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- Vergleiche die gegebene Funktionsgleichung direkt mit der allgemeinen Form, um die Konstanten abzulesen. - Überlege dir, wie sich der Wert von \(e^{kx}\) verändert, wenn \(x\) größer wird und \(k\) negativ ist. - Nutze deinen Taschenrechner für die Berechnung der \(e\)-Funktion und achte auf die korrekte Rundung.

1. Vergleich der allgemeinen Form \(ce^{kx}\) mit der gegebenen Gleichung \(15{,}5e^{-0{,}4x}\). Ergebnis: \(c = 15{,}5\) und \(k = -0{,}4\). 2. Bestimmung der Änderungsart: Da der Parameter im Exponenten \(k = -0{,}4\) kleiner als Null ist, sinken die Funktionswerte mit steigendem \(x\). Ergebnis: Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme. 3. Berechnung des Wertes an der Stelle \(x=5\): \(B(5) = 15{,}5 \cdot e^{-0{,}4 \cdot 5} = 15{,}5 \cdot e^{-2} \approx 2{,}10\).

a) \(c = 15{,}5\) und \(k = -0{,}4\). b) Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme, da der Parameter im Exponenten (\(k = -0{,}4\)) negativ ist. c) Der Funktionswert beträgt \(B(5) \approx 2{,}10\).

- Welche Änderung am Funktionsterm bewirkt eine Verschiebung in \(x\)-Richtung im Gegensatz zu einer Verschiebung in \(y\)-Richtung? - Wie unterscheidet sich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse von einer Spiegelung an der \(y\)-Achse im Funktionsterm? - In welcher Reihenfolge wendest du die Transformationen auf die Grundfunktion an?

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse wird durch ein negatives Vorzeichen vor der Funktion realisiert: \(f_1(x) = -e^x\). 2. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2{,}5\) multipliziert den gesamten Term mit diesem Wert: \(f_2(x) = 2{,}5 \cdot (-e^x) = -2{,}5e^x\). 3. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links wird erreicht, indem \(x\) durch \((x + 3)\) ersetzt wird: \(f_3(x) = -2{,}5e^{x+3}\). 4. Die Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten erfolgt durch Subtraktion von \(1\) am Ende des Terms: \(g(x) = -2{,}5e^{x+3} - 1\).

\(g(x) = -2{,}5e^{x+3} - 1\)

- Überlege dir den Verlauf des Graphen der Exponentialfunktion im Koordinatensystem. - Welche Werte kann die Funktion \(e^x\) überhaupt annehmen? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für die natürliche Exponentialfunktion. - Wie wirken sich Änderungen im Exponenten im Vergleich zu Änderungen am gesamten Funktionsterm auf den Graphen aus? - Was bedeutet Punktsymmetrie rechnerisch?

1. Wahr: Da die \(x\)-Achse die waagerechte Asymptote der natürlichen Exponentialfunktion für \(x \to -\infty\) ist, gilt \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\). 2. Falsch: Da der Wertebereich von \(e^x\) das Intervall \(]0; \infty[\) ist, gilt \(e^x > 0\) und somit \(e^x + 2 > 2\). Die Gleichung \(e^x + 2 = 0\) hat keine Lösung. 3. Wahr: Die Ableitung der Funktion \(f(x) = e^x\) ist \(f'(x) = e^x\). Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) ist somit \(f'(0) = e^0 = 1\). 4. Falsch: Punktsymmetrie zum Ursprung würde \(f(-x) = -f(x)\) erfordern, jedoch gilt \(e^{-x} = \frac{1}{e^x} \neq -e^x\). 5. Wahr: Eine Subtraktion einer Konstanten \(c\) direkt vom Argument \(x\) (hier \(x-2\)) bewirkt eine Verschiebung des Graphen um \(c\) Einheiten nach rechts.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Falsch e) Wahr

- Wie gehst du vor, um mögliche Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen zu finden? - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass der Ausdruck mit der Basis \(e\) isoliert auf einer Seite steht. - Überlege dir, welchen Wertebereich die Funktion \(h(x) = e^x\) hat. Können negative Werte erreicht werden?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme führt zur Gleichung \(e^x + 4 = 3 - e^x\). 2. Durch Zusammenfassen der Terme mit \(e^x\) ergibt sich \(2e^x = -1\). 3. Division durch \(2\) liefert \(e^x = -0{,}5\). 4. Da die natürliche Exponentialfunktion \(e^x\) für alle reellen Zahlen \(x\) stets positiv ist (\(e^x > 0\)), besitzt diese Gleichung keine Lösung. 5. Somit existieren keine gemeinsamen Punkte der Graphen von \(f\) und \(g\).

Die Graphen besitzen keine gemeinsamen Punkte.

- Überlege, wie sich eine Änderung des Vorzeichens im Exponenten geometrisch auf den Graphen auswirkt. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Um Schnittpunkte zu finden, kannst du die Funktionsterme gleichsetzen und nach \(x\) auflösen. - Erinnere dich an den typischen Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion für sehr große positive und negative Werte.

1. Da für alle \(x\) die Beziehung \(g(x) = f(-x)\) gilt, geht der Graph der Funktion \(g\) durch eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse hervor. 2. Durch Gleichsetzen der Funktionsterme \(e^{2x} = e^{-2x}\) folgt durch Logarithmieren \(2x = -2x\), woraus \(x = 0\) resultiert. Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(f(0) = e^0 = 1\). Der gemeinsame Punkt (Schnittpunkt) beider Graphen liegt somit bei \(S(0|1)\). 3. Für \(x \to \infty\) wächst der Funktionswert von \(f(x) = e^{2x}\) unbegrenzt gegen unendlich (\(f(x) \to \infty\)). Der Funktionswert von \(g(x) = e^{-2x} = \frac{1}{e^{2x}}\) nähert sich für \(x \to \infty\) immer weiter der Null an (\(g(x) \to 0\)), die \(x\)-Achse ist somit eine waagerechte Asymptote.

1. Der Graph von \(g\) ist das Spiegelbild des Graphen von \(f\) bei Spiegelung an der \(y\)-Achse. 2. Der gemeinsame Punkt ist \(S(0|1)\). 3. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\) und \(g(x) \to 0\).

- Was bedeutet ein Exponent von \(0{,}5\) als Wurzel geschrieben? - Setze für \(b\) den Wert 1 ein und schaue dir die Funktionswerte für verschiedene \(x\) an. - Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für den Exponenten Null.

1. Der Funktionswert \(f(0{,}5) = (-4)^{0{,}5}\) entspricht der Quadratwurzel \(\sqrt{-4}\). Im Bereich der reellen Zahlen ist die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert. Um eine Definition für alle \(x \in \mathbb{R}\) (insbesondere für rationale Exponenten mit geraden Nennern) zu gewährleisten, muss \(b > 0\) gelten. 2. Für \(b = 1\) ergibt sich \(f(x) = 1^x = 1\). Dies ist eine konstante Funktion, deren Graph eine Parallele zur \(x\)-Achse ist. Da sich der Funktionswert bei Änderung von \(x\) nicht ändert, liegt kein exponentielles Wachstum oder Zerfall vor. 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch Einsetzen von \(x = 0\) bestimmt: \(f(0) = b^0\). Da nach den Potenzgesetzen jede Zahl \(b \neq 0\) hoch Null den Wert \(1\) ergibt, gilt \(f(0) = 1\) für jede erlaubte Basis. Alle Graphen verlaufen somit durch den Punkt \(P(0|1)\).

1. \((-4)^{0{,}5} = \sqrt{-4}\) ist nicht reell definiert; daher muss \(b > 0\) gelten. 2. Bei \(b = 1\) ist \(f(x) = 1\) eine konstante Funktion ohne Wachstumsdynamik. 3. Wegen \(b^0 = 1\) verlaufen alle Graphen durch \(P(0|1)\).

- Was bewirkt eine Änderung direkt am Argument \(x\) im Vergleich zu einer Konstanten, die zum gesamten Funktionsterm addiert wird? - Betrachte das Verhalten der Funktion \(e^x\) für sehr kleine \(x\)-Werte, um die Asymptote zu finden. - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen?

1. Eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (positive \(x\)-Richtung) wird durch Ersetzen von \(x\) durch \((x - 2)\) im Funktionsterm realisiert. Eine Verschiebung um \(5\) Einheiten nach unten (negative \(y\)-Richtung) entspricht einer Subtraktion von \(5\) vom gesamten Term. Somit gilt: \(g(x) = e^{x-2} - 5\). 2. Die natürliche Exponentialfunktion \(f(x) = e^x\) hat die waagerechte Asymptote \(y = 0\). Durch die Verschiebung um \(5\) Einheiten nach unten verschiebt sich auch die Asymptote entsprechend. Die Gleichung der Asymptote von \(g\) lautet daher \(y = -5\). 3. Zur Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) in \(g(x)\) eingesetzt: \(g(0) = e^{0-2} - 5 = e^{-2} - 5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid e^{-2} - 5)\).

a) \(g(x) = e^{x-2} - 5\) b) \(y = -5\) c) \(S_y(0 \mid e^{-2} - 5)\)

- Überlege zuerst, wie sich eine Streckung in \(y\)-Richtung auf den gesamten Funktionsterm auswirkt. - Was musst du am Argument \(x\) ändern, um eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse zu bewirken? Achte dabei besonders auf das Vorzeichen. - Welchen \(x\)-Wert besitzt jeder Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2 führt zur Multiplikation des Funktionsterms mit 2: \(2e^x\). 2. Die Verschiebung um 3 Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \((x - 3)\) im Argument erreicht. 3. Der resultierende Funktionsterm lautet \(g(x) = 2e^{x-3}\). 4. Zur Berechnung des Schnittpunktes mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) in \(g(x)\) eingesetzt: \(g(0) = 2 \cdot e^{0-3} = 2e^{-3}\). 5. Der Schnittpunkt hat die Koordinaten \(S_y(0 \mid 2e^{-3})\).

a) \(g(x) = 2e^{x-3}\) b) \(S_y(0 \mid 2e^{-3})\)

- Achte beim Berechnen mit dem Taschenrechner auf die korrekte Verwendung von Klammern und Exponenten. - Wie viele Ziffern nach dem Komma sind bei beiden Zahlen identisch, bevor die erste Abweichung auftritt? - Betrachte die berechneten Werte der Reihe nach. Werden sie größer oder kleiner?

