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- Welche Funktion macht den natürlichen Logarithmus rückgängig? - Das Ergebnis soll exakt bleiben; ein Dezimalwert ist nicht nötig.

1. Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion. 2. Daher ist \(\ln x=2\) äquivalent zu \(x=e^2\).

\(x=e^2\)

- Welche Bedingung muss das Argument eines natürlichen Logarithmus erfüllen? - Welcher positive Wert besitzt den natürlichen Logarithmus \(0\)?

1. Für den Logarithmus muss \(x-2>0\) gelten. 2. Aus \(\ln(x-2)=0\) folgt \(x-2=e^0=1\). 3. Daher ist \(x=3\); dieser Wert liegt in der Definitionsmenge.

\(x=3\)

- Welche Bedingung muss das Argument eines Logarithmus erfüllen? - Bringe den Logarithmusausdruck zunächst allein auf eine Seite. - Welche Umkehrfunktion hebt den natürlichen Logarithmus auf? - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis zur Definitionsmenge gehört.

1. Für den Logarithmus muss \(2x-4>0\) gelten. Daher ist \(D=]2;\infty[\). 2. Isoliere den Logarithmus: \(3\ln(2x-4)=6\), also \(\ln(2x-4)=2\). 3. Anwenden der Exponentialfunktion liefert \(2x-4=e^2\). 4. Damit ist \(x=\frac{e^2}{2}+2\). 5. Dieser Wert ist größer als \(2\) und liegt somit in der Definitionsmenge.

\(D=]2;\infty[\); \(x=\frac{e^2}{2}+2\)

- Stelle jede Gleichung zunächst so um, dass der Logarithmusterm allein steht. - Welche Umkehrfunktion hebt den natürlichen Logarithmus auf? - Prüfe für jede Teilaufgabe die passende Definitionsmenge des Logarithmusarguments. - Bei einer geraden Potenz können nach dem Rückgängigmachen der Potenz zwei Vorzeichen möglich sein.

1. Teilaufgabe a): Aus \(-3\ln(x)=-6\) folgt \(\ln(x)=2\) und damit \(x=e^2\). Der Wert ist positiv und somit zulässig. 2. Teilaufgabe b): Aus \(5x=e^{10}\) folgt \(x=\frac{1}{5}e^{10}\). Der Wert ist positiv und somit zulässig. 3. Teilaufgabe c): Aus \(x^4=e^8\) folgt \(|x|=e^2\). Daher sind \(x=e^2\) und \(x=-e^2\) Lösungen. Beide sind ungleich null und damit für \(\ln(x^4)\) zulässig.

a) \(x=e^2\) b) \(x=\frac{1}{5}e^{10}\) c) \(x_1=e^2\); \(x_2=-e^2\)

- Welche Bedingung muss \(x+1\) erfüllen, damit der Logarithmus definiert ist? - Bringe den Logarithmusausdruck allein auf eine Seite. - Welche Umkehrfunktion hebt \(\ln\) auf? - Prüfe das Ergebnis an der Definitionsmenge.

1. Für den Logarithmus muss \(x+1>0\), also \(x>-1\), gelten. 2. Umstellen ergibt \(2\ln(x+1)=6\) und damit \(\ln(x+1)=3\). 3. Anwenden der Exponentialfunktion liefert \(x+1=e^3\). 4. Somit ist \(x=e^3-1\). Dieser Wert liegt in der Definitionsmenge.

\(x=e^3-1\)

- Welche Bedingung muss das Argument eines Logarithmus erfüllen? - Wie kannst du \(e^x<5\) nach \(x\) auflösen? - Welchen Wert muss das Logarithmusargument haben, damit der Funktionswert null ist? - Prüfe die gefundene Nullstelle an der Definitionsmenge.

1. Für den Logarithmus muss \(5-e^x>0\) gelten, also \(e^x<5\). 2. Wegen der strengen Monotonie der Exponentialfunktion folgt \(x<\ln(5)\). Somit ist \(D=]-\infty;\ln(5)[\). 3. Für eine Nullstelle gilt \(\ln(5-e^x)=0\), also \(5-e^x=1\). 4. Daraus folgt \(e^x=4\) und damit \(x=\ln(4)\). 5. Wegen \(\ln(4)<\ln(5)\) liegt der Wert in der Definitionsmenge.

a) \(D=]-\infty;\ln(5)[\) b) \(x=\ln(4)\)

- Bestimme für jede Gleichung zuerst die Definitionsmenge. - Welche Logarithmengesetze sind bei Potenzen oder Wurzeln zulässig? - Stelle den Logarithmusterm jeweils möglichst einfach frei. - Prüfe die gefundenen Werte an den ursprünglichen Bedingungen.

