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- Nutze den Taschenrechner für die Potenzen, achte aber auf die Rundungsvorgaben. - Was passiert mit dem Ausdruck in der Klammer, wenn \(n\) sehr groß wird, und wie hängt das mit der Definition von \(e\) zusammen? - Verwende für \(e\) einen ausreichend genauen Wert aus deinem Taschenrechner, um die Differenz zu bestimmen.

1. Berechnung der Kapitalwerte: Für \(n=1\): \(K_1 = 100 \cdot (1+1)^1 = 200{,}00\,\text{€}\). Für \(n=12\): \(K_{12} = 100 \cdot (1+\frac{1}{12})^{12} \approx 100 \cdot 2{,}613035 \approx 261{,}30\,\text{€}\). Für \(n=365\): \(K_{365} = 100 \cdot (1+\frac{1}{365})^{365} \approx 100 \cdot 2{,}714567 \approx 271{,}46\,\text{€}\). 2. Grenzwertbetrachtung: Der Term \((1+\frac{1}{n})^n\) strebt für \(n \to \infty\) gegen die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Das Kapital bei kontinuierlicher Verzinsung beträgt \(K_{\infty} = 100 \cdot e \approx 271{,}83\,\text{€}\). 3. Differenzberechnung: Differenz \(\Delta K = K_{\infty} - K_{365} = 271{,}828\ldots - 271{,}456\ldots \approx 0{,}372\ldots\,\text{€}\). Gerundet auf Cent ergibt sich eine Differenz von \(0{,}37\,\text{€}\).

1. \(K_1 = 200{,}00\,\text{€}\); \(K_{12} \approx 261{,}30\,\text{€}\); \(K_{365} \approx 271{,}46\,\text{€}\) 2. \(K_{\infty} = 100 \cdot e \approx 271{,}83\,\text{€}\) 3. Die Differenz beträgt ca. \(0{,}37\,\text{€}\).

- Welchen Wert hat die Funktion zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Wie kannst du den Wachstumsfaktor berechnen, wenn du zwei Zeitpunkte kennst? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Basis \(e\) und dem natürlichen Logarithmus. - Überlege dir, wie du die Gleichung nach der Unbekannten im Exponenten auflösen kannst.

1. Bestimmung des Anfangswerts \(b\): Da \(f(0) = 1200\) gegeben ist, folgt direkt \(b = 1200\). 2. Aufstellen der Gleichung für \(k\): Mit dem Wert nach \(5\) Stunden gilt \(f(5) = 1200 \cdot e^{k \cdot 5} = 3000\). 3. Isolieren von \(e^{5k}\): Durch Division ergibt sich \(e^{5k} = \frac{3000}{1200} = 2{,}5\). 4. Berechnung von \(k\): Anwendung des natürlichen Logarithmus liefert \(5k = \ln(2{,}5)\), woraus \(k = \frac{\ln(2{,}5)}{5} \approx 0{,}1833\) folgt. 5. Einsetzen in die Funktionsform: \(f(t) = 1200e^{0{,}1833t}\).

\(f(t) = 1200e^{\frac{\ln(2{,}5)}{5}t} \approx 1200e^{0{,}1833t}\)

- Was bedeutet eine Abnahme von \(12\,\%\) für den Wert nach einem Jahr im Vergleich zum Vorjahr? - Wie hängen die Wachstumsfaktoren \(a\) und \(e^k\) zusammen? - Ist bei einem Wertverlust ein positives oder ein negatives Vorzeichen für \(k\) zu erwarten? - Denke daran, den Prozentsatz zuerst in einen Dezimalfaktor umzuwandeln.

1. Identifikation des Startwerts: Der Anschaffungswert entspricht \(f(0)\), daher ist \(b = 45\,000\). 2. Ermittlung des jährlichen Wachstumsfaktors \(a\): Bei einer Abnahme von \(12\,\%\) beträgt der Faktor \(a = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 3. Umrechnung in die Basis \(e\): Es gilt der Zusammenhang \(e^k = a\), also \(e^k = 0{,}88\). 4. Berechnung der Wachstumskonstante \(k\): Durch Logarithmieren erhält man \(k = \ln(0{,}88) \approx -0{,}1278\). 5. Aufstellen des Funktionsterms: \(f(t) = 45\,000e^{-0{,}1278t}\).

\(f(t) = 45\,000e^{\ln(0{,}88)t} \approx 45\,000e^{-0{,}1278t}\)

- Wie bestimmt man mathematisch den Wert eines Bestands zu Beginn der Beobachtung? - Welchen Wert nimmt die Potenz \(e^0\) an? - Achte auf das Vorzeichen der Zahl im Exponenten. Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen für die Entwicklung des Funktionswerts? - Setze den gesuchten Zeitpunkt für die entsprechende Variable in die Funktionsgleichung ein.

1. Berechnung der Anfangswerte durch Einsetzen von \(t=0\): \(f_1(0) = 600 \cdot e^0 = 600\), \(f_2(0) = 450 \cdot e^0 = 450\) und \(f_3(0) = 600 \cdot e^0 = 600\). Ergebnis: Funktion (2) hat mit \(450\) den geringsten Anfangswert. 2. Analyse des Wachstumsparameters \(k\) im Exponenten \(e^{kt}\): Ein negativer Wert (\(k < 0\)) kennzeichnet einen Zerfallsprozess. Ergebnis: Die Funktionen (2) mit \(k = -0{,}12\) und (3) mit \(k = -0{,}05\) beschreiben Zerfallsprozesse. 3. Berechnung des Funktionswertes für \(f_1(20)\): \(f_1(20) = 600 \cdot e^{0{,}05 \cdot 20} = 600 \cdot e^1 \approx 1630{,}97\).

a) Der Bestand (2) hat mit \(450\) den geringsten Anfangswert. b) Die Funktionen (2) und (3) beschreiben einen Zerfallsprozess, da die Koeffizienten im Exponenten (\(-0{,}12\) bzw. \(-0{,}05\)) negativ sind. c) Der Bestand nach \(20\) Zeiteinheiten beträgt ca. \(1630{,}97\).

- Was passiert mit dem Funktionswert zum Zeitpunkt \(t = 0\)? - Wie hängen die Basis der Exponentialfunktion und die Eulersche Zahl \(e\) über den natürlichen Logarithmus zusammen? - Bei der Halbwertszeit hat sich der Anfangswert halbiert – welchen Wert muss der Ausdruck mit der Basis dann annehmen? - Wie lässt sich die Änderung pro Zeiteinheit aus dem Wachstumsfaktor \(b\) ablesen?

1. Der Anfangswert ist \(h(0) = 250\). Die Basis \(0{,}75\) wird als \(e^k\) dargestellt, woraus folgt \(k = \ln(0{,}75) \approx -0{,}2877\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = 250e^{-0{,}2877t}\). 2. Zur Berechnung der Halbwertszeit wird die Gleichung \(0{,}75^{T_H} = 0{,}5\) nach \(T_H\) aufgelöst: \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}75)} \approx 2{,}41\,\text{s}\). 3. Die prozentuale Abnahme ergibt sich aus dem Wachstumsfaktor \(b = 0{,}75\). Die Abnahme beträgt \(1 - 0{,}75 = 0{,}25\), was \(25\,\%\) entspricht.

1. \(h(t) = 250e^{-0{,}2877t}\) 2. \(T_H \approx 2{,}41\,\text{s}\) 3. Die Abnahme beträgt \(25\,\%\) pro Sekunde.

- Was bedeutet der Wert der Funktion zum Zeitpunkt Null für die Parameter? - Setze die gegebenen Wertepaare in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, die im Exponenten steht? - Überlege, ob du Rechengesetze für Logarithmen nutzen kannst, um den Term im zweiten Aufgabenteil zu vereinfachen.

1. Aus dem Anfangswert bei \(t = 0\) folgt direkt \(A(0) = A_0 \cdot e^0 = A_0\), woraus sich \(A_0 = 15\) ergibt. Durch Einsetzen des zweiten Wertepaares \(A(6) = 45\) in die Funktionsgleichung erhält man die Gleichung \(15 \cdot e^{6k} = 45\). Division durch \(15\) führt zu \(e^{6k} = 3\). Die Anwendung des natürlichen Logarithmus ergibt \(6k = \ln(3)\), woraus \(k = \frac{1}{6} \cdot \ln(3)\) folgt. 2. Zur Berechnung der Fläche nach \(12\,\text{Stunden}\) wird \(t = 12\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(A(12) = 15 \cdot e^{\frac{1}{6} \cdot \ln(3) \cdot 12} = 15 \cdot e^{2 \cdot \ln(3)} = 15 \cdot e^{\ln(3^2)} = 15 \cdot 9 = 135\). Die Fläche beträgt somit \(135\,\text{cm}^2\).

1. \(A_0 = 15\); \(k = \frac{1}{6} \cdot \ln(3)\) 2. \(135\,\text{cm}^2\)

- Untersuche, wie sich die Werte von einem Messzeitpunkt zum nächsten verändern. - Bleibt der Zuwachs als feste Zahl immer gleich oder bleibt das Verhältnis der Werte zueinander gleich? - Wie oft findet der Wachstumsschritt in dem gesuchten Zeitraum statt? - Überlege, welcher mathematische Ansatz zu einer prozentualen Zunahme passt.

1. Prüfung auf lineares Wachstum: Die Differenz der Werte nach den ersten zwei Tagen beträgt \(600 - 400 = 200\). Die Differenz zwischen Tag 2 und Tag 4 beträgt \(900 - 600 = 300\). Da die absoluten Zunahmen pro Zeitintervall nicht konstant sind, liegt kein lineares Wachstum vor. 2. Prüfung auf exponentielles Wachstum: Der Quotient der Werte nach den ersten zwei Tagen beträgt \(\frac{600}{400} = 1{,}5\). Der Quotient zwischen Tag 2 und Tag 4 beträgt \(\frac{900}{600} = 1{,}5\). Da die relativen Zunahmen (Wachstumsfaktoren) pro Zeitintervall konstant sind, beschreibt ein exponentielles Modell die Daten korrekt. 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit dem Anfangswert \(f(0) = 400\) und dem Wachstumsfaktor \(1{,}5\) für zwei Tage lautet die Gleichung \(f(t) = 400 \cdot 1{,}5^{\frac{t}{2}}\) (mit \(t\) in Tagen). Alternativ ergibt sich der tägliche Wachstumsfaktor zu \(b = \sqrt{1{,}5} \approx 1{,}2247\), also \(f(t) \approx 400 \cdot 1{,}2247^t\). 4. Berechnung für eine Woche (\(t = 7\)): \(f(7) = 400 \cdot 1{,}5^{3{,}5} \approx 400 \cdot 4{,}1335 \approx 1653{,}41\). Die Fläche beträgt nach einer Woche etwa \(1653{,}41\,\text{cm}^2\).

a) Das Wachstum ist exponentiell, da die Quotienten aufeinanderfolgender Werte im gleichen Zeitabstand konstant sind (\(1{,}5\)), während die Differenzen variieren. b) \(f(t) = 400 \cdot 1{,}5^{\frac{t}{2}}\) oder \(f(t) \approx 400 \cdot 1{,}2247^t\) (wobei \(t\) die Zeit in Tagen ist). c) Nach einer Woche beträgt die Fläche ca. \(1653{,}41\,\text{cm}^2\).

- Wie oft verdoppelt sich ein Wert in einem bestimmten Zeitraum, wenn du die Verdopplungszeit kennst? - Wie kannst du eine große Potenz wie \(2^{30}\) mithilfe der Rechenregeln für Potenzen so umschreiben, dass du \(2^{10}\) einsetzen kannst? - Erinnere dich daran, wie man eine prozentuale Abweichung von einem Referenzwert berechnet.

1. Berechnung des exakten Wertes: \(2^{10} = 1024\). 2. Bestimmung der prozentualen Abweichung: \(\frac{1024 - 1000}{1000} = 0{,}024 = 2{,}4\,\%\). 3. Begründung der Faktoren: Ein Zeitraum von \(20\) Jahren entspricht bei einer Verdopplungszeit von \(2\) Jahren genau \(10\) Verdopplungszyklen. Der Wachstumsfaktor ist \(2^{10}\), was laut Faustregel etwa \(10^3\) (Tausend) entspricht. Ein Zeitraum von \(60\) Jahren entspricht \(30\) Zyklen, also einem Faktor von \(2^{30} = (2^{10})^3 \approx (10^3)^3 = 10^9\) (Milliarde). 4. Schätzung nach \(40\) Jahren: \(40\) Jahre entsprechen \(20\) Zyklen. Der Leistungsfaktor beträgt \(2^{20} = (2^{10})^2 \approx (10^3)^2 = 10^6\). Die neue Leistung beträgt somit \(10^{16} \cdot 10^6 = 10^{22}\) Operationen pro Sekunde.

a) \(2^{10} = 1024\); Abweichung: \(2{,}4\,\%\) b) \(20\) Jahre entsprechen \(10\) Zyklen (\(2^{10} \approx 10^3\)); \(60\) Jahre entsprechen \(30\) Zyklen (\(2^{30} = (2^{10})^3 \approx 10^9\)). c) \(10^{22}\) Operationen pro Sekunde.

- Welcher Teil der Funktionsgleichung gibt den Wert zum Zeitpunkt Null an? - Wie hängen der Faktor in der Klammer und die prozentuale Änderung zusammen? - Wenn nach einem Bruchteil des Anfangswerts gefragt ist, musst du diesen zuerst berechnen oder direkt das Verhältnis nutzen. - Erinnere dich an die Logarithmengesetze, um nach der Zeit zu suchen.

1. Analyse der Funktionsgleichung: Der Kaufpreis entspricht dem Wert zum Zeitpunkt \(t = 0\), also \(W(0) = 3800\,\text{€}\). Der Wachstumsfaktor \(b = 0{,}84\) entspricht einer jährlichen Abnahme um \(1 - 0{,}84 = 0{,}16\), also um \(16\,\%\). 2. Berechnung des Restwerts nach 4 Jahren: Einsetzen von \(t = 4\) ergibt \(W(4) = 3800 \cdot 0{,}84^4 = 3800 \cdot 0{,}49787136 \approx 1891{,}911\). Der Restwert beträgt \(1891{,}91\,\text{€}\). 3. Berechnung des Zeitpunkts für den Viertelwert: Ein Viertel des Kaufpreises ist \(\frac{3800}{4} = 950\). Der Ansatz lautet \(950 = 3800 \cdot 0{,}84^t\), was zu \(0{,}25 = 0{,}84^t\) vereinfacht wird. Logarithmieren führt zu \(\ln(0{,}25) = t \cdot \ln(0{,}84)\). Auflösen nach \(t\) ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}84)} \approx 7{,}95\). Nach etwa \(7{,}95\) Jahren ist der Wert auf ein Viertel gesunken.

a) Kaufpreis: \(3800\,\text{€}\); jährlicher Wertverlust: \(16\,\%\) b) \(1891{,}91\,\text{€}\) c) nach ca. \(7{,}95\) Jahren

- Überlege, was das Verhältnis \(\frac{m(t)}{m_0}\) über den verbleibenden Anteil aussagt. - Was bedeutet Halbwertszeit für das Verhältnis von End- zu Anfangsmenge? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten von Exponentialfunktionen. - Was sagt die erste Ableitung über den Verlauf einer Funktion aus?

1. \(\frac{m(25)}{m_0} = e^{-0{,}0231 \cdot 25} = e^{-0{,}5775} \approx 0{,}5613\). Somit sind noch ca. \(56{,}13\,\%\) vorhanden. 2. Aus \(e^{-0{,}0231T_H} = 0{,}5\) folgt \(T_H = \frac{\ln(2)}{0{,}0231} \approx 30{,}01\) Jahre. 3. \(m'(t) = -0{,}0231 \cdot m_0 \cdot e^{-0{,}0231t}\). Damit ist \(m'(50) = -11{,}55 \cdot e^{-1{,}155} \approx -3{,}64\,\frac{\text{mg}}{\text{Jahr}}\). Das negative Vorzeichen zeigt eine Abnahme der Masse an.

a) ca. \(56{,}13\,\%\) b) \(T_H \approx 30{,}01\,\text{Jahre}\) c) \(m'(50) \approx -3{,}64\,\frac{\text{mg}}{\text{Jahr}}\); das negative Vorzeichen bedeutet eine Massenabnahme.

- Wie hängen der Prozentsatz und der Wachstumsfaktor \(a\) zusammen? - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen der Basis \(a\) und der Basis \(e\)? - Was gibt die Ableitung einer Bestandsfunktion im Sachzusammenhang an? - Welche der beiden Funktionsformen lässt sich einfacher ableiten?

1. Der Anfangswert ist \(b = 1500\). Bei einer Zunahme von \(3{,}5\,\%\) pro Stunde ergibt sich der Wachstumsfaktor \(a = 1 + 0{,}035 = 1{,}035\). Die Funktionsgleichung lautet \(A(t) = 1500 \cdot 1{,}035^t\). 2. Es gilt der Zusammenhang \(a = e^k\), woraus \(k = \ln(a)\) folgt. Mit \(a = 1{,}035\) ergibt sich \(k = \ln(1{,}035) \approx 0{,}0344\). Die Form lautet somit \(A(t) = 1500e^{0{,}0344t}\). 3. Die Ableitungsfunktion in der \(e\)-Form ist \(A'(t) = 1500 \cdot k \cdot e^{kt}\). Einsetzen von \(t = 10\) und \(k \approx 0{,}034401\) führt zu \(A'(10) = 1500 \cdot 0{,}034401 \cdot e^{0{,}034401 \cdot 10} \approx 51{,}601 \cdot 1{,}4106 \approx 72{,}79\). Die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt ca. \(72{,}79\,\text{mm}^2/\text{h}\).

1. \(A(t) = 1500 \cdot 1{,}035^t\) 2. \(k = \ln(1{,}035) \approx 0{,}0344\); \(A(t) = 1500e^{0{,}0344t}\) 3. \(A'(10) \approx 72{,}79\,\text{mm}^2/\text{h}\)

- Setze die gegebenen Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Unbekannten zu bestimmen. - Überlege, ob \(k\) bei einem Zerfallsprozess positiv oder negativ sein muss. - Was bedeutet „Halbwertszeit“ für den Funktionswert im Vergleich zum Startwert? - Welche Gleichung musst du lösen, um den Zeitpunkt zu finden, an dem nur noch die Hälfte vorhanden ist?

1. Mit \(c(0) = 80\) ist \(c_0 = 80\). Aus \(c(4) = 50\) folgt die Gleichung \(80 \cdot a^4 = 50\). Daraus ergibt sich \(a^4 = \frac{5}{8} = 0{,}625\). Somit ist \(a = \sqrt[4]{0{,}625} \approx 0{,}8891\). 2. Die Wachstumskonstante \(k\) berechnet sich durch \(k = \ln(a) = \ln(0{,}889139\ldots) \approx -0{,}1175\). Die Funktion lautet \(c(t) = 80e^{-0{,}1175t}\). 3. Die Halbwertszeit \(t_H\) ist die Zeit, nach der \(e^{kt} = 0{,}5\) gilt. Es folgt \(t_H = \frac{\ln(0{,}5)}{k} \approx \frac{-0{,}6931}{-0{,}1175} \approx 5{,}898\). Die Halbwertszeit beträgt etwa \(5{,}9\) Stunden.

1. \(a \approx 0{,}8891\) 2. \(c(t) = 80e^{-0{,}1175t}\) 3. \(t_H \approx 5{,}9\,\text{h}\)

- Nutze die beiden gegebenen Zeitpunkte, um ein Gleichungssystem für \(m_0\) und \(a\) aufzustellen. - Überlege dir, was „Halbwertszeit“ im Kontext des Zerfallsfaktors \(a\) bedeutet. - Die Basis \(e\) erhältst du durch die Identität \(a = e^{\ln(a)}\). - Die momentane Änderungsrate entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion zu einem bestimmten Zeitpunkt.

