante Stelle für die rechte Seite (\(x > 2\)): \(x = 2 + 2\sqrt{2} \approx 4{,}83\). 4. Gefälle im Wendepunkt: \(f'(4{,}83) = (-0{,}5 \cdot 4{,}83^2 + 2) \cdot e^{-0{,}5 \cdot 4{,}83} \approx -0{,}86\). Das Gefälle beträgt ca. \(86\,\%\).

a) Die maximale Höhe des Walls beträgt ca. \(5{,}89\,\text{m}\). b) Die steilste Stelle auf der rechten Seite liegt bei \(x \approx 4{,}83\). Das Gefälle beträgt dort ca. \(0{,}86\) (bzw. \(86\,\%\)).

- Überlege dir, welche Koordinate eines Punktes auf der \(y\)-Achse immer null ist. - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: Was muss für \(f(-x)\) gelten? - Für die Tangentengleichung benötigst du die Steigung an der Berührstelle. Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei? - Eine Tangente ist eine Gerade. Wie lautet die allgemeine Form einer Geradengleichung? - Wo liegt ein Punkt auf der \(x\)-Achse? Welche seiner Koordinaten kennst du?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse durch \(f(0)\) bestimmen: \(f(0) = 4 \cdot e^0 = 4\). Somit ist der Schnittpunkt \(S_y(0 \mid 4)\). 2. Nachweis der Achsensymmetrie: \(f(-x) = 4e^{-0{,}5(-x)^2} = 4e^{-0{,}5x^2} = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Ableitungsfunktion mit der Kettenregel bestimmen: \(f'(x) = 4 \cdot (-x) \cdot e^{-0{,}5x^2} = -4x \cdot e^{-0{,}5x^2}\). 4. Steigung der Tangente bei \(x=1\): \(m = f'(1) = -4 \cdot e^{-0{,}5} = -4e^{-0{,}5}\). 5. Funktionswert bei \(x=1\): \(y_1 = f(1) = 4e^{-0{,}5}\). 6. Tangentengleichung \(y = m(x - x_1) + y_1\) aufstellen: \(y = -4e^{-0{,}5}(x - 1) + 4e^{-0{,}5} = -4e^{-0{,}5}x + 8e^{-0{,}5}\). 7. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(0 = -4e^{-0{,}5}x + 8e^{-0{,}5} \Rightarrow 4e^{-0{,}5}x = 8e^{-0{,}5} \Rightarrow x = 2\). Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 2\).

a) \(S_y(0 \mid 4)\) b) Nachweis über \(f(-x) = f(x)\). c) \(t: y = -4e^{-0{,}5}x + 8e^{-0{,}5}\) (bzw. \(y \approx -2{,}43x + 4{,}85\)) d) \(x = 2\)

- Überlege, welche Werte für \(x\) in den Funktionsterm eingesetzt werden dürfen. - Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Kann die \(e\)-Funktion jemals null werden? - Erinnere dich an das Wachstum von Exponentialfunktionen im Vergleich zu Potenzfunktionen für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte. - Nutze die Produktregel für die Ableitung. - Wie hängen die Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung mit der Art der Extrempunkte zusammen?

1. Definitionsmenge und Nullstellen: Da \(e^x\) und \(x^2 - 3\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert sind, ist \(D = \mathbb{R}\). Nullstellen liegen vor, wenn \(x^2 - 3 = 0\) ist, da \(e^x > 0\). Somit \(x_1 = -\sqrt{3}\) und \(x_2 = \sqrt{3}\). 2. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) streben sowohl \(x^2 - 3\) als auch \(e^x\) gegen \(\infty\), also \(h(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) dominiert die Exponentialfunktion die Potenzfunktion, sodass \(h(x) \to 0\). 3. Extrempunkte: Die Ableitung ist \(h'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). Nullsetzen der Klammer liefert \(x^2 + 2x - 3 = 0\), also \(x_3 = -3\) und \(x_4 = 1\). Da \(h'(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel als Faktor hat, ist bei \(x = -3\) ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) (Hochpunkt) und bei \(x = 1\) ein Wechsel von \(-\) nach \(+\) (Tiefpunkt). Die Koordinaten sind \(H\left(-3 \mid 6e^{-3}\right)\) und \(T(1 \mid -2e)\).

a) \(D = \mathbb{R}\); Nullstellen bei \(x_1 = -\sqrt{3}\) und \(x_2 = \sqrt{3}\). b) \(\lim_{x \to \infty} h(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0\). c) Hochpunkt \(H\left(-3 \mid \frac{6}{e^3}\right)\) und Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\).

- Achte beim Ablesen der Punkte auf die Skalierung der Achsen. - Erinnere dich daran, dass Flächen unterhalb der \(x\)-Achse beim Integral negativ gezählt werden. - Du kannst Flächeninhalte annähern, indem du die Anzahl der Gitterquadrate zählst oder die Form einfacher geometrischer Figuren wie Trapeze oder Rechtecke nutzt. - Die Asymptote ist die Gerade, an die sich der Graph für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte „anschmiegt“.

1. Aus dem Graphen: \(S_y(0\mid-1)\), Nullstellen bei \(x\approx0{,}3\) und \(x\approx6{,}5\), Hochpunkt \(H\approx(2\mid1{,}9)\), Wendepunkt \(W\approx(4\mid1{,}2)\), waagrechte Asymptote \(y=-1\). 2. Durch Abschätzen mit dem Gitter erhält man ungefähr \(\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx-3{,}4\) und \(\int_{1}^{6}f(x)\,dx\approx6{,}4\). 3. Das zweite Integral hat den größeren Betrag.

a) \(S_y(0\mid-1)\); Nullstellen bei \(x\approx0{,}3\) und \(x\approx6{,}5\); \(H\approx(2\mid1{,}9)\); \(W\approx(4\mid1{,}2)\); Asymptote \(y=-1\). b) \(\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx-3{,}4\); \(\int_{1}^{6}f(x)\,dx\approx6{,}4\). c) \(\int_{1}^{6}f(x)\,dx\) hat den größeren Betrag.

- Klammere den gemeinsamen Faktor \(e^x\) aus, bevor du mit dem Ableiten beginnst. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) niemals den Wert Null annimmt. - Die Art eines Extrempunktes lässt sich gut über das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der betreffenden Stelle bestimmen. - Achte darauf, ob die gefundenen Stellen im vorgegebenen Intervall liegen.

1. Zusammenfassen der Funktion: \(f(x) = (x^2 + 2x - 1) \cdot e^x\). 2. Ableiten mit der Produktregel: \(f'(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - 1) \cdot e^x = (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x\). 3. Nullstellen der ersten Ableitung: Da \(e^x > 0\), gilt \(x^2 + 4x + 1 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel liefert \(x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{3}\). Beide Werte (\(x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -3{,}73\) und \(x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -0{,}27\)) liegen im Intervall \([-5; 0]\). 4. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = (2x + 4) \cdot e^x + (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x = (x^2 + 6x + 5) \cdot e^x\). 5. Art bestimmen: \(f''(-2 - \sqrt{3}) = -2\sqrt{3} \cdot e^{-2-\sqrt{3}} < 0 \implies\) Hochpunkt. \(f''(-2 + \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \cdot e^{-2+\sqrt{3}} > 0 \implies\) Tiefpunkt. 6. Koordinaten berechnen: \(f(-2 - \sqrt{3}) = (2 + 2\sqrt{3}) \cdot e^{-2-\sqrt{3}}\) und \(f(-2 + \sqrt{3}) = (2 - 2\sqrt{3}) \cdot e^{-2+\sqrt{3}}\).

Hochpunkt \(H\left(-2 - \sqrt{3} \mid (2 + 2\sqrt{3}) \cdot e^{-2-\sqrt{3}}\right) \approx H(-3{,}73 \mid 0{,}13)\) Tiefpunkt \(T\left(-2 + \sqrt{3} \mid (2 - 2\sqrt{3}) \cdot e^{-2+\sqrt{3}}\right) \approx T(-0{,}27 \mid -1{,}12)\)

- Setze das Argument des Kosinus gleich den bekannten Nullstellen der Kosinusfunktion. - Vergiss beim Ableiten nicht die innere Ableitung der quadratischen Funktion. - Prüfe systematisch, für welche ganzzahligen \(k\) die Lösungen im Intervall liegen. - Untersuche neben den kritischen Stellen im Inneren auch das einseitige Verhalten an \(x=-3\) und \(x=3\).