1. Teilaufgabe a): Es muss \(x>0\) gelten. Aus \(3\ln(x)=6\) folgt \(\ln(x)=2\) und damit \(x=e^2\). 2. Teilaufgabe b): Wegen des Terms \(\ln(x)\) gilt \(x>0\). Daher ist \(\ln(x^2)=2\ln(x)\) zulässig. Die Gleichung wird zu \(3\ln(x)=6\), also \(x=e^2\). 3. Teilaufgabe c): Es muss \(x>0\) gelten. Mit \(\ln(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\ln(x)\) folgt \(\ln(x)=4\) und damit \(x=e^4\). 4. Teilaufgabe d): Es muss \(x>0\) gelten. Aus \(4x=e^{-2}\) folgt \(x=\frac{1}{4e^2}\). 5. Alle gefundenen Werte erfüllen die jeweilige Definitionsmenge.

a) \(L=\{e^2\}\) b) \(L=\{e^2\}\) c) \(L=\{e^4\}\) d) \(L=\left\{\frac{1}{4e^2}\right\}\)

- Wie lautet die Definition des Logarithmus als Potenzgleichung? - Wie kannst du negative oder gebrochene Exponenten rückgängig machen? - Welche Bedingungen muss die gefundene Basis erfüllen?

1. Aus \(\log_b125=3\) folgt \(b^3=125\), also \(b=5\). 2. Aus \(\log_b0{,}01=-2\) folgt \(b^{-2}=0{,}01=\frac{1}{100}\). Daher ist \(b^2=100\); wegen \(b>0\) folgt \(b=10\). 3. Aus \(\log_b\left(\frac{1}{8}\right)=-3\) folgt \(b^{-3}=\frac{1}{8}\), also \(b^3=8\) und \(b=2\). 4. Aus \(\log_b7=0{,}5\) folgt \(b^{0{,}5}=7\), also \(b=49\).

a) \(b=5\) b) \(b=10\) c) \(b=2\) d) \(b=49\)

- Isoliere zuerst den Logarithmus. - Welche Funktion ist die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus? - Prüfe am Ende, ob dein Wert die Bedingung \(x>0\) erfüllt.

1. Aus \(12\ln\!\left(\frac{x}{5}\right)=18\) folgt \(\ln\!\left(\frac{x}{5}\right)=1{,}5\). 2. Anwenden der Umkehrfunktion ergibt \(\frac{x}{5}=e^{1{,}5}\). 3. Daher ist \(x=5e^{1{,}5}\approx22{,}4\).

\(x\approx22{,}4\).

- Bestimme die gemeinsame Definitionsmenge, bevor du die Logarithmen zusammenfasst. - Welche Bedingungen müssen beide Logarithmusargumente gleichzeitig erfüllen? - Prüfe jede algebraisch gefundene Lösung gegen diese Bedingungen.

1. Für beide Logarithmen müssen \(x-1>0\) und \(x+1>0\) gelten. Zusammen folgt die Definitionsmenge \(D=]1;\infty[\). 2. In dieser Definitionsmenge ist das Produktgesetz zulässig: \(\ln((x-1)(x+1))=\ln(8)\). 3. Daher gilt \(x^2-1=8\), also \(x^2=9\). Algebraisch entstehen \(x=3\) und \(x=-3\). 4. Wegen \(x>1\) ist nur \(x=3\) zulässig. Nora hat die Definitionsmenge bei der Auswahl der Lösungen nicht beachtet.

Noras algebraische Umformung ist richtig, aber \(x=-3\) liegt nicht in der Definitionsmenge. Die Lösungsmenge ist \(L=\{3\}\).

- Vergleiche die Definitionsmengen von \(\ln(x^6)\) und \(\ln(x)\). - Achte darauf, was eine gerade Potenz mit dem Vorzeichen von \(x\) macht. - Überlege, wie sich der Logarithmus der sechsten Potenz formulieren lässt, ohne negative zulässige Werte auszuschließen. - Prüfe zum Schluss beide gefundenen Vorzeichen in der ursprünglichen Gleichung.

1. Die ursprüngliche Gleichung ist für alle \(x\neq0\) definiert, weil \(x^6>0\) gilt. 2. Der Schritt \(\ln(x^6)=6\ln(x)\) schränkt dagegen auf \(x>0\) ein, weil \(\ln(x)\) für negative reelle \(x\) nicht definiert ist. 3. Unter Beibehaltung der ursprünglichen Definitionsmenge kann man \(\ln(x^6)=6\ln|x|\) schreiben. 4. Aus \(6\ln|x|=12\) folgt \(\ln|x|=2\), also \(|x|=e^2\). 5. Damit ist \(L=\{-e^2;e^2\}\).

