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- Welche Bedingung muss das Argument eines natürlichen Logarithmus erfüllen? - Prüfe jeden gegebenen Wert nur auf diese Bedingung.

1. Der natürliche Logarithmus \(\ln x\) ist für reelle Zahlen genau dann definiert, wenn \(x>0\) gilt. 2. Von den gegebenen Werten sind \(\frac{1}{2}\) und \(4\) positiv.

\(\frac{1}{2}\) und \(4\)

- Welche Beziehung besteht zwischen \(\ln\) und der Exponentialfunktion zur Basis \(e\)? - Prüfe jeweils, welche Funktion außen und welche innen steht.

1. Natürlicher Logarithmus und natürliche Exponentialfunktion sind Umkehrfunktionen. Daher ist \(\ln(e^4)=4\). 2. Ebenso gilt \(e^{\ln(7)}=7\).

a) \(4\) b) \(7\)

- Welcher positive Wert hat den natürlichen Logarithmus \(0\)? - Nutze anschließend das Monotonieverhalten von \(\ln x\).

1. Die Nullstelle erfüllt \(\ln x=0\). Da \(e^0=1\), gilt \(x=1\). Der Schnittpunkt ist \((1|0)\). 2. Die Funktion \(\ln x\) ist streng monoton steigend. Deshalb gilt für \(x>1\): \(\ln x>\ln1=0\).

Schnittpunkt: \((1|0)\); für \(x>1\) gilt \(\ln x>0\).

- Erinnere dich daran, dass die natürliche Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis \(e\) ist. - Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen schreiben? - Welche Rechenregeln gelten für Logarithmen bei Produkten oder Quotienten? - Überlege, wie du Potenzen mit gleicher Basis dividierst.

1. Teilaufgabe a): Den Wurzelausdruck als Potenz schreiben: \(\sqrt[3]{e} = e^{\frac{1}{3}}\). Da \(\ln(e^y) = y\) gilt, folgt \(\ln(e^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}\). 2. Teilaufgabe b): Die Logarithmusgesetze im Exponenten anwenden: \(3 \cdot \ln(2) = \ln(2^3) = \ln(8)\). Der Exponent wird zu \(\ln(8) - \ln(4) = \ln(\frac{8}{4}) = \ln(2)\). Es folgt \(e^{\ln(2)} = 2\). 3. Teilaufgabe c): Die Potenzgesetze innerhalb des Logarithmus anwenden: \(\frac{e^x}{e^{x-2}} = e^{x - (x-2)} = e^2\). Es folgt \(\ln(e^2) = 2\). 4. Teilaufgabe d): Die Identität \(e^{\ln(y)} = y\) nutzen: \(e^{\ln(x^2)} = x^2\) und \(e^{-\ln(x)} = e^{\ln(x^{-1})} = \frac{1}{x}\). Das Produkt ergibt \(x^2 \cdot \frac{1}{x} = x\).

a) \(\frac{1}{3}\) b) \(2\) c) \(2\) d) \(x\)

- Kannst du den Logarithmus eines Produkts in eine Summe von Logarithmen zerlegen? - Wenn zwei Potenzen mit der gleichen Basis \(e\) gleich sind, was muss dann für ihre Exponenten gelten? - Wie isoliert man die Variable, wenn sie innerhalb eines Logarithmus steht?

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Logarithmusgesetzes für Produkte \(\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)\) auf den ersten Term: \(\ln(e^3 \cdot x) = \ln(e^3) + \ln(x)\). Da \(\ln(e^3) = 3\) gilt, ergibt sich \(f(x) = 3 + \ln(x) - \ln(x) = 3\). Der Wert ist für alle \(x > 0\) konstant \(3\). 2. Teilaufgabe b): Da die Basen beider Seiten der Gleichung gleich sind (\(e\)), können die Exponenten gleichgesetzt werden: \(2 \cdot \ln(x) + 1 = 3\). Subtraktion von \(1\) ergibt \(2 \cdot \ln(x) = 2\). Division durch \(2\) ergibt \(\ln(x) = 1\). Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten liefert \(x = e^1 = e\).

a) \(f(x) = 3\) b) \(x = e\)

- Überlege, welche Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und dem natürlichen Logarithmus besteht. - Kannst du Brüche oder Wurzeln als Potenzen mit negativen oder rationalen Exponenten schreiben? - Gibt es eine Regel, wie man den Logarithmus einer Potenz vereinfacht? - Was passiert, wenn eine Funktion direkt auf ihre Umkehrfunktion angewendet wird?

1. Anwendung der Identität \(\ln(e^y) = y\) auf den Ausdruck \(y = k+3\). Ergebnis: \(k+3\). 2. Ausnutzung der Eigenschaft, dass die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus Umkehrfunktionen sind: \(e^{\ln(y)} = y\). Hier ist \(y = x^2+1\). Ergebnis: \(x^2+1\). 3. Umschreiben des Bruchs mithilfe der Potenzgesetze: \(\frac{1}{e^5} = e^{-5}\). Anwendung der Logarithmus-Identität: \(\ln(e^{-5}) = -5\). Ergebnis: \(-5\). 4. Darstellung der Wurzel als Potenz: \(\sqrt{e^6} = (e^6)^{1/2} = e^3\). Vereinfachung des Logarithmus: \(\ln(e^3) = 3\). Ergebnis: \(3\).

a) \(k+3\) b) \(x^2+1\) c) \(-5\) d) \(3\)

- Kannst du das Argument im Logarithmus zuerst mit Potenzgesetzen vereinfachen? - Erinnerst du dich an die Gesetze, mit denen man die Summe zweier Logarithmen zusammenfassen kann? - Wie lassen sich Wurzeln allgemein als Potenzen ausdrücken? - Prüfe, ob du die Reihenfolge der Rechenschritte ändern kannst, um die Identität von \(e\) und \(\ln\) schneller zu nutzen.

1. Zusammenfassen der Potenzen im Argument: \(e^x \cdot e^2 = e^{x+2}\). Anwendung der Identität \(\ln(e^y) = y\). Ergebnis: \(x+2\). 2. Anwendung des Produktgesetzes für Logarithmen: \(\ln(5) + \ln(x) = \ln(5x)\). Es folgt \(e^{\ln(5x)} = 5x\). Ergebnis: \(5x\). 3. Umschreiben der Wurzel als \(e^{0{,}5}\) und Anwendung der Divisionsregel für Potenzen: \(\frac{e^1}{e^{0{,}5}} = e^{1-0{,}5} = e^{0{,}5}\). Logarithmieren ergibt \(\ln(e^{0{,}5}) = 0{,}5\). Ergebnis: \(0{,}5\). 4. Umwandlung der dritten Wurzel in einen Exponenten: \(\sqrt[3]{e^{2x}} = (e^{2x})^{\frac{1}{3}} = e^{\frac{2}{3} \cdot x}\). Einsetzen in den Term: \(3 \cdot \ln(e^{\frac{2}{3} \cdot x}) = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot x = 2x\). Ergebnis: \(2x\).

a) \(x+2\) b) \(5x\) c) \(0{,}5\) d) \(2x\)

- Überlege, wie Logarithmus- und Exponentialfunktion zusammenhängen. - Kannst du Brüche oder Wurzeln als Potenzen zur Basis \(e\) schreiben? - Welche Rechenregeln gelten für den Logarithmus von Produkten oder Potenzen?

1. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(e^y) = y\) unter Berücksichtigung von Potenzgesetzen: \(\ln(e^{-3}) = -3\). 2. Nutzung der Tatsache, dass die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus Umkehrfunktionen sind: \(e^{\ln(0{,}5x)} = 0{,}5x\). 3. Umformung der Wurzel in eine Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) und Anwendung der Logarithmengesetze: \(4 \cdot \ln(e^{\frac{x}{2}}) = 4 \cdot \frac{x}{2} = 2x\). 4. Zusammenfassen der Faktoren im Argument der Logarithmusfunktion mittels Potenzgesetzen zu \(e^{4{,}5}\) und anschließende Vereinfachung: \(\ln(e^{4{,}5}) = 4{,}5\).

a) \(-3\) b) \(0{,}5x\) c) \(2x\) d) \(4{,}5\)

- Denke an die Regel für den Logarithmus einer Potenz. - Wie lässt sich ein Vorfaktor vor dem Logarithmus in den Logarithmus „hineinziehen“? - Erinnere dich an die Definition des natürlichen Logarithmus als Umkehrfunktion der \(e\)-Funktion.

1. Darstellung der dritten Wurzel als rationaler Exponent: \(\ln(e^{\frac{6}{3}}) = \ln(e^2) = 2\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Faktoren vor dem Logarithmus, um den Ausdruck in die Form \(e^{\ln(y)}\) zu bringen: \(e^{\ln(x^2)} = x^2\). 3. Verrechnung der Potenzen innerhalb des Logarithmus durch Subtraktion der Exponenten: \(\ln(e^{x-2}) = x - 2\). 4. Direkte Nutzung der Identität \(\ln(e^y) = y\) und anschließendes Ausmultiplizieren: \(5 \cdot (x + 1) = 5x + 5\).

a) \(2\) b) \(x^2\) c) \(x - 2\) d) \(5x + 5\)

- Welche Änderung im Argument beschreibt eine Spiegelung an der y-Achse? - Eine Verschiebung nach oben verändert nicht das Argument des Logarithmus. - Für welche Argumente ist \(\ln\) definiert, und wo nähert sich sein Graph einer vertikalen Geraden?

1. Die Spiegelung an der y-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\). Dadurch entsteht \(\ln(-x)\). 2. Die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben ergibt \(g(x)=\ln(-x)+3\). 3. Für den natürlichen Logarithmus muss das Argument positiv sein: \(-x>0\). Daher gilt \(x<0\) und somit \(D_g=]-\infty;0[\). 4. Für \(x\to0^-\) gilt \(-x\to0^+\), daher fällt \(\ln(-x)\) unbegrenzt. Die vertikale Asymptote ist \(x=0\).

a) \(g(x)=\ln(-x)+3\). b) \(D_g=]-\infty;0[\); vertikale Asymptote: \(x=0\).

- Was weißt du über die Hintereinanderausführung von Exponentialfunktion und Logarithmus? - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Gibt es Logarithmus- oder Potenzgesetze, mit denen du die Terme in der Klammer oder im Exponenten vereinfachen kannst? - Überlege, wie man Brüche mit gleicher Basis verrechnet.

1. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(e^x) = x\): \(5 - 2 = 3\). 2. Anwendung der Eigenschaft \(e^{\ln(x)} = x\): \(4x \cdot \frac{1}{2} = 2x\). 3. Umschreiben der Wurzel als Potenz \(e^{1/3}\) und Anwendung der Logarithmusgesetze: \(3 \cdot \frac{1}{3} = 1\). 4. Zusammenfassen des Bruchs durch Subtraktion der Exponenten: \(\ln(e^{3-1}) = \ln(e^2) = 2\). 5. Anwendung der Regel \(n \cdot \ln(a) = \ln(a^n)\) im Exponenten: \(e^{\ln(3^2)} + 1 = 9 + 1 = 10\).

a) \(3\) b) \(2x\) c) \(1\) d) \(2\) e) \(10\)

- Kannst du die Terme innerhalb des Logarithmus zuerst mit Potenzgesetzen vereinfachen? - Welche Regel erlaubt es, zwei Logarithmen zu subtrahieren? - Wie hängen Brüche mit negativen Exponenten zusammen? - Was passiert, wenn eine Funktion und ihre Umkehrfunktion direkt nacheinander auf einen Wert wirken?

1. Addition der Exponenten im Logarithmus und Anwendung der Umkehrfunktion: \(\ln(e^{x+3}) - x = x + 3 - x = 3\). 2. Anwendung des Logarithmusgesetzes für Differenzen \(\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)\): \(e^{\ln(10/2)} = e^{\ln(5)} = 5\). 3. Darstellung der Wurzel als Potenz \(e^{0{,}5}\): \(8 \cdot 0{,}5 = 4\). 4. Umschreiben des Bruchs als negative Potenz \(e^{-n}\): \(\ln(e^{-n}) + n = -n + n = 0\). 5. Vereinfachung des Exponentialausdrucks und anschließende Kürzung: \(\frac{1}{t} \cdot t^2 = t\).

a) \(3\) b) \(5\) c) \(4\) d) \(0\) e) \(t\)

- Kannst du die Zahl im Logarithmus als Produkt oder Quotient aus den Zahlen 2 und 5 schreiben? - Überlege, wie man Dezimalzahlen wie \(2{,}5\) oder \(0{,}4\) als Brüche darstellen kann. - Wie lässt sich eine Wurzel mithilfe eines Exponenten ausdrücken? - Welche Rechenregel erlaubt es, einen Exponenten vor den Logarithmus zu ziehen?

