Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche mathematische Operation ist die Umkehrung der Exponentialfunktion zur Basis \(e\)? - Wie kannst du eine Potenz mit einer anderen Basis ausdrücken, ohne den Wert zu verändern? - Überlege, welche Identität zwischen \(e\) und dem natürlichen Logarithmus besteht.

1. Um die Basis \(1{,}025\) zur Basis \(e\) umzuformen, wird der Ansatz \(e^k = 1{,}025\) gewählt. Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus erhält man \(k = \ln(1{,}025)\). Die Berechnung ergibt \(k \approx 0{,}02469\). Exakt gilt \(K(t) = 5000e^{\ln(1{,}025)t}\); mit dem gerundeten Wert von \(k\) erhält man näherungsweise \(K(t) \approx 5000e^{0{,}02469t}\). 2. Jede Basis \(b > 0\) lässt sich als \(b = e^{\ln(b)}\) schreiben. Setzt man dies in \(f(x) = b^x\) ein, folgt \(f(x) = (e^{\ln(b)})^x = e^{\ln(b)x}\). Der Parameter \(k\) entspricht also stets dem natürlichen Logarithmus der ursprünglichen Basis \(b\), d. h. \(k = \ln(b)\).

1. Exakt: \(K(t) = 5000e^{\ln(1{,}025)t}\); näherungsweise: \(K(t) \approx 5000e^{0{,}02469t}\) mit \(k \approx 0{,}02469\). 2. Der Parameter wird über die Beziehung \(k = \ln(b)\) bestimmt, da \(b^t = (e^{\ln b})^t = e^{\ln(b)t}\) gilt.

- Welchen Wert hat die Zeit \(t\) zu Beginn der Beobachtung? - Der Wachstumsfaktor gibt an, mit welcher Zahl der Bestand pro Zeiteinheit multipliziert wird. - Suche dir Punkte im Gitter, die genau auf den Kreuzungen liegen, um Werte sicher abzulesen.

1. Den Anfangsbestand \(N_0\) zum Zeitpunkt \(t = 0\) ablesen: Für Kultur \(h\) gilt \(N_0 = 2\). Für Kultur \(k\) gilt \(N_0 = 8\). 2. Den Bestand nach einer Stunde (\(t = 1\)) ablesen: Bei \(G_h\) liegt der Punkt \((1 \mid 3)\), bei \(G_k\) der Punkt \((1 \mid 6)\). 3. Den Wachstumsfaktor \(a\) berechnen: Für \(h\) gilt \(2 \cdot a = 3 \Rightarrow a = 1{,}5\). Für \(k\) gilt \(8 \cdot a = 6 \Rightarrow a = 0{,}75\). 4. Ergebnisse: Kultur \(h\) hat einen Anfangsbestand von \(2000\) Bakterien (\(N_0 = 2\)) und einen Wachstumsfaktor von \(a = 1{,}5\). Kultur \(k\) hat einen Anfangsbestand von \(8000\) Bakterien (\(N_0 = 8\)) und einen Wachstumsfaktor von \(a = 0{,}75\).

Kultur \(h\): Anfangsbestand \(N_0 = 2\) (Tausend), Wachstumsfaktor \(a = 1{,}5\); Kultur \(k\): Anfangsbestand \(N_0 = 8\) (Tausend), Wachstumsfaktor \(a = 0{,}75\).

- Überlege dir, welchen Wert die Funktion \(f_a(x)\) an der Stelle \(x = 0\) annimmt. - Wie beeinflusst der Parameter \(a\) den Schnittpunkt des Graphen mit der vertikalen Achse? - Lies die \(y\)-Werte an der Stelle \(x = 0\) für jeden Graphen direkt aus der Zeichnung ab.

1. Da \(e^0 = 1\), gilt für alle Funktionen der Schar \(f_a(0) = a\). Der Parameter \(a\) entspricht also dem \(y\)-Achsenabschnitt des jeweiligen Graphen. 2. Graph (1) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 2\). Daraus folgt \(a = 2\). 3. Graph (2) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 0{,}5\). Daraus folgt \(a = 0{,}5\). 4. Graph (3) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = -1\). Daraus folgt \(a = -1\).

(1) \(a = 2\), (2) \(a = 0{,}5\), (3) \(a = -1\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Produkte und die Kettenregel für die \(e\)-Funktion. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in deine Ableitungsfunktion ein und löse die entstehende Gleichung nach \(a\) auf.

1. Punktprobe mit \(P(2 \mid 5e^{-2})\): \(g_a(2) = (2 + a) \cdot e^{-2} = 5e^{-2}\). Durch Division durch \(e^{-2}\) erhält man \(2 + a = 5\), woraus \(a = 3\) folgt. 2. Ableitung mit der Produktregel: \(g_a'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x + a) \cdot (-e^{-x}) = (1 - x - a) \cdot e^{-x}\). An der Stelle \(x = 0\) gilt: \(g_a'(0) = (1 - 0 - a) \cdot e^0 = 1 - a\). Gleichsetzen mit dem Wert \(-2\): \(1 - a = -2 \Rightarrow a = 3\).

1. \(a = 3\) 2. \(a = 3\)

- Welche mathematische Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle erfüllt sein? - Wie wendest du die Produktregel auf eine Funktion der Form \(u(t) \cdot v(t)\) an? - Beachte, dass der Exponentialterm \(e^{kt}\) niemals null wird.

1. Ableitung der Funktion \(g(t) = 10 \cdot (60 - t) \cdot e^{kt}\) unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(g'(t) = 10 \cdot (-1) \cdot e^{kt} + 10 \cdot (60 - t) \cdot k \cdot e^{kt} = 10 \cdot e^{kt} \cdot (-1 + 60 \cdot k - k \cdot t)\). 2. Bedingung für ein Extremum bei \(t = 20\): \(g'(20) = 0\). 3. Einsetzen von \(t = 20\) in die Ableitung: \(10 \cdot e^{20k} \cdot (60 \cdot k - 20 \cdot k - 1) = 0\). 4. Da \(10 \cdot e^{20k} \neq 0\), muss gelten: \(40 \cdot k - 1 = 0\). 5. Auflösen nach \(k\): \(k = \frac{1}{40} = 0{,}025\). 6. Überprüfung der Art des Extremums (optional): \(g''(20) = 10 \cdot k \cdot e^{20k} \cdot (40 \cdot k - 2) = 10 \cdot 0{,}025 \cdot e^{0{,}5} \cdot (1 - 2) < 0\), somit liegt ein Maximum vor.

