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- Welchen Zahlenwert hat die Zeitvariable genau in dem Moment, in dem die Beobachtung startet? - Was passiert mathematisch mit einem Ausdruck der Form \(e^{-kt}\), wenn \(t\) immer größer wird? - Kannst du den Funktionsterm in einen festen Teil und einen veränderlichen Teil zerlegen?

1. Berechnung des Anfangswerts durch Einsetzen von \(t = 0\): \(N(0) = 850 - 600 \cdot e^{-0{,}15 \cdot 0} = 850 - 600 \cdot 1 = 250\). 2. Untersuchung des Grenzwerts für \(t \to \infty\): Da der Term \(e^{-0{,}15t}\) für gegen unendlich strebende \(t\) gegen \(0\) konvergiert (\(\lim_{t \to \infty} e^{-0{,}15t} = 0\)), nähert sich der Funktionswert dem konstanten Wert \(850 - 600 \cdot 0 = 850\).

Der Anfangsbestand beträgt \(250\) Fische. Langfristig stellt sich ein Bestand von \(850\) Fischen ein.

- Überlege dir, was mit dem Subtrahenden im Funktionsterm passiert, wenn sehr viel Zeit vergeht. - Setze den Startwert für die Zeit in die Gleichung ein, um den Anfangszustand zu finden. - Welche Bedeutung hat die waagrechte Asymptote der Funktion im Sachzusammenhang?

1. \(T(0) = 210 - 192 \cdot e^0 = 18\). Die Starttemperatur beträgt \(18\,^\circ\text{C}\). 2. Für \(t \to \infty\) geht \(192 \cdot e^{-0{,}04t}\) gegen \(0\). Daher gilt \(\lim_{t \to \infty} T(t) = 210\). Das Bauteil nähert sich langfristig der Ofentemperatur von \(210\,^\circ\text{C}\), erreicht sie im Modell aber zu keinem endlichen Zeitpunkt exakt.

Die Anfangstemperatur beträgt \(18\,^\circ\text{C}\). Die Grenztemperatur beträgt \(210\,^\circ\text{C}\).

- Wie kannst du die obere und untere Begrenzung des Streifens aus der Breite und der Lage der Asymptote bestimmen? - Berechne die y-Werte der Funktion für die gegebenen x-Stellen. - Überlege dir, welche Bedingung ein y-Wert erfüllen muss, damit er zwischen den beiden Grenzlinien des Streifens liegt.

1. Bestimmung der Streifengrenzen: Die Asymptote liegt bei \(y = 1\). Bei einer Gesamtbreite von \(0{,}4\) erstreckt sich der Streifen um \(0{,}2\) Einheiten nach oben und unten. Die Grenzen sind somit \(y_{\text{unten}} = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\) und \(y_{\text{oben}} = 1 + 0{,}2 = 1{,}2\). Der Streifen umfasst das Intervall \([0{,}8; 1{,}2]\). 2. Berechnung des Funktionswerts für \(x = 3\): \(f(3) = 1 + 2 \cdot 0{,}5^3 = 1 + 2 \cdot 0{,}125 = 1{,}25\). Da \(1{,}25 > 1{,}2\), liegt der Punkt an der Stelle \(x = 3\) außerhalb des Streifens. 3. Berechnung des Funktionswerts für \(x = 4\): \(f(4) = 1 + 2 \cdot 0{,}5^4 = 1 + 2 \cdot 0{,}0625 = 1{,}125\). Da \(1{,}125 < 1{,}2\) und \(1{,}125 > 0{,}8\), liegt der Punkt an der Stelle \(x = 4\) innerhalb des Streifens.

An der Stelle \(x = 3\) liegt der Graph außerhalb des Streifens (\(f(3) = 1{,}25\)), während er an der Stelle \(x = 4\) innerhalb des Streifens liegt (\(f(4) = 1{,}125\)).

- Schau dir die beiden Faktoren der Funktion einzeln an und bestimme deren jeweiliges Grenzverhalten. - Welche Art von Funktion „gewinnt“ den Vergleich, wenn eine gegen Unendlich und die andere gegen Null strebt? - Achte beim Produkt auf die Vorzeichenregeln für sehr große positive oder negative Werte.

