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- Unterscheide zwischen „sich einem Wert annähern“ und „diesen Wert annehmen“. - Welche Vorzeichen-Eigenschaft hat \(e^x\) für alle reellen \(x\)?

1. Für jeden reellen Wert \(x\) gilt \(e^x>0\). 2. Zwar gilt \(e^x\to0\) für \(x\to-\infty\), der Wert \(0\) wird aber für kein endliches \(x\) erreicht. 3. Leas Schlussfolgerung ist daher falsch; die \(x\)-Achse ist eine waagerechte Asymptote, aber keine Schnittlinie des Graphen.

Die Aussage ist falsch. Es gilt \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\); der Graph nähert sich \(y=0\) nur asymptotisch und besitzt keine Nullstelle.

- Welchen Wert hat eine von \(0\) verschiedene Basis mit Exponent \(0\)? - Welche Vorzeicheneigenschaft besitzt die natürliche Exponentialfunktion für alle reellen Argumente?

1. Es gilt \(f(0)=e^0=1\). 2. Für alle reellen \(x\) gilt \(e^x>0\). Daher besitzt \(f\) keine Nullstelle.

\(f(0)=1\); \(f\) besitzt keine Nullstelle.

- Welche Größe beschreibt die Steigung des Graphen an einer Stelle? - Nutze unmittelbar die gegebene Beziehung zwischen Funktion und Ableitung.

1. Wegen \(f'(x)=f(x)\) gilt \(f'(0)=f(0)\). 2. Mit \(f(0)=e^0=1\) ist die Tangentensteigung gleich \(1\).

Die Tangentensteigung beträgt \(1\).

- Wie hängen Spiegelungen an den Achsen mit einer Spiegelung am Ursprung zusammen? - Welche mathematische Operation entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse und welche einer Spiegelung an der \(y\)-Achse? - Wie findet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Denk an den Wert von \(e^0\).

1. Bestimmung von \(g(x)\) durch Ersetzung von \(x\) durch \(-x\): \(g(x) = f(-x) = 0{,}5e^{-x} - 2\). 2. Spiegelung am Ursprung entspricht einer nacheinander ausgeführten Spiegelung an beiden Achsen, also \(h(x) = -f(-x)\). Einsetzen liefert \(h(x) = -(0{,}5e^{-x} - 2) = -0{,}5e^{-x} + 2\). 3. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts durch \(h(0) = -0{,}5 \cdot e^0 + 2\). Mit \(e^0 = 1\) folgt \(h(0) = -0{,}5 + 2 = 1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | 1{,}5)\).

a) \(g(x) = 0{,}5e^{-x} - 2\) b) \(h(x) = -0{,}5e^{-x} + 2\) c) \(S_y(0 | 1{,}5)\)

- Kannst du die gegebenen Werte als Potenzen zur Basis \(e\) umschreiben? - Welche Rechenregeln für Potenzen helfen dir, Brüche oder Wurzeln in Exponenten umzuwandeln? - Wie hängen die Exponenten zusammen, wenn zwei Potenzen mit der gleichen Basis denselben Wert haben? - Achte beim Runden auf die vierte Nachkommastelle.

1. Berechnung der Funktionswerte mittels Taschenrechner: \(f(-1{,}2) \approx 0{,}3012\), \(f(\sqrt{3}) \approx 5{,}6522\) und \(f\!\left(\frac{2}{3}\right) \approx 1{,}9477\). 2. Umformung der Zielwerte in Potenzen zur Basis \(e\): \(\frac{e}{\sqrt[3]{e}} = e^1 \cdot e^{-\frac{1}{3}} = e^{\frac{2}{3}}\), \(\frac{1}{e^5} = e^{-5}\) sowie \(e^2 \cdot \sqrt{e} = e^2 \cdot e^{0{,}5} = e^{2{,}5}\). 3. Durch Vergleich der Exponenten ergeben sich die gesuchten Stellen: (1) \(x = \frac{2}{3}\), (2) \(x = -5\), (3) \(x = 2{,}5\).

a) \(f(-1{,}2) \approx 0{,}3012\); \(f(\sqrt{3}) \approx 5{,}6522\); \(f\!\left(\frac{2}{3}\right) \approx 1{,}9477\) b) (1) \(x = \frac{2}{3}\); (2) \(x = -5\); (3) \(x = 2{,}5\)

- Was passiert im Exponenten, wenn du die gegebenen \(x\)-Werte einsetzt? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen \(e\) und dem natürlichen Logarithmus? - Versuche, die \(y\)-Werte als Potenzen von \(e\) darzustellen, um die Gleichungen einfacher lösen zu können. - Überlege, welcher Exponent bei einer Wurzel oder einem Bruch vorliegt.

1. Einsetzen der \(x\)-Werte in den Funktionsterm: \(g(-1) = e^{-1+1} = e^0 = 1\), \(g(0) = e^{0+1} = e^1 \approx 2{,}7183\) und \(g(\ln(2)-1) = e^{\ln(2)-1+1} = e^{\ln(2)} = 2\). 2. Gleichsetzen der Funktionsgleichung mit den Zielwerten: \(e^{x+1} = e^4\), \(e^{x+1} = e^{-1}\) und \(e^{x+1} = e^{0{,}5}\). 3. Bestimmung von \(x\) durch Vergleich der Exponenten: \(x+1 = 4 \implies x=3\); \(x+1 = -1 \implies x=-2\); \(x+1 = 0{,}5 \implies x=-0{,}5\).

a) \(g(-1) = 1\); \(g(\ln(2)-1) = 2\); \(g(0) \approx 2{,}7183\) b) (1) \(x = 3\); (2) \(x = -2\); (3) \(x = -0{,}5\)

- Überlege bei einer horizontalen Verschiebung, wie sich das Argument der Exponentialfunktion ändern muss. - Welche Veränderung der Funktionswerte bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse? - Verfolge nach jedem Schritt, welcher Teil des Terms verändert wurde.

1. Die Verschiebung um \(2\) nach rechts ersetzt \(x\) durch \(x-2\): \(e^{x-2}\). 2. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse multipliziert alle Funktionswerte mit \(-1\): \(-e^{x-2}\). 3. Die Verschiebung um \(3\) nach oben addiert \(3\): \(g(x)=-e^{x-2}+3\).

\(g(x)=-e^{x-2}+3\)

- Überlege dir den Verlauf des Graphen der Exponentialfunktion im Koordinatensystem. - Welche Werte kann die Funktion \(e^x\) überhaupt annehmen? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für die natürliche Exponentialfunktion. - Wie wirken sich Änderungen im Exponenten im Vergleich zu Änderungen am gesamten Funktionsterm auf den Graphen aus? - Was bedeutet Punktsymmetrie rechnerisch?

1. Wahr: Da die \(x\)-Achse die waagerechte Asymptote der natürlichen Exponentialfunktion für \(x \to -\infty\) ist, gilt \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\). 2. Falsch: Da die Wertemenge von \(e^x\) das Intervall \(]0; \infty[\) ist, gilt \(e^x > 0\) und somit \(e^x + 2 > 2\). Die Gleichung \(e^x + 2 = 0\) hat keine Lösung. 3. Wahr: Die Ableitung der Funktion \(f(x) = e^x\) ist \(f'(x) = e^x\). Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) ist somit \(f'(0) = e^0 = 1\). 4. Falsch: Punktsymmetrie zum Ursprung würde \(f(-x) = -f(x)\) erfordern, jedoch gilt \(e^{-x} = \frac{1}{e^x} \neq -e^x\). 5. Wahr: Eine Subtraktion einer Konstanten \(c\) direkt vom Argument \(x\) (hier \(x-2\)) bewirkt eine Verschiebung des Graphen um \(c\) Einheiten nach rechts.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Falsch e) Wahr

- Nutze die Kettenregel für Ableitungen von Funktionen der Form \(e^{kx}\). - Wie prüft man, ob ein Graph durch den Punkt \((0 \mid 0)\) geht? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der ersten Ableitung und der Monotonie? - Was ist die notwendige Bedingung für die Existenz einer Wendestelle? - Wie verändert eine vertikale Verschiebung die Wertemenge einer Funktion?

1. Wahr: Unter Anwendung der Kettenregel ergibt sich mit der inneren Funktion \(u(x) = 3x\) und deren Ableitung \(u'(x) = 3\) die Ableitung \(g'(x) = 3e^{3x}\). 2. Wahr: Der Graph verläuft durch den Koordinatenursprung, wenn \(h(0) = 0\) gilt. Hier: \(h(0) = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0\). 3. Wahr: Das Monotoniekriterium besagt, dass eine Funktion streng monoton steigt, wenn ihre erste Ableitung im betrachteten Intervall überall größer als Null ist. 4. Falsch: Für eine Wendestelle müsste die zweite Ableitung \(f''(x) = e^x\) gleich Null sein. Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), existieren keine Wendestellen; der Graph ist überall linksgekrümmt. 5. Wahr: Die natürliche Exponentialfunktion hat die Wertemenge \(]0; \infty[\). Durch die Subtraktion von \(5\) wird der gesamte Graph und somit auch die untere Grenze der Wertemenge um \(5\) Einheiten nach unten verschoben.

a) Wahr b) Wahr c) Wahr d) Falsch e) Wahr

- Welche Gleichung muss an einem Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen gelten? - Forme diese Gleichung so um, dass der Exponentialterm allein steht. - Welche Wertemenge hat die Funktion \(x\mapsto e^x\)?

1. Für einen gemeinsamen Punkt müsste \(e^x+4=3-e^x\) gelten. 2. Daraus folgt \(2e^x=-1\) und somit \(e^x=-0{,}5\). 3. Für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt jedoch \(e^x>0\). Daher hat die Gleichung keine reelle Lösung. 4. Die beiden Graphen besitzen folglich keine gemeinsamen Punkte.

Die Graphen besitzen keine gemeinsamen Punkte.

- Vergleiche die gegebene Funktionsgleichung direkt mit der allgemeinen Form, um die Konstanten abzulesen. - Überlege dir, wie sich der Wert von \(e^{kx}\) verändert, wenn \(x\) größer wird und \(k\) negativ ist. - Nutze deinen Taschenrechner für die Berechnung der \(e\)-Funktion und achte auf die korrekte Rundung.

