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- Vergleiche das langfristige Wachstum von \(x^2\) und \(e^x\). - Welche der beiden Funktionen dominiert für große positive \(x\)?

1. Für \(x\to\infty\) wächst die Exponentialfunktion \(e^x\) schneller als das Polynom \(x^2\). 2. Deshalb gilt \(\frac{x^2}{e^x}\to0\).

\(0\)

- Vergleiche die beiden Einträge zeilenweise. - Achte nicht nur darauf, welche Zahl größer ist, sondern auch darauf, wie sich der Unterschied verändert.

1. Für \(x=2\) und \(x=4\) ist \(x^3\) noch größer als \(e^x\). 2. Für \(x=6\) gilt erstmals unter den aufgeführten Werten \(e^x>x^3\). 3. Bei \(x=8\) ist der Unterschied deutlich größer als bei \(x=6\). Die Tabelle legt daher nahe, dass die Exponentialfunktion für größere \(x\) wesentlich schneller wächst als die Potenzfunktion.

Unter den aufgeführten Werten gilt erstmals bei \(x=6\): \(e^x>x^3\). Der Abstand wächst danach stark; die Tabelle legt ein schnelleres Wachstum von \(e^x\) nahe.

- Welchen Zahlenwert hat die Zeitvariable genau in dem Moment, in dem die Beobachtung startet? - Was passiert mathematisch mit einem Ausdruck der Form \(e^{-kt}\), wenn \(t\) immer größer wird? - Kannst du den Funktionsterm in einen festen Teil und einen veränderlichen Teil zerlegen?

1. Berechnung des Anfangswerts durch Einsetzen von \(t = 0\): \(N(0) = 850 - 600 \cdot e^{-0{,}15 \cdot 0} = 850 - 600 \cdot 1 = 250\). 2. Untersuchung des Grenzwerts für \(t \to \infty\): Da der Term \(e^{-0{,}15t}\) für gegen unendlich strebende \(t\) gegen \(0\) konvergiert (\(\lim_{t \to \infty} e^{-0{,}15t} = 0\)), nähert sich der Funktionswert dem konstanten Wert \(850 - 600 \cdot 0 = 850\).

Der Anfangsbestand beträgt \(250\) Fische. Langfristig stellt sich ein Bestand von \(850\) Fischen ein.

- Welcher Zeitwert beschreibt den Beginn des Vorgangs? - Was passiert mit dem Exponentialterm für sehr große positive Zeiten? - Welche sachliche Bedeutung hat die waagerechte Asymptote des Modells?

1. Es gilt \(T(0)=210-192e^0=18\). Die Starttemperatur beträgt \(18\,\text{°C}\). 2. Für \(t\to\infty\) gilt \(e^{-0{,}04t}\to0\). Daher ist \(\lim_{t\to\infty}T(t)=210\,\text{°C}\). Das Bauteil nähert sich diesem Wert im Modell an, erreicht ihn aber zu keinem endlichen Zeitpunkt exakt.

Anfangstemperatur: \(18\,\text{°C}\); Grenztemperatur: \(210\,\text{°C}\)

- Untersuche zuerst das Grenzverhalten von \(e^x\) an beiden Enden der Zahlengeraden. - Welche Wirkung hat der negative Vorfaktor auf die Monotonie? - Welcher Grenzwert wird nur angenähert und deshalb nicht Teil der Wertemenge?

1. Für \(x\to\infty\) gilt \(e^x\to\infty\), also \(f(x)\to-\infty\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(e^x\to0\), also \(f(x)\to4\). Die Gerade \(y=4\) ist eine waagerechte Asymptote. 2. Weil \(e^x\) streng monoton steigt und mit dem negativen Faktor \(-2\) multipliziert wird, ist \(f\) streng monoton fallend. Der Wert \(4\) wird nicht erreicht; daher ist die Wertemenge \(]-\infty;4[\). 3. \(f(0)=4-2e^0=2\). Somit ist der Schnittpunkt \(S_y(0|2)\).

1. \(\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty\); \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=4\) 2. Streng monoton fallend; Wertemenge \(]-\infty;4[\) 3. \(S_y(0|2)\)

- Beachte beim Grenzverhalten besonders das Vorzeichen im Exponenten. - Welche Wirkung hat ein negativer Faktor im Argument einer wachsenden Exponentialfunktion? - Welcher Wert wird durch die vertikale Verschiebung zur unteren Grenze der Wertemenge?

1. Für \(x\to\infty\) gilt \(-2x\to-\infty\) und damit \(e^{-2x}\to0\). Also gilt \(g(x)\to-3\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(-2x\to\infty\), also \(g(x)\to\infty\). 2. Die Funktion \(x\mapsto e^{-2x}\) ist streng monoton fallend. Der positive Faktor \(\frac{1}{2}\) und die Verschiebung um \(3\) nach unten ändern diese Monotonie nicht. Die Wertemenge ist \(]-3;\infty[\). 3. \(g(0)=\frac{1}{2}-3=-2{,}5\). Daher ist der Schnittpunkt \(S_y(0|-2{,}5)\).