Der Wert der Konstanten ist \(k = 0{,}025\).

- Nutze die Produktregel und die Kettenregel für die Ableitungen. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion \(e^{-at}\) niemals null wird. - Das Maximum findest du über die Nullstelle der ersten Ableitung. - Die stärkste Abnahme entspricht der Wendestelle, an der die Steigung negativ und minimal ist. - Setze für die maximale Konzentration den gefundenen Zeitpunkt einfach in die ursprüngliche Funktion ein.

1. Zur Bestimmung der Extrema wird die erste Ableitung gebildet: \(c_a'(t) = 40e^{-at} + 40 \cdot t \cdot (-a) \cdot e^{-at} = 40 \cdot e^{-at} \cdot (1 - at)\). Die notwendige Bedingung \(c_a'(t) = 0\) führt auf \(1 - at = 0\), also \(t_{\text{max}} = \frac{1}{a}\). Da \(c_a'(t)\) bei \(t = \frac{1}{a}\) ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus aufweist, liegt ein Maximum vor. 2. Einsetzen von \(t_{\text{max}}\) in die Funktionsgleichung: \(c_a\left(\frac{1}{a}\right) = 40 \cdot \frac{1}{a} \cdot e^{-a \cdot \frac{1}{a}} = \frac{40}{a} \cdot e^{-1} = \frac{40}{a \cdot e}\). 3. Die stärkste Abnahme liegt am Wendepunkt im fallenden Bereich vor. Die zweite Ableitung lautet: \(c_a''(t) = 40 \cdot (-a) \cdot e^{-at} \cdot (1 - at) + 40 \cdot e^{-at} \cdot (-a) = 40 \cdot a \cdot e^{-at} \cdot (at - 2)\). Die Bedingung \(c_a''(t) = 0\) ergibt \(at - 2 = 0\), also \(t_W = \frac{2}{a}\). Da \(c_a'(t_W) = 40e^{-2} \cdot (1 - 2) = -40 \cdot e^{-2} < 0\), handelt es sich um die stärkste Abnahme. 4. Das Verhältnis ist \(\frac{t_W}{t_{\text{max}}} = \frac{\frac{2}{a}}{\frac{1}{a}} = 2\).

1. \(t_{\text{max}} = \frac{1}{a}\) 2. \(c_{\text{max}} = \frac{40}{a \cdot e}\) 3. \(t_W = \frac{2}{a}\) 4. Das Verhältnis beträgt \(2\).

- Überlege dir zuerst, wie du das Maximum einer Funktion mit Parameter bestimmst. - Was musst du tun, um zu zeigen, dass ein Ergebnis nicht von einer Variablen abhängt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung und der Änderungsrate. - Betrachte den Term \(\frac{1}{k}\): Was passiert mit dem Wert, wenn \(k\) größer wird?

1. Die erste Ableitung ist \(f_k'(t) = ke^{-kt} + k \cdot t \cdot (-k) \cdot e^{-kt} = k \cdot e^{-kt} \cdot (1 - kt)\). Die Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei \(t = \frac{1}{k}\). Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(f_k\left(\frac{1}{k}\right) = k \cdot \frac{1}{k} \cdot e^{-k \cdot \frac{1}{k}} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}\). Da dieser Wert unabhängig von \(k\) ist, ist der maximale Funktionswert für alle \(k\) identisch. 2. Die momentane Änderungsrate zu Beginn ist der Wert der ersten Ableitung an der Stelle \(t = 0\): \(f_k'(0) = k \cdot e^{0} \cdot (1 - 0) = k \cdot 1 \cdot 1 = k\). 3. Da der Zeitpunkt des Maximums \(t_{\text{max}} = \frac{1}{k}\) ist, führt ein größerer Wert von \(k\) dazu, dass das Maximum früher erreicht wird (der Prozess läuft schneller ab). Gleichzeitig bedeutet ein größeres \(k\), dass die anfängliche Änderungsrate \(f_k'(0) = k\) höher ist, der Prozess also steiler startet.

1. Das Maximum liegt stets bei \(f_k\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{1}{e} \approx 0{,}368\). 2. \(f_k'(0) = k\) 3. Ein größeres \(k\) bewirkt einen schnelleren Anstieg zu Beginn und ein früheres Erreichen des Maximums.

- Welches Wachstum dominiert bei sehr großen Werten von \(t\)? - Wie bestimmt man die Extremstellen einer Funktion? Achte darauf, ob der Parameter \(c\) in der Gleichung für \(t\) bestehen bleibt. - Die stärkste Abnahme entspricht dem Minimum der ersten Ableitungsfunktion. - Setze den bekannten Zeitpunkt des Maximums in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem gesuchten Parameter auf.

1. Grenzwertbetrachtung: Da die Exponentialfunktion \(e^{0{,}02t}\) für \(t \to \infty\) schneller wächst als jede lineare Funktion, gilt \(\lim_{t \to \infty} h_c(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{c \cdot (t+40)}{e^{0{,}02t}} = 0\). 2. Ableitung berechnen: \(h_c'(t) = c \cdot [1 \cdot e^{-0{,}02t} + (t + 40) \cdot (-0{,}02) \cdot e^{-0{,}02t}] = c \cdot e^{-0{,}02t} \cdot (1 - 0{,}02t - 0{,}8) = c \cdot e^{-0{,}02t} \cdot (0{,}2 - 0{,}02t)\). 3. Extremstelle: \(h_c'(t) = 0\) führt zu \(0{,}2 - 0{,}02t = 0\), woraus \(t = 10\) folgt. Da dieser Wert unabhängig von \(c\) ist, ist die Unabhängigkeit gezeigt. Die Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(h_c''(10) < 0\) bestätigt das Maximum. 4. Wendepunkt (stärkste Abnahme): Die zweite Ableitung ist \(h_c''(t) = ce^{-0{,}02t} \cdot (0{,}0004t - 0{,}024)\). Nullsetzen ergibt \(0{,}0004t = 0{,}024\), also \(t = 60\). Da \(h_c'''(60) > 0\), liegt hier ein Minimum der Steigung (stärkste Abnahme) vor. 5. Parameterbestimmung: Einsetzen von \(t = 10\) in \(h_c(t) = 500\) ergibt \(c \cdot (10 + 40) \cdot e^{-0{,}02 \cdot 10} = 500\). Dies führt zu \(50 \cdot c \cdot e^{-0{,}2} = 500\), also \(c = \frac{10}{e^{-0{,}2}} = 10 \cdot e^{0{,}2} \approx 12{,}21\).

a) \(\lim_{t \to \infty} h_c(t) = 0\,\text{mg}/\text{l}\) b) \(t = 10\) (unabhängig von \(c\)) c) Nach \(60\,\text{Stunden}\) d) \(c \approx 12{,}21\)

- Überlege dir, welcher Wert der Funktion der Höhe in der Mitte entspricht. - Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein, um die Unbekannten zu berechnen. - Welches mathematische Kriterium hilft dir dabei, die Stelle mit der extremsten Steigung zu finden? - Denke daran, dass Steigungen oft als Dezimalzahl berechnet werden; wie rechnet man diese in Prozent um?