1. Vergleich der allgemeinen Form \(ce^{kx}\) mit der gegebenen Gleichung \(15{,}5e^{-0{,}4x}\). Ergebnis: \(c = 15{,}5\) und \(k = -0{,}4\). 2. Bestimmung der Änderungsart: Da der Parameter im Exponenten \(k = -0{,}4\) kleiner als Null ist, sinken die Funktionswerte mit steigendem \(x\). Ergebnis: Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme. 3. Berechnung des Wertes an der Stelle \(x=5\): \(B(5) = 15{,}5 \cdot e^{-0{,}4 \cdot 5} = 15{,}5 \cdot e^{-2} \approx 2{,}10\).

a) \(c = 15{,}5\) und \(k = -0{,}4\). b) Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme, da der Parameter im Exponenten (\(k = -0{,}4\)) negativ ist. c) Der Funktionswert beträgt \(B(5) \approx 2{,}10\).

- Überlege, welcher Term in einer transformierten Exponentialfunktion die waagerechte Asymptote festlegt. - Nutze den gegebenen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, indem du \(x=0\) einsetzt. - Es genügt, einen Funktionsterm anzugeben, der beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt.

1. Ein Term der Form \(g(x)=ae^x+c\) hat die waagerechte Asymptote \(y=c\). Daher muss \(c=-2\) gelten. 2. Für den Punkt \(P(0|3)\) gilt \(g(0)=3\). Damit folgt \(ae^0-2=3\), also \(a-2=3\) und somit \(a=5\). 3. Ein möglicher Funktionsterm ist daher \(g(x)=5e^x-2\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x)=5e^x-2\).

- Untersuche zuerst das Grenzverhalten von \(e^x\) an beiden Enden der Zahlengeraden. - Welche Wirkung hat der negative Vorfaktor auf die Monotonie? - Welcher Grenzwert wird nur angenähert und deshalb nicht Teil der Wertemenge?

1. Für \(x\to\infty\) gilt \(e^x\to\infty\), also \(f(x)\to-\infty\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(e^x\to0\), also \(f(x)\to4\). Die Gerade \(y=4\) ist eine waagerechte Asymptote. 2. Weil \(e^x\) streng monoton steigt und mit dem negativen Faktor \(-2\) multipliziert wird, ist \(f\) streng monoton fallend. Der Wert \(4\) wird nicht erreicht; daher ist die Wertemenge \(]-\infty;4[\). 3. \(f(0)=4-2e^0=2\). Somit ist der Schnittpunkt \(S_y(0|2)\).

1. \(\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty\); \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=4\) 2. Streng monoton fallend; Wertemenge \(]-\infty;4[\) 3. \(S_y(0|2)\)

- Beachte beim Grenzverhalten besonders das Vorzeichen im Exponenten. - Welche Wirkung hat ein negativer Faktor im Argument einer wachsenden Exponentialfunktion? - Welcher Wert wird durch die vertikale Verschiebung zur unteren Grenze der Wertemenge?

1. Für \(x\to\infty\) gilt \(-2x\to-\infty\) und damit \(e^{-2x}\to0\). Also gilt \(g(x)\to-3\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(-2x\to\infty\), also \(g(x)\to\infty\). 2. Die Funktion \(x\mapsto e^{-2x}\) ist streng monoton fallend. Der positive Faktor \(\frac{1}{2}\) und die Verschiebung um \(3\) nach unten ändern diese Monotonie nicht. Die Wertemenge ist \(]-3;\infty[\). 3. \(g(0)=\frac{1}{2}-3=-2{,}5\). Daher ist der Schnittpunkt \(S_y(0|-2{,}5)\).

1. \(\lim_{x\to\infty}g(x)=-3\); \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=\infty\) 2. Streng monoton fallend; Wertemenge \(]-3;\infty[\) 3. \(S_y(0|-2{,}5)\)

- Überlege, wie sich eine Änderung des Vorzeichens im Exponenten geometrisch auf den Graphen auswirkt. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Um Schnittpunkte zu finden, kannst du die Funktionsterme gleichsetzen und nach \(x\) auflösen. - Erinnere dich an den typischen Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion für sehr große positive und negative Werte.

1. Da für alle \(x\) die Beziehung \(g(x) = f(-x)\) gilt, geht der Graph der Funktion \(g\) durch eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse hervor. 2. Durch Gleichsetzen der Funktionsterme \(e^{2x} = e^{-2x}\) folgt durch Logarithmieren \(2x = -2x\), woraus \(x = 0\) resultiert. Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(f(0) = e^0 = 1\). Der gemeinsame Punkt (Schnittpunkt) beider Graphen liegt somit bei \(S(0|1)\). 3. Für \(x \to \infty\) wächst der Funktionswert von \(f(x) = e^{2x}\) unbegrenzt gegen unendlich (\(f(x) \to \infty\)). Der Funktionswert von \(g(x) = e^{-2x} = \frac{1}{e^{2x}}\) nähert sich für \(x \to \infty\) immer weiter der Null an (\(g(x) \to 0\)), die \(x\)-Achse ist somit eine waagerechte Asymptote.

1. Der Graph von \(g\) ist das Spiegelbild des Graphen von \(f\) bei Spiegelung an der \(y\)-Achse. 2. Der gemeinsame Punkt ist \(S(0|1)\). 3. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\) und \(g(x) \to 0\).

- Wie kann man jede positive Zahl mithilfe der Basis \(e\) und des natürlichen Logarithmus ausdrücken? - Welche Auswirkung hat eine Spiegelung an der \(y\)-Achse auf die Variable \(x\) im Funktionsterm? - Erinnere dich an die Bedeutung negativer Exponenten: Was bedeutet \(a^{-1}\)?

1. Jede Exponentialfunktion der Form \(f(x) = b^x\) lässt sich mit der Identität \(b = e^{\ln(b)}\) umschreiben zu \(f(x) = (e^{\ln(4)})^x = e^{\ln(4) \cdot x}\). 2. Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) im Funktionsterm erreicht. Es gilt \(g(x) = f(-x) = 4^{-x}\). Mithilfe der Potenzgesetze folgt \(4^{-x} = (4^{-1})^x = \left(\frac{1}{4}\right)^x\). In der Basis \(e\) ausgedrückt ergibt sich durch Einsetzen von \(-x\) in das Ergebnis aus Teilaufgabe 1: \(g(x) = e^{\ln(4) \cdot (-x)} = e^{-\ln(4) \cdot x}\).

1. \(f(x) = e^{\ln(4) \cdot x}\) 2. \(g(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x\) und \(g(x) = e^{-\ln(4) \cdot x}\)

- Was bedeutet ein Exponent von \(0{,}5\) als Wurzel geschrieben? - Setze für \(b\) den Wert 1 ein und schaue dir die Funktionswerte für verschiedene \(x\) an. - Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für den Exponenten Null.

1. Der Funktionswert \(f(0{,}5) = (-4)^{0{,}5}\) entspricht der Quadratwurzel \(\sqrt{-4}\). Im Bereich der reellen Zahlen ist die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert. Um eine Definition für alle \(x \in \mathbb{R}\) (insbesondere für rationale Exponenten mit geraden Nennern) zu gewährleisten, muss \(b > 0\) gelten. 2. Für \(b = 1\) ergibt sich \(f(x) = 1^x = 1\). Dies ist eine konstante Funktion, deren Graph eine Parallele zur \(x\)-Achse ist. Da sich der Funktionswert bei Änderung von \(x\) nicht ändert, liegt kein exponentielles Wachstum oder Zerfall vor. 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch Einsetzen von \(x = 0\) bestimmt: \(f(0) = b^0\). Da nach den Potenzgesetzen jede Zahl \(b \neq 0\) hoch Null den Wert \(1\) ergibt, gilt \(f(0) = 1\) für jede erlaubte Basis. Alle Graphen verlaufen somit durch den Punkt \(P(0|1)\).

1. \((-4)^{0{,}5} = \sqrt{-4}\) ist nicht reell definiert; daher muss \(b > 0\) gelten. 2. Bei \(b = 1\) ist \(f(x) = 1\) eine konstante Funktion ohne Wachstumsdynamik. 3. Wegen \(b^0 = 1\) verlaufen alle Graphen durch \(P(0|1)\).

- Was bewirkt eine Änderung direkt am Argument \(x\) im Vergleich zu einer Konstanten, die zum gesamten Funktionsterm addiert wird? - Betrachte das Verhalten der Funktion \(e^x\) für sehr kleine \(x\)-Werte, um die Asymptote zu finden. - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen?

1. Eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (positive \(x\)-Richtung) wird durch Ersetzen von \(x\) durch \((x - 2)\) im Funktionsterm realisiert. Eine Verschiebung um \(5\) Einheiten nach unten (negative \(y\)-Richtung) entspricht einer Subtraktion von \(5\) vom gesamten Term. Somit gilt: \(g(x) = e^{x-2} - 5\). 2. Die natürliche Exponentialfunktion \(f(x) = e^x\) hat die waagerechte Asymptote \(y = 0\). Durch die Verschiebung um \(5\) Einheiten nach unten verschiebt sich auch die Asymptote entsprechend. Die Gleichung der Asymptote von \(g\) lautet daher \(y = -5\). 3. Zur Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) in \(g(x)\) eingesetzt: \(g(0) = e^{0-2} - 5 = e^{-2} - 5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid e^{-2} - 5)\).

a) \(g(x) = e^{x-2} - 5\) b) \(y = -5\) c) \(S_y(0 \mid e^{-2} - 5)\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt die Lage der waagerechten Asymptote? - Wie findest du den Schnittpunkt einer Geraden mit der \(y\)-Achse? - Setze die bekannten Informationen Schritt für Schritt in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn du für \(x\) die Null einsetzt?

1. Die waagerechte Asymptote einer Funktion der Form \(h(x) = ae^x + c\) für \(x \to -\infty\) ist durch den Wert der vertikalen Verschiebung gegeben, also \(y = c\). Da die Asymptote \(y = -2\) vorgegeben ist, folgt direkt \(c = -2\). 2. Die Gerade \(y = x + 1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(x = 0\). Der \(y\)-Wert an dieser Stelle ist \(y = 0 + 1 = 1\). Somit verläuft der Graph von \(h\) durch den Punkt \(P(0 \mid 1)\). 3. Durch Einsetzen der Koordinaten von \(P\) in den Ansatz \(h(x) = ae^x - 2\) erhält man die Gleichung \(1 = a \cdot e^0 - 2\). 4. Da \(e^0 = 1\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(1 = a - 2\). Daraus folgt \(a = 3\). 5. Der gesuchte Funktionsterm ist \(h(x) = 3e^x - 2\).

\(a = 3\), \(c = -2\); der Funktionsterm lautet \(h(x) = 3e^x - 2\).