1. Berechnung der Folgenglieder durch Einsetzen: \(a_{10} = \left(1 + \frac{1}{10}\right)^{10} = 1{,}1^{10} \approx 2{,}59374\); \(a_{100} = \left(1 + \frac{1}{100}\right)^{100} = 1{,}01^{100} \approx 2{,}70481\); \(a_{1000} = \left(1 + \frac{1}{1000}\right)^{1000} = 1{,}001^{1000} \approx 2{,}71692\). 2. Vergleich mit \(e \approx 2{,}7182818\): Die ersten zwei Nachkommastellen von \(a_{1000}\) (\(2{,}71\dots\)) stimmen mit \(e\) überein. 3. Analyse der Werte: Da \(a_{10} < a_{100} < a_{1000}\) gilt, lässt sich vermuten, dass die Folge \(a_n\) streng monoton wachsend ist.

a) \(a_{10} \approx 2{,}59374\); \(a_{100} \approx 2{,}70481\); \(a_{1000} \approx 2{,}71692\). b) Es stimmen zwei Dezimalstellen überein (\(2{,}71\)). c) Die Folge \(a_n\) ist vermutlich streng monoton wachsend.

- Schaue dir für jeden Graphen den Schnittpunkt mit der y-Achse an. Setze dafür \(x = 0\) in die Gleichungen ein. - Untersuche das Steigungsverhalten (Monotonie) der Graphen. Welche Graphen steigen, welche fallen? - Achte auf das Verhalten der Graphen für sehr große positive und sehr kleine negative x-Werte (Grenzverhalten). Wo liegen die waagerechten Asymptoten? - Überlege dir, wie Spiegelungen an den Achsen oder Verschiebungen in y-Richtung die Funktionsgleichung verändern.

1. Graph \(A\) gehört zu (1) \(y = e^x\): Der Graph ist streng monoton steigend, verläuft vollständig oberhalb der x-Achse und hat den y-Achsenabschnitt \((0 \mid 1)\). Für \(x \to -\infty\) nähert er sich asymptotisch der x-Achse an (\(y \to 0\)). 2. Graph \(B\) gehört zu (2) \(y = e^{-x}\): Der Graph ist streng monoton fallend, verläuft vollständig oberhalb der x-Achse und hat den y-Achsenabschnitt \((0 \mid 1)\). Er entsteht durch Spiegelung von \(y = e^x\) an der y-Achse. Für \(x \to \infty\) gilt \(y \to 0\). 3. Graph \(C\) gehört zu (3) \(y = e^x - 3\): Der Graph ist im Vergleich zu \(y = e^x\) um \(3\) Einheiten nach unten verschoben. Der y-Achsenabschnitt liegt bei \((0 \mid -2)\) (da \(e^0 - 3 = -2\)) und die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -3\). 4. Graph \(D\) gehört zu (4) \(y = -e^x + 2\): Der Graph ist streng monoton fallend und nähert sich für \(x \to -\infty\) asymptotisch der Geraden \(y = 2\) an. Er entsteht durch Spiegelung an der x-Achse und anschließende Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben. Der y-Achsenabschnitt liegt bei \((0 \mid 1)\) (da \(-e^0 + 2 = 1\)).

\(A\): (1), \(B\): (2), \(C\): (3), \(D\): (4)

- Wo liegt die waagerechte Asymptote des neuen Graphen? Das zeigt dir die vertikale Verschiebung. - Vergleiche die Position des Schnittpunktes mit der y-Achse der Grundfunktion (normalerweise bei \(y=1\)) mit einem entsprechenden Punkt auf dem neuen Graphen. - Überprüfe deine Vermutung, indem du einen einfachen x-Wert (z. B. \(x=1\) oder \(x=2\)) in deinen Term einsetzt.

1. Die waagerechte Asymptote der Grundfunktion \(f\) ist die x-Achse (\(y = 0\)). Bei \(g\) liegt sie bei \(y = -2\). Das entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten. 2. Der Punkt \((0\mid1)\) auf dem Graphen von \(f\) wird auf den Punkt \((1\mid{-1})\) verschoben. 3. Die Differenz in x-Richtung ist \(1 - 0 = 1\) Einheit nach rechts. Die Differenz in y-Richtung ist \(-1 - 1 = -2\) Einheiten nach unten (bestätigt Schritt 1). 4. Der Funktionsterm lautet \(g(x) = 2^{x - 1} - 2\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und um \(2\) Einheiten nach unten. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 2^{x - 1} - 2\).

- Überlege dir, was mit dem Funktionswert passiert, wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt. - Berechne den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\), um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu finden. - Überlege dir, ob die Funktion steigt oder fällt. Wie beeinflusst das Minuszeichen vor der Exponentialfunktion den Verlauf? - Achte auf die gestrichelten Linien im Koordinatensystem, sie markieren oft die waagrechten Asymptoten.

1. Bestimmung der waagrechten Asymptote: Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Term \(e^x\) dem Wert \(0\) an. Damit nähert sich der Funktionswert \(f(x) = 2 - e^x\) dem Wert \(2\) an. Die waagrechte Asymptote liegt also bei \(y = 2\). Dies trifft auf die Graphen A und C zu. 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f(0) = 2 - e^0 = 2 - 1 = 1\). Der Punkt \((0|1)\) muss also auf dem Graphen liegen. 3. Überprüfung des Monotonieverhaltens: Da die natürliche Exponentialfunktion \(e^x\) streng monoton steigend ist, ist die Funktion \(-e^x\) streng monoton fallend. Somit ist auch \(f(x) = 2 - e^x\) streng monoton fallend. 4. Ergebnis: Nur Graph A erfüllt alle Bedingungen (waagrechte Asymptote bei \(y = 2\), \(y\)-Achsenabschnitt bei \(1\) und fallender Verlauf).

Der Graph A gehört zur Funktion \(f(x) = 2 - e^x\).

- Bestimme für jede Gleichung die waagrechte Asymptote, indem du untersuchst, welcher Wert für sehr kleine \(x\) (z. B. \(x \to -\infty\)) erreicht wird. - Berechne den \(y\)-Achsenabschnitt jeder Funktion, indem du \(x = 0\) einsetzt. - Überprüfe das Monotonieverhalten: Ein positives Vorzeichen vor \(e^x\) bedeutet steigend, ein negatives Vorzeichen bedeutet fallend.

1. Analyse von (1) \(y = e^x + 1\): Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = 1\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(e^0 + 1 = 2\). Die Funktion ist streng monoton steigend. Dies entspricht Graph A. 2. Analyse von (2) \(y = e^x - 1\): Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = -1\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(e^0 - 1 = 0\). Die Funktion ist streng monoton steigend. Dies entspricht Graph B. 3. Analyse von (3) \(y = 1 - e^x\): Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = 1\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(1 - e^0 = 0\). Die Funktion ist streng monoton fallend. Dies entspricht Graph C. 4. Analyse von (4) \(y = -1 - e^x\): Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = -1\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(-1 - e^0 = -2\). Die Funktion ist streng monoton fallend. Dies entspricht Graph D.

Die Zuordnung lautet: (1) – A, (2) – B, (3) – C, (4) – D.

- Wie hängen Spiegelungen an den Achsen mit einer Spiegelung am Ursprung zusammen? - Welche mathematische Operation entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse und welche einer Spiegelung an der \(y\)-Achse? - Wie findet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Denk an den Wert von \(e^0\).

1. Bestimmung von \(g(x)\) durch Ersetzung von \(x\) durch \(-x\): \(g(x) = f(-x) = 0{,}5e^{-x} - 2\). 2. Spiegelung am Ursprung entspricht einer nacheinander ausgeführten Spiegelung an beiden Achsen, also \(h(x) = -f(-x)\). Einsetzen liefert \(h(x) = -(0{,}5e^{-x} - 2) = -0{,}5e^{-x} + 2\). 3. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts durch \(h(0) = -0{,}5 \cdot e^0 + 2\). Mit \(e^0 = 1\) folgt \(h(0) = -0{,}5 + 2 = 1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | 1{,}5)\).

a) \(g(x) = 0{,}5e^{-x} - 2\) b) \(h(x) = -0{,}5e^{-x} + 2\) c) \(S_y(0 | 1{,}5)\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Was zeichnet eine Ursprungsgerade mathematisch aus? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen \(f(x) = a^x\). - Was passiert mit dem Anstieg des Graphen, wenn die Funktion selbst immer größere Werte annimmt?

