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- Schau dir die beiden Faktoren der Funktion einzeln an und bestimme deren jeweiliges Grenzverhalten. - Welche Art von Funktion „gewinnt“ den Vergleich, wenn eine gegen Unendlich und die andere gegen Null strebt? - Achte beim Produkt auf die Vorzeichenregeln für sehr große positive oder negative Werte.

1. Untersuchung für \(x \to \infty\): Der Ausdruck setzt sich aus dem Produkt einer ganzrationalen Funktion und einer Exponentialfunktion mit negativem Exponenten zusammen. Da die Exponentialfunktion \(e^{-x}\) für \(x \to \infty\) schneller gegen \(0\) strebt als jede Potenz von \(x\) wächst, dominiert sie das Grenzverhalten. Es gilt \(\lim_{x \to \infty} (x^3 \cdot e^{-x}) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} (1 \cdot e^{-x}) = 0\), woraus \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) folgt. 2. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Der Faktor \((x^3 + 1)\) strebt gegen \(-\infty\). Der Faktor \(e^{-x}\) strebt für \(x \to -\infty\) gegen \(\infty\). Das Produkt einer betragsmäßig unendlich großen negativen Zahl und einer unendlich großen positiven Zahl führt zu \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\)

- Überlege, welcher Teil des Terms für sehr große \(x\)-Werte das Gesamtergebnis stärker beeinflusst. - Hilft es dir, den am schnellsten wachsenden Term auszuklammern, um den Grenzwert klarer zu sehen? - Was passiert mit einer Exponentialfunktion \(e^{kx}\) mit \(k > 0\), wenn \(x\) sehr große negative Werte annimmt?

1. Untersuchung für \(x \to \infty\): Hier liegt eine Differenz aus einer Potenzfunktion und einer Exponentialfunktion vor. Da Exponentialfunktionen mit positivem Koeffizienten im Exponenten schneller wachsen als jede Potenzfunktion, dominiert der Term \(-e^{0{,}1 \cdot x}\). Formal lässt sich dies durch Ausklammern zeigen: \(g(x) = e^{0{,}1 \cdot x} \cdot (2x^2 \cdot e^{-0{,}1 \cdot x} - 1)\). Da \(2x^2 \cdot e^{-0{,}1 \cdot x}\) für \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt, nähert sich der Klammerausdruck dem Wert \(-1\) an. Damit gilt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty \cdot (-1) = -\infty\). 2. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Der Term \(2x^2\) strebt gegen \(\infty\). Der Term \(e^{0{,}1 \cdot x}\) strebt für \(x \to -\infty\) gegen \(0\). Die Differenz aus einer unendlich großen positiven Zahl und einer Zahl, die gegen Null geht, strebt gegen Unendlich. Somit gilt \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\).

\(\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\)

- Welche Teile des Funktionsterms „gewinnen“ den Wettlauf gegen Unendlich, wenn \(x\) sehr groß wird? - Erinnere dich an die Regel, dass die \(e\)-Funktion jede Potenzfunktion im Unendlichen dominiert. - Überlege dir separat, was mit \(e^x\) passiert, wenn \(x\) gegen \(-\infty\) läuft. - Versuche, den jeweils stärksten Term auszuklammern, um den Grenzwert deutlicher zu sehen.

1. Untersuchung für \(x \to +\infty\): Da die Exponentialfunktion \(e^x\) schneller wächst als jede Potenzfunktion \(x^n\), dominieren die Terme mit \(e^x\) in Zähler und Nenner. Man klammert \(e^x\) aus: \(f(x) = \frac{e^x \cdot (\frac{100x^2}{e^x} + 1)}{e^x \cdot (1 - \frac{x^4}{e^x})} = \frac{\frac{100x^2}{e^x} + 1}{1 - \frac{x^4}{e^x}}\). Da \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0\) gilt, folgt \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{0 + 1}{1 - 0} = 1\). 2. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Für \(x \to -\infty\) strebt \(e^x\) gegen \(0\). In diesem Fall dominieren die Potenzfunktionen den Term. Es gilt \(f(x) = \frac{x^2 \cdot (100 + \frac{e^x}{x^2})}{x^4 \cdot (\frac{e^x}{x^4} - 1)} = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{100 + \frac{e^x}{x^2}}{\frac{e^x}{x^4} - 1}\). Da \(\frac{1}{x^2} \to 0\) und die Brüche mit \(e^x\) im Zähler gegen \(0\) streben, ergibt sich \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \cdot \frac{100 + 0}{0 - 1} = 0\).

