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- Wie hängen die Steigung einer Funktion und das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung zusammen? - Können wir die Stellen finden, an denen die Steigung null ist? - Wie verhält sich der Sinuswert im Einheitskreis bei bestimmten Winkeln? - Was passiert zwischen den Nullstellen der Ableitung mit dem Vorzeichen?

1. Bestimmung der ersten Ableitung der Funktion \(f\): \(f'(x) = -\sin(x) + \frac{1}{2}\). 2. Ermittlung der Nullstellen der Ableitung im Intervall \([0; 2\pi]\): Aus \(-\sin(x) + \frac{1}{2} = 0\) folgt \(\sin(x) = \frac{1}{2}\). Dies ergibt die Lösungen \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f'(x)\) in den Teilintervallen: - Für \(0 \le x < \frac{\pi}{6}\) ist \(\sin(x) < \frac{1}{2}\), also \(f'(x) > 0\). - Für \(\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}\) ist \(\sin(x) > \frac{1}{2}\), also \(f'(x) < 0\). - Für \(\frac{5\pi}{6} < x \le 2\pi\) ist \(\sin(x) < \frac{1}{2}\), also \(f'(x) > 0\). 4. Schlussfolgerung: Die Funktion ist streng monoton steigend für \(x \in [0; \frac{\pi}{6}]\) und \(x \in [\frac{5\pi}{6}; 2\pi]\). Sie ist streng monoton fallend für \(x \in [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]\).

Streng monoton steigend auf \([0; \frac{\pi}{6}]\) und \([\frac{5\pi}{6}; 2\pi]\); streng monoton fallend auf \([\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]\).

- Was ist die notwendige Bedingung für eine Extremstelle? - Welche Ableitungsregeln musst du hier anwenden? - Wie kannst du die Gleichung nach \(x\) auflösen, wenn \(x\) im Exponenten steht? - Wie entscheidest du, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = 2e^{2x} - 6\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(2e^{2x} - 6 = 0 \iff e^{2x} = 3 \iff 2x = \ln(3) \iff x = \frac{1}{2}\ln(3)\). 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 4e^{2x}\). 4. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''\left(\frac{1}{2}\ln(3)\right) = 4e^{\ln(3)} = 4 \cdot 3 = 12\). Da \(12 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor.

Lokales Minimum bei \(x = \frac{1}{2}\ln(3) \approx 0{,}549\).

- Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Warum reicht es aus, nur den Faktor vor der e-Funktion gleich null zu setzen? - Wie berechnet man den zugehörigen y-Wert eines Punktes? - Verwende die zweite Ableitung oder das Monotonieverhalten, um die Art des Extremums zu bestimmen.

1. Ableitung mit der Produktregel: \(u(x) = x+2\), \(u'(x) = 1\); \(v(x) = e^{-x}\), \(v'(x) = -e^{-x}\) (Kettenregel). 2. Zusammenfügen: \(g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x+2) \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} \cdot (1 - x - 2) = (-x - 1) \cdot e^{-x} = -(x+1) \cdot e^{-x}\). 3. Nullstelle der Ableitung: \(g'(x) = 0 \iff -(x+1) = 0\), da \(e^{-x} > 0\) für alle \(x\). Somit \(x = -1\). 4. Funktionswert: \(g(-1) = (-1 + 2) \cdot e^{-(-1)} = 1 \cdot e^1 = e\). Die Koordinaten sind \(E(-1 \mid e)\). 5. Art des Extrempunkts: Untersuchung des Vorzeichenwechsels von \(g'\) oder der zweiten Ableitung. \(g''(x) = -1 \cdot e^{-x} + (-(x+1)) \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(-1 + x + 1) = x \cdot e^{-x}\). Einsetzen: \(g''(-1) = -1 \cdot e^1 = -e < 0\). Es handelt sich um einen Hochpunkt.

\(g'(x) = -(x+1)e^{-x}\); Hochpunkt \(H(-1 \mid e)\)

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du jedes \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Erinnerst du dich an die Symmetrieeigenschaften der Kosinusfunktion? - Überlege, wie sich das Vorzeichen bei Potenzen mit ungeradem Exponenten verhält. - Vergleiche dein Ergebnis für \(f(-x)\) bzw. \(g(-x)\) direkt mit dem ursprünglichen Funktionsterm.

1. Untersuchung von \(f\): Einsetzen von \(-x\) ergibt \(f(-x) = \frac{e^{-x} + e^x}{2}\). Da die Addition kommutativ ist, gilt \(f(-x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = f(x)\). Somit ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Untersuchung von \(g\): Einsetzen von \(-x\) ergibt \(g(-x) = (-x)^3 \cdot \cos(-x)\). Da \((-x)^3 = -x^3\) und \(\cos(-x) = \cos(x)\) (Achsensymmetrie des Kosinus), folgt \(g(-x) = -x^3 \cdot \cos(x) = -g(x)\). Somit ist der Graph von \(g\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

a) Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\) gilt. b) Der Graph der Funktion \(g\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da \(g(-x) = -g(x)\) gilt.

- Prüfe die Bedingungen \(f(-x) = f(x)\) und \(f(-x) = -f(x)\) nacheinander. - Achte beim Quadrieren von \(-x\) besonders auf das Vorzeichen. - Wie verhält sich die Sinusfunktion, wenn ihr Argument quadriert wird? - Wenn weder die Bedingung für Achsensymmetrie noch die für Punktsymmetrie erfüllt ist, besitzt der Graph keine dieser Symmetrien.

1. Untersuchung von \(h\): Berechnung von \(h(-x) = \frac{(-x)^2 - 4}{(-x)^3} = \frac{x^2 - 4}{-x^3} = -\frac{x^2 - 4}{x^3} = -h(x)\). Da \(h(-x) = -h(x)\), ist der Graph von \(h\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Untersuchung von \(k\): Berechnung von \(k(-x) = \sin((-x)^2) + (-x) = \sin(x^2) - x\). Ein Vergleich mit \(k(x) = \sin(x^2) + x\) zeigt \(k(-x) \neq k(x)\) (keine Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse). Ein Vergleich mit \(-k(x) = -\sin(x^2) - x\) zeigt \(k(-x) \neq -k(x)\) (keine Punktsymmetrie zum Ursprung). Somit weist der Graph keine der beiden Symmetrien auf.

a) Der Graph von \(h\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. b) Der Graph von \(k\) weist keine der untersuchten Symmetrien auf.

- Wann wird die Sinusfunktion allgemein Null? - Beachte bei der Ableitung die Kettenregel. - Überlege dir, welche Werte das Argument \(x^2\) annehmen kann, wenn \(x\) im Intervall \([-2; 2]\) liegt. - Wie hängen die Funktionswerte an den Extremstellen mit dem Wertebereich der Sinusfunktion zusammen?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird \(f(x) = 0\) gesetzt: \(\sin(x^2) = 0\). Dies ist erfüllt für \(x^2 = k \cdot \pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Im Intervall \([-2; 2]\) muss \(0 \leq x^2 \leq 4\) gelten. Da \(\pi \approx 3{,}14\) und \(2\pi \approx 6{,}28\), sind die möglichen Werte für \(x^2\) nur \(0\) und \(\pi\). Daraus folgen die Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \sqrt{\pi} \approx 1{,}77\) und \(x_3 = -\sqrt{\pi} \approx -1{,}77\). 2. Für die Extrempunkte wird die erste Ableitung gebildet: \(f'(x) = 2x \cdot \cos(x^2)\). Die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(2x = 0 \implies x = 0\) oder \(\cos(x^2) = 0\). Letzteres gilt für \(x^2 = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\). Im Bereich \(x^2 \in [0; 4]\) ist nur \(x^2 = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) möglich (da \(\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71 > 4\)). Dies ergibt die Extremstellen \(x = 0\) sowie \(x = \pm\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx \pm 1{,}25\). 3. Die Art der Extrema wird über die zweite Ableitung \(f''(x) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)\) oder das Vorzeichenwechselkriterium bestimmt: - \(f''(0) = 2\cos(0) - 0 = 2 > 0 \implies\) Lokales Minimum bei \(T(0|0)\). - \(f''(\pm\sqrt{\pi/2}) = 2\cos(\pi/2) - 4(\pi/2)\sin(\pi/2) = 0 - 2\pi \cdot 1 = -2\pi < 0 \implies\) Lokale Maxima bei \(H_1(-\sqrt{\pi/2}|1)\) und \(H_2(\sqrt{\pi/2}|1)\).

a) Nullstellen: \(x_1 = 0\); \(x_{2,3} = \pm\sqrt{\pi} \approx \pm 1{,}77\). b) Lokales Minimum: \(T(0|0)\); lokale Maxima: \(H_{1,2}(\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}}|1) \approx (\pm 1{,}25|1)\).

- Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Stelle mit waagrechter Tangente erfüllen? - Denk an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Kann eine Exponentialfunktion jemals den Wert Null annehmen? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten im Unendlichen, wenn ein Polynom und eine Exponentialfunktion multipliziert werden?

1. Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel bestimmen: \(f'(x) = -2 \cdot e^{0{,}5x} + (4 - 2x) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (-2 + 2 - x) = -x \cdot e^{0{,}5x}\). 2. Bedingung für eine waagrechte Tangente anwenden: \(f'(x) = 0 \Rightarrow -x \cdot e^{0{,}5x} = 0\). Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, folgt \(x = 0\). 3. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(0) = (4 - 2 \cdot 0) \cdot e^0 = 4\). Der gesuchte Punkt ist \(H(0 \mid 4)\). 4. Grenzwerte bestimmen: Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Faktor \(e^{0{,}5x}\) der Null an. Da das exponentielle Abfallen stärker ist als das lineare Wachstum von \((4-2x)\), gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\). Für \(x \to \infty\) strebt \(4-2x\) gegen \(-\infty\) und \(e^{0{,}5x}\) gegen \(\infty\), woraus \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\) folgt.

Punkt: \(H(0 \mid 4)\) Grenzwerte: \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\)

- Überlege, welche Ableitungsregeln für eine Funktion aus einem linearen Term und einer Exponentialfunktion kombiniert werden müssen. - Was weißt du über die Werte der natürlichen Exponentialfunktion \(e^{g(x)}\)? Kann dieser Teil jemals Null werden? - Wie gehst du vor, um zu entscheiden, ob ein Berg oder ein Tal im Graphen vorliegt?

1. Erste Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel bilden: \(f'(x) = 4 \cdot e^{-0{,}2x} + (4x + 2) \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2x} = (3{,}6 - 0{,}8x) \cdot e^{-0{,}2x}\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: Da der Exponentialterm \(e^{-0{,}2x}\) stets positiv ist, ergibt sich die Gleichung \(3{,}6 - 0{,}8x = 0\). 3. Nullstelle der ersten Ableitung berechnen: \(0{,}8x = 3{,}6 \implies x = 4{,}5\). 4. Zweite Ableitung zur Bestimmung der Art bilden: \(f''(x) = -0{,}2 \cdot e^{-0{,}2x} \cdot (3{,}6 - 0{,}8x) + e^{-0{,}2x} \cdot (-0{,}8) = (0{,}16x - 1{,}52) \cdot e^{-0{,}2x}\). 5. Hinreichende Bedingung an der Stelle \(x = 4{,}5\) prüfen: \(f''(4{,}5) = (0{,}16 \cdot 4{,}5 - 1{,}52) \cdot e^{-0{,}9} = -0{,}8 \cdot e^{-0{,}9} < 0\). Somit liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor.

An der Stelle \(x = 4{,}5\) befindet sich ein lokales Maximum (Hochpunkt).

- Kannst du die Gleichung \(f'(x) = 0\) vereinfachen, indem du einen gemeinsamen Faktor ausklammerst? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen \(e^x\) und dem natürlichen Logarithmus \(\ln(x)\). - Welche Bedingung muss die zweite Ableitung an einer Stelle erfüllen, damit dort ein Tiefpunkt vorliegt?

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Kettenregel berechnen: \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot e^{2x} - 4e^x = e^{2x} - 4e^x\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) aufstellen: \(e^{2x} - 4e^x = 0\). 3. Gleichung durch Ausklammern lösen: \(e^x \cdot (e^x - 4) = 0\). Da \(e^x > 0\), folgt \(e^x = 4\). 4. Logarithmieren ergibt die Extremstelle: \(x = \ln(4)\). 5. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 2e^{2x} - 4e^x\). 6. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''(\ln(4)) = 2 \cdot (e^{\ln(4)})^2 - 4 \cdot e^{\ln(4)} = 2 \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 = 32 - 16 = 16\). Da \(16 > 0\), liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor.

An der Stelle \(x = \ln(4)\) befindet sich ein lokales Minimum (Tiefpunkt).

- Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn zwei Funktionsterme multipliziert werden? - Wann kann ein Produkt den Wert Null annehmen? Beachte dabei die Besonderheit der Exponentialfunktion. - Wie kannst du sicherstellen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? - Vergiss nicht, am Ende auch die Funktionswerte (y-Werte) zu berechnen.

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Produktregel bestimmen: \(f'(x) = (2x - 5) \cdot e^x + (x^2 - 5x + 7) \cdot e^x = (x^2 - 3x + 2) \cdot e^x\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) prüfen: Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(x^2 - 3x + 2 = 0\) gelten. Dies liefert über die p-q-Formel oder Faktorisierung die Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 3. Zweite Ableitung zur Überprüfung der Hinreichenden Bedingung bilden: \(f''(x) = (2x - 3) \cdot e^x + (x^2 - 3x + 2) \cdot e^x = (x^2 - x - 1) \cdot e^x\). 4. Überprüfung der Stellen: \(f''(1) = (1^2 - 1 - 1) \cdot e^1 = -e < 0\), somit liegt bei \(x_1 = 1\) ein Hochpunkt vor. \(f''(2) = (2^2 - 2 - 1) \cdot e^2 = e^2 > 0\), somit liegt bei \(x_2 = 2\) ein Tiefpunkt vor. 5. Koordinaten durch Einsetzen in \(f(x)\) berechnen: \(f(1) = (1 - 5 + 7) \cdot e^1 = 3e\) und \(f(2) = (4 - 10 + 7) \cdot e^2 = e^2\).

Die Extrempunkte sind \(H(1 | 3e)\) und \(T(2 | e^2)\).

- Denke beim Ableiten von \(e^{2x}\) an die Kettenregel. - Kannst du den Term der ersten Ableitung so umformen oder ausklammern, dass du die Nullstellen leichter findest? - Wie verhält sich die Exponentialfunktion \(e^x\), wenn du den natürlichen Logarithmus darauf anwendest? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extrempunktes aus?

1. Erste Ableitung unter Anwendung der Kettenregel bestimmen: \(f'(x) = 4e^x - 2e^{2x}\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(4e^x - 2e^{2x} = 0 \implies 2e^x \cdot (2 - e^x) = 0\). Da \(2e^x\) niemals null wird, folgt \(2 - e^x = 0\), also \(e^x = 2\). Die Lösung ist \(x = \ln(2)\). 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 4e^x - 4e^{2x}\). 4. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''(\ln(2)) = 4 \cdot e^{\ln(2)} - 4 \cdot (e^{\ln(2)})^2 = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 4 = 8 - 16 = -8\). Da \(f''(\ln(2)) < 0\), liegt ein Hochpunkt vor. 5. y-Koordinate berechnen: \(f(\ln(2)) = 4 \cdot e^{\ln(2)} - (e^{\ln(2)})^2 = 4 \cdot 2 - 4 = 4\).

Der Hochpunkt hat die Koordinaten \(H(\ln(2) | 4)\).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor in den Summanden finden? - Welche Eigenschaft der Exponentialfunktion ist hilfreich, wenn du ein Produkt gleich null setzt? - Wie hängen die notwendigen Bedingungen für Extrema und Wendepunkte mit den Ableitungen zusammen? - Denke daran, dass \(e^{2x} = (e^x)^2\) ist, wenn du ableitest oder faktorisierst.