Der angegebene Lösungsweg schränkt durch \(\ln(x)\) unzulässig auf \(x>0\) ein und verliert dadurch die negative Lösung. Die vollständige Lösungsmenge ist \(L=\{-e^2;e^2\}\).

- Wann ist der Ausdruck innerhalb des Logarithmus größer als Null? - Kannst du die rechte Seite der Gleichung so umformen, dass sie ebenfalls als ein einzelner Logarithmus erscheint? - Denk daran, dass eine Gleichung der Form \(a^2 = b^2\) oft mehr als eine Lösung hat. - Wie verhält sich das Quadrat einer negativen Zahl im Vergleich zum Quadrat einer positiven Zahl?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Das Argument \((x-5)^2\) muss positiv sein. Dies ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) außer \(x = 5\) der Fall. Also \(D = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). 2. Anwendung der Logarithmusregeln oder direkte Exponentialfunktion: Variante A: \(\ln((x-5)^2) = \ln(3^2) = \ln(9)\). Durch Entlogarithmieren folgt \((x-5)^2 = 9\). Variante B: \(2 \cdot \ln(|x-5|) = 2 \cdot \ln(3) \Leftrightarrow \ln(|x-5|) = \ln(3) \Leftrightarrow |x-5| = 3\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung bzw. Betragsgleichung: \((x-5)^2 = 9 \Leftrightarrow x-5 = 3\) oder \(x-5 = -3\). 4. Berechnung der Werte: \(x_1 = 8\) und \(x_2 = 2\). 5. Überprüfung mit der Definitionsmenge: Beide Werte liegen in \(D\).

Die Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). Durch Umformung erhält man \((x-5)^2 = 3^2 = 9\). Die Lösungen dieser Gleichung sind \(x_1 = 8\) und \(x_2 = 2\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{2; 8\}\).

- Welche Bedingungen müssen beide Logarithmusargumente erfüllen? - Welches Logarithmengesetz fasst eine Summe zweier Logarithmen zusammen? - Was folgt, wenn zwei natürliche Logarithmen denselben Wert haben? - Prüfe jede algebraisch gefundene Lösung an der ursprünglichen Definitionsmenge.

1. Für beide Logarithmen muss \(x+6>0\) und \(x>0\) gelten. Somit ist die Definitionsmenge \(D=]0;\infty[\). 2. Mit dem Produktgesetz gilt \(\ln((x+6)x)=\ln(27)\). 3. Wegen der Eindeutigkeit des Logarithmus folgt \(x^2+6x=27\), also \(x^2+6x-27=0\). 4. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(x=3\) und \(x=-9\). 5. Nur \(x=3\) liegt in der Definitionsmenge. Daher ist \(L=\{3\}\).

\(L=\{3\}\)

- Bestimme für jede Teilaufgabe zuerst die Bedingungen, unter denen alle beteiligten Terme definiert sind. - Welche Umkehrfunktion kann einen natürlichen Logarithmus aufheben? - Bei einem Bruch muss zusätzlich der Nenner ungleich null bleiben. - Prüfe jeden gefundenen Wert an den ursprünglichen Bedingungen.

1. Teilaufgabe a): Aus \(\frac{1}{x}=e^4\) folgt \(x=e^{-4}\). Dieser Wert erfüllt \(x>0\) und ist zulässig. 2. Teilaufgabe b): Für die ursprüngliche Gleichung muss \(x>0\) und \(\ln(x)+1\neq0\) gelten. Aus \(4=2(\ln(x)+1)\) folgt \(\ln(x)=1\) und damit \(x=e\). Dieser Wert erfüllt beide Bedingungen. 3. Teilaufgabe c): Da das Logarithmusargument positiv sein muss, gilt \(x>-1\). Aus \(\sqrt{x+1}=e\) folgt \(x+1=e^2\) und damit \(x=e^2-1\), was zulässig ist.

a) \(x=e^{-4}\) b) \(x=e\) c) \(x=e^2-1\)

- Bestimme zuerst die gemeinsame Definitionsmenge beider Logarithmen. - Welches Logarithmengesetz fasst die beiden Logarithmen zusammen? - Nach dem Entfernen der Logarithmen entsteht eine algebraische Gleichung. - Prüfe alle gefundenen Werte an der ursprünglichen Definitionsmenge.