1. Bestimmung von \(A\): Aus der Bedingung \(f(0) = 12\) folgt direkt \(A \cdot e^0 = 12\), also \(A = 12\). 2. Bestimmung von \(k\): Mit der Bedingung \(f(20) = 8\) ergibt sich \(12 \cdot e^{-k \cdot 20^2} = 8\). Umformen führt zu \(e^{-400k} = \frac{2}{3}\), woraus \(k = -\frac{\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)}{400} = \frac{\ln(1{,}5)}{400} \approx 0{,}001014\) folgt. 3. Bestimmung des Wendepunkts: Die stärkste Steigung bzw. das stärkste Gefälle liegt an den Wendestellen vor. Die zweite Ableitung \(f''(x) = 12e^{-kx^2} \cdot (-2 \cdot k + 4 \cdot k^2 \cdot x^2)\) wird Null für \(x^2 = \frac{1}{2k}\). Für \(x > 0\) ergibt sich \(x_w = \sqrt{\frac{200}{\ln(1{,}5)}} \approx 22{,}21\). 4. Koordinaten des Wendepunkts: Der Funktionswert an der Wendestelle ist \(f(x_w) = 12e^{-k \cdot \frac{1}{2k}} = 12 \cdot e^{-0{,}5} \approx 7{,}28\). Der Punkt ist \(P(22{,}21 \mid 7{,}28)\). 5. Berechnung der Steigung: Die Steigung im Wendepunkt ist \(f'(x_w) = -2 \cdot k \cdot x_w \cdot f(x_w) = -2 \cdot \frac{\ln(1{,}5)}{400} \cdot \sqrt{\frac{200}{\ln(1{,}5)}} \cdot 12 \cdot e^{-0{,}5} = -\sqrt{\frac{\ln(1{,}5)}{200}} \cdot 12 \cdot e^{-0{,}5} \approx -0{,}328\). 6. Umrechnung in Prozent: Eine Steigung von \(-0{,}328\) entspricht einem Gefälle von \(32{,}8\,\%\).

a) \(A = 12\); \(k = \frac{\ln(1{,}5)}{400} \approx 0{,}001014\) b) \(P(22{,}21 \mid 7{,}28)\) c) Das Gefälle beträgt ca. \(32{,}8\,\%\).

- Wie kannst du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung? - Könnte es helfen, den Dezimalwert in einen Bruch umzuwandeln? - Welche Einschränkungen gibt es für die Basis einer Exponentialfunktion?

1. Durch Einsetzen der Koordinaten von \(P(-2 \mid 6{,}25)\) in die Funktionsgleichung erhält man die Gleichung \(6{,}25 = a^{-2}\). 2. Umrechnung des Dezimalwerts in einen Bruch ergibt \(\frac{25}{4} = \frac{1}{a^2}\). 3. Durch Bilden des Kehrwerts folgt \(a^2 = \frac{4}{25}\). 4. Da die Basis \(a\) einer Exponentialfunktion stets positiv sein muss, ergibt das Ziehen der Quadratwurzel \(a = \frac{2}{5} = 0{,}4\).

\(a = 0{,}4\)

- Erinnere dich daran, wie man Dezimalzahlen in Brüche umwandelt. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(y = b^{\frac{m}{n}}\) nach \(b\) auflösen? - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird?

1. Einsetzen der Punktkoordinaten von \(Q(0{,}75 \mid 8)\) in \(g(x) = b^x\) führt auf die Gleichung \(8 = b^{0{,}75}\). 2. Darstellung des Exponenten als Bruch: \(8 = b^{\frac{3}{4}}\). 3. Auflösen nach \(b\) durch Potenzieren beider Seiten mit dem Kehrwert des Exponenten: \(b = 8^{\frac{4}{3}}\). 4. Berechnung des Werts über die dritte Wurzel: \(b = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16\).

\(b = 16\)

- Überlege dir, was „Verdopplung“ mathematisch für den Wachstumsfaktor über einen bestimmten Zeitraum bedeutet. - Wie hängen der Faktor für eine Zeiteinheit und der Faktor für mehrere Zeiteinheiten zusammen? - Erinnere dich daran, wie man einen Multiplikationsfaktor in eine prozentuale Steigerung umrechnet. - Kannst du die Zeitangaben in Stunden ausdrücken, um sie direkt als Exponenten zu nutzen?

1. Aus der Verdopplungszeit folgt die Gleichung \(b^3 = 2\). Die Basis ist somit \(b = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}2599\). 2. Der Faktor für eine Stunde entspricht \(b^1 = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}2599\). 3. Für den Zeitraum von \(4{,}5\) Stunden ergibt sich der Faktor \(b^{4{,}5} = (2^{\frac{1}{3}})^{4{,}5} = 2^{1{,}5} = \sqrt{8} \approx 2{,}8284\). 4. Für 30 Minuten (\(0{,}5\) Stunden) berechnet man \(b^{0{,}5} = 2^{\frac{0{,}5}{3}} = 2^{\frac{1}{6}} \approx 1{,}1225\). Dies entspricht einer prozentualen Zunahme von ca. \(12{,}25\,\%\).

a) \(b = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}2599\) b) Faktor \(\approx 1{,}2599\) c) Faktor \(\approx 2{,}8284\) d) Zunahme um ca. \(12{,}25\,\%\)

- Kannst du die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen? - Wie lässt sich \(b^{-1}\) umschreiben, um die Gleichung nach \(a\) aufzulösen? - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir, wenn du Terme wie \(b \cdot b^{1{,}5}\) zusammenfasst? - Wie isolierst du die Basis \(b\), wenn sie mit einem Dezimalexponenten wie \(2{,}5\) potenziert wird?