1. Untersuchung für \(x \to \infty\): Der Ausdruck setzt sich aus dem Produkt einer ganzrationalen Funktion und einer Exponentialfunktion mit negativem Exponenten zusammen. Da die Exponentialfunktion \(e^{-x}\) für \(x \to \infty\) schneller gegen \(0\) strebt als jede Potenz von \(x\) wächst, dominiert sie das Grenzverhalten. Es gilt \(\lim_{x \to \infty} (x^3 \cdot e^{-x}) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} (1 \cdot e^{-x}) = 0\), woraus \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) folgt. 2. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Der Faktor \((x^3 + 1)\) strebt gegen \(-\infty\). Der Faktor \(e^{-x}\) strebt für \(x \to -\infty\) gegen \(\infty\). Das Produkt einer betragsmäßig unendlich großen negativen Zahl und einer unendlich großen positiven Zahl führt zu \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\)

- Überlege, welcher Teil des Terms für sehr große \(x\)-Werte das Gesamtergebnis stärker beeinflusst. - Hilft es dir, den am schnellsten wachsenden Term auszuklammern, um den Grenzwert klarer zu sehen? - Was passiert mit einer Exponentialfunktion \(e^{kx}\) mit \(k > 0\), wenn \(x\) sehr große negative Werte annimmt?

1. Untersuchung für \(x \to \infty\): Hier liegt eine Differenz aus einer Potenzfunktion und einer Exponentialfunktion vor. Da Exponentialfunktionen mit positivem Koeffizienten im Exponenten schneller wachsen als jede Potenzfunktion, dominiert der Term \(-e^{0{,}1x}\). Formal lässt sich dies durch Ausklammern zeigen: \(g(x) = e^{0{,}1x} \cdot (2 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}1x} - 1)\). Da \(2 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}1x}\) für \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt, nähert sich der Klammerausdruck dem Wert \(-1\) an. Damit gilt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty \cdot (-1) = -\infty\). 2. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Der Term \(2 \cdot x^2\) strebt gegen \(\infty\). Der Term \(e^{0{,}1x}\) strebt für \(x \to -\infty\) gegen \(0\). Die Differenz aus einer unendlich großen positiven Zahl und einer Zahl, die gegen Null geht, strebt gegen Unendlich. Somit gilt \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\).

\(\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\)

- Welche Teile des Funktionsterms „gewinnen“ den Wettlauf gegen Unendlich, wenn \(x\) sehr groß wird? - Erinnere dich an die Regel, dass die \(e\)-Funktion jede Potenzfunktion im Unendlichen dominiert. - Überlege dir separat, was mit \(e^x\) passiert, wenn \(x\) gegen \(-\infty\) läuft. - Versuche, den jeweils stärksten Term auszuklammern, um den Grenzwert deutlicher zu sehen.

1. Untersuchung für \(x \to +\infty\): Da die Exponentialfunktion \(e^x\) schneller wächst als jede Potenzfunktion \(x^n\), dominieren die Terme mit \(e^x\) in Zähler und Nenner. Man klammert \(e^x\) aus: \(f(x) = \frac{e^x \cdot (\frac{100 \cdot x^2}{e^x} + 1)}{e^x \cdot (1 - \frac{x^4}{e^x})} = \frac{\frac{100 \cdot x^2}{e^x} + 1}{1 - \frac{x^4}{e^x}}\). Da \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0\) gilt, folgt \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{0 + 1}{1 - 0} = 1\). 2. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Für \(x \to -\infty\) strebt \(e^x\) gegen \(0\). In diesem Fall dominieren die Potenzfunktionen den Term. Es gilt \(f(x) = \frac{x^2 \cdot (100 + \frac{e^x}{x^2})}{x^4 \cdot (\frac{e^x}{x^4} - 1)} = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{100 + \frac{e^x}{x^2}}{\frac{e^x}{x^4} - 1}\). Da \(\frac{1}{x^2} \to 0\) und die Brüche mit \(e^x\) im Zähler gegen \(0\) streben, ergibt sich \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \cdot \frac{100 + 0}{0 - 1} = 0\).

\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)

- Ist das Produkt aus etwas sehr Großem und etwas sehr Kleinem immer gleich? - Welche Funktion nähert sich schneller ihrem Ziel (Null oder Unendlich) an: eine Parabel oder die Exponentialfunktion? - Du kannst den Term \(e^x\) auch als \(\frac{1}{e^{-x}}\) umschreiben, um einen Bruch zu erhalten. - Was weißt du über das Verhalten von \(\frac{x^n}{e^x}\) für sehr große \(x\)?

1. Beurteilung: Die Behauptung ist falsch. Wenn ein Faktor gegen Unendlich und der andere gegen Null strebt, ist das Ergebnis nicht automatisch \(1\), sondern hängt von der Wachstums- bzw. Abnahmegeschwindigkeit der Funktionen ab. 2. Grenzwertbestimmung: Der Funktionsterm kann als \(g(x) = x^2e^x - 5 \cdot x \cdot e^x\) oder durch Substitution \(u = -x\) als \(g(u) = ((-u)^2 - 5(-u)) \cdot e^{-u} = \frac{u^2 + 5u}{e^u}\) betrachtet werden. 3. Da für \(x \to -\infty\) die Variable \(u \to +\infty\) strebt und die Exponentialfunktion \(e^u\) im Nenner schneller wächst als jede ganzrationale Funktion im Zähler, gilt \(\lim_{u \to +\infty} \frac{u^2 + 5u}{e^u} = 0\). 4. Somit ist der korrekte Grenzwert \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\).