1. Nullstellenbestimmung: \(\cos\left(\frac{\pi}{4}x^2\right) = 0\) erfordert \(\frac{\pi}{4}x^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Multiplikation mit \(\frac{4}{\pi}\) ergibt \(x^2 = 2 + 4k\). Für \(x \in [-3; 3]\) gilt \(x^2 \in [0; 9]\). - \(k=0: x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41\). - \(k=1: x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6} \approx \pm 2{,}45\). - \(k=2: x^2 = 10 > 9\) liegt außerhalb des Intervalls. Damit sind die Nullstellen \(\pm\sqrt{2}\) und \(\pm\sqrt{6}\). 2. Die erste Ableitung lautet \(g'(x) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}x^2\right) \cdot \frac{\pi}{2}x\). Für innere kritische Stellen gilt \(g'(x)=0\), also \(x=0\) oder \(\sin\left(\frac{\pi}{4}x^2\right)=0\). Daraus folgt \(x^2=4k\). Im Inneren des Intervalls erhält man \(x=0\), \(x=\pm2\) und \(x=\pm\sqrt{8}\). 3. Über die Funktionswerte und das Monotonieverhalten ergeben sich die inneren Extrema: \(g(0)=1\), also ein Hochpunkt \(H_1(0 \mid 1)\); \(g(\pm2)=-1\), also Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -1)\) und \(T_2(2 \mid -1)\); \(g(\pm\sqrt{8})=1\), also Hochpunkte \(H_2(-\sqrt{8} \mid 1)\) und \(H_3(\sqrt{8} \mid 1)\). 4. An den Randpunkten gilt \(g(-3)=g(3)=\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Unmittelbar rechts von \(-3\) beziehungsweise links von \(3\) sind die Funktionswerte größer. Daher sind \(R_1(-3 \mid \frac{\sqrt{2}}{2})\) und \(R_2(3 \mid \frac{\sqrt{2}}{2})\) einseitige lokale Minima.

a) Nullstellen: \(x_{1,2} = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41\); \(x_{3,4} = \pm\sqrt{6} \approx \pm 2{,}45\). b) Lokale Hochpunkte: \(H_1(0 \mid 1)\) und \(H_{2,3}(\pm\sqrt{8} \mid 1) \approx (\pm 2{,}83 \mid 1)\); lokale Tiefpunkte im Inneren: \(T_{1,2}(\pm 2 \mid -1)\); einseitige lokale Minima an den Randpunkten: \(R_{1,2}(\pm3 \mid \frac{\sqrt{2}}{2})\).

- Nutze die Produktregel und die Kettenregel zur Bestimmung der Ableitungen. - Forme die Gleichung für die Schnittpunkte so um, dass du ein Produkt erhältst, bei dem ein Faktor \(x\) ist. - Untersuche die Hilfsfunktion \(w(x) = \frac{h(x)}{x}\) auf ihre Extremwerte, um die Anzahl der Lösungen für den zweiten Faktor zu bestimmen. - Achte darauf, ob der Ursprung als Lösung in den verschiedenen Fällen mehrfach oder einfach gezählt wird.

1. Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: \(h'(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x} + x^2 \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5x} = e^{-0{,}5x} \cdot (2x - 0{,}5x^2)\). 2. Nullstellen der Ableitung: \(h'(x) = 0 \iff x(2 - 0{,}5x) = 0\). Da \(x > 0\) für einen Hochpunkt im Inneren gesucht ist: \(x = 4\). 3. Funktionswert: \(h(4) = 4^2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 4} = 16 \cdot e^{-2}\). Der Hochpunkt liegt bei \((4 \mid 16 e^{-2})\). 4. Schnittpunkte \(x^2 e^{-0{,}5x} = kx \iff x(x e^{-0{,}5x} - k) = 0\). Eine Lösung ist stets \(x = 0\). 5. Untersuchung von \(w(x) = x e^{-0{,}5x}\): \(w'(x) = (1 - 0{,}5x) e^{-0{,}5x}\). Maximum bei \(x = 2\) mit \(w(2) = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}\). 6. Für \(k \in ]0; \frac{2}{e}[\) hat \(w(x) = k\) zwei positive Lösungen, insgesamt also 3 Schnittpunkte. Für \(k = \frac{2}{e}\) gibt es zwei Lösungen (\(x=0\) und \(x=2\)). In allen anderen Fällen (einschließlich \(k=0\), da dort nur \(x=0\) doppelte Nullstelle ist) gibt es nur den Schnittpunkt im Ursprung.

a) Hochpunkt \(H(4 \mid 16 e^{-2})\). b) Für \(k \in ]0; \frac{2}{e}[\): 3 Schnittpunkte; für \(k = \frac{2}{e}\): 2 Schnittpunkte; für \(k \le 0\) oder \(k > \frac{2}{e}\): 1 Schnittpunkt.

- Erinnere dich, bei welchen Werten die Sinusfunktion null wird. - Nutze für die Ableitung die Kettenregel. - Betrachte bei der Suche nach inneren Extremstellen beide Faktoren der Ableitung getrennt. - Prüfe zusätzlich das einseitige Verhalten an den beiden Randpunkten.

1. Nullstellen: \(\sin\left(\frac{\pi}{4}x^2\right)=0 \iff \frac{\pi}{4}x^2=k\pi \iff x^2=4k\). Wegen \(0 \leq x^2 \leq 6{,}25\) sind \(k=0\) und \(k=1\) möglich. Daraus folgen die Nullstellen \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Die Ableitung lautet \(h'(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}x^2\right)\cdot\frac{\pi}{2}x\). Für innere kritische Stellen gilt \(h'(x)=0\), also \(x=0\) oder \(\frac{\pi}{4}x^2=\frac{\pi}{2}+k\pi\). Damit ist \(x^2=2+4k\). Im Intervall ergeben sich \(x=\pm\sqrt{2}\) und \(x=\pm\sqrt{6}\). 3. Bei \(x=0\) wechselt \(h'\) von negativ nach positiv; daher liegt ein lokales Minimum \(T_1(0 \mid 0)\) vor. Bei \(x=\pm\sqrt{2}\) ist \(h(x)=1\), also liegen lokale Maxima \(H_1(-\sqrt{2} \mid 1)\) und \(H_2(\sqrt{2} \mid 1)\) vor. Bei \(x=\pm\sqrt{6}\) ist \(h(x)=-1\), also liegen lokale Minima \(T_2(-\sqrt{6} \mid -1)\) und \(T_3(\sqrt{6} \mid -1)\) vor. 4. An den Randpunkten ist \(h(\pm2{,}5)=\sin\left(\frac{25\pi}{16}\right)\approx-0{,}9808\). Unmittelbar rechts von \(-2{,}5\) beziehungsweise links von \(2{,}5\) sind die Funktionswerte kleiner. Daher sind \(R_1(-2{,}5 \mid \sin(\frac{25\pi}{16}))\) und \(R_2(2{,}5 \mid \sin(\frac{25\pi}{16}))\) einseitige lokale Maxima.

a) Nullstellen: \(x_1=-2\), \(x_2=0\), \(x_3=2\). b) Lokale Minima: \(T_1(0 \mid 0)\), \(T_{2,3}(\pm\sqrt{6} \mid -1)\); lokale Maxima im Inneren: \(H_{1,2}(\pm\sqrt{2} \mid 1)\); einseitige lokale Maxima an den Randpunkten: \(R_{1,2}(\pm2{,}5 \mid \sin(\frac{25\pi}{16}))\) mit \(\sin(\frac{25\pi}{16}) \approx -0{,}9808\).

- Was bedeutet „parallel zur x-Achse“ für die Steigung der Tangente? - Nutze die Produktregel, um den Funktionsterm abzuleiten, und klammere den Exponentialterm aus. - Wie viele Lösungen kann die resultierende Gleichung maximal haben? - Erinnere dich an die Wachstumsgeschwindigkeiten von Potenzfunktionen im Vergleich zu Exponentialfunktionen.

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Produktregel bilden: \(f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). 2. Nullstellen der Ableitung für waagrechte Tangenten bestimmen: \((x^2 + 2x - 3) \cdot e^x = 0\). Da \(e^x > 0\), muss \(x^2 + 2x - 3 = 0\) gelten. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\). 3. Zugehörige \(y\)-Koordinaten berechnen: \(f(1) = (1^2 - 3) \cdot e^1 = -2e\) und \(f(-3) = ((-3)^2 - 3) \cdot e^{-3} = 6e^{-3}\). Die Punkte sind \(P_1(1 \mid -2e)\) und \(P_2(-3 \mid 6e^{-3})\). 4. Grenzverhalten untersuchen: Für \(x \to \infty\) streben sowohl \((x^2 - 3)\) als auch \(e^x\) gegen \(\infty\), also \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\). Für \(x \to -\infty\) strebt \(e^x\) gegen \(0\) und dominiert das Wachstum des quadratischen Terms, sodass \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) gilt.

Punkte: \(P_1(1 \mid -2e)\) und \(P_2(-3 \mid 6e^{-3})\) Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)

- Erkennst du im Funktionsterm eine Struktur, die einer quadratischen Gleichung ähnelt? - Wie hilft dir die Substitution \(u = e^x\) beim Faktorisieren weiter? - Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines Extrempunktes oder Wendepunktes erfüllt sein? - Vergiss nicht, am Ende die Rücksubstitution durchzuführen, um die \(x\)-Werte zu erhalten.

1. Substitution: Mit \(u = e^x\) folgt \(u^2 - 4u + 3 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 3\). 2. Produktform und Nullstellen: \(g(x) = (e^x - 1)(e^x - 3)\). Nullstellen bei \(e^x = 1 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(e^x = 3 \Rightarrow x_2 = \ln(3)\). 3. Ableitungen: \(g'(x) = 2e^{2x} - 4e^x\); \(g''(x) = 4e^{2x} - 4e^x\); \(g'''(x) = 8e^{2x} - 4e^x\). 4. Extrempunkt: \(g'(x) = 2e^x(e^x - 2) = 0 \Rightarrow e^x = 2 \Rightarrow x = \ln(2)\). Da \(g''(\ln(2)) = 4 \cdot 4 - 4 \cdot 2 = 8 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. Funktionswert: \(g(\ln(2)) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1\). Tiefpunkt \(T(\ln(2) \mid -1)\). 5. Wendepunkt: \(g''(x) = 4e^x(e^x - 1) = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). Da \(g'''(0) = 8 - 4 = 4 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(g(0) = 0\). Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\).

a) Produktform: \(g(x) = (e^x - 1)(e^x - 3)\); Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \ln(3)\). b) Tiefpunkt \(T(\ln(2) \mid -1)\); Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\).

