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- Kannst du die rechte Seite der Gleichung jeweils als Potenz zur Basis \(e\) schreiben? - Welche Potenzgesetze helfen dir dabei, Brüche oder Wurzeln umzuformen? - Was muss für die Exponenten gelten, wenn die Basen auf beiden Seiten der Gleichung identisch sind? - Überlege bei Teilaufgabe c, welche Zahl als Exponent den Wert 1 liefert.

1. Teilaufgabe a: Umformen der rechten Seite zu \(e^{-1}\) ermöglicht den Exponentenvergleich \(3x + 5 = -1\). Subtraktion von 5 führt zu \(3x = -6\), woraus \(x = -2\) folgt. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2\}\). 2. Teilaufgabe b: Schreiben der Wurzel als Potenz \(e^{2/3}\) liefert durch Exponentenvergleich die lineare Gleichung \(2 - x = \frac{2}{3}\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(x = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{\frac{4}{3}\}\). 3. Teilaufgabe c: Unter Verwendung von \(1 = e^0\) folgt durch Exponentenvergleich \(x^2 - 9 = 0\). Addition von 9 und anschließendes Radizieren ergibt die zwei Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-3; 3\}\).

a) \(L = \{-2\}\) b) \(L = \{\frac{4}{3}\}\) c) \(L = \{-3; 3\}\)

- Was musst du tun, um den Term mit der Basis \(e\) zunächst allein auf einer Seite der Gleichung stehen zu haben? - Wie lässt sich eine Gleichung nach dem Exponenten auflösen, wenn die Basis \(e\) ist? - Achte beim Umformen darauf, die Rechenoperationen auf die gesamte Seite der Gleichung anzuwenden. - Wie gehst du vor, wenn nach dem Logarithmieren noch ein Vorfaktor oder ein Summand beim \(x\) steht?

1. Addition von \(12\) auf beiden Seiten ergibt \(5 \cdot e^{0{,}5x} = 20\). 2. Division durch \(5\) isoliert den Exponentialterm: \(e^{0{,}5x} = 4\). 3. Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten führt zu \(0{,}5x = \ln(4)\). 4. Multiplikation mit \(2\) (bzw. Division durch \(0{,}5\)) ergibt die exakte Lösung \(x = 2 \cdot \ln(4)\). 5. Berechnung des Näherungswerts: \(x \approx 2{,}773\).

Exakt: \(x = 2 \cdot \ln(4)\) (oder \(x = \ln(16)\)) Genähert: \(x \approx 2{,}773\)

- Kannst du den Term \(e^{2x}\) mithilfe von Potenzgesetzen umschreiben, sodass er \(e^x\) enthält? - Versuche, einen gemeinsamen Faktor auszuklammern, um ein Produkt zu erhalten. - Wie löst du eine Gleichung der Form \(e^x = c\)? - Überlege dir, ob \(e^x\) jemals den Wert Null annehmen kann.

1. Setze die Funktion gleich Null: \(e^{2x} - 12 \cdot e^x = 0\). 2. Nutze die Potenzregel \(e^{2x} = (e^x)^2\) und klammere \(e^x\) aus: \(e^x \cdot (e^x - 12) = 0\). 3. Wende den Satz vom Nullprodukt an: Der Faktor \(e^x\) ist niemals Null. 4. Setze den zweiten Faktor gleich Null: \(e^x - 12 = 0\), woraus \(e^x = 12\) folgt. 5. Wende den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung an: \(x = \ln(12)\).

Die Nullstelle ist \(x = \ln(12)\).

- Wann wird ein Produkt zweier Ausdrücke genau Null? - Kannst du die Gleichung in zwei einfachere Teilgleichungen zerlegen? - Welche Umkehroperation hilft dir, wenn die Unbekannte im Exponenten einer Basis \(e\) steht?

1. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(x^2 - 5 = 0\) oder \(e^{3x} - 2 = 0\) gilt. 2. Lösen der ersten Teilgleichung: \(x^2 = 5 \implies x_1 = \sqrt{5}\) und \(x_2 = -\sqrt{5}\). 3. Lösen der zweiten Teilgleichung: \(e^{3x} = 2\). Durch Anwenden des natürlichen Logarithmus folgt \(3x = \ln(2)\), also \(x_3 = \frac{1}{3}\ln(2)\). 4. Zusammenfassen der Lösungen zur Lösungsmenge \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}; \frac{1}{3}\ln(2)\}\).

\(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}; \frac{1}{3}\ln(2)\}\)

- Wie kannst du den Logarithmus oder die Exponentialfunktion „rückgängig“ machen? - Achte bei Logarithmusgleichungen darauf, ob dein Ergebnis im Definitionsbereich liegt (das Argument muss positiv sein). - Was passiert, wenn du eine Gleichung der Form \(x^2 = a\) löst? Wie viele Lösungen gibt es? - Versuche zuerst, den Term mit dem Logarithmus oder der Exponentialfunktion zu isolieren.

1. Gleichung a: Division durch \(3\) ergibt \(\ln(x) = 2\). Anwendung der Exponentialfunktion liefert \(x = e^2\). Da \(e^2 > 0\) im Definitionsbereich liegt, ist \(L = \{e^2\}\). 2. Gleichung b: Logarithmieren beider Seiten führt zu \(4x - 2 = \ln(10)\). Umstellen nach \(x\) ergibt \(4x = \ln(10) + 2\), also \(x = \frac{\ln(10) + 2}{4} = 0{,}25 \cdot \ln(10) + 0{,}5\). Somit ist \(L = \{0{,}25 \cdot \ln(10) + 0{,}5\}\). 3. Gleichung c: Anwendung der Exponentialfunktion ergibt \(2x + 5 = e^0 = 1\). Auflösen nach \(x\) liefert \(2x = -4\), also \(x = -2\). Da \(2 \cdot (-2) + 5 = 1 > 0\), ist der Logarithmus definiert. Somit ist \(L = \{-2\}\). 4. Gleichung d: Logarithmieren ergibt \(x^2 = \ln(5)\). Da \(\ln(5) > 0\), existieren zwei reelle Lösungen \(x_1 = \sqrt{\ln(5)}\) und \(x_2 = -\sqrt{\ln(5)}\). Somit ist \(L = \{-\sqrt{\ln(5)}; \sqrt{\ln(5)}\}\).

a) \(L = \{e^2\}\) b) \(L = \{0{,}25 \cdot \ln(10) + 0{,}5\}\) c) \(L = \{-2\}\) d) \(L = \{-\sqrt{\ln(5)}; \sqrt{\ln(5)}\}\)

- Kannst du alle Terme auf eine Seite der Gleichung bringen, sodass auf der anderen Seite Null steht? - Gibt es einen gemeinsamen Ausdruck in den Termen, den du vor eine Klammer ziehen kannst? - Wann wird ein Produkt zweier Ausdrücke gleich Null? - Wie löst du eine Gleichung der Form \(e^x = a\)?