1. Faktorisierung: \(f(x) = 2e^x \cdot (3 - e^x)\) 2. Nullstelle: \(2e^x \cdot (3 - e^x) = 0 \Rightarrow 3 - e^x = 0 \Rightarrow e^x = 3 \Rightarrow x = \ln(3)\) 3. Ableitungen: \(f'(x) = 6e^x - 4e^{2x}\); \(f''(x) = 6e^x - 8e^{2x}\); \(f'''(x) = 6e^x - 16e^{2x}\) 4. Extrempunkt: \(f'(x) = 2e^x \cdot (3 - 2e^x) = 0 \Rightarrow e^x = 1{,}5 \Rightarrow x = \ln(1{,}5)\). Überprüfung mit \(f''(\ln(1{,}5)) = 6 \cdot 1{,}5 - 8 \cdot 2{,}25 = -9 < 0\) ergibt ein lokales Maximum. Funktionswert: \(f(\ln(1{,}5)) = 6 \cdot 1{,}5 - 2 \cdot 2{,}25 = 4{,}5\). Hochpunkt \(H(\ln(1{,}5) \mid 4{,}5)\). 5. Wendepunkt: \(f''(x) = 2e^x \cdot (3 - 4e^x) = 0 \Rightarrow e^x = 0{,}75 \Rightarrow x = \ln(0{,}75)\). Überprüfung mit \(f'''(\ln(0{,}75)) = 6 \cdot 0{,}75 - 16 \cdot 0{,}5625 = -4{,}5 \neq 0\) bestätigt den Wendepunkt. Funktionswert: \(f(\ln(0{,}75)) = 6 \cdot 0{,}75 - 2 \cdot 0{,}5625 = 3{,}375\). Wendepunkt \(W(\ln(0{,}75) \mid 3{,}375)\).

a) Faktorisierte Form: \(f(x) = 2e^x(3 - e^x)\); Nullstelle bei \(x = \ln(3)\). b) Hochpunkt \(H(\ln(1{,}5) \mid 4{,}5)\); Wendepunkt \(W(\ln(0{,}75) \mid 3{,}375)\).

- Überlege dir zuerst, welche Ableitungsregeln du für den Term mit der e-Funktion benötigst. - Wann ist die Steigung eines Graphen null? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Berg- oder ein Talpunkt vorliegt? - Vergiss nicht, am Ende auch den y-Wert zu berechnen.

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Kettenregel bilden: \(f'(x) = 2 \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} - 1 = e^{0{,}5x} - 1\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(e^{0{,}5x} - 1 = 0 \Rightarrow e^{0{,}5x} = 1 \Rightarrow 0{,}5x = 0 \Rightarrow x = 0\). 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\). 4. Hinreichende Bedingung an der Stelle \(x = 0\) prüfen: \(f''(0) = 0{,}5 \cdot e^0 = 0{,}5 > 0\). Da die zweite Ableitung positiv ist, liegt ein lokales Minimum vor. 5. Funktionswert berechnen: \(f(0) = 2 \cdot e^0 - 0 = 2\). 6. Der lokale Extrempunkt ist ein Tiefpunkt mit den Koordinaten \(T(0 | 2)\).

Tiefpunkt \(T(0 | 2)\)

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor im Funktionsterm finden? - Was weißt du über die Werte, die eine Exponentialfunktion annehmen kann? - Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines Extrempunkts erfüllt sein? - Wie verhalten sich die einzelnen Terme für sehr große oder sehr kleine Werte von \(x\)?

1. Ausklammern von \(e^x\): \(f(x) = e^x \cdot (4 - e^x)\). 2. Nullstellenbestimmung: Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(4 - e^x = 0\) gelten. Dies führt zu \(e^x = 4\), also \(x = \ln(4)\). 3. Erste Ableitung: \(f'(x) = 4e^x - 2e^{2x} = 2e^x \cdot (2 - e^x)\). 4. Bedingung für Extrema: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 2 - e^x = 0 \Rightarrow e^x = 2 \Rightarrow x_E = \ln(2)\). 5. Zweite Ableitung: \(f''(x) = 4e^x - 4e^{2x}\). 6. Art des Extrempunkts: \(f''(\ln(2)) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 2^2 = 8 - 16 = -8 < 0\). Es liegt ein lokaler Hochpunkt vor. 7. Koordinaten: \(f(\ln(2)) = 4 \cdot 2 - 2^2 = 4\). Somit ist der Hochpunkt \(H(\ln(2) | 4)\). 8. Grenzwerte: Für \(x \to -\infty\) gilt \(e^x \to 0\) und \(e^{2x} \to 0\), also \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\). Für \(x \to \infty\) dominiert der Term \(-e^{2x}\), also \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\).

a) \(f(x) = e^x(4 - e^x)\); Nullstelle bei \(x = \ln(4)\). b) Hochpunkt \(H(\ln(2) | 4)\). c) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\).

- Was passiert, wenn du eine Zahl und ihren Kehrwert betrachtest, insbesondere im Hinblick auf das Vorzeichen? - Wie verhält sich eine Funktion, wenn man \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Nutze die Kettenregel beim Ableiten der Exponentialfunktionen. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Form der Kurve aus?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2\), also \(S_y(0|2)\). Da die Exponentialfunktion \(e^u\) für alle \(u \in \mathbb{R}\) stets positive Werte liefert, ist die Summe zweier positiver Terme \(e^{0{,}2x} + e^{-0{,}2x} > 0\), weshalb keine Nullstellen existieren. 2. Symmetrie: \(f(-x) = e^{-0{,}2x} + e^{0{,}2x} = f(x)\), somit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Grenzwerte: Für \(x \to +\infty\) gilt \(e^{0{,}2x} \to \infty\) und \(e^{-0{,}2x} \to 0\), also \(f(x) \to \infty\). Aufgrund der Achsensymmetrie gilt auch für \(x \to -\infty\) der Grenzwert \(f(x) \to \infty\). 3. Ableitungen: \(f'(x) = 0{,}2 \cdot e^{0{,}2x} - 0{,}2 \cdot e^{-0{,}2x}\) und \(f''(x) = 0{,}04 \cdot e^{0{,}2x} + 0{,}04 \cdot e^{-0{,}2x} = 0{,}04 \cdot f(x)\). Da \(f(x) > 0\), ist auch \(f''(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Somit ist \(G_f\) überall linksgekrümmt. 4. Extrempunkt: \(f'(x) = 0 \iff 0{,}2 \cdot e^{0{,}2x} = 0{,}2 \cdot e^{-0{,}2x} \iff e^{0{,}2x} = e^{-0{,}2x} \iff 0{,}2x = -0{,}2x \iff x = 0\). Wegen der Linkskrümmung liegt an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Minimum vor. Mit \(f(0) = 2\) ergibt sich der Tiefpunkt \(T(0|2)\).

a) Schnittpunkt \(S_y(0|2)\); keine Nullstellen, da \(e^u > 0\) für alle \(u\). b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \infty\). c) \(f''(x) = 0{,}04 \cdot (e^{0{,}2x} + e^{-0{,}2x}) = 0{,}04 \cdot f(x)\); wegen \(f''(x) > 0\) ist der Graph linksgekrümmt. d) Tiefpunkt \(T(0|2)\).

- Erinnere dich an die Definition der Punktsymmetrie: \(f(-x) = -f(x)\). - Welcher Teil der Funktion bestimmt das Wachstum, wenn \(x\) sehr groß wird? - Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Monotonieverhalten zusammen? - Nutze die erste und zweite binomische Formel, um die Quadrate der Terme zu vereinfachen.

1. Symmetrie: \(g(-x) = \frac{1}{2}(e^{-x} - e^x) = -\frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) = -g(x)\), also punktsymmetrisch zum Ursprung. Schnittpunkt: \(g(0) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0\), also Ursprung \(O(0|0)\). Da \(e^x = e^{-x}\) nur für \(x=0\) gilt, ist dies die einzige Nullstelle. 2. Grenzwerte: Für \(x \to \infty\) dominiert \(e^x\), also \(g(x) \to \infty\). Wegen der Punktsymmetrie folgt für \(x \to -\infty\), dass \(g(x) \to -\infty\). 3. Monotonie: \(g'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), ist \(g'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Somit ist \(g\) streng monoton steigend. 4. Identität: \(g'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\) und \(g(x) = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\). Quadrieren liefert \([g'(x)]^2 = \frac{1}{4}(e^{2x} + 2 + e^{-2x})\) und \([g(x)]^2 = \frac{1}{4}(e^{2x} - 2 + e^{-2x})\). Die Differenz ergibt \([g'(x)]^2 - [g(x)]^2 = \frac{1}{4}(e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x}) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\).

a) Punktsymmetrie zum Ursprung; einziger Achsenschnittpunkt im Ursprung \(O(0|0)\). b) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\). c) \(g'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}) > 0\) für alle \(x\), daher streng monoton steigend. d) Nachweis durch Einsetzen und Anwenden der binomischen Formeln: \(\frac{1}{4}(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - \frac{1}{4}(e^{2x} - 2 + e^{-2x}) = 1\).

- Überprüfe, ob sich das Vorzeichen des Funktionswerts ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Was passiert mit dem Exponenten der e-Funktion, wenn \(x\) sehr groß wird? - Nutze die Produktregel und die Kettenregel für die Ableitungen. - Die zweite Ableitung gibt dir Auskunft über die Krümmung: Wo ist sie positiv, wo negativ?

1. Symmetrie: \(f(-x) = 4 \cdot e^{-\frac{1}{2}(-x)^2} = 4 \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} = f(x)\). Somit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Grenzverhalten: Da \(-\frac{1}{2}x^2 \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\), gilt \(e^{-\frac{1}{2}x^2} \to 0\). Daraus folgt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). 3. Ableitungen: \(f'(x) = -4x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}\) und \(f''(x) = (4x^2 - 4) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}\). 4. Extrema: \(f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0\). Einsetzen in die zweite Ableitung: \(f''(0) = -4 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) bei \(H(0|4)\) vor. 5. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 4x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x_{W1} = -1\) und \(x_{W2} = 1\). 6. Krümmung: \(f''(x) > 0\) für \(x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\), dort ist \(G_f\) linksgekrümmt. \(f''(x) < 0\) für \(x \in (-1; 1)\), dort ist \(G_f\) rechtsgekrümmt.

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). b) Hochpunkt \(H(0|4)\). c) Wendestellen bei \(x = -1\) und \(x = 1\). \(G_f\) ist linksgekrümmt für \(|x| > 1\) und rechtsgekrümmt für \(-1 < x < 1\).

- Welche Ableitungsregeln musst du kombinieren, um den Term \(\sin^2(x)\) abzuleiten? - Kannst du die Ableitung so umformen, dass sie als Produkt vorliegt? - Wann ist ein Produkt aus zwei Faktoren positiv oder negativ? - Beachte den eingeschränkten Definitionsbereich für die Untersuchung.

1. Bildung der ersten Ableitung unter Verwendung der Kettenregel: \(g'(x) = 2\sin(x)\cos(x) - \sin(x)\). 2. Faktorisieren der Ableitung: \(g'(x) = \sin(x) \cdot (2\cos(x) - 1)\). 3. Bestimmung der kritischen Punkte im Intervall \([0; \pi]\): - \(\sin(x) = 0\) liefert \(x = 0\) und \(x = \pi\). - \(2\cos(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = \frac{1}{2}\) liefert \(x = \frac{\pi}{3}\). 4. Vorzeichenanalyse von \(g'(x)\) im Intervall \((0; \pi)\): Da \(\sin(x) > 0\) für alle \(x \in (0; \pi)\), hängt das Vorzeichen nur von \((2\cos(x) - 1)\) ab. - Im Intervall \((0; \frac{\pi}{3})\) ist \(\cos(x) > \frac{1}{2}\), also \(g'(x) > 0\). - Im Intervall \((\frac{\pi}{3}; \pi)\) ist \(\cos(x) < \frac{1}{2}\), also \(g'(x) < 0\). 5. Ergebnis: \(g\) ist streng monoton steigend auf \([0; \frac{\pi}{3}]\) und streng monoton fallend auf \([\frac{\pi}{3}; \pi]\).

Streng monoton steigend auf \([0; \frac{\pi}{3}]\); streng monoton fallend auf \([\frac{\pi}{3}; \pi]\).

- Nutze trigonometrische Identitäten wie die Doppelwinkelformeln, um die Ableitung in ein Produkt zu verwandeln. - Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. - Überprüfe das Vorzeichen der Ableitung in den Zwischenbereichen, um die Monotonie festzulegen. - Achte darauf, dass nur Lösungen innerhalb des Intervalls \([0; \pi]\) gesucht sind.

1. Ableitung bilden: \(g'(x) = 2 \cos(x) - 2 \sin(2x)\). 2. Vereinfachung der Ableitung: Mit der Doppelwinkelformel \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\ ) folgt \(g'(x) = 2 \cos(x) - 4 \sin(x) \cos(x) = 2 \cos(x)(1 - 2 \sin(x))\). 3. Nullstellen von \(g'\) in \([0; \pi]\) bestimmen: - \(2 \cos(x) = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{2}\). - \(1 - 2 \sin(x) = 0 \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x_2 = \frac{\pi}{6}, x_3 = \frac{5\pi}{6}\). 4. Vorzeichen von \(g'(x)\) untersuchen: - Auf \([0; \frac{\pi}{6})\ ): \(g' > 0\) (streng monoton steigend). - Auf \((\frac{\pi}{6}; \frac{\ pi}{2})\): \(g' < 0\) (streng monoton fallend). - Auf \((\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6})\): \(g' > 0\) (streng monoton steigend). - Auf \((\frac{5\ pi}{6}; \pi]\): \(g' < 0\) (streng monoton fallend). 5. Art der Extrempunkte (über Vorzeichenwechsel oder zweite Ableitung): - VZW von \(+\) nach \(-\ ) bei \(x = \frac{\pi}{6}\): Hochpunkt. \(g(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot 0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}5\). - VZW von \(-\) nach \(+\) bei \(x = \frac{\pi}{2}\ ): Tiefpunkt. \(g(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 - 1 = 1\). - VZW von \(+\ ) nach \(-\) bei \(x = \frac{5\pi}{6}\): Hochpunkt. \(g(\frac{5\pi}{6}) = 2 \cdot 0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}5\).

Die Funktion \(g\) ist streng monoton steigend auf \([0; \frac{\pi}{6}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6}]\) sowie streng monoton fallend auf \([\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{5\pi}{6}; \pi]\). Die lokalen Extrempunkte sind: \(H_1(\frac{\pi}{6} \mid 1{,}5)\), \(T(\frac{\pi}{2} \mid 1)\) und \(H_2(\frac{5\pi}{6} \mid 1{,}5)\).

- Überprüfe, ob \(f(-x) = f(x)\) oder \(f(-x) = -f(x)\) gilt, um die Symmetrie zu bestimmen. - Überlege dir, wie sich der Exponent der \(e\)-Funktion verhält, wenn \(x\) sehr groß wird. - Erinnere dich an die Monotonie der \(e\)-Funktion: Wann ist eine Potenz mit Basis \(e\) am größten? - Für die Wendepunkte musst du die Stellen finden, an denen die Krümmung des Graphen das Vorzeichen wechselt. - Die Tangentengleichung lässt sich allgemein durch \(y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)\) bestimmen.

1. Symmetrie: \(f(-x) = 2 \cdot e^{1 - 0{,}5(-x)^2} = 2 \cdot e^{1 - 0{,}5x^2} = f(x)\). Somit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Grenzwerte: Für \(x \to \pm \infty\) geht der Exponent \(1 - 0{,}5x^2 \to -\infty\). Da \(\lim_{u \to -\infty} e^u = 0\), gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). 3. Extrempunkt: Der Exponent \(h(x) = 1 - 0{,}5x^2\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Maximum \(1\) bei \(x = 0\). Da die Exponentialfunktion \(u \mapsto e^u\) streng monoton steigend ist, liegt bei \(x = 0\) ein Maximum von \(f\) vor. Mit \(f(0) = 2e^1 = 2e\) ergibt sich der Hochpunkt \(H(0 | 2e)\). 4. Wendepunkte: Ableitungen bilden: \(f'(x) = -2x \cdot e^{1 - 0{,}5x^2}\) und \(f''(x) = (2x^2 - 2) \cdot e^{1 - 0{,}5x^2}\). Nullstellen der zweiten Ableitung: \(2x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm 1\). Funktionswerte \(f(1) = f(-1) = 2 \cdot e^{0{,}5} = 2\sqrt{e}\). Wendepunkte sind \(W_1(-1 | 2\sqrt{e})\) und \(W_2(1 | 2\sqrt{e})\). 5. Tangente an \(x = 1\): Steigung \(f'(1) = -2 \cdot 1 \cdot e^{0{,}5} = -2\sqrt{e}\). Punkt \((1 | 2\sqrt{e})\). Tangentengleichung: \(y = -2\sqrt{e}(x - 1) + 2\sqrt{e} = -2\sqrt{e}x + 4\sqrt{e}\).