- Könnte eine Ersetzung (Substitution) helfen, die Gleichung für die Nullstellen zu vereinfachen? - Wie geht man vor, um eine Gleichung der Form \(e^x = a\) nach \(x\) aufzulösen? - Welche Ableitungen benötigst du für Extrem- und Wendepunkte? - Denk daran, dass die Exponentialfunktion niemals null wird.

1. Nullstellen: Substitution \(u = e^x\) führt auf \(u^2 - 5u + 4 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 4\). Rücksubstitution ergibt \(e^x = 1 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(e^x = 4 \Rightarrow x_2 = \ln(4)\). 2. Erste Ableitung: \(f'(x) = 2e^{2x} - 5e^x = e^x(2e^x - 5)\). 3. Extremstelle: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 2e^x - 5 = 0 \Rightarrow e^x = 2{,}5 \Rightarrow x_E = \ln(2{,}5)\). 4. Zweite Ableitung: \(f''(x) = 4e^{2x} - 5e^x = e^x(4e^x - 5)\). 5. Art und \(y\)-Koordinate: \(f''(\ln(2{,}5)) = 2{,}5(4 \cdot 2{,}5 - 5) = 12{,}5 > 0\), also Tiefpunkt. \(f(\ln(2{,}5)) = 2{,}5^2 - 5 \cdot 2{,}5 + 4 = 6{,}25 - 12{,}5 + 4 = -2{,}25\). Tiefpunkt \(T(\ln(2{,}5) \mid -2{,}25)\). 6. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 4e^x - 5 = 0 \Rightarrow e^x = 1{,}25 \Rightarrow x_W = \ln(1{,}25)\). 7. Nachweis: \(f'''(x) = 8e^{2x} - 5e^x\). \(f'''(\ln(1{,}25)) = 8 \cdot 1{,}25^2 - 5 \cdot 1{,}25 = 12{,}5 - 6{,}25 = 6{,}25 \neq 0\). Somit existiert ein Wendepunkt bei \(x = \ln(1{,}25)\).

a) Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \ln(4)\). b) Tiefpunkt \(T(\ln(2{,}5) \mid -2{,}25)\). c) Wendestelle bei \(x = \ln(1{,}25)\).

- Welche Quotienten- und Kettenregeln sind hier hilfreich? - Wann wird ein Bruch gleich null? - Kann die Exponentialfunktion \(e^u\) jemals den Wert null annehmen? - Wie gehst du vor, um zwischen Maximum und Minimum zu unterscheiden?

1. Erste Ableitung mit der Quotientenregel (und Kettenregel für den Zähler) bestimmen: \(f'(x) = \frac{x \cdot x e^{0{,}5x^2} - e^{0{,}5x^2}}{x^2} = \frac{(x^2 - 1)e^{0{,}5x^2}}{x^2}\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) setzen: Da \(e^{0{,}5x^2} > 0\) für alle \(x\), muss \(x^2 - 1 = 0\) gelten, woraus \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) folgen. 3. Art der Extremstellen mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium prüfen. Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = \left(x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}\right)e^{0{,}5x^2}\). 4. Einsetzen der Werte: \(f''(1) = (1 - 1 + 2)e^{0{,}5} = 2\sqrt{e} > 0 \implies\) lokales Minimum. \(f''(-1) = (-1 + 1 - 2)e^{0{,}5} = -2\sqrt{e} < 0 \implies\) lokales Maximum.

Lokales Minimum bei \(x = 1\); lokales Maximum bei \(x = -1\). Der Funktionsterm ist nur für \(x\neq0\) definiert.

- Nutze die Eigenschaft \(g(-x) = g(x)\) für den Nachweis der Symmetrie. - Wenn eine Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, haben die Tangenten an den Stellen \(a\) und \(-a\) entgegengesetzte Steigungen, schneiden sich aber auf der \(y\)-Achse. - Der Schnittpunkt zweier Geraden wird durch Gleichsetzen der Funktionsterme ermittelt. - Die Wendepunkte liegen dort, wo die zweite Ableitung Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt.

1. Symmetrienachweis: \(g(-x) = 4e^{-0{,}25(-x)^2} = 4e^{-0{,}25x^2} = g(x)\). Da \(g(-x) = g(x)\), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Tangenten: Ableitung \(g'(x) = 4 \cdot e^{-0{,}25x^2} \cdot (-0{,}5x) = -2x \cdot e^{-0{,}25x^2}\). An der Stelle \(x = 2\): \(g(2) = 4e^{-1} = \frac{4}{e}\), \(g'(2) = -4e^{-1} = -\frac{4}{e}\). Tangente \(t_1: y = -\frac{4}{e}(x - 2) + \frac{4}{e} = -\frac{4}{e}x + \frac{12}{e}\). Aufgrund der Achsensymmetrie gilt für die Tangente \(t_2\) an der Stelle \(x = -2\): Steigung \(m_2 = -g'(2) = \frac{4}{e}\) und gleicher \(y\)-Achsenabschnitt. Somit \(t_2: y = \frac{4}{e}x + \frac{12}{e}\). 3. Schnittpunkt: Gleichsetzen \(-\frac{4}{e}x + \frac{12}{e} = \frac{4}{e}x + \frac{12}{e} \implies x = 0\). Einsetzen ergibt \(y = \frac{12}{e}\). Schnittpunkt \(S(0 \mid \frac{12}{e})\). 4. Grenzwerte: Da der Exponent \(-0{,}25x^2 \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\), gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\). 5. Wendepunkte: \(g''(x) = -2 \cdot e^{-0{,}25x^2} + (-2x) \cdot (-0{,}5x) \cdot e^{-0{,}25x^2} = (x^2 - 2) \cdot e^{-0{,}25x^2}\). \(g''(x) = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}\). Funktionswerte: \(g(\sqrt{2}) = 4 \cdot e^{-0{,}25 \cdot 2} = 4e^{-0{,}5} = \frac{4}{\sqrt{e}}\). Wendepunkte sind \(W_1(-\sqrt{2} \mid \frac{4}{\sqrt{e}})\) und \(W_2(\sqrt{2} \mid \frac{4}{\sqrt{e}})\).

a) Nachweis über \(g(-x) = g(x)\). b) \(t_1: y = -\frac{4}{e}x + \frac{12}{e}\); \(t_2: y = \frac{4}{e}x + \frac{12}{e}\) c) \(S(0 \mid \frac{12}{e})\) d) \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\); Wendepunkte \(W_1(-\sqrt{2} \mid \frac{4}{\sqrt{e}})\) und \(W_2(\sqrt{2} \mid \frac{4}{\sqrt{e}})\)

- Wie leitest du eine Logarithmusfunktion ab, in deren Argument eine weitere Funktion steht? - Welche Rolle spielt der Zähler eines Bruchs bei der Suche nach Nullstellen? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitungsfunktionen. Wenn eine Ableitung immer positiv ist, was sagt das über die Existenz von Nullstellen aus? - Kannst du die Quotientenregel sicher auf den Term der ersten Ableitung anwenden?

1. Erste Ableitung mit der Kettenregel bestimmen: \(g'(x) = \frac{1}{e^x + 5} \cdot e^x = \frac{e^x}{e^x + 5}\). 2. Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist der Zähler stets positiv und der Nenner \(e^x + 5\) ebenfalls stets positiv. Daraus folgt \(g'(x) > 0\) für alle \(x\). Die notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\) ist nie erfüllt, weshalb keine Extremstellen vorliegen. 3. Zweite Ableitung mit der Quotientenregel bestimmen: \(g''(x) = \frac{e^x \cdot (e^x + 5) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 5)^2} = \frac{e^{2x} + 5e^x - e^{2x}}{(e^x + 5)^2} = \frac{5e^x}{(e^x + 5)^2}\). 4. Da \(5e^x > 0\) und \((e^x + 5)^2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(g''(x) > 0\). Die notwendige Bedingung \(g''(x) = 0\) für Wendestellen ist somit für kein \(x\) erfüllt.

Die erste Ableitung \(g'(x) = \frac{e^x}{e^x + 5}\) ist für alle \(x\) positiv, sodass keine waagerechten Tangenten und damit keine Extremstellen existieren. Die zweite Ableitung \(g''(x) = \frac{5e^x}{(e^x + 5)^2}\) ist ebenfalls für alle \(x\) positiv, woraus folgt, dass keine Wendestellen existieren.

- Zerlege den Bruchterm von \(g\), um das Ableiten und das Bestimmen der Asymptoten zu vereinfachen. - Welches Vorzeichen muss die zweite Ableitung für eine Linkskrümmung haben? - Die Monotonie einer Funktion lässt sich direkt am Vorzeichen ihrer ersten Ableitung ablesen. - Überprüfe für den Bereich \(x < 0\) sorgfältig die Vorzeichen der Brüche, wenn die Variable im Nenner steht.

