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- Welche Zahl wird im Funktionsterm außerhalb des Exponentialterms addiert? - Welche Rolle spielt dieser additive Parameter für die waagerechte Asymptote?

1. Der additive Parameter \(7\) verschiebt den Graphen der Exponentialfunktion vertikal um \(7\) Einheiten. 2. Daher lautet die waagerechte Asymptote \(y=7\).

\(y=7\)

- Welches Vorzeichen hat der Parameter im Exponenten? - Überlege, wie sich \(bx\) verändert, wenn \(x\) größer wird.

1. Da \(b=-0{,}7<0\) ist, wird der Exponent \(bx\) mit wachsendem \(x\) kleiner. 2. Daher fällt \(f_b(x)=e^{bx}\) für zunehmendes \(x\).

Der Graph fällt.

- Welchen \(x\)-Wert besitzt jeder Punkt auf der \(y\)-Achse? - Was wird aus \(e^x\) an dieser Stelle?

1. Am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). 2. Damit ist \(g_a(0)=ae^0=a\). 3. Wegen \(g_a(0)=-4\) folgt \(a=-4\).

\(a=-4\)

- Wie bestimmt man mathematisch den Wert eines Bestands zu Beginn der Beobachtung? - Welchen Wert nimmt die Potenz \(e^0\) an? - Achte auf das Vorzeichen der Zahl im Exponenten. Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen für die Entwicklung des Funktionswerts? - Setze den gesuchten Zeitpunkt für die entsprechende Variable in die Funktionsgleichung ein.

1. Berechnung der Anfangswerte durch Einsetzen von \(t=0\): \(f_1(0) = 600 \cdot e^0 = 600\), \(f_2(0) = 450 \cdot e^0 = 450\) und \(f_3(0) = 600 \cdot e^0 = 600\). Ergebnis: Funktion (2) hat mit \(450\) den geringsten Anfangswert. 2. Analyse des Wachstumsparameters \(k\) im Exponenten \(e^{kt}\): Ein negativer Wert (\(k < 0\)) kennzeichnet einen Zerfallsprozess. Ergebnis: Die Funktionen (2) mit \(k = -0{,}12\) und (3) mit \(k = -0{,}05\) beschreiben Zerfallsprozesse. 3. Berechnung des Funktionswertes für \(f_1(20)\): \(f_1(20) = 600 \cdot e^{0{,}05 \cdot 20} = 600 \cdot e^1 \approx 1630{,}97\).

a) Der Bestand (2) hat mit \(450\) den geringsten Anfangswert. b) Die Funktionen (2) und (3) beschreiben einen Zerfallsprozess, da die Koeffizienten im Exponenten (\(-0{,}12\) bzw. \(-0{,}05\)) negativ sind. c) Der Bestand nach \(20\) Zeiteinheiten beträgt ca. \(1630{,}97\).

- Vergleiche die gegebene Funktionsgleichung direkt mit der allgemeinen Form, um die Konstanten abzulesen. - Überlege dir, wie sich der Wert von \(e^{kx}\) verändert, wenn \(x\) größer wird und \(k\) negativ ist. - Nutze deinen Taschenrechner für die Berechnung der \(e\)-Funktion und achte auf die korrekte Rundung.

1. Vergleich der allgemeinen Form \(ce^{kx}\) mit der gegebenen Gleichung \(15{,}5e^{-0{,}4x}\). Ergebnis: \(c = 15{,}5\) und \(k = -0{,}4\). 2. Bestimmung der Änderungsart: Da der Parameter im Exponenten \(k = -0{,}4\) kleiner als Null ist, sinken die Funktionswerte mit steigendem \(x\). Ergebnis: Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme. 3. Berechnung des Wertes an der Stelle \(x=5\): \(B(5) = 15{,}5 \cdot e^{-0{,}4 \cdot 5} = 15{,}5 \cdot e^{-2} \approx 2{,}10\).

a) \(c = 15{,}5\) und \(k = -0{,}4\). b) Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme, da der Parameter im Exponenten (\(k = -0{,}4\)) negativ ist. c) Der Funktionswert beträgt \(B(5) \approx 2{,}10\).

- Wie kannst du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung? - Könnte es helfen, den Dezimalwert in einen Bruch umzuwandeln? - Welche Einschränkungen gibt es für die Basis einer Exponentialfunktion?

1. Durch Einsetzen der Koordinaten von \(P(-2 \mid 6{,}25)\) in die Funktionsgleichung erhält man die Gleichung \(6{,}25 = a^{-2}\). 2. Umrechnung des Dezimalwerts in einen Bruch ergibt \(\frac{25}{4} = \frac{1}{a^2}\). 3. Durch Bilden des Kehrwerts folgt \(a^2 = \frac{4}{25}\). 4. Da die Basis \(a\) einer Exponentialfunktion stets positiv sein muss, ergibt das Ziehen der Quadratwurzel \(a = \frac{2}{5} = 0{,}4\).

\(a = 0{,}4\)

- Erinnere dich daran, wie man Dezimalzahlen in Brüche umwandelt. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(y = b^{\frac{m}{n}}\) nach \(b\) auflösen? - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird?

1. Einsetzen der Punktkoordinaten von \(Q(0{,}75 \mid 8)\) in \(g(x) = b^x\) führt auf die Gleichung \(8 = b^{0{,}75}\). 2. Darstellung des Exponenten als Bruch: \(8 = b^{\frac{3}{4}}\). 3. Auflösen nach \(b\) durch Potenzieren beider Seiten mit dem Kehrwert des Exponenten: \(b = 8^{\frac{4}{3}}\). 4. Berechnung des Werts über die dritte Wurzel: \(b = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16\).

\(b = 16\)

- Überlege dir, was „Verdopplung“ mathematisch für den Wachstumsfaktor über einen bestimmten Zeitraum bedeutet. - Wie hängen der Faktor für eine Zeiteinheit und der Faktor für mehrere Zeiteinheiten zusammen? - Erinnere dich daran, wie man einen Multiplikationsfaktor in eine prozentuale Steigerung umrechnet. - Kannst du die Zeitangaben in Stunden ausdrücken, um sie direkt als Exponenten zu nutzen?

1. Aus der Verdopplungszeit folgt die Gleichung \(b^3 = 2\). Die Basis ist somit \(b = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}2599\). 2. Der Faktor für eine Stunde entspricht \(b^1 = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}2599\). 3. Für den Zeitraum von \(4{,}5\) Stunden ergibt sich der Faktor \(b^{4{,}5} = (2^{\frac{1}{3}})^{4{,}5} = 2^{1{,}5} = \sqrt{8} \approx 2{,}8284\). 4. Für 30 Minuten (\(0{,}5\) Stunden) berechnet man \(b^{0{,}5} = 2^{\frac{0{,}5}{3}} = 2^{\frac{1}{6}} \approx 1{,}1225\). Dies entspricht einer prozentualen Zunahme von ca. \(12{,}25\,\%\).

a) \(b = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}2599\) b) Faktor \(\approx 1{,}2599\) c) Faktor \(\approx 2{,}8284\) d) Zunahme um ca. \(12{,}25\,\%\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt die Lage der waagerechten Asymptote? - Wie findest du den Schnittpunkt einer Geraden mit der \(y\)-Achse? - Setze die bekannten Informationen Schritt für Schritt in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn du für \(x\) die Null einsetzt?