1. Überführung in die Nullform durch Subtraktion: \((x^2 - 4) \cdot e^x - 3 \cdot (x^2 - 4) = 0\) 2. Ausklammern des gemeinsamen Terms \((x^2 - 4)\): \((x^2 - 4) \cdot (e^x - 3) = 0\) 3. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Die Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren null ist. 4. Untersuchung des ersten Faktors: \(x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2\) 5. Untersuchung des zweiten Faktors: \(e^x - 3 = 0 \implies e^x = 3 \implies x_3 = \ln(3)\) 6. Zusammenfassung der Lösungsmenge: \(L = \{-2; \ln(3); 2\}\)

\(L = \{-2; \ln(3); 2\}\)

- Kannst du \(4^x\) als eine Potenz mit der Basis \(2\) schreiben? - Fällt dir eine Ähnlichkeit zu einer quadratischen Gleichung auf, wenn du einen Teil des Terms ersetzt? - Wenn du eine Hilfsvariable für \(2^x\) nutzt, wie sieht die Gleichung dann aus? - Vergiss nicht, am Ende die Ersetzung der Hilfsvariablen wieder rückgängig zu machen.

1. Umschreiben der Basis \(4\) zur Basis \(2\): \((2^x)^2 - 12 \cdot 2^x + 32 = 0\) 2. Substitution von \(u = 2^x\), woraus die quadratische Gleichung \(u^2 - 12u + 32 = 0\) resultiert. 3. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta): \(u_1 = 4\) und \(u_2 = 8\). 4. Rücksubstitution für \(u_1\): \(2^x = 4 \implies x_1 = 2\). 5. Rücksubstitution für \(u_2\): \(2^x = 8 \implies x_2 = 3\). 6. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{2; 3\}\).

\(L = \{2; 3\}\)

- Versuche, die Gleichung so umzustellen, dass der Term mit \(x\) allein auf einer Seite steht. - Welche Werte kann eine Potenz wie \(3^x\) für reelle Zahlen \(x\) niemals annehmen? - Betrachte das Vorzeichen des Terms auf der rechten Seite in Abhängigkeit von \(a\). - Was passiert im speziellen Fall \(a = 0\)?

1. Umformung der Gleichung nach dem Exponentialterm: \(a \cdot 3^x = -6\). 2. Ausschluss von \(a = 0\), da die Gleichung \(0 = -6\) unlösbar ist. Für \(a \neq 0\) folgt \(3^x = -\frac{6}{a}\). 3. Berücksichtigung des Wertebereichs: Die Funktion \(f(x) = 3^x\) nimmt nur Werte im Intervall \((0; \infty)\) an. Damit eine Lösung existiert, muss die Bedingung \(-\frac{6}{a} > 0\) erfüllt sein. 4. Analyse des Vorzeichens: Der Bruch \(-\frac{6}{a}\) ist genau dann positiv, wenn \(a\) negativ ist (\(a < 0\)). 5. Schlussfolgerung: Für \(a < 0\) existiert genau eine Lösung \(x = \log_3\left(-\frac{6}{a}\right)\). Für \(a \ge 0\) ergibt sich entweder ein Widerspruch (\(0 = -6\)) oder ein Wert außerhalb des Wertebereichs (\(3^x \le 0\)), sodass keine Lösung existiert.

Die Gleichung besitzt genau dann eine reelle Lösung, wenn \(a < 0\) ist. Für \(a \ge 0\) besitzt die Gleichung keine Lösung.

- Versuche zuerst, beide Seiten der Gleichung so weit wie möglich zusammenzufassen, sodass nur noch eine Potenz zur Basis \(e\) übrig bleibt. - Welche Regeln gelten für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Wie lässt sich ein Produkt unter einer Wurzel oder ein Produkt aus einer Zahl und einer Wurzel umschreiben? - Nutze den Exponentenvergleich, sobald auf beiden Seiten der Gleichung nur noch die Basis \(e\) steht.

1. Teilaufgabe a: Durch Anwendung des Potenzgesetzes für Multiplikation wird die linke Seite zu \(e^{4x + 2 - x} = e^{3x+2}\) zusammengefasst. Der Exponentenvergleich mit der rechten Seite ergibt \(3x + 2 = 5\). Auflösen nach \(x\) liefert \(x = 1\). 2. Teilaufgabe b: Die rechte Seite wird zu \(\sqrt{9} \cdot \sqrt{e} = 3 \cdot e^{0{,}5}\) vereinfacht. Division beider Seiten durch 3 führt zu \(e^{2x-7} = e^{0{,}5}\). Der Exponentenvergleich \(2x - 7 = 0{,}5\) ergibt nach Addition von 7 und Division durch 2 den Wert \(x = 3{,}75\). 3. Teilaufgabe c: Die linke Seite wird durch das Potenzgesetz für Division zu \(e^{4 - (5x+1)} = e^{3-5x}\) umgeformt. Die rechte Seite entspricht \(e^1 \cdot e^{0{,}5} = e^{1{,}5}\). Der Exponentenvergleich \(3 - 5x = 1{,}5\) führt zu \(-5x = -1{,}5\), woraus \(x = 0{,}3\) folgt.

a) \(x = 1\) b) \(x = 3{,}75\) c) \(x = 0{,}3\)

- Kannst du die Gleichung schrittweise so vereinfachen, dass nur noch die Potenz mit der Basis \(e\) auf einer Seite steht? - Welche Funktion ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis \(e\)? - Wenn du den Logarithmus auf eine Seite mit einem Term wie \(5-2z\) im Exponenten anwendest, was bleibt dann übrig? - Achte bei der Division durch negative Zahlen auf die Vorzeichen aller Terme.