1. Aufstellen des Gleichungssystems: \(m(2) = m_0a^2 = 20\) und \(m(5) = m_0a^5 = 2{,}5\). 2. Bestimmung von \(a\): Division der Gleichungen liefert \(a^3 = \frac{2{,}5}{20} = 0{,}125\). Daraus folgt \(a = \sqrt[3]{0{,}125} = 0{,}5\). 3. Bestimmung von \(m_0\): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(m_0 \cdot 0{,}5^2 = 20 \Rightarrow m_0 \cdot 0{,}25 = 20 \Rightarrow m_0 = 80\). Die ursprüngliche Masse betrug \(80\,\text{mg}\). 4. Halbwertszeit: Da der tägliche Zerfallsfaktor \(0{,}5\) beträgt, halbiert sich die Substanz jeden Tag. Die Halbwertszeit beträgt somit \(T_H = 1\,\text{Tag}\). 5. Darstellung zur Basis \(e\): Mit \(a = 0{,}5\) ist \(k = \ln(0{,}5)\). Somit gilt \(m(t) = 80e^{\ln(0{,}5)t}\). 6. Momentane Änderungsrate: Die Ableitung ist \(m'(t) = 80 \cdot \ln(0{,}5) \cdot e^{\ln(0{,}5)t}\). Für \(t = 1\) ergibt sich \(m'(1) = 80 \cdot \ln(0{,}5) \cdot 0{,}5 = 40 \cdot \ln(0{,}5) \approx -27{,}73\). Die Masse nimmt nach einem Tag mit einer Rate von ca. \(27{,}73\,\text{mg}/\text{Tag}\) ab.

a) \(a = 0{,}5\); \(m_0 = 80\,\text{mg}\) b) \(T_H = 1\,\text{Tag}\) c) \(m(t) = 80e^{\ln(0{,}5)t}\); \(m'(1) = 40 \cdot \ln(0{,}5) \approx -27{,}73\,\text{mg}/\text{Tag}\)

- Untersuche, wie sich die Werte verändern, wenn du einen Wert durch seinen Vorgänger teilst. - Wie hängen der Wachstumsfaktor für einen längeren Zeitraum und der für einen kürzeren Zeitraum mathematisch zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Basis \(a\) einer Exponentialfunktion \(a^t\) und dem Exponenten \(k\) in der Form \(e^{kt}\). - Die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht der ersten Ableitung der Bestandsfunktion. - Bei der Verdopplungszeit suchst du den Zeitpunkt, an dem der Funktionswert das Zweifache des Anfangswerts erreicht.

1. Prüfung der Quotienten aufeinanderfolgender Werte: \(\frac{6{,}1}{5{,}0} = 1{,}22\); \(\frac{7{,}4}{6{,}1} \approx 1{,}213\); \(\frac{9{,}0}{7{,}4} \approx 1{,}216\); \(\frac{11{,}0}{9{,}0} \approx 1{,}222\). Da die Quotienten für gleiche Zeitintervalle nahezu konstant sind, ist ein exponentielles Modell geeignet. 2. Wachstumsfaktor für zwei Tage: \(q_{2\,\text{d}} = 1{,}22\). Täglicher Wachstumsfaktor: \(q = \sqrt{1{,}22} \approx 1{,}1045\). Dies entspricht einer täglichen Zunahme von ca. \(10{,}45\,\%\). 3. Anfangswert \(A_0 = 5{,}0\). Bestimmung von \(k\): \(e^{2k} = 1{,}22 \Rightarrow k = \frac{\ln(1{,}22)}{2} \approx 0{,}0994\). Funktionsterm: \(A(t) = 5{,}0e^{0{,}0994t}\). 4. Ableitungsfunktion: \(A'(t) = 5{,}0 \cdot 0{,}0994 \cdot e^{0{,}0994t} = 0{,}497 \cdot e^{0{,}0994t}\). Momentane Wachstumsrate bei \(t = 5\): \(A'(5) = 0{,}497 \cdot e^{0{,}0994 \cdot 5} \approx 0{,}817\,\text{m}^2/\text{Tag}\). 5. Verdopplungszeit: \(e^{kT} = 2 \Rightarrow T = \frac{\ln(2)}{k} = \frac{\ln(2)}{0{,}0994} \approx 6{,}97\,\text{Tage}\).

a) Die Quotienten aufeinanderfolgender Messwerte sind mit ca. \(1{,}22\) nahezu konstant. b) Wachstumsfaktor (2 Tage): \(1{,}22\); Wachstumsfaktor (täglich): \(\approx 1{,}1045\); Zunahme: \(\approx 10{,}45\,\%\). c) \(A(t) = 5{,}0e^{0{,}0994t}\) d) \(A'(t) = 0{,}497e^{0{,}0994t}\); \(A'(5) \approx 0{,}817\,\text{m}^2/\text{Tag}\). e) \(T \approx 6{,}97\,\text{Tage}\).

- Prüfe, ob das Verhältnis von aufeinanderfolgenden Werten bei gleichbleibenden Zeitabständen konstant bleibt. - Überlege dir, wie du von einem Faktor für drei Zeiteinheiten auf den Faktor für eine einzelne Zeiteinheit kommst. - Die Basis \(e\) erfordert die Umrechnung des Wachstums- oder Zerfallsfaktors mithilfe des natürlichen Logarithmus. - Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über die Zu- oder Abnahme der Konzentration aus? - Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte der ursprünglichen Menge vorhanden ist.

1. Prüfung der Quotienten: \(\frac{84{,}0}{120} = 0{,}7\); \(\frac{58{,}8}{84{,}0} = 0{,}7\); \(\frac{41{,}2}{58{,}8} \approx 0{,}701\); \(\frac{28{,}8}{41{,}2} \approx 0{,}699\). Da die Quotienten pro 3 Stunden nahezu konstant bei \(0{,}7\) liegen, liegt exponentieller Zerfall vor. 2. Zerfallsfaktor (3 h): \(q_{3\,\text{h}} = 0{,}7\). Zerfallsfaktor (1 h): \(q = 0{,}7^{\frac{1}{3}} \approx 0{,}8879\). Die Konzentration sinkt pro Stunde um ca. \(11{,}21\,\%\). 3. Anfangswert \(C_0 = 120\). Bestimmung von \(k\): \(e^{3k} = 0{,}7 \Rightarrow k = \frac{\ln(0{,}7)}{3} \approx -0{,}1189\). Funktionsterm: \(C(t) = 120e^{-0{,}1189t}\). 4. Ableitungsfunktion: \(C'(t) = 120 \cdot (-0{,}1189) \cdot e^{-0{,}1189t} = -14{,}268 \cdot e^{-0{,}1189t}\). Änderungsrate bei \(t = 6\): \(C'(6) = -14{,}268 \cdot e^{-0{,}1189 \cdot 6} \approx -6{,}99\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{h})\). 5. Halbwertszeit: \(e^{kT} = 0{,}5 \Rightarrow T = \frac{\ln(0{,}5)}{k} = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}1189} \approx 5{,}83\,\text{Stunden}\).

a) Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte betragen jeweils ca. \(0{,}7\). b) Zerfallsfaktor (3 h): \(0{,}7\); Zerfallsfaktor (stündlich): \(\approx 0{,}8879\); Abnahme: \(\approx 11{,}21\,\%\). c) \(C(t) = 120e^{-0{,}1189t}\) d) \(C'(6) \approx -6{,}99\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{h})\). e) \(T_{1/2} \approx 5{,}83\,\text{Stunden}\).

- Was passiert mit den Quotienten aufeinanderfolgender Werte? - Wie verändert sich ein Wert im Vergleich zum vorherigen bei gleichen Zeitabständen? - Welchen Wert hat die Funktion zum Zeitpunkt Null? - Wie kannst du eine Gleichung nach der Unbekannten im Exponenten auflösen?

1. Zur Überprüfung auf exponentielles Wachstum werden die Quotienten aufeinanderfolgender Funktionswerte bei konstanten Zeitschritten (\(\Delta t = 4\)) berechnet: \(\frac{183}{150} = 1{,}22\) \(\frac{223}{183} \approx 1{,}2186\) \(\frac{272}{223} \approx 1{,}2197\) \(\frac{332}{272} \approx 1{,}2206\) Da die Quotienten näherungsweise konstant sind (ca. \(1{,}22\)), ist ein exponentielles Modell angemessen. 2. Aus dem Startwert bei \(t=0\) folgt \(a = A(0) = 150\). Verwendung des letzten Wertepaares \((16|332)\): \(332 = 150 \cdot e^{k \cdot 16}\) \(\frac{332}{150} = e^{16k}\) \(\ln\left(\frac{332}{150}\right) = 16k\) \(k = \frac{\ln\left(\frac{332}{150}\right)}{16} \approx 0{,}0497\) Die Funktionsgleichung lautet \(A(t) = 150e^{0{,}0497t}\).

1. Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte (\(\approx 1{,}22\)) sind nahezu konstant, was auf exponentielles Wachstum hinweist. 2. \(A(t) = 150e^{0{,}0497t}\)

- Untersuche das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Werten. - Was sagt ein konstanter Faktor über die Art des Wachstums oder Zerfalls aus? - Setze den Anfangswert direkt in die Funktionsgleichung ein. - Verwende den Logarithmus, um eine Variable aus dem Exponenten zu bestimmen.

1. Prüfung der Quotienten bei konstanten Zeitintervallen (\(\Delta t = 10\)): \(\frac{54{,}1}{72{,}0} \approx 0{,}7514\) \(\frac{40{,}6}{54{,}1} \approx 0{,}7505\) \(\frac{30{,}5}{40{,}6} \approx 0{,}7512\) \(\frac{22{,}9}{30{,}5} \approx 0{,}7508\) Die Quotienten sind nahezu identisch (\(\approx 0{,}751\)), was eine exponentielle Abnahme bestätigt. 2. Der Anfangswert ist \(D_0 = D(0) = 72{,}0\). Einsetzen des Punktes \((40 \mid 22{,}9)\): \(22{,}9 = 72{,}0 \cdot e^{-\lambda \cdot 40}\) \(\frac{22{,}9}{72{,}0} = e^{-40\lambda}\) \(\ln\left(\frac{22{,}9}{72{,}0}\right) = -40\lambda\) \(\lambda = -\frac{\ln\left(\frac{22{,}9}{72{,}0}\right)}{40} \approx 0{,}0286\) Die Parameter sind \(D_0 = 72{,}0\) und \(\lambda \approx 0{,}0286\).

1. Da die Quotienten aufeinanderfolgender Werte mit \(\frac{D(t+10)}{D(t)} \approx 0{,}751\) nahezu konstant sind, liegt exponentielle Abnahme vor. 2. \(D_0 = 72{,}0\); \(\lambda \approx 0{,}0286\); somit \(D(t) = 72{,}0e^{-0{,}0286t}\).

- Kannst du die Potenzgesetze nutzen, um den Exponenten so umzuformen, dass nur noch \(t\) im Exponenten steht? - Wie kannst du eine beliebige Basis \(b\) in eine Basis zur Zahl \(e\) umrechnen? - Was muss für den Faktor gelten, der die zeitliche Änderung beschreibt, wenn sich die Gesamtmenge verdoppeln soll? - Achte darauf, dass die prozentuale Änderung pro Sekunde gefragt ist, nicht für den Zeitraum, der in der Basis der Klammer steht.

1. Der Anfangswert ist \(p(0) = 15\). Durch Umformung von \(1{,}04^{0{,}5t} = (1{,}04^{0{,}5})^t = e^{kt}\) ergibt sich \(k = 0{,}5 \cdot \ln(1{,}04) \approx 0{,}0196\). Somit ist \(p(t) = 15e^{0{,}0196t}\). 2. Die Verdopplungszeit wird über \(1{,}04^{0{,}5T_D} = 2\) berechnet. Umstellen nach \(T_D\) liefert \(0{,}5T_D = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}04)}\), also \(T_D = \frac{2 \cdot \ln(2)}{\ln(1{,}04)} \approx 35{,}35\,\text{s}\). 3. Der Wachstumsfaktor pro Sekunde ist \(b = 1{,}04^{0{,}5} \approx 1{,}0198\). Dies entspricht einer Zunahme von ca. \(1{,}98\,\%\) pro Sekunde.

1. \(p(t) = 15e^{0{,}0196t}\) 2. \(T_D \approx 35{,}35\,\text{s}\) 3. Die Zunahme beträgt ca. \(1{,}98\,\%\) pro Sekunde.

- Welche Bedeutung hat der Parameter \(b\) für die jährliche prozentuale Änderung? - Wie lässt sich eine Potenzgleichung der Form \(b^n = c\) nach \(b\) auflösen? - Verwende den Logarithmus, um eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht. - Achte darauf, das berechnete \(t\) wieder dem entsprechenden Kalenderjahr zuzuordnen.

1. Der Anfangswert zum Zeitpunkt \(t = 0\) entspricht \(W_0\), also \(W_0 = 120\). Mit dem Wert nach \(10\) Jahren ergibt sich die Gleichung \(120b^{10} = 195\). Division durch \(120\) liefert \(b^{10} = 1{,}625\). Durch Ziehen der zehnten Wurzel erhält man \(b = \sqrt[10]{1{,}625} \approx 1{,}0498\). 2. Für die Überschreitung von \(300\,\text{€}\) gilt \(120b^t > 300\), also \(b^t > 2{,}5\). Mit dem ungerundeten Wert \(b = \sqrt[10]{1{,}625}\) folgt \(t > \frac{\ln(2{,}5)}{\ln(b)} \approx 18{,}87\). Der Wert überschreitet die Grenze damit erstmals im Jahr 2034.

1. \(W_0 = 120\); \(b \approx 1{,}0498\) 2. Nach ca. \(18{,}87\) Jahren nach 2015; bei Angabe in ganzen Kalenderjahren: 2034.

- Überlege zuerst, ob die Funktion einen Wachstumsprozess oder einen Zerfallsprozess beschreibt. - Bei der Basis \(e\) kannst du direkt den natürlichen Logarithmus verwenden, um die Gleichung zu lösen. - Denk daran, dass der Anfangswert für die Bestimmung der charakteristischen Zeiten keine Rolle spielt. - Welchen Wert muss der Wachstumsfaktor nach Ablauf der gesuchten Zeit annehmen?

1. Für \(f(t) = 40 \cdot 1{,}15^t\) wird die Verdopplungszeit \(T_D\) über die Gleichung \(1{,}15^{T_D} = 2\) berechnet. Durch Logarithmieren ergibt sich \(T_D = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}15)} \approx 4{,}96\). 2. Für \(g(t) = 100e^{-0{,}5t}\) wird die Halbwertszeit \(T_H\) über \(e^{-0{,}5T_H} = 0{,}5\) berechnet. Es folgt \(-0{,}5T_H = \ln(0{,}5)\), woraus \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}5} \approx 1{,}39\) resultiert. 3. Für \(h(t) = 15 \cdot 0{,}98^t\) wird die Halbwertszeit \(T_H\) über \(0{,}98^{T_H} = 0{,}5\) bestimmt. Logarithmieren führt zu \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}98)} \approx 34{,}31\).

a) \(T_D \approx 4{,}96\) b) \(T_H \approx 1{,}39\) c) \(T_H \approx 34{,}31\)

- Wie hängen der Koeffizient \(k\) und die Verdopplungszeit mathematisch zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der der Anfangsbestand \(f(0)\) wegfällt? - Wenn \(10\,\%\) übrig sind, welcher Faktor steht dann vor dem \(f(0)\)? - Nutze das Ergebnis für \(k\) aus der Halbwertszeit, um die Zerfallsdauer zu berechnen.

1. Für die Verdopplung nach \(12\,\text{h}\) gilt \(e^{k \cdot 12} = 2\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(12k = \ln(2)\), also \(k = \frac{\ln(2)}{12} \approx 0{,}0578\). 2. Aus der Halbwertszeit \(T_H = 25\) folgt für den Zerfallskoeffizienten \(k = \frac{\ln(0{,}5)}{25} \approx -0{,}0277\). 3. Um den Zeitpunkt für einen Restbestand von \(10\,\%\) zu finden, wird die Gleichung \(e^{kt} = 0{,}10\) gelöst: \(t = \frac{\ln(0{,}10)}{k} = \frac{\ln(0{,}10) \cdot 25}{\ln(0{,}5)} \approx 83{,}05\,\text{Stunden}\).

a) \(k \approx 0{,}0578\) b) \(t \approx 83{,}05\,\text{Stunden}\)

- Vergleiche die Änderungen zwischen den Zeitpunkten \(t=0, t=3\) und \(t=6\). - Was müsste gelten, damit eine Verdopplung genau alle 5 Monate eintritt? - Nutze Logarithmen, um eine unbekannte Zeitdauer in einer Exponentialgleichung zu bestimmen. - Prüfe erst den Modelltyp und danach die spezifischen Parameter wie die Verdopplungszeit.

1. Überprüfung des linearen Modells (Analyst 1): Die Zunahme im ersten Intervall beträgt \(8000 - 5000 = 3000\). Im zweiten Intervall beträgt sie \(12\,800 - 8000 = 4800\). Da die absoluten Zuwächse verschieden sind, ist das Modell nicht linear. Analyst 1 hat unrecht. 2. Überprüfung des exponentiellen Modells (Analyst 2): Der Wachstumsfaktor für 3 Monate beträgt \(\frac{8000}{5000} = 1{,}6\). Der Faktor für das nächste 3-Monats-Intervall ist \(\frac{12800}{8000} = 1{,}6\). Da die Faktoren konstant sind, ist das Wachstum exponentiell. Analyst 2 hat mit dem Modelltyp recht. 3. Berechnung der tatsächlichen Verdopplungszeit \(T\): Es gilt \(a^3 = 1{,}6\), wobei \(a\) der monatliche Faktor ist. Der Ansatz für die Verdopplung lautet \(a^T = 2\) bzw. \(1{,}6^{\frac{T}{3}} = 2\). Durch Logarithmieren folgt \(\frac{T}{3} \cdot \ln(1{,}6) = \ln(2)\), woraus \(T = \frac{3 \cdot \ln(2)}{\ln(1{,}6)} \approx 4{,}42\) Monate resultiert. 4. Beurteilung: Die behauptete Verdopplungszeit von \(5\) Monaten ist falsch. Die Nutzerzahl verdoppelt sich bereits nach etwa \(4{,}42\) Monaten.

a) Analyst 2 hat recht, da die Nutzerzahlen exponentiell wachsen (konstanter Wachstumsfaktor von \(1{,}6\) je drei Monate). b) Die Prognose der Verdopplungszeit ist inkorrekt. Basierend auf den Daten beträgt die Verdopplungszeit \(T = \frac{3 \cdot \ln(2)}{\ln(1{,}6)} \approx 4{,}42\) Monate und nicht \(5\) Monate.

- Wie wirkt sich eine prozentuale Abnahme auf den Faktor \(b\) aus? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Basis \(b\) und der Basis \(e\)? - Was bedeutet Halbwertszeit für das Verhältnis von Endwert zu Anfangswert? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der die gesuchte Größe im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(a = 250\) und dem Wachstumsfaktor \(b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\): \(m(t) = 250 \cdot 0{,}85^t\). 2. Umrechnung in die Basis \(e\) durch den Ansatz \(e^k = 0{,}85\), woraus \(k = \ln(0{,}85) \approx -0{,}1625\) folgt. Die Gleichung lautet \(m(t) = 250e^{-0{,}1625t}\). 3. Berechnung der Halbwertszeit durch Lösen der Gleichung \(0{,}5 = 0{,}85^T\) oder \(0{,}5 = e^{-0{,}1625T}\). Dies ergibt \(T = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}85)} \approx 4{,}27\,\text{h}\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts für \(10\,\text{mg}\) durch Lösen von \(10 = 250 \cdot 0{,}85^t\). Umformen zu \(0{,}04 = 0{,}85^t\) führt auf \(t = \frac{\ln(0{,}04)}{\ln(0{,}85)} \approx 19{,}81\,\text{h}\).

a) \(m(t) = 250 \cdot 0{,}85^t\) b) \(m(t) = 250e^{-0{,}1625t}\) c) Die Halbwertszeit beträgt ca. \(4{,}27\,\text{Stunden}\). d) Nach ca. \(19{,}81\,\text{Stunden}\) sind noch \(10\,\text{mg}\) vorhanden.

- Was stellt der Wert vor der e-Funktion in diesem Sachzusammenhang dar? - Wie hängen der Exponent der e-Funktion und der jährliche Faktor \(b\) zusammen? - Welche mathematische Operation hilft dir, den Exponenten einer Gleichung zu isolieren? - Spielt der Anfangswert bei der Berechnung der Verdreifachungszeit eine Rolle?