1. Die waagerechte Asymptote einer Funktion der Form \(h(x) = ae^x + c\) für \(x \to -\infty\) ist durch den Wert der vertikalen Verschiebung gegeben, also \(y = c\). Da die Asymptote \(y = -2\) vorgegeben ist, folgt direkt \(c = -2\). 2. Die Gerade \(y = x + 1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(x = 0\). Der \(y\)-Wert an dieser Stelle ist \(y = 0 + 1 = 1\). Somit verläuft der Graph von \(h\) durch den Punkt \(P(0 \mid 1)\). 3. Durch Einsetzen der Koordinaten von \(P\) in den Ansatz \(h(x) = ae^x - 2\) erhält man die Gleichung \(1 = a \cdot e^0 - 2\). 4. Da \(e^0 = 1\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(1 = a - 2\). Daraus folgt \(a = 3\). 5. Der gesuchte Funktionsterm ist \(h(x) = 3e^x - 2\).

\(a = 3\), \(c = -2\); der Funktionsterm lautet \(h(x) = 3e^x - 2\).

- Welche mathematische Operation ist die Umkehrung der Exponentialfunktion zur Basis \(e\)? - Wie kannst du eine Potenz mit einer anderen Basis ausdrücken, ohne den Wert zu verändern? - Überlege, welche Identität zwischen \(e\) und dem natürlichen Logarithmus besteht.

1. Um die Basis \(1{,}025\) zur Basis \(e\) umzuformen, wird der Ansatz \(e^k = 1{,}025\) gewählt. Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus erhält man \(k = \ln(1{,}025)\). Die Berechnung ergibt \(k \approx 0{,}02469\). Exakt gilt \(K(t) = 5000e^{\ln(1{,}025)t}\); mit dem gerundeten Wert von \(k\) erhält man näherungsweise \(K(t) \approx 5000e^{0{,}02469t}\). 2. Jede Basis \(b > 0\) lässt sich als \(b = e^{\ln(b)}\) schreiben. Setzt man dies in \(f(x) = b^x\) ein, folgt \(f(x) = (e^{\ln(b)})^x = e^{\ln(b)x}\). Der Parameter \(k\) entspricht also stets dem natürlichen Logarithmus der ursprünglichen Basis \(b\), d. h. \(k = \ln(b)\).

1. Exakt: \(K(t) = 5000e^{\ln(1{,}025)t}\); näherungsweise: \(K(t) \approx 5000e^{0{,}02469t}\) mit \(k \approx 0{,}02469\). 2. Der Parameter wird über die Beziehung \(k = \ln(b)\) bestimmt, da \(b^t = (e^{\ln b})^t = e^{\ln(b)t}\) gilt.

- Welche Modellform gehört zu einer konstanten prozentualen Änderung pro Jahr? - Der Gesamtfaktor nach \(12\) Jahren muss sich aus zwölf gleichen Jahresfaktoren zusammensetzen. - Wie wird aus dem Jahresfaktor die prozentuale Wachstumsrate?

1. Mit dem jährlichen Faktor \(q\) gilt \(215=150q^{12}\). 2. Daraus folgt \(q=\left(\frac{215}{150}\right)^{1/12}\approx1{,}03045477\). 3. Die jährliche Wachstumsrate ist \((q-1)\cdot100\,\%\approx3{,}05\,\%\).

etwa \(3{,}05\,\%\) pro Jahr

- Welche Formel nutzt du, wenn ein Wert über mehrere Jahre hinweg prozentual abnimmt? - Welche Variable entspricht dem jährlichen Faktor? - Wie kommst du vom Faktor \(q\) auf den prozentualen Verlust? - Bei einer Abnahme muss \(q < 1\) gelten.

1. Das Modell lautet \(W(n) = W_0q^n\). 2. Aus \(18\,400 = 85\,000q^7\) folgt \(q^7 = \frac{92}{425}\). 3. Daher ist \(q = \sqrt[7]{\frac{92}{425}} \approx 0{,}8036\). 4. Die jährliche Abnahme beträgt \((1-q) \cdot 100\,\% \approx 19{,}64\,\%\).

Der Wert des Roboters ist jährlich um durchschnittlich etwa \(19{,}64\,\%\) gesunken.

- Welchen Wert hat die Zeit \(t\) zu Beginn der Beobachtung? - Der Wachstumsfaktor gibt an, mit welcher Zahl der Bestand pro Zeiteinheit multipliziert wird. - Suche dir Punkte im Gitter, die genau auf den Kreuzungen liegen, um Werte sicher abzulesen.

1. Den Anfangsbestand \(N_0\) zum Zeitpunkt \(t = 0\) ablesen: Für Kultur \(h\) gilt \(N_0 = 2\). Für Kultur \(k\) gilt \(N_0 = 8\). 2. Den Bestand nach einer Stunde (\(t = 1\)) ablesen: Bei \(G_h\) liegt der Punkt \((1 \mid 3)\), bei \(G_k\) der Punkt \((1 \mid 6)\). 3. Den Wachstumsfaktor \(a\) berechnen: Für \(h\) gilt \(2 \cdot a = 3 \Rightarrow a = 1{,}5\). Für \(k\) gilt \(8 \cdot a = 6 \Rightarrow a = 0{,}75\). 4. Ergebnisse: Kultur \(h\) hat einen Anfangsbestand von \(2000\) Bakterien (\(N_0 = 2\)) und einen Wachstumsfaktor von \(a = 1{,}5\). Kultur \(k\) hat einen Anfangsbestand von \(8000\) Bakterien (\(N_0 = 8\)) und einen Wachstumsfaktor von \(a = 0{,}75\).

Kultur \(h\): Anfangsbestand \(N_0 = 2\) (Tausend), Wachstumsfaktor \(a = 1{,}5\); Kultur \(k\): Anfangsbestand \(N_0 = 8\) (Tausend), Wachstumsfaktor \(a = 0{,}75\).

- Überlege dir, welchen Wert die Funktion \(f_a(x)\) an der Stelle \(x = 0\) annimmt. - Wie beeinflusst der Parameter \(a\) den Schnittpunkt des Graphen mit der vertikalen Achse? - Lies die \(y\)-Werte an der Stelle \(x = 0\) für jeden Graphen direkt aus der Zeichnung ab.

1. Da \(e^0 = 1\), gilt für alle Funktionen der Schar \(f_a(0) = a\). Der Parameter \(a\) entspricht also dem \(y\)-Achsenabschnitt des jeweiligen Graphen. 2. Graph (1) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 2\). Daraus folgt \(a = 2\). 3. Graph (2) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 0{,}5\). Daraus folgt \(a = 0{,}5\). 4. Graph (3) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = -1\). Daraus folgt \(a = -1\).

(1) \(a = 2\), (2) \(a = 0{,}5\), (3) \(a = -1\)

- Für 1. übersetze die Punktbedingung in eine Gleichung für den Funktionswert. - Für 2. wird eine Bedingung an die Steigung gestellt; bestimme deshalb zunächst \(g_a'\). - Die beiden Teilaufgaben sind unabhängig voneinander und müssen nicht denselben Parameterwert liefern.

1. Aus \(g_a(2)=(2+a)e^{-2}=5e^{-2}\) folgt wegen \(e^{-2}>0\) die Gleichung \(2+a=5\). Damit ist \(a=3\). 2. Mit der Produktregel ergibt sich \(g_a'(x)=e^{-x}-(x+a)e^{-x}=(1-x-a)e^{-x}\). Daher ist \(g_a'(0)=1-a\). Aus \(1-a=-4\) folgt \(a=5\).