1. Subtraktion von \(10\) ergibt \(3 \cdot e^{5-2z} = 15\). 2. Division durch \(3\) isoliert die Potenz: \(e^{5-2z} = 5\). 3. Logarithmieren beider Seiten mit dem natürlichen Logarithmus ergibt \(5 - 2z = \ln(5)\). 4. Umstellen nach \(z\): Zuerst Subtraktion von \(5\) liefert \(-2z = \ln(5) - 5\), dann Division durch \(-2\) ergibt \(z = \frac{5 - \ln(5)}{2} = 2{,}5 - 0{,}5 \cdot \ln(5)\). 5. Der Näherungswert beträgt \(z \approx 1{,}695\).

Exakt: \(z = \frac{5 - \ln(5)}{2}\) Genähert: \(z \approx 1{,}695\)

- Überlege, wie du den Term mit der Basis \(e\) Schritt für Schritt isolieren kannst. - Welche Rechenoperation kehrt die Exponentialfunktion zur Basis \(e\) um? - Denke daran, am Ende nach der Variablen \(x\) aufzulösen.

1. Subtraktion von 3 auf beiden Seiten der Gleichung führt zu \(\frac{1}{2} e^{2x+1} = 8\). 2. Multiplikation der Gleichung mit 2 isoliert den Exponentialterm: \(e^{2x+1} = 16\). 3. Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beide Seiten ergibt die lineare Gleichung \(2x + 1 = \ln(16)\). 4. Umstellen nach \(x\) durch Subtraktion von 1 und anschließende Division durch 2 liefert die exakte Lösung \(x = \frac{\ln(16) - 1}{2}\). 5. Die numerische Berechnung ergibt den Näherungswert \(x \approx 0{,}886\).

Exakte Lösung: \(x = \frac{\ln(16) - 1}{2}\) Näherungswert: \(x \approx 0{,}886\)

- Versuche zuerst, den Teil der Gleichung, in dem \(x\) vorkommt, allein auf eine Seite zu bringen. - Achte beim Umformen auf die Vorzeichen, besonders wenn du durch negative Zahlen teilst. - Wie kannst du den Logarithmus nutzen, um an die Variable im Exponenten heranzukommen?

1. Subtraktion von 10 auf beiden Seiten ergibt \(-4 e^{0{,}2x} = -8\). 2. Division der Gleichung durch \(-4\) isoliert den Exponentialterm: \(e^{0{,}2x} = 2\). 3. Durch Anwenden des natürlichen Logarithmus erhält man den Exponenten: \(0{,}2x = \ln(2)\). 4. Division durch \(0{,}2\) (entspricht der Multiplikation mit 5) führt zur exakten Lösung \(x = 5 \cdot \ln(2)\). 5. Die numerische Auswertung ergibt den Näherungswert \(x \approx 3{,}466\).

Exakte Lösung: \(x = 5 \cdot \ln(2)\) Näherungswert: \(x \approx 3{,}466\)

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor in allen Summanden finden und diesen ausklammern? - Erinnere dich an den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. - Überlege dir, ob die Exponentialfunktion \(e^x\) jemals den Wert Null annehmen kann. - Welche Art von Gleichung bleibt übrig, wenn du den Teil mit der \(e\)-Funktion ignoriert hast?

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(e^x\): \(f(x) = e^x \cdot (x^2 - 2x - 3)\). 2. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer als \(0\) ist, müssen die Nullstellen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 2x - 3 = 0\) bestimmt werden. 3. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(pq\)-Formel): \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1^2 - (-3)} = 1 \pm \sqrt{4}\). 4. Berechnung der Ergebnisse: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\).

- Könntest du die Gleichung so umformen, dass kein negativer Exponent mehr vorkommt? - Erkennst du eine Struktur, die einer quadratischen Gleichung ähnelt? - Welche Werte kann die Funktion \(f(x) = e^x\) überhaupt annehmen? - Wie machst du eine Substitution rückgängig?

1. Multiplikation der Gleichung mit \(e^x\): \(3e^{2x} - 10e^x = 8\). 2. Umformung in die Standardform einer quadratischen Gleichung: \(3e^{2x} - 10e^x - 8 = 0\). 3. Substitution \(u = e^x\) führt zu \(3u^2 - 10u - 8 = 0\). 4. Anwendung der Mitternachtsformel: \(u = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 14}{6}\). 5. Lösungen für \(u\): \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -\frac{2}{3}\). 6. Rücksubstitution: \(e^x = 4\) ergibt \(x = \ln(4)\). Da \(e^x > 0\) für alle reellen \(x\) gilt, liefert \(e^x = -\frac{2}{3}\) keine Lösung.

\(x = \ln(4)\)

- Wie verhält sich eine Funktion zwischen zwei Punkten, an denen sie unterschiedliche Vorzeichen hat? - Überlege dir, wie die Monotonie einer Funktion hilft, die Eindeutigkeit einer Nullstelle zu zeigen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Nullstellen einer Funktion und der Anzahl der Nullstellen ihrer Ableitungen. - Nutze einen Taschenrechner, um die Funktionswerte näherungsweise zu bestimmen.

1. Für \(x < 0\) ist \(f'(x) = e^x - 4x\) stets positiv, da \(e^x > 0\) und \(-4x > 0\). Somit ist \(f\) für \(x < 0\) streng monoton steigend. Wegen \(f(-1) = e^{-1} - 2 \approx -1{,}63 < 0\) und \(f(0) = e^0 - 0 = 1 > 0\) existiert nach dem Zwischenwertsatz genau eine Nullstelle im Intervall \([-1; 0]\). 2. Die Funktionswerte an den gegebenen Stellen lauten \(f(1) = e^1 - 2 \approx 0{,}72 > 0\), \(f(2) = e^2 - 8 \approx -0{,}61 < 0\) und \(f(3) = e^3 - 18 \approx 2{,}09 > 0\). Da die Funktion stetig ist, folgt aus den Vorzeichenwechseln, dass mindestens eine Lösung im Intervall \((1; 2)\) und mindestens eine im Intervall \((2; 3)\) liegt. Somit gibt es für \(x > 0\) mindestens zwei Lösungen. 3. Die dritte Ableitung ist \(f'''(x) = e^x\). Da \(e^x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) keine Nullstelle hat, kann die zweite Ableitung \(f''(x) = e^x - 4\) nach dem Satz von Rolle höchstens eine Nullstelle haben. Daraus folgt, dass die erste Ableitung \(f'(x)\) höchstens zwei und die Ausgangsfunktion \(f(x)\) somit höchstens drei Nullstellen besitzen kann.

a) Wegen \(f(-1) \approx -1{,}63\), \(f(0) = 1\) und der strengen Monotonie (\(f'(x) > 0\)) für \(x < 0\) gibt es genau eine Nullstelle in \([-1; 0]\). b) Die Vorzeichenwechsel zwischen \(f(1) > 0\), \(f(2) < 0\) und \(f(3) > 0\) belegen mindestens zwei positive Lösungen. c) Da \(f'''(x) = e^x\) keine Nullstellen hat, kann \(f\) maximal drei Nullstellen besitzen.

