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- Welchen Wert hat die Funktion zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Wie kannst du den Wachstumsfaktor berechnen, wenn du zwei Zeitpunkte kennst? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Basis \(e\) und dem natürlichen Logarithmus. - Überlege dir, wie du die Gleichung nach der Unbekannten im Exponenten auflösen kannst.

1. Bestimmung des Anfangswerts \(b\): Da \(f(0) = 1200\) gegeben ist, folgt direkt \(b = 1200\). 2. Aufstellen der Gleichung für \(k\): Mit dem Wert nach \(5\) Stunden gilt \(f(5) = 1200 \cdot e^{k \cdot 5} = 3000\). 3. Isolieren von \(e^{5k}\): Durch Division ergibt sich \(e^{5k} = \frac{3000}{1200} = 2{,}5\). 4. Berechnung von \(k\): Anwendung des natürlichen Logarithmus liefert \(5k = \ln(2{,}5)\), woraus \(k = \frac{\ln(2{,}5)}{5} \approx 0{,}1833\) folgt. 5. Einsetzen in die Funktionsform: \(f(t) = 1200 \cdot e^{0{,}1833 \cdot t}\).

\(f(t) = 1200 \cdot e^{\frac{\ln(2{,}5)}{5} \cdot t} \approx 1200 \cdot e^{0{,}1833 t}\)

- Wie bestimmt man mathematisch den Wert eines Bestands zu Beginn der Beobachtung? - Welchen Wert nimmt die Potenz \(e^0\) an? - Achte auf das Vorzeichen der Zahl im Exponenten. Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen für die Entwicklung des Funktionswerts? - Setze den gesuchten Zeitpunkt für die entsprechende Variable in die Funktionsgleichung ein.

1. Berechnung der Anfangswerte durch Einsetzen von \(t=0\): \(f_1(0) = 600 \cdot e^0 = 600\), \(f_2(0) = 450 \cdot e^0 = 450\) und \(f_3(0) = 600 \cdot e^0 = 600\). Ergebnis: Funktion (2) hat mit \(450\) den geringsten Anfangswert. 2. Analyse des Wachstumsparameters \(k\) im Exponenten \(e^{kt}\): Ein negativer Wert (\(k < 0\)) kennzeichnet einen Zerfallsprozess. Ergebnis: Die Funktionen (2) mit \(k = -0{,}12\) und (3) mit \(k = -0{,}05\) beschreiben Zerfallsprozesse. 3. Berechnung des Funktionswertes für \(f_1(20)\): \(f_1(20) = 600 \cdot e^{0{,}05 \cdot 20} = 600 \cdot e^1 \approx 1630{,}97\).

a) Der Bestand (2) hat mit \(450\) den geringsten Anfangswert. b) Die Funktionen (2) und (3) beschreiben einen Zerfallsprozess, da die Koeffizienten im Exponenten (\(-0{,}12\) bzw. \(-0{,}05\)) negativ sind. c) Der Bestand nach \(20\) Zeiteinheiten beträgt ca. \(1630{,}97\).

- Was bedeutet der Wert der Funktion zum Zeitpunkt Null für die Parameter? - Setze die gegebenen Wertepaare in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, die im Exponenten steht? - Überlege, ob du Rechengesetze für Logarithmen nutzen kannst, um den Term im zweiten Aufgabenteil zu vereinfachen.

1. Aus dem Anfangswert bei \(t = 0\) folgt direkt \(A(0) = A_0 \cdot e^0 = A_0\), woraus sich \(A_0 = 15\) ergibt. Durch Einsetzen des zweiten Wertepaares \(A(6) = 45\) in die Funktionsgleichung erhält man die Gleichung \(15 \cdot e^{6k} = 45\). Division durch \(15\) führt zu \(e^{6k} = 3\). Die Anwendung des natürlichen Logarithmus ergibt \(6k = \ln(3)\), woraus \(k = \frac{1}{6} \ln(3)\) folgt. 2. Zur Berechnung der Fläche nach \(12\,\text{Stunden}\) wird \(t = 12\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(A(12) = 15 \cdot e^{\frac{1}{6} \ln(3) \cdot 12} = 15 \cdot e^{2 \ln(3)} = 15 \cdot e^{\ln(3^2)} = 15 \cdot 9 = 135\). Die Fläche beträgt somit \(135\,\text{cm}^2\).

1. \(A_0 = 15\); \(k = \frac{1}{6} \ln(3)\) 2. \(135\,\text{cm}^2\)

- Untersuche, wie sich die Werte von einem Messzeitpunkt zum nächsten verändern. - Bleibt der Zuwachs als feste Zahl immer gleich oder bleibt das Verhältnis der Werte zueinander gleich? - Wie oft findet der Wachstumsschritt in dem gesuchten Zeitraum statt? - Überlege, welcher mathematische Ansatz zu einer prozentualen Zunahme passt.

1. Prüfung auf lineares Wachstum: Die Differenz der Werte nach den ersten zwei Tagen beträgt \(600 - 400 = 200\). Die Differenz zwischen Tag 2 und Tag 4 beträgt \(900 - 600 = 300\). Da die absoluten Zunahmen pro Zeitintervall nicht konstant sind, liegt kein lineares Wachstum vor. 2. Prüfung auf exponentielles Wachstum: Der Quotient der Werte nach den ersten zwei Tagen beträgt \(\frac{600}{400} = 1{,}5\). Der Quotient zwischen Tag 2 und Tag 4 beträgt \(\frac{900}{600} = 1{,}5\). Da die relativen Zunahmen (Wachstumsfaktoren) pro Zeitintervall konstant sind, beschreibt ein exponentielles Modell die Daten korrekt. 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit dem Anfangswert \(f(0) = 400\) und dem Wachstumsfaktor \(1{,}5\) für zwei Tage lautet die Gleichung \(f(t) = 400 \cdot 1{,}5^{\frac{t}{2}}\) (mit \(t\) in Tagen). Alternativ ergibt sich der tägliche Wachstumsfaktor zu \(b = \sqrt{1{,}5} \approx 1{,}2247\), also \(f(t) \approx 400 \cdot 1{,}2247^t\). 4. Berechnung für eine Woche (\(t = 7\)): \(f(7) = 400 \cdot 1{,}5^{3{,}5} \approx 400 \cdot 4{,}1335 \approx 1\,653{,}41\). Die Fläche beträgt nach einer Woche etwa \(1\,653{,}41\,\text{cm}^2\).

a) Das Wachstum ist exponentiell, da die Quotienten aufeinanderfolgender Werte im gleichen Zeitabstand konstant sind (\(1{,}5\)), während die Differenzen variieren. b) \(f(t) = 400 \cdot 1{,}5^{\frac{t}{2}}\) oder \(f(t) \approx 400 \cdot 1{,}2247^t\) (wobei \(t\) die Zeit in Tagen ist). c) Nach einer Woche beträgt die Fläche ca. \(1\,653{,}41\,\text{cm}^2\).

- Wie hängen der prozentuale Rückgang und der Faktor \(q\) zusammen, wenn du eine \(e\)-Funktion aufstellst? - Bei der Halbwertszeit suchst du die Zeit, nach der nur noch die Hälfte des Startwerts vorhanden ist. Spielt der Startwert dabei eine Rolle für das Endergebnis? - Nutze den Logarithmus, um Gleichungen nach der Zeit \(t\) im Exponenten aufzulösen. - Wenn zwei Bestände gleichgesetzt werden, kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit \(t\) auf einer Seite stehen.

1. Parameter Fichte: \(V_0 = 8000\), \(q = 0{,}972 \implies k_F = \ln(0{,}972) \approx -0{,}0284\). Funktion: \(V_F(t) = 8000 \cdot e^{-0{,}0284 \cdot t}\). 2. Parameter Buche: \(V_0 = 2500\), \(q = 1{,}015 \implies k_B = \ln(1{,}015) \approx 0{,}0149\). Funktion: \(V_B(t) = 2500 \cdot e^{0{,}0149 \cdot t}\). 3. Halbwertszeit Fichte: Ansatz \(e^{-0{,}0284 \cdot t} = 0{,}5\). Lösung \(t = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}0284} \approx 24{,}41\) Jahre. 4. Zielwert Buche: \(2500 \cdot e^{0{,}0149 \cdot t} = 4000 \implies e^{0{,}0149 \cdot t} = 1{,}6\). Lösung \(t = \frac{\ln(1{,}6)}{0{,}0149} \approx 31{,}54\) Jahre. 5. Gleichheit der Bestände: \(8000 \cdot e^{-0{,}0284 \cdot t} = 2500 \cdot e^{0{,}0149 \cdot t} \implies \frac{8000}{2500} = e^{(0{,}0149 + 0{,}0284)t}\). Lösung \(3{,}2 = e^{0{,}0433 \cdot t} \implies t = \frac{\ln(3{,}2)}{0{,}0433} \approx 26{,}86\) Jahre.

a) \(V_F(t) = 8000 \cdot e^{-0{,}0284 \cdot t}\); \(V_B(t) = 2500 \cdot e^{0{,}0149 \cdot t}\) b) Nach ca. \(24{,}4\) Jahren. c) Nach ca. \(31{,}5\) Jahren. d) Nach ca. \(26{,}9\) Jahren.

- Welchen Zahlenwert hat die Zeitvariable genau in dem Moment, in dem die Beobachtung startet? - Was passiert mathematisch mit einem Ausdruck der Form \(e^{-k \cdot t}\), wenn \(t\) immer größer wird? - Kannst du den Funktionsterm in einen festen Teil und einen veränderlichen Teil zerlegen?

1. Berechnung des Anfangswerts durch Einsetzen von \(t = 0\): \(N(0) = 850 - 600 \cdot e^{-0{,}15 \cdot 0} = 850 - 600 \cdot 1 = 250\). 2. Untersuchung des Grenzwerts für \(t \to \infty\): Da der Term \(e^{-0{,}15t}\) für gegen unendlich strebende \(t\) gegen \(0\) konvergiert (\(\lim_{t \to \infty} e^{-0{,}15t} = 0\)), nähert sich der Funktionswert dem konstanten Wert \(850 - 600 \cdot 0 = 850\).

Der Anfangsbestand beträgt \(250\) Fische. Langfristig stellt sich ein Bestand von \(850\) Fischen ein.

- Wie oft verdoppelt sich ein Wert in einem bestimmten Zeitraum, wenn du die Verdopplungszeit kennst? - Wie kannst du eine große Potenz wie \(2^{30}\) mithilfe der Rechenregeln für Potenzen so umschreiben, dass du \(2^{10}\) einsetzen kannst? - Erinnere dich daran, wie man eine prozentuale Abweichung von einem Referenzwert berechnet.

1. Berechnung des exakten Wertes: \(2^{10} = 1024\). 2. Bestimmung der prozentualen Abweichung: \(\frac{1024 - 1000}{1000} = 0{,}024 = 2{,}4\,\%\). 3. Begründung der Faktoren: Ein Zeitraum von \(20\) Jahren entspricht bei einer Verdopplungszeit von \(2\) Jahren genau \(10\) Verdopplungszyklen. Der Wachstumsfaktor ist \(2^{10}\), was laut Faustregel etwa \(10^3\) (Tausend) entspricht. Ein Zeitraum von \(60\) Jahren entspricht \(30\) Zyklen, also einem Faktor von \(2^{30} = (2^{10})^3 \approx (10^3)^3 = 10^9\) (Milliarde). 4. Schätzung nach \(40\) Jahren: \(40\) Jahre entsprechen \(20\) Zyklen. Der Leistungsfaktor beträgt \(2^{20} = (2^{10})^2 \approx (10^3)^2 = 10^6\). Die neue Leistung beträgt somit \(10^{16} \cdot 10^6 = 10^{22}\) Operationen pro Sekunde.

a) \(2^{10} = 1024\); Abweichung: \(2{,}4\,\%\) b) \(20\) Jahre entsprechen \(10\) Zyklen (\(2^{10} \approx 10^3\)); \(60\) Jahre entsprechen \(30\) Zyklen (\(2^{30} = (2^{10})^3 \approx 10^9\)). c) \(10^{22}\) Operationen pro Sekunde.

- Welcher Teil der Funktionsgleichung gibt den Wert zum Zeitpunkt Null an? - Wie hängen der Faktor in der Klammer und die prozentuale Änderung zusammen? - Wenn nach einem Bruchteil des Anfangswerts gefragt ist, musst du diesen zuerst berechnen oder direkt das Verhältnis nutzen. - Erinnere dich an die Logarithmengesetze, um nach der Zeit zu suchen.

1. Analyse der Funktionsgleichung: Der Kaufpreis entspricht dem Wert zum Zeitpunkt \(t = 0\), also \(W(0) = 3800\,\text{€}\). Der Wachstumsfaktor \(b = 0{,}84\) entspricht einer jährlichen Abnahme um \(1 - 0{,}84 = 0{,}16\), also um \(16\,\%\). 2. Berechnung des Restwerts nach 4 Jahren: Einsetzen von \(t = 4\) ergibt \(W(4) = 3800 \cdot 0{,}84^4 = 3800 \cdot 0{,}49787136 \approx 1891{,}911\). Der Restwert beträgt \(1891{,}91\,\text{€}\). 3. Berechnung des Zeitpunkts für den Viertelwert: Ein Viertel des Kaufpreises ist \(\frac{3800}{4} = 950\). Der Ansatz lautet \(950 = 3800 \cdot 0{,}84^t\), was zu \(0{,}25 = 0{,}84^t\) vereinfacht wird. Logarithmieren führt zu \(\ln(0{,}25) = t \cdot \ln(0{,}84)\). Auflösen nach \(t\) ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}84)} \approx 7{,}95\). Nach etwa \(7{,}95\) Jahren ist der Wert auf ein Viertel gesunken.

a) Kaufpreis: \(3800\,\text{€}\); jährlicher Wertverlust: \(16\,\%\) b) \(1891{,}91\,\text{€}\) c) nach ca. \(7{,}95\) Jahren

- Überlege, was das Verhältnis \(m(t) / m_0\) über den verbleibenden Anteil aussagt. - Was bedeutet der Begriff Halbwertszeit für das Verhältnis von End- zu Anfangsmenge? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten von Exponentialfunktionen. - Was sagt die erste Ableitung einer Funktion über deren Verlauf aus?

1. Berechnung des Prozentsatzes für \(t = 25\): \(\frac{m(25)}{m_0} = e^{-0{,}0231 \cdot 25} = e^{-0{,}5775} \approx 0{,}5613\). Somit sind noch ca. \(56{,}13\,\%\) vorhanden. 2. Bestimmung der Halbwertszeit durch Lösen von \(e^{-0{,}0231 \cdot T_H} = 0{,}5\): \(-0{,}0231 \cdot T_H = \ln(0{,}5) \implies T_H = \frac{\ln(2)}{0{,}0231} \approx 30{,}01\,\text{Jahre}\). 3. Ableitung bilden: \(m'(t) = -0{,}0231 \cdot m_0 \cdot e^{-0{,}0231 \cdot t}\). Einsetzen von \(m_0 = 500\) und \(t = 50\): \(m'(50) = -0{,}0231 \cdot 500 \cdot e^{-0{,}0231 \cdot 50} = -11{,}55 \cdot e^{-1{,}155} \approx -3{,}64\). Die momentane Änderungsrate beträgt ca. \(-3{,}64\,\frac{\text{mg}}{\text{Jahr}}\). Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Masse abnimmt.

a) Es sind noch ca. \(56{,}13\,\%\) vorhanden. b) Die Halbwertszeit beträgt \(T_H \approx 30{,}01\,\text{Jahre}\). c) Die momentane Änderungsrate beträgt \(m'(50) \approx -3{,}64\,\frac{\text{mg}}{\text{Jahr}}\). Das negative Vorzeichen bedeutet eine Massenabnahme.

- Überlege dir, welche Ableitung du für die Berechnung von Extrempunkten benötigst. - Wie findet man die Stelle der steilsten Steigung oder des steilsten Abfalls bei einer Funktion? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer bestimmten Stelle. - Was passiert mit einem Term der Form \(t \cdot e^{-k \cdot t}\), wenn die Zeit immer weiter fortschreitet?

1. Zur Bestimmung des Maximums wird die erste Ableitung gebildet: \(c'(t) = 8 \cdot e^{-0{,}25t} + 8t \cdot (-0{,}25) \cdot e^{-0{,}25t} = (8 - 2t) \cdot e^{-0{,}25t}\). 2. Die Bedingung \(c'(t) = 0\) führt auf \(8 - 2t = 0\), also \(t = 4\). Die maximale Konzentration beträgt \(c(4) = 32 \cdot e^{-1} \approx 11{,}77\,\text{mg/l}\). 3. Für die stärkste Abnahme wird das Minimum der ersten Ableitung (Wendepunkt) gesucht: \(c''(t) = -2 \cdot e^{-0{,}25t} + (8 - 2t) \cdot (-0{,}25) \cdot e^{-0{,}25t} = (0{,}5t - 4) \cdot e^{-0{,}25t}\). 4. Die Bedingung \(c''(t) = 0\) ergibt \(0{,}5t = 4\), also \(t = 8\). Da \(c'''(8) > 0\) und die Steigung negativ ist, liegt hier die stärkste Abnahme vor. 5. Für die Tangente bei \(t = 6\) berechnet man \(c(6) = 48 \cdot e^{-1{,}5} \approx 10{,}71\) und \(c'(6) = (8 - 12) \cdot e^{-1{,}5} = -4 \cdot e^{-1{,}5} \approx -0{,}89\). 6. Die Tangentengleichung lautet \(y = -4 \cdot e^{-1{,}5} \cdot (t - 6) + 48 \cdot e^{-1{,}5}\). Die Nullstelle der Tangente liegt bei \(t = 18\), da \(0 = -4 \cdot e^{-1{,}5} \cdot (t - 18)\). 7. Der Grenzwert für \(t \to \infty\) ist \(\lim_{t \to \infty} (8t \cdot e^{-0{,}25t}) = 0\). Dies bedeutet, dass das Medikament langfristig vollständig aus dem Blut ausgeschieden wird.

a) Maximum nach \(4\,\text{Stunden}\); Konzentration ca. \(11{,}77\,\text{mg/l}\). b) Stärkste Abnahme nach \(8\,\text{Stunden}\). c) Die Konzentration erreicht nach \(18\,\text{Stunden}\) den Wert \(0\). d) Der Grenzwert ist \(0\); das Medikament wird langfristig komplett abgebaut.

- Wie hängen der Prozentsatz und der Wachstumsfaktor \(a\) zusammen? - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen der Basis \(a\) und der Basis \(e\)? - Was gibt die Ableitung einer Bestandsfunktion im Sachzusammenhang an? - Welche der beiden Funktionsformen lässt sich einfacher ableiten?

1. Der Anfangswert ist \(b = 1500\). Bei einer Zunahme von \(3{,}5\,\%\) pro Stunde ergibt sich der Wachstumsfaktor \(a = 1 + 0{,}035 = 1{,}035\). Die Funktionsgleichung lautet \(A(t) = 1500 \cdot 1{,}035^t\). 2. Es gilt der Zusammenhang \(a = e^k\), woraus \(k = \ln(a)\) folgt. Mit \(a = 1{,}035\) ergibt sich \(k = \ln(1{,}035) \approx 0{,}0344\). Die Form lautet somit \(A(t) = 1500 \cdot e^{0{,}0344t}\). 3. Die Ableitungsfunktion in der \(e\)-Form ist \(A'(t) = 1500 \cdot k \cdot e^{kt}\). Einsetzen von \(t = 10\) und \(k \approx 0{,}034401\) führt zu \(A'(10) = 1500 \cdot 0{,}034401 \cdot e^{0{,}034401 \cdot 10} \approx 51{,}601 \cdot 1{,}4106 \approx 72{,}79\). Die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt ca. \(72{,}79\,\text{mm}^2/\text{h}\).

1. \(A(t) = 1500 \cdot 1{,}035^t\) 2. \(k = \ln(1{,}035) \approx 0{,}0344\); \(A(t) = 1500 \cdot e^{0{,}0344t}\) 3. \(A'(10) \approx 72{,}79\,\text{mm}^2/\text{h}\)

- Setze die gegebenen Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Unbekannten zu bestimmen. - Überlege, ob \(k\) bei einem Zerfallsprozess positiv oder negativ sein muss. - Was bedeutet „Halbwertszeit“ für den Funktionswert im Vergleich zum Startwert? - Welche Gleichung musst du lösen, um den Zeitpunkt zu finden, an dem nur noch die Hälfte vorhanden ist?

1. Mit \(c(0) = 80\) ist \(c_0 = 80\). Aus \(c(4) = 50\) folgt die Gleichung \(80 \cdot a^4 = 50\). Daraus ergibt sich \(a^4 = \frac{5}{8} = 0{,}625\). Somit ist \(a = \sqrt[4]{0{,}625} \approx 0{,}8891\). 2. Die Wachstumskonstante \(k\) berechnet sich durch \(k = \ln(a) = \ln(0{,}889139...) \approx -0{,}1175\). Die Funktion lautet \(c(t) = 80 \cdot e^{-0{,}1175t}\). 3. Die Halbwertszeit \(t_H\) ist die Zeit, nach der \(e^{kt} = 0{,}5\) gilt. Es folgt \(t_H = \frac{\ln(0{,}5)}{k} \approx \frac{-0{,}6931}{-0{,}1175} \approx 5{,}898\). Die Halbwertszeit beträgt etwa \(5{,}9\) Stunden.

1. \(a \approx 0{,}8891\) 2. \(c(t) = 80 \cdot e^{-0{,}1175t}\) 3. \(t_H \approx 5{,}9\,\text{h}\)

- Überlege dir, wie sich die Funktionswerte verändern, wenn die x-Werte größer werden. - Wie hängen die Funktionswerte bei einer Exponentialfunktion zusammen, wenn die x-Werte um 1 steigen? - Du kannst ein Gleichungssystem aufstellen oder den Quotienten der y-Werte nutzen, um die Basis zu finden. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der allgemeinen Basis \(a\) und der Basis \(e\). - Für die Ableitung einer Funktion der Form \(e^{kx}\) benötigst du die Kettenregel.

1. Analyse der Punkte: Da der Funktionswert von \(x = 1\) (\(f(1) = 45\)) zu \(x = 2\) (\(f(2) = 135\)) ansteigt, handelt es sich um einen Wachstumsprozess. 2. Berechnung des Wachstumsfaktors \(a\): Aus dem Quotienten der Funktionswerte folgt \(a = \frac{f(2)}{f(1)} = \frac{135}{45} = 3\). 3. Berechnung des Anfangswerts \(b\): Einsetzen von \(P(1 | 45)\) in \(45 = b \cdot 3^1\) ergibt \(b = 15\). Die Funktion lautet \(f(x) = 15 \cdot 3^x\). 4. Darstellung zur Basis \(e\): Mit \(3 = e^{\ln(3)}\) folgt \(f(x) = 15 \cdot e^{\ln(3) \cdot x}\). 5. Ableitung und Steigung: Der Ableitungsterm ist \(f'(x) = 15 \cdot \ln(3) \cdot e^{\ln(3)x}\) (oder \(f'(x) = 15 \cdot \ln(3) \cdot 3^x\)). Die Steigung bei \(x = 0\) beträgt \(f'(0) = 15 \cdot \ln(3) \cdot 3^0 = 15 \cdot \ln(3) \approx 16{,}48\).

a) Wachstumsprozess, da der Funktionswert bei steigendem \(x\) zunimmt (\(135 > 45\)). b) \(a = 3\); \(b = 15\) c) \(f(x) = 15 \cdot e^{\ln(3)x}\); \(f'(x) = 15 \ln(3) \cdot e^{\ln(3)x}\); \(f'(0) = 15 \ln(3) \approx 16{,}48\)

- Nutze die beiden gegebenen Zeitpunkte, um ein Gleichungssystem für \(m_0\) und \(a\) aufzustellen. - Überlege dir, was „Halbwertszeit“ im Kontext des Zerfallsfaktors \(a\) bedeutet. - Die Basis \(e\) erhältst du durch die Identität \(a = e^{\ln(a)}\). - Die momentane Änderungsrate entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion zu einem bestimmten Zeitpunkt.