1. \(a=3\) 2. \(a=5\)

- Vergleiche den Bestand zu zwei Zeitpunkten, die genau ein Jahr auseinanderliegen. - Der Exponentenparameter und der Faktor für eine ganze Zeiteinheit sind nicht dieselbe Größe. - Wie wird aus einem Wachstumsfaktor die prozentuale Zunahme berechnet?

1. Für ein Jahr ist der Wachstumsfaktor \(\frac{N(t+1)}{N(t)}=e^{0{,}08}\approx1{,}08329\). 2. Die effektive jährliche Zunahme beträgt daher \((e^{0{,}08}-1)\cdot100\,\%\approx8{,}33\,\%\). 3. Jonas' Aussage ist nicht exakt. Der Wert \(0{,}08\) ist der kontinuierliche Exponentenparameter; die effektive Zunahme über ein ganzes Jahr ergibt sich erst aus \(e^{0{,}08}-1\).

Wachstumsfaktor: \(e^{0{,}08}\approx1{,}08329\); effektive jährliche Zunahme: etwa \(8{,}33\,\%\). Jonas' Aussage „genau \(8\,\%\)“ ist falsch.

- Welcher einfache \(x\)-Wert macht den Exponenten bei allen drei Funktionen gleich? - Für die Monotonie ist entscheidend, ob \(kx\) bei wachsendem \(x\) zu- oder abnimmt. - In c) ist „Steilheit“ bewusst auf einen einzigen Punkt festgelegt: Vergleiche die Ableitungswerte bei \(x=0\).

1. Für alle drei Funktionen gilt \(f_k(0)=e^0=1\). Daher ist der gemeinsame Punkt \(P(0\mid1)\). 2. Für \(k=-1\) ist der Graph streng monoton fallend; für \(k=0{,}5\) und \(k=2\) ist er streng monoton steigend. 3. Es gilt \(f_k'(x)=ke^{kx}\), also \(f_k'(0)=k\). Die Tangentensteigungen im gemeinsamen Punkt sind daher \(-1\), \(0{,}5\) und \(2\). Das Vorzeichen von \(k\) bestimmt dort die Richtung der Steigung; ein größerer Betrag von \(k\) bedeutet einen größeren Steigungsbetrag im gemeinsamen Punkt.

a) \(P(0\mid1)\) b) \(k=-1\): fallend; \(k=0{,}5\) und \(k=2\): steigend c) \(f_{-1}'(0)=-1\), \(f_{0{,}5}'(0)=0{,}5\), \(f_2'(0)=2\). Vorzeichen und Betrag von \(k\) geben im gemeinsamen Punkt Richtung und Betrag der Tangentensteigung an.

- Bei \(f_c(x)=2e^x+c\) zeigt die waagerechte Asymptote unmittelbar die vertikale Verschiebung. - Für den Achsenabschnitt genügt anschließend \(x=0\). - Vergleiche in jeder Abbildung die beiden \(y\)-Werte, nachdem du sie unabhängig bestimmt hast.

1. In a) liegt die waagerechte Asymptote bei \(y=-2\), also ist \(c=-2\). In b) liegt sie bei \(y=1\), also ist \(c=1\). In c) liegt sie bei \(y=3\), also ist \(c=3\). 2. Wegen \(f_c(0)=2+c\) sind die \(y\)-Achsenabschnitte entsprechend \((0\mid0)\), \((0\mid3)\) und \((0\mid5)\). 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt stets genau \(2\) Einheiten über der waagerechten Asymptote: \(f_c(0)-c=2\).

a) Abbildung a): \(c=-2\); Abbildung b): \(c=1\); Abbildung c): \(c=3\) b) Abbildung a): \((0\mid0)\); Abbildung b): \((0\mid3)\); Abbildung c): \((0\mid5)\) c) \(f_c(0)-c=2\): Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt immer \(2\) Einheiten über der Asymptote.

- Welche langfristige Temperatur legt den konstanten Parameter im Modell fest? - Die Anfangsbedingung liefert anschließend den zweiten noch fehlenden Parameter. - In c) ist eine momentane Änderungsrate vorgegeben; welche Funktion beschreibt diese Rate?

1. Langfristig nähert sich die Temperatur \(25\,\text{°C}\), also ist \(A=25\). Aus \(g(0)=25-B=7\) folgt \(B=18\). 2. Aus \(16=25-18e^{-20k}\) folgt \(e^{-20k}=0{,}5\). Daher ist \(k=\frac{\ln(2)}{20}\approx0{,}0347\). 3. Für das zweite Getränk lautet die erste Ableitung \(g'(t)=0{,}72e^{-0{,}04t}\). Aus \(0{,}72e^{-0{,}04t}=0{,}25\) folgt \(t=-\frac{\ln(0{,}25/0{,}72)}{0{,}04}\approx26{,}4\,\text{min}\).

a) \(A=25\), \(B=18\) b) \(k\approx0{,}0347\) c) \(t\approx26{,}4\,\text{min}\)

- Welche Bedingung erfüllt die erste Ableitung an einem inneren Maximum? - Beim Ableiten treten Produkt- und Kettenregel gemeinsam auf. - Der Exponentialfaktor kann nicht null werden; welcher andere Faktor muss daher verschwinden?

1. Mit Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(g'(t)=10e^{kt}(-1+60k-kt)\). 2. Für ein Extremum bei \(t=20\) muss \(g'(20)=0\) gelten. Da \(10e^{20k}\neq0\), folgt \(40k-1=0\). 3. Somit ist \(k=\frac{1}{40}=0{,}025\). 4. Zur Kontrolle gilt \(g''(20)=10ke^{20k}(40k-2)<0\) für \(k=0{,}025\). Daher liegt tatsächlich ein Maximum vor.

\(k=0{,}025\)

- Welche Information über den Verlauf liefert dir die erste Ableitung der Schar? - Nach dem Maximum ist für Teil 3 nicht der Funktionswert, sondern die Steigung entscheidend. - Überlege, wie sich ein Extremum der Steigung mit dem Krümmungsverhalten der ursprünglichen Funktion verbindet. - Vergleiche am Ende die beiden gefundenen Zeitpunkte algebraisch, ohne einen konkreten Parameterwert einzusetzen.

1. Die erste Ableitung ist \(c_a'(t)=40e^{-at}(1-at)\). Da der Exponentialfaktor positiv ist, folgt aus \(c_a'(t)=0\) die Stelle \(t_{\text{max}}=\frac{1}{a}\). Dort wechselt \(c_a'\) von positiv zu negativ, also liegt ein Maximum vor. 2. Einsetzen ergibt \(c_a\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{40}{ae}\). 3. Die zweite Ableitung lautet \(c_a''(t)=40ae^{-at}(at-2)\). Sie wird bei \(t=\frac{2}{a}\) null. An dieser Stelle ist die Steigung negativ und nimmt im fallenden Bereich ihren kleinsten Wert an; daher ist \(t_W=\frac{2}{a}\) der Zeitpunkt der stärksten Abnahme. 4. Damit ist \(\frac{t_W}{t_{\text{max}}}=2\).