- Versuche zuerst, den Term mit der Basis \(e\) vollständig zu isolieren. - Welche Rechenoperation hebt die Exponentialfunktion zur Basis \(e\) auf? - Achte beim Umformen darauf, die Rechenregeln für Gleichungen Schritt für Schritt anzuwenden.

1. Subtraktion von \(5\) auf beiden Seiten: \(7 \cdot e^{2x - 4} = 21\) 2. Division durch \(7\): \(e^{2x - 4} = 3\) 3. Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten: \(2x - 4 = \ln(3)\) 4. Addition von \(4\): \(2x = \ln(3) + 4\) 5. Division durch \(2\): \(x = \frac{\ln(3) + 4}{2} = 0{,}5 \cdot \ln(3) + 2\) 6. Berechnung des Näherungswerts: \(x \approx 2{,}549\)

Exakte Lösung: \(x = \frac{\ln(3) + 4}{2}\) (oder \(x = 0{,}5 \cdot \ln(3) + 2\)) Näherungswert: \(x \approx 2{,}549\)

- Wie kannst du den negativen Exponenten im Term \(e^{-x}\) eliminieren? - Welche Umformung ermöglicht die Anwendung einer Substitution? - Erinnere dich an die Definition des natürlichen Logarithmus. - Sind alle gefundenen Werte für die substituierte Variable im Bereich der Exponentialfunktion sinnvoll?

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit \(e^x\) (da \(e^x > 0\)) führt zu \(e^{2x} - 5e^x = -6\). 2. Umstellen zur Form \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\) und Substitution \(u = e^x\) ergibt \(u^2 - 5u + 6 = 0\). 3. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 2\) und \(u_2 = 3\). 4. Die Rücksubstitution \(e^x = 2\) liefert \(x = \ln(2)\). 5. Die Rücksubstitution \(e^x = 3\) liefert \(x = \ln(3)\).

\(L = \{ \ln(2); \ln(3) \}\)

- Hilft es dir, den Term \(e^{2x}\) oder \(e^{x+1}\) mithilfe von Potenzgesetzen umzuschreiben? - Gibt es einen Faktor, der in beiden Summanden vorkommt? - Denke daran, dass ein Produkt nur dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(e^x = a\) nach \(x\) auflösen?

1. Ansatz \(f(x) = 0\): \(e^{2x} - 5e^{x+1} = 0\). 2. Anwendung der Potenzgesetze: \(e^{2x} - 5 \cdot e^x \cdot e^1 = 0\). 3. Ausklammern von \(e^x\): \(e^x \cdot (e^x - 5e) = 0\). 4. Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), folgt aus dem Satz vom Nullprodukt: \(e^x - 5e = 0\). 5. Isolation der verbleibenden Exponentialfunktion: \(e^x = 5e\). 6. Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten: \(x = \ln(5e)\). 7. Vereinfachung mithilfe der Logarithmengesetze: \(x = \ln(5) + \ln(e) = \ln(5) + 1\).

Die Funktion besitzt die Nullstelle \(x = \ln(5) + 1\).

- Überlege, ob du einen gemeinsamen Faktor ausklammern kannst. - Denke an den Satz vom Nullprodukt. - Welche Eigenschaft hat die Exponentialfunktion \(e^x\) bezüglich ihres Wertebereichs? - Kannst du eine neue Variable einführen, um die Gleichung auf eine bekannte Form (z. B. eine quadratische Gleichung) zurückzuführen? - Beachte, dass \(e^{-x}\) dasselbe ist wie \(\frac{1}{e^x}\).

1. Teilaufgabe a): Ausklammern von \(e^x\) führt zu \(e^x(x^2 - 16) = 0\). Da die Exponentialfunktion \(e^x\) stets positiv ist, muss \(x^2 - 16 = 0\) gelten. Dies ergibt die Lösungen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). 2. Teilaufgabe b): Durch Ausklammern von \(e^x\) erhält man \(e^x(e^x - 6) = 0\). Da \(e^x \neq 0\), folgt \(e^x = 6\). Anwendung des natürlichen Logarithmus liefert \(x = \ln(6)\). 3. Teilaufgabe c): Multiplikation mit \(e^x\) ergibt die Gleichung \((e^x)^2 + 2e^x - 15 = 0\). Mit der Substitution \(u = e^x\) folgt die quadratische Gleichung \(u^2 + 2u - 15 = 0\). Die Lösungen sind \(u_1 = 3\) und \(u_2 = -5\). Da \(e^x\) stets positiv ist, entfällt \(u_2\). Aus \(e^x = 3\) folgt \(x = \ln(3)\).

a) \(L = \{-4; 4\}\) b) \(L = \{\ln(6)\}\) c) \(L = \{\ln(3)\}\)

- Wann wird ein Produkt aus zwei Termen gleich null? - Wie kannst du Potenzen mit der Basis \(e\) auflösen? - Gibt es einen Weg, die Gleichung in eine quadratische Form zu bringen? - Wann wird ein Bruchterm null? - Welche Werte kann der Nenner einer solchen Funktion annehmen?