1. Ableitung von \(g\): Umschreiben zu \(g(x) = 2x - x^{-1}\). Dann ist \(g'(x) = 2 - (-1)x^{-2} = 2 + \frac{1}{x^2}\). Da \(g'(x) = h(x)\), ist \(g\) eine Stammfunktion von \(h\). 2. Asymptoten von \(g\): Die Definitionslücke bei \(x = 0\) ist ein Pol mit Vorzeichenwechsel, also ist \(x = 0\) eine senkrechte Asymptote. Für \(|x| \to \infty\) nähert sich der Term \(-\frac{1}{x}\) dem Wert \(0\) an, woraus die schräge Asymptote \(y = 2x\) folgt. 3. Krümmung: \(g''(x) = h'(x) = -2x^{-3}\). Für \(x < 0\) ist \(g''(x) > 0\) (linksgekrümmt), für \(x > 0\) ist \(g''(x) < 0\) (rechtsgekrümmt). Für \(h\) gilt \(h''(x) = 6x^{-4}\). Da \(6x^{-4} > 0\) für alle \(x \neq 0\), ist der Graph von \(h\) überall linksgekrümmt. 4. Monotonie für \(x < 0\): Es gilt \(g'(x) = 2 + \frac{1}{x^2} > 0 \Rightarrow g\) ist streng monoton steigend. \(h'(x) = -2x^{-3} > 0\) für \(x < 0 \Rightarrow h\) ist streng monoton steigend. \(h''(x) = 6x^{-4} > 0 \Rightarrow h'\) ist streng monoton steigend. Alle drei Funktionen sind für \(x < 0\) streng monoton steigend.

a) \(g'(x) = 2 + \frac{1}{x^2} = h(x)\). b) Senkrechte Asymptote \(x = 0\); schräge Asymptote \(y = 2x\). c) \(g\): linksgekrümmt für \(x \in ]-\infty; 0[\), rechtsgekrümmt für \(x \in ]0; \infty[\). \(h\): linksgekrümmt für alle \(x \neq 0\). d) Da \(g'(x) > 0\), \(h'(x) > 0\) und \(h''(x) > 0\) für alle \(x < 0\) gilt, sind \(g, h\) und \(h'\) in diesem Bereich streng monoton steigend.

- Was bedeutet der Zeitpunkt der Markteinführung für den Wert der Zeitvariablen? - Wie findet man Extremstellen einer Funktion mithilfe von Ableitungen? - Überlege dir, was die Subtraktion zweier Funktionswerte mathematisch und inhaltlich bedeutet. - Betrachte das Verhalten der Funktion für sehr große Werte der Zeitvariablen. - Die stärkste Abnahme entspricht einem Minimum der ersten Ableitung. Welche Bedingung erfüllt die zweite Ableitung dort?

1. \(S(0) = (200 \cdot 0 + 400) \cdot e^0 + 500 = 900\). Zum Zeitpunkt der Markteinführung werden \(900\) E-Bikes pro Woche verkauft. 2. Die erste Ableitung ist \(S'(t) = (160 - 20t) \cdot e^{-0{,}1t}\). Aus \(S'(t) = 0\) folgt \(t = 8\). Da \(S''(8) < 0\), liegt ein Maximum vor. Es ist \(S(8) = 2000 \cdot e^{-0{,}8} + 500 \approx 1398{,}66\). Nach 8 Wochen wird mit ca. \(1399\) Verkäufen pro Woche das Maximum erreicht. 3. \(h(t)\) gibt an, um wie viele E-Bikes die wöchentlichen Verkaufszahlen zum Zeitpunkt \(t\) höher oder niedriger sind als in der 20. Woche. 4. Da \(\lim_{t \to \infty} (200t + 400) \cdot e^{-0{,}1t} = 0\), gilt \(\lim_{t \to \infty} S(t) = 500\). Nach dem Modell kann der Hersteller langfristig mit \(500\) verkauften E-Bikes pro Woche rechnen. 5. Die zweite Ableitung ist \(S''(t) = (2t - 36) \cdot e^{-0{,}1t}\). Aus \(S''(t) = 0\) folgt \(t = 18\). Die dritte Ableitung ist \(S'''(t) = (5{,}6 - 0{,}2t) \cdot e^{-0{,}1t}\), also \(S'''(18) > 0\). Daher besitzt \(S'\) bei \(t = 18\) ein lokales Minimum; dort ist die Abnahme am stärksten.

a) \(900\) E-Bikes pro Woche. b) Nach \(8\) Wochen; ca. \(1399\) E-Bikes pro Woche. c) \(h(t)\) ist die Differenz zwischen den wöchentlichen Verkaufszahlen zum Zeitpunkt \(t\) und denen in der 20. Woche. d) \(500\) E-Bikes pro Woche. e) \(S''(18) = 0\) und \(S'''(18) > 0\); somit hat \(S'\) bei \(t = 18\) ein Minimum und die Verkaufszahlen nehmen dort am stärksten ab.

- Wie berechnet man den Wert zu Beginn einer Messung? - Erinnere dich an das notwendige Kriterium für Extremstellen. - Was passiert mit dem Term \(e^{-kt}\), wenn \(t\) immer größer wird? - Die stärkste Abnahme entspricht der Stelle mit der kleinsten Steigung. Welchen besonderen Punkt am Graphen suchen wir also?

1. \(c(0) = 5\). Die Konzentration beträgt zu Beginn \(5\,\text{mg/l}\). 2. Die erste Ableitung lautet \(c'(t) = (1 - 0{,}5t) \cdot e^{-0{,}25t}\). Nullsetzen ergibt \(t = 2\). Da \(c''(2) < 0\), liegt ein Maximum vor. Es ist \(c(2) = 8 \cdot e^{-0{,}5} + 1 \approx 5{,}85\). Nach 2 Stunden wird das Maximum von ca. \(5{,}85\,\text{mg/l}\) erreicht. 3. Es gilt \(\lim_{t \to \infty} (2t + 4) \cdot e^{-0{,}25t} = 0\). Somit ist \(\lim_{t \to \infty} c(t) = 1\). Langfristig nähert sich die Konzentration \(1\,\text{mg/l}\) an. 4. Die zweite Ableitung ist \(c''(t) = (0{,}125t - 0{,}75) \cdot e^{-0{,}25t}\). Nullsetzen ergibt \(t = 6\). Da \(c'''(6) > 0\), besitzt \(c'\) dort ein lokales Minimum. Die Konzentration nimmt nach 6 Stunden am stärksten ab.

a) \(5\,\text{mg/l}\). b) Nach \(2\) Stunden; ca. \(5{,}85\,\text{mg/l}\). c) \(1\,\text{mg/l}\), da \(\lim_{t \to \infty} c(t) = 1\). d) Nach \(6\) Stunden.

- Welche Regel eignet sich am besten zum Ableiten von Brüchen mit konstantem Zähler? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitungen in den Bereichen links und rechts der Definitionslücke. - Wie verändert sich der Exponent im Nenner bei jeder weiteren Ableitung? - Was muss für den Grenzwert an einer Stelle gelten, damit dort eine senkrechte Asymptote vorliegt?

1. Erste Ableitung: \(g'(x) = 6(x-4)^{-3} = \frac{6}{(x-4)^3}\). Für \(x < 4\) ist \((x-4)^3 < 0\), also \(g'(x) < 0\) (streng monoton fallend). Für \(x > 4\) ist \((x-4)^3 > 0\), also \(g'(x) > 0\) (streng monoton steigend). 2. Zweite Ableitung: \(g''(x) = -18(x-4)^{-4} = \frac{-18}{(x-4)^4}\). Da \((x-4)^4 > 0\) für alle \(x \in D_g\), gilt \(g''(x) < 0\) für alle \(x \in D_g\). Der Graph \(G_g\) ist somit im gesamten Definitionsbereich rechtsgekrümmt. 3. Für \(n \in \mathbb{N}^+\) hat die \(n\)-te Ableitung von \(g(x) = 2 - 3(x-4)^{-2}\) die Form \(g^{(n)}(x) = a_n \cdot (x-4)^{-(n+2)}\), wobei \(a_n\) eine von Null verschiedene Konstante ist (Produkt aus \(-3\) und den Exponenten \(-2, -3, \dots, -(n+1)\)). Da der Nenner \((x-4)^{n+2}\) für \(x \to 4\) gegen Null geht und der Zähler \(a_n \neq 0\) bleibt, gilt \(\lim_{x \to 4} |g^{(n)}(x)| = \infty\). Folglich ist \(x = 4\) für alle \(n \in \mathbb{N}^+\) eine senkrechte Asymptote.

1. Streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; 4[\), streng monoton steigend für \(x \in ]4; \infty[\). 2. Der Graph ist überall rechtsgekrümmt (konkav), da \(g''(x) < 0\). 3. Für jedes \(n \in \mathbb{N}^+\) hat die Ableitung \(g^{(n)}\) die Form \(\frac{a_n}{(x-4)^{n+2}}\) mit \(a_n \neq 0\). Da der Nenner bei \(x=4\) null wird, liegt dort eine senkrechte Asymptote vor.

- Wie findet man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse und der \(y\)-Achse? - Welcher Teil der Funktion bestimmt das Wachstum, wenn \(x\) sehr groß wird? - Erinnere dich an die Quotientenregel oder schreibe die Funktion als Produkt um. - Das Vorzeichen der Ableitung gibt dir Auskunft über die Art der Extrema.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g(0) = \frac{-3}{e^0} = -3\). Punkt \(S_y(0 \mid -3)\). 2. Nullstellen: \(x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3}\). Punkte \(N_1(-\sqrt{3} \mid 0), N_2(\sqrt{3} \mid 0)\). 3. Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-3}{e^x} = 0\), da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als die ganzrationale Funktion im Zähler. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-3}{e^x} = \lim_{x \to -\infty} (x^2-3)e^{-x} = \infty \cdot \infty = \infty\). 4. Ableitung: \(g'(x) = \frac{2x \cdot e^x - (x^2-3) \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(-x^2+2x+3)}{(e^x)^2} = \frac{-x^2+2x+3}{e^x}\). 5. Kritische Stellen: \(-x^2+2x+3 = 0 \Leftrightarrow x^2-2x-3 = 0 \Leftrightarrow (x-3)(x+1) = 0\). Lösungen sind \(x_3 = -1\) und \(x_4 = 3\). 6. Art der Extrema: Der Zähler der Ableitung ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(-1\) und \(3\). Bei \(x = -1\): Vorzeichenwechsel von minus nach plus \(\rightarrow\) lokaler Tiefpunkt. Bei \(x = 3\): Vorzeichenwechsel von plus nach minus \(\rightarrow\) lokaler Hochpunkt. 7. Funktionswerte: \(g(-1) = \frac{(-1)^2-3}{e^{-1}} = -2e \approx -5{,}44\). \(g(3) = \frac{3^2-3}{e^3} = \frac{6}{e^3} \approx 0{,}30\). Tiefpunkt \(T(-1 \mid -2e)\), Hochpunkt \(H(3 \mid 6e^{-3})\).

a) Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(-\sqrt{3} \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{3} \mid 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -3)\). b) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\); \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\). c) Tiefpunkt \(T(-1 \mid -2e)\), Hochpunkt \(H(3 \mid 6e^{-3})\).

- Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren null? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Für die Extremstellen kann es hilfreich sein, einen speziellen Wert für \(x\) zu testen, der den Logarithmus zu null macht. - Untersuche den Grenzwert an der Definitionslücke und für sehr große \(x\).

1. Nullstellen: \(g(x) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0\) oder \(\ln(x - 1) = 0\). Dies führt auf \(x = 2\) oder \(x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\). Es gibt eine Nullstelle bei \(x = 2\). 2. Erste Ableitung: \(g'(x) = 1 \cdot \ln(x - 1) + (x - 2) \cdot \frac{1}{x - 1} = \ln(x - 1) + \frac{x - 2}{x - 1}\). 3. Extremstellen: \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln(x - 1) = - \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{2 - x}{x - 1}\). Durch Einsetzen erkennt man \(x = 2\) als Lösung, da \(\ln(1) = 0\) und \(\frac{2 - 2}{2 - 1} = 0\). 4. Zweite Ableitung: \(g''(x) = \frac{1}{x - 1} + \frac{1 \cdot (x - 1) - (x - 2) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{(x - 1)^2}\). 5. Da \(g''(x)>0\) für alle \(x>1\) gilt, ist \(g'\) streng monoton steigend; daher ist \(x=2\) die einzige Extremstelle. \(g''(2) = 1 + 1 = 2 > 0\), daher liegt bei \(x = 2\) ein lokales Minimum vor. Der Tiefpunkt ist \(T(2 \mid 0)\). 6. Verhalten am Rand \(x \to 1^+\): \((x - 2) \to -1\) und \(\ln(x - 1) \to -\infty\). Das Produkt strebt gegen \((-1) \cdot (-\infty) = \infty\). Es existiert eine senkrechte Asymptote \(x = 1\). 7. Verhalten für \(x \to \infty\): Beide Faktoren streben gegen \(\infty\), also \(g(x) \to \infty\). Es gibt keine waagerechte Asymptote.

a) Nullstelle: \(x = 2\); Tiefpunkt: \(T(2 \mid 0)\) b) \(\lim_{x \to 1^+} g(x) = \infty\); \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\); senkrechte Asymptote: \(x = 1\)

- Achte beim Ableiten darauf, die Quotientenregel korrekt anzuwenden. - Erinnere dich an die Regel von L'Hospital oder bekannte Grenzwerte für das Verhalten im Unendlichen. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Zähler gegen minus Unendlich strebt und der Nenner gegen eine sehr kleine positive Zahl? - Setze die gefundene Stelle in die ursprüngliche Funktion ein, um den zugehörigen Funktionswert zu erhalten.

1. Definitionsbereich: Wegen des Logarithmus und des Nenners ist \(D = ]0; \infty[\). 2. Ränder: Für \(x \to 0^+\) gilt \(\ln(x) \to -\infty\) und \(x^2 \to 0^+\), woraus \(g(x) \to -\infty\) folgt. Für \(x \to \infty\) strebt \(g(x)\) gegen \(0\), da die Potenzfunktion im Nenner stärker wächst als der Logarithmus im Zähler. 3. Ableitungen mit der Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln(x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x\ln(x)}{x^4} = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3}\). Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = \frac{6\ln(x) - 5}{x^4}\). 4. Extremstelle: \(g'(x) = 0 \Rightarrow 1 - 2\ln(x) = 0 \Rightarrow \ln(x) = 0{,}5 \Rightarrow x = e^{0{,}5} = \sqrt{e}\). 5. Art: \(g''(\sqrt{e}) = \frac{6 \cdot 0{,}5 - 5}{(\sqrt{e})^4} = \frac{-2}{e^2} < 0\), also liegt ein Hochpunkt vor. 6. \(y\)-Koordinate: \(g(\sqrt{e}) = \frac{\ln(e^{0{,}5})}{(\sqrt{e})^2} = \frac{0{,}5}{e} = \frac{1}{2e}\). Ergebnis: Hochpunkt \(HP(\sqrt{e} \mid \frac{1}{2e})\).

a) \(D = ]0; \infty[\); für \(x \to 0^+\) gilt \(g(x) \to -\infty\); für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to 0\). b) Hochpunkt \(HP(\sqrt{e} \mid \frac{1}{2e})\).

- Was muss mit dem Exponenten einer Exponentialfunktion passieren, damit der gesamte Ausdruck für sehr große \(x\)-Werte gegen Null geht? - Welche Art von ganzrationalen Funktionen (Polynomen) sorgt dafür, dass ein Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse verläuft? - Wie hängen der Parameter \(c\) und die waagerechte Asymptote zusammen? - Nutze die Bedingungen für den Tiefpunkt, um die verbleibenden Unbekannten zu berechnen und überprüfe dein Ergebnis mithilfe der Ableitungen.

1. Für die waagerechte Asymptote \(y = 1\) muss der Term \(ae^{g(x)}\) für \(x \to \infty\) gegen Null streben. Dies wird erreicht, wenn \(c = 1\) gewählt wird und \(g(x)\) für große \(x\) gegen \(-\infty\) strebt. 2. Die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse erfordert \(h(x) = h(-x)\). Dies ist erfüllt, wenn \(g(x)\) eine gerade Funktion ist, zum Beispiel \(g(x) = -x^2\). 3. Der Tiefpunkt bei \(x = 0\) mit \(h(0) = -1\) führt zur Gleichung \(ae^{g(0)} + 1 = -1\). Mit \(g(0) = 0\) ergibt sich \(a \cdot 1 + 1 = -1\), also \(a = -2\). 4. Überprüfung der Extremstelle: \(h(x) = -2e^{-x^2} + 1\). Die Ableitung \(h'(x) = -2e^{-x^2} \cdot (-2x) = 4xe^{-x^2}\) hat bei \(x = 0\) eine Nullstelle. Die zweite Ableitung \(h''(x) = 4e^{-x^2} + 4x(-2xe^{-x^2})\) ergibt \(h''(0) = 4 > 0\), was die Tiefpunkteigenschaft bestätigt.

Eine mögliche Funktion ist \(h(x) = -2e^{-x^2} + 1\). Dabei ist \(a = -2\), \(c = 1\) und \(g(x) = -x^2\).

- Wie hängen Monotonie und die Existenz einer Umkehrfunktion zusammen? - Denke daran, dass Definitions- und Wertemenge beim Bilden der Umkehrfunktion ihre Rollen tauschen. - Wie bestimmt man den kleinsten und größten Funktionswert einer streng monotonen Funktion auf einem Intervall? - Bei der Suche nach Schnittpunkten mit der Geraden \(y = x\) kannst du die Funktionsgleichung direkt gleich \(x\) setzen.

1. Ableitung von \(k(x)\): \(k'(x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln x - 2) + \frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \ln x - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ln x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(\ln x - 1)\). 2. Nachweis der Monotonie: Für \(x \ge e\) gilt \(\ln x \ge 1\), also \(k'(x) \ge 0\). Da die Ableitung nur an der Stelle \(x = e\) null ist, ist \(k\) für \(x \ge e\) streng monoton steigend. 3. Umkehrbarkeit und Mengen: Da \(k^*\) auf \([e; \infty[\) streng monoton steigt, ist sie dort umkehrbar. \(W_{k^*} = [k(e); \lim_{x \to \infty} k(x)[\). \(k(e) = \frac{1}{2}e(\ln e - 2) = \frac{1}{2}e(1 - 2) = -0{,}5e\). Da \(\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty\), ist \(W_{k^*} = [-0{,}5e; \infty[\). Für die Umkehrfunktion gilt: \(D_{(k^*)^{-1}} = W_{k^*} = [-0{,}5e; \infty[\) und \(W_{(k^*)^{-1}} = D_{k^*} = [e; \infty[\). 4. Schnittpunkt mit \(y = x\): Ansatz: \(\frac{1}{2}x (\ln x - 2) = x\). Da \(x \ge e\), ist \(x \neq 0\). Teilen durch \(x\) ergibt: \(\frac{1}{2}(\ln x - 2) = 1 \iff \ln x - 2 = 2 \iff \ln x = 4 \iff x = e^4\). Der Schnittpunkt ist \(S(e^4 \mid e^4)\).

a) \(k'(x) = \frac{1}{2}(\ln x - 1) \ge 0\) für \(x \ge e\). b) \(D_{(k^*)^{-1}} = [-0{,}5e; \infty[\) und \(W_{(k^*)^{-1}} = [e; \infty[\). c) Der Schnittpunkt ist \(S(e^4 \mid e^4)\).

- Ein Bruch ist positiv, wenn Zähler und Nenner entweder beide positiv oder beide negativ sind. - Untersuche den Grenzwert des Arguments für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte, um waagrechte Asymptoten zu finden. - Senkrechte Asymptoten treten dort auf, wo das Argument gegen null oder gegen unendlich strebt. - Berechne die Ableitung mithilfe der Kettenregel und vereinfache den Term so weit wie möglich, um das Vorzeichen zu beurteilen.