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\) b) Hochpunkt \(H(0 | 2e)\); Begründung über das Maximum des quadratischen Exponenten und die Monotonie der Exponentialfunktion. c) \(W_1(-1 | 2\sqrt{e})\) und \(W_2(1 | 2\sqrt{e})\) d) \(y = -2\sqrt{e} \cdot x + 4\sqrt{e}\)

- Überlege, welcher Teil des Funktionsterms null werden kann. - Erinnere dich daran, welche Funktion für sehr große Werte von \(x\) schneller wächst: eine lineare Funktion oder eine Exponentialfunktion. - Nutze die Produktregel und die Kettenregel für die Ableitungen. - Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung weist auf einen Wendepunkt hin. - Für die Tangentengleichung benötigst du die Steigung an der entsprechenden Stelle und die Koordinaten des Berührpunktes.

1. Nullstelle: \(f(x) = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, ist \(x = 2\) die einzige Nullstelle. 2. Grenzverhalten: Für \(x \to +\infty\) dominiert der exponentielle Faktor \(e^{-0{,}5x}\), sodass \(f(x) \to 0\). Für \(x \to -\infty\) gehen beide Faktoren gegen \(-\infty\) bzw. \(+\infty\), somit gilt \(f(x) \to -\infty\). 3. Extrempunkt: Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = (2 - 0{,}5x) \cdot e^{-0{,}5x}\). Die Bedingung \(f'(x) = 0\) liefert \(x = 4\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = (0{,}25x - 1{,}5) \cdot e^{-0{,}5x}\). Wegen \(f''(4) = -0{,}5 \cdot e^{-2} < 0\) liegt ein Hochpunkt vor. Koordinaten: \(H(4 \mid 2e^{-2})\). 4. Wendepunkt: Die Bedingung \(f''(x) = 0\) liefert \(0{,}25x - 1{,}5 = 0 \Rightarrow x = 6\). Da \(f''(x)\) an der Stelle \(x = 6\) einen Vorzeichenwechsel besitzt (einfache Nullstelle eines linearen Faktors), liegt genau ein Wendepunkt bei \(W(6 \mid 4e^{-3})\) vor. 5. Wendetangente: Die Steigung im Wendepunkt ist \(m = f'(6) = (2 - 3) \cdot e^{-3} = -e^{-3}\). Mit dem Punkt \(W(6 \mid 4e^{-3})\) ergibt die Punkt-Steigungs-Form die Gleichung \(y = -e^{-3} \cdot (x - 6) + 4e^{-3}\), vereinfacht \(y = -e^{-3}x + 10e^{-3}\).

a) Nullstelle bei \(x = 2\). b) \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). c) Hochpunkt \(H(4 \mid 2e^{-2})\). d) Einziger Wendepunkt bei \(W(6 \mid 4e^{-3})\); Wendetangente \(y = -e^{-3}x + 10e^{-3}\).

- Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. - Achte beim Ableiten besonders auf die Kettenregel bei der e-Funktion. - Die Art eines Extrempunktes lässt sich über das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. - Für den Nachweis des Wendepunkts ist die Untersuchung der zweiten Ableitung auf Nullstellen und Vorzeichenwechsel entscheidend. - Überlege beim Grenzverhalten, welcher Faktor den Gesamtausdruck für sehr große oder sehr kleine \(x\) dominiert.

1. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(f(x) = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(0 \mid 0)\). 2. Extrempunkt: \(f'(x) = 2 \cdot e^{1-x} + 2x \cdot (-1) \cdot e^{1-x} = (2 - 2x) \cdot e^{1-x}\). Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) ergibt \(x = 1\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = (2x - 4) \cdot e^{1-x}\). Überprüfung: \(f''(1) = -2 \cdot e^0 = -2 < 0\), also liegt ein lokales Maximum vor. Funktionswert: \(f(1) = 2 \cdot 1 \cdot e^0 = 2\). Extrempunkt: \(H(1 \mid 2)\). 3. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\). Da \(f''(x)\) eine einfache Nullstelle bei \(x = 2\) hat, findet ein Vorzeichenwechsel statt, was die Existenz genau eines Wendepunkts bestätigt. Funktionswert: \(f(2) = 4 \cdot e^{-1} = \frac{4}{e}\). Wendepunkt: \(W(2 \mid 4e^{-1})\). 4. Grenzverhalten: Für \(x \to +\infty\) gilt \(2x \cdot e^{1-x} = 2e \cdot \frac{x}{e^x} \to 0\), da die Exponentialfunktion stärker wächst als die lineare Funktion. Für \(x \to -\infty\) gilt \(2x \to -\infty\) und \(e^{1-x} \to +\infty\), also \(f(x) \to -\infty\).

a) Schnittpunkt \(S_x(0 \mid 0)\). b) Hochpunkt \(H(1 \mid 2)\). c) Wendepunkt \(W(2 \mid 4e^{-1})\). d) \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

- Welche Bedingungen müssen für das Vorhandensein von Extrem- oder Wendestellen erfüllt sein? - Erinnere dich an den Wertebereich der natürlichen Exponentialfunktion. Kann sie jemals den Wert Null oder negative Werte annehmen? - Nutze die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen, insbesondere die Kettenregel. - Überlege dir, was es für die Existenz von Punkten bedeutet, wenn eine Gleichung keine Lösung hat.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = e^{2x} + 4\). 2. Untersuchung auf Extremstellen: Die Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf die Gleichung \(e^{2x} + 4 = 0\), also \(e^{2x} = -4\). Da die Exponentialfunktion \(e^u\) für alle reellen Zahlen \(u\) stets positiv ist (\(e^u > 0\)), besitzt diese Gleichung keine Lösung. Somit existieren keine Extremstellen. 3. Berechnung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = 2e^{2x}\). 4. Untersuchung auf Wendestellen: Die Bedingung \(f''(x) = 0\) führt auf \(2e^{2x} = 0\), also \(e^{2x} = 0\). Da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, besitzt auch diese Gleichung keine Lösung. Somit existieren keine Wendestellen.

Durch die Ableitungen \(f'(x) = e^{2x} + 4\) und \(f''(x) = 2e^{2x}\) zeigt sich, dass weder die notwendige Bedingung für Extremstellen (\(f'(x) = 0\)) noch die für Wendestellen (\(f''(x) = 0\)) erfüllt werden kann, da \(e^{2x}\) stets positiv ist. Somit hat die Funktion keine Extrem- oder Wendestellen.

- Nutze die Produktregel für die Ableitung und achte beim \(e\)-Term auf die Kettenregel. - Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. - Du kannst die Art des Extrempunkts entweder über die zweite Ableitung oder über das Monotonieverhalten bestimmen. - Der Begriff „Lage“ fragt nach den vollständigen Koordinaten \((x \mid y)\).

1. Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel bestimmen: \(g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x + 2) \cdot e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x} \cdot (1 - (x + 2)) = e^{-x} \cdot (-x - 1)\). 2. Waagerechte Tangenten finden durch \(g'(x) = 0\): Da \(e^{-x} \neq 0\), muss \(-x - 1 = 0\) gelten, woraus \(x = -1\) folgt. 3. Art des Extrempunkts prüfen, zum Beispiel mit der zweiten Ableitung: \(g''(x) = -e^{-x} \cdot (-x - 1) + e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x} \cdot (x + 1 - 1) = x \cdot e^{-x}\). Einsetzen des kritischen Wertes liefert \(g''(-1) = -1 \cdot e^1 = -e < 0\). Somit liegt an der Stelle \(x = -1\) ein lokales Maximum vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(g(-1) = (-1 + 2) \cdot e^{-(-1)} = 1 \cdot e^1 = e\). Der Extrempunkt ist der Hochpunkt \(H(-1 \mid e)\).

Der Graph von \(g\) hat den Hochpunkt \(H(-1 \mid e)\).

- Die Nullstellen einer gebrochenrationalen oder kombinierten Funktion findest du, indem du den Zähler gleich null setzt. - Überlege dir beim Verhalten im Unendlichen, welcher Teil der Funktion (Polynom oder \(e\)-Funktion) dominiert. - Für die Ableitung kannst du entweder die Quotientenregel nutzen oder die Funktion als Produkt \((x^2 - 3x + 1) \cdot e^{-x}\) schreiben. - Achte auf das Vorzeichen der Ableitung zwischen den kritischen Stellen, um die Art der Extrema zu bestimmen.

1. Nullstellen: \(x^2 - 3x + 1 = 0 \implies x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 \approx 0{,}38\) und \(x_2 \approx 2{,}62\). 2. Verhalten für \(x \to +\infty\): Da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als das quadratische Polynom im Zähler, gilt \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x + 1}{e^x} = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Verhalten für \(x \to -\infty\): Für \(x \to -\infty\) strebt \(x^2 - 3x + 1 \to +\infty\) und \(e^x \to 0^+\). Damit gilt \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty\). 4. Extrempunkte: Mit der Quotientenregel gilt \(g'(x) = \frac{(2x - 3)e^x - (x^2 - 3x + 1)e^x}{(e^x)^2} = \frac{-x^2 + 5x - 4}{e^x}\). Nullstellen der Ableitung: \(-x^2 + 5x - 4 = 0 \implies x^2 - 5x + 4 = 0 \implies (x-1)(x-4) = 0\). 5. Art der Extrema: Die Parabel \(-x^2 + 5x - 4\) ist nach unten geöffnet. Vorzeichenwechsel von \(g'\) bei \(x = 1\) von \(-\) nach \(+\) (Tiefpunkt) und bei \(x = 4\) von \(+\) nach \(-\) (Hochpunkt). 6. Koordinaten: \(g(1) = \frac{1-3+1}{e^1} = -\frac{1}{e}\) und \(g(4) = \frac{16-12+1}{e^4} = \frac{5}{e^4}\). Tiefpunkt \(T(1 \mid -e^{-1})\), Hochpunkt \(H(4 \mid 5e^{-4})\).

a) \(x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\). b) \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\); waagrechte Asymptote \(y = 0\). c) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty\). d) Tiefpunkt \(T(1 \mid -e^{-1})\), Hochpunkt \(H(4 \mid 5e^{-4})\).

- Worauf musst du bei einem Bruch mit einer Wurzel im Nenner achten, wenn du die Definitionsmenge bestimmst? - Welche Ableitungsregeln sind hier kombiniert sinnvoll? Erinnere dich an die Quotientenregel und die Kettenregel. - Wie kannst du den Zähler eines Doppelbruchs vereinfachen, um auf die Zielform zu kommen? - Welche Bedingung muss für die Steigung einer waagerechten Tangente erfüllt sein? - Wann genau wird ein Bruch gleich null?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Radikand unter der Wurzel muss positiv sein, also \(x-2 > 0\), woraus \(x > 2\) folgt. Somit ist \(D = ]2; \infty[\). 2. Ableitung mit der Quotientenregel: Mit \(u(x) = x+2\) und \(v(x) = \sqrt{x-2}\) ergibt sich \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x-2} - (x+2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}}}{(\sqrt{x-2})^2}\). 4. Umformung des Zählers durch Erweitern mit \(2\sqrt{x-2}\): \(\frac{2(x-2) - (x+2)}{2\sqrt{x-2} \cdot (x-2)} = \frac{2x - 4 - x - 2}{2\sqrt{(x-2)^3}} = \frac{x-6}{2\sqrt{(x-2)^3}} = \frac{0{,}5x - 3}{\sqrt{(x-2)^3}}\). 5. Bedingung für waagerechte Tangente: \(f'(x) = 0\). Da der Nenner für \(x \in D\) stets positiv ist, muss der Zähler null sein: \(0{,}5x - 3 = 0 \implies x = 6\). 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(6) = \frac{6+2}{\sqrt{6-2}} = \frac{8}{\sqrt{4}} = 4\). Der gesuchte Punkt ist \(P(6|4)\).

a) \(D = ]2; \infty[\) b) Nachweis durch Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{\sqrt{x-2} - \frac{x+2}{2\sqrt{x-2}}}{x-2} = \dots = \frac{0{,}5x - 3}{\sqrt{(x-2)^3}}\) c) \(P(6|4)\)

- Verwende die Quotientenregel und achte beim Ableiten der Wurzel auf die Kettenregel (Nachdifferenzieren!). - Wie kannst du den Zähler des Bruchs so umformen, dass die Wurzel dort verschwindet? - Überlege dir, welche mathematische Bedingung für eine waagerechte Tangente gelten muss. - Schau dir den Zähler deines Ergebnisses aus Aufgabenteil a) genau an – kann dieser jemals den benötigten Wert annehmen?

1. Ableitung mit der Quotientenregel: Setze \(u(x) = \sqrt{x^2+12}\) und \(v(x) = x\). Es gilt \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+12}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+12}}\) und \(v'(x) = 1\). 2. Anwendung der Regel: \(g'(x) = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+12}} \cdot x - \sqrt{x^2+12} \cdot 1}{x^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers: Durch Gleichnamigmachen erhält man \(\frac{x^2 - (x^2+12)}{\sqrt{x^2+12}}\), was zu \(\frac{-12}{\sqrt{x^2+12}}\) führt. 4. Zusammenfassen zum Endergebnis: \(g'(x) = \frac{-12}{x^2\sqrt{x^2+12}}\). 5. Begründung zur waagerechten Tangente: Eine waagerechte Tangente erfordert \(g'(x) = 0\). Ein Bruch ist nur dann null, wenn sein Zähler null ist. Da der Zähler hier konstant \(-12\) ist, kann die Gleichung \(-12 = 0\) niemals erfüllt werden. Somit gibt es keine Stellen mit waagerechter Tangente.

a) Nachweis durch Ableiten: \(g'(x) = \frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+12}} - \sqrt{x^2+12}}{x^2} = \dots = -\frac{12}{x^2\sqrt{x^2+12}}\) b) Da der Zähler der Ableitungsfunktion konstant \(-12 \neq 0\) ist, besitzt \(g'(x)\) keine Nullstellen und der Graph somit keine waagerechten Tangenten.

- Wie findet man die Stellen, an denen ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Überlege dir, was mit dem Wert unter der Wurzel passiert, wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt. - Nutze die Kettenregel für die Ableitungen und achte auf die innere Ableitung. - Was sagt ein unendlicher Grenzwert der Ableitung über die Steigung des Graphen an dieser Stelle aus?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = \sqrt{10} - 2\), also \(S_y(0 | \sqrt{10} - 2)\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(\sqrt{10 - 2x} - 2 = 0 \Rightarrow 10 - 2x = 4 \Rightarrow x = 3\), also \(N(3 | 0)\). 2. Für \(x \to -\infty\) wird der Radikand \(10 - 2x\) beliebig groß, somit gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\). 3. Mit der Kettenregel ergibt sich \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{10 - 2x}} \cdot (-2) = -(10 - 2x)^{-\frac{1}{2}}\) bzw. \(-\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = -(-\frac{1}{2})(10 - 2x)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-2) = -(10 - 2x)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{(10 - 2x)^3}}\). Da der Nenner für \(x = 5\) null wird und der Radikand für \(x < 5\) positiv ist, gilt \(D_{f''} = ]-\infty; 5[\). 4. Es gilt \(\lim_{x \to 5} f'(x) = \lim_{x \to 5} -\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}} = -\infty\). Dies bedeutet, dass der Graph \(G_f\) an der Stelle \(x = 5\) eine Tangente besitzt, die parallel zur \(y\)-Achse verläuft (senkrechte Tangente).

1. \(S_y(0 | \sqrt{10} - 2)\) und \(N(3 | 0)\) 2. \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\) 3. \(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}\), \(f''(x) = -\frac{1}{\sqrt{(10 - 2x)^3}}\), \(D_{f''} = ]-\infty; 5[\) 4. \(\lim_{x \to 5} f'(x) = -\infty\); \(G_f\) hat an der Stelle \(x = 5\) eine senkrechte Tangente.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und dem Monotonieverhalten. - Um die Wertemenge zu bestimmen, betrachte den Funktionswert am Rand des Definitionsbereichs und das Grenzverhalten. - Eine Funktion ist sicher umkehrbar, wenn sie in ihrem gesamten Bereich nur in eine Richtung (steigend oder fallend) verläuft. - Beim Auflösen nach \(x\) ist das Quadrieren ein wichtiger Schritt – achte darauf, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht.

1. Die Ableitung lautet \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{0{,}5x + 2}} \cdot 0{,}5 = \frac{1}{4\sqrt{0{,}5x + 2}}\). Da \(g'(x) > 0\) für alle \(x \in ]-4; \infty[\) gilt und die Funktion stetig ist, ist \(g\) in \(D_g\) streng monoton steigend. Der kleinste Funktionswert liegt bei \(g(-4) = 2 + \sqrt{0} = 2\). Wegen \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) ergibt sich \(W_g = [2; \infty[\). 2. Die Umkehrbarkeit folgt aus der strengen Monotonie in \(D_g\). Zur Bestimmung von \(g^{-1}\) löst man \(y = 2 + \sqrt{0{,}5x + 2}\) nach \(x\) auf: \(y - 2 = \sqrt{0{,}5x + 2} \Rightarrow (y - 2)^2 = 0{,}5x + 2 \Rightarrow 2(y - 2)^2 = x + 4 \Rightarrow x = 2(y - 2)^2 - 4\). Durch Variablentausch erhält man \(g^{-1}(x) = 2(x - 2)^2 - 4\) (oder ausmultipliziert \(2x^2 - 8x + 4\)). 3. Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion entspricht der Wertemenge der Ausgangsfunktion, also \(D_{g^{-1}} = W_g = [2; \infty[\).