1. \(\lim_{x\to\infty}g(x)=-3\); \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=\infty\) 2. Streng monoton fallend; Wertemenge \(]-3;\infty[\) 3. \(S_y(0|-2{,}5)\)

- Welche der beiden Streifengrenzen ist relevant, wenn \(f(x)\) stets oberhalb seiner Asymptote liegt? - Vergleiche \(f(n)\) mit der aus der Abbildung gelesenen Grenze. - Du musst keine Logarithmen verwenden: Vergleiche aufeinanderfolgende ganzzahlige Potenzen von \(0{,}5\).

1. Aus der Abbildung liest man für die obere Streifengrenze \(y=1{,}2\) ab. Da \(f(x)>1\) für alle \(x\) gilt, ist für den Eintritt in den Streifen nur diese obere Grenze entscheidend. 2. Gesucht ist die kleinste ganze Zahl \(n\) mit \(1+2\cdot0{,}5^n\le1{,}2\). Das ist äquivalent zu \(0{,}5^n\le0{,}1\). 3. Es gilt \(0{,}5^3=0{,}125>0{,}1\), aber \(0{,}5^4=0{,}0625<0{,}1\). Daher ist \(n=4\) die kleinste ganze Zahl. 4. Weil \(0{,}5^x\) für wachsende \(x\) streng fällt, werden alle späteren Funktionswerte noch näher an \(1\) liegen und damit ebenfalls im Streifen bleiben.

a) Obere Streifengrenze: \(y=1{,}2\) b) Kleinste ganze Zahl: \(n=4\). Für alle größeren ganzzahligen \(x\) bleibt der Graph wegen des streng fallenden Terms \(0{,}5^x\) ebenfalls im Streifen.

- Suche im Diagramm die Stelle, an der die beiden Graphen für größere positive \(x\) die Reihenfolge wechseln. - Nutze die Achseneinteilung, um die Schnittstelle zunächst einzugrenzen und anschließend genauer abzulesen. - Vergleiche nach dem Schnittpunkt, wie sich der vertikale Abstand der Graphen verändert.

1. Der dargestellte Schnittpunkt liegt zwischen \(x=4\) und \(x=5\). 2. Numerisch ergibt sich für \(e^x=x^3\) die größere positive Lösung \(x\approx4{,}536\). Auf eine Dezimalstelle gerundet ist die \(x\)-Koordinate \(4{,}5\). 3. Rechts von diesem Schnittpunkt liegt der Graph von \(q(x)=e^x\) oberhalb des Graphen von \(p(x)=x^3\) und entfernt sich zunehmend von ihm. Damit wächst die Exponentialfunktion dort schneller.

a) Zwischen \(4\) und \(5\) b) \(x\approx4{,}5\) c) Rechts davon wächst \(q(x)=e^x\) schneller.

- Kannst du den Zähler so aufteilen, dass der bekannte Grenzwert direkt vorkommt? - Welche Grenzwerte besitzen die einzelnen entstehenden Summanden?

1. Schreibe den Quotienten als \(\frac{5x^4+3}{e^x}=5\frac{x^4}{e^x}+3\frac{1}{e^x}\). 2. Nach der gegebenen Aussage gilt \(\frac{x^4}{e^x}\to0\). Außerdem gilt \(\frac{1}{e^x}\to0\). 3. Daher ist der gesuchte Grenzwert \(5\cdot0+3\cdot0=0\).

\(0\)

- Schau dir die beiden Faktoren der Funktion einzeln an und bestimme deren jeweiliges Grenzverhalten. - Welche Art von Funktion „gewinnt“ den Vergleich, wenn eine gegen Unendlich und die andere gegen Null strebt? - Achte beim Produkt auf die Vorzeichenregeln für sehr große positive oder negative Werte.

1. Untersuchung für \(x \to \infty\): Der Ausdruck setzt sich aus dem Produkt einer ganzrationalen Funktion und einer Exponentialfunktion mit negativem Exponenten zusammen. Da die Exponentialfunktion \(e^{-x}\) für \(x \to \infty\) schneller gegen \(0\) strebt als jede Potenz von \(x\) wächst, dominiert sie das Grenzverhalten. Es gilt \(\lim_{x \to \infty} (x^3 \cdot e^{-x}) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} (1 \cdot e^{-x}) = 0\), woraus \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) folgt. 2. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Der Faktor \((x^3 + 1)\) strebt gegen \(-\infty\). Der Faktor \(e^{-x}\) strebt für \(x \to -\infty\) gegen \(\infty\). Das Produkt einer betragsmäßig unendlich großen negativen Zahl und einer unendlich großen positiven Zahl führt zu \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\)

- Überlege, welcher Teil des Terms für sehr große \(x\)-Werte das Gesamtergebnis stärker beeinflusst. - Hilft es dir, den am schnellsten wachsenden Term auszuklammern, um den Grenzwert klarer zu sehen? - Was passiert mit einer Exponentialfunktion \(e^{kx}\) mit \(k > 0\), wenn \(x\) sehr große negative Werte annimmt?