1. Anwendung der Produktregel: \(\ln(10) = \ln(2 \cdot 5) = \ln(2) + \ln(5) = 0{,}69 + 1{,}61 = 2{,}30\) 2. Anwendung der Quotientenregel: \(\ln(2{,}5) = \ln\left(\frac{5}{2}\right) = \ln(5) - \ln(2) = 1{,}61 - 0{,}69 = 0{,}92\) 3. Zerlegung in Faktoren und Anwendung der Potenz- und Produktregel: \(\ln(80) = \ln(2^4 \cdot 5) = 4 \cdot \ln(2) + \ln(5) = 4 \cdot 0{,}69 + 1{,}61 = 2{,}76 + 1{,}61 = 4{,}37\) 4. Anwendung der Quotientenregel: \(\ln(0{,}4) = \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln(2) - \ln(5) = 0{,}69 - 1{,}61 = -0{,}92\) 5. Umschreiben der Wurzel als Potenz und Anwendung der Potenzregel: \(\ln(\sqrt{5}) = \ln(5^{0{,}5}) = 0{,}5 \cdot \ln(5) = 0{,}5 \cdot 1{,}61 = 0{,}805\)

a) \(2{,}30\) b) \(0{,}92\) c) \(4{,}37\) d) \(-0{,}92\) e) \(0{,}805\)

- Versuche, jede Zahl im Logarithmus durch 3 und 10 auszudrücken. - Denke daran, dass \(100 = 10^2\) und \(27 = 3^3\) ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine Zahl im Nenner eines Bruchs steht? - Wie hängen \(\ln(30)\) und \(\ln(\sqrt{30})\) mathematisch zusammen?

1. Produktregel nutzen: \(\ln(30) = \ln(3 \cdot 10) = \ln(3) + \ln(10) = 1{,}10 + 2{,}30 = 3{,}40\) 2. Darstellung als Bruch und Anwendung der Regeln: \(\ln(0{,}03) = \ln\left(\frac{3}{100}\right) = \ln(3) - \ln(10^2) = \ln(3) - 2 \cdot \ln(10) = 1{,}10 - 2 \cdot 2{,}30 = -3{,}50\) 3. Potenzregel nutzen: \(\ln(27) = \ln(3^3) = 3 \cdot \ln(3) = 3 \cdot 1{,}10 = 3{,}30\) 4. Kombination aus Wurzel- und Produktregel: \(\ln(\sqrt{30}) = \frac{1}{2} \ln(30) = 0{,}5 \cdot 3{,}40 = 1{,}70\) 5. Darstellung als Bruch: \(\ln(0{,}9) = \ln\left(\frac{9}{10}\right) = \ln(3^2) - \ln(10) = 2 \cdot \ln(3) - \ln(10) = 2{,}20 - 2{,}30 = -0{,}10\)

a) \(3{,}40\) b) \(-3{,}50\) c) \(3{,}30\) d) \(1{,}70\) e) \(-0{,}10\)

- Bestimme die Definitionsmenge jeder Seite getrennt. - Prüfe einen negativen Wert von \(x\), bevor du die Gleichheit allgemein beurteilst. - Welche Form des Potenzgesetzes berücksichtigt auch negative Werte von \(x\)?

1. \(\ln(x^2)\) ist genau für \(x\neq0\) definiert. 2. \(2\ln(x)\) ist im Reellen nur für \(x>0\) definiert. 3. Die beiden Seiten haben also unterschiedliche Definitionsmengen. Für \(x=-2\) ist beispielsweise \(\ln(x^2)=\ln(4)\) definiert, \(2\ln(x)\) dagegen nicht. 4. Die Behauptung ist falsch. Für \(x>0\) gilt \(\ln(x^2)=2\ln(x)\); für alle \(x\neq0\) gilt \(\ln(x^2)=2\ln|x|\).

Die Aussage ist falsch. \(\ln(x^2)=2\ln(x)\) ist im Reellen nur für \(x>0\) gültig; für alle \(x\neq0\) gilt \(\ln(x^2)=2\ln|x|\).

- Welche Bedingung muss das Argument eines Logarithmus erfüllen? - Löse die entstehende quadratische Ungleichung, bevor du nach Nullstellen suchst. - Welchen Wert muss das Logarithmusargument bei einer Nullstelle haben? - Prüfe gefundene Lösungen anschließend gegen die Definitionsmenge.

1. Für den Logarithmus muss \(x^2-15>0\) gelten. Daraus folgt \(|x|>\sqrt{15}\), also \(D_f=]-\infty;-\sqrt{15}[\cup]\sqrt{15};\infty[\). 2. Für eine Nullstelle gilt \(\ln(x^2-15)=0\). Damit muss \(x^2-15=1\) sein. 3. Aus \(x^2=16\) folgen \(x=-4\) und \(x=4\). Beide Werte liegen in der Definitionsmenge.

\(D_f=]-\infty;-\sqrt{15}[\cup]\sqrt{15};\infty[\) Nullstellen: \(x=-4\) und \(x=4\)

- Kannst du den Bruch in zwei einfachere Teile zerlegen? - Welche der beiden Funktionen im Zähler oder Nenner wächst für sehr große Werte schneller? - Erinnere dich an die Regel für das Verhalten von \(\frac{\ln(x)}{x}\) im Unendlichen.

1. Den Funktionsterm durch Aufteilen des Bruchs vereinfachen: \(f(x) = \frac{x}{x} + \frac{\ln(x)}{x} = 1 + \frac{\ln(x)}{x}\). 2. Das Grenzverhalten der einzelnen Summanden für \(x \to \infty\) betrachten: Der erste Summand ist konstant \(1\). 3. Die Wachstumsregel für Logarithmus- und Potenzfunktionen anwenden: Da Potenzfunktionen (hier \(x^1\)) für \(x \to \infty\) stärker wachsen als die Logarithmusfunktion, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0\). 4. Die Grenzwerte addieren: \(\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{\ln(x)}{x}) = 1 + 0 = 1\).

\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1\)

- Hilft dir ein Logarithmengesetz dabei, den Exponenten im Inneren des Logarithmus nach vorne zu ziehen? - Was passiert mit \(x\) und was mit \(\ln(x)\), wenn \(x\) immer näher an \(0\) rückt? - Gibt es eine bekannte Regel für Grenzwerte der Form \(x^n \cdot \ln(x)\) an der Stelle \(0\)?

1. Den Logarithmusterm mithilfe der Logarithmengesetze vereinfachen: \(g(x) = x \cdot 2 \cdot \ln(x) = 2 \cdot (x \ln(x))\). 2. Die Art des unbestimmten Ausdrucks für \(x \to 0\) identifizieren: Der Faktor \(x\) nähert sich \(0\), während \(\ln(x)\) gegen \(-\infty\) strebt (Form \(0 \cdot (-\infty)\)). 3. Den Standardgrenzwert für das Produkt aus Potenz- und Logarithmusfunktion anwenden: Für jede positive Potenz \(n\) gilt \(\lim_{x \to 0^+} x^n \cdot \ln(x) = 0\). Hier ist \(n=1\). 4. Das Ergebnis berechnen: \(2 \cdot 0 = 0\).

\(\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0\)

- Überlege dir, wie man Wurzeln und Brüche als Potenzen zur Basis \(e\) schreiben kann. - Was ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis \(e\)? - Welche Zahl muss man als Exponent wählen, damit \(e^x = 1\) gilt? - Nutze die Potenzgesetze, um Brüche mit gleicher Basis zusammenzufassen.

1. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(e^x) = x\): \(\ln(e^{10}) = 10\). 2. Umschreiben des Bruchs als Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{e^4} = e^{-4}\). Daraus folgt \(\ln(e^{-4}) = -4\). 3. Umschreiben der Wurzel als Potenz: \(\sqrt[4]{e} = e^{\frac{1}{4}} = e^{0{,}25}\). Daraus folgt \(\ln(e^{0{,}25}) = 0{,}25\). 4. Da \(e^0 = 1\) gilt, ist \(\ln(1) = 0\). 5. Anwendung der Potenzgesetze im Argument: \(\frac{e^2}{e^{0{,}5}} = e^{2 - 0{,}5} = e^{1{,}5}\). Daraus folgt \(\ln(e^{1{,}5}) = 1{,}5\).

(1) \(10\) (2) \(-4\) (3) \(0{,}25\) (4) \(0\) (5) \(1{,}5\)

- Erinnere dich daran, dass \(\ln(x)\) und \(e^x\) gegenseitige Umkehrfunktionen sind. - Wie lassen sich Produkte und Quotienten von Potenzen mit gleicher Basis vereinfachen? - Kannst du einen Bruch oder eine Wurzel in eine einzige Potenzschreibweise umwandeln? - Was passiert, wenn eine Funktion direkt auf ihre Umkehrfunktion angewendet wird?

1. Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis \(e\) ist, gilt direkt \(\ln(e^x) = x\). 2. Zusammenfassen der Potenzen im Argument: \(e^2 \cdot e^a = e^{2+a}\). Anwendung der Logarithmenseigenschaft ergibt \(2+a\). 3. Umschreiben des Terms als Potenz: \(\frac{1}{\sqrt[n]{e}} = \frac{1}{e^{1/n}} = e^{-1/n}\). Damit ist der Wert \(-\frac{1}{n}\). 4. Die Hintereinanderausführung von Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion ergibt das Argument selbst: \(e^{\ln(3)} = 3\). 5. Anwendung der Potenzgesetze für Division: \(\frac{e^m}{e^n} = e^{m-n}\). Der Logarithmus davon ist \(m-n\).

(1) \(x\) (2) \(2+a\) (3) \(-\frac{1}{n}\) (4) \(3\) (5) \(m-n\)

- Nutze die Rechenregeln für Potenzen, um die Ausdrücke innerhalb des Logarithmus zuerst zu einer einzigen Potenz von \(e\) zusammenzufassen. - Denke daran, dass \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) gilt. - Welche Rechenregel gilt für die Division von Potenzen mit gleicher Basis? - Was passiert, wenn die Basis des Logarithmus und die Basis der Potenz im Argument identisch sind?

1. Für Teil a): Verwendung des Potenzgesetzes \(e^a \cdot e^b = e^{a+b}\) führt zu \(\ln(e^{x+2})\). Durch die Identität \(\ln(e^y) = y\) ergibt sich \(x + 2\). 2. Für Teil b): Umschreiben der Wurzel und des Bruchs: \(\frac{e^{\frac{k}{2}}}{e^1} = e^{\frac{k}{2} - 1}\). Der Logarithmus liefert \(\frac{k}{2} - 1\). 3. Für Teil c): Darstellung der n-ten Wurzel als Exponent: \(\sqrt[n]{e^{-3}} = (e^{-3})^{\frac{1}{n}} = e^{-\frac{3}{n}}\). Der Wert ist \(-\frac{3}{n}\). 4. Für Teil d): Umformung des Arguments: \(\frac{e^1}{e^{\frac{3}{4}}} = e^{1 - \frac{3}{4}} = e^{\frac{1}{4}}\). Der Logarithmus ergibt \(\frac{1}{4}\) bzw. \(0{,}25\).

a) \(x + 2\) b) \(\frac{k}{2} - 1\) c) \(-\frac{3}{n}\) d) \(\frac{1}{4}\) oder \(0{,}25\)

- Welche Regel erlaubt es dir, einen Vorfaktor in den Logarithmus zu ziehen? - Wie kannst du eine Summe von zwei Logarithmen mit derselben Basis zusammenfassen? - Was passiert mit dem Argument, wenn du einen Logarithmus von einem anderen subtrahierst? - Erinnerst du dich, wie man Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln schreiben kann?

1. Anwendung der Potenzregel für Logarithmen: \(3 \cdot \ln(x) = \ln(x^3)\) und \(\frac{1}{2} \cdot \ln(y) = \ln(y^{1/2}) = \ln(\sqrt{y})\). 2. Anwendung der Summenregel: \(\ln(x^3) + \ln(\sqrt{y}) = \ln(x^3 \cdot \sqrt{y})\). 3. Anwendung der Differenzregel: \(\ln(x^3 \cdot \sqrt{y}) - \ln(z^2) = \ln\left(\frac{x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2}\right)\).

\(\ln\left(\frac{x^3 \sqrt{y}}{z^2}\right)\)

- Beginne damit, den Bruch innerhalb des Logarithmus aufzulösen. - Achte beim Auflösen des Nenners besonders auf die Vorzeichen in der Summe. - Überlege, welchen Wert der natürliche Logarithmus der Eulerschen Zahl \(e\) hat. - Wie kannst du Wurzeln und Exponenten innerhalb eines Logarithmus umschreiben?

1. Anwendung der Quotientenregel für Logarithmen: \(\ln(\sqrt{e} \cdot a^4) - \ln(b \cdot c^2)\). 2. Anwendung der Produktregel auf beide Terme: \(\ln(\sqrt{e}) + \ln(a^4) - (\ln(b) + \ln(c^2))\). 3. Auflösen der Klammer unter Beachtung des Vorzeichens: \(\ln(\sqrt{e}) + \ln(a^4) - \ln(b) - \ln(c^2)\). 4. Anwendung der Potenzregel und Vereinfachung des Terms mit der Basis \(e\): \(\ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2}\), \(\ln(a^4) = 4 \ln(a)\) und \(\ln(c^2) = 2 \ln(c)\). 5. Endergebnis: \(\frac{1}{2} + 4 \ln(a) - \ln(b) - 2 \ln(c)\).

\(\frac{1}{2} + 4 \ln(a) - \ln(b) - 2 \ln(c)\)

- Überlege zuerst, wie du Faktoren vor dem Logarithmus als Exponenten in den Logarithmus ziehen kannst. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen rationalen Exponenten und Wurzeln. - Nutze die Rechenregeln für Summen und Differenzen von Logarithmen, um alles in ein Argument zu schreiben. - Prüfe bei Brüchen im Argument, ob du den Zähler faktorisieren und den Bruch kürzen kannst.

