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- Überlege dir, welche Werte für \(X\) im ursprünglichen Ereignis enthalten sind. Das Gegenereignis umfasst dann genau alle anderen möglichen Werte im Bereich von \(0\) bis \(25\). - Beachte den Unterschied zwischen „weniger als“ und „höchstens“ sowie zwischen „mehr als“ und „mindestens“. - Was bleibt übrig, wenn ein bestimmtes Intervall aus der Menge aller möglichen Ergebnisse entfernt wird?

a) Für \(E_1\) (\(X \le 22\)) ist das Gegenereignis \(\bar{E}_1\): Es werden mehr als \(22\) rote Kugeln gezogen. Formal: \(X > 22\) bzw. \(X \ge 23\). b) Für \(E_2\) (\(6 \le X \le 14\)) ist das Gegenereignis \(\bar{E}_2\): Es werden weniger als \(6\) oder mehr als \(14\) rote Kugeln gezogen. Formal: \(X < 6 \lor X > 14\) bzw. \(X \le 5 \lor X \ge 15\). c) Für \(E_3\) (\(X \ge 1\)) ist das Gegenereignis \(\bar{E}_3\): Es wird keine rote Kugel gezogen. Formal: \(X = 0\).

a) \(\bar{E}_1\): Es werden mehr als \(22\) rote Kugeln gezogen (\(X > 22\) bzw. \(X \in \{23, 24, 25\}\)). b) \(\bar{E}_2\): Es werden weniger als \(6\) oder mehr als \(14\) rote Kugeln gezogen (\(X < 6 \lor X > 14\)). c) \(\bar{E}_3\): Es wird keine rote Kugel gezogen (\(X = 0\)).

- Überlege dir, welche Zahlenpaare du ziehen kannst, wenn du keine Kugel doppelt nehmen darfst. - Berechne für jedes dieser Paare den Abstand zwischen den beiden Zahlen. - Was ist der kleinstmögliche und was der größtmögliche Abstand zwischen zwei verschiedenen Zahlen aus diesem Bereich?

1. Da nacheinander ohne Zurücklegen gezogen wird, sind die Elementarereignisse geordnete Paare \((a,b)\) mit \(a,b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\) und \(a \ne b\). Für die Wertemenge von \(X\) genügt es, die verschiedenen Abstände der gezogenen Zahlen zu betrachten. 2. Berechnung der möglichen Beträge der Differenzen: - Differenz \(1\): zum Beispiel \(|1-2|\), \(|2-3|\), \(|3-4|\), \(|4-5|\) - Differenz \(2\): zum Beispiel \(|1-3|\), \(|2-4|\), \(|3-5|\) - Differenz \(3\): zum Beispiel \(|1-4|\), \(|2-5|\) - Differenz \(4\): \(|1-5|\) 3. Damit kann \(X\) genau die Werte \(1, 2, 3\) und \(4\) annehmen. Die Wertemenge ist \(W = \{1, 2, 3, 4\}\).

\(W = \{1, 2, 3, 4\}\)

- Überlege dir zuerst, welche Augenzahlen ein Würfel überhaupt zeigen kann. - Was bedeutet der Begriff „Betrag der Differenz“ mathematisch? - Gehe die Möglichkeiten für den ersten Wurf (1 bis 6) schrittweise durch und prüfe, welche Zahl beim zweiten Wurf fallen muss, damit der Unterschied genau 2 beträgt. - Denk daran, dass die Reihenfolge der Würfe wichtig ist – das Ergebnis (1, 3) ist ein anderes als (3, 1).

1. Identifikation der möglichen Ergebnisse für zwei Würfe: Alle Tupel \((a, b)\) mit \(a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). 2. Aufstellen der Bedingung für die Zufallsgröße: \(|a - b| = 2\). 3. Systematisches Suchen der Paare, die die Bedingung erfüllen: - Für \(a=1\): \(|1-b|=2 \implies b=3\) - Für \(a=2\): \(|2-b|=2 \implies b=4\) - Für \(a=3\): \(|3-b|=2 \implies b=1\) oder \(b=5\) - Für \(a=4\): \(|4-b|=2 \implies b=2\) oder \(b=6\) - Für \(a=5\): \(|5-b|=2 \implies b=3\) - Für \(a=6\): \(|6-b|=2 \implies b=4\) 4. Zusammenfassen der Ergebnisse in einer Menge: \(E = \{(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)\}\).