- Wie verändert sich ein Funktionsterm allgemein, wenn der Graph entlang der \(x\)-Achse verschoben wird? - Welches Potenzgesetz erlaubt es dir, eine Differenz im Exponenten als Produkt oder Quotienten zu schreiben? - Vergleiche am Ende dein Ergebnis mit der gewünschten Form der Gleichung.

1. Eine Verschiebung um \(4\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung entspricht der Transformation \(g(x) = f(x - 4)\). 2. Einsetzen der Funktion \(f(x) = e^x\) ergibt \(g(x) = e^{x-4}\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes \(a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}\) führt zu \(g(x) = e^x \cdot e^{-4}\). 4. Durch Vergleich mit der Form \(g(x) = ke^x\) ergibt sich die Konstante \(k = e^{-4}\) (oder \(k = \frac{1}{e^4}\)).

\(k = e^{-4}\) (oder \(k = \frac{1}{e^4}\))

- Überlege zuerst, wie sich eine Streckung in \(y\)-Richtung auf den gesamten Funktionsterm auswirkt. - Was musst du am Argument \(x\) ändern, um eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse zu bewirken? Achte dabei besonders auf das Vorzeichen. - Welchen \(x\)-Wert besitzt jeder Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2 führt zur Multiplikation des Funktionsterms mit 2: \(2e^x\). 2. Die Verschiebung um 3 Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \((x - 3)\) im Argument erreicht. 3. Der resultierende Funktionsterm lautet \(g(x) = 2e^{x-3}\). 4. Zur Berechnung des Schnittpunktes mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) in \(g(x)\) eingesetzt: \(g(0) = 2 \cdot e^{0-3} = 2e^{-3}\). 5. Der Schnittpunkt hat die Koordinaten \(S_y(0 \mid 2e^{-3})\).

a) \(g(x) = 2e^{x-3}\) b) \(S_y(0 \mid 2e^{-3})\)

- Achte beim Berechnen mit dem Taschenrechner auf die korrekte Verwendung von Klammern und Exponenten. - Wie viele Ziffern nach dem Komma sind bei beiden Zahlen identisch, bevor die erste Abweichung auftritt? - Betrachte die berechneten Werte der Reihe nach. Werden sie größer oder kleiner?

1. Berechnung der Folgenglieder durch Einsetzen: \(a_{10} = \left(1 + \frac{1}{10}\right)^{10} = 1{,}1^{10} \approx 2{,}59374\); \(a_{100} = \left(1 + \frac{1}{100}\right)^{100} = 1{,}01^{100} \approx 2{,}70481\); \(a_{1000} = \left(1 + \frac{1}{1000}\right)^{1000} = 1{,}001^{1000} \approx 2{,}71692\). 2. Vergleich mit \(e \approx 2{,}7182818\): Die ersten zwei Nachkommastellen von \(a_{1000}\) (\(2{,}71\dots\)) stimmen mit \(e\) überein. 3. Analyse der Werte: Da \(a_{10} < a_{100} < a_{1000}\) gilt, lässt sich vermuten, dass die Folge \(a_n\) streng monoton wachsend ist.

a) \(a_{10} \approx 2{,}59374\); \(a_{100} \approx 2{,}70481\); \(a_{1000} \approx 2{,}71692\). b) Es stimmen zwei Dezimalstellen überein (\(2{,}71\)). c) Die Folge \(a_n\) ist vermutlich streng monoton wachsend.

- Um zwei Funktionen direkt vergleichen zu können, ist es hilfreich, sie auf dieselbe Basis zu bringen. - Welche Zahl ist größer: \(\ln(4)\) oder \(1{,}4\)? - Wie hängen der Koeffizient im Exponenten und die Wachstumsgeschwindigkeit zusammen?

1. Umformung von \(f(x)\): Die Basis \(4\) wird als \(e^{\ln(4)}\) dargestellt. Daraus ergibt sich für die Funktion \(f(x) = (e^{\ln(4)})^x = e^{\ln(4) \cdot x}\). 2. Berechnung des Koeffizienten: Der Wert von \(\ln(4)\) wird berechnet (oder abgeschätzt). Es gilt \(\ln(4) \approx 1{,}3863\). 3. Vergleich: Die Funktion \(f(x)\) hat im Exponenten den Koeffizienten \(k_f \approx 1{,}3863\), während die Funktion \(g(x)\) den Koeffizienten \(k_g = 1{,}4\) besitzt. 4. Schlussfolgerung: Da \(1{,}4 > 1{,}3863\) gilt, ist die Steigung der Exponentialfunktion \(g(x)\) für alle \(x > 0\) größer als die von \(f(x)\). Somit steigt \(g(x)\) schneller an.

Die Funktion \(g(x) = e^{1{,}4 \cdot x}\) steigt schneller an, da die Basis \(4\) von \(f(x)\) umgeformt \(e^{\ln(4)} \approx e^{1{,}3863}\) entspricht und \(1{,}4 > 1{,}3863\) ist.

- Schaue dir für jeden Graphen den Schnittpunkt mit der y-Achse an. Setze dafür \(x = 0\) in die Gleichungen ein. - Untersuche das Steigungsverhalten (Monotonie) der Graphen. Welche Graphen steigen, welche fallen? - Achte auf das Verhalten der Graphen für sehr große positive und sehr kleine negative x-Werte (Grenzverhalten). Wo liegen die waagerechten Asymptoten? - Überlege dir, wie Spiegelungen an den Achsen oder Verschiebungen in y-Richtung die Funktionsgleichung verändern.

1. Graph \(A\) gehört zu (1) \(y = e^x\): Der Graph ist streng monoton steigend, verläuft vollständig oberhalb der x-Achse und hat den y-Achsenabschnitt \((0 \mid 1)\). Für \(x \to -\infty\) nähert er sich asymptotisch der x-Achse an (\(y \to 0\)). 2. Graph \(B\) gehört zu (2) \(y = e^{-x}\): Der Graph ist streng monoton fallend, verläuft vollständig oberhalb der x-Achse und hat den y-Achsenabschnitt \((0 \mid 1)\). Er entsteht durch Spiegelung von \(y = e^x\) an der y-Achse. Für \(x \to \infty\) gilt \(y \to 0\). 3. Graph \(C\) gehört zu (3) \(y = e^x - 3\): Der Graph ist im Vergleich zu \(y = e^x\) um \(3\) Einheiten nach unten verschoben. Der y-Achsenabschnitt liegt bei \((0 \mid -2)\) (da \(e^0 - 3 = -2\)) und die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -3\). 4. Graph \(D\) gehört zu (4) \(y = -e^x + 2\): Der Graph ist streng monoton fallend und nähert sich für \(x \to -\infty\) asymptotisch der Geraden \(y = 2\) an. Er entsteht durch Spiegelung an der x-Achse und anschließende Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben. Der y-Achsenabschnitt liegt bei \((0 \mid 1)\) (da \(-e^0 + 2 = 1\)).

\(A\): (1), \(B\): (2), \(C\): (3), \(D\): (4)

- Wo liegt die waagerechte Asymptote des neuen Graphen? Das zeigt dir die vertikale Verschiebung. - Vergleiche die Position des Schnittpunktes mit der y-Achse der Grundfunktion (normalerweise bei \(y=1\)) mit einem entsprechenden Punkt auf dem neuen Graphen. - Überprüfe deine Vermutung, indem du einen einfachen x-Wert (z. B. \(x=1\) oder \(x=2\)) in deinen Term einsetzt.

1. Die waagerechte Asymptote der Grundfunktion \(f\) ist die x-Achse (\(y = 0\)). Bei \(g\) liegt sie bei \(y = -2\). Das entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten. 2. Der Punkt \((0\mid1)\) auf dem Graphen von \(f\) wird auf den Punkt \((1\mid{-1})\) verschoben. 3. Die Differenz in x-Richtung ist \(1 - 0 = 1\) Einheit nach rechts. Die Differenz in y-Richtung ist \(-1 - 1 = -2\) Einheiten nach unten (bestätigt Schritt 1). 4. Der Funktionsterm lautet \(g(x) = 2^{x - 1} - 2\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und um \(2\) Einheiten nach unten. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 2^{x - 1} - 2\).

- Welcher Funktionswert wird für sehr große negative \(x\)-Werte angenähert? - Berechne \(f(0)\) und vergleiche den Punkt mit den vier Graphen. - Welche Wirkung hat das Minuszeichen vor \(e^x\) auf die Monotonie?

1. Für \(x\to-\infty\) gilt \(e^x\to0\), also \(f(x)\to2\). Die waagerechte Asymptote ist daher \(y=2\). 2. Es gilt \(f(0)=2-e^0=1\). Der Graph muss also durch \((0|1)\) verlaufen. 3. Da \(e^x\) streng monoton steigt, ist \(-e^x\) streng monoton fallend; damit ist auch \(f\) streng monoton fallend. 4. Nur Graph A erfüllt alle drei Merkmale.

Graph A

- Bestimme für jeden Term zuerst die waagerechte Asymptote. - Vergleiche anschließend die \(y\)-Achsenabschnitte bei \(x=0\). - Nutze zuletzt das Vorzeichen vor \(e^x\), um steigende und fallende Graphen zu unterscheiden.

1. Zu (1) gehören die waagerechte Asymptote \(y=1\), der \(y\)-Achsenabschnitt \(2\) und ein steigender Verlauf. Das ist Graph A. 2. Zu (2) gehören die waagerechte Asymptote \(y=-1\), der \(y\)-Achsenabschnitt \(0\) und ein steigender Verlauf. Das ist Graph B. 3. Zu (3) gehören die waagerechte Asymptote \(y=1\), der \(y\)-Achsenabschnitt \(0\) und ein fallender Verlauf. Das ist Graph C. 4. Zu (4) gehören die waagerechte Asymptote \(y=-1\), der \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\) und ein fallender Verlauf. Das ist Graph D.

(1) A (2) B (3) C (4) D

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Was zeichnet eine Ursprungsgerade mathematisch aus? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen \(f(x) = a^x\). - Was passiert mit dem Anstieg des Graphen, wenn die Funktion selbst immer größere Werte annimmt?

