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Natürlicher Logarithmus

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Schwierigkeit: 1 – 5

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Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich: a) \(\ln(e^{k+3})\) b) \(e^{\ln(x^2 + 1)}\) c) \(\ln\left(\frac{1}{e^5}\right)\) d) \(\ln(\sqrt{e^6})\)

Denkanstöße

- Überlege, welche Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und dem natürlichen Logarithmus besteht. - Kannst du Brüche oder Wurzeln als Potenzen mit negativen oder rationalen Exponenten schreiben? - Gibt es eine Regel, wie man den Logarithmus einer Potenz vereinfacht? - Was passiert, wenn eine Funktion direkt auf ihre Umkehrfunktion angewendet wird?

Lösung

1. Anwendung der Identität \(\ln(e^y) = y\) auf den Ausdruck \(y = k+3\). Ergebnis: \(k+3\). 2. Ausnutzung der Eigenschaft, dass die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus Umkehrfunktionen sind: \(e^{\ln(y)} = y\). Hier ist \(y = x^2+1\). Ergebnis: \(x^2+1\). 3. Umschreiben des Bruchs mithilfe der Potenzgesetze: \(\frac{1}{e^5} = e^{-5}\). Anwendung der Logarithmus-Identität: \(\ln(e^{-5}) = -5\). Ergebnis: \(-5\). 4. Darstellung der Wurzel als Potenz: \(\sqrt{e^6} = (e^6)^{1/2} = e^3\). Vereinfachung des Logarithmus: \(\ln(e^3) = 3\). Ergebnis: \(3\).

Antwort

a) \(k+3\) b) \(x^2+1\) c) \(-5\) d) \(3\)

42631512

Vereinfache die folgenden Terme unter Verwendung der Logarithmengesetze: a) \(\ln\left(\frac{1}{e^3}\right)\) b) \(e^{\ln(0{,}5x)}\) für \(x > 0\) c) \(4 \cdot \ln(\sqrt{e^x})\) d) \(\ln(e^4 \cdot \sqrt{e})\)

Denkanstöße

- Überlege, wie Logarithmus- und Exponentialfunktion zusammenhängen. - Kannst du Brüche oder Wurzeln als Potenzen zur Basis \(e\) schreiben? - Welche Rechenregeln gelten für den Logarithmus von Produkten oder Potenzen?

Lösung

1. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(e^y) = y\) unter Berücksichtigung von Potenzgesetzen: \(\ln(e^{-3}) = -3\). 2. Nutzung der Tatsache, dass die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus Umkehrfunktionen sind: \(e^{\ln(0{,}5x)} = 0{,}5x\). 3. Umformung der Wurzel in eine Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) und Anwendung der Logarithmengesetze: \(4 \cdot \ln(e^{\frac{x}{2}}) = 4 \cdot \frac{x}{2} = 2x\). 4. Zusammenfassen der Faktoren im Argument der Logarithmusfunktion mittels Potenzgesetzen zu \(e^{4{,}5}\) und anschließende Vereinfachung: \(\ln(e^{4{,}5}) = 4{,}5\).

Antwort

a) \(-3\) b) \(0{,}5x\) c) \(2x\) d) \(4{,}5\)

42655312

Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich: a) \(\ln(e^5) - 2\) b) \(e^{\ln(4x)} \cdot \frac{1}{2}\) c) \(3 \cdot \ln(\sqrt[3]{e})\) d) \(\ln\left(\frac{e^3}{e}\right)\) e) \(e^{2 \cdot \ln(3)} + 1\)

Denkanstöße

- Was weißt du über die Hintereinanderausführung von Exponentialfunktion und Logarithmus? - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Gibt es Logarithmus- oder Potenzgesetze, mit denen du die Terme in der Klammer oder im Exponenten vereinfachen kannst? - Überlege, wie man Brüche mit gleicher Basis verrechnet.

Lösung

1. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(e^x) = x\): \(5 - 2 = 3\). 2. Anwendung der Eigenschaft \(e^{\ln(x)} = x\): \(4x \cdot \frac{1}{2} = 2x\). 3. Umschreiben der Wurzel als Potenz \(e^{1/3}\) und Anwendung der Logarithmusgesetze: \(3 \cdot \frac{1}{3} = 1\). 4. Zusammenfassen des Bruchs durch Subtraktion der Exponenten: \(\ln(e^{3-1}) = \ln(e^2) = 2\). 5. Anwendung der Regel \(n \cdot \ln(a) = \ln(a^n)\) im Exponenten: \(e^{\ln(3^2)} + 1 = 9 + 1 = 10\).

Antwort

a) \(3\) b) \(2x\) c) \(1\) d) \(2\) e) \(10\)

42760112

Ein Schüler stellt folgende Behauptung auf: „Die Gleichung \(\ln(x^2) = 2 \cdot \ln(x)\) ist für alle \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) eine gültige Umformung, da man den Exponenten nach den Logarithmengesetzen als Faktor vor den Logarithmus ziehen darf.“ Beurteile die Korrektheit dieser Aussage unter Berücksichtigung der Definitionsbereiche beider Seiten.

Denkanstöße

- Wann ist der natürliche Logarithmus einer Zahl definiert? - Prüfe, ob du für \(x\) eine negative Zahl einsetzen darfst. - Unterscheiden sich die Mengen der erlaubten Zahlen für beide Seiten der Gleichung? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert?

Lösung

1. Bestimmung des Definitionsbereichs der linken Seite: Der Ausdruck \(\ln(x^2)\) ist definiert, wenn \(x^2 > 0\). Dies ist für alle \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) erfüllt. 2. Bestimmung des Definitionsbereichs der rechten Seite: Der Ausdruck \(2 \cdot \ln(x)\) ist nur definiert, wenn das Argument des Logarithmus positiv ist, also für \(x > 0\). 3. Vergleich und Schlussfolgerung: Da der Definitionsbereich der rechten Seite (\(x > 0\)) eine echte Teilmenge des Definitionsbereichs der linken Seite (\(x \neq 0\)) ist, ist die Behauptung des Schülers falsch. Für negative Werte von \(x\) (z. B. \(x = -2\)) ist die linke Seite definiert (\(\ln(4)\)), die rechte Seite jedoch nicht (\(2 \cdot \ln(-2)\)). Eine allgemeingültige Umformung für alle \(x \neq 0\) wäre \(\ln(x^2) = 2 \cdot \ln|x|\).

Antwort

Die Aussage ist falsch. Die Umformung ist nur für \(x > 0\) gültig. Für \(x < 0\) ist zwar \(\ln(x^2)\) definiert, aber \(\ln(x)\) existiert im Bereich der reellen Zahlen nicht.

42763712

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \frac{x + \ln(x)}{x}\) für \(x > 0\). Bestimme den Grenzwert der Funktion für \(x \to \infty\).

Denkanstöße

- Kannst du den Bruch in zwei einfachere Teile zerlegen? - Welche der beiden Funktionen im Zähler oder Nenner wächst für sehr große Werte schneller? - Erinnere dich an die Regel für das Verhalten von \(\frac{\ln(x)}{x}\) im Unendlichen.

Lösung

1. Den Funktionsterm durch Aufteilen des Bruchs vereinfachen: \(f(x) = \frac{x}{x} + \frac{\ln(x)}{x} = 1 + \frac{\ln(x)}{x}\). 2. Das Grenzverhalten der einzelnen Summanden für \(x \to \infty\) betrachten: Der erste Summand ist konstant \(1\). 3. Die Wachstumsregel für Logarithmus- und Potenzfunktionen anwenden: Da Potenzfunktionen (hier \(x^1\)) für \(x \to \infty\) stärker wachsen als die Logarithmusfunktion, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0\). 4. Die Grenzwerte addieren: \(\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{\ln(x)}{x}) = 1 + 0 = 1\).

Antwort

\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1\)

42986112

Bestimme die exakten Werte der folgenden Ausdrücke: (1) \(\ln(e^{10})\) (2) \(\ln\left(\frac{1}{e^4}\right)\) (3) \(\ln(\sqrt[4]{e})\) (4) \(\ln(1)\) (5) \(\ln\left(\frac{e^2}{\sqrt{e}}\right)\)

Denkanstöße

- Überlege dir, wie man Wurzeln und Brüche als Potenzen zur Basis \(e\) schreiben kann. - Was ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis \(e\)? - Welche Zahl muss man als Exponent wählen, damit \(e^x = 1\) ergibt? - Nutze die Potenzgesetze, um Brüche mit gleicher Basis zusammenzufassen.

Lösung

1. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(e^x) = x\): \(\ln(e^{10}) = 10\). 2. Umschreiben des Bruchs als Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{e^4} = e^{-4}\). Daraus folgt \(\ln(e^{-4}) = -4\). 3. Umschreiben der Wurzel als Potenz: \(\sqrt[4]{e} = e^{1/4} = e^{0{,}25}\). Daraus folgt \(\ln(e^{0{,}25}) = 0{,}25\). 4. Da \(e^0 = 1\) gilt, ist \(\ln(1) = 0\). 5. Anwendung der Potenzgesetze im Argument: \(\frac{e^2}{e^{0{,}5}} = e^{2 - 0{,}5} = e^{1{,}5}\). Daraus folgt \(\ln(e^{1{,}5}) = 1{,}5\).

Antwort

(1) \(10\) (2) \(-4\) (3) \(0{,}25\) (4) \(0\) (5) \(1{,}5\)

42986512

Bestimme die Werte der folgenden Ausdrücke unter Verwendung der Definition und der Eigenschaften des natürlichen Logarithmus: a) \(\ln(e^4)\) b) \(\ln\left(\frac{1}{e^3}\right)\) c) \(\ln(\sqrt[5]{e})\) d) \(\ln\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)\) e) \(\ln(e \cdot \sqrt[3]{e})\)

Denkanstöße

- Was ist die Basis des natürlichen Logarithmus \(\ln\)? - Kannst du Brüche wie \(\frac{1}{a^n}\) als Potenzen mit negativen Exponenten schreiben? - Wie lassen sich Wurzeln allgemein als Potenzen mit rationalen Exponenten darstellen? - Gibt es eine einfache Regel für den Logarithmus einer Potenz, wenn die Basis der Potenz mit der Basis des Logarithmus übereinstimmt? - Überlege, wie du Produkte von Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen kannst, bevor du den Logarithmus anwendest.

Lösung

1. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(e^x) = x\). Für a) ergibt sich direkt \(\ln(e^4) = 4\). 2. Umschreiben des Bruchs als Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{e^3} = e^{-3}\). Somit ist \(\ln(e^{-3}) = -3\). 3. Umwandeln der Wurzel in eine Potenzschreibweise: \(\sqrt[5]{e} = e^{\frac{1}{5}}\). Damit folgt \(\ln(e^{\frac{1}{5}}) = \frac{1}{5}\) bzw. \(0{,}2\). 4. Kombination aus Bruch und Wurzel: \(\frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} = e^{-\frac{1}{2}}\). Der Wert ist \(-\frac{1}{2}\) bzw. \(-0{,}5\). 5. Anwendung der Potenzgesetze im Argument: \(e \cdot \sqrt[3]{e} = e^1 \cdot e^{\frac{1}{3}} = e^{1 + \frac{1}{3}} = e^{\frac{4}{3}}\). Daraus folgt \(\ln(e^{\frac{4}{3}}) = \frac{4}{3}\).

Antwort

a) \(4\) b) \(-3\) c) \(\frac{1}{5}\) oder \(0{,}2\) d) \(-\frac{1}{2}\) oder \(-0{,}5\) e) \(\frac{4}{3}\)

42987512

Fasse den folgenden Term mithilfe der Logarithmengesetze zu einem einzigen natürlichen Logarithmus zusammen und vereinfache den Ausdruck so weit wie möglich: \(3 \cdot \ln(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln(y) - \ln(z^2)\)

Denkanstöße

- Welche Regel erlaubt es dir, einen Vorfaktor in den Logarithmus zu ziehen? - Wie kannst du eine Summe von zwei Logarithmen mit derselben Basis zusammenfassen? - Was passiert mit dem Argument, wenn du einen Logarithmus von einem anderen subtrahierst? - Erinnerst du dich, wie man Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln schreiben kann?

Lösung

1. Anwendung der Potenzregel für Logarithmen: \(3 \cdot \ln(x) = \ln(x^3)\) und \(\frac{1}{2} \cdot \ln(y) = \ln(y^{1/2}) = \ln(\sqrt{y})\). 2. Anwendung der Summenregel: \(\ln(x^3) + \ln(\sqrt{y}) = \ln(x^3 \cdot \sqrt{y})\). 3. Anwendung der Differenzregel: \(\ln(x^3 \cdot \sqrt{y}) - \ln(z^2) = \ln\left(\frac{x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2}\right)\).

Antwort

\(\ln\left(\frac{x^3 \sqrt{y}}{z^2}\right)\)

42987712

Fasse die folgenden Terme mithilfe der Logarithmengesetze für den natürlichen Logarithmus zu einem einzigen Logarithmusterm zusammen und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich. a) \(3 \ln(x) + 2 \ln(y) - \ln(z)\) b) \(\frac{1}{2} \ln(a) - \frac{1}{4} \ln(b)\) c) \(\ln(x^2 - 1) - \ln(x + 1)\)

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie du Faktoren vor dem Logarithmus als Exponenten in den Logarithmus ziehen kannst. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen rationalen Exponenten und Wurzeln. - Nutze die Rechenregeln für Summen und Differenzen von Logarithmen, um alles in ein Argument zu schreiben. - Prüfe bei Brüchen im Argument, ob du den Zähler faktorisieren und den Bruch kürzen kannst.

Lösung

1. Anwendung der Potenzregel \(n \cdot \ln(u) = \ln(u^n)\) und der Produkt- sowie Quotientengesetze \(\ln(u) + \ln(v) = \ln(u \cdot v)\) bzw. \(\ln(u) - \ln(v) = \ln\left(\frac{u}{v}\right)\) auf Teilaufgabe a): \(3 \ln(x) + 2 \ln(y) - \ln(z) = \ln(x^3) + \ln(y^2) - \ln(z) = \ln\left(\frac{x^3 \cdot y^2}{z}\right)\). 2. Anwendung der Potenzregel auf Teilaufgabe b) unter Berücksichtigung von Wurzeln: \(\frac{1}{2} \ln(a) - \frac{1}{4} \ln(b) = \ln(a^{1/2}) - \ln(b^{1/4}) = \ln(\sqrt{a}) - \ln(\sqrt[4]{b}) = \ln\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{b}}\right)\). 3. Anwendung des Quotientengesetzes auf Teilaufgabe c) und anschließende Vereinfachung durch Faktorisierung mit der dritten binomischen Formel: \(\ln(x^2 - 1) - \ln(x + 1) = \ln\left(\frac{x^2 - 1}{x + 1}\right) = \ln\left(\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}\right) = \ln(x - 1)\).

Antwort

a) \(\ln\left(\frac{x^3 \cdot y^2}{z}\right)\) b) \(\ln\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{b}}\right)\) c) \(\ln(x - 1)\)

42988112

Beweise die Identität \(\ln(\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \ln(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}^+\). Nutze dabei die Eigenschaft, dass der Logarithmus eines Produkts der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren entspricht.

