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- Nutze die Produktregel und die Kettenregel für die Ableitungen. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion \(e^{-at}\) niemals null wird. - Das Maximum findest du über die Nullstelle der ersten Ableitung. - Die stärkste Abnahme entspricht der Wendestelle, an der die Steigung negativ und minimal ist. - Setze für die maximale Konzentration den gefundenen Zeitpunkt einfach in die ursprüngliche Funktion ein.

1. Zur Bestimmung der Extrema wird die erste Ableitung gebildet: \(c_a'(t) = 40 \cdot e^{-a \cdot t} + 40t \cdot (-a) \cdot e^{-a \cdot t} = 40 \cdot e^{-a \cdot t} \cdot (1 - at)\). Die notwendige Bedingung \(c_a'(t) = 0\) führt auf \(1 - at = 0\), also \(t_{\text{max}} = \frac{1}{a}\). Da \(c_a'(t)\) bei \(t = \frac{1}{a}\) ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus aufweist, liegt ein Maximum vor. 2. Einsetzen von \(t_{\text{max}}\) in die Funktionsgleichung: \(c_a\left(\frac{1}{a}\right) = 40 \cdot \frac{1}{a} \cdot e^{-a \cdot \frac{1}{a}} = \frac{40}{a} \cdot e^{-1} = \frac{40}{ae}\). 3. Die stärkste Abnahme liegt am Wendepunkt im fallenden Bereich vor. Die zweite Ableitung lautet: \(c_a''(t) = 40 \cdot (-a) \cdot e^{-a \cdot t} \cdot (1 - at) + 40 \cdot e^{-a \cdot t} \cdot (-a) = 40a \cdot e^{-a \cdot t} \cdot (at - 2)\). Die Bedingung \(c_a''(t) = 0\) ergibt \(at - 2 = 0\), also \(t_W = \frac{2}{a}\). Da \(c_a'(t_W) = 40 \cdot e^{-2} \cdot (1 - 2) = -40 \cdot e^{-2} < 0\), handelt es sich um die stärkste Abnahme. 4. Das Verhältnis ist \(\frac{t_W}{t_{\text{max}}} = \frac{\frac{2}{a}}{\frac{1}{a}} = 2\).

1. \(t_{\text{max}} = \frac{1}{a}\) 2. \(c_{\text{max}} = \frac{40}{ae}\) 3. \(t_W = \frac{2}{a}\) 4. Das Verhältnis beträgt \(2\).

- Überlege dir zuerst, wie du das Maximum einer Funktion mit Parameter bestimmst. - Was musst du tun, um zu zeigen, dass ein Ergebnis nicht von einer Variablen abhängt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung und der Änderungsrate. - Betrachte den Term \(\frac{1}{k}\): Was passiert mit dem Wert, wenn \(k\) größer wird?

1. Die erste Ableitung ist \(f_k'(t) = k \cdot e^{-k \cdot t} + k \cdot t \cdot (-k) \cdot e^{-k \cdot t} = k \cdot e^{-k \cdot t} \cdot (1 - k \cdot t)\). Die Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei \(t = \frac{1}{k}\). Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(f_k\left(\frac{1}{k}\right) = k \cdot \frac{1}{k} \cdot e^{-k \cdot \frac{1}{k}} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}\). Da dieser Wert unabhängig von \(k\) ist, ist der maximale Funktionswert für alle \(k\) identisch. 2. Die momentane Änderungsrate zu Beginn ist der Wert der ersten Ableitung an der Stelle \(t = 0\): \(f_k'(0) = k \cdot e^{0} \cdot (1 - 0) = k \cdot 1 \cdot 1 = k\). 3. Da der Zeitpunkt des Maximums \(t_{\text{max}} = \frac{1}{k}\) ist, führt ein größerer Wert von \(k\) dazu, dass das Maximum früher erreicht wird (der Prozess läuft schneller ab). Gleichzeitig bedeutet ein größeres \(k\), dass die anfängliche Änderungsrate \(f_k'(0) = k\) höher ist, der Prozess also steiler startet.

1. Das Maximum liegt stets bei \(f_k\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{1}{e} \approx 0{,}368\). 2. \(f_k'(0) = k\) 3. Ein größeres \(k\) bewirkt einen schnelleren Anstieg zu Beginn und ein früheres Erreichen des Maximums.