\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)

- Ist das Produkt aus etwas sehr Großem und etwas sehr Kleinem immer gleich? - Welche Funktion nähert sich schneller ihrem Ziel (Null oder Unendlich) an: eine Parabel oder die Exponentialfunktion? - Du kannst den Term \(e^x\) auch als \(\frac{1}{e^{-x}}\) umschreiben, um einen Bruch zu erhalten. - Was weißt du über das Verhalten von \(\frac{x^n}{e^x}\) für sehr große \(x\)?

1. Beurteilung: Die Behauptung ist falsch. Wenn ein Faktor gegen Unendlich und der andere gegen Null strebt, ist das Ergebnis nicht automatisch \(1\), sondern hängt von der Wachstums- bzw. Abnahmegeschwindigkeit der Funktionen ab. 2. Grenzwertbestimmung: Der Funktionsterm kann als \(g(x) = x^2 \cdot e^x - 5x \cdot e^x\) oder durch Substitution \(u = -x\) als \(g(u) = ((-u)^2 - 5(-u)) \cdot e^{-u} = \frac{u^2 + 5u}{e^u}\) betrachtet werden. 3. Da für \(x \to -\infty\) die Variable \(u \to +\infty\) strebt und die Exponentialfunktion \(e^u\) im Nenner schneller wächst als jede ganzrationale Funktion im Zähler, gilt \(\lim_{u \to +\infty} \frac{u^2 + 5u}{e^u} = 0\). 4. Somit ist der korrekte Grenzwert \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\).

Die Behauptung ist falsch. Der korrekte Grenzwert ist \(\lim_{x \to -\infty} (x^2 - 5x) \cdot e^x = 0\).

- Betrachte Zähler und Nenner zunächst getrennt voneinander. - Erinnerst du dich an die Regel, welcher Funktionstyp bei Grenzwertbetrachtungen gegen unendlich am schnellsten wächst? - Achte bei der Bestimmung des Grenzwerts gegen \(+\infty\) besonders auf die Vorzeichen von Zähler und Nenner. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Zähler gegen \(0\) geht und der Nenner gleichzeitig immer größer wird?

1. Untersuchung für \(x \to +\infty\): Der Zähler \(e^x\) strebt gegen \(\infty\), während der Nenner \(4 - x^2\) gegen \(-\infty\) strebt. Da die Exponentialfunktion im Zähler stärker wächst als die quadratische Funktion im Nenner, dominiert der Zähler das Betragsverhalten. Aufgrund der unterschiedlichen Vorzeichen (Zähler positiv, Nenner negativ) ergibt sich \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty\). 2. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Der Zähler \(e^x\) nähert sich der \(0\) an. Der Nenner \(4 - x^2\) strebt gegen \(-\infty\). Da der Zähler gegen Null geht und der Nenner betragsmäßig immer weiter anwächst, nähert sich der gesamte Quotient der Null an. Somit gilt \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\).

\(\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\)

- Überlege dir, welche Teilfunktion (Potenzfunktion oder Exponentialfunktion) für sehr große oder sehr kleine Werte von \(x\) schneller anwächst bzw. schneller gegen Null geht. - Erinnere dich an die Regel, dass die \(e\)-Funktion bei \(x \to \infty\) stärker steigt als jede Potenz von \(x\). - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn \(x\) gegen minus unendlich geht? - Untersuche bei Brüchen, deren Nenner gegen Null geht, genau das Vorzeichen der Werte kurz vor oder kurz nach der Annäherung.

1. Bei Teilaufgabe a) wird das Wachstumsverhalten verglichen. Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für \(x \to \infty\) wesentlich schneller wächst als jede Potenzfunktion (hier \(x^2 + 4\)), strebt der Quotient gegen \(0\). 2. In Teilaufgabe b) betrachtet man das Produkt für \(x \to -\infty\). Während der lineare Term \(x - 2\) gegen \(-\infty\) strebt, nähert sich \(e^x\) der Null an. Da die Exponentialfunktion das Grenzverhalten dominiert, gilt \(\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0\), womit der Grenzwert des Produkts \(0\) ist. 3. Für Teilaufgabe c) wird der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(0\) untersucht. Der Zähler ist konstant \(3\). Für \(x > 0\) ist \(e^x > 1\), woraus folgt, dass der Nenner \(1 - e^x\) negativ ist und für \(x \to 0\) gegen \(0\) strebt. Der Quotient \(\frac{3}{0^-}\) strebt somit gegen \(-\infty\).