Denkanstöße

- Wie kannst du die Zahl \(x\) mithilfe einer Wurzel als Produkt von zwei gleichen Faktoren schreiben? - Kannst du den Term innerhalb des Logarithmus als Produkt ausdrücken? - Was passiert mit einem Logarithmus, wenn sein Argument ein Produkt ist? - Wie oft kommt der Term \(\ln(\sqrt{x})\) vor, wenn du die Bestandteile des Produkts einzeln betrachtest?

Lösung

1. Darstellung von \(x\) als Produkt zweier identischer Wurzelterme: \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\) 2. Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung: \(\ln(x) = \ln(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x})\) 3. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(u \cdot v) = \ln(u) + \ln(v)\) auf die rechte Seite: \(\ln(x) = \ln(\sqrt{x}) + \ln(\sqrt{x})\) 4. Zusammenfassen der identischen Summanden auf der rechten Seite: \(\ln(x) = 2 \cdot \ln(\sqrt{x})\) 5. Division der gesamten Gleichung durch 2 liefert die gesuchte Identität: \(\frac{1}{2} \ln(x) = \ln(\sqrt{x})\)

Antwort

Durch die Darstellung \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\) und Anwendung der Regel für Logarithmen von Produkten folgt \(\ln(x) = \ln(\sqrt{x}) + \ln(\sqrt{x}) = 2 \ln(\sqrt{x})\). Durch Division beider Seiten durch 2 ergibt sich die Behauptung \(\ln(\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \ln(x)\).

42990912

Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich: a) \(\ln(e^4 \cdot \sqrt{e})\) b) \(\ln\left(\frac{1}{e \cdot e^2}\right)\) c) \(e^{\ln(5) - \ln(2)}\) d) \(e^{-2 \ln(3)}\)

Denkanstöße

- Wie hängen die natürliche Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus zusammen? - Welche Rechenregeln für Logarithmen kennst du für Differenzen oder Produkte? - Kannst du Wurzeln und Brüche als Potenzen zur Basis \(e\) schreiben? - Was passiert, wenn ein Faktor vor dem Logarithmus steht?

Lösung

1. Teilaufgabe a): Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(e^4 \cdot e^{0{,}5} = e^{4{,}5}\). Da \(\ln(e^x) = x\) gilt, folgt \(\ln(e^{4{,}5}) = 4{,}5\). 2. Teilaufgabe b): Der Nenner wird zu \(e^3\) zusammengefasst, woraus \(\ln(e^{-3})\) folgt. Das Ergebnis ist \(-3\). 3. Teilaufgabe c): Mithilfe der Logarithmengesetze gilt \(\ln(5) - \ln(2) = \ln\left(\frac{5}{2}\right) = \ln(2{,}5)\). Da \(e^{\ln(x)} = x\) gilt, folgt \(e^{\ln(2{,}5)} = 2{,}5\). 4. Teilaufgabe d): Der Koeffizient wird in den Logarithmus gezogen: \(-2 \ln(3) = \ln(3^{-2}) = \ln\left(\frac{1}{9}\right)\). Damit ergibt sich \(e^{\ln(1/9)} = \frac{1}{9}\).

Antwort

a) \(4{,}5\) b) \(-3\) c) \(2{,}5\) d) \(\frac{1}{9}\)

42992212

Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich unter Verwendung der Beziehung zwischen dem natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion. a) \(\ln(e^{3x+4}) - 4\) b) \(\ln(e^x) \cdot \ln(e^5) - 4x\) c) \(\ln(e^{x^2}) - x \cdot \ln(e^x)\)

Denkanstöße

- Überlege, in welcher Beziehung die Funktion \(f(x) = \ln(x)\) zur Funktion \(g(x) = e^x\) steht. - Was passiert, wenn man den natürlichen Logarithmus direkt auf eine Potenz zur Basis \(e\) anwendet? - Vereinfache zuerst die einzelnen Logarithmus-Ausdrücke, bevor du die Punkt- vor Strichrechnung ausführst.

Lösung

1. Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist, gilt \(\ln(e^k) = k\). Für den ersten Teil ergibt sich somit \((3x + 4) - 4\), was zu \(3x\) vereinfacht wird. 2. Die Anwendung der Identität auf beide Faktoren liefert \(x \cdot 5 - 4x\). Die Subtraktion ergibt \(x\). 3. Die Vereinfachung der einzelnen Bestandteile führt auf \(x^2 - x \cdot x\). Die Differenz ergibt \(0\).

Antwort

a) \(3x\) b) \(x\) c) \(0\)

42185712

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \ln(x)\) für \(x > 0\). Der Graph einer Funktion \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der vertikalen Geraden mit der Gleichung \(x = 5\). Bestimme den Funktionsterm von \(g\) und berechne die Koordinaten des Bildpunktes \(P'\), der durch Spiegelung des Punktes \(P(1|0)\) an der Geraden \(x = 5\) entsteht. Überprüfe rechnerisch, ob \(P'\) auf dem Graphen von \(g\) liegt.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie weit ein Punkt \(x\) von der Spiegelachse entfernt ist und wo der gespiegelte Punkt liegen muss. - Wie verändert sich der \(x\)-Wert eines Punktes, wenn er an einer vertikalen Geraden gespiegelt wird? - Bleibt die Höhe (der \(y\)-Wert) eines Punktes bei einer solchen Spiegelung gleich oder ändert sie sich? - Setze den gefundenen Bildpunkt in deine neue Funktionsgleichung ein, um die Zugehörigkeit zu prüfen.

Lösung

1. Eine Spiegelung an einer vertikalen Geraden \(x = a\) wird durch die Transformation \(x \mapsto 2a - x\) beschrieben. Mit \(a = 5\) ergibt sich die Transformation \(x \mapsto 10 - x\). 2. Der Funktionsterm von \(g\) lautet somit \(g(x) = f(10 - x) = \ln(10 - x)\) mit \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 10\}\). 3. Für den Punkt \(P(1|0)\) ergibt sich die \(x\)-Koordinate des Bildpunktes \(P'\) durch \(x' = 2 \cdot 5 - 1 = 9\). Da die \(y\)-Koordinate bei einer Spiegelung an einer Parallelen zur \(y\)-Achse unverändert bleibt, ist \(P'(9|0)\). 4. Einsetzen von \(x = 9\) in \(g(x)\) liefert \(g(9) = \ln(10 - 9) = \ln(1) = 0\). Da dies der \(y\)-Koordinate von \(P'\) entspricht, liegt der Punkt auf dem Graphen.

Antwort

Der Funktionsterm ist \(g(x) = \ln(10 - x)\) mit \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 10\}\). Der Bildpunkt ist \(P'(9|0)\). Die Überprüfung ergibt \(g(9) = \ln(1) = 0\), somit liegt \(P'\) auf dem Graphen von \(g\).

42623712

Vereinfache die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich: a) \(\ln(\sqrt[3]{e})\) b) \(e^{3 \cdot \ln(2) - \ln(4)}\) c) \(\ln\left(\frac{e^x}{e^{x-2}}\right)\) d) \(e^{\ln(x^2)} \cdot e^{-\ln(x)}\) für \(x > 0\)

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, dass die natürliche Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis \(e\) ist. - Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen schreiben? - Welche Rechenregeln gelten für Logarithmen bei Summen oder Differenzen? - Überlege, wie du Potenzen mit gleicher Basis dividierst.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Den Wurzelausdruck als Potenz schreiben: \(\sqrt[3]{e} = e^{1/3}\). Da \(\ln(e^y) = y\) gilt, folgt \(\ln(e^{1/3}) = \frac{1}{3}\). 2. Teilaufgabe b): Die Logarithmusgesetze im Exponenten anwenden: \(3 \cdot \ln(2) = \ln(2^3) = \ln(8)\). Der Exponent wird zu \(\ln(8) - \ln(4) = \ln(\frac{8}{4}) = \ln(2)\). Es folgt \(e^{\ln(2)} = 2\). 3. Teilaufgabe c): Die Potenzgesetze innerhalb des Logarithmus anwenden: \(\frac{e^x}{e^{x-2}} = e^{x - (x-2)} = e^2\). Es folgt \(\ln(e^2) = 2\). 4. Teilaufgabe d): Die Identität \(e^{\ln(y)} = y\) nutzen: \(e^{\ln(x^2)} = x^2\) und \(e^{-\ln(x)} = e^{\ln(x^{-1})} = \frac{1}{x}\). Das Produkt ergibt \(x^2 \cdot \frac{1}{x} = x\).

Antwort

a) \(\frac{1}{3}\) b) \(2\) c) \(2\) d) \(x\)

42627412

Fasse die folgenden Ausdrücke unter Verwendung der Logarithmen- und Potenzgesetze zusammen: a) \(\ln(e^x \cdot e^2)\) b) \(e^{\ln(5) + \ln(x)}\) c) \(\ln\left(\frac{e}{\sqrt{e}}\right)\) d) \(3 \cdot \ln(\sqrt[3]{e^{2x}})\)

Denkanstöße

- Kannst du das Argument im Logarithmus zuerst mit Potenzgesetzen vereinfachen? - Erinnerst du dich an die Gesetze, mit denen man die Summe zweier Logarithmen zusammenfassen kann? - Wie lassen sich Wurzeln allgemein als Potenzen ausdrücken? - Prüfe, ob du die Reihenfolge der Rechenschritte ändern kannst, um die Identität von \(e\) und \(\ln\) schneller zu nutzen.

Lösung

1. Zusammenfassen der Potenzen im Argument: \(e^x \cdot e^2 = e^{x+2}\). Anwendung der Identität \(\ln(e^y) = y\). Ergebnis: \(x+2\). 2. Anwendung des Logarithmusgesetzes für Summen: \(\ln(5) + \ln(x) = \ln(5x)\). Es folgt \(e^{\ln(5x)} = 5x\). Ergebnis: \(5x\). 3. Umschreiben der Wurzel als \(e^{0{,}5}\) und Anwendung der Divisionsregel für Potenzen: \(\frac{e^1}{e^{0{,}5}} = e^{1-0{,}5} = e^{0{,}5}\). Logarithmieren ergibt \(\ln(e^{0{,}5}) = 0{,}5\). Ergebnis: \(0{,}5\). 4. Umwandlung der dritten Wurzel in einen Exponenten: \(\sqrt[3]{e^{2x}} = (e^{2x})^{1/3} = e^{\frac{2}{3}x}\). Einsetzen in den Term: \(3 \cdot \ln(e^{\frac{2}{3}x}) = 3 \cdot \frac{2}{3}x = 2x\). Ergebnis: \(2x\).

Antwort

a) \(x+2\) b) \(5x\) c) \(0{,}5\) d) \(2x\)

42631612

Fasse die Ausdrücke so weit wie möglich zusammen: a) \(\ln(\sqrt[3]{e^6})\) b) \(e^{2 \cdot \ln(x)}\) für \(x > 0\) c) \(\ln\left(\frac{e^x}{e^2}\right)\) d) \(5 \cdot \ln(e^{x+1})\)

Denkanstöße

- Denke an die Regel für den Logarithmus einer Potenz. - Wie lässt sich ein Vorfaktor vor dem Logarithmus in den Logarithmus „hineinziehen“? - Erinnere dich an die Definition des natürlichen Logarithmus als Umkehrfunktion der \(e\)-Funktion.

Lösung

1. Darstellung der dritten Wurzel als rationaler Exponent: \(\ln(e^{\frac{6}{3}}) = \ln(e^2) = 2\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Faktoren vor dem Logarithmus, um den Ausdruck in die Form \(e^{\ln(y)}\) zu bringen: \(e^{\ln(x^2)} = x^2\). 3. Verrechnung der Potenzen innerhalb des Logarithmus durch Subtraktion der Exponenten: \(\ln(e^{x-2}) = x - 2\). 4. Direkte Nutzung der Identität \(\ln(e^y) = y\) und anschließendes Ausmultiplizieren: \(5 \cdot (x + 1) = 5x + 5\).

Antwort

a) \(2\) b) \(x^2\) c) \(x - 2\) d) \(5x + 5\)

42655412

Fasse die Terme unter Verwendung der Logarithmus- und Potenzgesetze zusammen: a) \(\ln(e^x \cdot e^3) - x\) b) \(e^{\ln(10) - \ln(2)}\) c) \(8 \cdot \ln(\sqrt{e})\) d) \(\ln\left(\frac{1}{e^n}\right) + n\) e) \(\frac{1}{t} \cdot e^{\ln(t^2)}\)

Denkanstöße

- Kannst du die Terme innerhalb des Logarithmus zuerst mit Potenzgesetzen vereinfachen? - Welche Regel erlaubt es, zwei Logarithmen zu subtrahieren? - Wie hängen Brüche mit negativen Exponenten zusammen? - Was passiert, wenn eine Funktion und ihre Umkehrfunktion direkt nacheinander auf einen Wert wirken?

Lösung

1. Addition der Exponenten im Logarithmus und Anwendung der Umkehrfunktion: \(\ln(e^{x+3}) - x = x + 3 - x = 3\). 2. Anwendung des Logarithmusgesetzes für Differenzen \(\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)\): \(e^{\ln(10/2)} = e^{\ln(5)} = 5\). 3. Darstellung der Wurzel als Potenz \(e^{0{,}5}\): \(8 \cdot 0{,}5 = 4\). 4. Umschreiben des Bruchs als negative Potenz \(e^{-n}\): \(\ln(e^{-n}) + n = -n + n = 0\). 5. Vereinfachung des Exponentialausdrucks und anschließende Kürzung: \(\frac{1}{t} \cdot t^2 = t\).

Antwort

a) \(3\) b) \(5\) c) \(4\) d) \(0\) e) \(t\)

42758512

Gegeben sind die Näherungswerte \(\ln(2) \approx 0{,}69\) und \(\ln(5) \approx 1{,}61\). Berechne unter Anwendung der Logarithmengesetze einen Näherungswert für die folgenden Ausdrücke: a) \(\ln(10)\) b) \(\ln(2{,}5)\) c) \(\ln(80)\) d) \(\ln(0{,}4)\) e) \(\ln(\sqrt{5})\)

Denkanstöße

- Kannst du die Zahl im Logarithmus als Produkt oder Quotient aus den Zahlen 2 und 5 schreiben? - Überlege, wie man Dezimalzahlen wie \(2{,}5\) oder \(0{,}4\) als Brüche darstellen kann. - Wie lässt sich eine Wurzel mithilfe eines Exponenten ausdrücken? - Welche Rechenregel erlaubt es, einen Exponenten vor den Logarithmus zu ziehen?

Lösung

1. Anwendung der Produktregel: \(\ln(10) = \ln(2 \cdot 5) = \ln(2) + \ln(5) = 0{,}69 + 1{,}61 = 2{,}30\) 2. Anwendung der Quotientenregel: \(\ln(2{,}5) = \ln\left(\frac{5}{2}\right) = \ln(5) - \ln(2) = 1{,}61 - 0{,}69 = 0{,}92\) 3. Zerlegung in Faktoren und Anwendung der Potenz- und Produktregel: \(\ln(80) = \ln(2^4 \cdot 5) = 4 \cdot \ln(2) + \ln(5) = 4 \cdot 0{,}69 + 1{,}61 = 2{,}76 + 1{,}61 = 4{,}37\) 4. Anwendung der Quotientenregel: \(\ln(0{,}4) = \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln(2) - \ln(5) = 0{,}69 - 1{,}61 = -0{,}92\) 5. Umschreiben der Wurzel als Potenz und Anwendung der Potenzregel: \(\ln(\sqrt{5}) = \ln(5^{0{,}5}) = 0{,}5 \cdot \ln(5) = 0{,}5 \cdot 1{,}61 = 0{,}805\)

Antwort

a) \(2{,}30\) b) \(0{,}92\) c) \(4{,}37\) d) \(-0{,}92\) e) \(0{,}805\)

42758612

Verwende die Näherungswerte \(\ln(3) \approx 1{,}10\) und \(\ln(10) \approx 2{,}30\), um die folgenden Werte ohne Taschenrechner zu bestimmen: a) \(\ln(30)\) b) \(\ln(0{,}03)\) c) \(\ln(27)\) d) \(\ln(\sqrt{30})\) e) \(\ln(0{,}9)\)

Denkanstöße

- Versuche, jede Zahl im Logarithmus durch 3 und 10 auszudrücken. - Denke daran, dass \(100 = 10^2\) und \(27 = 3^3\) ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine Zahl im Nenner eines Bruchs steht? - Wie hängen \(\ln(30)\) und \(\ln(\sqrt{30})\) mathematisch zusammen?