1. \(g'(x) = \frac{1}{4\sqrt{0{,}5x + 2}} > 0\); \(W_g = [2; \infty[\) 2. \(g\) ist streng monoton steigend und damit umkehrbar; \(g^{-1}(x) = 2(x - 2)^2 - 4\) 3. \(D_{g^{-1}} = [2; \infty[\)

- Wann ist der natürliche Logarithmus definiert? - Wie hängen die Nullstellen einer Logarithmusfunktion mit dem Wert ihres Arguments zusammen? - Nutze die Kettenregel für die Ableitung. - Was passiert mit dem Logarithmus, wenn sich das Argument dem Wert Null nähert?

1. Definitionsbereich: Die Bedingung \(-x^2 + 6x - 8 > 0\) führt auf die Nullstellen der Parabel bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(D_f = ]2; 4[\). 2. Nullstellen: \(f(x) = 0 \iff 6x - x^2 - 8 = 1 \iff x^2 - 6x + 9 = 0 \iff (x-3)^2 = 0\). Es ergibt sich die einzige Nullstelle bei \(x = 3\). 3. Extrempunkt: Die Ableitung \(f'(x) = \frac{-2x + 6}{-x^2 + 6x - 8}\) hat die Nullstelle \(x = 3\). Da \(f(3) = \ln(1) = 0\) und der Wert des Arguments der Logarithmusfunktion dort sein Maximum annimmt, liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) bei \(H(3|0)\) vor. 4. Asymptoten: Für \(x \to 2^+\) und \(x \to 4^-\) strebt das Argument gegen \(0^+\), somit gilt \(f(x) \to -\infty\). Die senkrechten Asymptoten sind \(x = 2\) und \(x = 4\).

a) \(D_f = ]2; 4[\); Nullstelle bei \(x = 3\). b) Hochpunkt \(H(3|0)\). c) \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 4^-} f(x) = -\infty\); senkrechte Asymptoten: \(x = 2\) und \(x = 4\).

- Betrachte das Vorzeichen des Terms im Logarithmus, um den Definitionsbereich zu finden. - Setze das Argument des Logarithmus gleich 1, um die Nullstellen zu berechnen. - Untersuche das Vorzeichen der ersten Ableitung in den jeweiligen Intervallen des Definitionsbereichs. - Welche Stellen am Rand des Definitionsbereichs führen zu einer Polstelle?

1. Definitionsbereich: \(x^2 - 4x > 0 \iff x(x-4) > 0\). Dies ist erfüllt für \(x < 0\) oder \(x > 4\). Somit ist \(D_g = ]-\infty; 0[ \cup ]4; \infty[\). 2. Nullstellen: \(x^2 - 4x = 1 \iff x^2 - 4x - 1 = 0\). Mit der Mitternachtsformel ergibt sich \(x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}\). Beide Werte liegen im Definitionsbereich (\(x_1 \approx 4{,}24\) und \(x_2 \approx -0{,}24\)). 3. Monotonie: Die Ableitung ist \(g'(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x}\). Für \(x > 4\) ist der Zähler \(2x-4 > 4\) und der Nenner positiv, also \(g'(x) > 0\). Für \(x < 0\) ist der Zähler \(2x-4 < -4\) und der Nenner positiv, also \(g'(x) < 0\). Die Funktion ist somit in \(]-\infty; 0[\) streng monoton fallend und in \(]4; \infty[\) streng monoton steigend. 4. Asymptoten: An den Rändern \(x \to 0^-\) und \(x \to 4^+\) geht das Argument gegen \(0\), woraus \(\lim g(x) = -\infty\) folgt. Senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = 4\).

a) \(D_g = ]-\infty; 0[ \cup ]4; \infty[\); Nullstellen bei \(x = 2 - \sqrt{5}\) und \(x = 2 + \sqrt{5}\). b) Streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; 0[\) und streng monoton steigend für \(x \in ]4; \infty[\). c) Senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = 4\).

- Überlege, für welche Werte der natürliche Logarithmus definiert ist. - Welcher Teilterm der Funktion bestimmt das Wachstum, wenn \(x\) sehr groß wird? - Nutze die erste Ableitung, um mögliche Stellen für Extrema zu finden. - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung feststellen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt?

1. Der Definitionsbereich ist \(D = ]0; \infty[\), da die Logarithmusfunktion nur für positive Argumente definiert ist. 2. Grenzverhalten: Für \(x \to 0^+\) gilt \(\frac{1}{2}x^2 \to 0\) und \(-2\ln(x) \to \infty\), also \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to \infty\) dominiert das quadratische Glied den Logarithmus, daher gilt \(f(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{2\ln(x)}{x^2}) \to \infty\). 3. Ableitungen: \(f'(x) = x - \frac{2}{x}\) und \(f''(x) = 1 + \frac{2}{x^2}\). 4. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\): \(x - \frac{2}{x} = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}\) (da \(x > 0\)). 5. Art des Extrempunkts: \(f''(\sqrt{2}) = 1 + \frac{2}{2} = 2 > 0\), somit liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 6. \(y\)-Koordinate: \(f(\sqrt{2}) = \frac{1}{2}(\sqrt{2})^2 - 2\ln(\sqrt{2}) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2}\ln(2) = 1 - \ln(2)\). Ergebnis: Tiefpunkt \(TP(\sqrt{2} \mid 1 - \ln(2))\).

a) \(D = ]0; \infty[\); für \(x \to 0^+\) gilt \(f(x) \to \infty\); für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). b) Tiefpunkt \(TP(\sqrt{2} \mid 1 - \ln(2))\).

- Was passiert mit dem Graphen, wenn der höchste Punkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt? - Untersuche das Verhalten der Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte. - Wie viele Extremstellen hat die Funktion insgesamt?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 2 - e^{x+1}\). 2. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(2 - e^{x+1} = 0 \implies e^{x+1} = 2 \implies x+1 = \ln(2) \implies x = \ln(2) - 1 \approx -0{,}31\). 3. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(f''(x) = -e^{x+1}\). Da \(f''(\ln(2)-1) = -e^{\ln(2)} = -2 < 0\), liegt an der Stelle \(x = \ln(2) - 1\) ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des maximalen Funktionswertes: \(f(\ln(2)-1) = 2(\ln(2)-1) - e^{\ln(2)} = 2\ln(2) - 2 - 2 = 2\ln(2) - 4 \approx -2{,}61\). 5. Da die Funktion stetig ist und ihr globales Maximum einen negativen Wert besitzt (\(2\ln(2) - 4 < 0\)), liegen alle Funktionswerte unterhalb der \(x\)-Achse. Somit hat die Funktion keine Nullstellen.

Die Funktion hat ein globales Maximum an der Stelle \(x = \ln(2) - 1\). Der zugehörige Funktionswert ist \(f(\ln(2)-1) = 2\ln(2) - 4 \approx -2{,}61\). Da das Maximum negativ ist und die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, liegen alle Funktionswerte im negativen Bereich, weshalb keine Nullstellen existieren.

- Überlege dir, welche Bedeutung ein globales Minimum für die Lage des gesamten Graphen hat. - Bestimme den Definitionsbereich der Funktion genau. - Was sagt das Vorzeichen des niedrigsten Punktes über die Existenz von Nullstellen aus?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} = \frac{x-2}{x^2}\). 2. Extremstelle bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2\). 3. Art des Extremums prüfen: Da \(f'(x) < 0\) für \(0 < x < 2\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > 2\), liegt bei \(x = 2\) ein globales Minimum vor. Alternativ über \(f''(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^3} \implies f''(2) = \frac{1}{4} > 0\). 4. Funktionswert an der Minimumstelle berechnen: \(f(2) = \ln(2) + \frac{2}{2} = \ln(2) + 1 \approx 1{,}69\). 5. Da der kleinste Funktionswert \(1 + \ln(2)\) positiv ist, verlaufen alle Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \ge 1 + \ln(2) > 0\)). Daher hat \(f\) keine Nullstellen.

Die Funktion besitzt an der Stelle \(x = 2\) ein globales Minimum mit dem Funktionswert \(f(2) = \ln(2) + 1 \approx 1{,}69\). Da dieser Minimalwert positiv ist, sind alle Funktionswerte größer als Null, und der Graph kann die \(x\)-Achse nicht schneiden.

- Überlege, für welche Werte das Argument des Logarithmus positiv sein muss. - Setze den Funktionsterm gleich null und löse die entstandene quadratische Gleichung. - Nutze die erste Ableitung, um die Steigung in den verschiedenen Intervallen des Definitionsbereichs zu prüfen. - Untersuche das Verhalten der Funktion an den Stellen, an denen das Argument des Logarithmus gegen null geht.

1. Definitionsmenge: Die Bedingung \(x^2 - 4x > 0\) führt auf \(x(x - 4) > 0\). Dies ist erfüllt für \(x < 0\) oder \(x > 4\), also \(D_f = ]-\infty; 0[ \cup ]4; \infty[\). 2. Nullstellen: \(f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x = 1 \Leftrightarrow x^2 - 4x - 1 = 0\). Mit der Mitternachtsformel ergeben sich \(x_1 = 2 - \sqrt{5}\) und \(x_2 = 2 + \sqrt{5}\). Beide Werte liegen im Definitionsbereich. 3. Monotonie: Die Ableitung ist \(f'(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x}\). Für \(x < 0\) ist der Zähler negativ und der Nenner positiv, also \(f'(x) < 0\). Für \(x > 4\) ist der Zähler positiv und der Nenner positiv, also \(f'(x) > 0\). Somit ist \(f\) in \(]-\infty; 0[\) streng monoton fallend und in \(]4; \infty[\) streng monoton steigend. 4. Asymptoten: An den Rändern des Definitionsbereichs gilt \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 4^+} f(x) = -\infty\). Die senkrechten Asymptoten lauten \(x = 0\) und \(x = 4\). Es gibt keine waagrechten Asymptoten, da \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\).

a) \(D_f = ]-\infty; 0[ \cup ]4; \infty[\); Nullstellen: \(x_1 = 2 - \sqrt{5}\), \(x_2 = 2 + \sqrt{5}\) b) Streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; 0[\); streng monoton steigend für \(x \in ]4; \infty[\) c) Senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = 4\)

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Krümmung eines Graphen und dem Vorzeichen seiner zweiten Ableitung? - Kannst du eine einfache Stelle innerhalb des angegebenen Intervalls finden, um die Werte der Terme zu testen? - Überlege, ob die Funktion an einer markanten Stelle wie \( x=0 \) einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt besitzt. - Wie verhält sich der Ausdruck \( x^2+1 \) in der Nähe von Null?

1. Da der Graph \( G_f \) im Intervall \( ]-1; 1[ \) linkskrümmt ist, muss die zweite Ableitung \( f'' \) in diesem Bereich ausschließlich positive Werte annehmen (\( f''(x) > 0 \)). 2. Zur Überprüfung wird eine Teststelle aus dem Intervall gewählt, beispielsweise \( x = 0 \). 3. Einsetzen in Term I: \( f''(0) = \frac{2-2 \cdot 0^2}{(0^2+1)^2} = \frac{2}{1} = 2 \). Da \( 2 > 0 \), ist diese Bedingung für Term I erfüllt. 4. Einsetzen in Term II: \( f''(0) = \frac{2 \cdot 0^2-2}{(0^2+1)^2} = \frac{-2}{1} = -2 \). Da \( -2 < 0 \), widerspricht Term II der Linkskrümmung. 5. Alternativ lässt sich argumentieren, dass \( f \) bei \( x = 0 \) ein globales Minimum besitzt (da \( x^2+1 \) dort minimal ist), woraus direkt die Linkskrümmung (\( f''(0) > 0 \)) folgt. Somit ist Term I der korrekte Term.

Es handelt sich um Term I.

- Was sagt die Krümmung (links oder rechts) über das Vorzeichen der zweiten Ableitung aus? - Wähle einen Punkt im Intervall \( ]-1; 1[ \) und prüfe die Vorzeichen der Terme I und II. - Besitzt die Funktion \( f \) an der Stelle \( x=0 \) einen Extrempunkt? Wenn ja, welcher Art ist dieser? - Erinnere dich daran, dass die Exponentialfunktion \( e^u \) stets positive Werte liefert. Das Vorzeichen hängt also nur vom Faktor vor der e-Funktion ab.

1. Die Eigenschaft „rechtsgekrümmt“ im Intervall \( ]-1; 1[ \) impliziert, dass die zweite Ableitungsfunktion \( f'' \) in diesem Intervall negative Werte annimmt (\( f''(x) < 0 \)). 2. Zur Beurteilung wird eine geeignete Stelle im Intervall betrachtet, beispielsweise die Stelle \( x = 0 \). 3. Für Term I ergibt sich an dieser Stelle: \( f''(0) = (1-0^2) \cdot e^0 = 1 \cdot 1 = 1 \). Da \( 1 > 0 \), gehört dieser Term zu einem linkskrümmten Graphen bei \( x = 0 \). 4. Für Term II ergibt sich an dieser Stelle: \( f''(0) = (0^2-1) \cdot e^0 = -1 \cdot 1 = -1 \). Da \( -1 < 0 \), ist dies mit der Rechtskrümmung vereinbar. 5. Da die Funktion \( f \) bei \( x = 0 \) aufgrund des Exponenten \( -0{,}5x^2 \) ein globales Maximum besitzt, muss der Graph dort rechtsgekrümmt sein. Folglich ist Term II der gesuchte Ableitungsterm.

Es handelt sich um Term II.

- Verwende die Kettenregel für die erste Ableitung und die Quotientenregel für die zweite Ableitung. - Überlege dir für den Nachweis der Wendepunkte, ob der Bruch der zweiten Ableitung jemals null werden kann. - Klammere bei den Grenzwerten unter der Wurzel \(x^2\) aus, um den Term zu vereinfachen. - Was sagt der Grenzwert der Ableitung über den Verlauf einer Funktion im Unendlichen aus?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}\) und \(f''(x) = \frac{5}{(x^2 + 5)^{1{,}5}}\). Notwendige Bedingung für Extrema: \(f'(x) = 0 \implies x = 0\). Wegen \(f''(0) = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} > 0\) liegt bei \(x = 0\) ein lokales Minimum vor. Da \(f(0) = \sqrt{5}\), ist der Tiefpunkt \(T(0 | \sqrt{5})\). 2. Wendepunkte: Notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\). Da der Zähler der zweiten Ableitung konstant \(5\) ist, hat die Gleichung \(\frac{5}{(x^2 + 5)^{1{,}5}} = 0\) keine Lösung. Somit existieren keine Wendepunkte. 3. Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{|x| \cdot \sqrt{1 + \frac{5}{x^2}}} = 1\). Analog gilt für \(x \to -\infty\): \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x| \cdot \sqrt{1 + \frac{5}{x^2}}} = -1\). 4. Geometrische Bedeutung: Die Grenzwerte geben die Steigungen der Asymptoten an. Der Graph nähert sich für \(x \to \infty\) einer Geraden mit der Steigung \(1\) und für \(x \to -\infty\) einer Geraden mit der Steigung \(-1\) an.

1. Tiefpunkt \(T(0 | \sqrt{5})\) 2. Da \(f''(x) = \frac{5}{(x^2 + 5)^{1{,}5}} \neq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gibt es keine Wendepunkte. 3. \(\lim_{x \to \infty} f'(x) = 1\) und \(\lim_{x \to -\infty} f'(x) = -1\) 4. Der Graph von \(f\) besitzt für \(x \to \pm \infty\) schräge Asymptoten mit den Steigungen \(1\) bzw. \(-1\).

- Kannst du \(4^x\) als Potenz zur Basis 2 umschreiben? - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir beim Ausklammern oder Substituieren? - Wie verhalten sich die einzelnen Summanden, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für allgemeine Exponentialfunktionen \(a^x\).