1. Aufstellen des Gleichungssystems: \(m(2) = m_0 \cdot a^2 = 20\) und \(m(5) = m_0 \cdot a^5 = 2{,}5\). 2. Bestimmung von \(a\): Division der Gleichungen liefert \(a^3 = \frac{2{,}5}{20} = 0{,}125\). Daraus folgt \(a = \sqrt[3]{0{,}125} = 0{,}5\). 3. Bestimmung von \(m_0\): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(m_0 \cdot 0{,}5^2 = 20 \Rightarrow m_0 \cdot 0{,}25 = 20 \Rightarrow m_0 = 80\). Die ursprüngliche Masse betrug \(80\,\text{mg}\). 4. Halbwertszeit: Da der tägliche Zerfallsfaktor \(0{,}5\) beträgt, halbiert sich die Substanz jeden Tag. Die Halbwertszeit beträgt somit \(T_H = 1\,\text{Tag}\). 5. Darstellung zur Basis \(e\): Mit \(a = 0{,}5\) ist \(k = \ln(0{,}5)\). Somit gilt \(m(t) = 80 \cdot e^{\ln(0{,}5)t}\). 6. Momentane Änderungsrate: Die Ableitung ist \(m'(t) = 80 \cdot \ln(0{,}5) \cdot e^{\ln(0{,}5)t}\). Für \(t = 1\) ergibt sich \(m'(1) = 80 \cdot \ln(0{,}5) \cdot 0{,}5 = 40 \cdot \ln(0{,}5) \approx -27{,}73\). Die Masse nimmt nach einem Tag mit einer Rate von ca. \(27{,}73\,\text{mg/Tag}\) ab.

a) \(a = 0{,}5\); \(m_0 = 80\,\text{mg}\) b) \(T_H = 1\,\text{Tag}\) c) \(m(t) = 80 \cdot e^{\ln(0{,}5)t}\); \(m'(1) = 40 \ln(0{,}5) \approx -27{,}73\,\text{mg/Tag}\)

- Untersuche, wie sich die Werte verändern, wenn du einen Wert durch seinen Vorgänger teilst. - Wie hängen der Wachstumsfaktor für einen längeren Zeitraum und der für einen kürzeren Zeitraum mathematisch zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Basis \(a\) einer Exponentialfunktion \(a^t\) und dem Exponenten \(k\) in der Form \(e^{k \cdot t}\). - Die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht der ersten Ableitung der Bestandsfunktion. - Bei der Verdopplungszeit suchst du den Zeitpunkt, an dem der Funktionswert das Zweifache des Anfangswerts erreicht.

1. Prüfung der Quotienten aufeinanderfolgender Werte: \(\frac{6{,}1}{5{,}0} = 1{,}22\); \(\frac{7{,}4}{6{,}1} \approx 1{,}213\); \(\frac{9{,}0}{7{,}4} \approx 1{,}216\); \(\frac{11{,}0}{9{,}0} \approx 1{,}222\). Da die Quotienten für gleiche Zeitintervalle nahezu konstant sind, ist ein exponentielles Modell geeignet. 2. Wachstumsfaktor für zwei Tage: \(q_{2d} = 1{,}22\). Täglicher Wachstumsfaktor: \(q = \sqrt{1{,}22} \approx 1{,}1045\). Dies entspricht einer täglichen Zunahme von ca. \(10{,}45\,\%\). 3. Anfangswert \(A_0 = 5{,}0\). Bestimmung von \(k\): \(e^{2k} = 1{,}22 \Rightarrow k = \frac{\ln(1{,}22)}{2} \approx 0{,}0994\). Funktionsterm: \(A(t) = 5{,}0 \cdot e^{0{,}0994 \cdot t}\). 4. Ableitungsfunktion: \(A'(t) = 5{,}0 \cdot 0{,}0994 \cdot e^{0{,}0994 \cdot t} = 0{,}497 \cdot e^{0{,}0994 \cdot t}\). Momentane Wachstumsrate bei \(t = 5\): \(A'(5) = 0{,}497 \cdot e^{0{,}0994 \cdot 5} \approx 0{,}817\,\text{m}^2/\text{Tag}\). 5. Verdopplungszeit: \(e^{k \cdot T} = 2 \Rightarrow T = \frac{\ln(2)}{k} = \frac{\ln(2)}{0{,}0994} \approx 6{,}97\,\text{Tage}\).

a) Die Quotienten aufeinanderfolgender Messwerte sind mit ca. \(1{,}22\) nahezu konstant. b) Wachstumsfaktor (2 Tage): \(1{,}22\); Wachstumsfaktor (täglich): \(\approx 1{,}1045\); Zunahme: \(\approx 10{,}45\,\%\). c) \(A(t) = 5{,}0 \cdot e^{0{,}0994 \cdot t}\) d) \(A'(t) = 0{,}497 \cdot e^{0{,}0994 \cdot t}\); \(A'(5) \approx 0{,}817\,\text{m}^2/\text{Tag}\). e) \(T \approx 6{,}97\,\text{Tage}\).

- Prüfe, ob das Verhältnis von aufeinanderfolgenden Werten bei gleichbleibenden Zeitabständen konstant bleibt. - Überlege dir, wie du von einem Faktor für drei Zeiteinheiten auf den Faktor für eine einzelne Zeiteinheit kommst. - Die Basis \(e\) erfordert die Umrechnung des Wachstums- oder Zerfallsfaktors mithilfe des natürlichen Logarithmus. - Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über die Zu- oder Abnahme der Konzentration aus? - Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte der ursprünglichen Menge vorhanden ist.

1. Prüfung der Quotienten: \(\frac{84{,}0}{120} = 0{,}7\); \(\frac{58{,}8}{84{,}0} = 0{,}7\); \(\frac{41{,}2}{58{,}8} \approx 0{,}701\); \(\frac{28{,}8}{41{,}2} \approx 0{,}699\). Da die Quotienten pro 3 Stunden nahezu konstant bei \(0{,}7\) liegen, liegt exponentieller Zerfall vor. 2. Zerfallsfaktor (3 h): \(q_{3h} = 0{,}7\). Zerfallsfaktor (1 h): \(q = 0{,}7^{1/3} \approx 0{,}8879\). Die Konzentration sinkt pro Stunde um ca. \(11{,}21\,\%\). 3. Anfangswert \(C_0 = 120\). Bestimmung von \(k\): \(e^{3k} = 0{,}7 \Rightarrow k = \frac{\ln(0{,}7)}{3} \approx -0{,}1189\). Funktionsterm: \(C(t) = 120 \cdot e^{-0{,}1189 \cdot t}\). 4. Ableitungsfunktion: \(C'(t) = 120 \cdot (-0{,}1189) \cdot e^{-0{,}1189 \cdot t} = -14{,}268 \cdot e^{-0{,}1189 \cdot t}\). Änderungsrate bei \(t = 6\): \(C'(6) = -14{,}268 \cdot e^{-0{,}1189 \cdot 6} \approx -6{,}99\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{h})\). 5. Halbwertszeit: \(e^{k \cdot T} = 0{,}5 \Rightarrow T = \frac{\ln(0{,}5)}{k} = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}1189} \approx 5{,}83\,\text{Stunden}\).

a) Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte betragen jeweils ca. \(0{,}7\). b) Zerfallsfaktor (3 h): \(0{,}7\); Zerfallsfaktor (stündlich): \(\approx 0{,}8879\); Abnahme: \(\approx 11{,}21\,\%\). c) \(C(t) = 120 \cdot e^{-0{,}1189 \cdot t}\) d) \(C'(6) \approx -6{,}99\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{h})\). e) \(T_{1/2} \approx 5{,}83\,\text{Stunden}\).

- Was bedeutet eine Abnahme von \(12\,\%\) für den Wert nach einem Jahr im Vergleich zum Vorjahr? - Wie hängen die Wachstumsfaktoren \(a\) und \(e^k\) zusammen? - Ist bei einem Wertverlust ein positives oder ein negatives Vorzeichen für \(k\) zu erwarten? - Denke daran, den Prozentsatz zuerst in einen Dezimalfaktor umzuwandeln.

1. Identifikation des Startwerts: Der Anschaffungswert entspricht \(f(0)\), daher ist \(b = 45\,000\). 2. Ermittlung des jährlichen Wachstumsfaktors \(a\): Bei einer Abnahme von \(12\,\%\) beträgt der Faktor \(a = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 3. Umrechnung in die Basis \(e\): Es gilt der Zusammenhang \(e^k = a\), also \(e^k = 0{,}88\). 4. Berechnung der Wachstumskonstante \(k\): Durch Logarithmieren erhält man \(k = \ln(0{,}88) \approx -0{,}1278\). 5. Aufstellen des Funktionsterms: \(f(t) = 45\,000 \cdot e^{-0{,}1278 \cdot t}\).

\(f(t) = 45\,000 \cdot e^{\ln(0{,}88) \cdot t} \approx 45\,000 \cdot e^{-0{,}1278 t}\)

- Vergleiche die gegebene Funktionsgleichung direkt mit der allgemeinen Form, um die Konstanten abzulesen. - Überlege dir, wie sich der Wert von \(e^{kx}\) verändert, wenn \(x\) größer wird und \(k\) negativ ist. - Nutze deinen Taschenrechner für die Berechnung der \(e\)-Funktion und achte auf die korrekte Rundung.

1. Vergleich der allgemeinen Form \(c \cdot e^{kx}\) mit der gegebenen Gleichung \(15{,}5 \cdot e^{-0{,}4x}\). Ergebnis: \(c = 15{,}5\) und \(k = -0{,}4\). 2. Bestimmung der Änderungsart: Da der Parameter im Exponenten \(k = -0{,}4\) kleiner als Null ist, sinken die Funktionswerte mit steigendem \(x\). Ergebnis: Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme. 3. Berechnung des Wertes an der Stelle \(x=5\): \(B(5) = 15{,}5 \cdot e^{-0{,}4 \cdot 5} = 15{,}5 \cdot e^{-2} \approx 2{,}10\).

a) \(c = 15{,}5\) und \(k = -0{,}4\). b) Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme, da der Parameter im Exponenten (\(k = -0{,}4\)) negativ ist. c) Der Funktionswert beträgt \(B(5) \approx 2{,}10\).

- Was passiert mit den Quotienten aufeinanderfolgender Werte? - Wie verändert sich ein Wert im Vergleich zum vorherigen bei gleichen Zeitabständen? - Welchen Wert hat die Funktion zum Zeitpunkt Null? - Wie kannst du eine Gleichung nach der Unbekannten im Exponenten auflösen?

1. Zur Überprüfung auf exponentielles Wachstum werden die Quotienten aufeinanderfolgender Funktionswerte bei konstanten Zeitschritten (\(\Delta t = 4\)) berechnet: \(\frac{183}{150} = 1{,}22\) \(\frac{223}{183} \approx 1{,}2186\) \(\frac{272}{223} \approx 1{,}2197\) \(\frac{332}{272} \approx 1{,}2206\) Da die Quotienten näherungsweise konstant sind (ca. \(1{,}22\)), ist ein exponentielles Modell angemessen. 2. Aus dem Startwert bei \(t=0\) folgt \(a = A(0) = 150\). Verwendung des letzten Wertepaares \((16|332)\): \(332 = 150 \cdot e^{k \cdot 16}\) \(\frac{332}{150} = e^{16k}\) \(\ln\left(\frac{332}{150}\right) = 16k\) \(k = \frac{\ln\left(\frac{332}{150}\right)}{16} \approx 0{,}0497\) Die Funktionsgleichung lautet \(A(t) = 150 \cdot e^{0{,}0497 \cdot t}\).

1. Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte (\(\approx 1{,}22\)) sind nahezu konstant, was auf exponentielles Wachstum hinweist. 2. \(A(t) = 150 \cdot e^{0{,}0497 \cdot t}\)

- Untersuche das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Werten. - Was sagt ein konstanter Faktor über die Art des Wachstums oder Zerfalls aus? - Setze den Anfangswert direkt in die Funktionsgleichung ein. - Verwende den Logarithmus, um eine Variable aus dem Exponenten zu bestimmen.

1. Prüfung der Quotienten bei konstanten Zeitintervallen (\(\Delta t = 10\)): \(\frac{54{,}1}{72{,}0} \approx 0{,}7514\) \(\frac{40{,}6}{54{,}1} \approx 0{,}7505\) \(\frac{30{,}5}{40{,}6} \approx 0{,}7512\) \(\frac{22{,}9}{30{,}5} \approx 0{,}7508\) Die Quotienten sind nahezu identisch (\(\approx 0{,}751\)), was eine exponentielle Abnahme bestätigt. 2. Der Anfangswert ist \(D_0 = D(0) = 72{,}0\). Einsetzen des Punktes \((40|22{,}9)\): \(22{,}9 = 72{,}0 \cdot e^{-\lambda \cdot 40}\) \(\frac{22{,}9}{72{,}0} = e^{-40\lambda}\) \(\ln\left(\frac{22{,}9}{72{,}0}\right) = -40\lambda\) \(\lambda = -\frac{\ln\left(\frac{22{,}9}{72{,}0}\right)}{40} \approx 0{,}0286\) Die Parameter sind \(D_0 = 72\) und \(\lambda \approx 0{,}0286\).

1. Da die Quotienten aufeinanderfolgender Werte mit \(\frac{D(t+10)}{D(t)} \approx 0{,}751\) nahezu konstant sind, liegt exponentielle Abnahme vor. 2. \(D_0 = 72\); \(\lambda \approx 0{,}0286\); somit \(D(t) = 72 \cdot e^{-0{,}0286 \cdot t}\).

- Was passiert mit dem Funktionswert zum Zeitpunkt \(t = 0\)? - Wie hängen die Basis der Exponentialfunktion und die Eulersche Zahl \(e\) über den natürlichen Logarithmus zusammen? - Bei der Halbwertszeit hat sich der Anfangswert halbiert – welchen Wert muss der Ausdruck mit der Basis dann annehmen? - Wie lässt sich die Änderung pro Zeiteinheit aus dem Wachstumsfaktor \(b\) ablesen?

1. Der Anfangswert ist \(h(0) = 250\). Die Basis \(0{,}75\) wird als \(e^k\) dargestellt, woraus folgt \(k = \ln(0{,}75) \approx -0{,}2877\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = 250 \cdot e^{-0{,}2877t}\). 2. Zur Berechnung der Halbwertszeit wird die Gleichung \(0{,}75^{T_H} = 0{,}5\) nach \(T_H\) aufgelöst: \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}75)} \approx 2{,}41\,\text{s}\). 3. Die prozentuale Abnahme ergibt sich aus dem Wachstumsfaktor \(b = 0{,}75\). Die Abnahme beträgt \(1 - 0{,}75 = 0{,}25\), was \(25\,\%\) entspricht.

1. \(h(t) = 250 \cdot e^{-0{,}2877t}\) 2. \(T_H \approx 2{,}41\,\text{s}\) 3. Die Abnahme beträgt \(25\,\%\) pro Sekunde.

- Welche Bedeutung hat der Parameter \(b\) für die jährliche prozentuale Änderung? - Wie lässt sich eine Potenzgleichung der Form \(b^n = c\) nach \(b\) auflösen? - Verwende den Logarithmus, um eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht. - Achte darauf, das berechnete \(t\) wieder dem entsprechenden Kalenderjahr zuzuordnen.

1. Der Anfangswert zum Zeitpunkt \(t = 0\) entspricht \(W_0\), also \(W_0 = 120\). Mit dem Wert nach \(10\) Jahren ergibt sich die Gleichung \(120 \cdot b^{10} = 195\). Division durch \(120\) liefert \(b^{10} = 1{,}625\). Durch Ziehen der zehnten Wurzel erhält man \(b = \sqrt[10]{1{,}625} \approx 1{,}0498\). 2. Um den Zeitpunkt des Überschreitens von \(300\,\text{€}\) zu finden, wird die Ungleichung \(120 \cdot 1{,}0498^t > 300\) gelöst. Division durch \(120\) ergibt \(1{,}0498^t > 2{,}5\). Logarithmieren beider Seiten führt zu \(t \cdot \ln(1{,}0498) > \ln(2{,}5)\), woraus \(t > \frac{\ln(2{,}5)}{\ln(1{,}0498)} \approx 18{,}86\) folgt. Da \(t=0\) dem Jahr 2015 entspricht, wird der Wert im Laufe des 19. Jahres nach 2015, also im Jahr 2034, erstmals über \(300\,\text{€}\) liegen.

1. \(W_0 = 120\); \(b \approx 1{,}0498\) 2. Im Jahr 2034.

- Überlege zuerst, ob die Funktion einen Wachstumsprozess oder einen Zerfallsprozess beschreibt. - Bei der Basis \(e\) kannst du direkt den natürlichen Logarithmus verwenden, um die Gleichung zu lösen. - Denk daran, dass der Anfangswert für die Bestimmung der charakteristischen Zeiten keine Rolle spielt. - Welchen Wert muss der Wachstumsfaktor nach Ablauf der gesuchten Zeit annehmen?

1. Für \(f(t) = 40 \cdot 1{,}15^t\) wird die Verdopplungszeit \(T_D\) über die Gleichung \(1{,}15^{T_D} = 2\) berechnet. Durch Logarithmieren ergibt sich \(T_D = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}15)} \approx 4{,}96\). 2. Für \(g(t) = 100 \cdot e^{-0{,}5t}\) wird die Halbwertszeit \(T_H\) über \(e^{-0{,}5 T_H} = 0{,}5\) berechnet. Es folgt \(-0{,}5 T_H = \ln(0{,}5)\), woraus \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}5} \approx 1{,}39\) resultiert. 3. Für \(h(t) = 15 \cdot 0{,}98^t\) wird die Halbwertszeit \(T_H\) über \(0{,}98^{T_H} = 0{,}5\) bestimmt. Logarithmieren führt zu \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}98)} \approx 34{,}31\).

a) \(T_D \approx 4{,}96\) b) \(T_H \approx 1{,}39\) c) \(T_H \approx 34{,}31\)

- Wie wirkt sich eine prozentuale Abnahme auf den Faktor \(b\) aus? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Basis \(b\) und der Basis \(e\)? - Was bedeutet Halbwertszeit für das Verhältnis von Endwert zu Anfangswert? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der die gesuchte Größe im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(a = 250\) und dem Wachstumsfaktor \(b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\): \(m(t) = 250 \cdot 0{,}85^t\). 2. Umrechnung in die Basis \(e\) durch den Ansatz \(e^k = 0{,}85\), woraus \(k = \ln(0{,}85) \approx -0{,}1625\) folgt. Die Gleichung lautet \(m(t) = 250 \cdot e^{-0{,}1625 \cdot t}\). 3. Berechnung der Halbwertszeit durch Lösen der Gleichung \(0{,}5 = 0{,}85^T\) oder \(0{,}5 = e^{-0{,}1625 \cdot T}\). Dies ergibt \(T = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}85)} \approx 4{,}27\,\text{h}\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts für \(10\,\text{mg}\) durch Lösen von \(10 = 250 \cdot 0{,}85^t\). Umformen zu \(0{,}04 = 0{,}85^t\) führt auf \(t = \frac{\ln(0{,}04)}{\ln(0{,}85)} \approx 19{,}79\,\text{h}\).

a) \(m(t) = 250 \cdot 0{,}85^t\) b) \(m(t) = 250 \cdot e^{-0{,}1625 \cdot t}\) c) Die Halbwertszeit beträgt ca. \(4{,}27\,\text{Stunden}\). d) Nach ca. \(19{,}79\,\text{Stunden}\) sind noch \(10\,\text{mg}\) vorhanden.

- Überprüfe, ob sich die Werte in gleichen Zeitabständen immer um denselben Faktor verändern. - Welchen Wert hat die Funktion zum Zeitpunkt Null? - Wie hängen die Basis \(e\) und der Wachstumsfaktor zusammen? - Was bedeutet Verdopplung mathematisch für den Funktionswert im Vergleich zum Anfangswert?

1. Zur Begründung des exponentiellen Wachstums werden die Quotienten aufeinanderfolgender Funktionswerte bei konstanten Zeitabständen (\(\Delta t = 5\)) berechnet: \(\frac{180}{120} = 1{,}5\); \(\frac{270}{180} = 1{,}5\); \(\frac{405}{270} = 1{,}5\); \(\frac{607{,}5}{405} = 1{,}5\). Da der Wachstumsfaktor pro Zeitintervall konstant ist, liegt exponentielles Wachstum vor. 2. Bestimmung der Parameter mit \(N(0) = 120\) und \(N(20) = 607{,}5\): Aus \(N(0) = a \cdot e^0\) folgt \(a = 120\). Einsetzen des zweiten Punktes liefert \(120 \cdot e^{k \cdot 20} = 607{,}5\). Umformen ergibt \(e^{20k} = 5{,}0625\), woraus mit dem natürlichen Logarithmus \(k = \frac{\ln(5{,}0625)}{20} \approx 0{,}0811\) folgt. Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = 120 \cdot e^{0{,}0811 \cdot t}\). 3. Berechnung der Verdopplungszeit \(T_2\): Es gilt der Ansatz \(e^{k \cdot T_2} = 2\). Auflösen nach \(T_2\) ergibt \(T_2 = \frac{\ln(2)}{k} = \frac{\ln(2)}{0{,}0811} \approx 8{,}55\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(8{,}55\,\text{Stunden}\).

a) Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte sind mit \(1{,}5\) konstant. b) \(N(t) = 120 \cdot e^{0{,}0811 \cdot t}\) c) \(T_2 \approx 8{,}55\,\text{h}\)

- Was passiert mit dem Quotienten zweier aufeinanderfolgender Werte, wenn ein exponentieller Prozess vorliegt? - Setze den Anfangswert für \(a\) ein und löse die Gleichung für den Endwert nach \(k\) auf. - Der Parameter \(k\) sollte bei einem Zerfallsprozess negativ sein. - Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte der Ausgangskonzentration vorhanden ist.

1. Nachweis des exponentiellen Zerfalls durch Division aufeinanderfolgender Werte bei gleichem Zeitabstand (\(\Delta t = 4\)): \(\frac{800}{1000} = 0{,}8\); \(\frac{640}{800} = 0{,}8\); \(\frac{512}{640} = 0{,}8\); \(\frac{409{,}6}{512} = 0{,}8\). Der konstante Faktor \(0{,}8\) belegt den exponentiellen Verlauf. 2. Bestimmung der Funktionsgleichung mit \(C(0) = 1000\) und \(C(16) = 409{,}6\): Der Anfangswert ist \(a = 1000\). Aus \(1000 \cdot e^{16k} = 409{,}6\) folgt \(e^{16k} = 0{,}4096\). Logarithmieren ergibt \(16k = \ln(0{,}4096)\), also \(k = \frac{\ln(0{,}4096)}{16} \approx -0{,}0558\). Die Funktion lautet \(C(t) = 1000 \cdot e^{-0{,}0558 \cdot t}\). 3. Berechnung der Halbwertszeit \(T_H\): Aus \(e^{k \cdot T_H} = 0{,}5\) folgt \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{k}\). Einsetzen von \(k \approx -0{,}0558\) ergibt \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}0558} \approx 12{,}42\). Die Halbwertszeit beträgt etwa \(12{,}42\,\text{Minuten}\).

a) Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte sind mit \(0{,}8\) konstant. b) \(C(t) = 1000 \cdot e^{-0{,}0558 \cdot t}\) c) \(T_H \approx 12{,}42\,\text{min}\)

- Welchen Wert hat die Funktion zum Zeitpunkt Null? - Wie hängen der Wachstumsfaktor und die Basis der e-Funktion zusammen? - Wie lässt sich eine Gleichung nach der Variablen im Exponenten auflösen? - Was sagt die erste Ableitung über den Verlauf einer Größe aus? - Achte auf die Einheiten der Änderungsrate.