1. Berechnung der Tangente an der Stelle \(x = 0\): Da \(f(0) = e^0 = 1\) und \(f'(x) = e^x\), folgt für die Steigung \(f'(0) = 1\). Die Tangentengleichung lautet \(y = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0)\), also \(y = 1 \cdot x + 1\). 2. Tangente an der Stelle \(x = 1\): Es gilt \(f(1) = e\) und \(f'(1) = e\). Die Gleichung ist \(y = e(x - 1) + e\). Vereinfacht ergibt sich \(y = ex - e + e\), also \(y = ex\). Da der \(y\)-Achsenabschnitt \(0\) ist, handelt es sich um eine Ursprungsgerade. 3. Besonderheit der Basis \(e\): Bei der natürlichen Exponentialfunktion ist die Ableitungsfunktion identisch mit der Ausgangsfunktion (\(f'(x) = f(x)\)). Bei anderen Basen \(a \neq e\) tritt beim Ableiten ein zusätzlicher Proportionalitätsfaktor \(\ln(a)\) auf (z. B. \(g(x) = 2^x \Rightarrow g'(x) = \ln(2)2^x\)). Nur für \(a = e\) ist dieser Faktor \(\ln(e) = 1\).

a) \(t: y = x + 1\) b) Die Tangente an der Stelle \(x = 1\) hat die Gleichung \(y = ex\). Da sie die Form \(y = mx\) besitzt, verläuft sie durch den Punkt \((0|0)\). c) Die Basis \(e\) ist die einzige Basis, bei der die Ableitung der Funktion exakt der Funktion selbst entspricht (\(f'(x) = f(x)\)). Die Steigung an jeder Stelle ist also identisch mit dem dortigen Funktionswert.

- Vergleiche die Werte von \(Q(a)\) jeweils mit \(1\). - Wenn ein Testwert einen Wert unter \(1\) und ein größerer Testwert einen Wert über \(1\) liefert, kannst du das Intervall für die Basis verkleinern. - In c) geht es darum, welche Steigung die gefundene Exponentialfunktion bei \(x=0\) besitzt und welche Ableitungseigenschaft daraus entsteht.

1. Es ist \(Q(2)=\frac{2^{0{,}0001}-1}{0{,}0001}\approx0{,}6932\) und \(Q(3)\approx1{,}0987\). Die gesuchte Basis liegt daher zwischen \(2\) und \(3\). 2. Eine mögliche Eingrenzung ist zunächst \(Q(2{,}7)\approx0{,}9933<1<Q(2{,}8)\approx1{,}0297\). Weiter gilt \(Q(2{,}71)\approx0{,}9970<1<Q(2{,}72)\approx1{,}0007\). Damit liegt die gesuchte Basis im Intervall \((2{,}71;2{,}72)\). 3. Diese Basis ist \(e\approx2{,}71828\). Sie ist dadurch ausgezeichnet, dass die Exponentialfunktion zur Basis \(e\) bei \(x=0\) die Steigung \(1\) besitzt; daraus ergibt sich die besondere Eigenschaft \((e^x)'=e^x\). Bei \(f(x)=e^{2x+5}\) bleibt deshalb beim Ableiten nur der Faktor aus der inneren Ableitung: \(f'(x)=2e^{2x+5}\).

a) \(Q(2)\approx0{,}6932\), \(Q(3)\approx1{,}0987\) b) Zum Beispiel: \(Q(2{,}71)\approx0{,}9970<1<Q(2{,}72)\approx1{,}0007\), also \(2{,}71<a<2{,}72\). c) Die besondere Basis ist \(e\approx2{,}71828\). Für sie ist die Steigung von \(e^x\) bei \(0\) gleich \(1\); deshalb gilt \((e^x)'=e^x\) und etwa \(\left(e^{2x+5}\right)'=2e^{2x+5}\).

- Wie findet man die Stellen, an denen ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn die Werte für \(x\) sehr klein (stark negativ) werden? - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der ersten Ableitung auf den Verlauf des Graphen? - Gibt es eine Bedingung für die Existenz von Wendepunkten, die hier überprüft werden kann? - Erinnere dich an den Wert von \(e^0\).

1. Berechnung der Nullstelle: Ansatz \(5 - e^x = 0\) führt zu \(e^x = 5\) und somit \(x = \ln(5)\). Die Aussage ist wahr. 2. Untersuchung des Grenzwerts: Für \(x \to -\infty\) geht \(e^x\) gegen \(0\), woraus \(\lim_{x \to -\infty} (5 - e^x) = 5\) folgt. Die Gerade \(y = 5\) ist somit die waagerechte Asymptote. Die Aussage ist wahr. 3. Überprüfung der Monotonie: Die Ableitung \(f'(x) = -e^x\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) negativ (\(f'(x) < 0\)). Folglich ist die Funktion streng monoton fallend. Die Aussage ist falsch. 4. Untersuchung der Krümmung: Die zweite Ableitung \(f''(x) = -e^x\) hat keine Nullstellen, da \(e^x\) stets positiv ist. Es existiert kein Wendepunkt. Die Aussage ist falsch. 5. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts: Berechnung von \(f(0) = 5 - e^0 = 5 - 1 = 4\). Der Punkt ist \(S_y(0|4)\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Falsch e) Wahr

- Setze einen speziellen Wert für \(x\) ein, um den Schnittpunkt zu prüfen. - Überlege dir, wie sich die Änderung des Vorzeichens im Argument (von \(x\) zu \(-x\)) geometrisch auswirkt. - Skizziere im Kopf den Verlauf der Steigungen: Eine Funktion wächst, die andere fällt. Können sie je die gleiche Steigung haben? - Nutze die Potenzgesetze, um das Produkt der beiden Funktionsterme zu vereinfachen. - Unterscheide genau zwischen dem Verhalten für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\).

1. Schnittpunktprüfung: \(f(0) = e^0 = 1\) und \(g(0) = e^{-0} = 1\). Beide Graphen verlaufen durch \((0|1)\). Die Aussage ist wahr. 2. Symmetriebetrachtung: Da \(g(x) = f(-x)\) gilt, handelt es sich um eine Spiegelung an der \(y\)-Achse, nicht an der \(x\)-Achse. Die Aussage ist falsch. 3. Vergleich der Ableitungen: \(f'(x) = e^x\) und \(g'(x) = -e^{-x}\). Da \(e^x\) immer positiv und \(-e^{-x}\) immer negativ ist, können die Steigungen nie gleich sein. Die Aussage ist falsch. 4. Untersuchung der Produktfunktion: \(h(x) = e^x \cdot e^{-x} = e^{x-x} = e^0 = 1\). Dies ist die konstante Funktion \(h(x) = 1\), deren Graph eine Parallele zur \(x\)-Achse ist. Die Aussage ist wahr. 5. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} e^x = \infty\) (Graph von \(f\) steigt unbegrenzt) und \(\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0\) (Graph von \(g\) nähert sich der \(x\)-Achse). Nur einer der Graphen zeigt dieses Verhalten. Die Aussage ist falsch.

1. Wahr 2. Falsch 3. Falsch 4. Wahr 5. Falsch

- Versuche zuerst, den Exponenten so umzuformen, dass der Faktor vor dem \(x\) ausgeklammert ist. - Überlege, wie der Faktor im Exponenten die Streckung oder Stauchung entlang der \(x\)-Achse beeinflusst. - Achte auf das Vorzeichen vor der Exponentialfunktion und was es für die Orientierung des Graphen bedeutet. - Welche Zahl im Funktionsterm bestimmt die waagerechte Asymptote des Graphen?

1. Umformung des Exponenten durch Ausklammern von \(0{,}5\): \(g(x) = -2e^{0{,}5(x - 2)} + 4\). 2. Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) (da \(\frac{1}{0{,}5} = 2\)), was zu \(e^{0{,}5x}\) führt. 3. Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts), was zu \(e^{0{,}5(x-2)}\) führt. 4. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) und Spiegelung an der \(x\)-Achse, was zu \(-2e^{0{,}5(x-2)}\) führt. 5. Verschiebung um \(4\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung (nach oben), was die finale Funktion \(g(x) = -2e^{0{,}5x - 1} + 4\) ergibt.

Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f(x) = e^x\) durch: 1. Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\). 2. Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. 3. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\). 4. Spiegelung an der \(x\)-Achse. 5. Verschiebung um \(4\) Einheiten nach oben.

- Forme den Exponenten so um, dass Spiegelung und Verschiebung getrennt erkennbar werden. - Welche Wirkung hat ein negatives Vorzeichen vor \(x\) im Exponenten auf den Graphen? - Welche Wirkung hat ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Exponentialterm? - Welcher Summand bestimmt den Grenzwert, wenn der Exponentialterm gegen \(0\) geht?

1. Schreibe den Exponenten als \(3-x=-(x-3)\). 2. Die Spiegelung des Graphen von \(e^x\) an der \(y\)-Achse ergibt \(e^{-x}\). 3. Eine Verschiebung dieses Graphen um \(3\) Einheiten nach rechts ergibt \(e^{-(x-3)}=e^{3-x}\). 4. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse ergibt \(-e^{3-x}\). 5. Die Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben ergibt \(k(x)=-e^{3-x}+5\). 6. Für \(x\to\infty\) gilt \(e^{3-x}\to0\), also \(k(x)\to5\). Daher lautet die waagerechte Asymptote \(y=5\).

Eine mögliche Transformationsfolge ist: Spiegelung an der \(y\)-Achse, Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts, Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben. Die waagerechte Asymptote lautet \(y=5\).

- Erinnere dich daran, dass \(n!\) das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis \(n\) ist. - Setze für die Fehlerabschätzung nacheinander kleine natürliche Zahlen ein und prüfe die Ungleichung. - Überlege, wie schnell die Nenner in beiden Verfahren wachsen, wenn \(n\) größer wird.

1. Berechnung von \(s_5\): \(s_5 = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} = 2 + 0{,}5 + 0{,}1666\ldots + 0{,}0416\ldots + 0{,}0083\ldots = \frac{163}{60} \approx 2{,}7167\). 2. Bestimmung von \(n\): Gesucht ist das kleinste \(n\), für das \(\frac{1}{n \cdot n!} < 0{,}0001\) bzw. \(n \cdot n! > 10\,000\) gilt. Prüfung der Werte: Für \(n=6\): \(6 \cdot 6! = 6 \cdot 720 = 4320 < 10\,000\). Für \(n=7\): \(7 \cdot 7! = 7 \cdot 5040 = 35\,280 > 10\,000\). Somit ist \(n=7\) das kleinste \(n\), das die Bedingung erfüllt. 3. Effizienzvergleich: Die Summe \(s_n\) konvergiert sehr schnell gegen \(e\), da die Fakultät im Nenner extrem schnell wächst. Bereits für kleine \(n\) erhält man viele korrekte Dezimalstellen. Die Folge \(a_n\) konvergiert hingegen sehr langsam; für die gleiche Genauigkeit müsste man dort ein extrem großes \(n\) wählen. Daher ist die Reihendarstellung deutlich besser geeignet.