- Welches Wachstum dominiert bei sehr großen Werten von \(t\)? - Wie bestimmt man die Extremstellen einer Funktion? Achte darauf, ob der Parameter \(c\) in der Gleichung für \(t\) bestehen bleibt. - Die stärkste Abnahme entspricht dem Minimum der ersten Ableitungsfunktion. - Setze den bekannten Zeitpunkt des Maximums in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem gesuchten Parameter auf.

1. Grenzwertbetrachtung: Da die Exponentialfunktion \(e^{0{,}02t}\) für \(t \to \infty\) schneller wächst als jede lineare Funktion, gilt \(\lim_{t \to \infty} h_c(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{c(t+40)}{e^{0{,}02t}} = 0\). 2. Ableitung berechnen: \(h_c'(t) = c \cdot [1 \cdot e^{-0{,}02t} + (t + 40) \cdot (-0{,}02) \cdot e^{-0{,}02t}] = c \cdot e^{-0{,}02t} \cdot (1 - 0{,}02t - 0{,}8) = c \cdot e^{-0{,}02t} \cdot (0{,}2 - 0{,}02t)\). 3. Extremstelle: \(h_c'(t) = 0\) führt zu \(0{,}2 - 0{,}02t = 0\), woraus \(t = 10\) folgt. Da dieser Wert unabhängig von \(c\) ist, ist die Unabhängigkeit gezeigt. Die Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(h_c''(10) < 0\) bestätigt das Maximum. 4. Wendepunkt (stärkste Abnahme): Die zweite Ableitung ist \(h_c''(t) = c \cdot e^{-0{,}02t} \cdot (0{,}0004t - 0{,}024)\). Nullsetzen ergibt \(0{,}0004t = 0{,}024\), also \(t = 60\). Da \(h_c'''(60) > 0\), liegt hier ein Minimum der Steigung (stärkste Abnahme) vor. 5. Parameterbestimmung: Einsetzen von \(t = 10\) in \(h_c(t) = 500\) ergibt \(c \cdot (10 + 40) \cdot e^{-0{,}02 \cdot 10} = 500\). Dies führt zu \(50c \cdot e^{-0{,}2} = 500\), also \(c = \frac{10}{e^{-0{,}2}} = 10 \cdot e^{0{,}2} \approx 12{,}21\).

a) \(\lim_{t \to \infty} h_c(t) = 0\,\text{mg/l}\) b) \(t = 10\) (unabhängig von \(c\)) c) Nach \(60\,\text{Stunden}\) d) \(c \approx 12{,}21\)

- Überlege dir, welcher Wert der Funktion der Höhe in der Mitte entspricht. - Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein, um die Unbekannten zu berechnen. - Welches mathematische Kriterium hilft dir dabei, die Stelle mit der extremsten Steigung zu finden? - Denke daran, dass Steigungen oft als Dezimalzahl berechnet werden; wie rechnet man diese in Prozent um?

1. Bestimmung von \(A\): Aus der Bedingung \(f(0) = 12\) folgt direkt \(A \cdot e^0 = 12\), also \(A = 12\). 2. Bestimmung von \(k\): Mit der Bedingung \(f(20) = 8\) ergibt sich \(12 \cdot e^{-k \cdot 20^2} = 8\). Umformen führt zu \(e^{-400k} = \frac{2}{3}\), woraus \(k = -\frac{\ln(2/3)}{400} = \frac{\ln(1{,}5)}{400} \approx 0{,}001014\) folgt. 3. Bestimmung des Wendepunkts: Die stärkste Steigung bzw. das stärkste Gefälle liegt an den Wendestellen vor. Die zweite Ableitung \(f''(x) = 12 \cdot e^{-k \cdot x^2} \cdot (-2 \cdot k + 4 \cdot k^2 \cdot x^2)\) wird Null für \(x^2 = \frac{1}{2 \cdot k}\). Für \(x > 0\) ergibt sich \(x_w = \sqrt{\frac{200}{\ln(1{,}5)}} \approx 22{,}22\). 4. Koordinaten des Wendepunkts: Der Funktionswert an der Wendestelle ist \(f(x_w) = 12 \cdot e^{-k \cdot \frac{1}{2k}} = 12 \cdot e^{-0{,}5} \approx 7{,}28\). Der Punkt ist \(P(22{,}22 \mid 7{,}28)\). 5. Berechnung der Steigung: Die Steigung im Wendepunkt ist \(f'(x_w) = -2 \cdot k \cdot x_w \cdot f(x_w) = -2 \cdot \frac{\ln(1{,}5)}{400} \cdot \sqrt{\frac{200}{\ln(1{,}5)}} \cdot 12 \cdot e^{-0{,}5} = -\sqrt{\frac{\ln(1{,}5)}{200}} \cdot 12 \cdot e^{-0{,}5} \approx -0{,}328\). 6. Umrechnung in Prozent: Eine Steigung von \(-0{,}328\) entspricht einem Gefälle von \(32{,}8\,\%\).