1. Ablesen des Anfangswerts bei \(t = 0\): \(P(0) = 45\,000\). 2. Der jährliche Wachstumsfaktor ergibt sich aus \(b = e^{0{,}028} \approx 1{,}02839\). Die jährliche Wachstumsrate beträgt somit ca. \(2{,}84\,\%\). 3. Zur Berechnung des Zeitpunkts wird die Gleichung \(75\,000 = 45\,000 \cdot e^{0{,}028t}\) gelöst. Umformen ergibt \(\frac{5}{3} = e^{0{,}028t}\) und somit \(t = \frac{\ln\!\left(\frac{5}{3}\right)}{0{,}028} \approx 18{,}24\). Dies entspricht dem Jahr 2038. 4. Die Verdreifachungszeit wird über \(3 = e^{0{,}028t}\) berechnet. Es folgt \(t = \frac{\ln(3)}{0{,}028} \approx 39{,}24\,\text{Jahre}\).

a) \(45\,000\) Einwohner. b) Wachstumsfaktor \(b \approx 1{,}0284\); Wachstumsrate ca. \(2{,}84\,\%\). c) Im Laufe des Jahres 2038. d) Die Einwohnerzahl verdreifacht sich nach ca. \(39{,}24\,\text{Jahren}\).

- Überprüfe, ob sich die Werte in gleichen Zeitabständen immer um denselben Faktor verändern. - Welchen Wert hat die Funktion zum Zeitpunkt Null? - Wie hängen die Basis \(e\) und der Wachstumsfaktor zusammen? - Was bedeutet Verdopplung mathematisch für den Funktionswert im Vergleich zum Anfangswert?

1. Bei gleichen Zeitabständen von \(5\,\text{h}\) sind die Quotienten \(\frac{180}{120}=\frac{270}{180}=\frac{405}{270}=\frac{607{,}5}{405}=1{,}5\). Daher liegt exponentielles Wachstum vor. 2. Aus \(N(0)=120\) folgt \(a=120\). Mit \(N(20)=607{,}5\) gilt \(e^{20k}=5{,}0625\), also \(k=\frac{\ln(5{,}0625)}{20}=\frac{\ln(1{,}5)}{5}\approx0{,}08109\). 3. Damit lautet das Modell \(N(t)=120e^{(\ln(1{,}5)/5)t}\approx120e^{0{,}08109t}\). 4. Für die Verdopplungszeit gilt \(e^{kT_2}=2\). Somit ist \(T_2=\frac{\ln2}{k}=\frac{5\ln2}{\ln1{,}5}\approx8{,}55\,\text{h}\).

a) Der Faktor für jeweils \(5\,\text{h}\) ist konstant \(1{,}5\). b) \(N(t)=120e^{(\ln(1{,}5)/5)t}\approx120e^{0{,}08109t}\) c) \(T_2\approx8{,}55\,\text{h}\)

- Was passiert mit dem Quotienten zweier aufeinanderfolgender Werte, wenn ein exponentieller Prozess vorliegt? - Setze den Anfangswert für \(a\) ein und löse die Gleichung für den Endwert nach \(k\) auf. - Der Parameter \(k\) sollte bei einem Zerfallsprozess negativ sein. - Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte der Ausgangskonzentration vorhanden ist.

1. Bei gleichen Zeitabständen von \(4\,\text{min}\) sind die Quotienten \(\frac{800}{1000}=\frac{640}{800}=\frac{512}{640}=\frac{409{,}6}{512}=0{,}8\). Daher liegt exponentieller Zerfall vor. 2. Aus \(C(0)=1000\) folgt \(a=1000\). Mit \(C(16)=409{,}6\) gilt \(e^{16k}=0{,}4096\), also \(k=\frac{\ln(0{,}4096)}{16}=\frac{\ln(0{,}8)}{4}\approx-0{,}05579\). 3. Damit lautet das Modell \(C(t)=1000e^{(\ln(0{,}8)/4)t}\approx1000e^{-0{,}05579t}\). 4. Für die Halbwertszeit gilt \(e^{kT_H}=0{,}5\). Somit ist \(T_H=\frac{\ln(0{,}5)}{k}=\frac{4\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}8)}\approx12{,}43\,\text{min}\).

a) Der Faktor für jeweils \(4\,\text{min}\) ist konstant \(0{,}8\). b) \(C(t)=1000e^{(\ln(0{,}8)/4)t}\approx1000e^{-0{,}05579t}\) c) \(T_H\approx12{,}43\,\text{min}\)

- Welchen Wert hat die Funktion zum Zeitpunkt Null? - Wie hängen der Wachstumsfaktor und die Basis der e-Funktion zusammen? - Wie lässt sich eine Gleichung nach der Variablen im Exponenten auflösen? - Was sagt die erste Ableitung über den Verlauf einer Größe aus? - Achte auf die Einheiten der Änderungsrate.

1. Bestimmung der Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(b = 450\). Aus der Halbwertszeit \(T_{1/2} = 6\) folgt \(e^{6k} = 0{,}5\), woraus sich \(k = \frac{\ln(0{,}5)}{6} \approx -0{,}1155\) ergibt. Somit gilt \(A(t) = 450e^{-0{,}1155t}\). 2. Bedeutung von \(b\) und Prozentsatz: \(b = 450\) stellt die Anfangsaktivität in \(\text{MBq}\) zum Zeitpunkt \(t = 0\) dar. Der stündliche Abnahmefaktor ist \(a = e^k \approx 0{,}8909\). Dies entspricht einer stündlichen Abnahme von ca. \(10{,}91\,\%\). 3. Schwellenwert: Gesucht ist \(450e^{-0{,}1155t} < 20\). Durch Logarithmieren erhält man \(t > \frac{\ln\!\left(\frac{20}{450}\right)}{-0{,}1155} \approx 26{,}95\). Die Aktivität liegt also für \(t > 26{,}95\) unter \(20\,\text{MBq}\). 4. Änderungsrate: Mit dem ungerundeten Parameter \(k = \frac{\ln(0{,}5)}{6}\) lautet die Ableitung \(A'(t) = 450ke^{kt}\). Damit gilt \(A'(0) \approx -51{,}99\,\text{MBq}/\text{h}\) und \(A'(12) \approx -13{,}00\,\text{MBq}/\text{h}\). Die negativen Werte beschreiben die momentane Abnahme der Aktivität pro Stunde.

a) \(A(t) = 450e^{-0{,}1155t}\) b) \(b = 450\,\text{MBq}\) ist die Anfangsaktivität. Die stündliche Abnahme beträgt ca. \(10{,}91\,\%\). c) Für \(t > 26{,}95\,\text{Stunden}\) liegt die Aktivität unter \(20\,\text{MBq}\). d) \(A'(t) = 450ke^{kt}\) mit \(k = \frac{\ln(0{,}5)}{6}\). \(A'(0) \approx -51{,}99\,\text{MBq}/\text{h}\), \(A'(12) \approx -13{,}00\,\text{MBq}/\text{h}\).

- Überlege zuerst, wie du den stündlichen Wachstumsfaktor in die Wachstumskonstante \(k\) der \(e\)-Funktion umrechnen kannst. - Was bedeutet es mathematisch, wenn nach einem Zeitpunkt gefragt wird, an dem zwei Bestände gleich groß sind? - Erinnere dich daran, dass die Änderungsrate der Ableitung der Bestandsfunktion entspricht. - Achte bei der Interpretation der Änderungsrate auf das Vorzeichen und die Einheiten.

1. Bestimmung der Parameter für Kultur A: \(b_A = 1200\), Wachstumsfaktor \(q_A = 1{,}042\). Berechnung von \(k_A = \ln(1{,}042) \approx 0{,}0411\). Funktion: \(f_A(t) = 1200e^{0{,}0411t}\). 2. Bestimmung der Parameter für Kultur B: \(b_B = 5000\), Wachstumsfaktor \(q_B = 0{,}965\). Berechnung von \(k_B = \ln(0{,}965) \approx -0{,}0356\). Funktion: \(f_B(t) = 5000e^{-0{,}0356t}\). 3. Zeitpunkt für \(2000\) Zellen in A: Ansatz \(1200 \cdot e^{0{,}0411t} = 2000\). Auflösen nach \(t = \frac{\ln\!\left(\frac{2000}{1200}\right)}{0{,}0411} \approx 12{,}42\,\text{h}\). 4. Schnittpunkt berechnen: \(1200 \cdot e^{0{,}0411t} = 5000 \cdot e^{-0{,}0356t} \implies e^{(0{,}0411 + 0{,}0356)t} = \frac{5000}{1200}\). Lösung \(t = \frac{\ln\!\left(\frac{25}{6}\right)}{0{,}0767} \approx 18{,}59\,\text{h}\). 5. Wachstumsgeschwindigkeiten (Ableitungen): \(f_A'(t) = 1200 \cdot 0{,}0411 \cdot e^{0{,}0411t}\) und \(f_B'(t) = 5000 \cdot (-0{,}0356) \cdot e^{-0{,}0356t}\). 6. Werte für B: \(f_B'(0) \approx -178{,}14\) Zellen pro Stunde (momentane Abnahme zu Beginn). \(f_B'(10) = -178{,}14 \cdot e^{-0{,}356} \approx -124{,}75\) Zellen pro Stunde (momentane Abnahme nach \(10\) Stunden).

a) \(f_A(t) = 1200e^{0{,}0411t}\); \(f_B(t) = 5000e^{-0{,}0356t}\) b) Nach ca. \(12{,}42\) Stunden. c) Nach ca. \(18{,}59\) Stunden. d) \(f_A'(t) \approx 49{,}32 \cdot e^{0{,}0411t}\); \(f_B'(t) \approx -178 \cdot e^{-0{,}0356t}\). Zum Zeitpunkt \(t=0\) nimmt der Bestand um ca. \(178\) Zellen pro Stunde ab, nach \(10\) Stunden um ca. \(125\) Zellen pro Stunde.

- Wie hängen der prozentuale Rückgang und der Faktor \(q\) zusammen, wenn du eine \(e\)-Funktion aufstellst? - Bei der Halbwertszeit suchst du die Zeit, nach der nur noch die Hälfte des Startwerts vorhanden ist. Spielt der Startwert dabei eine Rolle für das Endergebnis? - Nutze den Logarithmus, um Gleichungen nach der Zeit \(t\) im Exponenten aufzulösen. - Wenn zwei Bestände gleichgesetzt werden, kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit \(t\) auf einer Seite stehen.

1. Parameter Fichte: \(V_0 = 8000\), \(q = 0{,}972 \implies k_F = \ln(0{,}972) \approx -0{,}0284\). Funktion: \(V_F(t) = 8000e^{-0{,}0284t}\). 2. Parameter Buche: \(V_0 = 2500\), \(q = 1{,}015 \implies k_B = \ln(1{,}015) \approx 0{,}0149\). Funktion: \(V_B(t) = 2500e^{0{,}0149t}\). 3. Halbwertszeit Fichte: Ansatz \(e^{-0{,}0284t} = 0{,}5\). Lösung \(t = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}0284} \approx 24{,}41\) Jahre. 4. Zielwert Buche: \(2500 \cdot e^{0{,}0149t} = 4000 \implies e^{0{,}0149t} = 1{,}6\). Lösung \(t = \frac{\ln(1{,}6)}{0{,}0149} \approx 31{,}54\) Jahre. 5. Gleichheit der Bestände: \(8000 \cdot e^{-0{,}0284t} = 2500 \cdot e^{0{,}0149t} \implies \frac{8000}{2500} = e^{(0{,}0149 + 0{,}0284)t}\). Lösung \(3{,}2 = e^{0{,}0433t} \implies t = \frac{\ln(3{,}2)}{0{,}0433} \approx 26{,}86\) Jahre.

a) \(V_F(t) = 8000e^{-0{,}0284t}\); \(V_B(t) = 2500e^{0{,}0149t}\) b) Nach ca. \(24{,}4\) Jahren. c) Nach ca. \(31{,}5\) Jahren. d) Nach ca. \(26{,}9\) Jahren.

- Was passiert mit dem Exponentialterm, wenn die Zeit sehr groß wird? - Welchen Wert hat die Zeitvariable zum Zeitpunkt des Messbeginns? - Mit welchem mathematischen Werkzeug berechnet man die Steigung oder Änderungsrate einer Funktion? - Wie löst man eine Gleichung nach der Variable im Exponenten auf?

1. Zur Bestimmung der Anfangstemperatur wird \(t = 0\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(f(0) = 21 + 154 \cdot e^{0} = 21 + 154 = 175\). Die Anfangstemperatur beträgt \(175\,^\circ\text{C}\). 2. Für die Umgebungstemperatur wird der Grenzwert für \(t \to \infty\) betrachtet. Da \(e^{-0{,}038t} \to 0\), nähert sich die Temperatur dem Wert \(21\,^\circ\text{C}\) an. 3. Die Temperatur nach \(40\) Minuten ergibt sich durch Einsetzen von \(t = 40\): \(f(40) = 21 + 154 \cdot e^{-0{,}038 \cdot 40} = 21 + 154 \cdot e^{-1{,}52} \approx 21 + 154 \cdot 0{,}2187 \approx 54{,}68\). Die Temperatur beträgt ca. \(54{,}7\,^\circ\text{C}\). 4. Die momentane Änderungsrate wird durch die Ableitung \(f'(t) = 154 \cdot (-0{,}038) \cdot e^{-0{,}038t} = -5{,}852 \cdot e^{-0{,}038t}\) beschrieben. 5. Zur Bestimmung des Zeitpunkts wird die Gleichung \(f'(t) = -1{,}2\) gelöst: \(-5{,}852 \cdot e^{-0{,}038t} = -1{,}2 \implies e^{-0{,}038t} = \frac{-1{,}2}{-5{,}852} \approx 0{,}20506\). 6. Logarithmieren führt zu \(-0{,}038t = \ln(0{,}20506) \approx -1{,}5844\). Daraus folgt \(t = \frac{-1{,}5844}{-0{,}038} \approx 41{,}7\). Nach etwa \(41{,}7\) Minuten beträgt die Abkühlrate \(-1{,}2\,{}^\circ\text{C}/\text{min}\).

a) Anfangstemperatur: \(175\,^\circ\text{C}\); Umgebungstemperatur: \(21\,^\circ\text{C}\) b) ca. \(54{,}7\,^\circ\text{C}\) c) nach ca. \(41{,}7\) Minuten

- Überlege dir, wie du den Zuwachs über einen Zeitraum berechnest, wenn die Gesamthöhe zu jedem Zeitpunkt bekannt ist. - Achte auf die Einheiten in der Aufgabenstellung und rechne dein Ergebnis gegebenenfalls um. - Um eine Gleichung nach einer Unbekannten im Exponenten aufzulösen, ist der Logarithmus ein hilfreiches Werkzeug. - Wie lassen sich Funktionswerte grafisch darstellen? Überlege, was eine waagerechte Linie im Graphen bedeutet.

1. Berechnung der Anfangshöhe zum Zeitpunkt \(t = 0\): \(h(0) = \frac{3{,}2 \cdot e^0}{e^0 + 7} = \frac{3{,}2}{8} = 0{,}4\,\text{m}\). 2. Berechnung der Höhe nach vier Jahren: \(h(4) = \frac{3{,}2 \cdot e^2}{e^2 + 7} \approx 1{,}643\,\text{m}\). 3. Differenzbildung für den Zuwachs: \(1{,}643\,\text{m} - 0{,}4\,\text{m} = 1{,}243\,\text{m}\). Umrechnung in Zentimeter ergibt ca. \(124{,}3\,\text{cm}\). 4. Ansatz für die Zielhöhe: \(2{,}5 = \frac{3{,}2 \cdot e^{0{,}5t}}{e^{0{,}5t} + 7}\). 5. Umformen der Gleichung: \(2{,}5 \cdot (e^{0{,}5t} + 7) = 3{,}2 \cdot e^{0{,}5t} \Rightarrow 2{,}5 \cdot e^{0{,}5t} + 17{,}5 = 3{,}2 \cdot e^{0{,}5t} \Rightarrow 0{,}7 \cdot e^{0{,}5t} = 17{,}5\). 6. Lösen nach \(t\): \(e^{0{,}5t} = 25 \Rightarrow 0{,}5t = \ln(25) \Rightarrow t = 2 \cdot \ln(25) \approx 6{,}44\). Der Baum erreicht die Höhe nach etwa \(6{,}4\) Jahren. 7. Grafische Überprüfung: Man zeichnet eine horizontale Gerade mit der Gleichung \(y = 2{,}5\) in das Koordinatensystem ein und bestimmt den \(t\)-Wert (Abszisse) des Schnittpunkts dieser Geraden mit dem Graphen der Funktion \(h\).

a) Der Baum wächst um ca. \(124{,}3\,\text{cm}\). b) Der Baum erreicht die Höhe nach ca. \(6{,}44\) Jahren. Zur grafischen Überprüfung ermittelt man den Schnittpunkt des Graphen mit der waagerechten Geraden \(y = 2{,}5\) und liest dessen \(t\)-Koordinate ab.

- Was bedeutet „neu erfahren“ mathematisch im Hinblick auf die Bestandsfunktion? - Berechne zuerst, welcher absoluten Personenanzahl der Prozentsatz entspricht. - Denke beim Lösen der Gleichung daran, die Terme mit der Basis \(e\) auf eine Seite zu bringen. - Wie findet man einen bestimmten Funktionswert auf der \(y\)-Achse wieder und wie gelangt man von dort zum passenden Zeitpunkt?

1. Bestimmung der Anzahl der Personen zum Startzeitpunkt \(t = 0\): \(N(0) = \frac{10000}{1 + 19} = 500\). 2. Bestimmung der Anzahl nach fünf Stunden: \(N(5) = \frac{10000 \cdot e^2}{e^2 + 19} \approx \frac{73891}{26{,}389} \approx 2800\). 3. Berechnung der Differenz: \(2800 - 500 = 2300\). Innerhalb der ersten fünf Stunden haben ca. \(2300\) Personen die Nachricht neu erfahren. 4. Berechnung des Zielwerts für \(75\,\%\): \(0{,}75 \cdot 10\,000 = 7500\). 5. Ansatz und Umformung: \(7500 = \frac{10000 \cdot e^{0{,}4t}}{e^{0{,}4t} + 19} \Rightarrow 0{,}75 = \frac{e^{0{,}4t}}{e^{0{,}4t} + 19} \Rightarrow 0{,}75 \cdot e^{0{,}4t} + 14{,}25 = e^{0{,}4t}\). 6. Isolieren von \(e^{0{,}4t}\): \(0{,}25 \cdot e^{0{,}4t} = 14{,}25 \Rightarrow e^{0{,}4t} = 57\). 7. Lösen nach \(t\): \(0{,}4t = \ln(57) \Rightarrow t = \frac{\ln(57)}{0{,}4} \approx 10{,}11\). Nach etwa \(10{,}1\) Stunden kennen \(75\,\%\) die Nachricht. 8. Grafische Verifizierung: Man sucht auf der \(y\)-Achse den Wert \(7500\), geht von dort waagerecht zum Graphen und liest an der \(t\)-Achse den zugehörigen Zeitwert ab.

a) Ca. \(2300\) Personen haben die Nachricht neu erfahren. b) Nach ca. \(10{,}11\) Stunden kennen \(75\,\%\) die Nachricht. Grafisch entspricht dies der \(t\)-Koordinate des Schnittpunkts von \(G_N\) mit der Geraden \(y = 7500\).

- Wie bestimmt man das Monotonieverhalten einer Funktion mithilfe der Ableitung? - Welchen Wert nimmt die Exponentialfunktion \(e^{-kt}\) an, wenn \(t\) sehr groß wird? - Kann ein Ausdruck der Form \(22 - \text{etwas Positives}\) jemals größer als 22 sein? - Setze für die Überprüfung der Gleichung einfach den Term von \(T(t)\) und dessen Ableitung ein und vereinfache.