1. Untersuchung für \(x \to \infty\): Hier liegt eine Differenz aus einer Potenzfunktion und einer Exponentialfunktion vor. Da Exponentialfunktionen mit positivem Koeffizienten im Exponenten schneller wachsen als jede Potenzfunktion, dominiert der Term \(-e^{0{,}1x}\). Formal lässt sich dies durch Ausklammern zeigen: \(g(x) = e^{0{,}1x} \cdot (2 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}1x} - 1)\). Da \(2 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}1x}\) für \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt, nähert sich der Klammerausdruck dem Wert \(-1\) an. Damit gilt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty \cdot (-1) = -\infty\). 2. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Der Term \(2 \cdot x^2\) strebt gegen \(\infty\). Der Term \(e^{0{,}1x}\) strebt für \(x \to -\infty\) gegen \(0\). Die Differenz aus einer unendlich großen positiven Zahl und einer Zahl, die gegen Null geht, strebt gegen Unendlich. Somit gilt \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\).

\(\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\)

- Welche Teile des Funktionsterms „gewinnen“ den Wettlauf gegen Unendlich, wenn \(x\) sehr groß wird? - Erinnere dich an die Regel, dass die \(e\)-Funktion jede Potenzfunktion im Unendlichen dominiert. - Überlege dir separat, was mit \(e^x\) passiert, wenn \(x\) gegen \(-\infty\) läuft. - Versuche, den jeweils stärksten Term auszuklammern, um den Grenzwert deutlicher zu sehen.

1. Untersuchung für \(x \to +\infty\): Da die Exponentialfunktion \(e^x\) schneller wächst als jede Potenzfunktion \(x^n\), dominieren die Terme mit \(e^x\) in Zähler und Nenner. Man klammert \(e^x\) aus: \(f(x) = \frac{e^x \cdot (\frac{100 \cdot x^2}{e^x} + 1)}{e^x \cdot (1 - \frac{x^4}{e^x})} = \frac{\frac{100 \cdot x^2}{e^x} + 1}{1 - \frac{x^4}{e^x}}\). Da \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0\) gilt, folgt \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{0 + 1}{1 - 0} = 1\). 2. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Für \(x \to -\infty\) strebt \(e^x\) gegen \(0\). In diesem Fall dominieren die Potenzfunktionen den Term. Es gilt \(f(x) = \frac{x^2 \cdot (100 + \frac{e^x}{x^2})}{x^4 \cdot (\frac{e^x}{x^4} - 1)} = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{100 + \frac{e^x}{x^2}}{\frac{e^x}{x^4} - 1}\). Da \(\frac{1}{x^2} \to 0\) und die Brüche mit \(e^x\) im Zähler gegen \(0\) streben, ergibt sich \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \cdot \frac{100 + 0}{0 - 1} = 0\).

\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)

- Ein Produkt aus einem sehr großen und einem sehr kleinen Faktor ist zunächst eine unbestimmte Situation; vergleiche ihre Wachstumsraten. - Versuche eine Darstellung, in der ein Polynom und eine Exponentialfunktion unmittelbar miteinander verglichen werden können. - Nutze ein bekanntes Grenzverhalten von Polynomen im Vergleich zur Exponentialfunktion.

1. Die Behauptung ist falsch. Das Produkt einer gegen unendlich wachsenden und einer gegen null gehenden Größe hat nicht automatisch den Grenzwert \(1\); entscheidend sind die jeweiligen Wachstumsraten. 2. Mit \(u=-x\) gilt für \(x\to-\infty\) auch \(u\to+\infty\), und der Ausdruck wird zu \(\frac{u^2+5u}{e^u}\). 3. Die Exponentialfunktion im Nenner wächst für \(u\to+\infty\) schneller als das Polynom im Zähler. Daher gilt \(\lim_{u\to+\infty}\frac{u^2+5u}{e^u}=0\). 4. Somit ist \(\lim_{x\to-\infty}(x^2-5x)e^x=0\).

Die Behauptung ist falsch. Der korrekte Grenzwert ist \(\lim_{x\to-\infty}(x^2-5x)e^x=0\).

- Betrachte Zähler und Nenner zunächst getrennt voneinander. - Erinnerst du dich an die Regel, welcher Funktionstyp bei Grenzwertbetrachtungen gegen unendlich am schnellsten wächst? - Achte bei der Bestimmung des Grenzwerts gegen \(+\infty\) besonders auf die Vorzeichen von Zähler und Nenner. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Zähler gegen \(0\) geht und der Nenner betragsmäßig immer größer wird?

1. Untersuchung für \(x \to +\infty\): Der Zähler \(e^x\) strebt gegen \(\infty\), während der Nenner \(4 - x^2\) gegen \(-\infty\) strebt. Da die Exponentialfunktion im Zähler stärker wächst als die quadratische Funktion im Nenner, dominiert der Zähler das Betragsverhalten. Aufgrund der unterschiedlichen Vorzeichen (Zähler positiv, Nenner negativ) ergibt sich \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty\). 2. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Der Zähler \(e^x\) nähert sich \(0\) an. Der Nenner \(4 - x^2\) strebt gegen \(-\infty\). Da der Zähler gegen Null geht und der Nenner betragsmäßig immer weiter anwächst, nähert sich der gesamte Quotient der Null an. Somit gilt \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\).