a) \(0\) b) \(0\) c) \(-\infty\)

- Welche Werte darf \(x\) im Nenner nicht annehmen? - Überlege dir, welcher Teil der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte dominiert. - Wie verhält sich die \(e\)-Funktion, wenn der Exponent sehr groß oder sehr klein wird? - Untersuche bei der Definitionslücke die Vorzeichen von Zähler und Nenner, wenn du dich dem Wert von beiden Seiten näherst.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner \(e^x - e^2\) wird null für \(x = 2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Die Ränder sind \(-\infty\), \(+\infty\) sowie die Annäherung an \(2\) von links und rechts. 2. Grenzwert für \(x \to \infty\): Da die Exponentialfunktion im Nenner wesentlich schneller wächst als die lineare Funktion im Zähler, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{e^x - e^2} = 0\). 3. Grenzwert für \(x \to -\infty\): Für \(x \to -\infty\) geht \(e^x\) gegen \(0\). Damit ergibt sich \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{0 - e^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{-e^2} = \infty\), da der Zähler gegen \(-\infty\) geht und durch eine negative Konstante geteilt wird. 4. Verhalten an der Polstelle \(x = 2\): Der Zähler strebt gegen \(4\). Für \(x \to 2^+\) ist \(e^x > e^2\), also ist der Nenner positiv und geht gegen \(0\). Somit gilt \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \infty\). Für \(x \to 2^-\) ist \(e^x < e^2\), der Nenner ist negativ und geht gegen \(0\), woraus \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\) folgt.

Die Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Die Grenzwerte lauten: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\) \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \infty\) \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\)

- Erinnere dich an die Wachstumsgeschwindigkeit der \(e\)-Funktion im Vergleich zu ganzrationalen Funktionen. - Was passiert mit dem Bruchterm, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Untersuche das Verhalten links und rechts von der Definitionslücke separat. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Grenzübergang gegen Unendlich.

1. Definitionsbereich: Die Funktion ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert, außer dort, wo der Nenner null wird, also \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Ränder sind \(\pm \infty\) und die Stelle \(1\). 2. Grenzwert für \(x \to \infty\): Da \(e^x\) schneller wächst als jede Potenzfunktion, dominiert \(e^x\) den rationalen Term \(\frac{x^2}{x-1} \approx x\). Es gilt \(\lim_{x \to \infty} (e^x - \frac{x^2}{x-1}) = \infty\). 3. Grenzwert für \(x \to -\infty\): Hier gilt \(e^x \to 0\). Der Term \(\frac{x^2}{x-1}\) verhält sich für betragsmäßig große \(x\) wie \(x\). Da \(x \to -\infty\), geht \(\frac{x^2}{x-1}\) gegen \(-\infty\). Somit ist \(\lim_{x \to -\infty} (0 - (-\infty)) = \infty\). 4. Verhalten an der Polstelle \(x = 1\): Der Term \(e^x\) strebt gegen \(e^1 = e\). Der Zähler \(x^2\) strebt gegen \(1\). Für \(x \to 1^+\) geht \(x-1\) gegen \(0^+\), also \(\frac{x^2}{x-1} \to \infty\). Damit ist \(\lim_{x \to 1^+} (e - \infty) = -\infty\). Für \(x \to 1^-\) geht \(x-1\) gegen \(0^-\), also \(\frac{x^2}{x-1} \to -\infty\). Damit ist \(\lim_{x \to 1^-} (e - (-\infty)) = \infty\).

Die Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Die Grenzwerte lauten: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\) \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty\) \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \infty\)

- Überlege, welche Ableitungsregel bei einem Produkt zweier Teilfunktionen hilfreich ist. - Kannst du den Term der Ableitung durch Ausklammern vereinfachen? - Welche Teilfunktion „gewinnt“ beim Grenzübergang gegen Unendlich, wenn ein Polynom und eine Exponentialfunktion multipliziert werden? - Erinnere dich an den typischen Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion für sehr große und sehr kleine x-Werte.