1. Anwendung der Potenzregel \(n \cdot \ln(u) = \ln(u^n)\) und der Produkt- sowie Quotientengesetze \(\ln(u) + \ln(v) = \ln(u \cdot v)\) bzw. \(\ln(u) - \ln(v) = \ln\left(\frac{u}{v}\right)\) auf Teilaufgabe a): \(3 \cdot \ln(x) + 2 \cdot \ln(y) - \ln(z) = \ln(x^3) + \ln(y^2) - \ln(z) = \ln\left(\frac{x^3 \cdot y^2}{z}\right)\). 2. Anwendung der Potenzregel auf Teilaufgabe b) unter Berücksichtigung von Wurzeln: \(\frac{1}{2} \ln(a) - \frac{1}{4} \ln(b) = \ln(a^{\frac{1}{2}}) - \ln(b^{\frac{1}{4}}) = \ln(\sqrt{a}) - \ln(\sqrt[4]{b}) = \ln\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{b}}\right)\). 3. Anwendung des Quotientengesetzes auf Teilaufgabe c) und anschließende Vereinfachung durch Faktorisierung mit der dritten binomischen Formel: \(\ln(x^2 - 1) - \ln(x + 1) = \ln\left(\frac{x^2 - 1}{x + 1}\right) = \ln\left(\frac{(x - 1) \cdot (x + 1)}{x + 1}\right) = \ln(x - 1)\).

a) \(\ln\left(\frac{x^3 \cdot y^2}{z}\right)\) b) \(\ln\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{b}}\right)\) c) \(\ln(x - 1)\)

- Gehe schrittweise vor: Löse zuerst den Bruch auf, dann Produkte und schließlich Potenzen. - Was passiert, wenn der natürliche Logarithmus auf eine Potenz der Basis \(e\) trifft? - Achte darauf, Klammern korrekt zu setzen, wenn du ein Produkt im Nenner zerlegst. - Behandle Wurzeln wie Potenzen mit Brüchen als Exponenten.

1. Anwendung der Quotientenregel, Produktregel und Potenzregel auf Teilaufgabe a): \(\ln \left( \frac{x^2 \cdot \sqrt{y}}{z} \right) = \ln(x^2 \cdot \sqrt{y}) - \ln(z) = \ln(x^2) + \ln(y^{\frac{1}{2}}) - \ln(z) = 2 \cdot \ln(x) + \frac{1}{2} \ln(y) - \ln(z)\). 2. Anwendung der Produkt- und Potenzregel auf Teilaufgabe b), wobei \(\ln(e^k) = k\) genutzt wird: \(\ln(e^2 \cdot a^5) = \ln(e^2) + \ln(a^5) = 2 + 5 \cdot \ln(a)\). 3. Anwendung der Quotienten- und Potenzregel auf Teilaufgabe c) unter Verwendung der Eigenschaft des natürlichen Logarithmus: \(\ln \left( \frac{e^{-2x}}{x+1} \right) = \ln(e^{-2x}) - \ln(x+1) = -2x \ln(e) - \ln(x+1) = -2x - \ln(x+1)\).

a) \(2 \cdot \ln(x) + \frac{1}{2} \ln(y) - \ln(z)\) b) \(2 + 5 \cdot \ln(a)\) c) \(-2x - \ln(x+1)\)

- Wie kannst du die Zahl \(x\) mithilfe einer Wurzel als Produkt von zwei gleichen Faktoren schreiben? - Kannst du den Term innerhalb des Logarithmus als Produkt ausdrücken? - Was passiert mit einem Logarithmus, wenn sein Argument ein Produkt ist? - Wie oft kommt der Term \(\ln(\sqrt{x})\) vor, wenn du die Bestandteile des Produkts einzeln betrachtest?

1. Darstellung von \(x\) als Produkt zweier identischer Wurzelterme: \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\) 2. Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung: \(\ln(x) = \ln(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x})\) 3. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(u \cdot v) = \ln(u) + \ln(v)\) auf die rechte Seite: \(\ln(x) = \ln(\sqrt{x}) + \ln(\sqrt{x})\) 4. Zusammenfassen der identischen Summanden auf der rechten Seite: \(\ln(x) = 2 \cdot \ln(\sqrt{x})\) 5. Division der gesamten Gleichung durch 2 liefert die gesuchte Identität: \(\frac{1}{2} \ln(x) = \ln(\sqrt{x})\)

Durch die Darstellung \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\) und Anwendung der Regel für Logarithmen von Produkten folgt \(\ln(x) = \ln(\sqrt{x}) + \ln(\sqrt{x}) = 2 \cdot \ln(\sqrt{x})\). Durch Division beider Seiten durch 2 ergibt sich die Behauptung \(\ln(\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \ln(x)\).

- Wie hängen die natürliche Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus zusammen? - Welche Rechenregeln für Logarithmen kennst du für Differenzen oder Produkte? - Kannst du Wurzeln und Brüche als Potenzen zur Basis \(e\) schreiben? - Was passiert, wenn ein Faktor vor dem Logarithmus steht?

1. Teilaufgabe a): Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(e^4 \cdot e^{0{,}5} = e^{4{,}5}\). Da \(\ln(e^x) = x\) gilt, folgt \(\ln(e^{4{,}5}) = 4{,}5\). 2. Teilaufgabe b): Der Nenner wird zu \(e^3\) zusammengefasst, woraus \(\ln(e^{-3})\) folgt. Das Ergebnis ist \(-3\). 3. Teilaufgabe c): Mithilfe der Logarithmengesetze gilt \(\ln(5) - \ln(2) = \ln\left(\frac{5}{2}\right) = \ln(2{,}5)\). Da \(e^{\ln(x)} = x\) gilt, folgt \(e^{\ln(2{,}5)} = 2{,}5\). 4. Teilaufgabe d): Der Koeffizient wird in den Logarithmus gezogen: \(-2 \ln(3) = \ln(3^{-2}) = \ln\left(\frac{1}{9}\right)\). Damit ergibt sich \(e^{\ln(1/9)} = \frac{1}{9}\).

a) \(4{,}5\) b) \(-3\) c) \(2{,}5\) d) \(\frac{1}{9}\)

- Erinnere dich an die Definition der \(n\)-ten Wurzel als Potenz. - Nutze die Potenzgesetze, um Brüche mit gleicher Basis zu vereinfachen. - Wie kannst du einen negativen Faktor vor dem Logarithmus in den Numerus verschieben? - Überlege dir, was der Kehrwert von \(0{,}25\) ist.

1. Teilaufgabe a): Umschreiben der Wurzel als Potenz ergibt \(\ln(e^{2/5})\). Aufgrund der Identität \(\ln(e^x) = x\) ist das Ergebnis \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Logarithmengesetze im Exponenten: \(2 \ln(2) = \ln(2^2) = \ln(4)\). Damit lautet der Exponent \(\ln(12) - \ln(4) = \ln\left(\frac{12}{4}\right) = \ln(3)\). Es folgt \(e^{\ln(3)} = 3\). 3. Teilaufgabe c): Vereinfachung des Bruchs durch Subtraktion der Exponenten: \(\frac{e^{k+1}}{e^k} = e^{(k+1)-k} = e^1\). Somit ist \(\ln(e^1) = 1\). 4. Teilaufgabe d): Umformung des Exponenten: \(-\ln(0{,}25) = \ln(0{,}25^{-1}) = \ln\left(\frac{1}{0{,}25}\right) = \ln(4)\). Der Ausdruck wird zu \(3 \cdot e^{\ln(4)} = 3 \cdot 4 = 12\).

a) \(0{,}4\) b) \(3\) c) \(1\) d) \(12\)

- Welche Rechenregeln für Logarithmen kennst du für Summen und Differenzen? - Kannst du Terme im Argument des Logarithmus faktorisieren, um den Ausdruck zu vereinfachen? - Wie lässt sich ein Vorfaktor vor einem Logarithmus als Exponent in das Argument schreiben? - Schau dir an, ob sich Variablen im Zähler und Nenner eines Bruchs innerhalb des Logarithmus kürzen lassen.

1. Anwendung des Gesetzes \(\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)\) ergibt \(\ln\left(\frac{x^2-25}{x-5}\right)\). Durch Faktorisieren des Zählers mittels der dritten binomischen Formel folgt \(\ln\left(\frac{(x-5) \cdot (x+5)}{x-5}\right)\), was sich zu \(\ln(x+5)\) vereinfacht. 2. Der Ausdruck \(2 \cdot \ln(x)\) wird zu \(\ln(x^2)\) umgeformt. Die Kombination der Terme führt auf \(\ln\left(\frac{4 \cdot x^2}{4 \cdot x}\right)\). Nach Kürzen des Bruchs im Argument erhält man \(\ln(x)\). 3. Die Summe der Logarithmen wird als Logarithmus des Produkts \(\ln\left(\frac{1}{x} \cdot x^3\right)\) geschrieben. Vereinfachen des Arguments ergibt \(\ln(x^2)\).

a) \(\ln(x+5)\) b) \(\ln(x)\) c) \(\ln(x^2)\)

- Überlege, in welcher Beziehung die Funktion \(f(x) = \ln(x)\) zur Funktion \(g(x) = e^x\) steht. - Was passiert, wenn man den natürlichen Logarithmus direkt auf eine Potenz zur Basis \(e\) anwendet? - Vereinfache zuerst die einzelnen Logarithmus-Ausdrücke, bevor du die Punkt- vor Strichrechnung ausführst.

1. Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist, gilt \(\ln(e^k) = k\). Für den ersten Teil ergibt sich somit \((3x + 4) - 4\), was zu \(3x\) vereinfacht wird. 2. Die Anwendung der Identität auf beide Faktoren liefert \(x \cdot 5 - 4x\). Die Subtraktion ergibt \(x\). 3. Die Vereinfachung der einzelnen Bestandteile führt auf \(x^2 - x \cdot x\). Die Differenz ergibt \(0\).

a) \(3x\) b) \(x\) c) \(0\)

- Vergleiche die Lage der senkrechten Asymptoten der Graphen von \(g\) und \(h\) mit der Asymptote von \(f\). - Untersuche markante Punkte wie den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse des Referenzgraphen \(f\) und schaue, wohin diese Punkte verschoben wurden. - Überlege, welche mathematische Veränderung im Funktionsterm einer Verschiebung nach rechts bzw. einer Verschiebung nach oben entspricht.

1. Analyse des Graphen von \(f(x) = \ln(x)\): Der Graph hat die senkrechte Asymptote bei \(x = 0\) (die \(y\)-Achse) und schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \((1 \mid 0)\). 2. Bestimmung von \(g(x)\): Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 2\) und die Nullstelle bei \((3 \mid 0)\). Das entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (in positive \(x\)-Richtung). Der Funktionsterm lautet somit \(g(x) = \ln(x - 2)\). 3. Bestimmung von \(h(x)\): Die senkrechte Asymptote liegt wie bei \(f\) bei \(x = 0\), aber der Punkt \((1 \mid 0)\) ist nach \((1 \mid 2)\) verschoben. Das entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben (in positive \(y\)-Richtung). Der Funktionsterm lautet somit \(h(x) = \ln(x) + 2\).

\(g(x) = \ln(x - 2)\) entsteht durch Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts, und \(h(x) = \ln(x) + 2\) entsteht durch Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben.

- Vergleiche zuerst die vertikalen Asymptoten; eine Verschiebung im Argument verändert deren Lage. - Für die Graphen mit derselben Asymptote liefern die markierten Werte bei \(x=e\) zusätzliche Information. - Überlege, wie ein äußerer Faktor beziehungsweise ein Minuszeichen die y-Werte von \(\ln(x)\) verändert. - Prüfe jeden Graphen mit einem eigenen Merkmal, statt den letzten Term nur durch Ausschluss zuzuordnen.

1. Der Graph \(h\) hat seine vertikale Asymptote bei \(x=-3\) und enthält den Punkt \((-2|0)\). Daher gehört \(h\) zu \(y=\ln(x+3)\), also Term 3. 2. Die übrigen drei Graphen haben die vertikale Asymptote \(x=0\). Beim blauen Graphen gilt \(f(e)=1\); daher ist \(f(x)=\ln(x)\), also Term 1. 3. Beim grünen Graphen gilt \(g(e)=2\). Damit sind die Funktionswerte von \(\ln(x)\) verdoppelt: \(g(x)=2\ln(x)\), also Term 2. 4. Beim roten Graphen gilt \(k(e)=-1\). Er ist die Spiegelung von \(\ln(x)\) an der x-Achse: \(k(x)=-\ln(x)\), also Term 4. 5. Term 5 bleibt übrig.

\(f\rightarrow1\), \(g\rightarrow2\), \(h\rightarrow3\), \(k\rightarrow4\); Term 5 bleibt übrig.

- Wann ist der natürliche Logarithmus eines Ausdrucks gleich null? - Denke an die Kettenregel beim Ableiten von verketteten Funktionen. - Wie lautet die Ableitung von \(\ln(u(x))\)?

1. Bestimmung der Nullstelle: Setze den Funktionsterm gleich null: \(\ln(6 - 2x) = 0\). Dies ist erfüllt, wenn das Argument des Logarithmus \(1\) ist: \(6 - 2x = 1\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(2x = 5\), also \(x = 2{,}5\). 2. Ableitung bilden: Verwende die Kettenregel für den natürlichen Logarithmus \(\ln(u(x))\), deren Ableitung \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) lautet. Mit \(u(x) = 6 - 2x\) und \(u'(x) = -2\) ergibt sich \(f'(x) = \frac{-2}{6 - 2x}\). Durch Kürzen mit \(-2\) erhält man \(f'(x) = \frac{1}{x - 3}\).

Die Nullstelle liegt bei \(x = 2{,}5\). Ein Term der Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = \frac{1}{x - 3}\).