Lösung

1. Produktregel nutzen: \(\ln(30) = \ln(3 \cdot 10) = \ln(3) + \ln(10) = 1{,}10 + 2{,}30 = 3{,}40\) 2. Darstellung als Bruch und Anwendung der Regeln: \(\ln(0{,}03) = \ln\left(\frac{3}{100}\right) = \ln(3) - \ln(10^2) = \ln(3) - 2 \cdot \ln(10) = 1{,}10 - 2 \cdot 2{,}30 = -3{,}50\) 3. Potenzregel nutzen: \(\ln(27) = \ln(3^3) = 3 \cdot \ln(3) = 3 \cdot 1{,}10 = 3{,}30\) 4. Kombination aus Wurzel- und Produktregel: \(\ln(\sqrt{30}) = \frac{1}{2} \ln(30) = 0{,}5 \cdot 3{,}40 = 1{,}70\) 5. Darstellung als Bruch: \(\ln(0{,}9) = \ln\left(\frac{9}{10}\right) = \ln(3^2) - \ln(10) = 2 \cdot \ln(3) - \ln(10) = 2{,}20 - 2{,}30 = -0{,}10\)

Antwort

a) \(3{,}40\) b) \(-3{,}50\) c) \(3{,}30\) d) \(1{,}70\) e) \(-0{,}10\)

42760212

Gegeben ist die Gleichung \(\ln\left(\frac{x-2}{x-5}\right) = \ln(x-2) - \ln(x-5)\). Untersuche, ob diese Gleichung für alle \(x\) gültig ist, für die der Ausdruck \(\ln\left(\frac{x-2}{x-5}\right)\) definiert ist. Begründe deine Entscheidung durch eine Analyse der Definitionsbereiche.

Denkanstöße

- Wann ist ein Quotient zweier Terme positiv? Betrachte die Vorzeichenkombinationen. - Welche Bedingung muss für die Argumente von Logarithmen auf der rechten Seite einzeln erfüllt sein? - Vergleiche die Bedingungen für die linke und die rechte Seite der Gleichung. - Gibt es Werte für \(x\), bei denen die linke Seite berechenbar ist, die rechte aber nicht?

Lösung

1. Definitionsbereich der linken Seite (\(D_{L}\)): Der Bruch \(\frac{x-2}{x-5}\) muss positiv sein. Dies ist der Fall, wenn Zähler und Nenner das gleiche Vorzeichen haben. Fall 1: \(x-2 > 0\) und \(x-5 > 0 \implies x > 5\). Fall 2: \(x-2 < 0\) und \(x-5 < 0 \implies x < 2\). Somit gilt \(D_{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2 \text{ oder } x > 5\}\). 2. Definitionsbereich der rechten Seite (\(D_{R}\)): Hier müssen beide Logarithmen einzeln definiert sein, also \(x-2 > 0\) (d. h. \(x > 2\)) und \(x-5 > 0\) (d. h. \(x > 5\)). Die Schnittmenge ergibt \(D_{R} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 5\}\). 3. Vergleich: Die Gleichung ist nur für \(x > 5\) gültig. Für den Teilbereich \(x < 2\) ist zwar der Quotient positiv (und damit die linke Seite definiert), aber die einzelnen Logarithmen auf der rechten Seite sind nicht definiert, da ihre Argumente negativ wären.

Antwort

Nein, die Gleichung ist nicht für alle \(x\) aus dem Definitionsbereich der linken Seite gültig. Während die linke Seite für \(x < 2\) und \(x > 5\) definiert ist, ist die rechte Seite nur für \(x > 5\) definiert. Für \(x < 2\) sind die Terme \(\ln(x-2)\) und \(\ln(x-5)\) im Reellen nicht definiert.

42760312

Gegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) durch: \(f: x \mapsto \ln(x^2 - 15)\) \(g: x \mapsto \frac{x + 1}{x^2 - 5x}\) Bestimme für beide Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge sowie alle Nullstellen.

Denkanstöße

- Wann ist der natürliche Logarithmus mathematisch definiert? - Wie geht man mit einer quadratischen Ungleichung bei der Definitionsmenge um? - Welche Werte darf der Nenner eines Bruches niemals annehmen? - Wann genau wird ein Bruchstrich-Ausdruck gleich null? - Überprüfe am Ende immer, ob deine berechneten Nullstellen auch tatsächlich im Definitionsbereich liegen.

Lösung

1. Für \(f\) muss das Argument des Logarithmus positiv sein: \(x^2 - 15 > 0\). Dies ist erfüllt für \(x^2 > 15\), also \(|x| > \sqrt{15}\). Somit gilt \(D_f = ]-\infty; -\sqrt{15}[ \cup ]\sqrt{15}; \infty[\). 2. Die Nullstellen von \(f\) ergeben sich aus \(\ln(x^2 - 15) = 0\), was zu \(x^2 - 15 = 1\) führt. Die Lösungen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\) liegen beide in \(D_f\). 3. Für \(g\) darf der Nenner nicht null werden: \(x^2 - 5x = 0 \iff x(x - 5) = 0\). Daraus folgt \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0; 5\}\). 4. Die Nullstelle von \(g\) liegt vor, wenn der Zähler null ist: \(x + 1 = 0 \iff x_3 = -1\). Da \(-1 \in D_g\), ist dies die einzige Nullstelle.

Antwort

\(f\): \(D_f = ]-\infty; -\sqrt{15}[ \cup ]\sqrt{15}; \infty[\); Nullstellen bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 4\) \(g\): \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0; 5\}\); Nullstelle bei \(x_3 = -1\)

42760512

Die Magnitude \(M\) eines Erdbebens auf der Richter-Skala kann über die bei dem Beben freigesetzte seismische Energie \(E\) (in Joule) mit der Formel \(M = \frac{2}{3} \lg\left(\frac{E}{E_0}\right)\) berechnet werden. Dabei ist \(E_0 = 10^{4{,}8}\,\text{J}\) eine Bezugsenergie. Berechne, um welchen Faktor die freigesetzte Energie eines Erdbebens der Magnitude \(M_2 = 7{,}5\) größer ist als die eines Bebens der Magnitude \(M_1 = 5{,}5\).

Denkanstöße

- Wie hängen die Magnituden mathematisch zusammen, wenn man ihre Differenz betrachtet? - Welche Rechenregel für Logarithmen hilft dir, wenn du zwei Logarithmen subtrahierst? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Verhältnis der Energien allein auf einer Seite steht?

Lösung

1. Aufstellen der Differenz der Magnituden: \(M_2 - M_1 = 7{,}5 - 5{,}5 = 2\). 2. Einsetzen der Formel in die Differenz: \(\frac{2}{3} \lg\left(\frac{E_2}{E_0}\right) - \frac{2}{3} \lg\left(\frac{E_1}{E_0}\right) = 2\). 3. Anwendung der Logarithmengesetze (\(\lg(a) - \lg(b) = \lg\left(\frac{a}{b}\right)\)): \(\frac{2}{3} \lg\left(\frac{E_2}{E_1}\right) = 2\). 4. Isolieren des Logarithmus: \(\lg\left(\frac{E_2}{E_1}\right) = 3\). 5. Auflösen nach dem Verhältnis durch Entlogarithmieren: \(\frac{E_2}{E_1} = 10^3 = 1\,000\).

Antwort

Die freigesetzte Energie ist um den Faktor \(1\,000\) größer.

42762512

Untersuche das Verhalten der Funktion \(f\) mit \(f(x) = (x^2 + 3x) \cdot \ln(x)\) für \(x \to 0\) mit \(x > 0\). Begründe dein Ergebnis unter Verwendung der Wachstumsgeschwindigkeiten von Potenz- und Logarithmusfunktionen.

Denkanstöße

- Was passiert mit den beiden Faktoren, wenn \(x\) immer kleiner wird? - Multipliziere die Klammer aus, um zwei getrennte Terme zu erhalten. - Welche Funktion „gewinnt“ den Kampf gegen Unendlich, wenn eine Potenzfunktion auf eine Logarithmusfunktion trifft? - Erinnere dich an den Grenzwert von \(x^n \cdot \ln(x)\) für \(x\) gegen \(0\).

Lösung

1. Den Funktionsterm durch Ausmultiplizieren umschreiben: \(f(x) = x^2 \cdot \ln(x) + 3x \cdot \ln(x)\). 2. Das Verhalten der einzelnen Summanden für \(x \to 0^+\) untersuchen: Bekannt ist, dass für jede positive Potenz \(n > 0\) gilt: \(\lim_{x \to 0^+} x^n \cdot \ln(x) = 0\), da die Potenzfunktion \(x^n\) für \(x \to 0\) stärker gegen \(0\) strebt, als die Logarithmusfunktion gegen \(-\infty\) divergiert. 3. Anwendung auf die Summanden: \(\lim_{x \to 0^+} x^2 \cdot \ln(x) = 0\) und \(\lim_{x \to 0^+} 3x \cdot \ln(x) = 0\). 4. Den Gesamtgrenzwert bilden: \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + 0 = 0\).

Antwort

Der Grenzwert der Funktion \(f\) für \(x \to 0^+\) ist \(0\).

42762912

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f: x \mapsto \ln(x^2 + e)\). Bestimme die Wertemenge von \(f\) und begründe dein Ergebnis.

Denkanstöße

- Welche Werte kann der Ausdruck \(x^2 + e\) annehmen? - Erinnere dich an den Verlauf der natürlichen Logarithmusfunktion. Ist sie steigend oder fallend? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß wird? - Welchen Wert hat \(\ln(e)\)?

Lösung

1. Bestimmung des Wertebereichs des Arguments: Da \(x^2 \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, folgt \(x^2 + e \ge e\). 2. Anwendung der Logarithmusfunktion: Da die natürliche Logarithmusfunktion für positive Argumente streng monoton steigt, gilt \(f(x) \ge \ln(e) = 1\). 3. Untersuchung des Grenzverhaltens: Für \(|x| \to \infty\) strebt das Argument \(x^2 + e\) gegen \(\infty\), womit auch \(f(x) \to \infty\) gilt. 4. Schlussfolgerung: Da \(f\) stetig ist und alle Werte von \(1\) bis \(\infty\) annimmt, ist die Wertemenge \(W_f = [1; \infty[\).

Antwort

\(W_f = [1; \infty[\)

42763012

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(g: x \mapsto \ln\left(\frac{e^2}{x^4 + 1}\right)\). Begründe, dass die Wertemenge von \(g\) das Intervall \(]-\infty; 2]\) ist.

Denkanstöße

- Betrachte zuerst den Nenner des Bruchs. Was ist sein kleinster Wert? - Welche Auswirkung hat ein wachsender Nenner auf den gesamten Bruch? - Wie verhält sich der natürliche Logarithmus, wenn sein Argument gegen Null geht? - Überlege, welcher Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) erreicht wird.

Lösung

1. Analyse des Bruchs: Für alle \(x \in \mathbb{R}\) ist \(x^4 + 1 \ge 1\). Damit liegt der Wert des Bruchs \(\frac{e^2}{x^4 + 1}\) im Intervall \(]0; e^2]\). Der maximale Wert \(e^2\) wird bei \(x = 0\) erreicht. 2. Anwendung der Logarithmusfunktion: Die Funktion \(u \mapsto \ln(u)\) ist streng monoton steigend. Für den maximalen Argumentwert \(e^2\) ergibt sich der maximale Funktionswert \(g(0) = \ln(e^2) = 2\). 3. Grenzverhalten: Geht \(|x|\) gegen \(\infty\), so strebt der Nenner \(x^4 + 1\) gegen \(\infty\). Der Bruch \(\frac{e^2}{x^4 + 1}\) nähert sich somit von oben der Null an. Da \(\lim_{u \to 0^+} \ln(u) = -\infty\), folgt \(\lim_{|x| \to \infty} g(x) = -\infty\). 4. Ergebnis: Aufgrund der Stetigkeit von \(g\) werden alle Werte im Intervall \(]-\infty; 2]\) angenommen.

Antwort

Die Wertemenge ist \(W_g = ]-\infty; 2]\). Die Begründung erfolgt über die Analyse des Wertebereichs des Arguments \(0 < \frac{e^2}{x^4+1} \le e^2\) und die Monotonie der Logarithmusfunktion.

42763512

In der Psychophysik wird die subjektive Empfindungsstärke \(S\) eines Reizes in Abhängigkeit von seiner physikalischen Intensität \(I\) oft durch das Weber-Fechner-Gesetz modelliert: \[S(I) = k \cdot \ln\left(\frac{I}{I_0}\right)\] Dabei ist \(I_0\) die Reizschwelle (die niedrigste Intensität, die gerade noch wahrgenommen wird) und \(k\) eine spezifische Konstante für die jeweilige Reizart. 1. Bei der Wahrnehmung von Lautstärke wird für einen bestimmten Probanden eine Reizschwelle von \(I_0 = 10^{-12}\,\text{W/m}^2\) angenommen. Bei einer Intensität von \(I_1 = 10^{-7}\,\text{W/m}^2\) wird eine Empfindungsstärke von \(S_1 = 50\) gemessen. Bestimme den Wert der Konstante \(k\). 2. Zeige allgemein rechnerisch, dass eine Verdopplung der Intensität \(I\) (also der Übergang von \(I\) zu \(2I\)) unabhängig vom Ausgangswert immer zur gleichen absoluten Änderung der Empfindungsstärke führt. 3. Berechne die absolute Änderung der Empfindungsstärke bei einer Verzehnfachung der Intensität für den in Teilaufgabe 1 bestimmten Wert von \(k\).

Denkanstöße

- Setze die gegebenen Werte für \(S\), \(I\) und \(I_0\) in die Formel ein und löse nach \(k\) auf. - Nutze die Logarithmengesetze, insbesondere \(\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)\), um Differenzen zu vereinfachen. - Überlege, was es mathematisch bedeutet, wenn eine Änderung „unabhängig vom Ausgangswert“ ist. Welcher Term muss in der Rechnung verschwinden? - Für die Verzehnfachung kannst du denselben Rechenweg wie bei der Verdopplung nutzen.