Die Behauptung ist falsch. Der korrekte Grenzwert ist \(\lim_{x \to -\infty} (x^2 - 5x) \cdot e^x = 0\).

- Betrachte Zähler und Nenner zunächst getrennt voneinander. - Erinnerst du dich an die Regel, welcher Funktionstyp bei Grenzwertbetrachtungen gegen unendlich am schnellsten wächst? - Achte bei der Bestimmung des Grenzwerts gegen \(+\infty\) besonders auf die Vorzeichen von Zähler und Nenner. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Zähler gegen \(0\) geht und der Nenner betragsmäßig immer größer wird?

1. Untersuchung für \(x \to +\infty\): Der Zähler \(e^x\) strebt gegen \(\infty\), während der Nenner \(4 - x^2\) gegen \(-\infty\) strebt. Da die Exponentialfunktion im Zähler stärker wächst als die quadratische Funktion im Nenner, dominiert der Zähler das Betragsverhalten. Aufgrund der unterschiedlichen Vorzeichen (Zähler positiv, Nenner negativ) ergibt sich \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty\). 2. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Der Zähler \(e^x\) nähert sich \(0\) an. Der Nenner \(4 - x^2\) strebt gegen \(-\infty\). Da der Zähler gegen Null geht und der Nenner betragsmäßig immer weiter anwächst, nähert sich der gesamte Quotient der Null an. Somit gilt \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\).

\(\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\)

- Überlege dir, welche Teilfunktion (Potenzfunktion oder Exponentialfunktion) für sehr große oder sehr kleine Werte von \(x\) schneller anwächst bzw. schneller gegen Null geht. - Erinnere dich an die Regel, dass die \(e\)-Funktion bei \(x \to \infty\) stärker steigt als jede Potenz von \(x\). - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn \(x\) gegen minus unendlich geht? - Untersuche bei Brüchen, deren Nenner gegen Null geht, genau das Vorzeichen der Werte kurz vor oder kurz nach der Annäherung.

1. Bei Teilaufgabe a) wird das Wachstumsverhalten verglichen. Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für \(x \to \infty\) wesentlich schneller wächst als jede Potenzfunktion (hier \(x^2 + 4\)), strebt der Quotient gegen \(0\). 2. In Teilaufgabe b) betrachtet man das Produkt für \(x \to -\infty\). Während der lineare Term \(x - 2\) gegen \(-\infty\) strebt, nähert sich \(e^x\) der Null an. Da die Exponentialfunktion das Grenzverhalten dominiert, gilt \(\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0\), womit der Grenzwert des Produkts \(0\) ist. 3. Für Teilaufgabe c) wird der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(0\) untersucht. Der Zähler ist konstant \(3\). Für \(x > 0\) ist \(e^x > 1\), woraus folgt, dass der Nenner \(1 - e^x\) negativ ist und für \(x \to 0\) gegen \(0\) strebt. Der Quotient \(\frac{3}{0^-}\) strebt somit gegen \(-\infty\).

a) \(0\) b) \(0\) c) \(-\infty\)

- Welche Werte darf \(x\) im Nenner nicht annehmen? - Überlege dir, welcher Teil der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte dominiert. - Wie verhält sich die \(e\)-Funktion, wenn der Exponent sehr groß oder sehr klein wird? - Untersuche bei der Definitionslücke die Vorzeichen von Zähler und Nenner, wenn du dich dem Wert von beiden Seiten näherst.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner \(e^x - e^2\) wird null für \(x = 2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Die Ränder sind \(-\infty\), \(+\infty\) sowie die Annäherung an \(2\) von links und rechts. 2. Grenzwert für \(x \to \infty\): Da die Exponentialfunktion im Nenner wesentlich schneller wächst als die lineare Funktion im Zähler, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{e^x - e^2} = 0\). 3. Grenzwert für \(x \to -\infty\): Für \(x \to -\infty\) geht \(e^x\) gegen \(0\). Damit ergibt sich \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{0 - e^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{-e^2} = \infty\), da der Zähler gegen \(-\infty\) geht und durch eine negative Konstante geteilt wird. 4. Verhalten an der Polstelle \(x = 2\): Der Zähler strebt gegen \(4\). Für \(x \to 2^+\) ist \(e^x > e^2\), also ist der Nenner positiv und geht gegen \(0\). Somit gilt \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \infty\). Für \(x \to 2^-\) ist \(e^x < e^2\), der Nenner ist negativ und geht gegen \(0\), woraus \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\) folgt.