- Welche Bedingung muss das Logarithmusargument erfüllen? - Welcher \(x\)-Wert macht das Argument besonders einfach? - Welche Eigenschaften von \(\ln x\) bleiben unter Verschiebungen erhalten?

1. Aus \(x-2>0\) folgt die Definitionsmenge \(]2;\infty[\). 2. Für \(x\to2^+\) gilt \(\ln(x-2)\to-\infty\). Die senkrechte Asymptote ist \(x=2\). 3. Für \(x=3\) gilt \(g(3)=1\). Daher liegt beispielsweise \(P(3|1)\) auf dem Graphen. 4. \(\ln x\) ist streng monoton steigend; Verschiebungen ändern diese Eigenschaft nicht. Daher ist auch \(g\) streng monoton steigend. 5. Der natürliche Logarithmus nimmt alle reellen Werte an. Die vertikale Verschiebung ändert daran nichts, also ist die Wertemenge \(\mathbb{R}\).

Definitionsmenge: \(]2;\infty[\) Senkrechte Asymptote: \(x=2\) Zum Beispiel \(P(3|1)\) Streng monoton steigend Wertemenge: \(\mathbb{R}\)

- Ein einziges zulässiges Gegenbeispiel reicht, um die allgemeine Behauptung zu widerlegen. - Prüfe, ob die bekannte Logarithmusregel ein Produkt oder eine Summe im Argument betrifft. - Welche Bedingung muss \(x+3\) für den Logarithmus erfüllen?

1. Für \(x=1\) ist links \(\ln4\), rechts aber \(\ln1+\ln3=\ln3\). Da \(\ln4\neq\ln3\), ist die Behauptung falsch. 2. Die Produktregel lautet \(\ln(uv)=\ln u+\ln v\) für \(u>0\) und \(v>0\). Sie gilt für ein Produkt, nicht für eine Summe. 3. Für \(h\) muss \(x+3>0\) gelten. Daher ist die Definitionsmenge \(]-3;\infty[\).

a) Zum Beispiel \(x=1\): \(\ln4\neq\ln3\) b) \(\ln(uv)=\ln u+\ln v\) für \(u,v>0\) c) \(]-3;\infty[\)

- Vergleiche zuerst Definitionsmenge und Achsenschnittpunkte der beiden Kurven. - Welche geometrische Beziehung haben die Graphen zweier Umkehrfunktionen? - Bei einer Spiegelung an \(y=x\) werden die beiden Koordinaten eines Punktes vertauscht.

1. Der Graph \(p\) ist für alle reellen \(x\) definiert, stets positiv und verläuft durch \((0|1)\). Daher gehört \(p\) zu \(e^x\). 2. Der Graph \(q\) ist nur für positive \(x\) definiert und verläuft durch \((1|0)\). Daher gehört \(q\) zu \(\ln x\). 3. Da \(e^x\) und \(\ln x\) Umkehrfunktionen sind, sind ihre Graphen Spiegelbilder an der Geraden \(y=x\). 4. Beim Spiegeln werden die Koordinaten vertauscht. Zum Punkt \((0|1)\) gehört daher \((1|0)\).

a) \(p: e^x\); \(q: \ln x\) b) Die Graphen sind Spiegelbilder an \(y=x\). c) \((1|0)\)

- Überlege dir, wie weit ein Punkt \(x\) von der Spiegelachse entfernt ist und wo der gespiegelte Punkt liegen muss. - Wie verändert sich der \(x\)-Wert eines Punktes, wenn er an einer vertikalen Geraden gespiegelt wird? - Bleibt die Höhe (der \(y\)-Wert) eines Punktes bei einer solchen Spiegelung gleich oder ändert sie sich? - Setze den gefundenen Bildpunkt in deine neue Funktionsgleichung ein, um die Zugehörigkeit zu prüfen.

1. Eine Spiegelung an einer vertikalen Geraden \(x = a\) wird durch die Transformation \(x \mapsto 2a - x\) beschrieben. Mit \(a = 5\) ergibt sich die Transformation \(x \mapsto 10 - x\). 2. Der Funktionsterm von \(g\) lautet somit \(g(x) = f(10 - x) = \ln(10 - x)\) mit \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 10\}\). 3. Für den Punkt \(P(1|0)\) ergibt sich die \(x\)-Koordinate des Bildpunktes \(P'\) durch \(x' = 2 \cdot 5 - 1 = 9\). Da die \(y\)-Koordinate bei einer Spiegelung an einer Parallelen zur \(y\)-Achse unverändert bleibt, ist \(P'(9|0)\). 4. Einsetzen von \(x = 9\) in \(g(x)\) liefert \(g(9) = \ln(10 - 9) = \ln(1) = 0\). Da dies der \(y\)-Koordinate von \(P'\) entspricht, liegt der Punkt auf dem Graphen.

Der Funktionsterm ist \(g(x) = \ln(10 - x)\) mit \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 10\}\). Der Bildpunkt ist \(P'(9|0)\). Die Überprüfung ergibt \(g(9) = \ln(1) = 0\), somit liegt \(P'\) auf dem Graphen von \(g\).

- Bestimme die Definitionsmenge jeder Seite getrennt. - Wann ist ein Quotient positiv? - Auf der rechten Seite müssen beide Logarithmusargumente einzeln positiv sein.

1. Links muss \(\frac{x-2}{x-5}>0\) gelten. Zähler und Nenner haben genau für \(x<2\) oder \(x>5\) dasselbe Vorzeichen. Die Definitionsmenge der linken Seite ist daher \(]-\infty;2[\cup]5;\infty[\). 2. Rechts müssen beide Logarithmusargumente positiv sein: \(x-2>0\) und \(x-5>0\). Damit ist die Definitionsmenge der rechten Seite \(]5;\infty[\). 3. Die Definitionsmengen stimmen nicht überein. Für \(x<2\) ist die linke Seite definiert, die rechte aber nicht. Die Gleichung gilt daher nur für \(x>5\).

Nein. Die linke Seite ist für \(x<2\) oder \(x>5\) definiert, die rechte nur für \(x>5\). Die Gleichung gilt daher im Reellen nur für \(x>5\).

- Welche Bedingung entsteht durch das Logarithmusargument? - Welche zusätzliche Einschränkung folgt daraus, dass der Logarithmus im Nenner steht? - Ein Bruch wird null, wenn sein Zähler null ist und der Nenner definiert sowie ungleich null bleibt. - Sammle alle Ausschlüsse, bevor du die Definitionsmenge notierst.

1. Wegen des Logarithmus muss \(x-3>0\) gelten, also \(x>3\). 2. Zusätzlich darf der Nenner nicht null sein. Aus \(\ln(x-3)=0\) folgt \(x-3=1\), also \(x=4\). Dieser Wert ist ausgeschlossen. 3. Somit ist \(D_h=]3;4[\cup]4;\infty[\). 4. Eine Nullstelle des Bruchs entsteht durch \(x-5=0\), also bei \(x=5\). Dieser Wert gehört zur Definitionsmenge.

\(D_h=]3;4[\cup]4;\infty[\) Nullstelle: \(x=5\)

- Betrachte zuerst die Differenz der beiden Magnituden. - Wie kannst du die Differenz zweier Logarithmen mit derselben Basis zusammenfassen? - Am Ende genügt es, das Verhältnis \(\frac{E_2}{E_1}\) zu bestimmen; die Bezugsenergie muss nicht einzeln berechnet werden.

1. Die Magnitudendifferenz beträgt \(M_2-M_1=7{,}5-5{,}5=2\). 2. Mit der gegebenen Formel folgt \(\frac{2}{3}\log_{10}\left(\frac{E_2}{E_0}\right)-\frac{2}{3}\log_{10}\left(\frac{E_1}{E_0}\right)=2\). 3. Mit der Quotientenregel ergibt sich \(\frac{2}{3}\log_{10}\left(\frac{E_2}{E_1}\right)=2\). 4. Daher gilt \(\log_{10}\left(\frac{E_2}{E_1}\right)=3\) und somit \(\frac{E_2}{E_1}=10^3=1000\).

Die freigesetzte Energie ist um den Faktor \(1000\) größer.

- Was passiert mit den beiden Faktoren, wenn \(x\) immer kleiner wird? - Multipliziere die Klammer aus, um zwei getrennte Terme zu erhalten. - Welche Funktion „gewinnt“ den Kampf gegen Unendlich, wenn eine Potenzfunktion auf eine Logarithmusfunktion trifft? - Welcher bekannte Wachstumsvergleich zwischen Potenz- und Logarithmusfunktionen ist für die beiden Summanden relevant?

1. Den Funktionsterm durch Ausmultiplizieren umschreiben: \(f(x) = x^2 \cdot \ln(x) + 3x \cdot \ln(x)\). 2. Das Verhalten der einzelnen Summanden für \(x \to 0^+\) untersuchen: Bekannt ist, dass für jede positive Potenz \(n > 0\) gilt: \(\lim_{x \to 0^+} x^n \cdot \ln(x) = 0\), da die Potenzfunktion \(x^n\) für \(x \to 0\) stärker gegen \(0\) strebt, als die Logarithmusfunktion gegen \(-\infty\) divergiert. 3. Anwendung auf die Summanden: \(\lim_{x \to 0^+} x^2 \cdot \ln(x) = 0\) und \(\lim_{x \to 0^+} 3x \cdot \ln(x) = 0\). 4. Den Gesamtgrenzwert bilden: \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + 0 = 0\).

Der Grenzwert der Funktion \(f\) für \(x \to 0^+\) ist \(0\).

- Wie verhält sich ein Bruch, bei dem im Zähler und Nenner sehr große Werte stehen? - Dividiere Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von \(x\), hier \(x^2\). - Vergleiche das Wachstum von \(x^2\) mit dem von \(\ln(x)\). Welche Funktion wird für sehr große \(x\) dominieren? - Was passiert mit einem Term wie \(\frac{\ln(x)}{x^2}\), wenn \(x\) gegen Unendlich geht?

1. Den Funktionsterm zur Untersuchung des Unendlichen umformen, indem Zähler und Nenner durch \(x^2\) dividiert werden: \(g(x) = \frac{x^2 \cdot (2 - \frac{\ln(x)}{x^2})}{x^2 \cdot (1 + \frac{5}{x^2})} = \frac{2 - \frac{\ln(x)}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}}\). 2. Grenzwerte der einzelnen Bestandteile für \(x \to \infty\) bestimmen: \(\frac{5}{x^2} \to 0\). 3. Vergleich der Wachstumsgeschwindigkeiten: Da Potenzfunktionen wesentlich schneller wachsen als die Logarithmusfunktion, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0\). 4. Den Grenzwert des gesamten Bruchs berechnen: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2\).

Für \(x \to \infty\) streben die Funktionswerte \(g(x)\) gegen den Wert \(2\).

- Welchen kleinsten Wert kann \(x^2+e\) annehmen? - Wie überträgt die streng steigende Logarithmusfunktion diese untere Schranke? - Was geschieht für sehr große Beträge von \(x\)?

1. Für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt \(x^2\geq0\), also \(x^2+e\geq e\). 2. Da \(\ln\) streng monoton steigt, folgt \(f(x)\geq\ln(e)=1\). Der Wert \(1\) wird bei \(x=0\) angenommen. 3. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(x^2+e\to\infty\) und damit \(f(x)\to\infty\). 4. Wegen der Stetigkeit nimmt \(f\) alle Werte ab \(1\) an. Die Wertemenge ist \([1;\infty[\).

Wertemenge: \([1;\infty[\)

- Welchen kleinsten Wert kann der Nenner \(x^4+1\) annehmen? - Welche Werte kann dadurch der Bruch im Logarithmus annehmen? - Wie verhält sich \(\ln(u)\), wenn \(u\to0^+\)?

1. Wegen \(x^4+1\geq1\) gilt \(0<\frac{e^2}{x^4+1}\leq e^2\). Der größte Argumentwert \(e^2\) tritt bei \(x=0\) auf. 2. Da \(\ln\) streng monoton steigt, ist der größte Funktionswert \(g(0)=\ln(e^2)=2\). 3. Für \(|x|\to\infty\) geht der Bruch gegen \(0\) von oben. Deshalb gilt \(g(x)\to-\infty\). 4. Wegen der Stetigkeit werden alle Werte aus \(]-\infty;2]\) angenommen.

Wertemenge: \(]-\infty;2]\)

- Setze die festgelegten Modellwerte zunächst in die Funktionsgleichung ein. - Vergleiche \(S(cI)\) und \(S(I)\) symbolisch, bevor du konkrete Faktoren einsetzt. - Welche Logarithmengesetze lassen den Ausgangswert \(I\) aus der Differenz verschwinden?

1. Aus \(50=k\ln\left(\frac{10^{-7}}{10^{-12}}\right)=5k\ln(10)\) folgt \(k=\frac{10}{\ln(10)}\). 2. Es gilt \(S(2I)-S(I)=k\ln\left(\frac{2I}{I_0}\right)-k\ln\left(\frac{I}{I_0}\right)=k\ln(2)\). Dieser Ausdruck hängt nicht von \(I\) ab. 3. Für eine Verzehnfachung gilt \(S(10I)-S(I)=k\ln(10)=10\).

1. \(k=\frac{10}{\ln(10)}\) 2. \(\Delta S=k\ln(2)\), also unabhängig von \(I\) 3. \(\Delta S=10\)

- Denke an die Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus. - Wie drückt man eine prozentuale Zunahme als Multiplikationsfaktor aus? - Nutze die Rechenregeln für Logarithmen, um Terme wie \(\ln(kx)\) aufzuspalten. - Wenn in einer Formel für eine Differenz das \(x\) am Ende wegfällt, ist die Differenz für alle \(x\) gleich.