1. Berechnung der Tangente an der Stelle \(x = 0\): Da \(f(0) = e^0 = 1\) und \(f'(x) = e^x\), folgt für die Steigung \(f'(0) = 1\). Die Tangentengleichung lautet \(y = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0)\), also \(y = 1 \cdot x + 1\). 2. Tangente an der Stelle \(x = 1\): Es gilt \(f(1) = e\) und \(f'(1) = e\). Die Gleichung ist \(y = e(x - 1) + e\). Vereinfacht ergibt sich \(y = ex - e + e\), also \(y = ex\). Da der \(y\)-Achsenabschnitt \(0\) ist, handelt es sich um eine Ursprungsgerade. 3. Besonderheit der Basis \(e\): Bei der natürlichen Exponentialfunktion ist die Ableitungsfunktion identisch mit der Ausgangsfunktion (\(f'(x) = f(x)\)). Bei anderen Basen \(a \neq e\) tritt beim Ableiten ein zusätzlicher Proportionalitätsfaktor \(\ln(a)\) auf (z. B. \(g(x) = 2^x \Rightarrow g'(x) = \ln(2)2^x\)). Nur für \(a = e\) ist dieser Faktor \(\ln(e) = 1\).

a) \(t: y = x + 1\) b) Die Tangente an der Stelle \(x = 1\) hat die Gleichung \(y = ex\). Da sie die Form \(y = mx\) besitzt, verläuft sie durch den Punkt \((0|0)\). c) Die Basis \(e\) ist die einzige Basis, bei der die Ableitung der Funktion exakt der Funktion selbst entspricht (\(f'(x) = f(x)\)). Die Steigung an jeder Stelle ist also identisch mit dem dortigen Funktionswert.

- Setze die Werte für \(a\) und \(h\) vorsichtig in den Taschenrechner ein. - Was stellst du fest, wenn du die berechneten Steigungen für die Basen 2 und 3 mit dem Wert 1 vergleichst? - Überlege, wie die Ableitung von \(a^x\) allgemein lautet und was passiert, wenn \(\ln(a) = 1\) ist. - Welche Ableitungsregel musst du bei Funktionen wie \(e^{2x+5}\) anwenden?

1. Berechnung für \(a = 2\): \(\frac{2^{0{,}0001} - 1}{0{,}0001} \approx 0{,}6932\). 2. Berechnung für \(a = 3\): \(\frac{3^{0{,}0001} - 1}{0{,}0001} \approx 1{,}0987\). 3. Da die Steigung bei der Basis \(e\) genau \(1\) ist, entfällt beim Ableiten der natürliche Logarithmus der Basis als Faktor (\(\ln(e) = 1\)). In der Kettenregel muss daher nur noch die Ableitung der inneren Funktion berücksichtigt werden, ohne dass ein zusätzlicher konstanter Faktor der Basis die Rechnung verkompliziert. Für \(f(x) = e^{g(x)}\) gilt direkt \(f'(x) = g'(x) \cdot e^{g(x)}\).

a) Die Steigung für \(a = 2\) beträgt ca. \(0{,}6932\); für \(a = 3\) beträgt sie ca. \(1{,}0987\). b) Da die Steigung an der Stelle \(0\) für die Basis \(e\) genau \(1\) ist, ist die Ableitung von \(e^x\) wieder \(e^x\). Dies vereinfacht die Anwendung der Kettenregel erheblich, da kein zusätzlicher Korrekturfaktor für die Basis (wie \(\ln(2)\) oder \(\ln(3)\)) mitgeführt werden muss.

- Kannst du die gegebenen Werte als Potenzen zur Basis \(e\) umschreiben? - Welche Rechenregeln für Potenzen helfen dir, Brüche oder Wurzeln in Exponenten umzuwandeln? - Wie hängen die Exponenten zusammen, wenn zwei Potenzen mit der gleichen Basis denselben Wert haben? - Achte beim Runden auf die vierte Nachkommastelle.

1. Berechnung der Funktionswerte mittels Taschenrechner: \(f(-1{,}2) \approx 0{,}3012\), \(f(\sqrt{3}) \approx 5{,}6522\) und \(f\!\left(\frac{2}{3}\right) \approx 1{,}9477\). 2. Umformung der Zielwerte in Potenzen zur Basis \(e\): \(\frac{e}{\sqrt[3]{e}} = e^1 \cdot e^{-\frac{1}{3}} = e^{\frac{2}{3}}\), \(\frac{1}{e^5} = e^{-5}\) sowie \(e^2 \cdot \sqrt{e} = e^2 \cdot e^{0{,}5} = e^{2{,}5}\). 3. Durch Vergleich der Exponenten ergeben sich die gesuchten Stellen: (1) \(x = \frac{2}{3}\), (2) \(x = -5\), (3) \(x = 2{,}5\).

a) \(f(-1{,}2) \approx 0{,}3012\); \(f(\sqrt{3}) \approx 5{,}6522\); \(f\!\left(\frac{2}{3}\right) \approx 1{,}9477\) b) (1) \(x = \frac{2}{3}\); (2) \(x = -5\); (3) \(x = 2{,}5\)

- Was passiert im Exponenten, wenn du die gegebenen \(x\)-Werte einsetzt? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen \(e\) und dem natürlichen Logarithmus? - Versuche, die \(y\)-Werte als Potenzen von \(e\) darzustellen, um die Gleichungen einfacher lösen zu können. - Überlege, welcher Exponent bei einer Wurzel oder einem Bruch vorliegt.

1. Einsetzen der \(x\)-Werte in den Funktionsterm: \(g(-1) = e^{-1+1} = e^0 = 1\), \(g(0) = e^{0+1} = e^1 \approx 2{,}7183\) und \(g(\ln(2)-1) = e^{\ln(2)-1+1} = e^{\ln(2)} = 2\). 2. Gleichsetzen der Funktionsgleichung mit den Zielwerten: \(e^{x+1} = e^4\), \(e^{x+1} = e^{-1}\) und \(e^{x+1} = e^{0{,}5}\). 3. Bestimmung von \(x\) durch Vergleich der Exponenten: \(x+1 = 4 \implies x=3\); \(x+1 = -1 \implies x=-2\); \(x+1 = 0{,}5 \implies x=-0{,}5\).

a) \(g(-1) = 1\); \(g(\ln(2)-1) = 2\); \(g(0) \approx 2{,}7183\) b) (1) \(x = 3\); (2) \(x = -2\); (3) \(x = -0{,}5\)

- Wie findet man die Stellen, an denen ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn die Werte für \(x\) sehr klein (stark negativ) werden? - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der ersten Ableitung auf den Verlauf des Graphen? - Gibt es eine Bedingung für die Existenz von Wendepunkten, die hier überprüft werden kann? - Erinnere dich an den Wert von \(e^0\).

1. Berechnung der Nullstelle: Ansatz \(5 - e^x = 0\) führt zu \(e^x = 5\) und somit \(x = \ln(5)\). Die Aussage ist wahr. 2. Untersuchung des Grenzwerts: Für \(x \to -\infty\) geht \(e^x\) gegen \(0\), woraus \(\lim_{x \to -\infty} (5 - e^x) = 5\) folgt. Die Gerade \(y = 5\) ist somit die waagerechte Asymptote. Die Aussage ist wahr. 3. Überprüfung der Monotonie: Die Ableitung \(f'(x) = -e^x\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) negativ (\(f'(x) < 0\)). Folglich ist die Funktion streng monoton fallend. Die Aussage ist falsch. 4. Untersuchung der Krümmung: Die zweite Ableitung \(f''(x) = -e^x\) hat keine Nullstellen, da \(e^x\) stets positiv ist. Es existiert kein Wendepunkt. Die Aussage ist falsch. 5. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts: Berechnung von \(f(0) = 5 - e^0 = 5 - 1 = 4\). Der Punkt ist \(S_y(0|4)\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Falsch e) Wahr

- Nutze die Kettenregel für Ableitungen von Funktionen der Form \(e^{kx}\). - Wie prüft man, ob ein Graph durch den Punkt \((0 \mid 0)\) geht? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der ersten Ableitung und der Monotonie? - Was ist die notwendige Bedingung für die Existenz einer Wendestelle? - Wie verändert eine vertikale Verschiebung den Wertebereich einer Funktion?

1. Wahr: Unter Anwendung der Kettenregel ergibt sich mit der inneren Funktion \(u(x) = 3x\) und deren Ableitung \(u'(x) = 3\) die Ableitung \(g'(x) = 3e^{3x}\). 2. Wahr: Der Graph verläuft durch den Koordinatenursprung, wenn \(h(0) = 0\) gilt. Hier: \(h(0) = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0\). 3. Wahr: Das Monotoniekriterium besagt, dass eine Funktion streng monoton steigt, wenn ihre erste Ableitung im betrachteten Intervall überall größer als Null ist. 4. Falsch: Für eine Wendestelle müsste die zweite Ableitung \(f''(x) = e^x\) gleich Null sein. Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), existieren keine Wendestellen; der Graph ist überall linksgekrümmt. 5. Wahr: Die natürliche Exponentialfunktion hat die Wertemenge \(]0; \infty[\). Durch die Subtraktion von \(5\) wird der gesamte Graph und somit auch die untere Grenze des Wertebereichs um \(5\) Einheiten nach unten verschoben.

a) Wahr b) Wahr c) Wahr d) Falsch e) Wahr

- Welcher Teil des Funktionsterms bewirkt eine Veränderung in \(y\)-Richtung und welcher eine in \(x\)-Richtung? - Wie verändert sich der Exponent, wenn der Graph entlang der waagerechten Achse verschoben wird? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Funktionsterms bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse? - Achte darauf, die Transformationen schrittweise in der angegebenen Reihenfolge durchzuführen.