1. Die erste Ableitung ist \(T'(t) = -14 \cdot (-0{,}1) \cdot e^{-0{,}1t} = 1{,}4 \cdot e^{-0{,}1t}\). Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für alle reellen \(x\) positiv ist, gilt \(T'(t) > 0\) für alle \(t \ge 0\). Somit ist \(T\) streng monoton steigend. 2. Für \(t \to \infty\) strebt der Term \(e^{-0{,}1t}\) gegen \(0\). Damit gilt \(\lim_{t \to \infty} (22 - 14 \cdot e^{-0{,}1t}) = 22 - 0 = 22\). Da \(14 \cdot e^{-0{,}1t}\) für jedes endliche \(t\) positiv ist, wird stets ein positiver Wert von \(22\) subtrahiert, sodass \(T(t) < 22\) für alle \(t\) gilt. 3. Die linke Seite der Gleichung ist \(T'(t) = 1{,}4e^{-0{,}1t}\). Für die rechte Seite setzen wir den Funktionsterm ein: \(0{,}1 \cdot (22 - (22 - 14 \cdot e^{-0{,}1t})) = 0{,}1 \cdot (14 \cdot e^{-0{,}1t}) = 1{,}4 \cdot e^{-0{,}1t}\). Beide Seiten sind identisch.

1. \(T'(t) = 1{,}4e^{-0{,}1t} > 0\), daher streng monoton steigend. 2. \(\lim_{t \to \infty} T(t) = 22\); da \(14 \cdot e^{-0{,}1t} > 0\), folgt \(T(t) < 22\). 3. Einsetzen ergibt \(1{,}4 \cdot e^{-0{,}1t} = 0{,}1 \cdot (14 \cdot e^{-0{,}1t})\), was eine wahre Aussage ist.

- Was bedeutet „Anfangsbestand“ für den Wert von \(t\)? - Bilde die erste Ableitung und vergleiche sie mit dem Term für die Differenz \(400 - B(t)\). - Um eine Gleichung nach \(t\) im Exponenten aufzulösen, ist der natürliche Logarithmus hilfreich. - Achte beim Umstellen der Gleichung darauf, zuerst den Term mit der Exponentialfunktion zu isolieren.

1. Anfangsbestand: \(B(0) = 400 - 320 \cdot e^0 = 400 - 320 = 80\). Bestand nach \(20\) Jahren: \(B(20) = 400 - 320 \cdot e^{-0{,}05 \cdot 20} = 400 - 320 \cdot e^{-1} \approx 282{,}28\). Es befinden sich also etwa \(282\) Vögel im Gebiet. 2. Die Ableitung ist \(B'(t) = -320 \cdot (-0{,}05) \cdot e^{-0{,}05t} = 16 \cdot e^{-0{,}05t}\). Die Differenz zur Kapazitätsgrenze ist \(400 - B(t) = 400 - (400 - 320 \cdot e^{-0{,}05t}) = 320 \cdot e^{-0{,}05t}\). Es gilt \(B'(t) = 16e^{-0{,}05t} = 0{,}05 \cdot (320 \cdot e^{-0{,}05t}) = 0{,}05(400 - B(t))\). Der Proportionalitätsfaktor ist \(k = 0{,}05\). 3. Ansatz: \(350 = 400 - 320 \cdot e^{-0{,}05t} \iff 50 = 320 \cdot e^{-0{,}05t} \iff \frac{5}{32} = e^{-0{,}05t}\). Anwendung des Logarithmus: \(\ln(\frac{5}{32}) = -0{,}05t \iff t = \frac{\ln(0{,}15625)}{-0{,}05} \approx 37{,}13\). Nach etwa \(37\) Jahren beträgt der Bestand \(350\) Vögel.

1. Anfangsbestand: \(80\) Vögel; nach \(20\) Jahren: ca. \(282\) Vögel. 2. \(B'(t) = 0{,}05(400 - B(t))\), Proportionalitätsfaktor \(k = 0{,}05\). 3. \(t \approx 37{,}13\) Jahre.

- Überlege, welchen maximalen Wert die Funktion \(g(t)\) langfristig erreichen kann. - Wann ist das Doppelte eines Wertes noch kleiner als diese Grenze? - Setze für die Berechnung der Verdopplungszeit den Funktionswert zum Zeitpunkt \(t+T_V\) gleich dem zweifachen Funktionswert zum Zeitpunkt \(t\). - Betrachte für die Begründung den Verlauf der Steigung der Funktion.

1. Eine Verdopplung ist nur möglich, wenn der doppelte Bestandswert unterhalb der Sättigungsgrenze von \(120\) liegt: \(2g(t) < 120 \Rightarrow g(t) < 60\). 2. Lösen der Ungleichung \(120 - 90 \cdot e^{-0{,}2t} < 60\) führt zu \(60 < 90 \cdot e^{-0{,}2t} \Rightarrow e^{-0{,}2t} > \frac{2}{3}\). 3. Logarithmieren ergibt \(-0{,}2t > \ln(\frac{2}{3}) \Rightarrow t < -5 \cdot \ln(\frac{2}{3}) \approx 2{,}03\). Somit ist eine Verdopplung für \(t \in [0; 2{,}03)\) möglich. 4. Für \(t=0\) gilt \(g(0) = 30\). Die Verdopplungszeit \(T_V\) erfüllt \(g(T_V) = 60\). 5. \(120 - 90 \cdot e^{-0{,}2T_V} = 60 \Rightarrow e^{-0{,}2T_V} = \frac{2}{3} \Rightarrow T_V = -5 \cdot \ln(\frac{2}{3}) \approx 2{,}03\,\text{h}\). 6. Da die Wachstumsgeschwindigkeit \(g'(t)\) bei begrenztem Wachstum streng monoton abnimmt und der für eine Verdopplung absolut notwendige Zuwachs \(\Delta g = g(t)\) mit steigendem \(t\) zunimmt, muss die benötigte Zeit \(T_V\) für diesen größeren Zuwachs bei geringerem Tempo steigen.

a) Eine Verdopplung ist für alle \(t\) mit \(0 \le t < 5 \cdot \ln(1{,}5) \approx 2{,}03\) möglich. b) Die Verdopplungszeit beträgt \(T_V \approx 2{,}03\,\text{Stunden}\). c) Die Verdopplungszeit \(T_V\) nimmt mit zunehmendem \(t\) zu, da die Wachstumsrate sinkt und der absolut zu erbringende Zuwachs für eine Verdopplung gleichzeitig größer wird.

- Überlege dir zuerst, welcher Wert in der Funktionsgleichung dem Anfangsbestand entspricht. - Wie hängen der Wachstumsfaktor und der Koeffizient im Exponenten zusammen? - Die Verdopplungszeit hängt bei exponentiellem Wachstum nicht vom Startwert ab. - Was sagt die erste Ableitung einer Bestandsfunktion über den Prozess aus?

1. Bestimmung von \(a\) und \(k\): Aus \(f(0) = 250\) folgt \(a = 250\). Mit \(f(5) = 600\) ergibt sich \(600 = 250 \cdot e^{5k}\). Division durch \(250\) liefert \(2{,}4 = e^{5k}\). Logarithmieren führt zu \(5k = \ln(2{,}4)\), woraus \(k = \frac{\ln(2{,}4)}{5} \approx 0{,}1751\) folgt. Die Funktion lautet \(f(t) = 250e^{0{,}1751t}\). 2. Verdopplungszeit \(T_V\): Ansatz \(e^{kT_V} = 2\). Auflösen nach \(T_V\) ergibt \(T_V = \frac{\ln(2)}{k} = \frac{5 \cdot \ln(2)}{\ln(2{,}4)} \approx 3{,}96\,\text{h}\). 3. Zeitpunkt für \(2500\,\text{mm}^2\): Ansatz \(2500 = 250 \cdot e^{kt}\). Division durch \(250\) ergibt \(10 = e^{kt}\). Logarithmieren liefert \(t = \frac{\ln(10)}{k} = \frac{5 \cdot \ln(10)}{\ln(2{,}4)} \approx 13{,}15\,\text{h}\). 4. Momentane Wachstumsrate: Die Ableitungsfunktion ist \(f'(t) = a \cdot k \cdot e^{kt}\). Für \(t = 8\) ergibt sich mit \(k = \frac{\ln(2{,}4)}{5}\): \(f'(8) = 250 \cdot k \cdot e^{k \cdot 8} \approx 177{,}64\,\text{mm}^2/\text{h}\).

a) \(f(t) = 250e^{0{,}1751t}\) b) \(T_V \approx 3{,}96\,\text{Stunden}\) c) Nach ca. \(13{,}15\,\text{Stunden}\) d) \(f'(8) \approx 177{,}64\,\text{mm}^2/\text{h}\)

- Achte auf das Vorzeichen im Exponenten bei Zerfallsprozessen. - Welchen Anteil der ursprünglichen Menge hat man nach einer Halbwertszeit noch übrig? - Die momentane Änderungsrate berechnest du mit Hilfe der Ableitung. Was bedeutet ein negatives Vorzeichen in diesem Zusammenhang? - Kannst du die Gleichung für den gesuchten Zeitpunkt durch Logarithmieren lösen?

a) Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(m_0 = 120\). Mit \(m(10) = 45\) folgt \(45 = 120 \cdot e^{-10\lambda}\). Division liefert \(0{,}375 = e^{-10\lambda}\). Logarithmieren ergibt \(-10\lambda = \ln(0{,}375)\), also \(\lambda = -\frac{\ln(0{,}375)}{10} \approx 0{,}0981\). Die Funktion ist \(m(t) = 120e^{-\lambda t}\), näherungsweise also \(m(t) \approx 120e^{-0{,}0981t}\). b) Halbwertszeit \(T_H\): Ansatz \(e^{-\lambda T_H} = 0{,}5\). Auflösen ergibt \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{-\lambda} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx 7{,}07\,\text{Tage}\). c) Zeitpunkt für \(10\,\text{mg}\): Ansatz \(10 = 120 \cdot e^{-\lambda t}\). Dies führt zu \(\frac{1}{12} = e^{-\lambda t}\). Logarithmieren ergibt \(t = \frac{\ln(12)}{\lambda} \approx 25{,}33\,\text{Tage}\). d) Zerfallsrate: Die Ableitung ist \(m'(t) = -m_0 \cdot \lambda \cdot e^{-\lambda t}\). Zu Beginn (\(t=0\)): \(m'(0) = -120 \cdot 0{,}0981 \approx -11{,}77\,\frac{\text{mg}}{\text{Tag}}\). Nach \(20\) Tagen gilt mit \(\lambda = -\frac{\ln(0{,}375)}{10}\): \(m'(20) = -120 \cdot \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot 20} \approx -1{,}66\,\frac{\text{mg}}{\text{Tag}}\).

a) \(m(t) = 120e^{-\lambda t}\) mit \(\lambda = -\frac{\ln(0{,}375)}{10} \approx 0{,}0981\), also näherungsweise \(m(t) \approx 120e^{-0{,}0981t}\) b) \(T_H \approx 7{,}07\,\text{Tage}\) c) Nach ca. \(25{,}33\,\text{Tagen}\) d) \(m'(0) \approx -11{,}77\,\frac{\text{mg}}{\text{Tag}}\); \(m'(20) \approx -1{,}66\,\frac{\text{mg}}{\text{Tag}}\)

- Überlege dir zuerst, welches Wachstumsmodell (diskret oder stetig) für den jeweiligen Aufgabenteil anzuwenden ist. - Wie unterscheiden sich die Formeln für jährliche und stetige Verzinsung in ihrem Aufbau? - Für den Vergleich der Zinssätze hilft es, die Wachstumsfaktoren für ein einzelnes Jahr gleichzusetzen. - Denk daran, dass Zinsen immer die Differenz zwischen dem Endwert und dem Anfangswert sind.

1. Berechnung für jährliche Verzinsung: Das Endkapital ergibt sich durch \(K(5) = 15\,000 \cdot 1{,}032^5 \approx 17\,558{,}59\,\text{€}\). Die Zinsen betragen somit \(17\,558{,}59\,\text{€} - 15\,000\,\text{€} = 2558{,}59\,\text{€}\). 2. Berechnung für stetige Verzinsung: Das Endkapital wird mit der Formel \(K(t) = K_0e^{kt}\) berechnet: \(K(5) = 15\,000 \cdot e^{0{,}032 \cdot 5} = 15\,000 \cdot e^{0{,}16} \approx 17\,602{,}66\,\text{€}\). Die Zinsen belaufen sich auf \(17\,602{,}66\,\text{€} - 15\,000\,\text{€} = 2602{,}66\,\text{€}\). 3. Bestimmung des äquivalenten Zinssatzes: Es muss gelten \(1 + i = e^{0{,}032}\). Daraus folgt \(i = e^{0{,}032} - 1 \approx 0{,}032518\). Der gesuchte Zinssatz beträgt somit \(p \approx 3{,}25\,\%\).

a) Endkapital: \(17\,558{,}59\,\text{€}\); Zinsen: \(2558{,}59\,\text{€}\) b) Endkapital: \(17\,602{,}66\,\text{€}\); Zinsen: \(2602{,}66\,\text{€}\) c) \(p = 3{,}25\,\%\)

- Setze die gegebenen Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Unbekannte im Exponenten zu finden. - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil der Exponentialfunktion, um eine Variable aus dem Exponenten zu lösen? - Der Wachstumsfaktor pro Zeiteinheit lässt sich direkt aus dem Teil der Formel ablesen, der die Basis für den Zeitschritt bildet. - Was bedeutet „Verdopplung“ mathematisch für das Verhältnis zwischen dem Wert zu einem Zeitpunkt \(t\) und dem Anfangswert?

1. Bestimmung von \(k\): Aus \(1850 = 1200 \cdot e^{k \cdot 3}\) folgt \(e^{3k} = \frac{1850}{1200} \approx 1{,}5417\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(3k = \ln\left(\frac{1850}{1200}\right)\), woraus \(k \approx 0{,}1443\) folgt. Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = 1200e^{0{,}1443t}\). 2. Prozentuale Zunahme: Der Wachstumsfaktor für eine Stunde ist \(a = e^k = e^{0{,}1443} \approx 1{,}1552\). Dies entspricht einer Zunahme von ca. \(15{,}52\,\%\). 3. Verdopplungszeit: Gesucht ist \(t\) mit \(2N_0 = N_0e^{kt}\), also \(2 = e^{0{,}1443t}\). Auflösen nach \(t\) liefert \(t = \frac{\ln(2)}{0{,}1443} \approx 4{,}80\) Stunden.

a) \(k \approx 0{,}1443\); \(N(t) = 1200e^{0{,}1443t}\) b) ca. \(15{,}52\,\%\) c) nach ca. \(4{,}80\,\text{h}\)

- Kannst du den Anfangswert direkt aus dem Text ablesen? - Wie kannst du den Wachstumsfaktor mit Hilfe der gegebenen Werte nach 8 Tagen berechnen? - Was bedeutet „Wachstumsgeschwindigkeit“ mathematisch im Zusammenhang mit der Funktion? - Welche Gleichung musst du lösen, um herauszufinden, wann eine bestimmte Fläche erreicht wird?

1. Der Anfangswert ist \(b = A(0) = 2{,}5\). Mit \(A(8) = 4{,}2\) ergibt sich \(2{,}5 \cdot e^{8k} = 4{,}2\). Somit ist \(k = \frac{\ln(4{,}2 / 2{,}5)}{8} \approx 0{,}06485\). Die Funktion lautet \(A(t) = 2{,}5e^{0{,}06485t}\). 2. Für \(20\,\text{m}^2\) gilt \(2{,}5 \cdot e^{0{,}06485t} = 20\). Daraus folgt \(t = \frac{\ln(8)}{k} \approx 32{,}07\). Nach etwa \(32{,}1\) Tagen wird der Wert erreicht. 3. Aus \(e^{kT_d} = 2\) folgt \(T_d = \frac{\ln(2)}{k} \approx 10{,}69\). Die Verdopplungszeit beträgt ca. \(10{,}7\) Tage. 4. Die Ableitung ist \(A'(t) = 2{,}5 \cdot k \cdot e^{kt}\). Zu Beginn: \(A'(0) = 2{,}5 \cdot 0{,}06485 \approx 0{,}162\), also ca. \(0{,}16\,\text{m}^2/\text{Tag}\). Nach \(14\) Tagen: \(A'(14) = 2{,}5 \cdot k \cdot e^{14k} \approx 0{,}402\), also ca. \(0{,}40\,\text{m}^2/\text{Tag}\).

a) \(A(t) = 2{,}5e^{0{,}06485t}\); Zeitpunkt: nach ca. \(32{,}1\) Tagen. b) \(T_d \approx 10{,}7\) Tage. c) \(A'(0) \approx 0{,}16\,\text{m}^2/\text{Tag}\); \(A'(14) \approx 0{,}40\,\text{m}^2/\text{Tag}\).

- Woran erkennst du in der Aufgabenstellung, ob der Parameter \(k\) positiv oder negativ sein muss? - Wie unterscheidet sich die Berechnung der Halbwertszeit von der der Verdopplungszeit? - Was gibt das Vorzeichen der momentanen Änderungsrate über den Prozess an? - Denk daran, dass die Einheiten der Änderungsrate aus den Einheiten der Konzentration und der Zeit zusammengesetzt sind.

1. Der Anfangswert ist \(b = C(0) = 120\). Aus \(C(5) = 120 \cdot e^{5k} = 75\) folgt \(e^{5k} = 0{,}625\). Damit ist \(k = \frac{\ln(0{,}625)}{5} \approx -0{,}0940\). Die Funktion ist \(C(t) = 120e^{-0{,}0940t}\). 2. Aus \(120 \cdot e^{-0{,}0940t} = 10\) folgt \(t = \frac{\ln(1/12)}{-0{,}0940} \approx 26{,}44\). Nach ca. \(26{,}4\) Stunden wird dieser Wert erreicht. 3. Aus \(e^{kT_h} = 0{,}5\) folgt \(T_h = \frac{\ln(0{,}5)}{k} \approx 7{,}37\). Die Halbwertszeit beträgt ca. \(7{,}4\) Stunden. 4. Die Ableitung lautet \(C'(t) = 120 \cdot k \cdot e^{kt}\). Zum Zeitpunkt \(t = 0\): \(C'(0) = 120 \cdot (-0{,}0940) \approx -11{,}28\), also ca. \(-11{,}3\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{h})\). Zum Zeitpunkt \(t = 10\): \(C'(10) = 120 \cdot k \cdot e^{10k} \approx -4{,}41\), also ca. \(-4{,}4\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{h})\).

a) \(C(t) = 120e^{-0{,}0940t}\); Zeitpunkt: nach ca. \(26{,}4\) Stunden. b) \(T_h \approx 7{,}4\) Stunden. c) \(C'(0) \approx -11{,}3\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{h})\); \(C'(10) \approx -4{,}4\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{h})\).

- Überlege dir, was mit dem e-Term passiert, wenn die Zeit sehr groß wird. - Setze die Funktionsgleichung mit dem gesuchten Wert gleich und löse nach der Variable im Exponenten auf. - Erinnere dich an die Quotientenregel oder die Kettenregel für Brüche, um die Steigung zu berechnen. - Überlege, was die erste Ableitung über die Steigung aussagt und was ein Maximum der Steigung für die Krümmung bedeutet.

1. \(N(0) = \frac{2000}{40} = 50\). Zu Beginn kennen \(50\) Personen die Nachricht. 2. Da \(e^{-0{,}4t} \to 0\), gilt \(\lim_{t \to \infty} N(t) = 2000\). Langfristig kennen alle \(2000\) Einwohner die Nachricht. 3. Aus \(1000 = \frac{2000}{1 + 39e^{-0{,}4t_0}}\) folgt \(e^{0{,}4t_0} = 39\) und damit \(t_0 = \frac{\ln(39)}{0{,}4} \approx 9{,}16\). 4. Die erste Ableitung ist \(N'(t) = \frac{31200e^{-0{,}4t}}{(1 + 39e^{-0{,}4t})^2}\). Damit ist \(N'(0) = \frac{31200}{1600} = 19{,}5\). Die momentane Änderungsrate beträgt \(19{,}5\) Personen pro Stunde. 5. Da \(N'(t)\) bei \(t_0\) ein Maximum besitzt, liegt am Graphen von \(N\) bei \(t_0\) ein Wendepunkt vor; dort gilt \(N''(t_0) = 0\).

a) \(N(0) = 50\); \(\lim_{t \to \infty} N(t) = 2000\). b) \(t_0 = \frac{\ln(39)}{0{,}4} \approx 9{,}16\,\text{h}\). c) \(N'(0) = 19{,}5\,\frac{\text{Personen}}{\text{h}}\). d) Wendepunkt, da die erste Ableitung dort ein Maximum hat.