1. Die Ableitung der Funktion ist \(f'(x) = \frac{a}{x}\). Die Bedingung \(f'(2) = 1{,}5\) führt auf \(\frac{a}{2} = 1{,}5\), woraus \(a = 3\) folgt. 2. Eine Vergrößerung von \(x\) um \(20\,\%\) entspricht dem neuen Wert \(1{,}2x\). Die Änderung des Funktionswerts ist \(\Delta y = f(1{,}2x) - f(x) = 3 \cdot \ln(1{,}2x) - 3 \cdot \ln(x) = 3 \cdot (\ln(1{,}2) + \ln(x)) - 3 \cdot \ln(x) = 3 \cdot \ln(1{,}2) \approx 0{,}547\). 3. Ein Wachstum um \(p\) Prozent bedeutet den Übergang von \(x\) zu \(x \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\). Die Differenz der Funktionswerte ist \(\Delta y = a \cdot \ln\left(x \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\right) - a \cdot \ln(x)\). Mit dem Logarithmengesetz für Produkte folgt \(\Delta y = a \cdot \left(\ln(x) + \ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)\right) - a \cdot \ln(x) = a \cdot \ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)\). Dieser Ausdruck ist unabhängig von \(x\).

1. \(a = 3\) 2. \(\Delta y = 3 \cdot \ln(1{,}2) \approx 0{,}547\) 3. \(\Delta y = a \cdot \ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)\)

- Betrachte Zähler und Nenner getrennt, wenn \(x\) gegen Null geht. Welches Vorzeichen hat der Logarithmus für sehr kleine positive Werte? - Erinnere dich an das Wachstumsverhalten von Logarithmusfunktionen im Vergleich zu Potenzfunktionen für sehr große \(x\)-Werte. - Kannst du den Funktionsterm in zwei einfachere Brüche aufteilen?

1. Untersuchung für \(x \to 0\): Der Term \(x^2\) im Nenner nähert sich von oben der Null an (\(x^2 \to 0^+\)). Der Zähler \(\ln(x^2) + 1\) strebt gegen \(-\infty\), da der Logarithmus für Argumente nahe Null gegen \(-\infty\) geht. Der Quotient aus einem gegen \(-\infty\) strebenden Zähler und einem gegen \(0^+\) strebenden Nenner ergibt \(\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty\). 2. Untersuchung für \(x \to \infty\): Die Funktion kann in \(f(x) = \frac{\ln(x^2)}{x^2} + \frac{1}{x^2}\) zerlegt werden. Da Potenzfunktionen im Unendlichen stärker wachsen als Logarithmusfunktionen, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2)}{x^2} = 0\). Da auch \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\) gilt, folgt insgesamt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\).

Für \(x \to 0\) gilt \(f(x) \to -\infty\). Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to 0\).

- Untersuche Zähler und Nenner zunächst getrennt für \(x\to0^+\). - Spalte den Bruch für \(x\to\infty\) in zwei Terme auf. - Vergleiche das Wachstum von \(\ln(x)\) mit dem einer positiven Potenz von \(x\).

1. Für \(x\to0^+\) gilt \(2x\to0\), \(-\ln(x)\to\infty\) und \(\sqrt{x}\to0^+\). Daher gilt \(g(x)\to\infty\). 2. Für \(x\to\infty\) gilt \(g(x)=2\sqrt{x}-\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\). 3. Dabei ist \(2\sqrt{x}\to\infty\), während \(\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\to0\). Somit gilt auch \(g(x)\to\infty\).

\(\lim_{x\to0^+}g(x)=\infty\) \(\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty\)

- Welche strikte Bedingung muss das Argument von \(\ln\) erfüllen? - Fasse den Ausdruck im Logarithmus zu einem Bruch zusammen. - An welchen Stellen können Zähler oder Nenner ihr Vorzeichen ändern? - Prüfe die Vorzeichen in den dadurch entstehenden Intervallen.

1. Das Logarithmusargument muss positiv sein: \(1+\frac{4}{x-2}>0\). Außerdem gilt \(x\neq2\). 2. Es ist \(1+\frac{4}{x-2}=\frac{x+2}{x-2}\). 3. Die kritischen Stellen sind \(x=-2\) und \(x=2\). Der Bruch ist für \(x<-2\) positiv, für \(-2<x<2\) negativ und für \(x>2\) positiv. 4. Da das Logarithmusargument strikt positiv sein muss, ist \(D_f=]-\infty;-2[\cup]2;\infty[\).

\(D_f=]-\infty;-2[\cup]2;\infty[\)

- Was weißt du über das Vorzeichen des Arguments einer Logarithmusfunktion? - Es hilft oft, den Ausdruck innerhalb des Logarithmus auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Betrachte die Nullstellen von Zähler und Nenner einzeln. Wie verändert sich das Vorzeichen des Gesamtausdrucks, wenn man diese Stellen überschreitet? - Überprüfe durch Einsetzen eines Wertes aus einem Intervall (z. B. \(-2{,}5\)), ob die Bedingung dort erfüllt ist.

1. Bedingung für den Logarithmus: \(\frac{1}{x+3} - 1 > 0\). Definitionslücke des Bruchs bei \(x = -3\). 2. Umformung der Ungleichung: \(\frac{1 - (x+3)}{x+3} > 0 \implies \frac{-x-2}{x+3} > 0\). 3. Bestimmung der kritischen Stellen: Die Nullstelle des Zählers ist \(x = -2\), die des Nenners \(x = -3\). 4. Vorzeichenanalyse des Terms \(\frac{-x-2}{x+3}\): - Für \(x < -3\): Zähler \(-x-2 > 0\), Nenner \(x+3 < 0\), Quotient negativ. - Für \(-3 < x < -2\): Zähler \(-x-2 > 0\), Nenner \(x+3 > 0\), Quotient positiv. - Für \(x > -2\): Zähler \(-x-2 < 0\), Nenner \(x+3 > 0\), Quotient negativ. 5. Die Bedingung ist nur im Intervall \(]-3; -2[\) erfüllt. Somit ist \(D_g = ]-3; -2[\).

\(D_g = ]-3; -2[\)

- Betrachte die Definition der Funktion \(f\) und setze die Bedingungen für Nullstellen von \(u\) direkt ein. - Nutze die Produktregel, um die Ableitungsfunktion \(f'\) allgemein zu bestimmen. - Was bedeutet es für die Ableitung einer Funktion, wenn an einer Stelle ein lokales Extremum vorliegt? - Erinnere dich daran, welche Bedingungen an einer doppelten Nullstelle für den Funktionswert und den Wert der Ableitung gelten.

1. Prüfung von Aussage (1): Es gilt \(f(x) = u(x) \cdot \ln(x)\). Ist \(x_0\) eine Nullstelle von \(u\), also \(u(x_0) = 0\), so folgt \(f(x_0) = 0 \cdot \ln(x_0) = 0\). Die Aussage ist wahr. 2. Prüfung von Aussage (2): Die Ableitung von \(f\) lautet nach der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot \ln(x) + u(x) \cdot \frac{1}{x}\). An einer Extremstelle \(x_0\) von \(u\) gilt \(u'(x_0) = 0\). Damit ergibt sich \(f'(x_0) = 0 \cdot \ln(x_0) + \frac{u(x_0)}{x_0} = \frac{u(x_0)}{x_0}\). Da dieser Wert im Allgemeinen nicht null ist (außer wenn \(u(x_0) = 0\)), ist die Aussage falsch. 3. Prüfung von Aussage (3): Eine doppelte Nullstelle \(x_0\) von \(u\) bedeutet \(u(x_0) = 0\) und \(u'(x_0) = 0\). Eingesetzt in die Ableitung \(f'(x_0) = u'(x_0) \cdot \ln(x_0) + u(x_0) \cdot \frac{1}{x_0}\) ergibt sich \(f'(x_0) = 0 \cdot \ln(x_0) + 0 \cdot \frac{1}{x_0} = 0\). Die Aussage ist wahr.

(1) wahr (2) falsch (3) wahr

- Überlege dir, für welche Werte die Logarithmusfunktion überhaupt definiert ist. - Verwende die Kettenregel, um die Ableitung von \(g\) zu berechnen. - Wie hängen die Nullstellen einer Logarithmusfunktion mit dem Argument im Inneren der Funktion zusammen? - Was muss für den Funktionswert der inneren Funktion gelten, damit der natürliche Logarithmus den Wert null ergibt?

1. Prüfung von Aussage (1): Wenn \(u(x_0) = 0\) gilt, ist der Ausdruck \(\ln(u(x_0)) = \ln(0)\) nicht definiert. Somit kann \(x_0\) keine Nullstelle von \(g\) sein. Die Aussage ist falsch. 2. Prüfung von Aussage (2): Mit der Kettenregel ergibt sich \(g'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}\). An einer Extremstelle \(x_0\) von \(u\) ist \(u'(x_0) = 0\). Da \(x_0\) in der Definitionsmenge von \(g\) liegt, gilt \(u(x_0) > 0\). Folglich ist \(g'(x_0) = \frac{0}{u(x_0)} = 0\), was eine waagerechte Tangente bedeutet. Die Aussage ist wahr. 3. Prüfung von Aussage (3): Eine Nullstelle von \(g\) bedeutet \(g(x_0) = 0\), also \(\ln(u(x_0)) = 0\). Durch Anwenden der Exponentialfunktion folgt \(e^{\ln(u(x_0))} = e^0\), woraus \(u(x_0) = 1\) resultiert. Die Aussage ist wahr.

(1) falsch (2) wahr (3) wahr

- Welchen Wert musst du für \(x\) wählen, damit der Ausdruck \(\ln(1+x)\) den gewünschten Wert \(\ln(1{,}2)\) ergibt? - Achte beim Einsetzen genau auf die Vorzeichen der einzelnen Glieder. - Überprüfe, in welchem Bereich \(x\) laut Aufgabenstellung liegen darf.

1. Um \(\ln(1{,}2)\) zu berechnen, setzen wir \(1+x = 1{,}2\) bzw. \(x = 0{,}2\) in die Formel ein. Die ersten vier Glieder ergeben: \(S_4 = 0{,}2 - \frac{0{,}2^2}{2} + \frac{0{,}2^3}{3} - \frac{0{,}2^4}{4}\). Berechnung der Einzelwerte: \(0{,}2 - \frac{0{,}04}{2} + \frac{0{,}008}{3} - \frac{0{,}0016}{4} = 0{,}2 - 0{,}02 + 0{,}0026\bar{6} - 0{,}0004 = 0{,}1822\bar{6}\). Auf vier Dezimalstellen gerundet ergibt dies \(0{,}1823\). 2. Für den Funktionswert \(\ln(4)\) müsste \(1+x = 4\) gelten, woraus \(x = 3\) folgt. Die Summendarstellung ist jedoch nur für das Intervall \(]-1; 1]\) gültig. Da \(3 > 1\) ist, liegt der Wert außerhalb des Gültigkeitsbereichs der Reihe.

1. \(\ln(1{,}2) \approx 0{,}1823\) 2. Für \(\ln(4)\) müsste \(x=3\) sein. Dieser Wert liegt außerhalb des zulässigen Intervalls \(]-1; 1]\).

- Welche Potenzregel gilt für jedes der vier ausdrücklich angegebenen Glieder? - Untersuche bei den vier Ergebnissen das Verhältnis aufeinanderfolgender Terme. - Prüfe für die unendliche geometrische Reihe auch die Bedingung an den Betrag des Quotienten.

1. Die Ableitungen der vier angegebenen Glieder sind \(1\), \(-x\), \(x^2\) und \(-x^3\). 2. Die geometrische Reihe \(1-x+x^2-x^3+\dots\) hat das erste Glied \(1\) und den Quotienten \(-x\). Für \(|x|<1\) ist ihre Summe \(\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}\). Dieser Ausdruck stimmt mit der bekannten Ableitung \(\frac{d}{dx}\ln(1+x)=\frac{1}{1+x}\) überein.

1. \(1,-x,x^2,-x^3\) 2. Das fortgesetzte Muster ist eine geometrische Reihe mit Quotienten \(-x\) und Summe \(\frac{1}{1+x}\) für \(|x|<1\); dies stimmt mit \((\ln(1+x))'=\frac{1}{1+x}\) überein.

- Vereinfache die Terme zunächst mithilfe der Logarithmengesetze. - Prüfe die Definitionsmenge vor jeder graphischen Interpretation. - Welche graphische Wirkung haben ein Minuszeichen und ein Faktor vor dem Logarithmus?

1. Es gilt \(g(x)=\ln(x^{-1})=-\ln(x)\) für \(x>0\). Daher ist \(D_g=]0;\infty[\), und der Graph entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse. 2. Für \(h\) muss \(x\neq0\) gelten. Mit \(\ln(x^2)=2\ln|x|\) folgt \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 3. Für \(h\) wird der rechte Zweig von \(\ln x\) zunächst an der \(y\)-Achse gespiegelt, sodass \(\ln|x|\) entsteht. Danach folgt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\) und eine Verschiebung um \(3\) nach unten.

a) \(D_g=]0;\infty[\); Spiegelung an der \(x\)-Achse b) \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); Ergänzung des linken Zweigs durch Spiegelung an der \(y\)-Achse, Streckung mit Faktor \(2\), Verschiebung um \(3\) nach unten

- Wann ist \((x-2)^2\) strikt positiv? - Schreibe den Logarithmus des Quadrats mit Betragsstrichen um. - Welche Verschiebung erkennst du am Ausdruck \(x-2\)? - Welchen Wert muss das Logarithmusargument bei einer Nullstelle haben?