1. \(s_5 \approx 2{,}7167\) 2. \(n = 7\) 3. Das Reihenverfahren ist effizienter, da die Glieder \(\frac{1}{n!}\) viel schneller gegen Null gehen als die Differenz bei der Folge \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor in allen Summanden finden und diesen ausklammern? - Erinnere dich an den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. - Überlege dir, ob die Exponentialfunktion \(e^x\) jemals den Wert Null annehmen kann. - Welche Art von Gleichung bleibt übrig, wenn du den Teil mit der \(e\)-Funktion ignoriert hast?

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(e^x\): \(f(x) = e^x \cdot (x^2 - 2x - 3)\). 2. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer als \(0\) ist, müssen die Nullstellen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 2x - 3 = 0\) bestimmt werden. 3. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(pq\)-Formel): \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1^2 - (-3)} = 1 \pm \sqrt{4}\). 4. Berechnung der Ergebnisse: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\).

- Welcher konstante Faktor verbindet die Funktionswerte bei einer Erhöhung des Arguments um \(1\)? - Nutze danach einen der gegebenen Punkte, um den Anfangswert zu bestimmen. - Wie lässt sich eine Potenz zur Basis \(a\) mithilfe von \(e\) und \(\ln(a)\) schreiben? - Welche Größe beschreibt \(f'(0)\) am Graphen?

1. Von \(x=1\) zu \(x=2\) steigt der Funktionswert von \(45\) auf \(135\). Daher liegt Wachstum vor. 2. Für eine Erhöhung von \(x\) um \(1\) wird der Funktionswert mit \(a\) multipliziert. Somit ist \(a=\frac{135}{45}=3\). 3. Aus \(45=b\cdot3\) folgt \(b=15\). Also ist \(f(x)=15\cdot3^x\). 4. Mit \(3^x=e^{\ln(3)x}\) folgt \(f(x)=15e^{\ln(3)x}\), also \(k=\ln(3)\). 5. Es gilt \(f'(x)=15\ln(3)e^{\ln(3)x}\). Daher ist \(f'(0)=15\ln(3)\approx16{,}48\).

a) Wachstum b) \(a=3\), \(b=15\) c) \(f(x)=15e^{\ln(3)x}\), \(f'(x)=15\ln(3)e^{\ln(3)x}\), \(f'(0)\approx16{,}48\)

- Welche Auswirkung hat eine Verschiebung im Argument der Funktion auf den Funktionsterm? - Erinnerst du dich an die Potenzgesetze für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis? - Wie lässt sich ein konstanter Faktor vor der Funktionsgleichung als Potenz zur Basis \(e\) umschreiben? - Überlege dir, wie das Vorzeichen im Exponenten die Richtung der Verschiebung beeinflusst.

1. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung entspricht der Abbildung \(x \mapsto x + 3\). Damit gilt \(g(x) = f(x+3) = e^{x+3}\). 2. Unter Verwendung der Potenzgesetze ergibt sich \(e^{x+3} = e^3 \cdot e^x\). Dies entspricht der Form \(k \cdot f(x)\) mit dem Streckungsfaktor \(k = e^3\). 3. Für den Graphen \(G_h\) gilt \(h(x) = k \cdot f(x) = \frac{1}{e^2} \cdot e^x\). 4. Durch Umschreiben als Potenz zur Basis \(e\) erhält man \(h(x) = e^{-2} \cdot e^x = e^{x-2}\). 5. Ein Funktionsterm der Form \(f(x - x_0)\) beschreibt eine Verschiebung um \(x_0\) in \(x\)-Richtung. Hier ist \(x_0 = 2\). Da \(x_0 > 0\), erfolgt die Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung.

a) \(g(x) = e^3 \cdot e^x\); der Streckungsfaktor ist \(k = e^3\). b) \(x_0 = 2\); die Verschiebung erfolgt um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung.

- Was bedeutet eine Spiegelung an der \(y\)-Achse für den Funktionsterm? - Wie wendest du die Kettenregel auf \(e^{-x}\) an? - Setze die Terme gleich und löse nach \(x\) auf. - Untersuche die notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema mithilfe der Ableitungen. - Welche Rechenregel für Potenzen mit gleicher Basis kannst du hier anwenden?

1. Wahr: Es gilt \(g(x) = e^{-x} = f(-x)\). Die Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) entspricht geometrisch einer Spiegelung an der \(y\)-Achse. 2. Wahr: Nach der Ableitungsregel für die natürliche Exponentialfunktion gilt \(f'(x) = e^x = f(x)\). Mit der Kettenregel folgt \(g'(x) = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x} = -g(x)\). 3. Wahr: Die Gleichung \(e^x = e^{-x}\) führt durch Multiplikation mit \(e^x\) zu \(e^{2x} = 1\). Logarithmieren ergibt \(2x = \ln(1) = 0\), also \(x = 0\). Dies ist die einzige Lösung. 4. Falsch: Die erste Ableitung ist \(s'(x) = e^x - e^{-x}\). Mit \(s'(0) = 1 - 1 = 0\) liegt ein kritischer Punkt vor. Die zweite Ableitung \(s''(x) = e^x + e^{-x}\) ist an der Stelle \(x = 0\) positiv (\(s''(0) = 2 > 0\)), folglich liegt ein lokales Minimum vor. 5. Wahr: Nach den Potenzgesetzen gilt \(e^x \cdot e^{-x} = e^{x + (-x)} = e^0 = 1\).

(1) Wahr (2) Wahr (3) Wahr (4) Falsch (5) Wahr

- Betrachte das Vorzeichen der ersten Ableitung. - Untersuche das Grenzverhalten der Funktion für sehr kleine (negativ unendliche) Werte von \(x\). - Berechne den Wert der ersten Ableitung an der angegebenen Stelle. - Löse die Gleichung \(h(x) = 0\) nach \(x\) auf und nutze Logarithmengesetze. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über das Krümmungsverhalten aus?

1. Wahr: Die Ableitung \(h'(x) = -0{,}5e^{0{,}5x}\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) negativ, da die Exponentialfunktion stets positive Werte liefert. 2. Falsch: Für \(x \to -\infty\) nähert sich \(e^{0{,}5x}\) dem Wert \(0\) an, woraus \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = 2\) folgt. Die waagerechte Asymptote lautet somit \(y = 2\). 3. Wahr: Es gilt \(h'(0) = -0{,}5 \cdot e^{0{,}5 \cdot 0} = -0{,}5 \cdot 1 = -0{,}5\). 4. Wahr: Die Nullstellenbedingung \(2 - e^{0{,}5x} = 0\) führt zu \(e^{0{,}5x} = 2\). Logarithmieren ergibt \(0{,}5x = \ln(2)\), also \(x = 2\ln(2)\). Nach den Logarithmengesetzen ist dies gleich \(\ln(2^2) = \ln(4)\). 5. Wahr: Die zweite Ableitung \(h''(x) = -0{,}25e^{0{,}5x}\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) negativ, was einer Rechtskrümmung entspricht.

(1) Wahr (2) Falsch (3) Wahr (4) Wahr (5) Wahr

- Klammere im Exponenten den Faktor vor \(x\) aus, bevor du die horizontale Verschiebung abliest. - Ein Faktor direkt beim Argument wirkt horizontal mit dem Kehrwert als geometrischem Skalierungsfaktor. - Veränderungen außerhalb der Exponentialfunktion wirken direkt auf die \(y\)-Werte.

1. Die Ersetzung von \(x\) durch \(0{,}5x\) entspricht einer Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{0{,}5}=2\). 2. Durch Ausklammern erhält man \(0{,}5x-2=0{,}5(x-4)\). Die Ersetzung von \(x\) durch \(x-4\) entspricht einer Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts. 3. Die Multiplikation mit \(4\) entspricht einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). 4. Die Subtraktion von \(1\) verschiebt den Graphen um \(1\) Einheit nach unten. 5. Eine mögliche Reihenfolge ist daher: horizontale Streckung mit Faktor \(2\), Verschiebung um \(4\) nach rechts, vertikale Streckung mit Faktor \(4\), Verschiebung um \(1\) nach unten.

Eine mögliche Abfolge ist: Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts, Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) und Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

- Überlege, wie du eine Zahl mithilfe der Umkehrfunktion des Logarithmus umschreiben kannst. - Wann wird das Ergebnis einer Potenz kleiner, wenn der Exponent größer wird? - Welches Vorzeichen haben Logarithmuswerte von Zahlen, die kleiner als 1 sind? - Kann das Potenzieren einer positiven Zahl jemals zu Null oder einem negativen Ergebnis führen?

1. Durch Anwendung der Identität \(b = e^{\ln(b)}\) ergibt sich \(b^x = (e^{\ln(b)})^x = e^{x \cdot \ln(b)}\). Der Vergleich mit \(e^{kx}\) liefert \(k = \ln(b)\). 2. Eine Exponentialfunktion \(b^x\) ist streng monoton fallend, wenn die Basis \(b\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt (\(0 < b < 1\)). Da der natürliche Logarithmus für Werte im Intervall \(]0; 1[\) negativ ist, entspricht dies der Bedingung \(k < 0\). Da \(g'(x) = ke^{kx}\) und \(e^{kx} > 0\) gilt, ist \(g'(x) < 0\) genau dann, wenn \(k < 0\). 3. Die Wertemenge ist \(W = ]0; \infty[\). Da die Basis \(b\) positiv ist, ergibt jede Potenz \(b^x\) für reelle \(x\) einen positiven Wert. Da es keinen Exponenten \(x\) gibt, für den \(b^x = 0\) gilt, nähert sich der Graph der \(x\)-Achse zwar asymptotisch an, erreicht sie jedoch nie.

1. \(k = \ln(b)\) 2. Für \(0 < b < 1\) ist die Funktion streng monoton fallend; dies entspricht \(k < 0\), da \(\ln(b) < 0\) für \(b < 1\). 3. Wertemenge \(W = ]0; \infty[\); die \(x\)-Achse ist eine waagerechte Asymptote, da \(b^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\).

- Nutze den gegebenen Punkt, indem du seine Koordinaten in den Funktionsterm einsetzt. - Betrachte Betrag und Vorzeichen des Vorfaktors getrennt. - Wie verändert eine Multiplikation aller \(y\)-Werte mit einem negativen Wert die Lage des Graphen?

1. Mit dem Punkt \(P(3\mid2)\) gilt \(2=b\cdot2^3=8b\). Daher ist \(b=2:8=0{,}25\). 2. Der Betrag des Vorfaktors skaliert die Funktionswerte in \(y\)-Richtung. Für \(|b|>1\) liegt eine Streckung vor, für \(0<|b|<1\) eine Stauchung. Bei \(b<0\) kommt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse hinzu. Für \(b=-1\) erfolgt nur die Spiegelung an der \(x\)-Achse.