1. Teilaufgabe a): Nach dem Satz vom Nullprodukt muss mindestens ein Faktor null sein. Fall 1: \(e^{2x} - 9 = 0 \Rightarrow e^{2x} = 9 \Rightarrow 2x = \ln(9) \Rightarrow x = \frac{1}{2} \ln(9) = \ln(3)\). Fall 2: \(x^3 - 8 = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2\). 2. Teilaufgabe b): Substitution von \(u = e^x\) führt auf \(u^2 - 7u + 12 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 4\) und \(u_2 = 3\). Resubstitution ergibt \(e^x = 4 \Rightarrow x = \ln(4)\) sowie \(e^x = 3 \Rightarrow x = \ln(3)\). 3. Teilaufgabe c): Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist und der Nenner ungleich null. Da \(e^x\) für alle \(x\) ungleich null ist, muss \(2x - 10 = 0\) gelten. Dies führt zu \(2x = 10\) und somit \(x = 5\).

a) \(x_1 = \ln(3)\); \(x_2 = 2\) b) \(x_1 = \ln(4)\); \(x_2 = \ln(3)\) c) \(x = 5\)

- Überlege dir, wie du den Term mit der Unbekannten zuerst isolieren kannst. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Variable aus dem Exponenten „herunterzuholen“? - Achte auf das Vorzeichen der Werte auf beiden Seiten der Gleichung, bevor du einen Logarithmus anwendest. - Kann eine Potenz mit einer positiven Basis jemals einen negativen Wert annehmen?

1. Gleichung a): Division durch \(5\) ergibt \(e^{0{,}5x} = 5\). Anwendung des natürlichen Logarithmus führt zu \(0{,}5x = \ln(5)\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x = 2 \cdot \ln(5) \approx 3{,}219\). 2. Gleichung b): Division durch \(12\) ergibt \(0{,}75^n = 0{,}5\). Durch Logarithmieren erhält man \(n \cdot \ln(0{,}75) = \ln(0{,}5)\). Auflösen nach \(n\) ergibt \(n = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}75)} \approx 2{,}409\). 3. Gleichung c): Subtraktion von \(10\) führt zu \(e^{2t+1} = -6\). Da die Exponentialfunktion \(e^y\) für alle reellen \(y\) stets positive Werte annimmt, besitzt diese Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

a) \(x = 2 \cdot \ln(5) \approx 3{,}219\) b) \(n = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}75)} \approx 2{,}409\) c) Keine Lösung; \(L = \emptyset\)

- Kannst du die Potenzgesetze nutzen, um den Term mit der Summe im Exponenten umzuschreiben? - Versuche, einen gemeinsamen Faktor auf einer Seite der Gleichung auszuklammern. - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass die Basis mit der Unbekannten allein auf einer Seite steht? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Variable aus einem Exponenten zu lösen?

1. Ausklammern von \(4^x\) auf der linken Seite: \(4^x \cdot (4^2 - 1) = 45\) 2. Vereinfachen des Klammerausdrucks: \(4^x \cdot (16 - 1) = 45\), also \(15 \cdot 4^x = 45\) 3. Isolieren der Potenz durch Division: \(4^x = 3\) 4. Anwenden des Logarithmus zur Bestimmung von \(x\): \(x = \log_4(3) = \frac{\ln(3)}{\ln(4)}\) 5. Berechnung des Näherungswerts: \(x \approx 0{,}79\)

Exakte Lösung: \(x = \frac{\ln(3)}{\ln(4)}\) (oder \(x = \log_4(3)\)) Näherungswert: \(x \approx 0{,}79\)

- Wie kannst du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung? - Könnte es helfen, den Dezimalwert in einen Bruch umzuwandeln? - Welche Einschränkungen gibt es für die Basis einer Exponentialfunktion?

1. Durch Einsetzen der Koordinaten von \(P(-2 \mid 6{,}25)\) in die Funktionsgleichung erhält man die Gleichung \(6{,}25 = a^{-2}\). 2. Umrechnung des Dezimalwerts in einen Bruch ergibt \(\frac{25}{4} = \frac{1}{a^2}\). 3. Durch Bilden des Kehrwerts folgt \(a^2 = \frac{4}{25}\). 4. Da die Basis \(a\) einer Exponentialfunktion stets positiv sein muss, ergibt das Ziehen der Quadratwurzel \(a = \frac{2}{5} = 0{,}4\).

\(a = 0{,}4\)

- Erinnere dich daran, wie man Dezimalzahlen in Brüche umwandelt. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(y = b^{m/n}\) nach \(b\) auflösen? - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird?

1. Einsetzen der Punktkoordinaten von \(Q(0{,}75 \mid 8)\) in \(g(x) = b^x\) führt auf die Gleichung \(8 = b^{0{,}75}\). 2. Darstellung des Exponenten als Bruch: \(8 = b^{3/4}\). 3. Auflösen nach \(b\) durch Potenzieren beider Seiten mit dem Kehrwert des Exponenten: \(b = 8^{4/3}\). 4. Berechnung des Werts über die dritte Wurzel: \(b = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16\).

\(b = 16\)

- Kannst du die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen? - Wie lässt sich \(b^{-1}\) umschreiben, um die Gleichung nach \(a\) aufzulösen? - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir, wenn du Terme wie \(b \cdot b^{1{,}5}\) zusammenfasst? - Wie isolierst du die Basis \(b\), wenn sie mit einem Dezimalexponenten wie \(2{,}5\) potenziert wird?

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Einsetzen der Koordinaten: (I) \(12 = a \cdot b^{-1}\) (II) \(0{,}375 = a \cdot b^{1{,}5}\) 2. Auflösen der ersten Gleichung nach \(a\): \(a = 12 \cdot b\). 3. Einsetzen von \(a\) in Gleichung (II): \(0{,}375 = 12 \cdot b \cdot b^{1{,}5} = 12 \cdot b^{2{,}5}\). 4. Berechnen von \(b\): \(b^{2{,}5} = \frac{0{,}375}{12} = 0{,}03125\). Daraus folgt \(b = 0{,}03125^{\frac{1}{2{,}5}} = 0{,}25\). 5. Berechnen von \(a\): \(a = 12 \cdot 0{,}25 = 3\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 3 \cdot 0{,}25^x\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 3 \cdot 0{,}25^x\).

- Was passiert mathematisch, wenn du die beiden Funktionsgleichungen durcheinander dividierst? - Welche Bedeutung hat das Verhältnis zweier Funktionswerte, deren \(x\)-Werte sich um genau \(1\) unterscheiden? - Wenn zwei Funktionen am selben Punkt starten, aber die eine nach einem Schritt einen höheren Wert erreicht als die andere – was sagt das über ihre Wachstumsfaktoren aus?