1. Für beide Logarithmen muss \(x>0\) und \(x-3>0\) gelten. Daher ist die Definitionsmenge \(D=]3;\infty[\). 2. Mit dem Produktgesetz folgt \(\ln(x(x-3))=\ln(10)\). 3. Damit gilt \(x^2-3x=10\), also \(x^2-3x-10=0\). 4. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(x=5\) und \(x=-2\). 5. Nur \(x=5\) liegt in der Definitionsmenge. Somit ist \(L=\{5\}\).

\(L=\{5\}\)

- Welche Bedingung muss der Ausdruck unter einer Quadratwurzel erfüllen? - Wann ist ein natürlicher Logarithmus größer oder gleich null? - Nach dem Quadrieren kannst du die beiden Logarithmen direkt vergleichen. - Denke bei einer Gleichung der Form \(x^2=a\) an beide Vorzeichen.

1. Für die Wurzel muss \(\ln(x^2-3)\geq0\) gelten. Diese Bedingung enthält bereits, dass das Logarithmusargument positiv ist. 2. Aus \(\ln(x^2-3)\geq0\) folgt \(x^2-3\geq1\), also \(x^2\geq4\). 3. Daher ist \(D=]-\infty;-2]\cup[2;\infty[\). 4. Für Teil b) führt Quadrieren auf \(\ln(x^2-3)=\ln(13)\). 5. Somit gilt \(x^2-3=13\), also \(x^2=16\). 6. Daraus folgen \(x=-4\) und \(x=4\). Beide Werte liegen in \(D\).

a) \(D=]-\infty;-2]\cup[2;\infty[\) b) \(x_1=-4\); \(x_2=4\)

- Was passiert, wenn eine Variable im Nenner eines Bruchs steht? - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \(u^2 = a\) zwei Lösungen haben kann. - Wie verhält sich der Logarithmus bei einem Bruch als Argument? - Achte darauf, dass das Innere des Logarithmus immer positiv sein muss.

1. Teilaufgabe a): Bedingung: \(x > 0\) und \(\ln(x) \neq 0\). Multiplikation mit \(\ln(x)\) und Division durch 2 ergibt \(\ln(x) = 2\). Die Anwendung der \(e\)-Funktion liefert \(x = e^2\). Die gefundene Lösung erfüllt die Bedingungen. 2. Teilaufgabe b): Bedingung: \(2x - 5 > 0\), also \(x > 2{,}5\). Anwendung der Exponentialfunktion ergibt \(2x - 5 = e^3\). Addition von 5 und Division durch 2 führt zu \(x = \frac{e^3 + 5}{2}\). Dieser Wert ist größer als \(2{,}5\) und damit zulässig. 3. Teilaufgabe c): Bedingung: \(x > 0\). Das Ziehen der Quadratwurzel liefert zwei Fälle: \(\ln(x) = 4\) oder \(\ln(x) = -4\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = e^4\) und \(x_2 = e^{-4}\). Beide Werte sind positiv und damit zulässig. 4. Teilaufgabe d): Bedingung: \(\frac{1}{x} > 0\), also \(x > 0\). Anwendung der \(e\)-Funktion ergibt \(\frac{1}{x} = e^5\). Bilden des Kehrwerts führt zu \(x = \frac{1}{e^5} = e^{-5}\). Dieser Wert ist positiv und damit zulässig. Alternativ kann das Logarithmusgesetz \(\ln(1/x) = -\ln(x)\) genutzt werden.

a) \(x = e^2\) b) \(x = \frac{e^3 + 5}{2}\) c) \(x_1 = e^4\); \(x_2 = e^{-4}\) d) \(x = e^{-5}\)

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Kannst du die Gleichung zuerst so umformen, dass der Logarithmus alleine auf einer Seite steht? - Wie lautet die Definition des Logarithmus als Umkehrung der Potenz? - Hilft es dir, die Dezimalzahl im Exponenten als Bruch zu schreiben? - Kannst du die Zahl 32 als Potenz einer kleineren Basis ausdrücken?

1. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(32 \mid 7{,}5)\) in die Funktionsgleichung: \(7{,}5 = 3 \cdot \log_b(32)\) 2. Isolation des Logarithmus durch Division durch 3: \(\log_b(32) = 2{,}5\) 3. Anwendung der Definition des Logarithmus zur Umwandlung in eine Potenzgleichung: \(b^{2{,}5} = 32\) 4. Umschreiben des Exponenten als Bruch: \(b^{\frac{5}{2}} = 32\) 5. Auflösen nach \(b\) durch Potenzieren mit dem Kehrwert des Exponenten: \(b = 32^{\frac{2}{5}}\) 6. Berechnung des Wertes unter Verwendung von \(32 = 2^5\): \(b = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4\)

Die Basis ist \(b = 4\).