1. Bestimmung der Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(b = 450\). Aus der Halbwertszeit \(T_{1/2} = 6\) folgt \(e^{k \cdot 6} = 0{,}5\), woraus sich \(k = \frac{\ln(0{,}5)}{6} \approx -0{,}1155\) ergibt. Somit gilt \(A(t) = 450 \cdot e^{-0{,}1155 \cdot t}\). 2. Bedeutung von \(b\) und Prozentsatz: \(b = 450\) stellt die Anfangsaktivität in \(\text{MBq}\) zum Zeitpunkt \(t = 0\) dar. Der stündliche Abnahmefaktor ist \(a = e^k \approx 0{,}8909\). Dies entspricht einer stündlichen Abnahme von ca. \(10{,}91\,\%\). 3. Zeitpunkt für Schwellenwert: Ansatz \(450 \cdot e^{-0{,}1155 \cdot t} < 20\). Durch Logarithmieren erhält man \(t > \frac{\ln(20/450)}{-0{,}1155} \approx 26{,}95\). Nach etwa \(27\,\text{Stunden}\) liegt die Aktivität unter \(20\,\text{MBq}\). 4. Änderungsrate: Die Ableitungsfunktion lautet \(A'(t) = 450 \cdot (-0{,}1155) \cdot e^{-0{,}1155 \cdot t} \approx -51{,}98 \cdot e^{-0{,}1155 \cdot t}\). Für \(t = 0\) ergibt sich \(A'(0) \approx -51{,}98\,\text{MBq/h}\). Nach \(12\,\text{Stunden}\) gilt \(A'(12) \approx -51{,}98 \cdot e^{-0{,}1155 \cdot 12} \approx -13{,}00\,\text{MBq/h}\). Die Werte beschreiben die momentane Zerfallsrate; das negative Vorzeichen steht für die Abnahme der Aktivität pro Stunde zu diesen Zeitpunkten.

a) \(A(t) = 450 \cdot e^{-0{,}1155 \cdot t}\) b) \(b = 450\,\text{MBq}\) ist die Anfangsaktivität. Die stündliche Abnahme beträgt ca. \(10{,}91\,\%\). c) Nach ca. \(26{,}95\,\text{Stunden}\). d) \(A'(t) = -51{,}98 \cdot e^{-0{,}1155 \cdot t}\). \(A'(0) \approx -51{,}98\,\text{MBq/h}\) und \(A'(12) \approx -13{,}00\,\text{MBq/h}\). Die Werte geben an, wie schnell die Aktivität zu diesen Zeitpunkten sinkt.

- Überlege zuerst, wie du den stündlichen Wachstumsfaktor in die Wachstumskonstante \(k\) der \(e\)-Funktion umrechnen kannst. - Was bedeutet es mathematisch, wenn nach einem Zeitpunkt gefragt wird, an dem zwei Bestände gleich groß sind? - Erinnere dich daran, dass die Änderungsrate der Ableitung der Bestandsfunktion entspricht. - Achte bei der Interpretation der Änderungsrate auf das Vorzeichen und die Einheiten.

1. Bestimmung der Parameter für Kultur A: \(b_A = 1200\), Wachstumsfaktor \(q_A = 1{,}042\). Berechnung von \(k_A = \ln(1{,}042) \approx 0{,}0411\). Funktion: \(f_A(t) = 1200 \cdot e^{0{,}0411 \cdot t}\). 2. Bestimmung der Parameter für Kultur B: \(b_B = 5000\), Wachstumsfaktor \(q_B = 0{,}965\). Berechnung von \(k_B = \ln(0{,}965) \approx -0{,}0356\). Funktion: \(f_B(t) = 5000 \cdot e^{-0{,}0356 \cdot t}\). 3. Zeitpunkt für \(2000\) Zellen in A: Ansatz \(1200 \cdot e^{0{,}0411 \cdot t} = 2000\). Auflösen nach \(t = \frac{\ln(2000/1200)}{0{,}0411} \approx 12{,}42\,\text{h}\). 4. Schnittpunkt berechnen: \(1200 \cdot e^{0{,}0411 \cdot t} = 5000 \cdot e^{-0{,}0356 \cdot t} \implies e^{(0{,}0411 + 0{,}0356)t} = \frac{5000}{1200}\). Lösung \(t = \frac{\ln(25/6)}{0{,}0767} \approx 18{,}59\,\text{h}\). 5. Wachstumsgeschwindigkeiten (Ableitungen): \(f_A'(t) = 1200 \cdot 0{,}0411 \cdot e^{0{,}0411 \cdot t}\) und \(f_B'(t) = 5000 \cdot (-0{,}0356) \cdot e^{-0{,}0356 \cdot t}\). 6. Werte für B: \(f_B'(0) \approx -178{,}14\) Zellen pro Stunde (momentane Abnahme zu Beginn). \(f_B'(10) = -178{,}14 \cdot e^{-0{,}356} \approx -124{,}75\) Zellen pro Stunde (momentane Abnahme nach \(10\) Stunden).

a) \(f_A(t) = 1200 \cdot e^{0{,}0411 \cdot t}\); \(f_B(t) = 5000 \cdot e^{-0{,}0356 \cdot t}\) b) Nach ca. \(12{,}42\) Stunden. c) Nach ca. \(18{,}59\) Stunden. d) \(f_A'(t) \approx 49{,}32 \cdot e^{0{,}0411 \cdot t}\); \(f_B'(t) \approx -178 \cdot e^{-0{,}0356 \cdot t}\). Zum Zeitpunkt \(t=0\) nimmt der Bestand um ca. \(178\) Zellen/h ab, nach \(10\) Stunden um ca. \(125\) Zellen/h.

- Was passiert mit dem Exponentialterm, wenn die Zeit sehr groß wird? - Welchen Wert hat die Zeitvariable zum Zeitpunkt des Messbeginns? - Mit welchem mathematischen Werkzeug berechnet man die Steigung oder Änderungsrate einer Funktion? - Wie löst man eine Gleichung nach der Variable im Exponenten auf?

1. Zur Bestimmung der Anfangstemperatur wird \(t = 0\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(f(0) = 21 + 154 \cdot e^{0} = 21 + 154 = 175\). Die Anfangstemperatur beträgt \(175\,^\circ\text{C}\). 2. Für die Umgebungstemperatur wird der Grenzwert für \(t \to \infty\) betrachtet. Da \(e^{-0{,}038t} \to 0\), nähert sich die Temperatur dem Wert \(21\,^\circ\text{C}\) an. 3. Die Temperatur nach \(40\) Minuten ergibt sich durch Einsetzen von \(t = 40\): \(f(40) = 21 + 154 \cdot e^{-0{,}038 \cdot 40} = 21 + 154 \cdot e^{-1{,}52} \approx 21 + 154 \cdot 0{,}2187 \approx 54{,}68\). Die Temperatur beträgt ca. \(54{,}7\,^\circ\text{C}\). 4. Die momentane Änderungsrate wird durch die Ableitung \(f'(t) = 154 \cdot (-0{,}038) \cdot e^{-0{,}038t} = -5{,}852 \cdot e^{-0{,}038t}\) beschrieben. 5. Zur Bestimmung des Zeitpunkts wird die Gleichung \(f'(t) = -1{,}2\) gelöst: \(-5{,}852 \cdot e^{-0{,}038t} = -1{,}2 \implies e^{-0{,}038t} = \frac{-1{,}2}{-5{,}852} \approx 0{,}20506\). 6. Logarithmieren führt zu \(-0{,}038t = \ln(0{,}20506) \approx -1{,}5844\). Daraus folgt \(t = \frac{-1{,}5844}{-0{,}038} \approx 41{,}7\). Nach etwa \(41{,}7\) Minuten beträgt die Abkühlrate \(-1{,}2\,^\circ\text{C/min}\).

a) Anfangstemperatur: \(175\,^\circ\text{C}\); Umgebungstemperatur: \(21\,^\circ\text{C}\) b) ca. \(54{,}7\,^\circ\text{C}\) c) nach ca. \(41{,}7\) Minuten

- Welche mathematische Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle erfüllt sein? - Wie wendest du die Produktregel auf eine Funktion der Form \(u(t) \cdot v(t)\) an? - Beachte, dass der Exponentialterm \(e^{kt}\) niemals null wird.

1. Ableitung der Funktion \(g(t) = 10 \cdot (60 - t) \cdot e^{kt}\) unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(g'(t) = 10 \cdot (-1) \cdot e^{kt} + 10 \cdot (60 - t) \cdot k \cdot e^{kt} = 10 \cdot e^{kt} \cdot (-1 + 60k - kt)\). 2. Bedingung für ein Extremum bei \(t = 20\): \(g'(20) = 0\). 3. Einsetzen von \(t = 20\) in die Ableitung: \(10 \cdot e^{20k} \cdot (60k - 20k - 1) = 0\). 4. Da \(10 \cdot e^{20k} \neq 0\), muss gelten: \(40k - 1 = 0\). 5. Auflösen nach \(k\): \(k = \frac{1}{40} = 0{,}025\). 6. Überprüfung der Art des Extremums (optional): \(g''(20) = 10k \cdot e^{20k} \cdot (40k - 2) = 10 \cdot 0{,}025 \cdot e^{0{,}5} \cdot (1 - 2) < 0\), somit liegt ein Maximum vor.

Der Wert der Konstanten ist \(k = 0{,}025\).

- Überlege dir, wie du den Zuwachs über einen Zeitraum berechnest, wenn die Gesamthöhe zu jedem Zeitpunkt bekannt ist. - Achte auf die Einheiten in der Aufgabenstellung und rechne dein Ergebnis gegebenenfalls um. - Um eine Gleichung nach einer Unbekannten im Exponenten aufzulösen, ist der Logarithmus ein hilfreiches Werkzeug. - Wie lassen sich Funktionswerte grafisch darstellen? Überlege, was eine waagerechte Linie im Graphen bedeutet.

1. Berechnung der Anfangshöhe zum Zeitpunkt \(t = 0\): \(h(0) = \frac{3{,}2 \cdot e^0}{e^0 + 7} = \frac{3{,}2}{8} = 0{,}4\,\text{m}\). 2. Berechnung der Höhe nach vier Jahren: \(h(4) = \frac{3{,}2 \cdot e^2}{e^2 + 7} \approx 1{,}643\,\text{m}\). 3. Differenzbildung für den Zuwachs: \(1{,}643\,\text{m} - 0{,}4\,\text{m} = 1{,}243\,\text{m}\). Umrechnung in Zentimeter ergibt ca. \(124{,}3\,\text{cm}\). 4. Ansatz für die Zielhöhe: \(2{,}5 = \frac{3{,}2 \cdot e^{0{,}5 \cdot t}}{e^{0{,}5 \cdot t} + 7}\). 5. Umformen der Gleichung: \(2{,}5 \cdot (e^{0{,}5 \cdot t} + 7) = 3{,}2 \cdot e^{0{,}5 \cdot t} \Rightarrow 2{,}5 \cdot e^{0{,}5 \cdot t} + 17{,}5 = 3{,}2 \cdot e^{0{,}5 \cdot t} \Rightarrow 0{,}7 \cdot e^{0{,}5 \cdot t} = 17{,}5\). 6. Lösen nach \(t\): \(e^{0{,}5 \cdot t} = 25 \Rightarrow 0{,}5t = \ln(25) \Rightarrow t = 2 \cdot \ln(25) \approx 6{,}44\). Der Baum erreicht die Höhe nach etwa \(6{,}4\) Jahren. 7. Grafische Überprüfung: Man zeichnet eine horizontale Gerade mit der Gleichung \(y = 2{,}5\) in das Koordinatensystem ein und bestimmt den \(t\)-Wert (Abszisse) des Schnittpunkts dieser Geraden mit dem Graphen der Funktion \(h\).

a) Der Baum wächst um ca. \(124{,}3\,\text{cm}\). b) Der Baum erreicht die Höhe nach ca. \(6{,}44\) Jahren. Zur grafischen Überprüfung ermittelt man den Schnittpunkt des Graphen mit der waagerechten Geraden \(y = 2{,}5\) und liest dessen \(t\)-Koordinate ab.

- Was bedeutet „neu erfahren“ mathematisch im Hinblick auf die Bestandsfunktion? - Berechne zuerst, welcher absoluten Personenanzahl der Prozentsatz entspricht. - Denke beim Lösen der Gleichung daran, die Terme mit der Basis \(e\) auf eine Seite zu bringen. - Wie findet man einen bestimmten Funktionswert auf der \(y\)-Achse wieder und wie gelangt man von dort zum passenden Zeitpunkt?

1. Bestimmung der Anzahl der Personen zum Startzeitpunkt \(t = 0\): \(N(0) = \frac{10\,000}{1 + 19} = 500\). 2. Bestimmung der Anzahl nach fünf Stunden: \(N(5) = \frac{10\,000 \cdot e^2}{e^2 + 19} \approx \frac{73\,891}{26{,}389} \approx 2\,800\). 3. Berechnung der Differenz: \(2\,800 - 500 = 2\,300\). Innerhalb der ersten fünf Stunden haben ca. \(2\,300\) Personen die Nachricht neu erfahren. 4. Berechnung des Zielwerts für \(75\,\%\): \(0{,}75 \cdot 10\,000 = 7\,500\). 5. Ansatz und Umformung: \(7\,500 = \frac{10\,000 \cdot e^{0{,}4 \cdot t}}{e^{0{,}4 \cdot t} + 19} \Rightarrow 0{,}75 = \frac{e^{0{,}4t}}{e^{0{,}4t} + 19} \Rightarrow 0{,}75 \cdot e^{0{,}4 \cdot t} + 14{,}25 = e^{0{,}4 \cdot t}\). 6. Isolieren von \(e^{0{,}4 \cdot t}\): \(0{,}25 \cdot e^{0{,}4 \cdot t} = 14{,}25 \Rightarrow e^{0{,}4 \cdot t} = 57\). 7. Lösen nach \(t\): \(0{,}4t = \ln(57) \Rightarrow t = \frac{\ln(57)}{0{,}4} \approx 10{,}11\). Nach etwa \(10{,}1\) Stunden kennen \(75\,\%\) die Nachricht. 8. Grafische Verifizierung: Man sucht auf der \(y\)-Achse den Wert \(7\,500\), geht von dort waagerecht zum Graphen und liest an der \(t\)-Achse den zugehörigen Zeitwert ab.

a) Ca. \(2\,300\) Personen haben die Nachricht neu erfahren. b) Nach ca. \(10{,}11\) Stunden kennen \(75\,\%\) die Nachricht. Grafisch entspricht dies der \(t\)-Koordinate des Schnittpunkts von \(G_N\) mit der Geraden \(y = 7\,500\).

- Wie bestimmt man das Monotonieverhalten einer Funktion mithilfe der Ableitung? - Welchen Wert nimmt die Exponentialfunktion \(e^{-kt}\) an, wenn \(t\) sehr groß wird? - Kann ein Ausdruck der Form \(22 - \text{etwas Positives}\) jemals größer als 22 sein? - Setze für die Überprüfung der Gleichung einfach den Term von \(T(t)\) und dessen Ableitung ein und vereinfache.

1. Die erste Ableitung ist \(T'(t) = -14 \cdot (-0{,}1) \cdot e^{-0{,}1t} = 1{,}4 \cdot e^{-0{,}1t}\). Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für alle reellen \(x\) positiv ist, gilt \(T'(t) > 0\) für alle \(t \ge 0\). Somit ist \(T\) streng monoton steigend. 2. Für \(t \to \infty\) strebt der Term \(e^{-0{,}1t}\) gegen \(0\). Damit gilt \(\lim_{t \to \infty} (22 - 14 \cdot e^{-0{,}1t}) = 22 - 0 = 22\). Da \(14 \cdot e^{-0{,}1t}\) für jedes endliche \(t\) positiv ist, wird stets ein positiver Wert von \(22\) subtrahiert, sodass \(T(t) < 22\) für alle \(t\) gilt. 3. Die linke Seite der Gleichung ist \(T'(t) = 1{,}4 \cdot e^{-0{,}1t}\). Für die rechte Seite setzen wir den Funktionsterm ein: \(0{,}1 \cdot (22 - (22 - 14 \cdot e^{-0{,}1t})) = 0{,}1 \cdot (14 \cdot e^{-0{,}1t}) = 1{,}4 \cdot e^{-0{,}1t}\). Beide Seiten sind identisch.

1. \(T'(t) = 1{,}4 \cdot e^{-0{,}1t} > 0\), daher streng monoton steigend. 2. \(\lim_{t \to \infty} T(t) = 22\); da \(14 \cdot e^{-0{,}1t} > 0\), folgt \(T(t) < 22\). 3. Einsetzen ergibt \(1{,}4 \cdot e^{-0{,}1t} = 0{,}1 \cdot (14 \cdot e^{-0{,}1t})\), was eine wahre Aussage ist.

- Was bedeutet „Anfangsbestand“ für den Wert von \(t\)? - Bilde die erste Ableitung und vergleiche sie mit dem Term für die Differenz \(400 - B(t)\). - Um eine Gleichung nach \(t\) im Exponenten aufzulösen, ist der natürliche Logarithmus hilfreich. - Achte beim Umstellen der Gleichung darauf, zuerst den Term mit der Exponentialfunktion zu isolieren.

1. Anfangsbestand: \(B(0) = 400 - 320 \cdot e^0 = 400 - 320 = 80\). Bestand nach \(20\) Jahren: \(B(20) = 400 - 320 \cdot e^{-0{,}05 \cdot 20} = 400 - 320 \cdot e^{-1} \approx 282{,}28\). Es befinden sich also etwa \(282\) Vögel im Gebiet. 2. Die Ableitung ist \(B'(t) = -320 \cdot (-0{,}05) \cdot e^{-0{,}05t} = 16 \cdot e^{-0{,}05t}\). Die Differenz zur Kapazitätsgrenze ist \(400 - B(t) = 400 - (400 - 320 \cdot e^{-0{,}05t}) = 320 \cdot e^{-0{,}05t}\). Es gilt \(B'(t) = 16 \cdot e^{-0{,}05t} = 0{,}05 \cdot (320 \cdot e^{-0{,}05t}) = 0{,}05 \cdot (400 - B(t))\). Der Proportionalitätsfaktor ist \(k = 0{,}05\). 3. Ansatz: \(350 = 400 - 320 \cdot e^{-0{,}05t} \iff 50 = 320 \cdot e^{-0{,}05t} \iff \frac{5}{32} = e^{-0{,}05t}\). Anwendung des Logarithmus: \(\ln(\frac{5}{32}) = -0{,}05t \iff t = \frac{\ln(0{,}15625)}{-0{,}05} \approx 37{,}13\). Nach etwa \(37\) Jahren beträgt der Bestand \(350\) Vögel.

1. Anfangsbestand: \(80\) Vögel; nach \(20\) Jahren: ca. \(282\) Vögel. 2. \(B'(t) = 0{,}05 \cdot (400 - B(t))\), Proportionalitätsfaktor \(k = 0{,}05\). 3. \(t \approx 37{,}13\) Jahre.

- Überlege, welchen maximalen Wert die Funktion \(g(t)\) langfristig erreichen kann. - Wann ist das Doppelte eines Wertes noch kleiner als diese Grenze? - Setze für die Berechnung der Verdopplungszeit den Funktionswert zum Zeitpunkt \(t+T_V\) gleich dem zweifachen Funktionswert zum Zeitpunkt \(t\). - Betrachte für die Begründung den Verlauf der Steigung der Funktion.

1. Eine Verdopplung ist nur möglich, wenn der doppelte Bestandswert unterhalb der Sättigungsgrenze von \(120\) liegt: \(2 \cdot g(t) < 120 \Rightarrow g(t) < 60\). 2. Lösen der Ungleichung \(120 - 90 \cdot e^{-0{,}2 \cdot t} < 60\) führt zu \(60 < 90 \cdot e^{-0{,}2 \cdot t} \Rightarrow e^{-0{,}2 \cdot t} > \frac{2}{3}\). 3. Logarithmieren ergibt \(-0{,}2 \cdot t > \ln(\frac{2}{3}) \Rightarrow t < -5 \cdot \ln(\frac{2}{3}) \approx 2{,}03\). Somit ist eine Verdopplung für \(t \in [0; 2{,}03)\) möglich. 4. Für \(t=0\) gilt \(g(0) = 30\). Die Verdopplungszeit \(T_V\) erfüllt \(g(T_V) = 60\). 5. \(120 - 90 \cdot e^{-0{,}2 \cdot T_V} = 60 \Rightarrow e^{-0{,}2 \cdot T_V} = \frac{2}{3} \Rightarrow T_V = -5 \cdot \ln(\frac{2}{3}) \approx 2{,}03\,\text{h}\). 6. Da die Wachstumsgeschwindigkeit \(g'(t)\) bei begrenztem Wachstum streng monoton abnimmt und der für eine Verdopplung absolut notwendige Zuwachs \(\Delta g = g(t)\) mit steigendem \(t\) zunimmt, muss die benötigte Zeit \(T_V\) für diesen größeren Zuwachs bei geringerem Tempo steigen.

a) Eine Verdopplung ist für alle \(t\) mit \(0 \le t < 5 \cdot \ln(1{,}5) \approx 2{,}03\) möglich. b) Die Verdopplungszeit beträgt \(T_V \approx 2{,}03\,\text{Stunden}\). c) Die Verdopplungszeit \(T_V\) nimmt mit zunehmendem \(t\) zu, da die Wachstumsrate sinkt und der absolut zu erbringende Zuwachs für eine Verdopplung gleichzeitig größer wird.

- Überlege dir zuerst, welcher Wert in der Funktionsgleichung dem Anfangsbestand entspricht. - Wie hängen der Wachstumsfaktor und der Koeffizient im Exponenten zusammen? - Die Verdopplungszeit hängt bei exponentiellem Wachstum nicht vom Startwert ab. - Was sagt die erste Ableitung einer Bestandsfunktion über den Prozess aus?

1. Bestimmung von \(a\) und \(k\): Aus \(f(0) = 250\) folgt \(a = 250\). Mit \(f(5) = 600\) ergibt sich \(600 = 250 \cdot e^{5k}\). Division durch \(250\) liefert \(2{,}4 = e^{5k}\). Logarithmieren führt zu \(5k = \ln(2{,}4)\), woraus \(k = \frac{\ln(2{,}4)}{5} \approx 0{,}1751\) folgt. Die Funktion lautet \(f(t) = 250 \cdot e^{0{,}1751 \cdot t}\). 2. Verdopplungszeit \(T_V\): Ansatz \(e^{k \cdot T_V} = 2\). Auflösen nach \(T_V\) ergibt \(T_V = \frac{\ln(2)}{k} = \frac{5 \cdot \ln(2)}{\ln(2{,}4)} \approx 3{,}96\,\text{h}\). 3. Zeitpunkt für \(2500\,\text{mm}^2\): Ansatz \(2500 = 250 \cdot e^{k \cdot t}\). Division durch \(250\) ergibt \(10 = e^{k \cdot t}\). Logarithmieren liefert \(t = \frac{\ln(10)}{k} = \frac{5 \cdot \ln(10)}{\ln(2{,}4)} \approx 13{,}15\,\text{h}\). 4. Momentane Wachstumsrate: Die Ableitungsfunktion ist \(f'(t) = a \cdot k \cdot e^{k \cdot t}\). Für \(t = 8\) ergibt sich \(f'(8) = 250 \cdot 0{,}1751 \cdot e^{0{,}1751 \cdot 8} \approx 177{,}65\,\text{mm}^2/\text{h}\).

a) \(f(t) = 250 \cdot e^{0{,}1751 \cdot t}\) b) \(T_V \approx 3{,}96\,\text{Stunden}\) c) Nach ca. \(13{,}15\,\text{Stunden}\) d) \(f'(8) \approx 177{,}65\,\text{mm}^2/\text{h}\)

- Achte auf das Vorzeichen im Exponenten bei Zerfallsprozessen. - Welchen Anteil der ursprünglichen Menge hat man nach einer Halbwertszeit noch übrig? - Die momentane Änderungsrate berechnest du mit Hilfe der Ableitung. Was bedeutet ein negatives Vorzeichen in diesem Zusammenhang? - Kannst du die Gleichung für den gesuchten Zeitpunkt durch Logarithmieren lösen?

1. Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(m_0 = 120\). Mit \(m(10) = 45\) folgt \(45 = 120 \cdot e^{-10\lambda}\). Division liefert \(0{,}375 = e^{-10\lambda}\). Logarithmieren ergibt \(-10\lambda = \ln(0{,}375)\), also \(\lambda = -\frac{\ln(0{,}375)}{10} \approx 0{,}0981\). Die Funktion ist \(m(t) = 120 \cdot e^{-0{,}0981 \cdot t}\). 2. Halbwertszeit \(T_H\): Ansatz \(e^{-\lambda \cdot T_H} = 0{,}5\). Auflösen ergibt \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{-\lambda} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx 7{,}07\,\text{Tage}\). 3. Zeitpunkt für \(10\,\text{mg}\): Ansatz \(10 = 120 \cdot e^{-\lambda \cdot t}\). Dies führt zu \(\frac{1}{12} = e^{-\lambda \cdot t}\). Logarithmieren ergibt \(t = \frac{\ln(12)}{\lambda} \approx 25{,}33\,\text{Tage}\). 4. Zerfallsrate: Die Ableitung ist \(m'(t) = -m_0 \cdot \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot t}\). Zu Beginn (\(t=0\)): \(m'(0) = -120 \cdot 0{,}0981 \approx -11{,}77\,\text{mg/Tag}\). Nach \(20\) Tagen: \(m'(20) = -120 \cdot 0{,}0981 \cdot e^{-0{,}0981 \cdot 20} \approx -1{,}65\,\text{mg/Tag}\).

a) \(m(t) = 120 \cdot e^{-0{,}0981 \cdot t}\) b) \(T_H \approx 7{,}07\,\text{Tage}\) c) Nach ca. \(25{,}33\,\text{Tagen}\) d) Zu Beginn: \( \approx -11{,}77\,\text{mg/Tag}\); nach \(20\) Tagen: \( \approx -1{,}65\,\text{mg/Tag}\)

- Wie bestimmt man den Wert einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von Funktionen der Form \(u(t) \cdot v(t)\). - Was muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Überlege dir, welcher Teil des Funktionsterms für sehr große Werte von \(t\) gegen null geht.

1. Berechnung der Anfangskonzentration durch Einsetzen von \(t = 0\) in \(k(t)\): \(k(0) = 0{,}8 + 12 \cdot 0 \cdot e^0 = 0{,}8\,\text{mg/l}\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(k'(t) = 12 \cdot e^{-0{,}5t} + 12t \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t} = (12 - 6t) \cdot e^{-0{,}5t}\). 3. Nullstelle der Ableitung finden: \(12 - 6t = 0 \implies t = 2\). Die maximale Konzentration wird nach \(2\,\text{Stunden}\) erreicht. 4. Maximalwert berechnen: \(k(2) = 0{,}8 + 24 \cdot e^{-1} \approx 9{,}63\,\text{mg/l}\). 5. Wert nach \(12\,\text{Stunden}\) berechnen: \(k(12) = 0{,}8 + 144 \cdot e^{-6} \approx 1{,}16\,\text{mg/l}\). 6. Grenzwert für \(t \to \infty\): Da der Term \(12t \cdot e^{-0{,}5t}\) gegen \(0\) strebt, nähert sich die Konzentration langfristig dem Wert \(0{,}8\,\text{mg/l}\) an.

a) \(0{,}8\,\text{mg/l}\) b) Nach \(2\,\text{Stunden}\); ca. \(9{,}63\,\text{mg/l}\) c) ca. \(1{,}16\,\text{mg/l}\) d) Der Grenzwert beträgt \(0{,}8\,\text{mg/l}\).

- Überlege dir zuerst, welches Wachstumsmodell (diskret oder stetig) für den jeweiligen Aufgabenteil anzuwenden ist. - Wie unterscheiden sich die Formeln für jährliche und stetige Verzinsung in ihrem Aufbau? - Für den Vergleich der Zinssätze hilft es, die Wachstumsfaktoren für ein einzelnes Jahr gleichzusetzen. - Denk daran, dass Zinsen immer die Differenz zwischen dem Endwert und dem Anfangswert sind.

1. Berechnung für jährliche Verzinsung: Das Endkapital ergibt sich durch \(K(5) = 15\,000 \cdot 1{,}032^5 \approx 17\,558{,}59\,\text{€}\). Die Zinsen betragen somit \(17\,558{,}59\,\text{€} - 15\,000\,\text{€} = 2\,558{,}59\,\text{€}\). 2. Berechnung für stetige Verzinsung: Das Endkapital wird mit der Formel \(K(t) = K_0 \cdot e^{k \cdot t}\) berechnet: \(K(5) = 15\,000 \cdot e^{0{,}032 \cdot 5} = 15\,000 \cdot e^{0{,}16} \approx 17\,602{,}66\,\text{€}\). Die Zinsen belaufen sich auf \(17\,602{,}66\,\text{€} - 15\,000\,\text{€} = 2\,602{,}66\,\text{€}\). 3. Bestimmung des äquivalenten Zinssatzes: Es muss gelten \(1 + i = e^{0{,}032}\). Daraus folgt \(i = e^{0{,}032} - 1 \approx 0{,}032518\). Der gesuchte Zinssatz beträgt somit \(p \approx 3{,}25\,\%\).

a) Endkapital: \(17\,558{,}59\,\text{€}\); Zinsen: \(2\,558{,}59\,\text{€}\) b) Endkapital: \(17\,602{,}66\,\text{€}\); Zinsen: \(2\,602{,}66\,\text{€}\) c) \(p = 3{,}25\,\%\)

- Setze die gegebenen Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Unbekannte im Exponenten zu finden. - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil der Exponentialfunktion, um eine Variable aus dem Exponenten zu lösen? - Der Wachstumsfaktor pro Zeiteinheit lässt sich direkt aus dem Teil der Formel ablesen, der die Basis für den Zeitschritt bildet. - Was bedeutet „Verdopplung“ mathematisch für das Verhältnis zwischen dem Wert zu einem Zeitpunkt \(t\) und dem Anfangswert?

1. Bestimmung von \(k\): Aus \(1850 = 1200 \cdot e^{k \cdot 3}\) folgt \(e^{3k} = \frac{1850}{1200} \approx 1{,}5417\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(3k = \ln\left(\frac{1850}{1200}\right)\), woraus \(k \approx 0{,}1443\) folgt. Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = 1200 \cdot e^{0{,}1443 \cdot t}\). 2. Prozentuale Zunahme: Der Wachstumsfaktor für eine Stunde ist \(a = e^k = e^{0{,}1443} \approx 1{,}1552\). Dies entspricht einer Zunahme von ca. \(15{,}52\,\%\). 3. Verdopplungszeit: Gesucht ist \(t\) mit \(2 \cdot N_0 = N_0 \cdot e^{k \cdot t}\), also \(2 = e^{0{,}1443 \cdot t}\). Auflösen nach \(t\) liefert \(t = \frac{\ln(2)}{0{,}1443} \approx 4{,}80\) Stunden.

a) \(k \approx 0{,}1443\); \(N(t) = 1200 \cdot e^{0{,}1443 \cdot t}\) b) ca. \(15{,}52\,\%\) c) nach ca. \(4{,}80\,\text{h}\)

- Kannst du den Anfangswert direkt aus dem Text ablesen? - Wie kannst du den Wachstumsfaktor mit Hilfe der gegebenen Werte nach 8 Tagen berechnen? - Was bedeutet „Wachstumsgeschwindigkeit“ mathematisch im Zusammenhang mit der Funktion? - Welche Gleichung musst du lösen, um herauszufinden, wann eine bestimmte Fläche erreicht wird?

1. Bestimmung der Parameter: Der Anfangswert ist \(b = A(0) = 2{,}5\). Mit \(A(8) = 4{,}2\) ergibt sich \(2{,}5 \cdot e^{8k} = 4{,}2\). Auflösen nach \(k\) liefert \(k = \frac{\ln(4{,}2 / 2{,}5)}{8} \approx 0{,}06485\). Die Funktion lautet \(A(t) = 2{,}5 \cdot e^{0{,}06485 \cdot t}\). 2. Zeitpunkt für \(20\,\text{m}^2\): Setze \(A(t) = 20\), also \(2{,}5 \cdot e^{0{,}06485 \cdot t} = 20\). Dies führt zu \(e^{0{,}06485 \cdot t} = 8\) und somit \(t = \frac{\ln(8)}{k} \approx 32{,}07\). Nach etwa \(32{,}1\) Tagen wird der Wert erreicht. 3. Verdopplungszeit: Aus \(e^{k \cdot T_d} = 2\) folgt \(T_d = \frac{\ln(2)}{k} \approx 10{,}69\). Die Verdopplungszeit beträgt ca. \(10{,}7\) Tage. 4. Wachstumsgeschwindigkeit: Die Ableitung ist \(A'(t) = 2{,}5 \cdot k \cdot e^{kt}\). Zu Beginn (\(t = 0\)): \(A'(0) = 2{,}5 \cdot 0{,}06485 \approx 0{,}162\). Die Geschwindigkeit beträgt ca. \(0{,}16\,\text{m}^2/\text{Tag}\). Nach \(14\) Tagen (\(t = 14\)): \(A'(14) = 2{,}5 \cdot k \cdot e^{14k} \approx 0{,}402\). Die Geschwindigkeit beträgt ca. \(0{,}40\,\text{m}^2/\text{Tag}\).

a) \(A(t) = 2{,}5 \cdot e^{0{,}06485 \cdot t}\); Zeitpunkt: nach ca. \(32{,}1\) Tagen. b) Verdopplungszeit: \(T_d \approx 10{,}7\) Tage. c) \(A'(0) \approx 0{,}16\,\text{m}^2/\text{Tag}\); \(A'(14) \approx 0{,}40\,\text{m}^2/\text{Tag}\).

- Woran erkennst du in der Aufgabenstellung, ob der Parameter \(k\) positiv oder negativ sein muss? - Wie unterscheidet sich die Berechnung der Halbwertszeit von der der Verdopplungszeit? - Was gibt das Vorzeichen der momentanen Änderungsrate über den Prozess an? - Denk daran, dass die Einheiten der Änderungsrate aus den Einheiten der Konzentration und der Zeit zusammengesetzt sind.

1. Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(b = C(0) = 120\). Aus \(C(5) = 120 \cdot e^{5k} = 75\) folgt \(e^{5k} = 0{,}625\). Damit ist \(k = \frac{\ln(0{,}625)}{5} \approx -0{,}0940\). Die Funktion ist \(C(t) = 120 \cdot e^{-0{,}0940 \cdot t}\). 2. Zeitpunkt für \(10\,\text{mg/l}\): Aus \(120 \cdot e^{-0{,}0940 \cdot t} = 10\) folgt \(e^{-0{,}0940 \cdot t} = \frac{1}{12}\). Logarithmieren ergibt \(t = \frac{\ln(1/12)}{-0{,}0940} \approx 26{,}44\). Nach ca. \(26{,}4\) Stunden wird dieser Wert erreicht. 3. Halbwertszeit: \(e^{k \cdot T_h} = 0{,}5\) führt zu \(T_h = \frac{\ln(0{,}5)}{k} \approx 7{,}37\). Die Halbwertszeit beträgt ca. \(7{,}4\) Stunden. 4. Momentane Änderungsrate: Die Ableitung lautet \(C'(t) = 120 \cdot k \cdot e^{kt}\). Zum Zeitpunkt \(t = 0\): \(C'(0) = 120 \cdot (-0{,}0940) \approx -11{,}28\). Die Rate beträgt ca. \(-11{,}3\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{h})\). Zum Zeitpunkt \(t = 10\): \(C'(10) = 120 \cdot k \cdot e^{10k} \approx -4{,}41\). Die Rate beträgt ca. \(-4{,}4\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{h})\).

a) \(C(t) = 120 \cdot e^{-0{,}0940 \cdot t}\); Zeitpunkt: nach ca. \(26{,}4\) Stunden. b) Halbwertszeit: \(T_h \approx 7{,}4\) Stunden. c) \(C'(0) \approx -11{,}3\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{h})\); \(C'(10) \approx -4{,}4\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{h})\).

- Was bedeutet der Zeitpunkt der Markteinführung für den Wert der Zeitvariablen? - Wie findet man die Extremstellen einer Funktion mithilfe von Ableitungen? - Überlege dir, was die Subtraktion zweier Funktionswerte mathematisch und inhaltlich bedeutet. - Betrachte das Verhalten der Funktion für sehr große Werte der Zeitvariablen. - Welche besondere Eigenschaft des Graphen beschreibt die maximale Änderungsrate?

1. Berechnung des Anfangswerts: \(S(0) = (200 \cdot 0 + 400) \cdot e^{0} + 500 = 400 + 500 = 900\). Zum Zeitpunkt der Markteinführung werden \(900\) E-Bikes pro Woche verkauft. 2. Bestimmung des Maximums: Die erste Ableitung ist \(S'(t) = (160 - 20t) \cdot e^{-0{,}1t}\). Aus \(S'(t) = 0\) folgt \(160 - 20t = 0\), also \(t = 8\). Da \(S''(8) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. Der Funktionswert beträgt \(S(8) = (1600 + 400) \cdot e^{-0{,}8} + 500 \approx 1398{,}66\). Nach 8 Wochen wird mit ca. \(1399\) Verkäufen das Maximum erreicht. 3. Interpretation von \(h(t)\): Der Wert \(h(t)\) gibt an, um wie viele Einheiten die wöchentlichen Verkaufszahlen zum Zeitpunkt \(t\) höher (bei positivem Vorzeichen) oder niedriger (bei negativem Vorzeichen) sind als die Verkaufszahlen in der 20. Woche. 4. Langfristige Betrachtung: Der Grenzwert für \(t \to \infty\) wird berechnet. Da \(\lim_{t \to \infty} (200t + 400) \cdot e^{-0{,}1t} = 0\), gilt \(\lim_{t \to \infty} S(t) = 500\). Der Hersteller kann langfristig mit \(500\) verkauften E-Bikes pro Woche rechnen. 5. Stärkste Abnahme: Gesucht ist das Minimum der ersten Ableitung (Wendepunkt). Die zweite Ableitung ist \(S''(t) = (2t - 36) \cdot e^{-0{,}1t}\). Aus \(S''(t) = 0\) folgt \(2t - 36 = 0\), also \(t = 18\). Da die dritte Ableitung \(S'''(18) > 0\) ist, besitzt \(S'\) an der Stelle \(t = 18\) ein lokales Minimum, was der stärksten Abnahme entspricht.

a) \(900\) E-Bikes pro Woche. b) Nach \(8\) Wochen; ca. \(1399\) E-Bikes pro Woche. c) \(h(t)\) ist die Differenz der wöchentlichen Verkaufszahlen zum Zeitpunkt \(t\) im Vergleich zur 20. Woche. d) \(500\) E-Bikes pro Woche, da \(\lim_{t \to \infty} S(t) = 500\). e) Nachweis über die zweite Ableitung (\(S''(18) = 0\)) und Prüfung der notwendigen Bedingung für ein Minimum der Steigung.

- Wie berechnet man den Wert zu Beginn einer Messung? - Erinnere dich an das notwendige Kriterium für Extremstellen. - Was passiert mit dem Term \(e^{-kt}\), wenn \(t\) immer größer wird? - Die stärkste Abnahme entspricht der Stelle mit der kleinsten (negativsten) Steigung. Welchen besonderen Punkt am Graphen suchen wir also?

1. Anfangskonzentration: \(c(0) = (2 \cdot 0 + 4) \cdot e^{0} + 1 = 4 + 1 = 5\). Die Konzentration beträgt zu Beginn \(5\,\text{mg/l}\). 2. Maximalwert: Die Ableitung lautet \(c'(t) = (1 - 0{,}5t) \cdot e^{-0{,}25t}\). Nullsetzen ergibt \(1 - 0{,}5t = 0\), also \(t = 2\). Die Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(c''(2) < 0\) bestätigt das Maximum. Der Wert ist \(c(2) = (4 + 4) \cdot e^{-0{,}5} + 1 \approx 5{,}85\). Nach 2 Stunden wird das Maximum von ca. \(5{,}85\,\text{mg/l}\) erreicht. 3. Langfristiger Wert: Es gilt \(\lim_{t \to \infty} (2t + 4) \cdot e^{-0{,}25t} = 0\), da die Exponentialfunktion stärker fällt als der lineare Term steigt. Somit ist \(\lim_{t \to \infty} c(t) = 1\). Langfristig stellt sich eine Konzentration von \(1\,\text{mg/l}\) ein. 4. Stärkste Abnahme: Gesucht ist der Wendepunkt im fallenden Bereich. Die zweite Ableitung ist \(c''(t) = (0{,}125t - 0{,}75) \cdot e^{-0{,}25t}\). Nullsetzen ergibt \(0{,}125t = 0{,}75 \implies t = 6\). Da \(c'''(6) > 0\), liegt hier die kleinste (negativste) Steigung (stärkste Abnahme) vor. Dies geschieht nach 6 Stunden.

a) \(5\,\text{mg/l}\). b) Nach \(2\) Stunden; ca. \(5{,}85\,\text{mg/l}\). c) \(1\,\text{mg/l}\), da \(\lim_{t \to \infty} c(t) = 1\). d) Nach \(6\) Stunden.

- Überlege dir, was mit dem e-Term passiert, wenn die Zeit sehr groß wird. - Setze die Funktionsgleichung mit dem gesuchten Wert gleich und löse nach der Variable im Exponenten auf. - Erinnere dich an die Quotientenregel oder die Kettenregel für Brüche, um die Steigung zu berechnen. - Überlege, was die erste Ableitung über die Steigung aussagt und was ein Maximum der Steigung für die Krümmung bedeutet.

1. Berechnung des Anfangswerts: \(N(0) = \frac{2000}{1 + 39 \cdot e^0} = \frac{2000}{40} = 50\). Zu Beginn kennen \(50\) Personen die Nachricht. 2. Bestimmung des Grenzwerts: Da \(\lim_{t \to \infty} e^{-0{,}4t} = 0\), gilt \(\lim_{t \to \infty} N(t) = \frac{2000}{1 + 0} = 2000\). Langfristig kennen alle \(2000\) Einwohner die Nachricht. 3. Berechnung von \(t_0\): \(1000 = \frac{2000}{1 + 39 \cdot e^{-0{,}4 \cdot t_0}} \iff 1 + 39 \cdot e^{-0{,}4 \cdot t_0} = 2 \iff 39 \cdot e^{-0{,}4 \cdot t_0} = 1 \iff e^{0{,}4 \cdot t_0} = 39 \iff t_0 = \frac{\ln(39)}{0{,}4} \approx 9{,}16\). Nach etwa \(9{,}16\) Stunden kennt die Hälfte der Einwohner die Nachricht. 4. Ableitung berechnen: \(N'(t) = \frac{2000 \cdot (-1) \cdot 39 \cdot e^{-0{,}4t} \cdot (-0{,}4)}{(1 + 39 \cdot e^{-0{,}4 \cdot t})^2} = \frac{31\,200 \cdot e^{-0{,}4 \cdot t}}{(1 + 39 \cdot e^{-0{,}4 \cdot t})^2}\). Einsetzen von \(t=0\): \(N'(0) = \frac{31\,200}{40^2} = \frac{31\,200}{1600} = 19{,}5\). Die momentane Änderungsrate beträgt \(19{,}5\) Personen pro Stunde. 5. Da die momentane Änderungsrate \(N'(t)\) bei \(t_0\) ihren maximalen Wert annimmt, liegt am Graphen von \(N\) an der Stelle \(t_0\) ein Wendepunkt vor, da die Steigung dort extremal ist (\(N''(t_0) = 0\)).

a) \(N(0) = 50\); \(\lim_{t \to \infty} N(t) = 2000\). Zu Beginn kennen \(50\) Personen die Nachricht, langfristig alle Einwohner. b) \(t_0 = \frac{\ln(39)}{0{,}4} \approx 9{,}16\,\text{h}\). c) \(N'(0) = 19{,}5\,\frac{\text{Personen}}{\text{h}}\). d) Wendepunkt, da die erste Ableitung (die Änderungsrate) dort ein Maximum hat.

- Wie verhält sich ein Bruch, wenn der Nenner immer kleiner wird, aber positiv bleibt? - Nutze Logarithmusgesetze, um Gleichungen mit e-Funktionen zu lösen. - Die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht der ersten Ableitung der Höhenfunktion. - Achte auf die Einheiten in deiner Interpretation.

1. Anfangshöhe: \(h(0) = \frac{3}{1+5} = 0{,}5\,\text{m}\). Maximale Höhe: Für \(t \to \infty\) geht \(e^{-0{,}2t} \to 0\), also \(h(t) \to \frac{3}{1} = 3\,\text{m}\). 2. Monotonie: Die Funktion \(g(t) = e^{-0{,}2t}\) ist streng monoton fallend. Damit ist auch \(1 + 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot t}\) streng monoton fallend. Da der Zähler positiv und der Nenner stets positiv und fallend ist, muss der gesamte Bruchterm \(h(t)\) streng monoton steigen. 3. Zeitpunkt für \(1{,}5\,\text{m}\): \(1{,}5 = \frac{3}{1 + 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot t}} \iff 1 + 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot t} = 2 \iff 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot t} = 1 \iff e^{0{,}2 \cdot t} = 5 \iff t = \frac{\ln(5)}{0{,}2} \approx 8{,}05\). Nach ca. \(8{,}05\) Wochen ist die Höhe erreicht. 4. Wachstumsgeschwindigkeit: \(h'(t) = \frac{3 \cdot (-1) \cdot 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot t} \cdot (-0{,}2)}{(1 + 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot t})^2} = \frac{3 \cdot e^{-0{,}2 \cdot t}}{(1 + 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot t})^2}\). Einsetzen von \(t = 10\): \(h'(10) = \frac{3 \cdot e^{-2}}{(1 + 5e^{-2})^2} \approx \frac{0{,}4060}{2{,}817} \approx 0{,}144\). Die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt ca. \(0{,}144\,\text{m/Woche}\).

a) Anfangshöhe: \(0{,}5\,\text{m}\); maximale Höhe: \(3\,\text{m}\). b) Da der Nenner für steigendes \(t\) kleiner wird, nimmt der Wert des Bruches zu. c) \(t = 5 \cdot \ln(5) \approx 8{,}05\,\text{Wochen}\). d) \(h'(10) \approx 0{,}144\,\text{m/Woche}\).

- Überlege dir, was mit dem Subtrahenden im Funktionsterm passiert, wenn sehr viel Zeit vergeht. - Setze den Startwert für die Zeit in die Gleichung ein, um den Anfangszustand zu finden. - Welche Bedeutung hat die Asymptote der Funktion im Sachzusammenhang der Erwärmung?