1. Das Logarithmusargument ist genau für \(x\neq2\) positiv. Daher ist \(D_p=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); die senkrechte Asymptote lautet \(x=2\). 2. Es gilt \(p(x)=2\ln|x-2|\). Aus \(\ln x\) entsteht zunächst durch Ergänzung des an der \(y\)-Achse gespiegelten Zweigs \(\ln|x|\). Danach wird in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\) gestreckt und um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. 3. Aus \(\ln((x-2)^2)=0\) folgt \((x-2)^2=1\). Daher ist \(x=1\) oder \(x=3\).

a) \(D_p=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); senkrechte Asymptote \(x=2\) b) Spiegelbild-Zweig ergänzen, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\), Verschiebung um \(2\) nach rechts c) \((1|0)\) und \((3|0)\)

- Betrachte die Grenzwerte der einzelnen Faktoren des Produkts getrennt. - Was weißt du über das Wachstum von Potenzfunktionen im Vergleich zum natürlichen Logarithmus? - Hilft es dir, den Funktionsterm auszumultiplizieren, um einzelne Terme zu untersuchen? - Überlege, welche der beiden Teilfunktionen nahe der Null „stärker“ gegen ihren Grenzwert strebt.

1. Grenzwert für \(x \to +\infty\): Der Faktor \((x^2 - 4x)\) strebt für \(x \to +\infty\) gegen \(+\infty\), da die höchste Potenz \(x^2\) dominiert. Da auch \(\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\) gilt, strebt das Produkt zweier gegen unendlich strebender Terme ebenfalls gegen unendlich. Es folgt \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). 2. Grenzwert für \(x \to 0^+\): Da der Logarithmus nur für positive Werte definiert ist, wird der rechtsseitige Grenzwert \(x \to 0^+\) betrachtet. Durch Ausmultiplizieren erhält man \(f(x) = x^2 \ln(x) - 4x \ln(x)\). Unter Verwendung des Standardgrenzwerts \(\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0\) für alle \(n > 0\) folgt für beide Summanden der Grenzwert 0. Somit gilt \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\).

\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)

- Spalte den Bruch für den Grenzwert im Unendlichen in zwei Summanden. - Vergleiche dort das Wachstum von \(\ln(x)\) mit \(x^2\). - Untersuche für \(x\to0^+\) Vorzeichen und Größe von Zähler und Nenner getrennt.

1. Für \(x\to\infty\) gilt \(g(x)=\frac{3}{x^2}+\frac{\ln(x)}{x^2}\). Beide Summanden gehen gegen \(0\), da \(x^2\) schneller wächst als \(\ln(x)\). Daher ist \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\). 2. Für \(x\to0^+\) gilt \(3+\ln(x)\to-\infty\) und \(x^2\to0^+\). Daher ist \(\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty\).

\(\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty\) \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\)

- Welche allgemeine Basiswechselformel gilt für eine beliebige zulässige Hilfsbasis? - Setze für die Hilfsbasis \(e\) ein. - Warum darf die Hilfsbasis beim Basiswechsel frei gewählt werden?

1. Die Basiswechselformel mit der Hilfsbasis \(e\) liefert \(\log_3x=\frac{\ln x}{\ln3}\). 2. Damit ist \(\log_3 10=\frac{\ln10}{\ln3}\approx2{,}0959\). 3. Außerdem ist \(\log_3 81=\frac{\ln81}{\ln3}=4\), weil \(81=3^4\). 4. Die Basiswechselformel liefert unabhängig von der gewählten zulässigen Hilfsbasis denselben Logarithmuswert. Daher sind \(\frac{\ln10}{\ln3}\) und \(\frac{\log_{10}10}{\log_{10}3}\) gleich.

a) \(\log_3x=\frac{\ln x}{\ln3}\) b) \(\log_3 10\approx2{,}0959\); \(\log_3 81=4\) c) Beide Quotienten sind Darstellungen desselben Logarithmuswerts \(\log_3 10\) nach der Basiswechselformel.

- Wie kannst du eine Logarithmusgleichung in eine Exponentialgleichung umschreiben? - Erinnere dich an das Gesetz, mit dem man Exponenten vor den Logarithmus ziehen kann. - Überlege, wie du den Term im Logarithmus als Potenz der Basis schreiben kannst, um zu vereinfachen. - Welchen Wert hat der natürliche Logarithmus der Eulerschen Zahl \(e\)?

1. Beweis der Formel: Aus \(y = \log_b x\) folgt gemäß der Definition des Logarithmus \(b^y = x\). Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beide Seiten erhält man \(\ln(b^y) = \ln x\). Nach dem Logarithmengesetz für Potenzen gilt \(y \cdot \ln b = \ln x\). Auflösen nach \(y\) ergibt \(y = \frac{\ln x}{\ln b}\). 2. Berechnungen: - \(\log_5 125 = \frac{\ln 125}{\ln 5} = \frac{\ln(5^3)}{\ln 5} = \frac{3 \cdot \ln 5}{\ln 5} = 3\) - \(\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}3219\) - \(\log_{0{,}5} 4 = \frac{\ln 4}{\ln 0{,}5} = \frac{\ln(2^2)}{\ln(2^{-1})} = \frac{2 \cdot \ln 2}{-1 \cdot \ln 2} = -2\) 3. Begründung: Wendet man die Basiswechselformel auf \(\log_5 e\) an, erhält man \(\log_5 e = \frac{\ln e}{\ln 5}\). Da \(\ln e = 1\) ist, folgt \(\log_5 e = \frac{1}{\ln 5}\). Das Produkt \(\ln 5 \cdot \frac{1}{\ln 5}\) ergibt somit \(1\).

a) \(y = \log_b x \Rightarrow b^y = x \Rightarrow \ln(b^y) = \ln x \Rightarrow y \cdot \ln b = \ln x \Rightarrow y = \frac{\ln x}{\ln b}\) b) \(\log_5 125 = 3\); \(\log_2 10 \approx 3{,}3219\); \(\log_{0{,}5} 4 = -2\) c) Da \(\log_5 e = \frac{\ln e}{\ln 5} = \frac{1}{\ln 5}\) gilt, ist \(\ln 5 \cdot \frac{1}{\ln 5} = 1\).

- Wie gehst du vor, wenn die Unbekannte im Exponenten steht? - Nutze die Basiswechselformel, um beide Seiten der Identität in Teil b) auf den natürlichen Logarithmus zurückzuführen. - Überlege bei Teil c), mit welcher Zahl man die Basis \(e^2\) potenzieren muss, um \(e\) zu erhalten. - Was passiert, wenn Logarithmus und Exponentialfunktion mit derselben Basis aufeinandertreffen?

1. Lösung der Gleichung: Durch Logarithmieren von \(5^x = 20\) mit dem natürlichen Logarithmus erhält man \(\ln(5^x) = \ln 20\), also \(x \cdot \ln 5 = \ln 20\). Die exakte Lösung ist \(x = \frac{\ln 20}{\ln 5}\). Der Näherungswert ist \(x \approx 1{,}861\). 2. Beweis der Identität: Nach der Basiswechselformel gilt \(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\). Ebenso gilt \(\log_x a = \frac{\ln a}{\ln x}\). Der Kehrwert von \(\log_x a\) ist \(\frac{1}{\frac{\ln a}{\ln x}} = \frac{\ln x}{\ln a}\). Damit ist die Identität gezeigt. 3. Berechnung des Ausdrucks: \(\ln(e^3) = 3\), da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion zur Basis \(e\) ist. Für den zweiten Teil gilt \(\log_{e^2}(e) = \frac{\ln e}{\ln(e^2)} = \frac{1}{2 \cdot \ln e} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Die Summe ist \(3 + 0{,}5 = 3{,}5\).

a) \(x = \frac{\ln 20}{\ln 5} \approx 1{,}861\) b) \(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\) und \(\frac{1}{\log_x a} = \frac{1}{\frac{\ln a}{\ln x}} = \frac{\ln x}{\ln a}\) c) \(3{,}5\)

- Wie lautet die allgemeine Formel, um einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis in den natürlichen Logarithmus umzurechnen? - Erinnere dich an die Definition von \(e^{-1}\) und was passiert, wenn du davon den natürlichen Logarithmus bildest. - Wo schneiden alle einfachen Logarithmusfunktionen der Form \(\log_b(x)\) die \(x\)-Achse? - Überlege dir, wie das Vorzeichen des Funktionswerts mit dem Wachstum (Steigen oder Fallen) der Funktion zusammenhängt.

1. Anwendung der Basiswechselformel \(\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}\): Mit der Basis \(b = \frac{1}{e} = e^{-1}\) ergibt sich \(g(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(e^{-1})}\). Da \(\ln(e^{-1}) = -1\) ist, folgt \(g(x) = \frac{\ln(x)}{-1} = -\ln(x)\). 2. Für \(f(x) = \ln(x)\): Da die Basis \(e \approx 2{,}718 > 1\) ist, ist \(f\) streng monoton steigend. Mit der Nullstelle \(f(1) = 0\) folgt \(f(x) < 0\) für \(0 < x < 1\). Für \(g(x) = -\ln(x)\) kehren sich die Vorzeichen um: \(g(x) < 0\) gilt für \(\ln(x) > 0\), also für \(x > 1\). 3. Die Funktion \(f\) hat eine Basis \(e > 1\) und ist streng monoton steigend. Die Funktion \(g\) hat eine Basis \(\frac{1}{e} < 1\). Da \(g(x) = -f(x)\) ist, spiegelt sich der Graph an der \(x\)-Achse, wodurch \(g\) streng monoton fallend ist. Allgemein gilt: Logarithmusfunktionen mit Basis \(b > 1\) steigen, solche mit \(0 < b < 1\) fallen.

1. \(g(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(e^{-1})} = \frac{\ln(x)}{-1} = -\ln(x)\) 2. \(f(x) < 0\) für \(x \in (0; 1)\); \(g(x) < 0\) für \(x \in (1; \infty)\) 3. \(f\) ist wegen \(e > 1\) streng monoton steigend; \(g\) ist wegen der Basis \(\frac{1}{e} < 1\) (bzw. des negativen Vorzeichens vor \(\ln(x)\)) streng monoton fallend.

- Setze den Logarithmus gleich einer Variable \(y\) und schreibe die Gleichung in die entsprechende Potenzform um. - Wie verhält sich eine Potenz \(a^y\), wenn die Basis größer als 1 ist und der Exponent positiv wird? - Wie ändert sich dieses Verhalten, wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt? - Vergleiche die Lage der Basis \(0{,}2\) und des Arguments \(5\) relativ zur Zahl 1.

1. Sei \(y = \log_a(x)\). Es soll untersucht werden, wann \(y > 0\) gilt. 2. Fall \(a > 1\): Die Exponentialfunktion \(a^y\) ist streng monoton steigend. Daher gilt \(y>0 \iff a^y>a^0=1\). Mit \(a^y=x\) folgt \(y>0 \iff x>1\). 3. Fall \(0<a<1\): Die Exponentialfunktion \(a^y\) ist streng monoton fallend. Daher gilt \(y>0 \iff a^y<a^0=1\). Mit \(a^y=x\) folgt \(y>0 \iff 0<x<1\). 4. Damit ist \(\log_a(x)>0\) genau dann, wenn Basis und Argument auf derselben Seite von \(1\) liegen. 5. Bei \(\log_{0{,}2}(5)\) liegt die Basis zwischen \(0\) und \(1\), das Argument aber über \(1\). Der Logarithmus ist daher negativ.

1. Für \(a>1\) gilt \(\log_a(x)>0 \iff x>1\). Für \(0<a<1\) gilt \(\log_a(x)>0 \iff 0<x<1\). Damit ist der Logarithmus genau dann positiv, wenn Basis und Argument auf derselben Seite von \(1\) liegen. 2. Negativ, da die Basis \(0{,}2<1\) und das Argument \(5>1\) auf verschiedenen Seiten von \(1\) liegen.

- Verkleinere das bereits bekannte Intervall schrittweise, statt direkt den Logarithmuswert abzurufen. - Vergleiche bei jedem Testwert \(x\) den Wert \(e^x\) mit \(5\). - Für die endgültige Rundung reicht das Tausendstelintervall allein noch nicht; entscheide, auf welcher Seite seiner Mitte der gesuchte Wert liegt.

1. Im Intervall \([1{,}60;1{,}70]\) werden passende Hundertstel getestet. Es gilt \(e^{1{,}60}\approx4{,}9530\) und \(e^{1{,}61}\approx5{,}0028\). Daher ist \(1{,}60<\ln 5<1{,}61\). 2. Für die Tausendstelstelle gilt \(e^{1{,}609}\approx4{,}9978\) und \(e^{1{,}610}\approx5{,}0028\). Somit ist \(1{,}609<\ln 5<1{,}610\). 3. Für die Rundungsentscheidung wird die Mitte \(1{,}6095\) geprüft. Wegen \(e^{1{,}6095}\approx5{,}0003>5\) gilt \(\ln 5<1{,}6095\). Zusammen mit \(\ln 5>1{,}609\) folgt \(\ln 5\approx1{,}609\).