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Multiplikation des Funktionsterms mit \(-1\), woraus \(-e^x\) resultiert. 2. Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2{,}5\): Multiplikation des gesamten Terms mit \(2{,}5\), was zu \(-2{,}5e^x\) führt. 3. Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts: Ersetzung von \(x\) durch \((x - 4)\) im Exponenten, woraus \(-2{,}5e^{x-4}\) folgt. 4. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben: Addition von \(3\) zum gesamten Funktionsterm. Der finale Funktionsterm lautet \(g(x) = -2{,}5e^{x-4} + 3\).

\(g(x) = -2{,}5e^{x-4} + 3\)

- Erinnere dich daran, dass \(n!\) das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis \(n\) ist. - Setze für die Fehlerabschätzung nacheinander kleine natürliche Zahlen ein und prüfe die Ungleichung. - Überlege, wie schnell die Nenner in beiden Verfahren wachsen, wenn \(n\) größer wird.

1. Berechnung von \(s_5\): \(s_5 = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} = 2 + 0{,}5 + 0{,}1666\ldots + 0{,}0416\ldots + 0{,}0083\ldots = \frac{163}{60} \approx 2{,}7167\). 2. Bestimmung von \(n\): Gesucht ist das kleinste \(n\), für das \(\frac{1}{n \cdot n!} < 0{,}0001\) bzw. \(n \cdot n! > 10\,000\) gilt. Prüfung der Werte: Für \(n=6\): \(6 \cdot 6! = 6 \cdot 720 = 4320 < 10\,000\). Für \(n=7\): \(7 \cdot 7! = 7 \cdot 5040 = 35\,280 > 10\,000\). Somit ist \(n=7\) das kleinste \(n\), das die Bedingung erfüllt. 3. Effizienzvergleich: Die Summe \(s_n\) konvergiert sehr schnell gegen \(e\), da die Fakultät im Nenner extrem schnell wächst. Bereits für kleine \(n\) erhält man viele korrekte Dezimalstellen. Die Folge \(a_n\) konvergiert hingegen sehr langsam; für die gleiche Genauigkeit müsste man dort ein extrem großes \(n\) wählen. Daher ist die Reihendarstellung deutlich besser geeignet.

1. \(s_5 \approx 2{,}7167\) 2. \(n = 7\) 3. Das Reihenverfahren ist effizienter, da die Glieder \(\frac{1}{n!}\) viel schneller gegen Null gehen als die Differenz bei der Folge \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\).

- Überlege dir, wie sich die Funktionswerte verändern, wenn die x-Werte größer werden. - Wie hängen die Funktionswerte bei einer Exponentialfunktion zusammen, wenn die x-Werte um 1 steigen? - Du kannst ein Gleichungssystem aufstellen oder den Quotienten der y-Werte nutzen, um die Basis zu finden. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der allgemeinen Basis \(a\) und der Basis \(e\). - Für die Ableitung einer Funktion der Form \(e^{kx}\) benötigst du die Kettenregel.

1. Analyse der Punkte: Da der Funktionswert von \(x = 1\) (\(f(1) = 45\)) zu \(x = 2\) (\(f(2) = 135\)) ansteigt, handelt es sich um einen Wachstumsprozess. 2. Berechnung des Wachstumsfaktors \(a\): Aus dem Quotienten der Funktionswerte folgt \(a = \frac{f(2)}{f(1)} = \frac{135}{45} = 3\). 3. Berechnung des Anfangswerts \(b\): Einsetzen von \(P(1 \mid 45)\) in \(45 = b \cdot 3^1\) ergibt \(b = 15\). Die Funktion lautet \(f(x) = 15 \cdot 3^x\). 4. Darstellung zur Basis \(e\): Mit \(3 = e^{\ln(3)}\) folgt \(f(x) = 15e^{\ln(3)x}\). 5. Ableitung und Steigung: Der Ableitungsterm ist \(f'(x) = 15 \cdot \ln(3) \cdot e^{\ln(3)x}\) (oder \(f'(x) = 15 \cdot \ln(3) \cdot 3^x\)). Die Steigung bei \(x = 0\) beträgt \(f'(0) = 15 \cdot \ln(3) \cdot 3^0 = 15 \cdot \ln(3) \approx 16{,}48\).

a) Wachstumsprozess, da der Funktionswert bei steigendem \(x\) zunimmt (\(135 > 45\)). b) \(a = 3\); \(b = 15\) c) \(f(x) = 15e^{\ln(3)x}\); \(f'(x) = 15 \cdot \ln(3) \cdot e^{\ln(3)x}\); \(f'(0) = 15 \cdot \ln(3) \approx 16{,}48\)

- Welche Auswirkung hat eine Verschiebung im Argument der Funktion auf den Funktionsterm? - Erinnerst du dich an die Potenzgesetze für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis? - Wie lässt sich ein konstanter Faktor vor der Funktionsgleichung als Potenz zur Basis \(e\) umschreiben? - Überlege dir, wie das Vorzeichen im Exponenten die Richtung der Verschiebung beeinflusst.

1. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung entspricht der Abbildung \(x \mapsto x + 3\). Damit gilt \(g(x) = f(x+3) = e^{x+3}\). 2. Unter Verwendung der Potenzgesetze ergibt sich \(e^{x+3} = e^3 \cdot e^x\). Dies entspricht der Form \(k \cdot f(x)\) mit dem Streckungsfaktor \(k = e^3\). 3. Für den Graphen \(G_h\) gilt \(h(x) = k \cdot f(x) = \frac{1}{e^2} \cdot e^x\). 4. Durch Umschreiben als Potenz zur Basis \(e\) erhält man \(h(x) = e^{-2} \cdot e^x = e^{x-2}\). 5. Ein Funktionsterm der Form \(f(x - x_0)\) beschreibt eine Verschiebung um \(x_0\) in \(x\)-Richtung. Hier ist \(x_0 = 2\). Da \(x_0 > 0\), erfolgt die Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung.

a) \(g(x) = e^3 \cdot e^x\); der Streckungsfaktor ist \(k = e^3\). b) \(x_0 = 2\); die Verschiebung erfolgt um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung.

- Was bedeutet eine Spiegelung an der \(y\)-Achse für den Funktionsterm? - Wie wendest du die Kettenregel auf \(e^{-x}\) an? - Setze die Terme gleich und löse nach \(x\) auf. - Untersuche die notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema mithilfe der Ableitungen. - Welche Rechenregel für Potenzen mit gleicher Basis kannst du hier anwenden?

1. Wahr: Es gilt \(g(x) = e^{-x} = f(-x)\). Die Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) entspricht geometrisch einer Spiegelung an der \(y\)-Achse. 2. Wahr: Nach der Ableitungsregel für die natürliche Exponentialfunktion gilt \(f'(x) = e^x = f(x)\). Mit der Kettenregel folgt \(g'(x) = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x} = -g(x)\). 3. Wahr: Die Gleichung \(e^x = e^{-x}\) führt durch Multiplikation mit \(e^x\) zu \(e^{2x} = 1\). Logarithmieren ergibt \(2x = \ln(1) = 0\), also \(x = 0\). Dies ist die einzige Lösung. 4. Falsch: Die erste Ableitung ist \(s'(x) = e^x - e^{-x}\). Mit \(s'(0) = 1 - 1 = 0\) liegt ein kritischer Punkt vor. Die zweite Ableitung \(s''(x) = e^x + e^{-x}\) ist an der Stelle \(x = 0\) positiv (\(s''(0) = 2 > 0\)), folglich liegt ein lokales Minimum vor. 5. Wahr: Nach den Potenzgesetzen gilt \(e^x \cdot e^{-x} = e^{x + (-x)} = e^0 = 1\).

(1) Wahr (2) Wahr (3) Wahr (4) Falsch (5) Wahr

- Betrachte das Vorzeichen der ersten Ableitung. - Untersuche das Grenzverhalten der Funktion für sehr kleine (negativ unendliche) Werte von \(x\). - Berechne den Wert der ersten Ableitung an der angegebenen Stelle. - Löse die Gleichung \(h(x) = 0\) nach \(x\) auf und nutze Logarithmengesetze. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über das Krümmungsverhalten aus?

1. Wahr: Die Ableitung \(h'(x) = -0{,}5e^{0{,}5x}\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) negativ, da die Exponentialfunktion stets positive Werte liefert. 2. Falsch: Für \(x \to -\infty\) nähert sich \(e^{0{,}5x}\) dem Wert \(0\) an, woraus \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = 2\) folgt. Die waagerechte Asymptote lautet somit \(y = 2\). 3. Wahr: Es gilt \(h'(0) = -0{,}5 \cdot e^{0{,}5 \cdot 0} = -0{,}5 \cdot 1 = -0{,}5\). 4. Wahr: Die Nullstellenbedingung \(2 - e^{0{,}5x} = 0\) führt zu \(e^{0{,}5x} = 2\). Logarithmieren ergibt \(0{,}5x = \ln(2)\), also \(x = 2\ln(2)\). Nach den Logarithmengesetzen ist dies gleich \(\ln(2^2) = \ln(4)\). 5. Wahr: Die zweite Ableitung \(h''(x) = -0{,}25e^{0{,}5x}\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) negativ, was einer Rechtskrümmung entspricht.

(1) Wahr (2) Falsch (3) Wahr (4) Wahr (5) Wahr

- Wie kann man jede positive Zahl mithilfe der Basis \(e\) und des natürlichen Logarithmus ausdrücken? - Welche Auswirkung hat eine Spiegelung an der \(y\)-Achse auf die Variable \(x\) im Funktionsterm? - Erinnere dich an die Bedeutung negativer Exponenten: Was bedeutet \(a^{-1}\)?