1. Bestimmung der Anfangstemperatur zum Zeitpunkt \(t = 0\): \(T(0) = 210 - 192 \cdot e^0 = 210 - 192 = 18\). Die Starttemperatur liegt somit bei \(18\,^\circ\text{C}\). 2. Bestimmung des Sättigungswerts durch Grenzwertbetrachtung: Für \(t \to \infty\) geht der Term \(192 \cdot e^{-0{,}04t}\) gegen \(0\). Daraus folgt \(\lim_{t \to \infty} T(t) = 210 - 0 = 210\). Die maximale Temperatur (Ofentemperatur) beträgt \(210\,^\circ\text{C}\).

Die Anfangstemperatur des Bauteils beträgt \(18\,^\circ\text{C}\). Die langfristig erreichte Maximaltemperatur beträgt \(210\,^\circ\text{C}\).

- Welche Temperatur wird das Bauteil langfristig maximal erreichen? - Wie groß ist die Differenz zwischen der Ofentemperatur und der Objekttemperatur am Anfang? - Überlege dir, wie du die Unbekannte im Exponenten mithilfe des Logarithmus isolieren kannst. - Welche Information aus dem Text hilft dir, die Wachstumskonstante zu bestimmen?

1. Aufstellen der allgemeinen Formel für beschränktes Wachstum: \(T(t) = S - (S - T_0) \cdot e^{-kt}\) mit der Sättigungsgrenze \(S = 220\) und dem Anfangswert \(T_0 = 20\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte führt zu: \(T(t) = 220 - 200 \cdot e^{-kt}\). 3. Bestimmung der Wachstumskonstanten \(k\) durch Einsetzen von \(T(15) = 120\): \(120 = 220 - 200 \cdot e^{-15k} \Rightarrow 100 = 200 \cdot e^{-15k} \Rightarrow 0{,}5 = e^{-15k}\). 4. Logarithmieren und Auflösen nach \(k\): \(-15k = \ln(0{,}5) \Rightarrow k = \frac{\ln(2)}{15} \approx 0{,}0462\). 5. Berechnung des Zeitpunkts für \(T(t) = 200\): \(200 = 220 - 200 \cdot e^{-kt} \Rightarrow 20 = 200 \cdot e^{-kt} \Rightarrow 0{,}1 = e^{-kt}\). 6. Auflösen nach \(t\): \(-kt = \ln(0{,}1) \Rightarrow t = \frac{\ln(10)}{k} = \frac{\ln(10) \cdot 15}{\ln(2)} \approx 49{,}83\).

a) \(T(t) = 220 - 200 \cdot e^{-0{,}0462 \cdot t}\) (mit \(k \approx 0{,}0462\)) b) Das Bauteil erreicht die Temperatur von \(200\,^{\circ}\text{C}\) nach etwa \(49{,}8\,\text{Minuten}\).

- Welchen Wert strebt die Anzahl der gelernten Begriffe über einen sehr langen Zeitraum an? - Wie viele Begriffe fehlen dem Schüler am Anfang noch bis zum Ziel? - Kannst du ein Muster erkennen, wie sich der Abstand zur Sättigungsgrenze in festen Zeitabständen (z. B. alle 10 Tage) verändert? - Nutze die Umkehroperation der Exponentialfunktion, um die Zeit \(t\) zu berechnen.

1. Identifikation der Parameter für die Wachstumsfunktion \(V(t) = S - (S - V_0) \cdot e^{-kt}\): Sättigungsgrenze \(S = 1500\), Anfangswert \(V_0 = 300\). 2. Bestimmung von \(k\) mit \(V(10) = 900\): \(900 = 1500 - 1200 \cdot e^{-10k} \Rightarrow 600 = 1200 \cdot e^{-10k} \Rightarrow 0{,}5 = e^{-10k}\). 3. Berechnung von \(k\): \(k = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0{,}0693\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = 1500 - 1200 \cdot e^{-0{,}0693 \cdot t}\). 4. Berechnung von \(V(20)\): \(V(20) = 1500 - 1200 \cdot e^{-20k} = 1500 - 1200 \cdot (e^{-10k})^2 = 1500 - 1200 \cdot (0{,}5)^2 = 1200\). 5. Berechnung des Zeitpunkts für \(V(t) = 1400\): \(1400 = 1500 - 1200 \cdot e^{-kt} \Rightarrow 100 = 1200 \cdot e^{-kt} \Rightarrow \frac{1}{12} = e^{-kt}\). 6. Auflösen nach \(t\): \(t = \frac{\ln(12)}{k} = \frac{\ln(12) \cdot 10}{\ln(2)} \approx 35{,}85\).

a) \(V(t) = 1500 - 1200 \cdot e^{-0{,}0693 \cdot t}\) b) Nach \(20\,\text{Tagen}\) beherrscht er \(1200\) Begriffe. c) Er wird nach etwa \(35{,}8\,\text{Tagen}\) insgesamt \(1400\) Begriffe gelernt haben.

- Überlege, wie sich die Änderungsrate aus Zufluss und Abfluss zusammensetzt. - Welche Art von Wachstum liegt vor, wenn die Zunahme konstant ist, die Abnahme aber vom aktuellen Bestand abhängt? - Was bedeutet die Information „reines Wasser“ für den Anfangswert der Farbstoffmenge? - Wie verhält sich eine Exponentialfunktion mit negativem Exponenten für sehr große Zeitwerte?

1. Aufstellen der Differentialgleichung: Die Änderungsrate setzt sich aus dem konstanten Zufluss und dem proportionalen Abfluss zusammen: \(m'(t) = 15 - 0{,}025 \cdot m(t)\). 2. Lösen der Differentialgleichung: Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung (begrenztes Wachstum). Die allgemeine Lösung lautet \(m(t) = S + (m(0) - S) \cdot e^{-k \cdot t}\), wobei die Sättigungsgrenze \(S = \frac{15}{0{,}025} = 600\) ist. Mit dem Anfangswert \(m(0) = 0\) ergibt sich \(m(t) = 600 \cdot (1 - e^{-0{,}025 \cdot t})\). 3. Berechnung für \(t = 60\): Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert \(m(60) = 600 \cdot (1 - e^{-0{,}025 \cdot 60}) = 600 \cdot (1 - e^{-1{,}5}) \approx 466{,}12\). Nach einer Stunde befinden sich ca. \(466{,}12\,\text{g}\) Farbstoff im Behälter. 4. Bestimmung des Grenzwerts: Für \(t \to \infty\) geht der Term \(e^{-0{,}025 \cdot t}\) gegen Null, sodass \(\lim_{t \to \infty} m(t) = 600\) gilt. Die Masse strebt langfristig gegen \(600\,\text{g}\).

a) \(m'(t) = 15 - 0{,}025 \cdot m(t)\) b) \(m(t) = 600 \cdot (1 - e^{-0{,}025 \cdot t})\) c) \(m(60) \approx 466{,}12\,\text{g}\) d) \(600\,\text{g}\)

- Was bedeutet die momentane Änderungsrate mathematisch für den Funktionsgraphen? - Welchen Wert nimmt die Temperatur nach einer sehr langen Zeit näherungsweise an? - Wie kannst du die gegebenen Werte in die Differentialgleichung einsetzen, um die Unbekannte zu finden? - Erinnerst du dich an den allgemeinen Funktionstyp für Prozesse, die sich einem festen Schrankenwert annähern?

1. Gegeben sind \(T(0) = 95\), \(S = 20\) und \(T'(0) = -4{,}5\). 2. Einsetzen der Werte in die Differentialgleichung zum Zeitpunkt \(t=0\): \(-4{,}5 = k \cdot (20 - 95)\). 3. Auflösen nach \(k\): \(-4{,}5 = -75 \cdot k \implies k = 0{,}06\). 4. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung für beschränktes Wachstum/Abnahme lautet \(T(t) = S + (T(0) - S) \cdot e^{-k \cdot t}\). 5. Einsetzen der Parameter ergibt die Funktionsgleichung: \(T(t) = 20 + 75 \cdot e^{-0{,}06 \cdot t}\).

\(k = 0{,}06\); \(T(t) = 20 + 75 \cdot e^{-0{,}06 \cdot t}\)

- Nutze die beiden gegebenen Zeitpunkte, um ein Gleichungssystem für die Parameter der Funktion aufzustellen. - Wie kannst du durch Division der beiden Gleichungen eine der Unbekannten eliminieren? - Überlege zuerst, wie hoch die Temperaturdifferenz zum Zeitpunkt \(t = 0\) war, um den Zielwert für die zweite Teilaufgabe zu bestimmen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems mit den gegebenen Werten: \(b \cdot a^2 = 50\) und \(b \cdot a^6 = 12{,}5\). 2. Division der Gleichungen führt zu \(a^4 = \frac{12{,}5}{50} = 0{,}25\). Daraus ergibt sich der Wachstumsfaktor \(a = \sqrt[4]{0{,}25} = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}7071\). 3. Einsetzen von \(a^2 = 0{,}5\) in die erste Gleichung: \(b \cdot 0{,}5 = 50\), woraus der Anfangswert \(b = 100\) folgt. Die Funktionsgleichung lautet \(f(t) = 100 \cdot (\sqrt{0{,}5})^t\) bzw. näherungsweise \(f(t) \approx 100 \cdot 0{,}7071^t\). 4. Bestimmung des Zielwerts für Aufgabenteil b): \(1\,\%\) von \(f(0) = 100\) ist \(1\). 5. Lösen der Gleichung \(100 \cdot (0{,}5)^{0{,}5t} = 1\): Dies führt zu \(0{,}5^{0{,}5t} = 0{,}01\). Logarithmieren ergibt \(0{,}5t \cdot \ln(0{,}5) = \ln(0{,}01)\), also \(t = \frac{2 \cdot \ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)} \approx 13{,}29\).

a) \(f(t) = 100 \cdot (\sqrt{0{,}5})^t \approx 100 \cdot 0{,}7071^t\) b) Nach etwa \(13{,}29\,\text{min}\) ist die Differenz auf \(1\,\%\) des Anfangswertes gesunken.

- Erstelle aus den Informationen zwei Gleichungen mit den Unbekannten \(c\) und \(k\). - Du kannst die Basis \(e^k\) oft vereinfachen, wenn du das Verhältnis der Werte betrachtest. - Was bedeutet „Verhundertfachung“ mathematisch in Bezug auf den Wert bei \(t = 0\)? - Setze den gefundenen Funktionsterm mit dem hundertfachen Anfangswert gleich und löse nach der Zeit auf.

1. Aufstellen der Gleichungen für die Bakterienanzahl: \(c \cdot e^{k \cdot 1} = 1\,200\) und \(c \cdot e^{k \cdot 4} = 9\,600\). 2. Division der zweiten durch die erste Gleichung: \(e^{3k} = \frac{9\,600}{1\,200} = 8\). 3. Bestimmung der Wachstumskonstante: \(3k = \ln(8)\), also \(k = \frac{\ln(8)}{3} = \ln(2) \approx 0{,}6931\). 4. Einsetzen von \(e^k = 2\) in die erste Gleichung: \(c \cdot 2 = 1\,200\), daraus folgt der Anfangswert \(c = 600\). Der Funktionsterm ist \(f(t) = 600 \cdot e^{\ln(2) \cdot t} = 600 \cdot 2^t\). 5. Für die Verhundertfachung muss gelten: \(f(t) = 100 \cdot c = 60\,000\). 6. Lösen der Gleichung \(600 \cdot 2^t = 60\,000\) führt zu \(2^t = 100\). Logarithmieren ergibt \(t = \frac{\ln(100)}{\ln(2)} \approx 6{,}64\).

a) \(f(t) = 600 \cdot e^{\ln(2) \cdot t} \approx 600 \cdot e^{0{,}6931 \cdot t}\) b) Nach etwa \(6{,}64\,\text{h}\) hat sich die Bakterienanzahl verhundertfacht.

- Überlege zuerst, wie sich ein prozentualer Zerfall in einem Wachstumsfaktor ausdrücken lässt. - Achte beim Berechnen der Zeitspanne genau auf die Stunden zwischen den Uhrzeiten. - Wenn du eine Gleichung hast, bei der die Unbekannte im Exponenten steht, ist der Logarithmus ein hilfreiches Werkzeug. - Wandle Dezimalstunden am Ende wieder in Minuten um, um eine genaue Uhrzeit anzugeben.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(K_0 = 120\). Die Abnahmerate von \(13\,\%\) entspricht einem Wachstumsfaktor von \(b = 1 - 0{,}13 = 0{,}87\). Die Gleichung lautet \(K(t) = 120 \cdot 0{,}87^t\). 2. Berechnung für 22:00 Uhr: Die Zeitspanne von 14:00 Uhr bis 22:00 Uhr beträgt \(t = 8\) Stunden. Einsetzen in die Funktion: \(K(8) = 120 \cdot 0{,}87^8 \approx 39{,}39\,\text{mg}\). 3. Bestimmung des Zeitpunkts für den Schwellenwert: Setze \(K(t) = 15\) und löse nach \(t\) auf: \(15 = 120 \cdot 0{,}87^t \Rightarrow 0{,}125 = 0{,}87^t\). Anwendung des Logarithmus ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}87)} \approx 14{,}93\) Stunden. 4. Umrechnung in Uhrzeit: \(14:00\,\text{Uhr} + 14{,}93\,\text{Stunden} \approx 04:56\,\text{Uhr}\) am nächsten Morgen.

a) \(K(t) = 120 \cdot 0{,}87^t\) b) Um 22:00 Uhr sind noch ca. \(39{,}39\,\text{mg}\) Koffein im Körper. c) Die Menge sinkt nach ca. \(14{,}93\) Stunden (also gegen 04:56 Uhr morgens) unter \(15\,\text{mg}\).

- Wie bestimmst du den Wachstumsfaktor aus einer prozentualen Zunahme? - Was bedeutet ein negativer Zeitwert im Kontext der Aufgabe? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(a = 2\) und dem Wachstumsfaktor \(b = 1 + 0{,}4 = 1{,}4\): \(A(t) = 2 \cdot 1{,}4^t\) bzw. \(t \mapsto 2 \cdot 1{,}4^t\). 2. Berechnung der Funktionswerte für \(t = 4\) und \(t = -2\): \(A(4) = 2 \cdot 1{,}4^4 = 7{,}6832 \approx 7{,}68\,\text{m}^2\). \(A(-2) = 2 \cdot 1{,}4^{-2} = \frac{2}{1{,}96} \approx 1{,}02\,\text{m}^2\). 3. Lösen der Gleichung \(20 = 2 \cdot 1{,}4^t\): Dividieren durch \(2\) ergibt \(10 = 1{,}4^t\). Anwendung des Logarithmus: \(t = \frac{\ln(10)}{\ln(1{,}4)} \approx 6{,}84\). Die Fläche erreicht nach ca. \(6{,}84\) Wochen den Wert von \(20\,\text{m}^2\).

1. \(A(t) = 2 \cdot 1{,}4^t\) bzw. \(t \mapsto 2 \cdot 1{,}4^t\) 2. Nach \(4\) Wochen: ca. \(7{,}68\,\text{m}^2\); vor \(2\) Wochen: ca. \(1{,}02\,\text{m}^2\) 3. Nach ca. \(6{,}84\) Wochen

- Achte bei der Funktionsgleichung darauf, dass der Exponent den Zeitraum im Verhältnis zur Verdopplungszeit widerspiegelt. - Wie viele Quadratmeter stecken in einem Quadratkilometer? Eine Skizze oder eine Stellenwerttafel kann helfen. - Versuche, die große Zahl \(500\,000\) in ein Produkt aus \(500\) und \(1000\) zu zerlegen, um die gegebenen Näherungen anzuwenden. - Um eine Gleichung der Form \(2^x = y\) nach \(x\) aufzulösen, benötigst du den Logarithmus.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Da der Anfangswert \(1\) ist und die Verdopplung alle \(5\) Tage stattfindet, lautet die Gleichung \(A(t) = 1 \cdot 2^{t/5}\). 2. Schätzung der Werte: Für \(t = 50\) ist der Exponent \(50/5 = 10\). Somit gilt \(A(50) = 2^{10} \approx 1000\,\text{m}^2\). Für \(t = 100\) ist der Exponent \(100/5 = 20\). Somit gilt \(A(100) = 2^{20} = (2^{10})^2 \approx (10^3)^2 = 1\,000\,000\,\text{m}^2\). 3. Schätzung des Zeitpunkts: Gesucht ist \(t\) für \(A(t) = 500\,000\). Es gilt \(2^{t/5} = 500 \cdot 1000 \approx 2^9 \cdot 2^{10} = 2^{19}\). Daraus folgt \(\frac{t}{5} \approx 19\), also \(t \approx 95\) Tage. 4. Exakte Berechnung: \(2^{t/5} = 500\,000 \implies \frac{t}{5} = \log_2(500\,000) = \frac{\ln(500\,000)}{\ln(2)} \approx 18{,}93\). Multiplikation mit \(5\) ergibt \(t \approx 94{,}66\) Tage. Die Schätzung von \(95\) Tagen ist sehr genau.

a) \(A(t) = 2^{t/5}\) b) \(A(50) \approx 1000\,\text{m}^2\); \(A(100) \approx 1\,000\,000\,\text{m}^2\) c) \(t \approx 95\) Tage d) \(t \approx 94{,}66\) Tage; die Schätzung weicht nur um etwa \(0{,}34\) Tage ab.

- Überlege dir, was „Verdopplung“ mathematisch für den Wachstumsfaktor über einen bestimmten Zeitraum bedeutet. - Wie hängen der Faktor für eine Zeiteinheit und der Faktor für mehrere Zeiteinheiten zusammen? - Erinnere dich daran, wie man einen Multiplikationsfaktor in eine prozentuale Steigerung umrechnet. - Kannst du die Zeitangaben in Stunden ausdrücken, um sie direkt als Exponenten zu nutzen?

1. Aus der Verdopplungszeit folgt die Gleichung \(b^3 = 2\). Die Basis ist somit \(b = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}2599\). 2. Der Faktor für eine Stunde entspricht \(b^1 = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}2599\). 3. Für den Zeitraum von \(4{,}5\) Stunden ergibt sich der Faktor \(b^{4{,}5} = (2^{\frac{1}{3}})^{4{,}5} = 2^{1{,}5} = \sqrt{8} \approx 2{,}8284\). 4. Für 30 Minuten (\(0{,}5\) Stunden) berechnet man \(b^{0{,}5} = 2^{\frac{0{,}5}{3}} = 2^{\frac{1}{6}} \approx 1{,}1225\). Dies entspricht einer prozentualen Zunahme von ca. \(12{,}25\,\%\).

a) \(b = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}2599\) b) Faktor \(\approx 1{,}2599\) c) Faktor \(\approx 2{,}8284\) d) Zunahme um ca. \(12{,}25\,\%\)

- Welchen Wert hat die Funktion zum Zeitpunkt Null? Was sagt das über einen der Parameter aus? - Wie verändert sich der Funktionswert, wenn man das Argument um eins erhöht? - Welche Rechenoperation hilft dir, eine Unbekannte aus dem Exponenten zu bestimmen? - Überprüfe dein Modell auch mit den anderen Werten aus der Tabelle.

1. Bestimmung von \(c\): Aus der Tabelle folgt für \(x = 0\), dass \(f(0) = c \cdot a^0 = c = 400\). 2. Bestimmung von \(a\): Unter Verwendung des Wertes für \(x = 1\) gilt \(400 \cdot a^1 = 520\). Daraus ergibt sich \(a = \frac{520}{400} = 1{,}3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 400 \cdot 1{,}3^x\). Die weiteren Tabellenwerte bestätigen dies: \(400 \cdot 1{,}3^2 = 676\) und \(400 \cdot 1{,}3^4 = 1142{,}44\). 3. Berechnung für \(x = 8\): \(f(8) = 400 \cdot 1{,}3^8 \approx 3262{,}88\). Nach 8 Stunden sind etwa \(3262{,}88\) Tausend Bakterien vorhanden. 4. Verfünffachung der Bakterienanzahl: Gesucht ist \(x\) mit \(f(x) = 5 \cdot 400 = 2000\). Die Gleichung \(400 \cdot 1{,}3^x = 2000\) führt zu \(1{,}3^x = 5\). Logarithmieren ergibt \(x = \frac{\ln(5)}{\ln(1{,}3)} \approx 6{,}14\). Nach etwa \(6{,}14\) Stunden hat sich die Anzahl verfünffacht.

a) \(f(x) = 400 \cdot 1{,}3^x\) b) ca. \(3262{,}88\) Tausend Bakterien c) nach ca. \(6{,}14\) Stunden

- Was bedeutet ein Wachstumsfaktor, der kleiner als 1 ist, für den Prozess? - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(a\) und die prozentuale Änderungsrate zusammen? - Bei der Halbwertszeit suchst du den Zeitpunkt, an dem nur noch die Hälfte des Startwerts vorhanden ist. - Kannst du die Gleichung für die Halbwertszeit vereinfachen, ohne den Startwert zu kennen?

1. Bestimmung von \(c\): Für \(t = 0\) ist \(y = 12{,}0\), also \(c = 12\). 2. Bestimmung von \(a\): Mit \(t = 2\) gilt \(12 \cdot a^2 = 7{,}68\). Dies führt zu \(a^2 = 0{,}64\), woraus \(a = 0{,}8\) folgt (da \(a > 0\)). Die Funktionsgleichung ist \(f(t) = 12 \cdot 0{,}8^t\). Der Wert für \(t = 5\) bestätigt dies: \(12 \cdot 0{,}8^5 = 3{,}93216\). 3. Prozentuale Abnahme: Da \(a = 0{,}8\), bleiben pro Stunde \(80\,\%\) des Wirkstoffs erhalten. Die Abnahme beträgt somit \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\), was \(20\,\%\) pro Stunde entspricht. 4. Halbwertszeit: Gesucht ist \(t\) mit \(0{,}8^t = 0{,}5\). Logarithmieren ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}8)} \approx 3{,}11\). Die Halbwertszeit beträgt etwa \(3{,}11\) Stunden.

a) \(f(t) = 12 \cdot 0{,}8^t\) b) \(20\,\%\) pro Stunde c) ca. \(3{,}11\) Stunden

- Was bedeutet „verdreifacht“ mathematisch für den Wachstumsfaktor über einen bestimmten Zeitraum? - Wie kannst du den Wachstumsfaktor pro Stunde berechnen, wenn du den Faktor für 6 Stunden kennst? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht? - Achte darauf, ob nach einem Zeitpunkt oder einer Anzahl gefragt ist.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(N_0 = 2500\). Aus der Bedingung \(N(6) = 3 \cdot N_0\) folgt die Gleichung \(3 \cdot 2500 = 2500 \cdot b^6\). Durch Division ergibt sich \(b^6 = 3\) und somit \(b = \sqrt[6]{3} \approx 1{,}2009\). Die Funktion lautet \(N(t) = 2500 \cdot 1{,}2009^t\) (oder exakt \(N(t) = 2500 \cdot 3^{\frac{t}{6}}\)). 2. Berechnung für \(t = 15\): Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(N(15) = 2500 \cdot 3^{\frac{15}{6}} = 2500 \cdot 3^{2{,}5} \approx 38\,971{,}14\). Es sind etwa \(38\,971\) Bakterien vorhanden. 3. Bestimmung des Zeitpunkts für \(1\,000\,000\) Bakterien: Ansatz \(1\,000\,000 = 2500 \cdot 3^{\frac{t}{6}}\). Division durch \(2500\) führt zu \(400 = 3^{\frac{t}{6}}\). Anwendung des Logarithmus ergibt \(\ln(400) = \frac{t}{6} \cdot \ln(3)\). Umstellen nach \(t\) liefert \(t = 6 \cdot \frac{\ln(400)}{\ln(3)} \approx 32{,}73\). Die Millionengrenze wird nach ca. \(32{,}73\) Stunden erreicht.

a) \(N(t) = 2500 \cdot 1{,}2009^t\) (mit \(b = \sqrt[6]{3}\)) b) ca. \(38\,971\) Bakterien c) nach ca. \(32{,}73\) Stunden

- Überlege zuerst, welcher Anteil der Menge nach einer Stunde noch vorhanden ist, wenn \(12\,\%\) verloren gehen. - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(b\) und die Basis \(e\) zusammen? - Ein Viertel der Anfangsmenge bedeutet, dass das Verhältnis \(\frac{N(t)}{N_0}\) den Wert \(0{,}25\) annimmt. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Variable aus dem Exponenten zu lösen? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten von Exponentialfunktionen.