\(1{,}60<\ln 5<1{,}61\), da \(e^{1{,}60}\approx4{,}9530<5<5{,}0028\approx e^{1{,}61}\). \(1{,}609<\ln 5<1{,}610\), da \(e^{1{,}609}\approx4{,}9978<5<5{,}0028\approx e^{1{,}610}\). Da \(e^{1{,}6095}\approx5{,}0003>5\), ist \(\ln 5\approx1{,}609\).

- Beachte bei negativen Zahlen die Reihenfolge auf der Zahlengeraden. - Nutze die strenge Monotonie von \(e^x\): Aus dem Vergleich der Exponentialwerte folgt unmittelbar die Lage von \(x\). - Für die Rundung auf drei Nachkommastellen musst du entscheiden, auf welcher Seite der Mitte des letzten Tausendstelintervalls der Wert liegt.

1. Es gilt \(e^{-0{,}70}\approx0{,}49658\) und \(e^{-0{,}69}\approx0{,}50157\). Da die Exponentialfunktion streng wächst, folgt \(-0{,}70<\ln 0{,}5<-0{,}69\). 2. Weiter gilt \(e^{-0{,}694}\approx0{,}49957\) und \(e^{-0{,}693}\approx0{,}50007\). Damit ist \(-0{,}694<\ln 0{,}5<-0{,}693\). 3. Für die Rundung wird die Mitte \(-0{,}6935\) geprüft. Es ist \(e^{-0{,}6935}\approx0{,}49982<0{,}5\). Wegen der Monotonie gilt daher \(\ln 0{,}5>-0{,}6935\), also \(\ln 0{,}5\approx-0{,}693\).

\(-0{,}70<\ln 0{,}5<-0{,}69\), da \(e^{-0{,}70}\approx0{,}49658<0{,}5<0{,}50157\approx e^{-0{,}69}\). \(-0{,}694<\ln 0{,}5<-0{,}693\), da \(e^{-0{,}694}\approx0{,}49957<0{,}5<0{,}50007\approx e^{-0{,}693}\). Da \(e^{-0{,}6935}\approx0{,}49982<0{,}5\), ist \(\ln 0{,}5\approx-0{,}693\).

- Überlege dir, wie du die Gleichung nach \(x\) auflösen kannst. - Was weißt du über das Verhalten der Exponentialfunktion für sehr große Exponenten? - Wenn du für jeden beliebigen Wert \(y\) ein passendes \(x\) finden kannst, was bedeutet das für das Wachstum?

1. Die Gleichung \(y = \ln(x)\) kann durch die Umkehrfunktion zur Basis \(e\) als \(x = e^y\) ausgedrückt werden. 2. Da die Exponentialfunktion \(e^y\) für \(y \to \infty\) gegen Unendlich strebt, existiert für jeden beliebig großen Funktionswert \(y = S\) ein entsprechender Wert \(x = e^S\). Somit ist die Funktion nach oben unbegrenzt. 3. Für den Funktionswert \(15\) ergibt sich die Gleichung \(\ln(x) = 15\). Durch Anwendung der Exponentialfunktion erhält man \(x = e^{15} \approx 3\,269\,017{,}37\). 4. Für den Funktionswert \(35\) ergibt sich analog \(x = e^{35} \approx 1{,}586 \cdot 10^{15}\).

Die Funktion wächst unbegrenzt, da für jedes \(S\) ein \(x = e^S\) existiert. Für \(f(x) = 15\) ist \(x = e^{15} \approx 3\,269\,017{,}37\). Für \(f(x) = 35\) ist \(x = e^{35} \approx 1{,}586 \cdot 10^{15}\).

- Welches Logarithmengesetz hilft dir, ein Produkt im Logarithmus aufzuteilen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du \(x\) immer wieder verdoppelst? Gibt es eine Obergrenze? - Wie lautet die Umkehrfunktion zum Logarithmus zur Basis 2 (\(\log_2\))?

1. Nach den Logarithmengesetzen gilt \(g(2x) = \log_2(2x) = \log_2(2) + \log_2(x) = 1 + \log_2(x)\). Damit ist die Eigenschaft gezeigt. 2. Da man den Funktionswert durch wiederholtes Verdoppeln von \(x\) immer wieder um \(1\) steigern kann, lassen sich beliebig große Funktionswerte erreichen, wenn \(x\) groß genug gewählt wird. Die Funktion wächst also unbegrenzt. 3. Die Gleichung \(\log_2(x) = 20\) wird durch \(x = 2^{20} = 1\,048\,576\) gelöst. 4. Die Gleichung \(\log_2(x) = 30\) wird durch \(x = 2^{30} = 1\,073\,741\,824\) gelöst.

a) Nachweis über \(\log_2(2x) = 1 + \log_2(x)\). b) Durch sukzessive Verdopplung von \(x\) steigt der Funktionswert schrittweise um \(1\) und überschreitet jede Schranke. c) Für \(g(x) = 20\) ist \(x = 2^{20} = 1\,048\,576\); für \(g(x) = 30\) ist \(x = 2^{30} = 1\,073\,741\,824\).

- Wie prüft man, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Was ist die geometrische Bedeutung der ersten Ableitung an einer Stelle? - Was bedeutet es für die Funktionswerte an einer Stelle \(x\), wenn sich zwei Graphen dort schneiden? - Welchen speziellen Wert nimmt die natürliche Logarithmusfunktion an der Stelle 1 an?

1. Einsetzen von \(x = 1\) in den Funktionsterm: \(f_k(1) = k \cdot \ln(1) - 1 + 1 = k \cdot 0 + 0 = 0\). Da dieser Wert für jedes \(k\) gleich ist, verläuft jeder Graph durch \(P(1|0)\). 2. Erste Ableitung berechnen: \(f_k'(x) = k \cdot \frac{1}{x} - 1\). Einsetzen der Stelle \(x = 1\) liefert die Steigung \(m_k = f_k'(1) = k \cdot \frac{1}{1} - 1 = k - 1\). 3. Gleichsetzen zweier Terme für \(k_1 \neq k_2\): \(k_1 \ln(x) - x + 1 = k_2 \ln(x) - x + 1\). Durch Subtraktion von \(-x + 1\) und Umstellen folgt \((k_1 - k_2) \cdot \ln(x) = 0\). Da \(k_1 - k_2 \neq 0\), muss \(\ln(x) = 0\) gelten, was nur für \(x = 1\) der Fall ist. Mit \(f_{k_1}(1) = 0\) ergibt sich als einziger Schnittpunkt \(P(1|0)\).

1. Der Nachweis erfolgt durch \(f_k(1) = 0\). 2. Die Steigung beträgt \(m = k - 1\). 3. Aus \(f_{k_1}(x) = f_{k_2}(x)\) folgt \((k_1 - k_2) \ln(x) = 0\), was wegen \(k_1 \neq k_2\) nur die Lösung \(x = 1\) besitzt.

- Übersetze die gemeinsame-Punkt-Bedingung in eine Bedingung an \(u=\ln(x)\). - Welche Werte bleiben beim Potenzieren mit jedem positiven ganzzahligen Exponenten unverändert? - Prüfe anschließend, welche \(x\)-Werte zu diesen Logarithmuswerten gehören.

1. Ein gemeinsamer Punkt verlangt, dass \((\ln x)^n\) für alle positiven ganzen \(n\) denselben Wert hat. Setze \(u=\ln x\). 2. Bereits aus \(u=u^2\) folgt \(u(u-1)=0\), also \(u=0\) oder \(u=1\). 3. Für \(u=0\) gilt \(x=1\) und \(u^n=0\) für alle \(n\). Damit entsteht \(P_1(1|0)\). 4. Für \(u=1\) gilt \(x=e\) und \(u^n=1\) für alle \(n\). Damit entsteht \(P_2(e|1)\). 5. Andere Werte erfüllen bereits \(u=u^2\) nicht und können deshalb nicht zu einem gemeinsamen Punkt aller Graphen führen.

\(P_1(1|0)\) und \(P_2(e|1)\)

- Welchen kleinsten Wert kann eine einfache Exponentialfunktion \(e^x\) niemals erreichen? - Wie gehst du vor, um eine Gleichung nach einer Variablen aufzulösen, die im Exponenten steht? - Was weißt du über den Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit?

1. Da \(e^{0{,}5x}\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positive Werte annimmt und für \(x \to -\infty\) gegen \(0\) strebt, nähert sich \(f(x)\) dem Wert \(-4\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -4\). Da die Funktion streng monoton steigt, ist die Wertemenge \(W_f = ]-4; \infty[\). 2. Zur Bestimmung der Umkehrfunktion wird \(y = 2e^{0{,}5x} - 4\) nach \(x\) aufgelöst: \(y + 4 = 2e^{0{,}5x} \Rightarrow \frac{y+4}{2} = e^{0{,}5x} \Rightarrow 0{,}5x = \ln\left(\frac{y+4}{2}\right) \Rightarrow x = 2 \cdot \ln\left(\frac{y+4}{2}\right)\). Die Umkehrfunktion lautet \(f^{-1}(x) = 2\ln\left(\frac{x+4}{2}\right)\) mit \(D_{f^{-1}} = W_f = ]-4; \infty[\). 3. Die Ableitungsfunktion \(f'(x) = 2 \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x}\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) größer als \(0\). Da die Funktion somit auf der gesamten Definitionsmenge streng monoton steigend ist, ist sie injektiv und damit umkehrbar.

a) \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y > -4\}\); waagerechte Asymptote \(y = -4\). b) \(f^{-1}(x) = 2\ln\left(\frac{x+4}{2}\right)\) (oder \(2\ln(0{,}5x + 2)\)); \(D_{f^{-1}} = ]-4; \infty[\). c) \(f'(x) = e^{0{,}5x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), daher ist \(f\) streng monoton steigend und somit umkehrbar.

- Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse multipliziert den bis dahin entstandenen Funktionsterm mit \(-1\). - Achte darauf, ob die Verschiebung vor oder nach der Spiegelung ausgeführt wird. - Welche Exponentialschreibweise löst eine Gleichung der Form \(\ln(x)=c\) nach \(x\) auf?

1. Für \(g\) bewirkt die Spiegelung an der \(x\)-Achse zunächst \(-\ln(x)\). Die anschließende Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben ergibt \(g(x)=-\ln(x)+2\). Aus \(-\ln(x)+2=0\) folgt \(\ln(x)=2\) und damit \(x=e^2\). 2. Für \(h\) wird zuerst \(2\) addiert: \(\ln(x)+2\). Die anschließende Spiegelung betrifft den gesamten Term, also \(h(x)=-(\ln(x)+2)=-\ln(x)-2\). Aus \(-\ln(x)-2=0\) folgt \(\ln(x)=-2\) und damit \(x=e^{-2}=\frac{1}{e^2}\).

\(g(x)=-\ln(x)+2\) mit Nullstelle \(x=e^2\) \(h(x)=-\ln(x)-2\) mit Nullstelle \(x=e^{-2}=\frac{1}{e^2}\)

- Lies zuerst ab, wo der Graph von \(f\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt. - Wie verhält sich \(\ln(y)\) für \(y\to0^+\) und für \(y\to\infty\)? - Welche Monotonie entsteht, wenn eine steigende Funktion mit einer weiteren steigenden Funktion verkettet wird?

1. Aus dem Graphen liest man \(f(x)=0{,}5x+1\) ab. Für \(g\) muss \(f(x)>0\) gelten. Daraus folgt \(x>-2\), also \(D_g=]-2;\infty[\). 2. Für \(x\to-2^+\) gilt \(f(x)\to0^+\), daher \(g(x)\to-\infty\). Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to\infty\), also \(g(x)\to\infty\). 3. Die lineare Funktion \(f\) ist streng monoton steigend und nimmt auf der Definitionsmenge von \(g\) nur positive Werte an. Da auch \(\ln\) streng monoton steigt, ist die Verkettung \(g\) streng monoton steigend.

a) \(D_g=]-2;\infty[\) b) \(\lim_{x\to-2^+}g(x)=-\infty\); \(\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty\) c) \(g\) ist streng monoton steigend.

- Vergleiche die Funktionswerte an der Stelle \(x = e \approx 2{,}7\). - Haben alle Graphen dieselbe Nullstelle? Was bedeutet das für die Art der Transformation? - Untersuche, ob der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wurde. - Prüfe, ob die Kurve steiler oder flacher als die Originalkurve verläuft.

1. Analyse von \(g(x)\): Der grüne Graph verläuft durch die Nullstelle \((1 | 0)\), genau wie \(f\). An der Stelle \(x = e \approx 2{,}72\) hat \(f\) den Wert 1. Der Graph von \(g\) hat dort den Wert 2. Das deutet auf eine Verdopplung der Funktionswerte hin. Durch Einsetzen prüft man: \(g(x) = 2\ln(x)\). 2. Analyse von \(h(x)\): Der violette Graph verläuft ebenfalls durch \((1 | 0)\). Er ist an der \(x\)-Achse gespiegelt, da für jeden positiven Wert von \(f\) ein betragsgleicher negativer Wert bei \(h\) vorliegt. An der Stelle \(x = e\) gilt \(h(e) = -1\). Somit ist \(h(x) = -\ln(x)\).

a) Die Funktionsterme sind \(g(x) = 2\ln(x)\) und \(h(x) = -\ln(x)\). b) Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Streckung des Graphen von \(f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2. Der Graph von \(h\) entsteht durch eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse.

- Lies aus dem Graphen ab, wo \(f(x)>0\) gilt. - Betrachte die Monotonie von \(f\) nur auf den Bereichen, die zur Definitionsmenge von \(g\) gehören. - Wie wirkt eine streng steigende äußere Funktion auf die Monotonierichtung der inneren Funktion?