1. Jede Exponentialfunktion der Form \(f(x) = b^x\) lässt sich mit der Identität \(b = e^{\ln(b)}\) umschreiben zu \(f(x) = (e^{\ln(4)})^x = e^{\ln(4) \cdot x}\). 2. Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) im Funktionsterm erreicht. Es gilt \(g(x) = f(-x) = 4^{-x}\). Mithilfe der Potenzgesetze folgt \(4^{-x} = (4^{-1})^x = \left(\frac{1}{4}\right)^x\). In der Basis \(e\) ausgedrückt ergibt sich durch Einsetzen von \(-x\) in das Ergebnis aus Teilaufgabe 1: \(g(x) = e^{\ln(4) \cdot (-x)} = e^{-\ln(4) \cdot x}\).

1. \(f(x) = e^{\ln(4) \cdot x}\) 2. \(g(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x\) und \(g(x) = e^{-\ln(4) \cdot x}\)

- Überlege, wie du eine Zahl mithilfe der Umkehrfunktion des Logarithmus umschreiben kannst. - Wann wird das Ergebnis einer Potenz kleiner, wenn der Exponent größer wird? - Welches Vorzeichen haben Logarithmuswerte von Zahlen, die kleiner als 1 sind? - Kann das Potenzieren einer positiven Zahl jemals zu Null oder einem negativen Ergebnis führen?

1. Durch Anwendung der Identität \(b = e^{\ln(b)}\) ergibt sich \(b^x = (e^{\ln(b)})^x = e^{x \cdot \ln(b)}\). Der Vergleich mit \(e^{kx}\) liefert \(k = \ln(b)\). 2. Eine Exponentialfunktion \(b^x\) ist streng monoton fallend, wenn die Basis \(b\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt (\(0 < b < 1\)). Da der natürliche Logarithmus für Werte im Intervall \(]0; 1[\) negativ ist, entspricht dies der Bedingung \(k < 0\). Da \(g'(x) = ke^{kx}\) und \(e^{kx} > 0\) gilt, ist \(g'(x) < 0\) genau dann, wenn \(k < 0\). 3. Der Wertebereich ist \(W = ]0; \infty[\). Da die Basis \(b\) positiv ist, ergibt jede Potenz \(b^x\) für reelle \(x\) einen positiven Wert. Da es keinen Exponenten \(x\) gibt, für den \(b^x = 0\) gilt, nähert sich der Graph der \(x\)-Achse zwar asymptotisch an, erreicht sie jedoch nie.

1. \(k = \ln(b)\) 2. Für \(0 < b < 1\) ist die Funktion streng monoton fallend; dies entspricht \(k < 0\), da \(\ln(b) < 0\) für \(b < 1\). 3. Wertebereich \(W = ]0; \infty[\); die \(x\)-Achse ist eine waagrechte Asymptote, da \(b^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\).

- Was passiert mit einem Funktionswert, wenn du die gesamte Funktion mit einer Zahl multiplizierst? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine Unbekannte in einer Gleichung zu finden? - Denke an die Wirkung von Faktoren vor einem Funktionsterm auf die Form des Graphen. - Was bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm für die Lage der Punkte im Koordinatensystem?

1. Einsetzen des Punktes \(P(3 \mid 2)\) in die Funktionsgleichung: \(2 = a \cdot 2^3\). Auflösen der Gleichung nach \(a\): \(2 = 8 \cdot a \implies a = \frac{2}{8} = 0{,}25\). 2. Der Parameter \(a\) bewirkt eine Streckung oder Stauchung des Graphen in \(y\)-Richtung. Für \(|a| > 1\) wird der Graph gestreckt, für \(0 < |a| < 1\) wird er gestaucht. Ein negatives Vorzeichen von \(a\) bedeutet zusätzlich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Speziell für \(a = -1\) findet lediglich eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse statt.

1. \(a = 0{,}25\) 2. \(a\) ist der Streckfaktor in \(y\)-Richtung. Für \(|a| > 1\) liegt eine Streckung vor, für \(0 < |a| < 1\) eine Stauchung. Ist \(a < 0\), wird der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt. Bei \(a = -1\) handelt es sich um eine reine Spiegelung an der \(x\)-Achse.

- Wie findet man den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Welche Rolle spielt das Vorzeichen und der Betrag des Faktors vor der Potenz? - Überlege dir, wie sich die \(y\)-Werte verändern, wenn \(x\) größer wird, und wie das Minuszeichen diese Änderung beeinflusst. - Erinnere dich an den Verlauf von Exponentialfunktionen mit einer Basis zwischen 0 und 1.

1. Berechnung der \(y\)-Achsenabschnitte durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 0{,}5^0 = 1\), also \(S_y(f)(0 \mid 1)\). Für \(h\) gilt \(h(0) = -3 \cdot 0{,}5^0 = -3 \cdot 1 = -3\), also \(S_y(h)(0 \mid -3)\). 2. Der Graph von \(f\) wird mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt und anschließend an der \(x\)-Achse gespiegelt (oder direkt mit dem Faktor \(-3\) in \(y\)-Richtung gestreckt). 3. Die Grundfunktion \(f(x) = 0{,}5^x\) ist streng monoton fallend, da die Basis im Intervall \(0 < b < 1\) liegt. Durch die Multiplikation mit dem negativen Faktor \(-3\) werden alle Funktionswerte an der \(x\)-Achse gespiegelt. Dadurch kehrt sich das Monotonieverhalten um: Aus fallenden Werten werden weniger negative Funktionswerte, also steigende Funktionswerte.

1. \(S_y(f)(0 \mid 1)\) und \(S_y(h)(0 \mid -3)\) 2. Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(3\) und Spiegelung an der \(x\)-Achse. 3. \(f\) ist streng monoton fallend (\(0{,}5 < 1\)). Die Spiegelung an der \(x\)-Achse durch den negativen Faktor \(-3\) kehrt die Monotonie um, sodass \(h\) streng monoton steigt.

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt die Lage der waagerechten Asymptote? - Wie findest du den Schnittpunkt einer Geraden mit der \(y\)-Achse? - Setze die bekannten Informationen Schritt für Schritt in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn du für \(x\) die Null einsetzt?

1. Die waagerechte Asymptote einer Funktion der Form \(h(x) = ae^x + c\) für \(x \to -\infty\) ist durch den Wert der vertikalen Verschiebung gegeben, also \(y = c\). Da die Asymptote \(y = -2\) vorgegeben ist, folgt direkt \(c = -2\). 2. Die Gerade \(y = x + 1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(x = 0\). Der \(y\)-Wert an dieser Stelle ist \(y = 0 + 1 = 1\). Somit verläuft der Graph von \(h\) durch den Punkt \(P(0 \mid 1)\). 3. Durch Einsetzen der Koordinaten von \(P\) in den Ansatz \(h(x) = ae^x - 2\) erhält man die Gleichung \(1 = a \cdot e^0 - 2\). 4. Da \(e^0 = 1\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(1 = a - 2\). Daraus folgt \(a = 3\). 5. Der gesuchte Funktionsterm ist \(h(x) = 3e^x - 2\).

\(a = 3\), \(c = -2\); der Funktionsterm lautet \(h(x) = 3e^x - 2\).

- Wie verändert sich ein Funktionsterm allgemein, wenn der Graph entlang der \(x\)-Achse verschoben wird? - Welches Potenzgesetz erlaubt es dir, eine Differenz im Exponenten als Produkt oder Quotienten zu schreiben? - Vergleiche am Ende dein Ergebnis mit der gewünschten Form der Gleichung.

1. Eine Verschiebung um \(4\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung entspricht der Transformation \(g(x) = f(x - 4)\). 2. Einsetzen der Funktion \(f(x) = e^x\) ergibt \(g(x) = e^{x-4}\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes \(a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}\) führt zu \(g(x) = e^x \cdot e^{-4}\). 4. Durch Vergleich mit der Form \(g(x) = ke^x\) ergibt sich die Konstante \(k = e^{-4}\) (oder \(k = \frac{1}{e^4}\)).

\(k = e^{-4}\) (oder \(k = \frac{1}{e^4}\))

- Setze die allgemeine Form für eine Verschiebung in \(x\)-Richtung mit dem gegebenen Funktionsterm gleich. - Kannst du die Zahl \(3\) als Potenz zur Basis \(e\) umschreiben? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen beim Verschiebungswert für die Richtung auf der Achse?

1. Ansatz für eine Verschiebung um \(d\) Einheiten in \(x\)-Richtung: \(h(x) = f(x - d) = e^{x - d}\). 2. Gleichsetzen mit dem gegebenen Term: \(e^{x - d} = 3e^x\). 3. Anwendung der Potenzgesetze: \(e^x \cdot e^{-d} = 3e^x\). 4. Division durch \(e^x\) liefert \(e^{-d} = 3\). 5. Auflösen nach \(d\) mittels des natürlichen Logarithmus: \(-d = \ln(3)\), also \(d = -\ln(3)\). 6. Da \(d\) negativ ist, entspricht dies einer Verschiebung um \(\ln(3)\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links).

Verschiebung um \(\ln(3)\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links).

- Wie verändert sich das Vorzeichen des Funktionswerts bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse? - Wende die zweite Transformation jeweils auf das komplette Ergebnis der ersten Transformation an. - Vergleiche die beiden am Ende entstandenen Terme. Sind sie für alle \(x\) identisch?