\(\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\)

- Überlege dir, welche Teilfunktion (Potenzfunktion oder Exponentialfunktion) für sehr große oder sehr kleine Werte von \(x\) schneller anwächst bzw. schneller gegen Null geht. - Erinnere dich an die Regel, dass die \(e\)-Funktion bei \(x \to \infty\) stärker steigt als jede Potenz von \(x\). - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn \(x\) gegen minus unendlich geht? - Untersuche bei Brüchen, deren Nenner gegen Null geht, genau das Vorzeichen der Werte kurz vor oder kurz nach der Annäherung.

1. Bei Teilaufgabe a) wird das Wachstumsverhalten verglichen. Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für \(x \to \infty\) wesentlich schneller wächst als jede Potenzfunktion (hier \(x^2 + 4\)), strebt der Quotient gegen \(0\). 2. In Teilaufgabe b) betrachtet man das Produkt für \(x \to -\infty\). Während der lineare Term \(x - 2\) gegen \(-\infty\) strebt, nähert sich \(e^x\) der Null an. Da die Exponentialfunktion das Grenzverhalten dominiert, gilt \(\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0\), womit der Grenzwert des Produkts \(0\) ist. 3. Für Teilaufgabe c) wird der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(0\) untersucht. Der Zähler ist konstant \(3\). Für \(x > 0\) ist \(e^x > 1\), woraus folgt, dass der Nenner \(1 - e^x\) negativ ist und für \(x \to 0\) gegen \(0\) strebt. Der Quotient \(\frac{3}{0^-}\) strebt somit gegen \(-\infty\).

a) \(0\) b) \(0\) c) \(-\infty\)

- Kannst du den Ausdruck so umformen, dass du bekannte Grenzwerte wie \(\frac{x}{e^x}\) für \(x \to \infty\) verwenden kannst? - Manchmal hilft es, eine Substitution wie \(u = -x\) durchzuführen, um das Verhalten für \(x \to -\infty\) besser zu verstehen. - Achte bei Grenzwerten an Definitionslücken besonders darauf, ob sich der Nenner von der positiven oder der negativen Seite der Null nähert. - Überlege dir, ob du durch Ausklammern oder durch Division von Zähler und Nenner den Term vereinfachen kannst, bevor du den Grenzwert betrachtest.

1. In Teilaufgabe a) können Zähler und Nenner durch \(e^x\) dividiert oder der Bruch in zwei Brüche aufgeteilt werden: \(\frac{4 \cdot e^x}{2 \cdot e^x} + \frac{x}{2 \cdot e^x} = 2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{e^x}\). Da \(\frac{x}{e^x}\) für \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt, ist der Grenzwert \(2 + 0 = 2\). 2. Bei Teilaufgabe b) betrachtet man \(x \to -\infty\). Setzt man \(u = -x\), so ergibt sich für \(u \to \infty\) der Ausdruck \(\frac{e^u}{(-u)^2} = \frac{e^u}{u^2}\). Da die Exponentialfunktion im Zähler schneller wächst als die Quadratfunktion im Nenner, strebt der Ausdruck gegen \(\infty\). 3. In Teilaufgabe c) wird der linksseitige Grenzwert bei \(0\) betrachtet. Der Zähler strebt gegen \(e^0 = 1\). Für \(x < 0\) gilt \(e^x < 1\), sodass der Nenner \(e^x - 1\) negativ ist und gegen \(0\) strebt. Die Division einer positiven Zahl durch Werte, die von unten gegen \(0\) gehen, führt zum Grenzwert \(-\infty\).

a) \(2\) b) \(\infty\) c) \(-\infty\)

- Welche Werte darf \(x\) im Nenner nicht annehmen? - Überlege dir, welcher Teil der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte dominiert. - Wie verhält sich die \(e\)-Funktion, wenn der Exponent sehr groß oder sehr klein wird? - Untersuche bei der Definitionslücke die Vorzeichen von Zähler und Nenner, wenn du dich dem Wert von beiden Seiten näherst.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner \(e^x - e^2\) wird null für \(x = 2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Die Ränder sind \(-\infty\), \(+\infty\) sowie die Annäherung an \(2\) von links und rechts. 2. Grenzwert für \(x \to \infty\): Da die Exponentialfunktion im Nenner wesentlich schneller wächst als die lineare Funktion im Zähler, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{e^x - e^2} = 0\). 3. Grenzwert für \(x \to -\infty\): Für \(x \to -\infty\) geht \(e^x\) gegen \(0\). Damit ergibt sich \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{0 - e^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{-e^2} = \infty\), da der Zähler gegen \(-\infty\) geht und durch eine negative Konstante geteilt wird. 4. Verhalten an der Polstelle \(x = 2\): Der Zähler strebt gegen \(4\). Für \(x \to 2^+\) ist \(e^x > e^2\), also ist der Nenner positiv und geht gegen \(0\). Somit gilt \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \infty\). Für \(x \to 2^-\) ist \(e^x < e^2\), der Nenner ist negativ und geht gegen \(0\), woraus \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\) folgt.