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Einsetzen der Koordinaten: (I) \(12 = ab^{-1}\) (II) \(0{,}375 = ab^{1{,}5}\) 2. Auflösen der ersten Gleichung nach \(a\): \(a = 12b\). 3. Einsetzen von \(a\) in Gleichung (II): \(0{,}375 = 12 \cdot b \cdot b^{1{,}5} = 12 \cdot b^{2{,}5}\). 4. Berechnen von \(b\): \(b^{2{,}5} = \frac{0{,}375}{12} = 0{,}03125\). Daraus folgt \(b = 0{,}03125^{\frac{1}{2{,}5}} = 0{,}25\). 5. Berechnen von \(a\): \(a = 12 \cdot 0{,}25 = 3\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 3 \cdot 0{,}25^x\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 3 \cdot 0{,}25^x\).

- Was passiert mathematisch, wenn du die beiden Funktionsgleichungen durcheinander dividierst? - Welche Bedeutung hat das Verhältnis zweier Funktionswerte, deren \(x\)-Werte sich um genau \(1\) unterscheiden? - Wenn zwei Funktionen am selben Punkt starten, aber die eine nach einem Schritt einen höheren Wert erreicht als die andere – was sagt das über ihre Wachstumsfaktoren aus?

1. Teilaufgabe a: Aufstellen des Verhältnisses der Funktionswerte: \(\frac{f(3)}{f(2)} = \frac{a \cdot b^3}{a \cdot b^2} = b\). Einsetzen der Werte ergibt \(b = \frac{20}{5} = 4\). 2. Einsetzen von \(b\) in \(f(2) = 5\): \(5 = a \cdot 4^2 = 16a\), woraus \(a = \frac{5}{16} = 0{,}3125\) folgt. 3. Teilaufgabe b: Der Quotient \(\frac{f(x+1)}{f(x)}\) entspricht bei Exponentialfunktionen dem Wachstumsfaktor \(b\). 4. Beide Funktionen haben bei \(x = 2\) denselben Funktionswert \(5\). Nach einem weiteren Schritt gilt für \(g\) der Wert \(15\), für \(f\) dagegen der Wert \(20\). Daher ist \(\frac{g(3)}{g(2)} < \frac{f(3)}{f(2)}\), also \(d < b\), ohne dass \(d\) vollständig berechnet werden muss.

a) \(a = 0{,}3125\) und \(b = 4\). b) \(d\) ist kleiner als \(b\), da \(\frac{g(3)}{g(2)} = \frac{15}{5} < \frac{20}{5} = \frac{f(3)}{f(2)}\).

- Kannst du ein Gleichungssystem für die unbekannten Parameter aufstellen? - Welche Operation hilft dir, eine der Unbekannten zu eliminieren? - Was sagt der Wert von \(a\) über die Änderung pro Zeiteinheit aus?

1. Es gelten \(18 = c_0 \cdot a^3\) und \(4{,}2 = c_0 \cdot a^8\). Division liefert \(a^5 = \frac{4{,}2}{18} = \frac{7}{30}\). Daher ist \(a = \sqrt[5]{\frac{7}{30}} \approx 0{,}7475\). Einsetzen ergibt \(c_0 = \frac{18}{a^3} \approx 43{,}10\,\text{mg}/\text{l}\). 2. Die stündliche Abnahme beträgt \((1-a) \cdot 100\,\% \approx 25{,}25\,\%\).

1. \(a \approx 0{,}7475\); \(c_0 \approx 43{,}10\,\text{mg}/\text{l}\) 2. Die Konzentration nimmt stündlich um ca. \(25{,}25\,\%\) ab.

- Welche Art von Wachstumsmodell beschreibt eine konstante prozentuale Änderung pro Zeiteinheit? - Kannst du die gegebenen Werte in eine Funktionsgleichung mit unbekannter Basis einsetzen? - Wie löst du eine Gleichung nach der Basis auf, wenn der Exponent bekannt ist? - Was ist der Unterschied zwischen Wachstumsfaktor und prozentualer Wachstumsrate?

1. Das Modell lautet \(A(n) = A_0q^n\). 2. Aus \(215 = 150q^{12}\) folgt \(q^{12} = \frac{43}{30}\). 3. Daher ist \(q = \sqrt[12]{\frac{43}{30}} \approx 1{,}0305\). 4. Die jährliche Wachstumsrate beträgt \(p = (q-1) \cdot 100\,\% \approx 3{,}05\,\%\).

Der durchschnittliche jährliche Zuwachs der Waldfläche beträgt ca. \(3{,}05\,\%\).

- Welche Formel nutzt du, wenn ein Wert über mehrere Jahre hinweg prozentual abnimmt? - Welche Variable entspricht dem jährlichen Faktor? - Wie kommst du vom Faktor \(q\) auf den prozentualen Verlust? - Bei einer Abnahme muss \(q < 1\) gelten.

1. Das Modell lautet \(W(n) = W_0q^n\). 2. Aus \(18\,400 = 85\,000q^7\) folgt \(q^7 = \frac{92}{425}\). 3. Daher ist \(q = \sqrt[7]{\frac{92}{425}} \approx 0{,}8036\). 4. Die jährliche Abnahme beträgt \((1-q) \cdot 100\,\% \approx 19{,}64\,\%\).

Der Wert des Roboters ist jährlich um durchschnittlich etwa \(19{,}64\,\%\) gesunken.

- Schau dir die Abstände zwischen den Jahren an, in denen sich die Werte in der rechten Spalte verdoppeln. - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(q\) und die Verdopplungszeit \(T_d\) zusammen? Erinnere dich an die Gleichung \(q^{T_d} = 2\). - Wenn ein Vorgang immer länger braucht, um sich zu verdoppeln, was bedeutet das für die jährliche Steigerung in Prozent?