- Wie verhält sich ein Bruch, wenn der Nenner immer kleiner wird, aber positiv bleibt? - Nutze Logarithmusgesetze, um Gleichungen mit e-Funktionen zu lösen. - Die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht der ersten Ableitung der Höhenfunktion. - Achte auf die Einheiten in deiner Interpretation.

1. \(h(0) = \frac{3}{6} = 0{,}5\,\text{m}\). Für \(t \to \infty\) gilt \(e^{-0{,}2t} \to 0\), also \(h(t) \to 3\,\text{m}\). 2. \(e^{-0{,}2t}\) ist streng monoton fallend. Daher ist auch der positive Nenner \(1 + 5e^{-0{,}2t}\) streng monoton fallend. Bei konstant positivem Zähler steigt der Bruch somit streng monoton. 3. Aus \(1{,}5 = \frac{3}{1 + 5e^{-0{,}2t}}\) folgt \(e^{0{,}2t} = 5\) und damit \(t = \frac{\ln(5)}{0{,}2} = 5 \cdot \ln(5) \approx 8{,}05\). 4. Die erste Ableitung ist \(h'(t) = \frac{3e^{-0{,}2t}}{(1 + 5e^{-0{,}2t})^2}\). Damit gilt \(h'(10) = \frac{3 \cdot e^{-2}}{(1 + 5e^{-2})^2} \approx \frac{0{,}4060}{2{,}8112} \approx 0{,}144\). Die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt ca. \(0{,}144\,\text{m}/\text{Woche}\).

a) Anfangshöhe: \(0{,}5\,\text{m}\); maximale Höhe: \(3\,\text{m}\). b) Da der positive Nenner mit wachsendem \(t\) kleiner wird, nimmt der Wert des Bruches zu. c) \(t = 5 \cdot \ln(5) \approx 8{,}05\,\text{Wochen}\). d) \(h'(10) \approx 0{,}144\,\text{m}/\text{Woche}\).

- Welche Temperatur wird das Bauteil langfristig maximal erreichen? - Wie groß ist die Differenz zwischen der Ofentemperatur und der Objekttemperatur am Anfang? - Überlege dir, wie du die Unbekannte im Exponenten mithilfe des Logarithmus isolieren kannst. - Welche Information aus dem Text hilft dir, die Wachstumskonstante zu bestimmen?

1. Aufstellen der allgemeinen Formel für beschränktes Wachstum: \(T(t) = S - (S - T_0) \cdot e^{-kt}\) mit der Sättigungsgrenze \(S = 220\) und dem Anfangswert \(T_0 = 20\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte führt zu: \(T(t) = 220 - 200e^{-kt}\). 3. Bestimmung der Wachstumskonstanten \(k\) durch Einsetzen von \(T(15) = 120\): \(120 = 220 - 200 \cdot e^{-15k} \Rightarrow 100 = 200 \cdot e^{-15k} \Rightarrow 0{,}5 = e^{-15k}\). 4. Logarithmieren und Auflösen nach \(k\): \(-15k = \ln(0{,}5) \Rightarrow k = \frac{\ln(2)}{15} \approx 0{,}0462\). 5. Berechnung des Zeitpunkts für \(T(t) = 200\): \(200 = 220 - 200 \cdot e^{-kt} \Rightarrow 20 = 200 \cdot e^{-kt} \Rightarrow 0{,}1 = e^{-kt}\). 6. Auflösen nach \(t\): \(-kt = \ln(0{,}1) \Rightarrow t = \frac{\ln(10)}{k} = \frac{\ln(10) \cdot 15}{\ln(2)} \approx 49{,}83\).

a) \(T(t) = 220 - 200e^{-0{,}0462t}\) (mit \(k \approx 0{,}0462\)) b) Das Bauteil erreicht die Temperatur von \(200\,^{\circ}\text{C}\) nach etwa \(49{,}8\,\text{Minuten}\).

- Welchen Wert strebt die Anzahl der beherrschten Begriffe über einen sehr langen Zeitraum an? - Wie viele Begriffe fehlen dem Schüler am Anfang noch bis zum Ziel? - Kannst du ein Muster erkennen, wie sich der Abstand zur Sättigungsgrenze in festen Zeitabständen (z. B. alle 10 Tage) verändert? - Nutze die Umkehroperation der Exponentialfunktion, um die Zeit \(t\) zu berechnen.

1. Identifikation der Parameter für die Wachstumsfunktion \(V(t) = S - (S - V_0) \cdot e^{-kt}\): Sättigungsgrenze \(S = 1500\), Anfangswert \(V_0 = 300\). 2. Bestimmung von \(k\) mit \(V(10) = 900\): \(900 = 1500 - 1200 \cdot e^{-10k} \Rightarrow 600 = 1200 \cdot e^{-10k} \Rightarrow 0{,}5 = e^{-10k}\). 3. Berechnung von \(k\): \(k = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0{,}0693\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = 1500 - 1200e^{-0{,}0693t}\). 4. Berechnung von \(V(20)\): \(V(20) = 1500 - 1200 \cdot e^{-20k} = 1500 - 1200 \cdot (e^{-10k})^2 = 1500 - 1200 \cdot (0{,}5)^2 = 1200\). 5. Berechnung des Zeitpunkts für \(V(t) = 1400\): \(1400 = 1500 - 1200 \cdot e^{-kt} \Rightarrow 100 = 1200 \cdot e^{-kt} \Rightarrow \frac{1}{12} = e^{-kt}\). 6. Auflösen nach \(t\): \(t = \frac{\ln(12)}{k} = \frac{\ln(12) \cdot 10}{\ln(2)} \approx 35{,}85\).

a) \(V(t) = 1500 - 1200e^{-0{,}0693t}\) b) Nach \(20\,\text{Tagen}\) beherrscht er \(1200\) Begriffe. c) Er wird nach etwa \(35{,}8\,\text{Tagen}\) insgesamt \(1400\) Begriffe beherrschen.

- Überlege, wie sich die Änderungsrate aus Zufluss und Abfluss zusammensetzt. - Welche Art von Wachstum liegt vor, wenn die Zunahme konstant ist, die Abnahme aber vom aktuellen Bestand abhängt? - Was bedeutet die Information „reines Wasser“ für den Anfangswert der Farbstoffmenge? - Wie verhält sich eine Exponentialfunktion mit negativem Exponenten für sehr große Zeitwerte?

1. Die Änderungsrate setzt sich aus dem konstanten Zufluss und dem proportionalen Abfluss zusammen: \(m'(t) = 15 - 0{,}025m(t)\). 2. Die Sättigungsgrenze ist \(S = \frac{15}{0{,}025} = 600\). Mit \(m(0) = 0\) ergibt sich \(m(t) = 600(1 - e^{-0{,}025t})\). 3. \(m(60) = 600 \cdot (1 - e^{-1{,}5}) \approx 466{,}12\). Nach einer Stunde befinden sich ca. \(466{,}12\,\text{g}\) Farbstoff im Behälter. 4. Für \(t \to \infty\) geht \(e^{-0{,}025t}\) gegen \(0\). Daher gilt \(\lim_{t \to \infty} m(t) = 600\,\text{g}\).

a) \(m'(t) = 15 - 0{,}025m(t)\) b) \(m(t) = 600(1 - e^{-0{,}025t})\) c) \(m(60) \approx 466{,}12\,\text{g}\) d) \(600\,\text{g}\)

- Was bedeutet die momentane Änderungsrate mathematisch für den Funktionsgraphen? - Welchen Wert nimmt die Temperatur nach einer sehr langen Zeit näherungsweise an? - Wie kannst du die gegebenen Werte in die Differentialgleichung einsetzen, um die Unbekannte zu finden? - Erinnerst du dich an den allgemeinen Funktionstyp für Prozesse, die sich einem festen Schrankenwert annähern?

1. Gegeben sind \(T(0) = 95\), die Umgebungstemperatur \(20\,^\circ\text{C}\) und \(T'(0) = -4{,}5\). 2. Einsetzen in die Differentialgleichung bei \(t = 0\): \(-4{,}5 = k \cdot (20 - 95)\). 3. Daraus folgt \(-4{,}5 = -75k\) und somit \(k = 0{,}06\). 4. Die Lösung lautet \(T(t) = 20 + (95 - 20) \cdot e^{-0{,}06t} = 20 + 75e^{-0{,}06t}\).

\(k = 0{,}06\); \(T(t) = 20 + 75e^{-0{,}06t}\)

- Nutze die beiden gegebenen Zeitpunkte, um ein Gleichungssystem für die Parameter der Funktion aufzustellen. - Wie kannst du durch Division der beiden Gleichungen eine der Unbekannten eliminieren? - Überlege zuerst, wie hoch die Temperaturdifferenz zum Zeitpunkt \(t = 0\) war, um den Zielwert für die zweite Teilaufgabe zu bestimmen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems mit den gegebenen Werten: \(ba^2 = 50\) und \(ba^6 = 12{,}5\). 2. Division der Gleichungen führt zu \(a^4 = \frac{12{,}5}{50} = 0{,}25\). Daraus ergibt sich der Wachstumsfaktor \(a = \sqrt[4]{0{,}25} = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}7071\). 3. Einsetzen von \(a^2 = 0{,}5\) in die erste Gleichung: \(b \cdot 0{,}5 = 50\), woraus der Anfangswert \(b = 100\) folgt. Die Funktionsgleichung lautet \(f(t) = 100(\sqrt{0{,}5})^t\) bzw. näherungsweise \(f(t) \approx 100 \cdot 0{,}7071^t\). 4. Bestimmung des Zielwerts für Aufgabenteil b): \(1\,\%\) von \(f(0) = 100\) ist \(1\). 5. Lösen der Gleichung \(100 \cdot (0{,}5)^{0{,}5t} = 1\): Dies führt zu \(0{,}5^{0{,}5t} = 0{,}01\). Logarithmieren ergibt \(0{,}5t \cdot \ln(0{,}5) = \ln(0{,}01)\), also \(t = \frac{2 \cdot \ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)} \approx 13{,}29\).

a) \(f(t) = 100(\sqrt{0{,}5})^t \approx 100 \cdot 0{,}7071^t\) b) Nach etwa \(13{,}29\,\text{min}\) ist die Differenz auf \(1\,\%\) des Anfangswertes gesunken.

- Erstelle aus den Informationen zwei Gleichungen mit den Unbekannten \(c\) und \(k\). - Du kannst die Basis \(e^k\) oft vereinfachen, wenn du das Verhältnis der Werte betrachtest. - Was bedeutet „Verhundertfachung“ mathematisch in Bezug auf den Wert bei \(t = 0\)? - Setze den gefundenen Funktionsterm mit dem hundertfachen Anfangswert gleich und löse nach der Zeit auf.

1. Aufstellen der Gleichungen für die Bakterienanzahl: \(c \cdot e^{k \cdot 1} = 1200\) und \(c \cdot e^{k \cdot 4} = 9600\). 2. Division der zweiten durch die erste Gleichung: \(e^{3k} = \frac{9600}{1200} = 8\). 3. Bestimmung der Wachstumskonstante: \(3k = \ln(8)\), also \(k = \frac{\ln(8)}{3} = \ln(2) \approx 0{,}6931\). 4. Einsetzen von \(e^k = 2\) in die erste Gleichung: \(c \cdot 2 = 1200\), daraus folgt der Anfangswert \(c = 600\). Der Funktionsterm ist \(f(t) = 600e^{\ln(2)t} = 600 \cdot 2^t\). 5. Für die Verhundertfachung muss gelten: \(f(t) = 100 \cdot c = 60\,000\). 6. Lösen der Gleichung \(600 \cdot 2^t = 60\,000\) führt zu \(2^t = 100\). Logarithmieren ergibt \(t = \frac{\ln(100)}{\ln(2)} \approx 6{,}64\).

a) \(f(t) = 600e^{\ln(2)t} \approx 600e^{0{,}6931t}\) b) Nach etwa \(6{,}64\,\text{h}\) hat sich die Bakterienanzahl verhundertfacht.

- Überlege zuerst, wie sich ein prozentualer Zerfall in einem Wachstumsfaktor ausdrücken lässt. - Achte beim Berechnen der Zeitspanne genau auf die Stunden zwischen den Uhrzeiten. - Wenn du eine Gleichung hast, bei der die Unbekannte im Exponenten steht, ist der Logarithmus ein hilfreiches Werkzeug. - Wandle Dezimalstunden am Ende wieder in Minuten um, um eine genaue Uhrzeit anzugeben.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(K_0 = 120\). Die Abnahmerate von \(13\,\%\) entspricht einem Wachstumsfaktor von \(b = 1 - 0{,}13 = 0{,}87\). Die Gleichung lautet \(K(t) = 120 \cdot 0{,}87^t\). 2. Berechnung für 22:00 Uhr: Die Zeitspanne von 14:00 Uhr bis 22:00 Uhr beträgt \(t = 8\) Stunden. Einsetzen in die Funktion: \(K(8) = 120 \cdot 0{,}87^8 \approx 39{,}39\,\text{mg}\). 3. Bestimmung des Zeitpunkts für den Schwellenwert: Setze \(K(t) = 15\) und löse nach \(t\) auf: \(15 = 120 \cdot 0{,}87^t \Rightarrow 0{,}125 = 0{,}87^t\). Anwendung des Logarithmus ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}87)} \approx 14{,}93\) Stunden. 4. Umrechnung in Uhrzeit: \(14{:}00\,\text{Uhr} + 14{,}93\,\text{Stunden} \approx 04{:}56\,\text{Uhr}\) am nächsten Morgen.

a) \(K(t) = 120 \cdot 0{,}87^t\) b) Um 22:00 Uhr sind noch ca. \(39{,}39\,\text{mg}\) Koffein im Körper. c) Die Menge sinkt nach ca. \(14{,}93\) Stunden (also gegen 04:56 Uhr morgens) unter \(15\,\text{mg}\).

- Nutze den gegebenen Wert nach 4 Stunden, um die Zerfallskonstante in der e-Funktion zu isolieren. - Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der der Ausdruck \(e^{kt}\) den Wert \(0{,}5\) annimmt. - Überlege dir für den letzten Aufgabenteil, welcher Anteil am Ende noch übrig sein soll. - Eliminiere zuerst den Vorfaktor und wende dann den natürlichen Logarithmus an.

1. Aus \(240 = 400 \cdot e^{4k}\) folgt \(0{,}6 = e^{4k}\). Daher ist \(k = \frac{\ln(0{,}6)}{4} \approx -0{,}1277\). 2. Für die Halbwertszeit \(T_H\) gilt \(e^{kT_H} = 0{,}5\). Somit ist \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{k} \approx 5{,}43\) Stunden. 3. Für \(5\,\%\) Restaktivität gilt \(0{,}05 = e^{kt}\). Daraus folgt \(t = \frac{\ln(0{,}05)}{k} \approx 23{,}46\) Stunden.

a) \(k \approx -0{,}1277\) b) Die Halbwertszeit beträgt ca. \(5{,}43\) Stunden. c) Nach ca. \(23{,}46\) Stunden ist die Aktivität auf \(5\,\%\) gesunken.

- Wie bestimmst du den Wachstumsfaktor aus einer prozentualen Zunahme? - Was bedeutet ein negativer Zeitwert im Kontext der Aufgabe? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(a = 2\) und dem Wachstumsfaktor \(b = 1 + 0{,}4 = 1{,}4\): \(A(t) = 2 \cdot 1{,}4^t\) bzw. \(t \mapsto 2 \cdot 1{,}4^t\). 2. Berechnung der Funktionswerte für \(t = 4\) und \(t = -2\): \(A(4) = 2 \cdot 1{,}4^4 = 7{,}6832 \approx 7{,}68\,\text{m}^2\). \(A(-2) = 2 \cdot 1{,}4^{-2} = \frac{2}{1{,}96} \approx 1{,}02\,\text{m}^2\). 3. Lösen der Gleichung \(20 = 2 \cdot 1{,}4^t\): Dividieren durch \(2\) ergibt \(10 = 1{,}4^t\). Anwendung des Logarithmus: \(t = \frac{\ln(10)}{\ln(1{,}4)} \approx 6{,}84\). Die Fläche erreicht nach ca. \(6{,}84\) Wochen den Wert von \(20\,\text{m}^2\).

1. \(A(t) = 2 \cdot 1{,}4^t\) bzw. \(t \mapsto 2 \cdot 1{,}4^t\) 2. Nach \(4\) Wochen: ca. \(7{,}68\,\text{m}^2\); vor \(2\) Wochen: ca. \(1{,}02\,\text{m}^2\) 3. Nach ca. \(6{,}84\) Wochen

- Wie berücksichtigst du die Halbwertszeit von 3 Stunden im Exponenten der Funktion? - Wie viel Milligramm entsprechen \(10\,\%\) der Startmenge? - Kannst du die Gleichung durch Logarithmieren nach der Zeit auflösen?

1. Mit dem Anfangswert \(M_0 = 120\) und der Halbwertszeit \(T = 3\) lautet die Zerfallsgleichung \(M(t) = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{3}}\). 2. \(M(10) = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{10}{3}} \approx 11{,}91\,\text{mg}\). 3. Für \(10\,\%\) der Anfangsmenge gilt \(0{,}1 = 0{,}5^{\frac{t}{3}}\). Logarithmieren ergibt \(t = 3 \cdot \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)} \approx 9{,}97\) Stunden.

1. \(M(t) = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{3}}\) 2. ca. \(11{,}91\,\text{mg}\) 3. nach ca. \(9{,}97\) Stunden

- Achte bei der Funktionsgleichung darauf, dass der Exponent den Zeitraum im Verhältnis zur Verdopplungszeit widerspiegelt. - Wie viele Quadratmeter stecken in einem Quadratkilometer? - Zerlege \(500\,000\) in \(500 \cdot 1000\), um die gegebenen Näherungen anzuwenden. - Um eine Gleichung der Form \(2^x = y\) nach \(x\) aufzulösen, benötigst du den Logarithmus.

1. Da der Anfangswert \(1\) ist und die Verdopplung alle \(5\) Tage stattfindet, lautet die Gleichung \(A(t) = 2^{\frac{t}{5}}\). 2. Für \(t = 50\) gilt \(A(50) = 2^{10} \approx 1000\,\text{m}^2\). Für \(t = 100\) gilt \(A(100) = 2^{20} = (2^{10})^2 \approx 1\,000\,000\,\text{m}^2\). Der zweite Wert ist eine theoretische Hochrechnung des unbegrenzten Modells. 3. Aus \(2^{\frac{t}{5}} = 500\,000 = 500 \cdot 1000 \approx 2^9 \cdot 2^{10} = 2^{19}\) folgt \(t \approx 95\) Tage. 4. Exakt gilt \(\frac{t}{5} = \frac{\ln(500000)}{\ln(2)} \approx 18{,}93\). Daher ist \(t \approx 94{,}66\) Tage. Die Schätzung weicht um etwa \(0{,}34\) Tage ab.

a) \(A(t) = 2^{\frac{t}{5}}\) b) \(A(50) \approx 1000\,\text{m}^2\); \(A(100) \approx 1\,000\,000\,\text{m}^2\) nach dem unbegrenzten Modell. c) \(t \approx 95\) Tage d) \(t \approx 94{,}66\) Tage; Abweichung der Schätzung: ca. \(0{,}34\) Tage.

- Welchen Wert hat die Funktion zum Zeitpunkt Null? - Wie verändert sich der Funktionswert, wenn man das Argument um eins erhöht? - Welche Rechenoperation hilft dir, eine Unbekannte aus dem Exponenten zu bestimmen? - Überprüfe dein Modell auch mit den anderen Werten aus der Tabelle.