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Multiplikation des Terms mit \(-1\), ergibt \(-e^x\). 2. Anschließende Verschiebung um 5 Einheiten nach unten: Subtraktion von 5 vom gesamten Term, ergibt \(h_1(x) = -e^x - 5\). 3. Umgekehrte Reihenfolge: Zuerst Verschiebung um 5 Einheiten nach unten ergibt \(e^x - 5\). 4. Anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse: Multiplikation des gesamten neuen Terms mit \(-1\), ergibt \(h_2(x) = -(e^x - 5) = -e^x + 5\). 5. Vergleich: Da \(-e^x - 5 \neq -e^x + 5\), führt eine Änderung der Reihenfolge zu einem anderen Ergebnis. Die Transformationen sind nicht kommutativ.

a) \(h_1(x) = -e^x - 5\) b) Die Reihenfolge spielt eine Rolle, da \(h_2(x) = -e^x + 5\) ungleich \(h_1(x) = -e^x - 5\) ist.

- Welche Werte erhältst du, wenn du immer größere Zahlen für \(n\) einsetzt? - Was passiert mit einer Zahl, die geringfügig größer als \(1\) ist, wenn man sie mit sich selbst multipliziert? - Betrachte die Entwicklung der Ergebnisse: Bewegen sie sich auf die \(1\) zu oder weg? - Gibt es in der Mathematik Fälle, in denen zwei Veränderungen in einem Term gegeneinander wirken?

1. Einsetzen der Werte ergibt: \(A(5) = (1 + \frac{1}{5})^5 = 1{,}2^5 \approx 2{,}488\); \(A(50) = (1 + \frac{1}{50})^{50} = 1{,}02^{50} \approx 2{,}692\); \(A(500) = (1 + \frac{1}{500})^{500} = 1{,}002^{500} \approx 2{,}716\). 2. In dem Term hängen sowohl die Basis als auch der Exponent von \(n\) ab. Während die Basis \(1 + \frac{1}{n}\) tatsächlich gegen \(1\) strebt (was den Gesamtwert verkleinert), strebt der Exponent \(n\) gegen unendlich (was den Gesamtwert vergrößert). Diese beiden Effekte stehen in Konkurrenz zueinander. Man darf den Grenzwert der Basis nicht einzeln bilden, wenn der Exponent nicht konstant bleibt. 3. Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl \(e\). Ihr Wert beträgt gerundet \(2{,}72\).

1. \(2{,}488\); \(2{,}692\); \(2{,}716\) 2. Basis und Exponent verändern sich gleichzeitig; die Basis nähert sich der \(1\), während der Exponent den Wert vergrößert. 3. Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}72\)

- Um zwei Funktionen direkt vergleichen zu können, ist es hilfreich, sie auf dieselbe Basis zu bringen. - Welche Zahl ist größer: \(\ln(4)\) oder \(1{,}4\)? - Wie hängen der Koeffizient im Exponenten und die Wachstumsgeschwindigkeit zusammen?

1. Umformung von \(f(x)\): Die Basis \(4\) wird als \(e^{\ln(4)}\) dargestellt. Daraus ergibt sich für die Funktion \(f(x) = (e^{\ln(4)})^x = e^{\ln(4) \cdot x}\). 2. Berechnung des Koeffizienten: Der Wert von \(\ln(4)\) wird berechnet (oder abgeschätzt). Es gilt \(\ln(4) \approx 1{,}3863\). 3. Vergleich: Die Funktion \(f(x)\) hat im Exponenten den Koeffizienten \(k_f \approx 1{,}3863\), während die Funktion \(g(x)\) den Koeffizienten \(k_g = 1{,}4\) besitzt. 4. Schlussfolgerung: Da \(1{,}4 > 1{,}3863\) gilt, ist die Steigung der Exponentialfunktion \(g(x)\) für alle \(x > 0\) größer als die von \(f(x)\). Somit steigt \(g(x)\) schneller an.

Die Funktion \(g(x) = e^{1{,}4 \cdot x}\) steigt schneller an, da die Basis \(4\) von \(f(x)\) umgeformt \(e^{\ln(4)} \approx e^{1{,}3863}\) entspricht und \(1{,}4 > 1{,}3863\) ist.

- Überlege dir, welches Vorzeichen die Ableitung einer streng monoton steigenden Funktion haben muss. - Nutze für den Nachweis der Identität die binomischen Formeln oder multipliziere die Klammern direkt aus. - Denke daran, dass eine Stammfunktion von \(s(x)\) gerade \(c(x)\) ist. - Beachte beim Einsetzen der Grenzen die Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktionen, insbesondere \(e^{\ln(a)} = a\) und \(e^{-\ln(a)} = \frac{1}{a}\).

1. Die Ableitung ist \(s'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\). Da die Exponentialfunktion \(e^k\) für alle reellen \(k\) stets positive Werte liefert, ist die Summe \(e^x + e^{-x}\) immer größer als null. Somit gilt \(s'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\); daher ist \(s\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend. 2. Einsetzen der Terme in die rechte Seite: \(2 \cdot \left[\frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\right] \cdot \left[\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\right] = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) \cdot (e^x + e^{-x})\). Anwendung der dritten binomischen Formel liefert \(\frac{1}{2} \cdot (e^{2x} - e^{-2x})\). Dies entspricht exakt der Definition von \(s(2x)\). 3. Da \(s(x) \ge 0\) für \(x \ge 0\), berechnet sich der Flächeninhalt über das Integral: \(A = \int_{0}^{\ln(2)} s(x) \, dx = [c(x)]_{0}^{\ln(2)}\). Es gilt \(c(\ln 2) = \frac{1}{2} \cdot (e^{\ln 2} + e^{-\ln 2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 + 0{,}5) = 1{,}25\) und \(c(0) = 1\). Die Fläche beträgt somit \(1{,}25 - 1 = 0{,}25\) Flächeneinheiten.

1. \(s'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}) > 0\) für alle \(x\) 2. \(2 \cdot s(x) \cdot c(x) = \dots = \frac{1}{2} \cdot (e^{2x} - e^{-2x}) = s(2x)\) 3. \(A = 0{,}25\)

- Untersuche die Definitionsmenge jeder Funktion. Gibt es Stellen, an denen eine Funktion nicht definiert ist? - Betrachte markante Punkte wie Nullstellen oder den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. - Analysiere das Verhalten der Graphen für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte (\(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\)). - Überprüfe, ob einer der Graphen oder eine der Funktionsgleichungen eine Symmetrie (z. B. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse) aufweist.

1. Analyse von \(G_1\): Der Graph besitzt zwei Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 1\) sowie den \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0 \mid -1)\). Für \(x \to \infty\) nähert er sich asymptotisch der \(x\)-Achse an. Dies entspricht der Funktion \(f_4(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}\), da der Faktor \((x^2 - 1)\) die Nullstellen bei \(\pm 1\) erzeugt und \(f_4(0) = -1\) gilt. 2. Analyse von \(G_2\): Der Graph ist für \(x = 0\) nicht definiert und besitzt dort eine senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel. Für \(x \to \infty\) steigt er steil an, für \(x \to -\infty\) nähert er sich asymptotisch der \(x\)-Achse von unten an. Dies entspricht der Funktion \(f_3(x) = \frac{e^x}{x}\), welche bei \(x = 0\) eine Definitionslücke besitzt. 3. Analyse von \(G_3\): Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse mit dem Maximum bei \((0 \mid 2)\) und nähert sich für \(x \to \pm\infty\) der \(x\)-Achse an. Dies entspricht der Funktion \(f_1(x) = 2e^{-x^2}\), da \(f_1(-x) = f_1(x)\) gilt und \(f_1(0) = 2\) ist. 4. Ausschluss von \(f_2\): Die verbleibende Funktion \(f_2(x) = x^2 \cdot e^{-x}\) ist für alle \(x\) nichtnegativ und besitzt eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\), was auf keinen der abgebildeten Graphen zutrifft.

\(G_1\) gehört zu \(f_4(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}\), \(G_2\) zu \(f_3(x) = \frac{e^x}{x}\) und \(G_3\) zu \(f_1(x) = 2e^{-x^2}\); \(f_2(x) = x^2 \cdot e^{-x}\) bleibt übrig.

- Berechne für jede Funktion den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\), um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bestimmen. - Bestimme die Nullstellen der Funktionen, indem du die Terme gleich Null setzt. Denke daran, dass der Faktor \(e^x\) bzw. \(e^{-x}\) niemals Null wird. - Untersuche das Verhalten der Funktionen für sehr große positive und sehr kleine negative x-Werte (\(x \to \pm\infty\)). Gibt es waagrechte Asymptoten? - Vergleiche deine Ergebnisse mit den Verläufen und Achsenschnittpunkten in den Graphen A, B und C.

1. Zuordnung für \(f(x) = (x - 2) \cdot e^x\): - Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen: \(f(0) = (0 - 2) \cdot e^0 = -2\). - Nullstelle bestimmen: \(f(x) = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2\). - Grenzverhalten untersuchen: Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Term \(e^x\) der Null, also gilt \(f(x) \to 0\). - Diese Eigenschaften (Schnittpunkt \((0 \mid -2)\), Nullstelle bei \(x = 2\), linksseitige Asymptote \(y = 0\)) treffen ausschließlich auf **Graph A** zu. 2. Zuordnung für \(g(x) = 3 - e^x\): - Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen: \(g(0) = 3 - e^0 = 2\). - Grenzverhalten untersuchen: Für \(x \to -\infty\) gilt \(e^x \to 0\), also \(g(x) \to 3\). - Diese Eigenschaften (Schnittpunkt \((0 \mid 2)\), linksseitige Asymptote \(y = 3\)) treffen ausschließlich auf **Graph B** zu. 3. Zuordnung für \(h(x) = x \cdot e^{-x}\): - Schnittpunkt mit der y-Achse und Nullstelle berechnen: \(h(0) = 0 \cdot e^0 = 0\), somit liegt der Schnittpunkt im Ursprung \((0 \mid 0)\). - Grenzverhalten untersuchen: Für \(x \to \infty\) dominiert die e-Funktion im Nenner, sodass \(h(x) \to 0\) gilt. - Diese Eigenschaften (Verlauf durch den Ursprung, rechtsseitige Asymptote \(y = 0\)) treffen ausschließlich auf **Graph C** zu.