Die Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Die Grenzwerte lauten: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\) \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \infty\) \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\)

- Welche Stelle muss wegen des Nenners aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden? - Vergleiche für große Beträge von \(x\) das Wachstum des Exponentialterms mit dem rationalen Term. - An der ausgeschlossenen Stelle müssen die Annäherungen von links und von rechts getrennt untersucht werden. - Achte bei den einseitigen Grenzwerten besonders auf das Vorzeichen des Nenners.

1. Die Funktion ist für alle \(x\in\mathbb{R}\) definiert außer für \(x=1\). Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Zu untersuchen sind \(x\to\infty\), \(x\to-\infty\) sowie die einseitigen Grenzwerte an \(x=1\). 2. Für \(x\to\infty\) wächst \(e^x\) stärker als der rationale Term \(\frac{x^2}{x-1}\), der sich wie \(x\) verhält. Somit gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\). 3. Für \(x\to-\infty\) gilt \(e^x\to0\) und \(\frac{x^2}{x-1}\to-\infty\). Daher folgt \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty\). 4. Für \(x\to1^+\) gilt \(\frac{x^2}{x-1}\to\infty\), also \(f(x)\to-\infty\). Für \(x\to1^-\) gilt \(\frac{x^2}{x-1}\to-\infty\), also \(f(x)\to\infty\).

\(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty\) \(\lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty\) \(\lim_{x\to1^-}f(x)=\infty\)

- Überlege, welche Ableitungsregel bei einem Produkt zweier Teilfunktionen hilfreich ist. - Kannst du den Term der Ableitung durch Ausklammern vereinfachen? - Welche Teilfunktion „gewinnt“ beim Grenzübergang gegen Unendlich, wenn ein Polynom und eine Exponentialfunktion multipliziert werden? - Erinnere dich an den typischen Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion für sehr große und sehr kleine x-Werte.

1. Zur Berechnung der Ableitung wird die Produktregel \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\) angewendet. Mit \(u(x) = x^2 - 2x\) und \(v(x) = e^x\) ergibt sich \(u'(x) = 2x - 2\) und \(v'(x) = e^x\). 2. Einsetzen in die Formel: \(f'(x) = (2x - 2) \cdot e^x + (x^2 - 2x) \cdot e^x\). 3. Ausklammern von \(e^x\): \(f'(x) = (2x - 2 + x^2 - 2x) \cdot e^x = (x^2 - 2) \cdot e^x\). 4. Grenzverhalten für \(x \to \infty\): Da sowohl \(x^2 - 2x\) als auch \(e^x\) gegen \(\infty\) streben, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\). 5. Grenzverhalten für \(x \to -\infty\): Der Term \(e^x\) strebt gegen \(0\), während \(x^2 - 2x\) gegen \(\infty\) strebt. Da \(e^x\) für \(x \to -\infty\) schneller gegen \(0\) strebt, als \(x^2 - 2x\) wächst, dominiert der exponentielle Abfall, woraus \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) folgt.

a) \(f'(x) = (x^2 - 2) \cdot e^x\) b) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)

- Welche Regel ist für Brüche beim Ableiten vorgesehen? - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn \(x\) immer kleiner wird (negativer Bereich)? - Bei Brüchen mit \(e^x\) im Zähler und Nenner kann es helfen, Zähler und Nenner durch \(e^x\) zu dividieren, um den Grenzwert für \(x \to \infty\) zu sehen. - Gibt es einen Wert, dem sich der Funktionsgraph für extrem große oder kleine x-Werte annähert?

1. Zur Ableitung wird die Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\) genutzt. Mit \(u(x) = e^x\) und \(v(x) = e^x + 2\) gilt \(u'(x) = e^x\) und \(v'(x) = e^x\). 2. Einsetzen: \(g'(x) = \frac{e^x \cdot (e^x + 2) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 2)^2} = \frac{e^{2x} + 2e^x - e^{2x}}{(e^x + 2)^2} = \frac{2e^x}{(e^x + 2)^2}\). 3. Grenzwert \(x \to -\infty\): Da \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\), ergibt sich \(g(x) \to \frac{0}{0 + 2} = 0\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 0\). 4. Grenzwert \(x \to \infty\): Um den Grenzwert zu bestimmen, teilt man Zähler und Nenner durch \(e^x\): \(g(x) = \frac{1}{1 + \frac{2}{e^x}}\). Da \(\frac{2}{e^x} \to 0\) für \(x \to \infty\), folgt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{1}{1 + 0} = 1\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 1\).

a) \(g'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 2)^2}\) b) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 1\). Die waagerechten Asymptoten lauten \(y = 0\) und \(y = 1\).

- Bestimme für jeden der drei Funktionsterme die Nullstelle, indem du den linearen Faktor gleich Null setzt. Wo schneiden die Graphen die x-Achse? - Untersuche das Verhalten der Terme für sehr große x-Werte (\(x \to \infty\)). Denke daran, dass eine e-Funktion mit negativem Exponenten sehr schnell gegen Null geht. - Überprüfe das Vorzeichen der Funktionswerte für sehr große x-Werte. Nähert sich der Graph der x-Achse von oben oder von unten? - Berechne den y-Achsenabschnitt, indem du \(x = 0\) in die Terme einsetzt. Das hilft dir, Graphen mit gleicher Nullstelle voneinander zu unterscheiden.