Lösung

1. Einsetzen der gegebenen Werte in die Funktionsgleichung: \(50 = k \cdot \ln\left(\frac{10^{-7}}{10^{-12}}\right) = k \cdot \ln(10^5) = 5k \cdot \ln(10)\). Umstellen nach \(k\) ergibt \(k = \frac{10}{\ln(10)} \approx 4{,}343\). 2. Die Differenz der Empfindungsstärken bei \(2I\) und \(I\) berechnet sich zu \(\Delta S = S(2I) - S(I) = k \cdot \ln\left(\frac{2I}{I_0}\right) - k \cdot \ln\left(\frac{I}{I_0}\right)\). Unter Anwendung der Logarithmengesetze folgt \(\Delta S = k \cdot \left(\ln(2I) - \ln(I_0) - (\ln(I) - \ln(I_0))\right) = k \cdot (\ln(2I) - \ln(I)) = k \cdot \ln\left(\frac{2I}{I}\right) = k \cdot \ln(2)\). Da dieser Ausdruck nicht mehr von \(I\) abhängt, ist die Änderung konstant. 3. Analog zu Schritt 2 ergibt eine Verzehnfachung die Änderung \(\Delta S = k \cdot \ln(10)\). Mit \(k = \frac{10}{\ln(10)}\) aus Aufgabenteil 1 folgt \(\Delta S = \frac{10}{\ln(10)} \cdot \ln(10) = 10\).

Antwort

1. \(k = \frac{10}{\ln(10)} \approx 4{,}343\) 2. Nachweis über \(\Delta S = k \cdot \ln(2)\), was unabhängig von \(I\) ist. 3. \(\Delta S = 10\)

42763612

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = a \cdot \ln(x)\) für \(x > 0\) und \(a > 0\). 1. Bestimme den Parameter \(a\) so, dass die Steigung des Graphen von \(f\) an der Stelle \(x = 2\) genau \(1{,}5\) beträgt. 2. Ein Punkt \(P(x|f(x))\) wandert auf dem Graphen der Funktion \(f\). Berechne für \(a = 3\), um welchen absoluten Betrag sich der Funktionswert ändert, wenn die \(x\)-Koordinate um \(20\,\%\) vergrößert wird. 3. Weise nach: Wenn die Eingangsgröße \(x\) um einen konstanten Prozentsatz \(p\) wächst, so nimmt der Funktionswert \(f(x)\) stets um denselben absoluten Betrag zu. Gib diesen Betrag in Abhängigkeit von \(a\) und \(p\) an.

Denkanstöße

- Denke an die Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus. - Wie drückt man eine prozentuale Zunahme als Multiplikationsfaktor aus? - Nutze die Rechenregeln für Logarithmen, um Terme wie \(\ln(k \cdot x)\) aufzuspalten. - Wenn in einer Formel für eine Differenz das \(x\) am Ende wegfällt, ist die Differenz für alle \(x\) gleich.

Lösung

1. Die Ableitung der Funktion ist \(f'(x) = \frac{a}{x}\). Die Bedingung \(f'(2) = 1{,}5\) führt auf \(\frac{a}{2} = 1{,}5\), woraus \(a = 3\) folgt. 2. Eine Vergrößerung von \(x\) um \(20\,\%\) entspricht dem neuen Wert \(1{,}2x\). Die Änderung des Funktionswerts ist \(\Delta y = f(1{,}2x) - f(x) = 3 \cdot \ln(1{,}2x) - 3 \cdot \ln(x) = 3 \cdot (\ln(1{,}2) + \ln(x)) - 3 \cdot \ln(x) = 3 \cdot \ln(1{,}2) \approx 0{,}547\). 3. Ein Wachstum um \(p\) Prozent bedeutet den Übergang von \(x\) zu \(x \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\). Die Differenz der Funktionswerte ist \(\Delta y = a \cdot \ln\left(x \cdot (1 + \frac{p}{100})\right) - a \cdot \ln(x)\). Mit dem Logarithmengesetz für Produkte folgt \(\Delta y = a \cdot \left(\ln(x) + \ln(1 + \frac{p}{100})\right) - a \cdot \ln(x) = a \cdot \ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)\). Dieser Ausdruck ist unabhängig von \(x\).

Antwort

1. \(a = 3\) 2. \(\Delta y = 3 \cdot \ln(1{,}2) \approx 0{,}547\) 3. \(\Delta y = a \cdot \ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)\)

42763812

Gegeben ist die Funktion \(g: x \mapsto x \cdot \ln(x^2)\) für \(x > 0\). Bestimme den Grenzwert \(\lim_{x \to 0^+} g(x)\).

Denkanstöße

- Hilft dir ein Logarithmengesetz dabei, den Exponenten im Inneren des Logarithmus nach vorne zu ziehen? - Was passiert mit \(x\) und was mit \(\ln(x)\), wenn \(x\) immer näher an \(0\) rückt? - Gibt es eine bekannte Regel für Grenzwerte der Form \(x^n \cdot \ln(x)\) an der Stelle \(0\)?

Lösung

1. Den Logarithmusterm mithilfe der Logarithmengesetze vereinfachen: \(g(x) = x \cdot 2 \cdot \ln(x) = 2 \cdot (x \ln(x))\). 2. Die Art des unbestimmten Ausdrucks für \(x \to 0\) identifizieren: Der Faktor \(x\) nähert sich \(0\), während \(\ln(x)\) gegen \(-\infty\) strebt (Form \(0 \cdot (-\infty)\)). 3. Den Standardgrenzwert für das Produkt aus Potenz- und Logarithmusfunktion anwenden: Für jede positive Potenz \(n\) gilt \(\lim_{x \to 0^+} x^n \cdot \ln(x) = 0\). Hier ist \(n=1\). 4. Das Ergebnis berechnen: \(2 \cdot 0 = 0\).

Antwort

\(\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0\)

42764112

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = \frac{\ln(x^2) + 1}{x^2}\) für \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Untersuche das Verhalten der Funktionswerte \(f(x)\) für \(x \to 0\) sowie für \(x \to \infty\).

Denkanstöße

- Betrachte Zähler und Nenner getrennt, wenn \(x\) gegen Null geht. Welches Vorzeichen hat der Logarithmus für sehr kleine positive Werte? - Erinnere dich an das Wachstumsverhalten von Logarithmusfunktionen im Vergleich zu Potenzfunktionen für sehr große \(x\)-Werte. - Kannst du den Funktionsterm in zwei einfachere Brüche aufteilen?

Lösung

1. Untersuchung für \(x \to 0\): Der Term \(x^2\) im Nenner nähert sich von oben der Null an (\(x^2 \to 0^+\)). Der Zähler \(\ln(x^2) + 1\) strebt gegen \(-\infty\), da der Logarithmus für Argumente nahe Null gegen \(-\infty\) geht. Der Quotient aus einem gegen \(-\infty\) strebenden Zähler und einem gegen \(0^+\) strebenden Nenner ergibt \(\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty\). 2. Untersuchung für \(x \to \infty\): Die Funktion kann in \(f(x) = \frac{\ln(x^2)}{x^2} + \frac{1}{x^2}\) zerlegt werden. Da Potenzfunktionen im Unendlichen stärker wachsen als Logarithmusfunktionen, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2)}{x^2} = 0\). Da auch \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\) gilt, folgt insgesamt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\).

Antwort

Für \(x \to 0\) gilt \(f(x) \to -\infty\). Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to 0\).

42765912

Bestimme den maximalen Definitionsbereich der Funktion \(f\) mit \(f(x) = \ln\left( 1 + \frac{4}{x-2} \right)\).

Denkanstöße

- Welche Bedingung muss für das Argument einer Logarithmusfunktion erfüllt sein? - Gibt es Werte für \(x\), die man aufgrund des Bruches von vornherein ausschließen muss? - Könntest du den Ausdruck innerhalb der Klammer so umformen, dass er nur noch aus einem einzigen Bruch besteht? - Wann ist ein Bruch insgesamt positiv? Überlege dir, welche Vorzeichen Zähler und Nenner in verschiedenen Bereichen haben können.

Lösung

1. Für die Logarithmusfunktion muss das Argument positiv sein: \(1 + \frac{4}{x-2} > 0\). Zusätzlich darf der Nenner nicht null werden: \(x - 2 \neq 0\), also \(x \neq 2\). 2. Zusammenfassen des Terms im Logarithmus auf einen gemeinsamen Nenner: \(1 + \frac{4}{x-2} = \frac{x - 2 + 4}{x - 2} = \frac{x + 2}{x - 2}\). 3. Untersuchung des Vorzeichens des Bruchs \(\frac{x + 2}{x - 2}\): Die Nullstellen von Zähler und Nenner liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 4. Fallunterscheidung oder Testeinsetzungen in den Intervallen: - Für \(x < -2\) sind Zähler und Nenner negativ, der Bruch ist positiv. - Für \(-2 < x < 2\) ist der Zähler positiv und der Nenner negativ, der Bruch ist negativ. - Für \(x > 2\) sind Zähler und Nenner positiv, der Bruch ist positiv. 5. Der Definitionsbereich umfasst somit alle \(x\), für die der Bruch positiv ist: \(D_f = ]-\infty; -2[ \cup ]2; \infty[\).

Antwort

\(D_f = ]-\infty; -2[ \cup ]2; \infty[\)

42766012

Gib die maximale Definitionsmenge \(D_g\) der Funktion \(g: x \mapsto \ln\left( \frac{1}{x+3} - 1 \right)\) an.

Denkanstöße

- Was weißt du über das Vorzeichen des Arguments einer Logarithmusfunktion? - Es hilft oft, den Ausdruck innerhalb des Logarithmus auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Betrachte die Nullstellen von Zähler und Nenner einzeln. Wie verändert sich das Vorzeichen des Gesamtausdrucks, wenn man diese Stellen überschreitet? - Überprüfe durch Einsetzen eines Wertes aus einem Intervall (z. B. \(-2{,}5\)), ob die Bedingung dort erfüllt ist.

Lösung

1. Bedingung für den Logarithmus: \(\frac{1}{x+3} - 1 > 0\). Definitionslücke des Bruchs bei \(x = -3\). 2. Umformung der Ungleichung: \(\frac{1 - (x+3)}{x+3} > 0 \implies \frac{-x-2}{x+3} > 0\). 3. Bestimmung der kritischen Stellen: Die Nullstelle des Zählers ist \(x = -2\), die des Nenners \(x = -3\). 4. Vorzeichenanalyse des Terms \(\frac{-x-2}{x+3}\): - Für \(x < -3\): Zähler \(-x-2 > 0\), Nenner \(x+3 < 0\), Quotient negativ. - Für \(-3 < x < -2\): Zähler \(-x-2 > 0\), Nenner \(x+3 > 0\), Quotient positiv. - Für \(x > -2\): Zähler \(-x-2 < 0\), Nenner \(x+3 > 0\), Quotient negativ. 5. Die Bedingung ist nur im Intervall \(]-3; -2[\) erfüllt. Somit ist \(D_g = ]-3; -2[\).

Antwort

\(D_g = ]-3; -2[\)

42766312

Gegeben ist eine auf \(\mathbb{R}\) differenzierbare Funktion \(u\). Wir betrachten die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = u(x) \cdot \ln(x)\) für \(x \in (0; \infty)\). Beurteile, ob die folgenden Aussagen für jede beliebige Funktion \(u\) wahr oder falsch sind: (1) Jede Nullstelle von \(u\), die im Intervall \((0; \infty)\) liegt, ist auch eine Nullstelle von \(f\). (2) An jeder Stelle \(x_0 \in (0; \infty)\), an der \(u\) ein lokales Extremum besitzt, hat der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente. (3) Jede doppelte Nullstelle von \(u\) im Intervall \((0; \infty)\) ist eine Nullstelle der Ableitungsfunktion \(f'\).

Denkanstöße

- Betrachte die Definition der Funktion \(f\) und setze die Bedingungen für Nullstellen von \(u\) direkt ein. - Nutze die Produktregel, um die Ableitungsfunktion \(f'\) allgemein zu bestimmen. - Was bedeutet es für die Ableitung einer Funktion, wenn an einer Stelle ein lokales Extremum vorliegt? - Erinnere dich daran, welche Bedingungen an einer doppelten Nullstelle für den Funktionswert und den Wert der Ableitung gelten.

Lösung

1. Prüfung von Aussage (1): Es gilt \(f(x) = u(x) \cdot \ln(x)\). Ist \(x_0\) eine Nullstelle von \(u\), also \(u(x_0) = 0\), so folgt \(f(x_0) = 0 \cdot \ln(x_0) = 0\). Die Aussage ist wahr. 2. Prüfung von Aussage (2): Die Ableitung von \(f\) lautet nach der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot \ln(x) + u(x) \cdot \frac{1}{x}\). An einer Extremstelle \(x_0\) von \(u\) gilt \(u'(x_0) = 0\). Damit ergibt sich \(f'(x_0) = 0 \cdot \ln(x_0) + \frac{u(x_0)}{x_0} = \frac{u(x_0)}{x_0}\). Da dieser Wert im Allgemeinen nicht null ist (außer wenn \(u(x_0) = 0\)), ist die Aussage falsch. 3. Prüfung von Aussage (3): Eine doppelte Nullstelle \(x_0\) von \(u\) bedeutet \(u(x_0) = 0\) und \(u'(x_0) = 0\). Eingesetzt in die Ableitung \(f'(x_0) = u'(x_0) \cdot \ln(x_0) + u(x_0) \cdot \frac{1}{x_0}\) ergibt sich \(f'(x_0) = 0 \cdot \ln(x_0) + 0 \cdot \frac{1}{x_0} = 0\). Die Aussage ist wahr.

Antwort

(1) wahr (2) falsch (3) wahr

42766412

Eine differenzierbare Funktion \(u\) ist auf \(\mathbb{R}\) definiert. Für alle \(x\), für die \(u(x) > 0\) gilt, ist die Funktion \(g\) durch \(g(x) = \ln(u(x))\) definiert. Untersuche die Gültigkeit der folgenden Aussagen: (1) Wenn \(x_0\) eine Nullstelle von \(u\) ist, dann ist \(x_0\) auch eine Nullstelle von \(g\). (2) An jeder Extremstelle von \(u\), die im Definitionsbereich von \(g\) liegt, besitzt der Graph von \(g\) eine waagerechte Tangente. (3) Wenn \(g\) an der Stelle \(x_0\) eine Nullstelle besitzt, dann muss dort \(u(x_0) = 1\) gelten.

Denkanstöße

- Überlege dir, für welche Werte die Logarithmusfunktion überhaupt definiert ist. - Verwende die Kettenregel, um die Ableitung von \(g\) zu berechnen. - Wie hängen die Nullstellen einer Logarithmusfunktion mit dem Argument im Inneren der Funktion zusammen? - Was muss für den Funktionswert der inneren Funktion gelten, damit der natürliche Logarithmus den Wert null ergibt?

Lösung

1. Prüfung von Aussage (1): Wenn \(u(x_0) = 0\) gilt, ist der Ausdruck \(\ln(u(x_0)) = \ln(0)\) nicht definiert. Somit kann \(x_0\) keine Nullstelle von \(g\) sein. Die Aussage ist falsch. 2. Prüfung von Aussage (2): Mit der Kettenregel ergibt sich \(g'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}\). An einer Extremstelle \(x_0\) von \(u\) ist \(u'(x_0) = 0\). Da \(x_0\) im Definitionsbereich von \(g\) liegt, gilt \(u(x_0) > 0\). Folglich ist \(g'(x_0) = \frac{0}{u(x_0)} = 0\), was eine waagerechte Tangente bedeutet. Die Aussage ist wahr. 3. Prüfung von Aussage (3): Eine Nullstelle von \(g\) bedeutet \(g(x_0) = 0\), also \(\ln(u(x_0)) = 0\). Durch Anwenden der Exponentialfunktion folgt \(e^{\ln(u(x_0))} = e^0\), woraus \(u(x_0) = 1\) resultiert. Die Aussage ist wahr.