1. \(b=0{,}25\) 2. \(|b|>1\): Streckung; \(0<|b|<1\): Stauchung; \(b<0\): zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse; \(b=-1\): reine Spiegelung an der \(x\)-Achse.

- Welcher Funktionswert entsteht jeweils bei \(x=0\)? - Zerlege die Wirkung des Vorfaktors \(-3\) in Betrag und Vorzeichen. - Überlege, wie eine Spiegelung an der \(x\)-Achse die Reihenfolge zweier \(y\)-Werte verändert.

1. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=1\) und \(h(0)=-3\). Die \(y\)-Achsenabschnitte sind daher \((0\mid1)\) und \((0\mid-3)\). 2. Der Graph von \(f\) wird in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) gestreckt und anschließend an der \(x\)-Achse gespiegelt. Beides zusammen entspricht der Multiplikation mit dem Vorfaktor \(b=-3\). 3. Wegen \(0<a=0{,}5<1\) ist die Grundfunktion \(f\) streng monoton fallend. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt die Reihenfolge der Funktionswerte um. Deshalb ist \(h\) streng monoton steigend.

1. \(f\): \((0\mid1)\); \(h\): \((0\mid-3)\) 2. Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(3\) und Spiegelung an der \(x\)-Achse 3. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt das streng fallende Verhalten von \(f\) in streng steigendes Verhalten von \(h\) um.

- Setze die allgemeine Form für eine Verschiebung in \(x\)-Richtung mit dem gegebenen Funktionsterm gleich. - Kannst du die Zahl \(3\) als Potenz zur Basis \(e\) umschreiben? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen beim Verschiebungswert für die Richtung auf der Achse?

1. Ansatz für eine Verschiebung um \(d\) Einheiten in \(x\)-Richtung: \(h(x) = f(x - d) = e^{x - d}\). 2. Gleichsetzen mit dem gegebenen Term: \(e^{x - d} = 3e^x\). 3. Anwendung der Potenzgesetze: \(e^x \cdot e^{-d} = 3e^x\). 4. Division durch \(e^x\) liefert \(e^{-d} = 3\). 5. Auflösen nach \(d\) mittels des natürlichen Logarithmus: \(-d = \ln(3)\), also \(d = -\ln(3)\). 6. Da \(d\) negativ ist, entspricht dies einer Verschiebung um \(\ln(3)\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links).

Verschiebung um \(\ln(3)\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links).

- Wie verändert sich das Vorzeichen des Funktionswerts bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse? - Wende die zweite Transformation jeweils auf das komplette Ergebnis der ersten Transformation an. - Vergleiche die beiden am Ende entstandenen Terme. Sind sie für alle \(x\) identisch?

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Multiplikation des Terms mit \(-1\), ergibt \(-e^x\). 2. Anschließende Verschiebung um 5 Einheiten nach unten: Subtraktion von 5 vom gesamten Term, ergibt \(h_1(x) = -e^x - 5\). 3. Umgekehrte Reihenfolge: Zuerst Verschiebung um 5 Einheiten nach unten ergibt \(e^x - 5\). 4. Anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse: Multiplikation des gesamten neuen Terms mit \(-1\), ergibt \(h_2(x) = -(e^x - 5) = -e^x + 5\). 5. Vergleich: Da \(-e^x - 5 \neq -e^x + 5\), führt eine Änderung der Reihenfolge zu einem anderen Ergebnis. Die Transformationen sind nicht kommutativ.

a) \(h_1(x) = -e^x - 5\) b) Die Reihenfolge spielt eine Rolle, da \(h_2(x) = -e^x + 5\) ungleich \(h_1(x) = -e^x - 5\) ist.

- Welche Werte erhältst du, wenn du immer größere Zahlen für \(n\) einsetzt? - Was passiert mit einer Zahl, die geringfügig größer als \(1\) ist, wenn man sie mit sich selbst multipliziert? - Betrachte die Entwicklung der Ergebnisse: Bewegen sie sich auf die \(1\) zu oder weg? - Gibt es in der Mathematik Fälle, in denen zwei Veränderungen in einem Term gegeneinander wirken?

1. Einsetzen der Werte ergibt: \(A(5)=(1+\frac{1}{5})^5=1{,}2^5\approx2{,}488\); \(A(50)=(1+\frac{1}{50})^{50}=1{,}02^{50}\approx2{,}692\); \(A(500)=(1+\frac{1}{500})^{500}=1{,}002^{500}\approx2{,}716\). 2. Basis und Exponent hängen beide von \(n\) ab. Aus \(1+\frac{1}{n}\to1\) und \(n\to\infty\) darf man den Grenzwert des Potenzterms nicht durch getrenntes Einsetzen bestimmen; die Form \(1^\infty\) ist unbestimmt. Entscheidend ist das gemeinsame Verhalten beider Größen. 3. Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl \(e\). Ihr Wert beträgt gerundet \(2{,}72\).

1. \(2{,}488\); \(2{,}692\); \(2{,}716\) 2. Basis und Exponent verändern sich gleichzeitig; die Form \(1^\infty\) bestimmt den Grenzwert nicht. 3. Eulersche Zahl \(e\approx2{,}72\)

- Welchen kleinsten Wert kann eine einfache Exponentialfunktion \(e^x\) niemals erreichen? - Wie gehst du vor, um eine Gleichung nach einer Variablen aufzulösen, die im Exponenten steht? - Was weißt du über den Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit?

1. Da \(e^{0{,}5x}\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positive Werte annimmt und für \(x \to -\infty\) gegen \(0\) strebt, nähert sich \(f(x)\) dem Wert \(-4\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -4\). Da die Funktion streng monoton steigt, ist die Wertemenge \(W_f = ]-4; \infty[\). 2. Zur Bestimmung der Umkehrfunktion wird \(y = 2e^{0{,}5x} - 4\) nach \(x\) aufgelöst: \(y + 4 = 2e^{0{,}5x} \Rightarrow \frac{y+4}{2} = e^{0{,}5x} \Rightarrow 0{,}5x = \ln\left(\frac{y+4}{2}\right) \Rightarrow x = 2 \cdot \ln\left(\frac{y+4}{2}\right)\). Die Umkehrfunktion lautet \(f^{-1}(x) = 2\ln\left(\frac{x+4}{2}\right)\) mit \(D_{f^{-1}} = W_f = ]-4; \infty[\). 3. Die Ableitungsfunktion \(f'(x) = 2 \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x}\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) größer als \(0\). Da die Funktion somit auf der gesamten Definitionsmenge streng monoton steigend ist, ist sie injektiv und damit umkehrbar.

a) \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y > -4\}\); waagerechte Asymptote \(y = -4\). b) \(f^{-1}(x) = 2\ln\left(\frac{x+4}{2}\right)\) (oder \(2\ln(0{,}5x + 2)\)); \(D_{f^{-1}} = ]-4; \infty[\). c) \(f'(x) = e^{0{,}5x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), daher ist \(f\) streng monoton steigend und somit umkehrbar.

- Überlege bei jeder Reihenfolge, welcher gesamte Term von der Streckung betroffen ist. - Achte darauf, ob die Verschiebung vor oder nach der Streckung ausgeführt wird. - Nutze das Verhalten von \(e^x\) für sehr kleine \(x\)-Werte, um die waagerechte Asymptote zu bestimmen.

1. Bei (1) entsteht zuerst \(f(x)+3\). Die anschließende Streckung des gesamten Ausdrucks mit dem Faktor \(2\) liefert \(g_1(x)=2(e^x+3)=2e^x+6\). Für sehr kleine \(x\)-Werte nähert sich der Graph der Geraden \(y=6\). Außerdem gilt \(g_1(0)=2e^0+6=8\), also liegt der \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0|8)\). 2. Bei (2) entsteht zuerst \(2f(x)=2e^x\). Die anschließende Verschiebung nach oben liefert \(g_2(x)=2e^x+3\). Die waagerechte Asymptote ist \(y=3\). Außerdem gilt \(g_2(0)=2e^0+3=5\), also liegt der \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0|5)\).

(1) \(g_1(x)=2e^x+6\); Asymptote \(y=6\); \(y\)-Achsenabschnitt \((0|8)\) (2) \(g_2(x)=2e^x+3\); Asymptote \(y=3\); \(y\)-Achsenabschnitt \((0|5)\)

- Überlege dir, welches Vorzeichen die Ableitung einer streng monoton steigenden Funktion haben muss. - Nutze für den Nachweis der Identität die binomischen Formeln oder multipliziere die Klammern direkt aus. - Wie kannst du durch Ableiten prüfen, welche der gegebenen Funktionen als Stammfunktion von \(s\) dienen kann? - Beachte beim Einsetzen der Grenzen die Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktionen, insbesondere \(e^{\ln(a)} = a\) und \(e^{-\ln(a)} = \frac{1}{a}\).

1. Die Ableitung ist \(s'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\). Da die Exponentialfunktion \(e^k\) für alle reellen \(k\) stets positive Werte liefert, ist die Summe \(e^x + e^{-x}\) immer größer als null. Somit gilt \(s'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\); daher ist \(s\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend. 2. Einsetzen der Terme in die rechte Seite: \(2 \cdot \left[\frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\right] \cdot \left[\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\right] = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) \cdot (e^x + e^{-x})\). Anwendung der dritten binomischen Formel liefert \(\frac{1}{2} \cdot (e^{2x} - e^{-2x})\). Dies entspricht exakt der Definition von \(s(2x)\). 3. Da \(s(x) \ge 0\) für \(x \ge 0\), berechnet sich der Flächeninhalt über das Integral: \(A = \int_{0}^{\ln(2)} s(x) \, dx = [c(x)]_{0}^{\ln(2)}\). Es gilt \(c(\ln 2) = \frac{1}{2} \cdot (e^{\ln 2} + e^{-\ln 2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 + 0{,}5) = 1{,}25\) und \(c(0) = 1\). Die Fläche beträgt somit \(1{,}25 - 1 = 0{,}25\) Flächeneinheiten.

1. \(s'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}) > 0\) für alle \(x\) 2. \(2 \cdot s(x) \cdot c(x) = \dots = \frac{1}{2} \cdot (e^{2x} - e^{-2x}) = s(2x)\) 3. \(A = 0{,}25\)

- Vergleiche zuerst die waagerechten Asymptoten der drei Graphen. - Nutze bei \(g\) zusätzlich den charakteristischen Punkt \((0|1)\) der Grundfunktion. - Prüfe bei \(h\), welche Spiegelung einen steigenden in einen fallenden Graphen verwandelt.