1. Aus der Angabe, dass die Menge pro Stunde um \(12\,\%\) abnimmt, folgt der Wachstumsfaktor \(b = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). Mit \(e^{-k} = 0{,}88\) ergibt sich \(k = -\ln(0{,}88) \approx 0{,}1278\). Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = 400 \cdot e^{-0{,}1278 \cdot t}\). 2. Gesucht ist \(t\) für \(N(t) = \frac{1}{4} N_0 = 100\,\text{mg}\). Die Gleichung \(400 \cdot e^{-0{,}1278 \cdot t} = 100\) führt zu \(e^{-0{,}1278 \cdot t} = 0{,}25\). Durch Logarithmieren erhält man \(t = \frac{\ln(0{,}25)}{-0{,}1278} \approx 10{,}85\,\text{Stunden}\). 3. Die momentane Abbaurate ist die Ableitung \(N'(t) = -k \cdot N_0 \cdot e^{-k \cdot t}\). Einsetzen von \(t = 5\) ergibt \(N'(5) \approx -0{,}1278 \cdot 400 \cdot e^{-0{,}1278 \cdot 5} \approx -26{,}98\,\text{mg}/\text{h}\). Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Menge des Wirkstoffs abnimmt.

1. \(k \approx 0{,}1278\); \(N(t) = 400 \cdot e^{-0{,}1278 \cdot t}\) 2. Nach ca. \(10{,}85\,\text{Stunden}\). 3. \(N'(5) \approx -26{,}98\,\text{mg}/\text{h}\). Das negative Vorzeichen signalisiert eine Abnahme der Wirkstoffmenge.

- Nutze die Information über die \(60\,\%\), um eine Gleichung für \(k\) aufzustellen. - Wie hängen die Basis der Exponentialfunktion und der Logarithmus zusammen? - Verwende die allgemeine Funktionsgleichung, um die Ableitung zu bilden. - Was muss für zwei Größen gelten, damit sie proportional zueinander sind?

1. Bestimmung von \(k\): Aus \(c(4) = 0{,}6 \cdot c_0\) folgt \(e^{-k \cdot 4} = 0{,}6\). Logarithmieren ergibt \(-4k = \ln(0{,}6)\), also \(k = -\frac{\ln(0{,}6)}{4} \approx 0{,}1277\). 2. Berechnung der Halbwertszeit: \(e^{-k \cdot T_H} = 0{,}5 \implies T_H = \frac{\ln(2)}{k} \approx \frac{\ln(2)}{0{,}1277} \approx 5{,}43\,\text{Stunden}\). 3. Nachweis der Proportionalität: Die Ableitung von \(c(t) = c_0 \cdot e^{-kt}\) nach der Kettenregel ist \(c'(t) = c_0 \cdot e^{-kt} \cdot (-k)\). Da \(c(t) = c_0 \cdot e^{-kt}\) ist, gilt \(c'(t) = -k \cdot c(t)\). Da \(-k\) eine Konstante ist, ist die Änderungsrate proportional zum Bestand.

a) \(k \approx 0{,}1277\). b) Die Halbwertszeit beträgt \(T_H \approx 5{,}43\,\text{Stunden}\). c) Durch Ableiten erhält man \(c'(t) = -k \cdot c_0 \cdot e^{-kt}\). Durch Ersetzen von \(c(t)\) folgt \(c'(t) = -k \cdot c(t)\), was die Proportionalität mit dem Faktor \(-k\) beweist.

- Welche mathematische Funktion beschreibt einen Prozess, bei dem sich eine Menge in festen Zeitabständen halbiert? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die das Verhältnis zwischen der aktuellen Menge und der Anfangsmenge beschreibt? - Welche Rechenoperation hilft dir dabei, eine Unbekannte aus dem Exponenten einer Gleichung zu bestimmen?

1. Aufstellen der Zerfallsgleichung: \(N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{T_{1/2}}}\) mit \(T_{1/2} = 5730\). 2. Einsetzen des gegebenen Verhältnisses \(\frac{N(t)}{N_0} = 0{,}72\): \(0{,}72 = 0{,}5^{\frac{t}{5730}}\). 3. Anwendung des Logarithmus zur Lösung nach \(t\): \(\ln(0{,}72) = \frac{t}{5730} \cdot \ln(0{,}5)\). 4. Umformung nach \(t\): \(t = 5730 \cdot \frac{\ln(0{,}72)}{\ln(0{,}5)}\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(t \approx 2717{,}34\).

Das Holzwerkzeug ist etwa \(2717\) Jahre alt.

- Wie viel Prozent der Substanz sind nach einer Halbwertszeit noch übrig? Wie viel nach zwei? - Überlege dir, wie du den Bruchteil der verbleibenden Substanz als Dezimalzahl ausdrücken kannst. - Suche nach einer Gleichung, in der die Zeit im Exponenten steht, und löse diese mit dem Logarithmus auf.

1. Modellierung des Zerfalls durch \(A(t) = A_0 \cdot e^{-k \cdot t}\) oder \(A(t) = A_0 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{T_{1/2}}}\). 2. Bestimmung des Zeitpunkts für \(1\,\%\) der Anfangsaktivität: \(0{,}01 = 0{,}5^{\frac{t}{6}}\). 3. Logarithmieren der Gleichung: \(\ln(0{,}01) = \frac{t}{6} \cdot \ln(0{,}5)\). 4. Auflösen nach \(t\): \(t = \frac{6 \cdot \ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)}\). 5. Numerische Berechnung: \(t = \frac{6 \cdot (-4{,}605\dots)}{-0{,}693\dots} \approx 39{,}863\).

Nach etwa \(39{,}9\) Stunden ist die Aktivität auf \(1\,\%\) gesunken.

- Stelle für beide Zeitpunkte eine Gleichung mit den gegebenen Werten auf. - Überlege, wie du durch Dividieren der beiden Gleichungen eine Variable eliminieren kannst. - Wie hängen die Zerfallskonstante und die Zeitspanne zusammen, in der sich die Menge halbiert?

1. Aufstellen des Gleichungssystems: \(45 = m_0 \cdot e^{-10k}\) und \(28 = m_0 \cdot e^{-25k}\). Durch Division der Gleichungen ergibt sich \(\frac{45}{28} = e^{15k}\). Daraus folgt \(k = \frac{\ln(45/28)}{15} \approx 0{,}03165\). Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(m_0 = 45 \cdot e^{10 \cdot 0{,}031653} \approx 61{,}76\,\text{g}\). 2. Die Halbwertszeit \(T_H\) wird über die Gleichung \(e^{-k \cdot T_H} = 0{,}5\) berechnet. Es gilt \(T_H = \frac{\ln(2)}{k} \approx \frac{0{,}6931}{0{,}03165} \approx 21{,}90\) Tage.

1. \(m_0 \approx 61{,}76\,\text{g}\); \(k \approx 0{,}03165\) 2. \(T_H \approx 21{,}90\,\text{Tage}\)

- Kannst du ein Gleichungssystem für die unbekannten Parameter aufstellen? - Welche mathematische Operation hilft dir, eine der Unbekannten zu entfernen, wenn beide Gleichungen Produkte enthalten? - Was sagt der Wert von \(a\) über die Änderung pro Zeiteinheit aus?

1. Es ergeben sich die Gleichungen \(18 = c_0 \cdot a^3\) und \(4{,}2 = c_0 \cdot a^8\). Division liefert \(\frac{4{,}2}{18} = a^5\), woraus \(a = \sqrt[5]{\frac{7}{30}} \approx 0{,}7477\) folgt. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(18 = c_0 \cdot 0{,}7477^3\), also \(c_0 = \frac{18}{0{,}7477^3} \approx 43{,}07\,\text{mg/l}\). 2. Die prozentuale Abnahme berechnet sich aus \(p = (1 - a) \cdot 100\). Mit \(a \approx 0{,}7477\) ergibt sich eine stündliche Abnahme von ca. \(25{,}23\,\%\).

1. \(a \approx 0{,}7477\); \(c_0 \approx 43{,}07\,\text{mg/l}\) 2. Die Konzentration nimmt stündlich um ca. \(25{,}23\,\%\) ab.

- Überlege zuerst, welcher Faktor eine Abnahme um einen bestimmten Prozentsatz beschreibt. - Wie oft passt der angegebene Tiefenschritt in die gesuchte Tiefe hinein? - Setze den bekannten Funktionswert gleich der Funktionsgleichung und löse nach der gesuchten Variable auf. - Vergleiche die Basis der Exponentialfunktion mit der Basis \(e\). Welche Umformung hilft dir hier weiter?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktion: Der Abnahmefaktor pro \(3\,\text{m}\) beträgt \(0{,}82\). Die Funktionsgleichung lautet \(I(d) = 400 \cdot 0{,}82^{\frac{d}{3}}\). 2. Berechnung für \(d = 10\,\text{m}\): \(I(10) = 400 \cdot 0{,}82^{\frac{10}{3}} \approx 205{,}51\,\text{W/m}^2\). 3. Bestimmung der Tiefe für \(50\,\text{W/m}^2\): Ansatz \(50 = 400 \cdot 0{,}82^{\frac{d}{3}}\). Division durch \(400\) ergibt \(0{,}125 = 0{,}82^{\frac{d}{3}}\). Logarithmieren führt zu \(\ln(0{,}125) = \frac{d}{3} \cdot \ln(0{,}82)\). Auflösen nach \(d\): \(d = 3 \cdot \frac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}82)} \approx 31{,}44\,\text{m}\). 4. Bestimmung von \(k\): Es gilt \(e^{-k \cdot d} = 0{,}82^{\frac{d}{3}}\), also \(e^{-k} = 0{,}82^{\frac{1}{3}}\). Durch Logarithmieren erhält man \(-k = \frac{1}{3} \cdot \ln(0{,}82)\), woraus \(k = -\frac{\ln(0{,}82)}{3} \approx 0{,}0661\,\text{m}^{-1}\) folgt.

a) Die Lichtintensität beträgt ca. \(205{,}51\,\text{W/m}^2\). b) In einer Tiefe von ca. \(31{,}44\,\text{m}\) beträgt die Intensität \(50\,\text{W/m}^2\). c) \(k \approx 0{,}0661\,\text{m}^{-1}\).

- Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht? - Was bedeutet „Halbwertszeit“ für das Verhältnis zwischen dem aktuellen Wert und dem Anfangswert? - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(b\) und die Basis \(e\) zusammen? - Wenn du weißt, mit welchem Faktor sich ein Wert pro Zeiteinheit ändert, wie berechnest du daraus die prozentuale Änderung?

1. Ansatz für die Konzentration \(C(t) = 100\): \(100 = 250 \cdot e^{-0{,}085 \cdot t}\). Umformen ergibt \(\frac{100}{250} = e^{-0{,}085 \cdot t}\). Durch Anwenden des natürlichen Logarithmus erhält man \(\ln(0{,}4) = -0{,}085 \cdot t\). Daraus folgt \(t = \frac{\ln(0{,}4)}{-0{,}085} \approx 10{,}78\,\text{h}\). 2. Berechnung der Halbwertszeit \(T_H\): \(0{,}5 \cdot C_0 = C_0 \cdot e^{-0{,}085 \cdot T_H}\), also \(0{,}5 = e^{-0{,}085 \cdot T_H}\). Logarithmieren führt zu \(\ln(0{,}5) = -0{,}085 \cdot T_H\). Es ergibt sich \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}085} \approx 8{,}15\,\text{h}\). 3. Der stündliche Zerfallsfaktor ist \(b = e^{-k} = e^{-0{,}085} \approx 0{,}9185\). Die prozentuale Abnahme beträgt \(1 - 0{,}9185 = 0{,}0815\), also \(8{,}15\,\%\). Der Vergleich zeigt, dass die tatsächliche prozentuale Abnahme (\(8{,}15\,\%\)) etwas geringer ist als \(8{,}5\,\%\), der Prozentwert, der der Zahl \(0{,}085\) entspricht.

a) Nach ca. \(10{,}78\,\text{h}\). b) Die Halbwertszeit beträgt ca. \(8{,}15\,\text{h}\). c) Die Konzentration nimmt stündlich um ca. \(8{,}15\,\%\) ab; dieser Wert ist etwas kleiner als \(8{,}5\,\%\), also der Prozentwert zur Zahl \(0{,}085\); \(k\) selbst hat die Einheit \(\text{h}^{-1}\).

- Wie viele Jahre vergehen zwischen dem Startzeitpunkt und dem Zielzeitpunkt? - Wenn sich ein Bestand verdoppelt, welchen Wert muss der Ausdruck \(e^{a \cdot \Delta t}\) annehmen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Faktor \(e^a\) und der jährlichen prozentualen Steigerung. - Überlege, wie sich die kontinuierliches Wachstum (Wachstumsrate \(a\)) von einem einmaligen jährlichen Wachstumsschritt unterscheidet.

1. Berechnung für \(t = 2030\) (\(t - t_0 = 15\) Jahre): \(B(2030) = 1200 \cdot e^{0{,}045 \cdot 15} = 1200 \cdot e^{0{,}675}\). Das ergibt \(B(2030) \approx 2356{,}84\). Es werden also etwa \(2357\) Tiere erwartet. 2. Ansatz für die Verdopplung auf \(2400\) Tiere: \(2400 = 1200 \cdot e^{0{,}045 \cdot \Delta t}\), woraus \(2 = e^{0{,}045 \cdot \Delta t}\) folgt. Logarithmieren ergibt \(\ln(2) = 0{,}045 \cdot \Delta t\), also \(\Delta t = \frac{\ln(2)}{0{,}045} \approx 15{,}40\) Jahre. Ausgehend von 2015 wird dieser Bestand im Jahr 2030 erreicht. 3. Die effektive jährliche Wachstumsrate ergibt sich aus dem Wachstumsfaktor \(b = e^a = e^{0{,}045} \approx 1{,}0460\). Die Zunahme beträgt somit \(4{,}60\,\%\). Da \(e^x > 1+x\) für \(x > 0\) gilt, ist \(e^{0{,}045} - 1 > 0{,}045\), was die höhere effektive Rate gegenüber dem Prozentwert \(4{,}5\,\%\), der der Zahl \(0{,}045\) entspricht erklärt.

a) Es werden ca. \(2357\) Tiere sein. b) Im Jahr 2030. c) Die effektive Rate beträgt ca. \(4{,}60\,\%\). Sie ist höher als \(4{,}5\,\%\), der Prozentwert zur Zahl \(0{,}045\), da durch das kontinuierliche Wachstum auch die während des Jahres neu hinzugekommenen Individuen sofort wieder zum weiteren Wachstum beitragen.

- Überlege dir zuerst, was die Halbwertszeit für die Menge nach genau diesem Zeitraum bedeutet. - Welchen Wert muss der Ausdruck \(e^{-k \cdot t}\) annehmen, wenn nur noch die Hälfte der Substanz da ist? - Für die Berechnung der verbleibenden Menge nach einer bestimmten Zeit musst du lediglich die Zeit in deine Funktionsgleichung einsetzen. - Wenn ein Prozentsatz gesucht ist, kannst du die Anfangsmenge \(N_0\) oft einfach kürzen oder gleich mit dem Faktor (z. B. \(0{,}05\)) arbeiten. - Um eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht, ist der Logarithmus dein wichtigstes Werkzeug.

1. Berechnung der Zerfallskonstante \(k\): Aus der Bedingung \(e^{-k \cdot 8{,}02} = 0{,}5\) folgt \(k = \frac{\ln(2)}{8{,}02} \approx 0{,}08643\,\text{d}^{-1}\). 2. Berechnung der Aktivität nach \(14\,\text{Tagen}\): Einsetzen der Werte in die Funktionsgleichung \(N(14) = 380 \cdot e^{-0{,}08643 \cdot 14} \approx 113{,}32\). Die verbleibende Aktivität beträgt ca. \(113{,}32\,\text{MBq}\). 3. Bestimmung des Zeitpunkts für \(5\,\%\): Ansatz \(0{,}05 \cdot N_0 = N_0 \cdot e^{-k \cdot t}\) führt zu \(0{,}05 = e^{-0{,}08643 \cdot t}\). Auflösen nach \(t\) ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}05)}{-0{,}08643} \approx 34{,}66\). Nach etwa \(34{,}66\,\text{Tagen}\) sind noch \(5\,\%\) vorhanden.

a) \(k \approx 0{,}08643\,\text{d}^{-1}\) b) ca. \(113{,}32\,\text{MBq}\) c) nach ca. \(34{,}66\,\text{Tagen}\)

- Der Faktor \(a\) gibt an, welcher Anteil nach einer Zeiteinheit (hier ein Jahr) noch übrig ist. - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(a\) und die prozentuale Abnahme zusammen? - Erinnere dich daran, dass \(22\,\%\) als Dezimalzahl \(0{,}22\) geschrieben werden. - Wenn du nach der Zeit \(t\) suchst, musst du die Exponentialgleichung mithilfe des Logarithmus nach \(t\) auflösen.

1. Bestimmung des Faktors \(a\): Aus \(a^{12{,}32} = 0{,}5\) folgt \(a = 0{,}5^{\frac{1}{12{,}32}} \approx 0{,}9453\). Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = N_0 \cdot 0{,}9453^t\). 2. Jährliche Abnahme: Der Faktor \(a = 0{,}9453\) entspricht einem verbleibenden Anteil von \(94{,}53\,\%\). Die jährliche Abnahme beträgt somit \(1 - 0{,}9453 = 0{,}0547\), also \(5{,}47\,\%\). 3. Altersbestimmung: Ansatz \(0{,}22 = 0{,}9453^t\). Anwendung des Logarithmus ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}22)}{\ln(0{,}9453)} \approx 26{,}91\). Der Wein ist etwa \(27\,\text{Jahre}\) alt.

a) \(N(t) = N_0 \cdot 0{,}9453^t\) b) \(5{,}47\,\%\) c) ca. \(27\,\text{Jahre}\)

- Welche Art von Wachstumsmodell beschreibt eine konstante prozentuale Änderung pro Zeiteinheit? - Kannst du die gegebenen Werte in eine Funktionsgleichung einsetzen, bei der die Basis der Potenz unbekannt ist? - Wie löst du eine Gleichung nach der Basis auf, wenn der Exponent bekannt ist? - Was ist der Unterschied zwischen dem Wachstumsfaktor und der prozentualen Wachstumsrate?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktion: Da eine konstante prozentuale Zunahme gesucht ist, wird das Modell des exponentiellen Wachstums \(A(n) = A_0 \cdot q^n\) verwendet. 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(215 = 150 \cdot q^{12}\). 3. Isolieren des Wachstumsfaktors \(q\): Zuerst Division durch \(150\), was \(q^{12} = \frac{215}{150} = \frac{43}{30} \approx 1{,}4333\) ergibt. 4. Ziehen der \(12\). Wurzel: \(q = \sqrt[12]{\frac{43}{30}} \approx 1{,}0303\). 5. Bestimmung des Prozentsatzes \(p\): Aus \(q = 1 + \frac{p}{100}\) folgt \(p = (q - 1) \cdot 100\). Mit \(q \approx 1{,}0303\) ergibt sich ein jährlicher Zuwachs von etwa \(3{,}03\,\%\).

Der durchschnittliche jährliche Zuwachs der Waldfläche beträgt ca. \(3{,}03\,\%\).

- Welche Formel nutzt du, wenn ein Wert über mehrere Jahre hinweg prozentual abnimmt? - Welche Variable in deiner Gleichung entspricht dem jährlichen Faktor, mit dem der Wert multipliziert wird? - Wie kommst du vom berechneten Faktor \(q\) auf den eigentlichen prozentualen Verlust? - Denke daran, dass bei einer Abnahme der Faktor \(q\) kleiner als \(1\) sein muss.

1. Modellierung der Wertabnahme: Verwendung der Formel für exponentiellen Zerfall \(W(n) = W_0 \cdot q^n\), wobei \(q\) den Abnahmefaktor darstellt. 2. Einsetzen der Werte: \(18\,400 = 85\,000 \cdot q^7\). 3. Berechnen des Verhältnisses: \(q^7 = \frac{18\,400}{85\,000} = \frac{184}{850} = \frac{92}{425} \approx 0{,}2165\). 4. Bestimmung von \(q\): Ziehen der \(7\). Wurzel ergibt \(q = \sqrt[7]{\frac{92}{425}} \approx 0{,}8038\). 5. Berechnung der prozentualen Abnahme: Der jährliche Wertverlust \(p\) ergibt sich aus \(1 - q\). Hier: \(1 - 0{,}8038 = 0{,}1962\), was einem Prozentsatz von \(19{,}62\,\%\) entspricht.

Der Wert des Roboters ist jährlich um durchschnittlich etwa \(19{,}62\,\%\) gesunken.

- Überlege zuerst, wie viel Prozent der Masse nach einem Tag noch vorhanden sind, wenn nach 12 Tagen noch \(75\,\%\) übrig sind. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Wachstumsfaktor und der Eulerschen Zahl im Exponentialansatz? - Was bedeutet „Halbwertszeit“ mathematisch für den Funktionswert im Vergleich zum Startwert? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der die gesuchte Variable im Exponenten steht?

1. Aus der Bedingung \(M(12) = 0{,}75 \cdot M_0\) folgt \(q^{12} = 0{,}75\). Der tägliche Zerfallsfaktor beträgt somit \(q = \sqrt[12]{0{,}75} \approx 0{,}9763\). Für die Zerfallskonstante gilt \(e^{-\lambda \cdot 12} = 0{,}75\), woraus \(\lambda = -\frac{\ln(0{,}75)}{12} \approx 0{,}02398\,\text{d}^{-1}\) folgt. 2. Die Halbwertszeit \(T_H\) wird über die Gleichung \(e^{-\lambda \cdot T_H} = 0{,}5\) berechnet. Es ergibt sich \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{-\lambda} = \frac{12 \cdot \ln(0{,}5)}{\ln(0{,}75)} \approx 28{,}9\,\text{Tage}\). 3. Für den Zeitpunkt \(t\), an dem noch \(10\,\%\) vorhanden sind, gilt \(0{,}1 = e^{-\lambda t}\). Auflösen nach \(t\) ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}1)}{-\lambda} = \frac{12 \cdot \ln(0{,}1)}{\ln(0{,}75)} \approx 96{,}01\,\text{Tage}\).

1. \(q \approx 0{,}9763\); \(\lambda \approx 0{,}02398\,\text{d}^{-1}\) 2. \(T_H \approx 28{,}9\,\text{Tage}\) 3. Nach ca. \(96\,\text{Tagen}\).

- Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum? - Was bedeutet eine prozentuale Zunahme für den Wachstumsfaktor? - Bei der Verdopplungszeit ist der Anfangswert für die Berechnung eigentlich unerheblich. Warum? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit der Variablen auf einer Seite stehen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Variable aus dem Exponenten zu lösen?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen: \(B_A(t) = 15\,000 \cdot 1{,}021^t\) und \(B_B(t) = 8\,000 \cdot 1{,}045^t\). 2. Für die Verdopplungszeit von Art B gilt der Ansatz \(1{,}045^t = 2\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}045)} \approx 15{,}75\). Die Verdopplungszeit beträgt ca. \(15{,}75\) Jahre. 3. Für Aufgabenteil b) wird die Gleichung \(B_A(t) = 1{,}5 \cdot B_B(t)\) aufgestellt: \(15\,000 \cdot 1{,}021^t = 1{,}5 \cdot 8\,000 \cdot 1{,}045^t\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(15\,000 \cdot 1{,}021^t = 12\,000 \cdot 1{,}045^t\), woraus \(\frac{15\,000}{12\,000} = \left(\frac{1{,}045}{1{,}021}\right)^t\) bzw. \(1{,}25 = \left(\frac{1{,}045}{1{,}021}\right)^t\) folgt. 5. Auflösen nach \(t\) mittels Logarithmus: \(t = \frac{\ln(1{,}25)}{\ln(1{,}045) - \ln(1{,}021)} \approx 9{,}60\). Nach ca. \(9{,}60\) Jahren ist Art A nur noch \(1{,}5\)-mal so groß wie Art B.

a) Die Verdopplungszeit für Art B beträgt ca. \(15{,}75\) Jahre. b) Nach ca. \(9{,}60\) Jahren ist die Population von Art A \(1{,}5\)-mal so groß wie die von Art B.

- Notiere dir zuerst die Wachstumsfaktoren für beide Zinssätze. - Was ist der Zielwert für Anlage A, wenn sie um \(50\,\%\) wachsen soll? - Setze die beiden Kapitalfunktionen in ein Verhältnis gemäß der Aufgabenstellung. - Erinnere dich an die Logarithmengesetze, um Brüche in Exponenten zu vereinfachen.

1. Aufstellen der Kapitalfunktionen: \(K_A(t) = 2\,500 \cdot 1{,}03^t\) und \(K_B(t) = 1\,000 \cdot 1{,}065^t\). 2. Für eine Steigerung um \(50\,\%\) bei Anlage A muss der Wachstumsfaktor \(1{,}03^t = 1{,}5\) erfüllen. Auflösen nach \(t\): \(t = \frac{\ln(1{,}5)}{\ln(1{,}03)} \approx 13{,}72\). Dies entspricht ca. \(13{,}72\) Jahren. 3. Für Aufgabenteil b) wird die Bedingung \(K_B(t) = 0{,}8 \cdot K_A(t)\) genutzt: \(1\,000 \cdot 1{,}065^t = 0{,}8 \cdot 2\,500 \cdot 1{,}03^t\). 4. Zusammenfassen der Werte: \(1\,000 \cdot 1{,}065^t = 2\,000 \cdot 1{,}03^t\). 5. Isolieren der Exponentialterme: \(\frac{1{,}065^t}{1{,}03^t} = \frac{2\,000}{1\,000}\), also \(\left(\frac{1{,}065}{1{,}03}\right)^t = 2\). 6. Berechnung von \(t\): \(t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}065) - \ln(1{,}03)} \approx 20{,}74\). Nach ca. \(20{,}74\) Jahren erreicht Anlage B den Wert von \(80\,\%\) der Anlage A.

a) Das Kapital von Anlage A hat sich nach ca. \(13{,}72\) Jahren um \(50\,\%\) erhöht. b) Nach ca. \(20{,}74\) Jahren beträgt das Kapital von Anlage B genau \(80\,\%\) des Kapitals von Anlage A.

- Überlege zuerst, wie viele Jahre zwischen den beiden Messpunkten vergangen sind. - Ein exponentielles Wachstum lässt sich durch die Formel \(B(t) = B(0) \cdot q^t\) beschreiben. - Um eine Rate aus einem Faktor \(q\) zu bestimmen, betrachte den Teil, der über 1 hinausgeht. - Für die Berechnung des Zeitpunkts bei einem gegebenen Bestand ist der Logarithmus hilfreich.

1. Berechnung des Wachstumsfaktors \(q\): Der Zeitraum beträgt \(t = 2020 - 2005 = 15\) Jahre. Es gilt \(585\,000 = 450\,000 \cdot q^{15}\). Daraus folgt \(q = \sqrt[15]{\frac{585\,000}{450\,000}} = \sqrt[15]{1{,}3} \approx 1{,}01758\). Die mittlere jährliche Wachstumsrate beträgt ca. \(1{,}76\,\%\). 2. Prognose für 2045: Der Zeitraum ab 2005 beträgt \(t = 40\) Jahre. \(B(40) = 450\,000 \cdot 1{,}01758^{40} \approx 904\,398\). Im Jahr 2045 würden ca. \(904\,400\) Menschen in der Region leben. 3. Zeitpunkt für 1 Million Einwohner: Ansatz \(1\,000\,000 = 450\,000 \cdot 1{,}01758^t\). Umformen ergibt \(\frac{100}{45} = 1{,}01758^t\), also \(t = \frac{\ln(20/9)}{\ln(1{,}01758)} \approx 45{,}86\). Addiert zum Basisjahr 2005 ergibt dies das Jahr 2050 (gegen Ende des Jahres).

a) Die mittlere jährliche Wachstumsrate beträgt ca. \(1{,}76\,\%\) (\(q \approx 1{,}01758\)). b) Im Jahr 2045 würden ca. \(904\,400\) Menschen dort leben. c) Die Millionenmarke würde im Jahr 2050 überschritten.

- Schau dir die Abstände zwischen den Jahren an, in denen sich die Werte in der rechten Spalte verdoppeln. - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(q\) und die Verdopplungszeit \(T_d\) zusammen? Erinnere dich an die Gleichung \(q^{T_d} = 2\). - Wenn ein Vorgang immer länger braucht, um sich zu verdoppeln, was bedeutet das für die jährliche Steigerung in Prozent?

1. Verdopplungszeiträume bestimmen: Von \(120\,000\) auf \(240\,000\) sind es \(2018 - 2016 = 2\) Jahre. Von \(240\,000\) auf \(480\,000\) sind es \(2021 - 2018 = 3\) Jahre. Von \(480\,000\) auf \(960\,000\) sind es \(2025 - 2021 = 4\) Jahre. 2. Wachstumsraten berechnen: Für den 1. Zeitraum gilt \(q_1 = 2^{1/2} \approx 1{,}4142\) (ca. \(41{,}42\,\%\)). Für den 2. Zeitraum gilt \(q_2 = 2^{1/3} \approx 1{,}2599\) (ca. \(25{,}99\,\%\)). Für den 3. Zeitraum gilt \(q_3 = 2^{1/4} \approx 1{,}1892\) (ca. \(18{,}92\,\%\)). 3. Interpretation: Die Verdopplungszeiträume werden länger (2, 3, dann 4 Jahre). Dies bedeutet, dass die relative (prozentuale) Wachstumsgeschwindigkeit abnimmt, obwohl die absoluten Nutzerzahlen weiterhin steigen. Das Wachstum verlangsamt sich also in seiner Dynamik.

a) Die Verdopplungszeiträume betragen nacheinander 2 Jahre, 3 Jahre und 4 Jahre. b) Die Wachstumsraten liegen bei ca. \(41{,}4\,\%\), \(26{,}0\,\%\) und \(18{,}9\,\%\). c) Da die Verdopplungszeiträume zunehmen, sinkt die relative Wachstumsrate; das Wachstum verliert an Dynamik.

- Wie lautet die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum? - Was bedeutet „Verdoppelung“ für das Verhältnis von Endwert zu Anfangswert? - Welche Rechenregel für Logarithmen hilft dir, eine Variable im Exponenten zu isolieren? - Wie berechnet man den relativen Fehler zwischen einem exakten Wert und einer Näherung? - Erinnere dich an die Definition des Wachstumsfaktors aus dem Prozentsatz.

1. Für \(p = 3\) lautet der Wachstumsfaktor \(q = 1{,}03\). Die Verdoppelungsgleichung \(5000 \cdot 1{,}03^n = 10\,000\) führt auf \(1{,}03^n = 2\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}03)} \approx 23{,}45\,\text{Jahre}\). Die Faustformel liefert \(n \approx \frac{72}{3} = 24\,\text{Jahre}\). Die Differenz beträgt etwa \(0{,}55\,\text{Jahre}\). 2. Für \(p = 12\) ist \(q = 1{,}12\). Exakte Zeit: \(n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}12)} \approx 6{,}116\,\text{Jahre}\). Faustformel: \(n \approx \frac{72}{12} = 6\,\text{Jahre}\). Die prozentuale Abweichung berechnet sich durch \(\frac{|6 - 6{,}116|}{6{,}116} \cdot 100\,\% \approx 1{,}90\,\%\). 3. Aus \((1 + \frac{p}{100})^n = 2\) folgt durch Logarithmieren \(n \cdot \ln(1 + \frac{p}{100}) = \ln(2)\), woraus die gesuchte Formel \(n = \frac{\ln(2)}{\ln(1 + \frac{p}{100})}\) resultiert. Mit der Näherung \(\ln(1 + \frac{p}{100}) \approx \frac{p}{100}\) für kleine Zinssätze ergibt sich \(n \approx \frac{\ln(2)}{p/100} = \frac{100 \cdot \ln(2)}{p}\). Da \(100 \cdot \ln(2) \approx 69{,}31\) ist, folgt \(n \cdot p \approx 69{,}3\).

1. Exakte Zeit: \(\approx 23{,}45\,\text{Jahre}\); Faustformel: \(24\,\text{Jahre}\). 2. Die Abweichung beträgt ca. \(1{,}90\,\%\). 3. Die Herleitung erfolgt über den Ansatz \((1 + \frac{p}{100})^n = 2\); die Näherung basiert auf \(100 \cdot \ln(2) \approx 69{,}3\).

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung für beide Modelle auf. - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(q\) und die Rate \(p\) zusammen? - Nutze den Logarithmus, um nach der Zeit \(t\) oder der Konstante \(k\) aufzulösen. - Überlege dir, was „Vervierfachung“ für die Gleichung bedeutet. - Beachte, dass \(e^{10k}\) dasselbe ist wie \((e^{5k})^2\).

1. Ansatz: \(B(5) = B_0 \cdot q^5\). Einsetzen der Werte ergibt \(350 = 200 \cdot q^5\), also \(q^5 = 1{,}75\). Daraus folgt \(q = \sqrt[5]{1{,}75} \approx 1{,}1184\). Die Wachstumsrate ist \(p = (q-1) \cdot 100 \approx 11{,}84\,\%\). 2. Für die Vervierfachung gilt \(200 \cdot q^n = 800\), also \(q^n = 4\). Mit dem berechneten \(q\) folgt \(n = \frac{\ln(4)}{\ln(1{,}1184)} \approx 12{,}38\,\text{Jahre}\). 3. Für das kontinuierliche Modell gilt \(B(5) = 200 \cdot e^{5k} = 350\). Dies führt zu \(e^{5k} = 1{,}75\) und somit \(5k = \ln(1{,}75)\), woraus \(k = \frac{\ln(1{,}75)}{5} \approx 0{,}1119\) folgt. Der Bestand nach \(10\) Jahren berechnet sich zu \(B(10) = 200 \cdot e^{0{,}1119 \cdot 10} = 200 \cdot (e^{5k})^2 = 200 \cdot 1{,}75^2 = 612{,}5\). Es werden also etwa \(612\) oder \(613\) Tiere erwartet.

1. \(q \approx 1{,}1184\); \(p \approx 11{,}84\,\%\). 2. Nach ca. \(12{,}38\,\text{Jahren}\). 3. \(k \approx 0{,}1119\); Bestand nach \(10\) Jahren: \(612{,}5\) Tiere.

- Wie hängen die Basis \(a\) und die Basis \(e\) mathematisch zusammen? - Was bedeutet „Halbwertszeit“ für den Bestand nach einer gewissen Zeit? - Welchen Einfluss haben der Vorfaktor vor der Potenz und der Wert im Exponenten auf das Aussehen der Kurve?

1. Zur Bestimmung von \(k\) wird der Ansatz \(e^k = 0{,}82\) gewählt. Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus ergibt sich \(k = \ln(0{,}82) \approx -0{,}1985\). 2. Die Halbwertszeit \(t_H\) wird berechnet, indem der Wachstumsfaktor auf \(0{,}5\) gesetzt wird: \(0{,}82^{t_H} = 0{,}5\) oder \(e^{k \cdot t_H} = 0{,}5\). Dies führt zu \(t_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}82)} \approx 3{,}49\,\text{h}\). 3. Die Funktionsgleichung für das zweite Medikament lautet \(g(t) = 300 \cdot e^{-0{,}12 \cdot t}\). Im Vergleich zu \(M(t)\) ist der Startwert verdoppelt (\(300\) statt \(150\)), was einer Streckung in \(y\)-Richtung entspricht. Da \(|-0{,}12| < |-0{,}1985|\) ist, verläuft der Graph von \(g\) flacher, das Medikament wird also langsamer abgebaut.

a) \(k = \ln(0{,}82) \approx -0{,}1985\) b) \(t_H \approx 3{,}49\,\text{h}\) c) \(g(t) = 300 \cdot e^{-0{,}12 \cdot t}\); der Graph startet höher auf der \(y\)-Achse und fällt langsamer ab als der Graph von \(M\).

- Nutze die Produktregel für die Ableitung, da die Variable \(t\) sowohl in der Potenz als auch im Exponenten vorkommt. - Überlege dir bei der Interpretation, was die Differenz zwischen zwei Funktionswerten zu verschiedenen Zeitpunkten aussagt. - Betrachte den Funktionsterm als Summe zweier Teile: Welcher Teil verschwindet für sehr große \(t\)? - Untersuche die Lage der Extremstelle in Abhängigkeit von den Parametern \(a\) und \(b\).

1. Berechnung der ersten Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: \(T'(t) = 20t \cdot e^{-0{,}5t} + 10t^2 \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t} = (20t - 5t^2) \cdot e^{-0{,}5t}\). 2. Nullstellen der Ableitung: \(5t(4 - t) = 0\) liefert \(t = 0\) (Minimum) und \(t = 4\) (Maximum). 3. Die maximale Temperatur beträgt \(T(4) = 10 \cdot 16 \cdot e^{-2} + 20 = 160 \cdot e^{-2} + 20 \approx 41{,}65\,^\circ\text{C}\). 4. Die Gleichung \(T(t+2) = T(t) - 4\) bedeutet, dass die Temperatur innerhalb eines Zeitintervalls von zwei Stunden genau um \(4\,^\circ\text{C}\) sinkt. 5. Der Grenzwert für \(t \to \infty\) der Funktion \(10t^2 \cdot e^{-0{,}5t}\) ist \(0\). Somit nähert sich die Temperatur \(T(t)\) langfristig dem Wert \(20\,^\circ\text{C}\) an (Umgebungstemperatur). 6. Der Zeitpunkt des Maximums liegt allgemein bei \(t_{\max} = \frac{2}{b}\). Um den Zeitpunkt zu verringern (früheres Maximum), muss \(b\) vergrößert werden. 7. Der Wert des Maximums ist \(T(t_{\max}) = a \cdot \left(\frac{2}{b}\right)^2 \cdot e^{-2} + c\). Eine Vergrößerung von \(b\) verringert bereits den Wert des Maximums. Eine zusätzliche Verringerung von \(a\) senkt die Spitze weiter ab.

a) Maximale Temperatur ca. \(41{,}65\,^\circ\text{C}\) nach \(4\,\text{Stunden}\). b) Innerhalb von zwei Stunden sinkt die Temperatur um genau \(4\,^\circ\text{C}\). c) Die Temperatur nähert sich langfristig \(20\,^\circ\text{C}\) an. d) Der Parameter \(b\) muss vergrößert werden (früheres Maximum); \(a\) sollte verkleinert werden (niedrigeres Maximum).

- Kannst du die Potenzgesetze nutzen, um den Exponenten so umzuformen, dass nur noch \(t\) im Exponenten steht? - Wie kannst du eine beliebige Basis \(b\) in eine Basis zur Zahl \(e\) umrechnen? - Was muss für den Faktor gelten, der die zeitliche Änderung beschreibt, wenn sich die Gesamtmenge verdoppeln soll? - Achte darauf, dass die prozentuale Änderung pro Sekunde gefragt ist, nicht für den Zeitraum, der in der Basis der Klammer steht.

1. Der Anfangswert ist \(p(0) = 15\). Durch Umformung von \(1{,}04^{0{,}5t} = (1{,}04^{0{,}5})^t = e^{k \cdot t}\) ergibt sich \(k = 0{,}5 \cdot \ln(1{,}04) \approx 0{,}0196\). Somit ist \(p(t) = 15 \cdot e^{0{,}0196t}\). 2. Die Verdopplungszeit wird über \(1{,}04^{0{,}5 T_D} = 2\) berechnet. Umstellen nach \(T_D\) liefert \(0{,}5 T_D = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}04)}\), also \(T_D = \frac{2 \ln(2)}{\ln(1{,}04)} \approx 35{,}35\,\text{s}\). 3. Der Wachstumsfaktor pro Sekunde ist \(b = 1{,}04^{0{,}5} \approx 1{,}0198\). Dies entspricht einer Zunahme von ca. \(1{,}98\,\%\) pro Sekunde.

1. \(p(t) = 15 \cdot e^{0{,}0196t}\) 2. \(T_D \approx 35{,}35\,\text{s}\) 3. Die Zunahme beträgt ca. \(1{,}98\,\%\) pro Sekunde.

- Wie hängen der Koeffizient \(k\) und die Verdopplungszeit mathematisch zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der der Anfangsbestand \(f(0)\) wegfällt? - Wenn \(10\,\%\) übrig sind, welcher Faktor steht dann vor dem \(f(0)\)? - Nutze das Ergebnis für \(k\) aus der Halbwertszeit, um die Zerfallsdauer zu berechnen.

1. Für die Verdopplung nach \(12\,\text{h}\) gilt \(e^{k \cdot 12} = 2\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(12k = \ln(2)\), also \(k = \frac{\ln(2)}{12} \approx 0{,}0578\). 2. Aus der Halbwertszeit \(T_H = 25\) folgt für den Zerfallskoeffizienten \(k = \frac{\ln(0{,}5)}{25} \approx -0{,}0277\). 3. Um den Zeitpunkt für einen Restbestand von \(10\,\%\) zu finden, wird die Gleichung \(e^{k \cdot t} = 0{,}10\) gelöst: \(t = \frac{\ln(0{,}10)}{k} = \frac{\ln(0{,}10) \cdot 25}{\ln(0{,}5)} \approx 83{,}05\,\text{Stunden}\).

a) \(k \approx 0{,}0578\) b) \(t \approx 83{,}05\,\text{Stunden}\)

- Vergleiche die Änderungen zwischen den Zeitpunkten \(t=0, t=3\) und \(t=6\). - Was müsste gelten, damit eine Verdopplung genau alle 5 Monate eintritt? - Nutze Logarithmen, um eine unbekannte Zeitdauer in einer Exponentialgleichung zu bestimmen. - Prüfe erst den Modelltyp und danach die spezifischen Parameter wie die Verdopplungszeit.

1. Überprüfung des linearen Modells (Analyst 1): Die Zunahme im ersten Intervall beträgt \(8\,000 - 5\,000 = 3\,000\). Im zweiten Intervall beträgt sie \(12\,800 - 8\,000 = 4\,800\). Da die absoluten Zuwächse verschieden sind, ist das Modell nicht linear. Analyst 1 hat unrecht. 2. Überprüfung des exponentiellen Modells (Analyst 2): Der Wachstumsfaktor für 3 Monate beträgt \(\frac{8\,000}{5\,000} = 1{,}6\). Der Faktor für das nächste 3-Monats-Intervall ist \(\frac{12\,800}{8\,000} = 1{,}6\). Da die Faktoren konstant sind, ist das Wachstum exponentiell. Analyst 2 hat mit dem Modelltyp recht. 3. Berechnung der tatsächlichen Verdopplungszeit \(T\): Es gilt \(a^3 = 1{,}6\), wobei \(a\) der monatliche Faktor ist. Der Ansatz für die Verdopplung lautet \(a^T = 2\) bzw. \(1{,}6^{\frac{T}{3}} = 2\). Durch Logarithmieren folgt \(\frac{T}{3} \cdot \ln(1{,}6) = \ln(2)\), woraus \(T = \frac{3 \cdot \ln(2)}{\ln(1{,}6)} \approx 4{,}42\) Monate resultiert. 4. Beurteilung: Die behauptete Verdopplungszeit von \(5\) Monaten ist falsch. Die Nutzerzahl verdoppelt sich bereits nach etwa \(4{,}42\) Monaten.

a) Analyst 2 hat recht, da die Nutzerzahlen exponentiell wachsen (konstanter Wachstumsfaktor von \(1{,}6\) pro 3 Monate). b) Die Prognose der Verdopplungszeit ist inkorrekt. Basierend auf den Daten beträgt die Verdopplungszeit \(T = \frac{3 \cdot \ln(2)}{\ln(1{,}6)} \approx 4{,}42\) Monate und nicht \(5\) Monate.

- Was stellt der Wert vor der e-Funktion in diesem Sachzusammenhang dar? - Wie hängen der Exponent der e-Funktion und der jährliche Faktor \(b\) zusammen? - Welche mathematische Operation hilft dir, den Exponenten einer Gleichung zu isolieren? - Spielt der Anfangswert bei der Berechnung der Verdreifachungszeit eine Rolle?

1. Ablesen des Anfangswerts bei \(t = 0\): \(P(0) = 45\,000\). 2. Der jährliche Wachstumsfaktor ergibt sich aus \(b = e^{0{,}028} \approx 1{,}02839\). Die jährliche Wachstumsrate beträgt somit ca. \(2{,}84\,\%\). 3. Zur Berechnung des Zeitpunkts wird die Gleichung \(75\,000 = 45\,000 \cdot e^{0{,}028 \cdot t}\) gelöst. Umformen ergibt \(\frac{5}{3} = e^{0{,}028 \cdot t}\) und somit \(t = \frac{\ln(5/3)}{0{,}028} \approx 18{,}24\). Dies entspricht dem Jahr 2038. 4. Die Verdreifachungszeit wird über \(3 = e^{0{,}028 \cdot t}\) berechnet. Es folgt \(t = \frac{\ln(3)}{0{,}028} \approx 39{,}24\,\text{Jahre}\).

a) \(45\,000\) Einwohner. b) Wachstumsfaktor \(b \approx 1{,}0284\); Wachstumsrate ca. \(2{,}84\,\%\). c) Im Laufe des Jahres 2038. d) Die Einwohnerzahl verdreifacht sich nach ca. \(39{,}24\,\text{Jahren}\).

- Nutze den gegebenen Wert nach 10 Minuten, um die Konstante im Exponenten zu finden. - Was bedeutet Halbwertszeit mathematisch für den Funktionswert? - Wie gehst du vor, wenn du nach einer Zeit suchst, bei der ein bestimmter Wert erreicht wird? - Welche physikalische Einheit hat die Steigung in diesem Kontext?

1. Funktionsgleichung: Mit \(c(10) = 200\) folgt \(320 \cdot e^{k \cdot 10} = 200\). Daraus ergibt sich \(e^{10k} = 0{,}625\) und \(k = \frac{\ln(0{,}625)}{10} \approx -0{,}0470\). Die Funktion lautet \(c(t) = 320 \cdot e^{-0{,}0470 \cdot t}\). 2. Halbwertszeit: \(e^{-0{,}0470 \cdot T_{1/2}} = 0{,}5 \implies T_{1/2} = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}0470} \approx 14{,}75\,\text{Minuten}\). 3. Grenzwertunterschreitung: \(320 \cdot e^{-0{,}0470 \cdot t} = 10 \implies e^{-0{,}0470 \cdot t} = 0{,}03125 \implies t = \frac{\ln(0{,}03125)}{-0{,}0470} \approx 73{,}74\,\text{Minuten}\). 4. Änderungsrate: \(c'(t) = 320 \cdot (-0{,}0470) \cdot e^{-0{,}0470 \cdot t} \approx -15{,}04 \cdot e^{-0{,}0470 \cdot t}\). Nach \(20\,\text{Minuten}\) ist \(c'(20) \approx -15{,}04 \cdot e^{-0{,}0470 \cdot 20} \approx -5{,}87\,\text{mg/(l \cdot min)}\). Dies bedeutet, dass die Konzentration zu diesem Zeitpunkt momentan um etwa \(5{,}87\,\text{mg/l}\) pro Minute abnimmt.

a) \(c(t) = 320 \cdot e^{-0{,}0470 \cdot t}\) b) \(T_{1/2} \approx 14{,}75\,\text{Minuten}\) c) Nach ca. \(73{,}74\,\text{Minuten}\). d) \(c'(t) = -15{,}04 \cdot e^{-0{,}0470 \cdot t}\); \(c'(20) \approx -5{,}87\,\text{mg/(l \cdot min)}\). Dies ist die momentane Abnahmerate der Konzentration zum Zeitpunkt \(t=20\).