1. Für Kärtchen 1 gilt \(f(x)=(x+2)e^{-x}\). Da \(e^{-x}>0\), liegt die Nullstelle bei \(x=-2\). Für \(x\to\infty\) gilt \((x+2)e^{-x}\to0\). Damit passt Graph A. 2. Für Kärtchen 2 gilt \(g(x)=(x-2)e^x\). Die Nullstelle liegt bei \(x=2\), und für \(x\to\infty\) gilt \(g(x)\to\infty\). Damit passt Graph B. 3. Für Kärtchen 3 gilt \(h(x)=(2-x)e^{-x}\). Die Nullstelle liegt bei \(x=2\). Für große positive \(x\) ist \(2-x<0\) und \(e^{-x}\to0\), sodass sich der Graph der \(x\)-Achse von unten nähert. Damit passt Graph C. 4. Graph D bleibt als nicht benötigter Distraktor übrig und gehört zu \((x+2)e^x\).

Kärtchen 1 gehört zu Graph A, Kärtchen 2 zu Graph B und Kärtchen 3 zu Graph C.

- Überlege dir, welcher Teil des Terms für sehr große positive oder sehr kleine negative \(x\)-Werte „gewinnt“. - Setze einfache Werte wie \(1\) oder \(-1\) ein, um das Vorzeichen des Funktionswerts zu prüfen. - Achte darauf, ob der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet. Was sagt die Potenz von \(x\) darüber aus? - Vergleiche, ob der Graph für große \(x\) gegen Null geht oder steil ansteigt.

1. Graph B gehört zu \(f(x) = x^2e^{-x}\). Begründung: Für \(x \to \infty\) dominiert die Exponentialfunktion \(e^{-x}\), sodass \(f(x) \to 0\) gilt. Für \(x \to -\infty\) strebt \(x^2 \to \infty\) und \(e^{-x} \to \infty\), also \(f(x) \to \infty\). Da \(x^2 \ge 0\) und \(e^{-x} > 0\) für alle \(x\) gilt, verläuft der Graph stets oberhalb oder auf der \(x\)-Achse (Berührpunkt im Ursprung). 2. Graph A gehört zu \(g(x) = x^3e^{-x}\). Begründung: Das Globalverhalten für \(x \to \infty\) ist wie bei \(f\) gegen 0. Für \(x \to -\infty\) gilt jedoch \(x^3 \to -\infty\) und \(e^{-x} \to \infty\), also \(g(x) \to -\infty\). Der Graph hat für negative \(x\) negative Funktionswerte, was nur auf Graph A zutrifft. 3. Graph C gehört zu \(h(x) = x^2e^{x}\). Begründung: Hier vertauscht sich das Verhalten an den Rändern. Für \(x \to \infty\) streben beide Faktoren gegen unendlich, also \(h(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt aufgrund der Dominanz der Exponentialfunktion \(h(x) \to 0\).

1. \(f(x) \to \text{Graph B}\), 2. \(g(x) \to \text{Graph A}\), 3. \(h(x) \to \text{Graph C}\)

- Unterscheide beim Kontakt mit der \(x\)-Achse zwischen einer einfachen und einer doppelten Nullstelle. - Vergleiche die Lage der Nullstelle mit den linearen Faktoren der angebotenen Terme. - Das Grenzverhalten für große positive und negative \(x\) kann zwischen \(e^x\) und \(e^{-x}\) unterscheiden. - Ein zusätzlicher Achsenabschnitt kann deine Zuordnung absichern.

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=2\). Damit ist eine doppelte Nullstelle erforderlich; Term (1) scheidet aus. 2. Die Nullstelle liegt bei \(x=2\), nicht bei \(x=-2\). Daher scheidet Term (3) aus. 3. Für große positive \(x\) steigt der Graph stark an. Term (4) würde wegen \(e^{-x}\) gegen \(0\) streben und scheidet daher aus. 4. Für Term (2) gilt zusätzlich \(f(0)=4\), passend zum \(y\)-Achsenabschnitt. Für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to0\), sodass sich der Graph links der waagerechten Asymptote \(y=0\) nähert. 5. Damit passt Term (2).

Passend ist (2) \(f(x)=(x-2)^2e^x\).

- Wann wird ein Bruchterm null? - Betrachte die Vorzeichen des Zählers und des Nenners, wenn du dich der Definitionslücke von links und von rechts näherst. - Welcher Teil des Terms dominiert das Wachstum, wenn \(x\) sehr groß wird? - Die Quotientenregel hilft dir beim Ableiten.