1. Verdopplungszeiträume bestimmen: Von \(120\,000\) auf \(240\,000\) sind es \(2018 - 2016 = 2\) Jahre. Von \(240\,000\) auf \(480\,000\) sind es \(2021 - 2018 = 3\) Jahre. Von \(480\,000\) auf \(960\,000\) sind es \(2025 - 2021 = 4\) Jahre. 2. Wachstumsraten berechnen: Für den 1. Zeitraum gilt \(q_1 = 2^{\frac{1}{2}} \approx 1{,}4142\) (ca. \(41{,}42\,\%\)). Für den 2. Zeitraum gilt \(q_2 = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}2599\) (ca. \(25{,}99\,\%\)). Für den 3. Zeitraum gilt \(q_3 = 2^{\frac{1}{4}} \approx 1{,}1892\) (ca. \(18{,}92\,\%\)). 3. Interpretation: Die Verdopplungszeiträume werden länger (2, 3, dann 4 Jahre). Dies bedeutet, dass die relative (prozentuale) Wachstumsgeschwindigkeit abnimmt, obwohl die absoluten Nutzerzahlen weiterhin steigen. Das Wachstum verlangsamt sich also in seiner Dynamik.

a) Die Verdopplungszeiträume betragen nacheinander 2 Jahre, 3 Jahre und 4 Jahre. b) Die Wachstumsraten liegen bei ca. \(41{,}4\,\%\), \(26{,}0\,\%\) und \(18{,}9\,\%\). c) Da die Verdopplungszeiträume zunehmen, sinkt die relative Wachstumsrate; das Wachstum verliert an Dynamik.

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung für beide Modelle auf. - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(q\) und die Rate \(p\) zusammen? - Nutze den Logarithmus, um nach der Zeit oder der Konstante \(k\) aufzulösen. - Was bedeutet „Vervierfachung“ für die Gleichung? - Beachte, dass \(e^{10k} = (e^{5k})^2\) gilt.

1. Aus \(350 = 200q^5\) folgt \(q = \sqrt[5]{1{,}75} \approx 1{,}1184\). Die jährliche Wachstumsrate beträgt \(p = (q-1) \cdot 100\,\% \approx 11{,}84\,\%\). 2. Für die Vervierfachung gilt \(q^n = 4\). Daher ist \(n = \frac{\ln(4)}{\ln(q)} \approx 12{,}39\) Jahre. 3. Aus \(200e^{5k} = 350\) folgt \(k = \frac{\ln(1{,}75)}{5} \approx 0{,}1119\). Nach 10 Jahren gilt \(B(10) = 200 \cdot 1{,}75^2 = 612{,}5\). Das Modell prognostiziert somit etwa \(613\) Tiere.

1. \(q \approx 1{,}1184\); \(p \approx 11{,}84\,\%\) 2. nach ca. \(12{,}39\) Jahren 3. \(k \approx 0{,}1119\); nach 10 Jahren ca. \(613\) Tiere

- Wie hängen die Basis \(a\) und die Basis \(e\) mathematisch zusammen? - Was bedeutet „Halbwertszeit“ für den Bestand nach einer gewissen Zeit? - Welchen Einfluss haben der Vorfaktor vor der Potenz und der Wert im Exponenten auf das Aussehen der Kurve?

1. Zur Bestimmung von \(k\) wird der Ansatz \(e^k = 0{,}82\) gewählt. Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus ergibt sich \(k = \ln(0{,}82) \approx -0{,}1985\). 2. Die Halbwertszeit \(t_H\) wird berechnet, indem der Wachstumsfaktor auf \(0{,}5\) gesetzt wird: \(0{,}82^{t_H} = 0{,}5\) oder \(e^{kt_H} = 0{,}5\). Dies führt zu \(t_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}82)} \approx 3{,}49\,\text{h}\). 3. Die Funktionsgleichung für das zweite Medikament lautet \(g(t) = 300e^{-0{,}12t}\). Im Vergleich zu \(M(t)\) ist der Startwert verdoppelt (\(300\) statt \(150\)), was einer Streckung in \(y\)-Richtung entspricht. Da \(|-0{,}12| < |-0{,}1985|\) ist, verläuft der Graph von \(g\) flacher, das Medikament wird also langsamer abgebaut.

a) \(k = \ln(0{,}82) \approx -0{,}1985\) b) \(t_H \approx 3{,}49\,\text{h}\) c) \(g(t) = 300e^{-0{,}12t}\); der Graph startet höher auf der \(y\)-Achse und fällt langsamer ab als der Graph von \(M\).

- Überlege, welches Verhalten der Graph für sehr kleine \(x\)-Werte (\(x \to -\infty\)) zeigt und wie dies mit dem Parameter \(c\) zusammenhängt. - Nutze die Koordinaten des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse, um den Parameter \(a\) zu berechnen. - Bestimme die Koordinaten der Nullstelle aus der Abbildung und setze sie in die Funktionsgleichung ein, um nach \(b\) aufzulösen. - Bestimme die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) unter Verwendung der Kettenregel und berechne die Steigungen an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 1\).

1. Bestimmung von \(c\): Aus der Abbildung geht hervor, dass die waagerechte Asymptote des Graphen für \(x \to -\infty\) bei \(y = 4\) liegt. Da \(b > 0\) ist, gilt \(\lim_{x \to -\infty} e^{bx} = 0\). Daraus folgt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = c = 4\). 2. Bestimmung von \(a\): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid 2)\). Einsetzen dieses Punktes in die Funktionsgleichung liefert \(f(0) = ae^0 + 4 = 2 \implies a + 4 = 2 \implies a = -2\). 3. Bestimmung von \(b\): Der Graph besitzt eine Nullstelle bei \(x = 1\), also gilt \(f(1) = 0\). Einsetzen liefert \(-2 \cdot e^{b \cdot 1} + 4 = 0 \implies -2 \cdot e^b = -4 \implies e^b = 2 \implies b = \ln(2)\). 4. Berechnung der Ableitungsfunktion: Mit \(f(x) = -2e^{\ln(2)x} + 4\) ergibt sich durch Ableiten \(f'(x) = -2\ln(2)e^{\ln(2)x}\). 5. Vergleich der Steigungen: Die Steigung am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(f'(0) = -2\ln(2)e^0 = -2\ln(2)\). Die Steigung an der Nullstelle ist \(f'(1) = -2\ln(2)e^{\ln(2)} = -4\ln(2)\). Es gilt somit \(f'(1) = -4\ln(2) = 2 \cdot (-2\ln(2)) = 2f'(0)\).

a) Da der Graph für \(x \to -\infty\) die waagerechte Asymptote \(y = 4\) besitzt, gilt \(c = 4\). Aus dem \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid 2)\) folgt \(f(0) = ae^0 + 4 = 2 \implies a = -2\). b) Aus der Nullstelle bei \(x = 1\) folgt \(f(1) = -2 \cdot e^b + 4 = 0 \implies e^b = 2 \implies b = \ln(2)\). c) Die Ableitung lautet \(f'(x) = -2\ln(2)e^{\ln(2)x}\). An den Stellen \(x = 0\) und \(x = 1\) ergeben sich die Steigungen \(f'(0) = -2\ln(2)\) und \(f'(1) = -4\ln(2)\). Da \(-4\ln(2) = 2 \cdot (-2\ln(2))\), gilt \(f'(1) = 2f'(0)\).