Die Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Die Grenzwerte lauten: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\) \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \infty\) \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\)

- Erinnere dich an die Wachstumsgeschwindigkeit der \(e\)-Funktion im Vergleich zu ganzrationalen Funktionen. - Was passiert mit dem Bruchterm, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Untersuche das Verhalten links und rechts von der Definitionslücke separat. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Grenzübergang gegen Unendlich.

1. Definitionsbereich: Die Funktion ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert, außer dort, wo der Nenner null wird, also \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Ränder sind \(\pm \infty\) und die Stelle \(1\). 2. Grenzwert für \(x \to \infty\): Da \(e^x\) schneller wächst als jede Potenzfunktion, dominiert \(e^x\) den rationalen Term \(\frac{x^2}{x-1} \approx x\). Es gilt \(\lim_{x \to \infty} (e^x - \frac{x^2}{x-1}) = \infty\). 3. Grenzwert für \(x \to -\infty\): Hier gilt \(e^x \to 0\). Der Term \(\frac{x^2}{x-1}\) verhält sich für betragsmäßig große \(x\) wie \(x\). Da \(x \to -\infty\), geht \(\frac{x^2}{x-1}\) gegen \(-\infty\). Somit ist \(\lim_{x \to -\infty} (0 - (-\infty)) = \infty\). 4. Verhalten an der Polstelle \(x = 1\): Der Term \(e^x\) strebt gegen \(e^1 = e\). Der Zähler \(x^2\) strebt gegen \(1\). Für \(x \to 1^+\) geht \(x-1\) gegen \(0^+\), also \(\frac{x^2}{x-1} \to \infty\). Damit ist \(\lim_{x \to 1^+} (e - \infty) = -\infty\). Für \(x \to 1^-\) geht \(x-1\) gegen \(0^-\), also \(\frac{x^2}{x-1} \to -\infty\). Damit ist \(\lim_{x \to 1^-} (e - (-\infty)) = \infty\).

Die Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Die Grenzwerte lauten: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\) \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty\) \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \infty\)

- Überlege dir, wie sich der Term \(e^x\) verhält, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird. - Wie beeinflusst ein negatives Vorzeichen vor dem Exponentialterm den Verlauf des Graphen? - Welche Rolle spielt die additive Konstante für die Wertemenge? - Was musst du für \(x\) einsetzen, um einen Punkt auf der vertikalen Achse zu finden?

1. Für \(x \to \infty\) gilt \(e^x \to \infty\), woraus \(f(x) = 4 - 2e^x \to -\infty\) folgt. Für \(x \to -\infty\) gilt \(e^x \to 0\), woraus \(f(x) \to 4 - 2 \cdot 0 = 4\) folgt. Die Gerade \(y = 4\) ist eine waagrechte Asymptote. 2. Da \(e^x\) streng monoton wachsend ist, ist \(-2e^x\) streng monoton fallend. Die Addition der Konstante \(4\) ändert die Monotonie nicht, somit ist \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton fallend. Da die Funktionswerte von \(4\) aus nach \(-\infty\) fallen und \(4\) nie erreicht wird, ist die Wertemenge \(\mathbb{W}_f = ]-\infty; 4[\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ergibt sich durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 4 - 2 \cdot e^0 = 4 - 2 \cdot 1 = 2\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 \mid 2)\).

1. \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 4\) 2. \(f\) ist streng monoton fallend; \(\mathbb{W}_f = ]-\infty; 4[\) 3. \(S_y(0 \mid 2)\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen im Exponenten bei der Bestimmung der Grenzwerte. - Wie verändert sich eine wachsende Funktion, wenn im Argument ein Minuszeichen steht? - Gibt es eine untere oder obere Grenze für die Funktionswerte? - Erinnere dich an den Wert von \(e^0\).

1. Für \(x \to \infty\) geht der Exponent \(-2x \to -\infty\), also \(e^{-2x} \to 0\). Damit gilt \(g(x) \to \frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3\). Für \(x \to -\infty\) geht \(-2x \to \infty\), also \(e^{-2x} \to \infty\). Damit gilt \(g(x) \to \infty\). 2. Die Funktion \(x \mapsto e^{-2x}\) ist aufgrund des negativen Koeffizienten im Exponenten streng monoton fallend. Da der Vorfaktor \(\frac{1}{2}\) positiv ist, bleibt diese Monotonie erhalten. \(g\) ist somit auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton fallend. Da die Werte von \(\infty\) kommen und sich für \(x \to \infty\) dem Wert \(-3\) annähern, ist die Wertemenge \(\mathbb{W}_g = ]-3; \infty[\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse berechnet man \(g(0)\): \(g(0) = \frac{1}{2} \cdot e^0 - 3 = 0{,}5 - 3 = -2{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -2{,}5)\).