1. Definitionsmenge: Die Bedingung \(\frac{2x - 4}{x + 1} > 0\) erfordert, dass Zähler und Nenner gleiches Vorzeichen haben. Dies ist der Fall für \(x < -1\) (beide negativ) oder \(x > 2\) (beide positiv). Also \(D_g = ]-\infty; -1[ \cup ]2; \infty[\). 2. Asymptoten: Für \(x \to \pm \infty\) nähert sich der Bruch \(\frac{2x - 4}{x + 1}\) dem Wert \(2\) an, also gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = \ln(2)\). Waagrechte Asymptote: \(y = \ln(2)\). An den Definitionslücken: \(\lim_{x \to -1^-} \frac{2x - 4}{x + 1} = \infty \Rightarrow \lim_{x \to -1^-} g(x) = \infty\). \(\lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 4}{x + 1} = 0^+ \Rightarrow \lim_{x \to 2^+} g(x) = -\infty\). Senkrechte Asymptoten: \(x = -1\) und \(x = 2\). 3. Monotonie: Mit der Ketten- und Quotientenregel ergibt sich \(g'(x) = \frac{x + 1}{2x - 4} \cdot \frac{2(x + 1) - 1(2x - 4)}{(x + 1)^2} = \frac{6}{(2x - 4)(x + 1)}\). Da für alle \(x \in D_g\) das Produkt \((2x - 4)(x + 1)\) positiv ist, gilt stets \(g'(x) > 0\). Somit ist \(g\) auf jedem Intervall des Definitionsbereichs streng monoton steigend.

a) \(D_g = ]-\infty; -1[ \cup ]2; \infty[\) b) Waagrechte Asymptote: \(y = \ln(2)\); senkrechte Asymptoten: \(x = -1\) und \(x = 2\) c) Nachweis über \(g'(x) = \frac{6}{(2x - 4)(x + 1)} > 0\) für alle \(x \in D_g\)

- Für die Art des Extrempunkts kannst du das Vorzeichen der gegebenen zweiten Ableitung prüfen. - Achte beim Grenzwert im Unendlichen darauf, dass \(\sqrt{x^2} = |x|\) ist. - Um die Asymptotengleichungen \(y = mx + n\) zu finden, kannst du den Funktionsterm unter der Wurzel durch quadratische Ergänzung umformen.

1. Erste Ableitung: \(f'(x) = \frac{8x + 4}{2\sqrt{4x^2 + 4x + 10}} = \frac{4x + 2}{\sqrt{4x^2 + 4x + 10}}\). Extremstelle bei \(4x + 2 = 0 \implies x = -0{,}5\). Funktionswert: \(f(-0{,}5) = \sqrt{4(0{,}25) - 2 + 10} = 3\). Da \(f''(x) > 0\) für alle \(x\), ist \(T(-0{,}5 | 3)\) ein Tiefpunkt. 2. Da der Zähler von \(f''(x)\) konstant \(36\) und der Nenner für alle \(x\) positiv ist (Diskriminante des quadratischen Terms unter der Wurzel ist negativ), gilt \(f''(x) > 0\). Es gibt keine Nullstellen der zweiten Ableitung, also keine Wendepunkte. 3. Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} \frac{4x+2}{\sqrt{4x^2+4x+10}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(4 + \frac{2}{x})}{2|x|\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2{,}5}{x^2}}} = \frac{4}{2} = 2\). Für \(x \to -\infty\) ergibt sich analog \(-2\). 4. Asymptoten: Die Steigungen sind \(m_1 = 2\) und \(m_2 = -2\). Da \(f(x) = \sqrt{(2x+1)^2 + 9}\), nähert sich der Graph den Geraden \(y = 2x + 1\) und \(y = -(2x + 1) = -2x - 1\).

1. Tiefpunkt \(T(-0{,}5 | 3)\) 2. \(f''(x)\) ist stets positiv und besitzt keine Nullstellen. 3. \(\lim_{x \to \infty} f'(x) = 2\) und \(\lim_{x \to -\infty} f'(x) = -2\) 4. Schräge Asymptoten: \(y = 2x + 1\) und \(y = -2x - 1\)

- Wie findet man die Stelle, an der sich die Krümmung des Graphen ändert? - Denk daran, dass die Tangente eine Gerade ist, für deren Gleichung du einen Punkt und die Steigung an dieser Stelle brauchst. - Wenn du eine Fläche über einem Intervall berechnest, solltest du prüfen, ob der Graph die Achse zwischendurch kreuzt. Warum ist das wichtig? - Die Stammfunktion eines Produkts aus einer linearen Funktion und einer e-Funktion lässt sich gut mit der Methode der partiellen Integration finden.

1. Ableitungen berechnen: \(f'(x) = -0{,}5x \cdot e^{0{,}5x}\), \(f''(x) = (-0{,}5 - 0{,}25x) \cdot e^{0{,}5x}\) und \(f'''(x) = (-0{,}5 - 0{,}125x) \cdot e^{0{,}5x}\). 2. Wendepunkt ermitteln: \(f''(x) = 0 \Rightarrow -0{,}5 - 0{,}25x = 0 \Rightarrow x_w = -2\). Da \(f'''(-2) = -0{,}25e^{-1} \neq 0\), ist \(W(-2 \mid 4e^{-1})\) der Wendepunkt. 3. Wendetangente: Steigung \(m = f'(-2) = e^{-1} = \frac{1}{e}\). Tangentengleichung: \(y = \frac{1}{e}(x + 2) + \frac{4}{e} = \frac{1}{e}x + \frac{6}{e}\). 4. Nullstellen im Intervall: \(f(x) = 0 \Rightarrow 2 - x = 0 \Rightarrow x_0 = 2\). Das Intervall \([0; 4]\) wird bei \(x = 2\) geteilt. 5. Stammfunktion: Durch partielle Integration erhält man \(F(x) = (8 - 2x) \cdot e^{0{,}5x}\). 6. Integrale berechnen: \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(0) = 4e - 8 \approx 2{,}873\). \(\int_{2}^{4} f(x) \, dx = F(4) - F(2) = 0 - 4e = -4e \approx -10{,}873\). 7. Gesamtfläche: \(A = |4e - 8| + |-4e| = 4e - 8 + 4e = 8e - 8 \approx 13{,}746\).

Wendetangente: \(t(x) = \frac{1}{e}x + \frac{6}{e}\) (ca. \(y = 0{,}368x + 2{,}207\)) Flächeninhalt: \(A = 8e - 8 \approx 13{,}746\,\text{FE}\)

- Bestimme zuerst die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung. - Die Länge einer vertikalen Strecke zwischen zwei Graphen an derselben Stelle entspricht dem Betrag der Differenz der Funktionswerte. - Überprüfe, ob die Differenz im gegebenen Bereich immer positiv ist, um den Betrag weglassen zu können. - Leite die Differenzfunktion nach der Variable ab, um das Maximum zu finden.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = (2x - 2)e^{-x} - (x^2 - 2x - 3)e^{-x} = (-x^2 + 4x + 1)e^{-x}\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = (-2x + 4)e^{-x} - (-x^2 + 4x + 1)e^{-x} = (x^2 - 6x + 3)e^{-x}\). 2. Differenzfunktion aufstellen: Die vertikale Differenz ist \(d(a) = f(a) - f''(a) = (a^2 - 2a - 3 - (a^2 - 6a + 3))e^{-a} = (4a - 6)e^{-a}\). Da \(a > 1{,}5\), ist \(4a - 6 > 0\), somit entspricht \(d(a)\) der Streckenlänge. 3. Extremwertsuche: \(d'(a) = 4e^{-a} - (4a - 6)e^{-a} = (10 - 4a)e^{-a}\). 4. Nullstelle der Ableitung: \(10 - 4a = 0 \Rightarrow a = 2{,}5\). 5. Überprüfung: \(d''(a) = -4e^{-a} - (10 - 4a)e^{-a} = (4a - 14)e^{-a}\). Einsetzen ergibt \(d''(2{,}5) = (10 - 14)e^{-2{,}5} = -4e^{-2{,}5} < 0\), es liegt also ein lokales Maximum vor. 6. Ergebnis: Für \(a = 2{,}5\) wird die Strecke maximal lang.

Die Strecke \(\overline{PQ}\) wird für \(a = 2{,}5\) maximal.

- Überprüfe, ob die Funktion \(f(-x) = f(x)\) oder \(f(-x) = -f(x)\) erfüllt. - Denke an die Definitionslücken der Tangensfunktion. - Nutze bekannte Funktionswerte wie \(\tan(\frac{\pi}{4})\), um Nullstellen ohne Taschenrechner zu finden. - Erinnere dich an die Ableitungsregel für \(\tan(x)\) und das Integral \(\int \tan(x) \, dx\). - Überlege dir anhand der Monotonie oder einer Skizze, ob der Graph im betrachteten Intervall über oder unter der \(x\)-Achse liegt.