- Nutze den Wert bei \(t=0\), um den Faktor vor der e-Funktion direkt zu bestimmen. - Setze einen weiteren bekannten Punkt in die Funktionsgleichung ein, um nach der Unbekannten im Exponenten aufzulösen. - Um eine Gleichung zu lösen, bei der die Variable im Exponenten steht, ist der natürliche Logarithmus (\(\ln\)) das passende Werkzeug.

1. Bestimmung des Anfangswerts: Der y-Achsenabschnitt liegt bei \(c = 100\). 2. Bestimmung der Wachstumskonstante: Mit dem Punkt \((10 \mid 200)\) folgt \(200 = 100 \cdot e^{10k}\). Daraus ergibt sich \(2 = e^{10k}\) und \(k = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0{,}0693\). Der exakte Funktionsterm ist \(f(t) = 100e^{\frac{\ln(2)}{10}t}\); näherungsweise gilt \(f(t) \approx 100e^{0{,}0693t}\). 3. Berechnung des Zeitpunkts für \(1000\) Einheiten mit dem exakten Parameter: \(1000 = 100 \cdot e^{\frac{\ln(2)}{10}t}\). Daraus folgt \(10 = e^{\frac{\ln(2)}{10}t}\) und somit \(t = \frac{10\ln(10)}{\ln(2)} \approx 33{,}22\).

a) Exakt: \(f(t) = 100e^{\frac{\ln(2)}{10}t}\); näherungsweise: \(f(t) \approx 100e^{0{,}0693t}\) b) \(t = \frac{10\ln(10)}{\ln(2)} \approx 33{,}22\) Zeiteinheiten.

- Überlege, was passiert, wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt. Welcher Teil des Funktionsterms nähert sich dann Null an? - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse hat immer den \(x\)-Wert \(0\). Nutze dies, um einen der Parameter direkt zu berechnen. - Wenn du einen Punkt kennst, der auf dem Graphen liegt, kannst du seine Koordinaten für \(x\) und \(f(x)\) in die Gleichung einsetzen. - Für die Tangentengleichung benötigst du die Steigung der Funktion an der entsprechenden Stelle. Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei? - Die allgemeine Form einer Geradengleichung ist \(y = mx + n\).

1. Bestimmung von \(c\): Aus der Abbildung ist die waagerechte Asymptote bei \(y = 3\) ersichtlich. Da \(e^{bx} \to 0\) für \(x \to -\infty\) (bei \(b > 0\)), folgt \(c = 3\). 2. Bestimmung von \(a\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 \mid 1)\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(f(0) = ae^0 + 3 = 1\), woraus \(a = 1 - 3 = -2\) folgt. Die Funktion lautet somit \(f(x) = -2e^{bx} + 3\). 3. Berechnung von \(b\): Einsetzen des Punktes \(P(2 \mid 3 - 2e)\) in \(f(x) = -2e^{bx} + 3\) ergibt \(3 - 2e = -2e^{2b} + 3\). Subtraktion von \(3\) liefert \(-2e = -2e^{2b}\). Division durch \(-2\) ergibt \(e^1 = e^{2b}\). Durch Exponentenvergleich folgt \(1 = 2b\), also \(b = 0{,}5\). 4. Tangentengleichung: Die Ableitung der Funktion \(f(x) = -2e^{0{,}5x} + 3\) lautet \(f'(x) = -2 \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = -e^{0{,}5x}\). Die Steigung im Punkt \(S_y(0 \mid 1)\) ist \(m = f'(0) = -e^0 = -1\). Mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) ergibt sich die Tangentengleichung \(t(x) = -x + 1\).

a) \(c = 3\); \(a = -2\) b) \(b = 0{,}5\) c) \(t(x) = -x + 1\)

- Überlege dir, welcher Funktionswert zum Startzeitpunkt \(x = 0\) im Graphen abzulesen ist. - Welche mathematische Eigenschaft hat eine Kurve an der Stelle ihres höchsten Punktes? - Nutze die Ableitung der Funktion, um den Zeitpunkt des Maximums rechnerisch zu erfassen.

1. Aus der Bedingung für die Anfangskonzentration folgt: \(c(0) = (a \cdot 0 + b) \cdot e^0 = b = 10\). 2. Zur Bestimmung von \(a\) wird die erste Ableitung benötigt: \(c'(x) = a \cdot e^{-0{,}1x} + (ax + 10) \cdot (-0{,}1) \cdot e^{-0{,}1x} = e^{-0{,}1x} \cdot (a - 0{,}1ax - 1)\). 3. Da bei \(x = 5\) ein Maximum vorliegt, muss die notwendige Bedingung \(c'(5) = 0\) erfüllt sein: \(e^{-0{,}5} \cdot (a - 0{,}1 \cdot a \cdot 5 - 1) = 0\). 4. Da \(e^{-0{,}5} \neq 0\), folgt \(a - 0{,}5a - 1 = 0\), woraus sich \(0{,}5a = 1\) und somit \(a = 2\) ergibt. Für \(a=2\) gilt \(c'(x)=e^{-0{,}1x}(1-0{,}2x)\); die Ableitung wechselt bei \(x=5\) von positiv zu negativ. Damit liegt dort tatsächlich ein Maximum vor. Die gesuchten Werte sind \(a = 2\) und \(b = 10\).

\(a = 2\) und \(b = 10\)

- Wie findet man die Extremstellen einer Funktion mit einem Parameter? - Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn man die Extremstelle für \(x\) einsetzt? - Erinnere dich an das Wachstumsverhalten von Potenzfunktionen im Vergleich zu Exponentialfunktionen. - Die Steigung wird durch die erste Ableitung beschrieben. Ein „Gefälle“ ist eine negative Steigung. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die Ableitungsfunktion ein und löse nach dem Parameter auf.