1. Aus \(f(0) = c = 400\) folgt \(c = 400\). 2. Mit \(400a = 520\) ergibt sich \(a = 1{,}3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 400 \cdot 1{,}3^x\). Die weiteren Tabellenwerte bestätigen das Modell. 3. \(f(8) = 400 \cdot 1{,}3^8 \approx 3262{,}923\). Da \(y\) in Tausend angegeben ist, entspricht dies etwa \(3\,262\,923\) Bakterien. 4. Für die Verfünffachung gilt \(1{,}3^x = 5\). Daher ist \(x = \frac{\ln(5)}{\ln(1{,}3)} \approx 6{,}13\).

a) \(f(x) = 400 \cdot 1{,}3^x\) b) \(f(8) \approx 3262{,}923\) Tausend, also ca. \(3\,262\,923\) Bakterien c) nach ca. \(6{,}13\) Stunden

- Was bedeutet ein Wachstumsfaktor, der kleiner als 1 ist, für den Prozess? - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(a\) und die prozentuale Änderungsrate zusammen? - Bei der Halbwertszeit suchst du den Zeitpunkt, an dem nur noch die Hälfte des Startwerts vorhanden ist. - Kannst du die Gleichung für die Halbwertszeit vereinfachen, ohne den Startwert zu kennen?

1. Bestimmung von \(c\): Für \(t = 0\) ist \(y = 12{,}0\), also \(c = 12\). 2. Bestimmung von \(a\): Mit \(t = 2\) gilt \(12a^2 = 7{,}68\). Dies führt zu \(a^2 = 0{,}64\), woraus \(a = 0{,}8\) folgt (da \(a > 0\)). Die Funktionsgleichung ist \(f(t) = 12 \cdot 0{,}8^t\). Der Wert für \(t = 5\) bestätigt dies: \(12 \cdot 0{,}8^5 = 3{,}93216\). 3. Prozentuale Abnahme: Da \(a = 0{,}8\), bleiben pro Stunde \(80\,\%\) des Wirkstoffs erhalten. Die Abnahme beträgt somit \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\), was \(20\,\%\) pro Stunde entspricht. 4. Halbwertszeit: Gesucht ist \(t\) mit \(0{,}8^t = 0{,}5\). Logarithmieren ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}8)} \approx 3{,}11\). Die Halbwertszeit beträgt etwa \(3{,}11\) Stunden.

a) \(f(t) = 12 \cdot 0{,}8^t\) b) \(20\,\%\) pro Stunde c) ca. \(3{,}11\) Stunden

- Was bedeutet „verdreifacht“ mathematisch für den Wachstumsfaktor über einen bestimmten Zeitraum? - Wie kannst du den Wachstumsfaktor pro Stunde berechnen, wenn du den Faktor für 6 Stunden kennst? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht? - Achte darauf, ob nach einem Zeitpunkt oder einer Anzahl gefragt ist.

1. Aus \(b^6 = 3\) folgt \(b = \sqrt[6]{3} \approx 1{,}2009\). Die Funktion lautet exakt \(N(t) = 2500 \cdot 3^{\frac{t}{6}}\). 2. \(N(15) = 2500 \cdot 3^{\frac{15}{6}} \approx 38\,971{,}14\). Es sind etwa \(38\,971\) Bakterien vorhanden. 3. Aus \(1\,000\,000 = 2500 \cdot 3^{\frac{t}{6}}\) folgt \(400 = 3^{\frac{t}{6}}\). Somit ist \(t = 6 \cdot \frac{\ln(400)}{\ln(3)} \approx 32{,}72\) Stunden.

a) \(N(t) = 2500 \cdot 3^{\frac{t}{6}}\), mit \(b = \sqrt[6]{3} \approx 1{,}2009\) b) ca. \(38\,971\) Bakterien c) nach ca. \(32{,}72\) Stunden

- Welcher Anteil ist nach einer Stunde noch vorhanden, wenn \(12\,\%\) verloren gehen? - Wie hängen der Wachstumsfaktor und die Basis \(e\) zusammen? - Ein Viertel der Anfangsmenge bedeutet \(\frac{N(t)}{N_0} = 0{,}25\). - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten von Exponentialfunktionen.

1. Der stündliche Faktor ist \(0{,}88\). Aus \(e^{-k} = 0{,}88\) folgt \(k = -\ln(0{,}88) \approx 0{,}1278\). Damit ist \(N(t) = 400e^{-0{,}1278t}\). 2. Für ein Viertel der Anfangsmenge gilt \(0{,}88^t = 0{,}25\). Daher ist \(t = \frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}88)} \approx 10{,}84\) Stunden. 3. Die erste Ableitung ist \(N'(t) = -k \cdot N_0 \cdot e^{-kt}\). Daher gilt \(N'(5) \approx -26{,}98\,\text{mg}/\text{h}\). Das negative Vorzeichen zeigt die Abnahme der Wirkstoffmenge an.

1. \(k \approx 0{,}1278\); \(N(t) = 400e^{-0{,}1278t}\) 2. Nach ca. \(10{,}84\) Stunden. 3. \(N'(5) \approx -26{,}98\,\frac{\text{mg}}{\text{h}}\); das negative Vorzeichen signalisiert eine Abnahme.

- Wie viel Prozent der Substanz sind nach einer Halbwertszeit noch übrig? Wie viel nach zwei? - Überlege dir, wie du den Bruchteil der verbleibenden Substanz als Dezimalzahl ausdrücken kannst. - Suche nach einer Gleichung, in der die Zeit im Exponenten steht, und löse diese mit dem Logarithmus auf.

1. Modellierung des Zerfalls durch \(A(t) = A_0e^{-kt}\) oder \(A(t) = A_0 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{T_{1/2}}}\). 2. Bestimmung des Zeitpunkts für \(1\,\%\) der Anfangsaktivität: \(0{,}01 = 0{,}5^{\frac{t}{6}}\). 3. Logarithmieren der Gleichung: \(\ln(0{,}01) = \frac{t}{6} \cdot \ln(0{,}5)\). 4. Auflösen nach \(t\): \(t = \frac{6 \cdot \ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)}\). 5. Numerische Berechnung: \(t = \frac{6 \cdot (-4{,}605\dots)}{-0{,}693\dots} \approx 39{,}863\).

Nach etwa \(39{,}9\) Stunden ist die Aktivität auf \(1\,\%\) gesunken.

- Stelle für beide Zeitpunkte eine Gleichung mit den gegebenen Werten auf. - Überlege, wie du durch Dividieren der beiden Gleichungen eine Variable eliminieren kannst. - Wie hängen die Zerfallskonstante und die Halbwertszeit zusammen?

1. Es gelten \(45 = m_0e^{-10k}\) und \(28 = m_0e^{-25k}\). Durch Division folgt \(\frac{45}{28} = e^{15k}\). Daher ist \(k = \frac{\ln(45/28)}{15} \approx 0{,}03163\). Einsetzen ergibt \(m_0 = 45 \cdot e^{10k} \approx 61{,}74\,\text{g}\). 2. Die Halbwertszeit ist \(T_H = \frac{\ln(2)}{k} \approx 21{,}91\) Tage.

1. \(m_0 \approx 61{,}74\,\text{g}\); \(k \approx 0{,}03163\) 2. \(T_H \approx 21{,}91\,\text{Tage}\)

- Welcher Faktor beschreibt eine Abnahme um einen bestimmten Prozentsatz? - Wie oft passt der angegebene Tiefenschritt in die gesuchte Tiefe? - Setze den bekannten Funktionswert gleich der Funktionsgleichung und löse nach der gesuchten Variable auf. - Vergleiche die Basis der Exponentialfunktion mit der Basis \(e\).

1. Der Abnahmefaktor pro \(3\,\text{m}\) beträgt \(0{,}82\). Daher ist \(I(d) = 400 \cdot 0{,}82^{\frac{d}{3}}\). 2. \(I(10) = 400 \cdot 0{,}82^{\frac{10}{3}} \approx 206{,}43\,\text{W}/\text{m}^2\). 3. Aus \(50 = 400 \cdot 0{,}82^{\frac{d}{3}}\) folgt \(d = 3 \cdot \frac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}82)} \approx 31{,}44\,\text{m}\). 4. Aus \(e^{-k} = 0{,}82^{\frac{1}{3}}\) folgt \(k = -\frac{\ln(0{,}82)}{3} \approx 0{,}0662\,\text{m}^{-1}\).

a) ca. \(206{,}43\,\text{W}/\text{m}^2\) b) ca. \(31{,}44\,\text{m}\) c) \(k \approx 0{,}0662\,\text{m}^{-1}\)

- Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht? - Was bedeutet „Halbwertszeit“ für das Verhältnis zwischen dem aktuellen Wert und dem Anfangswert? - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(b\) und die Basis \(e\) zusammen? - Wenn du weißt, mit welchem Faktor sich ein Wert pro Zeiteinheit ändert, wie berechnest du daraus die prozentuale Änderung?

1. Ansatz für die Konzentration \(C(t) = 100\): \(100 = 250 \cdot e^{-0{,}085t}\). Umformen ergibt \(\frac{100}{250} = e^{-0{,}085t}\). Durch Anwenden des natürlichen Logarithmus erhält man \(\ln(0{,}4) = -0{,}085t\). Daraus folgt \(t = \frac{\ln(0{,}4)}{-0{,}085} \approx 10{,}78\,\text{h}\). 2. Berechnung der Halbwertszeit \(T_H\): \(0{,}5 \cdot C_0 = C_0 \cdot e^{-0{,}085T_H}\), also \(0{,}5 = e^{-0{,}085T_H}\). Logarithmieren führt zu \(\ln(0{,}5) = -0{,}085T_H\). Es ergibt sich \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}085} \approx 8{,}15\,\text{h}\). 3. Der stündliche Zerfallsfaktor ist \(b = e^{-k} = e^{-0{,}085} \approx 0{,}9185\). Die prozentuale Abnahme beträgt \(1 - 0{,}9185 = 0{,}0815\), also \(8{,}15\,\%\). Der Vergleich zeigt, dass die tatsächliche prozentuale Abnahme (\(8{,}15\,\%\)) etwas geringer ist als \(8{,}5\,\%\), der Prozentwert, der der Zahl \(0{,}085\) entspricht.

a) Nach ca. \(10{,}78\,\text{h}\). b) Die Halbwertszeit beträgt ca. \(8{,}15\,\text{h}\). c) Die Konzentration nimmt stündlich um ca. \(8{,}15\,\%\) ab; dieser Wert ist etwas kleiner als \(8{,}5\,\%\), also der Prozentwert zur Zahl \(0{,}085\); \(k\) selbst hat die Einheit \(\text{h}^{-1}\).

- Wie viele Jahre vergehen zwischen dem Startzeitpunkt und dem Zielzeitpunkt? - Wenn sich ein Bestand verdoppelt, welchen Wert muss \(e^{a\Delta t}\) annehmen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Faktor \(e^a\) und der jährlichen prozentualen Steigerung. - Überlege, wie sich das kontinuierliche Wachstum von einem einmaligen jährlichen Wachstumsschritt unterscheidet.

1. \(B(2030) = 1200 \cdot e^{0{,}045 \cdot 15} \approx 2356{,}84\). Es werden etwa \(2357\) Tiere erwartet. 2. Aus \(2400 = 1200 \cdot e^{0{,}045 \cdot \Delta t}\) folgt \(\Delta t = \frac{\ln(2)}{0{,}045} \approx 15{,}40\) Jahre. Der Bestand erreicht die Marke im Jahr 2030. 3. Der Jahresfaktor ist \(e^{0{,}045} \approx 1{,}0460\). Die effektive jährliche Wachstumsrate beträgt ca. \(4{,}60\,\%\). Wegen \(e^x > 1+x\) für \(x > 0\) ist sie größer als \(4{,}5\,\%\).

a) ca. \(2357\) Tiere b) im Jahr 2030 c) ca. \(4{,}60\,\%\), also etwas mehr als \(4{,}5\,\%\)

- Überlege dir zuerst, was die Halbwertszeit für die Menge nach genau diesem Zeitraum bedeutet. - Welchen Wert muss der Ausdruck \(e^{-kt}\) annehmen, wenn nur noch die Hälfte der Substanz da ist? - Für die Berechnung der verbleibenden Menge nach einer bestimmten Zeit musst du lediglich die Zeit in deine Funktionsgleichung einsetzen. - Wenn ein Prozentsatz gesucht ist, kannst du die Anfangsmenge \(N_0\) oft einfach kürzen oder gleich mit dem Faktor (z. B. \(0{,}05\)) arbeiten. - Um eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht, ist der Logarithmus dein wichtigstes Werkzeug.

1. Berechnung der Zerfallskonstante \(k\): Aus der Bedingung \(e^{-k \cdot 8{,}02} = 0{,}5\) folgt \(k = \frac{\ln(2)}{8{,}02} \approx 0{,}08643\,\text{d}^{-1}\). 2. Berechnung der Aktivität nach \(14\,\text{Tagen}\): Einsetzen der Werte in die Funktionsgleichung \(N(14) = 380 \cdot e^{-0{,}08643 \cdot 14} \approx 113{,}32\). Die verbleibende Aktivität beträgt ca. \(113{,}32\,\text{MBq}\). 3. Bestimmung des Zeitpunkts für \(5\,\%\): Ansatz \(0{,}05 \cdot N_0 = N_0 \cdot e^{-kt}\) führt zu \(0{,}05 = e^{-0{,}08643t}\). Auflösen nach \(t\) ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}05)}{-0{,}08643} \approx 34{,}66\). Nach etwa \(34{,}66\,\text{Tagen}\) sind noch \(5\,\%\) vorhanden.

a) \(k \approx 0{,}08643\,\text{d}^{-1}\) b) ca. \(113{,}32\,\text{MBq}\) c) nach ca. \(34{,}66\,\text{Tagen}\)

- Der Faktor \(a\) gibt an, welcher Anteil nach einer Zeiteinheit (hier ein Jahr) noch übrig ist. - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(a\) und die prozentuale Abnahme zusammen? - Erinnere dich daran, dass \(22\,\%\) als Dezimalzahl \(0{,}22\) geschrieben werden. - Wenn du nach der Zeit \(t\) suchst, musst du die Exponentialgleichung mithilfe des Logarithmus nach \(t\) auflösen.

1. Bestimmung des Faktors \(a\): Aus \(a^{12{,}32} = 0{,}5\) folgt \(a = 0{,}5^{\frac{1}{12{,}32}} \approx 0{,}9453\). Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = N_0 \cdot 0{,}9453^t\). 2. Jährliche Abnahme: Der Faktor \(a = 0{,}9453\) entspricht einem verbleibenden Anteil von \(94{,}53\,\%\). Die jährliche Abnahme beträgt somit \(1 - 0{,}9453 = 0{,}0547\), also \(5{,}47\,\%\). 3. Altersbestimmung: Ansatz \(0{,}22 = 0{,}9453^t\). Anwendung des Logarithmus ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}22)}{\ln(0{,}9453)} \approx 26{,}91\). Der Wein ist etwa \(27\,\text{Jahre}\) alt.

a) \(N(t) = N_0 \cdot 0{,}9453^t\) b) \(5{,}47\,\%\) c) ca. \(27\,\text{Jahre}\)

- Überlege, welcher tägliche Faktor nach 12 Tagen insgesamt den Faktor \(0{,}75\) ergibt. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Faktor und der e-Darstellung? - Was bedeutet Halbwertszeit mathematisch für den Funktionswert? - Wie löst du eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable im Exponenten steht?

1. Aus \(q^{12} = 0{,}75\) folgt \(q = \sqrt[12]{0{,}75} \approx 0{,}9763\). Für die Zerfallskonstante gilt \(e^{-12\lambda} = 0{,}75\), also \(\lambda = -\frac{\ln(0{,}75)}{12} \approx 0{,}02397\,\text{d}^{-1}\). 2. Die Halbwertszeit ist \(T_H = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx 28{,}91\) Tage. 3. Aus \(0{,}1 = e^{-\lambda t}\) folgt \(t = \frac{-\ln(0{,}1)}{\lambda} \approx 96{,}05\) Tage.

1. \(q \approx 0{,}9763\); \(\lambda \approx 0{,}02397\,\text{d}^{-1}\) 2. \(T_H \approx 28{,}91\,\text{Tage}\) 3. Nach ca. \(96{,}05\,\text{Tagen}\).

- Kannst du für beide Kulturen eine Funktionsgleichung aufstellen, die die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt? - Nutze eine Variable für die unbekannte Anfangsmenge der ersten Kultur. - Welche Rechenregeln für Potenzen könnten dir helfen, die Gleichung zu vereinfachen, wenn die Basen gleich sind? - Erinnere dich daran, wie man Gleichungen löst, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht – entweder durch Logarithmieren oder durch Exponentenvergleich.

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen mit Startwert \(N_0\) für Kultur A: \(N_A(t) = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{5}}\) und \(N_B(t) = 4 \cdot N_0 \cdot 2^{\frac{t}{8}}\). 2. Gleichsetzen der Funktionen: \(N_0 \cdot 2^{\frac{t}{5}} = 4 \cdot N_0 \cdot 2^{\frac{t}{8}}\). Division durch \(N_0\) führt zu \(2^{\frac{t}{5}} = 4 \cdot 2^{\frac{t}{8}}\). 3. Da \(4 = 2^2\), lässt sich die Gleichung zu \(2^{\frac{t}{5}} = 2^{2 + \frac{t}{8}}\) umformen. 4. Exponentenvergleich: \(\frac{t}{5} = 2 + \frac{t}{8}\). 5. Auflösen nach \(t\): \(\frac{t}{5} - \frac{t}{8} = 2 \Rightarrow \frac{8 \cdot t - 5 \cdot t}{40} = 2 \Rightarrow \frac{3 \cdot t}{40} = 2 \Rightarrow 3 \cdot t = 80 \Rightarrow t = \frac{80}{3} \approx 26{,}67\).

Nach \(26\frac{2}{3}\,\text{Stunden}\) (ca. \(26{,}67\,\text{Stunden}\)) sind beide Kulturen gleich groß.

- Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum? - Was bedeutet eine prozentuale Zunahme für den Wachstumsfaktor? - Bei der Verdopplungszeit ist der Anfangswert für die Berechnung eigentlich unerheblich. Warum? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit der Variablen auf einer Seite stehen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Variable aus dem Exponenten zu lösen?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen: \(B_A(t) = 15\,000 \cdot 1{,}021^t\) und \(B_B(t) = 8000 \cdot 1{,}045^t\). 2. Für die Verdopplungszeit von Art B gilt der Ansatz \(1{,}045^t = 2\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}045)} \approx 15{,}75\). Die Verdopplungszeit beträgt ca. \(15{,}75\) Jahre. 3. Für Aufgabenteil b) wird die Gleichung \(B_A(t) = 1{,}5 \cdot B_B(t)\) aufgestellt: \(15\,000 \cdot 1{,}021^t = 1{,}5 \cdot 8000 \cdot 1{,}045^t\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(15\,000 \cdot 1{,}021^t = 12\,000 \cdot 1{,}045^t\), woraus \(\frac{15000}{12000} = \left(\frac{1{,}045}{1{,}021}\right)^t\) bzw. \(1{,}25 = \left(\frac{1{,}045}{1{,}021}\right)^t\) folgt. 5. Auflösen nach \(t\) mittels Logarithmus: \(t = \frac{\ln(1{,}25)}{\ln(1{,}045) - \ln(1{,}021)} \approx 9{,}60\). Nach ca. \(9{,}60\) Jahren ist Art A nur noch \(1{,}5\)-mal so groß wie Art B.

a) Die Verdopplungszeit für Art B beträgt ca. \(15{,}75\) Jahre. b) Nach ca. \(9{,}60\) Jahren ist die Population von Art A \(1{,}5\)-mal so groß wie die von Art B.

- Notiere dir zuerst die Wachstumsfaktoren für beide Zinssätze. - Was ist der Zielwert für Anlage A, wenn sie um \(50\,\%\) wachsen soll? - Setze die beiden Kapitalfunktionen in ein Verhältnis gemäß der Aufgabenstellung. - Erinnere dich an die Logarithmengesetze, um Brüche in Exponenten zu vereinfachen.