Antwort

(1) falsch (2) wahr (3) wahr

42766712

Für Werte \(x \in ]-1; 1]\) kann der natürliche Logarithmus durch die folgende unendliche Summe dargestellt werden: \(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots\) 1. Berechne einen Näherungswert für \(\ln(1{,}2)\), indem du die ersten vier Glieder dieser Summe verwenden. Gib das Ergebnis auf vier Dezimalstellen genau an. 2. Begründe mithilfe der obigen Bedingung für \(x\), warum sich der Wert für \(\ln(4)\) nicht durch direktes Einsetzen in diese Summendarstellung ermitteln lässt.

Denkanstöße

- Welchen Wert musst du für \(x\) wählen, damit der Ausdruck \(\ln(1+x)\) den gewünschten Wert \(\ln(1{,}2)\) ergibt? - Achte beim Einsetzen genau auf die Vorzeichen der einzelnen Glieder. - Überprüfe, in welchem Bereich \(x\) laut Aufgabenstellung liegen darf.

Lösung

1. Um \(\ln(1{,}2)\) zu berechnen, setzen wir \(1+x = 1{,}2\) bzw. \(x = 0{,}2\) in die Formel ein. Die ersten vier Glieder ergeben: \(S_4 = 0{,}2 - \frac{0{,}2^2}{2} + \frac{0{,}2^3}{3} - \frac{0{,}2^4}{4}\). Berechnung der Einzelwerte: \(0{,}2 - \frac{0{,}04}{2} + \frac{0{,}008}{3} - \frac{0{,}0016}{4} = 0{,}2 - 0{,}02 + 0{,}0026\bar{6} - 0{,}0004 = 0{,}1822\bar{6}\). Auf vier Dezimalstellen gerundet ergibt dies \(0{,}1823\). 2. Für den Funktionswert \(\ln(4)\) müsste \(1+x = 4\) gelten, woraus \(x = 3\) folgt. Die Summendarstellung ist jedoch nur für das Intervall \(]-1; 1]\) gültig. Da \(3 > 1\) ist, liegt der Wert außerhalb des Gültigkeitsbereichs der Reihe.

Antwort

1. \(\ln(1{,}2) \approx 0{,}1823\) 2. Für \(\ln(4)\) müsste \(x=3\) sein. Dieser Wert liegt außerhalb des zulässigen Intervalls \(]-1; 1]\).

42767512

Gegeben ist die Funktion \(f: x \mapsto \ln(x)\) mit dem maximalen Definitionsbereich \(D_f = \mathbb{R}^+\). Beschreibe, wie die Graphen der folgenden Funktionen aus dem Graphen von \(f\) hervorgehen, und gib jeweils den maximalen Definitionsbereich an: a) \(g: x \mapsto \ln\left(\frac{1}{x}\right)\) b) \(h: x \mapsto \ln(x^2) - 3\)

Denkanstöße

- Überlege dir, wie man den Funktionsterm mithilfe von Logarithmusgesetzen vereinfachen kann. - Achte darauf, für welche Werte der Logarithmus definiert ist (das Argument muss positiv sein). - Erinnere dich daran, welche Auswirkung ein Minuszeichen vor dem Logarithmus oder ein Faktor vor dem Logarithmus auf den Graphen hat. - Was passiert mit dem Definitionsbereich, wenn im Argument \(x^2\) steht?

Lösung

1. Für \(g(x) = \ln(x^{-1}) = -\ln(x)\) gilt \(D_g = \mathbb{R}^+\). Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse. 2. Für \(h(x) = \ln(x^2) - 3 = 2\ln|x| - 3\) gilt \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 3. Transformation von \(f\) zu \(h\): Zuerst wird der Graph von \(f\) an der \(y\)-Achse gespiegelt, um den Graphen für negative \(x\)-Werte zu ergänzen (\(\ln|x|\)). Anschließend erfolgt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2. Zuletzt wird der Graph um 3 Einheiten nach unten verschoben.

Antwort

a) \(D_g = \mathbb{R}^+\); Spiegelung an der \(x\)-Achse. b) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); Spiegelung an der \(y\)-Achse zur Ergänzung für \(x < 0\), Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 2, Verschiebung um 3 Einheiten nach unten.

42767612

Gegeben ist die Funktion \(f(x) = \ln(x)\). Eine weitere Funktion \(p\) ist definiert durch \(p(x) = \ln((x-2)^2)\). a) Gib den maximalen Definitionsbereich von \(p\) sowie die Gleichung der senkrechten Asymptote an. b) Beschreibe die geometrischen Transformationen, die den Graphen von \(f\) in den Graphen von \(p\) überführen. c) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von \(p\) mit der \(x\)-Achse.

Denkanstöße

- Wann ist das Quadrat einer Zahl gleich Null und wann ist es positiv? - Nutze das Logarithmusgesetz für Potenzen, um den Faktor im Exponenten vor den Logarithmus zu ziehen, aber achte auf die Betragsstriche. - Eine Verschiebung in x-Richtung erkennt man an der Änderung direkt beim \(x\) im Argument. - Um Nullstellen zu finden, musst du die Gleichung \(\ln(\dots) = 0\) lösen. Welchen Wert muss das Argument haben, damit der Logarithmus Null ergibt?

Lösung

1. Definitionsbereich: Das Argument \((x-2)^2\) muss positiv sein, also \((x-2)^2 > 0\). Dies ist für alle \(x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}\) erfüllt. Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke: \(x = 2\). 2. Transformationen: Der Term kann als \(2\ln|x-2|\) geschrieben werden. Der Graph von \(f\) wird an der \(y\)-Achse gespiegelt (Erweiterung auf \(\ln|x|\)), um den Faktor 2 in \(y\)-Richtung gestreckt und schließlich um 2 Einheiten nach rechts verschoben. 3. Nullstellen: \(\ln((x-2)^2) = 0\) führt zu \((x-2)^2 = e^0 = 1\). Daraus folgt \(x-2 = 1\) oder \(x-2 = -1\). 4. Die Lösungen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 1\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(1|0)\) und \(S_2(3|0)\).

Antwort

a) \(D_p = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); senkrechte Asymptote \(x = 2\). b) Spiegelung an der \(y\)-Achse zur Ergänzung für negative Argumente, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 2, Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts. c) Schnittpunkte: \(S_1(1|0)\) und \(S_2(3|0)\).

42768112

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = (x^2 - 4x) \cdot \ln(x)\). Bestimme das Verhalten der Funktionswerte für \(x \to 0^+\) und für \(x \to +\infty\), indem du die Grenzwerte \(\lim_{x \to 0^+} f(x)\) und \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\) ermittelst.

Denkanstöße

- Betrachte die Grenzwerte der einzelnen Faktoren des Produkts getrennt. - Was weißt du über das Wachstum von Potenzfunktionen im Vergleich zum natürlichen Logarithmus? - Hilft es dir, den Funktionsterm auszumultiplizieren, um einzelne Terme zu untersuchen? - Überlege, welche der beiden Teilfunktionen nahe der Null „stärker“ gegen ihren Grenzwert strebt.

Lösung

1. Grenzwert für \(x \to +\infty\): Der Faktor \((x^2 - 4x)\) strebt für \(x \to +\infty\) gegen \(+\infty\), da die höchste Potenz \(x^2\) dominiert. Da auch \(\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\) gilt, strebt das Produkt zweier gegen unendlich strebender Terme ebenfalls gegen unendlich. Es folgt \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). 2. Grenzwert für \(x \to 0^+\): Da der Logarithmus nur für positive Werte definiert ist, wird der rechtsseitige Grenzwert \(x \to 0^+\) betrachtet. Durch Ausmultiplizieren erhält man \(f(x) = x^2 \ln(x) - 4x \ln(x)\). Unter Verwendung des Standardgrenzwerts \(\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0\) für alle \(n > 0\) folgt für beide Summanden der Grenzwert 0. Somit gilt \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\).

Antwort

\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)

42768212

Die Funktion \(g\) ist gegeben durch \(g(x) = \frac{3 + \ln(x)}{x^2}\). Untersuche das Verhalten von \(g(x)\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_g = ]0; +\infty[\), indem du die Grenzwerte \(\lim_{x \to 0^+} g(x)\) und \(\lim_{x \to +\infty} g(x)\) berechnest.

Denkanstöße

- Kannst du den Bruch in zwei einfachere Brüche aufteilen? - Welche Funktion wächst für sehr große \(x\)-Werte schneller: eine Potenzfunktion oder die Logarithmusfunktion? - Untersuche Zähler und Nenner getrennt, wenn \(x\) sich der Null nähert. - Achte auf die Vorzeichen von Zähler und Nenner beim Grenzübergang gegen Null.

Lösung

1. Grenzwert für \(x \to +\infty\): Der Funktionsterm kann als Summe zweier Brüche geschrieben werden: \(g(x) = \frac{3}{x^2} + \frac{\ln(x)}{x^2}\). Der erste Summand strebt für \(x \to +\infty\) gegen 0. Für den zweiten Summanden gilt, dass jede Potenzfunktion \(x^n\) mit \(n > 0\) im Unendlichen wesentlich stärker wächst als der natürliche Logarithmus, weshalb \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0\) folgt. Insgesamt ergibt sich \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\). 2. Grenzwert für \(x \to 0^+\): Wir betrachten den rechtsseitigen Grenzwert \(x \to 0^+\). Der Zähler \(3 + \ln(x)\) strebt gegen \(-\infty\), da \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty\) gilt. Der Nenner \(x^2\) strebt gegen \(0^+\). Ein Quotient aus einem negativ unendlich großen Zähler und einem verschwindend kleinen positiven Nenner strebt gegen \(-\infty\). Somit gilt \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty\).

Antwort

\(\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\)

42985712

Der natürliche Logarithmus \(\ln\) zur Basis \(e\) ist auf wissenschaftlichen Taschenrechnern direkt verfügbar. Andere Logarithmen müssen oft darauf zurückgeführt werden. a) Beweise die Basiswechselformel \(\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}\) für \(x, b \in \mathbb{R}^+\) mit \(b \neq 1\), indem du von der Gleichung \(y = \log_b x\) ausgehst und die Definition des Logarithmus als Umkehrfunktion nutzt. b) Berechne die Werte von \(\log_5 125\), \(\log_2 10\) und \(\log_{0{,}5} 4\) unter Verwendung des natürlichen Logarithmus. Runde das Ergebnis für \(\log_2 10\) auf vier Nachkommastellen. c) Begründe ohne weitere Rechnung, warum das Produkt \(\ln 5 \cdot \log_5 e\) genau den Wert \(1\) ergibt.

Denkanstöße

- Wie kannst du eine Logarithmusgleichung in eine Exponentialgleichung umschreiben? - Erinnere dich an das Gesetz, mit dem man Exponenten vor den Logarithmus ziehen kann. - Überlege, wie du den Term im Logarithmus als Potenz der Basis schreiben kannst, um zu vereinfachen. - Welchen Wert hat der natürliche Logarithmus der Eulerschen Zahl \(e\)?

Lösung

1. Beweis der Formel: Aus \(y = \log_b x\) folgt gemäß der Definition des Logarithmus \(b^y = x\). Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beide Seiten erhält man \(\ln(b^y) = \ln x\). Nach dem Logarithmengesetz für Potenzen gilt \(y \cdot \ln b = \ln x\). Auflösen nach \(y\) ergibt \(y = \frac{\ln x}{\ln b}\). 2. Berechnungen: - \(\log_5 125 = \frac{\ln 125}{\ln 5} = \frac{\ln(5^3)}{\ln 5} = \frac{3 \cdot \ln 5}{\ln 5} = 3\) - \(\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}3219\) - \(\log_{0{,}5} 4 = \frac{\ln 4}{\ln 0{,}5} = \frac{\ln(2^2)}{\ln(2^{-1})} = \frac{2 \ln 2}{-1 \ln 2} = -2\) 3. Begründung: Wendet man die Basiswechselformel auf \(\log_5 e\) an, erhält man \(\log_5 e = \frac{\ln e}{\ln 5}\). Da \(\ln e = 1\) ist, folgt \(\log_5 e = \frac{1}{\ln 5}\). Das Produkt \(\ln 5 \cdot \frac{1}{\ln 5}\) ergibt somit \(1\).

Antwort

a) \(y = \log_b x \Rightarrow b^y = x \Rightarrow \ln(b^y) = \ln x \Rightarrow y \ln b = \ln x \Rightarrow y = \frac{\ln x}{\ln b}\) b) \(\log_5 125 = 3\); \(\log_2 10 \approx 3{,}3219\); \(\log_{0{,}5} 4 = -2\) c) Da \(\log_5 e = \frac{\ln e}{\ln 5} = \frac{1}{\ln 5}\) gilt, ist \(\ln 5 \cdot \frac{1}{\ln 5} = 1\).

42985812

Die Verwendung des natürlichen Logarithmus ermöglicht den Vergleich verschiedener Logarithmus- und Exponentialausdrücke. a) Bestimme die Lösung der Gleichung \(5^x = 20\) exakt mithilfe des natürlichen Logarithmus und gib einen Näherungswert auf drei Dezimalstellen an. b) Zeige allgemein, dass für \(x, a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}\) die Beziehung \(\log_a x = \frac{1}{\log_x a}\) gilt. c) Berechne den exakten Wert des Ausdrucks \(\ln(e^3) + \log_{e^2}(e)\).

Denkanstöße

- Wie gehst du vor, wenn die Unbekannte im Exponenten steht? - Nutze die Basiswechselformel, um beide Seiten der Identität in Teil b) auf den natürlichen Logarithmus zurückzuführen. - Überlege bei Teil c), mit welcher Zahl man die Basis \(e^2\) potenzieren muss, um \(e\) zu erhalten. - Was passiert, wenn Logarithmus und Exponentialfunktion mit derselben Basis aufeinandertreffen?

Lösung

1. Lösung der Gleichung: Durch Logarithmieren von \(5^x = 20\) mit dem natürlichen Logarithmus erhält man \(\ln(5^x) = \ln 20\), also \(x \cdot \ln 5 = \ln 20\). Die exakte Lösung ist \(x = \frac{\ln 20}{\ln 5}\). Der Näherungswert ist \(x \approx 1{,}861\). 2. Beweis der Identität: Nach der Basiswechselformel gilt \(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\). Ebenso gilt \(\log_x a = \frac{\ln a}{\ln x}\). Der Kehrwert von \(\log_x a\) ist \(\frac{1}{\frac{\ln a}{\ln x}} = \frac{\ln x}{\ln a}\). Damit ist die Identität gezeigt. 3. Berechnung des Ausdrucks: \(\ln(e^3) = 3\), da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion zur Basis \(e\) ist. Für den zweiten Teil gilt \(\log_{e^2}(e) = \frac{\ln e}{\ln(e^2)} = \frac{1}{2 \ln e} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Die Summe ist \(3 + 0{,}5 = 3{,}5\).