1. Zur Bestimmung des Maximums wird die erste Ableitung gebildet: \(f_k'(x) = 10 \cdot k^2 \cdot (2 \cdot x - k \cdot x^2) \cdot e^{2-kx} = 10 \cdot k^2 \cdot x \cdot (2 - k \cdot x) \cdot e^{2-kx}\). 2. Die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) liefert für \(x > 0\) die Stelle \(x_H = \frac{2}{k}\). 3. Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(f_k(\frac{2}{k}) = 10 \cdot k^2 \cdot (\frac{2}{k})^2 \cdot e^{2-k \cdot \frac{2}{k}} = 10 \cdot k^2 \cdot \frac{4}{k^2} \cdot e^0 = 40\). Die maximale Höhe beträgt somit stets \(40\,\text{m}\). 4. Für \(x > \frac{2}{k}\) gilt \(x > 0\), \(e^{2-kx} > 0\) und \(2-k \cdot x < 0\). Daher ist \(f_k'(x) < 0\), der Hügel fällt also nach dem höchsten Punkt. Für den Grenzwert gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{10 \cdot k^2 \cdot x^2 \cdot e^2}{e^{kx}} = 0\), da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als die Potenzfunktion im Zähler. 5. Das maximale Gefälle entspricht dem Betrag der Ableitung an der Wendestelle \(x_W = \frac{2+\sqrt{2}}{k}\). Einsetzen in die Ableitungsfunktion: \(f_k'(\frac{2+\sqrt{2}}{k}) = 10 \cdot k^2 \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{k} \cdot (2 - (2+\sqrt{2})) \cdot e^{2-(2+\sqrt{2})} = 10 \cdot k \cdot (2+\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{2}) \cdot e^{-\sqrt{2}} = -10 \cdot k \cdot (2\sqrt{2} + 2) \cdot e^{-\sqrt{2}}\). 6. Gleichsetzen des Betrags mit \(0{,}25\): \(10 \cdot k \cdot (2\sqrt{2} + 2) \cdot e^{-\sqrt{2}} = 0{,}25 \implies k = \frac{0{,}25}{10 \cdot (2\sqrt{2} + 2) \cdot e^{-\sqrt{2}}} \approx 0{,}0213\).

a) Die maximale Höhe beträgt \(40\,\text{m}\). b) Für \(x > \frac{2}{k}\) ist \(f_k'(x) < 0\), und \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0\). c) \(k \approx 0{,}0213\).

- Überlege dir, welchen Wert der Ausdruck \(e^{-kt}\) für \(t=0\) annimmt. - Wie verhält sich die Temperatur der Limonade nach einer sehr langen Zeit im Vergleich zur Zimmertemperatur? - Setze die bekannten Werte in die Funktionsgleichung ein, um die fehlenden Parameter zu bestimmen. - Denk an die Kettenregel beim Ableiten der Funktion.

1. Da sich die Temperatur langfristig der Zimmertemperatur angleicht, gilt \(A = 25\). Aus der Anfangstemperatur folgt \(g(0) = 25 - B \cdot e^{0} = 25 - B = 7\), woraus \(B = 18\) resultiert. 2. Zur Berechnung von \(k\) wird der Punkt \((20 \mid 16)\) in \(g(t) = 25 - 18e^{-kt}\) eingesetzt: \(16 = 25 - 18 \cdot e^{-20k} \implies -9 = -18 \cdot e^{-20k} \implies 0{,}5 = e^{-20k}\). 3. Durch Logarithmieren erhält man \(\ln(0{,}5) = -20k \implies k = \frac{\ln(0{,}5)}{-20} \approx 0{,}0347\). 4. Die Änderungsrate für den Fall \(k = 0{,}04\) ist \(g'(t) = -18 \cdot (-0{,}04) \cdot e^{-0{,}04t} = 0{,}72e^{-0{,}04t}\). 5. Gleichsetzen mit der vorgegebenen Rate: \(0{,}72 \cdot e^{-0{,}04t} = 0{,}25 \implies e^{-0{,}04t} = \frac{0{,}25}{0{,}72} \approx 0{,}3472\). 6. Auflösen nach \(t\): \(-0{,}04t = \ln(0{,}3472) \approx -1{,}0578 \implies t = \frac{-1{,}0578}{-0{,}04} \approx 26{,}45\). Der Zeitpunkt liegt bei ca. \(26{,}5\) Minuten.

a) \(A = 25\); \(B = 18\) b) \(k \approx 0{,}0347\) c) nach ca. \(26{,}5\) Minuten

- Betrachte die Grenzwerte der einzelnen Summanden der Funktion. - Für die zweite Kampagne musst du die Zeit \(t\) um den Startzeitpunkt verschieben. Überlege, wie man eine Funktion entlang der \(x\)-Achse verschiebt. - Addiere die Funktionswerte beider Kampagnen zum gesuchten Zeitpunkt. - Was passiert mit den zeitabhängigen Termen beider Kampagnen, wenn \(t\) sehr groß wird?

1. Grenzwert für \(t \to \infty\): Da der Term \(k \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t}\) für \(t \to \infty\) gegen \(0\) konvergiert, gilt \(\lim_{t \to \infty} S_k(t) = 10k\). 2. Gesamtfunktion: Für \(t \ge 50\) gilt \(G(t) = S_{100}(t) + S_{150}(t - 50)\). Einsetzen ergibt: \(G(t) = 100 \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t} + 1000 + 150 \cdot (20 - (t - 50)) \cdot e^{-0{,}1(t - 50)} + 1500\). Vereinfacht: \(G(t) = 100 \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t} + 150 \cdot (70 - t) \cdot e^{-0{,}1(t - 50)} + 2500\). 3. Berechnung für \(t = 60\): \(G(60) = 100 \cdot (20 - 60) \cdot e^{-6} + 1000 + 150 \cdot (20 - 10) \cdot e^{-1} + 1500\). \(G(60) = -4000 \cdot e^{-6} + 1000 + 1500 \cdot e^{-1} + 1500 \approx -9{,}91 + 1000 + 551{,}82 + 1500 \approx 3041{,}91\). 4. Langfristiger Gesamtwert: Die Grenzwerte der Einzelmodelle addieren sich: \(10 \cdot 100 + 10 \cdot 150 = 1000 + 1500 = 2500\).

a) \(10k\) b) \(G(t) = 100 \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t} + 150 \cdot (70 - t) \cdot e^{-0{,}1(t - 50)} + 2500\) c) ca. \(3042\) Besucher d) \(2500\) Besucher

- Achte auf den Unterschied zwischen Durchmesser und Radius. - Nutze den natürlichen Logarithmus, um die Parameter aus dem Exponenten zu lösen. - Die Sichtbedingung bedeutet mathematisch, dass die Sichtlinie die Tangente im Wendepunkt der Profilkurve ist. - Die Höhe der Turmspitze ist der Schnittpunkt dieser Tangente mit der \(y\)-Achse.