\(E = \{(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)\}\)

- Überlege dir, welche Anzahlen an defekten Chips möglich sind (von \(0\) bis \(100\)). - Wenn ein Ereignis einen bestimmten Bereich abdeckt, welche Zahlen liegen dann außerhalb dieses Bereichs? - Wie drückst du die Verneinung von „kein“ oder „alle“ im Kontext von Zufallsexperimenten aus?

1. Das Ereignis \(E_1\) umfasst die Werte \(X \in \{4, 5, \dots, 100\}\). Das Gegenereignis \(\bar{E}_1\) umfasst somit die Werte \(\{0, 1, 2, 3\}\). Text: Höchstens \(3\) Chips sind defekt. 2. Das Ereignis \(E_2\) umfasst die Werte \(X \in \{10, 11, \dots, 20\}\). Das Gegenereignis \(\bar{E}_2\) umfasst alle Werte kleiner als \(10\) oder größer als \(20\). Text: Weniger als \(10\) oder mehr als \(20\) Chips sind defekt. 3. Das Ereignis \(E_3\) entspricht \(X = 0\). Das Gegenereignis \(\bar{E}_3\) umfasst alle Werte von \(1\) bis \(100\). Text: Mindestens ein Chip ist defekt.

a) \(\bar{E}_1\): Höchstens \(3\) Chips sind defekt. b) \(\bar{E}_2\): Weniger als \(10\) oder mehr als \(20\) Chips sind defekt. c) \(\bar{E}_3\): Mindestens ein Chip ist defekt.

- Überlege dir zuerst, welche Punktzahlen bei einer einzelnen Aufgabe möglich sind. - Gehe systematisch vor, um keine Kombination zu vergessen (z. B. erst alle Fälle ohne 10 Punkte, dann mit einer 10, usw.). - Erstelle eine Liste aller möglichen Summen, die aus drei dieser Einzelwerte gebildet werden können. - Achte darauf, jeden Summenwert in deiner Ergebnismenge nur einmal aufzuführen.

1. Bestimmung der möglichen Punktzahlen pro Aufgabe: \(S = \{0, 3, 10\}\). 2. Systematische Ermittlung aller möglichen Summen von drei Werten aus \(S\): - Nur 0er und 3er: \(0+0+0=0\), \(0+0+3=3\), \(0+3+3=6\), \(3+3+3=9\). - Genau eine 10: \(0+0+10=10\), \(0+3+10=13\), \(3+3+10=16\). - Genau zwei 10er: \(0+10+10=20\), \(3+10+10=23\). - Drei 10er: \(10+10+10=30\). 3. Auflistung der eindeutigen Summen in aufsteigender Reihenfolge ergibt die Menge \(W = \{0, 3, 6, 9, 10, 13, 16, 20, 23, 30\}\).

\(W = \{0, 3, 6, 9, 10, 13, 16, 20, 23, 30\}\)

- Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt, wenn man eine Münze dreimal wirft? - Überlege dir, wie viele Wappen und wie viele Zahlen vorkommen müssen, damit ihre Differenz (Wappen minus Zahlen) genau \(-1\) ergibt. - Gibt es mehr als eine Kombination von Wappen und Zahlen, die diese Bedingung erfüllt? - Schreibe alle möglichen Reihenfolgen auf, in denen diese Anzahl an Wappen und Zahlen auftreten kann.

1. Bestimmung der möglichen Ausgänge bei drei Würfen: Es gibt \(2^3 = 8\) mögliche Tripel aus \(W\) und \(Z\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Zufallsgröße: Sei \(n_W\) die Anzahl der Wappen und \(n_Z\) die Anzahl der Zahlen. Es gilt \(n_W + n_Z = 3\) und die Bedingung \(X = n_W - n_Z = -1\). 3. Lösen des Gleichungssystems: Aus \(n_W - (3 - n_W) = -1\) folgt \(2n_W - 3 = -1\), also \(2n_W = 2\) und somit \(n_W = 1\). Das Ereignis tritt ein, wenn genau ein Wappen und zwei Zahlen geworfen werden. 4. Auflisten aller Tripel mit einem \(W\) und zwei \(Z\): \((W, Z, Z)\), \((Z, W, Z)\), \((Z, Z, W)\). 5. Angabe als Menge: \(E = \{(W, Z, Z), (Z, W, Z), (Z, Z, W)\}\).

\(E = \{(W, Z, Z), (Z, W, Z), (Z, Z, W)\}\)