1. Teilaufgabe a: Aufstellen des Verhältnisses der Funktionswerte: \(\frac{f(3)}{f(2)} = \frac{a \cdot b^3}{a \cdot b^2} = b\). Einsetzen der Werte ergibt \(b = \frac{20}{5} = 4\). 2. Einsetzen von \(b\) in \(f(2) = 5\): \(5 = a \cdot 4^2 = 16a\), woraus \(a = \frac{5}{16} = 0{,}3125\) folgt. 3. Teilaufgabe b: Der Quotient \(\frac{f(x+1)}{f(x)}\) entspricht bei Exponentialfunktionen dem Wachstumsfaktor \(b\). 4. Für \(f\) gilt \(b = \frac{f(3)}{f(2)} = \frac{20}{5} = 4\). Für \(g\) gilt \(d = \frac{g(3)}{g(2)} = \frac{15}{5} = 3\). Da \(15 < 20\) bei gleichem Startwert im vorherigen Schritt, muss der Wachstumsfaktor \(d\) kleiner sein als \(b\).

a) \(a = 0{,}3125\) und \(b = 4\). b) \(d\) ist kleiner als \(b\), da der Quotient der Funktionswerte \(\frac{g(3)}{g(2)} = 3\) kleiner ist als der Quotient \(\frac{f(3)}{f(2)} = 4\).

- Wie kannst du den Logarithmus nutzen, um die Variablen aus dem Exponenten zu holen? - Können Logarithmusgesetze helfen, die Produkte auf beiden Seiten zu zerlegen? - Versuche, alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Denk daran, dass Ausdrücke wie \(\ln(3)\) einfach nur feste Zahlenwerte sind.

1. Logarithmieren beider Seiten der Gleichung: \(\ln(7 \cdot 3^{2x-1}) = \ln(4 \cdot 2^{x+3})\) 2. Anwendung der Logarithmusgesetze für Produkte und Potenzen: \(\ln(7) + (2x-1) \cdot \ln(3) = \ln(4) + (x+3) \cdot \ln(2)\) 3. Auflösen der Klammern: \(\ln(7) + 2x \cdot \ln(3) - \ln(3) = 2 \cdot \ln(2) + x \cdot \ln(2) + 3 \cdot \ln(2)\) 4. Zusammenfassen der konstanten Terme auf der rechten Seite (\(2\ln(2) + 3\ln(2) = 5\ln(2)\)) und Sortieren nach \(x\): \(x \cdot (2\ln(3) - \ln(2)) = 5 \cdot \ln(2) + \ln(3) - \ln(7)\) 5. Isolieren von \(x\): \(x = \frac{5 \cdot \ln(2) + \ln(3) - \ln(7)}{2 \cdot \ln(3) - \ln(2)}\) 6. Numerische Berechnung: \(x \approx 1{,}7409\)

\(L = \left\{\frac{5 \cdot \ln(2) + \ln(3) - \ln(7)}{2 \cdot \ln(3) - \ln(2)}\right\}\), näherungsweise \(L \approx \{1{,}7409\}\)

- Kannst du Brüche wie \(\frac{1}{e}\) als Potenz mit negativen Exponenten schreiben? - Welche Rechenregel für Logarithmen könnte dir bei einem Ausdruck wie \(2 \cdot \ln(2)\) helfen? - Denke daran, dass beim Auflösen von Quadraten zwei Vorzeichen berücksichtigt werden müssen. - Gibt es eine Möglichkeit, die Basis auf beiden Seiten der Gleichung anzugleichen?

1. Gleichung a: Anwendung der Exponentialfunktion ergibt \(x - 2 = e^{-1} = \frac{1}{e}\). Addition von \(2\) führt zu \(x = 2 + \frac{1}{e}\). Wegen \(2 + \frac{1}{e} - 2 = \frac{1}{e} > 0\) ist die Lösung zulässig. 2. Gleichung b: Division durch \(2\) ergibt \(e^{0{,}5x} = 2\). Logarithmieren führt zu \(0{,}5x = \ln(2)\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x = 2 \cdot \ln(2) = \ln(4)\). 3. Gleichung c: Anwendung der Exponentialfunktion ergibt \(x^2 + 1 = e^2\). Subtraktion von \(1\) führt zu \(x^2 = e^2 - 1\). Da \(e^2 - 1 > 0\), ergeben sich die Lösungen \(x = \pm \sqrt{e^2 - 1}\). 4. Gleichung d: Umschreiben der rechten Seite als \(e^{-1}\) ergibt \(e^{1-x} = e^{-1}\). Durch Exponentenvergleich folgt \(1 - x = -1\), woraus \(x = 2\) resultiert.

a) \(x = 2 + \frac{1}{e}\) b) \(x = \ln(4)\) c) \(x_1 = \sqrt{e^2 - 1}\); \(x_2 = -\sqrt{e^2 - 1}\) d) \(x = 2\)

- Kannst du eine Beziehung zwischen \(4^x\) und \(2^x\) herstellen, um die Gleichung zu vereinfachen? - Gibt es eine Methode, um eine solche Struktur wie eine quadratische Gleichung zu behandeln? - Welche Einschränkungen gelten für die Ergebnisse von Exponentialfunktionen? - Überprüfe, ob die berechneten Zwischenergebnisse im Definitionsbereich der nächsten Rechenschritte liegen.

1. Anwendung der Potenzgesetze: Umschreiben von \(4^x\) als \((2^x)^2\), woraus die Gleichung \((2^x)^2 + 4 \cdot 2^x + 4 = 0\) resultiert. 2. Substitution: Ersetzung von \(2^x\) durch \(u\), wobei \(u > 0\) gelten muss, da der Wertebereich der Exponentialfunktion nur positive Zahlen umfasst. 3. Lösen der quadratischen Gleichung: \(u^2 + 4u + 4 = 0\). Mithilfe der ersten binomischen Formel ergibt sich \((u + 2)^2 = 0\). 4. Bestimmung von \(u\): Die einzige Lösung für die quadratische Gleichung ist \(u = -2\). 5. Prüfung der Lösbarkeit für \(x\): Die Rücksubstitution \(2^x = -2\) führt zu einem Widerspruch, da \(2^x\) für alle reellen \(x\) stets größer als \(0\) ist.

Die Gleichung besitzt keine reelle Lösung.

- Kannst du den Term mithilfe von Potenzgesetzen so umschreiben, dass ein gemeinsamer Faktor sichtbar wird? - Was weißt du über das Vorzeichen und die Nullstellen von \(e^x\)? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(e^x = c\) nach \(x\) auflösen? - Es gibt Logarithmengesetze, mit denen man Ausdrücke wie \(\ln\left(\frac{a}{b}\right)\) vereinfachen kann.