1. Symmetrie: \(f(-x) = \tan(-x) - \frac{4}{\pi}(-x) = -\tan(x) + \frac{4}{\pi}x = -f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Asymptoten: Da \(\tan(x)\) für \(x \to \pm \frac{\pi}{2}\) gegen \(\pm \infty\) strebt, besitzt der Graph senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen \(x = \frac{\pi}{2}\) und \(x = -\frac{\pi}{2}\). 3. Nullstellen: \(f(0) = \tan(0) - 0 = 0\). Zudem gilt \(f(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{4}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = 1 - 1 = 0\). Aufgrund der Punktsymmetrie ist auch \(x = -\frac{\pi}{4}\) eine Nullstelle. Da \(f''(x) = \frac{2\sin(x)}{\cos^3(x)}\) im Intervall \(]0; \frac{\pi}{2}[\) positiv ist (linksgekrümmt), kann es dort höchstens zwei Nullstellen geben (eine bei \(x=0\) und eine weitere). Somit existieren genau drei Nullstellen. 4. Extrempunkte: \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} - \frac{4}{\pi} = 0 \Rightarrow \cos^2(x) = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \cos(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\) (da \(\cos(x) > 0\) in \(D\)). Dies ergibt \(x_1 = \arccos(\frac{\sqrt{\pi}}{2}) \approx 0{,}48\). Wegen \(f''(0{,}48) > 0\) liegt ein lokales Minimum vor. Der Funktionswert ist \(f(0{,}48) \approx -0{,}09\). Durch Symmetrie ergibt sich ein lokales Maximum bei \((-0{,}48 \mid 0{,}09)\). 5. Flächeninhalt: Im Intervall \([0; \frac{\pi}{4}]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse (da er bei \(x=0\) fällt und bei \(x=\frac{\pi}{4}\) wieder die Achse erreicht). \(A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (0 - f(x)) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\frac{4}{\pi}x - \tan(x)) \, dx = \left[ \frac{2}{\pi}x^2 + \ln(\cos(x)) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\) \(A = \left( \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{16} + \ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) \right) - (0 + \ln(1)) = \frac{\pi}{8} + \ln(2^{-\frac{1}{2}}) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\ln(2)\).

a) Punktsymmetrie zum Ursprung; senkrechte Asymptoten bei \(x = -\frac{\pi}{2}\) und \(x = \frac{\pi}{2}\). b) Nullstellen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{4}\) und \(x_3 = -\frac{\pi}{4}\). c) Lokales Minimum bei \(P_1(0{,}48 \mid -0{,}09)\); lokales Maximum bei \(P_2(-0{,}48 \mid 0{,}09)\). d) \(A = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\ln(2) \approx 0{,}046\).

- Nutze für den Nachweis der Nullstellen das Monotonieverhalten zwischen den Extremstellen und den Randwerten. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Steigungen einer Tangente und einer darauf senkrecht stehenden Normalen. - Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks an den Koordinatenachsen lässt sich über die Achsenabschnitte der Geraden berechnen. - Achte bei der Begründung der Nullstellen darauf, die Funktionswerte an den Extremstellen und Rändern exakt oder präzise gerundet anzugeben.

1. Ableitungen: \(g'(x) = -\sin(x) + \frac{2}{\pi}\) und \(g''(x) = -\cos(x)\). Notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\) führt zu \(\sin(x) = \frac{2}{\pi}\). Lösungen in \([0; \pi]\) sind \(x_1 = \arcsin(\frac{2}{\pi}) \approx 0{,}69\) und \(x_2 = \pi - \arcsin(\frac{2}{\pi}) \approx 2{,}45\). Prüfung mit zweiter Ableitung: \(g''(x_1) = -\cos(x_1) < 0\) (Maximum), \(g''(x_2) = -\cos(x_2) > 0\) (Minimum). 2. Funktionswerte an den Rändern und Extrema: \(g(0) = 0\), \(g(\pi) = -1 + 2 - 1 = 0\). Da \(g(0)=0\) und \(g\) für \(x \in [0; x_1]\) streng monoton steigt (wegen \(g'(0) = \frac{2}{\pi} > 0\)), ist \(g(x_1) > 0\). Da \(g(x_2) < 0\) ist (durch Einsetzen: \(g(x_2) \approx -0{,}21\)), muss nach dem Zwischenwertsatz zwischen \(x_1\) und \(x_2\) eine weitere Nullstelle liegen. Da \(g\) ab \(x_2\) bis \(\pi\) wieder streng monoton steigt und \(g(\pi)=0\) gilt, gibt es keine weiteren Nullstellen. Die drei Nullstellen liegen bei \(0\), \(\pi\) und der exakten Stelle \(x=\frac{\pi}{2}\). 3. Normale an \(x_0 = \frac{\pi}{2}\): \(g(\frac{\pi}{2}) = 0 + 1 - 1 = 0\). Steigung der Tangente: \(g'(\frac{\pi}{2}) = -1 + \frac{2}{\pi} = \frac{2-\pi}{\pi}\). Steigung der Normalen: \(m_n = -\frac{1}{g'(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi}{\pi-2}\). Gleichung: \(n(x) = \frac{\pi}{\pi-2}(x - \frac{\pi}{2})\). 4. Schnittpunkte der Normalen mit den Achsen: Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(\frac{\pi}{2} \mid 0)\). Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid -\frac{\pi^2}{2(\pi-2)})\). Die Kathetenlängen des Dreiecks sind \(a = \frac{\pi}{2}\) und \(b = \left| -\frac{\pi^2}{2(\pi-2)} \right| = \frac{\pi^2}{2(\pi-2)}\). Flächeninhalt \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi^2}{2(\pi-2)} = \frac{\pi^3}{8(\pi-2)} \approx 3{,}396\).

a) Hochpunkt bei \(x \approx 0{,}69\), Tiefpunkt bei \(x \approx 2{,}45\) b) Nullstellen bei \(x = 0\), \(x = \pi\) und \(x=\frac{\pi}{2}\) (insgesamt drei) c) \(n(x) = \frac{\pi}{\pi-2}(x - \frac{\pi}{2})\) d) \(A = \frac{\pi^3}{8(\pi-2)} \approx 3{,}396\)

- Verwende die Produktregel für die Ableitungen. - Überlege für den Flächeninhalt, ob der Graph im gegebenen Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Der vertikale Abstand zweier Graphen entspricht dem Betrag der Differenz ihrer Funktionswerte. - Um nachzuweisen, dass eine Funktion eine Stammfunktion ist, musst du sie ableiten.

1. Nullstellen: \(x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{3} \approx \pm 1{,}732\). 2. Ableitungen: \(f'(x) = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). Nullstellen der ersten Ableitung bei \(x = 1\) und \(x = -3\). 3. Extrempunkte: \(f''(x) = (x^2 + 4x - 1) \cdot e^x\). Da \(f''(1) = 4e > 0\), liegt bei \(T(1 \mid -2e) \approx (1 \mid -5{,}437)\) ein lokales Minimum vor. Da \(f''(-3) = -4e^{-3} < 0\), liegt bei \(H(-3 \mid 6e^{-3}) \approx (-3 \mid 0{,}299)\) ein lokales Maximum vor. 4. Differenzfunktion: \(d(x) = (x^2 + 4x - 1 - (x^2 - 3)) \cdot e^x = (4x + 2) \cdot e^x\). Für die Extremstellen von \(d\) gilt \(d'(x) = (4x + 6) \cdot e^x = 0 \Rightarrow x = -1{,}5\). Da \(d''(-1{,}5) = 4e^{-1{,}5} > 0\), besitzt die vorzeichenbehaftete Differenz dort ein lokales Minimum. Der vertikale Abstand ist jedoch \(|d(x)|\). Er wird bei \(d(x) = 0\), also bei \(4x + 2 = 0 \Rightarrow x = -0{,}5\), minimal und hat dort den Wert \(0\). 5. Stammfunktion prüfen: \(F'(x) = (2x - 2) \cdot e^x + (x^2 - 2x - 1) \cdot e^x = (x^2 - 3) \cdot e^x = f(x)\). 6. Flächeninhalt: Da \(f(x) < 0\) für \(x \in [-1; 1]\), gilt \(A = - \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = - [F(1) - F(-1)] = - [(-2e) - (2e^{-1})] = 2e + 2e^{-1} \approx 6{,}172\).

a) Nullstellen: \(x = \pm \sqrt{3}\); Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\), Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\). b) Die Differenzfunktion \(d\) besitzt bei \(x = -1{,}5\) ein lokales Minimum. Der vertikale Abstand \(|d(x)|\) ist bei \(x = -0{,}5\) minimal. c) \(F'(x) = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x - 1)e^x = (x^2 - 3)e^x = f(x)\). d) \(A = 2e + 2e^{-1} \approx 6{,}172\) Flächeneinheiten.

- Schaue dir den höchsten Punkt des Graphen an. - Überlege dir, wie sich die Werte von \(\ln(u)\) verändern, wenn \(u\) größer oder kleiner wird. - Wenn eine Funktion \(h\) an einer Stelle ihren größten Wert erreicht, was passiert dann mit dem Logarithmus dieses Wertes?

1. Aus der Abbildung lässt sich das lokale Maximum von \(h\) bei \(x_0 = 4\) ablesen. 2. Die natürliche Logarithmusfunktion \(y = \ln(u)\) ist für \(u > 0\) streng monoton steigend. 3. Da \(f(x)\) die Verkettung der streng monoton steigenden Funktion \(\ln\) mit der Funktion \(h\) ist, übernimmt \(f\) das Monotonieverhalten von \(h\). 4. Wo \(h\) steigt, steigt auch \(f\); wo \(h\) fällt, fällt auch \(f\). Da \(h\) bei \(x_0 = 4\) von steigend zu fallend wechselt, weist auch \(f\) an dieser Stelle einen Wechsel von steigend zu fallend auf. Somit hat \(f\) an der Stelle \(x_0 = 4\) ebenfalls ein lokales Maximum.