1. \(t_{\text{max}}=\frac{1}{a}\) 2. \(c_{\text{max}}=\frac{40}{ae}\) 3. \(t_W=\frac{2}{a}\) 4. \(\frac{t_W}{t_{\text{max}}}=2\)

- Überlege dir zuerst, wie du das Maximum einer Funktion mit Parameter bestimmst. - Was musst du tun, um zu zeigen, dass ein Ergebnis nicht von einer Variablen abhängt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung und der Änderungsrate. - Betrachte den Term \(\frac{1}{k}\): Was passiert mit dem Wert, wenn \(k\) größer wird?

1. Die erste Ableitung ist \(f_k'(t) = ke^{-kt} + k \cdot t \cdot (-k) \cdot e^{-kt} = k \cdot e^{-kt} \cdot (1 - kt)\). Die Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei \(t = \frac{1}{k}\). Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(f_k\left(\frac{1}{k}\right) = k \cdot \frac{1}{k} \cdot e^{-k \cdot \frac{1}{k}} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}\). Da dieser Wert unabhängig von \(k\) ist, ist der maximale Funktionswert für alle \(k\) identisch. 2. Die momentane Änderungsrate zu Beginn ist der Wert der ersten Ableitung an der Stelle \(t = 0\): \(f_k'(0) = k \cdot e^{0} \cdot (1 - 0) = k \cdot 1 \cdot 1 = k\). 3. Da der Zeitpunkt des Maximums \(t_{\text{max}} = \frac{1}{k}\) ist, führt ein größerer Wert von \(k\) dazu, dass das Maximum früher erreicht wird (der Prozess läuft schneller ab). Gleichzeitig bedeutet ein größeres \(k\), dass die anfängliche Änderungsrate \(f_k'(0) = k\) höher ist, der Prozess also steiler startet.

1. Das Maximum liegt stets bei \(f_k\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{1}{e} \approx 0{,}368\). 2. \(f_k'(0) = k\) 3. Ein größeres \(k\) bewirkt einen schnelleren Anstieg zu Beginn und ein früheres Erreichen des Maximums.

- Vergleiche für große \(t\) das lineare Wachstum im Zähler mit dem exponentiellen Wachstum im Nenner. - Prüfe bei der Extremstellenbedingung, ob der Parameter \(c\) die gesuchte Zeit beeinflusst. - Für die stärkste Abnahme ist die Steigung der Funktion entscheidend. - Verwende für d) den bereits bestimmten Zeitpunkt des Maximums.

1. Es gilt \(h_c(t)=\frac{c(t+40)}{e^{0{,}02t}}\). Da der Exponentialterm schneller wächst als der lineare Zähler, folgt \(\lim_{t\to\infty}h_c(t)=0\). 2. Die erste Ableitung lautet \(h_c'(t)=ce^{-0{,}02t}(0{,}2-0{,}02t)\). Aus \(h_c'(t)=0\) folgt \(t=10\), unabhängig von \(c\). Dort liegt ein Maximum. 3. Die zweite Ableitung ist \(h_c''(t)=ce^{-0{,}02t}(0{,}0004t-0{,}024)\). Sie wird bei \(t=60\) null. Dort besitzt die erste Ableitung im fallenden Bereich ihr Minimum; damit nimmt die Konzentration nach \(60\) Stunden am stärksten ab. 4. Aus \(h_c(10)=500\) folgt \(50ce^{-0{,}2}=500\). Somit ist \(c=10e^{0{,}2}\approx12{,}21\).

a) \(\lim_{t\to\infty}h_c(t)=0\,\text{mg}/\text{L}\) b) Maximum bei \(t=10\), unabhängig von \(c\) c) nach \(60\,\text{h}\) d) \(c\approx12{,}21\)

- Überlege dir, welcher Wert der Funktion der Höhe in der Mitte entspricht. - Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein, um die Unbekannten zu berechnen. - Welches mathematische Kriterium hilft dir dabei, die Stelle mit der extremsten Steigung zu finden? - Denke daran, dass Steigungen oft als Dezimalzahl berechnet werden; wie rechnet man diese in Prozent um?

1. Bestimmung von \(A\): Aus der Bedingung \(f(0) = 12\) folgt direkt \(A \cdot e^0 = 12\), also \(A = 12\). 2. Bestimmung von \(k\): Mit der Bedingung \(f(20) = 8\) ergibt sich \(12 \cdot e^{-k \cdot 20^2} = 8\). Umformen führt zu \(e^{-400k} = \frac{2}{3}\), woraus \(k = -\frac{\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)}{400} = \frac{\ln(1{,}5)}{400} \approx 0{,}001014\) folgt. 3. Bestimmung des Wendepunkts: Die stärkste Steigung bzw. das stärkste Gefälle liegt an den Wendestellen vor. Die zweite Ableitung \(f''(x) = 12e^{-kx^2} \cdot (-2 \cdot k + 4 \cdot k^2 \cdot x^2)\) wird Null für \(x^2 = \frac{1}{2k}\). Für \(x > 0\) ergibt sich \(x_w = \sqrt{\frac{200}{\ln(1{,}5)}} \approx 22{,}21\). 4. Koordinaten des Wendepunkts: Der Funktionswert an der Wendestelle ist \(f(x_w) = 12e^{-k \cdot \frac{1}{2k}} = 12 \cdot e^{-0{,}5} \approx 7{,}28\). Der Punkt ist \(P(22{,}21 \mid 7{,}28)\). 5. Berechnung der Steigung: Die Steigung im Wendepunkt ist \(f'(x_w) = -2 \cdot k \cdot x_w \cdot f(x_w) = -2 \cdot \frac{\ln(1{,}5)}{400} \cdot \sqrt{\frac{200}{\ln(1{,}5)}} \cdot 12 \cdot e^{-0{,}5} = -\sqrt{\frac{\ln(1{,}5)}{200}} \cdot 12 \cdot e^{-0{,}5} \approx -0{,}328\). 6. Umrechnung in Prozent: Eine Steigung von \(-0{,}328\) entspricht einem Gefälle von \(32{,}8\,\%\).

a) \(A = 12\); \(k = \frac{\ln(1{,}5)}{400} \approx 0{,}001014\) b) \(P(22{,}21 \mid 7{,}28)\) c) Das Gefälle beträgt ca. \(32{,}8\,\%\).

- Setze die Information über die Änderung von \(x\) und \(y\) in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Basis zu isolieren. - Was bedeutet eine „Abnahme“ für das Vorzeichen der Änderung von \(x\)? - Nutze die Potenzgesetze, insbesondere \((a^n)^m = a^{nm}\). - Um etwas allgemein zu zeigen, verwende Variablen für die Änderungen anstatt konkreter Zahlenwerte.

1. Aus der Bedingung folgt \(a^3 = 4\), woraus sich \(a = \sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}5874\) ergibt. 2. Der Faktor für \(\Delta x = 1{,}5\) ist \(a^{1{,}5} = (a^3)^{0{,}5} = 4^{0{,}5} = 2\). 3. Für eine Abnahme um 1 Einheit (\(\Delta x = -1\)) gilt der Faktor \(a^{-1} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0{,}6300\). 4. Sei \(q = a^{\Delta x}\) der Faktor für den Schritt \(\Delta x\). Für den Schritt \(2\Delta x\) ist der Faktor \(a^{2\Delta x} = (a^{\Delta x})^2 = q^2\). Damit ist der Zusammenhang bewiesen.

a) \(a = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}5874\) b) Faktor \(2\) c) Faktor \(\approx 0{,}6300\) d) Beweis über \(a^{2\Delta x} = (a^{\Delta x})^2\)

- Kannst du die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen? - Wie lässt sich \(b^{-1}\) umschreiben, um die Gleichung nach \(a\) aufzulösen? - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir, wenn du Terme wie \(b \cdot b^{1{,}5}\) zusammenfasst? - Wie isolierst du die Basis \(b\), wenn sie mit einem Dezimalexponenten wie \(2{,}5\) potenziert wird?