- Überlege dir, welchen Wert der Ausdruck \(e^{-kt}\) für \(t=0\) annimmt. - Wie verhält sich die Temperatur der Limonade nach einer sehr langen Zeit im Vergleich zur Zimmertemperatur? - Setze die bekannten Werte in die Funktionsgleichung ein, um die fehlenden Parameter zu bestimmen. - Denk an die Kettenregel beim Ableiten der Funktion.

1. Da sich die Temperatur langfristig der Zimmertemperatur angleicht, gilt \(A = 25\). Aus der Anfangstemperatur folgt \(g(0) = 25 - B \cdot e^{0} = 25 - B = 7\), woraus \(B = 18\) resultiert. 2. Zur Berechnung von \(k\) wird der Punkt \((20|16)\) in \(g(t) = 25 - 18 \cdot e^{-kt}\) eingesetzt: \(16 = 25 - 18 \cdot e^{-20k} \implies -9 = -18 \cdot e^{-20k} \implies 0{,}5 = e^{-20k}\). 3. Durch Logarithmieren erhält man \(\ln(0{,}5) = -20k \implies k = \frac{\ln(0{,}5)}{-20} \approx 0{,}0347\). 4. Die Änderungsrate für den Fall \(k = 0{,}04\) ist \(g'(t) = -18 \cdot (-0{,}04) \cdot e^{-0{,}04t} = 0{,}72 \cdot e^{-0{,}04t}\). 5. Gleichsetzen mit der vorgegebenen Rate: \(0{,}72 \cdot e^{-0{,}04t} = 0{,}25 \implies e^{-0{,}04t} = \frac{0{,}25}{0{,}72} \approx 0{,}3472\). 6. Auflösen nach \(t\): \(-0{,}04t = \ln(0{,}3472) \approx -1{,}0578 \implies t = \frac{-1{,}0578}{-0{,}04} \approx 26{,}45\). Der Zeitpunkt liegt bei ca. \(26{,}5\) Minuten.

a) \(A = 25\); \(B = 18\) b) \(k \approx 0{,}0347\) c) nach ca. \(26{,}5\) Minuten

- Was bedeutet es für die Ableitung einer Funktion, wenn ein Wert „am stärksten zunimmt“? - Welche Ableitung musst du untersuchen, um die maximale Steigung einer Funktion zu finden? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Wendepunkte.

1. Erste Ableitung bilden: \(v'(t) = -1 \cdot e^{0{,}05t} + (50 - t) \cdot 0{,}05 \cdot e^{0{,}05t} = (1{,}5 - 0{,}05t) \cdot e^{0{,}05t}\). 2. Zweite Ableitung bilden, um die Änderung der Rate zu untersuchen: \(v''(t) = -0{,}05 \cdot e^{0{,}05t} + (1{,}5 - 0{,}05t) \cdot 0{,}05 \cdot e^{0{,}05t} = (0{,}025 - 0{,}0025t) \cdot e^{0{,}05t}\). 3. Bedingung für die maximale Zunahme (Wendepunkt der Rate): \(v''(t) = 0\). 4. Nullstelle berechnen: \(0{,}025 - 0{,}0025t = 0 \implies 0{,}0025t = 0{,}025 \implies t = 10\). 5. Überprüfung der dritten Ableitung: \(v'''(t) = (-0{,}00125 - 0{,}000125t) \cdot e^{0{,}05t}\). Da \(v'''(10) = -0{,}0025 \cdot e^{0{,}5} < 0\), liegt ein Maximum der Steigung (Zunahme) bei \(t = 10\) vor.

Die Verkaufsrate nimmt nach genau 10 Tagen am stärksten zu.

- Wann ist das \(1{,}5\)-fache eines Wertes noch kleiner als die obere Schranke der Funktion? - Nutze die Potenzgesetze, um \(e^{-0{,}1(t+T)}\) aufzuteilen. - Isoliere den Term mit \(T\) in der Gleichung \(f(t+T) = 1{,}5 \cdot f(t)\). - Untersuche die Monotonie der Dauer \(T(t)\), um den kleinsten Wert zu finden.

1. Eine Zunahme um \(50\,\%\) erfordert \(1{,}5 \cdot f(t) < \lim_{t \to \infty} f(t) = 40\), also \(f(t) < \frac{80}{3} \approx 26{,}67\). 2. \(40 - 30 \cdot e^{-0{,}1 \cdot t} < \frac{80}{3} \Rightarrow \frac{40}{3} < 30 \cdot e^{-0{,}1 \cdot t} \Rightarrow e^{-0{,}1 \cdot t} > \frac{4}{9}\). 3. \(t < -10 \cdot \ln(\frac{4}{9}) = 10 \cdot \ln(2{,}25) \approx 8{,}11\). Der Zeitraum ist \(t \in [0; 8{,}11)\). 4. Ansatz für \(T(t)\): \(f(t+T) = 1{,}5 \cdot f(t)\). 5. \(40 - 30 \cdot e^{-0{,}1 \cdot t} \cdot e^{-0{,}1 \cdot T} = 1{,}5 \cdot (40 - 30 \cdot e^{-0{,}1 \cdot t}) = 60 - 45 \cdot e^{-0{,}1 \cdot t}\). 6. Umstellen nach \(e^{-0{,}1 \cdot T}\): \(30 \cdot e^{-0{,}1 \cdot t} \cdot e^{-0{,}1 \cdot T} = 45 \cdot e^{-0{,}1 \cdot t} - 20 \Rightarrow e^{-0{,}1 \cdot T} = 1{,}5 - \frac{2}{3} \cdot e^{0{,}1 \cdot t}\). 7. \(T(t) = -10 \cdot \ln(1{,}5 - \frac{2}{3} \cdot e^{0{,}1 \cdot t})\). 8. Da \(T(t)\) eine streng monoton steigende Funktion ist, liegt das Minimum bei \(t=0\). 9. \(T(0) = -10 \cdot \ln(1{,}5 - \frac{2}{3}) = -10 \cdot \ln(\frac{5}{6}) = 10 \cdot \ln(1{,}2) \approx 1{,}82\).

a) Eine \(50\)-prozentige Zunahme ist möglich für \(t \in [0; 10 \cdot \ln(2{,}25))\), also ca. \(0 \le t < 8{,}11\). b) \(T(t) = -10 \cdot \ln(1{,}5 - \frac{2}{3} \cdot e^{0{,}1 \cdot t})\) c) Die minimale Dauer beträgt \(T_{\text{min}} = 10 \cdot \ln(1{,}2) \approx 1{,}82\,\text{Wochen}\).

- Welche mathematische Bedingung hilft dir, Hochpunkte einer Funktion zu finden? - Nutze das Ausklammern, um die Nullstellen der Ableitungsfunktion einfacher zu finden. - Achte beim Ableiten darauf, dass der Faktor \(0{,}2\) vor der Klammer stehen bleiben kann oder direkt mit einbezogen wird. - Was passiert physikalisch mit einem warmen Gegenstand, wenn man lange genug wartet?

1. Anfangstemperatur berechnen: \(f(0) = 15 + 0{,}2 \cdot 0^2 \cdot e^0 = 15\,^\circ\text{C}\). 2. Ableitung von \(f(t)\) bilden: \(f'(t) = 0{,}4t \cdot e^{-0{,}1t} + 0{,}2t^2 \cdot (-0{,}1) \cdot e^{-0{,}1t} = (0{,}4t - 0{,}02t^2) \cdot e^{-0{,}1t}\). 3. Extremstellen bestimmen: \(0{,}4t - 0{,}02t^2 = 0 \implies t \cdot (0{,}4 - 0{,}02t) = 0\). Dies liefert \(t = 0\) (Minimum) und \(t = 20\). 4. Maximaltemperatur bei \(t = 20\,\text{s}\) berechnen: \(f(20) = 15 + 0{,}2 \cdot 400 \cdot e^{-2} = 15 + 80 \cdot e^{-2} \approx 25{,}83\,^\circ\text{C}\). 5. Temperatur nach \(100\,\text{s}\) berechnen: \(f(100) = 15 + 0{,}2 \cdot 10\,000 \cdot e^{-10} = 15 + 2\,000 \cdot e^{-10} \approx 15{,}09\,^\circ\text{C}\). 6. Grenzwert untersuchen: Da \(\lim_{t \to \infty} t^2 \cdot e^{-0{,}1t} = 0\), gilt \(\lim_{t \to \infty} f(t) = 15\). Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass das Bauteil nach dem Test langfristig wieder auf die Umgebungstemperatur von \(15\,^\circ\text{C}\) abkühlt.

a) \(15\,^\circ\text{C}\) b) Nach \(20\,\text{Sekunden}\); ca. \(25{,}83\,^\circ\text{C}\) c) ca. \(15{,}09\,^\circ\text{C}\) d) Der Grenzwert ist \(15\); das bedeutet, dass das Bauteil langfristig wieder die Umgebungstemperatur von \(15\,^\circ\text{C}\) annimmt.

- Stelle zuerst die Bilanzgleichung für die tägliche Änderung auf. - Erinnere dich an die allgemeine Lösungsstruktur für begrenztes Wachstum. - Was passiert mathematisch mit der Bestandsfunktion, wenn die Zeit gegen Unendlich geht? - Wie hängen der konstante Zufluss, die Abbaurate und die Sättigungsgrenze im Gleichgewichtszustand zusammen?

1. Differentialgleichung: Die Änderung pro Tag ergibt sich aus Zufluss minus Abbau: \(P'(t) = 20 - 0{,}08 \cdot P(t)\). 2. Bestimmung der Funktion \(P(t)\): Es liegt begrenztes Wachstum mit der Sättigungsgrenze \(S = \frac{20}{0{,}08} = 250\) vor. Die Lösung der Form \(P(t) = S + (P(0) - S) \cdot e^{-k \cdot t}\) ergibt mit \(P(0) = 50\) die Gleichung \(P(t) = 250 - 200 \cdot e^{-0{,}08 \cdot t}\). 3. Berechnung für \(t = 10\): \(P(10) = 250 - 200 \cdot e^{-0{,}8} \approx 250 - 89{,}87 = 160{,}13\). Nach \(10\) Tagen befinden sich ca. \(160{,}13\,\text{kg}\) Schadstoff im See. 4. Langfristige Überprüfung: Der Grenzwert ist \(S = 250\,\text{kg}\). Da \(250 < 300\), ist die Bedingung erfüllt. 5. Bestimmung der maximalen Zufuhr \(Z\): Gefordert ist \(\frac{Z}{0{,}08} \le 200\). Daraus folgt \(Z \le 200 \cdot 0{,}08 = 16\). Die Zufuhr dürfte höchstens \(16\,\text{kg}\) pro Tag betragen.

a) \(P'(t) = 20 - 0{,}08 \cdot P(t)\) b) \(P(10) \approx 160{,}13\,\text{kg}\) c) Ja, da der Grenzwert \(250\,\text{kg}\) beträgt. d) Höchstens \(16\,\text{kg}\) pro Tag.

- Achte beim Einsetzen der Anfangstemperatur auf das Vorzeichen der negativen Gradzahl. - Wie sieht die allgemeine Funktionsgleichung für einen Sättigungsprozess aus? - Um eine Zeitdauer zu bestimmen, musst du die fertige Funktionsgleichung gleich dem Zielwert setzen und nach der Variablen im Exponenten auflösen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Bestimmung von \(k\): Mit \(T(0) = -18\) und \(T'(0) = 11{,}9\) folgt aus der DGL: \(11{,}9 = k \cdot (220 - (-18)) = 238 \cdot k\). Daraus ergibt sich \(k = 0{,}05\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Ansatz \(T(t) = S - (S - T(0)) \cdot e^{-k \cdot t}\) führt mit \(S = 220\) zu \(T(t) = 220 - 238 \cdot e^{-0{,}05 \cdot t}\). 3. Berechnung des Zeitpunkts für \(75\,^\circ\text{C}\): Ansatz \(75 = 220 - 238 \cdot e^{-0{,}05 \cdot t}\). 4. Umformung: \(238 \cdot e^{-0{,}05 \cdot t} = 145 \implies e^{-0{,}05 \cdot t} = \frac{145}{238}\). 5. Logarithmieren und Auflösen: \(t = \frac{\ln(145/238)}{-0{,}05} \approx 9{,}91\). Die Pizza erreicht die Temperatur nach etwa \(9{,}91\,\text{min}\).

a) \(k = 0{,}05\); \(T(t) = 220 - 238 \cdot e^{-0{,}05 \cdot t}\) b) Nach ca. \(9{,}91\,\text{min}\)

- Nutze den gegebenen Wert nach 4 Stunden, um die Wachstums- bzw. Zerfallskonstante in der e-Funktion zu isolieren. - Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der der Ausdruck \(e^{k \cdot t}\) den Wert \(0{,}5\) annimmt. Das ist unabhängig vom Startwert. - Überlege dir für den letzten Aufgabenteil, welcher Anteil (\(0{,}05\)) am Ende noch übrig sein soll. - Gehe beim Auflösen nach der Zeit schrittweise vor: Erst den Vorfaktor eliminieren, dann den natürlichen Logarithmus anwenden.

1. Bestimmung von \(k\): Gegeben sind \(A_0 = 400\) und \(A(4) = 240\). Einsetzen ergibt \(240 = 400 \cdot e^{k \cdot 4} \Rightarrow 0{,}6 = e^{4k}\). Durch Logarithmieren erhält man \(4k = \ln(0{,}6)\), also \(k = \frac{\ln(0{,}6)}{4} \approx -0{,}1277\). 2. Berechnung der Halbwertszeit \(T_H\): Es muss gelten \(e^{k \cdot T_H} = 0{,}5\). Auflösen nach \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{k} \approx \frac{-0{,}6931}{-0{,}1277} \approx 5{,}43\) Stunden. 3. Zeitpunkt für \(5\,\%\) Restaktivität: \(5\,\%\) von \(400\) sind \(20\,\text{MBq}\). Setze \(20 = 400 \cdot e^{k \cdot t} \Rightarrow 0{,}05 = e^{k \cdot t}\). Auflösen ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}05)}{k} \approx \frac{-2{,}9957}{-0{,}1277} \approx 23{,}46\) Stunden.

a) \(k \approx -0{,}1277\) b) Die Halbwertszeit beträgt ca. \(5{,}43\) Stunden. c) Nach ca. \(23{,}46\) Stunden ist die Aktivität auf unter \(5\,\%\) gesunken.

- Wie berücksichtigst du die Halbwertszeit von 3 Stunden im Exponenten der Funktion? - Wie viel Milligramm entsprechen \(10\,\%\) der Startmenge? - Kannst du die Gleichung durch Logarithmieren nach der Zeit auflösen? - Welchen Wert musst du für \(t\) einsetzen, um einen Zeitpunkt vor der ersten Messung zu berechnen?

1. Aufstellen der Zerfallsgleichung mit dem Anfangswert \(M_0 = 120\) und der Halbwertszeit \(T = 3\): \(M(t) = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{3}}\). 2. Einsetzen von \(t = 10\): \(M(10) = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{10}{3}} \approx 11{,}91\,\text{mg}\). 3. Bestimmung des Zeitpunkts für \(10\,\%\) der Anfangsmenge (\(12\,\text{mg}\)): \(12 = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{3}} \Rightarrow 0{,}1 = 0{,}5^{\frac{t}{3}}\). Logarithmieren ergibt \(\ln(0{,}1) = \frac{t}{3} \cdot \ln(0{,}5)\). Umformen nach \(t\): \(t = 3 \cdot \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)} \approx 9{,}97\) Stunden. 4. Berechnung für \(t = -2\): \(M(-2) = 120 \cdot 0{,}5^{-\frac{2}{3}} = 120 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \approx 190{,}49\,\text{mg}\).

1. \(M(t) = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{3}}\) 2. ca. \(11{,}91\,\text{mg}\) 3. nach ca. \(9{,}97\) Stunden 4. ca. \(190{,}49\,\text{mg}\)

- Setze die Information über die Änderung von \(x\) und \(y\) in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Basis zu isolieren. - Was bedeutet eine „Abnahme“ für das Vorzeichen der Änderung von \(x\)? - Nutze die Potenzgesetze, insbesondere \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\). - Um etwas allgemein zu zeigen, verwende Variablen für die Änderungen anstatt konkreter Zahlenwerte.

1. Aus der Bedingung folgt \(a^3 = 4\), woraus sich \(a = \sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}5874\) ergibt. 2. Der Faktor für \(\Delta x = 1{,}5\) ist \(a^{1{,}5} = (a^3)^{0{,}5} = 4^{0{,}5} = 2\). 3. Für eine Abnahme um 1 Einheit (\(\Delta x = -1\)) gilt der Faktor \(a^{-1} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0{,}6300\). 4. Sei \(q = a^{\Delta x}\) der Faktor für den Schritt \(\Delta x\). Für den Schritt \(2 \cdot \Delta x\) ist der Faktor \(a^{2 \cdot \Delta x} = (a^{\Delta x})^2 = q^2\). Damit ist der Zusammenhang bewiesen.

a) \(a = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}5874\) b) Faktor \(2\) c) Faktor \(\approx 0{,}6300\) d) Beweis über \(a^{2\Delta x} = (a^{\Delta x})^2\)

- Was bedeutet Halbwertszeit für das Verhältnis von \(N(t)\) zu \(N_0\)? - Stelle eine Gleichung auf, in der die unbekannte Zeit \(t\) im Exponenten steht. - Prozentangaben lassen sich als Dezimalzahlen in die Gleichung einsetzen (z. B. \(65\,\% = 0{,}65\)). - Wie lautet die Ableitungsregel für eine Funktion der Form \(f(x) = c \cdot e^{ax}\)? - Kannst du in deinem Term für die Ableitung den ursprünglichen Funktionsterm \(N(t)\) wiederentdecken?

1. Die Halbwertszeit \(T_{1/2}\) erfüllt die Bedingung \(e^{-k \cdot 5730} = 0{,}5\). Daraus folgt \(k = \frac{\ln(2)}{5730} \approx 0{,}00012097\,\text{a}^{-1}\). 2. Es gilt \(N(t) = 0{,}65 \cdot N_0\), also \(e^{-k \cdot t} = 0{,}65\). Logarithmieren ergibt \(-k \cdot t = \ln(0{,}65)\), woraus \(t = \frac{\ln(0{,}65)}{-0{,}00012097} \approx 3561\,\text{Jahre}\) folgt. 3. Die Ableitung der Funktion \(N(t) = N_0 \cdot e^{-kt}\) lautet nach der Kettenregel \(N'(t) = N_0 \cdot e^{-kt} \cdot (-k)\). Da \(N(t) = N_0 \cdot e^{-kt}\) ist, lässt sich dies schreiben als \(N'(t) = -k \cdot N(t)\). Die Zerfallsgeschwindigkeit ist also proportional zur Menge \(N(t)\) mit dem Proportionalitätsfaktor \(-k\) (bzw. \(k\) für den Betrag der Geschwindigkeit).

1. \(k \approx 0{,}00012097\,\text{a}^{-1}\) 2. Das Fundstück ist ca. \(3561\,\text{Jahre}\) alt. 3. \(N'(t) = -k \cdot N(t)\); der Proportionalitätsfaktor ist \(-k \approx -0{,}00012097\).

- Achte darauf, dass die Zeiteinheiten im Exponenten und in der Fragestellung zusammenpassen. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Menge auf \(1\,\%\) ihres Wertes sinkt? Welchen Faktor nutzt du dafür? - Um die Rate für eine kleinere Zeiteinheit zu finden, musst du den Wachstumsfaktor entsprechend anpassen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Wachstumsfaktor und prozentualer Veränderung.

1. Aufstellen des Modells: Mit dem Abnahmefaktor \(0{,}85\) pro \(20\,\text{Minuten}\) lautet die Funktion \(N(t) = 500\,000 \cdot 0{,}85^{\frac{t}{20}}\) (mit \(t\) in Minuten). 2. Berechnung für \(t = 120\,\text{min}\): \(N(120) = 500\,000 \cdot 0{,}85^{\frac{120}{20}} = 500\,000 \cdot 0{,}85^6 \approx 188\,575\) Bakterien. 3. Bestimmung des Zeitpunkts für \(1\,\%\): Es gilt \(0{,}01 \cdot 500\,000 = 500\,000 \cdot 0{,}85^{\frac{t}{20}}\), also \(0{,}01 = 0{,}85^{\frac{t}{20}}\). Logarithmieren ergibt \(\ln(0{,}01) = \frac{t}{20} \cdot \ln(0{,}85)\). Auflösen nach \(t\): \(t = 20 \cdot \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}85)} \approx 566{,}79\,\text{min}\) (entspricht etwa \(9{,}45\,\text{Stunden}\)). 4. Zerfall pro Minute: Der Wachstumsfaktor pro Minute ist \(b = 0{,}85^{\frac{1}{20}} \approx 0{,}9919\). Die prozentuale Abnahme pro Minute berechnet sich durch \(1 - b \approx 0{,}0081\), was \(0{,}81\,\%\) entspricht.

a) Nach \(2\,\text{Stunden}\) sind noch ca. \(188\,575\) Bakterien vorhanden. b) Nach ca. \(566{,}79\,\text{Minuten}\) (bzw. ca. \(9\,\text{h}\) \(27\,\text{min}\)) ist die Population auf \(1\,\%\) gesunken. c) Die Bakterienanzahl nimmt pro Minute um ca. \(0{,}81\,\%\) ab.

- Kannst du für beide Kulturen eine Funktionsgleichung aufstellen, die die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt? - Nutze eine Variable für die unbekannte Anfangsmenge der ersten Kultur. - Welche Rechenregeln für Potenzen könnten dir helfen, die Gleichung zu vereinfachen, wenn die Basen gleich sind? - Erinnere dich daran, wie man Gleichungen löst, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht – entweder durch Logarithmieren oder durch Exponentenvergleich.

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen mit Startwert \(N_0\) für Kultur A: \(N_A(t) = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{5}}\) und \(N_B(t) = 4N_0 \cdot 2^{\frac{t}{8}}\). 2. Gleichsetzen der Funktionen: \(N_0 \cdot 2^{\frac{t}{5}} = 4N_0 \cdot 2^{\frac{t}{8}}\). Division durch \(N_0\) führt zu \(2^{\frac{t}{5}} = 4 \cdot 2^{\frac{t}{8}}\). 3. Da \(4 = 2^2\), lässt sich die Gleichung zu \(2^{\frac{t}{5}} = 2^{2 + \frac{t}{8}}\) umformen. 4. Exponentenvergleich: \(\frac{t}{5} = 2 + \frac{t}{8}\). 5. Auflösen nach \(t\): \(\frac{t}{5} - \frac{t}{8} = 2 \Rightarrow \frac{8t - 5t}{40} = 2 \Rightarrow \frac{3t}{40} = 2 \Rightarrow 3t = 80 \Rightarrow t = \frac{80}{3} \approx 26{,}67\).

Nach \(26\frac{2}{3}\,\text{Stunden}\) (ca. \(26{,}67\,\text{Stunden}\)) sind beide Kulturen gleich groß.