1. Aufstellen der Kapitalfunktionen: \(K_A(t) = 2500 \cdot 1{,}03^t\) und \(K_B(t) = 1000 \cdot 1{,}065^t\). 2. Für eine Steigerung um \(50\,\%\) bei Anlage A muss der Wachstumsfaktor \(1{,}03^t = 1{,}5\) erfüllen. Auflösen nach \(t\): \(t = \frac{\ln(1{,}5)}{\ln(1{,}03)} \approx 13{,}72\). Dies entspricht ca. \(13{,}72\) Jahren. 3. Für Aufgabenteil b) wird die Bedingung \(K_B(t) = 0{,}8 \cdot K_A(t)\) genutzt: \(1000 \cdot 1{,}065^t = 0{,}8 \cdot 2500 \cdot 1{,}03^t\). 4. Zusammenfassen der Werte: \(1000 \cdot 1{,}065^t = 2000 \cdot 1{,}03^t\). 5. Isolieren der Exponentialterme: \(\frac{1{,}065^t}{1{,}03^t} = \frac{2000}{1000}\), also \(\left(\frac{1{,}065}{1{,}03}\right)^t = 2\). 6. Berechnung von \(t\): \(t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}065) - \ln(1{,}03)} \approx 20{,}74\). Nach ca. \(20{,}74\) Jahren erreicht Anlage B den Wert von \(80\,\%\) der Anlage A.

a) Das Kapital von Anlage A hat sich nach ca. \(13{,}72\) Jahren um \(50\,\%\) erhöht. b) Nach ca. \(20{,}74\) Jahren beträgt das Kapital von Anlage B genau \(80\,\%\) des Kapitals von Anlage A.

- Wie viele Jahre liegen zwischen den beiden Messpunkten? - Ein exponentielles Wachstum lässt sich durch \(B(t) = B(0) \cdot q^t\) beschreiben. - Die Wachstumsrate ist der Anteil, um den \(q\) größer als \(1\) ist. - Für einen gegebenen Zielbestand hilft der Logarithmus.

1. Der Zeitraum beträgt \(15\) Jahre. Aus \(585\,000 = 450\,000 \cdot q^{15}\) folgt \(q = \sqrt[15]{1{,}3} \approx 1{,}01764\). Die mittlere jährliche Wachstumsrate beträgt ca. \(1{,}76\,\%\). 2. Für 2045 sind seit 2005 insgesamt \(40\) Jahre vergangen. Daher ist \(B(40) = 450\,000 \cdot q^{40} \approx 905\,861\). Im Jahr 2045 würden nach dem Modell etwa \(905\,900\) Menschen dort leben. 3. Aus \(1\,000\,000 = 450\,000 \cdot q^t\) folgt \(t = \frac{\ln(20/9)}{\ln(q)} \approx 45{,}65\). Das entspricht dem Jahr 2050.

a) ca. \(1{,}76\,\%\) pro Jahr, mit \(q \approx 1{,}01764\) b) ca. \(905\,900\) Einwohner im Jahr 2045 c) im Jahr 2050

- Kannst du die gegebene Gleichung so umformen, dass die Potenz mit der Basis \(e\) alleine auf einer Seite steht? - Welcher mathematische Operator hilft dir dabei, eine Gleichung nach dem Exponenten der Basis \(e\) aufzulösen? - Überlege genau, welche Werte für \(t\) und \(T(t)\) in Aufgabenteil b) eingesetzt werden müssen. - Schaue dir die Achsenskalierung im Graphen an, um den Wert für \(15\) Minuten möglichst genau abzulesen. - Denke daran, beim rechnerischen Überprüfen den in Teil a) ermittelten Wert für \(k\) einzusetzen.

1. Aufstellen der Gleichung für \(t = 10\) und \(T(10) = 44\): \(20 + 60 \cdot e^{-10k} = 44 \implies 60 \cdot e^{-10k} = 24 \implies e^{-10k} = 0{,}4 \implies -10k = \ln(0{,}4) \implies k \approx 0{,}092\) 2. Berechnung der Zeit für \(T(t) = 25\): \(20 + 60 \cdot e^{-0{,}092t} = 25 \implies 60 \cdot e^{-0{,}092t} = 5 \implies e^{-0{,}092t} = \frac{1}{12} \implies -0{,}092t = \ln\left(\frac{1}{12}\right) \implies t \approx 27{,}0\,\text{Minuten}\) 3. Ablesen aus dem Graphen bei \(t = 15\,\text{min}\): \(T \approx 35\,\text{°C}\). Rechnerische Überprüfung mit \(k = 0{,}092\): \(T(15) = 20 + 60 \cdot e^{-0{,}092 \cdot 15} \approx 35{,}1\,\text{°C}\)

a) \(k \approx 0{,}092\) b) Nach ca. \(27{,}0\) Minuten. c) Abgelesener Wert: ca. \(35\,\text{°C}\); berechneter Wert: \(35{,}1\,\text{°C}\).

- Kannst du den Anfangswert \(C_0\) direkt aus dem Diagramm ablesen? Betrachte dazu den Funktionswert bei \(t = 0\). - Wie verändert sich die Konzentration in gleichen Zeitabständen? Nach wie vielen Stunden hat sich der Anfangswert jeweils halbiert? - Nutze einen bekannten markierten Punkt auf dem Graphen, um die Basis \(a\) zu berechnen. - Welches mathematische Verfahren kannst du verwenden, um eine Gleichung nach dem Exponenten \(t\) aufzulösen? - Achte darauf, dein Endergebnis für die Zeit auf eine Dezimalstelle zu runden.

1. Bestimmung des Anfangswerts: Aus dem Punkt \((0 \mid 8)\) folgt \(C_0 = 8\). 2. Bestimmung der Halbwertszeit: Da sich der Funktionswert alle \(3\) Stunden halbiert (von \(8\) auf \(4\) bei \(t = 3\) und auf \(2\) bei \(t = 6\)), beträgt die Halbwertszeit \(T_{1/2} = 3\,\text{Stunden}\). 3. Berechnung der Basis \(a\): Einsetzen des Punktes \((3 \mid 4)\) liefert \(4 = 8a^3 \implies a^3 = 0{,}5 \implies a = 0{,}5^{\frac{1}{3}} \approx 0{,}7937\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(C(t) = 8 \cdot 0{,}7937^t\). 4. Berechnung des Einnahmezeitpunkts: Ansatz \(C(t) = 0{,}1\) liefert \(8 \cdot 0{,}7937^t = 0{,}1 \implies 0{,}7937^t = 0{,}0125 \implies t = \frac{\ln(0{,}0125)}{\ln(0{,}7937)} \approx 19{,}0\,\text{Stunden}\). Da die Konzentration streng fällt, liegt sie für \(t > 19{,}0\,\text{h}\) unter dem Grenzwert.

a) \(C(t) = 8 \cdot 0{,}7937^t\); Halbwertszeit: \(3\) Stunden. b) Für \(t > 19{,}0\,\text{h}\), also unmittelbar nach etwa \(19{,}0\) Stunden.

- Überlege, welcher Zeitpunkt \(t\) dem Moment des Anpflanzens entspricht. - Wie kannst du eine Gleichung nach der Variablen \(t\) auflösen, wenn diese im Exponenten steht? Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei? - Wie lässt sich ein Punkt auf dem Graphen finden, dessen \(y\)-Wert (Höhe) bekannt ist? Welcher \(x\)-Wert gehört dazu? - Erinnere dich daran, wie man die Ableitung einer Exponentialfunktion bildet. - Was gibt die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle grafisch und sachlich an?

1. Anfangshöhe und Höhe nach 20 Jahren bestimmen: Wir setzen \(t = 0\) in den Funktionsterm ein: \(h(0) = 12 - 10 \cdot e^{-0{,}05 \cdot 0} = 12 - 10 \cdot 1 = 2\). Die Anfangshöhe beträgt \(2\,\text{m}\). Wir setzen \(t = 20\) in den Funktionsterm ein: \(h(20) = 12 - 10 \cdot e^{-0{,}05 \cdot 20} = 12 - 10 \cdot e^{-1} \approx 8{,}32\,\text{m}\). Die Höhe nach 20 Jahren beträgt ca. \(8{,}32\,\text{m}\). 2. Zeitpunkt für eine Höhe von \(10\,\text{m}\) berechnen: Wir lösen die Gleichung \(h(t) = 10\): \(12 - 10 \cdot e^{-0{,}05t} = 10\) \(-10 \cdot e^{-0{,}05t} = -2\) \(e^{-0{,}05t} = 0{,}2\) \(-0{,}05t = \ln(0{,}2)\) \(t = \frac{\ln(0{,}2)}{-0{,}05} \approx 32{,}2\). Der Baum erreicht nach ca. \(32{,}2\) Jahren eine Höhe von \(10\,\text{m}\). Grafische Überprüfung: Man sucht auf der vertikalen \(y\)-Achse den Wert \(10\), geht von dort waagerecht nach rechts bis zum Graphen von \(h\) und liest an dieser Stelle auf der horizontalen \(t\)-Achse den zugehörigen Wert ab (ca. \(32\) Jahre). 3. Wachstumsgeschwindigkeit nach 10 Jahren berechnen: Wir bilden die Ableitungsfunktion \(h'(t)\) mithilfe der Kettenregel: \(h'(t) = -10 \cdot (-0{,}05) \cdot e^{-0{,}05t} = 0{,}5e^{-0{,}05t}\). Wir setzen \(t = 10\) ein: \(h'(10) = 0{,}5 \cdot e^{-0{,}05 \cdot 10} = 0{,}5 \cdot e^{-0{,}5} \approx 0{,}30\,\frac{\text{m}}{\text{Jahr}}\). Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit nach 10 Jahren beträgt ca. \(0{,}30\,\frac{\text{m}}{\text{Jahr}}\).

a) Anfangshöhe: \(2\,\text{m}\); Höhe nach 20 Jahren: ca. \(8{,}32\,\text{m}\) b) Zeitpunkt: nach ca. \(32{,}2\) Jahren. Grafische Überprüfung: Suche \(10\) auf der \(y\)-Achse, gehe horizontal zum Graphen und lies den zugehörigen \(t\)-Wert auf der \(t\)-Achse ab. c) Wachstumsgeschwindigkeit nach 10 Jahren: ca. \(0{,}30\,\frac{\text{m}}{\text{Jahr}}\)

- Betrachte das Verhalten der Temperatur für sehr große Zeiten, um die Sättigungsgrenze zu ermitteln. - Welchen Wert hat die Zeit zu Beginn des Vorgangs? Lies die zugehörige Temperatur am Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ab. - Setze einen bekannten Punkt des Graphen in die Funktionsgleichung ein, um nach der unbekannten Konstante im Exponenten aufzulösen. - Verwende den natürlichen Logarithmus, um eine Gleichung zu lösen, bei der die gesuchte Variable im Exponenten steht.

1. Bestimmung von \(A\): Da die Ofentemperatur bei \(200\,\text{°C}\) liegt, nähert sich die Temperatur der Kugel für \(t \to \infty\) diesem Wert an. Somit ist die Sättigungsgrenze \(A = 200\). 2. Bestimmung von \(B\): Zum Zeitpunkt \(t = 0\) hat die Kugel laut Graph eine Anfangstemperatur von \(20\,\text{°C}\). Es gilt: \(T(0) = 20 \implies A - B \cdot e^0 = 20 \implies 200 - B = 20 \implies B = 180\). Der Funktionsterm lautet somit: \(T(t) = 200 - 180e^{-kt}\). 3. Bestimmung von \(k\): Mit dem Punkt \(P(10 \mid 110)\) ergibt sich: \(110 = 200 - 180 \cdot e^{-10k} \implies 180 \cdot e^{-10k} = 90 \implies e^{-10k} = 0{,}5 \implies -10k = \ln(0{,}5) \implies k = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0{,}0693\). 4. Berechnung der Zeit für \(185\,\text{°C}\): Setze \(T(t) = 185\) mit \(k \approx 0{,}0693\): \(185 = 200 - 180 \cdot e^{-0{,}0693t} \implies 180 \cdot e^{-0{,}0693t} = 15 \implies e^{-0{,}0693t} = \frac{15}{180} = \frac{1}{12} \implies -0{,}0693t = \ln\left(\frac{1}{12}\right) \implies t = \frac{\ln(12)}{0{,}0693} \approx 35{,}9\). Die Kugel erreicht nach ca. \(35{,}9\,\text{Minuten}\) eine Temperatur von \(185\,\text{°C}\).

a) \(A = 200\), \(B = 180\) b) \(k \approx 0{,}0693\) c) nach ca. \(35{,}9\,\text{Minuten}\)

- Überlege, welcher Wert von \(t\) dem Zeitpunkt der Pflanzung entspricht. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht? - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}15t}\), wenn die Zeit \(t\) immer weiter fortschreitet? - Schau dir den Verlauf des Graphen für sehr große \(t\)-Werte an; gibt es eine Linie, der er sich annähert?

1. Anfangshöhe durch Einsetzen von \(t = 0\) berechnen: \(h(0) = 12 \cdot (1 - 0{,}75 \cdot 1) = 3\). Der Baum ist bei der Pflanzung \(3\,\text{m}\) hoch. 2. Zeitpunkt für \(9\,\text{m}\) durch Lösen der Gleichung \(12 \cdot (1 - 0{,}75 \cdot e^{-0{,}15t}) = 9\) bestimmen: \(1 - 0{,}75 \cdot e^{-0{,}15t} = 0{,}75 \Rightarrow 0{,}75 \cdot e^{-0{,}15t} = 0{,}25 \Rightarrow e^{-0{,}15t} = \frac{1}{3}\). Durch Logarithmieren folgt \(t = \frac{\ln(3)}{0{,}15} \approx 7{,}32\) Jahre. 3. Den Grenzwert für \(t \to \infty\) bestimmen: Da \(e^{-0{,}15t}\) für wachsende \(t\) gegen \(0\) strebt, nähert sich der Klammerausdruck dem Wert \(1\). Die maximale Höhe beträgt somit \(12\,\text{m}\). Im Graphen ist dies als waagerechte Asymptote erkennbar.

a) Die Anfangshöhe beträgt \(3\,\text{m}\). b) Der Baum erreicht nach etwa \(7{,}32\) Jahren eine Höhe von \(9\,\text{m}\). c) Die theoretische maximale Höhe beträgt \(12\,\text{m}\). Begründung: Für \(t \to \infty\) geht \(e^{-0{,}15t}\) gegen \(0\), sodass \(h(t) \to 12 \cdot (1 - 0) = 12\).

- Überlege dir, welche Ableitungsregeln für den Term \(10 \cdot t \cdot e^{-0{,}2t}\) notwendig sind. - Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit den Hochpunkten zusammen? - Um zu zeigen, dass eine Funktion eine Stammfunktion ist, kannst du sie einfach ableiten. - Erinnere dich an die Formel für den Mittelwert einer Funktion über einem Intervall.

1. Ableitung bestimmen: Mit der Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(f'(t) = 10e^{-0{,}2t} + 10t \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2t} = (10 - 2t) \cdot e^{-0{,}2t}\). 2. Extremstelle berechnen: \(f'(t) = 0\) führt zu \(10 - 2t = 0\), also \(t_{\text{max}} = 5\). Da \(f'(t) > 0\) für \(t < 5\) und \(f'(t) < 0\) für \(t > 5\), liegt ein lokales Maximum vor. Der Zeitpunkt ist nach \(5\) Stunden erreicht. 3. Maximalwert berechnen: \(f(5) = 10 \cdot 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot 5} = 50 \cdot e^{-1} \approx 18{,}39\). Die maximale Konzentration beträgt ca. \(18{,}39\,\frac{\text{mg}}{\text{L}}\). 4. Nachweis der Stammfunktion: Ableiten von \(F\) mit der Produktregel: \(F'(t) = -50 \cdot [1 \cdot e^{-0{,}2t} + (t + 5) \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2t}] = -50 \cdot e^{-0{,}2t} \cdot [1 - 0{,}2t - 1] = -50 \cdot (-0{,}2t) \cdot e^{-0{,}2t} = 10t \cdot e^{-0{,}2t} = f(t)\). 5. Durchschnittliche Konzentration: \(\bar{c} = \frac{1}{20 - 0} \int_{0}^{20} f(t) \, dt = \frac{1}{20} [F(20) - F(0)]\). \(F(20) = -50 \cdot 25 \cdot e^{-4} \approx -22{,}89\); \(F(0) = -50 \cdot 5 \cdot e^0 = -250\). \(\bar{c} = \frac{1}{20} [-22{,}89 - (-250)] = \frac{227{,}11}{20} \approx 11{,}36\). Die durchschnittliche Konzentration beträgt ca. \(11{,}36\,\frac{\text{mg}}{\text{L}}\).

a) Der Zeitpunkt der maximalen Konzentration ist \(t_{\text{max}} = 5\,\text{h}\). b) Die maximale Konzentration beträgt ca. \(18{,}39\,\frac{\text{mg}}{\text{L}}\). c) Der Nachweis erfolgt durch Ableiten von \(F(t)\), was \(f(t)\) ergibt. d) Die durchschnittliche Konzentration in den ersten \(20\) Stunden beträgt ca. \(11{,}36\,\frac{\text{mg}}{\text{L}}\).

- Überlege zuerst, was der Schnittpunkt mit der y-Achse über den Parameter \(f(0)\) aussagt. - Suche dir für jeden Graphen einen Punkt, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt, um \(k\) zu berechnen. - Beim Gleichsetzen der Terme kannst du die Potenzgesetze nutzen, um alle Terme mit \(t\) auf eine Seite zu bringen.

1. Bestimmung von Bestand \(A\): Der Anfangswert ist \(f_A(0) = 20\). Mit dem Punkt \((2 \mid 40)\) ergibt sich \(40 = 20 \cdot e^{2k_A}\), also \(2 = e^{2k_A}\) und \(k_A = \frac{\ln(2)}{2} \approx 0{,}3466\). Der Term lautet \(f_A(t) = 20e^{\frac{\ln(2)}{2}t}\). 2. Bestimmung von Bestand \(B\): Der Anfangswert ist \(f_B(0) = 80\). Mit dem Punkt \((2 \mid 40)\) ergibt sich \(40 = 80 \cdot e^{2k_B}\), also \(0{,}5 = e^{2k_B}\) und \(k_B = -\frac{\ln(2)}{2} \approx -0{,}3466\). Der Term lautet \(f_B(t) = 80e^{-\frac{\ln(2)}{2}t}\). 3. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der exakten Terme liefert \(20 \cdot e^{\frac{\ln(2)}{2}t} = 80 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{2}t}\). Nach Division durch \(20\) und Multiplikation mit \(e^{\frac{\ln(2)}{2} \cdot t}\) folgt \(e^{\ln(2)t} = 4\). Logarithmieren ergibt \(\ln(2)t = \ln(4) = 2 \cdot \ln(2)\), also \(t = 2\). Die Bestände sind nach \(2\) Zeiteinheiten gleich groß.

a) \(f_A(t) = 20e^{\frac{\ln(2)}{2}t}\) und \(f_B(t) = 80e^{-\frac{\ln(2)}{2}t}\). b) Die Bestände sind zum Zeitpunkt \(t = 2\) gleich groß.

- Welchen maximalen Wert kann die Wassermenge im Becken erreichen? Das ist der Sättigungswert \(S\). - Setze einen Punkt, den du gut vom Graphen ablesen kannst (zum Beispiel bei \(t = 2\)), in die gegebene Formel ein. - Löse die Gleichung schrittweise nach der Unbekannten \(k\) auf. Denke dabei an die Umkehroperation der e-Funktion.

1. Bestimmung der Sättigungsgrenze \(S\): Der Graph nähert sich asymptotisch dem Wert \(S = 500\,\text{m}^3\) an. 2. Ansatz der Funktionsgleichung: \(W(t) = 500(1 - e^{-kt})\). 3. Bestimmung der Konstante \(k\) durch Ablesen eines Punktes: Der Graph verläuft exakt durch den Punkt \((2 \mid 250)\). 4. Einsetzen des Punktes in den Ansatz: \(250 = 500 \cdot (1 - e^{-2k})\) \(0{,}5 = 1 - e^{-2k}\) \(e^{-2k} = 0{,}5\) \(-2k = \ln(0{,}5)\) \(k = \frac{\ln(2)}{2} \approx 0{,}3466\) 5. Ergebnis: \(W(t) = 500(1 - e^{-0{,}3466t})\).

Der gesuchte Funktionsterm lautet \(W(t) = 500(1 - e^{-0{,}3466t})\).