a) \(A = 12\); \(k = \frac{\ln(1{,}5)}{400} \approx 0{,}001014\) b) \(P(22{,}22 \mid 7{,}28)\) c) Das Gefälle beträgt ca. \(32{,}8\,\%\).

- Wie findet man die Extremstellen einer Funktion mit einem Parameter? - Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn man die Extremstelle für \(x\) einsetzt? - Erinnere dich an das Wachstumsverhalten von Potenzfunktionen im Vergleich zu Exponentialfunktionen. - Die Steigung wird durch die erste Ableitung beschrieben. Ein „Gefälle“ ist eine negative Steigung. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die Ableitungsfunktion ein und löse nach dem Parameter auf.

1. Zur Bestimmung des Maximums wird die erste Ableitung gebildet: \(f_k'(x) = 10 \cdot k^2 \cdot (2x - k \cdot x^2) \cdot e^{2-k \cdot x} = 10 \cdot k^2 \cdot x \cdot (2 - k \cdot x) \cdot e^{2-k \cdot x}\). 2. Die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) liefert für \(x > 0\) die Stelle \(x_H = \frac{2}{k}\). 3. Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(f_k(\frac{2}{k}) = 10 k^2 \cdot (\frac{2}{k})^2 \cdot e^{2-k \cdot \frac{2}{k}} = 10 k^2 \cdot \frac{4}{k^2} \cdot e^0 = 40\). Die maximale Höhe beträgt somit stets \(40\,\text{m}\). 4. Für den Grenzwert gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{10 \cdot k^2 \cdot x^2 \cdot e^2}{e^{k \cdot x}} = 0\), da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als die Potenzfunktion im Zähler. 5. Das maximale Gefälle entspricht dem Betrag der Ableitung an der Wendestelle \(x_W = \frac{2+\sqrt{2}}{k}\). Einsetzen in die Ableitungsfunktion: \(f_k'(\frac{2+\sqrt{2}}{k}) = 10 k^2 \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{k} \cdot (2 - (2+\sqrt{2})) \cdot e^{2-(2+\sqrt{2})} = 10 \cdot k \cdot (2+\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{2}) \cdot e^{-\sqrt{2}} = -10 \cdot k \cdot (2\sqrt{2} + 2) \cdot e^{-\sqrt{2}}\). 6. Gleichsetzen des Betrags mit \(0{,}25\): \(10 \cdot k \cdot (2\sqrt{2} + 2) \cdot e^{-\sqrt{2}} = 0{,}25 \implies k = \frac{0{,}25}{10 \cdot (2\sqrt{2} + 2) \cdot e^{-\sqrt{2}}} \approx 0{,}0213\).

a) Die maximale Höhe beträgt \(40\,\text{m}\). b) \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0\). c) \(k \approx 0{,}0213\).

- Betrachte die Grenzwerte der einzelnen Summanden der Funktion. - Für die zweite Kampagne musst du die Zeit \(t\) um den Startzeitpunkt verschieben. Überlege, wie man eine Funktion entlang der \(x\)-Achse verschiebt. - Addiere die Funktionswerte beider Kampagnen zum gesuchten Zeitpunkt. - Was passiert mit den zeitabhängigen Termen beider Kampagnen, wenn \(t\) sehr groß wird?