1. Nullstellen bestimmen: \(f(x) = 4^x - 2^x = 0 \iff (2^x)^2 - 2^x = 0\). Ausklammern von \(2^x\) liebt \(2^x(2^x - 1) = 0\). Da \(2^x > 0\), folgt \(2^x = 1\), also \(x = 0\). Die einzige Nullstelle liegt bei \(N(0|0)\). 2. Extrempunkte ermitteln: Die Ableitung lautet \(f'(x) = \ln(4) \cdot 4^x - \ln(2) \cdot 2^x = 2\ln(2) \cdot (2^x)^2 - \ln(2) \cdot 2^x\). Nullsetzen ergibt \(\ln(2) \cdot 2^x \cdot (2 \cdot 2^x - 1) = 0\). Dies führt zu \(2 \cdot 2^x = 1\), also \(2^x = 0{,}5\), woraus \(x = -1\) folgt. 3. Art des Extrempunktes: Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = (\ln(4))^2 \cdot 4^x - (\ln(2))^2 \cdot 2^x\). Einsetzen von \(x = -1\) ergibt \(f''(-1) = (2\ln(2))^2 \cdot \frac{1}{4} - (\ln(2))^2 \cdot \frac{1}{2} = (\ln(2))^2 - \frac{1}{2}(\ln(2))^2 = \frac{1}{2}(\ln(2))^2 > 0\). Es liegt ein Tiefpunkt vor. 4. Koordinaten des Tiefpunktes: \(f(-1) = 4^{-1} - 2^{-1} = 0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}25\). Der Tiefpunkt ist \(T(-1|-0{,}25)\). 5. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) dominiert der Term \(4^x\), daher \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) gehen sowohl \(4^x\) als auch \(2^x\) gegen \(0\), daher \(f(x) \to 0\).

Nullstelle: \(x = 0\); Tiefpunkt: \(T(-1|-0{,}25)\); Grenzverhalten: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\).

- Was weißt du über den Wertebereich von Exponentialfunktionen? - Kannst du die Gleichung \(2^x = 4 \cdot 2^{-x}\) so umformen, dass auf beiden Seiten die gleiche Basis steht? - Denk bei der Ableitung an die Kettenregel für den Term mit dem negativen Exponenten. - Was passiert mit einem Bruch, dessen Nenner gegen Unendlich oder gegen Null strebt?

1. Nullstellen: Da Exponentialfunktionen der Form \(a^x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positive Werte annehmen, ist die Summe zweier positiver Terme (\(2^x > 0\) und \(4 \cdot 2^{-x} > 0\)) immer größer als Null. Somit existieren keine Nullstellen. 2. Extrempunkt: Ableitung \(g'(x) = \ln(2) \cdot 2^x + 4 \cdot \ln(2) \cdot 2^{-x} \cdot (-1) = \ln(2) \cdot (2^x - 4 \cdot 2^{-x})\). Nullsetzen führt zu \(2^x = 4 \cdot 2^{-x}\). Multiplikation mit \(2^x\) ergibt \((2^x)^2 = 4\), also \(2^{2x} = 2^2\), woraus \(x = 1\) folgt. 3. Art und Koordinaten: Die zweite Ableitung \(g''(x) = (\ln(2))^2 \cdot 2^x + 4 \cdot (\ln(2))^2 \cdot 2^{-x}\) ist für alle \(x\) positiv, also liegt ein Tiefpunkt vor. Funktionswert \(g(1) = 2^1 + 4 \cdot 2^{-1} = 2 + 2 = 4\). Der Tiefpunkt liegt bei \(T(1|4)\). 4. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) geht \(2^x \to \infty\) und \(2^{-x} \to 0\), also \(g(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) geht \(2^x \to 0\) und \(2^{-x} \to \infty\), also \(g(x) \to \infty\).

a) Da \(2^x > 0\) für alle \(x\), ist die Summe zweier positiver Terme stets positiv. b) Tiefpunkt \(T(1|4)\). c) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\).

- Welche Eigenschaft der Exponentialfunktion \(e^x\) hilft dir dabei, die Gleichung \(f(x) = 0\) zu vereinfachen? - Erinnere dich an die Produktregel beim Ableiten. - Wie verhält sich eine Potenzfunktion im Vergleich zu einer Exponentialfunktion, wenn die Werte sehr klein (stark negativ) werden? - Nutze die zweite Ableitung, um die Art der gefundenen Extremstellen zu bestimmen.

1. Nullstellen bestimmen: Der Ansatz \(f(x) = 0\) führt wegen \(e^x > 0\) auf \(x^2 - 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -\sqrt{3}\) und \(x_2 = \sqrt{3}\). 2. Ableitungen bilden: Mit der Produktregel ergibt sich \(f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x = (x^2 + 4x - 1) \cdot e^x\). 3. Extrempunkte berechnen: \(f'(x) = 0\) liefert \(x^2 + 2x - 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_3 = 1\) und \(x_4 = -3\). 4. Art der Extrema prüfen: \(f''(1) = 4e > 0 \implies\) Tiefpunkt bei \(T(1 \mid -2e)\). \(f''(-3) = -4e^{-3} < 0 \implies\) Hochpunkt bei \(H(-3 \mid 6e^{-3})\). 5. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) streben sowohl \((x^2 - 3)\) als auch \(e^x\) gegen \(\infty\), also \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) dominiert die Exponentialfunktion das Wachstum des Polynoms, woraus \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) folgt.

Nullstellen: \(x_1 = -\sqrt{3}\), \(x_2 = \sqrt{3}\) Extrempunkte: Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\), Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\) Grenzverhalten: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)

- Welchen Einfluss hat der Logarithmus auf das Verhalten nahe null? - Wie verhalten sich Potenzfunktionen im Vergleich zum Logarithmus für sehr große Werte? - Überlege dir, wie das Vorzeichen der ersten Ableitung mit dem Steigungsverhalten zusammenhängt. - An welchen Stellen könnte die Steigung null sein?

1. Grenzwerte: Für \(x \to 0^+\) gilt \(\frac{1}{2}x^2 \to 0\) und \(-\ln(x) \to \infty\), also \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to \infty\) dominiert das quadratische Glied, sodass \(f(x) \to \infty\) gilt. 2. Ableitungen: \(f'(x) = x - \frac{1}{x}\) und \(f''(x) = 1 + \frac{1}{x^2}\). Die Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow x^2 = 1\). Da \(x > 0\), ist die einzige Extremstelle \(x = 1\). Wegen \(f''(1) = 2 > 0\) liegt ein Tiefpunkt vor. Die \(y\)-Koordinate ist \(f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 - \ln(1) = 0{,}5\). Der Tiefpunkt ist \(T(1 | 0{,}5)\). 3. Monotonie: Da \(f'(x) < 0\) für \(0 < x < 1\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > 1\), ist die Funktion im Intervall \((0; 1]\) streng monoton fallend und im Intervall \([1; \infty)\) streng monoton steigend.

1. \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \infty\); \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) 2. Tiefpunkt \(T(1 | 0{,}5)\) 3. Streng monoton fallend für \(x \in (0; 1]\); streng monoton steigend für \(x \in [1; \infty)\)

- Welche Werte darf man für \(x\) in einen Logarithmus einsetzen? - Überlege dir, welche Bedingungen für die erste und zweite Ableitung an Extrem- und Wendestellen gelten müssen. - Schau dir das Vorzeichen der zweiten Ableitung genau an. Was bedeutet ein konstantes Vorzeichen für die Krümmung? - Was passiert mit dem Graphen, wenn man sich der Null nähert?

1. Definitionsbereich: Da das Argument des Logarithmus \(x^2 > 0\) sein muss, gilt \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Ableitungen berechnen: \(f'(x) = \frac{2}{x} - x + 2\) und \(f''(x) = -\frac{2}{x^2} - 1\). 3. Extremstellen bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies \frac{2-x^2+2x}{x} = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1 + \sqrt{3} \approx 2{,}732\) und \(x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx -0{,}732\). 4. Art der Extrema: Da \(f''(x) = -\frac{2}{x^2} - 1\) für alle \(x \in D_f\) negativ ist (\(f''(x) < 0\)), liegen an beiden Stellen lokale Maxima vor. Es gibt keine Tiefpunkte. 5. Wendepunkte: Die Bedingung \(f''(x) = 0\) führt auf \(-\frac{2}{x^2} = 1\), was keine reelle Lösung besitzt. Somit hat der Graph keine Wendepunkte. 6. Erklärung: Der Definitionsbereich ist an der Stelle \(x = 0\) unterbrochen. Dort befindet sich eine vertikale Asymptote (Polstelle mit Vorzeichenwechsel gegen \(-\infty\)). Die beiden Maxima liegen in getrennten Ästen des Graphen, die nicht durch einen Tiefpunkt oder Wendepunkt verbunden sein müssen.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) b) Zwei lokale Maxima bei \(x = 1 \pm \sqrt{3}\). c) Keine Wendepunkte vorhanden. d) Die Definitionslücke bei \(x = 0\) (vertikale Asymptote) trennt den Graphen in zwei isolierte Kurvenstücke, weshalb zwischen den Maxima kein lokaler Tiefpunkt oder Wendepunkt existieren muss.

- Für die Nullstellen reicht es, den quadratischen Teil der Funktion zu betrachten. - Erinnere dich daran, welcher Teil der Funktion bei sehr großen oder sehr kleinen x-Werten „stärker“ ist. - Nutze die Produktregel für die Ableitungen und klammere den Exponentialterm immer direkt wieder aus. - Die Wertemenge hängt eng mit dem globalen Minimum und dem Verhalten im Unendlichen zusammen.

1. Schnittpunkte mit den Achsen: Die Nullstellen liegen bei \(x^2 - 4 = 0\), also \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(f(0) = -4 \cdot e^0 = -4\). Ergebnisse: \(N_1(-2|0)\), \(N_2(2|0)\) und \(S_y(0|-4)\). 2. Symmetrie: Da im Funktionsterm sowohl \(x^2\) als auch \(e^{0{,}5x}\) vorkommen, liegt weder Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse noch Punktsymmetrie zum Ursprung vor (\(f(-x) \neq f(x)\) und \(f(-x) \neq -f(x)\)). 3. Grenzwerte: Für \(x \to \infty\) streben beide Faktoren gegen \(\infty\), also \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) dominiert die Exponentialfunktion, sodass \(f(x) \to 0\). 4. Extrema: Die erste Ableitung ist \(f'(x) = (0{,}5x^2 + 2x - 2) \cdot e^{0{,}5x}\). Nullsetzen der Klammer liefert \(x = -2 \pm 2\sqrt{2}\). Mit der zweiten Ableitung \(f''(x) = (0{,}25x^2 + 2x + 1) \cdot e^{0{,}5x}\) ergibt sich ein lokaler Hochpunkt bei \(H(-2-2\sqrt{2} \mid (8+8\sqrt{2})e^{-1-\sqrt{2}}) \approx (-4{,}83 \mid 1{,}73)\) und ein lokaler Tiefpunkt bei \(T(-2+2\sqrt{2} \mid (8-8\sqrt{2})e^{\sqrt{2}-1}) \approx (0{,}83 \mid -5{,}01)\). 5. Wendepunkte: \(f''(x) = 0\) führt auf \(x^2 + 8x + 4 = 0\) mit den Lösungen \(x = -4 \pm 2\sqrt{3}\). Die Wendepunkte liegen bei \(W_1 \approx (-7{,}46 \mid 1{,}24)\) und \(W_2 \approx (-0{,}54 \mid -2{,}84)\). 6. Wertemenge: Da der absolute Tiefpunkt bei \(y \approx -5{,}01\) liegt und die Funktion für \(x \to \infty\) unbeschränkt wächst, ist \(W = [(8-8\sqrt{2})e^{\sqrt{2}-1}; \infty[ \approx [-5{,}01; \infty[\).

Schnittpunkte: \(N_1(-2|0), N_2(2|0), S_y(0|-4)\); keine Symmetrie; \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\); Extrema: \(H \approx (-4{,}83 | 1{,}73), T \approx (0{,}83 | -5{,}01)\); Wendepunkte: \(W_1 \approx (-7{,}46 | 1{,}24), W_2 \approx (-0{,}54 | -2{,}84)\); Wertemenge: \(W \approx [-5{,}01; \infty[\).

- Aus welchen Funktionstypen setzt sich die gegebene Funktion zusammen? - Erinnere dich an das Verhalten der natürlichen Exponentialfunktion für sehr große positive und sehr kleine negative Werte im Exponenten. - Wann kann man davon sprechen, dass sich zwei Graphen „beliebig nahe“ kommen? - Prüfe beide Grenzwerte separat: einmal für \(x \to \infty\) und einmal für \(x \to -\infty\).

1. Die Funktion \(f\) ist die Summe aus einem quadratischen Teil \(q(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x\) und einem exponentiellen Teil \(g(x) = 4 \cdot e^{-0{,}5x}\). Es gilt \(\lim_{x \to \infty} (f(x) - q(x)) = \lim_{x \to \infty} (4 \cdot e^{-0{,}5x}) = 0\). Damit nähert sich der Graph von \(f\) für \(x \to \infty\) der Parabel \(q\) mit der Gleichung \(q(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x\) beliebig nahe an. 2. Für den Grenzwert gegen \(-\infty\) betrachtet man \(\lim_{x \to -\infty} (f(x) - q(x)) = \lim_{x \to -\infty} (4 \cdot e^{-0{,}5x})\). Da der Exponent \(-0{,}5x\) für \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\) strebt, gilt \(\lim_{x \to -\infty} 4 \cdot e^{-0{,}5x} = \infty\). Die Differenz zwischen den Funktionswerten wird also für kleiner werdende \(x\) unendlich groß. Der Graph nähert sich der Parabel \(q\) für \(x \to -\infty\) nicht an.

1. Die Näherungsparabel für \(x \to \infty\) hat die Gleichung \(q(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x\). Der Nachweis erfolgt über \(\lim_{x \to \infty} 4e^{-0{,}5x} = 0\). 2. Nein, für \(x \to -\infty\) nähert sich der Graph der Parabel nicht an, da die Differenz \(4e^{-0{,}5x}\) gegen \(\infty\) strebt.

- Überlege dir, welche Werte für \(x\) eingesetzt werden dürfen und wann das Produkt null wird. - Erinnere dich an das Wachstumsverhalten von Potenzfunktionen im Vergleich zu Exponentialfunktionen. - Nutze die Produktregel für die Ableitungen und klammere den Exponentialterm am Ende aus. - Wie hängen die Ableitungen mit den gesuchten Punkten zusammen?

1. Der Definitionsbereich ist \(D = \mathbb{R}\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(x^2 - 3 = 0 \implies x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3}\). Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = (0^2 - 3) \cdot e^0 = -3\), also \(S_y(0 \mid -3)\). 2. Für \(x \to \infty\) gilt \(x^2 - 3 \to \infty\) und \(e^x \to \infty\), also \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) dominiert die Exponentialfunktion, es gilt \(\lim_{x \to -\infty} (x^2 - 3) \cdot e^x = 0\). 3. Erste Ableitung: \(f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x^2 + 2x - 3 = 0\), also \(x_3 = -3\) und \(x_4 = 1\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x = (x^2 + 4x - 1) \cdot e^x\). Überprüfung: \(f''(-3) = -4 \cdot e^{-3} < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\). \(f''(1) = 4 \cdot e^1 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\). 4. Notwendige Bedingung für Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \implies x^2 + 4x - 1 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel ergibt \(x_{W1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(-1)}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}\).

1. \(D = \mathbb{R}\); Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{3}\); \(y\)-Achsenabschnitt bei \(-3\). 2. \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\). 3. Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\); Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\). 4. Wendestellen bei \(x_1 = -2 - \sqrt{5}\) und \(x_2 = -2 + \sqrt{5}\).

- Kannst du ein bekanntes Additionstheorem nutzen, um das Produkt aus Sinus und Kosinus zu vereinfachen? - Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren Null? - Nutze eine trigonometrische Identität, um die Ableitungsgleichung in eine quadratische Form zu bringen. - Vergiss nicht, auch die Art der Extrempunkte mithilfe der zweiten Ableitung zu prüfen.