1. Nullsetzen des Funktionsterms: \(2 \cdot e^{2x} - e^{x+1} = 0\). 2. Anwendung der Potenzgesetze (\(e^{x+1} = e^x \cdot e^1\)) und Ausklammern von \(e^x\): \(e^x \cdot (2e^x - e) = 0\). 3. Da \(e^x \neq 0\) für alle \(x\), muss der Klammerausdruck null sein: \(2e^x - e = 0\). 4. Umformen nach \(e^x\): \(2e^x = e \Rightarrow e^x = \frac{e}{2}\). 5. Anwendung des natürlichen Logarithmus zur Bestimmung von \(x\): \(x = \ln\left(\frac{e}{2}\right)\). 6. Vereinfachung mithilfe der Logarithmengesetze: \(x = \ln(e) - \ln(2) = 1 - \ln(2)\).

Die Nullstelle ist \(x = 1 - \ln(2)\) (bzw. \(x = \ln\left(\frac{e}{2}\right) \approx 0{,}307\)).

- Welcher Term wiederholt sich in der Gleichung in unterschiedlichen Potenzen? - Nachdem du eine Hilfsvariable genutzt hast, wie kommst du von deren Werten zurück auf \(x\)? - Überlege, wie viele Lösungen eine Gleichung der Form \(x^2 = a\) haben kann. - Sind alle gefundenen Werte für den Logarithmus und die Quadratwurzel im reellen Bereich definiert?

1. Substitution \(u = e^{x^2}\) transformiert die Gleichung in \(u^2 - 12u + 32 = 0\). 2. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit dem Satz von Vieta): \((u-4)(u-8) = 0\), woraus \(u_1 = 4\) und \(u_2 = 8\) folgen. 3. Rücksubstitution für \(u_1\): \(e^{x^2} = 4 \implies x^2 = \ln(4)\). Da \(\ln(4) > 0\), ergeben sich \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\ln(4)}\). 4. Rücksubstitution für \(u_2\): \(e^{x^2} = 8 \implies x^2 = \ln(8)\). Da \(\ln(8) > 0\), ergeben sich \(x_{3,4} = \pm\sqrt{\ln(8)}\). 5. Die vier reellen Lösungen sind \(x \in \{-\sqrt{\ln(8)}; -\sqrt{\ln(4)}; \sqrt{\ln(4)}; \sqrt{\ln(8)}\}\).

\(x_1 = -\sqrt{\ln(8)}\), \(x_2 = -\sqrt{\ln(4)}\), \(x_3 = \sqrt{\ln(4)}\), \(x_4 = \sqrt{\ln(8)}\)

- Skizziere dir im Kopf den Verlauf der beiden Funktionen. Wo können sie sich überhaupt treffen? - Was weißt du über das Vorzeichen von \(\sin(x)\) in den verschiedenen Quadranten? - Betrachte das Krümmungsverhalten, um die maximale Anzahl an Schnittpunkten in einem Bereich einzugrenzen. - Überlege dir, was passiert, wenn \(x\) immer größer wird. Verschwindet die Exponentialfunktion oder bleibt sie relevant?

1. Sei \(h(x) = \sin(x) - e^{-x}\). Es gilt \(h(0) = 0 - 1 = -1 < 0\), \(h(\frac{\pi}{2}) = 1 - e^{-\frac{\pi}{2}} \approx 0{,}79 > 0\) und \(h(\pi) = 0 - e^{-\pi} \approx -0{,}04 < 0\). Durch die Vorzeichenwechsel liegen mindestens zwei Lösungen in \([0; \pi]\). Da \(h''(x) = -\sin(x) - e^{-x}\) im Intervall \((0; \pi)\) stets negativ ist (da \(\sin(x) > 0\) und \(e^{-x} > 0\)), ist die Funktion dort streng rechtsgekrümmt (konkav) und kann somit höchstens zwei Nullstellen haben. 2. Im Intervall \([\pi; 2\pi]\) nimmt die Sinusfunktion nur Werte \(\le 0\) an. Da \(e^{-x}\) für alle \(x\) strikt positiv ist, ist die Differenz \(\sin(x) - e^{-x}\) in diesem Bereich stets negativ. Somit gibt es dort keine Lösung. 3. Die Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen. In jedem Intervall der Form \([2k\pi; (2k+1)\pi]\) mit \(k \in \mathbb{N}\) nimmt \(\sin(x)\) Werte zwischen \(0\) und \(1\) an. Da \(e^{-x}\) für wachsende \(x\) gegen \(0\) strebt, aber stets positiv bleibt, wird der Graph der Sinusfunktion in jedem dieser Intervalle vom Graphen der Exponentialfunktion zweimal geschnitten (einmal beim Anstieg und einmal beim Abfall der Sinuskurve).

a) In \([0; \pi]\) liegen genau zwei Lösungen, da die Funktion dort konkav ist und zwei Vorzeichenwechsel aufweist. b) Keine Lösung in \([\pi; 2\pi]\), da dort \(\sin(x) \le 0\) und \(e^{-x} > 0\) gilt. c) Es gibt unendlich viele Lösungen, da die Sinuskurve in jedem Intervall \([2k\pi; (2k+1)\pi]\) erneut über den (immer kleiner werdenden) Wert von \(e^{-x}\) ansteigt und danach wieder darunter fällt.

- Wie kannst du den Bruch auflösen, damit die Unbekannte nicht mehr im Nenner steht? - Isoliere die Potenz \(e^{0{,}5x}\) so, dass sie allein auf einer Seite der Gleichung steht. - Überlege, wie du den Faktor vor dem \(x\) im Exponenten nach dem Logarithmieren eliminieren kannst.