- Welche Information liefert dir die Kapazitätsgrenze über das Verhalten der Funktion für sehr große Zeitwerte? - Überlege, was die „momentane Wachstumsrate“ mathematisch im Zusammenhang mit der Funktion bedeutet. - Setze die gegebenen Werte für den Startzeitpunkt in die Funktionsgleichung und deren Ableitung ein, um die Unbekannten zu bestimmen. - Achte darauf, dass bei begrenztem Wachstum der Exponent negativ sein muss, damit sich der Graph einem Sättigungswert nähert.

1. Aus der Kapazitätsgrenze folgt der Grenzwert für \(t \to \infty\): Da \(k < 0\) sein muss, damit die Funktion gegen einen festen Wert strebt, gilt \(\lim_{t \to \infty} (b \cdot e^{kt} + c) = c\). Somit ist \(c = 2000\). 2. Verwendung der Anfangsbedingung \(N(0) = 200\): \(b \cdot e^{k \cdot 0} + 2000 = 200 \implies b + 2000 = 200 \implies b = -1800\). 3. Berechnung der Ableitung für die Wachstumsrate: \(N'(t) = b \cdot k \cdot e^{kt} = -1800 \cdot k \cdot e^{kt}\). 4. Verwendung der Bedingung \(N'(0) = 100\): \(-1800 \cdot k \cdot e^0 = 100 \implies -1800k = 100 \implies k = -\frac{100}{1800} = -\frac{1}{18} \approx -0{,}0556\). 5. Der gesuchte Funktionsterm lautet: \(N(t) = -1800e^{-\frac{1}{18}t} + 2000\).

Die Parameter sind \(b = -1800\), \(c = 2000\) und \(k = -\frac{1}{18}\); der Funktionsterm lautet \(N(t) = -1800e^{-\frac{1}{18}t} + 2000\). Der dargestellte Graph startet bei \(N(0)=200\) und nähert sich für große \(t\) der Kapazitätsgrenze \(2000\).

- Nutze den gegebenen Wert nach 10 Minuten, um die Konstante im Exponenten zu finden. - Was bedeutet Halbwertszeit mathematisch für den Funktionswert? - Wie gehst du vor, wenn du nach einer Zeit suchst, bei der ein bestimmter Wert erreicht wird? - Welche physikalische Einheit hat die Steigung in diesem Kontext?

1. Funktionsgleichung: Mit \(c(10) = 200\) folgt \(320 \cdot e^{k \cdot 10} = 200\). Daraus ergibt sich \(e^{10k} = 0{,}625\) und \(k = \frac{\ln(0{,}625)}{10} \approx -0{,}0470\). Die Funktion lautet \(c(t) = 320e^{-0{,}0470t}\). 2. Halbwertszeit: \(e^{-0{,}0470T_{1/2}} = 0{,}5 \implies T_{1/2} = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}0470} \approx 14{,}75\,\text{Minuten}\). 3. Grenzwertunterschreitung: \(320 \cdot e^{-0{,}0470t} < 10 \implies e^{-0{,}0470t} < 0{,}03125 \implies t > \frac{\ln(0{,}03125)}{-0{,}0470} \approx 73{,}74\,\text{Minuten}\). Die Konzentration unterschreitet den Grenzwert also für \(t > 73{,}74\). 4. Änderungsrate: \(c'(t) = 320 \cdot (-0{,}0470) \cdot e^{-0{,}0470t} \approx -15{,}04 \cdot e^{-0{,}0470t}\). Nach \(20\,\text{Minuten}\) ist \(c'(20) \approx -15{,}04 \cdot e^{-0{,}0470 \cdot 20} \approx -5{,}87\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min})\). Dies bedeutet, dass die Konzentration zu diesem Zeitpunkt momentan um etwa \(5{,}87\,\text{mg}/\text{l}\) pro Minute abnimmt.

a) \(c(t) = 320e^{-0{,}0470t}\) b) \(T_{1/2} \approx 14{,}75\,\text{Minuten}\) c) Für \(t > 73{,}74\,\text{Minuten}\) unterschreitet die Konzentration \(10\,\text{mg}/\text{l}\). d) \(c'(t) = -15{,}04e^{-0{,}0470t}\); \(c'(20) \approx -5{,}87\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min})\). Dies ist die momentane Abnahmerate der Konzentration zum Zeitpunkt \(t=20\).

- Wann ist das \(1{,}5\)-fache eines Wertes noch kleiner als die obere Schranke der Funktion? - Nutze die Potenzgesetze, um \(e^{-0{,}1(t+T)}\) aufzuteilen. - Isoliere den Term mit \(T\) in der Gleichung \(f(t+T) = 1{,}5 \cdot f(t)\). - Untersuche die Monotonie der Dauer \(T(t)\), um den kleinsten Wert zu finden.

1. Eine Zunahme um \(50\,\%\) erfordert \(1{,}5f(t) < \lim_{t \to \infty} f(t) = 40\), also \(f(t) < \frac{80}{3} \approx 26{,}67\). 2. \(40 - 30 \cdot e^{-0{,}1t} < \frac{80}{3} \Rightarrow \frac{40}{3} < 30 \cdot e^{-0{,}1t} \Rightarrow e^{-0{,}1t} > \frac{4}{9}\). 3. \(t < -10 \cdot \ln(\frac{4}{9}) = 10 \cdot \ln(2{,}25) \approx 8{,}11\). Der Zeitraum ist \(t \in [0; 8{,}11)\). 4. Ansatz für \(T(t)\): \(f(t+T) = 1{,}5f(t)\). 5. \(40 - 30 \cdot e^{-0{,}1t} \cdot e^{-0{,}1T} = 1{,}5 \cdot (40 - 30 \cdot e^{-0{,}1t}) = 60 - 45 \cdot e^{-0{,}1t}\). 6. Umstellen nach \(e^{-0{,}1T}\): \(30 \cdot e^{-0{,}1t} \cdot e^{-0{,}1T} = 45 \cdot e^{-0{,}1t} - 20 \Rightarrow e^{-0{,}1T} = 1{,}5 - \frac{2}{3} \cdot e^{0{,}1t}\). 7. \(T(t) = -10 \cdot \ln(1{,}5 - \frac{2}{3} \cdot e^{0{,}1t})\). 8. Da \(T(t)\) eine streng monoton steigende Funktion ist, liegt das Minimum bei \(t=0\). 9. \(T(0) = -10 \cdot \ln(1{,}5 - \frac{2}{3}) = -10 \cdot \ln(\frac{5}{6}) = 10 \cdot \ln(1{,}2) \approx 1{,}82\).

a) Eine \(50\)-prozentige Zunahme ist möglich für \(t \in [0; 10 \cdot \ln(2{,}25))\), also ca. \(0 \le t < 8{,}11\). b) \(T(t) = -10 \cdot \ln(1{,}5 - \frac{2}{3} \cdot e^{0{,}1t})\) c) Die minimale Dauer beträgt \(T_{\text{min}} = 10 \cdot \ln(1{,}2) \approx 1{,}82\,\text{Wochen}\).

- Stelle zuerst die Bilanzgleichung für die tägliche Änderung auf. - Erinnere dich an die allgemeine Lösungsstruktur für begrenztes Wachstum. - Was passiert mathematisch mit der Bestandsfunktion, wenn die Zeit gegen Unendlich geht? - Wie hängen der konstante Zufluss, die Abbaurate und die Sättigungsgrenze im Gleichgewichtszustand zusammen?

1. Die Änderung pro Tag ergibt sich aus Zufluss minus Abbau: \(P'(t) = 20 - 0{,}08P(t)\). 2. Die Sättigungsgrenze ist \(S = \frac{20}{0{,}08} = 250\). Mit \(P(0) = 50\) ergibt sich \(P(t) = 250 - 200e^{-0{,}08t}\). 3. \(P(10) = 250 - 200 \cdot e^{-0{,}8} \approx 160{,}13\). Nach \(10\) Tagen befinden sich ca. \(160{,}13\,\text{kg}\) Schadstoff im See. 4. Der Grenzwert beträgt \(250\,\text{kg}\). Da \(250 < 300\), ist die Bedingung erfüllt. 5. Für eine tägliche Zufuhr \(Z\) ist die Sättigungsgrenze \(\frac{Z}{0{,}08}\). Gefordert ist \(\frac{Z}{0{,}08} \le 200\), also \(Z \le 16\). Die Zufuhr darf höchstens \(16\,\text{kg}\) pro Tag betragen.

a) \(P'(t) = 20 - 0{,}08P(t)\) b) \(P(10) \approx 160{,}13\,\text{kg}\) c) Ja, da der Grenzwert \(250\,\text{kg}\) beträgt. d) Höchstens \(16\,\text{kg}\) pro Tag.

- Achte beim Einsetzen der Anfangstemperatur auf das Vorzeichen der negativen Gradzahl. - Wie sieht die allgemeine Funktionsgleichung für einen Sättigungsprozess aus? - Um eine Zeitdauer zu bestimmen, musst du die fertige Funktionsgleichung gleich dem Zielwert setzen und nach der Variablen im Exponenten auflösen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Mit \(T(0) = -18\) und \(T'(0) = 11{,}9\) folgt aus der Differentialgleichung: \(11{,}9 = k \cdot (220 - (-18)) = 238k\). Daher ist \(k = 0{,}05\). 2. Die Funktionsgleichung lautet \(T(t) = 220 - (220 - (-18)) \cdot e^{-0{,}05t} = 220 - 238e^{-0{,}05t}\). 3. Für \(75\,^\circ\text{C}\) gilt \(75 = 220 - 238 \cdot e^{-0{,}05t}\). Somit ist \(e^{-0{,}05t} = \frac{145}{238}\). 4. Daraus folgt \(t = \frac{\ln\!\left(\frac{145}{238}\right)}{-0{,}05} \approx 9{,}91\). Die Pizza erreicht die Temperatur nach etwa \(9{,}91\,\text{min}\).

a) \(k = 0{,}05\); \(T(t) = 220 - 238e^{-0{,}05t}\) b) Nach ca. \(9{,}91\,\text{min}\)

- Was bedeutet Halbwertszeit für das Verhältnis von \(N(t)\) zu \(N_0\)? - Stelle eine Gleichung auf, in der die unbekannte Zeit im Exponenten steht. - Prozentangaben lassen sich als Dezimalzahlen einsetzen. - Wie lautet die Ableitungsregel für eine Funktion der Form \(f(x) = ce^{ax}\)?

1. Aus \(e^{-k \cdot 5730} = 0{,}5\) folgt \(k = \frac{\ln(2)}{5730} \approx 0{,}00012097\,\text{a}^{-1}\). 2. Aus \(e^{-kt} = 0{,}65\) folgt \(t = \frac{\ln(0{,}65)}{-k} \approx 3561\) Jahre. 3. Ableiten ergibt \(N'(t) = -k \cdot N_0 \cdot e^{-kt} = -k \cdot N(t)\). Die Änderungsrate ist somit proportional zur vorhandenen Menge; der Proportionalitätsfaktor ist \(-k\).

1. \(k \approx 0{,}00012097\,\text{a}^{-1}\) 2. Das Fundstück ist ca. \(3561\) Jahre alt. 3. \(N'(t) = -k \cdot N(t)\); der Proportionalitätsfaktor ist \(-k \approx -0{,}00012097\,\text{a}^{-1}\).

- Achte darauf, dass die Zeiteinheiten im Exponenten und in der Fragestellung zusammenpassen. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Menge auf \(1\,\%\) ihres Wertes sinkt? - Um die Rate für eine kleinere Zeiteinheit zu finden, musst du den Faktor entsprechend anpassen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Wachstumsfaktor und prozentualer Veränderung.

1. Mit \(t\) in Minuten lautet das Modell \(N(t) = 500\,000 \cdot 0{,}85^{\frac{t}{20}}\). 2. \(N(120) = 500\,000 \cdot 0{,}85^6 \approx 188\,575\) Bakterien. 3. Aus \(0{,}01 = 0{,}85^{\frac{t}{20}}\) folgt \(t = 20 \cdot \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}85)} \approx 566{,}72\,\text{min}\). Das sind etwa \(9\,\text{h}\,27\,\text{min}\). 4. Der Faktor pro Minute ist \(0{,}85^{\frac{1}{20}} \approx 0{,}9919\). Die Abnahme beträgt somit ca. \(0{,}81\,\%\) pro Minute.

a) ca. \(188\,575\) Bakterien b) ca. \(566{,}72\,\text{Minuten}\), also etwa \(9\,\text{h}\,27\,\text{min}\) c) ca. \(0{,}81\,\%\) pro Minute

- Wie lautet die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum? - Was bedeutet „Verdopplung“ für das Verhältnis von Endwert zu Anfangswert? - Welche Rechenregel für Logarithmen hilft dir, eine Variable im Exponenten zu isolieren? - Wie berechnet man den relativen Fehler zwischen einem exakten Wert und einer Näherung? - Erinnere dich an die Definition des Wachstumsfaktors aus dem Prozentsatz.

1. Für \(p = 3\) lautet der Wachstumsfaktor \(q = 1{,}03\). Die Verdopplungsgleichung \(5000 \cdot 1{,}03^n = 10\,000\) führt auf \(1{,}03^n = 2\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}03)} \approx 23{,}45\,\text{Jahre}\). Die Faustformel liefert \(n \approx \frac{72}{3} = 24\,\text{Jahre}\). Die Differenz beträgt etwa \(0{,}55\,\text{Jahre}\). 2. Für \(p = 12\) ist \(q = 1{,}12\). Exakte Zeit: \(n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}12)} \approx 6{,}116\,\text{Jahre}\). Faustformel: \(n \approx \frac{72}{12} = 6\,\text{Jahre}\). Die prozentuale Abweichung berechnet sich durch \(\frac{|6 - 6{,}116|}{6{,}116} \cdot 100\,\% \approx 1{,}90\,\%\). 3. Aus \((1 + \frac{p}{100})^n = 2\) folgt durch Logarithmieren \(n \cdot \ln(1 + \frac{p}{100}) = \ln(2)\), woraus die gesuchte Formel \(n = \frac{\ln(2)}{\ln(1 + \frac{p}{100})}\) resultiert. Mit der Näherung \(\ln(1 + \frac{p}{100}) \approx \frac{p}{100}\) für kleine Zinssätze ergibt sich \(n \approx \frac{\ln(2)}{\frac{p}{100}} = \frac{100 \cdot \ln(2)}{p}\). Da \(100 \cdot \ln(2) \approx 69{,}31\) ist, folgt \(np \approx 69{,}3\).

1. Exakte Zeit: \(\approx 23{,}45\,\text{Jahre}\); Faustformel: \(24\,\text{Jahre}\). 2. Die Abweichung beträgt ca. \(1{,}90\,\%\). 3. Die Herleitung erfolgt über den Ansatz \((1 + \frac{p}{100})^n = 2\); die Näherung basiert auf \(100 \cdot \ln(2) \approx 69{,}3\).

- Wie kannst du den höchsten Punkt eines Funktionsgraphen grafisch bestimmen? - Welche mathematische Bedingung muss an einer Extremstelle (Maximum) für die erste Ableitung der Funktion gelten? - Wie hängen die Änderungsrate einer Funktion und ihre Ableitung zusammen? An welcher besonderen Stelle ist die Abnahme (negative Steigung) am steilsten? - Welche Ableitung musst du untersuchen, um die Stelle der stärksten Zu- oder Abnahme zu bestimmen?

1. **Ablesen und Bestimmen von \(k\) (Teilaufgabe a):** - Aus dem Graphen ist der Hochpunkt bei \(t = 4\,\text{Stunden}\) abzulesen. - Die erste Ableitung der Funktionenschar lautet: \(f_k'(t) = 4 \cdot e^{-kt} \cdot (1 - kt)\). - Da an der Stelle des Maximums \(f_k'(4) = 0\) gelten muss und \(e^{-4k} \neq 0\) ist, folgt: \(1 - 4k = 0 \implies k = 0{,}25\). 2. **Allgemeines Maximum (Teilaufgabe b):** - Zur Bestimmung des Maximums wird die erste Ableitung gleich null gesetzt: \(f_k'(t) = 0 \implies 1 - kt = 0 \implies t_{\text{max}} = \frac{1}{k}\). - Die zweite Ableitung lautet: \(f_k''(t) = 4 \cdot k \cdot e^{-kt} \cdot (kt - 2)\). - Einsetzen des Extremwerts in die zweite Ableitung liefert: \(f_k''\left(\frac{1}{k}\right) = -4 \cdot k \cdot e^{-1} < 0\), was das Vorliegen eines Maximums bestätigt. 3. **Stärkste Abnahme (Teilaufgabe c):** - Die stärkste Abnahme (maximale negative Steigung) entspricht der Wendestelle des Graphen. - Durch Nullsetzen der zweiten Ableitung erhalten wir: \(f_k''(t) = 0 \implies kt - 2 = 0 \implies t_{\text{w}} = \frac{2}{k}\). - Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an dieser Stelle bestätigt die Wendestelle. - Der Vergleich zeigt: \(t_{\text{w}} = \frac{2}{k} = 2 \cdot \frac{1}{k} = 2 \cdot t_{\text{max}}\). Der Zeitpunkt der stärksten Abnahme ist somit unabhängig von \(k\) immer genau doppelt so groß wie der des Maximums.

a) Der Zeitpunkt des Maximums ist \(t = 4\,\text{Stunden}\). Daraus ergibt sich für den Parameter \(k = 0{,}25\). b) Der allgemeine Zeitpunkt des Maximums lautet \(t_{\text{max}} = \frac{1}{k}\). c) Der Zeitpunkt der stärksten Abnahme ist die Wendestelle bei \(t_{\text{w}} = \frac{2}{k}\). Es gilt \(t_{\text{w}} = 2t_{\text{max}}\).

- Welchen Wert strebt die Temperatur des Tees nach einer sehr langen Zeit an? Das gibt dir einen Hinweis auf die Raumtemperatur. - Überlege, wie groß der Unterschied zwischen Tee- und Raumtemperatur am Anfang ist und wie groß er nach 10 Minuten sein muss. - Die Abkühlungskonstante \(k\) lässt sich durch Umstellen der Gleichung nach dem Logarithmieren bestimmen. - Die „momentane Änderungsrate“ entspricht mathematisch immer der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle.

1. Bestimmung von \(T_U\) und \(a\): Die waagerechte Asymptote des Graphen liegt bei \(y = 20\), also ist die Raumtemperatur \(T_U = 20\,^\circ\text{C}\). Die Anfangstemperatur bei \(t = 0\) beträgt laut Graph \(90\,^\circ\text{C}\). Einsetzen in \(T(0) = a \cdot e^0 + 20 = 90\) ergibt \(a + 20 = 90\), also \(a = 70\). 2. Berechnung von \(k\): Die Anfangsdifferenz beträgt \(90 - 20 = 70\,\text{K}\). Nach \(10\,\text{min}\) ist sie auf \(35\,\text{K}\) gesunken, also \(T(10) = 20 + 35 = 55\,^\circ\text{C}\). Einsetzen in die Gleichung: \(55 = 70 \cdot e^{-10k} + 20 \implies 35 = 70 \cdot e^{-10k} \implies 0{,}5 = e^{-10k}\). Logarithmieren liefert \(\ln(0{,}5) = -10k\), also \(-\ln(2) = -10k\). Damit ist \(k = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0{,}0693\). 3. Momentane Abkühlungsrate: Gesucht ist \(T'(0)\). Die Ableitung der Funktion \(T(t) = 70e^{-kt} + 20\) ist \(T'(t) = -70ke^{-kt}\). Einsetzen von \(t = 0\) und \(k = \frac{\ln(2)}{10}\): \(T'(0) = -70 \cdot \frac{\ln(2)}{10} \cdot e^0 = -7 \cdot \ln(2)\). Numerisch ergibt dies \(T'(0) \approx -7 \cdot 0{,}6931 \approx -4{,}85\). Die momentane Änderungsrate beträgt zu Beginn etwa \(-4{,}85\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\); die Temperatur sinkt also mit einem Betrag von etwa \(4{,}85\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\).

a) \(T_U = 20\,^\circ\text{C}\); Anfangstemperatur \(90\,^\circ\text{C}\); \(a = 70\) b) \(k = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0{,}0693\) c) \(T'(0) \approx -4{,}85\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\).