Funktion 1) \(f(x) = (x - 2) \cdot e^x\) gehört zu Graph A, Funktion 2) \(g(x) = 3 - e^x\) zu Graph B und Funktion 3) \(h(x) = x \cdot e^{-x}\) zu Graph C.

- Überlege, welche Werte die Funktion \(f(x)\) laut Graph annehmen kann. - Wie verhält sich die \(e\)-Funktion, wenn ihr Exponent größer oder kleiner wird? - Erinnere dich an die Kettenregel: \(g'(x) = \text{äußere Ableitung} \cdot \text{innere Ableitung}\). Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der inneren Ableitung?

1. Definitionsmenge: Die Exponentialfunktion ist für alle reellen Zahlen definiert. Da \(f\) eine ganzrationale Funktion (Parabel) ist, die überall definiert ist, gilt \(D_g = \mathbb{R}\). 2. Wertebereich: Aus dem Graphen von \(f\) liest man den Scheitelpunkt \(S(0 \mid 1)\) ab. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(f(x) \leq 1\). Da die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist, folgt \(g(x) = e^{f(x)} \leq e^1 = e\). Da \(e^{f(x)}\) stets positiv ist, ist der Wertebereich \(W_g = (0; e]\). 3. Monotonie: Die Ableitung ist \(g'(x) = f'(x) \cdot e^{f(x)}\). Da \(e^{f(x)}\) immer positiv ist, hängt das Vorzeichen von \(g'\) nur von \(f'\) ab. \(f\) steigt für \(x < 0\) (\(f'(x) > 0\)), also steigt dort auch \(g\). \(f\) fällt für \(x > 0\) (\(f'(x) < 0\)), also fällt dort auch \(g\).

a) \(D_g = \mathbb{R}\). b) \(W_g = (0; e]\). c) \(g\) ist streng monoton steigend für \(x \in (-\infty; 0]\) und streng monoton fallend für \(x \in [0; \infty)\).

- Überprüfe zuerst, wo die Graphen die \(y\)-Achse schneiden, indem du \(x = 0\) in die Funktionsterme einsetzt. - Achte auf das Verhalten der Graphen für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte (Asymptoten). - Untersuche, ob ein Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse verläuft. Was bedeutet das für den Funktionsterm? - Suche nach Nullstellen: Für welchen \(x\)-Wert wird der gesamte Term null?

1. Graph a) gehört zu \(f_1(x) = e^x - 2\). Der \(y\)-Achsenschnittpunkt liegt bei \(f_1(0) = e^0 - 2 = -1\). Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Graph der waagrechten Asymptote \(y = -2\) an. 2. Graph b) gehört zu \(f_2(x) = 2e^{-x}\). Die Funktion ist streng monoton fallend und hat den \(y\)-Achsenschnittpunkt bei \(f_2(0) = 2 \cdot e^0 = 2\). Die \(x\)-Achse (\(y=0\)) ist die waagrechte Asymptote für \(x \to \infty\). 3. Graph c) gehört zu \(f_3(x) = 4e^{-0{,}2x^2}\). Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da nur \(x^2\) vorkommt. Das Maximum liegt bei \(x = 0\) mit \(f_3(0) = 4\). 4. Graph d) gehört zu \(f_4(x) = (x-1) \cdot e^x\). Die Funktion hat eine Nullstelle bei \(x = 1\), da der Faktor \((x-1)\) dort null wird. Der \(y\)-Achsenschnittpunkt liegt bei \(f_4(0) = -1\).

Graph a) gehört zu \(f_1(x) = e^x - 2\), Graph b) zu \(f_2(x) = 2e^{-x}\), Graph c) zu \(f_3(x) = 4e^{-0{,}2x^2}\) und Graph d) zu \(f_4(x) = (x-1) \cdot e^x\).

- Setze einen speziellen Wert für \(x\) ein, um den Schnittpunkt zu prüfen. - Überlege dir, wie sich die Änderung des Vorzeichens im Argument (von \(x\) zu \(-x\)) geometrisch auswirkt. - Skizziere im Kopf den Verlauf der Steigungen: Eine Funktion wächst, die andere fällt. Können sie je die gleiche Steigung haben? - Nutze die Potenzgesetze, um das Produkt der beiden Funktionsterme zu vereinfachen. - Unterscheide genau zwischen dem Verhalten für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\).

1. Schnittpunktprüfung: \(f(0) = e^0 = 1\) und \(g(0) = e^{-0} = 1\). Beide Graphen verlaufen durch \((0|1)\). Die Aussage ist wahr. 2. Symmetriebetrachtung: Da \(g(x) = f(-x)\) gilt, handelt es sich um eine Spiegelung an der \(y\)-Achse, nicht an der \(x\)-Achse. Die Aussage ist falsch. 3. Vergleich der Ableitungen: \(f'(x) = e^x\) und \(g'(x) = -e^{-x}\). Da \(e^x\) immer positiv und \(-e^{-x}\) immer negativ ist, können die Steigungen nie gleich sein. Die Aussage ist falsch. 4. Untersuchung der Produktfunktion: \(h(x) = e^x \cdot e^{-x} = e^{x-x} = e^0 = 1\). Dies ist die konstante Funktion \(h(x) = 1\), deren Graph eine Parallele zur \(x\)-Achse ist. Die Aussage ist wahr. 5. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} e^x = \infty\) (Graph von \(f\) steigt unbegrenzt) und \(\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0\) (Graph von \(g\) nähert sich der \(x\)-Achse). Nur einer der Graphen zeigt dieses Verhalten. Die Aussage ist falsch.

1. Wahr 2. Falsch 3. Falsch 4. Wahr 5. Falsch

- Versuche zuerst, den Exponenten so umzuformen, dass der Faktor vor dem \(x\) ausgeklammert ist. - Überlege, wie der Faktor im Exponenten die Streckung oder Stauchung entlang der \(x\)-Achse beeinflusst. - Achte auf das Vorzeichen vor der Exponentialfunktion und was es für die Orientierung des Graphen bedeutet. - Welche Zahl im Funktionsterm bestimmt die waagerechte Asymptote des Graphen?

1. Umformung des Exponenten durch Ausklammern von \(0{,}5\): \(g(x) = -2e^{0{,}5(x - 2)} + 4\). 2. Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) (da \(\frac{1}{0{,}5} = 2\)), was zu \(e^{0{,}5x}\) führt. 3. Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts), was zu \(e^{0{,}5(x-2)}\) führt. 4. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) und Spiegelung an der \(x\)-Achse, was zu \(-2e^{0{,}5(x-2)}\) führt. 5. Verschiebung um \(4\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung (nach oben), was die finale Funktion \(g(x) = -2e^{0{,}5x - 1} + 4\) ergibt.

Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f(x) = e^x\) durch: 1. Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\). 2. Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. 3. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\). 4. Spiegelung an der \(x\)-Achse. 5. Verschiebung um \(4\) Einheiten nach oben.

- Kannst du den Exponenten so umformen, dass die Verschiebung in \(x\)-Richtung deutlicher wird? - Welche Transformation wird durch ein negatives Vorzeichen direkt vor dem \(x\) im Exponenten bewirkt? - Wie beeinflusst der konstante Summand am Ende des Funktionsterms das Verhalten der Funktion für sehr große \(x\)-Werte? - Überlege dir, was mit dem Graphen passiert, wenn man den gesamten Term mit \(-1\) multipliziert.

1. Der Exponent \(3-x\) kann als \(-(x-3)\) geschrieben werden. 2. Spiegelung an der \(y\)-Achse: Übergang von \(e^x\) zu \(e^{-x}\). 3. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts: Übergang von \(e^{-x}\) zu \(e^{-(x-3)} = e^{3-x}\). 4. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Übergang von \(e^{3-x}\) zu \(-e^{3-x}\). 5. Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben: Addition der Konstanten \(5\), woraus \(k(x) = -e^{3-x} + 5\) resultiert. (Hinweis: Die Reihenfolge der Spiegelungen und Verschiebungen kann variieren, solange sie mathematisch konsistent auf den Term führen.) 6. Asymptote: Für \(x \to \infty\) geht der Exponent \(3-x \to -\infty\), womit der Term \(e^{3-x}\) gegen \(0\) strebt. Der Funktionswert nähert sich somit dem Wert \(5\) an. Die waagerechte Asymptote lautet \(y = 5\).

Transformationen: Spiegelung an der \(y\)-Achse, Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts (oder Spiegelung an der \(y\)-Achse nach einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links), Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben. Waagerechte Asymptote: \(y = 5\).

- Überlege dir, welche Ableitung du für die Berechnung von Extrempunkten benötigst. - Wie findet man die Stelle der steilsten Steigung oder des steilsten Abfalls bei einer Funktion? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer bestimmten Stelle. - Was passiert mit einem Term der Form \(t \cdot e^{-kt}\), wenn die Zeit immer weiter fortschreitet?