1. \(\lim_{x \to \infty} g(x) = -3\); \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\) 2. \(g\) ist streng monoton fallend; \(\mathbb{W}_g = ]-3; \infty[\) 3. \(S_y(0 \mid -2{,}5)\)

- Überlege, welche Ableitungsregel bei einem Produkt zweier Teilfunktionen hilfreich ist. - Kannst du den Term der Ableitung durch Ausklammern vereinfachen? - Welche Teilfunktion „gewinnt“ beim Grenzübergang gegen Unendlich, wenn ein Polynom und eine Exponentialfunktion multipliziert werden? - Erinnere dich an den typischen Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion für sehr große und sehr kleine x-Werte.

1. Zur Berechnung der Ableitung wird die Produktregel \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\) angewendet. Mit \(u(x) = x^2 - 2x\) und \(v(x) = e^x\) ergibt sich \(u'(x) = 2x - 2\) und \(v'(x) = e^x\). 2. Einsetzen in die Formel: \(f'(x) = (2x - 2) \cdot e^x + (x^2 - 2x) \cdot e^x\). 3. Ausklammern von \(e^x\): \(f'(x) = (2x - 2 + x^2 - 2x) \cdot e^x = (x^2 - 2) \cdot e^x\). 4. Grenzverhalten für \(x \to \infty\): Da sowohl \(x^2 - 2x\) als auch \(e^x\) gegen \(\infty\) streben, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\). 5. Grenzverhalten für \(x \to -\infty\): Der Term \(e^x\) strebt gegen \(0\), während \(x^2 - 2x\) gegen \(\infty\) strebt. Da \(e^x\) für \(x \to -\infty\) schneller gegen \(0\) strebt, als \(x^2 - 2x\) wächst, dominiert der exponentielle Abfall, woraus \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) folgt.

a) \(f'(x) = (x^2 - 2) \cdot e^x\) b) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)

- Bestimme für jeden der drei Funktionsterme die Nullstelle, indem du den linearen Faktor gleich Null setzt. Wo schneiden die Graphen die x-Achse? - Untersuche das Verhalten der Terme für sehr große x-Werte (\(x \to \infty\)). Denke daran, dass eine e-Funktion mit negativem Exponenten sehr schnell gegen Null geht. - Überprüfe das Vorzeichen der Funktionswerte für sehr große x-Werte. Nähert sich der Graph der x-Achse von oben oder von unten? - Berechne den y-Achsenabschnitt, indem du \(x = 0\) in die Terme einsetzt. Das hilft dir, Graphen mit gleicher Nullstelle voneinander zu unterscheiden.

Die Zuordnung kann schrittweise durch Untersuchung von Nullstellen und dem Grenzverhalten begründet werden: 1. **Kärtchen 1: \(f(x) = (x + 2) \cdot e^{-x}\)** - **Nullstelle:** Da die Exponentialfunktion \(e^{-x}\) für alle \(x\) positiv ist, hat \(f\) eine Nullstelle genau dann, wenn \(x + 2 = 0\), also bei \(x = -2\). Dies schließt die Graphen B und C aus. - **Grenzverhalten:** Für \(x \to \infty\) strebt der Faktor \((x + 2) \to \infty\), während \(e^{-x} \to 0\). Da die Exponentialfunktion schneller gegen Null geht als jede lineare Funktion gegen Unendlich, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\). Dies trifft auf Graph A zu (wohingegen bei Graph D gilt: \(\lim_{x \to \infty} y = \infty\)). - **Ergebnis:** Kärtchen 1 gehört zu **Graph A**. 2. **Kärtchen 2: \(g(x) = (x - 2) \cdot e^{x}\)** - **Nullstelle:** Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\) (da \(x - 2 = 0\)). Dies schließt die Graphen A und D aus. - **Grenzverhalten:** Für \(x \to \infty\) streben beide Faktoren gegen Unendlich, somit gilt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\). Dies trifft auf Graph B zu (bei Graph C gilt \(\lim_{x \to \infty} y = 0\)). - **Ergebnis:** Kärtchen 2 gehört zu **Graph B**. 3. **Kärtchen 3: \(h(x) = (2 - x) \cdot e^{-x}\)** - **Nullstelle:** Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\) (da \(2 - x = 0\)). - **Grenzverhalten:** Für \(x \to \infty\) strebt der Term gegen \(0\). Da der Faktor \((2 - x)\) für \(x > 2\) negativ ist, nähert sich der Graph der x-Achse für große \(x\) von unten an. Dies trifft auf Graph C zu. - **Ergebnis:** Kärtchen 3 gehört zu **Graph C**. Der Graph D bleibt übrig; er gehört zur Funktion \(y = (x + 2) \cdot e^{x}\).

Kärtchen 1 gehört zu **Graph A**, Kärtchen 2 zu **Graph B** und Kärtchen 3 zu **Graph C**.