Antwort

a) \(x = \frac{\ln 20}{\ln 5} \approx 1{,}861\) b) \(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\) und \(\frac{1}{\log_x a} = \frac{1}{\ln a / \ln x} = \frac{\ln x}{\ln a}\) c) \(3{,}5\)

42985912

Betrachte die Funktionen \(f(x) = \ln(x)\) und \(g(x) = \log_{1/e}(x)\) für \(x > 0\). 1. Zeige unter Verwendung der Basiswechselformel, dass der Zusammenhang \(g(x) = -\ln(x)\) besteht. 2. Bestimme für beide Funktionen die Intervalle für \(x\), in denen die Funktionswerte negativ sind. 3. Erläutere den Zusammenhang zwischen der Basis der Logarithmusfunktion und ihrem Monotonieverhalten am Beispiel von \(f\) und \(g\).

Denkanstöße

- Wie lautet die allgemeine Formel, um einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis in den natürlichen Logarithmus umzurechnen? - Erinnere dich an die Definition von \(e^{-1}\) und was passiert, wenn du davon den natürlichen Logarithmus bildest. - Wo schneiden alle einfachen Logarithmusfunktionen der Form \(\log_b(x)\) die \(x\)-Achse? - Überlege dir, wie das Vorzeichen des Funktionswerts mit dem Wachstum (Steigen oder Fallen) der Funktion zusammenhängt.

Lösung

1. Anwendung der Basiswechselformel \(\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}\): Mit der Basis \(b = \frac{1}{e} = e^{-1}\) ergibt sich \(g(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(e^{-1})}\). Da \(\ln(e^{-1}) = -1\) ist, folgt \(g(x) = \frac{\ln(x)}{-1} = -\ln(x)\). 2. Für \(f(x) = \ln(x)\): Da die Basis \(e \approx 2{,}718 > 1\) ist, ist \(f\) streng monoton steigend. Mit der Nullstelle \(f(1) = 0\) folgt \(f(x) < 0\) für \(0 < x < 1\). Für \(g(x) = -\ln(x)\) kehren sich die Vorzeichen um: \(g(x) < 0\) gilt für \(\ln(x) > 0\), also für \(x > 1\). 3. Die Funktion \(f\) hat eine Basis \(e > 1\) und ist streng monoton steigend. Die Funktion \(g\) hat eine Basis \(\frac{1}{e} < 1\). Da \(g(x) = -f(x)\) ist, spiegelt sich der Graph an der \(x\)-Achse, wodurch \(g\) streng monoton fallend ist. Allgemein gilt: Logarithmusfunktionen mit Basis \(b > 1\) steigen, solche mit \(0 < b < 1\) fallen.

Antwort

1. \(g(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(e^{-1})} = \frac{\ln(x)}{-1} = -\ln(x)\) 2. \(f(x) < 0\) für \(x \in (0; 1)\); \(g(x) < 0\) für \(x \in (1; \infty)\) 3. \(f\) ist wegen \(e > 1\) streng monoton steigend; \(g\) ist wegen der Basis \(\frac{1}{e} < 1\) (bzw. des negativen Vorzeichens vor \(\ln(x)\)) streng monoton fallend.

42986212

Vereinfache die folgenden Terme mithilfe der Logarithmengesetze so weit wie möglich: (1) \(\ln(e^x)\) (2) \(\ln(e^2 \cdot e^a)\) (3) \(\ln\left(\frac{1}{\sqrt[n]{e}}\right)\) (4) \(e^{\ln(3)}\) (5) \(\ln\left(\frac{e^m}{e^n}\right)\)

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, dass \(\ln(x)\) und \(e^x\) gegenseitige Umkehrfunktionen sind. - Wie lassen sich Produkte und Quotienten von Potenzen mit gleicher Basis vereinfachen? - Kannst du einen Bruch oder eine Wurzel in eine einzige Potenzschreibweise umwandeln? - Was passiert, wenn eine Funktion direkt auf ihre Umkehrfunktion angewendet wird?

Lösung

1. Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis \(e\) ist, gilt direkt \(\ln(e^x) = x\). 2. Zusammenfassen der Potenzen im Argument: \(e^2 \cdot e^a = e^{2+a}\). Anwendung der Logarithmenseigenschaft ergibt \(2+a\). 3. Umschreiben des Terms als Potenz: \(\frac{1}{\sqrt[n]{e}} = \frac{1}{e^{1/n}} = e^{-1/n}\). Damit ist der Wert \(-\frac{1}{n}\). 4. Die Hintereinanderausführung von Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion ergibt das Argument selbst: \(e^{\ln(3)} = 3\). 5. Anwendung der Potenzgesetze für Division: \(\frac{e^m}{e^n} = e^{m-n}\). Der Logarithmus davon ist \(m-n\).

Antwort

(1) \(x\) (2) \(2+a\) (3) \(-\frac{1}{n}\) (4) \(3\) (5) \(m-n\)

42986312

Die Zahl \(e \approx 2{,}71828\) ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Bestimme mithilfe systematischer Intervallschachtelung einen Näherungswert für \(\ln 5\) auf drei Nachkommastellen genau. Setze dazu die folgende Überlegung schrittweise fort: Wegen \(e^1 \approx 2{,}718 < 5 < 7{,}389 \approx e^2\) gilt \(1 < \ln 5 < 2\). Wegen \(e^{1{,}6} \approx 4{,}953 < 5 < 5{,}474 \approx e^{1{,}7}\) gilt \(1{,}6 < \ln 5 < 1{,}7\).

Denkanstöße

- Überlege dir, zwischen welchen Werten für die nächste Nachkommastelle die Zahl 5 liegen muss. - Verwende deinen Taschenrechner, um die Potenz \(e^x\) für verschiedene Werte von \(x\) zu berechnen. - Wenn du ein Intervall gefunden hast, probiere systematisch die Werte in der Mitte oder in kleineren Schritten (z. B. \(0{,}01\) oder \(0{,}001\)) aus. - Um auf drei Stellen genau zu runden, musst du prüfen, ob der Wert näher an der unteren oder oberen Grenze des letzten Intervalls liegt.

Lösung

Um den Wert von \(\ln 5\) auf drei Nachkommastellen zu bestimmen, wird das Intervall durch systematisches Testen von Funktionswerten der Exponentialfunktion \(f(x) = e^x\) weiter eingegrenzt: 1. Prüfung der Hundertstelstelle im Intervall \([1{,}60; 1{,}70]\): Es ist \(e^{1{,}60} \approx 4{,}9530\) und \(e^{1{,}61} \approx 5{,}0028\). Da \(4{,}9530 < 5 < 5{,}0028\), liegt der Wert im Intervall \(1{,}60 < \ln 5 < 1{,}61\). 2. Prüfung der Tausendstelstelle im Intervall \([1{,}600; 1{,}610]\): Berechnung der Werte: \(e^{1{,}609} \approx 4{,}9978\) \(e^{1{,}610} \approx 5{,}0028\) Da \(4{,}9978 < 5 < 5{,}0028\), liegt der Wert im Intervall \(1{,}609 < \ln 5 < 1{,}610\). 3. Um die Rundung auf die dritte Nachkommastelle zu entscheiden, wird die Mitte des Intervalls geprüft: \(e^{1{,}6094} \approx 4{,}9998\) \(e^{1{,}6095} \approx 5{,}0003\) Da \(e^{1{,}6094} < 5 < e^{1{,}6095}\), liegt der exakte Wert näher an \(1{,}6094\). Damit ist der auf drei Stellen gerundete Näherungswert \(1{,}609\).

Antwort

\(\ln 5 \approx 1{,}609\)

42986412

Bestimme durch systematisches Probieren den Wert von \(x = \ln 0{,}5\) auf drei Stellen nach dem Komma genau. Nutze dabei den Zusammenhang \(e^x = 0{,}5\). Beginne deine Untersuchung mit dem Intervall \([-0{,}7; -0{,}6]\), da gilt: \(e^{-0{,}7} \approx 0{,}4966\) und \(e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488\).

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, dass bei negativen Zahlen der betragsmäßig größere Wert (z. B. \(-0{,}7\)) die untere Intervallgrenze darstellt. - Untersuche systematisch die Werte zwischen \(-0{,}70\) und \(-0{,}69\). - Berechne \(e^x\) für Werte mit drei Nachkommastellen, um zu sehen, welcher am nächsten an \(0{,}5\) liegt.

Lösung

Die Intervallschachtelung wird ausgehend von \([-0{,}7; -0{,}6]\) durchgeführt: 1. Eingrenzung auf die zweite Nachkommastelle: \(e^{-0{,}70} \approx 0{,}49658\) \(e^{-0{,}69} \approx 0{,}50157\) Da \(0{,}49658 < 0{,}5 < 0{,}50157\), gilt \(-0{,}70 < \ln 0{,}5 < -0{,}69\). 2. Eingrenzung auf die dritte Nachkommastelle: \(e^{-0{,}694} \approx 0{,}49957\) \(e^{-0{,}693} \approx 0{,}50007\) Da \(0{,}49957 < 0{,}5 < 0{,}50007\), liegt der Wert im Intervall \([-0{,}694; -0{,}693]\). 3. Entscheidung der Rundung: Da \(e^{-0{,}6931} \approx 0{,}50002\) und \(e^{-0{,}6932} \approx 0{,}49997\), liegt der Wert extrem nah bei \(-0{,}6931\). Der auf drei Nachkommastellen gerundete Wert ist somit \(-0{,}693\).

Antwort

\(\ln 0{,}5 \approx -0{,}693\)

42986612

Vereinfache die folgenden Terme, die den natürlichen Logarithmus enthalten, so weit wie möglich. Gehe davon aus, dass alle Variablen so gewählt sind, dass die Ausdrücke definiert sind. a) \(\ln(e^x \cdot e^2)\) b) \(\ln\left(\frac{\sqrt{e^k}}{e}\right)\) c) \(\ln\left(\sqrt[n]{e^{-3}}\right)\) d) \(\ln\left(\frac{e}{\sqrt[4]{e^3}}\right)\)

Denkanstöße

- Nutze die Rechenregeln für Potenzen, um die Ausdrücke innerhalb des Logarithmus zuerst zu einer einzigen Potenz von \(e\) zusammenzufassen. - Denke daran, dass \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) gilt. - Welche Rechenregel gilt für die Division von Potenzen mit gleicher Basis? - Was passiert, wenn die Basis des Logarithmus und die Basis der Potenz im Argument identisch sind?

Lösung

1. Für Teil a): Verwendung des Potenzgesetzes \(e^a \cdot e^b = e^{a+b}\) führt zu \(\ln(e^{x+2})\). Durch die Identität \(\ln(e^y) = y\) ergibt sich \(x + 2\). 2. Für Teil b): Umschreiben der Wurzel und des Bruchs: \(\frac{e^{\frac{k}{2}}}{e^1} = e^{\frac{k}{2} - 1}\). Der Logarithmus liefert \(\frac{k}{2} - 1\). 3. Für Teil c): Darstellung der n-ten Wurzel als Exponent: \(\sqrt[n]{e^{-3}} = (e^{-3})^{\frac{1}{n}} = e^{-\frac{3}{n}}\). Der Wert ist \(-\frac{3}{n}\). 4. Für Teil d): Umformung des Arguments: \(\frac{e^1}{e^{\frac{3}{4}}} = e^{1 - \frac{3}{4}} = e^{\frac{1}{4}}\). Der Logarithmus ergibt \(\frac{1}{4}\) bzw. \(0{,}25\).

Antwort

a) \(x + 2\) b) \(\frac{k}{2} - 1\) c) \(-\frac{3}{n}\) d) \(\frac{1}{4}\) oder \(0{,}25\)

42987312

Die natürliche Logarithmusfunktion \(f(x) = \ln(x)\) zeichnet sich durch ein sehr langsames Wachstum aus. Begründe mithilfe der Umkehrfunktion \(e^x\), dass die Funktionswerte von \(f\) dennoch über jede beliebig große Schranke \(S > 0\) steigen. Ermittle zudem die \(x\)-Werte, für die \(f(x) = 15\) und \(f(x) = 35\) gilt.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie du die Gleichung nach \(x\) auflösen kannst. - Was weißt du über das Verhalten der Exponentialfunktion für sehr große Exponenten? - Wenn du für jeden beliebigen Wert \(y\) ein passendes \(x\) finden kannst, was bedeutet das für das Wachstum?

Lösung

1. Die Gleichung \(y = \ln(x)\) kann durch die Umkehrfunktion zur Basis \(e\) als \(x = e^y\) ausgedrückt werden. 2. Da die Exponentialfunktion \(e^y\) für \(y \to \infty\) gegen Unendlich strebt, existiert für jeden beliebig großen Funktionswert \(y = S\) ein entsprechender Wert \(x = e^S\). Somit ist die Funktion nach oben unbegrenzt. 3. Für den Funktionswert \(15\) ergibt sich die Gleichung \(\ln(x) = 15\). Durch Anwendung der Exponentialfunktion erhält man \(x = e^{15} \approx 3\,269\,017{,}37\). 4. Für den Funktionswert \(35\) ergibt sich analog \(x = e^{35} \approx 1{,}586 \cdot 10^{15}\).

Antwort

Die Funktion wächst unbegrenzt, da für jedes \(S\) ein \(x = e^S\) existiert. Für \(f(x) = 15\) ist \(x = e^{15} \approx 3\,269\,017{,}37\). Für \(f(x) = 35\) ist \(x = e^{35} \approx 1{,}586 \cdot 10^{15}\).

42987412

Gegeben ist die Logarithmusfunktion \(g(x) = \log_2(x)\). a) Begründe: Wenn man den Wert von \(x\) verdoppelt, erhöht sich der Funktionswert \(g(x)\) um genau \(1\). b) Folgere aus dieser Eigenschaft, dass die Funktion \(g\) unbegrenzt wächst. c) Bestimme die Stellen \(x\), an denen die Funktion die Werte \(20\) und \(30\) erreicht.

Denkanstöße

- Welches Logarithmengesetz hilft dir, ein Produkt im Logarithmus aufzuteilen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du \(x\) immer wieder verdoppelst? Gibt es eine Obergrenze? - Wie lautet die Umkehrfunktion zum Logarithmus zur Basis 2 (\(\log_2\))?

Lösung

1. Nach den Logarithmengesetzen gilt \(g(2x) = \log_2(2 \cdot x) = \log_2(2) + \log_2(x) = 1 + \log_2(x)\). Damit ist die Eigenschaft gezeigt. 2. Da man den Funktionswert durch wiederholtes Verdoppeln von \(x\) immer wieder um \(1\) steigern kann, lassen sich beliebig große Funktionswerte erreichen, wenn \(x\) groß genug gewählt wird. Die Funktion wächst also unbegrenzt. 3. Die Gleichung \(\log_2(x) = 20\) wird durch \(x = 2^{20} = 1\,048\,576\) gelöst. 4. Die Gleichung \(\log_2(x) = 30\) wird durch \(x = 2^{30} = 1\,073\,741\,824\) gelöst.

Antwort

a) Nachweis über \(\log_2(2x) = 1 + \log_2(x)\). b) Durch sukzessive Verdopplung von \(x\) steigt der Funktionswert schrittweise um \(1\) und überschreitet jede Schranke. c) Für \(g(x) = 20\) ist \(x = 2^{20} = 1\,048\,576\); für \(g(x) = 30\) ist \(x = 2^{30} = 1\,073\,741\,824\).

42987612

Zerlege den folgenden Term mithilfe der Logarithmengesetze in eine Summe oder Differenz einfacher Logarithmen. Vereinfache dabei alle Ausdrücke, die die Basis \(e\) enthalten, so weit wie möglich: \(\ln\left(\frac{\sqrt{e} \cdot a^4}{b \cdot c^2}\right)\) Gehe von \(a>0\), \(b>0\) und \(c>0\) aus.