1. Zur Bestimmung des Maximums wird die erste Ableitung gebildet: \(c'(t) = 8 \cdot e^{-0{,}25t} + 8t \cdot (-0{,}25) \cdot e^{-0{,}25t} = (8 - 2t) \cdot e^{-0{,}25t}\). 2. Die Bedingung \(c'(t) = 0\) führt auf \(8 - 2t = 0\), also \(t = 4\). Die maximale Konzentration beträgt \(c(4) = 32 \cdot e^{-1} \approx 11{,}77\,\text{mg/l}\). 3. Für die stärkste Abnahme wird das Minimum der ersten Ableitung (Wendepunkt) gesucht: \(c''(t) = -2 \cdot e^{-0{,}25t} + (8 - 2t) \cdot (-0{,}25) \cdot e^{-0{,}25t} = (0{,}5t - 4) \cdot e^{-0{,}25t}\). 4. Die Bedingung \(c''(t) = 0\) ergibt \(0{,}5t = 4\), also \(t = 8\). Da \(c'''(8) > 0\) und die Steigung negativ ist, liegt hier die stärkste Abnahme vor. 5. Für die Tangente bei \(t = 6\) berechnet man \(c(6) = 48 \cdot e^{-1{,}5} \approx 10{,}71\) und \(c'(6) = (8 - 12) \cdot e^{-1{,}5} = -4 \cdot e^{-1{,}5} \approx -0{,}89\). 6. Die Tangentengleichung lautet \(y = -4 \cdot e^{-1{,}5} \cdot (t - 6) + 48 \cdot e^{-1{,}5}\). Die Nullstelle der Tangente liegt bei \(t = 18\), da \(0 = -4 \cdot e^{-1{,}5} \cdot (t - 18)\). Das sind \(18 - 6 = 12\) weitere Stunden nach Beginn der Maßnahme. 7. Der Grenzwert für \(t \to \infty\) ist \(\lim_{t \to \infty} (8t \cdot e^{-0{,}25t}) = 0\). Dies bedeutet, dass das Medikament langfristig vollständig aus dem Blut ausgeschieden wird.

a) Maximum nach \(4\,\text{Stunden}\); Konzentration ca. \(11{,}77\,\text{mg/l}\). b) Stärkste Abnahme nach \(8\,\text{Stunden}\). c) Nach \(12\,\text{weiteren Stunden}\), also \(18\,\text{Stunden}\) nach der Einnahme, erreicht die linear fortgesetzte Konzentration den Wert \(0\). d) Der Grenzwert ist \(0\); das Medikament wird langfristig komplett abgebaut.

- Nutze die Produktregel für die Ableitung, da die Variable \(t\) sowohl in der Potenz als auch im Exponenten vorkommt. - Überlege dir bei der Interpretation, was die Differenz zwischen zwei Funktionswerten zu verschiedenen Zeitpunkten aussagt. - Betrachte den Funktionsterm als Summe zweier Teile: Welcher Teil verschwindet für sehr große \(t\)? - Untersuche die Lage der Extremstelle in Abhängigkeit von den Parametern \(a\) und \(b\).

1. Berechnung der ersten Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: \(T'(t) = 20t \cdot e^{-0{,}5t} + 10t^2 \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t} = (20t - 5t^2) \cdot e^{-0{,}5t}\). 2. Nullstellen der Ableitung: \(5t(4 - t) = 0\) liefert \(t = 0\) (Minimum) und \(t = 4\) (Maximum). 3. Die maximale Temperatur beträgt \(T(4) = 10 \cdot 16 \cdot e^{-2} + 20 = 160 \cdot e^{-2} + 20 \approx 41{,}65\,^\circ\text{C}\). 4. Die Gleichung \(T(t+2) = T(t) - 4\) bedeutet, dass die Temperatur innerhalb eines Zeitintervalls von zwei Stunden genau um \(4\,^\circ\text{C}\) sinkt. 5. Der Grenzwert für \(t \to \infty\) der Funktion \(10t^2 \cdot e^{-0{,}5t}\) ist \(0\). Somit nähert sich die Temperatur \(T(t)\) langfristig dem Wert \(20\,^\circ\text{C}\) an (Umgebungstemperatur). 6. Der Zeitpunkt des Maximums liegt allgemein bei \(t_{\max} = \frac{2}{b}\). Um den Zeitpunkt zu verringern (früheres Maximum), muss \(b\) vergrößert werden. 7. Der Wert des Maximums ist \(T(t_{\max}) = a \cdot \left(\frac{2}{b}\right)^2 \cdot e^{-2} + c\). Eine Vergrößerung von \(b\) verringert bereits den Wert des Maximums. Eine zusätzliche Verringerung von \(a\) senkt die Spitze weiter ab.

a) Maximale Temperatur ca. \(41{,}65\,^\circ\text{C}\) nach \(4\,\text{Stunden}\). b) Innerhalb von zwei Stunden sinkt die Temperatur um genau \(4\,^\circ\text{C}\). c) Die Temperatur nähert sich langfristig \(20\,^\circ\text{C}\) an. d) Der Parameter \(b\) muss vergrößert werden (früheres Maximum); \(a\) sollte verkleinert werden (niedrigeres Maximum).

- Was bedeutet es für die Ableitung einer Funktion, wenn ein Wert „am stärksten zunimmt“? - Welche Ableitung musst du untersuchen, um die maximale Steigung einer Funktion zu finden? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Wendepunkte.

1. Erste Ableitung bilden: \(v'(t) = -1 \cdot e^{0{,}05t} + (50 - t) \cdot 0{,}05 \cdot e^{0{,}05t} = (1{,}5 - 0{,}05t) \cdot e^{0{,}05t}\). 2. Zweite Ableitung bilden, um die Änderung der Rate zu untersuchen: \(v''(t) = -0{,}05 \cdot e^{0{,}05t} + (1{,}5 - 0{,}05t) \cdot 0{,}05 \cdot e^{0{,}05t} = (0{,}025 - 0{,}0025t) \cdot e^{0{,}05t}\). 3. Bedingung für die maximale Zunahme (Wendepunkt der Rate): \(v''(t) = 0\). 4. Nullstelle berechnen: \(0{,}025 - 0{,}0025t = 0 \implies 0{,}0025t = 0{,}025 \implies t = 10\). 5. Überprüfung der dritten Ableitung: \(v'''(t) = (-0{,}00125 - 0{,}000125t) \cdot e^{0{,}05t}\). Da \(v'''(10) = -0{,}0025 \cdot e^{0{,}5} < 0\), liegt ein Maximum der Steigung (Zunahme) bei \(t = 10\) vor.

Die Verkaufsrate nimmt nach genau 10 Tagen am stärksten zu.

- Wie verändert sich der Funktionsterm einer Funktion, wenn ihr Graph in \(x\)-Richtung gestreckt wird? - Welches Potenzgesetz erlaubt es, ein Produkt im Exponenten als Potenz einer Potenz zu schreiben? - Kannst du die Basis \(5\) als Potenz zur Basis \(e\) ausdrücken? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und dem natürlichen Logarithmus.

1. Eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(d\) wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \(\frac{x}{d}\) im Funktionsterm beschrieben. Für \(d = 2\) gilt: \(g(x) = f(\frac{x}{2}) = e^{\frac{1}{2}x}\). 2. Anwendung der Potenzgesetze (\((a^m)^n = a^{mn}\)) ergibt \(g(x) = (e^{\frac{1}{2}})^x\). Die Basis ist somit \(b = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}\). 3. Die Funktion \(h(x) = 5^x\) soll als \(f(\frac{x}{d}) = e^{\frac{1}{d}x}\) dargestellt werden. Es muss also gelten: \(e^{\frac{1}{d}x} = 5^x\). 4. Durch Logarithmieren beider Seiten oder Basiswechsel folgt \(\frac{1}{d} = \ln(5)\). 5. Auflösen nach \(d\) ergibt \(d = \frac{1}{\ln(5)}\). Die numerische Berechnung liefert \(d \approx 0{,}621\).

a) \(g(x) = (e^{\frac{1}{2}})^x = (\sqrt{e})^x\); die Basis ist \(b = \sqrt{e}\). b) \(d = \frac{1}{\ln(5)} \approx 0{,}621\).

- Welchen kleinsten Wert kann eine einfache Exponentialfunktion \(e^x\) niemals erreichen? - Wie gehst du vor, um eine Gleichung nach einer Variablen aufzulösen, die im Exponenten steht? - Was weißt du über den Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit?

1. Da \(e^{0{,}5x}\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positive Werte annimmt und für \(x \to -\infty\) gegen \(0\) strebt, nähert sich \(f(x)\) dem Wert \(-4\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -4\). Da die Funktion streng monoton steigt, ist der Wertebereich \(W_f = ]-4; \infty[\). 2. Zur Bestimmung der Umkehrfunktion wird \(y = 2e^{0{,}5x} - 4\) nach \(x\) aufgelöst: \(y + 4 = 2e^{0{,}5x} \Rightarrow \frac{y+4}{2} = e^{0{,}5x} \Rightarrow 0{,}5x = \ln\left(\frac{y+4}{2}\right) \Rightarrow x = 2 \cdot \ln\left(\frac{y+4}{2}\right)\). Die Umkehrfunktion lautet \(f^{-1}(x) = 2\ln\left(\frac{x+4}{2}\right)\) mit \(D_{f^{-1}} = W_f = ]-4; \infty[\). 3. Die Ableitungsfunktion \(f'(x) = 2 \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x}\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) größer als \(0\). Da die Funktion somit auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend ist, ist sie injektiv und damit umkehrbar.

a) \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y > -4\}\); waagerechte Asymptote \(y = -4\). b) \(f^{-1}(x) = 2\ln\left(\frac{x+4}{2}\right)\) (oder \(2\ln(0{,}5x + 2)\)); \(D_{f^{-1}} = ]-4; \infty[\). c) \(f'(x) = e^{0{,}5x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), daher ist \(f\) streng monoton steigend und somit umkehrbar.