- Überlege dir, welcher Teil des Terms für sehr große positive oder sehr kleine negative \(x\)-Werte „gewinnt“. - Setze einfache Werte wie \(1\) oder \(-1\) ein, um das Vorzeichen des Funktionswerts zu prüfen. - Achte darauf, ob der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet. Was sagt die Potenz von \(x\) darüber aus? - Vergleiche, ob der Graph für große \(x\) gegen Null geht oder steil ansteigt.

1. Graph B gehört zu \(f(x) = x^2e^{-x}\). Begründung: Für \(x \to \infty\) dominiert die Exponentialfunktion \(e^{-x}\), sodass \(f(x) \to 0\) gilt. Für \(x \to -\infty\) strebt \(x^2 \to \infty\) und \(e^{-x} \to \infty\), also \(f(x) \to \infty\). Da \(x^2 \ge 0\) und \(e^{-x} > 0\) für alle \(x\) gilt, verläuft der Graph stets oberhalb oder auf der \(x\)-Achse (Berührpunkt im Ursprung). 2. Graph A gehört zu \(g(x) = x^3e^{-x}\). Begründung: Das Globalverhalten für \(x \to \infty\) ist wie bei \(f\) gegen 0. Für \(x \to -\infty\) gilt jedoch \(x^3 \to -\infty\) und \(e^{-x} \to \infty\), also \(g(x) \to -\infty\). Der Graph hat für negative \(x\) negative Funktionswerte, was nur auf Graph A zutrifft. 3. Graph C gehört zu \(h(x) = x^2e^{x}\). Begründung: Hier vertauscht sich das Verhalten an den Rändern. Für \(x \to \infty\) streben beide Faktoren gegen unendlich, also \(h(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt aufgrund der Dominanz der Exponentialfunktion \(h(x) \to 0\).

1. \(f(x) \to \text{Graph B}\), 2. \(g(x) \to \text{Graph A}\), 3. \(h(x) \to \text{Graph C}\)

- Unterscheide zwischen Berührpunkten und Schnittpunkten mit der x-Achse. - Prüfe den y-Achsenabschnitt, indem du \(x=0\) in die Terme einsetzt. - Wie verhält sich die e-Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte im Vergleich zum Graphen? - Achte darauf, an welcher Stelle die Nullstelle genau liegt.

1. Analyse der Nullstellen: Der Graph berührt die x-Achse bei \(x = 2\). Dies deutet auf eine doppelte Nullstelle hin, was durch den Faktor \((x-2)^2\) in den Termen (2), (3) und (4) beschrieben wird. Term (1) hat nur eine einfache Nullstelle und scheidet aus. 2. Lage der Nullstelle: Die Berührstelle liegt bei \(x = +2\). Term (3) hätte eine Nullstelle bei \(x = -2\) und scheidet daher aus. 3. Grenzverhalten für \(x \to \infty\): Der Graph steigt für große positive x-Werte steil an (\(f(x) \to \infty\)). Bei Term (4) würde die Funktion wegen des Faktors \(e^{-x}\) gegen 0 streben. Daher scheidet (4) aus. 4. Überprüfung von (2): Für \(f(x) = (x-2)^2 \cdot e^x\) gilt \(f(0) = (-2)^2 \cdot e^0 = 4\), was exakt dem y-Achsenabschnitt im Graphen entspricht. Zudem ist \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\), was zur waagrechten Asymptote links passt. Ergebnis: Term (2) ist korrekt.

Der passende Funktionsterm ist (2) \(f(x) = (x-2)^2 \cdot e^x\). Begründung: Der Graph hat eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) bei \(x = 2\), was zu \((x-2)^2\) passt. Der y-Achsenabschnitt liegt bei \(f(0) = 4\). Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Graph der x-Achse an (\(y=0\)), was für \(e^x\) charakteristisch ist, während er für \(x \to \infty\) gegen unendlich strebt.

- Wann wird ein Bruchterm null? - Betrachte die Vorzeichen des Zählers und des Nenners, wenn du dich der Definitionslücke von links und von rechts näherst. - Welcher Teil des Terms dominiert das Wachstum, wenn \(x\) sehr groß wird? - Die Quotientenregel hilft dir beim Ableiten.

1. Nullstellen: Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist. Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), hat \(h\) keine Nullstellen. 2. Grenzverhalten: An der Polstelle \(x = -2\) ist der Zähler \(e^{-2} > 0\). Für \(x \to -2^+\) ist der Nenner positiv und klein, also \(h(x) \to \infty\). Für \(x \to -2^-\) ist der Nenner negativ und klein, also \(h(x) \to -\infty\). Im Unendlichen: Für \(x \to \infty\) wächst \(e^x\) schneller als \(x+2\), also \(h(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) geht \(e^x \to 0\) und \(x+2 \to -\infty\), also \(h(x) \to 0\). 3. Extrempunkt: Mit der Quotientenregel ergibt sich \(h'(x) = \frac{e^x(x+2) - e^x \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{e^x(x+1)}{(x+2)^2}\). Die einzige Nullstelle der Ableitung ist \(x = -1\). Da \(h'(x) < 0\) für \(-2 < x < -1\) und \(h'(x) > 0\) für \(x > -1\), liegt ein Tiefpunkt vor: \(T(-1 \mid e^{-1})\) bzw. \(T(-1 \mid \frac{1}{e})\).

a) Keine Nullstellen, da \(e^x \neq 0\). b) \(\lim_{x \to -2^+} h(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -2^-} h(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to \infty} h(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0\). c) Tiefpunkt \(T\left(-1 \mid \frac{1}{e}\right)\).

- Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Beachte dabei die Eigenschaften der e-Funktion. - Bei Grenzwerten mit \(x \to \infty\) „gewinnt“ die e-Funktion gegenüber ganzrationalen Funktionen. - Nutze die Produktregel und die Kettenregel zur Bestimmung der Ableitung. - Die Änderungsrate gibt an, wie sich der Bestand pro Zeiteinheit verändert. Ist sie positiv, steigt der Bestand.

1. Nullstelle bestimmen: Die Gleichung \(g(x) = 0\) führt zu \((x + 1) \cdot e^{-0{,}5x} = 0\). Da die Exponentialfunktion \(e^{-0{,}5x}\) stets positiv ist, muss \(x + 1 = 0\) gelten, woraus \(x = -1\) folgt. 2. Grenzwertverhalten: Für \(x \to +\infty\) strebt der Faktor \(x + 1\) gegen \(+\infty\), während \(e^{-0{,}5x}\) gegen 0 strebt. Da die Exponentialfunktion schneller gegen 0 geht als jede Potenzfunktion gegen Unendlich wächst, gilt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\). 3. Extrempunkt berechnen: Mit der Produkt- und Kettenregel ergibt sich die Ableitung \(g'(x) = 1e^{-0{,}5x} + (x + 1) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5x} = e^{-0{,}5x} \cdot (1 - 0{,}5x - 0{,}5) = e^{-0{,}5x} \cdot (0{,}5 - 0{,}5x)\). 4. Die Bedingung \(g'(x) = 0\) liefert \(0{,}5 - 0{,}5x = 0\), also \(x = 1\). Der y-Wert ist \(g(1) = (1 + 1) \cdot e^{-0{,}5 \cdot 1} = 2e^{-0{,}5} \approx 1{,}21\). Es handelt sich um einen Hochpunkt \(H(1 \mid 2e^{-0{,}5})\). 5. Wert bei \(x=0\): Aus dem Graphen lässt sich der y-Achsenabschnitt \(g(0) = 1\) ablesen. 6. Interpretation: Da \(g(0) = 1 > 0\) ist, ist die momentane Änderungsrate des Volumens positiv. Dies bedeutet, dass das Wasservolumen zum Zeitpunkt \(x = 0\) zunimmt.

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = -1\). Für \(x \to \infty\) nähert sich die Änderungsrate dem Wert 0 an. b) Der lokale Extrempunkt ist ein Hochpunkt bei \(H(1 \mid 2e^{-0{,}5}) \approx H(1 \mid 1{,}21)\). c) Zu Beginn (\(x = 0\)) beträgt die Änderungsrate \(1\,\frac{\text{m}^3}{\text{Tag}}\). Da dieser Wert positiv ist, nimmt das Wasservolumen zu.

- Kannst du den Ausdruck so umformen, dass du bekannte Grenzwerte wie \(\frac{x}{e^x}\) für \(x \to \infty\) verwenden kannst? - Manchmal hilft es, eine Substitution wie \(u = -x\) durchzuführen, um das Verhalten für \(x \to -\infty\) besser zu verstehen. - Achte bei Grenzwerten an Definitionslücken besonders darauf, ob sich der Nenner von der positiven oder der negativen Seite der Null nähert. - Überlege dir, ob du durch Ausklammern oder durch Division von Zähler und Nenner den Term vereinfachen kannst, bevor du den Grenzwert betrachtest.

1. In Teilaufgabe a) können Zähler und Nenner durch \(e^x\) dividiert oder der Bruch in zwei Brüche aufgeteilt werden: \(\frac{4 \cdot e^x}{2 \cdot e^x} + \frac{x}{2 \cdot e^x} = 2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{e^x}\). Da \(\frac{x}{e^x}\) für \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt, ist der Grenzwert \(2 + 0 = 2\). 2. Bei Teilaufgabe b) betrachtet man \(x \to -\infty\). Setzt man \(u = -x\), so ergibt sich für \(u \to \infty\) der Ausdruck \(\frac{e^u}{(-u)^2} = \frac{e^u}{u^2}\). Da die Exponentialfunktion im Zähler schneller wächst als die Quadratfunktion im Nenner, strebt der Ausdruck gegen \(\infty\). 3. In Teilaufgabe c) wird der linksseitige Grenzwert bei \(0\) betrachtet. Der Zähler strebt gegen \(e^0 = 1\). Für \(x < 0\) gilt \(e^x < 1\), sodass der Nenner \(e^x - 1\) negativ ist und gegen \(0\) strebt. Die Division einer positiven Zahl durch Werte, die von unten gegen \(0\) gehen, führt zum Grenzwert \(-\infty\).