1. Zur Berechnung der Ableitung wird die Produktregel \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) angewendet. Mit \(u(x) = x^2 - 2x\) und \(v(x) = e^x\) ergibt sich \(u'(x) = 2x - 2\) und \(v'(x) = e^x\). 2. Einsetzen in die Formel: \(f'(x) = (2x - 2) \cdot e^x + (x^2 - 2x) \cdot e^x\). 3. Ausklammern von \(e^x\): \(f'(x) = (2x - 2 + x^2 - 2x) \cdot e^x = (x^2 - 2) \cdot e^x\). 4. Grenzverhalten für \(x \to \infty\): Da sowohl \(x^2 - 2x\) als auch \(e^x\) gegen \(\infty\) streben, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\). 5. Grenzverhalten für \(x \to -\infty\): Der Term \(e^x\) strebt gegen \(0\), während \(x^2 - 2x\) gegen \(\infty\) strebt. Da die Exponentialfunktion stärker wächst/fällt als jede Potenzfunktion, dominiert \(e^x\), woraus \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) folgt.

a) \(f'(x) = (x^2 - 2) \cdot e^x\) b) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)

- Kannst du den Ausdruck so umformen, dass du bekannte Grenzwerte wie \(\frac{x}{e^x}\) für \(x \to \infty\) verwenden kannst? - Manchmal hilft es, eine Substitution wie \(u = -x\) durchzuführen, um das Verhalten für \(x \to -\infty\) besser zu verstehen. - Achte bei Grenzwerten an Definitionslücken besonders darauf, ob sich der Nenner von der positiven oder der negativen Seite der Null nähert. - Überlege dir, ob du durch Ausklammern oder Kürzen den Term vereinfachen kannst, bevor du den Grenzwert betrachtest.

1. In Teilaufgabe a) kann der Bruch durch \(e^x\) gekürzt oder in zwei Brüche aufgeteilt werden: \(\frac{4 \cdot e^x}{2 \cdot e^x} + \frac{x}{2 \cdot e^x} = 2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{e^x}\). Da \(\frac{x}{e^x}\) für \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt, ist der Grenzwert \(2 + 0 = 2\). 2. Bei Teilaufgabe b) betrachtet man \(x \to -\infty\). Setzt man \(u = -x\), so ergibt sich für \(u \to \infty\) der Ausdruck \(\frac{e^u}{(-u)^2} = \frac{e^u}{u^2}\). Da die Exponentialfunktion im Zähler schneller wächst als die Quadratfunktion im Nenner, strebt der Ausdruck gegen \(\infty\). 3. In Teilaufgabe c) wird der linksseitige Grenzwert bei \(0\) betrachtet. Der Zähler strebt gegen \(e^0 = 1\). Für \(x < 0\) gilt \(e^x < 1\), sodass der Nenner \(e^x - 1\) negativ ist und gegen \(0\) strebt. Die Division einer positiven Zahl durch Werte, die von unten gegen \(0\) gehen, führt zum Grenzwert \(-\infty\).

a) \(2\) b) \(\infty\) c) \(-\infty\)

- Welche Regel ist für Brüche beim Ableiten vorgesehen? - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn \(x\) immer kleiner wird (negativer Bereich)? - Bei Brüchen mit \(e^x\) im Zähler und Nenner kann es helfen, den Bruch geeignet zu kürzen oder zu erweitern, um den Grenzwert für \(x \to \infty\) zu sehen. - Gibt es einen Wert, dem sich der Funktionsgraph für extrem große oder kleine x-Werte annähert?

1. Zur Ableitung wird die Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) genutzt. Mit \(u(x) = e^x\) und \(v(x) = e^x + 2\) gilt \(u'(x) = e^x\) und \(v'(x) = e^x\). 2. Einsetzen: \(g'(x) = \frac{e^x(e^x + 2) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 2)^2} = \frac{e^{2x} + 2 \cdot e^x - e^{2x}}{(e^x + 2)^2} = \frac{2 \cdot e^x}{(e^x + 2)^2}\). 3. Grenzwert \(x \to -\infty\): Da \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\), ergibt sich \(g(x) \to \frac{0}{0 + 2} = 0\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 0\). 4. Grenzwert \(x \to \infty\): Um den Grenzwert zu bestimmen, teilt man Zähler und Nenner durch \(e^x\): \(g(x) = \frac{1}{1 + \frac{2}{e^x}}\). Da \(\frac{2}{e^x} \to 0\) für \(x \to \infty\), folgt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{1}{1 + 0} = 1\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 1\).

a) \(g'(x) = \frac{2 \cdot e^x}{(e^x + 2)^2}\) b) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 1\). Die waagerechten Asymptoten lauten \(y = 0\) und \(y = 1\).