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Einsetzen der Koordinaten: (I) \(12 = ab^{-1}\) (II) \(0{,}375 = ab^{1{,}5}\) 2. Auflösen der ersten Gleichung nach \(a\): \(a = 12b\). 3. Einsetzen von \(a\) in Gleichung (II): \(0{,}375 = 12 \cdot b \cdot b^{1{,}5} = 12 \cdot b^{2{,}5}\). 4. Berechnen von \(b\): \(b^{2{,}5} = \frac{0{,}375}{12} = 0{,}03125\). Daraus folgt \(b = 0{,}03125^{\frac{1}{2{,}5}} = 0{,}25\). 5. Berechnen von \(a\): \(a = 12 \cdot 0{,}25 = 3\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 3 \cdot 0{,}25^x\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 3 \cdot 0{,}25^x\).

- Was passiert mathematisch, wenn du die beiden Funktionsgleichungen durcheinander dividierst? - Welche Bedeutung hat das Verhältnis zweier Funktionswerte, deren \(x\)-Werte sich um genau \(1\) unterscheiden? - Wenn zwei Funktionen am selben Punkt starten, aber die eine nach einem Schritt einen höheren Wert erreicht als die andere – was sagt das über ihre Wachstumsfaktoren aus?

1. Teilaufgabe a: Aufstellen des Verhältnisses der Funktionswerte: \(\frac{f(3)}{f(2)} = \frac{a \cdot b^3}{a \cdot b^2} = b\). Einsetzen der Werte ergibt \(b = \frac{20}{5} = 4\). 2. Einsetzen von \(b\) in \(f(2) = 5\): \(5 = a \cdot 4^2 = 16a\), woraus \(a = \frac{5}{16} = 0{,}3125\) folgt. 3. Teilaufgabe b: Der Quotient \(\frac{f(x+1)}{f(x)}\) entspricht bei Exponentialfunktionen dem Wachstumsfaktor \(b\). 4. Beide Funktionen haben bei \(x = 2\) denselben Funktionswert \(5\). Nach einem weiteren Schritt gilt für \(g\) der Wert \(15\), für \(f\) dagegen der Wert \(20\). Daher ist \(\frac{g(3)}{g(2)} < \frac{f(3)}{f(2)}\), also \(d < b\), ohne dass \(d\) vollständig berechnet werden muss.

a) \(a = 0{,}3125\) und \(b = 4\). b) \(d\) ist kleiner als \(b\), da \(\frac{g(3)}{g(2)} = \frac{15}{5} < \frac{20}{5} = \frac{f(3)}{f(2)}\).

- Welche zwei Gleichungen entstehen aus den beiden gegebenen Funktionswerten? - Wie kannst du den unbekannten Anfangswert beim Vergleich der beiden Gleichungen eliminieren? - Wie wird aus einem Faktor kleiner als \(1\) die zugehörige prozentuale Abnahme?

1. Es gelten \(18=c_0a^3\) und \(4{,}2=c_0a^8\). Durch Division folgt \(a^5=\frac{4{,}2}{18}=\frac{7}{30}\). Daher ist \(a=\left(\frac{7}{30}\right)^{1/5}\approx0{,}7475\). Einsetzen ergibt \(c_0=\frac{18}{a^3}\approx43{,}10\,\text{mg}/\text{L}\). 2. Die stündliche Abnahme beträgt \((1-a)\cdot100\,\%\approx25{,}25\,\%\).

1. \(a\approx0{,}7475\); \(c_0\approx43{,}10\,\text{mg}/\text{L}\) 2. etwa \(25{,}25\,\%\) Abnahme pro Stunde

- Vergleiche jeweils die Jahreszahlen, zwischen denen sich der Modellwert verdoppelt. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen Verdopplungszeit und Jahresfaktor? - Was bedeutet eine längere Verdopplungszeit für die relative jährliche Änderung?

1. Die Verdopplungen benötigen nacheinander \(2\), \(3\) und \(4\) Jahre. 2. Für einen Verdopplungszeitraum \(T\) gilt \(q^T=2\). Daher ergeben sich \(q_1=2^{1/2}\), \(q_2=2^{1/3}\) und \(q_3=2^{1/4}\). 3. Die zugehörigen mittleren jährlichen Wachstumsraten sind etwa \(41{,}4\,\%\), \(26{,}0\,\%\) und \(18{,}9\,\%\). 4. Die Verdopplungszeiten werden länger, daher nimmt die relative jährliche Wachstumsgeschwindigkeit ab.

a) \(2\), \(3\) und \(4\) Jahre b) etwa \(41{,}4\,\%\), \(26{,}0\,\%\), \(18{,}9\,\%\) c) Die relative Wachstumsgeschwindigkeit nimmt ab.

- Welcher Gesamtfaktor ergibt sich aus dem Anfangs- und dem Fünfjahreswert? - Für die Vervierfachung kann der Anfangswert aus der Gleichung gekürzt werden. - Die diskrete und die kontinuierliche Darstellung müssen nach fünf Jahren denselben Faktor erzeugen.

1. Aus \(350=200q^5\) folgt \(q=1{,}75^{1/5}\approx1{,}1184\). Damit ist \(p=(q-1)\cdot100\,\%\approx11{,}84\,\%\). 2. Für die Vervierfachung gilt \(q^t=4\). Somit ist \(t=\frac{\ln(4)}{\ln(q)}\approx12{,}39\,\text{Jahre}\). 3. Aus \(200e^{5k}=350\) folgt \(k=\frac{\ln(1{,}75)}{5}\approx0{,}1119\). Nach \(10\) Jahren gilt \(B(10)=200e^{10k}=200\cdot1{,}75^2=612{,}5\). Auf ganze Tiere gerundet sind das \(613\).

1. \(q\approx1{,}1184\); \(p\approx11{,}84\,\%\) 2. \(t\approx12{,}39\,\text{Jahre}\) 3. \(k\approx0{,}1119\); nach \(10\) Jahren etwa \(613\) Tiere

- Welche Beziehung muss zwischen \(0{,}82\) und \(e^k\) gelten? - Welche Bedingung charakterisiert die Halbwertszeit? - Vergleiche bei den beiden Graphen getrennt den Anfangswert und die Stärke des negativen Exponentenparameters.

1. Aus \(e^k=0{,}82\) folgt \(k=\ln(0{,}82)\approx-0{,}1985\). 2. Für die Halbwertszeit gilt \(0{,}82^{T_{1/2}}=0{,}5\). Daher ist \(T_{1/2}=\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}82)}\approx3{,}49\,\text{h}\). 3. Das zweite Modell lautet \(g(t)=300e^{-0{,}12t}\). Es startet doppelt so hoch. Da \(|-0{,}12|<|-0{,}1985|\) gilt, fällt \(g\) langsamer als \(M\).

a) \(k=\ln(0{,}82)\approx-0{,}1985\) b) \(T_{1/2}\approx3{,}49\,\text{h}\) c) \(g(t)=300e^{-0{,}12t}\); der Graph startet höher und fällt langsamer als der Graph von \(M\).