1. Nullstellen: Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist. Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), hat \(h\) keine Nullstellen. 2. Grenzverhalten: An der Polstelle \(x = -2\) ist der Zähler \(e^{-2} > 0\). Für \(x \to -2^+\) ist der Nenner positiv und klein, also \(h(x) \to \infty\). Für \(x \to -2^-\) ist der Nenner negativ und klein, also \(h(x) \to -\infty\). Im Unendlichen: Für \(x \to \infty\) wächst \(e^x\) schneller als \(x+2\), also \(h(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) geht \(e^x \to 0\) und \(x+2 \to -\infty\), also \(h(x) \to 0\). 3. Extrempunkt: Mit der Quotientenregel ergibt sich \(h'(x) = \frac{e^x(x+2) - e^x \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{e^x(x+1)}{(x+2)^2}\). Die einzige Nullstelle der Ableitung ist \(x = -1\). Da \(h'(x) < 0\) für \(-2 < x < -1\) und \(h'(x) > 0\) für \(x > -1\), liegt ein Tiefpunkt vor: \(T(-1 \mid e^{-1})\) bzw. \(T(-1 \mid \frac{1}{e})\).

a) Keine Nullstellen, da \(e^x \neq 0\). b) \(\lim_{x \to -2^+} h(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -2^-} h(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to \infty} h(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0\). c) Tiefpunkt \(T\left(-1 \mid \frac{1}{e}\right)\).

- Vergleiche zunächst das Grenzverhalten der drei Funktionen an beiden Enden der Zahlengeraden. - Achsenschnittpunkte helfen, Graphen mit ähnlichem Endverhalten zu unterscheiden. - Bei den Funktionen mit möglichem Extrempunkt kann die erste Ableitung die sichtbare Form absichern. - Achte darauf, ob sich ein Graph einer schrägen oder einer waagerechten Geraden annähert.

1. Für \(g_1(x)=4xe^{-x}\) gilt \(g_1(x)\to0\) für \(x\to\infty\) und \(g_1(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). Die Nullstelle liegt bei \(x=0\). Außerdem ist \(g_1'(x)=4(1-x)e^{-x}\), sodass bei \(x=1\) ein Hochpunkt liegt. Das passt zu Graph A. 2. Für \(g_2(x)=e^x-x-1\) gilt \(g_2(x)\to\infty\) an beiden Enden. Es ist \(g_2(0)=0\) und \(g_2'(x)=e^x-1\), sodass bei \(x=0\) ein Tiefpunkt liegt. Das passt zu Graph B. 3. Für \(g_3(x)=2-e^{0{,}5x}\) gilt \(g_3(x)\to2\) für \(x\to-\infty\) und \(g_3(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(1\). Das passt zu Graph C.

Graph A gehört zu \(g_1\), Graph B zu \(g_2\) und Graph C zu \(g_3\).

- Für a) kann der Exponentialfaktor niemals null werden. - Für b) liefert die erste Ableitung die kritischen Stellen. - In c) sind Schwellenwert und gesuchte Stellen bewusst nur graphisch gegeben; orientiere dich an der Rasterteilung und interpoliere zwischen benachbarten Gitterlinien.

1. Da \(e^{-0{,}5x}>0\) gilt, folgt aus \(g(x)=0\) die Gleichung \(x+1=0\). Die Nullstelle ist \(x=-1\). Für \(x\to+\infty\) dominiert der exponentielle Zerfall, daher gilt \(g(x)\to0\). 2. Es ist \(g'(x)=e^{-0{,}5x}(0{,}5-0{,}5x)\). Somit liegt die einzige kritische Stelle bei \(x=1\); dort ist \(g(1)=2e^{-0{,}5}\approx1{,}21\). Der lokale Hochpunkt ist \(H(1\mid2e^{-0{,}5})\). 3. Aus der Abbildung liest man für \(s\) den Schwellenwert \(0{,}5\,\frac{\text{m}^3}{\text{Tag}}\) ab. Die Schnittstellen von \(G_g\) mit \(s\) liegen graphisch näherungsweise bei \(x\approx-0{,}6\) und \(x\approx5{,}0\).

a) Nullstelle: \(x=-1\); für \(x\to+\infty\) gilt \(g(x)\to0\). b) \(H(1\mid2e^{-0{,}5})\approx H(1\mid1{,}21)\) c) Schwellenwert: \(0{,}5\,\frac{\text{m}^3}{\text{Tag}}\); Schnittstellen ungefähr bei \(x=-0{,}6\) und \(x=5{,}0\).

- Die Exponentialfunktion wird nicht null; welche Folge hat das für die Nullstelle des Produkts? - Vergleiche beim Grenzwert für große positive \(x\) lineares Wachstum mit exponentiellem Zerfall. - Für die Form des Graphen sind zusätzlich die Nullstelle und der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung wichtig.

1. Da \(e^{-x}>0\) für alle \(x\) gilt, liegt die einzige Nullstelle bei \(x=1\). 2. Für \(x\to\infty\) gilt \((x-1)e^{-x}\to0\). Da die Funktionswerte für \(x>1\) positiv sind, nähert sich der Graph der \(x\)-Achse von oben. 3. Für \(x\to-\infty\) gilt \(x-1\to-\infty\) und \(e^{-x}\to\infty\). Daher ist \(f(x)\to-\infty\). 4. Die erste Ableitung ist \(f'(x)=e^{-x}(2-x)\). Sie wird bei \(x=2\) null und wechselt dort von positiv zu negativ. Somit liegt der Hochpunkt \(H(2|e^{-2})\) vor. 5. Der Graph kommt für \(x\to-\infty\) aus dem negativen Unendlichen, schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1\), steigt bis zum Hochpunkt bei \(x=2\) und fällt danach gegen \(0\) von oben.