1. Der Graph von \(g\) hat die waagerechte Asymptote \(y=-2\). Gegenüber \(f\) ist er daher um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. Der Punkt \((0|1)\) der Grundfunktion erscheint bei \((1|-1)\), also kommt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts hinzu. Damit gilt \(g(x)=e^{x-1}-2\). 2. Der Graph von \(h\) fällt statt zu steigen. Daher ist \(f\) an der \(x\)-Achse gespiegelt. Seine waagerechte Asymptote liegt bei \(y=3\), also ist der gespiegelte Graph zusätzlich um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. Damit gilt \(h(x)=-e^x+3\).

\(g(x)=e^{x-1}-2\): \(1\) Einheit nach rechts und \(2\) Einheiten nach unten. \(h(x)=-e^x+3\): Spiegelung an der \(x\)-Achse und \(3\) Einheiten nach oben.

- Untersuche die Definitionsmenge jeder Funktion. Gibt es Stellen, an denen eine Funktion nicht definiert ist? - Betrachte markante Punkte wie Nullstellen oder den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. - Analysiere das Verhalten der Graphen für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte (\(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\)). - Überprüfe, ob einer der Graphen oder eine der Funktionsgleichungen eine Symmetrie (z. B. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse) aufweist.

1. Analyse von \(G_1\): Der Graph besitzt zwei Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 1\) sowie den \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0 \mid -1)\). Für \(x \to \infty\) nähert er sich asymptotisch der \(x\)-Achse an. Dies entspricht der Funktion \(f_4(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}\), da der Faktor \((x^2 - 1)\) die Nullstellen bei \(\pm 1\) erzeugt und \(f_4(0) = -1\) gilt. 2. Analyse von \(G_2\): Der Graph ist für \(x = 0\) nicht definiert und besitzt dort eine senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel. Für \(x \to \infty\) steigt er steil an, für \(x \to -\infty\) nähert er sich asymptotisch der \(x\)-Achse von unten an. Dies entspricht der Funktion \(f_3(x) = \frac{e^x}{x}\), welche bei \(x = 0\) eine Definitionslücke besitzt. 3. Analyse von \(G_3\): Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse mit dem Maximum bei \((0 \mid 2)\) und nähert sich für \(x \to \pm\infty\) der \(x\)-Achse an. Dies entspricht der Funktion \(f_1(x) = 2e^{-x^2}\), da \(f_1(-x) = f_1(x)\) gilt und \(f_1(0) = 2\) ist. 4. Ausschluss von \(f_2\): Die verbleibende Funktion \(f_2(x) = x^2 \cdot e^{-x}\) ist für alle \(x\) nichtnegativ und besitzt eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\), was auf keinen der abgebildeten Graphen zutrifft.

\(G_1\) gehört zu \(f_4(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}\), \(G_2\) zu \(f_3(x) = \frac{e^x}{x}\) und \(G_3\) zu \(f_1(x) = 2e^{-x^2}\); \(f_2(x) = x^2 \cdot e^{-x}\) bleibt übrig.

- Vergleiche zunächst die Schnittpunkte der Graphen mit der \(y\)-Achse. - Prüfe anschließend, welche Funktionen eine gut erkennbare Nullstelle besitzen. - Untersuche das Grenzverhalten für \(x\to\pm\infty\) und achte dabei auf waagerechte Asymptoten. - Nutze nur so viele Merkmale, wie du für eine eindeutige Zuordnung brauchst.

1. Für \(f\) gilt \(f(0)=-2\), die Nullstelle ist \(x=2\), und für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to0\). Diese Merkmale passen zu Graph A. 2. Für \(g\) gilt \(g(0)=2\), und für \(x\to-\infty\) gilt \(g(x)\to3\). Diese Merkmale passen zu Graph B. 3. Für \(h\) gilt \(h(0)=0\), und für \(x\to\infty\) gilt \(h(x)\to0\). Diese Merkmale passen zu Graph C.

1) Graph A 2) Graph B 3) Graph C

- Vergleiche die waagerechten Asymptoten beider Graphen. - Der Punkt \((0|1)\) ist ein charakteristischer Punkt der natürlichen Exponentialfunktion. Wo liegt der entsprechende Punkt beim verschobenen Graphen? - Wie wird eine Verschiebung nach links im Argument der Funktion geschrieben?

1. Die Asymptote von \(G_f\) ist \(y=0\), die von \(G_g\) ist \(y=-2\). Der Graph wurde also um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. Der Punkt \((0|1)\) auf \(G_f\) wird auf den Punkt \((-3|-1)\) auf \(G_g\) abgebildet. Dies entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links. 2. Mit der Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach unten ergibt sich \(g(x)=f(x+3)-2=e^{x+3}-2\). 3. Es gilt \(g(0)=e^3-2\approx18{,}09\).

1. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach unten. 2. \(g(x)=e^{x+3}-2\) 3. \(g(0)=e^3-2\approx18{,}09\)

- Welche Ableitungsregeln benötigst du für das Produkt aus \(t\) und einem Exponentialterm? - Für das Maximum ist neben einer Nullstelle der ersten Ableitung auch der Vorzeichenwechsel wichtig. - Eine behauptete Stammfunktion lässt sich durch Ableiten überprüfen. - Der Mittelwert einer Funktion über ein Intervall hängt vom Integral über dieses Intervall und von seiner Länge ab.

1. Mit Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(f'(t)=(10-2t)e^{-0{,}2t}\). 2. Da der Exponentialfaktor positiv ist, folgt aus \(f'(t)=0\) die Gleichung \(10-2t=0\). Somit ist \(t_{\text{max}}=5\,\text{h}\). Für \(t<5\) ist \(f'(t)>0\), für \(t>5\) ist \(f'(t)<0\); daher liegt dort ein Maximum. 3. Es gilt \(f(5)=50e^{-1}\approx18{,}39\,\text{mg}/\text{L}\). 4. Ableiten liefert \(F'(t)=-50[e^{-0{,}2t}-0{,}2(t+5)e^{-0{,}2t}]=10te^{-0{,}2t}=f(t)\). Damit ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 5. Der Mittelwert ist \(\frac{1}{20}\int_0^{20}f(t)\,dt=\frac{F(20)-F(0)}{20}\). Mit \(F(20)=-1250e^{-4}\) und \(F(0)=-250\) ergibt sich \(\frac{-1250e^{-4}+250}{20}\approx11{,}36\,\text{mg}/\text{L}\).

a) \(t_{\text{max}}=5\,\text{h}\) b) \(f(5)\approx18{,}39\,\text{mg}/\text{L}\) c) \(F'(t)=f(t)\) d) Mittelwert: \(\approx11{,}36\,\text{mg}/\text{L}\)

- Überlege, welche Werte die Funktion \(f(x)\) laut Graph annehmen kann. - Wie verhält sich die \(e\)-Funktion, wenn ihr Exponent größer oder kleiner wird? - Erinnere dich an die Kettenregel: \(g'(x) = \text{äußere Ableitung} \cdot \text{innere Ableitung}\). Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der inneren Ableitung?

1. Definitionsmenge: Die Exponentialfunktion ist für alle reellen Zahlen definiert. Da \(f\) eine ganzrationale Funktion (Parabel) ist, die überall definiert ist, gilt \(D_g = \mathbb{R}\). 2. Wertemenge: Aus dem Graphen von \(f\) liest man den Scheitelpunkt \(S(0 \mid 1)\) ab. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(f(x) \leq 1\). Da die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist, folgt \(g(x) = e^{f(x)} \leq e^1 = e\). Da \(e^{f(x)}\) stets positiv ist, ist die Wertemenge \(W_g = (0; e]\). 3. Monotonie: Die Ableitung ist \(g'(x) = f'(x) \cdot e^{f(x)}\). Da \(e^{f(x)}\) immer positiv ist, hängt das Vorzeichen von \(g'\) nur von \(f'\) ab. \(f\) steigt für \(x < 0\) (\(f'(x) > 0\)), also steigt dort auch \(g\). \(f\) fällt für \(x > 0\) (\(f'(x) < 0\)), also fällt dort auch \(g\).

a) \(D_g = \mathbb{R}\). b) \(W_g = (0; e]\). c) \(g\) ist streng monoton steigend für \(x \in (-\infty; 0]\) und streng monoton fallend für \(x \in [0; \infty)\).

- Vergleiche zuerst die Funktionswerte bei \(x=0\). - Achte darauf, welchem \(y\)-Wert sich jeder Graph für sehr kleine \(x\)-Werte nähert. - Prüfe, ob zwei der angegebenen Terme mit einem Potenzgesetz in dieselbe Form gebracht werden können.

1. Graph 1 verläuft durch \((0|2)\) und hat bei \(x=1\) den Wert \(2e\approx5{,}44\). Daher gehört er zu \(y=2e^x\). 2. Graph 2 verläuft ebenfalls durch \((0|2)\), nähert sich für sehr kleine \(x\)-Werte aber der Geraden \(y=1\). Daher gehört er zu \(y=e^x+1\). 3. Graph 3 schneidet die \(y\)-Achse bei \(e\approx2{,}72\) und verläuft durch \((-1|1)\). Daher passt \(y=e^{x+1}\). Wegen \(e^{x+1}=e\cdot e^x\) beschreibt auch \(y=e\cdot e^x\) denselben Graphen. 4. Graph 4 hat den \(y\)-Achsenabschnitt \((0|-1)\) und die waagerechte Asymptote \(y=-2\). Daher gehört er zu \(y=e^x-2\).

Graph 1: \(y=2e^x\) Graph 2: \(y=e^x+1\) Graph 3: \(y=e^{x+1}\) und \(y=e\cdot e^x\) Graph 4: \(y=e^x-2\)

- Vergleiche zuerst gut ablesbare Achsenschnittpunkte. - Suche anschließend nach Symmetrien oder Nullstellen, die nur zu einzelnen Termen passen. - Nutze das Grenzverhalten, um verbleibende Zuordnungen über waagerechte Asymptoten abzusichern.

1. Zu \(f_1\) gehören der \(y\)-Achsenabschnitt \(-1\) und die waagerechte Asymptote \(y=-2\) für \(x\to-\infty\). Das ist Graph a). 2. \(f_2\) ist streng monoton fallend, hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(2\) und nähert sich für \(x\to\infty\) der \(x\)-Achse. Das ist Graph b). 3. \(f_3\) ist wegen des Terms \(x^2\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und besitzt bei \(x=0\) den Maximalwert \(4\). Das ist Graph c). 4. \(f_4\) hat die Nullstelle \(x=1\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \(-1\). Das ist Graph d).