1. Umformung: Ausmultiplizieren ergibt \(f(x) = \sin x + \sin x \cos x\). Mit dem Doppelwinkel-Theorem \(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\) folgt \(f(x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin(2x)\). 2. Nullstellen: Der Ansatz \(f(x) = 0\) führt auf \(\sin x = 0\) oder \(1 + \cos x = 0\). Aus \(\sin x = 0\) folgen \(x_1 = 0, x_2 = \pi, x_3 = 2\pi\). Aus \(\cos x = -1\) folgt ebenfalls \(x = \pi\). Die Nullstellen sind somit \(0, \pi\) und \(2\pi\). 3. Ableitungen: \(f'(x) = \cos x + \cos(2x)\) und \(f''(x) = -\sin x - 2 \sin(2x)\). 4. Extrema: \(f'(x) = 0\) führt unter Nutzung von \(\cos(2x) = 2 \cos^2 x - 1\) auf die quadratische Gleichung \(2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0\). Mit \(u = \cos x\) ergeben sich die Lösungen \(u_1 = 0{,}5\) und \(u_2 = -1\). - Für \(\cos x = 0{,}5\) erhält man \(x_4 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_5 = \frac{5\pi}{3}\). - Für \(\cos x = -1\) erhält man \(x_2 = \pi\). 5. Art der Extrema: - \(f''(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} < 0 \implies H(\frac{\pi}{3} \mid \frac{3\sqrt{3}}{4})\). - \(f''(\frac{5\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} > 0 \implies T(\frac{5\pi}{3} \mid -\frac{3\sqrt{3}}{4})\). - \(f''(\pi) = 0\) und \(f'''(\pi) = -3 \neq 0\), somit liegt bei \(x = \pi\) ein Sattelpunkt vor.

a) Nachweis durch Ausmultiplizieren und Anwendung von \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)\). b) Nullstellen bei \(x \in \{0; \pi; 2\pi\}\). c) Hochpunkt \(H(\frac{\pi}{3} \mid \frac{3\sqrt{3}}{4})\), Tiefpunkt \(T(\frac{5\pi}{3} \mid -\frac{3\sqrt{3}}{4})\). Bei \(x = \pi\) liegt ein Sattelpunkt vor.

- Wie verhält sich \(\sin(-x)\) im Vergleich zu \(\sin(x)\)? - Nutze die Produktregel für die Ableitung. - Was passiert mit dem Vorzeichen des Arguments, wenn du eine Funktion ableitest, die eine innere Funktion wie \(-x\) besitzt? - Betrachte den Zusammenhang zwischen der Symmetrie einer Funktion und der Symmetrie ihrer Ableitungsfunktionen schrittweise.

1. Überprüfung auf Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x) = ((-x)^2 - 4) \cdot \sin(-x) = (x^2 - 4) \cdot (-\sin(x)) = -(x^2 - 4) \cdot \sin(x) = -f(x)\). Der Graph von \(f\) ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Anwendung der Produktregel für \(f'(x)\): \(u(x) = x^2 - 4 \Rightarrow u'(x) = 2x\); \(v(x) = \sin(x) \Rightarrow v'(x) = \cos(x)\). Es folgt \(f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + (x^2 - 4) \cdot \cos(x)\). Nachweis der Achsensymmetrie: \(f'(-x) = 2(-x) \cdot \sin(-x) + ((-x)^2 - 4) \cdot \cos(-x) = -2x \cdot (-\sin(x)) + (x^2 - 4) \cdot \cos(x) = 2x \cdot \sin(x) + (x^2 - 4) \cdot \cos(x) = f'(x)\). 3. Ist \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung, gilt \(f(-x) = -f(x)\). Durch Ableiten beider Seiten nach der Kettenregel folgt \(f'(-x) \cdot (-1) = -f'(x)\), also \(f'(-x) = f'(x)\) (Achsensymmetrie von \(f'\)). Erneutes Ableiten liefert \(f''(-x) \cdot (-1) = f''(x)\), woraus \(f''(-x) = -f''(x)\) folgt. Damit ist \(f''\) wieder punktsymmetrisch zum Ursprung.

1. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(f(-x) = -f(x)\). 2. \(f'(x) = 2x \sin(x) + (x^2 - 4) \cos(x)\). Da \(f'(-x) = f'(x)\), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Durch zweifache Anwendung der Kettenregel auf die Symmetriebedingung \(f(-x) = -f(x)\) zeigt man, dass \(f''(-x) = -f''(x)\) gilt.

- Für die Extrempunkte benötigst du die Nullstellen der ersten Ableitung. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Ein Wendepunkt liegt dort vor, wo die Krümmung der Funktion ihr Vorzeichen wechselt. - Die Tangente ist eine Gerade. Du benötigst die Steigung an der entsprechenden Stelle und den Funktionswert. - Überlege dir für die Fläche zuerst, welche Funktion im betrachteten Intervall oberhalb der anderen liegt. Eine Skizze (gedanklich oder auf Papier) kann helfen.

1. Zur Bestimmung der Extrempunkte wird die erste Ableitung \(f'(x) = \cos(x) - 0{,}5\) nullgesetzt. Im Intervall \([0; 2\pi]\) ergeben sich die Stellen \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{3}\). Die zweite Ableitung \(f''(x) = -\sin(x)\) liefert \(f''(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\) (Hochpunkt) und \(f''(\frac{5\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0\) (Tiefpunkt). Die Koordinaten sind \(H(\frac{\pi}{3} \mid \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} + 1) \approx H(1{,}05 \mid 1{,}34)\) und \(T(\frac{5\pi}{3} \mid -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6} + 1) \approx T(5{,}24 \mid -2{,}48)\). 2. Für den Wendepunkt gilt \(f''(x) = -\sin(x) = 0\). Im Inneren des Intervalls liegt die Lösung bei \(x = \pi\). Mit \(f'''(x) = -\cos(x)\) und \(f'''(\pi) = 1 \neq 0\) ist der Wendepunkt \(W(\pi \mid 1 - 0{,}5\pi) \approx W(3{,}14 \mid -0{,}57)\) bestätigt. 3. Die Tangentengleichung an der Stelle \(x_0 = \pi\) lautet \(t(x) = f'(\pi) \cdot (x - \pi) + f(\pi)\). Mit \(f'(\pi) = -1 - 0{,}5 = -1{,}5\) und \(f(\pi) = 1 - 0{,}5\pi\) ergibt sich \(t(x) = -1{,}5(x - \pi) + 1 - 0{,}5\pi = -1{,}5x + \pi + 1\). 4. Die Fläche wird durch das Integral der Differenzfunktion \(h(x) = t(x) - f(x)\) von \(0\) bis \(\pi\) berechnet. Es gilt \(h(x) = (-1{,}5x + \pi + 1) - (\sin(x) - 0{,}5x + 1) = \pi - x - \sin(x)\). Das Integral lautet \(\int_0^{\pi} (\pi - x - \sin(x)) \, dx = [\pi x - 0{,}5x^2 + \cos(x)]_0^{\pi} = (\pi^2 - 0{,}5\pi^2 + \cos(\pi)) - (0 - 0 + \cos(0)) = 0{,}5\pi^2 - 1 - 1 = \frac{\pi^2}{2} - 2 \approx 2{,}935\).

a) Hochpunkt \(H(\frac{\pi}{3} \mid \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} + 1)\), Tiefpunkt \(T(\frac{5\pi}{3} \mid -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6} + 1)\) b) \(W(\pi \mid 1 - 0{,}5\pi)\) c) \(t(x) = -1{,}5x + \pi + 1\) d) \(A = \frac{\pi^2}{2} - 2 \approx 2{,}935\)

- Welche trigonometrische Identität erlaubt es dir, \(\cos(2x)\) durch \(\cos x\) auszudrücken? - Erinnere dich an die Definition der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. Was muss für \(f(-x)\) gelten? - Die Struktur des Terms in a) ähnelt der Scheitelpunktform einer Parabel. Wie kannst du dies nutzen, wenn du den Wertebereich von \(\cos x\) berücksichtigst? - Überlege, welche Werte der Ausdruck \(\cos x\) maximal und minimal annehmen kann.

1. Nachweis der Termidentität: Verwendung der Identität \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\). Einsetzen ergibt \(f(x) = 2\cos^2 x - 1 + 2\cos x = 2(\cos^2 x + \cos x) - 1\). Durch quadratische Ergänzung im Klammerausdruck folgt \(2(\cos^2 x + \cos x + 0{,}25 - 0{,}25) - 1 = 2(\cos x + 0{,}5)^2 - 0{,}5 - 1 = 2(\cos x + 0{,}5)^2 - 1{,}5\). 2. Symmetrie: Prüfung der Bedingung \(f(-x) = f(x)\). Da \(\cos(-2x) = \cos(2x)\) und \(\cos(-x) = \cos x\), gilt \(f(-x) = \cos(-2x) + 2\cos(-x) = \cos(2x) + 2\cos x = f(x)\). Somit liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 3. Globale Extrema: Substitution \(u = \cos x\) mit dem eingeschränkten Definitionsbereich \(u \in [-1; 1]\). Die Funktion \(g(u) = 2(u + 0{,}5)^2 - 1{,}5\) beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt bei \(u = -0{,}5\). Da \(-0{,}5\) im Intervall \([-1; 1]\) liegt, ist der minimale Funktionswert \(y_{\text{min}} = -1{,}5\). Der maximale Wert muss an einem der Ränder des Intervalls \([-1; 1]\) liegen: \(g(-1) = 2(-0{,}5)^2 - 1{,}5 = -1\) und \(g(1) = 2(1{,}5)^2 - 1{,}5 = 3\). Der globale Maximalwert ist somit \(3\).

a) Nachweis erfolgt über \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\) und quadratische Ergänzung. b) Es liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor, da \(f(-x) = f(x)\). c) Der globale Minimalwert beträgt \(-1{,}5\), der globale Maximalwert beträgt \(3\).

- Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Nutze beim Ableiten die Kettenregel für den Term \(e^{-x}\). - Setze die erste Ableitung gleich null, um mögliche Extremstellen zu finden. - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt?

1. Zur Überprüfung der Achsensymmetrie wird \(f(-x)\) berechnet: \(f(-x) = \frac{1}{2}(e^{-x} + e^{-(-x)}) = \frac{1}{2}(e^{-x} + e^x)\). Da dies mit \(f(x)\) identisch ist, liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\). Die zweite Ableitung ergibt sich zu \(f''(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\). Es ist erkennbar, dass \(f''(x) = f(x)\) gilt. 3. Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist \(f'(x) = 0\). Aus \(\frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) = 0\) folgt \(e^x = e^{-x}\), also \(e^{2x} = 1\), woraus \(x = 0\) resultiert. Der Funktionswert ist \(f(0) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1\). Da \(f''(0) = f(0) = 1 > 0\), handelt es sich um einen Tiefpunkt bei \(T(0|1)\).

1. \(f(-x) = f(x)\) (nachgewiesen) 2. \(f'(x) = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\); \(f''(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\); Zusammenhang: \(f''(x) = f(x)\) 3. Tiefpunkt \(T(0|1)\)

- Überprüfe für die Symmetrie, wie sich die Funktion bei der Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) verhält. - Erinnere dich daran, dass ein Produkt null ist, wenn einer der Faktoren null ist. - Eine Gerade durch den Ursprung hat immer die Form \(y = m \cdot x\). Was bedeutet es für die Steigung \(m\), wenn die Gerade den Graphen berührt? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, müssen ihre Funktionswerte an derselben Stelle gleich sein.

1. Symmetrie: Prüfung von \(f(-x) = (-x) \cdot \cos(-x) = -x \cdot \cos(x) = -f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Schnittpunkte: \(f(0) = 0 \Rightarrow S_y(0|0)\). Nullstellen: \(x \cdot \cos(x) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_3 = -\frac{\pi}{2}\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \((0|0)\), \((\frac{\pi}{2}|0)\) und \((-\frac{\pi}{2}|0)\). 3. Berührpunkt: Eine Gerade durch den Ursprung hat die Form \(h(x) = m \cdot x\). Die Bedingung für einen Berührpunkt bei \(x_0\) lautet \(f'(x_0) = \frac{f(x_0)}{x_0}\). Mit \(f'(x) = \cos(x) - x \sin(x)\) ergibt sich \(\cos(x_0) - x_0 \sin(x_0) = \cos(x_0)\). 4. Daraus folgt \(x_0 \sin(x_0) = 0\). Da \(x_0 > 0\) und \(x_0 \le \pi\), ist \(x_0 = \pi\). 5. Koordinaten: \(f(\pi) = \pi \cdot \cos(\pi) = -\pi\). Der Berührpunkt ist \(P(\pi | -\pi)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-\pi}{\pi} = -1\), also \(h(x) = -x\). 6. Schnittpunkte mit \(g\): \(x \cos(x) = 0{,}5x \Leftrightarrow x(\cos(x) - 0{,}5) = 0\). Lösungen: \(x = 0\) oder \(\cos(x) = 0{,}5\). In \([-\pi; \pi]\) sind dies \(x = 0\), \(x = \frac{\pi}{3}\) und \(x = -\frac{\pi}{3}\). 7. Funktionswerte: \(g(0) = 0\), \(g(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6}\), \(g(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6}\). Schnittpunkte: \(S_1(0|0)\), \(S_2(\frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{6})\), \(S_3(-\frac{\pi}{3} | -\frac{\pi}{6})\).

a) Punktsymmetrie zum Ursprung; Schnittpunkte: \((0|0)\), \((\frac{\pi}{2}|0)\), \((-\frac{\pi}{2}|0)\). b) Berührpunkt \(P(\pi | -\pi)\), Gleichung der Geraden \(h(x) = -x\). c) Schnittpunkte: \(S_1(0|0)\), \(S_2(\frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{6})\), \(S_3(-\frac{\pi}{3} | -\frac{\pi}{6})\).

- Setze das Argument des Kosinus gleich den bekannten Nullstellen der Kosinusfunktion. - Vergiss beim Ableiten nicht die innere Ableitung der quadratischen Funktion. - Prüfe systematisch für welche ganzzahligen \(k\) die Lösungen noch im Intervall liegen. - Symmetrieeigenschaften der Funktion (gerade/ungerade) können die Arbeit erleichtern.

1. Nullstellenbestimmung: \(\cos\left(\frac{\pi}{4}x^2\right) = 0\) erfordert \(\frac{\pi}{4}x^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Multiplikation mit \(\frac{4}{\pi}\) ergibt \(x^2 = 2 + 4k\). Für \(x \in [-3; 3]\) gilt \(x^2 \in [0; 9]\). - \(k=0: x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41\). - \(k=1: x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6} \approx \pm 2{,}45\). - \(k=2: x^2 = 10 > 9\) (außerhalb). Nullstellen sind somit \(\pm\sqrt{2}\) und \(\pm\sqrt{6}\). 2. Ableitung berechnen: \(g'(x) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}x^2\right) \cdot \frac{\pi}{2}x\). 3. Kritische Stellen (\(g'(x) = 0\)): - \(x = 0\). - \(\sin\left(\frac{\pi}{4}x^2\right) = 0 \implies \frac{\pi}{4}x^2 = k\pi \implies x^2 = 4k\). - \(k=1: x^2 = 4 \implies x = \pm 2\). - \(k=2: x^2 = 8 \implies x = \pm\sqrt{8} \approx \pm 2{,}83\). 4. Art und Koordinaten (über Funktionswerte oder \(g''(x)\)): - \(g(0) = \cos(0) = 1 \implies\) Hochpunkt \(H_1(0|1)\). - \(g(\pm 2) = \cos(\pi) = -1 \implies\) Tiefpunkte \(T_1(-2|-1)\), \(T_2(2|-1)\). - \(g(\pm\sqrt{8}) = \cos(2\pi) = 1 \implies\) Hochpunkte \(H_2(-\sqrt{8}|1)\), \(H_3(\sqrt{8}|1)\).

a) Nullstellen: \(x_{1,2} = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41\); \(x_{3,4} = \pm\sqrt{6} \approx \pm 2{,}45\). b) Lokale Hochpunkte: \(H_1(0|1)\) und \(H_{2,3}(\pm\sqrt{8}|1) \approx (\pm 2{,}83|1)\); lokale Tiefpunkte: \(T_{1,2}(\pm 2|-1)\).

- Was bedeutet „parallel zur x-Achse“ für die Steigung der Tangente? - Nutze die Produktregel, um den Funktionsterm abzuleiten, und klammere den Exponentialterm aus. - Wie viele Lösungen kann die resultierende Gleichung maximal haben? - Erinnere dich an die Wachstumsgeschwindigkeiten von Potenzfunktionen im Vergleich zu Exponentialfunktionen.

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Produktregel bilden: \(f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). 2. Nullstellen der Ableitung für waagrechte Tangenten bestimmen: \((x^2 + 2x - 3) \cdot e^x = 0\). Da \(e^x > 0\), muss \(x^2 + 2x - 3 = 0\) gelten. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\). 3. Zugehörige \(y\)-Koordinaten berechnen: \(f(1) = (1^2 - 3) \cdot e^1 = -2e\) und \(f(-3) = ((-3)^2 - 3) \cdot e^{-3} = 6e^{-3}\). Die Punkte sind \(P_1(1 \mid -2e)\) und \(P_2(-3 \mid 6e^{-3})\). 4. Grenzverhalten untersuchen: Für \(x \to \infty\) streben sowohl \((x^2 - 3)\) als auch \(e^x\) gegen \(\infty\), also \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\). Für \(x \to -\infty\) strebt \(e^x\) gegen \(0\) und dominiert das Wachstum des quadratischen Terms, sodass \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) gilt.