1. Bedingungen aufstellen: Ein Durchmesser von \(200\,\text{m}\) entspricht einem Radius von \(x=1\). Ein Durchmesser von \(400\,\text{m}\) entspricht \(x=2\). Die Höhen \(400\,\text{m}\) und \(200\,\text{m}\) entsprechen \(h=4\) und \(h=2\). Daraus folgen \(h(1)=4\) und \(h(2)=2\). 2. Gleichungssystem für \(a\) und \(b\): \(e^{a(b-1)} = 4 \Rightarrow a(b-1) = \ln(4)\) und \(e^{a(b-4)} = 2 \Rightarrow a(b-4) = \ln(2)\). 3. Lösung des Systems: Subtraktion der Gleichungen ergibt \(a(b-1) - a(b-4) = \ln(4) - \ln(2) \Rightarrow 3a = \ln(2) \Rightarrow a = \frac{1}{3}\ln(2) \approx 0{,}231\). Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(b-4 = \frac{\ln(2)}{\frac{1}{3}\ln(2)} = 3 \Rightarrow b = 7\). 4. Gipfelhöhe: \(h(0) = e^{ab} = e^{\frac{7}{3}\ln(2)} = 2^{\frac{7}{3}} \approx 5{,}040\), was \(504\,\text{m}\) entspricht. 5. Wendepunkt bestimmen: Die Wendestelle liegt bei \(x_w = \sqrt{\frac{1}{2a}} = \sqrt{\frac{3}{2 \cdot \ln(2)}} \approx 1{,}472\). Die Höhe im Wendepunkt ist \(h(x_w) = e^{a \cdot (b-x_w^2)} = e^{ab - 0{,}5} = h(0) \cdot e^{-0{,}5} \approx 3{,}057\). 6. Turmhöhe berechnen: Die Tangente im Wendepunkt hat die Gleichung \(y = h'(x_w) \cdot (x - x_w) + h(x_w)\). Der \(y\)-Achsenabschnitt (Spitze des Turms) ist \(y_T = -x_w \cdot h'(x_w) + h(x_w)\). Mit \(h'(x) = -2axh(x)\) folgt \(y_T = 2a \cdot x_w^2h(x_w) + h(x_w)\). Da \(2a \cdot x_w^2 = 1\), gilt \(y_T = 2h(x_w) \approx 6{,}113\). 7. Differenz zur Gipfelhöhe: Die Turmhöhe ist \(T = y_T - h(0) = 6{,}113 - 5{,}040 = 1{,}073\). Dies entspricht ca. \(107{,}3\,\text{m}\).

a) \(a = \frac{1}{3}\ln(2) \approx 0{,}231\); \(b = 7\) b) Die Mindesthöhe des Turms beträgt ca. \(107{,}3\,\text{m}\).

- Setze die Information über die Änderung von \(x\) und \(y\) in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Basis zu isolieren. - Was bedeutet eine „Abnahme“ für das Vorzeichen der Änderung von \(x\)? - Nutze die Potenzgesetze, insbesondere \((a^n)^m = a^{nm}\). - Um etwas allgemein zu zeigen, verwende Variablen für die Änderungen anstatt konkreter Zahlenwerte.

1. Aus der Bedingung folgt \(a^3 = 4\), woraus sich \(a = \sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}5874\) ergibt. 2. Der Faktor für \(\Delta x = 1{,}5\) ist \(a^{1{,}5} = (a^3)^{0{,}5} = 4^{0{,}5} = 2\). 3. Für eine Abnahme um 1 Einheit (\(\Delta x = -1\)) gilt der Faktor \(a^{-1} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0{,}6300\). 4. Sei \(q = a^{\Delta x}\) der Faktor für den Schritt \(\Delta x\). Für den Schritt \(2\Delta x\) ist der Faktor \(a^{2\Delta x} = (a^{\Delta x})^2 = q^2\). Damit ist der Zusammenhang bewiesen.

a) \(a = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}5874\) b) Faktor \(2\) c) Faktor \(\approx 0{,}6300\) d) Beweis über \(a^{2\Delta x} = (a^{\Delta x})^2\)

- Überlege dir, für welchen x-Wert der Ausdruck \((x - a)\) null wird. Was bedeutet das für den Schnittpunkt mit der x-Achse? - Nutze die Produktregel \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) für die Ableitung, wobei \(u(x) = x-a\) und \(v(x) = e^{0{,}5x}\) ist. - Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Stelle erfüllen, an der ein Tiefpunkt vorliegt? - Setze den bekannten x-Wert in deine Ableitungsfunktion ein, um eine Gleichung für den gesuchten Parameter zu erhalten.

1. Bestimmung der Nullstellen: Die Exponentialfunktion \(e^{0{,}5x}\) hat keine Nullstellen (sie ist stets positiv). Daher ergeben sich die Nullstellen von \(g_a\) ausschließlich aus der Gleichung \(x - a = 0\), also liegt die Nullstelle bei \(x = a\). 2. Zuordnung der Graphen: Graph 1 schneidet die x-Achse bei \(x = 1\), was dem Parameter \(a = 1\) entspricht. Graph 2 schneidet die x-Achse bei \(x = -1\), was dem Parameter \(a = -1\) entspricht. 3. Erste Ableitung berechnen: Unter Verwendung der Produktregel und der Kettenregel ergibt sich \(g'_a(x) = 1 \cdot e^{0{,}5x} + (x - a) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (1 + 0{,}5x - 0{,}5a)\). 4. Notwendige Bedingung für Extremstelle: \(g'_a(4) = 0\). Da \(e^{0{,}5 \cdot 4} \neq 0\), muss der Klammerterm null sein: \(1 + 0{,}5 \cdot 4 - 0{,}5a = 0\). 5. Gleichung nach \(a\) auflösen: \(1 + 2 - 0{,}5a = 0 \Rightarrow 3 = 0{,}5a \Rightarrow a = 6\). 6. Hinreichende Bedingung prüfen: Die zweite Ableitung ist \(g''_a(x) = 0{,}5 e^{0{,}5x} (2 + 0{,}5x - 0{,}5a)\). Einsetzen von \(a=6\) und \(x=4\) liefert \(g''_6(4) = 0{,}5 e^2 (2 + 2 - 3) = 0{,}5 e^2 > 0\). Somit liegt bei \(x=4\) ein Tiefpunkt vor.

a) Graph 1 gehört zu \(a = 1\), Graph 2 gehört zu \(a = -1\). b) \(a = 6\)