Nullstelle: \(x=1\); \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\) von oben; \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\); Hochpunkt \(H(2|e^{-2})\). Der Graph schneidet bei \(x=1\) die \(x\)-Achse, erreicht bei \(x=2\) sein lokales Maximum und nähert sich danach der \(x\)-Achse von oben.

- Eine geeignete neue Variable kann den Parameter im Exponenten vereinfachen. - Nach einer solchen Umformung bleibt ein konstanter Faktor übrig, der den Grenzwerttyp nicht ändert. - Für \(x\to-\infty\) sind neben den Beträgen auch die Vorzeichen entscheidend.

1. Für \(x\to\infty\) setze \(u=ax\). Dann gilt ebenfalls \(u\to\infty\) und \(x=\frac{u}{a}\). 2. Damit ist \(f_a(x)=\frac{u^3}{a^3}e^{-u}=\frac{1}{a^3}u^3e^{-u}\). Da exponentieller Zerfall jede Potenz dominiert, gilt \(u^3e^{-u}\to0\). Also ist \(f_a(x)\to0\). 3. Für \(x\to-\infty\) gilt \(x^3\to-\infty\) und wegen \(-ax\to\infty\) auch \(e^{-ax}\to\infty\). Das Produkt ist negativ und betragsmäßig unbeschränkt, also \(f_a(x)\to-\infty\). 4. Der positive Parameter \(a\) verändert die Geschwindigkeit des exponentiellen Wachstums beziehungsweise Zerfalls, aber nicht die qualitativen Grenzwerte \(0\) rechts und \(-\infty\) links.

a) \(\lim_{x\to\infty}f_a(x)=0\) für alle \(a>0\). b) \(\lim_{x\to-\infty}f_a(x)=-\infty\). c) \(a\) verändert die Geschwindigkeit, nicht die beiden qualitativen Grenzwerte.

- Kannst du aus der Summe einen Faktor ausklammern, sodass der bekannte Quotient \(\frac{x^4}{e^x}\) erscheint? - Was folgt aus dem Wachstumsvergleich für diesen Quotienten? - Wie kannst du einen Ausdruck mit dem variablen Exponenten \(1/x\) in eine leichter untersuchbare Form überführen?

1. Wegen \(e^x+x^4=e^x\left(1+\frac{x^4}{e^x}\right)\) gilt \(\left(e^x+x^4\right)^{1/x}=e\left(1+\frac{x^4}{e^x}\right)^{1/x}\). 2. Aus dem Wachstumsvergleich folgt \(\frac{x^4}{e^x}\to0\). 3. Für den zweiten Faktor betrachtet man den Logarithmus: \(\ln\left(\left(1+\frac{x^4}{e^x}\right)^{1/x}\right)=\frac{1}{x}\ln\left(1+\frac{x^4}{e^x}\right)\to0\). 4. Daher strebt der zweite Faktor gegen \(e^0=1\). Insgesamt ist der Grenzwert \(e\).

\(e\)

- Das Vorzeichen von \(a\) entscheidet darüber, ob der Exponentialterm wächst, konstant bleibt oder zerfällt. - Überlege in jedem Fall, welchen Summanden du aus \(e^{ax}+x^4\) sinnvoll ausklammern kannst. - Für den Potenzterm \(x^{4/x}\) kann die Darstellung \(x^{4/x}=e^{4\ln(x)/x}\) nützlich sein.

1. Für \(a>0\) wächst \(e^{ax}\) schneller als \(x^4\). Man faktorisiert \(e^{ax}\): \(\left(e^{ax}+x^4\right)^{1/x}=e^a\left(1+x^4e^{-ax}\right)^{1/x}\). Wegen \(x^4e^{-ax}\to0\) gilt für den zweiten Faktor \(\left(1+x^4e^{-ax}\right)^{1/x}\to1\). Daher ist \(L(a)=e^a\). 2. Für \(a=0\) gilt \(\left(1+x^4\right)^{1/x}\). Nach Ausklammern von \(x^4\) erhält man \(x^{4/x}(1+x^{-4})^{1/x}\). Dabei ist \(x^{4/x}=e^{4\ln(x)/x}\to1\) und auch der zweite Faktor geht gegen \(1\). Somit ist \(L(0)=1\). 3. Für \(a<0\) gilt \(e^{ax}\to0\), während \(x^4\to\infty\). Wieder wird \(x^4\) ausgeklammert: \(\left(e^{ax}+x^4\right)^{1/x}=x^{4/x}\left(1+e^{ax}/x^4\right)^{1/x}\to1\cdot1=1\). 4. Insgesamt gilt daher \(L(a)=1\) für \(a\le0\) und \(L(a)=e^a\) für \(a>0\).

Für \(a\le0\) gilt \(L(a)=1\); für \(a>0\) gilt \(L(a)=e^a\).