Punkte: \(P_1(1 \mid -2e)\) und \(P_2(-3 \mid 6e^{-3})\) Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)

- Erkennst du im Funktionsterm eine Struktur, die einer quadratischen Gleichung ähnelt? - Wie hilft dir die Substitution \(u = e^x\) beim Faktorisieren weiter? - Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines Extrempunktes oder Wendepunktes erfüllt sein? - Vergiss nicht, am Ende die Rücksubstitution durchzuführen, um die \(x\)-Werte zu erhalten.

1. Substitution: Mit \(u = e^x\) folgt \(u^2 - 4u + 3 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 3\). 2. Produktform und Nullstellen: \(g(x) = (e^x - 1)(e^x - 3)\). Nullstellen bei \(e^x = 1 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(e^x = 3 \Rightarrow x_2 = \ln(3)\). 3. Ableitungen: \(g'(x) = 2e^{2x} - 4e^x\); \(g''(x) = 4e^{2x} - 4e^x\); \(g'''(x) = 8e^{2x} - 4e^x\). 4. Extrempunkt: \(g'(x) = 2e^x(e^x - 2) = 0 \Rightarrow e^x = 2 \Rightarrow x = \ln(2)\). Da \(g''(\ln(2)) = 4 \cdot 4 - 4 \cdot 2 = 8 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. Funktionswert: \(g(\ln(2)) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1\). Tiefpunkt \(T(\ln(2) \mid -1)\). 5. Wendepunkt: \(g''(x) = 4e^x(e^x - 1) = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). Da \(g'''(0) = 8 - 4 = 4 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(g(0) = 0\). Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\).

a) Produktform: \(g(x) = (e^x - 1)(e^x - 3)\); Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \ln(3)\). b) Tiefpunkt \(T(\ln(2) \mid -1)\); Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\).

- Hier ist ein Produkt zweier Teilfunktionen gegeben. Welche Regel hilft dir beim Ableiten? - Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird. Was weißt du über die Werte von \(e^x\)? - Die Lage bezieht sich auf die x-Werte, die Art auf die Eigenschaft als Hoch- oder Tiefpunkt. - Setze deine gefundenen x-Werte in die ursprüngliche Funktion ein, um die zugehörigen Funktionswerte zu erhalten.

1. Erste Ableitung mit der Produktregel bestimmen: \(f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) lösen: Da \(e^x\) stets positiv ist, müssen die Nullstellen von \(x^2 + 2x - 3 = 0\) gefunden werden. Dies ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\). 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x = (x^2 + 4x - 1) \cdot e^x\). 4. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''(1) = (1 + 4 - 1) \cdot e^1 = 4e > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum bei \(x = 1\). \(f''(-3) = (9 - 12 - 1) \cdot e^{-3} = -4e^{-3} < 0 \Rightarrow\) lokales Maximum bei \(x = -3\). 5. Funktionswerte berechnen: \(f(1) = (1^2 - 3) \cdot e^1 = -2e\); \(f(-3) = ((-3)^2 - 3) \cdot e^{-3} = 6e^{-3}\). 6. Die Extrempunkte sind \(T(1 | -2e)\) und \(H(-3 | 6e^{-3})\).

Lokales Minimum (Tiefpunkt) bei \(T(1 | -2e)\) und lokales Maximum (Hochpunkt) bei \(H(-3 | 6e^{-3})\).

- Könnte eine Ersetzung (Substitution) helfen, die Gleichung für die Nullstellen zu vereinfachen? - Wie geht man vor, um eine Gleichung der Form \(e^x = a\) nach \(x\) aufzulösen? - Welche Ableitungen benötigst du für Extrem- und Wendepunkte? - Denk daran, dass die Exponentialfunktion niemals null wird.

1. Nullstellen: Substitution \(u = e^x\) führt auf \(u^2 - 5u + 4 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 4\). Rücksubstitution ergibt \(e^x = 1 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(e^x = 4 \Rightarrow x_2 = \ln(4)\). 2. Erste Ableitung: \(f'(x) = 2e^{2x} - 5e^x = e^x(2e^x - 5)\). 3. Extremstelle: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 2e^x - 5 = 0 \Rightarrow e^x = 2{,}5 \Rightarrow x_E = \ln(2{,}5)\). 4. Zweite Ableitung: \(f''(x) = 4e^{2x} - 5e^x = e^x(4e^x - 5)\). 5. Art und \(y\)-Koordinate: \(f''(\ln(2{,}5)) = 2{,}5(4 \cdot 2{,}5 - 5) = 12{,}5 > 0\), also Tiefpunkt. \(f(\ln(2{,}5)) = 2{,}5^2 - 5 \cdot 2{,}5 + 4 = 6{,}25 - 12{,}5 + 4 = -2{,}25\). Tiefpunkt \(T(\ln(2{,}5) | -2{,}25)\). 6. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 4e^x - 5 = 0 \Rightarrow e^x = 1{,}25 \Rightarrow x_W = \ln(1{,}25)\). 7. Nachweis: \(f'''(x) = 8e^{2x} - 5e^x\). \(f'''(\ln(1{,}25)) = 8 \cdot 1{,}25^2 - 5 \cdot 1{,}25 = 12{,}5 - 6{,}25 = 6{,}25 \neq 0\). Somit existiert ein Wendepunkt bei \(x = \ln(1{,}25)\).

a) Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \ln(4)\). b) Tiefpunkt \(T(\ln(2{,}5) | -2{,}25)\). c) Wendestelle bei \(x = \ln(1{,}25)\).

- Welche Quotienten- und Kettenregeln sind hier hilfreich? - Wann wird ein Bruch gleich null? - Kann die Exponentialfunktion \(e^u\) jemals den Wert null annehmen? - Wie gehst du vor, um zwischen Maximum und Minimum zu unterscheiden?

1. Erste Ableitung mit der Quotientenregel (und Kettenregel für den Zähler) bestimmen: \(f'(x) = \frac{x \cdot x e^{0{,}5x^2} - e^{0{,}5x^2}}{x^2} = \frac{(x^2 - 1)e^{0{,}5x^2}}{x^2}\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) setzen: Da \(e^{0{,}5x^2} > 0\) für alle \(x\), muss \(x^2 - 1 = 0\) gelten, woraus \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) folgen. 3. Art der Extremstellen mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium prüfen. Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = \left(x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}\right)e^{0{,}5x^2}\). 4. Einsetzen der Werte: \(f''(1) = (1 - 1 + 2)e^{0{,}5} = 2\sqrt{e} > 0 \implies\) lokales Minimum. \(f''(-1) = (-1 + 1 - 2)e^{0{,}5} = -2\sqrt{e} < 0 \implies\) lokales Maximum.

Lokales Minimum bei \(x = 1\); lokales Maximum bei \(x = -1\).

- Nutze die Eigenschaft \(g(-x) = g(x)\) für den Nachweis der Symmetrie. - Wenn eine Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, haben die Tangenten an den Stellen \(a\) und \(-a\) entgegengesetzte Steigungen, schneiden sich aber auf der \(y\)-Achse. - Der Schnittpunkt zweier Geraden wird durch Gleichsetzen der Funktionsterme ermittelt. - Die Wendepunkte liegen dort, wo die zweite Ableitung Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt.

1. Symmetrienachweis: \(g(-x) = 4 \cdot e^{-0{,}25(-x)^2} = 4 \cdot e^{-0{,}25x^2} = g(x)\). Da \(g(-x) = g(x)\), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Tangenten: Ableitung \(g'(x) = 4 \cdot e^{-0{,}25x^2} \cdot (-0{,}5x) = -2x \cdot e^{-0{,}25x^2}\). An der Stelle \(x = 2\): \(g(2) = 4e^{-1} = \frac{4}{e}\), \(g'(2) = -4e^{-1} = -\frac{4}{e}\). Tangente \(t_1: y = -\frac{4}{e}(x - 2) + \frac{4}{e} = -\frac{4}{e}x + \frac{12}{e}\). Aufgrund der Achsensymmetrie gilt für die Tangente \(t_2\) an der Stelle \(x = -2\): Steigung \(m_2 = -g'(2) = \frac{4}{e}\) und gleicher \(y\)-Achsenabschnitt. Somit \(t_2: y = \frac{4}{e}x + \frac{12}{e}\). 3. Schnittpunkt: Gleichsetzen \(-\frac{4}{e}x + \frac{12}{e} = \frac{4}{e}x + \frac{12}{e} \implies x = 0\). Einsetzen ergibt \(y = \frac{12}{e}\). Schnittpunkt \(S(0 | \frac{12}{e})\). 4. Grenzwerte: Da der Exponent \(-0{,}25x^2 \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\), gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\). 5. Wendepunkte: \(g''(x) = -2 \cdot e^{-0{,}25x^2} + (-2x) \cdot (-0{,}5x) \cdot e^{-0{,}25x^2} = (x^2 - 2) \cdot e^{-0{,}25x^2}\). \(g''(x) = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}\). Funktionswerte: \(g(\sqrt{2}) = 4 \cdot e^{-0{,}25 \cdot 2} = 4e^{-0{,}5} = \frac{4}{\sqrt{e}}\). Wendepunkte sind \(W_1(-\sqrt{2} | \frac{4}{\sqrt{e}})\) und \(W_2(\sqrt{2} | \frac{4}{\sqrt{e}})\).

a) Nachweis über \(g(-x) = g(x)\). b) \(t_1: y = -\frac{4}{e}x + \frac{12}{e}\); \(t_2: y = \frac{4}{e}x + \frac{12}{e}\) c) \(S(0 | \frac{12}{e})\) d) \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\); Wendepunkte \(W_1(-\sqrt{2} | \frac{4}{\sqrt{e}})\) und \(W_2(\sqrt{2} | \frac{4}{\sqrt{e}})\)

- Wie leitest du eine Logarithmusfunktion ab, in deren Argument eine weitere Funktion steht? - Welche Rolle spielt der Zähler eines Bruchs bei der Suche nach Nullstellen? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitungsfunktionen. Wenn eine Ableitung immer positiv ist, was sagt das über die Existenz von Nullstellen aus? - Kannst du die Quotientenregel sicher auf den Term der ersten Ableitung anwenden?

1. Erste Ableitung mit der Kettenregel bestimmen: \(g'(x) = \frac{1}{e^x + 5} \cdot e^x = \frac{e^x}{e^x + 5}\). 2. Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist der Zähler stets positiv und der Nenner \(e^x + 5\) ebenfalls stets positiv. Daraus folgt \(g'(x) > 0\) für alle \(x\). Die notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\) ist nie erfüllt, weshalb keine Extremstellen vorliegen. 3. Zweite Ableitung mit der Quotientenregel bestimmen: \(g''(x) = \frac{e^x \cdot (e^x + 5) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 5)^2} = \frac{e^{2x} + 5e^x - e^{2x}}{(e^x + 5)^2} = \frac{5e^x}{(e^x + 5)^2}\). 4. Da \(5e^x > 0\) und \((e^x + 5)^2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(g''(x) > 0\). Die notwendige Bedingung \(g''(x) = 0\) für Wendestellen ist somit für kein \(x\) erfüllt.

Die erste Ableitung \(g'(x) = \frac{e^x}{e^x + 5}\) ist für alle \(x\) positiv, sodass keine waagerechten Tangenten und damit keine Extremstellen existieren. Die zweite Ableitung \(g''(x) = \frac{5e^x}{(e^x + 5)^2}\) ist ebenfalls für alle \(x\) positiv, woraus folgt, dass keine Wendestellen existieren.

- Wie findet man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse und der \(y\)-Achse? - Welcher Teil der Funktion bestimmt das Wachstum, wenn \(x\) sehr groß wird? - Erinnere dich an die Quotientenregel oder schreibe die Funktion als Produkt um. - Das Vorzeichen der Ableitung gibt dir Auskunft über die Art der Extrema.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g(0) = \frac{-3}{e^0} = -3\). Punkt \(S_y(0 | -3)\). 2. Nullstellen: \(x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3}\). Punkte \(N_1(-\sqrt{3} | 0), N_2(\sqrt{3} | 0)\). 3. Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-3}{e^x} = 0\), da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als die ganzrationale Funktion im Zähler. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-3}{e^x} = \lim_{x \to -\infty} (x^2-3)e^{-x} = \infty \cdot \infty = \infty\). 4. Ableitung: \(g'(x) = \frac{2x \cdot e^x - (x^2-3) \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(-x^2+2x+3)}{(e^x)^2} = \frac{-x^2+2x+3}{e^x}\). 5. Kritische Stellen: \(-x^2+2x+3 = 0 \Leftrightarrow x^2-2x-3 = 0 \Leftrightarrow (x-3)(x+1) = 0\). Lösungen sind \(x_3 = -1\) und \(x_4 = 3\). 6. Art der Extrema: Der Zähler der Ableitung ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(-1\) und \(3\). Bei \(x = -1\): Vorzeichenwechsel von minus nach plus \(\rightarrow\) lokaler Tiefpunkt. Bei \(x = 3\): Vorzeichenwechsel von plus nach minus \(\rightarrow\) lokaler Hochpunkt. 7. Funktionswerte: \(g(-1) = \frac{(-1)^2-3}{e^{-1}} = -2e \approx -5{,}44\). \(g(3) = \frac{3^2-3}{e^3} = \frac{6}{e^3} \approx 0{,}30\). Tiefpunkt \(T(-1 | -2e)\), Hochpunkt \(H(3 | 6e^{-3})\).

a) Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(-\sqrt{3} | 0)\), \(N_2(\sqrt{3} | 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 | -3)\). b) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\); \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\). c) Tiefpunkt \(T(-1 | -2e)\), Hochpunkt \(H(3 | 6e^{-3})\).

- Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren null? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Für die Extremstellen kann es hilfreich sein, einen speziellen Wert für \(x\) zu testen, der den Logarithmus zu null macht. - Untersuche den Grenzwert an der Definitionslücke und für sehr große \(x\).

1. Nullstellen: \(g(x) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0\) oder \(\ln(x - 1) = 0\). Dies führt auf \(x = 2\) oder \(x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\). Es gibt eine Nullstelle bei \(x = 2\). 2. Erste Ableitung: \(g'(x) = 1 \cdot \ln(x - 1) + (x - 2) \cdot \frac{1}{x - 1} = \ln(x - 1) + \frac{x - 2}{x - 1}\). 3. Extremstellen: \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln(x - 1) = - \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{2 - x}{x - 1}\). Durch Einsetzen erkennt man \(x = 2\) als Lösung, da \(\ln(1) = 0\) und \(\frac{2 - 2}{2 - 1} = 0\). 4. Zweite Ableitung: \(g''(x) = \frac{1}{x - 1} + \frac{1 \cdot (x - 1) - (x - 2) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{(x - 1)^2}\). 5. \(g''(2) = 1 + 1 = 2 > 0\), daher liegt bei \(x = 2\) ein lokales Minimum vor. Der Tiefpunkt ist \(T(2 \mid 0)\). 6. Verhalten am Rand \(x \to 1^+\): \((x - 2) \to -1\) und \(\ln(x - 1) \to -\infty\). Das Produkt strebt gegen \((-1) \cdot (-\infty) = \infty\). Es existiert eine senkrechte Asymptote \(x = 1\). 7. Verhalten für \(x \to \infty\): Beide Faktoren streben gegen \(\infty\), also \(g(x) \to \infty\). Es gibt keine waagerechte Asymptote.

a) Nullstelle: \(x = 2\); Tiefpunkt: \(T(2 \mid 0)\) b) \(\lim_{x \to 1^+} g(x) = \infty\); \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\); senkrechte Asymptote: \(x = 1\)

- Achte beim Ableiten darauf, die Quotientenregel korrekt anzuwenden. - Erinnere dich an die Regel von L'Hospital oder bekannte Grenzwerte für das Verhalten im Unendlichen. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Zähler gegen minus Unendlich strebt und der Nenner gegen eine sehr kleine positive Zahl? - Setze die gefundene Stelle in die ursprüngliche Funktion ein, um den zugehörigen Funktionswert zu erhalten.