1. Multiplikation mit dem Nenner \((4 - e^{0{,}5x})\): \(12 = 6 \cdot (4 - e^{0{,}5x})\) 2. Division durch \(6\): \(2 = 4 - e^{0{,}5x}\) 3. Isolation der Exponentialfunktion: \(e^{0{,}5x} = 2\) 4. Anwendung des natürlichen Logarithmus: \(0{,}5x = \ln(2)\) 5. Multiplikation mit \(2\): \(x = 2 \cdot \ln(2)\) (entspricht \(\ln(4)\)) 6. Berechnung des Näherungswerts: \(x \approx 1{,}386\)

Exakte Lösung: \(x = 2 \cdot \ln(2)\) (oder \(x = \ln(4)\)) Näherungswert: \(x \approx 1{,}386\)

- Betrachte die Vorzeichen der beiden Funktionen für negative \(x\)-Werte. - Forme die Gleichung für positive \(x\) so um, dass auf einer Seite ein konstanter Wert steht. - Untersuche das Monotonieverhalten und die Extrempunkte der entstehenden Funktion auf der anderen Seite. - Vergleiche den Wert der Konstanten mit dem maximalen Funktionswert.

1. Fall \(x \leq 0\): Für ungerade \(n \geq 3\) gilt \(x^n \leq 0\) für alle \(x \leq 0\). Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positive Werte annimmt (\(e^x > 0\)), kann die Gleichung im Bereich \((-\infty; 0]\) keine Lösung besitzen. 2. Fall \(x > 0\): Die Gleichung \(e^x = x^n\) ist für \(x > 0\) äquivalent zu \(x = \ln(x^n) = n \cdot \ln(x)\), was sich zu \(\frac{\ln(x)}{x} = \frac{1}{n}\) umformen lässt. 3. Untersuchung der Funktion \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x}\): Die Ableitung \(f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}\) besitzt eine Nullstelle bei \(x = e\). Dort liegt das globale Maximum mit dem Wert \(f(e) = \frac{1}{e} \approx 0{,}368\). 4. Anzahl der Lösungen: Da \(n \geq 3\) eine ungerade natürliche Zahl ist, gilt \(0 < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{3} \approx 0{,}333\). Da \(\frac{1}{n}\) somit echt kleiner als das Maximum \(\frac{1}{e}\) ist und die Funktion \(f\) für \(x \to 0^+\) gegen \(-\infty\) sowie für \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt, schneidet die Horizontale \(y = \frac{1}{n}\) den Graphen von \(f\) an genau zwei Stellen. Somit existieren genau zwei Lösungen im Bereich \(x > 0\).

Die Gleichung besitzt für \(x \leq 0\) keine Lösung, da \(e^x > 0\) und \(x^n \leq 0\) gilt. Für \(x > 0\) ist die Gleichung äquivalent zu \(\frac{\ln(x)}{x} = \frac{1}{n}\). Da das Maximum der Funktion \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x}\) bei \(\frac{1}{e} \approx 0{,}368\) liegt und für \(n \geq 3\) stets \(0 < \frac{1}{n} < \frac{1}{e}\) erfüllt ist, ergeben sich in diesem Bereich genau zwei Schnittpunkte. Insgesamt hat die Gleichung also genau zwei Lösungen.

- Wenn die Unbekannte in den Exponenten verschiedener Basen steht, hilft es oft, beide Seiten der Gleichung zu logarithmieren. - Denke an die Logarithmusgesetze, mit denen man Exponenten als Faktoren vor den Logarithmus ziehen kann. - Versuche, alle Terme, die die Unbekannte enthalten, auf eine Seite der Gleichung zu bringen und diese dann auszuklammern. - Kannst du Logarithmen mit gleicher Basis zusammenfassen, um den Ausdruck zu vereinfachen?

1. Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beide Seiten: \(\ln(6^x) = \ln(2^{x+3})\) 2. Anwendung der Logarithmusgesetze für Exponenten: \(x \cdot \ln(6) = (x+3) \cdot \ln(2)\) 3. Auflösen der Klammer: \(x \cdot \ln(6) = x \cdot \ln(2) + 3 \cdot \ln(2)\) 4. Alle Terme mit \(x\) auf eine Seite bringen: \(x \cdot \ln(6) - x \cdot \ln(2) = 3 \cdot \ln(2)\) 5. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (\ln(6) - \ln(2)) = \ln(2^3)\) 6. Vereinfachen mithilfe der Logarithmusgesetze: \(x \cdot \ln\left(\frac{6}{2}\right) = \ln(8)\), also \(x \cdot \ln(3) = \ln(8)\) 7. Isolieren von \(x\): \(x = \frac{\ln(8)}{\ln(3)}\) 8. Berechnung des Näherungswerts: \(x \approx 1{,}89\)

Exakte Lösung: \(x = \frac{\ln(8)}{\ln(3)}\) (oder \(x = \log_3(8)\)) Näherungswert: \(x \approx 1{,}89\)

- Schau dir die Basis \(10\) genau an. Kannst du sie durch die anderen Basen in der Gleichung ausdrücken? - Können Potenzgesetze helfen, die Terme auf beiden Seiten zu vereinfachen, bevor du den Logarithmus anwendest? - Was passiert, wenn du Potenzen mit gleicher Basis zusammenfasst? - Gibt es einen Weg, die Gleichung so umzuformen, dass nur noch eine Potenz mit der Unbekannten übrig bleibt?

1. Zerlegung der Basis \(10\) in Primfaktoren: \(10^{x-1} = (2 \cdot 5)^{x-1} = 2^{x-1} \cdot 5^{x-1}\) 2. Einsetzen in die Ursprungsgleichung: \(2^{x+1} \cdot 5^{2x} = 2^{x-1} \cdot 5^{x-1} \cdot 5^4\) 3. Zusammenfassen der Potenzen mit Basis \(5\) auf der rechten Seite: \(2^{x+1} \cdot 5^{2x} = 2^{x-1} \cdot 5^{x+3}\) 4. Sortieren der Basen durch Division: \(\frac{2^{x+1}}{2^{x-1}} = \frac{5^{x+3}}{5^{2x}}\) 5. Anwendung der Potenzgesetze für die Division (\(a^m : a^n = a^{m-n}\)): \(2^2 = 5^{3-x}\), also \(4 = 5^{3-x}\) 6. Logarithmieren zur Basis \(10\) oder \(e\): \(\ln(4) = (3-x) \cdot \ln(5)\) 7. Auflösen nach \(x\): \(3-x = \frac{\ln(4)}{\ln(5)} \Rightarrow x = 3 - \frac{\ln(4)}{\ln(5)}\) 8. Numerische Berechnung: \(x \approx 2{,}1386\)

\(L = \left\{3 - \frac{\ln(4)}{\ln(5)}\right\}\), näherungsweise \(L \approx \{2{,}1386\}\)