Das Maximum von \(h\) liegt bei \(x_0 = 4\). Da die Logarithmusfunktion streng monoton steigend ist, hat \(f(x) = \ln(h(x))\) seine Extremstellen an denselben Positionen und von derselben Art wie \(h(x)\).

- Betrachte für die Grenzwerte, wie sich der Term \(e^x\) für sehr kleine und sehr große Zahlen verhält. - Denke beim Ableiten an die Quotientenregel. - Der Wendepunkt ist die Stelle, an der die Krümmung ihr Vorzeichen wechselt bzw. die zweite Ableitung null ist. - Eine Tangentengleichung hat immer die Form \(y = mx + c\). Wie bestimmt man \(m\) und \(c\) an einer bestimmten Stelle? - Für den Flächeninhalt benötigst du das bestimmte Integral über die gegebenen Grenzen.

1. Für \(x\to-\infty\) gilt \(e^x\to0\), also \(g(x)\to0\). Die zugehörige waagerechte Asymptote ist \(y=0\). Für \(x\to\infty\) gilt \(g(x)=\frac4{1+2e^{-x}}\to4\). Die zweite waagerechte Asymptote ist \(y=4\). 2. Die Ableitungen lauten \(g'(x)=\frac{8e^x}{(e^x+2)^2}\) und \(g''(x)=\frac{8e^x(2-e^x)}{(e^x+2)^3}\). Da der Nenner und \(e^x\) positiv sind, gilt \(g''(x)=0\) genau für \(e^x=2\), also \(x_W=\ln(2)\). Der Faktor \(2-e^x\) wechselt dort sein Vorzeichen. Damit liegt ein Wendepunkt vor. \(g(\ln(2))=2\), also \(W(\ln(2)\mid2)\). 3. Die Tangentensteigung ist \(g'(\ln(2))=\frac{8\cdot2}{(2+2)^2}=1\). Damit lautet die Wendetangente \(y=x+2-\ln(2)\). 4. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_0^2g(x)\,dx=[4\ln(e^x+2)]_0^2 =4\ln\!\left(\frac{e^2+2}{3}\right)\approx4{,}56\).

a) Waagerechte Asymptoten: \(y=0\) und \(y=4\) b) \(W(\ln(2)\mid2)\) c) \(t_W: y=x+2-\ln(2)\) d) \(A=4\ln\!\left(\frac{e^2+2}{3}\right)\approx4{,}56\,\text{FE}\)

- Berechne markante Punkte von \(F\), wie den y-Achsenabschnitt und die Nullstellen, um den richtigen Graphen zu finden. - Überlege dir, wie Wendestellen einer Funktion mit den Extremstellen ihrer Ableitungsfunktion zusammenhängen. - Wo hat der Graph von \(F\) eine waagerechte Tangente? Was bedeutet das für den Wert der Ableitung \(f\) an dieser Stelle? - Betrachte das Steigungsverhalten (Monotonie) von \(F\), um zu entscheiden, ob \(f\) positiv oder negativ ist.

1. Es ist \(F(0)=-2\), die Nullstellen liegen bei \(x=\pm2\), und wegen der gleichen höchsten Potenz in Zähler und Nenner gilt \(F(x)\to1\) für \(x\to\pm\infty\). Diese Eigenschaften besitzt nur Graph (1). 2. Die Extremstellen von \(f=F'\) entsprechen den Wendestellen von \(F\). Graph (1) besitzt zwei Wendestellen; daher hat \(f\) zwei Extremstellen. 3. Nullstellen von \(f\) liegen an den Stellen mit waagerechter Tangente an \(F\). Graph (1) besitzt nur bei \(x=0\) eine solche Extremstelle. Daher hat \(f\) genau die Nullstelle \(x=0\). 4. Durch Ableiten erhält man \(f(x)=F'(x)=\frac{12x}{(x^2+2)^2}\). Der Nenner wächst wie \(x^4\), der Zähler nur wie \(x\); deshalb gilt \(f(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\). Die waagerechte Asymptote ist \(y=0\). Da der Nenner stets positiv ist, hat \(f(x)\) das Vorzeichen von \(x\): Für \(x<0\) ist \(f(x)<0\), für \(x>0\) ist \(f(x)>0\).

a) Graph (1) ist der Graph von \(F\), da er den y-Achsenabschnitt \(-2\), die Nullstellen \(\pm 2\) und die waagerechte Asymptote \(y = 1\) besitzt. b) \(f\) besitzt zwei Extremstellen, da der Graph von \(F\) zwei Wendestellen aufweist. c) \(f\) hat genau eine Nullstelle bei \(x = 0\), da \(F\) dort seine einzige Extremstelle (Minimum) hat. d) Die waagerechte Asymptote von \(f\) ist \(y = 0\). Der Graph von \(f\) verläuft für \(x < 0\) unterhalb der x-Achse und für \(x > 0\) oberhalb der x-Achse.

- Schau dir an, an welche Geraden sich der Graph für sehr große \(x\) oder nahe der Definitionslücke anschmiegt. - Wie findest du mithilfe der Ableitung die tiefste Stelle eines Graphen in einem bestimmten Bereich? - Erinnere dich an die Beziehung zwischen der Steigung einer Tangente und der Steigung der zugehörigen Normalen im selben Punkt. - Nutze die Punkt-Steigungs-Formel für Geraden, um die Normalengleichung aufzustellen.

1. Die Definitionslücke bei \(x=0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x=0\). Da \(\frac2x\to0\) für \(|x|\to\infty\), ist \(y=0{,}5x\) die schräge Asymptote. 2. Es gilt \(f'(x)=0{,}5-\frac2{x^2}\). Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x^2=4\). Für \(x>0\) ist daher \(x=2\). Mit \(f(2)=2\) und \(f''(2)=\frac4{2^3}=0{,}5>0\) ergibt sich der Tiefpunkt \(T(2\mid2)\). 3. Bei \(x=1\) ist \(f(1)=2{,}5\) und \(f'(1)=-1{,}5=-\frac32\). Die Normalensteigung ist daher \(m_n=\frac23\). Mit der Punkt-Steigungs-Form: \(y-2{,}5=\frac23(x-1)\). Somit lautet die Normale \(y=\frac23x+\frac{11}{6}\).

a) \(x=0\) und \(y=0{,}5x\) b) \(T(2\mid2)\) c) \(y=\frac23x+\frac{11}{6}\)

- Untersuche das Vorzeichen von \(f'\), um das Monotonieverhalten von \(f\) zu bestimmen. - Achte an den Nullstellen von \(f'\) auf den Vorzeichenwechsel. - Bestimme \(f''\), um mögliche Wendestellen von \(f\) zu prüfen. - Ermittle eine allgemeine Stammfunktion von \(f'\) und untersuche die Differenz zu einer linearen Funktion.

1. Im Intervall \(]0; 2[\) gilt \(f'(x) < 0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage (1) ist wahr. 2. Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Minimum, kein Maximum. Aussage (2) ist falsch. 3. Es gilt \(f''(x) = \frac{8}{x^3}\). Auf \(]-\infty; 0[\) ist \(f''(x) < 0\), auf \(]0; \infty[\) ist \(f''(x) > 0\). Die Stelle \(x = 0\) gehört jedoch nicht zum Definitionsbereich. Daher besitzt \(G_f\) keinen Wendepunkt. Aussage (3) ist wahr. 4. Aus \(f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}\) folgt \(f(x) = x + \frac{4}{x} + C\). Für \(x \to \infty\) gilt \(\frac{4}{x} \to 0\), also nähert sich \(G_f\) der Geraden \(y = x + C\). Aussage (4) ist wahr.

(1) Wahr (2) Falsch (3) Wahr (4) Wahr

- Ein Punkt auf dem Graphen liefert eine Bedingung für die Funktion selbst. - Eine Eigenschaft wie „höchster Punkt“ liefert eine Bedingung für die erste Ableitung. - Nutze den allgemeinen Ansatz für eine quadratische Funktion und bestimme die unbekannten Koeffizienten. - Der Winkel einer Kurve zum Boden an einer Stelle \(x\) hängt direkt mit der Steigung \(g'(x)\) zusammen.

1. Bedingungen: Absprung bei \((0 \mid 0) \implies g(0) = 0\). Höchster Punkt bei \(x=6 \implies g'(6) = 0\). Zusätzlich gegeben ist \(g(10) = 5\). 2. Funktionsgleichung: Mit \(g(x) = ax^2 + bx + c\) folgt aus \(g(0)=0\), dass \(c=0\). Die Ableitung ist \(g'(x) = 2ax + b\). Aus \(g'(6) = 0\) folgt \(12a + b = 0 \implies b = -12a\). Einsetzen in \(g(10) = 5\) ergibt \(100a + 10b = 100a + 10(-12a) = -20a = 5\), also \(a = -0{,}25\) und \(b = 3\). Somit ist \(g(x) = -0{,}25x^2 + 3x\). 3. Maximale Höhe: Berechne \(g(6) = -0{,}25 \cdot 6^2 + 3 \cdot 6 = -9 + 18 = 9\). Die maximale Höhe beträgt \(9\,\text{m}\). 4. Aufprallwinkel: Die Steigung bei \(x=12\) ist \(g'(12) = 2 \cdot (-0{,}25) \cdot 12 + 3 = -6 + 3 = -3\). Der Winkel \(\beta\) ergibt sich aus \(\tan(\beta) = |-3| = 3\), also \(\beta \approx 71{,}6^\circ\).

a) \(g(0) = 0\) und \(g'(6) = 0\). b) \(g(x) = -0{,}25x^2 + 3x\) c) Die maximale Höhe beträgt \(9\,\text{m}\). d) \(\beta \approx 71{,}6^\circ\).