- Welche Größe der Funktionsgleichung bestimmt die Höhe der waagerechten Asymptote? - Lies anschließend den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ab und nutze \(e^0=1\). - Für \(b\) liefert die im Graphen sichtbare Nullstelle eine weitere Gleichung. - In c) vergleiche die beiden Ableitungswerte erst nach der vollständigen Parameterbestimmung.

1. Bestimmung von \(c\): Aus der Abbildung geht hervor, dass die waagerechte Asymptote des Graphen für \(x \to -\infty\) bei \(y = 4\) liegt. Da \(b > 0\) ist, gilt \(\lim_{x \to -\infty} e^{bx} = 0\). Daraus folgt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = c = 4\). 2. Bestimmung von \(a\): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid 2)\). Einsetzen dieses Punktes in die Funktionsgleichung liefert \(f(0) = ae^0 + 4 = 2 \implies a + 4 = 2 \implies a = -2\). 3. Bestimmung von \(b\): Der Graph besitzt eine Nullstelle bei \(x = 1\), also gilt \(f(1) = 0\). Einsetzen liefert \(-2 \cdot e^{b \cdot 1} + 4 = 0 \implies -2 \cdot e^b = -4 \implies e^b = 2 \implies b = \ln(2)\). 4. Berechnung der Ableitungsfunktion: Mit \(f(x) = -2e^{\ln(2)x} + 4\) ergibt sich durch Ableiten \(f'(x) = -2\ln(2)e^{\ln(2)x}\). 5. Vergleich der Steigungen: Die Steigung am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(f'(0) = -2\ln(2)e^0 = -2\ln(2)\). Die Steigung an der Nullstelle ist \(f'(1) = -2\ln(2)e^{\ln(2)} = -4\ln(2)\). Es gilt somit \(f'(1) = -4\ln(2) = 2 \cdot (-2\ln(2)) = 2f'(0)\).

a) Aus der Asymptote \(y=4\) folgt \(c=4\). Aus dem \(y\)-Achsenabschnitt \((0\mid2)\) folgt \(a=-2\). b) Aus der Nullstelle bei \(x=1\) folgt \(e^b=2\), also \(b=\ln(2)\). c) \(f'(0)=-2\ln(2)\) und \(f'(1)=-4\ln(2)\); daher gilt \(f'(1)=2f'(0)\).

- Überlege dir, für welchen x-Wert der Ausdruck \((x - a)\) null wird. Was bedeutet das für den Schnittpunkt mit der x-Achse? - Nutze die Produktregel \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) für die Ableitung, wobei \(u(x) = x-a\) und \(v(x) = e^{0{,}5x}\) ist. - Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Stelle erfüllen, an der ein Tiefpunkt vorliegt? - Setze den bekannten x-Wert in deine Ableitungsfunktion ein, um eine Gleichung für den gesuchten Parameter zu erhalten.

1. Bestimmung der Nullstellen: Die Exponentialfunktion \(e^{0{,}5x}\) hat keine Nullstellen (sie ist stets positiv). Daher ergeben sich die Nullstellen von \(g_a\) ausschließlich aus der Gleichung \(x - a = 0\), also liegt die Nullstelle bei \(x = a\). 2. Zuordnung der Graphen: Graph 1 schneidet die x-Achse bei \(x = 1\), was dem Parameter \(a = 1\) entspricht. Graph 2 schneidet die x-Achse bei \(x = -1\), was dem Parameter \(a = -1\) entspricht. 3. Erste Ableitung berechnen: Unter Verwendung der Produktregel und der Kettenregel ergibt sich \(g'_a(x) = 1 \cdot e^{0{,}5x} + (x - a) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (1 + 0{,}5x - 0{,}5a)\). 4. Notwendige Bedingung für Extremstelle: \(g'_a(4) = 0\). Da \(e^{0{,}5 \cdot 4} \neq 0\), muss der Klammerterm null sein: \(1 + 0{,}5 \cdot 4 - 0{,}5a = 0\). 5. Gleichung nach \(a\) auflösen: \(1 + 2 - 0{,}5a = 0 \Rightarrow 3 = 0{,}5a \Rightarrow a = 6\). 6. Hinreichende Bedingung prüfen: Die zweite Ableitung ist \(g''_a(x) = 0{,}5 e^{0{,}5x} (2 + 0{,}5x - 0{,}5a)\). Einsetzen von \(a=6\) und \(x=4\) liefert \(g''_6(4) = 0{,}5 e^2 (2 + 2 - 3) = 0{,}5 e^2 > 0\). Somit liegt bei \(x=4\) ein Tiefpunkt vor.

a) Graph 1 gehört zu \(a = 1\), Graph 2 gehört zu \(a = -1\). b) \(a = 6\)

- Welche Information liefert der markierte Punkt bei \(t=0\) über den Vorfaktor? - Ein zweiter markierter Punkt bestimmt den Parameter im Exponenten. - Beim Zielwert in b) steht die gesuchte Zeit im Exponenten.

1. Aus dem markierten Punkt bei \(t=0\) folgt \(c=100\). 2. Mit dem Punkt \((10|200)\) gilt \(200=100e^{10k}\). Daher ist \(k=\frac{\ln(2)}{10}\). 3. Der exakte Funktionsterm lautet \(f(t)=100e^{\frac{\ln(2)}{10}t}\). 4. Aus \(1000=100e^{\frac{\ln(2)}{10}t}\) folgt \(t=\frac{10\ln(10)}{\ln(2)}\approx33{,}22\).

a) \(f(t)=100e^{\frac{\ln(2)}{10}t}\) b) \(t\approx33{,}22\)

- Überlege, was passiert, wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt. Welcher Teil des Funktionsterms nähert sich dann Null an? - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse hat immer den \(x\)-Wert \(0\). Nutze dies, um einen der Parameter direkt zu berechnen. - Wenn du einen Punkt kennst, der auf dem Graphen liegt, kannst du seine Koordinaten für \(x\) und \(f(x)\) in die Gleichung einsetzen. - Für die Tangentengleichung benötigst du die Steigung der Funktion an der entsprechenden Stelle. Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei? - Die allgemeine Form einer Geradengleichung ist \(y = mx + n\).

1. Bestimmung von \(c\): Aus der Abbildung ist die waagerechte Asymptote bei \(y = 3\) ersichtlich. Da \(e^{bx} \to 0\) für \(x \to -\infty\) (bei \(b > 0\)), folgt \(c = 3\). 2. Bestimmung von \(a\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 \mid 1)\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(f(0) = ae^0 + 3 = 1\), woraus \(a = 1 - 3 = -2\) folgt. Die Funktion lautet somit \(f(x) = -2e^{bx} + 3\). 3. Berechnung von \(b\): Einsetzen des Punktes \(P(2 \mid 3 - 2e)\) in \(f(x) = -2e^{bx} + 3\) ergibt \(3 - 2e = -2e^{2b} + 3\). Subtraktion von \(3\) liefert \(-2e = -2e^{2b}\). Division durch \(-2\) ergibt \(e^1 = e^{2b}\). Durch Exponentenvergleich folgt \(1 = 2b\), also \(b = 0{,}5\). 4. Tangentengleichung: Die Ableitung der Funktion \(f(x) = -2e^{0{,}5x} + 3\) lautet \(f'(x) = -2 \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = -e^{0{,}5x}\). Die Steigung im Punkt \(S_y(0 \mid 1)\) ist \(m = f'(0) = -e^0 = -1\). Mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) ergibt sich die Tangentengleichung \(t(x) = -x + 1\).

a) \(c = 3\); \(a = -2\) b) \(b = 0{,}5\) c) \(t(x) = -x + 1\)

- Überlege dir, welcher Funktionswert zum Startzeitpunkt \(x = 0\) im Graphen abzulesen ist. - Welche mathematische Eigenschaft hat eine Kurve an der Stelle ihres höchsten Punktes? - Nutze die Ableitung der Funktion, um den Zeitpunkt des Maximums rechnerisch zu erfassen.