a) \(2\) b) \(\infty\) c) \(-\infty\)

- Welche Regel ist für Brüche beim Ableiten vorgesehen? - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn \(x\) immer kleiner wird (negativer Bereich)? - Bei Brüchen mit \(e^x\) im Zähler und Nenner kann es helfen, Zähler und Nenner durch \(e^x\) zu dividieren, um den Grenzwert für \(x \to \infty\) zu sehen. - Gibt es einen Wert, dem sich der Funktionsgraph für extrem große oder kleine x-Werte annähert?

1. Zur Ableitung wird die Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\) genutzt. Mit \(u(x) = e^x\) und \(v(x) = e^x + 2\) gilt \(u'(x) = e^x\) und \(v'(x) = e^x\). 2. Einsetzen: \(g'(x) = \frac{e^x \cdot (e^x + 2) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 2)^2} = \frac{e^{2x} + 2e^x - e^{2x}}{(e^x + 2)^2} = \frac{2e^x}{(e^x + 2)^2}\). 3. Grenzwert \(x \to -\infty\): Da \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\), ergibt sich \(g(x) \to \frac{0}{0 + 2} = 0\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 0\). 4. Grenzwert \(x \to \infty\): Um den Grenzwert zu bestimmen, teilt man Zähler und Nenner durch \(e^x\): \(g(x) = \frac{1}{1 + \frac{2}{e^x}}\). Da \(\frac{2}{e^x} \to 0\) für \(x \to \infty\), folgt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{1}{1 + 0} = 1\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 1\).

a) \(g'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 2)^2}\) b) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 1\). Die waagerechten Asymptoten lauten \(y = 0\) und \(y = 1\).

- Welcher Graph nähert sich für sehr große \(x\)-Werte der \(x\)-Achse an? Überlege, bei welcher Funktion das Produkt oder der Quotient so reagiert. - Untersuche das Verhalten für \(x \to -\infty\). Welche Funktion nähert sich einer schrägen oder waagrechten Geraden an? - Berechne die Nullstellen oder den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, um die Graphen zu unterscheiden. - Ein Graph hat einen deutlich erkennbaren Hochpunkt im positiven Bereich. Prüfe durch Ableiten oder Einsetzen, welche Funktion dazu passt.

1. Analyse von \(g_1(x) = 4xe^{-x}\): Für \(x \to \infty\) dominiert die \(e\)-Funktion im Nenner, sodass der Graph gegen die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) strebt. Für \(x \to -\infty\) geht der Graph gegen \(-\infty\). Es gibt eine Nullstelle bei \(x = 0\). Die Ableitung \(g_1'(x) = 4e^{-x} - 4xe^{-x} = 4(1-x)e^{-x}\) hat bei \(x = 1\) eine Nullstelle, dort liegt ein Hochpunkt bei \((1 \mid 4/e) \approx (1 \mid 1{,}47)\). Dies passt zu Graph A. 2. Analyse von \(g_2(x) = e^x - x - 1\): Für \(x \to \infty\) dominiert \(e^x\), der Graph steigt steil an. Für \(x \to -\infty\) nähert sich \(e^x\) der Null, sodass der Graph sich der Geraden \(y = -x - 1\) annähert und gegen \(+\infty\) strebt. Bei \(x = 0\) ist \(g_2(0) = e^0 - 0 - 1 = 0\). Da \(g_2'(x) = e^x - 1\) bei \(x = 0\) eine Nullstelle hat und dort von negativ zu positiv wechselt, liegt ein Tiefpunkt vor. Der Graph verläuft stets oberhalb oder auf der \(x\)-Achse. Dies passt zu Graph B. 3. Analyse von \(g_3(x) = 2 - e^{0{,}5x}\): Dies ist eine gespiegelte und verschobene Exponentialfunktion. Für \(x \to -\infty\) strebt \(e^{0{,}5x}\) gegen 0, also nähert sich der Graph der waagrechten Asymptote \(y = 2\). Für \(x \to \infty\) strebt der Graph gegen \(-\infty\). Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(2 - e^0 = 1\). Dies entspricht Graph C.

Graph A gehört zu \(g_1(x) = 4xe^{-x}\), Graph B zu \(g_2(x) = e^x - x - 1\) und Graph C zu \(g_3(x) = 2 - e^{0{,}5x}\).