1. Für den Logarithmus muss \(f(x)>0\) gelten. Aus dem Graphen liest man ab, dass dies für \(x<-1\) und für \(x>1\) gilt. Somit ist \(D_g=]-\infty;-1[\cup]1;\infty[\). 2. Auf beiden Teilintervallen ist \(f\) streng monoton fallend. Da \(\ln\) auf positiven Argumenten streng monoton steigt, bleibt die Monotonierichtung bei der Verkettung erhalten. 3. Daher ist \(g\) sowohl auf \(]-\infty;-1[\) als auch auf \(]1;\infty[\) streng monoton fallend.

Definitionsmenge: \(]-\infty;-1[\cup]1;\infty[\) Auf beiden Teilintervallen ist \(g\) streng monoton fallend.

- Nutze Nullstelle und Asymptoten des Graphen, um einen passenden Term für \(k\) zu finden. - Welche Vorzeichenbedingung muss das Argument eines natürlichen Logarithmus erfüllen? - Teile die Zahlengerade an den Stellen auf, an denen Zähler oder Nenner von \(k\) null werden.

1. Der Graph zeigt eine senkrechte Asymptote bei \(x=2\), eine Nullstelle bei \(x=5\) und eine waagerechte Asymptote bei \(y=1\). Ein passender Funktionsterm ist daher \(k(x)=\frac{x-5}{x-2}\). 2. Für den Logarithmus muss \(k(x)>0\) gelten. Zu lösen ist also \(\frac{x-5}{x-2}>0\). 3. Für \(x<2\) sind Zähler und Nenner beide negativ, also ist der Quotient positiv. Für \(2<x<5\) haben Zähler und Nenner verschiedene Vorzeichen, also ist der Quotient negativ. Für \(x>5\) sind beide positiv. 4. Damit ist \(D_g=]-\infty;2[\cup]5;\infty[\). Das ist genau \(\mathbb{R}\setminus[2;5]\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(k(x)=\frac{x-5}{x-2}\). Es gilt \(D_g=]-\infty;2[\cup]5;\infty[=\mathbb{R}\setminus[2;5]\).

- Welche Bedingung muss das Argument eines Logarithmus erfüllen? - Welche Logarithmengesetze passen zu einem Quotienten und zu einem Quadrat? - Was folgt für die Symmetrie, wenn der Term nur von \(|x|\) abhängt?

1. Für \(x\neq0\) gilt \(x^2>0\), also ist \(\frac{e}{x^2}>0\). Für \(x=0\) ist der Bruch nicht definiert. Daher ist die Definitionsmenge \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 2. Mit den Logarithmengesetzen gilt \(\ln\left(\frac{e}{x^2}\right)=\ln(e)-\ln(x^2)=1-2\ln|x|\). 3. Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und besitzt zwei Kurvenzweige. 4. Ausgehend von \(y=\ln x\) wird der rechte Zweig an der \(y\)-Achse gespiegelt, sodass \(y=\ln|x|\) entsteht. Danach folgen eine Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\), eine Spiegelung an der \(x\)-Achse und eine Verschiebung um \(1\) nach oben.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) b) \(\ln\left(\frac{e}{x^2}\right)=1-2\ln|x|\) c) Zwei zur \(y\)-Achse symmetrische Zweige; aus \(\ln|x|\) durch Streckung mit Faktor \(2\), Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(1\) nach oben.

- Wenn sich die Intensität verdoppelt, wie verändert sich dann der Wert im Logarithmus? - Nutze die Logarithmengesetze, um den Ausdruck für den doppelten oder n-fachen Schallpegel aufzuspalten. - Bedenke beim zweiten Teil, dass die Anzahl der Maschinen eine natürliche Zahl sein muss. - Wie viel Dezibel kommen hinzu, wenn man die Anzahl der Quellen verzehnfacht?

1. Für a): Bei zwei Geräten verdoppelt sich die Intensität auf \(2I\). Der neue Pegel ist \(L_2 = \frac{10}{\ln(10)} \cdot \ln\left(\frac{2I}{I_0}\right) = \frac{10}{\ln(10)} \cdot (\ln(2) + \ln\left(\frac{I}{I_0}\right))\). 2. Dies entspricht \(L_2 = \frac{10 \cdot \ln(2)}{\ln(10)} + 85\,\text{dB}\). Die Rechnung ergibt eine Erhöhung um ca. \(3{,}01\,\text{dB}\), also insgesamt ca. \(88{,}01\,\text{dB}\). 3. Für b): Der Pegel soll um \(\Delta L = 100\,\text{dB} - 85\,\text{dB} = 15\,\text{dB}\) steigen. Bei \(n\) Geräten gilt: \(\Delta L = \frac{10 \cdot \ln(n)}{\ln(10)}\). 4. Umstellen nach \(n\): \(1{,}5 = \frac{\ln(n)}{\ln(10)}\), woraus folgt \(\ln(n) = 1{,}5 \cdot \ln(10)\). 5. Auflösen mittels Exponentialfunktion: \(n = e^{1{,}5 \cdot \ln(10)} = 10^{1{,}5} \approx 31{,}62\). Da eine ganzzahlige Anzahl an Geräten gesucht ist, sind 32 Presslufthämmer nötig.

a) Der Schallpegel beträgt ca. \(88{,}01\,\text{dB}\). b) Es müssen mindestens 32 Presslufthämmer gleichzeitig betrieben werden.

- Achte bei der Definitionsmenge auf das Vorzeichen vor dem \(x\). - Überlege, was passiert, wenn \(x\) sehr kleine (negativ große) Werte annimmt. - Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse musst du \(x = 0\) einsetzen. - Gehe bei den Transformationen Schritt für Schritt vor (Spiegelungen und Verschiebungen). - Denk an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von \(G(x)\).

1. Definitionsmenge: \(5 - x > 0 \Rightarrow x < 5\), also \(D_g = ]-\infty; 5[\). 2. Grenzverhalten: Für \(x \to 5^-\) gilt \(\ln(5 - x) \to -\infty\), also \(g(x) \to 2 - (-\infty) = +\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(\ln(5 - x) \to +\infty\), also \(g(x) \to -\infty\). 3. Achsenschnittpunkte: \(g(0) = 2 - \ln 5\), also \(S_y(0 \mid 2 - \ln 5)\). Nullstelle: \(2 - \ln(5 - x) = 0 \Rightarrow \ln(5 - x) = 2 \Rightarrow 5 - x = e^2 \Rightarrow x = 5 - e^2\), also \(N(5 - e^2 \mid 0)\). 4. Transformationen: \(y_1 = \ln x \xrightarrow{\text{Spiegelung an } y\text{-Achse}} y_2 = \ln(-x) \xrightarrow{\text{Verschiebung um 5 nach rechts}} y_3 = \ln(-(x-5)) = \ln(5-x) \xrightarrow{\text{Spiegelung an } x\text{-Achse}} y_4 = -\ln(5-x) \xrightarrow{\text{Verschiebung um 2 nach oben}} y_5 = 2 - \ln(5-x)\). 5. Monotonie: \(\ln x\) ist steigend \(\xrightarrow{\text{Refl. } y}\) fallend \(\xrightarrow{\text{Refl. } x}\) steigend. Verschiebungen ändern die Monotonie nicht. 6. Ableitung prüfen: \(G'(x) = 3 + (-1) \cdot \ln(5 - x) + (5 - x) \cdot \frac{-1}{5 - x} = 3 - \ln(5 - x) - 1 = 2 - \ln(5 - x) = g(x)\). 7. Jede Stammfunktion von \(g\) hat die Form \(H(x)=G(x)+C\). Aus \(H(4)=0\) folgt \(12+C=0\), also \(C=-12\). Damit ist \(H(x)=3x+(5-x)\cdot\ln(5-x)-12\).

a) \(D_g = ]-\infty; 5[\); \(\lim_{x \to 5^-} g(x) = +\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\) b) \(S_y(0 \mid 2 - \ln 5)\); \(N(5 - e^2 \mid 0)\) c) Spiegelung an der \(y\)-Achse, Verschiebung um 5 nach rechts, Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um 2 nach oben. \(g\) ist streng monoton steigend. d) \(H(x)=3x+(5-x)\cdot\ln(5-x)-12\)

- Bestimme für jeden Term die Definitionsmenge. Wo darf die Funktion nicht gezeichnet werden? - Prüfe auf Symmetrie: Ersetze \(x\) durch \(-x\) und schaue, ob sich der Term verändert. - Wo liegen die Nullstellen der Funktionen? - Gibt es Stellen, an denen der Nenner eines Bruchs null wird? Dort findest du oft senkrechte Asymptoten.

1. Graph a) gehört zu \(h_1(x) = \ln(x+3)\). Die Definitionsmenge ist \(]-3;\infty[\). Die Nullstelle liegt bei \(x = -2\), da \(\ln(-2+3) = \ln(1) = 0\). 2. Graph b) gehört zu \(h_2(x) = \ln(x^2 + 1)\). Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(h_2(-x) = h_2(x)\)) und hat ihren Tiefpunkt im Ursprung \((0\mid0)\). 3. Graph c) gehört zu \(h_3(x) = x - \ln(x)\). Die Funktion ist nur für \(x > 0\) definiert. Sie besitzt ein lokales Minimum bei \(x = 1\), da \(h_3'(x) = 1 - \frac{1}{x}\) bei \(x = 1\) null ist und \(h_3''(1) = 1 > 0\) gilt. Der Funktionswert dort ist \(h_3(1) = 1 - \ln(1) = 1\). 4. Graph d) gehört zu \(h_4(x) = \frac{1}{\ln(x)}\). Diese Funktion hat eine Definitionslücke bei \(x = 1\) (da \(\ln(1) = 0\)), was zu einer senkrechten Asymptote führt. Für \(x \to 0^+\) gilt \(\ln(x) \to -\infty\) und damit \(h_4(x) \to 0^-\); bei \(x = 0\) liegt keine Polstelle vor.

Graph a) gehört zu \(h_1(x) = \ln(x+3)\), Graph b) zu \(h_2(x) = \ln(x^2 + 1)\), Graph c) zu \(h_3(x) = x - \ln(x)\) und Graph d) zu \(h_4(x) = \frac{1}{\ln(x)}\).

- Welche Bedingung muss der innere Funktionsterm erfüllen, damit der natürliche Logarithmus definiert ist? - Welche graphischen Merkmale helfen dir, die geforderte Definitionsmenge mit den beiden Kandidaten zu vergleichen? - Wenn du dich für einen Graphen entschieden hast: Welche ablesbaren Eigenschaften reichen aus, um einen passenden gebrochen-rationalen Term zu rekonstruieren?

1. Für \(D_g=]-4;2[\) muss \(k(x)>0\) genau für \(-4<x<2\) gelten. 2. Graph A liegt zwischen seiner Nullstelle bei \(x=-4\) und seiner Polstelle bei \(x=2\) oberhalb der \(x\)-Achse; außerhalb dieses Intervalls ist er negativ. Graph B besitzt nicht dieses Vorzeichenmuster. Daher ist Graph A gesucht. 3. Nullstelle und Polstelle führen zum Ansatz \(k(x)=a\frac{x+4}{2-x}\). Der Graph enthält den Punkt \(P(0\mid2)\). Damit gilt \(2=a\frac{4}{2}=2a\), also \(a=1\). 4. Somit ist \(k(x)=\frac{x+4}{2-x}\). Für diesen Term gilt \(k(x)>0\) genau auf \(]-4;2[\).

Graph A ist korrekt. Ein passender Funktionsterm ist \(k(x)=\frac{x+4}{2-x}\).

- Für eine der beiden Schranken kann eine Hilfsfunktion helfen, die \(x-1\) und \(\ln x\) miteinander vergleicht. - Wie kannst du eine bereits bewiesene Aussage für \(x\) auf den positiven Wert \(1/x\) übertragen, um die zweite Schranke zu erhalten? - Beim Grenzwert ist das Vorzeichen von \(x-1\) wichtig. Betrachte deshalb die Annäherung an \(1\) von links und von rechts getrennt.

1. Für die obere Schranke wird \(p(x)=x-1-\ln x\) betrachtet. Es gilt \(p'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\). Daher fällt \(p\) auf \(]0;1[\) und steigt auf \(]1;\infty[\). Mit \(p(1)=0\) folgt \(p(x)\ge0\), also \(\ln x\le x-1\); Gleichheit gilt nur für \(x=1\). 2. Die obere Schranke wird nun auf \(1/x>0\) angewendet: \(\ln(1/x)\le 1/x-1\). Wegen \(\ln(1/x)=-\ln x\) folgt \(\ln x\ge1-1/x=\frac{x-1}{x}\). Auch hier tritt Gleichheit nur für \(x=1\) auf. 3. Für \(x>1\) darf durch \(x-1>0\) geteilt werden: \(\frac1x\le\frac{\ln x}{x-1}\le1\). Für \(0<x<1\) kehren sich beim Teilen durch \(x-1<0\) die Ungleichungszeichen um: \(1\le\frac{\ln x}{x-1}\le\frac1x\). 4. In beiden Fällen streben die äußeren Terme für \(x\to1\) gegen \(1\). Mit dem Einschließungsprinzip folgt \(\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1\).

Für alle \(x>0\) gilt \(\frac{x-1}{x}\le\ln x\le x-1\), mit Gleichheit genau bei \(x=1\). Daraus folgt \(\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1\).