1. Aus der Bedingung für die Anfangskonzentration folgt: \(c(0) = (a \cdot 0 + b) \cdot e^0 = b = 10\). 2. Zur Bestimmung von \(a\) wird die erste Ableitung benötigt: \(c'(x) = a \cdot e^{-0{,}1x} + (ax + 10) \cdot (-0{,}1) \cdot e^{-0{,}1x} = e^{-0{,}1x} \cdot (a - 0{,}1ax - 1)\). 3. Da bei \(x = 5\) ein Maximum vorliegt, muss die notwendige Bedingung \(c'(5) = 0\) erfüllt sein: \(e^{-0{,}5} \cdot (a - 0{,}1 \cdot a \cdot 5 - 1) = 0\). 4. Da \(e^{-0{,}5} \neq 0\), folgt \(a - 0{,}5a - 1 = 0\), woraus sich \(0{,}5a = 1\) und somit \(a = 2\) ergibt. Für \(a=2\) gilt \(c'(x)=e^{-0{,}1x}(1-0{,}2x)\); die Ableitung wechselt bei \(x=5\) von positiv zu negativ. Damit liegt dort tatsächlich ein Maximum vor. Die gesuchten Werte sind \(a = 2\) und \(b = 10\).

\(a = 2\) und \(b = 10\)

- Welcher Parameter bestimmt bei \(b>0\) die waagerechte Asymptote für \(x\to-\infty\)? - Welche Information liefert der gemeinsame markierte Punkt auf der \(y\)-Achse? - Vergleiche anschließend nur, welcher Graph sich vom gemeinsamen Punkt aus schneller verändert.

1. Beide Graphen nähern sich für große negative \(x\) der waagerechten Geraden \(y=2\). Daher ist \(c=2\). 2. Beide Graphen schneiden die \(y\)-Achse im markierten Punkt \(P(0\mid5)\). Mit \(f_b(0)=a+c\) folgt \(a+2=5\), also \(a=3\). 3. Graph q steigt für positive \(x\) schneller an und liegt für negative \(x\) näher an der Asymptote. Daher besitzt Graph q den größeren positiven Parameter \(b\).

a) \(a=3\), \(c=2\). b) Graph q gehört zum größeren Wert von \(b\).

- Wie findet man die Extremstellen einer Funktion mit einem Parameter? - Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn man die Extremstelle für \(x\) einsetzt? - Erinnere dich an das Wachstumsverhalten von Potenzfunktionen im Vergleich zu Exponentialfunktionen. - Die Steigung wird durch die erste Ableitung beschrieben. Ein „Gefälle“ ist eine negative Steigung. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die Ableitungsfunktion ein und löse nach dem Parameter auf.

1. Zur Bestimmung des Maximums wird die erste Ableitung gebildet: \(f_k'(x) = 10 \cdot k^2 \cdot (2 \cdot x - k \cdot x^2) \cdot e^{2-kx} = 10 \cdot k^2 \cdot x \cdot (2 - k \cdot x) \cdot e^{2-kx}\). 2. Die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) liefert für \(x > 0\) die Stelle \(x_H = \frac{2}{k}\). 3. Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(f_k(\frac{2}{k}) = 10 \cdot k^2 \cdot (\frac{2}{k})^2 \cdot e^{2-k \cdot \frac{2}{k}} = 10 \cdot k^2 \cdot \frac{4}{k^2} \cdot e^0 = 40\). Die maximale Höhe beträgt somit stets \(40\,\text{m}\). 4. Für \(x > \frac{2}{k}\) gilt \(x > 0\), \(e^{2-kx} > 0\) und \(2-k \cdot x < 0\). Daher ist \(f_k'(x) < 0\), der Hügel fällt also nach dem höchsten Punkt. Für den Grenzwert gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{10 \cdot k^2 \cdot x^2 \cdot e^2}{e^{kx}} = 0\), da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als die Potenzfunktion im Zähler. 5. Das maximale Gefälle entspricht dem Betrag der Ableitung an der Wendestelle \(x_W = \frac{2+\sqrt{2}}{k}\). Einsetzen in die Ableitungsfunktion: \(f_k'(\frac{2+\sqrt{2}}{k}) = 10 \cdot k^2 \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{k} \cdot (2 - (2+\sqrt{2})) \cdot e^{2-(2+\sqrt{2})} = 10 \cdot k \cdot (2+\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{2}) \cdot e^{-\sqrt{2}} = -10 \cdot k \cdot (2\sqrt{2} + 2) \cdot e^{-\sqrt{2}}\). 6. Gleichsetzen des Betrags mit \(0{,}25\): \(10 \cdot k \cdot (2\sqrt{2} + 2) \cdot e^{-\sqrt{2}} = 0{,}25 \implies k = \frac{0{,}25}{10 \cdot (2\sqrt{2} + 2) \cdot e^{-\sqrt{2}}} \approx 0{,}0213\).

a) Die maximale Höhe beträgt \(40\,\text{m}\). b) Für \(x > \frac{2}{k}\) ist \(f_k'(x) < 0\), und \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0\). c) \(k \approx 0{,}0213\).

- Betrachte die Grenzwerte der einzelnen Summanden der Funktion. - Für die zweite Kampagne musst du die Zeit \(t\) um den Startzeitpunkt verschieben. Überlege, wie man eine Funktion entlang der \(x\)-Achse verschiebt. - Addiere die Funktionswerte beider Kampagnen zum gesuchten Zeitpunkt. - Was passiert mit den zeitabhängigen Termen beider Kampagnen, wenn \(t\) sehr groß wird?

1. Grenzwert für \(t \to \infty\): Da der Term \(k \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t}\) für \(t \to \infty\) gegen \(0\) konvergiert, gilt \(\lim_{t \to \infty} S_k(t) = 10k\). 2. Gesamtfunktion: Für \(t \ge 50\) gilt \(G(t) = S_{100}(t) + S_{150}(t - 50)\). Einsetzen ergibt: \(G(t) = 100 \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t} + 1000 + 150 \cdot (20 - (t - 50)) \cdot e^{-0{,}1(t - 50)} + 1500\). Vereinfacht: \(G(t) = 100 \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t} + 150 \cdot (70 - t) \cdot e^{-0{,}1(t - 50)} + 2500\). 3. Berechnung für \(t = 60\): \(G(60) = 100 \cdot (20 - 60) \cdot e^{-6} + 1000 + 150 \cdot (20 - 10) \cdot e^{-1} + 1500\). \(G(60) = -4000 \cdot e^{-6} + 1000 + 1500 \cdot e^{-1} + 1500 \approx -9{,}91 + 1000 + 551{,}82 + 1500 \approx 3041{,}91\). 4. Langfristiger Gesamtwert: Die Grenzwerte der Einzelmodelle addieren sich: \(10 \cdot 100 + 10 \cdot 150 = 1000 + 1500 = 2500\).

a) \(10k\) b) \(G(t) = 100 \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t} + 150 \cdot (70 - t) \cdot e^{-0{,}1(t - 50)} + 2500\) c) ca. \(3042\) Besucher d) \(2500\) Besucher

- Achte auf den Unterschied zwischen Durchmesser und Radius. - Nutze den natürlichen Logarithmus, um die Parameter aus dem Exponenten zu lösen. - Die Sichtbedingung bedeutet mathematisch, dass die Sichtlinie die Tangente im Wendepunkt der Profilkurve ist. - Die Höhe der Turmspitze ist der Schnittpunkt dieser Tangente mit der \(y\)-Achse.