1. Definitionsbereich: Wegen des Logarithmus und des Nenners ist \(D = ]0; \infty[\). 2. Ränder: Für \(x \to 0^+\) gilt \(\ln(x) \to -\infty\) und \(x^2 \to 0^+\), woraus \(g(x) \to -\infty\) folgt. Für \(x \to \infty\) strebt \(g(x)\) gegen \(0\), da die Potenzfunktion im Nenner stärker wächst als der Logarithmus im Zähler. 3. Ableitungen mit der Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln(x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x\ln(x)}{x^4} = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3}\). Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = \frac{6\ln(x) - 5}{x^4}\). 4. Extremstelle: \(g'(x) = 0 \Rightarrow 1 - 2\ln(x) = 0 \Rightarrow \ln(x) = 0{,}5 \Rightarrow x = e^{0{,}5} = \sqrt{e}\). 5. Art: \(g''(\sqrt{e}) = \frac{6 \cdot 0{,}5 - 5}{(\sqrt{e})^4} = \frac{-2}{e^2} < 0\), also liegt ein Hochpunkt vor. 6. \(y\)-Koordinate: \(g(\sqrt{e}) = \frac{\ln(e^{0{,}5})}{(\sqrt{e})^2} = \frac{0{,}5}{e} = \frac{1}{2e}\). Ergebnis: Hochpunkt \(HP(\sqrt{e} \mid \frac{1}{2e})\).

a) \(D = ]0; \infty[\); für \(x \to 0^+\) gilt \(g(x) \to -\infty\); für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to 0\). b) Hochpunkt \(HP(\sqrt{e} \mid \frac{1}{2e})\).

- Wie hängen Monotonie und die Existenz einer Umkehrfunktion zusammen? - Denke daran, dass Definitions- und Wertemenge beim Bilden der Umkehrfunktion ihre Rollen tauschen. - Wie bestimmt man den kleinsten und größten Funktionswert einer streng monotonen Funktion auf einem Intervall? - Bei der Suche nach Schnittpunkten mit der Geraden \(y = x\) kannst du die Funktionsgleichung direkt gleich \(x\) setzen.

1. Ableitung von \(k(x)\): \(k'(x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln x - 2) + \frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \ln x - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ln x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(\ln x - 1)\). 2. Nachweis der Monotonie: Für \(x \ge e\) gilt \(\ln x \ge 1\), also \(k'(x) \ge 0\). Da die Ableitung nur an der Stelle \(x = e\) null ist, ist \(k\) für \(x \ge e\) streng monoton steigend. 3. Umkehrbarkeit und Mengen: Da \(k^*\) auf \([e; \infty[\) streng monoton steigt, ist sie dort umkehrbar. \(W_{k^*} = [k(e); \lim_{x \to \infty} k(x)[\). \(k(e) = \frac{1}{2}e(\ln e - 2) = \frac{1}{2}e(1 - 2) = -0{,}5e\). Da \(\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty\), ist \(W_{k^*} = [-0{,}5e; \infty[\). Für die Umkehrfunktion gilt: \(D_{(k^*)^{-1}} = W_{k^*} = [-0{,}5e; \infty[\) und \(W_{(k^*)^{-1}} = D_{k^*} = [e; \infty[\). 4. Schnittpunkt mit \(y = x\): Ansatz: \(\frac{1}{2}x (\ln x - 2) = x\). Da \(x \ge e\), ist \(x \neq 0\). Teilen durch \(x\) ergibt: \(\frac{1}{2}(\ln x - 2) = 1 \iff \ln x - 2 = 2 \iff \ln x = 4 \iff x = e^4\). Der Schnittpunkt ist \(S(e^4 | e^4)\).

a) \(k'(x) = \frac{1}{2}(\ln x - 1) \ge 0\) für \(x \ge e\). b) \(D_{(k^*)^{-1}} = [-0{,}5e; \infty[\) und \(W_{(k^*)^{-1}} = [e; \infty[\). c) Der Schnittpunkt ist \(S(e^4 | e^4)\).

- Ein Bruch ist positiv, wenn Zähler und Nenner entweder beide positiv oder beide negativ sind. - Untersuche den Grenzwert des Arguments für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte, um waagrechte Asymptoten zu finden. - Senkrechte Asymptoten treten dort auf, wo das Argument gegen null oder gegen unendlich strebt. - Berechne die Ableitung mithilfe der Kettenregel und vereinfache den Term so weit wie möglich, um das Vorzeichen zu beurteilen.

1. Definitionsmenge: Die Bedingung \(\frac{2x - 4}{x + 1} > 0\) erfordert, dass Zähler und Nenner gleiches Vorzeichen haben. Dies ist der Fall für \(x < -1\) (beide negativ) oder \(x > 2\) (beide positiv). Also \(D_g = ]-\infty; -1[ \cup ]2; \infty[\). 2. Asymptoten: Für \(x \to \pm \infty\) nähert sich der Bruch \(\frac{2x - 4}{x + 1}\) dem Wert \(2\) an, also gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = \ln(2)\). Waagrechte Asymptote: \(y = \ln(2)\). An den Definitionslücken: \(\lim_{x \to -1^-} \frac{2x - 4}{x + 1} = \infty \Rightarrow \lim_{x \to -1^-} g(x) = \infty\). \(\lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 4}{x + 1} = 0^+ \Rightarrow \lim_{x \to 2^+} g(x) = -\infty\). Senkrechte Asymptoten: \(x = -1\) und \(x = 2\). 3. Monotonie: Mit der Ketten- und Quotientenregel ergibt sich \(g'(x) = \frac{x + 1}{2x - 4} \cdot \frac{2(x + 1) - 1(2x - 4)}{(x + 1)^2} = \frac{6}{(2x - 4)(x + 1)}\). Da für alle \(x \in D_g\) das Produkt \((2x - 4)(x + 1)\) positiv ist, gilt stets \(g'(x) > 0\). Somit ist \(g\) überall streng monoton steigend.

a) \(D_g = ]-\infty; -1[ \cup ]2; \infty[\) b) Waagrechte Asymptote: \(y = \ln(2)\); senkrechte Asymptoten: \(x = -1\) und \(x = 2\) c) Nachweis über \(g'(x) = \frac{6}{(2x - 4)(x + 1)} > 0\) für alle \(x \in D_g\)

- Für die Art des Extrempunkts kannst du das Vorzeichen der gegebenen zweiten Ableitung prüfen. - Achte beim Grenzwert im Unendlichen darauf, dass \(\sqrt{x^2} = |x|\) ist. - Um die Asymptotengleichungen \(y = mx + n\) zu finden, kannst du den Funktionsterm unter der Wurzel durch quadratische Ergänzung umformen.

1. Erste Ableitung: \(f'(x) = \frac{8x + 4}{2\sqrt{4x^2 + 4x + 10}} = \frac{4x + 2}{\sqrt{4x^2 + 4x + 10}}\). Extremstelle bei \(4x + 2 = 0 \implies x = -0{,}5\). Funktionswert: \(f(-0{,}5) = \sqrt{4(0{,}25) - 2 + 10} = 3\). Da \(f''(x) > 0\) für alle \(x\), ist \(T(-0{,}5 | 3)\) ein Tiefpunkt. 2. Da der Zähler von \(f''(x)\) konstant \(36\) und der Nenner für alle \(x\) positiv ist (Diskriminante des quadratischen Terms unter der Wurzel ist negativ), gilt \(f''(x) > 0\). Es gibt keine Nullstellen der zweiten Ableitung, also keine Wendepunkte. 3. Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} \frac{4x+2}{\sqrt{4x^2+4x+10}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(4 + \frac{2}{x})}{2|x|\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2{,}5}{x^2}}} = \frac{4}{2} = 2\). Für \(x \to -\infty\) ergibt sich analog \(-2\). 4. Asymptoten: Die Steigungen sind \(m_1 = 2\) und \(m_2 = -2\). Da \(f(x) = \sqrt{(2x+1)^2 + 9}\), nähert sich der Graph den Geraden \(y = 2x + 1\) und \(y = -(2x + 1) = -2x - 1\).

1. Tiefpunkt \(T(-0{,}5 | 3)\) 2. \(f''(x)\) ist stets positiv und besitzt keine Nullstellen. 3. \(\lim_{x \to \infty} f'(x) = 2\) und \(\lim_{x \to -\infty} f'(x) = -2\) 4. Schräge Asymptoten: \(y = 2x + 1\) und \(y = -2x - 1\)

- Bestimme zuerst die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung. - Die Länge einer vertikalen Strecke zwischen zwei Graphen an derselben Stelle entspricht dem Betrag der Differenz der Funktionswerte. - Überprüfe, ob die Differenz im gegebenen Bereich immer positiv ist, um den Betrag weglassen zu können. - Leite die Differenzfunktion nach der Variable ab, um das Maximum zu finden.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = (2x - 2)e^{-x} - (x^2 - 2x - 3)e^{-x} = (-x^2 + 4x + 1)e^{-x}\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = (-2x + 4)e^{-x} - (-x^2 + 4x + 1)e^{-x} = (x^2 - 6x + 3)e^{-x}\). 2. Differenzfunktion aufstellen: Die vertikale Differenz ist \(d(a) = f(a) - f''(a) = (a^2 - 2a - 3 - (a^2 - 6a + 3))e^{-a} = (4a - 6)e^{-a}\). Da \(a > 1{,}5\), ist \(4a - 6 > 0\), somit entspricht \(d(a)\) der Streckenlänge. 3. Extremwertsuche: \(d'(a) = 4e^{-a} - (4a - 6)e^{-a} = (10 - 4a)e^{-a}\). 4. Nullstelle der Ableitung: \(10 - 4a = 0 \Rightarrow a = 2{,}5\). 5. Überprüfung: \(d''(a) = -4e^{-a} - (10 - 4a)e^{-a} = (4a - 14)e^{-a}\). Einsetzen ergibt \(d''(2{,}5) = (10 - 14)e^{-2{,}5} = -4e^{-2{,}5} < 0\), es liegt also ein lokales Maximum vor. 6. Ergebnis: Für \(a = 2{,}5\) wird die Strecke maximal lang.

Die Strecke \(\overline{PQ}\) wird für \(a = 2{,}5\) maximal.

- Überprüfe, ob die Funktion \(f(-x) = f(x)\) oder \(f(-x) = -f(x)\) erfüllt. - Denke an die Definitionslücken der Tangensfunktion. - Nutze bekannte Funktionswerte wie \(\tan(\frac{\pi}{4})\), um Nullstellen ohne Taschenrechner zu finden. - Erinnere dich an die Ableitungsregel für \(\tan(x)\) und das Integral \(\int \tan(x) \, dx\). - Überlege dir anhand der Monotonie oder einer Skizze, ob der Graph im betrachteten Intervall über oder unter der \(x\)-Achse liegt.

1. Symmetrie: \(f(-x) = \tan(-x) - \frac{4}{\pi}(-x) = -\tan(x) + \frac{4}{\pi}x = -f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Asymptoten: Da \(\tan(x)\) für \(x \to \pm \frac{\pi}{2}\) gegen \(\pm \infty\) strebt, besitzt der Graph senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen \(x = \frac{\pi}{2}\) und \(x = -\frac{\pi}{2}\). 3. Nullstellen: \(f(0) = \tan(0) - 0 = 0\). Zudem gilt \(f(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{4}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = 1 - 1 = 0\). Aufgrund der Punktsymmetrie ist auch \(x = -\frac{\pi}{4}\) eine Nullstelle. Da \(f''(x) = \frac{2\sin(x)}{\cos^3(x)}\) im Intervall \(]0; \frac{\pi}{2}[\) positiv ist (linksgekrümmt), kann es dort höchstens zwei Nullstellen geben (eine bei \(x=0\) und eine weitere). Somit existieren genau drei Nullstellen. 4. Extrempunkte: \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} - \frac{4}{\pi} = 0 \Rightarrow \cos^2(x) = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \cos(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\) (da \(\cos(x) > 0\) in \(D\)). Dies ergibt \(x_1 = \arccos(\frac{\sqrt{\pi}}{2}) \approx 0{,}48\). Wegen \(f''(0{,}48) > 0\) liegt ein lokales Minimum vor. Der Funktionswert ist \(f(0{,}48) \approx -0{,}09\). Durch Symmetrie ergibt sich ein lokales Maximum bei \((-0{,}48 | 0{,}09)\). 5. Flächeninhalt: Im Intervall \([0; \frac{\pi}{4}]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse (da er bei \(x=0\) fällt und bei \(x=\frac{\pi}{4}\) wieder die Achse erreicht). \(A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (0 - f(x)) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\frac{4}{\pi}x - \tan(x)) \, dx = \left[ \frac{2}{\pi}x^2 + \ln(\cos(x)) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\) \(A = \left( \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{16} + \ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) \right) - (0 + \ln(1)) = \frac{\pi}{8} + \ln(2^{-\frac{1}{2}}) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\ln(2)\).

a) Punktsymmetrie zum Ursprung; senkrechte Asymptoten bei \(x = -\frac{\pi}{2}\) und \(x = \frac{\pi}{2}\). b) Nullstellen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{4}\) und \(x_3 = -\frac{\pi}{4}\). c) Lokales Minimum bei \(P_1(0{,}48 | -0{,}09)\); lokales Maximum bei \(P_2(-0{,}48 | 0{,}09)\). d) \(A = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\ln(2) \approx 0{,}046\).

- Nutze für den Nachweis der Nullstellen das Monotonieverhalten zwischen den Extremstellen und den Randwerten. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Steigungen einer Tangente und einer darauf senkrecht stehenden Normalen. - Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks an den Koordinatenachsen lässt sich über die Achsenabschnitte der Geraden berechnen. - Achte bei der Begründung der Nullstellen darauf, die Funktionswerte an den Extremstellen und Rändern exakt oder präzise gerundet anzugeben.

1. Ableitungen: \(g'(x) = -\sin(x) + \frac{2}{\pi}\) und \(g''(x) = -\cos(x)\). Notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\) führt zu \(\sin(x) = \frac{2}{\pi}\). Lösungen in \([0; \pi]\) sind \(x_1 = \arcsin(\frac{2}{\pi}) \approx 0{,}69\) und \(x_2 = \pi - \arcsin(\frac{2}{\pi}) \approx 2{,}45\). Prüfung mit zweiter Ableitung: \(g''(x_1) = -\cos(x_1) < 0\) (Maximum), \(g''(x_2) = -\cos(x_2) > 0\) (Minimum). 2. Funktionswerte an den Rändern und Extrema: \(g(0) = 0\), \(g(\pi) = -1 + 2 - 1 = 0\). Da \(g(0)=0\) und \(g\) für \(x \in [0; x_1]\) streng monoton steigt (wegen \(g'(0) = \frac{2}{\pi} > 0\)), ist \(g(x_1) > 0\). Da \(g(x_2) < 0\) ist (durch Einsetzen: \(g(x_2) \approx -0{,}21\)), muss nach dem Zwischenwertsatz zwischen \(x_1\) und \(x_2\) eine weitere Nullstelle liegen. Da \(g\) ab \(x_2\) bis \(\pi\) wieder streng monoton steigt und \(g(\pi)=0\) gilt, gibt es keine weiteren Nullstellen. Die drei Nullstellen liegen bei \(0\), \(\pi\) und einem Wert \(\alpha \in (x_1; x_2)\). 3. Normale an \(x_0 = \frac{\pi}{2}\): \(g(\frac{\pi}{2}) = 0 + 1 - 1 = 0\). Steigung der Tangente: \(g'(\frac{\pi}{2}) = -1 + \frac{2}{\pi} = \frac{2-\pi}{\pi}\). Steigung der Normalen: \(m_n = -\frac{1}{g'(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi}{\pi-2}\). Gleichung: \(n(x) = \frac{\pi}{\pi-2}(x - \frac{\pi}{2})\). 4. Schnittpunkte der Normalen mit den Achsen: Schnittpunkt mit der x-Achse ist \(S_x(\frac{\pi}{2} \mid 0)\). Schnittpunkt mit der y-Achse ist \(S_y(0 \mid -\frac{\pi^2}{2(\pi-2)})\). Die Kathetenlängen des Dreiecks sind \(a = \frac{\pi}{2}\) und \(b = \left| -\frac{\pi^2}{2(\pi-2)} \right| = \frac{\pi^2}{2(\pi-2)}\). Flächeninhalt \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi^2}{2(\pi-2)} = \frac{\pi^3}{8(\pi-2)} \approx 3{,}396\).

a) Hochpunkt bei \(x \approx 0{,}69\), Tiefpunkt bei \(x \approx 2{,}45\) b) Nullstellen bei \(x = 0\), \(x = \pi\) und \(x \approx 1{,}57\) (insgesamt drei) c) \(n(x) = \frac{\pi}{\pi-2}(x - \frac{\pi}{2})\) d) \(A = \frac{\pi^3}{8(\pi-2)} \approx 3{,}396\)