1. Grenzwert für \(t \to \infty\): Da der Term \(k \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t}\) für \(t \to \infty\) gegen \(0\) konvergiert, gilt \(\lim_{t \to \infty} S_k(t) = 10 \cdot k\). 2. Gesamtfunktion: Für \(t \ge 50\) gilt \(G(t) = S_{100}(t) + S_{150}(t - 50)\). Einsetzen ergibt: \(G(t) = 100 \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t} + 1000 + 150 \cdot (20 - (t - 50)) \cdot e^{-0{,}1(t - 50)} + 1500\). Vereinfacht: \(G(t) = 100 \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t} + 150 \cdot (70 - t) \cdot e^{-0{,}1(t - 50)} + 2500\). 3. Berechnung für \(t = 60\): \(G(60) = 100 \cdot (20 - 60) \cdot e^{-6} + 1000 + 150 \cdot (20 - 10) \cdot e^{-1} + 1500\). \(G(60) = -4000 \cdot e^{-6} + 1000 + 1500 \cdot e^{-1} + 1500 \approx -9{,}91 + 1000 + 551{,}82 + 1500 \approx 3041{,}91\). 4. Langfristiger Gesamtwert: Die Grenzwerte der Einzelmodelle addieren sich: \(10 \cdot 100 + 10 \cdot 150 = 1000 + 1500 = 2500\).

a) \(10 \cdot k\) b) \(G(t) = 100 \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t} + 150 \cdot (70 - t) \cdot e^{-0{,}1(t - 50)} + 2500\) c) ca. \(3042\) Besucher d) \(2500\) Besucher

- Achte auf den Unterschied zwischen Durchmesser und Radius. - Nutze den natürlichen Logarithmus, um die Parameter aus dem Exponenten zu lösen. - Die Sichtbedingung bedeutet mathematisch, dass die Sichtlinie die Tangente im Wendepunkt der Profilkurve ist. - Die Höhe der Turmspitze ist der Schnittpunkt dieser Tangente mit der \(y\)-Achse.

1. Bedingungen aufstellen: Ein Durchmesser von \(200\,\text{m}\) entspricht einem Radius von \(x=1\). Ein Durchmesser von \(400\,\text{m}\) entspricht \(x=2\). Die Höhen \(400\,\text{m}\) und \(200\,\text{m}\) entsprechen \(h=4\) und \(h=2\). Daraus folgen \(h(1)=4\) und \(h(2)=2\). 2. Gleichungssystem für \(a\) und \(b\): \(e^{a(b-1)} = 4 \Rightarrow a(b-1) = \ln(4)\) und \(e^{a(b-4)} = 2 \Rightarrow a(b-4) = \ln(2)\). 3. Lösung des Systems: Subtraktion der Gleichungen ergibt \(a(b-1) - a(b-4) = \ln(4) - \ln(2) \Rightarrow 3a = \ln(2) \Rightarrow a = \frac{1}{3}\ln(2) \approx 0{,}231\). Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(b-4 = \frac{\ln(2)}{\frac{1}{3}\ln(2)} = 3 \Rightarrow b = 7\). 4. Gipfelhöhe: \(h(0) = e^{ab} = e^{\frac{7}{3}\ln(2)} = 2^{7/3} \approx 5{,}040\), was \(504\,\text{m}\) entspricht. 5. Wendepunkt bestimmen: Die Wendestelle liegt bei \(x_w = \sqrt{\frac{1}{2a}} = \sqrt{\frac{3}{2\ln(2)}} \approx 1{,}472\). Die Höhe im Wendepunkt ist \(h(x_w) = e^{a(b-x_w^2)} = e^{ab - 0{,}5} = h(0) \cdot e^{-0{,}5} \approx 3{,}057\). 6. Turmhöhe berechnen: Die Tangente im Wendepunkt hat die Gleichung \(y = h'(x_w)(x - x_w) + h(x_w)\). Der \(y\)-Achsenabschnitt (Spitze des Turms) ist \(y_T = -x_w \cdot h'(x_w) + h(x_w)\). Mit \(h'(x) = -2ax \cdot h(x)\) folgt \(y_T = 2ax_w^2 \cdot h(x_w) + h(x_w)\). Da \(2ax_w^2 = 1\), gilt \(y_T = 2 \cdot h(x_w) \approx 6{,}113\). 7. Differenz zur Gipfelhöhe: Die Turmhöhe ist \(T = y_T - h(0) = 6{,}113 - 5{,}040 = 1{,}073\). Dies entspricht ca. \(107{,}3\,\text{m}\).

a) \(a = \frac{1}{3}\ln(2) \approx 0{,}231\); \(b = 7\) b) Die Mindesthöhe des Turms beträgt ca. \(107{,}3\,\text{m}\).