1. Bedingungen aufstellen: Ein Durchmesser von \(200\,\text{m}\) entspricht einem Radius von \(x=1\). Ein Durchmesser von \(400\,\text{m}\) entspricht \(x=2\). Die Höhen \(400\,\text{m}\) und \(200\,\text{m}\) entsprechen \(h=4\) und \(h=2\). Daraus folgen \(h(1)=4\) und \(h(2)=2\). 2. Gleichungssystem für \(a\) und \(b\): \(e^{a(b-1)} = 4 \Rightarrow a(b-1) = \ln(4)\) und \(e^{a(b-4)} = 2 \Rightarrow a(b-4) = \ln(2)\). 3. Lösung des Systems: Subtraktion der Gleichungen ergibt \(a(b-1) - a(b-4) = \ln(4) - \ln(2) \Rightarrow 3a = \ln(2) \Rightarrow a = \frac{1}{3}\ln(2) \approx 0{,}231\). Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(b-4 = \frac{\ln(2)}{\frac{1}{3}\ln(2)} = 3 \Rightarrow b = 7\). 4. Gipfelhöhe: \(h(0) = e^{ab} = e^{\frac{7}{3}\ln(2)} = 2^{\frac{7}{3}} \approx 5{,}040\), was \(504\,\text{m}\) entspricht. 5. Wendepunkt bestimmen: Die Wendestelle liegt bei \(x_w = \sqrt{\frac{1}{2a}} = \sqrt{\frac{3}{2 \cdot \ln(2)}} \approx 1{,}472\). Die Höhe im Wendepunkt ist \(h(x_w) = e^{a \cdot (b-x_w^2)} = e^{ab - 0{,}5} = h(0) \cdot e^{-0{,}5} \approx 3{,}057\). 6. Turmhöhe berechnen: Die Tangente im Wendepunkt hat die Gleichung \(y = h'(x_w) \cdot (x - x_w) + h(x_w)\). Der \(y\)-Achsenabschnitt (Spitze des Turms) ist \(y_T = -x_w \cdot h'(x_w) + h(x_w)\). Mit \(h'(x) = -2axh(x)\) folgt \(y_T = 2a \cdot x_w^2h(x_w) + h(x_w)\). Da \(2a \cdot x_w^2 = 1\), gilt \(y_T = 2h(x_w) \approx 6{,}113\). 7. Differenz zur Gipfelhöhe: Die Turmhöhe ist \(T = y_T - h(0) = 6{,}113 - 5{,}040 = 1{,}073\). Dies entspricht ca. \(107{,}3\,\text{m}\).

a) \(a = \frac{1}{3}\ln(2) \approx 0{,}231\); \(b = 7\) b) Die Mindesthöhe des Turms beträgt ca. \(107{,}3\,\text{m}\).

- Beobachte beim Verändern von \(a\) sowohl die horizontale Lage als auch die Höhe des Tiefpunkts. - Welche einfachen Ausdrücke in \(a\) könnten zu den drei beobachteten \(x\)- und \(y\)-Koordinaten passen? - Für den Beweis: Welche Gleichung muss an einem inneren Extrempunkt gelten, und wie kannst du anschließend zeigen, dass dort tatsächlich ein Minimum vorliegt?

1. Die dynamische Untersuchung liefert näherungsweise \(T_{0{,}25}(-0{,}69\mid1{,}00)\), \(T_1(0\mid2{,}00)\) und \(T_4(0{,}69\mid4{,}00)\). 2. Aus diesen Beobachtungen ergibt sich die Vermutung \(x_T(a)=\frac{1}{2}\ln(a)\) und \(y_T(a)=2\sqrt{a}\). 3. Es gilt \(f_a'(x)=e^x-ae^{-x}\). Die Gleichung \(f_a'(x)=0\) ist äquivalent zu \(e^{2x}=a\), also besitzt sie wegen \(a>0\) genau die Lösung \(x_T=\frac{1}{2}\ln(a)\). 4. Weiter ist \(f_a''(x)=e^x+ae^{-x}>0\) für alle reellen \(x\). Daher ist dieser Extrempunkt der einzige Tiefpunkt. 5. Für \(x_T=\frac{1}{2}\ln(a)\) gilt \(e^{x_T}=\sqrt{a}\) und \(ae^{-x_T}=\sqrt{a}\). Somit ist \(f_a(x_T)=2\sqrt{a}\).

a) \(T_{0{,}25}(-0{,}69\mid1{,}00)\), \(T_1(0\mid2{,}00)\), \(T_4(0{,}69\mid4{,}00)\) b) \(T_a\left(\frac{1}{2}\ln(a)\mid2\sqrt{a}\right)\) c) Der Punkt ist für jedes \(a>0\) der einzige Tiefpunkt.

- Welche Information über einen Parameter liefert das Grenzverhalten für \(x\to-\infty\)? - Nutze anschließend den gegebenen Punkt, bevor du die Tangentenbedingung auswertest. - Für die Eindeutigkeit von \(b\) kannst du die linke Seite der entstehenden Gleichung als eigene Funktion des Parameters betrachten. - Prüfe zum Schluss, ob die gefundene Nullstelle zur Lage der waagerechten Asymptote und zum Punkt \((0|3)\) passt.

1. Für \(x\to-\infty\) gilt wegen \(b>0\): \(e^{bx}\to0\). Daher ist die waagerechte Asymptote \(y=c\), also \(c=-1\). 2. Aus \(f(0)=3\) folgt \(a+c=3\). Mit \(c=-1\) ergibt sich \(a=4\). 3. Es gilt \(f'(x)=4be^{bx}\). Die Tangentensteigung bei \(x=1\) liefert \(4be^b=8\), also \(be^b=2\). 4. Für \(h(b)=be^b\) gilt auf \(b>0\): \(h'(b)=e^b(1+b)>0\). Damit ist \(h\) streng monoton steigend. Außerdem ist \(h(0)=0<2\) und \(h(1)=e>2\). Wegen der Stetigkeit existiert genau eine positive Lösung. 5. Numerisch erhält man \(b\approx0{,}853\). 6. Für die Nullstelle gilt \(4e^{bx}-1=0\), also \(e^{bx}=\frac{1}{4}\). Damit ist \(x=-\frac{\ln4}{b}\approx-1{,}63\).

a) \(a=4\), \(c=-1\), und \(be^b=2\) b) Die positive Lösung ist eindeutig und beträgt \(b\approx0{,}853\). c) \(x\approx-1{,}63\)