\(f_1\) → a) \(f_2\) → b) \(f_3\) → c) \(f_4\) → d)

- Untersuche zuerst das Verhalten des Exponentialterms für \(x\to-\infty\). - Welche einfachen \(x\)-Werte machen den Exponenten besonders leicht auswertbar? - Welches Vorzeichen hat die erste Ableitung überall?

1. Für \(x\to-\infty\) gilt \(e^{x-1}\to0\), also \(f(x)\to3\). Die waagerechte Asymptote ist \(y=3\). 2. \(f(0)=3-\frac{2}{e}\). Daher ist \(S_y\left(0\middle|3-\frac{2}{e}\right)\). 3. Für \(x=1\) gilt \(f(1)=1\). Damit ist beispielsweise \(P(1|1)\) ein exakt bestimmbarer Punkt. 4. Es gilt \(f'(x)=-2e^{x-1}<0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\). Daher ist \(f\) streng monoton fallend. 5. Der Wert \(3\) wird nicht erreicht und nach rechts sind die Funktionswerte unbeschränkt negativ. Die Wertemenge ist \(]-\infty;3[\).

Waagerechte Asymptote: \(y=3\) \(S_y\left(0\middle|3-\frac{2}{e}\right)\) Zum Beispiel \(P(1|1)\) Streng monoton fallend Wertemenge \(]-\infty;3[\)

- Welche Größe musst du untersuchen, wenn du ein Maximum der Konzentration suchst? - „Am stärksten abnehmen“ bezieht sich auf die Steigung der Konzentrationsfunktion. Wie erkennst du ein Minimum dieser Steigung? - Für die lineare Fortsetzung brauchst du Funktionswert und Steigung am Übergangszeitpunkt. - Vergleiche für den Grenzwert das lineare Wachstum von \(t\) mit dem exponentiellen Zerfall.

1. Es gilt \(c'(t)=(8-2t)e^{-0{,}25t}\). Wegen \(e^{-0{,}25t}>0\) folgt aus \(c'(t)=0\) die Stelle \(t=4\). Dort wechselt \(c'\) von positiv zu negativ, also liegt das Maximum vor. 2. \(c(4)=32e^{-1}\approx11{,}77\). Die maximale Konzentration beträgt etwa \(11{,}77\,\text{mg}/\text{L}\). 3. Für die stärkste Abnahme wird das Minimum von \(c'\) gesucht. Es gilt \(c''(t)=(0{,}5t-4)e^{-0{,}25t}\). Damit ist \(c''(t)=0\) genau für \(t=8\). Da \(c''\) dort von negativ zu positiv wechselt, hat \(c'\) bei \(t=8\) ein Minimum. 4. Bei \(t=6\) gilt \(c(6)=48e^{-1{,}5}\) und \(c'(6)=-4e^{-1{,}5}\). Die Tangente lautet \(y=-4e^{-1{,}5}(t-6)+48e^{-1{,}5}\). 5. Aus \(0=-4e^{-1{,}5}(t-6)+48e^{-1{,}5}\) folgt \(t=18\). Das sind \(12\) weitere Stunden. 6. Für \(t\to\infty\) gilt \(8t e^{-0{,}25t}\to0\). Im ursprünglichen Modell nähert sich die Konzentration dem Wert \(0\) an.

a) Nach \(4\,\text{h}\); maximale Konzentration \(\approx11{,}77\,\text{mg}/\text{L}\) b) Nach \(8\,\text{h}\) c) Nach weiteren \(12\,\text{h}\), also \(18\,\text{h}\) nach der Einnahme d) \(\lim_{t\to\infty}c(t)=0\); die Konzentration nähert sich im Modell langfristig \(0\,\text{mg}/\text{L}\).

- Bestimme zunächst, wie der Zeitpunkt des positiven Maximums von \(b\) abhängt. - Setze diesen Zeitpunkt in den allgemeinen Funktionsterm ein, um die Höhe des Maximums zu untersuchen. - Trenne bei d) die Frage nach dem Zeitpunkt von der Frage nach der Höhe des Maximums.

1. Es gilt \(T'(t)=(20t-5t^2)e^{-0{,}5t}=5t(4-t)e^{-0{,}5t}\). Für \(t\geq0\) sind \(t=0\) und \(t=4\) die Nullstellen von \(T'\); bei \(t=4\) wechselt \(T'\) von positiv zu negativ. 2. \(T(4)=160e^{-2}+20\approx41{,}65\). Die maximale Temperatur beträgt etwa \(41{,}65\,^\circ\text{C}\). 3. Die Gleichung in b) bedeutet: Zwei Stunden nach dem Zeitpunkt \(t\) liegt die Temperatur genau \(4\,^\circ\text{C}\) unter der Temperatur zum Zeitpunkt \(t\). 4. Wegen \(t^2e^{-0{,}5t}\to0\) für \(t\to\infty\) gilt \(T(t)\to20\,^\circ\text{C}\). 5. Allgemein liegt das positive Maximum bei \(t_{\max}=\frac{2}{b}\), und sein Wert ist \(T(t_{\max})=c+\frac{4a}{b^2e^2}\). 6. Eine Vergrößerung von \(b\) verschiebt das Maximum nach vorn und senkt zugleich seine Höhe. Eine zusätzliche Verringerung von \(a\) senkt die maximale Temperatur weiter, verändert aber den Zeitpunkt des Maximums nicht.

a) Maximale Temperatur \(\approx41{,}65\,^\circ\text{C}\) nach \(4\,\text{h}\) b) In den zwei Stunden von \(t\) bis \(t+2\) sinkt die Temperatur um \(4\,^\circ\text{C}\). c) \(20\,^\circ\text{C}\) d) \(b\) vergrößern; dadurch tritt das Maximum früher und niedriger auf. \(a\) kann zusätzlich verkleinert werden, um die Höhe weiter zu senken.

- Übersetze „am stärksten zunimmt“ zuerst in eine Aussage über die Steigung von \(v\). - Welche Funktion beschreibt diese Steigung, und was muss mit ihr an der gesuchten Stelle geschehen? - Prüfe nicht nur eine notwendige Bedingung, sondern auch, ob die betreffende Größe vor und nach der Stelle tatsächlich ihr Verhalten wechselt.

1. Die Zunahme der Verkaufsrate wird durch \(v'(t)\) beschrieben. Es gilt \(v'(t)=(1{,}5-0{,}05t)e^{0{,}05t}\). 2. Um die Stelle der größten Zunahme zu finden, wird das Maximum von \(v'\) gesucht. Dazu gilt \(v''(t)=(0{,}025-0{,}0025t)e^{0{,}05t}\). 3. Wegen \(e^{0{,}05t}>0\) folgt aus \(v''(t)=0\) die Gleichung \(0{,}025-0{,}0025t=0\), also \(t=10\). 4. Für \(t<10\) ist \(v''(t)>0\), für \(t>10\) ist \(v''(t)<0\). Somit hat \(v'\) bei \(t=10\) ein Maximum.

Die Verkaufsrate nimmt nach \(10\) Tagen am stärksten zu.

- Wie verändert sich der Funktionsterm einer Funktion, wenn ihr Graph in \(x\)-Richtung gestreckt wird? - Welches Potenzgesetz erlaubt es, ein Produkt im Exponenten als Potenz einer Potenz zu schreiben? - Kannst du die Basis \(5\) als Potenz zur Basis \(e\) ausdrücken? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und dem natürlichen Logarithmus.

1. Eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(d\) wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \(\frac{x}{d}\) im Funktionsterm beschrieben. Für \(d = 2\) gilt: \(g(x) = f(\frac{x}{2}) = e^{\frac{1}{2}x}\). 2. Anwendung der Potenzgesetze (\((a^m)^n = a^{mn}\)) ergibt \(g(x) = (e^{\frac{1}{2}})^x\). Die Basis ist somit \(b = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}\). 3. Die Funktion \(h(x) = 5^x\) soll als \(f(\frac{x}{d}) = e^{\frac{1}{d}x}\) dargestellt werden. Es muss also gelten: \(e^{\frac{1}{d}x} = 5^x\). 4. Durch Logarithmieren beider Seiten oder Basiswechsel folgt \(\frac{1}{d} = \ln(5)\). 5. Auflösen nach \(d\) ergibt \(d = \frac{1}{\ln(5)}\). Die numerische Berechnung liefert \(d \approx 0{,}621\).

a) \(g(x) = (e^{\frac{1}{2}})^x = (\sqrt{e})^x\); die Basis ist \(b = \sqrt{e}\). b) \(d = \frac{1}{\ln(5)} \approx 0{,}621\).

- Schreibe zunächst die Tangente im allgemeinen Berührpunkt \((a|f(a))\) mithilfe von Funktionswert und Steigung auf. - Die Bedingung „geht durch \(P\)“ liefert eine Gleichung für \(a\). - Für die Eindeutigkeit hilft es, den entstehenden Ausdruck links und rechts von \(a=1\) zu untersuchen. - Eine monotone Hilfsfunktion kann zeigen, dass nicht mehrere Lösungen möglich sind.

1. Am Berührpunkt \((a|e^a)\) hat die Tangente die Steigung \(e^a\). Damit lautet sie \(t_a(x)=e^a+e^a(x-a)=e^a(x-a+1)\). 2. Da \(P(0|-1)\) auf der Tangente liegen soll, gilt \(-1=e^a(1-a)\). Äquivalent ist \(e^a(a-1)=1\). 3. Für \(a\le1\) ist \(e^a(a-1)\le0\), also kann die Gleichung dort nicht erfüllt sein. Für \(a>1\) ist \(H(a)=e^a(a-1)\) streng steigend, denn \(H'(a)=ae^a>0\). Außerdem gilt \(H(1)=0\) und \(H(a)\to\infty\) für \(a\to\infty\). Daher existiert genau eine Lösung. 4. Numerisch ergibt sich \(a\approx1{,}278\). Damit ist \(e^a\approx3{,}591\). Da die Tangente durch \((0|-1)\) verläuft, lautet sie näherungsweise \(t(x)=3{,}591x-1\).

a) \(e^a(a-1)=1\) b) Genau eine Lösung, da der linke Ausdruck für \(a>1\) streng steigt und von \(0\) gegen \(\infty\) wächst. c) \(a\approx1{,}278\); \(t(x)\approx3{,}591x-1\)