- Welche Koordinate eines Punktes ist immer Null, wenn er auf der \(y\)-Achse liegt? - Setze die entsprechende Koordinate in die Funktionsgleichung ein. - Isoliere den Logarithmus-Ausdruck in der Gleichung. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmus und Basis. - Welcher Exponent führt dazu, dass das Ergebnis der Potenz genau der Basis entspricht?

1. Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Da der Schnittpunkt auf der \(y\)-Achse liegt, ist \(x = 0\). Der Punkt ist somit \(S(0 \mid -1)\). 2. Einsetzen der Koordinaten in die Funktionsgleichung: \(-1 = \log_b(0 + 5) - 2\) 3. Vereinfachen und Isolieren des Logarithmus: \(\log_b(5) = 1\) 4. Umwandlung in die Potenzform: \(b^1 = 5\) 5. Bestimmung der Basis: \(b = 5\)

Die Basis ist \(b = 5\).

- Es hilft oft, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln. - Versuche, beide Seiten der Gleichung auf denselben Exponenten zu bringen. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) und \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). - Was passiert, wenn du beide Seiten einer Gleichung mit demselben Kehrwert des Exponenten potenzierst?

Die Gleichungen werden unter Verwendung der Definition \(\log_b a = c \iff b^c = a\) gelöst. 1. Zu a): \(b^{-3} = \frac{27}{8}\). Dies ist gleichbedeutend mit \(\left(\frac{1}{b}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3\). Daraus folgt \(\frac{1}{b} = \frac{3}{2}\), also \(b = \frac{2}{3}\). 2. Zu b): \(b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{49} = 49^{\frac{1}{3}}\). Da \(49 = 7^2\), gilt \(b^{\frac{2}{3}} = (7^2)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}\). Da \(b > 0\) gilt, folgt \(b = 7\). 3. Zu c): \(b^{-2} = 0{,}0625\). Da \(0{,}0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}\), gilt \(\frac{1}{b^2} = \frac{1}{16}\). Daraus folgt \(b^2 = 16\), und wegen \(b > 0\) ist \(b = 4\).

a) \(b = \frac{2}{3}\) b) \(b = 7\) c) \(b = 4\)

- Welche Bedingung muss das Argument eines Logarithmus erfüllen? - Übersetze die Logarithmusgleichung in die zugehörige Potenzgleichung. - Löse anschließend die entstehende quadratische Gleichung. - Prüfe beide algebraischen Lösungen an der Definitionsmenge.

1. Das Logarithmusargument muss positiv sein: \(x^2+2x>0\). 2. Mit der Definition des Logarithmus folgt \(x^2+2x=2^3=8\). 3. Damit ist \(x^2+2x-8=0\). Die Lösungen sind \(x=2\) und \(x=-4\). 4. Für beide Werte ist \(x^2+2x=8>0\). Daher sind beide zulässig.

\(L=\{-4;2\}\)

- Bestimme zuerst die gemeinsame Definitionsmenge der beiden Logarithmen. - Welche Logarithmusregel verbindet die beiden Terme auf der linken Seite? - Nach dem Entfernen der Logarithmen entscheidet eine quadratische Gleichung über die Anzahl der Lösungen. - Prüfe, ob die algebraischen Lösungen in der ursprünglichen Definitionsmenge liegen.

1. Aus \(x>0\) und \(4-x>0\) folgt die Definitionsmenge \(D=]0;4[\). 2. In dieser Definitionsmenge darf zusammengefasst werden: \(\ln(x(4-x))=\ln(a)\). Wegen der Injektivität des natürlichen Logarithmus folgt \(x(4-x)=a\). 3. Damit gilt \(x^2-4x+a=0\). Die Diskriminante ist \(\Delta=16-4a=4(4-a)\). 4. Für \(0<a<4\) gilt \(\Delta>0\). Die beiden Lösungen \(x=2\pm\sqrt{4-a}\) liegen in \(]0;4[\). 5. Für \(a=4\) gilt \(\Delta=0\). Es gibt genau die Lösung \(x=2\). 6. Für \(a>4\) gilt \(\Delta<0\). Es gibt keine reelle Lösung.

Für \(0<a<4\): zwei Lösungen \(x=2\pm\sqrt{4-a}\) Für \(a=4\): eine Lösung \(x=2\) Für \(a>4\): keine reelle Lösung