Denkanstöße

- Beginne damit, den Bruch innerhalb des Logarithmus aufzulösen. - Achte beim Auflösen des Nenners besonders auf die Vorzeichen in der Summe. - Überlege, welchen Wert der natürliche Logarithmus der Eulerschen Zahl \(e\) hat. - Wie kannst du Wurzeln und Exponenten innerhalb eines Logarithmus umschreiben?

Lösung

1. Anwendung der Quotientenregel für Logarithmen: \(\ln(\sqrt{e} \cdot a^4) - \ln(b \cdot c^2)\). 2. Anwendung der Produktregel auf beide Terme: \(\ln(\sqrt{e}) + \ln(a^4) - (\ln(b) + \ln(c^2))\). 3. Auflösen der Klammer unter Beachtung des Vorzeichens: \(\ln(\sqrt{e}) + \ln(a^4) - \ln(b) - \ln(c^2)\). 4. Anwendung der Potenzregel und Vereinfachung des Terms mit der Basis \(e\): \(\ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2}\), \(\ln(a^4) = 4 \ln(a)\) und \(\ln(c^2) = 2 \ln(c)\). 5. Endergebnis: \(\frac{1}{2} + 4 \ln(a) - \ln(b) - 2 \ln(c)\).

Antwort

\(\frac{1}{2} + 4 \ln(a) - \ln(b) - 2 \ln(c)\)

42987812

Zerlege die folgenden Ausdrücke mithilfe der Logarithmengesetze in Summen und Differenzen einfacher Logarithmen. Vereinfache dabei Terme, die die Eulersche Zahl \(e\) enthalten, so weit wie möglich. Gehe in a) von \(x>0\), \(y>0\), \(z>0\), in b) von \(a>0\) und in c) von \(x>-1\) aus. a) \(\ln \left( \frac{x^2 \cdot \sqrt{y}}{z} \right)\) b) \(\ln (e^2 \cdot a^5)\) c) \(\ln \left( \frac{e^{-2x}}{x+1} \right)\)

Denkanstöße

- Gehe schrittweise vor: Löse zuerst den Bruch auf, dann Produkte und schließlich Potenzen. - Was passiert, wenn der natürliche Logarithmus auf eine Potenz der Basis \(e\) trifft? - Achte darauf, Klammern korrekt zu setzen, wenn du ein Produkt im Nenner zerlegst. - Behandle Wurzeln wie Potenzen mit Brüchen als Exponenten.

Lösung

1. Anwendung der Quotientenregel, Produktregel und Potenzregel auf Teilaufgabe a): \(\ln \left( \frac{x^2 \cdot \sqrt{y}}{z} \right) = \ln(x^2 \cdot \sqrt{y}) - \ln(z) = \ln(x^2) + \ln(y^{1/2}) - \ln(z) = 2 \ln(x) + \frac{1}{2} \ln(y) - \ln(z)\). 2. Anwendung der Produkt- und Potenzregel auf Teilaufgabe b), wobei \(\ln(e^k) = k\) genutzt wird: \(\ln(e^2 \cdot a^5) = \ln(e^2) + \ln(a^5) = 2 + 5 \ln(a)\). 3. Anwendung der Quotienten- und Potenzregel auf Teilaufgabe c) unter Verwendung der Eigenschaft des natürlichen Logarithmus: \(\ln \left( \frac{e^{-2x}}{x+1} \right) = \ln(e^{-2x}) - \ln(x+1) = -2x \ln(e) - \ln(x+1) = -2x - \ln(x+1)\).

Antwort

a) \(2 \ln(x) + \frac{1}{2} \ln(y) - \ln(z)\) b) \(2 + 5 \ln(a)\) c) \(-2x - \ln(x+1)\)

42988212

Beweise die Basiswechselformel für Logarithmen. Zeige, dass für eine beliebige Basis \(b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}\) und ein Argument \(x \in \mathbb{R}^+\) der folgende Zusammenhang zum natürlichen Logarithmus besteht: \(\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}\) Nutze als Ausgangspunkt die Definition des Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Denkanstöße

- Wie lässt sich die Gleichung \(y = \log_b(x)\) in eine Form mit einer Potenz umschreiben? - Welche Operation kannst du auf beide Seiten einer Gleichung anwenden, um einen Exponenten im Argument eines Logarithmus zu erhalten? - Welche Eigenschaft von Logarithmen hilft dir dabei, einen Exponenten aus dem Argument „nach vorne“ zu ziehen? - Wie kannst du die Gleichung schließlich nach der gesuchten Variable auflösen?

Lösung

1. Definition des Logarithmus als \(y = \log_b(x)\), was äquivalent zu der Exponentialgleichung \(b^y = x\) ist 2. Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beide Seiten dieser Gleichung: \(\ln(b^y) = \ln(x)\) 3. Verwendung der Logarithmusregel für Potenzen: \(y \cdot \ln(b) = \ln(x)\) 4. Isolieren von \(y\) durch Division beider Seiten durch \(\ln(b)\): \(y = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}\) 5. Einsetzen des ursprünglichen Ausdrucks für \(y\) liefert die Identität: \(\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}\)

Antwort

Aus \(y = \log_b(x)\) folgt gemäß Definition \(b^y = x\). Durch Logarithmieren beider Seiten mit dem natürlichen Logarithmus erhält man \(\ln(b^y) = \ln(x)\), was zu \(y \cdot \ln(b) = \ln(x)\) vereinfacht werden kann. Die Division durch \(\ln(b)\) führt zur Formel \(\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}\).

42988312

Gegeben ist die Schar von Funktionen \(f_k\) mit der Gleichung \(f_k(x) = k \cdot \ln(x) - x + 1\) für \(x > 0\) und \(k \in \mathbb{R}\). 1. Zeige rechnerisch, dass der Punkt \(P(1|0)\) auf allen Graphen der Schar liegt. 2. Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von \(f_k\) im Punkt \(P\) in Abhängigkeit vom Parameter \(k\). 3. Begründe, dass \(P\) der einzige Punkt ist, den zwei Graphen \(G_{f_{k_1}}\) und \(G_{f_{k_2}}\) mit \(k_1 \neq k_2\) gemeinsam haben.

Denkanstöße

- Wie prüft man, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Was ist die geometrische Bedeutung der ersten Ableitung an einer Stelle? - Was bedeutet es für die Funktionswerte an einer Stelle \(x\), wenn sich zwei Graphen dort schneiden? - Welchen speziellen Wert nimmt die natürliche Logarithmusfunktion an der Stelle 1 an?

Lösung

1. Einsetzen von \(x = 1\) in den Funktionsterm: \(f_k(1) = k \cdot \ln(1) - 1 + 1 = k \cdot 0 + 0 = 0\). Da dieser Wert für jedes \(k\) gleich ist, verläuft jeder Graph durch \(P(1|0)\). 2. Erste Ableitung berechnen: \(f_k'(x) = k \cdot \frac{1}{x} - 1\). Einsetzen der Stelle \(x = 1\) liefert die Steigung \(m_k = f_k'(1) = k \cdot \frac{1}{1} - 1 = k - 1\). 3. Gleichsetzen zweier Terme für \(k_1 \neq k_2\): \(k_1 \ln(x) - x + 1 = k_2 \ln(x) - x + 1\). Durch Subtraktion von \(-x + 1\) und Umstellen folgt \((k_1 - k_2) \cdot \ln(x) = 0\). Da \(k_1 - k_2 \neq 0\), muss \(\ln(x) = 0\) gelten, was nur für \(x = 1\) der Fall ist. Mit \(f_{k_1}(1) = 0\) ergibt sich als einziger Schnittpunkt \(P(1|0)\).

Antwort

1. Der Nachweis erfolgt durch \(f_k(1) = 0\). 2. Die Steigung beträgt \(m = k - 1\). 3. Aus \(f_{k_1}(x) = f_{k_2}(x)\) folgt \((k_1 - k_2) \ln(x) = 0\), was wegen \(k_1 \neq k_2\) nur die Lösung \(x = 1\) besitzt.

42988412

Betrachte die Funktionen \(g_n(x) = (\ln(x))^n\) für \(n \in \{1, 2, 3, \dots\}\) mit dem Definitionsbereich \(D = \mathbb{R}^+\). Ermittle rechnerisch alle Punkte, die auf den Graphen sämtlicher Funktionen dieser Schar liegen. Begründe dein Ergebnis.

Denkanstöße

- Ein Punkt liegt auf allen Graphen, wenn sein y-Wert für jedes \(n\) an derselben Stelle \(x\) gleich bleibt. - Welche Zahl ergibt, mit sich selbst multipliziert, wieder sich selbst? - Überlege dir, wie viele Lösungen die Gleichung \(u^n = u^{n+1}\) für alle \(n\) hat. - Erinnere dich an die Definition der Eulerschen Zahl \(e\) im Zusammenhang mit dem natürlichen Logarithmus.

Lösung

Damit ein Punkt \((x|y)\) auf allen Graphen liegt, muss der Funktionswert \(y = (\ln(x))^n\) für alle \(n \in \{1, 2, 3, \dots\}\) identisch sein. Mit der Substitution \(u = \ln(x)\) bedeutet dies, dass die Folge \(u^1, u^2, u^3, \dots\) konstant sein muss. 1. Dies ist der Fall, wenn \(u = u^2\) gilt, also \(u^2 - u = 0 \iff u(u-1) = 0\). Die Lösungen sind \(u = 0\) und \(u = 1\). 2. Für \(u = 0\) gilt \(\ln(x) = 0\), woraus \(x = 1\) folgt. Der y-Wert ist \(0^n = 0\). Dies ergibt den Punkt \(P_1(1|0)\). 3. Für \(u = 1\) gilt \(\ln(x) = 1\), woraus \(x = e\) folgt. Der y-Wert ist \(1^n = 1\). Dies ergibt den Punkt \(P_2(e|1)\). 4. Andere Werte für \(u\) (wie \(u = -1\)) führen nicht zu einem für alle \(n\) identischen Ergebnis, da beispielsweise \((-1)^1 \neq (-1)^2\). Somit sind \(P_1\) und \(P_2\) die einzigen gemeinsamen Punkte.

Antwort

Die gemeinsamen Punkte aller Graphen sind \(P_1(1|0)\) und \(P_2(e|1)\).

42991012

Bestimme den Wert der folgenden Ausdrücke: a) \(\ln(\sqrt[5]{e^2})\) b) \(e^{\ln(12) - 2 \ln(2)}\) c) \(\ln\left(\frac{e^{k+1}}{e^k}\right)\) d) \(3 e^{-\ln(0{,}25)}\)

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Definition der \(n\)-ten Wurzel als Potenz. - Nutze die Potenzgesetze, um Brüche mit gleicher Basis zu vereinfachen. - Wie kannst du einen negativen Faktor vor dem Logarithmus in den Numerus verschieben? - Überlege dir, was der Kehrwert von \(0{,}25\) ist.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Umschreiben der Wurzel als Potenz ergibt \(\ln(e^{2/5})\). Aufgrund der Identität \(\ln(e^x) = x\) ist das Ergebnis \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Logarithmengesetze im Exponenten: \(2 \ln(2) = \ln(2^2) = \ln(4)\). Damit lautet der Exponent \(\ln(12) - \ln(4) = \ln\left(\frac{12}{4}\right) = \ln(3)\). Es folgt \(e^{\ln(3)} = 3\). 3. Teilaufgabe c): Vereinfachung des Bruchs durch Subtraktion der Exponenten: \(\frac{e^{k+1}}{e^k} = e^{(k+1)-k} = e^1\). Somit ist \(\ln(e^1) = 1\). 4. Teilaufgabe d): Umformung des Exponenten: \(-\ln(0{,}25) = \ln(0{,}25^{-1}) = \ln\left(\frac{1}{0{,}25}\right) = \ln(4)\). Der Ausdruck wird zu \(3 \cdot e^{\ln(4)} = 3 \cdot 4 = 12\).

Antwort

a) \(0{,}4\) b) \(3\) c) \(1\) d) \(12\)

42992112

Fasse die folgenden Ausdrücke mithilfe der Logarithmengesetze zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich. a) \(\ln(x^2 - 25) - \ln(x - 5)\) für \(x > 5\) b) \(2 \ln(x) + \ln(4) - \ln(4x)\) für \(x > 0\) c) \(\ln\left(\frac{1}{x}\right) + \ln(x^3)\) für \(x > 0\)

Denkanstöße

- Welche Rechenregeln für Logarithmen kennst du für Summen und Differenzen? - Kannst du Terme im Argument des Logarithmus faktorisieren, um den Ausdruck zu vereinfachen? - Wie lässt sich ein Vorfaktor vor einem Logarithmus als Exponent in das Argument schreiben? - Schau dir an, ob sich Variablen im Zähler und Nenner eines Bruchs innerhalb des Logarithmus kürzen lassen.

Lösung

1. Anwendung des Gesetzes \(\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)\) ergibt \(\ln\left(\frac{x^2-25}{x-5}\right)\). Durch Faktorisieren des Zählers mittels der dritten binomischen Formel folgt \(\ln\left(\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}\right)\), was sich zu \(\ln(x+5)\) vereinfacht. 2. Der Ausdruck \(2 \ln(x)\) wird zu \(\ln(x^2)\) umgeformt. Die Kombination der Terme führt auf \(\ln\left(\frac{4 \cdot x^2}{4x}\right)\). Nach Kürzen des Bruchs im Argument erhält man \(\ln(x)\). 3. Die Summe der Logarithmen wird als Logarithmus des Produkts \(\ln\left(\frac{1}{x} \cdot x^3\right)\) geschrieben. Vereinfachen des Arguments ergibt \(\ln(x^2)\).

Antwort

a) \(\ln(x+5)\) b) \(\ln(x)\) c) \(\ln(x^2)\)

42623812

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit dem Term \(f(x) = \ln(e^3 \cdot x) - \ln(x)\) für \(x > 0\). a) Zeige durch Anwendung von Logarithmusgesetzen, dass der Funktionswert von \(f\) für alle \(x\) konstant ist, und gib diesen Wert an. b) Bestimme die Lösung \(x\) der Gleichung \(e^{2 \cdot \ln(x) + 1} = e^3\).

Denkanstöße

- Kannst du den Logarithmus eines Produkts in eine Summe von Logarithmen zerlegen? - Wenn zwei Potenzen mit der gleichen Basis \(e\) gleich sind, was muss dann für ihre Exponenten gelten? - Wie isoliert man die Variable, wenn sie innerhalb eines Logarithmus steht?

Lösung

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Logarithmusgesetzes für Produkte \(\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)\) auf den ersten Term: \(\ln(e^3 \cdot x) = \ln(e^3) + \ln(x)\). Da \(\ln(e^3) = 3\) ist, ergibt sich \(f(x) = 3 + \ln(x) - \ln(x) = 3\). Der Wert ist für alle \(x > 0\) konstant \(3\). 2. Teilaufgabe b): Da die Basen beider Seiten der Gleichung gleich sind (\(e\)), können die Exponenten gleichgesetzt werden: \(2 \cdot \ln(x) + 1 = 3\). Subtraktion von \(1\) ergibt \(2 \cdot \ln(x) = 2\). Division durch \(2\) ergibt \(\ln(x) = 1\). Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten liefert \(x = e^1 = e\).

Antwort

a) \(f(x) = 3\) b) \(x = e\)

42634212

Betrachte die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = \ln\left(\frac{e}{x^2}\right)\). a) Gib die maximale Definitionsmenge \(D_f\) an. b) Zeige mithilfe von Logarithmengesetzen, dass sich der Funktionsterm als \(f(x) = 1 - 2 \cdot \ln|x|\) schreiben lässt. c) Beschreibe, wie der Graph von \(f\) aus dem Graphen der natürlichen Logarithmusfunktion \(y = \ln(x)\) durch Transformationen hervorgeht. Gehe dabei insbesondere auf die Symmetrie und die Anzahl der Kurvenzweige ein.

Denkanstöße

- Welche Werte darf \(x\) annehmen, damit der Ausdruck im Logarithmus sinnvoll ist? - Erinnere dich an die Regeln für den Logarithmus eines Quotienten und einer Potenz. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn \(f(x) = f(-x)\) gilt? - Wie verändert ein Faktor vor dem Logarithmus oder ein Minuszeichen das Aussehen des Graphen?

Lösung

1. Definitionsbereich: Der Bruch \(\frac{e}{x^2}\) ist definiert für \(x \neq 0\). Da \(x^2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) gilt, ist das Argument des Logarithmus immer positiv. Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Umformung: Anwendung des Quotientengesetzes \(\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\) ergibt \(f(x) = \ln(e) - \ln(x^2)\). Mit \(\ln(e) = 1\) und dem Potenzgesetz \(\ln(x^2) = 2 \cdot \ln|x|\) folgt \(f(x) = 1 - 2 \cdot \ln|x|\). 3. Symmetrie: Wegen \(f(-x) = 1 - 2 \cdot \ln|-x| = 1 - 2 \cdot \ln|x| = f(x)\) ist die Funktion gerade; der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 4. Transformationen: Der rechte Zweig des Graphen von \(y = \ln(x)\) für \(x > 0\) wird an der \(y\)-Achse gespiegelt; zusammen mit dem ursprünglichen rechten Zweig entsteht der Graph von \(y = \ln|x|\) mit zwei Kurvenzweigen. Dieser wird mit dem Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung gestreckt, an der \(x\)-Achse gespiegelt (wegen des Minuszeichens) und schließlich um \(1\) Einheit nach oben verschoben.

Antwort

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) b) Nachweis durch \(\ln(e) - \ln(x^2) = 1 - 2 \cdot \ln|x|\). c) Streckung in \(y\)-Richtung (Faktor 2), Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um 1 nach oben; Spiegelung des rechten Zweigs an der \(y\)-Achse ergänzt den linken Zweig, sodass zwei Kurvenzweige entstehen (Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse).

42760412

Betrachtet wird die Funktion \(h\) mit der Gleichung \(h(x) = \frac{x - 5}{\ln(x - 3)}\). Ermittle die maximale Definitionsmenge von \(h\) und berechne die Nullstelle der Funktion.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welche Einschränkungen das Argument des Logarithmus mit sich bringt. - Welche zusätzliche Bedingung ergibt sich daraus, dass der Logarithmus hier im Nenner steht? - Ein Bruch wird nur dann null, wenn ein bestimmter Teil des Bruches null wird – welcher ist das? - Achte darauf, alle Ausschlusskriterien für \(x\) zu sammeln, bevor du den Definitionsbereich endgültig angibst.

Lösung

1. Bedingung für den Logarithmus im Nenner: Das Argument muss positiv sein, also \(x - 3 > 0 \implies x > 3\). 2. Bedingung für den Nenner des Bruchs: Er darf nicht null sein, also \(\ln(x - 3) \neq 0\). Dies ist der Fall für \(x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4\). 3. Kombination der Bedingungen ergibt die maximale Definitionsmenge \(D_h = ]3; 4[ \cup ]4; \infty[\) (oder \(D_h = ]3; \infty[ \setminus \{4\}\)). 4. Eine Nullstelle existiert dort, wo der Zähler null wird: \(x - 5 = 0 \implies x = 5\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(5 > 3\) und \(5 \neq 4\), ist \(x = 5\) die einzige Nullstelle.

Antwort

\(D_h = ]3; 4[ \cup ]4; \infty[\); Nullstelle bei \(x = 5\)

42760612

In der Akustik kann der Schallintensitätspegel \(L\) in Dezibel (\text{dB}) auch mithilfe des natürlichen Logarithmus ausgedrückt werden: \(L = \frac{10}{\ln(10)} \cdot \ln\left(\frac{I}{I_0}\right)\) Dabei ist \(I\) die Schallintensität und \(I_0\) die Bezugsintensität an der Hörschwelle. An einer Baustelle erzeugt ein Presslufthammer einen Schallpegel von \(85\,\text{dB}\). a) Berechne den Gesamtschallpegel, wenn ein zweiter, baugleicher Presslufthammer direkt daneben in Betrieb genommen wird. Gehe davon aus, dass sich die Schallintensitäten \(I\) addieren. b) Bestimme die Anzahl an identischen Presslufthämmern, die gleichzeitig laufen müssten, damit ein Schallpegel von mindestens \(100\,\text{dB}\) erreicht wird.

Denkanstöße

- Wenn sich die Intensität verdoppelt, wie verändert sich dann der Wert im Logarithmus? - Nutze die Logarithmengesetze, um den Ausdruck für den doppelten oder n-fachen Schallpegel aufzuspalten. - Bedenke beim zweiten Teil, dass die Anzahl der Maschinen eine natürliche Zahl sein muss. - Wie viel Dezibel kommen hinzu, wenn man die Anzahl der Quellen verzehnfacht?

Lösung

1. Für a): Bei zwei Geräten verdoppelt sich die Intensität auf \(2I\). Der neue Pegel ist \(L_2 = \frac{10}{\ln(10)} \cdot \ln\left(\frac{2I}{I_0}\right) = \frac{10}{\ln(10)} \cdot (\ln(2) + \ln\left(\frac{I}{I_0}\right))\). 2. Dies entspricht \(L_2 = \frac{10 \cdot \ln(2)}{\ln(10)} + 85\,\text{dB}\). Die Rechnung ergibt eine Erhöhung um ca. \(3{,}01\,\text{dB}\), also insgesamt ca. \(88{,}01\,\text{dB}\). 3. Für b): Der Pegel soll um \(\Delta L = 100\,\text{dB} - 85\,\text{dB} = 15\,\text{dB}\) steigen. Bei \(n\) Geräten gilt: \(\Delta L = \frac{10 \cdot \ln(n)}{\ln(10)}\). 4. Umstellen nach \(n\): \(1{,}5 = \frac{\ln(n)}{\ln(10)}\), woraus folgt \(\ln(n) = 1{,}5 \cdot \ln(10)\). 5. Auflösen mittels Exponentialfunktion: \(n = e^{1{,}5 \cdot \ln(10)} = 10^{1{,}5} \approx 31{,}62\). Da eine ganzzahlige Anzahl an Geräten gesucht ist, sind 32 Presslufthämmer nötig.

Antwort

a) Der Schallpegel beträgt ca. \(88{,}01\,\text{dB}\). b) Es müssen mindestens 32 Presslufthämmer gleichzeitig betrieben werden.

42762612

Gegeben ist die Funktion \(g\) durch \(g(x) = \frac{2x^2 - \ln(x)}{x^2 + 5}\). Bestimme das Verhalten der Funktionswerte \(g(x)\) für \(x \to \infty\).

Denkanstöße

- Wie verhält sich ein Bruch, bei dem im Zähler und Nenner sehr große Werte stehen? - Versuche, die höchste Potenz von \(x\) im Nenner auszuklammern oder den Bruch dadurch zu kürzen. - Vergleiche das Wachstum von \(x^2\) mit dem von \(\ln(x)\). Welche Funktion wird für sehr große \(x\) dominieren? - Was passiert mit einem Term wie \(\frac{\ln(x)}{x^2}\), wenn \(x\) gegen Unendlich geht?

Lösung

1. Den Funktionsterm zur Untersuchung des Unendlichen umformen, indem \(x^2\) im Zähler und Nenner ausgeklammert oder der Bruch durch \(x^2\) gekürzt wird: \(g(x) = \frac{x^2 \cdot (2 - \frac{\ln(x)}{x^2})}{x^2 \cdot (1 + \frac{5}{x^2})} = \frac{2 - \frac{\ln(x)}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}}\). 2. Grenzwerte der einzelnen Bestandteile für \(x \to \infty\) bestimmen: \(\frac{5}{x^2} \to 0\). 3. Vergleich der Wachstumsgeschwindigkeiten: Da Potenzfunktionen wesentlich schneller wachsen als die Logarithmusfunktion, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0\). 4. Den Grenzwert des gesamten Bruchs berechnen: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2\).

Antwort

Für \(x \to \infty\) streben die Funktionswerte \(g(x)\) gegen den Wert \(2\).

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Betrachtet wird die Funktion \(g: x \mapsto \frac{2x - \ln(x)}{\sqrt{x}}\) mit dem Definitionsbereich \(D_g = ]0; \infty[\). Bestimme das Verhalten von \(g(x)\) für \(x \to 0^+\) und für \(x \to \infty\).

Denkanstöße

- Versuche den Bruch aufzuspalten, um die einzelnen Summanden getrennt zu untersuchen. - Welcher Teil des Zählers bestimmt das Verhalten, wenn \(x\) gegen Null geht? - Überlege für den Grenzwert im Unendlichen, ob \(x\) oder \(\ln(x)\) schneller ansteigt. - Wie verhält sich eine Wurzel im Vergleich zu einem Logarithmus für sehr große Zahlen?

Lösung

1. Untersuchung für \(x \to 0^+\): Der Zähler \(2x - \ln(x)\) strebt gegen \(\infty\), da \(2x \to 0\) und \(\ln(x) \to -\infty\) (somit \(- \ln(x) \to \infty\)). Der Nenner \(\sqrt{x}\) strebt gegen \(0^+\). Ein Quotient mit gegen \(\infty\) strebendem Zähler und gegen \(0^+\) strebendem Nenner strebt gegen \(\infty\). Also gilt \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = \infty\). 2. Untersuchung für \(x \to \infty\): Der Term wird zu \(g(x) = \frac{2x}{\sqrt{x}} - \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} - \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\) umgeformt. Für \(x \to \infty\) strebt \(2\sqrt{x}\) gegen \(\infty\). Der Term \(\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\) strebt gegen \(0\), da die Wurzelfunktion (als Potenzfunktion) schneller wächst als der Logarithmus. Damit ergibt sich \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\).

Antwort

Es gilt \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\).

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Gegeben ist die unendliche Reihe für die Logarithmusfunktion: \(f(x) = \ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \dots\) für \(|x| < 1\). 1. Bilde die Ableitung der ersten vier Glieder der Summe nach \(x\). 2. Die Ableitung der Funktion \(f(x) = \ln(1+x)\) ist bekanntlich \(f'(x) = \frac{1}{1+x}\). Zeige, dass die in Teil 1 begonnene Ableitungsreihe als geometrische Reihe aufgefasst werden kann, deren Summe genau \(f'(x)\) ergibt.

Denkanstöße

- Erinnerst du dich an die Potenzregel beim Ableiten von ganzrationalen Termen? - Betrachte die Vorzeichen und die Potenzen der Ableitungsreihe. Wie kommst du von einem Glied zum nächsten? - Welche Formel kennst du für die Summe einer unendlichen Reihe, bei der jedes Glied durch Multiplikation mit einem festen Faktor aus dem vorherigen entsteht?

Lösung

1. Wir leiten die ersten vier Glieder einzeln ab: \(\frac{d}{dx}(x) = 1\) \(\frac{d}{dx}(-\frac{1}{2}x^2) = -x\) \(\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3) = x^2\) \(\frac{d}{dx}(-\frac{1}{4}x^4) = -x^3\) Die resultierende Reihe beginnt also mit \(1 - x + x^2 - x^3 + \dots\). 2. Eine unendliche geometrische Reihe hat die Form \(a + aq + aq^2 + \dots\) mit der Summe \(S = \frac{a}{1-q}\). Vergleicht man dies mit der Ableitungsreihe \(1 - x + x^2 - x^3 + \dots\), so erkennt man das erste Glied \(a = 1\) und den Quotienten \(q = -x\). Eingesetzt in die Summenformel ergibt sich: \(S = \frac{1}{1 - (-x)} = \frac{1}{1+x}\). Dies entspricht exakt der Ableitung \(f'(x)\).

Antwort

1. Die Ableitungsreihe beginnt mit \(1 - x + x^2 - x^3 + \dots\). 2. Es handelt sich um eine geometrische Reihe mit \(a=1\) und \(q=-x\). Die Summe ist \(\frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}\), was der Ableitung von \(\ln(1+x)\) entspricht.

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Ein Logarithmus der Form \(\log_a(x)\) mit \(a > 0, a \neq 1\) nimmt genau dann positive Werte an, wenn die Basis \(a\) und das Argument \(x\) „auf derselben Seite von 1“ liegen (das heißt, beide sind größer als 1 oder beide liegen zwischen 0 und 1). 1. Beweise diese Aussage, indem du die Definition \(a^y = x\) und das Monotonieverhalten der Exponentialfunktion für die Fälle \(a > 1\) und \(0 < a < 1\) nutzt. 2. Entscheide ohne Rechnung, welches Vorzeichen der Ausdruck \(\log_{0{,}2}(5)\) hat, und begründe deine Entscheidung kurz.

Denkanstöße

- Setze den Logarithmus gleich einer Variable \(y\) und schreibe die Gleichung in die entsprechende Potenzform um. - Wie verhält sich eine Potenz \(a^y\), wenn die Basis größer als 1 ist und der Exponent positiv wird? - Wie ändert sich dieses Verhalten, wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt? - Vergleiche die Lage der Basis \(0{,}2\) und des Arguments \(5\) relativ zur Zahl 1.

Lösung

1. Sei \(y = \log_a(x)\). Es soll untersucht werden, wann \(y > 0\) gilt. Fall \(a > 1\): Die Exponentialfunktion \(f(y) = a^y\) ist streng monoton steigend. Aus \(y > 0\) folgt \(a^y > a^0\), also \(x > 1\). Somit ist \(\log_a(x) > 0\), wenn \(a > 1\) und \(x > 1\). Fall \(0 < a < 1\): Die Exponentialfunktion \(f(y) = a^y\) ist streng monoton fallend. Aus \(y > 0\) folgt \(a^y < a^0\), also \(x < 1\). Somit ist \(\log_a(x) > 0\), wenn \(0 < a < 1\) und \(0 < x < 1\). In allen anderen Fällen (eine Zahl \(< 1\), die andere \(> 1\)) muss der Logarithmus folglich negativ sein. 2. Bei \(\log_{0{,}2}(5)\) ist die Basis \(a = 0{,}2 < 1\) und das Argument \(x = 5 > 1\). Da die Werte auf verschiedenen Seiten von 1 liegen, ist der Wert des Logarithmus negativ.

Antwort

1. Für \(a > 1\) ist \(a^y\) steigend, also \(y > 0 \implies a^y > 1 \implies x > 1\). Für \(0 < a < 1\) ist \(a^y\) fallend, also \(y > 0 \implies a^y < 1 \implies x < 1\). 2. Negativ, da die Basis \(0{,}2 < 1\) und das Argument \(5 > 1\) nicht auf derselben Seite von 1 liegen.

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